Fractals testfase

RUMOER OP DE DORSVLOER John Bontje

FRACTALS Z O IN HET KLEIN , ZO IN HET GROOT

Kleine gebeurtenissen kunnen grote gevolgen hebben

Dimensies De structuur van de Fractals

FRACTALS In de nacht van 11 en 12 augustus 1991 reed mevrouw Urwin, met haar zoon op de B1102 in de buurt van Cambridge. De klok wees kwart over één, toen zij achter de auto een zilverblauw lichtgevende bol tot op tien meter zag naderen. De lichtbol was ineens verdwenen. In Cambridge Ickleton, niet ver daar vandaan ontdekte boer Raybone bij daglicht een fractal in het tarweveld De vorm van de fractal staat bekend als ‘het appelmannetje van Mandelbrot ‘. Daar het iets weg heeft van een appel.De verschijning van de Mandelbrot-diagram in Ickleton Cambridge op 11 augustus 1991 was het startsein van een opmerkelijke reeks van fractalvormen in de graanvelden.

Ickleton Cambridge op 11 augustus 1991

In het kort is een fractal een object waarvan delen van het object overeenkomt met het totale object. De bladeren van een varen zien eruit als een miniatuur versie van de hele varen. De takken van een boom zien eruit als een miniatuur versie van de hele boom. Hetzelfde is te zien in een berglandschap. Keien op de voorgrond hebben dezelfde vorm als de grote bergen op de achtergrond. In de wiskunde komen fractals voort uit wiskundige formules. De complexe figuren ontstaan door een rekenkundige regel stelselmatig te herhalen. De meest eenvoudige voorstelling van een fractal is de ‘stof van Cantor’.De lijn wordt stelselmatig in drie gelijke delen verdelen waar bij het middelste deel telkens wordt verwijderd.

Cantor stof

In principe kan deze handeling eeuwig worden herhaald. Als je begint te tekenen wordt je eerst aangeleerd dat alle vormen in de natuur zijn terug te brengen naar de vier basisvormen: bol, kubus, cilinder en kegel. Mandelbrot, de wiskundige de bedenker en ontdekker van de fractale geometrie stelde dat wolken geen bollen zijn en bergen geen kegels, bliksems geen rechte lijnen.

Wat het wel zijn? Het zijn herhalende patronen op verschillende schalen. Met de fractale geometrie is het mogelijk om de complexe patronen en onregelmatige vormen die zich herhalen in de natuur te beschrijven. Fractals worden vooral in verband gebracht met dimensies. In het dagelijkse leven worden we omringd met de ruimtes waarmee we bekend zijn.

Van de 0e dimensie naar de 4e dimensie

De 0e dimensie is een punt de 1e dimensie is een lijn, de 2e dimensie is een vlak en de 3 e dimensie is een kubus. Tussen de dimensies met de hele getallen zijn een groot aantal gebroken dimensies die door Mandelbrot fractal dimensions werden genoemd. Hij koos het woord fractal omdat het is afgeleid van het Latijnse woord ‘frangere’ wat ‘breken’ betekent of ‘onregelmatige fragmenten’. Mandelbrot ontdekte dat de 4e dimensie betrekking heeft op gebroken dimensies.

Een oneindige verzamelingen van fractal-dimensies liggen tussen de 0e dimensie en 1e dimensie, tussen de 1e dimensie en de 2e dimensie en tussen de 2e en de 3e dimensie. Al deze dimensies en gebroken dimensies (fractal-dimensies) samen met het begrip tijd zijn inbegrepen in de 4e dimensie. Het is opvallend dat de 1e dimensie ‘de lijn’ de buitenkant vormt van het vlak de 2e dimensie. En de 2e dimensie ‘het vlak’ de buitenkant vormt van de 3e dimensie ‘de kubus’.

Hier uit volgt dat de 4e dimensie begrensd wordt door de 3e de 2e en de 1e en de 0e dimensies en de gebroken dimensies.

DIMENSIES De 4e dimensie is moeilijk te begrijpen. Een goed voorbeeld, zijn de Platlanders, Voor hen bestaat de wereld slechts, de 2e dimensie uit lengte en breedte. Nu komt iemand uit Bolland op visite, uit de 3e dimensie, de wereld van lengte, breedte en hoogte. Hij verschijnt eerst als een stip in ‘platland’, groeit uit tot cirkel en verdwijnt weer als stip. De wereld van Platland is voor een iemand uit Bolland makkelijke te begrijpen. Voor de Platlander is het verschijnen van de stip die uitgroeit tot een cirkel, een onverklaarbaar fenomeen. Als voorbeeld kunnen we een MRI scan aanhalen, die een afbeelding maakt van een doorsnede van het lichaam. Het gaat als een 3 dimensionaal lichaam de scan in. De scan maakt slechts een afdruk van een doorsnede van het lichaam. De analogie tussen Platland en Bolland kunnen we doortrekken naar onze verhouding met de 4e dimensie. Voor de bewoners van de 4e dimensie is de wereld van de 3e dimensie een open boek. Een bezoek uit de wereld van de 4e dimensie zou in onze driedimensionale wereld als een onverklaarbaar fenomeen worden gezien. Een bezoek van een Hyperbol uit de vierde dimensie zal eerst als een punt in de 3e dimensie worden gezien die later uitgroeit tot en bol en vervolgens weer inkrimpen tot een punt en verdwijnen in het niets. De bezoeker van 4e dimensie kan het verklaren door voorbeelden te laten zien die betrekking hebben op verbindingen tussen dimensies. De fractals hebben deze eigenschap hun dimensies liggen tussen 1e en de 2e dimensie en de 2e en de 3e dimensie. De fractalvormen in de graanformaties hebben vooral betrekking op andere ruimtes en dimensies. De maker(s) lijken dat voor ogen te hebben.

Ik moet vooral denken aan het voorval met Elisa en zijn bediende in de plaats Dotan. (Dotan is ‘dubbele bron’) Elisa vroeg aan de Heer om de ogen van de bediende te openen zodat hij de andere ‘dimensie’ kon zien. Opmerkelijk is dat de naam van de plaats ‘dubbele bron ‘ wordt genoemd. II Koningen 6:15-17.

Veel vormen van de graanformaties zijn terug te vinden aan de randen van de Mandelbrotfractal.

Links de wiskundige geconstrueerde Mandelbrot fractal en rechts de gelijkende fractalvormen bij de graanformaties.

Deze afbeelding heb ik gemaakt na tienmaal inzoomen. We zien weer de Mandelbrot-figuur verschijnen.

Toen de bediende van Elisa de volgende morgen opstond en naar buiten kwam, zag hij dat de stad omsingeld was door een leger met strijdwagens en paarden. ‘Wat moeten we beginnen, heer?’ riep hij uit. 16 Zijn meester antwoordde: ‘Wees niet bang, wij zijn met meer dan zij.’ 17 En hij bad: ‘HEER, open zijn ogen en laat het hem zien.’ De HEER opende Elisa’s knecht de ogen, en toen zag hij dat de heuvels vol stonden met paarden en wagens van vuur, die Elisa omringden.

DE STRUCTUUR VAN DE FRACTAL Genesis 1:26, ” God zie:’laten wij mensen maken die ons evenbeeld zijn, die op ons lijken.’

De boodschappen die in de graanformaties verborgen zijn, worden op een verrassende wijze in beeld gebracht. Een groot aantal van de graanformaties hebben de wiskundige structuur van een fractal. In het kort is een fractal een figuur die zich op kleinere schaal herhaalt en een afspiegeling is van de totale figuur. In 1904 gaf Helge Koch een voorbeeld hoe een fractal er uit kan zien. Dit staat bekend als de Koch-sneeuwvlok. We tekenen eerst een gelijkzijdige driehoek.

Iedere zijde van de driehoek verdelen we in drie stukken. Op de middelste lijn van elke zijde tekenen we een nieuwe driehoek. Deze handeling blijven we herhalen, met als resultaat een fractal. Het kleinste detail is dan weer een weergave van totale afbeelding.

De Kochfractal graanformatie van 23 juli 1997 Silbury Hill had 126 cirkels. Nu is het zo dat het getal 126 verwijst naar de dimensie van de Kochfractal die op 1,26 staat. De nadruk lijkt te liggen op de gebroken dimensie bekend als ‘fractal’. Het is belangrijk om te beseffen dat de gebroken dimensies in wezen een opening geven naar de volgende dimensie. De dimensie n¹ is een lijn. De dimensie n² is een vlak. Een dimensie met het getal 1,26 is meer dan een lijn en minder dan een vlak. Het geeft weer dat het hier om een interdimensionale ruimte gaat, tussen de lijn en het vlak, Het is geen toeval dat de schepping van de mens in Genesis 1:26 staat. Want de geest van de mens kan je ook plaatsen tussen de twee dimensies van hemel en aarde.

Kochfractal met dimensie 1,26 D = log(4)/log(3) = 1.26.

Silbury Hill Wiltshire 23 juli 1997 met de 126 cirkels

Het inschuiven van de Mandelbrot fractals staan aan de basis van de spiraal-graanformatie.

East Field Alton Barnes

Dezelfde structuren van het Mandelbrot fractal en de Menora en de Sefiroth.

Het Droste effect. De verpleegster houdt hetzelfde blikje in haar hand.

De verhouding is ook 3-4-3. Bijzonder is dat 343 gelijk is aan 7*7*7, zeven het getal van de scheppingsdagen

16/17 juni 1996

De fractalstructuur van de longen in het menselijk lichaam Hungerford 20 augustus 1991. Een voorbeeld van inschuivende fractals

FRACTALS – VOORAFSCHADUW Als Mozes op de berg Horeb God ontmoet, krijgt hij de opdracht om op aarde het tabernakel te bouwen. De blauwdruk van het tabernakel ontving Mozes van God zelf. ” Ziet toe dat gij alle dingen maakt naar hun model, dat u op de berg werd vertoond.” Het tabernakel was een “afspiegeling en een voorafschaduwing van het hemelse heiligdom.”(Hebreeën 8:5). Het principe van herhaling of afspiegeling en voorafschaduwing vinden we terug bij de fractals. Het zijn deze fractals die we terug zien in diverse ontwerpen van de graanformaties. Fractals zijn meetkundige figuren waarbij de vorm of motief van de figuur op een kleinere schaal worden herhaald. De gelijkenissen van Jezus zijn ook een soort fractals. Grote heilsfeiten worden op een kleinere schaal herhaald in gelijkenissen. Jezus noemde zichzelf het ‘Levend Brood’. Het ‘Levende Brood’ is dan Jezus maar op een andere schaal weergegeven. Levend Brood is dus een fractal van Jezus. Het brood en Jezus vertonen dan dezelfde eigenschappen.

DROSTE EFFECT Het cacaobusje van Droste bevat het fractal-effect De pleegzuster houdt op haar dienblad hetzelfde busje met cacao. De voorstelling kan zich denkbeeldig oneindig herhalen. Dit is ook wat gebeurd met de fractal. Dit wordt het ‘Droste effect’ genoemd.fractals worden gebruikt om complexe en onvoorspelbare onderwerpen in kaart te brengen Om dat mogelijk te maken, wordt elk punt in het vlak op een bepaalde eigenschap onderzocht. Voor de afbeelding krijgt elke eigenschap, een bepaalde kleur toegewezen. Een afbeelding van een fractal wordt dan een kleurengrafiek, vergelijkbaar met de kleuren die in een atlas worden gebruikt. Hoge bergen worden donkerbruin, heuvels lichtbruin, zeeën blauw en de diepe zeeën donkerblauw. Bij een fractal geldt ook zoiets. Heel verrassend zijn de beelden die we te zien krijgen als we de formules van de fractals zichtbaar maken op het computerscherm. Het zijn dezelfde vormen die we tegenkomen in de natuur.Structuren van kristallen, bergketens, rivieren, vloeistoffen, wolken, DNA, sterrenstelsels en spiralen.

Een voorbeeld van de opbouw van graancirkel-formaties met fractalbouwstenen vinden we bij het DNA-Spiraal-Pictogram welke verschenen is in East Field Alton Barnes 16/17 juni 1996.

Wanneer we naar het diagram kijken zien we dat de ‘appelmannetjes’ in elkaar geschoven zijn.

Op deze wijze wordt het mogelijk om langs de randen van het ‘appelmannetje’ om en om een

spiraal te vormen. Dit geeft precies de vormen van het pictogram aan. Een ander voorbeeld is het pictogram verschenen op 20 augustus 1991 in Froxfield te Hungerford Zuid-Engeland. De formatie doet denken aan een schildpad vandaar dat het de naam ‘turtle’ mee kreeg. Hier zien we weer dat het figuur ontstaan is door het samenvoegen van twee ‘appelmannetjes’. Dezen worden tegen elkaar ingeschoven. In het midden ontstaat een ovaal met vier uitsteeksels.

Precies op de plaats waar volgens het ingeschoven ovaal van de fractal ook vier uitsteeksels zijn.

ITERATIE Het herhalen van een bewerking wordt itereren genoemd.Het itereren is een bewerking uitvoeren op een getal en dan de uitvoer opnieuw als invoer gebruiken. Je kan bijvoorbeeld het getal 2 nemen en het getal kwadrateren, 2²=4, gebruikt dan de uitkomst, het getal 4 om die vervolgens te kwadrateren, 4²=16, 16²=256, 256²= 65536, 65536²=4294967296.Dit kan in principe tot in het oneindige doorgaan. Heel anders gaat de iteratie als we het getal kleiner nad 1 maken. Nemen we bijvoorbeeld het getal 0,5 en laten we het dezelfde behadeling ondergaan dan zien we de volgende getallen reeks. 0,5²=0,25, 0,25²=0,0625, 0,6250²=0,00390625. We kunnen het vergelijken met twee emmers die met water worden gevuld. Bij de eerste iteratie met het getal groter dan 1 zal de emmer al snel overlopen. Bij de tweede iteratie met een getal kleiner dan 1, zal de emmer nooit overlopen.

COMPLEX VLAK Vanaf dat Rene Descartes in de 17e eeuw zijn eerste grafische voorstelling tekende, zijn grafische voorstellingen in de wiskunde een belangrijke plaats gaan innemen. Met grafische voorstellingen kunnen door middel van lijnen, cirkels en figuren, resultaten van metingen en tellingen worden uitgedrukt. Bijvoorbeeld de wisselingen van de temperatuur boven en onder de nul. In dit geval worden er met positieve en negatieve getallen gerekend. In het verleden kregen de wiskundigen te maken met het probleem van de wortel van-1. Wat de wortel van 1 is is eenvoudig te berekenen. √1=1, Maar nu het probleem van de wortel van -1.

GESCHIEDENIS VAN DE FRACTALS Geleerden, kunstenaars voelden intuïtief aan dat fractals bestonden. Leonardo da Vincie gebruikte in zijn tekeningen allerlei fractalvormen. Zo tekende hij stromend water met kolken met daarin weer kleinere kolken. Het wezen van de fractal werd voor het eerst bestudeerd vanaf het einde van de negentiende eeuw. Julia, Sierpinsky, Koch, Lorenz en Mandelbrot kunnen als de pioniers beschouwd worden. Het was Benoit Mandelbrot die de mogelijkheden van de computer gebruikte om de ingewikkelde en langdurige berekeningen grafisch in beeld te brengen. Benoit Mandelbrot heeft de term fractal omstreeks 1960 gelanceerd. Het woord fractal is afgeleid van het Latijnse woord ‘fractus’ wat ‘gebroken’ betekent.

Benoit Mandelbrot werd in 1924 in Warschau geboren uit JoodsLitouwse ouders. In 1936 emigreerde het gezin naar Parijs. Hij kwam uit een academische familie. Zijn oom Szolem was een vooraanstaande wiskundige In de Tweede Wereldoorlog moesten zij vluchten naar Tulle in Midden-Frankrijk. Daar kreeg hij onderricht van vooraanstaande geleerden die daar ook waren gestrand. Mandelbrot bleek aanleg te hebben om algabraïsche vraagstukken op zijn eigen manier op te lossen. Hij bestudeerde een gevarieerd aantal wetenschappen. In de jaren vijftig was hij werkzaam bij IBM.Het bedrijf dat een groot aandeel zou krijgen in de computerindustrie. Hij kreeg daar te maken met storingen van telefoonlijnen.

Benoit Mandelbrot

Bij zijn onderzoek ontdekte hij dat de storingen dezelfde patroon vertoonden op verschillende schalen. Het maakte niet uit naar wat voor tijdsperiode hij keek. Of het nu jaren, maanden, weken, dagen, uren, seconden, de patroon bleef hetzelfde. Dit bracht hem er toe om een studie te maken van meetkundige figuren die dezelfde patronen vertoonde die hij eerder gezien had bij de storingen van de telefoonlijnen. Hij greep terug op zijn studie van de wiskundigen Julia en Koch die deze tak van de wiskunde al eerder beschreven hadden. Om de patroon aanschouwelijk te maken moet ieder punt op een vlak beschreven worden. Dit was voor de komst van de computer een heidens karwei. Met de computer kan een progamma geschreven worden om de berekeningen in beeld te brengen. Mandelbrot kon als werknemer van IBM gebruik maken van de computers van het bedrijf. Zo kon hij zijn theorieĂŤn op de computer uittesten. De beelden die uit deze berekeningen tevoorschijn komen zijn van een verbluffende schoonheid.

Mandelbrot fractal met de formule z^2+c Romeinen 12:4-5 Want, gelijk wij in een lichaam vele leden hebben, en de leden niet alle dezelfde werkzaamheden hebben, zo zijn wij , hoewel velen, een lichaam in Christus, maar ieder afzonderlijk leden ten opzichte van elkander.

z^1+c

z^2+c

z^3+c

z^4+c

z^5+c

z^6+c

z^7+c

z^9+c

Door de formules te veranderen, verandert ook de vorm van de fractal. In de graanformaties zien we dit ook terug.

CHAOS Onvoorspelbaarheid en de complexiteit van de natuur heeft de mens onder de noemer gebracht van chaos. Het woord chaos betekent in zijn oorspronkelijke betekenis ‘zonder vorm’. De schepping is allerminst zondervorm. Alles heeft zijn wet en getal. Sinds de ontdekking van de fractals zijn we ons van bewust van de relatief eenvoudige formules van waaruit een complexe en onvoorspelbare wereld uit kan ontstaan.Het heeft er alle schijn van dat de fractals een wezenlijk onderdeel zijn van de schepping. Misschien willen de makers van de pictogrammen laten zien waar uit de schepping is opgebouwd. Heel verrassend zijn de beelden die we te zien krijgen als we de formules van de fractals zichtbaar maken op het computerscherm. Het zijn dezelfde vormen die we tegenkomen in de natuur.Structuren van kristallen, bergketens, rivieren, vloeistoffen, wolken, DNA, spiralen, organen, en sterrenstelsels.

Fractal-Menora–SefirothHet appelmannetje’, de peetvader van alle fractals heeft dezelfde structuur als de sefirot en de menora. De menora, de lampenstandaard die in het tabernakel stond.Exodus 25:39-40 “Gebruik voor de lampenstandaard(Menora) en voor de bijbehorende voorwerpen een talent zuiver goud. Houd je bij het maken ervan aan het ontwerp dat je hier op de berg getoond is.” De verdeling van de tien sefiras van de sefirot in 3-4-3 verhouding vinden we ook terug in het ‘appelmannetje’. Zelf dient het ‘appelmannetje’ net zoals het sefirot symbool als basis voor talrijke graancirkel formaties. De verbinding van de sefirot/menora en de Mandelbrot fractal geeft aan het fenomeen een bijbels/wiskundig fundament.

Het principe van de fractal is, dat het altijd is verbonden met de kern. Het deel heeft gelijkenis met het geheel. We behoren allemaal toe aan hetzelfde lichaam, dezelfde Geest. Het is daarom dat de boodschappen in de graanformaties een fractalstructuur heeft. De gemeente wordt ook wel het lichaam van Christus genoemd. Het appelmannetje van Mandelbrot is een treffend beeld.

Hoever we ook inzoomen op het beeld, telkens weer komt het appelmannetje te voorschijn. Alle mensen die Jezus hebben aangenomen vormen samen het Lichaam van Christus. In Romeinen 12:4-5 lezen we dan ook: