Revista ecuaciones

2017 Ecuaciones y Graficas

Catedrático: Dulce María Morán Luna Ciclo escolar: 2016-2017 Carlos Enrique Munguía López

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos: 1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución

de

ecuaciones

de

primer grado con una incógnita Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo),

como veremos en el siguiente ejemplo: Resolver la ecuación 2x – 3 = 53 Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos: 2x – 3 + 3 = 53 + 3 En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos: 2x = 53 + 3 2x = 56 Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x , entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación: 2x • ½ = 56 • ½ Simplificamos y tendremos ahora: x = 56 / 2 x = 28 Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Una ecuación de segundo grado1 2 o ecuación cuadrática de una variable es una ecuación que tiene la forma de una suma algebraica de términos cuyo grado máximo es dos, es decir, una ecuación cuadrática puede ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático. La expresión canónica general de una ecuación cuadrática de una variable es:

donde x es la variable, y a, b y c constantes; a es el coeficiente cuadrático (distinto de 0), b el coeficiente lineal y c es el término independiente. Este polinomio se puede interpretar mediante la gráfica de una función cuadrática, es decir, por una parábola. Esta representación gráfica es útil, porque las intersecciones o punto tangencial de esta gráfica, en el caso de existir, con el eje X coinciden con las soluciones reales de la ecuación.

Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma . donde no se anula a Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

Número de soluciones Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad.

LLamamos discriminante , en función del signo del discriminante conoceremos el número de soluciones de la ecuación, así:

Ecuacion de tercer grado Una ecuación de tercer grado es aquella cuyo grado mayor es 3, pudiéndose reducir al tipo: ax3 + bx2 + cx + d = 0 donde a, b, c y d son los coeficientes.

En principio, estas ecuaciones tienen 3 soluciones, aunque es posible que no todas sean reales.

No existe una forma sencilla para resolver este tipo de ecuaciones, y en muchos casos hay que hacerlo mediante cálculos numéricos, pero sí sabemos resolverlas en el caso de que una de las tres soluciones sea entera, ya que, en este caso, esa solucion es un divisor del término independiente, d. Vamos probando, pues, mediante Ruffini con todos los divisores de d hasta dar con ella.

Una vez hallada esta raíz, reducimos la ecuación a una de segundo

grado, que ya sabemos resolver, con la que obtenemos las otras dos soluciones.

Un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema lineal de ecuaciones formado por sólo dos ecuaciones que admite un tratamiento particularmente simple, junto con el caso trivial de una ecuación lineal con una única incógnita, es el caso más sencillo posible de sistemas de ecuaciones, y que permiten su resolución empleando técnicas básicas del álgebra cuando los coeficientes de la ecuación se encuentran sobre un cuerpo (sobre un anillo la solución no es tan sencilla).

Una infinidad de problemas pueden ser resueltos con un sistema de dos ecuaciones. Veamos las distintas formas en las que se pueden encontrar sus soluciones.

Sistema compatible[ Si admite soluciones.

La compatibilidad de un sistema se determina a partir del determinante de la matriz 2x2 que constituye el sistema o equivalentemente de los cocientes de la primera ecuación y la segunda.

Sistema determinado

compatible

Si admite un número finito de soluciones; en el caso de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, si el sistema es determinado solo tendrá una solución. Su representación gráfica son dos rectas que se cortan en un punto; los valores de x e y de ese punto son la solución al sistema.