Bachillerato Virtual UDB - Matemática - René Cortez Arévalo UNIDAD 7: APLIQUEMOS ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA.
Elementos de geometría analítica Introducción En esta unidad última nos ocuparemos del estudio de los conceptos más fundamentales de la geometría analítica plana y haremos un recorrido pos los lugares geométricos más conocidos. En concreto, se pretende que l@s estudiantes se familiaricen con los conceptos de distancia entre dos puntos, pendiente de una recta, punto medio de un segmento, ángulo entre rectas. A su vez, se busca que l@s estudiantes logren un conocimiento claro de las ecuaciones de una línea recta, de una circunferencia y de una parábola. Por otro lado, será importante visualizar la aplicación de estos conceptos y ecuaciones, en el análisis de situaciones geométricas.
1. Conceptos fundamentales
.
1.1 Coordenadas rectangulares El plano cartesiano ya se ha estudiado en años anteriores. Aquí haremos un breve recordatorio. En la figura siguiente se muestra el plano cartesiano. Allí podemos observar los 2 ejes cartesianos: X y y. Observamos también los 4 cuadrantes y 2 pares ordenados.
5 4
Cuadrante II (-2, 3)
Cuadrante I
3 Eje X
2 1 Origen (0, 0) -5
-4
-3
-2
-1
1 -1
2
3
4
5
6
(4, -1)
-2 Cuadrante III
-3 -4 -5
Cuadrante IV Eje y
Podemos observar las características siguientes:
1. Los valores positivos de X están a la derecha del origen 2. Los valores positivos de y están hacia arriba del origen 3. Los valores negativos de X están a la izquierda del origen 4. Los valores negativos de y están hacia abajo del origen 5. Todo valor a la izquierda es menor que todo valor a la derecha (en X) 6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en y)
1.2 Distancia entre dos puntos En La gráfica siguiente tenemos 2 rectas: una horizontal que pasa por y = 5, y una vertical que para por X = 9. sobre cada recta hay dos puntos. Sobre la recta que pasa por 9 tenemos los puntos (9,-1) y (9,6) ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos? Si medimos con una regla, encontramos que esa distancia es 7 cm. Pero 7 = 6 – (-1) = 6 + 1 = 7. Pero 6 y –1 son las coordenadas en y . En general se tiene que, para 2 puntos sobre una recta vertical, la distancia es y – y 1, siendo 2
y 2 el mayor. De igual forma tenemos que, para 2 puntos sobre una recta horizontal, la distancia es X 2 – X 1, siendo X 2 el mayor. Para el caso de la recta horizontal mostrada, la distancia es: 7 – (-1) = 7 + 1 = 8 cm.
6 5 4 3 2 1
-2
-1
1 -1
2
3
4
5
6
7
8
9
Supongamos ahora que queremos medir la distancia entre los puntos (1,1) y el punto (5,4) Si medimos con una regla encontramos que es 5 cm. Pero a esta respuesta también se llega aplicando Pitágoras, pues se tiene un triángulo rectángulo. Para el cateto horizontal se tiene una distancia de: X 2 – X 1 = 5 – 1 = 4 cm Para el cateto vertical se tiene una distancia de: y – y 1 = 4 – 1 = 3 cm 2
Al aplicar Pitágoras, se tiene que la distancia es: d = 42 + 32 = 25 = 5 cm Por lo tanto se tiene que la distancia, d, entre 2 puntos es:
d=
(X 2 – X 1) 2 + (y – y 1) 2 2
En esta ecuación no importa si X 2 es mayor o menor que X 1.
1.3 Inclinación y pendiente de una recta Inclinación. La inclinación de una recta es el ángulo que forma con la horizontal Pendiente. La pendiente m de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.
l
63.43º
En el plano cartesiano anterior, la recta l tiene una inclinación de 63.43º Esto significa que su pendiente es: Tan (63.43º) = 2 Lo anterior nos lleva a la conclusión que la inclinación de una recta es la tangente inversa de la pendiente. Para el caso anterior, como la pendiente es 2, entonces la inclinación es: Tan-1 (2) = 63.43º Para una recta que pasa por 2 puntos conocidos, su pendiente viene dada por la fórmula:
m = (y 2 – y 1) / (X 2 – X 1) Ejemplo. Calcular la pendiente y la inclinación de las rectas siguientes: los puntos (2,10) y (4,16) 2. La que pasa por los puntos (2,-3) y (4,-7)
Solución.
Los puntos son (2,10) y (4,16)
1. La que pasa por
La pendiente es: m = (16 – 10) / (4 – 2) = 6/2 = 3 El ángulo de inclinación es: Tan-1 (3) = 71.6º
Los puntos son (2,-3) y (4,-7)
La pendiente es: m = (-7 – (-3)) / (4 – 2) = (-7 + 3) / 2 = -4/2 = -2 El ángulo de inclinación es: Tan-1 (-2) = -63.43º Observemos que la pendiente y la inclinación son negativas. –63.43 nos indica que es un ángulo medido hacia abajo del eje X positivo. Esta recta es la siguiente:
θ -63.43º
Surge la pregunta: ¿qué ángulo forma hacia arriba del eje X ? La respuesta es sencilla. Se tiene que 63.43º + θ = 180º Por lo tanto θ = 180º - 63.43º = 116.57 No olvidemos que Tan –63.43 = Tan 116.57º El ángulo puede expresarse como 116.57º ó -63.43º Se concluye que de 0º a 90º, la pendiente es POSITIVA. De más de 90º a menos de 180º, la pendiente es NEGATIVA. Además, una recta horizontal tiene pendiente CERO; y una vertical tiene pendiente INFINITA.
1. 4 Angulo entre dos rectas Observa el gráfico siguiente:
l1
En el gráfico, las rectas l1 y l2 forman un ángulo θ. Como la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, entonces se tiene que el ángulo θ es de 180º - 45º - 63.43º = 71.57º
θ
l2 45º
Es decir que el ángulo entre las rectas es de 71.57º
63.43º 116.57º -63.43º
Se tiene también que para l1 su pendiente es m1; y para l2 la pendiente es m2. Ocurre que para θ: Tan θ =
m2 – m1 1 + m 1m 2
Significa que el ángulo entre las rectas es:
θ = Tan-1 (m2 – m1) / (1 + m 1m 2)
Para el caso que estamos estudiando, las pendientes son: Para l1: Tan 45º = 1 Para l2: Tan 116.57º = -2 Por lo tanto, el ángulo entre las rectas es: θ = Tan-1 ((-2 – 1) / (1 + (1)(-2))) = Tan-1 (-3/(1 - 2)) = Tan-1 -3/-1 = Tan-1 3 = 71.57º
Ejemplo. Encontrar el ángulo que forman 2 rectas. La primera pasa por los puntos (2,4) y (4,8): y la segunda pasa por los puntos (2,-6) y (4,-12)
Solución.
La primera pasa por los puntos (2,4) y (4,8) Encontremos la pendiente.
m1 = (4 - 8) / (2 - 4) = -4/-2 = 2 Aquí hemos partido del primer punto. La segunda pasa por los puntos (2,-6) y (4,-12) Encontremos la pendiente.
m2 = (-6 – (-12)) / (2 - 4) = (-6 + 12) / -2 = 6/-2 = -3 θ = Tan-1 ((-3 – 2) / (1 + (2)(-3))) = Tan-1 (-5/(1 - 6)) = Tan-1 (–5/-5) = Tan-1 1 = 45º θ = 45º
El ángulo que formen las 2 rectas será siempre POSITIVO y menor de 180º
1.5 Punto medio de un segmento de recta P2 (X 2, y 2 ) Pm (X, y) P1 (X 1, y 1)
En la gráfica aparece un segmento de recta. El segmento se inicia en P1 y termina en P2.
El punto Pm es el punto medio. Es decir, la mitad del segmento. Si conocemos las coordenadas de los puntos extremos, cómo averiguamos las coordenadas del punto medio. Se tiene que:
X = (X 1 + X 2) / 2 y = (y 1 + y 2) / 2
Ejemplo. Los puntos extremos de un segmento de recta son (2,6) y (8,12) Encontrar el punto medio.
Solución. Apliquemos las ecuaciones respectivas:
X = (X 1 + X 2)/2 = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5
y = (y 1 + y 2)/2 = (6 + 12)/2 = 18/2 = 9
El punto medio es Pm (5,9)
2. La línea recta
.
Hemos trabajado anteriormente con segmentos de línea recta. Esto debido a que no se puede trabajar completamente con la línea recta, pues ésta es infinita. Es decir, no tiene ni principio ni fin: viene de menos infinito y va hacia más infinito. Se tiene también que por un punto pasan infinitas líneas rectas. Esto se muestra en el gráfico:
Sin embargo, por 2 puntos sólo puede pasar una línea recta.
Si por 2 puntos sólo pasa una recta, entonces la ecuación de dicha recta puede encontrarse a partir de tales puntos. Así es. Pero, ¿cuál es la ecuación de una recta?
Ecuación general de la recta La ecuación general de la recta tiene la siguiente forma
AX+ By + C = 0
Forma pendiente - intersecto de la recta Si de la ecuación general despejamos y , obtenemos: AX + By + C = 0 By = - AX - C
y = (-A/B) X - C/ B Ocurre en la última ecuación que el factor (-A/B) es la pendiente, m, de la recta; mientras que C/B es el punto donde la recta intercepta al eje y . Es decir que C/B es el intersecto. Si al intercepto le llamamos b, se tiene que:
La ecuación pendiente intersecto de una línea recta es:
y = mX + b
Intercepto b
Es evidente que toda recta que no es vertical, SIEMPRE tendrá intercepto, aunque éste puede valer CERO. Esto se da cuando la recta pasa por el origen. Además, en el intersecto, X = 0. Es decir que el punto intercepto es (0, b) La ecuación, evidentemente, se aplica si se conoce la pendiente y el intersecto.
Forma intersecciones de la recta Toda recta que no es vertical tiene intercepto en y , pero también tiene intersecto en X . Llamémosle a al intercepto en X . Ambos intersectos se muestran a continuación:
b
a
Si se conocen los intersectos, la ecuación de la recta es:
X + y + =1 a b
Forma dos puntos de la recta Si se conocen 2 puntos de una recta, puede calcularse su pendiente m. Recordémoslo:
y2 – y1 m =X 2 – X 1
La ecuación dos puntos de una recta es la siguiente:
y – y1 =
y2 – y1 X2 – X1
(X - X 1)
La ecuación, evidentemente, se aplica si se conocen 2 puntos de la recta.
Forma punto y pendiente de la recta En la ecuación anterior, al sustituir la pendiente m, se obtiene la ecuación punto pendiente de la recta:
y – y 1 = m (X - X 1)
Ejemplo. Una recta pasa por los puntos (1, 4) y (2, 2)
Encontremos la ecuación de la recta y los puntos donde la recta corta los ejes. Además, trazar la gráfica.
Solución. Lo primero que debemos hacer es encontrar la pendiente: m = (y – y 1)/(X 2 – X 1)= (4 – 2) / (1 – 2) = 2/(-1) = -2 2
Ahora tomemos un punto y apliquemos la ecuación punto pendiente. Tomemos el primer punto (1, 4); obtenemos: y – y 1 = m (X - X 1) y – 4 = -2 (X - 1) y – 4 = -2X + 2 y = -2X + 2 + 4 = -2X + 6 y = -2X + 6 Esta es la ecuación pendiente intersecto. Ahora dispongámonos a encontrar los puntos donde la recta corta los ejes. El punto donde corta al eje y es el intercepto: (0,6) Para encontrar donde la recta corta al eje X , hacemos y igual a CERO.
y = -2X + 6
0 = -2X + 6 -2X = -6 X = -6/(-2) X = 3
Tracemos la gráfica:
(0,6) 6
Para trazar la gráfica Bastan 2 puntos. Pueden ser los puntos dados o los intersectos. Usemos éstos.
3
(3,0 )
Ejemplo. Una recta pasa por el punto (-2,2) y se sabe que tiene la misma pendiente que la recta 2y – 4X – 10 = 0 Encontremos la ecuación, los intersectos, la gráfica y 5 puntos más de la recta.
Solución. Nos dan la ecuación general de una recta paralela a la que buscamos. Son paralelas porque tienen la misma pendiente. De la ecuación general sacamos la pendiente. ¿Cómo? Despejando y . 2y – 4X – 10 = 0 2y = 4X + 10 y = 2X + 5 La pendiente de la recta que buscamos es 2. Con el punto que se tiene y la pendiente, encontramos la ecuación: y – y 1 = m (X - X 1) y – 2 = 2 (X – (-2)) y – 2 = 2 (X + 2) y – 2 = 2X + 4 y = 2X + 6 Esta es la ecuación pendiente intersecto. El intersecto en y es: (0,6) Para encontrar donde la recta corta al eje X, hacemos y igual a CERO. y = 2X + 6
0 = 2X + 6 2X = -6 X = -6/2 X = -3
El intersecto en X es: (-3,0) El gráfico es el siguiente:
6
-3
Para encontrar 5 puntos de la recta, le damos a X: 5 valores. Llenaremos una tabla de valores. Los 5 puntos son: (1,8), (2,10), (3,12), (4,14) y (5,16)
X 1 2 3 4 5
y 8 10 12 14 16