Санкт-Петербургский государственный университет

Санкт-Петербургский государственный университет _________________________ Факультет географии и геоэкологии

Уравнивание геодезических сетей параметрическим способом Методические указания к лабораторной работе по курсу «Геодезические основы карт»

Санкт-Петербург 2001

Санкт-Петербургский государственный университет Факультет географии и геоэкологии _______________________

Уравнивание геодезических сетей параметрическиим способом Методические указания

Общие сведения об уравнительных вычислениях Уравнительные вычисления могут быть выполнены, если измерений произведено больше необходимых. Под необходимыми понимают такие измерения, используя которые можно получить только по одному значению определяемых величин, в то время как наличие избыточных измерений позволяет определить несколько их значений. Избыточные измерения дают возможность оценить также качество геодезической сети: провести первичный контроль результатов измерений с целью выявления грубых ошибок; проконтролировать качество измеренных элементов по невязкам в уравнениях, отвечающих геометрическим соотношениям сети; по полученным невязкам судить о правильности применяемой методики измерений. Задача уравнивания заключается в устранении невязок в геометрических соотношениях сети, получении наиболее надежных значений определяемых величин, а также в оценке точности измерений и определяемых параметров. Найденные в результате уравнивания поправки Vi в измерения должны удовлетворять принципу наименьших квадратов: 2 ∑ PiVi = min ,

(1)

где Pi − веса измеренных величин. При уравнивании геодезической сети большую роль играет ее вид − свободная или несвободная сеть. В свободной сети имеется только необходимое число исходных данных: исходные координаты одного пункта и по одному элементу, позволяющему ориентировать и масштабировать сеть. Количество необходимых исходных данных, полностью определяющих положение, масштаб и ориентирование сетей триангуляции, полигонометрии, трилатерации и нивелирования,

соответственно будет 4, 3, 3 и 1. В несвободных сетях имеются избыточные исходные данные, и, следовательно, может быть поставлена задача их оценки по результатам уравнивания. Достоверность и точность уравненных элементов геодезической сети во многом зависят от правильности установления соотношений весов измерений, а также учета или неучета их коррелированности. Определение весов измеренных величин Веса Pi непосредственно измеренных параметров определяют отношением дисперсии µ2 измерения, вес которого принят за 2 единицу (единица веса), к априорному значению дисперсии σi текущего измерения:

Pi = µ 2 / σ i .

2

(2)

Поскольку дисперсия единицы веса не изменяет соотношения весов измерений, ее значение может быть выбрано произвольно. Часто принимают µ2 =1. Дисперсии для длин линий, измеренных светодальномерами или радиодальномерами, могут быть вычислены по формуле σ i2 = (a + bDi )2 , где Di − длина линии i в километрах, а и b – коэффициенты, значения которых зависят от типа применяемого прибора. Горизонтальные направления на пунктах геодезической сети чаще всего измеряются равноточно. В этом случае при вычислении весов направлений по формуле (2) их дисперсии рассчитывают исходя из соотношения

σ i2 = mн2 ,

где mн − априорное значение средней квадратической ошибки направления, которая зависит от типа применяемого теодолита и числа приемов измерений. При уравнивании нивелирных сетей априорное значение дисперсии измеренного превышения по линии определяется в соответствии с соотношением σ i2 = m 2 Li или σ i2 = mc2т ni .

Здесь m − средняя квадратическая ошибка превышения хода длиной в 1 км, Li − длина хода с номером i , выраженная в

mcт − средняя квадратическая ошибка измерения превышения на станции, ni − число станций в ходе с номером i . километрах,

Обычно первая формула используется при уравнивании государственных нивелирных сетей, вторая – при уравнивании измерений высокоточных инженерных нивелировок. К классическим строгим способам уравнивания относятся коррелатный и параметрический. Параметрический способ уравнивания геодезических сетей стал преобладающим в связи с внедрением в геодезическое производство ЭВМ, поскольку линейные уравнения поправок, составляемые для различных элементов сети, имеют одинаковую структуру. При уравнивании плановых геодезических сетей параметрическим способом в качестве неизвестных выбирают координаты определяемых пунктов и устанавливают математическую зависимость между поправками координат пунктов и поправками измеренных элементов сети. Поправка в каждый измеренный элемент представляется соответствующим уравнением поправок координат. Число уравнений поправок равно числу измеренных элементов. Задача уравнивания решается под условием (1). Уравнивание линейно-угловых сетей При уравнивании триангуляции математическая зависимость между поправками к измеренным направлениям и координатам определяемых пунктов устанавливается следующим образом. На рис. 1 показаны измеренные, приведенные к центрам знаков и 1 редуцированные на плоскость направления M ki и направление kх, параллельное осевому меридиану зоны проекции Гаусса−Крюгера. Начальное направление kа совпадает с нулевым диаметром лимба. Дирекционный угол начального (нулевого) направления α ka = zk принято называть ориентирующим углом, поскольку он ориентирует измеренные на данном пункте направления относительно осевого меридиана зоны проекции Гаусса−Крюгера.

x

a

b

z 1k

M ki

αki

i

k Рис. 1. Направления и ориентирующий угол на пункте триангуляции.

Для выражения зависимости между поправкой в измеренное на пункте k направление ki и поправками в координаты пунктов, определяющих направление, примем следующие обозначения: xk , yk , xi , yi − уравненные координаты пунктов k и i ;

xk0 , yk0 , xi0 , yi0

−

их

предварительные

координаты;

δxk , δyk , δxi , δyi − поправки в координаты из уравнивания; α ki − 0 уравненное значение дирекционного угла направления ki ; αki − приближенное

значение

дирекционного

предварительным координатам; Vα ki

угла,

вычисленное

по

− поправка в дирекционный

угол из уравнивания; zk − уравненное значение ориентирующего 0 угла на пункте k ; zk − предварительное значение ориентирующего угла на пункте k , к которому из уравнивания находится поправка 1 δzk ; M ki − измеренное направление; Vk i − поправка в направление из уравнивания; M k i − уравненное направление. Для любого направления ki в уравненной сети справедливо равенство 0 α ki = αki + Vα = zk0 + δ zk + M k′ i + Vk i . ki

Отсюда получим уравнение поправок:

Vk= δ zki +− Vα +α i−zkk Mki= δzk α ++− lV ki 00 1

,

(3)

ki ki

где

lki = α ki− z − Mki 0 0 k

1

;

α k i = arctg 0

yi0 − yk0 xi0 − xk0

.

Предварительное значение ориентирующего угла на пункте k вычисляется по формуле

()

n0 1 ∑ α ki − M ki 0 i= 1 z= k

n

.

n

− число направлений на пункте. Далее поправка Vα представляется

Здесь

через

ki

координатам

пунктов

путем

дифференцирования

поправки

y − yk tgα k i = i по всем переменным, после чего получим xi − x k

выражения

Vα = a ki δ x k + bki δ y k − a ki δ xi − bki δ yi , ki где

aki =

0 ρ ′′ sin α ki

S k0 i

,

bk i = −

0 ρ ′′ cos α ki

S k0 i

x0 i− k yi− k 00 2 00 2 Ski= = xi−= k + yi− k cos ki sinαα ki 00 00

Подставив Vαki

( )( )

;

к

(4)

ρ ′′ = 206265″;

.

из (4) в выражение (3), получим уравнение

поправок для направления ki в общем виде: V k i = −δ z k + a k i δ x k + bk i δ y k − a k i δ x i −bk i δ y i + l ki .

(5)

Вид уравнения для конкретного направления определяется наличием или отсутствием исходной точки (с исходными координатами) в измеряемом направлении, координатные поправки которой равняются нулю. При уравнивании в сети углов уравнения поправок получают из уравнения (3), принимая во внимание, что угол представляет собой разность направлений. Для угла βi j , измеренного на пункте k (рис.

2), уравнение поправок в общем виде запишется таким образом:

(

)

(

)

Vikj = a k j −a k i δ xk + bk j −bk i δ yk + +a

jk

δx j +b jk δ y j −a ik δxi −bik δ yi +lik j ,

k 0 0 где l i j =αk j −αk i −βi j . Конкретный вид уравнения поправок определяется, как и в предыдущем случае, наличием или отсутствием исходной точки по направлениям измеряемого угла.

i

k

β

j

Рис. 2. К уравнению поправок для углов.

При измерении дирекционных углов уравнение поправок для 1 измеренного дирекционного угла αki направления ki записывается в таком виде: Vk i = akiδ k x +bk iδ yk −ak iδ xi −bk iδ yi +lk i , где lki = arctg

yi0 − yk0 − α ki' или 0 0 xi − xk

0 1 l ki = α ki − α ki .

Вид уравнения поправок, как и в предыдущих случаях, определяется наличием или отсутствием исходной точки по направлению дирекционного угла.

В триангуляции могут быть измерены как базисные (с повышенной точностью), так и другие стороны, для которых определяют поправки из уравнивания; стороны измеряются и в других видах сетей, например в трилатерации или полигонометрии.

1 Уравнение поправок для измеренного значения стороны S ki в общем виде записывается так:

VS

ki

= − cosα 0kiδxk − sinαk0 iδyk + cosα 0k iδxi + sin α 0k iδyi + lk i ,

(

0 0 где l k i = x i − x k

) + ( yi − y k ) 2

0

0

2

− S ki .

Наличие исходного пункта на одном из концов линии означает, что для этого пункта координатные поправки следует считать равными нулю. Систему параметрических уравнений поправок для всех измеренных элементов в сети можно представить в матричной форме: (6) AX + L = V . Здесь A − прямоугольная матрица коэффициентов уравнений поправок размерностью n × m ( n − число всех измерений, выполненных в сети, m − число неизвестных, равное количеству необходимых измерений); X − вектор-столбец поправок в ориентирные углы и предварительные координаты определяемых пунктов (поправки в параметры); L − вектор-столбец свободных членов l i уравнений поправок. Уравнение (6) не имеет однозначного решения, поэтому, реализуя принцип метода наименьших квадратов, умножим все его элементы слева на A T P : A T PAX + A T PL = A T PV .

T Здесь − транспонированная матрица коэффициентов A параметрических уравнений поправок, P − матрица весов измеренных величин. Учитывая, что A T PV = 0 в соответствии с известной леммой Гаусса, введем обозначения: N = A T PA , L = A T PL и перейдем к системе нормальных уравнений: NX + L = 0 , (7) где N – симметричная матрица коэффициентов нормальных уравнений; L – вектор-столбец свободных членов нормальных уравнений.

Из решения уравнения (7) находят вектор X искомых оправок в ориентирные углы и предварительные координаты определяемых пунктов: X = −N −1 L = −QL .

(8) Матрицу Q = N −1 называют матрицей весовых коэффициентов параметров. Поправки в измерения (вектор V ) можно получить, если подставить значение вектора X , рассчитанное по (8), в выражение (6). Уравненные значения координат определяемых пунктов найдем по формулам xi = x i0 + δ x i , y i = y i0 + δ y i , где δ x i и δy i  − поправки в предварительные координаты пункта с номером i (из вектора X). Если все выполненные в сети измерения представить в виде вектора-столбца M 0 , то уравненные значения измерений (вектор M ) найдем по формуле M = M0 + V .

(9) Для оценки точности рассчитаем среднюю квадратическую погрешность единицы веса: μ=

V T PV . r

(10)

Матрица весовых коэффициентов Q по сути является корреляционной матрицей уравненных параметров (ориентирных углов, координат определяемых пунктов). Поэтому среднеквадратическую погрешность любого уравненного параметра можно найти из формулы m

j

=µ Q

jj

,

(11)

где Q j j − диагональный элемент матрицы Q , соответствующий оцениваемому параметру с номером j. Корреляционную матрицу уравненных измерений в параметрическом способе получают по выражению q = AQA T .

(12) Среднюю квадратическую погрешность уравненного измерения с номером i найдем по (10), т.е.

mi = µ q ii .

(13) q q Здесь i i − соответствующий диагональный элемент матрицы . При уравнивании нивелирных сетей параметрическое уравнение поправок составляется для измеренного превышения. Превышение относится к двум знакам, из которых могут быть: оба знака исходных − уравнения поправок не будет; один исходный и один определяемый − в уравнении поправок будет поправка к определяемому знаку и свободный член; оба определяемых − в уравнении будут две поправки к определяемым знакам и свободный член. Например, для нивелирной сети, изображенной на рис. 3, уравнения поправок имеют вид:

Vh1 = −δ H 1 + l1 ,

Vh 2 = −δ H 1 + δ H 2 + l 2 , V h 3 = −δ H 2 + l 3 , V h 4 = −δ H 2 + l 4 , V h 5 = −δ H 1 + l 5 .

0 0 Здесь l i = hi − hi , где hi − превышение между знаками, полученное с 0 использованием предварительных отметок H i определяемых знаков;

hi − измеренное превышение; δ H i − поправки к предварительным

отметкам.

1

2

10

11

12 10

а

б

в

Рис. 3. Схема нивелирной сети. а − исходные реперы, б − определяемые реперы, в − направление

нивелирования и номер знака.

Все последующие вычисления вместе с оценкой точности производятся так же, как в триангуляции. По найденным из решения нормальных уравнений поправкам V h i рассчитывают уравненные 0 высоты определяемых знаков: H i = H i + δ H i . При выполнении спутниковых наблюдений измеряются время прохождения радиоволны от спутника до приемника, разности фаз посланного и принятого сигналов, допплеровский сдвиг частоты и т.д. Число измерений значительно превышает число определяемых величин. Измерения уравнивают и оценивают по методу наименьших квадратов. В результате такой обработки получают с высокой точностью приращения координат (например декартовых геоцентрических) между пунктами установки базового и определяемого приемников и симметричную корреляционную матрицу третьего порядка этих приращений. Корреляционная матрица отражает как внутреннюю сходимость результатов измерений, так и степень их точности. При уравнивании параметров геодезических сетей, полученных из спутниковых измерений, в качестве измеренных величин принимают уже приращения координат. Приращение координат, так же как и превышение в нивелирной сети, относится к двум знакам, поэтому порядок составления уравнений поправок при уравнивании приращений такой же, как при уравнивании превышений в нивелирных сетях. До уравнивания предварительно рассчитывают координаты определяемых пунктов ( x 0 , y 0 , z 0 ). В результате уравнивания определяют в эти координаты поправки (параметры) δx, δy, δz и поправки Vx, Vy, Vz в измеренные приращения координат Dx, Dy, Dz. Для любой линии АВ (рис. 4) уравненной сети, например для ее составляющей Dx, между поправками к измеренным между пунктами приращениям координат и поправками к предварительным координатам пунктов справедлива зависимость V x + D x = ( x B0 + δx B ) − ( x 0A + δx A ).

AB

AB

Окончательно уравнение поправок имеет вид

Vx 0 0 где l x AB = ( x B − x A ) − D x AB .

AB

= −δ x A + δx B + l x , AB

Аналогичными будут уравнения поправок V y AB

,

Vz

AB

по другим

составляющим вектора D . Всего таких уравнений 3n, где n – количество измеренных векторов.

B A

D

C

Рис. 4. Схема спутниковой сети.

Координаты опорных пунктов изменению не подлежат, поэтому поправки к ним в уравнениях поправок должны равняться нулю. Все последующие вычисления вместе с оценкой точности производятся так же, как в триангуляции по формулам (6)–(13). Ниже приведен пример уравнивания направлений в сети триангуляции с применением математической системы MathCAD, используя операторы которой можно выполнить работу с векторами и матрицами в формулах (6)–(13).

Пример уравнивания сети триангуляции 4го класса

3

Петровка

2

1

4

Романовка

Бор 5

Амосово

Колбино

Рис. 5. Схема сети триангуляции.

Таблица 1. Координаты исходных пунктов Пункт

Координаты x

y

Петровка

6314357,05

7374262,20

Амосово

6297986,56

7371012,15

Колбино

6299186,95

7386515,80

Таблица 2. Предварительные и уравненные координаты определяемых пунктов Предварительные координаты 6304530,42 6311112,84

7378765,26 7385134,70

Уравненные координаты 6304530,41 6311112,80

Таблица 3. Измеренные и уравненные направления

4. Амосово

13

5. Колбино 2. Романовка

3. Петровка 1. Бор

3. Петровка 1. Бор 5. Колбино 4. Амосово 1. Бор 2. Романовка 5. Колбино 1. Бор 3. Петровка 2. Романовка 1. Бор 4. Амосово 2. Романовка 5. Колбино 4. Амосово 3. Петровка

Измеренные и редуцированные на плоскость Приведен-ные поправки Приведенные направлени Наблюд. пункт направления 0 0 0 −0,61 38о36'19"98 +0,28 +0,89 38о36'20"87 74о20'09"77 +0,33 +0,94 74о20'10"71 0 +0,45 0 0 39о00'29"92 +0,59 +0,14 39о00'30"06 87о49'42"18 87о49'40"69 −1,04 −1,49 0 0 0 −0,10 50о39'53"46 50о39'53"31 −0,25 −0,15 о 113 13'16"14 +0,34 +0,44 113о13'16"58 0 0 0 −1,28 48о45'54"95 +0,33 +1,61 48о45'56"56 о 84 36'49"79 +0,95 +2,23 84о36'52"02 0 +1,14 0 0 80о30'58"08 80о30'56"06 −0,88 −2,02 о 185 46'36"79 +0,51 185о46'36"16 −0,63 о 291 19'21"74 291о19'19"83 −0,77 −1,91

Таблица 4. Вычисление предварительных и уравненных дирекционных углов

Пункт

Сторона k-i

∆x i −k

∆y i −k

tg α k −i

α k −i

D k0 −i

Vα

Vα

ki

ki

Предварительные 1−2 1−3 1−4 1−5

+6582,42 +9826,63 −6543,86 −5341,47

+6369,44 −4503,06 −7753,11 +7750,54

0,9676440 0,4582506 1,1847915 1,4510125

44о03'28"48 335о22'49"27 229о50'04"62 124о34'24"96

9,160 10,809 10,146 9,413

2. Романовка

2−1 2−3 2−5

−6582,42

−6369,44 −10872,50

0,9676440 3,3513551 0,1158262

224о03'28"48 286о36'51"87 173о23'35"12

9,160 11,346 12,003

14

1. Бор

+3244,21 −11923,89

+1381,10

Уравненные 1.Бор

1−2 1−3 1−4 1−5

+6582,39 +9826,64 −6543,85 −5341,46

+6369,45 −4503,09 −7753,14 +7750,51

0,9676500 0,4582532 1,1847979 1,4510096

44о03'29"12 335о22'48"83 229о50'05"18 124о34'25"15

+0,64 −0,44 +0,56 +0,19

+0,56 −0,41 +0,57 +0,14

2 .Романовка

2−1 2−3 2−5

−6582,39

−6369,45 −10872,54

0,9676500 3,3513334 0,1158233

224о03'29"12 286о36'52"35 173о23'35"71

+0,64 +0,48 +0,59

+0,56 +0,44 +0,61

+3244,25 −11923,85

+1381,06

Таблица 5. Вычисление коэффициентов aki и bki

αk0 −i

k−i

Пункт

sin α k0 −i

cos α k0 −i

a ki

D k0 −i

1−2 1−3 1−4 1−5

44 03' 335о23' 229о50' 124о34'

+0,695 −0,417 −0,764 +0,823

+0,719 +0,909 −0,645 −0,567

9,160 10,809 10,146 9,413

+1,57 −0,79 −1,55 +1,80

−1,62 −1,73 +1,31 +1,24

Романовка

2−1 2−3 2−5

224о03' 286о37' 173о24'

−0,695 −0,958 +0,115

−0,719 +0,286 −0,993

9,160 11,346 12,003

−1,57 −1,74 +0,20

+1,62 −0,52 +1,71

15

aki = bki = −

0 20,6265 cos α ki o D ki

0 20,6265 sin α ki , o Dki

.

Таблица 6. Вычисление свободных членов параметрических уравнений и поправок к измеренным направлениям

Пункт 1 Б

Напр k−i 2 1−2 1−3 1−4

bki

Бор

о

1 M ki

3 0 291о19'21"74 185о46'36"79

1 α ki

4 44о03'28"48 335о22'49"27 229о50'04"62

1 1 α ki − M ki

l ki

l ki

Vα

5 44о03'28"48 44о03'27"53 44о03'27"83

6 +0,80 −0,15 +0,15

7

8 +0,56 −0,41 +0,57

ki

−δz k

V ki

9

10 +1,14 −0,77 +0,51

−0,22 −0,21 −0,21

2 1−5

3 80о30'58"08

4 124о34'24"96

5 44о03'26"88 44о03'27"68

6 −0,80 0,00

Р

2−1 2−3 2−5

50о39'53"46 113о13'16"14 0

224о03'28"48 286о36'51"87 173о23'35"12

173о23'35"02 173о23'35"73 173о23'35"12 173о23'35"29

П

3−1 3−2 3−4

48о45'54"95 0 84о36'49"79

155о22'49"27 106о36'51"87 191о13'44"32

106о36'54"32 106о36'51"87 106о36'54"53 106о36'53"57

16

1

А

К

4−1 4−3 4−5 5−1 5−2 5−4

о

38 36'19"98 0 74о20'09"77 о

39 00'29"92 87о49'42"18 0

о

49 50'04"62 11о13'44"32 85о33'55"03 о

304 34'24"96 353о23'35"12 265о33'55"03

о

11 13'44"64 11о13'44"32 11о13'45"26 11о13'44"74 о

265 33'55"04 265о33'52"94 265о33'55"03 265о33'54"34

7

8 +0,14 +0,86

9 −0,22 −0,86

10 −0,88 0,00

−0,27 +0,44 −0,17 0,00

+0,56 +0,44 +0,61 +1,61

−0,54 −0,54 −0,53 −1,61

−0,25 +0,34 −0,09 0,00

+0,75 −1,70 +0,96 +0,01

−0,41 +0,44

−0,01 −0,01 −0,01 −0,03

+0,33 −1,27 +0,94 0,00

−0,19 −0,19 −0,19 −0,57

+0,28 −0,61 +0,33 0,00

−0,25 −0,25 −0,25 −0,75

+0,59 −1,04 +0,45 0,00

+0,95 +0,03

−0,10 −0,42 +0,52 0,00

+0,57

+0,70 −1,40 +0,69 −0,01

+0,14 +0,61

+0,57

+0,70

Далее формируются массивы элементов матрицы коэффициентов и вектора свободных членов системы параметрических уравнений поправок и производятся вычисления в системе MathCAD (с. 19−20).

- 1 0 0 0 0 +1.57 - 1.62 - 1.57 - 1 0 0 0 0 - 0.79 - 1.73 0 - 1 0 0 0 0 - 1.55 +1.31 0 - 1 0 0 0 0 +1.80 +1.24 0 0 - 1 0 0 0 +1.57 - 1.62 - 1.57 0-1 0 0 0 0 0 - 1.74 0-1 0 0 0 0 0 +0.20 0 0 - 1 0 0 - 0.79 - 1.73 0 0 0-1 0 0 0 0 -1.74 0 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 0 - 1.55 +1.31 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0 0 0-1 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 +1.80 +1.24 0 0 0 0 0-1 0 0 +0.20 0 0 0 0-1 0 0 0

+1.62 0 0 0 +1.62 - 0.52 +1.71 0 - 0.52 0 0 0 0 0 +1.71 0

Создание текстового файла данных К.prn (элементы матрицы А) на диске С в каталоге DOCUMENT, подкаталоге GEO.

Создание текстового файла данных l.prn (элементы вектора l) на диске С в каталоге DOCUMENT, подкаталоге GEO. +0.80 -0.15 +0.15 -0.80 -0.27 +0.44 -0.17 +0.75 -1.70 +0.96 -0.10 -0.42 +0.52 +0.70 -1.40 +0.70

Лабораторная работа 1.

2.

Исходными данными работы являются результаты, полученные в лабораторной работе «Предварительные вычисления в триангуляции»*. Анализ результатов выполняется при очной встрече преподавателя со студентом-заочником в период экзаменационной сессии.

Контрольные вопросы 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Какие величины принято назначать в качестве параметров при уравнивании геодезических сетей? Как изменятся параметрические уравнения поправок, если один или оба пункта, между которыми измерена величина, будут исходными? Можно ли найти неизвестные поправки, решая параметрические уравнения? Что является достаточным условием для разрешения неопределенности параметрических уравнений поправок? Как определить количество ориентирных поправок? Как определить среднюю квадратическую погрешность единицы веса? Как выполнить оценку точности элементов геодезической сети? Литература

Гудков В.М., Хлебников А.В. Математическая обработка маркшейдерско-геодезических измерений. М.: Недра, 1990. 335 с. Курошев Г.Д. Геодезия и география. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999.

372 с. Машимов М.М. Уравнивание геодезических сетей. М.: Недра, 1979.

368 с. Яковлев Н.В. Высшая геодезия. М.: Недра, 1989. 445 с.

*

См.: Предварительные вычисления в триангуляции / Сост. Г.Д. Курошев. Л., 1985.

Вычисления в системе MathCAD Формирование элементов (4) системы уравнений поправок (6) A READPRN ( "C:\DOCUMENT\GEO\K.prn" ) Считывание файла данных K.prn и создание матрицы А l READPRN ( "C:\DOCUMENT\GEO\l.prn" ) Считывание файла данных l.prn и создание вектора l Получение элементов системы нормальных уравнений (7) и решение ее T Транспонирование матрицы А, умножение на матрицу А и получение N A. A матрицы N T Транспонирование матрицы А, умножение на вектор l и получение вектора L L A. l X

Обращение матрицы N, умножение на вектор N и получение вектора X 1 N .

L 0.22

z δ

0.53

z Вывод вектора Х - неизвестных поправок в δ параметры (ориентирные углы и предварительные z δ координаты определяемых пунктов) z δ

0.01 0.19

z X= 0.25 δ 0.13 0.29 0.37 0.4

x 1 0 δ Бор y 1 0 δ

0 1.14

x 1 0 δ Романовка y 1 0 δ

2 0.51

Получение поправок в измеренные направления и оценка точности по результатам уравнивания Умножение матрицы А на вектор Х, сложение V A. X l с вектором l, получение вектора поправок V для измеренных направлений, указанных T C V .

V справа C= 7.95 Вычисление средней квадратической 7.952 погрешности единицы веса по формуле (8) µ 7 µ = 1.07 Q N

1

0

Обращение матрицы N и получение матрицы Q

1 -0.77 3 -0.88 4 -0.25 5 0.34

1-2 1-3 1-4 1-5 2-1 2-3 2-5

6 -0.09 V= 7 0.33 3-1 8 -1.28 3-2 3-4 9 0.95 10 0.28 11 -0.61 12 0.33 13 0.59 14 -1.04

4-1 4-3 4-5 5-1 5-2 5-4

Вычисления в системе MathCAD Формирование элементов системы уравнений поправок (4) A

READPRN( "C:\DOCUMENT\GEO\K.prn")

Считывание файла данных K.prn и создание матрицы А

Считывание файла данных l.prn и создание вектора l Получение элементов системы нормальных уравнений (5) и решение ее l

READPRN( "C:\DOCUMENT\GEO\l.prn")

T Транспонирование матрицы А, умножение на матрицу А и получение A .

A матрицы N T. Транспонирование матрицы А, умножение на вектор l и получение вектора L L A l

N

Обращение матрицы N, умножение на вектор N и получение вектора X 1 N .

L

X

z δ

0.22

z Вывод вектора Х - неизвестных поправок в δ параметры (ориентирные углы и предварительные z δ координаты определяемых пунктов) z δ

0.53 0.01 0.19

0.25 z X= δ 0.13 0.29

x 1 0 δ (Бор) y 1 0 δ

0 0 1.14

0.37

x 1 0 δ

1 -0.77

0.4

y 1 0 δ

2 0.51

(Романов ка)

3 -0.88

Получение поправок в измеренные направления и оценка точности по результатам уравнивания

4 -0.25 5 0.34

Умножение матрицы А на вектор Х, сложение A. X l с вектором l, получение вектора поправок V для измеренных направлений, указанных T. справа C V V

V

11 -0.61

Вычисление средней квадратической 7.952 µ погрешности единицы веса по формуле (8) 7

12 0.33

µ = 1.07

14 -1.04

13 0.59 15 0.45

Q

q

N

1

Обращение матрицы N и получение матрицы Q весовых коэффициентов параметров

Последовательное умножение матриц А, Q и транспонированной T A. Q. A матрицы. Получение матрицы q весовых коэффициентов уравненных направлений Qx2 0.21 Q2 y 0.188 mx2

1.066 0.21

mx2

0.49

my2

1.066 0.188

my2

2-1 2-3 2-5

6 -0.09 V= 7 0.33 3-1 3-2 8 -1.28 3-4 9 0.95 10 0.28

C= 7.95

1-2 1-3 1-4 1-5

0.46

4-1 4-3 4-5 5-1 5-2 5-4

Выведение матрицы Q 0.31 0.14 0.03

0.01

0.04

0.01

0.02

0.08

0.08

0.14 0.69 0.08

0.04

0.08

0.04

0.04

0.22

0.18

0.03 0.08 0.43

0.06

0.04

0.04

0.1

0.03

0.01

0.05

0.04

0.05

0.04

0.04 0.08 0.06 0.01 0.44 Q=

0.03

0.06

0.01 0.04 6.11 10

0.01 0.04 0.04

6.11 10

3

3

0.38

0.05

0.03

0.02 0.04 0.04

0.04

0.06

0.08 0.22 0.1

0.05

1.12 10

0.08 0.18 0.03

0.04

0.11

0.09 9.38 10 3

1.12 10

9.38 10 3

3

3

0.11

0.05

0.03 0.06

0.09

0.04

0.05

0.04

0.21

0.06

0.03

0.06

0.06

0.19

Выведение матрицы q 0 1 2 0 0.72 0.12 0.04

3 4 0.12 0.25

5 6 7 -0.13 -0.13 -0.07

8 0.15

9 -0.09

10 11 -0.04 0.02

1 0.12 0.66 0.17

0.05 -0.02

0.08 -0.06 0.25

-0.18

-0.07

-0.11 0.05

2 0.04 0.17 0.63

0.16 -0.2

0.09 0.11 -0.08

0.07

-3 7.77 10 0.24 -0.12

3 0.12 0.05 0.16

0.68 -0.03

-0.04 0.07 -0.11

-0.05

0.15

-0.09 0.05

4 0.25 -0.02 -0.2

-0.03 0.5

-3 0.24 0.27 8.11 10 0.02

-0.03

-0.09 0.05

5 -0.13 0.08 0.09

-0.04 0.24

0.7

0.19

-0.11

0.04 -0.02

6 -0.13 -0.06 0.11

0.07 0.27

0.06 0.67 0.06

-0.21

0.15

0.05 -0.03

0.13

0.33

-0.09 0.04

0.63

0.24

0.1

0.06 -0.07

-3 7 -0.07 0.25 -0.08 -0.11 8.11 10 -0.07 0.06 0.53 q= 8 0.15 -0.18 0.07 -0.05 0.02 0.19 -0.21 0.13

-0.05

-3 9 -0.09 -0.07 7.77 10 0.15 -0.03

-0.11 0.15 0.33

0.24

0.43

-3 -0.01 6.11 10

10 -0.04 -0.11 0.24

0.04 0.05 -0.09

0.1

-0.01

0.51 0.24

-0.09 -0.09

11 0.02 0.05 -0.12

0.05 0.05

-0.02 -0.03 0.04

-0.05

-3 6.11 10 0.24 0.38

12 0.02 0.05 -0.12

0.05 0.05

-0.02 -0.03 0.04

-0.05

-3 6.11 10 0.24 0.38

13 -0.07 -0.11 -0.1

-3 0.28 -7.73 10 0.06 -0.05 -0.08

0.02

0.06

14 0.16 -0.07 0.09

-0.18 0.05

-0.2 0.15 0.01

-0.01

-3 2.6 10 0.11 -0.06

0.14 -0.1 0.07

-3 -9.47 10 -0.06

-3 15 -0.08 0.18 6.35 10 -0.1 -0.04

-0.09 0.04

-0.02 0.01

1-2 1-3 1-4 1-5

2-1 2-3 2-5 3-1 3-2 3-4

4-1 4-3 4-5

5-1 5-2 5-4

Из-за недостатка места справа матрица q выведена не полностью. Наибольший обратный вес относится к направлению 1-2 и составляет 0.723. Следовательно, погрешность в направлении 1-2 будет m

1.066 0.723

m= 0.91

Выведение матрицы Q

0.31 0.14 0.03

0.01

0.04

0.01

0.02

0.08

0.08

0.14 0.69 0.08

0.04

0.08

0.04

0.04

0.22

0.18

0.03 0.08 0.43

0.06

0.04

0.04

0.1

0.03

0.01

0.05

0.04

0.05

0.04

Q= 0.04 0.08 0.06 0.01 0.44

0.03

0.06

0.01 0.04 6.11 10

0.01

0.04 0.04

0.02 0.04 0.08

0.04

0.22 0.1

0.08 0.18

0.03

6.11 10

3

3

0.38

0.05

0.03

0.09

0.04

0.06

0.05

1.12 10

9.38 10

0.04

0.11

3

1.12 10

9.38 10 3

3

3

0.11

0.05

0.03 0.06

0.09

0.04

0.05

0.04

0.21

0.06

0.03

0.06

0.06

0.19

Выведение матрицы q 0 1 2 0 0.72 0.12 0.04

3 4 0.12 0.25

5 6 7 -0.13 -0.13 -0.07

8 0.15

9 -0.09

10 11 -0.04 0.02

1 0.12 0.66 0.17

0.05 -0.02

0.08 -0.06 0.25

-0.18

-0.07

-0.11 0.05

2 0.04 0.17 0.63

0.16 -0.2

0.09 0.11 -0.08

0.07

-3 7.77 10 0.24 -0.12

3 0.12 0.05 0.16

0.68 -0.03

-0.04 0.07 -0.11

-0.05

0.15

-0.09 0.05

4 0.25 -0.02 -0.2

-0.03 0.5

-3 0.24 0.27 8.11 10 0.02

-0.03

-0.09 0.05

5 -0.13 0.08 0.09

-0.04 0.24

0.7

0.19

-0.11

0.04 -0.02

6 -0.13 -0.06 0.11

0.07 0.27

0.06 0.67 0.06

-0.21

0.15

0.05 -0.03

0.13

0.33

-0.09 0.04

0.63

0.24

0.1

0.06 -0.07

-3 7 -0.07 0.25 -0.08 -0.11 8.11 10 -0.07 0.06 0.53 q= 8 0.15 -0.18 0.07 -0.05 0.02 0.19 -0.21 0.13

-0.05

-3 9 -0.09 -0.07 7.77 10 0.15 -0.03

-0.11 0.15 0.33

0.24

0.43

-3 -0.01 6.11 10

10 -0.04 -0.11 0.24

-0.09 -0.09

0.04 0.05 -0.09

0.1

-0.01

0.51 0.24

11 0.02 0.05 -0.12

0.05 0.05

-0.02 -0.03 0.04

-0.05

-3 6.11 10 0.24 0.38

12 0.02 0.05 -0.12

0.05 0.05

-0.02 -0.03 0.04

-0.05

-3 6.11 10 0.24 0.38

13 -0.07 -0.11 -0.1

-3 0.28 -7.73 10 0.06 -0.05 -0.08

0.02

0.06

-0.2 0.15 0.01

-0.01

-3 2.6 10 0.11 -0.06

0.14 -0.1 0.07

-3 -9.47 10 -0.06

14 0.16 -0.07 0.09

-0.18 0.05

-3 15 -0.08 0.18 6.35 10 -0.1 -0.04

-0.09 0.04

-0.02 0.01

1-2 1-3 1-4 1-5

2-1 2-3 2-5 3-1 3-2 3-4

4-1 4-3 4-5

5-1 5-2 5-4

Из-за недостатка места справа матрица q выведена не полностью. Наибольший обратный вес относится к направлению "1-2" и составляет 0.723. Следовательно погрешность в направлении "1-2" будет m 1.066 0.723 m= 0.91

СОДЕРЖАНИЕ Общие сведения об уравнительных Вычислениях…………………………………………………... Определение весов измеренных величин Уравнивание линейно-угловых сетей……………………….. Пример уравнивания сети триангуляции 4-го класса………. Лабораторная работа………………………………………….. Контрольные вопросы………………………………………... Литература…………………………………………………….. Вычисления в системе MathCAD…………………………….

1 2 3 12 15 − − −

Утверждено на заседании кафедры картографии

С о с т а в и т е л и:

докт. геогр. наук Г.Д. Курошев,

канд. техн. наук А.Е. Войнаровский Р е ц е н з е н т ы:

докт. техн. наук С.А. Коробков (С.-Петерб. горный ин-т им. Г.В. Плеханова), канд. геогр. наук О.А. Павлова (С.-Петерб. гос. ун-т)

Рассмотрены виды параметрических уравнений поправок для различных способов геодезических измерений. Процесс уравнительных вычислений и оценки точности дан в матричном изложении. Приведен пример уравнивания сети триангуляции на персональном компьютере с применением системы MathCAD. Методические указания к лабораторной работе по курсу «Геодезические основы карт» предназначены для студентов заочного и вечернего отделений кафедры картографии, могут быть использованы также студентами дневного отделения и специалистами, занимающимися математической обработкой геодезических измерений.

Лицензия ЛР № 040050 от 15.08.96 Подписано в печать с оригинала-макета 29.05.2001. Ф-т 60х84/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,39. Уч.-изд. л. 1,38. Тираж 100 экз. Заказ № РОПИ Издательства С._Петербургского университета.

199034, С.-Петербург, Университетская наб., 7/9. ЦОП типографии Издательства СПбГУ.

199034, С.-Петербург, наб. Макарова, 6.