Controlo do Oxigénio Dissolvido em Fermentadores para Minimização de Energia Consumida

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INSTITUTO SUPERIOR TECNICO

Controlo do Oxigênio Dissolvido em Fermentadores para Minimização de Energia Consumida

Carlos Manuel Gomes de Araújo Queirós (Licenciado) Dissertação para a obtenção do grau de mestre em Biotecnologia ( Engenharia Bioquímica) Orientador: Doutor Sebastião Manuel Tavares da Silva Alves Co-Orientador: Doutor João Manuel Lage de Miranda Lemos Júri: Doutor Joaquim Manuel Sampaio Cabral (Presidente) Doutor Sebastião Manuel Tavares da Silva Alves Doutor João Manuel Lage de Miranda Lemos Doutor Francisco Manuel da Silva Lemos Doutor Sebastião José Cabral Feyo de Azevedo

Lisboa, Julho de 1997

ii

Controlo do Oxigênio Dissolvido em Fermentadores para Minimização de Energia Consumida

Resumo Implementou-se uma estratégia adaptativa de controlo de oxigénio e optimização energética de fermentadores, bivariável (manipulação de agitação e caudal de ar). Esta estratégia é separável nos seus componentes: controlo, optimização, adaptação. Foi optimizada a adaptação (de parâmetros da usual correlação de KLa) com excitação sinusoidal das variáveis manipuladas. A adaptação de parâmetros foi efectuada com base no algoritmo recursivo dos mínimos quadrados com factor de esquecimento. Foram isoladamente ensaiados os algoritmos de controlo, optimização e adaptação. Os ensaios decorreram num ambiente original de simulação computacional, com capacidade de simulação de ruído e atraso na amostragem e filtragem de dados experimentais.

Ficou demonstrada a robustez e a convergência do algoritmo utilizado na adaptação, especialmente com recurso conjugado a banda morta de KLa e factor de esquecimento. O algoritmo de controlo mostra-se favorável relativamente ao PID segundo o critério da área integrada de desvio da molaridade de oxigénio face à molaridade

critica

(ponto

de

ajuste).

O

algoritmo

de

optimização

reduz

significativamente o consumo energético, respeitando a molaridade de oxigénio crítica.

A integração dos algoritmos de controlo, optimização e adaptação, encontra-se implementada. Requer trabalho futuro de estabilização, mediante métodos definidos e implementados. Implementou-se aquisição de dados e manipulação de variáveis para fermentações reais.

Palavras Chave: adaptativo, controlo, energia, fermentação, optimização, oxigénio

iii

Fermentation Dissolved Oxygen Control for Minimum Energy Consumption

Abstract A strategy for adaptive control and energetic optimization of aerobic fermentors was implemented, with both air flow and agitation speed as manipulated variables. This

strategy is separable in its components: control, optimization, estimation. We optimized parameter’s estimation (from the usual KLa correlation) using sinusoidal excitation of air flow and agitation speed. We have implemented parameter’s estimation trough recursive least squares algorithm with forgetting factor. We carried separate essays on control, optimization and estimation algorithms. We carried our essays using an original

computational simulation environment, with noise and delay generating facilities for data sampling and filtering.

Our results show the convergence and robustness of the estimation algorithm used, improved with use of both forgetting factor and KLa dead-band facilities. Control algorithm used in our work compares favorably with PID using the integrated area criteria for deviation between oxygen molarity and critical molarity (set point).

Optimization algorithm clearly reduces energetic consumption, respecting critical

molarity. Integration of control, optimization and adaptive algorithms was implemented, but future work is needed for stability. Methods were defined and implemented for stability improvement. We have implemented data acquisition and computer manipulation of air flow and agitation speed for actual fermentors.

Keywords: adaptive, control, energy, fermentation, optimization, oxygen.

iv

Agradecimentos O autor desta dissertação pretende deixar aqui expressos os seguintes agradecimentos: Ao orientador científico, Professor Doutor Sebastião Manuel Tavares da Silva Alves, o tema de trabalho sugerido, todo o apoio prestado na sua execução, e na elaboração desta dissertação.

Ao Professor Doutor Jorge Manuel Torres de Vasconcelos e ao Professor Doutor José Monteiro Cardoso de Meneses, diversas sugestões que contribuíram para a realização do trabalho proposto. Foram em especial úteis diversas sugestões do Professor José Meneses relativas à versão provisória desta dissertação.

Ao meu amigo Vítor Geraldes, a preciosa ajuda de âmbito informático.

Ao programa PRAXIS XXI, o subsídio de manutenção mensal e de pagamento de propinas concedido à execução deste mestrado através da bolsa PRAXIS XXI /BM/1255/94.

Aos amigos, colegas e docentes, que na adversidade, me testemunharam a sua solidariedade.

Aos que porventura lamentem a falta de algum agradecimento, respondo com as palavras de D. Francisco: «Que escreveremos de homens fraudulentos? (Dragões lhes

chamou Job e era sofrido) se não enganos, males, fingimentos?››l. Acertadamente nos remete para Job, pois este acrescenta: «Seria possível, meu Deus, que Vós quisesseis entregar-me à calúnia, e oprimimir-me como a um perverso, a mim que sou obra das vossas mãos? Será possível que Vós favoreçais os maus desígnios dos ímpios, que me acusam de ser um hipócrita, a quem castigais por suas culpas ?››2. Mas sosseguem, faço minhas as palavras acertadas do Padre Manuel Rodrigues: «A mais forte arma para vencer inimigos,

é

sofrê-los, padecendo os trabalhos,

e perseguições com

magnanimidade, e caridade››3 .

Houve quem cuidasse de saber porque prosseguia eu o meu trabalho, apesar do desenlace anunciado, e das crudelíssimas críticas (por parte de quem era suposto motivar-me), não só à obra, como ainda ao meu carácter e capacidades. A resposta é

V

uma verdade eterna: porque valeu a pena aprender, ou como melhor o disse Sócrates, quando tocava flauta enquanto lhe preparavam a cicuta: “para saber esta ária antes de morrer”. Não é derrota aprender e ser íntegro, e por isso não guardo ressentimentos, pois

na adversidade mais se aprende, e até de nós próprios. É junto desse gigante, que sempre tomei como mentor, que alguns, minúsculos herdeiros dos que o julgaram, agitam seus currícula. Encolhem-se.

Na hora da despedida, agradeço aos Mestres que tive nesta casa, que já não é um lar4, tão-pouco é um lupanar, citando um dos maiores, que foi Luís de Almeida Alves, que lamentava vivermos «num país onde parece tudo orientado para deitar abaixo quem quer que se distinga por estar a tentar um rumo inovador de trabalho››5. Os Mestres têm disto, filhamo-lhes as palavras, mas nem sempre se entende logo.

Eis como consegui levar este trabalho a termo, sendo certo que “os cautelosos

calificam com mentidos nomes manifestas virtudes; e é mui dificultoso o caminho de acertar aonde o valor e o valer não andam juntos”6:

Viste já como o navio, apesar da névoa escura, nem perde o rumo, nem fio,

mas, entre o mor desvario, a agulha o rege segura?

Os sabedores antigos tiveram para si todos que, nos asos e nos perigos, quanta casta há de enemigos, de valor há tantos modos.7

vi

ID. Francisco Manuel de Melo, Cartas: A Jorge da Câmara, em resposta de outra., Poesias Escolhidas, Editorial Verbo, 1969, p. 75.

2Job, 10. Cito, actualizando a ortografia, a suculenta edição de Fr. Francisco de Jesus Maria Sarmento, Historia Bíblica, TOM. XVII, Do Livro de Job, Lisboa, 1784, p.58-9.

3Padre Manuel Rodrigues (Congregação do Oratório), treslado de P. Manuel Bemardes, Nova Floresta, V, Lisboa, 1728, p. 301, actualizei a ortografia.

4A. Mira Fernandes: Bodas de Prata, Técnica 85, de Maio de 1937: «O Instituto Superior

Técnico tem hoje uma casa; oxalá continue a ser um lar››.

5Luís de Almeida Alves, Falecido (1995) Professor Catedrático Jubilado do IST, Director do IST de 1958 a 1970: Boletim Informativo IST,N°125,l990, p.l2. Guardo saborosa memória das suas lições de Tecnologia Química.

6Sebastião César de Meneses I Carta resposta do Bispo Conde (Sebastião César de Meneses) a Dom Francisco Manuel de Melo, ms. 602 da Biblioteca da Universidade de Coimbra, editada por Maria da Conceição Morais Sarmento, em D. Francisco Manuel de Melo, Cartas Familiares, Imprensa Nacional, 1981, p. 24-25 e 617-621. Embora Sarmento não pareça

totalmente certa da atribuição a Sebastião César (p. 617 :“Penso que este bispo é Sebastião César de Meneses”), a mesma pode ser abonada pelo magnífico discurso, cotejo biográfico, e teor da carta de Dom Francisco que lhe deu origem. Veja-se a propósito: Camilo Castelo Brancos e Barbosa Machadog.

7D. Francisco Manuel de Melo: Caita V, A Francisco de Sousa Coutinho, As Segundas Três Musas, Edição de António Correia de Oliveira, Zaedição, Livraria Clássica Editora, 1966, p.

162.

8Camilo Castelo Branco: Lucta de Gigantes (1865), 3” ed., Companhia Editora de Publicações Illustradas, Lisboa. Não serão demais os encómios a esta obra de Camilo, sempre actual, por serem os poitugueses permanentes no seu carácter.

9Diogo Barbosa Machado: Bibliotheca Lusitana, Tomo III, 1752, Lisboa, p. 682-3.

vii

Dedicatória Este meu trabalho é dedicado aos Mestres que prezam mais a ciência e o seu método, do que interesses corporativos ou pessoais. Não alimentam vaidades feridas, nem ódios inconfessados dissimulados por perversas hipocrisias paternalistas. Não agasalham incompetências prepotentes. Não se ensopam em gabarolices; a si próprios, e aos pares que lhes possam favorecer a carreira. Subiram por degraus, e não por patamares ao puxa-empurra. Assumem responsabilidades. Fazem discípulos. Inculcam neles estes valores. Respeitam-nos e dão-se ao respeito. Escutam-nos e são escutados.

São tolerantes e solidários. Estimam a criatividade;

não a subserviência. Usam de

discemimento; não de ameaças. Aprendem ensinando. Avaliam avaliando-se. Formam formando-se. Apontam caminhos caminhando. Trabalham por amor à sua arte. Não tendo um posto, têm missão. Bem hajam!

Vlll

Índice Resumo Palavras Chave Abstract Keywords

Agradecimentos Dedicatória

índice

Lista de Símbolos Tem por Epígrafe um Serventês de Martin Moxa

Capítulo 1.Apresentação do Problema

Capítulo 2.Modelação Matemática e Simulação Computacional de um Fermentador Aeróbio 2.1 .Introdução 2.2.Interpretação (pelo observador) dos dados experimentais disponibilizados 2.2.1 .Conversão da Concentração de Oxigénio Dissolvido de Percentagem da Saturação para Molaridade 2.2.2.Solubilidade do Oxigénio em Solução Aquosa

2.2.3.Transferência de Massa Gás-Líquido de Oxigénio 2.2.4.Potência Total e Suas Componentes: Agitação, Compressão e Refrigeração 2.3 .Simulação Computacional de um Fermentador Aeróbio 2.3.1.Balanços de Massa à Fase Gasosa 2.3.2.Transferência de Massa Gás-Líquido: Molaridade e Percentagem da Saturação em Oxigénio 2.3.3.Simulação de Ruído e Atraso na Resposta na Concentração de Oxigénio Dissolvido e/ou no Gás â Saída 2.3.4.Discretização das Variáveis Mensuráveis por Via dos Limites Impostos pela Resolução Instrumental

ii ii iii iii iv vii

viii xi

xvi

1

9 10 11 11 13 16 19 21 21 22 24 25

Capítulo 3.Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

27

3. 1 .Introdução

28 33 33 37 41 42 45 47

3.2.Estratégia de Adaptação de Parâmetros da Correlação de K¿a 3.2.1 .Algoritmo Adaptativo Proposto 3.2.2.Excitação das Variáveis Caudal de Ar e Velocidade de Agitação 3.3.Algoritmo de Optimização Proposto por Alves e Colaboradores (1995) 3.3.1 .Algoritmo Generalizado de Optimização Energética de Fermentadores 3.3.2.Transferência de Oxigénio Gás-Líquido para o Caudal de ar Óptimo 3.4.Algoritmo Bivariável de Controlo de Fermentadores

3.5.Associação Cooperativa entre os Algoritmos de Adaptação, Optimização e Controlo 3.5.1 .Associação entre Optimização e Adaptação 3.5.2.Associação entre Controlo Adaptativo Bivariável e Adaptação de Parâmetros

3.5.3.Associação entre Controlo Adaptativo Bivariável e Optimização

Capítulo 4.Resultados de Ensaios Simulados e sua Interpretação

4. 1 .Introdução 4.2.Ensaios de Adaptação de Parâmetros da Correlação de K¿a Utilizando Excitação Sinusoidal 4.2.1.Efeito da Ainplitude de Excitação 4.2.2.Efeito do Atraso nas Variáveis Observadas 4.2.3.Efeito do Período de Excitação 4.2.4.Efeito do Desfasamento entre as Perturbações no Caudal de Ar e na Velocidade

4.2.5.Efeito do Ruído dos Dados Experimentais 4.2.6.Efeito do Factor de Esquecimento 4.2.7.Efeito de uma Perturbação no Valor de OUR 4.2.8.Efeito do Erro Inicial das Estimativas dos Parâmetros 4.2.9.Efeito de uma Perturbação nos Valores Reais dos Parâmetros da Correlação de K¿a 4.2.lO.Efeito da Utilização de Banda Morta de K¿a 4.2.1 1 .Efeito da Utilização de Factor de Esquecimento numa Adaptação Perturbada 4.2.12.Efeito da Utilização Conjugada de Banda Morta de K¿a e de Factor de

Esquecimento 4.3.Ensaios de Optimização

4.3.1 .Efeito do Atraso na Variável Observada 4.3.2.Efeito do Ruído da Variável Observada 4.4.Ensaios de Controlo

4.4.1.Controlo em Modo PID 4.4.2.Ensaios de Controlo Utilizando o Algoritmo Adaptativo Bivariável Proposto por Alves e Colaboradores (1995) 4.4.3.Aná1ise Comparativa dos Ensaios de Controlo Realizados

Capítulo 5 Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro 5.1 .Sumário de Conclusões 5.l.l.Conclusões Relativas à Adaptação de Parâmetros da Correlação de K¿a 5.1 .2.Conclusões Relativas aos Ensaios de Optimização 5.1.3.Conclusões Relativas aos Ensaios de Controlo 5.2.Sugestões de Trabalho Futuro 5.2.1.Sugestões Relativas à Adaptação de Parâmetros da Correlação de K¿a 5.2.2.Sugestões Relativas aos Ensaios de Optimização

X

5.2.3.Sugestões Relativas aos Ensaios de Controlo 5.2.4.Sugestões Relativas à Optimização Adaptativa e ao Controlo Adaptativo 5.2.5.Sugestões Relativas ao Controlo Optimizado 5.2.6.Sugestões Relativas ao Controlo Optimizado Adaptativo

119 120 122 122

Referências Bibliográficas

124

Apêndices

127

Apêndice I.Balanços de Massa em Estado Estacionário à Fase Gasosa Apêndice II.Cálculos Preliminares e Psicrométricos

128 129

Apêndice III.Representação Gráfica das Curvas de Iso-Potência Versus

Iso-Velocidade Apêndice IV.Controlo Proporcional, Integral e Derivativo ( PID ) da Velocidade ou do Caudal de Ar

Apêndice V.Hardware de Aquisição de Dados Experimentais e de Actuação sobre as Variáveis Manipuladas Apêndice VI.Software de Aquisição de Dados Experimentais e de Actuação sobre as Variáveis Manipuladas Apêndice VII.Software de Processamento Algoritmico e de Interacção com o Utilizador

Anexos

134 135

136 140 143

146

Anexo I.Constantes Físicas 147 Anexo II.Constantes de Correlações Termodinâmicas 147 Anexo III.Parâmetros do Sistema Controlador/Optimizador e Dados Experimentais Introduzidos pelo Operador 148 Parâmetros Biológicos

148

Parâmetros Geométricos

148

Parâmetros Operatórios

148

Dados Experimentais Introduzidos pelo Operador Dados Relativos à Presença de Electrólitos e/ou Solutos Orgânicos Parâmetros Computacionais

148 149 149

Anexo IV.Parâmetros do Fermentador Simulado

150

Xl

Lista de Símbolos %H,, Percentagem de humidade relativa do ar na base do ferinentador referida à pressão padrão p° %H, Percentagem de humidade relativa do ar no topo do fermentador referida à pressão padrão p° A Área de secção recta do fermentador (m2) Az Constante da correlação de F; AM, Constante da correlação de Wilhelm et al. para a fracção molar de oxigénio dissolvido em água Bz Constante da correlação de F, 3,., Constante da correlação de Wilhelm et al. para a fracção molar de oxigénio dissolvido em água 1 CB Molaridade do oxigénio à pressão p° de O2 mas incluindo a pressão de vapor do solvente (mol m`3) CBW Molaridade definida como CB mas para o solvente água pura (mol m`3) CW,-, Concentração molar crítica do oxigénio dissolvido (mol m`3) C'¡, Concentração molar de oxigénio dissolvido em equilíbrio com a fase gasosa no topo do fermentador (mol m`3) C1

Concentração molar de oxigénio dissolvido em equilíbrio com a fase gasosa no

topo do fermentador (mol m`3) C

Molaridade de Oz em solução (mol m`3)

C° CQ, cj c,¡ Qp Cp C,

Molaridade de Oz em solução referida à pressão p° de ar (mol m`3) Molaridade de Oz em água pura referida à pressão p° de oxigénio (mol m`3) Concentração molar do ião j (mol dm`3) Concentração do soluto orgânico i(kg m`3) Ponto de ajuste da concentração molar de oxigénio dissolvido (mole m`3) Capacidade calorífica a pressão constante (J kg`1 K4) Capacidade calorífica a volume constante (J kg* K4)

Cm,

Constante da correlação de Wilhelm et al. para a fracção molar de oxigénio

D D, Dm, f

(Q`T|6'¬

I-(,,,s H¡°

dissolvido em água Diâmetro do agitador (m) Diâmetro do tanque (m) Constante da correlação de Wilhelm et al. para a fracção molar de oxigénio dissolvido em água Factor de conversão do caudal de ar padrão para a pressão e temperatura (da fase gasosa) médias no femientador Factor de conversão do caudal de ar padrão para pressão p, e temperatura Ta Coeficiente definido pela razão entre l\(,g e /\(, Aceleração gravítica padrão (m s`2)

Humidade absoluta do ar (kgH2O / kg ar seco) Constante da correlação de Shumpe et al. para o efeito da presença de electrólitos sobre a solubilidade de Oz a 25°C (mol`1 dm3 ) HL Altura da coluna de líquido na ausência de arej amento e agitação (m) HM Constante de Henry em solução (Pa m3 mol`l) HMW Constante de Henry em água pura (Pa m3 mol`l) k Parâmetro da correlação de /ía referido à temperatura de 20°C

X11

k'

Parâmetro da correlação de /ía referido à temperatura do líquido

/ía

Ganho do caudal de ar em controlo PID (% / %)

/ía

Coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio (s`1)

5

lí,

Constante da correlação de Sechenov para o efeito da presença solutos orgânicos

sobre a solubilidade de Oz (m3 kg`1 ) L In log m

Constante usada na estimativa de parâmetros Logaritmo neperiano Logaritmo decimal Parâmetro expoente do termo de potência na correlação de /ía

M. Matriz identidade (2x2) MWco¿ Massa molecular do COz ( kg mol") MVI/si Massa molecular do solvente, água (kg mol`1) N Velocidade angular de rotação (Hz) I\l,,,× Velocidade angular máxima de rotação (Hz) n Parâmetro expoente do termo de caudal de ar na correlação de /ía Ncoz Taxa de transferência de COz do líquido para o gás (mol s`1) NHzo Taxa de transferência de HzO do líquido para o gás (mol s`l) NHz0' Caudal molar de água (mol s`l) n,~ Número de turbinas nc Factor multiplicativo da variância de uma distribuição estatística gaussiana truncada numa gama dada pelo produto da sua variância pelo factor Noz Taxa de transferência de Oz do gás para o líquido (mol s`l) N, Número de potência sem arej amento Npg Número de potência com arej amento Nsp Ponto de ajuste para a velocidade sob controlo (Hz) O2% Oxigénio dissolvido como percentagem da saturação com oxigénio à pressão . padrão p°

C)z°a"° Percentagem de saturação em oxigénio dissolvido corrigida para a pressão atmosférica padrão p°, usada em calibração 1 OTR Taxa de transferência de oxigénio da fase gasosa para a fase líquida (mol m`3 s' ) OUR Taxa de consumo de oxigénio (mol m`3 s`l) P

Matriz (2x2)

P0 Matriz diagonal (2x2) p° Pressão padrão (Nm`2) p/-izo Pressão parcial da água (Nm`2) p_,

Pressão atmosférica (N m`2)

pb R, pc R, /2,, pex,-, F5 PID Pm

Pressão na base do fermentador (N m`2) Potência de compressão (W) Pressão crítica da água (N m`2) Potência de expansão isotérmica (W) Potência removida por evaporação (W) Pressão à saída do compressor (N m`2) Potência de agitação (W) Controlo proporcional, integral e derivativo Potência gerada pelo metabolismo (W)

pn pq

Pressão média no fermentador (N m`2) Pressão parcial de Oz na saturação à pressão de ar padrão p°

xiii

PID

Potência removida por refrigeração (W) Pressão de vapor da água à temperatura de termómetro seco (Nm`2)

Pi

Potência eléctrica total (W)

Pt

Pressão no topo do fermentador (N m`2) Pressão de vapor de solvente (Nm`2)

pvp

Qb

Qi Qf Qu.-i×

Qip Qp% QO

Q%

R I'COz /:šhaft

Tá 75 Té ba la

54 -¡_! eaza ¬V VO

Caudal de ar padrão na base do fermentador, definido para a pressão e temperatura padrão (m3 s'1) Caudal de ar padrão no topo do fermentador, definido para a pressão e temperatura padrão (m3 s`1) Caudal de ar à pressão e temperatura médias no fermentador (m3 s`l) Caudal de ar máximo na entrada referido à pressão e temperatura padrão (m3 s`l) Ponto de ajuste para o caudal sob controlo (m3 s`1) Ponto de ajuste para o caudal sob controlo como percentagem do valor máximo Caudal de ar seco à pressão e temperatura padrão (m3 s`1) Caudal de ar como percentagem do valor máximo

Constante dos gases perfeitos (J mol`l K4) Taxa de geração de CO; (kg m`3 s`1) Razão de volume imerso ocupado pelo eixo e turbinas Temperatura do ar ambiente (K) Temperatura do ar a jusante do compressor (K) Temperatura crítica da água (K) Tempo derivativo do caudal de ar em controlo PID (s)

Tempo integral do caudal de ar em controlo PID (s) Temperatura do líquido (°C) Temperatura do líquido (K) Temperatura média da fase gasosa (K) Temperatura reduzida da água Temperatura padrão (K) Volume de líquido na ausência de arej amento (m3) Volume molar padrão de um gás perfeito (m3)

VPA Constante da correlação de Wagner para a pressão de vapor de água VPB Constante da correlação de Wagner para a pressão de vapor de água VPC Constante da correlação de Wagner para a pressão de vapor de água VPD Constante da correlação de Wagner para a pressão de vapor de água X

Parâmetro da correlação de Wagner para a pressão de vapor de água

x0z%« Fracção molar de Oz em equilíbrio com água pura à pressão parcial padrão de Oz , ,VHz0b ,VHz0i

ye ° yOzb YOzi Zi

/5' Fracçao mo-ar de HzO na fase gasosa na base do fermentador Fracçao mo_ar de H2O na fase gasosa no topo do fermentador Fracçao mo_ar de Oz em ar seco Fracção molar de O2 na fase gasosa na base do fermentador

Fracção molar de Oz na fase gasosa no topo do fermentador Carga do ião j

xiv

Letras gregas 051 az as ai _ aH./

Parâmetro definido no texto Parâmetro definido no texto Parâmetro definido no texto Parâmetro definido no texto Coeficiente angular da variação da constante da correlação de Shumpe et al., para o efeito da presença de electrólitos sobre a solubilidade de Oz , com a temperatura

(m0i'1<im3 °c)

aw

ao

as

Coeficiente de Bunsen: volume de gás, reduzido a p° e T°, por unidade de volume de solvente à pressão parcial de gás p ° mas incluindo a pressão de vapor do solvente (água como solvente) Coeficiente de Bunsen definido como aw mas tomando solução aquosa de substâncias orgânicas como solvente Coeficiente de Bunsen definido como aw mas tomando solução aquosa de electrólitos como solvente

Coeficiente de Bunsen definido como aw mas tomando solução aquosa de electrólitos e de substâncias orgânicas como solvente Amplitude percentual de excitação do caudal de ar definida relativamente ao valor Aair que esta variável manipulada assumiria quando não perturbada Aspeed Amplitude percentual de excitação da velocidade de agitação definida relativamente ao valor que esta variável manipulada assumiria quando não perturbada Margem de segurança para o oxigénio dissolvido (mole m`3) A Parâmetro definido no texto (Apêndice I) B1 /5'z Parâmetro definido no texto (Apêndice I) ACD Gradienšie de molaridade para a transferência de Oz na base do ferrnentador asc

(mol m' )

AC", Gradienše médio de molaridade para a transferência de Oz no fermentador (mol m` ) AC, Gradienše de molaridade para a transferência de O2 no topo do fennentador (mol m' ) AQ Correcção percentual a aplicar à variável controlada caudal de ar, referido à pressão e temperatura padrão Desvio absoluto entre a concentração molar de oxigénio no ponto de ajuste C,,, e a 31' concentração efectiva para o período de controlo j (mol m`3) ED Erro derivativo (mol m`3 s`l) Erro integral (mol m`3 ) 8/ Erro da estimativa da fracção molar de Oz no gás â saída gy Razão C},/ C, para o ar 7 r0z Coeficiente de actividade do oxigénio Desfasamento entre as excitações sinusoidais aplicadas à velocidade de agitação e ¢ ao caudal de ar.

Fase da excitação sinusoidal aplicada ao caudal de ar (rad) ¢ai'r ¢speed Fase da excitação sinusoidal aplicada à velocidade de agitação (rad) Eficiência de compressão no Eficiência de agitação na 'if

Eficiência de refrigeração

XV

2300 À,

Calor latente de vaporização de água a 300K (J kg`l) Factor de esquecimento

Ã

Calor latente de vaporização de água à temperatura do líquido (J kg`l)

9 6 A9 pL p°

Tempo decorrido (s) Vector coluna (2) Vector coluna que traduz um termo correctivo a aplicar ao vector 6 (2) Massa específica do líquido (kg m`3) Massa específica do ar nas condições padrão (kg m`3)

2;, ta”

Período de tempo de adaptação (s) Período temporal da excitação aplicada ao caudal de ar (s)

Q 1,3 ts z

Período de tempo de controlo (s) Período de tempo de aquisição de dados, ou de amostragem (s) Constante de tempo característica de atraso de primeira ordem (s) Atraso na resposta da sonda de Oz na fase gasosa (s)

1

Atraso na resposta da sonda de Oz na fase líquida (s)

1;, Período de tempo de optimização (s) tS,,,.;.,.,,,Período temporal da excitação aplicada à velocidade (s) sobrescritos T r a

Matriz transposta Resolução instrumental fixada para dados experimentais obtidos por simulação numérica (número de casas decimais) Variância fixada para dados experimentais obtidos por simulação numérica

subscritos 0

Valor inicial de um parâmetro de uma correlação ajustado em tempo real a partir

b

Variável referida à base do fermentador

de dados experimentais c Valor de uma variável manipulada sujeita a controlo t Variável referida ao topo do fermentador meas Valor de uma variável calculado com base em dados experimentais adquiridos no tempo real (sem recurso a qualquer correlação) op Variável calculada em condições de optimização energética pred Valor de uma variável calculado com base numa correlação (obtida de dados experimentais pré-adquiridos) s

Variável usada na simulação de um fermentador

sp sti

Variável no ponto de ajuste Perturbação intencional (estímulo) de uma variável

XV

En muit' andando, cheguei a logar, u lealdade, nen manha, nen sen, nen crerezia non vejo preçar, nen pod' om' i de senhor gaar ren se non Ioar quanto Ih' i vir fazer, e Iousinhar e ren non Ihi dizer,

pero Ihi veja o sal semear.

E aquen ali, com' eu cheguei, chegar, sen mentir', e non tever mal por ben, quitar-s'á en, com' eu vi min quitar,

mais non com' end' eu vi quitar alguen: nen quen, nen como, non quero dizer;

e vi alhur quen mentiral seer non quer nen pode, nen bon prez Ieixar.

Mentr' ali foi, tal sonh' ôuvi a sonhar, muitas vezes; e no sonho vi quen?: vi a bubeI', e a cerzeta filhar

aa bubela a cresta que ten; e a cerzeta... o que quer dizer en com' a pôd' a bubela prender?l Este sonho, quë-no pode soltar?

Martin Moxa

Capítulo 1

Apresentação do Problema Dedicado a António Simões Lopes, Reitor da Universidade Técnica de Lisboa.

Os estudantes são a razão de ser da Universidade, o seu trabalho espelha o labor da instituição e dá garantias de futuro à própria Universidade, que tem de se renovar de forma permanente e que neles encontra a seiva do seu rejuvenescimento.1 António Simões Lopes

Será que as causas, identificadas e a identificar, do mau desempenho da universidade serão de imputar fundamentalmente ao aluno que a universidade vem podendo escolher nos últimos anos ou, pelo menos, vem podendo intervir significativamente na sua selecção? 2 António Simões Lopes

Futuro ano V,N.°S 38/39, Março/Abril 1992, p.12.

2 As Questões Pedagógicas, Jomal Oficial da Universidade Técnica de Lisboa, ano 2,N.°1, Abril 1992, p.1.

Apresentação do Problema

2

Capítulo 1 Apresentação do Problema A optimização energética de fermentadores constitui um objectivo essencial da prática industrial, quer na fase de projecto de novos fermentadores, quer na prática operatória de fennentadores já implantados. Contrariamente ao que sucede com a optimização geométrica, característica da fase de projecto, o estudo da optimização operatória tem sido negligenciado até recentemente. Estudos recentes neste dominio foram apresentados por Singh(l988) e Singh e colabs. (1990). Estes autores propuseram como função objectivo a maximizar, a razão entre a taxa de oxigénio transferida da fase gasosa para a fase líquida (OTR) e a potência total utilizada para promover essa transferência (potência de agitação e potência de expansão da fase gasosa). Recorrem ao método simplex para efectuar a optimização. Shields e Kao (1994) propuseram um algoritmo alternativo de optimização e controlo. Este algoritmo minimiza a potência total recorrendo a pesquisa de Fibonacci. Ambos os algoritmos prosseguem de forma iterativa, requerendo um intervalo de tempo significativo para convergirem para uma solução aceitável, perante o critério de convergência seleccionado.

Alves e colabs. (1995), propuseram um algoritmo alternativo que pretende realizar

uma optimização inteiramente estrutural das condições operatórias, com base exclusiva na estrutura matemática do modelo de referência, a que recorrem para representar o fermentador real, cujo funcionamento pretendem optimizar. O algoritmo referido associa optimização e controlo assumindo a validade do modelo de mistura gasosa de não depleção. Neste trabalho o algoritmo agora referido será generalizado, com vista a poder ser utilizado com um modelo de mistura gasosa capaz de tomar em consideração a contribuição do caudal de ar para a manutenção de um dado gradiente de oxigénio na fase líquida, responsável pela transferência de massa gás-líquido. Trata-se do modelo de fluxo-pistão. Será desenvolvido neste trabalho um método de adaptação dos parâmetros da correlação de KLa no decurso da fermentação, necessário para conferir ao algoritmo anteriormente referido a capacidade de se adaptar às condições reais do meio fennentativo, necessariamente evolutivas.

Apresentação do Problema

3

O objectivo deste trabalho consiste na generalização e na optimização das condições de aplicação do algoritmo integrado de optimização energética e de controlo de oxigénio em fermentadores, acima referido. Assume-se a disponibilidade de dados

experimentais relativos à molaridade de oxigénio dissolvido, e à fracção molar de oxigénio no topo do fermentador, e de dados relativos à potência de agitação (através de medidas do torque do eixo de agitação). São manipuladas a velocidade de agitação e o caudal de ar.

O estudo do algoritmo integrado acima referido começou pela sua separação nos

componentes que o integram: optimização e controlo. O algoritmo de optimização encontrava-se já desenvolvido para o modelo de mistura gasosa de não-depleção (Alves e Vasconcelos, 1996), tendo sido agora generalizado para um modelo capaz de tomar em consideração a depleção de oxigénio (fluxo-pistão). Desta maneira, o objectivo de optimização energética poderá ser atingido através de reduções de caudal de ar, sem que tal facto afecte a validade do modelo de mistura gasosa empregue. Foi possível deduzir um algoritmo de controlo de fermentadores sugerido em Alves e colabs. (1995). Este

algoritmo foi do mesmo modo generalizado para o modelo de mistura gasosa fluxo-pistão.

Dado que os algoritmos de controlo e de optimização manifestavam um claro potencial adaptativo, por serem parametrizados pelos parâmetros da usual correlação de KLa, foi implementada uma estratégia de adaptação de parâmetros desta correlação. A adaptação de parâmetros decorreu com base no algoritmo recursivo dos mínimos quadrados, com factor de esquecimento (Astrom e Bjom,l990). Deste modo a estratégia de controlo e optimização de fermentadores, estudada neste trabalho, torna-se adaptativa relativamente à evolução temporal das propriedades do meio fermentativo. Integra assim três componentes (optimização, controlo e adaptação), cada um dos quais foi objecto de um estudo de implementação próprio. A integração destes componentes requer um estudo cuidado de estabilidade, dado que o seu acoplamento gera condições de

instabilidade. Foi definida uma estratégia integracional dos algoritmos de adaptação, controlo e optimização, capaz de ultrapassar esta dificuldade.

Apresentação do Problema

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Foi efectuada uma simulação computacional dinâmica de um fermentador, com capacidade de simulação de ruído e atraso, relativamente aos dados experimentais considerados. Técnicas de amostragem e de filtragem de dados experimentais foram

igualmente implementadas. Este fermentador, simulado numericamente, constitui um sistema autónomo, com capacidade de interacção com o sistema que efectua o seu controlo e optimização adaptativos. A interacção faz-se através da aquisição de dados e

da manipulação de variáveis. O sistema de controlo e optimização adaptativo pode altemativamente ser utilizado para controlar e optimizar um fermentador real, tendo sido implementada uma estratégia de aquisição de dados experimentais reais, e de manipulação de variáveis, com esse fim.

O ambiente informático original, desenvolvido neste trabalho, apresenta caracteristicas desenvolvidas de acessibilidade ao utilizador: programação visual de

algoritmos e fluxo de informação, capacidade de iteração com um supervisor humano no decorrer da fermentação, adaptabilidade da programação efectuada, facilidade de parametrização inicial e de reparametrização no decorrer da fermentação, estruturação modular com diferentes níveis de organização, disponibilização de informação gráfica em tempo real. A programação é extremamente acessível e foi efectuada essencialmente em Microsoft Excel/Visual Basic. O ambiente Windows facilitou a sua integração, em co-corrente, com software de aquisição de dados e de manipulação de variáveis configurado para esse fim. A utilização para fins análogos destas aplicações informáticas tinha já anteriormente sido conseguida com êxito (Menezes, 1996; Menezes e colaboradores, 1994).

É suposição essencial do modelo matemático que representa o fermentador considerado neste trabalho, não haver variações significativas do volume do caldo

fermentativo, nem variações significativas entre as concentrações de oxigénio e de dióxido de carbono nas correntes líquidas de alimentação e descarga do fermentador.

Trata-se porém de uma suposição que poderá ser facilmente levantada, se admitirmos a disponibilidade de medidas ou de estimativas das referidas concentrações, assim como do nível de líquido. Bastará nestas circunstâncias considerar os balanços de massa de oxigénio e de dióxido de carbono na fase líquida.

Apresentação do Problema

5

A optimização energética do fermentador, será efectuada tomando como função objectivo a potência eléctrica, a minimizar. A potência eléctrica é considerada como o

somatório de três contribuições distintas: as potências eléctricas de agitação, de compressão, e de refrigeração. A optimização energética obedece à restrição imposta pelo ponto de ajuste desejado para a molaridade de oxigénio dissolvido.

Considere-se um sistema designado como optimizador, responsável pelo processo de optimização energética (Figura 1.1). O optimizador dispõe de um modelo matemático de referência, representando o fermentador real sujeito ao processo de optimização. Este modelo incide apenas nos aspectos relevantes do ponto de vista da optimização. Do recurso ao modelo de referência decorre a dispensa da necessidade de dispor de medidas directas das potências eléctricas dos componentes da função objectivo. O mesmo modelo permitirá efectuar uma optimização estrutural do fermentador real. Esta optimização será efectuada mediante a observação de uma

variável auxiliar: a fracção molar de oxigénio no topo do fermentador. O optimizador dispõe da capacidade de manipular a velocidade de agitação e o caudal de ar, de acordo com os cálculos efectuados. Os parâmetros da correlação de KLa serão, numa aplicação prática, estimados no decorrer da fermentação. Assim o optimizador dispõe da capacidade de se adaptar à evolução das propriedades do caldo fermentativo (optimização adaptativa).

parâmetros da correlação de K|_a

\ fracção molar de

Optimizadør

O2 no topo

adaptativo

velocidade de agitação caudal de ar

Fermentador ‹

Figura 1.1 Optimização adaptativa.

A optimização energética do fermentador será acompanhada de uma acção de controlo. O algoritmo de controlo desenvolvido, tem como objectivo a aproximação da

Apresentação do Problema

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molaridade de oxigénio dissolvido ao seu ponto de ajuste, recebendo informação retroactiva sobre esta variável. Designa-se por controlador o sistema responsável pelo processo de controlo. O controlador dispõe de duas variáveis manipuladas, velocidade de agitação e caudal de ar, dizendo-se por isso bivariável. Os expoentes da correlação de KLa serão, numa aplicação prática, estimados no decorrer da fermentação. Assim o controlador dispõe da capacidade de se adaptar à evolução das propriedades do caldo fermentativo. Deste modo o algoritmo de controlo poderá ser designado como

adaptativo bivariável (Figura 1.2).

9XP09nÍ9S da correlação de K¿a

ponto de ajuste da molaridade de Oz dissolvido

_ _ _ _ ponto de ajuste da velocidade de agltaçao

velocidade de agitaçãø

Controlador ponto de ajuste do caudal de ar

aClap'ta'[ÍVO

caudal da ar

bivariável molaridade de fracção molar de Oz no topo

O2 Clssolvldo

Fermentador <

Y

v

Figura 1.2 Controlo adaptativo bivariável.

Uma altemativa ao algoritmo de controlo bivariável acima referido, que será objecto de estudo neste trabalho, consiste no tradicional algoritmo PID (proporcional, integral e diferencial), habitualmente utilizado na prática fermentativa. Industrialmente prefere-se em geral o caudal de ar como variável manipulada, enquanto que laboratorialmente dá-se habitualmente preferência à velocidade de agitação. O algoritmo PID será utilizado como base de referência para o estudo quantitativo da eficiência do algoritmo de controlo bivariável. Neste trabalho deu-se preferência à manipulação do caudal de ar (Figura 1.3).

Para que o optimizador e o controlador disponham de capacidade adaptativa, face à evolução dinâmica das propriedades do meio fermentativo, é necessário dispor de parâmetros adaptados da correlação de KLa. A adaptação de parâmetros decorre com

Apresentação do Problema

7

base no algoritmo recursivo dos mínimos quadrados, com factor de esquecimento.

Designamos por adaptador o sistema

responsável pelo processo de adaptação de

parâmetros (Figura 1.4). ponto de ajuste da

ajuste de ganhø prøpørciønal.

møiaúdaâe de oz dissolvido

diferencial e integral

ponto de ajuste do caudal de ar

a1g9ritm9 PID

caudal de ar

molaridade de Oz dissolvido

.

.

velocidade de agitação fixada

Figura 1.3 Controlo PID do fermentador com manipulação do caudal de ar. estimativas iniciais dos parâmetros da correlação de K¿a e factor de esquecimento

p‹'=lfâm€Íf0S da COff€12IÇãO (16 /(Lã Í

tgm Qfat fa

p

u

Caudal (16 af

Adaptador

potência de

da

agltação

parâmetros

fracção molar de Oz no topo

ponto de ajuste do

molaridade de Oz dissolvido

ponto de ajuste da Veløcidade de agitaçãø

Fermentador

Figura 1.4 Adaptação de parâmetros da correlação de KLa (a observação da potência de agitação poderá ser substituída pela observação da velocidade de agitação).

Os comportamentos do adaptador, do optimizador e do controlador serão objecto de análise individualizada, num ambiente de fermentação simulada, com capacidade de geração de ruído e atrasos. A análise integrada do comportamento destes sistemas não será efectuada neste trabalho, a não ser ao nível da metodologia sugerida para futuros desenvolvimentos do presente estudo. A integração dos sistemas (adaptador, optimizador e controlador) obedece ao esquema representado na Figura 1.5.

Designamos por controlo optimizado adaptativo o resultado final de tal integração.

Apresentação do Problema

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Será conveniente que se efectuem ensaios de adaptação, controlo e optimização, em condições de modelação física simulando o caldo fermentativo, e em fennentações reais. Por esta razão desenvolveram-se técnicas adequadas para permitir a aquisição dos dados experimentais requeridos, e a manipulação do caudal de ar e da velocidade de

agitação, em fermentações reais.

parâmetros da correlação de K¿a

Adaptador de parâmetros

expøemes da correlação de K¿a ponto ajuste el deidad deda V

Optimizador d t _.

OC

_ 6 ag1Í‹'=1Çã0

3 ap 3 W0

Controlador adaptativo bivariável

ponto de ajuste da molaridade de Oz dissolvido ve 1 ocidade de t ~ agl açao

caudal de ar

ponto de ajuste do caudal de ar molaridade de Oz dissolvido

Fermentador

Figura 1.5 Controlo adaptativo optimizado de fermentadores,

v

Capítulo 2

Modelação Matemática e Simulação Computacional de um Fermentador Aeróbio Dedicado a Alfredo Bensaúde, Fundador e primeiro Director do IST.

Ter sempre presente que se comete um verdadeiro crime contra o país, quando se sacrifica o ensino e os alunos

a quaisquer conveniências dos professores ou outras. (...) os professores devem ter devoção pelo seu mister e vivo interesse pelo futuro dos seus discípulos.1

Lemas de Bensaúde: 1.° Porque se trata de uma Escola de Engenharia,

que os professores sejam engenheiros, mas que façam engenharia.

2.° Que os professores visto que o säo, ensinem.2

1Alfredo Bensaúde (1922). Notas histórico-pedagógicas sobre o Instituto Superior Técnico, Imprensa Nacional, Lisboa. Também publicadas na Técnica (AEIST), n.° 170, 1944; Edição de Técnica 1949; parcialmente republicadas em Técnica N.°1/2, 1986.

Alfredo Bensaúde, Publicado no Boletim Inforrnativo Nacional da Ordem dos Engenheiros, N.°84, Maio 1985,p.21.

Modelação Matemática e Simulação Computacional

10

Capítulo 2 Modelação Matemática e Simulação Computacional de um Fermentador Aeróbio 2.l.Introdução A modelação de um ferrnentador aeróbio é estável na escala de tempo do período de tempo utilizado para controlo. Com efeito, nesta escala de tempo, são estáveis as variáveis controladas. Dado o interesse em obter uma situação de controlo estável, o período de tempo de controle será suficientemente amplo, se comparado com os tempos característicos de relaxação do sistema controlado. Estes tempos característicos serão os que caracterizam o equilíbrio termodinâmico local bolha-líquido (solubilidade do oxigénio e transferência de massa interna das bolhas), e a transferência de massa entre

as fases gasosa e líquida, globalmente consideradas. Por este motivo é possível recorrer a um modelo estacionário do fermentador, desprezando as contribuições transientes para os balanços de massa. Consideram-se pois estacionários, os perfis de concentração de oxigénio em ambas as fases, e admite-se a validade do modelo de mistura perfeita para a fase líquida. Admite-se a validade do modelo de mistura, na fase gasosa, de fluxo-pistão

Neste capítulo, a modelação matemática do fermentador será apresentada previlegiando dois diferentes pontos de vista. Apresentamos a modelação matemática que permite ao sistema observador do fermentador interpretar os dados experimentais disponibilizados, de acordo com as suas necessidades de cálculo (optimização e controlo adaptativos, e supervisão humana). A outra face da modelação matemática, relaciona-se com o ponto de vista do fermentador, sendo esta a modelação matemática utilizada na sua simulação numérica. Trata-se de dois sistemas distintos (observador e fermentador), a que correspondem diferentes perspectivas de modelação matemática. O fermentador simulado constitui um modelo numérico idealizado de um fermentador real, independente do observador, mas dispondo de capacidade de interacção com o

Modelação Matemática e Simulação Computacional

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utilizador. O modelo numérico apresenta um comportamento reprodutível em extremo, sendo possível atribuir-lhe variações bem definidas na taxa de consumo de oxigénio, OUR, , ou doutros parâmetros de interesse. A modelação efectuada neste trabalho admite serem conhecidas as constantes físicas e termodinâmicas dadas nos Anexos I e II, e os parâmetros dados nos Anexos III e IV. No Apêndice I deduzem-se equações de balanços de massa à fase gasosa usadas no presente trabalho.

2.2. Interpretação (pelo observador) dos dados experimentais disponibilizados Apresentamos as sequências de cálculo que permitem, ao sistema observador, efectuar a conversão da concentração de oxigénio dissolvido, de percentagem da saturação para molaridade (Secção 2.2.1), e obter uma correcção da molaridade para a presença de solutos (solubilidade do oxigénio em solução aquosa: Secção 2.2.2). O observador pretende ainda dispor de capacidade preditiva relativamente à transferência de massa gás-líquido de oxigénio, servindo-se para tal da usual correlação de Iía. Os valores de KLa assim obtidos designam-se por i¶a,,,ed. O observador dispõe da capacidade de estimar os parâmetros da correlação referida, no decorrer da fermentação (capacidade adaptativa). Para poder dispor desta capacidade adaptativa, necessitará de obter valores experimentais deste coeficiente, designados por Iíameas, obtidos com base na fracção molar na fase gasosa à saída do fermentador (Secção 2.2.3). O observador pretende ainda poder estimar a potência total e suas componentes: agitação, compressão e refrigeração

(Secção 2.2.4).

2.2.1.Conversão da Concentração de Oxigênio Dissolvido de Percentagem da Saturação para Molaridade O eléctrodo de oxigénio dissolvido poderá ser calibrado em ar a 100% de humidade relativa à pressão barométrica local, pa . Em altemativa poderá ser calibrado em água saturada de ar dissolvido igualmente à pressão barométrica local. Poderá igualmente ser calibrado no próprio meio fennentativo. Admite-se no estudo que se segue, que a calibração se efectua em água saturada de ar dissolvido à pressão barométrica local. Depois de calibrado o eléctrodo será posto em contacto com um meio

Modelação Matemática e Simulação Computacional

12

de composição variável. Os valores de calibração deverão ser, em primeiro lugar, corrigidos para a pressão atmosférica padrão p° (l0l325 Pa), obtendo-se como se segue o valor corrigido da percentagem de saturação usada na calibração, Oz °a”° (Ingold, sem

data):

Oz°a"° =pa/p°1oo°/O

(2-1)

Após a calibração o eléctrodo disponibiliza valores experimentais de percentagem de saturação em oxigénio atmosférico, referidos â pressão de ar padrão, 02%. Efectue-se a conversão destes dados, de percentagem de saturação para molaridade do oxigénio em solução à pressão de ar padrão, C ° ( mol m`3 ). HM é a constante de Henry (Pa m3 mol`1 ),

a obter segundo o método que descreveremos na Secção 2.1.2.

C° = poz /HM 02%/100

(2.2)

Na anterior equação poz representa a pressão parcial de oxigénio na saturação à

pressão de ar padrão p ° , correspondendo assim a uma percentagem de saturação em oxigénio de 100%. Interessa-nos todavia obter a molaridade de oxigénio em solução, C (mol m`3) à pressão média no ferrnentador pm :

C=C°pm/p°

(2.3)

A conversão de unidades exige prévio conhecimento de p0z , obtido tomando a

fracção molar de Oz em ar seco yQ° (0.209), e a pressão de vapor do solvente p,,,, à temperatura do líquido:

p0z=v0z°(p°-pvp)

(2.4)

Na equação anterior pode substituir-se p,,,_., , pela pressão de vapor de água à temperatura de termômetro seco no topo do fermentador ps, , por se tratar de uma quanti-

dade conhecida (Apêndice II), calculada a uma temperatura que, assumindo equilíbrio térmico, iguala a do líquido.

Modelação Matemática e Simulação Computacional

13

2.2.2.Solubilidade do Oxigênio em Solução Aquosa

Considere-se a presença de electrólitos e de solutos orgânicos em solução, e determine-se qual a respectiva contribuição para a solubilidade do oxigénio em solução

aquosa, relativamente ao valor da solubilidade para água pura. Pretendemos obter um valor corrigido da constante de Hem'y, dando conta desta contribuição.

É vantajoso, do ponto de vista das correlações a que recorreremos, considerar a definição de coeficiente de Bunsen (Battino e Clever,1966): volume de gás, no estado padrão (referido a p° e T° ), por unidade de volurne de solvente à pressão parcial de gás, p°, mas incluindo a pressão de vapor do solvente. No presente caso o gás a considerar é o oxigénio e, consoante o solvente, definem-se distintos coeficientes de Bunsen,

respectivamente aw para água pura, as para solução aquosa de electrólitos, ao para solução aquosa de substâncias orgânicas, e finalmente as., para uma solução aquosa de electrólitos e de substâncias orgânicas.

Decréscimo de solubilidade (saltíng out) provocado por electrólitos:

Recorre-se à correlação de Shumpe et al. (Shumpe,1985) para o decréscimo de solubilidade (salting out), provocado por electrólitos:

|‹›g‹‹zW fa. ›=2‹‹ H,-° + af” ‹r -25» /,~›

‹2.õ›

I¡=c¡z¡-2/2

(2.6)

Nesta correlação, c¡ representa a concentração molar (mol dm`3) de um ião genérico designado j, z¡ representa a sua carga, T, é a temperatura do líquido (°C), Hj° é uma constante da correlação e refere-se ao efeito do ião j sobre a solubilidade de Oz a 25°C (mol`1dm3), a”¡ representa o coeficiente angular da variação da referida constante com a temperatura (mol`ldm3 °C). O operador dispõe da opção de introduzir, no ambiente de cálculo, os correspondentes dados para os iões presentes no meio fermentativo.

Modelação Matemática e Simulação Computacional

14

Efeito da presença de solutos orgânicos sobre a solubilidade do oxigénio:

Recorre-se à correlação de Sechenov (Shumpe,l985) para o efeito da presença de solutos orgânicos sobre a solubilidade do oxigénio:

|og(aw/ ao )= 2( K)i (bi)

(2-7)

Na anterior correlação c,,- representa a concentração do soluto orgânico genérico designado I (kg m`3), K,,- é uma constante da correlação para o efeito da presença do

soluto orgânico I sobre a solubilidade de Oz (m3 kg`1), dispondo o operador da opção de introduzir estes dados no ambiente de cálculo, para os solutos orgânicos presentes no meio fermentativo.

Efeito combinado da presença de electrólitos e de solutos orgânicos:

Considera-se como sendo log-aditivo o efeito combinado da presença de electrólitos e de solutos orgânicos (Shumpe,l985):

|09(aw / ‹1sz›)=|09(‹1w /a$)+|09 (aw / ao)

(2.8)

O coeficiente de actividade do oxigénio na solução aquosa, eventualmente contendo electrólitos e

solutos orgânicos, pode então ser calculado a partir da

definição:

702 zaw /aso

O coeficiente de actividade do oxigénio na solução aquosa será posteriormente utilizado na correcção do valor da constante de Henry para a solução aquosa.

Cálculo do valor da constante de Henry para água pura:

, 3 Pretende-se conhecer o valor da constante de Henry para agua pura HMW (Pa m mol`l), para o que será necessário prévio cálculo da molaridade de Oz em água pura

Modelação Matemática e Simulação Computacional

15

referida â pressão padrão p° de oxigénio (mol m`3), C3. Sendo pL a massa específica da solução (kg m`3) e Mvlzét a massa molecular do solvente água (g mol`1), obtém-se:

c‹:,,=(pL/Mm/.zf)×o.<:,,

(2.1o)

HMW=p°/Cm

A equação (2.10) não é exacta, mas representa uma aproximação perfeitamente válida para gases pouco solúveis, tal como o oxigénio nas usuais condições. Nessa equação x0z?,, designa a fracção molar de Oz em equilíbrio com água pura, à temperatura YZ (K), e à pressão parcial padrão de Oz( Oz a p° ) , a calcular com base na correlação de Wilhelm et al (1977):

XOz'š~ =@XP(4~134/R(/*wa +BW0/ `/Z +CWz› |fl(7Z )+D«‹› 71))

(2-12)

Conhecido o valor da constante de Henry para água pura, e o coeficiente de actividade do oxigénio na solução aquosa, é será possível calcular o correspondente valor da constante de Henry em solução, conforme expomos seguidamente.

Cálculo da constante de Henry em solução:

Note-se que o coeficiente de actividade do oxigénio na solução aquosa ficou definido como uma razão de coeficientes de Bunsen (2.9). Se atenderrnos à definição

deste coeficiente, vemos que para soluções diluídas, o coeficiente de Bunsen aw poderá ser relacionado com a molaridade em água pura CBW (mol m`3) do oxigénio à pressão padrão de Oz , mas incluindo a contribuição da pressão de vapor do solvente vapor p,,,, (Nm`2). Do mesmo modo se relaciona ass com a molaridade em solução CB, definida analogamente a Qsw . Considerando o volume molar padrão de um gás perfeito V° (m3), tem-se:

aw =V° Czâw asc =V°C`B

(2-13) (2-14)

Modelação Matemática e Simulação Computacional

16

É possível relacionar CBW e CB com as constantes de Henry para água pura e para solução aCl uosa, resP ectivamente HMW e HM Pa m3 mol`l . Atendendo à expressão da lei de Henry (Prausnitz,l969), e considerando que a pressão de vapor do solvente pvp permanece inalterada, vem:

CBW =( po 'pvp)/ HMW

(2-15)

CB =( po 'pvp)/ HM

(2-16)

A aproximação referida corresponde a desprezar a contribuição do coeficiente de

actividade do solvente, o qual, uma vez conhecido o coeficiente de actividade do oxigénio, poderia ser facilmente obtido a partir de uma solução da equação de Gibbs-Duhem do tipo Margules dois-sufixos, para uma solução binária solvente-oxigénio (Carroll,l99l). A aproximação é todavia aceitável para gases pouco solúveis, e temperatura bastante inferior à temperatura normal de ebulição do solvente (â pressão padrão), de forma a que a contribuição da pressão de vapor do solvente pvp seja pequena se comparada com a pressão padrão, p°. Atendendo à definição do coeficiente de activi-

dade de Bunsen (2.13-4), obtemos sucessivamente:

r0z=Csw/CB

(2-17)

yo, =HM/HMW

(2.1s)

Esta é a equaçao (2.18) a utilizar no cálculo da constante de Hemy em solução.

2.2.3.Transferência de Massa Gás-Líquido de Oxigênio

Coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio previsto:

É utilizada a usual correlação de Kra (Cooper e colabs.,1944; Van°t Riet,1979), para o coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio (s`1), na obtenção de uma previsão do valor deste coeficiente, KLa,,,sd, com base em dados experimentais pré-

-adquiridos.

/‹'=/‹1.o24”f'2°>

(2.19)

Modelação Matemática e Simulação Computacional

KLapfeó= /<'l(f%/V)ml[(Qf/A)"]

17

(2-20)

Na anterior correlação A designa a área de secção recta do ferrnentador (m2), V o volume de líquido (m`3), k' , m e n são parâmetros da correlação de KLa, sendo o valor de

k referido à temperatura de 20°C, único parâmetro dependente desta variável. É designado por kz se referido à temperatura do líquido. A correcção de temperatura é a recomendada por American Public Health Association (1981). A potência adicionada por agitação (W) é designada por Fz, , e pode ser obtida a partir de medições de torque ou através de uma correlação do número de potência arejado (Secção 2.1.4), caso não seja

possível efectuar tais medições. Qf representa o caudal de ar referido à pressão e temperatura médias no fermentador (Apêndice II).

Coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio medido:

Para além do coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio, previsto de acordo com a correlação, l1a,,,ss, , previsão obtida com base em dados experimentais

pré-adquiridos, pretendemos dispor de um valor experimental deste coeficiente, obtido com base em dados experimentais adquiridos no tempo real, sem recurso portanto à correlação referida, designado por /Qamsss . A partir da minimização do somatório dos desvios quadráticos entre ambos os coeficientes, obtidos em sucessivos instantes, serão feitas novas estimativas para os parâmetros da correlação de Kra, no decurso da fermentação. A via de cálculo utilizada na obtenção de iíamsss será apresentada seguidamente.

Considere-se disponível um dado valor experimental para a fracção molar na fase gasosa à saída (topo) do fermentador yoz, . Considere-se ainda o balanço de massa ao oxigénio na fase gasosa, expresso de forma a que a taxa de transferência de Oz do gás para o líquido Na (mol s`l), seja obtida como variável dependente (2.23). No balanço referido recorre-se a variáveis auxiliares de cálculo fl1 e ,B2 as quais são independentes de

yozs . A dedução das equações que se seguem será apresentada no Apêndice I.

,31=Y0zz›Qz›(1-.VHz0)/V°

(2-21)

Modelação Matemática e Simulação Computacional

18

fiz=Qz,(1-yHz0z› )/V°+Nc0z

(2-22)

Noz=(fiz -vez/â›)/(1-yøzz-yHz0z)

(2-23)

Nas anteriores equações V° designa o volume molar padrão de um gás perfeito (m3), y/-/20,, e yHzo, representam respectivamente as fracções molares de H2O na fase gasosa na base e no topo do fermentador, e Ncoz a taxa de transferência de CO; da fase líquida para a fase gasosa (mol s`l). A partir de NQ obtém-se a taxa de transferência de oxigénio da fase gasosa para a fase líquida (mol m`3 s`l) calculada com base em dados experimentais adquiridos no tempo real:

OTR=NO¿/V

(2.24)

Calculem-se os gradientes de molaridade para a transferência de Oz , na base e no topo do fermentador, respectivamente AQ, e AC,. Representam C7, e C? as concentrações molares (mol m`3) de oxigénio dissolvido em equilíbrio com a fase gasosa, na base e no topo do ferrnentador, p, a pressão no topo do fermentador (Pa), e HMa constante de Hemy em solução (Pa m3 mol`l).

cz =yo2°ps/HM ci =yoz*p,/HM Acz = C1- C

«(225) 12.26) 12.27)

Act = cr, - c

12.281

O gradiente médio de molaridade para a transferência de O2 no fermentador, AC", , será calculado tomando em consideração o modelo de mistura gasosa de fluxo-pistão:

Ac., =(z1c, -Ac,,)/ moro, /Aos)

(2-29)

É conhecida a taxa de transferência de oxigénio da fase gasosa para a fase líquida OTR (2.24), de onde se obtém o correspondente coeficiente volumétrico de transferência

de oxigénio (medido experimentalmente), Iíamsss.

Modelação Matemática e Simulação Computacional /íamsss = OTR/ AC”,

19 (2.30)

2.2.4. Potência Total e Suas Componentes: Agitação, Compressão e Refrigeração

A potência de agitação F2, (W) pode ser obtida a partir de medições de torque ou através de correlações do número de potência arejado caso não seja possível efectuar tais medições (Luong e Voleski, 1979). Neste trabalho a correlação do número de potência arejado (ou de F, ) é a de Warrnoeskerken (Warrnoeskerken, 1986; Alves e

Vasconcelos, 1996), Equação (2.31):

E =›^F+(1-/l=) @XP(-5=Qf)

zmfi 32 .zm=n,~i\j,spL/\/305

(2-31)

meu (233)

Nas equações anteriores N representa a velocidade angular de rotação (Hz), Ns e Npg

respectivamente o número de potência sem e com arej amento, D o diâmetro do agitador (m), Q, o caudal de ar à pressão e temperatura médias no fermentador, n,- o número de turbinas e p,_ a massa específica do líquido (kg m`3). Az e Bz são parâmetros da correlação do número de potência com arejamento dependendo essencialmente da geometria do fermentador e agitador utilizados. A potência de compressão Fã (W) pode ser obtida considerando compressão adiabática desde a pressão atmosférica, ps , até à pressão à saída do compressor ps.×,-, , ambas em N m`2 :

01 =bPâl(Fleסr /Pa)(Y-1)/Y'1lYÍ(Y-1)

(2-34)

FÊ=061Qr›

(2-35)

Na anteriores equações Qb designa o caudal padrão de ar na base do fermentador (m`3s`l), 15 é um factor de conversão adimensional do caudal padrão de ar, para a pressão

atmosférica e temperatura do ar ambiente definido no Apêndice II, ;× designa a razão Q,/G, para o ar. A potência a remover por refrigeração P, , pode ser obtida considerando as diversas contribuições de potência gerada no meio fermentativo, ou seja potência gerada por agitação fz, potência gerada pelo metabolismo Pm , e potência gerada por expansão isotêrmica das bolhas gasosa em ascensão no fermentador, R, . A estas

Modelação Matemática e Simulação Computacional

20

contribuições positivas é necessário descontar a contribuição da potência dissipada por refrigeração evaporativa Psv , promovida pela humidificação do ar introduzido no fennentador. Considerando as diversas contribuições, obtém-se: Pf=Pm + Pg+Fà -Fèv

(2-36)

Necessitamos de conhecer, para o cálculo da potência a remover por refrigeração, a expressão que nos dá a potência gerada por expansão isotêrmica da fase gasosa, desde a pressão na base do fermentador pb, até à pressão no topo do fermentador p,, ambas em Nm`2. Sendo f um factor de conversão do caudal padrão de ar, para a pressão e temperatura da fase gasosa médias no fermentador definido no Apêndice II, tem-se:

R1 = a2Qb

612 =fPb |n(Pb/Fr)

(2-38)

Resta agora referir a expressão que nos dá a potência dissipada por refrigeração evaporativa Ps,, , para que o cálculo da potência a remover por refrigeração fique completo. Obtém-se representando por /1 o calor latente de vaporização de água à temperatura do meio fermentativo (J kg`l), obtido conforme descrito no Apêndice II, por p° a massa específica do ar nas condições padrão (kg m`3), e por H,,,s sz, e /-lsbs, , respectivamente a humidade absoluta do ar (kgHz0 /kg ar seco) na base e no topo do ferrnentador: FÊV =0<aQz›

(2-39)

as =/0° 4(Hâz›sr 'Hâbsbl

(2-49)

Conhecemos agora qual a potência a remover por refrigeração P, , tal como é dada pela equação (2.36). É então possível obter a potência eléctrica total P, (W), somando as contribuições da potência consumida em agitaçãoifz, , em compressão Ps e em refrigeração Pr.

Designando nc, ng, 17,, , respectivamente as eficiências de compressão, agitação

e refrigeração, obtém-se:

P.=Pg/fz,+Fâ/fz,+P./fz,

‹2.41›

Modelação Matemática e Simulação Computacional

21

2.3 Simulação Computacional de um Fermentador Aeróbio Apresentaremos seguidamente a modelação matemática do fermentador, de acordo com o objectivo de simulação de um fermentador. Este tipo de modelação é ocultado ao observador do fermentador, já que a finalidade é reproduzir a informação disponibilizada por um fermentador. A simulação efectuada neste trabalho admite como conhecidas as constantes fisicas e termodinâmicas dadas nos Anexos I e II, e os

parâmetros dados no Anexo IV. No Apêndice I deduzem-se equações de balanços de massa à fase gasosa usadas na presente simulação. A simulação recorre ao modelo fluxo-pistão para a mistura na fase gasosa, e providencia dados para a fracção molar de oxigénio na fase gasosa à saída do fermentador, molaridade de oxigénio no líquido, e potência de agitação. Dispõe-se de opções de atraso (de primeira ordem), e de ruído (gaussiano truncado), para as variáveis geradas anteriormente referidas.

A simulação do ferrnentador parte do conhecimento da taxa de consumo biológico de oxigénio, OURs , valor esse que é ocultado ao sistema observador. Este é um parâmetro biológico da fermentação considerada, dependente de condições ambientais.

A simulação efectuada admite opcionalmente a possibilidade de ocorrência de perturbações periódicas ou em degrau aplicadas a este valor.

2.3.1.Balanços de Massa à Fase Gasosa

O caudal de ar à pressão e temperatura padrão, ou simplesmente padrão, na base do ferrnentador é conhecido (variável manipulada). É conhecida igualmente a taxa de transferência de O2 do gás para o líquido (mol s`l), NOzs , Sendo OTRs a taxa de A

'

°

r

°

r

'

'

'I

transferencia de oxigenio da fase gasosa para a fase liquida (mol m 3 s ) fixada para o

simulador, e V o volume de líquido (m3).

OTRs = OURs

(2.42)

NOzs = OTRs V

(2.43)

Modelação Matemática e Simulação Computacional

22

Considerem-se os balanços de massa em estado estacionário à fase gasosa, para o ar e para o oxigénio efectuados de acordo com as relações deduzidas no Apêndice I (I.5 e 1.2).

Qfs=l Qbs (1'.VHz0z›)+( NCQ -NQS ) V°]/(1-J/f'b0f )

(2-44)

Yozis =( Y0zb Qbâ ' N0zs V°) Í Qis

(2-45)

Nas anteriores relações, V° designa o volume molar padrão de um gás perfeito (m3), enquanto yHz0z, e yHz0z representam respectivamente as fracções molares de H2O na

fase gasosa na base e no topo do fermentador. Designa NCQ a taxa de transferência de CO2 da fase líquida para a fase gasosa (mol s`1), sendo yozz, e yozzs respectivamente as fracções molares de Oz na fase gasosa na base e no topo do fermentador, e Qzs o caudal de ar padrão no topo do fermentador (m`3 s`1).

2.3.2. Transferência de Massa Gás-Líquido: Molaridade e Percentagem da Saturação em Oxigênio Cálculo do coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio:

O caudal de ar padrão ajustado deverá ser convertido para a pressão e temperatura da fase gasosa médias no fermentador, multiplicando-o pelo factor de conversão f definido no Apêndice ll. O caudal médio Qf s calculado deste modo será usado na correlação de iía . O coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio característico do ferinentador (s`l), designa-se por i¶_as , sendo obtido pela usual correlação (2.46) onde ks é referido â temperatura de 20°C e ks* é referido à temperatura `fi(°C). Os parâmetros expoentes ms e ns são independentes da temperatura.

Kraz- =/‹s' l(/íz, S/ \/>”'s1l(Qfs /A)”°l ks* = ks 1.024 <” '2°> Cálculo da potência de agitação:

(2-46) (247)

Modelação Matemática e Simulação Computacional

23

Para que a anterior correlação possa ser aplicada é necessário prévio conhecimento de Fãs , 8 obter da correlação apresentada na Secção 2.1.4 (2.33). Calcule-se a potência de agitação /zs , de acordo com essa mesma correlação para o número de potência com

arejamento: Fis = AFs +(1' /AFs ) eXp('B=s Qfs)

(2-48)

Npgs =Np Es

(2-49)

as = nz/v,.s. p, /vã D5

‹2.50›

Nas equações anteriores Ns representa a velocidade angular de rotação (Hz), Ns e Npgs respectivamente o número de potência sem e com arej amento, Azs e Bzs são parâmetros da correlação do número de potência com arej amento.

Cálculo da molaridade de oxigénio nafase líquida:

O diferencial médio de molaridade para a transferência de O2 no fermentador (mol m`3) pode agora ser obtido da equação seguinte:

Ac., = oTRs /nas

(251)

Obtenham-se as concentrações de equilíbrio na fase líquida, para a base e topo do fermentador, de acordo com as respectivas pressões ps e p, e fracções molares de

oxigénio na fase gasosa. HM designa a constante de Hemy para a solução (Pa m3 mol`l).

Defina-se o gradiente de concentrações de equilíbrio AQ,,s : Ci» =Y02bPb /HM

(2-52)

Cis = Y@isPrÍHM

(2-53)

Acbts = Ci) " Cis

(254)

De acordo com o modelo de mistura gasosa de fluxo-pistão, obtém-se o desejado valor da molaridade de oxigénio na fase líquida (mol m`3).

Cs = Cis 'flcbts /( expf-Acbts /AC/ns )"1)

(255)

Modelação Matemática e Simulação Computacional

24

Conversão da Molaridade de Oxigénio para Percentagem de Saturação:

Efectue-se prévia conversão, do valor calculado para a molaridade de oxigénio dissolvido Cs , para molaridade à pressão padrão (p° ) de ar, sendo ps a pressão média no fermentador (Apêndice II).

C°s = Cs (P°/Dm)

(2-56)

Efectue-se a conversão da molaridade de oxigénio à pressão padrão de ar, C °s , para percentagem de saturação com oxigénio atmosférico, igualmente à pressão padrão

de ar, designando por poz a pressão parcial de oxigénio na saturação (100% Oz) à pressão de ar padrão (poz será obtido confonne 2.4).

02%, =1oo /-/,,,c°s /pa

(257)

2.3.3.Simulação de Ruído e Atraso na Resposta na Concentração de Oxigênio Dissolvido e/ou no Gás à Saída A velocidade de rotação e o caudal de ar, serão os ajustados pelo sistema observador (controlador e optimizador), para um dado período de controlo. Admite-se que poderão não coincidir com os valores destas mesmas variáveis, conhecidos no sistema observador e no sistema observado (fermentador), pelo facto de se simular a ocorrência de ruído e atraso se recorrer a filtragem do tipo média deslizante no circuito de medida destas variáveis. Ocorre deste modo algum desfasamento temporal e erro associado aos valores destas variáveis conhecidos no sistema observador. Pelo mesmo motivo e apesar de não se tratar de variáveis controladas, a concentração de oxigénio dissolvido e a concentração de oxigénio no gás à saída, serão consideradas variáveis separadas e autónomas para cada um dos dois sistemas considerados.

É simulado atraso de primeira ordem (Nauman, 1990; Ord-Smith e Stephenson, 1975), nas respostas das sondas de oxigénio dissolvido e/ou no gás à saída (Chapman e

colabs,1982), relativamente a perturbações sofridas pelo sistema simulado num determinado instante. Um atraso de primeira ordem será descrito por uma equação

Modelação Matemática e Simulação Computacional

25

diferencial como a indicada para o caso da molaridade de oxigénio dissolvido (2.5 8).

Nesta equação rs (s) representa uma constante de tempo característica, Cs a molaridade obtida por simulação (2.55), e Cmsss será a molaridade efectivamente observada, obtida por integração (analítica) desta equação.

Cs = 'Cs dCmsss /dt + Cmsss

(2.58)

Recorrendo a uma distribuição estatística gaussiana, é simulado ruído experimental seguindo uma tal distribuição (Law, 1991). É remota a possibilidade de ocorrência de valores que pelo seu afastamento da média possam não oferecer verosimilhança ou provocar erros numéricos. Porém, para garantir que tal não ocorra, recorreu-se a uma distribuição estatística gaussiana truncada, sendo limitada em tomo da média por um múltiplo da sua variância. A amplitude da distribuição estatística será

dada pelo produto da sua variância por um factor multiplicativo n°. Para os dados experimentais cuja aquisição automática é tida por possível, é obtida a relação sinal/ruído como forma de ajuizar da justeza dos valores de variância fixados para cada caso.

2.3.4.Discretização das Variáveis Mensuráveis por Via dos Limites Impostos pela Resolução Instrumental

Para os dados experimentais, obtidos por simulação numérica é fixada a respectiva resolução instrumental. A aplicação dos limites de resolução sucede, no ambiente de simulação, à simulação do ruído experimental. Pretende-se assim simular o efeito da instrumentação utilizada sobre a recepção dos dados experimentais pelo sistema observador. Efectua-se o arredondamento dos valores numéricos dos dados experimentais para um número de casas decimais fixado pelo utilizador, de acordo com o tipo

de instrumentação disponível. Este número de casas decimais é específico para cada caso e pressupõe que os valores numéricos não se encontrem representados em notação científica, isto é, não se encontrem multiplicados por uma potência de base dez.

Modelação Matemática e Simulação Computacional

26

A evolução temporal das variáveis associadas aos dados enviados ao sistema observador será discreta e quantificada de acordo com a resolução fixada. Caso contrário seria tendencialmente contínua e apenas quantificada de acordo com a representação numérica intema nos registos de memória do computador. Como é

evidente, se as variáveis sofrerem variações no decurso do tempo decorrido em simulação, alterações do seu valor só serão observadas após um intervalo de tempo suficientemente amplo para que a variação exceda os limites impostos pela sua quantificação. Referimo-nos ao caso de a variação temporal ser do tipo monótono. Para o caso de as variáveis serem afectadas por variações periódicas, a sua evolução só poderá ser convenientemente caracterizada pelo sistema aquisidor no caso do seu período de oscilação ser substancialmente maior do que o período de amostragem. Por outro lado é igualmente necessário que a amplitude de oscilação ultrapasse os limites impostos pela resolução instrumental.

Para o caso de as variáveis serem afectadas por ruído gaussiano simulado, verifica-se que o efeito das limitações impostas pela resolução instrumental conduz a

uma efectiva filtragem do ruído de menor amplitude. Podem assim resultar desvios da distribuição normal (ou gaussiana) nos dados recebidos pelo sistema aquisidor com o consequente maior ou menor afastamento do desvio padrão destes dados relativamente à variância fixada para a distribuição gaussiana de ruído no sistema emissor (fermentador simulado). Tais desvios dependerão ainda da qualidade do gerador de números aleatórios utilizados na simulação de ruído gaussiano. Embora tenhamos recorrido a um gerador disponibilizado pelo ambiente de programação utilizado, mas de concepção oculta ao utilizador, testes demonstraram a sua suficiente eficiência.

Capítulo 3 Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos Dedicado a Diamantino Durão, Presidente do Instituto Superior Técnico.

Na Universidade Portuguesa existe, a meu ver, um número excessivo de reprovações.

Nós decidimos, no Técnico,

levar a cabo um estudo que levou aproximadamente um ano, que visou a compreensão profunda desse fenómeno para que possamos diminuir o probIema.1 Diamantino Durao

1Futuro, ano V,N.°S 38/39, Março/Abril 1992, p.11.

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

28

Capítulo 3 Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos 3.1.Introdução Introdução ao Controlo e Optimização: Por controlo e optimização do oxigénio dissolvido em fermentadores entende-se a periódica acção correctiva sobre os desvios da concentração de oxigénio dissolvido relativamente ao ponto de ajuste, submetida a um determinado critério de optimização.

O critério de optimização é matematicamente traduzido por uma função objectivo, que se pretende

maximizar ou minimizar. Interessa-nos particularmente o estudo das

estratégias de controlo do oxigénio dissolvido em fermentadores aeróbios, conducentes à minimização do consumo de energia eléctrica. As estratégias em causa recorrem a controlo do tipo bi-variável e utilizam o caudal de ar e a velocidade de agitação como variáveis manipuladas na fermentação. O controlo da concentração de oxigénio

dissolvido é efectuado mantendo um grau de liberdade, visto que, para cada valor de uma das variáveis manipuladas, existe dentro de certos limites, um correspondente valor da outra variável manipulada capaz de satisfazer a correcção desejada para a concentração de oxigénio (variável controlada). Este é o grau de liberdade consumido pelo critério de optimização, que desejamos ver satisfeito. Com efeito, o critério de optimização é representado pela correspondente relação, expressa por um algoritmo sequencial adequado. A existência deste algoritmo pressupõe o recurso a um modelo matemático da fermentação. Este modelo relaciona a função objectivo com os valores assumidos para as variáveis manipuladas, assim como com os valores de outras variáveis: de carácter ambiental ou fixadas pelo operador. Como contrapartida pela capacidade de integração do algoritmo de optimização energética com o algoritmo de controlo bivariável, possibilitada pelo recurso a duas variáveis manipuláveis, existe a problemática da sua possível instabilização, e do correspondente acréscimo de consmno

energético, que poderá afectar um algoritmo de controlo bivariável face a um algoritmo de controlo monovariável (Polke e colabs., 1985).

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

29

Será útil debruçarmo-nos sobre as causas dos desvios da concentração de oxigénio dissolvido relativamente ao ponto de ajuste desejado para esta variável, tendo em consideração o algoritmo de optimização que pretendemos utilizar. Com efeito, será da

inevitabilidade destes desvios que decorre a justificação para, ao algoritmo de optimização sugerido, associarmos um algoritmo de controlo complementar. Na origem dos desvios da concentração de oxigénio dissolvido, relativamente ao ponto de ajuste,

encontram-se diversas causas. Estas causas poderão ter origem intema, relativamente à fermentação, como sejam flutuações ou modificação mais ou menos permanente das características do meio fermentativo: de natureza biológica, hidrodinâmica, ou fisico-química. Perturbações mais permanentes poderão ser provocadas, nomeadamente, pelo crescimento e amadurecimento da biomassa, ou por adição de anti-espumante ao meio fermentativo. Note-se que neste último caso a causa é ainda de origem intema, sob o ponto de vista do sistema observador do fermentador, responsável pelo seu controlo, visto que não dispõe de informação relativa a este tipo de acções.

Poderão igualmente atribuir-se causas externas aos desvios de concentração de oxigénio relativamente ao ponto de ajuste, se provocados por alterações nas variáveis ambientais não controladas pelo algoritmo em estudo: temperatura do liquido, temperatura do ar ambiente, pressão atmosférica, humidade relativa do ar à entrada do fermentador. Ainda no grupo das causas externas, consideram-se as que resultam da própria acção de controlo, ao modificar os valores das variáveis manipuladas por defeito ou por excesso, relativamente à gama de valores que estas variáveis poderiam assumir no ponto de ajuste da concentração de oxigénio. Neste aspecto toma relevância o valor do ganho (que poderá ser variável) da acção de controlo. Poderão ainda ocorrer desvios em variáveis fixadas pelo operador para a fennentação, como sejam: a altura da coluna de líquido na ausência de arejamento e agitação (ou o correspondente volume da fase

líquida), a pressão à saída do compressor, e a pressão no topo do fermentador.

Há ainda um tipo distinto de causas dos desvios de concentração que temos vindo a considerar, com origem nos erros teóricos de modelação, os quais poderão resultar das suposições simplificativas, assumidas na dedução teórica do algoritmo de optimização utilizado, ou assumidas no tratamento preliminar de dados. Haverá ainda um erro de modelação de natureza experimental, resultante dos erros experimentais que afectam as

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

30

variáveis que são objecto de medidas experimentais. Erros de modelação, de natureza computacional, resultam de aproximações numéricas, limitações do hardware e do software disponível, ou ainda de eventuais erros de programação.

Resumimos na Tabela 3.1 as possíveis causas dos desvios concentração de oxigénio relativamente ao ponto de ajuste, por conveniência apontadas separadamente, apesar de ocorrerem por vezes interdependências: perturbações internas

perturbações externas

erros de modelação

biológicas variáveis ambientais teóricos hidrodinâmicas variáveis manipuladas experimentais físico-químicas variáveis fixadas computacionais Tabela 3.1 Causas dos desvios da concentração de oxigénio relativamente ao seu ponto de ajuste.

Seria desejável reduzir, dentro do possível, os desvios concentração de oxigénio relativamente ao ponto de ajuste, actuando sobre as causas estudadas. Porém, dada a sua natureza, as perturbações internas não podem ser eliminadas, ainda que em certa medida

possam resultar (em geral não linearmente) de perturbações externas. As perturbações de natureza externa nas variáveis ambientais, ou fixadas, anteriormente referidas, poderão, em certa medida, ser objecto de um controlo independente, como é o caso da temperatura do líquido, dada a importância biológica desta variável. As perturbações nas variáveis manipuladas decorrem da inevitabilidade da acção de controlo, sendo em todo o caso sempre possíveis, mesmo não se efectuando essa acção. A excitação destas variáveis, para adaptação de parâmetros da correlação de /ía, num ambiente de controlo óptimo adaptativo, será igualmente responsável pelas perturbações sofridas por estas variáveis. Os erros de modelação de natureza teórica poderiam tendencialmente ser reduzidos a um mínimo, correspondente ao conhecimento científico actual, mas com custo acrescido em termos de tempo de cálculo, meios computacionais necessários, complexidade teórica, e complexidade da programação computacional. Os erros de modelação de origem experimental só poderão ser reduzidos, na sua amplitude, por filtragem analógica e/ou digital, com a contrapartida da correspondente diminuição na resolução temporal da série de medidas experimentais, e amnento dos correspondentes níveis de atraso, na resposta do controlador.

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

31

Introdução à Adaptação de parâmetros:

O interesse pela aplicação das técnicas de controlo adaptativo em bioreactores, conduziu ao desenvolvimento de técnicas de estimativa de parâmetros das equações que descrevem a cinética dos processos bioquímicos em fermentações (Stephanopoulos e

San, 1984; Grosz e colabs., 1984; San e Stephanopoulos, 1984; Zabriskie e Humphrey, 1978). Esta estimativa de parâmetros é efectuada no decurso da fermentação. Os rendimentos em determinados produtos de interesse industrial poderão ser alvo de uma estimativa deste tipo (Bastim e Dochain,1990). A detecção de contaminações indesejadas em fermentações foi estudada por Chattaway e Stephanopoulos (1989). A disponibilidade de medidas experimentais de OUR permitiu a Estler (1995), estimar a taxa de crescimento específica característica de uma fermentação, em tempo real,

acompanhando a dinâmica do processo. Outros exemplos da aplicação deste tipo de técnicas poderão ser encontrados em Chattaway e colabs. (1989), Pons e colabs. (1988), Shi e Yuan (1988).

Será útil uma breve revisão bibliográfica, relativa aos algoritmos adaptativos existentes, relacionados com o processo de transferência de oxigénio, da fase gasosa para a fase líquida. A estimativa simultânea de /ía (e não dos parâmetros da usual correlação) e de OUR, em tempo real, foi estudada por Yoshida e colabs. (1980), Holmberg (1981), Holmberg e Ranta (1982), Votruba e Guthke (1985), Holmberg e Olsson (1985) e Holmberg e Olsson (1986). Kim e Chang (1989) utilizam um método

semelhante, recorrendo porém a ar enriquecido em oxigénio (numa composição variável entre 21 e 40%), processo igualmente referido por Chang e colabs. (1989). Assume-se, nos trabalhos anteriormente referidos, a observação da molaridade de oxigénio

dissolvido, a introdução de perturbações no caudal de oxigénio admitido, uma agitação mecânica inexistente ou constante, e uma estabilidade relativa do valor de OUR, não sendo este valor medido experimentalmente. Foram realizados estudos de integração de algoritmos estimadores de OUR e de KLa , semelhantes aos anteriormente referidos, em algoritmos de controlo adaptativo do oxigénio dissolvido (Ko e colabs. 1982; Lee e colabs., 1991).

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

32

As técnicas referidas anteriormente, serão sobretudo úteis em situações em que não é possível dispor de medições do valor de OUR, como por exemplo em tratamento aeróbio de efluentes. Caso medições de OUR sejam disponibilizadas, não é necessário estimar o valor de OUR, nem o de /ía, dado que estas variáveis podem directamente ser obtidas experimentalmente, conhecida a molaridade de oxigénio dissolvido. Evidentemente que poderão os valores de OUR e de /ía , obtidos experimentalmente, ser objecto

de filtragem, extrapolando-se por vezes uma previsível variação temporal futura (filtro Kalman). Não se trata porém de uma Verdadeira capacidade adaptativa. Trata-se isso sim de uma predição, tendencialmente conservadora e falível, incapaz de lidar com alterações bruscas nas variáveis manipuladas, promovidas pelas acções de controlo e de

optimização a que o fermentador é submetido. Por si só, a estimativa de valores de /ía , não permite qualquer capacidade preditiva relativamente à sua evolução por modificação dos pontos de ajuste das variáveis manipuladas. É todavia possível conceber processos de optimização, ou de controlo de fermentadores, que façam uso destas estimativas de /ía, obtidas sem capacidade de antecipação, ou seja, sendo o valor

de /ía é estimado para a situação presente.

Uma efectiva capacidade preditiva dos valores de /ía, com capacidade dinâmica de adaptação, requer no entanto, não uma simples estimativa de /ía , mas sim a estimativa de parâmetros de uma correlação de /ía, capaz de tomar em consideração e prever em tempo real, o efeito das variações das variáveis manipuladas sobre /ía. Esta capacidade é fundamental para a implementação de algoritmos de optimização ou de controlo, deduzidos com base nesta capacidade antecipatória. O desenvolvimento e estudo do método de adaptação, em tempo real, de parâmetros da correlação de /ía, por nós realizado, é tanto quanto sabemos, pioneiro sob este ponto de vista, tomando em consideração uma extensa pesquisa bibliográfica por nós recentemente realizada junto de bases de dados bibliográficos que cobrem este tema, acessíveis por computador. É certo que Bastin e Dochain (1990) referem a estimativa de parâmetros relacionados com a transferência de oxigénio gás-líquido, mas assumem proporcionalidade linear entre a fracção molar de oxigénio na fase gasosa à saída do fermentador e a molaridade de

oxigénio na fase líquida e uma simples proporcionalidade directa entre /ía e o caudal de ar, não considerando pois a influência da velocidade de agitação sobre /ía. Holmberg e

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

33

Olsson (1985) assumem igualmente proporcionalidade directa entre /ía e o caudal de ar (/ía =aQ¿,), limitando-se a estimar o coeficiente angular da variação (suposta linear) de /ía com o caudal de ar. O trabalho por nós apresentado levanta as aproximações que referimos, e pennite o recurso, em tempo real, a uma correlação de largas tradições na prática laboratorial e industrial. Permite ainda tomar em consideração a contribuição da

agitação mecânica para o valor de /ía _

3.2.Estratégia de Adaptação de Parâmetros da Correlação de KLa

Os algoritmos de optimização e de controlo requerem o conhecimento

de

parâmetros da correlação de KLa , os quais, numa aplicação prática, poderão ser estimados no decorrer da fermentação. Deste modo, os sistemas optimizador e controlador adquirem a capacidade de se adaptar à evolução das propriedades do caldo ferrnentativo (optimização adaptativa e controlo adaptativo).

3.2.1.Algoritmo Adaptativo Proposto

É sabido que a correlação de /ía usualmente utilizada, apresenta uma capacidade preditiva bastante limitada, quando utilizada com coeficientes permanentes, fixados experimentalmente para um dado fermentador (Moresi e Patete, 1988). Por esta razão, considerou-se vantajoso a adaptação dos parâmetros desta correlação em tempo real, melhorando-se a sua capacidade preditiva face às alterações sofridas pelo meio fermentativo no decorrer de uma fermentação. A potência de agitação será um dado requerido, mas poderá ser obtida a partir de uma correlação, na impossibilidade de se dispor de medidas experimentais desta variável (obtida a partir de medidas de torque com o conhecimento da velocidade de agitação seleccionada). O nosso trabalho assume a disponibilidade de valores experimentais da potência de agitação. É dada especial ênfase ao estudo da convergência, robustez, e optimização das condições de aplicabilidade do método de adaptação de parâmetros sugerido. Considerou-se um processo de excitação sinusoidal de caudal de ar e da velocidade de agitação, associado ao método de adaptação de parâmetros utilizado. A estimativa de parâmetros da correlação de /ía a que recorremos, é efectuada de acordo com o algoritmo recursivo

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

34

dos mínimos quadrados com factor de esquecimento, apresentado na generalidade da bibliografia relacionada com controlo adaptativo (Astrom e Wittemnark, 1990; Seborg e

colabs.,1986).

A recursividade do método utilizado impõe a selecção de um período de tempo de adaptação, espaçando as sucessivas estimativas de parâmetros. O período de tempo de adaptação, ra (s), deverá exceder os atrasos que caracterizam a resposta das variáveis observadas do sistema controlado: fracção molar de oxigénio na fase gasosa à saída do fermentador, e percentagem de saturação de oxigénio na fase líquida. Na prática é vantajoso, do ponto de vista da economia de informação, fazer coincidir o período de tempo de adaptação com o período de tempo de filtragem, ou seja,o período de tempo em que um valor experimental é retido no filtro de média deslizante. Este tempo de retenção será dado pelo produto do número de dados experimentais retidos no filtro, nf , pelo período de tempo de aquisição de dados ou de amostragem, 1;, (s). Deste modo toda a informação recolhida é eficientemente utilizada para a estimativa de parâmetros. O período de tempo de adaptação será dado por: ra =n,‹1;,

(3.1)

Neste trabalho adoptaram-se os seguintes valores para os parâmetros desta equação, obtendo-se o correspondente período de adaptação: 1,3 =6s

nf =10

ra =60s

É sabido que na tradicional correlação de /ía (2.20), os parâmetros são normalmente obtidos por aplicação do método dos mínimos quadrados à forma linearizada da correlação, por transformação logarítmica. Apesar dos três parâmetros da correlação, verificam-se significativos desvios, que podem ultrapassar os 20%, dos dados

experimentais

relativamente

aos

resultados

previstos

pela

correlação.

Habitualmente a soma dos expoentes é próxima de um (Van°t Riet, 1979), podendo assim ser relacionados com a contribuição relativa, da velocidade superficial de ar e da potência de agitação, para a transferência de oxigénio gás-líquido. Neste trabalho verificou-se que a adopção de um critério de soma de expoentes constante proporciona

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

35

melhor estabilidade ao algoritmo de adaptação utilizado, sem que a capacidade preditiva da correlação se degrade, face aos erros experimentais usuais. Considerámos assim constante a soma dos expoentes da correlação de /ía usada neste trabalho (3.2).

Designámos por mo e no valores iniciais dos expoentes adaptados da correlação de /ía . n =n0 +m0 -m

(3.2)

O valor experimental /íameas , obtido segundo a Equação 2.30, deverá ser convertido desde a temperatura real do líquido, até à temperatura de referência da correlação de /ía (3.3), segundo a correcção estabelecida pela Equação 2.19. Deste modo, a adaptação de parâmetros não será significativamente afectada por eventuais variações da temperatura do meio fermentativo, no decorrer da fermentação. Designa-se o coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio, previsto com base na correlação usual por /íapmd , enquanto /íamea, 20°C , representa o correspondente valor obtido, com base em dados experimentais adquiridos no tempo real (sem recurso à correlação).

Ambos os coeficientes são referidos à mesma temperatura (20°C ) e ao mesmo tempo decorrido do estimador.

Kfimeas 20°C = Kfimeas/1-024m _ 20)

(3-3)

Evita-se o recurso a extensões iterativas não lineares do algoritmo dos mínimos quadrados linearizando a correlação de /ía. A linearização introduz um certo nível de desvio (bías) das estimativas obtidas para os parâmetros, relativamente aos que poderiam ser obtidos recorrendo a um algoritmo iterativo não linear. Muito embora só neste último caso seja possível a obtenção assimptótica de estimativas óptimas dos parâmetros (covariância mínima), considerou-se que o desvio introduzido pela linearização não é suficiente para justificar a maior complexidade e o maior tempo de cálculo exigido pelos algoritmos não lineares. Note-se que o desvio referido resulta do facto de a norma utilizada na minimização não coincidir em ambos os métodos. Trata-se de um desvio permanente, inerente à linearização, e não deve ser confundindo com o desvio que resulta de ruído experimental de média não nula (Seborg e colabs., 1986).

A linearização da correlação de /ía, conduz às seguintes expressões (3.4 e 3.5) para as variáveis correlacionada e medida, obtidas pressupondo constante a soma dos

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

36

parâmetros expoentes m e n, de acordo com a restrição imposta pela equação (3.2).

Designámos por A a área de secção recta do fermentador e por V o volume de líquido. Q, designa o caudal de ar referido à pressão e temperatura médias no fermentador, k e m são parâmetros da correlação de /ía , sendo o valor de k referido à temperatura de 20°C, único parâmetro dependente desta variável. A

potência adicionada por agitação é

designada por F5. A expressão da correlação linearizada é designada por y^ (valor

correlacionado), e é comparada ao correspondente valor experimental designado por y.

A tenninologia adoptada no nosso trabalho acompanha a utilizada em Astrom e Wittenmark (1990), identificação efectuada através da equações (3.4 a 3.9).

v^ = Inlmâ ,.,..1›/ (off A›”'° *"°1= |n‹/‹›+ m me/v›/‹ Qf/ A›1 v = mma ,. .z. . .zz,‹›zz/ (off A›"'° *"° 1

-3.41» (3.5)

a, = |n(/‹›

(3.6)

02 = m

(3.7)

u = |n[(/3,, /v)/( Q,/A)1

«[1-5.81.

y^ = 91+9z u

(39)

O cálculo matricial do algoritmo adaptativo dos mínimos quadrados prossegue de acordo com Astrom e Wittenmark (1990) e Seborg e colabs. (1986). Designámos por L 2 uma constante usada na estimativa de parâmetros (neste trabalho usou-se L=10 ). Um aumento do valor desta constante traduz um maior desvio esperado das estimativas iniciais dos parâmetros. Tomando este valor e a matriz identidade M. (2x2), calculamos a matriz diagonal de covariância inicial P0 . O cálculo recursivo prossegue, de acordo com as equações (3.11 a 3.13).

P.,= L M. K(l‹› = P(l‹› f¡‹l‹+1 )[ z, +f¡*‹l‹+1›P(l‹) f¡(l‹+1))]" |=›(l‹+1) = [M. -K(l‹› f¡T(i<+1)1P(l‹)/ø, Ae = K(l‹)[y(l‹+1)-f¡T(l‹+1) e(l‹)1 o (l‹+1) = e(|‹)+ Ae

«z3fo1› z{3.<1;› l{3f2;. ‹{3.*31› «{3f4;.

Nas equações anteriores, k é um índice relativo ao período de tempo de adaptação, sendo 9(k) é um vector coluna de dois elementos (definidos nas equações 3.6 e 3.7 e inicializado com os valores iniciais dos parâmetros envolvidos). Designa-se por A9 um

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37

vector coluna que traduz um termo correctivo a aplicar ao vector 9(k). P(k) é designada por matriz de covariância (2x2), sendo fi(k+1) um vector coluna de dois elementos envolvidos na equação (3.9).O factor de esquecimento flftraduz um factor exponencial de peso relativo dos dados anteriores. Sendo unitário, traduz igual peso relativo para todos os dados adquiridos, decrescendo a partir deste valor obriga a uma menor influência dos

dados mais antigos na adaptação de parâmetros. A recursividade do método utilizado implica, porém, que todos os dados adquiridos até um determinado instante influam no resultado final dos parâmetros adaptados. Designa 9 (k+1) um vector coluna que contém

os parâmetros adaptados já corrigidos de forma recursiva (3.16-3.17).

fi(k+1) =[

1

u(k +1)

j

/‹ =e×p(e,(l‹+1)) m =e2 (k+1)

(3.15)

(346) (3.17›

3.2.2. Excitação das Variáveis Caudal de Ar e Velocidade de Agitação

A imposição de um estímulo periódico às variáveis manipuladas poderá ser permanente, ou alternada. Neste último caso poderá o estímulo ser aplicado apenas quando a variável controlada se encontra numa dada banda morta (estímulo de banda morta). Neste caso, as variável manipuladas não seriam excitadas sempre que o fermentador estivesse de facto sob o efeito das acções de controlo.

Para efeitos de estimativa de parâmetros da correlação de /ía , usando o algoritmo recursivo dos mínimos quadrados (com factor de esquecimento), optou-se pelo recurso a uma excitação do tipo sinusoidal das variáveis manipuláveis. Esta excitação produz reduzidos esforços mecânicos sobre as partes móveis do fermentador, uma vez que o momento angular do eixo de agitação varia suavemente. Apenas para elevados valores do momento axial de inércia e um período temporal de excitação muito reduzido o esforço mecânico de torção do eixo será excessivo, sob o ponto de vista da fadiga do material, situação evitada para os períodos de excitação de interesse (Kozachenko e colabs.,1988; Feodosiev, 1972). Do mesmo modo diminui a morte celular por ruptura de membrana (efeito das tensões de corte).

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

38

É fixado pelo utilizador o período temporal da excitação aplicada às variáveis manipuladas caudal de ar e velocidade de agitação, designados respectivamente por ra” e rspeed , assim como a respectiva fase em radianos, ¢,,,~, e ¢,,,,ed . Designámos por desfasamento, ¢ , a diferença entre a fase da velocidade de agitação e a do caudal de ar.

Poderemos considerar sempre nula a fase de caudal de ar (fase de referência)z ¢âzz , razão pela qual o desfasamento coincide com a fase da velocidade de agitação. (Ú: ¢speed- ¢air

(3-18)

Sejam z'a¡, e rspeed os períodos (s) da excitação aplicada ao caudal de ar e à velocidade. São fixadas as amplitudes percentuais de excitação do caudal de ar e da

velocidade, respectivamente A,,,~, e Aspeed , definidas relativamente aos valores que as variáveis manipuladas assumiriam quando não perturbadas, ou seja o seu ponto de ajuste. Designando tais valores por Q,,, e Agp , respectivamente pontos de ajuste do caudal e velocidade, e sendo 0 o tempo decorrido (s), obtêm-se os valores de estímulo sinusoidal Q,,,~ e I\t,,~ a adicionar aos respectivos valores de ajuste: Qt/ = Qp Aair /100 Sin( 275 9/ Tail' +¢air )

(3-19)

Mt/ = Mp Aair /109 S¡n( 275 9 /Tspeed +¢speed )

(3-20)

Vejamos de uma forma qualitativa qual a influência que os parâmetros que definem a excitação sinusoidal (fase, período temporal e amplitude) poderão ter sobre a qualidade da estimativa de parâmetros da correlação de /ía .

Considere-se um certo desfasamento a aplicar às excitações sinusoidais efectuadas sobre ambas as variáveis manipuladas. O valor da fase para uma das variáveis poderá

ser nulo enquanto que para a outra assumirá um valor compreendido entre 0 e 211 radianos. Porém, dado que o problema do desfasamento é simétrico relativamente à permuta de variáveis manipuladas (não importando qual delas se atrasa em relação à outra), bastará considerar desfasamentos compreendidos entre 0 e rt radianos. Note-se que no caso de o desfasamento entre ambas as variáveis se anular, as variáveis manipuladas ficarão mais perfeitamente correlacionadas entre si, mas não de uma forma linear. Nesta situa ão oderemos aProximarmo-nos de solu ões de eneradas,

ara os

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

39

parâmetros da correlação de /ía , resultantes de uma dependência linear (Miller,1986).

Este facto conduziria a uma situação indesejável de instabilidade de parâmetros. Por outro lado é evidente, da forma da correlação de /ía , que variações simultâneas mas em sentido inverso, das variáveis manipuladas, tendem a anular-se no seu efeito sobre o valor de /ía obtido através da correlação, o que acontece no caso do desfasamento entre

ambas as variáveis manipuladas se aproximar de rt radianos. Este é um caso em que o efeito da excitação sobre a variável dependente é atenuado, sendo nestas circunstâncias dificultada a obtenção de valores experimentais de /ía reflectindo a excitação imposta, o que se traduz numa aproximação à colinearidade, sob o ponto de vista do observador.

A desejada independência linear entre as amostras de valores experimentais de /ía obtidos, em função dos valores das variáveis manipuladas, poderá ser melhorada se os períodos temporais de excitação forem relativamente longos, quando comparados com a escala de tempo em que se efectua o ajuste de parâmetros (período de adaptação).

Assim se evita o aumento de dependência linear entre as amostras por repetição de valores. É de notar, porém, que períodos temporais de excitação excessivamente longos conduzirão a uma maior lentidão na resposta do modelo correlacional, face a eventuais modificações das propriedades do meio fermentativo, dado ser correspondentemente maior o tempo necessário para que se encontre disponível uma amostragem representativa da nova situação, quer para as variáveis manipuladas, quer para a variável dependente (/ía).

A amplitude de excitação, em ambas as variáveis manipuladas, deverá ser balanceada de forma a que o efeito individual da excitação de cada urna das variáveis sobre os valores /ía seja semelhante. A excitação conjunta das variáveis manipuladas deverá produzir uma excitação na variável dependente com suficiente amplitude, para permitir ultrapassar a banda de erro do valor de /ía experimental. Por outro lado, uma excitação excessiva instabilizaria sem qualquer proveito o sistema que pretendemos controlar, com consequências negativas, ao nível da economia energética e rendimento da fermentação. A Tabela 3.2 exprime níveis de excitação balanceados deste modo, para o caudal de ar e para a velocidade de agitação. Foi obtida tendo em atenção a correlação de potência de agitação utilizada neste trabalho (2.50).

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

40

Experimentalmente consideram-se disponíveis duas variáveis observadas, dependentes das variáveis manipuladas mas independentes entre si, são elas a fracção molar de oxigénio na fase gasosa à saída do fermentador e a percentagem de saturação de oxigénio na fase líquida. Ambas as variáveis são usadas na obtenção de um valor experimental de /ía . Vejamos então, de que forma a amplitude de excitação necessária à adaptação de parâmetros, e a capacidade preditiva da correlação obtida, são

influenciadas pelo ambiente em que se desenvolve a fermentação. É evidente que quando a fase líquida se aproxima da saturação, reduz-se o gradiente médio de molaridade de oxigénio, o que para uma taxa de transferência de

oxigénio (OTR) constante, se traduz num valor muito elevado de /ía . Uma situação deste tipo conduz a uma possível instabilidade do algoritmo recursivo dos mínimos quadrados, por insensibilidade ao valor (elevado) do parâmetro k. A situação agrava-se ainda pelo facto de se tomar necessário aumentar as amplitudes de excitação, como forma de forçar uma resposta da percentagem de saturação de oxigénio na fase líquida, capaz de ultrapassar a banda de erro experimental, na região de saturação. Estes níveis de oxigenação não são, porém, atingidos na prática fermentativa corrente. Pela razão inversa, são benéficos valores relativamente baixos da percentagem de saturação, dado que neste caso as amplitudes de excitação poderão ser mais reduzidas. % de excitação velocidade de agitação caudal de ar 1 3 2 6 3 9 Tabela 3.2 Níveis de excitação balanceados.

Relativamente à fracção molar de oxigénio na fase gasosa à saída do fermentador podemos distinguir duas situações extremas. No caso de o caudal de ar ser reduzido, sendo em simultâneo relativamente elevada a taxa de transferência de oxigénio (OTR), verifica-se que a fracção molar referida se aproxima do valor que corresponderia a uma situação de equilíbrio no topo do fermentador, e consequentemente, reduz-se o gradiente médio de molaridade de oxigénio, tal como sucede quando a fase líquida se aproxima da

saturação, com consequências análogas. No caso de o caudal de ar ser elevado, sendo em simultâneo relativamente reduzido o valor de OTR tal como é imposto pelo

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

41

consumo biológico na fase líquida, existe uma situação aproximada de não depleção do

teor de oxigénio na fase gasosa. Neste caso a excitação das variáveis manipuladas teria de ser aumentada como forma de forçar uma resposta da fracção molar de oxigénio

capaz de ultrapassar a banda de erro experimental. Ambas as situações serão desfavoráveis do ponto de vista da qualidade da correlação obtida, devendo no entanto notar-se que situações intermédias destas serão mais vulgares na prática fermentativa corrente.

3.3. Algoritmo de Optimização Proposto por Alves e Colaboradores (1995) Alves e colabs. (1995), propuseram um algoritmo que efectua uma optimização inteiramente estrutural das condições operatórias, com base exclusiva na estrutura matemática do modelo de referência a que recorrem para representar o ferrnentador real, cujo funcionamento pretendem optimizar. Este algoritmo será generalizado neste trabalho, com vista a poder ser utilizado com um modelo de mistura gasosa capaz de tomar em consideração a contribuição do caudal de ar para a manutenção de um dado gradiente de oxigénio na fase líquida, responsável pela transferência de massa gás-líquido. Trata-se do modelo de fluxo-pistão. O recurso a este modelo de mistura gasosa, permite que o objectivo de optimização energética possa ser atingido através de

reduções de caudal de ar, sem que tal facto afecte a validade do modelo de mistura gasosa empregue. Neste caso será porém necessário, dispor de medidas da fracção molar de oxigénio no topo do fermentador, para além das medidas de oxigénio dissolvido. Já anteriormente Cardello e San (1988) recorreram a uma estratégia análoga, para ajustamento em tempo real das constantes de ganho do algoritmo PID, numa estrutura de controlo independente de qualquer processo de optimização energética.

A optimização energética do fermentador é efectuada tomando como função objectivo, a minimizar, a potência eléctrica. A potência eléctrica é obtida considerando três contribuições distintas: a potência eléctrica de agitação, de compressão, e de refrigeração. A optimização energética terá de obedecer, porém, à restrição imposta pelo ponto de ajuste desejado para a molaridade de oxigénio dissolvido. Ou seja, é necessário garantir uma taxa de transferência de oxigénio, da fase gasosa para a fase líquida,

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

42

suficiente para que o ponto de ajuste seja respeitado, tendo em atenção o consumo requerido nessa mesma fase (OUR). Em estado estacionário, como se admite no presente estudo, o consumo iguala a transferência de oxigénio.

3.3.1.Algoritmo Generalizado de Optimização Energética de Fermentadores

Iremos apresentar primeiramente a dedução que se segue, e da qual resulta o algoritmo de optimização sugerido em Alves e Vasconcelos (1996), dado que não é apresentada em detalhe nessa referência. Este algoritmo foi por nós generalizado de forma a ser tomada em consideração a deplecção de oxigénio na corrente gasosa que atravessa o fermentador. Por esta razão abandonou-se o modelo de mistura gasosa de não-depleção em favor do modelo de fluxo-pistão.

Substituindo na expressão de R , potência a remover por refrigeração (2.36), as expressões da potência removida por evaporação (2.39) e da potência adicionada por

expansão isotérmica da fase gasosa (2.37) obtém-se a seguinte expressão para a potência a remover por refrigeração, em função do caudal padrão de ar na base, Qb.

P, =P,., a+‹az -az ›Qz. +

(321)

Substituindo a potência a remover por refrigeração (3.21), e a potência de compressão (2.35) na expressão da potência eléctrica total (2.41) obtém-se a seguinte expressão após rearranjo:

Pf= /Ê (1/f1g+1/f7,)+ Qz›[a1/f7,,+ (az - 013)/ f7,]+ Pm /fl,

(322)

Na anterior expressão, nc , ng e 17, , designam respectivamente as eficiências de compressão, agitação e refrigeração. Sendo o valor de /ía obtido pela usual correlação, é então possível relacionar potência adicionada por agitação, Fz., , e caudal padrão de ar na base, Qz, . Após substituição, na correlação de /ía, do caudal de ar à pressão e temperatura médias no fermentador Q, em função do caudal de ar na base (padrão), Qz, , (Apêndice II), obtém-se depois de rearranjo:

PQ = vma/z‹› ‹A/f›"1'”"‹Qb›'"”"

‹3~23›

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos Definindo, a variável auxiliar or,

43

pela expressão (3.24), resulta natural

simplificação da anterior equação:

Ot, =v[(/ía//‹') (A /f)"1 ”"' P9 = oz (Qzz)~nz...

(324) (325)

A anterior equação permite eliminar o termo de potência adicionada por agitação, F5, da equação (3.22), resultando:

a= @z‹Qz.›'" ”"‹ 1/fz, +1/fz,›+ ou zzr /fz, +‹‹zz - zzz ›/ fz,1+ P.. /fz,

‹3.2õ›

Na expressão anterior é notório que as variáveis auxiliares a1, az e m , tal como definidas nas Equações 2.34, 2.38 e 2.40, se poderão considerar muito aproximadamente constantes no decorrer de uma fermentação. Porém, no caso da variável auxiliar oz, , tal só se poderá considerar aproximadamente válido para intervalos de tempo em que /ía/K se possa considerar constante. Observando tal condicionalismo, e admitindo que os parâmetros da correlação de /ía se mantêm constantes na escala de tempo considerada, assim como a potência adicionada pelo metabolismo Pm , é válida a seguinte expressão para a derivada da potência eléctrica total em ordem ao caudal de ar padrão na base Qb:

dP,/d Qb = -n/m or, (1/ng + 1/17,) (Q,,)'<”"”')'"' + [(11 /nc + (az _ 04, )/qr]

(3.27)

Igualando a expressão anterior a zero obtém-se um determinado valor de caudal de ar padrão na base QD , que corresponderá à situação energética mais favorável, caso se encontre compreendido na gama de caudal de ar admissível. Recorrendo à variável auxiliar z, tem-se: z =-m / (n+m)

(3.28)

Qz.= r m/‹n zz. ›‹ al /fz, +‹‹zz - az ›/fz.)/(1/fz, + 1/fz,› 1'

(329)

Sendo conhecido /íasp , coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio definido para o ponto de ajuste da concentração molar de oxigénio dissolvido, a cujo cálculo se faz referência na Secção 3.3.2, poderão definir-se correspondentes valores para oa, e para o caudal de ar padrão na base, designados respectivamente por ms, e Qop ,

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

44

onde os subscritos atribuem respectivamente a referência ao ponto de ajuste e à

optimização energética:

Oz... =v l‹/ra.. //‹› (A /f›"1 “"'

Q.,..=‹m/‹ n Or... ›‹ ar /fz, + (az - zzz ›/ fz,›/(1/fz, +1/fz,.››*

(330)

(331)

Conhecido o valor de Q,,,, poderão calcular-se correspondentes valores para o coeficiente

/-';

e para a potência adicionada por agitação, designados respectivamente

por F,,,,, e /-2, 0,, :

F, ,,, =Az+(1-Az) e×p(-5. Q,,, f) /fg, ,,, = fz,/v,,f=, ,,, p, /v,,,3 D5

(332) (3.33)

Nas anteriores equações, Nop representa a velocidade angular de rotação em situação de optimização energética (Hz), N,, o número de potência sem arejamento, D o diâmetro do agitador (m), f um factor de conversão do caudal de ar padrão para a

pressão e temperatura médias no fermentador, n,~ o número de turbinas e p¿ a massa específica do líquido (kg m`3). Az e Bz são parâmetros da correlação F, op , factor de

arejamento associado a Np . A anterior equação (3.25), relacionando potência adicionada por agitação com a variável auxiliar oz., e com o caudal de ar na base (padrão), será em situação de optimização energética, correspondente ao ponto de ajuste, dada por: Fã op = Wsp Qop-n Im

(3-34)

Eliminando /10,, nas duas anteriores equações, obtém-se a seguinte expressão para a velocidade angular de rotação, em situação de optimização:

N.. =‹ Oz.. Q.,;"”" /‹n.- /vp F. 0,, p, D5 ››“3

(335)

Estamos pois em condições de efectuar o cálculo da velocidade angular de rotação (3.35). e o correspondente caudal de ar padrão na base (3.31), em situação de optimização energética, respectivamente NO,, e Qop , sendo conhecido /íasp , coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio, definido para o ponto de ajuste da concentração molar de oxigénio dissolvido. Apresentaremos seguidamente o cálculo deste coeficiente.

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

45

3.3.2.Transferência de Oxigénio Gás-Líquido para o Caudal de ar Óptimo

Apresentamos nesta secção a via de cálculo a utilizar para o cálculo de /íasp ,

grandeza necessária ao cálculo de ousp , segundo a equação (3.30).

Cálculo iterativo simultâneo de /íasp, Qope de yo¿,,,,,:

O coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio, definido para o ponto de ajuste da concentração molar de oxigénio dissolvido, /íasp , será obtido através de um cálculo iterativo, tendo em consideração o modelo de mistura gasosa fluxo-pistão. Um caudal de ar de optimização aproximado será utilizado no cálculo de /íasp , valor este que na iteração seguinte permitirá um cálculo mais aproximado de Qop , e assim sucessivamente. A convergência do método, garante razoável aproximação numérica das soluções Nop e Qop , ao fim de três iterações da sequência de cálculo. As iterações são iniciadas tomando como aproximação inicial para a fracção molar de Oz na fase gasosa no topo do fermentador, yo¿,,,,, , correspondente a Qop , o valor da fracção molar de Oz da fase gasosa na base do fermentador yozb , valor este que é independente de Qop. Obtém-se deste modo uma aproximação inicial desta variável. Isto corresponderá a tomar o modelo de não-depleção como aproximação inicial de cálculo para o modelo de fluxo-pistão.

O caudal de ar padrão no topo do fermentador, e em situação de optimização energética, Qop, , é calculado adaptando ao presente caso o balanço de ar (I.5) deduzido no Apêndice I. Pode então calcular-se a fracção molar de Oz da fase gasosa no topo (em optimização energética), adaptando para tal o balanço de oxigénio na fase gasosa (I.2), válido em estado estacionário: Qopt =(Qop (1' yH2Ob )+( NCO2 ' O7-Rmeas V) Vo)/(1" .VH2Ot )

(3-36)

yO2top =( .YQD Qop ' O7-Rmeas V Vo )/ Qopt

(3-37)

Nas anteriores equações V e V° designam respectivamente volume de líquido e volume molar padrão de um gás perfeito (m3). YHzOz,

e yHz0¢

representam

respectivamente as fracções molares de H2O na fase gasosa na base e no topo do fermentador, Ncoz a taxa de transferência de CO2 da fase líquida para a fase gasosa (mol

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos -1

,,

.

.

,

46

.

,

.

s ), e OTR,,,,,,, a taxa de transferencia de oxigénio da fase gasosa para a fase liquida -3

-l

.

.

. .

(mol m s ) calculada com base em dados experimentais adquiridos no tempo real (sem recurso a qualquer correlação), de acordo com a Equação 2.24.

Considerou-se, nos cálculos apresentados, que o valor de OTR,,,,,,, permanece aproximadamente válido, para os valores desejados de caudal de ar e velocidade de rotação em situação de optimização energética, Q.,,, e N,,,, , muito embora corresponda aos valores reais destas variáveis, anteriores portanto ao cálculo e à implementação da optimização. Esta aproximação justifica-se dado que pretendemos efectuar a optimiza-

ção energética mantendo essencialmente constante a taxa de transferência de oxigénio, uma vez que se ajusta ao consumo efectuado por uma dada espécie biológica (OUR).

Calculem-se agora os gradientes de molaridade para a transferência de O2 , na base e no topo do fermentador, respectivamente AC), 3,, e ACS, , definidos para o ponto de ajuste da concentração molar de oxigénio dissolvido, C,,,. Seja Cí, a concentração molar de oxigénio dissolvido em equilíbrio com a fase gasosa na base do fermentador, e

sejam p, e HM , respectivamente, apressão no topo do fermentador (Pa), e a constante de Henry em solução (Pa m3 mol`l ):

Actsp = .VQtop pt /HM' Csp

(3-39)

O ponto de ajuste da concentração molar de oxigénio dissolvido, C,,, , é definido a

partir da concentração molar crítica do oxigénio dissolvido, C,,,,-, , e da margem de segurança para o oxigénio dissolvido, )8: Csp : Qrít + /3

(3-40)

Podemos agora obter o gradiente médio de molaridade para a transferência de Oz no fermentador, definido para o ponto de ajuste, AC", 3,, , em função do modelo de mistura gasosa de fluxo-pistão: Acn sp = (ACtsp ' Acb sp ) I (|n(ACtsp /Aco sp

(3-41)

Obtém-se então o coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio definido para o ponto de ajuste da concentração molar de oxigénio dissolvido (SJ), Kiasp :

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

47

/íasp = OTRmeas/ACÍ,,,sp

(3.42)

3.4. Algoritmo Bivariável de Controlo de Fermentadores Para além do objectivo de optimização energética anteriormente considerado, existe a necessidade de garantir a permanência da concentração de oxigénio dissolvido na vizinhança do valor desejado para ponto de ajuste desta variável, Cs, . Este objectivo poderá mesmo assumir uma importância económica considerável (Zhou e colabs., 1992). É assim necessário acompanhar a acção de optimização de uma acção de

controlo, que permita corrigir eventuais desvios da concentração de oxigénio relativamente ao ponto de ajuste. Iremos deduzir seguidamente o algoritmo de controlo que complementa o algoritmo de optimização a que fizemos referência na anterior secção. Pelo facto de manipular duas variáveis, velocidade de agitação e caudal de ar, poderá ser nomeado como algoritmo de controlo bivariável.

Considere-se a situação indicada na Tabela 3.3, onde se refere a situação actual do fermentador sujeito a controlo e sua situação desejada sob o ponto de vista da optimização energética após a acção de controlo.

caudal de ar velocidade

situação actual Qsp Nâp

situação futura QC Nc

/ía II1€dldO

Kaameas

K.asp

gradiente de molaridade de Oz coeficiente ou

AC» 04

AC» sp msp

Tabela 3.3. Situação actual e situação desejada futura de um fermentador sujeito a controlo.

Admitimos que quer a sua situação actual quer a situação futura satisfazem as

condições de optimização energética , razão pela qual o caudal de ar caudal de um ponto de ajuste actual Q,,, e o caudal futuro (QC) obedecem às equações (3.43) e (3.44). O valor experimental actual de ou será então dado pela equação (3.45). Deseja-se que o seu valor após a acção de controlo satisfaça a relação (3.30), situando-se então no valor correspondente ao ponto de ajuste da molaridade de oxigénio.

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

Qsz›=(m/(n ‹zz›( az /fz,+(‹zz -a3)/ fz.)/(1/›z,+1/fz,››* Q.=(m/(n asp›( a /fz,+(‹zz -az)/ fz,)/(1/›z,+1/fz,))” az =v una meas//‹) (A /f›"1 “"'

48

(343) (3.44) (345)

Dividam-se membro a membro as equações (3.44) e (3.43), admitindo que os parâmetros m e n da correlação de /ía permanecem constantes na escala de tempo

considerada para a acção de controlo, assim como as variáveis auxiliares a, , az e az :

Qc /Qsp =(% /atsp ll

(3-46)

Substituindo na expressão anterior a, e a, 3,, de acordo com as equações que definem estes coeficientes (3.45 e 3.30), e eliminando z de acordo com a definição (3.28): Qc / Qsp =( Ka sp/Kfi meas )1 /(m + n)

(3.47)

Se considerarmos a equação (3 .42), definindo o coeficiente volumétrico de transferência de oxigénio definido para o ponto de ajuste da concentração molar de oxigénio dissolvido, /ía,,, , vemos que é análoga à equação que define o valor efectivo deste coeficiente obtido com base em medidas experimentais, /íameas. A razão entre ambos os coeficientes será então dada por: K.a sp /,ía meas = Acm /Acm sp

(3-48)

Na expressão anterior AC» sp representa o gradiente médio de molaridade para a transferência de Oz no fennentador definido para o ponto de ajuste, AC., representa o gradiente médio de molaridade efectivo obtido na situação actual com base em medidas experimentais. De acordo

com a anterior equação, a razão entre os dois

coeficientes de transferência traduz o desvio entre a concentração actual efectiva de

oxigénio e a concentração desejada no ponto de ajuste. Tendo em conta a anterior expressão, obtém-se uma formulação altemativa da anterior equação (3.47), a que iremos dar preferência, e que traduz então a equação de controlo para o caudal de ar:

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

Q. /Q.,.=(z)c. /z)c,..,,)*'“"*'“

49

(349)

Uma correcção do caudal de ar aplicada com base na anterior equação satisfaz o algoritmo de optimização na condição de o sistema se encontrar previamente optimizado, pelo que o fermentador deverá ser levado ao caudal de ar de optimização

periodicamente (substituindo-se então Qsp por Q.,,, ).

Vejamos seguidamente como se obtém, por um processo análogo, a equação de controlo para a velocidade.

Considere-se a equação que relaciona a velocidade de rotação em situação de optimização energética com o correspondente coeficiente a4,,, (3.3 5), e obtenham-se equações análogas para situação actual e para a situação futura satisfazendo as condições de optimização energética, para a velocidade de agitação do ponto de ajuste actual N,,, e a velocidade de agitação após a acção de controlo (NC) :

/v,,,=( aQ.,;"'”' /(ri /vp 5... p, D5 )›"3 N. =( as Q.“"'"' /(nl N. F.. p, D5 ))”3

(350) (351)

Na anteriores expressões /-Í, e F,,,, serão dados por (2.48):

/=,‹,,, =Az+(1-Az) exp(-5zQ,,, f) F)z=fi¢+(1-4) @Xp(-B=Q., f)

(352) (3-53)

Dividam-se membro a membro as equações (3.51) e (3.50). Obtém-se deste modo a seguinte razão de velocidades:

N. /N... =i(a.. fa ) (o.,. /Q.)"'”' ()=,.,./f-: .) 1 ”3

(354)

Na anterior expressão pode omitir-se o factor (F, 3,, / F, C ) uma vez que será aproximadamente unitário em situações práticas de controlo estável. Substituindo na expressão anterior a., e a, 8,, , de acordo com as equações que definem estes coeficientes (3.45 e 3.30), obtém-se:

N. /~sp=i(/ra., /nem.) “”' (Q.,,/Q.)"""1 "3

(355)

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

50

Uma formulação alternativa poderá ser obtida em função de gradientes médios de molaridade tal como no caso da razão de caudais anteriormente obtida. Obtém-se deste modo a seguinte equação de controlo para a velocidade:

N. /N..= i(z1c../z)c...,,)“"'(Q.,,/Q.)"'”'i "3

(355)

Uma correcção da velocidade de rotação aplicada com base na anterior equação satisfaz o algoritmo de optimização, na condição de o sistema se encontrar previamente optimizado, razão pela qual o fermentador deverá ser periodicamente optimizado. Deste modo N,,, deverá ser periodicamente substituído por N,,,, na anterior equação de controlo, e do mesmo modo Q,,, deverá dar lugar a QO, .

Das anteriores Equações (3.49) e (3.56) obtemos os novos valores das variáveis manipuladas, QC e N., , a utilizar no decurso do próximo período de controlo.

3.5. Associação Cooperativa entre os Algoritmos de Adaptação, Optimização e Controlo

3.5.1.Associação entre Optimização e Adaptação O desempenho do algoritmo de optimização energética dependerá, obviamente, da capacidade preditiva que o sistema optimizador possuir, relativamente à capacidade de transferência de oxigénio disponível no novo ponto de ajuste seleccionado. Deste modo,

é importante que o optimizador disponha de parâmetros da correlação de Kia suficientemente adaptados às condições de transferência de massa que caracterizam o

fermentador na escala de tempo em que decorre a optimização. Esta necessidade será suprida pelo processo de adaptação de parâmetros. É de notar que a capacidade preditiva que se encontra associada a cada conjunto de valores dos parâmetros, fomecido pelo adaptador, depende em larga medida do afastamento entre valores de /ía previstos e medidos, que se vier a verificar no momento em que se efectua a acção de optimização.

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

51

Caso num dado período este afastamento se revele superior a um dado limite, poderá ser preferível prosseguir somente o processo adaptativo, relegando-se o processo optimizador para uma situação ulterior em que tal não se verifique. O limite anteriormente referido poderá aliás coincidir com a banda morta que possa ser utilizada no processo adaptativo. Em altemativa, poderá efectuar-se a optimização com recurso aos valores dos parâmetros anteriores à detecção da ultrapassagem do limite referido.

Desta forma se evita que uma eventual instabilidade dos parâmetros em adaptação se repercuta no processo optimizador.

Como consequência do conhecimento inexacto da correlação de /ía que melhor caracterizará a transferência de massa no fermentador, surge um desvio do valor da função objectivo, ou seja a potência eléctrica total, face ao valor óptimo desejado. Este desvio é desconhecido do sistema observador, uma vez que ignora a correlação que seria exactamente coincidente com aquela que caracteriza de facto o fermentador. Porém,o mesmo não se passa relativamente à molaridade de oxigénio, que pode ser medida enquanto decorre a optimização e comparada com o ponto de ajuste pretendido para esta variável. O afastamento entre os dois valores referidos seria, no caso de se dispor da correlação exacta, resultante de erros de modelação, de aproximações de cálculo, e de perdas de informação decorrentes da amostragem, ruído e atrasos. Caso não se disponha da correlação exacta, este afastamento será em princípio aumentado (exceptuando o

caso de ocorrer compensação de erros). Este aumento previsível do afastamento da molaridade de oxigénio, relativamente ao seu ponto de ajuste, tende a ser corrigido pela

acção de controlo que numa aplicação prática se encontrará associada ao processo de optimização.

É conveniente notar que, considerados individualmente, os erros que afectarão os parâmetros estimados da correlação de /ía carecem de significado fisico. Tem significado físico o seu efeito conjunto sobre a capacidade preditiva da correlação de /ía , ocorrendo aliás parcial compensação dos efeitos destes erros como consequência

do processo adaptativo. Esta compensação de efeitos resulta benéfica para o processo optimizador.

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

52

É conveniente estudar qual o comportamento do processo optimizador na situação ideal de se dispor de um conhecimento perfeito da correlação de /ía mais adequada para descrever o fermentador. Desde logo porque só nesta situação é possível extrair com alguma generalidade algumas conclusões sobre o processo optimizador, que doutra

forma seriam afectadas, de modo indeterminado, por quaisquer desvios que pudessem afectar a correlação disponível. Em segundo lugar, porque se trata de um caso limite que estabelece claramente qual o potencial de optimização disponível para a evolução da potência eléctrica total. Deste modo, admitiu-se no estudo de implementação efectuado neste trabalho, que os parâmetros que caracterizam a transferência de oxigénio no fermentador são coincidentes com a estimativa que desses mesmos parâmetros dispõe o sistema optimizador.

3.5.2. Associação entre Controlo Adaptativo Bivariável e Adaptação de Parâmetros O desempenho do algoritmo de controlo dependerá da capacidade preditiva que o sistema controlador possuir, relativamente à capacidade de transferência de oxigénio disponível no novo ponto de ajuste seleccionado. Deste modo é importante que o controlador disponha de parâmetros expoentes (m e n) da correlação de KLa , suficientemente adaptados às condições de transferência de massa que caracterizam o ferrnentador. Uma vez que a capacidade preditiva, que se encontra associada a cada conjunto de valores dos parâmetros fomecido pelo adaptador, depende em larga medida do afastamento entre valores de Kia previstos e medidos que se vier a verificar, é possível dispor de uma indicação da qualidade dos parâmetros disponíveis. Caso num dado período este afastamento se revele superior a um dado limite, poderá ser preferível, prosseguir a acção de controlo com recurso aos valores dos parâmetros expoentes anteriores à detecção da ultrapassagem do limite referido. Desta forma se evita que uma

eventual instabilidade dos parâmetros expoentes em adaptação se repercuta no processo controlador. Deve referir-se que o processo controlador se apresenta relativamente robusto, face a possíveis desvios sofridos pelos parâmetros expoentes. De facto, com a limitação adoptada na Secção 3.2.1 relativa à manutenção da soma dos expoentes num valor constante, a manipulação do caudal de ar não poderá ser afectada por tais desvios.

Estratégia de Controlo e de Optimização Adaptativos

53

Somente o ganho do controlador relativamente à manipulação da velocidade de agitação poderá sofrer algum desvio. Em consequência deste desvio, a acção de controlo poderá assumir uma resposta mais lenta e estável ou pelo contrário mais rápida e instável, face à resposta providenciada pelo ganho teórico definido pelos parâmetros expoentes que exactamente caracterizam o fermentador.

3.5.3.Associação entre Controlo Adaptativo Bivariável e Optimização O algoritmo adaptativo bivariável requer apenas a selecção inicial de pontos de ajuste para as variáveis manipuladas, que serão em seguida substituídos de forma recorrente pelos valores anteriores, existindo igualmente a possibilidade de substituir os pontos de ajuste existentes pelos valores providenciados pelo algoritmo de optimização.

Esta substituição será efectuada sempre que terminar um período de tempo de optimização. Caso o período de tempo de optimização iguale o de controlo, a selecção

do ponto de ajuste será sempre da responsabilidade do algoritmo de optimização.

Capítulo 4 Resultados de Ensaios Simulados e

sua Interpretação Dedicado a Rómulo de Carvalho, Cientista, Escritor, Historiador, e Pedagogo, 1906-1997.

Fala-se às vezes de experiências realizadas que “não deram resultado”.

Isto são palavras vãs.

Todas as experiências dão resultado

e todos os resultados delas são positivos.

O que a experiência não pode dar é o resultado que se pretendia que desse ou que se esperava dela...

Dir-se-á então que a experiência “foi mal feita”, que “a experiência falhou”.

Não foi mal feita nem falhou.

Aquela experiência, feita nas condições em que foi feita, deu aquele resultado, e o resultado só podia ser aquele.

Está certa, portanto. Foi o que a experiência deu ?1

Rómulo de Can/alho, “A Experiência Científica”, Sá da Costa, Lisboa, 1979.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

55

Capítulo 4 Resultados de Ensaios Simulados e sua Interpretação

4. 1.Introdução Efectuaram-se ensaios de adaptação de parâmetros da usual correlação de K_a, com vista à selecção das condições óptimas para uma implementação do método. A adaptação fez-se de acordo com o algoritmo recursivo dos minimos quadrados, tal como foi explicitado na Secção 3.2.1. Recorreu-se a excitação sinusoidal das variáveis manipuladas: caudal de ar e velocidade de excitação Secção 3.2.2. O algoritmo de adaptação foi ensaiado em condições próximas das encontradas em fermentações reais: considerando ruido e atraso na resposta das variáveis observadas. Foram introduzidas e ensaiadas opções de banda morta e de factor de esquecimento.

O algoritmo de optimização descrito(Secção 3.3)permitiu uma redução significativa do consumo energético. O algoritmo de controlo bivariável (Secção 3.4) foi comparado com o tradicional PID (Apêndice IV), com resultados quantitativamente superiores, de acordo com o critério da área de desvio. Os ensaios de adaptação, controlo, e optimização, assumiram a parametrização indicada nos Anexos III e IV. Um resumo da parametrização mais significativa encontra-se na Tabela 4.1.

Concentração molar crítica do oxigénio dissolvido (mol m'3) Diâmetro do agitador (m) Diâmetro do tanque (m) Número de turbinas Altura da coluna de líquido na ausência de arejamento e agitação (m) Valores iniciais dos parâmetros adaptados da correlação de KLa

Cm: = 0.119 D: 0-35 Dz = 0-700 nf ='1 HL= 0-53 ko = 3-0017 m0: I70 =

Parâmetros reais da correlação de /ía usados em simulação:

ks =1-87053 mS=0.54 I'lS=0.46

Taxa de consumo de oxigénio (mol m`3 s'1) 0URs=0-3001320 Ponto de ajuste do caudal de ar geralmente usado em adaptação 3-5E'3m S' Ponto de ajuste da velocidade geralmente usado em adaptação ÕHZ Tabela 4.l Selecção de parâmetros geralmente utilizados nos ensaios de adaptação, controlo e optimização (excepto se referidos outros no texto).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

56

4.2.Ensaios de Adaptação de Parâmetros da Correlação de KLa Utilizando Excitação Sinusoidal 4.2.l.Efeito da Amplitude de Excitação

A resposta observada da fracção molar de oxigénio na fase gasosa e da molaridade de oxigénio na fase liquida ocorre com desfasamento e atenuação, resultando um desvio do valor de valor observado de lía, conhecido pelo sistema observador, relativamente ao seu valor real no sistema observado. Este desvio que será tanto maior quanto mais elevada for a amplitude de excitação aplicada às variáveis manipuladas (caudal de ar e velocidade de agitação), e é responsável por desvios e instabilidade nos parâmetros.

Porém, a atenuação anteriormente referida é igualmente responsável por um maior grau de dependência linear entre as variáveis manipuladas, à medida que diminui a amplitude de excitação. Deste facto, resulta indeterminação nas soluções obtidas para os parâmetros adaptados, de onde resulta deriva (drift) do valor dos parâmetros. Pretende-se assim seleccionar uma amplitude de excitação adequada, como compromisso entre as duas tendências. Nos ensaios realizados o desfasamento utilizado foi de rc/2 (da velocidade de agitação face ao caudal de ar).

Do estudo realizado verifica-se que na ausência de excitação o parâmetro k não sofre adaptação, sendo por outro lado lenta e sujeita a um desvio residual a adaptação dos expoentes (Figura 4.1). Para uma amplitude de excitação de i1% na velocidade e i3% no caudal de ar (Figura 4.2), a adaptação de parâmetros faz-se muito lentamente (com a consequente estabilidade de seus valores). Para uma amplitude de excitação de 552% na velocidade e i6% no caudal de ar (Figura 4.3), a adaptação de parâmetros faz-se de forma efectiva num espaço de tempo aceitável, tendo em atenção a escala de tempo em que decorre a fermentação. Amplitudes de excitação superiores ao estritamente necessário são indesejáveis dum ponto de vista operatório (Figura 4.4). Conduzem a um processo de adaptação de resposta rápida mas com progressiva instabilidade e maior desvio dos parâmetros adaptados. Para amplitudes de excitação iguais ou superiores a i3% na velocidade e i9% no caudal de ar não se observa redução do tempo de resposta na adaptação de parâmetros. Seleccionou-se como conveniente uma

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

57

amplitude de excitação de i2% na velocidade e i6% no caudal de ar. Seria conveniente prosseguir o estudo do efeito da amplitude de excitação, tendo em consideração os desfasamentos O e rc, e verificando o efeito da excitação unilateral de apenas uma das variáveis (caudal de ar ou velocidade).

É conveniente apresentar para a amplitude de excitação seleccionada, a evolução das variáveis manipuladas (Figura 4.5). Relativamente às variáveis observadas, é de referir que a fracção molar de oxigénio no topo do fermentador e o valor observado de OUR dependem da evolução do caudal de ar, relacionando-se estas variáveis entre si pelo balanço de massa à fase gasosa (Figura 4.6).

KLa

6.0E-2

í meas u red ›

líl

'›_

'It

:Q 4 - O E'2 ru >¿ 3'OE-2 2 _ Q 5-2 1

caudal de ar fase:0 amplitude:¬:O% velocidade fase:rc/2

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l l¬ l l l¬ l l l¬ l l l¬ l l l¬ l l l l¬ l l l¬ . . |¬ . .

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330

930

030

1230

1530

. . l l¬ l l l¬ l l l¬ l l l¬ l l l¬ l r

330 21301 tempo [s]

2430

2730

3030

amplitud€zÍO%

3330

Parâmetros de KLa 2.00

z

4 k/ks

1'8O Í

- - - - - -- m/ms

1 . 6O

______ _ _____________4 n /n S

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1.40 1.20 1 .OO J' :___`_` __,__”,,§_§__`__§,,', '° .'..'. _ '. .:.." '.:..:...:..:..' '

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30 5 330

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2 330 \-

a

5

..f¬. F...

]

30í

24301

2730

30301

]

3330¿

tempo [s]

Figura 4.1 Efeito da amplitude de excitação sobre a adaptação de parâmetros (I).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação KLa 6.0E-2

í meas ured

5.0E-2

predicted

1 '1

"

4.0E-2

'ú1

°‹ . ›`«

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~ u ._. _ _

ff Í'1"i

KLa[3']

caudal de ar fase:0 amplitude:i3% velocidade faseirc /2 amplitude:il%

'~'. .. o ».-.._..._._._..-..,._ ...._ `.' _ ..._-.n..~n-.

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_

_

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2.0E-2 1.0E-2

171117111

O O0

O Of) Of)

O Of) CO

O Of) O

1230

830

1530

21301

%

2430

3030

2730

3330

tempo [s] Parâmetros de 1100 1.80 1.60 1.40

í k/ks - - - - - - - m/ms ------------ -- n/ns

1.20 1.00 }_,__.- - - - - - - _ . . _ . . _ . . _' ""' Ap* (180 (160 040 O O0

O O0 O0

O O0 CO

O O0 O

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7

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1230

1530

1

71

1

1

71

1

O (Õ \_ (\|

11830

2430

3030

2730

3330

tempo [s]

Figura 4.2 Efeito da amplitude de excitação sobre a adaptação de parâmetros (II).

KLa 6.0E-2

í meas ured

5.0E-2

prediçted 1 `\ ›

"

4.0E-2

u..

KLa[3']

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirr/2 amplitude:i2%

rs 3 oo

'. » . . . .ú

°

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OE-2

2.0E-2 1.0E-2

J

30 6

5

J

í330

2 930

5 030

711

1230¿

171111_111711l

71117111

830

1530

21301

é

24301

3 30 27

3030

3330

tempo [s] Parâmetros de KLa 1100 1.80 1.60 1.40

O 1</ks - - - - - - - m/ms .....

1.20 1.00 (X80 (X60 OA0

]

30

330

]

630

]

930

]

1230

171171

1530

]

1

7111711

1830

O O0 \(\|

]

2430

71171

2730

]

3030

n/ns

17111

3330

tempo [s]

Figura 4.3 Efeito da amplitude de excitação sobre a adaptação de parâmetros (III).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação KLa 6.0E-2

O measured

5.05-2 _ '_

predicted

4.05-2

KLa[31

caudal de ar fase:0 amplitude:i9% velocidade fase:1c/2 amplitude:i3%

DE-2

2.0E-2 1.OE'2171171171171171117111

O Of)

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

1230

J

1

1

830

1530

2130

2430

3030

2730

3330

tempo [s] Parâmetros de KLa 2.00

O 1</ks

1.30 1.00 1.40 1.20 Ã 1.00 Ãl

- - - - - -- m/ms ............ _. n/ns

z,/"""/ n..______-

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0.80 0.60--11¬.1.¬.

O Of)

117

O Of) Of)

O Of) O

1

1

930

1

1

1230

1

1530

1

1

1330

1

2130

1

117117111

73

43

20

03

30]

20

1

33

30

tempo [s]

Figura 4.4 Efeito da amplitude de excitação sobre a adaptação de parâmetros (IV).

Caudal padrão de ar 5.0E-

Iíl

3 1 caudal de ar fase:0 amplitude:i6%

4.0E-3 -

Í Iíl

Q m3/s

3.0E-3 -

2.0E-3

J

O Of)

71

1

1

71

O Of) Of)

1

1

O Of) CO

O Of) O

1

O Of) (\I P

71

1

1

71

O Of) I-O P

1

1

1

1

71

830

1

1

71

1

O Of) P (\I

1

2430

71

1

1

71

2730

1

1

71

3030

3330

tempo [s] Velocidade de agitação 7

É E

Z

velocidade faseírc /2 amplitude:i2%

6

51711117l111171117111

O Of)

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

0

O Of) C\I

O Of) LO

830

7

7

7

1-

230

tempo [s]

Figura 4.5 Evolução das variáveis manipuladas.

243

730 2

0

0

303

333

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação Fracçao molar de oxigénio no topo

2.00E-1

caudal de ar fase:0 amplitudeiió

1.95E-1 1.90E-1 1.85E-1 1.80E-1

1¬111¬111O Of)

O Of) Of)

1

O Of) O

O Of) O

71

1

71

1

O Of) (\I

O Of) I-O

7

7

1

71

1

1

71

1

1

71

1

71

1

1

71

O Of)

O Of) OO

7

2430

(\I

7

2730

3030

3330

tempo [s] OUR 1.0E-2

T

O measured

9.0E-3

--------------- -- simulation ______________________ O2

8.0E-3

O

OZ

O

O

O

caudal de ar fase:0 amplitude:i6%

momfis 7.0E-3

Iíl

OUR

6.0 E-3 1

O Of)

7

1

1

O Of) Of)

1

7

1

1

O Of) O

1

7

1

1

O Of) O

1

7

1

1

O Of) N

\_

1

7

1

1

1

O Of) LO

\_

7

1

1

71

1

O Of) OO

\_

1

1

O Of) \-

C\|

71

1

1

1

2430

71

1

1

1

2730

71

1

1

1

3030

71

1

1

1

71

1

1

3330

tempo [s]

Figura 4.6 Evolução de OUR e da fracção molar de oxigénio no topo do fermentador.

4.2.2.Efeito do Atraso nas Variáveis Observadas

Dada a existência de um atraso na resposta do sistema observado (fermentador) na medição da fracção molar de oxigénio na fase gasosa, e dada a necessidade de proceder à filtragem dos valores obtidos (introduzindo novo atraso), ocorre desfasamento e atenuação na recepção da informação respeitante a esta variável. Sucede aliás o mesmo com a outra variável observada (molaridade de oxigénio na fase líquida).

No caso da fracção molar de oxigénio na fase gasosa, é necessario uma precisão e exactidão relativamente elevadas nas medidas a efectuar, dado que a propagação do erro que afecta esta variável ao valor calculado de OUR se faz com amplificação de erro relativo. Uma vez que a exactidão desta variável se encontra degradada pela razão anteriormente referida, é natural que se observe um desvio oscilatório do valor de OUR conhecido pelo sistema observador, relativamente ao seu valor real no sistema observado. Trata-se de um desvio que será tanto maior quanto mais elevada for a amplitude de excitação aplicada ao caudal de ar, aumentando ainda com o atraso na resposta e com o tempo de permanência no filtro (média deslizante) utilizado. Este desvio propaga-se ao valor observado de KLa , que recebe ainda a contribuição de desvios do mesmo tipo nas variáveis observadas, repercutidos no gradiente de concentração de

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

61

oxigénio. É de esperar compensação do erro resultante do desfasamento na escala de tempo correspondente ao período de adaptação, dado o carácter equilibrado desta perturbação

(média temporal

nula).

Isto

sucede

desde

que

o

atraso

seja

significativamente inferior ao período de excitação, sendo as oscilações dos parâmetros compensadas nesta escala de tempo. Porém, o erro que resulta da atenuação promovida pelos atrasos (de primeira ordem) introduz um desvio nas estimativas de parâmetros que

não sofre compensação. Este desvio assume carácter permanente, e adiciona-se aos desvios resultantes da linearização logarítmica da correlação de KLa ,

do carácter

discreto da amostragem, e a uma pequena contribuição de erros resultantes da limitada resolução da instrumentação e de erros numéricos de arredondamento.

Para o estudo do efeito do atraso nas variáveis observadas, considerou-se um aumento do atraso na resposta de ambas as variáveis observadas de 30s para 60s (Figura 4.7). Deste aumento resulta ligeira atenuação, com a correspondente diminuição de amplitude, na resposta oscilatória das variáveis observadas. Da atenuação sofrida na resposta da molaridade de oxigénio na fase gasosa resulta um compensador efeito de amplificação na oscilação do valor de OUR conhecido pelo sistema observador, dada a relação entre estas duas variáveis estabelecida pelo balanço de massa à fase gasosa. Esta amplificação propaga-se ao valor observado de KLa, resultando em consequência um aumento no desvio nas estimativas de parâmetros. Deste modo, verifica-se que o efeito de um aumento do atraso nas variáveis observadas se assemelha ao efeito de um aumento da amplitude de excitação, no que respeita ao aumento do desvio sofrido pelos parâmetros. Porém, o aumento do atraso

apresenta um efeito estabilizador sobre a

evolução dos parâmetros, ao invés do que sucede com o aumento da amplitude de excitação.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação KLa 8.0E-2

í meas ured

7.0E-2

predicted

6.0E-2

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2430

2730

3030

3330

tempo [s]

Figura 4.7 Adaptação de parâmetros com um atraso de 60s na resposta das variáveis observadas.

4.2.3.Efeito do Período de Excitação

Da existência de um atraso na resposta das variáveis observadas decorre desfasamento da sua resposta, com um consequente desvio oscilatório no valor observado de KLa . Para que se efectue compensação do erro resultante na escala de tempo correspondente ao período de adaptação, é necessário que o período de adaptação seja significativamente mais amplo do que os atrasos que afectam as variáveis observadas.

Deve notar-se que as duas variáveis excitadas (caudal de ar e velocidade de agitação), assumem um maior grau de dependência linear à medida que se encurta o período de excitação, devido a uma maior repetição de valores amostrados. Deste modo o seu coeficiente de correlação afasta-se de zero (aproxima-se da unidade), o que conduz a um certo grau de indeterminação nas soluções obtidas para os parâmetros adaptados, responsável pela sua deriva (drift). Deve porém referir-se que o facto de na correlação de KLa utilizada não intervir, como variável dependente, a velocidade de agitação (variável efectivamente manipulável), mas sim a potência de agitação,

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

63

contribui igualmente para o fenómeno de escorregamento. Sucede que a potência de agitação é não só dependente da velocidade de agitação, mas também do caudal de ar, pelo que as variáveis dependentes da correlação apresentam-se sempre parcialmente correlacionadas. Esta contribuição aumenta com o caudal de ar, e depende igualmente da geometria do fermentador e do número de agitadores instalados.

O período de tempo de excitação deverá ser significativamente superior ao período de tempo utilizado na adaptação de parâmetros (60s), devendo o primeiro ser

preferencialmente dez vezes superior ao segundo, de acordo com uma abordagem conservativa das regras de amostragem.

Efectuaram-se testes de adaptação de parâmetros com um período de excitação superior e inferior ao período de excitação que temos vindo a utilizar (600s), respectivamente 300s e 900s. Foi assim possível concluir que o período de excitação seleccionado (600s) representa um compromisso desejável. Para um período superior (900s) verifica-se uma indesejável lentidão da resposta do processo adaptativo, embora com maior estabilidade dos parâmetros (Figura 4.8). Para um período inferior (300s) verifica-se indesejável instabilidade e deriva dos parâmetros adaptados, sem que a qualidade do ajuste da correlação sofra qualquer melhoria, relativamente ao período seleccionado (Figura 4.9).

RltddE`S`l " esu a os e nsaros rmu ados e Sua Interpretaçao KLa 8.0E-2

í meas ured predicted

7.0E-2 6.0E-2

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% período:900s velocidade faseirt/2 amplitude:i2% período:900s

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3330

tempo [s] Parâmetros de KLa 1100

í k/ks - - - - - - - m/ms zzzzzzzzzzzzzz- n/ns

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31830

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2430

(\|

3330

tempo [s]

Figura 4.8 Adaptação de parâmetros para um período de excitação de 900s.

KLa 8.0E-2 _._.nz., .

7.0E-2

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2730

1

3330

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% período:300s velocidade fase: rc/2 amplitude:i2% período:300s

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5 3030

3330

tempo [s]

Figura 4.9 Adaptação de parâmetros para um período de excitação de 300s.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

65

4.2.4.Efeito do Desfasamento entre as Perturbações no Caudal de Ar e na Velocidade O desfasamento da velocidade de agitação relativamente ao caudal de ar, provoca uma diminuição da amplitude da oscilação da concentração de oxigénio dissolvido, ao aumentar desde O até it (Figura 4.10), permanecendo constante a amplitude e fase de oscilação da fracção molar de oxigénio no gás do topo do fermentador. Esta última variável depende apenas do caudal de ar e do consumo de oxigénio, não sendo afectada pela velocidade de agitação. Para o desfasamento rt ocorre compensação dos efeitos da excitação da velocidade de agitação e do caudal de ar sobre o valor de Kra, estabilizando-o. Deste facto decorre a diminuição da amplitude de oscilação da molaridade do oxigénio dissolvido.

Oxigénio dissolvido

0.18 _ -3

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase:0 amplitude:i2%

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Oxigénio dissolvido

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caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase: rc/2 amplitude:i2%

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tempo [S] Oxigénio dissolvido

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caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt amplitude:i2%

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2430

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3330

tempo

Figura 4.10 Influência do desfasamento na molaridade do oxigénio dissolvido.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

66

A influência do desfasamento sobre a adaptação de parâmetros, iniciada aos 930s, encontra-se evidenciada nas Figuras 4.11-4.13. Da análise destas figuras conclui-se que o aumento do desfasamento da velocidade de agitação relativamente ao caudal de ar, desde

O até rc, provoca um ajuste progressivamente menos perfeito entre valores de Kra observados e previstos, em concordância com a redução da amplitude da concentração de oxigénio dissolvido. Para um desfasamento rt, observa-se uma característica evolução plana do valor de Kra previsto. A degradação da qualidade do valor de Kra previsto é acompanhada de um incremento da estabilidade da previsão de Kra efectuada, à medida que aumenta o desfasamento. Porém, este incremento de estabilidade na previsão de Kra é acompanhado de um progressivo decréscimo de estabilidade dos parâmetros, representando o desfasamento fz/2 um compromisso entre as duas tendências. O desfasamento nulo garante a melhor estabilidade dos parâmetros e a melhor previsão de Kra, devendo recorrer-se a desfasamentos superiores, ir/2 ou rc, sempre que seja mais importante uma maior estabilidade do valor previsto de Kra e menos importante a estabilidade de parâmetros. Observa-se igualmente que um máximo de estabilidade dos parâmetros (desfasamento O) poderá conduzir a um desvio permanente dos parâmetros face aos seus valores reais, enquanto que com os restantes desfasamentos os parâmetros cruzam os valores reais. A selecção do desfasamento dependerá da amplitude admissível para a oscilação da concentração de oxigénio dissolvido, do desvio médio admissível entre valores de Kra previstos e observados, e da opção por uma maior ou menor estabilidade dos parâmetros da correlação. Por este motivo é conveniente estudar o efeito dos diferentes desfasamentos no comportamento do adaptador perante perturbações dos valores reais dos parâmetros, como contributo para um melhor ajuizamento da selecção mais adequada, o que será feito posteriormente.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação Kra 8.0E-2

í meas ured predicted

7.0E-2 6.0E-2

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase:0 amplitude:i2%

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3330

tempo [s]

Figura 4.11 Influência do desfasamento O sobre a adaptação de parâmetros.

Kra 8.0E-2

í meas ured

7.0E-2

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prgdigtgd

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caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase:rt /2 amplitude:i2%

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3330

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tempo [s]

Figura 4.12 Influência do desfasamento rc/2 sobre a adaptação de parâmetros.

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Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação Kra

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tempo [s]

Figura 4.13 Influência do desfasamento rt sobre a adaptação de parâmetros.

4.2.5.Efeito do Ruído dos Dados Experimentais

A medição da fracção molar de oxigénio no topo do fermentador é bastante afectada pela presença de ruído, com visível degradação da informação resultante da excitação efectuada (Figura 4.14). Deste facto, resulta um consequente e amplificado ruído, afectando o valor observado de OUR (Figura 4.15). Assumiu-se uma relação sinal/ ruído de 100, para a fracção molar de oxigénio, e de 50 para a percentagem de saturação em oxigénio, valores na ausência de excitação. Os valores adquiridos sofrem entretanto filtragem de média deslizante com um tempo de retenção dez vezes superior ao período de amostragem utilizado (6s), e são discretizados para uma variação em degrau com período igual ao do tempo de retenção característico do filtro (60s). Deste modo o nível de ruído patente nos gráficos sofreu já atenuação. Relativamente à outra variável observada, molaridade de oxigénio na fase líquida (medindo-se directamente a percentagem de saturação), é evidente não ser grandemente afectada pelo ruído (Figura 4.16). Neste caso o ruído sofre um efeito de compactação progressivo, à medida que a percentagem de saturação se aproxima do seu limite.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação 2.00

F

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tempo [s]

Figura 4.14. Efeito do ruído na fracção molar de oxigénio no topo.

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3330

tempo [S]

Figura 4.15 Efeito do ruído no valor observado de OUR.

Oxigénio dissolvido

0.18

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% Velocidade faseirt/2 amplitude:i2%

0.16 Iíl

0.14 __.

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0.1

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O Of) Of)

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i

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O Of) LC)

O Of) OO

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É

É

O Of) É

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2430

2730

3030

1 3330

tempo [S]

Figura 4.16 Efeito do ruído na molaridade de oxigénio na fase líquida.

A influência do ruído sobre a adaptação de parâmetros, foi estudada para diferentes amplitudes de excitação, encontrando-se evidenciada nas Figuras 4.17-8.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação KLa 8.0E-2

í meas ured

7.CiE-2

pred içted

6.CiE-2

[S]

5.0E-2

'E

4.0E-2

X

caudal de ar fase:0 amplitude:i3% velocidade fase:rc/2 amplitude:i l %

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C Of) Of)

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2730

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3330

tempo [s] Parâmetros de 2.00

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11830

12430

2730

fxi

5 3030

i

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i'

3330

tempo [s]

Figura 4.17 Efeito do ruído sobre a adaptação de parâmetros (I).

KLa 8.0E-2

í measured

7.0E-2

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caudal de ar fase:0 amplitude:i6% Velocidade faseirt/2 amplitude:i2%

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C) Of) Of)

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1230

830

1530

21305

%

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Parâmetros de KLa 2.00

í i‹/ks

1.80

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1530

31830

\_

(\I

12430

2730

f_iiil¬f

soso5

3330

tempo [s]

Figura 4.18 Efeito do ruído sobre a adaptação de parâmetros (II)

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

71

É possível verificar que para amplitudes de excitação baixas o ruído estimula uma adaptação mais rápida, embora com parâmetros um pouco menos estáveis, negativamente afectada pelo ruído que afecta os valores de Kia medidos. Para amplitudes elevadas, predomina um efeito mais importante de instabilização dos parâmetros, embora a resposta do adaptador se mantenha célere.

4.2.6.Efeito do Factor de Esquecimento

Pretende-se estudar o efeito do factor de esquecimento na resposta de adaptação de parâmetros, relativamente a uma adaptação não perturbada, isto é, assume-se que os parâmetros reais que efectivamente caracterizam o fermentador não sofrem qualquer perturbação no decorrer da adaptação. Da utilização do factor de esquecimento resulta uma retenção mais ou menos selectiva da informação adquirida até ao momento, correspondendo a sua utilização a uma gradual perda de memória da informação mais recuada. Deste facto resulta uma melhor aproximação entre valores de Kra previstos e observados. Nestas circunstâncias a matriz de covariância Pk contém elementos de valor bastante reduzido (determinante reduzido), o que se traduz num efeito amplificador sobre oscilações no valor dos parâmetros, relacionadas com a excitação efectuada. A estabilidade da aproximação conseguida para os valores de KLa tem como contrapartida a instabilização do comportamento dos parâmetros.

Os resultados do estudo efectuado encontram-se representados nas Figuras 4.194.20. Da sua análise conclui-se que a qualidade do ajuste de K_a varia inversamente com a estabilidade dos parâmetros, melhorando com o decréscimo do factor de esquecimento, ztf . O parâmetro k é o mais afectado pela instabilidade verificada. A instabilidade evidencia um carácter periódico, sendo os picos do parâmetro k acompanhados de picos do parâmetro m e de vales do parâmetro n. O estudo realizado permite recomendar uma utilização cautelosa do factor de esquecimento, o qual se for fixado em permanência não deverá ser inferior a 0.9.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação KLa 8.0E-2

7.i.'§iE-2 6.i.'§iE-2 [S`] 5.i.'§iE-2 fã. 4.i.'§iE-2 31 3.i.'§iE-2 2.i.'§iE-2 1.i.'§iE-2

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í measured predicted

'. .

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]

i*iiii*i|||_l

O Of)

O Of) Of)

O Of) CO

1930

5 1230

830

1530

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2130

O

2430

3030

2730

3330

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt/2 amplitude:i2% factor de esquecimento

Parâmetros de KLa 1001)

í k/ks - - - - - - - m/ms zz n/ns

101)

1.0

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O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

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1530

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1

2130]

11830

2430

2730

3030

3330

tempo [s]

Figura 4.19 Efeito do factor de esquecimento numa adaptação não perturbada (zt,‹=O.8) KLa 8.0E-2 7.0E-2

í measured .............. predicted

-roxo

6.0E-2 .¡_

[S`] *E zé

5.0E-2 4.0E-2 _ _5 _ _ U ' '

3.0E-2

H

_

2.0E-2 1.0E-2

5

ii¬iii¬i

O Of)

O Of) Of)

1930

6305

5 5 5 5 1230¿

830

1530

š

2130

_. __ *-u....»›H"

''''' -'

2430

5 5 5 5 0

273

3030

3330

tempo [s]

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase:1t/2 amplitude:i2% factor de esquecimento Àf:0.9

Parâmetros de KLa 9° ca

O i</ks - - - - - - - m/ms ............ .. n/ns

lll -

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-

-

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O Of) Of)

O Of) O

O Of) O)

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1230

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1830

2130

J. __._._._p¢›,.,._._._-..-..._«n._›_._zo›"""""'.".--`-

^ ""'-"----'--_....____-___

2430

2730

3030

3330

tempo [s]

Figura 4.20 Efeito do factor de esquecimento numa adaptação não perturbada (zt,=O.9)

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

73

4.2.7.Efeito de uma Perturbação no Valor de OUR

Consideremos presente uma perturbação sinusoidal no valor de OUR característico do fermentador, e verifiquemos qual o efeito de uma perturbação deste tipo sobre a adaptação de parâmetros. Para uma perturbação de período 1200s, e desvio máximo de i5%, inicia-se a adaptação aos 9305. A perturbação assinalada sobrepõe-se à excitação sinusoidal do caudal de ar, produzindo padrões mais complexos do que os usuais para os valores medidos da fracção molar de oxigénio no topo (Figura 4.21) e para o valor observado de OUR (Figura 4.22), independentes do desfasamento utilizado. A mesma perturbação sobrepõe-se à excitação sinusoidal conjugada do caudal de ar e da velocidade de agitação, produzindo um padrão mais complexo da molaridade de oxigénio na fase líquida, dependente do desfasamento utilizado (Figura 4.23).

O efeito da perturbação de OUR sobre a adaptação de parâmetros encontra-se evidenciado na Figura 4.24. É possível verificar que a perturbação em OUR utilizada não afecta sensivelmente o resultado da adaptação de parâmetros. Deste modo pode concluir-se que a adaptação de parâmetros não será sensivelmente prejudicada por eventuais variações do valor de OUR, característico do fermentador.

F 2.00E-1

-

racçao molar de oxigénio no topo caudal de ar fase:0 amplitude:i6%

1.95E-1 1.90E-1 1.85E-1 1.80E-1

l

O Of)

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

O Of) C\l O

O Of) LC) O

O Of)

É

O Of) O

C\l

2430

2730

3030

3330

tempo [s]

F'igura 4.21 Ef' erto de uma perturbaçao " sinusoidal ` ` em OUR sobre a fracçao ” mo l ar de

oxigénio no topo.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação OUR 1.0E-2

T

9.oE-3

_

8.0E-3

__,

7.0E-3

O measured 5 im U |a [[0 n

caudal de ar fase:0 amplitude:i6%

6.0E-3

OUR mom'5s

5.0E-3

il

O Of)

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

O Of) N O

O Of) LC)

i

i

iii

O Of) OO

O

O Of) O

N

O

2430

2730

3030

3330

tempo [S]

Figura 4.22 Efeito de uma perturbação sinusoidal em OUR sobre o seu valor observado.

Oxigénio dissolvido

0.18

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirc /2 amplitude:i2%

0.16 z Iíl

0.14

C mom'3

0.10 z 0.08¬i¬ii¬ii O Of)

O Of) Of)

i

O Of) O

O Of) O

iii

|

i

O Of) N

O Of) LC)

O Of) O

O

O

O

iii

i

O

230]

2430

73 20

3030

3330

tempo [S]

Figura 4.23 Efeito de uma perturbação sinusoidal em OUR sobre a molaridade de oxigénio dissolvido.

KLa 8.0E-2

í meas ured

7.0E-2

prediçted

6.0E-2

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt/2 amplitude:i2%

.¡_

5.0E-2 4.0E-2

Kia[3']

3.0E-2

2.0E-2 1.0E-2

5

ii¬iii¬i

O Of)

O Of) Of)

6305

2 930

5 5 5 5 1230

1530

830 O

2130

5 5 2430

i_iil_iiil_iii

3030

2730

3330

tempo [s] Parâmetros de 2.0

O i</ks

1.8z

- - - - - - - m/ms

1.6z 1.4z

í

1 -0 5

"'

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0 8 0.6¬ii¬iiii.O Of)

O Of) Of)

]

iiiiOiiiiO

O Of) O

O Of) O

1230

1530

1830

32130

5 2430

5

5

2730

3030

3330

tempo [s]

Figura 4.24 Efeito de uma perturbação sinusoidal em OUR sobre a adaptação.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

75

4.2.8.Efeito do Erro Inicial das Estimativas dos Parâmetros

É necessário dispor de estimativas iniciais dos valores dos parâmetros a adaptar, as quais são valores fixados típicos da fermentação em estudo. Admitam-se diferentes valores reais dos parâmetros como característicos do sistema fermentador (Tabela 4.2), para os quais a estimativa inicial do valor de Kra previsto seja inferior aos valores de KLa observados, contrariamente à situação até agora analisada.

0.00153 0.660 0.340

Tabela 4.2. Valores reais dos parâmetros.

Caso nestas condições, o ponto de ajuste do caudal de ar se mantivesse em 3.5E-3 m3 s`1 e o ponto de ajuste da velocidade em 6Hz (valores que temos vindo a utilizar), resultaria neste caso uma oscilação de baixa amplitude relativa na concentração de oxigénio dissolvido, como consequência do seu valor médio relativamente elevado.

Como consequência, pioraria a qualidade do ajuste adaptativo. A concentração de oxigénio média obtida (O.33 mol m'3) tomar-se-ia muito elevada face à concentração crítica. Optou-se nestes ensaios, por uma redução dos valores de ajuste do caudal de ar e da velocidade de agitação, capaz de aproximar a concentração de oxigénio média da concentração crítica (O.119 mol m`3). Para um ponto de ajuste do caudal de ar situado em 1.7SE-3 m3s`1, e o ponto de ajuste da velocidade situado em 3Hz, a concentração de oxigénio média cifra-se em 0.113 mol m`3. Com estes pontos de ajuste efectuaram-se testes de adaptação de parâmetros, para os diferentes desfasamentos da velocidade, tendo sido possível concluir que a adaptação de parâmetros apresenta robustez face ao confronto com diferentes valores reais dos parâmetros, característicos do sistema fermentador. A adaptação prossegue de forma qualitativamente semelhante, quer a estimativa inicial do valor de KLa previsto seja inferior aos valores de KLa observados, quer no caso contrário, seja qual for o desfasamento da velocidade de agitação que venha a ser utilizado. Apresentamos resultados do ensaio efectuado com desfasamento tt/2 (Figura 4.25).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação KLa 8.0E-2

í meas ured

7.oE-2 6.oE-2

predicted caudaldear fiwefl amplitude:i6% velocidade fasein/2 amplitude:i2%

'fg 5.‹:›E-2 fã. 4.1.'§1E-2

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3.oE-2 2.0E-2

___________________

1.oE-2

11_1111¬11T11T117111711T11T11T111T11T11T11T11T11

CD O0

CD O0 O0

CD O0 QD

CD O0 ®

1230

1530

830 É

2130

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Parâmetros de KLa 21)

í k/ks - - - - - - - m/ms n/ns

1.8 z 1.6 z 1.4 f 1.2 Cl8z O.6E111*111111*11111*11111*1

C) OO

C) OO OO

C) OO G)

C) OO ®

11111117111

É (Ú (\| \_

C) OO LO T

C) OO OO T

É (Ú \_ (\|

2430

2730

3030

3330

tempo [s]

Figura 4.25 Adaptação desde valores inferiores de Iía com desfasamento 1:/2.

4.2.9.Efeito de uma Perturbação nos Valores Reais dos Parâmetros da Correlação de Ifia

Perturbação no parâmetro ks : A adaptação inicial de parâmetros da correlação de K¿a, situação que temos vindo a analisar, prossegue inicialmente com base em valores pré-fixados na matriz inicial de covariância P0. Caso a adaptação prossiga, a matriz de covariância Pk altera-se significativamente, em geral no sentido da redução do valor dos seus elementos (redução do seu determinante) e das correcções a efectuar. Considere-se que após algum tempo de adaptação, os valores reais dos parâmetros da correlação de KLa, característicos do sistema fermentador, sofrem qualquer perturbação. A resposta adaptativa torna-se então muito mais lenta. Esta situação é sobretudo evidente se não se considerar a presença de ruído, dado que na sua ausência a matriz de covariância Pk apresenta determinante mais reduzido, sendo esta por conseguinte a situação mais desfavorável. Considere-se que o parâmetro ks (referente a 20°C) sofre aos 1830s uma perturbação em degrau, desde 0.00187 até 0.00150 (redução de 20%). Dá-se início à adaptação de parâmetros aos

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

77

630s. Da perturbação efectuada resulta um decréscimo da concentração de oxigénio dissolvido. A evolução desta variável é apresentada para um desfasamento da velocidade de agitação rc/2 (Figura 4.26). Para desfasamento nulo, a amplitude das oscilações será

superior, e para desfasamento tt verifica-se o contrário.

018 0.1 6 ___ O 14 -3 O`12 ` mOm 0.10 ._.

C 0.08 006 O O4

Oxigénio dissolvido

caudalde ar

; i z Í z -

fase:0 ampl1tude:i6% velocidade faseirt/2 amplitude:i2%

z

Í L _ 1

o

Of)

1í1

o

Of) Of)

1

1

1í1

1

o

Of) CO

1í1

1

1í1

1

1

1í1

o

Of) Ô)

1

o

Of) (\|

P

1í1

1

1í1

1

o

Of) |-O

1í1

1

1

111

]

perturbação de ks antes de l830s: 1

1

1í1

1

1

1í1

1

1í1

1

1í1

1

1

1í1

1

1í1

o

Of) @

P F 230 tempo [s]

è

1%

1'

ks =0.00l87 2430

2730

3030

3330

depois de l830s: ks=0.00150

Figura 4.26 Evolução da molaridade de oxigénio resultante da perturbação do parâmetro ks .

De acordo com a perturbação do parâmetro ks referida obtêm-se os resultados de adaptação apresentados nas Figuras 4.27-9, para os diferentes desfasamentos da velocidade. Da análise dos resultados da adaptação com perturbação do parâmetro ks, conclui-se que a aplicação do desfasamento ft é indesejável, dado provocar uma adaptação instável do parâmetro k, e um ajuste bastante ineficaz entre valores de Kra previstos e observados. Para os restantes desfasamentos a capacidade de ajuste é semelhante, ocorrendo uma maior oscilação de parâmetros para o desfasamento fc/2. De uma forma geral a adaptação prossegue de forma qualitativamente semelhante ao caso de uma adaptação não perturbada. Porém, aumentam os desvios entre valores de Kra previstos e observados, aumenta o tempo de resposta do adaptador (relativamente a uma adaptação não perturbada), e aumenta a instabilidade dos parâmetros.

Perturbação no parâmetro ms:

Considere-se que o parâmetro ms sofre aos l830s uma perturbação em degrau, desde 0.54 até 0.60 (ns variarâ então desde 0.46 até 0.40). Dá-se início à adaptação de parâmetros aos 630s. Da perturbação sofrida, resulta um incremento da concentração de oxigénio dissolvido, acompanhado das usuais oscilações que resultam da excitação aplicada. A evolução desta variável é apresentada para um desfasamento da velocidade de agitação rc/2 (Figura 4.30). Note-se a diminuição da amplitude de oscilação desta

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

78

variavel resultante da aproximação à saturação, que se traduz numa degradação da eficacia da excitação aplicada, com consequente prejuízo no resultado da adaptação.

Tendo em atenção a perturbação do parâmetro ms referida, obtêm-se os resultados de adaptação apresentados nas Figuras 4.31-3, para os diferentes desfasamentos da velocidade.

Da analise dos resultados de ms, observa-se um

adaptação, com

comportamento qualitativamente

perturbação

do

parâmetro

semelhante ao verificado no

caso da perturbação aplicada ao parâmetro ks, embora com maiores desvios entre valores de Iía previstos e observados. É assim possível generalizar a discussão da

influência do efeito do desfasamento no caso de uma adaptação não

perturbada

(Secção 4.2.4), ao caso em que ocorram posteriores perturbações nos valores reais dos parâmetros da correlação de KLa, característicos do sistema fermentador.

RltddE" " esu a os e nsaros Simulados e Sua Interpretaçao KLa 8.0E-2

Í meas ured predicted

7.0E-2 6.0E-2

[S'] ffHà I\>

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase:0 amplitude:i2%

'_

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fã. 4.1.'§1E-2 3.1.'§1E--2 2.0E-2 1.0E-2

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1

1

CD Of)

1

1

1

1

1

1

CD Of) Of)

1

CD Of) CO

1

1

1

1

1

1

1

1

1

CD Of) O)

1

1230

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

830

1530

1

1

1

2130

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1

1

1

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*Í

#7

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1

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Parâmetros de 21)

í k/ks - - - - - - - m/ms

1.8 1.6 1.4

1-2

"

_--......-_.---s

1.0

2

_ *

/._

ks =0.00l87 depois de l830s:

0.8 (lô

perturbação de ks

" ` ' ' ' '_:_:_I:_:sz__1__:__;___f___;s_;_;___;¿ _._..._..._z.;.=......¬....----.--¬-..¬.-.....-....------_ EIÍIÍÔS (16

ks =o.oor5o

T111111111111111111111111

C) Of)

C) Of) Of)

C) Of) Q)

C) Of) @

1230

1530

1830

2130

2430

2730

3030

3330

tempo [s]

Figura 4.27 Adaptação com perturbação do parâmetro ks (desfasamento 0).

KLa 8.0E-2

í measured

7.0E-2

~~._

............ .. predigtgd

6.0E-2

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt/2 amplitude:i2%

[S] .ffHà I\>

'_ I

fã. 4.1.'§1E-2 3.1.'§1E-2 2.0E-2 1.0E-2

>¿

¬^'¬ ø..

CD Of)

CD Of)

CD Of)

3

6

CD Of)

9

1230

1530

830

2130

É

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Parâmetros de 21)

ík/ks

1ô~

- - - - - - - m/ms n/ns

1.6 1.4 1.2

_ , ---

_ _ /:Ã _ ` \/ ”"''''''''“' '^\/ "“”`

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1.0 0.8

‹eF111:1111:11:1177:777:»""""'“""““¬""“" "'''```

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(lô c> ea

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1230

1530

1830

2130

2430

2730

3030

P erturb ‹'=1Ç ão de ks antes de l830s'

=0 . 00187 ' de p ois de l830s: ks =o.oor5o lís

3330

tempo [s]

Figura 4.28 Adaptação com perturbação do parâmetro ks (desfasamento rc/2).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação KLa 8.0E-2

í measured

7.0E-2

.,._~_

'.

_ ,. . . . . .. _ z n n

predicted

6.0E-2

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt amplitude:i2%

[S'] ffHà I\>

'_

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3.0E-2

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2.0E-2 1.0E-2

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330

5 630 Í 930

1230

830

1530

2130]

2430

3030

2730

3330

tempo [s] Parâmetros de KLa

2. 0

í k/ks

1.8

- - - - - - - m/ms

1.6 Ã 1.4 Ã 1.2 Ã

n/n 3

perturbação de ks antes de 18305: ks =0.00l87 depois de 18305: ks =0.00l50

1.0 Í - _ - - _ - _ ' 0.

06

] O Of)

O Of) Of)

O Of) CO

O Of) O

1230

1530

1830

32130

2430

3030

2730

3330

tempo [s]

Figura 4.29 Adaptação com perturbação do parâmetro ks (desfasamento rc).

Oxigénio dissolvido

0.30

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase:rt /2 amplitude:i2%

0.25 lí

0.20

_ 0.15 C mom'3

0.10 0.05

] O Of)

] 330

]

] 6304

1

1 930

1

17

1

O Of) C\I O

17

1

1 530 O

111

1

1

111

]

1

O Of) CO O

tempo [S]

1_1

1

1%

1_1

é

230]

2430J

1 2730

3030

1 3330

1

perturbação de ms antes de l830s: ms =0.54 depois de l830s: ms =0.60

Figura 4.30 Evolução da molaridade de oxigénio resultante da perturbação do parâmetro ms.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação K ga 9.0E-2

8 052

í measured

7_ܤ1E.2 _.

If>fed¡CÍed

~.-¬ 0.052 3 5.052 ¿¿(Ê. 4.052

.øf

,.-.

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase:0 amplitude:i2%

I--zw

3.0E-2 2.0E-2 1.1:1E'211_1111_1111_1111_1111_1

O Of)

O Of) Of)

O Of) CO

O Of) O

111111

1230

1_1111_1111_1

830

1530

2130]

%

2430

3030

2730

3330

tempo [s] Parâmetros de P9 c›

í k/ks - - - - - - - m/ms n/ns - _ . _ _ . _ . -

._

I D I U I I I I I I U I I I I I I I I I I I. '

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i

- '

F'ÇF° >F T* T*r * c>m›¢oa›cm›à.oa› O Of)

O Of) Of)

O Of) CO

O Of) O

1230

1530

11830

12130

2430

3030

2730

perturbação de ms antes de 18305: ms =0.54 depois de 18305: ms =0.60

3330

tempo [s]

Figura 4.31 Adaptação com perturbação do parâmetro ms (desfasamento 0).

KLa 9.0E-2

í measured

3.052 7.052

(x/\_/_\_/

_______

¬'r¬ 6.0E-2

3 5.052 (U

'_

. . . - ' ' ' - - ‹ « . . A I _ À ,. - .-

:Z 4.1.'I1E-2

3.052 2.052 1.052

5

11¬111¬1

O Of)

O Of) Of)

3301

2 930

5 5 5 5 1230

1530

830 é

2130

5 5 2430

predicted caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt/2 amplitude:i2%

1_1111_1111_1

2730

3030

3330

tempo [s] Parâmetros de

4.0 1

í 1</ks - - - - - - - m/ms

3.0 1 2I)1

1

1-0 [¬¬m~«¬«¬¬« ``````` (IO 1. 5..... f O Of)

O Of) Of)

3

1111¬1111¬

O Of) O

O Of) O

1230

31530

31830

32130

2430

2730

]

30301

perturbação de ms antes de l830s: ms =0.54 depois de l830s: ms =0.60

3330

tempo [s]

Figura 4.32 Adaptação com perturbação do parâmetro ms (desfasamento rt/2).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

82

KLa 9.0E-2 8_OE_2

í measured

7_‹f;1|5.2 Iíl

1|

.............

Pfedififed

6 0E 2 .

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt . amplrtude:i2%

_

3 5.052 ¿¿(Ê. 4.052 3.052

7* ef

-_._._., _ _ .

O *r

2. Z E-2 11 11_111É11T11T117111711T11T11T111T11T11T11T11T11

30

330

630

930

1230

830

1530

2130

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Parâmetros de KLa

5.0

í 1</ks

4.0

- - - - - - - m/ms

31)

2'O

perturbação de ms

1.0

aHf@Sd@1830S1

OO

1111111111111111111111111

O Of)

O Of) Of)

O Of) G)

O Of) O

O Of) (\l \_

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

O Of)

O Of)

O Of)

\_

\_

(\|

LO

OO

\-

ms-0.54 ~~1¬~~¬~~¬1~~¬1‹depoisdel830s: 30 30 ms=0.60 2430

2730

30

33

tempo [s]

Figura 4.33 Adaptação com perturbação do parâmetro ms (desfasamento rc).

4.2.l0.Efeito da Utilização de Banda Morta de KLa O recurso a uma banda morta de afastamento entre os valores de [ía previstos e observados, simplesmente designada por banda morta de K[a, apresenta consequências benéficas, quer sobre a estabilidade dos parâmetros, quer sobre a prontidão da resposta de adaptação face a perturbações nos valores reais dos parâmetros da correlação de K[a que caracterizam o sistema fermentador. Este comportamento resulta do facto de a banda morta aumentar o desvio entre os valores de lía previstos e observados, o que até certo ponto é admissível. Deste modo a matriz de covariância P.. altera-se no sentido do incremento do valor dos seus elementos (aumenta o seu determinante), aumentando o seu efeito sobre as correcções a efectuar aos parâmetros.

Considere-se a perturbação em degrau aplicada ao parâmetro ks, tal como efectuada na anterior secção. Considere-se porém agora o efeito da suspensão da adaptação, sempre que os desvios de K[a se encontrem compreendidos numa banda morta de uma dada amplitude. Desta forma se obtêm os resultados de adaptação que

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

83

apresentamos nas Figuras 4.34-6. Da análise de tais resultados, é possível concluir que

no caso de se pretender utilizar uma banda morta de K[a, deverá optar-se por uma amplitude próxima de 0.003 s`1. Esta amplitude representa um compromisso justo entre o

acréscimo de estabilidade nos parâmetros, e o acréscimo do afastamento entre valores de lía previstos e observados.

KLa 8.052

í measured

7.0E-2 6.1.'§1E-2 [S`] 5.1.'I1E-2 fã 4.1.'§1E-2 X 3.1.'I1E-2 2.0E-2 1.0E-2

............. .. prgdigtgd

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt/2 amplitude:i2%

.¡_

5

........ ._

5

17111711

30

330

9 930

3301

Z

5 1230¿

J

5 5 5

J

í330

1530¿

2130

`_

2430

711711171

3030

2730

banda morta de KLa:

3330

00025-1

tempo [s] Parâmetros de KLa 21) 1.8 5

í 1</ks

1.6 5

- - - - - - - m/ms

1.4 5

............ .. n/ns

1.2 5

1-0 5

`,_`__',_Í

' ',_Í.í..' '

T1

30

1

71

1

1

330

1

1

71

1

630

1

1

71

1

930

1

1

71

1

1230

1

1

1

71

1530

1

1

1

.í perturbação de_ ks

''''"

0.8 5 1

1

1

31830

1

2130]

1

antes de l830s.

1

1

71

2430

1

1

1

71

2730

1

1

1

71

3030

1

1

1

1

3330

71

1

1

ks

depois de l830s: ks =0.00l50

tempo [s]

Figura 4.34 Adaptação com banda morta (0.002 s`1) perturbada no parâmetro ks.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação KLa 8.0E-2

í meas ured

7.0E-2

-o u... .

predicted

6.0E-2 '_

[S`]

_ 1E-2

fã. 4.1.'§1E-2 x

3.0E-2

. . - . . -.-..._._-.» Q _. _ - . . . . - .›

ií

. . . . . . . › ›-

2.0E-2 1.0E-2 30

330

630

930

1230

1530

830

2130

2430

3030

2730

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt/2 amplitude:i2% banda morta de KLa:

3330

00035-1

tempo [s] Parâmetros de 21) 1.8

í k/ks - - - - - - - m/ms n/ns

1.6 1.4 1.2

5 \

1.0

__-'--

....... \/-72

08 s 06 30

Q

330

630

930

1230

1530

1830

`----7-7

2130

2430

'~¬-=-f~¬` '

perturbação de ks antes de l830s: 1¬11111¬11ks=000l87 depois de l830s: 3030 3330 ks =0.00l50

2730

tempo [s]

Figura 4.35 Adaptação com banda morta (0.003 s`l) perturbada no parâmetro ks.

KLa 8.0E-2

í meas ured

7.0E-2

predigtgd

6.0E-2 '_ I

[S]

1E-2

fã. 4.0E-2 ..

x

. . - . . . - . -_ . - . . -'. ~ - - . .-

3.0E-2

r . ¢ p n . . . .-

-w o › › u › - ø ›'-' ' ]

2.0E-2 1.0E-2

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt/2 amplitude:i2%

1711171171171171117117117117111711711711711711

30

330

630

930

1230

1530

830

2130

2430

3030

2730

banda morta de KLa:

3330

00045-1

tempo [s] Parâmetros de 21) 1.8

í 1</ks

1.6

- - - - - - - m/ms

1.4

_...

1.2

n/ns

_--_..--_-._-\. \ -___.-

1.0

_

_-.__--_--_-1--__*

`

¬-

¬-

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0.8 (lô

T1171111171117111711117111711171111711171117111171

30

330

630

930

1230

1530

1830

2130

2430

2730

3030

3330

perturbação de ks antes de l830s: ks =0.00l87 depois de l830s: ks =0.00l50

tempo [s]

Figura 4.36 Adaptação com banda morta (0,004 s`1) perturbada no parâmetro ks.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

85

Em presença de ruído a amplitude da banda morta poderá ser ligeiramente aumentada,partindo do valor acima recomendado.

4.2.1l.Efeito da Utilização de Factor de Esquecimento numa Adaptação Perturbada É conveniente que a prontidão da resposta de adaptação de parâmetros se mantenha para o caso de ocorrerem perturbações nos valores reais dos parâmetros da correlação de KLa . Para tal são necessários refinamentos ao algoritmo base de adaptação recursiva que temos vindo a utilizar. De entre os diversos refinamentos que têm sido propostos, existe a possibilidade de reinicialização da matriz de covariância, sempre que o afastamento entre os valores de KLa previstos e observados ultrapasse um dado limite.

Esta técnica conduz a uma situação próxima da adaptação inicial (difere pela não utilização das estimativas iniciais). Apresenta contudo a desvantagem de a sua implementação se efectuar em degrau e não de uma forma progressiva, perdendo-se evidentemente a informação contida na matriz de covariância P1., sempre que se efectue a reinicialização. Da inadequação da selecção do limite máximo de afastamento anteriormente referido, poderá resultar instabilidade na adaptação. As variações bruscas sofridas pelo valor de K[a previsto, poderão igualmente resultar indesejáveis. Outro dos refinamentos propostos, e um dos mais utilizados, consiste na introdução de um factor de esquecimento. Neste caso a perda de memória ocorre de uma forma selectiva e gradual, ao invés do que sucede no método de reinicialização.

Para o caso da perturbação em degrau aplicada ao parâmetro ms, tal como efectuada na anterior Secção 4.2.9, verifica-se que o recurso a um factor de esquecimento zt,z=0.9 resulta em excessiva instabilidade dos parâmetros. Poderá daí resultar a divergência do processo adaptativo, por erros de arredondamento e mau condicionamento de matrizes, nos testes com ausência de ruído. A divergência afecta especialmente o parâmetro k, e poderá ocasionar erros por ultrapassagem dos limites computacionais de representação numérica de números reais. A presença de ruído

poderá contribuir neste caso para uma melhoria de estabilidade, dado o seu efeito incremental sobre o determinante da matriz de covariância P1.. Em qualquer caso não é conveniente que nesta situação se recorra a um factor de esquecimento próximo ou inferior ao referido, dada a possibilidade de ocorrência de divergência num prazo mais ou

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

86

menos longo. O mesmo não sucede relativamente à perturbação em degrau aplicada ao parâmetro ks , tal como é referida na Secção 4.2.9, para o caso de um factor de esquecimento zt,=0.9. Este caso origina os resultados de adaptação patentes nas Figuras 4.37-9.

Da análise dos anteriores resultados de adaptação com /1. =0.9, perturbada no parâmetro ks , observa-se para os diferentes desfasamentos um comportamento qualitativamente semelhante ao verificado no caso de o factor de esquecimento não ser efectivamente utilizado (valor unitário). Embora com a utilização de factor de esquecimento diminuam os desvios entre valores de K[a previstos e observados, e se acelere a resposta de adaptação, o efeito negativo sobre a estabilidade de parâmetros, é superior ao verificado no caso de uma adaptação não perturbada. Em ambos os casos a instabilização de parâmetros aumenta com o desfasamento, ao contrário do que sucede com o valor previsto de Iía.

KLa 8 0E-2

í measured

7.0E-2

6 052

----- ~

............. .. predmtgd

Iíl 1-

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase:0 amplitude:i2%

'¿ 5.052 fã. 4.1.'§1E-2 2.0E-2 ]

1.1:1E'21711711711711711171

30

330

930

630

1230

830

1530

2130

%

2430

3030

2730

3330

tempo [s]

factor de esquecimento 7tf:0.9

Parâmetros de No

í 1‹/ks - - - - - - - m/ms ............ .. n/ns |

|

|

._

_

_

_

_

_

-

_

_

_ -

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_

r,-_._vo-"-"'¬'-'

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5 O Of)

5 O Of) Of)

5 O Of) LO

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5 O Of) O

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"________` 0'

_

°

_

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_

'-os..'__",‹‹'-'

3530

7

7

3830

É

É

23

_

perturbação de ks antes de l830s: ks =0.00l87 depois de l830s:

__

7 1 1 ks 5000150

Q]

O Of) (\I

¡.._.-.›.,.,_

24301

27301

5 030 3

í330 3

tempo [s]

Figura 4.37 Adaptação com ztf=0.9 perturbada no parâmetro ks (desfasamento 0).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação KLa 8.oE-2

í meas ured

7.‹:›E-2 ô.‹:›E-2 "_[S] 5‹:›E-2

predicted

o o - ¢ n -"

fã. 4.C›E-2 K

3.‹:›E-2 2.‹:›E-2 1.‹:›E-2

3,0 |'-'

""'*¡'I'¡ ° '

30

330

630

930

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% Velocidade faseirt/2 amplitude:i2%

1230

830

1530

2130

ë

-. z uz.-. _ _ . ,‹_._-_;

2430

Qäüiíy

3030

2730

factor de esquecimento

3330

Parâmetros de ôl)

í k/ks

5Á)

- - - - - - - m/ms

4.0 3Á) 2Á)

1 o --------._._.._.__ -

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.. .. . ›

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._

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rrírrrir?rir?/rfrrrrfrrrfrrrr

30

330

630

930

1230

1530

1830

rrrrírrrrrírrrrrírrrrrrírrr'

2130

2430

2730

3030

perturbação de ks antes de l830s: ks =0.00l87 depois de l830s: ks =0.00l50

3330

tempo [s]

Figura 4.38 Adaptação com zt,‹=O.9 perturbada no parâmetro ks (desfasamento tt/2).

KLa 8.oE-2

7.‹f:›E-2

í meas ured

...........z.

predicted

6.0E-2

"_[S] 5 ‹:›E-2 fã. 4.C›E-2 zé _¡ " ----Lua-

_______._-.~. =‹Hd›_..,,____,¿›-rI"I'

2.0E-2

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% Velocidade faseirt amplitude:i2%

1.l:lE'2t7rrÉr\TrrT\rT\\\T\\T\\T\\T\\\T\\

O OO

O OO OO

O OO O

O OO O

1230

1530

830

`_

2130

2430

2730

3030

3330

tempo [s]

factor de esquecimento Àf:O.9

Parâmetros de 8Á) 7.0

í k/ks - - - - - - - m/ms

ÔI)

'.'.'.r.f.'.'.'.-.'.'-P.-I.

5I) 4.0

perturbação de ks antes de l830s: ks =0.00l87 depois de l830s: ks =0.00l50

3I) 2.0

\\

OI) 30

330

630

930

1230

1530

1830

2130

2430

n /n S

2730

3030

3330

tempo [s]

Figura 4.39 Adaptação com Ã,‹=O.9 perturbada no parâmetro ks (desfasamento 1:).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

88

4.2.l2.Efeito da Utilização Conjugada de Banda Morta de K¡_a e de Factor de

Esquecimento É conveniente que a celeridade da resposta de adaptação de parâmetros se

mantenha para o caso de ocorrerem perturbações nos valores reais dos parâmetros da correlação de K¿a, sem prejuízo excessivo da estabilidade dos parâmetros adaptados. O recurso a uma banda morta de afastamento entre os valores de KLa previstos e observados permite melhorar a estabilidade dos parâmetros durante a adaptação. Por outro lado, a introdução de um factor de esquecimento acelera a resposta de adaptação, com prejuízo notório da estabilidade de parâmetros. Deste modo é conveniente conjugar ambos os métodos com vista a uma adaptação célere, mantendo-se ainda assim uma adequada estabilidade de parâmetros, embora com um ligeiro prejuízo da qualidade do ajuste ,entre valores de Kra previstos e observados. Analisaremos seguidamente o resultado da combinação das duas técnicas, para o caso de um factor de esquecimento À, ==O.9, e uma amplitude de O.OO3s`1 da banda morta de KLa, tendo em atenção as perturbações dos parâmetros ks e ms tal como as temos vindo a considerar. Apresentam-se resultados para os diferentes desfasamentos da velocidade de agitação.

Considere-se primeiramente a perturbação em degrau aplicada ao parâmetro ks , tal como a temos vindo a considerar (Secção 4.2.9). Este caso origina os resultados de adaptação que apresentamos nas Figuras 4.40-2. Iremos por fim considerar a perturbação em degrau aplicada ao parâmetro ms tal como a temos vindo a utilizar (Secção 4.2.9). Obtiveram-se deste modo os resultados de adaptação evidenciados nas Figuras 4.43-5.

RltddE" “ esu a os e nsaros Simulados e Sua Interpretaçao KLa 8.0E-2

í meas ured predicted

7.0E-2 6.0E-2

T[S] 5052 fã. 4.0E-2 3.0E-2 2.0E-2

:C

_:-›. . . ._._..._._. . .I "

]

1.l:lE'2rTrrTrrT\\T\\T\rrTr

so

330

ôso

930

1230

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%

2430*

r

¬r _

r

\_\

3030

2730

r

r

J ¬* \_\

r

l

3330

tempo [s]

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase:0 amplitude:i2% factor de esquecimento :O . 9

M

Pa râmetros de KLa P9 c›

_________ ______________________________--7Í--7--`--Í-:""*'*"*' """"'-"-"¿"'"¿""'*'* ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' J

_\ _\ _\ ÊÍUÀÔÚÊÊ

F°F'F°Ç>F' c>m›¢ o>a›

]

30

330

630

930

1230

1530

1830_

21305

2430

2730

í k/ks - - - - - - - m/ms n/ns

perturbação de ks antes de 18305: 5H¬5HH¬5.ks=0.00l87 depois de 18305: 3030 3330 ks =0.00l50

tempo [s] _ Figura 4.40 Adaptação com Ãf-0.9 e banda morta 0.003 s' 1 perturbada no parâmetro ks (desfasamento 0).

KLa 8.0E-2

í measured

7.0E-2 6.C›E-2 [S`] 5.0E-2 fã. 4.0E-2 :C 3.0E-2 2.0E-2 1.0E-2

........... .. prgdiçtgd

.¡_

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. . . › . -

'.._.__._._._.,..¢.....-..`._ ._.,........_._ _. ^^' '‹'-.--.¡r~'°' °'-*fz---rf

J

30 5

J

í330

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5 630

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¬

1230¿

¬

15305

0? 5

|_\

í830 é

5 21ao 5 2430

273

]

3o3o¿

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt /2 amplitude:i2%

f_\\f

factor de esquecimento Àf:0.9

sssoí

tempo [s] Parâmetros de KLa ôl) 5Á)

í k/ks

4.0

- - - - - - - m/ms

3Á)

........... .. n/ns

2Á) T0

-_--¿-¿--_

. .... ..... __ _-- __. . --___ .LJ;;L;;¿;:¿fi¿:1n;f======= . -___--_rr¬rrrrr¬rrrr¬rrrr¬r

O OO

O OO OO

O OO G)

O OO O3

12305

11530

2 1830 tempo [s]

5 2130

5 2430

27305

30305

perturbação de ks antes de l830s: `¬ ` ' ks =0.00l87 depois de l830s: 3330 ks =0.00l50

Figura 4.41 Adaptação com Àf=0.9 e banda morta 0.003 s`1 perturbada no parâmetro ks (desfasamento 11:/2).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação KLa 8.1:1E-2 7.0E-2

.,.,._ _

í meas ured predicted

. -,._.

6.0E-2 '_ I

[S]

5.0E-2

'E

4.0E-2

X

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3.0E-2

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30

330

930

630

1230

830

1530

]

|111*1111*1111*1111*1111*111'

2130

2430

3030

2730

3330

tempo [s]

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseírc amplitude:i2% factor de esquecimento 7tf:0.9

Parâmetros de KLa

8.0 7.0 6.0 5.0

í k/ks - - - - - - - m/ms n/ns

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O 00

O 00 00

O 00 O

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1830

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2430

27305

3030

antes de l830s:

`¬ ` ' 1<s=0.0o1s7 depois de l830s: ks =0.00150

3330

tempo [s]

~ com Ãf = 0.9 e banda morta 01 ^1; ro Figura 4.42 Adaptaçao .003s` perturbd a a no parame ks (desfasamento rc).

KLa 9 0E 2

8 052

O measured

7_ClE-2

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-'

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3030

3330

tempo [s]

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade fase:0 amplitude:i2% factor de esquecimento 7»f:0.9

Parâmetros de KLa No

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27305

3030

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3330

í k/ks - - - - - - m/ms ........... .. n/ns perturbação de ms antes de 18305: ms =0.54 depois de 18305: ms =0.60

tempo [s] _

1

Figura 4.43 Adaptação com Ã,-0.9 e banda morta 0.003 s' perturbada no parâmetro ms (desfasamento 0).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

1

KLa 9.0E-2

8 052

í measured

7_1fj1E.2

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3.0E-2 2.0E-2 1.l:lE'211_111l_1111_1111_1111_11

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330

930

630

1230

830

1530

ë

2130

2430

2730

3030

factor de esquecimento

3330

tempo [s]

Àf:0.9

Parâmetros de 61) 51)

í k/ks

4.0

- - - - - - - m/ms

31) 21)

__

1.0

__

___ _

11*111111*11111*11111*11

30

330

930

630

1230

1530

1830

2130

2430

3030

2730

3330

perturbação de ms antes de 1830s: , ms 0.54 depois de l830s: ms =0.60

tempo [s]

. daptaçao F'rgura 444A ~ com Ãf = 0.9 e banda morta 0.003s4

perturbada no parâmetro

ms (desfasamento rc/2).

KLa 9.0E-2

8 052 7_,¡,E_2

í measured --------predicted

~.-¬ 6.1315-2 3 5.13115-2 ¿¿(Ê. 4.13115-2 BLEEZ

-. __

_

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2.0E-2 11_111É11T11T117111711011T11T111T11T11T11l¬11T11

30

330

630

930

1230

830

1530

É

2130

2430

2730

3030

3330

tempo [s]

caudal de ar fase:0 amplitude:i6% velocidade faseirt amplitude:i2% factor de esquecimento 7tf:O.9

Parâmetros de KLa 7.0 61) 51)

í 1</ks

4.0

- - - - - - - m/ms

31)

............ .. n/ns

21) 1.0

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01) 30

330

630

930

1230

1530

...

5 1830

tempo [s]

2130

2430

2730

3030

3330

perturbação de ms antes de l830s: ms =0.54 depois de l830s: ms =0.60

Figura 4.45 Adaptação com zt,‹=0.9 e banda morta 0.003 s' l perturbada no parâmetro ms (desfasamento rc).

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

92

Os resultados obtidos evidenciam um comportamento qualitativamente semelhante ao verificado no caso de o factor de esquecimento não ser efectivamente utilizado (valor unitário), e de não se utilizar igualmente a banda morta de lía. Observa-se que, enquanto no caso de uma perturbação no parâmetro k (perturbação suave de Ka), se obtém uma melhor estimativa de k para desfasamento nulo. Já no caso de uma perturbação no parâmetro m (perturbação ampla de Ksa), uma melhor estimativa de k é obtida para desfasamento rc/2. Este é um caso em que o carácter oscilatório da instabilidade de parâmetros resultou benéfico.

4.3.Ensaios de Optimização

Efectuaram-se estudos de implementação do algoritmo de optimização referido na Secção 3.3, algoritmo esse que se baseia na observação de OUR. A observação de OUR decorre de forma indirecta, por via da aplicação do balanço de massa à fase gasosa e da medição da fracção molar de oxigénio na fase gasosa. Esta é a única variável observada do ponto de vista do processo de optimização, uma vez que a molaridade de oxigénio é alheia ao algoritmo de optimização.

Nos estudos efectuados neste trabalho, o processo de optimização foi iniciado após 330s. Na ausência de ruído encontram-se valores estáveis para o ponto de ajuste das variáveis manipuladas (Tabela 4.3). Para o modelo fluxo-pistão de mistura gasosa, assumido como válido, os pontos de ajuste das variáveis manipuladas e a potência eléctrica total, verificam a previsão que pode ser estabelecida com base no gráfico das curvas de isopotência versus curvas de iso-oxigénio (Figura 4.46).

início

final

velocidade de agitação [Hz]

6.00

3.76

caudal de ar [%]

50

56

caudal de ar [m3 S4]

3.5015-3

3.9515-3

møraridade de øxigéniø [mar nr* ]

2.68215-1

1.19315-1

fracção molar no topo potência eléctrica total [W]

1.917E-1 5383

1.929E-1 1863

Tabela 4.3 Resultados da Optimização ( obtidos para atraso de 30s, sem ruído)

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

93

7.0 _ _ .°7 U1

Potência [W]

O `````'`"

íüí

Cgp [mg]/m3]

........ .-

io* 1700

7 1_+J

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6.0 52 O :r

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-

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caudal de ar [%]

Figura 4.46 Curvas de isopotência versus curvas de iso-oxigénio para o modelo, de mistura gasosa, fluxo-pistão.

4.3.1. Efeito do Atraso na Variável Observada

A resposta observada da fracção molar de oxigénio na fase gasosa ocorre com atraso, resultando um desvio do valor de valor observado de OUR, conhecido pelo sistema observador, relativamente ao seu valor real no sistema observado. Este desvio será tanto maior quanto mais elevada for a amplitude da correcção aplicada às variáveis manipuladas pelo algoritmo de optimização, visto que nestas circunstâncias o mesmo atraso implica um tempo de estabilização de OUR mais longo. O atraso referido é parcialmente da responsabilidade do sistema observado, mas decorre também da necessidade do sistema observador proceder à filtragem dos valores adquiridos das variáveis observadas. Do ponto de vista da optimização energética é aliás benéfico o efeito atenuador que o atraso resultante associa à resposta das variaveis observadas, contribuindo para a sua estabilização a longo prazo. Os atrasos considerados são de primeira ordem. Porém, a curto prazo, do aumento do tempo característico destes atrasos, ou seja do tempo de retenção no filtro ou do tempo de resposta das variáveis

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

94

observadas, resulta um significativo aumento da amplitude inicial das oscilações observadas em OUR. Este facto é resultante de a propagação do erro que afecta a fracção molar de oxigénio na fase gasosa, ao valor calculado de OUR, se fazer com amplificação de erro relativo. A relação entre as oscilações do valor observado de OUR e as da fracção molar de oxigénio decorre do balanço de massa à fase gasosa.

Os erros que resultam do atraso referido, poderão ser compensados num prazo mais ou menos longo, mediante uma selecção cuidadosa do período de tempo que separa as sucessivas acções optimizadoras, isto é, a manipulação de variáveis. Nos estudos efectuados neste trabalho o período de optimização utilizado cifrou-se em 60s. Para além dos erros de atraso referidos, a optimização pode ainda ser afectada por desvios resultantes do carácter discreto da amostragem, da limitada resolução da instrumentação, e por erros numéricos de arredondamento. Todos estes erros se associam nos resultados do estudo efectuado nesta secção.

Para um estudo do efeito do atraso nas variáveis observadas sobre o processo optimizador consideraram-se diferentes atrasos na resposta de ambas as variáveis observadas, considerando-se idêntico o atraso na resposta de cada uma das variáveis. Os atrasos considerados neste estudo cifram-se em 30s e 60s, e são da exclusiva responsabilidade do fermentador. Apenas o atraso na resposta observada da fracção molar de oxigénio no topo do fermentador afecta de facto o processo de optimização.

Porém, o atraso na resposta da molaridade de oxigénio na fase líquida, afecta o efeito observado do processo de optimização sobre esta variável.

Partindo de pontos de ajuste das variáveis manipuladas idênticos apresentamos paralelamente, para ambos os atrasos, a evolução da fracção molar de oxigénio no topo (Figura 4.47). A evolução do valor observado de OUR depende da evolução da variável anteriormente referida (Figura 4.48). A evolução de OUR é seguida pelo processo optimizador, pelo que o erro que afecta esta variável acaba por se repercutir sobre o valor que o caudal de ar vier a assumir. Dado que as perturbações nesta variável manipulada são responsáveis pelo erro que afecta OUR (o qual se extingue por atenuação na ausência destas perturbações), existe a possibilidade do processo de optimização se tornar instável por reciclagem desta perturbação. A sua estabilidade depende

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

95

essencialmente do efeito conjugado da amplitude da perturbação inicial do caudal de ar, do atraso que afecta a resposta da fracção molar de oxigénio no topo, e do período de optimização utilizado. Dada a sua importância operacional, apresentamos igualmente o efeito do processo optimizador sobre a molaridade de oxigénio na fase líquida (Figura

4.49).

F 2.00E-

1 1

1.95E- 1

1.90E-

-

racçao molar de oxigénio no topo

_

.J

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O Of) Of)

O Of) O

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O Of) LO

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O

O

O

O Of) O

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2430

2730

3030

3330

3030

3330

tempo [s]

2.00E-

F

_

-

racçao molar de oxigénio no topo

1

1.95E- 1 Â

1.90E- 1 Ç ] 1.85E- 1

11111111111

O Of)

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

O Of) (\| \-

O Of)

E

O Of)

É tempo [s]

O Of) \(\|

2430

2730

Figura 4.47 Efeito do atraso na fracção molar de oxigénio no topo.

OUR 1.0E-2 I

O measured

Iíl .¡_ I

fis '

IOI

Osimulation 9_0E-3

8_OE_3 __|\

[\L/ ,_\`-1 ,._\`,

Ow/\`/\ Y -z -- _.. \_z /\`,_

Atraso. 30s

OUR mom

7.0E-3J__¬____¬....¬.___O Of)

O Of) Of)

O Of) O

1

O Of) O

1

O Of) C\l F

O Of) LO

O Of) OO

O

O

O Of) O

C\l

2430

2730

3030

3330

tempo [s] OUR 1.0E-2 I

O measured

Iíl .¡_ I

Osimulation 9_0E-3

'_'

8.0E-3

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O

_

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OUR mom'5s 7.0E-3

j11*11111*11111*11111*1

O Of)

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

1

1

O Of) C\l F

O Of) LO

O Of) OO

O

O

O Of) O

C\l

2430

2730

tempo [s]

Figura 4.48 Efeito do atraso no valor observado de OUR

3030

3330

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

96

Oxigénio dissolvido

Iíl

_ 5 om'3 CDCDCDCDCDCDCD

\

4|\J |\J |\JC1O O C)|\J-ÀCDO CD

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30 27

30 30

30 33

2430

2730

30 30

30 33

tempo [s] Oxigénio dissolvido

Iíl

m-3

4mo ' C

CDCDCDCDCDCDCD 4|\J |\J |\JC1O O C)|\J-ÀCDO CD

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¢;;;; OOON-ÀCD O O0

O O0 O0

O O0 ©

O O0 U)

O O0 C\l F

O O0 LO F

O O0 OO F

O O0 P C\|

tempo [s]

Figura 4.49 Efeito do atraso na molaridade de oxigénio dissolvido.

4.3.2. Efeito do Ruído da Variável Observada

A medição da fracção molar de oxigénio no topo do fermentador é bastante afectada pela presença de ruído, resultando um consequente e amplificado ruído no valor observado de OUR (Figura 4.50). Os desvios padrão do ruído gaussiano assumidos para as variaveis observadas são apresentados na Tabela 4.4, em conjunto com a respectiva relação sinal/ruído. Os valores adquiridos sofrem filtragem de média deslizante com um tempo de retenção de 60s e são discretizados para uma variação em degrau com período igual ao tempo de retenção do filtro. Deste modo o nível de ruído patente nos graficos

sofre

atenuação. A

molaridade de

oxigénio na fase líquida não é

directamente muito afectada pelo ruído, de acordo com os estudos anteriormente realizados (Secção 4.2.5). Porém, a influencia negativa que o ruído na fracção molar do topo exerce sobre OUR, acaba por se repercutir na evolução das variaveis manipuladas (Figura 4.51), e em consequência na evolução da potência eléctrica total, e da molaridade de oxigénio na fase líquida (Figura 4.52). É possível verificar que o algoritmo de optimização utilizado é largamente afectado pela presença de ruído. Para ultrapassar esta dificuldade, é recomendável que se prossigam estudos comparativos com o mesmo algoritmo, mas recorrendo a filtragem dos valores de OUR observados.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

OUR 1.0E-2

T

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9.oE-3

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8.0E-3 __,

OUR momfis

.....

..

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i

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i

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i

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iii

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i

i

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iii

i

i

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É

O Of) É

N

2430

2730

3030

3330

tempo [S]

Figura 4.50 Efeito do ruído na fracção molar de oxigénio no topo e valor observado de OUR. Desvio sinal/ruído Variáveis experimentais observadas padrão no início no final 101 47 % de saturação em oxigénio, liquido 0.6737 100 101 fracção molar de oxigenio no topo 0.001917 Tabela 4.4 Ruído gaussiano truncado com desvio absoluto numa banda de dois desvios padrão C au d al padrao " de ar 5.0E-3 1

'_'

4.0E-3

Iíl

Q m3/s

3.0E-3

2.0E-3

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o oo

iii

i

i

iii

o oo oo

O Of) G)

O Of) O)

O Of) N

O Of) LC)

O Of) OO

É

É

É

O Of) É

N

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Velocidade de agitação 7 6

'W' I __.

Z

5 4

x

3

l

O Of)

O Of) Of)

O Of) G)

O Of) O)

l

l

if

l

O Of) N

O Of) LO

É

É

O Of)

É

O Of) F

N

2430

2730

3030

3330

tempo [s]

Figura 4.51 Efeito do ruído na evolução das variáveis manipuladas.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

98

P otência eléctrica

6000 5000 š 4000 rí

3000 2000 i¬ii¬ii¬ii-iii¬iii¬ii¬ii¬ii¬

O Of)

O Of)

O Of)

°°

O Of)

°°

O Of)

°”

O Of)

5

ii¬ii¬ii¬ii¬iii¬ii¬ii¬

E

ii-ii

30

4 830 É

ã

2430

2730

3030

5 3330

tempo [s] Oxigénio dissolvido

Iíl

mom'3 C Iíl

OOOOOOOOOOOOO b ê ê êmh mb O)CDO|\)-§O)0O|\.)-PCDO O Of)

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i

iii

O Of) Of)

i

i

iii

i

O Of) O

iii

i

iii

i

O Of) O

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O Of) OO

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|

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i

iii

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2430

2730

i

iii

i

iii

30 30

i

i

iii

i

iii

i'

30 33

tempo [s]

Figura 4.52 Efeito do ruído na potência eléctrica total e na molaridade de oxigénio dissolvido

4.4 Ensaios de Controlo Efectuaram-se estudos de implementação do algoritmo de controlo adaptativo bivariável apresentado na Secção 3.4. Este algoritmo diz-se adaptativo pelo facto de recorrer a parâmetros da correlação de K[a obtidos por adaptação no decurso da fermentação, e bivariável por fazer uso de duas variaveis manipuladas, velocidade de agitação e caudal de ar. Trata-se de um algoritmo de controlo que recorre à observação de uma variável auxiliar (fracção molar de oxigénio na fase gasosa), para além da variável controlada. A estrutura das fórmulas de controlo permite parcial compensação de erros no numerador e denominador do quociente de gradientes de concentração. No presente trabalho considerou-se ser o modelo fluxo-pistão de mistura gasosa o mais adequado para descrever o fermentador (simulado com base nesse modelo).

Para além do algoritmo anteriormente referido efectuaram-se ensaios, em iguais condições de solicitação por parte da variável de carga OUR, recorrendo ao tradicional algoritmo de controlo PID (proporcional, integral e derivativo), estabelecendo-se deste modo uma base de comparação para o algoritmo adaptativo bivariável. O algoritmo PID foi aplicado tomando como variável manipulada o caudal de ar.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

99

Efectuaram-se ensaios de controlo da molaridade de oxigénio dissolvido tomando como ponto de ajuste o seu valor crítico (Cs,,=0.l19 mol m`3). Exceptuando um ensaio branco não perturbado para cada algoritmo considerado, foi considerada uma variação sinusoidal em OUR (Tabela 4.5). A variação aplicada permite testar o comportamento de cada algoritmo face a uma perturbação numa variável de carga, estabelecendo uma base comum para a sua comparação.

Para os ensaios de controlo na presença de ruído, os desvios padrão do ruído gaussiano assumidos para as variáveis observadas são os apresentados na Tabela 4.4, em

conjunto com a respectiva relação sinal/ruído (correspondendo aos do final da optimização). Os valores adquiridos sofrem filtragem de média deslizante com um tempo de retenção de 60s. A molaridade de oxigénio na fase líquida não é directamente muito afectada pelo ruído, o mesmo não sucedendo relativamente à fracção molar de oxigénio na fase gasosa.

Valor médio [mol m`3 s`1] 0.00820 amplitude [%] i5 período [s] 1200 fase [rad] 0 Tabela 4.5 Perturbação sinusoidal em OUR. A resposta observada da fracção molar de oxigénio na fase gasosa ocorre com atraso. A Figura 4.53 informa-nos do efeito do atraso no conhecimento que o sistema controlador podera ter do valor real de OUR no fermentador, na ausência de ruído. O período de tempo utilizado nas acções de controlo deverá ser da ordem de grandeza do desfasamento entre ambas as curvas, que resulta do efeito combinado do atraso na resposta da fracção molar de oxigénio na fase gasosa, da responsabilidade do fermentador, e do tempo característico da filtragem aplicada a esta variável. Os atrasos considerados são de primeira ordem. O mesmo se poderia assinalar relativamente à variável controlada (também observada), molaridade de oxigénio, que sofre dos mesmos atrasos. A filtragem das variaveis observadas é fundamental, para que as acções de controlo incidam sobre reais alterações nas variáveis de carga e não sobre o ruído, o que instabillizaria e invalidaria o processo de controlo. O controlo adaptativo bivariável efectuado com base no modelo de não depleção seria evidentemente insensível ao atraso

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

100

na resposta da fracção molar de oxigénio. Nos estudos efectuados neste trabalho o período de controlo utilizado cifrou-se em 60s. Considerou-se que a resposta de ambas as variáveis observadas ocorre com um atraso de 30s.

O recurso a uma banda morta poderá revelar-se útil para efeitos de estabilização das variáveis manipuladas e controlada ou para permitir a associação não simultânea das acções de controlo com as acções de optimização ou de adaptação. A malha de controlo é aberta e consequentemente as variáveis manipuladas não sofrem alterações enquanto a banda morta for respeitada. A sua extensão deverá exceder o desvio padrão do ruído que afecta a variável controlada, mesmo na ausência de perturbações em variáveis de carga.

A integração dos processos de controlo, optimização e adaptação excede no entanto os objectivos do presente trabalho. Pretendeu-se estudar o efeito da utilização de uma banda morta de extensão fixada (0.005 mol m`3 ) na eficácia do processo de controlo.

OUR 1.0E-2

í measured

Iíl .¡_ I

9-()E'3

~

............ .. 5jmu|a'[jQn

8 -0 E-3 I'

--

6.0E-3

OUR mom'5s

i

O Of)

Oi

i

i

O Of) Of)

i

Oi

i

i

O Of) O

i

Oi

i

i

O Of) O

i

O

i

i

O Of) N

F

i

Oi

i

i

i

O Of) LO

F

Oi

i

i

Oi

i

O Of) CO F

i

i

O Of) F C\|

Oi

i

i

i

2430

Oi

i

i

i

2730

Oi

i

i

i

3030

Oi

i

i

i

Oi

i

i'

3330

tempo [s]

Figura 4.53 Perturbação em OUR e atraso na recepção da correspondente informação (ensaio de referência sem controlo).

4.4.1 Controlo em Modo PID

Para que a aplicação deste modo de controlo seja possível é necessário seleccionar valores adequados para o ponto de ajuste do caudal de ar (variável manipulada) e para as constantes de ganho proporcional, integral e derivativo. A selecção dos ajustes de ganho foi efectuada com base no método de afinação cíclica (loop tuning) de Ziegler-Nichols (Johnson, 1990,1993). Este método proporciona em geral uma resposta bastante estável que poderá ser mesmo ser demasiado conservativa sob este ponto de vista, com algum prejuízo da velocidade de resposta (Coughanowr e Koppel, 1965). Na aplicação deste

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

101

método começa-se por reduzir as acções integral e derivativa ao seu mínimo efeito, incrementando-se gradualmente desde este ponto o ganho proporcional. Observa-se que atingido um dado valor crítico deste ganho, Ku , iniciam-se oscilações da concentração de oxigénio em torno do seu ponto de ajuste. Designa-se por PU o respectivo período crítico. Os ajustes de ganho são então efectuados de acordo com a Tabela 4.6.

Considerou-se como ponto de ajuste do caudal de ar um valor próximo do seleccionado pelo algoritmo de optimização (Tabela 4.7). A velocidade de agitação manteve-se fixada num valor próximo do recomendado pelo algoritmo de optimização (3.80Hz).

Efectuou-se um ensaio de estabilidade relativamente à pequena perturbação inicial da molaridade de oxigénio relativamente ao seu ponto de ajuste. Neste ensaio não ocorreu qualquer perturbação em OUR. Os resultados deste ensaio apontam para um comportamento muito próximo do criticamente amortecido, detectando-se apenas ligeiras oscilações que cortam a linha do ponto de ajuste da molaridade de oxigénio.

Trata-se de um tipo de resposta bastante estável que não necessitou de posterior afinação das constantes de ganho, dado que se pretendeu privilegiar a estabilidade relativamente â velocidade de resposta a perturbações de carga ou de ponto de ajuste.

Na Tabela 4.8 apresentamos dados relativos à situação inicial e final do ensaio acima referido.

ganho proporcional gerador de oscilações [%/%] Ku 1200 período das oscilações detectadas [s] PU 300 ganho proporcional [%/%] Kca :Q-6 Ku 720 tempo integral [s] fia = PU/2 150 tempo derivativo [s] (oa = PU /3 37.5 Tabela 4.6 Afinação de Ziegler-Nichols cíclica (loop tuning) dos parâmetros PID. Ponto de ajuste da molaridade de oxigénio [mol m`3 ] Csp 0-119 ponto de ajuste do caudal de ar [%] Qsp (°/°) 55-0 ponto de ajuste do caudal de ar [m3 s`1] Qsp 3-9253 velocidade de agitação [Hz] N 3-80 Tabela 4.7 Ponto de ajuste das variáveis controlada e manipulada e velocidade de agitação fixada.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação A perturbação de OUR referida na Tabela 4.5 foi aplicada nos restantes ensaios realizados. Apresentamos resultados obtidos na ausência de ruído (Figura 4 54) e na presença de ruído (Figura 4.55). Foi igualmente testada a utilização de banda moita (Figura 4.56), na presença de ruído.

caudal de ar [%] caudal de ar [m3 s`1]

início (30s) 3.80 56 3.920E-3

final 3.80 51 3.598E-3

møiaridade de Oxigénio [møimãj

1.24415-i

1.19315-i

fracção molar no topo

1.929E-1

1 .92 1 E- 1

velocidade de agitação [Hz]

Tabela 4.8 Ensaio de estabilidade relativamente ao ponto de ajuste inicial Oxigénio dissolvido

0.18 0.16 *P

E T5

E

Iíl

O

0.14 z

0 _

0 .10 z 0 08 ¬.O Of)

Oi

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

O Of) N F

i

i

O

O Of) LO F

O

|

|

i¬

O

|

Oi

i

Oi

O Of)

O Of) O

F

N

O

2430

2730

3030

3330

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Caudal padrão de ar 5 0E 3 1

E 4.0E-3¡ _ É .

O 3.0E-3 E

H

2.0E-3li¬ i i O Of)

O Of) Of)

iO Of) O

O Of) O

O Of) N \-

O Of) I-O O

|

i

O

O Of) O O

O

O O \N

tempo [s]

Figura 4.54 Controlo PID na ausência de ruído.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação Oxigénio dissolvido

0.18 0.16 Iíl

0.14 Iíl

C mom'3

|

0.12 0.10

0.08 ¬i-ii O Of)

i

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

iii

|

i

O Of) N

O Of) |-O

O Of) O

É

É

N

iii

iii

i

O] è

23

2430

2730

3030

3330

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Caudal padrão de

al'

5.0 E-3

4.0E-3 Iíl

Q m3/s

3.0E-3

2.oE-3Ji¬iii¬i O Of)

]

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

O Of) N

O Of) I-O

É

É

iii

i

i

iii

O Of)

830

N

N

è

tempo [s]

Figura 4.55 Controlo PID na presença de ruído.

Oxigénio dissolvido

O. 18 O. 16 N

0.14 1

0.12 ]

N

C mom'3

0.10 ; 0.08 ¬ C: da

] 330

O

i

O Of) O

if

i

]

i

if

930

]

i

O Of) N É

]

i

530

iii

i

i

]

Iii

830

è

]

i

iii

f_i

i

f_i

f_i

f

é

230

2430

1 2730

3030

1 3330

tempo [S] Caudal padrão de

af

5.0E-3 1

¬ 4.0E-

=› 5

Iíl

Q m3/s

3.0E- 3 Â

2.0E- 31 O Of)

Oiii*

O Of) Of)

] 630

O/Ti

O Of) O)

l

O Of) N É

ifiiifi

O Of) LO

è

]

i¬

830

I

I

i¬

i

Oi

fài

if*iiif*f

O Of) É

N

2430

2730

1 3030

3330

tempo [s]

Figura 4.56 Controlo PID com banda morta (0.005 mol m`3 ) na presença de ruído

4.4.2.Ensaios de Controlo Utilizando o Algoritmo Adaptativo Bivariável Proposto por Alves e Colaboradores (1995) Considerou-se como ponto de ajuste inicial um valor das variáveis mampuláveis próximo do seleccionado pelo algoritmo de optimização, ou seja uma velocidade de

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

104

agitação de 3.8OHz e um caudal de ar situado em 56% do seu valor máximo (Tabela 4.9).

Efectuou-se um ensaio de estabilidade relativamente à pequena perturbação inicial da molaridade de oxigénio relativamente ao seu ponto de ajuste. No referido ensaio não ocorreu qualquer perturbação em OUR. Na Tabela 4.9 apresentamos dados relativos à situação inicial e final do ensaio acima referido.

A perturbação de OUR referida na Tabela 4.4 foi aplicada nos restantes ensaios realizados. Apresentam-se resultados obtidos na ausência de ruído (Figura 4.57) e na presença de ruído (Figura 4.58). Foi ensaiado o recurso a banda morta (Figura 4.59), na presença de ruído.

Velocidade de agitação [Hz] caudal de ar [%]

início (30s) 3-89 56

final (3570s) 3-78 54

Caudal de ar [m3 S-1]

3.92OE-3

3.752E-3

molaridade de oxigénio [mol m`3] 1-24451 1-18951 fracção molar no topo 1-9295-1 1-9245-1 Tabela 4.9 Ensaio de estabilidade relativamente ao ponto de ajuste inicial.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

i

Oxigénio dissolvido 0.18 0.16 Iíl

m-3

0.14

Iíl

0.12

Cmo

0.10 0.08 ¬.-

]

O Of)

330

30

O

O Of) O

O Of) N

O Of) LC)

O Of) OO

O

O

O

O Of) O

N

2430

2730

3030

3330

tempo [S]

Caudal padrão de ar 5.0E-3 1

¬ 4.oE-3

J`/\Í

Iíl

Q m3/s

3.0E-3

2.0E-3

J

O Of)

iii

i

i

i-

iii

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

O Of) N

O Of) LC)

O Of) OO

O

O

O

O Of) F

N

2430

2730

3030

3330

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Velocidade de agitação 7 6

'W' E; ZZ

5 4 3 O Of)

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

O Of) N ë

iO Of) LC) ë

Oi

O Of) OO ë

O Of) F

N

tempo [s]

Figura 4.57 Controlo bivariável na ausência de ruído.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

l

Oxigénio dissolvido

0.18 0.16 z Iíl

O

.Ê

Iíl

C mom'3

0.10 0.08 ¬ f O Of)

i

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

]

O

O Of) N

O Of) LC)

O Of) O

O

O

O

O

230

2430

2730

3030

3330

tempo [S] Caudal padrão de ar 5.0E-3 1

¬ 4.oE-3 z

l

Iíl

Q m3/s

3.0E-3 z

2.0E-3

Jiiiiiiii

O Of)

O Of) Of)

i

O Of) O

O Of) O

O

O Of) N

O Of) LC)

O

O

]

i

i

O

830

O

i

i

O

O Of) P

N

2430

2730

3030

3330

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Velocidade de agitação 7 6 TT 2; ZZ

5 4

3

]

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

O Of)

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

O Of) N É

O Of) LC) O

830 ê

] ê

230

tempo [s]

Figura 4.58 Controlo bivariável na presença de ruído.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

107

Oxigénio dissolvido

0.18 0.16 z Iíl

0.14 z Iíl

C mom'3

0.10 A 0.Q8¬i¬ii¬i×׬ii¬i×O O O O Of) Of) Of) Of) Of) O O

] O Of) C\l

O Of) LO

]

|

Iii

i

iii

i

i

iii

i

iii

i

iii

i

i

iii

i

iii

i'

O

O Of) OO

è

230

è

2430

2730

303

3330

tempo [s] Caudal padrão de ar

5.0E-3 1 P¬

4.0E-3

1

Iíl

Q m3/s

3.0E-3 z

2.oE-3Ji¬iH¬HiO Of)

O Of) Of)

O Of) O

1 O Of) O

O Of) (\I

O Of) I-O

O

O

1 3o_

1830 P

O

(\I

i

243oi

iii

i

i

iii

2730

i

i

iii

i

i

iii

i

ao

ao

30

33

i

iii

i'

tempo [s] Velocidade de agitação

7 6

'É'

E; ZZ

5 4

O/

3

O

O Of)

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

\

]

iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

O Of) N

O Of) LI)

É

É

830

2

] ê

230

2430

2730

3030

3330

tempo [s]

Figura 4.59 Controlo bivariável com banda morta (0.005 mol m`3) na presença de ruído.

4.4.3.Análise Comparativa dos Ensaios de Controlo Realizados Para que a comparação entre os algoritmos de controlo possa ser feita numa base quantitativa, e a sua eficiência possa ser avaliada face à inexistência de controlo (Figura 4.60), é necessário dispor de uma medida de qualidade. Para tal será necessário tomar em consideração a resposta da variável controlada face à perturbação na variável de carga considerada (OUR). A medida a que recorremos neste trabalho será obtida considerando a área total do desvio da variável controlada, C, face ao respectivo ponto de ajuste , Csp , para o tempo de ensaio representado nos gráficos (4.1). Um critério de optimização do processo de controlo consiste em minimizar a referida área (Johnson,l988). A área total do desvio será igualmente calculada para o ensaio de referência em que não se efectua controlo. A razão entre a área obtida para o ensaio de

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

108

controlo, AC , e a área obtida para o ensaio de referência, AR , sera designada por *P (4.2).

Esta razão de áreas constitui uma medida adimensional da eficiência do processo de controlo, aproximando-se de zero à medida que o controlo se torna mais eficiente, e aumentando no caso contrario. Valores superiores a um sao possíveis no caso de a acçao IO

OI

de controlo ser prejudicial.

A z j|c - cs,,| dr

(4-1)

~rf=AC /AR

(4.2)

Consideram-se como ensaios de referência os ensaios realizados na ausência de controlo, mantendo-se assim fixados os valores da velocidade de agitação e do caudal de ar ao longo de todo o ensaio. Mantemos nestes ensaios a perturbação de OUR anteriormente assinalada na Tabela 4.5. Partindo dos valores iniciais a que fizemos referência na Tabela 4.7, realizaram-se dois ensaios de referência reflectindo a ausência e a presença de ruído, que serão utilizados de modo a que para os ensaios de controlo com ruído, o ensaio de referência será também com ruído, procedendo-se analogamente na situação de ruído ausente. Os resultados obtidos nestes ensaios encontram-se representados graficamente na Figura 4.60. A partir dos ensaios referidos anteriormente e dos ensaios de controlo a que fizemos referência nas Secções 4.4.1 e 4.4.2 obtiveramse os dados numéricos necessarios para o estudo das respectivas áreas de desvio e da razão de áreas T, anteriormente definida (4.2). Estes dados encontram-se condensados na Tabela 4.10. A utilização de banda morta de amplitude fixada, em presença de ruído, conduz aos dados apresentados na Tabela 4.11.

Da análise dos resultados contidos na Tabela 4.10 é possível concluir pela superioridade do algoritmo adaptativo bivariável relativamente ao algoritmo PID com manipulação do caudal de ar, nas condições assumidas nos presentes ensaios. O efeito negativo da utilização de uma banda morta com a amplitude considerada (0.005 mol m`3), é mais atenuado para o algoritmo PID. Em qualquer caso, o recurso a banda morta prejudica a eficácia do controlo, pelo que se trata de um recurso a utilizar com alguma parcimónia, apenas no caso de se pretender limitar a acção de controlo aos períodos de tempo em que esta banda é ultrapassada.

Resultados de Ensaios Simulados e Sua Interpretação

109

algoritmo de controlo PID adaptativo bivariável sem ruído com ruído sem ruído com ruído

areas de desvio

AC

1.5ô4E+1

1.5ôõE+1

1.45oE+1

\1J= AC /AR

4.8785-1

4.9085-1

4.52sE§1W" "i'i'Ã'§'ë'?ëiÊÍi

AR

ensaio de referência sem ruído com ruído

1.492E+1

Tabela 4.10 Estudo comparado das áreas de desvios.

Algoritmo de controlo com banda morta PID adaptativo bivariável com ruído com ruído

áreas de desvio AC

1 _314E+1

AR

ql = AC /AR

ensaio de referência com ruído

1_977E+1

5.6855-1

Tabela 4.11 Estudo comparado das áreas de desvios no caso de se recorrer a banda morta (fixada numa gama de 0.005 mol m`3 ).

Oxigénio dissolvido

0.18 0.16 z

-3 0.14 R mOm

Iíl

C

U.1Ú ;

0.08 ¬l-l O Of)

ll-ll O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

O Of) C\l P

O Of) LO P

O Of) OO P

O Of) a

2430

2730

3030

3330

2430

2730

3030

3330

tempo [s] Oxigénio dissolvido

0.18 0.16 z 0.14 R

om'3 012

i

Iíl

Cm

0.10 ; O_O 8 ¬ P O Of)

O Of) Of)

O Of) O

O Of) O

O Of) C\l

O Of) LC)

O Of) OO

O

O

O

O Of) O

C\l

tempo [S]

Figura 4.60 Evolução das variáveis observadas em ensaios de referência (sem controlo).

Capítulo 5 Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro Dedicado a Delgado Domingos e a Valadares Tavares, Professores Catedráticos do Instituto Superior Técnico.

O que Porter nos veio dizer e que é preciso mudar mentalidades, investir no ensino, e introduzir tecnologias avançadas nos sectores tradicionais com algumas pernas para andar.

Não terá dito é que os empresários, os engenheiros, os tecnóiogos e os políticos do início do proximo seculo terão a cultura, a formação, a qualidade e a seriedade que o nosso ensino primário, secundário e superior hoje lhes conferem, e que é péssima' Delgado Domingos

A formação universitária deve estar vocacionada para criar e gerar profissionais com capacidade para progredirem autonomamente de forma a se adaptarem às situações.

A situação e grave porque chegamos ao limiar da exploração do aluno como mão-de-obra barata.2 Delgado Domingos

Criar uma cultura de responsabilização

entre docentes e discentes devendo estes reivindicar de modo constante e sistemático a qualidade do serviço que lhes é prestado.3 Valadares Tavares

Diferencial (AEIST),N°1,25-10-1993, p.20.

JOBSHOP(AEIST),30-4-1992, p.4, Suplemento de O INDEPENDENTE, n°207,30-4-1992.

3 Diferencial (AE|ST),N°20,20-3-1997, p.9.

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro

111

Capítulo 5 Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro 5.1 Sumário de Conclusões Apresentamos seguidamente as principais conclusões obtidas neste nosso trabalho.

5.1.1 Conclusões Relativas à Adaptação de Parâmetros da Correlação de KLa Efectuaram-se estudos de implementação do algoritmo recursivo dos mínimos quadrados com factor de esquecimento sugerido neste trabalho. A adaptação de parâmetros da correlação de Kia foi estudada sob circunstâncias diversas.

Do aumento de amplitude resulta um maior desvio entre valores

Amplitude

de excitação

observados e medidos de KLa, e maiores desvios e instabilidade nos

parâmetros. Da diminuição de amplitude resulta deriva (drift) do valor dos parâmetros atribuível ao maior grau de dependência linear entre as variáveis manipuladas. Seleccionou-se uma amplitude de excitação de i2% na velocidade e i6% no caudal de ar.

Do aumento do atraso (de primeira ordem) resulta, por efeito da

^“aS°

atenuação, um maior desvio entre valores observados e medidos de lía, e maiores desvios nos parâmetros. O aumento do atraso apresenta um efeito estabilizador sobre a evolução dos parâmetros.

Do aumento do período resulta lentidão da resposta do processo adaptativo. Da diminuição do período resulta um maior desvio entre valores observados e medidos de KLa, e aumento de deriva nos parâmetros, por efeito da dependência linear entre as variáveis manipuladas e do desfasamento introduzido pelos atrasos. Seleccionou-se um período de excitação de 600s.

Pe"°d° .t _de em açao

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro O

aumento

do

desfasamento

112

da

velocidade

de

agitação

Desfasamento

relativamente ao caudal de ar, desde O até rc, provoca progressiva estabilização no valor de /ía, diminuição da amplitude da oscilação da concentração de oxigénio dissolvido, maior afastamento entre valores de /ía observados e previstos, e decréscimo de estabilidade dos parâmetros.

Ao contrário do que sucede com a molaridade de oxigénio, a fracção

Ruído

molar de oxigénio no topo do fermentador é bastante afectada pela presença de ruído, com degradação da informação de excitação, e afectando negativamente a precisão do valor observado de OUR. Para amplitudes de excitação baixas o ruído estimula uma adaptação mais rápida embora com parâmetros menos estáveis e maior desvio entre valores de /ía previstos e observados. Para amplitudes elevadas predomina

um efeito mais importante de instabilização dos parâmetros.

A redução do factor de esquecimento numa adaptação não

Factor de esquecb

perturbada, resulta numa melhor aproximação entre valores de /ía

mento

previstos e observados, com progressiva instabilização do comportamento dos parâmetros, afectando em maior grau o parâmetro k .O valor do factor de esquecimento não deverá ser inferior a 0.9.

A adaptação de parâmetros não será sensivelmente prejudicada por

Perturbação de OUR

eventuais variações do valor de OUR característico do fermentador.

A adaptação de parâmetros apresenta robustez face ao confronto

Erro Inicial das estima-

com diferentes valores reais dos parâmetros, prosseguindo de forma

tivas dos

qualitativamente semelhante quer a estimativa inicial do valor de /ía

parâmetros

previsto seja inferior aos valores de /ía observados, quer no caso contrário.

Se após algum tempo de adaptação os valores reais dos parâmetros

Adaptação

da correlação de /ía sofrerem qualquer perturbação, aumenta o tempo de

parâmetros

resposta do adaptador, a instabilidade dos parâmetros, assim como os

perturbados

desvios entre valores de /ía previstos e observados.

de

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro

113

O recurso a uma banda morta de /ía, apresenta consequências

Ba“da morta

benéficas sobre a estabilidade dos parâmetros numa adaptação perturbada, aumentando o desvio entre os valores de /ía previstos e observados. A sua amplitude deverá ser próxima de 10% do valor médio de /ía.

Embora com a utilização de factor de esquecimento diminuam os

Fa°t°'°le UBCI-

desvios entre valores de /ía previstos e observados e se acelere a resposta mšfo numa de adaptação, o efeito negativo sobre a estabilidade de parâmetros é

adaptaÇã°

perturbada

superior ao verificado no caso de uma adaptação não perturbada.

A conjugação da utilização de factor de esquecimento e de banda

Ba“°'a morta e

morta permite maior celeridade da resposta de adaptação de parâmetros

factor de

numa adaptação perturbada, sem prejuízo excessivo da estabilidade dos

es°'“e°¡` mento

parâmetros adaptados, e com ligeiro aumento do afastamento entre valores de /ía previstos e observados.

5.1.2 Conclusões Relativas aos Ensaios de Optimização

Efectuaram-se estudos de implementação do algoritmo de optimização baseado na medição da fracção molar de oxigénio na fase gasosa, de onde se obtém um valor observado de OUR. Encontraram-se valores estáveis para o ponto de ajuste das variáveis manipuladas. Para o modelo fluxo pistão de mistura gasosa, assumido como válido, os pontos de ajuste das variáveis manipuladas e a potência eléctrica total verificam a previsão que pode ser estabelecida com base no gráfico das curvas de isopotência versus curvas de iso-oxigénio. Admitiu-se que os parâmetros que caracterizam a transferência de oxigénio no fermentador são coincidentes com a estimativa que desses mesmos parâmetros dispõe o sistema optimizador.

A resposta observada da fracção molar de oxigénio na fase gasosa ocorre com atraso (primeira ordem), resultando um desvio do valor

observado de OUR, o qual aumenta com a amplitude da correcção aplicada às variáveis

manipuladas. Do aumento do

atraso

amplitude inicial das oscilações observadas em OUR.

resulta

maior

^"a$°

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro A influencia negativa que o ruído na fracção molar do topo exerce

sobre OUR repercute-se, sucessivamente, na evolução das variáveis

114 R . um

manipuladas, e na evolução da potência eléctrica total e da molaridade de oxigénio na fase líquida. O algoritmo de optimização utilizado é largamente afectado pela presença de ruído.

5.1.3 Conclusões Relativas aos Ensaios de Controlo

Nos ensaios de controlo da molaridade de oxigénio dissolvido, tomando como ponto de ajuste o seu valor crítico, foi considerada uma variação sinusoidal em OUR, estabelecendo-se assim uma base comum para a comparação dos dois algoritmos considerados. Efectuaram-se ensaios na ausência de ruído e na presença de ruído.

Admitiu-se que os expoentes da correlação que caracteriza a transferência de oxigénio no fennentador são coincidentes com a estimativa que desses mesmos expoentes dispõe o sistema controlador. No ensaios apresentados neste trabalho os algoritmos de controlo foram utilizados na ausência de qualquer processo de optimização paralelo.

A eficácia do controlo resulta prejudicada pelo recurso a banda

Banda morta

morta (fixada numa gama de 0.005 mol m`3 ).

Efectuaram-se ensaios, recorrendo ao algoritmo PID, tomando como

P'D

variável manipulada o caudal de ar. A selecção dos ajustes de ganho foi efectuada com base no método de afinação cíclica de Ziegler-Nichols.

Considerou-se como ponto de ajuste do caudal de ar um valor próximo do seleccionado pelo algoritmo de optimização.

Efectuaram-se estudos de implementação do algoritmo de controlo

^'9°""'f'°

adaptativo bivariável admitindo-se a validade do modelo fluxo pistão de

:::¡:,:

mistura gasosa. Considerou-se como ponto de ajuste inicial das variáveis manipuláveis um valor próximo do seleccionado pelo algoritmo de optimização.

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro

115

De uma análise quantitativa, com base nas áreas de desvio da ç

Análise comparativa

variável controlada no tempo de ensaio, foi possível concluir pela

dos ensams

superioridade do algoritmo adaptativo bivariável relativamente ao PID

de °°""°'°

com manipulação do caudal de ar, nas condições assumidas nos ensaios realizados.

5.2 Sugestões de Trabalho Futuro Apresentamos seguidamente as nossas sugestões para eventual trabalho futuro, tomando como base o trabalho por nós efectuado.

5.2.1 Sugestões Relativas à Adaptação de Parâmetros da Correlação de K¡_a

É conveniente prosseguir estudos de implementação do algoritmo recursivo dos mínimos quadrados com factor de esquecimento, com vista ao aperfeiçoamento da adaptação de parâmetros da correlação de /ía.

Seria conveniente prosseguir o estudo do efeito da amplitude de

Amplitude de excitação

excitação tendo em consideração os desfasamentos 0 e rc, e estudando o efeito da excitação unilateral de apenas uma das variáveis (caudal de ar ou

velocidade).

Seria desejável encontrar uma correlação empírica entre desvio

Alfa: e l'Ul O

padrão do ruído e atrasos, em fermentações típicas, para melhorar a simulação de ruído. Sugere-se igualmente uma análise teórica do efeito dos atrasos nos erros que afectam as variáveis observadas, e da repercussão de tais erros nas estimativas de parâmetros.

A conjugação simultânea da excitação aplicada para adaptação, com

Desfísame' O

qualquer acção de controlo ou de optimização poderá requerer um estudo do desfasamento admissível nessas condições.

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro

116

Seria conveniente prosseguir estudos teóricos, e de experimentação

Factor de esquecb

simulada, relativos ao efeito do ruído sobre o comportamento de adaptações

(perturbadas

ou não),

que

decorram

com

factor

mento

de

esquecimento.

Sugere-se o prosseguimento estudos relativos ao efeito do ruído

Banda morta e

sobre o comportamento de adaptações perturbadas, que decorram com

factor de

factor de esquecimento e banda morta de lía.

esquecr mento

Sugere-se o estudo da implementação de diversos refinamentos ao

Refinamentos do mé-

algoritmo utilizado (Seborg e colabs.,1986): reinicialização da matriz de covariância sempre que o afastamento entre os valores de /ía previstos e

todo utilizado

observados ultrapasse um dado limite, modificação da matriz de covariância por adição de uma matriz positiva definida que poderá ser diagonal e de determinante variável com a velocidade de variação que se espera que os parâmetros possam assumir, factorização da matriz de covariância num produto de matrizes capaz de evitar a instabilização numérica por erros de arredondamento, recurso a factor de esquecimento

variável (Ydstie,1987), algoritmo de esquecimento e reinicialização exponencial (Middleton e Goodwin, 1990).

A

suposição

(sem

significado

físico)

de

uma

completa

Correlação entre

independência da potência de agitação relativamente ao caudal de ar (F,~

variáveis

=1), e de diferentes valores de F,- inferiores a 1, poderá permitir um estudo

independentes

da contribuição de F,- para o fenómeno de deriva dos parâmetros, resultante da parcial correlação existente, entre as variáveis, em princípio independentes, da correlação de /ía.

A contribuição da linearização logarítmica da correlação para os

Extensões não lineares

desvios dos parâmetros (bias) poderá ser avaliada mediante o recurso a

ao método

extensões não lineares do método utilizado, permitindo uma aproximação

dos

iterativa de estimativas não desviadas. Isto poderá decorrer do algoritmo

quadrados

mínimos

de Newton-Raphson, que recorre ao cálculo das matrizes das derivadas parciais da correlação relativas aos parâmetros, de primeira e segunda ordem (Astrom e Wittenmark, 1990).

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro A análise matemática das condições de estabilidade, convergência e

117 Análise matemática

robustez do algoritmo recursivo dos mínimos quadrados na aplicação em estudo poderá ser tentada, com vista a uma possível generalização e quantificação das conclusões

(sobretudo de carácter qualitativo) que

puderam ser obtidas por simulação numérica (Sastry e Bodson,1989) A filtragem de parâmetros, utilizando um filtro de primeira ordem,

Filtragem de parâmetros

poderá ser utilizada para providenciar estimativas de parâmetros mais

estáveis, nomeadamente para fins de controlo adaptativo em malha fechada (closed-loop), isto é, adaptação e controlo retroactivo decorrendo em simultâneo (Seborg e colabs.,l986).

O carácter periódico das oscilações do valor observado de OUR, e a

Filtragem de OUR

influência negativa do ruído da fracção molar de oxigénio nesta variável,

sugerem que a filtragem de OUR poderá conduzir a estimativas de parâmetros menos desviadas, muito embora a velocidade de resposta de uma adaptação perturbada possa ser negativamente afectada. A filtragem de OUR deverá ser conduzida de modo a permitir a adaptação em presença de perturbações do valor real desta variável.

Será conveniente efectuar ensaios de adaptação em condições de modelação física, simulando o caldo fermentativo, e em fennentações

Adaptação em ambiente fermentativo

reais.

5.2.2 Sugestões Relativas aos Ensaios de Optimização

É conveniente prosseguir o desenvolvimento e o estudo de implementação do algoritmo de optimização utilizado neste trabalho.

Seria conveniente a simulação de ensaios de optimização com observação de OUR, sem filtragem nem atraso na resposta da fracção molar de oxigénio no topo. Deste modo será possível avaliar, com base comparativa, qual o efeito do atraso e da filtragem nas oscilações detectadas em OUR, e qual a contribuição de outras possíveis causas da instabilidade verificada: amostragem, erros de modelação e numéricos.

Atraso

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro

118

Deverá prosseguir o estudo da estabilidade do algoritmo de

Estabilidade

optimização com observação de OUR, visto que prossegue com reciclagem de erro do valor observado. O estudo de estabilidade deverá atender ao efeito da amplitude da perturbação inicial do caudal de ar, do atraso e ruído que afectam a resposta da fracção molar de oxigénio no topo, e do

período de optimização utilizado.

A filtragem de parâmetros utilizando um filtro de primeira ordem

Filtragem de parâmetros

poderá ser utilizada para providenciar estimativas de parâmetros mais estáveis, para optimização adaptativa em ciclo fechado (closed-loop), isto é, adaptação e optimização decorrendo em simultâneo.

O carácter periódico das oscilações do valor observado de OUR, e a

Filtragem de OUR

influência negativa do ruído da fracção molar de oxigénio nesta variável, sugerem que a filtragem de OUR poderá conduzir a um processo de optimização (com observação de OUR) mais estável. Porém, a velocidade

de resposta da optimização face a uma perturbação no valor real de OUR poderá ser negativamente afectada. A filtragem de OUR e o

essencialmente branco, que afecta esta variável,

ruído,

foram estudados por

Royce e Thornhill (1992).

A análise matemática das condições de estabilidade, convergência e

Análise matemática

robustez do algoritmo de optimização deverá ser efectuada. O seu

desenvolvimento teórico deverá prosseguir sob o ponto de vista da incorporação de constrangimentos impostos pela gama admissível para a manipulação de variáveis, mediante o recurso a métodos conhecidos da optimização não linear: multiplicadores de Lagrange, funções de penalidade, programação quadrática, e outros. As condições de existência, unicidade, e convergência para uma solução óptima, deverão ser objecto de análise.

Deverá ser efectuado um estudo de robustez perante um

Conheci-

conhecimento inexacto da correlação de /ía que melhor caracterizará o

correlação

fermentador. Este estudo deverá considerar os resultantes desvios do valor

de Kra

mento da

da função objectivo, e do afastamento da molaridade de oxigénio relativamente ao ponto de ajuste.

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro O algoritmo de optimização deverá ser comparado com algoritmos

119 Algoritmos alternativos

alternativos como os que efectuam pesquisa iterativa de Fibonacci (Shields e Kao, 1994) ou usando o método simplex (Singh e colabs.,l990).

Será conveniente efectuar ensaios de optimização em condições de

Optimização em

modelação física simulando o caldo ferrnentativo e em fermentações reais,

ambiente

em condições que permitam a comparação do valor estimado da função

fermentativo

objectivo obtido por cálculo do sistema optimizador, com o seu valor real obtido por medidas eléctricas.

5.2.3 Sugestões Relativas aos Ensaios de Controlo Deverá prosseguir o desenvolvimento e o estudo de implementação do algoritmo de controlo utilizado neste trabalho.

A filtragem de parâmetros utilizando um filtro de primeira ordem

Filtragem de parâmetros

poderá ser utilizada para providenciar estimativas de parâmetros mais estáveis, para controlo adaptativo em malha fechada (closed-loop), isto é, adaptação e controlo decorrendo em simultâneo.

A análise matemática das condições de estabilidade, e robustez do

Análise matemática

algoritmo de controlo deverá ser efectuada (Sastry e Bodson,l989).

Deverá ser efectuado um estudo de robustez perante um

Incerteza

conhecimento inexacto dos expoentes da correlação de /ía que melhor

expoentes

nos

caracterizará o fermentador.

Deverá recorrer-se ao algoritmo PID aplicado tomando como

variável manipulada a velocidade de agitação para alargamento da base de comparação utilizada para o algoritmo adaptativo. Deverão ensaiar-se métodos alternativos de selecção dos ajustes de ganho, como o método de resposta transiente em malha aberta e o método da resposta de frequência (Johnson,l993).

PID

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro

120

Perturbações nos parâmetros que caracterizam a transferência de

Pe““'baÇã°

oxigénio no fermentador poderão tomar o lugar de OUR nos ensaios de

parâmetms

de

perturbação de carga. Relativamente à perturbação de expoentes deverão considerar-se dois casos limite: conhecimento perfeito da perturbação efectuada

por

parte

do

controlador

(expoentes

coincidentes)

e

desconhecimento perfeito (expoentes iniciais). A margem entre os dois casos considerados representa a possível influência da adaptação.

Será conveniente efectuar ensaios de controlo em condições de

Controlo

modelação física simulando o caldo fermentativo e em fermentações reais.

amb¡eme

Em

fermentativo

A perturbação sinusoidal de OUR deverá ser ensaiada para diferentes períodos e amplitudes. A resposta a uma perturbação em degrau ou de tipo

Pe““"ba9ã° de ouR

rectangular deverá ser estudada.

5.2.4 Sugestões Relativas à Optimização Adaptativa e ao Controlo Adaptativo Designa-se por optimização adaptativa a associação entre os processos de adaptação e de optimização e por controlo adaptativo a associação entre os processos de adaptação e de controlo. Em qualquer caso existem dois modos distintos de realizar as associações referidas. Dizemos que se procede em malha fechada (closed-loop), quando os processos associados decorrem em simultâneo (Seborg e colabs.,l986). Caso os dois processos decorram altemadamente diremos que se trata de uma associação em malha aberta (open-loop). Em ambos os caso, será necessário dispor de instrumentos que assegurem a estabilidade e a eficácia dos processos coligados, visto que tenderão a instabilizar-se pelo acoplamento recíproco. Este tipo de associações poderá ser testado em simulações numéricas, em condições de modelação fisica simulando o caldo ferrnentativo, e em fermentações reais.

Para uma optimização adaptativa em malha fechada, poderá ser monitorado o afastamento entre valores de /ía previstos e observados. Se num dado período o

afastamento se revelar superior a um dado limite, poderá efectuar-se a optimização com recurso aos valores dos parâmetros anteriores à detecção da ultrapassagem do limite

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro

121

referido. Neste caso a acção de optimização decorrerá, com parâmetros congelados, em

simultâneo com a adaptação. Os parâmetros serão actualizados quando o limite referido for respeitado. Em alternativa poderá recorrer-se a uma filtragem de parâmetros, de primeira ordem (Seborg e colabs.,l986). Precauções deste tipo serão igualmente vantajosas no arranque do processo adaptador. Outra solução a ter em consideração consistirá em manter períodos de tempo distintos para o processo de adaptação e para o

de optimização, como forma de evitar o acoplamento entre processos (Seborg e colabs.,l986). As soluções estabilizadoras referidas poderão ser aplicadas em separado ou de forma conjugada. De forma análoga se procederia relativamente ao controlo adaptativo em malha fechada.

Para uma optimização adaptativa em malha aberta deverá ser monitorado o afastamento entre valores de /ía previstos e observados. Caso num dado período o

afastamento se revelar superior a um dado limite (banda morta de /ía), deverá prosseguir somente o processo de adaptação; no caso contrário prosseguirá somente o processo de optimização. Desta forma se evita que uma eventual instabilidade dos parâmetros, em adaptação, se repercuta no processo optimizador. Pode proceder-se de modo análogo relativamente ao controlo adaptativo em malha aberta.

Quer o algoritmo de optimização quer o de controlo tendencialmente conduzirão a molaridade de oxigénio para valores próximos do seu ponto de ajuste, perante uma adaptação eficiente. Existe assim a possibilidade alternativa de na implementação em ciclo aberto, se substituir o recurso a uma banda morta de /ía por uma banda morta de molaridade de oxigénio dissolvido, monitorando o afastamento desta variável face ao seu ponto de ajuste. Neste caso a adaptação prossegue isoladamente, sempre que esta banda é violada, prosseguindo somente a acção alternativa no caso contrário.

Na implementação dos processos de altemância em ciclo aberto, é conveniente definir períodos de actuação mínimos para cada um dos processos, como forma de permitir a obtenção de pontos de ajuste estáveis. A estabilidade dos processos simultâneos em ciclo fechado, deverá exigir uma amplitude de excitação mais reduzida do que aquela que poderá ser utilizada em ciclo aberto. De facto, as perturbações

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro

122

induzidas pelo algoritmo de controlo ou de optimização sobre as variáveis manipuladas, poderão ser suficientes para que se possa dispensar a sua excitação.

5.2.5 Sugestões Relativas ao Controlo Optimizado

Designamos por controlo optimizado a associação entre os processos de optimização e de controlo. Para um controlo optimizado em malha aberta (controlo e

optimização altemados), deverá ser monitorado o afastamento entre o valor da molaridade de oxigénio na fase líquida e o seu ponto de ajuste. Se num dado período o

afastamento ultrapassar uma banda morta definida para a acção de controlo, esta deverá ser iniciada, suspendendo-se então a acção de optimização. Procede-se inversamente no caso contrário. Deverão ser definidos períodos de actuação mínimos para cada uma destas acções, para que se possam atingir pontos de ajuste estáveis.

Para um controlo optimizado em malha fechada (controlo e optimização em

simultâneo), deverão ser substituídos os pontos de ajuste das variáveis manipuláveis pelo algoritmo de controlo, pelos valores providenciados pelo algoritmo de optimização, sempre que terminar um período de tempo de optimização. O acoplamento entre os dois algoritmos poderá ser reduzido se necessário, mediante a adopção de períodos de tempo distintos para o processo de controlo e para o de optimização, alargando-se este último relativamente ao primeiro.

O controlo optimizado poderá ser testado em simulações numéricas, em condições de modelação física simulando o caldo fermentativo (Locaides e McManamey,1973), e em fermentações reais.

5.2.6 Sugestões Relativas ao Controlo Optimizado Adaptativo

A associação entre adaptação, optimização, e controlo, deverá ser o objectivo último que deve ser perseguido, partindo das sugestões feitas nas duas anteriores secções. Designamos por controlo optimizado adaptativo o resultado final de tal associação. Para se atingir este resultado final será necessário associar um dos módulos

Conclusões e Sugestão de Trabalho Futuro anteriormente referidos

(optimização adaptativa,

123 controlo

adaptativo,

controlo

optimizado) ao terceiro processo não incluído em tal módulo. A selecção de um ou mais módulos para ensaios posteriores de associação temária dependerá do resultados dos ensaios referidos nas duas últimas secções. Tal como nas secções referidas, poderá recorrer-se a uma associação(®) temária em malha aberta (v) ou fechada (A) (5.1). Nesta associação recorre-se à monitorização do afastamento entre o valor da molaridade de oxigénio na fase líquida e o seu ponto de ajuste, ou do afastamento entre valores de /ía

previstos e observados, de modo semelhante ao referido nas duas últimas secções. O controlo optimizado adaptativo poderá ser testado em simulações numéricas, em condições de modelação fisica simulando o caldo fermentativo (Locaides e McManamey,1973), e em fermentações reais.

(controlo optimizado) ® adaptaçao controlo ® (optimização adaptativa) (controlo adaptativo) ® optimização no

(controlo optimizado adaptativo) <=>

®‹::>{

V /\

(5.1)

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Apêndices Dedicados a António Coutinho (Instituto Pasteur em Paris e Instituto Gulbenkian de Ciência em Oeiras), a António Damásio (Iowa, EUA), e a João Lobo Antunes (Neurocirurgião, em Portugal).

Por um lado, a Ciência em Portugal esta saturada com o dinheiro público e, por outro, não há excelência nem maturidade na comunidade científica que permita um investimento distributivo apropriado. (...)Mediocridade gera mediocridade, enquanto a excelência ê decrescente' António Coutinho

Entre nós, a mediocridade é ainda degreto

e a inveja a portaria que o regula.

António Damásio

Tinha-me tornado, entretanto, um acadêmico, no sentido próprio do termo alguém que gosta de reflectir antes de executar e que entende que a Universidade sÓ assume a sua missão total quando se abre para o mundo.3 João Lobo Antunes

*E×press‹› (Revista), 1o-5-1997, pp. 61-2.

2Expresso , 27-5-1995.

3Discurso proferido na cerimónia de entrega do Prémio Pessoa 96.

Apêndices

128

Apêndice I. Balanços de Massa em Estado Estacionário à Fase Gasosa O recurso a caudais volumétricos referidos à pressão e temperatura padrão, ou abreviadamente caudais padrão, permite notável simplificação nas equações de balanço

de massa à fase gasosa, relativamente às que se obtêm habitualmente, com recurso a caudais referidos à pressão e temperatura reais das correntes gasosas de entrada e saída no fermentador.

Em estado estacionário o balanço de massa para o oxigénio poderá ser apresentado numa das seguintes formulações, para caudais volumétricos referidos à pressão e temperatura padrão, consoante se considere NQ ou yO.›z

como variável

dependente: NQ =( YQb Qb' Y02rQr) Í V0

(l-1)

J/02: =( Y0z:› Qb ' N02 V°) /Q:

(l-2)

Nas anteriores relações \/° designa o volume molar padrão de um gás perfeito (m3) enquanto yOzz, e yOzz representam,respectivamente, as fracções molares de oxigénio na fase gasosa na base e no topo do fermentador. Designa NQ› a taxa de transferência de Oz do gás para o líquido (mol s`1), sendo Qb e Q, os caudais de ar padrão na base e topo do fermentador (m`3 s'1).

O balanço de massa para a água em estado estacionário, poderá ser apresentado na seguinte forma, designando yl-lzoz, e yHzo, as fracções molares de HzO na fase gasosa na base e no topo do fermentador, e NHzo a taxa de transferência de HZO do líquido para o gás (mol s`1): NH20 =( Y/420: QP)/H2Ôz› Qu) Í V°

(|-3)

O balanço de massa global para o ar em estado estacionário poderá então ser apresentado, designando NCQ a taxa de transferência de CO2 da fase líquida para a fase gasosa (mol s`1):

Qt: Qb+

+

NCQ

-

› Vo

Apêndices

129

Eliminando NHzo na anterior equação (I.4), obtém-se: Qf=[ Qb(1-.V/'b0z›)+( NCQ -NQ ) V°]/(1- J//'/20: )

(|-5)

É conveniente exprimir o balanço de massa estacionário ao oxigénio de forma a que NOz

possa obter-se como variável dependente, em função de variáveis supostas

conhecidas e independentes, para o que será necessário substituir na anterior equação (I.l), a expressão agora obtida para o caudal padrão no topo do fennentador (I.5). Para simplificar a expressão da equação que iremos obter é conveniente recorrer a duas variáveis auxiliares de cálculo ,B1 e ,B2 , definidas de fonna independente de yO_›f , como se segue: ,31= .V0zz› Q› (1- Y/'/20: )/ V°

(Í-6)

52: Q› (1'YH20z› )/ V° "' NC02

(l-7)

Da anterior equação de balanço global (I.5) obtém-se, considerando (I.7): Qf= (,3z- NQ )V°/(1-YHz0z) Substituindo a anterior expressão

(|-3) (I.8) na equação de balanço de massa ao

oxigénio (I.l), obtém-se atendendo à definição de ,B1: J/Oz: =[/31 -(1-YHz0z~ )NQ 1 /(fiz -NQ)

(|-9)

A anterior expressão pode ser rearranj ada, de modo a obtermos NOz como variável dependente:

N02 = (,31'.V@t Ê2)/(1'J/Qt '.VH20t)

Apêndice II. Cálculos Preliminares e Psicrométricos Pressão na base dofermentadorz

(mo)

Apêndices

130

Calcule-se a pressão na base do fermentador, pb, sendo conhecida a pressão no topo do fennentador, p,. Designando por g a aceleração gravítica padrão, será:

Pb=Pr+HL PLQ

(H-1)

Temperatura do ar na base do fermentador:

Pretende-se obter a temperatura do ar na base do ferrnentador, 7,3, partindo do conhecimento da temperatura do ar ambiente, 7; ,tomando para 75 a temperatura do gás a jusante do compressor após compressão adiabática, e sendo as temperaturas

dadas em kelvin.

Considerando

7

, razão

Q,

ara o ar, e compressão desde a

pressão atmosférica, pa , até à pressão na base do fermentadorpb , tem-se:

1;,=1;.‹pz,/pa›”'“'*'

‹H.2›

Área da secção recta do fermentador e do volume de líquido:

Obtenha-se a área da secção recta do fennentador, considerando como dados D, , diâmetro do tanque, e Fëhafi , razão de volume imerso ocupado pelo eixo, turbinas e chicanas do fennentador. Partindo desta área obtém-se o correspondente volume de líquido na ausência de arejamento, supondo conhecida a altura da coluna de líquido na ausência de arej amento e agitação.

A=fzo,2/4(1-R,,,,,,)

(||.3)

Valores médios da pressão e temperatura da fase gasosa:

Defina-se uma pressão e uma temperatura da fase gasosa médias no fermentador, respectivamente pm e In , sendo conhecida a temperatura do líquido (K) , E .

pm=(pz›+pf)/2

(H-4)

Tm=(Tz.+75)/2

(IL5)

Apêndices

13 1

Factores de conversão do caudal padrão de ar:

Serão necessários dois factores de conversão do caudal padrão de ar. Um para a pressão atmosférica e temperatura do ar ambiente, designado por 15. Outro para a pressão e temperatura da fase gasosa médias no fermentador, designado por f. T° e p° designam a temperatura e pressão padrão. í,=7;,/T°p°/p,

(ll.6)

f=`IÇ,, /T°p°/pm

(ll.7)

Caudal de ar referido à pressão e temperatura médias no fermentador: O caudal de ar referido à pressão e temperatura médias no fennentador, Qf, será obtido por conversão do caudal de ar na base à pressão e temperatura padrão, Qz, , utilizando para tal o factor de conversão f definido em (II.7).

Qf = Qb f

I .

Taxa de transferência de CO; :

Considere-se conhecida a taxa de geração de CO; e converta-se para taxa de transferência de CO; da fase líquida para a fase gasosa (mol s`1), Ncoz, designando por

Mwcoz a massa molecular da co;( kg m‹›1"). /vcoz =(1o3 rcoz v)/ Mwcoz

(I I . 9)

Calor latente de vaporizaçao de água: É

Necessitaremos conhecer à (J kg`l), calor latente de vaporização de água à temperatura TL(K), supondo conhecido o seu valor de referência 1,00 a 3OOK. Recorre-se para tal à correlação de Watson (Smith e Van Ness, 1975), onde 7; temperatura crítica e reduzida da água.

(D

7; representam

Apêndices

132

7}1=300/Tc

(Il.10)

1;z=r/1; z1=aa0 ‹‹1- tz ›/‹1- 1,1 ››°'38

‹H.11› ‹H.12›

Fracção molar de O; no ar, na base do fermentador:

Pretende-se conhecer a fracção molar de O; no ar à entrada (base) do fermentador, YOzz›, supondo conhecido o seu valor para ar seco, yo_›°. A fracção molar de O; em ar

húmido poderá ser obtida admitindo que o ar passa de um estado inicial de secura até à sua humidade de entrada no fermentador por humidificação com um caudal molar de

água dado por N/-izo' (mol s`1). Efectuamos um balanço à água(II. 13), ao ar (II. 14) e ao oxigénio (II. 1 5), na operação de humidificação. Designamos por Q° e Qz, , respectivamente, os caudais padrão de ar suposto seco e de ar húmido na base do fennentador, e por yHzo,, a fracção molar de água no referido ar húmido, conhecida de cálculos psicrométricos que referiremos posteriormente nesta mesma secção. V° designa o volume molar padrão de um gás perfeito (m3).

NHzo'V° =yHzoz, Qz,

(ll-13)

Q°=Qz,-~za<›'v°

‹H.14›

Q°YQ°=Qb,YQb

`

(H-15)

Eliminando Q° e N/-fzo' nas anteriores equações de balanço resulta:

.VOzz›=Y0z°(1'.VHz0a)

(H-16)

Fracções molares de água no ar, para a base e o topo do fermentador:

Considerem-se conhecidas as percentagens de humidade relativa do ar (referidas à pressão pa), para a base e o topo do fennentador, respectivamente %H¡, e %H, .

Pretendemos, a partir destes valores, obter as correspondentes fracções molares de água no ar, yHzo,, e y/-lzo, , utilizando para tal as necessárias relações psicrométricas.

Exemplificamos o cálculo para a base do fermentador, já que para o topo o procedimento

Apêndices

133

é análogo. Representando pH; ob a pressão parcial da água na base do fermentador

referida à pressão total padrão de ar húmido p° , e ps b a pressão de vapor de água (Nm`2) na base do fennentador, definida para a temperatura de termômetro seco do ar húmido à entrada, tem-se: pHzOb=%H,,p$b/100

(Il.17)

yH;o,,=p/-/zob/p°

(II.18)

O cálculo requer porém o conhecimento de ps b, que se obtém partindo da correlação de Wagner para a pressão de vapor (Battino e Lawrence,l966), a qual para o caso da pressão de vapor de água, ps b , se escreve como se segue, sendo VPA, VPB, VPC e VPD constantes da correlação, e sendo pca pressão crítica da água. Note-se que se considerou,

para o cálculo de x, a temperatura de tennómetro seco do ar húmido à entrada, 7;. Porém no cálculo análogo de ps, a temperatura a considerar seria T,_ _

p,, = pc Ex|=>((1-×)" (VPA ×+ VPB ×*~5+ vPc ×3+ VPD ×° )) ×=1-1; /1;

(||.19› (||.2o)

Humidade absoluta do ar, na base e no topo do fermentador:

Podemos agora conhecer a humidade absoluta do ar (kgH;O/kg ar seco), na base e no topo do fermentador, respectivamente I-l,,,s,, e I-(abs, , valores independentes da pressão.

Utilizando a relação psicrométrica apropriada (Treybal,l98l), obtém-se a relação que exemplificamos para a base do fermentador, uma vez que para o topo o procedimento seria análogo. O coeficiente 0.622 é adimensional, sendo obtido dividindo a massa molecular da água (kg mol`l) pelo produto da massa específica do ar nas condições padrão (kg m`3) pelo volume molar padrão de um gás perfeito (m3mol`1), conforme se

poderá confirmar com os dados do Anexo I.

I-¿,¿,sb=O.622 pH;Ob /(p°-pHzOb)

(II.21)

Apêndices

134

Apêndice III. Representação Gráfica das Curvas de Iso-Potência Versus Iso-Velocidade Apesarde se tratar de curvas que descrevem exactamente o fermentador simulado, procedeu-se a uma simplificação de notação com a eliminação do subscrito s de km , ns ,

ms , AF, , BF, e OUR,,para melhorara clareza das equações. A utilização de caracteres em negro reforçado indica tratar-se de vectores ou matrizes.

Pretende-se obter curvas de iso-potência velocidade versus caudal, curvas de iso-oxigénio velocidade versus caudal, e curva do ponto de ajuste do oxigénio velocidade versus caudal, todas elas destinadas a serem representadas num mesmo gráfico

velocidade versus caudal. Vejamos sumariamente como se obtêm as curvas consideradas.

I - Curvas de iso-potência velocidade versus caudal:

Valores de caudal de ar considerados: Q»/, = [10,20,30,40,50,60,70,80,90,100]

Vector ‹["X" O)

Q,, = Q% Qna, /100

Vector ‹['xfO].

/14,, = N, (AF +(1- AF) ExP(-BF fQz.))

veptpr ‹{'×'o1›

a = - Pm/17, -(az, /no +(¿z2 -as. )/ f¡, ) Q,,

Vector ‹['x"0]›

b = n,- NP, p, D 5

vaptpr ‹{*×*o;›

¢=(1/z;g+1/¢;,) b

veptpr(1×1o)

Valores de potência total considerados:

P,= [15,2o,2õ,3o,35,4o,45,5o,55,ôo1T

vaprpr (1o×1)

Matriz das curvas de iso-potência velocidade versus caudal :

N=(( P, +a)/c )“'3>

Matriz (1o×1o)

II - Curvas de iso-oxigénio velocidade versus caudal Q,= (Q,,(1- yHzO,, )+( NCO; - OTR V) V° )/(1- yHzOz )

Vector (1X10)

yozz =( yozz. Q.. - OTR v v° ›/ Q,

veptpr (1×1o›

C*,= ptyq, /I-il,

Vector (1x10)

Valores da concentração de oxigénio ( % de saturação ) considerados: 02% = [10,20,30,4O,50,6O,70,8O,88]T

Vector (9X1)

Apêndices C = po /HM(O;%/1OO)(p,,,/p°)

135 Vector (9x1)

Modelo de mistura gasosa de fluxo-pistão: K,_a=OTR/( C"¡,- C*, ) In((C"§,- C)/( C*, - C))

Matriz (9X10)

d=1//‹' (b /v)'"'S (Q, f/A)'”S

vaptpr (1 o×1)

Matriz das curvas de iso-oxigénio velocidade versus caudal :

N=( KLa pi )"<3"”>

Matriz (9×1o)

III - Curva do ponto de ajuste da molaridade de oxigénio (velocidade versus caudal):

Modelo de mistura gasosa de fluxo-pistão: K,_as,, = OTR /( C"2,- C*, ) LN((C'§, - Csp)/( C*, - Csp ) )

Vector (1OX1)

Ns, =( Kiasp/d)1'(3'"s)

Vector (10x1)

Os cálculos anteriormente referidos permitiram obter a Figura 4.46.

Apêndice IV. Controlo Proporcional, Integral e Derivative ( PID ) da Velocidade ou do Caudal de Ar Foi implementada uma opção de controlo PID da velocidade de agitação ou do caudal de ar. Dada a analogia das equações apenas apresentamos as equações utilizadas em controlo PID de caudal de ar, dado que foi esta a opção considerada para efeitos de ensaios de controlo. O algoritmo PID foi implementado de acordo com a terminologia de Coughanowr e Koppel (1965).

Considere-se o desvio entre a concentração molar de oxigénio no ponto de ajuste Csp , e a concentração efectiva para um dado período de controlo j , 5,- ( mol m`3 ), definido de acordo com a Equação (IV.l). O Somatório dos desvios ocorridos para os períodos de controlo ocorridos até ao período designado por j , será designado por erro integral, ei (mol m`3), consoante a Equação (IV.2). Designando por 15 (s) o período de controlo, período decorrido entre duas acções sucessivas de manipulação de variáveis, pode ser definido um erro derivativo, ep (mol m`3 s"), conforme indica a Equação (lV.3).

pj = Q, -(3

(iv.1)

Apêndices

136

8/ = Z 8]

(|V.2)

ED =(6`¡' - ¿`¡-1)/ 25

(|V.3)

Defina-se um ponto de ajuste para o caudal de ar sob controlo como percentagem do valor máximo Q,,,‹›,, . Defina-se um ganho do caudal de ar, K,,,(%/%), um tempo derivativo, ba (s), e um tempo integral , ta(s) , para o caudal de ar em controlo. Pode então calcular-se a correcção percentual, AQ ,a adicionar ao ponto de ajuste do caudal de

ar Q,,,%, no decurso do periodo de controlo j que temos vindo a considerar.

AQ = Ka (gj +5/ le/ la + Da ED)

(IV-4)

Apêndice V. Hardware de Aquisição de Dados Experimentais e de Actuação sobre as Variáveis Manipuladas A aquisição de dados e a manipulação de variáveis foi implementada e ensaiada num ambiente de modelação fisica (tanque arejado e agitado).

Instrumentação para Aquisição de Dados Experimentais : Vejamos em primeiro lugar quais as opções tomadas relativamente às variáveis

manipuladas. Para a calibração do sinal de regulação de velocidade recorremos a um tacómetro óptico. O medidor de caudal mássico e controlador Bronkhortst F-20lAC-FA foi utilizado em aquisição automática dos dados respeitantes ao caudal de ar.

Efectuou-se aquisição automática dos dados de torque recorrendo a um transdutor (transducer) de torque vibro-meter do tipo indutivo. O transmissor de torque funciona por torção elástica, proporcional ao sinal de torque. O sinal de torque é transportado sobre voltagem modulada num cabo coaxial blindado para um módulo receptor

(8kHz,l0Vrms,voltagem sinusoidal simétrica). O sinal é posteriormente desmodulado e sofre então filtragem e conversão analógica/digital para ser disponibilizado numericamente num mostrador digital. Uma saida de sinal analógico (0-5V) é providenciada. Verificou-se que a saida analógica apresenta ainda importantes vestígios de harmónicos da modulação, tendo por isso sido necessário conceber um filtro

Apêndices

137

analógico externo relativamente ao módulo receptor, de passagem-baixa (low-pass), representado na Figura V.l. A aquisição deste sinal em LABTECH resultou insatisfatória, na ausência da filtragem analógica introduzida. A frequência de corte fo,

seleccionada para o filtro analógico ronda 3.4Hz, para uma constante de tempo ô, próxima de 0.05s (V.l-2). A filtragem analógica do sinal de torque provoca alguma atenuação no potencial médio de saida (volt), sendo por isso conveniente multiplicar o valor obtido com filtro por um factor de 1.096 sempre que o filtro estiver a ser utilizado.

Este factor foi obtido experimentalmente por calibração do filtro na gama de torque compreendida entre O e 2Nm. Ensaios de aquisição em LABTECH permitiram concluir pela necessidade de uma filtragem digital complementar. Para maior estabilidade de leituras é conveniente amostrar o sinal de torque com uma frequência igual ou superior a 8Hz, procedendo-se então a uma filtragem digital (média deslizante) de pelo menos 8 pontos.

ô = Rc = 4.715-2 â

(v.1)

fo

( V.2 )

= -1-__ Znõ =

3.38Hz

_, _ terminal de entrada

E

,_

R 47.3 kQ

terminal de saida C l |.tF

Figura V.1 Filtragem analógica do sinal de torque

A sonda de oxigénio utilizada foi um eléctrodo polarográfico do tipo Clark dispondo de um termistor para medição e compensação de temperatura. O eléctrodo utilizado foi o eléctrodo YSI 5739 (YSI lncorporated Yellow Springs Instrument Co.,Inc) dispondo de uma interface remota com saida RS232, para ligação a uma impressora ou a um computador. Foi desenvolvido software especifico para este eléctrodo. A calibração deste eléctrodo foi efectuada em água saturada com oxigénio atmosférico de acordo com a documentação técnica disponível para este tipo de sondas.

Apêndices

1 33

Lucero (1968) desenvolveu um estudo teórico sobre a cinética da resposta deste tipo de eléctrodo, concluindo que o seu tempo de resposta (1) aumenta quadraticamente com a espessura da membrana (x) e inversamente com o coeficiente de difusão de oxigénio na membrana (D):

r pp ×2/D

(v.3)

Por este motivo, eléctrodos esterilizáveis termicamente apresentam em geral um tempo de resposta superior e proporcionam leituras mais estáveis do que o eléctrodo a que recorremos, sendo assim menos sensíveis ao ruido experimental. Nos ensaios de implementação dotámos o eléctrodo YSI 5739 (não esterilizável) de uma membrana de sensibilidade média, em Teflon, de 0.00lin de espessura. Para esta membrana o fabricante indica um tempo de resposta de 90% em 10s a 30°C, aumentando este tempo para 10s em niveis baixos de oxigénio dissolvido. Em contrapartida, o fabricante do eléctrodo esterilizável Ingold indica um tempo de resposta de 98% situado na gama entre 45 e 90s.

Instrumentação para Actuação sobre as Variáveis Manipuladas :

As variáveis que pretendemos manipular são o caudal de ar e a velocidade de agitação. Dispomos de dois tenninais D/A na interface DT707, montada exteriormente ao computador. Um dos canais (canal 0) foi usado para a regulação automática do caudal de ar , com auxílio do controlador (e medidor de caudal mássico) Bronkhortst F-20lAC-FA. As ligações eléctricas foram implementadas

com opção de controlo

manual, e indicação luminosa de modo automático (Figura V.2). Na manipulação da velocidade recorremos ao Microverter LC de fabrico AEG. Encontrámos as ligações

eléctricas já implementadas, igualmente com opção de controlo manual. O Microverter constitui um intermediário entre o motor responsável pela agitação e o terminal D/A na interface DT707. O Microverter suporta motores a 50 ou 60Hz, regulando sua velocidade por modelação de frequência de um gerador de pulsos. O motor utilizado nos testes de implementação tinha 0.75kW de potência (50Hz), e providenciava a agitação de 60dm3 de liquido num tanque agitado por duas turbinas de Rushton. O Microverter recebe o

Apêndices

139

seu sinal de entrada numa gama entre O e 10V, ao contrário do que sucede com o controlador Bronkhortst, que recebe o seu sinal numa gama entre O e SV. Deste modo o sinal proveniente do terminal D/A na interface DT707 responsável pelo seu accionamento (canal 1) terá de sofrer amplificação prévia desde O-SV até O-10V.

Hardware para Aquisição e Actuação :

A aquisição de dados e a manipulação da velocidade de agitação e do caudal de ar foi efectuada por intermédio da placa de conversão de dados analógico/digital (A/D) e digital/analógico (D/A) DT28ll-PGH (Data Translation, Inc.). A placa DT28ll-PGH foi configurada para entrada de tenninais isolados (single-ended), sendo utilizada em

conjugação com o painel terminal DT707 em conversão A/D na gama O-SV. A placa operou correctamente no seguinte ambiente computacional: processador 80486, 66Mhz,8Mbyte RAM, Windows 3.1., software LABTECH/NOTEBOOKpro Windows Version 8.1. valor canal A/D de DT707

medldo SV

L

de DT707 ponto de ajuste

0 -sv

‹í

í

I_

E

R 470 Q

QV

LED (auto: ON)

__ _ \lO\Ut-l>L›¬l\.)›-^

|`

1

|`p‹.~. _

ov

l-

+15v -15v

Terminal de

F`201AC`FA

Fonte de alimentação

Figura V.2 Implementação de um medidor de caudal mássico e controlador Bronkhortst F-201AC-FA com opção de controlo manual.

Apêndices

140

Apêndice VI. Software de Aquisição de Dados Experimentais e de Actuação sobre as Variáveis Manipuladas Desenvolveu-se software com vista à aquisição de dados a partir da interface remota de uma sonda de oxigénio dissolvido com a designação comercial de MODEL59 Esta interface é produzida e comercializada por: YSI lncorporated Yellow Springs Instrument Co. Inc. (P.O.Box 279;Yellow Springs, OH 45387). As sondas compatíveis com esta interface são eléctrodos polarográficos disponibilizados pela mesma firma, da série YSI 5700. O eléctrodo utilizado no desenvolvimento deste software foi o eléctrodo

YSI 5739.Trata-se de um eléctrodo que disponibiliza uma resposta analógica da temperatura e da pressão parcial de oxigénio dissolvido, com a particularidade de possuir a capacidade de compensação de variações de pressão, relativamente à pressão de calibração. Muito embora este eléctrodo não tenha

sido

concebido

para

utilização em fermentadores, que requer geralmente esterilização térmica, pode ser utilizado para aplicações práticas em tratamento de efluentes ou na simulação física de

um fermentador. As respostas obtidas sofrem conversão analógica/digital na interface remota. A interface remota possui capacidade de comunicação em série com computadores de acordo com o protocolo RS232. É possível operar a interface remota da sonda de oxigénio a partir de um computador mediante uma linguagem de comandos específica. A firma fornecedora disponibiliza um programa informático já configurado para permitir uma operação simplificada da interface remota, concebido para uma aplicação algo particularizada. O programa referido é o Procomm, versão 2.4.3 (DATASTORM TECHNOLOGIES INC.), sendo a configuração efectuada na linguagem de comandos desta aplicação. Esta aplicação funciona sobre o sistema operativo DOS. A utilização da configuração de Procomm disponibilizada viria a revelar-se inadequada para os fins pretendidos, a saber, a disponibilização de dados de temperatura e percentagem de saturação em oxigénio para uma aplicação cliente funcionando em regime de coprocessamento, de acordo com

um período de amostragem pré-seleccionado. Idealmente a amostragem deveria ser sincronizada a partir da aplicação cliente, dado que a aquisição de dados deve ser sincronizada entre os diferentes instrumentos e esta aplicação. Esta sincronização é na prática impossivel de conseguir com o recurso a software comercial do tipo anteriormente referido. A transferência de dados, em tempo de processamento, de

Apêndices

141

Procomm para uma aplicação cliente executada em DOS revela-se inviável no mesmo computador, uma vez que o sistema operativo DOS não permite o coprocessamento entre aplicações cocorrentes num mesmo computador. Como alternativa surge a hipótese de coprocessamento entre o Procomm e uma aplicação cliente em ambiente Windows, num mesmo computador. Neste caso o coprocessamento é possível, mas a transferência de dados exige a partilha de um ficheiro em disco tal como no caso do coprocessamento DOS, em rede. É ainda possível que a aplicação DOS interfira

negativamente com a aplicação Windows pelo facto de a partilha de recursos de processamento entre aplicações DOS e Windows ser pouco robusta relativamente às necessidades da aplicação Windows.

Para além das dificuldades de implementação em coprocessamento já referidas, o Procomm revela-se incapaz de garantir com o rigor exigível um periodo de amostragem seleccionado. A aplicação tal como se encontra configurada limita-se a suspender o processamento durante um periodo de amostragem seleccionado (precisão de ls), sem qualquer compensação de atrasos de execução do programa e de transferência de informação. Este procedimento é aliás comum em software comercial de comunicação RS232, até mesmo se especificamente desenvolvido para aquisição e envio de dados, como o LABTECH para Windows (versões 8.0 ou 8.1). No caso do Procomm resulta uma perda significativa de pontos de amostragem e um periodo médio de amostragem substancialmente superior ao pretendido, variando os desvios com o periodo de amostragem seleccionado. Uma perda da ordem dos 10% de pontos de amostragem não é invulgar. Pelas razões anteriormente referidas o recurso ao Procomm viria a ser abandonado em favor do recurso a outras alternativas.

Uma vez que o software Labtech, especialmente concebido para aquisição de dados, dispõe de capacidade de aquisição de dados via RS232, foi tentada a sua utilização para a comunicação com a interface remota. Esta comunicação não foi conseguida, eventualmente por inadaptabilidade desta aplicação comercial relativamente às exigências da interface remota, no que respeita ao modo de recepção de comandos de inicialização. O LABTECH serve-se de um ficheiro de comandos de inicialização, o que impossibilita a implementação de tempos de espera entre comandos sucessivos, e a sua

não acumulação na fila de espera (bujfer) de saida do computador, factores que se

Apêndices

142

viriam a revelar importantes na comunicação com a interface remota. Desta forma, a idiossincrasia da interface não pôde ser respeitada.

A comunicação com a interface remota acabou finalmente por ser estabelecida através de um programa em linguagem Microsofi QuickBasic (versão 4.5) que desenvolvemos especificamente para esse fim. A aquisição de dados, respeitando um determinado período de amostragem, foi conseguida com elevada precisão de controlo

de tempo, e sem qualquer perda de pontos de amostragem (excepto para períodos de amostragem inferiores a cerca de dois segundos). A aplicação disponibiliza informação estatística relativamente à média e desvio padrão do período de amostragem e possibilita uma amostragem prolongada durante dias. É robusta relativamente ao tratamento de filas de espera (buffers), pelo facto de não permitir a acumulação de dados nessas mesmas filas, contrariamente ao que sucede com as aplicações comerciais com que contactámos. É assim possível diminuir as exigências de memória RAM, e garantir uma

disponibilidade quase imediata dos dados adquiridos para uma aplicação cliente. A aplicação dispõe de capacidade de selecção e delimitação da informação adquirida, e de ordenação da sua escrita em ficheiro. O trabalho agora desenvolvido permitiu viabilizar a utilização do eléctrodos da série YSI 5700 em aplicações de controlo, para tratamento aeróbio de efluentes, para outras ferrnentações em ambiente aberto, e em simulação física de fermentadores.

A aquisição de dados a partir de instrumentação com saída analógica foi efectuada com recurso a software comercial especialmente concebido para esse fim (LABTECH NOTEBOOK, Data Acquisition and Process Control Software). O mesmo software foi

usado para manipulação de velocidade e caudal de ar, filtragem digital de dados de torque (média deslizante), interface com o utilizador, e interface com Microsoft Excel. A versão inaugural para ambiente Windows (versão 8.0) a que tivemos acesso revelou-se de dificil implementação num ambiente computacional que satisfazia os requisitos

mínimos indicados na documentação técnica que acompanha esta aplicação: processador 80486, 66Mhz, 8Mbyte RAM, Windows 3.1. O fornecedor desta aplicação comercial colaborou na solução dos problemas encontrados disponibilizando graciosamente, quando se encontrou disponivel, uma versão de teste da geração seguinte desta aplicação: LABTECH/NOTEBOOKpro Windows Version 8.1. Esta versão permitiu resolver boa parte dos problemas existentes, ou ultrapassar os do Windows, de acordo

Apêndices

143

com o fornecedor. Foi então possível implementar satisfatoriamente esta aplicação. O LABTECH/NOTEBOOKpro Windows dispõe de um tipo de ligação rápida (LT-SPEEDWAY) entre o seu módulo de base (Runtime) e o seu módulo de interface com o

utilizador (VISION), que pode ser estendido a outras aplicações Windows. A utilização deste tipo de ligação na criação de uma interface do LABTECH com a folha de cálculo Microsoft Excel não se encontra facilitada a quem não disponha de familiaridade com as linguagens Excel /Visual Basic e C++ (código fonte de LT-SPEEDWAY), dado que o objectivo terá sido o de providenciar um instrumento que possibilitasse a recolha de dados na folha de cálculo para posterior tratamento pelo utilizador, agindo passivamente relativamente ao Runtime. Os nossos objectivos são porém outros, já que pressupõem uma interacção passiva e activa entre as duas aplicações, uma utilização dinâmica da folha de cálculo em tempo real de aquisição, e reenvio de dados entre as duas aplicações

num verdadeiro coprocessamento. Optámos assim pelas ligações dinâmicas (DDE) tradicionais do Windows entre servo e cliente (client/server), que foi possível implementar

de

forma relativamente

expedita.

Um

diagrama

das

ligações

implementadas encontra-se na Figura Vl. 1.

| LABTECH Rtmtima |‹ _

~

hgaçao DDE j

›| LABTECH Raaitimavrsrori | ligação

LT-SPEEDWAY

Microsoft Excel

|

Figura VI.1 Ligações de coprocessamento entre LABTECH e Excel.

Apêndice VII. Software de Processamento Algorítmico e de Interacção com o Utilizador Por conveniência de interface com o LABTECH e por relativa facilidade de programação e capacidade de geração de gráficos, recorreu-se à folha de cálculo Microsoft Excel (versão 5.0 sobre Windows 3.1) para efectuar a programação relacionada com a implementação dos algoritmos de optimização e controlo de fermentadores aeróbios. A mesma folha de cálculo foi utilizada na concepção de uma interface de visualização numérica das variáveis mais significativas relacionadas com o

Apêndices

144

fermentador, na concepção de uma interface de parametrização e introdução de dados e opções do utilizador, e na concepção de uma interface de visualização da evolução temporal das variáveis mais significativas do ponto de vista da aplicação desenvolvida.

A informação gráfica permite maior robustez na utilização prática de uma aplicação de controlo, pelo facto de facultar informação relevante a um supervisor humano, que

jamais poderia ser dada sob a forma de informação numérica. A programação efectuada é duma grande flexibilidade e encontra-se permanentemente acessivel ao utilizador, mesmo durante o processamento. É assim possivel, no decorrer do processamento, introduzir alterações nos dados, na parametrização da aplicação, ou modificar opções previamente assumidas. A programação foi estruturada visualmente em páginas, constituídas por blocos de cálculo. O conjunto das páginas constitui um livro. Cada bloco é encimado pelo seu título, seguindo-se as variáveis de entrada (símbolo e valor),

a zona de cálculos, e finalmente, as variáveis de saída ou calculadas. O fluxo de informação inter-blocos é indicado pela presença de setas. Sempre que desejável os blocos são agrupados num hiper-bloco, encimado por um titulo conveniente. Para além dos blocos e hiperblocos, cada página foi dotada de uma listagem de variáveis de entrada e saida de página, com seus valores e designação da página de proveniência ou de destino. A estrutura geral da programação efectuada encontra-se representada nas Figuras VIl.1 e VII.2. Foram desenvolvidos dois livros distintos de programação Excel, sendo um destinado a aplicações em fermentações reais, com ligação (DDE) ao LABTECH (Runtime), e outro destinado a aplicações em fermentações simuladas numericamente, dispondo de uma página associada de simulação numérica de fermentadores. Dado que o Excel por si só não permite a realização de simulações dinâmicas, foi necessário desenvolver alguma programação macro na linguagem Visual Basic associada a esta aplicação. Esta programação permite ao utilizador o arranque e a

paragem da aplicação, a partir de uma página que representa em painel a informação considerada mais pertinente para um supervisor humano (Figura VIl.3). Efectua o processamento dinâmico com acesso ao relógio do computador, e permite a evolução dinâmica do cálculo e da interacção com o utilizador. Os cálculos com esta aplicação foram feitos em ambiente de processador Pentium (l20Mhz) com l6Mbytes de memória RAM.

Apêndices

145

páginas de cálculo

páginas de cálculo variáveis

dados, opções e parâmetros

página de ClE1dOS

ecrã de visualização

ecrã de gráficos

numérica

Figura VII.l Estrutura da programação em folha de cálculo Microsoft Excel (livro). nome da página de cálculo

nome do bloco de cálculo

Variáveis de entrada, página

VEIIÍÉIVCÍS (lc Cntfâdãl 6 SGUS

de proveniência e seus valores

VHÍOTÊS zona de cálculo

bloco de variáveis de saída , página de destino e seus valores

Origem variáveis de saída e seus valores _,

bløco

bloco de destino

Figura VII.2 Estrutura da programação em folha de cálculo Microsoft Excel (página)

5%

Energy consumption

Ar coinpresston 79%

J

Air temperature (°C) Agitation power (W) Liquid temperature (°C) O2 (%) Air flow (%) Speed (Hz) Critical DO (mole m3 )

Total electric 0 008

DO concentration (mole m'3 )

OUR (mole m-3 s-'l ) Power added by metabolism (W)

Maximum air flow (m3 s-1 PTN) Bottom relative humidity (%)

Stan

Top relative humidity (%} Compressor exit pressure (Pa) Top fermenler pressure (Pa) Bottom fermenter , ressure

Stop

outlet mole fraction

Figura VII.3 Painel de informação pertinente para um supervisor humano.

Anexos

- Eu não tenho casa. Não tenho Bando. Fui Banido.

(...) - Podes sim, Fernão. Porque aprendeste. Acabou-se uma escola e chegou a altura de começar outra.1 Richard Bach

Força é pois buscar outro caminho!

Lançar o arco de outra nova ponte Por onde a alma passe - e um alto monte Aonde se abra à luz o nosso ninho.2 Antero de Quental

Portugal só será um país próspero e progressivo quando se abolir de vez o tribunal do Santo Ofício. Antes não.

Além disso, nada feito, enquanto, no mesmo lugar onde hoje se acha o Palácio da Inquisição, não puderem plantar os judeus a Sinagoga.3 Cavaleiro de Oliveira

Richard Bach (1970), A História de Fernão Capelo Gaivota, Tradução de António Ramos Rosa e Madalena Rosález, Moraes editores, 3* ed., 1974, p. 44.

A Ideia, em: Antero de Quental - Sonetos, edição de António Sérgio, Sá da Costa editora, 7* edição,

1984, p.19s.

O Galante Século XVIII /Textos de Cavaleiro de Oliveira, Aquilino Ribeiro, Livraria Bertrand, Lisboa, s/d, p. 195. Também em Cavaleiro de Oliveira /Aventureiro do Século XVIII, Artur Portela, Imprensa Nacional, 1982, p.120.

Anexos

147

Anexo I.Constantes Físicas

g = 9.80585 iv/Wed = 0.044010 Mwsi = 0.018015 pc = 2.212E+7 p° = 101325 R = 8.31441 T, = 847.3 T°= 273.15

Aceleração gravítica padrão (m s`2)

Massa molecular do coz (kg mori) Massa molecular do solvente, água (kg moI") Pressão crítica da água (N m`2) Pressão padrão (N m`2) Constante dos gases perfeitos (J mol” K`1) Temperatura crítica da água (K) Temperatura padrão (K) Volume molar padrão de um gás perfeito (m3)

V° =RT°/ p° =2.2414E-2

Fracção molar de O2 em ar seco Razão Q, /C, para o ar Calor latente de vaporização de água a 300K (J kg`1) Massa específica do ar nas condições padrão (kg m`3)

yOz °= 0.209 ;/= 1.40 /'lago = 2.438E+6 p° = 1.293

Anexo II.Constantes de Correlações Termodinâmicas Correlação de Wagner para a pressão de vapor de água:

pv, = pc e×p((1-×)'“ (VPA ×+ VPB ×'~5+ vPc ×3+ VPD ×6)) x=1-T/Tc

Para o cálculo da pressão de vapor da água em Nm`2, sendo T em kelvin, tem-se (Battino e Lawrence,1966): VPA =-7.76451 VPB =1.45832 VPC =-2.7758 VPD =-1.23303

Correlação de Wilhelm et al. para afracção molar de oxigénio em água: R /4.184 In (XOz)= AM, + Bm,/T+CWO In (T ) + DW0 T

É válida na gama de temperatura T (K): 274-348 Para o cálculo de xoz, fracção molar de oxigénio em equilíbrio dissolvido em água à pressão parcial padrão de gás O2 ( p° _- 101325 Pa), sendo R (J K' 1 mol' 1 ) a constante d os gases perfeitos, tem-se (Wilhelm et al,1977):

4,, =-288.942 8,, =15450.5 cw, =38.5593 0,, =0.018788

Anexos

Anexo III.Parâmetros do Sistema Controlador/Optimizador e Dados Experimentais Introduzidos pelo Operador Parâmetros biológicos: Concentração molar crítica do oxigénio dissolvido (mol m`3) Potência gerada pelo metabolismo (W) Taxa de geração de CO2 (kg m'3 s`1)

Cm-, = 0.119 Pm = 0 rc0z= 0

Parâmetros geométricos: Constante da correlação de F,Constante da correlação de F,Diâmetro do agitador (m)

Az= 0.440 B==569 D= 0.35

Diâmetro do tanque (m)

D, = 0.700

Número de turbinas Número de potência sem arej amento

n,~ = 1 Np =4.4

Razão de volume imerso ocupado pelo eixo e turbinas

Fšhafi =0.005

Parâmetros operatórios: Altura da coluna de líquido na ausência de arej amento e agitação (m) H¿= 0.68

Velocidade angular máxima de rotação (Hz) Pressão à saída do compressor (N m`2)

l\lna× = 10.0 pax,-, =3.00E+5

Pressão no topo do fermentador (N m'2)

p,=1.52E+5

Caudal de ar máximo na entrada a pressão e temperatura padrão (m`3 s`1 ) Qmax =7.00E-3

Margem de segurança para o oxigénio dissolvido (mole m`3) Eficiência de compressão

,B = 0 qc = 0.7

Eficiência de agitação

ng = 0.7

Eficiência de refrigeração Massa específica do líquido (kg m`3), valor para água a 293K

r¡,= 4 p, = 998

Dados experimentais introduzidos pelo operador: Percentagem de humidade relativa do ar no topo referida à pressão p° %H, =1 00

Percentagem de humidade relativa do ar na base referida à pressão p° %H,, =50

Pressão atmosférica (N m`2) Temperatura do ar ambiente(K) Temperatura do líquido (K)

p,.,,=1.01E+5 Ta = 293.2 TL = 298.2

Anexos

149

Dados relativos à presença de electrólitos e/ou solutos orgânicos (Shumpe,1985): Nos ensaios realizados não se considerou a presença de electrólitos nem de solutos orgânicos sendo pois nulos as seguintes variáveis e parâmetros para todo o ião j e para todo o soluto orgânico i : Presença de electrólitos :

Concentração molar do ião j (moI`1 dm3) cj =0 Constantes da correlação de Shumpe et al. para o efeito da presença de electrólitos sobre a solubilidade de Oz a 25°C (mo|`1 dm3) H,-° =0 Presença de solutos orgânicos: Concentração do soluto orgânico i (kg m`3)

Q,,- =0

Parâmetros computacionais: Constante usada na estimativa de parâmetros

L=1.000E+2

Número de dados experimentais retidos no filtro de média deslizante flf =1 Ô

Período de tempo de adaptação (s) Período de tempo de controlo (s)

5 =60 15 =60

Período de tempo de aquisição de dados (s)

rd =6

Período de tempo de optimização (s) Valores iniciais dos parâmetros adaptados da correlação de Kia :

1;, =60 ko = 0.0017 mg: ng =

Anexos

150

Anexo IV.Parâmetros do Fermentador Simulado

De uma forma geral são válidos os parâmetros do sistema controlador e os dados experimentais introduzidos neste pelo operador. Porém, os seguintes parâmetros são exclusivos do sistema controlado: Constante da correlação de F,-

APS = 0.44

Constante da correlação de F,Taxa de consumo de oxigénio (mol m`3 s`1)

BF, =569 OURs=0.00820

A menos que expressamente indicado no texto os parâmetros reais da correlação de Kra usados em simulação são: ks =1.870E-3

Atraso na resposta da sonda de O2 na fase gasosa (s) Atraso na resposta da sonda de Oz na fase líquida (s)

mS=0.54 ns=0.46 z =30 1 =30

Factor multiplicativo da variância da distribuição gaussiana de ruído, truncada para a gama dada pelo produto da variância pelo factor

n° =2

Resolução instrumental fixada para dados experimentais obtidos por simulação numérica (a resolução é dada como um número de casas decimais, as unidades fisicas referem-se aos dados experimentais): Resolução instrumental para velocidade angular de rotação (Hz)

N'=2

Resolução instrumental para oxigénio dissolvido (% da saturação) O2°¿,r =1

Resolução instrumental para potência de agitação (W) P9' =2 Resolução instrumental para caudal de ar como percentagem do seu valor máximo Q°/of =1

Resolução instrumental para fracção molar de O2 na fase gasosa

YQÍ =4