Problema de Razonamiento matemรกtico
En la siguiente figura halle cuantos triรกngulos hay si en total en triรกngulos tiene 35 filas
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila 4
Fila 5
Fila 6
Fila 7 . . . . Fila 35
Soluciรณn
S(1) = 1(1) = 1
S(2) = 4(1) + 1(4) = 5 = 1 + 4
S(3) = 9(1) + 3(4) + 1(9) = 13 = 5 + 8
S(4) = 16(1) + 6(4) + 3(9) + 1(16) = 26 = 13 + 13
S(5) = 25(1) + 10(4) + 6(9) + 3(16) + 1(25) = 45 = 26 + 19
S(6) = 36(1) + 15(4) + 10(9) + 6(16) + 3(25) + 1(36) = 71 = 45 + 26
Formamos la siguiente sucesiĂłn de modo que “nâ€? sea nĂşmero de fila y S(n) el nĂşmero total de triĂĄngulos: 1, 4, 8, 13, 19, 26, ‌‌, an a1 = a2 = a1 a3 = a2 a4 = a3 a5 = a4 a6 = a5 . = . . = . . = . an = an–1
1 3 4 5 6 7 . . . (n + 1)
+ + + + + + + + +
Sumando miembro a miembro la igualdad: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + ‌‌‌.+ an = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ‌‌ + an–1 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ‌‌ + (n + 1) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ‌‌ + an–1 + an = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ‌‌ + an–1 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ‌‌ + (n + 1) an = 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ‌‌ + (n + 1) �+1
(đ?‘› + 1) + 3 (đ?‘› + 1) − 3 (đ?‘› + 4)(đ?‘› − 1) ][ đ?‘Žđ?‘› = 1 + ∑ đ?‘Žđ?‘– = 1 + [ + 1] = 1 + 2 1 2 đ?‘–=3
đ?‘Žđ?‘› =
đ?‘›2 + 3đ?‘› − 2 2 đ?‘›
đ?‘›
đ?‘›
đ?‘›
đ?‘›
đ?‘›
1=1
1=1
1=1
1=1
1=1
1=1
đ?‘– 2 + 3đ?‘– − 2 1 1 đ?‘†đ?‘› = ∑ đ?‘Žđ?‘– = ∑ = ∑ đ?‘– 2 + 3đ?‘– − 2 = (∑ đ?‘– 2 + 3 ∑ đ?‘– − ∑ 2) 2 2 2 đ?‘†đ?‘› =
(đ?‘›)(đ?‘› + 1) 1 (đ?‘›)(đ?‘› + 1)(2đ?‘› + 1) [ +3 − 2đ?‘›] 2 6 2
�� =
(đ?‘›)(đ?‘›2 + 6đ?‘› − 1) 6
Para n = 35 Sn = 8 365 triĂĄngulos