Respuesta en frecuencia by Juan Martinez Toribio

CAPÍTULO 7 RESPUESTA EN FRECUENCIA DE UN AMPLIFICADOR. 7.1 Introducción En los capítulos 2 y 3 se han estudiado los transistores BJT y JFET como amplificadores, sin considerar la zona de trabajo de estos en función de la frecuencia. En este capítulo se realizará el estudio del comportamiento de los amplificadores en función de la frecuencia. Todo amplificador debe tener dos frecuencias de corte, una frecuencia de corte en alto (wH) y una frecuencia de corte en bajo (wL), por consiguiente un ancho de banda (Bw). La zona de trabajo del amplificador estará restringida por dicho ancho de banda (Bw). 7.2 Modelos de los transistores para el análisis de frecuencia. Los modelos que vamos a utilizar son los que se presentaron en el capítulo 2 y 3 incluyendo el efecto de las capacitancias internas. 7.2.1 El modelo a utilizar para AC del transistor BJT NPN o PNP será el mismo para ambos transistores, figura 7.1. c b

b =

cµ



r c

gmv

Figura 7.1

La resistencia rb es un dato dado por el fabricante con un valor típico de 100Ω. rπ= (β+1)re, ro se considera infinita, a menos que se indique lo contrario. gm =

(7.1) ro =

(7.2)

1 (S ) re

V A + VCE (Ω) IC

re =

26mV (Ω) IE

(7.3) VA: voltaje de Early, dato dado por el fabricante. La capacitancia cµ tiene un valor típico de 2pF y la capacitancia se c se calcula a partir de: gm fT = ( Hz ) 2π ( cπ + cµ ) (7.4) f T : Frecuencia de transición dada por el fabricante. 7.2.2 El modelo a utilizar para el transistor JFET CANAL N O CANAL P será el mismo para ambos transistores, figura 7.2. cgd

g g

vgs s

Cgs

gmvgs

Figura 7.2

VGS

I D = I DSS (1 −

VGS ( off )

(7.5)

g m = g mo (1 −

VGS VGS (off )

)

(7.6) g mo =

(7.7) ro =

2 xI DSS VGS ( off )

VA + VDS ID

(7.8) VA: voltaje de Early, dato dado por el fabricante. La capacitancia cgd tiene un valor típico de 2pF y la capacitancia se cgs se calcula a partir de:

104

fT =

gm ( Hz ) 2π ( c gd + c gs )

(7.9) f T : Frecuencia de transición dada por

el fabricante. 7.3 Respuesta en frecuencia del amplificador. Todo amplificador debe tener una respuesta en función de la frecuencia. Esto se muestra en la figura7.3.

7.3.1 La ganancia como función de s donde s = jw. La ganancia de un amplificador como función de la frecuencia compleja (s) puede ser expresada de la siguiente manera.

|H(jw)|dB Banda media

ABM

wL Figura 7.3

la ganancia del amplificador se ve disminuida. Los limites de la banda media o banda de paso están determinados por wL y wH (figura 7.3). Estas dos frecuencias son aquellas en las cuales la ganancia cae 3dB por debajo del valor de la ganancia en la banda media.

En la figura 7.3: vo ABM = : Ganancia en la banda media. vi Esta ganancia tiene un valor constante dentro del ancho de banda BW. BW = wH - wL: Ancho de banda. wH: Frecuencia de corte en alto, depende de las capacitancias internas o parásitas del transistor. wL: Frecuencia de corte en bajo, depende de las capacitancias externas al transistor. Banda media o banda de paso: Es donde la magnitud de la ganancia se puede considerar constante además, esta ganancia no depende de la frecuencia, en otras palabras el efecto de las capacitancias internas y externas del transistor es considerado despreciable. A altas frecuencias la ganancia cae debido al efecto de las capacitancias internas del dispositivo, mientras a bajas frecuencias los capacitores de acople y desacople ya no actúan como cortocircuito y por tanto

A( s ) = ABM FL ( s ) FH ( s ) (7.10) En la ecuación (7.10) FL(s) expresa la dependencia de la ganancia en función de la frecuencia en la banda de baja frecuencia y FH(s) su dependencia en la banda de alta frecuencia. Si w >> wL entonces FL(s) tiende a 1, de igual manera para w << wH(s) la función FH(s) tiende a 1. Por tanto puede escribirse que: A( s ) = ABM (7.11) La ecuación (7.11) es válida siempre que wL << w << wH De lo anterior se deduce que la ganancia en la banda de baja frecuencia es: AL ( s ) = ABM FL ( s ) (7.12) La ganancia en la banda de alta frecuencia es: AH ( s ) = ABM FH ( s ) (7.13) Los cálculos para la ganancia en la banda media se realizan considerando que los capacitores de acople y desacople se comportan como perfectos cortocircuitos a la vez, las capacitancias internas del transistor son tomadas como circuitos

105

abiertos. La ganancia en la banda de baja frecuencia AL(s) es determinada a partir del análisis del circuito equivalente tomando en cuenta los capacitores de acople y desacople pero, asumiendo que las capacitancias internas del transistor son circuitos abiertos perfectos. Para la ganancia en la banda de alta frecuencia AH(s) es determinada tomando en cuenta las capacitancias internas del transistor pero, considerando los capacitores externos de acople y desacople como perfectos cortocircuitos. 7.3.1.1 Respuesta a bajas frecuencias. La función FL(s) que expresa la respuesta a baja frecuencia del amplificador posee la forma general:

FL ( s ) =

( s + wz1 )( s + wz 2 )......( s + wz

( s + w )( s + w )......( s + w p1

)

(7.14) Donde: wz1 , wz 2 , ...wz N L Representan los valores de los ceros de baja frecuencia. w p1 , w p 2 , ...w p Representan los NL

valores de los polos a baja frecuencia. En la ecuación (7.14) puede observarse que si s tiende a infinito entonces FL(s) tiende a 1. En muchos casos los ceros poseen frecuencias tan bajas (mucho menores que wL) que poseen poca importancia en la determinación de wL. Además, por lo general, uno de los polos, por ejemplo wp1, posee una frecuencia mucho mayor que la de todos los otros polos. Entonces si w se aproxima a la banda media, FL(s) puede escribirse como: FL ( s )

s = s + w p1

(7.15) La ecuación (7.15) no es más que una función de transferencia paso alto de primer orden. En este caso la respuesta de

baja frecuencia del amplificador es dominada por el polo s =−w p1 y la frecuencia inferior de -3dB es aproximadamente igual a wp1. wL ≅w p1

(7.16) Lo expresado anteriormente se conoce como aproximación por polo dominante y es válida cuando exista polo dominante, si no existe tal polo debe entonces encontrarse la respuesta completa de FL ( jw ) para determinar wL. Se dice que estamos en presencia de un polo dominante de baja frecuencia cuando el polo de frecuencia mas alta supera al polo o cero mas cercano en al menos 3 octavas (un factor 8). Si no existe polo dominante de baja frecuencia, puede encontrarse una formula aproximada para determinar wL en función de los polos y ceros existentes en el circuito. Por ejemplo consideremos el caso de una función de transferencia con dos ceros y dos polos.

FL ( s ) =

( s + wz1 )( s + wz 2 )

( s + w )( s + w ) p1

(7.17) Sustituyendo s = jwL y tomando la magnitud cuadrada de la función, tenemos:

FL ( s )

(w = (w

2 L 2 L

)( )(

+ wz1 wL + wz 2 2 2 2 + w p1 wL + w p 2

) )

(7.18) Dado que los puntos de -3dB son los puntos de potencia media entonces w =wL cuando FL ( jw) = 2

( (

)( )(

1 y por tanto: 2

1 wL + wz1 wL + wz 2 = 2 wL 2 + w p12 wL 2 + w p 2 2

) )

(7.19)

106

(

)

(

)

(

)

 1   1  2 2 2 2 1 +  2  wz1 + wz 2 +  4  wz1 wz 2 1  wL   wL  = 2  1   1  2 2 2 2 1 +  2  w p1 + w p 2 +  4  w p1 w p 2  wL   wL  (7.20) Ya que wL generalmente es mucho mayor que las frecuencias de todos los polos y ceros, entonces podemos despreciar los 1 términos que contienen 4 y despejar wL wL para obtener:

(

wL = w p1 + w p 2 − 2 wz1 − 2 wz 2

(7.21) La expresión (7.21) puede extenderse para una función con cualquier número de polos y ceros. En la misma puede observarse que si w p1 >> w p 2 , wz1 , wz 2 Entonces la expresión (7.21) se reduce a la expresión (7.16), wL ≅w p1 .

7.3.1.2 Respuesta a altas frecuencias. La función FH(s) puede ser expresada de la forma general de la siguiente forma:

FH ( s )

 s  s   s  1 + 1 + ...... 1 + wz1  wz 2   wzN H   =      1 + s 1 + s ......1 + s       w p1  wp2   w pN H  

(7.22) Donde: wz1 , wz 2 , ...wz N H Representan los valores de los ceros de alta frecuencia.

w p1 , w p 2 , ...w pN Representan los H valores de los polos a alta frecuencia. Se puede notar en la ecuación (7.22) que si s tiende a 0 entonces FH(s) tiende a 1. En la mayoría de los casos los ceros son infinitos o poseen frecuencias tan altas que tienen poca influencia en la

)

determinación de la frecuencia superior de -3dB (wH). Si uno de los polos de alta frecuencia posee un valor mucho menor que el de los otros polos, wp1 por ejemplo, entonces la respuesta en alta frecuencia del amplificador será dominada por este polo y FH(s) puede aproximarse como: FH ( s ) =

1 1+

s w p1

(7.23) La ecuación (7.23) no es más que la función de transferencia de una red pasa bajo de primer orden. En los casos en que exista un polo dominante de alta frecuencia, la determinación de wH se simplifica a wH ≅w p1

(7.24) Se dice que estamos en presencia de un polo dominante de alta frecuencia cuando el polo de más baja frecuencia se encuentra al menos 3 octavas por debajo del polo o cero más cercano. Si no existe polo dominante entonces wH puede determinarse a partir de FH ( jw ) . De la misma forma que para bajas frecuencias puede derivarse una formula aproximada para wH en términos de los polos y ceros de alta frecuencia. 1 wH = 1 1 2 2 (7.25) + − − 2 2 2 2 w p1 wp 2 wz1 wz 2 En la ecuación (7.25) si: w p1 << w p 2 , wz1 , wz 2 Entonces, la ecuación (7.25) se reduce a la ecuación (7.24), wH ≅w p1 .

7.3.1.3 Utilización de las constantes de tiempo de cortocircuito y circuito abierto para la determinación aproximada de wL y wH. Cuando los polos y ceros de la función de transferencia pueden ser determinados fácilmente, puede utilizarse los métodos 107

anteriores para determinar wL y wH. Sin embargo, en la mayoría de los casos no es muy fácil determinar los polos y ceros. En tales situaciones pueden obtenerse valores aproximados para wL y wH mediante la utilización del método que se describe a continuación. Inicialmente consideremos la respuesta en alta frecuencia. La función FH(s) de la ecuación (7.22) pude rescribirse como:

FH ( s ) =

1 + a1s + a2 s 2 + ... + a N H s N H 1 + b1s + b2 s 2 + ... + bN H s N H

(7.26) En la ecuación (7.26) los coeficientes a y b están relacionados con los ceros y polos de alta frecuencia, respectivamente. Específicamente, b1 esta dado por: b1 =

1 1 1 + + ... + w p1 w p 2 w pN H

(7.27) El valor de b1 puede obtenerse a partir del circuito equivalente para alta frecuencia, tomando en cuenta las capacitancias presentes una a la vez, mientras las otras son consideradas circuitos abiertos. El proceso consiste en encontrar el valor de la impedancia de Thévenin vista por el capacitor que multiplicado por el valor de la capacitancia respectiva permite obtener la constante de tiempo determinada por cada capacitor. Luego el proceso es repetitivo para todas y cada una de las capacitancias presentes en el circuito. Lo anterior permite obtener la contribución de cada capacitancia en la posición de las singularidades del circuito. El Valor de b1 se encuentra sumando todas las constantes de tiempo individuales llamadas constantes de tiempo de circuito abierto. NH

b1 = ∑ Ci RTHi i =1

(7.28)

Donde NH representa el número de capacitores presentes en el circuito equivalente para alta frecuencia. De la ecuación (7.27) puede observarse que si uno de los polos es dominante, es decir w p1 << w p 2 , wz1 , wz 2 … Entonces: b1 =

1 w p1

(7.29) wH será entonces aproximadamente igual a wp1, por lo tanto: 1 wH = N H ∑Ci RTH i i =1

(7.30) Debe señalarse que en aquellos circuitos con cierto nivel de complejidad no puede saberse a simple vista o averiguarse fácilmente si existe o no un polo dominante, no obstante la ecuación (7.29) generalmente produce muy buenos resultados aun cuando no existe un polo dominante. Las constantes de tiempo de cortocircuito se utilizan para determinar la frecuencia inferior de -3dB, wL. A continuación veremos como las mismas nos permiten obtener de manera muy aproximada el valor de FL. La expresión FL(s) de la ecuación (7.14) puede expresarse de forma alternativa como:

FL ( s ) =

s N L + d1s N L −1 + d 2 s N L − 2 + ... s N L + e1s N L −1 + e2 s N L −2 + ...

(7.31) En la ecuación (7.31) los coeficientes d y e están relacionados con los ceros y polos de baja frecuencia, respectivamente. Específicamente e1 esta dado por: e1 = w p1 + w p 2 + ... + w pN L El valor de e1 puede obtenerse analizando el circuito equivalente para baja frecuencia, considerando los distintos capacitores que conforman el circuito,

108

uno a la vez, mientras los restantes son reemplazados por corto circuitos. El proceso consiste en encontrar la impedancia equivalente de thévenin vista por el capacitor en cuestión, luego el proceso se repite para todos los capacitores existentes en el circuito equivalente de baja frecuencia. El valor de e1 se encuentra mediante la suma de los inversos de las constantes de tiempo de cortocircuito. NL

e1 = ∑ i =1

1 Ci RTH i

(7.32) En la ecuación anterior NL representa el número de capacitores presentes para baja frecuencia. El valor puede ser utilizado para obtener wL siempre y cuando no existan ceros dominantes y si además existe un polo dominante. Si existe un polo dominante, por ejemplo wp1, con una frecuencia mucho mayor que la del resto de los polos existentes entonces: e1 ≅ w p1 recordemos que en el caso en que existe un polo dominante wL es aproximadamente igual a la frecuencia del polo dominante, significa entonces que en ese caso: NL

wL = ∑ i =1

1 Ci RTH i

(7.33) El método de las constantes de tiempo de cortocircuito provee una buena aproximación para el valor de wL aun en el caso en que no exista un polo dominante, sin embargo debe aclararse que si tal polo existe el resultado de la aproximación será mucho más cercano al valor real o verdadero. 7.4 EJEMPLOS Ejemplo # 1.

Para el circuito mostrado en la figura 7.4, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: IDSS = 12mA; VGS(off) = -4V; Cgs = 12pF; Cgd=2pF. VDD

20V

1uF

D 2 2.2kΩ 2.2uF

-1/1V

1kΩ

vO -

1kHz

10MΩ

S 330Ω

10uF

Figura 7.4

Solución: a.- Análisis DC El circuito para DC queda de la siguiente forma, figura 7.4.1. VDD

20V

D 2.2kΩ

VDS R

G 10MΩ

330Ω

Figura 7.4.1

VG = 0V VS = ISxRS = IDRs VGS = VG-VS = -IDxRS

I D = I DSS (1 −

VGS VGS ( off )

(7.34) (7.35) (7.36)

(7.37) Sustituyendo (7.36) en (7.37) se obtiene:

I D = I DSS (1 +

I D xRS 2 ) VGS ( off )

(7.38) Por tanto: 2

I D + (2

VGS

( off )

−

VGS

2 ( off )

I DSS xR

2 S

)ID +

VGS

2 ( off ) 2 S

109

Introduciendo valores: 2

I D − 0.0365 I D + 0.1469m = 0 (7.39) Solucionando la ecuación (6.39): I D1, 2

Conociendo la corriente ID se calcula VGS de la ecuación (7.36). VGS = -IDxRs = -4.6mAx330Ω = -1.52V Para calcular VDS se aplica un LKV en la malla exterior que involucre VDS. V DD = I D R D + V DS + I D Rs (7.40) Despejando VDS: V DS = V DD − I D ( R D + Rs ) (7.41) Introduciendo valores en la ecuación (6.41) se obtiene:

V DS = 20V − 4.6mA ( 2.2kΩ + 330Ω) = 8.36V

El punto de operación es: ID = 4.6mA y VDS = 8.36V. Para saber si el transistor funcionará como amplificador se verifica la siguiente condición. V DS ≥ VGS ( off ) −VGS

(7.42)

V DS > 4V +1.52V > 5.52V

Con VDS =8.36V cumple la condición, entonces, el transistor se comporta como un amplificador. b.- Análisis AC. Dibujando el circuito para AC considerando los capacitores de acople y desacople como cortocircuitos, sin sustituir el modelo del transistor para AC, resulta el circuito de la figura 7.4.2.

RD vO

-1/1V

2.2kΩ -

RG 1kHz

0.0365 ± 1.332m − 4 x 0.1469m = 2

Entonces: ID1 = 4.6mA e ID2 = 31.89mA De estos dos valores solamente uno de ellos es válido, ya que el otro valor está fuera de los parámetros del transistor; en este caso fuera del valor de IDss. Entonces, el valor para la corriente es ID1 = 4.6mA.

L 1kΩ

10MΩ

Figura 7.4.2

Sustituyendo el modelo del transistor para AC considerando las capacitancias internas del transistor como circuito abierto, en el circuito anterior, figura 7.4.2 resulta el circuito de la figura 7.4.3. v

i -1/1V

1kHz

vgs

RG 10MΩ -

gmvgs

+ 2.2kΩ

- 1kΩ

Figura 7.4.3

Calculando los parámetros para AC: 2 I DSS VGS gm = (1 − ) VGS ( off ) VGS ( off ) (7.43) Sustituyendo valores en (6.43): gm =

24mA 1.52V (1 − ) = 3.72mS − 4V 4V

Calculando las variables solicitadas. vo a) ABM = vi (7.44) vo =−g m v gs RL '

(7.45) Donde: RL ' = RD // RL = 687.5Ω v gs = vi (7.46) Sustituyendo (7.46) en (7.45) se obtiene: vo = −g m RL ' vi (7.47) Sustituyendo valores en (7.47): v ABM = o == −3.72mSx687.5Ω = −2.56 vi w b) FH = H (7.48) 2π Para el cálculo de wH dibujaremos el circuito equivalente. Este circuito

110

equivalente es el mismo que utilizamos para calcular ABM agregando las capacitancias internas del transistor. Este circuito se muestra en la figura 7.4.4.

Cgd +

Cgd Vi -1/1V

Vgs

Cgs

10MΩ

1kHz

D 2.2kΩ

gmVgs

τC

1kHz

τ C = C gd RTH gd

Vgs 10MΩ -

Cgs

Figura 7.4.5

RTH Cgs = 0Ω ya que vi es una fuente

independiente al apagarla es un cortocircuito en paralelo a 10MΩ. τ C = 0s

Cgd

= 2 pFx 687.5Ω = 1.375ns

De la ecuación (7.49) se obtiene: 1

τ C +τ C gs

(7.50) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.4.4 se deja la capacitancia Cgs y se abre la capacitancia Cgd y a partir de este circuito (figura 7.4.5) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cgs. Vi -1/1V

gmVgs

RTH Cgd = RL ' = 687.5Ω

wH =

Cgs

= gd

1 = 727.27 Mrad / s 0 s +1.375ns

Por lo tanto de (6.48): w 727.27 Mrad / s FH = H = = 115.75MHz 2π 2π w c) FL = L 2π (7.52) Para el cálculo de wL dibujaremos el circuito equivalente, para esto se considera las capacitancias internas del transistor como circuito abierto y se toma en cuenta el efecto de los capacitores de acople y desacople (C1, C2 y C3). Este circuito se muestra en la figura 7.4.7. vi

2.2uF

1uF

-1/1V

1kHz

vgs

2.2kΩ

10MΩ

gmvgs RS

330

τC = C gd RTH

Figura 7.4.6

R vo

L 1kΩ

1 +τ Cgd

(7.49) τC = C gs RTH

Vgs 10MΩ -

Figura 7.4.4

wH =

RL’

vo -

1kΩ

10uF

Cgd

(7.51) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.4.4 se deja la capacitancia Cgd y se abre la capacitancia Cgs y a partir de este circuito (figura 6.4.6) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cgd, Además se apaga vi.

Figura 6.4.7

1 1 1 wL = + + τ C1 τ C2 τ C3

(7.53)

τ C = C1 RTH (7.54) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.4.7 se deja el capacitor C1 y se cortocircuita C2 y C3, y a partir de este circuito (figura 7.4.8) se 1

111

calcula la resistencia de thévenin vista por C1. C1 -1/1V

1kHz

1uF

vgs

10MΩ

2.2kΩ

gmvgs

-1/1V

1kΩ

τ C = C3 RTH 3

vgs

2.2kΩ

gmvgs

vgs

gmvgs

Figura 7.4.9

Ya que la fuente de corriente se comporta como un circuito abierto al apagar vi. RTH C 2 = RD + RL = 3.2kΩ (7.58) τ C = C2 RTH = 2.2 µFx3.2kΩ = 7.04ms 2

τ C 3 = C3 RTH (7.59) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.4.7 se deja el capacitor C3 y se cortocircuita C1 y C2, y a partir de este circuito (figura 7.4.10) se calcula la resistencia de thévenin vista por C3. C3

2.2kΩ

L 1kΩ

ip +

330Ω

(7.61) Esto se muestra en la figura 7.4.11.

1kΩ

prueba y la RTHC 3 =

2.2uF

(7.60)

Para calcular RTHC 3 se abre las terminales de C3 y se coloca una fuente de

10MΩ

Figura 7.4.10

(7.55) τ C1 = C1 RTH C1 = 1µFx10 MΩ = 10s (7.56) τ C = C2 RTH (7.57) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.4.7 se deja el capacitor C2 y se cortocircuita C1 y C3, y a partir de este circuito (figura 7.4.9) se calcula la resistencia de thévenin vista por C2.

1kΩ

10uF

RTH C 1 = RG = 10 MΩ

1kHz

gmvgs 330Ω

Figura 7.4.8

330Ω

-1/1V

2.2kΩ

G 10MΩ

1kHz

330Ω

Figura 7.4.11

Del circuito anterior se deduce: i = i p + g m v gs =

(7.62)

v gs = −v p

(7.63) Sustituyendo la ecuación (7.63) en la ecuación (7.62) se obtiene: i p − gmv p =

(7.64)

Entonces: vp ip

RS 1 1 = = RS // 1 1 + g m RS gm + RS gm

(7.65) Sustituyendo valores en (7.65): RTH C 3 =

vp ip

= 330Ω //

1 = 148.14Ω 3.72mS

Entonces:

112

τ C 3 = C3 RTH = 10 µFx148.14Ω = 1.48ms De la ecuación (6.53) se obtiene: C3

wL =

1 1 1 + + = 817.82rad / s 10 s 7.04ms 1.48ms

De la ecuación (6.52):

ID ) I DSS

(7.68) Por tanto: 5mA ) = −1.42 V 12mA

VGS = −4V (1 −

817.82rad / s FL = =130.16 Hz 2π

VCE1 =V C1 −V E1

El resultado final se muestra en la figura 7.4.12.

(7.69) Sustituyendo valores:

VCE =1.42V − (1.65V ) + 0.7V = 0.47V VDS = 20V − I D xRD −VS

|H(jw)|dB Banda media

ABM=2.56

VGS = VGS ( off ) (1 −

(7.70) Sustituyendo valores:

VDS = 20V −5mA( 2.2kΩ) −1.42V = 7.58V

130.16Hz

115.75MHz

Figura 7.4.12

Ejemplo # 2. Para el circuito mostrado en la figura 7.5, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: IDSS = 12mA; VGS(off) = -4V; Cgs = 12pF; Cgd=2pF. VDD

20V

2.2kΩ

1uF

6.8uF

-500m/500mV

10MΩ

vo -

3 10uF

VDS = 7.58V e I D = 5mA

Para que el transistor funcione como amplificador debe cumplir con la siguiente condición. VDS > 4V +1.42V > 5.42V

Ya que, cumple con la condición anterior el transistor funciona como amplificador. b.- Análisis AC. Dibujando el circuito para AC se considera los capacitores de acople y desacople como cortocircuitos, sin sustituir el modelo del transistor para AC, resulta el circuito de la figura 7.5.1.

330Ω

10kΩ +

100kΩ 1kHz

El punto de operación para el transistor J es:

VEE

860Ω

-5V

RE Figura 7.5

Solución: a.- Análisis DC I E1 = I C 1 = I D =

(7.66)

I D = I DSS (1 −

C4=∞

-1/1V 1kHz

v 3.3kΩ o

100kΩ

RL 10kΩ

Ri RG

1MΩ

Figura 7.5.1

5V − 0.7V = 5mA 860Ω

VGS VGS ( off )

Sustituyendo el modelo del transistor para AC considerando las capacitancias internas del transistor como circuito abierto, en el circuito anterior, figura 7.5.1 resulta el circuito de la figura 7.5.2.

(7.67) Despejando VGS se obtiene:

113

100kΩ -1/1V 1kHz

Vgs

10MΩ

2.2kΩ

gmVgs

capacitancias internas del transistor. Este circuito se muestra en la figura 7.5.3.

Figura 7.5.2

Cgd

100kΩ

L 10kΩ 10k

-1/1V

10MΩ

1kHz

Vgs -

D 2.2kΩ

Cgs gmVgs

RL 10kΩ

Figura 7.5.3

Calculando los parámetros para AC: 2 I DSS VGS gm = (1 − ) VGS ( off ) VGS ( off ) (7.71) Sustituyendo valores en (7.71): gm =

24mA 1.42V (1 − ) =3.87 mS −4V 4V

Calculando las variables solicitadas. vo a) ABM = vi (7.72)

wH =

τC = C gs RTH gs

(7.77)

Cgs

(7.78) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.5.3 se deja la capacitancia Cgs y se abre la capacitancia Cgd y a partir de este circuito (figura 7.5.4) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cgs.

vo =−g m v gs RL '

(7.73) Donde: RL ' = RD // RL = 1,803.28Ω vR v gs = i G (7.74) Ri + RG Por tanto sustituyendo (7.74) en (7.73) se obtiene: vO RG = (−g m RL ' )( ) vi RG + Ri (7.75) Sustituyendo valore en (7.75): vo 1MΩ = ( −3.87 mSx1,803.28Ω)( ) vi 1MΩ +100kΩ vo = ABM = −6.91 vi w b) FH = H 2π (7.76) Para el cálculo de wH dibujaremos el circuito equivalente. Este circuito equivalente es el mismo que utilizamos para calcular ABM agregando las

τC

1 +τ Cgd

Ri RG

Cgs

Figura 6.5.4

RTH Cgs = Ri // RG = 99kΩ

(7.79) De (6.78): τC = 99kΩx12 pF =1.188µs gs

τC = C gd RTH gd

Cgd

(7.80) Para calcular la constante de tiempo de la ecuación (7.80) en el circuito de la figura 7.5.3 se deja la capacitancia Cgd y se abre la capacitancia Cgs y a partir de este circuito (figura 7.5.5) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cgd, Además se apaga vi.

114

Cgd

RL’

vgs

gmvgs

Cgd

vp ip

(7.81) El circuito para calcular la ecuación (7.81) se muestra en la figura 7.5.6. +

+ RG

= 791,694Ω

Para calcular RTH se abre las terminales de Cgd y se coloca una fuente de prueba y la RTH es: RTH Cgd =

Entonces de la ecuación (6.80) se obtiene: τC = C gd RTH = 2 pFx791,694Ω =1.583µs

Figura 7.5.5

τCgd = C gd RTH

= 99kΩ+1,803.28Ω+ 3.87 mSx99kΩx1,803.28Ω

Cgd

Por tanto de la ecuación (7.77) se obtiene wH =

τC

1 1 = = 360.88krad / s +τ Cgd 1.188µs +1.583µs

Para el cálculo de FH se utiliza la ecuación (7.76): w 360.88krad / s FH = H = = 57.44kHz 2π 2π Nota: Otra forma de calcular wH es usando el teorema de Miller. Este teorema se explica a continuación.

RL’

vgs -

gmvgs Teorema de Miller.

Figura 7.5.6

Del la figura 7.5.6 se deduce: i p + g m v gs + io = i p + g m v gs +

v gs − v p RL '

(7.82)

v gs =i p Ri '

(7.83) Donde Ri ' = Ri // RG = 99kΩ (7.84) Sustituyendo (7.83) en la ecuación (7.82) se obtiene: i p + g mi p Ri '+

i p Ri '−v p RL '

(7.85) Entonces: vp ip

= Ri '+RL '+g m Ri ' RL '

(7.86) Sustituyendo valores:

Cuando un FET es conectado en la configuración fuente común, la capacitancia Cgd aparece como un elemento natural que retroalimenta la señal de salida (en el drenador) hacia la entrada (en la compuerta). Este efecto ocasionado por Cgd complica el análisis, sin embargo, afortunadamente existe un teorema de circuitos que nos permite reemplazar el elemento de retroalimentación (Cgd en este caso) en dos elementos conectados a tierra. Este reemplazo no solamente simplifica el análisis sino que también vuelve más claro el efecto que Cgd tiene sobre la respuesta a alta frecuencia del amplificador. Este teorema de circuitos se conoce como Teorema de Miller. Para ilustrar el teorema consideremos la situación de la figura 7.5.7, en la que se tiene un nodo 1 y un nodo 2 referidos a tierra de una red particular, entre los 115

cuales se encuentra conectada una admitancia Y, además los nodos 1 y 2 pueden estar conectados mediante otros componentes a otros nodos de la red. Y 1

Y2 I2

De la figura 6.5.9:

Ri ' =100kΩ// 10 MΩ= 99 kΩ

(7.90)

RL ' = 2.2kΩ// 10kΩ =1,803.28Ω

(7.91)

C gd 1 = C gd (1 + g m RL ' )

(7.92) Sustituyendo valores en (7.92):

C gd 1 = 2 pF (1 +3.87 mSx1,803.28Ω)

Figura 7.5.7

El teorema de miller brinda los medios para reemplazar Y por dos admitancias: Y1 entre el nodo 1 y tierra, y Y2 entre el nodo 2 y tierra. El teorema de miller es aplicable siempre y cuando se conozca o pueda conocerse, la relación de voltajes entre el nodo 1 y el nodo 2 denotado por K, en donde: V K= 2 V1 (7.87) Si se conoce K los valores de Y1 y Y2 pueden ser determinados a partir de: Y1 = Y (1 − K ) (7.88) Y2 = Y (1 −

1 ) K

2.2kΩ

10MΩ

Cgs

gmvgs

(7.93) Sustituyendo valores en (7.93): C gd 2 = 2 pF (1 +

RL 10kΩ

CT = C gs +C gd 1

(7.94) Sustituyendo valores en (6.94):

CT = 12 pF +15.96 pF = 27.96 pF τ CT = CT RTH CT = CT Ri '

(7.95) Sustituyendo valores en (7.95): τ CT = 27.96 pFx99kΩ = 2.768µs τC = C gd 2 RTH = C gd 2 xRL ' Cgd 2

Sustituyendo valores en (7.96): τC = 2.29 pFx1,803.28Ω = 4.13ns gd 2

Calculando wH: wH =

τC

Aplicando Miller en la figura 7.5.8resulta la figura 7.5.9.

wH =

(7.97)

RL’

1 = 360.733krad / s 2.768µs + 4.13ns

De la ecuación (7.76): FH =

Cgd2 Cgs C gmvgs gd1

1 +τ Cgd 2

Sustituyendo valores en (7.97):

Figura 7.5.8

vgs

1 ) 3.87 mSx1,803.28Ω

C gd 2 = 2.29 pF

Ri’

1 ) g m RL '

(7.96)

100k 100kΩ

Cgd

C gd 2 = C gd (1 +

gd 2

(7.89) Calculando WH por Miller. Ri

C gd 1 =15.96 pF

360.733krad / s = 57.413kHz 2π

c) FL = (7.98)

wL 2π

Figura 7.5.9

116

Para el cálculo de w L dibujaremos el circuito equivalente, para esto se considera las capacitancias internas del transistor como circuito abierto y se toma en cuenta el efecto de los capacitores de acople y desacople (C1, C2 y C3). Este circuito se muestra en la figura 7.5.10. + -

RTH C 2 = RD + RL

Sustituyendo valores en (7.103): RTH C 2 = RD + RL = 2.2kΩ + 10kΩ = 12.2kΩ De la ecuación (7.102) se obtiene: τ C = C2 RTH = 6.8µFx12.2kΩ = 82.96ms τC 3 = C3 RTH 3 (7.104) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.5.10 se deja el capacitor C3 y se cortocircuita C1 y C2, y a partir de este circuito (figura 7.5.13) se calcula la resistencia de thévenin vista por C3.

(7.99)

τ C = C1 RTH (7.100) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.5.10 se deja el capacitor C1 y se cortocircuita C2 y C3, y a partir de este circuito (figura 7.5.11) se calcula la resistencia de thévenin vista por C1. 1

vgs -

gmvgs

Figura 7.5.13

(7.101)

Sustituyendo valores en (7.101): RTH = Ri + RG = 100kΩ + 10 MΩ = 10.1MΩ De la ecuación (7.100): τ C1 = C1 RTHC 1 = 1µFx10.1MΩ = 10.1s C1

τ C = C2 RTH (7.102) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.5.10 se deja el capacitor C2 y se cortocircuita C1 y C3, y a C2

gmvgs RS

Figura 7.5.11

vgs

RTH C 1 = Ri + RG

(7.103)

C1 RG

gmvgs

Figura 7.5.12

Figura 7.5.10

1 1 1 + + τ C1 τ C2 τ C3

gmvgs RS

vgs

wL =

partir de este circuito (figura 7.5.12) se calcula la resistencia de thévenin vista por C2.

τ C = C3 RTH Para calcular RTHC 3 se abre las terminales de C3 y se coloca una fuente de prueba y la RTHC 3 es: 3

RTHC 3 =

vp ip

(7.105) El circuito para calcular la ecuación (7.105) se muestra en la figura 7.5.14.

117

Ri +

vgs

gmvgs +

(7.108)

Entonces:

= 330Ω//

E 1kΩ

VTH =

IE =

1 = 144.92Ω 3.87 mS

RL + 18kΩ

10uF

Solución: a.- Análisis DC

12Vx3.9kΩ = 2.48V 15kΩ+ 3.9kΩ

(7.111)

Entonces de (7.104) se obtiene: τ C 3 = C3 RTH = 10 µFx144.92Ω = 1.4492ms De la ecuación (6.99) se obtiene: wL =

+ VCE -

Figura 7.6

RTH =

(7.109) Sustituyendo valores en (7.109): vp

2.2kΩ 4.7uF

3.9kΩ

(7.110)

RS 1 1 = = = RS // 1 1 + g m RS gm + RS gm

RTH C 3 =

12V

(7.106)

(7.107) Sustituyendo (7.107) (7.106) se obtiene:

1kΩ 1uF

1kHz

v gs = −v p

15kΩ

-1/1V

De la figura 7.5.14.

i p − gmv p =

Figura 7.5.14

i = i p + g m v gs =

Para el circuito mostrado en la figura 7.6, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: β = 100 y rb = 100Ω. Cπ = 33pF y Cµ=2.7pF.

3.9kΩx15kΩ = 3.1kΩ 3.9kΩ+15kΩ

2.48V − 0.7V = 1.75mA 3.1kΩ +1kΩ 181

(7.112)

12V = I C x 2.2kΩ+VCE + I E x1kΩ

(7.113)

VCE =12V −1.75mA(2.2kΩ+1kΩ) = 6.4V

El punto de operación para el transistor 1 1 1 + + = 702.189rad es:/ s 10.1s 1.4492ms 82.96ms

VCE= 6.4V e IE = 1.75mA El transistor está funcionando en la zona activa. b.- Análisis AC. Dibujando el circuito para AC, sin sustituir el modelo del transistor para AC, resulta el circuito de la figura 7.6.1.

De la ecuación (7.98): FL =

702.189rad / s = 111.76 Hz 2π

El resultado final se muestra en la figura 7.5.15. |H(jw)|dB ABM=6.91

Banda media BW

-1/1V

111.76Hz

Figura 7.5.15

Ejemplo # 3.

57.44MHz

1kHz

2.2kΩ

RS Q

1kΩ

v RL O

10kΩ -

TH 3.1kΩ

Figura 7.6.1

118

Sustituyendo el modelo del transistor para AC, en el circuito de la figura 7.6.1, resulta el circuito mostrado en la figura 7.6.2. Ri

-1/1V

vi’

1kHz

RB vπ

rπ -

RC gmvπ

Para el cálculo de wH dibujaremos el circuito equivalente. Este circuito equivalente es el mismo que utilizamos para calcular ABM agregando las capacitancias internas del transistor. Este circuito se muestra en la figura 7.6.3. Ri

rπ v π

RTH

Figura 7.6.2

26mV 26mV = =14.86Ω IE 1.75mA

(7.114) rπ = ( β +1)re (7.115) Sustituyendo valores en (7.15): rπ = ( β +1) re =181x14.86Ω = 2,689.66Ω gm =

1 1 = = 67.295mS re 14.85Ω

(7.116) a) ABM =

vo vi

Cπ

Calculando los parámetros para AC: re =

Cµ

gmvπ

Figura 7.6.3

wH =

τ Cπ

1 + τ Cµ

(7.123)

τ Cπ = Cπ RTH π (7.124) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.6.3 se deja la capacitancia Cπ y se abre la capacitancia Cµ y a partir de este circuito (figura 7.4.4) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cπ. C

(7.117)

vo = −g m vπ RL '

(7.118) vi rπ vπ = ( ) (7.119) rb + rπ vo − g m RL ' rπ R' =( )( ) vi rb + rπ R '+Ri (7.120) Donde RL ' = RC // RL =1.96kΩ

RTH

rπ

Cπ

Figura 7.6.4

RTH Cπ = ( Ri // RTH + rb ) // rπ = 649.399 Ω

(7.125) De la ecuación (7.124): (6.121) τ Cπ = 649.399Ωx33 pF = 21.43ns Sustituyendo valores en (7.120): τ C = Cµ RTH µ vo − 67.295Sx 1.96Ωx 2,689.66Ω 1,468µ.33Ω =( )( ) (7.126) vi 100Ω + 2,689.66Ω 1,468.Para 33Ωcalcular +1kΩ esta constante de tiempo en vo el circuito de la figura 7.6.3 se deja la = −75.65 vi capacitancia Cµ y se abre la capacitancia Cπ y a partir de este circuito (figura 7.6.5) w b) FH = H se calcula la resistencia de thévenin vista 2π por Cµ, Además se apaga vi. (7.122) R ' = RTH //( rb + rπ ) =1,468.33Ω

119

Cµ

rb Ri

vp ip

RTH

vπ

rπ

gmvπ

RL’

= 649.399Ω+1.96kΩ + 67.295Sx 649.399Ω x1.96Ω = 88.26kΩ

De la ecuación (7.126): τ Cµ = Cµ RTH µ = 2.7 pFx88.26Ω = 238.33ns C

Calculando wH de la ecuación (6.123): wH =

(7.127) Para calcular esta resistencia se utiliza el circuito de la figura 7.6.6. +

rb Ri RTH

vp vp

τ Cµ = C µ RTH µ Para calcular RTH µ se abre las terminales de Cµ y se coloca una fuente de prueba y la RTH µ es: RTHCµ =

Sustituyendo valores: ip

Figura 7.6.5

= Ri '+RL '+g m Ri ' RL '

rπ

vπ

RL’

gmvπ

Figura 7.6.6

i p + g m vπ + io = i p + g m vπ +

vπ − v p RL '

Por lo tanto de la ecuación (7.122): w 3.85krad / s FH = H = = 612.75kHz 2π 2π Calculando WH por Miller. Aplicando Miller a la figura 7.6.3 se obtiene la figura 7.6.7 Ri’

De la figura 7.6.6 de deduce:

τC

RL’

vπ Cπ

vπ =i p Ri '

(7.130) Sustituyendo vπ en la ecuación (7.130) se obtiene:

(7.131)

τC

Ri ' = ( Ri // RTH + rb ) // rπ = 649.399 Ω

RL '

gmvπ

Cµ2

Figura 7.6.7

wH =

(7.129) Donde:

i p − g m i p Ri '+

Cµ1

(7.128)

i p Ri '−v p

1 1 = = 3.85krad / s +τ C gd 238.33ns + 21.43ns

1 + τ Cµ 2

(7.132)

Ri ' = 649.399Ω

(7.133)

RL ' =1.96kΩ

(7.134)

C µ1 = C µ (1 + g m RL ' )

(7.135) Sustituyendo valores en (6.135)

C µ1 = 2.7 pF (1 +67.295mSx1.96kΩ) C µ1 = 358.83 pF

C µ2 = C µ (1 +

Entonces:

1 ) g m RL '

(7.136) Sustituyendo valores en (6.136)

120

1 ) 67.295mSx1.96 kΩ

C µ2 = 2.7 pF (1 + C µ2 = 2.72 pF CT = Cπ +Cµ1

(7.137) Sustituyendo valores en (7.137):

CT = 358.83 pF + 33 pF = 391.83 pF τ CT = CT RTH CT = CT Ri '

τ C = C1 RTH (7.142) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura7.6.8 se deja el capacitor C1 y se cortocircuita C2 y C3, y a partir de este circuito (figura 7.6.9) se calcula la resistencia de thévenin vista por C1. 1

Ri C1

(7.138) Sustituyendo valores en (7.138): τ C = 391.83 pFx 649.399Ω = 254.4ns τ Cµ = Cµ 2 RTH µ = C µ 2 xRL '

rb rπ -vπ

RTH

gmvπ

C 2

(7.139) Sustituyendo valores en (7.139): τCµ = 2.72 pFx1.96Ω = 5.3312ns

Figura 7.6.9

Calculando wH de la ecuación (7.132): wH =

τ C + τ Cµ T

= 2

1 254.45ns + 5.3312ns

wH = 3.85Mrad / s

De la ecuación (7.122): FH =

3.85krad / s = 612.75kHz 2π

c) FL =

wL 2π

rπ

-π

rπ

v -π

gmvπ RE

Figura 7.6.10

RTH C 2 = RC + RL

Figura 7.6.8

1 1 1 wL = + + τ C1 τ C2 τ C3

RTH

rb +

RTH

τ C = C2 RTH (7.144) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.6.8 se deja el capacitor C2 y se cortocircuita C1 y C3, y a partir de este circuito (figura 7.6.10) se calcula la resistencia de thévenin vista por C2.

(7.143) Sustituyendo valores: RTHC 1 = 1kΩ + 3.1kΩ // 2,789.66Ω = 2,468.33Ω De la ecuación (7.142) se obtiene: τ C = C1 RTH = 1µFx 2,468.33Ω = 2.468ms 1

(7.140) Para el cálculo de wL dibujaremos el circuito equivalente, para esto se considera las capacitancias internas del transistor como circuito abierto y se toma en cuenta el efecto de los capacitores de acople y desacople (C1, C2 y C3). Este circuito se muestra en la figura 7.6.8. Ri

RTH C 1 = Ri + RTH //( rb + rπ )

(7.141)

(7.145) Sustituyendo valores: RTH = RC + RL = 2.2kΩ + 18kΩ = 20.2kΩ De la ecuación (7.144) se obtiene: C2

121

τ C = C2 RTH 2

= 4.7 µFx 20.2kΩ = 94.94ms

τC 3 = C3 RTHC 3 (7.145) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura7.6.8 se deja el capacitor C3 y se cortocircuita C1 y C2, y a partir de este circuito (figura 7.6.11) se calcula la resistencia de thévenin vista por C3. Ri

rb +

rπ

RTH

-π

gmvπ

τ C = C3 RTH Para calcular RTHC 3 se abre las terminales de C3 y se coloca una fuente de prueba y la RTHC 3 es: C3

RTHC 3 =

vp ip

rb +

RTH

rπ -vπ RE

gmvπ ip

Figura 7.6.12

El circuito de la figura 7.6.12 se puede redibujar, figura 7.6.13.

Ri`

gmvπ +

Figura 7.6.13

Ri `= [ ( Ri // RTH ) + rb ] // rπ (7.147) vp

(7.148)

(7.149)

vπ = −v p

(7.150) v ib = π Ri ` (7.151) i=

(7.146) Para realizar el cálculo de la ecuación (7.146) se utiliza el circuito de la figura 7.6.12. Ri

vπ

i = i p + g m vπ + ib

Figura 7.6.11 3

RTH C 3 =

vp RE

(7.152) Sustituyendo (6.153), (6.151) y (6.150) en (7.149) se obtiene: vp −vp = i p + g m ( −v p ) + ( ) RE Ri ` vp 1 = = Ri `// RE // re 1 1 1 ip + + Ri ` RE re RTH = 649.399Ω // 1kΩ // 14.86Ω = 14.32Ω C3

De la ecuación (7.145): τ C = C3 RTH = 10µFx14.32Ω = 0.1432ms De la ecuación (7.141) se obtiene: 3

wL =

τC

1 1 1 wL = + + 0.1432ms 2.468ms 94.94ms wL = 7,398.96rad / s

De (7.140) resulta:

122

FL =

Aplicando Thévenin entre la base de Q1 y el punto común en la figura 7.7.1. R xV (1kΩ)(12V ) VTH = 2 CC = = 6V (7.1 R1 + R2 1kΩ + 1kΩ 53) R xR (1kΩ)(1kΩ) RTH = 2 1 = = 0.5kΩ R1 + R 2 1kΩ +1kΩ (7.154)

7,398.96rad / s =1,177.58 Hz 2π

El resultado final se muestra en la figura 7.6.14. |H(jw)|dB ABM=75.65

Banda media BW

VTH = I B1 RTH +VBE + I E1 RE1

1,177.58Hz

612.75kHz

Figura 7.6.14

Ejemplo #4. Para el circuito mostrado en la figura 7.7, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb = 0Ω, Cπ1 = 15pF, Cµ1=2pF, Cπ2 = 33pF y Cµ2=2.7pF.

1uF

10uF

1kΩ

10kΩ

-1/1V

Solución: a.- Análisis DC Circuito para DC, figura 7.7.1.

1kΩ

VCC

RE2

IB2 IE1

RE1

5.3kΩ

Figura 7.7.1

12V

1.8kΩ

2.2kΩ

1kΩ

IE2

I E1 R + VBE + I E1RE1 β +1 TH

(7.156)

10uF

1kHz

5.3kΩ

Figura 7.7

RC + I V1

VTH =

C3 +

1kΩ RS

RE1

(7.155) se obtiene:

12V

Q2 Q1

I E1 en la ecuación β +1

1.8kΩ

2.2kΩ

1kΩ

Sustituyendo I B1 =

Despejando I E1 se obtiene :

VCC

RE2

(7.155)

10kΩ

VTH − VBE RTH + RE 1 β +1 (7.157) Sustituyendo valores en (6.157): V − VBE 6V − 0.7V I E1 = TH = = 1mA RTH 0.5kΩ + RE 1 + 5.3kΩ β +1 200 + 1 I E1 =

Aplicando LKV en malla que involucra VCE1 y con un valor de IB2 despreciable se obtiene:

VCC = IRC + VCE1 + I E1RE1

(7.158) Con I = IE1 resulta:

VCE1 = VCC − I E1 ( RC + RE1 )

(7.159) Sustituyendo valores en (7.159):

VCE 1 = 12V − 1mA(7.5kΩ) = 4.5V

El punto de operación para Q1 es: VCE1 = 4.5V e IE1 = 1mA. 123

El transistor está funcionando en la zona activa, comportándose como un amplificador. Para la segunda etapa se obtiene: V1 = IxRC = 1mA( 2.2kΩ) = 2.2V

2.2V − 0.7V = 0.833mA 1.8kΩ

(7.161)

VEC 2 = 12V − 0.833mA(11.8kΩ ) = 2.2V

(7.162) Entonces: VCE2 = -2.2V. El punto de operación para Q2 es: VCE2 = -2.2V e IE2 = 0.833mA. El transistor está funcionando en la zona activa, comportándose como un amplificador. b.- Análisis AC. Dibujando el circuito para AC, sin sustituir el modelo del transistor para AC, resulta el circuito de la figura7.7.2. RC

2.2kΩ Q2

10kΩ

1kΩ

RE1

1kHz

5.3kΩ

-1/1V

Figura 7.7.2

Sustituyendo el modelo del transistor para AC, en el circuito anterior, figura 7.7.2 resulta el circuito de la figura 7.7.3. rb

rb +

+ vπ1 r π1 +

vi’ -

vO1 RC v π2

g vπ1 -

Rm1S RE1

i 1kHz -1/1V

Figura 6.7.3

rπ2

re1 =

gm2Vπ2 -

26mV 26mV = = 26Ω I E1 1mA

(7.163) re 2 =

(7.160) IE2 =

Calculando los parámetros para AC:

26mV 26mV = = 31.21Ω I E2 0.833mA

(7.164) rπ1 = ( β +1) re1 (7.165) Sustituyendo valores en (7.165): rπ1 = ( β +1)re1 = 201x 26Ω = 5,226Ω rπ 2 = ( β +1) re 2 (7.166) Sustituyendo valores en (7.166): rπ 2 = ( β +1)re 2 = 201x31.21Ω = 6,273.21Ω g m1 =

1 1 = = 38.46mS re1 26Ω

(7.167) g m2 =

1 1 = = 32.04mS re 2 31.21Ω

(7.168) Calculando las variables solicitadas. vo a) ABM = vi (7.169) Para el cálculo de la ecuación (7.169) se puede realizar calculando las ganancias por etapas y el producto de estas ganancias es la ganancia esperada, ecuación (7.170). v v v v' ABM = o = ( o )( o1 )( i ) vi vo1 vi ' vi (7.170) vo = −g m 2 vπ 2 xRL

(7.171) v xr vπ 2 = O1 π 2 rb + rπ 2 (7.172) Sustituyendo la ecuación (7.172) en (7.171) se obtiene: vo r = − g m 2 RL ( π 2 ) vo1 rb + rπ 2 (7.173) 124

Sustituyendo g m 2 rπ 2 = β + 1 en la ecuación (7.173) y dividiendo numerador y denominador por este mismo factor se obtiene: vo − RL = r vo1 (7.174) b + re 2 β +1 Sustituyendo valores en (7.174): vo − 10kΩ = = −320.41 0Ω v o1 + 31.21Ω 201

vo1 = − g m1vπ 1 x[ RC //(rb + rπ 2 )]

(7.175) − vi ' xrπ 1 vπ 1 = (7.176) rb + rπ 1 Sustituyendo (7.176) en (7.175) se obtiene: vo1 r = g m1 RC //( rb + rπ 2 ) ( π 1 ) vi ' rb + rπ 1 (7.177) Sustituyendo g m1 rπ1 = β +1 en la ecuación (7.177) y dividiendo numerador y denominador por este mismo factor se obtiene:

[

]

vo1 RC //( rb + rπ 2 ) = rb vi ' + re1 β +1

(7.178)

Sustituyendo valores en (7.178): vo1 2.2kΩ //(0Ω + 6,273.21Ω) = 0Ω vi ' + 26Ω 201 vo1 1,628.79Ω = = 62.646 vi ' 26Ω  r +r  vi x RE1 //( b π 1 ) β +1   vi ' = r +r RE1 //( b π 1 ) + RS β +1 (7.179)

rb + rπ 1 ) vi ' β +1 = r +r vi RE1 //( b π 1 ) + RS β +1 (7.180) Sustituyendo valores en (7.180): vi ' 25.873 = = 25.22m vi 25.873 + 1kΩ Sustituyendo valores en la ecuación (7.169) se obtiene: vo = ( −320.41)(62.646)(25.22m) = −506.23 vi v ABM = o = −506.23 vi w b) FH = H 2π (7.181) Para el cálculo de wH dibujaremos el circuito equivalente. Este circuito equivalente es el mismo que utilizamos para calcular ABM agregando las capacitancias internas de los transistores. Este circuito se muestra en la figura 7.7.4. RE1 //(

Cµ1

rb vπ1

rπ1 Cπ1

gm1vπ1

RE1 Rs

RC +

Cµ2

vπ2 r C - π2 π2

gm2vπ2

1kHz

-1/1V

Figura 7.7.4

wH =

τ Cπ + τ Cπ 1

1 + τ Cµ 1 + τ C µ 2

(7.182)

τ Cπ = Cπ 1 RTH π (7.183) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.7.4 se deja la capacitancia Cπ1 y se abren las capacitancias Cπ2 , Cµ1 y Cµ2 y a partir de este circuito (figura 7.7.5) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cπ1. 1

C 1

125

re1

RE1

Cπ1

Figura 7.7.5

capacitancias Cπ1 , Cµ1 y Cµ2 y a partir de este circuito (figura 7.7.7) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cπ2. rb RC

RTH Cπ 1 = RE1 // Rs // re1

Cπ2

rπ2

(7.184) Sustituyendo valores en (7.184): RTH Cπ 1 = RE1 // Rs // re1 = 5.3kΩ // 1kΩ // 26Ω

Figura 7.7.7

RTH Cπ 1 = 25.22Ω

RTH Cπ 2 = ( RC + rb ) // rπ 2

De la ecuación (7.183): τ Cπ = 25.22Ωx15 pF = 0.3783ns τCµ = Cµ1 RTH µ

(7.188) Sustituyendo valores en (7.188): RTHCπ 2 = (2.2kΩ + 0Ω) // 6,273.21Ω = 1,628.79Ω

C 1

(7.185) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.7.4 se deja la capacitancia Cµ1 y se abre la capacitancia Cπ1, Cπ2 y Cµ2 y a partir de este circuito (figura 7.7.6) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cµ1, Además se apaga vi. rb Cµ1

gm1vπ1

rπ2

De la ecuación (7.187) se obtiene: τ Cπ = 1,628.79Ωx33 pF = 53.75ns τ Cµ = C µ 2 RTH µ 2

C 2

(7.189) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.7.4 se deja la capacitancia Cµ2 y se abre la capacitancia Cπ1, Cπ2 y Cµ1 y a partir de este circuito (figura 7.7.8) se calcula la resistencia de thévenin vista por Cµ2, Además se apaga vi. Cµ2

rb +

Figura 7.7.6

RTH Cµ1 = RC //( rb + rπ 2 ) = 2.2kΩ // 6,273.21Ω

gm2vπ2

RTH Cµ1 = RC //( rb + rπ 2 )

(7.186) Sustituyendo valores en (6.186):

vπ2

rπ2

Figura 7.7.8

τ Cµ 2 = C µ 2 RTH

Cµ 2

(7.190) Para calcular RTH µ se abre las De la ecuación (7.185) se obtiene: τ Cµ = Cµ1 RTH µ = 2 pFx1,628.79Ω = 3.2576ns terminales de Cµ2 y se coloca una fuente de prueba y la RTH µ es: τ =C R RTH Cµ1 = 1,628.79Ω

Cπ 2

C 1

π2

TH Cπ 2

(7.187) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.7.4 se deja la capacitancia Cπ2 y se abren las

RTH Cµ 2 =

vp ip

(7.191)

126

El circuito para realizar el cálculo de la ecuación (7.191) se muestra en la figura 7.7.9. ip +

Ri’

gm2vπ2

vπ2 -

Figura 7.7.9

RTH Cµ 2 =

vp ip

(7.192) i p + g m 2vπ 2 + io = i p + g m 2 vπ 2 +

vπ 2 − v p RL

(7.193)

1 0.3783ns + 53.75ns + 3.2576ns +1,440ns = 667.83krad / s

wH = wH

Por lo tanto de (7.181) se obtiene: w 667.83krad / s FH = H = = 106.29kHz 2π 2π w c) FL = L 2π (7.197) Para el cálculo de wL dibujaremos el circuito equivalente, para esto se considera las capacitancias internas del transistor como circuito abierto y se toma en cuenta el efecto de los capacitores de acople y desacople (C1, C2 y C3). Este circuito se muestra en la figura 7.7.10. rb

vπ2 =i p Ri '

vπ1

(7.194) Donde:

Ri ' = ( RC + rb ) // rπ 2 =1,628.79Ω

(7.195) Sustituyendo (7.194) en la ecuación (7.193) se obtiene: i p − g m 2i p Ri '+

i p Ri '−v p RL

= 0 Entonces:

C1 RTH

RC gm1vπ1

rπ1

RE1 C2

vπ2+

rπ2 gm2vπ2

RE2

Figura 7.7.10

wL =

1 1 1 + + τ C1 τ C2 τ C3

(7.198)

τ C = C1 RTH ip (7.199) Para calcular esta constante de tiempo en (7.196) el circuito de la figura 7.7.10 se deja el Sustituyendo valores: capacitor C1 y se cortocircuita C2 y C3, y a vp =1,628.79Ω+10kΩ+32.04mSx1,628.79Ω x10kde Ωeste circuito (figura 7.7.11) se partir ip calcula la resistencia de thévenin vista por vp C1. = 533.49kΩ vp

= Ri '+RL + g m 2 Ri ' RL

De la ecuación (7.190) se obtiene: vπ1 rπ1 τ Cµ = C µ 2 RTH µ = 2.7 pFx533.49kΩ = 1,440ns +

C 2

Calculando wH de la ecuación (7.182): wH =

τ Cπ + τ Cπ 1

1 + τ Cµ 1 + τ C µ 2

RTH

RE1

gm1vπ1

vπ2+

rπ2

gm2vπ2

RE2

Figura 7.7.11

RTH C 1 = RTH //[ rb + rπ 1 + ( β + 1)( RE1 // Rs )] (7.200) De la ecuación (7.199) resulta:

127

τ C = C1 RTH = 10µFx 498.57Ω = 4.9857 ms τ C = C2 RTH (7.201) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.7.10 se deja el capacitor C2 y se cortocircuita C1 y C3, y a partir de este circuito (figura 7.7.12) se calcula la resistencia de thévenin vista por C2. 1

rb + vπ1 -

rπ1

RTH

gm1vπ1

RE1 C2

vπ2+ -

rπ2

gm2vπ2

wL =

De la ecuación (7.197):

RTH

RE1

vπ2+

rπ2

gm2vπ2 RE2

Figura 7.7.13

RTH C 3 = (

106.29kHz

rπ1 = 1kΩ + 5.3kΩ // 26Ω PROBLEMAS β +1

De la ecuación (7.201) se obtiene: τ C2 = C2 RTH C 2 = 1µFx1025.87Ω = 1.026ms τC 3 = C3 RTH 3 (7.203) Para calcular esta constante de tiempo en el circuito de la figura 7.7.10 se deja el capacitor C3 y se cortocircuita C1 y C2, y a partir de este circuito (figura 7.7.13) se calcula la resistencia de thévenin vista por C3.

573.44Hz

Figura 7.7.14

RTH C 2 = 1,025.87Ω

RC gm1vπ1

Banda media

ABM=506.23

rπ 1 β +1

RTH C 2 = RS + RE1 //

rπ1

3,603rad / s = 573.44 Hz 2π

El resultado final se muestra en la figura 7.7.14.

(7.202) Introduciendo valores en (7.202):

+ vπ1

1 1 1 + + = 3,603rad / s 1.026ms 4.9857 ms 0.4119ms

|H(jw)|dB

RE2

Figura 7.7.12

2.2kΩ + 6,273.21Ω ) // 1.8kΩ = 41.19Ω 201

De la ecuación (7.203) se obtiene: τ C3 = C3 RTH C 3 = 10 µFx 41.19Ω = 0.4119ms De la ecuación (7.198) se obtiene:

FL =

RTH C 2 = RS + RE1 //

RTH C 3 = (

7.1 Para el circuito mostrado en la figura P7.1, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: IDSS = 10mA; VGS(off) = -2.5V; Cgs = 10pF; Cgd=2pF. VDD

20V

i -1/1V

1kHz

1.8kΩ 2.2uF

1uF

+ RL vo 18kΩ -

100kΩ

G 10MΩ

3 330Ω 10uF

Figura P7.1

7.2 Para el circuito mostrado en la figura P7.2, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: IDSS = 10mA; VGS(off) = -2.5V; Cgs = 10pF; Cgd=2pF.

Rc + rb + rπ 2 ) // RE 2 β +1

(7.204) Introduciendo valores en (7.204):

128

-500m/500mV

100kΩ 1uF

12V

6.8uF

2.2kΩ

1kHz

20V

10MΩ

10kΩ

330Ω

i -1/1V

1 1kΩ

2.2uF

1kΩ 1uF

1kHz

10uF

2.2kΩ

1 2.2kΩ

-5V

Figura P7.2

7.3 Para el circuito mostrado en la figura P7.3, calcule: a) ABM b) FH c) FL Datos: IDSS = 10mA; VGS(off) = -2.5V; Cgs = 10pF; Cgd=2pF.

7.6 Para el circuito mostrado en la figura P7.6, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb = 0Ω, Cπ = 15pF, Cµ=2pF. 12V

-1/1V

1kHz

10kΩ

1kΩ

1MΩ

10uF

+ RS 1uF v RL 1.2kΩ

1 1uF

1kHz

7.7 Para el circuito mostrado en la figura p7.7, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb = 0Ω, Cπ1 = 15pF, Cµ1=2pF, Cπ2 = 33pF y Cµ2=2.7pF. 12V

1kΩ

5.6kΩ

Figura P7.4

7.5 Para el circuito mostrado en la figura P7.5, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb =100Ω, Cπ = 15pF, Cµ=2pF.

2.2kΩ

2.2kΩ 2.2uF

1kΩ

2 10uF

2.2kΩ 2.2uF

vo 1kΩ

2.2kΩ

-1/1V

12V

1kΩ

Figura p7.6

-1/1V 1kHz

1kΩ

7.4 Para el circuito mostrado en la figura P7.4, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb = 100Ω, Cπ = 15pF, Cµ=2pF.

5.6kΩ

1.2kΩ

1 1uF

1kΩ

Figura P7.3

3 2.2uF

RG1

RG2

RC 2.2kΩ

18V

Ri C 1 1uF

RL 2.2kΩ

Figura P7.5

VDD

E 5.6kΩ

C4=∞

1kΩ

-1/1V

1kHz

10uF

1kΩ

2.2kΩ

1uF

1kΩ

3 2.2kΩ

E 5.6kΩ

10uF

Figura P7.7

7.8 Para el circuito mostrado en la figura P7.8, calcule: a) ABM b) FH c) FL. Datos: β = 200, rb =0Ω, Cπ1 = 10pF, Cµ1=2pF, Cπ2 = 33pF y Cµ2=2.5pF.

129

100uF

12V

1.8kΩ

6.8uF

1uF

R2 1kΩ

VCC

2.2kΩ

1kΩ

RE2

RE1

5.3kΩ

Figura P7.8

1kΩ RS

8.2kΩ

1kHz

-1/1V

130