PROBLEMAS RESUELTOS ROTACION DE UN OBJETO RIGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
CAPITULO 10 FISICA TOMO 1
Cuarta, quinta y sexta edición Raymond A. Serway 10.1
Velocidad angular y aceleración angular
10.2 Cinemática rotacional: Movimiento rotacional con aceleración angular constante 10.3 Relaciones entre cantidades angulares y lineales 10.4 Energía rotacional 10.5 Calculo de los momentos de inercia 10.6 Momento de torsión 10.7 Relación entre momento de torsión y aceleración angular 10.8 Trabajo, potencia y energía en el movimiento de rotación.
Erving Quintero Gil Ing. Electromecánico Bucaramanga – Colombia 2010
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Ejemplo 10.1 Rueda giratoria Serway Edición 4 pag. 282 Una rueda gira con una aceleración angular constante de 3,5 rad/seg2 si La velocidad angular de la rueda es de 2 rad/seg. En t0 = 0 seg. a) Que ángulo barre la rueda durante 2 seg. θ = W0 * t + 1 2 α * t 2 ⎛
⎛ rad ⎞
rad ⎞⎟ * (2 seg )2 ⎟ ⎠
⎟⎟ * 2 seg + 1 ⎜ 3,5 θ = ⎜⎜ 2 2⎜ seg ⎝ ⎠ seg 2 ⎝ ⎛
θ = 4 rad + 1 2 ⎜ 3,5 ⎜ ⎝
rad seg 2
⎞ ⎟ * 4 seg 2 ⎟ ⎠
Θ = 4 rad + 7 rad Θ = 11 rad 3600 X x=
2π rad 11 rad
11 rad * 360 0 3960 = 2π 6,2831
X = 630,250 3600 630,250 x=
1 rev x rev
630,250 *1 rev = 1,75 rev 360 0
X = 1,75 rev. Θ = 11 rad = 630,250 = 1,75 rev. b) Cual es la velocidad angular en t = 2 seg. W = W0 + α * t W=2
rad ⎛⎜ rad + 3,5 seg ⎜ seg 2 ⎝
W=2
rad ⎛ rad ⎞ ⎟ + ⎜7 seg ⎜⎝ seg ⎟⎠
⎞ ⎟ * 2 seg ⎟ ⎠
W = 9 rad/seg Podríamos haber obtenido este resultado con la Ecuación 10.8 y los resultados del inciso a). Inténtalo ¡ W2 = W20 + 2 α * θ 2 ⎛ rad ⎞ ⎟⎟ + 2 W 2 = ⎜⎜ 2 ⎝ seg ⎠
⎛ ⎜ 3,5 rad ⎜ seg 2 ⎝
⎞ ⎟ * 11 rad ⎟ ⎠
W2 = 4 rad/seg2 + 77 rad/seg2 W2 = 81 rad2/seg2 W = 9 rad/seg
Ejercicio Encuentre el ángulo que barre la rueda entre t = 2 seg y t = 3 seg. Se halla θ1 para t = 2 seg. (Ver grafica)
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θ1 = w 0 * t + 1 2 α * t 2
θ1 = 2
⎛ rad rad * 2 seg + 1 ⎜ 3,5 2 ⎜ seg seg 2 ⎝
⎞ ⎟ * (4 seg )2 ⎟ ⎠
θ1 = 4 rad + 7 rad
t = 3 seg
θ2 θ1
t = 2 seg t = 0 seg
θ1 = 11 rad. Se halla θ2 para t = 3 seg. (Ver grafica) θ 2 = w 0 * t + 12 α * t 2 θ2 = 2
⎛ rad rad * 3 seg + 1 ⎜ 3,5 2⎜ seg seg 2 ⎝
⎞ ⎟ * (3 seg )2 ⎟ ⎠
θ2 = 6 rad + 15,75 rad θ2 = 21,75 rad. En la grafica se observa que θ2 - θ1 es el ángulo que barre la rueda entre t = 2 seg y t = 3 seg. θ2 - θ1 = 21,75 rad - 11 rad θ2 - θ1 = 10,75 rad Ejemplo 10.2 Reproductor de discos compactos CD Serway Edición 6 pag. 299 En un reproductor típico de CD, la rapidez constante de la superficie en el punto del sistema láser y lentes es 1,3 m/seg. A) Encuentre la rapidez angular del disco en revoluciones por minuto (rpm) cuando la información esta siendo leída desde la primera la primera pista mas interior (r1 = 23 mm) y la pista final mas exterior (r2 = 58 mm) r1 = 23 mm = 0,023 m v = w1 * r1 m v rad seg W1 = = = 56,52 r 1 0,023 m seg 1,3
W1 = 56,52
rad 60 seg rad * = 3391,3 seg 1 min min
W1 = 3391,3
W1 = 540
rad 1 rev rev * = 540 min 2 π rad min
rev min
para la pista exterior r2 = 58 mm = 0,058 m
3
v = w2 * r2 m rad seg W2 = = = 22,413 r 2 0,058 m seg v
1,3
W2 = 22,413
rad 60 seg rad * = 1344,82 seg 1 min min
W2 = 1344,82
W2 = 214,14
rad 1 rev rev * = 214,14 min 2 π rad min
rev min
El aparato ajusta la rapidez angular W del disco dentro de este margen, de modo que la información se mueve frente al lente objetivo a un ritmo constante. B) El tiempo máximo de reproducción de un CD standard de música es 74 minutos 33 segundos. Cuantas revoluciones hace el disco durante ese tiempo? 60 seg = 4440 seg + 33 seg = 4473 seg 1 min 1 min t = 4473 seg * = 74,55 min 60 seg
t = 74 min *
θ=
1 (W1 + W2 ) t 2
θ=
rev ⎞ rev 1⎛ + 214,14 ⎜ 540 ⎟ * 74,55 min min ⎠ min 2⎝
θ=
rev ⎞ 1⎛ ⎜ 754,41 ⎟ * 74,55 min min ⎠ 2⎝
θ = 28120,63 rev. C) Cual es la longitud total de la pista que se mueve frente a la lente objetivo durante este tiempo? Debido a que conocemos la velocidad lineal (que es constante = 1,3 m/seg) y el tiempo = 4473 seg. X=v*t X = 1,3 m/seg * 4473 seg X = 5814,9 metros D) Cual es la aceleración angular del CD durante el intervalo de 4473 seg. Suponga que α es constante. W 2 = W1 + α * t W 2 - W1 = α * t W -W δ= 2 1= t
rev rev rev - 540 - 325,86 min min = min = - 4,37 rev 74,55 min 74,55 min min 2
214,14
α = - 4,37 rev/min2
Ejemplo conceptual 10.2 Rueda giratoria Serway Edición 4 pag. 284 Cuando una rueda de radio R gira alrededor de un eje fijo como en la figura 10.3, todos los puntos sobre la rueda tienen la misma velocidad angular? ¿todos tienen la misma velocidad lineal? Si la velocidad lineal es constante e igual a W describa las velocidades lineales y las aceleraciones lineales de los puntos localizados en r = 0, r = R/2 y r = R, donde los puntos se miden desde el centro de la rueda.
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Si todos los puntos sobre la rueda tienen la misma velocidad angular. Esta es la razón por la que usamos cantidades angulares para describir el movimiento rotacional. No todos los puntos sobre la rueda tienen la misma velocidad lineal. El punto r = 0 tiene velocidad lineal cero y aceleración lineal cero. Un punto en r = R/2 tiene una velocidad lineal v = W * centrípeta a c = R⎞ ⎛ ac = ⎜ W2 ⎟ . 2⎠ ⎝
R 2
y una aceleración lineal igual a la aceleración
2 R 2 ⎞⎟ 2 ⎛ v2 2 v2 2 ⎛ R ⎞ = = * ⎜ W ⎟ = * ⎜ W2 R 4 ⎟ R ⎜ 2⎠ R ⎝ R ⎝ ⎠ 2
La aceleración tangencial es cero en todos los puntos puesto que W es constante.
Un punto sobre la orilla de la rueda en r = R tiene velocidad lineal v = W * R y una aceleración lineal igual a la aceleración centrípeta a c = ⎛⎜ W 2 R ⎞⎟ ⎝
⎠
Ejemplo 10.3 una tornamesa giratoria Serway Edición 4 pag. 284 La tornamesa de un tocadiscos gira inicialmente a razón de 33 rev/min y tarda 2 seg. En detenerse. A) Cual es la aceleración angular de la tornamesa, suponiendo que la aceleración es uniforme? W0 = 33
W0 =
rev 2 π rad 1 min 30 * 2 * π rad = * * min 1 rev 60 seg 60 seg
33 * 2 * π rad rad = 3,455 60 seg seg
W f = W0 + α * t Pero WF = 0 a los 2 seg, cuando el tocadisco se detiene. W0 = - α * t
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rad W rad seg = - 0,172 δ = - 0 =t 20 seg seg 2 3,455
el signo negativo indica que la w esta disminuyendo.
b) Cuantas revoluciones efectúa la tornamesa antes de detenerse? θ = W0 * t + 1 2 α * t 2
⎛
rad ⎞
⎛
⎟ * 20 seg + 1 ⎜ - 0,172 θ = ⎜⎜ 3,455 2⎜ seg ⎟⎠ ⎝
rad seg 2
⎝ ⎛ rad ⎞⎟ * 400 seg 2 θ = 69,1 rad - 1 2 ⎜ 0,172 ⎜ ⎟ 2 seg ⎠ ⎝ θ = 69,1 rad – 34,4 rad θ = 34,7 rad θ = 34,7 rad *
⎞ ⎟ * (20 seg )2 ⎟ ⎠
1 rev = 5,52 rev 2 π rad
c) Si el radio de la tornamesa es de 14 cm, cuales son las magnitudes de las componentes radial y tangencial de la aceleración lineal de un punto sobre la orilla en t = 0 at = r α (aceleración tangencial) a = r (W0)2 aceleración radial rad cm ) = - 2,408 at = r * δ = 14 cm * (-0,172 seg 2 seg 2 a r = r * W 2 = 14 cm * (3,455
rad 2 rad 2 cm ) = 14 cm * 11,93 = 167,11 seg seg 2 seg 2
ar = 167,11 cm/seg2 Ejercicio ¿Cuál es la velocidad lineal inicial de un punto sobre la orilla de la tornamesa? v = W*R v = W * R = 3,455
rad cm * 14 cm = 48,37 seg seg
v = 48,37 cm/seg
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