Curso: Fortalecimiento del pensamiento matemรกtico en los alumnos de primer grado de secundaria
GUร A DEL PARTICIPANTE
El curso Fortalecimiento del pensamiento matemático en los alumnos de primer grado de secundaria fue elaborado por la Universidad Nacional Autónoma de México, en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Mtro. Alonso Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública
Dr. José Narro Robles Rector
Mtro. José Fernando González Sánchez Subsecretario de Educación Básica
Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro Secretario General
Lic. Leticia Gutiérrez Corona Directora General de Formación Continua de Maestros en Servicio
Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez Secretaria de Desarrollo Institucional
Dra. Jessica Baños Poo Directora de Desarrollo Académico
Dr. Ramón Peralta y Fabi Director de la Facultad de Ciencias Coordinación General
Lic. Leticia Gutiérrez Corona
Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez
Coordinación Académica Dra. Jessica Baños Poo Dr. Jesús Polito Olvera Ing. Alma Lucia Hernández Pérez
Dr. Alfredo Arnaud Bobadilla M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza
Autores Dr. Fernando Brambila Paz Lic. Gabriel Gutiérrez García Dr. Carlos Hernández Garciadiego M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza Lic. Rosario Santillán Baltazar Revisión Lic. Martha Leticia Hernández Arrieta
Dr. Fernando Brambila Paz M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza Diseño de Portada
LDG Ricardo Muciño Mendoza Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente. D.R.© Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, 06020, México, D.F. ISBN En trámite
PREFACIO Un indicador del desarrollo de un país es el nivel de conocimiento matemático que tiene. A mayor dominio de las matemáticas, mayor es su desarrollo. Por otro lado tenemos que la manera en la que se han enseñado las matemáticas en México hace que gran parte de la población deciden hacer en la vida, algo en lo que ellos piensan que no tiene que hacer matemáticas. El enfoque a nivel secundaria durante los últimos 40 años, ha sido alrededor del concepto abstracto del álgebra, su mecanización, ecuaciones de primer grado, segundo grado y ecuaciones simultáneas. Por el lado de la geometría, localización de puntos, vectores, rectas y raíces de la ecuación de segundo grado. Con esta manera de enseñar la matemática obtenemos estudiantes que desconocen cómo usar estas herramientas a problemas reales y cotidianos. Que no ven la conexión entre el álgebra y la geometría. Solo usan un concepto por problema y no saben combinar razonamiento y conceptos para resolverlo. Esto es; el aprendizaje matemático se queda inconcluso. Gran parte de la población decide hacer en la vida En este libro pretendemos profundizar en el razonamiento matemático, ver con más claridad la analogía entre el álgebra y la geometría, hacer generalizaciones, aplicaciones a problemas de los conceptos que se van estudiando. Incluir el uso de la probabilidad, estadística, azar. Ver la belleza y la fuerza de las matemáticas. Los resultados de los exámenes de ENLACE y de PISA muestran que por regiones del país se tiene mejor dominio del Álgebra o de la Geometría. Pero en general, los alumnos en México tienen deficiencias en resolver problemas reales, usar dos o más conceptos para resolverlo. Un efecto esperado de este libro es el de quitar el miedo por las matemáticas, ver su belleza, ver su importancia para resolver problemas de la vida cotidiana y finalmente lograr un mayor desarrollo para México.
Unidad I. Razonamiento
Diversas estrategias para resolver problemas usando dibujos, aritmética, álgebra, geometría o simplemente un razonamiento lógico. Se incluyen sucesiones de números y de figuras y problemas geométricos que involucren mediatrices y bisectrices.
1
Introducción En esta unidad empezaremos a trabajar con problemas de sucesiones en los cuales en el primero se plantea un problema de ahorro de dinero seguido de dos problemas de sucesiones de figuras geométricas. Después planteamos problemas que se relacionan con la vida cotidiana, donde se utiliza el concepto de porcentajes relacionado con los descuentos en el precio de cierto artículo. Veremos cómo construir geométricamente la raíz cuadrada de un número entero y algunos otros problemas geométricos y sus aplicaciones. Problemas de sucesiones Pedro ha decidido juntar $1050.00 para comprar un juguete, su papá le da 50 pesos y su mamá tan sólo le da $25 de domingo. Si decide juntar sus domingos. ¿En cuántas semanas tendrá su juego?________________________________.
Solución: 1ra. Semana
es decir, tiene $75 pesos.
2da. Semana
es decir, tiene $150 pesos.
Observemos que nos queda la siguiente sucesión que representa el ahorro: Sucesión de Ahorro
$75 , $150 , $225 , ….
Semana
Lo que queda preguntarnos es ¿cuándo 75
1050? viendo a
como semanas.
Es decir, qué número multiplicado por 75 nos da 1050, o bien el número
2
1050 75
14.
Como Pedro es un poco desesperado, ha encontrado otra forma de obtener el dinero para su juguete. Piensa que si va con sus tíos a pedirles $15 de domingo, lo puede hacer de la siguiente manera: a su tío Javier le pide en 1ª, 2ª, 3ª, … semanas, a su tío Jorge le pide en 2ª, 3ª,4ª, … semanas, a su tío Felipe le pide en 3ª, 4ª, 5ª,... semana, y así sucesivamente, pensemos que tiene suficientes tíos para que cada semana pueda pedirle a un tío más hasta completar para el juguete.. ¿Cuántas semanas tendrán que transcurrir para que Pedro tenga su juego?_____ Solución: 1ª Semana: tiene $90.
á
2ª Semana:
tiene $150
$45
$195.
á
3
3ª Semana: ¿tiene?
á
Como cada semana, cuando le dan dinero sus tíos, siempre le dan una moneda de $10 y una de $5, puede contar el dinero que le dan sus tíos de la siguiente manera: Supongamos que las monedas de $10 que le dan sus tío(s) cada semana, las representamos con bolas negras.
1ª semana tendrá $10
2ª semana tendrá $10
3ª semana tendrá $10
$10.
$30.
$60.
Lo mismo sucede con las monedas de $5 que le dan sus tíos, si representamos ahora las monedas de $5 con las bolas grises en la tercera semana tendrá 6 monedas de $5 que son $30.
4
Pero como el número de monedas de $10 y de $5 son las mismas se pueden juntar las cuentas como sigue: $10
3 4 2
$5
$15
3 4 2
$90.
$90
$315.
Lo que tiene Pedro para la tercera semana es: 3 $75
$15
á
$225 í
Ejercicios 1. ¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 5ª semana si decide pedir a sus tíos domingo?________________________. 2. ¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 7ª semana si decide pedir a sus tíos domingo?________________________. 3. ¿Cuánto tendrá ahorrado Pedro para la 8ª semana si decide pedir a sus tíos domingo?________________________. 4. ¿Cuánto reducirá Pedro el tiempo de ahorro si decide pedir a sus tíos
Aprendizaje: Si se tiene una cantidad fija
y se forma la sucesión p , 2p , 3p , . . ., es muy fácil dar
el -ésimo término, pues este es
.
Representemos lo anterior con figuras:
Para
1:
para
2: 5
Veamos otro ejemplo: Si la cantidad aumentada ya no es fija, pero tiene un cierto comportamiento como el siguiente: El número de figuras que aparecen en la siguiente sucesión es: 1, 3, 6, 10,
Sucesión de figuras
,
Término
1
,
,
2
3
1,
Número de triángulos
3,
4
6,
10
En el caso general si se tiene la sucesión 1, 3, 6, 10, …, cualquier término se puede obtener con la fórmula: 1 2 donde
,
es el número del término. Por ejemplo si queremos saber cuántas figuras
aparecerán en el octavo término, basta con poner
8 y el número de triángulos
que tendremos es: 8 9 2
36.
Pero no todo termina aquí, pues se pueden hacer más modificaciones a las dos sucesiones anteriores. Ejemplo: Si se tiene la sucesión:
8, 1, 6, 13, …, observemos que:
Veamos que para obtener el 2º término que es obtener el 3º término a partir del primero que es
1, calculamos
1
7
8
1, hacemos
8
7
1, para
2 7 o bien a partir del 2º término
6.
6
Si de ésta sucesión se quiere saber el término 30, hay que aumentar 29 sietes al número
8 que es el primer término de la sucesión. Es decir,
8
29 7
195.
También es importante resaltar que en lugar de ir aumentando la cantidad fija se puede ir disminuyendo. Ejemplo: Si Diego decide comprar una televisión de $5000 dando un enganche de $750 y $250 quincenalmente, ¿Cuánto habrá pagado Diego dentro de 6 meses? Solución: La sucesión que tenemos es:
Como 6 meses tienen 12 quincenas, entonces 4250
12
250
1250.
Ejercicio 1. ¿Cuándo terminará de pagar Diego la televisión? 2. Hacer 2 ejercicios que tenga que ver con una sucesión, donde en una vaya aumentando y la otra disminuyendo. Lo mismo puede suceder con sucesiones de figuras. Veamos algunos ejemplos.
Sucesión
Término Podemos hacer muchas preguntas con respecto a ésta sucesión, por ejemplo: •
¿Cuál es la siguiente figura? lo cual es muy fácil resolver, pues podemos dividir los sectores sombreados de la primera figura como sigue:
7
El sector 1 se moverá a partir del 2º término cada 3 términos, por lo que la siguiente figura es: 3
•
2
1
¿En qué término, la figura regresa a la posición inicial? Ésta se puede separar en tres sucesiones: la sucesión del sector 1, la del sector 2 y la del sector 3, es decir:
Sucesión Sector 1 Término
1º
2º
3º
Observemos que a partir del 2º término el sector 1 se mueve una posición cada 3 términos y como hay que mover 7 posiciones a partir del 2º término el sector 1, para que regrese a la posición original, entonces esto sucede en el 2
7 3
23º término.
8
Sucesión Sector 2
Término
1º
2º
3º
Observemos que a partir del 3º término el sector 2 se mueve dos posiciones cada 3 términos y como hay que moverlo 3 posiciones a partir del 3º término, para que vuelva a quedar en la posición original, entonces esto sucede en el 3
Sucesión
3 3
12º término.
3
,
,
3
3
Sector 3
Término
4
7
10
1º
2º
3º
El tercer sector se mueve de tres en tres, en el tiempo 4, está en la posición 4, el tiempo 7 está en la posición 7, pero como el círculo está dividido en 8 sectores, si a partir de la posición 7 se mueve 3 posiciones, llega a la posición 2. La siguiente tabla muestra las posiciones que tiene el sector en cada tiempo. Tiempo
4 7 10 13 16 19 22 25
Posición 4 7 2
5
8
3
6
1
Así que en el término 25º regresa a la posición original. 9
Tenemos que encontrar ahora el mínimo común múltiplo de 23, 12 y 25 para ver en qué momento regresan todos los sectores a su posición original. 23
23, 12
2 3 y 25
5 .
Estos tres números no tienen factores primos comunes, así que su mínimo común múltiplo es 23 12 25
6900.
Por lo tanto, en el término 6900º de la sucesión, la figura es igual a la original. En general si se tiene una sucesión donde los términos son: ,
,
2 , … el -ésimo término es
1 . Esta sucesión es llamada é
sucesión aritmética donde la resta de dos términos consecutivos es Por ejemplo: 2
2
,
,
2 , … el -ésimo término es
1 .
Ejercicio: Se tiene la siguiente sucesión de figuras
1
2
3
4
a) ¿Cuál es el término que sigue de la sucesión? _______________________ b) ¿Cuál es el 35º término de la sucesión?____________________________
10
Problemas diversos A continuación veremos distintos tipos de problemas. Algunos se resuelven utilizando aritmética, otros con geometría y los dos últimos con razonamiento lógico. 1. Por fin de temporada una tienda decide ofrecer la mercancía existente con 20% descuentos. El precio original de una sudadera es $150 y tiene una etiqueta que dice descuento adicional del 10%. ¿La sudadera tiene un descuento del 30% del precio original? Solución: Calculamos primero el precio de la sudadera con un descuento del 20%. Una manera de hacer esto es calcular el 80% del precio original, es decir, 150 0.8 120. Ahora calculamos el descuento adicional del 10%, es decir, calculamos el 90% del precio de descuento 120 0.9 108. Para saber si la sudadera tiene el 30% de descuento del precio original, calculamos 150 0.70 105. Por lo tanto, la sudadera no tiene un descuento del 30% del precio original y sería más barata si lo tuviera.
Ejercicio: Resolver el siguiente problema. 2. Por fin de temporada una tienda decide ofrecer la mercancía existente con 10% descuentos. El precio original de un pantalón es $275 y tiene una etiqueta que dice descuento adicional del 10%. ¿Cuál es el ahorro en la compra del pantalón? 3. El patio de una escuela mide 50 m de largo por 35 m de ancho. ¿Cuánto costará ponerle mosaico al patio si cuesta $12 el metro cuadrado? Solución: Como el costo del mosaico está dado por metro cuadrado, tenemos que expresar las medidas del patio en metros cuadrado, para esto calculamos la superficie del patio: 50
35
1750. 11
Así el patio mide 1750 m2. Como el metro cuadrado de mosaico cuesta 12 pesos, y ya tenemos el número de metros cuadrados que tiene el patio, entonces 1750 12 21000. Por lo tanto, cuesta $21000 pesos tapizar el patio con mosaicos.
4. Construir geométricamente la raíz cuadrada de 8. Solución: En el plano cartesiano localizamos el 8 en el eje . Sumamos una unidad, es decir, llegamos al 9. Localizamos el punto medio entre el origen y el 9. Con centro en y radio, la distancia de al origen, trazamos un semicírculo como se muestra en la figura. Y
4
2
O
2
4M
6
8
9
X
Levantamos una perpendicular al eje por el 8 y llamamos al punto donde se cortan el semicírculo y la perpendicular. La distancia del 8 a es √8. Y
4 C
2
O
2
4M
Demostración: Llamamos al punto donde está el 8 y con un segmento y .
6
8
9
X
al punto donde está el 9. Unimos
12
Y
4 C
2
O
4M
2
A
6
El triángulo ∆ es rectángulo ya que el ángulo del círculo, entonces es recto. De donde ∡
B
X
subtiende un diámetro
90 .
∡
Los triángulos ∆ y ∆ también son rectángulos ya que por construcción el segmento es perpendicular al eje . Por ser el triángulo ∆ rectángulo, tenemos que ∡
∡
90 .
Así ∡
∡
∡
∡
∡
∡
,
de donde .
Por lo tanto, como los triángulos ∆ y ∆ son semejantes ser rectángulos y tener un segundo ángulo igual. Entonces tenemos que . Pero,
1y
8, de donde 8 1 8 √8
⋅ .
13
Sigamos los pasos utilizados en la construcción anterior para ver geométricamente que los números reales negativos no tienen raíz cuadrada. Hagamos la construcción para el
5.
En el plano cartesiano localizamos el 5 en el eje . Sumamos una unidad, es decir, llegamos al 4. Localizamos el punto medio entre el origen y el 4. Con centro en y radio, la distancia de al origen, trazamos un semicírculo. Levantamos una perpendicular al eje por el 5. 4
Y
2
M -6
-5
-4
X
-2
Observamos en la figura que la recta perpendicular nunca corta al círculo. Ejercicio: 5. Construir geométricamente √11. 6. Si se invierten $500 a un interés del 3% anual, ¿cuánto dinero se tendrá después de 7 años? Solución: El interés que producen los 500 pesos al 3% anual es 500 0.03 15. La cantidad de dinero que se tiene al final del primer año es: 500
500 0.03
500 1
0.03
515.
Si se reinvierten el capital inicial más los intereses generados el primer año, por un año más, al final del segundo año se tiene 500 1
0.03 1
0.03
500 1
0.03
530.45.
Si se reinvierte esta cantidad por un año, al final del tercer año se tiene 14
500 1
0.03
1
0.03
500 1
0.03
546.36.
Si se sigue reinvirtiendo de esta manera al final del -ésimo año, se tiene 500 1
0.03 .
Entonces al final del séptimo año se tendrá 500 1
0.03
614.94.
Por lo tanto, al invertir 500 pesos al 3% anual durante 7 años se tendrán 614.94 pesos. 7. En un multifamiliar hay 100 departamentos. 15 de ellos no tienen cuarto de servicio ni lugar de estacionamiento. 60 tienen cuarto de servicio y 55 tienen lugar de estacionamiento. ¿Cuántos tienen cuarto de servicio y lugar de estacionamiento? Solución: Como 15 departamentos no tienen ni cuarto de servicio ni lugar de estacionamiento, entonces 100 15 85 tienen cuarto de servicio, lugar de estacionamiento o ambos. Puesto que 60 tienen cuarto de servicio y 55 tienen lugar de estacionamiento, y 60 55 115, entonces como 115 es mayor que 100, esto significa que hay un traslape, es decir, que hay departamentos que tienen cuarto de servicio y lugar de estacionamiento. Para saber cuántos departamentos cuentan con ambos, calculamos 115 85 30. Por lo tanto, hay 30 departamentos que tienen cuarto de servicio y lugar de estacionamiento. En el siguiente diagrama representa los que tienen lugar de estacionamiento y los que tienen cuarto de servicio.
15
15 E C
8. Tengo tres hijos: Daniel, Luis y Pedro. Cada uno de ellos tiene un hijo, los nombres de ellos son José, Ricardo y Mario. Sigue las siguientes pistas y dime cuál el padre de cada uno de mis nietos. (1) Si Luis no es papá de Ricardo, Daniel es papá de Mario. (2) Si Daniel es papá de José, Pedro es papá de Mario. (3) Si Pedro es papá de Ricardo, Luis es papá de Mario. (4) Si Pedro es papá de Mario, Luis es papá de José.
Solución: Para solucionar este tipo de problemas, hay que plantear alguna hipótesis y seguirla de acuerdo a las reglas del problema, hasta que o bien se llegue a la solución correcta o se llegue a una contradicción. Por ejemplo: •
•
Si Daniel es papá de Ricardo, entonces Luis no es papá de Ricardo y por (1), Daniel es papá de Mario. Esto es una contradicción ya que estamos suponiendo que Daniel es papá de Ricardo. D
L
P
J
R
M
Si Daniel es papá de José, entonces por (2) Pedro es papá de Mario y por (4) Luis es papá de José. Esto es una contradicción porque estábamos suponiendo que Daniel es el papá de José. D
L
P
J
R
M
16
•
Si Daniel es papá de Mario, entonces: o Si Luis no es papá de Ricardo, solo le queda ser de José y por (1) Daniel es papá de Mario, pero entonces Pedro tiene que ser el papá de Ricardo. Por (3) esto implicaría que Luis es papá de Mario lo cual es una contradicción. D
L
P
J
R
M
o Si Luis es papá de Ricardo, entonces Pedro tiene que ser papá de José. Esta solución no lleva a ninguna contradicción con las hipótesis. D
L
P
J
R
M
17
Problemas geométricos La mediatriz de un segmento
es la recta perpendicular al segmento que pasa
por su punto medio. Veamos cómo se puede construir con regla y compás. Dado el segmento A
B
Trazamos dos circunferencias, una con centro en segmento
, y la otra con centro en
y radio la longitud del
y de radio la longitud del segmento
.
La recta que une los puntos de intersección de dichas circunferencias es la mediatriz del segmento.
A
B
Los dos problemas siguientes son fundamentales en el estudio de las mediatrices Problema:(Usando congruencia de triángulos) Si
es un punto que está sobre la mediatriz del segmento
, entonces
.
18
P
A
PM
B
Solución: Unimos el punto y ∆
∆
con los puntos
y
formándose así los triángulos
.
Veamos que estos dos triángulos son congruentes. Por un lado , ya que
es el punto medio del segmento
Por otro lado
.
es un lado común de ambos triángulos, y el ángulo entre
dichos lados es de 90°, así que por y
lados homólogos
, ∢,
son congruentes y por lo tanto los
son iguales. P
A
PM
B
Problema: (Usando el teorema de Pitágoras) Si tenemos un punto , que está a la misma distancia de otros dos puntos es decir, con
,
entonces
y
,
está en la mediatriz del segmento que une
. 19
P
A
B
Solución: Nota: Este problema es el reciproco del problema anterior. Unimos los puntos
y
segmento que pase por
con un segmento y trazamos la perpendicular a este , siendo
el pie de esta perpendicular en el segmento
. De esta manera, obtenemos dos triángulos ∆
y ∆
.
P
A
M
B
Veamos que estos dos triángulos son congruentes Sabemos por hipótesis que y
puntos Además
ya que
está a la misma distancia de los
. es un lado común de ambos triángulos y como los dos triángulos son
rectángulos, ya que el segmento
es perpendicular a los segmentos
y
,
podemos aplicar el Teorema de Pitágoras, a los dos triángulos: y Así
(puesto que
.
, es decir, el otro cateto correspondiente a
cada triángulo también tiene que ser igual, por lo que los triángulos ∆ ∆
y
resultan ser congruentes.
20
Como
consecuencia
tenemos
que
los
lados
correspondientes a cada triángulo resultan ser iguales, es decir, Por lo tanto,
y
homólogos .
.
está en la mediatriz del segmento
Nota: Este problema justifica la construcción con regla y compás de la mediatriz. Problema: (Usando los problemas fundamentales mediatrices) Si
,
los lados
y
son las tres mediatrices de un triángulo ∆ ,
y
con respecto a
respectivamente, entonces dichas mediatrices son
concurrentes mBC
O C
mCA B
A mAB
Solución: Consideremos sólo dos de las mediatrices. Sin pérdida de generalidad y
supongamos que son las mediatrices
. Llamamos
al punto de
intersección de ambas (hay punto de intersección entre ambas mediatrices, ya que en caso contrario las mediatrices sucede si
y
y
serían paralelas, pero esto solo
también son paralelos), lo cual no es posible, pues no se
formaría el triángulo ∆
.
21
mBC
C O C C mBC
mCA
mCA
B
A
son paralelas Como,
no son paralelas
es el punto de intersección de las mediatrices
está en la mediatriz
B
A
y
entonces tenemos que
, por un lado (usando el primer
problema fundamental de mediatrices). Análogamente como también mediatriz
tenemos que
está en la
.
Utilizando la transitividad de la igualdad tenemos que
y usando el hecho del segundo de los problemas fundamentales de mediatrices, tenemos que , está en la mediatriz
, lo que quiere decir que la intersección de
las tres mediatrices está en .
El punto
es llamado el circuncentro del triángulo ∆
, y como la distancia de
a cada uno de los vértices del triángulo es la misma, podemos trazar una circunferencia con centro en los vértices del triángulo ∆
y radio la distancia que hay de
a cualquiera de
, está circunferencia es llamada el circuncírculo, la
cual contiene al triángulo.
22
mBC
O
C
mCA A
B mAB
Problema de aplicación. En una granja hay tres construcciones: la casa, el establo y el corral. establo
corral
casa
Se quiere construir una cisterna que surta de agua a las tres construcciones. La cisterna debe estar a la misma distancia de cada una de ellas para que la distribución del agua sea equitativa. ¿Dónde debe colocarse la cisterna? Solución: Construimos un triángulo uniendo la casa, el establo y el corral. establo
corral
casa
23
Trazamos las mediatrices del triángulo, para esto localizamos los puntos medios de los lados y trazamos la perpendicular de cada lado por el punto medio del mismo establo
.
.
C
casa
.
corral
Las tres mediatrices se cortan en un punto. Colocamos la punta del compás en este punto y verificamos que hay la misma distancia a las tres construcciones. En el punto donde se cortan las mediatrices es donde hay que construir la cisterna. .Ejercicio 1. Usando que las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes, justificar que las tres alturas de un triángulo también son concurrentes. Recordamos que una altura de un triángulo es una recta perpendicular a la base que va al vértice opuesto hAB altura respecto a la base AB
C
A
base
B
Es claro que el triángulo tiene tres alturas, considerando cada uno de sus lados como una base, y el pie de cada altura puede quedar dentro del segmento de la base o bien puede estar en la prolongación del segmento base.
24
C hBC hAB A
B
hAC
H
Hay que justificar por qué las tres alturas
,
y
concurren en el punto H.
Problema: (Usando congruencias de triángulos) En un paralelogramo, dos ángulos opuestos cualesquiera son congruentes y dos ángulos consecutivos cualesquiera son suplementarios. D
C
A
B
Solución: Trazamos la diagonal que une el vértice
con .
D
C
A Los triángulos Δ
y∆
B son congruentes por
, ,
, por lo que ∢
Análogamente si trazamos la otra diagonal que une el vértice tendremos que ∢
∡ .
con el vértice
∡ . Y como 25
∢
∡
∡
∡
360° ⇒ 2∢
∢
∡
180°
∢
∡
180°,
2∡
360°.
Por lo tanto,
Análogamente tendríamos que ∢
∡
180°,
∢
∡
180°.
Ejercicio: 1. Si tenemos un paralelogramo con un ángulo recto, entonces el paralelogramo tiene que ser un rectángulo.
Dado un triángulo ∆ respecto al ángulo ∢
, tenemos que una bisectriz interna del triángulo con es la recta que divide a este ángulo en dos ángulos
iguales:
C
α
α
A
B
Los dos problemas siguientes son fundamentales en el estudio de las bisectrices. Problema 1: (Usando congruencias de triángulos) Si
es un punto de la bisectriz interna del triángulo ∆
con respecto al ángulo
∢
, entonces este punto está a la misma distancia de los lados del ángulo
∢
, que en este caso serían los lados del triángulo AC y AB.
26
C
α
P α
A
B
Solución: Llamamos
al pie de la perpendicular al lado
desde
, y
al pie de la
desde .
perpendicular al lado
C E α A Los triángulos ∆
P α D
y∆
B
son congruentes ya que los tres ángulos homólogos
correspondientes son iguales y además tienen un lado en común, así que , es decir,
está a la misma distancia de los lados del triángulo AC y AB.
Problema 2: (Usando el Teorema de Pitágoras) Si
es un punto en el interior del triángulo ∆
misma distancia de los lados del ángulo ∢ del triángulo
y
, entonces
con respecto al ángulo ∢
, de tal manera que está a la , que en este caso son los lados
está en la bisectriz interna del triángulo ∆
.
27
C E P
A
D
B
Solución: Nota: Este problema es el reciproco del problema anterior. Sean
el pie de la perpendicular al lado
perpendicular al lado
desde el punto
y
el pie de la
desde el punto . Trazamos el segmento del vértice
punto , obtenemos dos triángulos ∆
y ∆
al
que resultan ser congruentes:
C E P
A puesto que
D
B
está a la misma distancia de los lados
y
, además
es un lado común de ambos triángulos, y como ambos triángulos son rectángulos, (los segmentos
y
son perpendiculares a lados
y
)
podemos aplicar el Teorema de Pitágoras a los dos triángulos y De donde
.
, es decir el otro cateto correspondiente a cada triángulo
también tiene que ser igual, por lo que los triángulos ∆
y∆
resultan ser
congruentes, es decir, ∆
≅ ∆
28
y por consiguiente los ángulos homólogos ∢ ∢ Por lo tanto,
y∢
∢
cumplen
.
está en la bisectriz del ángulo ∢
.
Problema: (Usando los problemas fundamentales bisectrices) Si
,
y
son las tres bisectrices internas con respecto a los ángulos ,
respectivamente
del
triángulo
∆
,
entonces
dichas
bisectrices
y son
concurrentes.
C
bB
bA
A
B
bC
Solución: Consideremos sólo dos de las bisectrices. Sin pérdida de generalidad supongamos que sean las bisectrices
y
, siendo
el punto de intersección
de ambas (hay punto de intersección entre ambas bisectrices, ya que en caso contrario las bisectrices ángulos en
y
triángulo ∆
.
y
serían paralelas, pero esto sólo sucede si los
suman de 180°), lo cual no es posible, pues no se formaría el
29
C α
α
bC
bB α
β
α
E
B
I
α
D
A
bB 2α+β = 180°
B
bC
interiores son paralelas Desde el punto
(la intersección de
hacia los lados
,
y
C
F
interiores no son paralelas y
),
trazamos las perpendiculares ,
del triángulo, llamando
y
a los pies de estas
perpendiculares, respectivamente. Como
es una bisectriz del ángulo en
bisectrices, tenemos que
y usando el hecho del Problema 1 de
. Análogamente tenemos que
, ya que
es bisectriz del ángulo en . Por la transitividad de la igualdad tenemos que
y usando el hecho del
Problemas 2 de bisectrices, tenemos que , está en la bisectriz
, lo que quiere
decir que la intersección de las tres bisectrices es en .
El punto
es llamado el incentro del triángulo ∆
, y como la distancia de
a
cada uno de los lados del triángulo es la misma, podemos trazar una circunferencia con centro en
y radio la distancia que hay de
a cualquiera de los
lados, está circunferencia es llamada el incírculo, la cual queda dentro del triángulo, siendo tangente a cada uno de los lados del triángulo.
30
bB
C
F
bA E I D
A
B
bC Ejercicio: (uso de ángulos suplementarios) 2. Dado un triángulo ∆
, tenemos que una bisectriz interna del triángulo con
respecto al ángulo ∢
es perpendicular, a la bisectriz externa respecto
al ángulo externo ∢
del triángulo.
bA exterior C β
β
B'
α A
bA interior α B
Problema: (Uso de los dos problemas fundamentales de bisectrices) Si en un triángulo ∆ al ángulo ∢ externos ∢
, se considera la bisectriz interna del triángulo con respecto
, junto con las dos bisectrices externas con respecto a los ángulos y ∢
del triángulo, tenemos que estas tres bisectrices son
concurrentes.
31
A' bC exterior
C
γ
bA interior
γ α
β β
α
E1
B
A
A'
bB exterior
Solución: Consideremos las dos bisectrices exteriores
y
, siendo
el punto de
intersección de ambas (hay punto de intersección entre ambas bisectrices, pues si y
las bisectrices exteriores y ∆
fueran paralelas, se tendría que los ángulos en
sumarían 180°, pero esto no es posible, pues no se formaría el triángulo .
A'
bC exterior
γ γ
C α α
C
B
β
E
bB δ
δ
exterior
(la intersección de ,
y
β β
E1
D
A'
bB exterior
exteriores paralelas
hacia los lados
interior
B
A
bB interior 2α + 2δ = 180°
Del punto
γ γ
β
bC interior
F
bC exterior
exteriores no paralelas y
exteriores), trazamos las perpendiculares
del triángulo, llamando
,
y
a los pies de estas
perpendiculares respectivamente. 32
Como
es una bisectriz exterior del ángulo en
Problema 1 de bisectrices, tenemos que , ya que
y usando el resultado del . Análogamente tenemos que
es bisectriz exterior del ángulo en .
Por la transitividad de la igualdad tenemos que
y usando el resultado
, está en la bisectriz interior de
del Problema 2 de bisectrices tenemos que
lo que quiere decir que la intersección de las tres bisectrices es en
El punto
es llamado el excentro del triángulo ∆
,
.
, y como la distancia de
a cada uno de los lados del triángulo es la misma, podemos trazar una circunferencia con centro en
y radio la distancia que hay de
a cualquiera de
los lados, está circunferencia es llamada el excírculo, la cual queda fuera del triángulo, siendo tangente a cada uno de los lados del triángulo.
A' bC exterior
F C γ E
β β B
A
bA
γ
interior E1
D
A'
bB exterior
De hecho
el triángulo
∆
tiene tres excentros
y sus correspondientes
excírculos.
Problema de aplicación de bisectrices: En los alrededores de una población, se encuentran tres carreteras no concurrentes y se desea construir un módulo para la vigilancia de velocidad 33
vehicular, pero se desea que dicho módulo, se encuentre a la misma distancia de cada una de las carreteras. Carre te ra 2
Carre te ra 1
Población
Carre te ra 3
¿Dónde debe de construirse el módulo? Solución: Los puntos que están a la misma distancia de dos rectas, son los puntos que están en las bisectrices de los ángulos que forman dichas rectas. bisectriz
bisectriz
34
Si tenemos tres rectas, se tendría que los puntos que están a la misma distancia de las tres rectas, es donde se cortan las tres bisectrices internas de un triángulo, las cuales tienen un punto en común (el incentro), y por cada dos bisectrices externas y una de las internas del triángulo tienen un punto en común llamado ex centro, (hay tres). Así que el problema tiene 4 posibles soluciones: Carre te ra 2
Carre te ra 1
M1
M4
M2
Carre te ra 3
M3
En
,
,
y
serían las cuatro puntos donde se pondrían los módulos de
vigilancia. Ejercicio: (usando bisectrices) 3. Si en un triángulo isósceles trazamos la bisectriz del ángulo que forman los lados iguales, entonces esta bisectriz es la mediatriz del lado opuesto a este vértice.
35
C
α
A
α
D
B
Ejercicio: (Usando bisectrices) 4. Si en un triángulo ∆
Isósceles, el ángulo que forman los lados iguales
mide 36°, donde los lados iguales son ángulo
que corta al lado
, entonces la bisectriz en el
y
en el punto
mide igual a
, es decir
.
C D 36° A
α α B
Ejercicio: Para resolverlo usamos (Bisectrices y que la suma de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°)
5. Las bisectrices interiores de un triángulo no pueden ser perpendiculares
36
C
γ γ δ α
α
β β
B
A
37
Unidad II. Áreas y perímetros
Trazos geométricos de polígonos regulares. Justificación de fórmulas conocidas. Encontrar nuevas fórmulas y diseñar estrategias para aproximar áreas y perímetros de figuras diversas.
38
Introducción Esta unidad empieza con el desarrollo de una construcción con regla y compás de polígonos regulares, que si bien no es exacta nos permite de una manera simple construir los polígonos. A continuación se estudian áreas y perímetros de algunos polígonos. Se manipulan materiales sencillos y espejos para la creación de polígonos regulares. Finalmente se desarrollan paso a paso las fórmulas de los ángulos interiores de polígonos regulares y el número de diagonales que tienen. Trazos geométricos de polígonos regulares En esta sección veremos una familia de construcciones que nos permiten dibujar con regla y compás polígonos regulares inscritos en una circunferencia. Estas construcciones no son perfectas, sin embargo, si se hacen con cuidado, el error cometido, para los polígonos hasta de 12 lados es menor que el ancho de la punta del compás. El primer polígono que trazaremos es el triángulo. 1. Dibujamos una circunferencia con cualquier radio. Trazamos el diámetro de la circunferencia y la secante que pase por uno de los extremos del diámetro, en este caso por el extremo .
A secante diámetro
C B
2. Con centro en y radio el que sea (pero fijo), tracemos con el compás el punto , con centro en y la misma apertura del compás, trazamos el punto ′ y con centro en este último punto y la misma apertura del compás y ′′ son los puntos de intersección trazamos ′′. Es decir, los puntos , de la secante y las circunferencias de radio fijo, y centros en , y ’. Veamos la siguiente figura.
39
A
D D' D'' C B
3. Tracemos el segmento ′′ , y la recta paralela a este segmento que pase por ′. Llamemos al punto de intersección de esta paralela con el diámetro.
A
D D' D'' C E B
4. Tracemos las circunferencias de radio con centro en y en , llamemos a la intersección de estas circunferencias que está del lado de la secante.
40
F
A
D D' D'' C E B
5. Tracemos la recta que pasa por los puntos y , y llamemos al punto de intersecciĂłn de ĂŠsta recta con la circunferencia de diĂĄmetro .
F
A
D D' D'' C E B G
41
6. El segmento
es el lado del triรกngulo buscado.
F
A
D D' D'' C E B G
7. Tracemos los otros dos lados del triรกngulo como sigue: con centro en y radio marcamos sobre la circunferencia de diรกmetro . El segmento es el otro lado del triรกngulo y el segmento es el tercer lado del triรกngulo.
F A
H D D' D''C E B G
42
El segundo polígono que trazaremos es el cuadrado. 1. Dibujamos una circunferencia con cualquier radio. Trazamos el diámetro de la circunferencia y la secante que pase por uno de los extremos del diámetro, en este caso que pase por el extremo .
A secante diámetro
C B
2. Con centro en y radio el que sea (pero fijo), tracemos con el compás el punto ; sin mover la apertura del compás con centro en trazamos el punto ′; con centro en ′ trazamos el punto ′′; y con centro en ′′ trazamos el punto ′′′. Los puntos , , ′′ y ′′′ que son los puntos de intersección de la secante y las circunferencias de radio fijo. Veamos la siguiente figura.
A
D
D' C D''
D'''
B 3. Tracemos el segmento ′′′ , además tracemos la recta paralela a este segmento que pase por ′. Llamemos al punto de intersección de esta paralela con el diámetro.
A
D
D' C D''
D'''
E B
43
4. Tracemos las circunferencias de radio con centro en y , llamemos a la intersecci贸n de estas circunferencias que se encuentra del lado de la secante.
F A
D
D' C D''
D'''
E B
5. Tracemos la recta que pasa por los puntos y , y llamemos al punto de intersecci贸n de 茅sta recta con la circunferencia de di谩metro .
F A
D
D' C D''
D'''
E G
B
44
6. El segmento
es el lado del cuadrado buscado.
F A
D
D' C D''
D'''
E G
B
7. Tracemos los otros dos lados del cuadrado como sigue: con centro en y radio marcamos โ ฒ sobre la circunferencia de diรกmetro . El segmento es el 2ยบ lado del cuadrado, con centro en y radio marcamos sobre la circunferencia de diรกmetro el segmento es el 3ยบ lado del cuadrado. Finalmente el segmento es el 4ยบ lado del cuadrado.
45
F H A
D
D' C D''
D'''
E G
B
Ejercicio 1. Construir el hexรกgono de la misma forma como se construyeron el triรกngulo y el cuadrado.
46
Área Comenzaremos primero con la noción intuitiva de área de figuras planas, donde se encierra el siguiente principio, si una figura se corta en un número de piezas cualquiera y se reacomodan es su totalidad como si se estuviera formando un rompecabezas para formar una nueva figura, el área de esta última es la misma que el área de la primera figura. Y se aceptará el hecho de que el área de un rectángulo es el producto de sus lados. Intuitivamente pensemos en lo siguiente: Unidad de superficie: 1
=
1u
=
1
1
.
+
1u
El área de la superficie de la siguiente figura es: 12u , es decir 1u cabe 12 veces en esta superficie o bien simplemente: 4u
3u
12u .
h= 3
b=4 En general diremos que el área de un rectángulo es
.
h
b 47
Mientras que su perímetro es: 2
2 .
La palabra perímetro viene de: peri- alrededor, metrón-medida.
h b Justificación: Una manera de justificar que la fórmula del perímetro del rectángulo es perímetro
2
2 ,
es la siguiente. En una hoja de papel trazamos una recta y sobre esta recta, a la izquierda de la hoja, trazamos un rectángulo. Nombramos a los vértices del rectángulo con las letras , , , y
en contra del movimiento de las manecillas
del reloj. Ver la siguiente figura. C
B h
D
b
A
Abrimos el compás una apertura llamamos
y con centro en
, trazamos un círculo y
′ al punto donde este círculo corta a la recta a la derecha del
rectángulo. Con centro en ′ y radio
marcamos, hacia la derecha de la recta, el punto ′, con
centro en ′ y radio
marcamos, hacia la derecha de la recta, el punto
centro en ′ y radio
marcamos, hacia la derecha de la recta, el punto
, con
. 48
Unimos el punto
con el punto ′ con un color diferente al que se hizo la recta,
ver la siguiente figura. Esto simularía como si hubiéramos rotado el rectángulo para ir marcando el perímetro. C
B h h
D
b
A
+ B'
b
+
h
+ D'
C'
b A'
a ′ mide:
El segmento de recta de
2
2 .
Aunque la fórmula ya es conocida por algunos de nuestros alumnos, no está de más que reafirmen el concepto de perímetro, y que lo manipulen de diversas formas. Problema y la altura es 2.
Encontrar el perímetro de un rectángulo cuya base es Solución: C
B 2 2
D
x
A
+ B'
x
+
2
+ D'
C'
x A'
Si ya se hicieron trazos con regla y compás o rotando rectángulos hacia una misma dirección, marcando cada lado, después de 4 giros para justificar el concepto de perímetro, posiblemente ya no sea necesario hacer la representación del problema, y directamente se dé el resultado: 2
4.
49
Problema: Encontrar el perímetro de un rectángulo cuya base mide el doble de su altura. Solución:
B
C
h h D
A
2h
2h
+ B'
h C'
2h D'
A'
Entonces el perímetro es: 2
2
6 .
Perímetro del cuadrado es: 4
l l Justificación: Abrir el compás con una apertura y con centro en , marcar la distancia sobre la recta hacia la derecha el punto ′, con centro en ′ y radio
marcar hacia la
derecha de la recta el punto ′, con centro en ′ y radio marcar hacia la derecha de la recta el punto recta el punto
, con centro en ′ y radio marcar hacia la derecha de la
, unir los punto
con el punto ′ con un color diferente al que se
hizo la recta, ver la siguiente figura. Esto simularía como si hubiéramos rotado el rectángulo para ir marcando el perímetro.
50
C
D
l l A
l
+ l C'
B
+
l D'
+
l B'
A'
Área del cuadrado Notemos que como el cuadrado en particular es un rectángulo de base altura
y
entonces el área del cuadrado es .
l l Área de un paralelogramo de base
y altura
α
es
. α
h b Justificación: α
α
h b
=
+h
=
+
h
= b
51
Tracemos la altura interior del paralelogramo, y cortemos el triángulo rectángulo para tener en dos partes el paralelogramo, luego pegamos este triángulo rectángulo en el lado no recto, lo que queda es un rectángulo con la misma área pues tan sólo hemos partido la figura inicial y la hemos armado de diferente forma, así llegamos a que el área del paralelogramo es: Área de un triángulo de base
y altura
.
es: × . 2
h T b
Justificación Si queremos determinar el área del triángulo gris T, lo podemos hacer construyendo un paralelogramo que tenga dos veces el área del triangulo T y utilizar lo que ya sabemos del área del paralelogramo. Esto se puede hacer siguiendo los pasos en las figuras y que se describe a continuación. α
α Τ
T
h
b
52
Calcamos el triángulo gris en un papel, y luego calquemos el mismo triángulo de tal forma que nos quede un paralelogramo, es claro que este paralelogramo tiene área
, pues esto ya se justifico antes
2
.
Área de un trapecio es igual a la semisuma de sus bases
y
por su altura
.
¿Qué es un trapecio? Primero es necesario saber cuál es el origen de los trapecios: La clasificación de los triángulos es:
Si a estos triángulos los partimos con una recta paralela a la base lo que obtenemos son los cuatro trapecios siguientes:
Para el trapecio rectángulo tenemos que su área es: 53
.
2 α
b h
α
B Justificación: Para encontrar el área de un trapecio calcamos en un papel el trapecio del cual queremos encontrar el área, luego lo giramos 180º y lo transladamos de tal forma que el lado no vertical enbone perfectamente con la calca de este trapecio y volvemos a calcar.
B
α
b h
α
b
+
B
lo que nos queda son dos trapecios equivalentes a un rectángulo cuya área es pero como sólo se quiere la mitad de este rectángulo, entonces tenemos que el área del trapecio es:
2
.
54
B
α
b h
h α
+
b
B
Ejercicio 1. Justificar la fórmula para el trapecio escaleno : .
2 α
b h
B El área de un pentágono de lado , apotema cualquiera de sus lados) y perímetro
(distancia del centro del polígono a
es:
5 2
2
.
l
a Justificación: Cortemos el pentágono de la siguiente manera: 55
a l Trazamos una recta sobre un papel y sobre la recta ponemos los bordes de los lados del pentágono, calcamos el pentágono, como lo muestra la siguiente figura.
a
Giramos la figura sombreada 180º y la sobreponemos por las orillas de la parte superior, como lo muestra la siguiente figura.
l
+
l
+
l
+ l
+ l a
l
+
l
+
l
+ l
+
Lo que nos queda es un paralelogramo cuya área es: 5
l .
Sólo queremos la mitad del área del paralelogramo que es el área del pentágono, es decir: 5 2
.
Observemos que el perímetro del pentágono es la base del paralelogramo antes formado, es decir
5 , donde
es el perímetro del pentágono, por lo que
también el área del pentágono se puede ver como: 56
2 5 .
donde Por lo que el área del pentágono es: 5 2
2
.
Ejercicio 2. Justificar el área de un hexágono utilizando la técnica anterior. Cómo encontrar un valor aproximado a Colocar un cordón alrededor de una tapa circular (Figura 1), medir con una regla la longitud del condón que se utilizo (figura 2), anotar esta medida. Con el mismo cordón ver también cuánto tiene de diámetro la tapa circular (Figura 3), medir con la regla la longitud que nos dio y anotar también esta medida (figura 2), hacer la siguiente proporción: medida del contorno medida del diametro
Figura 1
?
Figura 2
60.4 cm 19.2 cm
Figura 3
3.145833 cm .
57
Colocar un cordón alrededor de una tapa circular (Figura 1), medir con una regla la longitud del condón que se utilizo (figura 2), anotar esta medida. Con el mismo cordón ver también cuánto tiene de diámetro la tapa circular (Figura 3), medir con la regla la longitud que nos dio y anotar también esta medida (figura 4), hacer la misma proporción:
Figura 1
Figura 2
Figura 3
35.5 cm 11.3 cm
Figura 4
3.141592 cm.
Podríamos medir cualquier otro artefacto circular y ver que la proporción no varía mucho. Entonces mientras mejor se tome la medida, mejor aproximación tendremos al valor de
3.141592654 ⋯ que es número de veces que cabe el
diámetro en el perímetro de la circunferencia. O visto de otra manera el perímetro de la circunferencia es: perímetro
diámetro
o bien perímetro
2
, donde
es el radio.
Actividad: Buscar dos pequeños espejos rectangulares, pegarlos por uno de los costados y poner una hoja de tal manera que se haga la simulación de un polígonos de tres (Figura 1), cuatro (Figura 2), cinco (Figura 3), seis (Figura 5), etc., lados
58
Figura 1
Figura 4
Figura 2
Figura 5
Figura 3
Figura 6
Como ya habíamos visto, el área de cualquier polígono regular es:
2
.
Pero entre más lados tengamos en un polígono regular como en la siguiente figura.
59
El área del círculo, cuando el apotema se parece más al radio, será entonces: í
2 2
2
.
Ejemplo: Calcular el área y el perímetro de los pétalos azules de la siguiente figura, si sabemos que el lado del cuadrado mide 20 cm:
Solución:
60
Para calcular el perímetro notemos que cada dos pétalos es el perímetro del círculo inscrito en el cuadrado, por lo que el perímetro de los cuatro pétalos azules es: 2
2
2
2 10 cm
í ó í
125.66 cm. Ahora calculemos el área. Primero dividamos el cuadrado en dos partes iguales y tracemos el triángulo que tiene la misma base del cuadrado y altura la mitad de la medida del lado, ver la figura siguiente.
El área del semicírculo es:
2
10 cm 2 3.1416 50 cm 157.08 cm .
El área del triángulo es:
2
20 cm 10 cm 2 100 cm .
El área del círculo menos el área del triángulo, nos da el área del uno de los pétalos azules la cual es:
61
157.08 cm
100 cm
57.08 cm .
Pero como son 4 pétalos azules el área es: 4
57.08 cm
228.32 cm .
Ejercicio Calcular el área verde y su perímetro de la siguiente figura, donde el lado del cuadrado mide 4 m.
Otras fórmulas Ángulos internos de un polígono Para el triángulo equilátero, aunque hay maneras más sencillas de calcular sus ángulos internos, vamos a desarrollar una fórmula que nos permita generalizar a otros polígonos. Notemos que la circunferencia divide en tres arcos iguales (3 ∢
2
,
y
con centro en
y radio
, se
, donde uno de ellos subtiende a
1) un lado del triángulo, por lo que los ángulos centrales ∢
,∢
y
miden 3
2
360 3
120
62
C A
60° O 120°
B Pero además, como los ángulos interiores ∢ ángulos inscritos de la circunferencia
,∢
y∢
del triángulo son
, entonces estos ángulos son la mitad de
los ángulos centrales. Esto es 120 2
60
Para calcular el ángulo externo al triángulo, prolongamos el lado y el ángulo ∢
del triángulo,
es uno de los ángulos exteriores del triángulo equilátero, por lo
que los ángulos exteriores miden: 180°
60°
120°
C D
120° A
60°
B
63
Para el cuadrado notemos que la circunferencia divide en cuatro arcos iguales (4 ∢
2 ,∢
,
,
,y
con centro en
y radio
, se
, donde uno de ellos subtiende a
2) dos lados consecutivos del cuadrado, por lo que los ángulos centrales ,∢
, y∢
miden 4
2
360
180 .
4
Pero además como los ángulos interiores ∢
, ∢
cuadrado son ángulos inscritos de la circunferencia
, ∢
y ∢
del
, son la mitad de los
ángulos centrales, entonces miden: 180° 2
90°.
D
C 180° O 90°
A
B
Para calcular el ángulo exterior del cuadrado, prolonguemos el lado triángulo, el ángulo ∢
del
es uno de los ángulos exteriores del cuadrado, por lo
que los ángulos exteriores miden: 180°
90°
90°.
64
D
C
O E 90° 90° A
B
Para el pentágono notemos que la circunferencia
y radio
, se 2
3)
tres lados consecutivos del pentágono, por lo que los ángulos centrales ∢
,
divide en cinco arcos iguales
∢
,∢
, ∢
, y∢
,
con centro en
,
,
y
que subtienden a (5
miden 5
2
360 5
216 .
Pero además como los ángulos interiores ∢
,∢
,∢
pentágono son ángulos inscritos de la circunferencia ángulos centrales ∢
, ∢
, ∢
,
∢
216 2
108 .
,
,∢
y∢
del
, son la mitad de los y ∢
respectivamente,
entonces miden:
C D
B
216° O 108° E
A
65
Para calcular el ángulo externo al pentágono, prolongamos el lado pentágono, el ángulo ∢
del
es uno de los ángulos exteriores del pentágono, por lo
que los ángulos exteriores miden: 180°
108°
72°.
C D
72
B
216° O 108° A
F E Ejercicio 3. Completar la siguiente tabla
POLÍGONOS REGULARES número de
Ángulos centrales entre
lados
dos lados consecutivos
3
3
2
360 3
4
4
2
360 4
5
5
2
360 5
Ángulos interno
120
120 2
60
180
180 2
90
216
216 2
108
Ángulos externo
180
60
120
180
90
90
180
108
72
6 66
7
También se puede ver el número de diagonales que se pueden trazar dentro de un polígono convexo.
Esta sucesión nos da el número de diagonales que se pueden trazar en un polígono convexo. Ejercicios 1. Decir cuál es el siguiente término de la sucesión, que es equivalente a decir cuántas diagonales se pueden trazar en un hexágono. 2. La fórmula general que nos da el número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de
lados.
Una vez que se dio un pequeño repaso a los significados de las fórmulas de perímetro y área lo que haremos a continuación es encontrar áreas de figuras no regulares.
67
Problema Encontrar el área del polígono
, sabiendo que se encuentra en la
cuadrícula.
1ª estrategia. Encerremos el polígono dentro de una figura regular en este caso la encerramos en un rectángulo cuya área es:
68
5
10
50
Restemos a esta área el área de los triángulos son
3
,
9u ,
2u y
,
,
y
cuyas áreas
6u respectivamente. El área de los
triángulos no sombreados es: 3u
9u
2u
6u
20u .
Por lo que el área sombreada es: 50 u
20 u
30 u .
2ª estrategia Dividamos el polígono en figuras regulares, en este caso lo dividimos en los trapecios
y
, y en los triángulos
y
. Como se muestra en la
siguiente figura.
69
El área que tiene el trapecio rectangular
es:
6
3 4
2
18 u .
2
El área que tiene el trapecio rectangular
es: 4
1 2 2
2 El área que tiene el triángulo rectángulo
es:
2 2
4 2
El área que tiene el triángulo rectángulo
4u . es:
6 2
5u .
1 2
3u .
70
Po r lo que el área del polígono
es la suma de las áreas de los polígonos
anteriores, es decir 18 u
5u
4u
3u
30 u .
Problema: Se quiere poner azulejo tipo terracota de 20 cm
20 cm para recubrir un
rectángulo que se encuentra en la parte central de una superficie rectangular con 5 m de largo y 4 m de ancho, la cenefa debe estar a una distancia de 40
de la
pared, las orillas del rectángulo color terracota se cubrirán con cenefas que miden 7cm
20 cm, el marco entre la pared y la cenefa se cubrirá con azulejo de color
amarillo. 1. ¿Cuántos metros se deben comprar de cenefa? 2. ¿Cuántos metros cuadrados se deben de comprar de cada loseta? Solución: 4
Azulejo amarillo cenef a
3.5
Azulejo terracota 3
2.5
2
1.5
1
0.5
1
2
3
4
5
71
1. Como la cenefa es el marco blanco del rectángulo color terracota, entonces lo que hay que obtener es el perímetro del marco blanco, es decir la base mide
5m
0.80 m y de altura tiene
4m
0.80 m, pues hay que
quitar 40 cm en cada lado para hacer el marco amarillo. Así lo que se necesita de cenefa es: 2
2
4.2 m
3.2 m
14.8 m.
2. Para el azulejo amarillo se necesitan encontrar el área de rectángulo mayor menos el área del rectángulo que contiene la cenefa, es decir: 5m
4m
Á
á
4.2 m
3.2 m
6.56 m .
Á
Para la parte del rectángulo rojo hay que quitar 0.47 m a cada lado del rectángulo, por lo que la cantidad de azulejo terracota es: 5m
2 . 47 m
4m
2 . 47
12.42 m .
Á
72
Unidad III. Aritmética e introducción al álgebra
Interpretación y localización en la recta numérica de fracciones y números
decimales;
operaciones
con
fracciones
y
decimales;
equivalencia entre estas dos representaciones de un número racional. Ecuaciones sencillas, los números con signo y sus operaciones.
73
Introducción Esta unidad está dedicada al estudio de los números racionales. Inicia con la localización de ellos en la recta numérica haciendo uso del concepto de triángulos semejantes. A continuación se estudia cómo convertir una fracción a su expresión decimal periódica y viceversa. Se ve una interpretación geométrica de las leyes de los signos. Finalmente se resuelven diversos problemas de aplicaciones.
Interpretación y localización en la recta numérica de fracciones y números decimales Nota: La palabra fracción viene de la palabra en Latín frangere que significa romper. División de un segmento en partes iguales Veamos cómo dividir un segmento en 5 partes iguales. Trazamos un segmento cualquiera
. .
.A
Levantamos una recta perpendicular al segmento
B
que pase por .
. .
A
B
Elegimos cualquier medida arbitraria y hacemos una marca sobre la recta perpendicular, llamamos al punto marcado. Después colocamos el compás en y los abrimos hasta llegar a . Con esta abertura marcamos los puntos , , y . 74
G F E D C
. A
.
Unimos .
con
B
y trazamos rectas paralelas a la recta
por los puntos
, ,
y
G F E D C
. A
.
B
Marcamos los puntos de intersecci贸n de estas rectas con el segmento Obteniendo los puntos , , y .
.
G F E D C
. .
A
K
J
I
H
B
75
Analicemos los triángulos
y
. Ambos triángulos son rectángulos.
El lado es prolongación del lado y el lado es prolongación del lado . Además el lado es paralelo al lado . El ángulo es igual al ángulo De donde los triángulos son semejantes. Así . Pero . Y por construcción: . De donde 2
,
así ,
2 de donde 2
.
De manera que 2
.
Pero , entonces 2
.
De donde . 76
Que es lo que queríamos demostrar.
Análogamente por las propiedades de los triángulos semejantes tenemos que . Localizar el número
en la recta numérica.
Dividimos la unidad en cinco partes iguales y después a partir del cero nos movemos hacia la derecha y tomamos dos de estas partes.
.
0
2 5
1
3
2
Si queremos localizar el punto que corresponde al número
, una vez dividida la
unidad en cinco partes iguales, colocamos el compás en el cero y lo abrimos hasta la primera marca que tenemos. Después giramos el compás y colocamos la primera marca a la izquierda del 0. Colocamos la punta del compás en la primera marca y hacemos la segunda, así hasta completar 6 marcas.
.− 6
5
0
1
2
3 77
Ejercicios .
Localizar en la recta numérica los números ,
Un resultado interesante es el que una fracción se puede escribir como suma de un número entero y de fracciones que tengan un uno en el numerador. Este método lo utilizaban los egipcios. Veamos las diferencias en los procedimientos si trabajamos con un número positivo o con uno negativo. •
Escribir
como suma de un número entero y fracciones distintas que
tengan un uno en el numerador. Solución: Como en el número
el numerador es mayor que el denominador,
escribimos el número como suma de un número entero y una fracción. 14 5
4 . 5
2
Los números fraccionarios que tienen un uno en el numerador son: 1 1 1 1 , , , ,⋯ 2 3 4 5 Comparamos con , para ello realizamos los productos cruzados 4 Como 8
2
5 entonces
8
5
y
1
5.
. Calculamos 4 5
1 2
4 2
1 5 10
3 . 10
De donde 14 5
2
1 2
3 . 10
78
Ahora comparamos
con , 3
Como 9
3
9
10
y
10, entonces
1
10.
. Como resultó ser menor, entonces
comparamos con la siguiente fracción, es decir, comparamos 3 Como 12
4
12
10, entonces 3 10
10
y
1
con
10.
. Calculamos 1 4
3 2
1 5
1 . 20
20
De donde 14 5 •
1 2
2
1 4
1 . 20
Veamos ahora un ejemplo con un número negativo. Consideramos el número
.
Como en el número
el numerador es mayor que el denominador,
escribimos el número como suma de un número entero y una fracción. 27 7 Comparamos
con 6
Como
12
6 . 7
3
para ello realizamos los productos cruzados 2
12
7
y
7 entonces
1
7.
. En el caso de los negativos
necesitamos que sea menor, entonces calculamos 6 7
1 2
6 7
1 2
6 2
7 1 14
5 . 14
De donde 27 7
3
1 2
5 . 14 79
Comparamos
con 5
Como
15
para ello realizamos los productos cruzados 3
15
14 entonces 5 14
1 3
14
y
1
14.
. Calculamos 5 14
1 3
5 3 14 1 14 3
1 . 42
Por tanto, 27 7
3
1 2
1 3
1 . 42
Ejercicios Escribir los siguientes números como sumas de números enteros y fracciones distintas con numerador igual a uno. .
1. 2.
.
Equivalencia entre representación decimal y fraccionaria de un número racional Los números racionales los podemos expresar de dos formas distintas, como fracciones o bien como decimales. Por ejemplo, para expresar el número
4
Escribir
como decimal, realizamos la división. 0.75 3 30 20 0
como decimal.
80
7
5.142857 36 10 30 20 60 40 50 1
Observamos que el último residuo que calculamos es 1, que es igual al primer residuo que obtuvimos, entonces el siguiente cociente va a ser 1 y el residuo 3, y así sucesivamente se van a repetir los mismos números. 5.14285714 …. Esto lo escribimos como 36 7
5. 142857.
Los números que tienen la barra arriba son los que se van a repetir, en ese orden, indefinidamente. Podemos representar a los números racionales como fracciones o como expresiones decimales finitas o periódicas. Las expresiones decimales que no son ni finitas ni periódicas, se llaman números irracionales. Para localizar en la recta numérica un número racional que está representado como expresión decimal finita o periódica, lo escribimos como fracción. Por ejemplo, para localizar el número 0.25 en la recta numérica, lo escribimos como fracción. 0.25
100 100 0.25 100 100 25 1 100 4 0.25
81
Y localizamos como se explicó anteriormente. el número 0.25.
Veamos otra forma de hacer esto. Llamamos 0.25.
Multiplicamos ambos lados de la igualdad por una potencia de 10, de manera que del lado derecho de la igualdad nos quede un número entero. 100
0.25 100 25,
de donde 100 Despejamos
25.
y simplificamos: 25 100
1 . 4
Veamos otros ejemplos con expresiones periódicas. 1. Escribir como fracción el número 3. 572. Solución: Llamamos al número 3. 572. Multiplicamos por una potencia de 10, de manera de colocar un periodo a la izquierda del punto decimal 1000 3572. 572. Restamos, simplificamos y despejamos 1000 1000 1 999
3572. 572 3569 3569 3569 . 999
3. 572
2. Escribir como fracción el número 6.916. Solución: Llamamos al número
82
6.916. Multiplicamos por una potencia de 10, de manera de colocar la parte no periódica a la izquierda del punto decimal 100
691. 6.
Multiplicamos por una potencia de 10, de manera de colocar un periodo a la izquierda del punto decimal 10 100 1000
6916. 6 6916. 6.
Restamos, simplificamos y despejamos 1000 1000
100 100 900
6916. 6 6225 6225 6225 900 83 . 12
691. 6
Ejercicios. Escribir los siguientes números como fracción. 18. 06 , 1.73.
Nota: Leonardo de Pisa (1170 - 1250), mejor conocido como Fibonacci, introdujo a Europa el sistema decimal indoarábigo y los numerales arábigos.
83
Interpretación geométrica de las leyes de los signos •
Primer caso: Ambos números positivos. Veamos como representar geométricamente 4 2. Dibujamos un plano cartesiano y localizamos el 4 sobre el eje el eje .
y el 2 sobre
Y
6 5 4 3 2 1
. .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
Unimos con un segmento el 1 del eje con el 4 que marcamos sobre el eje . Ahora trazamos una recta paralela a este segmento que pase por el 2. Y
6 5 4 3 2 1
. .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 X
• • • •
El punto 8 donde corta esta recta al eje es el resultado de la multiplicación. Procedimiento: Para representar geométricamente seguimos los siguientes pasos: Localizar en el eje . Localizar en el eje . Unir con un segmento el 1 del eje con el punto del eje . Trazar una paralela al segmento por el punto del eje . Ejercicio Representar geométricamente
3
4.
84
•
Tercer caso: Ambos números negativos. Veamos como representar geométricamente 3 2 . Dibujamos un plano cartesiano y localizamos el 3 sobre el eje y el 2 sobre el eje . Unimos con una recta el 1 del eje con el 3 que marcamos sobre el eje . Trazamos una recta paralela a esta última recta que pase por el 2 que marcamos en el eje . Y 4 3 2 1
.
-5 -4 -3 -2 -1 -1
.
1
2
3
4
5
6
7 X
-2
-3
El punto 6 donde corta esta recta al eje multiplicación.
es el resultado de la
Veamos ahora la justificación de estas construcciones. Probaremos que
.
Localizamos el punto sobre el eje de tal manera que y sobre el eje tal que . Localizamos en el eje de manera que 1. Unimos con un segmento con . Trazamos una recta paralela al segmento que pase por y llamamos al punto donde corta al eje . Y
.
A
U O
B
Consideramos los triángulos
.
C
X
. y
.
85
Ambos triángulos son rectángulos. Por construcción, el lado es paralelo al lado , el lado es prolongación del lado y el lado es prolongación del lado . Los ángulos marcados en la figura son iguales por ser ángulos alternos internos entre dos paralelas y una transversal.
Así los triángulos
y
son semejantes. Entonces .
Como
1, entonces ∙
Por lo tanto,
.
.
Otra aplicación de este método geométrico es la siguiente: Localizar el inverso multiplicativo de
3.
En el plano cartesiano, localizamos el 3 sobre el eje y el 1 sobre el eje . Trazamos un segmento que una estos dos puntos y después trazamos una recta paralela a este segmento que pase por el 1 del eje . El punto donde esta recta corta al eje
es
. Y
.
1 -2 -1
-1
. 1
X
-2
.
-3
86
Ejercicio 1. Construir con regla y compás el inverso multiplicativo de 5. De las construcciones anteriores podemos observar lo siguiente: • • • • •
Un número y su inverso multiplicativo tienen el mismo signo. Si un número es mayor que uno, su inverso multiplicativo es menor que uno y mayor que cero. Si un número está entre cero y uno, su inverso multiplicativo es mayor que uno. Si un número es menor que 1, su inverso multiplicativo está entre 1 y cero. Si un número está entre cero y 1, su inverso multiplicativo es menor que 1.
Problemas En esta sección resolveremos problemas con distintos grados de dificultad. En todos los problemas que aparecen a continuación se plantea una ecuación de primer grado de la forma , donde , y son constantes y despejar , es decir,
es la variable. Para encontrar la solución hay que
. Una vez que hemos obtenido el valor de , hay que volver a leer el problema para poder responder a la pregunta que se plantea e interpretar el valor obtenido de . Observación: En la solución de los problemas se utilizó distintos nombres para las variables. 1. Un médico utiliza la siguiente fórmula para saber cuántos pacientes puede atender. 1.06 , donde cita y
es el número de pacientes, es el intervalo de tiempo entre cada es el total del tiempo que dispone el médico para atender a los 87
pacientes. El Dr. López dispone de 4 horas para atender pacientes y quiere atender un paciente cada 25 minutos. ¿Cuántos pacientes puede atender el Dr. López? Solución: Para poder calcular el número de paciente que puede atender el doctor, tenemos que expresar las horas en minutos, es decir, 4 horas 4 60 240 minutos. Así 1.06 1.06 240 25 1.06 48 5 50.88 5 10.176. Como la respuesta se refiere al número de pacientes que puede atender el médico, entonces la respuesta debe ser un número entero. El Dr. López puede atender 10 pacientes. Ejercicio 2. Resolver el mismo problema si el Dr. López dispone de 3 horas para atender pacientes y quiere atender un paciente cada 20 minutos.
3. Durante un año, una empresa contrató 115 empleados nuevos. En ese año se jubilaron 22 empleados y 35 se fueron por otros motivos. Si al final del año la empresa contaba con 328 empleados. ¿Cuántos empleados más tiene la empresa con respecto al inicio del año? Solución: Llamamos al número de empleados que tenía la empresa al iniciar el año. Los empleados que se jubilaron o se fueron son: 22 35 57. Empleados nuevos: 115. Primero tenemos que averiguar cuántos empleados tenía al iniciar el año. Como sabemos cuántos tiene al final del año, entonces planteamos la ecuación 57 115 328. Despejando tenemos 88
328 57 270.
115
El número de empleados al iniciar el año era de 270. Para saber cuántos empleados más tiene que al iniciar el año, hacemos 328 270 58. Por lo tanto, la empresa tiene 58 empleados más que al iniciar el año. Ejercicio 4. Durante un año, una empresa contrató 253 empleados nuevos. En ese año se jubilaron 12 empleados y 6 se fueron por otros motivos. Si al final del año la empresa contaba con 232 empleados. ¿Cuántos empleados más tiene la empresa con respecto al inicio del año?
5.
del periodo de gestación en semanas de un antílope es igual a 15. ¿Cuántas semanas dura la gestación del antílope? Solución: Llamamos a las semanas que dura la gestación del antílope y planteamos la ecuación: 5 15. 9 Podemos escribir esta ecuación de la siguiente manera: .
Las tarjetas “rojas” pasan con las “rojas” y las “verdes” con las “verdes”
x x
.
Simplificamos la expresión de la derecha 3 9 27. Comprobación:
89
Si
27, entonces 5 9
5 27 9
5 3
15.
Por lo tanto, el periodo de gestación de un antílope es de 27 semanas.
6. La suma de dos números es 33 y el mayor es 60. Encontrar el cociente del mayor entre el menor. Solución: Llamamos al número menor. Como la suma de los dos números es 33, entonces 60 33. Despejando , tenemos 33 60 27. El número mayor es 60 y el menor es 27. El cociente del mayor entre el menor es 60 60 . 27 27 Por lo tanto, el número buscado es
.
Ejercicio 7. La suma de dos números es del mayor entre el menor.
39 y el mayor es
16. Encontrar el cociente
8. El perímetro de un triángulo rectángulo es 30 cm y un ángulo mide 22°. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos? Solución: Como el triángulo es rectángulo, entonces uno de sus ángulos mide 90°. Además sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 , entonces si llamamos al ángulo que no conocemos tenemos que 22°
90°
180°.
90
Despejando , tenemos 180° 180° 68°.
22° 90° 112°
Por lo tanto, los otros dos ángulos miden 90° y 68°. Observación: En este problema el dato del perímetro del triángulo no se utiliza. Esto se hace con el fin de que los alumnos identifiquen qué datos necesitan para resolver el problema.
Ejercicio 9. Un triángulo isósceles tiene un perímetro de 107 m y el lado desigual mide 50 m. ¿Cuánto miden los otros dos lados?
10. El largo de un rectángulo es el triple de su ancho. El perímetro es 40 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo? Solución: Llamamos al largo del rectángulo y al ancho. Como el largo es el triple del ancho, entonces 3 . El perímetro de un rectángulo es: 2 2 Y sabemos que el perímetro es 40 y que 3 , entonces 40 2 3 2 6 2 8 . Despejamos : 40 40 8 5
8
.
Para saber el largo del rectángulo, sustituimos el valor de
5 en 91
3
3 5
15.
El rectángulo tiene 15 cm de largo y 5 cm de ancho. El área del rectángulo es
5 15 75. Por lo tanto, el área del rectángulo es 75 cm2.
Ejercicio 11. El largo de un rectángulo es el quíntuple de su ancho. El perímetro es 30 cm. ¿Cuál es el área del rectángulo? 12. La suma de dos número enteros pares consecutivos es 46. Encontrar el cociente del menor entre el mayor. Solución: Hay dos maneras de resolver este problema. Primera manera: Como los números en cuestión son pares, entonces el primer número es de la forma 2 . El número entero par consecutivo de 2 es 2 2. La suma de los números es 46, entonces planteamos la ecuación: 2 2 2 46. Ahora despejamos : 2 2 2 46 4 2 46 4 46 2 4 48 48 4 12. Para saber cuáles son los números debemos calcular 2 2 12 24 y 92
2
2
2
12 2 24 2 22.
Ahora tenemos que calcular el cociente del menor entre el mayor. Como 24 es el menor y 22 es el mayor, entonces 24 12 . 22 11 Por lo tanto, el resultado es . Segunda manera: Llamamos al primer número . El número entero par consecutivo de es 2. La suma de los números es 46, entonces planteamos la ecuación: 2 46. Ahora despejamos : 2 46 2 2 46 2 46 2 2 48 48 2 24. Para saber cuál es el otro número debemos calcular 2 24 2 22. Ahora tenemos que calcular el cociente del menor entre el mayor. Como 24 es el menor y 22 es el mayor, entonces 24 12 . 22 11
Ejercicio 13. La suma de dos número enteros impares consecutivos es 108. Encontrar la suma de los dígitos del número mayor.
93
14. Los símbolos químicos del oro Au y de la plata Ag vienen de sus nombres en latín. El del oro es aurum que significa “amanecer radiante” y el de la plata es argentum que significa “brillante”. El punto de ebullición del oro menos el de la plata es 758 C. El punto de fundición de la plata es 962 C. El punto de ebullición del oro es igual al triple del punto de fundición de la plata más 84 C. Determinar el punto de ebullición del oro y de la plata. Solución: Llamamos al punto de ebullición del oro y al de la plata. El punto de fundición de la plata es 962 C. El punto de ebullición del oro es igual al triple del punto de fundición de la plata más 84 C, es decir, 3 962 84 2886 84 2970. Así, el punto de ebullición del oro es 2970 C. Por otro lado, tenemos que el punto de ebullición del oro menos el de la plata es 758 C. 758. Sustituimos el valor de
en la ecuación anterior: 2970 2970 758 2212
758 .
Por lo tanto, el punto de ebullición de la plata es 2212 C.
94
Unidad IV. Proporcionalidad
Identificar situaciones en que se presenta proporcionalidad directa. Encontrar cantidades proporcionales con factor unitario entero, decimal y fraccionario. Regla de tres y aplicaci贸n sucesiva de proporcionalidad. Comparaci贸n con la proporcionalidad inversa. Conexi贸n con funciones lineales.
95
Introducción Primero abordamos el tema de proporcionalidad resolviendo un problema geométrico. A continuación se resuelven diversos problemas de regla de tres y tanto por ciento. En algunos casos se da más de una solución con el objeto de mostrar que se pueden utilizar distintos caminos para resolver un problema. Proporcionalidad directa Problema: Si los triángulos ∆
tienen la misma altura de 5 cm y con
y ∆
bases 4 cm y 6 cm respectivamente, ¿cómo es la proporción entre sus áreas comparada con la proporción entre las bases, donde se levanta la altura común? Solución:
C1
C
5
5
4
6 D A1
B
A
área ∆
4
5 2
B1
D1 6
10 y área ∆
5 2
15 .
Entonces área ∆ área ∆
15 10
3 . 2
Mientras que base del ∆ base del ∆
6 4
3 . 2 96
Lo que quiere decir que la proporción es la misma. Generalizamos esta idea, para cualesquiera dos triángulos con la misma altura.
Ejercicio Si los triángulos ∆
y ∆
tienen la misma altura, entonces la proporción
entre sus áreas es igual a la proporción entre sus bases, donde se levanta la altura común. Solución:
C1
C
h
D A1
B
A
D1
B1
base
base
área ∆
h
base ∆ 2
∆
y área ∆
.
2
Entonces área ∆ área ∆
base ∆A B C 2 base ∆ 2
base ∆ base ∆
.
Ejercicios 1.- Si los triángulos ∆
y ∆
tienen la misma base de 5 cm y con alturas
4 cm y 6 cm respectivamente ¿Cómo es la proporción entre sus áreas comparada con la proporción entre sus alturas, que se levantan sobre la base común?
97
2.- Si los
triángulos ∆
y
∆
tienen la misma base, entonces la
proporción entre sus áreas es igual a la proporción entre sus alturas, que se levantan sobre la base común.
98
Regla de tres directa Veamos ahora algunos problemas que presentan distintos grados de dificultad, así como distintas estrategias para resolverlos. 1. A cierta hora de la mañana, un árbol proyecta una sombra de 3.24 m y un bastón de un metro de altura proyecta una sombra de 40 cm. ¿Qué altura tiene el árbol? Solución: Primero expresamos la sombra del batón en metros, es decir, la sombra mide 0.40 metros. Llamamos a la altura del árbol. Planteamos la siguiente regla de tres: 3.24 → 0.40 → 1. De donde 3.24 1 0.40 32.4 4 8.1. El árbol mide 8.1 metros. Nota: Este procedimiento fue el que utilizó Thales de Mileto (639 – 547 a.C.) para determinar la altura de las pirámides de Egipto.
Ejercicio 2. Una docena de naranjas cuestan 15 pesos y se necesitan 3 naranjas para hacer un vaso de jugo. Si cinco amigos compraron un vaso de jugo cada uno, ¿cuánto pagaron por los jugos?
3. ¿Qué porcentaje de 52 es 39? Solución: Primer método: Escribimos una proporción 100
39 52 99
y despejamos : 39 100 52 39 25 13 3 25 75. Así 39 es el 75% de 52. Segundo método: Escribimos el diagrama 39
→ 52 → 100.
De donde 39 100 52
75.
Así 39 es el 75% de 52. Ejercicio 4. ¿Qué porcentaje de 213 es 68.16?
Nota: Una leyenda dice que el símbolo de pesos $ proviene del escudo de armas español grabado en la moneda española de plata de la colonia, donde aparecen las Columnas de Hércules atravesadas por una banda con el lema Non Plus Ultra en forma de una "S". 5. El gerente de una tienda de aparatos eléctricos rebajó el precio de una licuadora de $600 a $528. ¿Cuál fue el porcentaje del descuento? Solución: Llamamos al porcentaje del descuento. Calculamos la diferencia entre los precios: 600 528 72. Planteamos el problema 72
→ 600 → 100.
Así 72 100 600
12.
100
El descuento fue del 12%. Ejercicio 6. El gerente de una tienda de aparatos eléctricos rebajó el precio de una licuadora de $720 a $619.20. ¿Cuál fue el porcentaje del descuento?
Nota: La primera olimpiada de la era moderna, la organizó el barón Pierre de Coubertin y se celebró en Atenas, Grecia del 6 al 15 de abril de 1896. 7. El record olímpico de la carrera de 100 metros planos para hombres lo tiene el jamaiquino Usain Bolt y lo obtuvo el 16 de agosto de 2008 en las olimpiadas celebradas en Beijing. Usain hizo un tiempo de 9.69 segundos. ¿A qué velocidad media corrió los 100 metros? Expresar la velocidad en kilómetros por hora. Solución: La velocidad es la distancia entre el tiempo: . Entonces 100 . 9.69 Haciendo la división, el resultado es 10.32. Como la distancia está medida en metros y el tiempo en segundos, entonces la velocidad es 10.32 metros por segundo. Para entender mejor este resultado, lo interpretamos en kilómetros por hora. Una hora tiene 3600 segundos. Planteamos la siguiente regla de tres. En un segundo avanza 10.32, entonces en 3600 ¿cuánto avanzará? 1 → 3600 →
10.32 .
De donde 10.32 3600 37152. Este resultado son metros por hora. Para pasarlo a kilómetros por hora, solo hay que dividir entre mil.
101
37152 37.152. 1000 Por tanto, la velocidad es 37.152 kilómetros por hora 8. Una persona que pesa 40 kilos en la Tierra, pesa
de kilo en la Luna. El
peso en la Luna es directamente proporcional al peso en la Tierra. ¿Cuánto pesa en la Luna una persona que pesa 65 kilos en la Tierra? Solución: Llamamos al peso de una persona en la Luna y al peso en la Tierra. El peso en la Luna es directamente proporcional al peso en la Tierra, entonces . Como sabemos que una persona que pesa 40 kilos en la Tierra, pesa
de
kilo en la Luna, entonces tenemos que 20 3
40
De donde
40 1 . 6 Una vez encontrado el valor de , entonces podemos expresar el peso en la Luna de la siguiente manera: 1 6 Si una persona pesa en la Tierra 65 kilos entonces en la Luna pesa: 1 65 6
10.83 kilos.
Podemos representar gráficamente la relación
.
Hacemos la tabla:
102
0 6
0 1
y localizamos los puntos 0,0 y 6,1 en el plano cartesiano. Y
2
.
1 0
.
2
4
6
8
X
Esta figura representa una función lineal.
9. En una fonda la comida corrida cuesta 5% más que el año pasado. El precio actual es $42. ¿Cuánto costaba el año pasado? Solución: Llamamos al precio del año pasado. El cambio del precio es: 42 . Planteamos 42 → 5 → 100. De donde 42 100 5 42 20 840 20 21 840 840 21 40. El año pasado la comida costaba $40. Ejercicio 10. En el mercado el kilo de cebolla cuesta 20% menos que el mes pasado, debido a que terminó la época de lluvias y ya no se echan a perder. El
103
precio actual es $12 el kilo, ¿cuánto costaba el kilo de cebolla el mes pasado? 11. Para hacer 7 vestidos se necesitan 5 metros de tela y 3 metros de tela cuestan $252. Ana necesita tela para dos vestidos, ¿cuánto tiene que pagar? Solución: Llamamos al precio de 5 metros de tela. Planteamos la siguiente regla de tres: 3 → 252 5 → . de donde 5 252 5 84 420. 3 Así la tela de 7 vestidos cuesta 420 pesos. Ahora llamamos al precio de dos vestidos, de manera que 7 → 420 2 → . de donde 2 420 2 60 120. 7 Por lo tanto, Ana tiene que pagar 120 pesos.
12. Siete señoras bordan 28 manteles en 12 horas. ¿Cuántos manteles pueden bordar 9 señoras en 15 horas? Solución: En este problema tenemos que hacer una aplicación sucesiva de proporcionalidad. Planteamos en un diagrama la situación del problema: Señoras 7 9
→ →
Manteles 28
Manteles → →
Horas 12 15
Primero vemos cuántos manteles pueden bordar 9 señoras en 12 horas. 7 → 28 9 → . 104
De donde 9 28 7
9 4
36.
Ahora nos planteamos la pregunta: ¿Cuántos manteles pueden bordar esas 9 señoras en 15 horas?
Manteles 36
→ →
Horas 12 15
Planteamos la regla de tres: 36 → →
12 15.
De donde 36 15 12
3 15
45.
Por lo tanto, 9 señoras pueden bordar 45 manteles en 15 horas. Ejercicio 13. Una fábrica con 4 máquinas puede empacar 100 juguetes en 3 horas. ¿Cuántos juguetes pueden empacar 6 máquinas en 5 horas?
1.
Regla de tres inversa Cuatro bombas tardan 6 horas en llenar un tinaco de agua. Si se descompone una bomba, ¿cuánto tiempo tardarán las otras 3 bombas en llenarlo? Solución: Planteamos la situación en un diagrama 4 → 3 →
6 .
En este caso observamos que si aumentamos el número de bombas, el tiempo disminuye y si disminuimos el número de bombas el tiempo aumenta. Entonces en el diagrama anterior, intercambiamos los valores en una de las columnas: 105
4 3
→ →
6.
Y ahora hacemos los cálculos 4 6 8. 3 Por lo tanto, tres bombas tardan 8 horas en llenar el tinaco. 2. Un engrane de 20 cm de diámetro gira a 350 revoluciones por minuto. Si el número de revoluciones por minuto es inversamente proporcional al diámetro del engrane, ¿cuántas revoluciones por minuto da un engrane que mide 5 cm de diámetro? Solución: Escribimos los datos en el siguiente diagrama 20 → 5 →
350 .
Como el número de revoluciones por minuto es inversamente proporcional al diámetro del engrane, entonces el diagrama anterior lo escribimos como: 20 5
→ → 350.
20 350 5
20 70
Así 1400.
Por lo tanto, el engrane que tiene 5 cm de diámetro da 1400 revoluciones por minuto. Ejercicio 3. Uno de los engranes de un reloj tiene un diámetro de 4 mm y gira 10 revoluciones por segundo. Si este engrane mueve otro que mide 4 cm, ¿cuántas revoluciones por segundo da el engrane grande?
4. Un automóvil tarda 3 horas en recorrer cierta distancia a una velocidad promedio de 90 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en recorrer esa misma distancia si su velocidad promedio es de 120 km/h? ¿Qué distancia recorrió? 106
Solución: Como la velocidad es igual a la distancia entre el tiempo: . Entonces tenemos que , En este caso la distancia es constante, entonces el tiempo es inversamente proporcional a la velocidad. Calculamos 3h 90km/h 270km. Así el automóvil recorrió 270 km. Ahora para saber, cuánto tiempo hizo en recorrer esta distancia, si su velocidad promedio fue de 120 km/h, calculamos 270km 120km/h
9 h 4
2 h.
Por lo tanto, el automóvil tarda 2 horas y 15 minutos en recorrer los 270 km.
107
Unidad V. Conteo y probabilidad
Diversas formas de contar y la regla del producto. Introducci贸n del azar. Experimentos aleatorios, espacio muestral y eventos. Distintas formas de determinar la probabilidad de un evento y la relaci贸n entre ellas, comparaci贸n de eventos. Estad铆stica descriptiva.
108
Conteo y Probabilidad Introducción En esta unidad se abordan algunos temas introductorios de la probabilidad y la estadística. Se inicia con problemas de conteo, que pueden ser resueltos utilizando árboles y tablas. A continuación se introducen los conceptos de espacio muestral y probabilidad de un evento. Finalmente, dentro del tema de estadística se introducen algunas medidas de tendencia central, como son la media, la mediana y la moda, y se ve, mediante ejemplos cuándo es conveniente usar cada una de ellas. Diversas formas de contar y la regla del producto Vamos a resolver diversos problemas de conteo de forma gráfica e intentar llegar a una fórmula general para este tipo de problemas. Problema 1 Una fábrica de automóviles ofrece un modelo con las siguientes variantes: Caja de velocidades: Automática o Estándar. Tipo de techo: Techo normal, quemacocos, convertible. ¿Cuántas variantes de este modelo se pueden ofrecer considerando estas opciones? Solución: Una manera de resolver este problema es mediante un diagrama de árbol
Automático
Techo duro Quemacocos Convertible
Modelo base Estándar
Techo duro Quemacocos Convertible
Una vez hecho el árbol vemos que hay 6 datos en la última columna, que corresponden a las 6 variantes que puede haber:
109
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Automático Automático Automático Estándar Estándar Estándar
Techo duro Quemacocos Convertible Techo duro Quemacocos Convertible
Antes de pasar a otra manera de contar, es conveniente hacer más ejercicios de este tipo Problema 2 Un restaurante tiene el siguiente menú: Primer plato Sopa de verduras Arroz con chicharos Segundo plato Pollo Adobado Puntas de Filete Pescado a la Plancha Postre Flan Gelatina ¿Cuántas comidas diferentes puede haber sirviendo un plato de cada grupo? Hacemos nuevamente un árbol, solo que ahora tiene más ramas
110
Pollo Sopa Menú
Filete Pescado Pollo
Arroz
Filete Pescado
Flan Gelatina Flan Gelatina Flan Gelatina Flan Gelatina Flan Gelatina Flan Gelatina
Podemos enlistar todas las comidas diferentes siguiendo todos los caminos indicados por las flechas. 1. Sopa, Pollo, Flan 2. Sopa, Pollo, Gelatina 3. Sopa, Filete, Flan … 12. Arroz, Pescado, Gelatina Ejercicios Diseñar otros ejercicios similares con temas que pudieran ser de interés para los alumnos de secundaria y que los resuelvan.
Otra manera de contar, para el caso de dos juegos de elecciones, como el ejemplo del coche, es hacer una tabla. Como encabezado de las columnas ponemos las opciones de un tipo, en este caso, tipo de transmisión, y como encabezado de los renglones ponemos los tipos de transmisión. Techo duro Quemacocos Convertible
Automático Techo duro, Automático Quemacocos, Automático Convertible, Automático
Estándar Techo duro, Estándar Quemacocos, Estándar Convertible, Estándar
111
En la parte interior de la tabla, en cada celda ponemos el encabezado del renglón y de la columna a la que pertenece dicha celda. Para contar el número de opciones distintas observamos que la parte interior de la tabla (sin contar los encabezados) tiene 2 columnas y 3 renglones, por lo que tiene 2
3 celdas.
En general, cuando tenemos un problema de conteo en el que tenemos dos o más grupos de opciones y debemos elegir paquetes formados por una opción de cada grupo, el número de paquetes posibles es igual al producto de los números de elementos de cada grupo de opciones. Así, en el problema del menú del restaurante, tenemos: 2 primeros platos, 3 segundos platos, 2 postres. Entonces hay 2 3 árbol de opciones.
2
12 comidas distintas, como pudimos ver construyendo el
Este problema es más difícil de visualizar mediante una tabla, ya que ésta tendría que ser de tres dimensiones:
Pollo
Filete Gelatina
Pescado
Flan Sopa
Arroz
Cada bloque representa una comida diferente, y podemos ver que hay 12 bloques en total, que corresponde al producto de los elementos de cada grupo de opciones. 2
3
2
12 comidas 112
Introducción al azar. El estudio de la probabilidad tiene su origen en los juegos de azar, sin embargo actualmente tiene muchísimas aplicaciones sobre todo en las disciplinas sociales y económicas. Para este tema, nosotros también empezaremos analizando algunos juegos de azar sencillos para introducir todos los elementos necesarios para estudiar situaciones más complicadas. Experimentos aleatorios, espacio muestral y eventos Ejemplo 1 Consideremos el juego que consiste en lanzar un dado marcado con los números del 1 al 6 en las caras. El resultado de un lanzamiento es, entonces, un número del 1 al 6. Así, decimos que el espacio muestral del juego es el conjunto formado por los números del 1 al 6. {1, 2, 3, 4, 5, 6}. A cada uno de los elementos de este espacio muestral le llamamos suceso. Si el dado está bien construido, todos los números tienen la misma probabilidad de salir. Como son 6 números, la probabilidad de que salga cualquiera de ellos es 1 6 Ejemplo 2 En un salón de clase hay 6 niños y 9 niñas. Se va a rifar un juguete entre ellos y para ello se introducen en una urna papelitos con los nombres de cada uno de ellos. El espacio muestral es el conjunto de nombres de los 15 alumnos de la clase, por ejemplo {Juan, Pedro,…, Cristina, Ana} Los sucesos son cada uno de los nombres de los alumnos. La probabilidad que tiene cada alumno de salir premiado es 113
1 . 15 Ejemplo 3 Consideremos el mismo grupo de alumnos del ejemplo anterior, solo que ahora se va a extraer un nombre de la urna. Si el nombre elegido es de un niño, la escolta para los honores a la bandera estará formada por únicamente niños, en cambio, si sale el nombre de una niña, la escolta será de niñas. El espacio muestral sigue siendo el conjunto de 15 nombres. Intuitivamente es claro que como hay más niñas que niños, es más fácil que salga el nombre de una niña de el de un niño.
Podemos representar en una cuadricula de 15 casillas al grupo y pintamos de azul a 6 de ellas para indicar a los niños y de rosa a las 9 restantes para indicar a las niñas. Tenemos que, como 6 de los 15 papelitos corresponden a niños, la probabilidad de elegir un niño es niño
6 15
2 . 5
Y como 9 de los 15 papelitos corresponden a niñas, la probabilidad de elegir una niña es niña
9 15
3 . 5
Un evento es una colección de sucesos de un espacio aleatorio. En este problema distinguimos dos eventos: El evento de elegir niño y el evento de elegir niña. La probabilidad de un evento es la suma de las probabilidades de los sucesos que lo conforman, así, la probabilidad de que salga niño es:
114
1 15
niño
1 15
1 15
1 15
1 15
1 15
6 15
2 . 5
Que es el resultado que habíamos obtenido previamente, similarmente, niña
1 15
1 15
1 15
1 15
1 15
1 15
1 15
1 15
1 15
9 15
3 . 5
En general tenemos que: Si en un espacio muestral todos los sucesos tienen la misma probabilidad de salir, la probabilidad de un evento es número de sucesos del evento . número total de sucesos En un lenguaje más coloquial se suele decir número de casos favorables . número total de casos Observaciones importantes: • •
• •
El denominador: “número total de casos” siempre es positivo. Si fuera cero no habría ningún suceso y no se le puede calcular la probabilidad a nadie. El numerador: “número de casos favorables” es mayor o igual que cero. Aquí sí tiene sentido que el evento no tenga casos favorables, en cuyo caso su probabilidad es 0. Por los dos comentarios anteriores, el cociente siempre es mayor o igual a cero. Es decir, la probabilidad es un número mayor o igual a cero. Como los casos favorables son algunos de los casos totales, el numerador siempre es menor o igual al denominador, por lo que el cociente siempre es menor o igual a uno. Es decir, la probabilidad es un número menor o igual a uno.
En resumen: Siempre se tiene que 0
1.
Distintas formas de determinar la probabilidad de un evento y la relación entre ellas, comparación de eventos Veamos ahora el juego de azar que consiste en lanzar dos dados con las caras numeradas del 1 al 6 y sumar el resultado de ambos dados. 115
Los resultados posibles son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Éste es nuestro espacio muestral. A diferencia del juego con un sólo dado en el que todos los sucesos tienen la misma probabilidad, 1⁄6, ahora los sucesos tienen diferentes probabilidades. Para que sea más fácil explicar, vamos a suponer que un dado es azul y el otro rojo. Por ejemplo, la única manera de sacar 2 es Azul 1
Rojo 1
En cambio, el 5 se puede obtener de 4 maneras: Azul 1 2 3 4
Rojo 4 3 2 1
Para calcular la probabilidad de estos sucesos necesitamos saber el número total de posibles tiradas. Por cada posición en la que caiga el dado azul, el dado rojo puede caer de 6 maneras distintas, por ejemplo Azul 1 1 1 1 1 1
Rojo 1 2 3 4 5 6
y así con los otros resultados del dado azul. Así que hay 6
6
36 tiradas posibles.
Entonces, de acuerdo a las dos tablas anteriores, 116
2
1 36
5
4 . 36
y
Ejercicio Completar la siguiente tabla con las 36 posibles tiradas y en la tercera columna cuenta cuåntas veces salió cada resultado. Azul 1 1 1 1 1 1 2 2 ‌
Rojo Suma 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 1 3 2 4
Ahora, completar esta tabla que mostrar la probabilidad de cada uno de los resultados posibles Resultado Cuenta Probabilidad 1 2 1 36 3 4 4 5 4 36 6 7 8 9 10 11 12
117
Estadística descriptiva Medidas de tendencia central La medida de tendencia central más común es el promedio, pero no es la única y no siempre es la más útil. Otras medidas de tendencia central son la mediana y la moda. Ejemplo En un salón de clase los alumnos miden: 1.35, 1.40, 1.33, 1.50, 1.51, 1.45, 1.47, 1.49, 1.38 metros El promedio de las alturas es: 1.35
1.40
12.88 9
1.33
1.50
1.51 9
1.45
1.47
1.49
1.38
1.43 m.
Si formamos en el patio a todos los alumnos, en orden de estatura, quedarían formados así: 1.33,
1.35,
1.38,
1.40,
1.45,
1.47,
1.49,
1.50,
1.51.
El alumno que está a la mitad de la fila mide 1.45 m. Decimos entonces que la mediana de las alturas de los alumnos es 1.45 m. La mediana de un conjunto de valores es el número que está a la mitad de ellos, una vez que están ordenados. La mediana y la media suelen tener valores parecidos. Sobre todo cuando la característica de la población que estamos estudiando es más o menos homogénea. Además, la mediana suele ser bastante fácil de obtener, pues sólo es necesario ordenar los valores de chico a grande. Observa en el ejemplo, que para encontrar la mediana de las alturas de los alumnos ni siquiera haría falta medirlos a todos, sino simplemente ordenarlos por estaturas y medir al de en medio. Otro dato interesante es que el promedio puede verse afectado por valores extremos de la población, por ejemplo, si el alumno más alto midiera 1.80 m en 118
lugar de 1.51, el promedio de las alturas sería 1.46 m. sin embargo, la mediana seguiría siendo la misma, así que es posible que la mediana sea un valor más representativo que el promedio. Observación: En el caso en que el número de datos a los cuales se les quiere sacar la mediana es impar, hay un número que queda exactamente a la mitad, y esa es la mediana. En cambio, cuando el número de datos es par, no hay ningún dato a la mitad, entonces tomamos como mediana el promedio de los dos datos centrales. Ejemplos: 1. Encontrar la mediana de 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 12. Solución: No hay ningún número a la mitad, porque hay 8 datos. Así que tomamos el promedio de los dos datos centrales. 5
6 2
5.5.
2. Encontrar la media de 4, 7, 7, 8, 9, 11,14 Solución: El número que está en el centro de la lista es el 8, así que la mediana es 8.
Hay veces en que el valor que estamos analizando no es numérico, así que no podemos sacar ni el promedio ni la mediana. En este caso nos será útil la moda. En un estacionamiento hay 5 coches blancos, 3 negros, 7 rojos, 4 azules y 10 grises. No podemos sacar el promedio o la mediana de los colores, pero sí podemos indicar cuál color es el más frecuente: el gris. La moda de esta población es “gris”. La moda de un conjunto de valores, numéricos o no, es el valor que más se repite. Por supuesto, la moda también se puede encontrar para datos numéricos, en el ejemplo 1 que está un poco más arriba, la moda es 5, y en el ejemplo 2, la moda es 7. 119