carlos alberto duarte alba by carlos0993

UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICERRECTORADO ACADEMICO FACULTA DE CIENCIAS SOCIALES ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN CABUDARE EDO LARA

COMPENDIO DE TECNICAS PARA LA TOMA DE DECISIONES Carlos Alberto Duarte Alba C.I: 22.330.870 Sección: SAIA A

CARÑOS DUARTE

CARLOS DUARTE

Programación lineal Es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema

indeterminado,

formulado

través

un sistema

inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo, también lineal, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones

que

expresamos

mediante

sistema

de inecuaciones lineales.

Año 1826

Acontecimiento Joseph Fourier anticipa la programación lineal. Carl Friedrich Gauss resuelve ecuaciones lineales por eliminación "gaussiana".

1902 Gyula Farkas concibe un método para resolver sistemas de inecuaciones. George Dantzig publica el algoritmo simplex y John von Neumann desarrolló la teoría de la 1947 dualidad. Se sabe que Leonid Kantoróvich también formuló la teoría en forma independiente. 1984

Narendra Karmarkar introduce el método del punto interior para resolver problemas de programación lineal.

Fue fundada por George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir,

en tiempo

polinomial. Más

tarde,

1984, Narendra

Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y en el área.

CARLOS DUARTE

Variables Las variables son números reales mayores o iguales a cero. En caso que se requiera que el valor resultante de las variables sea un número entero, el procedimiento de resolución se denomina Programación entera.

Restricciones Las restricciones pueden ser de la forma:

Tipo 1:

Tipo 2:

Tipo 3:

Dónde: 

A = valor conocido a ser respetado estrictamente;



B = valor conocido que debe ser respetado o puede ser superado;



C = valor conocido que no debe ser superado;



j = número de la ecuación, variable de 1 a M (número total de restricciones);



a; b; y, c = coeficientes técnicos conocidos;



X = Incógnitas, de 1 a N;



i = número de la incógnita, variable de 1 a N.

CARLOS DUARTE En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M; ó, N < M. Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede no tener sentido una optimización. Los tres tipos de restricciones pueden darse simultáneamente en el mismo problema.

Función objetivo

Donde: 

= coeficientes son relativamente iguales a cero.

Ejemplo

Este es un caso curioso, con solo 6 variables (un caso real de problema de transporte puede tener fácilmente más de 1.000 variables) en el cual se aprecia la utilidad de este procedimiento de cálculo.

CARLOS DUARTE Existen tres minas de carbón cuya producción diaria es: 

La mina "a" produce 40 toneladas de carbón por día;



La mina "b" produce 40 t/día; y,



La mina "c" produce 20 t/día.

En la zona hay dos centrales termoeléctricas que consumen: 

La central "d" consume 40 t/día de carbón; y,



La central "e" consume 60 t/día

Los costos de mercado, de transporte por tonelada son: 

De "a" a "d" = 2 monedas



De "a" a "e" = 11 monedas



De "b" a "d" = 12 monedas



De "b" a "e" = 24 monedas



De "c" a "d" = 13 monedas



De "c" a "e" = 18 monedas

Si se preguntase a los pobladores de la zona cómo organizar el transporte, tal vez la mayoría opinaría que debe aprovecharse el precio ofrecido por el transportista que va de "a" a "d", porque es más conveniente que los otros, debido a que es el de más bajo precio. En este caso, el costo total del transporte es: 

Transporte de 40 t de "a" a "d" = 80 monedas



Transporte de 20 t de "c" a "e" = 360 monedas



Transporte de 40 t de "b" a "e" = 960 monedas



Total 1.400 monedas.

Sin embargo, formulando el problema para ser resuelto por la programación lineal se tienen las siguientes ecuaciones: 

Restricciones de la producción:

CARLOS DUARTE



Restricciones del consumo:



La función objetivo será:

La solución de costo mínimo de transporte diario resulta ser: 

Xb-d = 40 resultando un costo de 12 x 40 = 480 monedas



Xa-e = 40 resultando un costo de 11 x 40 = 440 monedas



Xc-e = 20 resultando un costo de 18 x 20 = 360 monedas



Total 1.280 monedas.

120 monedas menos que antes

Lógica bayesiana

CARLOS DUARTE

La lógica bayesiana se aplica a muchos dominios de la teoría de la decisión

es un tipo de inferencia estadística en la que las evidencias u observaciones se emplean para actualizar o inferir la probabilidad de que una hipótesis pueda ser cierta. El nombre «bayesiana» proviene del uso frecuente que se hace del teorema de Bayes durante el proceso de inferencia. El teorema de Bayes se ha derivado del trabajo realizado por el reverendo Thomas Bayes. Hoy en 1

día, uno de los campos de aplicación es en la teoría de la decisión, visión artificial (simulación de 3

la percepción en general) y reconocimiento de patrones por ordenador. La incertidumbre y

imprecisión

son

connaturales

proceso

de razonamiento.

La lógica establece unas reglas de inferencia a partir de las cuales se construye el sistema de razonamiento deductivo, en el que una proposición determinada es considerada como cierta o falsa, sin que se admitan grados entre estos dos extremos. Los métodos de razonamiento aproximado, entre los que se encuentran los métodos bayesianos, aportan modelos teóricos que simulan la capacidad de razonamiento en condiciones de incertidumbre, cuando no se conoce con absoluta certeza la verdad o falsedad de un enunciado o hipótesis, e imprecisión, enunciados en los que se admite un rango de variación. Entre los métodos de razonamiento aproximado se encuentran los métodos bayesanos, basados en el conocido teorema de Bayes. Todos ellos tienen en común la asignación de una probabilidad como medida de credibilidad de las hipótesis. En este contexto, la inferencia se entiende como un proceso de actualización de las medidas de credibilidad al conocerse nuevas evidencias. Mediante la aplicación del Teorema de Bayes se busca obtener las probabilidades de las hipótesis condicionadas a las evidencias que se conocen. La diferencia entre los distintos métodos bayesianos, modelos causales y redes bayesianas, estriba en las hipótesis de independencia condicional entre hipótesis y evidencias. Dichas relaciones se expresan comúnmente mediante un grafo a cíclico dirigido. Ejemplos Un ejemplo de lógica bayesana es el siguiente: 

Durante miles de millones de años, el sol ha salido después de haberse puesto. El sol se ha puesto esta noche. Hay una probabilidad muy alta de (o 'Yo creo firmemente' o 'es verdad') que el sol va a volver a salir mañana. Existe una probabilidad muy baja de (o 'yo no creo de ningún modo' o 'es falso') que el sol no salga mañana.

La logica bayesana usa un estimador numérico del grado de creencia en una hipótesis aún antes de observar la evidencia y calcula un estimador numérico del grado de creencia en la hipótesis después de haber observado la evidencia. La inferencia bayesiana generalmente se basa en

CARLOS DUARTE grados de creencia, o probabilidades subjetivas, en el proceso de inducción y no necesariamente declara proveer un método objetivo de inducción.

El método Simplex Es un procedimiento iterativo que permite mejorar la solución de la función objetivo en cada paso. El proceso concluye cuando no es posible continuar mejorando dicho valor, es decir, se ha alcanzado la solución óptima (el mayor o menor valor posible, según el caso, para el que se satisfacen todas las restricciones). Partiendo del valor de la función objetivo en un punto cualquiera, el procedimiento consiste en buscar otro punto que mejore el valor anterior. Como se verá en el método Gráfico, dichos puntos son los vértices del polígono (o poliedro o polícoro, si el número de variables es mayor de 2) que constituye la región determinada por las restricciones a las que se encuentra sujeto el problema (llamada región factible). La búsqueda se realiza mediante desplazamientos por las aristas del polígono, desde el vértice actual hasta uno adyacente que mejore el valor de la función objetivo. Siempre que exista región factible, como su número de vértices y de aristas es finito, será posible encontrar la solución. El método Simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo Z no toma su valor máximo en el vértice A, entonces existe una arista que parte de A y a lo largo de la cual el valor de Z aumenta. Será necesario tener en cuenta que el método Simplex únicamente trabaja con restricciones del problema cuyas inecuaciones sean del tipo "≤" (menor o igual) y sus coeficientes independientes sean mayores o iguales a 0. Por tanto habrá que estandarizar las restricciones para que cumplan estos requisitos antes de iniciar el algoritmo del Simplex. En caso de que después de éste proceso aparezcan restricciones del tipo "≥" (mayor o igual) o "=" (igualdad), o no se puedan cambiar, será necesario emplear otros métodos de resolución, siendo el más común el método de las Dos Fases.

Ejemplo del método Simplex La forma estándar del modelo de problema consta de una función objetivo sujeta a determinadas restricciones:

CARLOS DUARTE Función objetivo:

c1·x1 + c2·x2 + ... + cn·xn

Sujeto a:

a11·x1 +

a12·x2 +

...

a1n·xn =

a21·x1 +

a22·x2 +

...

a2n·xn =

am2·x2 +

...

amn·xn =

... am1·x1 + x1,..., xn ≥ 0

El modelo debe cumplir las siguientes condiciones: 1. El objetivo consistirá en maximizar o minimizar el valor de la función objetivo (por ejemplo, incrementar ganancias o reducir pérdidas, respectivamente). 2. Todas las restricciones deben ser ecuaciones de igualdad (identidades matemáticas). 3. Todas las variables (xi) deben tener valor positivo o nulo (condición de no negatividad). 4. Los términos independientes (bi) de cada ecuación deben ser no negativos. Hay que adaptar el problema modelado a la forma estándar para poder aplicar el algoritmo del Simplex. Tipo de optimización. Como se ha comentado, el objetivo del método consistirá en optimizar el valor de la función objetivo. Sin embargo se presentan dos opciones: obtener el valor óptimo mayor (maximizar) u obtener el valor óptimo menor (minimizar). Además existen diferencias en el algoritmo entre el objetivo de maximización y el de minimización en cuanto al criterio de condición de parada para finalizar las iteraciones y a las condiciones de entrada y salida de la base. Así: 

Objetivo de maximización Condición de parada: cuando en la fila Z no aparece ningún valor negativo. Condición de entrada a la base: el menor valor negativo en la fila Z (o el de mayor valor absoluto entre los negativos) indica la variable Pj que entra a la base.

CARLOS DUARTE Condición de salida de la base: una vez obtenida la variable entrante, la variable que sale se determina mediante el menor cociente P0/Pj de los estrictamente positivos. 

Objetivo de minimización Condición de parada: cuando en la fila Z no aparece ningún valor positivo. Condición de entrada a la base: el mayor valor positivo en la fila Z indica la variable Pj que entra a la base. Condición de salida de la base: una vez obtenida la variable entrante, la variable que sale se determina mediante el menor cociente P0/Pj de los estrictamente negativos.

No obstante, es posible normalizar el objetivo del problema con el fin de aplicar siempre los mismos criterios en lo referente a la condición de parada del algoritmo y a las condiciones de entrada y salida de las variables de la base. De esta forma, si el objetivo es minimizar la solución, se puede cambiar el problema a otro equivalente de maximización simplemente multiplicando la función objetivo por "1". Es decir, el problema de minimizar Z es equivalente al problema de maximizar (-1)·Z. Una vez obtenida la solución será necesario multiplicarla también por (-1). Ventajas: No hay que preocuparse por nuevos criterios de parada, condición de entrada y salida de la base ya que se mantienen. Inconvenientes: En el caso de que la función tenga todos los coeficientes de sus variables básicas positivos, y además las restricciones sean del tipo de desigualdad "≤", al hacer el cambio dichos coeficientes quedan negativos cumpliéndose la condición de parada en la primera iteración (en la fila del valor de la función objetivo todos los valores son positivos o cero). Obteniéndose en este caso por defecto un valor óptimo para la función igual a 0. Solución: Realmente no existe este problema dado que para que la solución sea superior a 0 es necesario que alguna restricción tenga impuesta la condición "≥" (y se trataría de un modelo para el método de las Dos Fases). En el caso planteado, la solución real debe ser cero. 

Restricción de tipo "≤" Para normalizar una restricción con una desigualdad del tipo "≤", hay que añadir una nueva variable, llamada variable de holgura xs (con la condición de no negatividad: xs ≥ 0). Esta nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y sumando en la

CARLOS DUARTE ecuación correspondiente (que ahora sí será una identidad matemática o ecuación de igualdad). a11·x1 + a12·x2 ≤ b1 

a11·x1 + a12·x2 + 1·xs = b1

Restricción de tipo "≥" En caso de una desigualdad del tipo "≥", también hay que añadir una nueva variable llamada variable de exceso xs (con la condición de no negatividad: xs ≥ 0). Esta nueva variable aparece con coeficiente cero en la función objetivo, y restando en la ecuación correspondiente. Surge ahora un problema con la condición de no negatividad con esta nueva variable del problema. Las inecuaciones que contengan una desigualdad de tipo "≥" quedarían:

a11·x1 + a12·x2 ≥ b1

a11·x1 + a12·x2 - 1·xs = b1

Al realizar la primera iteración con el método Simplex, las variables básicas no estarán en la base y tomarán valor cero. En este caso la nueva variable xs, tras hacer cero a x1 y x2, tomará el valor -b1 y no cumpliría la condición de no negatividad. Es necesario añadir otra nueva variable xr, llamada variable artificial, que también aparecerá con coeficiente cero en la función objetivo y sumando en la restricción correspondiente. Quedando entonces de la siguiente manera: a11·x1 + a12·x2 ≥ b1



a11·x1 + a12·x2 - 1·xs + 1·xr = b1

Restricción de tipo "=" Al contrario de lo que cabría pensar, para las restricciones de tipo "=" (aunque ya son identidades) también es necesario agregar variables artificiales xr. Como en el caso anterior, su coeficiente será cero en la función objetivo y aparecerá sumando en la restricción correspondiente.

a11·x1 + a12·x2 = b1

a11·x1 + a12·x2 + 1·xr = b1

CARLOS DUARTE En el último caso se hace patente que las variables artificiales suponen una violación de las leyes del álgebra, por lo que será necesario asegurar que dichas variables artificiales tengan un valor 0 en la solución final. De esto se encarga el método de las Dos Fases y por ello siempre que aparezcan este tipo de variables habrá que realizarlo. En la siguiente tabla se resume según la desigualdad el tipo de variable que aparece en la ecuación normalizada, así como su signo:

Tipo de desigualdad

Tipo de variable que aparece

≥

- exceso + artificial

+ artificial

≤

+ holgura

Método Simplex 

Construcción de la primera tabla: Las columnas de la tabla están dispuestas de la siguiente forma: la primera columna de la tabla contiene las variables que se encuentran en la base (o variables básicas), esto es, aquellas que toman valor para proporcionar una solución; la segunda columna recoge los coeficientes que dichas variables básicas tienen en la función objetivo (esta columna es llamada Cb); la tercera muestra el término independiente de cada restricción (P0); a partir de ésta aparece una columna por cada una de las variables de decisión y holgura presentes en la función objetivo (Pj). Para tener una visión más clara de la tabla, se incluye una fila que contiene los títulos de cada una de las columnas. Sobre esta tabla se agregan dos nuevas filas: una de ellas, que lidera la tabla, donde aparecen los coeficientes de las variables de la función objetivo, y una última fila que recoge el valor la función objetivo y los costes reducidos Zj - Cj. Los costes reducidos muestran la posibilidad de mejora en la solución Z0. Por este motivo también son llamados valores indicadores.

CARLOS DUARTE

Se muestra a continuación el aspecto general de la tabla del método Simplex:

Tabla

...

Base

...

Cb1

a11

a12

...

a1n

Cb2

a21

a22

...

a2n

...

Cbm

am1

am2

...

amn

Z1-C1

Z2-C2

...

Zn-Cn

Todos los valores incluidos en la tabla vendrán dados por el modelo del problema salvo los valores de la fila Z (o fila indicadora). Estos se obtienen de la siguiente forma: Zj = Σ(Cbi·Pj) para i = 1..m, donde si j = 0, P0 = bi y C0 = 0, y en caso contrario Pj = aij. Se observa, al realizar el método Simplex, que en esta primera tabla ocupan la base todas las variables de holgura y por ello (todos los coeficientes de las variables de holgura son 0 en la función objetivo) el valor inicial de Z es cero. Por este mismo motivo tampoco es necesario realizar los cálculos de los costes reducidos en la primera tabla, pudiéndose determinar directamente como el cambio de signo de los coeficientes de cada variable en la función objetivo, esto es, -Cj.

CARLOS DUARTE



Condición de parada: Se cumple la condición de parada cuando la fila indicadora no contiene ningún valor negativo entre los costes reducidos (cuando el objetivo es la maximización), esto es, no existe posibilidad de mejora. Si no se cumple la condición de parada es necesario realizar una iteración más del algoritmo, esto es, determinar la variable que se vuelve básica y la que deja de serlo, encontrar el elemento pivote, actualizar los valores de la tabla y comprobar si se cumple nuevamente la condición de parada. Es también posible determinar que el problema no se encuentra acotado y su solución siempre resultará mejorable. En tal caso no es necesario continuar iterando indefinidamente y se puede finalizar el algoritmo. Esta situación ocurre cuando en la columna de la variable entrante a la base todos los valores son negativos o nulos.



Elección de la variable que entra a la base: Cuando una variable se vuelve básica, es decir, entra en la base, comienza a formar parte de la solución. Observando los costes reducidos en la fila Z, se decide que entra a la base la variable de la columna en la que éste sea el de menor valor (o de mayor valor absoluto) entre los negativos.



Elección de la variable que sale de la base: Una vez obtenida la variable entrante, se determina que sale de la base la variable que se encuentre en aquella fila cuyo cociente P0/Pj sea el menor de los estrictamente positivos (teniendo en cuenta que esta operación se hará únicamente cuando Pj sea superior a 0).

CARLOS DUARTE 

Elemento pivote: El elemento pivote de la tabla queda marcado por la intersección entre la columna de la variable entrante y la fila de la variable saliente.



Actualización de la tabla: Las filas correspondientes a la función objetivo y a los títulos permanecerán inalteradas en la nueva tabla. El resto de valores deberán calcularse como se explica a continuación:



En la fila del elemento pivote cada nuevo elemento se calcula como:

Nuevo Elemento Fila Pivote = Anterior Elemento Fila Pivote / Pivote. 

En el resto de las filas cada elemento se calcula:

Nuevo Elemento Fila = Anterior Elemento Fila - (Anterior Elemento Fila en Columna Pivote * Nuevo Elemento Fila Pivote). De esta forma se consigue que todos los elementos de la columna de la variable entrante sean nulos salvo el de la fila de la variable saliente cuyo valor será 1. (Es análogo a utilizar el método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales).

Teoría de juegos Es un área de la matemática aplicada que utiliza modelos para estudiar interacciones en estructuras formalizadas de incentivos (los llamados «juegos») y llevar a cabo procesos de decisión. Sus investigadores estudian las estrategias óptimas así como el comportamiento previsto y observado de individuos en juegos. Tipos de interacción aparentemente distintos pueden, en realidad, presentar estructura de incentivo similar y, por lo tanto, se puede representar mil veces conjuntamente un mismo juego.

Desarrollada en sus comienzos como una herramienta para entender el comportamiento de la economía, la teoría de juegos se usa actualmente en muchos campos, como en la biología, sociología, psicología y filosofía. Experimentó un crecimiento sustancial y se formalizó por primera vez a partir de los trabajos de John von Neumann y Oskar Morgenstern, antes y durante la Guerra Fría, debido sobre todo a su aplicación a la estrategia militar, en particular a causa del concepto de destrucción mutua garantizada. Desde los setenta, la teoría de juegos se ha aplicado a la conducta animal, incluyendo el desarrollo de las especies por la selección natural. A raíz de juegos

CARLOS DUARTE como el dilema del prisionero, en los que el egoísmo generalizado perjudica a los jugadores, la teoría de juegos ha atraído también la atención de los investigadores en informática, usándose en inteligencia artificial y cibernética. Aunque tiene algunos puntos en común con la teoría de la decisión, la teoría de juegos estudia decisiones realizadas en entornos donde interaccionan. En otras palabras, estudia la elección de la conducta óptima cuando los costes y los beneficios de cada opción no están fijados de antemano, sino que dependen de las elecciones de otros individuos. Un ejemplo muy conocido de la aplicación de la teoría de juegos a la vida real es el dilema del prisionero, popularizado por el matemático Albert W. Tucker, el cual tiene muchas implicaciones para comprender la naturaleza de la cooperación humana. La teoría psicológica de juegos, que se arraiga en la escuela psicoanalítica del análisis transaccional, es enteramente distinta.

Tipos de juego y ejemplos La teoría clasifica los juegos en muchas categorías que determinan qué métodos particulares se pueden aplicar para resolverlos (y, de hecho, también cómo se define "resolución" en una categoría particular). Las categorías comunes incluyen:

Juegos simétricos y asimétricos Un juego simétrico es un juego en el que las recompensas por jugar una estrategia en particular dependen sólo de las estrategias que empleen los otros jugadores y no de quien las juegue. Si las identidades de los jugadores pueden cambiarse sin que cambien las recompensas de las estrategias, entonces el juego es simétrico. Muchos de los juegos 2×2 más estudiados son simétricos. Las representaciones estándar del juego de la gallina, 3 el dilema del prisionero y la caza del ciervo son juegos simétricos.

1, 2

0, 0

1, 2

Un juego asimétrico

Los juegos asimétricos más estudiados son los juegos donde no hay conjuntos de estrategias idénticas para ambos jugadores. Por ejemplo, el juego del ultimátum y el juego del dictador tienen diferentes estrategias para cada jugador; no obstante, puede haber juegos asimétricos con estrategias idénticas para cada jugador. Por ejemplo, el juego mostrado a la derecha es asimétrico a pesar de tener conjuntos de estrategias idénticos para ambos jugadores.

Juegos de suma cero y de suma distinta de cero En los juegos de suma cero el beneficio total para todos los jugadores del juego, en cada combinación de estrategias, siempre suma cero (en otras palabras, un jugador se beneficia solamente a expensas de otros). El go, el ajedrez, el póker y el juego del oso son ejemplos de juegos de suma cero, porque se gana exactamente la cantidad que pierde el oponente. Como curiosidad, el fútbol dejó hace unos años de ser de suma cero, pues las victorias reportaban 2 puntos y el empate 1 (considérese que ambos equipos parten inicialmente con 1 punto),

1 30, -30 -10, 10 20, -20

2 10, -10 20, -20 -20, 20 Un juego de suma cero

CARLOS DUARTE mientras que en la actualidad las victorias reportan 3 puntos y el empate 1. La mayoría de los ejemplos reales en negocios y política, al igual que el dilema del prisionero, son juegos de suma distinta de cero, porque algunos desenlaces tienen resultados netos mayores o menores que cero. Es decir, la ganancia de un jugador no necesariamente se corresponde con la pérdida de otro. Por ejemplo, un contrato de negocios involucra idealmente un desenlace de suma positiva, donde cada oponente termina en una posición mejor que la que tendría si no se hubiera dado la negociación. Se puede analizar más fácilmente un juego de suma distinta de cero, y cualquier juego se puede transformar en un juego de suma cero añadiendo un jugador "ficticio" adicional ("el tablero" o "la banca"), cuyas pérdidas compensen las ganancias netas de los jugadores. La matriz de pagos de un juego es una forma conveniente de representación. Por ejemplo, un juego de suma cero de dos jugadores con la matriz que se muestra a la derecha

Método del transporte Es una técnica de aplicación de la programación lineal, un enfoque cuantitativo que tiene como objetivo encontrar los medios menos costosos (óptimos) para embarcar abastos desde varios orígenes (fábricas, almacenes o cualquier otro de los puntos desde donde se embarcan los bienes) hacia varios destinos (cualquiera de los puntos que reciben bienes). En los problemas de localización, este método se puede emplear para el análisis de la mejor ubicación de un nuevo centro, de varios a la vez, y en general, para cualquier reconfiguración de la red. Para utilizar el método de transportación hay que considerar los siguientes pasos: 1. Los puntos de origen y la capacidad o abasto por período, para cada uno. 2. Los puntos de destino y la demanda por período para cada uno. 3. El costo de embarque por una unidad desde cada origen hacia cada destino. El primer paso en el procedimiento de este tipo de problema es establecer una matriz de transportación, la cual tiene como objetivo resumir de manera provechosa y concisa todos los datos relevantes y continuar los cálculos del algoritmo. Para crear la matriz de transportación deben seguirse los siguientes pasos: 1. Crear una fila que corresponda a cada planta (existente o nueva) que se este considerando y crear una columna para cada almacén. 2. Agregar una columna para las capacidades de las plantas y una fila para las demandas de los almacenes, e insertar después sus valores numéricos específicos. 3. Cada celda que no se encuentre en la fila de requisitos ni en la columna de capacidad representa una ruta de embarque desde un aplanta hasta un almacén. Insertar los costos unitarios en la esquina superior derecha de cada una de esas celdas.

CARLOS DUARTE

En muchos problemas reales, a veces sucede que la capacidad excede a los requisitos unidades, se agrega una columna (un almacén ficticio) con una demanda de

unidades y los

costos de embarque en las nuevas celdas creadas son igual a $0, pues en realidad esos embarques no se realizan, por lo que representan capacidad de planta no utilizada. Igualmente, si los requerimientos exceden a la capacidad por

ficticia) con capacidad de

unidades, se agrega una fila más (una planta

unidades y se asignan costos de embarque iguales a los costos

faltantes de las nuevas celdas. Si estos últimos costos no se conocen o su valor es el mismo para todos los almacenes, se le asigna $0 por unidad a los costos de embarque de cada celda de la fila ficticia. La solución óptima no resulta afectada, pues el mismo faltante de

unidades se necesita

en todos los casos. Para lograr que la suma de todas las capacidades sea igual a la suma de todas las demandas es que se añade una planta ficticia o un almacén ficticio. Algunos paquetes de software los añaden automáticamente cuando el usuario introduce los datos. Cuando la matriz inicial está conformada, el objetivo es establecer el patrón de asignación de menor costo que satisfaga todas las demandas y agote todas las capacidades. Este patrón se determina mediante el método de transporte, el cual garantiza que se hallará la solución óptima. La matriz inicial se completa con una solución que cumpla dos condiciones: sea factible y satisfaga las demandas de todos los almacenes y agote las capacidades de todas las plantas. Luego se crea una nueva matriz con una solución nueva, teniendo ésta un costo total más bajo. Este procedimiento iterativo se debe realizar hasta que no sea posible mejorar la solución anterior, cuando esto ocurra la solución óptima se ha encontrado. En este método es obligatorio que se cumpla que el número de embarques no iguales a 0 en la solución óptima nunca sea mayor que la suma del número de planta y almacenes menos 1. En el caso que se emplee un paquete de software sólo se introducen los datos correspondientes a la primera matriz.

Ejemplo Una empresa del sector textil que opera en toda la península Ibérica dispone de la siguiente configuración: 

Dos plantas de fabricación en Setúbal y Valencia, con capacidades de 900 y 1 500 unidades respectivamente.



Cuatro almacenes regionales de distribución que sirven a los clientes de sus respectivas zonas en Barcelona, Madrid, Lisboa y Sevilla con demandas de 700, 800, 500 y 400 unidades. En los próximos años, la empresa espera un crecimiento de la demanda del orden del 25%, lo cual ha llevado a la dirección de la misma a plantearse la apertura de una nueva fábrica. A la vista de los criterios que la empresa estima importantes para la localización de la nueva planta, existen dos

CARLOS DUARTE alternativas a considerar: La Coruña (alternativa 1) y Málaga (alternativa 2). La elección recaerá en aquella que provoque los menores costos de transporte entre las fábricas y los almacenes, dado que ambas parecen ser igualmente convenientes respecto a otros factores. La siguiente tabla recoge los costos de transporte unitarios entre cada origen y destino.

Costos unitarios de transporte Costos unitarios Barcelona

Madrid

Lisboa

Sevilla

Setúbal

Valencia

La Coruña

Málaga

La apertura de la nueva planta en La Coruña o en Málaga va a provocar una reasignación distinta de los intercambios entre las fábricas y los almacenes. Para conocer como afectaría una y otra alternativa

habría

que

resolver

problema

transporte

cada

caso.

Las

correspondientes soluciones aparecen en las tablas que se muestran a continuación, que dan lugar respectivamente a los costos: CTc = 625·2+275·6+875·2+400·3+225·5+600·4 = 9 375 u CTm = 275·4+625·2+875·2+625·3+100·3+500·2 = 7 275 u De los resultados obtenidos se deriva que Málaga es la mejor localización para el criterio empleado. Solución final para la alternativa 1

Setúbal

Valencia

Córdoba

Barcelona Madrid

Lisboa

Sevilla Capacidad

625

275

875

400

1 000

1 500

225 4

625

500

600 Demanda 875

900

600

CARLOS DUARTE

Solución final para la alternativa 2

Setúbal

Valencia

Málaga

Barcelona Madrid

Lisboa

Sevilla Capacidad

900

275

625

1 500

875

625

600

100 Demanda 875

1 000

500 625

500

II. Una empresa dispone de 3 fábricas para la elaboración de sus productos cuyas capacidades de producción son las siguientes: 1

45 000 uds. 93 000 uds. 60

000

uds. También dispone de 3 centros de distribución con capacidades: A

CARLOS DUARTE

28 000 uds. 65 000 uds. 35

000

uds. Debido al aumento que han experimentado sus ventas (unas 70 000 unidades), la Dirección de la Empresa está evaluando la posibilidades de abrir un nuevo centro de distribución para lo cual tiene dos ubicaciones posibles (D, E). Los costos de transporte entre las diferentes ubicaciones son: A B C D E 1 8

12 2

2 13 4

3 0

11 8

10 4 7

Solución: Ubicar en D. Costo: 842 000 u.

Producción

45 000

7 000

38 000

93 000

65 000

28 000

60 000

0 28 000

Necesidades 28 000

32 000 65 000

35 000

70 000

Ubicar en E. Costo: 786 000 u.

Producción

45 000

10 000

35 000

93 000

55 000 3

38 000 11

60 000

CARLOS DUARTE 28 000 Necesidades

32 000

28 000

65 000

35 000

70 000

Luego la soluciรณn mรกs econรณmica es ubicar el centro en E con un costo asociado de transporte de 786 000 unidades monetaria

Almacenes

Disponible Diferencias 3

Fรกbricas

Requerida

Diferencias 2 Almacenes

Disponible Diferencias 3

Fรกbricas 4

Requerida

Diferencias -

CARLOS DUARTE Costo total = 15·0 + 3·5 + 10·4 + 5·5 + 5·2 + 20·3 = 150

Modelo Global de la localización Su principal objetivo es solucionar el problema multidimensional de la localización y es empleado para ubicar una planta. En este modelo se clasifican los criterios que influyen en la localización según la estructura del mismo, así como la cuantificación de los criterios y realiza el intercambio entre ellos. La estructura del modelo es la siguiente: para cada lugar localización

, se define una medida de

que refleja los valores relativos para cada uno de los criterios.

Dónde: : es la medida del factor crítico para el lugar

UFT

: es igual a 0 ó 1. : es la medida del factor objetivo para el lugar

y : es la medida del factor subjetivo para el lugar

y : es el peso de decisión del factor objetivo La medida del factor crítico críticos individuales para el lugar

es la suma de los productos de los índices de los factores , respecto al factor crítico

. Como el índice del factor crítico

para cada lugar es 0 ó 1, dependiendo de que el lugar sea adecuado o no para el factor si cualquier ubicación

índice

del

factor

crítico

entonces

también tienen valor 0. En tal caso se eliminaría el lugar

medida

total

Ejemplo La empresa General Motors está pensando en construir una nueva planta productiva, para lo cual cuenta con varias alternativas de localización en ciudades europeas. Para decidirse entre ellas ha recabado la siguiente información (recogida en las tablas que se muestran) y considera que el peso relativo entre factores objetivos y subjetivos es de  = 0,5.

CARLOS DUARTE

Solución:

Por lo que se recomienda construir la nueva planta productiva en la Ciudad 1 teniendo en cuenta que es la que tiene el menor ILi diferente de cero.

Método de Montecarlo Es

un método

determinista o

estadístico

numérico,

usado

para

aproximar expresiones

matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Monte Carlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser

CARLOS DUARTE la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Monte Carlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora. El uso de los métodos de Monte Carlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en elLaboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un

comportamiento

eminentemente aleatorio.

actualidad

parte

fundamental

los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D.

En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödingerpara la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método. El método de Monte Carlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos

posibilitando

realización

experimentos

con

muestreos

números

pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya seaestocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el

método de Monte Carlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como

en virtud

del teorema del límite central.

Ejemplo Si deseamos reproducir, mediante números aleatorios, la tirada sucesiva de una moneda, debemos previamente asignarle un intervalo de números aleatorios a CARA y otro a CRUZ, de manera de poder interpretar el resultado de la simulación. Tales intervalos se asignan en función de las probabilidades de ocurrencia de cada cara de la moneda. Tenemos así: CARA Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,000 al 0,499 CRUZ Probabilidad: 0,50 Números aleatorios: 0,500 al 0,999 Después, al generar un número aleatorio a partir de la función RAN de la calculadora, por ejemplo, obtenemos el resultado simulado. Así, si obtenemos el número aleatorio 0,385, observamos que está incluido en el intervalo asignado a CARA

CARLOS DUARTE

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CARLOS DUARTE