Revista aplicacion de derivadas

2014 Derivadas

Roxinel MacĂ­as

04/07/2014

Índice Derivada implícita ......................................................................................................................................................... 2 Aplicaciones que involucran un extremo absoluto en un intervalo cerrado ...................................................................... 2 Ejercicio: ................................................................................................................................................................... 3 Definición (Extremos)........................................................................................................................................................ 4 Criterio de la primera derivada para graficar funciones ................................................................................................ 5 Derivadas de orden superior ..................................................................................................................................... 7 Funciones crecientes y decrecientes.............................................................................................................................. 8 Concavidad de una función y el criterio de la segunda derivada. ............................................................................... 9 Razones de cambio relacionadas ............................................................................................................................ 11 Humor..................................................................................................................................................................... 12 Datos curiosos ......................................................................................................................................................... 13

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Derivada implícita Considerando la ecuación

. En esta ecuación, fácilmente podemos despejar la variable y:

. Esta nueva ecuación define a y como función de x. Casos como el ejemplo anterior suceden con ) ( ). Si esta frecuencia. Es decir, una ecuación de la forma ( puede dar lugar a una función ) 0 define implícitamente a como función de . En situación ocurre diremos que la ecuación ( ( ) define explícitamente a como función de . cambio, diremos que una ecuación de la forma ) No toda ecuación ( determina implícitamente una función (real de variable real). Tal es el caso de la ecuación , que no tiene soluciones reales. Puede suceder también que una misma ecuación de lugar a más de una función. Así, la circunferencia , que no tiene soluciones reales. Puede suceder también que una misma ecuación de lugar a más de una función. Así, circunferencia determina dos funciones 1.

( )

2.

( )

√ √

Sucede con frecuencia que en funciones definidas implícitamente es difícil despejar la variable dependiente.

Por este motivo, sería conveniente contar con una técnica que nos permita encontrar la derivada de una función definida implícitamente, sin la necesidad de contar con la expresión explicita de la función. Esta técnica se llama diferenciación implícita y se resume en la siguiente regla.

Aplicaciones que involucran un extremo absoluto en un intervalo cerrado Se aplica el teorema del valor extremo a problemas en los que la solución es un extremo absoluto de una función en un intervalo cerrado. El teorema asegura que una función continua en un intervalo cerrado tiene un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en el intervalo. Se mostrará el procedimiento para obtener los extremos absolutos de una función.

Definición Una función tiene un máximo absoluto (o máximo global) en Donde es el dominio de . El número ( ) se llama valor máximo de

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( ) ( ) para todo en . De manera análoga tiene

un mínimo absoluto en si ( ) ( ) para todo el número ( ) se denomina valor mínimo de Los valores máximo y mínimo de se conocen como valores extremos de

Ejercicio: Un fabricante de cajas de cartón quiere elaborar cajas abiertas a partir de trozos rectangulares de cartón con dimensiones de 10 pulg por 17 pulg , cortando cuadrados en las cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. Se desea determinar la longitud del lado de los cuadrados que se deben cortar de modo que la caja tenga el mayor volumen posible. Uno de los trozos de cartón indicados representa la caja. En el ejemplo se mostró que si pulgadas es la longitud de los lados de los cuadrados que se cortarán y ( ) pulgada, cúbicas es el volumen de la caja, entonces

( )

Y el dominio de es el intervalo cerrado Como es continua en se sabe, por el teorema del valor extremo, que en este intervalo V tiene un valor máximo absoluto, el cual ocurre en un número crítico o en un extremo del intervalo. Para obtener los números críticos se calcula ( ) y se determinan los valores de para los que ( )

) No existe.

( )

( ) existe para todos los valores de x. Al igualar

(

)

√( De donde se obtiene ( ) ( ) cuando

( ) a cero y despejar x se tiene

)

( )(

)

. De modo que el único valor crítico de ( ) , el valor máximo absoluto de

3

. ocurre

x pulg

Definici贸n (Extremos) Sea a) b)

definida en un intervalo que contiene al punto ( ) ( )

( (

) )

( ) ( )

( ) ( )

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Teorema: Sea f una función que es continua en un intervalo cerrado a) Si b) Si

( ) ( )

para todo x en ( para todo x en (

y derivable en el intervalo abierto (

)

) Entonces f es creciente ( )en ) Entonces f es decreciente ( )en

Teorema: Si una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un mínimo y un máximo por lo menos una vez en [a, b]. *Los valores extremos de una función también se llaman mínimo absoluto y máximo absoluto de f en un intervalo.

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DEFINICION 1: Se dice que una funci贸n y = f(x) es creciente en un intervalo si para cada par de valores x1 y x2 con x1<x2 pertenecientes a dicho intervalo, se verifica que: f(x 1) < f(x2)

y

y

x1

x

x2

x1

x

x2

DEFINICION 2: Se dice que una funci贸n y = f(x) es decreciente en un intervalo si para cada par de valores x1 y x2 con x1<x2 pertenecientes a dicho intervalo, se verifica que: f(x 1) > f(x2)

y

y

x1

x2

x

x1

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x2

x

TEOREMA: Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b):

1º) Si f ´(x) > 0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b].

2º) Si f ´(x) < 0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b].

Sea f una función continua en todos los puntos del intervalo abierto (a,b) que contiene al número c, y supongamos que f´ existe en todos los puntos de (a,b), excepto posiblemente en c: 1º) Si f ´(x) > 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como punto extremos derecho, y si f ´(x) < 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene u n valor máximo relativo en c.

2º) Si f ´(x) < 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como punto extremos derecho, y si f ´(x) > 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tiene a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene u n valor mínimo relativo en c.

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En resumen, para determinar los extremos relativos de una función y = f(x) (máximos y mínimos relativos) se sigue los siguientes pasos:

a) Se calcula la primera derivada de la función

b) Se iguala a cero la primera derivada y se resuelve la ecuación que resulta, las raíces de esta ecuación se denominan valores críticos y representan las abscisas de los posibles máximos y/o mínimos relativos de la función.

c) Si x = c es un valor crítico, entonces:

(

) ( )

}

(

)

(

) ( )

(

} )

Se dice que una función es cóncava hacia arriba en si su gráfica se encuentra por encima de la recta tangente a la curva en cualquier punto del intervalo.

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Si la gráfica se encuentra por debajo de la tangente a la curva en cualquier punto del intervalo I, entonces la función f es cóncava hacia abajo en I.

Definición (Concavidad) Sea f derivable en un intervalo abierto I. La grafica de f es cóncava hacia arriba en I si f’ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo en I si f’ es decreciente en él.

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 Nuestro mundo es cambiante. Las variaciones de una cantidad inciden en que otras cantidades cambien. Si se decide aumentar el precio de un artículo la utilidad de la empresa ya no será la misma, probablemente la demanda disminuya y la cantidad de materia solicitada cambiará. Si se aumenta la temperatura de un gas contenido en un recipiente hermético la presión del gas sobre las paredes del recipiente aumenta. Si aumentamos nuestro consumo diario de azucares probablemente aumente la insulina en sangre.

El cálculo diferencial trata del estudio del cambio de una cantidad cuando otra cantidad que está relacionada con la primera varía.

El símbolo de raíz se empezó a usar en 1525 y apareció por primera vez en un libro alemán de álgebra. Antes, para indicar la raíz de un número se escribía “raíz de…”. Luego, para abreviar, se empezó a poner “r”. Pero si el número era largo, el trazo horizontal de la “r” se alargaba hasta abarcar todas las cifras. Así nació el símbolo de la raíz, como una “r” mal hecha

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