Raciocinio logico

2010

Matemática

PROFESSOR Marcílio Farias

AULA – 01 - TEXTO 1

Raciocínio Lógico Resolução de Problemas

DISCIPLINA

RACIOCÍNIO LÓGICO

1 AULA - 01 - TEXTO

Exemplos de Problemas do 1º Grau com Uma Variável Resde Problemas m Texto de Benedito Castrucci, Ronaldo G. Peretti e José R. Giovanni (1976).

Certos problemas podem ser resolvidos por meio de uma equação do 1º grau com uma variável; por esse motivo, são chamados Problemas do 1º Grau.

A resolução desses problemas, por meio de equações, é constituída de 3 fases: 1ª) Escrever a equação do problema, que significa a tradução do enunciado (linguagem corrente) para a equação (linguagem simbólica).

2ª) Resolver a equação achada.

3ª) Interpretar a solução da equação, que significa verificar se a raiz da equação satisfaz as condições impostas no problema.

EXEMPLOS DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM UMA VARIÁVEL

1º Exemplo: Ao triplo de um número acrescentamos 8, o que dá 35. Calcular esse número.

Número > x Equação > 3x + 8 = 35 Solução da equação: 3x + 8 = 35 3x = 35 - 8 3x = 27 27 x= 3

x=9 Resposta: O número é 9.

2º Exemplo: A terça parte de um número aumentada de 4 é igual ao dobro do mesmo número, diminuído de 21. Calcular esse número.

Número >x

x Equação > 3 + 4 = 2x – 21

Solução da equação:

x 3 + 4 = 2x – 21 x 3

– 2x = – 21 – 4

x − 6x = – 21 – 4 3 −5 x 3

= – 25 x=

− 25 × 3 −5

x = 15 Resposta: O número é 15.

3º Exemplo: A soma de dois números é 63. Um deles é igual ao dobro do outro. Calcular os dois números.

Número menor > x Número maior > 2x Equação > x + 2x = 63 Solução da equação: x + 2x = 63 Sabe-se que número maior = 2x 3x = 63 Substituindo x = 21, temos: x=

63 3

número maior = 2 . (21)

x = 21 (número menor) número maior = 42 Resposta: Os números são 21 e 42

4º Exemplo: A soma de dois números é 45. O maior supera o menor em sete unidades. Calcular os dois números: Número menor > x Número maior > x + 7 Equação > x + (x + 7) = 45 Solução da equação: x + (x + 7) = 45

2x = 38 38 x= 2

x + x + 7 = 45 x + x = 45 – 7

x = 19 (número menor)

Sabe-se que número maior = x + 7 Substituindo x = 19, temos: número maior = 19 + 7 número maior = 26 Resposta: Os números são 19 e 26.

5º Exemplo: A soma de dois números é 41 e a diferença entre eles é 7. Calcular os dois números Número maior > Número menor >

x x–7

Equação > x + (x -7) = 41 Solução da equação: x +(x -7)=41 Sabe-se que número menor =x - 7 x + x -7 = 41 Substituindo x = 24 temos: x + x =41+7 2x = 48 número menor = 24 - 7 48 x = 2

número menor = 17

x = 24 (número maior) Resposta: Os números são 24 e 17.

6º Exemplo: A soma de 2 números inteiros consecutivos é 61.

Calcular os dois números Número menor > x Número maior > x + 1 Equação> x + (x + 1) = 61 Solução da equação: x+(x+1)=61 Sabe-se que número maior = x + 1 x+x+1 = 61 Substituindo x = 30, temos: x+x = 61-1 2x = 60 número maior = 30 + 1 60 x= 2

número maior = 31

x = 30(número menor) Resposta: Os números são 30 e 31.

7º Exemplo: A soma de dois números é 20. O dobro do menor é igual aos 4/3 do maior. Calcular os dois números.

Número maior > x Número menor > 20 - x

4 x Equação > 2 . (20 – x) = 3 Solução da equação:

4 x 2.(20–x)= 3 4 x 2x - 3 = 40 − 6x − 4x 3

= - 40

x

= - 40

− 10 3

− 40 × 3 x = − 10

x = 12 (número maior) Sabe-se que número menor = 20-x Substituindo x = 12, temos: Número menor = 20 - 12 Número menor = 8 Resposta: Os números são 12 e 8

Exemplos de Problemas de 1º Grau com Duas Variáveis Res olução de Problemas m Texto de Benedito CCastrucci, Ronaldo G. Peretti e José R. Giovanni (1976).

Vamos estudar o emprego de um sistema de equações simultâneas do 1º grau na resolução de certos problemas, o qual será feito por meio de exemplos.

EXEMPLOS DE PROBLEMAS DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS

1º Exemplo: A soma de dois números é 95 e a sua diferença é 21. Quais são esses números?

1º Número > x 2º Número > y

⎧ x + y = 95 Sistema > ⎨ ⎩ x − y = 21

(a) (b)

Resolvendo o sistema acima pelo método da adição, temos: x+y=95 x–y=21 2x+ 0 =116 116 x= 2 x = 58 (1º número) Substituindo x = 58 na equação (a), temos:

x + y = 95 y = 95 - 58 y = 37 (2º número) Resposta: Os números são 58 e 37 2º Exemplo: O perímetro de um retângulo mede 22 cm. Quais são as dimensões do retângulo, se o comprimento tem 5 cm a mais que a largura? medida do comprimento > x medida da largura > y

(a) ⎧x = y + 5 ⎨ Sistema > ⎩2x + 2y = 22 (b)

Nesse caso, a resolução é mais simples pelo método da substituição.

Substituindo a equação (a) na equação (b), temos: 2 (y + 5) + 2y = 22 2y + 10 + 2y 2y + 2y

= 22

= 22 – 10

4y = 12 12 y= 4

y=3

(largura)

Substituindo y = 3 na equação (a), temos: x=y+5 x=3+5 x=8 (comprimento) Resposta: A medida do comprimento é 8 cm e a da largura é 3 cm

3º Exemplo: Repartir 132 em duas parcelas, de modo que uma delas seja igual ao triplo da outra.

Parcela maior > x Parcela menor > y ⎧ x + y = 132 Sistema > ⎨ x = 3 y ⎩

(a ) (b)

Nesse caso, o sistema é mais fácil de ser resolvido peio método da substituição.

Substituindo a equação (b) na equação (a), temos: 3y + y = 132 4y = 132

132 y= 4 y = 33

(parcela menor)

Substituindo y = 33 na equação (b), temos: x=3y x = 3. (33) x = 99

(parcela maior)

Resposta: As parcelas são 33 e 99

8 4º Exemplo: A razão entre dois números é 5 . A diferença entre esses números é 27. Calcular esses dois números.

Número maior > x Número menor > y

⎧x 8 ⎪ = ⎨y 5 Sistema > ⎪ ⎩ x − y = 27

(a) (b)

Nesse caso, o sistema é mais fácil de ser resolvido peio método da substituição.

Da equação (a) temos: 8y x= 5

(c)

3y = 5. ( 27)

Substituindo (c) em (b) temos: 3y = 135 135 8y - y = 27 y= 3 5 8 y − 5y = 27 5 3y = 27 5

y = 45(número menor)

Substituindo y = 45 na equação (c), temos: 8 y x= 5

8 x = 5 ( 45 ) 360 x= 5 x = 72

(número maior)

Resposta: Os números são 45 e 72

Sequências Res Olução de Problemas m Texto de Almir Leite Cordeiro, Geraldo Motta Azevedo Júnio, Loise Tarouquela (2007).