Nye Mega Elevbok 8B

Jan Erik Gulbrandsen . Arve Melhus . Randi Løchsen

Matematikk for ungdomstrinnet

Jan Erik Gulbrandsen 路 Arve Melhus 路 Randi L酶chsen

Matematikk Matematikkfor forungdomstrinnet ungdomstrinnet Grunnbok 8B

Bokm氓l

© N.W. Damm & Søn, 2006 3. utgave 2. opplag 2007 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverkslovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med N.W. Damm & Søn AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.

Redaktør: Nils Henrik Gran Omslag og illustrasjoner: Øyvind Tingleff Grafisk tilrettelegging og sats: RenessanseMedia v/ Trude Gabrielsen Skrift: Century Old Style 11/13 p Papir: 115 g Arctic Volum Trykk: Narayana Press, Danmark, 2007 ISBN 978-82-04-11329-0

KJÆRE ELEV Velkommen til læreverket Nye Mega!

Generell del I denne delen lærer du det grunnleggende innenfor det emnet kapittelet tar opp. Her finner du:

!!+!!!=?

TENK OG SNAKK REGNEARK www.dammskolen.no

– problemstillinger som dere kan diskutere i elevgruppa.

– ferdige regneark som du finner på www.dammskolen.no

EKSEMPEL – eksempler på hvordan du kan løse oppgaver.

KOPIERINGSORIGINAL

AKTIVITET

REGEL

Internett Søk:

– disse må du få av læreren din når du har bruk for dem.

– praktiske oppgaver som du kan løse sammen med andre elever.

– regler som det er nyttig å kunne når du skal løse oppgaver.

– aktuelle søkeord som du kan bruke for å finne aktuelt stoff på Internett.

Nye Mega 3

Fargedelen Denne delen består av treningsoppgaver i tre vanskelighetsgrader. Læreren hjelper deg med å velge riktig farge alt etter hvor godt du har fått med deg stoffet i generell del.

BLÅ

Det kan være greit å arbeide med stoffet en gang til, kanskje på en litt annen måte enn første gangen.

Da passer det å velge blå farge.

GUL

Det kan være at du bare trenger litt mer øvelse for å bli sikker. Da passer det å velge gul farge.

RØD

Det kan være at du synes stoffet er enkelt.

Da trenger du flere utfordringer.

Det finner du i rød farge.

FYLKESOPPGAVE

PRØV DEG SELV

Til slutt i hvert kapittel er det oppgaver fra et bestemt fylke eller land. Kanskje du finner en oppgave fra hjemstedet ditt eller et sted du har vært.

Dette er en liten prøve på hva du kan etter å ha jobbet med kapittelet.

Jan Erik Gulbrandsen

4

Arve Melhus

Randi Løchsen

Kapittel D Regneark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vi kjøper på postordre og lager regneark . . . . . . . . . . . . . . . Å kjøpe med rabatt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vi bruker regneark til å regne ut prisen etter rabatt . . .

Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fylkesoppgave Vestfold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 10 17 17 22 23

Kapittel E Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vi lager regneuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hva betyr 4a og 4b? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Når det er flere variabler i et utrykk . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vi regner ut verdien av et uttrykk som inneholder flere variabler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ledd som inneholder variabler og ledd som ikke inneholder variabler i samme uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . .

Regneregler for uttrykk som inneholder variabler . . . . .

Flere variabler og konstanter i samme uttrykk . . . . . . . .

Blå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fylkesoppgave Møre og Romsdal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26 28 29 32 33 35 36 37 39 42 46 51 55 57

5

Kapittel F Ligninger og ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Vi løser en ligning og undersøker om løsningen er rett 68 Når det står x dividert med et tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Vi bruker flere regler i samme ligning . . . . . . . . . . . . . . . 82 Ligninger som inneholder mer enn ett x-ledd . . . . . . . . . 83 Oppgaver vi kan løse med ligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Ulikhetstegn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Å løse en ulikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Blå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Gul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Rød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Landsoppgave Island . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6

Kapittel G Funksjoner og grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å lese av et diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funksjon på tabellform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Å lage en formel for funksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vi lager grafen til funksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A Når sammenhengen er gitt i en tabell . . . . . . . . . . . . .

B Når sammenhengen er gitt ved en formel . . . . . . . . .

Blå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Rød . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fylkesoppgave Vest-Agder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116 116 120 122 124 128 128 130 134 144 153 159 161

Kapittel H Sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sannsynlighetsskala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Teoretisk sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mer om sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prøv deg selv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Fylkesoppgave Østfold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166 168 171 172 177 178

7

62

LIGNINGER OG ULIKHETER

KAPITTEL

!!+!!!=?

TENK OG SNAKK

KOPIERINGSORIGINAL

F

På side 62 ser du matematikkdetektiv Lig Ning. Han er ekspert på å finne matematiske tegn og symboler som har forsvunnet, og få dem på rett plass igjen. Denne gangen er han på leting etter tegnene +, –, · og :. Disse tegnene må han få på rett plass på oppslagstavla som er vist nedenfor. Alle regnetegnene forsvant fra tavla under mystiske omstendigheter. Lig Ning må få rett tegn på rett plass slik at alle regneuttrykkene stemmer. Det vil si at det som står på venstresiden av likhetstegnet, blir lik det som står på høyresiden av likhetstegnet. Hjelp Lig Ning med å få dette til.

F1

63

!!+!!!=?

TENK OG SNAKK

+3

9

Sett rett tall i rett rute: 3

6

7

8

9

15

+3=9

+ 21 = 28

–9=6

4·

= 36

16 +

= 24

15 ·

= 45

F1 Undersøk hvilket av tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 som passer i rutene slik at uttrykkene stemmer. a)

+4=7

b) 6 +

d) 5 +

–3=3

e)

g) 7 ·

= 28

h) 6 ·

= 11

c) 2 +

= 11

–1+4=9

f) 6 –

+4=8

= 42

i) 3 ·

= 24

F2 Hvilke hele tall må stå i rutene for at uttrykkene skal stemme? a)

64

+7=9

b) 4 +

d) 5 +

–3=6

e)

g) 3 ·

= 21

h) 8 ·

= 12

c) 6 +

= 17

– 2 + 3 = 10

f) 6 –

+4=5

= 32

i) 12 ·

= 36

!!+!!!=?

TENK OG SNAKK

Ett av tallene 2, 4 og 6 passer i rutene på det ene uttrykket og ett av tallene passer i det andre uttrykket. Ett av tallene passer ikke i noen av uttrykkene.

Finn ut hvilke tall som passer. a)

+4=9–

+7

b) 5 –

=8+

–7

F3 Undersøk hvilket av tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 som passer i rutene slik at uttrykkene stemmer. Det skal være samme tall i begge rutene i samme uttrykk. a)

+6=4–

c) 2 +

+8

– 4 = 12 –

b) –8

+ 7 = 11 –

d) 5 +

+ 10

– 4 = 12 –

–3

F4 Hvilket helt tall må stå i rutene for at uttrykkene skal stemme?

Det skal være samme tall i begge rutene i samme uttrykk. a)

+5=9–

c) 4 +

!!+!!!=?

TENK OG SNAKK

+2

– 2 = 15 –

b) –3

+ 7 = 13 –

d) 10 +

–2

– 6 = 12 –

–2

Tallene 2, 3, 6 passer i rutene på hvert sitt uttrykk. Finn ut hvilket tall som skal stå i ruta i oppgave a, hvilket tall som skal stå i ruta i oppgave b og hvilket tall som skal stå i ruta i oppgave c. a) 2 ·

+ 3 = 15

b) 4 ·

–5=7

c) 3 + 4 ·

= 11

F5 Undersøk hvilket av tallene 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 som passer i rutene slik at uttrykkene stemmer. a) 2 · d) 2 + 5 ·

+5=9 = 12

b) 3 ·

– 4 = 20

c) 5 ·

e) 6 ·

– 8 = 10

f) 1 + 5 ·

+ 6 = 36 = 11

65

F6 Hvilket helt tall må stå i rutene for at uttrykkene skal stemme? a) 4 · d) 8 + 5 ·

+ 2 = 10

b) 6 ·

–4=2

c) 5 ·

+ 7 = 17

= 18

e) 6 ·

– 8 = 22

f) 10 + 5 ·

= 25

!!+!!!=?

TENK OG SNAKK

Liv og Petter sitter og ser på et ungdomsprogram på tv. Denne gangen er det en innsendingsoppgave som Liv og Petter vil forsøke å løse.

Oppgaven er: Per er tre år eldre enn Gina. Til sammen er Per og Gina 33 år.

Hvor gammel er Gina? Hvor gammel er Per? Forsøk å løse innsendingsoppgaven.

Drøft i klassen hvordan dere kom fram til løsningen.

!!+!!!=?

TENK OG SNAKK

66

Petter og Liv løste innsendingsoppgaven på to forskjellige måter. Øverst å neste side ser du hvordan de gjorde det.

Var det noen i klassen som tenkte på en måte som lignet på det Petter gjorde?

Var det noen i klassen som tenkte på en måte som lignet på det Liv gjorde?

Petter tenker slik: «Fordi aldersforskjellen mellom Per og Gina er bare tre år, må de begge være omtrent halvparten av 33 år. Jeg forsøker meg med at Gina er 16 år. Da er Per 19 år. Til sammen er de da 35 år. Men det er jo feil.

Da forsøker jeg meg med 15 år på Gina. Da er Per 18 år.»

Petter 16 + 19 = 35 15 + 18 = 33

Liv tenker slik: Gina + Per = 33 Per = Gina + 3 Gina + Gina + 3 = 33 Gina er x år x + x + 3 = 33 15 + 15 + 3 = 33 x = 15

Liv x + x + 3 = 33 15 + 15 + 3 = 33

Da er Gina 15 år og Per 18 år.

LIGNINGER Både Petter og Liv kom fram til rett resultat, men de benyttet forskjellige metoder: Petter tenkte praktisk gjennom problemet og prøvde seg så fram til en løsning. Liv hadde lært seg å løse problemet med ligning.

Mange synes det er lettere å løse en del oppgaver med ligning enn ved å bruke praktiske løsningsmetoder.

I dette kapittelet skal du lære både hvordan du løser en ligning, og hvordan du stiller opp en ligning. Noen av de problemene vi løser ved hjelp av ligning her i begynnelsen av kapittelet, virker sikkert underlige på deg, for det hadde vært enklere å løse dem på andre måter. Men vi må begynne med enkle oppgaver hvis vi skal bli flinke til å løse vanskeligere problemer.

67

EKSEMPEL Ellen sier: «Hvis jeg legger 3 til et tall, får jeg 8.

Hvilket tall tenker jeg på?»

Tallet Ellen tenker på er ukjent. I ligninger bruker vi en bokstav for det ukjente tallet. Ofte bruker vi bokstaven x, det vil si at det ukjente tallet er x.

Vi setter opp en ligning.

Det ukjente tallet er x.

Vi vet: Det ukjente tallet + 3 er lik 8.

I matematisk språk kan vi skrive dette slik: x + 3 = 8

Vi har nå satt opp det vi kaller en ligning.

En ligning består av: En venstre side

x+3

Et likhetstegn

=

En høyre side

8

En ligning inneholder altså et likhetstegn med uttrykk på begge sider. Vi ser at det som står på venstre side av likhetstegnet, blir lik det som står på høyre side av likhetstegnet hvis x = 5.

Vi sier da at x = 5 er løsningen av ligningen.

Vi løser en ligning og undersøker om løsningen er rett Å løse en ligning vil si at vi finner ut hvilken verdi x må ha for at det som står på venstre siden av ligningen skal være lik det som står på høyre side av ligningen. I ligningen x + 2 = 5 ser vi at x = 3 er løsningen av ligningen. Men vi må ha metoder for å løse ligninger der vi ikke kan se løsningen. Vi skal se på hvordan vi kunne ha løst ligningen x + 2 = 5 hvis vi ikke kunne se at x = 3 er løsning av ligningen.

68

EKSEMPEL Vi skal løse ligningen x+2=5 Vi kan godt sammenligne en ligning med en skålvekt:

x+2

5

Når det er lik vekt i begge skålene, er vekta i likevekt. Men den er fortsatt i likevekt om vi tar bort eller legger til like mye på hver vektskål.

Når vi legger til, adderer vi.

Når vi tar bort, subtraherer vi.

Vi velger å subtrahere så mye på hver side at vi får x igjen alene i den venstre vektskåla.

x+2–2

5–2

Løsningen av ligningen kan vi skrive slik:

+ 2 = 5 + 2 – 2 = 5 – 2 = 3 69

70

Vi undersøker om løsningen er rett: Når vi skal undersøke om løsningen er rett, sier vi at vi setter prøve på svaret.

Vi vil undersøke om x = 5 er rett løsning av den opprinnelige ligningen.

Dette kan vi gjøre slik:

Prøve Venstre side av ligningen: x+2= 3+2= 5

Vi setter inn verdien x = 3 for x i den opprinnelige ligningen

Høyre side av ligningen: 5 Venstre side av den opprinnelige ligningen er lik høyre side av den opprinnelige ligningen når x = 3.

Da er x = 3 løsningen av ligningen.

Hvis vi forkorter venstre side av ligningen til VS og høyre side av ligningen til HS kan vi skrive dette kortere slik: Prøve

VS = + 2 = 3 + 2 = 5

HS = 5

VS = HS = 5 for = 3 = 3 er løsningen av ligningen.

REGEL Vi kan addere eller subtrahere like mye på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner.

71

EKSEMPEL Løs ligningen og sett prøve: x + 12 = 38 Løsning:

+ 12 = 38 + 12 – 12 = 38 – 12 = 26 Prøve:

VS = + 12 = 26 + 12 = 38

HS = 38

VS = HS = 38 for = 26 = 26 er løsningen av ligningen.

EKSEMPEL Løs ligningen og sett prøve: x – 11 = 14 Løsning:

– 11 = 14 – 11 + 11 = 14 + 11 = 25 Prøve:

VS = – 11 = 25 – 11 = 14

HS = 14

VS = HS = 14 for = 25 = 25 er løsningen av ligningen.

72

!!+!!!=?

TENK OG SNAKK

Pål:

Trine:

Ingar:

x + 8 = 15 x + 8 – 8 = 15 + 8 x = 23

x + 8 = 15 x + 8 – 8 = 15 – 8 x = 7

x + 8 = 15 x + 8 – 8 = 15 – 8 x = 7

Prøve: VS x+8 = 23 + 15 = 15

Prøve: VS x+8 = 7+8 = 14

Prøve: VS x+8 = 7+8 = 15

HS 15

HS 15

HS 15

VS = HS = 15 for x = 23 x = 23 er løsningen av ligningen

VS = 14 og HS = 15 for x = 7 x = 7 er ikke løsningen av ligningen

VS = HS = 15 for x = 7 x = 7 er løsningen av ligningen

Pål, Trine og Ingar har løst ligningen x + 8 = 15 og satt prøve på ligningen.

Hvem av dem har løst ligningen rett og satt rett prøve?

F7 Løs ligningene og sett prøve på svaret: a) x + 3 = 6 b) x + 8 = 12 c) x + 10 = 20 d) x + 8 = 60 e) x + 200 = 340 f) x + 1 = 2

73

F8 Løs ligningene og sett prøve på svaret: a) x – 3 = 2 b) x – 4 = 5 c) x – 5 = 11 d) x – 12 = 22 e) x – 7 = 35 f) x – 17 = 97

F9 Løs ligningene og sett prøve på svaret: a) x + 5 = 6 b) 6 + x = 12 c) x – 5 = 23 d) 82 + x = 90 e) x – 2 = 0 f) 19 + x = 31

F 10 Løs ligningene: a) 4 + x = 7 c) 10 + x = 42 e) 13 + x = 14

b) x – 4 = 0 d) x + 83 = 172 f) x + 17 = 17

EKSEMPEL Vi setter opp en ligning der vi får et tall multiplisert med den ukjente.

Martin sier: «Hvis jeg tenker på et tall og multipliserer tallet med 2, får jeg 10. Hvilket tall tenker jeg på?»

Tallet Martin tenker på, er ukjent.

Vi setter opp en ligning.

Det ukjente tallet er x.

Vi vet: 2 · det ukjente tallet er lik 10.

I matematisk språk kan vi skrive dette slik: 2 · x = 10 Dette kan vi skrive slik: 2x = 10 Mange ser sikkert at løsningen av denne ligningen er x = 5 fordi 2 · 5 = 10.

74

EKSEMPEL Vi løser en ligning 2x = 10 og setter prøve på ligningen.

Vi skal løse ligningen 2x = 10

2x

10

Vi kan som vi husker godt sammenligne en ligning med en skålvekt:

Når det er lik vekt i begge skålene er vekta i likevekt.

Men den er fortsatt i likevekt om vi dividerer like mye på hver vektskål.

Vi velger å dividere så mye på hver side at vi får x igjen alene i den venstre vektskåla.

Da må vi dividere med 2.

Løsningen av ligningen kan vi skrive slik:

2x 2

10 2

2 =10 2x = 10 2 2 =5

Vi undersøker om løsningen er rett: Når vi skal undersøke om løsningen er rett, sier vi at vi setter prøve på svaret.

Vi vil undersøke om x = 5 er rett løsning av ligningen.

Dette gjør vi slik:

75

Prøve Venstre side av ligningen:

2 = 2 · 5 = 10

Vi setter inn verdien x = 5 for x i den opprinnelige ligningen

Høyre side av ligningen: 10 Venstre side av ligningen er lik høyre side av ligningen når x = 5.

Da er x = 5 løsningen av ligningen.

Hvis vi forkorter venstre side av ligningen til VS og høyre side av ligningen til HS, kan vi skrive dette kortere slik: Prøve

VS = 2 = 2 · 5 = 10

HS = 10

VS = HS = 10 for = 5 = 5 er løsningen av ligningen.

REGEL Vi kan dividere med like mye (samme tall) på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner.

76

EKSEMPEL Løs ligningen og sett prøve: 6x = 84 Løsning:

6 = 84 6x = 84 6 = 6 = 14 Prøve:

VS = 6 = 6 · 14 = 84

HS = 84

VS = HS = 84 for = 14 = 14 er løsningen av ligningen.

F 11 Løs ligningene og sett prøve på svaret: a) 3x = 12 b) 4x = 20 c) 20x = 100 d) 5x = 5 e) 12x = 48 f) 15x = 75

I den neste oppgaven har vi blandet det du til nå har lært om ligninger.

F 12 Løs ligningene og sett prøve på svaret: a) x + 2 = 10 b) x – 2 = 8 d) 12x = 672 e) 4x = 20 g) x – 126 = 53 h) 7x = 56

c) 2 + x = 7 f) x – 20 = 30 i) x + 7 = 13

77

Når det står x dividert med et tall EKSEMPEL Vi setter opp en ligning der vi får den ukjente dividert med et tall.

Amy sier: «Hvis jeg tenker på et tall og dividerer tallet med 3, får jeg 5. Hvilket tall tenker jeg på?»

Tallet Amy tenker på er ukjent.

Vi setter opp en ligning.

Det ukjente tallet er x.

Vi vet: Det ukjente tallet : 3 er lik 5.

I matematisk språk kan vi skrive dette slik: x:3=5 Dette kan vi skrive slik: x __ 3 =5 Mange ser sikkert at løsningen av denne ligningen er x = 15 fordi 15 : 3 = 5.

EKSEMPEL x __ Vi løser ligningen 3 = 5 og setter prøve på ligningen.

Vi vet at vi godt kan sammenligne en ligning med en skålvekt:

78

x 3

5

x __ 3 =5 Når det er lik vekt i begge skålene, er vekta i likevekt.

Men den er fortsatt i likevekt om vi multipliserer med like mye på hver vektskål.

x·3 3

5·3

Vi velger å multiplisere med så mye på hver side at vi får x igjen alene i den venstre vektskåla. Da må vi multiplisere med nevneren som er 3.

Løsningen av ligningen kan vi skrive slik: x __ =5 3 ·3 =5 · 3 _x____ 3 = 15

79

Vi undersøker om løsningen er rett: Når vi skal undersøke om løsningen er rett, sier vi at vi setter prøve på svaret.

Vi vil undersøke om x = 15 er rett løsning av ligningen.

Dette kan vi gjøre slik: Prøve Venstre side av ligningen:

_x_ 3 = _15 __ 3 =

Vi setter inn verdien x = 15 for x i den opprinnelige ligningen

5 Høyre side av ligningen: 5 Venstre side av ligningen er lik høyre side av ligningen når x = 15.

Da er x = 15 løsningen av ligningen.

Hvis vi forkorter venstre side av ligningen til VS og høyre side av ligningen til HS, kan vi skrive dette kortere slik: Prøve

VS =

HS = 5

x __ 3 = 15 __ 3 = 5 VS = HS = 5 for = 15 = 15 er løsningen av ligningen.

REGEL Vi kan multiplisere med like mye (samme tall) på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner.

80

EKSEMPEL Løs ligningen og sett prøve: x __ 4 =5

Løsning:

x __

4 = 5

·4 = 5 · 4 _x____

4

= 20 Prøve:

VS =

HS = 5

x __

4 =

20 __ 4 = 5

VS = HS = 5 for = 20 = 20 er løsningen av ligningen.

F 13 Løs ligningene og sett prøve på svaret: x __ a) 2 = 4

x __ b) 3 = 5

x __ d) 6 = 1

x __ e) 25 = 4

x __ c) 10 = 7 x ___ f) 150 = 3

81

Vi bruker flere regler i samme ligning EKSEMPEL Vi skal løse ligningen 3x + 2 = 17 og sette prøve på ligningen.

Vi kan løse den slik:

3 3

+ 2 = 17

+ 2 – 2 = 17 – 2 3

Vi subtraherer samme tall på hver side av likhetstegnet.

= 15 Vi dividerer med samme tall på hver side av likhetstegnet.

3x __ = 15 __ 3

3

= 5 Prøve:

VS = 3 + 2 = 3 · 5 + 2 = 15 + 2 = 17

HS = 17

VS = HS = 17 for = 5 = 5 er løsningen av ligningen.

F 14 Løs ligningene og sett prøve på svaret:

82

a) 12x + 14 = 38

b) 3x – 2 = 10

c) 5x – 10 = 15

d) 12 + 3x = 18

e) 6x – 2 = 22

f) 5 + 2x = 25

Ligninger som inneholder mer enn ett x-ledd EKSEMPEL Løs ligningen 4x – 2x – 6 = 12 og sett prøve på ligningen.

Vi kan løse ligningen slik: Vi adderer 6 på hver side av likhetstegnet.

4 4

–2

–6

= 12

–2

–6+6

= 12 + 6

-2

-6+6

= 12 + 6

4 Vi trekker sammen like ledd på venstre side.

4x – 2x = 2x og – 6 + 6 = 0

2

= 18

2 2

= 18 2

Vi trekker sammen like ledd på høyre side.

12 + 6 = 18

= 9 Prøve:

VS = 4 – 2 – 6 = 4 · 9 – 2 · 9 – 6 = 36 – 18 – 6 = 12

HS = 12

VS = HS = 12 for = 9 = 9 er løsningen av ligningen.

F 15 Løs ligningene og sett prøve på svaret: a) 5x – 2x + 2 = 14

b) 4x – 2x – 2 = 6

c) 5x – 3 + 2x = 11

d) 4x – 3x + 2 = 7

e) 6x – 4 – x = 6

f) 6x + 10 – 2x = 30

g) 8 + 4x + 2 – x = 19

h) 15x + 12 + 5x = 52

i) x – 8 + 6x = 6

83

Oppgaver vi kan løse med ligning EKSEMPEL Petter sier: «Jeg tenker på et tall. Hvis jeg legger 7 til dette tallet, får jeg 13. Hvilket tall tenker jeg på?»

Nadia løser oppgaven slik:

I denne oppgaven er den ukjente et tall.

Jeg kaller det ukjente tallet .

Tallet er

.

Tallet + 7 = 13 + 7 = 13 + 7 – 7 = 13 – 7 = 6 Prøve: VS = + 7 = 6 + 7 = 13

HS = 13

VS = HS = 13 for = 6 = 6 er løsningen av ligningen.

Nadia må også undersøke om løsningen hun fant, stemmer med oppgaveteksten.

84

Løs oppgavene nedenfor som ligninger.

F 16 Hvis du legger 8 til et tall, får du 15. Hvilket tall er det?

F 17 Et tall multipliseres med 4. Da får du 48. Hvilket tall multipliseres med 4?

F 18 Karl og Stine er til sammen 19 år. Karl er 5 år eldre enn Stine.

Hvor gammel er Karl? Hvor gammel er Stine?

F 19 Sana og Maria skal dele 48 kroner. Sana skal ha dobbelt så mye som Maria. Hvor mange kroner skal Sana ha?

F 20 Summen av to tall er 46. Det ene tallet er 8 mer enn det andre tallet. Hvilke to tall er det?

F 21 Sven Arne er seks ganger så gammel som sønnen Eivind.

Til sammen er far og sønn 49 år. Hvor gammel er Sven Arne, og hvor gammel er Eivind?

F 22 Tone, Siv og Hafsah spiller håndball på samme lag. I en kamp scoret de tre jentene til sammen 12 mål. Tone scoret fire mål mer enn Hafsah. Siv scoret ett mål mer enn Tone. Hvor mange mål scoret hver av de tre jentene?

F 23 Rex Roy er tre ganger så gammel som Svinerauen. Svinerauen er 8 år yngre enn Rex Roy. Hvor gamle er de to hestene?

85

ULIKHETER

!!+!!!=?

TENK OG SNAKK

Hvilke Hvilke Hvilke Hvilke

tall tall tall tall

er mindre enn 5? kan være mindre enn eller lik 5? er større enn 5? kan være større eller lik 5?

Ulikhetstegn For å uttrykke større enn, mindre enn, større enn eller lik og mindre enn eller lik benytter vi ofte ulikhetstegn.

2 5 leser vi «2 er mindre enn 5».

5 2 leser vi «5 er større enn 2».

x 8 leser vi «x er mindre enn 8». x 8 betyr at x kan være 7, 6, 5, 4, 3 ... hvis x skal være et helt tall.

86

x 8 leser vi «x er mindre enn eller lik 8». x 8 betyr at x kan være 8, 7, 6, 5, 4, 3 ... hvis x skal være et helt tall.

x 8 betyr at x kan være 9, 10, 11, 12 ... hvis x skal være et helt tall.

x 8 betyr at x kan være 8, 9, 10, 11, 12 ... hvis x skal være et helt tall.

2 x 5 betyr at x kan være 3 eller 4 hvis x skal være et helt tall.

2 x 5 betyr at x kan være 2, 3, 4 hvis x skal være et helt tall.

!!+!!!=?

TENK OG SNAKK

a) Hva er løsningen på ligningen x + 2 = 5? b) Hva er løsningen på ulikheten x + 2 5? c) Hva mener vi når vi sier at x = 6 gjør ulikheten x + 2 5 sann? d) Hva mener vi når vi sier at x = 1 gjør ulikheten x + 2 5 usann?

F 24 a) Gjør b) Gjør c) Gjør d) Gjør

Er 3 < 3 sant? x x x x

= = = =

5 ulikheten x + 3 20 sann?

21 ulikheten x + 4 25 sann?

– 3 ulikheten x + 4 2 sann?

21 ulikheten x + 4 25 sann?

87

Å løse en ulikhet Når vi skal løse en ulikhet, betyr det at vi skal finne ut hvilke verdier x kan ha for at ulikheten skal være sann.

EKSEMPEL Løs ulikheten x + 4 7 og marker løsningen på tallinja.

Vi kan løse denne oppgaven slik:

+ 4

7

+ 4 – 4

7 – 4

3

>

7

x+4

3 er løsning Alle av ulikheten + 4 7.

>

7–4

x+4–4

På tallinja blir dette slik:

–3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

6 7

F 25 Løs ulikhetene:

88

a) x + 8 15

b) x – 3 5

c) x – 6 3 + 2

d) 2x – 2 x + 5

8

9 10 11 12

EKSEMPEL Løs ulikheten 3x 15 og marker løsningen på tallinja.

Oppgaven kan løses slik:

3

15

3x __ 15 __ 3 3

3x

< 15

5

3x __ 3

<

15 __ 3

På tallinja blir dette slik:

1

2

3

–3 –2 –1 0

4

5

6 7

8

9 10 11 12

F 26 Løs ulikhetene: a) 5x 25

b) 3x 18

c) 7x 35

d) 15x 45

89

BLÅ EKSEMPEL Sett inn riktige tegn slik at regnestykkene stemmer: a)

15 6 = 21

15 + 6 = 21 21 = 21

Som en ligning: Like mye på begge sider!

b)

2 3 5 = 11

2 · 3 + 5 = 11 11 = 11

F 27 Sett inn riktige tegn slik at regnestykkene stemmer: a) 5 6 = 11 b) 6 2 = 4 c) 5 6 = 30 d) 10 4 = 6 e) 2 4 1 = 9 f) 3 3 3 = 12 g) 4 2 3 = 5 h) 5 6 3 = 8

F 28 Sett inn riktige tegn slik at regnestykkene stemmer: a) 5 5 = 25 b) 5 5 1 = 11 c) 5 2 1 = 11 d) 2 2 2 = 6 e) 2 2 2 = 2 f) 2 2 2 = 8 g) 3 3 3 = 6 h) 3 3 5 = 14

KAN DU TENKE DEG SVARET? I disse oppgavene skal du kunne tenke deg hva svaret blir.

EKSEMPEL Skriv rett tall i ruta. + 7 = 10 Spør deg selv om hvilket tall du må legge til 7 for å få 10.

Har du sett svaret?

3 + 7 = 10

90

F 29 Skriv rett tall i hver av rutene: a)

+5=7

b)

+ 10 = 15

c)

+ 8 = 20

d)

+ 6 = 17

e) 8 =

–2

g)

– 7 = 10

f) 12 =

–3

h) 10 = 18 –

F 30 Skriv rett tall i hver av rutene: a) 7 =

–4

b)

0 =

–5

c) 0 = 17 –

d) 24 =

–6

e) 1 =

–4

f) 25 =

–0

g) 7 –

=0

h) 13 =

–9

F 31 Skriv rett tall i hver av rutene: a) 2 +

=6–1

c) 10 + e)

– 2 = 13 – 5

g) 10 –

Ligningen er riktig når begge sider blir like store.

= 13 – 2 = 15 – 5

b) 3 + d)

=7+3 –4=9+2

f) 17 –

= 20 – 8

h) 14 – 5 = 9 –

F 32 Samme tall skal stå i hver av rutene. Prøv med 1, 2, 3 og 4.

Hvilket tall stemte? + 3 = 11 –

F 33 Samme tall skal stå i hver av rutene. Prøv med 1, 2, 3, 4 og 5. a)

+ 5 = 15 –

c) 7 –

=1+

b) 10 – d)

=

+2

+ 2 = 12 –

91

EKSEMPEL Sett regnetegn og tall inn i rutene slik at x blir igjen alene på venstre side i ligningen.

– 5

= 15

– 5 + 5 = 15 + 5 = 15 + 5 = 20

F 34 Sett regnetegn og tall inn i rutene slik at x blir igjen alene på venstre side i ligningen.

Matte er gøy...

92

a) x + 2

= 8

b)

x–6

= 2

c) x – 10

= 20

d) x + 2,5

= 1,5

e) x – 5

= 25

f)

x+3

= 4

g) x + 3

= 3

h)

x+3

= 2

... når vi får det til!

EKSEMPEL Løs ligningen x – 7 = 15 og sett prøve på svaret. x – 7 = 15 Vi kan løse ligningen på flere måter. Du kan for eksempel tenke på hvilket tall du kan trekke fra 7 for å få 15. Svaret er 22.

Du kan også løse den slik:

– 7 = 15 – 7 + 7 = 15 + 7 = 22

Legg til 7 på hver side av likhetstegnet.

Prøve på svaret gjør du slik:

Venstre side: – 7 = 22 – 7 = Sett inn verdien du fant for x.

15 Høyre side: 15

Løs ligningen: 7 + x = 15 7 – 7 + x = 15 – 7 x=8 Vi har trukket fra 7 på hver side av likhetstegnet.

Løs ligningen: x – 8 = 10 x – 8 + 8 = 10 + 8 x = 18

Vi har lagt til 8 på hver side av likhetstegnet.

VS = HS = 15 = 22 er løsningen på ligningen.

F 35 Hvilket tall må x være for at ligningene er riktige? a) x + 3 = 12 b) x – 3 = 10 c) x + 2 = 13 d) x + 8 = 12 e) x – 5 = 6 f) 7 + x = 10 g) 9 + x = 15 h) 6 + x = 11

F 36 Løs ligningene og sett prøve på svaret: a) x + 4 = 10 b) 10 + x = 16 d) 6 + x = 13 e) x – 20 = 20

c) x – 7 = 22 f) 17 + x = 25

93

EKSEMPEL Løs som ligning: Kåre er 14 år. Hvor gammel var han for 8 år siden?

Kåre var år. = 14 – 8 = 6 Kåre var 6 år gammel.

F 37 Løs som ligning: Petra hadde 16 pølser. Hvor mange hadde hun igjen da hun hadde spist 5 av dem?

F 38 Løs som ligning: Karl hadde 15 klinkekuler. Hvor mange ville han ha dersom han vant 8 nye klinkekuler?

F 39 Løs som ligning: Memona laget et skap på sløyden. Da hun hadde brukt 16 spiker, manglet hun fremdeles 11 før hun var ferdig. Hvor mange spiker trengte hun til sammen?

94

F 40 Anders og Rune er til sammen 25 år gamle. Rune er 14 år.

Hvor gammel er Anders?

Kall Anders’ alder for x og sett opp som ligning.

EKSEMPEL Hvilket tall skal stå i ruta?

4·

= 12

Ser du løsningen?

Tenk deg hvilket tall du må multiplisere med 4 for å få 12.

4 · 3 = 12 Tallet i ruta er 3.

Husk: 4x betyr 4 · x F 41 Skriv rett tall i hver av rutene:

Løs ligningen: 4x = 12 _4x __ = _12 __ 4 4 x= 3 Du kan dele med samme tall på hver side av likhetstegnet.

Prøve på svaret.

Venstre side: 4 · 3 = 12 Høyre side: 12

a) 4 ·

= 20

b)

c) 6 ·

= 18

d) 8 ·

e) 2 ·

= 20

f)

· 5 = 25 = 16 ·

g) 35 = 7 ·

h) 36 =

F 42 Løs ligningene: a) 4x = 8 c) 3x = 18 e) 2x = 10

b) 5x = 20 d) 6x = 12 f) 7x = 21

= 16 ·

F 43 Løs ligningene og sett prøve på svarene: a) 5x = 30 b) 6x = 36 c) 2x = 30 d) 4x = 22 + 6 e) 3x = 25 – 4 f) 7x = 20 – 8 + 2

VS = HS = 12 x = 3 er riktig løsning på ligningen.

95

EKSEMPEL Løs som ligning: Ida går 4 km til skolen hver dag.

Hvor mange dager må hun gå for å ha gått 36 km?

Antall dager kaller vi x, og da får vi ligningen:

4 ·

= 36

· x = 36 __ _4____ 4 4

= 9 Ida må gå 9 dager.

F 44 Løs som ligning: Pietro tenker på et tall og multipliserer det med 4. Da får han 24.

Hvilket tall tenker han på? Kall tallet han tenker på, for x og sett opp en ligning.

Husk: 4x betyr 4 · x

F 45 Løs som ligning: Siw tenker på et tall og multipliserer det med 6. Da får hun 30.

Hvilket tall tenker hun på?

F 46 Løs som ligning: Jorunn leser to bøker hver dag i sommerferien. Hvor mange dager trenger hun for å få lest 26 bøker?

Multiplisere betyr å «gange»

96

Hvilket tall skal stå i alle rutene? +

+

= 18

6 + 6 + 6 = 18

Husk at x= 1·x 4x = 4 · x

Løs ligningen: 4x – 3x + 2x = 18 – 3 3x = 15 3x = 15 ___ __ 3 3 x=5

F 47 Hvilket tall skal stå i rutene når alle rutene i hver oppgave skal ha det samme tallet? a)

+

= 10

c)

+

+

= 15

e)

+

+

–

g)

–

+

= 10 – 6

= 20

b)

+

+

=9

d)

+

+

+

f)

+

–

= 13

h)

+

–

+

F 48 Løs ligningene: a) x + x + x = 12 c) x + x = 30 e) 2x + x = 20 – 2 g) 5x – x + 2x = 15 – 3

b) d) f) h)

x + x + x + x = 20 x + x – x + x = 12 4x – 2x + x = 16 – 1 x – 4x + 6x = 14 – 5

F 49 Løs ligningene: a) 3x = 15 c) 2x + 2x = 4 e) x + x + x = 16 – 1 g) 5x – 3x = 9 – 1

b) d) f) h)

3x + x = 8 x + 4x = 20 x + x + x = 11 – 2 4x – x = 9 + 6

=8 = 25 – 7

F 50 Løs som ligning: Camilla og Mariam fikk 150 kr for å passe naboens hage i sommerferien. Camilla gjorde mest arbeid, så hun fikk dobbelt så mye penger som Mariam. Hvor mye fikk hver av dem?

97

F 51 Løs som ligning: Maren er dobbelt så gammel som søsteren sin, Mina.

Til sammen er de 12 år. Hvor gammel er hver av dem?

F 52 Løs som ligning: Et år scoret Sindre tre ganger så mange mål som Stein på guttelaget i fotball. Til sammen scoret de 24 mål. Hvor mange mål scoret hver av dem?

F 53 Løs som ligning: Tina og Arne red en sommer 36 turer til sammen på hesten Zico.

Tina red dobbelt så mange turer som Arne. Hvor mange turer red hver av dem på Zico?

F 54 Sett inn riktig tegn: a) 5

3

c) 9,3 e) 4

9,4 –5

g) 0,9

0,93

b) 19

18

d) – 5

6

f) 17,2 h) 3,9

17,25 4

F 55 Sett inn et tall for x som gjør ulikhetene sanne:

98

a)

x 3

b) 4 x

c)

x 7,2

d) 4,9 x

e) –2 x

f) 6,5 x

g) 5 x 2

h) 6 x 9

GUL EKSEMPEL Sett inn riktige tegn slik at regnestykkene stemmer: a) 15

6 = 21

b) 2 3

5 = 11

15 + 6 = 21

2 · 3 + 5 = 11

21 = 21

6 + 5 = 11 11 = 11

F 56 Sett inn riktige tegn slik at regnestykkene stemmer: a) 6 7 = 13

b) 7 4 = 3

c) 3 4 1 = 8

d) 9 5 6 = 8

e) 3 3 3 = 6

f) 4 5 5 = 4

g) 5 6 3 = 10

h) 6 8 4 = 12

F 57 Sett inn riktige tegn slik at regnestykkene stemmer: a) 4 5 = 20

b) 5 3 = 15

c) 5 3 3 = 14

d) 1 2 3 4 = 10

e) 5 5 5 2 = 13

f) 7 2 2 = 3

g) 1 5 2 3 = 11

h) 2 5 2 1 = 7

F 58 Hvilket tall skal stå i hver av rutene? a)

+3=7

b) 7 –

=5

c) 5 = 16 –

d) 17 =

+ 17

e) 3 +

f ) 12 –

=5+3

g)

=6+4 · 4 = 24

h) 3 ·

= 14 – 2

F 59 Hvilket tall skal stå i hver av rutene? Prøv med 1, 2, 3, 4, 5 og 6. a) c) 4 + e) 5 ·

+ 7 = 15 – +

b)

= 19 –

+6=3·

+ 10 +

+ 12 = 24 –

d) 4 ·

–2=

+

f) 6 ·

– 11 =

+7+

+4 +

99

EKSEMPEL Løs ligningen og sett prøve på svaret: x – 6 = 10

– 6 + 6 = 10 + 6 = 16 Prøve: VS = 16 – 6 = 10

HS = 10

VS = HS = 10 for = 16 = 16 er løsningen på ligningen.

F 60 Løs ligningene og sett prøve på svarene: a) x + 8 = 27 b) 3 + x = 8 c) x – 8 = 0 d) x – 7 = 15 – 5 e) 17 – x = 12 – 2 f ) x + x = 10 F 61 Randi og Eirik har til sammen 32 kr. Eirik har 13 kr. Hvor mange kroner har Randi? Kall den pengesummen Randi har, for x kroner.

Sett opp som ligning og løs den.

F 62 Trude og Line er til sammen 20 år. Trude er 4 år eldre enn Line.

Hvor gamle er hver av dem? Kall Lines alder for x år og løs oppgaven som ligning.

100

Løs ligningen og sett prøve på svaret: 4x – x = 7 + 2

F 63 Løs ligningene og sett prøve på svarene: a) 4x = 12 b) 6x – x = 24 – 4 c) 2,5x = 10 d) 4x – 2x + x = 15 e) 6x + 10x – 9x = 14 f) 4,2x = 12,6

3x = 9 9 _3x __ = __ 3 3 x= 3 Prøve på svaret: Venstre side: 4x – x = 4·3–3= 12 – 3 = 9 Høyre side: 7+2= 9 VS = HS = 9 x = 3 er løsningen på ligningen.

F 64 Løs ligningene og sett prøve på svarene: a) 4x – 2x = 10 + 6 b) 3x – x + 2x = 15 – 3 c) 5x – x – x = 10 + 2 d) 6x – 5x = 5 – 8 e) 4x + x = 10 – 30 f) 4x – 3x + 2x = 4 – 25 F 65 Løs ligningene og sett prøve på svarene: a) 2x – 5x + 6x = – 2 – 4 b) x – 3x + 5x = – 3 – 6 c) 2x + 3x – x = 20 – 10 d) 2x – x + 5x = 3 + 6 e) 5x – 3x = – 5 f) 4x – x + 2x = 11 F 66 Løs ligningene og sett prøve på svarene: x __ a) 2 = 10

x __ b) 5 = 25

x __ d) 4 – 3 = 2

x __ e) 5 – 2 = 4

x __ g) 3 + 2 = 6

x __ h) 5 + 3 = 9

x __ c) 3 + 3 = 5 x __ f) 10 – 2 = 18

Oppgavene F 67–F 76 skal du sette opp og løse som ligning.

F 67 Guri og Andreas har til sammen 42 pins. Guri har 8 pins mer enn Andreas. Hvor mange pins har hver av dem?

F 68 Yusuf løper 6 km hver dag. Hvor mange dager vil det gå før han har løpt 72 km?

F 69 Per tenker på et tall og multipliserer det med 5. Da får han 80.

Hvilket tall tenker han på?

101

F 70 Knut er onkel til Oskar. De har fødselsdag på samme dag.

Knut blir da tre ganger så gammel som Oskar. Til sammen er de 48 år. Hvor gammel er Knut, og hvor gammel er Oskar?

F 71 a) Trude og Maria tjente til sammen 480 kr. Trude fikk tre ganger så mye som Maria fordi hun hadde jobbet tre ganger så mye. Hvor mye tjente hver av dem? b) Therese, Naima og Christine er til sammen 41 år. Naima er ett år yngre enn de to andre jentene. Hvor gamle er hver av dem? c) Nora og Jon er tvillinger. Tante Beth er fem ganger så gammel som Jon og Nora er til sammen. I alt er de 48 år til sammen.

Hvor gamle er hver av dem?

F 72 Leif og Karoline har 130 kr til sammen. Karoline har 30 kr mer enn Leif. Hvor mange penger har Leif, og hvor mange penger har Karoline?

F 73 Ante og Lars vant 520 kr i tipping. Guttene var enige om at Lars skulle ha 50 kr mer enn Ante. Hvor mye fikk Lars?

102

F 74 Roya og Camilla spiller på det samme håndballaget. I en kamp scorer de til sammen 13 mål. Roya laget 3 mål mer enn Camilla.

Hvor mange mål scoret Roya, og hvor mange mål scoret Camilla?

F 75 I en klasse er det 22 elever. Det er 4 flere jenter enn gutter. Hvor mange er det av hvert kjønn i klassen?

F 76 Marte skal være med på håndballcup i Danmark. Hvor mye må hun spare hver måned når cupen koster 930 kr for hver spiller og det er åtte måneder til hun skal betale cupen? Sett opp og løs oppgaven som en ligning. Kall antall kroner hun må spare per måned, for x.

F 77 a) Gjør b) Gjør c) Gjør d) Gjør e) Gjør f) Gjør

x x x x x x

= = = = = =

4 3 3 – – 8

ulikheten x + 5 10 sann? ulikheten 3x 9 sann? ulikheten 3x 9 sann?

4 ulikheten 3x – x 5 sann?

0,5 ulikheten x + 1 0,5 sann? ulikheten 3x – 30 – 4 sann?

F 78 Sett inn et tall for x som gjør ulikhetene sanne: a)

x 4

b) x – 4

c)

x –4

d) 6 x 5

e) 10 x 11 F 79 Løs ulikhetene: a) 3x – x 10 – 20 c) 6x – x – 26 + 11 e) 7x + 4x – 6x – 22

f) – 6 x – 4

b) 4x – x 15 – 6 d) 3x + x 7 + 3 f) 10x +2x – 10 – 8

Når du er ferdig med dette, kan du begynne på oppgave F91 i rød.

103

RØD F 80 Sett inn riktige tegn slik at regnestykkene stemmer: a) 6 6 3 = 9 b) 7 2 2 = 3 c) 2 5 2 1 = 7 d) 5 3 3 = 14 e) 5 6 3 = 10 f) 5 5 5 2 = 25 g) 6 8 4 = 12 h) 7 8 8 6 = 8

F 81 Løs ligningene og sett prøve på svarene: a) 4x – x = 19 – 4 b) 6x – 5x = 5 – 9 c) 3x + 2x = 10 – 30 d) 4x + 2x – 3x = 4 – 25 e) 3x + 2x – x = 21 – 11 f) 2x – x + 4x = 11 g) 2x – 3x = 8 – 3 h) 4x – 6x = 14 – 2

Løs oppgavene F 82–F 88 som ligning.

F 82 Siv og Ole fikk til sammen 35 gaver til jul. Ole fikk tre gaver mer enn Siv. Hvor mange gaver fikk Ole?

F 83 Truls er bestefaren til Trine. Han er tre ganger så gammel som Trine. Til sammen er de 84 år. Hvor gammel er Truls? Hvor gammel er Trine?

F 84 Inger og Simen hoppet til sammen 7,4 m i lengde på skolens idrettsdag. Inger hoppet 0,20 m lenger enn Simen. Hvor langt hoppet Inger?

104

F 85 Hvis du tar et tall, multipliserer det med 4 og deretter trekker fra 7, får du 17. Hvilket tall startet du med?

F 86 Ganesh har tre ganger så mye penger som Stian. Til sammen har de 92 kr. Hvor mye har hver av dem?

F 87 En ungdomsskole har 227 elever. Det er ni flere gutter enn jenter på skolen. Hvor mange gutter er det der?

F 88 Forskjellen på to tall er 36. Det ene tallet er sju ganger så stort som det andre tallet. Hvilke to tall er det snakk om?

EKSEMPEL Løs ligningen og sett prøve på svaret: x __ 4 – 6 = 14 Du adderer til 6 på begge sider av likhetstegnet.

x __ 4 – 6 + 6 = 14 + 6 x __ 4 = 20

Du multipliserer med 4 på begge sider av likhetstegnet.

4_____ ·x = 4 · 20 4 = 80 Prøve på svaret: Venstre side: 80 ___ 4 – 6 =

Høyre side: 14

20 – 6 = 14

VS = HS = 14 = 80 er løsningen på ligningen.

105

F 89 Løs ligningene og sett prøve på svaret: x __ a) 3 + 2 = 11

x __ b) 2 – 2 = 3

x __ c) 4 – 1 = 2

x __ d) 5 + 5 = 7

x __ e) 10 + 3 = 15

x __ f) 100 + 5 = 120

F 90 Bestemor mangler 14 år på å bli 100 år. Da vil barnebarnet hennes 1

mangle 4 år på å være __ 4 av hennes alder. Hvor gammelt er barnebarnet i dag?

Løs oppgavene F 91–F 99 som ligning.

F 91 Bente, Kent og Olav var på tyttebærtur. Til sammen plukket de 16 kg. Olav fant 1 kg mer enn Bente. Kent plukket bare halvparten så mye som Bente. Hvor mange kilo plukket hver av dem?

F 92 5 mann kan utføre et arbeid på 25 dager. Hvor lang tid vil da fire mann trenge på et arbeid som er dobbelt så stort?

F 93 Svein, Ida og Johanna arvet 164 000 kr. Svein fikk 7 000 kr mindre enn Ida og Johanna, fordi han hadde fått 7 000 kr i forskudd på arv.

Hvor mye fikk hver?

106

F 94 Trine, Anne, Livia og Turid kjøpte russebil sammen. Trine betalte 1 1 __ __ 3 av kjøpesummen og Anne 4 . Trine og Anne betalte til

sammen 9 800 kr, og Livia betalte 600 kr mer enn Turid. a) Hvor mye kostet russebilen? b) Hvor mye betalte hver av jentene?

F 95 Prashant fant en dag noen tomflasker. Dagen etter fant han 5 tomflasker mer enn dagen før. Den tredje dagen plukket han 2 flasker mindre enn den første dagen. Hvor mange flasker hadde han funnet den første dagen dersom han hadde funnet 39 flasker til sammen på de tre dagene?

F 96 En søndagskveld bestemte en jente seg for at hun ville slutte å røyke. Planen hennes var at hun skulle redusere røykingen med 2 sigaretter per dag utover i uka. Neste søndag røykte hun ingen sigaretter. Til sammen hadde hun denne uka røykt 42 sigaretter.

Hvor mange sigaretter røykte hun på onsdag?

F 97 Kine, Else og Ove var en dag i hoppbakken. Kine hoppet lengst.

Hun hoppet 4 m lenger enn Ove. Else hoppet 2 m kortere enn Ove. Til sammen hoppet Else og Ove 18 m. Hvor langt hoppet Kine?

F 98 Nils, Bente og Anette skulle dele 280 kr. Nils fikk halvparten av det Bente skulle ha. Anette fikk 30 kr mer enn Bente. Hvor mye fikk hver av dem?

F 99 Alvina og Ole kjøpte hver sin ball. Alvinas ball kostet fire ganger så mye som Oles ball. Prisforskjellen på ballene var 120 kr.

Hvor mye kostet hver ball?

107

F 100 Linda klipper plenene i nabolaget en sommerferie. Hun får 20 kr for hver av plenene hun klipper. Hvor mange plener må hun klippe for å tjene minst 170 kr? Kall antall plener for x. Sett opp og løs oppgaven som ulikhet.

F 101 En dag tjener Per 5 kr per kurv når han plukker jordbær. Hvor mange kurver må han minst plukke for å kunne kjøpe en cd til 169 kr? Kall antall kurver for x. Sett opp og løs oppgaven som ulikhet.

F 102 a) Gjør x = 6 ulikheten 3x 19 sann? b) Gjør x = – 5 ulikheten 4 – x 9 sann?

2 – 22 sann? c) Gjør x = – __ 3 ulikheten 8x – 8 4 7 sann? d) Gjør x = – __ 5 ulikheten – 6x + 3

F 103 Løs ulikhetene: a) 4x – 20

b) 7x – 2 33

x – 4 11 c) __ 5

x – __ 3 –3 d) __ 4 4

F 104 Kåre er to år eldre enn Nina. Nina er tre ganger så gammel som Trond. Kim er fem ganger så gammel som Trond. Mette er fire år yngre enn Kim. Hvor gammel må Trond være for at Mette skal være eldre enn Kåre? Sett opp og løs som ulikhet.

108

PRØV DEG SELV FP 1 Sett inn riktige tegn slik at regnestykkene stemmer: a) 9 6 1 = 2 b) 2 3 3 = 9 c) 4 6 4 = 20 d) 6 8 8 2 = 3 FP 2 Løs ligningene: a) x + 7 = 8 c) 2x + 5x – 3x = 11 + 5 e) 5x – x – x = – 5 – 4

b) x – 7 = 13 d) 3x – x = 5 + 7 f) 2x – 3x + 5x = 5 – 15

Løs oppgavene nedenfor som ligning.

FP 3 Når du trekker 5 fra et tall, får du 22. Hva er tallet?

FP 4 Når du multipliserer et tall med 6, får du 48. Hva er tallet?

FP 5 Turid og Trine fikk til sammen 17 fisker. Turid fikk tre fisker mer enn Trine. Hvor mange fisker fikk hver av dem?

FP 6 Carol og Ståle spilte om 50 nye klinkekuler. To kuler var ødelagt og måtte kastes. Carol vant seks kuler mer enn Ståle.

Hvor mange kuler vant Ståle, og hvor mange vant Carol?

109

FP 7 Per, Pål og Espen er brødre og er til sammen 32 år. Per er seks år eldre enn Pål. Espen er fire år yngre enn Pål. Hvor gamle er hver av brødrene?

FP 8 Løs ligningene og sett prøve på svaret: x =5 x –2=3 a) __ b) __ 3 4 FP 9 Siv leste 24 bøker mer enn Zlatan i sommerferien.

1 så mange bøker som Siv. Hvor mange bøker leste Siv? Han leste __ 3 Hvor mange leste Zlatan? Hvor mange leste de til sammen?

FP 10 Løs ulikhetene: a) x + 2 ⬍ 5

b) 6x ⬎ 30

FP 11 Gjør x = 4 ulikheten 2x – 3 ⬎ 5 sann?

110

LANDSOPPGAVE

ISLAND

Látrabjarg Akureyri

Reykjavik

Strokkur Vatnajökull Hekla N

FF 1 I 2006 var det 1132 år siden Island ble oppdaget av Ingolv Arneson fra Sogn. 56 år seinere ble Alltinget opprettet, som mange regner som verdens første nasjonalforsamling. Etter mange hundre år med norsk og seinere dansk overherredømme ble Island selvstendig republikk året før andre verdenskrig sluttet. a) Når ble Island oppdaget? b) I hvilket år ble Alltinget opprettet, og hvor gammel var denne nasjonalforsamlingen i 2006? c) Hvor mange år var det i 2006 siden Island ble selvstendig republikk?

Vigdís Finnbogadóttir ble valgt til Islands president i 1980. Hun er den første kvinnen i verden valgt til president ved demokratisk valg.

Hun ble gjenvalgt i 1984 og i 1988.

FF 2 Island er 103 000 km2 og er den nest største øya i Europa. Det bor ca. 307 000 mennesker i landet. Island er det tynnest befolkede landet i Europa. a) Hvor mange mennesker bor det i gjennomsnitt per km2?

Fem isbreer dekker ca. 12 % av Island. Vatnajökull er 8 300 km2 og er like stor som alle andre isbreer i Europa til sammen. b) Hvor mange kvadratkilometer (km2) av Island er dekket av isbreer?

111

10 % av Island er dekket av lava, 3 % av landet er innsjøer, og 1 % er dyrket mark. c) Regn ut hvor mange kvadratkilometer det er med lava, med innsjøer og med dyrket mark.

Island har mange vulkaner og varme kilder. Mest kjent er den stadig aktive vulkanen Hekla og den kjente geysiren Strokkur. Det varme kildevannet føres til 80 % av islandske hjem for oppvarming, og det produserer dessuten energi til andre formål. d) Hvor mange islendinger får hjemmene sine oppvarmet av vann fra varme kilder?

Strokkur

FF 3 Fugleobservatører kan finne et paradis på Island.

Látrabjarg i Vestfjordene er verdens største fuglefjell; blant annet hekker verdens største alkekoloni der.

Látrabjarg er 14 000 m langt og 444 m høyt.

Skriv lengden og høyden av Látrabjarg i kilometer, desimeter og centimeter.

112

FF 4 På grunn av Golfstrømmen har Island et temperert kystklima.

Det er kjølig om sommeren og mildt om vinteren, og været er svært vekslende.

Gjennomsnittstemperatur i °C og nedbør i mm i perioden 1961–2000.

Temperaturer Sted Reykjavík Stykkishólmur Akureyri Teigarhorn Kirkjubæjarklaustur Vestmannaeyjar

Januar – 0,5 – 1,3 – 2,2 – 0,3 – 0,4 1,3

Juli 10,6 9,9 10,5 8,8 11,2 9,6

Nedbør i mm Januar 75,7 67,5 55,2 129,0 145,0 158,3

Juli 51,8 42,1 33,0 83,8 120,0 94,9

a) Hvilket sted hadde den laveste gjennomsnittstemperaturen i januar? b) Hvilket sted hadde den største forskjellen i gjennomsnittstemperatur i januar og i juli? Hvor stor var forskjellen i grader celsius (°C)? c) Hvilket sted hadde den største nedbørmengden i juli? d) Hvilket sted hadde den største nedbørmengden i januar og juli til sammen? Hvor stor var denne nedbørmengden i millimeter?

Islendingene er svært bevisste når det gjelder å ta vare på det islandske språket. Språket er nesten det samme som i vikingtiden. Det skrives og leses mer på Island enn i noe annet land i verden.

Hos oss er nok Snorre Sturlason mest kjent av islendingene. Han levde fra 1179 til 1241.

Fritt etter Chr. Krogh

113

FF 5 Snorre Sturlason skrev blant annet Norges kongesagaer. Dette historiske verket er i moderne versjon på 680 sider, og av dem er ca. 90 sider bilder. Utsnittet nedenfor er hentet fra teksten om slaget ved Svolder, der Olav Tryggvason ble drept.

Meget fritt etter Chr. Krogh

Finn skjøt, og pilen traff Einars bue på midten i det samme. Einar spente buen for tredje gang. Da brast buen i to stykker. Da sa kong Olav: «Hva brast så høyt der?» Einar svarte: «Norge av di hand, konge.»

«Det var vel ikke så stor brist,» sa kongen, «ta min bue og skyt med den,» og så kastet han buen sin til ham. Einar tok buen, drog den straks ut forbi odden på pila, og sa: «For veik, for veik er kongens bue!» Så slengte han buen tilbake, og tok skjold og sverd og kjempet med.

Tell antall ord per linje i gjennomsnitt. Vi regner at hver side har 46 linjer. Lag et overslag over hvor mange ord kongesagaene inneholder pr. side, og hvor mange ord det er i hele verket til sammen.

FF 6 Islendingenes viktigste inntektskilde er fisken. Fiskerinæringen danner grunnlaget for økonomien i landet, og 70 % av eksportinntektene kommer herfra. Et år eksporterte Island for 1 811 millioner dollar. En dollar regner vi her er verd 7,00 kr.

a) Regn ut hvor mange millioner kroner Island eksporterte for i 1989. b) Regn ut hvor mange millioner kroner fiskeeksporten var verd.

For å sikre økonomien utvidet Island fiskerigrensen sin til 200 nautiske mil, noe som førte til en del sammenstøt med blant annet engelske fiskere. En nautisk mil er 1 852 m. c) Regn ut hva fiskerigrensen blir i kilometer.

114

Det er særlig torsk, sild og lodde som fanges, men også lange har ganske mye å si økonomisk. En hunn av lange kan bli 15 år gammel og veie godt over 20 kg. En 150 cm lang hunn som veide 24 kg, har også satt en noe spesiell verdensrekord. Den hadde ca.

28 400 000 egg i eggstokkene. Dette er det største antall egg som noen gang er funnet hos et virveldyr. d) Bruk teksten om lange, og lag minst tre regnestykker med tekst. Lag fasit og la en av de andre i klassen forsøke å løse oppgavene dine.

FF 7 Islandshesten er liten og kraftig, og den passer bedre til turbruk enn som sportshest.

En bonde kjøpte havre til de fire islandshestene sine. Han regnet ut at havren skulle rekke i åtte uker når hver hest fikk fire liter om dagen. Da fem uker var gått, solgte bonden to av hestene.

Hvor lenge rakk havren etter at han hadde solgt de to hestene?

115