Sinus R1

Oldervoll • Orskaug Vaaje • svorstøl • hals m ate m at i k k

R1

m at e mat i k k

Tore Oldervoll • Odd Orskaug • Audhild Vaaje Otto Svorstøl • sigbjørn hals

mat emat ikk

For de studieforberedende utdanningsprogrammene i matematikk på Vg2 fins disse bøkene:

Bokmål

• Sinus 2T • Sinus 2P • Sinus R1 • Sinus S1 • Sinus X

R1 Bokmål

ISBN 978-82-02-40205-1

9 788202 402051 www.cdu.no

R1

Innhold 1

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Logikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 MengdelĂŚre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Noen bevismetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Resten ved polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Faktorisering av polynomer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Likninger og ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Rasjonale likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Rasjonale ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9

2

Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Briggske logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Eksponentiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Eksponentielle ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Likninger og ulikheter med lg x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Den naturlige logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Bruk av den naturlige logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Likninger og ulikheter med ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3

Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Betinget sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Total sannsynlighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Bayes-setningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Uavhengige hendinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Ordnede utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Uordnede utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Binomiske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Hypergeometriske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Valg av sannsynlighetsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5

6

Sinus R1

4

Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9

Formlike trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Kongruente trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Sentralvinkel og periferivinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Konstruksjon med passer og linjal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Medianer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Midtnormaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Høyder i trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Halveringslinjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Bevis for pytagorassetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

5

Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Vektor og skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Sum og differanse av vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Produkt av tall og vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Vektorer pĂĽ koordinatform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Regning med vektorkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Vektoren mellom to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Lengde og avstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Sirkellikningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Sirkelen som grafen til to funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6

Vektorregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .219

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8

Parallelle vektorer i koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Parameterframstillinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 Parallelle vektorer uten koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Skalarproduktet i koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Bruk av skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Regneregler for skalarproduktet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 Mer om lengder og vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

7

Funksjonslære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9

Grenseverdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Kontinuerlige funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Vertikale asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Horisontale og skrå asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Derivasjon av polynomer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Krumning og vendepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Fart og akselerasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

8

Derivasjonsregler og vektorfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .307

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9

Potensfunksjoner og rotfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Sammensatte funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Logaritmefunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 Derivasjon av et produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Derivasjon av en kvotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 Kurver og vektorfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Derivasjon av vektorfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 Fartsvektor og akselerasjonsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .350 1

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351

2

Logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .363

3

Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372

4

Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .390

5

Vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .411

6

Vektorregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .423

7

Funksjonslære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .437

8

Derivasjonsregler og vektorfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .469 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .498

7

2 56

Sinus R1 > Logaritmer

Logaritmer MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne •

utlede de grunnleggende regnereglene for logaritmer og bruke dem og potensreglene til å forenkle uttrykk og løse likninger og ulikheter

•

omforme og forenkle sammensatte rasjonale funksjoner og andre symbolske uttrykk med og uten bruk av digitale hjelpemidler

57

2.1 Briggske logaritmer Vi ser på eksponentialfunksjonen f(x) = 10x Funksjonen har denne grafen: y

y

100

f

90

–2

100

80

80

70

70

60 f(b) 50

60

40

40

50

30

30

20 f(a) 10

20

–1

f(x) = 10x

90

10

x 1a

b2

–2

–1

x 1 1,6 2

Funksjonen er strengt voksende. Med det mener vi at hvis vi velger to tall a og b slik at a < b, så er alltid f(a) < f(b). Se grafen til venstre. Det omvendte er også riktig.

Funksjonen f(x) = 10x er strengt voksende. Det vil si at a < b ⇔ 10a < 10b Hvilket tall må vi opphøye 10 i for å få 100?

Vi vet at 102 = 100. Svaret er dermed 2. Tallet 2 kaller vi logaritmen til 100.

Det er tallet vi må opphøye 10 i for å få 100. Vi skriver lg100 = 2.

Vi definerer logaritmen til et tall på denne måten:

For et positivt tall a er logaritmen til a (lg a) det tallet vi må opphøye 10 i for å få a.

10lg a = a Denne logaritmen har 10 som grunntall og kalles den briggske logaritmen etter matematikeren Henry Briggs (1561−1630). Han lagde den første logaritmetabellen med grunntall 10.

58

Sinus R1 > Logaritmer

Vi kan finne lg a til et positivt tall a ved hjelp av grafen på forrige side.

Hvis vi skal finne lg 40, går vi fram som vist til høyre ovenfor. Avlesingen viser at lg 40 ≈ 1,6 fordi 101,6 ≈ 40.

For noen tall kan vi finne logaritmen uten hjelpemidler. lg 100 = 2 fordi 102 = 100 lg 10 = 1 fordi 101 = 10 lg 1 = 0 fordi 100 = 1 1 = 0,1 lg 0,1 = −1 fordi 10−1 = ____ 101

EKS EMPEL 5

___

Finn lg √ 100 .

Løs ning: Fra vg1 vet vi at 5

___

5

___

2 __

√ 100 = √ 102 = 10 5

Dermed er ___ 2 ___ 2 __ 5 5 lg √ 100 = __ fordi 10 5 = √ 100 5

?

OPP GAVE 2.10

a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og tegn grafen til f(x) = 10x når x 苸 [−1, 1]. b) Bruk grafen til å finne 1) lg 2 2) lg 5 OPP GAVE 2.11

Bruk definisjonen av den briggske logaritmen og regn ut. a) lg 1000 b) lg 100 000 c) lg 108 d) lg 0,001 e) lg 0,000 001 f) lg 10–9 OPP GAVE 2.12

Bruk de___ finisjonen av logaritmen til____ å finne b) lg 1000 a) lg √10 √ ___ ______ 3 d) lg √ 10 000 c) lg √ 109

59

Vanligvis bruker vi lommeregneren når vi skal finne logaritmer. Den gir for eksempel at lg 7 = 0,84509804 Dette kan vi kontrollere ved å regne ut 100,84509804 og se om vi får 7.

Det er ikke mulig å regne ut lg (–2), for det fins ikke noe tall vi kan opphøye 10 i for å få −2. Grunnen er at 10t > 0 for alle verdier av t. Logaritmen lg x er bare definert når x er et positivt tall.

Vi kan nå regne ut logaritmen til mange positive tall og få fram grafen til logaritmefunksjonen f(x) = lg x y 2 1 lg b lg a 0

f x 1

2 3 a

4

5 b

6

7

8

9 10 11

–1 –2

Vi kan bare regne ut logaritmer for positive tall. Definisjonsmengden til logaritmefunksjonen er Df = 〈0, →〉. Logaritmefunksjonen er strengt voksende slik at a < b ⇒ lg a < lg b Det omvendte er også riktig. Hvis vi vet at lg a < lg b, så er a < b.

La a og b være to positive tall. a < b ⇔ lg a < lg b

Regelen ovenfor får vi bruk for når vi skal løse ulikheter i kapittel 2.4.

60

Sinus R1 > Logaritmer

Vi har disse reglene, som gjelder for alle tall x og alle positive tall a:

lg ax = x · lg a lg (a · b) = lg a + lg b a lg __ = lg a − lg b b Vi beviser reglene på slutten av dette delkapittelet.

EKS EMPEL La x være et positivt tall. Trekk sammen uttrykkene. __ 3 __ 6 __ b) lg √ x + lg √ x + lg √ x a) 2 lg x3 + 3 lg x2 Løs ning: a) 2 lg x3 + 3 lg x2 = 2 · 3 · lg x + 3 · 2 · lg x = 6 lg x + 6 lg x = 12 lg x __

3

__

6

__

1 __

1 __

1 __

b) lg √ x + lg √ x + lg √ x = lg x 2 + lg x 3 + lg x 6 1

1

1

3

2

1

= __ · lg x + __ · lg x + __ · lg x 2 3 6 = __ · lg x + __ · lg x + __ · lg x 6 6 6 6

· lg x = lg x = __ 6

?

OPP GAVE 2.13

a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og tegn grafen til funksjonen gitt ved f(x) = lg x der x 苸 〈0, 10〉. b) Bruk grafen til å finne lg 6.

OPP GAVE 2.14

La x og y være positive tall. Trekk sammen uttrykkene og skriv dem ved hjelp av lg x og eventuelt lg y.

8 x x3 a) lg 2x + lg __ b) lg ___ + lg ___ 2 4 x2 3 y y x c) lg xy2 + lg x2y d) lg ___ + lg __ + lg ___ 2 x y x2

61

Den briggske logaritmen har grunntall 10. Vi kan definere logaritmer med andre grunntall. Logaritmen med grunntall 2 definerer vi slik: Logaritmen log2 x er det tallet vi må opphøye 2 i for å få x.

2log2x = x Dermed er log2 8 = 3 fordi 23 = 8 1 1 log2 __ = – 1 fordi 2–1 = __ 2 2 Vi kan også definere en logaritme med for eksempel grunntall 5: Logaritmen log5 x er det tallet vi må opphøye 5 i for å få x.

5log5x = x Definisjonen gir log5 25 = 2 fordi 52 = 25 1 1 1 log5 ____ = –3 fordi 5–3 = ___3 = ____ 125 125 5 Regnereglene for slike logaritmer er som for den briggske logaritmen.

?

OPPGAVE 2.15

Regn ut. a) log2 16 e) log5 125 i) log7 49

1 b) log2 __ 8 1 __ f) log5 5 1 ____ j) log7 343

c) log2 1

d) log2 2

g) log5 1

h) log5 5

k) log7 1

l) log7 7

OPPGAVE 2.16

a) Bruk formelen 2log2x = x til å vise at lg x log2x = ____ lg 2 b) Bruk dette og en lommeregner til å finne log2 5.

BEVIS FOR REGLENE FOR DEN BRIGGSKE LOGARITMEN

Nå skal vi bevise regelen lg ax = x · lg a, altså at x · lg a er logaritmen til ax. Etter definisjonen av logaritme må vi da vise at x · lg a er det tallet vi må opphøye 10 i for å få ax.

10x · lg a = 10(lg a) · x = (10lg a)x = ax

62

Sinus R1 > Logaritmer

Vi har her brukt potensregelen 10m · n = (10m)n og at 10lg a = a.

For å bevise at lg (a · b) = lg a + lg b, må vi vise at lg a + lg b er det tallet vi må opphøye 10 i for å få a · b. Vi bruker at 10m + n = 10m · 10n, og får 10lg a + lg b = 10lg a · 10lg b = a · b a For å bevise at lg __ = lg a – lg b, må vi vise at lg a – lg b er det tallet b a 10m vi må opphøye 10 i for å få __. Vi bruker at 10m – n = ___ , og får 10n b 10lg a __ a 10 lg a – lg b = _____ = 10lg b b

2.2 Eksponentiallikninger Logaritmereglene kan vi bruke til å løse likninger der den ukjente er en eksponent. Slike likninger kaller vi eksponentiallikninger.

EKS EMPEL Løs eksponentiallikningene. b) 2 · 5x = 3 · 4x a) 5x = 17 Løs ning: a) 5x = 17 lg 5x = lg 17 x · lg 5 = lg 17 lg 17 x = _____ lg 5

b)

2 · 5x = 3 · 4x lg (2 · 5x) = lg (3 · 4x) lg 2 + lg 5x = lg 3 + lg 4x lg 2 + x · lg 5 = lg 3 + x · lg 4 x · lg 5 − x · lg 4 = lg 3 − lg 2 x · (lg 5 − lg 4) = lg 3 − lg 2 lg 3 − lg 2 x = __________ lg 5 − lg 4

lg ax = x · lg a

lg (a · b) = lg a + lg b lg an = n · lg a

63

I dette eksempelet fant vi de eksakte løsningene. I slike teoretiske oppgaver er vi oftest mest interessert i eksakte løsninger. I praktiske oppgaver der vi har matematiske modeller, bruker vi vanligvis tilnærmingsverdier.

EKS EMPEL Knut setter 5000 kr i banken og får 3 % rente per år.

Hvor mange år går det før beløpet har vokst til 7000 kr?

Løs oppgaven ved regning og digitalt.

Løs ning: Vekstfaktoren til 3 % rente er 1,03. Etter x år har beløpet vokst til

5000 kr · 1,03x Ved regning: Vi skal finne ut når beløpet er 7000 kr, derfor må vi løse likningen 5000 · 1,03x = 7000 7000 1,03x = _____ 5000 1,03x = 1,4 lg 1,03x = lg 1,4 x lg 1,03 = lg 1,4 lg 1,4 x = _______ ≈ 11,4 lg 1,03 Digitalt: Vi åpner CAS-delen av GeoGebra, skriver inn likningen og trykker på for å få tilnærmingsverdier. Det gir denne løsningen:

Beløpet har vokst til 7000 kr etter vel 11 år.

?

64

OPP GAVE 2.20

Finn tilnærmingsverdier for x både digitalt og ved regning. b) 2 · 3x = 5 a) 1,04x = 1,5 x x d) 1000 · 1,04x = 1200 · 1,02x c) 5 · 2 = 2 · 3 Sinus R1 > Logaritmer

?

OPP GAVE 2.21

Anne setter 10 000 kr i banken og får 3 % rente per år. Etter x år har beløpet A(x) i kroner vokst til A(x) = 10 000 · 1,03x a) Når er beløpet 15 000 kr? b) Når er beløpet 20 000 kr? c) Bjørn setter samtidig inn 12 000 kr i en bank som gir 2 % rente per år.

Når har Anne og Bjørn like mye penger i banken?

Vi kan også løse andregradslikninger og rasjonale likninger som inneholder eksponentialfunksjoner.

EKS EMPEL Løs likningene. a) 32x − 5 · 3x + 6 = 0 Løs ning: a) 32x − 5 · 3x + 6 = 0 3x · 2 − 5 · 3x + 6 = 0 (3x)2 − 5 · 3x + 6 = 0

22x − 3 · 2x =0 b) __________ 2x + 1

En av potensreglene gir (3x)2 = 3x · 2.

Dette er en andregradslikning med 3x som ukjent.

Andregradsformelen gir ___________

–(–5) ± √ (–5)2 – 4 · 1 · 6 3x = ___________________ 2 __ 5 ± √1 3x = _______ 2 5 ± 1 3x = _____ 2 3x = 2 eller 3x = 3 lg 3x = lg 2 eller lg 3x = lg 3 x · lg 3 = lg 2 eller x · lg 3 = lg 3 lg 2 x = ____ eller x = 1 lg 3

65

b) Brøken er null når og bare når telleren er null. Det gir 2x

x

2 −3·2 __________ =0

2x + 1 − 3 · 2x = 0 x (2 )2 − 3 · 2x = 0 2x · (2x − 3) = 0 2x = 0 eller 2x − 3 = 0

22x

2x blir aldri null. Den eneste muligheten er dermed 2x − 3 = 0.

Det gir 2x = 3 lg 2x = lg 3 x · lg 2 = lg 3 lg 3 x = ____ lg 2

?

OPP GAVE 2.22

Løs likningene. a) 52x − 3 · 5x + 2 = 0

b) 2 · 72x − 4 · 7x + 2 = 0

32x − 6 · 3x =0 c) __________ 2 · 3x + 3

32x − 6 · 3x d) __________ = −1 2 · 3x + 3

2.3 Eksponentielle ulikheter I kapittel 2.1 så vi at for to positive tall a og b gjelder denne regelen: a < b ⇔ lg a < lg b Det største tallet har alltid størst logaritme, og tallet med den største logaritmen er alltid størst. Dette kan vi bruke når vi løser eksponentielle ulikheter.

EKS EMPEL Løs ulikhetene. a) 2 · 3x > 5

66

Sinus R1 > Logaritmer

b) 7 · 3x ≤ 3 · 5x

Løs ning: a) 2 · 3x > 5 lg (2 · 3x) > lg 5 lg 2 + lg 3x > lg 5 x · lg 3 > lg 5 − lg 2 5 − lg 2 x · lg 3 lg _______ > _________ lg 3 lg 3 lg 5 − lg 2 x > __________ lg 3

b)

a > b ⇔ lg a > lg b

Ettersom lg 3 > 0, skal vi ikke snu ulikhetstegnet.

7 · 3x ≤ 3 · 5x lg (7 · 3x) ≤ lg (3 · 5x) lg 7 + lg

3x

≤ lg 3 + lg

a ≤ b ⇔ lg a ≤ lg b

5x

lg 7 + x · lg 3 ≤ lg 3 + x · lg 5 x · lg 3 − x · lg 5 ≤ lg 3 − lg 7 x · (lg 3 − lg 5) ≤ lg 3 − lg 7 lg 3 − lg 7 x · (lg 3 − lg 5) __________ _____________ ≥

(lg 3 − lg 5) lg 3 − lg 7 x ≥ __________ lg 3 − lg 5

?

lg 3 − lg 5

Her må vi snu ulikhetstegnet ettersom lg 3 – lg 5 < 0.

OPP GAVE 2.30

Finn eksakte løsninger av ulikhetene. b) 5 · 2x ≥ 2 · 3x a) 2 · 3x < 5 OPP GAVE 2.31

Løs ulikhetene. Bruk tilnærmingsverdier. b) 1000 · 1,04x ≤ 1200 · 1,02x a) 1,04x > 1,5 OPP GAVE 2.32

Anne setter 10 000 kr i banken og får 3 % rente per år. Etter x år har beløpet A(x) i kroner vokst til A(x) = 10 000 · 1,03x a) Når er beløpet over 12 000 kr? b) Bjørn setter samtidig inn 12 000 kr i en bank som gir 2 % rente per år.

Når har Anne mer penger enn Bjørn i banken?

67

Til venstre nedenfor har vi tegnet grafen til f(x) = 2x og grafen til

(1)

x

. Vi ser at grafen til f er strengt voksende. En større x-verdi gir g(x) = __ 2 en større funksjonsverdi. Grafen til g er strengt minkende. En større x-verdi gir en mindre funksjonsverdi. y

y 10

f(x) = 2x

9 8 7 6 5 4

g(x) = ( 12 )x

0<a<1

3

a>1

2 1 –5 –4 –3 –2 –1 0 1

x 2 3

4

5

Til høyre ovenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f(x) = ax for to verdier av a. Når a er et tall større enn 1, er funksjonen strengt voksende. Når a er et tall mellom 0 og 1, er funksjonen minkende. Dette kan vi bruke til å lage fortegnslinjer for eksponentialfunksjoner.

EKS EMPEL Løs ulikheten x

2 −3 ________ >0 1 x __ −2

(2)

Løs ning: Først finner vi nullpunktet til telleren.

2x − 3 = 0 2x = 3 lg 2x = lg 3 x · lg 2 = lg 3 lg 3 x = ____ lg 2

68

Sinus R1 > Logaritmer

x

lg 3

Ettersom 2x er strengt voksende, er 2x − 3 > 0 når x > ___ , og lg 2 lg 3

2x − 3 < 0 når x < ___ . lg 2 Så finner vi nullpunktet til nevneren. Det kan vi klare uten å bruke logaritmer. x

( __12 ) − 2 = 0 (2−1)x = 2 2−x = 21 −x = 1 x = −1

( )

1 Ettersom __ 2 1 x __ 2

( )

x

er strengt minkende, er

( __12 )

x

− 2 < 0 når x > −1, og

− 2 > 0 når x < −1.

Nå lager vi fortegnslinje for brøkuttrykket. lg 3 lg 2

–1 2x – 3 (12 )x

–2

x

0 0

2x – 3 –2

0

(12 )x

2x − 3 Vi skulle finne ut hvor ______ > 0. Det er når 1 x

( __2 ) − 2

lg 3 −1 < x < ____ lg 2

EKS EMPEL Løs ulikheten 22x − 4 · 2x + 3 < 0 Løs ning: Først omformer vi venstre side av ulikhetstegnet ved å sette 22x = (2x)2.

(2x)2 − 4 · 2x + 3 < 0

69

Vi må faktorisere andregradsuttrykket og setter u = 2x. Uttrykket blir da u2 – 4u + 3, og det har nullpunktene u = 3 og u = 1. Dermed er u2 – 4u + 3 = (u − 3)(u − 1) Det gir (2x)2 − 4 · 2x + 3 = (2x − 3)(2x − 1) Ulikheten kan dermed skrives slik: (2x − 3)(2x − 1) < 0 Nå finner vi nullpunktene til de to faktorene.

2x − 3 = 0 2x = 3 lg 2x = lg 3 x · lg 2 = lg 3 lg 3 x = ____ lg 2

2x − 1 = 0 2x = 1 lg 2x = lg 1 x · lg 2 = 0 x=0

Ettersom 2x er strengt voksende, får vi dette fortegnsdiagrammet: lg 3 lg 2

0 2x – 3

x

0

2x – 1

0

(2x – 3)(2x – 1)

0

0 lg 3

22x − 4 · 2x + 3 < 0 når 0 < x < ___ lg 2

?

OPP GAVE 2.33

Løs ulikhetene.

3x − 2 >0 a) ________ 1 x __ −3 3

( )

2x – 4 >0 b) ________ 3 · 2x – 6

2x c) ______ >2 x 2 –8

b) 22x − 2 · 2x > 3

2 · 2x − 3 c) 2x > _________ 2x − 2

OPP GAVE 2.34

Løs ulikhetene. a) 32x − 5 · 3x + 6 > 0

70

Sinus R1 > Logaritmer

2.4 Likninger og ulikheter med lg x En logaritmelikning er en likning som inneholder logaritmen til den ukjente.

EKS EMPEL Løs logaritmelikningene. a) 2 lg x + 1 = 5 c) (lg x)2 – 4 lg x + 3 = 0

b) lg x2 – 4 lg x + 3 = 0 d) lg (x + 1) = 2 lg 3

Løs ning:

a)

2 lg x + 1 = 5 2 lg x = 4 lg x = 2 x = 102 x = 100

b) Uttrykket lg x2 kan vi skrive på denne måten: lg x2 = 2 · lg x Vi kan da løse likningen slik: lg x2 – 4 lg x + 3 = 0 2 · lg x – 4 lg x + 3 = 0 –2 lg x = –3 3 lg x = __ 2 3 __ 2 x = 10___ x = √____ 103 x = √ 1000 c) Uttrykket (lg x)2 kan vi ikke forenkle på noen måte. (lg x)2 – 4 lg x + ___________ 3=0 –(–4) ± √ (–4)2 – 4 · 1 · 3 lg x = _____________________ __ 2 · 1 4 ± 4 √ lg x = _______ 2 4±2 lg x = _____ 2 lg x = 1 eller lg x = 3 x = 10 eller x = 1000

Legg merke til at lg x2 = 2 lg x (lg x)2 = lg x · lg x

71

d) Vi utnytter at 2 lg 3 = lg 32 = lg 9.

lg a = lg b ⇔ a = b

lg (x + 1) = 2 lg 3 lg (x + 1) = lg 32 x+1=9 x=8

Likningene i eksempelet foran kan vi også løse digitalt. Når vi skal løse likningen (lg x)2 – 4 lg x + 3 = 0 i GeoGebra, skriver vi inn likningen og trykker på resultatet:

. Det gir dette

Vi kan også løse ulikheter som inneholder lg x. Da får vi bruk for at f(x) = 10x er en voksende funksjon.

EKS EMPEL Løs ulikheten 2 lg x + 8 > 5 lg x + 2.

Løs ning:

2 lg x + 8 > 5 lg x + 2 2 lg x − 5 lg x > 2 − 8 −3 lg x > −6 −3 lg x ___ −6 _______ < −3 −3 lg x < 2 10lg x < 102 x < 100

a < b ⇔ 10a < 10b

Men lg x er bare definert for positive verdier av x. Dermed er svaret 0 < x < 100

72

Sinus R1 > Logaritmer

EKSEMPEL Løs likningen og ulikheten digitalt. a) 5 lg x + 2 = 3 lg x + 4 b) 5 lg x + 2 > 3 lg x + 4 Løsning: a) Vi bruker CAS-delen i GeoGebra og skriver inn likningen. Et trykk gir denne løsningen: på

b) Nå skriver vi inn ulikheten og trykker på

?

. Svaret er

OPPGAVE 2.40

Løs likningene både med og uten hjelpemidler. a) 6 lg x + 4 = 2 lg x b) 7 lg x – 2 = 2 lg x + 8 2 – d) lg x3 + lg x + 8 = 0 c) lg x lg x = 4 OPPGAVE 2.41

Løs likningene uten hjelpemidler. b) (lg x)2 – 3 lg x + 2 = 0 a) lg x2 – 3 lg x + 2 = 0 2 d) lg(x + 6) = 2 lg x c) lg(x – 3x) = 2 lg 2 OPPGAVE 2.42

Løs ulikhetene både med og uten hjelpemidler. a) 2 lg x + 2 < 4 b) 3 lg x + 2 > –lg x + 6 d) lg x3 + lg x2 + lg x ≤ 3 c) lg x2 + 2 lg x – 8 > 0

73

Noen ganger må vi lage fortegnslinjer når vi skal løse ulikheter med lg x. Da utnytter vi at f(x) = lg x er en voksende funksjon. a < b ⇔ lg a < lg b

EKS EMPEL Funksjonen f er gitt ved (lg x)2 – lg x f(x) = ___________ , (lg x)2 + 1

x>0

a) Finn nullpunktene til f ved regning. b) Løs ulikheten f(x) > 0 c) Tegn grafen til f.

Løsning: a) Brøken er null når og bare når telleren er null. Nullpunktene til f er dermed gitt ved likningen

(lg x)2 – lg x = 0 lg x · (lg x – 1) = 0 lg x = 0 eller lg x – 1 = 0 lg x = 0 eller lg x = 1 x = 1 eller x = 10 b) Først faktoriserer vi telleren og får lg x · (lg x − 1) f(x) = _____________ (lg x)2 + 1 Fra oppgave a vet vi at lg x = 0 når x = 1, og at lg x − 1 = 0 når x = 10. Ettersom lg x er voksende, blir lg x og lg x − 1 positive til høyre for nullpunktet og negative til venstre for nullpunktet på fortegnslinja.

Nevneren er et positivt tall for alle verdier av x. Grunnen er at (lg x)2 ≥ 0 uansett om lg x er positiv eller negativ. Det gir fortegnsdiagrammet på neste side.

74

Sinus R1 > Logaritmer

0 lg x

1

10

0 0

lg x – 1 (lg

x)2

x

+1 f(x)

0

0

f(x) > 0 når 0 < x < 1 og når x > 10 c) Nå tegner vi grafen. y 1 0,5 f 0

1

2 3

4 5

6

7

8

x

9 10 11 12

–0,5

?

OPPGAVE 2.43

Løs ulikhetene. lg x a) _______ > 0 lg x − 1 3 lg x − 3 c) _________ < 1 lg x + 1

2 lg x − 4 b) _________ ≥ 0 lg x − 1

OPPGAVE 2.44

Løs ulikhetene. a) 2(lg x)2 − lg x > 0

b) (lg x)2 − 5 lg x + 6 < 0

2 · lg x − 3 c) __________ > lg x lg x − 2

75

2.5 Den naturlige logaritmen

?

OPP GAVE 2.50

Bruk digitale hjelpemidler og regn ut 1,110, 1,01100, 1,0011000, 1,000110 000 osv.

Hva finner du ut?

I oppgave 2.50 fikk du sikkert fram disse tallene: 1,110 1,01100 1,0011000 1,000110 000 1,00001100 000 1,0000011 000 000 1,000000110 000 000

= 2,59374 = 2,70481 = 2,71692 = 2,71814 = 2,71826 = 2,71828 = 2,71828

Det ser ut som vi nærmer oss tallet 2,71828. Vi kan vise at potensene ovenfor nærmer seg et bestemt tall når antallet siffer øker. Dette tallet er eulertallet e.

Utregningene ovenfor viser at e ≈ 2,71828 Tallet e er irrasjonalt, og vi kan derfor ikke skrive det nøyaktig som en brøk eller et desimaltall. Matematikere bruker eulertallet mye mer enn tallet ␲.

På lommeregneren kan vi finne flere desimaler i e ved å regne ut 1,000000000110 000 000 000 = 2,718281828 Lommeregneren har en egen ex-tast som gir e = 2,718281828 En bedre verdi for e er e = 2,718281828459045...

Nå skal vi omforme potensene ovenfor for å finne en god definisjon av e. Når vi for eksempel velger t = 0,001, blir 1 ______ 1 __ = = 1000 t

76

Sinus R1 > Logaritmer

0,001

Dermed blir 1 __

(1 + t) t = 1,0011000 Med t = 0,0001 blir 1 __

(1 + t) t = 1,000110 000 1 __

Når vi velger t nær null, blir altså ( 1 + t ) t nær tallet e. Dette gjelder selv om t er et negativt tall. Ved hjelp av grensetegnet lim kan vi skrive definisjonen slik: 1 __

e = lim (1 + t) t t→0

Definisjonen av tallet e kan virke vanskelig, men e er et helt vanlig tall på lik linje med alle andre tall. Vi finner det her på tallinja: 1

2

e

3

Til nå har de eksponentialfunksjonene som vi har arbeidet med, vært av typen f(x) = 5 · 3x eller K(x) = 5000 · 1,05x. Den eksponentialfunksjonen vi bruker mest i matematikken, er funksjonen f(x) = ex der e er eulertallet 2,71828…. Grunnen til at denne funksjonen er så viktig, kommer vi tilbake til i kapittel 8. Her lager vi nå tabell og tegner grafen til funksjonen. x f(x)

–3

–2

0,050

–1

0,135 0,368

0 1

1

2

2,718 7,389

y 10

f

9 8 7 6 5 4 e 2 1 –3 –2 –1 0 1

x 2 3

Vi legger merke til at grafen går gjennom punktene (0, 1) og (1, e). Funksjonen er voksende for alle x.

77

EKS EMPEL Tegn grafen til funksjonen f(x) = 3 · e–2x digitalt og bruk grafen til å løse likningen 3 · e–2x = 10 Løsning: Vi åpner GeoGebra og legger inn funksjonsuttrykket sammen med linja y = 10 slik:

Det gir dette skjermbildet:

Når vi legger inn e, kan vi vanligvis ikke bruke vanlig e fra tastaturet.

Vi må taste Alt e eller hente e fra samlingen med symboler som vi finner under symbolet α til høyre i inntastingsfeltet.

Vi velger så Skjæring mellom to objekt og får fram skjæringspunktet med koordinatene (–0,6, 10). Det gir 3 · e–2x = 10 når x ≈ –0,6

78

Sinus R1 > Logaritmer

?

OPP GAVE 2.51

a) Tegn grafen til funksjonen gitt ved f(x) = ex. b) Løs likningene grafisk.

1 2) ex = 10 3) ex = __ 1) ex = 2 2 OPP GAVE 2.52

Tegn grafen til f(x) = 2e–x + 1.

Hva skjer med f(x) når x øker over alle grenser?

I kapittel 2.1 definerte vi den briggske logaritmen lg x som det tallet vi må opphøye 10 i for å få x. Den briggske logaritmen har 10 som grunntall. Vi har også sett på logaritmer med andre grunntall.

Når vi bruker tallet e som grunntall, får vi den naturlige logaritmen. Vi kunne ha brukt symbolet loge x, men den naturlige logaritmen bruker vi så ofte at vi har innført en egen skrivemåte for den. Vi skriver ln x.

Den naturlige logaritmen til x, ln x, er det tallet vi må opphøye e i for å få x. eln x = x

Definisjonen gir også at ln 1 = 0 fordi e0 = 1 ln e = 1 fordi e1 = e

y 10 9

f

8

Videre er ln

7

ex

=x

fordi x er det tallet vi må opphøye e i for å få ex.

Lommeregneren har en egen tast som gir ln x.

Vi bruker den og finner at ln 4 ≈ 1,386.

Denne verdien kan vi også finne ved hjelp av grafen til funksjonen f(x) = ex.

6 5 4 3 2 1

x

–3 –2 –1 0 1 2 3 1,4

79

Ved å lage tabell får vi fram denne grafen til funksjonen f(x) = ln x: y 3 2

f

1 0

x 1

2 e

4

5

6

7

8

9 10

–1 –2 –3

Vi ser at funksjonen har nullpunktet x = 1. Videre er f(e) = 1. Funksjonen er voksende for alle x. a < b ⇔ ln a < ln b Regnereglene for den naturlige logaritmen er som for den briggske logaritmen.

ln ax = x · ln a ln (a · b) = ln a + ln b a ln __ = ln a − ln b b Bevisene for dette er som for den briggske logaritmen. Du finner dem i slutten av dette delkapittelet.

?

OPP GAVE 2.53

Finn uten hjelpemidler. a) ln e3

b) ln 1

OPP GAVE 2.54

Trekk sammen uttrykkene uten hjelpemidler. b) ln (8x2) − 2 ln (2x) a) ln (x2) − ln x

80

Sinus R1 > Logaritmer

3

__

c) ln √ e2

BEVIS FOR LOGARITMEREGLENE

For å bevise at ln ax = x · ln a, må vi vise at x · ln a er det tallet vi må opphøye e i for å få ax. Vi må vise at ex · ln a = ax. ex · ln a = e(ln a) · x = (eln a)x = ax Her har vi brukt at em · n = (em)n, og at eln a = a.

For å bevise at ln (a · b) = ln a + ln b, må vi vise at ln a + ln b er det tallet vi må opphøye e i for å få a · b. Vi utnytter at em + n = em · en, og får eln a + ln b = eln a · eln b = a · b a

For å bevise at ln __ = ln a − ln b, må vi vise at ln a –m ln b er det tallet b a e . Vi bruker at em – n = ___ , og får vi må opphøye e i for å få __ en b eln a __ a eln a – ln b = ____ = ln b b e

2.6 Bruk av den naturlige logaritmen Den naturlige logaritmen kan vi bruke til å løse mange eksponentiallikninger.

Framgangsmåten blir som når vi bruker briggske logaritmer.

EKS EMPEL Finn de eksakte løsningene av disse eksponentiallikningene ved hjelp av den naturlige logaritmen. b) 3 · 2x = 48 a) e2x = 3 6 − 4ex c) ex + 2e−x − 3 = 0 d) _______ = ex 1 − ex Løs ning:

a)

e2x = 3 ln e2x = ln 3 2x · ln e = ln 3 2x · 1 = ln 3 ln 3 x = ____ 2

a = b ⇔ ln a = ln b

81

b)

3 · 2x = 48 48 2x = ___ 3 x 2 = 16 ln 2x = ln 16 x · ln 2 = ln 24 x · ln 2 = 4 · ln 2 x=4 1

c) Først utnytter vi at e–x = __ , og omformer likningen. ex ex + 2e−x − 3 = 0 2 ex + ___ −3=0 ex Deretter ganger vi med ex på begge sidene av likhetstegnet og får 2 · ex − 3 · ex = 0 · ex ex · ex + ___ ex (ex)2 − 3ex + 2 = 0 ___________

√

2

–(–3) ± (–3) – 4 · 1 · 2 ex = _____________________

2 3±1 ex = _____ 2 ex = 1 ⵪ ex = 2 x = ln 1 ⵪ x = ln 2 x = 0 ⵪ x = ln 2

d) I denne likningen blir nevneren lik null når x = 0. Vi må derfor passe på at x = 0 ikke kan være med blant løsningene. x

6 − 4e _______ = ex

| · (1 − ex) 1− 6 − 4ex _______ · (1 − ex) = ex · (1 − ex) 1 − ex 6 − 4ex = ex − (ex)2 (ex)2 − 5ex + 6 = 0 ex

___________

–(–5) ± √ (–5)2 – 4 · 1 · 6

ex = _____________________ 2 5±1 _____ x e = 2 ex = 2 ⵪ ex = 3 ln ex = ln 2 ⵪ ln ex = ln 3 x = ln 2 ⵪ x = ln 3

82

Sinus R1 > Logaritmer

Likningene i eksempelet foran kan vi også løse digitalt. Likningen ex + 2e–x – 3 = 0 kan vi løse i GeoGebra. Vi skriver inn likningen og trykker på dette:

. Det gir

Husk å taste Alt e eller hent e fra samlingen med symboler som du finner under symbolet α!

?

OPP GAVE 2.60

Bruk den naturlige logaritmen og løs likningene. b) 2ex = e–x a) 5ex = 15 x c) 2 · 3 = 162 d) 52x = 2 · 5–x OPPGAVE 2.61

Løs likningene både med og uten hjelpemidler.

2ex – 3 ___ ex b) ex + 12e–x = 7 c) _______ = a) e2x – 4ex + 3 = 0 x e –1 2

Vi kan også bruke den naturlige logaritmen til å løse ulikheter som inneholder eksponentialfunksjoner. Framgangsmåten blir som når vi bruker briggske logaritmer. Vi utnytter at funksjonene f(x) = ln x og g(x) = ex er voksende funksjoner.

EKS EMPEL Løs ulikhetene. a) 2 · ex < 6 2ex − 4 c) _______ >1 ex − 1 Løs ning: a) 2 · ex < 6 ex < 3 ln ex < ln 3 x < ln 3

b) 5 · 2x ≤ 2 · 3x

a < b ⇔ ln a < ln b

83

5 · 2x ≤ 2 · 3x ln (5 · 2x) ≤ ln (2 · 3x) ln 5 + ln 2x ≤ ln 2 + ln 3x ln 5 + x · ln 2 ≤ ln 2 + x · ln 3 x · ln 2 − x · ln 3 ≤ ln 2 − ln 5 x · (ln 2 − ln 3) ≤ ln 2 − ln 5 x · (ln 2 − ln 3) __________ ln 2 − ln 5 _____________ ≥ (ln 2 − ln 3) ln 2 − ln 3 ln 2 − ln 5 x ≥ __________ ln 2 − ln 3

b)

Vi må snu ulikhetstegnet fordi (ln 2 − ln 3) < 0.

c) Vi må ordne ulikheten slik at vi får 0 på høyre side av ulikhetstegnet og brøkuttrykket på venstre side. x

2e − 4 _______ >1 ex

−1

x

2e − 4 _______ −1>0

ex − 1 1 · (ex − 1) 2ex − 4 __________ _______ − >0 ex − 1 ex − 1 2ex − 4 − (ex − 1) _______________ >0 ex − 1 2ex − 4 − ex + 1 ______________ >0 ex − 1 ex − 3 ______ >0 ex − 1 Nå finner vi nullpunktene til telleren og til nevneren. ex − 3 = 0 ex = 3 x = ln 3

ex − 1 = 0 ex = 1 x=0

Ettersom ex er voksende, får vi dette fortegnsdiagrammet: 0 ex – 3 ex

–1

ex – 3 ex – 1

ln3 0

0 0

2ex − 4 _____ > 1 når x < 0 og når x > ln 3 ex − 1

84

Sinus R1 > Logaritmer

x

Disse ulikhetene kan også løses digitalt. Ulikheten i oppgave c foran løser vi . Det gir slik i GeoGebra CAS: Vi skriver inn ulikheten og trykker på dette svaret:

?

OPPGAVE 2.62

Løs ulikhetene både med og uten hjelpemidler. b) 2ex < e–x c) 2 · 3x ≥ 162 a) 5ex > 15

d) 52x ≤ 2 · 5–x

OPPGAVE 2.63

Løs ulikhetene uten hjelpemidler.

2ex − 4 a) _______ >0 b) e2x − 4ex + 3 < 0 ex − 3

4ex − 3 c) _______ < ex 2ex − 1

2.7 Likninger og ulikheter med ln x Vi skal nå se hvordan vi løser logaritmelikninger som inneholder den naturlige logaritmen ln x. Framgangsmåten er som når vi løser likninger som inneholder den briggske logaritmen lg x.

EKS EMPEL Løs likningene. a) 2 ln x = 4 c) ln x2 + ln x − 3 = 0

b) ln (x − 3) = 2 ln 3 d) (ln x)2 + ln x − 2 = 0

Løs ning:

a)

2 ln x = 4 ln x = 2 x = e2

b)

ln (x − 3) = 2 ln 3 ln (x − 3) = ln 32 ln (x − 3) = ln 9 x−3=9 x = 12

85

c)

ln x2 + ln x − 3 = 0 2 ln x + ln x = 3 3 ln x = 3 ln x = 1 x=e

d) Dette er en andregradslikning med ln x som ukjent. Vi bruker andregradsformelen. (ln x)2 + ln x − 2 = 0

___________

–1 ± √ 12 – 4 · 1 · (–2) ln x = ___________________ __ 2 · 1 –1 ± √ 9 ln x = ________ 2 −1 ± 3 ln x = _______ 2 ln x = 1 eller ln x = −2 x = e eller x = e–2

!

Legg merke til forskjellen på ln x2 og (ln x)2. I ln x2 skal vi først regne ut x2 og deretter finne logaritmen. I (ln x)2 skal vi først finne logaritmen til x og så kvadrere den.

Vi kan også løse ulikheter som inneholder ln x. Da får vi bruk for at f(x) = ex er en voksende funksjon.

EKS EMPEL Løs ulikheten 3 ln x + 4 > ln x + 6 Løs ning:

3 ln x + 4 > ln x + 6 3 ln x − ln x > 6 − 4 2 ln x > 2 ln x > 1 eln x > e1 x>e

86

Sinus R1 > Logaritmer

a > b ⇔ ea > eb

Slike likninger og ulikheter med ln x kan vi også løse digitalt.

EKS EMPEL Løs likningen og ulikheten digitalt.

1 a) 2 ln x + ln __ x =2 b) 2 ln(x + 1) < 6 ln 2 Løs ning: a) I GeoGebra CAS løser vi likningen som vist nedenfor. Du må skrive ln(x) og ikke bare ln x for den naturlige logaritmen.

x = e2 b) Ulikheten løser vi slik:

x<7

?

OPPGAVE 2.70

Løs likningene uten og med hjelpemidler. a) 3 ln x – 9 = 0 b) ln x3 + 2 ln x2 – 2 ln x = 5 c) ln (2x + 1) = 3 ln 3 d) ln x + ln (x + 2) = ln 3 OPPGAVE 2.71

Løs likningene uten hjelpemidler. b) (ln x)2 – 6 ln x + 8 = 0 a) ln x2 – 6 ln x + 8 = 0 OPPGAVE 2.72

Løs ulikhetene uten og med hjelpemidler. a) 3 ln x + 1 < 4 b) 3 ln x + 2 > ln x + 6 d) ln x3 + 2 ln x2 – 2 ln x ≤ 5 c) ln x2 + ln x – 6 > 0

87

Noen ganger må vi lage fortegnslinjer når vi løser ulikheter med ln x. Da utnytter vi at f(x) = ln x er en voksende funksjon.

EKS EMPEL Løs ulikheten (ln x)2 − ln x ___________ >0 ln x − 2 Løs ning:

Først faktoriserer vi telleren og får ln x · (ln x − 1) _____________ >0 ln x − 2 Så finner vi nullpunktene til faktorene i telleren og i nevneren. ln x = 0 x=1

ln x − 1 = 0 ln x = 1 x=e

ln x − 2 = 0 ln x = 2 x = e2

Ettersom ln x er voksende, blir ln x, ln x − 1 og ln x − 2 positive til høyre for nullpunktet og negative til venstre for nullpunktet på fortegnslinja. Det gir dette fortegnsdiagrammet: 0 ln x

1

e

0 0

ln x – 2 – ln x (ln ln x – 2

x

0

ln x – 1 x)2

e2

0

0

2

(ln x) − ln x ________ > 0 når 1 < x < e og når x > e2 ln x − 2

?

OPP GAVE 2.73

Løs ulikhetene. ln x a) _______ > 0 ln x + 1

ln x − 3 b) _________ ≥ 0 2 ln x − 4

2 ln x − 3 c) _________ < 2 ln x + 1

b) (ln x)2 − 4 ln x < −3

2 · ln x − 6 ln x c) __________ > ____ 2 ln x − 4

OPP GAVE 2.74

Løs ulikhetene. a) (ln x)2 − 3 ln x > 0

88

Sinus R1 > Logaritmer

SAM MEN DRAG Den briggske logaritmen Den briggske logaritmen til a, lg a, er det tallet vi må opphøye 10 i for å få a.

10lg a = a Den briggske logaritmen er voksende. For to positive tall a og b er a < b ⇔ lg a < lg b Regneregler for briggske logaritmer lg ax = x · lg a lg (a · b) = lg a + lg b a lg __ = lg a − lg b b Eulertallet e 1 __

e = lim (1 + t) t ≈ 2,71828 t→0

Den naturlige logaritmen Den naturlige logaritmen til x, ln x, er det tallet vi må opphøye e i for å få x. eln x = x Den naturlige logaritmen er voksende. For to positive tall a og b er a < b ⇔ ln a < ln b Regneregler for den naturlige logaritmen ln ax = x · ln a ln (a · b) = ln a + ln b a ln __ = ln a − ln b b

89

2 Logaritmer +

ØV MER

2.1 BRIGGSKE LOGARITMER

Oppgave 2.110 Bruk definisjonen av den briggske logaritmen ___ og regn ut. a) lg √ 10 3

___

b) lg √ 10 1 c) lg _____ 1000 2 – __ d) lg 10 5

Oppgave 2.114 Regn ut uten bruk av hjelpemidler. a) log6 36 1 b) log6 ___ 36 c) log4 64 1 d) log4 ___ 64

2.2 EKSPONENTIALLIKNINGER

Oppgave 2.111 La a og b være positive tall. Trekk sammen uttrykkene og skriv dem ved hjelp av lg a og lg b. a a) lg (ab) + lg __ b b b) lg a2 + lg b3 + lg __ a Oppgave 2.112 La x være et positivt tall. Trekk sammen uttrykkene. a) lg (3x) + lg (9x2) 4 b) lg (2x3) – lg ___2 – lg (8x4) x ___ ___ c) lg √ 5x + lg √ 20x 3

__

6

__

d) lg x – lg √ x – lg √ x

Oppgave 2.113 La x og y være to positive tall. Trekk sammen uttrykkene. a) lg (xy) + lg (x2y) – lg (xy2) y2 x ___ – lg b) lg (x5y) + lg __ y x4

Oppgave 2.120 Finn de eksakte løsningene av likningene uten bruk av hjelpemidler. a) 5 · 3x = 25 b) 2 · 4x = 18 c) 3 · 7x = 5x d) 4 · 5x = 7 · 10x Oppgave 2.121 Bil A er i dag verdt 220 000 kr. Bil B er verdt 178 000 kr. Vi regner med at verdien av bil A synker med 15 % årlig, og at verdien av bil B synker med 12 % årlig. a) Finn ved regning når bil A er verdt 135 000 kr. b) Finn ved regning når bil B er verdt 64 000 kr. c) Når har bilene den samme verdien?

Løs oppgaven både ved regning og digitalt.

363

Oppgave 2.122 Løs likningene uten bruk av hjelpemidler. a) 22x – 7 · 2x + 12 = 0 b) 22x – 3 · 2x = 10 Oppgave 2.123 Løs likningene uten bruk av hjelpemidler. a) 32x – 12 · 3x + 27 = 0 18 – 5x b) _______ = 5x + 2 5x 5 · 2x – 7 c) ________ = 2x + 1 2x – 1 Oppgave 2.124 Løs likningene både uten bruk av hjelpemidler og digitalt. a) 3x – 4 · 3–x = 0 b) 4x + 1000 · 4–x – 110 = 0 Oppgave 2.125 Intensiteten L(x) til lys x m under havflaten er gitt ved L(x) = L0 ax der L0 = L(0) er lysintensiteten i havflaten. En dykker har funnet ut at intensiteten er redusert til halvparten 6 m under havflaten. Dykkeren kan ikke arbeide uten kunstig lys når intensiteten 1 av verdien i overflaten. er under ___ 10 Regn ut hvor dypt dykkeren kan gå uten å trenge kunstig lys til arbeidet.

364

Sinus R1 > Logaritmer

2.3 EKSPONENTIELLE ULIKHETER

Oppgave 2.130 Finn uten bruk av hjelpemidler de eksakte løsningene av ulikhetene. a) 5 · 3x > 12 · 5x b) 102x – 7 · 10x + 10 < 0 1 x c) ___ – 10 > 0 10

( ) 1 1 d) ( ) – 9 · ( ) + 8 < 0 2 2 __

2x

__

x

Oppgave 2.131 Løs ulikhetene ved regning. a) 22x – 7 · 2x + 10 < 0 b) 62x – 3 · 6x + 2 ≤ 0 c) 52x + 5x ≤ 12 32x – 5 · 3x + 4 d) _____________ ≥0 2x – 7 Oppgave 2.132 Hans og Grete har hvert sitt hus, men på ulike kanter av landet. Huset til Hans er i dag verdt 2,4 millioner kroner, mens huset til Grete er verdt 1,8 millioner kroner. Vi regner med at verdien av huset til Hans stiger med 2 % per år, og at verdien av huset til Grete stiger med 4 % per år.

Finn ved regning når huset til Grete er mer verdt enn huset til Hans.

Oppgave 2.133 Per har akkurat kjøpt bil og betalt 345 000 kr. Anne har akkurat kjøpt traktor og betalt 300 000 kr. Verdien av bilen til Per går ned med 15 % per år, mens verdien av traktoren til Anne går ned med 12 % per år.

Finn ved regning når traktoren til Anne er mer verdt enn bilen til Per.

2.4 LIKNINGER OG ULIKHETER MED lg x

Oppgave 2.140 Løs likningene både uten bruk av hjelpemidler og digitalt. a) (lg x)2 – 2 lg x – 15 = 0 b) 2 (lg x)2 – lg x = 0 c) lg (8 – 2x) = 2 lg x d) lg (2x – 2)2 = 4 lg (1 – x) Oppgave 2.141 Løs ulikhetene både uten bruk av hjelpemidler og digitalt. a) (lg x)2 – 1 < 0 b) 2 (lg x)2 – 3 lg x + 1 > 0 lg x – 1 c) _______ > 1 lg x + 1 lg x – 6 d) _______ < lg x lg x – 4 Oppgave 2.142 En funksjon f er gitt ved f (x) = (lg x)2 – 2 lg x,

x>0

a) Finn nullpunktene til f uten bruk av hjelpemidler. b) Løs ved regning f(x) < 0 c) Tegn grafen til f for x ∈ 具0, 110典 og kontroller svarene i oppgave a og b.

Oppgave 2.143 En funksjon f er gitt ved 3 lg x – 1 f(x) = _______ , 2 lg x – 1

Oppgave 2.144 Etter 1930 har folkemengden i verden økt betydelig. Folkemengden nådde x milliarder t år etter 1930, der t = 160 · lg x – 50 a) Når passerte folkemengden 4 milliarder etter denne modellen? b) Når passerer folkemengden 7 milliarder etter denne modellen? c) Hva var folkemengden i 1930? d) Hva blir folkemengden i 2020 etter denne modellen?

2.5 DEN NATURLIGE LOGARITMEN

Oppgave 2.150 2 a) Tegn digitalt grafen til f (x) = 3e–x . b) Hva skjer med grafen når x er positiv og øker over alle grenser? c) Hva skjer med grafen når x er negativ og tallverdien øker over alle grenser? d) Løs grafisk likningen f (x) = 1. e) Finn uten bruk av hjelpemidler de eksakte løsningene av likningen f (x) = 1.

Oppgave 2.151 Finn uten bruk av hjelpemidler. a) ln (e4 · e2) e3 b) ln ( ___7 ) e 3

x>0

a) Finn nullpunktet til f ved regning. b) Finn bruddpunktet til f ved regning. c) Løs ved regning f (x) > 0 d) Tegn grafen for x ∈ 具0, 6典.

__

c) ln ( √ e2 ) __

3

__

6

__

d) ln (√ e · √ e · √ e ) Oppgave 2.152 Trekk sammen uttrykkene. a) ln x3 + 2 ln x2 1 b) 2 ln x2 – ln __ x c) ln 2 + ln 4 + ln 8

365

Oppgave 2.153 Trekk sammen uttrykkene.

1 a) ln x5 – ln ___3 – 2 · ln x4 x y x2 2 b) ln (x y) + ln ___2 – ln ___ y x 3 3 c) ln __ y + ln (9y ) – ln 27

Oppgave 2.171 Løs likningene og ulikhetene både uten bruk av hjelpemidler og digitalt. a) ln x2 + ln x < 3 b) ln (1 – x) – ln x = 0 c) ln (x + 1) + ln (x + 3) < ln (x + 7) d) ln (x – 1)2 + ln (x2 – 1) + ln (x + 1)2 = 0, x>1

2.6 BRUK AV DEN NATURLIGE LOGARITMEN

Oppgave 2.172 Løs ulikhetene uten bruk av hjelpemidler. a) (ln x)2 – ln x – 2 < 0 b) 7 ln x – 2(ln x)2 > 3 ln x – 1 c) _______ ≥ 0 ln x + 2 (ln x)2 – 2 ln x d) _____________ < 0 1 – ln x

Oppgave 2.160 Bruk den naturlige logaritmen og løs likningene uten bruk av hjelpemidler. b) 3 · 2x = 18 a) 2ex = 6 2 x d) ex = 81 c) 3 · 5 = 18 Oppgave 2.161 Løs likningene både uten bruk av hjelpemidler og digitalt. a) e2x + 2ex = 3 b) ex – 7 + 10e–x = 0 13ex – 48 c) _________ = ex ex – 1 Oppgave 2.162 Løs ulikhetene både uten bruk av hjelpemidler og digitalt. a) 3 · 0,6x ≥ 9

b) 3 · 2x ≤ 6 · 5x

c) e2x + 4ex – 5 > 0 ex + 1 d) _______ ≥1 2ex – 3

2.7 LIKNINGER OG ULIKHETER MED ln x

Oppgave 2.170 Løs likningene og ulikhetene både uten bruk av hjelpemidler og digitalt. a) ln (x + 1) + ln (x – 1) = ln 3 b) ln x + ln (2 – x) = 0 c) ln x + ln (9 – x) > ln 8 ln x – 2 d) _______ > 0 ln x + 1

366

Sinus R1 > Logaritmer

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 2.200 a) Bruk definisjonen av logaritme og finn 4

___

2) lg √ 10 b) La x og y være positive tall. Trekk sammen uttrykkene. y x2 __ 2 1) lg ___ y + lg (xy) – lg x 16 8 2) lg (4xy) – lg ___ + lg __ x y2 1) lg 10 000

Oppgave 2.201 Løs likningene. a) (lg x)2 – lg x – 12 = 0 b) lg x2 – lg x – 12 = 0 Oppgave 2.202 Løs likningen lg x + lg (x + 3) = 1

Oppgave 2.203 Løs likningene. x a) lg x2 + lg ____ + lg (10x) = 3 100 1 b) lg x5 – lg __ x + 12 = 0 Oppgave 2.204 a) Skriv opp reglene for logaritmen til et produkt, logaritmen til en brøk og logaritmen til en potens. b) Vis at __ 100 5 __ 2 lg ____ x + lg √ x – lg (10x ) = 1 – 2 lg x c) Løs likningen __ 100 7 __ 2 lg ____ x + lg √ x – lg (10x ) = 2 Oppgave 2.205 Bruk logaritmereglene til å forenkle uttrykkene. a a) lg ___ + lg (100a–2) 10 __ 2 b) ln (4e2) – 2 ln __ e + ln √ e ↑ 2.5

Oppgave 2.206 a) Finn de eksakte løsningene av likningene.

1) 25 · 10x = 5 · 100x 2) 3 · ex = 7 · e–x 3) 2 · 5x = 4 · 3x b) Løs ulikhetene.

1) 2x – 5 > 3 – 3 · 2x 1 x 2) __ – 9 < 0 3

( )

Oppgave 2.207 a) Løs likningene og ulikheten.

1) 102x – 5 · 10x = 0 2) e2x – 4 > 0 3) 52x + 3 · 5x – 70 = 0 b) Løs likningen og ulikhetene.

1) lg x5 – lg x < 2 2) 13 ln x – 2(ln x)2 – 6 = 0 3) lg (2x – 1) + lg 3 > 0

Oppgave 2.208 Løs ulikhetene.

2ex a) ______ ≥1 ex + 1 ln x + 3 b) _______ ≤ 1 1 – ln x Oppgave 2.209 a) Finn eksakte løsninger av likningene.

1) e2x = 9 2) ln x3 + ln x2 = 10 b) Bruk logaritmereglene til å forenkle uttrykket. b lg a3 + lg __ a – lg(a · b) Oppgave 2.210 a) Finn eksakte løsninger av likningene.

1) ex = 5 2) ln x5 – 2 ln x2 = 2 b) Bruk logaritmereglene til å forenkle uttrykket. b2 lg a3 – lg (a2b4) + 2 lg ___ a Oppgave 2.211 a) Løs likningene.

1) 4 · 6x = 3 · 2x 2) 5 lg x + 1 = 3 lg x + 5 3) ln(x2 + 5) = 2 ln 3 b) Løs ulikhetene. x–1 x+1 1) ______ ≤ 0 2) _____ > 2 2x + 4 x–1 3) 32x – 2 · 3x + 1 < 0 ↑ 2.7

Oppgave 2.212 (Eksempel 2007) Finn de eksakte løsningene av likningene a) 2 ln x – 4 = 0 b) e2x – 3ex + 2 = 0

367

Oppgave 2.213 (Eksamen V-2008) Skriv så enkelt som mulig. x lg (x · y2) – 2 lg y + lg ___2 y

( )

Oppgave 2.214 (Eksamen V-2009) Skriv så enkelt som mulig.

1 lg ___2 + 3 · lg a a

( )

Oppgave 2.215 (Eksamen H-2009) Skriv så enkelt som mulig.

1 lg (a2b) – lg ___ ab

MED HJELPEMIDLER Oppgave 2.300 En funksjon f er gitt ved f(x) = a · bx Grafen til f går gjennom punktene (–5, 2,5) og (7, 8,4). a) Finn a og b ved regning. b) Løs ved regning likningen

( )

Oppgave 2.216 (Eksamen V-2011) Skriv så enkelt som mulig. a lg (a2 · b) + lg (a · b2) + lg ___3 b

( )

Oppgave 2.217 (Eksamen V-2012) Skriv så enkelt som mulig. a2 2 ln ___ + ln (a · b) – 3 ln a b

( )

Oppgave 2.218 (Eksempel 2012) Skriv så enkelt som mulig.

2

f(x) = 2 c) En funksjon g er gitt ved g(x) = 10 · 0,93x Bestem ved regning koordinatene til skjæringspunktet mellom grafene til f og g. ↑ 2.1

Oppgave 2.301 a) En funksjon f er gitt ved f(x) = a · xb

2 2

a (b ) ______ a–3b0 Oppgave 2.219 (Eksempel 2012) Bestem tallet n når 23 + 23 + 23 + 23 = 2n

der f(16) = 120,5 og f(625) = 48,2 Vis ved regning at a = 241 og b = –0,25. b) Et pattedyr som veier x kg, har hvilepulsen f (x) målt i hjerteslag per minutt, der f er den funksjonen som er gitt i oppgave a.

1) En hund har en hvilepuls på 143 hjerteslag per minutt.

Finn ved regning hvor mye hunden veier.

2) En elefant har en hvilepuls på 33 hjerteslag per minutt.

Finn ved regning hvor mye elefanten veier.

368

Sinus R1 > Logaritmer

Oppgave 2.302 Ida setter en sum penger i banken og får 4 % rente per år. Hun vil finne ut hvor lang tid det tar før pengesummen er blitt fordoblet. Hun regner da med at rentefoten er den samme, og at hun ikke tar ut eller setter inn penger i løpet av fordoblingsperioden. lg 2

Ida finner svaret ved å skrive ______ inn lg 1,04

på en lommeregner og kommer fram til at pengesummen er fordoblet etter ca.

17 år og 8 måneder. a) Vis at både framgangsmåten og svaret er riktige.

Marte ser på utregningene til Ida og sier at det er mye enklere å finne fordoblingstida ved å dividere 72 med

b) Fyll ut tabellen nedenfor. Se hvor mange av utregningene etter «70-regelen» og «72-regelen» du klarer med hoderegning. Oppgi svarene som desimaltall med 1 desimal.

Ida blir overrasket over resultatet og bestemmer seg for å tegne grafer for de tre metodene. Hun lar x være renta i prosent og kaller fordoblingstida utregnet med logaritmer for f(x), fordoblingstida etter «70-regelen» for g(x) og etter «72-regelen» for h(x). c) Forklar at lg 2 f(x) = ____________ x lg 1 + ____ 100

(

)

70 g(x) = ___ x

72

rentefoten, slik at ___ = 18. Det blir 4 ikke helt nøyaktig, men greit nok til et overslag, mener Marte.

Ida er skeptisk og lurer på om denne regelen vil fungere for ulike renter.

Dessuten mener hun at det vil være bedre å dividere 70 med rentefoten, for det gir en bedre tilnærmingsverdi. Hun lager en tabell for å teste ut dette.

72 h(x) = ___ x og tegn de tre grafene i samme koordinatsystem når x ∈ [1, 20].

Diskuter grafene med en medelev.

Fordoblingstid i antall år Rente i prosent 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Med logaritmer

«70-regelen»

«72-regelen»

369

Oppgave 2.303 Ei kule blir avfyrt fra ei rifle. I avstanden x målt i meter fra avfyringsstedet er farten y til kula målt i meter per sekund (m/s) gitt ved y = 975 · e–0,00215x

Oppgave 2.305 a) Hva er størst av eπ – π og πe – e? b) Tallet e er summen av 1 ___ 1 ___ 1 1 ___ ___ + + +… + 1! 2! 3! 4! når vi tar med uendelig mange ledd.

a) Finn farten til kula når avstanden fra avfyringsstedet er 100 m. b) Finn ved regning avstanden x når farten til kula er 570 m/s.

(4! = 4 · 3 · 2 · 1 og 0! = 1.)

Hvor mange ledd må vi ta med for at skrivemåten ovenfor skal gi en mer nøyaktig verdi ___ for e enn

Den energien som blir frigjort når kula treffer en gjenstand, kalles anslagsenergien. Sammenhengen mellom anslagsenergien z målt i joule (J) og farten y til kula er gitt ved

tilnærmingsverdien

8

z = 0,0016 · y2 c) Finn anslagsenergien i avstanden 100 m fra avfyringsstedet. d) Finn z uttrykt ved x. ↑ 2.2

Oppgave 2.304 Lydnivået L målt i desibel (dB) fra en høyttaler med fast styrkeinnstilling avtar med avstanden x målt i meter.

Sammenhengen mellom L og x er gitt ved L = a – 20 · lg x der a er en konstant. a) I avstanden 5,0 m fra høyttaleren er lydnivået 55 dB. Bestem konstanten a. b) Finn ved regning avstanden fra høyttaleren når lydnivået er 49 dB. c) I en bestemt avstand x1 er lydnivået L1. Når avstanden er dobbelt så stor, er lydnivået L2.

Bestem differansen L1 – L2. ↑ 2.4

370

Sinus R1 > Logaritmer

√

9

π ___ ?

10

Oppgave 2.306 På en stor skole brer en influensasmitte seg raskt. x dager ut i november er det registrert f (x) elever som er smittet, der 200 f (x) = ____________ 1 + 10 · e–0,12x er en god modell for utviklingen. a) Hvor mange elever har fått smitten den 10. november? b) Finn ved regning når 100 elever er registrert med smitten. c) Tegn grafen til f når x ∈ [0, 50]. d) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn hvor mange elever som høyst vil kunne få influensaen med denne modellen. ↑ 2.5

Oppgave 2.307 En god modell for vekten V(t) målt i kilogram av en hvalunge t måneder etter fødselen er V(t) = k · e0,18t,

t ∈ [0, 12]

a) En hvalunge veide 3 tonn etter 9 måneder.

Finn fødselsvekta til hvalungen. b) Tegn grafen til V og finn grafisk og ved regning når fødselsvekta er tidoblet.

Oppgave 2.308 Vi tar med oss ei flaske brus i en kjølebag på stranda en varm sommerdag.Vi tar flaska ut av kjølebagen og lar den ligge i skyggen på stranda. Temperaturen T(x) i brusen etter x minutter er gitt ved T(x) = 30 – 23 · 0,973x a) Hva var temperaturen i brusen idet vi tok den ut av kjølebagen? b) Finn ved regning når temperaturen i brusen er mer enn 20 °C. c) Hva vil du anslå temperaturen i skyggen på stranda til å være denne dagen? Begrunn svaret.

Oppgave 2.309 I havvann avtar lysintensiteten I(x) eksponentielt med dybden x. Hvis vi angir lysintensiteten i prosent av lysintensiteten ved havoverflaten og dybden i meter, kan vi skrive

Oppgave 2.310 Vi heller varm kaffe på ei termokanne.

Temperaturen K(x) målt i celsiusgrader i kaffen er x timer seinere gitt ved K(x) = 22 + 68 · e–0,063x a) Hva er temperaturen i kaffen idet vi heller den over i kanna? b) Tegn grafen til K for x ∈ [0, 10]. c) Finn grafisk og ved regning når temperaturen er falt til 75 °C. Samtidig som kaffen ble helt over i termokanna, ble tevann helt opp i ei anna kanne. Temperaturen T(x) målt i celsiusgrader i tevannet er x timer seinere gitt ved T(x) = 25 + 70 · e–0,085x d) Finn ved regning når temperaturen er den samme i kaffen og i tevannet. ↑ 2.6

I(x) = 100 · e–kx der k er en konstant som kalles absorpsjonskoeffisienten. Et av verdens klareste havvann finner vi i Sargassohavet i det vestlige Atlanterhavet. Her har intensiteten falt til 1 % ved dybden 160 m. a) Finn absorpsjonskoeffisienten til vannet i Sargassohavet. b) Tegn grafen til I for x ∈ [0, 200]. c) Finn halveringsdybden for lysintensiteten i Sargassohavet både grafisk og ved regning.

Oppgave 2.311 Vi tenner opp i en spesiell forbrenningsovn. Etter t minutter er ovnstemperaturen T målt i celsiusgrader gitt ved T = 20 + 150 · ln (8t + 1) a) Hva var temperaturen i ovnen rett før vi tente opp? b) Hva er temperaturen etter en halv time? c) Finn ved regning hvor lang tid det går før temperaturen i ovnen er 600 °C. d) 1) Finn en formel for t uttrykt ved T. 2) Når er temperaturen 758 °C? ↑ 2.7

371