Libromategeoytrigo pamela by Carmen Menendez

Segundo semestre de bachillerato Autora: I.S.C. Pamela del Carmen RodrĂguez Can 1

ÍNDICE Presentación

Metodología

Bloque I

Bloque II

Bloque III

Bloque IV

115

Bloque V

138

PRESENTACIÓN El libro que tienes en tus manos está centrado en el desarrollo de las competencias señaladas en el Marco Curricular Común de la Reforma Integral de la Educación Media Superior. Este enfoque de aprendizaje te permitirá atender los retos en el contexto y las circunstancias del mundo actual, los cuales demandan personas capaces de aplicar sus conocimientos, habilidades y actitudes en situaciones cada vez más complejas. En el enfoque socioformativo por competencias se considera que los conocimientos por sí mismos no son los más importantes, sino que se aplican en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. Es un enfoque que busca formar para la sociedad del conocimiento, buscando que los estudiantes aprendan haciendo proyectos y resolviendo problemas del contexto, con base en el proyecto ético de vida. Se aplica las diez acciones claves que propone la socioformación para contribuir al aprovechamiento académico de los estudiantes. Aplican además sus saberes previos, así como problemas del contexto, para que ellos se puedan dar cuenta que lo que están estudiando se aplica en sus vida diaria, para que se den cuenta que es una herramienta útil a lo largo de su vida, mediante los saberes previos, para que el docente pueda evaluar cuáles son los conocimientos que tiene de los temas que se van a ver en cada bloque. También se va a tener autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación para que los estudiantes se autoevalúen, coevalúen y heteroevalúen y se den cuenta de sus logros y aspectos a mejorar. El término “colaboración” se compone de dos partes: “co” y “labor”. “Co” significa juntos y “labor” se refiere a trabajar. Se trata de trabajar juntos. El aprendizaje colaborativo presenta las siguientes características desde la socioformación (Tobón, 2013b). 1. Acuerdo de una meta.- Un elemento clave en todo proceso de trabajo colaborativo es que los integrantes acuerden una meta común a ser lograda. 2. Actuación con un plan de acción.- En todo proceso de trabajo colaborativo debe haber un plan de acción acordado en sus elementos claves, en el cual se establezcan las actividades a realizar, los tiempos, los responsables y los recursos necesarios. 3. Desempeño sinérgico.- En todo proceso del trabajo colaborativo es esencial que los integrantes compartan y completen sus habilidades, actitudes y conocimientos para el logro de la meta acordada con creatividad e impacto. Implica que las personas se apoyen entre sí para superar las dificultades y 3

avanzar en el aprendizaje de acuerdo con los retos de una determinada meta y el plan de acción acordado. El cual se distribuye en roles, como la coordinación, la sistematización, la gestión de calidad y la dinamización, estos roles se van intercalando. 4. Actuación con metacognición.- Es lograr el mejoramiento continuo efectivo en el trabajo colaborativo con base en una meta común y la reflexión, tanto personal como colectiva, de los integrantes que participan en el proceso. 5. Interacción con comunicación asertiva.- Consiste en que las personas, dentro del trabajo colaborativo, se expresen y brinden sus contribuciones con amabilidad, respetando a los derechos de los demás. Implica escuchar, dialogar y resolver los conflictos por medio del establecimiento de acuerdos sobre elementos fundamentales. 6. Responsabilidad personal.- El éxito en el trabajo colaborativo es que todos suman responsabilidades contraídas en cuanto a sus contribuciones y actividades a realizar. Si esto no se da, no hay trabajo colaborativo.

Bloque I.- Generalidades Competencias disciplinares  

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias genéricas 

Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.  Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Criterios:     

Aprende la historia de la geometría y su importancia en la historia. Argumenta la importancia de la aportación de la geometría a través del mapa conceptual. Identifica la presencia de las formas de las figuras geométricas en la naturaleza que nos rodea. Describe las características y los tipos de rectas. Expresa sus ideas y conceptos con respecto al método inductivo y deductivo mediante la resolución de ejercicios. 4



Trabaja colaborativamente con responsabilidad, solidaridad y respeto en sus actividades.

Bloque II.- Ángulos y Triángulos Competencias disciplinares  

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Interpreta tablas, gráficas, mapas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias genéricas 

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Criterios:         

 

Identifica la partes esenciales del ángulo, vértice. Interpreta algunos teoremas y corolario sobre los ángulos. Evalúa el sistema de medición de ángulos a partir de datos obtenidos en situaciones cotidianas. Describe las características de los ángulos, así como sus figuras de cada uno de ellos. Aplica e integra conceptos, habilidades, actitudes y valores mediante investigaciones, con respecto a la clasificación de los triángulos. Elabora y desarrolla de manera más autónoma un plan de trabajo que oriente su investigación, mostrando responsabilidad, solidaridad y equidad. Trabaja colaborativamente con responsabilidad, solidaridad y respeto en sus actividades. Soluciona expresiones algebraicas sobre complementarias y suplementarias de los ángulos de los triángulos en diferentes situaciones. Organiza la información resultante de su proyecto y la comunica al grupo o a la comunidad mediante diversos medios: orales, escritos con la ayuda de las tecnologías de la información y la comunicación. Demuestra los resultados de su proyecto mediante diversos medios (por medio de láminas). Reconoce aciertos y dificultades en relación con los conocimientos aprendidos, las formas de trabajo y su participación en las actividades.

Bloque III.- Polígonos y Circunferencias Competencias disciplinares 

Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes de espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

Competencias genéricas    

Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Criterios:       

Identifica la clasificación de los polígonos, así como sus ángulos interiores y exteriores. Identifica los elementos de un polígono regular, centro, ángulo central, radio, apotema, perímetro y área. Aplica e integra conceptos, habilidades, actitudes y valores mediante la resolución de ejercicios, con respecto a polígono regular. Soluciona ejercicios con respecto a los polígonos regulares, buscando su apotema, área, etc., así como en situaciones reales. Trabaja colaborativamente con responsabilidad, solidaridad y respeto en sus actividades. Identifica los elementos de la circunferencia, diámetro, radio, cuerda, así como su ángulo central, inscrito, seminscrito y su área y su perímetro. Reconoce aciertos y dificultades en relación con los conocimientos aprendidos, las formas de trabajo y su participación en las actividades.

Bloque IV.- Funciones Trigonométricas Competencias disciplinares  Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 6

 

Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias genéricas   

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Criterios:          

 

Identifica los antecedentes históricos de la trigonometría. Aplica e integra conceptos, habilidades, actitudes y valores con respecto a las funciones trigonométricas. Reconoce aciertos y dificultades en relación con los conocimientos aprendidos, la forma de trabajos realizados y su participación. Identifica las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Soluciona ejercicios propuestos sobre las funciones trigonométricas. Relaciona la trigonometría con la tecnología mediante la sondas. Resuelve funciones trigonométricas de triángulos rectángulos en situaciones cotidianas. Trabaja colaborativamente con responsabilidad, solidaridad y respeto en sus actividades. Emplea el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas para solucionar ejercicios de triángulos rectángulos en situaciones cotidianas. Interpreta las tablas y las gráficas de las funciones trigonométricas en las que se describen el seno, coseno, tangente, cotangente, cosecante, secante mediante diferentes datos y valores. Valora la importancia de las gráficas de funciones trigonométricas en la vida cotidiana. Resuelve problemas de triángulos oblicuángulos con funciones trigonométricas en situaciones cotidianas e hipotéticas.

Bloque V.- Identidades Trigonométricas Competencias disciplinares 7



Argumenta la solución obtenida de un problema con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias genéricas  

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Criterios:   

   

Identifica las ocho identidades o relaciones trigonométricas fundamentales, ecuaciones trigonometrías (algorítmicas y exponenciales). Reconoce aciertos y dificultades en relación con los conocimientos aprendidos, las formas de trabajo y su participación en las actividades. Organiza la información resultante de su proyecto y la comunica al grupo o a la comunidad mediante diversos medios: orales, escritos con la ayuda de las tecnologías de la información y la comunicación. Trabaja colaborativamente con responsabilidad, solidaridad y respeto en sus actividades. Demuestra los resultados de su proyecto mediante diversos medios (por medio de láminas). Soluciona ejercicios con las identidades trigonométricas, ecuaciones exponenciales, algorítmicas, así como en situaciones reales. Elabora y desarrolla de manera más autónoma un plan de trabajo que oriente su investigación, mostrando responsabilidad, solidaridad y equidad.

Hola amigo, bienvenido seas al maravilloso mundo de las matemáticas. Aquí podrás aprender muchas cosas sobre los ángulos, triángulos, polígonos, circunferencia, funciones trigonométricas e identidades trigonométricas. 8Como habrás podido ver se te habla sobre las competencias disciplinares, genéricas y los criterios a desarrollar.

Metodología Este libro está basado en competencias y en las 10 acciones claves de la socioformación, basado en la realización de problemas del contexto y estrategias de aprendizaje en la elaboración de la V heurística, mapas conceptuales, cartografía conceptual. De ahí que toda competencia implica tanto la formación de saberes como su aplicación en el abordaje de problemas (Tobón 2012). Cada una de la actividades que se presentan es con el fin de reforzar los conocimientos adquiridos por lo estudiantes. Estructura de cada bloque:

Aquí se explica lo que contiene en cada una de las unidades.

 Portada de contenido del bloque  Competencias  Autoevaluación  Actividades  Sensibilización  Saberes previos  Problemas del contexto  Heurística  Proyecto integrador con trabajo colaborativo  Evaluación y metacognición

Esto significa que los estudiantes desarrollen sus saberes y los lleven a la práctica en un problema del contexto para que logren alcanzar el mayor desempeño posible.

Los estudiantes requieren de estrategias para desarrollar, potenciar y facilitar la formación de competencias posibilitando el desarrollo de la autonomía dado que el estudiante no depende del apoyo continuo del docente sino que puede dirigir su formación (Tobón 2012). En toda competencia es necesaria la metacognición, la cual consiste en

mejorar continuamente el desempeño para lograr una determinada meta mediante un proceso continuo de reflexión. Estas diez acciones claves que se manejan en la socioformación para ayudar en la formación de los estudiantes son:

1. Sensibilización 2. Conceptualización 3. Resolución de problemas 4. Valores y proyecto ético de vida 5. Comunicación asertiva 6. Trabajo colaborativo 7. Creatividad, personalización e innovación 8. Transversalidad 9. Gestión de recursos 10. Evaluación y práctica meta cognitiva Evaluación diagnóstica que cada estudiante debe responder al inicio de cada unidad para saber su grado de conocimiento. Ejercicio que se elaborará en equipo.

Ejercicio que se elaborará de manera individual.

Ejemplo del tema tratado en clase. Tarea de investigación. Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana. Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad. Aprendizajes a lograr, descritos al inicio de cada subtema. Vamos a comenzar con la unidad I, te vas a divertir y vas aprender, yo te voy a estar guiando. Me llamo Einstein. 10

Bloque I generalidades Propósito: Desarrollar la capacidad de la orientación espacial mediante el análisis y la representación de problemas que implican figuras en un clima de participación y responsabilidad.

Conceptos fundamentales:

Categorías:

Generalidades

Espacio Diversidad

Conceptos subsidiarios:

Valores que promueve:

Antecedentes históricos Conceptos básicos Método inductivo Método deductivo

Solidaridad Colaboración Ayuda mutua Disciplina

Antes de comenzar con el primer bloque vamos a reflexionar sobre lo que queremos y esperamos. Lee estas preguntas en voz alta y contéstalas con toda sinceridad, esto es a través de MAFDA; si no lo conoces, visita este link: http://issuu.com/cife/docs/e_book_metacognicion_madfa?e=2441428/2622030 ¿Sabes de qué se trata este bloque? ¿Qué conceptos básicos tienes de geometría y trigonometría? ¿Qué esperas de este bloque? Para saber sobre tus respuestas, te recomiendo que elabores un informe de tus preguntas.

Sensibilización Para comprender muy bien las generalidades y los antecedentes históricos de la geometría se verán los videos www.youtube.com/watch?v=Fs1wT9MwmHE . Este video da una explicación de los temas y ejemplos para la comprensión de dichos temas. Luego se harán comentarios sobre lo visto en los videos para saber si se comprendió lo que vieron, y de esta manera aclarar las dudas que tengan.

Saberes previos Formados en parejas, toma fotos de los lugares donde vives para poder clasificarlos de acuerdo a las etapas de la geometría y sus diferentes culturas de la antigüedad, además identifica los elementos de la geometría. Con esto tienes que formar un periódico mural que expondrás a tus compañeros de clase, puedes utilizar planos de casas u otros objetos. Lee la siguiente dirección que se te da: http://www.uco.es/~ma1marea/profesor/primaria/geometri/matemati/indice.htm

Actividad Actividad ::

Antes de comenzar elabora un mapa conceptual sobre la geometría y su importancia. (30 minutos)

Te sugiero esta página donde se describe cómo elaborar mapas conceptuales: http://youtube.googleapis.com/v/s2LwAq60MT0

GENERALIDADES Antecedentes Históricos Aprendizajes a lograr Conoce las diferencias de las aportaciones más relevantes que hicieron culturas como los babilonios, asirios, egipcios y los griegos. Identifica los personajes que le dieron el carácter de ciencia a la geometría.  Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.  

Sin duda alguna, ya estás familiarizado con figuras geométricas y algunas propiedades características de cada una de ellas; sin embargo, el propósito de este tema es que conozcas algunos hechos trascendentales a lo largo de la historia; y cómo algunas culturas de la antigüedad hicieron aportaciones importantes a la geometría. Como podrás recordar, la Geometría es una ciencia que estudia las propiedades de las figuras geométricas; sin embargo, es considerada como una de las Ramas de las Matemáticas más intuitivas y relacionadas con la realidad y que ha evolucionado en forma creciente en abstracciones y generalidades. En la historia de la humanidad se han hecho inventos que se basaron en propiedades y características de distintas figuras y cuerpos Ejemplo geométricos, como la rueda, cuya aplicación inicial fue al transporte y posteriormente se aplicó a los molinos de granos. En Egipto, la construcción de las pirámides requirió de conocimientos de la Geometría.

Actividad 1 Realiza la siguiente lectura y contesta el cuestionario localizado al final de esta actividad. Es muy importante que estos conceptos los comprendas para poder resolver el cuestionario. ( 20min)

Etapas de la Geometría Según escritos encontrados a lo largo de la historia de la humanidad, los hechos más importantes referidos a la ciencia de la Geometría apuntan a las culturas de los babilonios, los egipcios y los griegos. Sumerios –Babilonios. Las culturas que se desarrollaron alrededor de los ríos Tigris y Éufrates de la antigua Mesopotamia fueron los sumerios, acadios, asirios y babilonios. Con la necesidad de resolver algunos problemas comunes, ya calculaban áreas de algunas figuras geométricas, como el rectángulo y el triángulo. Se les atribuye la invención de la rueda y la obtención del grado sexagesimal como proceso de dividir la circunferencia en 360 partes iguales. Establecieron las primeras aproximaciones de pi (mediante la relación numérica entre el diámetro y su circunferencia). Egipcios Debido a que la población vivió prácticamente en los márgenes del rio Nilo, su principal actividad fue la agricultura. Uno de los problemas que enfrentaron fue los desbordamientos de los ríos en época de lluvia que literalmente arrasaban con las tierras de cultivo; así, constantemente tenían que realizar medidas de perímetros y áreas para delimitar sus parcelas con la finalidad de calcular el nuevo pago de impuestos que debían hacer como dueños del terreno. De aquí que el término “Geometría” provenga del vocablo Griego “Geo” (tierra) y “metría” ( medida) y que significa medidas de tierras; así que prácticamente se le atribuye el descubrimiento de la geometría a raíz de ese fenómeno. Además, calcularon áreas de Ejemplo triángulos como el isósceles, trapecio y círculo, así como volúmenes de poliedros como el caso de las pirámides. Dieron un valor aproximado para igual a 3.1604 como herramienta de medición característica de esa fecha. Surge el cordel como regla y compás para la construcción y diseño de las pirámides. Griegos Los primeros tratados formales de la geometría datan de la época de Tales de Mileto, famoso por su teorema de las rectas paralelas y por haber hecho las primeras aproximaciones de las alturas de las pirámides de Egipto mediante la proporcionalidad entre los lados de los triángulos semejantes, así como por haber fundado la escuela Jónica. 14

Pitágoras de Samus se distinguió entre los discípulos más destacados, famoso por su teorema del triángulo rectángulo. Otro personaje famoso fue Arquímedes de Siracusa, quién descubrió diversas formas de medir la superficie de algunas figuras curvas, así como el área y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas como los cilindros. Aunque sobresalieron otros personajes famosos por sus contribuciones, sin duda el personaje considerado por algunos como el que le dio un orden lógico a todas las aportaciones de la Geometría fue Euclides de Alejandría, quién escribió la obra cumbre llamada los Elementos. Esta obra consiste de 13 tomos o volúmenes considerados como la base de la Geometría Elemental o Euclidiana; dichos manuscritos contienen todas las contribuciones en orden lógico compuestas por toda la base axiomática, sus postulados, teoremas y lemas.

Cuestionario: 1.- Nombre de las culturas que se establecieron en la antigua Mesopotamia y que se les atribuye la invención de la rueda. _____________________________________________. 2.- La _______________________________significa medida de tierras. 3.- Los ______________________________ le dieron carácter de ciencia a la geometría. 4.- _____________________________fue quién estableció el teorema entre las rectas paralelas y realizó las primeras aproximaciones de la altura de las pirámides de Egipto. 5.- En_______________________ se realizaban cálculos de perímetros y áreas debido al desbordamiento del río__________________. 6.- Este personaje _________________________ estableció el teorema que lleva su nombre y que relaciona los cuadrados de los lados del triángulo____________________. 7.- Cultura que aproximo el valor de _________________________________ 8.- _______________________fue quien organizó toda la teoría de la Geometría agrupándola en _____________volúmenes. 9.- Esta cultura _____________________ dividió la circunferencia en _______ obteniendo así el grado_________________________. 10.- Es el nombre que recibió la obra más famosa de la antigüedad y donde se organiza y establece toda la teoría axiomática de la Geometría._____________________________.

Actividad2 :

Después de haber leído y contestado el cuestionario, elabora un mapa conceptual de las Etapas de la Geometría. (20 min)

Te sugiero esta página donde se describe cómo elaborar mapas conceptuales: http://youtube.googleapis.com/v/s2LwAq60MT0

Conceptos Básicos Dentro de la Geometría existen algunos elementos considerados, por algunos, como conocimientos primitivos, por no poderse definir apropiadamente y que se consideran como la base de la construcción de todas las figuras y cuerpos geométricos. Aprendizajes a lograr  Define los elementos básicos en la construcción de figuras geométricas.

Ejemplo

Para poder trazar una línea siempre partimos de un punto; para dibujar un ángulo utilizamos dos líneas que parten de un mismo punto; para dibujar un plano o superficie es necesario utilizar por lo menos tres líneas; para construir un cuerpo geométrico utilizamos superficies o planos.

Tarea de investigación no. 1 Investiga de manera individual cuáles son los elementos básicos de la geometría y realiza el ejercicio No. 1 de manera individual. (Esta actividad es para su casa)

Actividad 3 (20min) Con base en lo investigado previamente, completa la siguiente tabla y comenta tus resultados ante el grupo. Respetando los puntos de vista de tus compañeros y colabora con ellos. Es muy importante que comprendas estos conceptos para poder resolver la actividad. Elementos Geométricos

Ideas o concepción

Representación

Notación

Se considera carente de dimensiones y se determina a partir de la huella que deja la punta del lápiz o pluma. Se caracteriza por medio de una sucesión continua de puntos con misma dirección. Plano

Segmento de recta

Actividad 4:

Después de haber realizado la actividad anterior, elabora un mapa conceptual de los elementos de la geometría. (30 min.)

Te sugiero esta página donde se describe cómo elaborar mapas conceptuales: http://youtube.googleapis.com/v/s2LwAq60MT0

Cómo pudiste ver y leer en esta unidad, se habló sobre la historia de la Geometría. Realiza las actividades que ayudarán a saber más sobre la geometría y sus avances.

NOTA CURIOSA: Euclides, en el libro más famoso de la Historia de las Matemáticas, recoge gran parte de los conocimientos Pitagóricos sobre los números y define los números primos y compuestos de forma geométrica: un número entero es compuesto cuando tiene divisores distintos de él mismo y de la unidad, es decir, cuando se puede dibujar como un rectángulo numérico.

Ojo: ¿Estoy comprendiendo las metas a lograr en la actividad? ¿Cómo voy con las actividades? ¿Te han sido difíciles? ¿He realizado las actividades de acuerdo con lo planeado? ¿He llegado a las expectativas que tenía desde el principio?

Proyecto

(Este proyecto se elabora en tu casa para el día siguiente)

Con los conceptos básicos estudiados de la geometría, en trabajo colaborativo y respetando los puntos de vista, realizar un tríptico, en el cual incluye la información de los conceptos básicos, los cuales representaremos por imágenes de nuestro entorno, fotografías o dibujadas, en lo cual debemos tener en cuenta: a. Realicen las fichas de los temas vistos. b. Archiven imágenes del entorno relacionadas con los conceptos estudiados. c. Coloquen las imágenes de acuerdo con las etapas de la geometría. d. Con los títulos en inglés.

Método Deductivo Aprendizajes a lograr

 Describe las características principales del método deductivo.  Describe las distintas proposiciones lógicas que hacen del método deductivo su consistencia. Sin duda alguna, fue el razonamiento adoptado por los griegos les permitió construir de forma lógica toda la teoría axiomática de la Geometría logrando alcanzar el carácter de ciencia. Este método consiste en encadenar de forma lógica enunciados o proposiciones verdaderas de tal forma que se puedan obtener nuevos conocimientos verdaderos a partir de ellos. Aunque no todas las proposiciones se pueden deducir de otras, la validez o veracidad de estas las hace clasificarse en axiomas, teoremas, postulados, corolarios, lemas y escolios. Una característica significativa de este razonamiento es que comúnmente parte de leyes generales para aplicarlas a casos particulares. Enunciados escritos en forma deductiva:

Ejemplo

a. Los ángulos interiores de un triangulo suman 180°. b. El triangulo rectángulo tiene un ángulo recto. c. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo suman 90°.

Tarea de investigación no. 2 Investiga en qué consiste el método deductivo y cuáles son el tipo de proposiciones utilizadas y en qué consiste cada una de ellas. Contesta el ejercicio No. 2 de manera individual. (Actividad para tu casa)

Actividad 5 Individual (10 min.) Con base en lo investigado previamente, coloca sobre las líneas la palabra “axioma”, “postulado”, “teorema”, “lema” o “corolario” según la información obtenida.Es muy importante que estos conceptos los comprendas para poder resolver la actividad. 1.- El ____________________ es una proposición que sirve de base a la demostración de un teorema considerado en ocasiones como un teorema preliminar a otro que se considera más importante. 2.- Esta proposición se deduce de un teorema como consecuencia del mismo. _______________________. 3.- Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin ninguna demostración _____________________. 4.- El _____________________es una proposición que puede ser demostrada mediante el uso de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición. 5.- Se le llama así a la proposición que a pesar que no es tan evidente se admite sin demostración.________________________.

Sabias que: ↠ 1º < > 60’ ↠ 1’ < > 60’’ ↠ 1º < > 3600’’

Método Inductivo

Aprendizajes a lograr Definir el método inductivo. Generalizar una propiedad a partir de situaciones particulares Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. Prácticamente es lo opuesto al método deductivo por partir de situaciones particulares y llegar a conclusiones que generalizan una situación determinada. Aunque en ocasiones suele ser un poco impreciso debido a que no todo el tiempo se puede generalizar una situación particular o sacar predicciones o conjeturas verdaderas. En Matemáticas puede ser útil para inducir alguna expresión que generaliza una situación en particular.

Otro ejemplo que genera una conjetura falsa es el caso siguiente: Supongamos que un alumno se ha dado cuenta que el último viernes de cada mes, durante los últimos tres meses, el maestro ha venido poniendo exámenes sorpresa. Esto no garantiza que el último viernes del próximo mes el maestro aplicará un examen sorpresa.

Tarea de investigación no. 3 (30 min) Investiga en qué consiste el método inductivo y realiza la cartografía.

DATO CURIOSO: La geometría (medición de tierra) se inició, como ciencia, en el antiguo Egipto y en Babilonia por la necesidad de realizar mediciones terrestres.

Ejercicio

(20min)

Considera la investigación realizada y reúnete en parejas. Resuelvan las situaciones siguientes y comenten los resultados de manera grupal. Respetando y colaborando con tus compañeros. 1.- Explica brevemente en qué consiste el método inductivo y da un ejemplo.

2.- ¿Cuántos cuadros tendrá la figura siguiente? ___________

3.- Observa la situación siguiente y concluye cuántos apretones de mano se darán 7 personas. __________________________

1 persona

2 personas

3 personas

4 personas

Mapa de aprendizaje Competencia: Generalizar una propiedad a partir de situaciones particulares. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 15 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo en Participa en actividades Participa en actividades de un equipo haciendo lo que le de equipo resolviendo las actividades de grupo o en corresponde haciéndolo dificultades y conflictos equipo para plenaria. con responsabilidad. que se presentan, para coordinar acciones En el trabajo en equipo lograr sus metas y propone acciones tiene tolerancia y respeto establecidas. o mecanismos para en la ideas de los demás. lograr las metas al Busca el entendimiento máximo. con los demás miembros de su equipo. 2% 3% 4% 6% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

En este mapa de aprendizaje evalúa en qué nivel te encuentras; asimismo, serás evaluado por un compañero y por tu maestro.

Ejercicios para aplicar lo aprendido

(20 min)

Escribe sobre la línea las palabras: “línea horizontal”, “líneas paralelas”, “línea vertical”, "ángulo, plano” y “líneas perpendiculares” según lo indique cada una de las letras en la vivienda. a: ______________________ B: ______________________ C: _____________________ D: _______________________ E: _____________________ F: _____________________ a

F C

¡Hagamos una reflexión! Es necesario que hagas una reflexión con respecto a tus compromisos. Esto quiere decir, hacer una metacognición. ¿Qué metas logré respecto a las metas esperadas? ¿En qué grado alcancé las metas? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¿Cuáles son algunos de los errores más comunes que cometí en la actividades y cómo puedo corregirlos? ¿Apliqué las actitudes y habilidades necesarias? ¿Me hizo falta algo? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¿Qué plan de mejora propongo? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

¡Esfuérzate y conseguirás todo lo que te propongas! 24

(20 min)

Responde las siguientes preguntas. 1. ¿Quién colocó la piedra angular de la geometría científica? Rpta:______________________ 2. ¿Cómo contribuyó Euclides en el avance de la geometría? Rpta.______________________ 3. El libro de Euclides se denominó: Rpta.______________________ 4. ¿Quiénes introdujeron los problemas de construcción? Rpta.______________________ 5. ¿Quiénes estudiaron a las curvas conocidas como “cónicas”? Rpta._______________________ 6. ¿En qué contribuyó Arquímedes? Rpta.______________________ 7. ¿Quiénes desarrollaron la geometría no Euclídea? Rpta.______________________ 8. ¿Cuál es el concepto de geometría? Rpta.______________________ 9. Diga cuáles son los otros campos de la geometría. Rpta.___________________ 10. ¿En qué época la geometría tuvo un letargo en su avance? Rpta. ___________________ 11. ¿Cuáles son los tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega? Rpta.____________________ 12. ¿Quiénes impulsaron los modernos avances de la geometría? Rpta. ___________________ 25

13. ¿Qué es la geometría demostrativa? Rpta.___________________ 14. ¿Qué matemático escribió el “Discurso del Método”? Rpta.____________________ 15. ¿En qué se interesaban los primeros geómetras? Rpta._____________________ 16. En una recta se toman los puntos consecutivos P, Q y R, PR =20; QR = 4. Hallar PQ Rpta. 17. Hallar BC, si AC = 9; BD = 11, AD = 15 A

Remarca el círculo de acuerdo a tu respuesta: 18. Parte de la matemática que se ocupa de las propiedades en su forma más elemental: A) Astronomía B) Geometría C) Topología D) Física E) Química 19. Uno de los campos de la geometría es: A) Topología B) Geografía C) Meteorología

D) Astronomía

E) Geología

20. Matemático que colocó la piedra angular de la geometría científica: A) Euclides B) Apolonio C) Arquímedes D) Pitágoras E) Descartes 21. En una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C; AC = 30, BC = 12. Halla AB: A) 16 B) 15 C) 14 D) 18 E) 20

Respuestas: 18 19 20 21

oA oA oA oA

oB oB oB oB

oC oC oC oC

oD oD oD oD

oE oE oE oE

Actividad 6:

Para

repasar,

Con todo lo visto en esta unidad, elabora la cartografĂa como lo muestra la siguiente figura: (30min)

visita

esta

www.slideshare.net/Julio1960/rectas-y-ngulos-

pĂĄgina:

ejerciciossolucionario.

Cómo me evalúo Después de haber terminado el bloque I es necesario que yo sepa qué he logrado y qué debo mejorar de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Autoevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

Cómo evalúo a mi compañero: En esta parte es necesaria la coevaluación a tu compañero, así como a ti uno de tus compañeros te coevaluen para saber cuál es el nivel que has alcanzado de acuerdo al mapa de aprendizaje, esto con el fin de mejorar.

Coevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

Es hora de la heteroevaluación Esta parte es elaborada por el maestro para saber en qué nivel de desempeño me encuentro en mis actividades realizadas, esto de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Heteroevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

En qué nivel me encuentro A continuación se te presenta el mapa de aprendizaje de desempeño has logrado.

Momento de saber a qué nivel llegué y las metas que logré, y de hacer la metacognición.

para que ubiques qué nivel

Criterios:

Mapa de aprendizaje del bloque I Receptivo Resolutivo Autónomo

Argumenta la importancia de la aportación de la geometría a través de un mapa conceptual.

No reconoce la importancia de la geometría, ya que no elabora su mapa conceptual.

Reconoce la importancia de la geometría de acuerdo a su mapa conceptual.

Identifica la presencia de las formas de las figuras geométricas en la naturaleza que nos rodea.

Identifica la presencia de las Formas geométricas en la naturaleza que le rodea.

Reconoce la presencia de las Formas geométricas en la naturaleza que le rodea.

Describe las características y tipos de las rectas, punto, línea, recta, segmentos, semirrecta y plano. Trabaja colaborativamente, responsabilidad, solidaridad y respeto en sus actividades. Evidencia(s): Actividades del bloque Proyecto del bloque Ejercicios cuestionario

Desarrolla un ambiente en donde no hay respeto ni tolerancia hacia sus compañeros y sus ideas.

Colabora con sus compañeros en la resolución de las diversas actividades en un buen ambiente.

Trabaja de manera colaborativa en un ambiente de respeto y tolerancia hacia sus compañeros.

El proyecto no El proyecto contiene los contiene los lineamientos lineamientos pedidos. pedidos.

Contiene el proyecto los lineamientos pedidos además de que se pueden apreciar dentro del mismo.

Valor: 100%

0 -40%

40-70%

Argumenta la importancia de la geometría de acuerdo a su mapa conceptual, pero no de manera sólida. Reconoce la presencia de las Formas geométricas en la naturaleza que le rodea, así como su concepto de cada uno.

70-90%

Estratégico Argumenta la importancia de la geometría de acuerdo a su mapa conceptual, de manera sólida. Reconoce la presencia de las formas geométricas en la naturaleza que le rodea, así como su concepto de cada uno, notación y sus elementos. Trabaja de manera colaborativa en un ambiente de respeto y tolerancia hacia sus compañeros, en donde respeta cada uno de sus puntos de vistas en cada una de las actividades. Argumenta los elementos del proyecto de una manera en la cual toma la iniciativa en una presentación innovadora.

90-100%

Al término de la autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación es necesario que hagas una reflexión sobre el nivel de desempeño que has alcanzado y cómo puedes hacer para mejorar tu nivel de desempeño. ¿Cuáles son las metas que logré? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

¿Cómo llegué a esas metas? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

¿Qué podría hacer para mejorar? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

¿En qué otras facetas de mi contexto podría aplicar estos saberes? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

¡Mucho ánimo, no pierdas tus metas, sigue hasta conseguirlas! 31

Glosario GEOMETRIA: La geometría es una rama de la matemática que estudia las propiedades las figuras en el plano o en el espacio. PUNTO: El punto es el elemento de representación más simple. INTERSECCION: Conjunto que contiene los elementos comunes a los conjuntos dados. Punto donde se cruzan dos líneas. SEGMENTO: Es la parte de la recta que está delimitada por dos puntos que son los extremos del segmento, por tanto, se puede medir su longitud. LÍNEA: La línea es una figura geométrica que se genera por un punto en movimiento. RECTA: La recta es la línea más corta que une dos puntos. Conjunto continuo de puntos, alineados en una dirección constante. CURVA: Conjunto de puntos que cambian continuamente de dirección. PERPENDICULAR: Es un término geométrico que puede ser usado como nombre o adjetivo. El significado del término hace referencia a la posición relativa de dos líneas rectas cuando forman un ángulo de noventa grados, un ángulo recto. SIMETRÍA: La propiedad de un objeto o figura cuando las características (forma, tamaño y posición relativa de sus partes) son las mismas en ambos lados de una línea divisora o entorno a un centro. PLANO: Es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor. El plano tiene dos dimensiones. La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, la circunferencia y el círculo.

Has terminado la unidad. Hiciste muchos ejercicios para practicar. Reflexionaste tus metas y lo que necesitas hacer para mejorar. Cómo pudiste ver, la unidad aporta datos curiosos. Para terminar, hay un glosario de los conceptos de la unidad.

Bloque II Ángulos y Triángulos Propósito: Desarrollar la capacidad de la orientación espacial mediante el análisis y la representación de problemas que implican figuras en un clima de participación y responsabilidad.

Conceptos fundamentales:

Categorías:

 Ángulos  Triángulos

 Espacio  Diversidad

Conceptos subsidiarios:        

Valores que promueve:    

Noción y clasificación Sistema de medición Conversiones Teoremas Noción y clasificación Rectas y puntos Teoremas Ángulos interiores y exteriores

Solidaridad Colaboración Ayuda mutua Igualdad

Bloque II.- Competencias disciplinares Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Interpreta tablas, gráficas, mapas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Competencias genéricas Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Mide los siguientes ángulos y clasifícalos.-



m = --------





m = --------

m = ------

Dibuja un ángulo obtuso, uno agudo y uno recto.-

Dibuja un ángulo de 500, otro de 900, y otro de 1200.

Comienzo la unidad II con mis saberes previos, para luego hacer una reflexión para comprometerme.

Antes de comenzar con este bloque vamos a reflexionar sobre lo que queremos y esperamos. Lee estas preguntas en voz alta y contéstalas con toda sinceridad, esto es, a través de MAFDA; si no lo conoces visita este link: http://issuu.com/cife/docs/e_book_metacognicion_madfa?e=2441428/2622030 ¿Sabes de qué se trata este bloque? ¿Qué conceptos básicos tienes de geometría y trigonometría? ¿Qué esperas de este bloque? Para saber sobre tus respuestas, te recomiendo que elabores un informe de tus preguntas.

1) 2) 3) 4) 5)

¿Qué elementos geométricos básicos descubres en cada una de las imágenes? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¿Qué figuras geométricas están presentes? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¿Tendrán alguna clasificación las figuras identificadas? ¿Cuál es? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

¡Esfuérzate y conseguirás todo lo que te propongas!

Prueba: Título: Ángulos Materia: Geometría y Trigonometría Semestre: III semestre Ponderación: 10% Instrucciones: Tiempo asignado: 30 minutos Recursos a utilizar durante el desarrollo de la prueba: hoja de apuntes y calculadora Competencia a Resuelve ejercicios aplicando los ángulos y sus clasificaciones, y evaluar: sus medidas, a través de ecuaciones matemáticas en problemas del contexto. Situación- problema Un gato espanta dos ratones que están comiendo maíz en un del granero. El primer ratón sale corriendo con un ángulo de x + 20 con contexto: respecto al Este; el segundo, con un ángulo de x + 12 con respecto al Oeste. Ambos ángulos suman 52° y forman un ángulo plano con el que existe entre las direcciones que corrieron los ratones, encuentra:

Pregunta 1. Cuál es la opción y justifique: El diagrama que se te presenta corresponde: a) Ángulo b) suplementario c) complementario d) segmento X + 12 E

X + 20

Estudiante: Opción seleccionada (a) O Explicación: porque la suma de las dos ecuaciones forman un ángulo suplementario que es igual a 180° ya que de O al E forma un ángulo de 180°

Resultados esperados: Evaluar la información de ángulo a partir del diagrama que se le da a partir de datos en situaciones reales. Nivel receptivo Explicación: Porque la pregunta solo aborda la identificación de la información a través de la representación del diagrama Opción: (a) Argumentación:

Valor: 1%

a) La medida Cuál es la opción y justifique: del ángulo con el que salieron a) x = 74 corriendo los b) x = 9 dos ratones. c) x = 20 d) x = 10 X + 12 E

X + 20

Estudiante: Opción seleccionada (a) Explicación: al sumar las dos O ecuaciones y sustituirlas por 180° y resolver las ecuaciones nos da como resultado 74 para x.

Valor: 3%

b) La medida Cuál es la opción y justifique: con respecto a los puntos de referencia a) E = 45 y O = 34 de cada uno. b) E = 30 y O = 22 c) E = 25 y O = 15 d) E = 56 y O = 70

Está definido dentro de la definición y se demuestra a través de la representación de un diagrama para poder saber los ángulos representados en las ecuaciones. Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo a ecuaciones de primer grado, así como ángulos y sus clasificaciones y medidas. Nivel autónomo Explicación: Porque la respuesta requiere analizar y comprender el problema del contexto para planear y así poder aplicar la ecuación y determinar la ecuación. Opción: (d) Argumentación: Se elabora la formación de las dos ecuaciones de primer grado con una incógnita, con el valor del ángulo que se formó y esto no hace llegar al valor de x, el cual es la medida del ángulo. Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo a ecuaciones de primer grado, así como ángulos y sus clasificaciones y medidas. Nivel estratégico Explicación: Porque la respuesta requiere analizar y comprender el problema del contexto para

Valor: 3% X + 12 E

Estudiante: Opción seleccionada (b) X + 20 Explicación: al utilizar cada ecuación con la formación de su ángulo igual a 52° al despejar nos O da la opción b.

El ángulo Cuál es la opción y justifique: que existe entre la dirección de a) y = 100° carrera de b) y = 45° ambos c) y =128° ratones. d) y = 15° Estudiante: Opción seleccionada (c) Valor: 3% Explicación: al encontrar el valor de E y O se realiza la suma de todos los ángulos, el cual es un ángulo suplementario que es igual a 180°

planear y así poder aplicar la ecuación y determinar la ecuación. Opción: (b) Argumentación: Después de haber llegado al valor de x, el cual es la medida del ángulo, se sustituye en cada una de las ecuaciones para poder encontrar la referencia de cada uno de los ratones.

Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo a ecuaciones de primer grado, así como ángulos y sus clasificaciones y medidas. Nivel autónomo Explicación: Porque la respuesta requiere analizar y comprender el problema del contexto para planear así poder aplicar la ecuación y determinar la ecuación. Opción: (c) Argumentación: Se busca el ángulo que existe entre la dirección de carrera de ambos ratones a través de la suma de todos sus ángulos suplementarios.

Autoevaluación. Prueba escrita por competencias Nombre: Roxana Castillo Morales Nivel Receptivoreproductivo

Identifica parcialmente la definición de la clasificación y los teoremas de los ángulos, en la resolución del problema del contexto.

Ponderación

Resolutivo

Autónomo

Resuelve un problema del contexto usando la clasificación y los teoremas de los ángulos de manera mecánica.

Resuelve un problema del contexto con la clasificación y los teoremas de los ángulos abordando la mayoría de los aspectos implicados en forma autónoma.

Resuelve completamente un problema del contexto con el procedimiento pertinente y el logro de los resultados esperados.

Evaluación: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

Nivel: Autónomo Nota: 8 Estratégico

Logros:

Acciones para mejorar: .

¡Hagamos una reflexión! Al comenzar el bloque es necesario que hagas una reflexión con respecto a tus compromisos. Esto quiere decir hacer una metacognición. ¿De qué manera realizo las actividades sugeridas con el fin de lograr las metas iniciales? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¿Cuáles son algunos de los errores más comunes que cometo en la actividades y cómo puedo corregirlos? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¿Qué plan de mejora propongo? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

¡Esfuérzate y conseguirás todo lo que te propongas! 39

Sensibilización Para comprender muy bien los conceptos de los temas de ángulos y triángulos se verán los videos www.youtube.com/watch?v=KDPRW_rFVek y www.youtube.com/watch?v=z4Eg9tKMyGA . Estos videos muestran una explicación de los temas y ejemplos para la comprensión de dichos temas, para luego hacer un debate de los videos para saber si se comprendió lo que vieron, y de esta manera aclarar las dudas que tengan

Saberes previos En tu entorno, en tus lugares de convivencia, con tus amigos y familiares, identifica las figuras geométricas, y escribe en tu diario las figuras que identificaste junto con las fotos. Haz que te ayuden tus amigos y familiares a identificar y que te den su opinión, pregunta si las conocen y si saben cómo están clasificadas esas figuras geométricas y los valores de sus ángulos. ÁNGULOS

Momento de comenzar con este tema. Resuelve los ejercicios y las pruebas que se te dan.

Notación y clasificación

Aprendizajes a lograr  Define y representa de forma simbólica y geométrica a los ángulos  Diferencia con efectividad a los ángulos de acuerdo a su medida y comparación con otro.  Nombra a los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una secante o transversal. En la vida cotidiana estamos rodeados de figuras geométricas, y muchas de ellas tienen como elementos los ángulos.

Ejemplo

Actividad 7 Individual (20min) Revisa la siguiente información referente a la definición, notación y clasificación de los ángulos y contesta la actividad al final de la lectura.

Cuando dos rectas se cortan o intersectan, dividen al plano en cuatro regiones llamadas ángulos. En particular si nos referimos a uno de ellos, entonces un ángulo es el que se forma por dos semirrectas que parten del mismo punto. Las semirrectas reciben el nombre de lados del ángulo y el punto de partida se llama vértice. Lado

Vértice

Ángulo Lado

En la notación de los ángulos se utiliza el símbolo ˂ precedido de una letra mayúscula que se coloca en el vértice, o tres letras mayúsculas cuidando que la que se encuentra en el vértice quede en medio de las otras dos; también se utiliza una letra minúscula o un número arábigo que se coloca dentro del ángulo; la letra minúscula también puede ser una letra del alfabeto griego.

En base a su medida los ángulos reciben diferentes nombres:

El matemático Karl Gauss, cuando era un estudiante de colegio a la edad de 6 años, su profesor al igual que a toda la clase, les pidió que calcularan la suma de los números del 1 al 100. Obviamente este profesor pensó que esta operación les tomaría bastante tiempo, más aún si en ese entonces no existían las calculadoras. Sin embargo, el pequeño Karl pudo hacerlo en tan solo unos minutos, dejando impresionado a su profesor.

Actividad 8:

Escribe el nombre correspondiente entorno a la medida de cada uno de los ángulos identificados en la vivienda. (20min)

B C

<A __________________ <B______________________ <C ____________________ <D __________________ <E ______________________

Cuando un ángulo comparte elementos en común con otro, entonces estos ángulos reciben diferentes nombres dependiendo de la posición y amplitud de cada uno de ellos. Una recta que corta a dos rectas paralelas forma con ella 8 ángulos. Por la posición que tiene cada uno de ellos reciben diferentes nombre s. Los ángulos < a y < b reciben el nombre de ángulos externos.

Investigación 4 Investiga en qué consisten los ángulos adyacentes, consecutivos, opuestos por el vértice, complementarios, suplementarios, conjugados y los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante o transversal (por Internet, libros, etc.). (Actividad para la casa)

Actividad 9:

Después de haber realizado la investigación, realiza un mapa mental de los ángulos adyacentes, consecutivos, opuestos por el vértice, complementarios, suplementarios, conjugados y los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante o transversal. (Actividad para la casa) Te sugiero esta página donde se describe cómo elaborar mapas conceptuales: http://youtube.googleapis.com/v/s2LwAq60MT0

Actividad 10 (50min) Reúnete en pareja y tomando como referencia la tarea de investigación, realiza la siguiente actividad y compara tus respuestas ante el grupo. Respeta a tu compañero y trabaja colaborativamente. . Es muy importante que comprendas estos conceptos para poder resolver la actividad I.- Identifica los ángulos que correspondan en cada figura y escribe en la segunda columna el número o números que correspondan al tipo de ángulos de acuerdo a su definición. 2

5 4 b

ÁNGULOS Complementarios Adyacente Suplementarios Consecutivos Conjugados Opuestos por el vértice

FIGURA No. 2y

2.- Escribe en los espacios en blanco la palabra que concuerde con el enunciado. a) Son dos ángulos que sumados equivalen a 90° ________________________ b) Los ángulos ___________________________suman 360° c) Los ángulos________________________ son los que están formados de tal manera que un lado es común y los otros dos pertenecen a la misma recta. d) _____________________________tienen el mismo vértice y los lados de uno son las prolongaciones del otro además son iguales. e) Los ángulos_________________________ suman 180°. f) Son aquellos que tiene un lado en común y el mismo vértice. ____________________ 45

3.- Identifica en la siguiente figura el nombre que corresponda a las siguientes letras representadas en la recta con transversal:

NOMBRE DEL ÁNGULO Externos Internos Alternos-externos Alternos-internos Correspondientes

LETRAS <a <e <ay<h <cy<f <a=<e

Mapa de aprendizaje Competencia: Diferencia con efectividad a los ángulos de acuerdo a su medida y

comparación con otro. Nombra los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una secante o transversal. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 15 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo en Participa en actividades Participa en actividades de un equipo haciendo lo que le de equipo resolviendo las actividades de grupo o en corresponde haciéndolo dificultades y conflictos equipo para plenaria. con responsabilidad. que se presentan, para coordinar acciones En el trabajo en equipo lograr sus metas y propone acciones tiene tolerancia y respeto establecidas. o mecanismos para en la ideas de los demás. lograr las metas al Busca el entendimiento máximo. con los demás de su equipo. 2% 3% 4% 6% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

Sistemas de medición Aprendizajes a lograr  Identifica y diferencia las características propias de cada sistema de medición  Realiza conversiones de la forma sexagesimal a decimal y viceversa . 

Las unidades de medidas angulares más comunes son los grados sexagesimales y lo radianes. El sistema sexagesimal consiste en la división de la circunferencia en 360m partes iguales, una de esas partes corresponde a un grado 1°. A su vez, cada grado se divide en 60 partes iguales llamadas minutos (´) y cada minuto en 60 partes iguales llamados segundos (”). Un ángulo que mida 23 grados con 15 minutos y 12 segundos se escribe como: 23° 15´12”.

El sistema Circular: su unidad de medida es el radián (rad), consiste en la abertura de un ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia y sus lados cortan un arco cuya longitud es igual al radio de la misma.

Ejemplo

Generalmente utilizamos medidas angulares como 23.42° la cual llamaremos forma común o decimal. Para expresarla a la forma sexagesimal, se multiplica la parte decimal por 60. (0.42°) x 60 =25.2´ entonces tenemos 25 minutos (25´) y la parte decimal (0.2´) x 60 = 12”. Por lo tanto la medida 23.42° = 23° 25´12”.

Si se tiene un ángulo en forma sexagesimal 42° 25´ 42” para convertirlo a la forma común, dividimos 42”/60 = 0.7 y lo sumamos a los minutos 25´+ 0.7 = 25.7´ y dividimos de nuevo entre 60. 25.7´/60 = 0.428° y se lo sumamos a lo grados obteniendo 42.428° = 42° 25´42”.

Actividad 11 Individual

(30min)

Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada parte.

I. Convierte cada medida a la forma sexagesimal. a) 42.543° = _______________________ b) 56.5° = _______________________ c) 75.92° = _______________________ II. Convierte las siguientes medidas a la forma decimal. a) 45° 42´56” = _____________________ b) 79° 10´40” = _____________________ c) 210° 32´45” = ____________________

Conversiones

Aprendizajes a lograr  Conoce y aplica la equivalencia en la conversión de unidades angulares.  Realiza conversiones de grados a radianes y radianes a grados.  Realiza conversiones entre el sistema de radianes a grados como múltiplos.

De acuerdo a definición del radián, hay 2rad en la circunferencia, entonces como Consecuencia 2rad = 360° ó rad = 180°

Si rad = 180° ¿cuántos grados equivale 1 radián? Utilizando una regla de tres simple: Ejemplo

1 rad = 180/3.1416 = 57.29° = 57° 17´ 44” 48

Para convertir 1.5 rad a grados solo se multiplica por 57.29° 1.5 (57.29°) = 85.935° Para convertir 200° a radianes solo se divide entre 57.29° 200°/57.29° = 3.49 rad

Actividad 12 Individual (20min) Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada parte y comparte tus respuestas ante el grupo. I. Utiliza la equivalencia 1rad = 57.29° y convierte las siguientes medidas a grados. a) 6 rad = __________________ b) 1.4 rad = __________________ c) 4.5 rad = __________________ II. Utiliza la equivalencia 1rad = 57.29° y convierte las siguientes medidas a radianes. d) 400° = ___________________ e) 160° = ___________________ f) 80° = __________________

Cuando la medida de un ángulo está como múltiplo de n radianes, se sustituye este valor por 180°. Si queremos convertir rad implemente sustituimos Otro caso

por 180° en este caso

Actividad 13.- Reúnete en parejas y completa la tabla siguiente utilizando los ejemplos anteriores, posteriormente comparte tus respuestas ante el grupo. Respetando los puntos y colaborando con tus compañeros. (50min)

Radianes Grados

30°

Actividad :

45°

90°

120°

180°

210°

270°

Resuelve cada uno de los siguientes ejercicios:

1.- Al expresar en grados a se obtiene: a) 60° b) 170° c) 360° d) 270° e) 300° 2.- Expresar 3/2 radianes en grados, nos da como resultado: a) 100° b) 720° c) 270° d) 150° e) 60°

Esta es la última actividad y se te da unas direcciones electrónicas para poder practicar los ejercicios que has fallado más.

3.- Al cambiar 4π/5 a grados se obtiene como resultado: a) 144° b) 414° c) 414° d) 414° e) 144°

Después de haber terminado, puedes visitar esta página: www.slideshare.net/Julio1960/losngulosejercicios-solucionario www.rinconmaestro.es/matematicas/actividades/actividades451.pdf

¡Esfuérzate y conseguirás todo lo que te propongas!

Cómo me evalúo Después de haber terminado el bloque II es necesario que yo sepa qué he logrado y qué es debo mejorar de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Autoevaluación: Nivel:

Logros:

Aspectos a mejorar:

Cómo evalúo a mi compañero: En esta parte es necesaria la coevaluación a tu compañero, así como a ti uno de tus compañeros te coevalúen para saber cuál es el nivel que has alcanzado de acuerdo al mapa de aprendizaje, esto con el fin de mejorar.

Coevaluación: Nivel:

Logros:

Aspectos a mejorar:

Es hora de la heteroevaluación Esta parte es elaborada por el maestro para saber en qué nivel de desempeño me encuentro en mis actividades realizadas, esto de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Heteroevaluación: Nivel:

Logros:

Aspectos a mejorar:

En qué nivel me encuentro A continuación se te presenta el mapa de aprendizaje

para que ubiques qué nivel

de desempeño has logrado.

Momento de saber a qué nivel llegué y las metas que logré, y de hacer la metacognición.

Mapa de aprendizaje del bloque II Receptivo Resolutivo Autónomo

Criterios: Reconoce las figuras geométricas y sus ángulos de medida y conoce sus elementos. Identificas presencia de ángulos, clasificación y medida.

Reconoce las Figuras geométricas, así como sus ángulos, pero no sus elementos.

Reconoce las Figuras geométricas, así como sus ángulos y sus elementos pero no de una manera clara. Identifica la Identifica la Identifica la presencia de los presencia de los presencia de los ángulos pero no ángulos, sus ángulos, sus sus medidas. medidas, pero no medidas, y su sabe cómo se clasificación. clasifican.

Reconoce las Figuras geométricas, así como sus ángulos y sus elementos de manera sólida.

Realiza sus actividades de manera incompleta y con 5 errores en las actividades.

Realiza sus actividades de manera incompleta y con 3 errores en las actividades.

Realiza sus actividades de manera completa y con 2 errores en las actividades.

Realiza sus actividades de manera completa pero sin errores dentro de las actividades del bloque sin omitir ninguna actividad.

0 -40%

40-70%

70-90%

90-100%

Identifica la presencia de los ángulos, sus medidas, y su clasificación de cada uno de ellos junto con sus elementos. Describe los tipos Describe los Describe los Describe los Describe los de ángulos que ángulos ni las ángulos pero no ángulos y sus ángulos y sus hay, así como sus conversiones. las conversiones. conversiones de conversiones de conversiones. manera manera apropiada incompleta. y correcta. Trabaja Desarrolla un Colabora con sus colaborativamente, ambiente en compañeros en la Trabaja de Trabaja de con solidaridad y donde no hay resolución de las manera manera respeto en sus respeto ni diversas colaborativa en colaborativa en actividades. tolerancia hacia actividades en un un ambiente de un ambiente de sus compañeros buen ambiente. respeto y respeto y y sus ideas. tolerancia hacia tolerancia hacia sus compañeros. sus compañeros, en donde respeta cada uno de sus puntos de vistas en cada una de las actividades. Evidencia(s): Actividades del bloque

Ejercicios cuestionarios

Valor: 100%

la los su su

Reconoce las figuras geométricas, pero no sus ángulos, ni sus elementos.

Estratégico

Al término de la autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación es necesario que hagas una reflexión sobre el nivel de desempeño que has alcanzado y cómo puedes hacer para mejorar tu nivel de desempeño. Vuelve a resolver los ejercicios donde fallaste y visitando las páginas de Internet que se te dan. ¿Cuáles son las metas que logré? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

¿Cómo llegue a esas metas? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

Prueba: Título: Ángulos Materia: Geometría y Trigonometría Semestre: III semestre Ponderación: 10% Instrucciones: Tiempo asignado: 30 minutos Recursos a utilizar durante el desarrollo de la prueba: hoja de apuntes y calculadora Competencia a Resolver ejercicios aplicando los ángulos, sus clasificaciones, y evaluar: sus medidas, a través de ecuaciones matemáticas. Situación- problema Dos gaviotas salen volando al mismo tiempo de un árbol, el del primero con un ángulo de x+13 con respecto al Este, el segundo contexto: pájaro con un ángulo de x+15 con respecto al Norte. La suma de los dos ángulos es igual 36°, y además estos, sumados con el ángulo que existe entre el vuelo de ambas gaviotas, forman un ángulo complementario. a) La medida de los Calcule las medidas y ángulos con el que justifique: volaron las dos gaviotas con respecto a los puntos de referencia de cada uno.

Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo a ecuaciones de primer grado, así como ángulos y sus clasificaciones y medidas. Explicación: Respuesta o respuestas pertinentes: Opción: no existe ninguna medida de los ángulos con que volaron las dos gaviotas con respecto a los puntos de referencia de cada uno, ya que no se tiene la variable a buscar.

Valor: 5%

Explicación:

b) El ángulo que Calcule el existe entre el vuelo justifique: de ambas gaviotas.

ángulo

Valor: 5%

y Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo a ecuaciones de primer grado, así como ángulos y sus clasificaciones y medidas. Respuesta o respuestas pertinentes: Opción: no existe el ángulo del vuelo entre ambas gaviotas. Argumentación: Nivel estratégico Implica asumir nuevas situaciones en un problema, con mayor relación e interpretación entre variables, además de que implica argumentación frente a diversas operaciones.

Autoevaluación. Prueba escrita por competencias Nombre: Resultado del aprendizaje

Pre_formal

Receptivoreproductivo

Resolutivo

Autónomo

Elabora una miniprueba escrita por competencias, tomando como base problemas.

Se presenta una prueba bajo un enfoque tradicional con mención de la competencia y un criterio.

Se presenta una prueba con al menos la competencia, el criterio y un problema. Las preguntas se relacionan con el problema.

La prueba tiene Instrucciones claras. El problema es del contexto y se relaciona con el problema del contexto, las preguntas tienen niveles de dominio.

Los problemas del contexto y sus preguntas son interesantes para los estudiantes y los posibilitan aprender sobre determinados temas.

Evaluación: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

Logros:

Nivel: Nota: Estratégico Hay elementos de creatividad e innovación en la presentación de los problemas. Tienen relevancia en el contexto.

Acciones para mejorar:

Triángulos Notación y clasificación

El triángulo es una figura formada por tres lados y tres ángulos; sus propiedades y teoremas relacionados son una pieza importante en la solución de problemas reales.

Aquí comenzamos con triángulos. Se te dan unos ejemplos que hay en tu entorno, así como su clasificación. Después de haber leído la información se te dan unos ejercicios.

Aprendizajes a lograr

 Conoce las diferentes formas de representarlos  Define a los triángulos en base a la medida de sus lados y sus ángulos  Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.

Ejemplo

Las propiedades de rigidez de los triángulos son de suma importancia en la construcción de estructuras porque le dan firmeza y estabilidad.

Un triángulo ΔABC es la figura geométrica del plano formado por 3 segmentos llamados lados cuyos extremos se cortan 2 a 2 en 3 puntos llamados vértices. Los vértices se escriben en letras mayúsculas y el lado opuesto al vértice con la misma letra minúscula.

Un triángulo es un polígono de tres lados. Sus elementos característicos son: lados, base, altura, vértices y ángulos. 58

Propiedades: 1.- La suma de dos lados es mayor que el otro lado. 2.- La suma de los ángulos de un triángulo mide 180º. Criterios de igualdad de triángulos. Criterio 1. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Criterio 2. Dos triángulos son iguales si tienen igual un lado y los ángulos contiguos. Criterio 3. Dos triángulos son iguales si tienen los lados correspondientes iguales. Los triángulos se pueden clasificar en:

Actividad 14.- Reúnete en equipos de tres integrantes y resuelve los siguientes ejercicios. (40min) Trabaja colaborativamente, respetando a tus compañeros. . Es muy importante que comprendas estos conceptos para poder resolver las actividades. I. Relaciona las dos columnas, escribiendo en el paréntesis de la columna de la izquierda la clave de la respuesta localizada en la columna de la derecha. ( ( ( (

) ) ) )

Es la figura formada por tres lados y tres ángulos Se le llama así al triángulo con tres lados iguales Es el nombre del triángulo con un ángulo recto. Nombre del triángulo con todos sus ángulos agudos.

SON BEU ROS OLD

Escaleno Obtusángulo. Equilátero Isósceles

(

) Nombre del triángulo con dos lados iguales y uno diferente. WES Triángulo

( (

) Nombre del triángulo con sus tres lados diferentes ) Nombre del triángulo con un ángulo obtuso y dos agudos.

NAV Rectángulo HER Acutángulo

II. Escribe sobre la línea el nombre que corresponda a cada triángulo de acuerdo a su clasificación.

______________

__________________

______________________

___________________

_____________________

Rectas y puntos notables Aprendizajes a lograr Nombre e identifique las rectas y puntos notables en el triángulo.

En determinada región, existen varias comunidades que se vinculan a través del comercio. Si se quisiera construir un centro de salud que estuviera a la misma distancia de las tres comunidades, ¿cuál sería el circuncentro más apropiado? (20min) Actividad 15:

Actividad 16.- Reúnete en equipos de tres integrantes y resuelve los ejercicios siguientes. Trabaja colaborativamente, respetando a tus compañeros. 30min I.

(

)

(

)

(

)

(

Relaciona las dos columnas, escribiendo en el paréntesis de la columna de la izquierda la clave de la respuesta localizada en la columna de la derecha Semirrecta que pare del vértice y divide al ángulo en dos partes iguales. Se le llama así al punto de intersección de las medianas del triángulo. Nombre que recibe la línea que parte de uno de los vértices y es perpendicular al lado opuesto o a su prolongación.

SON

Mediana

JLF

Incentro

ENG

Mediatriz

)

Nombre del punto de intersección de las alturas del triángulo.

ROG

Ortocentro

(

)

BEU

Baricentro

(

)

Se le llama así al la recta que es perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio. Nombre que recibe el punto de intersección de las mediatrices.

OLD

Altura

(

)

Recibe por nombre a la línea que parte del vértice y pasa por el punto medio del lado opuesto.

TWN Bisectriz

(

)

Es el punto de intersección de las bisectrices.

MAR Circuncentro

II. Identifica en cada una de las siguientes figuras las rectas y los puntos notables indicados.

_______________________

__________________________

Mapa de aprendizaje

Competencia: Identifica las rectas y los puntos notables de los triángulos. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 15 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo en Participa en actividades Participa en actividades de un equipo haciendo lo que le de equipo resolviendo las actividades de grupo o en corresponde haciéndolo dificultades y conflictos equipo para plenaria. con responsabilidad. que se presentan, para coordinar acciones En el trabajo en equipo lograr sus metas y propone acciones tiene tolerancia y respeto establecidas. o mecanismos para en la ideas de los demás. lograr las metas al Busca el entendimiento máximo. con los demás de su equipo. 2% 3% 4% 6% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

Actividad 17

(20min)

Teorema de Pitágoras: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

En la figura los lados a y b se llaman catetos y c es la hipotenusa.

En el triángulo los lados a y b se llaman catetos y el lado c se llama hipotenusa.

Algebraicamente fórmula

c =a + b

Ejemplo

expresa

por

Actividad 18.- Reúnete en parejas y determina el valor del lado desconocido en cada uno de los siguientes casos. Trabaja colaborativamente, respetando a tus compañeros. (20min) 1.- Determina el valor de la hipotenusa si los catetos de un triángulo rectángulo son: a= 6 y b= 8.

2.- Determina el valor del cateto a partir de los datos que se te indican si la hipotenusa es c= 13 y uno de los catetos vale 6.

3.- Determina el valor de x en la figura en cada una de la siguiente figura.

Mapa de aprendizaje Competencia: Resuelve problemas de diferente índole sobre el teorema de Pitágoras. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 15 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo en Participa en actividades Participa en actividades de un equipo haciendo lo que le de equipo resolviendo las actividades de grupo o en corresponde haciéndolo dificultades y conflictos equipo para plenaria. con responsabilidad. que se presentan, para coordinar acciones En el trabajo en equipo lograr sus metas y propone acciones tiene tolerancia y respeto establecidas. o mecanismos para en la ideas de los demás. lograr las metas al Busca el entendimiento máximo. con los demás de su equipo. 2% 3% 4% 6% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación: 65

Actividad 19 Individual (30min) Realiza las siguientes conversiones como se te indica en cada parte y comparte tus respuestas ante el grupo. Sé respetuoso y tolerante con los puntos de vista de tus compañeros. 1. Determina el valor de la hipotenusa si los catetos de un triángulo rectángulo son: a= 7 y b= 7.

2. Determina el valor del cateto a si la hipotenusa c= 34 y el cateto b = 15.

3. Determina el valor de x en la figura.

Sabias que… El área de un cuadrado es base por altura.

¡Esfuérzate y conseguirás todo lo que te propongas!

Después de haber terminado con las actividades, se te da unas direcciones electrónicas para poder practicar los ejercicios que has fallado más. Acuérdate que la reflexión te ayudará a conseguir tus metas.

Para practicar y repasar, visita la www.mamutmatematicas.com/lecciones/triangulos.php, trigonometriaw.blogspot.mx/2011/12/triangulosoblicuangulos-ejercicios.htm

página

Rellena los círculos que se te dan a la respuesta correcta a las siguientes preguntas: 1) Si alfa = 250. Calcular el complemento de alfa.a) 750

b) 650

c) 1550

d) 1000

e) 250

2) Calcular el suplemento del complemento de 500. a) 400

b) 1400

c) 900

d) 1300

e) 600

3) Alfa y Beta son complementarios. Si Alfa es el doble de Beta. ¿Cuánto mide Alfa? a) 600

b) 300

c) 1200

d) 1800

e) Otro

4) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 5 veces Beta ¿Cuánto mide Beta? a) 300

b) 1500

c) 600

d) 800

e) 450

5) Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 6 veces Beta ¿Cuánto mide Alfa? a) 1250

b) 27,50

c) 25,70

d) 154,20

e) 1500

6) Determinar el valor del ángulo cuyo suplemento es igual a la mitad de su complemento. a) 22,50

b) 500

c) 300

d) 600

e) otro

7) La medida de un ángulo es 5 veces la medida de su complemento. Encontrar la medida del ángulo.a) 750

b) 150

c) 1500

d) 300

e) otro

8) La medida del suplemento de un ángulo es 5 veces la medida del complemento del mismo ángulo. Encontrar la medida del ángulo. a) 67,50

b) 22,50

c) 112,50

d) 1350

e) N.R.A.

9) Si el ángulo  = 630  el ángulo  = 1170 ¿Qué puede concluirse acerca del ángulo   del ángulo?

A) Suplementarios

B) Complementarios

D) Correspondientes

E) Otro

C) Opuestos por el vértice

10) Si  = 850 ;  = 300 Determinar la medida del ángulo . a) 1050

b) 650

c) 850

d) 300







e) Otro Respuestas: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

oA oA oA oA oA oA oA oA oA oA

oB oB oB oB oB oB oB oB oB oB

oC oC oC oC oC oC oC oC oC oC

oD oD oD oD oD oD oD oD oD oD

oE oE oE oE oE oE oE oE oE oE

Actividad 20.- Resuelve los siguientes ejercicios de triángulos (50 min) 1. Una persona camina 7 Km hacia al norte, después 3 Km hacia al este y, luego, 3 Km hacia al sur. ¿A qué distancia está del punto de partida?

2. La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es 51 y la longitud de un cateto es 24. Calcule el área del triángulo.

ABC rectángulo en C, b=12 cm, a=5 cm, c=13 cm, calcule hc.

4. Según la figura, determine el valor de x.

¿Cuál es la longitud de BC en la figura?

6. Una torre de dos pisos proyecta una sombra de 20 metros; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m. ¿Cuánto mide la sombra proyectada por el segundo piso?

Estas actividades son muy importantes, ya que, como ves, se aplican en casos que ocurren en tu alrededor y te ayudan a comprender el porqué del estudio de las matemáticas.

Problemas del contexto 1.- La alcaldía decide cercar un terreno que tiene forma de triángulo rectángulo donde el lado más largo tiene 13 m y otro de sus lados mide 5 m. (ver figura), ¿cuánto alambre se necesita para cercarlo con 4 líneas?

2.- En un día soleado se proyectan las sombras del asta de un rótulo de 7.2 m de altura y de un poste del alumbrado eléctrico (ver figura). Si la longitud de la sombra del poste es de 5 m y la sombra del asta de 2 m, ¿cuál es la altura del poste?

Ojo: ¿Estoy comprendiendo las metas a lograr en la actividad? ¿Cómo voy con las actividades? ¿Me han sido difíciles? ¿Estoy realizando las actividades de acuerdo con lo planeado? ¿He llegado a las expectativas que tenía desde el principio?

3.- Un caracol sale todos los días de su escondite y va a comer los brotes tiernos de un árbol. Para ello se desplaza por el suelo durante 8 minutos y luego, sin variar su velocidad, trepa durante 6 minutos por el tronco. Pero un buen día se encuentra con que alguien ha colocado un tablón justo desde su guarida hasta la base de la copa del árbol. ¿Cuánto crees que tardará si decide subir por el tablón? Eso sí, él avanza, siempre, imperturbable, a la misma velocidad.

4.- Con las fotos que tomaste de las figuras geométricas de tu entorno y con la ayuda de tus familiares, realiza tu periódico mural sobre las figuras geométricas y sus clasificaciones, para luego explicárselo a tus compañeros y publicarlo en la escuela. Los títulos y la información que se le agregue a su periódico mural estarán en inglés.

Heurística I.- Realiza las heurísticas de los ángulos y de los triángulos. Visita esta página sobre la V heurística http://www.slideshare.net/cebaronva/v-heurisitica

1) Nombra los siguientes ángulos y sin usar tu transportador, anota cuáles son agudos, obtusos, rectos o extendidos.-

III

2) Si tenemos en cuenta el siguiente triángulo rectángulo: DATOS a = 10 cm b = 6 cm

3) Si la m = 740 18“. El complemento de  es:

4) Si la m = 450 79‘85“. Su complemento es:

5) Calcular el suplemento de:  si la m = 1450 27‘ 15“  si la m = 470 15‘ 12“ 74

 si la m = 900 10´ 20“  si la m = 1450 27“  si la m = 1750 2‘ 6) Identifica el nombre de un triángulo que tiene: a) 1 ángulo recto b) 1 ángulo obtuso c) 3 ángulos agudos d) Todos sus ángulos interiores iguales 7) Identifica las afirmaciones falsas: a) En un triángulo rectángulo hay 2 ángulos agudos. b) En un triángulo obtusángulo hay un ángulo obtuso. c) En un triángulo rectángulo hay 2 ángulos rectos. d) Los 3 ángulos de un triángulo son siempre agudos. e) En un triángulo acutángulo los 3 ángulos son agudos. f) 1 triángulo rectángulo tiene 1 ángulo recto y dos agudos. 8) Identifica el triángulo que tiene: a) 3 lados desiguales b) 2 lados = entre si c) 3 lados = entre si

A continuación hay una prueba con base en competencias para saber cómo aplica tus conocimientos adquiridos en esta unidad. Te tienes que evaluar, un compañero te co-evaluará y tu maestro te hetero-evaluara.

Prueba: Titulo: Triángulos Materia: Geometría y Trigonometría Semestre: III semestre Ponderación: 6% Instrucciones: Tiempo asignado: 20 minutos Recursos a utilizar durante el desarrollo de la prueba: hoja de apuntes y calculadora Competencia a Resolver ejercicios aplicando el teorema de Pitágoras, en evaluar: triángulos rectángulos. Situación- problema Dos gaviotas salen volando al mismo tiempo de un árbol, el del primero con un ángulo de x+13 con respecto al Este, el segundo contexto: pájaro con un ángulo de x+15 con respecto al Norte. La suma de los dos ángulos es igual 36°, y además estos, sumados con el ángulo que existe entre el vuelo de ambas gaviotas, forman un ángulo complementario. a) Encuentra a Calcule las medidas y distancia más corta justifique: entre la gasolinera y el estacionamiento

Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo al teorema de Pitágoras.

Valor: 6%

Respuesta o respuestas pertinentes: Opción: no existe ninguna distancia ya que no se puede aplicar el teorema de Pitágoras, ya que no forma un triángulo rectángulo. Explicación:

Autoevaluación. Prueba escrita por competencias Nombre: Resultado del aprendizaje

Pre_formal

Receptivoreproductivo

Resolutivo

Autónomo

Elabora una miniprueba escrita por competencias, tomando como base problemas.

Se presenta una prueba bajo un enfoque tradicional con mención de la competencia y un criterio.

Se presenta una prueba con al menos la competencia, el criterio y un problema. Las preguntas se relacionan con el problema.

La prueba tiene Instrucciones claras. El problema es del contexto y se relaciona con el problema del contexto las preguntas tienen niveles de dominio.

Los problemas del contexto y sus preguntas son interesantes para los estudiantes y los posibilitan aprender sobre determinados temas.

Evaluación: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

Logros:

Nivel: Nota: Estratégico Hay elementos de creatividad, de innovación en la presentación de los problemas. Tienen relevancia en el contexto.

Acciones para mejorar:

Cómo me evalúo Después de haber terminado el bloque II es necesario que yo sepa qué he logrado y qué debo mejorar de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Autoevaluación: Nivel:

Logros:

Aspectos a mejorar:

Coevaluación: Nivel:

Logros:

Aspectos a mejorar:

Es hora de la heteroevaluación Esta parte es elaborada por el maestro para saber en qué nivel de desempeño me encuentro en mis actividades realizadas, esto de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Heteroevaluación: Nivel:

Logros:

Aspectos a mejorar:

En qué nivel me encuentro A continuación se te presenta el mapa de aprendizaje

para que ubiques qué nivel

de desempeño has logrado.

Momento de saber a qué nivel llegué y las metas que logré, y de hacer la metacognición.

Criterios:

Mapa de aprendizaje del bloque II Receptivo Resolutivo Autónomo

Reconoce la clasificación de los triángulos, por sus lados y sus ángulos.

Reconoce la clasificación de los triángulos, pero no por sus lados y por sus ángulos.

Reconoce la clasificación de los triángulos por sus lados, pero no de sus ángulos.

Identifica la presencia de las rectas y puntos notables en los triángulos.

Identifica la presencia de las rectas, pero no de puntos notables en los triángulos.

Resuelve los ejercicios sobre recta, puntos notales, así como del teorema de Pitágoras.

Resuelve los ejercicios sobre recta, puntos notales con errores, pero no los del teorema de Pitágoras.

Identifica la presencia de las rectas y puntos notables en los triángulos, pero no sabe cómo se clasifican. Resuelve los ejercicios sobre recta, puntos notales sin errores, pero con 3 errores los del teorema de Pitágoras

Trabaja colaborativamente, responsabilidad, con solidaridad y respeto en sus actividades.

Evidencia(s): Actividades del bloque

Ejercicios Valor: 100%

Estratégico

Reconoce la clasificación de los triángulos, por sus lados y sus ángulos, pero no de una manera clara. Identifica la presencia de las rectas y puntos notables en los triángulos, no de una manera clara.

Reconoce la clasificación de los triángulos, por sus lados y sus ángulos, de manera solida.

Resuelve los ejercicios sobre recta, puntos notales sin errores, pero con un error en los del teorema de Pitágoras

Resuelve los ejercicios sobre recta, puntos notales, así como del teorema de Pitágoras de manera apropiada y correcta.

Identifica la presencia de las rectas y puntos notables en los triángulos, de una manera solida.

Desarrolla un ambiente en donde no hay respeto ni tolerancia hacia sus compañeros y sus ideas.

Colabora con sus compañeros en la resolución de las diversas actividades en un buen ambiente.

Trabaja de manera colaborativa en un ambiente de respeto y tolerancia hacia sus compañeros.

Trabaja de manera colaborativa en un ambiente de respeto y tolerancia hacia sus compañeros, en donde respeta cada uno de sus puntos de vistas en cada una de las actividades.

Realiza sus actividades de manera incompleta y con 5 errores en las actividades.

Realiza sus actividades de manera incompleta y con 3 errores en las actividades.

Realiza sus actividades de manera completa y con 2 errores en las actividades.

Realiza sus actividades de manera completa pero sin errores dentro de las actividades.

0 -40%

40-70%

70-90%

90-100%

Glosario Ángulo obtuso: Ángulo que mide más de 90º. Ángulo recto: Ángulo que mide 90°. Ángulos complementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 90º. Ángulos congruentes: Dos ángulos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida. Ángulos consecutivos: Dos ángulos de un polígono que comparten un lado común. Ángulos suplementarios: Dos ángulos cuyas medidas suman 180º. Base de un triángulo isósceles: El lado opuesto al ángulo vértice en un triángulo isósceles. Bisectriz de un ángulo: Rayo que tiene un punto extremo en el vértice de un ángulo y lo divide en dos ángulos iguales de la misma medida. Bisectriz de un segmento: Recta que pasa por el punto medio de un segmento.

Hemos terminado la unidad II, en donde tú viste muchos ejercicios para practicar así como reflexionamos nuestras metas a lograr y lo necesitamos hacer para mejorar, cómo pudiste ver trae datos curiosos, y ya para terminar un glosario de los conceptos de la unidad.

Bloque III Polígono y circunferencia Propósito: Desarrollar la capacidad de la orientación espacial mediante el análisis y la representación de problemas que implican figuras en un clima de participación y responsabilidad.

Conceptos fundamentales:  

Categorías:

Polígono Circunferencia

 Espacio  Diversidad

Conceptos subsidiarios:        

Valores que promueve:

Noción y clasificación Ángulos exteriores e interiores Diagonales Perímetros y Áreas Elementos Ángulos en la circunferencia Área del circulo Áreas de figuras circulares

   

Solidaridad Colaboración Ayuda mutua Igualdad

Evaluación diagnóstica A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple, esfuérzate por contestarlas rellenando el círculo que se te da abajo con la respuesta correcta. 1. Un rectángulo es _____________. a) Regular b) Irregular c) Cóncavo d) Complejo e) Equilátero 2. Un rectángulo 72 m2 de área y 18 m de base ¿Cuánto mide de altura? a) 6 m b) 4 m c) 9 m d) 2 m e) 7 m 3. En una circunferencia: el ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia y está formado por dos cuerdas, se llama_____________. a) Ángulo central b) Ángulo exterior c) Ángulo inscrito d) Ángulo interior e) Ángulo semi inscrito 4. ¿Cuál es el área de la región sombreada? a) 7.14 m2 b) 0.86 m2 c) 12.57 m2 d) 1.27 m2 e) 8.57 m2 5. Si en un hexágono se trazan diagonales desde uno de sus vértices ¿cuántas diagonales se obtienen? a) 6 b) 12 c) 36 d) 2 m e) 3 m

6. Calcula el perímetro de una circunferencia que mide 5 m de diámetro. a) 15.71 m b) 78.54 m 84

c) 7.85 m d) 25 m e) 31.42 m 7. Las ruedas de un coche tienen 70 cm de diรกmetro. Calcula cuรกntas vueltas dan en un viaje de 80 Km de distancia. a) 57, 123.12545 b) 78, 425.56242 c) 36, 378.27271 d) 32, 814.13985 e) 23, 356.28739

Respuestas: 1 2 3 4 5 6 7

oA oA oA oA oA oA oA

oB oB oB oB oB oB oB

oC oC oC oC oC oC oC

oD oD oD oD oD oD oD

oE oE oE oE oE oE oE

Después de recordar los saberes previos, es momento de una reflexión.

¿Cuáles son algunos de los errores más comunes que cometo en la actividades y cómo puedo corregirlos? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

¿Qué plan de mejora propongo? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

¡Esfuérzate y conseguirás todo lo que te propongas!

Actividad 21 (20min)

• Identifica en las siguientes imágenes, el mayor número de figuras geométricas posible.

Imagen 1. “Plaza de Trascorrales (Oviedo)” de Sócrates Quintana

Imagen 2. “Bodegón” Joaquín Torres García

Imagen 1. nº de lados

_____________ _____________ _____________ _____________ _____________ _____________

Formas

___________ ____________ ____________ ___________ ____________ ____________

cubista

Imagen 2. nº de lados

_____________ _____________ _____________ _____________ _____________ _____________

Formas

___________ ____________ ____________ ___________ ____________ ____________

Cubriendo el plano En el arte, el diseño textil y las matemáticas, resulta muy interesante poder saber qué polígonos recubren totalmente al plano, sin dejar espacios vacíos ni superponerse entre ellos. En la siguiente escena puedes probar con algunos de ellos.

¿Cuáles te permiten recubrir totalmente el plano y por qué? ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ 87

Antes de comenzar con este bloque vamos a reflexionar sobre lo que queremos y esperamos. Lee estas preguntas en voz alta y contéstalas con toda sinceridad, esto es, a través de MAFDA; si no lo conoces visita este link: http://issuu.com/cife/docs/e_book_metacognicion_madfa?e=2441428/2622030 ¿Sabes de qué se trata este bloque? ¿Qué conceptos básicos tienes de geometría y trigonometría? ¿Qué esperas de este bloque? Para saber sobre tus respuestas te recomiendo que elabores un informe de tus preguntas

POLÍGONOS

Comenzando la unidad. Realiza todas las actividades.

Notación y clasificación

Aprendizajes a lograr  Define un polígono.  Clasifica los polígonos de acuerdo al número de lados.  Identifica propiedades generales de los polígonos.  En este nuevo tema se abordará una clasificación de los polígonos regulares e irregulares. Se identifican sus respectivas propiedades que se aplican en su búsqueda de dimensiones. Se obtiene el perímetro y área correspondiente. Como podrás recordar, la Geometría Plana es una parte de la geometría elemental que trata de aquellos elementos cuyos puntos están contenidos en un plano, es decir, estudia las propiedades de superficies y figuras planas como el triángulo o el círculo. Los ejercicios que se involucran en esta actividad te ayudarán a entender dichas propiedades y aplicarlas en el mundo que te rodea.

¡Ánimo! Y a cumplir con las actividades, recuerda que la fórmula del triunfador, en cualquier actividad de la vida, es: Optimismo + Atención + Dedicación = ÉXITO.

Polígono: Es una figura plana delimitada por una poligonal cerrada donde los segmentos son los lados del polígono y los puntos de intersección de los segmentos son los vértices del polígono. La palabra polígono viene del griego polígono. De polys que significa muchos y de gonia que significa ángulos. Digamos que la "traducción" más precisa de la palabra polígono sería "figura que tiene muchos ángulos".

Para nombrar los polígonos se nombran sus vértices en forma ordenada según el giro de las manecillas del reloj, o bien, en sentido contrario. Otra forma de nombrar a los polígonos es con la abreviación Poly seguido de un número. EJEMPLO

 

Polígono ABCDEFA, ó Polígono AFEDCBA

Poly1

Investigación 5 (Actividad para la casa para el día siguiente) Investiga y elabora un mapa mental de la clasificación de los polígonos y su sub-clasificaciones. Te sugiero la siguiente página que describe cómo elaborar un mapa conceptual: http://youtube.googleapis.com/v/s2LwAq60MT0

Actividad 22.- Reúnete en pareja y clasifica el polígono de acuerdo a los lados que tenga. Respeta los puntos de vista de tu compañero y trabaja colaborativamente. (10 min)

Número de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 15 16 20

Polígono Triángulo

Heptágono

Hexadecágono

Mapa de aprendizaje Competencia: identifica la clasificación de los polígonos. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 10 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo en Participa en actividades Participa en actividades de un equipo haciendo lo que le de equipo resolviendo las actividades de grupo o en corresponde haciéndolo dificultades y conflictos equipo para plenaria. con responsabilidad. que se presentan para coordinar acciones En el trabajo en equipo lograr sus metas y propone acciones tiene tolerancia y respeto establecidas. o mecanismos para en la ideas de los demás. lograr las metas al Busca el entendimiento máximo. con los demás de su equipo. 1% 2% 3% 4% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

Actividad 23.- Mi casa y su estructura en forma de un polígono

(20min)

Tu papá quiere reconstruir el techo de su casa, el cual está formado por dos grandes trapecios, uno en el frente y otro atrás; dos más pequeños situados a los lados cuya base menor es de 3.15m, base mayor de 10.17m y lados de 6.20m; un rectángulo en la parte más alta cuyo largo es de 13.50m y ancho 3.15m. Como lo muestra la figura, cada trapecio tiene la misma altura y una caja de teja cubre 9.2903m 2. 6.20 m

3.15 m

10.17 m

13.50 m

Con la información dada, realiza las operaciones necesarias para resolver las siguientes cuestiones: 1. ¿Cuántas cajas de teja necesita comprar tu papá? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 2. ¿Cuántas cajas se necesitan para cubrir el área sin considerar el rectángulo central? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ 3. ¿Cuánto mide cada teja? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

Actividad 24.- Reúnete en pareja y identifica las propiedades generales de cada polígono y clasificación. Para lograrlo puedes tomar como referencia el ejemplo dado en la primera columna. Respeta los puntos de vista de tu compañero y trabaja colaborativamente, se puntual al momento de entregar. (20min)

Polígono

Simple



Complejo Cóncavo Convexo



Equilátero Equiángulo



Regular Irregular



Mapa de aprendizaje Competencias: identifica las propiedades de los polígonos. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 10 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo en Participa en actividades Participa en actividades de un equipo haciendo lo que le de equipo resolviendo las actividades de grupo o en corresponde haciéndolo dificultades y conflictos equipo para plenaria con responsabilidad. que se presentan, para coordinar acciones En el trabajo en equipo lograr sus metas y propone acciones tiene tolerancia y respeto establecidas. o mecanismos para en la ideas de los demás. lograr las metas al Busca el entendimiento máximo. con los demás de su equipo. 1% 2% 3% 4% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación: 92

Ángulos interiores y exteriores Aprendizajes a lograr  Define los ángulos interiores y exteriores de polígonos.  Identifica los ángulos interiores y exteriores en los polígonos.  Calcula la medida de ángulos interiores y exteriores en los polígonos.  Identifica las relaciones referentes a los ángulos de los polígonos. Los ángulos internos o interiores de un polígono están formados por cada dos lados consecutivos, mientras que los ángulos exteriores o externos de un polígono son ángulos adyacentes a los interiores, obtenidos al prolongar los lados en un mismo sentido.

Ángulos interiores: α, β, ε, δ, γ Ángulos exteriores: ζ, ε, δ, κ, I

La suma de los ángulos exteriores de un polígono de n-lados es de 360°, así que... ... para un polígono regular (todos sus ángulos son iguales), cada uno mide 360°/n

Por otro lado, recuerda que al abordar el tema de triángulos concluimos que: “Los ángulos interiores de un triángulo suman 180 “. Por otro lado, sabemos que los cuadriláteros se pueden dividir en dos triángulos, de lo cual podemos deducir que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero (cuadrado, rectángulo, paralelogramo, etc.) es 2×180º = 360º.

Y si es regular, cada uno mide 360° / 4 = 90°

EJEMPLO

¿Cuál es la suma de los ángulos interiores de un pentágono? Si el polígono es regular ¿cuánto mide cada ángulo interior?

Respuesta: Sabemos que los pentágonos tienen 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que... ... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540°.

Pentágono irregular

Pentágono regular

Si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108°

Diagonales Aprendizajes a lograr  Define y diferenciará una diagonal.  Calcula el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice en polígonos.  Calcula el número total de diagonales que pueden trazarse en un polígono. Cuando vas a adquirir un computadora, laptop o televisor es importante que analices sus características para que elijas la mejor opción. Una de las características más comunes en estos productos es la medida de la pantalla, así por ejemplo, decir que tiene monitor o pantalla de 10.1” ó 22” significa que la medida se toma de la siguiente manera:

Laptop con Monitor de 10.1”

T.V. con pantalla de 22” 94

…de igual forma los polígonos también tienen diagonales

Diagonales de un polígono “Diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos” Una de las diagonales de un pentágono sería:

Ejemplo

Por otro lado, observa que el número total de diagonales del pentágono es igual a cinco. Observa cómo se traza cada una de éstas paso a paso:

De igual forma puedes calcular el número total de diagonales de cualquier polígono.

Actividad 24 (20min) Organizados en parejas completa la siguiente tabla adjunta. Respeta los puntos de vista de tu compañero y trabaja colaborativamente. Polígono

No. de lados

No. de diagonales

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono

Mapa de aprendizaje Competencia: Calcula el número de diagonales que pueden trazarse desde un vértice en polígonos. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 10 % Receptivo Participa en actividades de un grupo o en plenaria.

1% Tipo de evaluación Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

Resolutivo Participa en el trabajo en equipo haciendo lo que le corresponde haciéndolo con responsabilidad. En el trabajo en equipo tiene tolerancia y respeto en la ideas de los demás. Busca el entendimiento con los demás de su equipo. 2% Logros:

Autónomo Participa en actividades de equipo resolviendo las dificultades y conflictos que se presentan para lograr sus metas establecidas.

Estratégico Participa en actividades de equipo para coordinar acciones y propone acciones o mecanismos para lograr las metas al máximo.

3% Acciones para mejorar:

Un razonamiento más sencillo para determinar el número de diagonales de un polígono cualquiera es el siguiente: Supongamos que tenemos un polígono de n lados (n vértices), de cada vértice salen n-3 diagonales, ya que a él mismo y a los dos contiguos no hay diagonal. Tenemos entonces n vértices por (n-3) diagonales de cada vértice. Contamos la diagonal dos veces, entonces debemos dividir entre dos. Por tanto, un polígono de n lados tiene dn= n.(n-3)/2 diagonales. Puedes hacer el cálculo con la expresión que se ha deducido en el ejercicio anterior. ¿Cuántas diagonales tienen un polígono de 20 lados? La geometría (medición de tierra) se inició, como ciencia, en el antiguo Egipto y en Babilonia por la necesidad de realizar mediciones terrestres.

Perímetros y áreas. Aprendizajes a lograr  Calcula perímetros y áreas de polígonos, mediante la aplicación y el análisis de teoremas de perímetros y áreas de figuras geométrica conocidas.  Diferencia el perímetro y el área de un polígono. El perímetro y área de algunos cuadriláteros en particular y de los polígonos regulares en general. Perímetro: Se le llama así a la longitud del contorno de una figura geométrica plana y cerrada. Superficie: Se llama así a la porción del plano limitada por un perímetro de acuerdo a la forma de la superficie; recibe el nombre de superficie triangular, cuadrada, rectangular, etc. Área: Es la medida de la superficie. El área se refiere al tamaño, en unidades de área. Como se observa a continuación, se dan las fórmulas necesarias para hacer los cálculos directamente y no se dice como se llegó a ellas. Se debe aquí, como en muchos casos, la obtención de la fórmula es complicada y requiere de conocimientos que se adquirirán en cursos más avanzados de matemáticas. De momento, lo importante es aplicar 97

correctamente la fórmula y, de ser necesario, efectuar correctamente el despeje de la fórmula.

Comenzamos con aéreas y perímetros. No dejes de realizar ninguna actividad.

Perímetros y áreas de los polígonos

Área de un polígono regular En un polígono regular, si de su centro se trazan segmentos a cada uno de sus vértices, se forman tantos triángulos iguales como lados tenga el polígono. El área del polígono regular será igual al área de un triángulo multiplicada por el número de triángulos. Si el lado del polígono es l y la altura de cada triángulo es a (apotema del polígono), el área es: Si el polígono tiene n lados se forman n triángulos, entonces:

Actividad 25.- De forma individual determina el perímetro y el área de los siguientes polígonos. Entrega en el tiempo establecido, se responsable. (30 min)

1. Calcular el área de un romboide de 173 cm de base y 216 cm de altura .

2. Calcular el perímetro de un trapecio cuyos lados miden 13cm, 5cm, 8cm y 6 cm.

3. Calcular la medida del lado de un cuadrado que tiene perímetro 15 m.

4. El área de un rombo es de 22.5 m2 y una de sus diagonales mide 9 m. Calcular la longitud de la otra diagonal.

5. El área de un trapecio es de 562.5 m2 y las bases miden 28m y 17m. Calcular la altura.

6. El área de un trapecio es 35 m2, su base mayor mide 28 m y su altura mide 1.55 m. Calcular la base menor.

7. Cada una de las figuras siguientes (no están necesariamente a escala) tienen el perímetro que se indica. Encuentre el valor de x. a). P = 58 b). P = 42 C). P = 38

Dato curioso: Un polígono de 56.645 lados se llama pentakismyriohexakisquilioletracosiohexacontapentagonalis.

Ejercicios para practicar y consultar : www.vitutor.com/geo/eso/ar_e.html, misexamenes.com/ejercicios-poligonos, profe-alexz.blogspot.com/2011/05/poligonos-ejerciciosresueltos.html Después de haber terminado con las actividades, se te da unas direcciones electrónicas para poder practicar los ejercicios que has fallado más.

100

Teoremas Aprendizajes a lograr  Mediante la aplicación y el análisis de teoremas, calcula la medida de ángulos interiores y exteriores de cualquier polígono regular.  Mediante la aplicación y el análisis de teoremas, calcula el número de diagonales de polígonos regulares. Los ángulos interiores y exteriores, el número de diagonales que se le pueden trazar desde un vértice y el número total de diagonales en los polígonos ya ha sido tratado, por lo que ahora se verán las generalidades en los polígonos en general. Generalidades en un polígono de “n” lados: 1. Número de diagonales desde un vértice (d) Si “n” es el número de lados de un polígono, d es el total de diagonales que se pueden trazar desde uno de sus vértices del polígono, entonces: d= n - 3 2. Número total de diagonales (D) Si “n” es el número de lados de un polígono y D es el total de diagonales que se pueden trazar desde todos los vértices del polígono, entonces: D= ½ n(n – 3) EJEMPLO Dado un polígono regular de ocho lados (octágono), calcular: a) El número de diagonales que se pueden trazar desde uno de los vértices. b) El número total de diagonales Solución:

3. interior

Medida de un ángulo (i)

Si “n” es el número de lados de un polígono regular, e i es la medida de cada uno de los ángulos internos, entonces: i= 180°(n – 2) / n 4. Suma de los ángulos interiores (Si) Si “n” es el número de lados de un polígono y Si es la suma de las medidas de sus ángulos internos, entonces: 101

Si= 180°(n – 2) La suma de los ángulos de un triángulo es 180º y de un cuadrilátero es 360º. 5. Medida de un ángulo exterior (e) Si “n” es el número de lados de un polígono regular, entonces la medida de cada ángulo exterior es: e = 360/n 6. Suma de los ángulos exteriores (Se) Si “n” es el número de lados de un polígono, entonces la suma de los ángulos exteriores es siempre 360°: Se= 360°

Resolver las actividades que vienen te ayudaran a establecer y comprender mejor el conocimiento ya adquirido. No dejes de intentarlo. ¡Ánimo, tú puedes! Te ayudarán a conseguir el éxito.

102

Actividad 26 Individual (30 min) De forma individual determina lo que se te indica en cada ejercicio. Entrega en el tiempo establecido, se responsable.

1. ¿Cuál es el número de diagonales que, desde un vértice, se pueden trazar en un dodecágono?

2. ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260°?

3. ¿Cuántos lados tendrá un polígono regular, si sabemos que cada ángulo interior mide 140°?

4. ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un heptágono?

5. ¿Cuál es la medida de cada ángulo exterior de un polígono regular de 15 lados?

103

Antes de empezar Investiga Construye un círculo de cartón y mide la distancia del centro al borde. Enrolla un trozo de cordel alrededor del contorno del círculo. Desenróllalo después y mídelo también. Divide la segunda cantidad entre la primera y anota el resultado. Puedes repetir el experimento con círculos de distintos tamaños. ¿Qué puedes decir de los resultados que se obtienen?

_________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¡Hagamos una reflexión! Es necesario que hagas una reflexión con respecto a tus compromisos. Esto quiere decir hacer una metacognición. ¿Qué metas logré respecto a las metas esperadas? ¿En qué grado alcancé las metas? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¿Cuáles son algunos de los errores más comunes que cometí en la actividades y cómo puedo corregirlos? ¿Apliqué las actitudes y habilidades necesarias?¿Me hizo falta algo? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¿Qué plan de mejora propongo? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

¡Esfuérzate y conseguirás todo lo que te propongas!

104

CIRCUNFERENCIA

Después de haber recordado los saberes previos, comenzamos.

Elementos

Aprendizajes a lograr  Define una circunferencia.  Diferencia el círculo de la circunferencia.  Diferencia el semicírculo del círculo.  Diferencia la semicircunferencia de la circunferencia.  Identifica los elementos de una circunferencia. La naturaleza ofrece múltiples ejemplos de círculos y circunferencias. La sección transversal de la tierra es circular, un corte transversal a un tallo también es circular. Se puede observar la gran variedad de aplicaciones que tienen los objetos circulares: una llanta de un automóvil, en los componentes de un reloj se encuentran bastantes piezas circulares; podría enumerarse una infinidad de objetos de forma circular. Es común que se utilicen circunferencia y círculo como sinónimos, sin embargo, aun cuando estos conceptos están estrechamente vinculados, tienen significados que es preciso distinguir para poder aplicarlos correctamente. Para partir con este amplio e importante tema, primero aclararemos qué es la circunferencia: CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es una curva plana, cerrada, cuyos puntos equidistan de un punto fijo e interior llamado centro, es decir, es la línea curva cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (radio) de un punto (centro). SEMI-CIRCUNFERENCIA: Es un arco de longitud igual a la mitad de la circunferencia. CÍRCULO: La superficie limitada por la circunferencia, es decir, la parte interior, es el círculo. SEMI-CÍRCULO: Es la región del plano comprendida entre un diámetro y la semicircunferencia correspondiente.

105

Actividad 27 Individual (30min) INSTRUCCIONES: Con la ayuda de un compás y un transportador, realiza de forma individual las actividades que se proponen a continuación: 1. Trazar dos circunferencias de 2 cm y de 3 cm de radio cada una, y en ellas dibújese los elementos solicitados: a) un diámetro. b) una tangente. c) una cuerda de 1.5 cm. d) una cuerda que subtienda un arco de 120º y otra que subtienda un arco de 45º. e) Inscribir un cuadrado. f) Inscribir un hexágono en una de las circunferencias y circunscribir otro en la segunda circunferencia. 106

Ángulos en la circunferencia Aprendizajes a lograr  Diferencia los diferentes ángulos en la circunferencia.  Formula y resolver problemas. Principales ángulos de la circunferencia: A). Ángulo central: Sus lados son dos radios. Su vértice es el centro de la circunferencia. B). Ángulo inscrito: Sus lados son cuerdas. Su vértice es un punto de la circunferencia. C). Ángulo interior: Sus lados son dos cuerdas que se cortan. Su vértice es un punto dentro la circunferencia. D). Ángulo exterior: Sus lados pueden ser dos secantes; una secante y una tangente o dos tangentes que se cortan en un punto fuera del círculo. Su vértice es un punto fuera de la circunferencia. E). Ángulo semiinscrito: Sus lados son una tangente y una cuerda. Su vértice es un punto de la circunferencia.

Los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales. La medida del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central correspondiente. El ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto.

z 107

Actividad 28 Grupal (30min) Organizados en parejas, identificar los ángulos que se te indican. Respeta los diferentes puntos de vista y trabaja colaborativamente. I. Dada la circunferencia siguiente, identifica los ángulos que se te indican:

1. ¿Cuál de las siguientes opciones representa un ángulo central? a) <JKN

b) <OLM

c) <OML

d) <KNO

e) <JON

2. ¿Cuál de las siguientes opciones representa un ángulo inscrito? a) <JKN

b) <OLM

c) <OML

d) <LOM

e) <JON

3. ¿Cuántos ángulos inscritos hay en la figura? a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) más de 5

4. ¿Cuántos ángulos centrales hay en la figura? a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) más de 5

II. En la circunferencia siguiente de centro O: Nombra 4 ángulos del centro: ________________________________________________ Nombra dos ángulos inscritos: ________________________________________________ Nombra dos ángulos que subtienden el arco BC: ________________________________________________ III. Un ángulo central mide 80° ¿Cuánto mide el ángulo inscrito que comprende el mismo arco? a) 80° b) 40° c) 160° d) Todos los ángulos inscritos miden 90°

108

Resuelve las actividades y contesta el mapa de aprendizaje.

Mapa de aprendizaje Competencia: Resuelve problemas de diferente índole sobre el teorema de la circunferencia. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 15 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo en Participa en actividades Participa en actividades de un equipo haciendo lo que le de equipo resolviendo las actividades de grupo o en corresponde haciéndolo dificultades y conflictos equipo para plenaria. con responsabilidad. que se presentan, para coordinar acciones En el trabajo en equipo lograr sus metas y propone acciones tiene tolerancia y respeto establecidas. o mecanismos para en la ideas de los demás. lograr las metas al máximo. Busca el entendimiento con los demás de su equipo. 2% 3% 4% 6% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

109

Área del círculo

Aprendizajes esperados  Calcula el área del círculo a partir de datos dados.  Formula y resuelve problemas.

Las fórmulas para encontrar el área del círculo son:

Calcular el área del círculo que mide: a) 3 m de radio. b) 1.5 m de diámetro.

El área de un círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por .

110

50 min

111

Proyecto:

El problema consiste en averiguar el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve el ancho de la portería con el mismo ángulo. Este problema está relacionado con la propiedad de los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan el mismo arco PQ (misma cuerda). Sabemos que estos ángulos miden todos lo mismo: la mitad del ángulo central correspondiente. Mide cuánto mide la portería, pide ayuda a algún topógrafo, investiga y decide con qué material lo vas a medir.

Después de haber terminado las actividades, se te da unas direcciones electrónicas para poder practicar los ejercicios que has fallado más.

Paginas para practicar y consultar: www.ditutor.com/geometria/circunferencia.html www.youtube.com/watch?v=YEwR2Xkx9Nc www.dailymotion.com/.../xq7e93_ejercicios-de-angul...

112

Autoevaluación 

1. ¿Cómo se llama la figura formada por líneas rectas?

A) área B) circulo C) polígono D) volumen 

2. ¿Cómo se llama el polígono que tiene 5 lados iguales?

A) heptágono B) hexágono C) pentágono D) cuadrado 

3. ¿Cómo se llama el polígono que tiene siete lados?

A) rectángulo B) pentágono C) heptágono D) octágono 

4. ¿Cuánto miden los ángulos internos de un triángulo?

A) 270° B) 180° C) 60° D) 360° 

5. ¿Cuántos grados tiene una circunferencia?

A) 60° B) 360° C) 180° D) 270° 

6. ¿Cómo se llama el polígono que tiene 9 lados?

A) eneágono B) decágono C) endecágono D) dodecágono 

7. ¿Cuánto miden los ángulos internos de un pentágono? 113

A) 72° B) 60° C) 36° D) 45° 

8. ¿Cuánto miden los ángulos internos de un heptágono?

A) 51° B) 72° C) 60° D) 36° 

9. ¿Cuánto miden los ángulos internos de un decágono?

A) 60° B) 51° C) 45° D) 36° 

10. ¿Cuál es el nombre del polígono que la suma de sus ángulos internos miden 180?

A) cuadrado B) rectángulo C) triángulo D) eneágono 11. En una circunferencia: el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y está formado por dos radios, se llama a) Ángulo interior b) Ángulo exterior c) Ángulo inscrito d) Ángulo central e) Ángulo semi inscrito 12. ¿Cuál es el área de una circunferencia de 16 π de longitud? a) 127.14 m2 b) 430.86 m2 c) 201.06 m2 d) 321.27 m2 e) 178.57 m2

Estas actividades te ayudarán a reforzar tus conocimientos adquiridos en esta unidad. 114

Respuestas:

oA oA oA oA oA oA oA oA oA oA oA oA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

oB oB oB oB oB oB oB oB oB oB oB oB

oC oC oC oC oC oC oC oC oC oC oC oC

Actividad 29.- Resuelve los siguientes ejercicios 1.

oD oD oD oD oD oD oD oD oD oD oD oD

oE oE oE oE oE oE oE oE oE oE oE oE

(50min)

Nombra estos polígonos atendiendo a sus características (lados, ángulos, diagonales, ejes de simetría...):

115

Observa detenidamente este polígono, descríbelo en función de sus características y propiedades (lados, ángulos, diagonales...) y nómbralo:

Calcula el área y el perímetro de estas figuras:

Calcula la altura y el área de este triángulo equilátero:

El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm. ¿Cuál es su área?

Nombra cada uno de estos polígonos atendiendo a sus características y propiedades (lados, ángulos, diagonales..):

116

Describe este polígono atendiendo a sus características (lados, ángulos, diagonales..), clasifícalo y nómbralo:

Para enlosar una habitación rectangular de 9  6 metros se utilizan baldosas cuadradas de 30 cm de lado. ¿Cuántas baldosas son necesarias para cubrir el suelo de la habitación?

Se ha atado una cabra, con una cuerda de 15 m de longitud, en una de las esquinas de un prado rectangular de 20  30 m. Calcular la superficie del prado en la que puede pastar la cabra y la superficie del prado en la que no puede pastar.

Esta es una prueba con base en competencias para saber cómo aplica tus conocimientos adquiridos en esta unidad. Te tienes que evaluar, un compañero te co-evaluará y tu maestro te hetero-evaluara.

117

Prueba: Titulo: Polígonos Materia: Geometría y Trigonometría Semestre: III semestre Ponderación: 20 % Instrucciones: Tiempo asignado: 50 minutos Recursos a utilizar durante el desarrollo de la prueba: hoja de apuntes y calculadora Competencia a Resolver ejercicios aplicando el perímetro y área de los polígonos. evaluar: Situación- problema Un terreno en forma de pentágono está siendo preparado para ser del utilizado como pastizal de borregos. Sabiendo que todos sus lados contexto: tiene la misma dimensión, si uno de los lados mide 80 m y el radio del polígono mide 4.56 m. Resultados esperados: a) La longitud de la Calcule las medidas y justifique: Elaborar los procesos de malla necesaria para operaciones matemáticas de cercar el terreno. acuerdo a toda la información y formulas referentes a polígonos. Respuesta o respuestas pertinentes: Opción: no existe ninguna longitud ya que no puede aplicar la información y formulas de polígonos.

Valor: 2%

Explicación:

Argumentación: Nivel autónomo Requiere movilizar los conceptos asociados al cálculo del perímetro del polígono, aplicando el procedimiento para su cálculo. Es decir, relaciona procedimientos, conceptos.

b) Si un costal de Calcule las medidas y semillas de pasto justifique: sirve para sembrar 50m2 de terreno, ¿cuántos costales se necesitan para empastar todo el terreno? 118

Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo a toda la información y formulas referentes a polígonos. Respuesta pertinentes: Opción: no

o existe

respuestas ninguna

ecuación o formula que pueda aplicar.

Valor: 4%

Explicación:

c) Para iluminar en la Calcule las medidas y noche el terreno, se justifique: necesitan lámparas que cubran secciones iguales de terreno. ¿Cuál es el ángulo central que determina el área que iluminara cada lámpara?

Valor: 5%

Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo a toda la información y formulas referentes a polígonos. Respuesta o respuestas pertinentes: Opción: no existe ninguna ecuación o formula que pueda aplicar. Argumentación: Nivel estratégico Implica asumir nuevas situaciones en un problema, con mayor relación e interpretación entre variables, además de que implica argumentación, ya que permite ver los criterios que ha formado.

Explicación:

d) ¿Cuál es la Calcule las medidas y longitud del ángulo justifique: interior del terreno?

Valor: 4% 119

polígonos.

Explicación:

e) ¿Cuál es la longitud Calcule las medidas y de cada ángulo justifique: exterior del terreno?

Argumentación: Nivel estratégico Implica asumir nuevas situaciones en un problema, con mayor relación e interpretación entre variables, además de que implica argumentación, ya que permite ver los criterios que ha formado. Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo a toda la información y formulas referentes a polígonos. Respuesta o respuestas pertinentes: Opción: no existe ninguna longitud ya que no puede aplicar la información y formulas de polígonos.

Valor 5%

Explicación:

120

Autoevaluación. Prueba escrita por competencias Nombre: Resultado del Aprendizaje

Pre_formal

Receptivoreproductivo

Resolutivo

Autónomo

Elabora una miniprueba escrita por competencias, tomando como base problemas.

Se presenta una prueba bajo un enfoque tradicional con mención de la competencia y un criterio.

Se presenta una prueba con al menos la competencia, el criterio y un problema. Las preguntas se relacionan con el problema.

La prueba tiene Instrucciones claras. El problema es del contexto y se relaciona con el problema del contexto las preguntas tienen niveles de dominio.

Los problemas del contexto y sus preguntas son interesantes para los estudiantes y los posibilitan aprender sobre determinados temas.

Evaluación: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

Logros:

Nivel: Nota: Estratégico Hay elementos de creatividad, de innovación en la presentación de los problemas. Tienen relevancia en el contexto.

Acciones para mejorar:

Cómo me evalúo Después de haber terminado el bloque III es necesario que yo sepa qué he logrado y qué debo mejorar de acuerdo al mapa de aprendizaje. Sé justo, sincero y respetuoso al momento de autoevaluarte y coevaluarse.

Autoevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

121

Coevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

Es hora de la heteroevaluación Esta parte es elaborada por el maestro para saber en qué nivel de desempeño me encuentro en mis actividades realizadas, esto de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Heteroevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

Momento de saber a qué nivel llegue y las metas que logré, y de hacer la metacognición. 122

En qué nivel me encuentro A continuación se te presenta el mapa de aprendizaje

para que ubiques qué nivel

de desempeño has logrado.

Criterios:

Mapa de aprendizaje del bloque III Receptivo Resolutivo Autónomo

Identifica clasificación los polígonos.

la Identifica la de clasificación de los polígonos, pero sólo por sus lados. Identifica los Identifica los ángulos interiores ángulos y exteriores y los interiores, pero nombra. no los exteriores y no los nombra.

Identifica la clasificación de los polígonos pero por sus nombres. Identifica los ángulos interiores y exteriores pero no los nombra.

Identifica la clasificación de los polígonos, pero no de manera solida. Identifica los ángulos interiores y exteriores, los nombra pero no de manera solida.

Resuelve ejercicios de diagonales, así como áreas y perímetros de los polígonos. Trabaja colaborativamente, responsabilidad, con solidaridad y respeto en sus actividades.

Resuelve los ejercicios sobre diagonales, pero no de áreas y perímetros de los polígonos.

Resuelve los ejercicios sobre diagonales y perímetros, pero no de áreas de los polígonos.

Desarrolla un ambiente en donde no hay respeto ni tolerancia hacia sus compañeros y sus ideas

Colabora con sus compañeros en la resolución de las diversas actividades en un buen ambiente.

Resuelve los ejercicios sobre diagonales, perímetros y áreas de polígonos pero aún le quedan algunas dudas por aclarar.

Evidencia(s): Actividades del bloque Ejercicios Proyecto

Realiza sus actividades de manera incompleta y con 5 errores en las actividades.

0 -40%

Valor: 100%

Estratégico Identifica la clasificación de los polígonos, de manera solida. Identifica los ángulos interiores y exteriores, los nombra de manera clara y solida. Resuelve los ejercicios sobre diagonales, perímetros y áreas de polígonos de manera apropiada y correcta.

Trabaja de manera colaborativa en un ambiente de respeto y tolerancia hacia sus compañeros.

Trabaja de manera colaborativa en un ambiente de respeto y tolerancia hacia sus compañeros, en donde respeta cada uno de sus puntos de vistas en cada una de las actividades.

Realiza sus actividades de manera incompleta y con 3 errores en las actividades.

Realiza sus actividades de manera completa y con 2 errores en las actividades.

Realiza sus actividades de manera completa pero sin errores dentro de las actividades.

40-70%

70-90%

90-100%

123

¿Cuáles son las metas que logré? ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________

Glosario POLÍGONO: m. GEOM. Figura plana cerrada, limitada por segmentos de recta que se denominan lados del polígono. Los puntos donde se cortan dos lados consecutivos se llaman vértices; los segmentos que unen dos vértices no consecutivos se denominan diagonales y se da el nombre de ángulos del polígono a los que forman dos lados consecutivos. Los polígonos se nombran haciendo referencia al número de lados que poseen; así se llama triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono, heptágono, octógono, eneágono, decágono, etc., si poseen 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, etc., lados respectivamente. POLÍGONO REGULAR: Aquel que posee todos sus lados y ángulos iguales. EL CUADRILÁTERO: es la unión de cuatro segmentos coplanarios con cada segmento que interseca exactamente dos otros segmentos en los puntos finales, y ninguno de los dos segmentos collinear. EL PARALELOGRAMO: es un cuadrilátero en el cual ambos pares de caras opuestas son paralelos. EL ROMBO: es un paralelogramo con cuatro caras iguales. EL RECTÁNGULO: es un paralelogramo con cuatro ángulos rectos. EL TRAPEZOIDE: es un cuadrilátero con exactamente un par de caras opuestas paralelas. Las caras paralelas se llaman bases, y las caras del paralelo son las piernas. Si las piernas son iguales, el trapezoide se llama un trapezoide isósceles. EL POLÍGONO: es la unión de segmentos de línea tres o más coplanarios con cada segmento que interseca exactamente dos otros segmentos, uno en cada punto final, y sin dos segmentos de línea que se intersecan colinear. El PERÍMETRO: el perímetro de un polígono es la suma de las medidas de las longitudes de las caras. LOS POLÍGONO CÓNCAVOS: son aquellas figuras en las que al menos uno de sus ángulos interiores mide más de 180 grados ó radianes. En un polígono cóncavo al menos una de sus diagonales es exterior al polígono. LOS POLÍGONOS ESTRELLADOS: son polígonos cóncavos. En todo polígono cóncavo hay al menos dos vértices que al ser unidos por un segmento, éste corta uno o más lados. Los polígonos de tres lados (triángulos) son los únicos polígonos que no pueden ser cóncavos, dado que ninguno de sus tres ángulos puede superar los 180 grados ó radianes. POLÍGONO CONVEXO: es una figura en la que todos los ángulos interiores miden menos de 180 grados ó radianes y todas sus diagonales son interiores. 125

CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es un contorno continuamente curvado, cuyos puntos están todos a la misma distancia de un punto central, llamado centro del círculo. CENTRO: Punto interior del círculo, del que equidistan todos los de la circunferencia. CIRCULO: es la superficie plana limitada por la circunferencia. RADIO: recta que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. DIÁMETRO: recta que pasa por el centro y une dos puntos de la circunferencia. CUERDA: segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia. ARCO: es una parte de la circunferencia. TANGENTE: recta que se interseca con la circunferencia en un punto. SECANTE: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos. ANGULO CENTRAL: tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios. ANGULO INSCRITO: su vértice coincide con cualquier punto de la circunferencia y sus lados pasan por dos puntos de la circunferencia. ANGULO EXCÉNTRICO: también llamado ángulo interior. Es aquel que está dentro de la circunferencia pero su vértice no coincide con el centro. ANGULO EXTERIOR: es aquel cuyo vértice se encuentra en la parte exterior y sus lados pueden ser secantes o tangentes, o uno secante y el otro tangente a la circunferencia. ANGULO SEMI-INSCRITO: está determinado por una cuerda de una circunferencia y la tangente que pasa por uno de los extremos de la cuerda. Hemos terminado la unidad III, donde tú viste muchos ejercicios para practicar así como reflexionamos nuestras metas a lograr y lo necesitamos hacer para mejorar, cómo pudiste ver trae datos curiosos, y ya para terminar un glosario de los conceptos de la unidad.

126

Bloque IV funciones trigonométricas Propósito: Desarrollar la capacidad de la orientación espacial mediante el análisis y la representación de problemas que implican figuras, en un clima de participación y responsabilidad.

Conceptos fundamentales:

Categorías:

 Funciones Trigonométricas Conceptos subsidiarios:  Antecedentes históricos  Trigonometría de triángulos rectángulos  Circulo trigonométrico o unitario  Resolución de triángulos rectángulos. Resolución de triángulos oblicuángulos

Espacio Diversidad  

Valores que promueve: Solidaridad Colaboración Ayuda mutua  Respeto  Responsabilidad 

127

Evaluación de Diagnóstico 1. Halla el valor numérico de 2 sen 20° cos 70°. a) 5.71 b) 7.854 c) 6.223 d) 3.281 e) 0.233

5. Halla el valor numérico de csc 68°. a) 5.71 b) 1.078 c) 6.223 d) 3.281 e) 2.669 6. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden a = 3.6m y b = 4.2 m. a) 4.78 m b) 2.10 m c) 5.53 m d) 2.4 m e) 7.8 m

2. Halla la hipotenusa de un triángulo rectángulo si sus catetos miden a = 6m y b = 8 m. a) 48 m b) 10 m c) 4 m d) 24 m e) 5 m

7. Dado Sin A = 2/5 halla el valor de Cot A a) 2.29 b) 3.23 c) 3.57 d) 6.65 e) 3.89

3. Dada Tan A = 2/5 halla el valor de Cot A a) Cot A = 4/7 b) Cot A = 5/2 c) Cot A = 3/7 d) Cot A = 2/6 e) Cot A = 7/4

8. Halla el valor de sec 25° a) 2.36 b) 2.14 c) 3.57 d) 1.103 e) 3.894

4. Halla el valor de Sen 10° a) Sen 90° b) Cot 10° c) Cos 80°

Recordar los saberes previos, unas pequeñas actividades, una prueba basada en competencias y un mapa de aprendizaje nos ayudarán a saber en qué nivel te encuentras.

128

a) Calcule el lado, los Calcule las medidas y ángulos y la altura del justifique: triángulo

Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo a funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. Respuesta o respuestas pertinentes: Opción: no existe ningún lado ni altura ya que no se puede aplicar las funciones trigonométricas, ya que no forma un triángulo rectángulo.

Valor: 6%

Explicación:

129

Actividad 30 Investiga Seguramente habrás visto esta señal en las carreteras y conoces lo que indica: pendiente prolongada. 10% También recordarás el concepto de pendiente de una recta. Según éste el 10% significa que cada 100 m recorridos en horizontal, subimos (o bajamos) 10 en vertical. Pero algunos interpretan los 100 m como el camino real recorrido. ¿Tú qué opinas? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ¿Influye mucho considerarlo de una u otra forma? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

Antes de comenzar con este bloque vamos a reflexionar sobre lo que queremos y esperamos. Lee estas preguntas en voz alta y contéstalas con toda sinceridad, esto es a través de MAFDA; si no lo conoces visita este link: http://issuu.com/cife/docs/e_book_metacognicion_madfa?e=2441428/2622030 ¿Sabes de qué se trata este bloque? ¿Qué conceptos básicos tienes de geometría y trigonometría? ¿Qué esperas de este bloque? Para saber sobre tus respuestas te recomiendo que elabores un informe de tus preguntas.

130

Comenzamos unidad IV.

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Relaciones trigonométricas Aprendizajes a lograr  Conoce las relaciones trigonométricas.  Diferencia las relaciones trigonométricas.  Describe las relaciones trigonométricas.  Calcula relaciones trigonométricas.

La trigonometría es una rama de las tantas ramas de matemáticas, se encarga de estudiar y analizar la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos. Para esto recurre generalmente a las llamadas razones trigonométricas. El origen de la palabra trigonometría desciende del griego “trigonos” (triángulo) y “metros” (metria).

Las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo se expresan en términos de las relaciones Trigonométricas. En trigonometría los ángulos se expresan por medio de las letras griegas, como por ejemplo el símbolo θ que se llama theta. Se han agrupado las seis relaciones trigonométricas para el ángulo θ como sigue:

131

Donde a las funciones de Csc θ, Sec θ y Cot θ se llaman funciones recíprocas de las funciones del Sen θ, Cos θ y Tan θ respectivamente. Para los triángulos:

Existen expresiones que relacionan el seno, el coseno y la tangente de un ángulo, de modo que a partir de una de ellas podemos obtener el resto de razones trigonométricas.

132

La trigonometría se utiliza para: • estudiar el movimiento de un cuerpo que oscila (movimiento armónico simple) • estudiar cómo se propagan las ondas: las ondas que se producen al tirar una piedra en el agua.

Momento de resolver algunos ejercicios. Estos te servirán para darte cuenta qué aprendiste ya y qué conocimientos te hace falta reforzar.

133

Actividad 31 Grupo (30min) “Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de las seis razones trigonométricas para los diferentes triángulos formados considerando los valores de a, b, c y el ángulo θ indicados.:” Se respetuoso y trabaja colaborativamente.

Mapa de aprendizaje Competencia: Resuelve problemas de razones trigonométricas. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 15 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en actividades de un grupo o en plenaria.

Participa en el trabajo en equipo haciendo lo que le corresponde haciéndolo con responsabilidad. En el trabajo en equipo tiene tolerancia y respeto en la ideas de los demás. Busca el entendimiento con los demás de su equipo.

Participa en actividades de equipo resolviendo las dificultades y conflictos que se presentan, para lograr sus metas establecidas.

Participa en actividades de equipo para coordinar acciones y propone acciones o mecanismos para lograr las metas al máximo.

2% Tipo de evaluación Autoevaluación:

3% Logros:

4% Acciones para mejorar:

134

Coevaluación: Heteroevaluación:

Funciones en el triángulo rectángulo Aprendizajes a lograr Calcula el valor de las funciones trigonométricas para diferentes ángulos en el triángulo rectángulo. El propósito será calcular el valor de las funciones trigonométricas para diferentes ángulos en el triángulo rectángulo. Encontrar el valor de las funciones trigonométricas del ángulo agudo del triángulo rectángulo.

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Actividad 32 Grupo (30min) “Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de las seis funciones trigonométricas para los diferentes triángulos formados considerando los valores de a, b, c y el ángulo θ indicados.” Se respetuoso y trabaja colaborativamente.

Mapa de aprendizaje Competencia: Resuelve problemas de las funciones trigonométricas. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 15 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo en Participa en actividades Participa en actividades de un equipo haciendo lo que le de equipo resolviendo las actividades de grupo o en corresponde haciéndolo dificultades y conflictos equipo para plenaria. con responsabilidad. que se presentan, para coordinar acciones En el trabajo en equipo lograr sus metas y propone acciones tiene tolerancia y respeto establecidas. o mecanismos para en la ideas de los demás. lograr las metas al Busca el entendimiento máximo. con los demás de su equipo. 2% 3% 4% 6% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

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Resolución de triángulos rectángulos Aprendizajes a lograr Utiliza las funciones trigonométricas para que dados un ángulo y uno de

los lados determine los lados que faltan. Trabaja de manera colaborativa. El propósito es utilizar las funciones trigonométricas para que dados algunos elementos de triángulos rectángulos, encontrar los que faltan.

Ejemplo

Encontrar un lado del triángulo cuando se conoce un ángulo agudo y uno de los valores

a) Dado a = 6 y θ = 30º, hallar los valores de “b” y “c”.

Para iniciar se tiene que decidir cuál de los lados, si el cateto adyacente “b” o bien la hipotenusa “c”, se ha de encontrar primero. Para encontrar el valor del lado “b”, se busca cuál de las seis relaciones trigonométricas contiene los datos conocidos, además de que contenga lo que se quiere buscar (lado “b”).

No dejes de resolver las actividades y contestar los mapas de aprendizaje porque así podrás saber en qué nivel te encuentras, así como en dónde debes mejorar. Siempre comprométete para que llegues a cumplir tu meta.

137

Actividad 33 Grupo

(30min)

Reunidos en equipos de tres integrantes, revisar y analizar la forma en que se encuentran los lados que faltan en un triรกngulo para resolver los ejercicios propuestos. Se respetuoso y trabaja colaborativamente.

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Mapa de aprendizaje Competencia: Resuelve problemas de diferente índole sobre trigonometría. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 15 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo en Participa en actividades Participa en actividades de un equipo haciendo lo que le de equipo resolviendo las actividades de grupo o en corresponde haciéndolo dificultades y conflictos equipo para plenaria. con responsabilidad. que se presentan, para coordinar acciones En el trabajo en equipo lograr sus metas y propone acciones tiene tolerancia y respeto establecidas. o mecanismos para en la ideas de los demás. lograr las metas al Busca el entendimiento máximo. con los demás de su equipo. 2% 3% 4% 6% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

Dato curioso: Una propiedad curiosa del número 12345679 es que los múltiplos que resultan al multiplicarlo por: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 y 81, se escriben con una sola cifra.

Páginas para consultar y visitar: www.youtube.com/watch?v=-fNkaIF1o6k www.youtube.com/watch?v=uMPx37LRI2E www.youtube.com/watch?v=ML-aUanNUcs www.aulafacil.com/fisica-matematicas/curso/Lecc-18.htm

139

Proyecto del bloque:

Proyecto: Problema Duración: Actividades:

Recursos: Normas:

Evaluación:

Para que sigas empleando tus saberes vistos en este bloque, te proponemos llevar a cabo este proyecto formativo. Sigue las instrucciones que se te dan y colabora.

La sombra Se desea conocer la altura del árbol más alto del patio. Una semana Elige un árbol del colegio para determinar su altura. Utiliza una cinta métrica para medir la sombra proyectada del árbol. Utiliza las funciones trigonométricas para saber la medida del ángulo de elevación del sol. Registra los datos que toma cada grupo en unas horas determinadas en una tabla. En el caso del grupo 1, 2 y 3 toman los datos en las horas de la mañana y los grupos 4, 5 y 6 toman los datos de la tarde. Determina la altura del árbol. Presenta y discute los resultados obtenidos en la tabla de cada grupo con sus compañeros. Cinta métrica, apuntes, calculadora, libreta. Deberá entregarse en el tiempo indicado por su maestro. En caso de que algunos de los miembros del integrante no colabore, se resolverá al criterio del maestro. Cada integrante del equipo deberá trabajar y colaborar y responder a las preguntas que se le hagan así mismo como explicar lo que se le indique por el maestro. Se evaluará de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Este proyecto te ayudará a darte cuenta que lo que estás aprendiendo lo puedes aplicar en tu vida.

140

Estas actividades te ayudarán en tu aprendizaje, no dejes de resolverlas.

Actividades34

(50min)

1) Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60º con respecto al piso.

2) El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?

3) Calcula las relaciones trigonométricas directas de α y β:

4) Halla las razones trigonométricas de los siguientes ángulos: a) 135º

b)- 560º

141

Problemas

(30min)

1. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.

2. Los ratones han roído parte de una pieza triangular de cartón (Fig. 1) que un sastre había cortado para confeccionar un patrón. ¿Sabrías calcular las longitudes de sus lados a partir de lo que ha quedado de ella?

142

¡Hagamos una reflexión! Es necesario que hagas una reflexión con respecto a tus compromisos. Esto quiere decir hacer una metacognición. ¿Qué metas logré respecto a las metas esperadas? ¿En qué grado alcancé las metas? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ¿Cuáles son algunos de los errores más comunes que cometí en la actividades y cómo puedo corregirlos? ¿Apliqué las actitudes y habilidades necesarias?¿Me hizo falta algo? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________ ¿Qué plan de mejora propongo? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________

¡Esfuérzate y conseguirás todo lo que te propongas!

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Prueba: Titulo: Funciones Trigonométricas Materia: Geometría y Trigonometría Semestre: III semestre Ponderación: 6% Instrucciones: Tiempo asignado: 30 minutos Recursos a utilizar durante el desarrollo de la prueba: hoja de apuntes y calculadora Competencia a Resolver ejercicios aplicando funciones trigonométricas en evaluar: triángulos rectángulos. Situación- problema Un acróbata desea caminar por un cable tensionado entre las del terrazas de dos edificios que tienen 100 metros de altura. Se sabe contexto: que el ángulo de elevación producido por la altura de uno de los edificios hasta el extremo máximo del otro es de 65°. a) Determine la Calcule las medidas y Resultados esperados: distancia aproximada justifique: Elaborar los procesos de que tendrá que operaciones matemáticas de recorrer el acróbata acuerdo a funciones para desplazarse de trigonométricas en triángulos un extremo de uno de rectángulos. los edificios al otro. Respuesta o respuestas pertinentes: Opción: no existe ninguna distancia ya que no se puede aplicar las funciones Valor: 6% trigonométricas, ya que no forma Explicación: un triángulo rectángulo. Argumentación: Nivel estratégico Implica asumir nuevas situaciones en un problema, con mayor relación e interpretación entre variables, además de que implica argumentación, ya que permite ver los criterios que ha formado.

144

Autoevaluación (1) A) B) C) D) E)

Calcule el valor de x: 12 14 16 18 20

(2) En el triángulo ABC rectángulo en C, el lado AB  3 ¿Cuál es el área del triángulo?

(3) Cuando el sol se encuentra a 60° sobre el horizonte, un árbol de 15 m de alto proyecta una sombra que mide: A) 9 m B) 15 3 m C) 5 3 m 15 3 m 2 15 E) m 2 (4) El ángulo que describe el minutero de un reloj al cabo de girar 3 horas y 22 minutos mide: D)

A) 3,37° B) 322° C) -1.212° D) 132°

145

E) 318°

(5) Cuando el sol se encuentra a 60° sobre el horizonte, un árbol de 15 metros de alto proyecta una sombra que mide: A) 9 m B) 15 3m C) 5 3m 15 3 m 2 15 E) 2 D)

(6) El perímetro del triángulo ABC de la figura es 48 m. ¿Cuánto vale x si tg =0,75? ¿Cuánto vale el sen  ?

1 2 B) x  5m, sen  0,25 A) x  6m, sen 

1 8 D) x  12m, sen  0,60 C) x  15m, sen 

E) Ninguna de las anteriores

Respuestas:

1 2 3 4 5 6

oA oA oA oA oA oA

oB oB oB oB oB oB

oC oC oC oC oC oC

146

oD oD oD oD oD oD

oE oE oE oE oE oE



Cómo me evalúo Después de haber terminado el bloque IV es necesario que yo sepa qué he logrado y qué debo mejorar de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Autoevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

Coevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

147

Es hora de la heteroevaluación Esta parte es elaborada por el maestro para saber en qué nivel de desempeño me encuentro en mis actividades realizadas, esto de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Heteroevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

En qué nivel me encuentro A continuación se te presenta el mapa de aprendizaje

para que ubiques qué nivel

de desempeño has logrado.

Momento de saber a qué nivel llegué y las metas que logré, y de hacer la metacognición.

148

Criterios:

Mapa de aprendizaje del bloque IV Receptivo Resolutivo Autónomo

Estratégico

Identifica las relaciones trigonométricas, funciones y resolución de triángulos rectángulos.

Identifica las relaciones trigonométricas y funciones básicas.

Reconoce las relaciones trigonométricas y las funciones en los triángulos rectángulos.

Reconoce los datos de las relaciones trigonométricas y sus funciones en la resolución de triángulos rectángulos.

Resuelve ejercicios de relaciones trigonométricas, funciones en el triangulo rectángulo y resolución.

Resuelve los ejercicios sobre relaciones trigonométricas, pero no de funciones y resolución de triángulos rectángulos.

Resuelve los ejercicios sobre relaciones trigonométricas y funciones, pero no de resolución de triángulos rectángulos.

Resuelve los ejercicios sobre relaciones trigonométricas y funciones y de resolución de triángulos rectángulos. Pero aún le quedan algunas dudas por aclarar.

Desarrolla un ambiente en donde no hay respeto ni tolerancia hacia sus compañeros y sus ideas.

Colabora con sus compañeros en la resolución de las diversas actividades en un buen ambiente.

Trabaja de manera colaborativa en un ambiente de respeto y tolerancia hacia sus compañeros.

Trabaja de manera colaborativa en un ambiente de respeto y tolerancia hacia sus compañeros, en donde respeta cada uno de sus puntos de vistas en cada una de las actividades.

El proyecto no está estructurado acorde a las normas establecidas.

Se evidencia claramente en el proyecto las funciones trigonométricas.

El proyecto es contundente con las funciones trigonométricas además de que cuenta con los elementos solicitados.

Argumenta de manera clara y precisa los elementos del proyecto de manera que toma la iniciativa de realizar una presentación y debate de una manera innovadora.

0 -40%

40-70%

70-90%

90-100%

Trabaja colaborativamente, responsabilidad, con solidaridad y respeto en sus actividades.

Evidencia(s): Actividades del bloque. Ejercicios Proyecto

Valor: 100%

149

Reconoce e identifica las relaciones trigonométricas y sus funciones en la resolución de triángulos rectángulos en situaciones reales, aportando nuevas ideas con sólidos argumentos. Resuelve los ejercicios sobre relaciones trigonométricas y funciones y de resolución de triángulos rectángulos de manera apropiada y correcta.

150

Glosario Razón: De un numero a con otro numero b (distinto de cero) es el cociente que resulta de dividir a entre b. Hipotenusa: Lado opuesto al ángulo recto en un triángulo rectángulo.

Seno: El del arco que sirve de medida al ángulo. Coseno: Seno del complemento de un ángulo o de un arco. Tangente: Dicho de dos o más líneas o superficies: que se tocan o tienen puntos comunes sin cortarse. Cotangente: Inversa de la tangente de un ángulo o de un arco. Cosecante: Inversa del seno de un ángulo o de un arco.

Hemos terminado la unidad IV, en donde tú viste muchos ejercicios para practicar así como reflexionamos nuestras metas a lograr y lo necesitamos hacer para mejorar, cómo pudiste ver trae datos curiosos, y ya para terminar un glosario de los conceptos de la unidad.

151

Bloque v identidades trigonométricas Propósito: Desarrollar la capacidad de la orientación espacial mediante el análisis y la representación de problemas que implican figuras en un clima de participación y responsabilidad.

Conceptos fundamentales:

Categorías:

Identidades Trigonométricas 

 Espacio  Diversidad

 Conceptos subsidiarios: Identidades fundamentales  Demostración de identidades  Propiedades  Procedimiento de solución 

Valores que promueve:     



152

Solidaridad Colaboración Ayuda mutua Igualdad Respeto

Evaluación diagnóstica

A continuación se te presentan una serie de preguntas de opción múltiple. Esfuérzate por contestarlas subrayando la respuesta correcta.

Esta evaluación de diagnóstico te permitirá recordar los saberes previos.

153

Momento de comenzar.

TRIANGULOS OBLICUANGULOS Ley de senos Aprendizajes a lograr Usa adecuadamente la ley de los senos para resolver triángulos

oblicuángulos. Trabaja de manera colaborativa. La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los lados de un triángulo cualquiera y que se utiliza para resolver ciertos tipos de problemas de triángulos. La ley de los Senos dice:

Donde a, b y c son los lados del triángulo y a los lados correspondientes.

son los ángulos del triángulo apuestos

154

Resolver un triรกngulo significa encontrar todos los datos que faltan, a partir de los datos que te dan. Si en un problema de triรกngulos te dan como datos 2 รกngulos y un lado, usa le ley de los senos.

155

Actividad 35 Grupo (30 min) Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor de los datos que faltan en los triángulos, utilizando la Ley de los Senos. Se respetuoso y trabaja colaborativamente.

No dejes de resolver tus ejercicios y contestar los mapas de aprendizaje que te ayudan a saber sobre tu nivel de aprendizaje.

Mapa de aprendizaje Competencia: Resuelve problemas de ley de senos Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 10 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo en Participa en actividades Participa en actividades de un equipo haciendo lo que le de equipo resolviendo las actividades de grupo o en corresponde haciéndolo dificultades y conflictos equipo para plenaria. con responsabilidad. que se presentan, para coordinar acciones En el trabajo en equipo lograr sus metas y propone acciones tiene tolerancia y respeto establecidas. o mecanismos para en la ideas de los demás. lograr las metas al Busca el entendimiento máximo. con los demás de su equipo. 1% 2% 3% 5% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación: 156

Ley de cosenos Aprendizajes a lograr  Usa adecuadamente la ley de los cosenos para resolver triángulos oblicuángulos.  Trabaja de manera colaborativa. La Ley de los Cosenos es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado que se quiere conocer. Se describe de la siguiente forma: supongamos que se quiere conocer el lado C y se tienen conocidos los valores de los lados a y b, además del ángulo . C2 = a2 + b2 – 2abCos

El Símbolo de la raíz tiene su origen en una r inicial de la palabra latina radix. El símbolo de la raíz, aparece por primera vez en el libro de álgebra publicado en alemán en 1525, de Christoff Rudolff. Resolver el siguiente triángulo rectángulo encontrando el valor de lado C, si a = 6, b = 10 y = 130º Ejemplo Solución:

Utilizando la ley de los cosenos y sustituyendo: C2 = a2 + b2 – 2abCos C2 = a2 + b2 – 2abCos C2 = (6)2 + (10)2 – 2(6)(10) Cos(130) ahora resolver las operaciones. C2 = 36 + 100 – 120(-0.642) C2 = 213.04 C= C = 14.59 Que es la solución al problema al encontrar C = 14.59.

157

Actividad 36 Grupo (30min) “Reunidos en equipos de tres integrantes, encontrar el valor que falta indicado en los triángulos, utilizando la Ley de los Cosenos. Sé respetuoso y trabaja colaborativamente.

No dejes de resolver tus ejercicios y contestar los mapas de aprendizaje que te ayudan a saber sobre tu nivel de aprendizaje.

Mapa de aprendizaje Competencia: Resuelve problemas de ley de cosenos. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor: 10 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en Participa en el trabajo Participa en Participa en actividades de un en equipo haciendo lo actividades de equipo actividades de grupo o en que le corresponde resolviendo las equipo para plenaria. haciéndolo con dificultades y coordinar responsabilidad. conflictos que se acciones y En el trabajo en equipo presentan, para lograr propone tiene tolerancia y sus metas acciones o respeto en la ideas de establecidas. mecanismos para los demás. lograr las metas Busca el al máximo. entendimiento con los demás de su equipo. 1% 2% 3% 5% Tipo de evaluación Logros: Acciones para mejorar: Autoevaluación: 158

Coevaluación: Heteroevaluación:

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Aprendizajes a lograr  Conoce las 8 identidades trigonométricas fundamentales  Clasifica las identidades trigonométricas fundamentales(reciprocas, cociente y pitagóricas)  Aplica identidades trigonométricas para encontrar el valor de las funciones trigonométrica (Cotangente, Secante y Cosecante) utilizando calculadora para cualquier ángulo  Trabaja de manera colaborativa Identidades Fundamentales En matemáticas existen expresiones algebraicas que reciben el igualdades; éstas se clasifican en ecuaciones e identidades.

nombre de

Las ecuaciones como por ejemplo 2x +2 = 6 es una expresión que es válida para determinados valores de las incógnitas; en este caso el valor x= 2 es el que satisface a la ecuación ya que al sustituir 2(2) + 2 = 6. Las identidades son expresiones que son válidas para cualquier valor que tomen las variables: en este caso la expresión x2 – y2 = (x+y)(x-y) es válida para cualquier valor de las variables o incógnitas. En trigonometría existen expresiones que relacionan los lados y ángulos de un triángulo rectángulo y que son válidas para cualquier valor de sus lados y ángulos y que reciben el nombre de identidades trigonométricas.

159

Tarea de investigación 6 (Actividad para la casa) Investiga las 8 identidades trigonométrica fundaméntales. Son 3 por reciprocas, 2 por cocientes o razón y 3 pitagóricas. Elabora un mapa conceptual.

Te sugiero la siguiente página que describe cómo elaborar un mapa conceptual: http://youtube.googleapis.com/v/s2LwAq60MT0

Dos funciones trigonométricas son recíprocas si el producto de ellas es 1. La definición del coseno en un triángulo rectángulo en razón de los lados es cateto adyacente entre hipotenusa y la Secante es hipotenusa entre cateto adyacente Ejemplo

Entonces

. Si despejamos Cos x queda:

Esta es una identidad trigonométrica por recíprocidad

160

Actividad 37 Grupo (30min) Organizados en parejas, completar la tabla adjunta clasificando las identidades trigonométricas fundamentales que se te proporcionan. Para lograrlo observa el ejemplo. Sé respetuoso y trabaja colaborativamente.

Páginas para practicar y visitar: www.youtube.com/watch?v=I1b3m4xi9J0 www.slideshare.net/elimarcela/ejercicios-resueltos-identidades www.youtube.com/watch?v=Qc2amgLU0qk ¸www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html

161

Mapa de aprendizaje Competencia: Resuelve problemas de identidades trigonométricas. Resultado de Aprendizaje o aprendizaje esperado: Participa en el trabajo en equipo acorde con un objetivo establecido. Valor:5 % Receptivo Resolutivo Autónomo Estratégico Participa en actividades de un grupo o en plenaria.

Participa en actividades de equipo resolviendo las dificultades y conflictos que se presentan, para lograr sus metas establecidas.

Participa en actividades de equipo para coordinar acciones y propone acciones o mecanismos para lograr las metas al máximo.

0.5% Tipo de evaluación Autoevaluación: Coevaluación: Heteroevaluación:

1% Logros:

1.5% Acciones para mejorar:

162

Actividad 38 Individual

(20min)

Instrucciones. Relaciona correctamente la columna de la derecha con la de la izquierda, colocando dentro del paréntesis la letra que corresponda.

Demostración de identidades

Aprendizajes a lograr Aplica

métodos para demostrar identidades trigonométricas.

Verifica la identidad: Ejemplo

CosxCscxTanx= 1

163

Solución:

Sustituyendo las identidades obtenemos:

en la expresión anterior

Al multiplicar y simplificar se obtiene:

Así, nos da como resultado: 1=1 Por lo tanto la identidad CosxCscxTanx= 1 es verdadera.

Actividad 39 Individual

(30min)

Verificar las siguientes identidades que continuación.

Ejercicios

se te

proporciona a

Demostración

1) SenxCotx=Cosx

2)SecxCotxSenx=1

No dejes de resolver tus actividades.

164

Actividades 40 1.

Dado a = 5, b = 6, c = 7 , entonces, aplicando la ley de los cosenos.

Sabiendo que senα =0,86 calcula las demás razones trigonométricas directas e inversas.

Tres puntos A, B y C están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 Km., la BC es 9 Km. y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?

5. Si tgx + cotgx = 2, entonces si x es agudo, x =? A) 30° B) 45° C) 60° D) 75° E) Ninguna de las anteriores.

6. (x sen(x) – ycos(x))2 + (xcos(x) + ysen(x))2 =? A) x + y B) sen(x)cos(x) C) sen2(x)cos2(x) D) 1 E) x2 + y2

165

  cos 30 3 7. ?  tg  cot g45 4 sen

A) 1 B) 3 C)

3 2

3 4 3 E) 4 D)

8. En la figura, triángulo ABC equilátero. Si M punto medio de AC, entonces 1 +

tg 2 = ?

9. Si sen 30° =

1 , 2

calcular:

cos30 sen30

1 2

3 2

2 2 E) Ninguna de las ante riore s D)

10. Si sen 30°, calcular cosec  .

166

Esta evaluación te permite medir los conocimientos adquiridos.

Autoevaluación 1. ¿Qué tipo es la siguiente identidad Senx Cscx = 1? A) Reciproca

B) Cociente

C) Pitagórica

D) Inversas

E) Radical

2. Utilizando una identidad trigonométrica fundamental, ¿Cuál es el valor de la Sec 56° en la calculadora? A) 0.8191520443 B) 1.220774589 C) 1.78829165 D) 1.428148007 E) 0.7002075382 3. Utilizando identidades trigonométricas, demuestra que, es igual a A) Sen x B) Cos x

C) Tan x

D) Cot x

E) Sec x

4. ¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a 4Sen x-2=0 en grados? A) 60° B) 210° C) 30°

D) 300°

E) 45°

5. Resuelve la ecuación trigonométrica 2Cos2x = 1 en radianes A) 2

B) 6

C) 34

D) 53

E) 23

6. ¿Cuál es el valor de ángulo “x” que satisface a 3Cot x- 3 =0 en grados? A) 60°

B) 90°

C) 30°

D) 120°

E) 150°

7. ¿Cuál es una ecuación exponencial natural? A) 2x=4

B) 24x

C) 24x

D) 2xe

E) 100.01x

8. Determina el valor de x que satisface la siguiente ecuación exponencial 1232x A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

9. ¿Cuál es el valor de x que satisface la ecuación logarítmica ? log(35)log17x A) 3

B) 4

C) 5

D) 7

E) 8

10. Determine el valor de la siguiente expresión:

sen(90  )  cos(90  ) tg(90  )

A) sen B) 1 C) cos(90  ) D) 1  sen2 (90  ) E) Ninguna de las ante riores

11.

Si  

 radianes ,y 4



 radianes , 3

167

entonces

sen2   cos2  ? tg  sec

A) 1 1 2 1 C) 4 1 D) 8 1 E) 16 B)

Si cos  

12.

5 , entonces cot g  ? 13

5 12 12 B) 13 5 C) 13 13 D) 5 A)

E) Otro Valor 13. Cos 105° es equivalente a: A)

6  2 4

2  6 4

2  6

2  6 4 E) Ninguna de las ante riore s D)

   14. El valor numérico de la expresión: cos    cot    sen   es : 

3

A) 4 B)

1 4

C) 

1 4

1 2 E) 1 D)

168



4



6

Prueba: Titulo: Ley del seno Materia: Geometría y Trigonometría Semestre: III semestre Ponderación: 6% Instrucciones: Tiempo asignado: 30 minutos Recursos a utilizar durante el desarrollo de la prueba: hoja de apuntes y calculadora Competencia a Resolver ejercicios aplicando la ley del seno. evaluar: Situación- problema En una llanura, un niño observa a 60° un globo aerostático. A 2 del kilómetros de distancia, su primo mira el mismo globo pero a 35°. contexto: a) a) ¿a qué distancia Calcule las medidas y está cada niño del justifique: globo?

Resultados esperados: Elaborar los procesos operaciones matemáticas acuerdo a la ley del seno.

de de

Respuesta o respuestas pertinentes: Opción: no existe ninguna distancia ya que no se puede aplicar la ley de seno.

Valor: 3%

Explicación:

b) ¿a qué altura se Calcule las medidas y encuentra el globo del justifique: nivel de los niños?

Argumentación: Nivel estratégico Implica asumir nuevas situaciones en un problema, con mayor relación e interpretación entre variables, además de que implica argumentación, ya que permite ver los criterios que ha formado. Resultados esperados: Elaborar los procesos de operaciones matemáticas de acuerdo a la ley del seno. Respuesta o respuestas pertinentes: Opción: no existe ninguna distancia ya que no se puede aplicar la ley de seno.

169

Explicación:

Cómo me evalúo Después de haber terminado el bloque IV es necesario que yo sepa qué he logrado y qué debo mejorar de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Autoevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

Momento de saber a qué nivel llegué y las metas que logré, y de hacer la metacognición. 170

Coevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

Es hora de la heteroevaluación Esta parte es elaborada por el maestro para saber en qué nivel de desempeño me encuentro en mis actividades realizadas, esto de acuerdo al mapa de aprendizaje.

Heteroevaluación: Nivel

Logros:

Aspectos a mejorar:

En qué nivel me encuentro A continuación se te presenta el mapa de aprendizaje de desempeño has logrado. 171

para que ubiques qué nivel

Criterios:

Mapa de aprendizaje del bloque IV Receptivo Resolutivo Autónomo

Identifica las leyes de senos y cosenos e identidades trigonométricas.

Identifica las leyes de los senos y cosenos e identidades trigonométricas de una forma básica.

Reconoce las identidades trigonométricas y las leyes de los senos y cosenos.

Resuelve ejercicios de identidades trigonométricas, leyes de senos y cosenos.

Resuelve los ejercicios sobre identidades trigonométricas, pero no de leyes de senos y cosenos.

Resuelve los ejercicios sobre identidades trigonométricas y ley de senos, pero no de ley de cosenos.

Trabaja colaborativamente, responsabilidad, con solidaridad y respeto en sus actividades.

Desarrolla un ambiente en donde no hay respeto ni tolerancia hacia sus compañeros y sus ideas.

Colabora con sus compañeros en la resolución de las diversas actividades en un buen ambiente.

Evidencia(s): Actividades del bloque. ejercicios Proyecto.

El proyecto no está estructurado acorde a las normas establecidas.

0 -40%

Valor: 100%

Estratégico

Reconoce los datos de las identidades trigonométricas y leyes de los senos y cosenos.

Reconoce e identifica las identidades trigonométricas y leyes de senos y cosenos en situaciones reales, aportando nuevas ideas con sólidos argumentos. Resuelve los Resuelve los ejercicios sobre ejercicios sobre identidades identidades trigonométricas y trigonométricas y leyes de los senos leyes de senos y y cosenos. Pero cosenos de aún le quedan manera apropiada algunas dudas y correcta. por aclarar. Trabaja de manera colaborativa en un ambiente de respeto y tolerancia hacia sus compañeros.

Trabaja de manera colaborativa en un ambiente de respeto y tolerancia hacia sus compañeros, en donde respeta cada uno de sus puntos de vistas en cada una de las actividades.

Se evidencia claramente en el proyecto las funciones trigonométricas.

El proyecto es contundente con las funciones trigonométricas además de que cuenta con los elementos solicitados.

Argumenta de manera clara y precisa los elementos del proyecto de manera que toma la iniciativa de realizar una presentación y debate de una manera innovadora.

40-70%

70-90%

90-100%

172

¡Muchas felicidades, has conseguido tus metas! 173

Glosario Ley de los cósenos: Para cualquier triángulo con ángulos de medidas A, B y C y lados de longitudes a, b y c (a opuesto a A , b opuesto a B y c opuesto a C), c2 = a2 + b2 -2ab cos C. Ley de los senos: Para cualquier triángulo con ángulos de medidas A, B y C y lados de longitudes a, b y c (a opuesto a A , b opuesto a B y c opuesto.

Rectángulo: Paralelogramo equiángulo.

Seno de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: Para cualquier triángulo rectángulo ABC con ángulo agudo A , sen A = Longitud del cateto opuesto a / Longitud de la hipotenusa.

Tangente de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo: Para cualquier triángulo rectángulo ABC con ángulo agudo A , tan A = Longitud del cateto adyacente b / Longitud del cateto opuesto a.

Hemos terminado la unidad V, en donde tú viste muchos ejercicios para practicar así como reflexionamos nuestras metas a lograr y lo necesitamos hacer para mejorar, cómo pudiste ver trae datos curiosos, y ya para terminar un glosario de los conceptos de la unidad.

174

PROYECTO INTEGRADOR DE MATEMATICAS ASPECTOS GENERALES TITULO AUTOR

REPASANDO LAS FORMULAS DE AREAS Y PERÍMETROS DE LAS FIGURAS GEOMETRICAS Pamela Rodríguez Can

TIEMPO

12 horas dos horas por clase

ANALISIS EJES TRANSVERSALES Matemáticas, Tecnologías de la información, taller de lectura y redacción, ingles. POBLACION OBJETO Grado segundo semestre de nivel medio superior, en geometría y trigonometría y otras áreas que ayuden y faciliten tanto el repaso y refuerzo de las formulas y perímetros de las figuras geométricas PROBLEMÁTICA A En el área de matemáticas se presentan dificultades en saber ABORDAR utilizar y aprender las formulas de áreas y perímetros de las figuras geométricas, así como problemas empleando estas fórmulas, ya que a la hora de darle una solución no saben cómo aplicar las fórmulas y como resultado, además de no interpretar bien los problemas. La enseñanza de ésta no fue muy innovadora y falta más motivación y refuerzo para que estos estuvieran totalmente aprendidos por parte de los estudiantes y no se presentaran errores además de tener la capacidad de dar respuestas optimas con respecto a esta temática. IDENTIFICACION DE Debido a que los jóvenes tienen la capacidad de asimilar mejor sus LA SOLUCION conocimientos, es necesario impartir diferentes formas de adquirirlo, utilizando estrategias metodológicas como base primordial para el aprendizaje de las matemáticas. Se propone estas estrategias: cognitivas, comprensión, metacognitivas, afectivas y sociales para que los jóvenes vayan haciendo teórico-práctico y vayan formando una cultura donde cuando vayan avanzando no se encuentren con dificultades, y haya bases suficientes del área. ANALISIS DEL La edad promedio de estos estudiantes está entre los 15, a 18 ESTUDIANTE años . Estos jóvenes atienden fácilmente a las indicaciones, les gusta las dinámicas de juego, comprenden fácilmente lo que hay que desarrollar o hacer. En cuanto a lo social, siempre existe un poco de timidez con respecto a trabajar en grupos con los sexos opuestos y esto causa en algunas ocasiones conflictos. Estos estudiantes se encuentran en el en segundo semestre y por lo tanto ya han visto o han tratado con el tema de las áreas y perímetros de las figuras geométricas. Sin embargo, a pesar de estar ya vistas, existen algunas dificultades con la ubicación de las formulas y la interpretación de problemas con respecto a las áreas y perímetros. 175

El compromiso que se adquiere aquí es repasar y reforzar este tema y cubrir esos espacios o dificultades que se presenten y así su aprendizaje y conocimientos mejoraran. ANALISIS CONTEXTO Los estudiantes conocen los procedimientos para resolver las áreas PEDAGOGICO y perímetros. Estos estudiantes tienen la capacidad de desarrollar y utilizar diferentes recursos para resolver las áreas y perímetros de las figuras geométricas. ANALISIS CONTEXTO La escuela cuenta con Internet para poder acceder de manera TECNICO gratuita, además de que los jóvenes cuentan con laptop, las cuales cumplen con las condiciones necesarias para poder trabajar. DEFINICION DE OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Despertar en el estudiante el amor e interés por las áreas y perímetros de las figuras geométricas para la construcción y repaso de los conocimientos, desarrollando creatividad y dándole a entender que las matemáticas nos sirven para conocer y explorar la realidad. Crear un espacio de formación entre los sujetos que intervienen en el proceso educativo, donde existe diversidad de posibilidades para la creación, la interacción y la construcción del conocimiento. Vincular a los jóvenes en los procesos de refuerzo, con el objeto de disfrutar de las matemáticas, compartiendo las diferentes actividades. Vincular a otros docentes de otras áreas a participar en el desarrollo de las actividades matemáticas. Desarrollar habilidades de pensamiento a través del desarrollo de actividades matemáticas.

COMPETENCIAS DESARROLLAR

Emplear el uso de la informática como poyo a temas de las diferentes áreas, en especial en el área de matemáticas. A Competencia comunicativa, argumentativa y propositiva a través del diseño de actividades recreativas y el uso de nuevos recursos para el refuerzo de las matemáticas.

DISEÑO

176

CONTEXTUALIZACIO N PEDAGOGICA DEL PROYECTO ( JUSTIFICACION)

CONCEPTO

CONTEXTO RECURSOS EDUCATIVOS DISEÑO ACTIVIDADES

La observación que se ha realizado ha permitido analizar las dificultades que presentan algunos de los jóvenes en cuanto al desarrollo de las formulas de áreas y perímetros de las figuras geométricas. Por esa razón, para formar estudiantes analíticos, críticos y razonables es necesario crear un ambiente de reconstrucción de conocimiento o refuerzo de aquellas habilidades que han sido opacadas con el uso de otras herramientas que no permite al estudiante pensar, además de incrementar los valores y sentimientos para que se desarrollen las actividades unidamente o de forma colaborativa donde el conocimiento es retroalimentado. Es de gran interés propiciar a los estudiantes herramientas que faciliten y que permita a partir de actividades recreativas y lúdicas como también el uso de la tecnología para poder fortalecer aquellos conocimientos adquiridos. FIGURAS GEOMÉTRICAS El cuadrado, el triángulo y el rectángulo son figuras geométricas planas formadas por líneas rectas cerradas. El círculo también es una figura plana, pero a diferencia de las anteriores, está formado por una línea curva cerrada. A estas figuras se les llaman planas porque parecieran que estuvieran acostadas sobre el papel. Aula de clases. Recursos del medio (madera, plastilina). Objetos de forma geométrica. Cuaderno, hojas blancas, pegante.

DE ACTIVIDAD 1 1. 1. Pido a los jóvenes toda clase de cajas, envases, juguetes, etc. y que los coloquen sobre la mesa. 2. 2. Seguidamente se agrupa a los jóvenes de a cuatro con distribución de roles y actas de trabajo colaborativo, el cual se explica en la presentación del libro. 3. 3 Entrego al grupo 1 un cuadrado, al grupo 2 un triangulo, al grupo 3 un rectángulo, al grupo 4 una esfera; adicionalmente entrego otros objetos a cada grupo como: tapas, borradores, botones, fotos, balones etc. 4. 4 Pido que agrupen los elementos similares en forma a la figura que se dio a cada grupo y los dibujen en su cuaderno. 5. 5. Analizamos entre todos las características de cada una de las figuras como: forma, tamaño, color, textura, lados etc. 6. 6. Los jóvenes realizaran los dibujos de los objetos clasificados, teniendo en cuenta la forma. 7. Consultaran en Internet las formulas de las áreas y perímetros de las figuras geométricas. 177

TALLER

7 8. Encontraran el área y perímetros de las figuras que tienen. 19. Con las figuras definen los tipos de ángulos que tiene, rectas. 10. Entrego a cada estudiante el taller a realizar. 1. 1. En cada fila encierra las figuras con igual forma a la de la izquierda.

Complete el cuadro.

Colorea las figuras según se indica

178

4. Escribe círculo, triangulo, cuadrado, o rectángulo y colorea.

4. En revistas busco dibujos que tengan forma de figuras geométricas y las pego en el cuadro.

179

EVALUACION

CONCLUSIONES

5. Elaboro las figuras geométricas en plastilina y le escribo el nombre en inglés. 6.Investiga sobre coplas y elabora dos coplas que traten sobre las figuras geométricas 3. 7. Escribo dos adivinanzas que hablen de las figuras geométricas. 8. Localiza el área y perímetro de cada una de las figuras que me dan en la actividad 1, 2 y 3. Se evaluará el desarrollo del taller y la participación de cada estudiante. El desarrollo de los ejercicios se revisará y se tendrá en cuenta para la evaluación. El respeto y comunicación dirigidos a las demás personas se tendrá en cuenta. La enseñanza de los contenidos geométricos permiten al estudiante examinar y analizar las propiedades de espacios bidimensionales y tridimensionales así como las formas y figuras geométricas que se hallan en ellos. El estudio de las matemáticas se debe hacer interactuando con el entorno físico y social. Es fundamental que las actividades de aprendizaje despierten curiosidad en el estudiante y correspondan a su etapa de desarrollo, además dan la oportunidad de investigar, descubrir y crear sus propias conclusiones Los educadores incentivan a los estudiantes de tal forma que se interesen por reforzar los conocimientos adquiridos. Por medio de las actividades se tratará de reforzar las habilidades que el estudiante posee, pero se hará paso a paso.

180

Encuesta de Satisfacción Libro una visita al mundo de las Matemáticas (Geometría y Trigonometría) 1. ¿Con qué frecuencia consulta el Libro de indicadores de una visita al mundo de las Matemáticas (Geometría y Trigonometría)? a. Todas las semanas b. Varias veces al mes c. Una vez al mes d. Varias veces al año e. Una vez al año f. Es la primera vez que lo consulta 2. ¿Cuál es el uso que le da al libro? a. Investigación b. Información de referencia c. Elaboración de informes d. Otra 3. En cuanto a la presentación del libro, considera que es a. Difícil de entender b. Difícil de leer c. Claro de entender d. Claro de leer 4. ¿Qué capítulo(s) consulta? a. Funciones Trigonométricas b. Identidades Trigonométricas c. Polígonos y Circunferencias d. Ángulos y Triángulos e. Generalidades 5. ¿Hay alguna otra información que le gustaría que estuviese presente en el libro? a. Sí ¿Cuál? b. No 6. ¿La información contenida en el libro le resultó? 181

a. Muy útil b. Útil c. Poco útil d. Nada útil 7. ¿Ha recomendado usted el libro? a. Sí

¿A cuántas personas?

b. No 8. ¿Te gusto las imágenes contenidas en el libro? a. Mucho b. Regular c. Poco d. Nada 9. ¿Las imágenes te ayudaron a entender las actividades? a. Mucho b. Regular c. Poco d. Nada 10. ¿Las instrucciones de las actividades te fueron claras? a. Siempre b. Casi siempre c. Algunas veces d. Nunca 11. ¿Te gustaría hacer sugerencias a este el libro? a. Sí b. No Si tu respuesta es sí, escribe cuáles son: _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

¡Gracias por tu participación! 182

Bibliografía

El Enfoque Socioformativo y las Competencias. Eje clave para transformar la Educación

Sergio Tobón Ph D. México, Instituto CIFE 2012

Geometría y trigonometría UADY

Geometría y trigonometría DGETI

Geometría y trigonometría Soltero Martínez Juárez, Miguel Ángel Espidio Juárez, Gilberto Santiago del Ángel, María Angélica Álvarez Ramos, 2ª edición octubre de 2010 México, Book- Mark

183

Bibliografía Web antecedentes históricos de la trigonometría.

http://www.humanidadesdigital.unsam.edu.ar/experimental/material/art.TuranoECEyM8.3.

07.pdf

www.slideshare.net/Julio1960/rectas-y-ngulos-ejerciciossolucionario

identidades trigonométricas.

www.youtube.com/watch?v=I1b3m4xi9J0

Funciones trigonométricas.

www.slideshare.net/elimarcela/ejercicios-resueltos-identidades

Identidades trigonométricas.

www.youtube.com/watch?v=Qc2amgLU0qk ¸www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html

Mapas conceptuales

http://youtube.googleapis.com/v/s2LwAq60MT0. 184