Liceo Paula Jaraquemada Departamento de Matemรกtica
Profesor: Camilo Castillo
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OBJETIVO: Que las alumnas puedan comprobar, resolver y operar ejercicios propuestos en la guía de preparación de la prueba de nivel.
¿Están listas chicas?
COMENZEMOS !!!! 2
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PRODUCTOS NOTABLES EJERCICIOS
Recuerda: ¿Cómo hacerlo? Formaremos una expresión de 3 elementos
Estamos frente a una multiplicación de dos binomios con un TÉRMINO EN COMÚN
EN LA EXPRESIÓN El término común es Los términos no comunes son Donde está M, tomaremos el término común y lo elevaremos al cuadrado:
Donde está N, sumaremos (según corresponda sus signos) los términos No comunes (1 y 2) y los multiplicaremos con el término común (x):
Finalmente, en O multiplicaremos los términos no comunes:
OPERANDO, tenemos Luego
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1) Entonces como ya vimos nos queda: = = 2) Notemos que “a” término común y (1 y 8) términos No comunes = = 3) Notemos que “2x” término común y (5 y 3) términos No comunes = = = 4) Tenemos “3a” término común y (2y y 5y) términos No comunes = = =
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Recuerda: ¿Cómo Resolverlo? Tenemos un número que será el término en común en este caso es “x”
Estamos frente a una SUMA POR SU DIFERENCIA
Tenemos un término que se repite “a” uno es positivo y otro negativo SOLUCIÓN: Formará dos términos
POR REGLA SIEMPRE IRÁ UN MENOS
TENEMOS QUE: En M irá el término común al cuadrado: Y en N ponga el término que queda y elévelo al cuadrado:
Luego 5) Tenemos: “x” término común y el otro término es (4), entonces =
.
6) Tenemos “x” término común y el otro término es (6), entonces = 7) Tenemos “2k” término común y el otro término es (5), entonces = 5
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8) Tenemos “4a” término común y el otro término es (3b), entonces =
Estamos frente a un CUADRADO DE BINOMIO
RECUERDA: ¿Cómo resolverlo? A “X” le denominaremos EL PRIMER TÉRMINO a “y” le denominaremos EL SEGUNDO TÉRMINO. Tenemos que formar 3 términos: En M. tome el primer término y elévelo al cuadrado:
En N. Multiplique 2 veces el primer término por el segundo término: = En O. tome el segundo término y elévelo al cuadrado: = Luego 9) Tenemos “x” primer término y “
” el segundo término, entonces
= 10) Tenemos “x” primer término y “5” el segundo término, entonces = 6
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11) Tenemos “3” primer término y “-x” segundo término, entonces = 12) Tenemos
primer término y “3” segundo término, entonces:
=
Estamos frente al CUBO DE BINOMIO
RECUERDA: ¿Cómo hacerlo?
“x” será el primer término e “y” el segundo término. Formaremos 4 términos: IMPORTANTE= ELEVAR AL CUBO SIGNIFICA ELEVAR A 3 En M, tome el primer término y elévelo al cubo: En N, multiplique 3 veces el primer término al cuadrado por el segundo término: En O, multiplique 3 veces el primer término por el segundo término al cuadrado: Finalmente en P, tome el segundo término y elévelo al cubo: = LUEGO
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13) Tenemos “x” primer término y “1” segundo término, entonces =
(
)
= = 14) Tenemos “x” primer término y “ -2” segundo término, entonces = = = = 15) Tenemos “x” primer término y “3”segundo término, entonces = = = =
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16) Tenemos “x” primer término y “4” segundo término, entonces = = = =
RECORDAR: ¿Cómo hacerlo?
Estamos en presencia de un TRINOMIO AL CUADRADO
Llamaremos a “x” primer término, “y” segundo término y “z” tercer término. Formaremos 6 términos: En M, tome el primer término y elévelo al cuadrado : En N, tome el segundo término y elévelo al cuadrado, y el O tome el tercer término y elévelo al cuadrado: En P, multiplique dos veces el primer término por el segundo : = En Q, multiplique dos veces el primer término por el tercer término : = En S, multiplique dos veces el segundo término por el tercer término : =
Luego 9
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17) Explicado anteriormente, entonces 18) Tenemos “x” primer término, “2y” segundo término y“3z” tercer término = = = 19) Tenemos “2x” 1er término, “5y” 2do término y “7z” 3er término. = = = 20) Tenemos “6x” 1er término, “2y” 2do término y “-3z” 3er término.
= =
SI TIENES DUDAS CONSULTALAS OPORTUNAMENTE CON TU PROFESOR 10
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FACTORIZACIONES RECUERDA: ¿Cómo hacerlo?
Estamos frente a una factorización por TÉRMINO COMÚN.
c
Vea el término común ( el que se repite) entonces SÁQUELO de la expresión y multiplíquelo por lo que quedo: : 1.1. Cuando tenga algo como esto :
Deber identificar los términos comunes ( en este caso son “a” y “b”), pero por regla debo tomar de los términos que se repiten, el término con MENOR EXPONENTE. En el caso de “a” el a que se repite con menor exponente es “ y en el caso de “b” el b de MENOR EXPONENTE es “b” pues esta elevado a 1. Sabiendo eso debemos sacarlos de la expresión y multiplicarlo por lo que queda: . Si realizas la multiplicación puedes comprobar si esta bueno o no. 1.2.
Qué pasa si no se repiten letras, pero si existe relación entre los números:
En este caso, sabemos que 4 es múltiplo de 2 y 6 también es múltiplo de 2, entonces sacamos de la expresión el 2 (se repite) :
. 1) Notemos que el término que se repite es “a” y no existe relación entre los números, entonces al sacar el término común nos queda: :
. 11
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2) Tenemos que {6,9 y 12) son múltiplos de 3, y que se repite a, b y c, pero de “a” el que posee MENOR EXPONENTE ES , de “b” el que posee MENOR EXPONENTE ES “b” y de “c” el que posee MENOR EXPONENTE es : 3) Tenemos que el término común ya no es una letra específica, sino que ahora es un POLINOMIO. Mismo procedimiento. SACAR DE LA EXPRESIÓN LO QUE SE REPITE Y MULTIPLICARLO POR LO QUE QUEDA : 4) Tenemos la expresión que se repite es =
, entonces
.
5) Este es otro tipo de factorización por término común, donde debemos AGRUPAR y sacar el factor común. Agruparemos
y
, tenemos
= = = =
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6) Agruparemos
y
, entonces
= = = 7) = = 8) = = cambio de signo
/Recuerde que se aplica
=
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Luego de ese recreo que tomaste, SIGAMOS
Estamos frente a un TRINOMIO ORDENADO
RECORDEMOS: ÂżCĂłmo hacer? Debemos formar una multiplicaciĂłn de binomios:
EN M, pondremos el primer tĂŠrmino que estĂĄ en la expresiĂłn original pero NO al cuadrado: Ăłsea luego instalamos x en M = EN N y O, debemos buscar dos nĂşmeros que sumados me den el tĂŠrmino de al medio y que multiplicados me den el tercer tĂŠrmino. Luego
9) Primer tĂŠrmino đ?’™đ?&#x;? đ?’™ đ?’™ , ahora debemos buscar dos nĂşmeros que multiplicados me den +12 y sumados o restados de acuerdo a su signo me de -7 Posibilidades 12 = 3*4 Ăł 12= 6*2 Ăł 12= 12*1, ahora de esas posibilidades la suma o resta debe ser -7 y como 12 es positivos, AMBOS NĂšMEROS DEBEN SER NEGATIVOS. Tomaremos el 3 y el 4, los pondremos como negativos -3; -4 y probaremos si se cumple: =
Efectivamente se cumple, pues -4-3= -7 y -4 * -3 = +12
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10)
Entonces y debemos encontrar dos números que sumados o restados den +5 y multiplicados den -14, ellos son el 7 y el -2, pues 7-2=5 y 7 *-2= -14, luego nos queda
11) Al igual que en el caso anterior, y debemos encontrar dos números que multiplicados me den +4 y sumados o restados me den -4, entonces ellos son el -2 y el -2, pues -2 -2 = -4 y -2 * -2 = +4, luego Tenemos 12) Entonces tenemos y debemos encontrar dos números que sumados o restados según corresponda den -6 y que multiplicados den +9. Los números deseados son -3 y -3 , pues -3 -3 = -6 y -3*-3= +9, luego tenemos ; SE ELEVA A DOS PUES SE ENCUENTRA REPETIDO DOS VECES Y MULTIPLICANDOSE
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Recordemos: ¿ Cómo lo hago? La idea es tomar el primer término que se encuentra elevado a dos y descomponerlo: , luego tomamos el segundo término y lo descomponemos: , LUEGO LOS ubicamos en los siguientes paréntesis donde uno esta con signo + y el otro con signo –
. Nos queda entonces 13) Pues
y
14) Pues
y
15) Pues
y
16) Pues
y
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RECORDEMOS: e , tomaremos solo una de ellas y las pondremos en el primer paréntesis con el signo original, así ; donde x será nuestro primer término e “y” será nuestro segundo término. En el otro paréntesis pondremos el primer término “x” elevado a 2: El término de al medio será la multiplicación del primer término por el segundo término: y el último término será el segundo “y” elevado a 2: 17)
Y
Entonces tomamos uno de esos términos “x” y “2” y lo llevamos a la fórmula: 18)
Y
Entonces tomamos uno de esos términos un “x” y un “3” y lo llevamos a la fórmula: 19)
Y
Entonces tomamos uno de esos términos un “x” y un “4” luego tenemos según la fórmula: 20)
Y
Entonces tomemos un término de ellos, un “x” y un “5” luego llevémoslo a la fórmula: IMPORTANTE: ¿QUÉ PASA CON LOS SIGNOS?
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¿QUÉ PASA EN ESTE CASO? Este tipo de factorización se considera de alta dificultad, PERO NO IMPOSIBLE. Recordemos: Cuando usted tenía la siguiente expresión ,lo que usted hacia era y buscaba dos números que multiplicados le dieran +6 y sumados o restados según correspondiera le diera +5. Ahora en el ejercicio propuesto al principio caemos en que se parecen las expresiones, pero la diferencia a simple vista es que en el ejercicio que nos proponen el tiene un número 2 adelante. La Dificultad de estos tipos de ejercicios cabe en eliminar el número que se encuentre al lado del y luego el procedimiento es igual. HAGÁMOSLO. : TOME EL TÉRMINO QUE ACOMPAÑE A MULTIPLIQUE Y DIVIDA TODO POR DICHO NÚMERO. Así: =
Y
, ahora el 2 que está afuera multiplicará la parte de arriba de
la expresión: =
(
)
=
¿Por qué Por una propiedad de la multiplicación. Para que usted entienda 2*1=1*2, si cambia el orden de la multiplicación no afectará el resultado (PROPIEDAD CONMUTATIVA) . = Luego nuestra expresión es parecida a , la única diferencia es que en vez de x ahora hay un . Por tanto resolvemos de la misma forma:
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Busquemos dos números que sumados me den 9 y multiplicados me den 14. Ellos son el 7 y 2, pues 7*2= 14 y 7+2=9. Luego tenemos que: =
= 21) 22)
=
Expuesto recién
Entonces multiplicamos en este caso por 2 y dividimos todo por el mismo número: (
=
)
= 23) En este caso multiplicamos y dividimos por 4: =
(
)
= 24) Multiplicaremos todo por 3 y también dividiremos todo por 3 =
(
)
=
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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Al hablar de estadística surgen ciertos conceptos que debemos tener en claro que son las MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL que son: LA MODA LA MEDIANA LA MEDIA O MEDIA ARITMÉTICA A continuación definiremos cada una de ellas: LA MODA: Es el término que más se repite Ejemplo: 2,4,5,6,2,6,4,2,9,4,2,2 En este caso la moda es 2, pues es el término que más se repite Ejemplo: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 En este caso nada se repite entonces NO HAY MODA MEDIANA: Es el término que se ubica justo al centro. Recuerda ordenar los términos de menor a mayor Ejemplo: 1, 4, 3, 5, 7 Entonces ordenamos de menor a mayor nos queda 1, 3, 4, 5, 7 y el número que se encuentra al medio es el 4. Por tanto LA MEDIANA ES 4 Ejemplo: 1, 2, 3, 4 En este caso no hay un término al centro, así que debemos sacar el promedio entre los dos términos centrales, entre el 2 y 3 que será 2.5
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Media Aritmética: Es el promedio entre todos los datos Ejemplo: 2, 4, 6, 8 Para sacar el promedio debemos sumar todos los términos y dividirlos por el número de término: = PROPIEDAD: CUANDO HAYAN NÚMEROS CONSECUTIVOS (1.2.3.4.5…..) LA MEDIANA SIEMPRE SERÁ IGUAL A LA MEDIA ARITMÉTICA EJEMPLO: Determine la Moda, Mediana y Media aritmética de los siguientes datos: 4, 5, 6, 7, 8 MODA: No hay moda, pues nada se repite Mediana= El término del centro es 6 Media aritmética= Luego cuando los datos sean consecutivos LA MEDIANA SIEMPRE SERÁ IGUAL A LA MEDIA ARITMÉTICA. FRECUENCIA: Se refiere a la cantidad de veces que se repite algo EJEMPLO: 1 tiene una frecuencia de 3 está queriendo decir EL 1 SE REPITE 3 VECES. VAMOS A LA GUÍA
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ÍTEM III: Determine la Moda, Mediana y Media aritmética Para determinar todo esto, debemos basarnos en la frecuencia, que recién dijimos que era la cantidad de veces que se repetía algo. Entonces si la frecuencia es la cantidad de veces que se repite algo, y la Moda es el dato que más se repite, debemos ir donde haya mayor frecuencia. En este caso el 4 se repitió 4 veces, y fue el que más se repitió. Por ello LA MODA ES 4. Es el dato que más se repite. Sabemos que el total es 16. La mediana es el dato de al medio, entonces bastará con el total dividirlo en la mitad o en dos para saber cuál es la mediana. Entonces 16:2= 8. Luego en la línea de la frecuencia si comienzas a sumar hacia abajo tienes que ver dónde está el 8. La frecuencia 8 le corresponde al número 3, por ello que la Mediana es 3 La media aritmética es el promedio. OJO la tabla dice que el 1 se repite 3 veces, el 2 se repite 2 veces, el 3 se repite 2 veces, el 4 se repite 4 veces, el 5 se repíte 3 veces y el 6 se repite 2 veces. Osea tenemos: 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6. Para sacar el promedio bastará de sumar y dividir por el total que son 16 términos.
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Determine la Moda, Mediana y Media aritmética con los siguientes datos no agrupados: 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Moda: Ningún dato se repite, entonces NO HAY MODA Mediana: El dato que queda al centro es el 5 Media aritmética= sumar todos los datos, pero como vimos hace un momento, los datos son consecutivos, por tanto la Mediana es igual a la Media aritmética, entonces le Media aritmética es 5. CONTESTE 35.000 30.000 25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 0
¿QUÉ MES REPRESENTA LA MODA? Quiere decir que mes fue donde mayor consumo hubo, si vas al gráfico debería ser AGOSTO ¿Cuál(es) es (son) el(los) mes(es) donde el gasto se mantuvo constante? Quiere decir cuáles son los meses donde se gastó lo mismo, si usted ve el gráfico seria entre MARZO Y ABRIL y entre SEPTIEMBRE Y OCTUBRE.
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35.000 30.000 25.000 20.000 15.000 10.000 5.000 0
¿Entre qué meses la cuenta tuvo el mayor crecimiento? Quiere decir entre qué meses se gastó más, si vas al gráfico se ve que entre Julio y Agosto se observa el mayor crecimiento.
PROBABILIDADES: Son una herramienta que trata de establecer la probabilidad que ocurra algo. Lanzar un dado= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Recuerde que la probabilidad está definida por:
Casos favorables= Lo que me preguntan
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Al lanzar un dado. Determine: La probabilidad que salga el número 3. Sabemos que lanzar un dado significa D= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, ENTONCES me preguntan cuál es la probabilidad que salga el 3.
Como el número 3 es una cara de las 6 caras del dado, entonces = Pues sólo me preguntan por 1 número, y los casos favorables es lo que me preguntan. La probabilidad que salgan números impares Notemos que un dado D = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Y ahora nos preguntan por los números del dado que sean impares. Los impares son 1, 3 y 5. SON 3 NÚMEROS entonces queda SE SIMPLIFICA Ojo que me preguntaban por 3 números de un total de 6. La probabilidad que salgan números primos Los números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13…… Y EN UN DADO entonces son el 2, el 3 y el 5. SON 3 NÚMEROS DE UN TOTAL DE 6 entonces: =
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La probabilidad que NO salga el número 4. Un dado D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que no salga 4, significa que si salga el 1, el 2, el 3, el 5 y el 6. Osea 5 de un total de 6 = La probabilidad que salgan números mayores a 3 Un dado D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y que salgan números mayores a 3, significa que salga el 4, el 5 y el 6. Entonces son 3 números de un total de 6 = La probabilidad que salgan números mayores o iguales a 2 Tenemos un dado D= {1, 2, 3, 4, 5, 6} y nos piden números mayores o iguales, Osea me sirve el número 3, el 4, el 5, el 6 y como dice IGUAL también sirve el 2. Osea 5 números de un total de 6. =
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LANZAR DOS DADOS SINGIFICA:
SI DEBEMOS ENCONTRAR SUMAS, DEBEMOS SUMAR CADA UNO DE LOS PARES ORDENADOS Al lanzar dos dados. Determine: La probabilidad que la suma sea 7 SON 6 POSIBILIDADES DE UN TOTAL DE 36 =
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La probabilidad que la suma sea 4. Son 3 casos de un total de 36 . entonces = La probabilidad que la suma sea mayor o igual a 5 Son 30 casos favorables de un total de 36. Entonces =
LANZAMIENTO DE DOS MONEDAS
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Al lanzar dos monedas. Determine: La probabilidad que A LO MENOS salga una cara Esto quiere decir que COMO MÍNIMO salga una cara, si sale más de una cara también nos sirve. ENTONCES DE LAS 4 POSIBILIDADES SON 3 LAS QUE POSEEN CARAS ENTONCES. La probabilidad que sólo salgan dos sellos Entonces es ir a las 4 posibilidades y ver cuál de ellas tiene sólo dos sellos. Tenemos 1 opción de 4. Entonces La probabilidad que salga una cara y un sello Esto quiere decir, que de las 4 opciones que tenemos, debemos ver cuál tiene una cara y un sello. Vemos que son 2 opciones de un total de 4, entonces tenemos La probabilidad que NO salga sello Quiere decir, ir a las 4 posibilidades y ver cuál de ella NO TIENE NINGUN SELLO. Tenemos sólo 1 opción por tanto
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Se lanzar una moneda 100 veces.¿ Cuál es la probabilidad que salga cara? Lanzar una moneda la probabilidad que salga cara es ½. Al lanzar la misma moneda cien veces nos alterará su resultado, pues es UNA moneda. Así que al lanzar una moneda 100 veces la probabilidad que salga cara es de ½. Se tiene una caja con 8 FICHAS VERDES y 7 FICHAS ROJAS. Determine: La probabilidad de sacar una ficha verde Notemos que son 8 fichas verdes de un total de 15, entonces La probabilidad de sacar una ficha roja Notemos que son 7 fichas rojas de un total de 15, entonces La probabilidad de sacar una ficha roja, y luego una ficha verde, SIN REPOSICIÓN. Notemos que sacar una ficha roja es
. Ahora como ya sacamos una
ficha y dice SIN REPOSICIÓN, osea no las volvemos a usar la ficha que sacamos, tenemos ahora 14 fichas, entonces sacar la ficha verde sería Entonces tenemos =
RECUERDA QUE EN
PROBABILIDADES QUE UNA COSA SUCESA Y QUE OTRA COSA SUCEDA ES UNA MULTIPLICACIÓN.
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La probabilidad de sacar una ficha verde, y luego una ficha roja, CON REPOSICIÓN Notemos que sacar una ficha verde es
y dice CON REPOSICÓN, asi
que debemos considerar la ficha sacada por tanto tenemos el mismo total 15. Sacar una ficha roja es = TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS Con el triángulo adjunto. Determine: El simétrico respecto al eje Y.
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El simétrico respecto al eje X
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La traslación con el vector ⃗
AL TRÁNGULO ORIGINAL DEBEMOS SUMARLE EL VECTOR MENCIONADO, de la siguiente forma: ⃗ ⃗ ⃗ OJO QUE ALGO ASÍ, PUDIESE SALIR EN LA PRUEBA
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Rotación respecto al origen sentido anti horario de 90°
AL ROTAR UNA FIGURA EN 90° DEBEMOS RECORDAR QUE: Tienes que tomar cada par ordenado (X,Y) e invertirlo y cambiarle el signo al primero
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Una rotación respecto al origen sentido anti horario de 270°
Analíticamente sería TOMAR EL PAR ORDENADO, INVERTIRLO Y CAMBIARLE EL SIGNO AL SEGUNDO TÉRMINO, pues es una rotación de 270°
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Determine el vector traslación que se le aplicó a: OSEA A
se le suma
y como resultado da
Entonces establezcamos ecuaciones SUME LOS PRIMEROS TÉRMINOS E IGUALELOS A -6
De igual forma sume los dos términos segundos e iguálelos a 4
Luego el vector traslación aplicado es = = Luego el vector traslación es
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= = Luego el vector traslación es = = Luego el vector traslación es = = Luego el vector traslación es = = Luego el vector traslación es
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Determine el vector traslación que remplaza a Cuando hablamos de que vector remplaza a ellos, nos referimos a TOME LOS DOS VECTORES Y SÚMELOS
= = = = =
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CON EL PARALELOGRAMO DETERMINE: El simétrico respecto al eje X
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El simétrico respecto al eje Y
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Que se traslade 5 unidades a la derecha y 7 unidades hacia arriba. Osea que utilice el vector traslación
ANALITICAMENTE:
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Rote la figura en 180°
ANALÍTICAMENTE: Como es una rotación de 180° debe tomar cada par ordenado, y cambiarle los signos a ambos términos
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