Curso: Fortalecimiento del pensamiento matemรกtico en los alumnos de segundo grado de secundaria
GUร A DEL PARTICIPANTE
El curso Fortalecimiento del pensamiento matemático en los alumnos de segundo grado de secundaria fue elaborado por la Universidad Nacional Autónoma de México, en colaboración con la Dirección General de Formación Continua de Maestros en Servicio, de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública. SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Mtro. Alonso Lujambio Irazábal Secretario de Educación Pública
Dr. José Narro Robles Rector
Mtro. José Fernando González Sánchez Subsecretario de Educación Básica
Dr. Sergio Alcocer Martínez de Castro Secretario General
Lic. Leticia Gutiérrez Corona Directora General de Formación Continua de Maestros en Servicio
Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez Secretaria de Desarrollo Institucional
Dra. Jessica Baños Poo Directora de Desarrollo Académico
Dr. Ramón Peralta y Fabi Director de la Facultad de Ciencias Coordinación General
Lic. Leticia Gutiérrez Corona
Dra. Rosaura Ruíz Gutiérrez
Coordinación Académica Dra. Jessica Baños Poo Dr. Jesús Polito Olvera Ing. Alma Lucia Hernández Pérez
Dr. Alfredo Arnaud Bobadilla M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza
Autores Dr. Fernando Brambila Paz Lic. Gabriel Gutiérrez García Dr. Carlos Hernández Garciadiego M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza Lic. Rosario Santillán Baltazar Revisión Lic. Víctor Núñez Pérez
Dr. Fernando Brambila Paz M. en C. Elena de Oteyza de Oteyza Diseño de Portada LDG Ricardo Muciño Mendoza
Este programa es de carácter público, no es patrocinado ni promovido por partido político alguno y sus recursos provienen de los impuestos que pagan los contribuyentes. Está prohibido el uso de este programa con fines políticos, electorales, de lucro y otros distintos a los establecidos. Quien haga uso indebido de los recursos de este programa deberá ser sancionado de acuerdo con la ley aplicable y ante la autoridad competente. D.R.© Secretaría de Educación Pública, 2009 Argentina 28, Colonia Centro, 06020, México, D.F. ISBN En trámite
Unidad I. Sentido numérico y pensamiento algebraico
Álgebra como aritmética generalizada (igualdad de expresiones algebraicas,
sucesiones,
funciones.
Ecuaciones
(solución
de
ecuaciones por métodos algebraicos y gráficos). Proporcionalidad.
1
Solución de ecuaciones de primer grado por un método geométrico Resolver la ecuación 2 Dada la ecuación 2 con longitud ,
4 4
0 usando regla y compás. 0, construimos los segmentos dirigidos
(el coeficiente ) y O
U
O
,
y
(el termino independiente) respectivamente. A
O
B
Sobreponemos los extremos izquierdos de los segmentos
y
en el punto
,
de tal forma que los segmentos queden perpendiculares, y colocamos el segmento de longitud
sobre el segmento
, coincidiendo en el extremo izquierdo de
ambos segmentos.
Prolongamos el segmento partir de
, llamando
el segmento
en dirección contraria y con la misma magnitud a
al otro extremo de este segmento prolongado, obteniendo
, después unimos
con
Trazamos una recta paralela al segmento Llamamos
. que pase por el punto .
al punto de intersección de la recta paralela construida con la línea
que contiene al segmento solución de la ecuación
, así tenemos que el segmento dirigido
es la
.
2
B
4
U A
O
-2 = OX
2 X
B1
Justificación: Los triángulos ∆
~∆
⇒
Por lo tanto, el segmento dirigido
son semejantes por ∢, ∢, ∢ , entonces
4
1 ⇒ 2
4 2
2.
es la solución de la ecuación
.
Veamos ahora una explicación algebraica de lo que hicimos al resolver geométricamente la ecuación
.
Hay que recordar que en una igualdad, se tiene que distinguir el miembro izquierdo y miembro derecho de la igualdad: .
Resolverla algebraicamente, consiste en “despejar la ”, es decir dejar solo la en un solo miembro de la igualdad.
Iniciamos sumando el inverso aditivo del 2
4
en ambos miembros de la ecuación: 0
.
Por propiedades de los números reales tenemos: 3
2
0
⇒ 2
0
⇒ 2
ó
. ó
que es equivalente a la ecuación
Obteniendo la ecuación
.
En la práctica uno “pasa el ” al miembro de la derecha de la ecuación como Para pasar de la ecuación 2
4
0 a la ecuación
En el método geométrico, el segmento dirigido
representa al , de la ecuación
(en este caso es positivo), razón por la cual construimos el segmento con
dirección contraria y con la misma magnitud de
, lo cual es
equivalente a “pasar el ” al miembro de la derecha de la ecuación como
Después para seguir despejando algebraicamente la multiplicamos por el inverso multiplicativo del coeficiente
.
en la ecuación (en nuestro ejemplo es
multiplicar por inverso multiplicativo del 2) en ambos miembros de la ecuación: 2
4
Por propiedades de los números reales tenemos:
∙
4 ⇒
Obteniendo la ecuación
∙
4 ⇒
que es equivalente a la ecuación
, en
la cual ya se tiene despejada la . En la práctica uno “pasa dividiendo el derecha de la ecuación, para obtener de
” (que no es cero) al miembro de la la ecuación
.
4
En el método geométrico, basta dividir el segmento dirigido número
de la ecuación
representa al número
que representa al
, entre el segmento dirigido
que está multiplicando a la
en la ecuación
que .
Para esto recordemos cómo dividir segmentos dirigidos. Dados dos segmentos el segmento
y
, de longitud
y
respectivamente, necesitamos
de longitud uno. O
U
O
A
O
B
Sobreponemos los extremos izquierdos de los segmentos
y
en el punto
,
de manera que los segmentos queden perpendiculares, y colocamos el segmento de
sobre el segmento
coincidiendo en el extremo izquierdo de ambos
segmentos. Trazamos el segmento
que une el punto
una recta paralela al segmento
con el punto
que pase por el punto
, después trazamos , llamamos
al
punto de intersección de la recta paralela con la línea que contiene al segmento .
B
C
b b/a
1 O
U
A
a Justificación:
5
∆
~∆
Por lo tanto, el segmento
⇒
⇒
⇒
1
.
es la división del segmento
entre el segmento
Podemos generalizar esta idea, si tenemos la ecuación
, donde los
.
números
y
longitudes , O
son enteros positivos, construimos los segmentos y
U
•
respectivamente, donde O
A
,
y
de
. O
B
Sobreponemos los extremos izquierdos de los segmentos de longitudes y
, de tal forma que los segmentos queden
en el punto
perpendiculares. •
Colocamos el segmento de longitud
sobre el segmento de longitud
,
coincidiendo en el extremo izquierdo de ambos segmentos. •
en dirección contraria y con la misma
Prolongamos el segmento magnitud a partir de
. Llamamos
al otro extremo de este segmento
prolongado. •
Unimos con un segmento
•
Trazamos una recta paralela al segmento
•
Llamamos
con
. que pase por el punto -
al punto de intersección de la recta paralela construida con la
línea que contiene al segmento
, así tenemos que segmento dirigido
es la solución de la ecuación.
6
B
b
1 O
U A
a
X
B1
Justificación: Los triángulos ∆
~∆
⇒
por lo que el segmento dirigido
Por último si a la ecuación
son semejantes por ∢, ∢, ∢ , entonces 1
⇒
,
es la solución de la ecuación
.
, en vez de igualar el miembro izquierdo a
cero lo igualamos a la variable
, obtenemos la ecuación
, la cual es
una ecuación de 1° grado en dos variables, cuyas soluciones a dicha ecuación son parejas de números por
y
por
,
que satisfacen la ecuación
, al sustituir
.
Para encontrar algunas soluciones, basta tabular algunos valores arbitrarios de .
7
, 2 0
2,0
1 2
1,2
0
4
0,4
1
6
1,6
2
8
2,8
Donde cada renglón de la segunda columna se obtiene al sustituir el valor de la del mismo renglón en la ecuación el valor
para obtener el valor de , es decir
está en función del valor de . Por ejemplo, si el valor de la
es 1
tenemos que 2
4
.
ó
Por lo que la pareja
1,6 es una solución de la ecuación
misma manera obtenemos A
2,0 , B
1,2 , C 0,4
, de la
y E 2,8 .
Si localizamos estas parejas de puntos en el plano cartesiano, tendremos que estos puntos están sobre una recta, de este modo tenemos que la ecuación representa esta recta.
8
Eje Y
8
E
7
6
D 5
4
C
3
B
2
1
A -10
-8
-6
-4
-2
2 -1
Por lo que la solución de
Eje X
4
6
8
, es donde la recta
10
corta al eje .
Ejercicios 1.- Dados los segmentos
y
, de longitud
y respectivamente construir
con regla y compás los segmentos de longitud: a)
.
b)
∙ .
.
c)
.
d)
2.- Resolver las siguientes ecuaciones de 1° grado con una variable usando regla y compás: a) 2
3
0.
b) 2
3
0.
c)
2
3
0.
d)
2
3
0.
9
Igualdad de expresiones algebraicas 1. Resolver la ecuación 3 3
2
6
5
2 3
.
Solución: Despejamos : 3 3 9
2 6 3
6 6 6 6
5 5 3 6.
2 3 6 2 6
Observamos que al resolver esta ecuación llegamos a que 6 es igual a 6, lo cual es cierto. Pero qué significa este resultado. El resultado nos indica que la ecuación 3 3
2
6
5
2 3
es una identidad, es decir, que se satisface para cualquier valor que le demos a . Por ejemplo, si 1, tenemos: Lado izquierdo de la ecuación: 3 3
2
6
3 3 1 2 6 3 3 2 6 3 1 6 3 6 3.
1
Lado derecho de la ecuación: 5
2 3
5
1
2 3 2 3 1 2 4 8
1
Por lo tanto, el resultado que obtuvimos fue que 3
3.
5 5 5 3.
Si consideramos ahora
2, entonces:
Lado izquierdo de la ecuación:
10
3 3
2
6
3 3 2 2 6 2 3 6 2 12 3 8 12 24 12 12.
Lado derecho de la ecuación: 5
2 3
5 2 2 3 10 2 1 12.
2
Por lo tanto, el resultado que obtuvimos fue que 12
2. Resolver la ecuación 4 3 2 Solución: Resolvemos la ecuación 4 3 2 4 12 2 6 6
La solución de la ecuación es Comprobación:
1
1 2 14 5
5
12.
2
5 2 5 10 5 2 2 14 16.
12.
12 12
16.
Lado izquierdo de la ecuación: 4
3
2
1
4 16 3 2 16 4 13 2 15 52 30 82.
12
5 16 2 12 5 14 12 70 12 82.
1
Lado derecho de la ecuación: 5
2
11
3. Analizar la ecuación 5 2 1 1 2 Solución: Simplificamos la ecuación 5 2 1 1 10 5 5 10 0 El resultado al que llegamos es falso esta ecuación no tiene solución.
5
2
3.
2 5 2 3 10 4 3 10 7 7. ya que 0 no es igual a 7, entonces
Ejercicios. Determinar si las siguientes ecuaciones son identidades, no tienen solución o bien tienen solución pero no son una identidad. 4. 3 3 5 4 4 2 9. 5. 9 1 5 2 8 1 9. 6. 7 2 4 4 3 1 5.
12
Problemas 1. De un rollo de cable eléctrico se han utilizado , ,
del total y todavía
quedan 8 metros. ¿Cuántos metros de cable tenía el rollo antes de empezar a usarlo? Solución: Llamamos al número de metros de cable que tenía originalmente el rollo. Planteamos la ecuación: 1 1 1 8 . 2 6 5 Despejamos : 1 2 1 2
1 5 1 5 6
15
1 6 1 6 5
8 8 30
30 4 30 2 15
8 8 8 15 2 4 15 60. 8
Por lo tanto, el rollo tenía 60 metros de cable. Unos de los problemas más clásicos relata la vida de Diofanto y aparece en la lápida de su tumba: 2. ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuán larga fue su vida, cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrióse su barbilla. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre. Y con profunda pena descendió a la sepultura habiendo
13
sobrevivido 4 años al deceso de su hijo. ¿Qué edad tenía Diofanto cuando murió? Solución: Llamamos a la edad de Diofanto. Como el texto es muy largo, extraemos los datos del problema analizando los datos de la siguiente manera: Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia: . Una duodécima parte de su vida:
.
La séptima parte de su existencia transcurrió: Pasó un quinquenio: 5. Que duró tan sólo la mitad de la de su padre: Habiendo sobrevivido 4 años: 4. Con estos datos formulamos la ecuación: 6
12
5
7
4
2
Y ahora la resolvemos: 6
12
7
6
12
6 14
7
5 7
12 7 12 42 84
2 2
4 9
2 84 9 84
9 9 9 9
84 9
84. Por lo tanto, Diofanto tenía 84 años cuando murió.
Ejercicio 3. De una bolsa de harina se han utilizado , ,
del total y todavía quedan
de kilogramo. ¿Cuántos kilogramos pesaba la bolsa antes de empezarla a utilizar?
14
4. Un Matemático y un Físico se reunieron a tomar café y comentan: Físico – A mí no me gusta pensar, yo experimento. Matemático – Yo sí dedico mucho tiempo a pensar, eso es lo mío. Solo a uno le gusta pensar y al menos uno de los dos miente. ¿Quién dijo la verdad? Solución: Hay cuatro posibilidades: a. El Físico dice la verdad y el Matemático miente. b. El Físico miente y el Matemático dice la verdad. c. Ambos mientes. d. Ambos dicen la verdad. Esta posibilidad se descarta ya que por las hipótesis del problema al menos uno miente. Analizamos las tres primeras posibilidades: La primera implica que al Matemático no le gusta pensar y al Físico tampoco, lo cual no puede ser. Ya que solo a uno le gusta pensar. La segunda implica que a los dos les gusta pensar, tampoco puede ser por la misma razón. La tercera es cierta, ambos mienten. Entonces al Físico le gusta pensar y al Matemático no.
15
Proporcionalidad Directa y Proporcionalidad Inversa. Veremos a continuación algunas aplicaciones de proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa y combinaciones de estas dos 1. En una imprenta 3 máquinas pueden imprimir 1200 libros en 4 horas. ¿Cuántos libros pueden imprimir 5 máquinas en 6 horas? Solución a): Planteamos en un diagrama la situación del problema: Máquinas 3 → 5 →
Libros 1200
Libros → →
Horas 4 6
Primero vemos cuántos libros pueden imprimir 5 máquinas en 4 horas. 3 5
→ 1200 → .
De donde 5 1200 3
5 400
2000.
Ahora nos planteamos la pregunta: ¿Cuántos libros pueden imprimir esas 5 máquinas en 6 horas? Libros 2000
Horas 4 6
→ →
Planteamos la regla de tres: 2000 → →
4 6.
De donde 6 2000 4
6 500
3000.
Por lo tanto, 5 máquinas pueden imprimir 3000 libros en 6 horas. Solución b): 16
Otra manera de razonar y resolver este tipo de problema es calculando primero el número de libros que produce una máquina en una hora. Esto es, dividir 1200 libros entre 3 máquinas. De donde se deduce que 1 máquina produce 400 libros en 4 horas y al dividir 400 libros entre 4 horas, concluimos que 1 máquina produce 100 libros en 1 hora. Ahora bien, deducimos entonces que 5 máquinas producen en una hora 500 libros y en 6 horas 3000 libros. En el ejemplo 1 se hizo una sucesión de proporcionalidad directa seguida de otra proporcionalidad directa. A continuación un ejemplo combinado. 2. En una imprenta 3 máquinas pueden imprimir 1200 libros en 4 horas. ¿Cuántas máquinas se necesitan para imprimir 7200 libros en 8 horas? Solución a): Este es un ejemplo donde debemos de usar primero proporcionalidad directa y luego proporcionalidad inversa. Planteamos en un diagrama la situación del problema. Observamos que como la segunda es inversa entonces en el diagrama la tercera columna aparece con las variables intercambiadas. Libros 1200 7200
→ →
Máquinas 3
Máquinas → →
Horas 4 8
Primero vemos cuántas maquinas se necesitan para imprimir 7200 libros en 4 horas. 1200 → 7200 →
3 .
De donde 3 7200 1200
3 6
18.
Ahora nos planteamos la pregunta: ¿Cuántos maquinas se necesitan para imprimir los mismos 7200 pero ahora en 8 horas? Maquinas
Horas 17
→ →
18
4 8
Planteamos la regla de tres: 18
→ 4 → 8.
De donde 18 4 8
9.
Por lo tanto, 9 máquinas pueden imprimir 7200 libros en 8 horas. Solución b): Este problema se puede razonar de la siguiente manera. Una máquina en una hora produce 100 libros y por lo tanto en 8 horas una sola máquina produce 800 libros, de ahí al dividir 7200 entre 800 se determinan que con 9 máquinas se imprimen 7200 libros en 8 horas. Ejercicio 3. Si el impresor se asocia con otras imprentas y juntan 12 máquinas, que producen a razón de 1200 libros con 3 máquinas en 4 horas. • Los impresores asociados tienen un pedido de 16000 libros ¿En cuántas horas tendrían el pedido listo? • Los impresores asociados en un turno de 8 horas, ¿cuántos libros pueden imprimir? 4. Diseñe ejemplos en los que la solución requiera: • Proporción directa. • Proporción inversa. • Proporción directa seguida de proporción inversa • Proporción inversa seguida de proporción directa.
18
Unidad II. Forma, espacio y medida
Propiedades de los objetos geométricos (rectas, figuras planas, sólidos).
Relaciones
métricas
(perímetros,
áreas,
volúmenes,
trigonometría). La demostración en geometría.
19
Introducción En esta unidad empezamos por dar un repaso rápido de algunos conceptos geométricos. Después veremos la demostración que aparece en el libro I de Los Elementos de Euclides del conocido resultado: “La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.” En la sección de prismas y poliedros se proporcionan las plantillas para construirlos y realizar una actividad con ellos. En la parte que corresponde a trigonometría se utiliza el plano cartesiano y el círculo unitario, es decir, el círculo con centro en el origen y radio uno, para representar las razones trigonométricas como segmentos rectilíneos.
Propiedades de los objetos geométricos Recta Veamos un rápido repaso de los conceptos básicos de: Punto Recta: está determinada por cualesquiera dos de sus puntos. Observamos que en la siguiente figura aparecen unas flechas las cuales están indicando que la recta se extiende indefinidamente en ambas direcciones:
B
A
Segmento: pedazo de recta comprendido entre dos puntos una recta, incluyendo a los puntos
y
que determinan
y . B
A Segment o
20
Rayo: Si tenemos un punto
sobre una recta, el punto
divide a ésta recta en
dos partes llamadas rayos. O Ray o Ray o
Rectas paralelas: se dirá que dos rectas son paralelas, si la distancia entre ellas siempre permanece constante. l1 d l2
ÁNGULO La apertura entre dos: rectas, rayos o segmentos. Observemos que dos rectas determinan 4 ángulos. ÁNGULOS , α4
α1 α2
l1
, α1
α3
Β
l2
α1 O
Α
Para el caso del ángulo entre dos segmentos se denotarán como sigue: ∢
.
ADYACENTES Los ángulo
y
son adyacentes y ∢
.
21
Α α1
Ο
α2 Β
Si dos rectas se cortan en un punto ,
α4
α1
O
α2
l1
α3 l2
determinando cuatro ángulos, estos cumplen: a) Si dos de estos ángulos son adyacentes, entonces suman 180 . Por ejemplo: 180 . Si dos ángulos adyacentes son iguales entonces las rectas son perpendiculares o sus ángulos son de 90 .
l2 l1
b) Los pares de ángulos no consecutivos se llaman ángulos opuestos por el vértice, y éstos son iguales. Por ejemplo:
. Agudo y obtuso
22
El ángulo
es menor a 90 y se llama ángulo agudo, mientras que el ángulo
es
mayor a 90 y se llama obtuso.
Complementarios y suplementarios. Se dice que dos ángulos
y
son complementarios si su suma es 90 .
α β
Se dice que dos ángulos
y
.
son suplementarios si su suma es 180 .
α
β
. Exteriores e interiores Si
dos rectas
y
son cortadas por una tercera recta
, a
se le llama
transversal. l3
transversal 5
6
1
2
l2
3
4
7
8
l1
. 23
Interiores: son los ángulos 1, 2, 3 y , 4 que se encuentran entre las rectas
y
l3
l2 1
2
4
3
l1
. Exteriores: son los ángulos 5, 6, 7 y , 8 que no se encuentran entre las rectas
y
l3
5
l2
6
7
l1
8
. Alternos internos: de los ángulos interiores se toman los que están alternados. l3
l3
l2
l2 1
2
4
3 l1
l1
o bien Alternos externos: de los ángulos exteriores se toman los que están alternados.
24
l3
l3
l2
5
8
6
l1
l2
l1
7
o bien
Correspondientes:
l2
6
l2
5
l2 1
4
3 l1
l1
7
l1
l2 2
8
l1
La demostración en geometría Uno de los resultados más usados en geometría es: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. 25
Veamos la demostración que aparece en el libro I de Los Elementos de Euclides. Nota: Los Elementos de Euclides son 13 libros y aunque la versión original de estos libros fue escrita en Griego, todas las versiones que se conocen en la actualidad vienen de la traducción del árabe. Demostrar: quiere decir que a partir de alguna(s) hipótesis validas se llegue a justificar la tesis de una proposición. En este caso para demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Se tiene lo siguiente: Hipótesis: Consideremos las rectas paralelas l3
y
.
transversal 5
6
1
2
l2
3
4
7
8
l1
Siempre se cumple que los ángulo alternos internos son iguales y los ángulos correspondientes también son iguales: l3
l2
6
l2
1
4
4
l1
l1
Figura 1
Figura 2
26
Tesis: la suma de los ángulos interiores ,
y
de un triángulo es 180°.
B a
c
β
α
γ C
b
A
180°, o bien ∢
∢
∢
180°.
Demostración: Para poder demostrar esto se tienen que hacer construcciones auxiliares sobre el triángulo que se tiene: •
Prolonguemos el lado
•
Tracemos la recta paralela al segmento
hasta un punto . que pase por el punto .
B
β
a
C
es paralela
c
α
γ
Como
E
b
,y
A
D
es una trasversal, se cumple ∢
∢
,
pues son ángulos correspondientes, ver Figura 2 de la hipótesis.
27
Como
es paralela
,y
es una trasversal, se cumple ∢
∢
,
pues son ángulos alterno internos, ver Figura 1 de la hipótesis. Luego, B
E c
β
a
C
Como
b
y∢
γ
A
es una recta, pues por construcción
los ángulos ∢ ángulo ∢
β
α
γ
D
se prolongó hasta el punto
,y
son adyacentes, su suma es el ángulo suplementario al
. Por lo que: ∢
∢
∢
180° ,
∢
∢
∢
180° .
o bien
Ejercicio Probar que para cualquier triángulo
, se tiene que el ángulo externo
es igual
a la suma de los ángulos internos no adyacentes. B
β γ C
θ
α A
28
Figuras planas Clasificación de los triángulos
Clasificación de los cuadriláteros de acuerdo al paralelismo de sus lados opuestos. CUADRILÁTEROS
Cuatro lados
Trapecios
Paralelogramo
Rectángulo Escaleno Isóceles Rectángulo
Cuadrado
Romboide
Trapezoide
Simétrico
Asimétrico
Rombo
29
Ejercicios Dado el siguiente hexágono regular, encontrar los ángulos interiores de los triángulos
,
,
y
formados por los lados del hexágono y 3 diagonales. A
B T1 T2 C
T3
D
T4
F
E
Solución: Los ángulos interiores de un hexágono miden 120 , razón por la cual el ángulo ∢
120° . El triángulo
es isósceles ya que ∢
Como los segmentos
y
abarca el diámetro
por lo tanto el ángulo ∢
30°.
son paralelos y ∢
El ángulo ∢
∢
, por lo tanto
∢
es una transversal, entonces 30°.
del círculo que circunscribe al hexágono,
90°. En el triángulo rectángulo
, ya conocemos
dos de los ángulos, por lo que concluimos que el ángulo ∢
60°, como se
muestra en la siguiente figura.
30
A
B
30° 30° 120°
C
F
30° 60° E
D
Y finalmente, por simetría con respecto a la diagonal
tenemos todos los
ángulos buscados. A
B 120°
30° 30°
30° 30°
30° 120°
C
F
30° 60° 60°
.
D
E
Construyendo cajas de regalo novedosas Se ha organizado una fiesta con motivo del cumpleaños de Pedro que es matemático. Los amigos de Pedro tienen por costumbre que el festejado sugiera un reto al resto de los invitados. Por ejemplo, en una ocasión cada uno llevó un chiste, otra vez fueron disfrazados de la época medieval. Pero en esta ocasión Pedro, como buen matemático, propuso que premiaría al que trajera una envoltura de regalo original.
31
Alguno de los invitados que no era matemático se le ocurrió algo sencillo, pensó construiré los siguientes triángulos al azar, para trazar una caja tetraédrica:
D
A
B
C Pero ahora cómo tendrán que ser las otras dos caras para formar dicha caja de regalo. Un diseño fue el siguiente: Diseño 1: Formo una caja tetraédrica, como sigue:
Con centro en
y radio
trazar una circunferencia, y poner un punto sobre ésta
circunferencia, llamar , a este punto.
32
D
E
A
B
C
Trazar los segmentos
y
.
D
E
A
B
C Para trazar el otro lado del tetraedro, se trazan las circunferencias, una con centro en centro en Llamamos
y radio
, y la otra con centro en centro en
y radio
.
al punto de intersecci贸n de ambas circunferencias.
33
D
E
A
B
C
F
Tracemos los segmentos
y
,
34
D
E
A
B
C
F
En tu cartulina u hoja debe verse como en la figura 1. Cortemos y peguemos ver figura 2.
Figura 1
Figura 2
35
La caja formada para el regalo es como sigue, aparecen dos cajas aparentemente diferentes pero realmente lo que sucede es que se doblaron una por un lado de la hoja y la otra por el reverso de la hoja:
Desigualdad del triángulo. Cuando se tienen tres segmentos o palos para que se forme un triángulo es necesario que se cumpla que la suma de las magnitudes de dos segmentos o palos sea mayor a la magnitud del tercer segmento o palo, en caso contrario no se podrá construir un triángulo como lo que nos sucedió en la actividad anterior. La demostración en geometría Demostrar la desigualdad del triángulo. •
Hipótesis: La distancia mas corta entre dos puntos
y
es la magnitud
del segmento.
B
A
36
•
Tésis: la suma de las magnitudes de dos lados es mayor a la magnitud del tecer lado.
Demostración:
B a
b
C La magnitud del segmento
c
es
A
y esta es la menor de acuerdo a la hipótesis, la
suma de la magnitud de los segmentos punto
Ahora si
esta fuera del segmento
y
es
, y ésta es mayor, pues el
.
esta en el segmento se tendría lo siguiente:
B
a C C
c A
b
A
Por lo que juntado ambas: , Pero lo mismo sucede con los otro dos segmentos:
37
B a
c
b
C
A ,
B a
c
b
C
A .
Por lo tanto: si
es un triángulo entonces se cumple: ,
y
.
Ejercicio: Diga con cuáles de las siguientes ternas se puede construir un triángulo. a) 4, 5, 6. b) 5, 5, 5. c) 2, 7, 4. d) 6, 2, 3. e) 1, 3, 1. Relaciones métricas en los volúmenes 38
Revisar http://es.wikipedia.org/wiki/Relaciones_m%C3%A9tricas_en_el_tri%C3%A1ngulo Actividad Formar equipos de 5 personas para construir prismas y pirรกmides. Los cuales ya vienen impresos, se debe tener copia de estos en acetatos, para facilitar la actividad. Recortar los siguientes prismas y pirรกmides por el contorno mรกs delgado.
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Una vez formadas las pirámides y los prismas.
Llenar las pirámides con sal, harina o cualquier grano fino, hasta que queden perfectamente bien llenos.
Una vez bien llenados.
Vaciar el contenido en su prisma respectivo, hasta que la pirámide quede vacía.
52
Observamos que la cantidad en cada uno de los prismas es:
Aplicando el teorema de Thales se tiene:
3
2
1 1 1 3
1
53
El volumen del tetraedro es igual a la tercera parte del volumen del prisma que tenga la misma base y la misma altura. Es decir:
h
p
h1
h1 b
3
2 Á
á
6
.
á
Pero esto sucede para cualquier pirámide que tenga la misma base y la misma altura que el prisma. En decir: Volumen pirámide
Volumen del prisma 3
área de la base 3
altura
.
Propiedades de los sólidos Con los sólidos formados vamos a hacer la siguiente actividad, contando aristas caras, vértices. Caras: polígonos que limitan al poliedro. Arista: segmentos intersección de caras. Vértices: puntos de intersección de las aristas. 54
aristas vértices caras
Actividad Llenar las siguientes tablas y encontrar la relación que hay entre caras, vértices y aristas de un sólido. Prismas de base Triángulo rectángulo
Caras
Vértices
Aristas
5
6
9
6
8
12
Caras
Vértices
Aristas
4
4
6
5
5
8
Triángulo equilátero Rectángulo Cuadrado Hexágono Pirámide Triángulo rectángulo Triángulo equilátero Rectángulo Cuadrado Hexágono
55
Trigonometría Segmentos que representan las razones trigonométricas y su justificación. Hay que hacer hincapié en lo siguiente: Para hablar de identidades trigonométricas primero notemos lo siguiente: •
Las identidades trigonométricas son relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo con respecto a un ángulo : A Hipotenusa B
Cateto opuesto
θ Cateto adyacente
C
La trigonometría es el estudio de las relaciones de los ángulos y los lados de un triángulo. Para estudiar estas relaciones, seguimos los siguientes pasos. Primero tracemos dos rectas perpendiculares a las que llamaremos ejes, y llamemos
al punto de intersección de las rectas.
Ο
Con el compás tracemos una circunferencia con centro en
, y apertura del
compás mayor que cero, que tomaremos como radio 1 . Y pongamos un punto en el primer cuadrante sobre esta circunferencia al cual denotaremos como
,
, 56
teniendo cuidado de que no sean las intersecciones de la circunferencia con las rectas.
B (a, b)
O
Tracemos la recta paralela al eje vertical que pase por el punto
,
. Para formar
un triángulo rectángulo. Como sigue:
B (a, b)
1
b
θ a
A
Comenzaremos con las identidades trigonométricas: sen sen cos
cateto opuesto hipotenusa
1
, cateto adyacente hipotenusa
1 57
cos
.
Por lo que:
B (a, b)
1
b =senθ
θ O a= cos θ
A
C
También es posible representar las razones trigonométricas de tan , cot
y csc
como segmentos rectilíneos, como están en el siguiente dibujo:
D
D cot θ
θ
B (a, b)
1
b = senθ
θ O a= cos θ
csc θ
tan θ
θ
cot θ
θ
B (a, b)
1 θ
C
A
O a= cos θ
sec θ
tan θ C
A sec θ
Por la semejanza de los triángulos ∆ cos 1 1 sen
θ
sen tan
~∆
tenemos:
, entonces tan , entonces
sec 58
Y por la semejanza de ∆
~∆ 1 sen 1 cos
tenemos:
1 csc
, entonces csc , entonces
cot
Basta que recordemos: tan
sen cos
cot
cos sen y
sec
1 cos
cos
1 sen
Ejercicio: ¿Por qué los segmentos que se indican en el siguiente dibujo representan las razones trigonométricas correspondientes?
59
Sugerencia: Considere la siguiente semejanza de triángulos ∆
~∆
,
Medir la longitud de un arco circular. Recordemos que si el ángulo
queda fijo y variamos el radio de la circunferencia,
entonces la razón entre el arco AB que subtiende el ángulo
y el radio de la
circunferencia también es constante. (Ver los siguientes dos dibujos), donde se mantiene el ángulo fijo y se varía los radios, pero la razón se mantiene constante.
60
Aquí conviene hacer uso de algún software, para hacer la simulación, de lo anterior.
61
a) Con ésta misma simulación, también se puede aproximar la medida que debe tener el ángulo, para que la razón entre el arco y el radio sea 1. Y con esto podemos definir que tal medida se le llama 1 radián.
Se puede recordar aquí también como pasar de radianes a grados y viceversa, es decir, 1°
180
radianes
1 radián
180 grados. π
b) También aquí podemos usar esta simulación para dar una aproximación entera del número π , el cual nos dice el número de
veces que el diámetro de la
circunferencia cabe en su perímetro.
62
Finalmente como la razón entre el arco AB que subtiende el ángulo la circunferencia es constante cuando se mantiene el ángulo
y el radio de fijo entonces
tenemos: AB
AB 1
Entonces AB pero A′B′
θ ya que
que AB
∙
A′B′ ,
está medido en radianes en la circunferencia unitaria, por lo
(ver el dibujo siguiente)
63
64
Unidad III. Manejo de la informaci贸n
Temas de estad铆stica (distintas formas de representaci贸n gr谩fica de datos, medidas de tendencia central). Problemas de conteo. Temas de probabilidad.
65
Manejo de Información Introducción En esta unidad de ven varios temas de probabilidad y estadística. Se inicia mostrando los diversos tipos de gráficas para representar datos estadísticos, haciendo hincapié en cuándo debe usarse cada una de ellas. A continuación, se muestran problemas de conteo que requieren un poco más de herramienta de la vista en primer año, en particular, se muestra cómo relacionar ciertos problemas de conteo con el triángulo de Pascal y con las potencias de un binomio. Se introduce también el concepto de gráficas de frecuencia y se utiliza para poder comparar de manera gráfica el comportamiento de dos poblaciones. Finalmente, dentro del tema de probabilidad se introducen los conceptos de eventos independientes y eventos mutuamente excluyentes para calcular probabilidades en las que se involucran estos conceptos. Distintas formas de representación gráfica de datos, medidas de tendencia central Cuando queremos analizar datos de muchos tipos, es conveniente hacer gráficas con ellos ya que de esta manera un simple vistazo da mucha información. Existen diferentes tipos de gráficas, las más comunes, son las gráficas lineales, las gráficas de barras y las gráficas de pastel y tienen diferentes usos, como veremos en los siguientes ejemplos. Ejemplos La siguiente gráfica muestra la temperatura media de en la Ciudad de México en cada mes durante 2009
66
Mes
Temperatura media °C
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
14 16 18 20 20 20 19 19 18 18 16 15
Veamos cómo se verían estos datos con estos tres tipos de gráficas
Gráfica lineal 25 20
20 18
15
16 14
20
20
19
19
18
18 16
15
10 5 0
67
Grรกfica de barras 25 20 20
20
20
18
19
19
16 15
18
18 16
14
15
10 5 0
Grรกfica de pastel Enero
15
14
Febrero
16
16
Marzo Abril
18
18
Mayo Junio
20
18
Julio Agosto Septiembre
19
20 19
20
Octubre Noviembre Diciembre
68
Para representar esta situación las dos primeras gráficas son correctas, aunque, cuando lo que se está mostrando es el cambio de una variable a través del tiempo, suele ser mejor utilizar la gráfica lineal. En cambio, la gráfica de pastel no tiene sentido, pues ésta se utiliza cuando hay una cantidad repartida en un número de categorías o clases.
Ejemplo 2 En este ejemplo tenemos la superficie y la población de los tres países de América del Norte.
País Canadá Estados Unidos México
Superficie Millones de km2 10 9.8 1.9
Población Millones 33.2 304 110
Veamos los datos de superficie en los tres tipos de gráficas:
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0 Canadá Estados México Unidos
Canadá Canadá Estados México Unidos
Estados Unidos México
Ahora la gráfica que no tiene sentido es la gráfica lineal, pues al verla se tiene la impresión de una variable que es decreciente. Si se hubieran puesto los países en otro orden, con México al principio, parecería que la variable es creciente. En cambio las otras dos sí sirven para visualizar correctamente la información. La de 69
barras muestra que Canadá y Estados Unidos tienen casi la misma superficie y que ésta es mucho mayor a la de México, y la de pastel muestra cómo se reparte la superficie de América del Norte entre los tres países. Ejercicios 1. Hacer los tres tipos de gráficas con los datos de población de los países e indicar cuáles tienen sentido. 2. Encontrar la densidad de población de los países, dividiendo la población entre la superficie densidad
población super icie en km
3. Hacer las gráficas que tengan sentido con estos datos. 4. Buscar datos geográficos, deportivos, de población, económicos, etc. y hacer las gráficas que tengan sentido con ellos.
Problemas de conteo Problema 1 En el colegio se organizó un torneo de voleibol. Cada equipo jugó un juego contra cada uno de los otros equipos. ¿Cuántos juegos se jugaron en total? Llamemos A, B, C y D a los equipos. Como hay 4 equipos, cada uno jugó 3 juegos. Un primer intento es pensar que se jugaron 4 3 12 juegos, sin embargo, al hacer la lista de los juegos, nos damos cuenta de que hemos contado dos veces cada juego. Juegos de A A-B A-C A-D
Juegos de B B-A B-C B-D
Juegos de C C-A C-B C-D
Juegos de D D-A D-B D-C
Por ejemplo, el juego de A contra B aparece en la columna de A, pero también en la columna de B. y así con cada uno de los otros juegos, así que el número correcto de juegos es 70
4
3 2
6 juegos ,
Otra manera de resolver el problema es mediante una tabla como la siguiente
A
B
C
D
A B C D
Las celdas en negro no se cuentan, pues un equipo no juega contra sí mismo Únicamente hay que contar las celdas coloreadas de la parte superior de la tabla, pues cada par de equipos juega una sola vez. Hay 6 cuadros coloreados, así que hay 6 juegos. En este problema estamos contando cuántos subconjuntos de dos elementos tiene un conjunto de 4 elementos. Veamos una manera más de resolver este problema, que nos permitirá resolver problemas un poco más difíciles. Consideramos la lista de los 4 equipos en orden A, B, C, D. Hacemos la lista de los partidos en los que juega A: A-B, A-C, A-D Ahora, la lista de los de B con los equipos que siguen de él (ya jugó con el anterior) B-C, B-D Ahora, la lista de los de C con los que siguen de él (ya jugó con los anteriores) C-D Ya acabamos, porque D ya jugó con los anteriores y no hay ninguno después de él. 71
Problema 2 Un grupo de 3 amigas, Ana, Beatriz y Cristina, tienen únicamente 2 boletos para ir a un concierto, por lo que deciden echar a la suerte a ver quién va. Para hacerlo un poco complicado, cada una va a lanzar una moneda, si salen 2 soles, esas dos son las que van al concierto, si no, siguen lanzando las monedas hasta que en una jugada salgan 2 soles. ¿De cuántas maneras distintas pueden salir 2 soles en esos volados? Vamos a hacer una tabla, y luego veremos cómo podemos encontrar un método que nos permita resolver este tipo de problemas cuando los números son más grandes. A a a a a s s s s
B a a s s a a s s
C a s a s a s a s
Vemos que hay 8 posibles resultados para el lanzamiento de 3 monedas, y en 3 de ellos hay exactamente 2 soles. Es decir, hay 3 posibles pares de amigas que pueden ir al concierto. La parte interesante del problema es ver cómo lo podemos conectar con otras situaciones matemáticas. Recordemos las potencias de un binomio.
Calculemos
1
3
3
1
Comparando los coeficientes del polinomio de la derecha con los renglones de la tabla, vemos que los coeficientes nos indican cuántos renglones en la tabla tienen cada cantidad de ′ y de . • • • •
El 1 de 1 El 3 de 3 El 3 de 3 El 1 de 1
indica que hay 1 renglón con tres ′ y cero ′ . indica que hay 3 renglones con dos ′ y una . indica que hay 3 renglones con una y dos ′ . indica que hay 1 renglón con cero ′ y tres ′ .
Así, si queremos saber cuántos posibles resultados para el lanzamiento de 3 . monedas hay que contengan 2 ′ hay que fijarse en el coeficiente de Hemos trasladado el problema de contar volados al problema de elevar al cubo un binomio.
72
Pero todavía mejor, conocemos un método para encontrar los coeficientes de las potencias de binomios sin necesidad de hacer las multiplicaciones. Este método es el triángulo de Pascal. 1 1 1 1 1 1
2 3
4 5
1 1 3 6
10
1 4
10
1 5
1
En el triángulo, todas las filas empiezan con 1, y a partir del tercer renglón, cada casilla es la suma de las dos que están arriba de ella. y En el cuarto renglón están los coeficientes del desarrollo del binomio podemos interpretar estos números como el número de lanzamientos posibles que contengan 0, 1, 2 y 3 soles. Problema 3 Este problema es similar al anterior, pero ya es bastante engorroso de resolver haciendo listas. En un torneo de futbol hay 8 equipos, van a jugar una ronda todos contra todos y los 4 mejores van a pasar a la ronda de semifinales. ¿Cuántos conjuntos de 4 semifinalistas pueden formarse con los 8 equipos? Solución: El problema consiste en saber cuántos subconjuntos de 4 elementos se pueden formar con un conjunto de 8. Por ejemplo, si enumeremos en orden a los equipos: A, B, C, D, E, F, G, H Algunos subconjuntos posibles son: 1. 2. 3. 4. 5.
A, B, C, D A, B, C, E A, B, C, F A, B, C, G A, B, C, H
Para resolver el problema sin tener que hacer la lista de todas las cuartetas posibles, extendemos el triángulo de Pascal hasta el noveno renglón. 73
1 1 1 1 1 1 1 1 1
8
3 4
5 6
7
15
3
1 4
10 20
35 56
1
6 10
21 28
1 2
1 5
15 35
70
1 6
21 56
1 7
28
1 8
1
Este último renglón nos dice de cuántas maneras podemos escoger: • • • • •
0 semifinalista (1) 1 semifinalistas (8) 2 semifinalistas (28) 3 semifinalistas (56) 4 semifinalistas (70)
Así que hay 70 cuartetas posibles de semifinalistas. Como nos podemos dar cuenta, es algo engorroso tener que listarlas a todas para después contarlas. Temas de probabilidad Polígonos de frecuencia Ejemplo 1 En un salón de clase, se hizo una encuesta sobre el tamaño de las familias de los alumnos. Se preguntó cuántos hermanos (incluyéndose ellos mismos) tenía cada uno. Se recopilaron los datos en la siguiente tabla: NOMBRE Eduardo Carmen Leticia Cesar Lorena Francisco David Rodrigo
HERMANOS 2 3 1 5 3 4 2 1
NOMBRE Guadalupe Ana Pedro Gonzalo Isabel Clara Leticia Fernando
HERMANOS 3 2 2 1 5 6 3 2 74
Para poder obtener algún resultado útil, es necesario procesar esta información. Lo que interesa en este caso, es saber cómo se distribuye el tamaño de las familias. Hacemos una nueva tabla en la que vamos a contar cuántas familias están formadas por un hijo, dos hijos, etc. Tamaño 1 2 3 4 5 6 Suma
Número de familias 3 5 4 1 2 1 16
Esta tabla hemos agrupado a las familias por tamaño, conviene hacer la suma del número de familias de cada renglón (16) y verificar que este número es igual al de los alumnos encuestados. Observando esta tabla ya nos podemos dar cuenta de que hay más familias con pocos hijos que con muchos hijos, que las familias con dos hijos son las que más se repiten, etc. Todavía podemos mejorar la percepción de esta información si hacemos una gráfica con estos datos: 6 5 4 3 2 1 0 1
2
3
4
5
6
Esta gráfica se llama gráfica de frecuencias, ya que indica la frecuencia con la que ocurre cada dato, en este caso, cada número de hijos.
75
Ejemplo 2 De acuerdo con el conteo de población 2005 realizado por el INEGI, la población en México se distribuye de la siguiente manera: Edades (años) 0 a 14 15 a 29 30 a 44 45 a 59 60 a 74 75 o más
Hombres 11.9 12.5 11 6.8 3.1 1
Mujeres 11.5 13.2 12.3 8 4 1.7
Los datos en las columnas de hombres y mujeres son millones de personas. Así por ejemplo, hay 11.9 millones de hombres de hasta 14 años y 11.5 millones de mujeres. Podemos hacer dos gráficas de frecuencia, una de hombres y una de mujeres, más aún, podemos hacerlas dentro de la misma gráfica para poder compararlas mejor. 14 12 10 8 Hombres
6
Mujeres
4 2 0 0 a 14
15 a 29
30 a 44
45 a 59
60 a 74 75 o más
Podemos observar que la forma de las gráficas de hombres y de mujeres son similares, pero, en todos los grupos, menos en el primero, hay más mujeres. Con estos datos podemos preguntarnos mucho más, por ejemplo, 76
1. ¿Cuál era la población total de México en 2005? 2. ¿Qué porcentaje era hombre y qué porcentaje era mujer? 3. En cada grupo de edad, ¿qué porcentaje es de hombres y de mujeres? Para contestarla, debemos hacer algunas operaciones e incluirlas en la tabla. Sumamos por separado los hombres y las mujeres, y sumamos ambos totales.
Sumas Porcentajes
Hombres 46.3 47.73%
Mujeres 50.7 52.27%
Total 97
Vemos que había 97 millones de personas, de las cuales poco más de 52% eran mujeres y poco menos de 48% eran hombres. Todas estas operaciones se pueden hacer a mano o con calculadora de bolsillo, pero también sería bueno que los alumnos empezaran a utilizar hojas electrónicas de cálculo. Para responder a la pregunta 3, necesitamos encontrar primero el total de población de cada nivel y luego calcular los porcentajes. Edades (años) 0 a 14 15 a 29 30 a 44 45 a 59 60 a 74 75 o más Sumas
Hombres 11.9 12.5 11 6.8 3.1 1 46.3
Mujeres 11.5 13.2 12.3 8 4 1.7 50.7
Sumas 23.4 25.7 23.3 14.8 7.1 2.7 97
Hombres % Mujeres % 50.85% 49.15% 48.64% 51.36% 47.21% 52.79% 45.95% 54.05% 43.66% 56.34% 37.04% 62.96% 47.73% 52.27%
La tabla anterior se puede completar incluyendo: La columna sumas que contiene el total de la población por cada grupo de edad. Las columnas Hombres% y Mujeres% que contiene los porcentajes de hombres y mujeres con respecto al total de ese grupo de edad. El renglón sumas que contiene las sumas de cada uno de los renglones, con lo que podemos ver el total de hombres, de mujeres, de toda la población y el porcentaje de hombres y mujeres de toda la población. 77
Eventos independientes y eventos mutuamente excluyentes ¿Cuántas veces se nos ha acercado un vendedor de lotería diciendo algo así como: “Lleve el 8, porque hace mucho que no ha salido”? ¿Tiene alguna validez este argumento? Pensemos en el sorteo de la lotería, pero fijándonos únicamente en la última cifra de los billetes. Así en lugar de que el sorteo consista en sacar una canica de una gran esfera con 50 000 canicas, podemos pensar en sacarla de una esfera con 10 canicas: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Es claro que todas las canicas tienen la misma probabilidad, así que si yo tengo el boleto 8, la probabilidad de ganar el premio es: 1 . 10
8
Así que el argumento del vendedor de lotería no es válido. Ejemplos: 1. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 4? Solución: Como hay 4 números menores que 4, {0, 1, 2, 3} entonces 4 . 10
4
2. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número mayor que 7? Solución: Como hay 2 números mayores que 7, {8, 9} entonces 2 . 10
7
3. Una más interesante: ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número menor que 4 o mayor que 7? Solución: Podemos enlistar explícitamente los números que satisfacen la condición del problema, {0, 1, 2, 3, 8, 9}, son 6 números, entonces 4o
7
6 . 10 78
4
También podemos observar que los eventos elementos en común, entonces 4
7
4
4 10
7
y 2 10
7
no tienen
6 . 10
Cuando dos eventos, A y B no tienen elementos en común, decimos que son ajenos o mutuamente excluyentes. La probabilidad de que suceda alguno de ellos es la suma de sus probabilidades, esto es: o
(1)
¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par? Como hay 5 números pares en la esfera {0, 2, 4, 6, 8} entonces par
5 10
1 . 2
¿Cuál es la probabilidad de que salga un número par o un número menor que 4? Aquí tenemos que tener cuidado, pues el evento “par” consiste de {0, 2, 4, 6, 8} y el evento “menor que 4” consiste de {0,1,2,3} y estos dos eventos TIENEN elementos en común: {0,2} así que no son mutuamente excluyentes y no podemos usar la fórmula (1). De momento, lo que tenemos que calcular explícitamente es el evento y su probabilidad. El evento “par o menor que 4” es {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8} que tiene 7 elementos, así que 7 . 10
par o menor que 4
Este resultado es diferente de la suma par
menor que 4
5 10
4 10
9 . 10
Problema ¿Qué hay que hacer para corregir esta fórmula y obtener la probabilidad de “par o menor que 4”? 79
Solución: Observemos que el problema es que hay números que son pares y TAMBIÉN menores que 4, así que se contaron al calcular la probabilidad de “ser par” y también al calcular la probabilidad de “ser menor que 4”, es decir, se contaron dos veces. Los números que satisfacen ambas condiciones son {0, 2}. La probabilidad de que al elegir un número del 0 al 9 esté en este conjunto es 0,2
2 . 10
Si restamos este número al resultado que obtuvimos al sumar las probabilidades “par” y “menor que 4” obtenemos 9 10
2 10
7 . 10
Que es la probabilidad correcta de “par o menor que 4”. En general, cuando dos eventos y no sean mutuamente excluyentes, para calcular la probabilidad de que ocurra o , después de sumar las probabilidades de y de , hay que restar la probabilidad del evento ( y ) ya que los sucesos que están en y en se contaron dos veces. .
Analicemos ahora la frase del vendedor de lotería: “Lleve el 8, porque hace mucho que no ha salido” En el momento en que se meten las 10 esferas a la urna para el sorteo de la semana, no hay manera de que éstas tengan memoria de lo que ha pasado en las semanas anteriores, todas las esferas tienen 1⁄10 de probabilidad de salir independientemente de que el 8 no haya salido en muchas semanas, así que el argumento del vendedor no es válido. Veamos otro ejemplo, tal vez más sencillo.
80
Ejemplo: Dos amigos están jugando volados. Pedro siempre pide águila y Felipe siempre pide sol. En los primeros 2 volados sale águila, y Felipe ya está desesperado, pero dice: “si ya han salido 2 águilas seguidas, seguro que la siguiente sale sol”. ¿Es válido este argumento? Cada vez que el lanzador se dispone a lanzar la moneda, no hay memoria sobre los lanzamientos anteriores, así que tanto águila como sol tienen probabilidad de 1⁄2 de salir. Si sale nuevamente águila, Felipe se enojará más y dirá: Cómo es posible que vuelva a salir águila si la probabilidad de que salgan 3 águilas seguidas es 3 águilas seguidas
1 8
Efectivamente, la probabilidad de que salgan 3 águilas seguidas es 1⁄8 como podemos verlo si escribimos todas los posibles resultados de lanzar 3 monedas: {aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss} Hay 8 resultados posibles, de los cuales sólo uno es aaa. Pero observa que en realidad cualquiera de los 8 posibles resultados tiene probabilidad 1⁄8. En conclusión, es muy diferente apostar antes de empezar a lanzar monedas a que van a salir 3 águilas, que tiene probabilidad 1⁄8, a apostar, una vez que ya salieron dos águilas, que la próxima será águila, que tiene probabilidad 1⁄2. Decimos que dos eventos son eventos independientes si el resultado de cualquiera de ellos no afecta al resultado del otro. Los eventos “sacar águila en los dos primeros volados”, “sacar águila en el tercer volado” son eventos independientes. Cuando dos eventos ambos es
y
son independientes, la probabilidad de que sucedan
81
Así, la probabilidad de que salga “águila en los dos primeros volados” la podemos calcular a partir de los eventos independientes: 1⁄2
“águila en el primer volado”, que tiene probabilidad
1⁄2
“águila en el segundo volado”, que tiene probabilidad águila en los dos primeros volados
1 2
1 2
1 . 4
Finalmente, para calcular la probabilidad de que salga “águila en los tres volados” llamamos 1⁄2
“águila en el tercer volado”, que tiene probabilidad
“águila en los dos primeros volados” que tiene la probabilidad que acabamos de calcular 1⁄4 Entonces águila en los tres volados
1 2
1 4
1 . 8
Como habíamos visto enlistando todos los casos posibles.
82