Guillaume R. Joris T.
PYTHAGORE: L' histoire d’un Théorème. 1) La biographie de pythagore Pythagore, fils de Mnésarchos, serait né sur l'île de Samos vers 580, il serait mort vers 495 avant J.C à l'âge de 85 ans. Il était une grande figure de la Grèce Antique: c'était un grand savant, il était également philosophe, astronome et mathématicien. Il fonde une école à Crotone en 522. C'est une communauté, quasiment une secte aux visées religieuses, politique et savantes. Il est convaincu avec ses disciples que le nombre est l’essence de toute chose: pour les pythagoriciens, les choses sont des nombres. C’est ainsi que ils mènent les premières réflexions sur les propriétés des nombres. Pour Pythagore le rapport des nombres permet d’expliquer les phénomènes physiques et d’amener le bonheur et la vertu. La fameuse déclaration « Les choses sont nombre » signifie à la fois que c'est le nombre qui constitue la structure intelligible des choses (ce principe fonde en raison la physique mathématique), que les éléments fondamentaux des mathématiques sont les éléments des choses (ce principe affirme la possibilité de définir une structure de l'esprit qui est une structure des choses et que constituent les notions de fini et d'infini, d'un et de multiple...) En -495 Pythagore mourut lors de l’incendie de son école provoquée par une révolte populaire ou bien par le ressentiment de personnes qui n’avaient pas été jugées dignes de rentrer dans la confrérie. http://fr.wikipedia.org/wiki/Pythagore
Ecole de Pythagore, Raphaël
Sculpture représentant Pythagore
www.google images
2 )L'anecdote expliquant l'origine du mot "hécatombe" Une légende raconte que pour remercier les Dieux de la découverte du Théorème de Pythagore, les pythagoriciens auraient sacrifié 100 bœufs. Cette anecdote nous explique l'origine du mot "hécatombe" (cent=hekaton ; bœufs=bous). Pourtant s’il est vrai que toute légende repose sur un fond de vérité celle-ci paraît peu probable vu que les pythagoriciens n’autorisent pas que l’on tue des animaux qui peuvent être la réincarnation d’un humain. http://mathameze.over-blog.com/article-23372201.html
3) La fraternité pythagoricienne Symbole de la fraternité :Utilisation du logiciel GeoGebra Lorsqu'il adhérait à la fraternité, chaque disciple devait faire don de toutes ses possessions à un fond commun. A son départ, il recevait le double de ce qu'il avait offert en arrivant et l'on érigeait une stèle en sa mémoire. Pythagore se chargeait de tester les candidats. Il commençait par observer si le postulant était capable de "tenir sa langue", c'est-à-dire, pouvait-il se taire et garder pour lui tout ce qu'il avait entendu durant les séances d'enseignement ? La salle de cours était séparée en deux par un rideau. Pythagore se trouvait d'un côté, le postulant de l'autre ; ils n'avaient accès qu'à un enseignement oral. Ces enseignements secrets
sont appelés Mémoires, car il faut s'en souvenir, sans les écrire. Ce rideau avait une extrême importance dans la vie de l'école pythagoricienne. En effet, les membres de l'école étaient répartis en deux catégories: d'un côté se trouvaient Pythagore et les initiés, les ésotériques, et de l'autre les exotériques. Cette Fraternité s'assimilait, semble-t-il, à une secte philosophique, religieuse et scientifique, la première du genre, dans la mesure où chaque disciple devait faire don de tous ses biens à son entrée et où le secret était une règle d'or. Il devait également se conformer à une philosophie de vie contraignante, le ponos, dont les soucis était la pureté, l'abstinence du sang versé et de ceux qui le versent, il interdisait ainsi toute consommation de viande animale. http://fr.wikipedia.org/wiki/Pythagore
Définitions : Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre entier écrit avec une virgule dans la numération décimale, ce nombre exprimant une mesure dans un système décimal d'unités. Nombre entier: Les entiers naturels sont les nombres « sans virgule » plus grands ou égaux à 0. Ainsi, 0, 1, 2, 3… sont des nombres entiers naturels. Il en existe une infinité.
4) Les disciples de pythagore Polycrate, tyran de Samos, demande à Pythagore le nombre de ses élèves : " Fortuné Pythagore, rejeton héliconien des Muses, dis-moi combien dans ton école, tu as d'athlètes que tu dresses aux glorieux exercices de la philosophie ? - Je vais te le dire, Polycrate : la moitié étudie les belles sciences mathématiques ; l'éternelle nature est l'objet des travaux d'un quart ; un septième s'exerce au silence et à la méditation ; il y a de plus trois femmes dont Théano est la plus distinguée. Voilà le nombre de mes disciples qui sont aussi ceux des Muses. Appelons x le nombre de disciples de Pythagore. Compléter l'équation suivante en respectant l'ordre du texte ! x /2 + x /4 + x/7 + 3 = 28 Pythagore avait 28 disciples http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/equation/2/pythagore2.htm (http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/equation/pythagore.htm)
Parmi les pythagoriciens, outre le maitre on compte: Philolaos (5ème av. J.-C.), Archytas (428-347 av. J.-C.) Hippase de Métaponte (5ème av. J.-C.), Hippocrate de Chios ( 470 av.JC - 410 av. JC) Théodore de Cyrène (470 av. JC - 420 av. JC), Il y avait aussi 17 pythagoriciennes dont Timycha, épouse de Myllis de Crotone, Phyltis, fille de Théophrios de Crotone, Théano qui serait devenue l'épouse de Pythagore... http://www.math93.com/pythagore.htm#3b
Ils étaient répartis en deux catégories: les initiés, les ésotériques, et les exotériques. Le mot « mathématique » vient du grec, par l’intermédiaire du latin. Le mot µάθηµα (máthēma) signifie « science, connaissance » puis « mathématiques » ; il a donné naissance à l’adjectif µαθηµατικός (mathematikos), d’abord « relatif au savoir » puis « qui concerne les sciences mathématiques ». Cet adjectif a été adopté en latin (mathematicus) et dans les langues romanes par la suite (« mathématique » en français, matematica en italien, etc.), ainsi que dans de nombreuses autres langues.
5) Hyppase de Métaponte Hyppase de Métaponte a vécu a Crotone vers 530 av JC. Il était l'un des disciples de Pythagore et le vénérait plus que les autres disciples; il ne l'appelait pas par son nom mais « Le grand homme ». Il mourut noyé après avoir trahi la règle du silence: il aurait divulgué le secret des pentagones dans le cercle ou la nature de l'incommensurable et de l'incommensurabilité. Il fut exclu de l'école, et on lui érigea un tombeau pour signifier qu'il était comme mort pour les autres pythagoriciens. Des auteurs rapportent qu'il se serait jeté dans la mer pour se punir, ou même qu'il fut jeté à la mer par ses condisciples. « Hippasos était un Pythagoricien, mais, parce qu'il avait été le premier à divulguer par écrit comment on pouvait construire une sphère à partir de douze pentagones, il périt en mer pour avoir commis un acte d'impiété, tout en recevant la gloire comme s'il avait fait la découverte, alors que tout cela vient de 'lui' (c'est ainsi que les Pythagoriciens désignent Pythagore). » http://fr.wikipedia.org/wiki/Incommensurabilit%C3%A9
6) Pythagore et l'astronomie . L'héliocentrisme est une conception du monde et de l'univers, une théorie physique qui place le soleil en son centre. Malgré quelques précurseurs, comme Aristarque de Samos, on attribue en général le principe de l'héliocentrisme (L'héliocentrisme est une conception du monde et de l'Univers qui place le Soleil en son centre. Malgré quelques précurseurs, comme Aristarque de Samos, on attribue en...) à Copernic. Ses résultats furent complétés par Kepler et Galilée (Galilée ou Galileo Galilei (né à Pise le 15 février 1564 et mort à Arcetri près de Florence, le 8 janvier 1642) est un physicien et astronome italien du XVIIe siècle, célèbre pour avoir jeté les fondements des sciences...). L'idée que le Soleil ((pourcentage en masse)) ne soit que le centre du système solaire (Le système solaire est le nom donné au système planétaire composé du Soleil et des objets célestes gravitant autour de lui. Par extension, le terme système solaire peut parfois être employé pour désigner d’autres...) et que l'univers (On nomme univers l'ensemble de tout ce qui existe, comprenant la totalité des êtres et des choses (celle-ci comprenant ou non, selon les philosophies, les choses immatérielles)...) n'en ait pas, apparaît dans les écrits du moine Giordano Bruno. Harmonia Macrocosmica (Andreas Cellarius, 1708)
7)Le théorème de Pythagore Théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés Autrement dit : http://www.cmath.fr/4eme/theoremedepythagore/cours.php ?r=1&L=1120&H=70
Ce n'est en fait pas une découverte de Pythagore, il était déjà connu sur des cas particuliers par les chinois et les babyloniens 1000 ans avant lui. La Columbia Institut conserve la célèbre tablette d’argile qui présente ce théorème. Elle est écrite en caractères cunéiformes et est baptisée Plimpton 322. http://ymonka.free.fr/maths-et-tiques/index.php/histoire-des-maths/mathematiciens-celebres/pythagore
Les égyptiens l'utilisaient également. Sans doute après de nombreux essais successifs ils ont réussi à utiliser une corde à 13 nœuds pour faire un angle droit. Ils utilisaient cette méthode pour construire des bâtiments ou délimiter les champs.
8) Harmonie Le mot a aujourd'hui plusieurs sens: Sens 1: enchaînements de sons dont le résultat est agréable. Sens 2: science qui organise la formation et l'enchaînement des accords Sens 3: formation musicale regroupant des instruments à vent et à percussion Sens 4 résultat d'ensemble engendré par le bon équilibre de différentes parties . Il est dérivé du grec harmonia, signifiant « arrangement », « ajustement », et désignant plus précisément la manière d'accorder la lyre. http://fr.wikipedia.org/wiki
9) La gamme pythagoricienne. Une gamme pythagoricienne est une gamme musicale construite exclusivement sur des intervalles de quintes pures. L'intervalle de quinte pure était l'intervalle considéré dans l'Antiquité comme le plus consonant après l'octave de par son rapport numérique simple (3/2) sur le monocorde Cette gamme tient son nom du grec Pythagore, à qui la découverte a été attribuée par des textes médiévaux, même si les premiers textes décrivant l'utilisation de gammes musicales similaires remonte aux babyloniens vers le IVe millénaire av. J.C . Il est possible de représenter une gamme pythagoricienne particulière en mettant les apotomes et les limmas les uns à la suite des autres selon les intervalles obtenus, le limma étant plus court que l'apotome d'un comma. http://fr.wikipedia.org/wiki
10) La gamme tempérée. La gamme au tempérament égal, ou simplement le « tempérament égal », ou encore la « gamme tempérée » est le système de division de l'octave dans lequel l'octave est découpée en douze intervalles chromatiques égaux. Il est également possible de parler de
« tempérament égal » lorsque l'octave est divisée en plus de douze intervalles égaux (31, 53, etc.) L'utilisation de la gamme tempérée date du 17ème siècle dans la musique occidentale. Elle s'appuie sur plusieurs constatations : ► La gamme de Pythagore s'appuie uniquement sur une succession de quintes et ignore les autres harmoniques de la fréquence fondamentale, en particulier la tierce qui est presque aussi importante. De plus, pour boucler sur les mêmes notes il faut arrondir une quinte, la quinte du loup pour que 12 quintes valent 7 octaves. ►La gamme de Zarlino n'est pas construite de la même manière et respecte la tierce. Elle n'a pas les problèmes de bouclage de la gamme de Pythagore mais un instrument à notes fixes et est pratiquement irréalisable sans tricher sur les notes pour éviter d'en avoir trop
11)Le comma pythagoricien Le comma pythagoricien ou comma diatonique est l'intervalle existant entre 7 octaves pures et 12 quintes pures. Il est inférieur à un quart de demi-ton, égal (environ) à 23,45 cents. Cet intervalle - ou différence de hauteur - dégagé par la théorie n'est pas un intervalle musical utilisé en tant que tel dans la pratique de cet art. Il apparaît lors de la construction de la gamme pythagoricienne. Un ton est égal a 1/12http://fr.wikipedia.org/wiki/Comma_pythagoricien
12) La quinte du loup. La douzième quinte dépassant légèrement l'octave (d'un comma diatonique), la dernière quinte du cycle est réduite pour former l'octave juste. Cette quinte plus petite est inutilisable en musique : elle sonne faux. On dit qu'elle hurle, et se nomme pour cette raison «quinte du loup Note
Quinte Rapport de fréquences
valeur
Do
0
1/1
=1/1
Sol
1
2/3
= 1 / 1,5
Ré
2
4/9
= 1 / 2,25
La
3
8 / 27
= 1 / 3,375
Mi
4
16 / 81
= 1 / 5,0625
Si
5
32 / 243
= 1 / 7,59375
Fa♯
6
64 / 729
= 1 / 11,390625
Do♯
7
128 / 2187
= 1 / 17,0859375
Sol♯
8
256 / 6561
= 1 / 25,62890625
Ré♯
9
512 / 19683
= 1 / 38,443359375
La♯
10
1024 / 59049
= 1 / 57,6650390625
Mi♯
11
2048 / 177147
= 1 / 86,49755859375
Si♯ (~ Do)
12
4096 / 531441
= 1 / 129,746337890625
http://fr.wikipedia.org/wiki/Comma_pythagoricien
L'intervalle entre les deux dernières notes correspond à un rapport de fréquences d'environ 128/129,75 (très précisément : 524288/531441 = 128/129,746337890625 = 1/1,0136432647705078125). C'est cet intervalle qu'on nomme comma pythagoricien, celui entre do et le si♯ obtenu par montées de quintes successives, alors que ces deux notes sont considérées équivalentes en solfège.