optimizacion no lineal by capet 123456

SERIE DE COMPENDIOS SCIIAUM

T E OR IA Y P RO BLEMAS DE

ANALISIS

VECTORIAL

y una htroducción ¡l ANALI$S TENSORIAL

MURRAY R. SPIEGEL,Ph. D. Prcfessor of Maúernatict ReñstelaerPolYkclnic Institu¡e

Ltns GürÉrPiz Dftz I¡sdierc

d¿ AMto

ANc{. GtÍú¡¡z Idgdi¿ro .t AMto L¡.@¡a¿o d CiMiü Dlplo"ado I lñtú¡¿rid

VIzqr¡z FÉlM Nuhar

qYA4q McG RAW - H IL L xÉxcq.-BocorÁ NUEVAyoRK .

. t-tsBoa . MAoRtD o guEttlos¡tngs . GUATEMALA PANAMA . saN JUAN . saNTtAGo . sÁo paulo

A U C KL AN D ' HA MB URGO! JOHA NNE S B URG O 'L O NDRE S ' MO NT RE A L NUEVADELHI . PARÍS . SAN¡FRANcISco. SINGAPUR ST, LOUIS . SIDNEY. TOKIO . IORONTO

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A¡IALISISVECÍOFIAL Prohlbidala reproduccióntotat o parcialde 66la obra, oor cualoulerm€dlo.sin autor¡zaciónescrltadel editor DERECHOS RESERVAOOS i 1970,respectoa lá /iméra edlc¡ónen españorpor LIBROSIVCGRAW.HILL DE MÉxrCO,S. A. d€ C. V atlaoo¡fulco499.501,Fracc,lndustrialsan, Andrésatoto 53500NaucalDandé Juárez.Edo.de Méx¡co Mlembrod€ la CámaraNaclonalds ls Indusrla Edttorial,Reg.NúrA.455

lsBN 96&451-068.3 fladucido de la prlmsraedlción€n lnglésde VECÍOB ANAIYSIS Copydght@ 1967,by Mccraw-HlltBookCo., U. S. A. tsBN 0{7.000228.x

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LINSA-70

Estaobrase termlnóds

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Oélegaclón|napalapa 09310Méxlco,D. F.

Se t¡¡aron8 200ejsmpláres

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Pr o lo g o El análisisvector;al,que se inició a mediadosdel siglo pasado,constituyehoy día una parteesencial las matenrátjcasnccesariapara matemáticos,fhicos, ingeniefosy demáscientíficosy lécnicos.Esta tidad no es casuali el análisisv€ctorialno solo constituyeuna notaciónconcisay clam par¿presentar ,cuacionesdel modelomatcrnáiicod€ lassituaciones físicasy problemasgeométricos, sinoque,además, rcioná una ayuda inefimable en la formaciónde las imágcnesmen¡alesdc los conceptosfisicos ométricos-En resrmcn,el análisisveclorialpücdeconsiderarse, sin Iugara düdas,como cl más rico uaje y forma d€l pe¡samientod€ las cicnciasflsicas. Po¡ la foma y mancrade cxposición,estelibro se pücdertilizar como tcxto en un cursodc ¿nálisis riai o €omo un m¡gnifico libro complcmentáriode cualquierotro texto. Asirdsmo, puedeser dc valor para todos los alumnosde las asignaturasde fisica, mecánica,electromagnetjsmo, aerodi,a e inEnidadde otras correspondientes a los distintoscamposde la cienciay de la tóc¡ica cn qüe nplean los métodosvecroriales. Cada capitulo comienzacxponicndoclaramentclas dcfiniciones,principiosy tcor€másp€riinent€s, ejcmplosilxstrativosy descriplivos.A cont;nuació¡¡sc presentarna colecció¡de problemastotaltc resucltosy otros suplcmentarioscon r€spucstapero sin resolver,todos ellos de progresiv¿difi. Los problemasrcsueltosaclarany amplianla teoria.evidencianlos puntosesencialcs sin los que€l diantesc sentiria conti¡uamentepoco scguro y proporciona¡ la repcticiónde los principios fun. tales tan nccesariosrara conoce¡ la materia a fondo. Asimismo.en los Droblemasresucltosse uycn nunerosasdcnrostraciones de fómrulas.Los ¡r¡merososprob)emas de teo¡crnasy dedücciones lnentariossiñ,en dc conpleto rcpasodcl tema de cada capitulo. Los temastfatados son, a grandcsrasgos,el álgebray el cálculodifcrencialc integúl de vectores, d€ la divcrgencia,del rotacionaly de¡nis t€oremasintegrales.hacicndomuch¡simas aplicacrones ¡ruy divcrsos.Atención especialmereceDlos oapítulosrclativosa las coorden¿das curvilínéas I análisistensorial,que tan cvidenlesventajasp.oporcionanen cl estudiodc ingcnie¡ía,fisicay mateEl libro conticnemucho nás m¿terial de lo usualen ¡a mayo.ia dc los primcroscürsosde cimci3 genieri¡. Con ello la obra se ba hechomás completa,constituyendoun libro de consultamuy útil la vez. catalizadordel interésrcr tc¡nasmá! elevados. El autor agradeccla colaboracióndcl seño. H€nry Haydcn en la preparacióntipográficay dibujo ligüras. El realisn¡ode las figurasrealzacl valor de la obra en la quc la crposiciónvis'ral.jueBa papcl tan R, SPTEGEL

Indicede moterios TTTORf,S Y ESCALARES.

k6r. Esc¡lar. Al8ebra tccao.ial- ¡¡Fs del Algebr¡ vectorial. V€ctor uoiiario. yecroEs lira¡ios trirrecl¿ngulares. Vccto¡es compon€ntc!, C¡mpo €scala¡, Ca¡nDo lectorial.

TTODUCTOSESCAIAR Y VECTORIAI.

hod¡¡clo cacal¿Lro intono. Producto y€ctorial o exlcmo. Productoc triot s. Sistemas &

dFTRENCIACION

WCIORIAL

Düivad¿ do ú v.ctor. Curvas €n el ospacio. Conlinuidad y dc¡ivabiliüd. Fórmulas de dcri?!ión. D€rivadas p¡rciales de ull v.ctor. DifeÉncial de un voctor, c€onetría dif€r€ncia¡.

OPTRACIONES DIFERXNCIAIES: GRADmNTE, DIWRGENCIA Y ROTACIONAL..

Operado¡ difer€ncial vecto¡i¿l nabla. CEdie¡te, Diverg€ncia, Rotacional.Fórmulas on la! q¡¡. inlcnie¡c cl opc¡ador ¡¿bla. Invariaúa.

L\TIECRACION VECTORIAI. lnlegr8l de un i€ctor. Inüe8¡al cuwillnea. Integral de sup€¡fici€. Inlogr¿l d6 volumen.

TNTEGRALES:TEoREMA Df, LA DIVERGENCIA, TEoREMA ¡,JoPERAcIoT\Ts ! \r' INTf,GRALr,S....... DEL ROTACIONAIY OTROSTEOREMAS l0ó V -....,,..... Teorcmadc !a divcrspnciade Gáuss.Teoromádcl rot¿cion¿lde Stokés.Teoremade Gr€en ar el pl¿no. Ot¡os teorcrnasint glal$. Fofma irtcgr¿l del op€r¿dornabl¡.

f " c o o R D E N ¡ D AC SttR V rr,rN E.A. ..S... .

.................

135

Ttusfo¡trl¡ción dq coor&nad¡s. Coo¡dcnadas cuNilfrc¿s ofogon¿!€s. VectorÉ! unit¿rios en sistcdra d€ coord€¡ad¿r curvilín€¿s. El.ñentos de llnea y de volurnen. G¡adi.nte. d¡vergcncio y ¡otacio¡al. Caso3pa¡ticular€s de sistemasde coord€n.dÁs ortoAonales. Coordc¡adas cilíad¡jcas. Cm¡dcnadar €sfáica!. CoordoDad^ cilíndricas pa¡abólicas. Coord€nad¿s p¡r¿bolo¡d¿l€s. coord.nad¡s cillndrica¡ cliptic¡s. coorden¿das .lferoidales alargada!. coordenada3 csfe¡oidale acll¿tada. Coord.íadás cliGoidal€s. c,oo¡denadas biDolar6,

t6ó

ANAIISIS TENSOnIAL fr)€s fisica.. Espa.ios dc N dineftlones. Transfonnació¡ d€ coordenadas. Convenio de sunaalótr dc los ¡ndicca r.pctidos. Vcctorc3 contrava¡iant s y coyar¡aotes. Tensorcs contr¿va¡iartcs, coErian&s y mixtos, Delta & KroDeckcr. Tcnsor€gde orden supc¡ior, Escalarcso invarlsntes. C¿mpos te¡Boriales. T€nsores simét¡icos y hcmisi¡nétricos. Op€racior6 fu¡daÍF¡úrles con iensor€s. Matriacs. Algebra matricial. EI clomenlo dc linea y cl tensor ñétrico. T€nso¡ r€clproco. Te¡sor€s asociados. Módulo de un vector. Angulo entre dos v€ctor€s. Co6Don6Ls ftuic¡s dc un v€.tor. Slrobolos de Cbfistoffel. Iry€s dc imnsfomació¡ dc 106 sÍlrlboloc de Clristoffcl. Llncas eeodésic¿s,D€rivada covariante do un t.nsor. Simbolos y t nsons altor¡antca. Fo¡ma t€nsorial del iradiente, divergencia, rotacional y laplaciana. Dedvad¿ ab3olut{ o intrlns€ca. Tensorls rclativo y ¿b6oluto.

itDIcE. . . . .. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 2lE

-'Vectoresy escolores \ICTOR. Es üna magnitudcüya determinaciónexigeel conocimientod€ un módulo, una direc:i¡r r :n sentido.Ejemplosde magnitud€svectorial(sson cl desplazam¡enro, la velocidad,la aceleración, l¡! 'rÉ.;3. el imoetu. ercC.áñcameñte,ün vector se representapor un segmentoorien¡¡I,: OP (Fig. i); la longitud del segmentoes el módulo del vector,la úr.J:.on de seCmento esla correspondiente del vectory Ia flechaindica a ;e.¡rdo del vecior. El puílo O s€ llama oigen o punto de aplica::tt -: P el extrcno del vector. La r€ctaen que s€ apoyael segmento E :¿.ma dirc¿rriz del vecror. lnaliticam€nte, un vector se representapor una lelra con una '.sj-r encima.por ejemploÁ en la l-ig. I. el módülo*".,.'¡¡. Á r :¡en A. Otros autores pre6erer emplear una letra negrilla, por :€:rpio A, con 10que lA o A indica su nódulo. En eslelibro emplea''=ri esta última notación.El vector OP también se pu€de esc¡ibir j¡. o bien, oP; en estecasosu nódulo es -oP, 1óF¡,o ti"n, or. ESCALAR. Es una magnitud cuya determinaciónsolo requiere.elconocimientade u¡r número r. .antidad respectode ci€rta unidad de medida de su rnisma especie.!-emplos tipicos de escalares :i¡c la longitud,la masa,el tiempo, Ia temperatura,€l tfabajo, la energia,etc., y cualquiernúmeroreal. is escalar€sse indican po! una letra de tipo ordinario. Las op€raciones con €scalaresobedecena las nl.úas reglas del álgebrí elemental. ALGEBRA Vf,CTORIAL. Las operacionesde adición o suma,difercnciao resta,multiplicación x l.rodu€todel álCebra€lsmentalentre números¡ealeso escalar€s, se puedengeneralizar,introduciendo .ié¡rrminadasdefiniciones,al álg€braentre vectorcs.Veamoslas defnicionesfundamentales. ./. Dos vectoresA y B.son equipolentessi tienenel mismo módulo, la mismadireccióne idéntico sentido.Si ademástienenel mismo origen o punto de aplicación,son ¡gral¿r.Tanto la equipolenci¡ como la jgualdadentrelos vectoresdadosla representaremos por A : B (Fig. 2). Ceofnótricamentese reconoceque dos vectoresson equipolentessi el polígonoque resultaal unir sus orígenespor una parte, y sus €xtremospor otra es un paralelogramo: 2. Dado un vector A, el vector opuesto,-A, es €l que tiene €l mismo módulo y direc¿iónp€ro senridocon(rario(Fig. lr.

VECTORESY ESCALARES

Su a o rcsultant¿de dos veotores y B cs otro vector C obtenido trashdando el orig€n d. B al ^ cxtrcmo de A y ünicndo cl odgan de A con cl cxtr. mo B (Fig. 4). Anallticam€ntes€expresaA+B : C, Observ$e quc trasladando los dos yeotorcs a ün origencomún, el veclor sümaco¡¡€spotd€a la diagonal dcl p¡relelogramo con €l orig€n en cl o¡igcn co¡nún- Por ello s€ dic¿ quc la suÍra de vcctores obedecca lz ley del paralelogrumo(eéasc c=¡i! Prob. 3). La generalizació¡ a la suña de varios vectores Fl a.{ es inmediatosin riás que iI sumandode dos €n dos succaivamenta(ve¡sa Prob. 4). 4. La dtferenciade los tectores A y B, que se reprcs€ntaan¿lÍlicamcntepor A -8, es otro vector C, t¿l que sumado a B produc€ el vector A. Dicho de otra Íranera, para rast¿r dos vectorasse sunra al vcctor minuendo el opuesto sl \'ector sustraendo,es dccir, C : A - B : A + (-B). Ls dio simplememte0. 5, El produ.to de un esc¡rlartn por un vector Á es otro veotor, h1A, de la misma direc¿ión q pcro con un módulo l,rl vecesel de A y un senlido igual u opu€stoal de A scgúnque el lar ñ sea posiLivoo negátivo.Si ,n : 0. |'¡A es el vector nulo.

LEYFS DEL ALGEBRA VECTORIAL. SeanA, E y C lras vectoresy ñ y ¿ dos escalares estascondiciones s€verifica:

,. A +B :B +A 2. A +(B +C ):(A +B )+ C 1. n(nL\: (nn)A t, (m + n'r[: nA + nA \ ó. n(A + B): nA +,ñB

Propicdadconmutativ¿dc la slma Propiedad asociativa de la swÍa Propiedadconmutstivadel productopor un cscalar Propiedad asociativ¿del producto por un €s.alar Propiedad dislributiva del producto por un escal¿r peoto de la sur¡a de escalar€s Propicdad dbtribotiva dcl producto por un csc¿l¡r pccto de la sume de vcctores

Obs€rvcs€quc no ¡parecÉn más las propiedades dcl producto de un escalar por ün v€ctor. €lcap. 2 d€finiremoslos prodüctosentr€ v€ctores. Étss lcyes p€rmiten considetar y lratar las ecr¡acior¡cavectoriales da la misma for¡na que si fucr¡l C, transponiendotérminos,A: C-B escalares(ciuacionesalgcbraicas).Por ejgmplo,si A *B: VEC¡OR UNITARIO. Es todo vector de módulo unid¿d.Si Acs un v€ctorde módulo distinto de cero,/ + 0, cl vcctoi Al,{ es un vector unitario de la mivn¿ dirección y sentidoque por el productodc A se pu€d€repr€s€nt¿r Todo vcctor ^. y que aquel mul_ vector ünit¿rio dc ls dirección s€ntido un ¡ tiplicadopo¡ sl módulo de A, que es ün escalar.Analític¿m€nt€,Pues,seesc¡ibe,A : ,l¡. VECTORf,S UNITARIOS TRINRf,CTANCULARE¡I l, j, t. Un sisten¡ tllúy importanE de vecto¡es unitarios a los son los que tienenPor dircccioncslascorresPondientes cartesi¡¡as.n €1csp¿cio, ejesda un sistemade coordenadas ¡, y, z, con scntidos los positivos de €stosejesy qüe sc llarran veclorcsunitariost, ¡, k (Fig. 5). Mientras ro sc diga lo contrario, supordremos que cl sisteña dc coordcü¿das trir¡ecBngularcs es 4alextrorsun>

VECTORESY ESCALARES , r bcchos. Ests dcnominación deriva d€l h€cho que un E:illo con ros.a a der€ch¿sgi.ando 90' d€sde O¡ a Ol, rnfz ctr cl scntido poshivo de Oz. como sc mues¡¡aen

r F!- 5.

fc, di' r 0,

fA iEn

En gencral,trcs vcctoresA, B y C oon el mismo origcn t fr coplanatios, fofÍnan tn sisteÍ\ <dexlrofiuh, o a derc,.iñ si un tornillo dc roscaa derechasgirandode A a B po¡ i Éor ángulo avanz¿eD Ia di¡eccién y sentido dc C, Es s. reprcscnb cn l¡ Fig. ó. vECTOnES COMPONENTf,S. Todo v€ctor A en i :spacio (3 d¡mcnsioncs) s€ püede repres€ntar con sü ,r!-::cn en el conespondiente O de un sistema dc coorde¡d15 trirrcctangul¡rcs (Fig. 4- Sean(,{r, ,1,, ,lJ las coordeEdrs cartesiaDa3dcl punto extrEmodel veclor cuyo ori^ vectorct !!3 es O. Los vectores lri, A;, y 4k se llLma fi*pwnles rcatangulareso simplemenfeveclorcs.onponente[ ü -.{ s€gúnl¿s direcciones x, y y z, resp€ctivam¿nte,Los ,{¡, Ar y At 6c ll^r al coñponenlet rcclanguldr$ o companerit€s delvectorA segúnlas dircocioncs -l¡rB ¡,t y z respaolvamanE, -d.nent€ La sumao resultantide los tresvector€s,4¡i,,1J, y ,4sk ¿r cl vectorA. ¿stoas. tt:AiiAziiA.} E módulo de A es

Ftr. ?

a :l ^l :a/A i +A .,+A i E^ p¿trlic¡tlar,el y.ctor de posicíón o rudio recto¡ r cuyo origcn es el punto O y cuyo ertremo es cl ponlo 'r- /, z), sa cscribc cr Ia forma

f : n +r + zk ¡ lcran

FB. I I

{É tienede ñódulo t:

rj:

I x'¿+ f + z'.

CAMPO ESCALAR. Si en cada punto (x, y, z) de una reSiónR d€l espaciose le pu€deadociar rn escalarÉ(r,,,, z), hemosdefinidoün cdrnpoescalar$ cn R. L¿ funció¡ d dep€nde,pu¿s,d€l punto y, por ello, 6e llama /¡rción es&lat de posición, o bi¿r, luicün de punto escalat. Eje|nDt6. (r)

I¡s tcmperatnrasen cada punio int€rior o sobr€ l¡ superficiede la aierra,€o un cierto ¡nst¿nte,d€fircn un campo cscolar. (2't ó (t, t, z\ : * zr defne u¡ campo cscala..

Si un oampo cscafar cs independiente del ti€mpo, se llama pcnnaneñteo estacíoñatio, CAMPO VECTORIAL. Si e\ cadapunto (¡, /, z) de üna regiónR del espaciose l€ puedeasociar |d vectorV(x, /, z), hemosd€finidoun .anpo wctotial V e^ R. I-a firnciónV depende,pucs,del punto y, por ello, se llama fuacün vectorial de posictón, o bi.n fuhción de pmto vectoial. Ejenplo¡. (J) Las velocidadesen cada pünto (¡,),2) cn €1interior de un flüido en movimiento, en un ci€rto instante,definenun campo vectorial.

(2) V(x,y,z):

xt'í-2yz't

+ xtzL dcfincun campovectorial

del tiempo se llama perñdnenteo ettacionatio. Si un o¡mpo vcctodal es iDdependiente

VECTORESY ESCALARES

Problemas resueltos l, Dé las nugnitudcs dadas a cont¡nuac¡ón irdic¿r las de caiáctefresl¿i

€

Sot. (¿) veclorial

f¿l ¡-.áa¿

,r,

y tas de e¡ácter €torial. (l) potÉncia-

"o,u^"n (j) intensidaddel campo ñasnético (,/, distanci¿ Ut eneryíA -1f.. €s@le tu') eslár U) esc¿la¡ (r¡) es.ala¡ 0) yeclor¡al

gráficamentc:(¿) una füer!& de l0 n€wtonseÍ la dir€cció¡ Ét€ 30'Norte, 2. Represent¿r ' (ó) u¡a fucrza dc l5 ¡cwtons m la dirección Norle 30" Este.

Frs.{ú) Con la un¡dad d€ ñódulos indicada, los vector€spedidosaparecenrcpresentadd en las 6gura¡. 3. Un aulomóvil recorre 3 kilóñ€tros hacia el Norte y lü€go 5 kilómelros hac¡ael Nord6tc. R€ptwnta rcstos ddplazamicnto y h¿llar cl desplazmiento Gultanter (¿) gráficamente (á) analiticameoto. El vector OP o A reprcsenta€l dcspiazamiento dc I km haciael Nort€. El v€ctor PQ o B reprcs¿nla €l desplazamiento do 5 kñ El r€ctor OQ o C rcpreent¿ el d€splazamien@resultaDte o sum¿ de los vcctoresA y B,.s decir,C : A + B. Pu€de observar8ela /e/ d¿l r/¡¿¿r'!1o dc Ia süma dc vcctors. El vector r€sultantc OQ t¿mbiér s. puede obtcn¿r ttaz¡ndo l¿ di¡gonal del par¡lelosramo OPOR construido co¡ los véctores OP : A y OR (isual al vcctor PQ o R). Esra es b le! del patulelostMo & la suma do v.ciores. es d€cir, de (a) Deteminoción etdlca d¿ l¿ ¡¿r¿r¿¿r¿.Semid€ Ia lonsitud dc la diagon l cod la mi!¡na unid¿d de long¡tud dÉ I k¡n adoP t¿d¡ par¿ los olros vectons. Así sEdeduceel valor dc ?,4 km sproxitradam.nle. M€dianlc un trasport¿dor o schicircülo 8r¡duado s€ mide €f ángrJloEOQ - 61,5'. Por lo tanto, el vcctor OQ ti€no de rródulo 7,4 *m, y di.ección y s€¡tido E3tc61,5" Nortc. (b, D¿t.,ninaci¡jn anolítica de la rctultant.. En el triánsulo OPO,llamadoA, B, Ca los ¡bódulosdo los v€ctore3A, B, c, rdpectivam€nüe, el teorc¡n¿ del coseno D€ín¡t€ €scribir:

C' = At + B'-2ABcos L OPQ:tr + 5,-2<3N5)co6135. 34+ r5/td. dondeC = 7,4J(aprorim¿damenlcj,

55,2r

VECTORESY ESCALARES y -{9liándo ahora €l teo.ema de los s¿noss€ deduce l¿ dirección el s€ntido: AC ser L OQP

oQP

A*n a

oPO -

I (0,70?) :. 7.41

sen L OPQ

0.285s,

LoQP : \6'35'

E¡ v€cior OQ, en consecuencia, ti€ne de módulo 7,43 km y una d¡re.ción qúe forma un ángulo con la ¡irrEión Este de (45'+ 16'35') :61"35', esto es, su direcljón y senridoquedandefin¡dospor Este 61"35, .{ 5¿¡á¡ la suma o resullante.delos siguient€sdsplazamidtosi r-lo trtros hacia el Noroestej B, 20 metros,Este 30' No¡te; C, 35 meüos hacia el Sur. (F¡g. a.) E¡ €l €xtremo de A s€ sitú¿ el oriepn de B. E¡ el extremode B se sitúa el origen de C. l¿ resultant€D seobtieneunierdoelorig€n O del v€cto¡A con el extrernode C, esd€cjr,D : A + B + C. Sigüiendoel método e¡áfico se dedu@que el vecto¡ D tiene de módulo 4,1 unidades:20,5 m y und rtF€rión y s¿nüdodefrnidopor Este60 Sur

¡fs.(d)

F¡s,(¿)

S" Draost¡ar qu€ l¿ sumade vectoressoza de ¡a propiedadconmutativa!A + B:

B + A (Fis, (r)).

OP+PQ:oQ, o bie¡, A+B:C, OR +RQ: OQ, o bien, B+A:C. Fo r lo le! o,

A-B

¡5 Dcñostrar qu€ la suftra de v€.tores goza de Ia p¡opiedad aso€iativa: A + (B + C) : (A + B) + C.

OP+PQ:OQ:(A+B), PQ+QR:PR:(B+C). Y O¡ + PR : OR : D, e,sd€cir,A +(B + C) : D. oQ + QR : oR : D, esd.¡ir, (a +B) +C : D. f¡to¡ces, A +(B + C) : (A +B) + C G€neraliza¡dolos resuli¡dos de los probleñas 5 queen la sum¿de cualquier lme¡o t ó s€al€muestra é \€ctoresla resultantccs indepcndient€del ordenen qE s. tofmn,

¡,

V E C TOR E SY FS C A LA R FS

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. . . , F".Ha,,a¡ raruerza queesne@sario ap,ica¡ €np

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8. Dadoslos vector€sA, B y c (Fi8. 1a),consrruirtos vectores(a) A _ B + 2C, (b\ 3c _,1.e^

_ B)

(bt

- i(2^-a) f. I

VECTORES Y ESCALARES |'

{ 'ial

IL ¡rih * aué! cn la dirccción y s¿ntido dcl Nor¡ ú¡ rclocidad, rolatirr ¡ l¡ Ti.rr¿, do 250 krvh ¿¡b r l¡ cr¡t ¡rci¡ d. un vicnto h¡cia GI O€6te con -d¿ 50 tm/ll rEl¡üva a l¡ Tirt¡ lámblh. Er -üdd.d h v!¡ocida4 dirtccitu y sc¡iido d.l i,ccto¡ ycloÉt l o¡¡c ll.i?rla cl avión si no hubicac vi.nto.

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/ s.á¡ w : vetocid¿dd€l vicnro a' il v. : volocid¿ddel ¿vióncon üento -¡r V! : vclocidadd.l ¡vtón rin üGDto l'I F¡ 6t&! co¡dbidcs,

¡. : v. + w, dodon¡lo v, - v. -w : v. + (-lV).Midiondo I¿ ¡oogitud dol \¡ccto! Vó se obfen 6,5 unidadesquc equivalcn¿ É.llo vicncndadospor Oest! 33' Nortl. I.

I¡do6 doo vatorEs ¡ y I dc dilint¡

di¡Ección, h¡llar la crptlsión dc o¡¡lquic¡ véctor r dd pla¡o &tc¡minado

¿qucllo3.

Los vrctoÉs d¡dos no ticÍcn l¿ rnis¡¡á dircctriz. Por lo rúto, &tarmiÍa! un pla¡o. S6ar cu¡lquicr vector do d¡cho quct.ng¿n los\€ctorc! r, b y r dc ll¡o y r¡8sladomos d ori¡pn com¡lnO. por el €xt¡oño X do r 'naoe¡¿ ú¡cemospartlole¡ ¡ bs diraccloüa!dc ¡ y b, Elpccti$rnrnt , forná¡do €l para., r ))''t, Llograoo ODRC. D€ l¿ 68uñ 16doduc¿ , \ . r. oD | _'L" -¡(oa):.n, 4., ,,. OC : r()B) : )ó, ondordcxcrso¡.¡cal¡tB Ahora bion, rógúnl¿ lóy do compo¡icióndel paralclognmo, OR:OD +Oc,

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q¡¡. ca l¡ o¡pnsión Fdid¡" l,oe v*lorEs .¡¡ c ,b son 16 @nqotu tcs t ctüld.t, o v.clo.!s coopo¡rcrit ., do r s.dn l¡! dincciord &. y b rcsFclív¡rFntc' lr3cac.ldlsr€/p¡¡.dcn s.r poaitivG o D.s¡tivo3, rgúr 106ati!6 dé lo3 icclo.la. Dc l¿ const¡r¡cción gcométrica s d.spr€ndc q*.t c / son únicos pore ., b y ¡ (hdos. los vcctorEs a y h *¡ lo. ve.toret ¿n la á¿tt d€l tístema dc coord$adrs dcñnido por ¡ut dircccioDc on ol plano quc délrfiin¡n.

¡L Dddo! trqt t€torai

no copla¡¡rio! ni paralclos ¡, b y c, h¡llr¡ l¡ expresión dc cuslquie¡ v€ctor r é¡r cl 6pacio

t¡idimc¡¡don4 s.e ¡ rl vdor cu¿lsui!¡¡ d.l.spacio de origi¡ o d qoc tr¿slad.Eoslor trc6Elorrs d¡do¡ .' Dy c. Por cl .xtrlso i dc r t ¡..mo6 pl¡ir6 par¿Lto3,rca!.c¿ivamt , ¿ lo3 qu. rtct!¡min¡n . y b, b y c, y. y., forñó¡dos! cl paratclcplpodo ¡Ox,Y¡Utl. Dc h fieu¡a sc doduco,

ov = ¡(oA):r¡ ) OP : ÍOB)

on - loc):

: ),b ) on dond! ¡, /, .¿son e!.¿¡¡rcs

.u I

zc)

Alor¡bi.|| OR :Ov +vQ +QR -oV+OP o bicn, r -.ü +}n+ ,c-

+ OT,

Llc Ie con trucción g.or¡¿!¡icá $ d.6pr.ndequo¡ /, y t ron único6pam r, b, c, y r d,¡dos.

.-''---.-'

VECTORESY ESCAIA¡ES

Los !€ctorcs ¡.,lb y zc sollas compon útet v¿ctoiales, o v€clorts coftponcntct, de r.según I¡s dirlcciones de ¡, b y c, repecrivam€nte. Los vscto¡cs .' b y c son los w.to'* ¿n la bas¿ d.l sisttroa d. coor' denadasd€nnidopor susdirec.io.ca cn el €spacio. Coño casopadicular, si aj b y c aón los vector6suritárioi i;l y k, respectlvañcntb,rirtrtu¡lncnte p€r_ p€ndicuiares, cu¿lquierveclor. se pücdcexpresar!d€ fo¡m¡ única.cn fünción d€ li)s vcctor€sünit¡rios según

losejespo.. -. ¡i + / + zL. Asimismo,si c - 0, el e¿tor r peno¡€.eráal plano fo¡mado por ¡ y b, obtcni¿nd@ €l problema 10.

12. Demostrarqne si los vectorcs, y b no tienenlamisr a di¡€cción,la igualdadv€ctoriai¡a +/b = 0 implica q u e ¡:/:o . E-slo Supongamos que ¡ I O. Ertoncls, de ¡. + /b : O s€ d€ducc ¡¡ : /b, €s dcci. ¡: --(//¡)b. quiere d€cir que a y b ricner la misma di@ión, lo cu¿l es cont.a.io a la hipót€sis. Por consiguienle, ¡ 0, v de vb 0 se desprendeque y O. r3. Demostrar que si ¡ y b son dos veclorescuyas dir€ccionesse cortan, la igu¡ldad v@torial ¡,a "l- ),¡b : rú + /¡b i mp l i c ¡ q u €¡¡ ¡, e r' : ,r.

¡,¡+/,0:¡!¡+/:b ¡,r + /,b

(¡,¡+v¡b):0,

o bidt, (¡¡-xJ¡

+Cv'-./¡)b=0,

Po¡lo ranro,sesún elproblema 12. .t, - ¡' : 0' ,' - t: : 0. o bien, ¡, -,,'Y':!,.

14. Demorrar que si ¡, b y c no son coplanariosni paralelos,la iSualdadvecto¡i¿lx¡ +/b +zc - 0 implicá o u e .i :y :z :0 ' sc deduce ¡¡ = -)'6 + -:c, es decir Supongamosque ¡ + 0. Enlonces, de ¡s +zb + zc:o (z/x)c. Aho.¡ bien, -Olx)b - (?/¡)c es un veclor del plano qüe forma b v c (ptoblema | 0), ¡ : -<-yl¡)b e s to c s ,¡p e rl e o e € a l p l a n o debyc,l ocual escontr¿ri oal ahi pótesi sdeqi ¡€¡,bycnosorcoplana. ios, Po rl o ta n ¡o ,¡:0 -R a z o n a n dodcanál os¿manera,süponi endo/* oyl uegoz+ o,sel l e8¡ ascndascon' kadicciones,cor lo que quedaderhoslradolo pcdido 1 5 . Denosrra.que si¡, b y c son tresvectoresno coplan¿rjos¡iparalelos,la igFldad i€ctoliai tia.+ Iib + z,c = ¡ ¡ . - hb

r . c im plic a que \ ,

:Í

,., z' : zt.

La ccuació¡ dada * puedeescr¡bi¡en l¡ fo¡¡na (¡r - ¡rh + O, - y)b + (2, -2). : o. segúnef probfemaf 4, ¡, - at : 0, lt - y' : O,y zt -:r - o, o bien,¡, : ¡¡, /\ : t^ 2| : z. socortancn su puntomedio f-ió\Derilorrar quelasdiagon:lisde un paralelogramo / pamlelosramo s€ el cuyas diasonales ;EC, dado S¡,a \ / \--l cort¿ncn el punto P. ComoBD :r : b,BD - b-e. EntoncesBP : ¡(D ¡), b, AP : .y(¡ + bi. Como AC : a AP I PB = AP - BP, con lo que, Aho.a bien, AB a) : (¡ + /)¡ r L! - r)b. ¡ /á +.b) - ¡(b Como las direccionesde ¿ y b se corla¡. segúnel pro_ ¡ :0, es dei r, ¡:¡-' ,/" b l c ma 1 3 ,¡+ /' l € , Por lo tanto, ¡ cs ol punto medio dc las dos diagonales.

delos ladosdc un cuadrilátero ecunpara t7 . Demorrarqueel pollgonoquercsultaal unir lospuntosmcdios rerogr¿mo. Sea,rBCD€l cuad.¡látero dadoy P, O, rRy S los puntosmediosdé suslados(Fig. ¿). c), Rs:'r(c En¡onces, PQ: '/,(¡ + b), QR =='/lb Ahorabi.n,s + b+c.l d : 0. Porlo tanto, PQ

:(a - b)

-"/c

+ d)

+ d), sP:

rL(d+ ¡).

QR : '/'(b + c) : -'/,(d,+ ¡) - PS

Como los lados opúesrosdel f'olieo¡o formado son igualesy pa.¿lelos,dicho poligono ee logr¡mo.

VECTORESY ESCALARES II

3""; g*,:'i;ii*ll1llli';:,:::

r,..,.susrcsprcrivos v 11' vectores deposic,ón. D€mos':f"i'-o: "l-"'9* : oo'.;'ürd;;;';.;i::;i;ü;HT'.:?ü[[?:Ti;

li TlTfi'T"'.:::::: ^ ^: ",.:

¡=q1 O' si, y sotosi, se verifici ¿, + ,, + ., 10.

vvervecrordeposicióndco'r6s. rJ);'iF1::1".'"'Ti:':-oj,:::':lóle-f,r:f',{{rrespecbdeo o. ve¿nos enquéco¡diion€s * *,¡i"."rá.i,iiíJi-,,ir;;,.,.;;;:i,H,i".ii,."í.#;:

=de

la. F is . ( ó ) d e d u c eq u 9 .,:i ¡tr_ D . ¿,r! + ¿rr¡ : -s e transfo¡md en 0 se -

rl€l

+ r,r, ¡¡:y

+ l !,

¡.:y

+ r,!,

con l o quc l a ccuac¡ón

a¡\ + a{, + a,r1: a(v + ri) + ¿lr + ri, * *.,, "*' a,¡,, : _ (a, + a, + a,:)r+ a¡,, + oii + O La condición n€.esaria y süficienre pa.a que ¿,! i ¿,r., ¡ + ¿r.i : 0 es

(a,+a,+a¡

-0. esdc.ir, a,+ar+a,:o. Esteresultado puedegeneralizane sin dificutrad.

o).

que pasapor dospuntos7 y a cuyosvectoresde posición ¡65p€ctocrcror¡scn o {:. :l :,",;:::."".1T,1.-:1.,:ra y D,respecnvamente. S.a r el vector de posiciónde un punto ge¡éricoP de la ¡ Dc Ia ñgur¡ adjunrase deduce,

D\-AP.-

OP,o bien,s + Ap : r, dedonde Ap : r _ ¡

01 - AB : OB, o bien,a + AB : b, de do¡deAB : b_s Ahora bicn como AP y AB son colinealcs,Ap : rAB, (b ¡). po¡ lo ranr¡, ta euación ped¡da cs r:

¡ + ( b-a ),

o b i c ¡, r:(t

_ r)¡

+ rb

S.6 '¿ ec uac ' ón s c e$ ri b e e nta fo fma (¡ 4 a , /b _ r. 0, i -r t ud€s us c o€ñ.i rn L e s d e a .b y r6 | _ | ¡r_ I =O -: -.: ionstSutente.segúnet p¡oblena 18.el punro ppertcncce ¿ : re.ta qu€ une y A, jndep€ndientem€nte de ta clección "4

,J¡o néla¿o, Corno Ap y pB soa colin€al€s, siendo h1y ,, :!r escalaras sc verifica: nap ! oonoe se deducer

np['. o bjen, n(r-¡.)

n^ nn que se ttamafarha rinérica. rr ¡ , ,

VECAORESY ESCAI,ARES

20. (^44 y r, derospuDto! Ylllr !:.vc¡r9y d€pos¡ción r\..1,rt I urt. -r.1, cf' un s6tom¡dc coor&n¡d¡3 trirrecr¿nguhr .n fudctón de tos rlctorcs unit¡rid l, l, L. (ó) D.t rminar gráñc¿y am tic¿tncnt le .6¡ o rE6ülr.¡rc dc dirrc3 r€c-roÉ

(¿) ¡r =OP : oc + cB +Bp 2l + 4t + 3¡ r¡ - o Q:o D +D E + EQ- t_51 + 2r -

(bl

Q{r,-t,2)

ctófcank,t.,la rcsulratrrc d. r, y .r !. oor¡!.E 4t .!¡ ot¡soml OR dcl paralclosramo oPiO. Anan cañ¿nt¿ vtcn d^d^ ñr

¡, + r' = (¡ + aJ+ 3r)+(l-5, + 2¡):3t-l

+ Jr

quc cl r¡ódulo ,,1dd vocaorA vi€de d¡do por

A i +A J + A ¡c ca: llJ 4 ¡ 1 . Por cl t orcna dc pitágo¡as,

(oP)': (oor'+@b" er do¡deO-P€set módulod€lvecrorOp, erc. Análosü'Ent, (oO)': (oT)'+ (iO)'. Po¡Io !¿nro.(-p)' . ro,nl. + riOy - tO¿). o A, - Al + AZ I ,ri. cadeci',,r : ,/ /? + 4=/l ¿. Dadd lo3 v.c.or* rt : 3i-21 + t, r, : Z-4r-3r, (¿) r,, (á)r¡ + r' + r.. (.) 2r¡- 3q - 5r,. t.t lr"l ,r-¡r4+zrl

= v ljt 1

tzf +6

r,:-r+2r+2t,

b¡ll¡r lo. ñódulo3

= c.

(ó )q +.2 i .. = (3 r-2 ,+r ) + ( a- { t- 3t) + ( - t+ 2t+zr ) at- { J+ ot = 4t-i , Portot¡nto,l!+r,+."l = ll¡-+l+orl . /(8;7:&, to] = ,6 = *6=s,ec (¿) al - 3.2-&3 = 2(3t- 4 +t) 3(21-r, -!¡t) - i(-t + zJ+ z¡) = 0l-4t +21-6t +tA +9¡ +í -roJ -tor = 5¡ -2, +¡.

P o rl or¡n to l.2 r1 -3 r ,- s,"1. ¡ r - zt*¡ l - /( R;( 8; Dado. loj v.ctoE! f, : 21-l + t , h : ¡ + l¡ -2r, va6¡os oc ¡os c€.3lar€s¿. ó y . d0 múéra quc ¡.

r, : -2t +l -3r, ¿rr r áf¡ r d..

= ,6=s.qz t ¡¡ : 3r * 2i * 5r, h¡[¡¡

3r+2¡+5r = ¿(21-l+r) +r0+3t-2¡) +c(-2r+r_a¡) = (2.+b-2c)t + ({ +3ó+c).,+ (¿-2ó -3.)r. Ahoú bi.n, los yétores i, L k no son ni coplanariosni par¿telos,sc$l.nel probldra 15, 2t + b-2c:3,

<+3b+c:2,

o,7.b-3.:5.

R e s o l v i c n d o c s tc s i s i . f¡¡de.cu¡ci o¡.s,s:--2,b:t,c:-1cútl oquor.:-24+ r¡-

El ve.\or r. d¿pcndclínealrurr¿ dG los vccrorts rL r, y r.; cn otru pal¡bras, ¡,, r,, rr y ¡., forn¡n sist€r¡a dc vcctorcs l¡r¿¿,r¿nte ¿lepeüleúe. Sin .mba¡go, tres (o renoo d. cao3cuatro v€cror€¡ son ñ.nte in¿.p.a¿ientes. ED Acncral, los v<.rorcs A, B, C, . . . sod lincaLEnto defEndbntes si .risten u cohjulto dé a 4 .,...,n o to d o s ¡¡u l o s ,d e b a¡cr¿que¿A + óB + .C + ...:0,c¡tcásocoD tr¿;osonl i

VECTORESY ESCALARES L

ü¡ !.rcto¡ udtario con la dircc.iór y sentido do la rGulranL dc los \€ctores r, : 2l + 4¡-5L,

úÉ

*:i;2i+3 I.

¡rs¡lt¿¡tc R : !+ 12 = {21+4J-5k) + (r +2j +3}) = 3i + 6j _ 2[.

For lo tanto, un vectorunitario .on Ia dire.ció¡ y sentidodé R es! 6, Comprob¡ción: r3. lir + tr q

ln l = l ¡r-o¡-z r,- /o7- tat' - , . - = t .

¡ 31+ 6i - 2L

= !, *

l'l = <lf.rlf -r-lf - t.

6. 1

2_ 7

Ealla¡ un vetor d. orisenP(t,, r\, ,) y .xl¡emo QG,, y,, d,

ü€¡mi¡udo

lucao su módulo.

El vector dc posición de 6 1El r€ctor de posición de "P es r2 = P Q = 12- L = l ' 2 í+ y 2 l + z 2 } )- Q 1 i + r]+2,r,) = l'2' + l ra - r!)i + (2 2 -,,)h. ' 1 \t

Obervesequccat€módulono caotra cosaquela distan. cia e¡tr€ los puntosP y O. ¡.

Sobreu sólido actúa¡ trÉsfu€rzasA, B y C que,e¡ fu¡ciód dc suscomponcntes, vieneÍ dadaspor las€cuacio¡€svectorialcaA : ,1ri + AJ + A¡, B:¿,i + 4¡ + A,r, C: C,i * CJ * C"x. Hallar el módulo de b tue.z¿resült¡n¡c. B = a+B+c: Fuer¿a ¡c3u¡t¿nlr

(/4r+41+c1)t+(42+82+c')t+ (/3+8.+ca)k.

Módufodc la rcsulrante= ffi Este r€sül¡adose puedegÉncraliz¿rfácilment€al c¿so de varias fue¡z¿s. tl. Detcmi¡a¡ 1o3áogulor.! P y / quc cl v.ctor r : xi+r4 +rt y _ lorma cotr los scntidospositivosdc 1o3cjc,sdecoo¡denaal¡s, co8!a+cos"É+cos¡?=1. El triángülo O?lPde la figura ca¡.ctánguloer ,r; por lo r-t"

d. 106tri¡ir$los ñcrán{.t ft Análogrm.nte, -

, : I v c,o s/ = ,,, "o, 1.. --. rcspetúvaÍren&, Asimisrño, r, - r : \/t't yt r or lo ur nt o ,c o 3d /.c o 3 p : .,c o s y= -i , alcdóDde se deduc.n loc valor€s dc los ¿n8ülos o, f y / pcdidos. D€ estls c¡prEiones se obti€¡¿

¡ulG OdP y OCP s! deduc¡¡.

{osia +cocr+cos'/ _xt+r'+2'

:1.

¡63 ¡¡¡¡¡6¡6¡ ¡6s z, cos f, cog ? !€ llaman los .or¿roJ dtr¿.tores del rf;¡tot OP, t,

DctcrmirA¡ rm con uúto dc €c1¡acion.sdc la rccla quc p¡sa por 106punaosP(¡¡, ¡, z) t Q(4 !6 d.

VECTORES Y FSCALARES

sL¡rqyr.106v.ctort dc Do3iclóndc Py O, tspetiv¡ment , y r .l concpondic¡rt ¡ un punto EÉnéricoX d. l¿ rectaPO. rr o bisr¡,PR = t -rr rt +PR rt+PQ o bi.tt, PQ : rr - ¡r -r} Ahor¡ bicn, PR : ¿PO,lkndo r un c6calar.Ibr lo tento, r-¡r : (!' - rJ qlrc es l¿ óc1¡!cióúyrctorial d. h r!c-ta" En coordonadasIectangularcr,co¡no r-: ¡l + , + .t,

. rrl + t r¡, ' t llr2 t . r2 t . . 2 ¡) - (¡rl . t 1 t ' ¿ r¡)l kl'lr-¡¡)-{¡rl = t lt ' 2 + 9 a -t )t + k 2 - z r' t rl (¡-¡r)t+(r-t)l+(' -, r)¡ ';,t Cúro l, L t Do ror coplan¡rioc¡i pardcloc(¡on lineal¡Eerti¡drp.ndi.ntes),s.gún.t t-r

- t(yr-r),

,-4

- 4\-z'\

de l¡ rcct¡, si6do , el psráúfro. Elii

r !6 obtidi.,

f-tt fc- \

D¿dod cúipo g€calardefinidopo¡ {(¡, /, z) - 3¡': - .ry' + 5, haÍ¡r .l vdor d. { €o lós punüor(¿)(0,

(b,(t, -4,2r, (c)(-t, -4, -3t. = (¿) C(o,0,0) 3(o)2 (o - (o x o f + 5 . 0 -0 + 5 6l Q6,-2,21 = 3{rffl}- (1)(-2f + 5 - 6 + 8+ 5 = 19 = 3(-1f(-s) - (-¡)(-2f + 5 = --e - 8+ 5 = -12' (c) ó(-r,-z.-i) \ \

$, R€Fascnt¡r ¡¡áÍ!¡rste

lo! si5¡i.[ta3 c¡spo¡ vlctof¡sbai

(¿)v(¡,r)-.d+/r, (ó)v(ar: -¡t-r,|,

(¿)v(.r,/,r)-.l+ ,i+*,

(¿) En cad¡ F¡nto (r,r), cr(6pto d .l pun¡o (0, O dcl pl.no r/ ..tÁ dd¡ilo lm r¡dor ún¡co ¡I + nódub y'FT¡', cuya rtiÉcción Dasapor .l ori¡ar y *r.ido ¡!.j¡¡dos dc é1.P¡.d .iopli6 rnétodos3¡áfico!. obs¿rv.ñro! qua lodos lo¡ v.ctor6! ¡sociadoi o lo¡ ltuntos do l¡! c r.un¡ tt + lt a', a > 0, ti6n n d. Dodulo ¿. En ls Fig. (¿) 8p¡¡oéDrÉprclontadocl c.¡npo -a uD¡.o¡ c1¡asüótr drtcroí¡¡d¡ clcal¡. ,

VECTORESY ESCALARES

t¡4 F, cste caso. c¿da v€ctor cs i$ial y opr¡csro ¿l co¡rqlpordiente de (4). En la Fig. (ó) se ¡epr$€nta .l c€mpo rEtorial en cuestión. En l¡ Fig. (¿) cl cafipo ticrF cl asp.cto d€ un flüido qüc cmerg. do üna fuénre puntu¿l ¿n O, siguiendo hs dire.c¡ones y se.¡tidd qu€ apa.€cen. Por 6sta ¡arón el @mpo sa lla¡n¡ dc tipo ¡uehte puntual. En l¡ Fig. (á) cl c¡mpo parecc fluir hacia O, por lo que sc llad. de ripo r4ntil¿¡o Dunlua,. En el espacio de t es d¡mc¡sioncs la interpfctación co(€sponale a un ffuido que eúor8e (o d$¡gua) Edialmente de ü¡1afu€nte fo sumid.ro) line¿1. El campo vecto¡ial s¿ ll¿Íu bidirEnional porque cs indcp6ndiente d€ ,. It4 Corlro et módufo dc c^da e.ctor.s \/i¡lir, todos lo5 puntos de l¿ sup.rficie esféric6:1.+ /, + z' : ¿:, con a > O, tiend el mismo vcctor d. posición €uyo módulo es, pr€cisamente,¿. Por co¡sigüiente, .l campo vectorial prqs€nta el aspccto de un fuido qu€ en€r8e de üna fülnte puntuat cn O segt¡n¡od¡s l¿s dircacioncs. Es u¡ ca¡npo d! t¡po /¿¿Ír, puntual cn tr€. dincN¡oncs.

Problemas propueEtoe

E¡dc lar ÍraAnitud6 que secitan dccir cüálcsso¡ csc¿lar.sy cuálesvectoriales.(¿) Enc¡glacinéticá,(¿) intenirád d€l campocléd'ico, (c) entropfa,(d) trabqio,(¿) fucrzaccntrírus¿,(t tcmpc.atur¡,(a) por.nc¡alsravilaerio, (r) carga€lódnca,(l) esf¡¡€rzocorrante,U) frecuencia. (/) cscalar,(s) cs{:¿lar,(}) .sc¿lar,(, \€ctorial, sot (a)esc¿l¿r,(ó) vectorial,(c) esc¿lar,(d) .sc¿lar,(¿)vccto.i¿1, U) es.alar.

L_nav¡ónrccon€ 2m km haci¡ €l O.st€ y luelo lJo km Oestcó0' No.tc. Ha lr) erÁf¡.¡¡n n&, (¿) anali¡icam.rte. iof. Módülo 304,r knr, dirccciónr sentidoOesre25'17' Nortc.

lazamien¡or€sulCmt€

Hallar€l dcsplazañ¡c¡to rcsultant€de los sigui€Dtcs: A, 20 km Estc30" Sur; B, 50 krn háciael O.6to;C, { tm h¿ciael Noresk:D. l0 km Cresl.60' Sul lr¿ Módulom,9 km, dir..rión y sentidoOest¿2l'39' Sur. Dcmost¡a.sáñcrt[Ént¿ q¡¡e-{A - B) : -A

+ B.

Sob.€tln sól¡dopr¡nt¡al en P actúanlas tres fuer¿s coplanaria!qr¡€mü€$trala Fig. (¿). Hall¿. la fuerz¡ qu. .s ne.csarioaplic¡r cn P para mantcDcr€n ¡cposoal sólido dado, So¿ 323lV di&crarnrntc opuost¿a la de i 50 ¡ú. D¡do3 1o3Écton3 A, B, C y D Épr.sertadoó dr le Fig. (ó), construir ol vcctor (?) 3A - 28 - (C - D)

¡r; c + ; ( a - B + 2 D ).

I I

k I

VECTORESY ESCALARES

31. Sea ABCDEF los v¿rlic€s de un s(ágono regular, halla. Ia result¿nte de las fu€rz¡s reprEs@Éq¿s por vecto.€sAB, AC, AD, AE y AF. S¿/. 3 AD.

38, siendoA y B dosv€ctores dcmostrar lasd.siguald¿des(¿) lA + B I= la l+ lB ¡,(ó)l

-B

l¿ tA l-

39. Demostr¿rl¿ dcsigualdadI A + B + C I S I A | + | B | + | C l.

/¡0. Dos cindades.! y A e$án siruadas üna frente a la olra en las dos o¡illas de una ria de 8 km dc archo. si€nd

velocidaddel aguade 4 krn/h- Un hoñbre cn ,.{ qui€reir a Ia ciudad C que seencuenhaa 6 kn aSuas

de, y en su misña ribe¡a. Si la €mb¿rc¡ció¡ qu€ utilüa tiene u¡a velocidad ¡¡áxiÍrz d€ l0 km/h y d.3.. I a Cen €l menor tiémpo posibl€,¿quédir€ccjóndebetorEr y cuántotiempo emplea.¡ conseSuirs-

s¿/. Deb€seguirun¿¡rayectoria rectilln€aformaddoun ánsulode 34'28'conl¿ di.€eión dc l¿ corri I h 25 min.

41. U¡ hombreque s€ dirige haciacl Sur ¿ 15 km/h observaqüe el vierto sopladel Oesto.Aum.nt¡ su a 25 krí/h y le pareceque cl vicnto sopla del Suroeste.Det€minar la v€locidaddet vi€nto asi como su d s¿/. El vionto vien€en la di.€cciónOeste56'18'None a 18 krn/h. 42. U¡ sólidode 10ONdepesopendedclcentrode unacu€rda como se obsera en la figura. Halla¡ la tensión 7 en ;a

,sol. 100N. ,t3. Simplifica. la expresión2A + B + 3C {A - 28 (24 lB C)1. So/.5A-38+C.

y A : (¡ +4/)a 44. S€ana y bdosveclo.es dedistintadhección + (2x+ / + l)by B : (y-, + 2)a+ l2x-3r- l)b. Hallar los valorcsd. : y d€.y d€ maneraquc 3A : 28. So l . r:2 -r:-t.

l mN

¡¡5. EntE lc vatores d€ las bas¿sde dos sistetl6 de coordemdaE s,, ¡, rr y b,, b,. b, €xist n las rcl¡cionca

¡,:2h

+ lb'-b¡,

E¡p.esar €l v@tor F : 3b, -br

¡':b'-2h+2b',

+ 2b, cn fu¡ción de r,, s", s".

2ü!+|''-2b,

Sot. 2¡' + 5.' + 3¡¡.

no co!,lanarios ni paralelos, det€mi¡arsi losv€ctores ¡¡ : 2r - 3b + c, r¡ = 3¡ 4ó. Seá¡¡, b, c iresvectores + 2c,y 13: 4a - 5b + c sonlin.almente independi€nles. S¿/. Comoseve.iñcaIá r€laciónr. : 5r, - 2¡,,solrli¡e¡lmeÍteindep€ndientes. 47. Consruir el paralelográñodadossusvcctor€sdiagonalesA y B. 48. Demostrarque la rect¿que une los puntos mediosde dos lados de un triángulo es paralelaal t.rcar igual a su rnitad (paralelamedia).

49. (¿) DemostrarIa ¡gualdadvectorialO^ + OB + OC : OP + OQ + OR, siendoO un punto interio¡al 1riá¡sulo,4rC y P, 0, I los puntosmediosd€ los ladd ,rr, ¿C, C,{, resp€ctivsment€ (ó) ¿Esci€rta la igualdadsi O es Lrnpunto exterior¿l triáneuio d¿dd?Demostrarlo. So¿ SI. 50. En Ia figura adju.to, ,44C, es un'paralelog¡amoy ? y O los puntos m€diosde los ladosrCy CD, respeclivame¡te. Demostrarque ,{P y,{O dividcn a la di¿sonalt en tres partes iguales m€diante los puntos ¡ y ñ 51. Demostra¡qu.l¡s ñedianas de un triánsulo s. cort¿¡ en ür punto. que e llamá baricentro, a l/l del lado y 2/3 del vértice opuBto s8ún cu&lqu¡era de cllas. f¿. Defilostrd qü€ las bis¿c¡.iccadc 1o3áncrtlos dc u¡ triiá¡gulo s co¡td en un puDto, quc 3allá¡¡ra ilrccDtro y @ffesponde al c€¡t¡o de la circunfcrcnci¡ ioscri¡a al a¡á¡gulo.

53. Dado un lriángulo cu¿lquicra,d.morrar quc exist€otro triángulo cuyos lad6 son iSualcs y paralelos a la! ñe dianasd€ aquel.

VECTORESY ESCALARES S.ú t y q los y€ctores de posición, ¡especto ale u¡ orig€n O, de los punros P y 0, respecrivamenre.por otra trE, 3.a R un punto que dividc al segr¡rentoPO on la rcl¿ción a : r. Demoslra¡ que e¡ v€€lor de posición rD -f ¡¡q ' t viÍc dado por r in&p€ñdicnbenentc del oflsen elesido. ; ;: :I- t o r¡, !., ...,I, los vectorcsalc posición!respeciode un oigen O, de las rnasaspu.tuate52,,, ah, .,., n,, .E5Í.íivamcnte. Deñostrar qu€ .l vector de posición del contro de nasas vi€ne d¿do Do¡ :l

|liat

Ls.a

ñ7r| + ñ2r2 + ,.. + nn n

rod.p.odiontemcntldel

origon elcgido.

Í.

E¡ Losvérticrs d€ un cuadril¿tcro,A(-L -2,2r, D(3,2,-l). C(t, -2,4t. y D(3, t,2), se colocan.nasa3 é l,2,3 y 4 unidades,respectivamcntc. Hallar las coordcnadasdel cenl¡o de masasde dicho sisterna. 5! ¿ _ ( 2, 0, 2) .

!f-

D.f,osuar qu€ la €cuación do un plano que pas¿ por lres punlos dados ,-1,r; C, no alineados, d€ veclofes dc ¡oslión rcsp€ctivos r, b, c resfrecto de uD oricpn o, viene dada por

p.+,b+pc

rl. l l i .

l. _ L . l* , ] * l^ -l

) \

L i\ + :

¡¡¡do ,1, tr,p esqlarescualesquicra.Comprobarquedicha€.uaciónesindependi.nlcd€l o¡ican-elegido. /

, '

i¡'Lo.v€ctorcsal€posicióndelospuntosPyOso¡,r.spcctivameóle,r,r-2i ]j3l+k,y¡,:4'i:lj+2k. so/. 2l-ól +¡k,7.' Derermina¡ €l v€ctorPQ en funcióndei, j, k y hallarsu módulo.

h"i"*'

B = -2t + 4j 3k, C: i + 2J-k, hall¡r Seo¿o¡.::¡-l-4k, {') 2A - E + 3c, (ó) | A + B + C l, (c) I 3A - 28 + 4c l, (d) un vecto¡unilarioconla e.u (.)/lss = 19,9t ,^la d€f3A-28+4c. Sor. (¿)lti-sL lbt \./ü

28+4C t9.95

F,:2i + 3j-5k' F 1sobrc un sólidopuntualen P actúanlasfuerz¿s -5i + J + lk, F,: i -2j + 4k, r. : 4t - 3i - 2k, riedidasen n *tons (N). Hallar (¿) la fuerza¡esultante,(¿)el ¡nódulode dicharesultante. sol (a) 2t- L Q\2,uN. si losvector€s dadossono no lin€almente ¡ndependiontes determinar ¡- En cadaunode losdoscasossigui€ntos, : : : = k'C - 3i + 2i-k. i-4I'C 4i + 3j k'(ó) A t-3i + 2I'B 2l-4j 1d)A : 2l +l-3lqB Sor. (¿) line¡hut dcpendientls,(ú) li¡€alEnre indep€nd¡entes. C- Demost.ar qu€ cada cuatro vectorescn ües dim€nsionesd€b€nser linealmentcd€p€ddi€nl€s. g- Dernosirarquela condicrón¡ec$aria y suficientepara¡¡uclo3v€ctoresA : ,41i+ /¡l _l_ ,'1.k,B : 4i + ¿,i + ,¡k,

si.

li, !",1"\

esquecl dererm inanr€ independieñres c:c¡l+CJ+csk, sea¡li¡ealmentc lál i, i" | '*al't.t"cccero. que106iEctoresA :3i +t-2k, B: -l + 3¡ + 4¡, C:4¡ - 2i- 6¡ puedens$loslados ar (¿) Democt¡ar dedichotriángulo sol.2.45;5't4t6.12. de un triárliulo,(á) HaUa.las longiaudddelas&€dianas G, Dado el cámpoescalar4Q,t, 4 - 4rz' + 1ry2-z' s¿r. (¿)36,(ó) ll. f-

+ 2, hallar(a) d(1,-1,-2),(á) /(0, -3, l).

Repre¡cntargráñcanentelos cañpos vectorialesdefinidospo.

=/l -rj , ( . ) v ( r . t , , ). (¿)v(!.r );r¡ -'J . (ó)v (t.r)

##3

Capítulo Productosescqlqry vectoriol PRODUCTO ESCALAR O INTERNO. Dados dos vec¡oresA y B, sr¡ p.oducto o int€rno, A' B, s€ definecomo el productode süsmódulos por el cosenodel ángulo 6 que Por lo lanto. L,B - AB cÁrs9, OS0=" Obsérvcscque A B es un escalar,un número,y no ün v€clor. Las propiedadesdel produclo escalarson: ¡. A.B = B.A 2, A.(B+C) - A.B + A.C 3. a{A B) - (nA) B - A (ng).

Propiedadconmutativa P¡opiedáddislribü1ivadel productocscal¿r ¡espcctode la suma. sie¡Jo ,, un cscalar

(A'B)'

4. t.l = j.j =L.t - 1, 1., = J,¡ = l.i =0 y B = 8ri + AJ + 8.t, S.DadosA = 4t+lei+4t AA

= Ag, + A,B2+ 483

A'A

=a 2 =a 2 +Á '+a 2

B 'B

= a ' - n i+ a i+ a i

sev€rifica,

ó. Si A'B : 0 y ninguno de los vectoreses nulo, ambosson perpendicula¡es. PRODUCTO VECTORIAL O EXTERNO. Dados los vectoresA y B, su producto e,(tcrnoes otro vector C: A x B. El rnódulo de A X B es el produclo de módulos por el seno ánguloI que forman. La direccióDdc C - A ),8 es la p€rpendicularal plano que fo¡man A y B, y sentidoes tal que A, B! y C fornun un triedro a derechas.Por tanto, 'o A xB -,.{3sen09, 0303n siendou un vector unitario que indica la direc.ión y sentidodel prodüclo A x B. Si A: si A ti€nela mismadirecciónqr.¡eB, sen0 0, co¡ lo que A x B 0. -

B, o

Las propi€dadesdel producto vectorialson:

.1.axa - -BxÁ 2. Ax (B +c) - AxB + Axc 3. n(AxB) = ('A)xB 4, i x l = j x j

= k rk

(No goza de l¿ pfopiedad oonmutatila.) P ropi edaddi stri bul i va del product o vcct or ial respectode l ¿ suma = Ar (DB) = (A x B )n , si endo,) uD cscal ar.

.0,

5. D a d o s A = l 1 i + Á; + ,\k

l xj = k, r

j xk-i ,

k:i = j

B - B i i 1B ,i + 4k, l6

s¿ \,cfi ri c¡.

PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAI

itk a1 A2 A 3

A tB

B1 82 B. ']_

El roódülode A x B repr€senta el ár€adel páralelogramode lado A y B. Í A x B - 0, y nirguno de los vecloreses nulo. ambostjenenia misma di¡ección.

IIODUCTOS TRIPLES. Por medio dc productos escalaresy vectorialesde tres vcctores, L 3 c. s€ püedenformar p¡oductosde la forma (A-B)C, A'(B x C) y A x(B x c). se vcrific¡¡ |¡qicdades siguientes:

: '{r. B) c + A( 8 . C) de un paraleleplpedo : -r.(B x C): B'(C x A): C. (A x B): volumen dearistas A, By C .Dn signopositivoo negativosegúnquc A,By C formen un triedro á dereohaso ¿ izquierdas. s A :,11¡+,r'i +,{g|(,B:4i +4l +tL y c : qi + crj + c¡' A1 A 2 A 3

A .(B xc)

c! c, c. (El producto vcctorial no goza dc la propieded asoc¡lriva.)

:- ,^x (Bxc) I (Ax B) xc ! -4' (Bxc) = (A.c)B-(A.B)c 'i-{xB)xC = (A.c)B - (B.c)A

q producto A . (B x C) se l1¿Í]á tt¡ple ptoducto escalar y se rep¡csenta por [AnCl: El producto ,l x C) recibeel nombre de liple prcrlLtto vectoríal. ¡¡ el producto A .(B x c) se püeden omiti¡ los paréDtesisy esc.ibi¡ A 'B x c (Problema 4l). ábargo, €stono se puedehacaren el producto A x (B X C) (véanselos Problcmas29 y 47).

S¡STEMAS DE VECTORES RECIPROCOS. Dos sistemasde vectores¡,b,c ¡' ¡' C .¡

a ' .c

l b'b'= c ' c' = = b ' . a = b ' .c = c' . a = c' .b

y ¡',b',c'

= 0

l¿ condición¡eccssriay suficie¡tepara que los sisteúasde vecloresa,b,c y ¡',b',c', ,

a bvc

t 0.

b /c i. bx.

c va

(problernas 53 y 54)

r,": -

; f .

i, l ¡

i" 1 -=

-J

seanrecl.

':-=-

?RODUCITOS ESCALAR Y VECIORIAL

Problema¡ resueltoe PRODUCTO ESCA¡JAR l. Deftostr¿rqueA.B : B. A. A.B:/Acos0:A/co€0:B'A Por consiguiente,et productoos.al¡r gozade Ia propiédadconmut¡tiva. 2, Dcmosúarqw A.b cs igual ¡ l¡ proyección dc A sobrBB, siendob el véctorur¡¡taiocn Ia di¡Ección de B. v senr¡do Co¡üo indic¿ la fisur¿, los plaros pcrpe¡diq¡lares ¿ B trazado3por €l origa y cl ¿lt¡€mo de A corr¿n a aquA Gnbs puntosG y ¡I, ¡.sp€ctivañ€nt€,po¡ lo tanto, PfoyeccióndcAsobroB:Cn:EF-Ac¡60:A.b quoA.(B + C):A'B 3. DemostrAr

+A.C,

-i

i |

'r---.-á

54¿ ¡ el v.4tor ünirario en la dir€c¡ión y s.ntido de A, Proye4ciónde (B + C) sobreA : proy€cciónd€ B sobr€A + proy€.ciónde C aobreA

(B +C ).r :B r + C.¡ Multiplicado por ,,1,

(B + c) ,!¡ : B ' ,,{¡+ c . ,{s (E +C ).A:B,A + C,A Teniendo m cü.nl¡

!¡ propiedaal conrhubriva dcl prodr¡cto

A .(B + C) : A , B + A . C luego .l produclo esc¿lar goza dc la propicdad disiributiv8 f€sp€cto de la suma.

qw (A + B),(C + D) A.C + A.D + B-C + B.D. 4. I}mostr¿r = A . C+ A . D + B C + B ' Dolproblena 3,(A + B ). (c + D) : A . (c + D)+ 8 . (c + D) Luogoel productoe!.ala¡ sozad€ la propiedadosdel ágebm ordin.ria.

€s.alarcs 5. Halla¡los prodr¡ctos siguié¡rbs:

r'l r.r = l rl l rl (ó ) l .I

o ' = ( l) { r ) ( 1-) 1 -. c o s 90- - (l )(r)(0) . 0

r.l r.l . l.l lll

. )o m' = (r)(r)(o

= -3 (d) l.{2i-3J+I) =- "2j l-3J.J +l.lt = 0-3+0 (¿) (2t-l).{3i+I) = 2l . (3r+ r.)- ,. (31+ r) = €l . t + 2t. | - 3l ' I - ,' t = 6 +0-0-0

,6.)i \-,/

q\. B = 8,t + 4i + 4k, deinostra. ^.R +,t.[).(ali +a2j+83¡) A,B = (¡11+,42j

A = A,r+ A,t + A¡

= 6

= A$r+ A2B2+Az

+ 8J +a3[) + 4J.(¡1r+8+4r¡) +,a!t.(8rr+¡,,+S3k) ,,{1t.(alt Arqrt + 1B'.r +,\%r.r + a,BJ-t + a2B2r,,+ 4831.¡ + A.B!r't + 4B2r'.t + ajB.r'

PRODUCTOSESCALARY VECTORIAL

= A&r+ /t282+ a.B. sonnulos, r F i. i = I' j : k. k - I y todoslosdcñft produclotcsc¡lar€s : \/-A'J,+,+,1'. +,{t, + .r'r, ricooctr¿rq¡¡,r : y'T.r A ' A (,1)(,1, co3a' = A'. l"tryD, A - yti A. Ta.nbién, A.A : (/tl +,rJ + A*),(Ai + )tl + I,tt oA:,lri

ri-''>

: (A)(a') + (A')(A'\+ (A)(A,) Ai + ,ti + s" -

Foblefna 6, ton¡ndo B - A.

lo-¡ano, ; : VT .r - \/4:+

elrtódulo d6 A. AlsünasvÉcesA.A 36 rcp$s€nt¿por A..

4+4es

¿ -

¿'6

a : !i l2r-L E rhr et ánsutofoÍn¡do po¡ losv€ctorcs

y a-6i

A" - ü

-tt-?'

AR.60, ,t - \/6 +@¡ eÚ : t, B - ^//(6r'+ (-3r' + (21:1 ^.8: : (2)(O+ e)(-3) + (-r)(2) : 12- 6 - 2 = 4 ^.8

Porror¿nto, co!,- +P : óOr: f

= o,uos. * a.

t s¡ A . B : 0 y ,1 y ¡ so¡ dbtintos dc cÉro,demolr¿¡ qu. A cap€rlendiculara B. Si A.B :,{acor t

sir 0, mtonccscos0 - 0, osóa,0:9O'. Reclprocament€,

90', A B:0.

a-Ha.ll¡r.lv¡lord.¿dcform¡q'¡cA:2i+d+ry8-41-2¡-2¡s€¡np.rpcrdicul¡¡t6.

Del probleñ¡ 9, A y B ton F¡p€o.liorlat6 s¡ A 'B = 0. (2)(4) + (d) (-2) + (I)(-2) 8Por lo t¡Dto, A'B -

t l*

quc 106itaiolü A:3i-2r+k' tt. DÉúostra¡

2o-2

B:l-3r+5k'

- o,.lG do'tdÉ,¿ - t.

C:2i+¡-41

tonn¿nün triángr¡lo

Dcmoatremo.,on prioar lüg¡r, quo los v.clor$ for¡Bn triángülo. ¿

B'D

(ó)

(¿)

i4Fur'¡

De las ngr¡ras66déduc¿queello ocü.re si

\ i\

i. ;1

t.- ¿ L

(¿) uro.te los r€ctorcs, por cjdnplo (3), €s la ¡¿sultá¡t dc los otros dos (1) y (2). (ó) I¡ Esult¡rl. dc los vcctorB (l) + (2) + (1) ér cl vector nulo. Co¡no i¡di@ lás figurás, pued. ocuri¡ quc doc v€ctorB tcnlM cl €sctmo cotntrn, o bien, quc ninSuno de los extrE nos co¡ricid¿n' Er ¡u€st.o ca¡o 6 t¡ivial qu. A : b I c y, por lo tanto, los v.ctore, forfná¡ triá¡8¡tlo.

.J, ] I

coño A . B = (3)(l) + (-2) (-3) + (r) (s) : 14, A . C : (3)(2)+ (-2) (l) + (r) (--4) : 0, y B'c:(l)(2)+(-3)(l)+(t(--4':-2l,scd.duccqueAvcsoÍperPendicular$vqueelkiánsulo. es r€cEnsuro.

--'-'-'-PRODUCTOSESCAIAR Y VECTORIAL

quc forma el vecrorA : 3i - ó¡ + 2k con los ejascoo¡denados, _rá1, Hallar los ánsulos Soano, É, / los ángülosquefo¡rñ¿nA con los somicj€spositivos¡, /, r€sp€crivañenrc. ", A t: (A)(t) cosa = ",/ a¡ 11-e¡ 1 1z¡ cosa : 7 coso A.¡ :(3¡_6i +?k).i : 3i.l_ój.l * 2k.t : 3 Porlo t¿nlo,cosd : 3/7 : 0,4286, d. dond€a : 64,ó.raproxim¿damente, Análoraft€nt€, cosÉ = -617, P : I49",de donde.cosy : 217,r = 73,4o. Los cos.nosd. d, B,y ,,3¿ llatuar,.osenosdircctotetde A (problerna27, CapíauloI). J 13. Halfarla f'rorcccióndelilctorA:

t-2i

deB:41-4i + k sesúnla di¡ección

Elv€ctor udr¡'ioenradif.cción dcBe b: r sertido

+ jk,

f, r- f, ; + !*.

iaffi-

proyección dca sobnelvécror B : A. b : (t- A + D. (+t - +t + +k)

- or(f)+t-a(-*) nor(l) :'r1 :''" ,,/4. o"¡n**,

.l t€or€rhaitel cosenoile un t¡iánsulo €uarqu¡e¡.

En la Fis. (¿) inferior, B+C-/{, Lu.go

c. c:

o bi€n, C : A-8, (A-B).(A-B): A.A + B B-2A.B cr:

Ar + B. _L1Bcos0.

AU Ftg.(d)

.)rs-Dedlostrar

Fl¿.

que las diiasonalas do un rombo son perpendicula¡G.

oQ...OP+PQ-A+B oR+RP -OP, obie¡, B+RP:A, Luoso oQ-RP:

(Fis. (¿).)

dedonde, RP:A-B

(A + B) (A-B):,{:-a!:o.

yaqueA:B.

Po¡ consieuie¡t!, Oq ¡s pcrpendicula¡a Rp. -/ 16. Hall¡r el vector u¡ritario perp€ndicular at plano formado por A : 2i - 6j - 3k y B : _4i + 3j - k. Se¡ C = .rl + c't J- cak un vector pe.pendicula.&l pl¡no form¡do por A y B. El vec(or C €s p€rpend i c u l a ra A y a B . L u .e o ,

I ¡

tf l'

¡41

ü.&.

C'A 2c,-6c, e .B:4.¡+ 3.r-

3.¡ : 0, o s€a, (1) 2¿,- 6., : 3., c,:0,

o sca, (?) 4c, + 3c¿:

PRODUCTOSESCALARY VECTORIAL ffi¡do.l ú4r

.r ¿, = _ !" ; , d i.ctor un¡lario en la di¡ec.ión y s€ntidodc C es sircma romado por (.¿)y (2): q =

c c

. =

""rlr - |; - rr.

¿3(;r-á,+¡)

."'trlf.r-{r+rrf)

&.t l¡abaiorBlir¿do po.la fuer¿aF:2i (Fis.(¿),) f: r:?i-5r.

1 (; ¡ -; l

+ ; r).

. ¡ ¿J ,f.

un sólidopuntuala lo larsodelvcctor -l - k al desplazar

Tabajo Ealizado = (nódülo de la fuez¡ en la dirección y sentido dol movimiento) (d.splazami&to) :(rc o s ,)(/)= F ¡

: (2i- j-k). (3 r + 2 j_ 5 r) - 6 '2 + 5 : 9. 't,')

E lbr la ocu¡cióndelpla¡o p¿rpendícülar al r€ctorA : 2l + 3j + 6k y qucpssapo¡ el extntfio det v€ctor f: i + 5¡+ lk, (Fig,(r),) Sear el vector d€ posición del punto P, y O cl ertrerho de Bp€rDondicula¡. ComoPQ: B-..s A,(B-r).A 0, o s.¿,r.A - B.A cs ta ecuación vectorial ¡H plano buscado.En coord€¡adas rc.tangula.es,

(ri+/,+zk) (2¡+3j+6k) : (i + 5 J+ 3 k )-(2 i+ 3 j + 6 k ) 2x +3r +62: O)(2)+(5)(3)+ (3)(6): 35 En cl probleña 18, hall¿r la distancia del o.iepn ¿l plano. La dista¡cja del oris€n al pla¡o os isual a la proyecaión de B sobre A. El v€ctor unit¡rio er Ia dir€ccióny senridoarcAes¡

A = 2i ' 3i | 6k : 2 + ^ )= Jo¡, *.ir, |-i 1:ia;-t. 'rd"

proyección Lueso, dcBsobreA- B .¡ : (i+5j +3 tt\'(2111*3171+617 l - t(2/7)+ 5i3/?)+3(ófD:5. SicndoA un vcctor cualqui€m,demostrarque A : (A Di + (A j)l + (A . k)(. Como A:,4¡i *,4,i * A,k, A i= A;.1+ Ai.í+ A,y.i: y A.¡:r! A¡áloga¡rert€,A l:,r¡ Lueso, A .= lJ + ,lJ + ,,{,1: (A , i)t l- (A 'u + (A 'k)k.

...--\

PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL

PRODUCTO YECIORIAL 21, f,)cñostra¡qüe A x B:

-B

x A,

Flc.(ó)

E l mó d u l o d e Ax B:C e s ,4A sen,ysudi recci ónysenri dosonrai esqueA ,B yC fo¡manu nr ied¡ a derechas(Fig. (a)). Elmódulo deB x A: a izquierdas(Fie. (,t)).

Dest4

sendy su di¡€ccióny sentidoson talesque B, A y D forman un triedn

Por lo tanto D tiene el mismo modulo y dirección que C p€¡o 6 de scotido contrario, es d€ci¡, C - -f) o s e a ,A x B :-Bx A. El produclo vectorialno goza de la propiedadconmutativa. ,/r2. Sicndo A x B - 0 y A y B no rulos, d€mostrarque A es paral€loa B. S i A x B :á 8 s e o 0 u :0 , sc ti erc, sn 0 :0 y 0:0' ó 180' . . r 23 . D e mo s traqr u e lA xB

AxBl+ A' B::

A .B i ¡:l A '

B ¡.

,4, s€nÚu ' + I ,44cosÚ : ,a' t' :

l A :" i B r¡

/l¡1. Hallar los produclosvectorialessiguientesl ',.

= *. (ó ) j x r, = ¡

(f) j xj

,l c ) ¡x j

(.) rtt = J (d ) k x j = -j x l re .¡!j -0

= -l

0 (s) rx¡' r= -rxi - -j : 6l (¡) (2j )x(3h) 6j xl = 6J (i ) (3i )x(-21) = -6l xk I

2l l i -31{,

,-/2s.Demorrar que A r (B+c) : A x B +A x c en aBy támbiéncuando r \-- ..lcasoeóqueAesperpe¡dicülar lo seaa C.

Como A es perpendicularaB, A x B es un vector perlendicular al plano fo.mado por A y B y cuyo módulo es,jA sen 90' : -lr, o s€a,el mód¡lo de ,{8. Estoequilale e mulriplic¿rel lsror B po¡ I y girar el vcclór resulranteu¡1¡¡8ulo de 90' hasta la posicióÍ que se indic¡ en l¿ ñgura. Análos¡menle,A t C es el vector que se obtiene mL¡lliplicandoC pof A y gi.ar el vcctor rcsult¿¡te un ángulo d€ 90' has¡r l¿ polición indrcadaen la figura.

-2t-3[

--5r

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

úisa forma, A x (B + C) esel vccto¡ qr¡. s¿ oblicne al ñutr¡plicar B+CporAygir¿rcl Éhante un ángulodc 90ohast¿la posiciónind¡mdaen ta figu.a. CE A x (B + C) es la diagon¡l del p¡¡alelosrsmo cuyos la¡os sonA ^B yA C . se deducó, ¡.C:O:AxB+AxC, M

qw A x (B+c) :A x B +A x c enel

brÉ¡r h -

c¡ qüe A, B y C no !€an coplaDários ni para-

!ú¡l

D6.omporiendo B en sw compon€ntes,perpendicuhaA, Br, y paralclo¿ A, B , seticns,A: Br * 4,, | ¡-ñ-rdo, alángulofofli¿doporA y B,rl s€nr. k lo tanto, el módl¡lo de A x Br €s ,,{, sen¿,-a es decir, a¡r q!¿ cl de A x B. lá dircc.ió. y scntidodc A x B, E Eñbién la mbm¡s qu6 l¿s de A . B, Por consiti¡ic,AxBr:AxB. A¡á:logar¡rente, 3i se descompo¡é C e¡ los v€ctorcs lc y Cr paral:lo y F¡pendicul¿r, r€sp€c{iv¡ñcn@, a A, robt iene, A C r:A C, (B r+ c!) + (B r,+ cr,) sededK €, T anbien, c omo E + c = B¡+ B l + c ,+ c Í (8 1 + ax c t) = A x(R + C )' A¡or¿ bi¿n Br y Cr son vecior€s perp€ndiculares á A y, scaún el problema 25, Á x (B r + Cr) = A xB r + ^xC 1 = A xB + A xc ^ x (B + C ) $É cxprcs¡ qr¡€ d p¡odüc[o r€lorial goz¡ do la pmpidad disr¡ibutiva .6Fcro dc l¡ surha. Muhipt¡cando p or - l, y & niendo e n c u e n l a c l p ro b l c ma 2 l ,(B+ C )xA :B xA + C rA .Obsé.ve3€queenel prodl¡cto ve€torial h¿y quc te¡€r on cuent¿ €l ord.n d€ loq facto¡€s. Las propi€dad€susu¿lesdel átgebras€pueden ¿plicar ú¡icar¡dnie 3i s€ toman los vectores e¡ el orde¡ élablecido. I

v- Si.ndo A =^1i +A2i+hk AxB

: -

queAx B = 9 = Bl + B.l I R¡, d€mostrar

( r 1 i + /2 1 + ,4 t) x (Arl + A rJ + B 3 t) l1tx(A1t+A2l+r3t) AlB¡xl + qB.lxl

+ ,lrt x (8it + Brj I A3t) + ,la¡ x (Arl + B2j + 8oh)

+ Al¿€Lxr+ A2Bút1+ A28dxi + A28.txÍ + &B\kxt + qB'ttx! + A!¡€txt tj ¡

= (4,4 - A.B,)t + (h4-

Ai.)t

+ UrB, - A2R!)k8t

't.

B = r + 4J- 4, hallar(d) A x B, (¿)BxA, (c)(A+B) x (A-B). a. ll r l | /t. ) l' (21-31:*t (r+4j-2t) = l2 -3 -l ^ | 4-2

Dsdosa-2t-3J-l (o\ a/8.

A2 B.

= . Ii -:l =,oi +sr+11r ,li :il -ll 'l-i -

'if: ,

(2¡- 3t - r) x (l + aJ- 2¡) = 2rx 0 + 4j - 3¡) - 3Jx (t + 4j - 2r) - ¡ x (t + {., 2¡) = 2¡xl + Etxt - 4ix¡ 3Jxt - r2j xf + 6jxI - ¡xr - 4tx j + ztx r = 0 + 8¡ + 4' + 3r_ 0 +61_J + 4i +0 = 10t+3J+l1l

PRODUCTOS ESCATáR Y VECTOR'^¿

., ¡ I 4

= (¿)BxA= (r+{¡-2Dx,rr-rr-r, ll

-21

-,ll :?l' ' - ,l-1-11

j.-ll . -ror-o-rr:.

Conpa¡¿n.tooon (¿), A x ! -B x A. ()¡6¿rr€r. qu. ato rquiy¡¡! ¿l @Éd¡ jsuirnt t Si d&EiDantc sc Ffmot¡¡.¡ür d -doc Í!.¡r (fiIaso coluDD.t), .l dltct!¡üim!! canbi¡ d.-tf¡no.

(.) A+r : (21-3t:t) + (l+4J-2t) : 3t +J-31 A-l

= (21-3t-t)-(t+{l-2¡)

= I -lj +¡ h¡c8o (A+B)x(A-B) = (31+J-3Dx(r-1+r) . -l

-'l-z

-31

-lS

rl-¡lr

tl ¡t

r A xA -

rl* r l3 It

A :l [-r+2 t,

(.)

=l'. j, ^'"

B -2 ! + ¡-t ,

(a). aplicendo

h ¡I ¡r (a ) (A x B )x C, (¿ ) a x ( B x

C= i-X + rt ,

t 2

= -l+ ? r+ 5 ¡. ,¡

t¡!¡o (Axa)xc

= -201 6, - 24. -

. a-A rE -rtxl !-0

A xE + B x^-A rl

= -2(r0t+¡r+rlD = -20r-8r-2r¡, t¡i

-!l

: a x (a -B )+ B x (a -a )

(A+a) x (Á-l)

Jp.

-3

(-t+tl+!t) x0-2t+2r) : -

(ó) E xC - l2 r -1 ' \t -2 2

- 0l-ü

-5h

= 2+r +1t- r l.

= -5r-5¡.

IrE¡o AXOxc) = (U-l+t)x(-5r-5D

= l8

r -¡

zl=

l5l+tiJ-l!ü.

0-5-5

Ad pu.* (A x B),x C # A x (E x C} rr.in.lral¡ !.rf clib¡ .mbigi¡od¡d...

¡ar¡¡ir¡d d. t¡dülrr loraor..L c¡ A x¡

/ 30. Dqr¡o.t¡¡¡ qu. cl áf!¡ dr un pñ¡lolotrá¡ro dc tadosA

y¡..

lA x¡1.

¡l¡a r¡¡ p.nlclolr.Do

- !E*L-

-: t A ls ,

iB ¡

s,$¡

lA )''E-| '

i! qpc d ¡ñ d.l trl¡ryüb qr Obúrti h¡lorAy t..ilml ¡,/. I A x I l.

h.A-+'¡

tinc po.

¡t¡¡l¡r .l ¡n &¡ triÁ¡&doq¡ro. v¿rtic.!lon 106Fudor 4t, f, 4, 4¡¿ -t¡¡,

4f, ¿ f¡:,

rQ -(2- r)r + (-t - 3),+ (r:-2)L- r -41- L Ia' (-¡ - l)¡ + (2- 3)l'+ (3¡:2)I - l¡-l +r -

PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL

E bA

For*Eá 3,O, ui¡¡$¡lo = ¡lPe i PRI

jl(i-ar-r)'

ij -

l-4-r -2

briÉ.

-t

25 {,,}

(-2 r-j + k )l

| " : l - 5 r *r - e kt = r .,G# ;1 ¡ F<; - sP- ¿ lw.

el veclo¡ unilario porp€ndicularal plano fo¡mado por A : 2i -

6j * 3k y B

4l +3J -t.

-l ! B cs un vector perpc¡dicular al plano formado por A y B,

, k li _6 ,axB = -g l2 14 3 -l

= 15i - 10j + 301¡

,{Fe

El vccior ünitario en la dircccióny sentidodc A x B s

I rnulur.rss.fr "^ -¿

y/{15r+(-10r+(30)_

Fl *ctor üni.ario de la mismad¡É.c¡6n y sentidocont¡ario e$(- 3l + 2i - 6t)/7 Cc'oDarar con cl ¡€óultrdo dcl problcrna 16. Eir

el teorerla de los s.nos en trián!¡¡lo plano.

S.a¡ ¡, b y c los lados del t¡i¡h8ülo ,8c que 6e rlen ¡a ñgurai cn ést¿scondiciones ¡ + b + c : 0. Éla por ¡ x, b I, y c x, sucesivam€nt, s. Hiplic¿rdo ¡ x b: b x c :c x ¡ abeiC: b c s fn A

sé¡ C

!¡ib,

C,Gidcrando un tctrecdro d. carasF,, F,, F,F., y sean r: Vb V& V. 106wcto.e6 cuyoañódulos soll, rEspccüv.Et¿, l¡3 áre¡s ds F¡, ¿, F¡, F¡, cüyasdircccion€sson Fp.{dicul¿rcs a dich¿scarasy de séntidohaci¿el .xt€' i. del tel¡aedro-Domootrarqu¿ Vr+Vr+V¡+V. = 0. seSrtn.l proble¡úa 30, cl á¡!¡ dG u¡ triá¡8ulo do rdosRyS$'/'lRxS Lo3 vectorosa¡ociadoscon cadaun¿ d€ lasc¿rasd.l

v' ' j e'r' L uep

v 1+ V 2+ V r+ V4

y¡..r¡,c,

y " = lc x e ,

}

,a stst¡oTrcA '1,

+:+ $=1,?'.?' la(Bt

D€

v 4 = á (c -a )x (! -A )

* [¡'r + ¡'c + c,¡ + tc-^)¡(B-^)] i [.r'r + r"c + c,aa* c'¡ - c'¡ - a'¡ + ¡,.¡]

= ¡.

Estor€lult&do !e puedr gÉncralizars Dn poliedro c€r¡adoy, cn €l casolfifito, a un¡ suporfciocer¡ada Atgün¿ev!co6,cono h.mcr visto c¡ cs& c¿!o, r.sulta conwnicnto asigna¡dtu€ccióny sentidoa un ár€¿, condicionc.d.l Ect¿t €s dccir, consid6rarcor caráctcrvectoria¡a un¿ supcrftie. Se pü€nehablar, en ¿3aas &.a o v.cto¡ superfrcí., I{aih. cl n¡omcototlc üna fr¡cr¿aF Espectodc ün punto ¡. EI rnaub ilel mo¡nentoM d¿ una fi¡cr¿aF resp€ctodc un punro P 6s igual ¿l módülo de la fuerzaF,

-,É-++'

PRODUCTOS ESCALAR Y VECTORIAL

multiplicando po¡ la disiancia dcl pünto P r l¿ di¡Ect¡iz de F. Por Io tanto, Iláma¡üo r al v€ctor quo une P con cl origpd 0 de F. result¡, M : ¡(r sen0) : /Fsen € :

lr x Í |

El sentido de r x F correspo¡d€ al avan@ de un dacacorchos cn ¡ con el s€ntido alc ¡ot¡ción tal quc llcvc ¿ coincidircl prirncr vector con el sogundo por el ñenor de los ángulos que forn¿n (r€gla d.l triedro a dercchas que heños visto ¿nterio¡fncnte), El momento de un veclof se rcpr€santa, €ntorces, por M :rx F .

9\ '\

L--

\---"

at) 6d. Uo sóli.to rlgido gir¡ alredédor de un €je que pasa por O con - u¡¿ volocidld angular@.D€mostr¿rqüe la v.locidad lineal y de utr pr¡oto P del sólido cuyo vcctor d€ posición €s r vi€¡e daila por v : {, x r, siendo @ un vector de módulo o y orya direcció¡ y s€ntido son ¡as &l ¡yanoc de !n sacacorchos que gira en el sentidodel movimienro. Como €l punto P dcscribe urla circunfe¡encia do radio . s€n ,, el ñódulo de la velocidadl¡leal v es @(¡s¡ ,) : lo x.l. Pñ¡ co6igüie¡tc, v es pe.pcndicul¿r ¡ o y e r dc foúa quc r, o y r fo¡men uri tri€dro a d€r€ch¿s. Lu€go v tienc €l misrno módulo, dirección y rcrtido que o x r, es clcci¡, i : o x r. El v€ctor o se ll¡ma rd¿.¡Z¿¡d¿¡f!-

PRODUCTO,STRTPLFS. ../¡1. Oemostr¿rque cl valor absolutoile A .(B x C) 6s igual al volu¡ber de u! pe¡alebptpcdodc ¿rÉtas A,B y C. Scan cl vector unitario pcrpcndicüla.al pa¡a. lclosramo I con la misma dire¡ción y sentidoq e B x C, y á la dislarci¡ del cxlrlmo de A al pa¡a-

I I

Voluñ€n del par¿lelspípodo: (alrura ,) (ftla del par¿lclosr¿mo¡) : (A.n)( lB x C L) : A'{ BxCl'¡}A (BxO SiA,By cr|ofonna¡ün tncal¡o a dclr.lE, A.¡ < 0 yelvolurrloD:lA'(B x C) I. '/ts. s¡ ¡-A,t*Aoln/ok,

B -Blt+Bri+8.k, A. (Bxc)

qu€ c =crt+caj +cak de¡nostrar =

AL A, 4l 81 8' 831

c, c. c.l I

¡l

' " arl A

c\ c2 cal = (a¡ + A2!+ /{,r\. k¿'c"-¡"c")r + (&c'-¡1c.), + (81c'-&c)ll . 4lB2C.- ¡€C2t + A.@sCt- B/C.\ + ,tei¿$r-

82C!) =

,t¡ le A¿l L 82 B.l

PRODUCTOSESCATÁR Y VECTOR¡AL ( 2 -3 j ) . [(i + j -k )x (3 i -k )] D.l Drobl€ma 18. s obliene

2 -3 0 l r I -ll = 4 . ¡ o -rl

t,'.'

[-,I

. i, rd{

' ,( '

7ü ' lq

Olro nétodo- Haciendo oDereionos, ( 21- 3 J ). [i x (3 1 -t) + tx (3 i -t) - ]x(3r-r)l

(2r-3t. [¡ixr - ix[ + 3jxt - jx¡ - 3¡xt + Ixrl

= (2 1 -3 J ).(0 + j - 3 ¡(- ¡ - 3j + 0)

= (21-3t.(-t-2J-3r) = (2)(-1)+ (-3)(-2)+ (0)(-3) = 4.

--t-. l}

D. f , os t r arqueA (B x c ) Del problefn¿38,

= C .(A xB ).

= B.(c x A )

a'(BxC)

4 a rhl

t-1='A t'('r

f\.

¡r82¿¡l c1 c' cal

Teni€ndo cn cuentaque €n un det€rminante si se p.ínut4n €ntn sl dos.llne¿! (filas o colun¡ad

A1 A, 4l LB"B"l=-

t, t i

B"l

c2 ctl

o, a" a.l =

c1 c2 ca

B\ B,

cr c. ^. cal1

t" c"l

B1 82

su valor

c2 c.

B\ 82 8.

Dcm6rrarqüeA. (B x C) = (AxB) C.

Del problcma zl0,

A-(tx C )

= c.(A xD ).

(A xB ).C

En €l prodüctoA (B x C) s pu€ne$¡primir el paiént.sisy oscribirA .B x C, ya que.tr estocasono €xisa€ambisii€dad; e¡ ef€cto,l.s úni@s int ¡prclacionespoliblcs ion dc A . (B x C) y (A B) x C, p.ro estaúlr¡nr¿carec€de 3crtido ya quc no €stád€ñnidoel pfoducto vcctoí5l de u¡ es.al¿rpor u vcctor. diciendoquolos productos La igu¿ldadA (B x C):A xB C sep¡.¡.de exprcsar es.al¡ry voctoris¡, en estascondiciones, son p€rmutables,

Dcmstra. que A.(A x C) = oDel probleña41. A (A x C) = (A x A) 'C : 0.

.6. Deñctmr qu€ la @ndición ¡ec€sáriay suficbnte par¿ qr¡c los rctorEs A, B y C se3ocoplan¡riose3 quc A B C=0. Obs:¡ves€que A B x C no puede8ilnifi*r otÉ cosaqr¡e A (B x C). Si A, B y C aod coplan¡rioa, cl volüñen dcl paraleleplpodo fomado por cllo6 6s igual ¿ ccro. Lucge, s egúnel pr obl e ma3 7 , A B x C = 0 . R€cípro@ftente, si A'B x C : 0, el volum€|l del p¿ral€leplpcdo fodnado po¡ lo3 vccaolEsA, B y C es ccro, y, por Io lanto, Ios v6cior$ son coplandios.

{"1.S ean r ' : ¡ ' i+ ¡ j + ¿ ,k ,

r¡:¡J + /¡l

+4k

y r.:¡J+ rJ+ :,k

Ios w ctorosd€ posi ci ónd€ l os

PRODUCTOSESCAT.ARY VECIORTAL

luntos Pl¡t, /¡, z,), Pd¡!, ¡, zJ, y Plx,. .,¡. :,). Hal'ar lá ecuacióndcl pla¡o qüe pasapor A, & y &. SuporSamosque P,, ¿ y ¡! Do esún ¡lineados,es dccir, que de¡ermi¡ra¡un plano. Sca r : ¡i +, + zt el veclo. do posición de un pünto senérico del plano- Considerddo los v€ctoro3 y P ,P : r-r,,queson PrP , : ¡:-r,, PrP j : rj -.r Dcl problem¡ 43. P,P PrP' x PlP¡ '= O

(.-¡J

G,-r,) x (r¡-rr) -- o

En coordenádas rcctangulares,

l('-.\)t + g-y1Jl + k-,i)rl

.[(¡,-"1)l

+ (73-rl), + ('s-'r)¡]

Ll r [G3-'1)t

o bien,seeúnel problema 18.

/V/r'rs,r Iraüd la €cuadóndolplanofonnadopo¡ lospunrospl2,-1, t), ¿:(3,2.-t) rr : ll + 2i- k, .¡: -i

r,=zt-j+¡,

I-osv¡itores ¡pt= r-rr.

F2pr= r?-ri,

+ li-f 2k y.:-ri-l-.}i pal'r = rs-t

y pl-1,3,2).

+2k.

éstánsiruados enol planopedido,luego

(r-tt). (r2-rr)x(rs-.1)

= 0

[(,-2)r+(t, + 1 )r+ (z -r)¡] - [ i + 3 r-2 r] x [ -3 i+ a r+ k ] = o [('-2)l+(/+ 1 )j+ (¿ -1 )r] . [ ¡u + 5 ¡+ 1 3 ¡] = o = 30. u(¡-2)11(7 + t )+ 1 3 (, -1 ) = o o b ie n ,U¡+ t + 1 3 ' i !

.,/4ó.Seana,lyctosvectoresdeposicióndctospü¡ros¿Oyrtnoaline¿dos.D€mosrrarque¡xb,fb esun voctorperp.trdiculs¡al pl¿nofo.rnadopor ¿ O y -R. r-

LlamernosI al voctor d! posiciónde un pünro 8enéricodet pleo form¿do por P, O y R. lrs vcctores ¡, b-¡ y c - ¡ soncoplan¡riosy, segúnel problema43. (r-¡)

(b-¡)x(c-r)

= 0 obien. (r-.).(¡xh+txc+cx¡).0.

Luego.xD+Dxc+cx¡ espe¡pe¡dicular ¿ r-r i.

47. Demosrra. que: (a) Ax(BxC) (¿)Se¿n a

-¡1t

y tañbiénalp'anoformado por¿ O yR-

= B(a.c)-c(A.B),

(¿) (AxB)xc

=B{A.c)-A(B.c),

+,.{,t+,t.¡, E=Alt+B2r+&¡. c=Crl+C,¡+car.

S c ti c n € Ax (Bx c )

. (A tl + A 2t+ út)

r i

Br B, 4l

(A!t+A2t+&r,xt[B2ca-&c2]t + l4c1-Brc.lt

+ lBlc2-82cLlt)

PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL

rr*l L A" A" l

4r"-r"r, ,"",- u,r"

",""- ",",1

(A2B'C2-AzB2C\-/9¡,3C\ +'l3Alca)l I (4B2Ca-&&Cr- laBrc.+ AL82C!)t + (A$.Cr - A,B{a- A2a2ca + A2B.C2>\ T¡Dbién, B(A. c) - c{Á. B)

(alr + 8r, + 8s¡)(,.{icr+ l,c, + - (CL\+ Cá + cartúlal+ A2B2+&h) ^!C., (A2BLCe+!l3B$o-,14C$2&C$) | + (B2trCr+B214Cs-C2trB\-AhBslt + t4Agr+ hA2C,- CaAl8r-CaA2B,)h

= - c x (^ x B ) = - { A(c , E) - B(c. A )} = B (^.c)-A (a.c) :r tax B ) x c s C de (¿) por C, A y B r€spectivarE¡f€.

habi endosuti rui doA ,B

Obsérves€qu6 A x € x C) r¿(A x B) x C, es d.cir, cl producto rcctorial no go2a d. la propiedad 3--ciativ¿ psra todos los v€ctor$, A, B, C'

= (A'c)(B D) - (a'D)(B c).

D}-:r-..r¡arqu. (AtB)'(cxD)

S€a X = AxB¡ luego D = {a( ,c)-a(B.c)}'t) {(AxB)xc}.

u€l probleña 41, X.(CxD): (xxc).D. ( ^ x B ).(c x D )

(A.c) (8. D) - (^. D)(B.C). s€gún ol p¡obtema 47á). ¡l

lloostrar que: Ax(BxC)

+ Bx(CxA)

+ cx (AxB)

= 0.

Ax(Dxc) = B(^.c)-c(A.B) Bx(cxA) : e(a,A) - A(B.c) Cx(axB) - A(C.B)- B(C.A) soa¡do mi€mbroa ¡r¡iérnbmseobtilnc el tesutiadoD.¡ido Delp¡oblern¿ 47(¿),

que: (AxB) x(cxD) Desostra(

= B(A.cxD)

- A(B.cxD)

= C(A.BxD) - D(A.Bxc).

Dcl pmbL¡n¡41¿), Xx(CxD) : C(¡.r¡) - D(X.c). S.¡ X=AXB; entonoos, (axB)x(cxD)

= c (a )(B. D)- D(Ax B. c) c(a. B xn) - D(4.a xc)

Dcl problems 47(¿),(AxB) xY = A(4.!)-A(B.y). S€¿ Y=cxDi ' (Ax!) x ¿Cxrr) = B(A.CXD)-A(B.Cxn)

*roo"*,/.

. 3€aPC¡ ün triáItsub aeféficoo¡yoa haLos?, {, . sor .rco6 ab clrculo má¡i¡no. Dcdodt¡ar q¡¡o senP

seno - s.n¡R se¡ I

saú¡t

quc la clfor¿ €s d. r¡dio unid¡d, y scaí A, B y C los vccloEs unit¿¡ios traz¡do! d€sdcol SupoDg¿mos c.Dtro O de l¿ $f6ra a lo¡ pu¡tos P, 0 y -R,Blpactivam€nte.Del problem¡ 50, Q)

(A x B) x (A x c) - (4.! x C)A

PRODUCTOSESCALAR Y VECTORIAL Elvóctor ünitario p€rpendiculara A x ByA

por lo quc de (-l) seobliene (2t (3)

x CesA,

s¿o. s€¡q s€nPA (A.B x C)A senI sen4ser'P= A.B x c Por pcrmutáción clcticadep. q, 4 P, Q, R y A,B, C se

(4) (J)

scnpson¡scno: B CxA sebqscnpsan¡ : C'A x B

Coño sesundosmiemb¡osde (3), (4) y (J) son isualcs (problema4O), se¡¡r sEngs¿oP:san, scnr senO:sen4 s¿np scn.¡R seno

lonP

senA

Eat, s. el teor.na d. lot s.¿or de l¡ trigonomctria6férica.

quc: (AxB).(BrC)x(CxA) .:'52.Dcfnoslra¡

(A BxCf.

Delprobl€na 4?(¿), Xr(cxA)

= c(X.A) - A(x.c). Sc¿¡ X=Bxc; entonces, = c(B ic. A) - A(BxC.C) (Exc)x(cxA) = c(A-axc) - a(D.cxc) = c(^.Bxc) (AxB).(RxC) x (CxA) = (AXB).C(A.BxC) = (A: B. c)(A.B x c) = (e.sxC)2

rosv€{lores -/s3. Dados "'

ifi.

u'-

c'=

, dof¡ostfa¡ quc si a' bx c I 0 ,I

(a ¡ a ' .a = b ' .b c ' .c = l , = l .c (ú ) e rb = a ' .c = 0 , d .¡ o, c' .a = = ¿ G n to n c e sCdx (c ) s i ¿ .b x c . c' = 1/I/, (d) a', b', y c' no son coplana¡iossi !, b, y c no lo son. :1

. . lr r .

(0 ) ¡.D

= o .r

bxc

¿.bxc

b.brc

b,b.c

Los otros $lllados se dcducen de forma análoga. También s€ pueden hallar obs¿rvando, ejemplo, que ¡' tienc la misma dir@ción y sentido que b x c y qu€, por lo tanto, debe ser pcrpendic'¡ a b y a c , c o n l o c u a l ,r' . ü : 0 y ¡" c : o. De (¿) y (á) se innere qu€ los sistems de-v€ctores¡' b, c y ¡', b', c' son r€cíprocos.(Proble propuestos104 y 106.)

PRODUCTOSESCAIAR Y VECTORIA!

v (a x !). (bx c)x(c x ¡) --7i-

rtr.go J. ú' c' =

(a.bxc),

= 7 I

seeúnel problcrna52.

rdr Del probi€ma43, si a, b y c no son coDt c on ioc u a r ¡' , b ' y c ' n o * " " o o t-i ;:1 ' .' " tr

' o x c Éo

Lucsodc(' )$deduccque¡" b' xc' + 0

l>moslrar quc todo vector r se pucdeexprcsa.en función de los vectofes¡€ciprocos d€t p¡oblemaj3 en Io

r Delp¡obterna 5

(r.d)¡+

B(a.cxD)_a(B.cxD)

coronce\.

D =

Sea A=¡, D=b, c=c

!18-{g' 4.BrC

(r.b,)b + c.C)c. = C(r.Bx¡r)_D(a.sxc)

B(^ c\ D . crA B, D {.8.C A.B^c

Enes|¿s condiciones,

D=r.

r ' b, c

i.¡rlt ¡.b¡._

..¡¡c

..,",.r."'",

(r.d)¿

rx b

¡.(a.;.crb_

.r.ú,b + a.d'c

r.,".¡;,. i

. '7 -

' s ,' \ " )-.4 ¡!.\j

:\:/

Problemas propue;tog

(it

l . falla r i r ) ¡ .{t+ j).,(h1¡ -2k).{¡ rlL). (. , (2 t _ ¡r r(, . (3 t + 2 i

," :;:','? _ - ,:;::4¡_4_4k ,h¿'hf: ( (at 8. \b A. B, \dt ,o - ," .- ,1,,r^ . r"r. sot.^ t0 )bl -t.t _ ",.,n t4 t9r'! tn krt \/ \/ k, A 9a

t'l';l';'g*'yo'-'o"BiJl1l;;¡' - "^ /' " ' _. / , ,

k )-\

U !

r^,) :

" , b

r-u* v B:4r ri+k,tbrc''4i-2i+4k v D=3/:6t 2t^. ', \ ... " - r .

,Y LP a] ac s év alo re s d .¿ s o n A,d t-2 j l k y B = .2 d i

+ ¿j -ai

pc.rr€n.l i cura.es? S o!.a

59, H¿lla.rlos ánsu¡os.agL¡dosforrudos por ta @ta que uñe los pu¡rc { t. - 3, 2) y (l, s ¿ /. a rcc 6 2 l :t. a rcc o s2 /1 . a .ccos U l ó 4a t2, 4A t2 .70 J¿

j,l)con

2,_l

tos ejescooF

6{). Halla.loscosnos directoresde la recraquc pasapor tospunros(1, 2,-4) 2, ,--4) ' J (\,

Sol. 217,317. -617 ó -zfi,-317,6t7

ó 1 . Dos l¿ dosde ü n r.i d n s u l os o n to s v e c to re A s l i + 61--2k, triá¡au¡o. So/. arc c'x 7tl-3, ü. cos \/ ir/15,90.,

y B .4t_j i 3k. H al tar l os ángutosdct o bi€n, 36.4,, 51.56,, m,

62. Las diasonalesdc un paratelosramoson A:l¡ o¡-¡,, U:t, t- lj -ót. Demosrr¿rque drcho paraI€log.año es u¡ rornbo y h¿ilar süs ánsulo. y Ia toñgrrudd( \u\ trdos: 3ol, 5{ i12, a rc c o s2 l l 7 5 , 1 8 0 .-a rc c o s 2 3 /75. o bi en,4,33,72.8,. 107' j 2,

----1-

12 PRODUCÍOSESCALARY VECTORIAL ' ,(;.. *dg Hallar Ia p¡oyeccióndcl v.¿tor 2i - 3j + 6I sobr€el v€ctor i + 2i +-,2k.

Sot.8l3

f4.¡ Hall¿r la proy€ccióndal v€ctor4i - 3J+ k sobr€l. rc¡ia que p¿sapo. los puntos(2, 3, -1) y (-2, -4, 3,. I S¿¿. t rF:.,siA:4i-J+3kyB:-21+l-2k,hallarclv€ctorunilariop€rpendicular¡AyB. .\ f¿/. +(i 2j*2ky3 óó. Hallarel ánsuloasudoformadopor dosdiagonalca dc un cubo.

Sol. arccosl/3, o bi€n,?o'32'

ó7. Hallarel ve.lorunita.ioparaloloal plsno¡/ y porpcndicula. al vector4i óE. Demost.arqu€ A : (2i - 2l + Xy3, B : (t .f 2J+ 2h)/3y C : (2i t- j mutuamente !€.pendiculares.

s¿/. + (3i + 4j)/5

3¡ + k.

2k)/3 son vectoresunilarios

paradespl¿zer ó9. Halla.el rabajo realizado un cuorpoa lo larsode la ¡€ctaquepasapor(3, 2, -1) y (2,- I , 4) en el campode fuerzasdadopor F : 4l - 3l + 2k. S¿/. 15 70. S€aF un canpo de fuen¡s conslanie.Demost¡arquc .l trabajo realiradoparadesplazarun cuerpoa lo l¿rgo de un poligoñocerado en .stc campocs c¿ro. 71. Demoska.queu¡ ánguloinscrilo€n una scmicúcunfcroncia cs recto. 72. s€a,racD un paralelosrarno. Dcmorrrarquc 71, + a7,

co,

DA,

AC" , BD'.

quo y ¡ y O los punlosnediosde susdiagonales, demostrar 73, Siendo,arCDun cuadri¡átero cu¿lquiera I aD' - 4Pe,

m'-BV-éD'+Di,-Ac Esto es una gprEmlizacióndcl problem¿anterior.

7a. (a) Halla. l. €c¡nción ve.torial del plano pcrpcñdiculara un velor dadoA y quedistap unidadesdel o.igen. (r) Epresar la ecuaciónd€ (¿) cn coordcnad¡sr€clangula6. sol. (¿) r'¡ -p. si€ndon = A/,,1I \bl Aé + 4, I Ar Ap ?5. Scanrr y r' v€ctoresünnariosdcl plano ¡/ qüc forman los ángxlloso y t con €l sdn¡ej€¡ p6itivo-' (¿) Der¡roslrar que.¡:cosol+sln¿1, rt =co6ri +scn/j. (ó) A pani¡ d€ .1 . rr, r€ducn hs fórmulas trigononélicas cos(q-l)

: cosocos, + s.n 4 sénp,

cG(q + t) : cosd cost

wn d senÉ

?ó. Simdor el vecto.dc pos'.ióndc un puntod¿do(¡,,r,, r,), y r €l vectorde posicióndé un pbto cualqüiera (¡,r,r), hallarellusarsoornétrico (ó)G-a).a:0. (c)c-a) r:0. d. ¡ si (a) 1r-¡1-3, so¿ (a) Esfera,centro€n (¡,, t¡, r,) y radio 3. (b) Planoperpendicular a e quc pasapor su lxtremo. (c) Esfera de ceÍt.o cn (rtl2, r'12,,'12) y .adio '¿t/V +-yi i )i, o s€a, L¡na€srerade diámet.o (¿). 7. Si o ¡d oA:3 i I i + 2 I y B : i -2j -4t l os v€ctor€s de posi ci ónde l os puntos?y O resp€ct ¡ vam ent (a) HaUa¡ l¿ ecuacióndcl plano que rrasapo¡ O y €s porpendicular l^ re.ta PQ. ^ (ó) ¿Cuálas la disranciadel punto (-1, l, l) al plano? (b) s o /. (¿ ) (r B ) (A -B):0 , 5 o bi en, 2t + 3t + 6,: -JE t 78. Efegtuarlos productosindicados:

.k,(c)(2t-4k).(+2t,(d){4t+l-2k)\(3i+k),(¿)(2i+j-r)x{li pl zi Bi +xt,tb.(i+2,r (¿) 8i ót. (D 2t-1, (c)8t-41 4k. (l)i-10j-3k, (er2i - lll -7k So1.(¿) so1. 6k, (]¡t 2l-1. (c)8t-4j+4k, t¿' ¡ . loi -ll. (e)2i-111-7k -

2j+4r)

79.SiA:3i-j-2kyB:21+31+k,ha¡lal (o)lAxBl, (¿)(A+28)x(2A-B), (.) l(A+B):(A B). s¿/. r¿r y'1e5. ró) -2Jl -351-55k, (.)2v195 E0.SiA-i-2j-lk, B:21 +l-k y C-i+3j-2k, hallar: (¿)L(AxB)xC, (.) A.(B x C), (.)(A xB) x(BxC) (¿) lA : (B x C) , (d) (a x B).C, (/) (A x B)(B.c) sor. (a) 5 \/ 26, (ó) 3 1/ lO, (c) -m, Q, -20, (¿) -40i - 20j + 2Ot, (/) 35i- 35i + 35k Sl.Demosk¡rque!isev.¡iñcánsimuháncamcntclascondicion.s:(¿)A.B:A.Cy(ó)AxB-AxC, .r-. siendoAt 0, se 1icn.qu. B = C, pcroquc si solos cumpl€una de eltas,e¡.o¡cs B + C nec€sariamenc '!| -El Hallarel ár€adelparal.losramo cuyas diasonales sonA:3i

+J-2k

y B: i-3j

+ 4k.

Sol.5\,/3

PRODUCTOS ESCA¡.AR Y VECTORTAL

ffir.l

¡¡ta ó.f ¡riángulocuyosvérricca sonlospunros(3, -1,2),(1, *1, _3) y (4,_3,.D.

Sot.U2,J¡6s t:l-¡-3kyB:i-2j+k,halla¡u¡v€ctordcmóduto5p€rpendicular¿losvecroresAyB.

rd fei*lo

= = fi

+i + k¡

en cuenta cl problema 75, d.dlcn Ia fómülas

scn{d - }3): send cos, - coso s€nr, scn(a + r) : s€nd cosp + cosd s€np L ¡dD la fuerz¿F : 3t + 2i -4k 6n el punro(1,-t, 2), Hatlarel mom€nrode F respecto d.t punro )r¡l.J). Sot.2i-7i-2k l¡-Ehcidad anrular de un sólido rls¡do qu€ giB-'¿-lrcddor d€ un e.¡€fii, ü€ne dada po¡ o : 4i + , _ 2k. Édla velocid.d llne¡l de un pünto p dcl sót¡do cuyo \4.tor dé poi¡cion nspccro ¿e un punro'dc¡ cF

* r_3i _r .

s ¿ ¿5 i B t _ t 4 r .

x(C+A ). ). h ¡¡i6 i 6 ca c a¡¡((A.l.B) A. r . B.(B ).(B +c) +c)x(c+A h G ua r q u c( ^.8¡c)r¡.b\c) .

t -:

so¿¿ 2A so 2 A Bx.l Bxc | ''-

i, r ' i,' l Ir

la.¡ A.b a. ol 1i lB .¡

B .b u . c l

lc.. c.r c.ol Éi¡.¡_ef volume¡dcr paBlefepipedo cuyasaristassonA = zt-\ t¡¿ 7

ií

l, a ' _l

,J¿ .l

, - i: ) > * - ,

í _j I

+&,cj.+

f,i,

¡i-l

r:r,

bdrA-BxC:0,demostrarquc,o(a)A,ByCaoncoplanariosnosicndocolin€alesdosdocllos, ¡.úrdosdelosvcctoresA,ByCsoncoli¡eales,o(.)lo3!rcsv.croresA,ByCaoncolineales. &ta¡ la cor3t8nt€ ¿ de formagueloswcro.es 2¡ 5.¿ ¿ --4

i*k,i

*2i-jly

3l+aj +5k s€¿ncopEnanos.

f.¡ lrciorcsdcposiciór,con¡especto ¡l orisen,d6tospunt6¿ O y,Rsonr, : 3t -21_k,., ! .' : 2¡ + J- 2k, resp€ctivam€nt!. Ha¡l¡¡ la distancia deP sl pla¡o OOa. So¡. 3 t¡Irar la distancia desde el ponto(6,--4,4)¿ la re.taquepas&por(2,I,2)y (3,-1.4), lLd6 fos pünlos.(2, ¡,3), OU,2,t), R(-1. -\ ,!y ¡S. Sol, \/2

: i + 3!+4r

Sot 3

-2) y S(t, ---4,0),balta¡ la nfnim¡ dista¡ciaent¡! ta! r.ctas

Ihlostfa¡ que las alturasde un l¡iángüio sr coTraneDün p\ñto (ortoc.ntrc). D.dost¡ar quo le3medialricesde ün triÁngulosecorta¡ cn un punto (clf./r¡c¿rrf¿). rñostrar que(A x B).(c x D) +(B x c).(A x D) + (C x A).(B x D) = 0. b POn u¡ ar¡Ángulo€sféíco cuyos,ados¿ 4 . sona.cosdc circuto máxi¡Ío. Dcducir€l te¡)En¡ dcl coscoo é 106iriársulos €sféricos, cosp= cos4cos.- sen4 sanr cosP

&r Frñrut¿ciónclclicad€ laslelras.sod€ducen lórnulassnáloga\params 4 y cosr. (A x B) .(A x c) : (B .at(A.A) -(A . c)(B ,A).1 [¡'d: ln¡erprcter¡osdosmiepbrosde Ia idcDtidad

PRODUCTOS ESCALAR Y \'ECTORIA!

102.Hallarün sislcfnade rlctoresr€ciprocos¿l foÍnado por 2t+3J-t, l-l-2ü,

s ¿ ¿í r ' i r . - i t ' r - ir , tor.si ¡'=

r-.::ro* ".0,".!!1, '

-t+4+21,

- :r + r - á r J=;l*,

= b xc

que dcnrosúa¡

c'.f o = ¡o 1 d '

" ' . r' * "

C' ; "'.b!"'

104. Siendo ., b, c, y r', b', c', tal€s $to ¡' .¡

= r' .c

a' .¡= b1b= c" c= l = D ' .¡. b1c = c1¡

= c1b = 0

demosÍa¡ quc s€ t€riñ@:

¡, - b x c

¡. brc

r, =

. l! , a.Dxc

",=

"Io

105. Demostra¡quc el único s¡stemad. vectoresque cs Éiproco de sl mismo €s cl fo.mado por loc unitar¡osi,i, k, 106. DeEGtrar quosolo¿xisteun sist€r¡adc !€ctoresrcclprccodc uno dadode!€ctoÑs¡o coplanariosni

Capírulo3 Diferencioción vectoriol ¡DA DE UN VECTOR. SeaRlr) un de la v ar ia b l ee ,c á l a r u : e ¡ e s L a sc o !-

l Ei 6

aR = n(¿+ ^¿)-n(r)

_ R(&+A¿)- R(¿) Ae li ^r es el i¡cr€mentode la variableü, como .D la fisur¿adjunta. &F.¿ca del veotorR(¡r)respectodel escalarr se definepor R (! + A ¿) dü

R (¿)

A¿

a r-o a ¿

d limit€.

¡tR dependftanbiénde z, se puedehalla¡de formaanáloga,su derivadarcspecto de ,r ; ." ,.nr"r"nr" W. ffi.

enálogam€nte sepue¿len definirlasderiva¿las d€ ordensr¡perior.

gItI--rS EN EL ESPACIO. Si, en particular, R(r) es el vector de posición (r) qüe une el odgsr i5¡.ma de coorde¡adasco¡ un pu¡to (jr, L z), cualquiera, r(¿) =,(¿)i

+ ylu)i + z<Ljt^

{c) establecela relación ft¡ncional de n, .},y z respectode r. @odo valores a tl. se obtiene distintos valor€s

Lj .l lugar geométrjcode su €xlr€mo es una d €rpdc¡ocuyas ecuacionesparamétricasson

' =r ( ú ) ,

y=y(uJ, .=z(t)

¿¡ conorrones 7;

r(u i ¿u\ - ¡(u\

É la mismadheccióny sentidoque /r, como

enla figllraadjunta.Si€-lr"

"r ;1

r ¿) i:i

*" la dir€cción de la tangente un u."to, f,", "n ,:eaa en el punto (.!, ), z) y viene dado por du

du'

tl¿

du"

¡tú-

'c .aso de que la variable¿ seael trempor, -4 Ia wlocidadinslanfánea \ con la que el ext¡emode r describ€la curva en cuestión.Análo,*

* * **acün

insta tátaa L to taryo de di€ha curv¡.

3ó

DIFERENCiACIONVECTORIAL

CONTINUIDAD yDERTVABILTDAD.

Una funciónescalard(r) escr,¡¡?,raen ¿ sj tim ó(u : é(r), o bien, si para todo númeropositivo< existeotro ó de torma que .

ló(u+¿u)-ó

(,)l<€

paratodo

<ó. l/r Una función\e.roriatRll,r . R,tuti . R¿tu.t¡ | Rswtkc\,anrind en, (scaj¡¡es/(r{,). Rf,) y ,c.rrl, o ¡¡en,ij lin xtu + ¿ut:R(u) Dicho ge ¡i to son tas rre\ I otra manera,R(r) .,-o ,;ñr,.é- ,..: -_, , . para.lodo n¡imeroporirj,o, erisreolro ¿ de formaque

I R(r + /r) - R('])i < .

paratodo 1lu <o.

:ffinltüifi if"r,"j,*r*É,l'.mff :,"r,:fi í**"?rk::llkitlLlxj

TORMULASDE DIRJVACIO\, SeanA' , a- B vv.c n,ñ. , .. ( fün\i^--. iones.^^.^_]-, \ecroriales *"'ulütcs oenvabl€s derivables de un esca .) @u¿ ru¡crone\cardr deri\abte de u ÉD estascondicion€s, l

t. f,or", = df

2. l(^

*r - o.f

'#."

,.9 ro,", = n,^ 8 .f" " + l ¡or'¡=

¿ d-4

-*n,

s .f- r e .u ' "=r o . u, #. o. #""

-f

. r""

o t{n "1 r""¡¡ = e' 1n, f r * a"¡ j} , c ¡ * #, r u". r Con respecloal ordende los t¡ctores,hayque reneren

cuentaqueel producrovectorialno esconm

DERIVAXIAS PARCIALIS Df I]N V¡

'l::: í"'":i; 'Tl:,.i::¿::i:'J:',1ffi1i..; lli,lffi; *t.:,li:l,jl ';ü;;',;:: ¿A

1q!'5¡¡i1¿' o';1,

siexistc este ljmite . Anátogarne¡te,

AA = Um

A (r, T + Ly, zl * A (.,y,2)

A l ¡,i ,

a). é; ¡

a!'o

lim

z + A ¡) -

A (¡.y.¡)

so' las derivadasparciares de A rcspeclodc , y de :, respectivanenr€, siempreque los ¡imiresexhtan_

DIFERENCIACIONYECTORTAL

d€ continuidedy dcrivabilidadde funcionesde una varieblese pued€ngeneralü¡r

ó. dos o másvariables.Por cjcmplo,una d(¡, /) as conlinuaen un punto(.x,/) !i .ú¡-_r- -l,v) : C(¡, J,), o bicn, si par¡ todo núrie¡o positivo . existcotfo ó dc forma t\!

- ¿t\-ó(x,r\l

deñniciones s€ < r pararodo llx | <6 y l/¡ l< ó. Análogas

Gncl caso dc funciones vectorial€s.

el t¿rminoderiv¿ól¿ indicrqu. ls funciónticneprimems &fu¡oones dedoso másvarieblcs de ordensup.rior 6edc6¡lcndc la mismeform¡ quc cn cl cÁlculodifercncialordin¡.io.

a 'A

a.aA .

a'?A

a . a a-

oz '

o f'

a'A ot o,

¿. a a ot

a'A

a za

a .¿ a .

a .a ^.

ot ot

a"^ _ a.!1t-,

ot o2'

parcisl€scontinussde s€gundoordensevcriñca ¡;" cs ¡ndifcrcntc.

o2'

d-*

csdcc¡r,el ordcn

d. la derivaciónparo¡alde vectorcssonanálogasa lasdcl élculo diferenci¡lordineriopqr¡ llcalar€s.Por lo üán(o. dc x. /, :. selienc 6¡A y B soÍ funcioncs

-rr=,r.F* S . ¡

. " r = ^ ' $ - $ '" i, {r|.B)

a ,- aB

- 3 { 3 t,r.¡r}

_^. 9.

ztl:

¿'t '\)'

$ .¡l

?a aa

-s + .s .

DE UN VECTOR. Las fórmulasdc difcrcnciac¡óndc un vcclor 3onaráloras a la3 difcrcncbl ordinario.Por ejemplo, ^ = A J+ Azl

+ 4 1 , enlonces dA = dA ¡+¿A ;l + d ' l. l

¿¡-B).A.dA+dA.B Ja¡B)-AxdB+¿AxB

r A= A(¡,y,,),scricDc dA - *¿'

- #¿

!a,,

,i t,i:

"t".

Constituyeel cstudio de l¡s cuías y supcrfici4 cn el cap¿cio. curvacn el espacio visro. dcñnidapor la función(t¡)¡ seerlnhenros es un veclorm l¡ di. $ & la tang€ntea c. Considerando ¡l escalsr¿ como l¡ longilüd dc arcor medidaa partir da un DI¡ERENChI.

deC dela curva$ esunvecto¡tanglntea cy quallamarlmos T coño scobs.ftaa¡ la ñgur¡, ¿lu

:+'

DTFSRENCIACION VECTORIAL

La v¿riacióD d. T respecto de r es una medida da la ,f¡

cürv¡tu¡a de C y vGne dsd¿ por +. de

direcriórt

en un pruntocu¡iquicra de C ec l¿ correspon-

dienta a la trofmal ¿ la cuwa en dicho punto (Probleme 9). Et vcctor ünitario N er la dirección dc la nonnal se llama ¡o¡mal princípal ta c\rt.la. Asl p\cs, ^ ,(\. siendor la .r¡r¿rr¿rdde C enel punb dado. ; El ¡rclproco de ls olrlvaturo, e : llr sellÁúta.rudío de

EI vccto¡ unitario B definidopor cl productovccto¡ialB : T x N, perpendiculsral

por f y N s€ llam¡ óü¿D¡a, a la cuna. Los vectoresT, N; B to¡maD ur riedro triñectángulo en cu¡lqui€r punto de C. Este sistemÁdc coordenad¿srecibe el nomb¡e de triedrc itlttlnseco en Como a medid¿ que varla r el sist€mas€ desplaza,s€ le co oce oon la denoÍun ci6n de ttiedro r L6s fó¡mulat de heñetseftet güre¡@l: ¿T ¿"

qüe rclacionan los vecto¡ÉsT, N y B con sus dcrivadas, dN

= rB - }(T,

dB = -7N ;;

eDdo¡de €l esc¡la¡ r se ll,amato¡r¡idr. El r€cíproc¡ dc l¡ tonión o : l/r es el rudia d. torsibr. Bl plarc osculadotE lunagurva en un punto ¡ $ el que contien€ a la tangente y ¡ I¿ en P. El plano ñotmal es el que pasa po¡ P y es perpendicular sl plaro tsngente. El p/dro que pasApor P y €s Derp€trdicula¡a Ia rormsl principal.

MECAMCA. El estudiodel movimientode uDapa.tlcula a lo l¿rgode una cürvoesun¿ mecárica que sc denomi¡s chertuúticay e c¡ryo cstudio se ¡plican ¿lgonos conccptos de fereüc¡I. l.¿, dinóñica c6la. Darle de la mecánica oue estudia las fuerzas aolic¿das¿ los ¡ólid<¡s en dovimi€nto. L¿ ley fu¡daür€ntal da la !trecáúic¡ es debids a Newton y exprcsa que la actúa sobrc üD sólido de m¿s¿r¡, desplszándolo s u¡r¿ velocid¿d v¿¡i¡b¡c v, üene dad¿ por

r =fro"t ricndo ,,f el lmpctu o cantidad de movimie o del solido. Si m cs constant , l¡ fórmul¿ a E m bt , siendor Ia ac¡leració¡del sólido. ;; -

DIFERENCTACION VECIORTAL

Problemae resueltos -<¡)l+r,(")j+r(z)ky¡,,,yzfüncionesd€.iv¿bl€sdeun.scal¿r¡rdemostrarqu€

f&'

E - &" -

) 'z ' d ' l;' . 7;^'

¡{' +A{ - R(!)

+4")t *+r('¡ [.fu +A"lr [.(¿ r(u+4")t +,G +Aü)r]- [,(ult +rt,ll + ¿tull]

h - É:* &

-Ét

t i rrll \ ( 'N ' P f ¡¡ l A !l l! ti

)' h

r ( u.A¡ .)-¡(¡)t+ r(¡+41)- /(¿){. . t ¡+ A , t - ¡t ¡1 , -----^ ¡A. A" " '-

.lz + ¿a t;t + 7;r

s . n ¿ l+ c o sr¡ + rf ,rra krl o ¡f ,

rdB l ot n & a , t1 ff| .o t

. jt*'4,- ,ar"*or* ,3r,rr= r "*, =

= : f , t f f t jt - o , - * i t . o , ) I * r 1 t t t . - .o n|. - co sr ,

= /G;'Í

tL\" = '5

r-¿*"')\

= /é,-'rT-i*,j.

s.a., +k

it-u

[.i,'Q""

se mücw a to largo de rDa cuna cuys3 ccuacionca pamméFic¡s son x : e-t, j = 2 cos 3t, !:fi¡¡l¿ Lr 3r. siendo t cl ti€mDo. h¡ su velocidad y sr ac.le.ación cn fuició¡ dcl ticmpo (lcy.ic ¡,€locidad€sy ¡ccL.¿cion s). trü¡ cl ¡nódülo de la velocid¿d y de ¡s ac€leración cn el ifftenio r : 0. g iclor

d€ posició¡ r de l. partlcula .3 r : ¡l + rl + rx .il ¿r = + { -ó l e n 3 /l L ! v €loc idad c sr + 6 cos3tt 7i

+ 2cos 3r¡ + 2 !6n 3rt,

! h a .¿ lenc ión. = d ¿ i = r-,i -1 8 c o s 3 r¡-1 8 s c ¡l rl ¡ ¿.

h c l i r sr a¡ te¡ :0. i

,tt¿

--l

| 6Y yfr

¡-18j. P o rI ora n ro ,

Írffufo do fa r€focidadcn t = O,1/ (-rr, + @, : \/t en ¡ : 0, Viit +Fl8t: d€ la ac€le¡ación V-32r 'nódulo ¡ panicüfase m¡¡.rc ¿ lo I¿rgodé la curv¿ x:2r', r: t -U, z:3, - 5, tundo r el tidrpo. HalI¡¡ ¡úponcriLs d€ la rblocidady dc la acclcració¡en cl instúte t I y €n la dir€cciónl-=ji#*ii.:. -

VECTORIAL DIFERENCIACION

40 Velocidad = L

d¿

= ! ¡2r,1+ (2-4t\!

r 1rr-5)rJ

d¿

= 4l -2J

4 ¡l +(2r-4)J+ 3t

El t¡cctor unitario €n la dir€cción t - 3J + 2t

+ 3¡.

atr= 1.

t -3 r+ 2 1 .

= :J..::]]].& y'qt¡2+q-t¡2+12¡2

,zl-uego la componentc d€ Ia velocidad on la dirección dada es

(4)(1)+ (-2)(-3) + (3)(2) (4t-a +3¡)'(i- 3J+2t) = -------_-=-_y'14 r'A

= Aceteración -

)'-

d.z

¿r

¿. = *Lr¿l+(2t-{)J+3ll d,

= at?l d.'dt

18 {1 4

= 4l+2t + 0 t .

en la dirccción d¿da cs ./La componcnte de Ia acel€ración (4)(l) + (2)(-3) + (0)(2) ({t + 2l + ot).o - 3J + 2t)

-i /14

/-tt

alÁ

vt4

Las ecuacionespara¡tétricas de una curva C son ¡ : ¡(¡), y : Ásr, z: z(s), siendo t la longitud de C medida d€sdeun punto 6jo de €lla, Llamando r al vector d€ posición de un punto gpnérico d€ C, trar quc at/d.r es un vcctor unitario tangpnte a C, ¿¿¿ú< dv dz

El v e c to r f z :4r).

:;(ti

+ .yi + zk):;l

+ + t+

kes tangente a l a curva¡ : d¡ ) , y: y( ¡ ) ,

[

Para d€mosharqu€ su módulo es la unidad, tencmos

et = re|,#f r(:.f= M,d,f 45

tts

(¿s J.

ya que (dr)r = (dt)' + (dy), i (dz)¡ según se estudia en cálculo. Hallsr el ve€tortangcnteunitario en un punto cualquierade lacurya x : ,¡.r16)(.r

rr + I,y : 4t '.:,-:'(á) Hallar. cl v€ctor tangpnte unítario en el punto co[espondiente al instante, : 2, (q) El vector tangente a la curva cn uno de sus puntos es

4;, =

i[(¿2+t)t

+ (r¡-s), +

0r2-6r)t]

Luegool voctortanganie unitariopcdidocs T =

t¿.t

i ,

ffi

r = 1 '4S/,7 t = *.att lCa

(á) En , : ¿ Gl v6tor t¿¡rgpntc unitario cs T _

2tt + 4! + ({r-6)t

dclvcctor * l:ll El módulo

quo,como I Obséncse il

{t+{¡+21 /G). ,G; Qf

= 2¡*?¡*!¡. 3 3 3

y'1. SicndoA y B funcionesderivablcsdc un cscal¡r u, demostrar:

(o t

á t¡'s)

= A. P . 14. s . (t) t(axB) = ¿m tt¡t

^t*

dtt

*" 1! 4v

3,2 :

DIFERENCIACIONVECTORIAL

(4 1.r - ¡t = rn '44):iEl4!)-:-4:-P Au

Al¡-O

o4E-i#@

¿g =

o+."

a.^i

^rim aü - Au a¿-{

\!_7

túo métorlo,Sean A = A].l+ A2l + {t,

ol = ! i,r. !,@t,

* 44.¡ ¡.dB " -

-éi)=

n = Brl + Bzt + Bsl.

{t, r ' n r =Um A¿-0 =

lim A¿-o

Entonces

* A2B2 + AsBsJ

= a,!#, o,'*, afft , ,#r,,

(¡+M)x(g+Ag) Aü

rfat = n''i ff+ , "*'" Jr+, I

rt.

- lxn

axAg+AAx¡+AAxAg

A¡

¿ :loo" * . f' "

= ¡"8 *!!,s

Ot¡o mélodo.

l Jk a l a2 81 82

9 <,r's)= + 4u ítt

A3 Bs

Tcniendoen cuentael teoremado ta de¡ivaciónde determinantes.

¿-P2 d-23

dA du

d.42 dt

¿rl3 du

*.fi * ¿f,t

A = 5 1 2+1r j - ¿ 3 ky B =se n ¡i - co srJ,ha[ar ( a) r r , ( ólr 1<exs) ,G¡ *r O. tA,U.

= f ro."¡ ^.* , #." .

( 5t 21 + rJ -

lÍeoEt

Orro métofu,

¿ ¿(A'8,

,e t).(c o s rl

+ s e nrj )

+ ,senr + lors€nr -

A. B = 5r2s€n, - r coa, .

"o",

(10!t + J -

3r2t).(senrl _ coE ¿r)

= f1sr.- rl cosl1-ii-sen

r¡

por lo tantol

d,-6 - ;it(D r-s e n t - r c o s r) = 5 r' C o8r + 10rs€nf + rS €nt - C ou,

(5¡2- t) cos , + tl, sent

,,¿{a*t)= *d} * ff"n, .

I 5t2 cosr

J r sent

rl -Fl + 0 |

I 10, scn,

, t -coa,

rl -grrl 0 |

DTFERENCIACION VECTORIAL : [f¡s€nrl-f¡cos/l + (5rts€nr - r cos,)k] + [-3r'costi-3rrsenr¡ + (-lO, cosr-s€nr)k] : (t¡ scnt - 3rrcosr)i - (rt cosf + 3r' senr), + (5r¡scn, - s€nt - I l, cosr)k Otrc m¿todo. I J 5t2 t s€n¡ -cos,

Ax B

rl -1,3l = -r3qosri - r3s€n/J+ (-srzcosr- rsen/)k 0 |

x B) : (r' s€nr - 3r'cosr)i - (r. cosr + 3/rs€nr)j + (5rrsen,- I Ir cosf -

Ueeo,S6

@ *e.^) = n.'* * *La.t= ze.df =

2 (s . 21+ rJ - ¿3t).(1011+ J - 3r2k) =

Otro útétodo. Luego,

t . s, = Ftzf

fipilf

+f+r!

+ 1tf + q-t3¡2 =

10019+2 t +1 t B 2slr. + c 2 +t a

= 1s¡¿o + 2t + 6t6.

,/ 9. Siendo A de módulo constante, demostrar que A y dA/d, son perpendicula¡es,siempre que d\ldt I | + O. Como A €s de módulo constante,A. A : constante.

be so , ${A..A. : * #. o: ^' # ".t +

: o.

Asfnues,.l ..$ : o y A esF,rp€ndtcutar a $

40. D emosque trar * ro."

x c): A.B,f

que siempre l#l

+n.fr

x c + f i' n

x c , s ie n d o A,B,c

rivablcs de un escalar u.

D€losproblemas ?(a)y7(b), 4e.fn,,c)

= e.Íufs,c¡ *

.n,.c

= n.tn'jf, * jf 'cl * jf .n'c df. n , , c = e. r ' f * e' f "c * /rl. H"ll"t

i,"'#'#,.

probf€ma Der ro,f,tv ,fi', fr

= -,t'¿r'¿v

d"y

-. dv

d"v

dt"

dté

¿"v d'v -. Y '--; x -:-;-

dt ¿v + _i -.'-x 4t dt

u +u =Y . - : _ x .-. .:_

dv fv

da-

dt-

cll

d'v -:' ;aIta

.la¿

12. U¡a partfcula s€ mucvo de forma que su vector de posición viene dado por r : cos rr,ti + sena,t j, una const¿nto. Demost¡ar que (a) la velocidad v de la panlcula €s perpendicular a r, (ó) la

' DIFERENCIACION VECTORIAL

hacia €l origen y su módulo es p¡oporcional a su distanci¿ al mismo, (c) r x v : vector constant€. -ilila 1 .1 r :

7 - - @s € n @ ri + @ c o s o rtj

S€tiener.v:

lcos@ti + s€nr4rr], [-ro senroli -f úrcos.orl] : (sos @r)(-{, senqrt) + (s€n @r)(¿,cos úrr) : 0

luego, r y Y son pcrpendiculares, d\ dt : -Al : -t" co" tt i - @rs€na" j 77 : -@¡ lcos úr, i + sen úr, I I : ---<,,t

'lll

or)

La acele¡ación tiene, pues, la misma dirección que r p€ro sentido contrario, es decir, está dirigida hacia el origen. Su módulo es p¡oporcional a I r l, que es la distancia al origen. L)

¡ x v:

lcosúrrl + s€n@r¡] x [-@sen@tl +@cos@rll

cos @t -ú,

s€n (l)/

s€n @,

@ cos @,

@(cos¡@/+ s€nrar/)k : @L,vcctof constantc,

Flsicamente, se trata del ñovimi€nto de una partlcula alrededor de una ci¡cunferencia con una vclocidad angufar constante @.L¿ aceleración,dirigida hacia el centro de la circunfe¡encid, I ll"Ía-centrípera.

0 3," = 4 ro'P-4'ur. ^"+ d,t-

d I'

1¡o"#- #'r, = ft<r"fi- XSxst = n , 4 , d 4 , * - t 4"# * 4, . s l d¡' da .ta tlt da tlt' que Dcmostrar

= ooi -

= A !l + A 2 t+ As l .

S ea ¡

0"1=

^.#

- { 4 ,8 ^ ,¿cla':+ ¿l¿'

L \e Eo A

=/E;tr;Á

r u"o3 + u"* - (l¿ - .l a :rn?tn1,,f"r'/"ee,.* ¿4" ¿A^ hd; +A2 i + As i

dA^

ei¡a/z 6l+,e1,+ Otro método.

co m oA.A = f, ft6,'l .t = ftU 't

n*.¡,= zr'# v fto.rt = ^.# fiu"t = ud/ l""e go zr,.ff=u# " n.# = n#. que si A esun v@torconstann, Obsérvcse

= 0, comoen el problema9. ^'#

--------DIFERENCIACION VECTORIAL

15,Si A = 12r2y - ra¡t+ @x!-, sen¡)j+ (r2cosy)k,hallar, +, +, +, ot oy dr' Er o,

&,uo, -

+ ^,

+, dy.

=?4, dx dy

- y*n x¡¡ + S 1,2cosT)r

!é!

(4ry - 4é)l + (y&! - y cosr)J + 2, coay g,

aa ¿/

+ aran-rsenx)¡+

&ru"r-^,

$l,2cos7)r

2,t2| + eerY - sür x) j - :2 seny) k ^2 ÓA

:--:

* j< t * v - r c o s , ) r +

]w r-* 1 t

$,o"*r,,

(4y - L2.'11 + g2ex! +y sen -x)¡ + 2 cosy I

. frrr*rt f,an -*, a ¡ - f,a,xny¡x

^O2 A

O + r2&y I ^2 dA

3'4

.,4,#,

r.2cosl | = z?"x! ! -

*,",,1_l *rrerr-senx)J- $r"2senrrr

= 4 z l + (xy{ ! + { 1 -cosr)j ^ó2A

ta,

,",b

&,*r-{,s)r

= 4x | + (zyex!¡ ¿xl 12

z2 cosl L

+ }<r;;;l-rcosr)J $(2rcosy)r

"*rl!

2rsenyk

zxseny I

= <9* , Obsérvesequ" decir, qu€ el ord€n de la dedvac¡ón no altera el resultado. ** ' d t dz dzü", cierto, en general, sieñpre que A 'tenga derivadas parciales, de primero y segundo orden, continuas.

si SQ,y,zl = rl2z

a = rzi-

Q¡, = 1zy2z\(*z| - xy21+yz2L¡ iOzd (+ A) 2'

$ ;$

Ir J

z2y2z2| - r2!1" ! ! zt3 z3lt

= d 1 x2y2zz1-a2,1azt+ tfszeu

= zt2l 2z 1-

r" f

, + 3xl sz 2|

tOol = j<z"rt", t - x2ya ! + 3ry.z2ky = 4xy2z | - lat' I + lysz2 | ,t^,

Pa ra r= 2 , y = -t,z = 1 i

zy2! + yz2tr,,trattar fóel cnelpunto (2,-L,L). ¡f ox oz

= j<ur""

| - 2'!4 ! + 3!. 22h) = 4t2¿ | - 2y1I

s€obti ene t(-r)2(f)t - 2(_t)41 = 4t _ 2!.

17. Dado el vecto¡ F función de las variablesescalares¡,/,.z,,

y x,r,y

z,asu vez, funcionesde /,

?r Dp dy dF = ?E '1'y l. á ; ¿ , ,tt 7 t ' ¿ ; ¿ -¿ suponicndoque las derivacionesseanDosibles.

'óF

DIFERENCIACION VECTORIAL s-Tngamos que F = Fl(r,/,¿,¡)t + FlPr,r',z,c)l + 4(',y,z,r)k.

Enronces

dD = dF r i + d ,F 2 l + d \k

a¡, = ,?4 [--: dr + +dr ot ot

a¿

+ a=d/ of

t $a, * ! n" , { ' ,

¿r. t * * *r,r, P¡ Ot. Ot

(-¡j o,

hp,

,lay

, pa,l1

,l n " tr

pJ + 3&¡,r" ' r*r Ot

ót

* P¡ * $.u,r, * 19-&, * }&r Fr,r" r$r o, oy ór dz oz dz

= !E r,

* $a"lr , t*0, ,!t,

* $a" * $a, * $a. ou ol oz

?r . ?rd.z.7¡¿l = ---i- . Ol

Oa .t,

r .}s¿z <- -:-

--+

Oz da

DIFERENCIAL IEoostrar las fórmutasde Frenct-s€net@r+

: rN, (á)

{d ComoT . T : l, dcl problema9 sededuceque T .

:,p1N,

: .tB - rT.

G) #

: O,esaecir,

es perpendiculara T,

SoaN GIvectorunitario en la di¡eccióny sentidode $; "o,on**, $ rcrmal pfincipal, K csla cwvaturay Q: l lK.asel radio de curvatura.

e) s€ a B.:rx N,entonc #:,es , * #-t.# I-ueso, r.$:

T.T x

$:0,

x N: r x $

: rN. El vcctor N es la

*"* t n:,,

esdecir,T esoeruendicular a $.

DeB.B:lscdeducequeB.$(oroblemag),esAecir,$esneroendicularaByestÁsituado en ol plano fornado por I y N, p€rtcnc¡eal planodeTyNyes perpendicular aT, esparaleloa N; luego # S Fl vectorB esla órhormal,t esla torsió\y o : llt cs al radio dc torsión. **

: -r0,.

ru"go,$:B. # +ff,rlpX

r¡-'N x r:-,

.2V '1í1 , ./¡\)/ Representar J3.*r,, y -.3se¡,i, lacurv¿.¡ (a)et !':4r y haltar

¡,

.l-. , . , , . - 1 . ,.., 'lll¡

-' '.i-.t2 :riT,ffi,}f,5'f ¿'Í?Jn:ffiifff:ffi1ux,1",":T1'o?i: E-D 1. torsióno. Estacurvae, llaña h¿ltcecirculary se r9prcf¡ta en ta figura.

/lr// U

+,B:,B-.r(T. , Í l* , ¡ tit

Ifl|

tsR

..1 f,l'' "T|

;*H:*#Í#r#.::ifiÍ:;:,?T?"/xi,s::1,1h::""i": w___1u n

h cie tater a ld elcilind;;;,.+ii.:9.,*...,,', ' lE ¡! ! r¡g g ¡9 rrq U4 s u [ , c r. rf f ia , L (a) El v€cto¡de posición dela cunaos dc un puntogenédco

,, ,, ,i. ,

o \

D¡FERENCIACIONVECTORIAL Ssosrl + 3 s€nrj + {rt

¡ ¿r

-3s€ntl+ScoBrJ+4¡

Itil = EE"

Asl puco, T

='#

= ,Gtscn,)t+(3.*,)t;?

=.5

= - $ se n r r + $ co sr r + fr .

$r# = $r-$* "rr + | c o a r t * f r l = - $ c o e ir - f s c n r t tf = tf# = -fr"o",rds *¿senrl jf = rn , lr Sl = l' ll¡ r l = x c on co mo x lo. Lucgo, x

= l#l = GE.*IT[E;"

Do#

= r

, soobtim€ II =:#

=* y p=*=+

= -cosrl -sotrrr.

rrr

= TxN

(c ) B

l- i* , ' , t "o", ál = f s enr r * * "o"r 1 t* $r - cct

- s€n,

da= dt

"o"r t * f . * r t ,

- 7N

-T(-costl

L.o.rr+fsenrt

=t#=

4 - s€nrJ) = ñcoscl

.--

i;s¿trrJ,obie['7=tE

y o=+

quoel radio de curvaturade la ca¡rvacrr¡ras 20. Dernostr¿r paramétrlassor r =r(sl, y = y(s ecrraciones =z(¡)vicncdadopo, p = k*f , 1{4¡' * (*ff'h ' ' ds2' ' ds2' ¡l s2' El vcctor de posición do un punto genéricode la curv& es ¡ = r(s)t + y(¡)J + z(s)¡.

Ln go r=* =Xt* ?"t * t * t *.

= ,<N,conroqucK = I

quo *,*, 21.Demosúar r\

da-

#= #r * 8¿t * #r .

# l= /rF:

,#:

yaquo ,#quodandodcno'trado

,&" = p+.

d,a-

( t= i ,*= ,T - "**.= ,\

"Í : * #-'' n- ((18_-xT)* #n

g.,+'ii=;.;',,.;;,.; í. * *,

= T.((2 7 N¡B -x s t x l' * * f f n rU

KTB - ,ef

= T . 1 r2 rT + rs D¡ =é¡=1

oi.,.i, ,.

DIFERENCIACION VECTORIAL küldo

.,d*'\'

xyz

T = [(r'f

- \ A\ iX, \

en cuentael problrma 20, el rcsultado,sepuedeescribir€n la forma

+ (y')2 + qz"¡21-1 t t z

A''cit

las primas representanLasderivadas res¡rectode r

dc -

h cr¡rvax=c, !=t',

,hallar(a) la curvaturax, (ó) l¿ tonión 7.

"=]f

d E rrctordeposición es r = tl + t2'1+!t"t.'' Por Io ianto, 'i = , * v1 + 2r'k

-, ,_ \t At ^

+ = l' dt+. ' I = yE Q t ' +( n f.@ T ' dtÁ o ¿t dt =

= r r *o

' ' n - ' t' ¡

T =ri e " =t# =t+-u l !u zt'Í,

?t q

+tt't - (\Izrl+u2u$t) - 0+z t2)(ü+

= -

olEV-

Dc (o). N=14!

-l

.2 ¿ l + (l (l-zt')i -z t2 ri - -2¿l

K¿s

(l;-tT--

Eotonces 4I - ¿T/¿' - -: fJ:A--ú!:-A -71+-lz9ds ds/d¡

-q¡i+ Q- 4t2)!+ 4tl

\ \,

--F-trrl

(l + 2t'\'

También, -7N = -r[-2tt

\ir-.

po¡rotanto, B.=rxN = lrt,o, 3-o" #"1

+ (+t2- 2\!-- Ety De aqufouc ds _ +tt

{rv r '\

., ,\' -, \ \--' (\' . l,,\ I ^t'

2t 2

-2 1+2É

\f,

1- 2c2- 2c t + 2tz l + 2t' -

+ (!=4;lt + 2tr

4tl + (4t2- 2)i = --1r;Ef-

= 0."14-t ctslcat

.ts

l.crn,o

= - TN , sc obticn€ T =

4r¡

,-U,_ *f

0bsérvcsc que r = ?- en este caso.

E[a¡ las €cuacion$, \¡ectorial y cartisiana, de la (a) ta¡¡g€¡ttc,(ó) norm¿l principal y (c) binormal a la cuwa ü problema 22 en €l punto corr€spondicnte a f : l. SeanTe, Ne, y Bo los yectores tgngent€, normal principal y binormal en el punto dado. Del problcm¿ 22, To

2 !+ * . r¡b _ = r+-----¡-

., = -2 t-Jl 2k -----Ño

o = ?¡= oo -3 ¿j I -

\' /

{

DIFERENCIACIONVECTORIAL

los vectoresde posición del origen y de un Si A es un voctor dado y ro y r son, rsspectivamente, g€néricode A,el ve€torr-¡o cs paraleloa A y la ecuaciónde A es(r-ro) x A :0.

Por lo tanto:

La ecuaciónde la tangent€es La ecuaciónde la normal principal es La ecuaciónde la normal es

En coordenadas¡ectangulargs,para ¡ : xi * ¡j + ?k, ¡o :i tivamente, 1

y-1 2

z-2/3 2t

x-l -2

r-1

z -2/3 2'

(r - ro) xTo:0 (r - ro) X :N d: O (r - ro) t úo",¡ o

f x-t

¡,*

2 n, estasecuaciones son, , "t-7

z-2/3

(problema28, Capítulo 1). que también se pueden escribir on forma paramétricá.

24. Hallar las ecuaciones,vectorial y cartisiana,del plano (a) osculador,(á) normal y(c) rectificantede la curva los problemas22 y 23 en el punto correspondientea / : l. (a) El plano osculadores el que contienea la tangentey a la normal principal. Si r es el voctor d€ de un punto genéricodel plano y rq el vector de posición del punto correspondientea / : I, r * ro es perpendiculara la binormal Bq en dicho punto, es decir, (r - ro) 'Bo : 0. (ó) El plano normal es perpendicularal vector tangente.erlel punto dado. Luego la ecuación pedida (r-ro )' T o :0 . (c) El pla¡a rectificanteos perpendiculara la normal en el punto dado. La ecuaciónpedida es (r - re) 'No : 0.. Las ecuacionesde (a), (b) y (c) en coordenadasrectangularesson, respectivamente, 2 (x -l \-2 (y -1)+

1(z-2/3)

= 0, = O,

1 (¡-l ) + 2 (y-1) + 2(z-2/3) + 2(2-2/s) = o. -2 l r-r)-r(Y -1 \

En la 6guraestánrepresentados losplanososculador, normal y rectifrcantea la curva C en el punto P.

2s. (a) Demost¡ar que la ecuación¡ : r(2, v) es la correspondientea una superficie. A ta r (ó) _ Demostrarque ¡epresenraun vector normal a la superficie. ' o u --óv' X (c,

-: no¡mal a la siguienta Hallar un yector unita¡io superficie,siendoa > 0,

r : a c o s l l s e ny i + as€n| ]s€nyi + acos vk \o) Si consideramosque a toma un valor fijo 29, entonces r : r(ro, r) representa una curva que la ¡opresentamos por |l : ¡lo. Análogamente,4 : at defineotra curva r : r(zr, v). .d.lvariar r, r : r(¿¡,y) representauna curva que sa mueveen el espaciogenerandouna sup€rñcic^5..Así pues,r : r(¡¡,v)representa una superficiecomo se indica en la ñgura. I-a s c u fv a s u :u o,u:¡-,r,...,p€rtenecenaestasuperfi ci easícomol asr:vo,v - vb, , . A cadavalor de ay v le corresponde un puntode la superficie. Asl pues,lascurvasz : uoy v: por ej6mplo,se cortan en el punto (¡.o, vo) dc la superficie.El par de números(¡.r,v) se llaman

DIFERENCIACION VECTORIAL ¿úca¡ ú rr ECrx

sobrela superficie.Si las familias de curvasa : constantey v : constanteson perp€ndiculares sus puntos de intersección,el sistemacoordenadocuryilíDeose llama ortogonql,En el Capítulo 7 un estudiomás detalladode las coordenadascuryillneas.

t--idcremos un punto P de la superficie s cuqó @¡denadas son(riq, rq), como seindic¿en I t¡¡ra. El reclor Arl Auen el punto P se obderivando r respecto de ¿ manteniendo roi este vector ar/ ¿¿ en 9l -¡ :@nstante: Ero P, es tangentea la curva y : yo en dicho r@¡o- Análogamente,¿r/ Ayen P es un vector ¡4Erite a la curva ? : constante: ¡o. Como rüos vectores, A¡lAu y arlav, son tangentes ,ú .¡ punto P a dos curvas de la superñcie,se úduc€ que también son tangentesa la supe¡Ar Ar t¡ en dicho Dunto. Lueso---: r es un ' ou 7t €or normal a S en P. i -

: -as€n r]seny i + acos ¡¡s€nyi

i -= : a cos¡.lcos!' I + 4sen ll cosr,j -c

senvk k

Entonces,

¿r

- ¿s enas bnv 4 COS¡l COSv

aco s 4 s e n t 4 Sen.¡¡ COSv

-4

Sen v

-a! cos ¡/ sen¡y i - a2sen¡¡ s€n' v ¡ - a, sen y cos u k

r(presentaun vector norrqal a la superficieen un punto cualquiera(¡l, v).

EI vectornormalunitarioseobtiene x$ divi<liendo f

oorsumód"lo,l#

. v 4 ' s e n ' v (s e n 'v + cos' v) :

* f

I, o"aooo.

( a,sen y si senv > 0 I 1 -a' sen y si senr < 0

Luego son los vectoresnormalesunitarios dados por

+ (cos¿ senv I + s€na senv j + cosv k) : * n La superficieen cuestiónestádefinidapor las ecuaciones¡ : ¿cos r s€nvel : a sentsen y, z : ccos r, de las cualesse obtienex' + y" + z' : ¿'que es la ecuaciónde úna esferade radio a. Como r : an, s€ deduceque n :c o s ¿ s e n v i

+ s enrsenv j + cosrk

t o ' \-,4 i' J ,!

cs el vector unilario nonnal exterior N la esf€ra en el punto (a, ,).

No , t z , _ t , 2 ' I l plano tangentea la superficiez:x2+y.enelpunto(1,-1,2), Eallar Ia €cuacióndellPro¡ru6rl¡5!rl.v.l4Jql'l¡Erv¿_¡rJ'wrrvlrJgulv\r'_r'!/'ñ.1.,.1,1

-l*

' r ' 2' i) l

r"'s*¿'--+L

, tn' t-t' )Seanx:¡.t, y:v,z: a¡ + y¡ las ecuaciones de la superficie.El vector dq posiciód\ú ' I fraramétric¿s \. -ú punto cualquiera de ella es | y' )k r: ¡¡i * ¡,j * (u " *

I ,/ ,. .,

DIFERENCIACION VECTORIAL

50 Entonces

af +ov:i + 2¡tk:i -2k

Ar :i + 2 u k :i + 2k. Au

en el punto (1,-1, 2) ,

siendo

Del problema 25, la normal n a la superficie on este punto es Ar

2 k )x (i-2 k ):

" 6u:6+

":á

El vector do posición dcl punto (1, -1,2) R o : i -i

-2 i+ 2 i+ k

* 2k

El v€ctor de posición de un punto genérico del plaoo es R :¡i * ri * zk es perpendicular a |r, Como indica la figura, R-Re luego la ecuación del plano pedido es (R - Ro) ' n : O,

o bien, [Gi+r+zk) - (i - j +2k)l .t-2i+2i+k] : 0 es decir, -2(x - l) + 2(t + l) * (z*2) : 0, o sea, 2 x -2 y -z :2 . MECANICA 27. Demostrar que la aceleración a de una partlcula que se mueve a lo largo de una curva en el espacio-con velocidad v vieoe dada por

,= *r *4 x dtp siendo T el v€ctor tangente unitario

Velocidad v : o bien,

a la curva, N la normal principal

y p el radio dc curvatura.

módulo de v multiplicado por el vector unitario tang€nteT

v : YT dt= dt

D€dvando, DGI prob¡emal8(¿),

dT dt

dl ds

*cla

9 a r ¡ = *raa*,4

" n *cll,

d/ r * ,1$¡

Pof lo tanto,

d¿

xuN = 4 =T

+: =N

Esto indica que la compon€nte de la acaleración en ta dirección d€ la tangente a la curva es dvldt, y la ponentesegltnla normál principal es y!/e. Esta última recibe el nombré de aceleracióncentrípe¿a.En € blema 12 v€rcmos un caso particular de este que nos ocupa. 2E, Sear el vecto¡ de posiciónrespectode un punto O, de una partfculade masarr y F la fuerzaext€lio¡ que sobre la misma; el mom€nto de F resp€ctodo O vien€ dado por M:r x F. Demostrar que M:r siendo H : t x nñ y a la velocidad dc la partfcula. M

)) Pero aú ;(rx¿v)

TXF

= ¡xf ¡rnv) dt

r x fi{nt)

segúnla ley de Newron.

4,^,

¿ ¿r¡v ) + = rx t (, vxmv = r x;(nv)

¡ I .

es decir,

+ 0

u = 4¿ i r r "r "l = *att

l¡

Obsérvesoque la fórmula s€ puedc aplicar tanto cuando nt s€a const¿nte como cuaJrdono lo sca, El

-l

DIFERENCIACION VECTORIAL

-rlui[Ed

cin¿tic¿ y es el montcnto dcl fmpctu. La relación expresa que cl momento aplicado es igual del momento cinético f,or unidad de tiempo.

-rro

sesogareral de un sistemade, partfculasde masasnr,mr,..., d sist€mado fuerzasexterioresR, F¡,,..,

r dt aDt e es M :

mny vwtores de posiciónrr, rr,. . ., rn

F,, el momento cinéticoresultantees H:

b ¡ :t

o Z a k X F ry s e \ ,on¡.^. ^,'- " ' - - 4! ^" dt' & -l

^rr*x

un vector A : A,i + A,l * ,4¡k referido ¿ de coordenadas ¡/z de origen O. Su derivada --

rnd.r a

tiempoff t + # t * #k.calcular ""

de A en un sistemade coordenadasXfZ de oriO- ¡abiendo que el p¡imer sistemagira con respe{to que se mant¡enefijo en cl espacio.

in -rdo, deA ¡especto de # l, t | # l- *" lasderivadas " b fijo y móvil, res¡rcctiva .1ente,demostrar que -

ür v€ctor (o tal oue -!mas dA t

dAt

¿ ; 1 .=

7 ;l

+a ,xA

l4tesentando por D, y D,' los operado¡es deriv¿da sn los sisüemasfijo y móvil, respectivament€,dlmosr¡¡ la equivalencia =

D¡

+ otx

Ea la rotación del primer sisteria respccto del segundo, los vcctores I, j, k varfan con el tiempo. Por lo mto, la derivada de A es

( r)

* ='#, - * r

, *r

+ A, # + e, ¿j+ 4f f

es d€cir,

'ilr= # [ * ',# * n ,f,. n " #

{2)

Como i es un vector unitario, di/d, €s perpendicul¿r a i (problerná 9) y, en consecuencia,está situado rD el plano formado por j y k. Luego,

(3) Análogamente,

(4)

dl dl

dt dt

dk dt

aJ + c'k a¡k + dri c"i *

a¡j

.i : o. nero Derivando i .i : 0, seobtienet. i.fi: $ + ff luego o. :

a¡ de(l), t

#.t

c, de (i);

-6t.

Análosamonte dei .k : o, i. dtÜ+ fi.u: Porlo tanto, ol+"*, a4:

*:o"t-oJ,

o, v d ¡: - a ¡ i d ei,k :0 , t.ff + a j.* : o

S:-..i-".t

DIFERENCIACION VECTORIAL ¡4t !+ td J * 0 4 != t_ A .-3¿, 2d¡ dt

d2A s' )l + (d,!A r- dsl s)J + (d2A 1+ ds42|k

l \42-

qr,e se puedeponer en la forma

Haciendo d," =(D!, -ú2=o)2,

-da

ú7=o4

el determinantese reduce a

rjI (D1

(D2

Cü3

Siendoar = @11+ (D2! + ¿c'1'{ , La magnitud¿, esel vecto¡velocidadangulardel sistemamóvil pecto del fijo.

(ó) Po¡ definición, DIA = # I Dra = De (a).

dA l

;' l"

= ¿"r¡nu¿uen cl sisterna ñjo = <lett"uou en el s¡stemamóv¡l

D.A

= D^A + ¿rxA

de donde se deduce la equivalencia

(Dñ +orx)A

D f = D n+ rnx.

30. En el problema 29, hallar: (¿) la velocidady (ó) la aceleraciónrespe.ctode dos sistemasde refer€ncia. (a) Seael vector A del problema29 el vector de posiciónr de la pa¡tlcula. Aplicando la notación del problema 29 (¿) se obtiene,

Drr : (Dn +Grx)r : ,¿r +.o x r

(1) Pero Dt¡ :

yDÍ :

velocidadde la partícula r€spectodel sistemafijo,

D^r :

tÚn :

yelocidad de la partícula respecto del sist€ma móvil,

o.¡x r : v¿r :

velocidaddel sistemamóvil resp€ctodel fijo.

Entonc€s(/) se puedeponer en la forma

(2)

fttl :,trl ñ+@X f

o bien, (J)

\tÍ:

\D ñ + 1ñf

. . Obsérveseque los papelesde los sistomasmóvil y fijo son intercambiables.En efecto, s€ puede sid€rarque el sistemamóvil p€rmanecefijo y que el fijo se mueverespectode aquel. En esteúltimo no hay más que cambiar el subíndicenr pot f y a por -@, ya que el s€ntido de rotación relativa vierte. Haciendo esto en (2) se deduc€ Ytñ:

\oÍ-tt

que coincide con el ¡esultado anterio¡.

'r¡-i\

Xrr

o bien, Yrrl:

v r l a +o

DIFERENCIACION VECTORIAL

¡¡ b

& la partícularespectod€l sistemañjo es Dfu : Dr(D¡r). Aplicando D/ a los dos miem{L r¡, !'¡.¡¡ndo en cuentala equivalencia demostrada en el problema29(ó) rejulta -Tfñ DADtr): Dr(Dñr+.,t x.) : (D,+ox)(D,¡+o xr) :

D^(Daf +ox¡)

(D,r + o x.)

+oX

: Dz^rI D,,(o x r) +o x DDr+o x(o x ¡) Dlr : D2^r+ 2@x Dñ¡ +(D-or) x r +o x ((,, x r)

rb-

Dlr :

S.z¡ aPl^

E¡oces.

I res-

Dlr

aceleración de la partícula r€sp€cto del sistcma ñjo,

aceleraciónde la partícula respectodel sistemamóvil.

2@ x Dtur+ (Dno) x ¡-l-o

t :

x(o

x r)

acele¡acióndel sistemamóvil respectodel fijo

an lo que

attt :

tdñ + añl| .

En ñuchos de los casosque se presentanen la práctic¿,o es un vector constante,es decir, se trata & un movimiento de rotación uniforme de velocidadaogularconstante,En estascondiciones,Daq, : 0 y t.t

2<o x D¿lr + o X (r, X r) :

2.,t x vñ + o X (G, x ¡)

l,¿ magnitud 20, x tn s€ llama acelercción de Coiolis y o x (.u x r) es la aceleración centrlpeta, Las leyesds Ncwton solo son válidasen el casode s¡srer¿¿s üercrales,esdeciq aquellosque o son fijos, . e¡ movimiento, respectode ot¡o fijo, es r€ctillneo y uniforme. La Tierra no constit¡lyeun sistemaiÁcrclal. por lo cual, es necesariotener en cuenta las fuerzasa que ello da lugar (corioli!, etc.) al efectuar átulos muy precisos.si la masa M de uns partícula €s constante,la segundaley de Newion adquierc b forma familiar

MD2úr :

F -2M(t"

x Dnl) -

Mla x(o

x ¡)l

ca dónde D' repres€nt" dldl e u\ sistemá ligado a la Tiorra y F es la resultante dei sistoma de fuer¿as ^ la particula desdeel exterior. Los dos últimos términos del scgundomiembro Galment€aplicada sobre & (4) son despreciables y en la mayoría de los casosno habrá necesidadde tenerlosen cuánta. La leoría de la relatividad de Ei¡stein ha modiñcado ¡adicalmente los conceptos de movimiento absoluto y, como consecuenciade ella, las leyes de Newton están hoy en día en estado de revisión, perfeccio¡amiento o adaptación.

Problemas propuestos l En do R: Sot

e- t i + t ¡(t'

(a) - i - k,

+ l )i -ta g ,k ,

(á) i + 21, (d \/1,

h a l l a r \a) I, @) 1/ s

,,. drR

ro) ZF ' \c)

",l#l

para¡:0.

llallar la le-yde velocidadesy d€ aceleracionesde una partícula que se mueve a lo largo de la curva x : 2 sen 3r, = : 8r. Idem, de los módulos do Ia velo€idad y acelcración. -¡ 2cos 31, z 5 o /. v : 6 c os3¡ i - 6 s € n3 t j * 8 k , ¡:-l 8 s € n 3 f i - 18cos3ti , Ivl :t0, tl sl :18 Hallar ef vector unitario tangenteen un punto de la curva x : ct cos@t,y : 4 sen@r,z : b, síeadoa, b, e, -q n * n r/.rti + a @ c o s ú rrt+ók constantes. .Sol,

SiendoA : ,¡ i - rj + (27+ 1)k y B:(2f -3)i*f

-rk,

hallar

o I o' n¡,b { <t " R).G,* tA+ Br,(d)* (^ +lpara, : r. "

sot (a)-6, (ó)?j + 3k, (c ) l, (d )i+ 6 r+ 2 k

-r'F---- ¿'

)¡

D¡FE¡RENCIACION VECTORIAL d

35. SiendoA:sen ¡¡l + coszi + ¡k, B:cos ¿i- senrd- 3k,y C:2i+3j - k, hatlar (Bx C)) ¿(Ax Sol. 7l * 6j - 6k,

36. Hallar *".*

siendoAyB funciones de¡ivables de¡.

-#.B)

.io/.

^ #-#.

37. siendoA(r):3¡¡i-(r+a)t+(¡i*2tkyB(t:son,i*3e-'i-3cosrk,frattar${,1

x n)en

Sor. -30i + l4j + 20k

: 6, i - 24t,i+ 4 sent k, hallarA sabiendoqueA : 2i + ty 3S, Siendo $ + : So/. A (r! -, + 2)i + (l - 2r.I + (f - 4 sent)k

: -i - 3k en, : O,

39, Demostrar que r : ¿-t(Cr cos 2t + q s€n 2r), siendo Cr y C' vectoresconstantes,esuna solución de la ,ítr

d i fe re n c i a l *

)¡

+ 5r:0.

-r;

40, Demostrar que la solución generalde la ecuacióndiferencial fr tes. es

+ alh :0,

+2"ff

siendo @y ú,

(a) r: ed(C, ¿ { "'-,' l Crs-y'-"'-or r) si or - a.¡!> 0 (á) r: ed(Cr *n 1/ a,-a, t * C.cos y'7Z7 t) si o¡-úrr < O. (c) r : e{¡(C1 + C¡r) si a'- ú¡r : 0. ' siendo Cr y C! vectores arbitrarios constantes. d2¡

(a )r 4 1 .R e so l ve # -O So/. (a)r: 42. Resolver S

i¡

¡tz¡

¡tr

d,r

*- - 5r :0,( ó) iV + z *- *r :0,( c) fi

Cr¿ú* C,B-t,(b)t:e-'(q+ :*,#

: -t.

+t :0.

Crr),(c)r : Cr cos2f +C'sen2t

Sol. X:

C,cost + Cr senr,Y:

Crsenr-C¡cost

43.Siendo A : cos h^tt^,-T, +, +, ¡/ i * (3xy - zx')i - (3x* 2y)k, a^

S"l. ;:

-J, senxyi+ (3,-4x)¡- 3k,

atl : -y' ax,

'./.

#, #,

fi:-xsanxti+3xi-2k,

ae{ ay,:-r'cosxli,

.. cosxy i - aL

a,A ¿'A -Ax ay : -$il

: -1xt cosxy +'e¡¡

¡14.SiendoA : xryzi-2x2. ! +xztkyB:2zllyi-x*.¡ltallar -5fo; (A x B) en el punto(lp, Sor. -4i - 8¡ ,15.SiendoC' y C' vcctor€sconstantesy I un escalarconstantc,demostrarquc H : ¿-¡¡(Cr sen ll * C¡ parciarc" esla sofuciónde la ccuacióndiferencial en derivadas ff 4ó. Demostrar que A:

^^.t@ <t'r l c ,

'"'

satisfacc a la ecu¿ció "$

;

* # '/

:o.

, siendo poun vector constante,ar y c escalaresconstantese r=

*++:

+ +

en Estaccuación seuülizamucho

GEOMETRIA DIFEREI\¡CIAL 47. Hallar (a) el vector unit¿rio tangonte T, (ó) la curvatura 4 (c) la normal principal N' (d) la binomal torsión z de la cu¡vz x : t - t 13,l : t,, z : | + f.13.

(ü) ¡(:a+}

rr)B :

('I-l)¡-?j+(rr+l)k

+ t') ^/-2(r

DIFERENCIACION VECTORIAL ü

c$¡cio visne dada, en función de la longitud de arco s, por las ecuacionesparamétrigas x:

ú,1 r = -'zr¡

a rc ta g s ,y : l l 2 \/z l n (¡' *

G, f =

-(r-;:_,J'v¿sr

¡1 ¡ = f-!-:-..:á"JJ t rt

l ), z:

r-arc

tagr

, ¡r,

d\¡

@ o="É

u¡ p= "';,i,

¡ cn la cúbica alabeada¡ : I, y : t,, z : t'

*=@r -iP*t-,

(9s1+ 4¿2+ l\3t2 '

3 9 r4 + 9 r2 + 1

que la torsión €n el caso de una curva plana gs z : 0. que el radio de curvatura d€ una curva plaDa dc eeuacionesy : f(x), z : 0, es deci¡, rfla curva

,,,|lÚco et planor/ vienodadopor o = l\'g'fl"t' r ¡ : ac os r ¡ l+ ós€ n rl e l v e c to rd e p o s i c i ó n d e l o spr{l tosdeunacurvay4yóconstantosposi ti vas, l¡ curvatura y el radio dc curvatura de [a misma. Interprüar el caso en que a : á. qbl si ¿ : á, la curva dada, que es una elipse, s€ transforma en una - -:; - - (a'scn'r + b'cos' u)'t' -e ci¡punfe¡encia de radio a y radio de curyatura p : ¿.

oue la curvatuf¿ do ta curva r

vicnedadopor i< = - d0

&rivadas con rcsp€ctoa ,. Demostrarque 7 = !:!r! -

lix Í |"

: o

quelasfórmulasdc Fr?net-serrcts€pu€d€ncscribirenla forma f; x B y hallar o. ,9o1,r,¡ : ,T +,(B

on lacurvar:

i:T;t ,

xr,$:.o -c"

x N.4 'd s

ta que tos punrosindi-

lrl

r(r).

+.*,*

si et parámeto , esla longitud de arco r, d€mostrarwe r = 4!-f,!!-jl

(d- ¡/ d; \-

que <= x r, demostrar

ÉadoQ:r

Q.¡

en la curva.r-- 0 -*n0, y: I -cos 0, z :4w¡¡(012). (3 *+cos0)cos0/2 (3 0 seneP cosd) cos0/2 +Zsenssen6Jz + 2 -------------o-¿cosot ^ r: 9 1 . x:T t1/ ,-:-:------ 'É,r\ 12ms0-4

Edlar ry

" t

,,- LI

y : z : t * ? Razonar la respuesta. EAllar la to$ión do la curva ¡ : #, 1=T' sor. r : 0. La curva cstá situada en el plano x - 3y + 32 : 5. Demostra¡ que las ecuacion€sdc Ia tangente normal ptincipal y binormal de la curva r:r(f) ron, rcspoctivamcnt€, r : ro + tTs, t : re * tN¿, r : re + rBo, siÉndo t un parámctro.

( . el punto t:ro

Hallarlas€cuacionesdela(a)tanepnle,(ó)normalprincipaly(c)bi¡ormalalacurva¡:3cosr,/:3sonr, z : 4t en el punto corr€spondiente z t : tr,

DIFERENCIACION VECTORIAL

.sot.(¿)rangen t e : r: -3 i* 4 " k + t (-|i (á) Normal:¡: -3 i+ 4 r¡+ t i (c) B inorm a r: r: -3 iia z i+ r{ * t -* -)

* )" 0 " " ' x : -3 ' v -- ] ' ',"-u+ ' I ó x : -3 + , , v : 4 " , z : o ' 6 x : -3 , v

:+' + !t,'

!t'

:}t'

:3t - !" y ó 1 . Hallar las etuacioncsde los planos(a) osculador,(á) normal, (c) rectificante,a la curva x (a)v-z z7: o'( c\ l :0' (ó)y + S ol . + l . a r: p u ntocorréspondi énte ,:i r+ r' e n e l : r(a' v) vicnc dada por 62, (a) Demostrarque la dif€rencialde la longitud dc arco en la superficier ds2 = E du2 + 2Fdu¿v + c¿t)2

siendo tr =*.*

=,*r,

=*.*,'

=$.$ =,$r.

(ó) Demostrarque la condición necesariay suñcientepara que el sistemade coordenadascurvilfneas ortogonal es que F = 0.

63. Halla¡ la ecuacióndel plano tangentea la sup€rficiez : x/ €n el punto (2,3,6)'

Sol. 3x + 2y

64. Halla¡ las ecuacionesdel plano tangentey de la normal a la superfrcie4z : x1 - y' en el punto (3',1 So l . 3 x -y

-2 2 : 4t x : 3t' l 3, y : 1 - t' z : Z-2t

},8

65. Demostrarqueel vectorunitarionormala la superfrcier: ¡(¿,v) cs n = t fi{', _ {EC F'

siendoE,

deñnidosen el problema 62. MECAMCA +.G' + 40i + (8r - 3¡¡)k' siendo, : 66, Una particulas€muevea lo largode lacurvar:(t'-4f)i sn el instantet : 2' y su aceleración de normal tangencial los módulosde las componentei So/. Tangencial,i6; normal, l?,1. ¡, el radio de 67. Demostrarque si una particu¡areco[e una curya con ufia velocidadv y una aceleración .! de la trayectoriaes Q : -r,^.1 6E. Un sólido os atraido hacia un punto fijo O con una fuerzaF : f(r)¡,llamada fuerza ce rul, sierl'do de posición del sólido respectode O. Demostrarque r x v : h' siendoh un vector constanle' el mom€nto cinético es constante. 69. Demo3trar que el vector aceleración de una partícula que se mueve a lo larSo de una curva en €l situado siempreen el plano osculador' plano 70, (a) Hallar la aceleraciónen coordenadaspolares(p,{) de una particula que se tfuev€ en el q? iól ¿Cuálesson las componentesde la acéleraciónparalelay perpendiculara

so l .ta )i = l <i - pó' ¡ "o"ó - @ó * zpó1..nÓlr , [<i- pó' ' ¡*n{ * 1pP*zbólco.Ó) t '; $\ - Pó2, Pd" zbó

l: [. J \^

Capítulo4

1 5"

Operocionesdiferencioles Grsdiente, divergencio y rolocionol DIFERENCIAL YECTORIAL NABLA. Se representapor V y se define por -EIADOR

r = rP * l + - 1 3 *p * 3¡ v = 3t ot ot oz o, ot o2

vectorial goz¿de propiedadesanálogasa las de los vectoresordinarios y es de gran utilidad ¡lkación de tres [ragnitudes muy importantes en la práctica denominadasgradlente, divergencia El operador V se le conoce más comrlnmentecon el nombre de operadot nabla, GfADIENTE. Sea la función 4{x, y, z\ definida y deñable en cada uno de los puntos (x, y, z) de cirta región del espacio ({ deñne un campo escalar derivable). El gradiente de {, representado o grad {, viele dado por

*3 *F v o = <ou3¡*3¡ * ro = Pi ¡ *? ór oz or oy oy óz que V{ define un campo vectorial, l: componentede V{ en la direcciónde un vectorunitario a esigual a V{ , ry sellamr derbadade Q dirección de a, o bien, derivadade ó segúns. DMRGENCIA. SeaV(.r, y, z) : Ytl * Vrl + ytk una función definida y derivable en cada uno puntos(.x,y, z) de una cierta regióndel espacio(V deñneun campovectorialderivable). por V'V o div V, vienedad¿por La divergenciade V, representada

V .v = ta¿t*f,i,*v\.ru,t,u.t

9!, ?¡

t 4rt

I ¿v2 + dv3 7z 7y

lr rnaloglaconcl p¡oductoescalarA'B : APL + AzB.* 1"8r. AsimismoV'V + V'V. Obsérvcsc ROTACIONAL. Si Y(.r,¡, z) es un c¡mpo vectorial derivable,el rotacionalde V, representado V x V o rot V, vienedado por

vxv

=,*,.*, lt

+ 3 r)x (lz . t o2 J

a - 1. tu la' l, lv'

I o

6; Y.

+ V -t + Y . \ \

> *----'-'

GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL

-t dl

o ' lj

-l

v, v "l

7r v1

' ¿v" 'oy

oY ll^ V2lI

.¿ v. %tu oy

- *' ".,*- *,t

Obsérveseque en el desarrollodel determinante,los oPeradores $

Zndebenp receder a \, V",

FORMULAS EN LAS QUE INTERYIENE EL OPERADOR V. Sean A y B dos funciones riales derivablesy { y r¿ funcionesescalaresderivablesen todos los puntos (r, /, z) de una regi espacio,en estascondiciones, srad(é+ry') = cradÓ + sradú n 2. V.(n+S) = V.t +V.B , o bien, div(A+B) = divA + divB = VxA + VxB , o bien, rot(A+B) = t'ot A + rot B t 3. Vx(l+¡)

I. V@tr/,) = V{ +V{,obien,

V .<d a l=( Vó) .a+d( V.a) i

5. V x(óA ) = (V ó )x A + @1 V x A 7 V .(axB ) = B . (V x a ) - a . (V x B ) 7. V x (ax B ) = (B . V )A - B (V . A ) - (a ' V )B + a (V ' B ) V (a.s) = ( B ' V )a + (A . V )B + B x (V x a ) + a x (V x B )

- 69.

= ^t4- {4 . {4 v.1v4¡= v"6 ' 722 7x2 - dy' -2?2¡'¡.2 siendoV'f7

't"n .

. #

el operalorde Laplace.

V x (Vó) = 0 . El rotacionatdcl gradientede / escero.

/ \\ ú11. V. (V x A) = O. La divergencia del rotacionalde A escero.

/,t" tz.

Vx(Vx¡)

= VfV.al - V'e

parciales continuas' derivadas En las fórmula9-12,sesuponeque { y A tiene4segundas de referenciar¡z y INYARIANZA. Conside¡emosdos sistenasde coordenadasrectangular€s al otro' girado uno resp€cto (figura adjunta) con el mismo origen O pero con Las coordenadasde un mismo punto P del espacio son (x, y, z) y (x' y' z') respectode cada uno de los sist€mas.La,secuacionesde transformaciónde unascoordenadas en otrasson l ¡x

(.¡)

+ l py

(', t , , )

+ l oz

l 2 1 x+ Ioy+ l r" z \1 x + \ry+ 1" " ¿

los cosqnos errdondeI*, j, k : l, 2, 3 representan de .n,¡l y z directoresde los ejesx'. y! y z' respecto

*,t \ t'' G..\ ¡iL

.l\

CRAD¡ENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

5i los origenesde ambos sistemasde coordenadasno coinciden,las ecuaciones de trans_

rul, u2

x'=

Itx

+ l pY

T'= zt =

lnr

+ I22y + l,a z 1- lef + l¡¡z

lstr

+ l sz

* ai

,oL +4

las coordenadasdel o¡igen O del sistemaxyz r.sqcto delx,y,z,. nes de .transformación(,1)definen.unarotaciónpura y las ecuaciones(2) una rotación generalde un sólidortgido es una tiastaciOnieluiaa Oeuna rotación. t¿s 3l):li-i"*. mación (1) se denomina rambién trunErormaciónortogonal. una transfórrnaciónltñ;iü * tadsformación afín.

ioi) I'n es t

1ñ

:l^11y::9i "::it1

de,punro,o campoescalar4G,y,"), particularizada en un punto

a¡r¡nlqo.Así.po;;je;p6.i;;;;;;;;; A,i:1?^1191":l:-d",1":.g3lg.',"di' z)o,(x', di fo;," t,'..z')delmismo,

ffi;;

dy",i?i;,;;t;ñ;;;ffi;; 1.j":-"::lttotfrr, d" coordenad¿s (x; y, lz) y.g,(x^,, a remperatura temperaru-ia \:.f¡¿ det lnlrnó punto ! 9 \x ,y , y,, z z,)r lla

:-",: !T,f .t . :

mi smo iúnto de ". á" coordenal respecto de otro sistema de referencia, ó(x, y, z\ -_ ,f,(r' . l', * z') nécesariamenle. Si ie ''

retacionaáal'i, ú(t,.y,)-: g'(x',y',2'\estando í,i'y r'';:

ffit.iltTiltt:;::

(l)^oo (2), tación (1) (2.),la.función y, z) la función glx, z't es es tn invarianti invarianti resf*io óLx,y, resrr.r:í.,d; ¿^"dicñtt;ansformación. ¡¡nr,o r¡qncfnm¡¡ix- por D^.

!_+,rl,f + z't,

- lt

z2esinvarianrerespecto de la transformación dá rotación(1), ya q;; ;;+ t;+

Sogamente, una función vectorial de punto, o campo vectorial A(x, y, z) es vrL inva ante A'(x' , y' , z'). Paraello es necesanoque h¡- ;) + A2@,y,2)i + AsQ,y,z')tr, = A:e',,t',i)í + Alrfr',y',lli'+ l',1x,,¡,t¡tt' A\(x,,y,z)i cepltulos 7 y 8 veremos transformacionesmás generalesy ampliaremos los conccptos¿nteriores. r puede.demoslrar (problema4l) que et gradientede un campoescalarinvariante.. un *^odil inva¡ianterespectode las transformacione s (./) o (2). Análopmente, la ¿iuergen"iav et r;añí"| -rrmpo vcctorial invarianteson invariantesrespectode dicbal transformacionÁ. .a

Proble¡nas resueltos yx' bdo

d(x,r,z) : 3xzy- y'2,, hatlar V ó (o glad d) en el punto (1, -2, -l).

vO = t3-i r5a j + !k\G,ry-7",,¡ o, oy oz

= t* o"'y -y ",'') + i ftol r- 1 3 , " ) + r , $ o , ' r - t " , r l =

6'r i

+ (s'2 - 3f z2\i -

2y3zl

6(1)(-2)i + {¡(t)"-s(-z)'(-l)'h - 12i- 9j- l6k

2(-2)3(-l)r

CRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL

2. D€mostr¿rque(o) v(F + d) : VF + Vc, (ó) V(FC) : .FVG + G VFsiendo.¡cyC funcionesescalares vablesdex,¡yz.

(o )V (r+G)= rP ¡ r P¡ *3¡ lr ¡ r cl o, o.t oz ;) l;;(r+c)

+ Jú(F+G) + I (F+C) ?:

¡$Ot *¡$**S*rF oz Aj

* rS. rS O, Ot

rP * ¡ $rOyuF ox (l+

)¡ + i-

+k+)F

+l+

+ i-

). ay

). + k-

rr3*¡P*¡3lc oz Oz Oy

= v¡ + V c

= rP r *- d ¡ . pr ,lr ncl (¿ )V (F G) ot oy az = P ," " t, ox

+ Sr Fcl¡ + plr c¡ h oy oz

. r¡1G-cPr¡ * r ¡ S * c Pr ¡ Oy oz oz Oy

= (F++ c g ) r Qt

= ¡rS i - F ¡ - F r r ¡ o, oy

+ c1$¡+$¡ ot ol

*$rr = rVc+ )

(ó)é=l

3, HallarVg siendo(¿) ó = fn I r l,

(a) t=rl+yt + zk.Entonces lrl= y' * + y2+ " 2

cVF

ó= Ln lrl = irn(r'ry'*"'\.

= li tnp2 +y2+,2¡

= á{rfr r^(x2 +r2+ 22,* l}n{,'.ty'rr") + t& n@'+y'+""\} =

2' !J, z \r;;+ -./ 4..2

r¿l Ve = Vtlt

2y l r\7+ 2,

2z x rrrr-rtr" I t

xi,Jl:4 Zry4/,

= Vt = P {1,2+rt " ¿¡-tht, r/_ V x _ +y - +z ,¡

1/2 = t&e. *yrr"")- t/z * 1fi¡"2+"t¡ r")-,/' , x!@z+rz+"2\= | I+ yz+ ," )' " h aj l ¡" 2 _ -

-z l -y J -¿k G2 +,/2 + 22\312

r jem os t r at que Yr

_r _ -

+ 1\-!62+ y2+ zr)-" /" zyj

1 = n-2¿ nr r. ----

V G2 +y2 + z\n/2 *

.1 ,

-(t!

+ x{-}1,2+ y2+"r l- "/ '2"}

{p " *y , *" r ¡ " / t

}

u! {a',r' ' "'r"/'¡

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL a:.+?-12+z\r/2-1uj .;-,2.2 2\'t / 2' !

+ t!

kr =

t :,'9-7 ,

+ ! llez +rz, *.,n¡z-, 4j

nr n- ' ,

+ ¡{\¡f

+y"r"")n/r-,2,}

+ zk) 4

qc si r : rr& sicndo r! un vecto¡ unitario en la dirección de r, entonces Vr¡ : ,r' -t ¡r.

qE V { es un vector perpendiculara la superficiol(xy,z) : c, siendoc una consnnrc, ¡: *,

b ic

Á * yi + zk el vcctor de posición de un punto genérico P(¡,Jr,z) de la superñcie. Entonc€s dr - dzl ..At^ situado en el plano tangsnte a la superficie en P.

Ja. ch :0

-#*

=o * # 0 " = o , o u ie n tSr *$ u r .r r ,t + d y!+ ¿ zk) - ffr

de forma que V ó es perpendiculara dr y, por lo tanto, a la superficie.

: 4 en el punto (2, -2,3).

Ector unitario norm¿l a Ia superficiex'y l2xz

:- 2xz) : (Zxy J 2z)l f ¡'J * 2¡k : -1i + 4i * 4k en el punto (2, -2,3).

lrÉorunitarionormalalasuperñcie = -{l!$. r'e2f *G'f -Gf u¡itario normal el*t-

= -1, * *'r. 3 3 3 " f. a" fo misma di¡eccióny de sentido contrario que el ?.| - I

h ecuación dol plano tangenle a la superficie2xz. -3xy i (2xz' - 3xy -

4x\ : (/z' -

- 4x : 7 en el punto (1, -1, 2).

3v - 4) i -

3x I I 4xz k

a la superñciee¡rel punto (l, -1, 2) es 7i - ¡j + Af. I¡ ccuaciónde un plano que pasapor un punto cuyo vector de posiciónes ro y es pefpendicular al a I N es (¡ - ro) . N : 0. (C¿p. 2, Prob. 18.) Luego la ecuaciónpedida es

(xl + rl + zk)-(t-j

+ 2k)l'(7i- 3j * 8k) :6

7(x- r')-3r¿ + 1) + 8(z-2) :0. a(x, y, z, y í(x * /x,y*Ay,z!/z) las temperaturasen dos puntos muy próximos P(x,y,z) y Ax, y{ Ay, z* Azl de una cierta región del espacio.

Lbrpretar flsicamente la magnitud:y c¡ ent¡elos puntosP y C. Ealfar lim 4:!! ¿r_,¡ as

dó -u e m os üarquc - ¿ :

ats

é(x+ ¿x' y+ Áv'Z! lzJ - óG'v'z)

siendo/sla distan-

e interDretarlo fisicamente.

.. d r ae'A ,

Como / ó esla variaciónde tomp€raturaentrelos puntosP y B, y /s esla distanciaentredichospuntos, ¿ó por unidadde distanciaen la di¡eccióny sentidode P a 0. repres€nta la variaciónde temperatura ;:

GRADIENTE, DTVERGENCIA Y ROTACIONAL (ó) S€g¡tn sc $tudis en dlculo diferencial,

Aó' O r=úr '+Ar Oa

+ ir Ay + +A¿

+ infinitésimos dcordonsuporiora &,$

y A"

aó& ?ó4, .. Aó = .. aó4, 'iiE 'á;& AToG A%tE

Por lo tanto,

dó

o bien,

aé;dx+ <E

aó dy qf

@dz E;i]

¿ó ¡cpros€nt¡la v¡riación ds tmpcra¡¡ra con rcspcctoa [¡ dicb¡cb rl punto ¡ co d, sentfulohaci¿ O, S6 dmomin¿ taú¡bldfl dertvafu erccciotul dc í

aó d, ,-, ¿ó _ aód, . dó¿f *. Éd4.¿z 4 dt (")d" d , = 6.aó. 6;d" * q i ; t + 6 t + t ' r ) ' ( ir + - t t + ' E r )

v o¿a.+. dt

Como osutr voctor u¡itario, VC' A ¿ unit¿rio

es la compoocntsdo Vl oú¡l¿ dircetón dc

9. Demostrarquc la máxi¡u va¡i¡ción do L dBd€cir,l¡ derivad¿dfu¡ccion¡lnáxin¡, c i¡rnl al y ti@o lugar co la dfurcciül do Gstowtor. ¿t*

Sogim el problcma 8(c),#

: rl'fr

csh proi,eeióndÉVro L

+ . Bcts

máximacua¡do V I v tcneafe nisoe dtuccción.Luegocl mÁrimo vslot * f; * y ción do Vl su móduloos I Vl l. 10, Hallar la derivad¿ diroccional da ó xlz 2l-t-2k.

j ó : :

* 4xz' qt el punto (1, -2, -l)

* prodlp m t

y €ú la dlrcoción y.¡,

9(x'yz * 4xz) : (Zryz + 4z)l + x'zi * (¡? | 8¡:)t 8l - t - 10Lon ol punto O, -2, -l).

El vector u¡itcrio Gola dircccióndc 2l - t - t es

=fr - á1tr - 5 r

La derimda podfulacc

v{.r = ( s r - J - r ol) . ér - } r - r=z € rl Como c6tevalor €s positivo, C aumcolsen dicha dirección.

-+-+ - +

ll. (a) Halla¡ la di¡ecciónsog¡nla cua¡os máximala deriv¿dade la funclón C - rr y u¡ en ol punto (á) ¿Cu¿tes el módulo do ostevalor máximo? vl

: v(¡!z) : --4i -,{

Segúacl problcma9,

Lryz'l I x'z'| * SxUz'L + l2l Gnol punto (2, l,-f).

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL L -rirda flo

cs máxima cn la direcciónvC : -4t-4t dc €stc má¡ir¡o as lY-6¡ :1@lp¡llj2¡

d {ogu.loquefornanlassuperñcies x'*r'* E irüo l¡ uoal

* l2k,

:lne

: n,zt.

y z: x' +),r_3

z.:9

en ot punto(2,_1,2).

que forman las superñcicsGnel punto escl quc formanlas normalesa las

superficiesen dicho

¿ x' + y, + z. : 9 cn ol punto (¿ -1, 2) c.3 V{r:

V(¡'ly't

z') : 2x i + 2y| + 22k : 4l - 2J+4t

l¡ oorm¿la z: x. I yr-3, o bien,.x' I y.-z VC¡ : V(xr+ y,-z) (Y¿r) .(V CJ llV

2xl *2yl-L

cn€l puntoe,_1,2\ es

: 4¡-2r-k

ó, I lV dr ! co¡i, siendod cl ángulo¡redido.Luego

({r- 2r+ 4L). (4i- 21-Lr : l4¡_2j + 4LI l4t_2!_L tcos0 16+4_4 : /1a¡rT@irT1a¡ lr(4¡r-@rT¡]I -: t Llo

lñ

cos¿

t6 : s\/A : --630,5E19;cl ánguloagudoos 0 : a¡scos0,5819: 54o35,.

p(¡, /, z). Demostrar l-h disranciadesdcun nqqto $o- l(a,: á_,c) a otro cualquie¡a euc vf, ¿5r¡¡ryccle¡ E cfl la du€ccióhy scntÍdodc AP R. lEt¿y

ffirT":

rp son los v€ctorcsdc posicióa a|]- b!I

t-.,

ct y ¡llfi

+zkde

A y p respectivamente

: (x-a)l +Cy-ó)j * (z-c) L,dsformaquex : y'[-l;J$=

v¡r : v(y'G-¿FTT=D;+(¿=¡1:

(¡-a)l

f (y-á)l

* (z-c)k

(x--q>'+bt-b). + (z- cf

6¡.1-[:J¡, R i

r Ector uritario en l¿ diroccióny sentidode R,

t u¡ punto genérico dc una clipsc cuyos focos son lo3 puntos A y B, coÍp so ropr€scnta cn la ñcuraBl¡ar que las r€ctas ,lP y '8P forman ángulos igualcs con la t¿ngentea la otips€cn ci punto p.

ScanRr : AIt y & : BP los vcctoresqueuncn,rcsp€cmtg los focosI y .Bcon cl punto P de la olipsoy T ol tang8nte unitario a la olipsc on dicho punto.

Como la clipso es cl lugar g3ométdco dc los puntos p suma dc distancias a los dos focos fijos zf y I es cons,, l¡ ocuación dc dicha curva ca Rr + & : r.

Scaúnol problema5, V(& + ¡J cs normsl a la clipso, r [V(Xr+ n )1.T : 0, catocs,(V&). T : -(VXJ .T. Como VrRry V& son vectorosunit¿rios en las direc-

(problem¿ l3), ol cosono dc Rr y Rh respectivamentc,

ü ánguloformadopor V& y T osigual al cosenodel ángulo hsdo por VXr y -T y, po¡ lo tanto,dichosángulosson

-lcs. quc so trat¡ dc rayos luminosos _ El probl€ña admitc una intcrpretación fftica, Podemos ir¡¡gin¡¡q3 . & ondas sonor¿s quc pafcn dc I, por cjr:mplo, y quo al llcgar a la elipse se reflcjan pasan-dopor B.

--GRADIENTE. DIVERGENCIA Y ROTACIONAL DIVERGENCIA 15. Siendo A = r2z l -

v.e = r$r

+ ry2zl,

4t"'!

- $r

(div. A) en cl punto (l, -1, l).

hallarV.A

zysz2 ! + xy2zr¡ $.1. lx2zr-

= ?a+¡ * P<-u"*>, ?eyo,\ ot O, Of 6y222+ *.y2 =

= ztz -

= -3

2q¡'¡11¡ - 6(-1)2(1)2+ (t)<-rf

en(1.-1,1),

t6. sieridoó = L""y'"o, (c) H¿lhrV'Vd (diverld C).^, .\2 12 el operadorLaplaciano siendo V' = (ó) Demostrar que V.9ó=9'ó, # - # - # (¿) Vó = | ? efy2"a\ + t ? eéfAt

+ | !@sf

dz ü- d z

&212¿ol

4rty"t I

g"3y2"31

= (;zZr * 3¡, ot

Lu€go v'v9

4',

(uny'"ot + 4xsrza ! ! gxs!2z'tt)

?t). oz

= ! 6"\",.1 + J 1l/7.n¡ * 9re/1,"1 7z' a"'- ' 4' =

)

L?,2r2¿1 +

)

qr3z4

A.A

(ó) V.Vé = 1l I + -Y¡ + irl. o, oy oz

24rs12"2

¡.^

+ i!¡ 1{Ll oz oy

a.A

+ {f.r¡ o2

a aó

¿ aó

a ¿ó

a"ó

¿"ó

¿'ó

?¡' E¡ '

7y'7y '

2z'72 '

7r2

7y"

722

= 13* !=,!=,,ó = V"O ü dt' dz' = o.

1?. Demostrarque Vtf ll

= v"111 ,' - \,4-4*É-,, ---1 ¿x2 dz,'\/F+r2+ U2

1 .3-, ¿;/,\\?' d,

,, =

¿'2'!Q;/l/'

= {Í-, =

Análoganente,

!F'+f

+?)'t/" = -'(,2 +r2+ '2)-sh 1"2+ y' +

"t¡-shf

3st1f +,f +*f6/2

1tz+rz 1"27-s/2

2.t-!' ' f (r2+ 12+ 22\6/2

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL ?" , l ., = q'y'r2+f2+22'

?' , I , d22'y'r2+12+22'

4 ' -rt-i ., ' @2+,2 +22)6y'2 12

65 222-¡2-12 @2+!2 +.\*

^2 * r j-tJ{ * ¿* t r y'r2 I = o. --9-q' óz' -==-!+t2 +¿2

lhndo, I¡ cq¡ación

Y'ó

= O eellañr, ecuación de Laptace.*

dr9d¡uequo C :

l/r cs un¿ solución dc cst¿

)( : (d) V.(A+B) = V.A + V.B

Y (ó) v. (óA) = (vél.e + é(V.a). ¡rA

= ,{1t + A2t + asl,

B = 811 + 82t + 83t.

V.(¡+¡l = t$i * E¡ronces

$rl

. [r4*4¡r + (4+B)t + 1,r"+8")rJ

+-zU(4+B)* 5;(4+81) É14*41 ¿a, aA" aa" aB. ¿8" = - = - *r - < .r - ¡ - f= - :f- - - r O,

= tf t +

üJ

3& ?:

+r2l +4r) ;;r).(,{1r

* <$t *

+B2t+4"r) $tl.<r,t

= V.e + V.¡ I-{o^) = V.(eAl + óAd + ó/ry3r¡)

^/ * fr<ót"t/ *,*n¡ + &@A"\

aó *Ar

* a. ¿A^ aó ¿ ; 'T A r'

. dA^ aó /s QÉ *

,¿A-

+ 9-<r

p n , *p- ^. *pr " * or ** ox,

,P t. P , ot oy

?,t, * ?,{"., oz ot 2z' 4 )) *p*¡.1r,+ , a 2 t + ,.,r + \{ 1 it + i¡ o2 or

air¡.1t¡

1V¿;.e + @1V.e1

Sean@= r-o

A : r €n ol rssult¿dodel probl€ria 18(á). " EatoncesV.(¡-3r) = (Vr-").r + 1r-3¡V.r = - 3¡-6¡) i- + 3¡-3 = 0 ,

Gncu€nt! cl probleo¿ ,t, ta.¡úendo

+ e! + Asli)

t-- --66

GRADIENTE, DWERGENCIA Y ROTACIONAL

2 0 . D e mo s tra q r u e Y -Q Y V

-V V U \

Del problemal8(ó),siendoó:

= U fV U y ¡:

V V'U.

Yv,

g.tu Y v l = lV y ¡. 1 V r¡ + u (Y . Y v ¡ = 1 Y u ¡. q Y v+¡ u g 2v IJ porV seobtieneV.ltzVul = tVyl.fVUi + Vi't). Cambiando Restando, Y.gugv¡ - V.trVul = V.eVv -vVU\ = (V u l. rV rl * UY 2 V = uV"v - v Y'u

lq Y v ¡ ' 1 Y u+¡v 9 2 u l

2t. Soay(¡, /, z) la velocidadde un punto cualquierade un ñuido. Demostrar quo el volumen de fluido por unidad de volumen y d6 tiempo a través de las superñcies de un paralelepípedo slement¿l dc en el punto P(¡, /, z) y aristas paralelas a los ejes coordenados, de dimensiones /x, Ay, /2, víene dado, ximadamentg por div v : V.v.

R€firiéndonos a la figu¡a, se tiene, componente x de la velocidad y en P I

componcnte ¡ de y cn el centro de ¡¿ cara AFED :

componente¡ doy en el cenhode la car¿C.ilfCB :

v, -

u, +

! * zo' 1

2v-

Z-,

^oro*.

Ax a?tox.

Por lo tanto, (1) votumende fluido que atravi€sa,4FEDpor unidadde tiemp : <",| ! " (2) volumendc fluido queatnviesa G¡ICB por unidadde tiemp" : (r,+

+ fi

Ul or¡ O,

IncrerDsntode volumenpor unidadde tiompo en la dirección¡ : (2) -(1) : # Análogamente,incremcntode volumenpor unidad de tiempo on la direcrióny : incremento de volumenpor unidadde tiempoen la dírección ":

lx ly lz

U zy z,

z, zt 2".

El ioc¡ernto total d€ volumen por unidad de volumen y de tiempo es

:diYv: V. v

GRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL

Eftado €s exacto únicamentg en el límite, es decir, cuando el paralelepípedo s€ considora cada vez .ñoo tend¡endohacia ol punto ¿ o lo que es igual, cuando A¡, ly y Áz tienden a cero. Si no hay t de fluido en punto alguno se verinca que V .v - 0. Esta €cuaciónrecibeel nombre de ecuación de un fluido incompresible.Como no se origina ni desaparece fluido en ningún punto, dircmos aa¡t€n fu€ntes ni sumid€ros. Un vector v o un campo vectorial de divergencia nula * llaf a solerroidql-

la constantea de forma que el vector v : (¡ * 3y) i + (t-Zzli

"u)

+ (¡ + ¿z) k seasol€noidal. A

--.-{*^"-J-(

Un ve4tor V es sol€noidalsi su divergenciaes cero (problema 2l).

--)

\r\',

t'dado,

-l

= ¡zs i -

rot A ) en el punto (1, .1, l ).

fu " y " ! + z y z a h ,, b a l l a rVxA (o

V' e = t$ i

x(xzsr- 24r zl+ 2yz4r \

- f,r'S *t j

a &

-2"'y

zyr"

,*,-*r"r-

- +t2r"\lr l+@"1 - !<-23y"¡lt + li1rz3¡ oz oz Oy

(2za + ?j2!)i

ffudo A:

x2y| -

r ot r o tA :

+ 3,22 ! -

4tyzk

$t'*rlt

st ( 1i-1, 1) .

3t + 4¡

2xzl + 2yzk, hzllat rotrotA. V x q Vx e ¡ IJ I

Áx\ Ay

av, =:' Ax

' 'i ' Ó

V"V "

lido quc rtal dc

ax)

= Vx

¿a¿ ?¡ *y

¿y

- 2.xz

2!,

= Y x l gvt+ 22y1- (t2+ 2zl t)

AyZz

*,,,oa'"ra,r",Qll Vx(A+B) = VxA +VxB + é(VxA). Vx(óA) = (Ve) "A '3t¡r

E¡

é"

-u" - 2"

= (zr +2)t

GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL (a ) S € a nA = A1I+ A 2t r l 3k, B = B J+ 82! + B sk,

vx (A+B) = r$r *

f,i - a3nl

E trtonces:

x [(,{r+81)r + (A2+B)t+ (,{s+as)k]

a a,

a 4

¿ ¿,

A r+Bt

Az+8,

As+Bo

ti(i{"+8") - : (A"+B"\JI ot óz ' '

* [J1,r,na,¡ - - Ptr"*at]¡ " oz or + L":,<,tr+sS-

= f4! - dA'1, ' oy Az

194:dz

f E & _ a t rl, 'ar - ¿,'''

*t,. or *

(,41+Bl)l r

r*-l!t* ó, óy

a 8 3 r, tra a ,8 l _ a,t''

?8r]. ,Ld¡ B ; -"- a - J k

= V*¡ + Vxn 1a¡Vx1óe¡ = Y x qgArt + óA2, + ó4k) l

aa a/

a" óA,

¿"

óa,

óA.

tfi<o+t -$,oAt, + t]@e,t-Sró+r]i. tlo+, -

tó +.!n " - o Y of

ó,

óz

* 134^ o tr*oy - *r, óz d¿'

* [rP¿" * - Pr"r, oy oz tJ

= SlV x e ¡ +

aé

aó

¿y

¿"

= ó(Vx A) + (V é l

\L.-

¿ó

' e.

GRADIENTE, D¡VERGENCIA Y ROTACIONAL

V.lAx r¡ sabiendoque Vx A = 0. . l = lit

+ A 2 t + As l , | = tl

+ y t + zL.

tJt Ar

baxr=

x lz =

V . 1l r r ¡ =

(zA2- !Ae\l

- rAs\ +

fi(zAz Ot

¿a" o!

f,ot"-"^,t

¿A" ¿A" + r -{/-Ot et

¿A" z --,(-

(xAs- zATll + (fAt - ¡.A'.\l

¿A.

- = -) oz

¿A,

+ t(:{i

!|t,-'t,t

¿A, + a,{. t -<- oz

r.(V x A) = r. rot A.

da"

¿A"

<=) ot

z ( =i ot

Si VxA=¡ "¡

v x(+t+=, O,

¡¡ V ' 1V6¡ )

¡=oz

a,t.

---:) o!

¿As. . ?¡, ,¿A2 + {=-= - =o, óx ot --:)J

)rl

r€sult¿do€s cero.

v .Q\ f \-) (ó) V .(V xA )

(rotera;\\=0),

(di vrotA zó).

,,,

* p .l

¿A-

.=o1

¿A2. , .dh + (=i - =-)l 02 oa

r , ¿h t(-ot

[rl + ¡J + rI]'

¿,

¿"

aó

aé

¿r

?¿

a r Á a A.ñ . ó) J, , + .e = .La+ (a- ó) .- +a( +¿)ól r' . + .a Loz+ (a +ó) - +ota (a= [:( + ) - :( =ót) l r (, o! oz oz o! ot oz ó, óy 12,

= (:g - j4rt Oy Oz Oz Oy Toni€ndo

^2,

n2,

\2,

=o * 1=!f-- 39r¡ * 1.j€ - 39r¡ Oz Oa, Ox Oz dx (, Ol dt - 2,

que C tiene segundasdo¡ivadas parciales continuas, con lo cual-cl ord€n de la derivación cs indifc-

-r|G,

el V'(Vxrl = V .

as AA,

v.tr*Of - *rr Oa =

¿a. ¿ a/. ------= ----a \

-a

?r'E 7

?¡ '

oz +

a . at1 qdz

¿a"

-É)¡

?,iu.

-E'

}tn _ é,t, a, d1 d ,¿a2 oz

-r=-

)rl 7t,

/---

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL 12_ oA a

-2. ó4"

-2 dA ,

^2 óA -

^2 dA -

\2, o A.

¿r ar,

?¡ ?z

¿y¿,

}1 ?r

?z ?r

?"8

suponiendoque A tiene scgundasderivadasparcialescontinuas. Obsérvese la semejanza entre el rosultado anterior y cl de (C x Cr) : (C X C) m : 0, siendo e s c a l a ryC ' (C ¡ A ) :(C x C )' A :0.

28. Hallar rot (r/(¡)) siendo/(r) derivable.

rot (; /(¡)) = V x (¡ /(¡)) V x (x/(r)f + t IO)l + z l (t)l \

tJr

aaa ? ¡4 7 2 rl(t)

z f(,',

t lO\

¡f = (z l-l+ )l ^Í oy oz

o7.

* (' + -¿ + )J

={}c.a;p, e,,o fl =,9.¡,$r f 'v

= !¡

= Vt

f 'z

¿a

+ ("+f 'z -

| ,¿A s ol

- Tóz' ) r * *02- 1! ,ot, .

I 'x

"+\t

dA, ¿"

¿z

¿ ,AAo E7'E

?¡,, ¿y'

7A" 7z

a . a,{1 ?,'?"

éA " ot

éA " oy

E,{...,. Zx"'

. f3 ,? 4 - ? &,, - ? ,!4 " - !,e ' ,1 , -?r'?7 E¿

It lf

¡+ ¡

?r'D"

dy"'

. r3, * - ! 4-", - 3, * - *, 1.

. \i ü

l ', l '' + (f t---:'+)l

r *ot- 1lrotr r l

?¡ 7A, ;'

Vx 1Vx¡¡

- v'n + v(v' A ) .

29. Demostrarque V x 1V x ¡¡

I-:.4n6¡o*n"n"X=+ = tX. +,4,",,,=

Porfotanto,l resultado es,=(,+-tllt

+ (/ : : -' : 1 )L

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

. ",*-fuu, ,-"+ -"#,, -*,. "* . t

,{*,fu"^r, ,!,.#r,, - ,34.,., '*"r,

,-#-*-#,,.,-'S * $,,,,$-*-".4,, .,*.*,*,, .,$.*-*,,,,*',*,*,, a2 -2 - r*.

*+, #\(A;t

+ A2!+ Asr)

,'*,#.*.*, - ,E3.* -"#,*,.**,*,"#."#, -v"e * v1$ ox

*, ol oz -.*.

= -V'e + V(V.r) t¡

quiero simplificar la escritura, se puede operar solaÍronte con la componente i y d€ducir luego las otras smcmalt. El resultado también se exp¡Esacono c¡r el problom¿ 47 (a) del Cap. 2, de la forma siguienG: = B(A ' c) -

a x (Bx c )

r¡l y

A = 3= !

L i :l do

(A ' B )c

¿ = ¡,

Vx ¡px¡¡ = VrV.rl - 1V.V¡r = VlV'r¡ - fr que la fórmula (1) so tiene que escribir de forma que los op€radoresA y B p¡ecedan al op€rando C

tEveso

¡odo

v =arx¡,

r ot r

d€mosüar qu6 ¿¡ = | rotv siendo(,, un vcctor constante.

= V x v \=

"'li');)'

V x (¿ rx r)

-- i t f1<,t2"-@sy\i

+ (oú -@2'\lf

+ (.¿st -@tzr!

r¡t

@22

?¡

QAI

Q) gt

( D!z

-:-

éz

O) Lf

a¿ 2t

2(<D1l + (¿2t + .¿slf,'t =

20, .

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

72 Po r l o ta n to , o :

¡V x Y :

l rotv.

como vercnos de un campo vectorial confierc ¿ éste propiedades dc una rotación' El ¡otacional 'ii porci€nplo,un¿ru( erl movimicnto, nuido un d€ aJ ,.to"idados üiüñno. cup.?. "i del mismó' tiende a girar en las reSioncsen las qu€ rot F .* 0' m¡ se sirúe en ¿iwrsos puntás Dalerasque"iáñpá-r '". ri tiii':'o ¿.n orruú lrrotscional' Un campo no imotacional¡6 no hay rotación v ii"".pJFé rotacional o de tóúices.

Vx (Vxn) = o.',*, Aniilosam€nte,

$<vxo

*.*'

" -#

* y Ñ1 a t = - f n .

pe¡eV x1V x ü ). - f n

L u c g o f n= S .

I¡s €cuacioncsdadas son las ¿caqclotw de Mqxwell & Ie t@rlt elecúonsgnética. la ^2

-2 9r se lama ecuaclónd¿ ondas. ?c2

^2 ^2 9r+9!+9!= 122 ¿t2 V

PROBLEMAS DIVERSOS. 4' ó' ¿ de 32. (¿) Un vector V s€llama irrotacionalsi rot V : 0 (probloma3O)' Hallar las constantes

v : (x + 2y+ az,| + (bx- 3y- z)| 4 (4x+ cv+ 2z)lr.L-0 t t Oi u Ol sea irrotacional. (¿) Demostr¿r qus v se puede expresar cotno el gndicntc de una función esc¿lar'

(a) rot V

= VxV

dx,

,+ 2! + az

4E + cY + 22

tz-v1]

El rotacional6s ccro para ¿.4, ü = 2, c = -1, de donde A 2 @ + 2t + 42\l + (A -3f -.tt

(ó)supongamos v = V@. Entonccs,

(r) :{= ót

= (c + l )t + 1a- 4) J

Cv \ á -

^ t.

^ ü :'¿

4',

b-" + (* t-l

'¡ s'l

+ 22)l

$t - $r -$. '+zf

+az, (21

da ¿t-

r , - 3 f 'd z- 2 ,

(3) =

= 4 t- f

Integrando(,t) parcialmcnterespeatode ¡, pcrmaneciendo/ y z comtantos, (4),

ó = + + b! + 4rz+ l(y,z)

e <4 y Q)' sicndo/(/, z) una fu¡¡ción arbitraria d€ y y z. Análog;amente, a.

+2 2 .

(ü:

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

ceDarando

r = o, - 4

ó = 4 z z -y z

+ 22 + h (r,t).

+ t@i)

(l), (J) y (ó) se deduce que hay un valor común de C si s€.to¡nan

¡ 1y,"¡= -{,

= ( +¿2, s1z,z¡

"',

t t n , rl = $ -{

,t'=n-Frf*Lxr+4zz -rz ' x 2w2: , I que Et¡ese tamb¡én se puede sumar a d una consla¡te. En general,si V x :0, v antoncess€ puodc ts c de forma que v : vd. un campo vectoriat v que aerlva áe oiio escatar d, tal que y : vó. sc ca,rpo a vectori.tl co,sertqdor, si€ndo d el potencial escalar, Recfprocamenó, ii ; :;;, . r:0 ( pr oblema2 7 4 ). "*Jil:

trar que si ,, (x, y, z) es una solución de la ecuaciónde Laplace, V C define un campo vectorial sole_ e irrotacional. ¡or hipótesis, d satisfacsa la ecuación de L¿place V,d :0, rs rclenoidal(problemas2l y 23). Del problema 27a, V x (i ó):

es dcc¡r, v,.(vC) : O y, por lo tanto,

0, con lo que V d es irrotacional.

V,l, una gosible detinición de grad B. SuponiendoB:^Bri+&i+13k,

la expresiónde grad B vi€nedad¿por

v" = ,*r *

+ $.r rr,, B?,+ Ber)

= *t, * P,, o, or

* Pot ¡ , oP,, * P¿t r. 0!

* $ . , *$ . r *$ . . I-as.expresiones i i, i i, etc., se llaman diadas zzrlarr?rs.(Obsérvesequ€ ¡ i, por ej€mplo, no es Io mismo ji). Una expresión de la forma orJÍl + ar2lt + d$l¡

*#y"

+ a21tl + aelt

+ az'll + odll

siendosus componentes los co€ficientes o¡, on¡...

+ ¿salJ + o$l¡

Disponiendolas nuevecomponentes

(;z;) &rma una matriz cúadrada de tercer orden, 3 x.3. Er conceptode diada es una generalizacióndel conD de vector. Una posterior nos lleva a las t)¡odo, qu" -generalización

;;¡*it*:LhjJ.;,if*."{;i$h[;rnm#.*nlis#}:-3*:'#:

y ROTACIONAL

GRADIENTE, DMRCENCIA

35. Sea A un vector deñnido por A :,4, i + A"j + A.k y O una diada dada por o :

¿ rri i + a - i j + at3i k * ¿¡¡i i * aoj j + d-i k

+ a3,k¡ + a3!k¡ + ¿,skk

Obtener una posible definición d€ A.o. Suponiendoque sa cumpl€ la propiedad distributiva,

A ' o : (, { , i + , 4 , i + A "k ) . o : , 4 , i. o + A , i. q + l3 k .o consideremos,por ejempro,el producto i 'o. se forma efectuandolos productosescalaresde i uno de los términos de ,iD,surnandoluego los resultadosparcialesobtenidoi. Algunos de estostérn i .a ,i i , i ,a ," i i , i .ani t, i ' a* kj , ei c. Teni endoen i uenta oue l .o11l l

= al l (¡.i )t

= o11t

yaque l .l

= I

I ,oetJ

= a12C .tri

= arpl

ya que l . |

l .c21j l

= aa(t.r)i

yaque t.J

t.q2l J

= csr(t.k)j

= 0 = 0

= i =0

yaque t.I

= 0

y damos una inúerpretaciónanáloga a los términos de J.rD y A.O

I..D,se obtiene

= ?41(a11t + ¿12J + a13k) + A i @ 2:i + a,zt+ k) + ,4s(as1 t+ as2 J+063k) = (A1a!r+ A2d2r+Asoar]t + (A1ab+ | A2dz + Ards2)t + (Aaqr+ A2a2.+Aa

que €s un vector.

36. (a) Interprctar et sírnboloA 'V. (ó) f)ar .v) B. (c) ¿Sepuedeescribir la _ur posiblesignificadode (A sión antc¡ior de la forma A.V B sin ambigiiedad algiina? (a) s€a a = A1l + A2i + l¡1.

Tend¡emos,formalmente.

A,9 = e1t + A2!+ Asll' t.tr 3i ¡ -dx

A-:

+ oy

$r .$r r

A^ -:oz

que 9s un operador. Por ejemplo,

aó

a + a t¡'V l ó = ¿¡ @ '"' .3* a, '" t 's;,)

+ Az

¿ó

aó

¿r

Obsérveseque €sto es lo mismo que A ,Vó. (á) Sustituyendo en (a) / por B = Br | + B2J+ Bsk,

= tt¡a * erJ * ¡"P)s = ,r1E ., lr$ * ,1"$ (A.V)B oy oz o, oy

= (,{, ''o'*'

¿8. aB" ¿B^ 78,. . arg .. aas . A"yL ' d y * ,r" a . lt ' (A ' ¿ : + 4 2¿ ; * 4 " É )t * t A ' 5 i * A 2 i " + A 3

A-Va

( A1l + A 2 ! 1 1 3 ¡ ) . V B

ALt.VB + lal .Vs

,,,p , rP, . P*, * n,,!,*f;, . ot

+ .{st.Vs

fu, * ¡"r*r- *, - *

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL que el. mismo resultado que el del ¿partado (ó). se deduceque (A .v) B : A .v B sin lugar a ambi_es_ güedad siempre qu€ el concepto de diadica se considerecon las propiedadesindicadas. -

!tuido A = 2.yzi - Éyi .) (A ' V ) ó,

B = x2i + yzj -

+ r*k,

( ó) A .Vé ,

(c ) (B.V )a ,

xyk

(d ) (AxV )O,

_,,--l

,"2?, er)r.) dz

zy,{(z,ty'.) / Yz ( 4( ) ¿'

u *v

u"{<N'y,"¡ - *'y}e"2y""¡ t','jtaT""\ (2yzl(4tyz3\

23\ ¡x2y¡12t2

hallar

@ ) A xV é,.

r¡ 1n.V¡@= lqzyz | - t2y! + ..z2r¡.rPr * 3¡ * SrtlO ot of oz = ( 2r " ;-* t;.

ó = 2-"y"",

(x.z2116¡fz2\

B"y""t - 2aoy "s + 5"t y "o

n . 9 E = ¡ z yzI - x.y!+,,'r.l. rP r . p ¡ * $*, ó, óy dz =

\(2rz t -

ú!2za

x2y¡ + zz2\).(4"231 -

2"ayz3

+ 2r2r31+ gr2yz2h¡

6x3y"4

Comparaodo con (a) se d€duce que

. ) G. V) A = l 1 ' 2r + yz! -,rkr.t3 r

(.rc- <7- + fz \ a -rl ^ )^a .ot oy oz

, 2( - L .y i + z 2¡¡

(2122- 2ry'\l

* P ¡ * lr lln Oy Oz ,?¡ = ¡-ox

+ y z (z z l - x 2t \ -

= A.Vó.

(A.V)d

(2.rsy+ íy{!

+ t¿-aA ol -

E¡

ty_ oz

,l (zy i + 2j rk)

+ 1}22 - zz2yz¡l

Para la comprobacióncon B'VA, ver€l problema36(c).

er ¡¡xV¡@= l¡zyzr - *yt , "",r¡,qlL * $i * SrrlO k

-;r

¿r

¿" a1

_11

Li(-*y+ - """+) oz oy

- aó

¡1",2i - zyzil Or Oz 2.r. 1x z 2{ oz

^aó

+ x.¿'--)l - (x'y i' oz oy

- ( &tay2r2 + 2¡3zE)l

( 4x2yz5 -

).A z y z {¡ ¡ oz t2t2y2zs ¡ 1

r(2 y z + + f y * lQ oy

aó ^aó

(2yz-+ fy =¡'¡k o1 oz

f t'rrt +

GRADIENTE, DIVERCENCIA Y ROTACIONAL

)

(€)A x v O - el z i- x 2 r t + , 2 2 h ) " r f f r -$t -S*l I

-r t

aó

¿O

éy

(-,, =

aó oz -

^aó

('"'# - zy"!n * tzy"4", * *y4"tt

- ¡z''-.- ) I o,

- (6zaf z2 + zt3z6)t

Comparando

( 4z2yz6 -

con (y') rasult¡ quc

l2?y223¡¡

( 4x2yza + 423/2zl\h

(AxV)ó = AxVé.

ITWARIANZA 38. Deducir las ecuacionesde transformaciónde las coo¡denadasde un punto cuando los ejes;r, y, z, del r€ctangularal que está referido giran, respectodel origen, hasta li posición x,,y',2,. Seanr y,r' los vectoresde posiciónde un punto cualquierap en ambos sistemas(6gura de la página ^ Como r : r',

(i )

t' t'

z' ht = tt

+ y' 1' +

+ yl + zy

Para todo vector A s€ verifrca (problema 20, Cap. 2), a = (A .t' )t' Hac¡endoA : i. i, k, succsivamente

= tt.llt' = rt.t'ti = (¡.1)f

( | t { ( r

(2\

+ (A ,j ' )i '

+ (A .k,) k,

+ (t.J')J' + (l.k')h' = t11i, + t21i' + h! k' * rJ.¡'lJ' + (j.L')k' = ter' + ¡n 1' + ts2k' * (k.J')j' + (¡.I,)k, = hsi, + taf, + qBk'

Sustituyendolas €cuaciones(2) en (,t) e igualandolos coeficientesde i,, j,, k, se obtiene (3 )

x'=

l ::x t' l p!

t l tsz,

f' =

l zú + l zy + LB z,

2t = l .1x + tg¿y + Lesz

que son las ccuacionesde transformaciónp€d¡das,

3!). flemostrar que

i' = lrr i + lpi J'=

+ 4gk l 2\l + 122i + hsk

k ' = J sri + l s2i + h3k Pararodo vectorA s€verifica A:

(A,i)t + (A.J)J + (A.t)k.

Hacie¡do A : i', i', L, sucesiva¡Dente I'

{

= (l ' . i ) l = (i'. i) t = (i ' . i ) i

= lúl + lr-! + ¿sh = h\t + b2i + t'€, + (k'¡.l)I = ¡slt + ¿s2J+ bol

+ (1.J) j

-t

+ (i', i) i + (I1j ) j

+ (j"r)r

(r1¡)t

GRAD¡ENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

t tr,,,hr:

lsim:z,y0si¿r

tomaruno cualquiora dc los valo* n,endon&my npueden

c¡¡¡acionos (2) del proble¡n¿ 3E, =

t.t

= l tl l t' + ¿ r.¡' + 2 ,' !r'a22 L lL Al,2

= 0

f.,

!st' ).

= (¿sl'+ ¡rn¡'+.tutr'¡ . (tpl' + trr.!' + ls2l') = hrl,e + lá12

l.l

(& 1t¡ + ¿21r'+ ¿s1l ' )

+ hTla

= 0 = (Lll'+ 4oJ'+ hr'). {rtgf + toJ'+ 6er') = !1Is + lalzs + lsLls y k'k seobtiono la demos-

&rostrado6n cl casodc rn: l. Considcrandot'l,l'l'l'k'k'l'k'¡ É$

m:2

Eirndo

ó-

Y m :3 .

( l ¡i ¡r:tt '' --cl tlcultado sc pu€dc Gccribir t | t-l I O s i m* ¡

lñIto:A'.'

E slmbolo ó,o¡ sc donomina deltq d2 Krcneck.r.

l(¡, & z) u¡ csc¿la¡invari¿ntcrcspcctoile una ror¡ción do e!:q demotrar quc Srsd C os u[ vcctor rtc Ést Ér-todGcata transforünción. Por hipótcsis,6@,y,2'):

4'@',v', z)' Ten€tnosquc dcmostrarquc

= Sr'P,l . Sr' * P. P,Pr or oz oz ot ot oy do transfoÚación (3) del problcma 38, !c obtis¡e Dcdvando y t nimdo on c-r¡entslos ccr¡acio¡res

aó ?,

aó'&' Eó',a,', +

=-; Ót

dz --

<Oy' Ót -'t

ú' d' @ = aó' ar' Ar * ¿t'8t. aé aó'ar' aó'ay' E¡ -

é"t 1,

?t' E¡

?ó'?.'

.-liOz Oa

¿d'.

<-¿f ot

aó'.

iJ,21 oY

ad.

i r-hl oz

ad. ?ó' ?r' = ad . t aó'. a " ' 4 ' ? 4 ' * ' ; jt u ¿/6 ?ó'?.' = aó'. + ú'.lze + aó'. ¿sg ?"' ?,

i- he ot

i or

02 --

por t, L L Fapcctiv¿mte, sumsndoy tenicndoo crmta sl pfoblcm¡ 39, so Xu¡t¡plic0ndo€sta! ccuacionca ótiono ol rcaultsdo pcdido.

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

Problemae propuestos 42. Siendoó : 2xz.- x,y,hallarVCy lV{ lenelpunto(2,-2, -l). So/. lOi- 4J- l6k, 21l 93 43. SiendoA : 2x, i - 3yzi + xz, k y 6:22-x.y, hallarA.V ó y A x VC en ol punto(1, .5o1 5,7i-i-tlk ,14.SiendoF: x,z I y G :22,y - xy', hallar: (a) V(F + c) y (ó) v(¡C) en cl punto (1, ,9¿l (a) --4¡ + 9i "ttx + k, (ó) -8j _ 45. H¿llarV lr I¡.

Sol. 3rr

f'ír\r 46. Demostrarque Vf(r) : Li-.

47.Harrar v p,"-tl, ,..

48. Siendo gU :2r'r,

Sol. (6 - 2t - 't' - 2r'-tt') r

fi\.

hallar U.

49. Hallar C(/)deformaeue Vd :

Sol. ¡./s + constante

: ,.j v d(l) O.

Sol. ó(r)- + (t - +)

50. Hallar V,p siendo9 : @, * t, ¡ 2t¡¿-l7i7l7 , Sol, (2 - r) e-, r q\e {(1,--2,2):4. 51. SiendoV C : 2xyz,i * x,z,l + 3¡tz'k, hallarC(¡, /,.r) sabiendo 52. SiendoV\':(y2-2xyz')l+(3 +2xy-x,z')l + (62'-3x.yz')k, hallarr¿. Sol. 9: aya- *,y2. +3y +(3/2)2. + const¿nto i ,l

Sol.$:

53, Siendo U una función derivable de x, y, z, demostrar que V U ' d¡ : dU. 54. Siendo Funa

función derivable de x,y,z,,

y x,/,2,

funciones deri'.,ablesde r, dcmostr¿r quc

+ : + +a F ' #

: t

queV(r'A) : A. 55. SiendoA un vecto¡constanto, demostr¿r que dA : (V4.'dr)i +(VA,'dr)t + (1A"' 56. SiendoA(x,y, z\ : A\i + A,i +,{, k, domostrar s7. I)emostrarque o (€) :

ooo;""o

siendoc + o.

58. Hallar un vector unit¿rio p€rp€ndicular a la superficie del paraboloide de revolución z : ¡r t tt-r4j _k punto(1,2,5). Sol. # '

+ \/,

(x - l)t +y'+(z 59, Hallarel ve{torunitarionormalá la superñcie Sot. (2i I i -zk)13

+ 2)r : 9 on el punto(3, l, -4).

a la superfici€xz" * x'y : z60. Hallarla eruacióndel planotangente :

I en el punto(1,-3,2).

S o l - 2 x -y -3 z l l :O 61. Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la normal a la superñcie z : x2 t yr cn el punto

sot. 4x-2y-z:

t, ";'

:'+:

"=t

o x:4t

i- 2 ,y : -z t -r,

z:-t

i- 5.

62. Hallar la derivadade 6 : 4¡2t - 3tzr'z en el punto (Z' -1,2) en la dirección¡ - 3i + 6k. :53.7 Sol. 31617

". Xl:t"'jflP

frl.:

*--*

(-3' 5'O' hacia elpunto elpunto (1,l, -l) endir€cción

GRADIENTE,DIVERGENCIAY ROTACIONAL h di¡ección según la cual la derivada de la función ó = 2xz - y" en el punto (1, 3, 2) es máxima. =el rÁ",iiulode estevalor máximo? So/. En la direccióndelvector4i -6j +zki2\/A:'1.4g. r los valores de las constantesa, b, c de forma que la derivada de la función 4 : axyt + byz ! cz,xl F nt o( l' 2' - l )te n g a u n m á x i m o d e m ó d u l o 64enl adi recci ónparal el aal oj ez. t : 6, b: 24, c :_ 8 . el ángulo agudo formado por las sup€rfcies xyzz : 3x + z, y 3x1- y, + 22 : I €n €l punto(1,-2,1).

3 .Ic cos liln:2::

arc cos

\/Á : 79"55' H

I ¡ ¡ f as c ons t a n te s a y ó d e fo rfIl a q u e l a s u p erfi ci eaxr-gyz:(a!2)xse¿o¡togonal zl a4xry* 23:4 d punt o ( 1, . ._ 1 ,2 ). S o /. a :5 1 2 , b : I feodo ri y y funcionesderivablesde x, y y z, demostrarque la condición necesariay suficientepara que r y v esténrelacionadaspor una ecuaciónde la forma F(a, y) : 0 es que Va x Vy : 0. Dererminarsi u :

arc tagx + vrctzg y y v

ffi

(á) Si (v : tag ¿).

"r,an

relacionadasfuncionalmer¡le.

Demostra¡que la condición necesariay suficientepa¡a que ¡as funciones u(x, y, z), v(t, y, z) y w(x,y, z) 6tén relacionadaspor una ecuaciónde la forma F(u, v, w) : ¡ es que V¡l x Vv x V', : 0. Frpresar Va. Vy x Vw en for¡na de determinaote.Este deterhinant€ se llama Jacobianode ¡]. r. re rcs. por A@ ,v ,w ) .. ./a,v,w \ pecto de x, /. z y se representa o b¡en../ . ¿G,yÁ, \; l, z , D€termina¡si u: x 1y + z,v: xs +y" + t, y r.)- xy + yz + zx estáÍ rclacio¡adas funcionalmente.

t¿ (b)

?¿

E¿

éy

2tr, :0)

!4, a, ¿"

¿y

doA:3xyz'i+zxy'!-x,yzkyó:3x'z-yz,hallar:(a)V.A,(ó)A.vé,(c)v.(éA),(d)v.(vd), q el punto(1,-1, l). sol. (a) 4, (ó) -15, (c) l, (d) 6 Erllar div (2x'zi - xrzzt + 3yz'k). Sol. 4xz- zxyz + 6yz

dr>L.

k r do

d : 3x " 2- y ,z ' +

Ballar Vr (ln ¡).

4 x ,y + 2 x -3 y -5 ,

hal l a¡ V rC .

Sol. 6z I 24xy - 2z' - 6y'z

Sol. llr'z

I>mostrar que V2'' : n(n + l)rn-" siendor u¡a constant€. S¡€ndoF:(3¡rSo¡. -ó¡ + 24j -

y|) i -2rrz'!k,

z)i+(xz'+ 32k

hallar V(V 'F) en el punto (2,-1,0).

Siendoo un vector constantey v : (' x f, demostrarque div v : 0. Demostrarque i'(íV)

ÓA"V+ 2A ó'VV + 1t'1"í'

SiendoU : 3*y, V : xz' - 2y hallar grad (grad U)' (grad I/)1. Hallar V '(r" r).

l2x) i I 6xz, | * l2xyz k

So/. 6¡r

Hallar V'[rV(l/¡')].

So¡.

Hallar V'[v'(d¡')].

Sol. 2r '

Siendo A : r/r, hallar grad div A.

Sol- -2r -' r

!*L. Ol Hallarf(r)de formaquev f(r) -o. arbit¡a¡ias. A + Blr siendo,4y.8 constantes

quea\a:# (d) Demostrar Sol. f(r):

Sol. (6yz' -

GRADIENTE. DIVERCENCIA Y ROTACIONAL 84, Demostrar que el v€ctor A : 3y.2. i * 4xrz, i - 3x,y2k es solenoidal. 85. Dcmostrarque A : (2¡r + 8xy'z) t + (3x'y cs solenoidal.

3xy) j - (4y"2, * 2¡!z) k no es solenoidaly que B :

E6. Hallar la función derivablemás gpneral/(¡) do forma que /(/) r s€asolenoidal. Sol. f(r) = C/¡3 s¡cndo C una constantearbitraria. E7. Domosttar qu€ el campo v€ctorial V : pretarlo flsicamenta,

os un <c¿unpode tipo sumidero>.Dibujarlo e

i-'j {xr* v2 --t

Et. Siendo U y / camposesc¿laresderivables,demostrarqu€ VU x V Z es solenoidal. yz i I 3xz. k y ó: x,yz, hallar: 89. SiendoA :2xz'i(a ) v x A , (ó ) ro t(C A ), (c)v x (vxA )' (d) vl A ' rotA ], (c) 5i + 3k, (d)-2i *i Sol. (a) i +i, (ó) 5t-3¡-4k,

(e) rot grad(óA ) en el punt o( 1, l, l) . * 8k, (¿) 0

(ó) V .(VF)X(VC)I, 90. SiendoF: x'yz, G : xy-32\ hallar: (a) V(vF).(vc)l, Sol. (a) (2y'z Í 3x2z- l2xyz) | 1(Axyz -6xtz) j 1(2xy'* x" - 6x) k (á) 0 (c) (x|z - 24xyz) | - (12x, z | 2xyz) j * (2xy" * l2y z, + x') k

91. Ha¡lar v x (r/¡3).

s¿/. 0

92. ¿Paraqué valor de l¿ const¿nt€a el rotacional del vector tr : (a¡y Sol. a :4.

es idénticamentenulo?

zs)i + (a - 2) xzi +(l-a)

93. D€mostrar que rot (d grad C) : 0, 94. Representarlos camposv€ctorialesA:¡i

Hallar la divergenciay el +/j y B:t,i-¡i. de cada uno d€ ellos y explicar ol significadofisico dc los resultadosobtenidos.

9 5 , S i e n d oA : x ' z i I yz' | -3xyk, R : y' i -yzi * 2xk y ó:2r, * yz, hal l at (¿) A ' (v C), (ó) (A 'v) d, (c) (A 'v) B, (d) B (A 'v), (¿) (v ' A) B. Sol. (a) 4x.2 + yz. - 3xy2, (b) 4x'z + yz, - 3xy, (igual que (a)), (c) ZY'z'i + (3xY'- Yz')l +2x'zk' (d) el operador(.r? 2zi-

j + 2x,zU) x2yz"

* (-3¡y'i (e) (2xy'zz¡ ytz')i-(2xyz,

! (y'zsí - y,z. i +Zxyz"k){ ! 3xt'zi-6x'yk)

* yz,)i I Ax,z l2xz')k

9 ó . S i e n d o¡: y 2 ' i -3 x z' l I2xyzk, y 4: xyz, hal l ar B :3¡i + 4zi -xyk (4 ) A x (Vd ), (á ) (A xv) d, (c)(V xA )xB , (d)B .vx A. Sol. (a\ -5x.yz2 1 + xy,zt j + 4xyz. k (b) -Sx,yz, i + xy,z, i + 4¡l?3 k (igual que (a)) (c) 162'í + (8xzyz- IUz')l + 32xz! k (dr 24x,z + 4xyz' 9 T .H a l l a rAx (Vx B)y (AxV )xB enel .pu¡to(1,-1,2),si endoA :xz¿i !2yi -3xzkyR :3xzil2yziSo ,l . A x (V x B ) = l 8i -l 2j + l 6k, (A xV ) x B :4j + 76k ,-v

9 E. D e m o s t¡a q r u e (y ' V)y : J' 9 9 . D € m o s tra q r u e \¡.1 . 1 x R t

x (V x v).

x A )-A .(V - B .(V

l 0 O . D e m o s traqr u e V x ( A x B ): l 0 !. D o m o s traqr u e v (A.B ):(B .v)A

x B ).

(B ' V )A -B (V .A )-(A .V )B + (A .v)B

102. DemostrarqueA: (ó.y/+¿3)i I(3x,-z)i S o l . 6 :3 x 2 y i x zr-yz + consranre

+ A (V .B ).

+ B x (v x A ) + A

x(v

x B ).

* (3¡z' - y) k esi¡rotacional.Hallar CdeformaqueA =

GRADIENTE, DIVERGENCIA Y ROTACIONAL

que E : rt! es irrotacional. Hallar, d de forma que E: o : ln (alr)

-VC

8l y q\e ó(a):0

siendos > 0.

A y B irrotacionales,demostrarquo A x B es solenoidal, /(r) derivable,demostrarque/(¡) r es irrotacional. alguna función derivableV de forma que: (a) rotv:r, (ó) ¡otv:2i+ j+3k? En caso hallar V. --.rivo, .f. la) No, (ó) V:3¡t x\k *Vd, siendo / una función arbitrariad€¡ivabledos ve¡€s. *(2y-h

hqrt-¿r

que las solucio¡resde las ecuacionesde Maxwell

o '" .=* * l

o," =-+* .

v.x=.0. v.E = 4rp

o una función de .r, y, z y c la velocidadde la luz, supuestaconstante,vi€nendadaspor -r

v , n= | * .

r hde

A y {, sellaman vectoria!poterciqly escalarrcspeati\¿amente, y satisfac€nlas ecuaciones a ':2¿ ' ' )2' 1r¡v.n+1P=0.

e\Va--#=-n"0,

c dt

v.n = 0 , y.a = m p

o,"=-+*,

a tlt= \ffi

Dada. la diadá- o :i i + j i * k k , h a l l a ¡ r-(o .r) y (r.o).r., (ó) ¿E xi stcal gunaambi güedad al <cribir r . O . r? (c) ¿Quérepresentageométiicamente'r. ó ., É ií (a) r ' (o ' r) : (r ' o) , r : x, t y, + 2,, (b) No, (c) Esfera de radio unidad con centro en el origen

frlt"lri,, jí,t;

v"i t vz'k v R:2zzi-xvi

*v!k, darun posibte signiñcado a (A *v)B en

úi ¿Sepuede escribir el resultado en Ia forma A x (VB) aplic¿ndo el concepto de di¿da ?

f¿

( ¿)- - - 4 ii- i¡ + 3 ik-lr-4it

+ 3kk

(á) Si, p¡eparandoad€cuadamcnte las oporaciones, &lrostrar

que ó(x, y, z) : x" + y, + z! es un escalar invariante resp€cto de una rotación de ejes,

fudo A(x,y., z) un campo vectorial de¡ivable invarianG r€specto de una.¡otación de ejes, demostrar que o div A y (á) rot A son respectivamente, campos escalaresy vectorialeslnyanantes respectode la transfuuación. &sfrjar x, y, z en las ecuaciones(3) del problema 3g en función de x', y' z,. , tcl- x : l¡x' * l,,y' * l",z', | : l* x' * lzs y' I L, z', z: l,"x':- hEt. * Iuz, lfudo A y B invariantesresp€ctode una rotación, demostrar que A.B y A hostrar

B son invariantes.

que en una rotación

v = r P *¡ l- *r P = , ' 3 * ¡,3 * r,3 = v , ot

Iblostrar

ó,

dt.

que el operador Laplacianaes invariante rgspectode una rotación.

tr-

Ca ítulo Integrociónvectoriql INTEGRAL DE UN \aECTOR. Sea R(z) : R(a) i + Rda) j { Xr(r.r)k un vector función de sola variableescalaru, en donde R,(a), R(a), R.(a) se suponencontinuaj én un intervalo dado. En condiciones,,

!* * ,0 ,

= i f n ,o ¡d ui f, a ,o t¿ ,,u*f" *ro,

sellama integralindefnidade R(u). Si existeun vectorS(z) de forma que Er¡:

tS{u)),"

f n o t ¿ u = f $o1us' t , r ) d u = S ( ¡ )+ c

en donde c es un v¿cro¡ constantearbitrqrio independiente de u. La integral defnida entre los límites ¿ y a :ó e s

loo*,','"

= s( ¿)+ cl- = s( ó)- s ( " )

["0 *' ""o"

Est¿integral tambiénsepuededefinir como el límite de una suma,de forma análoqaa como se el conceptoen el cálculo integral ordinario.

INTEGRAL CURVILIÑ-EA. Sea r(u) : x(u) i * y(u) ! * z(u) k el vector de posición de (¿ de los puntos de una curva C que pasapor Pry P, corrcspondientes a u: Uty z:-a¿, respectivam Supongamosque C secomponede un númerofinito de arcosen los que r(a) tienederivad¿con Sea_A(x, y, z) : Ari + A2i + Ark una función vectorialde posicióndefiniday continuaa lo largo La integral de la componentetangencialde A segúnC desdep¡ hastapr, aP^¡,

ln . d , = .,c l, t , d r + A z d y + A . d "

l' * a ,

es un ejemplode integral cuivilíneao d,elínea.Si A representala fuerzaF aplicadaa una partlcula se desplazaa lo largo de C, dicha integral correspondeal trabajo realizadopor Ia fuerza. Si C es curva ce¡radasimple,es decir, una curva tal que una recta cualquierala corta a lo sumo en dos la integral a lo largo de C se representapor

ff t

e.at =

Ar d"+ Azdy+Asdz

En mecánicade fluidos,electricidad,etc, estaintegralrecibeel nombrede circulaciónde A a.lo lttgo en dondeA es la velocidaddel fluido, la intensidadde campomagnético,etc.

I, I

En general,toda integrala lo largo de una línea sellama integralcurvilínea.Estasintegfales se definencomo el límite de una suma,de forma análogaa como se haceen el cálculointegralo En los problemasresueltosveremosalgunosmétodosde resoluciónde estasintegrales. Yeamosahora un teoremamuy importan{e. 82

INTECRACION VECTORIAL

I¡OlEMA. Si A :.vd_ en.todoslos puntosde una regiónR del espaciodefinidapor ar= x S az, É á¡ cr 5 z 5! cr, siendo {(x, ¡, z) uniforme y con derivadacontinua en R. f-

fP, A . /r esindependiente de la trayectoriaC en R que'rneP1y P2. t

Z. $ Jc

A.dr:0

a lo largode cualquier curvacerradaCen R.

condicionesel campodefinidopor A sellama campovectorialconservador y essupotencialescalar deriva. función de r dado. En

I¿;ondición necesa¡iay suficientepara que un campo vectorial A sea conservadores que V X A f r':Én, que A : vd. En estecaso, A. dr : tdx * Ardy * A"dx : dg es una difcrencialexada

l0-14).

RAL DE SUPERFICIE. SeaS una de las dos caras de una superficiecono la representada y consideremosa una dc ellas arbitrariamentepositiva1:i S es una superficiccerra¿ase toma Un vector unitario rt normal en un punto cualquierade la cara posltiva de S se llama vector rj,orma.lexterior.

)) se

Dslímites¡¡

hiemos a la diferencialde superficied,5un JS de módulo d,9y cuya direccióny sentido de n. Entonces,dS : n dS. La integral

II** =[^,0,

I I ho se i

¡emplo de integral de superficieque sellama A a travésde S. Otras integralesde super-

I I I rl ,l

fto

lin de (x,

ds, ff ónas. o f53 JJ [!n,0"

ivada r lo largo

y' una función escalar.Todas estasintegrales

como límite de una surna,de igual forma delcálculointegralordinario(problemal7). p* L. integrala lo largode una superficie cerradaS, serepresenta

¡ partícula I Si Ces

!n 4pt

#..

o Ui.n. po, /

hra calcularuna integral de superficieconvieneexpresarlacomo integraldoble extendidaa la prode S sobre uno de los planos coordenados.Ello es posible si toda perpendicularal plano coofdeclegido corta a la superñcie en un solo punto. Si no fuera asi, tampoco representaríademasiado

ya que se podrá,en lo general,subdividirS en supcrñcies que cumplanla condiciónanterio¡.

rlo largo

NTEGRAL DE VOLUMEN. Consideremosurrasuperficiecerradaque encierreun volumen Z del Las integrales

pales Fal

III^,,, [[r,, vv

de integralesde volumen.El cálcllo de estas inlegrales lo ve¡enos en los P¡oblemas resueltos.

INTEGRACTON VECTORIAL

Problemas resueltos f

etl¿u ,, f ^,,0,=f tr-*,,.,, '"J fr

= rfo-,\au*

tJz;a"

= r<$-$ * ",1¡, =tf-frr*i ft 23

*,T

R(¿) d¿ '

3l , hal l arl al I R r' utdu

t. Si e n d o R (¿ ) = 1 ¿ -u 2¡i + zusi -

+taJ- sdu

tet * c2) + k(-3u + ca) + c1I + c2J + car

,"*

* IiJ - t , u * " '"rt

= t! - f r t

en dondec es el vector const¿nte

"r1

".x.

( á )D e ( ¿ ) ,I r ' * r ,r o u= < { - { l

- it .3 o4 = -,3 t( t- ? ) t + tt

= - |r * f r -

3¿k +

"1, -a2,314

- 3(2)k + cl

t (; -

it )l

tJ - 3(l)L

Otro método.

li*r,0" = ' fi a-,'tr"*

1 !' 2 ," a " ,

" !' - r r u r r fr l] + h ( - r ¿ ) l;= - *t * ft

=,(+-*)l', -

- rr,

del tieEpo f = 0 viene dada por ?. I-a aceleración de una pa lcula €o función

: 12cos2ri - 8 s€n2ri +t6'k

:0, sabiendo que la volocidadf y el dssplazamientor con nulos en f (l,ey dc velocidadcsY do €spacios.,

hallar Y y r en función d€l

t k I l& d t lntesrando, v : i ! n c o s z rd t + i I _ 8 y ' jÍ 2 t d + :

6sen2ri 14sqs2fi

+ 8t' k + c,

j c' : --4 i' Haciendo v : 0 para I : 0, se obtiene 0 : 0 i + 4 + 0 k + cr, de donde Po r l o ta n to , r ). : con loque fi

6scn2ti + (4cos2/-4)j

Ot"n 2t i r- (4 cosZt - 4)¡ -r 8r'k'

' r osen ' uú In te g ra n d o ,¡ = 'rJ :

+ 8t¿k

-3cos2ri

H a c i e n d o r:0 p a ra r:0,

v -J i l @ cos2t-4)dt + (2sen2' -4r)¡

0 : -3i

+ | r" l

r}-l S :l r +

+ O¡ + 0k + c,, ds dondec' :3i '

INTEGRACION VECTORIAL t r nt o, I = (3 -3 c o s 2 r)t

f J

+ (2 s € n 2 r-4 ¿)'

+ $r"r.

,2 -

| ¡ rd.4¿r. d¿-

', 1.n"qA dt.

= Ax"7F+ dA i'

¿,

I ^"#"=I 1 < t , ¿ 4 t¿=, ^ r 4 dt

^r#

r 'c .

dcl movimiento d€ una partfcula P de masa rn viene dada por

n ¿T "¡ri; = [(r) tt b r el v€ctor de posición de P medido desde un origen O, rr cl vector unitario en la dirección y scnüdo f f(rl \Jna.función de la distanciadB P a O. - d. que , , frmostrAr

; 3 ( l)¡

¿;

: C SlenúoC un Vectorconstante.

hterpretar flsicament€ los casosen que f(r) < 0 y f(r) > O, loterpretar, g€ométricamente, el resultado de (a).

Relacionarlos resultadosobtenidoscon el movimientode los planetasen nuesro slst€masolar. Multiplicandofosdosmiembros d.

dft : flr)r, por r x, setiene ^

d'r =,r(r)r x ¡r : o dl

ya quer y 11son colinealesy por l9 tanto, r x rt : 0. Por consigui€nte,

,,ffi:o,*F"#l:, .d t fntcgrando, I x

: c, siendo c un vector constante. (Comparar con el probloma 3).

¿+ Si/(¡) < 0, la aceleración]| es de s€ntido contrario a r,; la fuerza está dírigida hacia O y la partfcula está,siqr\pre qtruídq haaia O. Si /(r) > 0, la fuerza está dirigida desde O a la partfcula y ésta se €ncuentra sometida a una fuerza de repulsión. Una fuerza que pasa siempre po¡ un punto ñjo O y cuyo módulo de¡rendeúnicamente de la dist¿ncia r al punto O se llama luerza cenlral. En el tiempo elemental /, la partfcula se desplaza de M a N, como se ve en Ia figura adjunta. El área barrida por el vector de posición en ese tiempo e3, aproximadamento, la mitad del área del paralelograÍno de lados r y /r, o sea, I r x /r, Por consiguiente,el área que ba¡reel radio vectoren la unidad de t¡empo cs ¡ r x

7i, tantán€a de barrido es

con lo 9ue la vclocidad ins-

= ¿ ¡x v = * rx lim j rx f, .tt Al A t -o ' siendoy la velocidadinstantáneade la pártfcula.La

8ó

INTEGRACION VECTORIAL magnitudH : t,

arcolar.De (a), se deduceque ¿r x v se llamvyelocídad

" #:

V el oci dad areol ar = n

zl r' dt {

consBnte

Como I' H : O, el movimiento es plano; en el caso de la ñgura el plano en cuestión€s el plano xy, (1) Un planeta(por ejemplo la Tierra) es atraido hacia el Sol de acue¡docon la ley de la gravitación de Newton qu€ estableceque dos cuerposde masasm y M sg atraen entre si con una fuerza de GMn F: " , siendo ¡ la distanciaentre dichos cuerposy G la constant€universalde l¿ gravitación. m y M las masasdel planeta y del Sol, resp€{tivamente,y tomemosun sistemade ejescoordenados origen seael Sol, La ecuacióndel movimiento del planetaes, en estascondicioner, / d2¡

CUn

d2t

at'

d¿ '

despreciandola influencia de los otros planetas. De acuerdo con el apartado (c), un planeta se mueve alrededor del Sol de forma que su posición barre áreas igualesen ti€mpos iguales.Esta propiedad y la que se consideraen el son dos de las trgs famosasleyesde Kepler deducidasempi¡icament€a partir de las por el astrónomo Tycho Brahe. Estas leyesfueron la basgen la quo se apoyó Newton para ley de la gravitación universal. La te¡ceraley de Kepler la ve¡emosa propósito del problema 36.

5. Demost¡ar qug la trayectoriade un planetaalrededordel Sol es una elipse,uno de cuyos focoses dicho De los problemas4(c'l y 4(d), dr

( 1)

(2t

txv

como ¡ =,q. (3 )

)

=,-oi' h

o e Ol, f

ir,

xh = - 4r ".¡

con¡ocual. = t\x

rxv

CM ----

dtr - ' -

= ,2\* 4!L

(rd:t,frr" l

= - GM 4x qr r ' ff1 = - 6,Ml1rr.df¡ r, - ( h . r 1 ) + l = cM + dt dl = o (problema9, Cap. 3).

aplicandola ecuación(J) y teniendoen cuentaque ".# Como h es un vector constante

*tll ^ ¡ = 4 rv ' n r dl

= 6l l :+

l tv' hl vth

Integrando, de donde

r.(vxh)

= C M\+

G M t . 1 1 + ¡ 'P

GMr + rr1.p

CMr

+ rpcosA

siendo p un vector constantearbitmrio de módulo p, y á el ángulo formado por p y r,.

lr "l

!+-,

C o mo r.¡v x h ) = (¡xv).h = h.h = 12, se obti eneñ2 = GMt + rp cos á,dedo nde ,2

C M + p cosA

h2/cM _ 1 + (p/CM) cos e

INTEGRACION VECTORIAL

lrometria analítica puede verse que la e¡uación de una seccióncónica con un foco en el orieen

qcentricidad. esr :

T¡fcos

siendoc una

ComDarandoestaecuacióncon la obtenida se deduceque la órbita es una sección de exc€ntricidad( : plGM. La órbita descrita planetaesunaelipse,parábolao hipérbolasegún . seamenor, igual o mayor, respectivamente, que Como las órbitas de los Dlanetasson cerraforzosam€ntese trata de eliDses.

CURVILINEAS

l4yzi + 2bxzsk,trattarf A.ar desde(0,0,0) a (1,l, l) a lo largode las J¿

do A:(3¡¿ *6y)iintes trayectorias C: ,:l,y:I¿,2:t!,

L¿s rectasque unen el punto (0,'0, 0) con (t, O;O), y el (1,'1;O), con el (1, í, l). I¿ rectaque une los puntos(0,0,0) y (1, I, l).

n'0, =

,¡ \

t+\( !,\+ tl ,lr 2/ I

.@rr+ e! + dzk) Yt f [rr""*rr, - rqzr +2o,z2tf

+ ,,

* ,, dz f Wn rr¡ - r4r¿í! + 20,22

si¡:r,-/:r!,2:r!,losfruntos(q0,0)y(r,l ,r)correspondenar:0y/:r,¡espectivamente.Eotonc€s

fr' Jn -

*ar

) l l rr+ a r¡d t ¡:^

l {(¿?)(¿3)t(¡2)+ 20(r)(rs)2 d(¡s)

| gf ú - 2gto ¿t + 6oced, ú=0 fr1 = | 1s/ -z1t6*6ote¡dt = 3¿3- 4¿"+6¿D| Jo

,,\

, { i j ) r , l a) =

s y . * d x - l^ '\= o 1,4.-"

'4', c ,1" c

b¡ go de C, A = g t2I - 1 4 t6 t ! + 2 Ot7

.= r l + fl + z,.= tl + .2t

+ ¡sI,dedonde ¿.-(l + Zt!+ g.21)¿r.

ut', df

Ií-. 1 \\

o , o

,Xl 4 1' { (0: : g, (r, : o) con o, o) es[O d, dy o, y!1 dz: t. * o!"" o""o'" F 11"]lp:-d."_fl lle,ln: "]nn scgun esta parte de trayébtona es -regral f 1

¡r

(o) = | (s"*e<ol)a,- r{ (0)(0ii0)+ 2o¡(o)2

l-*, d, = ,sl

, r.l

x J - - o/ r t J = o o A lo largo de la rectaque une (1,0, 0) con (1, l, 0) €s ¡ : l, z : O, dx :0, 0 ¿ l. La integral segúnesta parte de trayectoria . "t f7

| {r<r¡"+ey)o - r4te)'dy + z0(r)(0f0 = o r.-r.

'=o ..

¡iv"'tYlJn

; ,'¡ l Jv +l-ov /

¿" .f 1

dz= = ocyvaríade

r - r J u /l ) o

\r.!

INTECRACIONVECTORIAL A l o l a rg o de l a ¡€ctaque une (1, 1,0) con (1, l , l ) es x: de 0 a l. t¿ integral s€gúnesta pa¡te de trayectoria cs f1 (3 (rf16(1))0 | JJ z=o

l 4(1)z(o) - zo(r)z'^rrdz =

I, y:

| zor' d" z=o

I, d x: O ,

dy: O

=U !1'=z o 3 'o 3

Sumando,

eor lo tanto'f-n.ar

dt + 29 1¡¡ -- l- ,tr"*u,rr, - t4(r)(¿) ¿, 1¿¡2 J

¿(1

dt = or"*er-rtt2+20t3¡ to'

= f [ot <u-rrrrrror3lar

H¿llar el trabajo total realizado para desplazar una partícula en un campo de fuerzas 8 : 3xy i - 5z i + l0¡ k a lo largo de la curva ¡ : t' + l, y : 2t', z : t5 desde/ : I A , : 2.

Traba¡ototaf = f ..r, Jc' -

f Jr^tut'-

= =

Jr"rrdx f' J'\ t=,

= Jr'

5zJ+ 1¡'¡''t"t

+dvt+dzl\

- Szdy I llt dz

l¡,"t¡12,") ¿(t2+1) -

5(ts\¿(2t2) + tolr'+t¡d1r3¡

or* + lota+ r2ts+ 3o¿2)d, = 303

8. Siendor : 3xr i - r" i, t utlarjrt'dr

a lo largode la curvac del plano¡y de ecuación r:

el punto(0,0) hastael punto(1,2). Como la int€gración es en el plano xy (z : O\, hemos de considerar r : ¡ i + ), i. En estas

l J¿

r. o, - Jc| ,u, , - ,' ,r.,n,,r o,,', =

I*tdx- y2dy

Primer m¿todo. Haciendo ¡ : t e¡ ! : 2¡', las ecuacionesparamétricas de C son ¡ : I, y : 2l'. tos (0, 0) y (1, 2) corr€spondena / : 0 y, : l, resp€ctivamente;por ló t¡nto, frtfr

l-".a, =

' ot = -t f dqzt2 ¡ = f ter"-ror6) f' "u\<r,'\o, - 1zt2 Éo tlo

Segundométodo. Sustituyendo directamente / : 2¡! y haciendo variar x desde0 hasta I resulta

J^r.a, ,

) r=o

vo,'ta'

¿, = -1 - e'¿\2¿(b2\ = J (6'3-16'6) x=o

Obsérveseque si la curva se rrcorriera en s€ntido contrario, es decir, desdeel punto (1, 2) hasta et el valor de la integral obtetrida seria Z6 en lugar de *?6.

{\L!\q\-::3

INTEGRACION VECTORIAL

r: o v z

r d trab¿jo realizado para dar una vuelta a una partfcula alredcdor de una circunfercncia del plano xy, aEtro es el origcn, sabiendo quo el campo de fucrzas corrcspondient€ os F

20 3

(2 .r -y

+ z )i

(t + y-" 2)i y

z = 0 , F = (b .-y )l + (x .+ r)t+ ( 3' .-zyr} '

(3r-2y

+ 42)k

¿r--dxl + d!!,con l o cualel trabaj oreal i -

* (' + 7), + (3r-?t)k] [r.'* = f, t,u-r',' = f , *- r r n*"(t +t) ¿f

. [¿" t + ¿rJ]

.tC

C-onsiderando como ccuaciones paramétric$ de la circunferoncia I cos t, y : 3 sen t en las que t varía dc 0 a zfl, como se v€ en la fic integrando, [2(3cosr) - 3senr] [-¡s e n ¡]¿ ¿ + [3cos¿ + 3s€nr] [3co6r]dr bcrzas dado

\ r : 2.

(9 - gssri,cos¿)d,

= n,-Z**,l'" = ,6n

tomado como s€ntido de r€corrido de la partfcula a lo largo de C al de las agujas del reloj, que es cl que cstabl€ceremoscome Si C se hubiera r€corrido en s€ntido contrario (nogativo) el valor s€rla-lE ¡.

t =t l +! t =3 c o a ¿ i +3 8 e n ! ,

fado F : V C y d uniforme con derivadas parciales contiDuas, d€mostrar que el trabajo ¡ealizado para Gplazar una partlcula desde un punto Pr = (xr, y,, z) del campo a otro ¿ = (r., ¡, z.) es independientc b trayectoria soguida. kip¡ocam€nte, t¡lor

si la integral curvilínea ft f. a, independiented€ la trayectoria C que une dos ", JC cualesquiera,demostrar que €xiste una función C de forma que F : VC.

rcarizado= I::r.-

l¡

* {" ü # - '{n ' l-¿O

= ó(p) - óet)

= óFz,yz,z) - +k1,r1,21\

Por lo tanto, Ia integral dependc rlnicamonte de los puntos inicial ¡r y final Pr, y no de la trayectoria los une. Evidentemente, esto solo es ciefo si d(¡, /, z) es uniforme en todos los puntos Pr y ¿.

Por nipotesis, de ta tr¿yoctoriac que une dos ' J^ f F.dr es independiente

F:F,itF,t+F¡k. lrtos

cual$quiera (xu yu zt) ! (x¡,l¡

Q@ , y , "|

ol puúto

. ff* , . (d ' + t ¿ rt+ ¿ z r)

t , #, r $, rP,

I'orr.*

f (r,t,z) | ¿(ztyt,zt)

indepcndiente de la trayectoria

z¡). Por lo tanto,

F. d¡

f (t,f ,z'l F l d r +F 2 d y +F s d z | J(tt,yL, z1)

que une (i,, y,, z,\ y (x, y, z).

For consiguiente,

INTEGRACION VECTORIAL

_ r Q+ ^ ' ' /' z'F'l dr _ fr',!,2) r(t\,t7,2L, r(t\ yL, z

S 1 x + L t, y , z ) - ó@ 1,2)

F.dr

, I!',i,:]"'

- Lo"'.''"'

F. dr

F 'd r

=l,l,'),'''"' F.dr

(' + ! , 2 \ ^x, f r(x,y,z\

F l d z+F"d y+Fsd z

Como fa {¡ftima integral debe ser indep€ndientedel camino seguidopara ír de (x, y, z) a,(x } podemos€lagir como trayectoria la re{ta que une dichos dos püntos, con lo que dy y dz son nulos, condiciones,

= * f,lo.o,'''"' "" = cuandoA¡

ó(x+ 4" , y, z) -

óe,y,",

Tomandolímitescn losdosmiembros Análogañcnle, sepuede demostrar O*

- o,seobriene, #

= n, V {

porforanto. F = Fli+ F2!+ Fst=#;-#r,

Fl .

= n. = Or.

l' 2

n.dr es independientede la trayectoria C que une P, los puntos P¡ y ¿ el campo Jrllama campo conservador. Si se verifica que F : V C, F es conservador, y reclprocament€. Si

Deñostración vectorial. Si la integral curvilíneaes independi€ntede la tray€ctoria,

e4,y,z\ = l(''t''\ ,.0, = l"','" J1x7,11,t1\

J 1 x 1 , y 1 ,z ¡

Derivando.

dg = o.d, ds ds

, ero

dó a ¿| = v @ 'd : : 'c o n l o c u a l ' á

Como esto s€ debe ve¡iñcar con independencia del valor de

ff,

".*d s

( v @ - F ) '; ;

n" t¡

resulta F :

= 0'

V C.

ll. (a) SiendoF un carnpoconservador,demost¡arque rot F : V x F : 0 (esdecir, F esun campo (ó) Recíprocamente,si V x F:0(es decir, si Fes un campo irrotacional), demostrarque Fes (a) Si F es un campo conservador,segúnel problema 10, verifica que F : -.r Por lo tanto, rot F '= V x VC:0 (problema27 (a), Cap.4).

t (ó) Si Vx F = 0 , se tieneque

¿ ¿"

ér

ol s

;; f

7P"

= 0

D¡,

v{.

y por lo tanto

?f, '

9& - ¿f' Zx-

T€nemosque demosÍa¡ que F : V d se deducecomo consecu€nciade esto. El trabajo rcalizado para mover una partícula desde(x,, ¡, zr) a (x, y, z'¡en el campo de

INTEGRACIoN vEcToRIAL

f J^

rí@,y,2)d'

+ F2@,y,2\dy +

FoG,y,z\¿.

(.r.,,y.r,zr) con (x, /, z): Tor.nandocomo tray€ctor¡a ta qucbrada qu€ pasa por 9., "13 l:n1rra¡3. (x, y" z), z), (x, :."a y, z,) y (x, y, z), y lamando d(¡, y, z) at trauijliáiir"ao'a to targo ¿e'e¡ra,.--

ó(z,r,zl

aqui se d€duc€, * o2

a(¡ +

aó

nulos.

Fo( ¡ . v . z l

Fz",,r."i+

F2a,!,21)t

olz

f",

f""r*

(x.r ,z\ d¿

oo,", n"

F2¡z,y'z)+ F2ú.t,z')1"", = r"g,y,"t¡ + F2u,,r,.) - Fie,y,"tl = F2e,r,z)

aó =

F1.1'r,fú zi

F\(z,r!,zL)

' L,*o,,,rn" Il ,&o','"u', * [] fi o,r'"'ro, f"",!or,"'ta"

F¡(x,y1,z) + \(',r,.)\f,, t Fa@,!',z') + Fr@,y,zi -

lo t a n to , F

F rt + F 2 t+

F sk

rr<,na1"",

F(x,yL,zL) + F1@,y,zl-

l,{

i rt ót

lügo campo

F(t,!,zi

F1Q,y,z)

#,'#* =v é.

la condición necesariay suncientepara que un campo F seaconservador esque rot F : v x F:0. r que F_: (2xy *.2¡) | * ¡¡ i + 3¡zr.k €s. un campo de fucrzas cd¡scrvador. (ó) Hall¿r el cscalar del que deriva. (c) Hallar el trabajo realizado p"r" a"rpi.á. un cuerpo en estc ci¡mpo ( t ,-2 ,l ) a (3 , 1 ,4 ).

ún el problema ll, a ra condición nec€.aria y suficiente para que una fuerza sea conservadoraes que F:V x F :0 1

Ahora bien, Vx p =

ooó

= 0.

a ,6t ! *

3xz2

Por lo tanto, F es un campo de fuerzas conservador

r --92

INTECRACIONVECTQRIAL

(ó)

Delproblema lo, F=Vd ),^

= vy + 23

1t1 i:: o,

*Pt

F, o,

),A

(2)

= qyc.¡ +23¡r+ z21+ 3xz2¡.po,1o

oz -P*

)-A

- ,'

-:r óy

(3i Y - 3,t' ó¿

lntegrando(.¿),(2) y (J) se obtienen,respectivamente, Q

" '/

+ l1y,z\

xz3

,'y

8$,2)

xzs +

h(z,y\

Esto se ve¡i6ca si tomamosf(y, z) : O, g(x, z) : ¡tt, h(x, y) : ¡tr, con lo cual f : x"y t una constante.

xz'

Segundo método. Como F es conservador, I R, ar es independientede la trayecto¡ia C que une (¡r, ¡,, zr) y (¡, ¿c Aplicando el método del problerna I l(ó), ft

a e ,r,z )

f.t

| Jr,

t ¡ Qxyl - z3'dx

'"!r

t2y

""?, + ,,t

Tercermétodo. F.h =-Vq>.d,=

= t"y

+ ¡:3

1¡¡ Trabajorealizado=

ur" a" | JzI

", qr2 yr+,""r)lir, *, l!r, , """ li,

Entonces,

l' ut,

,' ay

F. d¡

r'ry, "'rf,

tr"t,

^ r2y =

"r"l

(bty + z3) dx

= oO

x2 d!

3zz2 dz

+ constante.

rP2 F.dl

.t P-

. -

l^"

,u, t z3) etxt J dy , t,,2 ,t"

fP , d(x'j . " |

+x¿-\ "

= r'y -

+ xz"" ,|h

= x -r '

1t\3'7'4)

+ xz- L (

Otto ¡tl¿lodo, l)cl apartado (ó), QG,t,z' ) = ,' y

Trabajo realizado = c(3,1,4) -

r r" " + constante Q(r,-z,t)

+ xz'

xzl

x2y + xz3 + constanúe

- ffL,

- {0,

r'rr

= zoz.

1,- 2,1)

INTEGRACION VECTOR¡AL

Cue si

F. dr

PÁP,B\

cs indopendicnlo d€ Ia trayectoria que une dos puntos cualesqu¡erap¡ y p. cn

F'd¡ = O pars todas las curvas cerradas en dicha ¡cgión, y rccfpre¿mcntc. I J la curva cerrada que s€ repres€nta en la ñgura adjunta. Entonces,

dada, se verifica b

I ,.*=

\AP28P1 t f ¡.

) r ,ar

PatP2

[r .*.I

l1AP2

F. dr P2BP1

JF.dr.=o

Pr8P2

!E la integral desde P, a N a lo largo de la rama ,l ec igual, por que a lo largo de la rama ,8. G¡,

Lcíprocamente, ,i f r.a, 0, entonces -

[ ,.n,="rrfu, I ".*, p2lpa f ".n,

:.-tírap,

n*'r,{r,''* =

fr.n,-

eriP,

f..r.:

rrfu,

r,fr,''*'

que la condición necesaria y suñcient€ parr quc ¡idr hostrar .Era €s que V x F - 0 s i e n d oF :F ,i + 4 1 + F , t.

I F¡ dy I f, y'2 sea una difc¡enci¿l

que (yt z¡ cos ¡ - 4x' z) dx + 2zty ff,in-i'dy + (3.v!zrs€n¡ ho6trar - r.) d¿ es una difcr€ncial exacta ü tma función C y hallar 6. a Ó a6 -aó " l g o ngam os qr e F t d x + n d y + F .' -Ñ dx + dv * -* dz; sca una diferenci¿l exacta' 7v c@ x, vv z son variabres ,ra"J'a;:,:

n :# ' r,:{' r ,- ff crocuarF : F,t+ F,J+ F,k: # i + ff t + $x : v t.

LuegoVxF:VxVl:0.

, Reclprocahente,si V x F: O s€gúnel problsma 11, F: VC conlo que F.dr:1ó.th:cll, ¡¡ &cn, Fr d¡ t F¡ dy * Frdz : dC, es una difcrc¡rcial exacta. f : (y:z¡ cos.¡ - 4¡.z)| *2z.y*nx| rFrtado (4),

+(3/rz.sen¡-r.)k

y V x F debo s€r cero, y, scgri,n cl

(!,2. cosx - 4x.z) dx + 2zty en r dy + (3y,2' sr,rrx _ xrl ¿z : d6 tdi<¡odo uno de los métodosdel probleña,12seobticne / : .¡rrz¡sen¡ _ ¡.2 + constanie. f u campode fuerzascons€Ívadorde forma que F : -v

c. supongamosque una partfcuradc masa

m se muévl. en este campo. Si I y I son dos puntos cualesqui€r¿ d¿l espacio, demostrar que

ó<A)*trnlt:

¡(p¡- ¡nt,."

v/ y y¡ los módulos de las velocid¿des de la partlcula en A y B ¡esp€ctivaÍrente.

- -94

INTEGRACION VECTORIAL d2¡

,.i Lueeo

f/.

^ i. ¡ F

d ,dt,

i, G

= E*fn = i^,', - i^q Integrando. .f,t ..0, (u ..r" = - fu vo.n = - ft ¿e = ,p(A\- e@\. si F- -v@, ' J1 JA J1 Por lo tanto, ó(A\

ó@J

¿^ú

[^$

como queriamos demostrar.

El valor d(.{) es lz energíapotencial ei A y lmvt^ la energía cin¿f¡ca en dicho punto. EI blecequo la energíatotal en I es igual a la energíatotal en I (conservaciónde la energfa). ha puesto un signo menosen F : -V é.

f!'l Siendoó : 2xyz", F .' xy i - z i + x! k y C la curva .t : t', v "- 2t, z: las integrat€s curvilineas

I e dr, (b) | f x dr. J¿ Jc

tol '.

(a) Alofa¡gode C,

= Zxyz2 = 2 (t2) (2t, (t3)2 = 4te, = t2 l + 2t!+ tsk, = ri + f!+ zk

Ó r

r3, desder -.0 a t:

dr = (2ti + ü + 3t2k\ d¿. Po¡ Io tanto'

¡ a

| *o ' = ./c

J f! i | Jo

nf trtt + 2l + 3t' k)dt rr 8rrcdr + ¡ | Ja

erear *

11 r2t1' dt = ff i I Jo

r ii'

.!, (ó ) A l o l á rg od e C , F= zyl - z!+ z2 l = 2toi - r3¡ + rak. Luego F x d r

(2t3i -

l"¡

2t3 -tt 2t r

d€ dondc

2 fo'

+ l o h ) x ( 2 t l + 2 ! + g t 'k t ¿ t

kl * (4t"* 2ro\l t" I a, = l<-ef -ao\i * 12ru-Gr"¡¡ 3r"l etr" - zrota, * r Io

¡-4t6¡dt + r, fo' $r"rzro) a,

-f ii-3, . t * INTEGRALES DE SUPERFICIE

fr 17, Det'rnir | | JJ J

n.n dS extendidaa una superñcieS como límite de una suma.

/S' corrp :1,2,3,. .., M, y tomemos Subdividamos el área s en M elementosde ye, z)- SeanA(xo,yr, zr) : A, y n' €l Yector cualquieraPr, del elemento/S¡ de coordenadas(xe, ^rea no¡mal exterior a ¿SD cn P y formemos la suma

.--.

INTEGRAC¡ON

VECTORIAL

'':

i t

^ h .r9A s t

l=t

Ar. n, la ,cothponente normal a Pc,

El línite de esta suma cuando dc forma quc le m¿yor difiren- ¿ cada uno dc los elcmcntos /S, a c€ro, si cxiste, se llam¿ inte& superñcie dc la componentc dc A oxteodida a S y se rcpre-

[

^." n t

Bndoquc .R ca Ia proyccción de la supcrñciq S sobrc el plano xy, como so obs€rva en la figura dcl pro-

1 7 'd e m os tr¿rque f f n.rrt JJ

,t'P

f ( n.n¿-!&. In'kl JJ

Sogúnel problefrE 17,la integralde superñciccs el lfmito dc la suma J -

A^. ¡^ A5^

I¡ proyecciónde y'.t, sobreel plano ry cs l(nor'Sr) . k I o | ¡¡ 'k I ./S, quo es igual t Axrtyt

orc 4s;.##

. Luegola suma(1)scroducoa r^

i. ^,'n^P+ P P 1 ¡n ' \ l

Scgrli cl .lcoroma fundafncntal del cálculo intpgral, cl llmite dc 6ta sum¿ cuando M -+ oo de forma quc ,rayor de Axo y lyo tienda a c€ro es

íl *"trfi

sc qucrla dcrnosÚa¡. pcro so pucdo dcmostr¿rqqc anbos diform €Nr " ffi, dc ordcn supcriora ¿xD A.yr,@n lo s,rd bs Umttet&, (I\ y (A no varlan.

En r€alidad,/S, no €3axactamÉrir,3 isilA

"dS

, siendoA : lEzi - t2J+ 3yk y ,t la región<tetpranozx +

d prirnpr octantc. En la figu¡s sdjunta se¡€pr€sentatrla superficicS y ru proyccciónsobreel plano ry.

+ 6zf= 12situsda

==n

INTEGRACION VECTORIAL

ll *",*#' P

i(U

Para obtoner n obsérveseque un vector p€rpendicular a la superñcie 2x | 3y * 6z: 12 viene + 3y t 6z) :21+ 3, + ók (problema 5 del Cap. 4). Luego un vector noÍnal en un

GSura) es

"=#+=f y '2 '+3 '+6 'i-f lr-f -r P o rco n si guiente, n.h = ( + r - fl .$u.r

= f

También,A.n = (18¿¡- t2J+3yk\.(+t*fiirfu teniendoen cuentaque z = !3=Z:y,

' #r = la,ay . -

362-3-6+18/

de la ecuación des. Luego

f[,t ^'"o' = l í * "# # , = f f r f f f t "" R R 'R

= ['u-" " 'o'

Para hallar esta integral doble extendida a ¡, mantenemos ñjo .x e integ[¿mos con resp€cto a y:0(Pen

la 6gura) ay :

1'' _)

'"7u

(Q en la figura); a continuación,integramoscon respectoa

x : 0 z x : 6. De esta fofma so recorr€ .R por completo. Haciendo operaciones,

fu (Gz-2"/' $-Lr)tt.dx lo yr=o

lo ,rr-12,.\2¡a' /=o

24 -)

Si hubié¡amos tomado como s€ntido positivo del voctor unitario normal |l Gl opuosto al de la figura, tado obtcnido s€,rl¿.-U. aa

z). Haffar

ff JJ

a.n aS, siendoa = zl+zi-3y2zk

y.i la superficie delcilindro ¡'

J ló situadaen sl primer octanteontre z : O y z :5.

Proyectemoss sobre el plano xz, y sea .R esta proyección como indica la ñ8ur¿. Obsérveseque caso no se puede hacer uso de la proyección d€ ,Ssobre el plano ¡/.

INTEGRACION VECTORIAL

f|?

JI^'"0'

II ¡.n l 'o.', JJ ln. J I

¡¡ mrrnal a ¡, a /r : 16es V(¡' * yr) : 2¡i * el vector unitario normal a S indicado en la .- 1

= -ZJ:ZL- ri+yj 4 / ¡u¡' t 1zy¡'

¡: -r )r'z: +.

16 en S.

x i + ,tl (-..-+ ) =

= (zi +x l- } y 2z lr \ ,

xy\

i?z+

* t = it : r t . t 4 + . I ' t¡lral de superñcieef

dz =

¡l |

G" ra\¿,

= 90

I Ir"

dS siendo ó =1"y"

y.SIa superficiedel proUtcníi ZO.

)) o.o'= JJr"frfi ff

hdremos,

3 ,?

ltfiiendoquen= "t!n,t ,n.t=\

como en el problema 20, esta última integral es 15

JI1"o""'

a ,a z - ! I óJJ

6",1*,"/ñly¡ d,d"

z =O x =0

- -1 I 8 J

= yi +( x- 2rz)i-xyk,

hallar

f I z' : a' por cnaimadelpl*o

JJ t "y.

r ik

9xp =

oo o

= ,l + y l -2 2 k

t ¿a" |

, -ztz

-x!

I¡¡ormal a x2 +y2 +22 = a2 gg 9p2+ y 2+ 2 2 ¡ = ' u l I

, z .y ! * z " t

= l00t + 100t tQ!"t + 9!zt\dz 3 3 -',

(VxF). n d,S siendoS ta superñcicde l¿ esfcra

INTEGRACION VECTORIAL El vector unita¡io n de la figura viene dado po¡ ¡

= 4j t:-U i -1]4 y'4r' + 4f2+ 4t2

' l + tJ+ zk

ya quc .x' * y, * zz : a2. La proyección^deS sobreel plano xy es la región R limitada por la circunferenciax, I y" _ a", --, como se ve en la figura. Entonces, ff

= JJ tV' r r .na s JJ r v,r l." 3 ld ' JP =

I yi- 2zk\.( ' !u:4\

JJ "t R

= f' ,t-"

* - 4)

'o"!+4,,0. v a'- x'-1'

,=_",u,,

¿l?i::'":UTY:::"",:/:-#l;,llJi"lál?ilT""T"J,iilt:T: :1.* oooo. .f* f" !P2! v a'- 9'

¿"=o

olo

^!o

f" 'f4:!)-!,opoE a2- o2

!=o

fl n2

,J D=0

J p=O

'./

t-3,t, a2- p2 , -!=L=t ,/-2

¿, ¿a

a2r

Si F -- 4r¿i - y2i + yz.",, halar

I J

la ' -7 t " "

a2, I J-

to"-o3l ¿ó

Il..r,lt

siendo.s la superñcie del cubolimitadopor x I o, r-1, y=0, y=1, z=0, z=1. por lo tanto, '/

CoraDEFG: n : i, ¡ : l. aa

rJ// DEFG

r."as = I I J^ J., f

\¡¡\,-

Gzi-12 i,vzk). idydz

/r1

ll Jo Jn

42dydz = 2

- ".,Tp, t

l¿a

' p = o 1 -Y

INTEGRACION .VECTORIAL

r : -¡, ¡ - 0. Por lo tanto,

r-rrs

L f-¡JS

Po,to tzrto, /

a'a"= !' l' ,*,r-¡+zl).j I'f'-a,a"

r:-i,y:0.

.¡ ds =

t+yzrt.(-i)rk rt z = o

["['nf

Por lo tanto, O lr l fr

| | vo lo

r : k, z : l.

(4tz lJ. (-t) dz dz

Por lo tanto,

. t ¡ - - k ,z :0 .

Por lo tanto,

= F.",ts I'l'

Fv"ll.i-n¿"¿v

= o

ff '.''n'=

2 + o + (-1) + o + á + o = !2'

de integral€s de superficie hcmos consid€rado cl caso de superfici€s de dos caras. Ponor un ejomplo r[porficie de una sola cara. una tir¿ de papcl, corno .IBCD e b frg1'J,fn,, y doblamos do forrna que los puntos c¡igan sobre D y C, rsspactivamsnte, como se ve f3ura inferior, Si n €s el vector unitario noÍnal cn un punto P d€ la suporficie, al desplazarse erpl¡ficie invierte su sentido original cuando llsga ro a-P. Si inúentáscmoscolor€ar solamenteuna rs darlanos cuenta d€ que sg h¿brl¿ pintado toda Esta sup€rficie, llafiwda bqnda de Moebiüs, es \Í de una superficiede una sola cara. Este tipo dc tsmbiár se conoce con el nombre de superficie , micntras quc las dc dos caras se llaman

ifi

DE VOLUMEN l:15+'y,y

Y larcgióndcl cspaciolfunitadapor los planos4x +2y + z:8,

un**fifoor-.límito de una suma.'. (ó) Hallü

la integr¿l d€ (a).

¡:Q,

y:Q,2:Q'

INTECRAC¡ON VECTORIAL

100

(a) Subdividamos la región Z en M elementos de

volumen cúbicos, ÁVp : A¡rlyo¿¿u "on k : 1,2, .. . , M, como se indicaen la 6gura adjunta, y sea (¡¡,, /r, z¡) un punto interior a estecubo. Defrnamosó(xk,yt¡, zk) - {t y consideremosla suma S^ ¡ ¡

r¿ )

extendidaa todos los cubos posiblesde la región. El limite de estasumacuando ñ1 óo de - ,l r/¡ forma que la mayor de las dime¡siones ti e n d aa c e ro , s i exi ste,es

rrf

| | | o,l l .

.]JJ 7, puede demostrar que este limite es independient€ d€l método de subdivisión siempre que sea continua en ¡/.

Convieneprocedercon orden al extende¡la suma(,/) a todos los cubos de la región. Una a elementosde volumen es su¡n¿r,en primer lugar, todos los términosde (1) correspondientes en una cofunua, como la representadaPQ en la frgura.Ello equivalea mantenerfijos rr. e /| y A continuación,se puedemanlener6jo xk y variat yk. Ello equivale a suma¡ todas las columnasPQ tgnidason la rebanadaR.5y, por ¡o tanto, a suma¡ todos los cubos contenidosen la misma. se varía ¡¡ y se habrá extendidola suma a todas las rebanadasposiblesRS. En el procesoanterio¡, se ha efectuadola sutna variando primero z¡(, después/* y, po¡ Sin embargo,esta suma se puede efgctuaren un ordeq cualquisra.

(á) Todo lo dicho en (d) se aplica en €l cálcu¡o del valor de Ia integral, Ma¡tcliendo ¡ e ), integra desdez : 0 (basede la columna PO) h¿staz :8 -4x *2y (altura de la columna PO). A tinuación, se mantieneconstante¡ y se integ¡a respectode /, con lo cual, ie habrán sumadolas cuy¿ bas€estáen el plano xy(z : O) desd€rR(en donde y : ¡¡ hastaS (en donde 4¡ + 2y :8, o y :4-2x); l¿ integración,pues, se hace desdey : 0 hasta .¡r- 4 - 2¡. Finalmente,se suman las rebanadasparalelasal plano /.z, ofectuandola integ¡aciónentre x ==0 y x .= 2. Por Io tanto, rnos escribir ¡2

^Íl

45,2y dzdydx

/.q-2r

, 2 y 6 - a t - 2 y\d 1 d .x

x =0 y =o

45 I ló

}*'G-ut'd.r

= r2B

Nota: El r€sultado s€ puede interpretar fisicamenteconsiderándolocomo la masa de la en la cual la donsidadd va¡ía con a¡reglo a la ley E :45rzr.

2 ó . Se aF :U z i -x i +

y' k.

u^n", !!!v r

en donde I/ es la región limitada por las

x : o , y : o , y : 6 ,, : x2,z : 4.

l,a región ,/ se recorre(a) manteniendo¡ e y fijos e integ¡andodssd€z: x'hasta z :4(base y ¿ respcctivamente, de la columnaPO), (á) manteniendofijo ¡ e integrandodesdey:0 hasta),:6(de e n l a fra n j a )y ,fi ¡a l mente,(c)i ntegrandodesde¡:0hastax:2(endondez:rrco¡ta¿z: 4) . Así la integral es

ArI l0l

INTECRACION VECTORIAL

t :'l:

r_ 1::

1,:

l t + I t

t a

t :

,u" , - ", + y2k) dzdydx

¡ *

, r f"l'r:

dzdldx 2'';2 'f l,:Í,', 'Í,'1,'l: 1 28 i

24j

y2 dz dy d,

384k

volumende la región limitada por la intersecciónde los cilindros x' + y' :41 y x2 + z2 : a'.

7 7,

8 vecesel volumen indicado en la figura.

Volumei pedido

nliiz

nTo2-,2

B Ittt

,=0

y.0

ll'-o,

z=o

n /o 2 - t2 ¿

a,ava,'

r o 2 - x' dydx

=81

1o"- rt¡ at = $

r= a t= o

:,i-_l

102

INTEGRACION VECTORIAL

Problemas propuestos R(r): (3r!- ,) i +(2_ 6t)i_'4tk,haltar(a¡ l'R(r)dr y (ó) fn*() rr. 28.siendo Sol. (ot Q'- t"l2)i + (2t -3t.\ l-2r'k

m . Y^tt^, u i + 2 cosu i\ du tl fo"/2 "en

+ c (ó) 50i-32i-24k So/. 3i + 2J f2

f0.

DadosA(f) : f i-r'j

+ 0-

l)k y Blt\:2,,i*

6rk, hallar(a) l-

sot.(att2 (á)-24r-Tt + Tk t¡1 o*osA : ri - 3i+2rk, B : i - 2t+2k,c : ::+4 - k, tratta.{o{ t7

á.¿

so t.(o )0 (ó )-ti -;i +;k

@)Ío A X B d'. ^.Rdt,

. l x C ttt,6¡f

2 ¡ xlsv

La ace¡€ración de una partlculaen funcióndel tiempo, = 0vienedadapors :e-ti*6{t + l)l + 3 Sa b i e n d o q u e l a v e l o c i dadyyel despl azami entorsonnul osenel i nstantei ni ci al t:O, hallar vyr sn del tiempo (lcy de velocidadesy de espacioso ley del movimiento).

,9o/. v: (l -e-t)t-(3t'+6t)

i + (3- 3 cos¡) k,,r : (f - ¡1s-,¡ i-(r¡*3rt) j + (3r- 3 s€nr) k

33. La aceleracióna de un objeto en función del tiempo ¡ viene dada por ¡ : -j'j, sicndo g una Sabiendoque en el instanteinicial ,:0, la velocidadesv : ro cos 0o i + yo sendo j y que el des! esr:0, hallarvy¡en funcióndel tiempo, > 0, Estccasocorresponde almovimi€ntodeun proy€ctil por una piezade artillería con uD ángulo de elevación0o y una velocidadinicial de módulo vo. ,So /. v : rre c o s 0 q i+ (vosen0o-at)i , r:(rocos0o)ri + [(ro s€n8o)t-]gt' ], /4ta . l H a tta r l ' n .!a , ,J

s i A(2):2i -j

+ 2k y A (3):4i -2¡

+ 3k.

S o¡. l o

35. Hallar la velocidadar€olarde una partlculaque s€muevea lo largo de la trayectoriar : acos úrti + ó s€tr siendo a, ó, ú.¡constant€s y t el tiempo. Sol. labot k 36. Dcmost¡arque los cuad¡adosde los periodosde los plan€tase¡ su movimiento alrededordet Sol son cionales a los cubos de los semiejesmayo¡es d€ sus Íaye¡torias eliptic¿s (terc€r¿ ley de Kepler). 37. sie¡do A : (2y 'f 3) | * xz ! -l (yz - x)k, halh

. I A dr a lo largo dc las siguientos t¡ayoctorias t'

(a ) x :2 t' ,y :t,z :tt desde,:O n r:t, (ó) La quebradaque une los puntos (0,0,0), (0,0, l), (0, l, l) y (2, I, l), (c) La rccta que une los püntos (0,0,0) y (2, l, l). .so/. (a) 288/35 (ó) l0 (c) 8 /t l. - - - ¿

r 1..

3,6. SiendoF:(5¡l-

6x,)l|(2y-4x)!, taftar I F,d¡ a lo largode la curvaC del glao xy, y rC desde€l pu¡to (1, l) al (2,S). Sol. 35

.39r Siendo F = (2¡ + f) i * (3y - ¡) J, hallar I

f . dr a Io largo de la quebrada C del plano ¡/ qr¡c

lospuntos(0,0),(2,0) y (3,2). I ---

So/. 1l

¿fO,Haflar el trabajo roalizadoal desplazaruna particula en el campo de fuerz¿sF : 3x'i + (2xz - y)t a lo largo de, (é la roctaque une los puntos(0,0,0) y (2, l, 3). (ó) la curva x : 2t2, y : t, z : 4t, - t desde r : 0 hasta ¡ : l. (c) la curva definidapor x, :4y, 3x.: 8z dosdex :0 a x =,2. ,!oL (a) 16 (b) 14,2 (c) 16

INTEGRACION VPCTONTET

¡.n¡r

F.dr sicndoE:e-3/)¡

y C la curva cc¡radadel plano ¡/,¡:2cosf,

+('-2¡)l

Sot. 6n, si C se recor¡ecn el sentidopositivo (contrario al d€

dcsdc ,: O hasta ,:2r. ¡:3se¡i¡ b egujas del reloj).

lhodo T un v€ctor tangcot€ unitado a la curva C de ecuación r : r(¿), demostrar que cl trabajo rcalizado t¡

J Gplazar una partfculacn un catnpode fuorzasF a lo largode C vienedado por I F.Tds siendos ' Jc b longitud de arco. bdo -o

+(3/-4x)J, -. halhr f^ F'dr a lo largo dcl triánguloCde Ia Fig. l, (a) en cl JC (b) l4!3 Sol. (aJ -laf i¡dicado, (ó) cn scntido contrario al anterior.

F:(2¡

+/')l

l¿ -l-

-ro

l-,,'. lt" 9t.

, 213

quetr:(¡-¡)l A . dr a lo largo de la curva cerr¿da C detla FiE. 2, sabiondo

+(¡ +.r)t.

fudo A:(y-2x)t + (3.r + 2/) j, hallar ta circulaciónde A al¡ededorde la circunfercnciaCdel plano.ry So/. E¡ o oentro en el origsn y radio 2, sahiendo quc C s€ recorre en s€ntido positivo. f |nd"p"nOiente ac Ia trayectoria C d e nostrarque I A .' ar JC ", lE pasa por dos puntos rtados. (ó) DcmosÍar que existeuna función derivable C de forn,r que A : V{ sol. (b) ó ¿ 2"zy - xt z2 + constante i t¿itar sú expresión.

{ d S i A : ( 4¡ r - 3x ' z ' )i + 2 x ' t-z x tz k ,

un campo 'l€. fuer¿ascon*2)kes f.) DemostrarqueF:(/tcost*zr)lt(2lsen¡-4)t+(3x2r serva¡rvo. e) Hallar cl poencial esc¿lardc F. lc) Hallar €l.lrabajo r€alizadoat desplaza¡un cuerpo en €ste cempo desdc(0, l, -l) hast¿ (z/2, -1,2). + 2? + constant€ (c) 15 +4fl f,,l- (b) ó:r,¡s€n¡ +xzt-4y ./ DlDostrar qu€ F : /tr es conservativoy hallar €l potencialescalar. I)cdcrminarsi el campo de fuerzasF:2xzl

I +(22-x¡)k

*(x'-ñ

sot. 4: f, + "onu*ru es conseryativ(.

So/. No

Ittmostrar quc el trab4jo realizadosobreuna particulapara desplazarladesde,,{hasta-Besigual a la variaciólt la enerbfacinética€n dichos puntos, lanto si el campo de fuerzases conservativocor,o s, no lo es. E ¡ Ur i¡ do

, l . d ¡ a l o l a rg o d e l a c u rv a x ' * y ' :1,

A:(./z

* 2 x )l

€) Dado E:rr, f

* x z i * Qy

!2 2 )k ,

I,en el senti doposi ti vo,d€sde(C ,l ' l ) a (1,0, 1)

S o/. I

¿existouna función d deformaqueE:

-VC?

En casoafirmativohallar dicha función

O) Cslcular Q E'dr siendo C una curva simple cerrada cualquiera. "C a (q) ó : - -¡- + constante (ó) 0 U.

TNTEGRACIONVECTORIAT

104

yldy + x*nydz es una diferencialexac 53, Demostrarque (2xcos/ l zseny\dx +(xzcosr-x'sen : ' resolverla ecuación(2¡cos/ + z*I.y)dx +(xzcos/-¡ts€tr !\ dy I x*¡y,'t Como consccuencia, : ¡z sen constante ,to/. ¡' cos / + / l. /

/? Resolver(a') (e-v -l 3x'y') dx + (zt'y - xe-t) dy : O, (b \ (z -e -' * n y )dx + (l + ¿-' cos/)d/ I(x-B z)dz:0(a) xe-v ! xry': constante (b) xz + e-'str,ny + y-42': Sol.

.? SJ. si O : 2.ty'z + x'y, halhr

sonstante

d </r siendo C :

(¿) Laiurva¡ : t, y : l', z : r! desdo, : 0 hasta, : l. (ó) La quebradaque une los puntos(0,0,0), (1,0,0), (1, 1,0), y(1, l, l). tq

sot. (a) asi+ 15¡+7 ; k (ó ) ; i

¡k, hal l a¡ f

5 6 . S i e ¡rd oB :2 y i -z i *

t : nl 2.

d e s d er:o h a s ta

i 2k ,,

Ora l o l a¡go de l a curva ¡:cost'

v:sar r t ,

z: 2

S ot. (2-;)i + (z-l )i

(A x B) x dr alrededorde la 57. SiendoA : (3x + /) i - t , + (-/- 2) k y B : 2i - 3j + k, hallar I Jc Sol. 4tr(7i+ del plano¡/, dec€ntroel o¡igeny radio2, recorridaen el sentidopositivo. cunferencia fr lr

Hallar I I 58. / .,rJ 'J'l

I 'n ¿S

cada uno de los casossiguientee.

(a) A: yi * 2xizky S la superficiedel plano 2¡ * I : 6 situadaen el primer octante y limitadl e l p l a n o z :4 . (ó) A :(¡ + y")l-2rcj +2yzk y S la sup€rficic del plano 2x * y + 2r:6 situadacn el prime¡ (¿) (ó) 8l .to¡. 108 59, SiendoF :2y i-

zi + ¡tk y Sla superñci€/':8¡

situadaen el primer oct¿ntey limiiadapor los

y : 4 y z -- 6, hallar f l

F'tr ds.

sol. 132

?¡

II 6(). Hallar JJ ,f :0 ,

z :0

S del volumenlimitadopor el cilindrox' I z" :9, x A'ndS extendidaa la superfrcie e y:

g , s i endoA :

61. Hallar JJ

6zi t(2x

+ .y) j -¡k.

,5o/. l 8z

exiendídaa: (a) la superficieS del cubo unidad limitado por los planos (

t'¡dS

ylosplanosx:

t, y:

l, z:1;

(ó) la superñcic de una esferade radio 4 con c€ntroen (0, 0,0)'

sot. (o) 3 (D 4't' 62. Hallar

ff tl J J

lt' n aS oxtendida a la superñcie del voluñeo situado por encinra del plano .ry y

p o r € l c o n o z ' :x 2

Iy '

y el pl a¡o z :4,

si endoA :4xzi * xyzri * 32k.

Sol. 32O a

63. (a) Sea n la proyección de una supcrñcie S sob¡e el plano ¡/. Demostrar que cl área de la supcrficie S

INTECRACIONVECTORI,-¡-

F(x,/, z) : 0? :-.L esel áreade la sup€rficic S dgecuación

105

Á__ / óF .2 voxóyóz

1 2 l i m i ta d op o r: (a) x :0,.y : O,r:

.dF.2

drdy

la F l

. ar eadc l plano¡ + 2 y + 2 2 : ' - :.' : t6. Sol. (a\ 312 (b) 6n

-<-_-.óF.2

l ,.y' = l ; (ó) ¡:0,r:0,

: á¡ea de la superficielimitada por la hters€cción de los cilindros x" * t' : a. y xz + 22 : a2.

y(á) , . ff rv,.>.nds Ií,

s i e n d oF:(¡

+ ' 2y\i -3zi

l ,¡k,

d - 4x ]-31,-22,

.tJ

-i ':;perficie de 2¡ + y + 22 :6limjtada : i ( b) 2i *i *2 k

Po r ¡:0,

y:2.

x:1,Y :0o

: :: el pr oblem aan te ri o r,s i e n d oS l a s u p e rñ c i2ex + y + 2z:6l i mi tada

por ¡:0,

)' :o,

y z:0.

: 92 (b)'12i136i+72k ll

-l JJ

,',2+tz d.xdy extondída ala región.R delplanoxy limitadapo¡¡' * y' : 36.

,urrror,

:2yz:0.

siendoI/el volumen limitadopor el cilindroz:4-x'

Sol. l44n

y los planos.r:0,

So/. 30/3

iim it adopor los p l a n o s¡ : 0 , t:O ,

.]J J v z :O

y \ b \ lf f V , rd y . s ie n d o v e l

!x:- 3 2 ) i- 2 xyi-4xk,nuttar <Of f Ii.F d v

JJJ v

y 2x+ 2y* z:4-

S-,..8..8 oL (a) i

(¿);0-k)

r)l'

-l

1.- --

Ca ítulo Operociones¡ntegroles Teoremode lq divergenciq,leoremo del rolqcionol y olros leoremosinlegroles TEOREMA DE LA DMRGENCIA wERGENCIA DE GAUSS. GAUSS. Sean, Sean,Z el volumen lirnitado por una cerrada3 y A una función vectorialde posicióncon derivadascontinuas;entonces t t t

JJJv.^dv r, s J

= ff JJ^.r,ds $)e.as t t

siendon la normal exteriora S (positiva).

TEOREMA DEL ROTACIONAL DE STOKES. SeanS una superficieabierta de dos caras curva cerradasi:nplesituadasobrela superficieanteriory A una funciónvectorialcon derivadas

f o'o'

-c

ffo,n,.,rs - ffrv"n,.a"

en donde C serecorreen el sentidoDositivo.El sentidode circulaciónde C es ¿osirivocuando vador que recorra la periferiade S en dicho sentidoy con su cabezaapuntandohacia la normal a S, deja la superficieen cuestióna su izquierda.

TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO. Sea.Runa regióncerradadel plano x), limitada cuwa simpley cerradaC, y M y N dosfuncionescontinuasde x e y con derivadascontinuasen -R;

' cf

r o, t r n,

fl,* - *,*,

cuando C se recorreen el sentidopositivo (contrario al de las agujasdel reloj). Mi€ntras no se lo contrario, supondremosque yl' significaque la integral se efectúaen una trayectoria recorreen sentidooositivo.

t' f

El teo¡emade Green en el olano es un caso Darticulardel teoremadel rotacional de blerna4). Tambiénesinteresanteobservarque el teoremade la divergenciade Gaussesuna del teoremade Green en el plano, sustituyendola región pla¡a R y la curva cerradaC que la lir la región tz del espacioy la superficiecerradaque la limita Sirespectivarnente.. Por estarazón,el de la divergencia de Gauss seconoce también con el nombre de teorema de Greenen el espacio

El teore¡nade Greenen el plano sewiifica asimismo,en el casode regioneslirnitadaspor ñnito de curvassimplescerradasque no secortan (problemasl0 y I l). 106

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

107

INTEGRALES.

té.f, * (vó\.Nq,\)dv = ff ,rrrr.o" Ert

J es ef tcorcma o pr¡mer.i ident¡lfqd de Greer.

@V',!-,t,V'6dI'

at I lttVp

- ú,Vo).ds

5 cs cl teolcnu

s¡núlrico

o saguulu idutt idul lc, G rt'rn (probleura 2l ).

ixrdv = ffo*otas = lfo"-o 3S Obeérveseque cl producto cscalar dcl teorc¡na de la divergencia dé Gauss se ha sustituido

r| productovectolial(problcnra 23).

rLI

rf | llnxY E ¡dS

rf lldsxYa

por el símboloo un producto escalar,un g una función vectorialo escalary representando vectorialo un oroducto ordinario. se verifica:

III,"r,, =il""r" =ll,"",t v

{*. "c

* = ff ,,,v," +os= ff ,0",r', "q

ma de la divergenéiade Gauss,el teoremadel rotacionalde Stokesy los números3 y 4 anson c¿sosparticularesde esteúltimo (problemas22,23 y 34).

tlA INTEGRAL DEL OPERADOR'V, De acuerdocon la terrninologlaempleadaen el Procs interesanterepresentaral operador V en la forma

vo ribolo

t\ ,h # n ' AJ

o rep¡esenta un producto escalar, un producto vectoríal o un producto ordinario

I-a utilidad de esta forma de proceder la vcremos muy claramenteal generalizarlos conrats, divergenciay rotacionala otros sistemasde coordenadas(problemas19,24 y Ca.-

TEOREMA DE LA DTVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

Problemae reeueltoe TEONEMA DE GNEEN EN EL PI./WO l. Itcnogtr¡r cl tcor€Nns dc G¡con€n ol plano, ¡icodo C um cr¡rva cc¡rad¡ quo tieno la propicded dc que toda r€ct¡ p€¡¡bla a uno dc loc eis coordaoadosla corta a lo ¡u¡¡o m doEptmtor, Scan,y y'1¡¡ 3 : rl¡) l¡s cr¡acioncsdo las cr¡r- rcrfr¡c'üva,mento, quoapa¡cconen la figura vasAEB y AFB, " adjunt¡. Si ¡ c. l¡ t!8ión limitada por C,

ffav . . = JJ t"',"v

= l"'roat;wl,', * =['"'o"'*"],' .[.'1,={^:' -l'ro.ru* - foro,r,rr'= -frr*

(r)frrr". -$Vr,r,

For lo taúto,

Análogat .nto, tú x : X{ll

y x : X.(1t) son las cq¡acionc¡ do l¡s c1¡rvasE¿F y EAF,

n*,, I!*,.,,=J:1,"{: *'1"'- ['P,,'',= Porrot¡nto, /.\

, nu.,na,= frnr, n<*''rto, !r" fl (2,

r*"i-

f!*r';,

- {ta'+.

sr¡n¡¡do(¡)y(2), {ro,no,

C@probas cl borm! dr Grür cn cl pl¡no f. een ta intant f l{ry +y2l !* + 12 dy úñ ? \_. C la curva ccrradaquo¡iüit¡ l¡ rtgióü dcGnld¡ POrt:¡et:t'.

ií ñilf*Iffi"'T o"""?,tilTü;ri sonridopoeitivo cn qr¡c ao ¡scon¡ l¡ úca C.

$:*

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL *

n' ¡ g?: a lo lar g o -d ey :

¡, e s ,tr¡,.fr { C ,r i .. { r.r-l

a t.? l

.l ¿o

Gla\ + za)dx + (x2\(2')d,

J¿o

o'" * ó a" .=

* c:cr--al a lo largo de .r : x desde(1, l) a (0, 0) os lo | (f"lr'l

I P) dx

= -*

p€didavale = curvilinaa .,JrrE¿ integral i3-t rr f f .¿ ¡t ¿M.. =

JJ,;;: - fitaxar RR

| I o-ztt¿,¿,

'{+

i,/

| e-zttdvdz

t= O f=t2

['tf'(,-2 vrd r)d , Jr2

-1

^ JJ rf;e't -fit,v'v'¡)a,av

fo 3x2¿1. = | .tl

+ 12dx

[' pv- vo¡ l't' ^*

-ñ

@ 4 - x3 \¿ x ¿

tJÉ cl tcorema s€ cumDle.

: la demostración del t€or€ma de Green en el ¿:¿ en el probleria l, a las curvas C quc sean corlc aás de dos puntos por re,ctasparalelas ¿ los ejes

-"n.de¡emos una curva cerrada C como la inücada T::-a y que puede ser cortada €n más de dos puntos ras paralelas a los ejes. T¡azando la recta 57, la leda dividida en dos, Rr y ¡Rr, que son del tipo en el problema I y a las cuales se puede aplicar de Green, es decir, t¡

t¡ t¡

I tr a t+ Nay= J,r(+-!)¿'¿y J'¿x J ¿"

sfu

f ,,, *r, = II ,* -{ta,ar Jrft R2 SEando los primeros miembros de (J) y (2), sin escribir el it¡t€grando M dx ! N dy, se obtione,

T- T = T -T -T,T= T-f = T

ff¿J

,'?

JM,'

TIJS

SVT

TIIS

SVT

TOSVT

encuentaquc I. f ,tf

iünando los segundos mi€mbros de (l) y (2), omiti€ndo asimismo el integrando,

109

TEoiEMA

ll0

DE LA DIVERGENCIA. TEoREMA DEL RoTAcIoNAL

il- [ I RTRZR

Siendo R la ¡eunión de las regionesXr y R¡, l'

Porlo tanto, I Mdt+N¿y = J IUSV!

¡. n

llt!

JJ R

^-.

d¡

- lya,ay óv'

, comosequeriademostrar.

Una región R, como la consideradaen el problema l, en la cual toda curva cerrada cualquiera cn ella se puede reducir continuamente de dimensiones alrededor de un punto sin dejar de so llamz simplemenle corexa. Una región que no es simplemgnto conexa es múltiplemente conex¿aplicado el Teorema de Green en el plano a regiones simplemente conexas limitadas por curvas plan problema l0 se gpneraliz¡ el teorema a regiones múltiplemente conexas. En el c¿so de regiones simplemente conexas más complicadas, puede ser nec€sario tr¡r¿¿r como la Sl, paxa aplicar el teorema.

4. Expresar el teor€¡na de Gr€en en fonta v€ctorial. S e t¡e n e , ¡t¿ r+,rydt, = (Mi+ N j ). (dxl + dyl \ = A .dr, cual lr = dxl+dyt.

si endo A = Mt+ dJy

r =r l+yt

También, si A = Mt +NJ resulta

rjk Vx A

dedonde, 1V*e¡.r ; $

9¡ . ,P-*, *

aaa 7z ¿y MNO _1.

¿M oy

El tsorema de Gr€€n en el plano se puede escribh en la forma

I e A.dr = uc

n" | | 1 V xe l. h a , i

si¿nd6 d¡R= dz dy . La generalización do este resultado a superficics S del espacio limitadas por una curva C teorenu dcl rotqcional de Stoker que s€ demuestra on el problema 31. Otrc m¿todo.

Comoante,Md¡+ N dy : ¡ ' ¿, : e,' fi * : l'ras . dt

: T : r¡ector utritario tangentea C (ñ8ura adsiendo fi junta). Si n esel vectorunitario normal exteriora C, entoncrs T:kxn,y M dx * N dy : A.T dr : A'(t x¡) dr :fAxk).n

comoA : Mt+Nl ,B: Axk: (Mt+tvj)xk: Nt-Ml, AN AM resula -- ---: v.B. E¡ tcor"made Greoncn ol ox ot plano sr expresapor f {n.na. J. '¿ slndo dR : dr dy.

f f llV.BdR JJ

TEOREMA DE LA DryERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL zación de este c¿so, sustituyendo el elemento de lín€a, o diferencial do Ia longitud de arco cerrada-C por la difc¡enciál de área dS de una superñciecerrada S y la región plána R corr€spofC por el volumen Z encerrado por S conduce al teorema'dc Ia -üverienc¡a de Griin L G¡een en el esoacio. -rada

v",, [[f v

6¡r¿¡üquien pcn€Dar ú4ex4 ls DlaDt

firi;amente el primer resultadodel pro6lema4. r campóde fuerz¿sen el quo seencuentrauna partfcula;entonces,f n . ar eset trabajo real! JN

d¡splazar dicha partícula a lo largo de una trayectoria cerrada C y su valor €s V x A. De aqui sc ¡¡i V x A:0, ó bien, si A: Vd, la integral a lo largo de una trayectoriacerradaes cero..E¡to que el trabajo realizado para desplazar una partfcula desde un punto a otro es indcpcndiente de l plana que se siga para ir del uno al otro, o bien, que el campo de fuerzas es conservativo. E demoskado ya en el caso de campos d9 fucrzas y curvas alabeadasen €l espacio(Capltulo 5). Ernente, si la integral anterior os ind€pendionte de la trayectoria qu€ une dos puntos de una ücü, si la int€gral ¿ lo largo do una línea cer¡ada es cero, rsulta V x I : ó. En el plano. la

tF x A : 0equival"t

:$,

siendo e : Mi + Ni.

i2,r) (lox' - 2tyt) dx - lx'yt dy a lo largo de la curva¡r - 6xlr : 4Jli. c¡q¡lo directo de la integral es diffcil. Sin emba¡go, teniendo en cuenta que M:

::r,

y,ox

l0xt -2xy.,

* de.duceque la int€gJql es independicntede.la Lra¡4:!!gria.En

podemoselegir una línea cualquieracomo, por ejemplo,la quebradaque une los puntos 0) y (2, l), en este orden.

queunelospuntos (0,o) v Q,o),y : n b larsodersosmento tl,":*l -* , o. , :"" t- t il'i = 6{ . t ( ' á) ; ,J" ro radr :2, : que puntos (2, y (2,1\, y fargo del segnento un€ los 0) x dx - O la integral vale pc dida: 6 4 -4

AM A"

(

AN E,

(Ox.

(10la -?tcys) ¿, -

¡^I 12r'¿!= -a. J -

:6 0 .

y=0

2xy.) dx -

3xj2 dy

3x'y, dy 6 una diferencial

['"'"

"(0,0)

dQts -*t\

exacta (de 2x6 -

ri¡),

,t2.n = 2tó - x2y3'(o,ol = OO

que el área limit¿da por una cuwa simple ccrrada C viene dada por $ i| r dy - y dx . JC €n €l teorema dc Green, M : -y,

xdy - y dx

N : .r, s€ tiene

il,$<o - f,<t>)a"a, = z[[P f

I el área pedida. Por lo tanto. ,{e = i f , a r -r a ,.

o'a,

podremos

7+ f

,t" .y'/

r-TEOREMA DE LA DIVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

II2

t. Hallar el ár€a de la elips€ ¡ : o cos 0, y : ó s€n 0.

= +$zd y -y d x = , I ' "

rc o s a \ f t ' c o s l)d 0- g *

= ¿f'" ou1.o',0 + xnz\¡a0 = t

9. Hallar

r Q rc

O )e a * \0 ) d e

* d0 = nob

f'"

0 - *n x) dx + cos x d/, siendo C el trián-

gulo de la ñgura: (a) Dir€ctan¡€nte. (ó) Aplicando el te,oremade Green €n el plano. (a) A lo largo de OA' y : O, dy : O' y la int€gral val€

r"h rh (0-s€n')dr + (cos¡)(o)= J" J I

-s€nrd¡

= cosr 'tt/2 lo A lo largo de AB, x :

¡L

J" A lo largodc8o, y :|,

'r!-*ou*

$ "'

= cos',

: O, y la integral vale

(Y -t )o * o d Y = 6

o, : I a*,v t^integralvalc

,2"o',d, = (+ *.o",,?nn'¡ll*

La intelal a lo largode C = -r (b) M = r -*i,,,v

= -r.n,,

+ o + 1 #

T -

7r 4Tr

' 4 'r l

= , tO" OonO"

* r, = II ,* -{to"o, = - '\dvdr [['n*"' R

=rulr x =o

(-s€n¡

- 1)

Ly= o

= .[" " n + n n ,- ]> a "

2, -ñ\-

¡ ¡/z

Px/" (-y s€nr - 7) lo

,co s¡ + se -n*l,)!

= -+

que coincidecon el rosultadode (a). que aunqueexista una rgcta paralelaa un eje coordenado (el propio eje r €n este Observese corte a C en un núme¡o infinito de puntos, se siguoveri6candoel teorsmade Greenen el plano. En teorena es válido aún en el caso de que C ostéconstituida por un número finito de,/segmentos

10, Demostra¡quo el teoremade G¡een en el plano tambiéo se verifica en el caso de una región R conexa,como la representadaen la figura.

l,a región sombreadaR de la figura es múltiplementeconexa)ya que no se cumple que toda so pueds ir roduciendo hasta un punto sin dejar de

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL ¡. ¡ como se pueds observa¡considerando ri

:...ada cualquie¡a que rodee a, DEFGD.

d€ R, que exteriorme¡te 6 AHJKLA e DEFC, se rocorre en s€ntido positivo, G :orma que un obscrvadotque se desplacc 'ñ'ips de la región en dicho sentido deja a esta ¡ = üquierda. !b

lÉdrostrar el tgo¡oma, tracomos la reata AD, rr'aro. oue una los contomos exterior e intelaain limitada por I DEFGDALKIHA es sim=cra y, en ella, se puedeaplicar el teorgna E¡ cstascondicion€s,

= Md,+Ndy II ,*_{,,"0,

ADEÍCDALIJIIA

= T-I DE1CD

AL.IJfll

¡¡

^ !, u o,,u ay = II ,* - !o-' t o, o,-'- ') \

i i,

; l. ¡1 )#

que el teoromade Creen en el plano se verifica en la región,R de la ñgura, Iimitada por las cuwas :trradas C' (ABDEFGA'),C, (HKLPH), Ca (QSTUQ) y C, (vtrXYV).

l:¡.'emos las barrcras lF1, LQ y 'l:V. La región limitada por AHKLQSTVWXYVTUQLPHABDEFGA conexay en ella sepuedeaplicar el teoremade Gre.en.t¿ integrala lo largo de estecontomo es

l* ti

f* nt{L

J-

iffff

f 'l r JJJJJ QSr

r l-

VyXyV vr

, r1Q

[, T-T- T

LP]I

IIA

ABDXNCA

fas integrafesa lo largo de AH y HA, LO v QL, Ty y VT 9e anulan, resulta

I i, .l

;

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

I l4

I - T- T " T I

11KL

ÍlQ

VvXfV

83r

({,'

(¡,.

,{,)

= I. ítrLPIl

LPE

IAQ'

+ [ 8STA8

I T-T

ABDEFGA

YYXYY

IBDSÍGA

ABDENGA

IIIXYT ff

fff

= f + l+ l

* l= l tl v1

siendo c el llnite formado por C', c", C' y C.. Por lo tánto, t ua,,nay = $ Jc

'¡ '!t¿'¿t ll, + dr - ! !Ót

trt

como se quería demostta¡.

Demostrargue $ u dx + N dy :0 a Io largode una curvacerradaC en una regiónsimplemente Jr .A M si, y solo si, u,

AN en todos los puntos de la región. ¿x

Supongamosque M y N son continuasy con derivadasparcialesasimismocontinuasen todos lc: de la región lR limitada por C, de forma que se pueda aplicar el teoremade Green. En estas

f si = =* ay

u o ,,,o ,= II,* -{ ta ,a ,

* . R,e n t o n c e s , o ' * Nd y = ¡. f aN

)l --Reciprocamente,supongamosque Q M dx -t N dy : ¡ puru toda curva C. ^. ^ Jc AM AN punto P. de la continuidadde las derivadassededucela desigualdad > 0 en alguna aV a que rodea a P. Si f es el contomo de ..1,s9 tiene

$ uo,. , a,

f f , d'' . 1- ! , , 0, 0,' o

to"

que secontradic€con la hipótesisde que la integralcurvilíneaescero a lo la¡go de toda curva cerrac.

gamente, enel casode

tu"zoff-< 0 sellegatambiéna unacontradicción.

cn todos ios puntos. "*# ¿V oM eouivalea v ' A :0, siendoA ' Mi 'r Ni Obséne.eQuela condición ,y ll, Cap. 5). En el probl€ma 3l"* veremosuna generalizacióna curvas en el espacio.

TEOREMA DE LA DÍVERCENCIA, TEOREMA DEL ROTACIONAL

'J,

(ó.J ) H al l ar

(a ) C a l c u l a r Vx F .

II'

Q r' dr a Io l argode una curvacerrada

:: -!:-_ :: aesultados.

,71 f.ir

¿ dy

;¡-7

f -t d t + x dt 9-.

= 0

€n toda región,excluyendoel punto (0,0).

pseny' , si endo

pcosÉ y:

Hasamos€l cambio de va¡iabl€s x:

,- + f'

: -35 coordenadaspola¡es. Entonces pser,l. dó + d p c o s q ,

dy =

p cos ó dÉ + dp s.rre

::-_ ..r que

:--. :ra curva cerradaABCDA, Fig. (a), que rode€ al origen,ó:Oan ::

Ay?4 - 2z despuésde O, = ,,.

:.:1¡leta y llegarde nuevoa ,4. Eo estecaso,la integralcurvilineavalL' I .ó

Fic. (ó)

Ft s . ( a)

?¿ra una curva cernda PQRSP,Fig. (ó), que no iode€ al origen, ó :

óo en P y d :

,: --: ;ompleta y volver de nuevo a P. En cstg caso, la integral curvilíneavale C o moF :

M i+

N i ,l a c o n d i c i ó nV " F :$ e q u i v a l e

" U {:

do despuésde una ¿@ = o.

ryr; y pa¡ececomo si exi sti erauna

-:::dicciónen lo dichoen el problema12.Sin embargo,no €s asi pucstoque 11 :

Yt :

;, i¡ -{.; :renederivadascontinuasen una regiónque rodee al punto (0.0), que es Ia hipótcsisdel problema12.

.\IA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS. en cootdenadasrecEnunciar el tooremade la divergenciade C;aus!y (r) expresarlomatemátic¿tnente üngula¡es. La integral de superliciede la componentenorm¿l de un vecto¡ A a t¡avés de una superficiecerradaes igual a la integral de la divergenciarle A en todo el volumen €nccr¡¿dopor dicha superficie.

IIó

TEOREMADE LA DIVERGENCIA, TEOREMADEL ROTACIONAL ¿A" (ó) sea A = Ati+Az!+,431.LuesodivA = V.A = + {f' o, - +o1 El vccto¡ unitario normal exterior a S es n : ¿, i + ¿r i + ¡r, k. Por lo tanto, ,r : r . i : cos n : n ' ¡ : cos É y rrr : n ' k : cos /, siendor'¡,¡'ly T los ángulosque forma la normal n con los positivos .r, /, z, o lo qu€ es igual, con los vectores¡, i, k. Las magnitudescos a, cos f y cos ? son cosenos directores de la normal n. En estas condiciones, A. n

( A l - i + A 2 ! +. {s k ) . ( c o s f l i +c o s É j +c o s 7 k )

lr cos d + Az cos !-1 + .43cosy

con lo cual, el teorema de la divergencia se pusde expresa¡ en la forma

JJ ér"oto

+ Azcosg+ ,{"cos7)ds

15. Demostrar, físicamente,el teorema de la divergenciade Gauss. SeaA : velocidadv en un punto cualquierade un fluido en movimiento. De la figura (a) se deduce: Volumen de fluido quc atraviesa¿/Sen Jf segundos : volumen contenidoen un cilindro de basedS y altura v/¡ :1 vl rl ' ndS :t' ¡dS ¿t Entonces,volumende fluido por segundoque atraviesa¿1,S--v . n dS

Fis. (o)

Ft3. (ó)

De la Fig. (ó) se deduce:

Volumen total de fluido po¡ segundo que emerge de la superñcie carrada S

II "'"0' t

j . r.lV es el volumen de fluido por segundoque emergede un elemento . Del problema 21, Cap, 4, volumeny'/. Luego Volumen total de fluido que cmergepor segundode todos los elomontosde volumen de S

=III , ",, v

Por lo tanto,

II "',0'= Iil Sy

Y.v dV

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL :host.ar

1t7

el teo¡emade la dive¡genciade Gauss.

{ SeaS una superficiecer¡adaen la que toda recta paralelaa los ejescoordenadosla co¡ta a lo sumo en dos ¡,Étos. Suponiendoque las ecuacionesde las supgrficieslímites inferior ü y suDerior,S"son ? : ,l(-r. y) v :: f"(x, z), respectivamentc, y llam¿ndo n a la proy€cciónde la superficiesoQri el plano *¡, se iiené" -

= ill{o"o,o.= uru o,a. lfiY;,, ill .f'""'+ oz a,f '" v v l,=í,u,, J

.f-

= _ A"{x.r.f,\) dydx JJ e4,.",,t1'l_,,ara, JJ to.o.r,,,\

En la cara superior Sr, dy dx : cos y, dS2: k . n¡ d,Sr,ya que la normal nr a S¿forma un ángulo agudo -¡ con k. En la cara inferior S,, dy d.x - ¡btuso /1 con k.

Porloranto.

cos yr dS\:

- k . nr /^Sr, ya que Ia normal n. a .!r forma un ángulo

e"p,1,¡,¡aya,

o'o' i f o"<''''t't R

rf rf .t"t,,1,rr1 aya, -. e"r<.o, as" JJ JJ pS2 ff ll JJ

rr ll.{st.n1ds1 ' JJ

[[ ,?

o"o'''¡'to'o'

[[

o " u . n " o r" *

,t2

ff e.x.n,as, 31

ff,' o"*.,0, [[ o.*.. o, s Análogamente,proyectandoS sobre los otros planoscoordenados,

l-116

TEOREMA DE LA DIVERGENCÍA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

(á)sea

= A ti+Ac j+ . 4 3 kL. u e s o d iv A= v . A- d r ¿ )P¿ z+ -+ -+ . -

El v e c to . u n i tari onormal exte¡i ora.t es n: n,i + n" i + ¡,k. P or l o tant o, ¿r : : t . i: ¡¡¡ -= n ' j : cos/r y /¡r : n k : cos y, siendoc, l/y), los ángulosque forma la normalnconlos positivos¡, /, z, o lo que es igual,con los vectoÍesi, j, k. Las magnitudescosa, cos i9 y cos ), cosenos d¡rectores dc l¿rnormaln. En estascondic¡ones, A.n

(A \i + ,42! + ,43k)' (cosat i + cosÉ j + cos7 k)

.4r C oS ' Y+ /z C os.i | 4" C OS )

con lo cual, el teoremade la divergenciase puedeexpresaren la forma ttl ttt " í"

¿4, dA " ¿A (= - * - o: * o, d7 d¿ -b¡a.a7a,

f f r¡r" o.n, urt

ttrcosfS - { 3co s}) ds

15. Demostrar, físicamente,el teorema de Ia divergenciade Gauss. SeaA : velocidadv en un punto cualquie¡ade un ffuido en movimiento. De la figura (a) se Volumen de fluido que atraviesar/S en .11segundos : volumencontenidoen un cilindro de basedS y altu¡a v,rf : (r¿r) . .t dS : t .n dS lt Entonc€s,volumon de fluido por segundoque atraviesar/S : v .n dS

Fis. (o)

Fl 3. (ó)

lre la Fig. (ó) se deduce:

Volumen total de fluido por segundoque emergede la superñciecerrada S

= II "'"0' .s Del problema21, Cap. 4, j .r.lV cs el volumende fluido por segundoque emergede un volumeny'/. Lueeo Volumen total de fluido que emergepor segundode todos los elomentosde volumen de S

=III , ,,, v

Por lo tanto,

TT"."O'= TTT s¡ ¿

Y .u dV

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL d teorema de la divergpncia de Gauss.

superñciecerrada en la que toda recta paralela a los ejes coordenados la,corta a lo sumo gn dos L,suna E $poniendo que las ecuaciones de las superficies llmitcs inferior S. y supcrior S¡ son z : r(r, /) y z), resp€ctivamente,y llamando X a la proyección de la superficie sob¡G cl plano .xy, sc ücnc

III** ú

= III.4'n"n,o" = ul ill v

oza")a,a, ¡r'attae L"=|,o,, J

= JI n",,,,,u1!=,.+r, = dy¡', u"a,,,r;- a.e.y.rLtf [! P -R h

la cara superior &, dy dx : cos y,dS,:

k . q d$, ya quc la normal nt a Sr forÍra utr ángulo sgudo ya que la normal nra,S, forma rm ángulo

E la c¿rainferiorS,, dydx:-c$yLdg:-k.n¡d5,,

rorfotanto,

[f fJz

= ^o,r.ornro,

f f n"r.,,or,

f/.

flxJr n""'''"'0"

ff n"r'"'n"

e"a,y,¡;aya" - JJ he,t.tL\drdx= JJ ff

f f f

, ff 4t.o,as, jf n"*.,,ts, | | ¡"tr'n ¿s 3

ta l = ¿7* = JJ t"voas (¡) JJJ :\t

f f

proyectando Análogamente, S sobrelos otrosplanoscoord€nados,

TEoREMA oE r-e ow¡RcÉNcIA, TEoREMA DEL RoTAcIoNAL

= JJff 0.,.,0,

e\ JJJ fff4*¿x v3

( 3)

f f f ¿a-

f f

tll+2dv AY

.t t A,i' t' ds

JJJ

YJ Sumando(1), (2) y (3),

fff , +ó,, ¿ p ,óy ( ¡ o n óz

JJJ rJ

f f , o u + A 2 i+ A B k ) .¡ d s

IIIr'^',= [[ n'""

o bien,

I¡

El teorema se puede generalizara superficiesque ssan cortadas por rectas paralelasa los ejes coor nadosen más de dos puntos; pa¡a 9llo, sesubdividela región encerradapor S en subregionescuyas línrites satisiaganla condición anterio¡. El procedimientoes análogo al utilizado para el teorema de C en el plano ! rf 1 7 . H a tl a ¡ | | f.n a S, si endoF - 4xzi JJ 3 y :o , y :1 ,2 :o , z: l .

y' i + /?k

y.S Ia superfi ci del e cubo l i mit adopor x:

O,¡

Segúnel teoremade la divergencia,Ia integ¡al pedida vale

frf_

= JJJ v.Fdv vv

¡ I +f)it - f ) - &t r "t lav J J J lüt * , ' rrrf

rff

JJJGz- y\d v

Y ft

J Y =o

J,n " - ,,0 ,0 ,0, z=o

| | JJJJ

J t=o

222-yz

,_^d1 dx

tz-ytdy ¿,

La integral de superficiese puede hallar también di¡ectamentecomo en,el problema 23, Capitulo i

18. Comproba¡el teoremade la divergencia de Gausspara¡:4xi-2yzi p o rx ' * t' :4 ,2 :Oy z :3 .

+ z'kextendida a la región

rrr'-; f'r = Inregrardev o = rumen J J J lf , t t , t JJJo.^av

*P q ., - r " , , * P,"l oz l J ¿ z

t f f

J J J G - 4 y - 2 2 ) d v't

ftE=?

t=-z y=-,fi-P

G - av- 2 2 \d ¿ d yd ,

¿=s

La supe¡ficie.9 del cilindro está formada por unas bases^5'(z : 0) y & (z : 3), y la porción S. (¡' t /' : 4). Por lo taoto,

TEOREMA-$E-LA

DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTACTONAL

hregrardesriperñcie= II^ñt

-,,, =-.--t-

fi^.,nr,t ü

IIn."or,* ¿

nnor"

n -o,r:r).fiJ:,r:0, derorma que fi

^.,rr,=0.

+ 9k y A 'n lC, a" formaque

A:4xi-2y,! ||.

lI9

t.n as" = s

as, = 362,p¡65 6¡¿r"ades": 4n

La perpendicularxs + /¡ : 4 tienc ladir€ccióny sentidodel vector v(¡' * /? :

2ri +

.¡

O MI dV = dr dy dz

Do la figurásededuce,¡ :2cos 0, y:2sen0,

dS.:2ñdz,cenlocual,

ff f 2Í ¡ 3. - "1Zsen0'¡?I 2 ¿t ¿6 f f n . n as" = ¡ | [zq zco e0¡ 's"/=ó "!o = .!"" o, e 48*ff q.de = n, cos2 0 da = 4Bn ¡ "o"" I'"

e=o

er=o

La integral de superficievalc 0 * 362 * 48¡t : E4n, que 6s igual a la integral de volumen, quedando ¿l teórema de la divergencia. Obsérveseque la integral de sup€rficie sobre S" se podrla haber calculado proyectando ,5" sobre.losplanos xz o yz, div A es la diverg€ncia d€ un campo v€ctorial A en un punto ¿ d€mostrar qu€

div A

,r," {of ^' ar-o LV

donde / f€s el volumeo limit¿do por la suporficie /S y el límite se obtiene cu¿ndo / t/ se reduce de dinpnhasta el ¡.

'- -= ; > ' - -

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

I2O

dtv A dv Segúnef leoremade la divergcncia, JJJ AI

[[

^'"

Segúnal teor€na del valo¡ mcdio de las integrales,el primer miembro es

= ¿r'¡ ¡r'

¿r"r lll¿r t&u

siendo div A un valor compründido cotrr cl máximo y el mfnimo d€ div A cn ¿f. Por lo l^rtlo, ff

dtv A

| | A .n ds r=¿-

Hstlando cl llñitc cuando ¿y + O da forma que P sca sicmpre interiot a /l/, punto .P; h¡cgo

dl vA

Il m Af-o

![ S ^'"rs

A ti€nd€ a div A -iv

Estc rpsultado se pucde tomar como definición de divergcncia de A y, de é1,dcducir todas las incluso la demostración del leorcma de la divergcncia. En el Cap. 7 utilizaremos esta deñnición para duci¡ €l concepto de divergencia de un vector en otros sistcmas de coordonad¿s, Ffsicarn€núc,

Jl *"as Lv rcpEsGnta el flujo del vator A a través de Ia superfrcie /S por unidad de volumen. Si div A es positiva en proxim¡dades dc un punto P signifrca que el flujo que sale de P €s positivo y dicho punto se llama Análog¿Írente, si div A es negativa en las proximidades de P, el ñujo que sale dc P cs negativo (€ntra y €l punto * llarm sumidero, Si una región carcce de fuent€s y de sumideros, div A : 0 y, en eslas cor ncs, A Gsun car¡rpo veto¡ial solenoidol,

m. Hallar

ccÍsda. tt, si€ndo S unasup€rficie

ilr." t

Por cl t€orcm¿d€ la diYerg€ncia,

= ![[ v',', [[,'"n' JT

=III,&', - III,*I *, *, ' , = ' [ f i ,,=', $l ' $tr ,@t+tt+zr t¿v

siendb t/ cl volumen lim¡tado por S.

2r.Dcmostrar lllrrnr r3

Sca A :

= ,/vó).ds. - ,pe'ótav ff tov* -

óV,y' en cl teorema de la divergencia de Gauss.

TEOREMA

DE LA

DIVERGENCIA.

TEOREMA

tzl

DEL ROTACIONAL

fff

ff rt = = v.rov*rn, <ov,tt."as JJJ JJ JJ @v,!t.as rJ,t

V.tóVll'> = @1V.Vry'¡ + rVdl,tVry'l -

óf,l'+ 1V@¡.1V,y'¡

flf

fff = v'tov*tr, av JJJ JJJ tov* + 1jg¡'qee¡l

we* + pg,¡.1it4]av - [! ov*t.as

(r) ![!

lo NinEra ident¡M & G¡ccn. Cztnuzttdo / por 9 cn (I),

(2t

U'r"o + qeg¡.1ee¡]av - ![ rs

[![

oWor.t"

(2) dc (r), sc obticnc

(3) [![ ov"*- 9V6¡av= fi,0r9 - ,y'vó).ds 'J d tcorcms 3ímétrico o teganda idcntifud dc Grecn. F¡ la d€tnGtnción lrcmos supt¡csto ouc d y v son B ccala¡ls dr posición con dcrivada¡ continu¡s hssl¡ las de scgundo o¡dcn poi lo nrcnos. ' - '

III"r,, =ffo"". rt

En cl tcor€ma dc la divcrgencia,

h¿gsmos A :C

C, sÉndo C un voctor con$tanb.

fff

v.toctdv- JJ oc."ts JJJ ft Cono V.@c¡ - 1V{¡.c ' c.Vó

. "

y óc.n = c.(ói),

[[[ ".va,, = [!..<0,t,, f3

.tJJ

SacandoC fuers dc las integralcs, fff Ít c.JJJv+av= c.J)ó,as

rt tcorno C esun rrcctorconstsntearbitrario, '

ff = J7JJ J v o a v JJo"'s fff

o*fffr'"av =ff,,sas. TJ

Entonccs

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEORBMA DEI. I,OT.ACIONAL En €l tcoftma da la dincrgencia, hagaaros A : E x C, sicndo C un vlctor enstant!. f ?1.

lf . J ) J v . p* oav J J r n' o. r as

C o m o V.6xC ¡

= C .(V X B )

(B tC ).n = B ' (cxn)

ffr

= (C xn). B = c. ( nxB) ,

| | | c . t V x s l¿ Y = .t ., .,

| | c . (ix B )d s ., .,

f Sacando C fucra dc las integmles, f?-

s. | | | V,a;¡ , .,JJ

c . | | rx ¡¿ s t

y como C es un r¡cctorcomtanlcarbitrrr¡o, ff

JJJv]¡B¿v

ll ¡ x r d s s

ta. Dcmosl¡arqu€€n un punto cu¿lquier¿P,

JIo""

¡lT,

ff",ta

A-^"-

(á) vxa =

^tl,$

túm,doA y d votumcnlirnitado por l¿ suporñcbr'S' hallandocl llmitc cusndo r' I¿sc ttdt¡cc dc alrcdedordel punto P.

(¿) Dcrprouú'22, n, . !! o"rt.r",*' fi[vo,tt, . [[ 0,., IIIrr A.C AT AS AT Aplicandocl mismoprincipio qr¡oc¡r cl probhnra 19,sc obtkirr

fÍó".t¿s

VÓ.I

sicndo vC . I un valor co¡nprcndidoenü! ol n¿xinl y cl ml¡imd do v{ , I at AY. cuando r' / * 0 dc forma quc P seasicmprcinf,riot z AY,.jl .l ticn& h¡ci¿ el v¡lor

(l )

f f ó¡.r¿s

9ó.t

lln Ah

---

Análogamentc so obüoncn,

(2)

(3)

vó ,t '

Vó .r .

JJ o¡'tas llm

AF.o

Lv | | ór'l ds 8:.

Af.o

Lv.

)

..,.:,t2

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL

r2t

(1), (2), (3) por i, ¡, k, res¡rctivamente,sumando,y tcniendoen cuentaque,

9ó = <9ó.t¡t + (Vd.j)j + (Vó.t)¡,

(n.i)l+(n.J)J+(n.k)k

lroblema 20, Capltulo 2) se obtieneel resultadopedido.

probfema 23,sustiruy€ndo B porA,

! [ ! AV

= [f ,,^ o'.

Como en (a), s€ pu€dedemostrarque

sustituyendo ¡ por J y k. Multiplicando por i, jil

y sumando, resutta la demostración p€did¿.

Los rcsultados ¿nteriores se pueden tomar como deñnicio¡res de gradiente y rotacional, Ilaremos uso las al introducir estos conceptos en okos sistemas de coo¡denadi.

la equivalencia d€l opcrador

v' = it3'##'"' ¿s

donde el sfmbolo o ¡cpres€nta un producto escalar, un producto vectorial o un p¡oducto o¡dinario, Pa¡a €stablecer la equivalencia, el resultado de la operación sobre un campo escalar o vectorial d€b,escr istente con los resultados ya cooocidos. Si o indic¿ un producto escalar, par¿ un vector A,

V .¡

dfv A

t im : L f f ¿ s . r aH LV .t.t

^lig- fi*".^ . f$ ¡t fi^."" A,'

en el probloma 19. si o indica un uoducto \rcctorial,

rotA = v,<¡ = ^yg . 6nido

¡u t[n"'^ A,9

r n J ffn - r ¿ s av k! ^t4

cn el problér¡ 24 (b). Si o indica un p¡oducto ordinario, para un cccalar /,

v . é. = u n + l l t " o @ e b icn , @ Ay-o AI/ A,

&6nido cn el problcma 24(¿).

=#5 ¡r [lr'" AJ

r 124

. , ¡.-

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

26, Siendo S una superficiecerrada y r el vsctor de posición de un punto cualquiera(¡, /, z) medido origen, demostra¡que

'.'-. I

lf T:,' es igual a:(n) cero si O es exterior a S, (ó) 4r si O es interior a S, Estaes ¡a expresiónmatemáticadel de Gaxss.

(a) Por el teoremade la divcrgencia

III, +*

il;

Perov'4:0

(Problema19,Capitulo4) en todo punto intcrior a Z siempreque / + " lj d e c i rs i e m p reque O seaexteri o¡aV y,por l otantoa.t. f" .e" aS = 9. [[

(á) Si O es interior a,S, consideremosuna pequeñaesferas alrededorde O, de rcdio a. la región limitada por S y r, segúnel teorema de la divergencia,se verifica ff = Jf f J 5 ' a s . Jf f J t+ !a s= Jf ?J v -fra v= o J J F , ' S+s .t s

ya que ¡ * 0 en ¡.

Por lo tanto,

I I r ^ =- l lv *

Ahorabien,ens,,-", ¡= -I ff

¡. ¡.

dedonde!*

= - ll¡ - + ¿ s tJJ

ll!*¿ s r-

.tJ

= e4-a\'' =-!;t=

-5=-,t,

i l*^

""0

= + lld s

27. Interpretar geométricamenteel teorema de Gauss (problema 26). SeadJ un elementode superficiey unamos todos los puntos del conto¡no de ds con O con lo que resulta el cono que muestrala ñgura adjunta. Tracemosuna esferade radio ¡ con centro en O y seadS el área de la porción de esferainterceptadapor el cono; el ángulo sólído con que se ve dS dosde O es, por deñnición do du , - y es igual al árca de la porción de esferade radio unidad intercopiadapor el cono. Sean,n el veator unitario normal gxtsrior a y'r y 0 el ángulo formado nr por n y ¡; entonces,cos0Por otra parte, - -. dO: du¡

+ ¿5g.. r:

./.9, d. dond" ,"rrltu

D' ¡

i ;¡- dS, considerandoel signo + o el - según que el ángulo 0 formado por n y ¡ sea agudo u obluso. S€aS una superñcie,como la representada en la Fig. (a), de forma que una re{ta cualquierano

en más de dos puntos. Si el punto O es exterior a S, en una posición tal como I, +;

dS :

d@i en

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

r25

: --Júr. La integral extendida a estas-dos regiones es igual a cero, ya que las contribucioncs

solido s6 anulan. La intcgr¿l sobreS es ü+

= o ya que a toda contribución positiva le '

una neSa¡rv¿. bd aS:

casoen que O seainterior a S, en una posición tal como 3, T

o" :

da, y en la posición 4,

d@con lo que las contribucioness€ suman en lugar de anularse.El ángulo sólido total, cn este

cr igual al área de la esferaunidad que vale 4z; por Io tanto, J [ +

ot = n.

Fts. (ó)

Ft¡,(o)

Para superñciess que son cortadas por una fecta en más de dos puntos, s€ mantienen l¿s ñism¿s conclu!s (Fig. aó)). Si O ea exterior a S, por ejemplo, un cono de vértice O corta a .t €n un número par de veces co,ot.iU..,ciOtta la integral de superficiccs nula, ya que los ángulos solidos subtendidos desde O se an lan pres. Sin embargo, si O es inGrio¡ a S, un cono de vértice O-corta- a S eo un ní¡mero impar de vec€s lo la anulación ó produce solamento para un número É¿r de ellas, siempre hay una contribución de 4rr c la suoerñcicS, tr¡ido dc densidad p(x, y, z, t\ se mueve con una velocidad {x, y, z, t). Demostrar que si no hay ni fuenri sumideros

V'l

+ S ot

= o'

siendoJ = Pv

Consideremos una superñcic arbitraria que limitc un volumsn Z de fluido, La m¡sa de fluido cn fz cs' instante dado,

t4 =

fff

lll

o¿v

"1 "

El incrsmento de esta masa cn la unidad de tiempo es

*, =*,lll,* ilt*,, r I

yon la unidad de ti€mpo es La rnasa de ñuido que sale de

á^" | Pv 'n ds J|J J quc masa en la unidad d€ li€Nnpocs' asimismo' dc cl incr€r¡ento lo 15) con

a{ orelrotrca t,

Z rnr'n snuss.f, ir '

/-=-_'-

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

126

I I P v.n dS t

lll

JJJ

Y.tptt¿v

segúnel teoremade la divergencia.Po¡ lo tanto,

I r f ^^ lll Y ¿v JJJ ¿I v

- [[[,.,0",, v

o bien,

[[[,v .,,,.!,0 , v

Como y es arbitrario, el integrandosupuestocontinuo, debgser idénticamentgnulo, forma a con.ir se hizo en el problema 12. Por lo tanto, V .J

+ v ?t

= o.

si cndoJ= .ov

Esta es la ecuac¡ónde con¡inuidad.Si p es constante,el fluido es incompresibley V . v : 0, es decir, de velocidad€s o el vector velocidad- v es solenoidal. J :

La ccuación de continuidad se aplica también en electromagnetismo,siendo Q la densidad Ovfa densidadde co iente.

29. Sea U(x, y, z, t) la temperatura,en el instante /, en un punto cualquiera(x, y, z) de un sólido y que k, q y c la conductividadtérmica,la densidady el calo¡ específicodel sólido, respectivamente,

que Demostrar constantes.

!¿/

stenÓok= K /pc

kV-2.. Lt ,

Sea l,'un volumencualquierainterior al sólido y S su superñcielimite. El flujq total de calor que o energiacaloríficaque salea travésde.t en la unidad de tiempo,es

ll r-< V u l. n ¿ s :" La energiacalorifica que entra €n S en la unidad de tiempo es. rf

as = f f 1< Vu¡ .n JJ sv

(t)

f ff

f lf 9.u9u\ ¿v JJJ

segúnel tcoreña dd la divergencia.El calor contenidoen un volumen l/ vienedado po¡

, ,, III "O v El incremgntode calo¡ en la unidad de tiempo es

*ill"0,*=Ifi",**

(2 )

Igualando,los dos miembros de (1) y (2),

ffl

lllf " p' '9 ! -7t

JJJ

9.6yu¡)av = o

y como fes arbitra¡io; el integra¡do, supuestocontinuo, deb€ ser idénticamentenulo, con lo cual

TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

"e *

t27

= V' 1¡1 VY¡

r, c, p son constantes,

P=+v.vu =*fu cP D¡ :o, o lo que es igual, (esde.ir, k s€d€nomina dfraiyidad.En régimenpermanente ff del tiempo) la ecuaciónanterior se reducaa la ecuaciónde l-aplaceV'U : 0.

DEL ROTACTONAL DE STOKES en coordenadasrecel t€oremad€l rotacional de Stokcsy (D) expresailomatemáticamente ¡al curvillneade la componentetangencialde un vQctotA a lo largo de una curva simplec€rradaC a la int€gral d€ superficiede la componenteno¡mal del rotacionalde A extendidaa una superncie que tengapor contorno la curva C. tCmo en el Droblemal4(r), A = A íl + A 2 ! + hooces,

gla,

n = c o Bdt + cosB J + cosTk

(+ -1ox4 " ,,. t4 4 ,-1 4 ' ,. + + + 1.= r q94"dz- 1&. rr or oY oa. oY ozl oz

Vx e

A1 A2 Ael

= , H: - p, " *o - ( *- p t" o " F ' (* = fr" o " z

(VxA).n A,dr

(ALl + A2t + /'€k]'.(¿' I + 4 ! + ¿z lr)

Atdx + A2dl +'Asdz

y b cxprcsióndcl t€oremado Stokescs

= n,r"*n,rr,n"n" coE [ [ r,9^!n- E9&r"o"c "' """ -'? . (14- g, ¿ " ) B - ,* -#rcosTlds f -

J J L ' Ai

€l teorema del rot¿cional de Stokes. I ,

Sca S una superficie cuyas proyecciones sobre los 6 xy, yz y xz ion regioneslimitadaspor.curvassim-

iomo se ináica en Ia figura adjunta.sr¡po-

por r¿s "¿nibis, ecuaciones las Eeu¿lrvrrvJ puedercprgsonlar que JS se qu€ ¡epr€sentarpur se puege úlo : ,{¡, z), siendo /(x, i), o bien,'¡ : gU, 2), o bien, v l funcionesuniformes.continuasy de¡ivables,hemos que

(v xA ) . n d s=

' I

+/'l ] /3 t)l 'nds JJ [V 'r,l 'i ,s

= $^ '0 ,

C el contó¡no o límite de s.

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA.TEOREMA DEL ROTACIONAL i

consideremos. en primerrrg"t, JJ

[V x 1"{rl¡l 'n ds'

tJk Como Vx (l1i)

¿a¿

Oz.

= oz

¿A,

¿A, =--r i oz

;i k, oy

A a00

[ V x 1 , { . r¡] . nd s = r} " . r

(r)

}n.*,

S i z :/(x ,),)es l a ecuaci ón de S , cl vectordeposi ci óndcu¡puntocual quior adeSesr : ¡ i*yi á¡ az Af d¡

x i + y i +f @,y) k deformaoue ¡i

: i+ 6

k: t+ k. Pero É fr

es un vectortangente

blema 25, Cap. 3) y por lo tanto perpendiculará n, con lo cual

".$

".r*$'.r

r.i

). = -ün.k

Sustituyendo €n (1) se obtiene

94-1 ,u- ?oj' n.u,r, r 4Oz n ,¡- ol n .r )d s = ( - +oz -o!? n " o bien,

.n] ds [Vx( .1r i)

(2 \

- ( +ót * $]¡ ".u óz d!

= Al',y,1(',y\) = F(r,/):lu€go r+X SobreS, 11(2,1,2¡ + [ V x1 , 1 , 1 ¡d] .sn = -

$ ".u

= -{

= $,

con lo que rcducea

Por consiguicnte, lf

ff >F fv"(,{rt)l.nds -fr*t' JJ JJ

s.{

la proyección de .t sob¡e el plano xy. Scgún el teorema de Gre¿n en el plano, la {¡ltima siendo .¿R igual a {

Fd¡, sicndo f el contorno que limita a ,R. Como en cada punto (¡, /) de r el valor

mismoque el de ,{, en cada punto (¡, /, z) de C, y puesto que ¿r es igual para las dos curvas, se

o bien, tt

as = [V' r e1r lJ.n

ll JJ

$ 4at

Análogamente, proyectando sobre los otros planos coordenados, ff

ff [V' ( ,{ 2J).n] ds = .t^ ó

Az d!

3o f

J as = t f f [V'r ,r " u.n ju

A3 dz

I TEOREMA DE LA DIVERCENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

t29

ordenadamente, ff

| | rV ' n¡'n as = JJ

e.ar

:. ¡eoromaes también válido en el caso de que la superficieS no satisfagalas restriccionesimpuestas -!¡.mente. Para ello, supongamosque S se subdivide en regionesS,, S,, . . . S¡ de contornos limites l. . ., C¡ que cumplan las condicionesdadas. Para c¿da una de estassuperficies,pu€s se verifica el :¡a del rotacional de Stokos,Sumando las integralesde superficiese obtiene la integral de superficie curvilíneas co¡respo¡dientes, a lo largo de C,, G,..., C¡, resultaia integral !-sumandolas integrales a lo largo de C.

tIt

,bar el teoremadel rotacionalde StokessiendoA:(2x-y)i-yz"j-y'zk, superior de la esfera¡, + y, + z" : I y C su contorno límite.

S la superficie de la

El contorno límits C de S es la circunfe¡enciadel plano x¡ de radio unidad y centro cn el origen. Sean =:es / , . y : s enl, z :0 ,0 = ,< paramétri c¿s 2 rr, l a s e c u a c i o nes de C . E n estascondi ci ones,

$ n.o, "c

- y * d ¡ - y 2 zd z

{ ,u-rro, 'c ? 21r

(2 cosr - senr) (- senr)dr

'tt

ijk

aaa

Vx A

¿"c 1- 72 2r -y

-yz2

-y2z

= = ** [[*."r' [[ ,ffrv' ^r' n as J ,' R ¡ue n'k

dS : dx dy y JRes la proyección de S sobre el plano x/. Esta última iritegral es r|

n/t-rz

I I JJJ^J^¿

d 1d x -

¡r

¡ / ur r 2' -

aya, = 4l

? |

/ilc

¿, = 7r

/-----;

Y=-vt-t'

!-omp¡uebael teorema del rotacional de Stokes.

Snficiente.

Supongamos

que

x A :0.

Por

el teorema

del rotacional

de Stokes

= .f n.a, J J rv' n l.na s o .\,lecesaria. Supongamosque { n,dr:O Jr ' ¡lgún punto P.

a lo largo de toda curva cerradaC, y que V x A +0

Suponiendoque V x A e s c o n ti n u a ,h a b ¡á u n a regi ónenl aqueV xA + 0enal gúnpuntoP desu . SeaS una superficiecontenidaen esta región cuya normal n en cada punto tengala misma dirgcción

;l t' .)

t ¡

I3O

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

y sentido que V x A, es decir, Vx A: on, siendo a una constantepositiva. Si Cesel conto¡no limite por cl teorema del rotacional de Stokes, f

$ t.ar J^

f f lV x n ¡' n a s = , t lttt JsJ

n.nds ) o

que se contradicecon la hipótcsisde qu" f, n. O, = O y, por lo tanto, Vx¡ = ¿. J.

Se deducequc V x A : 0 tambiénes la condición necesariay suficientepara que una integral curvi fPc A . dr seaindependienrede la trayectoriaque une los puntos y ¿ (problemasl0 y I l, Cap. 5). -P; I

3 4 . D o m o s t r ar q*,u ue f

ffo ,vt,l- a s.

Haciendo A : B x c en el t€orema d€l rotacional d€ stokes, siendo c un yector constante, resulta

f "'t"'"' =

f l [ V x ln x c ¡] . n a s J

= ll f ".,r.,,", ...5[ ,.' = JJ "

irc . V lB - c (V . a )l . o d s

JJ J

t,..v¡Bl. n ds - JJ tcrv.nrJ." as

. l I c ' [ V r ¡ . n r ]¿ s -

f f c . [ n ¡ V . n ¡a]s

rr c . J J t v @ . n ) - n ( V . B/)sl = , . J Jf r ¡ nxV¡ x¡ ¿ 5 r5

Ahorabien,comoc esunvcctor constante arbitrario,{ar, ¡ "

l'f ,nrVr, u ,, trt

35. Sean,/S una superficielimitada por una curva simple cerrada C, p un punto cualquierade .r'S qu€ tene.c€a C, y n el vector unitario normal exterio¡ a /.9 on p. Derqostrai que eo, diiho punto, I

( ¡ot A). n

J^ ^. dr

lim A,t-o hallandosl límitede formaque /S tiendaa confundirse con p. Porel teorema detrotacional de srokes.

"^í

f.o, nr." ,,

$ n.or.

Aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral, como se hizo en los problemas t9 y puedo escribir, f

(-{

A )*

I ^.d¡ AS

d€ dondc resulta la demostraciónp€dida hallando el límite cuando .r'S

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

Estaconcrusiónsepuedcutirizarcomo pu¡to,de partida para inrroducrr el conc€prode ¡ot A (p¡obrema36) gran utiridad en el cálcuroder rot A en otro iistema de coo.a"naoasqu" no seaet rcctangurar.comJ '6 & j -t'dr es ra circulaciónde A a ro rargode c, la componentede rotacionalsogúnla normal puede se interF¡¡,

fisicamente,como el límite de la circulaciónpor unidad de área.

E¡¡odo en cuenrara definiciónde ¡ot A dadaen el problcma35, halrar la componentede rot A s€gúner eje z,

Ar ;' ' zl , resula

y" rectánguloparalelo al_plano,/ cuyo punto medio es p(r, y, z), como se obse¡vaen la tur¿ adJunta,y A, y A" las componentesde A en p s€gúnlas direccionesp"iii*ár'á" iá, --¡11,1-lfct ;;r;;";;: ¡tamente. "¡o LlamemosC al contorno del rectángulo;enlonc€s,

$^' ' ,

"c Ahora bien,

A. dt

A. dr

EÍ =

-T

! dAt

^r)

"Zt

A . ¿r +

( At -

A . dr +

?.r,

_! - (At + 2¿y

A r)&

0fl

I n . a r = Gz+ *$ a " rn ,

v.o t

IIE

| ¡. ¿,

! 7A" &lar 2¿,

dl A . d¡

t¡lvo inñnitésimosde orden superiora /r /¡. Sumando,se obtieneaproximadamente

¿A" '4"

f e. ar uc

n, ar. *!r oy

Luego, como lS : lx /y, componentcz de rot A

(rot A) . k

f o'o'

liln AJ-0

19v

,é¿,

lim A¡-0 ¿y-o ¿,

'- az

dtr.

-i -)¿_i 1^ ol

----&ry-

a7 ^

_ ?A, \

I .,,_J

t32

TEOREMA DE LA DIVERGENCÍA,TEOREMA DEL ROTACIONAL

Problemas propuestos 37. Comp¡obar el teoremade creen en el plano para

1t' \l*" - W,l at * @y - 6xy) dy, siendo C el

d e l a re g i ó nd e fi ni dapor: (a\ y:t/i , y: x,; (b) x:O, So/. (a) valor común :312 (b) valor común : 5/3 38. Hallar $ 12, + q¡ a, + Q: -

-c

y - 0, ¡ * r:

3y)dy, siendo C un¿ circunferenciade radio dos con cGntroen €l

del plano ry y que s€ recorre en s€ntidopositivo.

Sol. - 8n

39. Resolve¡el problema anbrior para la integral $ 1x, + fl ax + 3xy, dy. -¡

Sot. tzn

(x" - 2xt\ dx + (x'y + 3)dy a lo largo d€l contorno de la región definida por/':8¡ ! (¿) directamente,(ó) aplicando el teorema de Green. Sol. 12815

40. Hallar

("'.') 41. Haftar .f \e,l - t,¡ * " (o ,o ) S o l ,6 tr2 -4 i . 42. Hallar

! 5o/. -6

y ¡

I (3x, - 2xy) dy a lo largo de la cicloide¡ : 0 - sen0, .y : I - cos 0.

(3x' + 2y) dx - (¡ * 3 cosy) dy a lo largo del paratologamode vé¡tices(0, O),(2, O),(3, l) y

43, Hallar el área limihda por un arco de la cicloide ¡ : a(l -cos 0), a > O, y e¡ eje - ¿(0- s€n0), y S o l .3 n a z 44, Halla¡ ol á¡ea limitada por la hipocicloidex,t, + yzt' : a'1.,a > 0. Ind.: Las ecuacionesparamétricasson x : acos| e, : a sen"0, -y

Sol. 3r.arlg

,t5, Demost¡ar la igualdad x dy - y dt : I'dó, siendo(Q, {) las coordenadaspolares. Interpretar la I I x d y -y d x . 6 . Hallar el área de un lazo de la rosa de cuatro hojas p : 3 s6¡ 2¿. 47, Halfar el área de los dos lazosde la lemniscata Q, : a" cos2ó. ,|8. Hallar el área del lazo del folio de Desca¡tes x' * y' : 3axy, a > 0 (figura adjunta). Ind.: Hacer/ t¡ y obtenerlas ecuaciones paramétricasde la curva. A continuación.tener en cuentaoue

S ol .9nl 8 Sol. a2

q o 'á a )

erea= j$ , a y -y a "

t f sa(t Lf *a' Sol. 3a'12 I 49. Comprobar el teoremade Greenen el plano para

$ {2, - y"¡ a, - ,ydl, siendoC el contomo de Ia

limitada por üs circunferencias¡! + ),¡ : t , ,it¡

," : e.

so/. valor común : 60zl

TEOREMA DE LA DryERGENCIA, TEOREMA DEL ROTAC¡ONAL f ( - , , o1 -í¿ , + ,¿ " --P;7J(t,o)

a lo largo dc los c¿minossiguient€s:

Quebradaque une los puntos (1,0), (1, l), (-l'

l) y (-1, 0).

queunelos puntos(1,0),(1,-¡), (-1, -l) y (-1, 0), ll Quebrada : 3I, ¡¿integralc uwillrrx- depende do la trayectoriaque unelol hostrar que, uunqut!! ox óy t(-1,0).

Sol, (a) n (bl -n

Razonar la respuesta.

el cambio de las Variables (¡, /) por (|¡, v) scgún las ccuacioncs d€ tramfonnación x : x(u, v\, t : ¡(tr, y), demostrar que el área ,{ de una región X limitada por una cuna ccrrada simplc C viene dada por

= ^ II R

?r& ?¿ lt< ffitla"a,,sicndo I lffil = ?¡, 7r f u ?,

d Jacobiano de ¡ e / raspecto de a y v. ¿Qué rostriccionos dobon hacsrso? llustrar el rcgultado para el GüO en que ¡¡ y v s¡eanl¿s coordenadas polafee. dx; transformarla cxprosióna coordonadasü, vy teneren cuontaol toorcnxa hd.: Aplicar,{ - | | xdy-y Gre€n. -

F.n/S, siendoF:2xyl

+/rrl +xzk y S:

(.) la superficiedel paraleleplpcdo limit¡do po¡ ¡ :0, .v :0, (¡) la superñciede la r€giónlithitadapor x : 0, .v : 0, y:3, (a\ JU 5trlz út. s¿.1.lal 3O {b\ tD' 35U2 Gmptot . el t€or€ma de la divergsncia para A: ZxtylSor. 180 atante limitada pot y' + z' : 9 y x :2.

z:O, z:0

y: x:2, x'l2z:6. f

I y z:3,

\r'-'

y'| + 4¡z¡ t cxtcndida a la rcgión del dr primer

osfcra do ¡adio 2 con contro on (0, q 0), (ó) la supcrfici. dcl cubo linitadro por r : - 1, z : 4 -(x.

y ::L z :-1 ,¡: + /") y el plano xy.

l ,y :l ,z : Sol. (a) l2tt

l ' (c) l a supcrfci c l i mi tada por cl perabol oi do (b) 24 (c\ ?At¿

SiendoS unasuperñciecerradaquc encierraun volunpn Vy L : ox | * ál I * czk' do¡¡ostrarque dS:(a*b*c')V. tf rot A, demostrarque JJ H 'n dS:0

SiendoH:

rrr

Ís

¡1

= ff+^ ..

tr af

D em o strqu are JJ '5nds = JJJst't¿v.

Demostrarque

aS = 0 para tods supcrficiccerrsü S. JJ n 3

Demostrarqu€l¿ sogunal¡identid¿dde G¡€€nsc puodccxptcs¿len la fomra

-,t{ó¡¿v= I I,ot#- {'f¡as [ !¡J! ov',t' D€mostrar que

II rxds

^' n

para toda supcrficicccrradaS'

siendon €l v€ctorunitario normalextcriora unasupcrfrcicccrr¿dadcárc¿S,demo.t

Demostrarque Íff+

= o paratodasupc¡ñcic ocrr¿drS.

quo JJJ oi" o ar : s' f

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA. TEOREMA DEL ROTACIONAL

t l4

Comprobarel teoremadel rotacionalde Stokespara A:(y-z *2)i-l(yz *4)i-¡zk, superficiedel cubo x : 0, -y .: 0, z : O,x : 2, f : 2, z : 2 por encimadel plano ry. So1. valor común : --4

siendoS

g xly k, siendoS la superficiede Ia Coñprobar el teo¡amadel ¡otacional dc StokcsporF : xzi-yi l i m i ta d a p o r x :O, y:0, z:0,2x .9ol . val or común:32/3. * y l 2z:8.

65. Hallar JJ (i ^A).ndS, siendoA:(x,

+ y-4)i

+3xyi + (2xz+z')k y S la superficie de (a)

semiosf€ra r' + y'+z': 16 por encimadel planox¡, (á) el paraboloidez:4-(x, plano xy. Sol. (a) -16n, (b) -4n 6 6 . S i e n d oA :2 y z i -(x t3 y _

2)!-l (x, I

se¿ciónde los cilindros x' + y, :

.n ds oxtendi d4a la super f icie de

z' )k,f," 1f" ,//(vxl l

o', x2 + z2: a, situada €n el primer octante.

67. Siendo B un vecior noÍnal a una superficiecerradaS, demostrarq ¡ggión que encierra ,f.

6E. Siendo{ e .a. = -lP c J^ I

¿t

ff".ru

+/r) por encima

Sot.-{Qn

J J J rotBdV :0, r

en dondc /c¡

ySuna superñcie cualquieratimit¿dapor la curuaC, demostrar

tll

V ^ E :---::1 co,

que f,ó 69. Demostrar

ar = JJ ds x V0.

70. Aplicar la cquivalenciadel problema r€suelto25 para obtener: (a'¡ v ó, (b) V .A, (c) V xA en re{tangularcs.

7 r . D € m o s t rIaI Irvo qu.^ e a v = IJo t.n a s - [[[o v' r a v. rJ f

72. Sea r el veato¡ de posición de un punto cualquiera r€specto d€ un origen O, y supongaños que la I tiene derivadascontinuas d€ segundoorden, por lo menos. Repres€nt?ndoel valor do C en O por é o ! mando S a la superñcie cerrada que encierra el volum€n ,/, demostra¡ que

= [[!viÓ¿n' o llt+v*-ovrlrl'as .ty en donde o : 0, o bien, 4rÓo s€gún que O s€aexterior o interior a S, respectivamentc. 73. El potencial C{P) en un punto P(x, y, z) debido a un sistema de cargas €léctricas 4, q¡, . , . , 4, cuyos de posición son r¡, ¡!, . . . , r¡ respe€tode P vienc dado por .A

Demostrar el teorema de Gquss = 4,Q [[" .r" 3 siendoE:-vdlaintensidaddelcampoeléctrico,SunasuperficiequeencierreatodaslascargasyQ= la carga total interior a S. L{ 74. El potencial d(P) en un punto P vienedado por ó= I I I

siendo ¡/ una región,limitada por una

ficie S, en la quo la ca¡gaeléctricaestádist¡ibuida de fárma co¡tinua con una densidadp. Deducir, las hipótesisnecesarias,las fó¡mulas siguientes: ?f

(') JJ E 'ds = 4" JJ J p ¿ v , s ie n dEo: -v c .

JI (D A'é : -4:¡ g (ecuaciónde Poisson)en todos los puntos P en los que hay cargas,y VrC : 0 de Laplace) donde no las hay.

-,.,,,,/.

tla

de (¿)

muna

Coordenodoscurvilíneqs

¿ de

(32 + úe I/ es

TRANSFORMACION DE COORDENADAS. Consideremoslas coordenadasrectansulares lrir -y,z) de un punto expresadasen función de las variables(ur, u", u") en la forma j,

¡ : x(ur, u", u"\,

y : y(ur, ur,u"),

z :

z(ub u2, q)

r bien, despejando(\, th, u), --)

ur:

ur(x,y, z),

u2: u2(x,y, z),

u" : u"(x,y, z)

[.rs funcionesque aparecenen (1) y (2) se suponenuniformesy con derivadascontinuasde maneraque ¡ correspondencia entrelas ternas (x, y, z) y (ur, ur, u") es biunivoca.En la prácüca,puedeocurrü que E¿ hipótesisno se curnpla en algunospuntos determinados,en cuyo caso deberánhacerselas consi¡raciones pertinentes, (x, y, z) se le puedeasociar,según(2), un conjunto Dado un punto P de coordenadasrectangulares iúo de números (u* th, ut) que llamarernos coordenadascurvilíneqsde P. Los sistemasde ecuaciones rff ó (2) definen las fórmulas de translormaciónde coordenadas. ñ¡nció¡ I loy

COORDENADAS CTJRYILINEAS ORTOGONALES Las superfrciesut: cb t4: cz, us: cr, siendo c!, cr, cs constantes,se llaman superfcies coordenadas; L intersecciónde cadapar de estassuperficiesdefinen fu líneascoordenadas (Fig. l). Si las correspondientes ¡p€rficies coordenadasse cortan en ángulo recto, el slema curvillneoesortogonal.Las lfneascoordenadas \, 14y us de un sistemacurvilíneoson análogasa los ics coordenadosx, y y z de un sistemarectangular. Fl8, I

YECTORES UNITARIOS EN UN SISTEMA DE COORDENADAS CURVILINEAS. Sea t * xi * i + zk el vector de posición de un punto P, Segrln(1), podrernosexpresarloen la forma r : | (u\, u2,ur),El vectortangent€en P a la línean, (parala cual r,lry ¡rB,sonconstantes)., Entona"r, fr,.-fir:

y s€ntido d yectorunitariotangente enla dirección delanterior es ":

#,llrf, l,

A"0""a"

'. il

"r,

indo/rr:l; l.Análogamente,sie¡ye"sonlosvecto¡esunitariostangentesenPalaslíneasr4yn, | 0üa1 t2¡ | A¡ At .. lArl : hre,V lEp€ctivamente, seüene á"e", siendoOr:lU*F r":Jr-] Las maenitudes,¡,,¿,/r' Aur: fr llg(ma;n factores de escala.El sentido de los vectoresunitarios er, er, e, es el de crecimiento de uL,u4,ut, rspcctivamcnte. I

Como v4, ¿5un vector normal en P a la superficie¿rr: cr, cl vector unitario en esta dirección y sen-

rr:

ti, .l

COORDENADAS CURVILINEAS

ll6

losvectores unitariosE, : i ulrli urly E" : Í u"l r tido vienedadopor E, : Var/jvl,l. Análogamente, en P a lassuperficies uz- c2yu3: f¡¡ f€Sson normales pecnvamente. Por Io tanto, en cada punto P de un sistemade coordede vectores nadascurvilíneasse püedendefinir dos sisternas unitarios e¡, ep,es.tangentesa las lineascoordenadas,y Er, E2, E3 normales a las superficiescoordenadascorrespondientcs(Fig. 2). Ambas ternassolo coincidiránen el casode que el sistema de coordenadascurvilineas sea ortogonal (problema I9) y juegan cl mismo papel que los vectores unitarios i, j, k del sistemade coordenadasrectangulares, con la única diferenciade que aquellospuedencambiar de direccióny de sentidode un punto a otro. Sedemuestra(pro¿r ¿r- ¿r y vu,. fa" , va. b l e ma f5 ) q u e l o s c o n i u n tos . , ¿ut du2 fus son dos sistemasde vectoresrecíDrocos. Un vecto¡ A se puede cxpresaren función de los vectoresunitarios en la base er, er, e", o bien, Er, Er, en la forma :.,, ! . = A re, + A re2 + A se3 = ¿1E . + orE p + o" E i ¡ { siendo ,41,A", A" y or, n.. a, las respectivascomponenfes ¿/eA en cada uno de los sistemas. Todo vector A también se puederepresentaren función de los vectores

, +, 3!. q v¿,,v,,,v,,, ¡L Óut out oug que, aunque también se llaman vectores unitaios en Ia base, no tienen módulo unidad en general este caso

= c,+

óu1

* c,PL + c"+ óut

OU s

= ctat + c2c2+ Csq,s

= ct|t + crfu+ c"B" ""iu" siendo Cr, Cr, C" las componentes contravariantes covaüantesdel ! cyc2 cslas componenles y

c19u" + cr9u, +

(problemas que tr, : 13 y 34).Obsérvese

f,r,9, -

aur, p : 1,2,3.

: ELEMENTOS P,E,TINEAY DE VOLUMEN. A partir de la relaciónr r (¿r,u¿,as)se * lL ¿u" = h1dv1e, + ht du" e2 + hs ¿ua eg + d¡. = 3! ¿r. * PL ¿u" ' '

óut

duc

dus

La diferencial de la longitud de arco ds es el elemento de línea y viene dada por ds2: dt. r1r.En los sistemasortogonales,er '€z : €z' e¡ : e3. el : 0, con lo que

ds2 = h?,dui + hf,dui + ti aui En sistemasde coordenadascurvilíneasmás seneral.véase el problema 17. A lo largo de la linea coordenadar,tr,son constantestr2 y ¡r¡, con lo que /r : hrdure, El elemento de línea ds,, segúna, en el punto P es,ltrdri. Análogamente,los elementos de líneaen P segúnz, y a. soirds, : h2dury ds, :hsdus, resPectiYamente. Observandola Fig. 3, el elementode volumenen un sistema de coordenadas curvilíneas ortogonal viene dado por

tt7

COORDENADAS CURVILINEAS

: VÍg/l

ld' e1).(h2du2e) x th"du"e"¡l l(tuduf

ilv\

h1h2hsdu.du2dus1

;.r -- | ;r, ' ¡'/. " d"l l

le 1.e 2xe3l

GRADIENTE, DMRGENCIA Y ROTACIONAL, Veamossu expresiónen los sistemasde ooorcurvilíneasortogonales.SeanQ una función escalary A: ,{, e1I A2ea* A"e" una función de las coordenadascurülíneasortogonalesub u2,u.i en estascondiciones;se verifica:

Y.n =

;:(\h243)

.it

'i o/v Ir e

fé

\'/

= Laplaci¿node é

¡'ü d-c \ l' ;ldt'"

= h [*,*.8,- ¿X,*ffi,. r¿<f*eer]/

h1: hr: á" : I y q' er, e. por i' i' k, respectivamente, estasrelacionesse redücena las correspondientes en coordenadas retangulares,en donde(zr, r4, z") hacenel papelde (-r,¡r, z), En el Cap. 8 extenderemos los resultadosanterioresaplicandouna teoríamás generalde los sistemas oordenadas curvilíneasutilizando los métodosdel análisistensorial,

CASOS PARTICULARES DE SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONALES. l.

Coorden¡d¡s clllnüic¡s (q, {, z). Se representan€n la Fig.4. a r=

ecos6,

siendog?0,

2. Coorden¡d¡s esférices (r,8, fl.

gsenó,

z:z

siendor¿0,

\('" \,-

h{:

-,x h,:

<z<oo I

Se representanen la Fig. 5.

rsen0cos é,

h,:1,

0Só12n,

he: l,

,..' \i

-y:

rsen0sen {,

0<ó<2a,

2:rcose

0<0<n

ho: ¡, á¿:rsen0

i COORDENADAS CURVILINEAS

t3 8

.:.

Ft3. 5

- 3. Coordenrd¡scill¡dric¡s prrrbólicos (a, r, z). Se representan,en sección,en la Fig. y: utt, z:z ¡: |(at-É), siendo-oo

< tt < oo, vZ 0, -oo

h":h": En coordenadas cillndricas,u:

!/ur+vr, AA

!2p cos.:, -z-2

< z< @

h,:l V 29 seni,

k Fig. 6 muestralas proyeccionessobreel plano x¡ de las superñciescoordenadas. homofocales con un eje comrún. ¿-

F18. 6

\ {\-

-r1,

t19

COORDENADAS CURVILINEAS ¡1, Coordensd¡s p¡r¡boloidales

.r:

(¡¡, v, é).

.y: ¡lvsenó, ,:tQ'-ñ

rvcosd,

siendo¿20,

v>0,

0Sú<2n ho:uv

h,:h,:^/u"+v",

f, en la Fig. ó segiran las parábolasalrededordel eje x, y lo llarnamoseje z. seobtienendos sistemas l:rficies coordenadas.El tercer sistemade superficieses el formado por el haz de planosque?asan eJe.

Ccorden¡dss cilindric¡s elípticas (u, u, z). Se representan, en sección, en la Fig. 7. , x:

¿cosh¡¡cosv,

0< v 17n'

siendo¿i0,

<z<oo

-a

h': aVsentr'u +sentu,

h":

z:z

/:4Senhrsenv,

h,:l

Lr Fig. 7 muestra las proyeccionesde las superficiescoordenadassobre el plano iry. Son elipses e homofocales. .\ ir

,_-

¿.

3>/c

p o,rll6

¡+1'rilt

t Ftc. ?

ó. Cmrdeul¡s ¡:

esferoid¡l€s ¡lerg¡d¡s (6, ¡1,ó).

asenhf sen4cos{,

siendoó:0,

¿senhf senl sen{' 0=4<t,

h¿: fio: ¿/senh"6 +sent?,

0l ár:

z:4cosh6cost,

f <?:t a senh6sen4

Si en la Fig. ? se giran las curvasalrededordel eje-x, y lo_llamamoseje 2,,se obtien€ndos sistem¡s ¡oerficiescóordenadas.El tercef sistema de superficieses el formado por el haz de Planosque pasan cste eje.

, I.M

COORDENADAS CURVTLINEAS 7. Coordca¡d¡s esferoid¡les sch¡tsdas .r

- acoshdcos Tcos í,

(f, ?, d). a cosh6cose¡sen z: ó,

s ie n dfo= 0 . _ + = n s i,

asenhfsen?

o<g<2n

he : hn : a /ientrr 5 J ,"nz , , ¡¡ó : a cosh ¡ cos ,,

7,se ,tlj:^11-a.rq, girantascurvasatrededor del

.8",¿.""?",.'Eii.",l;fffi:.:::Ji,Hl,¿,; seobtienen dos 'ormado J,ill,T,*,;n,*:: Í:,,:ffI"",,:. por et haz de planos qu-e

por este eje. t.

Coorden¡daselipsoidales(1, p,

u).

*- *.- *= t2

" " :i ' f_ r, ,l u2e,2 ;- -+ --+ a t--v

l.=r

r.{i

It l¡

l /_ - - - '- -

coorden¡d¡s .bipf-f" x2 +(y-acotu)¿:

a¡ csc¡lr,

t, f¡

I I

= :

,- - - ;:.- - :- ;i -

\/-pt(^_ul

zV @:n@:pr(q-,

(^-v\(tL-v\

(r, y, z). se representan en la Fig. g.

c2< b2< u< a2

z V <¿-i<t"-="i|_.

i'f

c2 ( l t 1b2 < o,

" r_, --

Y A-rxó-¡á-rl'

t",|

= I, I,

b' _u

/--:-------.--(/¿-A )l r-l \ /

tr .""<b,<o"

[¡"'

(¡_acoth v), f /r:

ascschrv,

COORDENADASCURVIL¡NEAS o -!,

¿ scnh y c o s h y -c o s ta sicndo 0Su<22,

¿ senr¿

y: _oo

l4l

cosh- y -cos < y < oo,

t¿ '

< z < o0

a cosh l, -cos

u '

r': Fig' g muestraras proyeccionesde ras superficies coordenadassobreel prano xy. Girando las ahededor del eje y, y lo llamamos ,, ." irUtl*" un ;;;;;, o" coordenadastoroidales. --s "¡.

Problemas resueltos L Dcsc¡ibir las superñcics y llnc¿s coordcn¿das d€ los sisemas de coordenadas: (a) cifndricas y (ó) esféricas. (¿) Las superñciescoordcnadas (o supcrficies de nivel) son: : cr cilindros coaxiatcscon el cjc z(o eje, si c¡ :0), 0 ó : cr planos qu€ pasan por el oje z. z : cr planos pcrpendiculercs al cjc z. Las lfneas coordcnad¿s son: tntcrsccción dc p : s, y C : c¡ (lfnca z), una racta. Int fscoción dc Q : ct ! z : c¡ (lfnca c), una circunfcrencia (o un puntoli' Intcrsccción de (:c¡y z: c¡ (lfncae), una f€cta./ (ó) L¿s supcrficias coordcn¿das son:

,ú

¡ : cr csfcras con cGntro cl o¡igen (o el orig€n si cr : O). 0 : c¡ conos con vértice cn cl origen (r€ctassi c, : g 6 i, plano ¡/ si cr : r/2). I : c¡ planos quc pasan por el cj€ z. "¡

Las lfnc¿s coordcnadas son: Inlersccción dc , : cr y 0 : cr (llnea ó), una ci¡cunfcrcncia (o un punto). Intcrsccción dc | : cL y í: c¡ (llnea 0), una semicircunferencia(cr * O). Inters€cción dc 0 : c¡ I ó : c¡ (llnea r), una ¡rcta. 2. Exprcsar las coordenadas cillndricas cn función de tas rectangulares. _ Las ecuacionos que deñnen la transformación de las coordenadas ¡€ctangulares a cilíndricas son: (/) ¡: pcos é, (2).y: esen ó, e)z:z Elevando al cuadrado(1) y (2) y sumando, p¡(cos, C * s€n, {) : ¡r +/r, o bien, x1 +y', y a q u e cos' d + sen¡ ó: I y es posi ti vo, e :\/ I sen ó Dividiendo (2) oot 0t. !- :p ¡;iP;:ta só' "" ¡

o bi en' ¿:

LueSola transformación pediü es (4) e:\/x,

+y',

(J) d:

ar" rag! ' arctag{ , (6) z:2.

Observeseque d es indeterm¡nadaen los puntos del eje puntos s¡ngularesde la transforñ¿ción_ ' z (x :0,

, :0),

Estos puntos se llamao

I .)

COORDENADAS CURVIL¡NEAS

"d\ i.)

3. Dcmostrar quc el sistema d€ coordcnadas cilíndricas es ortogonal. El v€ctor de lneición de un punlo en coordcnadas cillndricas ss

e c o sC¡ + e s ó nCj + r k

¡l* ¡C+ z k :

Losvocto¡€s tangentes a l¿slfn€as0, Cy z ücnendados,r€sp€ctivamon b, p* .At

: cos0r + s€n0l'

: -:e ¡en{¡ + scosói,

-?, , +

: *

Los vcctor€sunitariosen esasdircccioncsy sentidosson arlap

cosdl+scn dJ

q ':6 ¡á ¿ 1 :

'r:

a a{

c- ' : c ' :

cosdi+s€nll

/ffi:

-pson ll * pcosCt

i a f n :7 5 ffi*:

: - s€ n ó l+ co sct

tul0z I attair:l

c¡:et:

Porlo tanto,rer.er): (cosót + rÉnól).(-scn Cl *cos CD : 0 €r-e. : (cosCl + scnón,(k) : O q.e, : (- scn{i + c¡s CJ).(k) : 0 con lo quc, rr q y e' sonDutua.mcntcpcrpendic.ularcs y por ello €l sigtotlradGcoordcnad¿s €sorúogonsl.

¡1. Reprcscntarol vactor A:

t-Z{

c¡r coordenad¿s cilfndric¿sy dctcfmin¡r i¡,;;¡,:

D€l problcrn¡3, :t" ;

¿ \.1

_({)eo,= c.isql+s6n f 11 1,.@.r= i.-t,ai--1/-Qi+t¡,Q¿ l-ii.¿: Rcsolücndoel sistor4aformado ¡ror (I) y'(4,

, \ )

i : cosri-s.n

, li,

i'¡i

\I yVl ),',.tj t l y

j : scnrc? + cocl.,

zl-2xl + y\

Lluogo

ó Ga,

(t) ¿,:k

-s¿n dl+cosC,

: dcos I c" - senú cr) - 2e cos I (scnI e¡ + cos t c.) + e $n I c' = (z cas{-zee,s {scn f)g-(zscn ó * 2pcos'{{} c sonlgi

An:

Fw ó-zQcos órct í,.'lt:

¿ .d : A : J c¿, á.n: á rGpocto dol ticmpo

5. D€moskar quc

-{q,

-zsan ó-Zpcos, {, A,:

Q*ni,

cn donde cl punto sobr€ Ia función f€prrscnta la

Dcl probl¿rm 3,

e: Lucgo,

c o s l¡+ rc n lJ ,

Gí : - scnlt +cos rt

7íq

: - (scnó)1lt+ (cosC)¿l : (- scnót * cosll) { : Cc¡

d det

: - (cosC)dl-(scnó)Cl : - (c o sCi+ s ó nCl)d * -{ S

l -

COORDENADALCURVILINEAS

l4l

la velocidad v y la ac€leración s del moyimiento de una partícul¿ en coordcnad¡rscilíndricas

de posiciónen coordenadas r€ctangulares es r : ¡i * yl * zk y los vecto¡esvelocidady ace_

bff"tf"rfr

, =

+i !+'zh

. =

= ' ir + ir + . jr

En coordenadas cilíndricas, según el problenra 4, = ,t+ y t+ z t

= (p c o s fy l c o a$ co _senóe6)

,t,,.'-

+ (p senp)(s€n+ c, + cos ó eé,, + z ¿z pep+ zez ¿p

L u e s o , v = ,t_ 'r =

de^

pí

i"o*

tfr ""

= i.p+ p$"f + ie,

;úD €l problema5. Derivandonueva¡nenre, a = dJ

+ p$e6+ ier)

*,tiV

. ideé = ;d3.: t Peo + PQ7;+ - P ¿; .l

i ó .6 *

.: .. PQeó+ pQe6+2e"

i i " , *.t p$¡ $.0)

+ póeó+ i$e6+ .;e"

- (i ; - p f>.0 +* <pó+ zp$¡ e,+.áe" Eúr el problema 5.

hlla¡ el cuadrado del elem€nto de lfnoa €n coordenadascillndricas y determinar los factores de escalaco¡resFd¡entes,

,... pcos4,

r: -Q senidó + cosóde, [..Ego,

d/*

dx 2+ d y ' + d z ¡:(-p s e n

drl

.:-

'do.

ewr|ú, z:z pcosódó+ ff.)aóae, dz:dz

ó d 4 * c os dtdp)!* (ecos i dé + * nódpY

f @i,

(dú'+ e'@ó)'+ (dz),: hi@d"+ hi@ü"+ hi@z), c donde ¿1 :

he :

l, ho : h :

p, h" : h":

hundo método. El veator de posición es r :

, : df : : Lrgo,

ds! :

ar , de

fu ,, aó

son los factoresde €scala.

g cos / i + p s€n CJ + zk.

Ento¡ces,

+ -U ;4 ,

( e o s/i + s € n Cj )d e + (-p s e n di + ecos 4!)dó f kdz (c o sd d p - p s e n g d s )t f (s e nC dp + ecos4dó)j + kdz

dr.dr :

(cos {d4-

pscn CdC)'+(s€n dde + e cosó dó), + (dz),

: (dd"+ e,@ór, + (d,),

i .:¡¡ )

COORDENADASCURVILINEAS

3. Demostrar qu€ el sistemade coordenadascilíndricas es ortogonal. El vector de posición de un punto en coo¡dcnadascilíndricases

r : ¡i + -v l+ z k : e c o s Ci* e s € n Ct lz k Los ve{torestangentes a las llneaso, d y z vienendados,r€spectivamen*, no, f

a. +uy :

:cosdi+s c n d ¡,

-esen9l +

S cosC ¡'

fr, +

, +

a' E :l

Los vectorcs unitarios en esasdirecciones y s€ntidos son €t :

A rl A o --;-;-: I orléQ i

qo : '

cosdi + sendl ---_ - : : y'cos'C * sen¡ d

Arla6

cos ói +sen ói

-psen ói + ecosCJ

r er ladt:/n' *n,aañ e¡ :

ArlAz :-=--:

e, :

I ofloz

Po r l o ta n to , er' err:

-s€nCl+cosdi

eri c! :

(cosC i + s€n C ¡).(_scn C l + cos C j ) : (cosdi + s€n dJ).(k) :0

er.e!:

(_ s€ndi + cos

C J).G) :0

con lo que, e' e" y e" son mutua¡rente perp€ndicularesy po¡ ello el sistema de coordenadases ortogona,l.

4' Reprcsentar el v€ctor A : zi -

2x! + l.,k cn coordenadas cilíndric¿s y determinar An A1 y A,.

Dcl prob¡ema 3,

lj)

o :-T; r,t,Iy."..t! (2)et: -senr¡ +cosc,

(r)¿,:k

Resolvicndoel sistemaformado por (1) y (2), I :

cos C qp-sen C €c,

scnde! +cos óet

LucgoA : zl-2xliyk : 4cosóge-s€n Cec)-2ecos d(s€nú€" + cosr el) + pscn Cc, : (z cosó-Z|cos dsen{)q-(zsen C + 2pcosrC).90 + o senC,ar,/

Ao : z.casó-2ecos Cs€nó, ,t : -zscn C-2ecosr {, l, : e*n l.

d: dl Z* E: ¡esp€cto dol ticmpo

J. u€moslrar que

óec,

i"l:

-iC,

cn dondc el punto sobre la función ¡Epr€scnta

Del problema 3.

E:cos{l+scnCJ,

ft'

tuego,

: ¿ 4 dt

tr :

c, : - scnli +cos dl

- (s€nd)iÁi+ (cosC)lj :(-scnCt+cosóJ)d:de¡ - (cos¿l d'i - Gcn d) jj

: - (cosCl + s€nI J)C : -{S

---\}

I COORDENADASCURVILINEAS

l4l

la velocidad v y l¿ ac€leración ¡ del movimiento de una paricula en coordenad.ascilíndric¿s El v€ctor de posición en coordenadas r€ctangulareses ¡ : ¡i * ¡i + zk y los vectores velocidad y accEión son

+!t+i h

,=#=

¡ = 4-=\*7trz..

En coordenadas cilíndricas, según el probl€nra 4, = ,l + r!+ z l

= (p c o s d ¡1 coe@eO - scné e4) + 1p sen @¡lscn @ c, + coa ó ai), + z ez = Pep+ z ez

L u e so ,

=';,- =

l .o*

de^

. " i" " = i" p * p $ . n + ie " ¿.

rgún el problcma 5. Derivando nuevam€nte,

= + = ! G " o + p g e6 i+e ",t - * pói+ ^ i¿ ' ó . pé.r ^ \ + |$e6+2e. * i:.p - ¿ r!

= ;9

= i ó"0* í% r p ó e , í e ¡ + p ó e 4 + i$ e r + z e " = ti i- pé?t.p, p $ * z i$ ¡ " , * ' i. "

tgún ol problcma 5.

Ilallar el cuadrado del elemento de línea en coo¡denadascilfndricas y determina¡ los factores d€ escalacoffes¡ondientes. Primer método. x:

¿l¡ : -qs€n ódó +cos íde,

pcosó,

y - esefró,

z:z

ecosódi +.É,nóde,

dz -dz

Lucgo,d.rr: dx'+ dy, +dz¡:(*esen 4d4 I cosdde)s*(ecos Cdd + senídd'*@z). : (dp), + p,(d$' j (dz\' : hi@d, + hi@ó,' + hi(dz)' & dond€,h : ho: I, h": h¡ : e, h": h": l, sonlosfactores deescala. 9gundométodo. El vectorde posiciónes r:

At A¡ ,. Ar + + óQ o zz o8 -d o ' -d ó -d (c o sd i + s e n d ¡)d e + (-e s €n

(c o sd d e -

, dr :

ds ' :

ecos Ci + ps€nÉj + zk. Entonces,

pcos ó

dó + kdz

p s e n /d d )i + (s€nC dq + Qcos4dí)J + kdz

(¡o s /d ¿ -

d r.d .:

Ci+

p * n ó d é ),

+ (s€ndde * p cosódó), I (dz),

(d P)' + e'@4)' + (dz)'

i .)

COONDENADAS CURVILINEAS

l,t4

t. R€solvcr cl problem¿ 7 cn coordonadas (a) esféricas y (ó) cilíndricas paraÚlic¡s.

¡ : r s€nocosc,

(a)

z:1c¡A 0

rsenosen í,

ódr - r ssn0 scnCdd * ¡ cos0 cos 6d0 + *¡ 'cfÉ : d 0 s€n s€n dr d, ¡ sen0 cos ó dó + r cos scn ó d + { : dz - ¡*n0 & *cos0dr

Entonces d¡:

con lo quc (dr)' :

(dz)' :

(d¡)r *(dy)'l

tos factor€sdo €scalason h,: ¡ :

(ó ) E n to n c € sd ¡:

(dr)'+ r\do)' + r'sf,'¡'o(dü' he: r, h¡: ht:

I, h:

h,:

ü(.¡¡-Y t)'

u 4 -vdv,

dt:udv

r*t9.

2:z

uv,

dz:dz

* vda,

conlo qu€ (dsr' ':'(dx)' +(dy\'+(dz\': (¡¡r+v¡)(¿/)t + (u' + t:)(¿tv)'+ (y'zt' Losfactores d€escala soná, : h, : \/ u+ v' . h": h, : \/A +nt , h': h, : l. v-'.

lt t 4ur y LJ . t . t

t t,..,./va,

j"/ o

"tJ' . , , , ) , J , ,';

9. Represontar y hallar las dinreísiones del elemento de volu¡nel

¿ en coordenadas (a) cilínd¡ic¿s y-(á)

(a) L¿s dimensiones del olemento de volumen en coo¡denadas cillndricas (Fig. (¿)) son e dó, dp y dz, yt vienen dadas por ds,: h, tl\ : (l) (det : de,

dt:

hdu¡:

p d4,

ds. : (r) (dz\ : dz

utilizando los factores de escala obtenidos en el Droblerra 7.

i¡ .-l

Fig. (¿) Eleocrto de voluEe¡ en coorderad¡s cilíndrlc¡s

Fig. (ó) Elem€nto de volumen en clo¡der¡d¡s

(ó) Las dimension€s del elemento de volumen en coo¡den¿das esféricas (Fig. (ó)) son d¡, r d0 y r *¡ ya que vienen dadas por d s ,: h ,d u , : (l )(d!l : dt,

ds¡: hzd* :

r& ,

utiliz¡ndo los factores d€ escala obtenidos en el problema 8 (¿).

ds,:

h" du, : r* ¡ 0dó

-\ COORDENADAS CURVILINEAS cl oleüEnto dc volumcn d/ c¡r coordGnadas(o) ciltndric¿s, (ó) €sf¿ricasy (c) cillndricas parabólicas. E clctncnto dc volur¡rcn en coord€nadas cuwilfncas onogonsles ¡r, ..t, r¿rGs dV: En coordcnsd¿s cillndricas, a, :

e, ut :

h, h¡ h¡ dardq dut 6, ut : z, ht:

(trl € )o )d Qdódz

d V:

l, ,t : p, ¿t : I (problerm ?). por lo tanto, :

Qdedódz

También se pucdc obtener di!€ctanenta obs€rvando la Fig. (a) dol problema 9:

En coordcnad¿s csféricas,a r:L lr¡to, dV :

t,:0 ,

u ¡:

i , h,:1,

ht:r,

(l\ (rr(r st 0\ dr & d{ :

h¡:fs€no

(probl ema8 (a)). P or l o

rrffiíúdOd{

También so puedc obte,nerdircct¡urnte a padir d€ l¿ Fig. (ó) dcl problema 9.

cilfnd¡icasparabólic¿s, ur: ü, ur: v, .!, : z, h:1,/irTl, F¡ coordenad:s (problema 8 (ó)). Por lo tanto, dV - (\/ u, + ü (.\/ri. + v\ (t\ du dv dz :

h. : \/7i-+ ". , h. - |

(u, * vrl du dv dz

(¿) los factorcs de esc¡la y (ó) cl el€Nnentode volumcn dll en coordenadas esferoidales achatadas.

¡ : ac os h ¡C o s ? c o s ó ,

./:4 c o s h

É cos?sen6,

¿senh6sonA

dx : - 4 cosh 6cos?sen CdC-acosh I scn 4cos ódq * a *rrh 6cos Zcos Cd6 dy : acosh fcos4cos ód6-acash 6senqsen 4h + a frr,nhfcos ¡sen Cd6 dz : ascnh fcos ?d? + acosh ¡ s€n?df Entonccs (dr)t :

(dx)' + (dy), + (dz), :

a! (senh' ¡ + s€¡! 4) (d¡)' + a'(s€nhr 6 + sen! ?) (d?)¡ + a¡ coshr 6 cos' ? (dC)r

h : he: 41,/scnhtf + s€nt? , h":h,t:a/s6fr[i-F?s€n,4,

h, : ht : a cosh6 cos?

dv : (at/ *nW ¿ + *n,,ü G /Gh--T + s€n' 4) @ cosh€ cosri dt dn d 6 : ar (s€nh¡f + scn' ?) coshI co} rt dEdI d{

las expr€sionesde los slementos de su¡erficie en coordenadascurvilíneas ortogonales. Obsorvando Ia Fig. 3, pág. 136,Ios e¡ementosde super6cie vienen dados por dA :

l€¡xerl:

l(h¡ dqe,\ x (r¡ ¿¡r e,) | :

lr¡ /r¡ le¡ x eo I du1du" :

hh" du, du,

I r

I:.

¡.

le,¡:

t. Análoganente,

dA, :

| (h, du,e,) x (lr, ¿r, et) |

h h' dh du.

dA, :

l(hdqe)

x (h, dqe) |

h' h, du, dul

l4ó

COORDENADAS CURV¡LINEAS Sie¡do ¿r, ¿¡, ,r¡ las coord€r¡adascurvillneas ortogonales, dcmostrar quc al Jacobiano de ¡, /, z l¡r, ¡r, .¿¡ es

?¡

ü a t¡[ 3x

óU q

ótte

due

7r. ?u"

7y ?r"

Zz ?r"

h th ..ü

Según el problcma 38 dcl C¡pftulo 2, el determinante dadoesigual a

(-l oul

+ <- h ) . óut

our -4J

?¡

&.?¡ "?¡ ?u,

?u2

( '{- - l + 1 l J óuz ott2

ó""

E. ott2 -I)x(-

Ár€r' h2e2 x hseg

htbho

e1' e2 x es

?¡

l +<- J +<- k ) oug oua

2z oug

hthzhg

ar ar a' si cl JacobianoesidénticamcntenulLo,losv€ctores -6r,, dr", son coplanariosy las á,

(x, y, z) estánligadaspor una relación del tipo F(x, y, z) : 0. Por consiguient€,p¿ra aplicar una ción d€ coord€nadas es necesario que el Jacobiano corr€spondiente sea distinto d€ cero.

frf 14. Hallzu J J J

(¡'+l'+

zr)dxdydz siendo / una esfqa d€ c€ntroel origeny radio ¿.

Fk. (o)

Fr¡. (ó)

La intogral pedida es ocho vecos la integral sobr€ la parte de esfera contenida en el primer (rig. (a)). En coordenadas ¡ectangula¡es,

¡o

¡ /-a2-x2

u.o y.o

r /7=V=7

+ z2r ¿2¿rd' @2+.f

z¿o

p€ro su cálculo, aunque posible, es complicado. Resulta más fácil utilizar coordenadas esféric¿s.I €ste tipo dc coord€nadas,€l integrando.:, + y, + 2., s€ transforma cn ¡', y cl elomonto de volumen,

COORDENADASCURVILINEAS

t47

rúfÉrte en r,vrrgdrd0dó (problema l0(ó). Para ¡ecoüer Ia región del prim€r octante,sc tian 0 y C ,Jrf y s€ integra desder :0 hasta ¡: a; a continuación,manteniendod constante,se integn desde =l tA : z / 2y , ñnalm e n te ,s e i n te g ra re s p e c to d e é desded:0hastad:z/2,H emospl anteadol a ión en el orden 4 0, f, Wfo s€ podia hab€r s€guidootro orden cualquiora.

, ["" ["" J' <*rrr*n o¿,¿o¿ \ = " I"n f^ f r=0

6=0

¡=0

ó=0

8=O

r' sen0&dedó

¡-=O

1r/2

=+ ' ' r["* ,["""l *neli-oaeaq J,'" J,

*n0 a0d$

=# = ,o"o("o¿ó J"" J"""'r

r JI 41roa

Fnq¡r¡ente, la integral representael momonto de inercia de la esfera respectodel origcn, es decir, el momento de inercia, siendo la densidadde la esferaigual a la unidad. rr E¡ general,cuando se pasa de coordenadasrectangularesa coordenadascurvilfnoasortogonales,el cnto E¡lo

de volumen,dx dy dz, s€ t¡ansformae¡ h,h"h"dudu"du",o su equivalentc,t l+"a") ./ el Jacobianode la transformaciól de x, y, z a ¡.¡',ar, ¿' (problema l3).

jrÉlo a1,¡/',a¡laslíneas demostrar curvilínoo, coordenadas deun sistoma tue fr,

+,-h,Y

du,du,du,

vr¡r,V¡¡,

i¡¡ son dos sistemasde vectoresreclprocos. \ l s i p :q ' " I(v^s tP+ -; q .

at Tcnemosquedemostrarque j;o ü t 'vu.:-

endondepy4puedentomarlosvalo¡es1,2,3.

fr ticne,

3r ¿u. * dr,

a¡ au"+ ll ru"

7n"

Multiplicando por Vl, .,

V,1 'dr o bien,

du1 =

a¡

tVur'*rl¿,,

= 1, Vur ' ?,,.

+ (Vur'

vrr. A , = o ,

{rrn

V r, '

tVur'*l¿,"

?u"

\nálogamente,multiplicando por V|rr' y v¡¿s's€ demuestranlas demásrelacionos.

rx m o s t r a r q u e {*

# ,.*}{e u ,.i v" ,v," }

= r.

ar ar a' dc YectorssPorlo tanto V¡rssonsistcfiasrecíprocos -AC, -ft V Vu,, V¿¿', Segúnel problema á, ", !¡ demostracións€ deducedel problema53(c), Cap. 2.

-r)

lrE

COORDENADAS CURVIIJNEAS Es¡o rlsultado'oqüivalc a un tcortú[a dal ,¡cob¡¡so,

a"!

3rr 3c1 ¿r Oz

iq.9u2r.O*,

a¡ 3s &

e dcrtet(#th\

kot

4", ?: llg

, (

¡t. r2t l¡t ) t'f,.

¡, trúrodococrnrrsotprobt@¡13¡

^ry#l

?¡2 dt

t?. Democtr¡r quc cl oradndo dcl Gl@tto do lfnc¿cn coordin¡das cunillnca¡ ra puodooxpncar por g3

ds2 =

X +q '\hc

q'r

,'L

Tcndrcmos,

¿t -

¿u, *

llt ola

¿r.dr

Por lo tanto,

dtz

du?+ Aa.q

Cr'c-

gd4

+ &2 du2

¿ttLdt2+ gr.q

d¿1iu3

+ Q.Al

du2til,a+ q.As

duf, + Q.g

+ ds.q

d¡s de1 + Q.Q

dasdu2+ q,drd":

GRÁDTENTE,DTVERGEF{CIAy ROTAOONAL

ORTOGONALES

^ TPy- ^-* lt. Dcdr¡ci¡ ls cxpr€ciónV(D cn coordc¡radascu¡vilfn€at¡ortog6nato, Se¿ ViD = f¡cr+ foeo+.fs 03 con t1,¿,/3 c¡aúsicnté a dctcrnimr.

como & = + ao1t $aoo* $ao" ' duz ' tsq ü1 .

hlc/.tttr + h2 e2du2 + f,s c"dng

Irsulta

Por otr¡ púrt!,

(¡)

(2'

ae. ffia,r *#or*.ffia,,"

VO. th

d4 dus

, sioado\q = cr'c,q

E t*dgd,n F q.L

).!

+-dk ote

¡.|.hdt4+ hfztbz + fu/edq

COORDENADAS CURVILINEAS

Igualando(/) y (2),

r= r 3 e

r=1?E

h,aur'

¡, éu2'

,-,"

r a iD.

[ a,t

vé = htp gg.p3É.e"g9 dut hz du2 '

lo tanto,

fu ?rg

E¡¡ rclación indica la equivalencia operacional

g3 eo3 v = bt33. out h2 du2 - ls du" ¡o3 s€ teduce al operador Ven su for¡u

norrnal en coordenadas rect¿ngulars.

u,, uo,u", coordenadascurvillneas ortogonales. (a) Demostrar que lVuDl:h;r,p:1,2,3. (ó) Demostrar que e, : E .

¡¡¡ S eaQ : ul en e l p ro b l e ma1 8 . En to n c € r" s: logam€nte,haciendoé

: y - u, u,, lAu;1

y l V arl :

l e,l l h,:á,-r,

ya que l erl :

t. A ná-

¡rt y lVu,l : h;1.

&, Pord€finiciónEr:#fr.**r"r,sepuedeescribirEr:hoAuo:eoqteesloquosequcrf¿demostrar.

Iaostrar que er : ¿¿á! v¿¡ x v¡/' y que e¡ y e" vienen dados por ecuaciones análogas, siendo r¡r, ¡r, ¿¡, oordenadas curvilíneas ortogonales.

sesúnclproblema t9, %, =

fr,

V""=8, %" =;.

3" €t = Por lo tanto. V,, t Vu" = 9¿l n, 4 ll-th"

E¡ €sidp.t.-

Arálogamente, e, = AeilVu3xVul

fti

,IIr l

- -vu2t Yus et = hztB

ca= h]2Vu'xVur,

lmostrar que en coordenadascurvilíneasortogonales

(d) v

(drel) =

{1e,n,ts

th"

a ¿( ,{ ,¿,) 1á ¡ V x 1 l ,e ) = jnI) n7 aus . ¡oálogamente para los vectores,4¡e¡ y,4s€r.

.e+ hthz

¡ *;tlrt"tl

(

Del problema 20, V'

(l1el)

VéIh2hr.

qArh2hrix2xgu".¡ Vr2'Vr"

+ A]2fug,

qyu"xVx"¡

= gulhzhs).ff'fr. o = i6,n;'¡t.fr¿

= =

n"t' f; ];e,t"r'") * fr f,*,tn", [f r},^u't ] 1a

€r

hzt¡

hrr,rr," zí)éthzhdt

., /l

llt,

ADAS CURVILINEAS

COO 'E

(ó) Vx (,tl"J

= Vx ¡,t1Á1Vr1¡ .

V(1Ár¡.x Vr, + 4hrVxVu.'.

= Vq,rrl.¡rfr +0

=[; ftu,^,, * ftft<tl,t frf;,r,^.,]-; =ftftr,,,u - frf;,,,,,¡

Zl. Expresardiv A : V 'A on coordsn¿dsscurvilfnc¡s ortogonal€s. V'I

V' (Aa4 + azaz + ,{oGs) .

V'¡,trcr¡ + i,1,1"4¡ + V. (.{re")

* 3tarroJ f3,rr44, ' -' * ]1,r,r"rr¡ 7a' " ^' Eu"' - "'l

t"194 l?ur "

aplicandocl probhms 21(o).

Zl. Expf€ssr rot A: Vxl

V x A en coord€nad¿scuwilfncas ortogonales. Vx(ltcL + Aza2+ 4 s"¡ .

Vxl,t1cJ + Vx (la!a) + Vx 1,tuc"¡

= ftfto,ar- ftftu'ut

* ft¿gr,r,hr - ffifru"ut - &*'o.,^)- fr*",t'"^o

= *^[fit'"'"r -*,^,r,]- fr[ftr',a,-ft,r"^"r]

f;,,,'u] ft1f;u",",soghncl problema2l(ó), Esto sc pucdc€sctibir c¡r l¿ form¡ máscompact¡ h*t

Vt,r

,a\/¡a¿á

-j.;

üq

hzec

}6c,al

A1h1 A2h2 Ashsl

21. &(pr€sar vlP €o coordcnadas curviüncas ortogoDal€s.

V,/ = + $- = $ D e l p ro b l e malE, ' h1 du1

h" da"

.eo ¿'lt ig a"a

COORDENADASCURVILINEAS

s ,r=9ú,Entonces l. =1

v.¡

4,,

#r,

"= i

Ott2

r ?,y'

, ,{s = .

hS óuC

i 51

y, según€l Í oblema22,

V2!.t

a ,h.h, á! .

f ¿ .h2h.a/ .

,r¡"Lau,t," á ; ' ' ¡ ¿ t

a . i',¡, a¡, .l

a",'' üt

, " á il

I f A'n dS

drvA= v.A = jH. r\, @obleÍia 19, Cap. 6), eipresar y 'A cn coordenadas a¡rvilftreas ortogonales. Consideremos e¡ elemento de volumen lV c\ryas áñcnsiones, como se observan €n Ia figura adjunta, n htAu,, h/q, h,Au¡ S€an,A : lr e! + Are, + A, ety n el vector uni¡¡io normal extcrior a la superñcie /S del elemento * volu¡nen Á V cit2do. Ei la cara JKLP la norm¿l cs r : -er. Por Io tanto, y aproximadamente, tendr€mos Pf

| | ,r. n ¿s

= (A . n en el puntoP) (Arca dc .¡K¿P)

JltP =

l(1e1+

A1h2ha Au2&6

E¡la,(,¡ra EreE,b

+ Ase3).(-er)l (¡2rka82a¡¡s) A2e2

integralde superñciees 4 hzhsLr'2N1- ,

{^<1,

nrn"AarA""¡&,

infinitésifios de orden superioru Ou,O^/.r¡. es fugral dc sup€rñcic, -sprcciando A¿1 =

(¡"¡r¡" <L ona

^¡zAh) l¡ contribuciónde las seisc¿rasdc / zes f ¡

lfit,e'r,ro

La contribuciónneta de estasdos carasa la

+oul (/i A2&) A¿1A¿2A¿3 'l

+ A a"1a"za"g f;tAzhths\ ü(/s^1¡,)l

Xlvidicndo por cl volumcn h:¿J'[ Áu, /u, Au' y hallando el llrnitc cuando Áu,, Áu', A4 ticnden a cero' tilne

( ¡ r ¡ r ¡ " ) * 9 t r " ^ r , , r ll dr"a = V .r = ,,t,[ 3 r r r r " ^ " 1 * 9ot4 ot¡s 4h2h

LduT

obBérvcsequellegarlamosalmismoresultadosihubiésemosconsidcfadounelementode.volumen/./ en el problema 2l U qu" ¡, iuera ,i, c"rrtio. ¡n estecaso, ei cáiiulo se efcctuaría de forma análoga al rcalizado .H Cap. 4,

COORDENADÁS CURV¡LD{EAS

tt2 ú, A psrtL ds la dcñnición

(rot A). tr = (VxA). n = Uñ A3-o

I!!AS

(problcma 35, Cap. ó), cxpr€sa¡ V x A cn coordenad¡s curvilfncos ortoSonal€s. En prirncr lu8ar, c¡lculcmos (rot A) ' ct. Para cllo consider€nos la supcrñcic S¡ normal a c1GnP' como indica y aclara la ñgura adjunta. Scan' A : ,{¡ c¡ * A¡9 * A¿e1y Cr Gl contomo d€ S'' En €stas condicioncs t€ndrcmos,

/'^

^. ¿.

-c,' P 8 ü

l¡ . ¿¡ '

, f ^.r,, f ^.r, tc

l^. r ,

Admiticndolrs aprorinacion€3 (I)

f J

t.a,

(aenP).ltr&tcr¡

(,1r"1 + A2e2+ Ascal . (¡24u2.2)

I^'"= l^'" =

A2h2lrue +

(2)

- A2 h2 No

A2h2ü4.

ioüi Á2h2&t2¡ N.

xL o bicn,

(¡z

o¿3

A¡2) A¡¡g ^2

AnálogampntG,

I n. n

Px o bion (3)

t ^ .n

¡tP

(4)

¿ea¡,s+ r,l"r"a,"l&" f ^, ,, = ,4s fi

(.1),(2'),(3), (4) s€obtiene Sumando /")) 0 r.¿r

UC,

+(rsAs&3)&, Ou2

l-:

[-trr,t"t"¡

(A2h2\udtNs ir ouo

despreaiandoinñnitésimos de orden superior a A¡¡, Az¡.

ü6"hd

)

N"Lus

COORDENADAS CURVILINEAS

Dividindo por ol órca dc Sr quc v¿b á¿r'ílr.

(rora)..r =

y h¡ll.ndo cl llmiic c-r¡rndo/r, y .¿rr ticodca¡ @ro.

3*,r,^,,]

[*."or-

Anólogamcntolom¡ndo lr3 árcasS. y S. perpcndiculatcsa q y c¡ cn p rsp.ctivsmcntc, se obticm (rot A) . C y (rot A) . c.. For lo t¡nto el ncult¡do pcdido cs

(rotA =

- lt.,,n"t

- ft ,r"t"l]

. fr[*t--n,tu-ft.r"^",]

f,rGr }¿¡z

. ¡i fftt'"ta - ftt"a'] " #

hq I ^dl l

?n, 49

hr/iL

bAsl

i2A2

Al misnrotcullado s€ habrla llog¡do si hubiéscctocconsidcr¡dosl punto P.como ccnt¡o dcl ó¡ro &; cl cálcüto!c rlalizarla dc fonna análogaa conn sc hizo cn cl problana 36 dcl Cap. 6. . Exprcsaron coordcnadascillnd¡icss: (¿) V!D, (á) V'¿\ (c) V x A, (d) VS. En coo¡dco¡d¡¡ cillnüi<¡¡ (p,ó,¡), uf P,az.Ó.h.2; Y

L=he= r,

q'cp,

%=.ó, csaGz;

hz=tó= P, hs=,'z. t

(d)v e= i H " r ¿ H " i ffi " -

i # " -i # " ¿ *i 33"'

$ t . i S "' $ o =

#"[fi,r"^"ro

t ln<nnt,,tot " fto,r,rn]

#"" [+(orur)- $ (,',,u,r) - $ (r'ro,,)]

iG1*, -#,5*^",f sicndo A = Ap e a + A ó a 2+ A" e s , l .e, A L-A p,4= A ó,

h¡e1

(c)

Vx¡

I hthrh"

h2e2

hseg

ooo

¡,'6¿;[ h1A1 h2A2 hsAs

A B = A z.

Peó

oód

ú&r; Ap PA6 A2

154

COORDENADAS CURV¡LINEAS

. Q*-,*) , . (¡**,-%*) ; [(# ]*^,,), (/) v'Q =

(*r).+(*#).*(*n)] # ['"'' #",[#(ryr) .* (T#).,*(ws¡1

¡* Q #')¡ # . # 2t. Expi,csa¡en coordcnadasesféricas:(a) V x A y (á) V.y. n1=r, uz=0, W-ói En ostccaso, ¡r",

¡r"o

¡.""

I a

( ¿' ) V x A =

t h1Áol'"

aL'e, e2=ca,cc=$ i ha-hr.l, h2ehg=¡,lo-h6=r*¡0_

?r, 3r" ?," | I ,l haar h2a2 h.As

¿f ,a0

(1,(')A*.8

E6e

| scnác6

A7 rA, r *^t'^rl

- F#[{$r'*'o+t- $c^¿l* _

$r,*oel't\,", . {*or,, _ *1,*oe"6]

(ó, v'ú=dE[+(+#) .*(**) .*(*#)] =*#*.a[*(*r'#) .#(=**) ,+(##)l =,h[-"'*('#). #(*"*Y) . * #] =

| t ?/" 4 ' ' \ -' \ . Fh t-*_ n ., 1' rÍ) . t* #- (*", uu) ¿óo

29. Escribi¡ la ccuación dc taplace cn coordcnadas cillnd¡icas perabólicas. Dcl problema t (á),

¡r=¡, 42:¡,, ¿o=r;

hr=Gi-ro,

ho. /71-oo, h.t

'rll COORDENADASCURVILINEAS

vzry' = Por,otanto, #,[*(*)

("."'#)]

- *

*(#)

l))

= .- -r r( *'#)'# b ecuación de Lapl"o

É,/ : 0, o bi"n,

=o fu.{+ ,q,",,,¡t! dz. ¿u" du2

: xV'U de la transmisióndel calor por con-

E¡presaf en coordenadascilíndricaselipticasla ecuaciónff ducción.

;

tur i*-

fr u!=u, t'e=1), us=z i l,r=r,r=",,(ffi'f,llñiu¡, r

i" u

l¿fryl

h=1.

Porlo tanto,

\ 'I

3la{ s enh' z * * .d'I ' ", $} l a, \au/ - a'\ - 3lg) )

¿'(senh'?¡/ +sen'v)L¿, \¿,/

lfu 't!1 {4 a"2 J ' 7"'

c{senhta r sen'r,) | ?u2 y la ecuaciónp€didaes

y = *{ .* l ?r" - *J} '* sen'v)iL*au2 a, I a(senh'a (OORDENADAS ¡.

7," I

EN UNA SUPERACIE

CURVILINEAS

: r (¡, v) viene dado por Demostrar que el cuadrado del el€m€ntode línea sobre la superñcier =

ds2

d. =

Tendrcmos Por lo tanto, ds2

Ed u 2

$a, du

Gdu2

* $a' du

d¡. tl¡

= +.+.h,2 + zS.*r,r, Ótt Ót) dtt du =

2F dudv

Edu2

2F dud ¿

_ *.*r,, ot) ot)

Cdo2

!¿. Demost¡ar que el elemento de área sobre la superficie r : r (,J,v) viene dado por

ds = ffi-fi

¿u¿,

El clemento de área es

= l+"* ds= l,$n",',$n,,1 1 0 " ,,= n C¿ dul ld¿ | ld¡ f fl $ ¡ 8 ,,.,ffi ,,,, El radicando es (problema 48, Capftulo 2)

,* '

Pr ,* 'P, du du

-,*'P ,,*'*, óu

= dv

E c -t r¿ q u e e s lo q u e s e q u e rí a d e mo s t ra r .

COORDENADASCURV¡L¡NEAS CURWLTNEAS

DTVEN,SOS SOBRE COORDENADAS

PROBLEMAS

33, S€a A un vector dado resp€cto de dos sistemasde coordenadas curvilíneas (¿¡' lrr, ¡¡) y (¿', ¿', ú'). relación entre las componéntes contravariantes dc dicho vcctor €n ambo8 sistemas. Las €cuacionesde transformación de las coordenad¿sen un sistem¡ r€ctanSular (r, y, z) a las (4, u., u.) y (úr, at út¡) vienen dadas por z = 1rlt'ltu2tus,,

(¡)

I x = xlí¡í2,tsl'¡,

f = r"4,¿2tt4l,

2 = 21(ut.t4.t4\

| = fz(út í2,ís\,

¿ = ¿z(ít-U,ía)

En estascondiciones, habrá unas fórmulas Oetransformación ¿irccta d€l primer sistema(n,, n', ,¡¡) al

(rr, ¿', ¿.), (21

¿1 = ¡1(4, ü2,üo),

u2 = ulí¡i,2,ísl

¿e = k(4' Q, üs)

y r€cfproc¿mente. De (1),

tt¡ = tsr,, ouL =

¿¡

+_ d¡1

:! díh Ou2

o¡l¡

= d.1 dq +

d2 du2

Q tlq

d-u" * o¡&.

d2 ¿:u2 +

d3 dl\

dtdú

#uo*

*"n*' +

úadi1

Por {o taDto, (3).

d1du1 | Dc (4,

dxl

l'2du2 + =

Qd4

+ l2d12

d¡a'u"

#' ,*S' a.ft' ' "

a",=ftaa,*fta"r*t r trs = ffr' ,* H r* -* r* Sustituyendo en (r) o igualando los coeficientesde dü1, d¡2, dEe de los dos miembros, se obtien€ a1

(11

o,#. oH .

",*,

ús

"'*'

t*,

. c "H

,*"

d"*

Ahora bicn, A so pucde expresar en los dos sistemasde coordenadas por (5)

siendo Cr,C2,Ca y (4) en

?u' =-

- dlir

--_ -

?¡. ?¡"

+ -q = --+

erdr+Qd"+d3d'"

dt,dz, Qhs componentes de A en lo3dos sistem¿s. contravadantes

c1d,L + c2 b lL. .

Cttta + c2c2 + csl€

+ c3 c3

Qd,'

+ d' d.

?¡" - ?¿. * <Z'fr frlc' =-- + C2=-- + q

?¡,. -C a=

?¡.

q :-- + C" i-- i=-) dE2 ó83

+ c-nd'

- ?¡ " - E* - ?* ,ttaor * aü* t" d

a-.

t COORDENADAS CURVILINEAS b tantor =

aÉ

tt7

- dí, ' e"g -d% - ¿"9

¿ r* :

¿ , *: . r,* ,,r" *

;

?u^ -C1--!

En"

- ?so - 'ó t ,

- dlt

'c"3óEs

¡br€viadamGntc,

t daYlr

+ .

ó¡tI

?u^

,,t

* -,"t?¿^

P=r,2,3

nás compacto, 31

^ ul

I ffloganonte,

| ¡i. y-

= oub "c l.

P = l'2'3

"-q

p€rmut¿ndo las coo¡dqiadss sc d€duce 31-

er - I . r t ?

P = L'2,3

"rO

Los resultados anterior€s nos llevan a adoptar la siguiente definicíón. Si tros magnitudes, C¡ G, C¡ en r sistema dc coordenadas (ub ut us\ están r€lacionadas con otras tres Cu Cu C en otro sistema de coorde" {'( (¿r, q, ¿¡) por las ecuacionesde t¡ansfornración (6), (7), (8) ó (9), dichas magnitud€s s€ llaman comy'oprimer a¿t de un vecto¡ conlrarariamte o le tor contravafianle dc orden.

lEolver el problema 33 para las component$ contravarianles de A.

lcpresentandolas componcntcEcovariantosAe A cn loo sirtemas (¡1u2,ue) y (4,t¡4) Z_.;2,¿ , resp€ctivamcnte, A

c1iu1 +

por c1, c2,ca y

;r 9Í, + arVa, + á.E¡

c29u2 + caVq

Ahora bien, ü¿ = 7.llt!,u2, rro) con p = 1,2,3,

¿,p

tI :,,ü \t

?,,

au1 -+ lz

oul a¡1

¿r

dt ?n,, -+ ?u, ?:

?¡, 7a ?n2

a% b ?u3 ot

ot,

áq

úf

oul ?12

út 4,"

¿"

4"3

P = 1,2'3

También, ir)

c19u1+ c29u2 + caVr6

<",$* ",$**$¡, +rc1 $+r$- *$y * (",* * ",$ * ""$r.

iI ..

;

.).

COORDENADAS CURVILINEAS

l)¡'

(4\

at, ¿t3. . .- ?Et - cA 5;)¡(c1' -+ ¿2t+

-c l vrru !+ c- 2!rfu 2 + cavus =

* <ar**a"p*;"p¡¡ ol of

1a,oz $* a ,02p *; " $02 ¡

Igualando los coeficientes d€ l, r, k en (3) y (4), ?un -dz

* " ,p * " "ot$ = a r$ .;,pou o, ox

?¿, +

(s)

c1 =--

?¿.

c1 =-_ oz

?¡"

C2 Xi

?u"

tc g

¿r

7u.

E¿.

c2:i o2

ous -ca =-

tr+ ot

= otk u2-

e"13 oy

E-dz, Y

ir+o2

EE"

Sustituyendo las ecuaciones(2) con p : I,2,3 en una de las €cu¡lciones(t c igualando ¡os co€ficientesde

9.91". ' gtt. 9. ¿,' ¿"

9"". fu, k, + deambosmiembros, ssobtiene 4' ¿, dz dz

,-& ou!

Ottt

ova

-""+

ou1

(6)

ottl

ou2

ov2

_ Otta cl iou!

ou2 -c2 <ola

_ oue ca Qua --

* e.F - dui

7^ !2

que sepuedcn€scribiren la forma (71

tn #

p= L,2.3

o bien, 3

-9

Análoga¡DÉnta,sc deduce quc

(e)

;

ou^ --J

P - 1,2'3

?,n 3&t

p ú 1' 2, 3

Los r€sultados¿nteriorcsnos llcvan a adoptar la siguientcdsfnición. Si t¡es magnitudes,c,, cr,c.

sistema d€ coordenadas (zr, ar, ¿¡) están relacionadas con otra!¡ tres 6r, ¿'r,é, cn otro sistema de (ú\ ú,, ú,) por las ecuaciones de transformación (6), (7), (8) ó (9), dichas magnitudes s€ llaman de un vector covarlanle o tensor covafiante de primer orden.

La generalizaciónde los conceptosde estep¡obl€ma y del problem¿ 33 a un espacio asi como la d€l concepto de vector, la veremos en el ardlisls así procesl de t ard lisls tensofiql, tensoriql, Cap. Cap.8, 8, En el proceso conviene emplear una notación concisa que exp¡€selas ideas fundamentales de forma abreviada, ' sin embargo, que aunque la notación €s distinta, los conceptos básicos que se expon€n en el Cap, t Intimamente relacionados con los de este capltulo.

COORDENADASCURVILINEAS

l.)

Detnostrar que en

coordenadas generales (¿h, ¿2,4e), trr

f es 931

8s2 g*

siendo 6rn los coeñcient$ de dn, dn, en ds. (Oroblema l?).

e) Demostrarqueel elem€ntode volumenen coo¡denadas curvillneases {i ¿o,au,au,. (.)

Del problema 17, (J)

s'Ps ..

1 _.=t= 3a3a- ¿3L.

4Y ¡. d ^q =

:: éup }un

éup }uo

7z 7z

P ,q = r' 2' 3

}up éu,

Teniendo en ct¡€nta la fórmula dc ta multiplic¡cióo de determin¿ntes, at a2 03

A¡, Bt

ba b2 b3

Az Be c2

cL C2 cg

As Bs

?¡ .. ?r ¿ (.?r = - ..-_^=_, otaa ou2

oug

l " r^ r+

a 2 a2+ osA s otB r+ a282+ ca83 o1c1 + r,2c2+ osca

l \4 1 +

b 2 A 2+ úA s

l c L Ar+

c 2A 2+ c" A s cl B at czB zl . cgB s cLcT+ c2C 2+ cacs

}

?r1 Eu1

b2C 2+ bsC a

E¡ oul

-?¡

btB l + b2B 2+ bs& s \C \+

4é,

ouz é"2

7u2

a" 47, oue

Er6 ?rr3

? ¡U ? z

Oul

Ou2

dus

?" Er ?¿

}

U¿ t

ttt

ttz

ttg

7u, ?'u2 7u2

?u1 Eu2 ?rr3

tzt

?¡

?¿

?le

7z 7z 3z ?a1 ?u2 ?ug

tat

tsg

ou7

our

ou1

(ó) El clcmento de volumen viene dado oor

= ar = lrfra,,r. <f;r,ot 'r&¿*¿*r l# #,.*l ,!u1du2dus =

du1tlu.2tlas

segr¡n (¿).

Obsérvese que 1/t es el valor absoluto del Jacobiano d! x,/,

z r€specto de a¡, n¡, z¡ (problema l3),

lóo

COORDENADASCURViLINEAS

Problemas propueetot l,as solucioncs dc cstos Problcmas propucstos ñguran al ñn¡l dcl capltulo.

36. Enunciar y trazar las supcrficics y llncas coordonad$ dc los sistcmas: (a) cillndricas elípticas, (ó) y (c) cillndracas parabólicas,

37. T¡¿nsforrn¡r las coo¡dcn¿das (a) *férbas on rcctanSularcs, (á) csfé¡icas cn cillndricas. 3t. Exprcaar on coordcnadas csféric$ los lug¿r€s gmnúricos siguicntcs: (a) csfcra .rr + y' + zr : 9 (á) cono ,r : 3(¡¡ * y)

x'*

(e)pl anoy: ¡ .

39. Sicndo e, l, r, las coordeo¡das cilfnd¡icas, cnunciar los luga¡cs gpo¡rétrlns quc sc indic¿n y hall¿r su (¿) o :4 ¿ :0; (ó) e :4; (c) l : tl2; (dl {: t43, z :1. sióncn coordcnad¿s rcctsngular€s: Sicndo z, v, z las coordcnada! clípticas y a :4, exprcs¡ón rn coordcnadas rcctangulsrrs:

cnunciar los luga¡€s gponréhicos,quc se indican y

(o \ v :

z:2;

n l 4 i @ ) u :O,

z:0;

(d)v:0,

z:0.

41. Sicndo s, v, z, las coordcnad¡s píoUOli""", rEprcs€nt¿r las curvas o rcgiones siguicntes: (a) u:2, (ó ) y : I, z = 2 : ( c) l 3u 52,2 S v = 3, z:Oi v< 3, z: O . @ ) | < u< 2,2<

a2. (a) Hallar 106v€cto¡€s uniarios c,, c¡ y c¡ dcl sistcma dc coordenadas csféricas cn función de t' t' l¡. (á) Exprcsa¡ i, L k cn función do G,,cc y ea. 43, Rcprescntaron coordcnadascsféric¿sal vector A :

xyl-,úl

* 3.r k v hallar las componcnles,l', ,,1,

¡14, Dcmost¡ar quc cl sistem¿ ds coordcnadas csféricas cs ortogonal. a5. Dcmostra¡ quc los sistcm¿s dc coordcnadas siguicntos son ortogonal€s: (¿) cilfnd¡icas parabólicas, (ó)

dricas cllpticas, y (c) Gsfcroidslcsachat¿das.

.: 4ó. Dcmctra¡quc i, = 9crr*n0ó"ó,

ée = -0%+

ce9Qc",

i¿.

-son/óer-

coa|

47, Exprcsar la volocidad r y la acelcración ¡ dcl movim¡cnto dc una partfcula cn coordcnad¿s at, Halla¡ cl cuadrado del €lcnento dc llnca y los factorG dc Gcc¿lacorrÉspondicntd cn cl siste¡nadc (a) pataboloidalcs, (á) cillndricas cllpticas y (c) csfcroidalcs achatadas.

Hallar cl c¡aÍrcnto de volumcn dy cn coordenadas(a) paraboloidal€s, (ó) cillnd¡ic¿s ellpticas y (c)

50. En el sistcña d€ coordenadasesfc¡oidalesalargadas, hallar: (a) los factores dc oscal¡, (á) cl elemento rnen dY.

51. Hall¡¡ los factores dc cscala cn cl sistoma dc coordcnadas: (¿) clipsoidalcs, (ó) bipolarc,s. 52. Hallar cl clcmcnto de árca dc un volu¡lcn elcnrntal on cl sist€ma dc coordcnadss: (¿) cillndricas, (ó) y (c) paraboloidales. 53. Dcmostrar que la condición ncccsaria y suñciente par¿ quc un sistema d€ coordonadas curvillneo gonal os quc g¡{ : O pa|a p + q.

a\ - l

COORDENADAS CURVIL¡NEAS

tól

c¡so del sistcmade coordenadas:(a) cillndricas,(ó) csféricas,(c) cilln!L Haffa¡ el J¿cobian t t (i!r r) ^ "l dricss parabólicas,(d) cillndric.s ellpticas,(e) csfcroidalesalargadas'

fff

s- llaltar J

J { xt * yr dx dy dz, siendo / la región limitada por z : x' 4 f' y z : 8 - (xr f rr).

! IÍd. : Emplcar coordcnad¿s cillndricas,

lA Hallsr el volurnen dc la mcnor dc las rrgionGlimitadas por la csfcra ¡' + yr + z' :

16y el cono zr : ¡¡ +.r,¡.

Emplcándo coo¡dcnadas 6féric¡s, h¿llar cl volunrcn do la nr¿nor dc las dos r€gionG limitadss por una csfcra de radio a y un plano quc la corts a una distancia ¡ dGsu c€ntro.

(¿) Enunciar las superficics y ¡as lfnes coordcnadas del sistcma x t-y .

ot%

X l :htanu¡

:2 ¡&c ¡s a ¡

(d) Demo6(ó) Dcmostrar que dicho si6t€m¿es onogon¡|. (c) Hallar el Jacouiano {-Il4) "r I u¡,4, u¿| d"t fnirfno. g y y trar quc l¿ry r¿rcstán r€lacionadas con las coordcnad¡s cillndricas á detamina¡ las ccuecionB de tr¿nsformsción, x'-y':4' xy: I, xy:2, z: I Hallar €l momentode imrcia do la rcgión limitada por x'-y':2, y z : 3 rüpccto dcl eje z considerando la densidad const¿nte o igual a (. Ind.: Haccr ¡r - /' : fui, xy : v. Ar Halfar -fr,

Ar A. -ú,-6G,

cn coordcnadas:(¿) cilfndricas,(ó) csféric¿sy (c) cillndricas parabólicas, Dcmostrar quc, en dichos sistcmss, er : Er, ei : E , .¡ : q, vubau.,vu.

S€a le transformación dc coordcn¡das q : xy, U : x' + y',.u.:

pondientc no esortogonat.(ó) Haltarel w"ai*o

t (ff,fr).

z. (a) Dcmostrar qu€ cl sistsñ¡ conls-

Halla¡ viD, div A, y rot A en coordenadas cillndricas parabólicas. Expr€sar (a) Vv y (á) V 'A en coordenadas esféricas. Hallar v¡u en coordenadas csferoidales achatad¿s. a¡ó Fscribir la ecuación

aó : é en coordcnad¿s cillndrica ellpticas. oy'

Exp¡€sarIa ccuacióndo Maxwell dc clcctromagnetismo,v x E:-1S

"n "*rarn"das

alargadas. . Exprcsar la ecuación de Schriiedinger de Ia ri€cánica cuántica, vry denadascilfndricas parabólicas, sicndo zr, lr y E const¡ntes.

* Y

esfe¡oid¿les

<, - v(x,y, )\,p: o cncoor-

Escribir la €cuación de Laplac€ cn coordenadas paraboloidales. 2 r¡

: xa'U á ( c ) r y t , ( d ) í,0 y t.

Erprcsar la ccuación (ó ) ó y 0,

en coordenadas esféricas sabiendo quc U €s indcpcndiente de (¿) d,

ll¿ll¿r cl elcmento de lfnce en una esfera de radio a.

Dcmostrar quc en todo sistcña dc coordcnad¡s cu¡vilfncas ortogonal, div rot A : 0 y rot gr¿d Q : 0.

.i ,

COORDENADAS CURVILINEAS

162

72. Domostrar qu€ el área de una r€gión R de la sup€rficier : r(4, v)€s J,J /Ec-|"

dudo. Como

deducir el área de la superficie esférica. 73. Demostrar que el vector de nódulo ¡ normal a la superñcie r : r(¿, v) viene dado por

A -

1p(?,:!x

#)/r'Ec-F2

74. Enunciar la transformación x : x (u, v), y : y (u, ,¿). (¿) ¿En qué condicion€slas líneas coordenad¿sü, v son ortogonales? 73. Sean(¡, y) las coordenadas r€ctangulares de un punto P cn el pla¡o xy y (u, y) las de un punto O en el (a, v). Si x : ¡(s, r) e : y(u,v), existeuna coÜespondencia entre los puntos P y O y, entonces,un -y es la imagen del otro(a )En e l c a s o d e q u e .r:2 u+ vey:u-2v,domostr¿rquel asrectasdel pl anor¡secorres ponden las del olano ly, (ó) Hallar la imagen €n el plano ¡¡v dcl cuadrado limitado por ¡ :0, x : 5, I :.0 e.v : 5 en el plano (c) I y demostrar que es igual a la relación de áreasenre el cuadrado y su " Calcular el Jacobiano .l IIJ \u,vl en el Dlano¿v. 76. Si ¡ : L@ - v'), y : uv, hallar la imagen(o imrigenes)en al plano ¿v de un cuadrado lirnitado por x : x : l , y :0 ,.1 : I e n e l pl anoxy. Tl. }J'all¡t las condicioncsque d€ben cumplir F y G para que

e- s(r+y\ F@rG(r)d,¿r

. -" '

-o

Ind.: Aplicar la transformación x+y:t, t€orla de la transformadade LaDlace.

¡:

. (ft

I\voI

)

F @t c ( . - u \ ¿ u d ¡t ,

udel plano ¡/ al plano v/. El resultadoes important€

hal l ar l os vol úmenesdel cubo z -2ur-u,-ug, 7 t. (¿ ) Si x :3 u t.* u z -u t, f: q* 2u¿!2u" , p o rx :0 ,x :1 5 ,y :0 ,¡:1 0 ,2:oyz:5ydel cubo i magenen el si st€made coor denadas largs ¡r¡,4$ t¡r. (á) Relacionar el cociente de estos volúmenescon el Jacobiano do la transfoí¡ración. de un mismo 79, Sean(x, y, z) y (ur uz,u"'l las coordcnadasrectangularesy curyilíneas,respectivamente, (a) Six : 34 + u2- u",y : u, + 2u2+ zubz:24si el sistema¡lrl/r ¡r¡es u' -- uz,detetminar (ó) Hallar dsz y g en cste sistema. .(c) ¿Qué relac¡ónexiste entre este problema y el anterior? 8 0 . s i e n d o ¡:u l + 2 ,y :u t+ u z ,z:¡j -¡,hal l ar(¿)sy(ó)ol Jacobi ano./:##h

Com pr obar

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS 36. (a) u : ct y v : cz son cilindros, elíptico e hiperbólico respectivamente,cuyo eje es el eie z. z: planos. (Fig. 7, páe. 139.1 (b) u : c, y v : c¿son cilindros rectoscuyas intersqcciones con el plano ¡/ son circunforonciasde y que se cortan ortogonalmente.'Los cilindros ¡r : cr p¿san en los ejesy y x, respectivamonte. los puntos(-a,0,0) y (a,0,0). z : c¡ son planos(Fig. 8, pág. 140.) (c) u : c, y v : c' son citiodros parabólicoscuyas interseccionescon el plano xy son parábolas perpendicularesentre sí con sus vérticesen el eje.z, aunquea distinto lado dcl origen. z : c, son

(Fis.ó, pás.138.)

Las lineascoordenadasson las intersecciones de cada dos superficicscoofdenadas,

COORDENADAS CURVILINEAS

. : \ / r r + 7 +z', ,:t/-p"TV,

ló3

y I : arctag-

t/ r, +y, v : arcn,g-;-, I O: arc.tas -2

(b) 0: nl6, (c) ¡s€n'0:cosd, (d)0:¡lZ, ¡:3, cf pfano/:¡ estáfo¡madopor los dossemiplanos ó:nl4y

l:5¡14.

(á) Cilindro xz * y, : Ió cuyo cje coinciile con Circunferenciaen el plano xy, x' t !' : 16, z :0. : (c\ plaro yz y (d) y z. El siendo O. La **ta 1/j ¡, z : I siendo ¡ E 0, t ] 0. = úe Cifindro hiperbólico x.'- y. : 8. (ó) La recta que une los puntos(--4, 0,0) y (a, 0,0), es decir, ¡ : ,,

: 0, z : 0, siendo--4 < f = 4. (c) eripse + : :2. 'U ,, , fi

(d) La porcióndel ejo x dcñnidapor

>-4, y:Q,2:g -

(á ) P a r ábol a (c) Región del plano x/,limitada P ar ábolay !: * 8 (¡-2 ), z :0 . /¡ :2x * I, z:2. y": -8(x -2), y' :8(x ]-2\ e l¡: el lE(¡ +912) incluyendo Fr las parábolasy":--2(x-ll2), .ontorno. (d) Como en (c) pero excluyendo el contorrio. t

n5 v -<-7 u-

(d e, : ,,ñ : ut -{ ec : (ó) i : j : ¡ :

,il.rV 0cosó'l + s€n0scnCl +cos0k se-n cos0cosdi +cos0send!-sen0k-senCi +cosói- ll? s€n0 cos Cs, * cos-0cos d €o- s€n é ec s€n0ssnl€, + cos0s€n {eo + sosCeC cos0e.-s€n0eo_

A,ei * Aees+ ,'lce¿ siendo 2iséntd sen-dcosC -rscn0cas0s€n d + 3rs€nrcos0cosó 2rsen0cos0s€n {cos d-rcos'0sen d - 3r sen'0 cos{ - 2r sen0 s6nró - rcos 0cos ¿ v.et + voeof v6e4 siendo\:

i, eo: ¡0, vo: rsert9ó

a.e. + aoeo* a¡e¡ siendo a, : i - it' - r *n' 0 ót, ld

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o) r s€n0cos0 d', fi Q' -

bba¡ I

,d€ cer I todos F coax |on,pla

f s€tl t

(s) ds. : (ó) ¿' : (c\ ds' :

all

(u' + v)(du' + dt") + u'v' dú', h' : h, : I u" * v2, ht, : uv a'(senh'z * sentv)(da' + dv'\ L.¿"2, h4: h': ay'EññülliÑi, a'(senhrf + sen'?)(d6'+ d?) + ¿'!coshrEcos'qdót, h e :h ,,: + sen" ? áó:¿cosh4cos? ' "y'senh'e

(a) uv(u'1vz)dudvdó,(ó)¿'(senh'¿Isenrv)dudvdz,@ 9,(a)he:lo:ay's enn e +sen5, /¡c: asénh€sen4 (ó) qt(senhr6 + sen¡?) senh€ senqdEdrtdó

G#!#E

¡, : t

16.I

COORDENADASCURVIL¡NEAS

t2. (o, p ¿p ¿ó, p dó dz, dp dz 1 E¡rs e n d d ¡¿ ó , /sene ¿e¿ó,

(c, (C+*\ ¿urtú, uouGE tudg,

(¿\ p,

$' 0".

(b, P*n7,

'f 15i'

"6.

¡d¡d0

uuy'EF drae

u2+n2, (d) o2 (senh¡a+ scnty), (.) ¿r(senhr + é: sonr?¡ senhf

e*nQ- /i, -¡-

rz. leas-b2h B

+ hsr

IJs. (c) l;

kl\ q = rp2, u2 = 2ó

tg. 2K

60.(,) g

cos@t + ss¡ l! ¡,

D¡

(ü)

vo=#

aó

-ps€nó t + p cosój,,

?¡ E,

a¡

= coe{t+scn{¡

Vé = -sendl+ c6é, p

V" = ¡

= scná cos{ t + senásen@J + cosá t

¡cog? cos@l + r coal sanej - r sendt

?¡ = -rson, son@t + ¡sená cosé,

aé 9¡ "

ve =

vó =

tl + ft+

= son sona á qosÓ coa{ |t + s0

-t,*g t'+ l-

seló,

+ coEp t

t - senb - coadcosét+cc-dsenó,

##E##!

=¿l +er, G)+ orr 9,

¿a

= -senó | + coEó, ¡s0

#.-o,r,r,

*=.

v.,= -o=r,+-"1, " "++:j, v, = r !'+ úz u 2 +u 2 '

sr. (b, ;L-.,

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- }1,e;,"a)l /F-*,".u

- {f 1,4;;^,)_ *l a;a." , l*,@o,,) - * (rdr¡^,)l ""f

COORDENADASCURVILINEAS

,.) Vú .

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T"'*i¿eV**Aa6"t ' t ) V . a = 4!v'+l * -l.= ^!-^ lscná1o',, -)-= ! r' dr t*trd dtt rs€n'

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.r""* E<*"1*g-*"", St"*rteSl t?

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o2 coa z¡(senh'f + sen'z¡¡ ?4 o1

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# [{3".^*,$,'"",}'", r

{$r"er - $<nr6r}'n - {'$r'""r- $1'".r}."r] dH,

, , = - ;TZ-;É.,siendo R = senhf

sen?

?fl_

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iTi"t S = t/senñ{

+ se.n'q .

= o,siendo v(u,v,z)=v(',r,Z)'

' #'+('-r'""'q)'t'

*l#t#]

. "*, , # , * ,,,a ? r ' $ r+ < u ", o\ f=i o

",*

= "[Étu,#,,vh$<*"a$r]

,', *

"[i *"'*,]

,, + .Y-.!1 ^2 t"r,.ne$<s"na$r

&. ¡

= n

6'¡! 6¿!¡ "

ilsz = a2la02 + *n, e ¿4,2f

rr ¡ r *oIP Ou . ¡,

(o) 750, ?5;

(o) No.

(a) g=!6u2 ú2,

P P =o dtt dn (ó) J¡.obiano: l0

(b) ¿C = l4¿tÍ + 6¿u2 + 8 dn"2+ Bdurtluo(ü) ,l = 4¡¿1¿g

6du7¿ts+ g¿ae¿üs, ,=l0O

Ca ítulo Anólisistensoriql LEYES FISICAS. Las leyes físicas han de ser independientesdel sistemade coordenadas se utilice en su formulaciónmatemática.En el estudiode las consecuencias cü. i,c derivan de esta dición juega un papel importante el andlisistensorialde enormeempleoen la teoría de la geometríadiferencial,mecánicateórica, elasticidad,hidrodinámica,teoría del electromagnetismo y otros camposmuy diversosde las cienciasy técnicasmodernas.

ESPACIOS DE N DIMENSIONES, En un espaciode tres dimensionesun punto se por un conjunto de tres números,llamadoscoordenadas,que lo determinancompletamente en un sist de referencia dado. Por ejemplo,(x, y, t),(p,ó,r), (r,0,{) son las coordenadas de un punto en sistemastridinensionalesrectangulares, cilíndricasy esféricas,respectivamente. Por analogía,un en un espaciode N dimensionesse caracterizapor un conjunto de N números,que nombraremos (¡\ ¡f, . . . , xx), en donde l, 2, . . . , N son saperíndicesy no exponentes de potencias, locualhade se muy en cuenta en todo momento.

El hecho de que no se puedan representargeométricao gráficamentelos puntos en un espacio dirnensiónmayor gue tres, no quiere decir que no existan.

TRANSFORMACION DE COORDENADAS, Sean(.rr,:rt, . . . , xN)y (ú\, i2,. . . , ¿N)las nadasde un mismo punto en dos sistemasde referenciadistintos.Supongamosque existen,lV independientesentre las coordenadasanterioresde la forma iL(r\ , x2, ... , rll ) 'T

,2, .,., xx )

(l )

-2(r1, -l

-ltt-.

-2

-,y\

o más brevemente

(2)

i\ rt , * , . . . , rx ¡

h = r, 2 , . . . , N

Todas las funcionesse suponenuniformes,continuasy oon derivadasasimismocontinuas.En estas (ir, ú2,. . . , úN) le correspondeun único conjunto(¡r, x', . . . diciones,a cadaconjunto de coordenadas de maneraque (3)

r\21,¡2,...,¡x)

k = 1,2,...,N

de un sistemade de coordenadas Las relaciones(2) ó (3) deñnenlasfórmulas de trunsíormación cia a otro.

ró6

ANALISIS TENSORIAL

coNvENIo DE suMAcIoN DE Los INDICES REPETIDOS. Al esc¡ibiruna expuresión de brma ar.x1I a2x2*--.lqNxN

podemos emplear la notación más breve y cómoda 2.o.xJ-

r crnbargo,todavíaes posiblemayor brevedady escribirla sumaanterior en la forma a,x,. adoDtando onvenio de que cuando aparezcaun indice repetidoha de entenderseuna suma respectodel mismo el valor I hasta¡y',a menosque seadviertalo contrarioexpresamente. Esteesel conieniodesumación bs índicesrepetidosdebidoa Einstein..Esevidenteqre en lugar del índicej puedeconsiderarse cualquier o, por ejemplopr como en la expresiónarxp.-lodo indice que se repita en un término implica-una respectode él y se llama. a veces,seudoíndice o índiceumbral. Un indice que solo apareceuna vez en un término dado se llama índicelibre y puedetomar cualrvalordeentrelosnúmerosl,2,...,N,comoporejemploelíndicekde(2)ó(3),acadaunode cualescorresoondeuna ecuación.

¡i

A' =

d tr

L¿

¿t\

ot --?

P = 1,2,...'N

bien, teniendoen cuenta el conveniode los lndicesrepetidos,

¿rt , c

¿rc ^

r flaman componentesde un vector contravarianleo tensorconlravarianlede primer orden(ptoblemas 33 ¡ 34 del Cap. 7). (xr,x2,..., xN) están¡elacionadas Si.rYmagnitudes sistemade coordenadas Ar,/",:..,1¡¡enun aotrasNmognitudes.4,.4¡,...,Ayenotrosisteria(it,t2,,.,,iN)mediantelasfórmulasdetr¿nslmación 7 '-t

x 9.t: a | L¿ )=r "q

-¡ Ab '

dx'l li¡ ox'

p = r' 2 ' . . . ' N

, ño

: llaman componentes de U'rLveclor covañanle o tensor covariante de primer orden, Obsérvesebien que los superlndicesindican componentescontravariantes,mientrasque los subínIces se refierena las covariantesexceptoen la notación de las coordenadas. En lugar de hablar de un tensor de componentesA' o ADnos referiremos,en general,al tensor l' por no haber lugar a confusión alguna. a 1,, respectivamente,

TENSORES CONTRAVARIANTES, COVARIANTES Y MIXTOS, Si N¿ magnitudes.4o"en m sistemade coordenadas(xi, x', . .. , xx) estánrelacionadascon otras N2 magnitudes,4'r en otro sist,nw (ñ1,ú2,...,:rx) mediantelas fórmulas de transformación :LT A

x ]t ^_¿gJj-=rl e4 L/ l¿ A-Y

dt-

t'-

p,r = 1,2,...,N

Tl ANALISIS TENSORIAL

resp€cto de los indices m y p. Si un tensor es hemisimétrico respectode cualquier par y de cualquierpar de covariantessedenominahemisimétüco. contravariantes (N. del T. Algunos a la hemisimelríaIa llarnanantisimetría.)

ONES FUNDAMENTALES CON TENSORES. .|ñción, La ¡¿¡z¿de dos o más tensoresdel rnisrnoorden y tipo (es decir, igual númerode índic¿s ürtravariantes y covariantes)es otro tensor del idéntico orden y tipo. si Ai' y BiD son dos tensores,Cit : ¿7t + tf, es otro tensor. Expresadomatemáticamente, L¡ adición de tenso¡esgoza de las propiedadesconmutativay asociativa. Sst¡acción. La diferenciade dos tensoresdel mis¡noorden y tipo es otro tensorde idénticoorden si Ait y BID son dos tensores,DtrD: Ait - Bñ' es otro tensor. ¡ tipo. Expresadornatemáticamente, Irltiplicación extern¡. El producto de dos tensoreses otro tensor cuyo orden es la suma de los rdenes de los tensoresdados. Este producto que consisteen una rnultiplicaciónordinaria de las ;Dmponentesdel tensor se llarnz producto externo. Por ejemplo, A{ B!: C{{ es el producto atemo de los tensoresAtr y Bf, Sin embargo,convieneobservarque un tensor, en general,no cornoproducto de dos tensofesde orden inferior. Por estarazón, ¡ede escribirse,o descomponerse, h divisiónde tensoresno siemprees posible.El productode tensoresgozade las propiedadesasociarra y distributivarespectode la suma; sin embargo,salvocasosparticulares,el productode tensores ro es conmutativo. f¡tracción. Si en un tensor se igualan un índice contravariantea otro covariant€,segrlnel conde los índicesrepetidos,debe sumarserespectode dicho índice. Esta sum¡ es otro tensorde -nio inferior en dos unidadesal del tensor origen. El procesose llama contráccióntensoüql.Por ,¡den tirnplo, si en el tensor l?jú'de orden 5 hacemosr: J, se obtiene A!! : B^o que es otro tensor resulta el tensor ¡ro de orden 3. Continuando la operación,si €n este rlltimo hacemosp:4, ry : C^, que es de orden l, esto es, un vector. hltiplicación interna. Por el procesode multiplicación externa de dos tensoresseguidade una :ontracción,igualandoun índice del primer factor a otro del segundo,se obtiene un nuevo tensor pe se llama prcducto inlernode los dos dados. Por ejemplo, sean los tensoresAtrDy BL cryo ¡roducto externo es AtreBIr Haciendo 4 : r se obtiene el producto interno Ait B!,. lgtsalando t: f y p: J resulta otro producto í¡lefno, A:DBit. Ly de cociente. Supongamosque no sabemossi una magnitud X es un tensor o no. Si el pro¡cto interno de X por un tensorcualquieraconducea otro tensor,entoncesse puedeafirmar que X 6, asimismo,un tensor. Esta propiedadse conocecon el nombre de ley del cociente.

üATRICES. Una matriz de ordenrn por z esuna disposiciónordenadade magnitudesaro,llamados para escribir una matriz es en nr filas y n colurnnas.La notación que ernplearemos ata atz @zt 42

4*t

a¡2

en f or m a m ás a b re v i a d a(a p q )o l a e q l ,p :1 ,...,m;

.¡77 at2

...

dz!

.,.

a¡t

o¡e

...

q:1,...,2.

:il E n el caso de q\te m:

se llama cuadradade orden m por m o, simplemente,de orden m. Si m: l, se denomina fla o vectorfila; si n : l, se llama matriz columna o vector columna. Ie diagonal liagonal de un¿ matriz cuadradaque contienea los elementosdtt, an, . . . t ann¡ sEconocecon el de diagonalprincipal. Sellama matriz unidad(o unitaria) I, aquella cuyos elernentosde su diagonal I son todos igualesa la unidad y el resto son ceros. Si todos los elementosde una matriz son se denomina matriz nula O.

I7O

ANALISISTENSoRIAL

ALGEBRA MATRICIAL. En estascondiciones:

Sea A : (an) y B : (b,a'¡ dos matrices del mismo orden, rz r

A : B si, y solo si, aoc: bn (necesarioy suficiente).

La yna S y diferencia D de dichas matric€s se definen por D = A- B = (opq-btq)

S = A+B = 1a¡o+b¡q\,

3. El productoP : l.B solo existecuandoel nrlrnerode columnasde I es igual al de filas de B y. tal caso,viene dado por P = AB = (arq\(bi{j = @p¡brq) en donde apr.brq =

"frbno

según el convenio de los índices repetidos. Si el producto

matricesestá definido, estasse llaman conformesrespectode la multiplicaciónque se efectúa, pre, en el orden filas por columnas. El producto de matrices,en general,no es conmutativo,es decir, AB + BA. Sin embargo, de las propiedadesasociativas,A(BC): (lA)C y distributiva respectode la surna,,{(8 * AB + AC, (A + B)c: AC * BC. 4. El determinante(polinomio) de una matriz cuadradaA:(aoo) se designapor lAl, det A, labien, det (¿^). Si p: AB, severifica: lpl : lll l8l. : I siendo lla rnatriz ur La condición necesariay suñciente par¿ que una matriz I posea inversa l-1 es que det I * decir, solo tiene inversas las matrices cuadradas regulares. Una riatriz cuadrada I cuyo nante es nulo, det I : 0, se llama matriz sizgular.

5. lA ínversade úrrrsrrwlriz cuadreda ,{ es otra matriz A-r, tal que ll-1

El producto de un escalarI por una n triz A: (a,), que escribiremos11, es otra matriz en la que cada elementode I es multiplicado por 1. La truspuestade una matriz I es otra matriz Ar que resulta de I permutandosus filas y Por lo tanto, si I : (¿r.), la traspuestaes Ar: (a¿). Algunos autores ernpleanla notación,l expresar la matriz traspuesta.

EL ELEMENTO DE LINEA Y EL TENSOR METRICO. En un sistema de (x, y, z) el elementode llnea o diferencial de longitud de arco es ds2: dxz I dy¿ rectangulares Si pasamosesta expresióna coordenadascurvilíneas(problema 17, Cap. 7) s€ transforma en 33

eoodupdun. Estzs expresionesson válidas en el espaciotridimensionaltle Euclideso

euclídeo. Sin embargo, es inmediata la generalizacióna un espacio de,V dimensionesde (xt, ¡', . . ., ¡x). El elementode llnea en un espaciode estetipo viene dado por una forma que se llarna.,fonna métúca o, simplernente, nétrica. tts2 =

{

#, E,

d,f "Pn "

o bieo según el convenio de los lndices ropotidos, ds2

-Pq ".

d,tl d.r1

d'n

I;a

T ANALISIS TENSORIAL

t71

En el caso particular de que exista una transformaciónde coordenadasde xt a ik tal que la forma se convierta en (dñr)z * (dE2)2+ . . + (diN)z, o bien, dikdrk, el espacio en cuestión se llama N de Euclides. En general, no obstante, se llama espacio N dinensionql de Riemann.

L¿s magnitudes grq son las componentes de un tensor covariante de segundo orden denominado

méttico o tensorfundamenlal.Este tensormétrico es simétrico(problema29).

TENSOR RECIPROCO. Seag - ]ge4lel determinanteformado con los ele¡nentosgr¿y suponqueg + 0. Definimosg'o por la expresión -,a

adjunto de gr?

cstascondiciones,gx es un tensor contrayariantesimétricode segundoorden que se llama ,enso¡ de gro (problema34). Se demuestra(problema33) que

,fe trQ =

sl,

TENSORES ASOCIADOS. Dado un tensor subiendoo bajando índicesse obtienenotros tenPor ejemplo,si en el tensor,4rosubimosel índicep, resultael tensor l:4, indicandopor el punto ,ciónoriginal del índicedesplazado.Subiendoahora el índice q se obtieneel tensor l::. Cuando Gr.istaconfusiónposible al subir un índice omitiremoslos puntos,es decir, en lugar de l?!, escribile. Estostensoresse puedenobtenerformandolos productosinternosde un tensor dado con el métrico g,r o su recíproco g?'. Por ejemplo,

Als = s'f Anq,

Afe = gnl E"aAr",

tQñ ' th

A1.." = trq Af,Q, "

rñ,q,st th 8 gsñg ^.r.. b

¡ recordarlo,interpretaremosla multiplicaciónpor g" de estamanera: Se hacer : p (o bien,p : r) todo lo que siguey se suáeesteíndice.De forma análogase interpretala multiplicaciónpor 9.4: Se ¡: g (o bien, e: r) e¡ todo lo que sigue y se baja estei'J.die.

V ll DI

Todos los tensoresque se obtienende uno dado formando los productosinternoscon el tensor asociadoscon el dado. Por ejemplo,A^ y A^ sor:tensoresaso' ico o su reclorocosellaman tensores y el segundolo es de covariantes.La relación contravariantes el prirneio es de componentes ellos es

A, = cro Aq

o bien ¡l

= /n An

grc: I siP: 4Y ntc:0sip lq, de maneraque Ao: ADi estoexplica rectangulares coordenadas y covariantesde un vectoren 'qué no hemoshechodistinciónentre las cornponentes contravariantes caDitulosanteriores-

MODIJLO DE UN VECTOR Y ANGULO ENTRE DOS VECTORES. El producto intemo , de AD y .8c es un escalaranálogo al producto escalarque vlno¡ 9n coordenadasrectangulares nódulo L de un vector At o At es,por deñnición,la raiz cuadradade la expresión

L" = At op = ,hoArAo = ,ro aPAq

172

ANALISIS TENSORIAL El ángulo 0 entre dos vecto¡Es ,1, y 8¡ viene dado por

C O Bá

,[FAr,7l)

COMPOI\¡ENT¡S FISICAS DE UN VECTOR. Dado el vector ADo 1,, llam€mos A", A, y ,' sus proyeccionessobre las tangcntes a las llneas coordenadas.Si el siste¡nacurvillneo de referenci¿ ortogonal, est¡s proyeccion€sson

Au-G iA' = #s_, Av= ,*r' =

#,,

A,={6;A" =a

Anólogamente, las conrponcntesffsicas de un tensor Atl o Ar. vienen dadas por las fórrnulas guientes: Ar* = g"{e =

ar 6tt

. _ .12 A yU = {6rrt-A

, t__ ,B A ut = v6o6sa -

v6st*

ArB t 6t t s

SIMBOLOS DE CHRISITOFFEL. Lasexpresiones

, 7gr, + atq,

zl -

[pq,,J

2' drc

{" 1 t Pc,

Tclq -

dr, .

-.t

?/rr '

s"' lpq' rl

se.llam¡n slmbolotde Chriitoffel de tres signosde primeray segtndac/ar¿respectivamente. ¿utoresen lugar dc la emplean{p4,s} o f;.. Estarlltimaforma sugiere,sin ".m0" {l"f} un carácteftensorid a los sftnbolos,lo cual no es ciefo en gÉncral. LEYES DE TMNSFORMACION DE LOS SIMBOLOS DE CH STOFFEL. Designando una bara encim¡ a los símbolosexprcsadosen el sistemsde coordenadas it, se verifica: Í¡*,.)

r ^^ ; """

?rt éxQ ?xr * ¿zJ ¿zh ¿-,tt'

?rf , éoQ ¿E

é" ,9 ¿71¿v*

{ ;} = { ; }Y. # # , . # # # que constitu¡renlas leyes de tr¿nsformación de los simbolos de Christoffel. Se puede observar que transfoÍnan como los tensores y que, por lo tanto, no tienen ese carácter, a rnenos que los seg términos de los segundosmiembros sean nulos. LINEAS GEODESICAS. La distanciaentre dos puntos tr y ,¡ sobreuna ourva x,: espaciode Riem¡nn viene dada por fL / ,b,o = " J''-/c'oft "t d' :

x,(t)

------.-,_,,'ANALISIS TENSORIAL

bien, aquellacurva en el espacioque pasandopor dos puntos hagamlnima la distanciaentreellos línea geodésicade dicho espacio. En el cólculo de variacionesse demuestra(problernas50 y 5l) es ecuacióndiferencialde las líneasgeodésicas ,1"r' l' *'\pq¡¿"8

| ¿rt drq

en el plano, por ejemplo,son rde s indica el parámetrode la longitud de llnea. Las geodésicas y las correspondientes en una esferason arcos de círculo náxino-

DERMDA COVARIANTE DE UN TENSOR. La derivada convariantede un tensor ,1, resde ¡", que llamarcmos ..1r.¡, se define por 7An = 4 ..?,q --: 7r9 {;},"

i :1 h'

on tensorcovadantede segundoorden' l¡ derivadacovariantede un tensor,{t r€spectode.;ro,que llamaremos,{',q, se definepor tr

#. {;"},"

un tensor mixto de segundoorden. En coordenadasrectangulareslos símbolos de Christoffel son nulos y, por tanto, las derivadas tes no son otra cosa que las derivadasparcialesordinarias. Los result¡dos anterioresse pueden generalizara las de¡ivadascovariantesde tensoresde mayor Por ejemplo, ...P¡

¡ ¡Pr "' Pr -" f

t"' f'

ot'

I sl

/P1,..P'i

l)nI ni::;""''"

\r,q l ^" '," ''i

'" 10,)eri:..,,,1;;)eirl.it

h derivadacovariantedel tensor,1f...ij t"tn"",o a"

...

1",){..'"-c +

10,|,f_li-.

"".

Las reglasde derivacióncovariantede la suma y producto de tensoresson las mismasque las de ¡aciónordina¡ia. En lo que serefierea la derivación,los tensoresgpo'go0! ó2 son constantes,ya que derivadascovariantesrespectivasson nulas (problema54). Como las derivadascovariantesexpresan del sistemade referendice o cuantía de la variación de las rnagnitudesfísicas independientemente que se utilice, son de gran importanciaen la fo¡mulaciónmatemáticade las leyesfísicas.

sIMBoLos Y TENSORES ALTERNANTES' Definamos el sírnbolo €p{' por las relaciones : ezsr: e.t2: * l, e¿rs -- €taz:?s¿t: -1, eoc,:0 si dos o más índicesson iguales,y.análoga.iii-Uóió e*'. eiroJsí¡nbóios,pués,son igualesa, la unidad positivasi la permutaciónde índices

If "' f:

ANALISIS TENSORTAL

es de clasepar, la unidad negativa si dich¿ p€rmutación esimpar, cero si dos lndices el menos8on Los sfmbolos e¡¡, y ¿4' se llaman slmáolosalternantese¡ el espaciode tres dimensiones. Más adelante definircrnos

,pqn=

,fQ' t y'¿ "ftr

ft%r,

Se demuestra que €ra' y €r4'son tensores covariante y contravariante, respectivamcnte,y se denor tensoresalternantesen el espaciode trcs dimensiones.Por l¡ltimo di¡cmos que es posible gcneralizar conceptosa un espaciode ruis dimensiones,

FORMA TENSORIAL DEL GRN)IENIE, DIVERGENCH, ROTACIONAL Y 1, Gr¡dlente. Sea(Dun escalaro ilvarisnte; el gradientede é scdefinepor

VO= g r a d é = C,r = # en donde é, , es la derivada covariante de (D respectode .xr. 2. Divergcncir. La divergencia de z{, es la contracción de su derivada covarientc respecto esto es, la contracción de A0,q, En estascondiciones

dtvAt = At,¡ =

3. Rotrdon¡|. El rotacion¿l deI oes4,s - +, Tambiénsepuededefinir el rotacionalpor - eñ Ap,a. 1. I^rph¡ittr¡

ou,

*rr¿

untcnsordesegundo

Comola laplacianadel escal¡ré es la divergenciadel gradientedeQ,

= t* < G d u fi i v " Q = a rv @ ,p En aquelloscasosen queg < 0, y'! seha de sustituirpor y'-g. comog < 0 escribiendoy'lgi en lugar dc y'-g.

Sepuedenteneren cuentatanto

DERIYA.DAABS¡OLUTAO INTRINSECA.Dado ,tl, suderivadaabsolutasc$in la ourva¡' t^, queescribireoos esel productointemo de la derivadaoov¿riantede I #. f;, "p, +, tanto, la derivadaabsolutao int¡lnsecavienedadapor 6A^

¿A^

Análogsmentc,

lAp E¿

¿A' ¿t'

l,,I*# li.lr#

Los vectoresI' o At setraslailant Lolargo de la curvasi susderivad&sabsolutaspor clla r€spectivamente. No hay dificultad en generalizar la dcrivasión absolut¿ o intrlnsecs s tensor€sde mayor

--"R ANALISB TENSORIAL

L/)

RELATM Y ABSOLI-rTO.rJn tensortrP-t"'! se llama tenso¡ relativo de peso w si TENSORES '7 " '

oomponentesse transforman de acuerdo con la ley.

¿¡9¡ 7{t ?{" ,et"'qa ¿74, '' ^\...h a; I I ;Á ;4 ar", " ."", |}xlu

t' " 1"' ' ¿

lr-

el Jacobianode la transformación.Si w: 0 el tensorsellama aósolaroy esel tipo de lff I del que hernosvenido hablandoahora, si lr: I el tensor relativo se conocecon el no¡nbrede üd tensorial.Las operacionesde adición,multiplicación,etc., de los tensoresrelativosson análosas definidaspera tensoresabsolutos(problema64).

Problemas regueltos DE SUMACION DE LOS INDICFS REPETIDOS F¡c¡ibir cada una de las expresiones siguientes teniendo en cuenta el conyenio de sumación de los fndices rlp€tidos.

ío) cl@ =

s=h

aó.^ +

+ rdz. ot

)¿k t-t L=¿x1 ¿t

(ó) "-:-

(c ) ¡x1f

+ 62f

(d) ds-

d{ dt'

¿ó.. dx.

Ack t-e + ::_'-:_ ¿r2 ¿t

i.2

? ó ,r ¿tt_

., '

-ot'

(rx)'.

,, o.2 r gDlax-) + gotdxs\2 .

d.s2= thb¿rh¿rk, N=3

33Añ

(¿) >

?=1 q=I

tA^dr' dr'

io¡ o -rh.

trodz' di l , N = l

?=, "iu'u

= orr'1+ ot." +

xon

O\ AN f

I ordeL

}rJ

,h ,h

Escribir todos los términos de cada una de las siguient€ssumas indicada.

I son

?ó,¡

díb _ &h ¿rñ ¿. ¿r¡ ¿.

Aíh ¿r1Í ¿rr da

+ ¡rs¡2 + ... +

tí(ar-)

.,.

AódA'

A¡ 1A'

r"r4" = 'o$fi, n='.

+ Ab2A'

J "... JI Ir

+ Ap¡A'

t76

ANALIS$ 3

TENSORIAL

^ot¿ i 7rh

¡1' n1t 1a{;, a;s

-'.s

^ox" i -. or'

,!r'Ei, ar- ¿t" D11 air- ars +' ,:= o121-'' ot

-t-94.9X_¡ . gl, -iof-- o{ + gJ" ¿r. ¿:"" ' - e. &"'

6zt{r

?¡1 ?¡3

?¡3 ?¡1

a."" ' %.arr a*" 4r*

' st"p

?¡r

Dxs 7* h'ñ ¿f

ór' &' 7x2 ézB

' toñ

a¡"

. go ?ro ?"3 art ar"

Para 1V:2' 3 y N= 4, hallar el lugar r€ctangul¿r€s. 3. Scan¡*, k :1,2,,..,1\¡ las coordenadas que repr€sent¿nlas siguicntesexpresiones. S€ suponenque las funsionesson uniformes,con ti¡uas o indep€ndi€Nrt€s,cuando ¡c¿ necosario. (a\ a**

(b ) * *

: l, siendo a¡ constantes, (cn el plano). Para iV : 2, a,xr t (er, : l, una r€cta on 2 dimo .nsiooes P¿r¿ /V : 3, qxr + a,Jr' + a$t : l, un plano en 3 dinrensiones(en el espacio)' Para iV l 4 aúr + a¿c'*... * ayxM: I es vr hiperplanoQ(ano sn el€spaciodc N :1 . P¿¡t N :2, (¡)t * (¡)l : l, una ci¡cunferencia de radio unidad en el plano. Para 1V: 3, (¡)¡ * (x')' * (¡)' : I, un¿ esf€ra de radio unidad, Para N ¡ 4, (¡r)¡ * (¡')¡ +, . . * (¡n)' : l, u\a hipetesferudE radio unidad,

(c) * : *(u). Para N = 2, ¡r : ¡1(¡), .rr : ¡¡ (rr), una curva en cl plano, dc parámetro¿. P¡ra 1V: 3, rr : .rr (r), ¡' : ¡r (r¡), ¡' : ¡' (¿), una cuna en el ospacio do 3 dimonsiones. Para 1V¡ 4, una curva on cl €apscio de ,lVditrrensio¡Fs, (d) x*:

* (u, v\. Paru N :), xr : xL (u, v), x' : xr (u, t) es una trsnsformación d€ coordensdas de (r, v) a (¡r, P¿ra/V: 3, -r1: xr(a, v), x.: x.(u,v), xr : x' (u, v\ es una superficie en el espacio dg 3

s¡ones,do parómotrosz y r.

Par¿ ,¡V¿ 4, wn hlperwperfcie.

VECTORFÁ Y IENSORES CONTRAVARIANTES Y COVARHNTES. 4. Esc¡ibirla ley do t¡ansfornacióndGlostensorcs1"¡ lio, 1t¡ Afi, (o)

rio,'

rc\ Ct .

"úo##^i,

Par¿ rccord¿r la tr¿nsformación, obscrvemos quo Ia posición rclativa dc los lndices 7, q, r, en d niemb¡o os el mismo quc on ol scgundo. Como estos índicrs están asociados a las coordenadas t y I ccc t',1, *, lo cstán, respcctivament€,a los r, C, r, la transfomación p€dida sc cscribc sin diñcultad.

t77

ANALISIS TENSORIAL

(ü) 8n-"¿=

¿tl

¿iq ¿xt éi

l,h

o^n

¿," a"" {-¡ ¿¡" Ñ "¿¡a

7¡? ,t @\ óP = ¿,'"

Una magnitud A(j, k, l, n), que €s función de las coordenadas xr, s€ transforma al pasar a otro sist€ma dq coordenadasi¡ de acuerdocon la hy

A (p ,q ,t,s )

o¿4 0+ 4 ;í

ñ;l

¿,r

At¡.t .¿,^)

^\t,8,

(a) ¿Es un tensor dicha maenitud? (á) En caso añrmativo, escribir €l tensor con la notación ad€cuada, y (c) decir sus grados de contravarianz¿ o covarianza asl como su ordgn. (a) Sf. (á) Af'^.

(") Tr€s vecescontravariant€ y una vez covariantc con Io que su orden €s 3 + I : 4.

Determinar cuál de las magnitudes siguientes es un tensor. Para aquellas que lo sean establ€cer sus grados .

) ,{

/- '

de contravari¿nzay covarianzaasf como su orden: (a) axh, 16'¡ 99J1;t:Z) árR

(a) Consideremosla transformaciónde coo¡denadas¿/ : d(xr, , .. , ¡9. En estascondiciones.d¡' : atr ft con lo que dl es un tensor contravariante de primer orden, es deci¡, un vector contravariante. Obsé¡vese quc la posición d€l Indice k es la ad€cuada. (ó) En la transformación xe : ¡¡(6\ . . . ,6"), 6 es una función de ¡* y, por tanto, de ¿, de forma que -C("',. . . ,;rv); dicho de otra rnanera,es un escal¿ro inv¿riante(tensor de orden cero). ó(xr,. , , , xN\: 24 ¿ó a* Axk A{ A0 : : -a¡ : -Ar¿ Por la regla de la derivación parcial de una función de función, á ag art Ait a) e * aó es un tensor covariante de priner orden, es y l*. Yor lo tanto, se transformaen Á| : fi' fr fr decir, un vector covsriaDte.

I f) a (x' Dd e 3 ; I

aó

Obsérveseque -o r en +

el índice €stá en el d€o@rin¿dor y quc, por ello, actúa cono subfndice distin-

j4, jj. tivo de su caráctercovariante.El tensor oJ(. o el tensor cutmscomDonentcsson ó y se escribe en la forma grad d o V C.

Las componentesde un tensor covariait€ en coordenadasr€ctangular€sson xy,2y-z', componenles covariant€s cn coordenadas esféricas.

, o el grudientede

¡2. Hallar sus

Sean ,{¡ las componentes covariantes €n coordenadas rectangulafes xr : x, x' : y, xt : z. Enton@s, A, = zy = a7a2,

A, = 2y-22 = 2"2- (f¡' ,

(8-49)

As = xLé

cn donde no deben confundirse los superlndiccs con exponentes. Sean d¡ las componeotes covarianles en coordonadas €sféricas ¿r :.r, Er :0, A¡

¿;h

¿' :

ó. Entonces,

ANAIISIS TENSORIAL Las fórmul¿s de aansforu¿ción entre ambos sbtcmas do coordenadasson ¿¡ 8€n t¡ COStt,

¡¡:

: 'r

5r l8n tr S€n t¡,

x¡ :

ir 666 5r

En estascondiciones,las ecuaciones(1) dan las componentespedidas 1xr , : dxt A, -AArA,n -ñn,+

1xr A, an,

: (sentr cosr) (¡rrr) + (s€n¿r sonr)(2¡._(¡)) : (8€n, cos C)(¡r s6n¡s€n Ccos l)

+ (cos¿r)(¡t¡)

+ (seD0 8€nC)(2rsen0 senó-rrcosrO) { (coc0)(r¡ sen0 coc0 cos ó) Ax' 0x. , : 0x, -ñ -56 4 * -56 At ^, ^,-t: (rcos0cos d) (rr s€n¡0 s€núcos C) + (rcos0 s€nC)(2¡son 0 sen/-rrcos¡0) + (-¡ sond)(r. sen0 cos0 cos fl 0x, , Ax. Ox. -aF A+-aF A,+ az,A,

, Ar:

: (-r sond sen {) (rr san.d sen {cos {) + (¡ son0 cosó) l2rsengsenó-r'cos.0) + (0) (¡¡ send cos0 cos C)

e. Oanostrar que

no esr¡n t€nso¡a p€sarde que,{, esun tensorcovariantede prim€r orden.

Por hipótosis, ,, = #

¿4 ¿h

. De¡ivandorespectode ¿k,

=:--; dar

átt

^2á gzr¡ ao

¿,Q ZAp &q

^2 1- D

TzJ óxq ¿¡,h d{

d,1

dA¿

¿:| ézh ¿ns

I 1- ¡

é" ,f

r-l--i or o4

Ahora bieo, comoen ol sogundomi€mbroaparecendos términ*, tonsor've¡emosmásadelaoto(problema52) cómo añadi€ndoa ff queesun toinsor,

ffi

* una

s6 transformacomo -'gn¡tud

adecuad¿el

ANALIS¡S TENSORIAL

t79

t, D€mostrar que la velocidad da un fluido €n un punto cualqui€ra es un tensor contravariantc de primer orden,

Las componcntcs dGla velocidad de un fluido en un punto son el sistem¿ t, de referencia la velocidaa de función.

en el sisteuta dc coo¡dpnadas¡¡. En

Abo¡a bien, según la r€gla de derivación de una función

"s ff.

?:J ¿,h

¿rh

¿t

de dondc so sigue quc la velocidad citada es un lensor contravariant€ de primer orden o r€cto¡ @ntravarisnte

r! I'ELIA

DE XRONECXDR. .t

10. Cafcular(a) tig A)s , (ü) ' r' " üq 5_ A

Como Ei : I sip : 4y0 sip + 4, sotien€

ot$ol. al

ot alot{= e!,. tl. Denosüafque

= #

s ie=r, S ot

" iúc , # B*oooo &l

c om o ¡ ' =

¡t,

como ¡2 Y rq son indopendir:ntos.

= *

t2.comprobarque ##

L¿s coordenadas ¡, son función dc las coordenadas t¡ qu€, a su vcz, depcnden de las coordenadas.d. Por lo t¿nto, según la regla dc dorivación parcial de un¿ función de función y teniendo en cuenta el problcllra I I podremos escribir,

¿,1 _ ¿,1 ¿za _ At -r }xr

r¡. siZ/ =

Aiq ¿{

aq orovn,qts Aq = "o

¿{ multipliqu€mosla ocuación r. = ¿8

ñ'

.1 8 0

ANALISIS TENSORIAL

= YY Entoncca, como hcr¡osvisto en et probtem¡,r,V^ Aq = tí lq = ¡tquc os lo ^/ ¿a? 7z? 7"e se quedademostrarsin másquehacerr : 4. Estc hechomu€straqueen las fórmulasde transfortnación las componentes dc un tqlsor las m¿gniü¡des con bara encimay sin bsra son pemut¿blcg r€sultadoI puoded€mostrarsaon general.

14. Comprobar que 6, es un tensor mixto dc segundo orden,

Si d?osun tonsorde asetipo dcbotra¡sform¿¡scdo acuordocon la loy

:jo¡

&i ¿'c ! ;j tJ%

Ahora bien,sc8útrcl problsm¡ 12, el s€gundo miombroes 44 -

¿J ?'t,

= 6j , .o.o Q:aL:

J : k, y Osí I + &, s€daducequeó, cs un tonsormixto d€ sÉgundoorden, lo quojustifica,por otra noiac¡ónempleads. Obsérvescque, a vcces,usa¡cmos la función ó¡e : I si, : q,y 0 si p + q coño uúa delta de Sin ombargo, €Nrest¡ forma no ¡epres€nt¿un tonsor oovsrisnte de soguado orden como con la aotación virios sl €st¡,bleccr su dofnición,

OPERACIONES FT'NDAMENIAI,ES CON IENS'ORES. 15. Comprobar4r ls sumay dif.rcoci¿ dc lo0 tcNrsorls4s y ry cs ot¡o tcoior. Por hipótes4 Af y 4" son tonsorcs,lwgo

d d¡h d,, ,tc ñññ"

Ai -lh -8J:

Suusndo,

ñ{,rlr+

úih,e!i¡= 44 drr

R€stando,

_ih

(a ; -B ; t

dra

Oz'

( +bs + +ba,

0q &J &h lsr (Atqr - B ;) Orr

Se d€duco,pucs,que ,lE * ,ry V Af - 4

f6. Conprobar qw Q

&h Arr ^N

ót1

ai,

son tonsor€sdpl mi$no orden y tipo qus los dadoc.

: Al 4 cs un tansorsuponiendoque ,{1" y 4 lo son.

:---El

ANAlrsn TENSoRTAL

- " | T--r

'--r

sonrosproductos dcrasconponentqs derog f#::""H#,componentes

-."T.1p;Ti:ff::ff":.li

,i,=###^1, E := # # *

I I t : , I :;

l8l

Murtip,ic¿ndo, ,{q =

#y_###^1,,;

que demuestrael caráctertensorialde ,{lqrÍ de quinto orden, contravariant€ en los lndicesp,4, J, y covarianteen r, f, Io qu€da lusar a la noraciónClfs. EstEesetprcductoextemoCtr' : ,{lvdf de los tensores dados.

;ffi;f

r r

o. *a AD,!,un tcnsor. (a) Haciendot :, d€mostra¡ queA!,ao,conel conveniode los fndicesr€petados, es un ,i"*;r}a"tir"s"en es? (ó) Haciendor:py r:q demost¡ar,análogamente, q.e Al¿,os un iensor. (a) Como l3l es un tensor.

I I

(1)

rik= ####"-**^l:,

Hemosde demostrar queAllt 6 un tensor. Igualando los lndicasj y ¿ y suma¡do rcsp€ctodo é1,

te¡dremos:

¡{lt=###"##^l'",

T-r;i;" II ====";"'

¡¡' I I I

tlr#:s¡:l,ti:;itrtit:t :f,.J#ii"tffiü.*r*1,xH"1i.ffiifl,!t*T ti:j:tr.l:itr,3 fi"tr¿l:

tmcción. El orden del tensor contrafdo €s dos unidades inferior al d€ partid¿.

(r, *#Lt"lTTgS'ñÍ,f,*".*_""*"*:"_u'"'_"**

(a)n:¡v¡z:*vsumando

'¡

ANAIISIS TENSORIAL =ih A :- tel

¿ii ¿rh ¿r

¿,s d,t

a,l aJ a;¿6g

,lS

^rst

¿rt ¿;j ¿rs ¿rk ¿rr ,lq

Ei ;? ¿-;haq tr "',st

= tJ'i#^l'", =

*u,^1.t,

lo quc indica quc ,4á €s un tcnsor dc pri¡nÉr orden que podcmos llamar C'. Obcérv€scquo por una dobb contracción, so f€ducc el orden €n cuatro unidadcs.

It. Domostr¿rquc la contraccióndo[ trDso¡ l¿ es un essalaro invatiant€

rl =##^i

So ticne

HacicNtdo/ ft y sumando, -

| - ##^i = 'inl= Ar

Dc la igualdad A-t : AZ & sigrJf-quo ,l! os un invariantc. Como ,{¿ es un tensor de s€gundo orden y h contr¿cción rcspocto de un soló fridice dbminuye el ordcn d€ dos unidades, hcmos d€ñnido un invaria¡: o eScalarcomo un tcnsor de ofd€n cero.

I I

19, Dom$t¡ar quc la contracción dcl p¡oducto cxtcmo dc los tensor€s ,1, y .8. ee un escalar o invariante.

c-rlñA, y 8{ sontcruor€s, ,t=#}, ^t dEJ

-1 AB.

Por contracción(haciendo* :j

Por lo tanto,

\.#", ^áOt

#^"0

y sumando)rosult¿

,tE,=

##¡r

= tf,^r'o - ^',0

lo quc indica quc ,{r& €s un invariante. El proceso dc multiplicación exrema de dos teqsor$ scguida de contracción s€ llaria malt,pllcaclón lñterns y su rcsultado¿rodrclo inra¡no de ambos. Como ,ltrr es u¡r sc dcnomina producto escalat d€ los vectorcs ,{, y ¡r.

20. Dcm$trar que todo producto intemo de los tcnsores ¿l! y 4" cs un tGnsor do tcrcar orden. Producto externo de A! y ff

: Ai Dl'.

a ¡ a

ANALTSISTENSORIAL

l8l

Contraemosrespectode los índicesp y ¡, es decir, hacemos f : p y sumamos. Debe resultar como producto interno, A! B!', un tensor de tercer o¡den. Por hipótesis,Al y Bl'sol tensoresy, por lo tanto,

ar¿ ¿t ¿rt -qs

= Ln

., Multiplicando, haciendo ¡ :j

----)--E +

?;k

y sumando s€ obtiene

rlí'i = J

A;Ít >-t

; arh at, aJ

-t b ¿ab -rb 'Ñ .a-t

;-o )-c

¿."f

t "t

b qs

:!r'

^rñ

nbqs

.A R <; ; ¡ r-f

lo que indica que AIBX'es un tensor de torcer orden. Por contracciónrespectode los índices4 y r, o bien, ,r y r, del producto ,498Í' sedemuestra,análogamenrc,que todo producto interno es un tensorde te¡cerorden. Otunétodo. El producto externo de dos tensores9s otro tensor cuyo orden es la suma de los correspondientesde los factores.Por lo tanto, A!fi' es tn tensor de orden 3 + 2 : 5. Como po¡ una con¡racción sc disminuye€l orden en dos unidad€s,el orden del lansor A!4' es 5 - 2 : 3.

l. 21. SuponiendoqueX(p, q, r) es una magnitud tal qre X(p, q, r)Bf' : 0 cualquie¡aque seael tensorffo, dcmostrar que X(p, q, r) : 0 idénticamente. Dado quBfn es un tensorcualquiera,podemoselegiruno particular,por ejemploel de q :2, ¡ : 3, y como con una componentedistinta de cero y las demás nulas. En estascondiciones,X(p,2,3)s?:0, : posibles a¡' t 0 se sigueque X(p,2, 3) 0. Este razonamientose puedehacerde igual forma con todas las combinacionesde q y de r, de donde se deducequeX(p, q, r) : 0 como qucriamosdemostrar,

¿. En el sistenrade coordenadasx¡ una ¡nagnitud A(p, q, t) es tal qte A(p, q, r)4' : Cj, siendo,4' un tensor arbitrario y C; un tensor.Demostrar que A(p, q, r) es un tensor'

En fas coordenadastransformadaslii' l(i'k,Dl:^

E nt onc ls ,

>:i A (j ,k ,l \ ? Ot-

)=1t A-r qs U1. =Ot'; Ox

¿in fATh ¿'r A(i,h,t)

a""L¿"c;7

^ -ó P ¿vJ

^*.o,ut'; q5

8; - 4 uo,o,u)

II I I

ANALISTSTENSORIAL

tE4 El producto interno ro,

{es 4."1., multiplicar por $

rri,r,o [$ $

# ^*'''uf ":

[# # t,'-',' 4

o bien,

I cont.ae. l.,eeo haciendom : ,) es

n*'n,,r)#:

Ahora bien, como Bfo es un tensor cualquiera,según el problema 2l t€nd.emos.

!!k a'" .4(1,É ,1) ao __, cx af. El producto interno por

\- '

ot'

9]_ 9-"

,ttp,q,,1 :

cr,

proporciona

h. n ó1,bLA(i,k,t\ _

o bien,

A- (i ,n,nJ

A-P A-q A¡.n

áJ ar, f,¡ ^ó Ax -_? otJ

ra r-. oxAx = oa - ox' -.

e@,n,,\ = o I ,. A \p,q,tl

lo que indica gue A(p, q, r\ es un tensor y quedajustificada la notacióf] A'Dq. En esteproblemahemosestablecidoun casopa icular de Ia /¿ydel cocienleque expresaque si el producto inte¡[o de una magnitud X por un tensor cualquieraB os otro tensor C, la magnitud en cuestión,X, es u¡ tcnsor.

TENSORES SIMETRICO Y HEMISIMETRICO.

23. Si un tensor ,iÍ¡'€s simétrico(o hemisimétrico)¡espeatode los índicesp y 4 en un sistemade coordenadar dado, demostrarque no se altera su ca¡ácter de simetfía (o hemisimet¡ía)respectode los mismos índic!¡ p y q al pasar a otro sistemade coordenadas. Como solo intervienenlos indicesp y 4, demost¡aremosque e¡ issultado de Ia transformaciónes 8-Si Bra es un tensor simétrico,,r4 -- B4r. Entonces, ¿iJ ¿tk ó

-b,l

con lo que B,a es simétrico en el sistemat,. Por otra parte,si Br¿es un tensorhemisimétrico. Bra : -Bor. Entonces! -B i u._

ü!ü3uta djró A,o

= _¿i' :É1 ,0, = _Ehj ó.q ?,t

con Ia que B¡a es hemisimétrico en el sistema¡'. (o l-osrcsultados antcriores sonválidos,asimismo. en el casode otrostensores simétricos

ANALISIS TENSORIAL

18'

Demostrar que cualquier tensor se puede descomponer €n la suma de dos t€nsor€s, uno de ellos siméttico y otro hemisimétrico en una pareja de fndices covariantes o contrava¡iantes.

Consideremos, por ejernplo, el tensor 8r.. Tenüemos,

Bls = Ahorabien, ¡19=;@fqraq'')

¡1alq* aú¡ * ¿@fq- eql¡ = i9l essimétrico,y s'q ¡Gfu - 69y')= -s9y' esh"-i"imét i*. -

Por análogo razonamiento se llega a la conclusión de que la propiedad es válida para cualquier tens.

Siendo Q : an AtAk, demost¡ar que siempre es posible escribi¡ é : b¡¡A,Ak en donde ó.,&es simétrico. =

é =

E nt onc e s , 2 +

tj ,th

o j a .l i l h

;

"31

on]Ah ,tJ

oo, l J l h

!to ¡¿ + oh.\ A i A h

onj,cj th

(d.h+ or¡ ei l h =

bj nai th

o¡¡) = ó¡- es simétrico. con Io qu€ b¡n = I@ ¡u+

I producto I .Y, es un Hallaf la suma S : A + B, difcrencia D:

A-8,

= ( : -; -3), | -rl

\-z

y p¡oductos P : ABy Q:81,

de las matrices

tí i i )

s'{+B= ( ;tí ?ii-íl;)=Lt i i) lión es I'4.

I I

D=a-B (j:r ?;i-ir) G ; -t) I (3)(2)+ (1X-4) + (-2Xl)

\(- 2X2)+ (lX-4) +(-1Xl) (-2X0) + (1X1)+ (-1X-1) I o

= ( rs

bimétricos).

(3X-1) + (1X2) + (-2X0) (4X-1) + (-2X2) + (3X0) (-zx-r) + (1X2) +(-rX0)

-t\

-s -a )

\-9

I I = l-r2 o= BA '

I -4

\ -t

(3X0)+ (lX1) + (-2X-1)

p = AB = ( tlxzt*(-2x-4)+ (3x1) (4X0)+ (-2X1) f (3X-1)

4l -3\ e l

-s l

Se observac6mo AB + Bl, es deci¡, la multiplicación de matricesno goza, en g€neral,de la propiedad conmutauYa.

ANALISTS TENSORIAL

= (-l 2?.siendor

;)

r, u = (-; -!).u.*,-.0""(r+B)(r-B)

* A 2-82.

-r) )(: (-:

=(l ,-'= (: :). Porrotanto,,'.urr,n-'r 1 ^-''(li),

':)

,'=(-? l)(-:l)=E:) n=fl-;)ft;)=(-; ;)

= (-i r;) Entonces.{2-82 En rcsuú€n, (,{+a)( A-n¡ ¡ Í -Bt , Sin embargo,(,{+ a ) (A-R7 = l2 -1pr31-

tz .

2t. Escribir en notación matricial las fórmulas de transformación d€ un: (a) vector covariante, (ó) toBsor variante de segundo orden, suponiendo .lv: 3,

(¿) Las ecu¿ciones de transformación*n

nr=

ooques€ puedenescribir e¡ la forma

(ilffiril() $

eD función de vectof€s columna, o bien, en función de v€ctores ñla

/a;. a" a;\

t2F¿= (ar a2r",f @, # # #l

\s s *:/

(ó) Las ecuacionesde transformación,"

l¡" ¡' ¡'\

foma ,0"." puedenescribir en la forma

# ""E

a* a"\ /g -¡u^ E\ /," ," ,'"\l+,,¡ v, a/ a/l

ü u ;'"lf ;;# # #lf ''" ""1 l'^ f n"" n-l\H ,.* ,.*/ * #/\," # \¡\#

&3 1

zt xs

?/22 ars I }rs }rs I

7 6 ,"ñ t

sup€rior,sin emb¡ Es posible generalizar cstos resultados para N > 3. En el caso de tensor€sde orden sup€rior' notación matricial no s€ pucde hacer.

187

ANALISIS TENSORIAL ELEMENTO DE LINEA Y EL TENSOR METRICO.

Si ds, : g¡kdxtdxk es un invar¡ante,demostrarque gft es un tensorcovariantesimétrico de segundoordcn. Segúnel problema 25, é: /st, at : y'¡i y Ak : dxki por lo tanto, g/& puedc considerarsesimétrico. Por otra Darte. como dJ'es un invariante,

E dr bdzq = "pq-- -= t¡, Entoncesárg

, z, d,id,,h -"jh --

d , -4 ójh --re y d -¿rt Zzc

,"rt¿rt -V ü ¿rc

r-i ¡-l o¡denquesedenomina simétricode seSundo un tensorcov¿riante r,r "t # ffiV

tensor métrico o tensor fundamenlal.

Expresarel tensor métrico en coorden¿das:(a) ciltndricasy (á) csféricas. (¿) Como en el problema'1, Cap' 1, d{ : de' + e'd{' + dz' Si¡,:

p, x¡: ó,x':

z resultaS¡r:l,3|¡ : pr,A¡!: I' Cr.: gn :0' g., : s¡¡:0, g$ : ar' : 0'

cs métrico enformamatricial El tensor

/rr,

,,, ,,"\

to r,o It,,| a", ao/ \a",

o o\

É ol o 1/

[o \o

(á) Como en el problem¿ 8(a), Capítulo 7, d{ : dr' I f d0' + rt sa '0 dó''

Si 11.r,t2= e,f =Q

el tensormétricoes

En coordenadascurvilineasortogonalesen general s

(a) Desarrollar el determinante 6 =

o \\

0 I O t" | O ' 2xn' á/ \o : O para i + k

Ear 8!2 g8l ¡ila con sus corest21 g22 g.'-lPor los elementos de la segunda 931 932 gssI

g/* de & oondientesajuntos. (ó) Demostrar q\te gtkc(i, k) : g, siendo G(.r,t) el adjunto del elemento y en donde la suma se efectúasobreel índicek únicamente g/¡ es el valor dcl determinant€que-res-"ltade g, ('),suprimiendo la fila y la columnaa los (¿) ' ' El adjunto de *ot consiguicnte, que perteneceii elementogir. y (2) anteponiéndoleet signo (-l¡i*t' ^ ., t - trs l , odes - . = (-1 )" ' ¡" ra 'A djunt D2t '-"' lg", S""1 Adjunto de6€

A d j untode tn " = (-1)2+"

1-r¡2+ 2l t:t:" 1' I tsr 6sol

trt tt"l t"t gnl

En estascondiciones,ol Llamemos G(2, |), G(2' 2) y G(2,3) z tos adjuntos anteriotgs,respectivamente. caso, es en nu€stro segunda fila llnea, de una por los elementos desarrollo ¿ei ieiirminanti

s^GQ, D + sn G<2'2\+ g* G(2'3) : e

I88

.IS TENSORIAL

ANA

(á) Aplicandoel resultadode (¿) a cualquierI r o columnatendremos gi¡ G(, k) : g, en dondela sumaci@ seefectúaen el índicek solamente, Estos.jsultadosson válidosaunqueI : iglr seaun determina¡: de orden N.

32. (a) D€mostrarque g¡, G(3,l) + enc(3,2\ + slr C(3,3) : (á) Demost¡arque sk G(p, k) : 0 s\ j + p. gpzl -1r -12

(¿) Consideremosel determinante t.,

t.-

-13 |

que es cero por tener dos filas iguales. Su t-l ." l

por los elementosde su última fila es nulo,

e,,G(3,l) -Ls*G(3,2,I s¿,G(3,3)= o (ó) Igualandolos elcmentosde cualquier pa¡eja de líneas(ñlas o columnas)se demuestra,como en el tado (a), que gik G(p, k) : 0 si j * p. El resultadoes el mismo aunqueel determinanteque se sea de orden N.

33. Dennimos ,*

G(ia k)

siendoc(j, k) el adjunto de g/r en el determinanteg : lg¡k | + O.

Demostrarque gr¡ grk : óf. Por el probl€ma31, tn 999: C( ñ

Por el probfema32, g¡¡ JlJ!--

I, o bien.gr* gi¡ : l, en donde la sumaciónseefe.túa en el I¿\

: 0, o bien,g¡¿grt : 0 si p E l.

E n to n c e sg, /r g ,¡(: I síp: ¡, y 0 sí p + j ):61. Hemos empleadola notacióngit sin habe¡ dernostradosu validez,es decir, que g/&es un tensor variantede segundoorden. Seestablece,no obstante,en el problema34, Obsérvese que el adjunto seha en fa forma GU, Í) en lugar de Gik, ya que no es un tensoren el s€ntido usual (absoluto).Se demuestr-¡ es un lensor relativo contravariantedo peso dos y, en consecu€ncia, con esta generalizacióndel tensor qued¿justificada la notación 6r* (problema propuesto 152).

34. Demostrar que ¡'ift es un tensorcontravariantesimétrico de segundoorden.

Como g,* es simétrico, C(./',¿) también lo es, y lo mismo l€ ocurre a e¡r : G(j, k)lg. Si 8, es un vgctor contravariantecrbitrado, Ba - EoqBo es un vector covariante,Multiplicando resutta! g¡q Bq :

giq goq B' :

ó1"Bp :

Bt ,

o bien

gte Be :

AI ser 8q un vector cualquiera,g,4 es un tensor contravariantede segundoorden, segúnIa ley del EI tensorgrft s€ llama tenso nétrico conjugado.

ANALISIS TENSORIAL

189

Expresar el tenso¡ métrico conjugado en coordenadas:(a) cilíndricas y (ó) esféricas.

100 0 p2o 001

(¿) S€gúncl probloma 30(¿), t =

adjunto de g,,

I ñ2

adjunto dc g,¡

tn 2

adjunto de g¡3

c adjunto de g¡r

P ,O 01 t0 01

I ^2

10 op2 00 0l

Análogamcnte,gi& : 0 sil + k. La, matdz del tensor métrico conjugadoes

o o\ vp 2 o l o rl

It Io \0 t (á) Según€l problema 3O(ó), = I

Po 0

Como en (a) se deduce se pu€deescribir

l="

sen! d

É s€nee l

= I' * =

10 0 \/P ( 00

1r, f* n' 9'

gk :0

pa:raj+ k, y en forma matricial

,,L)

Hallar (a) g, y(á)gr¿ correspondientea ds2 = 1kfuL\z + g(dr2f + 4Gi3)2 -6drldr2

(o ) gu= 5' t p= 3' % s = 4 ,8 e = 8 2 !--g ' t

= 8 e ' 2 , g rs= 631= 0. P or Io tanto,g :

5-3 -3 0

+4dr2¡lé. 0 32 24

(á) Los adjuntos G(/,&)de 9Á son G ( 1, 1¡ = 6,C (2 ,2 )= 2 0 , C (3 ,3 )= 6 , G (\,2 \= G(2,1\= 12, C (2,3)= c(3,2)= _10, C (1,3)= c(s,1)= _6 E nt onc €s , 911 = 2t2, = 5 , f

= 3 /2 , g p = tz = 3 ,

t^= * -_S /2,

C B = fr= _S /Z

Obsérves€que el producto de mat.ices(ai¡) por (gr&) es la matriz unidad I. es decir.

('i1(:," (,,) :,,.{',)

r90

ANALIS$ TENSORIAL

TENSORESASOCIADOS. 37. Si At : gre,{r, demostrarque A. : Multiplicando At: gh Al

gtr Ar

g*Ak por g/c resulta,

gL g,k Ar : 61At : lr , cs dccir, A.:gk4

o bicn Ak:gk

Los icnsor€s de priner orden, ,{¡ y ,l* s€ llsman osoc¡adot. Rcpr€sentan las componcnt€s Y contrava¡iantes de un r,€ctor.

3E. (¿) De¡nostra¡qúe L. : gr.ADA. 6 un inva¡ianlc. (ó) Dcmod¡ar que ¿z : gm AeAa. b) Seá;n4 y ,{¡ las component$ covariantcy contravariantedc un v€ctor. Entonc€s,

, ;f =

4 - 4^,,

rq - ¿iqAh

##+¡

= a !,t,th . t,ri

?,i

con lo quc l, /, €3 un invariantc que llamsmos ¿t. En cstas conücio¡¡es podrcn¡os cscribir,

L, = aini = (ó)Dc(o), ¡'= t, ,l ,

thtbtl

chl A¿. dÉ tl \=

= 6rotr,tq

,ft trtn.

t,a m¿gnitud 6calar, o invariantc, ¿ : l rl" ,lt *llañ^módulo tes,{, y contr¿vadantes /.

dol vector de componontes

39. (c) Si lr y 8r son do6 vccto¡€s, demostrar quc 8,r{ ,,lr r. cs un escala¡ o invariantc.

-o esun ¡nvanantc. (a) Po¡ el Droblema38. l? n. = f tlqo-0 = glqAb E , (ó) Como ADA,y BaBe son invariantes, '@ +r{t cs un escalar. Defnimos

,f nq U

tsmb¡énlo es, con lo que

'1t? trlrnq

coe I

cono el coscnodel áagulo entre los vectoresAo y 8. ortogonales,

SagÑ ADBa: ADB, : 0. dichos vector€s ia

ANALISIS TENSORIAL

l9l

Expresar las ¡elaciones entre los tenso¡es asociados siguientes: (a) Atkt y ADqb (b) A;1 y Aek ,

(c, A!;i:;

y,At;:it

@) A¡kt : tto gkc gh Aoc,, o bien ADe, : gtDgka gb Attl Q) A;Í:

skgt, Aeh,, o bien Aok¡:

sta.Sb A;,

"Tffit5fi*Tjlt

ánsulos0'.,0", v 0¡,entredoslín€ascoordcnadas deun sistema curviÍncokidimensional cos op =

cos d," =

,:,=

cos d", = *

ffi,

Segúnla línea coordenada¡r, ¡r : constante,y ¡r : constante. Entonces,de la forma métrica, ds' : gtL@xt),,o bien, !4 : _!. cts t/e, Por lo tanto' cl v€ctor unitario según r& t¿ngente a la tnea ¡r e,sq:

toresunitarios ransenres a l¿srneascoordenadas x¡ y x¡

"""

AI=

¿i- Anároga'cnte, lo¡ vcc-

-l: !

8tt

fsoti

ei= ftt!,

EI coseno del ángulo 0,, enlÜreAi y Ai a

co a o ,o, z r n e l e l= t * h ,*r *a la 1

ffisn

Dc mancra análoga se deducen los otros ¡ssultados p€didos.

Demostraf que en un sistema de coo¡denadas o¡togonales, an : ar, : a$ : O. Se dcduce.fácilmentedel problema 4l hacicndo 0..0*:0!1 gpc : Ecp, también se d€sprend€ qué gr, : g", : C1r : 0.

Demostrar que en un sistem¿ d€ coordenadas ortogonales Del problema 33, eD,gn : Si , p: 4: 1,

g, ' g ,\:

8,,=

1 -'

¿2. t, o b i e n g ,rg u + a " c ,,

+ c¡' s!,:

Por lo tanto, toniendoen cuenta el problema 42,s.:f. An álogam €nt e, s ip :

: 90". De la ca¡acterísticade simetrla,

q :2 ,s * :

* ,y

s íp : q : " r" :;1.

c",-

r _-_L ".3 f.

ANALISIS TENSORIAL

SIMBOLOS DE CHRISTOFFEL,

{;}

",{;}

( o)r pc ,=, r ^k , * ", {;}

=**

-* ,

= s"'[p c ,=, ]' - r * , . r = = ,r,r"'

n, rr"{;}

G\ lpq,r7 = t,',

44. Dcmostrar @\ fpc,¿ = lqp,,\,

{;}

= -" # -¿ J b t r,e ,4 .

{ oi}

tpcu). EI lpq,rf= lpq,kJ = t^{;}

o b i e n , [p q ,l .] " ,."{ ;} ,* o* i r,[pc,,]

Obsérveseque multiplicar Ípq, rl por 8't tiene el efecto de sustituir r por J, elcvar este lndice y mu¡tip¡ic¡r *t g,,, o bien por los corchetespor llaves obteniéndos€ . ma"*."nte, {;} {'} ticno cl efecto de sustituir s por r, baja¡ est€ fndic€ y cambiar las llaves por colchetes obteniéndos€ [pq,

45. Demostnr(")

7tu" ;f,

= [pn,q] + fqn,pl

- '*\kl ,tr# = -/"l:"1 (ol lpor,cl + [q.,1]

(b) > tL )^ ¡ #(6"'til

= r,:'*_,3?-l'ol, , -rr"tn'1u - 34, - 7r4 ?'r ¿'q d¿ ¿'? arq

i,"(D¿)

Mufüpticandopor 6¿t, ,*rrrS

o bien

= ?:u

= 0. Enúoncos,

{ Y-# rr,

es dccir,

=# "a ",{;,}

t;#

= o ,o b i,r,* € n ,= -t-Y . -rt'r¿'p

= -si'lh t[¡-,!] + [i''.i])

z t . _ , n l , I )_ / ' {; }

de donde se llega al rcsultadopedido sustituyendo,respectivamente, 4 k, i,i por p, q, n, n.

ANALISIS TENSORIAL

193

As : GG ¡)' Entonces,sumandorespecto Ahora bien, como G(7',t) noI contreneexplictlamentegk' ah de j y r,

'!!r ?g = ?r = , u"tt, - "t¡" ¡ ", ?rt a-. ar" El tt^ :- oE¿-

¿2

= t s J ' (ljn , t l + [ rn , / ] )

= es"' # =

. '({;}

= ,'{,,,"}

{;})

Por consiguiente,

I ag = f il

l¡ l

l,i"i

"r¿*' Li"l'

a = #'"'i

de donde ss deduce el ¡osultado pedido sustituyendo j por p y nt por q.

Deducir las leyesd€ transformaciónde los simbolosde Christoffel de: (a) primera clase,(ó) s€gundaclase,

1z¡c o mtu o =

-o

# # tro, ¿,1 ¿,0 dqo z,r ¿ri ¿Eb¿", ¿""

4p ari

á"f ?2,Q ¿¿i ¿ir. ¿a -Pq

Ox l

+_ ¡

¿ír Ari ¿ih

-Pc

Por pe¡mutaciónclclica de los lndices7',k, m y p, q, r, ?30* ___:::

¿rf TEni ?zh

7go,

á"Q Z,r ___t_ :L ¿"1 ::-:L

¿xc ?'rr

¿rl¿r,

?rr

¿2n,

¿-,,d,, ñ'

Ttrb ¿r, ¿"1 1re ari ?ij ?,c arl

aE. ¿h¿l

"rf

¿',s

d",

22rr

?"1

' dü¿-J ¿,,8s, ¿b ¿t

¿-"1"rf

Restando (1) de la suma (2) + (J) y multiplicando por ¡ sededuce la definición establecida d€ los símbolos de Christoffel de primera clase. ¿rl

(41

¿rQ ¿r'

¿l ¿u ¿n

(b) Multiplicando (4) por

p, = W ts: r$

s€obtiene

Ot' Oz-

gn" ¡¡t,^1 = ¿f il

¿"Q 7rr

¿in ¿rt

. , i" ,b ¿rQ ¿rt! ¿ir ^. -, LPc'tJ + s-' ¿r¿ ar" a," al ñ ¿th 7," ¿,s ¿,t t" t)q

ANALISIS TENSORIAL &¿ .9 .r é' tl -t " "tC arj arl a,s

2,rf ¿rQ ¿u, ., ., , . et 6 t r'1" r f¡j ¿l ¿,s

¿,2 ¿,c ¿¡n f s )

¿2"

f,J a",a," lrol ' ;l# =

yoquo6;r"¿ lpc,,f . r"'fre,'f

?2r¡

. 47'Dcmostrar arr'-*:.

¿,t y

tlftero

{r"r}

t rt

a r"

ti¡

¿*

= e"qr¡, .

¿ rl ¿ rq l^ |

I;t¡' "r,

. . Dcrprob,c,¡r¡4ó(ó) ### {;} #*y_ f;) uurtioricandoDor*$n, ftly" - *#t3{;} - #*t

=##{ ;.}##

Dcepciando $$

pedido. resultado

* tn* "

¡lt. Calcu¡ar los slmbolos d€ Christofiet de: (¿) pri¡nera clase, (ó) segunda clasc qr un cspocio en quc gsi p *q.

t Tttl

(c )s i p=e=¡,[pc , . ] . [ p p , p ]= + ( * " * - % ) si p.qfr,

fp".. l -

lp p , ''t . = !(dt¡' 2\a,p

?,t

1; F' - 1¿¿\

-i

?,r I

, Dtfi

¿{ '

"t"

sip.¡¡r, [pc,,]. [pc,p]= +(!A,]*-%J z ?rt \ E,"

Si los índie

?rf

= I

L¿tit .

2 ¿rq

,, 4, ¡ son d¡stintos, fpq, rl : O.

Aquf no hernos ompleado €l convenio dc sumación d€ los índicts repetidos.

(á) Por el problcma 43, gt :

{;} Por(a):

1,,

lsin sumar¡. Entonces,

= c"'lpc , rf = o s i . ls ,

y = s s s I p g , s ] ' [ "1:"] f.in .u'o"r¡ ,i r : ",

--I\ \ ANALISIS TENSORIAL

- !g :ll *

Sio = o=s.1 " i =fp-\e \=cf \w f 'Si p =91s,

{;}

dcü = E;¿,r .t =z¿r =-' "too' L ) rn

_ [pp,"] = -t ¿ $ p 28ss ?rs ' ts"

{;}

h)=

_ lpq,p) _ tll

{;}

Si p, 4, ¡ son distintos,

195

ü +H=i* ,.+,

= 0.

{;}

te. Expresar los símbolos de Christoffel de segundaclase en coordenadas:(a) rectangulares,(ó) cilindricas y (c) esféricas. Pod€mosutilizar los resultadosdel problema48, puestoque en coordcnadasortogonalesgrr : Osi p + q

)

(a) En coordenadas grD: l, con lo que f " ) = 0. rectangulares, -_ tPY '

(ó) En coordenadas zy, segúnel problema30(a),¡',,: l,A,r: 0i,¡'!J: l. cilíndricas, ¡r : p,42: í,x": Los únicos slmbolos de Christoffel de segundaclaseno nulos ocurren para p : 2. Estos son

-2"

{;}

?¡

r) = = -i ;f a<rt -c'

1 - 11

JzI lrz f

{;}

7go

= 7xL

la"L

(e-' = 2e' ¿e V

(c) En coordenadasesféricas,¡1 : r, x' : 0, x' : ó y, segúnel problema 30(ó), g" : l, grz: r,, g$ : r' s€n¡0. Los únicos símbolosde Ch¡istoffel de segundaclaseno nulos ocurrcn pafa p :2 ó 3. Estos son

, {;}

4r,

78r"

2.,. t _If-t

7'1

={'}=,7=t? {;} {;}

f zl lrrl

tr2t

2 é¡ '

422 7x ,

=+3¡r¡=1 z?d

= -rseúo

= - !!¡"*n,e¡ = --l -:b 2 7¡' 2gr, 7r' = -

1 b, = - J -^ ! ¡p' * n , o ¡ 42, 7r2 u' ¿A

=1 r\=

ó Eo |I ?s =

{;}

t13,

,¿* 4o

{;}

=1r\= 123t

II 22 4-

?d c""- r ?

= -* n lc o s |

9 é y.n,ot

ü*n,07,'

1 ! ¡2 * n , o ¡ = c o t o " = ¿,2 zP*n'0 70'

196

ANAL¡SIS TENSOR¡AL

LINEAS GEODESICAS.

' FP, x, i1 at seauoa extr€mal (¡ttáxima o

paraque / = | Dcmosharquela condiciónnecesaria ma)esque--+(=)=0. Ot

tlt

s€a ¡ : x(t), \ = t = t, la curva que hac¡ extremal la intogral /. Entonces ¡ : x(t) + (? (r), si( ind€pcndi€nte de l, €s una curva muy próxima que pasa por I' y rr de manera 9ue ?(1,) : ?(4) : 0. E¡ de 1 para estacurva muy próxima os

Fqr,x+eq, i+ei1¡ at

.[rt"

Estaesunaextr€malpara € : o. La condiciónnccesariaparaqueallo s€veriñqueesque f I bicn, derivandocl integrando,suponiendoválido el proceso, " l¡.o

= f b,'dx + Pn+ * út ¿¿= o ' *d; déllr=o J¡ " -que pu€d€ escribi¡se en la forma

, #rli',- f'",fr,{',*= [,o,(# - f,#,) ,!¿= o 1,,'*r,, = o.

como ? es arbitrario,E - 4rPfl dt'?i a"

El r€sultadoes fácil de gcneralizar a la intcgral fh

r1t,r',i',r',i2,...,tt,ix)

¿t

.rlL

! 4_ar ! 4r = o

de la qu€ se obüGne

dc éiE

7'E

qre * llafirzn ecuacionesde Euler o de Lagranee (.Drobleñl013).

.2r 51. Demostrarque las líncasgeodésicas en un espaciode Ricm¿nnvienendadaspor{{

Hemos de haflar la cxtrcmal a" fh J. /--'---------= con F = y'gooi/ iv. Tendremos,

fT-tq

a¡ =

:-;

dt*

AF dih Ahora bien,teniendo€n cuentaque

= ii

¿,q = *l , l¿J ds ds lpq I

dt mcdiant€las ecuacioncsde Euler (problema

irr*;t;trun!fu !;o irtoo;l ieYt/z z6roil = 6;TF

, las ecuacionesde Euler adquierenla forme

AI{AUSIS THTSORI,AL ¿ j*{ . dr(-T-)

, üoo .o .o = r' ülTt

,7s t ¿l ¿t- ! ¿ % o ! r o " = # : ,.-'! -?B

i€ n ,

2 ¿rh

?r9

;

*3o,o*oo%. I ;o = ltlt ,?ql, ;o ¿o, scco¡rvicrr. cn z 'a'c ú' d 'e ,0.. t¡', i

* ¡P q , r*1i!

,tÚ

Empleandola lqngitu{ dc ¡rcrJoodo parámct¡o,!= t, != t y la ccuacióneccscribirá

ff uurtipricanad¡iprlt *ooúr,.%*

= 0

S {

¡*'a

d2rr , t', \ *f ¿'q ds2 lrrJ a" ar

¿i¡

(r)

?rl

érr áar ?nt

?¡r ?¡r

¿zJ ¿*t'ul

Dcl probloma47,

tr' &i&h

l--t

ar'

litit ñ

¿i

¿rt ( r '

eJ aro1,, r

Sustiú¡),staló€o (.f),

n a;¿

t ^n- ##{; }

-'" - ##{;},"

dAi ''

'¿"b

#(#-{;,}n)

ANÁúIS¡S TENSORIAL aon lo qu" 1! - I " L osun tcnsorcovariantcd€ s€gurdoorden qu| * |lanr &rtvada -s 7,Q tpcf Ae respectode xe y * err,ritc An.".

(á) C omo I =4^ ' , ot

(2)

?z'

¿ r J{ ü ,ír t 7rr éxr ar¿

a ' !^ . drr ¿"t ¿íE

Del probl€mr 47, pcnnutandolas coorderadasx y i,

i* ={;}# ##['J

Sustituy€ridocn (2),

¿ri = a;i a,t ?4 ?¡l

?r, ?zt ?,t

,. \ a/ lul

¿""

Qd _ f"l!d = ¿-,i¿,t ?*r a;¡ a,t

lrtl

¿,n

&i ¿rl ¿zt lil #A #*'¡71í ' l ' ¿,t ,t

4^'- #'i(:,1¡

= ¿zJ¿,qú 1o¡u¡ ?d¡ " - f 4¡ t ('r, ¿,t A* ¿,c - I'ct ¿,, a?¿ o bion,

¿Ai

¿zJ d's

áF ' 1*, -i1"

(#.{;"},)

^t con lo que dA + I P t ¡s os un tensor mixto dc segundoordcn quc s llarln de¡lvada ári tCs, At res¡nctode x4 y * escribcl:..

53. Escribü la derivada cova¡iantc resp€cto d€ ¡. de cada uno ds los tcnsor€s sigui€nt€s:

(a\A¡p, (b)¿rt,ol el¿,<¿¡ o t*! . 4r, (o)

AJp,q

(o\ a-ih,c

. , , AE,q ! t¿¡ lJ ht,s

l? - {;}o'-

{*}'o

' { ;" } ,u #. {i"¡"'

, {i"},; # -{¿},; *

{¿}¿

- {¿}'j. - {;"}'i,

ANALISE TENSORIAL

ihl (c) A ¡ n, q

¿ nt!

r99

. {i"},Jl' - {,",},f'{i"},;:'- {i"},¿",i

l "l ,J ¡t

l,"qf ^ s'1

54. Demostrar que las derivadas covariant€s del. (a) g¡p, (b\ gtk, (c) óL son nulas.

3-{;}'",-{ü},,"

(a'tsp,o

,,tL

l¡c,tl

Ítc,¡l

por el problema45(a).

dz'

= 0 {;,}* . {1"}'o

?¡fi

=;.

dr.1

dd¡

¿'Q

ctt a

{;}'j . {;"}';

por el problema45(ó).

{i} ' {;}

55. Hallar la derivada covariante de Atr BII respecto de .xq.

= + - {¿}d,; - {;},i,i ,^iuli,,o ' {;"},;,1 - {;"},i,r. {;},í,1"

. {;"} ,;)"i' (#-{¿}d . ^l(#-{;}':'.{j"}';" '{;}'f) = nlr,rtl' ,

tl,, ^!u

S€ Ducde observar cómo la derivada covariante de un ptoducto de tenso¡es obedece a las mismas reglas de la dérivada de un producto del cálculo dife¡encial ordina¡io.

56. Demostrar que

-¡r Gjn An ),q

-ti 6¡¿ An ,9 .

-¡i )n GroAi

= tiu,o{,hr

,lt

str^n 'o

,hn

etoa",e

g¡t, gtk y 6l se consideran ya que gr¡,a : 0 segúnel problema 54 (a). En Ia derivacióncovarlafj.].3,

ANALISIS TENSORIAL

200 FORMA TENSORIAL

DEL CRADIENTE,

ROTACIONAL

DIVERGENC¡A,

Y LAPI,1\CIANA.

n'r. dtvAl = * { g ^Lr<l¿ ót-

quc 5?: Demosrrar

La div€rgpncia dG,{t €s la contracción tensorial de la derivada covari¿nte de ,{', es dccir, la de Ar,e o At,r. S€gúnel problema 45 (c), pues,

dlt Al

l9,l

= #.{j-}"

a¡l

¿r

?rt *

hy'-e\ Ah

arl

i, *\'nt'

¿r

st.Demost¡arquc n* = t$ú*,ffi. u¡r tonsorcovarisnteda brim€r orden(p¡oblem¿6 (ó))

El gradientede é es ¡¡¡tf + . V<D= 3P,

nido como la derivadacova¡iantedc é y que sc escribeQ,,. El tcnsorcontravarian¡cde primer orden ciadocon é,, u, ll = ,t

Soronel problema5?,

I ¿.,_7 =i(v t t vB ot50, Demostrarquc Ar,q -

Ar,q- ac,r

Aq,p -

?Ap

7Ao

?rj

dr?

ao Ot'

(*-ur")

l a - I"tcpf \,--"/\ . n, -'a¡' ^o¡rc \al

EstGtsnso¡ de segundo orden es el rotacional de ,,1r. 6(). Expresar la divergencia del vector,{, en función de sus component€s flsicas en coordenadas: (a) (á) esféricas. (a) En coord€nadascilfndricas, ¡t=p, *=$,

é.2,

100 =

o Éo

p2,

de dond€ Y!-:

p (problema30(a))

001 Las componontesf¡sicas,,.1q, ,{c, ,,lr son

lo = y'l'tt

tL,

A6-

4^o

= pAo, t"= { Qtr .

ANALISÉ TENSOR¡AL .)

Entonces

dtt Af

* !;<{s ta lg dx '

It?<pht * + (,ró)+ + (pAz',)

PO pqQ z

(ó) En coordenadasesfüicas, rr=¡,*=0,*=Ó,

10 0¡2

0 o O o P *¡20

: r. sén¡0, de donde y']'-

¡t s¡¡rO (problema 30(ó))

Las componentesffsicas, ,4.,,{a, z{o son A1 = AL :

A r = ,8

-,/l -f

A ó= y' -e* a' = ¡scnÉ ,te

= ,Í,

Entonces, üv AP

t*,"¡^r rr) +$r, *.t 6 , t1 pfi, ffir* s6no S,<,,t . ¿, # * ; $rseno,rrt' fle+t

al. Expresarla Laplaciana¿e é, t'Ó,

en coordenadas(c) cillndricas,(á) esféricas.

(a) En coordcnadascillndricas, grr : I, g" : ll8', g" : I (problern¡ 35(¿))- Segúncl problenra58'

v l D = * * < q '**r It Or'

a aé,

' l r r9 ,ropP,óp, $, q'P 139' 4' =

= :-Q = -l P ép" áp'

raob

+ a-

P' 4"

+ l- (Pi-:) I o2 02

dfD + :-;

(ó) En coorden¿dasesféricas,g¡r : l, 922: llrt, g'r : l/t¡ son' 0 (problema 35 (ó)). Entonces,

vb = rt$,c',,#*, ' i}¡ t$r,,,'nu #, - # {*'o#)

. F*;u$,**$ - á.,3*#,,

aé.

E{t seno @"

.r a lo '

P *n"0 42

ANALIS$ DERIVADA

ABSOLUTA

TENSORIAL

O INTRINSECA.

ó2. Hallar las derivadas absolutas o intrlnsecas de cada uno de los siguientes tensores, suponiendo que las ciones de f son derivables: (a) un escalar o invariante o, (b) AI, (c) AL, @\ At*ú.

t.l €oa

e,#

= c9, derivadaordinaria

.(#.{¿}') = # ## .lt"lr# ^io# " r# ' 4.lt\^"4 dl

sA!

G)#'

(9r,

ttt

. {i"}4)# - {¿},{ ^!,.,#(# d4 _ '

¿t

í "1 , i¿f . { ¡ } r : 4 I

lrq|'i'o,

lqs,

-{;},*. ^!:,,,#(# -{;}¿T"

- {.?4i. {j"},*. {j"},íi, )*

='+ - \;,1^'"-,# - l:,|^!i" - \il^g,# # -{/"}4i,#,1:"1^{L+ ó3. D€mostrarquc las derivadasabsolutasde gr&,art y 4 son nulss.

6tr¡ ¿,r s Ef =Ju r,o-n <q,ntfl= o, ff' Et . ,i ¿t -.

a ¡ l- r , o problemas{. fn,sft = 0 porel t,

TENSOR RELATIVO. A. fur Aly BI" dos tcnsorcsrelativosde pesosrrr y n, respectivanente. Deñostrar que sus productos y externoson tensorosrclativos de pesor,, + u:. Po¡ hipótesis, _i A:

El producto ext€mo,

. ,.##^!, El,= f',###r,; = ,^'*#### *4"4': ¡to¡l'

es un tensor relativo de peso lyr + n¡. Como un producto interno es una conhacción de un producto también es un tensor relativo dg peso lrl + rr!.

ANALISIS TENSORIAL Demostrarque rfes

2,JI

un tensor relativo de peso unidad, es decir, una densidadtensorial.

o' Los elementosgra del determinanteg se transformande acuerdoc< la reY '6¡fr = -ó 'n ñ Haciendo los determinantesds ambos miembros, F.

árl

dz1

dEJ

^o ot #

t¡q

t = t -E ó { E = t 4 ,

que demuestraque r/g es un tensor relativo de peso unidad.

Demostrar que dV :

{g axt ¿¡'. , . dxt es un escala¡o invariante.

Por el problema 65-

¿v = G ¿rr d* ... ¿zx = G t ¿rLd* .,, ¿/

l*lar't*

...¿J = \Gd'Ldxt... dzr= d'v

De aquí se deduce que si é es un invariante se verifica f

f _

l ... l 6r¡ JJJJ

f f _ = t... t<bdv

cualquieraque seael sistemade coordcnadasy donde la int€graciónseextiendea todo el volumendel espacro de N dimensiones.Análoga cuestión se puedever también para integ.alesdo superficie.

CIONES DIVERSAS. Exp.esaren forma tensorial: (a) la velocidady (á) la acelcraciónde ¡¡na pa¡tlcula €n movimiento. (a) Si una partícula se desplaz¿por una trayectoria curvillnea con una ley de movimie,rto ¡k : ¡t(¡), en donde , €xprosael parámetrotiempo, su velocidades u" : ff, orden (problema9). . (á) La magnitud

oueesun tenso¡contra..-riante de primer

dvk

: d'xk .;- no es un tensor,en general,puesdependedei .;itema d coo¡denadasque se ¿, tome como referencia.Sin embargo,se puededefinir la aceleraciónaecomo la derivaü¿absolutao int¡ínsecade la velocidad,es decir, ar :-#

ou" es un tensor contravariantede primer orden.

ExpresarIa ley de Newton de la mecánicaen forma tensorial. Supongamosque la masa M de una partícula es un invariante independientedel tiempo t. Entonc€s, Mak : Fk es un tensor conravariante de primer orden que se llama fuerza aplicada sobre la particula. La ley d€ Newton, pues, admite Ia ¡epresentacióntensorial Fh

lrloh =

'u- &:a_

ANALISIS TENSORIAL

qüe"u = Y = #, 6e.Demostrar

l:rl #

Como vk es un tensorcontravariante,segúnel probl€ma62 (ó)'

# . \i"\,#= # . {1,\r#

Eot

#.u,|#'i

?0. Hallar las componentesfísicasdc (a) la velocidady (á) la aceleraciónde una partícúlaen coordenadas dricas. (¿) Segúnel problema 67 (¿), las componentoscontravariantesde la velocidadson *'

¿P

¿ 7 = i'

¿,'

= ¿Ó ¿.'Y

E'E

Por Io tanto, las componentesflsicas de la velocidadson dxt = do vsr, -¡; fr'

dz2

'e* l;

dó

' PT'

tenie¡do en cuenta que grr -- l, g¡r :- at, 4"! :

dz dr

' -df os ¿t

(ó) De los problemas69 y 49(b),las component€scont¡avariantesde la acele¡aciónson

"'=#,|:,]t'#'f=#-P(#f _2_

f'o dF

. l:,\## , l:,\#'#=(#, VAfA' 2¿Pdó

t,s = E P ¿e

yo s=

Entonc€s, las componentes físicas de la ac€leración vienen dadas por

{t,

ot = 'i - pó,,

{É- o2 - pó * zitÓ' v

V t6d-,

en donde los puntos indican deriv¿ciónresp€ciod€l tiempo'

?1. La energíacinética I de una particula d€ masa constanteM que se desplazacon velocidadde T : tMv, : lMgDL n, ic. Demostrar que

!,? L ¡ - 9 L ¿i ¿ir'

= ?'D

I¡ Eto ,

siendo a¡ las componentescovariantesde la aceleración. Como I .= tMg N tendremos "¡ "a,

205

ANALISIS TENSORIAL

?T .-...: ?"¡

= *n!i4 i tq. á,8

d .aT Porlo tanto'- ( t¡)

:--T

d ,3!,

i9 Nt-Pq

¿h

¿t' dih

)""h! = Mtz. .f + i! $.'¡ Eq

}xl

t' tc - r'!4 t't')

- ,(rr, ,n ,*

. ,(*,r'i,**Y-*,u*) n¡oo'iq + fpq,rf;t tq¡ *)

= n*ar

= *oh

-o(*'{; } , teniendo en cucnta el problema 69. Este resultado puede emplearse para expresar La aceleración en distintos sistemasdc coordonadas.

72. Utilizando el ¡€sultado del problena 71, hatlar las componentes físicas de la acele¡ación de uoa panicula móvil en coordenadascilíndricas.

,f = tfif = p2+p2$?+? y Como ds2=d,f + p2dg2+d22, Del problema 7l con.xr :

g, x¡

T-r

v2= !n1p2+p2$2+ 22¡.

z s€ deduce

+ =ftéot, %=t

q = ió- pó',

Por lo tanto, Ias componentes flsicas son

+.2 .2

{grr' y'g-' ya quo grt : I, g*:

73. Sea F¿ :-#

y'gn

E -oé? .PL¿t !te -' ó t .' ;'

p1 g"" : t. Compáreseestercsultado con el del problerra 70.

la fusrza covari¿nteaplicada a una partícula en done Z:

Demosu", oua 4, Dotencial. '

t t

: t

¿ r'# t-|-=o

-)raa De L = T -v ,

V(xr,...,xN)

es la energtra

siendor = r - l'

ya que t/ es independientode .tt. Entonces,segúnel problema?1, #

= = I,#, - {, = u"n ra -#

La función I, se llama Lagrungiana. Estas eeuacionesen que interviene I se llaman ¿c¡acionesue Lagrange y son de gran importanc¡a en el estudio de la mecánicatoórica. Del problema 50 se sigue que ¿l resultado hallado equivalea decir que una partícula se desplazade manera que la integral J,' t at es una extremal. rL Se llarna princípio de Hamilton.

ANALIS$ TENSORIAL

206

74. Expresarel teorema de la divergenciade Gaussen forma tensorial. Sean,,4kun campo tensorial de primer orden y 'h la normal un¡taria cxterior en un punto de uoa superficie ce¡rada,Sque encierraun volumen Z. Entonces,el teoremade la divergenciade Gaussestableceque

[f I

¿s f[,tr u. E

th.,av

En un espaciode N dimensiones,la integral triple s€ sustituyepor una integral de orden ¡f, y la integral dobL por una de orden N- l..El invariante .4k,¡.es la divergenciade,{k(problema 57). El invariante Ak vLesd producto escalarde Ak y "¿, análogo a A . n en la notación vectorial del Cap. 2. Hemos expresadoel teorema,pues,en forma tensorial,por lo que dicho teor€maes válido on cualquier sistema de coordenadas aunque la hayamos visto, en principio, en el caso de coordenadas rectangulares (C a p .6 y p ro b l e rn a 6 6 ).

75. Expresar las ecuaciones de Maxwell del elect¡omagnetismo (a )d tv B = 0 ,

(6 )d l y D = 47p,

(c)V xB = + * ,(d)V xu

= !4

en forma tensor ial.

Definamoslos tensorest&, Dk, E*, H*,Ik y supongamosqu€ I y c son invariantes.Entonces,las €cl¡¡ ciones adquieren la forma {o) 8¡O = 6 1b¡ Dh,, = anP k\ - ejhq E. P,q

-f

ut - eihqxo.o'

$rI" c

?Bi.oui"n.eJEeg = ! éB' h'q ;; ?¿ i

I 41Tf , o bien,eilg flr.o = - -;-

Estas ecuaciones son la base de toda la teoría del electomagnetismo.

76. (a) Demost¡arqw

Al,w - At,rq = Rlq, An

deprimerorden. (ó) siendo.4, un tensorcualquiera

mostrarqueRt,es u¡ tensor. (c) Demostrarcue R¿grs = 6n" Rlq, es un t€nsor'

(o) At

?#- \,,,1^,., - \-l^^' ("nr= - t}(* -l;l') " {JJ,) (*-{;},,) =le-- #ü,)',- {J,} # - gl"#.ltl\i,l*

17-I

= = 6r,l .n c, ?"r \ ?re

ü,)

- {t,l*.{;Xi,}', Permutando g y r y restando s€ obtiene,

(

d I.

cl t-

I {

t. E I. E

ANALISIS TENSORIAL

'1' 9- , q 7

Ar,,q=

{;}{,1}',

*ll,l ^'- {;}{j},'. ."t{j,}',

. *{;,},, - l!,1\t,l^, *lt,l^,-{i,}{;}* E r rd F b

R: A. ?qr J

^1,.= {;}{¿}- á}{;'}- {;}{l,}' * {j,} Sustituycndoj por z se deduceel r€sultadopedido.

(ó) Como Ap,,o- Ao,,oes un tensor, RXa,Ao es ot¡o tensor; además,como ,4¡ es un tensor cualquier, por fa fey del cocientese deduceque ,Rr¿,es un tet'li;rr. Este se llama tensorde Riemann-Chrisfolfelque, a veces,se escribeen la forma R.i*, R;;:,:, o simttcmente, R;a..

(c) Roo,,: g", Rfu,,es un tensorasociadoa Rle, y, por consiguiente,es un tensor.Se lta¡na¿e¿.ro¡ co|aria e de curyaturqy juggaun pape¡muy importante en la teoríageneralde la relatividadde Einstein.

, Problemas propuestos Al final del capítulo se dan las solr¡cionesde estosp¡oblemaspropuestos.

77, Escribir cada una de las siguientesexpresionestgnrendoen cugnta el convenio de sumación de los índices rep€tidos. (d¡ arxlxB + arxQxg + ... + orxXr3 ¡c¡lal + e! a' * t!n" , ... t eJrax qbl A21B, + An B" + An B" + ,,, + A'x Br

(d) *'t¡

+ c2t t", + ft E", + fat.,

te¡B\\1 + aeo2+ aftr + aff 78. Escribir término a término cada una de las siguientessumasindicadas. ) b ta) !-,(r'c -- A-\, N =s ¿,P

.i k -b .. (b\ AJ" Bi C) N= 2 R J ,

a;j j-¿,! (c). 3 E,¿ Et{

?g. Haffar el luga. geométricorepresentadopor akxkxk: l en donde rt, con k '= 1,2, positivasy N -'2,3 ó 4 nadasrcctangulares, ¿e son constantes 80. Escribir el sis:emade ecuacionesoooxq: bo para N - 2. 81. Escribi¡ Ia ley de transformaciónde los tensorcs(a) ,4'f , (b) BI. k) C-", (d) A^.

. , N' son las coorde-

ANALISIS TENSORIAL

208

82. Determinar si las magnitudes B(.¿k, m) y C(j, k, m, n) q1re,en el paso de un sistemade coo¡denadas¡i a otro i',

sg t¡ansformansegúnlas leyes ( a , 6 \P,q ' t)

¿ri ¿rk ¿7r D^.. , \t'E 'm) ¿ _ "b ñ;,q

son tenso¡iales.En c¿soafirmativo,escribir los tenso¡escon la notación adecuadadando el o¡den y su característica de covarianzao contravarianza.

83. ¿Cuántascomponentestiene un tensorde quinto o¡don en un espaciode 4 dimensio¡es? E4.Demostrarqug si las componentesde un tensorson oulasen un sistemade coordenadasdado, t4mbiénlo son en cualquieroha rcfcrencia. 85, Demostra¡ que si las componentesde dos tensoresson igualesen un sistemade coo¡denadasdado, también lo son en cualquier otra refercncia. )-k

Demostrarque la velocidad ?

: y* de un fluido es un tensor,pero que I1dvk no lo es.

87. Hallar las componentoscovariantesy cont¡avariantesde un tensor en goordenadas:(¿)cilínd¡icas p, d,z; (ó) esféricasr,d, {, sabiendoque sus componentescovariantesen coordenadasrectangularesson Zr-z x"y, yz. 88. Las componentescontravariantesde un tensor en coord€nadasr€ctangularesson: /2, 3, 2x + /. Hallar sus componentescovariantesen coordenadascilíndricasparabólicas. ó b . qs .r .f .Q .¡ " s " P ,.ql", 8e. calcular G) 6;81-. , (¿) E; E; l'", p¡ an (d) tq ¡r Ds 6i. { 9{). Si,4fs es un tsnsor demostra¡qf¡e,41'esun tgnsorcontravariianted€ primgr orden. E:, = ltsi ¡ * * 91. Demostrar oue Jñ tu r, ¡ = i

92. Si

;-9 A¿, = .fu,{O demostrar cue Aq = z'- + .

%.si l: =##,4! fi.

no es un tensor covariantecon la notación expuesta'

demostrar w. e! = ffi{* e!.

Sabiendoque é es un escalaro invariante, determinar si

ge=

es un tensor.

O r 'Ot1

. Sí A! y B, son dos tensores,demostrarque,4¿ B¡ y AXBt son, asimismo,tensoresy halla¡ su orden,

96, Demost¡a¡que si ,4lraes un tensor,.41,o+ ,4!,fes un tenso¡simétricoy,4ta -,4Íl

eshemisimétrico.

yl, Si ApQy B¡r son tonsores hemisimétricos, demostrar que Ct! : A'q8,, es vn tensor simétrico.

98. Si un tensor es simétrico (o hemisimétrico), sus contracciones sucesivas, ¿son simétric¿s (o 99. Demostrar quo si ,.{r¿es un tensof simétrico, .4rsrr)r4:0.

ANALIS¡S TENSORIAL Hallar el máximo número de componentesde un tensor si¡nétrico de segundoorden en un espaciode: (a) N :4, (ó) N: 6. ¿Cuáles estenúmero para cualquie¡N? ¿Cuántascomponentesno nulas y distintas, prescindiendodel signo, tiene un tensor covariantohemisimét¡ico de tercar orden? Si ,4Í,¿es un tonsor, demostrarque por una doble contracción resulta un €scala¡o invariante. Demostrar que la condición necesa¡iay suñcientgpara que un tensor do orden R se conviertaen un escalar o invariantg por contraccionessucesivases que R s€a p¿r y que el númgro de indi@scovariantesy cootravariantes s€a igual a R/2. Si ,4r¿y B" son dos tensores,demostrarque su productoextemo esun tensorde cuarto orden y que se pueden forma¡ dos productos internos de órdenesdos y ce.o, rcsp€ctivamente Si A(l¡, q) B" - Ct, en donde 8s €s un tensor covariantede primer orden cualquieray C' un teosor contravariante do primer orden, demostrarque A(p, q) es w tensormixto de segundoorden Sean,4, y -84dos tonsoresarbitrarios. Demostrarqu€ si Ae Ba CQr,q) es un invariants, C(p, 4) cs un tensor que puede escribi¡seen la forma Cj. y productosP : ABy Q:

Haflar la sumaS : A + B, diferenciaD : A-8, c,essiguientes:

B,{, siendo,{ y B las matri-

\ l^ .\ / B = ( o : l @\A =(: - 11, 4l -tl \2

\-2

o r\ lz (ó),{=Í- r- 2 r1. \- r s -Ll Hallar (3A -

-t ,\ I=| 3 l , 2-4 1 2l \-t -,

28\ (2,4 - a), s[ndo A y B las matrices del p¡oblema anterior.

(a) Cornprobar qu€ dot (,{8) : {det ,{} {der A} para las marices del problema 107. (ó) Comprobar si se verifca que dct (áA) : det(BA).

t. \ s ean rasm a rce s, = (: -: :). 2 3,

/-r z - r \ r = { i ; - ; l. 2 r

\{ zl \ Demostrarque (.¡) /,8 estádefiniday hallar su valor, (ó) B,{ y ,{ + ,8 no estándeñnidas. Despejar los valores de las incógnitas, x, y, z, del sistema de ecuaciones, cscrito en forna matricial.

(?i i)(') fi) \-¡

La inversa ,{ -r dc una matriz cuadrad¿/ s€ de6ne por la relación AA | : I, siendo r la matriz unidad cuyos elementosde Ia diagonal principal son unos y los restantescoros. Haflar ra inversa,4-r de la matriz

(") / =(_;-;). = _l ",r ti

En ambos casos,¿s€verificaque A-tA:

-z\

| t

-t

;)

2lo

ANALISIS TENSORIAL

ll3. Demostrar que la matriz ,l

r -2\

-Z

-3

ll4. Demotra¡ que (,{r)-r : BrA-t,

carccr de inversa.

siendo,4 y -Bdos matricescuadradas¡egulares.

ll5. Exprcsar cn ibrma malricial las ecuacionesde uansformación de un (¿) v€ctor contravarianto,(ó) covarianle de segundoorden, (c) t€nsor mixto de segundoorden

116. Determinar los valoresde la const¿nte ltalo]ueAX:

lX. siendo ,l =

-i)

vxunarnatriz

quiera. Estos valores se llg;man valores propiot o autovaloret de la matriz ,{. ll?. La €cuaciónF(¡) :0 que rcsulta en el problema anterior para hallar los valores propios de una gollama ecuacióncaruclerítticq de A, DeÍ\ostrar que F(/) : 0, siendo F(,{) la matdz obtonida sustituyenÓ po¡ ,{ en la ecuacióncaracteristica,el término constantec por la riatriz c¿ y O es la matriz nula (todos elcmcntos son c€ros). El r€sultado es un caso particular &l ¡eo¡ema de I{amiltorr-Coyley, q|uedic€ que matriz es solt¡ción de su propia ecuación c¿racterlstica. llt.

Demostrar qtrc (AB>r : BrAr.

ll9.

Dotcrminar el tcnsor rnétrico o fundamcntal y su conjugado en coordenadas: (a) c¡llndricas y (ó) cilínddcas ellpticas.

120. Demostrar que en toda transformaciónafin ¡' : 4 xD + Ir', siendod, y ú,'constantestalesque 4 4 = las compon€ntescovariantesy contravariantesde un tensorcoinciden-En el casopanicular de que la ts formación s€a de un sistema de coordenadas r€ctangular a otro rectangular, los tonsor€s se llaman carlesiar@s. l2l, ln.

Hallar g y gr cor$pondientes

al elem€nto de linea ds2 = 3@x!¡2 + 2(¿r2f + 4@f)2 -

I ¿zr

Si A, : gi¡,{r, dcmost¡a¡ qtre 4 : gkAL, y r€cíprocamente.

123. Expresar las relaciones €ntr€ los tensores asociados @) An y Aja, (b) A!¿' y tt¡a¡,@) A'oi y At!,t.

qtre (a',A;qB?rs= tbe lfi", (ü a!,qrB;l . erq..at = nio' tlr. 1rA.Demostrar

De aquídeducir

sultadogeneralde que un s€udofndice,o lndice umbral, en un término puedebajarsede su posición y elevarse de su posición jnferior sin que cambie cl valor del término. 125. Demostrar que si ,{?o.: Bfo C,, entoncesA¡a, : BeaC, f A'ft : 3;z 6r. De aquí deducir el -rel qu€ un lndice libre en una ecuación tensorial s€ puede elevar o descender sin que se altere drcha

12ó. D€mostrar que los tcnso¡cs g'r., gD. ! ó! son asociados.

r27. D€n'ostrar ot Ert# = ,rs#, $\{#

= /t#

128. Si Ae es un campo vectorial, hallar el vector unitario correspondientc.

ra I

{

r( rl

ANALISIS TENSORIAL

2ll

129. Demostrar que los cosenosde los ángulosque un vector unita o Ul€n un espaciotridimensionalfornra con u" ue ut tas líneas coordenadasson . ,

rt-

{t*

rt-

(8-2t7)

130. Exprcsar los símbolos de christoffe¡ de primera clase en coordenadas(a) ¡ectangulares,(ó) cilíndricas y (c) esféricas. l3l. Expresar los símbolosde Christoff€l de primera y segundactaseen coordenadas(a) cilíndricasparabólicas, (á) elípticas.

132.Deducir las ecuacionesdiferencialesde las lineas geodésicasen coordenadas(a) cilíndricas,(ó)

esféricas.

133.Demostrar qu€ las lfneasgeodésicasen el plano son rectas. 134. Demostra¡ que las lineas geodésicasen la esferason arcos de círculo máximo. 135.Escribir los símbolos de Christoffel de segundaclase para la forma métnca. ds':

(dxt), + t(x,), - (x)!l(dr1,

y las ecuacionescorrgspondientesde las líneasgeodésicas. 136. Escribir la de¡ivada cova¡ianterespectode ¡¿ de cada uno de los siguientestensores. .th .i h i ikt ih ( d\ A í , ( b) A í . a \ A ;h , G\,t;" , @ A í;n. r i i 137. Haflar la derivadacovarianted,. (o \t-h A-, (b)A ' B h, (c)D ;,{ j

resp€cto de ¡a.

138. Mediante fa ¡elaciónA¡ : gtk Ak dedücirla derivadacovariantede ,4i a parti¡ de la derivada covariantede ,4e. t39. Demostra¡ Cue fD,*-

ó,09, siendoé un escala¡o invariante, es decir, el o¡den de la derivacióncova_ riante de un escalarno influye en el resultado.

l4tt. Demostrar q\e iü

y (r¿t son tensorescovariantey contravarianterespectlva¡nente.

r4l, Expresarla divcrg€nciade un vector l' en función de suscomponentesfísicasen coo¡de¡adas(a) cilíndricas parabólicas,(ó) paraboloidates. 142, Hallar las componentesfisicasde grad é en coordenadas(a) cilíndricasparabólicas,(ó) cilíndricaselípticas.

r43.Expresar Vl(D en coorde¡adas cilíndricas Darabólicas. r+4.Mediante la notación tensorial,demostrarque (a) div ¡ot.{'

- 0, (á) rot gradé = 0.

r45. Hallar las derivadasabsolutaso intrinse{asde los siguientescampostensoriales,en el casode que las funciones de , sean derivables: ;h

1o) Ap, (b\ ,LJ', 1"¡ ,1, sh, t¿l ó AJhsiendo d un escalalo invariante.

146. Hallar la derivadaabsolutad. qo)t¡nA , $, 6lhAj , n, ,rrt!, 4 . t47. Demostrar que

n, nol = , rfon, ft Cto *

2t2

ANALISIS TENSORIAL

1¡|8. Detnostrar que si no actúa fuerza ext€rlor alguna sobre una partícula de masa constante que dc desplaza por una línea geodésicas€ verifica

g,f,' ,

149. Demostrar que la suma y diferencia de dos tensores rclativos del mismo peso y tipo es otro tensor relativo de las mismas ca¡acterlstic¿s. 1f), Si lfv es un tensorrelativo d€ peso

'er,

demostrarque g-uh llE

es un tensorabsoluto.

= Cj', en donde r51. Si ,l(p,q) f ^{, esun t€nsorrelativocualquierade posouly C; un tensorr€lativode peso r"r, demostrar que A (p, q) 6 u tensor relativo de peso ¡'¡ - ur. Est€ €s un ejemplo de la ley del cociente de los tensoresrelativos.

152. Demostrar que la magnitud Go,l)

del problema resuelto 3l es un tensor relativo de p€so dos,

153. Hallar las componentes físicas en coordenad¿s esféricas de la (a) velocidad y (ó) aceleración de una partícula móvil. 154. Scan,4' y B' dos vector€sen u¡r €spacio tridLtrensional. Demostrar que si t y p son const¿ntcs,Cr = |" Ar + pBr os otto vcctor del plano que Íorman At y Y. ¿Cuál es Ia int€rpr€tación en un espacio de M dimensiones? 155. Demostra¡ eue ,tl . ,ll

$. ", vactor unitario correspondiento.

un vector noínal a la superñcie C(¡r, x3,x) : constante.Hallar el

156. Iá €cuación de continuidad de un fluido es !. ¡s.r¡ * P = O donde oesla d€nsidad y v la vclocidaddt "n Expresar dicha €cuación en forma tensorial. 157. Expresa¡ la ecuación de continuidad en coordenadas (a) cilfndricas, y (ó) esféricas. lst.

Expresar el teorsm¿ del rotacional ds Stokes en forma tensorial.

159. Dcmostrar que el tensor covariante de cu¡vatura -Roo,,es hernisimétrico en los lndicec (a) p y .1, (b') r y s, (c )q Y s .

lflr. Dcmostrarque nrqr.s . &srC, 161.Demostrarquc @) R¡qrs * Rr"q, * R¡sq = 0, (b'',Rlqrc + f,rgrs + XT59g+ R¿57g .

162. Demostrarque la dcrivación covarianteen un espaciode Euclid€ses con¡¡rutativa.Como consecuencia. probar qu¿el tcnsor do Rirm¿nn-Christoffely el tensorde curvaturaen un espaciode Euclidesson nulos^

163. Sea fz.

cl vcctor tangentc a la curva C de ecuación ¡' : ¡r(s), an donde r es la longitud d€ arco.

(a) Demostrar +te srOT, f4-r

(ó) Prob¿rqrregrqT'

\€ctor unitario nornral a C para una /r dada. (c) Proba¡ quc *

en consccuencia, iÉ "

* #*

es ortogonal a 1V..

164. Con la notación del problema anterior, dcmostrar que: ótg á r¡rq -9 q

@ t% qrIv '=0,(ü)t¡o f

T=-<

o q o ( t 9 f f + x r ' )o= 0 .

probarquo8t Porconsiguientc, " * ,1"{ + xf¡es

un vectorunitariopara un ¡ dado ortogonala fr

ANALISIS TENSORIAL Deducir las fórmulas de F¡enet- Serret r,r.i

||-

o = .¡u',

Á¡tl

b -b = rar-xr"

68l

= -rN'+)

y ,t y r la curvasiendoIp, N, y 8, los vectoresunitarios tangente,normal y binormat a C, ¡espectivamente, :ura y torsión de C. Demostrar que ¿s2 = &@z4f - ¿rb ¿rh 0Y=3)es un €scalaro invarianteen la transfo¡maciónlineal (afín) f =*, 7a = yqxa-l 7 t = y p L -o z J , *=12, zL\ Esta es la transfor¡nación siendo:,,É,cy y constantes, de Lorentzde la relal:rlcy t:(-fl?)'/'. tividad especial.Físicamente,un observadorsituadoen el origen del sistema xt veria un sucesoque oculfe en la posición ¡r, xr,.r¡ en el instante¡{, mientras que un obs€rvadoren el origen del sistematl vería ef mismo suc¡so en la posición ,r, Í2, tz en el instantet'. Se supooeque (/) los dos sistemasde referencia tienen los ejesxr y tr coincidentes,(2) los semiejespositivosx¡ y x¡ paralelos,respectivamente, a los 5, y .¿', (t) el sistema t¡ se desplaza con velocidad v respecto del sistema xt, y (4) la velocidad de la luz c os constante, Demostra¡que para un observadorfijo en el sistsrna¡¡ (tr), una barra fija en el sistemat¡ (x¡) paralelaal eje tt (.rl) y de longitud ¿ en estareferencia,aparecereducida la loDgitud¿ v'¡ - pl Este hecho se denomina contracción de Lorentz-F¡tzgeruld.

DE LOS PROBLEMAS

.(ol aurhzs<tl Íin,

<"'t4sh

PROPUESTOS

O¡g29sor,N.=4 (., Bl:r,N=2

at $tG,e'> ' S<G e't * SrG e"t Ot Ab4q . Elipse para N:

.. a¡J a,t . a/

vt"*6r¿z

+ É1a!c" + tgaf,c, + tnaf,c. 2, elipsoide para ¡f:

a¡1x1+ opr2 t orrrt + ap# I

3, hiperelipsoidepara N:

éx2

a ' i'

d Arx

1 b1 = b2

@tlq= *{,##^1i

df ññ

t¡rdq'= *,# _y,#4',

#^-

d"tL

crn

(a) B(j, k, n) es un tensor de tercer orden, dos vecescovariante y una vez contravarianle. Puede escribirse en la forma Eii. (b) C(j, k, n, n) no €s un tensor. 1é . LO2A (a) 2e coszó -

z cos { + d sen, ó cos¡ d,

2€, sen ó cos d + ez sen d + p. sen ó cossd,

pz sen$.

214

ANALISTS TENSoRIAL

(b) 2t s€nr0 coa2ó

- r s€n0 co8á cGó + Ésenad sen2{ cos2t' + É senOcos2d sen@, e¡,e0 coa2$ - f coaz0 cod$ + y'sen3á cos? sen2ó coc2ó 2{wn0 - ¡3 sen,0 cosÉ sen{, - 2lsen'0 scnd cogd + f ggn? coadsen@ + y'se¡a9 sen{ cos3@

88. t?vz + g,,¡ gs - vf z,

n2 + ut¡- tP

94. No es un tensor. 1 0 0 . (d ) 1 0 , (ü ) 2 r,

89. (o) sls,

g) AF,

(c\ Aj, tal r

95. Orden 3 y ord€n I rcspectivamente. (c ) N (N + r)/z

) (; :),= ,o?(o . s=

98. Sí.

r0r. /V(/V-1) (/V- 2)/6

( - : - : ) , "= ( T T) , . = ( : : _: )

ri) ",'=(-lI il ' (-lr-s)'=(-i'i-*)'=(-i-li

,0,,.,(;lil:) (_jj:: 1;) '. (:i ; -;) ", t = - lt

t = 3,

z=2

,,,. si ",(,1",),1 ",t{i {:i)

(i)(#fiil()

"(', ::)€r :il€rilt, ':^)€ Gi^il Érilü ,*.,(":-",, ff'+:

u6. ¡. = 4, -1

ANALISIS TENSORIAL

dlsenhr4 + sen,r )

o1senh,4 + sen'y)

",(

2t5

) ("'T*-

I ¿zl S enhra + S enl r)

r, =('(," {,i) @',a?q= ¿i a'e

t l n'n'=li r,,

^jor,

n, +;'= ,¡¡ro,{,

-L

y'A? A^ .

^!.r,

-!__

/2. tl ¡q -Pq

(o) Todos ellos son cero.

(ó) l z z , t ) - = - p, (c)

T o d o sto sdemássonnutos. _lt z ,z )= l z t,z )= p . [ ¡ ¡ ,tJ = -r s e n ' o , [g f,Z ] .-¡2 sen0coa9

1 22, 1J= - ¡ ,

[ z t,z)= [n,z] =', [¡r,¡]=[13,s]=rsen'a

132,3J= ¡23,3.1= 12s€no cosd, Todoslos demásson nulos.

[tr,t] = ,, lzz,zl= ,, [rr,z]= -,, Lzz,t) = -u, lrz,rJ= [zr.l] = ,, [zt,z). [tz,z]- u.

={;}=##rk, {,1}

*m {,1}= {í }

rodosrosdemássonnuros.

#i#g;

{¿}'

a, #- o,4rÍ= o.

fó,. de

2 db dó p ¿s ¿s.

-.¡f¡2 - rsen'o ,ff = o ", * 8 e ,2 dt !9 seno6osB1qÉ¡ ds

¿ó

¿t2

,2 . * o ( 9

ats

- 0. ' # = o

;)

2t6

ANAf,ISIS TENSORIAL

135.

{;}=,',

{¿}

rS.*'fr =o, 136. (o) /:

L,q

" o * r o d o s , o s d e m á sso n . , '# n*r"f f *f *r,#r =o

dt!" L'I

. {i},i; - {;}d:- l:,1^'i". {1:},;:

I ( c ) A: 4 Ln,q

RLT ---n.-

-l

lP,L

-:;.-i h dA:

ih (e ) A: Lrr\q

\:,\

- {¿},,i' - {1"},;' - {;"},i

-i-?-

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oa. :o

íh (b't A. ú4,q

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-¡--L$f

- {;,1 - {;}4^.u"lf*^ 1"-{,;},í,," . {i"l ol" - {;}'i-' . {i}'Y' ' {;"}o!-"

- {;} ^k-l;l^iL-{;},1j.. {J"}qj". {;"}

rz7.tals., tlo, ol nio,o * ,ti Bn,q,n, s! o¡,,

rln.@)-J-lfiora;a o) *

*<tA-c e,t) - ! *, ,*ialg*,,ldtd4l * j oiuFu2+,? ^,rl - I*

ttz'o ,#f* . #X ",*f", c) - +- -,S ",,,$",r* f+ tiendo en, eo y

¡"ó 143. :--:. + ?,u2

a?O + 7v2

ez los vectoresunitarios en ios sentidos de auttrcnto de a, y, y z,

( ¿2+ür-Q

rS. f", ^ih

<¡l "? ót lr

. 1:"1t"# *. U"lu'#

= #ru r +*

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ANALISIS TENSORIAL t{:

st (¿) :(

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146.to) s.-JP +0r

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145 lc5

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#.\;"1^;#)

@) i, r0, r sen| S b

qr'¡i-rf -, &n'oó2, ,i,, | fre6 - ¡ senocosd ;h

rm.¿lofr,o'q 4 óx,

?¿ dr'

do ;ld t

= O siendot,' las componentescontravariantesde la velocidad.

< o $ < a ,tt*fio*tr$ra," r or $o,1 * siendó r', I'y f

l+# y

-h

$oh

ó> fi<,onn"e

$r',"1

-*-

+ o1t a o2cú,0¡ +

áo óa

y3 las componentss contravariantes de la velocidad. fr

=lJ

,'q'aq,nz, ds siendo f

etvector unitario ta¡senr,e a la curvacenada c

b" y' €l vector unita¡io normal extorior a la superficie S que tiene cofi¡o contomo

I ndic e

A derechas,sistgf¡ra,3 Absoluta, dorivada, 174 Absoluto, movimiento, 53 tensor,175 Aceleración, a lo largo dc una curva en el espacio,35, 39,40, 50, 5ó c€ntrípeta,43, 50, 5l de coriolis, 53 de una partícula, 38, 42, 43, 50, 52, 84,2n3, m5 €n coord€nadascilfndricas, 143, 204 en coordenad¿scurvilíneas, 204, 205 en coordenadasesféricas, 160, 212 en coordenadaspolares,56 r€lativa a observadores fijo y m ó v i l ,5 2 ,5 3 Achatadas,coo¡denadasesféricas, 140,145,160,16l Adición, de matric€s,170 de tensores,169 Adjunto, l7l, 187,188 Afin, transformación,59, 2lO, 2t3 Alah€ada,cúbica, 55 Alarg. das, coordenadas esféricas, | -r9,l@, 16l Algebra, de matrices,170 de vectorcs,l, 2 Alternante, símbolo y tensor, 173, r74,2tl Angular, velocid¿4 26, 43, 52 Angulo, de dos superficies,63 entre dos vectores,19, 172, 190 sólido, 124, 125 Area, de la elipse, I 12 d€ un triángulo, 24, 25 de una superficie,104, 105, 162 del paralelogramo,17, 24 forma vcptorial, 25, E3 limitada por una curva cerrada, lll Areolar, velocidad,85, 86 A¡ociados, tensores,l7l, l9O, l9l, 210 Asociativa, propiedad,2, 5, 17 Autovalores,2l0 Base,v€ctorgsen la, 7, 8, 136 unitarios,136 Binormal,38, 45,47,48

Bipolar, coordenadas,l¿to,160 ' Brahe, Tycho, 86 Cálculode variacion$, 173 Calo\ 126, 127 *!acíórr, 126, 127, t6l en coordonadas cillndricas elipticas, 155 en coordenadas esféricas, 16l especlfico,126 flujo, régimen pormanente,127 Campo,3, 12, 13, 168 cons€rvador,73, 83, $, 91, 93 de tipo fuente, 13 de tipo sumidrro, 13 ir¡otacional, 72, 73. 90 rotacional,72 solenoidal,67, '1, l2O, 126 tensorial,168 Caracterlstica,ecu ción, 210 Carga, densidad,126 Cartesianos, tensores,210 C.€ntral, fuerza, 56, 85 Centripota,aceleración,43, 50, 53 C€ntro d€ masas,15 Cero v6ctor, 2 Cicloide, 132 Cilindricas,coordenad¿s,137,138, t4l, t42, lñ, 16l divergencia,153,200, 201 ecuaciúnde continuidad, 212 elementode línea, 143 elemento de volumen, 1,14, t45 gradiente,153,154 Jacobiano,l6l laplaciana,153, 154, 201 lineasg€odésicas, 2l I rotacional,153,154 slmbolos de Chris.cff€1,195, 2tl tensormétrico, 187 tenso¡métricoconjugado,189 velocidad y ace¡eración,143, 2tu4,205 Cillndricas elípticas,coordenadas, 139,l s5, 160,l 6l ,2l l Cincmática,38 Cinética,energía,94, 204 Cinétaco,momento, 50, 51, 56 Circulación,82, l3l Circuncentro,33 Cociente,ley, 169, 184 218

Colineales, véctores, 8, 9 no-,7,8 Columna, matriz o vector, 169 Componenles,contravariantes, 13ó,15ó,157,167,168 covariantcs,136 de un tensor, 157, 167, 168 de una diada, 73 Componentesvectoriales,3, 7, & rectangularcs, 3 Conductividadtérmica, 126 Conformes,matrices,l7O Cónica s€cción,87 Conjugado, tonsor métrico, l7l. 188,189 Conjugados,tensores,l7l Conmutativa, p¡opiedad,2, 5, 16 l7 Consorvacióo de la encrgía, 94 Conservador,campo, 73, 83, 9091, 93 condición necesaria y suF cíente para, 90, 9l movimiento de una partícul¡ en,93,94 Continuidad, 36, 37 ecuación de, 6'l, 126, 212 Contr¿cción,169,l8l, 182 Contravariante,tensor, d9 prün r orden, 157, 167 de segundo,y superior,o¡der¡. t68 Contravariants, vector, 136, 156. r5'1,t67 Contra a¡iantes, componente! 136,156,157,167,168 de un tensor, 157,167, 168 de un vector, 136, 156, ltCoo¡denadascurvilíneas, 135-165 Coordenadas,líneas,135 Coordenadas,superficies, I 35 Coordenadas,transformación,5& 59, 76, 135,166 Coplanarios,vectores,3 condiclón necesaria y suF ciente para, 27 no-, 7, 8 Coriolis, aceleraciónde, 53 Corrient€, densidadde, 126 Coseno,teoremadel, 20, 33 Cosenos,dircctores,I l, 58 Covariante, derivada, 173, | 9l' 199,2l l

INDTCE

I L

Covariatte, tensor de curvatu¡a, 207 Cova¡iante, tensor de prific¡ orden, 158 Covariante,vector,136,157,l5E, t67 Covariantes, componentes, 136, 157,158,167 de un tensor,167,168 de un vector, 136, 157, 158, t67 Cuad¡ática, forma fundarnental, t4 8 Cuántica,mecánica,l6l Cúbica,alabeada,55 Curyatu¡a, 38, 45, 47, ll3 radio de, 38, 45,46,50 Riemann-Christoffel,206 tenso. de, 207 Curvas en el espacio,35 acele¡ación,35, 39, 40, 50, 56 bino¡mal,38, 45, 47,48 culvatu¡a,38,45, 47, I 13 elementode linea, 37. 56, l3ó, 1 48 normal principal, 38, +5, 46, 50 radio de torsió¡, 38, 45 tangente,37, 38, 40, 41,48, 50 Curvilineas,coordenadas,I 35-l 65 aceferación, 143,2O4,2O5,212 definición, 135 elementode linea, 56, I36, 148 elemonto de volumen, 136, 137,159 generales, r4S, I 56-l59 ortogonales, 49, 135 superficiales, 48, 49, 56, 155 Christoffel, simbolos, 172, 192195, 211 leyesde transformación, l'12, 193, t94 Delta, de Kronecker, t68, t?9,

r80

Densidad,I26 de carga,126 de co¡rierite, 126 tenso¡ial,175,203 I)ependencia lineal,10, l5 De ri vabilidad, 36, 37 Derivable,campoescalar,57 Campovectorial,57 Derivación de vecrores,35-56 ordinaria,35, 36, 39-43 parcial, 36,3'1,44, 45 Derivada, absoluta o intr¡'nsica, 1 7 4, 202, 2t l covariante,113,197-199,2Il segúnuna dire.cción, 57, 6l-63 Derivadade un v€ctor,35-56 fó rm ulas , 36, 3?, 40 ,4 1 ordende la, 37, 69 o rd i nar ia, 35, 36 parcial, 36, 37

Desca¡tes,folio de, 132 Determinante, adjuntoen un, I?1, t8 7 , 1 8 8 de una matriz, I70, 209 derivadade un, 4l Jacobiano, 79, t33, 146, t4'7, t4 8 , 1 5 9 ,l 6t, 162,175,202, 203 producto v€ctorial en forma de, t7 . 2 3 rotacionalexpresadolporun, 5?, 58 triple producto escala¡en forma d€, 15? Dextrosum,sistema,3 Diada, 73 D i á d i c a ,7 3 -7 5,81 Diagonal de una matriz cuadrada, 169 Diferencia,de matrices,170 de rensores,169 de vectores,2 Diferencial, 37 exacta,83, 93, I I I condición necesariay sufici€nte, 93 Diferencial,geometrla,37, 38, 4550, 54-56,166,2t2-2t3 Dif€renciales,ecuacion€s,54, 104 Difusividad,127 Dinámica, 38 ecuacionesde Lagrange, 196, 205 ley de Newton, 38, 50, 53 Direccional,derivada,57, 6l-63 Directores,cos€nos,I l, 58 Distancia ent¡e dos puntos, I I Distributiva, propiedad,2 de las formas diádicas,74 d€ matrices,170 productoescala¡,16, 18 p¡oducto vectorial, 16, 22, 23 Divergencia,57, 64.6? del gradiente,58, 64 del rotacional,58, 69, 70, 2l I en coordenadascilindricas, 153, 2ffi,201 en coo¡denadascilindricasparabólicas,l6l en coordenadas cu¡vilineas, 137, 150 en coordenadas esféricas,l6l, 2 0 0 ,2 0 1 forma tensorial, l'14, 20O,201 invarianza,8l significadofísico, 66, 6?, ll9, 120 teoremade 6auss,106,I10, I ll, tl5-127 demostración, I17, ll8 e n u n c i a d o, ll5 forma rectangular, I l6 forma tensorial,206 s rg n rn c a onsrco, o I to, ¡l / teoremade Creencomo caso p a ¡ti c u lar,106,I I0, l l l

219

Einstein, teoria de la relatividad, 148,201,2t3 Electromagnética,teotía, 54, j2, 206 Elemento,de línea,l?0, 187-189 de volumen,136,ll7, 159 Elementode líoea,37,56,|]6, 148 en coordenadas curvilíneas, 56, 148 en coordenadas curvilíneas ortogonales,136 sobreu¡rasuperficie,56 Elementos de una matriz,169 Elipse,63, 139 112 ó¡bita ^rea, de los planetas,8ó, 87 Elipsoidal,coordenadas, 140, 16O Energia,94 cinética,94,204 conservaciónde, 94 potencial,94 Equilibranre,6 Escala,facto¡es,135 Escalar,l, 4, 168 campo,2, 12, 168 función de posición,3 función de punto, 3 potencial,?3, 81. 83,91, 92 p.oducto,16,l 8-21,182 t¡iplesproductos,17,26-31 variable,35 Escalar,producto,I6. l8-21 propiedadconmutativa, 16,l8 propiedaddistriburiva.16. l8 Esfé.icas,coordenadas, 137, 138, 14r, r47, 160,l ól co¡rtponentes covariantes,I 77, 178 divergencia, 16l, 2O0,201 ecuaciónde continuidad,212 ecuación de transmisión de calor, I6l elemgntode volumen, 144, 145 gradiente,¡61 Jacobiano,I6l laplaciana,154,201 lineasgeodésicas, 2l I ¡otacional,154 símbolosde Chrisroffel,195, 2tl tensormétrico,187 tensormétricoconjugado,189 velócidady aceleración, 160, 212 Esferoidales, coordenadas, achatadas,I40, 145,ló0, 161 alargadas, 139,160,16l Espacio.de Euclides,I70 de N dimensiones, 166 d€ Riemann,l7l Especial,teoria de Ia relatividad, 213 Euclideo,espacio,170 de N dimensiones, l7l iule¡, ecuaciones, 196

220

INDICE

Ercentric¡d¡d,t7 Erterior, norm¡1,49, 83 E¡dcma,multiplicáción,169 Extrctml. ¡96 Extrentodc un vccior, | , 2, 5, ll Füo y nóvil, cistcm¿sde referenci¿.5!-53 Filq m¿triz o v€ctor, 169 Ffsicas, comDoncnt€s,172. Xn,

mL m5, ztl

Fluido, moümi€nto, 6, €r, 72, 116, ll7, 125,126 incompresiblc, 69, 126 Fluidos, mecánica, 82 Flujo, 83, l2O Forma cua'tlrática fundanental. l,l8 F¡enet-S€rr€t, fómulas, 38, 45, 213 Frotrlera, 113 Fuente,13, 67, 120 campo de tipo, 13 Fuerza, central, 56, 85 de Coriolis, 53 de l¿ gravitación univcrsal, 86 de repulsión,85 r¡om€nto dc una, 25,26, SO sobre una partlcula, 203, Z)5 Fucrzas. 53 rcsultante, I I Fundan¡pnt¡I, tcNrso¡,¡71 Gauss,ley do, 134 Gauss, tcorcma do la divergencia, 1 0 6 ,1 1 0 ,1 1 1 ,1 1 5 -1 2 ? demostración,I17, llE onunciado.l15 forma f€ct¿ngular, l 16 forma tonsorial, 206 sigBifcadofisico, 116, ll7 teorerns de Gr€en como caso p¿rticular, 106, tlo, lll Goodésicas,llneas, 172, 173, 196, lgt,2ll Ceomet¡la difer€ncial, 31, 38, 45-

so,5+56,t6Í, 2t2-2t3

Gndiente, 57, 58, 5943, 177 de un vactor, 73 en coordcnadas cilfndricas, t53, 154 en coorden¿dascillndricas parab ó l i c a s1, 6 1 ,2 l l en coordenadas curvilfneasortogonales,137, 148, 149 En coorde¡adas ssféricas. 16l iofma integral, 122,123 iorma tensorial, 174, 20O ilrvarianza, ?7 Cráfica. suma de v€ctores. 4 repr€s€ntaciónde un vector, 4 Gravitación, ley universal de Newto n .8 6

Grccn, prinera idenüdad o Gorr''na,,lO7,l2l $li¡nda idootidad o tcorcÍ¡s sinrétrico, 107. 121 tcorema, en el espacio, 106, I10, lll, tl5-t27 tco¡cma en el plano, ¡06, 108l t5 como caso particular d€l t. de Gauss, 106, ll0 lll como caso particular dcl t. de Stokes, 106, I l0 para regiones m{¡lüplcmonte conexas.I l2-l14 para ¡€giones simplflronto conexas,108-ll0 Hamilton, principio, 205 H¿milton4¿yl€y, teorcm4 210 Hélice ci¡Eular, 45 Hipérboh, 87 HipcDlano, l?6 Hipenupcrficie, 176 Hipocicloide, I 32

Lagra¡rgc, ocuacione, 196, Z)5 LaSrangiana, 205 L¿placc, ccuación, 65, 127, l3¡l G¡¡coordanadascilíndricas I ¡sbólicas, 154, 155 tr¿nsformada, de, 162 Laplaciana, oper¿dor (V), 58, 81, 2@ on coordenad¿s t53, 154,201 Gncoord€nadascilínd¡icas rabólicas,154, t55, 2ll on coordonads 137,!50, lst

on coordenadas €sféricas, 201 fornra tcnso¡ial,174 200 invarianzs,8¡ I-emnisca.132 I¡yes dcl álgpbra v€cto¡ial, ¿ Libre, lndicc, 167 Lli€a, eldrcnto dc, 170, 187L¡nea, inÉgra¡, 82, 87-%, lll dlculo, 87-E9,lll circulac¡ón,82, l3l indopcndicnte del c¿mino, I

89,90,lll, tr4, r29,tn

Igualdad, de.m¿tric€s, 170 dc voctorcs, I Impctu, 38 Indcpcndcncia, dct camino dc integración, E3"89, 90, lll, ll4 t29,130 dcl origen, 9 Independencia line¿l, 10, l5 Indic¡, libre, 167 umbral, 167 Inc¡cial, sist€ma, 53 Intogración, de llnoa, &!, 87-9, l dc supcrñcie, 83, 9+99 do vcctor€s, 82-105 dGvolu¡rren,83, 99101 doñnida- 82 indeñnida. 82 ordinaria, 82 teo¡€rnas, 107, l2O, l2l, 124, 125,130 Integal, fomi¿ del opcrador nabla, to?, 123 lnterna, multiplicación, 169, lE2 Interno, producto, 169,182 Intrlns€ca,&rivada, 174,fr2,2ll Invariarte, 59, 168,190 Invarianá, 58, 59, 76, 77, 8l Inversade una matriz. 170 lrrotacional, campo, 72, 73, 90 Jacobiano,79, 133, 146, 147, 148, 159, t6r, 162, t7 5, 202,m3 Kepler, leyes,86,87, l0z Kronecker,delta de, l6E, l?9, 180 símbolo,77, 208

tcoronra do Gr€e! y

do, I 12 rabqio, E2,88 Lineal, fuente,13 sumidcro,13 Linealmentédep€ndientcs, res,10,15 Lorentz, transformación, 213

Lorcntz . Fitzgorald, 2t3 Luz, velocidad,81

Matricos, 169, l?0, 185, t86 confomres, 170 igualdad, 170 operaciones, I 70 suma, l?0 IÑlatriz,73, 169 álgebra,170 columna, 169 cu¿drada,1ó9 det€rminante de una, 170, diagonal principal, 169 cle¡n€ntos, ló9 fila, 169 inv€rsa,170,209, 210 nula. 169 singular, 170 traspuesta,170,210 Maxwell, ecuaciones,?2, 8l en fornu tensorial. 206 Mecánica,38, 56 de ñuidos, 82 Métrico, tcnsor, 170, 17¡, Métdcos, co€ñcaentes,148 Mixto, tcnsor, 167, 168 Módulo de un vector, I Moebius,banda,99

INDICE

t I

> a( L

D I

a ,

r' b

cinético, 50, 51, 56 Momentodo una fuerza,25,26,50 triedro, 38 y fijo, sistema,5l-53 Movimiento, de plan€tas,85-87 d€ un fluido,66,67,72,116,ll7, 125, t26 Múltipleftrnte conexa,región,I 10, 2-tt4 Multiplicación, de determinantes, 159 de natrices, t7O de tensores,169 de un v€ctor por ün esc¿lar, 2 escalar,16, 18-21,182 extema,169,l8l interna, 169, 182 Yectorial,16, 17, 22-28 Nab¡a(v), 57, 58 fó¡mulas en que aparece,58 invarianzade, 107, 123 opcrador en forma integral, 107, t23 Newton, tey de, 38, 50, 53 de la gravitaciónuniversal,86 en forma tensorial. 203 Normal, a una superfrci€, 49, 50, 5 6 .6r exterior o positiva,49, 83 plano, 38, 48 principal, 38, 45, 47, 48, 50 Nula, nratriz, ló9 Nulo, vector, 2 Ondas, ecuación, 72 Operaciones con tensores, 1ó9. 179-t84 Operador, dorivado respecto del ti€mpo en sisternasñjo y móvi l ,5 1, 52 laplaciana,58, 64, 81, 2m nabla, 57 Orden, de un tensor. 167 d€ una matriz, 169 Oriontablc, superñci€, 99 Origen, de un vector, I indcpendencia de una ecuación veatorial, respecto del, 9 Ortocentro,33 Ortogonal, transformación, 59 Ortogonales, coordenadas, bipolares, 140, 160 cilíndricas, 137, l3E cilíndric¿selípticas, 139, 155, t6 0 , t 6l. 2ll cilíndric¿s parabólicas,I 38 curvilíneas, 49, 135, 137-141, l9l elipsoidales,l4O, 160 €sféricas,137, 138 esferoidales achatadas, l,l{), 1 4 5 ,l@, 16l esferoidales alargadas, 139, t@, l6t,2ll

O¡togonales, coordGnadas, paraboloidales,139, 160,161, toroidales,l4l Osculador,plano, 38, 48 Pa¡, 50, 5l Par'ábola-87. t38 Parabólicas. coordenadas.cilindri css,138,1¡14, 154,155,160, l 6 r. 2 l I div€rgencia, 16l elementodc lfn€a, l,f4 elem€ntod€ volurn¿n.145 gradiente,l6l,211 Jacobiano.l6l laplaciana,154, 155,2ll rotacional, 16l Schróedinger,ecuación, 16l slmbolo d€ Christoffel, 2l I Paraboloidales,coordenadas,139, l @ , l 6 t, 2 l l Paralelogramo,área, 17, 24 ley, suma de vector€s, 2, 4 Paramétricas. ecuaciones. de una curva, 39, 40 d€ una recta, 12 de una sup€rñcie, 48, 49 Periodo de un planeta, 102 Permanentc, campo escalar, 3 Pesode un tenso'r.175 Pitágoras, teoreria, l0 Planetas, rnovimiento, 85-87 Plano, distanciaal orig€n, 2l €cuación,15, 21, 28 normal, 38, 46 osculador,38, 48 rcctiñcante, 28, 48 tangente, 49, 50, 6l vector perp€ndicular a un, 28 vectorcs cn cl, 3 Poisson.ccuación.134 Polar. coordenadas. 98 Posición, vector, 3 Positiva,normal, E3 Positivo, dir€c{ión y s€ntido, 89, 106,I l3 Potencial, energla, 94 escalar,73, 81, 83, 91, 92 v€ctor. 8l hincipal, diagonal, 169 Principal, normal, 38, 45, 47, 48, 50 Producto, de det€rminanlcs, 159 de ¡natricls, 170 de tensores.169 de un vector por un cscalar, 2 escalar,16, 18-21,182 €xterno, 169,l8l interno, 169, 182 triple escalar,l7 ve.toríal, 16, 17, 22-28 P¡opio, vcctor, 2 Propios,valores,210 Proyección, de superficics, 95, 96 de un vector, 18, 20

221

Proyoctil, 102 Punto, función escala¡y vectorial, 3 Radio, de curvatura,38, 45, 46, 50 de torsión, 38, 45 R€fprocos, conjuntos o sistcmas devectores,17,30, 31,34, 136, t1'l tensores,l7l Recta,ecuación,9, 12 form¡ paranétrica, 12 forma simétrica, 9 Rectangularcs, sistema de coordenadas, 2 Yecto¡escomponenles, 3 Rectiñc¿nte,plano, 38, ,E Régimen permanente, flujo calorl ñco, 127 cañpo sscalaf, 3 campo vectorial, 3 Región, múltiplen€nte conexa, I t0, I l2-l t4 simplement€conexa, 110, I13, l 14 Relativa,ac€leración,53 velocidad,52 Relatiüdad, tr.oria, 148, 2O7, 213 Refativo, tenso¡, 175, 2O2, 2O-1 2t2 Resultante de v€ctores, 2, 4, 5, L. l0 Riemann,espaciode, l7l, 172 llneas geodésicas,172, 196, 197 Rienrann-Christoff€I, te.nsor, 207, 2t2 Rlgido, sólido, movimiento, 59 velocidad, 26, 33 Rotación, de ejes,58, 76, 77 invarianza, 58t 59,16, 77, 8l pura, 59 sistcm¿de coordenadas,en, 51, 52 Rotacional, 57, 58, 61-72 deñnición en forma integral, I 23, t52,153 del gradiente,58, 69,211 e¡ coordenad¿scilfndricas, 153, 154 en coordenadascillndricas Parabólicas, 16l en coordenadascurvillneas ortogonales,137, 150 en coordenadas esféricas, 154 form¿ tensorial, 174, 200 i¡varianza, 8I significadoffsico, 72, l3l Schrihdingcr, ecuación, I 6l S€nos,teorema, triángulos planos, 25 triáogulos esféricos, 29, 30 Seudfndice,167

717

Simét¡ica,forma de la ecuaciónde una recta,9 Simple,curva cerrada,82, 106 á.ea liñitada por una, I l l Simplementeconexa, región, ll0, 1 1 3 ,I t4 Singular,matriz, 170 punto,141 Sistemade refe¡eDcia,58, 166 So¡enoidal,campo,6'1,73, l2O, 126 Sólido,ánguio,I24, 125 Stokes, teorema del rotacional, 106,I t0, 126-13l demostr¿ción,127-129 fo¡ma tensorial,212 rcoremad€ Greef¡como caso paÍicula¡, I l0 Suma,de matrices,170 de tensores,169 Sumade vectores,2, 4, 5 ley del triángu¡o,4 Iey del paralelogramo,2, 4 propiedadasociatiya,2, 5 propiedad conmutativa, 2, 5 Sumación,conveniode los índices rep€tidos, 167, 175, 176,201 Surnidero,13,67, 120 campo d€ tipo, 13 Superíndices,166 Superficie,árca de una, 104, 105, t62 coordenadas cuNilíneas sobre una supe¡ficie, 48, 49, 56, elementode línea, 56, 148 integral de, 83, 94-99 Superñcics,37 á n g u l o ,6 3 . coordenadas,135 de dos caras,83 de una cara, 99 elementode lfnea, 56 normal exterior, 83 orientables,99 Sustracción,de tensores,169 de vgctorgs,2 Tangentea uDa curva en el, espacio, 37, 38, 40. 45, 47, 48, 50 plano, 49, 50, 6l Tensor,absoluto, 175 asociado,l?1, 190,l9l,2l0 campo, 168 cartcsiano,2l0

INDICE

Tenso¡, conjugado,l7l contravariante,157, 167, 168 cova ante,158,167,168 curvatura,207 densidad,175,203 fundamental,l7l hemisimétrico,168,169 métrico, 170 mixto, 167, 168 orden de un, 167 reciproco, l7l rclativo, 175,,202,203, 212 simétrico,168 Tensorial,análisis,73, 137, 158, t66-7.t7 campo, 168 densidad,173,203 Tenso¡es, operaciones fundamentales, 169, 179-184 Térmica,conductividad,I 26 Toroidales,coordenadas,141 Torsión,38, 45,47,213 radio de, 38, 45 T¡abajo, 21, 82, 86-91 como integral de llr¡ea,88-91 T¡ansformación, ¿fín, 59, 210, de coordenadas,58, 59, 76, 135, 166 ortogonal, S9 Traslación,59 Traspuestade una matriz, 170,210 Triada, 38 Triádicas,73 Triángulo, áLrea, 24, 25 l€y de la suma de vectores,4 Triedro móvil, 38 Triple producto, 17,26-31 Umbral, índice, 167 Unitaria, diada, 73 matriz, ló9 Unitarios, rectangulares,2, 3 Yectores,2, I I Variable, 35, 36 Vector, área, 25, 83 campo,3, 12, 13, 168 columna, 169 derivada respecto del

propiedaddistributiva"lf. 23 Velocidad, 4

angular, 26, 43, 52 Velocidad,a lo la¡go de rE en el espacio,35, 39,¡¡ angular, 26, 43, 52 aerolar, 85, 86 de la luz, 8l de un fluido, 179 de una particula,42, 5¿ lineal, 26 relativa ¿ observadons móvi l ,52,53 Volumen, del paralelepíptL 76

empo,

51 5?

ecuación,2, 9 fila, 169

ffi,",h s. ¡i sAtAS Z |BMA

Vector, función de posicién,3 funcíón de punto, 3 módulo, I, l0 nul o,2 operador nabla, 57, 5t potencial,8l p¡oducto, 16, 17, 22-26 posición,3 radio, 3 triple producto, 17, 2Gll Vectores,l, 4 álgebra,1,2 ángulo,19,1?2, 190 colineales,8 componentes,3, 7, 8 componenres 136,156,157,167 componentescovariantrs, 157,I58, I67 coplanarios,3 derivación,35-36 en la base,7, 8, 136 extÍgmo, I igualdad, I origen, I r€cfprocos,17 reprosentaciónanalitica I representación gráfic4 l, I resultante,2, 4, 5,6, lO suma, 2, 4 unirarios,2, 136 Vectorial, producto, 16, 17. forma d€ dete¡mioanta

elementode, 136,,137,It en coordenadas t37, ts9 integ¡alesde, 83, 99-l0f Vértices,campo de, 72