GEOMETRIA ANALÍTICA I

Módulo

1

Volume único 3ª edição

Jorge J. Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo

Geometria Analítica I

Geometria Analítica I Volume único - Módulo 1 3ª edição

Jorge J. Delgado Gómez (IMUFF) Kátia Rosenvald Frensel (IMUFF) Nedir do Espírito Santo (IMUFRJ)

Apoio:

Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001 Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725 Presidente Masako Oya Masuda Vice-presidente Mirian Crapez Coordenação do Curso de Matemática UFF - Regina Moreth UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca

Material Didático Departamento de Produção

ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO

Jorge J. Delgado Gómez Kátia Rosenvald Frensel Nedir do Espírito Santo COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL

Cristine Costa Barreto DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃO

Ana Tereza de Andrade Gláucia Guarany Marcia Pinheiro

EDITORA

ILUSTRAÇÃO

Tereza Queiroz

Equipe CEDERJ

REVISÃO TIPOGRÁFICA

CAPA

Equipe CEDERJ

Eduardo Bordoni Fábio Muniz

COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO

Jorge Moura

PRODUÇÃO GRÁFICA

Patricia Seabra

PROGRAMAÇÃO VISUAL

Marcelo Freitas

COORDENAÇÃO DE AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO

Débora Barreiros

Copyright © 2007, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.

D352g Delgado Gómez, Jorge J. Geometria analítica I. v.único / Jorge J. Delgado Gómez. – 3.ed.

Rio de Janeiro : Fundação CECIERJ, 2010.

284p.; 21 x 29,7 cm.

ISBN: 978-85-7648-373-1 1. Vetores. 2. Cônicas. 3. Seções cônicas. I. Frensel, Katia Rosenvald. II. Santo, Nedir do Espírito. III. Título.

2010/1

CDD: 516.3 Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT.

Governo do Estado do Rio de Janeiro

Governador Sérgio Cabral Filho

Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Alexandre Cardoso

Universidades Consorciadas UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho

UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Aloísio Teixeira

UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricardo Vieiralves

UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricardo Motta Miranda

UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor: Roberto de Souza Salles

UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora: Malvina Tania Tuttman

Geometria Analítica I SUMÁRIO

Volume único

Módulo 1 – Geometria Analítica Plana__________________________________ 7 Aula 1 – Vetores no Plano – Segmentos Orientados ________________________ 9 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 2 – Vetores no Plano – Operações _______________________________ 19 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 3 – A Reta e a Dependência Linear _______________________________ 33 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 4 – Produto Interno ___________________________________________ 49 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 5 – Produto interno – Aplicações _________________________________ 69 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 6 – Produto interno – Aplicações (continuação) ______________________ 79 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 7 – Simetrias e simetrias das cônicas ______________________________ 97 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 8 – Cônicas – Translação de sistemas de coordenadas ________________ 111 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 9 – Cônicas – Rotação de sistemas de coordenadas __________________ 123 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 10 – Regiões e inequações no plano _____________________________ 143 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 11 – Coordenadas polares ____________________________________ 161 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 12 – Equações paramétricas das cônicas __________________________ 181 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 13 – Apêndice: Parametrizações de curvas planas ___________________ 191 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 14 – Círculo _______________________________________________ 207 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 15 – Parábola ______________________________________________ 217 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 16 – Parábola – continuação __________________________________ 225 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 17 – Parábola – aplicações ____________________________________ 233 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 18 – Elipse ________________________________________________ 243 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 19 – Elipse – continuação _____________________________________ 253 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 20 – Hipérbole _____________________________________________ 263 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

Aula 21 – Hipérbole – continuação __________________________________ 273 Jorge J. Delgado Gómez / Kátia Rosenvald Frensel / Nedir do Espírito Santo

M´ odulo 1 Geometria Anal´ıtica Plana Pr´ e-requisitos.

Geometria una et aeterna est in mente Dei refulgens.

A Geometria ´ eu ´nica e eterna, brilhando na mente de Deus.

Conversation with the Sidereal Messenger: carta aberta a Galileo Galilei.

Johannes Kepler

A geometria cartesiana descoberta por Pierre de Fermat e Ren´e Descartes, por volta de 1636, foi de grande importˆancia na Matem´atica, permitindo estudar problemas da Geometria Cl´assica por meio de m´etodos alg´ebricos e reciprocamente, interpretar e resolver geometricamente problemas alg´ebricos.

• Pr´ e-C´ alculo.

• Geometria B´ asica.

Bibliografia.

[1] Lehman, C., Geometria Anal´ıtica. Editora Globo.

[2] Lima, E., Coordenadas no Plano. SBM.

No entanto, em meados do s´eculo XIX, come¸cou a busca por um m´etodo mais simples, que permitisse obter informa¸co˜es geom´etricas a partir de equa¸co˜es alg´ebricas, e obter as equa¸co˜es alg´ebricas de conceitos geom´etricos, de uma forma mais direta. Para isso foi fundamental o desenvolvimento da no¸ca˜o de vetor.

Segundo os historiadores, os vetores surgiram informalmente no in´ıcio do s´eculo XIX, nas publica¸co˜es de Bernard Bolzano. Em 1804, Bolzano publicou o livro Betrachtungen u ¨ber einige Gegenst¨ande der Elementargoemetrie (Reflex˜oes sobre algumas id´eias relativas a` Geometria Elementar). Nesse livro, ele considera pontos, retas e planos como sendo no¸co˜es primitivas e define opera¸co˜es entre eles. Este foi um grande progresso no sentido de abstrair as propriedades inerentes a`s no¸co˜es primitivas, que originaram a` no¸ca˜o de vetor. Neste M´odulo aprenderemos os fundamentos da geometria vetorial e veremos como utilizar o conceito de vetor no estudo da Geometria do plano e do espa¸co.

Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano 1781 - 1848, ´ Praga, Austria (Hoje Rep´ ublica Tcheca).

Fil´ osofo, matem´ atico e te´ ologo, fez contribui¸co ˜es significativas a ` Matem´ atica.

A sua teoria sobre o infinito matem´ atico antecipou-se ` a Teoria de Conjuntos Infinitos de George Cantor. http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/Bolzano. html

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Vetores no Plano - Segmentos Orientados

´ MODULO 1 - AULA 1

Aula 1 – Vetores no Plano - Segmentos Orientados Objetivos • Definir os conceitos de orienta¸ca˜o, dire¸ca˜o e m´odulo de um segmento.

• Analisar a no¸ca˜o de equipolˆencia entre segmentos orientados.

• Apresentar a no¸ca˜o de vetor no plano.

Em 1832, Giusto Bellavitis publicou uma obra sobre Geometria onde apareceu explicitamente a no¸ca˜o de vetor.

Para saber mais...

Sobre a no¸ca ˜o de vetor e as suas implica¸co ˜es no desenvolvimento da Matem´ atica, consulte: http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ HistTopics/Abstract_ linear_spaces.html

Dados dois pontos A e B do plano, Bellavitis considerou os segmentos AB e BA, de extremidades A e B, como objetos distintos. Ele adotou esta conven¸ca˜o porque o segmento de reta limitado pelos pontos A e B, pode ser percorrido de duas maneiras distintas: partindo de A para chegar at´e B, ou partindo de B para chegar at´e A. Bellavitis classificou os segmentos orientados por meio de uma rela¸ca˜o que chamou equipolˆencia. Essa rela¸ca˜o deu origem a` no¸ca˜o de vetor.

Nesta aula caracterizaremos a no¸ca˜o de equipolˆencia.

Segmentos orientados Daqui em diante, todos os elementos considerados (pontos, retas etc.), pertencem a um plano fixo.

Designamos por AB o segmento de reta orientado percorrido de A para B. No segmento AB, o ponto A ´e chamado origem e o ponto B extremidade.

Giusto Bellavitis 1803 - 1880, It´ alia Matem´ atico autodidata.

Refinou o c´ alculo baricˆ entrico de M¨ obius e sua teoria de vetores foi muito importante no desenvolvimento da Geometria. http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/ Bellavitis.html

Mesmo que os segmentos AB e BA representem o mesmo conjunto de pontos do plano (os pontos da reta que passa por A e B que est˜ao entre A e B, incluindo A e B), a sua orienta¸ca˜o (isto ´e, o sentido de percurso) ´e contr´ aria (ou oposta). Veja as figuras abaixo.

Figura 1.1: Segmento de extremidades A e B.

Figura 1.2: Percurso de A at´e B: segmento AB.

Figura 1.3: Percurso de B at´e A: segmento BA.

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Vetores no Plano - Segmentos Orientados

Pense, por exemplo, que vocˆe possa ir de Petr´opolis a Campos por uma estrada retil´ınea. Ent˜ao vocˆe pode ir tamb´em de Campos a Petr´opolis seguindo a mesma estrada, mas em sentido contr´ ario.

Devemos fixar e distinguir bem dois conceitos importantes: a dire¸ca˜o e o sentido (ou orienta¸ca˜o) de um segmento.

Retas e segmentos paralelos.

Duas retas no plano s˜ ao paralelas quando n˜ ao tˆ em pontos em comum e dois segmentos s˜ ao paralelos, quando as retas que os contˆem s˜ ao paralelas.

Pontos colineares.

Lembre que trˆes ou mais pontos s˜ ao chamados colineares quando pertencem a uma mesma reta, caso contr´ ario, os pontos s˜ ao chamados n˜ ao-colineares.

Observe, tamb´ em, que dois pontos s˜ ao sempre colineares, pois est˜ ao contidos em uma u ´nica reta.

A dire¸ca˜o de um segmento ´e dada pela reta que o cont´em: dois segmentos tˆem a mesma dire¸ca˜o quando as retas que os contˆem s˜ ao paralelas ou coincidentes.

Na Figura 1.4, os segmentos AB e CD tˆem a mesma dire¸ca˜o, pois as retas que os contˆem s˜ao paralelas. Os segmentos AB e EF tˆem Figura 1.4: Segmentos com mesma dire¸ca˜o. a mesma dire¸ca˜o porque as retas que os contˆem s˜ao coincidentes, isto ´e, os pontos A, B, E e F s˜ao colineares.

Consideremos dois segmentos orientados AB e CD com a mesma dire¸ca˜o.

Vejamos o que significa os segmentos terem o mesmo sentido.

Analisemos separadamente os seguintes dois casos: Caso a. Os segmentos orientados AB e CD est˜ao em retas paralelas.

NOTA IMPORTANTE! No plano, uma reta r determina dois semi-planos, cuja interse¸ca ˜o ´ e r. Isto ´ e, convencionamos que a reta r est´ a contida em ambos os semi-planos por ela determinados.

Neste caso, dizemos que os segmentos tˆem o mesmo sentido, se os pontos B e D est˜ao no mesmo semi-plano determinado pela reta que passa por A e C. Caso contr´ario, dizemos que eles tˆem sentidos opostos.

Na Figura 1.5, os segmentos orientados AB e CD tˆem o mesmo sentido, enquanto que na Figura 1.6, os segmentos EF e GH tˆem sentidos opostos.

Figura 1.5: Segmentos orientados de igual sentido.

Figura 1.6: Segmentos orientados de sentidos opostos.

Caso b. Os segmentos orientados AB e CD est˜ao na mesma reta .

Sejam r e s as retas perpendiculares a que passam por A e C respectivamente (veja as Figuras 1.7 e 1.8). Cada uma das retas r e s divide o plano em dois semi-planos. Seja PB o semi-plano determinado pela reta r CEDERJ

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Vetores no Plano - Segmentos Orientados

´ MODULO 1 - AULA 1

que cont´em o ponto B e seja PD o semi-plano determinado pela reta s que cont´em o ponto D.

Figura 1.7: Segmentos orientados de igual sentido.

Figura 1.8: Segmentos orientados de sentidos opostos.

Com essa constru¸c˜ao, se PB ⊂ PD ou PD ⊂ PB , dizemos que AB e CD tˆem o mesmo sentido. Se PB ⊂ PD e PD ⊂ PB , dizemos que AB e CD tˆem sentidos opostos.

Observa¸c˜ ao.

Se AB e CD tˆem sentidos opostos e A = C, ent˜ao PB ∩ PD ´e a regi˜ao do plano limitada pelas retas r e s. No entanto, se A = C, PB ∩ PD = r = s.

Vocˆe sabe que o comprimento de um segmento de reta AB ´e a distˆancia do ponto A ao ponto B. Esta medida, designada por |AB| (ou por d(A, B)), ´e o m´ odulo do segmento AB. Note que |AB| = |BA|.

Lembre que...

Com respeito a um sistema de coordenadas cartesianas escolhido no plano, a distˆ ancia de um ponto A de coordenadas (x0 , y0 ) a um ponto B de coordenadas (x1 , y1 ), ´ e |AB| = d(A, B)

= (x1−x0 )2 +(y1−y0 )2 .

Daqui em diante, fixamos uma unidade de medida para determinar o comprimento dos segmentos orientados no plano.

Figura 1.9: Segmentos equipolentes entre si.

Bellavitis classificou os segmentos orientados pela seguinte rela¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 1.1 (Segmentos equipolentes) Dois segmentos orientados s˜ao equipolentes quando tˆem a mesma dire¸c˜ao, o mesmo sentido e o mesmo m´odulo (veja a Figura 1.9).

Se os segmentos orientados AB e CD s˜ao equipolentes, escrevemos AB ≡ CD. Caso contr´ario, escrevemos AB ≡ CD. Vejamos um crit´erio importante para determinar quando dois segmentos orientados s˜ao equipolentes.

Proposi¸c˜ao 1.1 Sejam A, B, C e D pontos do plano (colineares ou n˜ao). Ent˜ao: AB ≡ CD se, e somente se, AD e BC possuem o mesmo ponto m´edio.

Demonstra¸c˜ao. Consideramos separadamente os casos poss´ıveis: 11

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Vetores no Plano - Segmentos Orientados

Ponto M´ edio.

Se A e B s˜ ao pontos do plano que num sistema de coordenadas cartesianas s˜ ao representados pelos pares ordenados A = (x1 , y1 ) e B = (x2 , y2 ), ent˜ ao o ponto m´ e dio do segmento AB e ´ x 1 + x 2 y 1 + y2 , .

M= 2 2 Paralelogramo.

Um paralelogramo ´e um quadril´ atero de lados opostos paralelos.

Um quadril´ atero ABDC ´ e um paralelogramo se, e somente se, as diagonais AD e BC se intersectam ao meio. ´ importante observar a E ordem em que s˜ ao nomeados os v´ ertices, o quadril´ atero ABDC n˜ ao ´e o mesmo que o quadril´ atero ABCD. No primeiro os lados s˜ ao os segmentos AB, BD, DC e CA, enquanto que, no segundo, os lados s˜ ao AB, BC, CD e DA. No paralelogramo ABDC da Figura 1.10, as diagonais se intersectam no ponto M .

Logo, |M A| = |M D| e |M B| = |M C|.

O quadril´ atero ABDC da Figura 1.12 n˜ ao ´ e um paralelogramo. As diagonais n˜ ao se intersectam mutuamente ao m´edio.

(a) Os pontos A, B, C e D n˜ao s˜ao colineares e trˆes dentre esses pontos tamb´em n˜ao s˜ao colineares.

Neste caso os pontos s˜ao v´ertices de um quadril´atero que tem seus lados contidos em retas que n˜ao s˜ao coincidentes.

Figura 1.10: Paralelogramo ABDC.

Figura 1.11: ABDC n˜ ao ´e um paralelogramo.

(⇒) Se AB ≡ CD ent˜ao os segmentos est˜ao contidos em retas paralelas e, como tˆem o mesmo m´odulo e o mesmo sentido, o quadril´atero ABDC ´e um paralelogramo e, as suas diagonais AD e BC, cortam-se mutuamente ao meio.

Compare as Figuras 1.10 e 1.11 para se convencer de que a orienta¸c˜ao dos segmentos ´e importante. Na Figura 1.11, AB e CD tˆem orienta¸c˜oes contr´ arias e, portanto, n˜ ao podem ser equipolentes.

(⇐) Reciprocamente, se AD e BC tˆem o mesmo ponto m´edio ent˜ao ABDC ´e um paralelogramo. Logo AB e CD tˆem o mesmo sentido, o mesmo m´odulo e a mesma dire¸c˜ao. Portanto AB ≡ CD. (b) A, B, C e D est˜ao contidos numa reta (Figura 1.13).

Consideremos um sistema de coordenadas na reta . Sejam a, b, c e d as coordenadas dos pontos A, B, C e D, respectivamente.

Ent˜ao, |AB| = |b − a| e |CD| = |d − c|.

Se AB ≡ CD, ent˜ao |AB| = |CD| e portanto |b − a| = |d − c|.

Figura 1.12: Quadril´ atero ABDC.

Como AB e CD tˆem o mesmo sentido, b − a e d − c s˜ao n´ umeros reais com o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos).

Figura 1.13: AB e CD s˜ao equipolentes.

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Vetores no Plano - Segmentos Orientados

Logo b − a = d − c e, portanto, b + c = a + d. Dividindo esta igualdade b+c a+d por 2, conclu´ımos que = . Assim, o ponto m´edio de AD ´e igual 2 2 ao ponto m´edio de BC. Reciprocamente, se A, B, C e D s˜ao colineares e o ponto m´edio do a+d segmento AD coincide com o ponto m´edio do segmento BC, ent˜ao = 2 b+c . Esta igualdade equivale a b − a = d − c. Em particular, b − a e d − c 2

tˆem o mesmo sinal, o que significa que AB e CD tˆem o mesmo sentido. Al´em disso, |b − a| = |d − c|, isto ´e, |AB| = |CD|. Como AB e CD est˜ao contidos na mesma reta, eles tˆem tamb´em a mesma dire¸ca˜o. Portanto AB ≡ CD.

Enquanto a Proposi¸ca˜o 1.1 caracteriza geometricamente a rela¸ca˜o de equipolˆencia, a Proposi¸ca˜o 1.2, abaixo, estabelece que qualquer ponto do plano ´e origem de um segmento equipolente a um segmento dado.

´ MODULO 1 - AULA 1

Observa¸ c˜ ao.

Um poss´ıvel terceiro caso ocorreria quando os quatro pontos A, B, C e D n˜ ao s˜ ao colineares, mas trˆes deles s˜ ao colineares, os segmentos AB e CD n˜ ao tem a mesma dire¸ca ˜o e, portanto, n˜ ao podem ser equipolentes.

Tamb´em os segmentos AD e BC n˜ ao se cortam num ponto diferente de uma extremidade, em particular, n˜ ao se cortam ao meio.

Assim, nenhuma das hip´ oteses da proposi¸ca ˜o 1 ´ e satisfeita e podemos ignorar este caso.

Proposi¸c˜ao 1.2 Se AB ´e um segmento orientado e C ´e um ponto do plano, ent˜ao apenas um segmento orientado com origem em C ´e equipolente a AB. Demonstra¸ca˜o. Devemos determinar um ponto D no plano de modo que AB ≡ CD. Isto ´e, os segmentos AB e CD devem ter a mesma dire¸ca˜o, o mesmo sentido e o mesmo m´odulo.

Seja r a reta que passa por A e B, analisemos separadamente o que acontece quando C ∈ / r e quando C ∈ r .

Caso C ∈ / r. Neste caso, existe apenas uma reta s paralela a r que passa pelo ponto C. Veja a Figura 1.14.

Seja C o c´ırculo de centro C e raio |AB|.

A reta que passa por A e C divide o plano em dois semi-planos, um dos quais, que designamos PB , cont´em o ponto B. O c´ırculo C intersecta s em exatamente dois pontos diametralmente opostos, um dos quais, que chamaremos D, est´a contido em PB .

Figura 1.14: Caso C ∈ / r.

Pela forma como foi obtido o ponto D, o segmento orientado CD ´e equipolente a AB.

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Vetores no Plano - Segmentos Orientados

Caso C ∈ r. Neste caso, o c´ırculo C, de centro C e raio |AB|, intersecta a reta r em dois pontos diametralmente opostos. Mas, apenas um deles, que chamaremos D, ´e tal que AB e CD tˆem o mesmo sentido. Logo, Figura 1.15: Caso C ∈ r.

AB e CD s˜ao equipolentes, pois tˆem a mesma dire¸ca˜o e os seus m´odulos s˜ao iguais.

Conven¸ca˜o.

• Um segmento AB onde A = B ´e chamado um segmento nulo. Os segmentos nulos tˆem m´odulo zero e n˜ao tˆem dire¸ca˜o nem sentido.

• Se A ´e um ponto do plano, designamos por AA o segmento nulo de origem e extremidade A. • Todos os segmentos nulos s˜ ao considerados equipolentes.

• No que se segue, passaremos a considerar um sistema (ortogonal) de coordenadas cartesianas no plano com origem no ponto O. Os pontos do plano s˜ao identificados por suas coordenadas.

Proposi¸c˜ao 1.3 Sejam A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ), C = (c1 , c2 ) e D = (d1 , d2 ) pontos no plano cartesiano, ent˜ao: AB ≡ CD ⇐⇒ (b1 − a1 , b2 − a2 ) = (d1 − c1 , d2 − c2 ) Demonstra¸ca˜o. Pela Proposi¸ca˜o 1.1, AB ≡ CD se, e somente se, AD e BC tˆem o mesmo ponto m´edio.

1 a2 +d2 O ponto m´edio do segmento AD ´e a1 +d e o ponto m´edio do , 2 2 b1 +c1 b2 +c2 segmento BC ´e , 2 .

2

b +c b +c 1 a2 +d2 1 1 Portanto, AB ≡ CD se, e somente se, a1 +d = , , 22 2 , 2 2 2 1 1 2 2 isto ´e, a1 +d = b1 +c e a2 +d = b2 +c , que equivale a b1 − a1 = d1 − c1 e 2 2 2 2 b2 − a2 = d2 − c2 , ou seja (b1 − a1 , b2 − a2 ) = (d1 − c1 , d2 − c2 ).

Exemplo 1.1 Sejam A = (1, 0) e B = (−1, 1) pontos do plano. Determinemos o ponto P = (x, y), tal que OP ≡ AB. Solu¸ca˜o: Segundo a Proposi¸ca˜o 1.3, AB ≡ OP se, e somente se, (−1 − 1, 1 − 0) = (x − 0, y − 0) = (x, y) = P . Portanto, P = (−2, 1).

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Vetores no Plano - Segmentos Orientados

Figura 1.16: Exemplo 1.1.

A rela¸ca˜o de equipolˆencia verifica as seguintes propriedades: Reflexiva. Todo segmento orientado ´e equipolente a si pr´oprio.

Sim´etrica. Se AB ≡ CD, ent˜ao CD ≡ AB. Transitiva. Se AB ≡ CD e CD ≡ EF , ent˜ao AB ≡ EF .

As propriedades reflexiva e sim´etrica s˜ao f´aceis de serem verificadas.

Para mostrarmos a propriedade transitiva, usamos a Proposi¸ca˜o 1.3.

Sejam A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ), C = (c1 , c2 ), D = (d1 , d2 ), E = (e1 , e2 ) e F = (f1 , f2 ) pontos do plano.

´ MODULO 1 - AULA 1

Para saber mais...

Uma rela¸ca ˜o entre os elementos de um conjunto que satisfaz as propriedades reflexiva, sim´etrica e transitiva ´e chamada uma rela¸ca ˜o de equivalˆ encia.

Dois elementos do conjunto que est˜ ao relacionados s˜ ao ditos equivalentes.

Havendo uma rela¸ca ˜o de equivalˆ encia no conjunto, ele pode ser dividido em subconjuntos chamados classes de equivalˆ encia.

Cada classe de equivalˆencia consiste de todos os elementos do conjunto que est˜ ao relacionados entre si, isto ´ e, que s˜ ao equivalentes entre si.

Como AB ≡ CD e CD ≡ EF , temos: (b1 − a1 , b2 − a2 ) = (d1 − c1 , d2 − c2 ) e (d1 − c1 , d2 − c2 ) = (f1 − e1 , f2 − e2 ) Logo, (b1 − a1 , b2 − a2 ) = (f1 − e1 , f2 − e2 ) e, portanto, AB ≡ EF .

Essas propriedades permitem dividir o conjunto de todos os segmentos orientados do plano em subconjuntos, cada um dos quais consistindo de todos os segmentos orientados que s˜ao equipolentes entre si.

Defini¸c˜ao 1.2 (Vetor no plano) Um vetor no plano ´e a cole¸ca˜o de todos os segmentos orientados equipolentes a um segmento orientado dado.

Se AB ´e um segmento orientado, o vetor que consiste de todos os segmentos −−→ orientados equipolentes a AB ´e designado por AB . Qualquer segmento −−→ orientado equipolente a AB ´e chamado um representante do vetor AB . Os vetores s˜ao tamb´em escritos usando letras min´ usculas com uma flecha, como → − → → − − a , b , c etc.

Assim, pela Defini¸ca˜o 1.2, −−→ −−→ AB ≡ CD se, e somente se, AB = CD Vocˆe deve estar achando um pouco estranha a defini¸ca˜o de vetor, e provavelmente est´a perguntando a si mesmo: como desenhar um vetor no plano?

Note que...

As no¸co ˜es de dire¸ca ˜o, sentido e m´ odulo, juntas, d˜ ao lugar ` a no¸ca ˜o de vetor.

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Vetores no Plano - Segmentos Orientados

Na verdade, o que desenhamos s˜ao apenas os representantes dos vetores, isto ´e, segmentos orientados.

Pela Proposi¸ca˜o 1.2, temos: − Dados um vetor → a e um ponto A, existe um u ´ nico ponto B, tal que o −−→ → − → − segmento AB representa o vetor a . Isto ´e, a = AB .

Vejamos agora como representar os vetores em termos de coordenadas de um sistema cartesiano dado.

Defini¸c˜ao 1.3 (Coordenadas e m´odulo de um vetor) −−→ − Sejam A = (a1 , a2 ) e B = (b1 , b2 ) pontos do plano, e → a = AB . Dizemos que − (b1 − a1 , b2 − a2 ) s˜ao as coordenadas do vetor → a , e escrevemos: → − a = (b1 − a1 , b2 − a2 ) Observa¸ca˜o. − As coordenadas de um vetor → a n˜ao dependem do segmento escolhido para represent´a-lo e s˜ao as coordenadas do u ´nico ponto P , tal que −−→ → − a = OP . −−→ −−→ − De fato, se C = (c , c ), D = (d , d ) e → a = CD = AB , ent˜ao, 1

Para saber mais...

Outros matem´ aticos, como os franceses Victor Poncelet (1788-1867), Michel Chasles (1793-1880) e o alem˜ ao August M¨ obius (1790-1868), continuaram os estudos de Bolzano. Em 1827, M¨ obius publica o seu livro Der barycentrische Calcul, um tratado geom´etrico sobre as transforma¸co ˜es das linhas e cˆ onicas. Nesta obra, destaca-se a manipula¸ca ˜o dos vetores para determinar as coordenadas baricˆ entricas de um triˆ angulo. Dez anos depois, em 1837, M¨ obius publicou outro livro no qual a no¸ca ˜o de vetor ´ e aplicada diretamente a ` resolu¸ca ˜o de problemas de Est´ atica.

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2

CD ≡ AB e, pela Proposi¸ca˜o 1.3: (b1 − a1 , b2 − a2 ) = (d1 − c1 , d2 − c2 ). −−→ − Seja agora P = (x, y), tal que → a = OP . Ent˜ao, AB ≡ OP e usando novamente a Proposi¸ca˜o 1.3, temos: (b1 − a1 , b2 − a2 ) = (x − 0, y − 0) = (x, y) = P .

Exemplo 1.2

Sejam os pontos A = (0, 1), B = 1, − 12 e C = (−1, 1). −−→ Determinemos as coordenadas do vetor AB , o (´ unico) ponto D, tal que −−→ −−→ −−→ −−→ AB = CD e o ponto P , tal que AB = OP . −−→ Solu¸ca˜o: As coordenadas do vetor AB s˜ao

−−→ AB = 1 − 0, − 12 − 1 = 1, − 32 . −−→ −−→ Seja D = (d1 , d2 ), tal que CD ≡ AB. Isto ´e, AB = CD .

Pela Proposi¸ca˜o 1.3, temos (d1 − (−1), d2 − 1) = 1, − 32 .

Portanto, d1 = 0, d2 = − 12 , e D = 0, − 12 .

−−→ Segundo vimos na observa¸ca˜o anterior, P = 1, − 32 , pois P e AB tˆem coordenadas iguais.

Vetores no Plano - Segmentos Orientados

´ MODULO 1 - AULA 1

Exemplo 1.3 Sejam A = (1, 2), B = (3, 1) e C = (4, 0). Determine as coordenadas do −−→ −−→ − − vetor → v = AB e as coordenadas do ponto D tal que → v = CD . −−→ − Solu¸ca˜o: Temos → v = AB = (3 − 1, 1 − 2) = (2, −1) . Al´em disso, se D = (d1 , d2 ) ent˜ao: −−→ −−→ → − v = AB = CD ⇐⇒ AB ≡ CD ⇐⇒ (2, −1) = (d1 − 4, d2 − 0) ⇐⇒ 2 = d1 − 4 e − 1 = d2 − 0 ⇐⇒ d1 = 2 + 4 = 6 e d2 = −1 + 0 = −1 .

Portanto, D = (6, −1).

Resumo Nesta aula, analisamos o significado de dire¸ca˜o, sentido e m´odulo de um segmento no plano e definimos a rela¸ca˜o de equipolˆencia entre dois segmentos orientados.

Vocˆe viu o significado da rela¸ca˜o de equipolˆencia entre segmentos orientados do ponto de vista tanto geom´etrico quanto anal´ıtico (em coordenadas).

Definimos a no¸ca˜o de vetor no plano e observamos que as coordenadas de um vetor n˜ao dependem do representante do vetor.

Exerc´ıcios 1. Verifique se os seguintes pares de segmentos AB e CD est˜ao em retas paralelas ou coincidentes. Caso afirmativo, mostre, geometricamente, se tˆem o mesmo sentido ou sentidos opostos. a. A = (0, −2), B = (2, 2), C = (0, 1), D = (−1, −1). b. A = (1, 1), B = (2, 3), C = (0, 0), D = (2, 4). c. A = (0, −2), B = (1, 1), C = (0, 3), D = (2, 1). d. A = (1, 1), B = (2, −3), C = (−2, 4), D = (0, 1).

2. Determine em cada caso, o ponto D, tal que CD ≡ AB, onde A =

(−1, −1) e B = 2, 12 . Fa¸ca tamb´em um esbo¸co dos segmentos orientados no plano cartesiano seguindo a constru¸ca˜o da Proposi¸ca˜o 1.2. √ a. C = (1, −1). c. C = (0, − 2). √ √ b. C = (1, 2). d. C = (− 2, 3).

3. Determine se os segmentos orientados AB e CD s˜ao equipolentes, onde: a. A = (0, 3), B = (3, 0), C = (1, 1), D = (−1, −1).

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Vetores no Plano - Segmentos Orientados

b. A = (1, 1), B = (3, 1), C = (0, 1), D = (2, 1).

c. A = (1, −3), B = 12 , − 13 , C = (1, 0), D = (− 12 , 1).

d. A = (1, −3), B = 12 , 1 , C = (1, 0), D = (− 12 , 1). −−→ −−→ 4. Determine as coordenadas do ponto P , tal que OP = AB , onde: a. A = (1, −1) , B = (3, 4) . b. A = (− 32 , 12 ) , B = ( 43 , 54 ) . c. A = (

√

3 1 , ) 2 2

, B = (− 12 , −

√

3 ) 2

.

−−→ −−→ 5. Determine se AB = CD , onde: a. A = (1, 1) , B = (2, 0) , C = (−1, −1) , D = (0, −2) . b. A = (1, 1) , B = (2, 0) , C = (1, −1) , D = (0, 0) . c. A = (−2, −1) , B = ( 12 , 1) , C = (− 12 , −1) , D = (−1, 1) . d. A = (0, 0) , B = (2, 1) , C = (−1, 1) , D = (2, 3) .

6. Determine os v´ertices C e D do paralelogramo ABDC, sabendo que A = (1, 1), B = (3, 2) e as diagonais AD e BC se cortam no ponto M = (4, 2).

7. Sejam P = (1, 0), Q = (2, 4) e R = (3, 3) pontos do plano. Determine os pontos S do plano de modo que P , Q, R e S sejam v´ertices de um paralelogramo.

Sugest˜ ao: Observe que h´ a trˆes poss´ıveis diagonais para o paralelogramo, P R, P Q ou QR, cada uma delas fornece um poss´ıvel ponto S.

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe entendeu as no¸co˜es de dire¸ca˜o, sentido e m´odulo de um segmento orientado assimilando bem o significado da rela¸ca˜o de equipolˆencia, ent˜ao conseguiu resolver os exerc´ıcios 1, 2 e 3. Se vocˆe resolveu os exerc´ıcios 4 e 5, entendeu a no¸ca˜o de vetor e aprendeu a determinar as coordenadas de um vetor. Se vocˆe entendeu a equipolˆencia e a sua rela¸ca˜o com o paralelogramo, ent˜ao resolveu os exerc´ıcios 6 e 7. Se ainda tiver dificuldades, volte e reveja com cuidado os conceitos apresentados na aula. N˜ao esque¸ca que h´a tutores que poder˜ao ajudar a eliminar as suas d´ uvidas. Desde j´a, lembre-se de discutir os conte´ udos com seus colegas.

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Vetores no Plano - Opera¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 2

Aula 2 – Vetores no Plano - Opera¸ co ˜es Objetivos • Definir as opera¸co˜es de adi¸ca˜o de vetores e multiplica¸ca˜o de vetores por escalares reais.

• Compreender as propriedades das opera¸co˜es com vetores.

• Resolver problemas geom´etricos utilizando a linguagem vetorial.

Na aula anterior vimos que por cada ponto do plano ´e poss´ıvel tra¸car um segmento orientado que representa um vetor dado (Proposi¸ca˜o 1.2).

Come¸camos esta aula utilizando esse resultado para definir a opera¸ca˜o de adi¸ca˜o de vetores no plano.

Defini¸c˜ao 2.4 (Adi¸c˜ao de vetores) → − − Sejam → a e b vetores no plano, A um ponto qualquer do plano, AB o → − − representante de → a com origem no ponto A e BC o representante de b com → − → − − − origem no ponto B. O vetor soma de → a e b , designado por → a + b , ´e o vetor representado pelo segmento orientado AC: → − −−→ −−→ −−→ → − a + b = AB + BC = AC Na Figura 2.1, mostramos a soma → − → − → − − a + b dos vetores → a e b , represen−−→ tada pelo segmento orientado AC . No entanto, observe que a defini¸ca˜o do ve→ − − tor soma → a + b , depende da escolha do ponto A. Para verificarmos que o ve− Figura 2.1: Adi¸ca˜o dos vetores → a e tor soma est´ a bem definido, devemos de- → − b . monstrar que ele independe dessa escolha.

Sejam A outro ponto do plano e B o ponto determinado pela Pro−−−→ − posi¸ca˜o 1.2, tal que → a = A B e seja C o ponto determinado pela mesma −−−→ −−−→ → − → − − Proposi¸ca˜o, tal que b = B C . Devemos demonstrar que → a + b = A C , ou seja, que AC ≡ A C .

Bem definido...

Em Matem´ atica, muitas no¸co ˜es s˜ ao definidas a partir da escolha de determinados objetos. Dizer que a no¸ca ˜o est´ a bem definida, significa que a escolha dos objetos utilizados na defini¸ca ˜o ´ e irrelevante, e podem ser substitu´ıdos por outros, com propriedades similares. No caso da defini¸ca ˜o da opera¸ca ˜o de adi¸ca ˜o de → − → vetores, o vetor soma − a +b ´ e definido a partir da escolha −−→ → do ponto A, onde − a = AB .

O vetor soma est´ a bem definido, pois, como vemos na demonstra¸ca ˜o ao lado, podemos substituir a origem → A do vetor − a por outro ponto.

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Vetores no Plano - Opera¸co˜es

Com respeito a um sistema de coordenadas cartesianas com origem no ponto O, suponha que os pontos A, B, C, A , B e C tˆem coordenadas: A = (a1 , a2 ) , A = (a 1 , a 2 ) , B = (b1 , b2 ) , B = (b 1 , b 2 ) , C = (c1 , c2 ) , C = (c 1 , c 2 ) .

Sabemos que:

e

→ − −−→ −−−→ − Figura a + b = AC = A C . ⎧ 2.2: →

⎨b − a = b − a −−→ −−−→ 1 1 1 1 → − a = AB = A B ⇐⇒ AB ≡ A B ⇐⇒ ⎩b2 − a2 = b − a , 2 2 ⎧ ⎨c − b = c − b → − −−→ −−−→ 1 1 1 1 b = BC = B C ⇐⇒ BC ≡ B C ⇐⇒ ⎩c2 − b2 = c − b .

2

2

Logo, (c1 − b1 ) + (b1 − a1 ) = (c 1 − b 1 ) + (b 1 − a 1 ) , (c2 − b2 ) + (b2 − a2 ) = (c 2 − b 2 ) + (b 2 − a 2 ) , isto ´e, c1 − a1 = c 1 − a 1 e c2 − a2 = c 2 − a 2 , e, portanto, AC ≡ A C . → − − Com isso provamos que o vetor soma → a + b est´a bem definido, pois → − − depende apenas das parcelas → a e b , e n˜ao da escolha do ponto A. Al´em disso: → − → − se a = (b1 − a1 , b2 − a2 ) = (x1 , y1) e b = (c1 − b1 , c2 − b2 ) = (x2 , y2 ), → − − ent˜ao → a + b = (c − a , c − a ) = (x + x , y + y ).

1

1

2

2

1

2

1

2

Resumindo, Coordenadas do vetor soma.

As coordenadas do vetor soma s˜ao obtidas somando as coordenadas res→ − − pectivas das parcelas. Isto ´e, se → a = (x1 , y1 ) e b = (x2 , y2), ent˜ao: → − → − a + b = (x1 + x2 , y1 + y2 ) .

Figura 2.3: Soma de vetores.

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Exemplo 2.1 −−→ −−→ Sejam A = (−1, 0), B = (2, −1) e C = (1, 2). Determinemos AB + AC . −−→ Solu¸ca˜o: Segundo o destaque acima: AB = (2 − (−1), −1 − 0) = (3, −1) e −−→ −−→ −−→ AC = (1 − (−1), 2 − 0) = (2, 2). Logo, AB + AC = (3, −1) + (2, 2) = (5, 1) (Figura 2.3). −−→ −−→ O representante do vetor soma AB + AC com origem no ponto A ´e o segmento orientado AD, onde D = (d1 , d2 ) ´e o ponto, tal que AC ≡ BD. Ent˜ao, d1 − 2 = 1 − (−1) e d2 − (−1) = 2 − 0, isto ´e, D = (d1 , d2 ) = (4, 1).

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Observa¸ c˜ ao.

Sejam A, B, C pontos n˜ao-colineares do plano, ent˜ao o ponto D faz do quadril´ atero ABDC um paralelogramo se, e somente se, −−→ −−→ −−→ AD = AB + AC .

De fato, se ABDC ´e um paralelogramo, ent˜ao AC ≡ BD. Logo,

−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ AB + AC = AB + BD = AD . −−→ −−→ −−→ Reciprocamente, se AB + AC = AD , ent˜ao, pela defini¸ca˜o da adi¸ca˜o −−→ de vetores, o ponto D ´e a extremidade do representante de AC com origem no ponto B. Isto ´e, AC ≡ BD e portanto ABDC ´e um paralelogramo (Figura 2.4).

Figura 2.4: O quadril´ atero ABDC ´ e um paralelogramo se, e somente se, −−→ −−→ −−→ AB + AC = AD .

Propriedades da adi¸ c˜ ao de vetores.

A adi¸ca˜o de vetores satisfaz as seguintes propriedades: 1. Propriedade comutativa: → − → − − → − a + b = b +→ a → − − Com efeito, se → a = (a1 , a2 ) e b = (b1 , b2 ), ent˜ao: → − − → − → − a . a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 ) = (b1 + a1 , b2 + a2 ) = b + → → − 2. O vetor nulo, que designamos por 0 , ´e o vetor representado por qualquer segmento nulo.

As coordenadas do vetor nulo s˜ ao: −−→ → − 0 = BB = (b1 − b1 , b2 − b2 ) = (0, 0). onde B = (b1 , b2 ) ´e um ponto qualquer do plano. − Se → a ´e um vetor qualquer, temos:

Segmento nulo.

Lembre que um segmento nulo ´ e um segmento cuja origem e extremidade coincidem. Os segmentos nulos tˆ em m´ odulo zero, mas n˜ ao tˆ em dire¸ca ˜o nem sentido. Todos os segmentos nulos s˜ ao considerados equipolentes.

→ − → − − a +0 =→ a − De fato, se → a = (a1 , a2 ), ent˜ao, → − − → − a . a + 0 = (a1 + 0, a2 + 0) = (a1 , a2 ) = → − − 3. Dado um vetor → a existe um vetor que designamos por −→ a e cha→ − mamos o sim´etrico de a , tal que: → − → − − a + (−→ a )=0 − De fato, se AB ´e um segmento orientado que representa o vetor → a , → − ent˜ao o segmento orientado BA ´e um representante do vetor − a , pois pela defini¸ca˜o da adi¸ca˜o de vetores vemos que: −−→ −−→ −−→ → − → − − a + (−→ a ) = AB + BA = AA = 0 .

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Subtra¸ c˜ ao de vetores.

Subtra¸ca ˜o ´ e a soma de um → − vetor b com o sim´ etrico → → −− a de um vetor − a . O vetor → − → b + (−− a ) se escreve de forma abreviada como → − − b −→ a .

Figura 2.5: Subtra¸ca˜o de vetores.

− − Observe tamb´em que, se → a = (a1 , a2 ), ent˜ao as coordenadas de −→ a s˜ao:

− e→ c :

− −→ a = (−a1 , −a2 ) .

→ − − 4. A adi¸ca˜o de vetores ´e associativa. Isto ´e, dados trˆes vetores → a , b

→

→ − → − → → − − → − − a +b +c =a + b +c

→ − − − Com efeito, sejam → a = (a1 , a2 ) , b = (b1 , b2 ) e → c = (c1 , c2 ) . Usando a propriedade associativa da adi¸ca˜o de n´ umeros reais, temos:

→ − − → − a + b +→ c = (a1 + a2 , b1 + b2 ) + (c1 , c2 ) = ((a1 + b1 ) + c1 , (a2 + b2 ) + c2 ) = (a1 + (b1 + c1 ), a2 + (b2 + c2 )) = (a1 , a2 ) + (b1 + c1 , b2 + c2 )

→ − − − = → a + b +→ c .

Desta maneira, vemos que a opera¸ca˜o de adi¸ca˜o de vetores, possui as mesmas propriedades que a opera¸ca˜o de adi¸ca˜o de n´ umeros reais.

Definimos agora uma opera¸ca˜o de multiplica¸ca˜o de um n´ umero real por um vetor.

Figura 2.6: Propriedade associativa da adi¸ca˜o de vetores.

Conven¸ c˜ ao: No seguinte, os n´ umeros reais ser˜ao chamados tamb´em escalares.

Defini¸c˜ao 2.5 (Multiplica¸c˜ao de escalares por vetores)

→ Os vetores λ · − a .

Na Figura 2.7 mostramos → vetores da forma λ · − a com 1 1 3 λ = 1, −1, − 2 , 2 , 2 .

−−→ − − Se → a = AB e λ ∈ R, definimos o produto de λ por → a como sendo o vetor −−→ → −

λ · a = λ · AB representado pelo segmento AB , de modo que: • A, B e B s˜ao colineares, • |AB | = d(A, B ) = |λ| · d(A, B) = |λ| · |AB| , ⎧ ⎨o mesmo sentido, se λ > 0, • AB e AB tˆem ⎩ sentidos opostos, se λ < 0,

Figura 2.7: M´ ultiplos de um vetor.

Observe que, quando λ = 0, d(A, B ) = 0 · d(A, B) = 0, isto ´e, B = A −−→ → − → − − − e, portanto, 0 · → a = AA = 0 . Similarmente, se → a = 0 , podemos verificar → − → − a partir da defini¸ca˜o, que λ · 0 = 0 , qualquer que seja λ ∈ R. Proposi¸c˜ao 2.4 −−→ − A multiplica¸ca˜o do escalar λ pelo vetor → a = AB n˜ao depende do segmento representante AB.

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−−−→ −−→ Demonstra¸ c˜ ao. Devemos mostrar que se CD ≡ AB, ent˜ao CD = λ · CD −−→ coincide com AB , isto ´e, que AB ≡ CD .

Como CD ≡ AB, temos que CD e AB tˆem a mesma dire¸ca˜o, o mesmo sentido e o mesmo m´odulo. Logo, |CD | = |λ| · |CD| = |λ| · |AB| = |AB | .

Suponhamos primeiro que λ > 0.

Neste caso, AB tem a mesma dire¸ca˜o e sentido que AB e CD tem a mesma dire¸ca˜o e sentido que CD. Portanto, AB e CD tˆem tamb´em a mesma dire¸ca˜o e sentido.

Suponhamos, agora, que λ < 0.

Neste caso, AB e AB tˆem a mesma dire¸ca˜o e sentidos contr´arios. O mesmo acontece com CD e CD .

Como AB e CD tˆem o mesmo sentido, conclu´ımos que AB e CD tˆem a mesma dire¸ca˜o e o mesmo sentido.

Portanto, seja λ positivo ou negativo, obtemos CD ≡ AB , como quer´ıamos.

Fa¸ca vocˆe mesmo os argumentos para os casos em que λ = 0 ou AB ´e um segmento nulo.

Proposi¸c˜ao 2.5 − Se → a = (a1 , a2 ) e λ ∈ R, ´e um escalar n˜ao-nulo, ent˜ao: − λ·→ a = λ(a1 , a2 ) = (λa1 , λa2 ) Demonstra¸ c˜ ao. Sejam P = (a1 , a2 ) e Q = (λa1 , λa2 ) pontos do plano. −−→ −−→ Devemos mostrar que λOP = OQ . Isto significa que • O, P e Q s˜ao pontos colineares; • |OQ| = |λ| · |OP |; • OQ tˆem o mesmo sentido que OP quando λ > 0 e, sentido oposto, quando λ < 0.

De fato, se a1 = 0, ent˜ao O, P e Q est˜ao sobre o eixo y.

Se a1 = 0, ent˜ao a reta que passa por O e Q tem inclina¸ca˜o que ´e igual a` inclina¸ca˜o da reta que passa por O e P .

O sim´ etrico de um vetor. → → Observe que −− a = (−1) · − a pois, se a = (a1 , a2 ), ent˜ ao: → −− a = (−a1 , −a2 ) = (−1 · a1 , −1 · a2 ) → = −1 · − a .

λ · a2 a = 2, λ · a1 a1

Logo, O, P e Q s˜ao colineares.

Observe tamb´em que

|OQ| = (λa1 )2 + (λa2 )2 = λ2 (a21 + a22 ) = |λ| a21 + a22 = |λ| · |OP | .

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Resta mostrar que OP e OQ tˆem o mesmo sentido quando λ > 0 e sentidos opostos quando λ < 0. Para isto, ´e necess´ario analisar os seguintes casos: • a1 > 0 e a2 = 0 • a1 < 0 e a2 = 0 • a1 = 0 e a2 > 0 • a1 = 0 e a2 < 0 • a1 > 0 e a 2 > 0 • a1 < 0 e a 2 > 0 • a1 < 0 e a2 < 0 • a1 > 0 e a2 < 0 Suponhamos λ > 0, a1 > 0 e a2 > 0.

Neste caso, os pontos P = (a1 , a2 ) e Q = (λa1 , λa2 ) est˜ao no primeiro quadrante do plano. Logo P e Q est˜ao no mesmo semi-plano determinado pela perpendicular a` reta que passa por O, P e Q. Isto ´e, OP Figura 2.8: Caso λ > 0 , a1 > e OQ tˆem o mesmo sentido.

0 , a2 > 0.

Os outros casos s˜ao tratados de maneira similar. Fa¸ca-os vocˆe mesmo!

Exemplo 2.2 Sejam A = (0, 1) e B = (1, 0). Determinemos os representantes CD, CD e −−→ −−→ −−→ CD dos vetores AB , −2AB e 2AB com origem no ponto C = (1, 1).

Solu¸ca˜o: Temos que −−→ −−→ AB = (1 − 0, 0, −1) = (1, −1) , −2AB = (−2 · 1, −2 · (−1)) = (−2, 2) , −−→ 2AB = (2 · 1, 2 · (−1)) = (2, −2) , e C = (1, 1).

E os pontos buscados D = (d1 , d2 ) , D = (d 1 , d 2 ) e D = (d 1 , d 2 ) , devem satisfazer as seguintes rela¸co˜es (veja a Proposi¸ca˜o 1.3, da Aula 1): ⎧ ⎨d − 1 = 1 −−→ −−→ 1 CD = AB ⇐⇒ ; ⎩d2 − 1 = −1 ⎧ ⎨d − 1 = −2 −−−→ −−→ 1 ; CD = −2AB ⇐⇒ ⎩ d − 1 = 2 2 ⎧ ⎨d − 1 = 2 −−−→ −−→ 1 e CD = 2AB ⇐⇒ ⎩d − 1 = −2 .

2

Figura 2.9: Exemplo 2.2.

Isto ´e, D = (2, 0), D = (−1, 3) e D = (3, −1).

Na Figura 2.9 ilustramos os segmentos orientados AB, CD, CD e CD , −−→ assim como o segmento OP representante na origem do vetor AB .

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´ MODULO 1 - AULA 2

Propriedades da multiplica¸c˜ ao de escalares por vetores. → − − − Sejam → a , b e→ c vetores do plano e sejam λ, μ ∈ R. 1. A multiplica¸ca˜o de escalares por vetores ´e associativa. Isto ´e, − − λ · (μ · → a ) = (λ · μ) · → a − De fato, se → a = (a1 , a2 ), com respeito a um sistema de coordenadas no plano, temos: − λ · (μ · → a ) = λ · (μa1 , μa2 ) = (λ(μa1 ), μ(λa2 )) = ((λμ)a1 , (λμ)a2) − = (λμ)→ a.

2. A multiplica¸ca˜o de escalares por vetores satisfaz as propriedades distributivas: → − → − − − λ · (→ a + b ) =λ·→ a +λ· b − − − (λ + μ) · → a =λ·→ a +μ·→ a A primeira destas propriedades, ilustrada na Figura 2.10, se verifica → − − da seguinte maneira: se → a = (a1 , a2 ) e b = (b1 , b2 ), ent˜ao: → − − λ(→ a + b ) = λ(a1 + b1 , a2 + b2 ) = (λ(a1 + b1 ), λ(a2 + b2 )) → − − a + λb . = (λa1 + λb1 , λa2 + λb2 ) = (λa1 , λa2 ) + (λb1 , λb2 ) = λ→ Fa¸ca vocˆe mesmo a verifica¸ca˜o da outra propriedade distributiva usando coordenadas e interprete geometricamente o seu significado.

Figura 2.10: Distributividade.

3. O n´ umero 1 ∈ R ´e o elemento neutro da multiplica¸ca˜o de escalares por vetores: − − 1·→ a =→ a − − − De fato, se → a = (a1 , a2 ), ent˜ao 1 · → a = (1 · a1 , 1 · a2 ) = (a1 , a2 ) = → a .

Exemplo 2.3 − − Dados os vetores → u = (1, −1) e → v = (3, 1), determine → − − − 1→ → − − − − − → − a = 2→ u +→ v , b =→ u + 2→ v , c = b −→ a .

2

Solu¸ca˜o: Temos → − − − a = 2→ u +→ v = 2(1, −1) + (3, 1) = (2(1), 2(−1)) + (3, 1) = (2, −2) + (3, 1) = (2 + 3, −2 + 1) = (5, −1) .

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Vetores no Plano - Opera¸co˜es

→ − − − b =→ u + 2→ v = (1, −1) + 2(3, 1) = (1, −1) + (2(3), 2(1)) = (1, −1) + (6, 2) = (1 + 6, −1 + 2) = (7, 1) . − − 1→ 1 → − c = b −→ a = (7, 1) − (5, −1) 2

2

7 1 = − (5, −1) , 2 2

=

7 1 − 5, − (−1) 2 2

3 3 = − , .

2 2

Figura 2.11: Exemplo 6.

Vejamos agora como usar a linguagem vetorial para resolver alguns problemas geom´etricos simples.

Exemplo 2.4 Os pontos m´edios dos lados de um quadril´atero qualquer determinam um paralelogramo.

Solu¸ca˜o: De fato, seja ABCD um quadril´atero (Figura 2.12). Sejam X o ponto m´edio do lado AB; Y o ponto m´edio do lado BC; W o ponto m´edio do lado CD e Z o ponto m´edio do lado DA.

Figura 2.12: Exemplo 2.4.

Devemos mostrar que XY W Z ´e um paralelogramo. Para tal, basta mostrar −−→ −−−→ que XY ≡ ZW , isto ´e, XY = ZW . Temos: −−→ −−→ 1 −−→ X ponto m´edio de AB =⇒ AX = XB = AB , 2 −−→ −−→ 1 −−→ Y ponto m´edio de BC =⇒ BY = Y C = BC , 2

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´ MODULO 1 - AULA 2

−−−→ −−−→ 1 −−→ W ponto m´edio de DC =⇒ DW = W C = DC , 2 −−→ −−→ 1 −−→ Z ponto m´edio de AD =⇒ AZ = ZD = AD .

2

Logo, −−→ −−→ −−→ 1 −−→ 1 −−→ 1 −−→ −−→ 1 −−→ XY = XB + BY = AB + BC = AB + BC = AC .

2

2

2

2

Similarmente, −−−→ −−→ −−−→ 1 −−→ 1 −−→ 1 −−→ −−→ 1 −−→ ZW = ZD + DW = AD + DC = AD + DC = AC .

2

2

2

−−−→ −−→ 1 Portanto, XY = AC = ZW , como quer´ıamos.

2

2

Exemplo 2.5 O baricentro de um triˆ angulo: Sejam A, B e C pontos n˜ao-colineares do plano e O um ponto qualquer do plano. Definimos o baricentro do triˆangulo ABC como sendo o ponto G, tal que: −−→ 1 −−→ −−→ −−→ OG = 3 (OA + OB + OC )

(2.1)

Mostraremos que o ponto G independe do ponto O, isto ´e, dado outro ponto O do plano, temos: −−→ −−−→ −−−→ −− − → O G = 13 (O A + O B + O C ) .

Solu¸ca˜o: De fato, se O ´e outro ponto do plano: −−−→ −−−→ −−→ −− → −−−→ −−→ O A = O O + OA , O B = O O + OB e

−− −→ −− −→ −−→ O C = O O + OC .

Logo, −−−→ −−→ −− −→ O G = O O + OG −−−→ −−→ −−→ −−→ = O O + 13 (OA + OB + OC ) −−− → −−→ −−−→ −−→ −−−→ −−→ = 13 (O O + OA + O O + OB + O O + OC ) −−→ −−−→ −−−→ = 13 (O A + O B + O C ).

Assim, o baricentro G do triˆangulo ABC depende apenas dos v´ertices A, B e C.

Figura 2.13: O baricentro n˜ ao depende da escolha do ponto O.

Mais ainda, como a identidade (2.1) ´e v´alida para todo ponto O do plano, podemos substituir O pelo pr´oprio ponto G. −−→ −−→ → − Nesse caso, como OG = GG = 0 , segue, da identidade (2.1), que: −−→ −−→ −−→ → − GA + GB + GC = 0

(2.2)

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Vetores no Plano - Opera¸co˜es

Exemplo 2.6 O baricentro e as medianas: As medianas do triˆangulo ABC s˜ao os segmentos que v˜ao de cada um dos v´ertices at´e o ponto m´edio do lado oposto.

Na Figura 2.14, mostramos o triˆangulo ABC e suas medianas AX, BY e CZ. Figura 2.14: O baricentro G ´e a intersec¸ca˜o das medianas do triˆ angulo.

Subdivis˜ ao baricˆ entrica.

Em Computa¸ca ˜o Gr´ afica ´e freq¨ uente a modelagem de superf´ıcies das mais diversas formas. Embora n˜ ao pare¸ca, as superf´ıcies que visualizamos na tela de um computador, na televis˜ ao, no cinema ou num videogame s˜ ao formadas por pequenos triˆ angulos. Quanto menor o tamanho desses triˆ angulos, mais lisa ´e a aparˆencia da superf´ıcie. Assim, ap´ os feita uma primeira aproxima¸ca ˜o da superf´ıcie por meio de triˆ angulos, s˜ ao realizados v´ arios refinamentos de modo a diminuir o tamanho dos triˆ angulos. Uma importante t´ ecnica consiste em subdividir cada triˆ angulo em seis triˆ angulos acrescentando os pontos m´edios dos lados e os baricentros ajustados ` a forma da superf´ıcie. Na Figura 2.14 vemos o triˆ angulo ABC dividido nos triˆ angulos AGZ, ZGB, BGX, XGC, CGY e Y GA. Esta subdivis˜ ao ´ e a chamada subdivis˜ ao baricˆ entrica do triˆ angulo ABC.

Neste exemplo, verificamos que: As medianas do triˆangulo ABC se intersectam no baricentro G .

Solu¸ca˜o: Para isto, basta mostrar que o baricentro G, caracterizado pela identidade (2.2), pertence `as trˆes medianas AX, BY e CZ do triˆangulo ABC. Verifiquemos que o baricentro G pertence a` mediana AX. De forma similar vocˆe poder´a mostrar que G pertence a`s medianas BY e CZ. Seja D o ponto, tal que GBDC ´e um paralelogramo. Desta forma, −−→ −−→ −−→ • GB + GC = GD ,

−−→ −−→ Figura 2.15: 2GX = GD .

• BC e GD, as diagonais do paralelogramo GBDC, cortam-se ao meio no ponto X (ponto m´edio do segmento BC).

Como:

−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ → − GA + 2GX = GA + GD = GA + GB + GC = 0 ,

os pontos G, A, X s˜ao colineares e G pertence a` mediana AX, pois GA e GX tˆem sentidos opostos.

Portanto, as trˆes medianas se intersectam no baricentro G. Exemplo 2.7 Neste exemplo, usaremos as opera¸co˜es com vetores, para mostrar que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio.

Solu¸ca˜o: Seja ABDC um paralelogramo, veja a Figura 2.16. Como um paralelogramo tem lados opostos paralelos e de igual comprimento, Figura 2.16: −→ −−→ −→ −−→ ent˜ao AC = BD e AB = CD .

ADBC.

Paralelogramo

Denotemos E o ponto m´edio da diagonal AD. Isto significa que |AE| = |ED| = 12 |AD|.

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Vetores no Plano - Opera¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 2

Al´em disso, os segmentos orientados AE, ED e AD tˆem mesmo sentido, portanto: −−→ −−→ 1 −−→ AE = ED = AD .

(2.3) 2 Devemos mostrar que E pertence a` diagonal, isto ´e que B, E, C s˜ao colineares, e mostrar que E ´e o ponto m´edio BC . Logo basta chegarmos a` rela¸ca˜o −−→ 1 −−→ BE = 2 BC .

Da defini¸ca˜o da adi¸ca˜o de vetores temos as igualdades: −−→ −−→ −−→ BE = BA + AE , −−→ −−→ −−→ BC = BA + AC .

(2.4) (2.5)

Substituindo (2.3) em (2.4), obtemos: −−→ −−→ 1 −−→ BE = BA + AD .

(2.6) 2 −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ Como AC = AD + DC , DC = BA e BA + BA = 2BA , podemos substituir essas rela¸co˜es em (2.5) e obter: −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ BC = BA + AD + DC = BA + AD + BA = AD + 2BA , logo,

1 −−→ AD 2

−−→ −−→ = 12 BC − BA .

Substituindo essa rela¸ca˜o em (2.6), conclu´ımos: −−→ −−→ 1 −−→ −−→ 1 −−→ −−→ 1 −−→ BE = BA + 2 AD = BA + 2 BC − BA = 2 BC , mostrando o afirmado.

Observa¸ c˜ ao.

Vocˆe pode provar que as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio usando congruˆencia de triˆangulos.

Resumo Nesta aula definimos as opera¸co˜es de adi¸ca˜o de vetores e multiplica¸ca˜o de vetores por escalares. Analisamos as propriedades dessas opera¸co˜es e usamos a linguagem vetorial para resolver alguns problemas geom´etricos.

Exerc´ıcios 1. Localize os pontos A = (1, 1), B = (−3, 0), C = (4, 1), D = (2, −3), E = (3, −2) e F = (−4, −3) no plano cartesiano e efetue os seguintes c´alculos:

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Vetores no Plano - Opera¸co˜es

−−→ −−→ −−→ a. AB + AC + AD . −−→ −−→ −−→ −−→ b. 2(BC − EC ) + 3EF − 2AD . −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ c. AB + BC + CD + DE + EA . −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ d. AB + BC + CD + DE + EF + F A . −−→ −−→ −−→ −−→ e. 14 AB + 14 AC + 14 AD + 14 AE . −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ f. AB − (AC + 2CD ) + ED − (EB − DC ) .

2. Sejam A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , pontos do plano. Mostre que: −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ → − A1 A2 + A2 A3 + A3 A4 + A4 A5 + A5 A1 = 0 .

3. Sejam A, B e C pontos colineares no plano. Mostre que existe um −−→ −−→ escalar t, tal que AB = tAC . Al´em disso, t > 0 quando AB e AC tˆem o mesmo sentido e t < 0 quando AB e AC tˆem sentidos opostos.

4. Sejam A = (−1, 0) , B = (− 12 , 2) e C = (2, 1). a. Determine o baricentro do triˆangulo ABC usando a identidade (2.1). b. Determine os pontos m´edios dos lados do triˆangulo ABC e mostre que a soma dos vetores representados pelas medianas do triˆangulo ´e → − igual a 0 . Esta propriedade ´e v´alida em qualquer outro triˆangulo?

5. Determine os v´ertices B e C do triˆangulo ABC, sabendo que A = (1, 2), −−→ BC = (3, 4) e que a origem ´e o seu baricentro.

6. Seja ABC um triˆangulo no plano e seja G o seu baricentro. Mostre que: −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 2 −−→ e CG = 23 CZ .

AG = 3 AX , BG = 23 BY onde X, Y e Z s˜ao os pontos m´edios dos lados BC, AC e AB respectivamente.

7. Sejam P = (1, 2), Q = (−2, −2) e r a reta determinada por esses pontos.

Determine as coordenadas dos pontos que est˜ao sobre r e cuja distˆancia ao ponto Q ´e λ vezes a distˆancia ao ponto P , onde λ > 0.

Indica¸ca˜o: Seja R = (x, y) o ponto desejado. A condi¸ca˜o do problema −−→ equivale a |RQ| = λ|RP |. Como os pontos P , Q e R s˜ ao colineares, RQ = −−→ ±λRP .

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Vetores no Plano - Opera¸co˜es

8. Seja n um n´ umero natural maior ou igual a 3 e sejam A1 , A2 , A3 , . . . , An e O pontos do plano. Considere a regi˜ao poligonal cujos lados s˜ao os n segmentos A1 A2 , A2 A3 , . . . , An A1 . O centro de massa ou centro de gravidade da regi˜ao poligonal ´e o ponto G dado por: −−→ 1 −−−→ −−−→ −−−→ −−−→ OG = n (OA1 + OA2 + OA3 + . . . OAn ) .

Observe que, se n = 3, a regi˜ao poligonal ´e um triˆangulo e o centro de gravidade ´e o seu baricentro.

As seguintes propriedades s˜ao v´alidas qualquer que seja n ≥ 3. No entanto, suponha que n = 5. a. Mostre que o centro de gravidade G n˜ao depende da escolha do ponto O. Indica¸ca˜o: Proceda como no exemplo 6.

b. Mostre que o centro de gravidade satisfaz uma identidade similar `a identidade (2.2) mostrada no exemplo 6.

´ MODULO 1 - AULA 2

Para saber mais...

Uma lˆ amina poligonal feita de um material homogˆeneo (isto ´ e, a massa ´ e distribu´ıda uniformemente sobre a superf´ıcie) pode ser posta horizontalmente em equil´ıbrio sobre um prego, como mostramos na Figura 2.17. Basta colocar o centro de gravidade da superf´ıcie sobre o prego! Por esta raz˜ ao, o centro de gravidade ´ e tamb´ em chamado ponto de equil´ıbrio da superf´ıcie.

Tente fazer uma experiˆencia que confirme este fato.

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe compreendeu bem as opera¸co˜es de adi¸ca˜o de vetores e multiplica¸ca˜o de vetores por escalares e sabe efetuar essas opera¸co˜es usando coordenadas com respeito a um sistema cartesiano, ent˜ao resolveu os exerc´ıcios de 1 a 7 sem dificuldade. O exerc´ıcio 8 reafirma e generaliza os conceitos relativos a` no¸ca˜o de baricentro. Caso ainda tenha d´ uvidas, revise o conte´ udo da aula. N˜ao esque¸ca que h´a tutores sempre dispostos a orient´a-lo.

Figura 2.17: Centro de gravidade.

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A Reta e a DependË&#x2020;encia Linear

´ MODULO 1 - AULA 3

Aula 3 â&#x20AC;&#x201C; A Reta e a DependË&#x2020; encia Linear Objetivos â&#x20AC;˘ Determinar a equa¸caË&#x153;o param´etrica de uma reta no plano. â&#x20AC;˘ Compreender o paralelismo entre retas e vetores. â&#x20AC;˘ Entender a no¸caË&#x153;o de dependË&#x2020;encia linear entre dois vetores do plano. â&#x20AC;˘ Determinar a equa¸caË&#x153;o cartesiana de uma reta a partir de sua equa¸caË&#x153;o param´etrica e vice-versa. â&#x20AC;˘ Determinar a interse¸caË&#x153;o de duas retas nË&#x153;ao paralelas no plano.

Come¸camos determinando, em termos da linguagem vetorial, as condi¸coË&#x153;es que um ponto P deve satisfazer para pertencer `a reta r.

Se A e B sË&#x153;ao pontos distintos no plano, sabemos que h´a uma u ´nica reta r que os cont´em.

Segundo a deďŹ ni¸caË&#x153;o da multiplica¸caË&#x153;o de um vetor por um escalar, um ponto P pertence a r se, e somente se (Figura 3.1), â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; AP = t ¡ AB

(3.1)

para algum t â&#x2C6;&#x2C6; R , chamado parË&#x2020; ametro do ponto P . A equa¸caË&#x153;o (3.1) ´e uma equa¸caË&#x153;o vetorial param´etrica da reta r. Dizemos, tamb´em, que r tem dire¸caË&#x153;o â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; AB e: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; r = P | AP = t ¡ AB , t â&#x2C6;&#x2C6; R

Figura 3.1: Reta r e A, B â&#x2C6;&#x2C6; r.

Os segmentos AB e AP tË&#x2020; em o mesmo sentido se t > 0 e sentidos contr´ arios se t < 0.

Em rela¸caË&#x153;o a um sistema de coordenadas cartesianas, se A = (a1 , a2 ), B = (b1 , b2 ) e P = (x, y), a equa¸caË&#x153;o (3.1) ´e dada por: (x â&#x2C6;&#x2019; a1 , y â&#x2C6;&#x2019; a2 ) = (t(b1 â&#x2C6;&#x2019; a1 ), t(b2 â&#x2C6;&#x2019; a2 )) , que equivale ao par de equa¸coË&#x153;es: â&#x17D;§ â&#x17D;¨x = a + t(b â&#x2C6;&#x2019; a ) 1 1 1 ,tâ&#x2C6;&#x2C6;R r: â&#x17D;Šy = a2 + t(b2 â&#x2C6;&#x2019; a2 )

(3.2)

Nota¸ cË&#x153; ao.

Em (3.2) colocamos o nome r da reta ` a frente e a especiďŹ ca¸ca Ë&#x153;o do parË&#x2020; ametro ap´ os as equa¸co Ë&#x153;es. Esta ´ e uma pr´ atica comum na literatura que adotaremos.

chamadas equa¸coË&#x153;es param´etricas da reta r.

Nas equa¸coË&#x153;es (3.1) e (3.2) devemos observar que t > 0 quando AP e AB tË&#x2020;em o mesmo sentido e t < 0 quando AP e AB tË&#x2020;em sentidos opostos (veja o Exerc´Ĺcio 3, da Aula 2).

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A Reta e a DependË&#x2020;encia Linear

Exemplo 3.1 Determinar a equa¸caË&#x153;o param´etrica da reta que passa pelos pontos A = (2, 3) e B = (1, 2). â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Solu¸caË&#x153;o: Como AB = (1 â&#x2C6;&#x2019; 2, 2 â&#x2C6;&#x2019; 3) = (â&#x2C6;&#x2019;1, â&#x2C6;&#x2019;1), temos P = (x, y) â&#x2C6;&#x2C6; r â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; (x, y) = (2, 3) + t(â&#x2C6;&#x2019;1, â&#x2C6;&#x2019;1), â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; (x, y) = (2 â&#x2C6;&#x2019; t, 3 â&#x2C6;&#x2019; t),

tâ&#x2C6;&#x2C6;R

t â&#x2C6;&#x2C6; R.

Portanto, as equa¸coË&#x153;es param´ etricas da reta r sË&#x153;ao:

x= 2â&#x2C6;&#x2019;t r: ; t â&#x2C6;&#x2C6; R. y =3â&#x2C6;&#x2019;t Exemplo 3.2 Sejam A = (â&#x2C6;&#x2019;1, 0), B = (0, 1), C = (1, 2) e D = (â&#x2C6;&#x2019; 12 , 12 ). VeriďŹ quemos que os pontos A, B, C e D sË&#x153;ao colineares e determinemos as equa¸coË&#x153;es param´etricas da reta r que os cont´em em termos de A e B e em termos de C e D. Solu¸caË&#x153;o: Para veriďŹ carmos que os pontos dados sË&#x153;ao colineares, devemos deâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; terminar n´ umeros c e d, tais que AC = c ¡ AB e AD = d ¡ AB .

Em coordenadas, temos: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; AC = c ¡ AB â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; e

â&#x17D;§ â&#x17D;¨1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1) = c(0 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1)) â&#x17D;Š2 â&#x2C6;&#x2019; 0 = c(1 â&#x2C6;&#x2019; 0)

â&#x17D;§ â&#x17D;¨â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1) = d(0 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1)) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; 2 AD = d ¡ AB â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x17D;Š 1 â&#x2C6;&#x2019; 0 = d(1 â&#x2C6;&#x2019; 0)

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; c = 2 ,

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; d = 12 .

2

Portanto, a reta r que passa por A e B tamb´em passa por C e D. A equa¸caË&#x153;o vetorial param´etrica de r em termos de A e B ´e: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; AP = t ¡ AB , t â&#x2C6;&#x2C6; R , onde P = (x, y) â&#x2C6;&#x2C6; r e t ´e o seu parË&#x2020;ametro. Em coordenadas, temos: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1), y â&#x2C6;&#x2019; 0) = AP = t ¡ AB = (t(0 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1)), t(1 â&#x2C6;&#x2019; 0)) , Isto ´e, as equa¸coË&#x153;es param´etricas da reta r , em termos de A e B, sË&#x153;ao: â&#x17D;§ â&#x17D;¨x = t â&#x2C6;&#x2019; 1 , t â&#x2C6;&#x2C6; R. (3.3) r: â&#x17D;Šy = t Como C = (1, 2) â&#x2C6;&#x2C6; r e D = (â&#x2C6;&#x2019; 12 , 12 ) â&#x2C6;&#x2C6; r, a equa¸caË&#x153;o de r ´e, tamb´em:

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A Reta e a Dependˆencia Linear

−−→ −−→ CP = s CD ,

s ∈ R,

onde P = (x, y) ∈ r e s ´e o parˆametro de P na reta.

Importante!

Atrav´ es do Exemplo 12 vemos que as equa¸co ˜es param´ etricas e os vetores dire¸ca ˜o de uma reta n˜ ao s˜ ao determinados de maneira u ´nica, e que o parˆ ametro de um ponto P ∈ r depende da equa¸ca ˜o param´ etrica considerada.

Em coordenadas, temos:

(x − 1, y − 2) = s − 12 − 1 , s 12 − 2 .

Isto ´e, as equa¸co˜es param´etricas de r , em termos de C e D, s˜ao: ⎧ ⎨x = − 3 s + 1 2 r: , s ∈ R. (3.4) ⎩y = − 3 s + 2 2

´ MODULO 1 - AULA 3

−−→ Figura 3.2: Reta r e vetores AB e −−→ CD na origem.

Observe que o ponto P = (1, 2) pertence a` reta r. Em rela¸ca˜o a`s equac¸o˜es param´etricas (3.3), o parˆametro do ponto P ´e t = 2. No entanto, com respeito a`s equa¸co˜es (3.4), o parˆametro do ponto P ´e s = 0.

Defini¸c˜ao 3.6 − → vetores do plano. Se → − →, para algum λ ∈ R, dizemos Sejam → v e− w v = λ− w − →. que → v ´e m´ ultiplo de − w Observa¸ca˜o.

→ − • O vetor nulo 0 ´e m´ ultiplo de qualquer outro vetor. No entanto, nenhum → − vetor n˜ ao-nulo ´e m´ ultiplo do vetor 0 . → − − − De fato, se → v ´e um vetor qualquer do plano, temos 0 = 0 · → v . → − → − → − Como λ · 0 = 0 , nenhum vetor n˜ao-nulo pode ser m´ ultiplo de 0 . − → s˜ − → se, e somente • Se → v e− w ao vetores n˜ ao-nulos, ent˜ao → v ´e m´ ultiplo de − w → ´e m´ − se, − w ultiplo de → v . − →, ent˜ao λ = 0 e − → = 1→ − Com efeito, se → v = λ− w w v . λ −−→ − • Sejam A,B e C pontos distintos do plano. Ent˜ ao → v = AB ´e m´ ultiplo de −−→ − → w = AC se, e somente se, A, B e C s˜ ao colineares. −−→ −−→ Note que AB ´e m´ ultiplo de AC se, e somente se, existe um escalar −−→ −−→ λ = 0, tal que AB = λAC , isto ´e, o ponto B satisfaz a equa¸ca˜o vetorial param´etrica da reta que passa por A e C (λ ´e o parˆametro do ponto B).

Exemplo 3.3 − − → = (2, −1). Mostremos Consideremos os vetores → u = (1, 0), → v = (1, 1) e − w − − − →. que → u n˜ao ´e m´ ultiplo de → v , mas sim de → v +− w − − − − Solu¸ca˜o: De fato, se → u fosse m´ ultiplo de → v ter´ıamos → u = λ→ v , para algum escalar λ, isto ´e, (1, 0) = λ(1, 1) = (λ, λ).

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CEDERJ

A Reta e a Dependˆencia Linear

Logo, ter´ıamos λ = 1 e λ = 0, o que ´e uma contradi¸ca˜o. − − Portanto, → u n˜ao pode ser m´ ultiplo de → v . → − − → Seja − u→ 1 = v + w = (1, 1) + (2, −1) = (3, 0). − → − e m´ Como → u = (1, 0) = 13 (3, 0) = 13 − ultiplo de − u→ u→ 1 , temos que u ´ 1 .

Defini¸c˜ao 3.7 − − Dizemos que um vetor n˜ao-nulo → v ´e paralelo a` reta r, e escrevemos → v r, −−→ − se, quaisquer que sejam A, B ∈ r, o vetor AB ´e m´ ultiplo de → v .

Mudan¸ ca de parˆ ametro. → → s˜ Se − v e− w ao vetores → = λ− → n˜ ao-nulos e − w v , ent˜ ao: −−→ − → AP = t w , e −−→ → AP = s − v , s˜ ao equa¸co ˜es da mesma reta.

Na primeira, t ´ e o parˆ ametro do ponto P e, na segunda, s = tλ ´ e o parˆ ametro do mesmo ponto.

A segunda equa¸ca ˜o ´ e dita uma reparametriza¸ca ˜o da primeira, sendo s = tλ a mudan¸ca de parˆ ametro.

Andando nas retas.

As equa¸co ˜es param´ etricas (3.5) descrevem a reta r como uma trajet´ oria retil´ınea percorrida com → velocidade − v , partindo do ponto A. O parˆ ametro t de um ponto P mede o tempo necess´ ario para chegar at´e esse ponto. Observe que a mesma reta pode ser percorrida de distintas maneiras.

Observa¸ca˜o. − − O vetor → v ´e paralelo a` reta r se, e s´ o se, → v determina a dire¸ca˜o de r. −−→ −−→ De fato, basta observar que se r tem equa¸ca˜o AP = tAB , onde t ´e −−→ −−→ − − o parˆametro de P e AB = λ→ v , ent˜ao AP = s→ v ´e tamb´em equa¸ca˜o de r, onde s = tλ ´e o parˆametro de P . − Seja r a reta que cont´em A = (a , a ) e ´e paralela a → v = (a, b) .

1

2

Fazendo uso da Proposi¸ca˜o 1.2, da Aula 1, existe um u ´nico ponto B ∈ r, −−→ → − tal que AB = v . −−→ −−→ − Logo, P = (x, y) ∈ r se, e somente se, AP = t · AB = t · → v , t ∈ R. Em coordenadas, esta equa¸ca˜o equivale a (x − a1 , y − a2 ) = (t · a, t · b) , t ∈ R, ou seja, as equa¸co˜es param´etricas da reta r s˜ao dadas por: ⎧ ⎨x = a + t a 1 , t∈R r: ⎩y = a2 + t b

(3.5)

Observa¸ca˜o.

A partir das equa¸co˜es param´etricas (3.5) de uma reta r identificamos as − coordenadas de um ponto A ∈ r e de um vetor dire¸ca˜o → v .

Para isto, olhamos o lado direito das equa¸co˜es: o coeficiente de t na − express˜ao de x ´e a primeira coordenada de → v , o coeficiente de t na express˜ao → − de y ´e a segunda coordenada de v , a primeira coordenada de A ´e o termo a1 na express˜ao de x que independe de t e, a segunda coordenada de A ´e o termo a2 na express˜ao de y que independe de t.

Exemplo 3.4 Determinar as equa¸co˜es param´etricas da reta r que cont´em o ponto A = (1, 0) − e ´e paralela ao vetor → v = (−1, 1) .

CEDERJ

36

A Reta e a Dependˆencia Linear

´ MODULO 1 - AULA 3

Solu¸ca˜o: Basta substituir as coordenadas a1 = 1, a2 = 0 de A e a = −1, b = 1 de → − v , na equa¸ca˜o (3.5): ⎧ ⎨x = 1 + t · (−1) , t ∈ R, r: ⎩y = 0 + t · 1 isto ´e, r:

⎧ ⎨x = 1 − t ⎩y = t

Na figura 3.3, vemos a reta r do Exemplo 3.4 e seu vetor → dire¸ca ˜o − v representado por um segmento na origem.

, t ∈ R. Figura 3.3: Exemplo 3.4.

Observa¸ca˜o.

A equa¸ca˜o da reta r que cont´em o ponto − A e ´e paralela ao vetor → v ´e: −−→ − AP = t→ v ,

t ∈ R,

−−→ −−→ −−→ como AP = OP − OA , esta equa¸ca˜o escreve-se na forma: −−→ −−→ − OP − OA = t→ v ,

t ∈ R,

isto ´e, a equa¸ca˜o da reta r ´e dada por (veja a Figura 2.11): −−→ −−→ − OP = OA + t→ v ,

t∈R

−−→ −−→ − Figura 3.4: OP = OA + t→ v .

(3.6)

−−→ Como as coordenadas do vetor OP s˜ao as coordenadas do ponto P e as coor−−→ denadas do vetor OA s˜ao as coordenadas do ponto A, a equa¸ca˜o vetorial (3.6) corresponde a`s equa¸co˜es param´etricas (3.5).

A equa¸c˜ ao cartesiana e as equa¸c˜ oes param´ etricas de uma reta.

No M´odulo 2 do Pr´e-C´alculo, vocˆe estudou a reta a partir de sua equa¸ca˜o cartesiana: αx+βy +γ = 0 (3.7) Vejamos, agora, como determinar as equa¸co˜es param´etricas da reta a partir de sua equa¸ca˜o cartesiana e vice-versa.

Equa¸ c˜ ao cartesiana da reta.

Seja αx + βy + γ = 0 a equa¸ca ˜o cartesiana de uma reta r no plano.

• Se β = 0, r ´ e a reta γ vertical x = − α .

• Se β = 0, r ´ e a reta de inclina¸ca ˜o (ou coeficiente angular) − α , passando pelo β γ ponto (0, − β ).

37

CEDERJ

A Reta e a Dependˆencia Linear

Seja r a reta com equa¸ca˜o cartesiana (3.7). Para obtermos as coordenadas de um ponto da reta r, atribu´ımos um valor a` vari´avel x e calculamos o valor da vari´avel y usando a equa¸ca˜o (3.7), ou atribu´ımos um valor a y e calculamos x a partir da equa¸ca˜o (3.7).

Se a reta r n˜ao ´e vertical (β = 0), tomamos dois valores distintos x1 e x2 para x e usamos a equa¸ca˜o (3.7), para calcular os valores correspondentes y1 e y2 de y. Com isto, determinamos pontos A = (x1 , y1 ) e B = (x2 , y2) pertencentes `a reta r. Conhecendo dois pontos de r, podemos escrever as suas equa¸co˜es param´etricas como fizemos anteriormente.

Se r ´e uma reta vertical (β = 0 e α = 0), a sua equa¸ca˜o ´e αx + γ = 0, isto ´e, x = − αγ . Logo, se y1 e y2 s˜ao quaisquer dois n´ umeros reais distintos, γ γ A = (− α , y1 ) e B = (− α , y2 ) pertencem `a reta r.

Exemplo 3.5 Determinemos equa¸co˜es param´etricas da reta r dada pela equa¸ca˜o cartesiana: r : 2x − 3y + 12 = 0 .

(3.8)

Solu¸ca˜o: Seja x = 0 na equa¸ca˜o (3.8), temos −3y + 12 = 0, ou seja, y = 4.

Logo, A = (0, 4) ∈ r.

Similarmente, seja y = 0 na equa¸ca˜o (3.8), temos 2x + 12 = 0, ou seja, x = −6 e, portanto, B = (−6, 0) ∈ r.

Substituindo as coordenadas de A e B nas equa¸co˜es param´etricas (3.2), obtemos⎧as equa¸co˜es param´etricas de r: ⎧ ⎨x = 0 + t(−6 − 0) ⎨x = −6t , t ∈ R , isto ´e, r : r: , t ∈ R. ⎩y = 4 + t(0 − 4) ⎩y = 4 − 4t Tomando pontos A e B distintos aos considerados acima, vocˆe pode obter outras equa¸co˜es param´etricas da mesma reta r.

Reciprocamente, suponhamos conhecidas as equa¸co˜es param´etricas da reta r: ⎧ ⎨x = x + at 0 r: , t ∈ R. (3.9) ⎩y = y0 + bt Note que, se a = 0, a reta r ´e vertical e a sua equa¸ca˜o cartesiana ´e x = x0 .

Se a = 0, a reta r n˜ao ´e vertical e, neste caso, obtemos a equa¸ca˜o cartesiana de r colocando em evidˆencia o parˆametro t nas equa¸co˜es (3.9): t = a1 (x − x0 ) e t = 1b (y − y0 ) , e, igualando estas express˜oes, obtemos a1 (x − x0 ) = 1b (y − y0 ) , ou seja: bx − ay − bx0 + ay0 = 0 , CEDERJ

38

A Reta e a Dependˆencia Linear

´ MODULO 1 - AULA 3

que corresponde a` equa¸ca˜o (3.7), com α = b, β = −a e γ = −bx0 + ay0 .

Exemplo 3.6 Determinemos a equa¸ca˜o cartesiana da reta r cujas equa¸co˜es param´etricas s˜ao: ⎧ ⎨x = −6t , t ∈ R. r: ⎩y = 4 − 4t Solu¸ca˜o: Colocando em evidˆencia o parˆametro t destas equa¸co˜es: x 4−y t=− e t= , 6 4 e, igualando estas express˜oes, − x6 = 4−y , obtemos que a equa¸ca˜o cartesiana 4 de r ´e 2x − 3y + 12 = 0 .

Posi¸ c˜ ao relativa de duas retas no plano.

Sabemos que duas retas r1 e r2 no plano podem ser paralelas, coincidentes ou concorrentes. Isto ´e, r1 ∩ r2 = ∅ , r1 = r2 ou r1 ∩ r2 consiste de um u ´ nico ponto. Conhecendo as equa¸co˜es cartesiana, vetorial ou param´etricas de duas retas no plano, vejamos como analisar a sua posi¸ca˜o relativa.

Defini¸c˜ao 3.8 − → do plano s˜ao linearmente dependentes (ou Dizemos que dois vetores → v e− w − → ou − → ´e m´ − abreviadamente, LD), se → v ´e m´ ultiplo de − w w ultiplo de → v . − → n˜ao s˜ao LD, isto ´e, → − → nem − → ´e m´ Se → v e− w v n˜ao ´e m´ ultiplo de − w w ultiplo de → − − → s˜ao linearmente independentes (LI) . v , dizemos que → v e− w Exemplo 3.7 → − − − a. Como o vetor nulo ´e m´ ultiplo de qualquer vetor → v , os vetores → v e 0 s˜ao LD. − b. Se → v = (2, 3), − w→ = (1, 3 ), − w→ = (4, 6) e − w→ = (1, 1), ent˜ao: 1

2

2

Conven¸ca ˜o.

Em todo o seguinte, usaremos a abrevia¸ca ˜o LI para significar linearmente independente(s) e a abrevia¸ca ˜o LD para significar linearmente dependente(s).

3

− − •→ v e− w→ ao LD, pois → v = 2− w→ 1 s˜ 1 . − −→ s˜ao LD, pois → − •→ v ew v = 12 − w→ 2 2 . − •→ v e− w→ ao LI. De fato. Suponha, por absurdo, que os vetores s˜ao LD. 3 s˜ − Ent˜ao existe λ ∈ R, tal que → v = λw3 , isto ´e, (2, 3) = (λ, λ). Igualando as − coordenadas, temos λ = 2 e λ = 3, o qual n˜ao ´e poss´ıvel. Portanto, → v e− w→ 3

s˜ao LI .

Vejamos agora uma importante caracteriza¸ca˜o da dependˆencia linear.

Proposi¸c˜ao 3.6 − → = (a , b ) s˜ao LD se, e somente se, Dois vetores → v = (a, b) e − w 39

CEDERJ

A Reta e a Dependˆencia Linear

a b det a b Determinantes de matrizes.

Uma matriz 2x2 ´ e um arranjo de quatro n´ umeros reais dispostos ordenadamente na forma: ! a b . c d A cada matriz associamos um n´ umero real chamado o seu determinante, que designamos por ! a b det , c d ou ˛ ˛ ˛a b ˛ ˛ ˛ ˛, ˛ ˛ c d˛ e definimos da seguinte ˛ ˛maneira: ! ˛a b ˛ a b ˛ ˛ det =˛ ˛ ˛ c d˛ c d = ad − bc.

= ab − a b = 0 .

− → s˜ao LI se, e somente se, det a b Equivalentemente, → v e− w a b

= 0 .

− → = → − → s˜ao LD, pois − → = 0·→ − Demonstra¸ c˜ ao. Se − w 0 , ent˜ao → v e − w w v e,

tamb´em, ab − a b = 0, pois a = b = 0. − → = → − → s˜ao LD, isto ´e, w 0 e que → v e − w Suponhamos agora que − → − →, para algum λ ∈ R. v = λ− w

Ent˜ao a = λa , b = λb e: a b det = ab − a b = λa b − a λb = 0 . a b → = 0 e ab − a b = 0. Devemos Reciprocamente, suponhamos que − w − →, isto ´e, determinar λ ∈ R, λ = 0, tal que → v = (a, b) = λ(a , b ) = λ− w a = λa e b = λb . − → = → Se a = 0, ent˜ao ab − a b = ab = 0. Como − w 0 , temos b = 0.

Logo, a = 0 e λ = bb .

Se a = 0, da igualdade ab − a b = 0 , temos − →, com λ = a . (a, b) = aa (a , b ) , isto ´e, → v = λ− w a

ab a

= b e, portanto,

A partir do conceito de dependˆencia linear, vamos analisar a posi¸ca˜o relativa de duas retas no plano mediante exemplos concretos que ilustram as t´ecnicas gerais.

Paralelismo.

Duas retas no plano que possuem vetores dire¸c˜ ao LD s˜ ao paralelas se n˜ ao tˆ em pontos em comum e s˜ ao coincidentes se possuem um ponto em comum.

Retas com vetores dire¸ca ˜o LI s˜ ao, necessariamente, concorrentes.

Exemplo 3.8 Determinemos a posi¸ca˜o relativa das retas r1 e r2 no plano, onde: ⎧ ⎧ ⎨x = 3 − 2t ⎨x = −1 − s ,t∈R e r2 : , s ∈ R. r1 : ⎩y = 1 + 3t ⎩y = 1 + s Solu¸ca˜o: A reta r1 reta passa pelo ponto A1 = (3, 1) e ´e paralela ao vetor − em o ponto A2 = (−1, 1) e ´e paralela ao v→ 1 = (−2, 3). Similarmente, r2 cont´ − → vetor v2 = (−1, 1).

−2 3 Como det = (−2) · 1 − 3 · (−1) = −2 + 3 = 1 = 0, os vetores − v→ 1 e −1 1 − ao LI. Logo, r1 e r2 s˜ao concorrentes. Podemos, portanto, determinar o v→ 2 s˜ ponto P do plano, tal que r1 ∩ r2 = {P }.

Igualando as coordenadas respectivas nas equa¸co˜es de r1 e r2 , obtemos: −2t + s = −4 3 − 2t = −1 − s , isto ´e, 3t − s = 0 .

1 + 3t = 1 + s

CEDERJ

40

A Reta e a Dependˆencia Linear

´ MODULO 1 - AULA 3

Resolvendo este sistema, encontramos t = −4 e s = −12. Substituindo o valor de t nas equa¸co˜es de r1 , ou o valor de s nas equa¸co˜es de r2 , obtemos x = 11 e y = −11. Portanto, as retas se intersectam no ponto P = (11, −11).

Exemplo 3.9 Determinemos a posi¸ca˜o relativa das retas r1 e r2 no plano, onde: ⎧ ⎨x = −1 − t , t ∈ R. e r2 : r1 : x − 3y = 1 ⎩y = 1 + t Solu¸ca˜o: A reta r1 passa pelos pontos A = (0, − 13 ) e B = (1, 0) e ´e paralela −−→ 1 1 ao vetor − v→ e paralela ao vetor 1 = AB = (1 − 0, 0 − (− 3 )) = (1, 3 ). A reta r2 ´ − → v2 = (−1, 1).

1 13 det = 1 · 1 − 13 · (−1) = 1 + 13 = 43 = 0 , −1 1 − → ao LI. Logo, r e r s˜ao concorrentes. os vetores − v→ 1 e v2 s˜ 1 2 Como:

Seja P o ponto de interse¸ca˜o das retas r1 e r2 .

Ent˜ao P = (x, y) = (−1 − t, 1 + t), para algum t ∈ R, e: 1 = x − 3y = −1 − t − 3 − 3t .

Logo, t = − 54 .

Substituindo o valor obtido para t nas equa¸co˜es de r2 , temos: x =

1 4

e y = − 14 .

Portanto, r1 ∩ r2 = {P }, onde P = ( 14 , − 14 ).

Exemplo 3.10 Determinemos a posi¸ca˜o relativa das retas r1 e r2 no plano, onde: ⎧ ⎧ ⎨x = 5 − √5t ⎨x = 2s ,t∈R e r2 : , s ∈ R. r1 : √ √ ⎩y = 1 + 1 t ⎩y = 1+ 5 − 5 s 2 2 2 5 √ 1 − → Solu¸ca˜o: A reta r1 ´e paralela ao vetor v1 = (− 5, 2 ) e a reta r2 ´e paralela √ 5 ao vetor − v→ 2 = (2, − 5 ).

√ 1 √ √ − 5 5 2√ = − Como det 5 · (− ) − 12 · 2 = 1 − 1 = 0, os vetores − v→ 1 5 2 − 55 e− v→ ao LD. Logo, as retas r1 e r2 s˜ao paralelas ou coincidentes.

2 s˜ Seja t = 0 nas equa¸co˜es de r1 , vemos que P = (5, 12 ) ∈ r1 .

Vamos verificar se P ∈ r2 . Caso afirmativo, as retas r1 e r2 n˜ao ser˜ao paralelas e sim coincidentes. √

√

Procuremos s ∈ R, tal que 5 = 2s e 12 = 1+2 5 − 55 s. Da primeira identidade temos s = 52 . Substitu´ımos este valor na segunda identidade para verificar se 41

CEDERJ

A Reta e a Dependˆencia Linear

h´a compatibilidade:

√ 1+ 5 2

−

√ 5 5

·

5 2

=

1 2

+

√

5 2

−

√

5 2

= 12 .

´e o parˆametro do ponto P = (5, 12 ) ∈ r2 . − → Assim, r1 e r2 tˆem dire¸co˜es, − v→ 1 e v2 , paralelas e um ponto em comum sendo, portanto, coincidentes (r1 = r2 ).

Logo, s =

5 2

Finalizamos esta aula com outra importante aplica¸ca˜o da no¸ca˜o de dependˆencia linear.

Proposi¸c˜ao 3.7 − → vetores LI. Se → − Sejam → v e− w u ´e um vetor arbitr´ario do plano, ent˜ao existem n´ umeros reais u ´ nicos λ e μ, tais que: → − − →. u = λ→ v + μ− w

(3.10)

− → = (a , b ) e → − Demonstra¸ c˜ ao. Sejam → v = (a, b), − w u = (c1 , c2 ). Procuramos λ, μ ∈ R, tais que: ⎧ ⎨a λ + a μ = c 1 (c1 , c2 ) = λ(a, b) + μ(a , b ) , isto ´e, ⎩b λ + b μ = c2 Resolvendo este sistema para λ e μ, obtemos os n´ umeros procurados: c b − c a

− − Figura 3.5: → u = λ→ v + − → μw .

c a−c b

2 1 , e μ= 2 . λ= 1 a b − b a a b − b a

a b − → s˜ao LI. Note que det = a b − b a = 0 , pois → v e− w a b − Nas condi¸co˜es da Proposi¸ca˜o 3.7, dizemos que → u ´e combina¸ca˜o linear → − − → dos vetores v e w . Mostramos ent˜ao, que todo vetor do plano se escreve, de maneira u ´ nica, como combina¸ca˜o linear de dois vetores LI. Ou seja, dois vetores LI geram todo o plano. Por essa raz˜ao, dizemos, tamb´em, que o plano ´e um conjunto geom´etrico de dimens˜ ao 2.

Exemplo 3.11 − → = (−1, 2) s˜ao LI. Vejamos, Verifiquemos que os vetores → v = (1, 1) e − w − − tamb´em, como escrever o vetor → u = (3, −1) como combina¸ca˜o linear de → v − → ew.

1 1 − → Solu¸ca˜o: Como det = 1 · 2 − 1 · (−1) = 3 = 0, os vetores → v e− w −1 2 s˜ao LI. − − →. Em coordenadas, esta Devemos achar λ, μ ∈ R, tais que → u = λ→ v + μ− w equa¸ca˜o equivale ao seguinte ⎧ sistema nas vari´aveis λ e μ: ⎨1 · λ − 1 · μ = 3 , ⎩1 · λ + 2 · μ = −1 CEDERJ

42

A Reta e a Dependˆencia Linear

cujas solu¸co˜es s˜ao λ =

3·2−(−1)·(−1) 1·2−(−1)·1

=

5 3

e μ=

1·(−1)−3·1 1·2−(−1)·1

´ MODULO 1 - AULA 3

= − 43 .

Exemplo 3.12 Seja P um paralelogramo ABDC cujas diagonais est˜ao sobre as retas: ⎧ ⎧ ⎨x = t + 1 ⎨x = −2s + 1 , t∈R e r2 : , s ∈ R. r1 : ⎩y = −t + 1 ⎩y = s + 2 Se A = (1, 1) e AB ⊂ r, onde r ´e uma reta paralela ao vetor v = (2, 1), determine os v´ertices B, C e D. Solu¸ca˜o: Tomando t = 0 nas equa¸co˜es param´etricas de r1 , vemos que A ∈ r1 . Assim, r1 ´e a reta que cont´em a diagonal AD. O ponto m´edio M das diagonais AD e BC ´e o ponto de interse¸ca˜o das retas r1 e r2 . Para determinarmos o ponto M, procuramos os valores de s e t de modo que: M = (t + 1, −t + 1) = (−2s + 1, s + 2) , Figura 3.6: Paralelogramo P. ⎧ ⎨t + 1 = −2s + 1 . Somando as equa¸co˜es, obtemos 2 = −s + 3. ou seja, ⎩−t + 1 = s + 2 Logo, s = 1 e M = (−1, 3). −−−→ −−−→ Seja D = (d1 , d2 ). Como MD = AM , temos (d1 − (−1), d2 − 3) = ((−1) − 1, 3 − 1), ou seja, (d1 + 1, d2 − 3) = (−2, 2).

Portanto, d1 = −3, d2 = 5 e D = (−3, 5).

⎧ ⎨b = 1 + 2λ 1 , para Seja B = (b1 , b2 ). Como AB ⊂ r e r (2, 1), temos: ⎩b2 = 1 + λ algum λ ∈ R. ⎧ ⎨b = −2s + 1 1 , para algum s ∈ R .

Al´em disso, como B ∈ r2 , temos ⎩b2 = s + 2 ⎧ ⎨1 + 2λ = −2s + 1 . Resolvendo este sistema, obtemos λ = 12 .

Logo, ⎩1 + λ = s + 2 Portanto B = (1 + 2 · 12 , 1 + 12 ) = (2, 32 ).

Finalmente, seja C = (c1 , c2 ).

43

CEDERJ

A Reta e a Dependˆencia Linear

−−→ −−→ Sabendo que AB = CD , temos (2 − 1, 32 − 1) = (−3 − c1 , 5 − c2 ).

Portanto, C = (−4, 92 ).

Resumo Nesta aula vimos como determinar a equa¸ca˜o param´etrica de uma reta no plano; abordamos as quest˜oes de paralelismo entre retas e vetores; vimos como passar da equa¸ca˜o cartesiana de uma reta para as suas equa¸co˜es param´etricas e vice-versa. Estabelecemos a no¸ca˜o de dependˆencia linear entre vetores do plano e aplicamos esses conceitos para determinar a posi¸ca˜o relativa de duas retas no plano.

Exerc´ıcios 1. Determine as equa¸co˜es param´etricas e um vetor dire¸ca˜o da reta r que passa pelos pontos A e B, onde: a. A = (−1, −1) , B = (2, − 12 ) . c. A = (−4, 1) , B = (2, 0) .

b. A = (2, − 34 ) , B = ( 94 , 1) . d. A = (1, −1) , B = (−3, 1) .

2. Determine as equa¸co˜es param´etricas da reta r que passa pelo ponto P0 − e ´e paralela ao vetor → v , onde: − − v = (−1, − 12 ) . b. P0 = (−2, −1) , → v = (2, 94 ) . a. P0 = (1, 1) , → − − c. P0 = (−1, 12 ) , → v = (1, 0) . d. P0 = (1, −1) , → v = (3, 1) .

3. Sejam A , B e O pontos do plano. a. Mostre que um ponto P pertence ao segmento AB se, e somente se, existe t ∈ [0, 1], tal que: −−→ −−→ −−→ OP = (1 − t)OA + tOB .

(3.11)

Observa¸ c˜ ao: Verifique que a equa¸ca˜o (3.11) n˜ao depende do ponto O. Portanto, o n´ umero t ´e determinado a partir de A, B e P . b. Em particular, mostre que o ponto m´edio do segmento AB ´e obtido fazendo t = 12 na equa¸ca˜o (3.11). c. Mostre que a equa¸ca˜o (3.11) ´e uma equa¸ca˜o vetorial param´etrica da reta r que passa pelos pontos A e B, quando consideramos o parˆametro t percorrendo todo o R. 4. Determine a equa¸ca˜o cartesiana da reta r, onde: CEDERJ

44

A Reta e a Dependˆencia Linear

´ MODULO 1 - AULA 3

⎧ ⎨x = 3 ,t∈R b. r : ⎩y = 2 − t ⎧ ⎨x = −4t , t ∈ R. d. r : ⎩y = 3t

⎧ ⎨x = 2 − t 2 ,t∈R a. r : ⎩y = −t ⎧ ⎨x = 1 + t ,t∈R c. r : ⎩y = 1 − t

5. Determine as equa¸co˜es param´etricas e um vetor paralelo a` reta r, onde: a. r : 2x + y − 1 = 0 , c. r : 3x + y = 1

b. r : x − 5 = 0 , d. r : x − y = 3 .

− 6. Verifique se → v r, onde: − a. → v = (−1, 2) , r : 2x − 4y + 1 = 0 , ⎧ ⎨x = 2 − 2t − ,t∈R b. → v = (1, − 12 ) , r : ⎩y = 1 + t 2

⎧ ⎨x = − 1 + t → − 5 1 4 c. v = (− 5 , 3 ) , r : ⎩y = 4 − t

,t∈R

3

−→ − → = (3, 5) , r = {P | − →, t ∈ R} . d. → v = ( 35 , 1) , − w OP = t− w 7. Determine se as retas r1 e r2 s˜ao paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no u ´ltimo caso, o ponto de interse¸ca˜o: ⎧ ⎨x = −1 + t ,t∈R a. r1 : 2x + y − 1 = 0 , r2 : ⎩y = −t ⎧ ⎨x = 3 + 3t b. r1 : , t ∈ R, r2 : x − 6y = 3 , ⎩y = 1 − 1 t ⎧ ⎨x = −t

2

, t ∈ R, ⎩y = 2 + 3 t 2 ⎧ ⎨x = −t d. r1 : , t ∈ R, ⎩y = 2 + 3 t c. r1 :

2

⎧ ⎨x = 4 + 4s

,s∈R ⎩y = 2 − 6s ⎧ ⎨x = 4s , s ∈ R. r2 : ⎩y = 6s

r2 :

− → s˜ao LI ou 8. Determine se os vetores → v e− w − → = (−7, − 28 ) , a. → v = (3, 4) , − w b.

3 → − − → 1 4 8 c. v = (− 5 , 3 ) , w = (2, 15 ) , d.

LD, onde: − → − →=→ v = (1, 0) , − w 0 , → − − → 1 1 v = ( , ) , w = (1, 2) .

3 6

9. Sejam A = (3, 2) , B = (−1, 1) , C = (0, −2) pontos do plano.

45

CEDERJ

A Reta e a Dependˆencia Linear

a. Determine as equa¸co˜es param´etricas e as equa¸co˜es param´etricas das retas que contˆem as medianas do triˆangulo ABC. b. Determine o baricentro do triˆangulo ABC, achando o ponto de interse¸ca˜o das trˆes retas do item anterior. − → s˜ao LI, e escreva → − 10. Verifique que os vetores → v e− w u como combina¸ca˜o linear desses vetores, onde: − → = (1, 2) , → − a. → v = (1, 1) , − w u = (5, 6) , −→ − − →=− b. → v = (2, 3) , − w 5, 4 , → u = (1, 45 ) . −→ − → = − 11. Sejam → v = (1, 2) e − w AB vetores do plano, onde B = (3, 4). − → Determine o ponto A pertencente ao eixo X, de modo que → v e − w sejam LD. 12. Dois lados de um paralelogramo est˜a⎧ o sobre as retas ⎨x = t r1 : 8x + 3y = −1 , e r2 : ⎩y = −2t + 1

t ∈ R,

e uma de suas diagonais pertence `a reta r : 3x + 2y = −3 .

Ache as coordenadas de seus v´ertices.

13. Dadas as retas r1 : 2x − y = 0 e r2 : 2x + y = 4 e o ponto P = (3, 0), determine a reta que passa por P , intersecta r1 em A e r2 em B de tal modo que P seja o ponto m´edio do segmento AB. (Sugest˜ ao: Escreva as equa¸co˜es param´etricas de r 1 e r2 ).

14. Seja P o paralelogramo ABDC que tem a diagonal AD sobre a reta r1 : x − y = 1, o lado AB sobre a reta r2 : 2x − y = 2 e o lado BD paralelo ao vetor v = (2, 1). Determine os v´ertices A, B, C e D √ supondo que |AD| = 8 e D tem abscissa positiva.

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe resolveu os exerc´ıcios 1 a 3, ent˜ao assimilou bem as t´ecnicas estabelecidas para determinar as equa¸co˜es param´etricas de uma reta no plano.

Os exerc´ıcios 4 e 5 avaliam se os m´etodos para obter as equa¸co˜es param´etricas a partir da equa¸ca˜o cartesiana, e vice-versa, foram bem entendidos. Fazendo os exerc´ıcios 6 e 7, vocˆe ver´a se existe alguma dificuldade em entender o paralelismo em termos de vetores, e se a no¸ca˜o de dependˆencia linear aplicada ao problema de determinar a posi¸ca˜o relativa de duas retas no plano CEDERJ

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A Reta e a Dependˆencia Linear

´ MODULO 1 - AULA 3

foi compreendida. Fa¸ca os exerc´ıcios 8, 9 e 10 para avaliar se entendeu bem os conceitos de dependˆencia linear e combina¸ca˜o linear. Os exerc´ıcios de 11 a 14 avaliam os seus conhecimentos gerais sobre estas trˆes primeiras aulas.

Reveja o Exemplo 19 antes de resolver os exerc´ıcios 12, 13 e 14.

Se vocˆe entendeu bem os conceitos apresentados na aula, n˜ao precisa resolver todos os itens dos exerc´ıcios propostos, mas resolva pelo menos dois, para fixar os conceitos. Se tiver dificuldade reveja o conte´ udo da aula, discuta com seus colegas ou consulte os tutores para n˜ao acumular d´ uvidas.

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Produto Interno

´ MODULO 1 - AULA 4

Aula 4 – Produto Interno Objetivos • Definir as no¸co˜es de aˆngulo entre dois vetores, a norma de um vetor e a opera¸ca˜o de produto interno.

• Compreender as propriedades b´asicas da norma e do produto interno, assim como a rela¸ca˜o entre o produto interno e o conceito de aˆngulo.

• Aplicar os conceitos de aˆngulo, da norma e do produto interno em diversas situa¸co˜es geom´etricas e relacionar a equa¸ca˜o da reta com a no¸ca˜o de produto interno.

Nesta aula definiremos outra opera¸ca˜o entre vetores, o produto interno.

Para isso, introduzimos a no¸ca˜o de aˆngulo entre dois vetores.

Conven¸ c˜ ao.

Sejam O , P e Q pontos do plano e consideremos o aˆngulo P OQ. Convencionamos atribuir o sinal positivo a` medida de P OQ quando esta for tomada no sentido anti-hor´ ario e o sinal negativo quando tomada no sentido hor´ ario. No aˆngulo P OQ

(veja a Figura 4.1) medimos, partindo da Figura 4.1: P OQ medido de P O para QO. semi-reta que cont´em OP para a semi-reta que cont´em OQ. Se tomamos o sentido anti-hor´ario obtemos para P OQ medida positiva. Se tomarmos o sentido hor´ario, a medida ´e negativa. Se a primeira medida for igual a θ o ent˜ao a segunda ´e −(360o − θo ).

Observe que podemos medir o aˆngulo P OQ partindo da semi-reta que cont´em OQ para

Figura 4.2: P OQ medido de QO a semi-reta que cont´em OP (veja a Figura para P O. 4.2). Desta forma, no sentido anti-hor´ario a medida do ˆangulo ´e −θ o e no sentido hor´ario ´e (360o − θo ).

Sendo que cos θ o convencionamos em exemplo, ao aˆngulo medida θ.

Sobre a medida dos ˆ angulos.

Lembre que um ˆ angulo pode ser medido tanto em graus quanto em radianos. A medida de um ˆ angulo em radianos, seguindo o sentido anti-hor´ ario, ´ e igual ao comprimento do arco do c´ırculo de raio 1 determinado por esse ˆ angulo.

Assim, para determinar a medida X em radianos que corresponde ` a medida θ o , usamos a seguinte regra de propor¸ca ˜o, sabendo que a medida de 360o corresponde a 2π radianos: θ o : X :: 360o : 2π π·θ Isto ´ e, X = 2π·θ = 180 .

360 Similarmente, a medida de X radianos corresponde a θ o , onde: θ = 360·X = 180·X .

2π π

= cos(360o − θo ) = cos(−θ o ) = cos(−(360o − θo )), atribuir ao aˆngulo P OQ a menor medida positiva. Por

P OQ, mostrado nas Figuras 4.1 e 4.2, atribu´ımos a

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Produto Interno

ˆ Angulo entre segmentos orientados.

Consideremos dois segmentos orientados AB e CD. Sejam OP e OQ os u ´ nicos segmentos orientados com origem no ponto O que s˜ao equipolentes a AB e CD respectivamente. O aˆngulo Figura 4.3: Angulo ˆ entre segmentos oride AB para CD ´e o aˆngulo P OQ com entados. exigˆencia de que sua medida seja tomada de OP para OQ (Figura 4.3).

Observa¸ c˜ ao.

• Se um dos segmentos orientados AB ou CD for nulo, diremos que o aˆngulo entre eles ´e nulo.

ˆ Angulo bem definido.

Note que a defini¸ca ˜o de → − →) n˜ (− v ,w ao depende dos → →. representantes de − v e− w De fato, sejam EF e GH −−→ → tais que de − v = EF e −−→ − → w = GH . Como EF e GH s˜ ao equipolentes a AB e CD, respectivamente, o ˆ angulo de EF pra GH ´ e igual ao a ˆngulo de AB para CD. A norma est´ a bem definida.

Se AB e CD s˜ ao segmentos equipolentes, ent˜ ao |AB| = |CD|. Logo, se −−→ → − v = AB , temos → − v = |AB| = |CD|. Isto ´ e, → − v independe do segmento orientado escolhido como → representante de − v .

• Observe que se A B e C D s˜ao equipolentes a AB e CD, respectivamente, ent˜ao o aˆngulo de A B para C D e igual ao aˆngulo de AB para CD. ˆ Defini¸c˜ao 4.9 (Angulo entre vetores) → − − → Sejam v e w vetores do plano. Consideremos AB e CD segmentos orien−−→ → −−→ − − →, denotado tados tais que → v = AB e − w = CD . O aˆngulo de → v para − w − →), ´e o aˆngulo de AB para CD. (→ v ,− w → − − − →=→ →, → − Se → v = 0 ou − w 0 for nulo, dizemos que o aˆngulo (− w v ) ´e nulo.

S a bendo que o m´odulo de um segmento orientado ´e igual a` distˆancia entre as suas extremidades, definimos o tamanho ou norma de um vetor.

Defini¸c˜ao 4.10 (Norma de um vetor) −−→ − − Sejam → v um vetor do plano e AB um segmento orientado tal que → v = AB . − − A norma, ou comprimento, do vetor → v , que designamos por → v ´e o m´odulo do segmento AB: −

→ v = |AB| = d(A, B) Considerando um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas do plano −−→ − com origem no ponto O e o ponto P = (x, y) tal que → v = OP , temos:

−

→ v = |OP | = d(O, P ) = x2 + y 2 Na seguinte proposi¸ca˜o reunimos as principais propriedades da norma.

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Produto Interno

Proposi¸c˜ao 4.8 (Propriedades da norma de um vetor) − → vetores do plano e λ ∈ R, ent˜ao: Sejam → v ,− w − 1. → v ≥ 0; − − 2. → v = 0 se, e somente se, → v ´e o vetor nulo; − − 3. λ→ v = |λ| → v ;

´ MODULO 1 - AULA 4

Lembre que...

Se r ´ e um n´ umero real n˜ ao-negativo a sua raiz quadrada ´ e, por defini¸ca ˜o, o n´ umero real n˜ ao-negativo, √ designado por r, tal que √ 2 ( r) = r.

− → ≤ → − → , esta ´e a chamada desigualdade triangular.

4. → v +− w v + − w

Demonstra¸ c˜ ao.

1. Como a distˆancia entre dois pontos do plano ´e sempre um n´ umero n˜ao− − → − − negativo, temos que se → v = AB , ent˜ao → v = |AB| = d(A, B) ≥ 0. − − → − 2. Se → v = AB , temos: −−→ → − − −

→ v = |AB| = d(A, B) = 0 ⇐⇒ A = B ⇐⇒ → v = AB = 0 . − − 3. Consideremos o vetor → v em coordenadas: → v = (x, y). Temos:

−

λ→ v = (λx, λy) = (λx)2 + (λy)2 = (λ)2 (x2 + y 2)

− = |λ| (x2 + y 2) = |λ| → v .

4. A seguir, a desigualdade triangular n˜ao ser´a utilizada. No entanto, por se tratar de uma importante propriedade da norma, apresentamos a sua demonstra¸ca˜o no Apˆendice B. Defini¸c˜ao 4.11 (Vetor unit´ario) Um vetor que tem norma igual a 1 ´e chamado unit´ario.

Exemplo 4.1

√ √ − →= 3 6 a. Os vetores → v = (−1, 0) , e − w s˜ao unit´arios. , − 3 3

√ 2 √ 2

√ − → → − 3 2 2 + − 36 = De fato, v = (−1) + 0 = 1 = 1 e w = 3

3 6 9 + = =1.

9 9 9

Na pr´ atica...

Calculamos a norma de um vetor a partir da sua express˜ ao em coordenadas.

Como no exemplo ao lado.

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Produto Interno

â&#x2C6;&#x161;

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; u = b. O vetor â&#x2020;&#x2019; u = 22 , 12 nË&#x153;ao ´e unit´ario, pois â&#x2020;&#x2019;

â&#x2C6;&#x161; 2 + 14 = 34 = 23 = 1.

4

â&#x2C6;&#x161;

2 2

2 +

1 2 2

=

Observa¸ cË&#x153; ao.

Dado um vetor nË&#x153; ao-nulo do plano, sempre podemos determinar dois vetores â&#x2C6;&#x2019; unit´arios colineares a â&#x2020;&#x2019; v . â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Com efeito, se â&#x2020;&#x2019; v = (x, y) ´e um vetor nË&#x153;ao-nulo entË&#x153;ao â&#x2020;&#x2019; v ´e um n´ umero real positivo. â&#x2C6;&#x2019; AďŹ rmamos que os vetores â&#x2020;&#x2019; u = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; colineares a v .

â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2020;&#x2019; v â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; v

â&#x2020;&#x2019;=â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2020;&#x2019; eâ&#x2C6;&#x2019; w v sË&#x153;ao unit´arios e â&#x2020;&#x2019; v

De fato, u e w sË&#x153;ao colineares a v pois sË&#x153;ao m´ ultiplos de v, eles sË&#x153;ao unit´arios, pois

â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2020;&#x2019; 1 â&#x2020;&#x2019; 1 â&#x2020;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019; v

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

¡ v = â&#x2020;&#x2019;

v = â&#x2020;&#x2019; = 1,

u = â&#x2020;&#x2019; v = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

v

v

v

v

â&#x2C6;&#x2019;

1 â&#x2020;&#x2019; 1 â&#x2020;&#x2019; 1 â&#x2020;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019; v

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

w = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ¡

v

= v = â&#x2C6;&#x2019;

v

= = 1. â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

v

v

v

v

Exemplo 4.2 â&#x2C6;&#x2019; Calcular os vetores unit´arios paralelos ao vetor â&#x2020;&#x2019; v = (â&#x2C6;&#x2019;3, 2).

â&#x2C6;&#x161; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Solu¸caË&#x153;o: A norma de v ´e v = (â&#x2C6;&#x2019;3)2 + 22 = 13 . Logo, os vetores: 1 â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; u = â&#x2C6;&#x161; (â&#x2C6;&#x2019;3, 2) = 13

3 2 â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x161; , â&#x2C6;&#x161; 13

13

e

1 3 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; w = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161; (â&#x2C6;&#x2019;3, 2) = â&#x2C6;&#x161; , â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161; 13

13

13

â&#x2C6;&#x2019; sË&#x153;ao unit´arios e colineares a â&#x2020;&#x2019; v .

Agora estamos em condi¸coË&#x153;es de deďŹ nir o produto interno de dois vetores: Lembre que...

Na expressË&#x153; ao que deďŹ ne o â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) ´ produto interno, (â&#x2C6;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w eo â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;. a Ë&#x2020;ngulo de v para â&#x2C6;&#x2019; w

DeďŹ ni¸cË&#x153;ao 4.12 (Produto interno) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; vetores do plano. O produto interno de â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;, denotado por Sejam â&#x2020;&#x2019; v eâ&#x2C6;&#x2019; w v eâ&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; , ´e o n´ â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w umero real: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w Antes de est a belecer as propriedades do produto interno, vejamos o seu signiďŹ cado geom´etrico. Para isto, ´e necess´ario o seguinte conceito:

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Produto Interno

´ MODULO 1 - AULA 4

DeďŹ ni¸cË&#x153;ao 4.13 (Proje¸cË&#x153;ao ortogonal) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Sejam â&#x2020;&#x2019; v = AB e â&#x2C6;&#x2019; w = AC vetores do plano representados por segmentos orientados com a mesma origem. Tracemos a reta que passa pelo ponto B e ´e perpendicular a reta que cont´em AC. Seja B o ponto de Figura 4.4: Proje¸caË&#x153;o ortogonal. interse¸caË&#x153;â&#x2C6;&#x2019; oâ&#x2C6;&#x2019;dessas duas retas. â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019;v , ´ O vetor AB , que designamos por prâ&#x2C6;&#x2019; e chamado a proje¸caË&#x153;o ortogonal w â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; de v sobre w (veja a Figura 4.4).

O produto interno est´a intimamente relacionado ao conceito geom´etrico de proje¸caË&#x153;o ortogonal. â&#x2020;&#x2019; seja De fato, suponhamos que â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; = 1. um vetor unit´ario, isto ´e, â&#x2C6;&#x2019; w Tracemos o c´Ĺrculo de centro A e â&#x2C6;&#x2019; raio igual ao comprimento (norma) de â&#x2020;&#x2019; v .

Segue, da trigonometria, que o compriâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; e igual ao produto â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;v ´ mento do vetor prw â&#x2C6;&#x2019; do raio do c´Ĺrculo, â&#x2020;&#x2019; v , pelo m´odulo de â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; cos(w , v ) (veja a Figura 4.5), ou seja,

Observe que... â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;´ Se â&#x2C6;&#x2019; v ou â&#x2C6;&#x2019; w e o vetor nulo â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = 0. Note entË&#x153; ao â&#x2C6;&#x2019; v ,w â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; sË&#x153; tamb´ em, que se â&#x2C6;&#x2019; v eâ&#x2C6;&#x2019; w ao unit´ arios, entË&#x153; ao â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = cos(â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;). Nesse â&#x2C6;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w sentido, as no¸co Ë&#x153;es de Ë&#x2020; angulo e produto interno sË&#x153; ao essencialmente equivalentes.

Figura 4.5: Proje¸caË&#x153;o ortogonal.

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v = AB = v ¡ | cos(w , v )| .

prâ&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = cos(â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)) = cos(â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;, â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = 1 , temos: Como cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w w v ) e â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)| = | â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; | . â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ¡| cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w v = â&#x2020;&#x2019; v

â&#x2C6;&#x2019; w

prâ&#x2C6;&#x2019; w

=1

â&#x2020;&#x2019; ´e um vetor unit´ Com isto, mostramos que: se â&#x2C6;&#x2019; w ario, o m´ odulo do produto â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ´e igual ao comprimento da proje¸caË&#x153;o ortogonal de â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; interno de â&#x2020;&#x2019; v eâ&#x2C6;&#x2019; w v sobre â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; w. â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) est´a entre 0 e Ď&#x20AC; (90o ), temos prâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v = v , w , Se o aË&#x2020;ngulo (â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w w 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) â&#x2030;Ľ 0, e se (â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) est´a entre Ď&#x20AC; e Ď&#x20AC;, temos prâ&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;v = pois cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w w 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; , pois cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) â&#x2030;¤ 0. â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = Ď&#x20AC; os vetores sË&#x153;ao perpendiculares, Note, ainda, que para (â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w 2 portanto, a proje¸caË&#x153;o ortogonal de um vetor sobre o outro ´e o vetor nulo. â&#x2020;&#x2019; ´e um vetor unit´ario, a proje¸caË&#x153;o ortogonal de â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Portanto, se â&#x2C6;&#x2019; w v sobre â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;v ´ w , que designamos por prâ&#x2C6;&#x2019; e o vetor: w

â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v = v , w w prâ&#x2C6;&#x2019; w 53

CEDERJ

Produto Interno

Na seguinte proposi¸caË&#x153;o, apresentamos as propriedades b´asicas do produto interno.

Proposi¸cË&#x153;ao 4.9 (Propriedades do produto interno) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; e para qualquer n´ Para quaisquer vetores â&#x2020;&#x2019; u,â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w umero real Îť, valem as propriedades: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;, â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 1. â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w w v , propriedade comutativa;

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = Îťâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ; 2. Îť â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w v , Îťâ&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; , propriedade distributiva.

3. â&#x2020;&#x2019; u ,â&#x2020;&#x2019; v +â&#x2C6;&#x2019; w u ,â&#x2020;&#x2019; v + â&#x2020;&#x2019; u ,â&#x2C6;&#x2019; w Demonstra¸ cË&#x153; ao.

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = cos(â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;, â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Propriedade 1: J´a vimos que cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w w v ). Segue deste fato e da propriedade comutativa do produto dos n´ umeros reais, que â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019; v

â&#x2C6;&#x2019; w w v .

Logo, â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;, â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;, â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w w v cos(â&#x2C6;&#x2019; w v ) = â&#x2C6;&#x2019; w v . â&#x2C6;&#x2019; Propriedade 2: Se Îť = 0 a propriedade ´e facilmente veriďŹ cada pois Îťâ&#x2020;&#x2019; v â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; e Îťw sË&#x153;ao vetores nulos.

Consideremos o caso em que Îť > 0.

Analisemos primeiro os m´odulos. â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Como Îťâ&#x2020;&#x2019; v = |Îť| â&#x2020;&#x2019; v , para qualquer veâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; tor v , e Îť ´e positivo, temos â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = Îť â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; .

Îťâ&#x2020;&#x2019; v = Îť â&#x2020;&#x2019; v e Îťâ&#x2C6;&#x2019; w w

Ë&#x2020; Figura 4.6: Angulos com Îť > 0 .

â&#x2C6;&#x2019; Analisemos, agora, os aË&#x2020;ngulos. Como Îť ´e positivo, o vetor Îťâ&#x2020;&#x2019; v tem o â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; mesmo sentido que v e Îťw tem o mesmo sentido de w . â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) , (Îťâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ) e (â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) tË&#x2020;em a mesma medida Logo os aË&#x2020;ngulos (â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w v , Îťâ&#x2C6;&#x2019; w (veja a Figura 4.6).

Portanto,

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = cos(Îťâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) . cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w v , Îťâ&#x2C6;&#x2019; w

Logo, â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = Îťâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; cos(xâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = |Îť| â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) Îťâ&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = Îť â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; . = Îť â&#x2020;&#x2019; v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w CEDERJ

54

Produto Interno

´ MODULO 1 - AULA 4

Analogamente, conclu´Ĺmos que â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = Îť â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; . â&#x2020;&#x2019; v , Îťâ&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w Consideremos agora o caso em que Îť < 0.

Primeiro analisemos os m´odulos: como Îť < 0, temos |Îť| = â&#x2C6;&#x2019;Îť, assim: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

Îťâ&#x2020;&#x2019; v = |Îť| â&#x2020;&#x2019; v = â&#x2C6;&#x2019;Îť â&#x2020;&#x2019; v , e

â&#x2020;&#x2019; = |Îť| â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019;Îť â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; .

Îťâ&#x2C6;&#x2019; w w w

Agora, analisemos os aË&#x2020;ngulos: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; como Îť < 0, Îťâ&#x2020;&#x2019; v eâ&#x2020;&#x2019; v tË&#x2020;em sentidos â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; tamb´em opostos. Logo Îťw e â&#x2C6;&#x2019; w tË&#x2020;em sentidos opostos. â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) Portanto, se o aË&#x2020;ngulo (â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) mede θ, entË&#x153;ao o aË&#x2020;ngulo (Îťâ&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w mede Ď&#x20AC; + θ, veja a Figura 4.7.

Identidades trigonom´ etricas...

Se Îą e β sË&#x153; ao duas medidas de a Ë&#x2020;ngulos, entË&#x153; ao: cos(Îą + β) = cos Îą cos β â&#x2C6;&#x2019; sen Îą sen β e sen(Îą + β) = cos Îą sen β + sen Îą cos β Lei dos cossenos.

Se A, B e C sË&#x153; ao pontos distintos do plano, a = |BC|, b = |AC|, , c = |AB| e Îą = BAC , Îł = ACB , entË&#x153; β = ABC ao:

Figura 4.7: An´ alise do aË&#x2020;ngulo com Îť < 0 .

a2 = b2 + c2 â&#x2C6;&#x2019; 2bc cos Îą b2 = a2 + c2 â&#x2C6;&#x2019; 2ac cos β c2 = a2 + b2 â&#x2C6;&#x2019; 2 a b cos Îł

Segue, das identidades trigonom´etricas, que â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) . cos(Ď&#x20AC; + θ) = â&#x2C6;&#x2019; cos θ = â&#x2C6;&#x2019; cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w Logo â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = Îťâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; cos(Îťâ&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) Îťâ&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019; cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)) = â&#x2C6;&#x2019;Îť â&#x2020;&#x2019; v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w

Figura 4.8: Lei dos cossenos no triË&#x2020; angulo ABC .

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; . = Îť â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w

Propriedade 3: Para demonstrar a propriedade distributiva, precisamos da expressË&#x153;ao do produto interno em coordenadas. Para obter essa expressË&#x153;ao utilizaremos a Lei dos cossenos (veja a nota ao lado).

Nota importante.

A lei dos cossenos continua v´ alida mesmo que os pontos A, B e C sejam colineares.

Veja o ApË&#x2020; endice.

Proposi¸cË&#x153;ao 4.10 (ExpressË&#x153;ao do produto interno em coordenadas) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = (x , y ) vetores do plano. EntË&#x153;ao: Sejam â&#x2020;&#x2019; v = (x1 , y1) e â&#x2C6;&#x2019; w 2 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = x x + y y â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w 1 2 1 2

(4.1)

Demonstra¸ cË&#x153; ao. Observe que a rela¸caË&#x153;o (4.1) ´e v´alida quando algum dos â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; vetores ´e o vetor nulo. Portanto, consideremos apenas o caso em que â&#x2020;&#x2019; v eâ&#x2C6;&#x2019; w sË&#x153;ao vetores nË&#x153;ao-nulos (Figura 4.9).

55

CEDERJ

Produto Interno

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; , c = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Sejam a = â&#x2020;&#x2019; v , b = â&#x2C6;&#x2019; w w v e γ a medida do aË&#x2020;ngulo â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ( v , w ). Usando a lei dos cossenos, temos: c2 = a2 + b2 â&#x2C6;&#x2019; 2 a b cos γ . â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) .

Logo, â&#x2C6;&#x2019; w v 2 = â&#x2020;&#x2019; v 2 + â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Como â&#x2C6;&#x2019; w v = (x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 , y2 â&#x2C6;&#x2019; y1 ), obtemos:

â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2C6;&#x2019; w v 2 = (x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 )2 + (y2 â&#x2C6;&#x2019; y1 )2 = x22 + x21 â&#x2C6;&#x2019; 2x1 x2 + y22 + y12 â&#x2C6;&#x2019; 2y1y2 , Figura 4.9: Produto interno e lei dos cossenos.

(4.2)

e, tamb´em: â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w v 2 + â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w

â&#x2020;&#x2019; v 2 + â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; . = x2 + x2 + y 2 + y 2 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w (4.3) 1

2

1

2

A f´ormula (4.1) resulta igualando (4.2) e (4.3), e cancelando os termos comuns.

Estamos agora em condi¸coË&#x153;es de demonstrar a propriedade distributiva do produto interno: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; u ,â&#x2020;&#x2019; v +â&#x2C6;&#x2019; w u ,â&#x2020;&#x2019; v + â&#x2020;&#x2019; u ,â&#x2C6;&#x2019; w Com respeito a um sistema ortogonal de coordenadas, sejam u = (x1 , y1 ) ,

v = (x2 , y2 )

e

w = (x3 , y3 ).

Usando as propriedades das opera¸coË&#x153;es em R e a f´ormula 4.1, temos: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = (x , y ), (x + x , y + y ) = x (x + x ) + y (y + y ) â&#x2020;&#x2019; u ,â&#x2020;&#x2019; v +â&#x2C6;&#x2019; w 1 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 = x1 x2 + x1 x3 + y1 y2 + y1 y3 = (x1 x2 + y1 y2 ) + (x1 x3 + y1 y3 ) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; . = â&#x2020;&#x2019; u ,â&#x2020;&#x2019; v + â&#x2020;&#x2019; u ,â&#x2C6;&#x2019; w Com isto terminamos a prova da proposi¸caË&#x153;o 4.9.

Observa¸ cË&#x153; ao. â&#x2C6;&#x2019; â&#x20AC;¢ Se â&#x2020;&#x2019; v ´e um vetor qualquer do plano, entË&#x153;ao: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2020;&#x2019; v = â&#x2020;&#x2019; v 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; De fato, como a medida do aË&#x2020;ngulo (â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2020;&#x2019; v ) ´e 0 radianos (ou 0o ), temos â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2020;&#x2019; v ) = cos 0 = 1 e â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2020;&#x2019; v = â&#x2020;&#x2019; v

â&#x2020;&#x2019; v cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2020;&#x2019; v ) = â&#x2020;&#x2019; v 2 .

CEDERJ

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Produto Interno

´ MODULO 1 - AULA 4

â&#x20AC;˘ Quando analisamos a representa¸caË&#x153;o geom´etrica do produto interno em â&#x2020;&#x2019; ´e um vetor unit´ario, entË&#x153;ao a termos da proje¸caË&#x153;o ortogonal vimos que, se â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;e â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v do vetor v sobre o vetor w ´ proje¸caË&#x153;o ortogonal prw â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v = v , w w . prâ&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; nË&#x153;ao ´e unit´ario, mas apenas nË&#x153;ao-nulo, consideramos o vetor Se o vetor â&#x2C6;&#x2019; w

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; e com igual sentido. DeďŹ nimos a proje¸caË&#x153;o e unit´ario, paralelo a â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; que ´ â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; como sendo a proje¸caË&#x153;o de â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; de â&#x2020;&#x2019; v sobre â&#x2C6;&#x2019; w v sobre â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; , que designamos por w

â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v . Usando a Propriedade 2 prâ&#x2C6;&#x2019; w

â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;v = prw v ,

do produto interno, temos: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w w w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 w

w

w

w

Terminamos esta aula ilustrando a importË&#x2020;ancia do produto interno com uma s´erie de exemplos e considera¸coË&#x153;es geom´etricas.

Exemplo 4.3 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = (2, 3) Determinar o valor de a â&#x2C6;&#x2C6; R tal que os vetores â&#x2020;&#x2019; v = (a, 1) e â&#x2C6;&#x2019; w tenham produto interno igual a 15. Achar, tamb´em, o cosseno do aË&#x2020;ngulo â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;. formado por esses vetores e a proje¸caË&#x153;o ortogonal de â&#x2020;&#x2019; v sobre â&#x2C6;&#x2019; w Solu¸caË&#x153;o: Usando a caracteriza¸caË&#x153;o do produto interno em termos de coordenadas, temos: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = (a, 1), (2, 3) = a ¡ 2 + 1 ¡ 3 = 2a + 3 . â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = 15 se, e somente se, 2a + 3 = 15 . Portanto, a = 6 e Logo, â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; v = (6, 1). â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = v , w .

Da deďŹ ni¸caË&#x153;o do produto interno, temos cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2020;&#x2019; = (2, 3) = â&#x2C6;&#x161;22 + 32 = â&#x2C6;&#x2019; w Como â&#x2020;&#x2019; v = (6, 1) = 62 + 12 = 37 e â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; 4 + 9 = 13 , temos: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = â&#x2C6;&#x161; 15â&#x2C6;&#x161; cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w 37

13

.

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ´e o vetor: Finalmente, a proje¸caË&#x153;o de â&#x2020;&#x2019; v sobre â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 15 â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; = v , w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 w = â&#x2C6;&#x161;

â&#x2020;&#x2019;v prâ&#x2C6;&#x2019; w

w

( 13)2

30 45 .

(2, 3) = , 13 13

Exemplo 4.4 â&#x2C6;&#x2019; Determinar os valores m â&#x2C6;&#x2C6; R que fazem a proje¸caË&#x153;o ortogonal do vetor â&#x2020;&#x2019; v = â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; (m + 1, m â&#x2C6;&#x2019; 1) sobre o vetor w = (m, 1 â&#x2C6;&#x2019; m) ser unit´aria.

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CEDERJ

Produto Interno

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; | | â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; Solu¸caË&#x153;o: Como |prâ&#x2C6;&#x2019; v | = w â&#x2020;&#x2019; , temos : â&#x2C6;&#x2019; w | (m + 1, m â&#x2C6;&#x2019; 1), (m, 1 â&#x2C6;&#x2019; m) | â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;â&#x2020;&#x2019;

|prâ&#x2C6;&#x2019; =1 v | = 1 â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; w m2 + (1 â&#x2C6;&#x2019; m)2

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; | (m + 1, m â&#x2C6;&#x2019; 1), (m, 1 â&#x2C6;&#x2019; m) | = m2 + (1 â&#x2C6;&#x2019; m)2

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; |m2 + m â&#x2C6;&#x2019; m2 + 2m â&#x2C6;&#x2019; 1| = m2 + (1 â&#x2C6;&#x2019; m)2

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; |3m â&#x2C6;&#x2019; 1| = m2 + (1 â&#x2C6;&#x2019; m)2

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; |3m â&#x2C6;&#x2019; 1|2 = ( m2 + (1 â&#x2C6;&#x2019; m)2 )2 â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; 9m2 â&#x2C6;&#x2019; 6m + 1 = m2 + 1 â&#x2C6;&#x2019; 2m + m2 â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; 7m2 â&#x2C6;&#x2019; 4m = 0 â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; m = 0

ou

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; m = 0

ou

7m â&#x2C6;&#x2019; 4 = 0 4 m= .

7

DeďŹ ni¸cË&#x153;ao 4.14 (Ortogonalidade de vetores) â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; do plano sË&#x153;ao chamados ortogonais, ou perpendiculares, e Dois vetores â&#x2020;&#x2019; v eâ&#x2C6;&#x2019; w escrevemos â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;, se o produto interno entre eles ´e nulo. v â&#x160;Ľâ&#x2C6;&#x2019; w Isto ´e: Figura 4.10: ortogonais.

Vetores

â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = 0 v â&#x160;Ľâ&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;), conclu´Ĺmos que: Como â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; se, e somente se, â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;=â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) = 0 v â&#x160;Ľâ&#x2C6;&#x2019; w v = 0 ou â&#x2C6;&#x2019; w 0 ou cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ´e reto, isto ´e, Au ´ ltima alternativa signiďŹ ca que o aË&#x2020;ngulo entre â&#x2020;&#x2019; v eâ&#x2C6;&#x2019; w a sua medida ´e 90o (ou seja Ď&#x20AC;2 radianos).

Observa¸ cË&#x153; ao. â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ´e ortogonal a Seja â&#x2020;&#x2019; v = (a, b) um vetor nË&#x153;ao-nulo. EntË&#x153;ao, um vetor â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = (â&#x2C6;&#x2019;Îťb, Îťa) para algum escalar Îť â&#x2C6;&#x2C6; R. v se, e somente se, â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; = (c, d) ´e ortogonal a â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; De fato, um vetor â&#x2C6;&#x2019; w v = (a, b) se, e somente se, â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v , w = (a, b), (c, d) = ac + bd = 0.

c d No entanto, na Aula 3, vimos que det = ac + bd = 0 se, e â&#x2C6;&#x2019;b a somente se, o vetor (c, d) ´e m´ ultiplo do vetor (â&#x2C6;&#x2019;b, a). Isto ´e, se, e somente se, existe um escalar Îť â&#x2C6;&#x2C6; R, tal que (c, d) = Îť(â&#x2C6;&#x2019;b, a) = (â&#x2C6;&#x2019;Îťb, Îťa).

Exemplo 4.5 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = (â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x161;2, 4) sË&#x153;ao ortogonais, pois: Os vetores â&#x2020;&#x2019; v = ( 2, 1) e â&#x2C6;&#x2019; w

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Produto Interno

´ MODULO 1 - AULA 4

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2C6;&#x161;2(â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x161;2) + 1(4) = â&#x2C6;&#x2019;4 + 4 = 0. â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; No entanto, se â&#x2020;&#x2019; u = (1, 2), entË&#x153;ao â&#x2020;&#x2019; u eâ&#x2020;&#x2019; v nË&#x153;ao sË&#x153;ao ortogonais. De fato: â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; u , v = 1( 2) + 2(1) = 2 + 2 = 0.

O conceito de ortogonalidade entre vetores, permite dar um signiďŹ cado geom´etrico aos coeďŹ cientes da equa¸caË&#x153;o cartesiana de uma reta.

Sejam A = (x1 , y1 ) e B = (x2 , y2) pontos da reta r : ax + by = c.

EntË&#x153;ao, ax1 + by1 = c

e

ax2 + by2 = c .

Igualando os lados esquerdos dessas identidades, obtemos: ax1 + by1 = ax2 + by2 .

Logo, a(x2 â&#x2C6;&#x2019; x1 ) + b(y2 â&#x2C6;&#x2019; y1 ) = 0 e, portanto: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; Ρ , AB = (a, b), AB = 0 . â&#x2C6;&#x2019; Isto ´e, â&#x2020;&#x2019; Ρ = (a, b) ´e ortogonal a qualquer vetor dire¸caË&#x153;o da reta r .

Este fato motiva a seguinte deďŹ ni¸caË&#x153;o.

DeďŹ ni¸cË&#x153;ao 4.15 â&#x2C6;&#x2019; Um vetor â&#x2020;&#x2019; v ´e dito normal, ortogonal ou perpendicular a uma reta r, se ele for ortogonal a qualquer vetor dire¸caË&#x153;o da reta r.

Pelo visto anteriormente, temos: â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Ρ = (a, b) ´e um vetor normal a` reta r : ax + by = c .

Exemplo 4.6 Seja A = (1, â&#x2C6;&#x2019;3) um ponto do plano. Determinar a equa¸caË&#x153;o cartesiana da â&#x2C6;&#x2019; reta r que passa por A e ´e perpendicular ao vetor â&#x2020;&#x2019; v = (â&#x2C6;&#x2019;4, 5).

Solu¸caË&#x153;o: A equa¸caË&#x153;o cartesiana de r ´e da forma â&#x2C6;&#x2019;4x + 5y = c.

Como A pertence a r temos â&#x2C6;&#x2019;4(1) + 5(â&#x2C6;&#x2019;3) = c. Isto ´e, c = â&#x2C6;&#x2019;19.

Portanto, a equa¸caË&#x153;o de r ´e â&#x2C6;&#x2019;4x + 5y = â&#x2C6;&#x2019;19.

Exemplo 4.7 Dar as equa¸coË&#x153;es param´etricas da reta r : 3x â&#x2C6;&#x2019; y + 2 = 0. â&#x2C6;&#x2019; Solu¸caË&#x153;o: Da equa¸caË&#x153;o cartesiana de r obtemos que â&#x2020;&#x2019; Ρ = (3, â&#x2C6;&#x2019;1) ´e um vetor normal a r. â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Logo o vetor δ = (â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;1), 3) = (1, 3), que ´e perpendicular a â&#x2020;&#x2019; Ρ , ´e um vetor dire¸caË&#x153;o de r.

Al´em disso, observe que o ponto A = (0, 2) pertence a r.

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Produto Interno

Portanto,⎧as equa¸co˜es param´etricas de r s˜ao: ⎨x = 0 + 1 · t , t ∈ R . Isto ´e, r r: ⎩y = 2 + 3 · t

:

⎧ ⎨x = t ⎩y = 2 + 3t

, t ∈ R.

Compare com as t´ecnicas desenvolvidas na Aula 3.

Exemplo 4.8 Determinar a equa¸ca˜o cartesiana da reta r, onde: ⎧ ⎨x = 2 − 3t , t ∈ R. r: ⎩y = 1 + t Solu¸ca˜o: A partir da forma das equa¸co˜es param´etricas, vemos que r ´e a reta → − que passa pelo ponto A = (2, 1) com dire¸ca˜o δ = (−3, 1). − Logo, o vetor → η = (−1, −3) ´e um vetor normal a r.

Portanto, a equa¸ca˜o cartesiana de r ´e da forma (−1)x + (−3)y = c.

Para determinarmos o valor de c, substitu´ımos as coordenadas do ponto A na identidade (−1)x + (−3)y = c : (−1)(2) + (−3)(1) = c, ou seja c = −5 e a equa¸ca˜o cartesiana de r ´e −x − 3y = −5, ou seja, multiplicando por −1: r : x + 3y = 5 .

Exemplo 4.9 Seja A = (1, −3). Dar a equa¸ca˜o cartesiana da reta r que cont´em A e ´e perpendicular a` reta s de equa¸ ⎧co˜es param´etricas: ⎨x = 2 − 3t ,t∈R s : ⎩y = 1 + t Solu¸ca˜o: Das equa¸co˜es param´etricas de s obtemos um vetor dire¸ca˜o → − δ = (−3, 1). Esse vetor ´e perpendicular a`s retas perpendiculares a s.

Assim, a reta r que procuramos deve ter a sua equa¸ca˜o cartesiana na forma −3x + y = c, onde o valor de c ´e determinado substituindo as coordenadas do ponto A: −3(1) + (−3) = c, isto ´e, c = −6.

Portanto, a equa¸ca˜o cartesiana de r ´e: r : −3x + y = −6 .

A no¸ca˜o geom´etrica de ˆangulo entre duas retas do plano ´e tamb´em reformulada analiticamente a partir do produto interno, veja: ˆ Defini¸c˜ao 4.16 (Angulo entre duas retas do plano) − → vetores n˜ao-nulos paralelos a r Sejam r e s retas do plano e sejam → v ,− w CEDERJ

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Produto Interno

´ MODULO 1 - AULA 4

e s respectivamente. DeďŹ nimos o aË&#x2020;ngulo entre r e s como sendo o aË&#x2020;ngulo Ď&#x20AC; de medida θ com 0 â&#x2030;¤ θ â&#x2030;¤ radianos (ou seja, entre 0o e 90o), tal que: 2

â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)| = | v , w | cos θ = | cos(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;

v w

Isto ´e, o aË&#x2020;ngulo entre duas retas ´e o menor Ë&#x2020;angulo positivo por elas determinado.

Exemplo 4.10 Determinemos o cosseno do aË&#x2020;ngulo entre as retas r e s dadas por: â&#x17D;§ â&#x17D;¨x = 2t â&#x2C6;&#x2019; 1 , t â&#x2C6;&#x2C6; R. r : 3x â&#x2C6;&#x2019; 4y = 1 e s : â&#x17D;Šy = â&#x2C6;&#x2019;t â&#x2C6;&#x2019; Solu¸caË&#x153;o: Da equa¸caË&#x153;o cartesiana de r vemos que â&#x2020;&#x2019; Ρ = (3, â&#x2C6;&#x2019;4) â&#x160;Ľ r.

Figura 4.11: entre r e s.

Ë&#x2020; Angulo

Observe que...

Duas retas sË&#x153; ao perpendiculares se o Ë&#x2020; angulo entre elas ´ e reto ( Ď&#x20AC;2 radianos, ou seja 90o ).

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; Logo, â&#x2020;&#x2019; v = (â&#x2C6;&#x2019;(â&#x2C6;&#x2019;4), 3) = (4, 3), que ´e perpendicular a â&#x2020;&#x2019; Ρ , ´e um vetor dire¸caË&#x153;o de r. â&#x2020;&#x2019; = (2, â&#x2C6;&#x2019;1) ´e um vetor dire¸caË&#x153;o de s.

Das equa¸coË&#x153;es de s vemos que â&#x2C6;&#x2019; w

Calculando, temos: â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019; v = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5 , â&#x2020;&#x2019; = 22 + (â&#x2C6;&#x2019;1)2 = â&#x2C6;&#x161;4 + 1 = â&#x2C6;&#x161;5 ,

â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = 4(2) + 3(â&#x2C6;&#x2019;1) = 8 â&#x2C6;&#x2019; 3 = 5 . â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w Portanto, o cosseno da medida θ do aË&#x2020;ngulo entre r e s ´e 5

1 5

cos θ = â&#x2C6;&#x161; = â&#x2C6;&#x161; .

5 5

DeďŹ ni¸cË&#x153;ao 4.17 (Mediatriz de um segmento) Seja AB um segmento no plano e seja M o seu ponto m´edio. A reta r que ´e perpendicular a` reta que cont´em A e B e passa pelo ponto M ´e chamada a mediatriz de AB. Exemplo 4.11 Determinar a equa¸caË&#x153;o cartesiana da mediatriz r do segmento AB, onde A = (2, 3) e B = (5, 4). â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Solu¸caË&#x153;o: Como o vetor AB = (5 â&#x2C6;&#x2019; 2, 4 â&#x2C6;&#x2019; 3) = (3, 1) ´e perpendicular a` mediatriz do segmento AB, a equa¸caË&#x153;o da mediatriz ´e r : 3x + y = c.

J´a que o ponto m´edio M = 21 (2 + 5, 3 + 4) = ( 72 , 72 ) do segmento AB pertence a` reta r, temos: 3 ¡ 27 + 72 = c . Isto ´e, c = 4 ¡ 72 = 14 .

61

CEDERJ

Produto Interno

Portanto, a equa¸ca˜o cartesiana da mediatriz ´e r : 3x + y = 14 .

Exemplo 4.12 Determinar as equa¸co˜es das retas que passam pelo ponto (2, −1) formando um aˆngulo de 45o com a reta r : 2x − 3y + 7 = 0 . − v = (a, b) o vetor dire¸ca˜o de uma das retas procuradas.

Solu¸ca˜o: Seja → O vetor (2, −3) ´e perpendicular a r, logo (3, 2) ´e um vetor dire¸ca˜o de r.

Pela defini¸ca˜o do aˆngulo entre duas retas, temos: √

2 (a, b), (3, 2) 3a + 2b = cos 45o = = , 2 (a, b) (3, 2 ) (a, b) (3, 2)

logo,

√

2 (a, b)

(3, 2) = 2(3a + 2b) .

Tomando quadrados em ambos os lados dessa igualdade, obtemos: 2(a2 + b2 )(32 + 22 ) = 4(3a + 2b)2 , e, efetuando os produtos, temos: 13a2 + 13b2 = 18a2 + 24 a b + 8b2 .

Agrupando os termos nesta igualdade, obtemos 5a2 − 5b2 + 24 a b = 0 .

Isto ´e, 5a2 + 24 a b = 5b2 , ou seja, a2 +

24 a b = b2 .

5

Completando o quadrado, temos: a2 + ou seja,

24 122 122 a b + 2 b2 = b2 + 2 b2 , 5 5 5

13 2

12 2 169 2 b = b . a+ b = 5

Portanto, a+

12 13 b= b 5 5

25

ou

5

a+

12 13 b = − b.

5 5

Isto ´e, a = 15 b ou a = −5 b . Logo, os vetores dire¸ca˜o das retas procuradas

s˜ao da forma 15 b, b ou (−5b, b).

CEDERJ

62

Produto Interno

´ MODULO 1 - AULA 4

Assim, fazendo b = 5 no primeiro vetor e b = 1 no segundo, obtemos os vetores dire¸ca˜o (1, 5) e (−5, 1), que s˜ao mutuamente perpendiculares.

Logo, as duas retas poss´ıveis s˜ao da forma: x + 5y = c1

ou

− 5x + y = c2 .

As constantes c1 e c2 s˜ao determinadas sabendo que as retas passam pelo ponto (2, −1): c1 = 2 + 5(−1) = −3

e

c2 = −5(2) + (−1) = −11 .

Portanto, as retas procuradas tˆem equa¸co˜es cartesianas: x + 5y = −3

e

− 5x + y = −11 .

Exemplo 4.13 Determinar o ponto P sim´etrico ao ponto P = (4, 1) com respeito `a reta r : 2x − y = 2.

Solu¸ca˜o: Para obtermos o ponto P tra¸camos a reta perpendicular a` reta r que passa por P . Essa reta intersecta r em um ponto Q. O ponto P −−→ −−→ procurado ´e o ponto tal que Q ´e o ponto m´edio de P P . Isto ´e, P Q = QP .

Figura 4.12: Exemplo 4.13.

Como o vetor (2, −1) ´e perpendicular a` reta r, ent˜ao ele ´e um vetor dire¸ca˜o da reta .

Portanto, (1, 2) ´e perpendicular a` reta e a sua equa¸ca˜o cartesiana tem a forma : x + 2y = c, onde o n´ umero c ´e obtido substituindo, na equa¸ca˜o de s, as coordenadas de P : c = 4 + 2(1) = 6. Logo, : x + 2y = 6.

Para obter o ponto Q resolvemos o sistema dado pelas equa¸co˜es das retas r e : ⎧ ⎨2x − y = 2 . ⎩x + 2y = 6 e obtemos Q = (2, 2). −−→ −−→ Da condi¸ca˜o QP = P Q , calculamos as coordenadas de P = (x, y): (x − 2, y − 2) = (2 − 4, 2 − 1). Logo: P = (0, 3).

Observa¸ c˜ ao.

Um problema geom´etrico interessante ´e o seguinte: dadas as retas r e s, determinar a reta r , sim´etrica `a reta r em rela¸ca˜o a s (veja a Figura 4.13).

A reta r ´e obtida da seguinte forma: seja P ∈ r tal que P ∈ s. Como no Exemplo 4.13, tomamos o ponto P sim´etrico de P em rela¸ca˜o a` reta s.

63

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Produto Interno

• Se r e s n˜ao s˜ao paralelas, r ´e a reta que passa por P e pelo ponto de interse¸ca˜o de r e s.

• Se r e s s˜ao paralelas, ent˜ao r ´e a reta que passa por P e tem a dire¸ca˜o de r.

Figura 4.13: A reta r ´e sim´etrica a` reta r em rela¸ca˜o a` reta s.

Exemplo 4.14 Determinar os pontos C e B de modo que a proje¸ca˜o ortogonal do segmento AB sobre a reta r : x + 3y = 6 seja o segmento CD, onde A = (1, 1), D = (3, 1) e AB ´e um segmento contido numa reta paralela ao vetor (2, 1).

Solu¸ca˜o: Como AB ⊂ s, onde s ´e uma reta paralela ao vetor (2, 1), temos que: −−→ −−→ OB = OA + λ(2, 1) = (1 + 2λ, 1 + λ) , para algum λ ∈ R .

A reta s que ´e perpendicular a` reta r e passa por A tem por equa¸ca˜o cartesiana: s : 3x − y = 2

(Verifique!).

Ent˜ao s intersecta r no ponto C = ( 65 , 85 ) (vocˆe j´a sabe que para determinar o ponto C basta resolver o sistema dado pelas equa¸co˜es de r e s ).

Similarmente, seja a reta perpendicular a` reta r que passa por D: : 3x − y = 8.

Como D ´e a proje¸ca˜o ortogonal do ponto B sobre a reta r, e ´e perpendicular a` reta r, ent˜ao B ∈ . Portanto, as coordenadas de B = (1 + 2λ, 1 + λ) satisfazem a equa¸ca˜o de : : 3(1 + 2λ) − (1 + λ) = 8 =⇒ 5λ + 2 = 8 =⇒ λ =

6 5

.

Logo B = (1 + 2 · 65 , 1 + 65 ) = ( 17 , 11 ) .

5 5

Resumo Nesta aula est a belecemos a no¸ca˜o de produto interno entre dois vetores do plano. Para isto foi necess´ario reest a belecer a no¸ca˜o de aˆngulo entre segmentos e definir o conceito de norma ou comprimento de um vetor. Vimos as propriedades da norma e do produto interno, interpretamos geometricamente o produto interno por meio da proje¸ca˜o ortogonal de um vetor sobre outro. Obtivemos as express˜oes da norma em coordenadas e aplicamos esses conceitos em diversas situa¸co˜es geom´etricas.

CEDERJ

64

Produto Interno

´ MODULO 1 - AULA 4

Exerc´ıcios 1. Verifique que os pontos (2, 5), (8, −1) e (−2, 1) s˜ao v´ertices de um triˆangulo retˆangulo.

2. Determine a equa¸ca˜o cartesiana da reta: a. paralela a` reta 2x + 5y = 1 que passa pelo ponto (1, 2). b. perpendicular a` reta y = 3x + 1 que passa pelo ponto (−3, 1). c. perpendicular a` reta x = 3 que passa pelo ponto (2, 0).

3. Sejam A = (−1, 2), B = (1, 3) e C = (0, −4) pontos do plano. Deter mine a bissetriz do aˆngulo BAC. Indica¸ca˜o: Lembre que a bissetriz de um aˆngulo ´e a reta que divide em dois outros aˆngulos de medidas iguais.

Considere os pontos B na semi-reta AB e C na semi-reta AC tais que −−−→ → −−−→ → − − → ´e a v = AB e − w = AC sejam unit´ arios. Observe que o vetor → v +− w dire¸ca˜o da reta desejada.

4. Determine a reta sim´etrica `a reta r em rela¸ca˜o a` reta s, onde: a. r : 4x − y = 3 e s : 2x − y = −1 . b. r : 2x − 3y = 1 , e s : 2x − 3y = 2 .

5. Determine as equa¸co˜es das retas que passam pelo ponto P = (1, 1) e formam, cada uma, um aˆngulo de 30o com a reta r : x − 3y = 1 .

6. Dados os pontos A = (1, 0), B = (2, 4), C = (2, 1) e a reta r : 3x−2y = −−→ 4, determine D ∈ r tal que o vetor CD seja a proje¸ca˜o ortogonal do −−→ vetor AB sobre r.

7. Seja r a mediatriz do segmento AB, onde A = (5, 3) e B = (1, −1).

Determine pontos C, D ∈ r de modo que ACBD seja um quadrado.

8. Determine a, b ∈ R de modo que a proje¸ca˜o ortogonal do segmento AB sobre a reta x − 2y = 1 seja o segmento CD, onde C = (1, 0), D = (3, 1), A = (0, a) e B = (1, b).

9. Seja P o paralelogramo ABCD, cujas diagonais s˜ao perpendiculares e se cortam no ponto M = (2, 2). Se A = (1, 1) e o comprimento de lado √ AB ´e igual a 10, determine os outros v´ertices de P. 65

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Produto Interno

10. A hipotenusa de um triˆangulo retˆangulo ABC est´a sobre a reta 2x + 3y = 5. O v´ertice A do aˆngulo reto ´e o ponto (1, −1) e o v´ertice B tem a bscissa −2. Determine as coordenadas dos v´ertices B e C. 11. Seja BB um segmento que cont´em o segmento BA, onde A = (1, 1) −−→ − ´e o ponto m´edio de BB e AB ´e paralelo ao vetor → v = (2, 1). Se a proje¸ca˜o ortogonal de B sobre a reta r : x+3y = 5 ´e o ponto C = (2, 1), determine as coordenadas do ponto B .

12. Seja P o paralelogramo ABCD, com o lado AB sobre a reta r e uma das diagonais sobre a reta s, onde: r : x + 2y = 1 e s : x + y = 2.

Se o ponto m´edio da diagonal AC ´e o ponto M = (1, 1) e as diagonais s˜ao perpendiculares, determine os v´ertices e a ´area de P.

Auto-avalia¸ca˜o Os exerc´ıcios acima avaliam se vocˆe assimilou todos os conceitos apresentados nesta aula. Em cada um desses exerc´ıcios, os conceitos de produto interno, norma, perpendicularidade e medida de aˆngulos s˜ao manipulados de forma unificada. Caso tenha dificuldade ao resolvˆe-los, volte e reveja os conceitos apresentados. Lembre-se que os tutores podem ajud´a-lo. N˜ao esque¸ca de trocar id´eias com os seus colegas.

Apˆendice A. Lei dos cossenos Nesta aula usamos a Lei dos cossenos para obter a express˜ao do produto interno em termos de coordenadas. Apenas para complementar a nossa exposi¸c˜ao, lembramos aqui os detalhes sobre esse importante resultado: Figura 4.14: Lei dos cossenos no triˆ angulo π ABC, 0 < α ≤ 2 .

Proposi¸ c˜ ao. (Lei dos cossenos) Sejam A, B e C pontos distintos do plano. Denotemos a = |BC|, b = |AC| , , β = ABC , γ = ACB . Ent˜ao: c = |AB| e α = BAC a2 = b2 + c2 − 2bc cos α b2 = a2 + c2 − 2ac cos β c2 = a2 + b2 − 2 a b cos γ

Figura 4.15: Lei dos cossenos no triˆ angulo ABC, π2 < α ≤ π .

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Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos separadamente o caso em que os pontos n˜ao s˜ao colineares e o caso em que os pontos s˜ao colineares.

Caso 1. Os pontos A, B e C n˜ao s˜ao colineares.

Produto Interno

´ MODULO 1 - AULA 4

Tra¸cando a altura CH em rela¸ca˜o ao lado AB e aplicando o Teorema de Pit´agoras ao triˆangulo HBC, temos a2 = |BH|2 + |CH|2 .

Observe que, se 0 < α < π2 , como na Figura 4.14, ent˜ao: |AH| = b cos α , |CH| = b sen α e |BH| = c − |AH| = c − b cos α .

Logo, a2

= (c − b cos α)2 + (b sen α)2 = c2 − 2bc cos α + b2 cos2 α + b2 sen2 α = c2 − 2bc cos α + b2 (cos2 α + sen2 α) = c2 + b2 − 2bc cos α .

As outras rela¸co˜es s˜ao obtidas tra¸cando as outras alturas.

Se π2 < α ≤ π, ent˜ao: |AH| = b | cos(π − α)| , |CH| = b | sen(π − α)| e |BH| = c + |AH|.

O resto dos c´alculos segue como no caso em que 0 < α ≤ π2 .

Caso 2. Os pontos A, B e C s˜ao colineares.

De fato, sejam a = |BC|, b = |AC| e c = |AB|.

Suponhamos que B esteja entre A e C (veja a Figura 4.16).

Ent˜ao, • o aˆngulo α entre AB e AC ´e nulo, cos α = 1, a = b − c e temos:

Figura 4.16: Lei dos cossenos: A, B e C colineares.

a2 = b2 + c2 − 2bc = b2 + c2 − 2bc cos α .

• o aˆngulo β entre BA e BC ´e π, cos β = −1, b = a + c e temos: b2 = a2 + c2 + 2 a b = a2 + c2 − 2ac cos β .

• o aˆngulo γ entre CA e CB ´e nulo, cos γ = 1, c = b − a e temos: c2 = a2 + b2 − 2 a b = a2 + b2 − 2 a b cos γ .

O caso em que A est´a entre B e C e o caso em que C est´a entre A e B s˜ao analisados de maneira similar.

67

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Produto Interno

ApË&#x2020;endice B. A desigualdade triangular Desigualdade triangular.

A interpreta¸ca Ë&#x153;o geom´ etrica da desigualdade triangular ´e que, num triË&#x2020; angulo qualquer, a soma dos comprimentos de dois lados ´ e sempre maior que o comprimento do terceiro lado.

Observe que, representando os comprimentos de dois dos lados de um triË&#x2020; angulo por meio das normas dos vetores â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;, o terceiro lado ´ v eâ&#x2C6;&#x2019; w e representado pela norma do â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;. vetor â&#x2C6;&#x2019; v +â&#x2C6;&#x2019; w

Neste apË&#x2020;endice vamos demonstrar a desigualdade triangular anunciada na propriedade 4, da Proposi¸caË&#x153;o 4.8: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; do plano, temos: Para quaisquer vetores â&#x2020;&#x2019; v eâ&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2030;¤ â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019; v +â&#x2C6;&#x2019; w v + â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; sË&#x153;ao Antes de demonstrarmos a desigualdade, observe que se â&#x2020;&#x2019; v e â&#x2C6;&#x2019; w vetores do plano, entË&#x153;ao: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; | â&#x2030;¤ â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;

| â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w Com efeito, sabemos que o cosseno de um aË&#x2020;ngulo qualquer ´e um n´ umero â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; real pertencente ao intervalo [â&#x2C6;&#x2019;1, 1], logo | cos( v , w )| â&#x2030;¤ 1 e temos: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; | = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; | cos(â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)| â&#x2030;¤ â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 1 = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; . | â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w v

â&#x2C6;&#x2019; w Demonstra¸ cË&#x153; ao da desigualdade triangular.

Figura 4.17: Desigualdade triangular.

Lembre que...

Se a e b sË&#x153; ao n´ umeros reais nË&#x153; ao negativos, entË&#x153; ao a desigualdade a â&#x2030;¤ b equivale a ` desigualdade a2 â&#x2030;¤ b2 pois a fun¸ca Ë&#x153;o f (x) = x2 , x â&#x2030;Ľ 0, ´ e crescente.

Como a norma de um vetor ´e um n´ umero nË&#x153;ao negativo, vemos que a desigualdade triangular ´e equivalente a` seguinte desigualdade: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2030;¤ ( â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; )2 .

â&#x2020;&#x2019; v +â&#x2C6;&#x2019; w v + â&#x2C6;&#x2019; w Para demonstrar esta desigualdade, desenvolvemos o lado direito usando a propriedade distributiva do produto interno e as observa¸coË&#x153;es acima: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 = â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;, â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;

â&#x2020;&#x2019; v +â&#x2C6;&#x2019; w v +â&#x2C6;&#x2019; w v +â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;, â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2020;&#x2019; v + 2 â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w w w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 = â&#x2020;&#x2019; v 2 + 2 â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; + â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2030;¤ â&#x2020;&#x2019; v 2 + 2 â&#x2020;&#x2019; v

â&#x2C6;&#x2019; w w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; )2 , = ( â&#x2020;&#x2019; v + â&#x2C6;&#x2019; w demonstrando assim a desigualdade triangular. .

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Produto interno - Aplica¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 5

Aula 5 – Produto interno - Aplica¸ co ˜es Objetivos • Calcular ´areas de paralelogramos e triˆangulos.

• Calcular a distˆancia de um ponto a uma reta e entre duas retas.

• Determinar as bissetrizes de duas retas concorrentes.

Nesta aula vamos usar o produto interno e a norma para calcular a´reas de paralelogramos e triˆangulos e calcular distˆancias entre pontos e retas e entre retas paralelas. Afinal, todas as situa¸co˜es geom´etricas no plano que envolvem a determina¸ca˜o de distˆancias e aˆngulos no plano, podem ser analisadas em termos de produtos internos de vetores. ´ Areas de paralelogramos e triˆ angulos.

Sabemos que a a´rea de um paralelogramo ABCD ´e o produto da medida de um dos seus lados pela altura em rela¸ca˜o a esse lado. No paralelogramo da Figura 5.1, DD ´e a altura em rela¸ca˜o ao lado AB, logo: Figura 5.1: Paralelogramo ABCD.

´ Area de ABCD = |AB| · |DD | .

AD, segue da trigonometria que |DD | = |AD| | sen α| e substi Se α = D tuindo express˜ao da a´rea, obtemos:

´ Area de ABCD = |AB| · |AD| · | sen α|.

Lembre que...

Um paralelogramo ´ e um quadril´ atero que tem lados opostos paralelos.

Vocˆ e pode verificar que isso implica que os lados opostos s˜ ao congruentes.

Para expressar essa a´rea em termos do produto interno, consideremos −−→ → −−→ − os vetores n˜ao-nulos → v = AB e − w = AD . Ent˜ao, − |AB| = → v , e

→ , |AD| = − w

− →)| , | sen α| = | sen(→ v ,− w

− →) ´e o aˆngulo de → − →. Substituindo na express˜ao da a´rea, onde (→ v ,− w v para − w temos: − → · | sen(→ − →)| . ´ Area de ABCD = → v · − w v ,− w (5.1) → − − →

→ − → − − →= − →) = v , w .

Como → v = 0 e − w 0 , temos cos(→ v ,− w − → → v · − w − →) = 1 − cos2 (→ − →) .

Al´em disso, sabemos que sen2 (→ v ,− w v ,− w

Lembre que...

A rela¸ca ˜o cos2 θ + sen2 θ = 1 ´ e v´ alida qualquer que seja o a ˆngulo θ. Dessa rela¸ca ˜o, obtemos sen2 θ = 1 − cos2 θ . √ Logo, | sen θ| = 1 − cos2 θ , para todo θ.

Logo, 69

CEDERJ

Produto interno - Aplica¸coË&#x153;es

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;)| = 1 â&#x2C6;&#x2019; cos2 (â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019;) 12 | sen(â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 12 â&#x2020;&#x2019; v ,â&#x2C6;&#x2019; w = 1â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 v |w

=

â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 12 â&#x2C6;&#x2019; v 2 |â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2020;&#x2019; v 2 |â&#x2C6;&#x2019; w

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2020;&#x2019; v 2 |â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w . â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v |â&#x2C6;&#x2019; w

=

Substituindo essa expressË&#x153;ao na identidade (5.1), temos:

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2020;&#x2019; v 2 |â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ´ Area de ABCD = v

w

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v |â&#x2C6;&#x2019; w

=

â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; 2 .

â&#x2020;&#x2019; v 2 â&#x2C6;&#x2019; w v ,â&#x2C6;&#x2019; w

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; = |AD| : Como â&#x2020;&#x2019; v = AB , â&#x2C6;&#x2019; w = AD , â&#x2C6;&#x2019; v = |AB| e â&#x2C6;&#x2019; w

´ Area de ABCD =

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; 2 |AB|2 |AD|2 â&#x2C6;&#x2019; AB , AD

(5.2)

Exemplo 5.1 Sejam os pontos A = (0, â&#x2C6;&#x2019;1), B = (3, 0), C = (1, 2) e D = (â&#x2C6;&#x2019;2, 1). Mostrar que o quadril´atero ABCD ´e um paralelogramo e calculemos sua a´rea.

Figura 5.2: 5.1 .

Exemplo

Solu¸caË&#x153;o: Para mostrar que o quadril´atero ABCD ´e um paralelogramo, basta veriďŹ car que seus lados opostos sË&#x153;ao paralelos. Isso equivale a mostrar que os â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; vetores AB e CD sË&#x153;ao colineares e que os vetores AD e BC tamb´em sË&#x153;ao colineares. â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; AB = (3 â&#x2C6;&#x2019; 0, 0 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1)) = (3, 1), CD = (â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; 1, 1 â&#x2C6;&#x2019; 2) = (â&#x2C6;&#x2019;3, â&#x2C6;&#x2019;1) , â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; AD = (â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019; 0, 1 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;1)) = (â&#x2C6;&#x2019;2, 2), BC = (1 â&#x2C6;&#x2019; 3, 2 â&#x2C6;&#x2019; 0) = (â&#x2C6;&#x2019;2, 2). â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Dessas expressË&#x153;oes vemos que AB ´e colinear a CD e AD ´e colinear a BC .

Para determinar a a´rea de ABCD calculamos:

â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; |AB| = 32 + 12 = 10 , |AD| = (â&#x2C6;&#x2019;2)2 + 22 = 8 , â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; AB , AD = (3, 1), (â&#x2C6;&#x2019;2, 2) = 3 Ă&#x2014; (â&#x2C6;&#x2019;2) + 1 Ă&#x2014; 2 = â&#x2C6;&#x2019;6 + 2 = â&#x2C6;&#x2019;4.

Substituindo esses valores na f´ormula (5.2), obtemos:

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; |AB|2 |AD|2 â&#x2C6;&#x2019; AB , AD 2 = 10 Ă&#x2014; 8 â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;4)2 â&#x2C6;&#x161; â&#x2C6;&#x161; = 80 â&#x2C6;&#x2019; 16 = 64 = 8 unidades de a´rea.

´ Area de ABCD =

CEDERJ

70

Produto interno - Aplica¸coË&#x153;es

´ MODULO 1 - AULA 5

Consideremos agora um triË&#x2020;angulo ABC. Sabemos que sua a´rea ´e a metade do produto do comprimento de um dos lados pela altura em rela¸caË&#x153;o a esse lado (Figura 5.2). Portanto, se AB ´e o lado considerado e CC ´e a altura, entË&#x153;ao: ´ Area de ABC = 12 |AB| ¡ |CC | .

Sendo |AB|¡|CC | a a´rea do paralelogramo ABA C (Figura 5.3), onde A ´e o ponto de interse¸caË&#x153;o da reta paralela ao segmento AC que passa por B com a reta paralela e AB que passa por C, obtemos:

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; 1 ´ (5.3) Area de ABC = 2 |AB|2 |AC|2 â&#x2C6;&#x2019; AB , AC 2

Figura 5.3: TriË&#x2020; angulo ABC e paralelogramo ABA C.

DistË&#x2020; ancia de um ponto a uma reta.

Seja r uma reta e P um ponto do plano. A distË&#x2020; ancia de P a r, que denotamos d(P, r) ´e assim deďŹ nida: a reta s que passa pelo ponto P e ´e perpendicular a` reta r, intersecta r num u ´ nico ponto P0 . A distË&#x2020;ancia de P a r ´e a distË&#x2020;ancia de P a P0 , isto ´e (veja a Figura 5.4): d(P, r) = |P P0 | .

Note que se Q â&#x2C6;&#x2C6; r , Q = P0 , entË&#x153;ao a distË&#x2020;ancia de P a Q ´e maior que a distË&#x2020;ancia de P a P0 , pois no triË&#x2020;angulo P P0 Q, o lado P Q ´e oposto ao aË&#x2020;ngulo reto, sendo, portanto, o maior dos lados desse triË&#x2020;angulo.

Observa¸ cË&#x153; ao.

P â&#x2C6;&#x2C6; r =â&#x2021;&#x2019; d(P, r) = 0, pois P0 = P e d(P, r) = |P P0| = |P P | = 0 .

Figura 5.4: de P a r.

DistË&#x2020; ancia

Lembre que...

Dados dois lados de um triË&#x2020; angulo, o maior lado ´e o oposto ao maior Ë&#x2020; angulo.

Vejamos agora como calcular a distË&#x2020;ancia de um ponto P = (x1 , y1) a uma reta r : ax + by = c.

Da Aula 4, sabemos que Ρ = (a, b) ´e um vetor normal (perpendicular) a` reta r .

Portanto, a reta s que passa por P e ´e perpendicular a r tem equa¸coË&#x153;es param´etricas: â&#x17D;§ â&#x17D;¨x = x + at 1 s: , t â&#x2C6;&#x2C6; R. â&#x17D;Šy = y1 + bt Como {P0 } = r â&#x2C6;Š s, o ponto P0 ´e um ponto de s.

Logo, existe um n´ umero real t0 , tal que P0 = (x1 + at0 , y1 + bt0 ).

Pela deďŹ ni¸caË&#x153;o da distË&#x2020;ancia de um ponto a uma reta, temos:

d(P, r) = |P P0| = (x1 + at0 â&#x2C6;&#x2019; x1 )2 + (y1 + bt0 â&#x2C6;&#x2019; y1 )2

â&#x2C6;&#x161; = a2 t20 + b2 t20 = |t0 | a2 + b2 .

71

CEDERJ

Produto interno - Aplica¸co˜es

Resta encontrarmos o valor de t0 .

Como P0 ∈ r, as suas coordenadas satisfazem a equa¸ca˜o de r: a(x1 + at0 ) + b(y1 + bt0 ) = c .

Desenvolvendo essa igualdade, obtemos o valor de t0 : ax1 + a2 t0 + by + b2 t0 = c =⇒ t0 (a2 + b2 ) = c − ax1 − by1 =⇒ t0 =

c − ax1 − by1 −(ax1 + by1 − c) = .

2 2 a +b a2 + b2

Substituindo esse valor de t0 na equa¸ca˜o (5.4) da distˆancia de P a r:

√ −(ax1 + by1 − c) √ 2 d(P, r) = |t0 | a2 + b2 = a + b2 a2 + b2 |ax1 + by1 − c| √ 2 |ax1 + by1 − c| = a + b2 = √ .

2 2 2 2 a +b

Na proposi¸ c˜ ao 5.11...

Preste muita aten¸ca ˜o a ` forma da equa¸ca ˜o da reta.

Obviamente, a distˆ ancia do ponto P = (x1 , y1 ) a ` reta r : ax + by + d = 0 ´ e dada por d(P, r) =

|ax1 + by1 + d| √ . a2 + b2

a +b

Destacamos o resultado obtido da seguinte maneira: Proposi¸c˜ao 5.11 A distˆancia do ponto P = (x1 , y1) a` reta r : ax + by = c ´e igual a d(P, r) =

|ax1 + by1 − c| √ a2 + b2

(5.4)

Exemplo 5.2 Determinemos a distˆancia do ponto P = (−4, −2) a` reta r de equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎨x = −3 + 5t , t ∈ R. r: ⎩y = −2 + 3t

Figura 5.5: 5.2

Exemplo

Solu¸ca˜o: Para usar a equa¸ca˜o (5.4), devemos conhecer a equa¸ca˜o cartesiana da reta r. Colocando em evidˆencia o parˆametro t em cada uma das equa¸co˜es param´etricas: x = −3 + 5t =⇒ t =

x+3 , 5

y = −2 + 3t =⇒ t =

e igualando as express˜oes de t, obtemos: x+3 y+2 = .

5 3

Logo, a equa¸ca˜o cartesiana de r ´e r : 3x − 5y = 1 .

CEDERJ

72

y+2 .

3

Produto interno - Aplica¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 5

Nessa equa¸ca˜o cartesiana identificamos a = 3, b = −5, e c = 1.

Substituindo esses dados na rela¸ca˜o (5.4), junto com as coordenadas x1 = −4 e y1 = −2 do ponto P , obtemos a distˆancia de P a r (em unidades de comprimento): √ |3(−4) − 5(−2) − 1| | − 3| 3 3 34

= √ =√ = . d(P, r) = 34 34 34 32 + (−5)2

Como aplica¸ca˜o do conceito de distˆancia de um ponto a uma reta, veremos como determinar as bissetrizes entre duas retas concorrentes.

Defini¸c˜ao 5.18 Uma reta r ´e chamada uma bissetriz de duas retas concorrentes r1 e r2 , se os aˆngulos de r a r1 e de r a r2 s˜ao iguais. Veja a Figura 5.6.

Primeiramente, vamos caracterizar uma bissetriz em termos de distˆancia: Proposi¸c˜ao 5.12 Uma reta r ´e uma bissetriz das retas r1 e r2 se, e somente se, os pontos de r s˜ao eq¨ uidistantes das retas r1 e r2 .

Figura 5.6: Bissetrizes de r1 e r2 .

Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que r ´e uma bissetriz das retas r1 e r2 que se cortam no ponto P0 e seja P ∈ r um ponto arbitr´ario.

A reta perpendicular a r1 que passa por P intersecta r1 no ponto Q1 e a reta perpendicular a r2 que passa por P intersecta r2 no ponto Q2 , como mostramos na Figura 5.7.

Consideramos os triˆangulos retˆangulos P0 Q1 P e P0 Q2 P .

Figura 5.7: Bissetriz de r1 e r2 .

Como r ´e bissetriz de r1 e r2 , os aˆngulos P P0 Q1 e P P0 Q2 tˆem a mesma medida e, como os aˆngulos P0 Q1 P e P0 Q2 P s˜ao retos, conclu´ımos que os aˆngulos P0 P Q1 e P0 P Q2 tˆem, tamb´em, a mesma medida.

Portanto, os triˆangulos P0 Q1 P e P0 Q2 P s˜ao congruentes, pois tˆem o lado P0 P em comum (crit´erio de congruˆencia ”ALA”: aˆngulo-lado-ˆangulo).

Em particular, as medidas d(P, r1) = |P Q1 | e d(P, r2 ) = |P Q2| s˜ao iguais.

Como P ∈ r foi escolhido arbitrariamente, conclu´ımos que os pontos da bissetriz r s˜ao eq¨ uidistantes de r1 e r2 .

Reciprocamente, vejamos que se P ´e um ponto eq¨ uidistante de r1 e r2 , ent˜ao a reta r que passa por P e P0 ´e uma bissetriz de r1 e r2 .

A nossa hip´otese equivale a |P Q1 | = |P Q2 | (ver Figura 5.7).

Como os triˆangulos P0 Q1 P e P0 Q2 P tˆem o lado P0 P em comum, obtemos, pelo Teorema de Pit´agoras, que os lados P0 Q1 e P0 Q2 tˆem a mesma medida e portanto os triˆangulos s˜ao congruentes.

73

CEDERJ

Produto interno - Aplica¸coË&#x153;es

Logo, os aË&#x2020;ngulos Q1 P0 P e Q2 P0 P tË&#x2020;em a mesma medida. Isto ´e, a reta r ´e bissetriz de r1 e r2 .

Exemplo 5.3 VeriďŹ quemos que as retas r1 : 3x + 4y = 1 e r2 : y = â&#x2C6;&#x2019;3 sË&#x153;ao concorrentes e determinemos as suas bissetrizes.

Solu¸caË&#x153;o: As retas r1 e r2 sË&#x153;ao concorrentes pois o determinante da matriz cujas ďŹ las sË&#x153;ao os vetores normais dessas retas, ´e diferente de zero (lembre que isso implica que os vetores normais sË&#x153;ao LI, ou seja, nË&#x153;ao sË&#x153;ao paralelos):

3 4

= 3 Ă&#x2014; 1 â&#x2C6;&#x2019; 4 Ă&#x2014; 0 = 3 = 0 .

0 1

Figura 5.8: Exemplo 5.3.

Para determinar as bissetrizes, tomamos um ponto arbitr´ario P = (x, y) do plano, tal que d(P, r1) = d(P, r2). Calculando as distË&#x2020;ancias de P a r1 e r2 usando a f´ormula (5.4), obtemos: |3x + 4y â&#x2C6;&#x2019; 1| |y + 3| â&#x2C6;&#x161; =â&#x2C6;&#x161; 2 , 2 2 3 +4 0 + 12

ou seja,

|3x + 4y â&#x2C6;&#x2019; 1| = |y + 3| , ou ainda |3x + 4y â&#x2C6;&#x2019; 1| = 5|y + 3| .

5

Eliminando os valores absolutos, a u ´ltima identidade equivale a: 3x + 4y â&#x2C6;&#x2019; 1 = 5y + 15

ou

3x + 4y â&#x2C6;&#x2019; 1 = â&#x2C6;&#x2019;5y â&#x2C6;&#x2019; 15 ,

obtendo assim duas poss´Ĺveis equa¸coË&#x153;es para a bissetriz r: r : 3x â&#x2C6;&#x2019; y = 16

ou

r : 3x + 9y = â&#x2C6;&#x2019;14 .

Observe que as duas bissetrizes sË&#x153;ao perpendiculares, pois, calculando o produto interno dos vetores normais, temos: (3, â&#x2C6;&#x2019;1), (3, 9) = 3 Ă&#x2014; 3 + (â&#x2C6;&#x2019;1) Ă&#x2014; 9 = 0 .

Veja, na Figura 5.8, as retas r1 e r2 junto com as suas bissetrizes.

DistË&#x2020; ancia entre duas retas paralelas ou coincidentes.

Sabemos duas retas r e s no plano podem estar em trË&#x2020;es poss´Ĺveis posi¸coË&#x153;es, a saber, as retas r e s podem ser: CEDERJ

74

Produto interno - Aplica¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 5

• coincidentes, quando determinam o mesmo conjunto de pontos no plano, • concorrentes, quando se intersectam em um u ´ nico ponto, • paralelas, quando n˜ao se intersectam.

Definimos a distˆancia entre as duas retas paralelas ou coincidentes da seguinte maneira: Defini¸c˜ao 5.19 Sejam r e s duas retas no plano que s˜ao paralelas ou coincidentes.

• Se r e s s˜ao coincidentes, dizemos que a distˆancia entre elas, que denotamos d(r, s), ´e igual a zero.

• Se r e s s˜ao paralelas, a distˆancia d(r, s) ´e a distˆancia de um ponto qualquer de r a s. d(r, s) = d(P, s) , sendo P um ponto qualquer de r e r s Na Figura 5.9 mostramos duas retas paralelas r e s. Na reta r escolhemos dois pontos P e Q. A reta perpendicular a r (e portanto a s) que passa pelo ponto P , intersecta s num u ´ nico ponto P . Analogamente, a reta perpendicular a r que passa pelo ponto Q intersecta s num u ´nico ponto Q .

Vocˆe pode usar congruˆencia de triˆangulos para verificar que |P P | = |QQ |.

Isto ´e, d(P, s) = d(Q, s). Logo, a distˆancia entre duas retas est´a bem definida.

Al´em disso, trocando os pap´eis de r e s nas considera¸co˜es acima, vemos que d´a no mesmo medir a distˆancia de r a s ou de s a r: d(r, s) = d(P, s) = d(P, P ) = d(P , r) = d(s, r) .

Exemplo 5.4 Determinemos a distˆancia entre as retas r e s dadas por: r : 3x − 6y = 2 e s : 2x − 4y = −5

Figura 5.9: de r e s.

Distˆ ancia

A distˆ ancia de r a s.

Na Figura 5.9 vocˆ e pode usar congruˆ encia de triˆ angulos para verificar que d(P, P ) = d(Q, Q ).

Por exemplo, verifique que os triˆ angulos P P Q e QQ P s˜ ao congruentes. Portanto, d(P, s) = d(Q, s) quaisquer que sejam os pontos P, Q ∈ r. Logo, o c´ alculo da distˆ ancia de r a s independe da escolha do ponto P na reta r. Dito em outras palavras, a distˆ ancia entre duas retas paralelas ou coincidentes est´ a bem definida.

75

CEDERJ

Produto interno - Aplica¸co˜es

Solu¸ca˜o: Note que as retas r e s s˜ao paralelas, pois os seus vetores normais (3, −6) e (2, −4) s˜ao paralelos.

De fato, (2, −4) = 23 (3, −6) (Figura 5.10).

Determinamos a distˆancia de r a s escolhendo um ponto P na r e calculando a sua distˆancia a` reta s.

Tomando x = 0 na equa¸ca˜o de r obtemos y = − 31 . Logo, o ponto P = (0, − 13 ) pertence a` reta r. Usando a f´ormula (5.4):

Figura 5.10: Exemplo 5.4.

√ 4 19 19 |2(0) − 4(− 13 ) + 5| +5 19 5 3 3 3 =√ =√ = √ = , d(r, s) = d(P, s) = 2 30 4 + 16 20 2 5 2 + (−4)2

em unidades de comprimento.

Resumo Nesta aula vimos como usar o produto interno para calcular a´reas de paralelogramos e triˆangulos, a distˆancia de um ponto a uma reta, a distˆancia entre duas retas paralelas e as bissetrizes de duas retas concorrentes.

Exerc´ıcios 1. Em cada um dos itens abaixo, ache o ponto D de modo que ABCD seja um paralelogramo e calcule a sua a´rea. a. A = (−1, 1) , B = (2, −1) , C = (4, 2) . b. A = (2, 1) , B = (−1, −1) , C = (1, 2) . c. A = (0, 1) , B = (0, −1) , C = (5, 2) . d. A = (2, 3) , B = (2, −3) , C = (3, 2) .

2. Determine a distˆancia do ponto P a` reta r , onde: , 2) , a. P = ( −3 5

r : x = 4.

b. P = (1, −1) ,

r : 3x − 2y = 0 .

r : x + 4y = −3 . ⎧ ⎨x = t − 2 , t ∈ R. d. P = (3, −1) , r : ⎩y = −2t ⎧ ⎨x = 2t + 1 , t ∈ R. e. P = (0, −2) , r : ⎩y = −t + 3 c. P = (3, 2) ,

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Produto interno - Aplica¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 5

3. Verifique que o quadril´atero ABCD , A = (−2, 2) , B = (3, −3) , C = (3, 0) e D = (1, 2), ´e um trap´ezio is´osceles e calcule sua ´area usando o produto interno.

4. Determine se as retas r e r s˜ao concorrentes ou n˜ao, caso afirmativo, ache as bissetrizes. r : y = 3 − 2x . ⎧ ⎨x = 2t − 1

, t ∈ R. b. r : x = y + 1 , r : ⎩y = t ⎧ ⎧ ⎨x = t + 1 ⎨x = s , t ∈ R , r : c. r : , s ∈ R. ⎩y = −t − 2 ⎩y = −s − 1 a. r : 3x + y = 1 ,

5. Determine se as retas r e s s˜ao paralelas ou n˜ao, caso afirmativo, calcule a distˆancia entre elas. a. r : 4x − y = −1 , s : y = 4x − 3 . ⎧ ⎧ ⎨x = 6 − 3u ⎨x = 3 − t , , t ∈ R, s : b. r : ⎩y = 2u − 1 ⎩y = t ⎧ ⎨x = −1 − t , t ∈ R. c. r : 4x + 2y = 3 , s : ⎩y = 3 + 2t . ⎧ ⎨x = −1 + 3t d. r : y = 3 − 2x , s : , t ∈ R. ⎩y = 3 − 6t .

u ∈ R.

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe resolveu os exerc´ıcios, vocˆe fixou as t´ecnicas desenvolvidas na aula e sabe utilizar o produto interno para determinar a´reas e calcular distˆancias de pontos a retas e entre retas. Fixe bem a no¸ca˜o de bissetriz resolvendo, em particular, o Exerc´ıcio 4. N˜ao acumule d´ uvidas, reveja o conte´ udo da aula e pe¸ca ajuda aos tutores.

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

´ MODULO 1 - AULA 6

Aula 6 – Produto interno - Aplica¸ co ˜es (continua¸ c˜ ao) Objetivos • Calcular a distˆancia de um ponto a um c´ırculo e de uma reta a um c´ırculo.

• Determinar retas tangentes a um c´ırculo.

• Entender a posi¸ca˜o relativa entre dois c´ırculos e calcular a distˆancia entre eles.

Nesta aula, continuamos a aplicar as t´ecnicas para determinar distˆancias, obtidas atrav´es do produto interno, para analisar a posi¸ca˜o relativa de pontos, retas e c´ırculos com respeito a c´ırculos. Al´em disso, veremos como determinar as tangentes a um c´ırculo que passam por um ponto dado. Para isso, apresentamos as no¸co˜es b´asicas sobre o c´ırculo no plano inclu´ındo: a determina¸ca˜o da sua equa¸ca˜o; a introdu¸ca˜o dos conceitos de retas tangente e normal num ponto pertencente ao c´ırculo; o esbo¸co do gr´afico do c´ırculo a partir da sua equa¸ca˜o e a identifica¸ca˜o de pontos interiores e exteriores a um c´ırculo dado.

Sobre c´ırculos ...

O conte´ udo preliminar que apresentamos sobre c´ırculos foi extra´ıdo de Pr´ e-C´ alculo: M´ odulo 2, Curvas Planas de J. Delgado G´ omez e M. L. Torres Villela, Ed. CECIERJ/CEDERJ.

Preliminares sobre c´ırculos Sejam C um ponto no plano e r um n´ umero real positivo. O c´ırculo Γ de centro C e raio r > 0 ´e o lugar geom´etrico dos pontos do plano cuja distˆancia ao ponto C ´e igual a r:

O s´ımbolo Γ ´ e a mai´ uscula da letra grega γ, que se lˆ e “gama”.

Γ = {P | d(P, C) = r} Figura 6.1: C´ırculo de centro C e raio r.

Determinemos a equa¸ca˜o que caracteriza os pontos do c´ırculo Γ de centro C e raio r > 0.

Seja P = (x, y) um ponto de Γ, representado pelas suas coordenadas em rela¸ca˜o a um sistema de coordenadas cartesianas fixado. Ent˜ao, se C = (h, k), temos P ∈ Γ ⇐⇒ d(P, C) = r ⇐⇒

Note que... os dois pontos do c´ırculo Γ, situados sobre uma reta passando pelo centro C, est˜ ao a uma distˆ ancia 2r.

Estes pontos s˜ ao ditos diametralmente opostos.

O diˆ ametro do c´ırculo ´ eo valor 2r.

(x − h)2 + (y − k)2 = r .

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

Portanto, o c´ırculo Γ de centro C = (h, k) e raio r, tem equa¸ca˜o Γ : (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 Essa equa¸ca˜o se escreve, desenvolvendo os quadrados, na forma x2 + y 2 − 2hx − 2ky + (h2 + k 2 − r 2 ) = 0 , ou seja, a equa¸ca˜o do c´ırculo Γ se escreve na chamada forma normal: A equa¸ca ˜o do c´ırculo Γ ao lado ´ e sua equa¸ca ˜o canˆ onica.

Γ : x2 + y 2 + Cx + Dy + F = 0 onde C = −2h, D = −2k e F = h2 + k 2 − r 2 . No entanto, como veremos mais adiante, nem toda equa¸ca˜o que tem essa forma representa um c´ırculo no plano.

O gr´ afico do c´ırculo Γ ´e o conjunto Graf(Γ) = {(x, y) | (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 } Exemplo 6.1 A equa¸ca˜o do c´ırculo de centro C = (0, 0) e raio r ´e x2 + y 2 = r 2 .

Observe que os pontos (r, 0), (−r, 0), (0, r) e (0, −r) s˜ao pontos deste c´ırculo.

A figura 14.2 ilustra o gr´afico deste c´ırculo.

Figura 6.2: C´ırculo de centro (0, 0) e raio r.

Exemplo 6.1

Exemplo 6.2 A equa¸ca˜o (x+3)2 +(y −2)2 = 5 representa um c´ırculo de centro C = (−3, 2) √ e raio r = 5.

Exemplo 6.3 A equa¸ca˜o x2 + y 2 + 4x − 2y − 11 = 0 ´e de um c´ırculo.

De fato, reescrevemos esta equa¸ca˜o como:

A primeira equivalˆ encia =⇒ foi obtida completando os quadrados dos polinˆ omios nas vari´ aveis x e y.

(x2 + 4x) + (y 2 − 2y) − 11 = 0 ⇐⇒ (x2 + 4x + 4 − 4) + (y 2 − 2y + 1 − 1) − 11 = 0 ⇐⇒ ((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) − 11 = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y − 1)2 = 16 ⇐⇒ (x − (−2))2 + (y − 1)2 = 42 .

Portanto, o centro do c´ırculo ´e C = (−2, 1) e o raio ´e r = 4.

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

´ MODULO 1 - AULA 6

Exemplo 6.4 Que subconjuntos do plano representam as equa¸co˜es x2 + y 2 + 4x − 2y + 5 = 0 e

x2 + y 2 + 4x − 2y + 6 = 0?

Veremos que estes conjuntos n˜ao s˜ao c´ırculos.

De fato, as duas equa¸co˜es diferem da equa¸ca˜o do exemplo anterior apenas no termo independente de x e y, isto ´e, a constante.

Procedendo de maneira an´aloga ao exemplo anterior, completamos os quadrados nas duas equa¸co˜es, olhando para os polinˆomios nas vari´aveis x e y: (x2 + 4x) + (y 2 − 2y) + 5 = 0 ⇐⇒ (x2 + 4x + 4 − 4) + (y 2 − 2y + 1 − 1) + 5 = 0 ⇐⇒ ((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) + 5 = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y − 1)2 = 0 , e (x2 + 4x) + (y 2 − 2y) + 6 = 0 ⇐⇒ (x2 + 4x + 4 − 4) + (y 2 − 2y + 1 − 1) + 6 = 0 ⇐⇒ ((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) + 6 = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y − 1)2 = −1 .

Como a soma de quadrados de n´ umeros reais ´e sempre um n´ umero real maior ou igual a zero, temos que a u ´nica solu¸ca˜o da primeira equa¸ca˜o ´e x + 2 = 0 e y − 1 = 0. Entretanto, n˜ao h´a solu¸ca˜o, em pares de n´ umeros reais, para a segunda equa¸ca˜o.

Logo, apenas o ponto (−2, 1) ´e solu¸ca˜o da primeira equa¸ca˜o e n˜ao h´a solu¸ca˜o em pares (x, y) de n´ umeros reais, para a segunda equa¸ca˜o, isto ´e, o conjunto solu¸ca˜o da segunda equa¸ca˜o ´e o conjunto vazio.

Cuidado!

Como acabamos de verificar, a equa¸ca˜o x2 + y 2 + ax + by + c = 0 nem sempre representa um c´ırculo, ela pode representar um u ´ nico ponto ou o conjunto vazio.

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

Para determinar o subconjunto do plano que esta equa¸ca˜o representa, completamos os quadrados, repetindo o que foi feito no exemplo anterior: x2 + y 2 + ax + by + c = 0

a2 a2 b2 b2 2 2 ⇐⇒ x + ax + + y + by + − +c=0 − 4 4 4 4 2

a 2 b a2 b2 ⇐⇒ x+ + y+ − − +c=0 2 2 4 4

2

a 2 b a2 b2 + y+ = + −c ⇐⇒ x+ 2 2 4 4 2

a 2 b a2 + b2 − 4c + y+ = . ⇐⇒ x+ 2

2

4

Agora, podemos responder a` pergunta. Qual o subconjunto do plano

⎧ ⎪ ⎪ ⎪ o ⎪ ⎨ Γ=

Γ = { (x, y) | x2 + y 2 + ax + by + c = 0 }?

a b ponto P = − , − , se a2 + b2 − 4c = 0 2

2

o c´ırculo de centro C e raio r, se a2 + b2 − 4c > 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩o conjunto vazio, se a2 + b2 − 4c < 0.

No segundo caso, o c´ırculo Γ tem:

a b centro C = − , − 2

2

√ a2 + b2 − 4c . raio r = 2

e

Em cada ponto P de um c´ırculo, considere a reta n que passa pelo centro C e pelo ponto P . Esta reta ´e dita normal ao c´ırculo no ponto P .

A reta t que passa pelo ponto P e ´e perpendicular a` reta n ´e chamada tangente ao c´ırculo no ponto P .

Figura 6.3: Tangente e normal ao c´ırculo

Exemplo 6.5 em P .

Determinemos as equa¸co˜es das retas horizontais e tangentes ao c´ırculo de centro C = (−2, 2) e raio r = 3.

A equa¸ca˜o deste c´ırculo ´e (x − (−2))2 + (y − 2)2 = 9 , CEDERJ

82

isto ´e

(x + 2)2 + (y − 2)2 = 9 .

Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

´ MODULO 1 - AULA 6

As retas tangentes horizontais s˜ao perpendiculares a` reta vertical s que passa pelo centro C = (−2, 2).

A equa¸ca˜o da reta s ´e x = −2. Para determinar a interse¸ca˜o do c´ırculo com a reta s, substitu´ımos a equa¸ca˜o de s na equa¸ca˜o do c´ırculo, ou seja, fazemos x = −2 na equa¸ca˜o do c´ırculo: (−2 + 2)2 + (y − 2)2 = 9 ⇐⇒ (y − 2)2 = 9 , extraindo a raiz quadrada, ⇐⇒ |y − 2| = 3 ⇐⇒ y − 2 = 3 ou y − 2 = −3 ⇐⇒ y = 5 ou y = −1 .

Portanto, os pontos do c´ırculo que est˜ao na reta s s˜ao (−2, 5) e (−2, −1).

As retas tangentes ao c´ırculo passando por estes pontos s˜ao horizontais e tˆem equa¸co˜es y = 5 e y = −1.

Exemplo 6.6 Fixemos o c´ırculo Γ de centro C = (1, 2) e raio 3, cuja equa¸ca˜o ´e (x − 1)2 + (y − 2)2 = 9 .

Os pontos P = (a, b) tais que (a − 1)2 + (b − 2)2 = 9 n˜ao est˜ao no c´ırculo Γ.

Por exemplo, os pontos A = (−1, 3) e B = (2, 5) tˆem esta propriedade, pois: ⎧ ⎨5, se (a, b) = (−1, 3) (a − 1)2 + (b − 2)2 = ⎩10, se (a, b) = (2, 5).

Fa¸ca um desenho de Γ e observe que A est´a na regi˜ao do plano limitada por Γ e que B est´a na regi˜ao do plano exterior ao c´ırculo Γ (regi˜ao ilimitada).

Os pontos P = (a, b) tais que (a − 1)2 + (b − 2)2 < 9 s˜ao ditos pontos interiores ao c´ırculo Γ. Por outro lado, os pontos P = (a, b) tais que (a − 1)2 + (b − 2)2 > 9 s˜ao ditos pontos exteriores ao c´ırculo Γ.

Em geral, se a equa¸ca˜o de um c´ırculo ´e (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 e P = (x0 , y0 ) ´e um ponto do plano, ent˜ao • P est´a no interior do c´ırculo • P est´a no c´ırculo • P est´a no exterior do c´ırculo

⇐⇒ (x0 − h)2 + (y0 − k)2 < r 2 . ⇐⇒ (x0 − h)2 + (y0 − k)2 = r 2 . ⇐⇒ (x0 − h)2 + (y0 − k)2 > r 2 .

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

Exemplo 6.7 Na figura ao lado, esbo¸camos o gr´afico do c´ırculo de centro C = (−2, 1) e raio r = 52 , cuja equa¸ca˜o ´e (x + 2)2 + (y − 1)2 = 25 .

4 O ponto A = (−2, 3) est´a no interior do c´ırculo e o ponto B = (1, 2) est´a no exterior do c´ırculo.

Dˆe outros exemplos de pontos situados no interior e exterior deste c´ırculo.

Figura 6.4: C´ırculo de centro (−2, 1) e raio 52 .

Resumindo: O c´ırculo Γ de centro no ponto P0 e raio r divide o plano em trˆes subconjuntos disjuntos (Figura 6.5): • O conjunto dos pontos de Γ.

• O conjunto de pontos interiores a Γ (ou abreviadamente, o interior de Γ) que consiste dos pontos P do plano, tais que d(P, P0 ) < r.

• O conjunto de pontos exteriores a Γ (ou simplesmente, o exterior de Γ) que consiste dos pontos P do plano, tais que Figura 6.5: P1 ´e ponto interior a Γ; P2 ´e ponto exterior a Γ; P3 ∈ Γ. d(P, P0 ) > r.

Distˆ ancia de um ponto a um c´ırculo.

A distˆ ancia de um ponto P do plano ao c´ırculo Γ, que designamos por d(P, Γ) ´e por defini¸ca˜o a menor das distˆancias de P aos pontos de Γ.

Assim, se P ∈ Γ, ent˜ao d(P, Γ) = 0 e, se P = P0 , ent˜ao d(P, Γ) = r.

Se P ´e um ponto do plano que n˜ao pertence a Γ e ´e diferente do centro P0 , ent˜ao a semi-reta com origem em P0 que passa por P intersecta o c´ırculo Γ num u ´ nico ponto Q. Usando congruˆencia de triˆangulos, mostraremos que d(P, Γ) = d(P, Q).

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84

Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

´ MODULO 1 - AULA 6

Para isso, devemos verificar que qualquer outro ponto Q de Γ distinto de Q, satisfaz |P Q | > |P Q| .

Suponhamos que P seja um ponto interior a Γ distinto do centro. Ent˜ao, o triˆangulo

P0 QQ ´e is´osceles e portanto P 0 QQ = P0 Q Q Figura 6.6: P ´e interior a Γ.

(Figura 6.6). Al´em disso, no triˆangulo P QQ , temos:

P Q Q < P 0 Q Q = P0 QQ = P QQ .

Logo, o aˆngulo oposto a P Q ´e menor que o aˆngulo oposto a P Q .

Portanto |P Q| < |P Q |.

Suponhamos agora que P seja um ponto exterior a Γ. Como o triˆangulo P0 QQ ´e e um a is´osceles (Figura 6.7), P ˆngulo 0 QQ ´

agudo. Logo, P QQ ´e um ˆangulo obtuso e,

portanto, P Q Q ´e um aˆngulo agudo.

Assim, o aˆngulo oposto a P Q ´e menor que o aˆngulo oposto a P Q e, portanto, |P Q| < |P Q |.

Figura 6.7: P ´e exterior a Γ.

Desta maneira, vemos que para determinar d(P, Γ), sendo P = P0 , basta determinar d(P, Q) = |P Q|. Isto ´e feito da seguinte maneira: • Se P ´e um ponto interior a Γ (Figura 6.6): d(P, Γ) = r − d(P, P0 ) = r − |P0 P | .

• Se P ´e um ponto de Γ, ent˜ao d(P, Γ) = 0.

• Se P ´e um ponto exterior a Γ (Figura 6.7): d(P, Γ) = d(P, P0) − r = |P0 P | − r .

Assim, qualquer que seja a posi¸ca˜o relativa de P com respeito a Γ, temos: d(P, Γ) = | r − d(P0 , P ) | = | r − |P0 P | | (6.1) Exemplo 6.8 Seja Γ o c´ırculo de equa¸ca˜o (x − 3)2 + (y + 1)2 = 4. Determinemos a posi¸ca˜o relativa dos pontos P1 = (1, 1), P2 = (3, −3) e P3 = (2, 0) com respeito ao c´ırculo Γ e calculemos as suas distˆancias a Γ. Veja a Figura 6.8.

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

Solu¸ca˜o: O c´ırculo Γ tem o seu centro no ponto P0 = (3, −1) e raio r = 2.

Para determinar a posi¸ca˜o relativa dos pontos com respeito a Γ, devemos calcular a sua distˆancia ao centro P0 :

√

√

√

a. d(P0 , P1 ) = |P0 P1 | = (1 − 3)2 + (1 − (−1))2 = 4 + 4 = 8 = 2 2 > 2 = r, logo P1 ´e um ponto exterior a Γ. Usando a equa¸ca˜o (6.1): √ √ d(P1 , Γ) = | 2 − |P0 P1 | | = | 2 − 2 2 | = 2( 2 − 1) .

b. d(P0 , P2 ) = |P0 P2 | = (3 − 3)2 + (−3 − (−1))2 = um ponto de Γ. Portanto d(P2 , Γ) = 0.

Figura 6.8: 6.8 .

Exemplo

Sobre a figura 6.9 Para mostrar que d(Q, s) < d(Q , s), observe que, no quadril´ atero

QP P Q , os a ˆngulos QP P e P P Q s˜ ao retos, enquanto QP ´

Q e obtuso, pois o triˆ angulo QQ P0 ´ e is´ osceles (verifique!). Isso implica que QP P Q n˜ ao ´ e um paralelogramo e que |QP | < |Q P |.

√

0 + 4 = 2 = r , logo P2 ´ e

√

√

c. d(P0 , P3 ) = |P0 P3 | = (2 − 3)2 + (0 − (−1))2 = 1 + 1 = 2 < 2 = r, logo P3 ´e um ponto interior a Γ. Usando a equa¸ca˜o (6.1), temos: √ √ d(P3 , Γ) = | 2 − |P0 P3 | | = | 2 − 2 | = 2 − 2 .

Distˆ ancia de uma reta a um c´ırculo.

Seja Γ o c´ırculo de centro P0 e raio r. Sabemos que uma reta s pode ou n˜ao intersectar o c´ırculo Γ.

A distˆ ancia da reta s ao c´ırculo Γ, que designamos por d(s, Γ), ´e definida como sendo a menor das distˆancias dos pontos de Γ a` reta s.

Assim, se s∩Γ = ∅, ent˜ao d(s, Γ) = 0.

Figura 6.9: d(P0 , s) − r .

d(s, Γ) = d(P, Q) =

Para verificar se s e Γ se intersectam ou n˜ao, basta determinar a distˆancia do centro P0 do c´ırculo a` reta s: • Se d(P0 , s) ≤ r, ent˜ao s ∩ Γ = ∅.

• Se d(P0 , s) > r, ent˜ao s ∩ Γ = ∅.

Usando seus conhecimentos de Geometria Elementar, vocˆe pode verificar que, se s ∩ Γ = ∅ e Q ´e o ponto onde a reta perpendicular a s que passa por P0 intersecta Γ, ent˜ao a distˆancia de s a Γ ´e a distˆancia de Q a s. Isto ´e, se Q ´e outro ponto qualquer de Γ, diferente de Q, ent˜ao d(Q , s) > d(Q, s) (veja a Figura 6.9).

Na pr´atica, se s ∩ Γ = ∅, a distˆancia de s a Γ ´e obtida da seguinte maneira: Calculamos a distˆancia do centro P0 a` reta s (que vocˆe j´a sabe como calcular) e subtra´ımos a medida do raio (Figura 6.9). Ou seja, s ∩ Γ = ∅ =⇒ d(s, Γ) = d(P0 , s) − r CEDERJ

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

´ MODULO 1 - AULA 6

Portanto, se a reta s tem equa¸ca˜o cartesiana ax + by = c e P0 = (x0 , y0 ), obtemos: d(s, Γ) = d(P0 , s) − r =

|ax0 + by0 − c| √ −r a2 + b2

Exemplo 6.9 Sejam s reta de equa¸ca˜o cartesiana 3x − 4y = −7 e Γ o c´ırculo de equa¸ca˜o x2 + y 2 − 3x + 2 = 0. Calculemos d(s, Γ).

Solu¸ca˜o: Primeiro precisamos obter as coordenadas do centro P0 e o raio r do c´ırculo Γ.

Para tanto, devemos escrever a equa¸ca˜o de Γ na forma canˆonica: (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 .

Vejamos: x2 + y 2 − 3x + 2 = 0 9 9 =⇒ x2 − 3x + + y 2 − + 2 = 0 4 4

3 2 1 2 +y = . =⇒ x− 2

Figura 6.10: Exemplo 6.9.

4

Assim, Γ ´e o c´ırculo de centro P0 = ( 32 , 0) e raio r = 12 . Logo, d(P0, s) =

3 ·

3

2 − 4(0) − (−7)

32 + (−4)2

=

9 2

+ 14 23 2 = .

5 10

Portanto, a distˆancia de s a Γ (em unidades de comprimento) ´e: d(r, Γ) = d(P0 , s) − r =

23 1 18 9 − = = .

10 2 10 5

De volta ` as retas tangentes a um c´ırculo.

Sabemos que a equa¸ca˜o canˆonica do c´ırculo Γ de centro P0 e raio r ´e (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 . Seja P = (x1 , y1) um ponto exterior a Γ.

Lembre que...

Uma reta r ´ e tangente ao c´ırculo Γ, se r ∩ Γ consiste de um u ´nico ponto, denominado ponto de tangˆ encia. A propriedade fundamental de uma reta tangente a um c´ırculo ´ e que ela ´ e perpendicular ` a reta que passa pelo centro do c´ırculo e pelo ponto de tangˆ encia (reta normal a Γ).

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Produto interno - Aplica¸coË&#x153;es (continua¸cË&#x153;ao)

Determinemos as equa¸coË&#x153;es das retas tangentes a Î&#x201C; passando pelo ponto P .

Na Figura 6.11 vemos que sempre ´e poss´Ĺvel tra¸car duas retas tangentes a Î&#x201C; passando pelo ponto P . Para determinar essas retas, precisamos determinar os pontos Q e Q onde elas sË&#x153;ao tangentes ao c´Ĺrculo Î&#x201C;.

Figura 6.11: Tangentes a Î&#x201C;.

Uma reta r passando por P ´e tangente ao c´Ĺrculo Î&#x201C; no ponto Q â&#x2C6;&#x2C6; Î&#x201C; se, e somente se, Q â&#x2C6;&#x2C6; r e r ´e perpendicular a` reta que passa por Q e pelo centro P0 de Î&#x201C;. Isto â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; ´e, os vetores diretores P Q e P0 Q dessas retas, devem ser perpendiculares: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; P Q , P0 Q = 0 . â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Observando que P Q = P P0 + P0 Q (veja a Figura 6.11), a identidade anterior se escreve: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; 0 = P P 0 + P 0 Q , P0 Q = P P 0 , P 0 Q + P 0 Q , P0 Q . â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Como Q â&#x2C6;&#x2C6; Î&#x201C;, temos P0 Q , P0 Q = P0 Q 2 = d(Q, P0 )2 = r 2 . Logo: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; r 2 + P P0 , P0 Q = 0 , â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; e sendo que â&#x2C6;&#x2019;P P0 = P0 P , obtemos: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; P0 P , P 0 Q = r 2 .

Substituindo nessa identidade as coordenadas P0 = (x0 , y0 ), P = (x1 , y1 ) e Q = (x, y), obtemos: (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )(x1 â&#x2C6;&#x2019; x0 ) + (y â&#x2C6;&#x2019; y0 )(y1 â&#x2C6;&#x2019; y0 ) = r 2 .

Al´em disso, como o ponto Q pertence ao c´Ĺrculo Î&#x201C;, as coordenadas (x, y) de Q devem satisfazer tamb´em a equa¸caË&#x153;o de Î&#x201C;: (x â&#x2C6;&#x2019; x0 )2 + (y â&#x2C6;&#x2019; y0 )2 = r 2 .

Assim, para determinarmos as coordenadas do ponto Q = (x, y) devemos resolver o sistema formado pelas duas equa¸coË&#x153;es: â&#x17D;§ â&#x17D;¨(x â&#x2C6;&#x2019; x )(x â&#x2C6;&#x2019; x ) + (y â&#x2C6;&#x2019; y )(y â&#x2C6;&#x2019; y ) = r 2 0 1 0 0 1 0 â&#x17D;Š(x â&#x2C6;&#x2019; x0 )2 + (y â&#x2C6;&#x2019; y0 )2 = r 2

(6.2)

Esse sistema possui duas solu¸coË&#x153;es Q = (x, y) e Q = (x , y ). Isso signiďŹ ca que h´a duas retas tangentes a Î&#x201C; passando pelo ponto P : a reta r que cont´em P e Q, e a reta r que cont´em P e Q (veja a Figura 6.11).

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

´ MODULO 1 - AULA 6

Exemplo 6.10 Determinemos as retas tangentes ao c´ırculo Γ : (x − 3)2 + (y − 1)2 = 2 que passam pelo ponto P = (6, 2).

Solu¸ca˜o: Substituindo as coordenadas do centro P0 = (x0 , y0) = (3, 1) de Γ e do ponto P = (x1 , y1 ) = (6, 2) no sistema (6.2), obtemos: ⎧ ⎧ ⎨3(x − 3) + y − 1 = 2 ⎨(6 − 3)(x − 3) + (2 − 1)(y − 1) = 2 , isto ´e . ⎩(x − 3)2 + (y − 1)2 = 2 ⎩(x − 3)2 + (y − 1)2 = 2 Da primeira equa¸ca˜o, temos y − 1 = 2 − 3(x − 3) = −3x + 11 e substituindo na segunda equa¸ca˜o: (x − 3)2 + (−3x + 11)2 = 2 =⇒ x2 − 6x + 9 + 9x2 − 66x + 121 = 2 =⇒ 10x2 − 72x + 128 = 0 =⇒ 5x2 − 36x + 64 = 0 .

As solu¸co˜es desta u ´ ltima equa¸ca˜o s˜ao x = 4, e x = 16 . Substituindo esses 5 valores na express˜ao y = −3x + 12, encontramos os respectivos valores de y: x = 4 =⇒ y = −3(4) + 12 = 0, logo Q = (4, 0); x = 16 =⇒ y = −3 · 16 + 12 = −48+60 = 12 , logo Q = ( 16 , 12 ).

5 5 5 5 5 5 Deixamos vocˆe verificar que a reta r1 tangente a Γ que passa por P e Q tem equa¸ca˜o r1 : x − y = 4 e que a reta r2 tangente a Γ que passa por P e Q tem equa¸ca˜o (veja a Figura 6.12) r2 : 7y − x = 20.

Figura 6.12: Exemplo 6.10.

Al´em disso, comprove tamb´em que a reta que passa pelo ponto P e pelo centro P0 de Γ ´e uma bissetriz das retas tangentes r1 e r2 .

Distˆ ancia entre c´ırculos.

A distˆancia e a posi¸ca˜o relativa entre dois c´ırculos podem ser analisadas usando outros recursos da Geometria plana. No entanto, ´e muito importante que vocˆe saiba efetuar a an´alise no contexto do c´alculo de distˆancias derivado da no¸ca˜o de produto interno.

Come¸camos considerando dois c´ırculos Γ1 e Γ2 de centros P1 , P2 e raios r1 e r2 , respectivamente. Pode acontecer que Γ1 ∩Γ2 = ∅ ou que Γ1 ∩Γ2 = ∅.

No segundo caso dizemos que a distˆ ancia entre Γ1 e Γ2 , que denotamos por d(Γ1 , Γ2 ), ´e igual a zero.

Estudemos o caso em que Γ1 ∩ Γ2 = ∅.

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CEDERJ

Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

Lembre que...

O interior de um c´ırculo Γ de centro P e raio r ´ eo conjunto dos pontos Q do plano, tais que d(P, Q) < r.

Analogamente, o exterior de Γ consiste dos pontos Q do plano, tais que d(P, Q) > r.

Finalmente, o c´ırculo Γ consiste dos pontos que ficam na fronteira entre o interior e o exterior, isto ´ e, consiste dos pontos Q, tais que d(P, Q) = r.

Sejam Ω1 o interior de Γ1 e Ω2 o interior de Γ2 , respectivamente e analisemos, separadamente, as poss´ıveis posi¸co˜es relativas entre Γ1 e Γ2 : a. Γ2 ⊂ Ω1 (note que o caso Γ1 ⊂ Ω2 ´e analisado de maneira similar). b. Ω1 ∩ Ω2 = ∅ (isto ´e, os interiores de Γ1 e Γ2 n˜ao tˆem pontos em comum).

Caso a. Γ2 ⊂ Ω1 .

Neste caso, existem ainda as seguintes possibilidades: Caso a1. Γ2 ⊂ Ω1 e P1 ∈ Γ2 ∪ Ω2 .

Consideremos a semi-reta com origem em P1 passando por P2 .

Observe que pode acontecer que P1 = P2 (c´ırculos concˆentricos) em cujo caso consideramos uma semi-reta qualquer com origem em P1 .

A semi-reta (mesmo no caso dos Figura 6.13: Γ2 ⊂ Ω1 e P1 ∈ Γ2 ∪ Ω2 . c´ırculos serem concˆentricos) intersecta Γ1 em um u ´nico ponto Q1 e Γ2 em um ponto Q2 diferente de P1 . Vocˆe pode verificar, usando Geometria Elementar, que Q2 ´e o ponto de Γ2 que est´a mais pr´oximo de Γ1 .

Definimos ent˜ao a distˆ ancia de Γ1 a Γ2 , que designamos por d(Γ1 , Γ2 ) da seguinte maneira: d(Γ1 , Γ2 ) = |Q1 Q2 | = |P1 Q1 | − |P1 Q2 | = r1 − |P1 Q2 | .

Como |P1 Q2 | = |P1 P2 | + |P2 Q2 |, temos: d(Γ1 , Γ2 ) = r1 − |P1 Q2 | = r1 − |P1 P2 | − |P2 Q2 | = r1 − |P1 P2 | − r2 .

Logo d(Γ1 , Γ2 ) = r1 − r2 − |P1 P2 | , onde r1 ´e o raio do c´ırculo maior Γ1 e r2 ´e o raio do c´ırculo menor Γ2 .

Como o caso em que Γ1 ⊂ Ω2 e P2 ∈ Ω1 ´e analisado de forma an´aloga, trocando o ´ındice 1 por 2, obtemos d(Γ1 , Γ2 ) = r2 − r1 − |P2 P1 | , onde r2 ´e o raio do c´ırculo maior e r1 ´e o raio do c´ırculo menor.

Portanto, se um c´ırculo est´a contido no interior do outro e o centro do c´ırculo maior est´a contido no interior ou sobre o c´ırculo menor, temos:

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90

Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

´ MODULO 1 - AULA 6

d(Γ1 , Γ2 ) = |r2 − r1 | − |P1 P2 | .

Com esta f´ormula calculamos ainda a distˆancia de Γ1 a Γ2 quando os c´ırculos s˜ao concˆentricos (Figura 6.14), pois, nesse caso, P1 = P2 e d(Γ1 , Γ2 ) = |r2 − r1 |.

Caso a2. Γ2 ⊂ Ω1 e P1 ∈ Γ2 ∪ Ω2 .

Neste caso, a semi-reta com origem em P1 e que passa por P2 , intersecta o c´ırculo Γ2 em dois pontos Q2 e Q 2 , pertencentes a um diˆametro de Γ2 .

Isto ´e, pontos de Γ2 que s˜ao diametralmente opostos.

Escolhemos os nomes dos pontos Q2 e Q 2 de modo que |P1 Q 2 | < |P1 Q2 |.

Assim, Q2 ´e o ponto de Γ2 que est´a mais pr´oximo de Γ1 .

Figura 6.14: C´ırculos concˆentricos.

Figura 6.15: Γ2 ⊂ Ω1 e P1 ∈ Γ2 ∪ Ω2 .

Logo, a distˆancia de Γ1 a Γ2 ´e: d(Γ1 , Γ2 ) = |Q1 Q2 | = |P1 Q1 | − |P1 Q2 | = |P1 Q1 | − (|P1 P2 | + |P2 Q2 |) .

Como |P1 Q1 | = r1 ,

e

|P2 Q2 | = r2 ,

obtemos: d(Γ1 , Γ2 ) = r1 − |P1 P2 | − r2 = r1 − r2 − |P1 P2 | .

Analogamente, se Γ1 ⊂ Ω2 e P2 ∈ Ω1 , obtemos d(Γ1 , Γ2 ) = r2 − r1 − |P2P1 | .

Resumimos a an´alise dos casos a1. e a2. da seguinte maneira: Proposi¸c˜ao 6.13 Sejam Γ1 e Γ2 os c´ırculos de centros P1 e P2 e raios r1 e r2 respectivamente.

Suponhamos que Γ1 ∩ Γ2 = ∅ e que Γ1 est´a contido no interior de Γ2 ou Γ2 est´a contido no interior de Γ1 . Ent˜ao, a distˆancia de Γ1 a Γ2 ´e: d(Γ1 , Γ2 ) = |r2 − r1 | − |P1 P2 |

(6.3)

91

CEDERJ

Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

Caso b. Ω1 ∩ Ω2 = ∅.

Consideremos o segmento P1 P2 ligando os centros de Γ1 e Γ2 . Como Γ1 ∩ Γ2 = ∅ e Ω1 ∩ Ω2 = ∅, o segmento P1 P2 intersecta Γ1 num ponto que designamos Q1 e tamb´em intersecta Γ2 num ponto que designamos Q2 .

Figura 6.16: Γ1 ∩ Γ2 ∅ e Ω1 ∩ Ω2 = ∅.

Usando Geometria Elementar podemos mostrar que o ponto Q1 ´e o ponto de Γ1 que est´a mais pr´oximo de Γ2 e que o ponto Q2 ´e o ponto de Γ2 que est´a mais pr´oximo de Γ1 e que quaisquer que sejam os pontos Q 1 ∈ Γ1 e Q 2 ∈ Γ2 , com Q1 = Q 1 ou Q2 = Q 2 , tem-se |Q1 Q2 | < |Q 1 Q 2 | (veja a Figura 6.16).

Portanto, d(Γ1 , Γ2 ) = d(Q1 , Q2 ) = |Q1 Q2 |.

Como |Q1 Q2 | = |P1 P2 | − |P1 Q1 | − |P2 Q2 | = |P1 P2 | − r1 − r2 , obtemos:

Proposi¸c˜ao 6.14 Sejam Γ1 e Γ2 c´ırculos de centros P1 e P2 , raios r1 e r2 e interiores Ω1 e Ω2 respectivamente. Suponhamos que Γ1 ∩ Γ2 = ∅ e Ω1 ∩ Ω2 = ∅. Ent˜ao:

d(Γ1 , Γ2 ) = |P1 P2 | − (r1 + r2 )

(6.4)

Exemplo 6.11 Sejam Γ1 o c´ırculo de equa¸ca˜o (x − 1)2 + (y + 2)2 = 2 e Γ2 o c´ırculo de equa¸ca˜o (x + 2)2 + (y − 1)2 = 36. Mostremos que Γ1 e Γ2 n˜ao se intersectam e calculemos d(Γ1 , Γ2 ).

Solu¸ca˜o: Para mostrar que Γ1 e Γ2 n˜ao se intersectam devemos mostrar que o sistema abaixo n˜ao tem ⎧ solu¸ca˜o: ⎨(x − 1)2 + (y + 2)2 = 2 ⎩(x + 2)2 + (y − 1)2 = 36 .

Suponhamos, pelo absurdo, que o sistema tenha solu¸ca˜o e procuremos por ela.

Uma maneira simples de resolver esse sistema ´e evitar desenvolver os quadrados imediatamente e reescrever a segunda equa¸ca˜o de forma que possamos utilizar melhor a primeira. Observe: CEDERJ

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

´ MODULO 1 - AULA 6

(x + 2)2 + (y − 1)2 = 36 ⇐⇒ (x − 1 +3)2 + (y + 2 −3)2 = 36

⇐⇒ (x − 1)2 + 6(x − 1) + 9 + (y + 2)2 − 6(y + 2) + 9 = 36

⇐⇒ 2 + 6(x − 1) + 9 − 6(y + 2) + 9 = 36 ⇐⇒ 6(x − 1) − 6(y + 2) = 16 ⇐⇒ 3(x − 1) − 3(y + 2) = 8 ⇐⇒ 3(x − 1) = 3y + 14 ,

de onde obtemos x em fun¸ca˜o de y: x =

3y + 17 .

3

Substituindo essa express˜ao obtida para x na primeira equa¸ca˜o do sistema, temos: (

3y + 17 3y + 14 2 − 1)2 + (y + 2)2 = 2 =⇒ ( ) + (y + 2)2 = 2 3 3 (3y + 14)2 + (y + 2)2 = 2 =⇒ 9

=⇒ (3y + 14)2 + 9(y + 2)2 = 18 =⇒ 9y 2 + 60y + 107 = 0 .

Essa equa¸ca˜o n˜ao tem ra´ızes reais, pois o seu discriminante ´e: Δ = 3600 − 4 × 9 × 107 = 36(100 − 107) < 0 .

Isso mostra que c´ırculos Γ1 e Γ2 n˜ao se intersectam.

Para calcular d(Γ1 , Γ2 ), determinamos a distˆancia entre os centros P1 = √ (1, −2) de Γ1 (cujo raio ´e r1 = 2) e P2 = (−2, 1) de Γ2 (cujo raio ´e r2 = 6): |P1 P2 | =

(−2 − 1)2 + (1 − (−2))2 =

√ √ 18 = 3 2 .

√ Como a distˆancia de P1 a P2 ´e menor que a soma dos raios r1 + r2 = 6 + 2, estamos na situa¸ca˜o do Caso a. Calculamos a distˆancia de Γ1 a Γ2 , em unidades de comprimento, usando a f´ormula (6.3): d(Γ1 , Γ2 ) = |r2 − r1 | − |P1 P2 | = 6 −

Figura 6.17: Exemplo 6.11

√ √ √ 2−3 2 = 6− 4 2.

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

Resumo Nesta aula vimos como aplicar a no¸ca˜o de produto interno (via o c´alculo de normas), para determinar a distˆancia de um ponto, uma reta ou um c´ırculo a um c´ırculo e as tangentes a um c´ırculo passando por um ponto dado.

Exerc´ıcios 1. Determine a distˆancia do ponto P ao c´ırculo Γ, onde: a. P = (1, 1) ,

Γ : x2 + (y − 2)2 = 4 .

b. P = (−10, 1) , c. P = (0, 0) ,

Γ : (x + 2)2 + (y − 3)2 = 4 .

d. P = (−1, −1) , e. P = (−7, 1) ,

Γ : (x − 2)2 + (y − 5)2 = 9 .

Γ : x2 + y 2 = 16 . Γ : x2 + y 2 − 5y +

13 4

= 0.

2. Calcule a distˆancia da reta r ao c´ırculo Γ, onde: √ a. r : x − 3y = −2 , Γ : (x − 7)2 + (y + 1)2 = 3 . b. r : y = 2x − 1 , Γ : (x + 1)2 + (y + 2)2 = 4 . ⎧ ⎨x = 3 + 2t , t ∈ R, Γ : (x − 7)2 + (y + 1)2 = 3 . c. r : ⎩y = 1 − 5t ⎧ ⎨x = t , t ∈ R, , Γ : x2 + y 2 − 14x + 2y = 12 . d. r : ⎩y = 2 − 3t 3. Dˆe as equa¸co˜es das retas tangentes ao c´ırculo Γ que passam pelo ponto P , onde: a. Γ : (x − 7)2 + (y + 1)2 = 3 ,

P = (−3, −2).

b. Γ : x2 + (y − 1)2 = 4 ,

P = (5, 1).

c. Γ : (x − 1)2 + y 2 = 3 ,

P = (6, 0).

4. Calcule a distˆancia entre os c´ırculos Γ1 e Γ2 , onde: a. Γ1 : (x − 5)2 + (y − 1)2 = 36 e Γ2 : (x − 3)2 + (y + 2)2 = 1 . b. Γ1 : x2 + (y − 1)2 = 64 e Γ2 : (x − 1)2 + (y + 1)2 = 4 .

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Produto interno - Aplica¸co˜es (continua¸c˜ao)

´ MODULO 1 - AULA 6

c. Γ1 : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 1 e Γ2 : (x − 5)2 + (y + 3)2 = 1 . d. Γ1 : (x − 3)2 + (y − 3)2 = 16 e Γ2 : x2 + y 2 − 6(x + y) + 14 = 0 .

5. Considere os c´ırculos: Γ1 : (x − 2)2 + (y − 4)2 = 17

e

Γ2 : (x + 2)2 + y 2 = 9 .

a. Verifique que os c´ırculos Γ1 e Γ2 se intersectam. b. Calcule a distˆancia entre os pontos de interse¸ca˜o dos c´ırculos Γ1 , Γ2 . c. Determine a distˆancia dos pontos de interse¸ca˜o a` reta que passa pelos centros de Γ1 e Γ2 .

6. Determine a posi¸ca˜o relativa dos c´ırculos Γ1 e Γ2 , onde: a. Γ1 : (x − 1)2 + (y − 3)2 = 4 e Γ2 : (x − 1)2 + (y − 7)2 = 4 . b. Γ1 : (x − 1)2 + (y + 3)2 = 4 e Γ2 : (x − 1)2 + (y − 7)2 = 4 . c. Γ1 : (x − 1)2 + (y − 3)2 = 4 e Γ2 : (x + 1)2 + (y − 7)2 = 4 . d. Γ1 : (x + 1)2 + (y − 3)2 = 4 e Γ2 : (x + 1)2 + (y − 7)2 = 4 .

Auto-avalia¸ca˜o Os exerc´ıcios tˆem por objetivo fixar as t´ecnicas apresentadas na aula.

Vocˆe dever´a resolvˆe-los todos e, se tiver ainda alguma dificuldade, reveja o conte´ udo da aula ou procure ajuda dos tutores. N˜ao esque¸ca de trocar id´eias com seus colegas.

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Simetrias e simetrias das cˆ onicas

´ MODULO 1 - AULA 7

Aula 7 – Simetrias e simetrias das cˆ onicas Objetivos • Estudar as simetrias em rela¸ca˜o a um ponto e em rela¸ca˜o a uma reta.

• Estudar as simetrias das cˆonicas no plano.

• Entender as cˆonicas degeneradas.

IMPORTANTE Nas pr´ oximas aulas deste M´ odulo, assumimos os conceitos fundamentais sobre as curvas cˆ onicas, apresentados no Pr´e-C´ alculo, j´ a conhecidos.

Lembremos que as curvas cˆonicas s˜ao assim denominadas por serem obtidas pela interse¸ca˜o de um plano com um duplo cone circular reto (Figura 7.1). Nas ilustra¸co˜es abaixo, mostramos algumas curvas cˆonicas: o c´ırculo, a elipse, a par´ abola e a hip´erbole:

Figura 7.2: C´ırculo.

Figura 7.3: Elipse.

Nos seus escritos, o matem´atico grego Pappus de Alexandria (290-350), atribuiu ao geˆometra grego Aristeu “o Anci˜ ao” (370-300 a.C.) o cr´edito de ter publicado o primeiro tratado sobre as se¸co˜es cˆ onicas, referindo-se aos Cinco livros sobre se¸co˜es cˆonicas de Aristeu, nos quais foi apresentado um estudo cuidadoso das curvas cˆonicas e as suas propriedades.

Figura 7.4: Par´ abola.

Figura 7.1: Cone circular reto.

O duplo cone circular reto ´ e a superf´ıcie descrita por uma reta chamada geratriz, ao girar mantendo um ˆ angulo constante, em torno de outra reta d, chamada diretriz do cone duplo, e com a qual tem um ponto em comum, chamado v´ ertice do cone.

Cortando esse cone duplo por planos, obtemos as curvas cˆ onicas.

Figura 7.5: Hip´erbole.

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Simetrias e simetrias das cˆ onicas

Para saber mais ...

Sobre Aristeu “o Anci˜ ao”, veja: http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/Aristaeus. html e sobre Menaecmus, veja: http://www-groups.dcs. st-andrews.ac.uk/history/ Mathematicians/ Menaechmus.html

Apolˆ onio de Perga 262 - 190 a.C. Nasceu em Ionia, Gr´ ecia (hoje Turquia) e faleceu em Alexandria, Egito, onde passou a maior parte da sua vida. Embora a sua forma¸ca ˜o fosse em Astronomia, escreveu sobre v´ arios t´ opicos matem´ aticos, sendo Se¸co ˜es Cˆ onicas o mais famoso deles. A obra original consistia de oito livros, dos quais apenas sete s˜ ao conhecidos. Os primeiros quatro chegaram ` a Europa numa tradu¸ca ˜o grega e os outros trˆes numa tradu¸ca ˜o a ´rabe do s´eculo IX. Apolˆ onio resumiu nos primeiros trˆes livros, toda a teoria desenvolvida por Aristeu e Euclides, dedicando os cinco livros restantes ` a pesquisa original sobre as propriedades das se¸co ˜es cˆ onicas. Veja: http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/ Apollonius.html

Segundo Pappus, o matem´atico grego Euclides de Alexandria (325-265 a.C.), contemporˆaneo de Aristeu, conhecia muito bem os cinco livros sobre as curvas cˆonicas e evitou aprofundar-se sobre esse assunto na sua obra Os elementos, de modo a obrigar os leitores interessados a consultar a obra original de Aristeu. Duzentos anos mais tarde, o astrˆonomo e matem´atico grego Apolˆ onio de Perga (262-190 a.C.) recompilou e aprimorou os resultados de Aristeu e de Euclides nos oito livros da sua obra Se¸co˜es Cˆ onicas. No entanto, a Hist´oria indica que as cˆonicas foram descobertas pelo matem´atico grego Menaecmus (380-320 a.C. aproximadamente) quando estudava como resolver os trˆes problemas famosos da Geometria grega: a trise¸ca˜o do aˆngulo, a duplica¸ca˜o do cubo e a quadratura do c´ırculo. Segundo o historiador Pro´ clus, Menaecmus nasceu em Alopeconnesus, na Asia Menor (o que hoje ´e a Turquia), foi aluno de Eud´oxio na academia de Plat˜ao.

Menaecmus foi o primeiro em mostrar que as elipses, par´abolas e hip´erboles s˜ao obtidas cortando um cone com um plano n˜ao paralelo a` sua base. Mesmo assim, pensava-se que os nomes dessas curvas foram inventados por Apolˆonio, por´em tradu¸co˜es de antigos escritos a´rabes indicam a existˆencia desses nomes em ´epocas anteriores a Apolˆonio.

Nota¸ c˜ ao. Designaremos por OXY um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas de origem O e eixos coordenados OX e OY .

As equa¸co˜es canˆ onicas das curvas cˆonicas no sistema de coordenadas OXY s˜ao: x2

y2

• Elipse: 2 + 2 = 1 , com a > 0 e b > 0. Se a = b ent˜ao a elipse ´e o a b c´ırculo de raio a.

Figura 7.6: Elipse.

• Hip´erbole:

x2 a2

−

y2 b2

= 1 ou

y2 x2 − = 1 , com a > 0 e b > 0 . a2 b2

• Par´abola: x = ky ou y 2 = kx, com k = 0.

2

CEDERJ

98

Simetrias e simetrias das cˆ onicas

Figura 7.7: Hip´erbole.

´ MODULO 1 - AULA 7

Figura 7.8: Par´ abola.

Simetrias.

Um fato importante ´e que as equa¸co˜es das cˆonicas e, portanto, as curvas cˆonicas que elas representam, s˜ao invariantes por determinadas transforma¸co˜es do plano denominadas simetrias.

Defini¸c˜ao 7.20 (Simetria em rela¸c˜ao a uma reta) Seja r uma reta no plano. O sim´etrico de um ponto P do plano em rela¸ca˜o a` reta r , ´e o ponto P sobre a perpendicular a r que passa por P e cuja a distˆancia a r ´e a mesma que a distˆancia de P a r (Figura 7.9).

Observe que no plano cartesiano, o sim´etrico de um ponto P = (x1 , y1 ) em rela¸ca˜o ao eixo OX ´e o ponto Q = (x1 , −y1 ) e o sim´etrico em rela¸ca˜o ao eixo OY ´e o ponto S = (−x1 , y1 ).

Figura 7.9: Simetria relativa a r.

Similarmente, S = (−x1 , y1 ) ´e o sim´etrico de R = (−x1 , −y1 ) com respeito ao eixo OX e Q = Figura 7.10: Simetria em rela¸ca˜o aos eixos. (x1 , −y1 ) ´e o sim´etrico de R com respeito ao eixo OY . Veja a Figura 7.10.

Exemplo 7.1 Determinemos o ponto Q sim´etrico ao ponto P = (1, 2) em rela¸ca˜o a` reta r : 2x − 3y = 1.

Solu¸ca˜o: Devemos determinar a reta s perpendicular a r passando pelo ponto P e a distˆancia de P a r.

99

CEDERJ

Simetrias e simetrias das cË&#x2020; onicas

O ponto Q procurado, ser´a o ponto da reta s, tal que: Q = P e d(Q, r) = d(P, r). â&#x2C6;&#x2019; O vetor normal de r ´e â&#x2020;&#x2019; n = (2, â&#x2C6;&#x2019;3). Esse vetor ´e um vetor dire¸caË&#x153;o da reta s.

Assim, as equa¸coË&#x153;es param´etricas de s sË&#x153;ao: â&#x17D;§ â&#x17D;¨x = 2t + 1 , t â&#x2C6;&#x2C6; R. s: â&#x17D;Šy = â&#x2C6;&#x2019;3t + 2 |2 Ă&#x2014; 1 â&#x2C6;&#x2019; 3 Ă&#x2014; 2 â&#x2C6;&#x2019; 1| 5 â&#x2C6;&#x161; = â&#x2C6;&#x161; , devemos determinar os pontos da 2 2 13 2 +3 5 reta s cuja distË&#x2020;ancia a` reta r ´e â&#x2C6;&#x161; .

13

Como d(P, r) =

Substituindo as coordenadas dos pontos de s na f´ormula da distË&#x2020;ancia a r e 5 igualando a â&#x2C6;&#x161; , devemos achar os valores do parË&#x2020;ametro t, tais que: 13

Figura 7.11: Exemplo 7.1.

Note que ...

Na ďŹ gura acima, o ponto Q ´ e o sim´ etrico de P em rela¸ca Ë&#x153;o a ` reta r e tamb´ em o ponto P ´ e o sim´ etrico do ponto Q em rela¸ca Ë&#x153;o a ` mesma reta.

Portanto, vemos que a simetria em rela¸ca Ë&#x153;o a uma reta ´ e uma rela¸ca Ë&#x153;o sim´ etrica.

|2(2t + 1) â&#x2C6;&#x2019; 3(â&#x2C6;&#x2019;3t + 2) â&#x2C6;&#x2019; 1| 5 â&#x2C6;&#x161; =â&#x2C6;&#x161; 13 13

isto ´e,

|13t â&#x2C6;&#x2019; 5| 5 â&#x2C6;&#x161; = â&#x2C6;&#x161; . Ou seja, |13t â&#x2C6;&#x2019; 5| = 5.

13 13

Resolvendo a equa¸caË&#x153;o obtemos t = 0 ou t =

10 .

13

Substituindo o valor t = 0 nas equa¸coË&#x153;es de s, obtemos o ponto P e subs4 tituindo o valor t = 10 , obtemos o ponto Q = ( 33 , â&#x2C6;&#x2019; 13 ) (veja a Figura 13 13 7.11).

4 O ponto Q = ( 33 , â&#x2C6;&#x2019; 13 ) ´e o sim´etrico a P = (1, 2) com respeito `a reta r.

13

Em geral, o c´alculo das coordenadas do ponto Q = (x, y) sim´etrico do ponto P = (x1 , y1 ) ´e dado na seguinte proposi¸caË&#x153;o: Proposi¸cË&#x153;ao 7.15 Sejam P = (x1 , y1 ) um ponto e r uma reta de equa¸caË&#x153;o ax + by = c. Se Q = (x, y) ´e o sim´etrico de P em rela¸caË&#x153;o a r entË&#x153;ao: â&#x17D;§ 1 â&#x17D;Ş â&#x17D;¨ x= (2ac + (b2 â&#x2C6;&#x2019; a2 )x1 â&#x2C6;&#x2019; 2aby1 ) 2 a + b2 (7.1) â&#x17D;Ş 1 2 2 â&#x17D;Š y= (2bc + (a â&#x2C6;&#x2019; b )y1 â&#x2C6;&#x2019; 2abx1 ) .

2 2 a +b

Demonstra¸ cË&#x153; ao. Para determinarmos Q precisamos encontrar as equa¸coË&#x153;es que suas coordenadas devem satisfazer. â&#x2C6;&#x2019; Sejam M o ponto m´edio do segmento P Q e â&#x2020;&#x2019; v = (â&#x2C6;&#x2019;b, a) um vetor â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; dire¸caË&#x153;o de r (lembre que o Ρ = (a, b) ´e dire¸caË&#x153;o normal a r). EntË&#x153;ao o ponto Q ´e talâ&#x17D;§que as seguintes condi¸coË&#x153;es sË&#x153;ao satisfeitas: â&#x17D;¨M ´e um ponto da reta r;

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x17D;Šo segmento P Q ´e perpendicular a r, isto ´e, â&#x2C6;&#x2019; PQ ,â&#x2020;&#x2019; v = 0.

CEDERJ

100

Simetrias e simetrias das cË&#x2020; onicas

´ MODULO 1 - AULA 7

A primeira condi¸caË&#x153;o nos diz que as coordenadas de M = ( x12+x , y12+y ) tË&#x2020;em que satisfazer a equa¸caË&#x153;o de r, ou seja, a( x12+x ) + b( y12+y ) = c. De onde tiramos a primeira equa¸caË&#x153;o, pois: a( x12+x ) + b( y12+y ) = c â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; a(x1 + x) + b(y1 + y) = 2c â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; ax + by = 2c â&#x2C6;&#x2019; ax1 â&#x2C6;&#x2019; by1 .

Da segunda rela¸caË&#x153;o extra´Ĺmos a segunda equa¸caË&#x153;o, de fato: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; P Q , â&#x2020;&#x2019; v = 0 â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; (x â&#x2C6;&#x2019; x1 , y â&#x2C6;&#x2019; y1 ), (â&#x2C6;&#x2019;b, a) = 0 â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;b(x â&#x2C6;&#x2019; x1 ) + a(y â&#x2C6;&#x2019; y1 ) = 0 â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019;bx + ay = â&#x2C6;&#x2019;bx1 + ay1 .

Logo, as condi¸coË&#x153;es dadas inicialmente equivalem a`s equa¸coË&#x153;es obtidas, e, portanto, para determinar as coordenadas de Q basta resolver o seguinte sistema: â&#x17D;§ â&#x17D;¨ax + by = 2c â&#x2C6;&#x2019; ax â&#x2C6;&#x2019; by 1 1 â&#x17D;Šâ&#x2C6;&#x2019;bx + ay = â&#x2C6;&#x2019;bx1 + ay1 .

Multiplicando a primeira equa¸caË&#x153;o por a, a segunda por â&#x2C6;&#x2019;b e somando as equa¸coË&#x153;es obtidas chegamos a x=

a2

1 (2ac + (b2 â&#x2C6;&#x2019; a2 )x1 â&#x2C6;&#x2019; 2aby1 ) . + b2

Multiplicando a primeira equa¸caË&#x153;o por b, a segunda por a e somando as equa¸coË&#x153;es obtidas chegamos a y=

a2

1 (2bc + (a2 â&#x2C6;&#x2019; b2 )y1 â&#x2C6;&#x2019; 2abx1 ) .

2 +b

Assim a proposi¸caË&#x153;o est´a demonstrada.

Observa¸ cË&#x153; ao.

Note que o sim´etrico de P ´e o pr´oprio P se, e somente se, P â&#x2C6;&#x2C6; r.

Exemplo 7.2 Seja r a reta de equa¸caË&#x153;o 3x â&#x2C6;&#x2019; 5y + 2 = 0. Determinemos os sim´etricos dos pontos P0 = (6, 4) e P1 = (2, â&#x2C6;&#x2019;3) em rela¸caË&#x153;o a` reta r.

Solu¸caË&#x153;o: O sim´etrico de P0 ´e o pr´oprio P0 , pois P0 ´e ponto de r (suas coordenadas satisfazem a equa¸caË&#x153;o de r).

Como P1 nË&#x153;ao ´e ponto de r aplicamos a proposi¸caË&#x153;o.

Para isso, ´e importante identiďŹ car bem os elementos da equa¸caË&#x153;o.

Vejamos: a = 3, b = â&#x2C6;&#x2019;5 e c = â&#x2C6;&#x2019;2 (observe que na prova da proposi¸caË&#x153;o a equa¸caË&#x153;o de r ´e dada por ax + by = c).

Obtemos entË&#x153;ao: a2 + b2 = 34 ,

a2 â&#x2C6;&#x2019; b2 = â&#x2C6;&#x2019;16 ,

e

Figura 7.12: Exemplo 7.2.

b2 â&#x2C6;&#x2019; a2 = 16 .

101

CEDERJ

Simetrias e simetrias das cˆ onicas

Logo, as coordenadas do ponto Q1 s˜ao: x = y =

1 35 (2(3)(−2) + 16(2) − 2(3)(−5)(−3)) = − 34 17 1 64 (2(−5)(−2) − 16(−3) − 2(3)(−5)(2)) = .

34 17

O ponto Q1 = (− 35 , 64 ) ´e o sim´etrico de P1 em rela¸ca˜o a r.

17 17 Defini¸c˜ao 7.21 (Simetria em rela¸c˜ao a um ponto) Seja P0 um ponto fixado no plano e seja P um ponto do plano distinto de P0 . O sim´etrico do ponto P em rela¸ca˜o ao ponto P0 ´e o ponto Q que pertence `a reta r que passa por P0 e P , que ´e diferente de P e, tal que: d(P0 , Q) = d(P0 , P ). Esta defini¸ca˜o equivale a P0 ser o ponto m´edio do segmento P Q. Figura 7.13: Simetria relativa a P0 .

O ponto Q sim´ etrico a P em rela¸ca ˜o ao ponto P0 , ´ eo v´ ertice do paralelogramo −−→ −−−→ OP RQ, onde OR = 2OP0 .

De fato, −−→ −−−→ −−→ OQ = 2OP0 − OP

Se P0 = (x0 , y0) e P = (x1 , y1), da condi¸ca˜o de P0 ser ponto m´edio de P Q obtemos as coordenadas de Q = (x, y), pois: ⎧ ⎧ ⎨ 1 (x + x ) = x ⎨x = 2x − x

x + x y + y 1 0 0 1 1 1 2 (7.2) = (x0 , y0 ) ⇐⇒ , ⇐⇒ 2 2 ⎩ 1 (y + y1 ) = y0 ⎩y = 2y0 − y1 .

2

Note que se P0 ´e a origem do sistema de coordenadas, ent˜ao, o sim´etrico do ponto P = (x1 , y1 ) ´e Q = (−x1 , −y1 ).

Exemplo 7.3 Se P0 = O = (0, 0) ´e a origem do sistema de coordenadas e r ´e uma reta que passa pela origem, verifiquemos que o sim´etrico de cada ponto de r pertence a r.

Solu¸ca˜o: Seja r uma reta que passa pela origem dada pelas equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎨x = tx 1 r: , t ∈ R. ⎩y = ty1 Seja P = (tx1 , ty1 ) ∈ r. O sim´etrico de P com respeito `a origem ´e o ponto Q = (−tx1 , −ty1 ) ∈ r Observe que o ponto Q ´e obtido, tamb´em, pela rela¸ca˜o (7.2), pois as coordenadas de Q s˜ao: ⎧ ⎨x = 2(0) − tx = −tx 1

1

⎩y = 2(0) − ty1 = −ty1 .

Isso mostra que Q = (−tx1 , −ty1 ) pertence a r (veja a Figura 7.14).

Em geral, temos a seguinte defini¸ca˜o.

CEDERJ

102

Simetrias e simetrias das cˆ onicas

´ MODULO 1 - AULA 7

Defini¸c˜ao 7.22 Uma figura geom´etrica plana ´e chamada invariante por uma simetria do plano se o sim´etrico de qualquer ponto da figura pertence tamb´em a` figura.

Na defini¸ca˜o acima, o termo figura plana significa um conjunto qualquer de pontos do plano.

Por exemplo, na Figura 7.15, vemos uma curva C que ´e sim´etrica com respeito uma reta r, o sim´etrico de todo ponto de C ´e tamb´em um ponto de C. Analogamente, na Figura 7.16, vemos uma regi˜ao R do plano que ´e sim´etrica com respeito ao ponto P0 , pois o sim´etrico de qualquer ponto P pertencente a R em rela¸ca˜o ao ponto P0 ´e tamb´em um ponto de R.

Figura 7.14: O ponto P e o seu sim´etrico Q em rela¸ca˜o a` origem.

Uma propriedade interessante das simetrias em rela¸ca˜o a retas e pontos, ´e que elas levam retas em retas. Isto ´e, se aplicarmos sobre todos os pontos de uma reta uma simetria (em rela¸ca˜o a um ponto ou a uma outra reta), obtemos uma nova reta.

Vamos verificar essas propriedades nas Proposi¸co˜es 7.16 e 7.17.

Proposi¸c˜ao 7.16 Seja r a reta de equa¸ca˜o ax + by = c. O sim´etrico de uma reta s em rela¸ca˜o a` reta r ´e tamb´em uma reta.

Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que a reta s tenha as seguintes equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎨x = x + v t 0 1 , t ∈ R. ⎩y = y0 + v2 t Seja P = (x0 + v1 t, y0 + v2 t) um ponto qualquer de r, ent˜ao as coordenadas do seu sim´etrico Q = (x, y) s˜ao dadas pelas rela¸co˜es (7.1): ⎧ 1 ⎪ ⎨ x= (2ac + (b2 − a2 )(x0 + v1 t) − 2ab(y0 + v2 t)) 2 2 ⎪ ⎩ y=

a +b 1 (2bc + (a2 − b2 )(y0 + v2 t) − 2ab(x0 + v1 t)).

2 a + b2

Figura 7.15: Curva sim´etrica com respeito a` reta r.

Figura 7.16: Regi˜ ao R sim´etrica com respeito a P0 .

Logo, o conjunto dos pontos sim´etricos aos pontos de r ´e o conjunto dos pontos cujas coordenadas s˜ao da forma: ⎧ 2 2 2 2 ⎪ ⎪ ⎨ x = 2ac + (b − a )x0 − 2aby0 + 2ac + (b − a )v1 − 2abv2 t a2 + b2 a2 + b2 t ∈ R. 2 − b2 )y − 2abx 2 − b2 )v − 2abv ⎪ 2bc + (a 2bc + (a ⎪ 0 0 2 1 ⎩ y= + t, 2 2 2 2 a +b

a +b

103

CEDERJ

Simetrias e simetrias das cˆ onicas

Essas s˜ao as equa¸co˜es param´etricas da reta que passa pelo ponto:

2ac + (b2 − a2 )x0 − 2aby0 2bc + (a2 − b2 )y0 − 2abx0 , 2 2 2 2 a +b

a +b

e ´e paralela ao vetor:

2

2ac + (b − a2 )v1 − 2abv2 2bc + (a2 − b2 )v2 − 2abv1 , a2 + b2 a2 + b2

.

Exemplo 7.4 Seja a reta r : x−2y = 0. Determinemos o sim´etrico da reta s : 2x+y−2 = 0 em rela¸ca˜o a` reta r.

Solu¸ca˜o: Observe que a reta r ´e perpendicular a` reta s, pois os seus vetores dire¸ca˜o s˜ao perpendiculares. Logo, o sim´etrico da reta s em rela¸ca˜o a` reta r ´e a pr´opria reta s.

Esse fato pode ser ainda verificado fazendo uso dos resultados acima descritos.

Com efeito, pela Proposi¸ca˜o 7.16 sabemos que o sim´etrico da reta s em rela¸ca˜o a` reta r ´e uma reta s .

Para determinar a reta s , devemos achar os sim´etricos de dois pontos quaisquer de s, com respeito a r.

Os sim´etricos dos e P2 = (1, 0) de s s˜ao, respectivamente, P1 = (0, 2)

8pontos 6 3 4 e Q2 = ,− , . os pontos Q1 = 5

5

5 5

Podemos verificar que a equa¸ca˜o da reta s que passa por Q1 e Q2 ´e 2x+y−2 = 0 , que ´e a pr´opria reta s.

Proposi¸c˜ao 7.17 O sim´etrico de uma P0 = (x0 , y0) ´e uma reta.

reta

s

em

rela¸ca˜o

a

um

ponto

Demonstra¸ c˜ ao. Seja s a reta de equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎨x = x + v t 1 1 , t ∈ R. ⎩y = y1 + v2 t Seja P = (x1 + v1 t, y1 + v2 t) um ponto qualquer de r.

As coordenadas do ponto Q = (x, y) sim´etrico ao ponto P em rela¸ca˜o a P0 s˜ao obtidas das rela¸co˜es (7.2): ⎧ ⎨x = 2x − (x + v t) 0 1 1 ⎩y = 2y0 − (y1 + v2 t).

CEDERJ

104

Simetrias e simetrias das cˆ onicas

´ MODULO 1 - AULA 7

Logo, o conjunto dos pontos sim´etricos aos pontos de r ´e o conjunto dos pontos cujas coordenadas s˜ao da forma: ⎧ ⎨x = 2x − x − v t 0 1 1 , t ∈ R, ⎩y = 2y0 − y1 − v2 t que s˜ao as equa¸co˜es param´etricas da reta paralela ao vetor (v1 , v2 ) que passa pelo ponto (2x0 − x1 , 2y0 − y1 ).

Observa¸ c˜ ao: Na demonstra¸ca ˜o da Proposi¸ca ˜o 7.17, vemos que duas retas sim´etricas com respeito a um ponto s˜ ao paralelas.

Exemplo 7.5 Determinemos o sim´etrico da reta s : 2x+y−2 = 0 em rela¸ca˜o a P0 = (−2, 1).

Solu¸ca˜o: Pela proposi¸ca˜o anterior sabemos que o sim´etrico de s ´e uma reta.

Logo, basta encontrarmos o sim´etrico de dois pontos de s.

Usando as rela¸co˜es (7.2) vemos que os sim´etricos dos pontos P1 = (0, 2) e P2 = (1, 0) de s s˜ao, respectivamente, Q1 = (−4, 0) e Q2 = (−5, 2). A equa¸ca˜o da reta que passa por esses pontos ´e 2x + y + 8 = 0 .

Simetrias das cˆ onicas.

Sabemos que um ponto P do plano pertence a uma cˆonica C se, e somente se, as suas coordenadas satisfazem a equa¸ca˜o de C. Portanto, C ´e sim´etrica com respeito a um ponto P0 ou com respeito a uma reta r se, e somente se, as coordenadas do sim´etrico de cada ponto de C (com respeito ao ponto P0 ou com respeito `a reta r) tamb´em satisfazem a equa¸ca˜o de C. A princ´ıpio fazemos a an´alise da simetria para as equa¸co˜es das cˆonicas na forma canˆonica.

Proposi¸c˜ao 7.18 (Simetrias das elipses e hip´erboles) As elipses e as hip´erboles s˜ao invariantes por simetrias em rela¸ca˜o aos seus eixos (no caso da equa¸ca˜o canˆonica, esses eixos s˜ao os eixos coordenados) e tamb´em s˜ao invariantes por simetria em rela¸ca˜o ao seu centro (no caso da equa¸ca˜o canˆonica, o centro ´e a origem). x2

y2

Demonstra¸ca˜o. Seja P = (x, y) um ponto da elipse E : 2 + 2 = 1, ent˜ao a b as coordenadas de P satisfazem a equa¸ca˜o de E. Como os sim´etricos de P em rela¸ca˜o aos eixos coordenados OX e OY s˜ao Q = (x, −y) e R = (−x, y), respectivamente, e como (−x)2 = x2 e (−y)2 = y 2 , vemos que as coordenadas de Q e de R satisfazem a equa¸ca˜o de E.

Figura 7.17: Simetrias da elipse.

105

CEDERJ

Simetrias e simetrias das cˆ onicas

Al´em disso, o sim´etrico de P em rela¸ca˜o a` origem ´e S = (−x, −y).

Logo, as coordenadas de S tamb´em satisfazem a equa¸ca˜o da elipse E. Veja a Figura 7.17.

O mesmo argumento mostra a proposi¸ca˜o para as hip´erboles, pois a equa¸ca˜o canˆonica dessas cˆonicas ´e dada, tamb´em, em termos dos quadrados das coordenadas dos seus pontos. Veja a Figura 7.18 Proposi¸c˜ao 7.19 (Simetrias das par´abolas) Uma par´abola ´e invariante por simetria em rela¸ca˜o a` reta que cont´em seu v´ertice e seu foco (no caso da equa¸ca˜o na forma canˆonica essa reta pode ser o eixo OX ou o eixo OY ).

As simetrias da Figura 7.18: hip´ erbole.

Lembre que...

Para determinar o grau de uma equa¸ca ˜o alg´ ebrica tomamos cada termo da equa¸ca ˜o e somamos os valores dos expoentes das vari´ aveis que nele aparecem.

O valor encontrado ´ e o grau do termo. O grau da equa¸ca ˜o ´ e o maior dentre os graus dos seus termos. Na equa¸ca ˜o (7.3), os termos Ax2 , Bxy e Cy 2 s˜ ao de grau 2 e como os outros termos que aparecem s˜ ao de grau 1 ou zero, conclu´ımos que a equa¸ca ˜o (7.3) ´ e de grau 2.

Al´ em disso, note que se A = B = C = 0 ent˜ ao a equa¸ca ˜o n˜ ao ´ e do segundo grau.

Demonstra¸ c˜ ao. Consideremos a par´abola P : x2 = ky. A reta que cont´em o v´ertice e o foco de P (reta focal de P) ´e o eixo OY . Sabemos que o sim´etrico de um ponto P = (x, y) ∈ P em rela¸ca˜o ao eixo OY ´e o ponto R = (−x, y).

Como (−x)2 = x2 , e P ∈ P, temos que (−x)2 = ky.

Logo R = (−x, y) ∈ P e portanto P ´e invariante pela simetria em rela¸ca˜o ao seu eixo focal (eixo OY ).

Por outro lado, a reta focal da par´abola Figura 7.19: Simetria das par´ abolas.

2 P : y = kx ´e o eixo OX. Dado um ponto P = (x, y) ∈ P , o seu sim´etrico em rela¸ca˜o ao eixo OX ´e Q = (x, −y), que tamb´em satisfaz a equa¸ca˜o. Logo P ´e invariante pela simetria em rela¸ca˜o ao seu eixo focal.

Muitas vezes a equa¸ca˜o de uma cˆonica n˜ao ´e apresentada na forma canˆonica. Na verdade, as cˆonicas aparecem como o conjunto de solu¸co˜es de uma equa¸ca˜o geral do segundo grau da forma: Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(7.3)

com A, B, C n˜ao simultaneamente nulos. Os valores A, B, C, D, E, F s˜ao chamados os coeficientes da equa¸ca˜o.

Faremos o estudo dessas equa¸co˜es por etapas, introduzindo conceitos que auxiliar˜ao na determina¸ca˜o do conjunto de solu¸co˜es e na identifica¸ca˜o da cˆonica.

Sabemos que h´a equa¸co˜es do segundo grau em que o conjunto de solu¸co˜es consiste de duas retas ou de apenas um ponto ou ´e o conjunto vazio.

Vejamos:

CEDERJ

106

Simetrias e simetrias das cˆ onicas

´ MODULO 1 - AULA 7

Defini¸c˜ao 7.23 (Cˆonicas degeneradas) Uma cˆ onica degenerada ´e uma equa¸ca˜o do segundo grau a duas vari´aveis em que o conjunto de solu¸co˜es reais ´e vazio ou n˜ao ´e uma elipse, nem uma hip´erbole e nem uma par´abola.

Exemplo 7.6 Verifiquemos n˜ao existem n´ umeros reais x e y, tais que (x−1)2 +(y+4)2 = −1.

Isto ´e, o conjunto solu¸ca˜o dessa identidade ´e o conjunto vazio.

Solu¸ca˜o: De fato, a soma dos quadrados de dois n´ umeros reais ´e sempre um n´ umero real n˜ao-negativo. Portanto essa equa¸ca˜o do segundo grau representa uma cˆonica degenerada, o conjunto vazio.

Exemplo 7.7 Verifiquemos que a equa¸ca˜o: (x + 5)2 (y − 1)2 + = 0, 4 3

Lugar geom´ etrico O conjunto formado pelos pontos P = (x, y) cujas coordenadas satisfazem uma equa¸ca ˜o alg´ ebrica nas vari´ aveis x e y ´ e chamado lugar geom´ etrico. Essa express˜ ao ´ e oriunda da palavra loci, j´ a usada por Aristeu e os geˆ ometras que lhe precederam nas suas investiga¸co ˜es sobre as se¸co ˜es cˆ onicas.

tem por solu¸ca˜o um u ´ nico ponto e portanto, o lugar geom´etrico que ela representa consiste de um ponto s´o.

Solu¸ca˜o: Reescrevendo a equa¸ca˜o como soma de dois quadrados, temos:

x + 5 2 y − 1 2 + √ = 0.

2

3

Lembre que...

A soma a2 + b2 dos quadrados de dois n´ umeros reais a e b ´ e igual a zero se, e somente se, cada um dos n´ umeros a e b ´ e igual a zero.

O ponto (x, y) satisfaz essa equa¸ca˜o se, e somente se: x+5=0

y − 1 = 0.

e

Isto ´e, x = −5 e y = 1 . Logo, o conjunto das solu¸co˜es da equa¸ca˜o proposta consiste apenas do ponto (−5, 1).

Exemplo 7.8 O lugar geom´etrico dos pontos cujas coordenadas satisfazem a equa¸ca˜o de segundo grau

(x − 3)2 (y − 1)2 − = 0, ´e formado por duas retas concorrentes.

4 16

Solu¸ca˜o: A equa¸ca˜o dada se escreve como diferen¸ca de dois quadrados:

x − 3 2 y − 1 2 − = 0, 2

que equivale ao produto:

x − 3 2

+

y−1 4

4

x − 3 2

−

y−1 4

= 0.

Desta identidade vemos que: x−3 y−1 + =0 2 4

ou

Figura 7.20: Exemplo 7.8.

x−3 y−1 − = 0.

2 4 107

CEDERJ

Simetrias e simetrias das cˆ onicas

A primeira identidade equivale a` equa¸ca˜o 2x+y−7 = 0 e a segunda equivale a` equa¸ca˜o 2x−y−5 = 0. Essas equa¸co˜es representam retas no plano. Verifique, vocˆe mesmo que essas retas se intersectam no ponto (3, 1) (Figura 7.20).

Exemplo 7.9 O lugar geom´etrico da equa¸ca˜o (y − 2)2 = 3 consiste de duas retas paralelas.

Solu¸ca˜o: De fato, da equa¸ca˜o temos as possibilidades (veja a Figura 7.21): √ y−2=+ 3

ou

√ y − 2 = − 3,

que s˜ao as retas paralelas: √ √ y = 2 + 3 ou y = 2 − 3 .

Figura 7.21: Exemplo 7.9.

Exemplo 7.10 (x − 3)2 O lugar geom´etrico dos pontos que satisfazem a equa¸ca˜o = 0 consiste 8 de uma reta (isto ´e, duas retas coincidentes).

Solu¸ca˜o: Com efeito, temos: (x − 3)2 = 0 ⇐⇒ (x − 3)2 = 0 ⇐⇒ x − 3 = 0 , 8

que ´e a equa¸ca˜o de uma reta vertical. Veja a Figura 7.22.

Figura 7.22: Exemplo 7.10.

Exemplo 7.11 O lugar geom´etrico dos pontos do plano que satisfazem a equa¸ca˜o: (x − 3)2 = −3 , 8

´e o conjunto vazio.

Solu¸ca˜o: Observe que a equa¸ca˜o n˜ao tem solu¸ca˜o real, pois n˜ao existe n´ umero real cujo quadrado seja negativo.

Classifica¸ c˜ ao das cˆ onicas degeneradas.

Vamos resumir as nossas considera¸co˜es e exemplos sobre as cˆonicas degeneradas no seguinte esquema: CEDERJ

108

Simetrias e simetrias das cˆ onicas

Cˆ onica Elipse

Equa¸ c˜ ao

(x−x0 )2 a2

+

(y−y0 )2 b2

Lugar geom´ etrico

´ MODULO 1 - AULA 7

Exemplo

∅, se λ < 0

7.6

{(x0 , y0 )}, se λ = 0

7.7

=λ

degenerada

Retas concorrentes: Hip´ erbole

(x−x0 )2 a2

−

(y−y0 )2 b2

=0

r1 : bx + ay − bx0 − ax0 = 0

7.8

r2 : bx − ay − bx0 + ay0 = 0

degenerada

Esquema de classifica¸ c˜ ao ⇐= das cˆ onicas degeneradas.

com r1 ∩ r2 = {(x0 , y0 )}

(A)

(x−x0 )2 a2

=μ

Par´ abola ou degenerada

(B)

(y−y0 )2 b2

=μ

8 > , se μ = 0 >reta x = x > 80 > > < <x = x + a√μ 0 , se μ > 0 (A) paralelas > :x = x0 − a√μ > > > > : ∅ se μ < 0 8 > reta y = y0 , se μ = 0 > > 8 > > < <y = y + a√μ 0 (B) paralelas , se μ > 0 > :y = y0 − a√μ > > > > : ∅ se μ < 0

7.9 7.10 7.11

Resumo Nesta aula aprendemos a no¸ca˜o de simetria em rela¸ca˜o a um ponto e a uma reta. Revisamos o conceito de curva cˆonica e analisamos suas simetrias.

Al´em disso, estudamos e classificamos as cˆonicas degeneradas a partir de exemplos concretos.

Exerc´ıcios 1. Sejam as retas r : 2x + 3y + 6 = 0, s : 6x − 4y + 2 = 0 e os pontos P1 = (−1, 1), P2 = (0 − 2) . a. Determine os pontos sim´etricos Q1 e Q2 , aos pontos P1 e P2 , respectivamente, em rela¸ca˜o a` reta r. b. Determine os pontos sim´etricos R1 e R2 , aos pontos P1 e P2 , respectivamente, em rela¸ca˜o a` reta s. c. Encontre os pontos sim´etricos M1 e M2 , aos pontos Q1 e Q2 , respectivamente, em rela¸ca˜o a` reta s. d. Encontre o ponto de interse¸ca˜o das retas r e s. Denote esse ponto P0 .

Ache os pontos T1 e T2 sim´etricos aos pontos P1 e P2 , respectivamente, em rela¸ca˜o ao ponto P0 .

Compare com os pontos obtidos no item c.

109

CEDERJ

Simetrias e simetrias das cˆ onicas

2. Seja a reta r : x − 5y + 1 = 0. a. Determine o sim´etrico da reta s : x − y + 1 = 0 em rela¸ca˜o a r. b. Considere o triˆangulo de v´ertices A = (1, 1), B = (−1, 4), C = (3, 1). Encontre a figura geom´etrica correspondente ao sim´etrico desse triˆangulo em rela¸ca˜o a` r. A figura obtida ´e um triˆangulo?

Em caso afirmativo, os triˆangulos s˜ao congruentes?

3. Determine o sim´etrico da reta x − 2y + 4 = 0 em rela¸ca˜o ao ponto de interse¸ca˜o das retas x − y = 0 e 2x − y = 3.

4. Verifique que o c´ırculo de equa¸ca˜o x2 +y 2 = r 2 ´e invariante pela simetria em rela¸ca˜o a qualquer reta que passe pela origem.

5. Verifique que as cˆonicas abaixo s˜ao invariantes pelas seguintes simetrias: em rela¸ca˜o a` reta x = x0 , em rela¸ca˜o a` reta y = y0 e em rela¸ca˜o ao ponto P0 = (x0 , y0 ) . (x − x0 )2 (y − y0 )2 + = 1. a2 b2 (x − x0 )2 (y − y0 )2 b. − = 1. a2 b2

a.

x2

y2

6. Conclua que, se uma elipse de equa¸ca˜o 2 + 2 = 1 ´e invariante por a b simetria em rela¸ca˜o a` reta bissetriz do primeiro quadrante ent˜ao a elipse ´e, de fato, um c´ırculo.

7. Seja a equa¸ca˜o A(x − a)2 + B(y − b)2 = λ. Identifique as cˆonicas abaixo incluindo os casos degenerados.

Nos casos degenerados, descreva o conjunto solu¸ca˜o da equa¸ca˜o. a. A > 0, B > 0, λ = 0 ; c. A > 0, B > 0, λ = A ; e. A < 0, B > 0, λ = B ;

b. A > 0, B < 0, λ = 0 ; d. A < 0, B > 0, λ = 0 ; f. A = 0, B > 0, λ = 0 .

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe resolveu os exerc´ıcios de 1 a 6, vocˆe entendeu bem o conceito de simetria em rela¸ca˜o a` uma reta e simetria em rela¸ca˜o a um ponto. Resolvendo o exerc´ıcio 7 vocˆe faz um trabalho de fixa¸ca˜o do conceito de cˆonicas degeneradas e do conjunto de pontos do plano que essas equa¸co˜es definem.

Caso tenha alguma dificuldade, releia a aula e tente novamente resolver os exerc´ıcios.

CEDERJ

110

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 8

Aula 8 – Cˆ onicas - Transla¸c˜ ao de sistemas de coordenadas Objetivos • Entender a mudan¸ca de coordenadas pela transla¸ca˜o do sistema cartesiano.

• Identificar uma cˆonica transladada a partir da sua equa¸ca˜o geral.

• Construir cˆonicas com eixos paralelos aos eixos coordenados.

Nesta aula estudaremos as equa¸co˜es de segundo grau Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(8.1)

Isto ´e, equa¸co˜es da forma Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , com B = 0.

A identifica¸ca˜o do lugar geom´etrico representado pela equa¸ca˜o (8.1) ´e feita transladando o sistema de coordenadas.

Defini¸c˜ao 8.24 (Transla¸c˜ao do sistema de coordenadas) Dados um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas OXY do plano e um ponto O , a transla¸ca˜o de OXY para o ponto O ´e a constru¸ca˜o de um novo sistema cartesiano ortogonal de coordenadas O X Y tra¸cando paralelas aos eixos do sistema OXY , passando pelo ponto O , preservando a orienta¸ca˜o e a unidade de medida. O ponto O , onde se intersectam os novos eixos O X e O Y , ´e a origem do novo sistema de coordenadas.

O sistema O X Y assim constru´ıdo ´e chamado o transladado do sistema OXY para o ponto P0 (veja a Figura 8.1).

Seja P um ponto do plano. Designamos por (x, y) as coordenadas de P com respeito ao sistema OXY e por (x , y ) as coordenadas de P com respeito ao sistema transladado O X Y .

Naturalmente surge a seguinte quest˜ao: Figura 8.1: Transla¸ca˜o do sistema OXY para o sistema O X Y . como s˜ao relacionadas as coordenadas (x, y) e (x , y ) do ponto P dado?

111

CEDERJ

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

Mudan¸ ca de coordenadas entre sistemas transladados.

Seja P um ponto do plano, designamos P = (x, y) ent˜ao as suas coordenadas no sistema OXY s˜ao , e as suas coordenadas no sistema O X Y s˜ao P = (x , y ).

Tracemos por P retas r, s paralelas aos eixos coordenados OX e OY , respectivamente. Lembre que OX ´e paralelo a O X e OY ´e paralelo a O Y (Figura 8.2).

Segue, da defini¸ca˜o de sistema cartesiano ortogonal de coordenadas, que a reta r intersecta o eixo OY no ponto de coordenadas (0, y) e o eixo O Y no ponto de coordenadas (0, y ), enquanto que a Figura 8.2: Mudan¸ca de coordenadas. reta s intersecta o eixo OX no ponto (x, 0) e o eixo O X no ponto (x , 0).

Na Figura 8.2 vemos que: ⎧ ⎨x = x − x 0 ⎩y = y − y 0

ou, equivalentemente,

⎧ ⎨x = x + x

0

⎩y = y + y0

(8.2)

onde (x0 , y0 ) s˜ao as coordenadas da origem O no sistema OXY .

Observa¸ c˜ ao.

As rela¸co˜es de mudan¸ca de coordenadas (8.2) independem da posi¸ca˜o da origem O e da posi¸ca˜o relativa do ponto P .

De fato, na Figura 8.3 mostramos um sistema transladado O X Y e o ponto P no seu terceiro quadrante. Neste caso, observamos que os n´ umeros x−x0 e y−y0 s˜ao negativos e que as equa¸co˜es (8.2) conFigura 8.3: As rela¸co˜es (8.2) indepentinuam sendo as equa¸co˜es de mudan¸ca dem das posi¸co˜es relativas dos pontos. de coordenadas.

O mesmo acontece independentemente do quadrante em que O esteja com respeito ao sistema OXY . Verifique!

CEDERJ

112

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 8

Nota¸ c˜ ao.

Daqui em diante, quando desejarmos fazer men¸ca˜o expl´ıcita ao sistema de coordenadas com respeito ao qual estejam sendo consideradas as coordenadas de um ponto, escreveremos essas coordenadas colocando o sistema de coordenadas como sub-´ındice. Por exemplo, P = (a, b)O X Y indica que o ponto P tem coordenadas (a, b) com respeito ao sistema de coordenadas O X Y .

Exemplo 8.1 Sejam dois sistemas cartesianos ortogonais de coordenadas OXY e O X Y , onde O = (−2, 3)OXY . Consideremos o ponto P = (5, −1)O X Y e a reta r de equa¸ca˜o 2x − y + 1 = 0 com respeito ao sistema O X Y .

Determinemos as coordenadas de P no sistema OXY e a equa¸ca˜o de r no sistema OXY .

Solu¸ca˜o: O sistema O X Y ´e obtido transladando o sistema OXY at´e o ponto O = (x0 , y0) = (−2, 3).

Usando a segunda das rela¸co˜es (8.2), temos: ⎧ ⎨x = x + x = 5 + (−2) = 3 0 . ⎩y = y + y0 = −1 + 3 = 2 Figura 8.4: Exemplo 8.1.

Assim, P = (3, 2)OXY .

Para determinar a equa¸ca˜o de r no sistema OXY substitu´ımos as coordenadas x e y da primeira das rela¸co˜es (8.2): ⎧ ⎨x = x − x = x − (−2) = x + 2 0 ,

⎩y = y − y0 = y − 3 na equa¸ca˜o r : 2x − y + 1 = 0 e obtemos r : 2(x + 2) − (y − 3) + 1 = 0 .

Simplificando obtemos a equa¸ca˜o de r no sistema OXY : r : 2x − y + 8 = 0 .

Exemplo 8.2 Cˆ onicas transladadas. Se O = (x0 , y0 ) ´e um ponto do plano, as equa¸co˜es 113

CEDERJ

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

abaixo representam curvas cˆonicas: (x − x0 )2 (y − y0 )2 + = 1, a2 b2 (x − x0 )2 (y − y0 )2 (y − y0 )2 (x − x0 )2 − = 1 e − = 1, a2 b2 a2 b2

(x − x0 )2 = k(y − y0 )

e

(y − y0 )2 = k(x − x0 ) .

(8.3) (8.4) (8.5)

Verifiquemos que a equa¸ca˜o (8.3) representa uma elipse de eixos paralelos aos eixos OX e OY com centro no ponto O (Figura 8.5), que as equa¸co˜es (8.4) representam hip´erboles com centro no ponto O e eixos paralelos aos eixos OX e OY (Figura 8.6) e que as equa¸co˜es (8.5) representam par´abolas de v´ertice no ponto O e eixo focal paralelo aos eixos coordenados (Figura 8.7).

Figura 8.5: Elipse.

Figura 8.6: Hip´erbole.

Figura 8.7: Par´ abolas.

Solu¸ca˜o: Seja O X Y o sistema ortogonal de coordenadas obtido transladando o sistema de coordenadas OXY para o ponto O = (x0 , y0).

Substituindo a primeira das rela¸co˜es (8.2) em (8.3), (8.4) e (8.5), obtemos as equa¸co˜es dessas cˆonicas com respeito ao sistema O X Y na forma canˆonica: (x )2 (y )2 + = 1, a2 b2

(x )2 (y )2 − = 1, a2 b2

(x )2 = ky

e

(y )2 = kx ,

que s˜ao as equa¸co˜es canˆonicas da elipse, hip´erbole e par´abolas, respectivamente, no sistema O X Y com origem O .

Conhecendo as transla¸co˜es estamos prontos para o estudo da equa¸ca˜o geral do segundo grau no caso particular em que B = 0, equa¸ca˜o (8.1): Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 .

A an´alise dessa equa¸ca˜o leva a`s cˆonicas estudadas no M´odulo 2, do Pr´eC´alculo. Essas cˆonicas s˜ao obtidas a partir da equa¸ca˜o acima completando os quadrados.

Para isso consideramos separadamente os casos: CEDERJ

114

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 8

Caso i) A = 0 e C = 0 , Caso ii) A = 0 ou C = 0.

Caso i) A = 0 e C = 0.

Neste caso, reescrevemos a equa¸ca˜o (8.1) na forma: A(x2 + D x) + C(y 2 + E y) + F = 0 , A C completando os quadrados dentro dos parˆenteses, obtemos: A(x2 +

D D2 x+ 4A 2) A 2

2

E + C(y 2 + E y+ 4C 2) + F = C

D2 4A

+

E2 4C

,

2

se denotamos λ = D +E − F , a equa¸ca˜o fica assim: 4A 4C

D 2 E 2 2 2 +C y + = λ.

A x + 2A

2C

(8.6)

Caso ii) A = 0 ou C = 0.

Suponhamos que A = 0 e C = 0.

Neste caso, a equa¸ca˜o (8.1) ´e: Ax2 + Dx + Ey + F = 0 .

Completando o quadrado na vari´avel x, temos: D2 D2 Ax2 + Dx + Ey + F = 0 ⇐⇒ A(x2 + D x+ 4A 2 ) + Ey + F − 4A = 0 A 2 D 2 ⇐⇒ A(x + 2A ) + Ey = D −F .

4A Denotando μ =

D2 4A

− F a equa¸ca˜o fica assim:

2 D A x+ = −Ey + μ .

2A

O s´ımbolo μ ´ uma letra do alfabeto E grego e lˆe-se “mi”

(8.7)

No caso C = 0 e A = 0, uma an´alise similar nos leva a` equa¸ca˜o: 2

E C y+ = −Dx + μ , (8.8) 2C onde μ =

E2 4C

−F .

Vocˆe percebeu que, em ambos os casos i) e ii), obtivemos express˜oes que parecem equa¸co˜es de elipses, hip´erboles ou par´abolas transladadas?

Cuidado!

A identifica¸ca˜o da equa¸ca˜o (8.6) ou (8.7) depende dos sinais dos coeficientes A, C, D, e E , pois em alguns casos podemos obter cˆonicas degeneradas! Reduzindo essas equa¸co˜es um pouco mais, em cada caso particular, vocˆe pode identificar exatamente de que cˆonica se trata.

Volte!

E reveja o esquema de classifica¸ca ˜o das cˆ onicas degeneradas no final da aula anterior.

Exemplo 8.3 Mostrar que a equa¸ca˜o 2x2 − 4x + 5y − 3 = 0 ´e a equa¸ca˜o de uma par´abola transladada. Vamos determinar o sistema de coordenadas O X Y no qual 115

CEDERJ

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

a equa¸ca˜o da par´abola ´e expressa na forma canˆonica, assim como a equa¸ca˜o da diretriz da par´abola em ambos os sistemas.

Solu¸ca˜o: Como a equa¸ca˜o apresenta apenas um termo do segundo grau, a curva candidata ´e uma par´abola.

Completando os quadrados na equa¸ca˜o obtemos: 2x2 − 4x + 5y − 3 = 0 =⇒ 2(x2 − 2x) + 5y − 3 = 0 =⇒ 2(x2 − 2x + 1) + 5y − 3 − 2 = 0 =⇒ 2(x − 1)2 = −5y + 5 =⇒ 2(x − 1)2 = −5(y − 1) , que corresponde a uma par´abola transladada.

Consideremos o sistema de coordenadas O X Y obtido transladando o sistema OXY at´e o ponto O = (1, 1). A rela¸ca˜o entre as coordenadas desses sistemas ´e dada por: ⎧ ⎨x = x − 1 ⎩y = y − 1 .

Substituindo na equa¸ca˜o 2(x − 1)2 = −5(y − 1) , obtemos 2(x )2 = −5y , que equivale a` equa¸ca˜o: 5 2

(x )2 = − y .

Sabemos que a equa¸ca˜o canˆonica da par´abola nas coordenadas x e y se escreve na forma (x )2 = −4py , sendo a reta horizontal y = p a sua diretriz.

CEDERJ

116

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

5

´ MODULO 1 - AULA 8

5

Fazendo −4p = − obtemos p = . Logo, 2 8 a equa¸ca˜o da diretriz da par´abola (x )2 = 5 2

5 8

− y ´e a reta y = .

Para obter a equa¸ca˜o da diretriz no sistema OXY recorremos novamente `as rela¸co˜es 5 entre as coordenadas, y − 1 = , ou seja, 8

13 y= .

8

Figura 8.8: Par´ abola 2x2 − 4x + 5y − 3 = 0.

Exemplo 8.4 Identificar a equa¸ca˜o x2 + 3y 2 − 6x + 6y + 12 = 0.

Solu¸ca˜o: Como os coeficientes dos termos do segundo grau s˜ao positivos, a curva candidata ´e uma elipse.

Completando os quadrados, temos: (x2 − 6x) + 3(y 2 + 2y) + 12 = 0 =⇒ (x2 − 6x + 9) + 3(y 2 + 2y + 1) + 12 − 9 − 3 = 0 =⇒ (x2 − 6x + 9) + 3(y 2 + 2y + 1) = 0 =⇒ (x − 3)2 + 3(y + 1)2 = 0 =⇒ (x − 3)2 = 0 =⇒ x = 3

e

e

3(y + 1)2 = 0

y = −1 .

Portanto, o lugar geom´etrico descrito pela equa¸ca˜o consiste apenas do ponto (3, −1).

Exemplo 8.5 Mostrar que a equa¸ca˜o 4x2 − 16y 2 − 24x − 24y + 23 = 0 representa uma hip´erbole transladada.

Determinar tamb´em o sistema de coordenadas O X Y no qual a equa¸ca˜o ´e expressa na forma canˆonica assim como as equa¸co˜es de suas ass´ıntotas em ambos os sistemas.

Solu¸ca˜o: Como os termos de segundo grau tˆem sinais contr´arios, a curva candidata ´e de fato uma hip´erbole.

117

CEDERJ

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

Completando os quadrados, temos: 4x2 − 16y 2 − 24x − 24y + 23 = 0

24 =⇒ 4(x2 − 6x) − 16 y 2 + y + 23 = 0

16 3 9 2 =⇒ 4(x − 6x + 9) − 16 y 2 + y + + 23 − 36 + 9 = 0 2 16

3 2 2 = 4. =⇒ 4(x − 3) − 16 y + 4

Dividindo por 4 a u ´ltima equa¸ca˜o, obtemos:

(x − 3)2 −

3 y+ 4 1 4

2

= 1,

que ´e a equa¸ca˜o de uma hip´erbole transladada cujo eixo focal ´e paralelo ao eixo x (veja a Figura 8.9).

Consideremos o sistema de coordenadas O X Y obtido transladando o sis

3 tema OXY , at´e o ponto O = 3, − .

4

OXY

A rela¸ca˜o entre as coordenadas dos sistemas OXY e O X Y ´e dada por: x = x − 3

e

y = y +

3 .

4

Substituindo na equa¸ca˜o da hip´erbole transladada, obtemos a equa¸ca˜o na forma canˆonica: (x )2 −

(y )2 = 1.

1/4

Figura 8.9: Hip´erbole 4x2 − 16y 2 − 24x − 24y + 23 = 0.

(x )2 (y )2 b − 2 = 1 representa a hip´erbole com ass´ıntotas y = x 2 a b a b 1

2 2 e y = − x . Como a = 1 e b = , obtemos as equa¸co˜es das ass´ıntotas no a 4

Sabemos que

sistema O X Y :

1 2

y = x CEDERJ

118

e

1 2

y = − x .

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 8

Para obter as equa¸co˜es das ass´ıntotas no sistema OXY , recorremos novamente `as rela¸co˜es entre as coordenadas substituindo-as nas equa¸co˜es das retas obtidas acima: y+

3 1 = (x − 3) 4 2

e

y+

3 1 = − (x − 3) .

4 2

Assim, as equa¸co˜es das ass´ıntotas no sistema OXY s˜ao as retas (Figura 8.9): 2x − 4y − 9 = 0

e

2x + 4y − 3 = 0 .

Podemos resumir a nossa an´alise, classificando a equa¸ca˜o (8.1) no esquema a seguir. Nesse esquema usamos condi¸co˜es sobre os sinais dos coeficientes da equa¸ca˜o expressas mediante produtos.

Assim, por exemplo, escrever AC > 0 significa que A e C tˆem o mesmo sinal, ambos positivos ou ambos negativos. Enquanto que escrever AC < 0, significa que A e C tˆem sinais contr´arios, ou seja, A ´e positivo e C negativo ou vice-versa.

Classifica¸ca ˜o da equa¸ca ˜o Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 AC > 0

Aλ > 0

elipse com reta focal paralela a um dos eixos

λ=0

um ponto

Aλ < 0

conjunto vazio

Aλ = 0

hip´ erbole com reta focal paralela a um dos eixos

λ=0

par de retas concorrentes

AE < 0

par´ abola com reta focal paralela ao eixo OY

AE > 0

conjunto vazio

E=0

uma reta se Aμ ≥ 0 ou o conjunto vazio se Aμ < 0

A = 0 , C = 0

CD < 0

par´ abola com reta focal paralela ao eixo OX

D2 4C

CD > 0

conjunto vazio

D=0

uma reta se Cμ ≥ 0 ou o conjunto vazio se Cμ < 0

λ=

D2 4A

+

E2 4C

−F

AC < 0 λ=

D2 4A

+

E2 4C

−F

A = 0 , C = 0 μ=

μ=

2

D 4A

−F

−F

Sabemos que a excentricidade da elipse de equa¸ca˜o c

Esquema de classifica¸ca ˜o ⇐= das cˆ onicas no caso B = 0.

x2 y2 + = 1 ´e o a2 b2

n´ umero real e = ; onde c ´e o valor positivo, tal que os focos da elipse s˜ao a F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0). √ De fato, na dedu¸ca˜o da equa¸ca˜o da elipse vemos que c = a2 − b2 . Em c particular, c < a. Logo, e = < 1. Dessa forma, a elipse ´e caracterizada a por ter a sua excentricidade menor que 1.

O c´ırculo ´ e caracterizado por ter excentricidade igual a 1.

No entanto, a par´ abola n˜ ao tem excentricidade definida.

119

CEDERJ

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

Analogamente, a hip´erbole de equa¸ca˜o c

x2 y 2 − 2 = 1 tem sua excentricia2 b

dade dada por: e = ; onde c ´e o valor positivo, tal que os focos da hip´erbole a s˜ao F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0). √ De fato, na dedu¸ca˜o da equa¸ca˜o da hip´erbole, c = a2 + b2 . Em partic cular, a < c. Logo, e = > 1. Ent˜ao, a hip´erbole ´e caracterizada por ter a a sua excentricidade maior que 1.

Lembre que conhecendo a excentricidade e algum outro elemento da cˆonica (coordenadas do foco, distˆancia do v´ertice ao centro da cˆonica, equa¸co˜es das ass´ıntotas etc.) podemos obter sua equa¸ca˜o.

Al´em disso, o conhecimento da excentricidade j´a nos diz de que tipo ´e a cˆonica.

Exemplo 8.6 1 Determinar a equa¸ca˜o da cˆonica que tem excentricidade e = , centro no 2 √ √ ponto P0 = (1, 3) e focos sobre a reta x = 1 a uma distˆancia de 3 do centro.

Solu¸ca˜o: Como a excentricidade ´e menor que 1, a cˆonica ´e uma elipse.

Em rela¸ca˜o ao sistema de coordenadas O X Y obtido da transla¸ca˜o de OXY para o ponto O = P0 , a equa¸ca˜o da elipse ´e

Como c =

√

(x )2 (y )2 + 2 = 1, a b2

com a ≥ b.

c 1 = , temos a 2 √ √ c 3 1 = = = e =⇒ a = 2 3 =⇒ a2 = 12 . a a 2

3ee=

Tamb´em, sendo c2 = a2 − b2 , temos b2 = a2 − c2 = 12 − 3 = 9.

Logo, a equa¸ca˜o da elipse no sistema O X Y ´e: (x )2 (y )2 + = 1.

9 12

Usando as rela¸co˜es de mudan¸ca de coordenadas entre sistemas transladados, √ x = x − 1 e y = y − 3, obtemos a equa¸ca˜o da elipse no sistema OXY : √ (x − 1)2 (y − 3)2 + = 1.

9 12

Nota final.

• Achamos mais ilustrativo apresentar alguns exemplos, em vez de fazer uma ´ poss´ıvel identificar uma an´alise geral dos coeficientes da equa¸ca˜o (8.1). E cˆonica apenas analisando os coeficientes da equa¸ca˜o geral do segundo grau.

CEDERJ

120

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 8

Contudo, vocˆe deve sempre lembrar que: Qualquer equa¸ca˜o do segundo grau do tipo: Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , representa uma cˆonica transladada (incluindo os casos degenerados) e sua redu¸ca˜o a` forma canˆonica ´e obtida completando os quadrados.

Resumo Nesta aula vimos que uma equa¸ca˜o do segundo grau da forma Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 representa uma cˆonica transladada, incluindo os casos degenerados, e que a sua forma canˆonica com respeito a um novo sistema de coordenadas O X Y ´e obtida completando os quadrados na equa¸ca˜o. Al´em disso, vimos que ´e poss´ıvel determinar a equa¸ca˜o de uma elipse ou de uma hip´erbole conhecendo sua excentricidade e um outro elemento que a caracterize.

Exerc´ıcios 1. Sejam OXY e O X Y , sistemas de coordenadas, onde O X Y ´e o transladado de OXY para o ponto (−2, 5)OXY . Consideremos as cˆonicas com as seguintes equa¸co˜es no sistema O X Y : (x )2 −

(y )2 = 1, 9

(x )2 (y )2 + = 1, 4 9

(y )2 = 6(x ).

i. Dˆe as equa¸co˜es dessas cˆonicas no sistema OXY . ii. Dˆe as coordenadas no sistema OXY dos focos de cada uma dessas cˆonicas.

2. Reduza as seguinte equa¸co˜es a` forma canˆonica exibindo as mudan¸cas de sistemas de coordenadas. Para o caso de par´abola dˆe a equa¸ca˜o de sua diretriz no sistema OXY e para o caso de hip´erbole dˆe as equa¸co˜es de suas ass´ıntotas. a. 4x2 + 9y 2 − 40x + 36y + 100 = 0 ; b. 9x2 − 16y 2 − 54x − 64y − 127 = 0 ; c. 10y 2 + 8x − 30y − 9 = 0 ; d. x2 + 3y 2 + 8x − 6y + 11 = 0 .

3. Em cada item, determine a equa¸ca˜o da cˆonica a partir das informa¸co˜es dadas: 121

CEDERJ

Cˆ onicas - Transla¸c˜ao de sistemas de coordenadas

√ a. e = 5 2, a distˆancia entre os focos: 6 unidades, equa¸ca˜o da reta que cont´em os focos: x = 2, centro: P0 = (2, 1). b. e = 14 , centro: P0 = (−1, 3), equa¸ca˜o da reta que cont´em os focos: y = 3, distˆancia de um foco ao centro: 4 unidades. c. e = 43 , focos: F1 = (2, 5) e F2 = (−4, 5). d. e = 12 , centro: P0 = (−1, −2), foco: F1 = (−1, 1).

Auto-avalia¸ca˜o Resolvendo os Exerc´ıcios 1 e 2 vocˆe fixou as rela¸co˜es entre sistemas de coordenadas transladados e a redu¸ca˜o por quadrados perfeitos. Resolvendo o Exerc´ıcio 3 vocˆe reviu a no¸ca˜o de excentricidade.

Caso tenha encontrado dificuldades, releia a aula e os exemplos com aten¸ca˜o, e depois volte aos exerc´ıcios. Permanecendo com d´ uvidas, procure orienta¸ca˜o com os tutores.

CEDERJ

122

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 9

Aula 9 – Cˆ onicas - Rota¸ c˜ ao de sistemas de coordenadas Objetivos • Entender mudan¸cas de coordenadas por rota¸co˜es.

• Identificar uma cˆonica rotacionada a partir da sua equa¸ca˜o geral.

• Identificar uma cˆonica arbitr´aria e reduzi-la a sua forma canˆonica.

Nesta aula completamos a an´alise das equa¸co˜es do segundo grau: Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0

(9.1)

Resta-nos apenas estudar a influˆencia do termo Bxy na posi¸ca˜o da cˆonica no plano.

Veremos que uma equa¸ca˜o da forma (9.1), com B = 0, ´e colocada na forma canˆonica girando e transladando o sistema de coordenadas.

Rota¸ c˜ ao e mudan¸ ca de coordenadas entre sistemas rotacionados.

Antes de entrarmos na an´alise das equa¸co˜es da forma (9.1), apresentamos a no¸ca˜o de rota¸ca˜o de sistemas de coordenadas.

Defini¸c˜ao 9.25

(Rota¸ca˜o do sistema de coordenadas) A rota¸ca˜o de um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas OXY por um ˆangulo θ ´e a constru¸ca˜o de um novo sistema O X Y cujos eixos O X e O Y s˜ao obtidos girando os eixos OX e OY , respectivamente, do aˆngulo θ em torno da origem O. A rota¸ca˜o ´e realizada no sentido anti-hor´ario se θ for Figura 9.1: Rota¸ca˜o do sistema de copositivo e no sentido hor´ario, se θ for ordenadas. negativo (Figura 9.1).

A origem O do novo sistema ´e a mesma do sistema original, o ponto O. Embora as origens sejam as mesmas, utilizamos nota¸co˜es distintas.

Dizemos que o sistema O X Y ´e o rotacionado do sistema OXY de θ.

Como os eixos OX e OY foram rotacionados de θ, os eixos O X e O Y s˜ao tamb´em ortogonais. Portanto, O X Y ´e um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas.

123

CEDERJ

CË&#x2020; onicas - Rota¸cË&#x153;ao de sistemas de coordenadas

Rela¸ cË&#x153; oes de mudan¸ ca de coordenadas entre sistemas rotacionados.

Seja O X Y o sistema ortogonal de coordenadas obtido rotacionando o sistema de coordenadas OXY de um aË&#x2020;ngulo θ.

Seja P um ponto do plano cujas coordenadas em rela¸caË&#x153;o ao sistema OXY sË&#x153;ao P = (x, y)OXY e, em rela¸caË&#x153;o ao sistema O X Y sË&#x153;ao P = (x , y )O X Y . Veja a Figura 9.2.

Para determinarmos a rela¸caË&#x153;o entre as coordenadas (x, y) e (x , y ) come¸camos observando que: â&#x20AC;˘ o vetor â&#x2C6;&#x2019; vâ&#x2020;&#x2019; = (cos θ, sen θ) ´e 1

OXY

um vetor unit´ario na dire¸caË&#x153;o posiFigura 9.2: Ponto P em OXY e em O X Y . tiva do eixo OX , â&#x20AC;˘ o vetor â&#x2C6;&#x2019; vâ&#x2020;&#x2019; = (â&#x2C6;&#x2019; sen θ, cos θ) ´e um vetor unit´ario na dire¸caË&#x153;o positiva do 2

OXY

eixo OY , â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; ao perpendiculares: â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; â&#x20AC;˘ os vetores â&#x2C6;&#x2019; vâ&#x2020;&#x2019; vâ&#x2020;&#x2019; 1 e v2 sË&#x153; 1 , v2 = 0. â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; Logo, as coordenadas do vetor OP (ou as coordenadas do ponto P ) com respeito ao sistema O X Y sË&#x153;ao os n´ umeros x e y , tais que: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; prâ&#x2C6;&#x2019; (OP ) = x ¡ â&#x2C6;&#x2019; vâ&#x2020;&#x2019; 1 vâ&#x2020;&#x2019; 1

e

â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; prâ&#x2C6;&#x2019; (OP ) = y ¡ â&#x2C6;&#x2019; vâ&#x2020;&#x2019; 2 . vâ&#x2020;&#x2019; 2

Isto ´e, â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; x = OP , â&#x2C6;&#x2019; v1 = (x, y), (cos θ, sen θ) â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2020;&#x2019; â&#x2020;&#x2019; v2 = (x, y), (â&#x2C6;&#x2019; sen θ, cos θ) y = OP , â&#x2C6;&#x2019; de onde obtemos as rela¸coË&#x153;es de mudan¸ca de vari´aveis: x = x ¡ cos θ + y ¡ sen θ

y = â&#x2C6;&#x2019;x ¡ sen θ + y ¡ cos θ

(9.2)

Reciprocamente, suponhamos que o sistema O X Y foi obtido rotacionando o sistema OXY de θ.

Como obter o sistema OXY a partir do sistema O X Y ?

Sendo que o sistema O X Y foi obtido girando o sistema OXY de θ, o sistema OXY deve ser obtido girando o sistema O X Y de â&#x2C6;&#x2019;θ. Note que, CEDERJ

124

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 9

neste caso, o rotacionado ´e o sistema OXY e o sistema fixo ´e o sistema O X Y . Portanto, as rela¸co˜es de mudan¸ca de coordenadas s˜ao: x = x · cos(−θ) + y · sen(−θ) y = −x · sen(−θ) + y · cos(−θ) e como cos θ ´e uma fun¸ca˜o par e sen θ ´e uma fun¸ca˜o ´ımpar, obtemos a mudan¸ca de coordenadas: x = x · cos θ − y · sen θ y = x · sen θ + y · cos θ

(9.3)

Assim, se O X Y ´e um sistema de coordenadas obtido girando o sistema OXY de um ˆangulo θ, podemos usar as rela¸co˜es (9.2) e (9.3) para obter as coordenadas dos pontos do plano em rela¸ca˜o ao sistema O X Y conhecendo as coordenadas em rela¸ca˜o ao sistema OXY e reciprocamente, desde que sejam conhecidos o seno e o cosseno do aˆngulo de rota¸ca˜o !

Exemplo 9.1 Seja O X Y o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas obtido da rota¸ca˜o de 30o do sistema XOY .

Seja P o ponto do plano com coordenadas P = (−1, 3)OXY e seja r a reta de equa¸ca˜o x − 2y + 2 = 0, no sistema O X Y . Veja a Figura 9.3.

Determinemos as coordenadas de P no sistema O X Y e a equa¸ca˜o de r no sistema OXY .

Solu¸ca˜o: Primeiro devemos obter a express˜ao da mudan¸ca de coordenadas usando as rela¸co˜es (9.2): Figura 9.3: Exemplo 9.1. ⎧ √ ⎪ ⎨x = x cos(30o ) + y sen(30o ) = 3 x + 1 y 2√

2

⎪ ⎩y = −x sen(30o ) + y cos(30o) = − 1 x + 2

3 y.

2

Substituindo os valores das coordenadas x = −1 e y = 3 de P , obtemos: ⎧ √ √ ⎪ ⎨x = 3 (−1) + 1 (3) = 3 − 3 2

⎪ ⎩y = − 1 (−1) + 2

2 √

2 √ 3 1+3 3 (3) = .

2 2 125

CEDERJ

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

Ou seja, P =

√ √ 3− 3 1+3 3 , .

2 2 O X Y

Fazemos tamb´em a substitui¸ca˜o de x e y na equa¸ca˜o de r: √

√ 3 1 1 3

x+ y −2 − x+ y +2=0 x − 2y + 2 = 0 ⇐⇒ 2 2 2 2 √ √ ⇐⇒ 3 x + y + 2x − 2 3y + 4 = 0 √ √ ⇐⇒ (2 + 3)x + (1 − 2 3)y + 4 = 0 . √ √ Portanto, a equa¸ca˜o de r no sistema OXY ´e (2 + 3)x + (1 − 2 3)y + 4 = 0 .

Exemplo 9.2 Consideremos o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas O X Y , obtido por uma rota¸ca˜o do sistema OXY , tal que o eixo O X seja a reta que passa pela origem e ´e paralela `a reta 2x − 3y + 6 = 0.

Seja P ponto do plano com coordenadas P = (−4, 1)O X Y .

Determinar as coordenadas de P no sistema OXY .

Solu¸ca˜o: A primeira pergunta que surge ´e: como determinar o aˆngulo de rota¸ca˜o θ?

Na verdade, como foi dito anteriormente, n˜ ao precisamos do valor do aˆngulo de rota¸ca˜o θ, mas sim dos valores cos θ e sen θ.

O eixo O X e a reta 2x − 3y + 6 = 0 tˆem a mesma inclina¸ca˜o, pois s˜ao 2 paralelos. Reescrevendo a equa¸ca˜o da reta na forma y = x + 2, temos 3

2 3

tg θ = .

Assim, os valores de cos θ e sen θ s˜ao obtidos resolvendo o sistema: ⎧ ⎨tg θ = sen θ = 2 cos θ 3 ⎩cos2 θ + sen2 θ = 1 .

3

Da primeira identidade, obtemos cos θ = sen θ, e substituindo na segunda 2 2

3 2 sen θ + sen θ = 1, que equivale a: identidade resulta: 2

13 4 2 sen2 θ = 1 ⇐⇒ (sen θ)2 = ⇐⇒ | sen θ| = √ .

4 13 13

CEDERJ

126

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 9

Como a tangente de θ ´e positiva, o cosseno de θ e o seno de θ tˆem o mesmo sinal. Nesse caso, convencionamos tomar sempre o sinal positivo que corresponde a θ positivo (quando os sinais de cos θ e sen θ forem contr´arios, tomamos o cosseno positivo e o seno negativo).

2 3 e cos θ = √ .

13 13

Ent˜ao: sen θ = √

Figura 9.4: Exemplo 9.2.

Substituindo os valores de cos θ e sen θ nas rela¸co˜es (9.3), obtemos: ⎧ 3 2 ⎪ ⎨x = x · cos θ − y · sen θ = √ x − √ y 13

13

13

13

2 3 ⎪ ⎩y = x · sen θ + y · cos θ = √ x + √ y .

Substituindo as coordenadas x = −4 e y = 1 de P , obtemos as coordenadas x e y de P no sistema OXY : ⎧ 3 2 14 ⎪

⎨x = √ (−4) − √ (1) = − √ 14 5 13 13 13 =⇒ P = − √ , − √ .

2 3 5 ⎪ 13 13 OXY ⎩y = √ (−4) + √ (1) = − √ 13

13

13

Antes de passarmos para a identifica¸ca˜o de equa¸co˜es do segundo grau com termo xy fa¸camos algumas compara¸co˜es de equa¸co˜es de cˆonicas entre sistemas de coordenadas rotacionados.

Sejam OXY e O X Y sistemas cartesianos ortogonais de coordenadas em que O X Y ´e obtido girando o sistema OXY de θ. (x )2

(y )2

Consideremos, por exemplo, a hip´erbole 2 − 2 a b O X Y .

= 1, no sistema

Como ´e a equa¸ca˜o dessa hip´erbole no sistema OXY ?

Substituindo x e y das express˜oes da mudan¸ca de coordenadas (9.2) na equa¸ca˜o da hip´erbole, temos: (x cos θ + y sen θ)2 (−x sen θ + y cos θ)2 (x )2 (y )2 − = 1 ⇐⇒ − =1 a2 b2 a2 b2 (cos2 θ x2 + 2 cos θ sen θ xy + sen2 θ x2 ) ⇐⇒ a2 2 2 (sen θ x − 2 cos θ sen θ xy + cos2 θ x2 ) − =1 b2 ⇐⇒ (b2 cos2 θ − a2 sen2 θ )x2 + 2(a2 + b2 ) cos θ sen θ xy +(b2 sen2 θ − a2 cos2 θ )y 2 = a2 b2 .

(9.4)

127

CEDERJ

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

Observe que agora apareceu um termo com o produto xy !

Como a2 + b2 > 0 , o coeficiente 2(a2 + b2 ) cos θ sen θ de xy em (9.4) ´e igual a zero se, e somente se, cos θ sen θ = 0. Ou seja se, e somente se, cos θ = 0 ou sen θ = 0 .

Se cos θ = 0, ent˜ao θ = 90o e sen θ = 1 ou θ = −90o e sen θ = −1. Em qualquer caso sen2 θ = 1 e a equa¸ca˜o (9.4) fica reduzida a (Figura 9.5): −a2 x2 + b2 y 2 = a2 b2 .

Dividindo essa equa¸ca˜o por a2 b2 , obtemos − Na figura 9.5 Temos cos θ = 0 e sen θ = 1.

Veja como o sistema O X Y obtido pela rota¸ca ˜o do sistema OXY de 90o tem os seus eixos superpostos aos eixos do sistema OXY . Veja a figura 9.5 de frente ao eixo OX. Na figura 9.6 Temos sen θ = 0 e cos θ = −1. O sistema O X Y obtido pela rota¸ca ˜o do sistema OXY de 180o tem os seus eixos superpostos aos eixos do sistema OXY , por´ em com orienta¸co ˜es contr´ arias. Veja a figura 9.6 de cabe¸ca para baixo.

y2 x2 − = 1. a2 b2

Figura 9.5: cos θ = 0 e sen θ = 1 .

x2 y2 + 2 = 1 , ou seja: 2 b a

Figura 9.6: cos θ = −1 e sen θ = 0 .

Analogamente, se sen θ = 0, ent˜ao θ = 0o e cos θ = 1 ou θ = 180o e cos θ = −1. Em qualquer caso cos2 θ = 1 e ao substituir na equa¸ca˜o (9.4), obtemos a equa¸ca˜o b2 x2 − a2 y 2 = 1 , que equivale a (Figura 9.6): x2 y2 − = 1. a2 b2

Assim, no primeiro caso, a rota¸ca˜o ´e de 90o (ou de −90o ) e no segundo a rota¸ca˜o ´e de 0o (ou de 180o). Portanto, os eixos rotacionados O X e O Y ficam superpostos aos eixos originais OY e OX respectivamente, embora com orienta¸ca˜o contr´aria. Isto faz com que as equa¸co˜es nos dois sistemas apare¸cam na forma canˆonica.

Conclu´ımos ent˜ao que, fora esses casos particulares, quando a rela¸ca˜o entre os sistemas de coordenadas ´e de uma rota¸ca˜o, sempre dever´a aparecer o termo xy na equa¸ca˜o da cˆonica.

Essa an´alise ´e u ´ til para raciocinarmos de forma inversa: dada a equa¸ca˜o de uma cˆonica em rela¸ca˜o ao sistema OXY , determinar os eixos O X Y perante os quais a cˆonica estar´a apresentada na sua forma canˆonica. Para CEDERJ

128

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 9

ilustrar o procedimento vamos analisar com cuidado o seguinte exemplo.

Exemplo 9.3 Consideremos a equa¸ca˜o 13x2 + 18xy + 37y 2 − 40 = 0 .

(9.5)

Sendo que nessa equa¸ca˜o aparece termo xy, deve existir um sistema de coordenadas O X Y , rotacionado de OXY , com respeito ao qual a equa¸ca˜o apare¸ca na sua forma reduzida (canˆonica).

Como encontrar o sistema O X Y desejado?

Solu¸ca˜o: Denotemos θ o aˆngulo de rota¸ca˜o procurado (lembre que para determinar o sistema s´o precisamos do cosseno e do seno desse aˆngulo).

As coordenadas no sistema OXY s˜ao dadas a partir das coordenadas em rela¸ca˜o ao sistema O X Y mediante as rela¸co˜es (9.3). Substituindo essas rela¸co˜es de mudan¸ca de coordenadas na equa¸ca˜o (9.5), obtemos: 13(x cos θ − y sen θ)2 + 18(x cos θ − y sen θ)(x sen θ + y cosθ) + 37(x sen θ + y cos θ)2 − 40 = 0 .

Desenvolvendo essa equa¸ca˜o e agrupando os termos comuns, temos: (13 cos2 θ + 18 sen θ cos θ + 37 sen2 θ)(x )2 + (−26 sen θ cos θ + 18 cos2 θ − 18 sen2 θ + 74 sen θ cos θ)x y

(9.6)

+ (13 sen2 θ − 18 sen θ cos θ + 37 cos2 θ)(y )2 = 0 .

Agora impomos a θ a condi¸ca˜o que precisamos: θ tem que ser o ˆangulo tal que a equa¸ca˜o acima fique sem o termo x y . Isto ´e, o coeficiente de x y deve ser igual a zero. Portanto, a condi¸ca˜o sobre θ ´e: −26 sen θ cos θ + 18 cos2 θ − 18 sen2 θ + 74 sen θ cos θ = 0 .

Simplificando, temos: 3 cos2 θ − 3 sen2 θ + 8 sen θ cos θ = 0 .

Para resolver essa identidade em rela¸ca˜o a cos θ e a sen θ, observemos que cos θ = 0 pois, como vimos anteriormente, se cos θ = 0 a equa¸ca˜o n˜ao teria o termo xy. Dividindo essa identidade por cos2 θ, obtemos: 3−3

sen2 θ sen θ +8 = 0.

2 cos θ cos θ

Note que...

No procedimento ao lado desejamos achar os valores de cos θ e sen θ .

129

CEDERJ

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas θ Designando u = tg θ = sen , substituindo na equa¸ca˜o, reordenando os termos cos θ e multiplicando por (−1), chegamos a` equa¸ca˜o do segundo grau:

3 u2 − 8u − 3 = 0 .

8 ± 10

. Lembre que convencionamos tomar Resolvendo, obtemos u = tg θ = 6 sempre o valor positivo para tg θ (que corresponde a um aˆngulo θ entre 0 o e 90o ). Assim, tg θ = Note que...

Resolver as equa¸co ˜es (9.7) e (9.8) com respeito ` as inc´ ognitas sen θ e cos θ equivale a determinar um par de n´ umeros positivos tais que a soma dos seus quadrados ´ e igual a 1 e o seu quociente ´e 3.

Verifique ...

Use uma m´ aquina de calcular para verificar que θ = arcsen √3 ≈ 71, 56o .

10

18 = 3.

6

Sabendo o valor da tangente de θ obtemos os valores do cosseno e do seno, conforme fizemos no exemplo 9.2, a partir das identidades: sen θ cos θ

As solu¸co˜es s˜ao sen θ =

= 3,

(9.7)

sen2 θ + cos2 θ = 1 .

(9.8)

√3 10

e cos θ =

√1 10

.

Substituindo esses valores nas rela¸co˜es (9.3), vemos que a mudan¸ca de coordenadas que devemos fazer para levar a cˆonica (9.5) a` sua forma canˆonica com respeito ao novo sistema O X Y , ´e dada por: ⎧ ⎨x = √1 x − √3 y ⎩y =

10 3 √ x 10

+

10 1 √ y , 10

De fato, substituindo essas rela¸co˜es nos coeficientes da equa¸ca˜o (9.6), obtemos: • coeficiente de (x )2 : 13 cos2 θ + 18 sen θ cos θ + 37 sen 2 θ = 13( √110 )2 + 18( √310 )( √110 ) + 37( √310 )2 400 = = 40 .

10

• coeficiente de x y :

3cos2 θ − 3sen2 θ + 8senθcosθ = 3( √110 )2 − 3( √310 )2 + 8( √310 )( √110 ) = 0 ,

valor que j´a era esperado.

• coeficiente de (y )2 : 13 sen2 θ − 18 sen θ cos θ + 37 cos 2 θ = 13( √310 )2 − 18( √310 )( √110 ) + 37( √110 )2 =

100 10

= 10 .

Assim, a equa¸ca˜o (9.6) fica na forma: 40(x )2 + 10(y )2 − 40 = 0 , isto ´e, na forma: (x )2 +

(y )2 = 1, 4

que ´e a equa¸ca˜o canˆonica de uma elipse no sistema O X Y (Figura 9.7).

CEDERJ

130

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 9

Figura 9.7: 13x2 + 18xy + 37y 2 − 40 = 0 .

O exemplo acima ilustra o procedimento geral a ser seguido para reduzir uma equa¸ca˜o do segundo grau da forma Ax2 +Bxy +Cy 2 +F = 0 a` sua forma canˆonica. Isto ´e feito por meio de uma mudan¸ca do sistema de coordenadas, obtida girando o sistema OXY , de modo que os eixos O X e O Y do sistema rotacionado O X Y coincidam com os eixos da cˆonica.

O procedimento para reduzir a equa¸ca˜o geral de segundo grau Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 a` sua forma canˆonica ´e feito em duas etapas. Primeiramente rotacionamos o sistema OXY para um sistema O X Y de modo que, nas novas coordenadas, a equa¸ca˜o fique sem o termo em xy. Uma vez feito isso, transladamos o sistema O X Y at´e um ponto O de modo que a equa¸ca˜o no sistema transladado O X Y n˜ao apresente os termos de primeiro grau. No seguinte exemplo ilustramos como isso ´e feito.

Exemplo 9.4 Vamos reduzir a equa¸ca˜o: 3x2 + 10xy + 3y 2 + 16x + 16y + 16 = 0 .

(9.9)

a` sua forma canˆonica.

Solu¸ca˜o: Procedendo de forma an´aloga ao exemplo anterior, procuremos o sistema de coordenadas O X Y , rotacionado de OXY de modo que, nesse novo sistema, a equa¸ca˜o n˜ao tenha termo x y . Novamente fazemos a mudan¸ca de vari´aveis:

131

CEDERJ

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

Neste ponto ...

Observe que o nosso primeiro objetivo ´e determinar os valores de sen θ e cos θ de modo que ao mudar as vari´ aveis x, y para as vari´ aveis x , y , na equa¸ca ˜o (9.9) conforme as rela¸co ˜es ao lado, a equa¸ca ˜o resultante n˜ ao tenha o termo x y .

⎧ ⎨x = x cos θ − y sen θ ⎩y = x sen θ + y cos θ. na equa¸ca˜o 9.9. Observe que a condi¸ca˜o sobre cos θ e sen θ ´e que na equa¸ca˜o transformada n˜ao apare¸ca o termo em x y .

Observe que, na mudan¸ca de vari´aveis, aparece o termo em x y apenas nos termos de segundo grau x2 , y 2 e xy. Assim, isolamos esses termos da equa¸ca˜o, fazemos a substitui¸ca˜o e obtemos o coeficiente de x y : 3(x cos θ − y sen θ)2 = 3(x )2 cos2 θ−6x y cos θ sen θ + 3(y )2 sen2 θ] .

3x2 −→

10xy −→ 10(x cos θ − y sen θ)(x sen θ + y cos θ) = 10(x )2 cos θ sen θ+10(cos2 θ − sen2 θ)x y − 10(y )2 sen θ cos θ .

3(x cos θ + y sen θ)2 = 3(x )2 cos2 θ+6x y cos θ sen θ + 3(y )2 sen2 θ .

3y 2 −→

Assim, o coeficiente de x y ´e: −6 cos θ sen θ + 10(cos2 θ − sen2 θ) + 6 cos θ sen θ = 10(cos2 θ − sen2 θ) .

Esse coeficiente ´e igual a zero se, e somente se, cos2 θ − sen2 θ = 0 .

Lembre que ...

Convencionamos tomar o valor positivo para sen θ.

Na situa¸ca ˜o ao lado n˜ ao importa o sinal de cos θ, pois as duas poss´ıveis escolhas diferem por uma rota¸ca ˜o de 90o , fazendo coincidir, em ambos os casos, os eixos da cˆ onica com dire¸co ˜es paralelas aos eixos O X e O Y . Na situa¸ca ˜o ao lado, a escolha implicaria em tomar θ = 45o ou θ = 135o , mas a forma geral da cˆ onica obtida finalmente ter´ a as vari´ aveis x e y intercambiadas, pois, tomando θ = 135o , o sistema de coordenadas ter´ a os eixos rotacionados de 90o em rela¸ca ˜o ao sistema obtido na escolha θ = 45o .

CEDERJ

132

Logo, os valores cos θ e sen θ s˜ao obtidos resolvendo o sistema: ⎧ √ ⎨cos2 θ − sen2 θ = 0 1 2 =⇒ | cos θ| = | sen θ| = √ = .

2 ⎩cos2 θ + sen2 θ = 1 2 √

2 . Considerando cos θ = sen θ = Isto ´e, cos θ = ± sen θ = ± 2

√ 2 (que 2

corresponde a θ = 45o ), obtemos as rela¸co˜es de mudan¸ca de coordenadas: ⎧ √ √ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪

⎪ x − y ⎨ x= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩

2 2 √ √ 2 2 y= x + y .

2 2

Substituindo essas rela¸co˜es na equa¸ca˜o (9.9), temos: √ √ √ √ 2 √ √ √ √ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 x − y + 10 x − y x + y +3 x + y 2

2

2 2 2 2 2 2 √ √ √ √ 2 2 2 2 + 16 x − y + 16 x + y + 16 = 0 .

2 2 2 2

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 9

Simplificando, obtemos a equa¸ca˜o: √ 8(x )2 − 2(y )2 + 16 2x + 16 = 0 .

Completando os quadrados, como na aula anterior, chegamos a: (x +

√ 2 (y )2 2) − = 0, 4

que representa uma hip´erbole degenerada, cujo gr´afico s˜ao duas retas concorrentes e tem por equa¸ca˜o canˆonica: (x )2 −

(y )2 = 0, 4

Figura 9.8: Gr´ afico da cˆ onica (9.9) .

com respeito ao sistema O X Y obtido transladando o sistema O X Y at´e √ O = (− 2, 0)O X Y (Figura 9.8).

Mesmo sabendo como reduzir uma equa¸ca˜o do segundo grau nas vari´aveis x e y a` sua forma canˆonica, em muitas situa¸co˜es ´e fundamental identificar se a cˆonica ´e uma elipse ou uma hip´erbole ou uma par´abola, mesmo antes de efetuar a redu¸ca˜o a` forma canˆonica. Para isso devemos caracterizar os elementos-chave que nos permitem identificar o lugar geom´etrico a partir da equa¸ca˜o geral.

Defini¸c˜ao 9.26 (Indicador de uma equa¸c˜ao do segundo grau) O indicador da equa¸ca˜o do segundo grau: C : Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 ´e o n´ umero:

A B/2 B2 = 4AC − B 2 .

I(C) = 4 det = 4 AC − 4 B/2 C

Na seguinte proposi¸ca˜o mostramos um resultado importante que nos permite efetuar a identifica¸ca˜o de uma cˆonica a partir da sua equa¸ca˜o geral, calculando apenas o seu indicador.

133

CEDERJ

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

Proposi¸c˜ao 9.20 O indicador ´e invariante por rota¸ca˜o.

Isto ´e, se a equa¸ca˜o C : A (x )2 + B x y + C (y )2 + D x + E y + F = 0 ´e obtida a partir da equa¸ca˜o C : Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 por meio de uma rota¸ca˜o do sistema de coordenadas, ent˜ao: I(C) = 4AC − B 2 = 4A C − (B 2 ) = I(C ) .

A demonstra¸ca˜o da proposi¸ca˜o, feita no apˆendice, consiste em calcular o indicador I(C ) ap´os fazer a mudan¸ca de vari´aveis na equa¸ca˜o C segundo as rela¸co˜es (9.3).

Vejamos agora como esse resultado nos auxilia na identifica¸ca˜o da cˆonica.

J´a sabemos que dada uma equa¸ca˜o do segundo grau: C : Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , podemos determinar um sistema de coordenadas O X Y , no qual a equa¸ca˜o tem a forma: C : A (x )2 + C (y )2 + D (x ) + E (y ) + F = 0 , com B = 0. Pela Proposi¸ca˜o 9.20, obtemos: I(C) = 4AC − B 2 = 4A C = I(C ) .

(9.10)

Mas, na aula anterior, j´a classificamos as equa¸co˜es do tipo: A (x )2 + C (y )2 + D (x ) + E (y ) + F = 0 , atrav´es da observa¸ca˜o dos coeficientes A e C : • A e C com mesmo sinal (A C > 0)

=⇒

C ´e uma elipse ,

• A e C com sinal contr´ ario (A C < 0)

=⇒

C ´e uma hip´erbole ,

• A = 0 e C = 0 ou A = 0 e C = 0 (A C = 0)

=⇒

C ´e uma par´ abola ,

incluindo os casos degenerados em cada alternativa.

CEDERJ

134

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 9

Reveja...

Os crit´ erios da Aula 8 para identificar uma cˆ onica que n˜ ao cont´ em o termo xy.

Portanto, da igualdade dos indicadores (9.10), conclu´ımos: Classifica¸ ca ˜o da equa¸ ca ˜o geral de segundo grau.

Dada a equa¸ca˜o:

NOTA IMPORTANTE !

Em alguns livros sobre Geometria Anal´ıtica, o indicador ´ e definido por: !

A B/2 I = −4 det B/2 C

C : Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0 2

2

e designando I(C) = 4AC − B 2 , temos: • I(C) > 0

=⇒

C ´e uma elipse (equa¸ca ˜o de tipo el´ıptico) ,

• I(C) < 0

=⇒

C ´e uma hip´erbole (equa¸ca ˜o de tipo hiperb´ olico) ,

• I(C) = 0

=⇒

C ´e uma par´ abola (equa¸ca ˜o de tipo parab´ olico) ,

= B 2 − 4AC .

incluindo os casos degenerados em cada alternativa.

Exemplo 9.5 Identifiquemos a cˆonica C dada pela equa¸ca˜o: C : 4xy − 3y 2 + x = 0 ,

(9.11)

Com isso, a cˆ onica ´ e: • uma elipse, se I < 0; • uma par´ abola, se I = 0; • uma hip´erbole, se I > 0; No entanto, essa n˜ ao ´e uma conven¸ca ˜o padr˜ ao e n´ os achamos mais natural definir o indicador de modo que as elipses fiquem com indicador positivo e as hip´erboles com ´ indicador negativo. E quest˜ ao de preferˆ encia.

e determinemos o sistema de coordenadas no qual a sua equa¸ca˜o ´e apresentada na forma canˆonica.

Solu¸ca˜o: Os coeficientes dos termos do segundo grau s˜ao A = 0, B = 4 e C = −3. Logo, o indicador da equa¸ca˜o ´e: I(C) = 4AC − B 2 = 4 × 0 × (−3) − (−4)2 = −16 < 0 .

Portanto, a cˆonica ´e uma hip´erbole e a equa¸ca˜o ´e do tipo hiperb´olico.

Determinemos agora um sistema de coordenadas O X Y , rotacionado de OXY , para reduzir a equa¸ca˜o dada, eliminando o termo em xy.

Considerando a mudan¸ca de coordenadas: ⎧ ⎨x = x cos θ − y sen θ ⎩y = x sen θ + y cos θ . determinemos o coeficiente de x y , que s´o aparece nos termos de segundo grau na equa¸ca˜o de C: 4xy = 4(x cos θ − y sen θ)(x sen θ + y cos θ) = 4 cos θ sen θ (x )2 +4(cos2 θ − sen2 θ) x y − 4 cos θ sen θ (y )2 ) , −3y 2 = −3(x sen θ + y cos θ)2 = −3 sen2 θ (x )2 −6 sen θ cos θ x y − 3 cos2 θ (y )2 .

135

CEDERJ

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

Assim, o coeficiente de x y ´e: 4 cos2 θ − 4 sen2 θ − 6 cos θ sen θ .

Ent˜ao, devemos determinar os valores de cos θ e sen θ para que esse coeficiente seja igual a zero, isto ´e, devemos resolver a equa¸ca˜o: 4 cos2 θ − 4 sen2 θ − 6 cos θ sen θ = 0 .

Dividindo essa equa¸ca˜o por −2 cos2 θ, temos: 2 tg2 θ + 3 tg θ − 2 = 0 . de onde obtemos: tg θ =

1

1 −3 ± (−3)2 − 4(2)(−2) = (−3 ± 5) .

4 4

Isto ´e, tg θ = −2 ou tg θ =

1 .

2

Seguindo a nossa conven¸ca˜o, escolhemos o valor positivo: tg θ =

sen θ 1 = , cos θ 2

ou seja 2 sen θ − cosθ = 0.

Do sistema de equa¸co˜es: 2 sen θ − cos θ = 0 sen2 θ + cos2 θ = 1 1 e 5

obtemos (seguindo a conven¸ca˜o de tomar o seno positivo) sen θ = √ 2 5

cos θ = √ .

Com isso, a mudan¸ca de coordenadas que devemos fazer ´e dada por: ⎧ 2 1 ⎪ ⎨x = √ x − √ y 5

5

5

5

1 2 ⎪ ⎩y = √ x + √ y .

Substituindo na equa¸ca˜o (9.11), agrupando os termos comuns e simplificando, obtemos a equa¸ca˜o da cˆonica C no sistema rotacionado O X Y : √ √ 2 5 5 (x ) − 4(y ) + x − y = 0.

5 5 2

2

Completando os quadrados e simplificando, obtemos:

√ 2 √ 2 x + 55 y + 4 05 √ 2 − √ 2 = 1 , 3 4

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136

3 8

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 9

√ √ 5 5 , eixo focal que ´e a equa¸ca˜o da hip´erbole de centro no ponto − , − √

√ 3 3

paralelo ao eixo O X e com a = eb= .

4 8

5

40

A transla¸ca˜o do sistema O X Y para o sistema O X Y com origem no centro da cˆonica ´e dada pela mudan¸ca de coordenadas: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x = x +

√

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y = y +

√

5 5

5 40

.

Com essa transla¸ca˜o do sistema de coordenadas, a equa¸ca˜o da cˆonica fica na sua forma canˆonica em rela¸ca˜o ao sistema O X Y (Figura 9.9): (x )2 (y )2 √ 2 − √ 2 = 1 , 3 4

3 8

Mais ainda, note que as ass´ıntotas dessa hip´erbole tˆem equa¸co˜es: 1 2

y = x

e

1 y = − x .

2

Para obtermos as equa¸co˜es correspondentes no sistema OXY temos que fazer duas mudan¸cas de coordenadas, a primeira, do sistema O X Y para o sistema O X Y por meio de uma transla¸ca˜o: Figura 9.9: 4xy − 3y 2 + x = 0 .

y

=

1 x 2 1 2

y = − x

√

5 ⇐⇒ y + 40 √ 5 ⇐⇒ y + 40

√ 1 5 = (x + ) 2 5 √ 1 5 = − (x + ).

2 5

137

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Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

Na segunda, mudamos do sistema O X Y para o sistema OXY , por meio de uma rota¸ca˜o: ⎧ ⎪ ⎪ 2 1 ⎪ ⎨ x = √ x + √ y 5

5

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ y = − √1 x + √2 y 5

5

Fazendo essa mudan¸ca de vari´aveis nas equa¸co˜es das ass´ıntotas: √ 1 2 5 −√ x + √ y + 40 5 5 √ 1 2 5 −√ x + √ y + 40 5 5

√ 2 1 5 √ x+ √ y+ 5 5 5

√ 1 2 1 5 √ x+ √ y+ , = 2 5 5 5 1 = 2

e simplificando, chegamos a: 4 3

y = x+

1 4

e

1 4

y=− .

Resumo Nesta aula vocˆe viu que as mudan¸cas de coordenadas por rota¸co˜es eliminam o termo xy da equa¸ca˜o de uma cˆonica; aprendeu a identificar uma cˆonica a partir dos seus coeficientes, usando o seu indicador, e aprendeu a usar os resultados da aula em conjun¸ca˜o com a mudan¸ca de vari´avel por transla¸ca˜o, apresentada na aula anterior, para reduzir uma cˆ onica arbitr´aria a sua forma canˆonica.

Exerc´ıcios 1. Para cada equa¸ca˜o abaixo, dˆe o candidato a lugar geom´etrico dos pontos que a satisfazem.

No caso em que o candidato seja uma par´abola, fa¸ca a redu¸ca˜o da equa¸ca˜o exibindo as mudan¸cas de coordenadas. a. 9x2 − 16y 2 − 54x + 32y − 79 = 0 ; b. 4x2 + 4xy + y 2 − 12x − 6y + 5 = 0 ; c. 9x2 + 24xy + 16y 2 − 150x − 200y + 625 = 0.

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138

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 9

2. Seja C o c´ırculo de equa¸ca˜o x2 + y 2 = r 2 . Mostre que sua equa¸ca˜o ´e invariante por rota¸co˜es, isto ´e, se tomamos um sistema de coordenadas O X Y , rotacionado de OXY de um ˆangulo θ, ent˜ao a equa¸ca˜o do c´ırculo nesse novo sistema ´e (x )2 + (y )2 = r 2 .

3. Seja C o c´ırculo de equa¸ca˜o (x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r 2 .

Verifique que C ´e invariante por simetria em rela¸ca˜o a qualquer reta que passe pelo centro(a, b).

Sugest˜ ao: Use a express˜ ao da Proposi¸ca˜o 16 da Aula 7 para fazer a simetria de um ponto do c´ırculo em rela¸ca˜o a` reta e mostre que esse ponto continua a pertencer ao c´ırculo.

4. Fa¸ca a redu¸ca˜o a` forma canˆonica de cada equa¸ca˜o abaixo, identificando a cˆonica.

Determine, conforme o caso, v´ertices, ass´ıntotas, diretrizes, tanto no sistema em que foi obtida a equa¸ca˜o reduzida quanto no sistema OXY . a. 4xy − 3y 2 − 36 = 0 ; b. 7x2 + 6xy − y 2 + 28x + 12y + 28 = 0 ; c. 5x2 − 2xy + 5y 2 − 4x + 20y + 20 = 0 ; d. 4x2 + 12xy + 9y 2 − 4x − 6y + 1 = 0 ; 5. Na Figura 9.10, o centro e os v´ertices da hip´erbole est˜ao sobre a reta diagonal y = x do plano e tˆem coordenadas: (3, 3) , (2, 2) e (4, 4), respectivamente e as ass´ıntotas s˜ao as retas x = 3 e y = 3.

Dˆe a equa¸ca˜o da hip´erbole no sistema OXY .

Figura 9.10: Exerc´ıcio 5.

Figura 9.11: Exerc´ıcio 6.

139

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Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

6. Na Figura 9.11, a hip´erbole tem os mesmos v´ertices e centro que a hip´erbole do exerc´ıcio anterior e as ass´ıntotas s˜ao as retas x−3y+6 = 0 e 3x − y − 6 = 0 .

Dˆe a equa¸ca˜o da hip´erbole no sistema OXY .

7. Seja a equa¸ca˜o 7x2 − 48xy − 7y 2 − 25t = 0, onde t ∈ R. a. Dˆe os valores de t para os quais a equa¸ca˜o se torna a equa¸ca˜o de uma cˆonica degenerada. b. Tome um valor a > 0. Compare as equa¸co˜es reduzidas para t = a e t = −a. O que as curvas solu¸co˜es tˆem em comum?

8. Classifique, em fun¸ca˜o do parˆametro k, a cˆonica : x2 + 2kx + 2ky 2 = 2k + 1 , ˜ ATENC ¸ AO! Os c´ alculos a serem feitos para reduzir uma cˆ onica ` a sua forma canˆ onica s˜ ao laboriosos e devem ser realizados com extremo cuidado para evitar enganos. ´ Na disciplina de Algebra Linear ser´ a desenvolvido um m´ etodo matricial para reduzir uma cˆ onica ` a sua forma canˆ onica com c´ alculos mais simples.

At´ e l´ a, vocˆ e deve ter bastante familiaridade com os m´ etodos apresentados nesta aula.

determinando tamb´em, quando poss´ıvel, a equa¸ca˜o da reta focal.

Sugest˜ ao: O problema consiste em identificar os valores do parˆ ametro k para os quais a equa¸ca˜o representa uma elipse, uma hip´erbole ou uma par´ abola.

Devem ser analisados os casos degenerados. Use o indicador.

9. Considere a equa¸ca˜o: mx2 + 12xy + 9y 2 + 4x + 6y − 6 = 0 . a. Determine m ∈ R tal que a equa¸ca˜o acima seja do tipo parab´olico. b. Verifique que a equa¸ca˜o com o valor m, encontrado no item anterior, representa um par de retas paralelas, ou seja, ´e uma par´abola degenerada. Determine a equa¸ca˜o dessas retas no sistema OXY .

10. Seja a fam´ılia de curvas: x2 + 2λx + (λ − 2)y 2 + 2(λ − 2)y + 3λ − 3 = 0 , λ ∈ R . a. Classifique essa fam´ılia em fun¸ca˜o do parˆametro λ; b. Determine para que valores de λ, a cˆonica acima ´e degenerada.

Auto-avalia¸ca˜o Vocˆe entendeu bem como rotacionar um sistema de eixos coordenados?

Ficou claro que, para fazer a mudan¸ca de vari´aveis por rota¸co˜es ´e fundamental determinar o cosseno e o seno do aˆngulo de rota¸ca˜o? Vocˆe n˜ao deve ter dificuldade em resolver os exerc´ıcios propostos. Com eles vocˆe ir´a adquirir mais soltura nos c´alculos. Caso tenha alguma dificuldade, reveja os assuntos apresentados na aula e analise os exemplos cuidadosamente.

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140

Cˆ onicas - Rota¸c˜ao de sistemas de coordenadas

´ MODULO 1 - AULA 9

Apˆendice. Invariˆancia do indicador perante rota¸co˜es Neste apˆendice vamos demonstrar a Proposi¸ca˜o 9.20.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja C a cˆonica de equa¸ca˜o: C : Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 .

Consideremos a mudan¸ca de coordenadas dada pelas rela¸co˜es: ⎧ ⎨x = x cos θ − y sen θ ⎩y = x sen θ + y cos θ .

Substituindo essas rela¸co˜es na equa¸ca˜o de C chegamos novamente a uma equa¸ca˜o do segundo grau: A (x )2 + B (x )(y ) + C (y )2 + D (x ) + E (y ) + F = 0 , em que os coeficientes A , B e C s˜ao: A = A cos2 θ + B cos θ sen θ + C sen2 θ , B = 2(A − C) cos θ sen θ + B(cos2 θ − sen2 θ) , C = A sen2 θ − B cos θ sen θ + C cos2 θ .

O indicador dessa nova equa¸ca˜o ´e 4A C − (B )2 , onde: 4A C = 4(A2 − B 2 + C 2 ) cos2 θ sen2 θ + 4(BC − AB) cos3 θ sen θ +4(AB − BC) cos θ sen3 θ + 4AC cos4 θ + 4AC sen4 θ .

(B )2 = 4(A2 − 2AC + C 2 ) cos2 θ sen2 θ + 4(BC − AB) cos3 θ sen θ +4(AB − BC) cos θ sen3 θ + B 2 (cos2 θ − sen2 θ)2 .

Calculando 4A C − (B )2 , temos: 4A C − (B )2 = −4B 2 sen2 θ cos2 θ + 4AC(cos4 θ + sen4 θ) +8AC sen2 θ cos2 θ − B 2 cos4 θ + 2B 2 cos2 θ sen2 θ −B 2 sen4 θ = 2(4AC − B 2 ) cos2 θ sen2 θ + (4AC − B 2 )(cos4 θ + sen4 θ) = (4AC − B 2 )(cos2 θ + sen2 θ)2 = 4AC − B 2 .

Portanto, 4A C − (B )2 = 4AC − B 2 .

141

CEDERJ

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

´ MODULO 1 - AULA 10

Aula 10 – Regi˜ oes e inequa¸ co ˜es no plano Objetivos • Resolver inequa¸co˜es do segundo grau.

• Analisar sistemas envolvendo inequa¸co˜es do primeiro e segundo graus.

• Resolver inequa¸co˜es modulares a duas vari´aveis.

• Analisar sistemas envolvendo inequa¸co˜es do primeiro grau, do segundo grau e modulares.

O conhecimento das curvas representadas por equa¸co˜es gerais do primeiro e segundo graus ´e um passo importante para determinar regi˜oes do plano delimitadas por tais curvas. Uma regi˜ao no plano delimitada por tais curvas consiste do conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem uma ou v´arias inequa¸co˜es alg´ebricas. Como veremos a seguir.

Regi˜ oes do plano e inequa¸ co ˜es.

Vocˆe j´a percebeu que retas e cˆonicas dividem o plano em regi˜oes?

Defini¸c˜ao 10.27 Dizemos que uma regi˜ao do plano ´e conexa se ela n˜ao ´e a uni˜ao de duas ou mais regi˜oes disjuntas (Figura 10.1).

Regi˜ oes conexas.

Dizer que uma regi˜ ao ´ e conexa significa que ela ´e formada de uma pe¸ca s´ o, como cada uma das figuras U e V ao lado. Enquanto que a regi˜ ao W ´ e formada por trˆ es partes.

Figura 10.1: Cada uma das regi˜oes U e V s˜ao conexas, enquanto que a regi˜ ao W n˜ ao ´e conexa.

Conven¸ c˜ ao. Daqui por diante, usaremos o termo regi˜ ao para nos referir a uma regi˜ ao conexa.

Observe que uma reta divide o plano em duas regi˜oes, enquanto que o n´ umero de regi˜oes determinadas por uma cˆonica pode variar.

Primeiramente, consideremos as cˆonicas n˜ao degeneradas: • Uma elipse divide o plano em duas regi˜oes: a regi˜ao interior, que cont´em seus focos, e a exterior; 143

CEDERJ

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

• Uma hip´erbole divide o plano em trˆes regi˜oes: uma que cont´em um dos focos, outra que cont´em o outro foco e a regi˜ao que cont´em suas ass´ıntotas; • Uma par´abola divide o plano em duas regi˜oes: uma que cont´em o foco e a outra que cont´em a diretriz.

Figura 10.2: Elipse.

Figura 10.6: O gr´ afico da hip´ erbole degenerada definida pela equa¸ca ˜o: x2 − y 2 = 0 , consiste de duas retas concorrentes. O plano fica dividido nas quatro regi˜ oes mostradas na figura.

Figura 10.7: Neste gr´ afico mostramos a par´ abola degenerada: x2 + x − 2 = 0 , cujo gr´ afico consiste de duas retas paralelas que dividem o plano em trˆ es regi˜ oes.

Figura 10.8: Neste gr´ afico mostramos a par´ abola degenerada: y2 = 0 , que divide o plano em duas regi˜ oes.

Figura 10.3: Hip´erbole.

Figura 10.4: Par´ abola.

Se olharmos as cˆonicas degeneradas encontramos outras situa¸co˜es.

• Uma elipse degenerada n˜ao divide o plano, pois neste caso os poss´ıveis lugares geom´etricos s˜ao o conjunto vazio ∅, ou um u ´ nico ponto; • Uma hip´erbole degenerada, cujo gr´afico s˜ao duas retas concorrentes, divide o plano em quatro regi˜oes; • Uma par´abola degenerada divide o plano em trˆes regi˜oes, se o seu gr´afico consistir de duas retas paralelas, e divide o plano em duas regi˜oes, quando seu gr´afico for apenas uma reta (duas retas coincidentes).

Figura 10.6: Hip´erbole de- Figura 10.7: Par´ abola dege- Figura 10.8: Par´ abola degegenerada. nerada. nerada.

Figura 10.5: Regi˜ oes A, B e C desconectadas.

Observe que, se retiramos do plano o conjunto dos pontos de uma cˆonica n˜ao degenerada, ent˜ao as regi˜oes que ela determina ficam desconectadas umas das outras. O mesmo acontece se retirarmos do plano uma reta (Figura 10.5).

Designemos por π o plano e por π ∗ o plano do qual retiramos o conjunto dos pontos da cˆonica ou reta, conforme o caso, por exemplo, na Figura 10.5,

CEDERJ

144

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

´ MODULO 1 - AULA 10

o conjunto π ∗ = A ∪ B ∪ C ´e o que resta do plano ap´os retirarmos os pontos de uma hip´erbole.

Sabemos que as retas e cˆonicas s˜ao lugares geom´etricos formados por conjuntos de pontos que satisfazem uma equa¸ca˜o dada. No caso das retas, a equa¸ca˜o ´e Ax + By + C = 0 e, no caso das cˆonicas, a equa¸ca˜o ´e a equa¸ca˜o geral do segundo grau: Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 .

Portanto, as regi˜oes de π ∗ determinadas por uma reta satisfazem a inequa¸ca˜o Ax + By + C > 0 ou a inequa¸ca˜o Ax + By + C < 0 e as regi˜oes determinadas por uma cˆonica satisfazem a inequa¸ca˜o Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F > 0 ou a inequa¸ca˜o Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F < 0 .

Resumindo: Observa¸ c˜ ao importante.

Dada uma equa¸ca˜o alg´ebrica do primeiro ou segundo graus, os pontos de cada regi˜ao de π ∗ por ela determinada, satisfaz apenas uma das desigualdades: Ax + By + C > 0 , Ax + By + C < 0 ,

Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F > 0 , Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F < 0 .

(10.1)

Pense! Vocˆe j´a observou esse fato nos c´ırculos! Num c´ırculo de raio r, os pontos da regi˜ao que cont´em o centro, denominada regi˜ ao interior, est˜ao a uma distˆancia do centro menor que r e os pontos da regi˜ao que n˜ao cont´em o centro, denominada regi˜ ao exterior, est˜ao a uma distˆancia do centro maior que r.

Esta situa¸ca˜o pode ser descrita usando uma inequa¸ca˜o: 145

CEDERJ

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

Se o c´ırculo tem equa¸ca˜o (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 , ent˜ao a regi˜ao interior ´e formada pelo conjunto de pontos tais que:

(x − a)2 + (y − b)2 < r .

Elevando ao quadrado, obtemos que os pontos da regi˜ao interior satisfazem a inequa¸ca˜o: (x − a)2 + (y − b)2 < r 2 .

Enquanto que os pontos da regi˜ao exterior satisfazem a inequa¸ca˜o: (x − a)2 + (y − b)2 > r 2 .

Analogamente, a regi˜ao obtida fazendo a uni˜ao da regi˜ao interior com o c´ırculo, consiste dos pontos cujas coordenadas (x, y) satisfazem a inequa¸ca˜o: (x − a)2 + (y − b)2 ≤ r 2 , e a uni˜ao da regi˜ao exterior com o c´ırculo consiste dos pontos cujas coordenadas satisfazem a inequa¸ca˜o: (x − a)2 + (y − b)2 ≥ r 2 .

CEDERJ

146

Figura 10.9: R : (x − a)2 + (y − b)2 < r2 .

Figura 10.10: R : (x − a)2 + (y − b)2 > r2 .

Figura 10.11: R : (x − a)2 + (y − b)2 ≤ r2 .

Figura 10.12: R : (x − a)2 + (y − b)2 ≥ r2 .

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

´ MODULO 1 - AULA 10

Assim, para descobrirmos a inequa¸ca˜o que ´e satisfeita pelo conjunto de pontos de uma regi˜ao dada, basta testar a condi¸ca˜o (inequa¸ca˜o) que a define apenas em um ponto da mesma, pois todos os outros pontos dessa regi˜ao satisfazem a mesma inequa¸ca˜o.

Exemplo 10.1 Determinemos a regi˜ao R do plano formada pelos pontos que satisfazem a inequa¸ca˜o: y 2 + x + 3y > 0 .

Solu¸ca˜o: O primeiro passo ´e fazer a redu¸ca˜o do lado esquerdo da inequa¸ca˜o, tomando o devido cuidado com a desigualdade:

3 2 9 2 y + x + 3y > 0 =⇒ y + +x> 2 2

4

3 9 > 0. =⇒ y + + x− 2

4

O segundo passo ´e identificar a curva que satisfaz a equa¸ca˜o:

Figura 10.13: Regi˜ao R : y 2 + x + 3y > 0.

3 2 9 = 0. + x− y+ 2

4

Vemos que ´e a equa¸ca˜o de uma par´abola (n˜ao degenerada). Portanto, a curva divide o plano em duas regi˜oes. As coordenadas do v´ertice s˜ao (9/4, −3/2) e a equa¸ca˜o da reta que cont´em o foco (reta focal) ´e y = −3/2.

Agora, basta escolher dois pontos da reta focal que estejam em regi˜oes diferentes e testar.

Substituindo as coordenadas do ponto P0 = (0, −3/2) no primeiro membro da inequa¸ca˜o (isto ´e, y 2 + x + 3y), obtemos: (−3/2)2 + 0 + 3(−3/2) = 9/4 − 9/2 = −9/4 < 0 Como o resultado ´e menor que zero, a desigualdade proposta n˜ao ´e satisfeita pelas coordenadas de P0 .

Pelo fato de s´o haver duas regi˜oes, vemos que a regi˜ao R que satisfaz a desigualdade proposta ´e a regi˜ao que n˜ao cont´em o ponto P0 (Figura 10.13).

Exemplo 10.2 Determinemos a regi˜ao R do plano formada pelos pontos que satisfazem a inequa¸ca˜o: x2 − 3x + 2 ≤ 0 .

147

CEDERJ

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

Solu¸ca˜o: Observe que na inequa¸ca˜o n˜ao aparece a vari´avel y. Isso significa que se um valor x0 satisfaz a inequa¸ca˜o, ent˜ao, os pontos P = (x0 , y) tamb´em a satisfazem, qualquer que seja o valor de y.

Fatorando, vemos que a inequa¸ca˜o equivale a (x − 2)(x − 1) ≤ 0 .

De forma an´aloga ao exerc´ıcio anterior, vemos que o lugar geom´etrico determinado pela equa¸ca˜o (x − 2)(x − 1) = 0 consiste das retas x = 2 e x = 1.

Essas retas dividem o plano em trˆes regi˜oes 3 e os pontos (0, 0), , 0 e (3, 0) est˜ao 2 em regi˜oes distintas.

Figura 10.14: Regi˜ ao R : x2 −3x+2 ≤ 0.

Testemos esses pontos no primeiro membro da inequa¸ca˜o proposta: Para (0, 0), temos: (0)2 − 3(0) + 2 = 2.

3

3 2

3 9 9 1 Para +2= − +2=− . , 0 , temos: −3 2

2

2

4

Para (3, 0), temos: (−3)2 − 3(−3) + 2 = 20.

2

4

Assim, a regi˜ao que satisfaz a inequa¸ ca˜o ´e a regi˜ao entre as retas, incluindo 3 as retas, que cont´em o ponto , 0 (Figura 10.14).

2

Exemplo 10.3 (x − x0 )2 (y − y0 )2 Seja a hip´erbole H : − = 1.

2 2 a

b

Determinemos a desigualdade que ´e satisfeita pelo conjunto de pontos de cada regi˜ao delimitada por H. Solu¸ca˜o: Basta identificar um ponto de cada regi˜ao e substituir suas coordenadas no lado esquerdo da equa¸ca˜o de H. Sabemos que o ponto P0 = (x0 , y0 ) ´e o centro de H, que y = y0 ´e a reta que cont´em os focos F1 = (x0 − c, y0 ) e F2 = (x0 + c, y0 ), √ onde c = a2 + b2 .

E que os pontos P0 , F1 e F2 est˜ao em regi˜oes diferentes (Figura 10.15).

Substituindo as coordenadas desses pontos no primeiro membro da inequac¸a˜o, temos: Para P0 : CEDERJ

148

(x0 − x0 )2 (y0 − y0 )2 − = 0 < 1; a2 b2

Figura 10.15: Regi˜oes limitadas por H.

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

´ MODULO 1 - AULA 10

(x0 + c − x0 )2 (y0 − y0 )2 c2 a2 + b2 b2 − = = = 1 + > 1; a2 b2 a2 a2 a2 b2 Para F2 : tamb´em obtemos 1 + 2 > 1 . a

Para F1 :

Portanto, as coordenadas dos pontos da regi˜ao que cont´em o centro P 0 satisfazem: (x − x0 )2 (y − y0 )2 − < 1, 2 2 a

b

e as coordenadas dos pontos das regi˜oes que contˆem F1 e F2 satisfazem: (x − x0 )2 (y − y0 )2 − > 1. a2 b2

Sistemas de inequa¸ c˜ oes.

Defini¸c˜ao 10.28 (Sistema de inequa¸co˜es no plano.)

Um sistema de inequa¸co˜es no plano ´e um conjunto de duas ou mais inequa¸co˜es. Sua solu¸ca˜o ´e o conjunto de pontos do plano que satisfazem simultaneamente cada inequa¸ca˜o do sistema.

Assim, para resolver um sistema de inequa¸co˜es, encontramos a(s) regi˜ao(˜oes) determinada(s) por cada inequa¸ca˜o, pois a solu¸ca˜o do sistema ´e a intersec¸ca˜o dessas regi˜oes. No seguinte analisaremos apenas sistemas de inequa¸co˜es de primeiro e segundo graus. Veja os seguintes exemplos.

Exemplo 10.4 Esbocemos a regi˜ao do plano determinada pelo sistema: ⎧ ⎨x2 + y 2 ≤ 9 ⎩x2 + y − 3 > 0 .

Solu¸ca˜o: Primeira etapa: Identificamos a equa¸ca˜o correspondente a cada inequa¸ca˜o do sistema. Em nosso caso, as equa¸co˜es s˜ao: x2 + y 2 = 9 e x2 + y − 3 = 0 .

A primeira ´e a equa¸ca˜o de um c´ırculo centrado na origem e raio 3, e a segunda, a equa¸ca˜o de uma par´abola.

Segunda etapa: Determinamos a solu¸ca˜o de cada inequa¸ca˜o. J´a sabemos que a inequa¸ca˜o x2 + y 2 ≤ 9 corresponde a uni˜ao do c´ırculo com seu interior R1 .

Para identificar a regi˜ao R2 da inequa¸ca˜o x2 + y − 3 > 0 , testamos o ponto (0, 0). Substituindo suas coordenadas no primeiro membro da desigualdade, obtemos −3, logo (0, 0) n˜ao satisfaz a desigualdade.

149

CEDERJ

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

Como a par´abola determina apenas duas regi˜oes, ent˜ao a regi˜ao que satisfaz a inequa¸ca˜o ´e aquela que n˜ao cont´em (0, 0).

Conven¸ c˜ ao.

Quando uma curva faz parte de uma determinada regi˜ ao, usamos uma linha cheia para desenh´ a-la; quando n˜ ao, usamos linha pontilhada.

2

2

Figura 10.16: Solu¸ca˜o de x + y ≤ 9.

Figura 10.17: Solu¸ca˜o de x2 + y − 3 > 0.

Terceira etapa: Esbo¸camos cada regi˜ao em sistemas de coordenadas separados (Figuras 10.16 e 10.17).

Quarta etapa: Esbo¸camos as regi˜oes em um s´o sistema de coordenadas, exibindo a regi˜ao definida pelo sistema.

Como a solu¸ca˜o ´e o conjunto dos pontos cujas coordenadas satisfazem todas as equa¸co˜es do sistema, ent˜ao a regi˜ao procurada ´e a intersec¸ca˜o das regi˜oes das Figuras 10.16 e 10.17.

Para esbo¸car corretamente a regi˜ao procurada, devemos determinar os pontos de intersec¸ca˜o das curvas que a delimitam.

Isto ´e, devemos resolver o sistema: ⎧ Figura 10.18: R = R1 ∩ R2 . ⎨x2 + y 2 = 9 ⎩x2 + y − 3 = 0 .

Da primeira equa¸ca˜o, temos x2 = 9−y 2 . E, substituindo na segunda equa¸ca˜o, 9 − y 2 + y − 3 = 0 ⇐⇒ y 2 − y − 6 = 0 ⇐⇒ y = 3 ou y = −2 .

Logo, y = 3 =⇒ x2 = 0 =⇒ x = 0 , de onde obtemos o ponto (0, 3) . y = −2 =⇒ x2 = 9 − (−2)2 =⇒ x2 = 5 =⇒ x = CEDERJ

150

√

√ 5 ou x = − 5 ,

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

´ MODULO 1 - AULA 10

√ √ de onde obtemos os pontos (− 5, −2) e ( 5, −2).

Com esses dados, esbo¸camos na Figura 10.18 a solu¸ca˜o do sistema proposto.

Exemplo 10.5 Esbocemos a regi˜ao do plano determinada pelo sistema: ⎧ ⎪ x−y+1≥0 ⎪ ⎪ ⎨ x2 y2 + ≥1 ⎪ 4 ⎪3

⎪ ⎩x ≤ 0

Solu¸ca˜o: Sigamos as etapas apresentadas no exemplo anterior.

As equa¸co˜es correspondentes a` primeira e a` segunda inequa¸co˜es s˜ao: a reta x − y + 1 = 0 ,

e

x2 y2 + = 1, 3 4

a elipse

respectivamente.

Testemos o ponto (0, 0) para determinar a regi˜ao da primeira inequa¸ca˜o.

Como (0, 0) satisfaz a primeira inequa¸ca˜o, ent˜ao a regi˜ao que ela determina ´e o semi-plano mostrado na Figura 10.19.

Note que (0, 0) n˜ao satisfaz a segunda inequa¸ca˜o.

Logo, a regi˜ao que satisfaz a segunda inequa¸ca˜o ´e a regi˜ao exterior a` elipse (Figura 10.20).

A regi˜ao determinada pela terceira inequa¸ca˜o ´e o semi-plano que consiste dos pontos (x, y), com x ≤ 0, mostrada na Figura 10.21.

Figura 10.19: Regi˜ao x−y+ 1 ≥ 0.

Figura 10.20: Regi˜ ao y2 ≥ 1.

4

x2 3

+ Figura 10.21: Regi˜ ao x ≤ 0.

Para determinar a regi˜ao solu¸ca˜o do sistema proposto, determinemos os pontos de intersec¸ca˜o das curvas que formam o seu contorno.

Para tanto, resolvemos os seguintes sistemas, que representam intersec¸co˜es das curvas duas a duas: 151

CEDERJ

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

⎧ ⎨x − y + 1 = 0

⎧ ⎨x − y + 1 = 0

⎧ 2 2 ⎨x + y = 1 3 4 (a) x2 y 2 ; (b) ; (c) ⎩ + ⎩x = 0 ⎩ =1 x=0 3 4

√ √ −3 + 6 2 4 + 6 2 e As solu¸co˜es para o sistema (a) s˜ao os pontos , 7 7

√ √ −3 − 6 2 4 − 6 2 . Para o sistema (b) encontramos o ponto (0, 1) e , 7 7

para o sistema (c), os pontos (0, 2) e (0, −2).

Talvez n˜ao seja necess´ario determinar todos esses pontos, mas ´e importante saber quais s˜ao as intersec¸co˜es poss´ıveis das curvas do contorno da regi˜ao.

Com essa informa¸c˜ao, vemos que a regi˜ao R, solu¸ca˜o do sistema proposto (Figura 10.22), ´e dada pela intersec¸ca˜o das regi˜oes R1 , R2 e R3 : R = R1 ∩ R2 ∩ R3 .

Figura 10.22: Exemplo 10.5.

Exemplo 10.6 Esbocemos a regi˜ao do plano determinada pelo sistema: ⎧ ⎪ x−y+1< 0 ⎪ ⎪ ⎨

x2 y2 + <1 ⎪ 4 ⎪3

⎪ ⎩x − 3 ≥ 0

Solu¸ca˜o: Observe que a regi˜ao que satisfaz a primeira inequa¸ca˜o e a regi˜ao que satisfaz a segunda ´e exatamente o oposto do encontrado nas duas primeiras inequa¸co˜es do sistema do Exemplo 10.5.

Portanto, a regi˜ao que satisfaz simultaneamente essas duas inequa¸co˜es ´e uma parte da regi˜ao do interior da elipse mostrada na Figura 10.23.

No entanto, a regi˜ao que satisfaz a terceira inequa¸ca˜o ´e o semi-plano a` direita da reta x = 3, e essa regi˜ao n˜ao intersecta o interior da elipse, logo o conjunto solu¸ca˜o desse sistema, e portanto, do sisFigura 10.23: R = R1 ∩R2 ∩R3 = ∅. tema proposto, ´e o conjunto vazio!

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152

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

´ MODULO 1 - AULA 10

Inequa¸c˜ oes modulares.

As inequa¸co˜es que envolvem m´odulos de express˜oes de primeiro e segundo graus s˜ao chamadas inequa¸co˜es modulares. Essas inequa¸co˜es tamb´em dividem o plano em regi˜oes.

As inequa¸co˜es x2 − 4x + |x − 4| ≥ 0 e |x + y + 4| + 3x − y < 0 , s˜ao exemplos de inequa¸co˜es modulares.

Exemplo 10.7 Determinar a regi˜ao do plano definida pela inequa¸ca˜o: x2 − 4x + |x − 4| ≥ 0 .

Solu¸ca˜o: Observe que a vari´avel y n˜ao aparece na inequa¸ca˜o. Isto significa que, se (x0 , y0 ) ´e um ponto do plano cujas coordenadas satisfazem a inequa¸ca˜o proposta, ent˜ao todos os pontos (x0 , y) tamb´em a satisfazem, qualquer que seja o valor de y.

O primeiro a fazer ´e eliminar o sinal de m´odulo. Para isso, lembre que |x − 4| = x − 4 ⇐⇒ x − 4 ≥ 0 ⇐⇒ x ≥ 4 ; e |x − 4| = −(x − 4) ⇐⇒ x − 4 < 0 ⇐⇒ x < 4 .

Portanto, a⎧inequa¸ca˜o proposta ´e dividida em⎧dois sistemas de inequa¸co˜es: (a)

⎨x2 − 4x + x − 4 ≥ 0 ⎩x ≥ 4 ,

ou

(b)

⎨x2 − 4x − x + 4 ≥ 0 ⎩x < 4.

Que, simplificando, correspondem aos sistemas: ⎧ ⎧ (a)

⎨x2 − 3x − 4 ≥ 0 ⎩x ≥ 4 ,

ou

(b)

⎨x2 − 5x + 4 ≥ 0 ⎩x < 4 ,

e a solu¸ca˜o procurada ´e a uni˜ao das regi˜oes R(a) e R(b) determinadas por esses sistemas.

153

CEDERJ

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

Resolu¸ca˜o do sistema (a): A equac¸a˜o x2 − 3x − 4 = 0 tem por soluc¸o˜es x = −1 e x = 4, que representam retas verticais no plano, pois y ´e arbitr´ario. Essas retas dividem o plano em trˆes regi˜oes.

A primeira desigualdade do sistema (a) ´e verificada pelos pontos a` esquerda da reta x = −1 e pelos pontos a` direita da reta x = 4, inclu´ındo ambas as retas.

Figura 10.24: R : solu¸ca˜o do sistema (a).

A segunda desigualdade do sistema (a) se satisfaz somente na regi˜ao que est´a a` direita da reta x = 4, incluindo a pr´opria reta. Portanto, a regi˜ao solu¸ca˜o do sistema (a) consiste dos pontos a` direita da reta x = 4, inclu´ındo os pontos dessa reta.

Resolu¸ca˜o do sistema (b): A equac¸a˜o x2 −5x+4 = 0 tem por solu¸co˜es x = 1 e x = 4.

A primeira desigualdade do sistema (b) ´e satisfeita fora da regi˜ao limitada pelas retas x = 1 e x = 4, incluindo os pontos das retas.

A segunda desigualdade do sistema (b) ´e satisfeita na regi˜ao a` esquerda da reta x = 4.

Figura 10.25: R : solu¸ca˜o do sistema (a).

Logo o sistema (b) tem por conjunto solu¸ca˜o o semi-plano a` esquerda da reta x = 1, incluindo essa reta.

A solu¸ca˜o do sistema proposto ´e a uni˜ao R = R(a) ∪ R(b) das regi˜oes solu¸co˜es de (a) e (b), como mostramos na Figura 10.26.

CEDERJ

154

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

´ MODULO 1 - AULA 10

Figura 10.26: R : x2 − 4x + |x − 4| ≥ 0 .

Exemplo 10.8 Determinar a regi˜ao do plano definida pela inequa¸ca˜o |x + y + 4| + 3x − y < 0 .

Solu¸ca˜o: Como ⎧ ⎨x + y + 4 , |x + y + 4| = ⎩−(x + y + 4)

se x + y + 4 ≥ 0 se x + y + 4 < 0 ,

a inequa¸ca˜o proposta ´e dividida em dois sistemas de inequa¸co˜es: ⎧ ⎧ ⎨−x − y − 4 + 3x − y < 0 ⎨x + y + 4 + 3x − y < 0 ou (b) (a) ⎩x + y + 4 < 0. ⎩x + y + 4 ≥ 0 Ou seja, simplificando: ⎧ ⎨x + 1 < 0 (a) ⎩x + y + 4 ≥ 0

ou

⎧ ⎨x − y − 2 < 0 (b) ⎩x + y + 4 < 0.

A regi˜ao R, solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o proposta, ´e igual a` uni˜ao das regi˜oes A e B determinadas por esses sistemas, respectivamente. Isto ´e, R = A ∪ B .

Solu¸ca˜o do sistema (a): As retas x + 1 = 0 e x + y + 4 = 0 s˜ao concorrentes e se intersectam no ponto (−1, −3) dividindo o plano em quatro regi˜oes. A regi˜ao A, solu¸ca˜o do sistema (a), ´e a regi˜ao que cont´em o ponto (−2, 0) (que satisfaz as duas inequa¸co˜es do sistema (a)).

155

CEDERJ

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

Figura 10.27: Regi˜ ao A, solu¸ca˜o do sistema (a).

Figura 10.28: Regi˜ ao B, solu¸ca˜o do sistema (b).

Solu¸ca˜o do sistema (b): As retas x − y − 2 = 0 e x + y + 4 = 0 se intersectam no ponto (−1, −3) dividindo o plano em quatro regi˜oes. A regi˜ao B, solu¸ca˜o do sistema (b), ´e aquela que cont´em o ponto (−5, 0) (que satisfaz as duas inequa¸co˜es do sistema (b)).

A solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o proposta ´e a regi˜ao R = A ∪ B da Figura 10.29.

Para resolver inequa¸co˜es envolvendo pro- Figura 10.29: Solu¸ca˜o de |x + y + 4| + dutos e quocientes de express˜oes do pri- 3x − y < 0. meiro e segundo grau (com ou sem m´odulos), ´e importante saber resolver sistemas de inequa¸co˜es. Veja o u ´ ltimo exemplo.

Figura Hip´erbole.

10.30:

Na Figura acima, mostramos as regi˜ oes determinadas pela hip´ erbole (x−x0 )2 a2

−

(y−y0 )2 b2

− 1 = 0.

O sinal da express˜ ao do lado esquerdo da equa¸ca ˜o ´ e: positivo (> 0) nas regi˜ oes R1 que contˆem os focos. negativo (< 0) na regi˜ ao R2 que cont´em o centro e as ass´ıntotas.

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156

Exemplo 10.9 Determinar o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a inequa¸ca˜o: (|x| − 2)(4x2 − 9y 2 − 40x − 54y + 10) < 0 .

Solu¸ca˜o: A desigualdade proposta significa que os fatores envolvidos nos parˆenteses devem ter sinais contr´arios. Portanto, a solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o proposta ´e a uni˜ ao das⎧regi˜ oes determinadas pelos sistemas (a) e (b): ⎨|x| − 2 < 0 (a) ⎩4x2 − 9y 2 − 40x − 54y + 10 > 0

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

´ MODULO 1 - AULA 10

⎧ ⎨|x| − 2 > 0 (b) ⎩4x2 − 9y 2 − 40x − 54y + 10 < 0 .

Primeiramente, observamos que a equa¸ca˜o 4x2 − 9y 2 − 40x − 54y + 10 = 0, associada a` segunda inequa¸ca˜o de ambos os sistemas, se reduz `a sua forma canˆonica: (x − 5)2 − (y − 3)2 − 1 = 0 .

9/4

Portanto, ao equivalentes aos sistemas: ⎧ ⎧ os sistemas (a) e (b) acima s˜ ⎪ ⎨|x| < 2 (a’) (x − 5)2 ⎪ − (y − 3)2 − 1 > 0 ⎩ 9/4

ou

O conjunto solu¸ca˜o da equa¸ca˜o |x| = 2, associada a`s primeiras desigualdades dos sistemas, ´e formado pelas retas x = 2 e x = −2 (Figura 10.31) que dividem o plano em trˆes regi˜oes: • A regi˜ao entre as retas, que cont´em a origem, consiste dos pontos tais que |x| < 2.

⎪ ⎨|x| > 2 (b’) (x − 5)2 ⎪ − (y − 3)2 − 1 < 0 . ⎩ 9/4

Na Figura 10.31 mostramos as curvas envolvidas nos sistemas (a’) e (b’): A hip´ erbole: (x−5)2 − (y − 3)2 − 1 = 0 , 9/4 e as retas: x = 2 e x = −2 .

Figura 10.31: Retas e hip´erbole.

• A regi˜ao a` direita da reta x = 2, cujos pontos satisfazem |x| > 2.

• A regi˜ao a` esquerda da reta x = −2, cujos pontos satisfazem |x| > 2.

As solu¸co˜es dos sistemas (a’) e (b’) s˜ao uni˜oes de regi˜oes cujos contornos s˜ao partes dessas curvas.

Para determinar com exatid˜ao esses conjuntos, devemos achar os pontos onde as retas intersectam a hip´erbole. Para tal, devemos resolver os sistemas: ⎧ ⎧ ⎨x = 2 ⎨x = −2 (A) (x − 5)2 ; (B) (x − 5)2 ⎩ ⎩ − (y − 3)2 − 1 = 0 − (y − 3)2 − 1 = 0.

9/4

9/4

Substituindo x = 2 na segunda equa¸ca˜o do sistema (A) e resolvendo a √ equa¸ca˜o quadr´atica resultante na vari´avel y, obtemos y 1 = 3 + 3 e y2 = √ 3 − 3. √ Portanto, a reta x = 2 intersecta a hip´erbole nos pontos P1 = (2, 3 + 3) e √ P2 = (2, 3 − 3). Veja a Figura 10.31.

Substituindo agora x = −2 na segunda equa¸ca˜o do sistema (B) e resolvendo a equa¸ca˜o quadr´atica resultante na vari´avel y, obtemos √

y3 = 3 +

187 ≈ 7, 56 3

e

√ 187 y4 = 3 − ≈ −1, 56 .

3 157

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Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

Isto ´e, a reta x = −2 intersecta a hip´erbole nos pontos

√ √ 187 187 e P4 = −2, .

P3 = −2, 3 + 3

3

Veja a Figura 10.31.

Com esses elementos, vamos descrever separadamente os conjuntos solu¸ca˜o dos sistemas (a’) e (b’).

Solu¸ca˜o do sistema (a’): O conjunto R1 , solu¸ca˜o do sistema (a’), consiste dos pontos da regi˜ao entre as retas x = 2 e x = −2 (excluindo as retas) e que tamb´em pertencem `as regi˜oes determinadas pela hip´erbole que n˜ao cont´em o seu centro (regi˜oes que contˆem os focos, isto ´e, a`s Figura 10.32: R1 solu¸ca˜o do sistema (a). regi˜oes focais), veja a Figura 10.32.

Solu¸ca˜o do sistema (b’): O conjunto R2 , solu¸ca˜o do sistema (b’), consiste dos pontos que est˜ao a` direita da reta x = 2, ou a` esquerda da reta x = −2 (excluindo as retas), que tamb´em pertencem `a regi˜ao determinada pela hip´erbole que cont´em o seu centro (excluindo a hip´erbole), veja a Figura Figura 10.33: R2 solu¸ca˜o do sistema (b).

10.33.

Finalmente, a solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o proposta ´e a regi˜ao R = R1 ∪ R2 .

Figura 10.34: R = R1 ∪R2 solu¸ca˜o da desigualdade (|x|−2)(4x2 −9y 2 −40x−54y+10) < 0.

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158

Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

´ MODULO 1 - AULA 10

Resumo Nesta aula vimos como determinar regi˜oes do plano a partir de inequa¸co˜es envolvendo express˜oes do primeiro e segundo graus.

Aprendemos, tamb´em, a determinar a regi˜ao solu¸ca˜o de sistemas de inequa¸co˜es e de inequa¸co˜es envolvendo m´odulos de express˜oes do primeiro e segundo graus.

Exerc´ıcios 1. Para cada sistema abaixo, fa¸ca um esbo¸co do conjunto solu¸ca˜o. ⎧ ⎨xy ≥ 2 a. ⎩x2 − y 2 < 1 .

⎧ ⎨x + y + 1 ≤ 0 b. ⎩(x + 1)2 + (y − 1)2 ≥ 2x .

c.

⎧ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎨x + y ≥ 2x + 4y − 1

x2 ≥ y 2 + 6x − 4y − 4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩y ≥ 0

2. Determine os poss´ıveis valores da constante a , para os quais o conjunto solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o abaixo contenha a reta y = 0. x2 − 2x + y + a > 0 .

3. Para cada sistema de inequa¸co˜es abaixo esboce detalhadamente a regi˜ao do plano por ele definida. ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨|x| ≥ y + 1 ⎨x ≤ y + 1 ⎨|x + y| ≤ 2 ; b. x2 + y 2 < 1 ; c. x ≥ −y a. ⎪ ⎪ ⎩|x − y| < 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩x > y ⎩x2 + y 2 > 1 2 ⎧ ⎧ ⎪ x − 2y ≥ 2 ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ 4x − y − 16x − 6y + 7 < 0 ⎪ ⎪ ⎨x + y ≤ −1 ⎨ d. 9x2 + y 2 − 36x + 4y + 31 < 0 ; e. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x2 + y 2 ≤ 25 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩|y + 6| > 2 ⎪ ⎩ y ≥ −2 .

Sugest˜ao para o sistema e.: fa¸ca primeiro a intersec¸ca˜o das regi˜oes determinadas pelas inequa¸co˜es de primeiro grau (as equa¸co˜es correspondentes s˜ao retas) e depois fa¸ca a intersec¸ca˜o com o c´ırculo, equa¸ca˜o correspondente da terceira inequa¸ca˜o do sistema.

4. Para cada inequa¸ca˜o, esboce detalhadamente a regi˜ao do plano por ela dada. a. (x − y − 1)(y − x − 2) ≤ 0 . b. (9x2 + y 2 − 36x + 27)(x2 − 4x + y + 4) > 0 .

159

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Regi˜ oes e inequa¸co˜es no plano

c. (|x| − 4)(4x2 + 9y 2 − 40x − 54y + 145) < 0 .

Auto-avalia¸ca˜o Resolvendo os Exerc´ıcios 1 e 2 fixou as t´ecnicas para determinar regi˜oes delimitadas por retas e cˆonicas, al´em de intersec¸co˜es entre essas regi˜oes. Resolvendo os Exerc´ıcios 3 e 4 adquiriu habilidade para desmembrar sistemas envolvendo inequa¸co˜es modulares, e analisar uma inequa¸ca˜o dada por produtos de express˜oes por meio de sistemas de inequa¸co˜es. Em caso de dificuldade, releia a aula com aten¸ca˜o, volte aos exerc´ıcios e, se achar necess´ario, procure os tutores.

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160

Coordenadas polares

´ MODULO 1 - AULA 11

Aula 11 – Coordenadas polares Objetivos • Definir as coordenadas polares no plano.

• Deduzir as rela¸co˜es de mudan¸ca de coordenadas polares para coordenadas cartesianas e vice-versa.

• Obter as equa¸co˜es de retas e c´ırculos em coordenadas polares.

• Determinar a equa¸ca˜o polar das cˆonicas.

Nesta aula veremos que h´a outra maneira de expressar a posi¸ca˜o de um ponto no plano, distinta da forma cartesiana. Embora os sistemas cartesianos sejam muito utilizados, h´a curvas no plano cuja equa¸ca˜o toma um aspecto muito simples em rela¸ca˜o a um referencial n˜ao cartesiano.

Considere um plano sem qualquer sistema de coordenadas. Escolha um ponto O nesse plano e uma semi-reta OA. Seja P um ponto do plano distinto de O. Denote ρ a distˆancia de P a O, e seja θ a medida do aˆngulo da semi-reta OA para a semi-reta OP .

O ponto P tem sua posi¸ca˜o bem determinada em rela¸ca˜o ao ponto O e a` semi-reta OA a partir dos valores ρ e θ.

Vocˆe acabou de construir um sistema de coordenadas polares no plano, cuja defini¸ca˜o damos a seguir.

Defini¸c˜ao 11.29 (Sistema de coordenadas polares) Um sistema de coordenadas polares O ρ θ no plano consiste de um ponto O, denominado p´ olo, de uma semi-reta OA, com origem em O, denominada eixo polar, e de uma unidade de comprimento utilizada para medir a distˆancia de O a um ponto qualquer do plano.

Dado um ponto P do plano, suas coordenadas nesse sistema s˜ao dois valores ρ e θ, sendo ρ a distˆancia de P a O e θ a medida do aˆngulo do eixo polar para a semi-reta OP . Escrevemos ent˜ao (Figura 11.1): P = (ρ, θ)

Lembre que ...

Convencionamos que a medida do ˆ angulo tomada de OA para OP no sentido anti-hor´ ario ´ e positiva, e negativa no sentido hor´ ario.

Nota¸ c˜ ao.

Quando outros sistemas de coordenadas forem considerados, escrevemos as coordenadas polares, como: P = (ρ, θ)Oρθ .

Figura 11.1: Coordenadas polares.

A Hist´oria da Matem´atica indica que o sistema de coordenadas polares foi utilizado pela primeira vez pelo matem´atico su´ı¸co Jacob Bernoulli por volta de 1691, sendo assim, o primeiro sistema de coordenadas que apareceu na Matem´atica depois dos sistemas cartesianos. Contudo, em fevereiro de 161

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Coordenadas polares

1949, Charles B. Boyer publicou uma nota na revista The American Mathematical Montly segundo a qual o cr´edito da descoberta das coordenadas polares deve ser atribu´ıdo a Isaac Newton.

Jacob Bernoulli Em algums livros o matem´ atico Jacob Bernoulli ´ e chamado Jaques Bernoulli.

Nas pr´ oximas aulas veremos mais sobre a vida de Jacob Bernoulli.

Observa¸c˜ao.

• A primeira coordenada polar, ρ, de um ponto distinto do p´olo ´e sempre maior que zero, pois representa a distˆancia do ponto ao p´olo.

• Se a primeira coordenada polar de um ponto ´e zero ent˜ao esse ponto ´e o p´olo. O aˆngulo do p´olo n˜ao est´a definido.

• Podemos tamb´em usar a medida radianos para os aˆngulos. Por exemplo, o ponto P = (2, 30o) pode ser escrito P = (2, π/6).

• De acordo com a constru¸ca˜o acima, as medidas θ e θ + 2κπ est˜ao associadas ao mesmo aˆngulo, para todo κ ∈ Z. Isto ´e, a diferen¸ca entre θ e θ + 2κπ ´e de κ voltas no sentido anti-hor´ario, se κ ´e positivo, e no sentido hor´ario, se κ ´e negativo. Portanto, as coordenadas polares (ρ, θ) e (ρ, θ + 2κπ) representam o mesmo ponto no plano.

Exemplo 11.1 Nos sistemas de coordenadas polares Oρθ, mostrados na Figura 11.2, localizamos os seguintes pontos: P1 = (1, 0o ) , P2 = (2, π) , P3 = (5/4, −45o ) , P4 = (5/4, 315o ) e P5 = (π, π/2) .

Figura 11.2: Pontos P1 , . . . , P5 .

Exemplo 11.2 Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano. Determinemos os pontos P = (ρ, θ) do plano que satisfazem a equa¸ca˜o ρ = 3.

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162

Coordenadas polares

´ MODULO 1 - AULA 11

Solu¸ca˜o: Como na equa¸ca˜o s´o figura a vari´avel ρ, a outra, θ, ´e arbitr´aria.

Isto significa que a equa¸ca˜o s´o estabelece condi¸ca˜o sobre a distˆancia do ponto ao eixo polar, n˜ao importando a medida do aˆngulo.

Portanto, os pontos do plano que satisfazem a equa¸ca˜o s˜ao aqueles cuja distˆancia ao p´olo O ´e igual a 3.

Figura 11.3: Pontos com ρ = 3.

Logo, o conjunto solu¸ca˜o ´e o c´ırculo de centro O e raio 3 (Figura 11.3).

Equa¸c˜ao polar de uma reta.

Exemplo 11.3 Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano. Determinemos o π conjunto dos pontos P = (ρ, θ) do plano que satisfazem a equa¸ca˜o θ = .

4o fiSolu¸ca˜o: Novamente, como na equa¸ca˜o s´ gura uma vari´avel, a outra ´e arbitr´aria. Logo, um ponto P do plano satisfaz a equa¸ca˜o se o aˆngulo do eixo polar para a semi-reta OP ´e π/4. Portanto, o conjunto solu¸ca˜o ´e a semiFigura 11.4: Pontos do plano reta OP (Figura 11.4). que satisfazem a equa¸ca˜o polar Vejamos como obter a equa¸ca˜o polar de θ = π/4. uma reta r , conhecendo: • A distˆancia da reta ao p´olo: d(O, r) .

• O aˆngulo que o eixo polar OA forma com a semi-reta que tem origem no p´olo e ´e perpenFigura 11.5: Reta no sistema dicular a` reta r.

Oρθ.

Proposi¸c˜ao 11.21 Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano. Sejam r uma reta, λ a distˆancia de r ao p´olo e α o aˆngulo que o eixo polar forma com a semi-reta de origem no p´olo que ´e perpendicular a r (Figura 11.5). Ent˜ao, um ponto P de coordenadas polares (ρ, θ) pertence a r se, e somente se: ρ cos(θ − α) = λ

Nas figuras acima, a medida do a ˆngulo β ´ e tomada de OP para OQ, a medida do a ˆngulo α ´ e tomada de OA para OQ e a medida do a ˆngulo θ ´ e tomada de OA para OP .

Equa¸ c˜ ao polar da reta.

A equa¸ca ˜o (11.1) ´ ea equa¸ca ˜o polar da reta. Nessa equa¸ca ˜o α e λ s˜ ao dados, e as vari´ aveis s˜ ao ρ e θ.

(11.1)

Demonstra¸c˜ao. Seja Q o ponto de interse¸ca˜o de r com a perpendicular a r contendo o p´olo.

163

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Coordenadas polares

Sabemos que: P = (ρ, θ) pertence a reta r se, e somente se, a proje¸ca˜o ortogonal −−→ −−→ do vetor OP sobre o vetor OQ , coincide −−→ com OQ , isto ´e: −−→ −−→ −→ OP = OQ .

P ∈ r ⇐⇒ pr− OQ Seja β = P OQ. Note que β = θ − α ou β = α − θ, dependendo da posi¸ca˜o do ponto P (veja a Figura 11.6).

Como e:

Figura 11.6: P ∈ r e R ∈ r . −−→ |OP | = ρ , cos β = cos(θ − α) = cos(α − θ)

−−→

−−→

−−→ OP OQ cos β −−→ 1 −−→ −−→ −→ OP = pr− OQ = OP (cos β) OQ , −−→ 2 OQ λ OQ

conclu´ımos: −−→ −−→ −−→ −−→ 1 −−→ −→ OP = OQ pr− ⇐⇒ OP cos β OQ = OQ OQ λ 1 −−→ ⇐⇒ OP cos β = 1 λ

−−→ ⇐⇒ |OP | cos β = λ ⇐⇒ ρ cos(θ − α) = λ .

Exemplo 11.4 Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano. A equa¸ca˜o polar da reta r cuja distˆancia ao p´olo ´e igual a 2 e, tal que o aˆngulo que a semi-reta perpendicular a r, com origem no p´olo, forma com o eixo polar tem medida π/3, ´e: r : ρ cos(θ − π/3) = 2 .

Observa¸c˜ao.

Para saber mais...

Reveja a discuss˜ ao sobre sistemas referenciais na Aula 1, Fisica I.

Note que a equa¸ca˜o polar de uma reta no plano depende da escolha do sistema polar (p´olo e eixo polar).

Isto ´e, uma equa¸ca˜o como a equa¸ca˜o (11.1) pode representar retas distintas com respeito a sistemas polares diferentes.

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164

Coordenadas polares

´ MODULO 1 - AULA 11

Rela¸co˜es entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas.

Seja Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano. Consideremos o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas OXY , tal que o eixo polar seja o semi-eixo positivo OX e o eixo OY seja obtido rotacionando OX de 90o no sentido anti-hor´ario. Admitamos a mesma unidade de medida nos dois sistemas (Figura 11.7).

Seja P = O um ponto no plano com P = (ρ, θ), no sistema Oρθ, e P = (x, y), no sistema OXY . As rela¸co˜es entre essas coordenadas s˜ao assim obtidas: Tra¸camos por P retas r, s perpendiculares aos eixos coordenados OX e OY , respectivamente. Sejam P1 = (x, 0) o ponto onde r intersecta OX, e seja P2 o ponto onde s intersecta OY . Ent˜ao, no triˆangulo retˆangulo OP1P , a medida |OP1 | = |x| ´e o comprimento do lado adjacente ao aˆngulo θ e |OP2| = |y| = |P P1 | ´e o comprimento do lado oposto ao aˆngulo θ. Segundo a Trigonometria, para qualquer quadrante em que esteja o ponto P , temos: x = ρ cos θ

e

y = ρ sen θ

x2 = ρ2 cos2 θ , y 2 = ρ2 sen2 θ , cos θ =

x y , sen θ = ρ ρ

(11.2)

Dessas rela¸co˜es, obtemos: e

y sen θ = = tg θ , x cos θ

de onde conclu´ımos: ρ=

x y y x2 + y 2 , cos θ = , sen θ = e tg θ = 2 2 2 2 x x +y x +y

(11.3)

De fato, para obter a primeira rela¸ca˜o basta observar que:

Figura 11.7: Sistemas de coordenadas; polar Oρθ e cartesiano OXY .

x2 + y 2 = ρ2 (cos2 θ + sen2 θ) = ρ2 ,

o que implica ρ = |ρ| = x2 + y 2 , pois ρ > 0. As duas rela¸co˜es seguintes s˜ao substitui¸co˜es diretas da express˜ao de ρ .

Conven¸ c˜ ao: Daqui em diante, sempre que fizermos referˆencia a um sistema polar Oρθ e um sistema cartesiano OXY , no mesmo contexto, admitiremos que o semi-eixo OX positivo ´e o eixo polar, caso este u ´ltimo n˜ ao tenha sido definido explicitamente.

165

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Coordenadas polares

Exemplo 11.5 Determinemos a equa¸ca˜o no sistema ortogonal de coordenadas cartesianas OXY , do lugar geom´etrico definido pela equa¸ca˜o polar ρ = 3 .

Solu¸ca˜o: Substituindo a rela¸ca˜o ρ = x2 + y 2, temos:

ρ = 3 ⇐⇒ x2 + y 2 = 3 ⇐⇒ x2 + y 2 = 9 .

Portanto, a equa¸ca˜o ρ = 3 corresponde a` equa¸ca˜o cartesiana do c´ırculo centrado na origem e de raio 3 (Figura 11.8).

Exemplo 11.6 Determinemos a equa¸ca˜o no sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Figura 11.8: ρ = 3.

OXY , do lugar geom´etrico definido pela equa¸ca˜o polar θ = C´ırculo

3π .

4

y = tg θ na equa¸ca˜o dada, obtemos: x √ 3π y 3π sen((3π)/4) 2/2 θ= ⇐⇒ = tg = = √ = −1 .

4 x 4 cos((3π)/4) − 2/2

Solu¸ca˜o: Substituindo a rela¸ca˜o

Portanto a equa¸ca˜o correspondente no sistema cartesiano de coordenadas ´e y = −1 . Isto ´e, y = −x (Figura 11.9). x

Logo, a equa¸ca˜o θ =

3π corresponde, nas coordenadas OXY , ao sistema: 4

⎧ ⎨y = −x , ⎩x ≤ 0 .

Figura 11.9: Semi-reta θ = 3π 4 .

Exemplo 11.7 Seja r a reta de equa¸ca˜o polar ρ cos(θ − π/3) = 2 . Determinemos a equa¸ca˜o correspondente no sistema cartesiano OXY .

Solu¸ca˜o: Usando a identidade: cos(a + b) = cos a cos b − sen a sen b , temos:

π π π ρ cos θ − = 2 ⇐⇒ ρ cos θ cos + ρ sen θ sen = 2.

3

3

Das rela¸co˜es: x = ρ cos θ , y = ρ sen θ , cos Figura 11.10: Reta de equa¸ca˜o polar: ρ cos(θ − π/3) = 2 e equa¸ca˜o cartesiana: √ x + y 3 − 4 = 0.

obtemos: x ou seja (Figura 11.10):

1 2

π 3

3

√

1 π = , sen 2 3

=

3 , 2

√ +y

3 2

= 2,

√ x+y 3− 4 = 0.

As rela¸co˜es entre os sistemas de coordenadas nos auxiliam na identifica¸ca˜o de algumas curvas, veja o seguinte exemplo.

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166

Coordenadas polares

´ MODULO 1 - AULA 11

Exemplo 11.8 Seja a > 0. Determinemos os pontos do plano que satisfazem a equa¸ca˜o ρ = 2 a cos θ.

Utilizando as rela¸co˜es (11.3) para obter a equa¸ca˜o correspondente no sistema cartesiano, temos (Figura 11.11):

x ρ = 2 a cos θ ⇐⇒ x2 + y 2 = 2a ⇐⇒ x2 + y 2 = 2ax . x2 + y 2

Completando os quadrados na u ´ltima equa¸ca˜o, obtemos: (x − a)2 + y 2 = a2 , que ´e a equa¸ca˜o do c´ırculo de centro (a, 0) e raio a.

Similarmente, a equa¸ca˜o ρ = 2 b sen θ, corresponde ao c´ırculo de centro (0, b) e raio b. Verifique!

O c´ırculo em coordenadas polares.

Em geral, o c´ırculo no plano ´e caracterizado em termos de coordenadas polares, de acordo com a seguinte proposi¸ca˜o.

Figura 11.11: ρ = 2 a cos θ .

Note que, para descrever o c´ırculo completo, o ˆ angulo θ deve variar entre − π2 e π2 , pois, sendo ρ ≥ 0 e a > 0, devemos ter cosθ ≥ 0. O ponto A indicado na figura acima corresponde a θ = 0, ρ = 2a.

Proposi¸c˜ao 11.22 Sejam Oρθ um sistema de coordenadas polares no plano, P0 = (ρ0 , θ0 )Oρθ ponto desse plano e r um valor positivo.

Ent˜ao o conjunto dos pontos P = (ρ, θ)Oρθ que pertencem ao c´ırculo de centro P0 e raio r satisfazem a seguinte equa¸ca˜o em coordenadas polares: ρ2 + ρ20 − 2 ρ0 ρ cos(θ + θ0 ) = r 2 Demonstra¸c˜ao. Consideremos o sistema de coordenadas cartesianas OXY , tal que o eixo OX positivo coincida com o eixo polar e o eixo OY seja obtido rotacionando o eixo OX de 90o no sentido anti-hor´ario.

No sistema OXY , temos: P0 = (ρ0 cos θ0 , ρ0 sen θ0 )OXY e P = (ρ cos θ, ρ sen θ)OXY .

Sabemos que o c´ırculo de centro P0 e raio r ´e o conjunto que consiste dos pontos do plano cuja distˆancia a P0 ´e igual a r .

167

CEDERJ

Coordenadas polares

Note que...

No desenvolvimento ao lado, calculamos a express˜ ao da distˆ ancia entre dois pontos em termos de coordenadas polares. Isto ´ e, se P0 = (ρ0 , θ0 ) e P1 = (ρ1 , θ1 ), ent˜ ao: d(P , P ) = 0 1 q

ρ20 + ρ21 − 2ρ0 ρ1 cos(θ0 + θ1 )

Ent˜ao: d(P, P0) = r ⇐⇒

(ρ cos θ − ρ0 cos θ0 )2 + (ρ sen θ − ρ0 sen θ0 )2 = r

⇐⇒ ρ2 cos2 θ + ρ20 cos2 θ0 − 2ρ0 ρ cos θ0 cos θ + ρ2 sen2 θ +ρ20 sen2 θ0 − 2ρ0 ρ sen θ0 sen θ = r 2 ⇐⇒ ρ2 (cos2 θ + sen2 θ) + ρ20 (cos2 θ0 + sen2 θ0 ) −2 ρ0 ρ (cos θ0 cos θ − sen θ0 sen θ) = r 2 ⇐⇒ ρ2 + ρ20 − 2 ρ0 ρ cos(θ + θ0 ) = r 2 .

Equa¸c˜ao polar das cˆonicas.

Para determinar as equa¸co˜es polares das cˆonicas, lembramos que: Uma se¸ca˜o cˆonica ´e o lugar geom´etrico dos pontos que se movimentam no plano de forma que a sua distˆancia a um ponto dado (chamado foco) ´e um m´ ultiplo fixo da sua distˆancia a uma reta dada (denominada diretriz associada ao foco). Isto ´e, um ponto F , uma reta e uma constante e > 0 (denominada excentricidade) determinam a cˆonica: C = { P | d(P, F ) = e · d(P, ) }

Figura 11.12: Par´ abola.

Segundo a excentricidade e, a cˆonica C ´e: • uma par´ abola ⇐⇒ e = 1 • uma elipse ⇐⇒ e < 1

• uma hip´erbole ⇐⇒ e > 1.

Seja C uma cˆonica de excentricidade e > 0. Consideremos um sistema de coordenadas polares em que um foco F da cˆonica ´e a origem O e o eixo polar ´e paralelo `a reta focal da cˆonica, como vemos nas figuras acima.

Designamos por a diretriz associada ao foco F e seja h = d(F, ).

Figura 11.13: Elipse.

Segundo a caracteriza¸ca˜o de C dada acima, temos: P = (ρ, θ) ∈ C ⇐⇒ d(P, F ) = e d(P, ) ⇐⇒ ρ = e d(P, ) .

Das figuras acima, vocˆe pode ver que temos dois casos a considerar: Caso A. Se n˜ao intersecta o eixo polar, ent˜ao: d(P, ) = h + ρ cos θ.

Neste caso, temos que P = (ρ, θ) ∈ C se, e somente se: ρ = e(h + ρ cos θ) , isto ´e: ρ =

eh .

1 − e cos θ

Caso B. Se intersecta o eixo polar, ent˜ao: d(P, ) = h − ρ cos θ.

Neste caso, temos que P = (ρ, θ) ∈ C se, e somente se: ρ = e(h − ρ cos θ) , isto ´e: ρ = Figura 11.14: Hip´erbole.

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168

eh .

1 + e cos θ

Nessas equa¸co˜es vemos que, se θ = π2 ou θ = − π2 , ent˜ao ρ = eh. Esse valor de ρ ´e a metade do comprimento da corda da cˆonica, que ´e paralela a`

Coordenadas polares

´ MODULO 1 - AULA 11

diretriz e cont´em o foco F . Tal corda ´e chamada latus rectum da cˆonica. Conseq¨ uentemente, o valor eh que aparece nas equa¸co˜es anteriores corresponde a` metade do comprimento do latus rectum da cˆonica, isto ´e, ao comprimento do semi-latus rectum.

Resumindo as conclus˜oes anteriores, temos: Equa¸ c˜ ao polar das cˆ onicas.

Seja C uma cˆonica com excentricidade e > 0, um foco no ponto F e semi-latus rectum de comprimento λ. Com respeito ao sistema polar de coordenadas Oρθ com o eixo polar sendo o eixo focal de C e O = F , a equa¸ca˜o de C ´e: C:ρ=

λ .

1 ± e cos θ

Sinal na equa¸ c˜ ao polar (11.4)...

No denominador da equa¸ca ˜o polar (11.4) tomamos o sinal positivo ( + ) se a diretriz intersecta o eixo polar, e o sinal negativo ( − ) se n˜ ao intersecta o eixo polar.

(11.4)

A distˆancia do foco F a` sua diretriz associada λ ´e (Figura 11.15). e

Exemplo 11.9 Identificar a cˆonica C de equa¸ca˜o polar ρ =

Figura 11.15: C : ρ = λ 1−e·cos θ .

2 .

3 − cos θ

Determinar tamb´em as coordenadas polares do centro e dos v´ertices, assim como os comprimentos dos eixos e do latus rectum.

Solu¸ca˜o: Come¸camos por escrever a equa¸ca˜o de C na forma (11.4), multiplicando o numerador e o denominador da equa¸ca˜o polar por 13 : C:ρ=

1−

2 3 1 3 cos θ

.

A partir dessa equa¸ca˜o, obtemos que o comprimento do semi-latus rectum ´e λ = 32 e que a excentricidade de C ´e e = 13 . Como e < 1, C ´e uma elipse.

Em particular, o comprimento do latus rectum ´e 2λ = 2 ·

2 3

= 43 .

Como o eixo polar est´a sobre a reta focal, vamos determinar os v´ertices, o centro e o outro foco de C (lembre que um foco ´e a origem do sistema de coordenadas polares). Como o sinal que aparece no denominador da equa¸ca˜o ´e negativo, a diretriz correspondente ao foco O (origem do sistema polar Oρθ) n˜ao intersecta o eixo polar. Portanto, estamos na situa¸ca˜o mostrada na Figura 11.16.

Fazendo θ = 0 na equa¸ca˜o de C, obtemos ρ = 1. Logo, segundo o esquema ilustrado na Figura 11.16, o ponto V2 = (1, 0)Oρθ ´e um v´ertice da elipse.

Para obter o outro v´ertice, fazemos θ = π na equa¸ca˜o de C e obtemos ρ = 12 .

169

CEDERJ

Coordenadas polares

Figura 11.16: Posi¸ca˜o dos focos latus rectum e diretriz na cˆ onica C :

2 3−2 cos θ

.

Portanto, V1 = ( 12 , π)Oρθ ´e o outro v´ertice de C. Agora podemos calcular a distˆancia entre os v´ertices: 2a = d(V1 , V2 ) = 1 + 12 = 32 , de onde conclu´ımos que a = 34 ´e a medida do semi-eixo maior da elipse. c

Como e = , obtemos c = e a = 13 · 34 = 14 . Portanto, o centro C da elipse C a tem coordenadas polares C = (c, 0)Oρθ = ( 14 , 0)Oρθ .

Conhecendo o centro C e a distˆancia do centro aos focos d(C, F1) = d(C, F2) = d(C, O) = 14 , obtemos as coordenadas polares do outro foco: F2 = ( 14 + 14 , 0)Oρθ = ( 12 , 0)Oρθ .

Finalmente, conhecendo a medida do semi-eixo maior a = 34 e a distˆancia do centro aos focos c = 14 , calculamos a medida do semi-eixo menor b, usando a rela¸ca˜o c2 = a2 − b2 :

√ √ 3 2 1 2 8 2 2 b = a − c = ( 4 ) − ( 4 ) = 16 = 22 . √ Logo, a medida do eixo menor da elipse ´e 2b = 2.

Consideremos agora o sistema ortogonal de coordenadas cartesianas OXY , onde O ´e a origem do sistema polar Oρθ, o semi-eixo OX positivo coincide com o eixo polar e o semi-eixo OY positivo ´e obtido girando de 90o o semieixo OX positivo.

Figura 11.17: Elipse C no sistema Oρθ.

Ent˜ao, as coordenadas do centro C de C s˜ao C = ( 14 , 0)Oρθ = ( 14 , 0)OXY e √ conhecendo as medidas dos semi-eixos a = 34 e b = 22 , obtemos a equa¸ca˜o canˆonica de C com respeito ao sistema OXY : C:

CEDERJ

170

(x − 41 )2 y2 + √ = 1.

3 2 (4) ( 22 )2

Coordenadas polares

´ MODULO 1 - AULA 11

Exemplo 11.10 Determinemos uma equa¸ca˜o polar da cˆonica C dada pela equa¸ca˜o cartesiana: −7x2 + 50xy − 7y 2 + 114x − 78y − 423 = 0 .

Solu¸ca˜o: Conforme vimos na Aula 10, colocamos a cˆonica na forma canˆonica: (y )2 (x )2 − = 1.

16 9

(11.5)

A partir dessa equa¸ca˜o, vemos que a cˆonica ´e uma hip´erbole cujo eixo focal √ uentemente, c = a2 + b2 = 5. ´e o eixo y , com a = 4 , b = 3 e, conseq¨

Para obter a forma canˆ onica (11.5) ao lado, rotacionamos o sistema OXY de −45o para obter o sistema O X Y e depois transladamos esse sistema at´ e o ponto O = (1, −2)OXY .

Com esses dados obtemos as seguintes informa¸co˜es: • a excentricidade da hip´erbole ´e e =

c 5 = ; a 4

• a distˆancia de cada v´ertice ao respectivo foco ´e c − a = 5 − 4 = 1 ;

c−a 1 4 = 5 = ; e 5 4 c−a • a distˆancia de cada foco a` sua respectiva diretriz ´e: h = (c − a) + = e 4 9 1+ = ; 5 5 9 5 9 • o comprimento do semi-latus rectum ´e: λ = h · e = · = .

5 4 4

• a distˆancia de cada v´ertice `a sua respectiva diretriz ´e:

Lembre que ...

O valor da excentricidade e e das distˆ ancias a, b e c n˜ ao mudam quando rotacionamos e transladamos o sistema de coordenadas.

Portanto, esses valores podem ser determinados a partir da equa¸ca ˜o canˆ onica da cˆ onica.

Portanto, a equa¸ca˜o polar com respeito ao sistema que tem por origem um dos focos e cujo eixo focal n˜ao intersecta a diretriz correspondente ´e: ρ=

1−

9 4 5 4 cos θ

ou seja,

Figura 11.18: Hip´erbole −7x2 +50xy−7y 2 +114x− 78y − 423 = 0 .

ρ=

9 .

4 − 5 cos θ

Figura 11.19: Hip´erbole (x )2 9

(y )2 16 −

= 1.

Na Figura 11.18 mostramos a nossa hip´erbole na posi¸ca˜o natural e na Figura 11.19 mostramos a hip´erbole apenas com respeito ao sistema rotacionado e transladado.

171

CEDERJ

Coordenadas polares

A equa¸ca˜o polar obtida ´e a equa¸ca˜o com respeito ao sistema de coordenadas polares em que a origem ´e, por exemplo, o foco F2 e o eixo focal ´e a semi-reta F2 Y .

Note que a mesma equa¸ca˜o ´e obtida se consideramos o sistema de coordenadas polares em que a origem ´e o foco F1 e o eixo focal ´e a semi-reta de origem F1 que n˜ao intersecta a diretriz 1 .

Tamb´em, a equa¸ca˜o polar com respeito ao sistema que tem por origem um dos focos e cujo eixo focal intersecta a diretriz correspondente ´e: 9 ρ= .

4 + 5 cos θ

Resumo Nesta aula definimos as coordenadas polares no plano. Deduzimos as rela¸co˜es de mudan¸ca de coordenadas polares para coordenadas cartesianas e vice-versa, e obtivemos as equa¸co˜es de retas e c´ırculos em termos de coordenadas polares. Finalmente, determinamos a equa¸ca˜o polar das cˆonicas.

No Apˆendice vocˆe pode ver tamb´em outras curvas interessantes, as espirais, cujas equa¸co˜es s˜ao apresentadas naturalmente em termos de coordenadas polares.

Exerc´ıcios 1. Use as rela¸co˜es de mudan¸ca de coordenadas cartesianas para coordenadas polares para obter a equa¸ca˜o polar correspondente a cada equa¸ca˜o cartesiana dada. a. x2 − y 2 = 1 ; c. 2x − y + 1 = 0 ;

b. xy + 2x = 0 ; 2 d. x2 = y4 .

2. Use as rela¸co˜es de mudan¸ca de coordenadas polares para coordenadas cartesianas para obter a equa¸ca˜o cartesiana correspondente a cada equa¸ca˜o polar dada. Identifique o conjunto de pontos do plano definido em cada caso. a. sec2 θ − tg2 θ = 1; b. 2 sen θ cos θ = ρ; c. ρ sec θ = tg θ.

3. Sejam a, b n´ umeros reais n˜ao simultaneamente nulos e seja c > 0 .

Considere a equa¸ca˜o polar: ρ + 2 a cos θ + 2 b sen θ = c. a. Verifique que a equa¸ca˜o dada ´e a equa¸ca˜o de um c´ırculo C. b. Dˆe as coordenadas cartesianas do centro de C e determine a medida de seu raio.

CEDERJ

172

Coordenadas polares

´ MODULO 1 - AULA 11

4. Determine a equa¸ca˜o polar do c´ırculo de centro P0 e raio r, onde: a. P0 = (2, π3 )Oρθ e r = 2 , b. P0 = (3, π)Oρθ e r = 1 , √ c. P0 = ( 2, 7π ) e r = 2.

4 Oρθ 5. Dˆe a equa¸ca˜o cartesiana dos c´ırculos do exerc´ıcio anterior.

6. Em cada caso, identifique a cˆonica C, determine o comprimento do latus rectum, dos eixos, a posi¸ca˜o dos focos, v´ertices e da diretriz. Determine a equa¸ca˜o cartesiana de C e fa¸ca um esbo¸co da curva no plano.

3 a. C : ρ = 2−43cos θ , b. C : ρ = 2(1−cosθ) , 2 , c. C : ρ = 4+cos θ e. C : 3ρ cos θ = 2 − 2ρ .

d. C : ρ(2 + 5 cos θ) = 1 ,

7. Em cada item, determine uma equa¸ca˜o polar para a cˆonica C, determinando o comprimento do semi-latus rectum e fa¸ca um esbo¸co da curva no plano. a. C : 3x2 + 2y − 1 , b. C : x2 + 6y 2 − 3y = 4 , c. C : 2xy + x − 1 = 0 , d. C : xy + x + y = 0 .

Auto-avalia¸ca˜o Resolvendo os Exerc´ıcios de 1 a 6 vocˆe fixou a mecˆanica da mudan¸ca de coordenadas polares para coordenadas cartesianas e vice-versa. Para resolver o Exerc´ıcio 7 vocˆe dever´a entender bem as propriedades das cˆonicas em coordenadas cartesianas e polares, mesmo quando o seu centro n˜ao est´a na origem (reveja a Aula 9). Se tiver alguma dificuldade, reveja o conte´ udo da aula e procure orienta¸ca˜o no seu p´olo.

Apˆendice. Espirais Na Figura 11.20 mostramos a imagem do f´ossil de um ser marinho do per´ıodo Devoniano (era Paleoz´oica), com aproximadamente 300 milh˜oes de anos, chamado Amonita. Na Figura 11.21 podemos ver um vegetal raro que prolifera na ilha do Hava´ı, a Samambaia Havaiana, e na Figura 11.22 temos a imagem de um caracol.

O que essas fotografias tˆem em comum?

N˜ao ´e necess´ario ser muito observador para perceber que nas trˆes imagens acima aparecem formas espirais. A natureza na Terra, assim como no Universo em geral, est´a repleta de formas espirais.

173

CEDERJ

Coordenadas polares

Figura 11.20: nita.

Amo-

Figura 11.21: havaiana.

Samambaia Figura 11.22: Caracol.

De fato, desde a antig¨ uidade o ser humano observa o c´eu e as estrelas. O astrˆonomo persa Abd-al-Rahman Al-Sufi descobriu a Gal´ axia de Andrˆ omeda (Figura 11.23) por volta de 905 d.C., chamando-a de pequena nuvem. Essa gal´axia ´e a mais pr´oxima da nossa, a Via L´actea e, mesmo estando a uma distˆancia de 9,6 milh˜oes de anos-luz, ´e vis´ıvel a olho nu. Os astrˆonomos denominam a gal´axia de Andrˆomeda de NGC224.

Ano-luz... ´ a distˆ E ancia que a luz percorre em um ano (365 dias). Sabendo que a luz viaja a uma velocidade de 300.000 quilˆ ometros por segundo, e que o ano tem aproximadamente 31.536.000 segundos, um ano-luz equivale a 9, 46 trilh˜ oes de quilˆ ometros.

Figura 11.23: Andrˆ omeda (NGC224).

Figura 11.24: Gal´ axia NGC5194.

Figura 11.25: Gal´ axia NGC5236.

Os avan¸cos tecnol´ogicos da nossa civiliza¸ca˜o deram origem a sofisticados equipamentos e modernos telesc´opios que permitem observar regi˜oes do espa¸co, muito al´em da nossa gal´axia, descobrindo outras das mais diversas formas, entre elas, gal´axias com estruturas espirais como as da Via L´actea e da gal´axia de Andrˆomeda. Veja, por exemplo, as imagens da Gal´axia Espiral NGC 5194 (Figura 11.24) a 37 milh˜oes de anos-luz de distˆancia e da gal´axia espiral NGC 5236 a 15 milh˜oes de anos luz (Figura 11.25).

O estudo matem´atico das curvas espirais teve in´ıcio, na Hist´oria da Matem´atica, com o livro Sobre espirais de Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.).

Nesse livro, Arquimedes define um tipo particular de espirais, hoje chamadas espirais de Arquimedes, e descreve detalhadamente as suas propriedades geom´etricas.

CEDERJ

174

Coordenadas polares

´ MODULO 1 - AULA 11

Outros tipos de espirais foram estudados ao longo da Hist´oria. Um deles aparece entre os estudos do matem´atico su´ı¸co Jacob Bernoulli (1654-1705) sobre a espiral logar´ıtmica.

Bernoulli considerava essa espiral uma forma maravilhosa, e chegou a denomin´a-la spira mirabilis. Ele descobriu, como veremos adiante, que essa espiral mant´em a sua forma perante rota¸co˜es ou mudan¸cas de escala (essa u ´ ltima propriedade se denomina auto-similaridade) em torno do seu centro.

Bernoulli, fascinado por essa espiral, determinou que na l´apide do seu t´ umulo fosse gravada a frase Eadem mutata resurgo, que significa ap´ os transformado, ressurgirei o mesmo.

I. A espiral de Arquimedes.

Esta espiral foi estudada detalhadamente por Arquimedes, por volta de 225 a.C. Num sistema de coordenadas polares Oρθ, a espiral de Arquimedes ´e o lugar geom´etrico dos pontos P = (ρ, θ)Oρθ do plano, cuja distˆancia ρ ao p´olo O (raio polar) ´e um m´ ultiplo fixo do ˆangulo polar θ (ˆangulo do eixo polar para OP ).

Isto ´e, um ponto P pertence `a espiral se, e somente se, as suas coordenadas polares ρ e θ satisfazem a equa¸ca˜o (Figuras 11.26 e 11.27): ρ=a·θ

(Espiral de Arquimedes)

(11.6)

Observe que, o ponto da espiral de Arquimedes com coordenada polar angular θ = 0 ´e o p´olo O, e que a espiral intersecta o eixo polar nos pontos cuja coordenada polar angular ´e m´ ultiplo natural de 2π. Isto ´e, se E : ρ = a θ ´e uma espiral e OA o eixo polar, ent˜ao: E ∩ OA = {(2 a kπ, 2 k π)Oρθ | k ∈ N} .

Arquimedes de Siracusa 287 - 212 a.C. Siracusa, It´ alia Considerado um dos grandes matem´ aticos da antig¨ uidade, tinha fascina¸ca ˜o pela Geometria, escreveu diversos tratados sobre Matem´ atica e Mecˆ anica. Foi tamb´em inventor de m´ aquinas e armas de guerra usadas pelo rei Heron II contra os romanos. As suas descobertas matem´ aticas para o c´ alculo de volumes foram a pedra fundamental para o desenvolvimento do C´ alculo Integral. Na sua obra Sobre Espirais, Arquimedes estudou minuciosamente as propriedades das espirais ρ = aθ. Veja: http://www-groups.dcs. st-and.ac.uk/~history/ Mathematicians/ Archimedes.html

Figura 11.26: ρ = 2 θ Figura 11.28: Espiral de Arquimedes.

Numa espiral, trˆes pontos P1 = (ρ1 , θ1 ), P2 = (ρ2 , θ2 ) e P3 = (ρ3 , θ3 ) s˜ao chamados consecutivos se existe um aˆngulo α, tal que θ2 = θ1 + α e θ3 = θ2 + α (note que α pode ser positivo ou negativo).

Figura 11.27: ρ = − 34 θ 175

CEDERJ

Coordenadas polares

Na Figura 11.28 mostramos uma espiral de Arquimedes E : ρ = aθ com trˆes pontos consecutivos P1 = (ρ1 , θ1 ), P2 = (ρ2 , θ2 ) = (ρ2 , θ1 + α) e P3 = (ρ3 , θ3 ) = (ρ3 , θ1 + 2α).

Como P1 , P2 , P3 ∈ E, temos: ρ1 = aθ , ρ2 = aθ + aα , Note que ...

A propriedade geom´etrica ao lado significa que os raios ρ1 , ρ2 , ρ3 est˜ ao numa progress˜ ao aritm´etica. De fato, conforme a nota¸ca ˜o utilizada, temos: ρ2 = ρ1 + a α ρ3 = ρ2 + a α assim, ρ1 , ρ2 e ρ3 est˜ ao numa progress˜ ao aritm´etica de raz˜ ao a α.

ρ3 = aθ + 2aα .

Resumindo, temos: Caracteriza¸ c˜ ao geom´ etrica da espiral de Arquimedes.

Se P1 = (ρ1 , θ1 )Oρθ , P2 = (ρ2 , θ2 )Oρθ e P3 = (ρ3 , θ3 )Oρθ s˜ ao pontos consecutivos numa espiral de Arquimedes, ent˜ ao o raio ρ2 ´e a m´edia aritm´etica dos raios adjacentes ρ1 e ρ3 , isto ´e: ρ2 =

ρ1 + ρ 3 .

2

Hoje-em-dia, a espiral de Arquimedes ´e usada na fabrica¸ca˜o de excˆentricos mecˆ anicos, pe¸cas cujo bordo ´e formado por dois arcos: um arco espiral de Arquimedes ρ = a θ, 0 < θ < π, junto com a sua reflex˜ao com rela¸ca˜o a` reta que cont´em o eixo polar.

Figura 11.29: Excˆentrico formado por Quando o excˆentrico gira em torno dois arcos de espirais de Arquimedes. do p´olo O, o ponto P de interse¸ca˜o com o eixo polar se desloca sobre o eixo polar para frente e para tr´as. Desta forma, movimento circular ´e transformado em movimento retil´ıneo. Veja as Figuras 11.30, 11.31, 11.32 e 11.33:

Figura 11.33: A rota¸ca˜o do excˆentrico transforma o movimento circular em movimento retil´ıneo.

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176

Figura 11.30: Rota¸ca˜o de π 6 .

Figura 11.31: Rota¸ca˜o de 5π 6 .

Figura 11.32: Rota¸ca˜o de 5π 6 .

Coordenadas polares

´ MODULO 1 - AULA 11

II. A espiral logar´ıtmica ou espiral equiangular.

Uma espiral logar´ıtmica ou equiangular ´e uma curva cuja reta tangente em cada ponto P faz um ˆangulo constante com a reta que passa por P e pelo p´olo O do sistema de coordenadas polares.

As espirais logar´ıtmicas foram descobertas e estudadas pela primeira vez em detalhes por Ren´e Descartes em 1638, mas as propriedades de autosimilaridade foram estudadas nos trabalhos de Jacob Bernoulli (1654-1705).

A espiral logar´ıtmica ´e tamb´em chamada espiral de crescimento e se caracteriza da seguinte maneira: Caracteriza¸ c˜ ao geom´ etrica da espiral logar´ıtmica.

Trˆes pontos P1 = (ρ1 , θ1 )Oρθ , P2 = (ρ2 , θ2 )Oρθ e P3 = (ρ3 , θ3 )Oρθ s˜ ao pontos consecutivos numa espiral logar´ıtmica se, e somente se, o logaritmo natural do raio ρ2 ´e a m´edia aritm´etica dos logaritmos naturais dos raios adjacentes ρ1 e ρ3 , isto ´e: ln ρ2 =

ln ρ1 + ln ρ3 .

2

Usando as propriedades da fun¸ca˜o logaritmo (veja a Aula 40, do M´odulo 4, do Pr´e-C´alculo), a identidade do destaque acima pode ser escrita de maneira equivalente como: √

ln ρ2 = 12 ln(ρ1 ρ3 ) = ln(ρ1 ρ3 )1/2 = ln ρ1 ρ3 .

Isto ´e, tomando exponenciais na identidade, obtemos: √ ρ2 = ρ1 ρ3 .

Esta identidade significa que o raio polar ρ2 , do ponto P2 , ´e a m´edia geom´etrica dos raios polares ρ1 e ρ3 dos pontos adjacentes P1 e P3 .

Al´em disso, do destaque acima, vemos que um ponto P = (ρ, θ) pertence a` espiral logar´ıtmica L se, e somente se, o ponto P = (ln ρ, θ) pertence a uma espiral de Figura 11.34: Espiral logar´ıtmica.

Arquimedes associada. Isto ´e, existe uma constante a > 0, tal que: P = (ρ, θ) ∈ L ⇐⇒ ln ρ = aθ .

177

CEDERJ

Coordenadas polares

Isto ´e, a equa¸ca˜o da espiral logar´ıtmica ´e: ρ = eaθ

(Espiral logar´ıtmica)

(11.7)

A espiral logar´ıtmica encantou o matem´atico su´ı¸co Jacob Bernoulli pela sua propriedade de auto-similaridade.

Esta propriedade significa que a espiral n˜ao muda o seu aspecto perante mudan¸cas de escala. Pense, por exemplo que vocˆe vˆe a espiral perto do p´olo a olho nu, depois com o´culos, depois com uma lente de aumento e finalmente com um microsc´opio, n˜ao importa qu˜ao perto ou longe vocˆe veja a espiral, ela sempre vai aparecer com o mesmo aspecto. Nas Figuras 11.35, 11.36, 1 11.37 e 11.38 mostramos a espiral ρ = e 5 θ em escalas diferentes.

1

Figura 11.35: ρ = e 5 θ .

1

Figura 11.36: ρ = e 5 θ .

1

Figura 11.37: ρ = e 5 θ .

Mais ainda, Bernoulli observou que um giro na espiral tem o mesmo efeito que uma mudan¸ca de escala.

Para verificarmos isso, primeiro observamos que uma rota¸ca˜o da espiral por um aˆngulo ϕ no sentido hor´ario, equivale a somar ϕ a` vari´avel θ na equa¸ca˜o (11.7), dando lugar a` espiral: 1

Figura 11.38: ρ = e 5 θ .

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178

ρ = ea(θ+ϕ) = eaθ+aϕ = eaθ eaϕ .

Coordenadas polares

´ MODULO 1 - AULA 11

Isto ´e, a espiral obtida ap´os a rota¸ca˜o ´e a mesma ampliada ou reduzida a uma escala de fator eaϕ . Na Figura 11.39, mostramos as espirais L e L , onde 1 1 π 1 L : ρ = e 5 θ e L : ρ = e 5 3 e 5 θ .

Isto ´e, L ´e obtida girando L de π3 no sentido hor´ario. Nessas espirais, temos 1 π

|OQ| = e 5 3 |OP | .

Outra maneira de perceber a rela¸ca˜o entre Figura 11.39: Rota¸ca˜o e mudan¸ca a auto-similaridade e a invariˆancia da es- de escala. piral logar´ıtmica perante rota¸co˜es, consiste em analisar pontos consecutivos. Voltando a` Figura 11.34, vemos que os triˆangulos OP1 P2 e OP2 P3 s˜ao semelhantes por um fator de escala igual a e−aα , pois o triˆangulo OP2P3 ´e obtido aplicando uma rota¸ca˜o de aˆngulo α, no sentido anti-hor´ario, ao triˆangulo OP1 P2 e depois uma mudan¸ca de escala.

III. Outras espirais.

H´a ainda muitas outras espirais que n˜ao iremos considerar, como a espiral de Lituus, estudada por Roger Cotes em 1722, cuja forma ´e a da samambaia havaiana (Figura 11.21): 1 θ

ρ= √

Figura 11.40: Lituus ρ =

√1 θ

.

(Espiral de Lituus)

Figura 11.41: Bra¸co de violino .

Da forma da equa¸ca˜o da espiral de Lituus, vemos que quando o aˆngulo θ se aproxima de 0, o raio polar ρ tende a ser muito grande, e que quando o aˆngulo polar θ ´e muito grande, o raio polar se aproxima de zero e, portanto, o ponto correspondente fica muito pr´oximo do p´olo (Figura 11.40).

A espiral de Lituus tem inspirado muitas manifesta¸co˜es da arte como podemos ver no bra¸co de um antigo violino (Figura 11.41).

179

CEDERJ

Coordenadas polares

Para saber mais ...

Se vocˆe ficou motivado com esta pequena introdu¸ca˜o a`s curvas espirais, procure mais informa¸co˜es nos seguintes endere¸cos: http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves

CEDERJ

180

Equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas

´ MODULO 1 - AULA 12

Aula 12 – Equa¸ co ˜es param´ etricas das cˆ onicas Objetivo • Obter as equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas.

Estudando as retas no plano, vocˆe viu que a reta s , determinada pelos pontos P = (x1 , y1 ) e Q = (x2 , y2), se expressa por meio das seguintes equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎨x = x + t(x − x ) 1 2 1 , t ∈ R. s: ⎩y = y1 + t(y2 − y1 )

Curvas planas...

S˜ ao curvas contidas num plano.

Note que essas equa¸co˜es expressam os valores das coordenadas cartesianas x e y dos pontos da reta s , em fun¸ca˜o de apenas uma vari´ avel, a vari´avel t, denominada parˆ ametro.

As retas n˜ao s˜ao as u ´ nicas curvas planas para as quais podemos obter equa¸co˜es param´etricas. Vejamos: Exemplo 12.1 Determinemos equa¸co˜es param´etricas para o c´ırculo C, cuja equa¸ca˜o cartesiana ´e x2 + y 2 = 9.

Curvas retas ou retas curvas?

As retas no plano s˜ ao um tipo particular de curvas planas, descritas por equa¸co ˜es cartesianas, param´ etricas e polares.

Solu¸ca˜o: Seja P = (x, y) um ponto do c´ırculo e denotemos P0 = (3, 0) o ponto de interse¸ca˜o do c´ırculo com o semi-eixo positivo OX. Seja t a medida, em radi anos, do aˆngulo P 0 OP (tomada no sentido anti-hor´ario), onde O ´e a origem do sistema cartesiano de coordenadas. Observe que t ´e o comprimento do arco do c´ırculo x2 + y 2 = 1, determinado por

P 0 OP (veja a Figura 12.1).

Figura 12.1: C´ırculo C : x2 + y 2 = 9 .

Como o triˆangulo OP0P ´e retˆangulo, as express˜oes das coordenadas x e y, em fun¸ca˜o do parˆametro t, s˜ao: x = 3 cos t e y = 3 sen t .

Fazendo os valores de t percorrerem o intervalo [0, 2π), obtemos todos os pontos do c´ırculo.

Se quisermos, podemos considerar t percorrendo todos os valores reais. Isto implica realizar um n´ umero infinito de voltas sobre o c´ırculo. Portanto, uma possibilidade de equa¸co˜es param´etricas para o c´ırculo C ´e: 181

CEDERJ

Equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas

C:

⎧ ⎨x = 3 cos t ⎩y = 3 sen t

,

t∈R

Observe que, para qualquer valor real a = 0, as equa¸co˜es: x = 3 cos(at) e y = 3 sen(at) , com t ∈ R , tamb´em s˜ao equa¸co˜es param´etricas para o c´ırculo C, pois: x2 + y 2 = (3 cos(at))2 + (3 sen(at))2 = 9(cos2 (at) + sen2 (at)) = 9 .

Note que, conforme t percorre todos os valores de R, o ponto P = (x, y) percorre todos os pontos do c´ırculo. Por outro lado, as equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎨x = 3 cos t , t ∈ [0, π] , ⎩y = 3 sen t satisfazem a equa¸ca˜o do c´ırculo, mas definem apenas o semi-c´ırculo de P0 = (3, 0) a P1 = (−3, 0) percorrido no sentido antihor´ario (veja a Figura 12.2).

Curvas planas ...

Existem muitas curvas planas maravilhosas mas, ` as vezes, determinar suas equa¸co ˜es param´etricas requer muito cuidado e paciˆ encia. Nesta aula vamos obter as equa¸co ˜es param´ etricas de algumas dessas curvas planas.

Fazendo isso, vocˆe ir´ a fixar diversos conceitos geom´ etricos j´ a aprendidos.

Figura 12.2: Semic´ırculo C .

I. Elipses.

Na Aula 22, do M´odulo 2, do Pr´eC´alculo, vocˆe aprendeu o procedimento geom´etrico para tra¸car a elipse E:

x2 y2 + = 1. a2 b2

Seja P = (x, y) ∈ E. Tracemos os c´ırculos C1 : x2 + y 2 = a2 , C2 : x2 + y 2 = b2 e as retas r e s , passando pelo ponto P , perpendiculares aos eixos OX e OY , respecFigura 12.3: Elipse E : tivamente.

x2 a2

+

y2 b2

=

1.

Seja P1 = (x1 , y1 ) um ponto de r ∩ C1 e seja P2 = (x2 , y2 ) um ponto de s ∩ C2 , como na Figura 12.3. Note que x1 = x e y2 = y sem importar o quadrante em que os pontos P1 e P2 estejam.

Pelo visto na Aula 22, do M´odulo 2 do Pr´e-C´alculo, os pontos P1 e P2 podem ser escolhidos alinhados com O. Seja P0 = (a, 0) o ponto onde o c´ırculo C1 intersecta o semi-eixo positivo OX e seja t a medida (em radianos) do aˆngulo P 0 OP1 , tomada no sentido anti-hor´ario.

CEDERJ

182

Equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas

´ MODULO 1 - AULA 12

Como P1 = (x1 , y1 ) ∈ C1 e P2 = (x2 , y2) ∈ C2 , temos x1 = a cos t e y2 = b sen t. Como x = x1 e y = y2 , as equa¸co˜es param´etricas de E s˜ao: ⎧ ⎨x = a cos t , t∈R E: ⎩y = b sen t (x − x )2

⇐= Equa¸co ˜es param´ etricas da elipse 2 2 E: x + yb2 = 1 a2

(y − y )2

0 0 Caso E : + = 1 seja uma elipse transladada, ent˜ao 2 2 a b suas equa¸co˜es param´etricas s˜ao obtidas transladando a equa¸ca˜o anterior para o ponto (x0 , y0): ⎧ ⎨x = x + a cos t 0 , t∈R E: ⎩y = y0 + b sen t

⇐= Equa¸co ˜es param´ etricas da elipse transladada: E:

(x−x0 )2 a2

+

(y−y0 )2 b2

=1

Para verificar isto, basta substituir as express˜oes de x e y dessas equa¸co˜es param´etricas, na equa¸ca˜o cartesiana de E: ((x0 + a cos t) − x0 )2 ((y0 + a sen t) − y0 )2 a2 cos2 t b2 sen2 t + = + = 1. a2 b2 a2 b2

II. Hip´erboles Seja H a hip´erbole

x2 y2 − = 1. a2 b2

Vamos obter equa¸co˜es param´etricas para H. A seguir, assumimos 0 < b < a e vocˆe ficar´a encarregado de fazer as adapta¸co˜es necess´arias para o caso em que 0 < a < b. Acompanhe o procedimento na Figura Figura 12.4: Hip´erbole H : 12.4.

2 Sejam as retas s1 : x = b e s2 : x = a.

y b2

Reveja...

Na Aula 24, do M´ odulo 2 do Pr´ e-C´ alculo, a constru¸ca ˜o geom´ etrica da hip´ erbole.

x2 a2

−

= 1.

Consideremos um ponto P = (x, y) ∈ H no primeiro quadrante. Seja P1 = (x1 , y1 ) o ponto de interse¸ca˜o de s1 com a reta paralela ao eixo OX que passa por P .

Seja t a medida (em radianos) do aˆngulo do semi-eixo positivo OX para a semi-reta OP1. Da Trigonometria, temos P1 = (x1 , y1 ) = (b, b tg t).

Note que as segundas coordenadas de P e P1 s˜ao iguais. Da´ı conclu´ımos que y = y1 = b tg t. Ou seja, P = (x, y) = (x, y1 ) = (x, b tg t) .

Para obter a coordenada x do ponto P , seja P2 o ponto de interse¸ca˜o da semi-reta OP1 com a reta s2 . Da Trigonometria, temos |OP2| = a sec t.

Note que o c´ırculo de centro na origem e raio |OP2|, intersecta o semieixo positivo OX num ponto P0 = (x0 , 0) , com x0 = |OP2| = |a sec t|.

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Equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas

Como t ´e um arco do primeiro quadrante, a sec t ´e um n´ umero positivo.

Logo: x0 = a sec t.

Afirmamos que x = x0 , isto ´e, P = (x, y) = (x, b tg t) = (x0 , b tg t) = (a sec t, b tg t) .

Para verificar a afirmativa, basta mostrar que o ponto de coordenadas (a sec t, b tg t) satisfaz a equa¸ca˜o cartesiana da hip´erbole H: (a sec t)2 (b tg t)2 − = sec2 t − tg2 t = 1 .

2 a2 b ⎧

a sec t < 0

Na Figura 12.6 designamos por H+ o ramo da hip´ erbole H que intersecta o semi-eixo positivo OX, e por H− o ramo de H que intersecta o semi-eixo negativo OX. Com isso, a hip´erbole completa ´e: H = H + ∪ H− .

e

⎨b tg t ≥ 0 , para π < t ≤ π , 2 ⎩b tg t < 0 , para π < t < 3π .

2

Figura 12.5: Ramo de H no quarto quadrante.

Figura 12.6: Hip´erbole H completa.

Finalmente, observe que, conforme t percorre todos os valores do intervalo [0, π2 ), o ponto P percorre todos os pontos da hip´erbole que est˜ao no primeiro quadrante, como vemos na Figura 12.4.

Para obter os pontos do quarto quadrante, fazemos a mesma constru¸ca˜o, variando t no intervalo (− π2 , 0]. Neste caso, o ponto P = (x, y) da hip´erbole tem a sua segunda coordenada negativa coincidindo com b tg t, que ´e tamb´em um n´ umero negativo. Veja a Figura 12.5.

Para obter o ramo da hip´erbole que intersecta o semi-eixo negativo OX, repetimos a constru¸ca˜o, variando t no intervalo ( π2 , 3π ). Neste caso, temos: 2 Com essa an´alise, chegamos a`s seguintes equa¸co˜es param´etricas da 2 2 hip´erbole H : xa2 − yb2 = 1 : ⎧ ⎨x = a sec t , t ∈ (− π2 , π2 ) ∪ ( π2 , 3π H: ) 2 ⎩y = b tg t

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Equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas

´ MODULO 1 - AULA 12

Quando t varia no intervalo (− π2 , π2 ), obtemos o ramo da hip´erbole H que intersecta o semi-eixo positivo OX, e quando t varia no intervalo ( π2 , 3π ), 2 obtemos o ramo de H que intersecta o semi-eixo negativo OX. Observa¸c˜ao.

Podemos determinar equa¸co˜es param´etricas de cada ramo da hip´erbole isoladamente, fazendo variar t num mesmo intervalo. De fato, j´a sabemos que as equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎨x = a sec t H+ : , t ∈ (− π2 , π2 ) , ⎩y = b tg t descrevem as coordenadas dos pontos do ramo H+ de H, que intersecta o semi-eixo positivo OX. Tamb´em, como t ∈ ( π2 , 3π ) se, e somente se, t − π ∈ (− π2 , π2 ) , e: 2 a sec t = −a sec(t − π)

e

a tg t = a tg(t − π) ,

vemos que as coordenadas dos pontos do ramo H− de H, que intersecta o semi-eixo negativo OX, s˜ao dadas pelas equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎨x = −a sec t , t ∈ (− π2 , π2 ) H− : ⎩y = b tg t Portanto, H ´e descrita completamente pelas equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎧ ⎨x = a sec t ⎨x = −a sec t , t ∈ (− π2 , π2 ) , , t ∈ (− π2 , π2 ) H+ : H− : ⎩y = b tg t ⎩y = b tg t Observa¸c˜ao.

Podemos obter outras equa¸co˜es param´etricas para a hip´erbole H, utilizando as fun¸co˜es hiperb´ olicas. Para isso, consideremos as equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎧ ⎨x = −a cosh t ⎨x = a cosh t , t ∈ R. , t ∈ R e (2) (1) ⎩y = b senh t ⎩y = b senh t Substituindo as equa¸co˜es de (1) na equa¸ca˜o cartesiana de H:

Fun¸ c˜ oes hiperb´ olicas.

As fun¸co ˜es hiperb´ olicas s˜ ao definidas a partir da fun¸ca ˜o exponencial: Cosseno hiperb´ olico: cosh t = 12 (et + e−t ) Seno hiperb´ olico: senh t = 12 (et − e−t ) e descrevem as coordenadas x e y, respectivamente, dos pontos da hip´erbole x2 − y 2 = 1, de maneira similar a `s fun¸co ˜es cos t e sen t que descrevem as coordenadas x e y, respectivamente, dos pontos do c´ırculo x2 + y 2 = 1.

Em particular, vale a rela¸ca ˜o: cosh2 t − senh2 t = 1 .

(a cosh t)2 (b senh t)2 − = cosh2 t − senh2 t = 1 .

2 2 a b

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Equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas

O mesmo ocorre ao se substituir as equa¸co˜es de (2) na equa¸ca˜o cartesiana de H. Al´em disso, variando t em R, vemos que x = ±a cosh t ≥ a percorre todos os valores em (−∞, a] ∪ [a, +∞), enquanto que y = b senh t percorre todos os valores reais.

Portanto, (1) s˜ao equa¸co˜es param´etricas para o ramo H+ de H que intersecta o Figura 12.7: Hip´erbole H = H+ ∪ H− semi-eixo positivo OX e, (2) s˜ao equa¸co˜es param´etricas para o outro ramo H− de H. III. Par´abolas As equa¸co˜es cartesianas canˆonicas das par´abolas se caracterizam por apresentar uma das vari´aveis no primeiro grau. Isso permite expressar essa vari´avel como dependente da vari´avel do segundo grau. Assim, escolhemos o parˆametro t igual a` vari´avel independente (do segundo grau) da equa¸ca˜o cartesiana, percorrendo todos os valores reais.

Assim, na par´abola P de equa¸ca˜o cartesiana (x − a)2 = k(y − b) (Figura 12.8), escrevemos y = k1 (x − a)2 + b.

Portanto, escolhendo a vari´avel independente x como sendo o parˆametro t, a vari´avel dependente y se expressa como y = k1 (t− a)2 + b.

Figura 12.8: P : (x − a)2 = k(y − b) .

Portanto, P tem por equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎨x = t P: ,t∈R ⎩y = 1 (t − a)2 + b k

Observa¸c˜ao.

O procedimento utilizado para obter equa¸co˜es param´etricas das par´abolas se aplica para obter equa¸co˜es param´etricas de partes de elipses e hip´erboles.

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Equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas

´ MODULO 1 - AULA 12

Exemplo 12.2 Determinar equa¸co˜es param´etricas da elipse E:

x2 y2 + = 1. a2 b2

Solu¸ca˜o: Colocando em evidˆencia a vari´avel y, obtemos: 2 x2 y2 2 = b2 (1 − x ) =⇒ y = ± = 1 − =⇒ y b2 a2 a2

b 2 b2 2 (a − x2 ) =⇒ y = ± (a − x2 ).

2 a a

Note que a express˜ao que aparece no radicando, no lado direito da u ´ltima 2 igualdade, est´a definida somente para os valores de x, tais que a − x2 ≥ 0, ou seja, −a ≤ x ≤ a.

Para cada escolha de sinal na express˜ao de y, descrevemos uma parte da elipse⎧E. Logo, suas equa¸co˜es param´etricas⎧s˜ao: ⎨x = t ⎨x = t E+ : , t ∈ (−a, a] , E : , t ∈ [−a, a) , √ √ − ⎩y = b a2 − t2 ⎩y = − b a2 − x2 a

a

onde E+ ´e a semi-elipse contida no semiplano superior incluindo o v´ertice V1 = (a, 0) e excluindo o v´ertice V2 = (−a, 0). Analogamente, E− ´e a semi-elipse contida no semiplano inferior, incluindo o v´ertice V2 = (−a, 0) e excluindo o v´ertice V1 = (a, 0). Veja as Figuras 12.9, 12.10 e 12.11.

Figura 12.9: Semi-elipse E+ .

Figura 12.10: elipse E− .

Semi-

Figura 12.11: Elipse E = E + ∪ E− .

Resumo Nesta aula vimos como obter as express˜oes de equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas, usando rela¸co˜es trigonom´etricas b´asicas e observando as condi¸co˜es que um ponto deve satisfazer para pertencer a uma dada curva. Na Aula 13 vamos obter e analisar as equa¸co˜es param´etricas de outras curvas planas interessantes que n˜ao s˜ao cˆonicas.

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Equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas

Exerc´ıcios 1. Verifique que

⎧ ⎨x = 1 + 2 sec t ⎩y = 3 + 3 tg t

de um ramo da hip´erbole

, − π2 < t < π2 , s˜ao equa¸co˜es param´etricas

(x − 1)2 (y − 3)2 − = 1.

4 9 2

2. Seja a hip´erbole de equa¸ca˜o x2 − y9 = 1. Dˆe as equa¸co˜es param´etricas do ramo desta hip´erbole que intersecta o semi-eixo positivo OX. Como s˜ao as equa¸co˜es param´etricas desse ramo, expressando uma vari´avel em fun¸ca˜o da outra? y2

x2

3. Determine equa¸co˜es param´etricas para a hip´erbole H : − = 1, 4 2 fazendo y = t (veja o Exemplo 12.2).

4. Determine a equa¸ca˜o cartesiana da elipse: ⎧ ⎨x = 1 + cos t , t ∈ R. E: ⎩y = 2 sen t 5. Sejam a e b n´ umeros reais positivos. Verifique que o lugar geom´etrico cujas equa¸co˜es param´etricas ⎧ s˜ao: ⎨x = a tg t ,t∈R H: ⎩y = b sec t ´e uma hip´erbole cujo eixo focal ´e o eixo y. Descreva a forma dessa hip´erbole nos casos a < b e b < a.

6. Determine a equa¸ca˜o ⎧ cartesiana da hip´erbole: ⎨x = 2 + tan t , t ∈ R. H: ⎩y = 3 + 3 sec t 7. Determine equa¸co˜es param´etricas para a hip´erbole H : xy = 1 fazendo uma das vari´aveis igual ao parˆametro.

8. Verifique que x = t3 e y = t6 − 4t3 , t ∈ R, s˜ao equa¸co˜es param´etricas de uma par´abola. Dˆe a equa¸ca˜o cartesiana dessa par´abola. ⎧ ⎨x = cosh t + senh t , t ∈ R , s˜ao equa¸co˜es pa9. Verifique que H : ⎩y = cosh t − senh t ram´etricas de um ramo da hip´erbole xy = 1.

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Equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas

´ MODULO 1 - AULA 12

⎧ ⎨x = 2(cos t + sen t) , t ∈ R, s˜ao equa¸co˜es param´etricas 10. Verifique que E : ⎩y = 3(cos t − sen t) de uma elipse. Dˆe a equa¸ca˜o cartesiana dessa elipse.

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe resolveu os Exerc´ıcios de 1 a 6, aprendeu a verificar se um par de equa¸co˜es s˜ao equa¸co˜es param´etricas de uma dada curva. Ao resolver os Exerc´ıcios de 7 a 10, vocˆe fixou as t´ecnicas para obter equa¸co˜es param´etricas das cˆonicas em rela¸ca˜o a uma vari´avel. Caso n˜ao tenha conseguido resolver algum exerc´ıcio, releia a aula e procure orienta¸ca˜o com os tutores.

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ApË&#x2020;endice: Parametriza¸coË&#x153;es de curvas planas

´ MODULO 1 - AULA 13

Aula 13 â&#x20AC;&#x201C; ApË&#x2020; endice: Parametriza¸ co Ë&#x153;es de curvas planas Objetivo â&#x20AC;˘ Obter equa¸coË&#x153;es param´etricas de curvas planas importantes.

Neste apË&#x2020;endice, vamos estudar algumas curvas planas que tË&#x2020;em sido historicamente muito importantes no desenvolvimento da Matem´atica. A hist´oria envolvida por tr´as das descobertas dessas curvas ´e muito interessante, recomendamos que vocË&#x2020;e mesmo fa¸ca uma busca nas p´aginas: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir para saber sobre outras curvas que, para nË&#x153;ao estender demais a aula, deixaremos de considerar.

I. Caten´arias.

A caten´aria ´e a curva desenhada por uma corda ou um cabo preso a dois postes, ou por uma corrente quando suspensa pelas suas extremidades e sujeita apenas a` for¸ca devida a` atra¸caË&#x153;o gravitacional, como mostra a Figura 13.2. Galileu Galilei foi o primeiro a estudar a caten´aria. No entanto, ele come- Figura 13.2: Corrente teu um engano ao pensar que essa curva fosse uma suspensa. par´abola. Engano desvendado, em 1669, pelo matem´atico alemË&#x153;ao Joachim Jungius. No entanto, a equa¸caË&#x153;o da curva da corrente suspensa foi obtida por Wilhelm Leibniz, Christian Huygens e Johann Bernoulli, por volta de 1690, em resposta ao desaďŹ o lan¸cado por Jacob Bernoulli: encontrar a curva da corrente suspensa a qual Huygens chamou de caten´aria, pela primeira vez, numa carta a Leibniz.

Joachim Jungius 1587-1657, Alemanha Estudou Metaf´Ĺsica na Universidade de Rostock.

Em 1609, foi nomeado professor de Matem´ atica em Giessen, onde permaneceu at´ e 1614. Jungius voltou a lecionar Matem´ atica na Universidade de Rostock entre 1624 e 1628. Em 1629, foi nomeado professor de CiË&#x2020; encia Natural na Universidade de Hamburgo, permanecendo at´e 1640.

Jungius foi um dos primeiros a utilizar expoentes para representar as potË&#x2020;encias e usou a Matem´ atica para modelar fenË&#x2020; omenos das CiË&#x2020; encias Naturais. Em 1638, escreveu tamb´em um belo tratado sobre L´ ogica: Logica Hamburgensis. Veja: http://www-history.mcs. st-andrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Jungius. html

DeďŹ ni¸cË&#x153;ao 13.30 (Caten´aria) 1 A caten´aria ´e o gr´aďŹ co da fun¸caË&#x153;o cosseno hiperb´olico cosh t = (et + eâ&#x2C6;&#x2019;t ) , 2 ou seja, ´e o conjunto (Figura 13.1) C = {(t, cosh t) | t â&#x2C6;&#x2C6; R} , e suas equa¸coË&#x153;es param´e tricas sË&#x153;ao: x=t C: , t â&#x2C6;&#x2C6; R. y = cosh t Figura 13.1: Caten´ aria.

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Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

Na Figura 13.1, vocˆe pode ver como as fun¸co˜es t → 21 et e t → 12 e−t acompanham o gr´afico da caten´aria de forma assint´otica.

Figura 13.4: quist´ ocrona.

Bra-

Uma bola met´ alica ´ e solta na canaleta cicloidal e outra na canaleta inclinada, partindo do mesmo ponto. A bola que rola na canaleta cicloidal atinge o ponto de interse¸ca ˜o inferior em menos tempo que a bola que rola na canaleta inclinada. Veja: galileo.imss.firenze.it/ museo/4/index.html

Johann Bernoulli 1667-1748 Basel, Su´ı¸ ca Estudou Medicina na Universidade de Basel.

Aprendeu Matem´ atica e F´ısica com seu irm˜ ao Jacob que j´ a lecionava em Basel.

Os trabalhos de Leibniz sobre a teoria do C´ alculo foram rapidamente assimilados pelos Bernoulli e utilizados nas suas pr´ oprias pesquisas. Johann resolveu o desafio lan¸cado por Jacob sobre a curva da corrente suspensa (caten´ aria), lan¸cou e resolveu o problema da braquist´ ocrona. www-history.mcs. st-andrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Bernoulli_ Johann.html

CEDERJ

192

Observe tamb´em que qualquer mudan¸ca de escala da caten´aria, continua a ser uma caten´aria. Isto ´e, dado um n´ umero real a fixo, n˜ao-nulo, o gr´afico da fun¸ca˜o f (t) = a f ( at ) , Figura 13.3: Caten´ arias: escacontinua a ser a caten´aria. Na Figura 13.3, las 1, 2 e 4. mostramos o gr´afico desse tipo de fun¸co˜es com a = 1, 2, 4. Preste aten¸ca˜o na mudan¸ca de escala.

II. Cicl´oides e troc´oides.

Defini¸c˜ao 13.31 Sejam C um c´ırculo de raio r, s uma reta e P um ponto de C. Denominamos cicl´ oide a` curva descrita pelo ponto P quando C rola sobre a reta s, sem deslizar.

Na primeira d´ecada do s´eculo XVII, Galileu Galilei escreveu uma carta a Guidobaldo del Monte, onde se detalha um procedimento geom´etrico-anal´ıtico para mostrar que a cicl´oide ´e uma curva braquist´ ocrona. Isto significa que o arco de cicl´oide entre dois pontos dados ´e a trajet´oria da descida mais r´apida que um corpo deve seguir de um ponto a outro, quando sujeito apenas a` a¸ca˜o gravitacional. No entanto, a demonstra¸ca˜o de Galileu n˜ao era correta.

Em junho de 1696, Johann Bernoulli lan¸cou o desafio do problema da braquist´ocrona. Em 1697, foram dadas cinco solu¸co˜es, dentre as quais uma do pr´oprio Johann Bernoulli, outra do seu irm˜ao mais velho Jacob Bernoulli e outra de Wilhelm Gottfried Leibniz.

Para obtermos as equa¸co˜es param´etricas da cicl´oide, admitamos que: • a reta s ´e o eixo OX; • o c´ırculo C inicia o movimento estando com centro no ponto (0, r) • o ponto P coincide com a origem do sistema de coordenadas no in´ıcio do movimento.

Figura 13.5: Desenvolvimento da cicl´ oide.

Tracemos dois c´ırculos C1 , representando C em sua posi¸ca˜o inicial, e C2 , representando C ap´os ter rolado alguns instantes.

ApË&#x2020;endice: Parametriza¸coË&#x153;es de curvas planas

´ MODULO 1 - AULA 13

Veja, na Figura 13.5, a designa¸caË&#x153;o dos seguintes elementos: â&#x20AC;˘ sejam O1 e O2 os centros de C1 e C2 , respectivamente; â&#x20AC;˘ P = (x, y) o ponto da cicl´oide em C2 ; â&#x20AC;˘ A o ponto em que C2 toca o eixo OX; â&#x20AC;˘ Q = (x, 0) e T = (0, y) as proje¸coË&#x153;es ortogonais de P sobre OX e OY , respectivamente; â&#x20AC;˘ M e N as proje¸coË&#x153;es ortogonais de P sobre O2 O1 e O2 A .

â&#x20AC;˘ t a medida do Ë&#x2020;angulo AO 2 P , tomada em radianos.

Note que o segmento OA tem o mesmo comprimento que o arco de A a P , sobre o c´Ĺrculo C2 que consiste dos pontos que j´a ďŹ zeram contato com a reta s.

Como t ´e a medida de AO 2 P , o comprimento do arco de C2 de A a P que j´a fez contato com s ´e rt. Logo, |OA| = rt.

Analisando o sinal de sen t e cos t nos intervalos [0, Ď&#x20AC;2 ], [ Ď&#x20AC;2 , Ď&#x20AC;], [Ď&#x20AC;, 3Ď&#x20AC; ]e 2 3Ď&#x20AC; [ 2 , 2Ď&#x20AC;], vemos que as coordenadas x e y de P sË&#x153;ao determinadas por meio das seguintes rela¸coË&#x153;es: x = |OQ| = |OA| â&#x2C6;&#x2019; |QA| = |OA| â&#x2C6;&#x2019; |O2 M| = rt â&#x2C6;&#x2019; r sen t , y = |OT | = |OO1| â&#x2C6;&#x2019; |T O1| = r â&#x2C6;&#x2019; |O2 N| = r â&#x2C6;&#x2019; r cos t .

Obtemos, assim, as seguintes equa¸coË&#x153;es param´etricas da cicl´oide:

x = rt â&#x2C6;&#x2019; r sen t , tâ&#x2C6;&#x2C6;R y = r â&#x2C6;&#x2019; r cos t Veja como ´e feito o movimento na seq¨ uË&#x2020;encia de ďŹ guras abaixo.

Figura 13.6: t =

2Ď&#x20AC; 3

.

Figura 13.7: t = Ď&#x20AC; .

Figura 13.8: t =

3Ď&#x20AC; 2

.

Figura 13.9: t = 2Ď&#x20AC; .

Observe que... â&#x20AC;˘ para t = 0, o ponto P est´ a na sua posi¸ca Ë&#x153;o inicial; â&#x20AC;˘ para t = Ď&#x20AC;, P dista 2r do eixo OX; â&#x20AC;˘ para t = 2Ď&#x20AC;, o c´Ĺrculo d´ a um giro completo e o ponto P volta a tocar o eixo OX.

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CEDERJ

Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

Figura 13.10: Cicl´ oide.

A cicl´oide pertence a uma classe mais ampla de curvas rolantes, denominadas troc´ oides.

Defini¸c˜ao 13.32 Seja C um c´ırculo de centro C e raio r, e seja s uma reta. Consideremos uma semi-reta radial OB e um ponto P nessa semi-reta.

Uma troc´ oide ´e o lugar geom´etrico descrito pelo ponto P , quando C rola sobre a reta s sem deslizar.

A troc´oide ´e denominada: • cicl´ oide longa quando P ´e exterior a C (isto ´e, R = d(P, C) > r), • cicl´ oide quando P pertence a C (isto ´e, R = d(P, C) = r), • cicl´ oide curta quando P ´e interior a C (isto ´e, R = d(P, C) < r).

O procedimento para obter equa¸co˜es param´etricas dessas trˆes curvas ´e an´alogo ao caso da cicl´oide, que analisamos anteriormente.

Acompanhe nas Figuras 13.11 e 13.12 a designa¸ca˜o dos seguintes elementos: assumimos que o c´ırculo C tem centro C = (0, r), raio r e rola sobre a reta s = eixo OX; sejam C1 e C2 c´ırculos de centros O1 e O2 representando C no in´ıcio do movimento e ap´os transcorrido um instante t, respectivamente; designamos por P = (x, y) o ponto rolante que descreve a troc´oide partindo da posi¸ca˜o (0, r − R), no instante t = 0; seja A o ponto de contato do c´ırculo C2 com a reta s; sejam Q e T as proje¸co˜es de P sobre os eixos OX e OY ; seja M a proje¸ca˜o de P sobre a reta y = r que cont´em os centros O 1 e O2 , seja N a proje¸ca˜o de P sobre a reta O2 A.

Figura 13.11: Cicl´ oide curta.

CEDERJ

194

Figura 13.12: Cicl´ oide longa.

Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

´ MODULO 1 - AULA 13

Como no caso da cicl´oide, temos: x = |OQ| = |OA| ± |QA| = rt ± |O2M| , y = |OT | = |OO1| ± |T O1| = r ± |O2N| , onde |O2M| = R| sen t| , |O2 N| = R| cos t| e o sinal ´e escolhido segundo a posi¸ca˜o de P em rela¸ca˜o a O2 . Isto depende em qual dos intervalos [0, π2 ], [ π2 , π], [π, 3π ] ou [ 3π , 2π] est´a o valor t. Em qualquer caso, vocˆe pode verificar 2 2 que as curvas troc´oides tˆem equa¸co˜es param´etricas: ⎧ ⎨x = rt − R sen t ,t∈R ⎩y = r − R cos t sendo a troc´oide uma cicl´oide curta, se R < r; uma cicl´oide, se R = r; uma cicl´oide longa, se R > r.

Figura 13.13: Cicl´ oide curta.

Figura 13.14: Cicl´ oide longa.

Nas Figuras 13.13 e 13.14, mostramos a cicl´oide curta e a cicl´oide longa tra¸cadas em intervalos maiores. Na Figura 13.15, vemos os trˆes tipos de troc´oides.

Figura 13.15: Troc´ oides.

III. Epicicl´oides e hipocicl´oides.

Defini¸c˜ao 13.33 (Epicicl´oide) Consideremos dois c´ırculos, Γ e C, de raios R e r, respectivamente,tais que: • Γ e C se tocam apenas em um ponto P , • os pontos de C, diferentes de P , est˜ao no exterior de Γ.

Denominamos epicicl´ oide o lugar geom´etrico descrito pelo ponto P quando C rola sobre Γ, sem deslizar.

As epicicl´oides e outras curvas similares, que veremos mais adiante (as hipocicl´ oides), foram muito estudadas por grandes matem´aticos da idade moderna como Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L’H´opital (1690), Jacob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Daniel Bernoulli (1725), Euler (1745, 1781) e pelo matem´atico e artista D¨ urer (1525).

Para saber mais ...

Sobre a epicicl´ oide e outras curvas cicloidais, veja: http://www-history.mcs. st-andrews.ac.uk/history/ Curves/Epicycloid.html http://xahlee.org/ SpecialPlaneCurves_dir/ EpiHypocycloid_dir/ epiHypocicloid.html

195

CEDERJ

Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

O estudo das curvas cicloidais est´a relacionado a` procura pela melhor forma e acoplamento de rodas dentadas.

Para obtermos as equa¸co˜es param´etricas da epicicl´oide, admitamos Γ com centro na origem, C com centro no ponto (R+r, 0) e que a posi¸ca˜o inicial de P seja P1 = (R, 0).

Nas Figuras 13.16 e 13.17, mostramos o c´ırculo C ap´os ter rolado alguns instantes sobre o c´ırculo Γ.

Acompanhe, nessas mesmas figuras, a designa¸ca˜o dos seguintes elementos: seja P = (x, y) o ponto da epicicl´oide que, estando inicialmente na posi¸ca˜o P1 , descreve o arco P1 P quando C rola um aˆngulo de medida θ sobre Γ; denotemos A o ponto de contato entre os c´ırculos; O2 o centro de C; B e D, as proje¸co˜es de O2 sobre os eixos OX e OY , respectivamente; Q = (x, 0) e T = (0, y), as proje¸co˜es de P sobre OX e OY ; M e N, as proje¸co˜es de P

sobre as retas O2 D e O2 B e seja t o aˆngulo AO 2 P descrito pelo ponto P com respeito a` semi-reta radial OO2.

Figura 13.16: P descreve uma epicicl´ oide.

Figura 13.17: P continuando o movimento.

O nosso problema consiste em descrever as coordenadas do ponto P em termos de um parˆametro.

Nas figuras acima, vemos que as posi¸co˜es entre Q e B variam de acordo com a posi¸ca˜o do ponto P . Isto ´e, de acordo com a medida t do aˆngulo AO2 P .

No caso em que Q est´a entre O e B, temos: x = |OQ| = |OB| − |QB| = |OB| − |O2 M| , y = |OT | = |OD| − |T D| = |OD| − |O2N| .

(13.1)

Note que, enquanto C rola sobre Γ, seu centro descreve um c´ırculo centrado em O e de raio R +r. Sendo θ a medida do aˆngulo do semi-eixo OX CEDERJ

196

Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

´ MODULO 1 - AULA 13

positivo para a semi-reta OO2 (medido no sentido anti-hor´ario), obtemos: |OB| = (R + r)cosθ

e

|OD| = (R + r)senθ .

(13.2)

Sendo t a medida do aˆngulo de O2 A para O2 P , vemos que: π π

NO 2 P = OO2 B − AO2 P = ( 2 − θ) − t = 2 − (θ + t) .

Portanto, no triˆangulo-retˆangulo P NO2 , temos: π

|O2 M| = r sen(NO 2 P ) = r sen( 2 − (θ + t)) = r cos(θ + t) , π

|O2 N| = r cos(NO 2 P ) = r cos( 2 − (θ + t)) = r sen(θ + t) .

A Cardi´ oide ... ´ a epicicl´ E oide com r = R: ( x = 2r cos θ − r cos(2θ) y = 2r sen θ − r sen(2θ) O nome cardi´ oide foi dado em 1741 por Johann de Castillon (1704-1791) e significa forma de cora¸ca ˜o.

Mas, em 1708, o matem´ atico francˆ es Phillippe de La Hire (1640-1718) calculou o seu comprimento.

(13.3)

Substituindo as identidades (13.2) e (13.3) em (13.1), obtemos: x = (R + r) cos θ − r cos(θ + t) , y = (R + r) sen θ − r sen(θ + t) .

(13.4)

Mas ainda resta uma complica¸ca˜o: as express˜oes das coordenadas x e y est˜ao dadas em fun¸ca˜o de duas vari´aveis θ e t. Vamos resolver isto.

Note que o comprimento do arco de A a P , do c´ırculo C, ´e igual ao comprimento do arco de P1 a A, do c´ırculo Γ (lembre que C rola sobre Γ).

Como a medida do primeiro arco ´e rt e a medida do segundo ´e Rθ, ent˜ao rt = Rθ, de onde, t = Rθ . r Assim, substituindo t = Rθ em (13.4), obtemos as seguintes equa¸co˜es r param´etricas da epicicl´oide, apenas em fun¸ca˜o do parˆametro θ: x = (R + r) cos θ − r cos(θ + Rθ ) = (R + r) cos θ − r cos(( R+r )θ) , r r Rθ R+r y = (R + r) sen θ − r sen(θ + r ) = (R + r) sen θ − r sen(( r )θ) .

(13.5)

Resta verificar o caso em que B est´a entre O e Q (Figura 13.17). π

No triˆangulo NP O2 , (Figura 13.17), temos NO 2 P = t − ( 2 − θ) = (θ + t) − π2 . Logo: |O2 M| = r sen((θ + t) − π2 ) = −r cos(θ + t) , |O2 N| = r cos((θ + t) − π2 ) = r sen(θ + t) .

Sendo que: x = |OQ| = |OB| + |QB| = |OB| + |O2 M| , y = |OT | = |OD| − |T D| = |OD| − |O2 N| , obtemos as mesmas equa¸co˜es param´etricas do caso anterior.

Assim, vocˆe j´a tem elementos suficientes para verificar que, quando C rola sobre Γ, as coordenadas do ponto P satisfazem as equa¸co˜es (13.5), independentemente da posi¸ca˜o de P .

Conclus˜ao: as equa¸co˜es param´etricas da epicicl´oide s˜ao:

Figura 13.18: r = R: Cardi´ oide .

O conjunto de Mandelbrot Em 1979 o matem´ atico polonˆ es Benoit Mandelbrot (1924- ) analisou a dinˆ amica das itera¸co ˜es de fun¸co ˜es da forma fc (z) = z 2 + c, onde z∈Cec∈C´ e constante, estudadas por Gaston Julia (1918). Usando o computador, Mandelbrot determinou o conjunto M formado pelos valores de c, para os quais certo conjunto limitado associado ao polinˆ omio fc (denominado conjunto de Julia) consiste de uma forma conexa no plano complexo. Eis o conjunto M , de Mandelbrot:

Figura 13.19: Cardi´ oide no conjunto de Mandelbrot.

197

CEDERJ

Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

⎧ ⎨x = (R + r) cos θ − r cos(( R+r )θ) r

,

⎩y = (R + r) sen θ − r sen(( R+r )θ) r

t∈R

Observe que, quando C percorre um arco de Γ de comprimento igual a 2πr, o ponto P volta a tocar Γ.

Portanto, se Rr = n, onde n ∈ N, ent˜ao o ponto P toca Γ n vezes e a n-´esima vez coincide com sua posi¸ca˜o inicial.

Para verificar isto, basta observar que o comprimento de Γ cont´em n vezes o comprimento de C: 2πR = 2π(nr) = n(2πr) .

Nas seguintes figuras, mostramos v´arias epicicl´oides, indicando os valores de r e R, assim como suas equa¸co˜es param´etricas.

Figura 13.20: r = R = 32 .

8 <x = 2 cos θ − :y = 2 sen θ −

Para saber mais ...

Outras curvas rolantes s˜ ao as epitroc´ oides e as hipotroc´ oides, essas curvas s˜ ao constru´ıdas da mesma forma que as epicicl´ oides e as hipocicl´ oides, quando o ponto que descreve a curva est´ a no interior (ou exterior) do c´ırculo que rola dentro ou fora do c´ırculo fixo. Veja: http://xahlee.org/ SpecialPlaneCurves_dir/ specialPlaneCurves.html

1 2 1 2

cos(4θ) sen(4θ)

Figura 13.23: r = 2, R = 1.

8 <x = 3 cos θ − 2 cos( 3 θ) 2 :y = 3 sen θ − 2 sen( 3 θ) 2

1 2,

Figura 13.21: r = R = 43 .

8 <x = 2 cos θ − :y = 2 sen θ −

2 3 2 3

2 3,

Figura 13.22: r = 5, R = 8.

8 <x = 13 cos θ − 5 cos( 13 θ) 5 :y = 13 sen θ − 5 sen( 13 θ)

cos(3θ) sen(3θ)

Figura 13.24: r = 2.

5

√ 2, R =

8 √ √ √ <x = (2 + 2) cos θ − 2 cos( 2+ √ 2 θ) 2 √ √ √ :y = (2 + 2) sen θ − 2 sen( 2+ √ 2 θ) 2

Figura 13.25: R = 2.

r = 3,

8 <x = 5 cos θ − 3 cos( 5 θ) 3 :y = 5 sen θ − 3 sen( 5 θ) 3

Outra classe de curvas rolantes an´aloga a` epicicl´oide ´e a seguinte.

Defini¸c˜ao 13.34 (Hipocicl´oide) Consideremos dois c´ırculos Γ, C de raios R e r, respectivamente, tais que: • r < R, CEDERJ

198

Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

´ MODULO 1 - AULA 13

• Γ e C se tocam apenas em um ponto P , • os pontos de C, diferentes de P , est˜ao no interior de Γ.

Denominamos epicicl´ oide o lugar geom´etrico descrito pelo ponto P , quando C rola sobre Γ, sem deslizar.

Para obtermos as equa¸co˜es param´etricas da hipocicl´oide admitamos Γ com centro na origem, C iniciando o movimento com centro no ponto (R−r, 0) e P com posi¸ca˜o inicial P1 = (R, 0).

Determinemos as coordenadas do ponto P = (x, y) em termos de um parˆametro, quando C rola sobre Γ sem deslizar.

A astr´ oide ...

Tamb´em chamada tetrac´ uspide, cubocicl´ oide ou paraciclo, na literatura antiga, foi estudada por Johann Bernoulli em 1691, aparecendo tamb´em em cartas de Gottfried Leibniz de 1715. A astr´ oide ´ ea hipocicl´ oide obtida quando r= R . Suas equa¸co ˜es 4 param´ etricas s˜ ao: 8 <x = 3r cos θ + r cos(3θ) :y = 3r sen θ − r sen(3θ) e seu lugar geom´etrico ´ e:

Figura 13.26: P descrevendo uma hipocicl´ oide.

Figura 13.27: P continuando o movimento.

Acompanhe, nas Figuras 13.26 e 13.27, a designa¸ca˜o dos seguintes elementos: A ´e o ponto de C que toca Γ; O2 o centro de C; B e D as proje¸co˜es de O2 sobre os eixos OX e OY ; Q = (x, 0) e T = (0, y) as proje¸co˜es de P sobre OX e OY ; M e N as proje¸co˜es de P sobre O2 D e O2 B, respectivamente.

Com essas nota¸co˜es, considerando o caso em que B est´a entre O e Q, mostrado na Figura 13.26, temos: x = |OQ| = |OB| + |QB| = |OB| + |O2 M| , y = |OT | = |OD| − |T D| = |OD| − |O2 N| .

(13.6)

Sendo que o centro de C descreve um c´ırculo de raio R − r, obtemos: |OB| = (R − r) cos θ e |OD| = (R − r) sen θ.

Hipocicl´ oide degenerada...

O segmento que liga (R, 0) com (−R, 0) ´ e tamb´ em uma hipocicl´ oide. De fato, a hipocicl´ oide, tal que, r = R , 2 tem equa¸co ˜es param´ etricas: 8 <x = 2r cos θ :y = 0 e o seu lugar geom´etrico ´ e:

Denotando t a medida do aˆngulo de O2 A para O2 P , temos: π

e OO OO 2P = π − t 2 P − NO2 P = 2 − θ .

Logo, π π

NO 2 P = − 2 + θ + OO2 P = − 2 + θ + (π − t) = (θ − t) +

Figura 13.28: Astr´ oide.

π 2

.

Portanto, no triˆangulo-retˆangulo P NO2 , temos: π

|O2M| = r sen(NO 2 P ) = r sen((θ − t) + 2 ) = r cos(θ − t) = r cos(t − θ) , π

|O2N| = r cos(NO 2 P ) = r cos((θ − t) + 2 ) = −r sen(θ − t) = r sen(t − θ) .

Substituindo essas identidades nas rela¸co˜es (13.6) e usando o fato de

Figura 13.29: r =

199

CEDERJ

R 2.

Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

que t =

Rθ r

, obtemos as seguintes equa¸co˜es param´etricas da hipocicl´oide: ⎧ ⎨x = (R − r) cos θ + r cos(( R−r )θ)

,t∈R

r

⎩y = (R − r) sen θ − r sen(( R−r )θ) r

Procure verificar que as mesmas equa¸co˜es param´etricas s˜ao obtidas quando P est´a em outras posi¸co˜es com respeito ao centro O 2 .

Figura 13.30: r = R = 3.

8 <x = :y =

18 7 18 7

cos θ − sen θ −

3 7 3 7

6 5 6 5

cos θ − sen θ −

9 5 9 5

Figura 13.31: r = R = 3.

cos(6θ)

8 <x =

sen(6θ)

:y =

Figura 13.33: r = R = 3.

8 <x = :y =

3 7,

9 5,

cos( 23 θ)

sen( 23 θ)

12 5 12 5

cos θ − sen θ −

3 5 3 5

9 11 9 11

cos θ − sen θ −

24 11 24 11

Figura 13.32: r = 1, R = 3

sen(4θ)

24 11 ,

cos( 38 θ)

sen( 38 θ)

Delt´ oide:

8 <x = 2 cos θ − cos(2θ) :y = 2 sen θ − sen(2θ)

cos(4θ)

Figura 13.34: r = R = 3.

8 <x = :y =

3 5,

Figura 13.35: r = R = 3.

8 <x = :y =

15−2π 5 15−2π 5

cos θ − sen θ −

2π 5 2π 5

2π 5 ,

cos( 15−2π θ) 2π

sen( 15−2π θ) 2π

IV. A bruxa de Agnesi.

Como na hist´oria da Matem´atica nunca existiram bruxas, come¸camos por esclarecer o nome dado a esta curva. Estudada por Pierre de Fermat em 1703, sua constru¸ca˜o geom´etrica foi detalhada apenas em 1718, pelo matem´atico italianoGrandi, que dera o nome de versoria, cujo significado, em latim, ´e corda que vira a vela (vela de barco) e traduzira tamb´em o nome para o italiano em versiera (que significa virar).

Em meados do s´eculo XVIII, a matem´atica italiana Maria Agnesi publicou o livro Instituzioni analitiche ad uso della giovent` u italiana, que consistia CEDERJ

200

Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

´ MODULO 1 - AULA 13

de muitos exemplos analisando cuidadosamente as propriedades das curvas planas. Uma das curvas estudadas no livro foi la versiera, nomeada corretamente por Agnesi. Posteriormente, o livro de Agnesi foi traduzido para o inglˆes por John Colson, por volta de 1760, contendo um grave erro. Em vez de traduzir la versiera em a curva, traduziu l’aversiera, que significa a bruxa.

Pior ainda, o erro do inglˆes Colson foi mantido at´e nossos dias.

Defini¸c˜ao 13.35 (A bruxa de Agnesi) Seja C um c´ırculo de raio r tangente a duas retas paralelas s1 e s2 . Sejam O e A os pontos de tangˆencia de C com s1 e s2 , respectivamente. Do ponto O tracemos uma semi-reta em dire¸ca˜o a` reta s2 . Denotemos R e Q os pontos de interse¸ca˜o desta semi-reta com o C e s2 , respectivamente. Tracemos o segmento QD, perpendicular a s1 e a reta s paralela a s1 passando por R (veja a Figura 13.36).

Seja P o ponto de interse¸ca˜o da reta s com o segmento QD. Os pontos P assim obtidos, tra¸cando todas as semi-retas que partem de O e intersectam C, descrevem a curva denominada bruxa de Agnesi.

Para obtermos as equa¸co˜es param´etricas da bruxa de Agnesi, admitamos que s1 seja o eixo OX, s2 : y = 2r, O seja a origem do sistema de coordenadas e A = (0, 2r) (Figura 13.36).

De novo, o nosso problema consiste em determinar as coordenadas dos pontos P = (x, y) da bruxa de Agnesi em fun¸ca˜o de apenas um parˆametro. Figura 13.36: Constru¸ca˜o da bruxa de Se B ´e a proje¸ca˜o de R sobre o eixo OX, ent˜ao: x = |OD| e

Agnesi.

y = |RB| .

(13.7)

obtemos: Denotando t a medida do aˆngulo DOQ, |OD| = |OQ| cos t

e

|RB| = |OR| sen t .

(13.8)

Note que os triˆangulos ORA (inscrito em um semic´ırculo de C) e ODQ s˜ao ´e o aˆngulo reto, a medida de OAR ´e t e, retˆangulos. No primeiro, ORA portanto, |OR| = 2 r sen t. No triˆangulo ODQ, temos |QD| = 2r. Logo, 2r |OQ| sen t = 2r, o qual implica: |OQ| = sen . t

Maria Ga¨ etana Agnesi 1718 - 1799 Milan, It´ alia Considerada um dos grandes talentos matem´ aticos do s´ eculo XVIII, publicou diversos tratados sobre Filosofia. Autodidata, estudou Teologia e Matem´ atica, concentrando seus esfor¸cos nos trabalhos de L’H´ opital e Newton. Com ajuda do monge Ramiro Rampielli, aprendeu as sutilezas do C´ alculo.

O seu trabalho mais conhecido foi o tratado Instituzioni analitiche ad uso della giovent` u italiana que, em dois volumes, n˜ ao continha pesquisa matem´ atica original, mas sim uma detalhada explica¸ca ˜o da teoria das curvas planas mediante exemplos, sendo um deles, a curva conhecida como bruxa de Agnesi, por causa de um erro de tradu¸ca ˜o do inglˆes John Colson por volta de 1760. Veja: http://www-history.mcs. st-andrews.ac.uk/history/ Mathematicians/Agnesi. html

201

CEDERJ

Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

Substituindo essas rela¸co˜es em (13.8), obtemos: |OD| =

2r cos t = 2r cotg t sen t

e

|RB| = 2r sen2 t .

(13.9)

Substituindo as identidades (13.9) nas identidades (13.7), obtemos as equa¸co˜es param´etricas da bruxa de Agnesi: ⎧ ⎨x = 2 r cotg t , t ∈ (− π2 , π2 ) ⎩y = 2 r sen2 t e tra¸camos o seu lugar geom´etrico:

Figura 13.37: Bruxa de Agnesi.

Resumo Neste apˆendice vimos como obter as equa¸co˜es param´etricas de v´arias curvas planas, usando rela¸co˜es trigonom´etricas b´asicas e observando as condi¸co˜es que um ponto deve satisfazer para pertencer a uma curva dada.

Exerc´ıcios 1 . Verifique que x = 1 + 2sect e y = 3 + 3tgt, − π2 < t < π2 s˜ao equa¸co˜es 2 2 param´etricas de um ramo da hip´erbole (x−1) − (y−3) = 1.

4 9 2 . Verifique que x = t3 e y = t6 − 4t3 , t ∈ R s˜ao equa¸co˜es param´etricas de uma par´abola. Dˆe a equa¸ca˜o cartesiana dessa par´abola.

3 . Verifique que x = cosht+senht e y = cosht−senht, t ∈ R s˜ao equa¸co˜es param´etricas de um ramo da hip´erbole xy = 1.

4 . Verifique que x = 2(cost+sent) e y = 3(cost−sent), t ∈ R s˜ao equa¸co˜es param´etricas de uma elipse. Dˆe a equa¸ca˜o cartesiana dessa elipse.

2

5 . Seja a hip´erbole de equa¸ca˜o x2 − y9 = 1. Dˆe as equa¸co˜es param´etricas do ramo desta hip´erbole que intersecta o semi-eixo positivo OX. Como s˜ao as equa¸co˜es param´etricas desse ramo, expressando uma vari´avel em fun¸ca˜o da outra?

CEDERJ

202

Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

´ MODULO 1 - AULA 13

6 . Dˆe as equa¸co˜es param´etricas da cicl´oide descrita pelo ponto P = (0, 0) pertencente ao c´ırculo de equa¸ca˜o x2 + (y − 2)2 = 4, quando este rola sobre o eixo OX. 7 . Dˆe as equa¸co˜es param´etricas da cicl´oide estreita descrita pelo ponto P = (0, 3) pertencente ao c´ırculo de equa¸ca˜o x2 + (y −5)2 = 25, quando este rola sobre o eixo OX. 8 . Dˆe as equa¸co˜es param´etricas da cicl´oide larga descrita pelo ponto P = (0, −1) pertencente ao c´ırculo de equa¸ca˜o x2 + (y − 3)2 = 9, quando este rola sobre o eixo OX. 9 . Seja S a cicl´oide larga descrita pelo ponto P = (0, −2) pertencente ao c´ırculo de equa¸ca˜o x2 +(y −5)2 = 25, quando este rola sobre o eixo OX. Verifique que S est´a contida na faixa do plano entre as retas x = −2 e x = 7.

10 . Dˆe as equa¸co˜es param´etricas da hipocicl´oide descrita pelo ponto P = (6, 0) pertencente ao c´ırculo de equa¸ca˜o (x − 7)2 + y 2 = 1, quando este rola sobre c´ırculo de equa¸ca˜o x2 + y 2 = 36.

11 . Esboce o gr´afico de uma hipocicl´oide em que R = 4 e r = 2.

12 . Que tipo de curva ´e descrita pelos centros do c´ırculo (x − 4)2 + y 2 = 16 quando rolamos esta c´ırculo sobre o eixo OY ? Dˆe a equa¸ca˜o dessa curva.

13 . Considere o c´ırculo C : x2 = (y − 3)2 = 9 e a curva obtida da seguinte forma: da origem, tra¸camos uma semi-reta u que intersecta C em um ponto R e intersecta a reta y = 4 num ponto Q. Seja QD a perpendicular ao eixo OX. Trace a reta s paralela a OX que passa por R. A reta s intersecta em um ponto P = (x, y).

Dˆe as equa¸co˜es param´etricas dos pontos P , assim obtidos ao tra¸carmos a fam´ılia das semi-retas com as mesmas propriedades da reta u.

14 . O que vocˆe pode afirmar sobre uma epicicl´oide ou uma hipocicl´oide quando a raz˜ao entre os raios dos c´ırculos considerados ´e: a. um n´ umero racional. b. um n´ umero iracional.

Sugest˜ ao para o Exerc´ıcio 14.

Reveja a curva desenhada na Figura 13.34 e compare com a curva da Figura 13.35. Tente decifrar se elas s˜ ao fechadas ou n˜ ao.

203

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Apˆendice: Parametriza¸co˜es de curvas planas

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe resolveu os Exerc´ıcios de 1 a 4, aprendeu a identificar as equa¸co˜es param´etricas de uma curva dada. Ao resolver os Exerc´ıcios de 5 a 12, vocˆe fixou a forma de obter equa¸co˜es param´etricas de algumas curvas e a an´alise da forma da curva em rela¸ca˜o a` varia¸ca˜o do parˆametro. Se resolveu o Exerc´ıcio 13, vocˆe aprendeu como obter as equa¸co˜es param´etricas de uma curva a partir das condi¸co˜es dadas. Se vocˆe teve dificuldades na resolu¸ca˜o de algum exerc´ıcio, procure orienta¸ca˜o!

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§1. Se¸ co ˜es cˆ onicas

Nesta se¸ca˜o vamos estudar as seguintes curvas do plano: c´ırculo, par´abola, elipse e hip´erbole.

Veremos como obter as suas equa¸co˜es, descrevendo-as por meio de suas propriedades, e aprenderemos a desenhar os seus gr´aficos.

Essas curvas s˜ao obtidas pela interse¸ca˜o de um plano com um duplo cone circular reto, por este motivo s˜ao chamadas de se¸co˜es cˆ onicas ou simplesmente cˆ onicas.

Um duplo cone circular reto ´e uma superFigura 13.38: Duplo cone f´ıcie obtida pela rota¸ ca˜o de uma reta, chamada circular reto. geratriz, em torno de uma reta concorrente fixa, o eixo de simetria do cone.

Nas Figuras 13.39 a 13.42, ilustramos como cada uma dessas curvas ´e obtida pela interse¸ca˜o de um plano com um duplo cone circular reto. Observe que a inclina¸ca˜o do plano em rela¸ca˜o ao eixo de simetria do cone determina a natureza da curva.

Conceitos: N´ umeros reais, reta real, potˆencias de n´ umeros reais, desigualdades, sistema de coordenadas cartesianas e distˆancias no plano.

Referˆencias: Aulas 7 a 14.

Apolˆ onio, 262-190 a.C. Nasceu em Perga, no sul da ´ Asia Menor. Ainda jovem foi para a Alexandria estudar com os sucessores de Euclides. Apolˆ onio foi um not´ avel astrˆ onomo e escreveu sobre diversos assuntos de Matem´ atica, ficando famoso pela sua obra Se¸co ˜es Cˆ onicas.

Figura 13.39: C´ırculo.

Figura 13.40: Par´ abola.

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Figura 13.41: Elipse.

Figura 13.42: Hip´erbole.

No estudo elementar da Geometria, a principal quest˜ao ´e a propriedade do objeto geom´etrico, no plano e no espa¸co. Os objetos geom´etricos tratados at´e aqui foram ponto e reta no plano. As curvas planas c´ırculo, par´ abola, elipse e hip´erbole ser˜ao descritas como um lugar geom´etrico. Isto significa descrever o conjunto dos pontos do plano que satisfazem uma propriedade espec´ıfica, neste caso dependendo apenas do conceito de distˆ ancia.

C´ırculo

´ MODULO 1 - AULA 14

Aula 14 – C´ırculo Objetivos • Determinar a equa¸ca˜o do c´ırculo de centro C e raio r, como um lugar geom´etrico.

• Aprender os conceitos de retas tangente e normal num ponto P de um c´ırculo.

Conceitos: N´ umeros reais, reta real, potˆ encias de n´ umeros reais, sistema de coordenadas cartesianas e distˆ ancias.

• Esbo¸car o gr´afico do c´ırculo a partir da sua equa¸ca˜o.

• Identificar os pontos do plano interiores ou exteriores a um c´ırculo.

Referˆ encias: Aulas 7, 8, 9, 13 e 14.

Na nossa civiliza¸ca˜o h´a v´arios mecanismos e objetos constru´ıdos com a forma circular, tais como: rel´ogios, rodas, moedas, aros de cestas de basquete etc. Nos parques de divers˜oes tamb´em nos deparamos com c´ırculos, no carrossel e na roda gigante.

O c´ırculo de centro C e raio r > 0 ´e o lugar geom´etrico dos pontos do plano cuja distˆancia ao ponto C ´e r.

Figura 14.1: C´ırculo de centro C e raio r.

Observe que 2 pontos do c´ırculo, situados sobre uma reta passando pelo centro C, est˜ao a uma distˆancia 2r. Estes pontos s˜ao ditos diametralmente opostos. O diˆ ametro do c´ırculo ´e o valor 2r.

Como encontrar a equa¸ca˜o que relaciona as coordenadas x e y de um ponto P qualquer do c´ırculo?

Primeiramente, fixamos um sistema de coordenadas. Seja P = (x, y) um ponto do c´ırculo de centro C = (h, k) e raio r > 0. Ent˜ao,

d(P, C) = r ⇐⇒ (x − h)2 + (y − k)2 = r ⇐⇒ (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 .

207

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C´ırculo

Portanto, o c´ırculo de centro (h, k) e raio r, tem equa¸ca˜o (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 .

Desenvolvendo os quadrados desta equa¸ca˜o, obtemos a equa¸ca˜o equivalente: x2 + y 2 − 2hx − 2ky + h2 + k 2 = r 2 .

O gr´afico do c´ırculo ´e o conjunto Graf = {(x, y) | (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 }.

Exemplo 14.1 A equa¸ca˜o do c´ırculo de centro C = (0, 0) e raio r ´e x2 +y 2 = r 2 . Observe que os pontos (r, 0), (−r, 0), (0, r) e (0, −r) s˜ao pontos deste c´ırculo. A Figura 14.2 ilustra o gr´afico deste c´ırculo.

Figura 14.2: C´ırculo de centro (0, 0) e raio r.

Exemplo 14.2 A equa¸ca˜o (x+3)2 +(y −2)2 = 5 representa um c´ırculo de centro C = (−3, 2) √ e raio r = 5.

Exemplo 14.3 A equa¸ca˜o x2 + y 2 + 4x − 2y − 11 = 0 ´e de um c´ırculo. De fato, reescrevemos esta equa¸ca˜o como: (x2 + 4x) + (y 2 − 2y) − 11 = 0 ⇐⇒ (x2 + 4x + 4 − 4) + (y 2 − 2y + 1 − 1) − 11 = 0 ⇐⇒ ((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) − 11 = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y − 1)2 = 16 ⇐⇒ (x − (−2))2 + (y − 1)2 = 42 .

Observe que a primeira equivalˆencia foi obtida completando os quadrados dos polinˆomios nas vari´aveis x e y. Portanto, o centro do c´ırculo ´e C = (−2, 1) e o raio ´e r = 4.

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C´ırculo

´ MODULO 1 - AULA 14

Exemplo 14.4 Que subconjuntos do plano representam as equa¸co˜es x2 + y 2 + 4x − 2y + 5 = 0 e

x2 + y 2 + 4x − 2y + 6 = 0?

Veremos que estes conjuntos n˜ao s˜ao c´ırculos. De fato, as duas equa¸co˜es diferem da equa¸ca˜o do exemplo anterior apenas no termo independente de x e y, isto ´e, a constante. Procedendo de maneira an´aloga ao exemplo anterior, completamos os quadrados nas duas equa¸co˜es, olhando para os polinˆomios nas vari´aveis x e y: (x2 + 4x) + (y 2 − 2y) + 5 = 0 ⇐⇒ (x2 + 4x + 4 − 4) + (y 2 − 2y + 1 − 1) + 5 = 0 ⇐⇒ ((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) + 5 = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y − 1)2 = 0 , e (x2 + 4x) + (y 2 − 2y) + 6 = 0 ⇐⇒ (x2 + 4x + 4 − 4) + (y 2 − 2y + 1 − 1) + 6 = 0 ⇐⇒ ((x + 2)2 − 4) + ((y − 1)2 − 1) + 6 = 0 ⇐⇒ (x + 2)2 + (y − 1)2 = −1 .

Como a soma de quadrados de n´ umeros reais ´e sempre um n´ umero real maior ou igual a zero, temos que a u ´nica solu¸ca˜o da primeira equa¸ca˜o ´e x + 2 = 0 e y − 1 = 0 e n˜ao h´a solu¸ca˜o, em pares de n´ umeros reais, para a segunda equa¸ca˜o. Logo, apenas o ponto (−2, 1) ´e solu¸ca˜o da primeira equa¸ca˜o e n˜ao h´a solu¸ca˜o em pares (x, y) de n´ umeros reais, para a segunda equa¸ca˜o, isto ´e, o conjunto solu¸ca˜o da segunda equa¸ca˜o ´e o conjunto vazio.

Cuidado!

Como acabamos de verificar, a equa¸ca˜o x2 + y 2 + ax + by + c = 0 nem sempre representa um c´ırculo, podendo representar um u ´nico ponto ou o conjunto vazio. Para determinar que subconjunto do plano esta equa¸ca˜o representa, vamos completar os quadrados, repetindo o que foi feito no exemplo anterior:

x2 + y 2 + ax + by + c = 0

a2 a2 b2 b2 2 2 x + ax + − + y + by + − +c=0 4 4 4 4

b 2 a2 b2 a 2 − +c=0 + y+ − x+ 2 2 4 4

b 2 a2 b2 a 2 + y+ = x+ + −c 2 2

4 4

b 2 a2 + b2 − 4c a 2 . + y+ = x+ 2 2 4

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

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C´ırculo

Agora, podemos responder a` pergunta. Qual o subconjunto do plano

C=

C = { (x, y) | x2 + y 2 + ax + by + c = 0 }? ⎧

⎪ a b ⎪ ⎪ o ponto P = − , − , se a2 + b2 − 4c = 0 ⎪ ⎨ 2 2 o c´ırculo de centro C e raio r, se a2 + b2 − 4c > 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩o conjunto vazio, se a2 + b2 − 4c < 0.

No segundo caso, observe que os parˆametros do c´ırculo s˜ao: √

a2 + b2 − 4c a b e raio r = . centro C = − , − 2 2 2 Em cada ponto P de um c´ırculo, considere a reta n que passa pelo centro C e pelo ponto P . Esta reta ´e dita normal ao c´ırculo no ponto P . A reta t, perpendicular a` reta n passando pelo ponto P , ´e dita tangente ao c´ırculo no ponto P .

Figura 14.3: Retas tangente e normal ao c´ırculo no ponto P .

Exemplo 14.5 Vamos determinar as equa¸co˜es das retas horizontais e tangentes ao c´ırculo de centro C = (−2, 2) e raio r = 3.

A equa¸ca˜o deste c´ırculo ´e (x − (−2))2 + (y − 2)2 = 9, que ´e equivalente a (x + 2)2 + (y − 2)2 = 9. As retas tangentes horizontais s˜ao perpendiculares a` reta vertical s que passa pelo centro C = (−2, 2). A equa¸ca˜o da reta s ´e x = −2. Para determinar a interse¸ca˜o do c´ırculo com a reta s, substitu´ımos a equa¸ca˜o de s na equa¸ca˜o do c´ırculo. Para isto, fazemos x = −2 na equa¸ca˜o do c´ırculo, obtendo: (−2 + 2)2 + (y − 2)2 = 9 ⇐⇒ (y − 2)2 = 9, extraindo a raiz quadrada, ⇐⇒ |y − 2| = 3 ⇐⇒ y − 2 = 3 ou y − 2 = −3 ⇐⇒ y = 5 ou y = −1.

Portanto, os pontos do c´ırculo que est˜ao na reta s s˜ao (−2, 5) e (−2, −1). As retas tangentes ao c´ırculo passando por estes pontos s˜ao horizontais e tˆem equa¸co˜es y = 5 e y = −1.

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C´ırculo

´ MODULO 1 - AULA 14

Exemplo 14.6 Fixemos o c´ırculo C de centro C = (1, 2) e raio 3, cuja equa¸ca˜o ´e (x − 1)2 + (y − 2)2 = 9.

Os pontos P = (a, b) tais que (a − 1)2 + (b − 2)2 = 9 n˜ao est˜ao no c´ırculo C. Por exemplo, os pontos A = (−1, 3) e B = (2, 5) tˆem esta propriedade, pois: ⎧ ⎨5, se (a, b) = (−1, 3) 2 2 (a − 1) + (b − 2) = ⎩10, se (a, b) = (2, 5).

Fa¸ca um desenho de C e observe que A est´a no interior de C e que B est´a no exterior de C. Os pontos P = (a, b) tais que (a−1)2 +(b−2)2 < 9 s˜ao ditos pontos interiores ao c´ırculo C. Por outro lado, os pontos P = (a, b) tais que (a−1)2 +(b−2)2 > 9 s˜ao ditos pontos exteriores ao c´ırculo C. Todo c´ırculo divide o plano em duas partes, chamadas interior e exterior do c´ırculo.

Se a equa¸ca˜o do c´ırculo ´e (x − h)2 + (y − k)2 = r 2 e P = (x0 , y0 ), ent˜ao • P est´a no interior do c´ırculo • P est´a no c´ırculo • P est´a no exterior do c´ırculo

⇐⇒ (x0 − h)2 + (y0 − k)2 < r 2 . ⇐⇒ (x0 − h)2 + (y0 − k)2 = r 2 . ⇐⇒ (x0 − h)2 + (y0 − k)2 > r 2 .

Exemplo 14.7

Na figura ao lado, esbo¸camos o gr´afico do c´ırculo de centro C = (−2, 1) e raio r = 52 , cuja equa¸ca˜o ´e (x + 2)2 + (y − 1)2 = 25 .

4 O ponto A = (−2, 3) est´a no interior do c´ırculo e o ponto B = (1, 2) est´a no exterior do c´ırculo.

Dˆe outros exemplos de pontos situados no interior e exterior deste c´ırculo.

Curiosidade:

Figura 14.4: C´ırculo de centro 5 (−2, 1) e raio 2 .

Outras curvas planas podem ser constru´ıdas a partir do c´ırculo. Vejamos alguns exemplos interessantes.

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C´ırculo

Exemplo 14.8 A cicl´oide ´e a curva descrita por um ponto fixado no c´ırculo, que rola, sem deslizar, em linha reta. Esta curva pode ser observada, se um ponto ´e marcado no pneu de uma bicicleta. Na figura a seguir, ilustramos a cicl´oide descrita por um ponto P fixado no c´ırculo de raio r = 1. Inicialmente, o ponto P ´e o ponto de contato do c´ırculo com a reta.

Figura 14.5: Cicl´ oide com raio r = 1.

Exemplo 14.9 Consideremos dois c´ırculos de raios r e R com r < R e fixemos um ponto P no c´ırculo de raio menor. Quando o c´ırculo de raio menor rola, sem deslizar, no interior do c´ırculo de raio maior, conforme mostra a Figura 14.6, o ponto R P descreve uma curva plana. Quando r = , a curva descrita pelo ponto P 2 ´e um segmento de reta. Veja a Figura 14.7.

Figura 14.6: C´ırculo menor rolando den- Figura 14.7: Ponto P descrevendo um segmento se r = R2 . tro do maior.

R , a curva descrita pelo ponto P ´e chamada hipocicl´oide. A 2 R R hipocicl´oide, nos casos r = e r = , ´e conhecida como delt´oide e astr´ oide, 3 4

Quando r <

respectivamente.

R

Escolhendo r = , onde n ´e um inteiro positivo, verificamos que este pron cesso permite dividir o c´ırculo de raio R em n partes iguais. Desta maneira, podemos construir um pol´ıgono regular de n lados.

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C´ırculo

Figura 14.8: Delt´ oide, r =

R 3.

Figura 14.9: Astr´ oide, r =

´ MODULO 1 - AULA 14

R 4.

Resumo Vocˆe aprendeu a determinar a equa¸ca˜o do c´ırculo, a partir do raio r e das coordenadas (h, k) do centro C; a esbo¸car o gr´afico do c´ırculo; a determinar as coordenadas do centro e do raio, a partir da equa¸ca˜o do c´ırculo; a determinar a reta tangente e a reta normal em um ponto do c´ırculo e a determinar a posi¸ca˜o relativa de um ponto do plano com respeito a um c´ırculo.

Exerc´ıcios 1. Escreva a equa¸ca˜o do c´ırculo de centro C e raio r dados: (a) C = (3, 4) e r = 2. (b) C = (1, −3) e r =

√ 3.

(c) C = (−2, 3) e r = 4.

√ (d) C = (−2, −1) e r = 6. √ (e) C = (0, 0) e r = 8.

2. Determine o centro e o raio do c´ırculo de equa¸ca˜o dada: (a) x2 + y 2 − 4x + 6y + 4 = 0 (b) x2 + y 2 + 6x = 0 (c) x2 + y 2 − 10x + 6y + 4 = 0 (d) x2 + y 2 + x + y − 1 = 0 (e) 9x2 + 9y 2 − 6x + 12y − 31 = 0 213

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C´ırculo

(f) 2x2 + 2y 2 − x + y − 3 = 0 3. Determine quais dos seguintes subconjuntos do plano s˜ao c´ırculos. Caso afirmativo, ache o centro C e o raio r. Caso negativo, identifique o subconjunto. (a) S = {(x, y)| x2 + y 2 − 2x + 4y − 3 = 0}. (b) S = {(x, y)| x2 + y 2 − 4x + 6y + 9 = 0}. (c) S = {(x, y)| x2 + y 2 − 6x − 10y − 2 = 0}. (d) S = {(x, y)| 4x2 + 4y 2 − 4x + 8y − 23 = 0}. (e) S = {(x, y)| x2 + y 2 − 10x − 14y + 25 = 0}. (f) S = {(x, y)| x2 + y 2 − 2x + 4y − 7 = 0}. (g) S = {(x, y)| 4x2 + 4y 2 − 4x + 8y − 20 = 0}.

4. Determine a equa¸ca˜o do c´ırculo tal que A = (4, −3) e B = (−2, 7) s˜ao pontos diametralmente opostos.

5. Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos A e B do exerc´ıcio anterior. Com um compasso e uma r´egua, sem escala, construa o ponto m´edio do segmento AB (Veja exerc´ıcio 10 da Aula 14).

Agora desenhe o c´ırculo.

6. Determine a equa¸ca˜o do c´ırculo que satisfaz a propriedade dada: (a) Tangente a ambos os eixos coordenados, centro no primeiro quadrante e raio 2. (b) Centro em (−4, 6) passando por (1, 2). (c) Passa pelos pontos (1, 1), (1, −2) e (2, 3).

7. Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos do item (c) do exerc´ıcio anterior. Usando apenas r´egua sem escala e compasso, determine o centro do c´ırculo que passa por estes pontos, e depois desenhe o c´ırculo.

8. Escreva a equa¸ca˜o da reta tangente ao c´ırculo x2 +y 2 +14x+18y−39 = 0 no ponto do segundo quadrante deste c´ırculo, tal que x = −2.

9. Encontre a equa¸ca˜o da reta tangente ao c´ırculo x2 + y 2 = 180 que tem inclina¸ca˜o 2.

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214

C´ırculo

´ MODULO 1 - AULA 14

10. Encontre os pontos de interse¸ca˜o dos c´ırculos com equa¸co˜es x2 + y 2 − 2x = 0 e x2 + y 2 − 3y = 0.

11. Mostre que o c´ırculo x2 + y 2 + ax + by + c = 0 ´e tangente ao eixo x se, e somente se, 4c = a2 .

12. Determine o centro e o raio do c´ırculo que passa pelos pontos dados: (a) P1 = (−2, −3), Q1 = (4, −1) e R1 = (2, −2). (b) P2 = (−1, 4), Q2 = (4, 6) e R2 = (0, −7).

13. Construa um sistema de coordenadas e marque os pontos dos itens (a) e (b) do exerc´ıcio anterior. Usando apenas uma r´egua sem escala e um compasso, determine os centros C1 e C2 dos c´ırculos do exerc´ıcio anterior e desenhe-os.

14. Determine as retas tangentes ao c´ırculo x2 + y 2 = 4 que passam pelo √ √ ponto (4 2, 2 2).

15. Um ponto P do plano se move de modo que a soma dos quadrados de suas distˆancias a dois pontos fixos A e B ´e uma constante k > 0. Determine a equa¸ca˜o do lugar geom´etrico descrito pelo ponto P e identifique-o.

Sugest˜ao: Seja a = d(A, B). Considere o sistema de coordenadas com o eixo x sendo a reta que passa por A e B, com origem A e orientada de A para B. Neste sistema de coordenadas, temos A = (0, 0), B = (a, 0) e P = (x, y). Vocˆe deve considerar os casos: k <

a2 a2 a2 ,k= ek> .

2 2 2

16. Esboce os seguintes subconjuntos do plano: (a) A = { (x, y) | (x − 2)2 + (y − 3)2 > 1 }. (b) B = { (x, y) | (x − 4)2 + (y − 3)2 < 2 }. (c) C = { (x, y) | (x − 2)2 + (y − 3)2 ≤ 4 }. (d) D = A ∩ B. (e) E = A ∩ C. 17. Considere os seguintes conjuntos: A = {(x, y)| x2 + (y − 1)2 = 4}.

B = {(x, y)| (x + 1)2 + (y − 2)2 = 1}.

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C´ırculo

C = {(x, y)| x + y = 1}.

Determine os subconjuntos do plano: A ∩ B, A ∩ C e B ∩ C. 18. Desafio: Considere 2 c´ırculos de raios r e R. Quando o c´ırculo de raio r rola, sem deslizar, no exterior do c´ırculo de raio R, um ponto P fixado no c´ırculo do exterior descreve uma curva plana chamada epicicl´ oide. Considere, inicialmente, o ponto P como o ponto de contato dos 2 c´ırculos. (a) Visualize as curvas nos casos em que r = R, r = r=

R . A primeira curva ´e chamada cardi´ oide.

4

R R , r = e 2 3

(b) O que podemos afirmar sobre o ponto P , quando r = aR e a ´e um n´ umero racional?

Sugest˜ao: escreva a = primos entre si.

p , com p e q n´ umeros inteiros positivos q

(c) O que podemos afirmar sobre o ponto P , quando r = aR e a ´e um n´ umero irracional?

Auto-avalia¸ca˜o Vocˆe deve prosseguir apenas se souber identificar a equa¸ca˜o de um c´ırculo, determinando as coordenadas do centro e o raio. Sabe localizar pontos do plano com respeito a um c´ırculo? Os exerc´ıcios consolidam os conceitos aprendidos e os relacionam com outras a´reas do conhecimento!

Para melhorar a sua aprendizagem fa¸ca muitos exerc´ıcios. Vamos para a Aula 18 conhecer as belas propriedades da par´abola.

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Par´abola

´ MODULO 1 - AULA 15

Aula 15 – Par´ abola Objetivos • Descrever a par´abola como um lugar geom´etrico determinando a sua equa¸ca˜o reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo x paralelo a` diretriz e origem no v´ertice V .

Conceitos: Sistemas de coordenadas cartesianas e distˆ ancias no plano.

• Determinar as coordenadas do foco F , do v´ertice V e da diretriz .

• Esbo¸car o gr´afico da par´abola, a partir da sua equa¸ca˜o, e fazer transla¸co˜es.

Referˆ encias: Aulas 13 e 14.

• Localizar o ponto de m´aximo ou de m´ınimo e calcular o seu valor.

V´arias residˆencias tˆem antenas instaladas no telhado para recep¸ca˜o de som e imagens transmitidas por sat´elite. Todos conhecem as antenas parab´olicas. E por que usamos estas antenas? Antes de responder, precisamos conhecer as propriedades da par´ abola. A superf´ıcie da antena ´e obtida pela rota¸ca˜o de uma par´abola em torno de uma reta fixa, o seu eixo de simetria.

Os far´ois de autom´oveis e espelhos para telesc´opios astronˆomicos tamb´em tˆem superf´ıcie parab´olica. A trajet´oria seguida por v´arios objetos em movimento ´e uma par´abola. Por exemplo: uma bola de basquete quando lan¸cada na cesta, uma bola de futebol quando chutada, uma bala disparada por um rev´olver ou por um canh˜ao etc. Na Figura 15.2 vemos a trajet´oria percorrida pela bala de um canh˜ao.

Figura 15.1: rab´ olica.

Antena pa-

Figura 15.2: Trajet´ oria de uma bala de canh˜ ao.

Fixemos no plano uma reta e um ponto F n˜ao pertencente a .

A par´ abola ´e o lugar geom´etrico dos pontos P do plano eq¨ uidistantes da reta e do ponto F . A saber, par´abola={ P | d(P, F ) = d(P, ) }.

A distˆancia de um ponto a uma reta ´e definida como a menor das distˆancias de P aos pontos Q da reta. Vimos, na AULA 16, que d(P, ) = 217

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Par´abola

d(P, P ), onde P ´e o ponto de interse¸ca˜o da reta com a perpendicular a passando por P , chamado p´e da perpendicular a passando por P . Portanto, par´abola = { P | d(P, F ) = d(P, P ) }, onde P ´e o p´e da perpendicular a` reta passando por P .

Figura 15.3: Par´ abola de v´ertice V , foco F e diretriz .

A reta ´e chamada diretriz, o ponto F, foco, e o ponto V de interse¸ca˜o do eixo de simetria com a par´abola, v´ertice.

Para encontrar a equa¸ca˜o de uma par´abola, vamos fixar um sistema de coordenadas. Para isto, seja 2p, onde p > 0, a distˆancia de F a` reta .

Consideramos a origem O situada na reta perpendicular a` reta passando por F e eq¨ uidistante de F e . O eixo x ser´a a reta paralela a , com uma orienta¸ca˜o fixada. A reta perpendicular a passando por F ser´a o eixo y, com a orienta¸ca˜o conveniente (lembre-se de que girando a parte positiva do primeiro eixo, o eixo x, no sentido anti-hor´ario em torno de O, obtemos o sentido positivo do segundo eixo, o eixo y).

Figura 15.4: Par´ abola, sua diretriz e foco F , escolha dos eixos x e y, com d(F, ) = 2p.

A posi¸ca˜o relativa de F com respeito `a diretriz e a` escolha dos eixos coordenados est´a ilustrada na Figura 15.4. Observe que a origem O = (0, 0) do sistema de coordenadas constru´ıdo ´e o v´ertice da par´abola. Temos dois casos a considerar.

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Par´abola

´ MODULO 1 - AULA 15

Primeiramente, vamos determinar a equa¸caË&#x153;o da par´abola no caso em que F = (0, p) e a equa¸caË&#x153;o da reta diretriz ´e y = â&#x2C6;&#x2019;p, conforme o desenho a` esquerda da Figura 15.4. Para cada ponto P = (x, y), o ponto P â&#x2C6;&#x2C6; , p´e da perpendicular passando por P , ´e P = (x, â&#x2C6;&#x2019;p).

Portanto, um ponto P = (x, y) pertence a` par´abola â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

d(P, F ) = d(P, P ) d((x, y), (0, p)) = d((x, y), (x, â&#x2C6;&#x2019;p))

(x â&#x2C6;&#x2019; 0)2 + (y â&#x2C6;&#x2019; p)2 = (x â&#x2C6;&#x2019; x)2 + (y â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;p))2

x2 + (y â&#x2C6;&#x2019; p)2 = (y + p)2 , elevando ao quadrado, x2 + (y â&#x2C6;&#x2019; p)2 = (y + p)2 , desenvolvendo os quadrados, x2 + y 2 â&#x2C6;&#x2019; 2py + p2 = y 2 + 2py + p2 , somando â&#x2C6;&#x2019;y 2 â&#x2C6;&#x2019; p2 + 2py x2 = 4py.

2

Como p > 0 e x2 â&#x2030;Ľ 0 para todo x â&#x2C6;&#x2C6; R, temos y = x4p â&#x2030;Ľ 0. Logo, os pontos da par´abola diferentes da origem estË&#x153;ao acima do eixo x.

O gr´aďŹ co desta equa¸caË&#x153;o, ilustrado na Figura 15.5, ´e

2 2 2 x, x4p | x â&#x2C6;&#x2C6; R .

Graf(y = x4p ) = (x, y) | y = x4p = Na Figura 15.6 estË&#x153;ao os gr´aďŹ cos das par´abolas y = y = 2x2 .

Figura 15.5: Par´ abola y = foco F = (0, p).

x2 4p

com

x2 , 4

y = x2 e

Figura 15.6: Par´ abolas y = x2 e y = 2x2 .

x2 4 ,

y =

Exemplo 15.1 Vamos encontrar as coordenadas do foco e a equa¸caË&#x153;o da diretriz da par´abola 1 y = 41 x2 . Escrevendo 14 = 4p , obtemos 4p = 4, logo p = 1. EntË&#x153;ao, o foco ´e F = (0, p) = (0, 1) e a diretriz ´e y = â&#x2C6;&#x2019;p = â&#x2C6;&#x2019;1.

Consideremos, agora, o caso em que F = (0, â&#x2C6;&#x2019;p) e a equa¸caË&#x153;o da reta diretriz ´e y = p, conforme o desenho a` direita da Figura 15.4.

219

CEDERJ

Par´abola

Para cada ponto P = (x, y), o ponto P â&#x2C6;&#x2C6; , p´e da perpendicular passando por P , ´e P = (x, p).

Portanto, um ponto P = (x, y) pertence a` par´abola â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

d(P, F ) = d(P, P )

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

d((x, y), (0, â&#x2C6;&#x2019;p)) = d((x, y), (x, p))

(x â&#x2C6;&#x2019; 0)2 + (y â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;p))2 = (x â&#x2C6;&#x2019; x)2 + (y â&#x2C6;&#x2019; p)2

x2 + (y + p)2 = (y â&#x2C6;&#x2019; p)2 , elevando ao quadrado,

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

x2 + (y + p)2 = (y â&#x2C6;&#x2019; p)2 , desenvolvendo os quadrados,

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

x2 + y 2 + 2py + p2 = y 2 â&#x2C6;&#x2019; 2py + p2 , somando â&#x2C6;&#x2019;y 2 â&#x2C6;&#x2019; p2 â&#x2C6;&#x2019; 2py,

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

x2 = â&#x2C6;&#x2019;4py.

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

2

â&#x2030;¤ 0. Logo, os Como â&#x2C6;&#x2019;p < 0 e x2 â&#x2030;Ľ 0 para todo x â&#x2C6;&#x2C6; R, temos y = â&#x2C6;&#x2019;x 4p pontos da par´abola diferentes da origem estË&#x153;ao abaixo do eixo x.

O gr´aďŹ co desta equa¸caË&#x153;o, ilustrado na Figura 15.7, ´e

2 â&#x2C6;&#x2019;x2 â&#x2C6;&#x2019;x2 = x, | x â&#x2C6;&#x2C6; R .

Graf(y = â&#x2C6;&#x2019;x ) = (x, y) | y = 4p 4p 4p

Figura 15.7: Par´ abola y =

â&#x2C6;&#x2019;x2 4p .

Exemplo 15.2 Vamos determinar as coordenadas do foco e a equa¸caË&#x153;o da diretriz da par´abola 1 de equa¸caË&#x153;o y = â&#x2C6;&#x2019;2x2 . Escrevendo â&#x2C6;&#x2019;2 = â&#x2C6;&#x2019; 4p , obtemos p = 18 . EntË&#x153;ao, F = (0, â&#x2C6;&#x2019;p) = (0, â&#x2C6;&#x2019; 18 ) e a equa¸caË&#x153;o da diretriz ´e y = p = 18 .

Exemplo 15.3 Qual ´e a equa¸caË&#x153;o da par´abola com foco F = (0, â&#x2C6;&#x2019; 52 ) e v´ertice V = (0, 0)?

2 Escrevendo a equa¸caË&#x153;o da par´abola na forma reduzida y = â&#x2C6;&#x2019;x , sabendo que 4p 5 5 5 1 1 F = (0, â&#x2C6;&#x2019;p), temos que â&#x2C6;&#x2019;p = â&#x2C6;&#x2019; 2 . Logo, p = 2 , 4p = 4 ¡ 2 = 10, 4p = 10 e 2 2 â&#x2C6;&#x2019;x â&#x2C6;&#x2019;x y = 4p = 10 .

CEDERJ

220

Par´abola

´ MODULO 1 - AULA 15

Nos dois casos considerados a equa¸ca˜o da par´abola na forma reduzida ´e y = ax2 , onde a ∈ R e a = 0 1 1 o foco ´e F = (0, 4a ) e a equa¸ca˜o da diretriz ´e y = − 4a .

O gr´afico da equa¸ca˜o ´e Graf(y = ax2 ) = { (x, y) | y = ax2 } = { (x, ax2 ) | x ∈ R }.

Observe, na Figura 15.8, como o gr´afico desta equa¸ca˜o se comporta, em termos do n´ umero real a.

Figura 15.8: A par´ abola y = ax2 , para a > 0 e a < 0.

Exemplo 15.4 Qual ´e o subconjunto C = {(x, y)| y = 2x2 − 12x + 16}?

Para identificar este subconjunto do plano, vamos tentar escrever a equa¸ca˜o que relaciona as vari´aveis x e y, na forma reduzida da equa¸ca˜o da par´abola. y

= = = = =

2x2 − 12x + 16, colocando 2 em evidˆencia, 2(x2 − 6x + 8), completando o quadrado do polinˆomio em x, 2((x2 − 6x + 9) − 9 + 8), 2((x − 3)2 − 1), fazendo o produto por 2, 2(x − 3)2 − 2.

Desta maneira, obtemos y + 2 = 2(x − 3)2 . Esta equa¸ca˜o ´e de uma par´abola.

Por quˆe? Sabemos que y = 2x2 ´e uma par´abola com v´ertice V = (0, 0), foco 1 1 1 F = (0, 4a ) = (0, 4·2 ) = (0, 18 ), diretriz y = − 4a = − 18 e o eixo de simetria ´e x = 0. Quando esta par´abola ´e transladada de h = 3 unidades horizontalmente e de k = −2 unidades verticalmente, uma par´abola congruente ´e obtida tendo equa¸ca˜o y − k = 2(x − h)2 , que ´e equivalente a y + 2 = 2(x − 3)2 .

A Figura 15.9 ilustra o gr´afico destas duas par´abolas.

221

CEDERJ

Par´abola

Figura 15.9: Par´ abolas y = 2x2 e y + 2 = 2(x − 3)2 .

y + 2 = 2(x − 3)2

y = 2x2

v´ertice: (0, 0) −→ (h, k) = (3, −2) 1 1 1 foco: (0, 4a ) = (0, 8 ) −→ (h, k + 4a ) = (3, −2 + 18 ) = (3, − 15 ) 8 1 1 1 1 17 diretriz: y = − 4a = − 8 −→ y = k − 4a = −2 − 8 = − 8 eixo de simetria: x=0 −→ x=h=3

Duas figuras s˜ ao congruentes se deslocando uma delas podemos fazer coincidir uma com a outra.

De modo geral, a par´abola y = ax2 tem v´ertice (0, 0) e eixo de simetria x = 0.

Quando esta par´abola ´e transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, uma par´abola congruente ´e obtida, tendo equa¸ca˜o y − k = a(x − h)2 .

A figura ao lado ilustra esta transla¸ca˜o. O v´ertice O = (0, 0) ´e transladado para (h, k) Figura 15.10: y = ax2 e y − k = 2 e o foco, a diretriz e o eixo de simetria s˜ao a(x − h) . transladados como indicado a seguir: y − k = a(x − h)2

y = ax2 v´ertice: foco: diretriz: eixo de simetria:

(0, 0)

−→

1 ) (0, 4a

−→

(h, k +

1 y = − 4a

−→

y=k

x=0

−→

(h, k) 1 ) 4a 1 − 4a

x=h

Observe que no v´ertice (h, k) temos x0 = h e y0 = k, onde k ´e o valor m´ınimo ou m´aximo de y, para todo P = (x, y) que est´a na par´abola de equa¸ca˜o y − k = a(x − h)2 . Pois: (i) Se a > 0, ent˜ao a par´abola est´a voltada para cima e y = a(x − h)2 + k ≥ 0 + k = a(h − h)2 + k = a(x0 − h)2 + k = y0 , CEDERJ

222

Par´abola

´ MODULO 1 - AULA 15

logo y ≥ y0 , portanto k ´e o valor m´ınimo de y. (ii) Se a < 0, ent˜ao a par´abola est´a voltada para baixo e y = a(x − h)2 + k ≤ 0 + k = a(h − h)2 + k = a(x0 − h)2 + k = y0 , logo y ≤ y0 , portanto k ´e o valor m´aximo de y.

Resumo Vocˆe aprendeu a descrever a par´abola como um lugar geom´etrico, a determinar a sua equa¸ca˜o reduzida, a partir da sua propriedade geom´etrica, no sistema de coordenadas com origem no v´ertice, eixo x paralelo a` diretriz e eixo y como o eixo de simetria; a esbo¸car o seu gr´afico; a fazer transla¸co˜es; a determinar as coordenadas do foco F , do v´ertice V e a equa¸ca˜o da diretriz , a partir da equa¸ca˜o reduzida; a determinar o ponto de m´aximo ou m´ınimo e o seu valor m´aximo ou m´ınimo, respectivamente, x0 = h e y0 = k, onde V = (h, k).

Exerc´ıcios 1. Determine o foco, a equa¸ca˜o da diretriz e esboce o gr´afico de cada uma das seguintes par´abolas: (a) y = 8x2

(d) y = −16x2

(b) y = −8x2

(e) 2y = 5x2

(c) y = 16x2

(f) −2y = 5x2

1 2 x =0 16 3 (h) y = x2 4 5 (i) y = − x2 4

(g) y −

2. Determine a equa¸ca˜o reduzida da par´abola, o v´ertice, a equa¸ca˜o da diretriz, a equa¸ca˜o do eixo de simetria e esboce o gr´afico. (a) y = 14 x2 − x + 4

(d) 20y − x2 + 2x + 39 = 0

(b) 8y + x2 + 4x + 12 = 0

(e) y = 2x − x2

(c) −2y = x2 + 4x − 4

(f) x2 + 6x − 8y + 17 = 0

3. Determine o valor de x para o qual y assume o valor m´aximo ou m´ınimo, em cada uma das par´abolas do exerc´ıcio anterior.

4. Determine a equa¸ca˜o reduzida da par´abola que satisfaz a propriedade dada e esboce o gr´afico: 223

CEDERJ

Par´abola

3 4

3 4

(a) Foco F = (0, − ) e diretriz y = .

5 8 3 (c) Diretriz y = e v´ertice (0, 0).

2

(b) Foco F = (0, ) e v´ertice (0, 0).

(d) V´ertice (2, −5) e diretriz y = −7. (e) V´ertice (0, 0), eixo de simetria vertical e o ponto (2, −2) est´a na par´abola. (f) V´ertice (0, 0), eixo de simetria x = 0 e passa pelo ponto (2, −3). (g) Foco F = (4, −5) e diretriz y = 1. (h) V´ertice (4, 1) e diretriz y = −3.

5. Determine a interse¸ca˜o da par´abola com o eixo y: (a) y = 14 x2 − x + 4

(d) 20y − x2 + 2x + 39 = 0

(b) 8y + x2 + 4x + 12 = 0

(e) y = 2x − x2

(c) −2y = x2 + 4x − 4

(f) x2 + 6x − 8y + 17 = 0

6. Esboce os subconjuntos do plano: A par´ abola y = ax2 + bx + c, assim como uma reta n˜ ao-vertical, divide o plano em dois subconjuntos disjuntos: os pontos acima (y > ax2 + bx + c) e os pontos abaixo da par´ abola (y < ax2 + bx + c).

(a) A = { (x, y) | 2x − 3 ≤ y < 4x − x2 }. (b) B = { (x, y) | x2 − 2x ≤ y < 4x − x2 }. (c) C = { (x, y) | − 2x + 8 ≤ y ≤ x2 }. (d) D = { (x, y) | x2 − 2 ≤ y < −2x2 + 6x + 7 }.

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe souber determinar o v´ertice, o foco e a equa¸ca˜o da diretriz da par´abola, a partir da sua equa¸ca˜o reduzida e esbo¸car o seu gr´afico, ent˜ao ´ claro que resolveu os exerc´ıcios 1 a 5! pode passar para a pr´oxima aula. E Vamos para a Aula 19. Continuaremos a estudar a par´abola e aprenderemos a sua propriedade reflexiva!

CEDERJ

224

Par´abola - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 16

Aula 16 – Par´ abola - continua¸ c˜ ao Objetivos • Descrever a par´abola como um lugar geom´etrico, determinando a sua equa¸ca˜o reduzida nos sistemas de coordenadas com eixo y paralelo a` diretriz , eixo x como eixo de simetria e origem no v´ertice V .

• Determinar as coordenadas do foco F , do v´ertice V e da diretriz .

Conceitos: Sistemas de coordenadas cartesianas e distˆ ancias no plano.

• Esbo¸car o gr´afico da par´abola, a partir da sua equa¸ca˜o.

• Fazer transla¸co˜es.

Referˆ encias: Aulas 13 e 14.

• Aprender a propriedade reflexiva da par´abola.

Na aula anterior encontramos uma equa¸ca˜o reduzida da par´abola quando o seu eixo de simetria ´e o eixo y, o eixo x ´e paralelo a` diretriz e a origem ´e o v´ertice. Poder´ıamos ter procedido de outra maneira. Vamos construir outro sistema de coordenadas e escrever equa¸co˜es reduzidas para a par´abola.

Para isto, seja ainda 2p, onde p > 0, a distˆancia do foco F a` reta diretriz .

Consideramos a origem O situada na reta perpendicular a` reta passando por F e eq¨ uidistante de F e . A reta perpendicular a passando por F ser´a o eixo x com uma orienta¸ca˜o fixada. O eixo y ser´a a reta paralela a , com a orienta¸ca˜o conveniente (lembre-se que girando a parte positiva do primeiro eixo, o eixo x, no sentido anti-hor´ario em torno de O, obtemos o sentido positivo do segundo eixo, o eixo y). A posi¸ca˜o relativa de F , com respeito a` diretriz e a` escolha dos eixos coordenados, est´a ilustrada na Figura 16.1.

Figura 16.1: Sistemas de coordenadas com eixo y paralelo a` diretriz.

Observe que a origem O = (0, 0) do sistema de coordenadas constru´ıdo ´e novamente o v´ertice V da par´abola.

Temos dois casos a considerar, conforme a Figura 16.1.

225

CEDERJ

Par´abola - continua¸cË&#x153;ao

Primeiramente, vamos determinar a equa¸caË&#x153;o da par´abola no caso em que F = (p, 0) e a equa¸caË&#x153;o da reta diretriz ´e x = â&#x2C6;&#x2019;p, conforme o desenho a` esquerda da Figura 16.1. Para cada ponto P = (x, y), o ponto P â&#x2C6;&#x2C6; , p´e da perpendicular passando por P , ´e P = (â&#x2C6;&#x2019;p, y).

Portanto, um ponto P = (x, y) pertence a` par´abola â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

d(P, F ) = d(P, P )

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

d((x, y), (p, 0)) = d((x, y), (â&#x2C6;&#x2019;p, y))

(x â&#x2C6;&#x2019; p)2 + (y â&#x2C6;&#x2019; 0)2 = (x â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;p))2 + (y â&#x2C6;&#x2019; y))2

(x â&#x2C6;&#x2019; p)2 + y 2 = (x + p)2 , elevando ao quadrado ambos os

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

membros da igualdade, â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

(x â&#x2C6;&#x2019; p)2 + y 2 = (x + p)2 , desenvolvendo ambos os membros da igualdade,

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

x2 â&#x2C6;&#x2019; 2px + p2 + y 2 = x2 + 2px + p2 , somando â&#x2C6;&#x2019;x2 + 2px â&#x2C6;&#x2019; p2 a ambos os membros da igualdade,

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

y 2 = 4px.

2

Como p > 0 e y 2 â&#x2030;Ľ 0 para todo y â&#x2C6;&#x2C6; R, temos x = y4p â&#x2030;Ľ 0. Logo, os pontos da par´abola diferentes da origem estË&#x153;ao a` direita do eixo y.

O gr´aďŹ co desta equa¸caË&#x153;o, ilustrado na Figura 16.2, ´e:

2

2 y Graf(y 2 = 4px) = (x, y) | x = y4p = , y | y â&#x2C6;&#x2C6; R .

4p Na Figura 16.3 estË&#x153;ao os gr´aďŹ cos das par´abolas: x = x = 2y 2.

y2 , 4

x = y2 e

Exemplo 16.1 Vamos encontrar as coordenadas do foco e a equa¸caË&#x153;o da diretriz da par´abola 1 x = 14 y 2 . Escrevendo 14 = 4p , obtemos 4p = 4, logo p = 1. EntË&#x153;ao, o foco ´e F = (p, 0) = (1, 0) e a diretriz ´e x = â&#x2C6;&#x2019;p = â&#x2C6;&#x2019;1.

Consideremos, agora, o caso em que F = (â&#x2C6;&#x2019;p, 0) e a equa¸caË&#x153;o da reta diretriz ´e x = p, conforme o desenho a` direita da Figura 16.1. Para cada ponto P = (x, y), o ponto P â&#x2C6;&#x2C6; , p´e da perpendicular passando por P , ´e P = (p, y).

CEDERJ

226

Par´abola - continua¸cË&#x153;ao

Figura 16.2: Par´ abola x = foco F = (p, 0).

y2 4p

com

´ MODULO 1 - AULA 16

Figura 16.3: Gr´ aďŹ cos de x = e x = 2y 2 .

y2 4 ,

x = y2

Portanto, um ponto P = (x, y) pertence a` par´abola â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; d(P, F ) = d(P, P ) â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; d((x, y), (â&#x2C6;&#x2019;p, 0)) = d((x, y), (p, y))

(x â&#x2C6;&#x2019; (â&#x2C6;&#x2019;p))2 + (y â&#x2C6;&#x2019; 0)2 = (x â&#x2C6;&#x2019; p)2 + (y â&#x2C6;&#x2019; y)2 â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; (x + p)2 + y 2 = (x â&#x2C6;&#x2019; p)2 , elevando ao quadrado ambos os membros da igualdade, â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; (x + p)2 + y 2 = (x â&#x2C6;&#x2019; p)2 , desenvolvendo ambos os membros da igualdade, â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; x2 + 2px + p2 + y 2 = x2 â&#x2C6;&#x2019; 2px + p2 , somando â&#x2C6;&#x2019;x2 â&#x2C6;&#x2019; 2px â&#x2C6;&#x2019; p2 , â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019; y 2 = â&#x2C6;&#x2019;4px.

2

Como â&#x2C6;&#x2019;p < 0 e y 2 â&#x2030;Ľ 0 para todo y â&#x2C6;&#x2C6; R, temos x = â&#x2C6;&#x2019;y â&#x2030;¤ 0. Logo, os 4p pontos da par´abola diferentes da origem estË&#x153;ao a` esquerda do eixo y.

O gr´aďŹ co desta equa¸caË&#x153;o, ilustrado na Figura 16.4, ´e: Graf(y 2 = â&#x2C6;&#x2019;4px) =

(x, y) | x =

â&#x2C6;&#x2019;y 2 4p

=

â&#x2C6;&#x2019;y 2 ,y 4p

|yâ&#x2C6;&#x2C6;R .

Exemplo 16.2 Vamos determinar as coordenadas do foco e a equa¸caË&#x153;o da diretriz da par´abola 1 de equa¸caË&#x153;o x = â&#x2C6;&#x2019;2y 2 . Escrevendo â&#x2C6;&#x2019;2 = â&#x2C6;&#x2019; 4p , obtemos p = 18 . EntË&#x153;ao, F = (â&#x2C6;&#x2019;p, 0) = (â&#x2C6;&#x2019; 18 , 0) e a equa¸caË&#x153;o da diretriz ´e x = p = 18 .

Exemplo 16.3 Qual ´e a equa¸caË&#x153;o da par´abola com foco F = (â&#x2C6;&#x2019; 32 , 0) e v´ertice V = (0, 0)?

227

CEDERJ

Par´abola - continua¸c˜ao

Figura 16.4: Par´ abola x =

−y 2 4p

com foco F = (−p, 0) e v´ertice V = (0, 0).

2

Escrevendo a equa¸ca˜o da par´abola na forma reduzida x = −y e sabendo 4p 3 3 3 1 que F = (−p, 0), temos −p = − 2 . Logo, p = 2 , 4p = 4 · 2 = 6, 4p = 16 e x=

−y 2 4·p

=

−y 2 .

6

Nos dois casos, a equa¸ca˜o da par´abola na forma reduzida ´e: x = ay 2, onde a ∈ R e a = 0.

1 1 Note que esta par´abola tem foco F = ( 4a , 0), diretriz x = − 4a e o seu gr´afico ´e:

Graf(x = ay 2 ) = {(x, y)| x = ay 2 } = {(ay 2, y)| y ∈ R}.

Observe, na Figura 16.5, como o gr´afico desta equa¸ca˜o se comporta, em termos do n´ umero real a. A par´abola est´a voltada para a direita quando a > 0 e, para a esquerda, quando a < 0.

Figura 16.5: Par´ abolas x = ay 2 , com a > 0 e a < 0.

CEDERJ

228

Figura 16.6: Par´ abolas x = ay 2 e x − h = a(y − k)2 , com a > 0.

Par´abola - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 16

De modo geral, a par´abola x = ay 2 tem v´ertice (0, 0) e eixo de simetria y = 0. Quando esta par´abola ´e transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, obtemos uma par´abola congruente de equa¸ca˜o x − h = a(y − k)2 . Na Figura 16.6 est˜ao esbo¸cados os gr´aficos das par´abolas x = ay 2 e x − h = a(y − k)2 , com a > 0.

O v´ertice (0, 0) ´e transladado para (h, k) e o foco, a diretriz e o eixo de simetria s˜ao transladados como indicado a seguir: x − h = a(y − k)2

x = ay 2 v´ertice: foco: diretriz: eixo de simetria:

(0, 0) 1 ( , 0) 4a 1 x=− 4a y=0

−→ −→ −→ −→

(h, k) 1 (h + , k) 4a 1 x=h− 4a y=k

Exemplo 16.4 Qual ´e a equa¸ca˜o reduzida da par´abola com v´ertice V = (−3, −2) e diretriz x = − 92 ?

Sendo a diretriz uma reta vertical, a equa¸ca˜o da par´abola ´e da forma x − h = a(y − k)2 , onde (h, k) = (−3, −2).

1 9 1 9 = − , obtemos − = − −h = 4a 2 4a 2 9 3 2 1 − + 3 = − . Logo, 4a = e, portanto, a = . Assim, a equa¸ca˜o reduzida 2 2 3 6 1 1 2 da par´abola ´e x − (−3) = (y − (−2)) , que ´e equivalente a x + 3 = (y + 2)2.

6 6

Escrevendo a equa¸ca˜o da diretriz x = h−

Agora j´a sabemos identificar a equa¸ca˜o da par´abola na forma reduzida.

Na pr´atica, as aplica¸co˜es da par´abola s˜ao decorrˆencia da sua propriedade de reflex˜ao: se uma fonte de luz for colocada no foco F , ent˜ao os raios que esta fonte irradia incidem na par´abola e s˜ao refletidos ao longo de retas paralelas ao eixo de simetria.

Figura 16.7: Linhas paralelas ao eixo focal s˜ao refletidas pela par´ abola em linhas que passam pelo foco.

229

CEDERJ

Par´abola - continua¸c˜ao

Um holofote ou um farol de autom´ovel utilizam este princ´ıpio numa superf´ıcie parab´ olica espelhada por dentro.

Esta superf´ıcie, chamada parabol´ oide, ´e obtida pela rota¸ca˜o da par´abola em torno do seu eixo de simetria e se constitui de uma infinidade de par´abolas com mesmo foco e mesmo eixo de simetria, conforme a Figura 16.8.

Figura 16.8: Parabol´ oide.

As antenas parab´olicas s˜ao utilizadas para amplificar os sinais captados, concentrando-os no foco. Os sinais incidem no parabol´oide, a superf´ıcie da antena, paralelos ao eixo de simetria, refletindo para o foco.

Resumo Vocˆe aprendeu a determinar a equa¸ca˜o reduzida da par´abola, a partir da sua propriedade geom´etrica, no sistema de coordenadas com origem no v´ertice, eixo y paralelo a` diretriz e eixo x como o eixo de simetria ou eixo focal; a esbo¸car o gr´afico da par´abola; a fazer transla¸co˜es; a determinar as coordenadas do foco F , do v´ertice V e a equa¸ca˜o da diretriz , a partir da equa¸ca˜o da par´abola, al´em da propriedade reflexiva da par´abola.

Exerc´ıcios 1. Determine o v´ertice, o foco, a equa¸ca˜o da diretriz, o eixo de simetria e trace o gr´afico das par´abolas:

CEDERJ

230

(a) x = 6y 2 √ (b) 2x = 2y 2

(d) x = y 2 − 3y + 4

(c) x = y 2 − 2y + 1

(f) x = −y 2 − 4y + 7

(e) x = y 2 + 2y + 5

Par´abola - continua¸c˜ao

(g) x = −2y 2 + 4y − 5

´ MODULO 1 - AULA 16

(h) 8x + y 2 − 4y − 20 = 0

2. Determine o ponto de interse¸ca˜o de cada uma das par´abolas do exerc´ıcio anterior com o eixo x. Lembre que a equa¸ca˜o do eixo x ´e y = 0.

3. Determine a equa¸ca˜o reduzida da par´abola que satisfaz a propriedade dada e esboce o gr´afico: 3 4

3 4

(a) Foco F = (− , 0) e diretriz x = . (b) Foco F = (1, 0) e v´ertice (0, 0). (c) Diretriz x =

3 e v´ertice (0, 0).

2

(d) V´ertice (−1, −3) e diretriz x = −3. (e) V´ertice (0, 1), eixo de simetria horizontal e o ponto (−2, 2) est´a na par´abola. (f) V´ertice (0, 0), eixo de simetria y = 0 e passa pelo ponto (2, −3). (g) Foco F = (4, −5) e diretriz x = 1. (h) V´ertice (4, 1) e diretriz x = −3.

4. Esboce os subconjuntos do plano: (a) A = { (x, y) | − y + 3 ≤ x < 2y }.

2

(b) B = { (x, y) | y 2 − 2y ≤ x < 4y − y 2 }. (c) C = { (x, y) | y 2 − 2y ≤ x ≤ −y 2 + y − 1 }. (d) D = { (x, y) | y 2 − 2 ≤ x < −2y 2 + 6y + 7 }.

A par´ abola x = ay 2 + by + c, assim como uma reta vertical, divide o plano em dois subconjuntos disjuntos: os pontos ` a direita (x > ay 2 + by + c) e os pontos a ` esquerda da par´ abola (x < ay 2 + by + c).

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe souber determinar o v´ertice, o foco e a equa¸ca˜o da diretriz da par´abola, a partir da sua equa¸ca˜o, e esbo¸car o seu gr´afico, ent˜ao pode passar ´ claro que resolveu os exerc´ıcios 1 a 4! Vamos para para a pr´oxima aula. E a Aula 20, onde h´a interessantes aplica¸co˜es relacionando as propriedades do gr´afico da par´abola com problemas do nosso cotidiano.

231

CEDERJ

Par´abola - aplica¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 17

Aula 17 – Par´ abola - aplica¸co ˜es Objetivos • Expressar o v´ertice da par´abola em termos do discriminante e dos coeficientes da equa¸ca˜o quadr´atica.

• Expressar as ra´ızes das equa¸co˜es quadr´aticas em termos do discri-

Conceitos: Desigualdades e a equa¸ca ˜o da par´ abola.

minante e dos coeficientes da equa¸ca˜o quadr´atica.

• Estudar o sinal das equa¸co˜es quadr´aticas.

Referˆ encias: Aulas 11 e 18.

• Resolver problemas modelados por equa¸co˜es quadr´aticas.

At´e aqui estudamos a par´abola sob o ponto de vista geom´etrico. As t´ecnicas gr´aficas e alg´ebricas, desenvolvidas no estudo da curva plana par´abola, podem ser usadas para resolver uma grande variedade de problemas que envolvem equa¸co˜es quadr´ aticas, isto ´e, equa¸co˜es do segundo grau. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 17.1 A estimativa ´e que 14.000 pessoas assistir˜ao a uma partida de futebol com o ingresso a R$ 7, 00. Para cada R$ 0, 25 adicionados ao pre¸co do ingresso, o n´ umero de pessoas que vai ao est´adio decresce de 280. Qual deve ser o pre¸co do ingresso para que a renda do jogo seja a maior poss´ıvel?

Para equacionar este problema, chamamos de x o n´ umero de vezes que R$ 0, 25 ´e adicionado ao pre¸co do ingresso, e de y a renda do jogo. Ent˜ao, y = (7 + 0, 25x)(14.000 − 280x) = −70x2 + 1.540x + 98.000.

Portanto, determinar o pre¸co do ingresso para que a renda seja a maior poss´ıvel ´e equivalente a calcular o valor de x, tal que y assuma um valor m´aximo.

Exemplo 17.2 Um peda¸co de papel˜ao retangular tem o comprimento 20 cm maior do que a largura. Ser´a constru´ıda uma caixa sem tampa, cortando 4 quadrados iguais dos v´ertices do papel˜ao. Quais as dimens˜oes do papel˜ao para que o volume da caixa seja de 11, 25 dm3 , sabendo que o lado do quadrado ´e de 10 cm?

Antes de mais nada, devemos considerar os seguintes passos: (1) Selecionar as informa¸co˜es necess´arias do enunciado.

(2) Representar a informa¸ca˜o algebricamente.

(3) Desenhar uma figura que ilustre a situa¸ca˜o.

(4) Escrever e resolver uma equa¸ca˜o.

(5) Interpretar a solu¸ca˜o que satisfa¸ca as condi¸co˜es do problema.

233

CEDERJ

Par´abola - aplica¸co˜es

Seguindo este roteiro, vamos solucionar o problema.

Seja x a largura do papel˜ao em cm. Ent˜ao, o comprimento do papel˜ao ´e x + 20.

Figura 17.1: Montando a caixa de papel˜ ao.

As dimens˜oes da caixa, em cent´ımetros, s˜ao x − 20, x e 10. Portanto, o volume da caixa, em cent´ımetros c´ ubicos, ´e 11.250 = 10x(x − 20) = 10(x2 − 20x).

Dividindo ambos os membros desta igualdade por 10, obtemos 1.125 = x2 − 20x, que ´e equivalente a x2 − 20x − 1.125 = 0.

A solu¸ca˜o deste problema ´e a determina¸ca˜o das ra´ızes do polinˆomio f (x) = x2 − 20x − 1.125 que, geometricamente, significa calcular os pontos de interse¸ca˜o do gr´afico da par´abola y = x2 − 20x − 1.125 com o eixo x.

Os exemplos 17.1 e 17.2 ilustram a importˆancia, na pr´atica, do conhecimento do gr´afico da curva y = ax2 + bx + c, onde a, b, c s˜ao n´ umeros reais fixados com a = 0, junto com o estudo das ra´ızes e o sinal do trinˆ omio do segundo grau.

As seguintes propriedades s˜ao fundamentais: • O v´ertice V = (x0 , y0) da par´abola ´e o ponto onde y assume: (a) o valor m´ınimo y0 para todo x ∈ R, quando a > 0. (b) o valor m´aximo y0 para todo x ∈ R, quando a < 0.

• Para que valores de x temos y = 0? Ou ent˜ao, quais os pontos de interse¸ca˜o do gr´afico da par´abola com o eixo x, ou quais as ra´ızes do polinˆomio f (x) = ax2 + bx + c?

• Para que valores de x temos y < 0 e para que valores de x temos y > 0?

Ou ainda, para que valores de x o gr´afico da par´abola est´a abaixo ou acima do eixo x? Isto ´e, como o sinal de y depende de x?

Antes de prosseguir, fa¸ca os gr´aficos de y = x2 − 4x + 3, y = x2 − 4x + 4, y = x2 − 4x + 5, y = −x2 + 4x − 3, y = −x2 + 4x − 4 e y = −x2 + 4x − 5, CEDERJ

234

Par´abola - aplica¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 17

determinando os seus v´ertices. Analise as propriedades anteriores, em cada uma destas par´abolas.

Seja y = ax2 + bx + c, onde a = 0 e a, b e c s˜ao n´ umeros reais fixados.

Como expressamos o v´ertice da par´abola V = (x0 , y0) em termos de a, b e c? Para responder a esta quest˜ao, escrevemos: y

= ax2 + bx + c, colocando a em evidˆencia, = a(x2 + ab x + ac ), completando o quadrado do polinˆomio, b2 ) 4a2

= a((x2 + ab x + = a((x + = a(x +

b 2 ) 2a

b 2 ) 2a

−

−

−

b2 4a2

b2 −4ac ), 4a2

+ ac ),

multiplicando por a,

b2 −4ac .

4a

Portanto,

b2 − 4ac b =a x+ y+ 4a 2a

2 .

Lembre primeiro que o quadrado da express˜ ao x + u ´ e, em virtude da propriedade distributiva das opera¸co ˜es em R: (x + u)2 = x2 + 2ux + u2 , quaisquer que sejam os n´ umeros reais x e u. Em particular, fazendo 2u = ab temos (x +

b 2 ) 2a

= x2 +

b x a

+

b2 .

4a2

Definindo Δ = b2 − 4ac, reescrevemos a igualdade anterior como 2

Δ b y+ =a x+ .

4a

2a

Assim, conclu´ımos que o v´ertice ´e

V = (x0 , y0) =

−b −Δ . , 2a 4a

A express˜ao Δ = b2 −4ac ´e chamada o discriminante de y = ax2 +bx+c.

Reescrevemos, em termos do discriminante, o resultado da Aula 18 sobre o valor m´aximo ou o valor m´ınimo como: (i) Se a > 0, ent˜ao em x0 = −b temos que y0 = −Δ ´e o valor m´ınimo de 2a 4a y, para todo x ∈ R.

Δ b 2 De fato, y + 4a = a x + 2a ≥ 0, para todo x ∈ R. Somando −Δ em 4a −Δ ambos os membros da desigualdade anterior, obtemos y ≥ 4a = y0 , para todo x ∈ R. Deste modo, vemos que y0 = −Δ ´e o menor valor de y, que ´e 4a −b assumido em x0 = 2a .

Lembre que ...

A par´ abola y − y0 = a(x − x0 )2 est´ a voltada para cima quando a > 0 e, para baixo, quando a < 0.

(ii) Se a < 0, ent˜ao em x0 = −b temos que y0 = −Δ ´e o valor m´aximo 2a 4a de y, para todo x ∈ R.

Δ b 2 De fato, y + 4a = a x + 2a ≤ 0, para todo x ∈ R. Somando −Δ em 4a ambos os membros da desigualdade anterior, obtemos y ≤ −Δ = y0 , para 4a −Δ todo x ∈ R. Ent˜ao, y0 = 4a ´e o maior valor de y, que ´e assumido em x0 = −b .

2a 235

CEDERJ

Par´abola - aplica¸co˜es

Agora podemos resolver o primeiro exemplo desta aula.

Solu¸ca˜o do Exemplo 17.1: Como a = −70 < 0, a renda y = −70x2 + 1.540x + 98.000 assume um −b −1.540 1.540 valor m´aximo no v´ertice da par´abola x0 = = = = 11.

2 · (−70)

2a

140

Portanto, o valor do ingresso deve ser de 7 + 0, 25 · 11 = 7 + 2, 75 = 9, 75 reais.

Para saber o valor da renda m´axima, calcule:

−Δ −(1.5402 − 4 · (−70) · 98.000) = .

4a 4 · (−70)

Nas Figuras 17.2, 17.3 e 17.4 ilustramos os gr´aficos de par´abolas com a > 0.

Figura 17.2: y = x2 − 4x + 3, Δ = 4.

Figura 17.3: y = x2 − 4x + 4, Δ = 0.

Figura 17.4: y = x2 −4x+ 5, Δ = −4.

Nas Figuras 17.5, 17.6 e 17.7 ilustramos os gr´aficos de par´abolas com a < 0.

Figura 17.5: y = −x2 + 4x − 3, Δ = 4.

CEDERJ

236

Figura 17.6: y = −x2 + 4x − 4, Δ = 0.

Figura 17.7: y = −x2 +4x− 5, Δ = −4.

Par´abola - aplica¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 17

Conforme vocˆe vˆe nos gr´aficos acima, quando a par´abola tem o v´ertice abaixo do eixo x e est´a voltada para cima, ou tem o v´ertice acima do eixo x e est´a voltada para baixo, o seu gr´afico intersecta o eixo x. Isto significa que y = ax2 + bx + c assume valores positivos, nulos e negativos. Os valores de x tais que ax2 + bx + c = 0 s˜ao chamados de ra´ızes da equa¸ca˜o ax2 + bx + c.

Faremos uma an´alise do sinal da express˜ao ax2 + bx + c, onde a, b, c s˜ao n´ umeros reais fixos e a = 0.

O problema fundamental consiste em determinar os valores de x ∈ R para os quais ax2 + bx + c ´e, respectivamente, positivo, negativo ou zero.

Nos seus cursos de Matem´atica do Ensino M´edio, vocˆe certamente usou as f´ ormulas de Bhaskara para determinar as ra´ızes de equa¸co˜es quadr´aticas (de grau 2) com uma vari´avel.

Lembramos que: As ra´ızes de ax2 + bx + c = 0 s˜ao x1 =

√ −b− b2 −4ac 2a

e x2 =

√ −b+ b2 −4ac .

2a

Os resultados obtidos ser˜ao usados, junto com as propriedades do m´odulo, para determinar o conjunto solu¸ca˜o de igualdades e desigualdades envolvendo express˜oes quadr´aticas.

An´alise do sinal do trinˆomio de segundo grau ax2 + bx + c, onde a, b e c s˜ao constantes reais, a = 0, e x ´e um n´umero real vari´avel.

Vimos que podemos escrever y = ax2 + bx + c como:

2 b Δ y=a x+ − 2 , onde Δ = b2 − 4ac.

2a 4a Desta igualdade vocˆe pode observar que y = 0 se, e somente se, 2

b Δ x+ − 2 = 0, 2a 4a isto ´e:

2 b Δ x+ = 2.

2a 4a Em particular, veja que: ax2 + bx + c = 0 para algum x ∈ R se, e somente se, Δ ≥ 0 Portanto, quando Δ < 0, a express˜ao y = ax2 + bx + c nunca ´e igual a zero.

2

b 2 Mais ainda, como −Δ > 0, 4a > 0 e x + ≥ 0, obtemos: 2a 2

Δ b − 2 > 0. x+ 2a 4a 237

CEDERJ

Par´abola - aplica¸co˜es

Assim, o sinal de y ´e o mesmo que o sinal de a (pois y ´e o produto de a pela express˜ao do lado esquerdo da desigualdade anterior).

Isto ´e,

Para visualizar as propriedades descritas nos destaques ao lado, volte ` as Figuras 62 e 65 (Δ < 0) e 61 e 64 (Δ = 0).

⎧ ⎨y > 0 Se Δ < 0, ent˜ao ⎩y < 0

se, e somente se,

a > 0.

se, e somente se,

a < 0.

Quando Δ = 0, temos: b y = 0 se, e somente se, x = − 2a .

O sinal de y ´e sempre o mesmo, para valores de x diferentes de − ⎧ ⎨y > 0 se, e somente se, b , temos Se Δ = 0 e x = − ⎩y < 0 se, e somente se, 2a Quando Δ > 0, temos: y = 0 se, e somente se,

b |x + | = 2a

b : 2a

a > 0. a < 0.

Δ .

4a2

Suponhamos agora que Δ > 0. Observe √ que: √ Δ Δ b b y = 0 se, e somente se, x = − + ou x = − − .

2a 2a 2|a| 2|a| Isto ´e, os valores de x para os quais y = 0, tamb´em√chamados ra´ızes de y = 0, s˜ao eq¨ uidistantes de −

b Δ a uma distˆancia de . Designamos 2a 2|a|

por x1 e x2 estas ra´ızes, onde x1 < x2 . A posi¸ca˜o das ra´ızes na reta real ´e a seguinte: a>0

u

x1 =

√ −b− Δ 2a

−b 2a

u

x2 =

√

−b+ Δ 2a

u

x1 =

√ −b+ Δ 2a

a<0 −b 2a

u

x2 =

-

√ −b− Δ 2a

Figura 17.8: Posi¸ca˜o das ra´ızes de ax2 +bx+c = 0, quando Δ = b2 −4ac > 0, dependendo do sinal de a.

Vamos chamar de I = (x1 , x2 ) o intervalo aberto cujos ao as √ extremos s˜ ra´ızes de y = 0. Este intervalo tem comprimento igual a 2 m´edio ´e −

Δ e o seu ponto 2|a|

b .

2a

Portanto, se x pertence ao intervalo I, temos:

√

x − (− b ) < Δ ,

2a 2|a| ent˜ao, ao tomar quadrados: 2

b b x+ = x + 2a

CEDERJ

238

2 2 √ 2

Δ Δ = x − − b < = 2 ,

2a 2a 2|a| 4a

Par´abola - aplica¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 17

portanto: b 2 Δ ) − 2 < 0.

2a 4a Como y ´e igual ao produto de a pela express˜ao da esquerda, desta u ´ ltima desigualdade conclu´ımos que: (x +

x∈I x∈I

Se Se

e e

a > 0, ent˜ao a < 0, ent˜ao

Para visualizar o sinal de y, dependendo do sinal de a e da posi¸ca ˜o relativa de x com respeito ` as ra´ızes, volte ` as Figuras 60 e 63 (Δ > 0).

y < 0. y > 0.

Por outro lado, se x n˜ao pertence ao intervalo I, x = x1 e x = x2 , ent˜ao x ∈ (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞) e

√

x − − b > Δ ;

2a 2|a| logo, ao tomar quadrados: 2

2 2 √ 2

b b b Δ Δ

x+ = x + = x − − > = 2 ,

2a 2a 2a 2|a| 4a ou seja:

x+

b 2a

2

−

Δ > 0.

4a2

Conclu´ımos assim que, quando x ∈ I, x = x1 e x = x2 , o sinal de y ´e o mesmo que o sinal de a: Se x ∈ I, x n˜ao ´e raiz de y = 0 e a > 0, ent˜ao y > 0.

Se x ∈ I, x n˜ao ´e raiz de y = 0 e a < 0, ent˜ao y < 0.

Resumimos as nossas considera¸co˜es na seguinte tabela:

y = ax2 + bx + c = a

b x+ 2a

2

Δ − 2 4a

, com a = 0

Δ = b2 − 4ac

Ra´ızes de y = 0

a>0

a<0

Δ=0

b − 2a

b y > 0, x = − 2a

b y < 0, x = − 2a

Δ<0

N˜ ao existem

y>0

y<0

Δ>0

√

x1 = x2 =

−b+ Δ 2a √ −b− Δ 2a

y < 0,

se

x∈I

y > 0,

se

x∈I

y > 0,

se

x∈J

y < 0,

se

x∈J

Onde I = (x1 , x2 ) ´e o intervalo aberto cujos extremos s˜ao as ra´ızes de y = 0 com x1 < x2 e J = (−∞, x1 ) ∪ (x2 , +∞).

Agora vamos terminar de resolver o Exemplo 17.2.

239

CEDERJ

Par´abola - aplica¸co˜es

Solu¸ca˜o do Exemplo 17.2: Como Δ = b2 − 4ac = (−20)2 − 4 · 1 · (−1.125) = 400 + 4.500 = 4.900 √ √ e Δ = 4.900 = 70, pelas ormulas de Bhaskara, temos √ que as ra´ızes do √ f´ polinˆomio s˜ao x1 = 45.

−b − Δ 20 − 70 −b + Δ 20 + 70 = = −25 e x2 = = = 2a 2 2a 2

Como x > 0, temos que x = x2 = 45. Portanto, a largura do papel˜ao ´e 45 cm e o comprimento ´e 65 cm. Assim, a caixa tem 25 cm de largura por 45 cm de comprimento.

Exemplo 17.3 Volte a`s Figuras 17.2 a 17.7, determine as ra´ızes de cada trinˆomio do 2o grau, quando existirem, e estude o seu sinal.

Exemplo 17.4 Uma ind´ ustria produz bonecas. O custo di´ario C, em d´olares, para produzir n bonecas ´e dado pela express˜ao quadr´atica C = n2 − 120n + 4.200. Quantas bonecas devem ser produzidas diariamente para o custo ser m´ınimo? Qual ´e o custo m´ınimo?

O custo C ´e m´ınimo em n0 = C0 =

−b 120 = = 60 bonecas. O custo m´ınimo ´e 2a 2

−Δ −(1202 − 4 · 4.200) = = −120 · 30 + 4.200 = 600 d´olares.

4a 4

Exemplo 17.5 Uma bola ´e lan¸cada verticalmente do ch˜ao a uma velocidade de 27 metros por segundo. A f´ormula s = 27t − 9t2 d´a a altura da bola ap´os t segundos. Qual ´e a altura m´axima atingida pela bola? Quanto tempo a bola permanecer´a no ar?

Os pares (t, s) est˜ao sobre o gr´afico de uma par´abola, onde a = −9. O discriminante da equa¸ca˜o do 2o grau ´e Δ = 272 − 4 · (−9) · 0 = 272 . A altura

−Δ −272 −27 · 27 27 · 3 = = = = 4a 4 · (−9) −36 4 81 −b −27 3 = 20, 25 metros em t0 = = = = 1, 5 segundos. A bola 4 2a 2 · (−9) 2

m´axima atingida pela bola ser´a s0 =

permanecer´a no ar no intervalo de tempo entre 0 e 3 segundos, pois s > 0 para t ∈ (0, 3), onde 0 e 3 s˜ao as ra´ızes de 27t − 9t2 = 9t(3 − t) = 0 .

Resumo Vocˆe aprendeu a determinar as coordenadas do v´ertice V da par´abola em termos do discriminante e dos coeficientes da equa¸ca˜o do 2o grau; a determinar as ra´ızes da equa¸ca˜o do 2o grau; a determinar o sinal do trinˆomio CEDERJ

240

Par´abola - aplica¸co˜es

´ MODULO 1 - AULA 17

do 2o grau e a usar estas informa¸co˜es, junto com o gr´afico da par´abola, para modelar e resolver problemas.

Exerc´ıcios 1. Identifique se y assume um valor m´aximo ou m´ınimo, determine-o, e diga em que n´ umero real x0 este valor ocorre: (a) y = −x2 + 2x + 8.

(d) y = −x2 + 10x − 18.

(b) y = x2 − 2x − 3.

(e) y = x2 + 6x + 9.

(c) y = 2x2 + 3x − 2.

(f) y = 2x2 − 15x + 28.

2. Esboce o gr´afico das par´abolas do exerc´ıcio anterior, determinando, caso existam, os pontos de interse¸ca˜o do gr´afico com o eixo x e com o eixo y.

3. Resolva as desigualdades e, usando intervalos, dˆe o conjunto solu¸ca˜o: (a) −x2 + 2x + 8 < 0.

(g)

2x2 + 3x − 2 ≤ 0. x2 − 2x − 3

(h)

−x2 + 10x − 18 > 0. −x2 + 2x + 8

(b) x2 − 2x − 3 > 0. (c) 2x2 + 3x − 2 ≤ 0. (d) −x2 + 10x − 18 > 0. (e) x2 + 6x + 9 ≥ 0. (f) 2x2 − 15x + 28 < 0.

(i) (x − 5) · (x + 3) ≥ 0. (j) x3 − 4x ≤ 0.

4. Determine os pontos de interse¸ca˜o da par´abola com os eixos coordenados: (a) y = 14 x2 − x + 4

(d) 20y − x2 + 2x + 39 = 0

(b) 8y + x2 + 4x + 12 = 0

(e) y = 2x − x2

(c) −2y = x2 + 4x − 4

(f) x2 + 6x − 8y + 17 = 0

5. Quais os dois n´ umeros reais cuja soma ´e igual a 8 e a soma dos seus quadrados ´e 56 no m´ınimo e, 104 no m´aximo?

Quais os n´ umeros inteiros que satisfazem a esta propriedade?

6. O departamento de propaganda de uma f´abrica de patinetes estimou que venderia 600 patinetes por semana a 100 reais cada. Mas concluiu tamb´em que se reduzisse 5 reais no pre¸co unit´ario venderia 50 patinetes 241

CEDERJ

Par´abola - aplica¸co˜es

a mais por semana. Qual deve ser o pre¸co de venda dos patinetes, para que a f´abrica tenha a maior renda poss´ıvel, mensalmente?

7. Em volta de uma piscina retangular com 10 metros de largura por 18 metros de comprimento, ser´a colocado um piso anti-derrapante com a´rea de 60 metros quadrados e largura constante. Qual a largura do piso?

8. O lucro di´ario de uma empresa em reais ´e l = −2x2 + 200x − 800, onde x ´e o n´ umero de artigos produzidos por dia. Quantos artigos devem ser produzidos para que o lucro seja m´aximo? Qual o lucro m´aximo?

9. Um arame de 40 metros ser´a usado para construir uma cerca de um jardim retangular. Quais as dimens˜oes do jardim, para que a sua a´rea seja a maior poss´ıvel?

10. Mostre que, entre os retˆangulos com per´ımetro fixado, o de maior a´rea ´e o quadrado.

11. Um terreno tem a forma de um triˆangulo retˆangulo cuja soma dos catetos ´e igual a 14 metros. Determine as dimens˜oes do terreno de a´rea m´axima.

12. Se a diferen¸ca de dois n´ umeros ´e 22, quais s˜ao os n´ umeros cujo produto ´e o menor poss´ıvel?

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe souber determinar o v´ertice em termos do discriminante e dos coeficientes da equa¸ca˜o do 2o grau; determinar o sinal do trinˆomio do 2o grau e suas ra´ızes; e modelar e resolver problemas com estes conhecimentos, ent˜ao poder´a passar para a pr´oxima aula. Vamos para a Aula 21, onde estudaremos a elipse!

CEDERJ

242

Elipse

´ MODULO 1 - AULA 18

Aula 18 – Elipse Objetivos • Descrever a elipse como um lugar geom´etrico.

• Determinar a equa¸ca˜o reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto m´edio entre os focos e eixo x como o eixo focal.

Conceitos: Sistemas de coordenadas e distˆ ancias no plano.

• Esbo¸car o gr´afico da elipse, a partir da equa¸ca˜o reduzida, e fazer Referˆ encias: Aulas 13 e 14.

transla¸co˜es.

• Identificar os parˆametros a,b e c e a sua excentricidade.

• Determinar as coordenadas dos focos e dos v´ertices, a partir da equa¸ca˜o reduzida.

Como acabamos de mencionar na aula anterior, h´a muitas aplica¸co˜es para a par´abola, sendo esta curva plana encontrada em v´arias situa¸co˜es na pr´atica cotidiana. A elipse, curva plana que vamos descrever nesta aula, n˜ao ´e t˜ao facilmente encontrada na natureza. Por´em, observe as seguintes figuras:

Figura 18.1: Vemos uma elipse olhando um c´ırculo de lado.

Figura 18.2: Elipse na superf´ıcie da a´gua num copo inclinado.

Figura 18.3: Elipse no telhado do planet´ ario Tycho Brahe em Copenhagen, Dinamarca.

Embora os gregos j´a conhecessem as cˆonicas, apenas em 1609 o astrˆonomo alem˜ao Johann Kepler descobriu que as o´rbitas dos planetas eram elipses.

Consideremos fixados no plano dois pontos F1 e F2 .

A elipse ´e o lugar geom´etrico dos pontos do plano cuja soma das distˆancias aos pontos F1 e F2 ´e constante. Escrevendo esta constante como 2a, temos

Kepler, 1571-1630.

Nasceu perto de Stuttgart.

Obteve o modelo para o movimento dos planetas, usando os dados observados pelo astrˆ onomo Tycho Brahe.

elipse = {P | d(P, F1) + d(P, F2 ) = 2a}.

Os pontos F1 e F2 s˜ao chamados focos da elipse.

Foi Kepler quem introduziu o nome foco.

243

CEDERJ

Elipse

Figura 18.4: Vista da o´rbita que a Terra faz ao redor do Sol.

Figura 18.5: A soma das distˆ ancias de um ponto da elipse a F1 e F2 ´e constante: d1 +d2 = 2a.

Vocˆe j´a deve ter observado que os jardineiros, preferencialmente, cons´ muito f´acil desenhar na terra ou no troem canteiros circulares e el´ıpticos. E papel c´ırculos e elipses. O jardineiro amarra cada ponta de um barbante em um graveto, fixa os dois gravetos, na terra, a uma distˆancia menor que o comprimento do barbante e, com um terceiro graveto, estica o barbante. Os pontos na terra descritos pelo terceiro graveto formam a elipse.

Vocˆe pode desenhar uma elipse no papel, prendendo as extremidades do barbante com tachas e usando um l´apis para esticar o barbante. As tachas ser˜ao os focos da elipse. Observe que a distˆancia entre os focos ´e, obviamente, menor do que o comprimento do barbante.

Figura 18.6: Desenhando uma elipse no papel.

Seja 2c a distˆancia entre F1 e F2 . Note que 2c < 2a, isto ´e, c < a.

Para encontrar a equa¸ca˜o de uma elipse, vamos fixar um sistema de coordenadas. Consideramos o eixo x como a reta passando por F1 e F2 , com a origem O situada no ponto m´edio do segmento F1 F2 , e o eixo y sendo a reta perpendicular a este segmento passando por O. A orienta¸ca˜o do eixo x CEDERJ

244

Elipse

´ MODULO 1 - AULA 18

´e de O para F2 . O eixo y tem a sua orienta¸ca˜o, for¸cosamente, fixada (para relembrar o conceito de orienta¸ca˜o, reveja a Aula 13).

Figura 18.7: Constru¸ca˜o do sistema de coordenadas.

Nesse sistema de coordenadas, temos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0), onde c ´e um n´ umero real positivo. Ent˜ao, P = (x, y) ´e um ponto da elipse ⇐⇒ 2a = d(P, F1) + d(P, F2 ) ⇐⇒ 2a = d((x, y), (−c, 0)) + d((x, y), (c, 0))

⇐⇒ 2a = (x − (−c))2 + (y − 0)2 + (x − c)2 + (y − 0)2

⇐⇒ 2a = (x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2

⇐⇒ 2a − (x − c)2 + y 2 = (x + c)2 + y 2.

Elevando ao quadrado ambos os membros da u ´ltima igualdade, obtemos

4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = (x + c)2 + y 2 .

Desenvolvendo os quadrados, temos

4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2 = x2 + 2cx + c2 + y 2 .

Cancelando as parcelas iguais e somando −4a2 + 2cx a ambos os membros da igualdade, obtemos

−4a (x − c)2 + y 2 = 4cx − 4a2 .

Cancelando o fator comum, temos

−a (x − c)2 + y 2 = cx − a2 .

Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos a2 ((x − c)2 + y 2 ) = c2 x2 − 2a2 cx + a4 .

Desenvolvendo o lado esquerdo desta igualdade, obtemos a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 = c2 x2 − 2a2 cx + a4 .

Somando −c2 x2 + 2a2 cx − a2 c2 a ambos os membros desta igualdade, reescrevemos a equa¸ca˜o como (a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a4 − a2 c2 = a2 (a2 − c2 ).

245

CEDERJ

Elipse

Como a > c > 0, temos que a2 > c2 . Assim, a2 − c2 ´e um n´ umero real positivo e podemos escrevˆe-lo como o quadrado de um n´ umero real b > 0, 2 2 2 logo b = a − c . Observe que b < a. A equa¸ca˜o anterior se reescreve como b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2 que, dividindo por a2 b2 = 0, ´e equivalente a x2 y 2 + 2 = 1, onde c2 = a2 − b2 . a2 b Esta equa¸ca˜o ´e chamada equa¸ca˜o reduzida da elipse.

A interpreta¸ca˜o geom´etrica para a e b pode ser vista a partir da equa¸ca˜o x2

reduzida. Fazendo y = 0 nesta equa¸ca˜o, obtemos 2 = 1, que ´e equivalente a a x2 = a2 . Portanto, x = ±a e os pontos A1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0) s˜ao pontos da elipse, chamados v´ertices. O eixo maior da elipse ´e o segmento de y2

reta A1 A2 , que tem comprimento 2a. Fazendo agora x = 0, obtemos 2 = 1, b que d´a y = ±b. Logo, os pontos B1 = (0, −b) e B2 = (0, b) s˜ao os pontos de interse¸ca˜o da elipse com o eixo y e s˜ao as extremidades do eixo menor, cujo comprimento ´e 2b. A origem O ´e o centro da elipse. Observe que os focos est˜ao situados no eixo maior da elipse.

Figura 18.8: Eixos maior e menor da elipse.

Figura 18.9: Rela¸ca˜o dos parˆ ametros: 2 2 2 a =b +c .

O gr´afico da elipse ´e

Graf =

x2 y 2 (x, y) 2 + 2 = 1 a

b

.

Ilustramos, nas Figuras 18.10 e 18.11, os gr´aficos de x2 y2 + = 1.

9 4 CEDERJ

246

x2 y2 + =1e 4 1

Elipse

Figura 18.10: Elipse

x2 4

+

y2 1

= 1.

´ MODULO 1 - AULA 18

Figura 18.11: Elipse

x2 9

+

y2 4

= 1.

Note que: (1) um ponto P = (x, y) est´a na elipse ⇐⇒ (x, −y) tamb´em est´a na elipse.

(2) um ponto P = (x, y) est´a na elipse ⇐⇒ (−x, y) tamb´em est´a na elipse.

(3) um ponto P = (x, y) est´a na elipse ⇐⇒ (−x, −y) tamb´em est´a na elipse.

As propriedades anteriores s˜ao conseq¨ uˆencia das vari´aveis x e y aparecerem ao quadrado na equa¸ca˜o da elipse e significam, respectivamente, que: (1) o gr´afico da elipse ´e sim´etrico com respeito ao eixo x.

(2) o gr´afico da elipse ´e sim´etrico com respeito ao eixo y.

(3) o gr´afico da elipse ´e sim´etrico com respeito `a origem O.

Figura 18.12: Visualiza¸ca˜o das simetrias dos pontos da elipse.

A excentricidade da elipse ´e o n´ umero real e=

c , 0 < e < 1. a

A excentricidade da elipse ´e respons´avel pela forma da elipse.

Elipses com excentricidade pr´oxima de zero tˆem os semi-eixos com comprimentos pr´oximos. Elas s˜ao aproximadamente um c´ırculo, pois e=

c ≈ 0 =⇒ c ≈ 0 =⇒ c2 ≈ 0 =⇒ b2 = a2 − c2 ≈ a2 =⇒ b ≈ a. a

o s´ımbolo ≈ significa aproximadamente.

247

CEDERJ

Elipse

Elipses com excentricidade pr´oxima de um tˆem uma forma alongada, com o semi-eixo menor de comprimento pr´oximo de zero, pois e=

c ≈ 1 =⇒ c ≈ a =⇒ c2 ≈ a2 =⇒ b2 = a2 − c2 ≈ 0 =⇒ b ≈ 0. a

Os planetas tˆem o´rbitas el´ıpticas em torno do Sol, um dos focos, com excentricidade pr´oxima de zero. O Cometa Halley leva 76 anos para dar uma volta em torno do Sol, com o´rbita el´ıptica com excentricidade 0, 96, enquanto a excentricidade da o´rbita da Terra ´e 0, 02.

Exemplo 18.1 Qual ´e o subconjunto do plano E = {(x, y)| 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y = −4}?

Para responder vamos tentar reescrever a equa¸ca˜o anterior, tomando como modelo a equa¸ca˜o reduzida da elipse. Temos: −4

= 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y, isolando os polinˆomios em x e em y, = (4x2 − 8x) + (9y 2 + 36y), colocando 4 e 9 em evidˆencia, na primeira e segunda parcelas, respectivamente, = 4(x2 − 2x) + 9(y 2 + 4y), completando os quadrados dos polinˆomios em x e y, respectivamente, = 4(x2 − 2x + 1 − 1) + 9(y 2 + 4y + 4 − 4), reescrevendo, = 4(x2 − 2x + 1) − 4 + 9(y 2 + 4y + 4) − 36, escrevendo os quadrados, = 4(x − 1)2 + 9(y + 2)2 − 40.

Esta igualdade ´e equivalente a 4(x − 1)2 + 9(y + 2)2 = 36.

Dividindo ambos os membros desta igualdade por 36, obtemos (x − 1)2 (y + 2)2 + = 1, 9 4

Figura 18.13: Elipses

x2 9

+

y2 4

=1e

(x−1)2 9

+

(y+2)2 4

= 1.

que ´e a equa¸ca˜o de uma elipse obtida pela transla¸ca˜o de 1 unidade, horizontalmente, e de −2 unidades, verticalmente, dos pontos da elipse com equa¸ca˜o CEDERJ

248

Elipse

´ MODULO 1 - AULA 18

x2 y2 + = 1. O centro (0, 0) desta u ´ ltima elipse ´e transladado para (1, −2).

9 4 x2

y2

De modo geral, a elipse 2 + 2 = 1 tem centro (0, 0) e eixos de simetria a b x = 0 e y = 0. Quando esta elipse ´e transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, uma elipse congruente ´e obtida tendo equa¸ca˜o (x − h)2 (y − k)2 + = 1. a2 b2 O centro (0, 0) ´e transladado para o ponto (h, k) e os focos, os v´ertices, as extremidades do eixo menor e os eixos de simetria s˜ao transladados como indicado a seguir: (x − h)2 (y − k)2 + =1 a2 b2

x2 y2 + =1 a2 b2

centro:

(0, 0)

−→

(h, k)

focos:

(c, 0) e (−c, 0)

−→

(c + h, k) e (−c + h, k)

v´ertices:

(a, 0) e (−a, 0) −→ (a + h, k) e (−a + h, k)

extremidades do eixo menor :

(0, b) e (0, −b)

−→

(h, b + k) e (h, −b + k)

eixos de simetria:

x=0ey=0

−→

x=hey=k

Aten¸c˜ao: A transla¸ca˜o n˜ao afeta a excentricidade, porque a transla¸ca˜o n˜ao deforma a figura.

Figura 18.14: Elipses

x2 a2

+

y2 b2

=1e

(x−h)2 a2

+

(y−k)2 b2

= 1, com a > b.

249

CEDERJ

Elipse

Resumo Vocˆe aprendeu a descrever a elipse como um lugar geom´etrico; a determinar os parˆametros a, b e c da elipse, a partir da equa¸ca˜o reduzida obtida no sistema de coordenadas onde o eixo x ´e o eixo focal e a origem ´e o centro de simetria da elipse ; a fazer transla¸co˜es; a determinar as coordenadas dos focos, dos v´ertices e do eixo menor; a determinar a excentricidade da elipse e o seu significado.

Exerc´ıcios 1. Esboce o gr´afico das elipses: (a) (b) (c)

x2 y2 + =1 16 9

(e) x2 + 9y 2 = 36

x2

(f)

4 x2 25

+ +

y2 1 y2 16

=1 =1

(d) 8x2 + 9y 2 = 72

(x − 1)2 (y + 2)2 + =1 9 4

(g) 9(x − 3)2 + 16(y − 2)2 = 144 (h) 4(x + 2)2 + 9(y − 3)2 = 36 (i) 9x2 + 25y 2 = 225

2. Considere as elipses do exerc´ıcio anterior. Determine: (a) as coordenadas dos focos e dos v´ertices.

(b) a excentricidade.

3. Determine a equa¸ca˜o reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada: (a) Centro (0, 0), eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 6. (b) Focos (±3, 0) e v´ertices (±5, 0). (c) Os pontos limitantes dos eixos maior e menor s˜ao, respectivamente, (3, 1), (9, 1) e (6, −1), (6, 3). (d) Focos (−2, 4) e (6, 4), eixo menor de comprimento 8.

4. Determine as coordenadas do centro, v´ertices e focos das elipses: 4x2 − 8x + 9y 2 − 36y + 4 = 0 e 16y 2 + 64y + x2 − 4x + 52 = 0.

5. O Sputnik, primeiro sat´elite lan¸cado da Terra em 1957, descrevia uma o´rbita el´ıptica, sendo o centro da Terra um dos focos. Determine a equa¸ca˜o da sua o´rbita, sabendo que, aproximadamente, a sua maior CEDERJ

250

Elipse

´ MODULO 1 - AULA 18

altitude foi de 840 km, a sua menor altitude foi de 189 km e o raio da Terra ´e de 570 km.

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe sabe determinar a equa¸ca˜o reduzida da elipse, a partir das propriedades geom´etricas; esbo¸car o gr´afico da elipse, usando a sua equa¸ca˜o reduzida; determinar as coordenadas dos v´ertices, dos focos e das extremidades do eixo menor, a partir da equa¸ca˜o reduzida, ent˜ao pode passar para a pr´oxima aula. Na Aula 22 continuaremos a estudar a elipse e veremos a sua interessante propriedade reflexiva!

251

CEDERJ

Elipse - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 19

Aula 19 – Elipse - continua¸ c˜ ao Objetivos • Desenhar a elipse com compasso e r´egua com escala.

• Determinar a equa¸ca˜o reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto m´edio entre os focos e eixo y como o eixo focal.

• Esbo¸car o gr´afico da elipse, fazer transla¸co˜es e identificar os parˆametros a, b, c e tamb´em a excentricidade, a partir da equa¸ca˜o reduzida.

Conceitos: Sistemas de coordenadas e distˆ ancias no plano.

Referˆ encias: Aulas 13 e 14.

• Determinar as coordenadas dos focos e v´ertices, a partir da equa¸ca˜o reduzida.

• Localizar pontos do plano com respeito a elipses.

• Aprender a propriedade reflexiva da elipse.

Vimos na Aula 17 que equa¸co˜es do 2o grau nas vari´aveis x e y, com os coeficientes de x2 e y 2 n´ umeros reais n˜ao-nulos e iguais, nem sempre eram c´ırculos. No exemplo abaixo, veremos que equa¸co˜es do 2o grau nas vari´aveis x e y, com os coeficientes de x2 e y 2 n´ umeros reais n˜ao-nulos, de mesmo sinal e valor absoluto distinto, nem sempre s˜ao elipses.

Exemplo 19.1 Determinando os subconjuntos do plano definidos pelas equa¸co˜es 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y = −40 e 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y = −50, veremos que estes conjuntos n˜ao s˜ao elipses.

De fato, as duas equa¸co˜es diferem da equa¸ca˜o 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y = −4 apenas no termo independente de x e y, isto ´e, a constante.

Procedendo de maneira an´aloga ao exemplo da elipse de equa¸ca˜o 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y = −4, completamos os quadrados em ambas as equa¸co˜es, olhando para os polinˆomios em x e y: 4x2 − 8x + 9y 2 + 36y = −40 ⇐⇒ 4(x2 − 2x + 1 − 1) + 9(y 2 + 4y + 4 − 4) = −40 ⇐⇒ 4(x − 1)2 − 4 + 9(y + 2)2 − 36 = −40 ⇐⇒ 4(x − 1)2 + 9(y + 2)2 − 40 = −40 ⇐⇒ 4(x − 1)2 + 9(y + 2)2 = 0, como a soma de quadrados de n´ umeros reais ´e sempre um n´ umero real maior ou igual a zero, temos que a u ´nica solu¸ca˜o da primeira equa¸ca˜o ´e x − 1 = 0 e y + 2 = 0; 253

CEDERJ

Elipse - continua¸c˜ao

4x2 − 8x + 9y 2 + 36y = −50 ⇐⇒ 4(x2 − 2x + 1 − 1) + 9(y 2 + 4y + 4 − 4) = −50 ⇐⇒ 4(x − 1)2 − 4 + 9(y + 2)2 − 36 = −50 ⇐⇒ 4(x − 1)2 + 9(y + 2)2 − 40 = −50 ⇐⇒ 4(x − 1)2 + 9(y + 2)2 = −10, como as parcelas do lado esquerdo desta equa¸ca˜o s˜ao maiores ou iguais a zero, n˜ao existem n´ umeros reais x e y que a satisfa¸cam.

Portanto, apenas o ponto (1, −2) ´e solu¸ca˜o da primeira equa¸ca˜o e o conjunto solu¸ca˜o da segunda equa¸ca˜o ´e o conjunto vazio.

Cuidado!

Como acabamos de verificar, a equa¸ca˜o b2 x2 + a2 y 2 + dx + f y + g = 0,

0 < b < a,

nem sempre representa uma elipse, podendo ter como solu¸ca˜o um u ´nico ponto ou o conjunto vazio.

Geralmente, para determinar o conjunto solu¸ca˜o desta equa¸ca˜o, vocˆe deve completar os quadrados na equa¸ca˜o, repetindo o que foi feito no exemplo anterior.

Exemplo 19.2 Vamos descrever um procedimento para construir, usando compasso e r´egua com escala, a elipse de equa¸ca˜o x2 y 2 + 2 = 1, onde b < a. a2 b C´ırculos concˆ entricos s˜ ao c´ırculos com o mesmo centro.

(1) Construa dois c´ırculos concˆentricos na origem, C e C , de raios a e b, respectivamente. Veja a Figura 19.1.

(2) Marque um aˆngulo θ com 0o ≤ θ ≤ 360o, a partir do eixo x no sentido anti-hor´ario, definindo um segmento de reta come¸cando na origem.

(3) Este segmento de reta intersecta C em A e intersecta C em B. Veja a Figura 19.2.

CEDERJ

254

Elipse - continua¸c˜ao

Figura 19.1: C´ırculos centrados na origem de raios a e b.

´ MODULO 1 - AULA 19

Figura 19.2: Semi-reta determinada por θ.

(4) Construa as retas r vertical passando por A e s horizontal passando por B. Os pontos P da elipse s˜ao determinados por (veja a Figura 19.3) { P } = r ∩ s.

Figura 19.3: Constru¸ca˜o da elipse

x2 a2

+

y2 b2

= 1 com compasso e r´egua com escala.

Seguindo o roteiro anterior, fa¸ca a constru¸ca˜o, com compasso e r´egua com escala, da elipse de equa¸ca˜o

x2 y2 + = 1. Neste caso, a = 3 e b = 2.

9 4

Por que esta constru¸ca˜o funciona? x2 y2 Observe que P = (x, y) est´a na elipse de equa¸ca˜o 2 + 2 = 1 a b

x 2 y 2 ⇐⇒ + =1 a b x y ⇐⇒ = cos θ e = sen θ, para algum θ com 0 ≤ θ ≤ 360o a b

Lembre que... cos2 θ + sen2 θ = 1 , para todo θ.

⇐⇒ x = a cos θ e y = b sen θ, para algum θ com 0 ≤ θ ≤ 360o ⇐⇒ {P = (x, y)} = r ∩ s, onde r tem equa¸ca˜o x = a cos θ e s tem equa¸ca˜o y = b sen θ, para algum θ com 0 ≤ θ ≤ 360o .

255

CEDERJ

Elipse - continua¸c˜ao

Observa¸c˜ao: Para escrevermos uma equa¸ca˜o, em primeiro lugar, fixamos um sistema de coordenadas. Sabemos esbo¸car o gr´afico da par´abola quando a sua equa¸ca˜o ´e obtida nos sistemas de coordenadas com os eixos coordenados escolhidos paralelos ao eixo focal e a` diretriz. No caso da elipse, sabemos esbo¸car o seu gr´afico quando a sua equa¸ca˜o ´e obtida nos sistemas de coordenadas com eixos paralelos aos seus eixos de simetria. Nosso estudo da elipse levou em conta a escolha do sistema de coordenadas, onde a origem ´e o ponto m´edio entre os focos, situados no eixo x a uma distˆancia 2c, e a medida do eixo maior ´e 2a, determinado pelos v´ertices, situados tamb´em no eixo x.

Poder´ıamos ter escolhido o sistema de coordenadas com a origem no ponto m´edio entre F1 e F2 , o eixo y como o eixo focal, orientado de O para F2 , e o eixo x perpendicular ao eixo focal com uma orienta¸ca˜o conveniente.

Neste caso, h´a uma revers˜ao dos pap´eis das vari´aveis x e y (verifique), dando lugar a` equa¸ca˜o reduzida x2 y 2 + 2 = 1, onde b < a, b2 a pois b2 = a2 − c2 , sendo os focos F1 = (0, −c) e F2 = (0, c), os v´ertices A1 = (0, −a) e A2 = (0, a) e as extremidades do eixo menor B1 = (−b, 0) e B2 = (b, 0). Veja a Figura 19.4, onde a` direita est´a o gr´afico da elipse 2 x2 + ya2 = 1, com b < a. b2

Figura 19.4: Gr´ aficos das elipses

x2 a2

+

y2 b2

=1e

x2 b2

+

y2 a2

= 1, com b < a.

Exemplo 19.3 Determinemos a excentricidade da elipse de equa¸ca˜o 16x2 − 96x + 9y 2 − 36y + 36 = 0.

Para isto, precisamos de c e a, onde 2c ´e a distˆancia focal, 2a ´e o comprimento do eixo maior, 2b ´e o comprimento do eixo menor e b2 = a2 − c2 . Para CEDERJ

256

Elipse - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 19

acharmos a equa¸ca˜o reduzida da elipse dada, reescrevemos a sua equa¸ca˜o como 16(x2 − 6x) + 9(y 2 − 4y) + 36 = 0.

Completando os quadrados, temos 16(x2 − 6x + 9 − 9) + 9(y 2 − 4y + 4 − 4) + 36 = 0, que ´e equivalente a 16(x2 − 6x + 9) − 16 · 9 + 9(y 2 − 4y + 4) − 9 · 4 + 36 = 0.

Escrevendo os quadrados, obtemos 16(x − 3)2 − 144 + 9(y − 2)2 − 36 + 36 = 0.

Assim, 16(x − 3)2 + 9(y − 2)2 = 144.

Dividindo por 144, temos a equa¸ca˜o reduzida (x − 3)2 (y − 2)2 + = 1.

9 16 √ √ √ Portanto, a = 16√ = 4, b = 9 = 3, c2 = a2 − b2 = 16 − 9 = 7 e c = 7.

Logo, e =

c = a

7 . Observe que o centro desta elipse ´e C = (3, 2), os 4 √ √

focos s˜ao os pontos F1 = (3, 2 − 7) e F2 = (3, 2 + 7) e os v´ertices s˜ao A1 = (3, −2) e A2 = (3, 6). Al´em disso, as extremidades do eixo menor s˜ao os pontos B1 = (0, 2) e B2 = (6, 2). Basta transladar de 3 unidades as abcissas e de 2 unidades as ordenadas dos focos, v´ertices e extremidades do eixo menor da elipse

x2 y2 + = 1.

9 16

Figura 19.5: Gr´ aficos das elipses

x2 9

+

y2 16

=1e

(x−3)2 9

+

(y−2)2 16

= 1.

257

CEDERJ

Elipse - continua¸c˜ao 2

2

De modo geral, a elipse xb2 + ay2 = 1, com b < a, tem centro (0, 0) e eixos de simetria x = 0 e y = 0. Quando esta elipse ´e transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades verticalmente, uma elipse congruente ´e obtida tendo equa¸ca˜o (x − h)2 (y − k)2 + = 1. b2 a2

O centro (0, 0) ´e transladado para (h, k) e os focos, os v´ertices, as extremidades do eixo menor e os eixos de simetria s˜ao transladados como indicado a seguir: x2 y2 + =1 b2 a2

(x − h)2 (y − k)2 + =1 b2 a2

centro:

(0, 0)

−→

focos:

(0, c) e (0, −c)

−→

(h, c + k) e (h, −c + k)

v´ertices: (0, a) e (0, −a) −→ extremidades do eixo menor : (b, 0) e (−b, 0) −→ eixos de simetria: x = 0 e y = 0 −→

(h, a + k) e (h, −a + k)

(h, k)

(b + h, k) e (−b + h, k) x=hey=k

Note que a transla¸ca˜o n˜ao afeta a excentricidade, porque a transla¸ca˜o n˜ao deforma a figura.

A elipse tamb´em tem uma propriedade reflexiva interessante: se uma fonte, de luz ou som, est´a em um dos focos, as ondas de luz ou sonoras se refletir˜ao na elipse e incidir˜ao no outro foco, conforme ilustrado na figura ao Figura 19.6: Numa elipse, raios lado.

Exemplo 19.4 De modo an´alogo ao c´ırculo, toda elipse divide o plano em dois subconjuntos disjuntos. Fixemos a elipse E com equa¸c˜ao

CEDERJ

258

que saem de um foco incidem, ap´ os refletidos, no outro foco.

(x − 1)2 (y − 2)2 + = 1.

1 4

Elipse - continua¸cË&#x153;ao

´ MODULO 1 - AULA 19

Os pontos P = (u, v) que nË&#x153;ao estË&#x153;ao na elipse E (u â&#x2C6;&#x2019; 1)2

(v â&#x2C6;&#x2019; 2)2

satisfazem + = 1. Por exemplo, 1 4 os pontos A = (1, 3) e B = (2, 5). J´a que

1 , se (u, v) = (1, 3), (u â&#x2C6;&#x2019; 1)2 (v â&#x2C6;&#x2019; 2)2 4 + = 13 1 4 , se (u, v) = (2, 5).

4 Observe que A est´a no interior de E e que B est´a no exterior de E. Os pontos P = (u, v) tais que

(u â&#x2C6;&#x2019; 1)2 (v â&#x2C6;&#x2019; 2)2 + < 1 sË&#x153;ao ditos pontos interiores 1 4

Figura 19.7: Pontos interior 2 e exterior a` elipse (xâ&#x2C6;&#x2019;1) + 1 (yâ&#x2C6;&#x2019;2)2 4

= 1.

a` elipse E. Por outro lado, os pontos P = (u, v) (u â&#x2C6;&#x2019; 1)2

(v â&#x2C6;&#x2019; 2)2

tais que + 1 4 exteriores `a elipse E.

> 1 sË&#x153;ao ditos pontos

A elipse divide o plano em dois subconjuntos disjuntos, chamados interior e exterior da elipse. (x â&#x2C6;&#x2019; h)2

(y â&#x2C6;&#x2019; k)2

Considere a elipse com equa¸caË&#x153;o + = 1, onde a e b sË&#x153;ao a2 b2 n´ umeros reais distintos nË&#x153;ao-negativos. Se P = (u, v) ´e um ponto qualquer do plano, entË&#x153;ao

P est´a no interior da elipse

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

P est´a na elipse

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

P est´a no exterior da elipse

â&#x2021;?â&#x2021;&#x2019;

(u â&#x2C6;&#x2019; h)2 (v â&#x2C6;&#x2019; k)2 + < 1. a2 b2 (u â&#x2C6;&#x2019; h)2 (v â&#x2C6;&#x2019; k)2 + = 1. a2 b2 (u â&#x2C6;&#x2019; h)2 (v â&#x2C6;&#x2019; k)2 + > 1. a2 b2

Resumo VocË&#x2020;e aprendeu a desenhar a elipse com compasso e r´egua com escala; a determinar os parË&#x2020;ametros a, b e c da elipse, com a equa¸caË&#x153;o reduzida obtida no sistema de coordenadas, onde o eixo y ´e o eixo focal e a origem ´e o seu centro de simetria; a esbo¸car o gr´aďŹ co da elipse e a fazer transla¸coË&#x153;es; a determinar as coordenadas dos focos, dos v´ertices e do eixo menor; o signiďŹ cado da excentricidade e a determin´a-la; a localizar pontos do plano com respeito a elipses; al´em disso, agora sabe a propriedade reďŹ&#x201A;exiva da elipse.

259

CEDERJ

Elipse - continua¸c˜ao

Exerc´ıcios 1. Esboce o gr´afico das elipses: (a)

x2 y2 + =1 9 16

(d)

(e) 16(x − 1)2 + 9(y − 2)2 = 144

x2 y2 (b) + =1 1 4

(c)

x2 4

+

y2 9

(x − 1)2 (y + 2)2 + =1 4 9

(f) 9(x + 2)2 + 4(y − 3)2 = 36

=1

(g) 25x2 + 9y 2 = 225

2. Considere as elipses do exerc´ıcio anterior. Determine: (a) as coordenadas dos focos e dos v´ertices, (b) a excentricidade, (c) as coordenadas das extremidades do eixo menor.

3. Determine a equa¸ca˜o reduzida da elipse, satisfazendo a propriedade dada: (a) Centro (0, 0), eixo maior vertical de comprimento 8 e eixo menor de comprimento 6. (b) Focos (0, ±3) e v´ertices (0, ±5). (c) Os pontos limitantes dos eixos maior e menor s˜ao, respectivamente, (1, 3), (1, 9) e (−1, 6) e (3, 6). (d) Centro (2, −3), eixo menor de comprimento 6, eixo maior de comprimento 10, sendo o eixo maior vertical. (e) Focos (4, −2) e (4, 6), eixo menor de comprimento 8.

√ 3 3 (f) Centro (0, 0), um v´ertice em (0, −4) e passa pelo ponto ,2 .

2 4. Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, v´ertices e focos: (a) A = { (x, y) | 16x2 + 64x + y 2 − 4y + 52 = 0 }. (b) B = { (x, y) | 4x2 − 8x + 9y 2 − 36y + 4 = 0 }. (c) C = { (x, y) | 16x2 + 64x + y 2 − 4y + 68 = 0 }. (d) D = { (x, y) | 4x2 − 8x + 9y 2 − 36y + 44 = 0 }.

5. Construa a elipse 4x2 +16y 2 = 16, usando compasso e r´egua com escala e seguindo o roteiro dado.

6. Escreva um roteiro para construir, com compasso e r´egua com escala, x2

y2

a elipse com equa¸ca˜o 2 + 2 = 1, com b < a. b a Sugest˜ao: escolha o aˆngulo θ medido a partir do eixo y no sentido anti-hor´ario e se inspire no roteiro dado nesta aula.

CEDERJ

260

Elipse - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 19

7. Usando o roteiro do exerc´ıcio anterior, esboce o gr´afico da elipse com equa¸ca˜o 9x2 + y 2 = 9.

8. Sejam E = { (a, b) | (a, b) ´e ponto interior a` elipse 4x2 + 9y 2 = 36 } e E = { (a, b) | (a, b) ´e ponto exterior a` elipse 9x2 + y 2 = 9 }. Dados os

pontos A1 = 2, − 12 , A2 = (−1, 2), A 3 = − 32 , − 12 , A4 = (−2, 3), √ √

A5 = 12 , − 32 , A6 = 23 , − 23 , A7 = 4 3 2 , 3 2 e A8 = − 56 , − 76 determine: (a) Quais pertencem a E. (b) Quais pertencem a E . (c) Quais pertencem a E ∪ E . (d) Quais pertencem a E ∩ E .

9. Considere a elipse com equa¸ca˜o 9x2 + 36x + 4y 2 − 24y + 36 = 0.

Determine a maior e a menor abcissa, assim como a maior e a menor ordenada, entre todos os pontos desta elipse.

Sugest˜ao: observe o gr´afico da elipse e estude a equa¸ca˜o da elipse.

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe sabe determinar a equa¸ca˜o reduzida da elipse, a partir das propriedades geom´etricas; esbo¸car o gr´afico da elipse, usando a sua equa¸ca˜o reduzida; determinar as coordenadas dos v´ertices, dos focos e das extremidades do eixo menor, a partir da equa¸ca˜o reduzida, ent˜ao pode passar para a pr´oxima aula. Vamos para a Aula 23 estudar a hip´erbole, que tamb´em satisfaz uma interessante propriedade reflexiva!

261

CEDERJ

Hip´erbole

´ MODULO 1 - AULA 20

Aula 20 – Hip´ erbole Objetivos • Descrever a hip´erbole como um lugar geom´etrico.

• Determinar a sua equa¸ca˜o reduzida no sistema de coordenadas com origem no ponto m´edio entre os focos e eixo x como o eixo focal.

• Esbo¸car o gr´afico, fazer transla¸co˜es e identificar os parˆametros a, b, c e tamb´em a excentricidade e, a partir da sua equa¸ca˜o reduzida.

Conceitos: Sistemas de coordenadas e distˆ ancias no plano.

Referˆ encias: Aulas 13 e 14.

• Determinar as coordenadas dos focos e dos v´ertices.

Aplica¸co˜es da hip´erbole s˜ao um pouco mais dif´ıceis de encontrar. No entanto, alguns cometas podem ter o´rbitas hiperb´olicas em vez de el´ıpticas.

O que isto significa? Cometas em o´rbitas el´ıpticas em torno da Terra podem ser vistos v´arias vezes, pois retornam a um ponto da o´rbita, como o cometa Halley, enquanto cometas em o´rbitas hiperb´olicas aparecem uma vez e jamais retornam.

As ondas de choque sonoras de um jato supersˆonico, voando a baixa altitude e paralelamente ao solo, se propagam ao longo de cones com eixo paralelo a` superf´ıcie. Esses cones intersectam a superf´ıcie da Terra em hip´erboles, conforme a Figura 20.1.

Quando acendemos um abajur num ambiente escuro e pr´oximo a uma parede, vemos duas regi˜oes bem iluminadas, cujos contornos s˜ao hip´erboles.

Veja a Figura 20.2.

Figura 20.1: Ondas de choque de um jato supersˆ onico intersectando a superf´ıcie do Figura 20.2: Cones de luz intersectando a planeta em hip´erboles. parede ao longo de hip´erboles.

263

CEDERJ

Hip´erbole

Antes de mencionarmos outras aplica¸co˜es, precisamos conhecer a defini¸ca˜o e as propriedades elementares da hip´erbole.

Consideremos fixados no plano dois pontos F1 e F2 .

A hip´erbole ´e o lugar geom´etrico dos pontos do plano cujo valor absoluto da diferen¸ca das distˆancias aos pontos F1 e F2 ´e uma constante positiva menor do que a distˆancia entre os pontos F1 e F2 . Escrevendo esta constante como 2a, temos hip´erbole={P | |d(P, F1) − d(P, F2)| = 2a}.

Esta curva plana tem duas partes chamadas ramos da hip´erbole. Veja o seu desenho na Figura 20.3.

Figura 20.3: Hip´erbole como lugar geom´etrico no plano.: |d1 − d2 | = 2a

Os pontos F1 e F2 s˜ao chamados focos da hip´erbole.

Para encontrar a equa¸ca˜o da hip´erbole, vamos fixar um sistema de coordenadas. Procedemos de modo an´alogo a` determina¸ca˜o da equa¸ca˜o da elipse.

Consideramos o eixo x como o eixo focal, a reta passando por F1 e F2 , com a origem O situada no ponto m´edio do segmento F1 F2 , e o eixo y sendo a reta perpendicular a este segmento passando por O. A orienta¸ca˜o do eixo x ´e de O para F2 e o eixo y tem a sua orienta¸ca˜o, for¸cosamente, fixada. Veja a Figura 20.4.

Figura 20.4: Constru¸ca˜o de um sistema de coordenadas.

Seja 2c > 0 a distˆancia entre F1 e F2 . Ent˜ao, 0 < a < c e, no sistema de coordenadas que acabamos de construir, temos F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0).

Portanto, P = (x, y) ´e um ponto da hip´erbole ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ CEDERJ

264

| d(P, F1 ) − d(P, F2 ) | = 2a d(P, F1 ) − d(P, F2 ) = ±2a

(x − (−c))2 + (y − 0)2 − (x − c)2 + (y − 0)2 = ±2a

Hip´erbole

⇐⇒ ⇐⇒

´ MODULO 1 - AULA 20

(x + c)2 + y 2 − (x − c)2 + y 2 = ±2a

(x + c)2 + y 2 = ±2a + (x − c)2 + y 2 .

Elevando ao quadrado ambos os membros da u ´ltima igualdade, obtemos

2 2 2 (x + c) + y = 4a ± 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 .

Desenvolvendo os quadrados, temos

x2 + 2cx + c2 + y 2 = 4a2 ± 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2 .

Cancelando as parcelas iguais e deixando apenas a raiz quadrada do lado direito, obtemos

4cx − 4a2 = ±4a (x − c)2 + y 2 .

Dividindo por 4, temos

cx − a2 = ±a

(x − c)2 + y 2 .

Elevando ao quadrado ambos os membros desta igualdade, temos c2 x2 − 2a2 cx + a4 = a2 ((x − c)2 + y 2 ).

Desenvolvendo o lado direito desta igualdade, obtemos c2 x2 − 2a2 cx + a4 = a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2 .

Somando 2a2 cx−a4 −a2 x2 −a2 y 2 a ambos os membros desta igualdade, reescrevemos a equa¸ca˜o como, (c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 c2 − a4 = a2 (c2 − a2 ).

Como 0 < a < c, temos a2 < c2 . Assim, c2 − a2 ´e um n´ umero real positivo e podemos escrevˆe-lo como o quadrado de um n´ umero real b > 0, 2 2 2 logo b = c − a . Observe que b < c. Finalmente, a equa¸ca˜o anterior se reescreve como b2 x2 − a2 y 2 = a2 b2 que, dividindo por a2 b2 = 0, ´e equivalente a x2 y 2 − 2 = 1, onde c2 = a2 + b2 . a2 b Esta equa¸ca˜o ´e chamada equa¸ca˜o reduzida da hip´erbole.

A interpreta¸ca˜o geom´etrica para a e b ser´a relevante para desenhar o x2

gr´afico da hip´erbole. Fazendo y = 0 nesta equa¸ca˜o, obtemos 2 = 1, que a ´e equivalente a x2 = a2 . Portanto, x = ±a e os pontos A1 = (−a, 0) e A2 = (a, 0) s˜ao pontos da hip´erbole, chamados v´ertices. O segmento de reta A1 A2 tem comprimento 2a e ´e chamado de eixo real ou transverso. y2

Fazendo agora x = 0, obtemos 2 = −1, uma equa¸ca˜o que n˜ao admite b solu¸ca˜o em n´ umeros reais. Isto significa que o eixo y e a hip´erbole n˜ao se intersectam. A origem O ´e chamada de centro da hip´erbole. Os pontos 265

CEDERJ

Hip´erbole

B1 = (0, −b) e B2 = (0, b) n˜ao est˜ao na hip´erbole, mas desempenham um papel importante para tra¸car o seu gr´afico. O segmento de reta B1 B2 tem comprimento 2b e ´e chamado eixo imagin´ ario da hip´erbole. N˜ao se esque¸ca que os focos da hip´erbole est˜ao situados no eixo x e s˜ao F1 = (−c, 0) e F2 = (c, 0).

As retas verticais passando por A1 e A2 e as retas horizontais passando por B1 e B2 determinam um retˆangulo de v´ertices C, D, E e F cujas diagob nais passam pela origem e tˆem equa¸co˜es y = ± x, chamadas de ass´ıntotas a da hip´erbole.

As ass´ıntotas da hip´erbole tˆem a seguinte propriedade: um ponto da hip´erbole muito afastado do centro O est´a a uma distˆancia muito pequena (pr´oxima de zero) da ass´ıntota. Na pr´atica, isto significa que o desenho do gr´afico da hip´erbole se aproxima da ass´ıntota quando o ponto da hip´erbole se afasta do centro, conforme a Figura 20.5.

Figura 20.5: Desenho das ass´ıntotas da hip´erbole.

Mais precisamente: (1) Pontos da hip´erbole do primeiro e terceiro quadrantes com |x| muito b a

grande est˜ao pr´oximos de y = x.

(2) Pontos da hip´erbole do segundo e quarto quadrantes com |x| muito b a

grande est˜ao pr´oximos de y = − x.

O exerc´ıcio 5 desta aula d´a um roteiro para a demonstra¸ca˜o das propriedades acima. Daremos aqui apenas uma id´eia da validade das propriedades, usando os nossos conhecimentos dos n´ umeros reais. Observe que a equa¸ca˜o da hip´erbole pode ser reescrita como y2 b2 b2 = − , x2 a2 x2 pois x = 0. Sabemos que quando |x| ´e muito grande, x2 = |x|2 tamb´em ´e muito grande. Logo, CEDERJ

266

1 b2 ≈ 0 e ≈ 0. Desta maneira, vemos que x2 x2

Hip´erbole

´ MODULO 1 - AULA 20

y2 b y b b2 b2 b2 y ≈± , = − ≈ . Conclu´ımos ent˜ao que | | ≈ . Portanto, 2 2 2 2 x a x a x a x a

quando (x, y) ´e um ponto da hip´erbole com |x| muito grande.

Como foi visto na Aula 21, o s´ımbolo ≈ significa aproximadamente.

O gr´afico da hip´erbole ´e

Graf =

x2 y 2 (x, y) | 2 − 2 = 1 . a b

Apresentamos, nas Figuras 20.6 e 20.7, os gr´aficos de x2 9

−

y2 4

x2 4

−

x2 9

−

y2 1

=1e

1 2 = 1 com as suas ass´ıntotas, y = ± x e y = ± x, respectivamente.

2 3

Figura 20.6: Hip´erbole

x2 4

−

y2 1

= 1.

Figura 20.7: Hip´erbole

y2 4

= 1.

Note que: (1) P = (x, y) est´a na hip´erbole ⇐⇒ (x, −y) tamb´em est´a na hip´erbole.

(2) P = (x, y) est´a na hip´erbole ⇐⇒ (−x, y) tamb´em est´a na hip´erbole.

(3) P = (x, y) est´a na hip´erbole ⇐⇒ (−x, −y) tamb´em est´a na hip´erbole.

Figura 20.8: Visualiza¸ca˜o das simetrias dos pontos da hip´erbole.

As propriedades anteriores s˜ao conseq¨ uˆencia das vari´aveis x e y aparecerem ao quadrado na equa¸ca˜o da hip´erbole e significam, respectivamente, que: (1) o gr´afico da hip´erbole ´e sim´etrico com respeito ao eixo x.

(2) o gr´afico da hip´erbole ´e sim´etrico com respeito ao eixo y.

(3) o gr´afico da hip´erbole ´e sim´etrico com respeito `a origem O. A excentricidade da hip´erbole ´e o n´ umero real c e = , e > 1. a

267

CEDERJ

Hip´erbole

A excentricidade da hip´erbole ´e respons´avel pela sua forma.

Hip´erboles com excentricidade muito grande tˆem ass´ıntotas tendendo a b retas verticais (neste caso, o eixo y), pois o valor absoluto das inclina¸co˜es a b das ass´ıntotas y = ± x ´e muito grande: a c c2 b2 c2 − a2 c2 c2 muito grande =⇒ 2 muito grande =⇒ 2 = = 2 − 1 ≈ 2 =⇒ 2 a a a a a a b c b ≈ =⇒ muito grande. a a a

Hip´erboles com excentricidade pr´oxima de 1 tˆem ass´ıntotas pr´oximas de retas horizontais (neste caso, o eixo x), pois a inclina¸ca˜o das ass´ıntotas se aproxima de zero: Aqui uma pequena excentricidade!

A palavra excentricidade sempre ser´ a qualidade ou condi¸ca ˜o do que ´ e excˆ entrico, ou seja, aquilo que se desvia ou se afasta do centro.

c b ≈ 1 =⇒ c ≈ a =⇒ c2 ≈ a2 =⇒ b2 = c2 − a2 ≈ 0 =⇒ b ≈ 0 =⇒ ± ≈ 0. a a

Apresentamos na Figura 20.9 uma hip´erbole com excentricidade muito grande e na Figura 20.10 uma hip´erbole com excentricidade pr´oxima de 1 .

Em Matem´ atica, excentricidade ´e ac , ou seja, a raz˜ ao entre a distˆ ancia c do centro de simetria da cˆ onica ao foco, e a distˆ ancia a do centro ao v´ ertice.

O que n˜ ao tem nada a ver com esquisitice ou extravagˆ ancia, express˜ ao mais conhecida na nossa l´ıngua.

Figura 20.10: Hip´erbole com excentricidade pr´ oxima de 1.

Figura 20.9: Hip´erbole com excentricidade muito grande.

Exemplo 20.1 Vamos determinar os v´ertices, os focos e a excentricidade da hip´erbole H = {(x, y)| 4x2 − 8x − 9y 2 − 36y = 68}.

Reescrevemos a equa¸ca˜o dada, tentando obter a sua equa¸ca˜o na forma reduzida. Temos, 68 = = = = = = CEDERJ

268

4x2 − 8x − 9y 2 − 36y, isolando os polinˆomios em x e y, (4x2 − 8x) − (9y 2 + 36y), colocando 4 e 9 em evidˆencia, na primeira e segunda parcelas, respectivamente, 4(x2 − 2x) − 9(y 2 + 4y), completando os quadrados dos polinˆomios em x e y, respectivamente, 4(x2 − 2x + 1 − 1) − 9(y 2 + 4y + 4 − 4), reescrevendo, 4(x2 − 2x + 1) − 4 − 9(y 2 + 4y + 4) + 36, escrevendo os quadrados, 4(x − 1)2 − 9(y + 2)2 + 32.

Hip´erbole

´ MODULO 1 - AULA 20

Esta igualdade ´e equivalente a 4(x − 1)2 − 9(y + 2)2 = 36.

Dividindo ambos os membros desta igualdade por 36, temos (x − 1)2 (y + 2)2 − = 1, 9 4 que ´e a equa¸ca˜o de uma hip´erbole obtida pela transla¸ca˜o de 1 unidade, horizontalmente, e de −2 unidades, verticalmente, dos pontos da hip´erbole x2 y2 − = 1.

9 4

Esta u ´ltima hip´erbole tem v´ertices A1 = (−3, 0) e A2 = (3, 0), c2 = 9 + 4 = 13, √ √ focos F1 = (− 13, 0) √ e F2 = ( 13, 0) e 13

. Somando 1 a`s excentricidade e = 3 abcissas e −2 a`s ordenadas dos v´ertices e dos focos, obtemos que os v´ertices da hip´erbole dada s˜ao A 1 = (−2, −2) e A 2 = √ (4, −2), e os focos s˜ao F1 = (1− 13, −2) √ e F2 = (1 + 13, −2)√. A sua excentrici- Figura 20.11: dade tamb´em ´e e =

13 .

3

(y+2)2 4

x2 9

2

− y4 = 1 e

(x−1)2 9

−

(x−h)2 a2

−

= 1.

De modo geral, a hip´erbole de equa¸ca˜o x2 y2 − = 1 tem centro (0, 0), eia2 b2

xos de simetria x = 0 e y = 0, e b as retas de equa¸co˜es y = x e y = a b − x como ass´ıntotas. Quando esta a

hip´erbole ´e transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, uma hip´erbole congru2 20.12: ente ´e obtida, com equa¸ca˜o (x−h) − Figura a2 (y−k)2 2 (y−k) = 1. b2 = 1. b2

x2 a2

−

y2 b2

= 1 e

O centro (0, 0) ´e transladado para (h, k) e os focos, os v´ertices, os eixos de simetria e as ass´ıntotas s˜ao transladados como indicado a seguir:

269

CEDERJ

Hip´erbole

(x − h)2 (y − k)2 − =1 a2 b2

x2 y2 − =1 a2 b2

centro:

(0, 0)

−→

(h, k)

focos:

(c, 0) e (−c, 0)

−→

(c + h, k) e (−c + h, k)

v´ertices:

(a, 0) e (−a, 0)

−→ (a + h, k) e (−a + h, k)

eixos de simetria:

x=0ey=0

−→

x=hey=k

−→

y − k = (x − h) e

ass´ıntotas:

b a

b a

y= xey=− x

b a

b a

y − k = − (x − h) Aten¸c˜ao: A excentricidade n˜ao se altera com uma transla¸ca˜o!

Resumo Vocˆe aprendeu a descrever a hip´erbole como um lugar geom´etrico; a determinar os parˆametros a, b e c da hip´erbole, com a equa¸ca˜o reduzida obtida no sistema de coordenadas, onde a origem ´e o seu centro de simetria e o eixo x ´e o eixo focal da hip´erbole; a esbo¸car o gr´afico e as ass´ıntotas da hip´erbole e a fazer transla¸co˜es; a determinar as coordenadas dos focos, dos v´ertices e das extremidades do eixo imagin´ario; a determinar a excentricidade e o seu significado.

Exerc´ıcios 1. Esboce o gr´afico das hip´erboles, tra¸cando as ass´ıntotas: x2 y2 − =1 16 9 x2 y2 − =1 (b) 4 1

(a)

(c) 8x2 − 9y 2 = 72

(d) 16(x − 3)2 − 9(y − 2)2 = 144 (e) 9(x + 2)2 − 4(y − 3)2 = 36 (f) 25x2 − 9y 2 = 225

2. Considere as hip´erboles do exerc´ıcio anterior. Determine: (a) as coordenadas dos focos e dos v´ertices, (b) a excentricidade.

CEDERJ

270

Hip´erbole

´ MODULO 1 - AULA 20

3. Determine a equa¸ca˜o reduzida da hip´erbole, satisfazendo a propriedade dada: (a) Centro (0, 0), eixo real horizontal de comprimento 8 e eixo imagin´ario de comprimento 6. (b) V´ertices (±3, 0) e focos (±5, 0). (c) Os pontos limitantes dos eixos real e imagin´ario s˜ao, respectivamente, (3, 1), (9, 1) e (6, −1) e (6, 3). (d) Focos (−4, 4) e (8, 4), eixo imagin´ario de comprimento 8. √ (e) Centro (0, 0), reta y = 21 x uma ass´ıntota e 5, 0 um foco.

4. Determine o centro, os v´ertices, os focos, os eixos de simetria e desenhe o gr´afico das hip´erboles com as suas ass´ıntotas: (a) −5x2 + 4y 2 + 30x + 16y = 9 (b) −4x2 + y 2 + 8x + 4y + 4 = 0 (c) −x2 + 9y 2 + 4x − 36y + 41 = 0 (d) x2 − 4y 2 + 6x + 24y − 31 = 0 5. Desafio: x2

y2

Considere a hip´erbole H com equa¸c˜ao 2 − 2 = 1. Seja P = (x, y) um a b ponto de H, com x > 0 e y > 0. Seguindo o roteiro vocˆe vai mostrar que a ass´ıntota aos pontos do primeiro quadrante de H ´e a reta de b equa¸ca˜o y = x. a

b2

(a) Reescreva a equa¸ca˜o de H como y 2 = 2 x2 − b2 . Conclua que: a

(i) y =

b2 2 x − b2 . a2

(ii) Se x ´e muito grande ent˜ao y ´e muito grande. b a

(iii) Se x ´e muito grande ent˜ao y + x ´e muito grande. b a

(b) Considere a reta r com equa¸c˜ao y = x. Verifique que d(P, r) =

b2

b |y + a x| 1 +

b2 a2

.

Sugest˜ao: Reescreva a f´ormula do exerc´ıcio 18 da Aula 16 como |(y 2 − m2 x2 | √ d= . |y + mx| 1 + m2 umero real muito grande. (c) Conclua que d(P, r) ≈ 0 quando x ´e um n´ 271

CEDERJ

Hip´erbole

6. Desafio: Reformule o exerc´ıcio anterior para mostrar que a ass´ıntota aos pontos b do quarto quadrante de H ´e a reta de equa¸ca˜o y = − x. a

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe souber determinar a equa¸ca˜o reduzida da hip´erbole, no sistema de coordenadas com eixo x como eixo focal e origem no ponto m´edio entre os focos, a partir das propriedades geom´etricas; esbo¸car o seu gr´afico e suas ass´ıntotas, usando a sua equa¸ca˜o reduzida; determinar as coordenadas dos v´ertices, dos focos e das extremidades do eixo imagin´ario, a partir da equa¸ca˜o reduzida; souber fazer transla¸co˜es e determinar a excentricidade, ent˜ao pode prosseguir e aprender mais sobre a hip´erbole.

CEDERJ

272

Hip´erbole - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 21

Aula 21 – Hip´ erbole - continua¸ c˜ ao Objetivos • Aprender a desenhar a hip´erbole com compasso e r´egua com escala.

• Determinar a equa¸ca˜o reduzida da hip´erbole no sistema de coordenadas com origem no ponto m´edio entre os focos e eixo y como eixo

Conceitos: Sistemas de coordenadas e distˆ ancias no plano.

focal.

• Esbo¸car o gr´afico e as ass´ıntotas e fazer transla¸co˜es.

Referˆ encias: Aulas 13 e 14.

• Identificar os parˆametros a, b, c e tamb´em a excentricidade da hip´erbole, a partir da equa¸ca˜o reduzida.

• Determinar as coordenadas dos focos, dos v´ertices e das extremidades do eixo imagin´ario, a partir da equa¸ca˜o reduzida.

• Aprender a propriedade reflexiva da hip´erbole.

Vimos na Aula 22 que equa¸co˜es do 2o grau nas vari´aveis x e y, com os coeficientes de x2 e y 2 n´ umeros reais n˜ao-nulos, de mesmo sinal e valor absoluto distinto, nem sempre s˜ao elipses. Veremos que equa¸co˜es do 2o grau nas vari´aveis x e y, com os coeficientes de x2 e y 2 n´ umeros reais n˜ao-nulos e de sinais opostos, nem sempre s˜ao hip´erboles.

Exemplo 21.1 Vamos identificar o conjunto S = {(x, y)| 4x2 − 8x − 9y 2 − 36y = 32}.

Inspirados nos c´alculos do u ´ ltimo exemplo da Aula 23, fazemos uma transla¸ca˜o e reescrevemos a equa¸ca˜o dada, eliminando as potˆencias de 1o grau nas vari´aveis x e y. Temos: 32 = = = = = =

4x2 − 8x − 9y 2 − 36y, isolando os polinˆomios em x e em y, (4x2 − 8x) − (9y 2 + 36y), colocando 4 e 9 em evidˆencia, na primeira e segunda parcelas, respectivamente, 4(x2 − 2x) − 9(y 2 + 4y), completando os quadrados dos polinˆomios em x e y, respectivamente, 4(x2 − 2x + 1 − 1) − 9(y 2 + 4y + 4 − 4), reescrevendo, 4(x2 − 2x + 1) − 4 − 9(y 2 + 4y + 4) + 36, escrevendo os quadrados, 4(x − 1)2 − 9(y + 2)2 + 32.

Esta igualdade ´e equivalente a 4(x−1)2 −9(y +2)2 = 0, que pode ser reescrita como ( 2(x − 1) + 3(y + 2) ) · ( 2(x − 1) − 3(y + 2) ) = 0. Como o produto de dois n´ umeros reais ´e zero se, e somente se, um dos fatores ´e zero, temos que 2(x − 1) + 3(y + 2) = 0 ou 2(x − 1) − 3(y + 2) = 0, que ´e equivalente a 2x + 3y + 4 = 0 ou 2x − 3y − 8 = 0. Portanto, 273

CEDERJ

Hip´erbole - continua¸c˜ao

S={ (x, y) | 2x + 3y = −4 } ∪ { (x, y) | 2x − 3y = 8 },

DEGENERAR Semelhante ao uso corrente da linguagem, o termo aqui empregado tamb´em significa perder as qualidades ou caracter´ısticas primitivas.

que ´e a uni˜ao das ass´ıntotas da hip´erbole H do u ´ ltimo exemplo da Aula 23. Assim, o conjunto S ´e formado por duas retas. Dizemos que ´e o caso degenerado da hip´erbole, assim como um ponto e o conjunto vazio s˜ao os casos degenerados do c´ırculo e da elipse.

Exemplo 21.2 Vamos descrever um procedimento para construir, com compasso e r´egua com escala, a hip´erbole H de equa¸ca˜o x2 y 2 − 2 = 1, onde c2 = a2 + b2 , a > 0 e b > 0. a2 b Note que se (x, y) ´e um ponto de H, ent˜ao a2 y 2 (i) x ∈ (−∞, −a] ∪ [a, ∞), pois x2 = a2 + 2 ≥ a2 =⇒ |x| ≥ a, para todo b y; a2 y 2 (ii) y ∈ R = (−∞, ∞), pois 2 = x2 − a2 ≥ 0 =⇒ |y| ≥ 0. b Inspirados na identidade trigonom´etrica 1 + tg2 θ = sec2 θ, para todo θ , e na representa¸ca˜o geom´etrica da tangente e da secante no c´ırculo trigonom´etrico (veja a figura ao lado), vamos construir o ramo da hip´erbole constitu´ıdo dos pares (x, y) tais que x ∈ [a, ∞) e y ∈ (−∞, ∞), reescrevendo a equa¸ca˜o da hip´erbole como 1 +

Figura 21.1: Representa¸ca˜o geom´etrica da tangente e secante.

y2 x2 = . b2 a2

Vamos seguir agora um roteiro, acompanhando cada item nas Figuras 21.2 a 21.6, que ilustram o caso b < a.

(1) Construa as retas verticais x = a e x = b (veja a Figura 21.2).

(2) Marque um aˆngulo θ com −90o < θ < 90o , a partir do eixo x no sentido anti-hor´ario, definindo o segmento de reta rθ , come¸cando na origem (Figura 21.3).

Figura 21.2: Passo 1.

CEDERJ

274

Figura 21.3: Passo 2.

Hip´erbole - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 21

(3) O segmento de reta rθ intersecta x = a em A e x = b em B (Figura 21.4). Note que A = (a, a tg θ) e B = (b, b tg θ).

(4) O c´ırculo C de centro na origem O e raio OA = a sec θ intersecta a semi-reta positiva do eixo x no ponto D = (a sec θ, 0) (Figura 21.5).

Figura 21.4: Passo 3.

Figura 21.5: Passo 4.

(5) Construa a reta vertical s, passando por D, a reta horizontal t, passando por B, e o ponto P definido por { P } = s ∩ t (Figura 21.6). Observe que P = (a sec θ, b tg θ).

Os pontos P da hip´erbole s˜ao determinados por { P } = s ∩ t.

Seguindo o mesmo roteiro e escolhendo valores sucessivos de θ satisfazendo −90o < θ < 90o , fa¸ca a constru¸ca˜o, com um compasso e uma r´egua com escala, do ramo da direita da Figura 21.6: Passo 5.

x2

y2

hip´erbole de equa¸ca˜o − = 1. Nesse caso, 9 4 a = 3 e b = 2.

Por que esta constru¸ca˜o funciona?

Observe que um ponto P = (x, y) est´a no ramo da direita da hip´erbole de equa¸ca˜o ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

x2 y2 − 2 =1 2 a b

( xa )2 = 1 + ( yb )2 , x ≥ a x = sec θ e yb = tg θ, para algum θ com −90o < θ < 90o a x = a sec θ e y = b tg θ, para algum θ com −90o < θ < 90o {P = (x, y)} = s ∩ t, onde s tem equa¸ca˜o x = a sec θ e t tem equa¸ca˜o y = b tg θ, para algum θ com −90o < θ < 90o .

Para fazer a constru¸ca˜o, vocˆe deve escolher, sucessivamente, ˆangulos θ1 , θ2 , θ3 , . . . .

Para construir o ramo da esquerda da hip´erbole, vocˆe pode fazer a simetria com respeito ao eixo y dos pontos da hip´erbole j´a constru´ıdos.

275

CEDERJ

Hip´erbole - continua¸c˜ao

A hip´erbole tamb´em tem uma propriedade reflexiva interessante, semelhante a` da elipse: se uma fonte de luz ou som est´a em um dos focos, ent˜ao as ondas de luz ou sonoras incidir˜ao no outro ramo da hip´erbole, refletindo no seu foco.

Figura 21.7: Raios que saem de um dos focos e incidem no outro ramo da hip´erbole convergem no outro foco.

O estrondo de um avi˜ao supersˆonico ´e um cone que segue o avi˜ao. A interse¸ca˜o deste cone com a superf´ıcie do solo ´e uma hip´erbole. Pessoas situadas ao longo da hip´erbole ouvem o barulho ao mesmo tempo.

Para saber mais sobre o sistema de navega¸ca ˜o LORAN, consulte www.camosun.bc.ca/ ~jbritton/Home.htm

O sistema de navega¸ca˜o LORAN (LOng RAnge Navegation - Navega¸ca˜o de Longo Curso) utiliza as propriedades da hip´erbole, o radar e os sinais de pares de esta¸co˜es de r´adio para localizar a posi¸ca˜o de um navio. As ondas concˆentricas dos sinais das esta¸co˜es se intersectam em hip´erboles.

Observa¸c˜ao: Para escrevermos uma equa¸ca˜o, em primeiro lugar, fixamos um sistema de coordenadas. Sabemos esbo¸car o gr´afico da par´abola quando a sua equa¸ca˜o ´e obtida nos sistemas de coordenadas com os eixos coordenados escolhidos paralelos ao eixo focal e a` diretriz. No caso da elipse, sabemos esbo¸car o seu gr´afico quando a sua equa¸ca˜o ´e obtida nos sistemas de coordenadas com eixos paralelos aos seus eixos de simetria. Todo o nosso estudo da equa¸ca˜o da hip´erbole levou em conta a escolha do sistema de coordenadas, onde os focos estavam situados no eixo x, a uma distˆancia 2c. O eixo real da hip´erbole tinha comprimento 2a, determinado pelos v´ertices situados tamb´em no eixo x, sendo a < c. Podemos escolher o sistema de coordenadas com a origem O no ponto m´edio entre F1 e F2 , o eixo y como o eixo focal (eixo real), orientado de O para F2 , e o eixo x (eixo imagin´ario) perpendicular ao eixo focal com uma orienta¸ca˜o conveniente. Neste caso, h´a uma revers˜ao dos pap´eis das vari´aveis x e y (verifique), dando lugar a` equa¸ca˜o reduzida −

CEDERJ

276

x2 y 2 + 2 = 1, onde c2 = a2 + b2 . b2 a

Hip´erbole - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 21

Pela constru¸ca˜o do sistema de coordenadas, os focos e os v´ertices est˜ao no eixo y, sendo os focos F1 = (0, −c) e F2 = (0, c) e os v´ertices A1 = (0, −a) e A2 = (0, a). Observe que fazendo x = 0 na equa¸ca˜o acima, obtemos y 2 = a2 , logo y = a ou y = −a. O eixo imagin´ario, situado no eixo x, tem extremidades B1 = (−b, 0) e B2 = (b, 0). Al´em disso, as ass´ıntotas a c s˜ao as retas y = ± x. A excentricidade tamb´em ´e e = . Nesse caso, b a excentricidade grande significa ass´ıntotas pr´oximas de retas horizontais (eixo x) e excentricidade pr´oxima de 1, ass´ıntotas pr´oximas de retas verticais (eixo y).

O seu gr´afico, ilustrado na Figura 21.8, ´e

x2 y 2 Graf = (x, y) | − 2 + 2 = 1 . b a Para desenhar o gr´afico, constru´ımos o retˆangulo limitado pelas quatro retas x = −b, x = b, y = −a e y = a, cujas diagonais s˜ao as ass´ıntotas da hip´erbole. Esbo¸camos as ass´ıntotas, marcamos os v´ertices A1 = (0, −a) e A2 = (0, a) e desenhamos a hip´erbole.

2

Figura 21.8: Hip´erbole − xb2 +

A hip´erbole H =

(x, y) | −

x2 1

+

y2 4

y2 a2

=1

= 1.

tem parˆametros a = 2,

b = 1 e c2 = a2 + b2 = 5. Os seus v´ertices s˜ao A1 = (0, −2) e A2 = (0, 2). As extremidades do eixo imagin´ario s˜ao B1 = (−1, 0) e B2 = (1, 0).

277

CEDERJ

Hip´erbole - continua¸c˜ao

a

Vemos que as retas y = ± x = ±2x s˜ao as b diagonais do retˆangulo limitado pelas retas x = −1, x = 1, y = −2 e y =√2. Essa hip´erbole tem c

5

excentricidade e = = . O seu gr´afico est´a a 2 ilustrado na Figura 21.9.

Esbo¸cando no mesmo sistema de coordenax2

y2

das o gr´afico da hip´erbole H de equa¸ca˜o − = 4 1 1 e suas ass´ıntotas, obtemos a Figura 21.10. Observe que os parˆametros√de H s˜ao a = 2, b = 1, √ c 5 c = 5 e e = = , que s˜ao os mesmos Figura 21.9: Hip´erbole H : a 2 2 2 − x1 + y4 = 1. parˆametros de H. b

1

E as ass´ıntotas de H s˜ao as retas y = ± x = ± x, as diagonais do retˆangulo a 2 limitado pelas retas x = 2, x = −2, y = 1 e y = −1.

2

2

Por um giro de 90o , o gr´afico da hip´erbole H de equa¸ca˜o x4 − y1 = 1 (Figura 21.9) coincide com o gr´afico da hip´erbole H , pois essas hip´erboles s˜ao congruentes.

Lembre que duas figuras s˜ ao congruentes se deslocando uma delas podemos fazer coincidir com a outra.

Figura 21.10: Hip´erboles H:

x2 4

−

y2 1

2

= 1 e H : − x1 +

y2 4

= 1.

Fa¸ca, no mesmo sistema de coordenadas, os gr´aficos das hip´erboles: −

x2 y2 + =1 9 4

e

x2 y2 − = 1.

9 4

O que vocˆe observou?

Essas hip´erboles n˜ao s˜ao congruentes e as suas ass´ıntotas s˜ao as mesmas!

Na pr´atica, para desenhar as hip´erboles −

x2 y2 + =1 4 1

e

x2 y2 − = 1, 4 1

constru´ımos o retˆangulo limitado pelas retas x = 2, x = −2, y = 1 e y = −1, cujas diagonais s˜ao as ass´ıntotas das duas hip´erboles. Devemos ter cuidado com a determina¸ca˜o do parˆametro a, que ocorre como coeficiente da vari´avel com sinal positivo. Na primeira hip´erbole temos a = 1 e b = 2 e, na segunda, CEDERJ

278

Hip´erbole - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 21

a = 2 e b = 1. Note que, nos dois casos, c2 = a2 + b2 = 5 e, √ portanto, √ √ 5 c = 5. No entanto, a primeira hip´erbole tem excentricidade e = = 5 1 √ 5 e, a segunda, e = (veja a Figura 21.11). Essas hip´erboles n˜ao s˜ao 2

congruentes!

2

Figura 21.11: Hip´erboles − x4 +

y2 1

=1e

x2 4

−

y2 1

= 1.

Exemplo 21.3 Vamos determinar a excentricidade da hip´erbole H = { (x, y) | − 16x2 + 96x + 9y 2 − 36y = 252 }.

Para isto, precisamos de c e a, onde 2c ´e a distˆancia focal, 2a ´e o comprimento do eixo real, 2b ´e o comprimento do eixo imagin´ario e b2 = c2 − a2 . Vamos determinar a equa¸ca˜o reduzida da hip´erbole dada.

Reescrevemos a equa¸ca˜o como −16(x2 − 6x) + 9(y 2 − 4y) = 252.

Completando os quadrados dos polinˆomios em x e y, temos −16(x2 − 6x + 9 − 9) + 9(y 2 − 4y + 4 − 4) = 252, que ´e equivalente a −16(x2 − 6x + 9) + (−16) · (−9) + 9(y 2 − 4y + 4) + 9 · (−4) = 252.

Escrevendo os quadrados, obtemos −16(x − 3)2 + 144 + 9(y − 2)2 − 36 = 252.

Assim, −16(x − 3)2 + 9(y − 2)2 = 252 − 144 + 36 = 144.

Dividindo por 144, temos a equa¸ca˜o reduzida −

(x − 3)2 (y − 2)2 + = 1.

9 √ 16

√ Portanto, a = 16 = 4, b = √ c = 25 = 5. Logo, e = ac = 54 .

9 = 3, c2 = a2 + b2 = 16 + 9 = 25 e

Observe que o centro de H ´e (3, 2). H ´e uma transla¸ca˜o de (3, 2) dos pontos 2 2 da hip´erbole − x9 + y16 = 1, com focos (0, −5) e (0, 5), v´ertices (0, −4) e (0, 4) e extremidades do eixo imagin´ario (−3, 0) e (3, 0). Basta transladar de 3 unidades as abcissas e de 2 unidades as ordenadas dos focos, v´ertices 279

CEDERJ

Hip´erbole - continua¸c˜ao

x2

y2

e extremidades do eixo imagin´ario da hip´erbole − + = 1. Assim, os 9 16 focos de H s˜ao os pontos (3, −3) e (3, 7) , os seus v´ertices s˜ao (3, −2) e (3, 6) e as suas extremidades do eixo imagin´ario s˜ao os pontos (0, 2) e (6, 2). As 4 3

ass´ıntotas de H s˜ao as retas que passam por (3, 2) com inclina¸ca˜o ± .

2

Figura 21.12: Hip´erboles − x9 +

y2 16

x2

2

= 1 e − (x−3) + 9

(y−2)2 16

= 1.

y2

De modo geral, a hip´erbole − 2 + 2 = 1 tem centro (0, 0), eixos b a de simetria x = 0 e y = 0 e eixo real vertical. Quando esta hip´erbole ´e transladada de h unidades, horizontalmente, e de k unidades, verticalmente, uma hip´erbole congruente ´e obtida tendo equa¸ca˜o −

(x − h)2 (y − k)2 + = 1. b2 a2

O centro (0, 0) ´e transladado para (h, k) e os focos, os v´ertices, os eixos de simetria e as ass´ıntotas s˜ao transladados como indicado a seguir: −

(x − h)2 (y − k)2 + =1 b2 a2

(0, 0)

−→

focos:

(0, −c) e (0, c)

−→

(h, k − c) e (h, k + c)

(0, −a) e (0, a) −→

(h, k − a) e (h, k + a)

eixos de simetria: ass´ıntotas:

280

−

centro:

v´ertices:

CEDERJ

x2 y2 + =1 b2 a2

(h, k)

x=0ey=0

−→

x=hey=k

y = ab x

−→

y − k = ab (x − h)

y = − ab x

−→

y − k = − ab (x − h)

Hip´erbole - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 21

N˜ao se esque¸ca que c2 = a2 + b2 e as extremidades do eixo imagin´ario da primeira hip´erbole, B1 = (−b, 0) e B2 = (b, 0), s˜ao transladadas para (h − b, k) e (h + b, k), respectivamente.

Chegamos ao final do M´odulo 1. Na Geometria Anal´ıtica vocˆe aprender´a mais sobre as cˆonicas. Gostar´ıamos de fazer algumas considera¸co˜es importantes sobre a rela¸ca˜o entre os conceitos aprendidos aqui e o estudo que ser´a feito na Geometria Anal´ıtica.

Observa¸c˜ao Final: A equa¸ca˜o geral do 2o grau em duas vari´aveis ´e ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0.

Vocˆe aprendeu a identificar esta equa¸ca˜o quando b = 0, podendo ser um c´ırculo, uma par´abola, uma elipse, uma hip´erbole, ou os casos degenerados, um u ´ nico ponto, duas retas ou o conjunto vazio. Para identificar a curva, fizemos transla¸co˜es, porque a transla¸ca˜o elimina o termo do 1o grau em x e em y.

N˜ao podemos deixar de mencionar que a equa¸ca˜o geral do 2o grau em duas vari´aveis representa uma cˆonica ou os casos degenerados. Na disciplina Geometria Anal´ıtica vocˆe aprender´a a fazer rota¸co˜es no sistema de coordenadas. A rota¸ca˜o elimina, na equa¸ca˜o geral do 2o grau, o termo bxy, deixando a nova equa¸ca˜o obtida com b = 0. A rota¸ca˜o coloca o sistema de coordenadas na posi¸ca˜o em que uma transla¸ca˜o nos permite identificar o subconjunto do plano que satisfaz a equa¸ca˜o. Ap´os a rota¸ca˜o, aplicamos as t´ecnicas aprendidas aqui e identificamos o subconjunto do plano. Os gr´aficos das cˆonicas com termo bxy e b = 0 est˜ao ilustrados na Figura 21.13.

Figura 21.13: Cˆ onicas com termo bxy e b = 0.

281

CEDERJ

Hip´erbole - continua¸c˜ao

Resumo Vocˆe aprendeu a desenhar a hip´erbole com compasso e uma r´egua com escala; a determinar os parˆametros a, b e c da hip´erbole, com a equa¸ca˜o reduzida obtida no sistema de coordenadas, onde a origem ´e o seu centro de simetria, o eixo y ´e o eixo focal e o eixo x ´e o eixo imagin´ario; a esbo¸car o gr´afico da hip´erbole e a fazer transla¸co˜es; a determinar as coordenadas dos focos, dos v´ertices e as extremidades do eixo imagin´ario; o significado da excentricidade neste sistema de coordenadas e a determin´a-la; al´em disso, agora sabe a propriedade reflexiva da hip´erbole.

Exerc´ıcios 1. Esboce o gr´afico das hip´erboles, tra¸cando as ass´ıntotas: x2 y2 + =1 9 16 x2 y2 =1 (b) − + 25 16

(a) −

(c) −x2 + 9y 2 = 36

(d) −

(x − 1)2 (y + 2)2 + =1 4 9

(e) −9(x + 2)2 + 4(y − 3)2 = 36 (f) −4(x + 2)2 + 16(y − 1)2 = 4

2. Considere as hip´erboles do exerc´ıcio anterior. Determine: (a) as coordenadas dos focos e dos v´ertices, (b) a excentricidade.

3. Determine a equa¸ca˜o reduzida da hip´erbole, satisfazendo a propriedade dada: (a) V´ertices (−2, ±3) e focos (−2, ±5). (b) Os pontos limitantes dos eixos imagin´ario e real s˜ao, respectivamente, (3, 1), (9, 1) e (6, −1) e (6, 3). (c) Centro (2, −3), eixo imagin´ario de comprimento 6, eixo real de comprimento 10, sendo o eixo real vertical. (d) V´ertices (−1, −4) e (−1, 4), eixo imagin´ario de comprimento 8.

(e) Centro (−1, 1), uma ass´ıntota paralela a y = 43 x e −1, 72 um foco.

4. Identifique o subconjunto do plano e fa¸ca o seu gr´afico. Se for uma hip´erbole, ent˜ao determine o centro, os v´ertices, os focos, os eixos de simetria e as suas ass´ıntotas: CEDERJ

282

Hip´erbole - continua¸c˜ao

´ MODULO 1 - AULA 21

(a) 4x2 − y 2 + 8x + 6y + 11 = 0 (b) −9x2 + 16y 2 − 90x + 32y − 353 = 0 (c) −4x2 + 9y 2 − 32x − 36y − 64 = 0 (d) x2 − 4y 2 + 6x + 24y − 31 = 0 5. Construa, seguindo o roteiro dado, as hip´erboles cujas equa¸co˜es s˜ao x2 − 4y 2 = 4, 9x2 − y 2 = 9 e x2 − y 2 = 1. (Aten¸ca˜o com os valores de a e b.)

Auto-avalia¸ca˜o Se vocˆe souber determinar a equa¸ca˜o reduzida da hip´erbole, a partir das propriedades geom´etricas; esbo¸car o seu gr´afico, usando a sua equa¸ca˜o reduzida; determinar as coordenadas dos v´ertices, dos focos e das extremidades do eixo imagin´ario, a partir da equa¸ca˜o reduzida; souber fazer transla¸co˜es e determinar a excentricidade, ent˜ao pode prosseguir.

Aten¸ca˜o!

Terminamos o M´odulo 1. Vocˆe deve refletir sobre os conceitos, as equa¸co˜es e gr´aficos apresentados. Antes de passar para o M´odulo 2, esclare¸ca todas as suas d´ uvidas, procurando os tutores e tamb´em interagindo com os seus colegas.

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CEDERJ

ISBN 978-85-7648-373-1

9 788576 483731