Radius 7A Lærerens bok (utdrag)

Gulbrandsen • Løchsen • Måleng • Saltnes Olsen

MATEMATIKK FOR BARNETRINNET Radius legger til rette for at elevene skal utvikle god tallforståelse og opparbeide seg gode grunnleggende ferdigheter i matematikkfaget.

MATEMATIKK FOR BARNETRINNET

Radius har derfor fokus på at elevene:

• utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene • oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger • løser utforskende og sammensatte oppgaver • samarbeider, reflekterer og kommuniserer om oppgaver

20 €

Hvor mange norske kroner er 20 euro?

Radius gir i praksis:

• tydelige mål for hvert kapittel • oppstartsoppgaver for refleksjon og klassesamtale • differensierte oppgaver til hvert tema • problemløsingsoppgaver på alle trinn • visuell støtte til oppgavene Komponentene i Radius 5, 6 og 7:

• Grunnbok A og B • Differensiert oppgavebok • Lærerens bok A og B • Radius digital med tavlebok:

radius.cdu.no

Radius følger de reviderte læreplanene for Kunnskapsløftet 2013 i faget matematikk og dekker alle målene fra 1. til 7. trinn.

ISBN 978-82-02-40536-6

www.cdu.no

radiusomslag_7_LB_BM+NN_spiral.indd 1

BOKMÅL/NYNORSK

7A

LÆRERENS BOK

07.06.17 08.35

Gulbrandsen • Løchsen • Måleng • Saltnes Olsen

MATEMATIKK FOR BARNETRINNET

7A LÆRERENS BOK

© Cappelen Damm AS 2017 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser.

Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning og kan straffes med bøter eller fengsel.

Radius dekker alle målene i Kunnskapsløftet etter revidert plan 2013 i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens barnetrinn.

Illustratør: Magnus Værness Prinsippdesign: AIT Oslo AS Sats/ombrekking: PrePress Arnvid Moholt Omslagsdesign: Tank Omslagsillustrasjon: Magnus Værness Forlagsredaktør: Marianne Haanæs Trykk og innbinding: AiT Bjerch AS Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-40536-6 www.radius.cdu.no

Forord Til læreren Lærerens bok har først en generell del med innføring i hvilke matematikkdidaktiske prinsipper Radius bygger på, og hvordan verket er bygd opp. I denne delen er det også generell teori om utvikling av regnestrategier, de visuelle modellene vi benytter, og metoder for gjennomføring av gode klasseromssamtaler.

Videre følger Lærerens bok grunnboka side for side. Sidene er delt med en strek. Under streken er det faksimiler av elevboksidene, utfyllende forklaringer til oppgavene og tips til differensiering. Det er også veiledning til gjennomføring av den lærerstyrte klasseromssamtalen og tips til organisering av samarbeidsoppgaver for elevene.

Over streken presenteres målene for kapitlene og hvilke begreper det er hensiktsmessig å innføre. Hvert kapittel har utfyllende matematisk og didaktisk teori til temaer som omhandles i kapitlet. Det er også mange forslag til aktiviteter og spill som hjelper elevene til forståelse.

Til slutt i hvert kapittel er det en test, «Dette har jeg lært i kapittel ...». Denne testen er rask å kopiere og dele ut til elevene og gir et godt bilde av hva elevene har fått med seg i kapitlet.

Uavhengig av kapitlets tema finner du øvingsoppgaver og hoderegningsoppgaver. Disse har som hensikt å opprettholde tabellkunnskaper og ferdigheter i regnestrategier.

Bakerst i boka er det fasiter til alle komponentene og kopieringsoriginaler på nynorsk til «Dette har jeg lært i kapittel ...». De resterende kopieringsoriginalene er på radius.cdu.no.

Vi som er forfattere av Radius 5–7, ønsker at Lærerens bok skal være en god håndbok som gir deg det du trenger for å gjennomføre gode matematikktimer med elevene dine.

Lykke til!

Jan Erik Gulbrandsen, Randi Løchsen, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen

Forord

3

Innhold Om Radius Matematikkdidaktiske prinsipper. . . . . I Oppbygningen av Radius. . . . . . . . . . . II Grunnleggende ferdigheter. . . . . . . . . V Utvikling av regnestrategier . . . . . . . VII Visuelle modeller. . . . . . . . . . . . . . . . VIII Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker. . . . X Mål for 7. trinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII

Kapittel 1 Hoderegning 6 Repetere hoderegning. . . . . . . . . . . . . 8 Tiervenner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Tenke via hel tier . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Dobling med desimaltall. . . . . . . . . . . 12 Halvering med desimaltall. . . . . . . . . . 13 Dobling og halvering i multiplikasjon.14 Overslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Multiplikasjon ved å dele opp tallene.18 Divisjon ved å dele opp tallene . . . . . . 19 Spill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Kapittel 2 Tall og regning

24

Titallsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Avrunding av desimaltall. . . . . . . . . . . 30 Oppstilling – addisjon og subtraksjon. . 32 Tekstoppgaver med modeller . . . . . . . 36 Negative tall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Regne med negative tall . . . . . . . . . . . 40 Flere regneoperasjoner. . . . . . . . . . . . 42 Regne med parenteser i addisjon og subtraksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Lage formler i regneark. . . . . . . . . . . . 46 Spill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Innhold

Kapittel 3 Multiplikasjon og divisjon

50

Repetere multiplikasjon og divisjon. . . 52 Oppstilt multiplikasjon. . . . . . . . . . . . . 58 Oppstilt multiplikasjon – desimaltall . . 60 Oppstilt divisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Divisjon med flersifrede tall. . . . . . . . . 64 Oppstilt divisjon – desimaltall. . . . . . . 66 Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Primtallsfaktorisering. . . . . . . . . . . . . 67 Formler i regneark. . . . . . . . . . . . . . . . 68 Spill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Kapittel 4 Måling

72

Måleenheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Regne med måleenheter. . . . . . . . . . . 78 Forholdsregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Målestokk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Koordinatsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Regning med tid. . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Spill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

Kapittel 5 Statistikk og sannsynlighet

86

Søylediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Sektordiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Linjediagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Frekvens og frekvenstabell. . . . . . . . . 94 Gjennomsnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Typetall og median. . . . . . . . . . . . . . . . 98 Sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Kombinatorikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Spill. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Kapittel 6 Geometri

106

Vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Nabovinkler og toppvinkler. . . . . . . . 110 Konstruere vinkler. . . . . . . . . . . . . . . 112 Halvere vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Sirkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Konstruere en sirkel . . . . . . . . . . . . . 115 Omkretsen av en sirkel . . . . . . . . . . . 116 Rotasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Speiling i koordinatsystem. . . . . . . . . 121 Tegne punkter i koordinatsystem. . . 123 Rotasjon i Geogebra. . . . . . . . . . . . . . 124 Finn ut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Oppsummering. . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Fasiter Fasit Grunnbok 7A . . . . . . . . . . . . . . . 137 Fasit Oppgavebok 7 (kapittel 1 til 6). . 146 Fasit til elevoppgavene i Lærerens bok 7A. . . . . . . . . . . . . 157

Kopieringsoriginal 1–11

radius.cdu.no

Kopieringsoriginaler Dette har jeg lært i kapittel 1 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Dette har jeg lært i kapittel 2 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Dette har jeg lært i kapittel 3 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Dette har jeg lært i kapittel 4 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Dette har jeg lært i kapittel 5 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Dette har jeg lært i kapittel 6 (bokmål). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Dette har jeg lært i kapittel 1 til og med 6 (nynorsk). . . . . . . . . . . 128

Innhold

5

Matematikkdidaktiske prinsipper Med Radius ønsker vi at elevene skal utvikle god tallforståelse og tilegne seg solide, grunnleggende ferdigheter i matematikk.

Radius legger vekt på at elevene •• utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene •• oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger •• løser utforskende og sammensatte oppgaver •• samarbeider, reflekterer og kommuniserer om oppgaver

Tallforståelse Vi ønsker at Radius skal bidra til at elevene utvikler god tallforståelse gjennom å •• rekketelle forlengs og baklengs med ulike sprang •• dele opp tall på ulike måter •• utvikle forståelse for plassverdisystemet •• automatisere tabellene for addisjon og subtraksjon mellom 0 og 20 •• automatisere multiplikasjonstabellen •• utforske egenskaper ved tall

Regnestrategier I Radius legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og gjøre seg erfaringer med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder.

Sammenhenger i matematikk Med Radius ønsker vi at elevene skal utvikle evne til å se sammenhenger i matematikk.

Vi ønsker at de skal bruke sine kunnskaper om tallvenner til å se sammenheng med andre tall, for eksempel når 4 + 6 = 10, er 24 + 6 = 30 og 240 + 60 = 300. Når de har lært doblinger, er det lett å se sammenhenger som for eksempel at når 25 + 25 = 50, er 25 + 26 = 50 + 1 = 51 og 25 + 24 = 50 – 1 = 49. Når de har automatisert multiplikasjonstabellen, kan de se sammenhenger som at når 3 · 4 = 12, er 30 · 4 = 120, osv.

I

Matematikkdidaktiske prinsipper

Utforskende og sammensatte oppgaver Utforsking og undring er viktig for å bli interessert i og forstå matematikk. Radius legger opp til at elevene skal få mange erfaringer med å løse utforskende og sammensatte oppgaver. Elevene oppfordres til å fortelle hvordan de tenker, og til å dele dette med hverandre. Slik kan de sammen utvikle matematisk forståelse og gode strategier for å arbeide med faget.

Konkret – Visuelt – Abstrakt I Radius legger vi til rette for at elevene skal kunne arbeide med matematikken på ulike nivåer. Ved innlæring av nytt stoff kan det ofte være hensiktsmessig å arbeide med konkreter eller visuell støtte i form av halvkonkreter eller halvabstrakter. Målet er at elevene gjennom mange erfaringer med dette skal bli i stand til å løse oppgavene på abstrakt nivå.

Med konkreter mener vi for eksempel tellemateriell og penger.

Med halvkonkreter mener vi bilder eller tegninger av konkretene.

Med halvabstrakter mener vi symboler eller modeller som for eksempel tallinje, number bonds og thinking blocks.

Med abstrakter mener vi tallsymbolene.

Det er stor forskjell på i hvilken grad elever trenger visuell støtte. Radius legger hele veien opp til at elevene får bruke den visuelle støtten de trenger.

Refleksjon og kommunikasjon Radius tar på alvor at matematikk også er et språk. Som andre språk læres og utvikles også det matematiske språket best muntlig. Elevene må få rik anledning til å utvikle dette språket gjennom muntlige aktiviteter, derfor står både den lærerstyrte klassesamtalen og elevsamtalene sentralt gjennom hele verket.

Oppbyggingen av Radius Komponentene i Radius 5, 6 og 7 Grunnbok A og B Oppgavebok Lærerens bok A og B Radius digital med tavlebok

Ulike oppgaver Radius har et bredt spekter av oppgaver, oppgaver som egner seg for ferdighetstrening, oppgaver med modeller, oppgaver i kontekst hvor elevene får anvende sine ferdigheter i praktiske situasjoner, oppgaver for løsning med digitale verktøy og ulike typer problemløsningsoppgaver.

Radius Grunnbok Radius gir i praksis •• tydelige mål for hvert kapittel •• oppgaver for refleksjon og klassesamtale •• differensierte oppgaver til hvert tema •• problemløsningsoppgaver •• visuell støtte til oppgaver Mål Alle kapitlene starter med tydelige mål som er forståelige for elevene. På den siste siden i hvert kapittel er det en oppsummering hvor læreren samtaler med elevene om hva de har lært. I tillegg er det kapittelprøver i Radius Digital.

Refleksjon og klassesamtale Hvert kapittel innledes med et samtalebilde og tilhørende spørsmål. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema, og en innføring i det de skal lære. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, de får øvelse i å bruke det matematiske språket, og de får innsikt i hvordan andre elever tenker.

Alle kapitlene har samtaleruter med blått raster.

På disse rastrene presenteres nye emner som samtalestoff med forslag til spørsmål som læreren kan bruke for å få engasjement rundt det nye temaet klassen skal i gang med.

På gult raster presenterer Radius varierte sammenoppgaver. Dette er oppgaver som elevene skal arbeide med i læringspar eller i små grupper.

Elevene skal samtale og diskutere framgangsmåter og løsningsstrategier og finne sine egne måter å løse oppgavene på. Etterpå er det meningen at elevene skal presentere og begrunne sine løsninger.

Differensierte oppgaver Hvert kapittel starter med enkle oppgaver som likner på dem de har løst gjennom klassesamtalen. Videre fins oppgaver på ulikt nivå. Mange av emnene har også oppgaver med visuell støtte, en modell som de elevene som trenger det, kan bruke videre på flere av oppgavene. Noen oppgaver er merket med smilefjes.

Dette er ekstra utfordrende oppgaver som det ikke er meningen at alle elevene skal løse.

Oppgaver med digitale verktøy Gjennom oppgaver i Radius presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). Vi ønsker at elevene i løpet av mellomtrinnet skal bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene.

Aktiviteter Alle kapitlene avsluttes med ulike aktiviteter som er knyttet til kapitlets matematiske tema. Det kan enten være spill eller finn-ut-oppgaver som elevene skal samarbeide om i læringspar eller i små grupper. Gjennom disse aktivitetene får elevene videre øvelse i, eller erfaring med, å anvende den kunnskapen de har tilegnet seg i kapitlet.

Sant eller usant Alle kapitlene har også en samling utsagn, sant eller usant, som elevene skal vurdere og ta stilling til om er sanne eller usanne. I slike oppgaver får elevene øvelse i å se kritisk på det som står i teksten. Å samtale om disse utsagnene med utgangspunkt i elevenes svar kan gi deg som lærer innsikt i om noen elever har misoppfatninger knyttet til temaet.

 Oppbyggingen av Radius

II

Radius Oppgavebok Radius Oppgavebok følger de samme temaene som i Radius Grunnbok. Oppgaveboka inneholder ulike oppgavetyper. Den har enkle øvingsoppgaver, mer utfordrende smilefjesoppgaver og egne sider som heter «Veien videre». Der finner du oppgaver som krever kompetanse ut over målene i kapitlet, og mer krevende problemløsningsoppgaver. Oppgaveboka har også gode eksempler til alle temaene og egner seg derfor også godt som hjemmebok.

Radius Lærerens bok Radius Lærerens bok følger grunnboka side for side og er lærerens verktøy. Her finner du veiledning til klassesamtalene, forklaringer til alle oppgavene, enkelte løsningsforslag og tips til differensiering. Lærerens bok har også stoff for faglig påfyll, metodiske tips og forslag til aktiviteter.

Den har dessuten elevoppgaver for å vedlikeholde tabellkunnskap og hoderegningsstrategier, også i kapitler hvor det ikke jobbes direkte med tall.

Til slutt i hvert kapittel er det en kapitteltest. Bak i boka er det fasit til Grunnbok 7A, Oppgavebok 7 (kapittel 1–6) og elevoppgavene i Lærerens bok. Øvrige kopieringsoriginaler er på radius.cdu.no.

Radius Digital 5–7 Øvingsoppgaver Nettstedet inneholder interaktive oppgavesett til alle delemner i hvert kapittel. Når elevene arbeider med oppgavene, får de umiddelbar respons på om de har løst oppgavene riktig.

Kan du dette?

Kan du dette? er en digital kapittelkartlegger som viser elevenes ferdigheter med hensyn til delmålene i kapitlet. Når elevene leverer testen, får de en rapport med forslag til videre arbeid. Rapporten kan skrives ut, og testen kan gjennomføres så mange ganger eleven selv ønsker.

III

Oppbyggingen av Radius 

Halvårs- og helårskartlegging med Vokal Prøvene ligger klare i Vokal og åpnes for elevene av læreren. Resultatene er knyttet til delmålene i bøkene og dekker hele lærestoffet for hvert halvår og helår. Prøvene gir læreren god oversikt over elevenes grunnleggende ferdigheter, og verktøyet egner seg godt for samtaler med de foresatte og planlegging av elevenes videre arbeid.

Elevene får tilgang til prøvene ved å logge seg inn fra nettstedet til Radius. Resultatene sendes direkte til Vokal når elevene leverer prøven. Resultatene lagres, og læreren får oversikt over ferdighetene til den enkelte elev og klassen samlet. For å få tilgang til prøvene må skolen være tilknyttet Vokal.

Radius Regnemester Med Radius Regnemester øver elevene først og fremst på ulike regnestrategier. Men her finner de også øvingsoppgaver til alle grunnleggende emner i læreplanen. Radius Regnemester egner seg for øving på grunnleggende ferdigheter, til stasjonsundervisning og til differensiering.

Radius Pokal Radius Pokal er utviklet med støtte fra Utdanningsdirektoratet for grunnleggende ferdighetstrening i matematikk. Her trener elevene på alle sentrale emner og samler pokaler i sin egen premiehylle. Progresjonen er rolig og systematisk. Resultatene blir lagret. Radius Pokal har også verksteder for bruk på interaktiv tavle og motiverende spill. Via lærerlisensen får læreren oversikt over resultatene til alle sine elever.

Leksehjelp og omvendt undervisning Nettstedet inneholder videoer til alle eksemplene i Radius 5–7. Videoene egner seg for leksehjelp og repetisjon. Elevene trenger ikke å registrere seg for å se videoene. Hvis videoene skal brukes til omvendt undervisning, må læreren først registrere seg på Campus Inkrement (via snarvei fra Radius Digital) og opprette en klasse. Nå kan læreren følge progresjonen til elevene ved at de svarer på kontrollspørsmål underveis i videoene.

Tavlebøker Alle grunnbøkene er tilgjengelige som digitale versjoner for visning på interaktiv tavle og inneholder verktøy som stillbar klokke og tallinje. Læreren kan legge til egne kommentarer og lenker selv.

Tavlebøkene egner seg for å samle klassen om sidene i bøkene, for dialog og for gjennomgang av lærestoffet.

Ressurser for interaktiv tavle Ressursene er utviklet for bruk på interaktiv tavle og egner seg blant annet for arbeid med regnefortellinger, trening på klokka og visualisering av regneoperasjoner langs tallinja.

Prøver og kopieringsoriginaler Nettstedet inneholder skriftlige halvårs- og helårsprøver og kopieringsoriginaler for utskrift.

 Oppbyggingen av Radius

IV

Grunnleggende ferdigheter Radius ivaretar de grunnleggende ferdighetene i matematikk fra revidert læreplan – 2013.

«Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining gjennom å lytte, tale og samtale om matematikk. Det inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål og argumentere ved hjelp av både eit uformelt språk, presis fagterminologi og omgrepsbruk. Det vil seie å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte matematiske problem, løysingar og strategiar med andre. Utvikling i munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å delta i samtalar om matematikk til å presentere og drøfte komplekse faglege emne. Vidare går utviklinga frå å bruke eit enkelt matematisk språk til å bruke presis fagterminologi og uttrykksmåte og presise omgrep.»

I Radius innledes hvert kapittel med et samtalebilde og hvert delkapittel med en samtaleoppgave.

Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema, og en innføring i det de skal lære. I disse samtalene introduseres også elevene for matematisk fagterminologi og begreper og får øvelse i selv å ta disse begrepene i bruk.

Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, og de får øvelse i å bruke det matematiske språket.

Hvert kapittel inneholder sammen-oppgaver på farget bakgrunn. Disse oppgavene er ofte åpne problemløsningsoppgaver. Elevene skal arbeide med disse oppgavene i læringspar eller i små grupper.

Radius oppfordrer elevene til å diskutere ulike framgangsmåter og regnestrategier med hverandre, løse problemløsningsoppgavene på sine egne måter og forklare og presentere det de er kommet fram til. «Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Det inneber å bruke matematiske symbol og det formelle matematiske språket til å løyse problem og presentere løysingar. Vidare vil det seie å lage teikningar, skisser, figurar, grafar, tabellar og diagram som er tilpassa mottakaren og situasjonen.

Skriving i matematikk er ein reiskap for å utvikle eigne tankar og eiga læring. Utvikling i å skrive i matematikk går frå å bruke enkle uttrykksformer

V

Grunnleggende ferdigheter 

til gradvis å ta i bruk eit formelt symbolspråk og ein presis fagterminologi. Vidare går utviklinga frå å beskrive og systematisere enkle situasjonar med matematikkfagleg innhald til å byggje opp ein heilskapleg argumentasjon omkring komplekse samanhengar.»

Radius legger opp til at elevene hele veien skal skrive oppgaver og løsningsforslag i egen kladdebok.

I grunnboka oppfordres elevene til å vise sine løsninger på ulike måter: tegne modeller, figurer, lage tabeller, grafer og diagrammer i tillegg til å finne hensiktsmessige måter å presentere løsninger skriftlig med tall og matematiske symboler på.

I tillegg har verket flere oppgaver hvor elevene skal lage tekstoppgaver til hverandre i en gitt kontekst. Da må elevene øve seg på presise problemformuleringer, slik at andre elever forstår og kan løse oppgavene. «Å kunne lese i matematikk inneber å forstå og bruke symbolspråk og uttrykksformer for å skape meining i tekstar frå daglegliv og yrkesliv så vel som matematikkfaglege tekstar. Matematikkfaget er prega av samansette tekstar som inneheld matematiske uttrykk, grafar, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. Lesing i matematikk inneber å sortere informasjon, analysere og vurdere form og innhald og samanfatte informasjon frå ulike element i tekstar. Utvikling i å lese i matematikk går frå å finne og bruke informasjon i tekstar med enkelt symbolspråk til å finne meining og reflektere over komplekse fagtekstar med avansert symbolspråk og omgrepsbruk.»

Radius har oppgaver i kontekst av ulik vanskegrad slik at elevene får øvelse i å lese, tolke og forstå både enkle og sammensatte matematiske problemstillinger. Bøkene har også mange oppgaver hvor elevene lærer å lese av, tolke og forstå ulike tabeller, grafer og diagram. Radius legger dessuten vekt på å innføre korrekt fagspråk for elevene i løpet av mellomtrinnet.

Gjennom sant-eller-usant-oppgavene, som fins mot slutten av hvert kapittel, får eleven øvelse i å se kritisk på en matematisk tekst og vurdere og ta stilling til om det som står, har gyldighet eller ikke. «Å kunne rekne i matematikk inneber å bruke symbolspråk, matematiske omgrep,

framgangsmåtar og varierte strategiar til problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt både i praktiske, daglegdagse situasjonar og i matematiske problem. Dette inneber å kjenne att og beskrive situasjonar der matematikk inngår, og bruke matematiske metodar til å behandle problemstillingar. Eleven må òg kommunisere og vurdere kor gyldige løysingane er. Utvikling av å rekne i matematikk går frå grunnleggjande talforståing og å kjenne att og løyse problem ut frå enkle situasjonar til å analysere og løyse eit spekter av komplekse problem med eit variert utval av strategiar og metodar. Vidare inneber dette i aukande grad å bruke ulike hjelpemiddel i berekningar, modellering og kommunikasjon.»

I Radius legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene og utvikle evne til å se matematiske sammenhenger. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og får erfaring med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder.

Radius legger til rette for at elevene skal kunne framstille og presentere løsningene sine både ved hjelp av tegnede modeller og ved presis bruk av matematisk symbolspråk.

Radius vektlegger at elevene skal vurdere gyldigheten av sine løsninger gjennom utvikling av gode hoderegningsstrategier og overslagsregning.

Elevene lærer også å ta i bruk ulike digitale verktøy for å beregne og presentere løsninger på ulike oppgaver både i praktiske, dagligdagse situasjoner og i matematiske problemer.

«Digitale ferdigheiter i matematikk inneber å bruke digitale verktøy til læring gjennom spel, utforsking, visualisering og presentasjon. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og vurdere digitale verktøy til berekningar, problemløysing, simulering og modellering. Vidare vil det seie å finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med formålstenlege verktøy, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat. Utvikling i digitale ferdigheiter inneber å arbeide med samansette digitale tekstar med aukande grad av kompleksitet. Vidare inneber det å bli stadig meir merksam på den nytten digitale verktøy har for læring i matematikkfaget.»

Gjennom oppgaver i Radius presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). I løpet av mellomtrinnet skal elevene bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene og bruke dem til beregninger, presentasjoner og simuleringer.

 Grunnleggende ferdigheter

VI

Utvikling av regnestrategier Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier.

Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev. I Radius jobber vi derfor med flere ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre å kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis.

Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem.

Tellestrategier De aller fleste elever behersker telling som strategi.

I Radius jobber vi hele tiden med å utvikle denne strategien. Å kunne telle forlengs og baklengs med ulike sprang er, sammen med forståelsen av plassverdisystemet, nyttig kompetanse når elevene skal arbeide med addisjon og subtraksjon av store tall.

Automatisering For å kunne regne raskt og sikkert, og for å kunne nyttegjøre seg gode hoderegningsstrategier, er det nødvendig at en del tabellkunnskap er automatisert. Det vil si at elevene kan det så godt at de ikke behøver å telle seg fram til svaret. I Radius vektlegger vi nødvendigheten av å fortsette å jobbe med automatisering av tallvennene opp til 20, doblinger og multiplikasjonstabellen.

Strategier i addisjon og subtraksjon N10 I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) mye brukt i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20 = 52; 52 + 5 = 57. Brukt som subtraksjon med samme tall blir det: 32 – 25; 32 – 20 = 12; 12 – 5 = 7.

VII

Utvikling av regnestrategier

1010 I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57.

Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18, 20 – 10, og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar.

Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan de bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi.

Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51.

Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25.

Det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24. Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser en strategi som vi i Radius kaller regning via tiere.

Strategien regning via tiere kan også være hensiktsmessig i subtraksjon.

Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 I Radius vektlegger vi at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten, er den lett å finne i hodet.

Visuelle modeller Når elevene etter hvert skal regne med store tall, og når de skal forholde seg til kompliserte og sammensatte tekstoppgaver, kan det være nyttig å kunne bruke gode visualiseringsmodeller. I Radius viser vi eksempler på dette og oppfordrer elevene til å ta disse i bruk når de trenger det.

Tom tallinje Ideen om den tomme tallinja kommer fra Freudenthalinstituttet i Nederland. Dette er en lineær regnemåte hvor elevene bruker den kunnskapen de har om tall og telling.

En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt.

Det er kun en arbeidstegning for barna. En tom tallinje skal være fleksibel, noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg om gangen.

Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler.

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

Number bonds Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. Radius bruker number bonds for å visualisere oppdeling av tall. I Radius bruker vi number bonds som består av ruter. Det hele står i den øverste ruten, og de tilhørende tallene står under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker.

Den mest kjente måten å bruke number bonds på er det vi kaller tiervenner.

Eksempel:

10 7

3

Eksempel:

Etter hvert bruker vi number bonds til å dele opp vilkårlige tall. Elevene kan ha stor nytte av raskt å se hensiktsmessige oppdelinger av tall, for eksempel ved multiplikasjon og divisjon ut over multiplikasjonstabellen.

450 – 302 = 148

Eksempel 1

+8

+ 40

302 310

+ 100

350

450

54 · 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele 54 opp i tier og enere, 50 og 4.

Da får vi 50 · 3 = 150 og 4 · 3 = 12; 150 + 12 = 162

54

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend.

–8

– 40

50

– 100

4

Eksempel 2 302 310

350

450

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend.

– 50

– 100

+2 300 302

350

54 : 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele opp 54 i 30 og 24.

Da får vi 30 : 3 = 10 og 24 : 3 = 8; 10 + 8 = 18

450

Visuelle modeller

54 30

24 VIII

Thinking blocks Thinking blocks er et visualiseringsverktøy som brukes for å systematisere problemstillingen i tekstoppgaver. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever.

Når vi bruker thinking blocks i Radius, er det som eksempler på hvordan metoden kan brukes.

Størrelsen på blokkene indikerer ikke nødvendigvis verdi. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på blokkene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpefigurer i konstruksjonsoppgaver, de er til hjelp for å få oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal finne ut.

Thinking blocks har et større anvendelsesområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Når elevene etter hvert møter på større tall som skal multipliseres, kan de dele opp rutenettet i kjente multiplikasjoner.

Når elevene møter oppgaver der et tosifret tall skal multipliseres med et annet tosifret tall, kan det være nødvendig å dele opp rutenettet i flere deler for å kunne bruke den kjente delen av multiplikasjonstabellen.

17 · 12 = 10 · 10 + 10 · 7 + 2 · 10 + 2 · 7 = 100 + 70 + 20 + 14 = 204 10

7

10

Eksempel Tor og Atman har til sammen 250 kr i lommepenger, Atman har 30 kr mer enn Tor. Hvor mye har hver av guttene i lommepenger?

Tor

? kr

Atman

? kr

30 kr

}

2 250 kr

Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett bygger på arealforståelsen av multiplikasjon.

Det er nødvendig å være godt kjent med denne modellen av multiplikasjon for å forstå bruken av rutenett og tomt rutenett i multiplikasjoner som går ut over den lille gangetabellen.

Eksempel: Et rutenett med fire rader og seks kolonner består av 24 ruter. Rutenettet er en modell av multiplikasjonene 4 · 6 = 24 og 6 · 4 = 24.

Dette rutenettet illustrerer den kommutative loven, a · b = b · a.

6

4

Etter hvert som elevene forstår hvordan multiplikasjon og areal henger sammen, kan de frigjøre seg fra det oppdelte rutenettet og gå over til tomt rutenett. Dette er også mer hensiktsmessig etter hvert som elevene møter større tall.

Samme eksempel som over kan se slik ut i et tomt rutenett: 10 7

10

100

70

2

20

14

Ved å erstatte rutenettet med et tomt rutenett kan det tegnes i mer hensiktsmessig størrelse.

Elevene kan multiplisere i det kjente området av multiplikasjonstabellen og addere delproduktene for å finne sluttproduktet.

Det er ingen regel for hvordan man deler opp multiplikasjonene. Det er viktig at elevene får dele opp slik at de kan bruke multiplikasjoner som de behersker.

IX

Visuelle modeller

Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker I Radius legger vi stor vekt på den matematiske samtalen. Både den lærerstyrte klasseromssamtalen og samtale elevene imellom står sentralt gjennom hele verket.

I klasseromssamtalene er det ofte de samme elevene som tar ordet, gjerne elever de andre elevene ser på som «flinke». For å få fram alles tanker og oppklare misoppfatninger anbefaler vi en metode som vi kaller «Lappemetoden», også kjent som «My favorite NO answer».

Med denne metoden er det læreren som styrer hvem som snakker, men allikevel kan en annerledes tanke fra en annen elev være det samtalen dreier seg om.

Denne eleven får da prøvd sin tanke opp mot de andres og får mulighet til å utvide sin kunnskap eller kanskje til og med oppklare en misoppfatning.

Metoden Sørg for alltid å ha nok oppkuttede lapper tilgjengelig i kasserommet. For eksempel et A4-ark delt i 4 eller 8, alt etter hvor mye som skal skrives på lappen. Da kan du alltid ty til denne metoden når du oppdager at det er forvirring eller uklarheter rundt et problem.

Spørsmålsstillingen utover i metoden blir litt forskjellig alt etter hva slags problem som belyses.

Men det kan foregå omtrent som i punktene under. Vi vil også komme med et par eksempler.

•• Del ut en lapp til hver elev.

•• Be elevene skrive navnet sitt på lappen.

•• Skriv det du vil ha elevenes tanker om, på tavla.

•• Be elevene skrive svar eller løsning på lappen sin og legge den opp ned på pulten.

•• Samle inn lappene.

•• Sorter svarene i «riktig» og «galt» eller i ulike svaralternativer.

•• Ta tak i et svar eller løsningsforslag som innholder en feil eller misoppfatning du har lyst til å få oppklart.

•• Skriv løsningsforslaget på tavla.

•• Fortell hva du er glad for å se ved løsningen (det som er riktig), eller spør elevene hva de ser som er riktig.

•• Spør så klassen hvordan de tror de elevene som har svart feil, har tenkt.

Det er viktig å understreke at ikke alt er feil. Noe er riktig, og det kan brukes til å oppklare det som ikke er riktig (eller mangler). Etter hvert som du og elevene blir trygge på metoden, kan den brukes både i forbindelse med samtalebildene, enkeltoppgaver i bøkene og til sant-eller-usant-oppgavene.

For å venne elevene til metoden kan det være lurt å starte med en åpen oppgave som har mange svar. Da er nok de aller fleste svarene riktige, men oppgaven illustrerer at det er mange måter å tenke på, og at det andre tenker, ikke nødvendigvis er feil.

Eksempel: Det står mange sykler utenfor parken. Syklene har til sammen 11 hjul. Hvor mange sykler tror du det står utenfor parken?

Dette er en oppgave som kan gi mange svar. Det fins tohjulssykler, trehjulssykler, etthjulssykler og sykler med støttehjul. Sjansen for å få mange svar er absolutt til stede. Sorter lappene i bunker med like svar i hver bunke.

Begynn med det svaret det er flest av, og skriv det på tavla. Si for eksempel: «Jeg ser at mange tror det er seks sykler utenfor parken, og det er fullt mulig.»

Spør videre for eksempel: «Hvordan kan det være 6 sykler utenfor parken når de har 11 hjul til sammen?»

Selv dette svaret kan ha flere forklaringer. Det kan være fem vanlige sykler og en etthjulssykkel, eller det kan være fem hele sykler og en som mangler et hjul.

Gjør det samme med de andre svaralternativene som er kommet fram.

I sant-eller-usant-oppgavene på side 48 er et av utsagnene: Det største femsifrede tallet vi kan lage, er 90 000. Hvis én eller flere av elevene har skrevet dette som sant i sin besvarelse, kan du bruke denne metoden for å oppklare misoppfatningen.

Be eleven skrive det største femsifrede tallet vi kan lage, på lappen. Du vil da få mange lapper med 99 999 og antakeligvis én eller flere med 90 000 og kanskje 99 000.

Lappemetoden

X

Velg for eksempel svaret 90 000. Si at du er glad for å se at tallet har fem siffer, det er helt riktig. Spør så elevene om det er noe mer som er riktig ved dette svaret. Da er det bare lov å svare hva som er riktig, ikke hva som er feil! Svaret vil bli at det er 9 på titusenerplassen. Spør om noen kan forklare hvorfor det er riktig. Svaret er for eksempel at 9 er

det største sifferet som kan stå på titusenerplassen.

Bekreft svaret.

Spill som metode / pedagogisk virkemiddel I løpet av skoletiden regner elevene en stor mengde matematikkoppgaver fra lærebøkene. Mange elever får en opplevelse av at matematikkfaget er ensbetydende med å finne løsning på problemer andre har satt opp.

La elevene selv oppdage strategier Det er viktig at elevene selv får oppdage strategier.

Ved å lære/fortelle elevene strategier kan de kanskje ta disse i bruk i den enkelte situasjonen, men når de ikke har oppdaget/utviklet strategien selv, vil de sannsynligvis ikke være i stand til å overføre den til andre situasjoner. De strategiene som elevene selv oppdager/utvikler, vil de lettere kunne hente fram igjen og forsøke å bruke i liknende situasjoner. Slik vil de også bli i stand til å utvide strategiene sine.

Spill og lek i matematikkundervisningen bidrar til at •• tallmaterialet som elevene arbeider med, ikke er døde tall fra en bok, men opplysninger og resultater som stammer fra elevenes egen arena •• elevene utvikler strategisk tenking, og at de erfarer at matematikk er en oppdagelse og ikke en oppfinnelse •• elevene forstår poenget med å automatisere behandling av små tall I spill og lek skjer læringen i en sosial sammenheng.

Variasjon i metoder skaper engasjement i faget.

Spill og lek skaper fellesskapsopplevelser også i matematikkfaget.

XI

Lappemetoden

Spør videre hva det er som gjør at dette ikke er det aller største tallet vi kan lage med fem siffer. Svaret blir kanskje at det kan stå 9 på alle plassene. Bekreft dette, og skriv 99 999 på tavla.

Eksempel fra dette spillet: Strategi 1: For å komme først til 100 er det om å gjøre å få størst mulig differanse i hver omgang.

Strategi 2: Ved å velge et stort eller lite siffer som tier i det første kastet er sannsynligheten for å få en stor differanse større.

Dette er slike ting som elevene selv bør få oppdage.

På den måten utvikles også tallforståelsen.

Kapittel 2

Kapittel 1

Grunnbok 7A Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål

Oppgavebok

•• Kunne velge hensiktsmessige strategier for hode­ regning i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon: −− Regning via tiere −− Dobling og halvering addisjon og subtraksjon −− Dobling og halvering multiplikasjon −− Multiplikasjon ved å dele opp tallene −− Divisjon ved å dele opp tallene •• Kunne gjøre overslag og vurdere om svaret er riktig

•• Repetere hoderegning •• Tiervenner •• Tenke via hel tier •• Dobling med desimaltall •• Halvering med desimaltall •• Dobling og halvering i multiplikasjon •• Overslag •• Multiplikasjon ved å dele opp tallene •• Divisjon ved å dele opp tallene

•• Utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar •• Finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga

•• Repetere hoderegning •• Tiervenner •• Tenke via hel tier •• Dobling og halvering med desimaltall •• Dobling og halvering i multiplikasjon •• Overslag •• Multiplikasjon ved å dele opp tallene •• Divisjon ved å •• dele opp tallene

•• Kunne beskrive og bruke plass­ verdisystemet for heltall og desimaltall •• Kunne plassere desimaltall på tallinja •• Kunne bruke avrunding og overslag for heltall og desimaltall •• Kunne regne med positive og negative tall i addisjon og subtraksjon •• Vite at vi multipliserer og dividerer før vi adderer og subtraherer i regnestykker med flere regneoperasjoner •• Kunne løse opp og regne med parenteser i addisjon og subtraksjon •• Kunne sette inn formler i regneark for å utføre de fire regneartene

•• Titallsystemet •• Avrunding av desimaltall •• Oppstilling – addisjon og subtraksjon •• Tekstoppgaver med modeller •• Negative tall •• Regne med negative tall •• Flere regneoperasjoner •• Regne med parenteser i addisjon og subtraksjon •• Lage formler i regneark

•• Beskrive og bruke plass­verdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallinja •• Utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar •• Finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga •• Stille opp og løyse enkle likningar og løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tal •• Beskrive referanse­ systemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere berekningar

Mål for 7. trinn

•• Titallsystemet •• Avrunding av desimaltall •• Oppstilling – addisjon og subtraksjon •• Tekstoppgaver med modeller •• Negative tall •• Regne med negative tall •• Flere regneoperasjoner •• Regne med parenteser i addisjon og subtraksjon

XII

Kapittel 3 Kapittel 4 XIII

Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål

Oppgavebok

•• Kunne bruke metoder og strategier for hoderegning i multiplikasjon og divisjon •• Kunne multiplisere og dividere flersifrede tall og desimaltall •• Vite hva primtall og sammensatte tall er •• Kunne faktorisere •• Bruke formler i regneark

•• Multiplikasjon og divisjon •• Oppstilt multiplikasjon •• Oppstilt multiplikasjon – desimaltall •• Oppstilt divisjon •• Divisjon med flersifrede tall •• Oppstilt divisjon – desimaltall •• Faktorisering •• Primtalls­ faktorisering •• Formler i regneark

•• Utvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar •• Finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga •• Beskrive referanse­ systemet og notasjonen som blir nytta for formlar i eit rekneark, og bruke rekneark til å utføre og presentere berekningar

•• Multiplikasjon og divisjon •• Oppstilt multiplikasjon •• Oppstilt multiplikasjon – desimaltall •• Oppstilt divisjon •• Divisjon med flersifrede tall •• Oppstilt divisjon – desimaltall •• Faktorisering •• Primtalls­ faktorisering •• Veien videre: Kombinatorikk

•• Kunne velge hensiktsmessige måleenheter og utføre praktiske målinger •• Diskutere måleresultater og vurdere hvor rimelige resultatene er •• Kunne regne om mellom måleenheter •• Bruke forholdsregning i praktiske sammenhenger •• Kunne bruke målestokk til å beregne avstander på kart og arbeidstegninger •• Bruke koordinater til å plassere punkter og beskrive plasseringer

•• Måleenheter •• Regne med måleenheter •• Forholdsregning •• Målestokk •• Koordinatsystem •• Regning med tid

•• Velje høvelege måle­ reiskapar og gjere praktiske målingar i samband med daglegliv og teknologi og vurdere resultata ut frå presisjon og måleusikkerheit •• Gjere overslag over og måle storleikar for lengd, areal, masse, volum, vinkel og tid og bruke tidspunkt og tidsintervall i enkle berekningar, diskutere resultata og vurdere kor rimelege dei er •• Velje høvelege måleiningar og rekne om mellom ulike måleiningar •• Bruke målestokk til å berekne avstandar og lage og samtale om kart og arbeidsteikningar, med og utan digitale verktøy •• Bruke forhold i praktiske samanhengar, rekne med fart og rekne om mellom valutaer

•• Måleenheter •• Regne med måleenheter •• Forholdsregning •• Målestokk •• Koordinatsystem •• Regning med tid

Mål for 7. trinn

Kapittel 5 Kapittel 6

Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål

Oppgavebok

•• Kunne lese av ulike typer tabeller, diagrammer og grafer •• Kunne lage sektordiagram med digitalt verktøy •• Kunne regne gjennomsnitt, typetall og median •• Kunne løse enkle oppgaver med kombinatorikk •• Kunne lage en oversikt og beregne antall mulige utfall i kombinatorikk •• Kunne gjøre enkle sannsynlighets­ beregninger

•• Søylediagram •• Sektor­ diagram •• Linjediagram •• Frekvens og frekvens­­ tabell •• Gjennom­snitt •• Typetall og median •• Sann­synlighet •• Kombina­to­ rikk

•• Planleggje og samle inn data i samband med observasjonar, spørjeundersøkingar og eksperiment •• Representere data i tabellar og diagram som er framstilte med og utan digitale verktøy, lese og tolke framstillingane og vurdere kor nyttige dei er •• Finne median, typetal og gjennomsnitt i enkle datasett og vurdere dei ulike sentralmåla i forhold til kvarandre •• Vurdere og samtale om sjansar i daglegdagse samanhengar, spel og eksperiment og berekne sannsyn i enkle situasjonar

•• •• •• ••

•• Vite hva nabovinkler og topp­vinkler er •• Kunne konstruere en 60° og en 90° vinkel •• Kunne halvere vinkler •• Vite hva en sirkel er •• Vite hva radius og diameter er •• Kunne konstruere en sirkel når radius er gitt •• Kjenne til π (pi) og kunne regne ut omkretsen av en sirkel •• Vite hva rotasjons­ vinkel er •• Kunne rotere en figur i koordinat­ system ved hjelp av digitalt verktøy •• Kunne speile en figur om aksene i et koordinat­system

•• Vinkler •• Nabo­vinkler og topp­vinkler •• Konstruere vinkler •• Halvere vinkler •• Sirkel •• Konstruere en sirkel •• Omkretsen av en sirkel •• Rotasjon •• Speiling i koordinat­ system •• Tegne punkter i Geogebra •• Rotasjon i Geogebra

•• Analysere eigen­skapar ved to- og tre­dimensjonale figurar og beskrive fysiske gjenstandar innanfor daglegliv og teknologi ved hjelp av geometriske omgrep •• Forklare oppbygginga av mål for lengd, areal og volum og berekne omkrins, areal, overflate og volum av to- og tre­dimensjonale figurar •• Gjere overslag over og måle storleikar for lengd, areal, masse, volum, vinkel og tid og bruke tidspunkt og tidsintervall i enkle berekningar, diskutere resultata og vurdere kor rimelege dei er •• Beskrive og gjennomføre spegling, rotasjon og parallell­forskyving •• Beskrive plassering og flytting i rutenett, på kart og i koordinat­system, med og utan digitale hjelpe­middel, og bruke koordinatar til å berekne avstandar parallelt med aksane i eit koordinat­system

Mål for 7. trinn 

•• •• •• ••

Søylediagram Sektordiagram Linjediagram Frekvens og frekvenstabell Gjennomsnitt Typetall og median Sannsynlighet Kombinatorikk

•• Vinkler •• Nabovinkler og topp­vinkler •• Konstruere vinkler •• Halvere vinkler •• Sirkel •• Konstruere en sirkel •• Omkretsen av en sirkel •• Rotasjon •• Speiling i koordinat­system •• Veien videre: Konstruksjon av trekanter

XIV

Mål

•• Kunne velge hensiktsmessige strategier for hoderegning i addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon •• Regning via tiere •• Dobling og halvering •• Multiplikasjon ved å dele opp tallene •• Divisjon ved å dele opp tallene •• Kunne gjøre overslag og vurdere om svaret er riktig

Begreper •• •• •• •• •• •• •• ••

Addisjon Subtraksjon Multiplikasjon Divisjon Sum Differanse Faktor Produkt

Introduksjon til kapittel 1 Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev.

I dette kapitlet tar vi for oss noen av de mest kjente hoderegningsstrategiene. Flere av strategiene vil være kjente for elevene. Vi anbefaler likevel å bruke tid på dette for å sikre at alle får et bevisst forhold til valg av regnestrategi i ulike situasjoner.

Ulike strategier i addisjon I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) den mest brukte i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne.

Eksempel: 32 + 25; 32 + 20 = 52; 52 + 5 = 57 I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg.

Forklaring Snakk med elevene om at det er hodet som er det viktigste verktøyet når vi skal regne, og at vi kan lære oss mange teknikker som gjør det lettere å regne.

Snakk sammen om de ulike regnestrategiene som står i målet for kapitlet, og la elevene komme med egne eksempler på oppgaver hvor det kan være lurt å bruke de ulike strategiene. Vær åpen for at det er flere måter å tenke på, og at det ikke er noe «rett svar». La elevene fortelle om hvilke regnestrategier de liker, og hvilke de vet at de bruker når de regner.

1

Hoderegning

Tavla på veggen på side 6 viser eksempler på oppgaver hvor elevene kan bruke ulike regnestrategier. La elevene drøfte med hverandre hvilke strategier de vil bruke for å løse oppgavene.

Hvilke hoderegningsstrategier vil du bruke når du skal løse disse oppgavene?

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 6

6

Kapittel 1 Hoderegning

30.01.2017 16.22

Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57 Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når de møter for eksempel 23 − 18; 20 − 10 og 3 − 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur subtraksjonen til 8 − 3, som gir feil svar.

Andre nyttige strategier Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan de bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi.

Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51 Det er ikke meningen at elevene skal skrive denne oppstillingen, men tenke den. Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 − 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 − 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser den strategien som vi her i kapitlet har kalt regning via tiere.

Strategier for subtraksjon I dette kapitlet har vi vektlagt at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi, for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten, er den lett å finne i hodet.

Det kan også være rasjonelt å tenke dobling/ halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi.

Eksempel: Vi vet at 50 − 25 = 25. Det kan vi bruke for å finne 50 − 26 = 50 − 25 − 1 = 24.

Strategien regning via tiere kan også brukes i noen tilfeller.

Eksempel: 84 − 9 = 84 − 10 + 1 = 75 Når man jobber med hoderegning generelt, er det nødvendig at elevene får forklare hvordan de kom fram til svaret. Denne matematiske samtalen vil hjelpe elevene til å sette ord på matematikken, de vil lære av hverandre, og de vil også erfare at det fins mange måter å komme fram til rett svar på. Et feil svar kan også være til god hjelp i undervisningen for å avdekke vanlige misoppfatninger. Se «En metode for å få tak i hvordan elevene tenker» på side VII.

Forklaring La elevene fortelle, og vær spesielt oppmerksom på at ulike strategier kan brukes for løsning av de samme oppgavene. Snakk med elevene om dette.

Den ene strategien er ikke nødvendigvis bedre enn den andre. Vi har forskjellige hoder og tenker forskjellig. Det som er viktig, er å finne en strategi som fungerer for den enkelte elev.

Mål for kapitlet

• Kunne velge hensiktsmessige strategier for hoderegning i addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon – Regning via tiere – Dobling og halvering – Multiplikasjon ved å dele opp tallene – Divisjon ved å dele opp tallene • Kunne gjøre overslag og vurdere om svaret er riktig

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 7

30.01.2017 16.22

Hoderegning 7

Automatisering av tallvenner Elever som har automatisert alle oppdelingene av tallene (tallvennene) fra 1 til 10, har bedre forutsetning for å lykkes og trives med matematikken. Å automatisere tallvennene til for eksempel tallet 8 innebærer å kunne alle tallpar som til sammen blir 8. Når denne kunnskapen er automatisert, går det mye raskere å regne i hodet.

Når de for eksempel vet at 5 + 3 = 8, vil de videre se sammenhengen til subtraksjon, 8 − 3 = 5 og 8 − 5 = 3.

De vil også være i stand til å overføre dette til 50 + 30 = 80 osv. Automatisering av tallvennene er derfor grunnleggende for effektive strategier i addisjon og subtraksjon.

De elevene som i tillegg klarer å automatisere tallvennene opp til 20, vil får det mye lettere når de skal addere og subtrahere tall med tieroverganger.

Når de for eksempel har automatisert at 5 + 8 = 13, kan de bruke den kunnskapen til å regne ut 45 + 8 = 40 + 13 = 53.

Metoder for automatisering av tallvenner Tallvenner på ukeplanen Gjennom hele mellomtrinnet bør tallvennene opp til 20 i perioder stå på ukeplanen på samme måte som øveord.

For eksempel 1 + 10 = 11, 2 + 9 = 11, 3 + 8 = 11 osv.

Spill som metode I arbeid med automatisering av tallvenner er hoderegning og ulike spill ofte mer effektivt enn regning på papir. Det fins mange terningspill og kortspill som er gode å bruke til dette. I Lærerens bok 5A ga vi eksempel på et kortspill som er fint å bruke til automatisering av tallvenner. Eksemplet vi ga, viste spillet brukt på tiervenner. Bruk det samme spillet nå, men spill med hele kortstokken, og spill om 11-venner, 12-venner og 13-venner.

Bruk alle kortene i en vanlig kortstokk. Ess teller 1, tallkortene teller egen verdi, knekt teller 11, dame teller 12, og konge teller 13.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 1 • Hoderegning

Samtale Eksemplet på rasteret viser til to jenter som bruker ulike regnestrategier for å løse samme oppgave.

La elevene forklare hvilke regnestrategier jentene har brukt. De kan også reflektere over hvilken strategi de selv ville brukt for å løse denne oppgaven.

Repetere hoderegning

Samtale Ida og Stine kjøper et bursdagskort til 38 kr og en konvolutt til 9 kr.

Hvor mye betaler de til sammen?

38 + 9 =

Jentene løser oppgaven ulikt.

Ida: 38 + 2 + 7 = 47

38 + 9 =

Stine: 38 + 10 - 1 = 47

9

Oppgave 1.1 og 1.2 Når elevene løser disse oppgavene, kan de tenke over hvilke strategier de tar i bruk. Det er ikke meningen at de skal skrive hvilke strategier de bruker, bare at de skal tenke over det.

9

Hvilken hoderegningsstrategi ville dere valgt for å løse denne oppgaven?

Oppgave 1.3 La elevene fortelle hva slags strategi de brukte når de løste oppgaven. Vær oppmerksom på at det fins flere strategier enn de to i samtalen, som kan brukes på denne oppgaven.

1.1

Regn ut. Hvordan tenker du? a) 7 + 5 = b) 4 + 9 = 17 + 5 = 14 + 9 = 127 + 5 = 84 + 9 = 127 + 15 = 84 + 29 =

c )

8 + 6 = 18 + 6 = 318 + 6 = 318 + 56 =

1.2

Regn ut. Hvordan tenker du? b) 14 - 6 = a) 16 - 8 = 44 - 6 = 36 - 8 = 94 - 6 = 76 - 8 = 94 - 26 = 76 - 18 =

c)

15 - 7 = 55 - 7 = 135 - 7 = 135 - 17 =

1.3

Sandra kjøper en bok til 116 kr og en blyant til 17 kr.

Hvor mye betaler hun til sammen?

116 kr 17 kr

8

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 8

8

Hoderegning

30.01.2017 16.22

To elever spiller sammen (eksemplet er spill om 13-venner).

•• Spillerne deler kortbunken mellom seg i to like store deler. Kortbunken legges på bordet foran spilleren.

•• Spiller A snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet mellom spillerne.

•• Spiller B snur øverste kort i sin bunke og legger det på bordet ved siden av kortet til spiller A. Hvis summen av de to kortene er 13, slår den eleven som først ser det, hånden over kortene og legger begge kortene underst i sin bunke. Hvis summen ikke er 13, blir kortene liggende.

•• Spiller A legger så sitt øverste kort oppå sitt forrige kort. De to synlige kortene er nå spiller B sitt kort og spiller A sitt nye kort. Hvis disse kortene danner 13, kan raskeste spiller slå hånden sin over begge kortbunkene og vinne dem.

Hvis ikke går spillet videre ved at spillerne etter tur legger opp kort til de to synlige kortene danner summen 13 og en av spillerne «snapper» disse.

•• Hvis en spiller ute i spillet legger opp en konge, kan den som er raskest, slå på denne. Da vinner han hele den bunken som kongen ligger på, mens den andre bunken blir liggende.

•• Hvis en spiller klarer å kjempe til seg alle kortene fra motspilleren, har han vunnet.

Automatisering og stress Ifølge en undersøkelse gjort av Steve Chinn med 2000 elever fra 11 til 17 år skåret «utføre matematikkoppgaver raskt» veldig høyt på hva som framkalte angst. Dette er det viktig å ta hensyn til ved gjennomføring av regnekonkurranser som krever hurtighet.

Hvis du oppdager at elever faller ut av dette spillet fordi de ikke takler stress, er det mulig å endre reglene for disse elevene: •• Elevene legger ut hvert sitt kort etter tur, som i spillereglene over, men den spilleren som legger ut det kortet som gjør at summen av de to kortene som vises, blir 13, vinner begge bunkene og legger kortene underst i sin bunke.

Andre kortspill Spillet kasino øver ulike tallkombinasjoner opp til 16 og er et veldig godt spill å bruke. Det kan være tungt å lære bort et spill med litt kompliserte regler til en hel klasse, derfor kan det være lurt først å lære bort spillet til for eksempel 4 elever, som igjen lærer spillet bort til fire medelever. Spillereglene står på side 10.

Forklaring 1.4

1.5

Regn disse oppgavene i hodet minst tre ganger.

Ta tiden hvis du har lyst, og se hvor mye du forbedrer deg per runde. a) 8 + 5 = b) 12 - 3 = Jeg liker å se hvor 9 + 7 = 9 - 8 = mye raskere jeg blir 4 + 3 = 16 - 7 = for hver gang.

12 + 7 = 13 - 4 = 9 + 2 = 20 - 14 = 7 + 6 = 15 - 7 = 12 + 5 = 17 - 9 = 6 + 8 = 8 - 6 = 5 + 7 = 18 - 9 = 8 + 9 = 14 - 6 =

Oppgave 1.4 Les det som står øverst på siden om automatisering og stress. La bare de elevene som har glede av det, ta tiden på seg selv og se om de blir raskere for hver øving.

Differensiering For noen elever er det mer enn nok å regne disse oppgavene én gang.

Kiosken Putte har ulike tilbud på lørdagsgodterier. Petter har 20 kr.

Hvilke alternativer kan han velge?

A

12

kr

7 kr

C

B r

Oppgave 1.5 Elevene bør vise hvilke alternativer som er mulige å velge og ikke.

8 kr

r

6k

15 k

12 kr

7 = 7 = - 7 = - 17 =

Sammen Disse oppgavene har vanskeligere tall enn det de har møtt så langt i kapitlet. La elevene gjøre rede for hvordan de kan bruke de ulike regnestrategiene på oppgaver med vanskeligere tall.

Sammen Argumenter for hvilke hoderegningsstrategier dere vil ta i bruk når dere skal løse oppgavene nedenfor.

1452 + 190 =

1452 - 398 =

9

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 9

30.01.2017 16.22

Hoderegning 9

Alle tallkort har samme verdi som det står på kortet, med unntak av ruter 10 og spar 2. Knekter teller 11, damer teller 12, konger teller 13.

Kortspillet kasino Spillet passer for 2–4 spillere. Hver gruppe trenger en vanlig kortstokk.

Spillet trener automatisering av tallkombinasjoner opp til 16. I tillegg blir elevene kjent med variabler, da noen spesielle kort har ulik verdi på hånden og på bordet.

En del spesielle regler/variasjoner er ikke tatt med her. Vær også klar over at det fins mange lokale varianter angående poengberegning og hvilke bygg som er lovlige. Det kan derfor være nyttig å bli enige i hver enkelt klasse om hvilke regler som brukes.

Ved innlæring av et spill med så mange regler kan det være lurt å spille med et par av elevene (kanskje noen kan spillet allerede) og samle resten omkring som tilskuere. Etter hvert som elevene forstår spillet, danner de grupper som spiller selv. Alle elever som klarer tierovergang, kan lære seg spillet.

Kort som har spesiell verdi: Alle ess teller 14 på hånden og 1 når de ligger på bordet. Ruter 10 teller 16 på hånden og 10 når den ligger på bordet.

Spar 2 teller 15 på hånden og 2 når den ligger på bordet.

Spilleregler Hver spiller får 4 kort, og det legges 4 kort med bildesiden opp på bordet.

Spillerne bruker så ett kort etter tur.

Kortet kan brukes til å ta inn kort med lik verdi eller tallkombinasjoner som ligger på bordet, eller til å bygge til noe de selv har på hånden.

Klarer ikke spilleren å finne en slik kombinasjon, må han legge et kort ut på bordet med bildesiden opp.

Det er lov å kombinere flere kort, for eksempel kan en firer, en treer og en toer tas inn med en nier.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 1 • Hoderegning

Samtale Repeter tiervennene, gjerne ved å bruke for eksempel spillet «Snapp tieren», se spill side 8.

Tiervenner Samtale

1 + 9 2 + 8 3 + 7 4 + 6 5 + 5 Hvordan kan du bruke det du kan om tiervenner, til å regne oppgavene nedenfor?

Samtal om hvordan vi kan bruke det vi kan om tiervenner, når vi skal regne med større tall og med desimaltall.

43 + 7 51 + 9 51 + 19 154 + 16 0,2 + 0,8

1.6

Eksempel: Vi vet at 1 + 9 = 10.

Hvordan kan vi bruke dette når vi skal regne ut 51 + 9?

Hvordan kan vi bruke dette når vi skal regne ut 51 + 19?

Eksempel: Vi vet at 2 + 8 = 10.

Hvordan kan vi bruke dette når vi skal regne ut 0,2 + 0,8?

La elevene komme med flere eksempler.

Skriv eksemplene på tavla.

1.7

1.8

Regn ut. a) 8 + 2 = 8 + 12 =

b) 66 + 4 = 66 + 14 =

c ) 19 + 1 = 19 + 11 =

Regn ut. a) 0,3 + 0,7 = d) 1,2 + 1,8 =

b) 0,9 + 0,1 = e) 4,4 + 1,6 =

c ) 1,5 + 0,5 = f ) 5,7 + 0,3 =

Regn ut. a) 23 + 17 =

b) 112 + 8 =

c ) 436 + 54 =

Oppgave 1.6, 1.7 og 1.8 I disse oppgavene får elevene direkte bruk for det dere snakket om i samtalen.

Sammen Hvilke kombinasjoner av tallene nedenfor gir summen 100 dersom tallene adderes? Det fins flere løsninger.

19

Sammen Gjør elevene oppmerksomme på at de kan kombinere mer enn to tall. Hvor mange

36

Hoderegning

43 16

27 35

57 2

21 18

64 40

11

10

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 10

10

1

30.01.2017 16.22

NB! Bare ett kort fra hånden kan brukes hver gang det er spillerens tur. Dersom det brukes til et bygg, må dette bygget ligge på bordet til neste gang det er denne spillerens tur, men andre spillere kan ta dette bygget når det er deres tur, dersom de har riktig kort.

Kortene som spilleren tar inn fra bordet, legges i egen bunke som hver enkelt teller opp til slutt.

Når alle 4 håndkortene er spilt, deles det på ny ut 4 kort til hver spiller. Kortene gis av samme person til alle kortene er delt ut.

Poengberegning Slik vi beregner, blir det totalt I0 poeng pluss eventuelle ekstrapoeng: – Hvert ess teller 1 poeng.

– Ruter 10 teller 2 poeng.

– Spar 2 teller 1 poeng.

– Den spilleren som har flest spar, får 1 poeng.

– Den spilleren som har flest kort, får 1 poeng.

– Den spilleren som tar inn de siste kortene fra bordet, får 1 poeng.

Når de siste fire kortene til hver spiller deles ut, annonserer utdeler at dette er «slutten».

Dersom en spiller klarer å ta alle kortene som ligger på bordet, er det en «tabbe» som gir et ekstrapoeng.

For å holde styr på tabbene er det vanlig at den som får tabbe, snur et kort i sin bunke.

Den spilleren som sist tok kort fra bordet i siste runde, får de kortene som ligger igjen på bordet.

Forklaring Tenke via hel tier

kombinasjoner klarer elevene å finne? Skriv alle kombinasjonene på tavla.

Samtale Stine og Henning panter to poser med flasker. Panten fra den ene posen gir 24 kr, og panten fra den andre posen gir 29 kr.

Hvor mye blir det i pant til sammen?

Samtale Elevene skal bruke hoderegningsstrategien å tenke via hel tier. Strategien er her visualisert ved hjelp av tom tallinje. Bruk tom tallinje på tavla, og la elevene komme med eksempler på andre regnestykker hvor det er rasjonelt på tenke via hel tier.

+ 30 - 1 24

53 54

Stine og Henning bruker 39 kr av pengene sine på is.

Hvor mange kroner har de igjen?

- 40 + 1 13 14

53

Hvordan tenker den som har brukt disse tallinjene til å løse oppgaven?

1.9

Per og Olav har to kurver med jordbær. I kurven til Per er det 36 jordbær, og i kurven til Olav er det 19 jordbær.

Oppgave 1.10 Addisjonsoppgaver hvor det kan være rasjonelt å tenke via hel tier.

a) Hvor mange jordbær har de til sammen?

Guttene spiser 28 jordbær. b) Hvor mange jordbær har de igjen?

1.10 1.11

Regn ut. a) 32 + 19 =

b) 45 + 29 =

c ) 104 + 59 =

Regn ut. a) 54 - 39 =

b) 68 - 19 =

c ) 376 - 59 =

Oppgave 1.9 Oppgave i kontekst hvor elevene kan tenke via hel tier og bruke tom tallinje hvis de ønsker det.

Oppgave 1.11 Subtraksjonsoppgaver hvor det kan være rasjonelt å tenke via hel tier.

11

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 11

30.01.2017 16.22

Hoderegning 11

Dobling/halvering Elevene har fra de første årene på skolen regnet mye med dobling og halvering og har derfor automatisert kunnskap om å doble verdier av mange tall.

Spill om dobling/halvering Passer for 2–4 elever.

Bruk en terning, helst en 0–9-terning eller en kortstokk.

Ved å utvide bruken av denne kunnskapen til å gjelde større tall vil de lettere kunne regne raskt i hodet.

Eksempel: Hvis du vet at 8 + 8 = 16, vet du også at 8 + 9 = 17, og med forståelse for plassverdisystemet vet du også at 80 + 90 = 170.

Elevene kaster terning eller trekker kort etter tur.

Hvis de får et partall, noterer de halvparten av verdien, hvis de får et oddetall, noterer de den doble verdien. Den som har høyest poengsum etter for eksempel 10 kast/trekk, har vunnet.

Denne kunnskapen kan de også anvende ved desimaltall.

Eksempel: Hvis du vet at 25 + 25 = 50, vet du også at 2,5 + 2,5 = 5,0.

Viktige doblinger I likhet med å automatisere tallvenner er det viktig å ha automatisert en del viktige doblinger. De doblingene som vi viser her, kan settes på ukeplanen på samme måte som øveord. Se neste side.

Dobling av alle tallene fra 0 til 10.

Hele tiere som 10 + 10 = 20, 20 + 20 = 40 osv.

Femmere som 15 + 15 = 30, 25 + 25 = 50, 75 + 75 = 150 osv.

Et mer utfordrende spill om dobling/halvering To elever spiller sammen. Bruk to terninger, helst 0–9-terninger eller kort. Elev A kaster to terninger eller trekker to kort og velger hvilket tosifret tall han vil doble eller halvere. Velger han et partall, skal det halveres, velger han et oddetall, skal det dobles. Den som har høyest sum etter for eksempel fem kast/ trekk, har vunnet.

Dette er et meget strategisk spill, alt etter hvilke tall terningene/kortene viser, må elevene for eksempel finne ut hva som vil gi mest poeng av å halvere et stort tall eller doble et lite tall.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 1 • Hoderegning

Samtale Elevene skal lære å bruke strategien dobling. Med utgangspunkt i de doblingene som elevene kan, skal de kunne regne i hodet med tall som er høyere, og med desimaltall. La elevene få komme med de doblingene de kan. Skriv på tavla. Hvor mange kan dere til sammen? Ta tak i noen av doblingene som elevene har kommet med, og bruk dem som i eksemplet.

Dobling med desimaltall Samtale

25 + 25 = 50 25 + 26 = 51

2,5 + 2,5 = 5,0 2,5 + 2,6 = 5,1

Ser dere sammenhengen mellom dobling av hele tall og dobling av desimaltall?

Husk å gi nyttige doblinger som øvingsoppgaver på ukeplanen. Les om «Viktige doblinger» over.

Oppgave 1.12, 1.13 og 1.14 I disse oppgavene får elevene direkte bruk for det dere snakket om i samtalen.

Oppgave 1.15 En oppgave i kontekst hvor elevene kan bruke det de kan om dobling og nær dobling ved addisjon av desimaltall.

1.12

Regn ut. a) 12 + 12 = 1,2 + 1,2 =

b) 75 + 75 = 7,5 + 7,5 =

c ) 15 + 15 = 1,5 + 1,5 =

1.13

Regn ut. a) 1,0 + 1,0 = 1,0 + 1,1 =

b) 5,0 + 5,0 = 5,0 + 5,1 =

c ) 8,0 + 8,0 = 8,0 + 8,1 =

1.14

Regn ut. a) 4,5 + 4,5 = d) 2,4 + 2,4 =

b) 3,2 + 3,2 = e) 1,6 + 1,6 =

c ) 1,8 + 1,8 = f ) 1,4 + 1,4 =

1.15

Håndballtreneren til Putt IL sjekker hvor mange liter vann noen av spillerne drikker i løpet av en kamp.

Navn Antall liter a) Hvor mange liter vann drikker Per 2,3 Jon og Alex til sammen? b) Hvor mange liter vann drikker Per og Adil til sammen?

Jon

1,6

Adil

2,4

Alex

1,5

12

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 12

12

Hoderegning

30.01.2017 16.22

Doblinger som er nyttige å kunne 10 + 10 =

15 + 15 =

0,5 + 0,5 =

20 + 20 =

25 + 25 =

1,5 + 1,5 =

30 + 30 =

35 + 35 =

2,5 + 2,5 =

40 + 40 =

45 + 45 =

3,5 + 3,5 =

50 + 50 =

55 + 55 =

4,5 + 4,5 =

60 + 60 =

65 + 65 =

5,5 + 5,5 =

70 + 70 =

75 + 75 =

6,5 + 6,5 =

80 + 80 =

85 + 85 =

7,5 + 7,5 =

90 + 90 =

95 + 95 =

8,5 + 8,5 =

100 + 100 =

125 + 125 =

9,5 + 9,5 =

Forklaring Halvering med desimaltall

Samtale

Samtale

250 - 125 = 125 250 - 126 = 124

Snakk om sammenhengen mellom doblinger og halveringer. Kan du doblingene, så kan du også halveringene. La elevene komme med eksempler som dere skiver på tavla. Bruk noen av eksemplene som elevene kommer med, og lag større tall og desimaltall som dere kan subtrahere.

2,50 - 1,25 = 1,25 2,50 - 1,26 = 1,24

Ser dere sammenhengen mellom halvering av hele tall og halvering av desimaltall?

1.16

Regn ut. a) 8 - 4 = 0,8 - 0,4 =

b) 12 - 6 = 1,2 - 0,6 =

c ) 50 - 25 = 5,0 - 2,5 =

1.17

Regn ut. a) 5,0 - 2,5 = 5,0 - 2,6 = 5,0 - 2,4 =

b) 1,6 - 0,8 = 1,6 - 0,9 = 1,6 - 0,7 =

c ) 3,0 - 1,5 = 3,0 - 1,6 = 3,0 - 1,4 =

1.18

Her skal du doble og halvere hvert tall. a) 2,0 b) 10,0 c) 6,0 20,0 5,0 30,0 22,0 15,0 36,0

Antall liter Sammen Her er en vaffeloppskrift til 8 vaffelplater. Gjør om oppskriften slik at den passer til 4 vaffelplater.

2,3 1,6 2,4 1,5

Oppgave 1.16 til 1.18 I disse oppgavene får elevene direkte bruk for det dere snakket om i samtalen.

Sammen I denne sammenoppgaven møter elevene på noen vanskeligere halveringer, for eksempel 1,5 ts kardemomme. La elevene fortelle hvordan de tenkte da de løste oppgaven.

d) 8,0 40,0 48,0

Verdens beste vafler

La elevene komme med forslag om hvordan de i praksis ville løst problemet med 1,5 egg i halv porsjon vaffelrøre.

3 egg 1 dL sukker 2,5 dL melk 0,5 ts bakepulver 2 ts vaniljesukker 1,5 ts kardemomme

13

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 13

30.01.2017 16.22

Hoderegning 13

Dobling og halvering som regnestrategi i multiplikasjon En strategi som kan være svært nyttig å kunne, er at svaret blir det samme når den ene faktoren i et multiplikasjonsstykke halveres og den andre dobles.

Eksempel: 18 ∙ 3 = 54, ved å halvere 18 og doble 3 blir den nye multiplikasjonen 9 ∙ 6 = 54.

Det kan være spesielt viktig å kunne denne strategien når elevene møter multiplikasjoner hvor en av faktorene er for eksempel 0,5 eller 2,5. Ved å doble denne faktoren og halvere den andre kan de operere med bare hele tall.

Eksempel: 4 ∙ 2,5 = 2 ∙ 5 = 10 Ved å la elevene eksperimentere med slike strategier kan de hente dem fram og bruke dem når de møter multiplikasjoner som kan se vanskelige ut ved første øyekast.

Likhetstegnet Mange elever strever med oppgaver både av typen = 100 og · 6 = 24. Noen ganger ser vi at 62 + elever regner sammen de tallene de ser, og setter svaret på den åpne plassen.

Ofte bunner problemet i en forståelse av likhetstegnet som «nå kommer svaret».

Det er viktig at elevene får forståelsen av likhetstegnet som «har samme verdi som». Det som står på høyre og venstre side av likhetstegnet, må alltid ha samme verdi. Denne forståelsen er grunnleggende når elevene seinere møter for eksempel likninger og forkorting av brøker.

Hensikten med oppgave 1.23 på side 15 er å skape bevissthet om betydningen av likhetstegnet. Det er viktig at elevene skriver hele regnestykket, ikke bare svaret. Dette er for å skape bevissthet om at det som står på begge sider av er likhetstegnet, har samme verdi.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 1 • Hoderegning

Samtale Se på illustrasjonen, og snakk med elevene. Stemmer det at tolv halvlitere og seks énlitere er like mye?

Hvorfor er det slik? Under tegningen er det samme vist med tall. Se på faktorene, hva er det som skjer?

Det er fint hvis elevene selv klarer å sette ord på at den ene faktoren er doblet og den andre er halvert.

Det er helt greit om de sier «det ene tallet» og «det andre tallet» hvis de ikke husker ordet faktor. Men det er viktig at du som lærer bruker disse begrepene i samtale med elevene, slik at de lærer dem.

Dobling og halvering i multiplikasjon Samtale Tina kjøper 12 flasker vann.

Hver flaske inneholder 0,5 L vann.

Hvor mange liter vann kjøper Tina?

=

12 · 0,5

=

6 · 1

Svar: Tina kjøper 6 liter vann.

18 · 0,5 = Hvordan vil dere løse denne oppgaven?

1.19

Oppsummer samtalen med at produktet blir det samme når den ene faktoren dobles og den andre faktoren halveres.

Lag to multiplikasjonsoppgaver som passer til hver av tegningene. a) b) = =

Oppgave 1.19 En oppgave i kontekst som illustrerer og viser at oppsummeringen av samtalen stemmer.

Oppgave 1.20 og 1.22 Øvingsoppgaver hvor elevene kan bruke kunnskaper fra samtalen.

1.20

Regn ut. a) 12 · 3 = 6 · 6 =

Hoderegning

b) 16 · 3 = 8 · 6 =

c ) 2,5 · 8 = 5,0 · 4 =

14

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 14

14

Jeg dobler den ene faktoren og halverer den andre faktoren for å løse oppgaven.

30.01.2017 16.22

Øvingsoppgaver i dobling/halvering Halvering

Dobling

Halvering

Dobling

4

32

6

54

8

28

12

62

14

44

16

58

18

36

22

66

24

72

26

84

Forklaring 1.21

Sorter oppgavene slik at de viser lik verdi. =

0,5 · 4

Oppgave 1.21 Elevene skal sortere de fargede multiplikasjonsoppgavene i par, slik at det viser at produktet er det samme når den ene faktoren dobles og den andre halveres.

25 · 3

1 · 2

=

1,5 · 8

1 · 16

0,5 · 32 2,5 · 12

12,5 · 6

1.22

1.23

5·6

3·4 4 · 7,5

Regn ut. a) 12 · 4 = d) 18 · 5 =

8 · 15

b) 8 · 0,5 = e) 4 · 35 =

Oppgave 1.23 Les om likhetstegnet øverst på siden.

I noen av oppgavene blir det lettere å se hvilket tall som mangler, hvis de halverer eller dobler det tallet som er synlig, og gjør motsatt med det de skal finne.

c ) 3 · 16 = f ) 2,5 · 12

Hvilke tall mangler? a) 4 · d)

= 2

· 2,5 = 35

b)

· 6 = 15

e) 2,5 ·

= 20

c ) 28 · 0,5 = f ) 10 ·

Sammen Snakk med elevene om hvorvidt det alltid kan bli en lettere multiplikasjon hvis den ene faktoren dobles og den andre halveres. Prøv for eksempel med to oddetall.

= 25

Sammen Maria har brukt dobling av den ene faktoren og halvering av den andre faktoren når hun har løst oppgavene sine.

• Lag minst to ulike oppgaver til hvert svar.

5

12

16

1

15

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 15

Eksempel Eksemplet viser at man i stedet for å multiplisere med 5 kan multiplisere med 10 og så dividere

30.01.2017 16.22

Hoderegning 15

Overslagsregning Når vi skal regne overslag, gjelder ikke så eksakte regler som ved avrunding. Vi må ta hensyn til situasjonene hvor vi bruker overslag, og hvilken regneart vi skal bruke.

Hvis vi for eksempel er i butikken og lurer på om vi har nok penger, kan det være lurt å runde prisene oppover for å være helt sikker på å få nok.

Eksakt sum er 254,56. Vi kom altså ganske nær ved å runde av annethvert ledd opp og ned.

For å gjøre et raskt overslag i hodet kunne vi runde av alle leddene til nærmeste tier ved å bruke avrundingsreglene.

10 + 20 + 10 + 0 + 210 = 250 Dette er også et godt overslag.

I matematikkoppgaver kan vi bruke overslag før vi løser oppgaven, for å få en idé om omtrent hva svaret vil bli, eller vi kan bruke overslag etter en utregning for å sjekke om svaret kan være riktig.

Hensikten med overslag i matematikkoppgaver er å forenkle tallene slik at vi kan regne ut i hodet.

Addisjon Det kan være lurt å runde annethvert ledd opp og ned.

12,42 + 17,10 + 7,90 + 3,50 + 213,64 ≈ 13 + 16 + 8 + 3 + 214 = 254

Subtraksjon Det kan være lurt å runde av alle ledd opp eller alle ledd ned.

Eksempel: 542,75 − 26,23 = For å gjøre utregningen lett i hodet kan vi, i dette eksemplet, runde av til nærmeste femmer.

542,75 − 26,23 ≈ 540 − 25 = 515 eller 545 − 30 = 515.

Nøyaktig svar er 516,52.

Dette overslaget ga et svar som ligger nær nøyaktig utregning.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 1 • Hoderegning

produktet med 2 (halvere svaret). Dette blir i praksis at man dobler den ene faktoren og halverer produktet.

Eksempel Stine kjøper 24 kjærligheter på pinne.

De koster 5 kr per stk.

Hvor mye betaler Stine til sammen?

Når jeg skal multiplisere med 5, liker jeg å multiplisere med 10 og halvere svaret.

24 · 5 = 24 · 10 : 2 = 240 : 2 = 120

Oppgave 1.24 Elevene kan sjekke om produktet blir dobbelt så stort når de multipliserer med 10 som når de multipliserer med 5.

Svar: Stine betaler 120 kr til sammen.

1.24

Oppgave 1.25 Elevene kan bruke erfaringene fra oppgave 1.24 når de skal fylle ut tabellene i denne oppgaven.

1.25

Regn ut. a) 15 · 10 = 15 · 5 =

b) 18 · 10 = 18 · 5 =

Skriv av tabellen, og regn ut. · 10

Oppgave 1.26 og 1.27 I denne oppgaven kan elevene bruke det de lærte i eksemplet.

Samtale Utfordre elevene til å skrive i kladdeboka si hvordan de vil gjøre overslag over disse prisene. La elevene gjøre rede for sine overslag og begrunne dem.

c ) 23 · 10 = 23 · 5 =

·5

· 10

·5

42

16

73

25

120

13

95

32

1.26

Regn ut. a) 55 · 5 =

1.27

Jon kjøper 5 bøker til 69 kr per bok.

Hvor mye betaler han til sammen?

b) 86 · 5 =

c ) 130 · 5 = 69 k

r

16

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 16

16

Hoderegning

30.01.2017 16.22

· 5 =

Multiplikasjon Det kan være lurt å runde en faktor opp og en ned.

Her har vi også rundet av til nærmeste femmer for å gjøre utregningen lett i hodet.

Gjør først overslag etter reglene.

Regn nøyaktig ut, og se om du er fornøyd med overslaget ditt.

89 · 19 ≈ 100 · 15 = 1500 eller 80 · 20 = 1600.

Nøyaktig svar er 1691.

39 + 74 + 62 + 17 =

Divisjon Det kan være lurt å runde begge tallene opp eller begge tallene ned til tall som gjør at divisjonen går opp.

Eksempel: 13,6 : 4,3 ≈ 12 : 4 = 3 eller 15 : 5 = 3.

Nøyaktig utregning gir 3,16279…

Begge overslagene ligger nær nøyaktig svar.

87 − 28 =

128 + 33 + 18 + 42 =

Hvis dere vil, kan dere repetere alle overslagsreglene og la elevene regne oppgavene til høyre.

251 − 63 = 49 · 11 = 32 · 48 = 154 : 7 = 108 : 18 =

Forklaring Overslag

Les om overslag øverst på siden, og snakk sammen om hensiktsmessige måter å gjøre overslag på.

Samtale Adil har 100 kr. Han vil gjøre et overslag for å finne ut om han har råd til å kjøpe varene nedenfor.

Diskuter hvordan han kan gjøre et overslag.

27 kr

9k

32 kr

1.28

Oppgave 1.28 La elevene gjøre denne oppgaven, og snakk sammen etterpå om hvordan de løste den. Den kan også brukes som sammenoppgave, slik at elevene kan diskutere hvordan de vil runde av, og hvorfor.

kr

r

18

45 kr

Mathilde, Mie og Mateo er i bokhandelen. Gjør et overslag over hvor mye hver av dem skal betale når r

8k

19

175

kr

r

r

5k

15

110

kr

95 k

a) Mathilde kjøper bøkene Hest er best og Bestevenner b) Mie kjøper bøkene Fotballkampen, Pia liker Pål og Bestevenner c)

Mateo kjøper alle bøkene på hylla

d) Regn ut den nøyaktige prisen Mateo betaler for bøkene han kjøper.

17

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 17

30.01.2017 16.22

Hoderegning 17

Number bonds Vi bruker number bonds for å visualisere tallvenner (oppdeling av tall). Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land.

Radius bruker number bonds for å visualisere oppdeling av tall. I Radius bruker vi number bonds som består av ruter. Det hele står i den øverste ruten, og de tilhørende tallene står under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker.

Den mest kjente måten å bruke number bonds på er det vi kaller tiervenner.

Eksempel 1 16 · 7 =

16

Det kan være hensiktsmessig å dele 16 opp i tiere og enere, 10 og 6.

10

6

Da får vi 10 · 7 = 70 og 6 · 7 = 42; 70 + 42 = 112 16 · 7 = 112

Eksempel:

10 4

Multiplikasjon og divisjon ved å dele opp tallene Elevene kan ha stor nytte av raskt å se hensiktsmessige oppdelinger av tall, for eksempel ved multiplikasjon og divisjon ut over multiplikasjonstabellen.

6

På dette oppslaget bruker vi number bonds for å visualisere hensiktsmessig oppdeling av vilkårlige tall ved multiplikasjon og divisjon.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 1 • Hoderegning

Eksempel Les det vi har skrevet om number bonds over. Snakk med elevene om at det kan være hensiktsmessig å se om tall kan deles opp slik at de ender opp i kjente multiplikasjoner. Vær åpen for at elevene har forslag til andre måter å dele opp tallene på.

Drøft deres oppdelinger, og diskuter hvorvidt de er hensiktsmessige eller ikke.

Multiplikasjon ved å dele opp tallene Eksempel 1. 16 · 7 = 10 · 7 + 6 · 7

= 70 + 42

= 112

16 10

2. 16 · 7 = 8 · 7 + 8 · 7

Oppgave 1.29 og 1.30 Multiplikasjonsoppgaver hvor elevene kan øve seg i å dele opp tallene slik at de ender opp i kjente multiplikasjoner.

= 56 + 56

= 112

6

16 8

8

1.29

Regn ut. a) 15 · 5 = d) 12 · 6 =

b) 14 · 3 = e) 27 · 4 =

c ) 16 · 8 = f ) 46 · 2 =

1.30

Regn ut. a) 28 · 2 = d) 51 · 3 =

b) 56 · 4 = e) 18 · 5 =

c ) 101 · 4 = f ) 16 · 3 =

Sammen La elevene komme med forslagene sine, skriv dem opp på tavla, og la elevene argumentere for hvorfor de mener at oppdelingene er hensiktsmessige.

Sammen Nedenfor ser dere fem multiplikasjonsoppgaver.

26 · 4 25 · 5

12 · 11 16 · 7 13 · 9

• Hvordan vil dere dele opp tallene for at dere enkelt skal kunne regne dem i hodet?

• Kan dere finne flere måter å dele opp tallene på?

18

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 18

18

Hoderegning

30.01.2017 16.22

8 = 2 =

Eksempel 2 I dette tilfellet kan det også være hensiktsmessig å dele tallet 16 opp i 8 og 8 som gir to like, kjente multiplikasjoner fra den lille multiplikasjonstabellen.

8 · 7 + 8 · 7 = 56 + 56 = 112 16 · 7 = 112

Eksempel 4 72 : 4 =

16 8

72

I dette tilfellet kan vi også dele opp 72 i 36 og 36, som gir to like, kjente divisjoner fra den lille multiplikasjonstabellen.

Da får vi 36 : 4 = 9 og 36 : 4 = 9 9 + 9 = 18 72 : 4 = 18

8

36

36

72

Eksempel 3 72 : 4 =

Det er hensiktsmessig å dele opp tallet i to tall som begge er delelig med 4.

Først undersøker vi hvor mange hele tiere det er, og så det som blir igjen.

40

32

I dette tilfellet blir det 40 og 32.

Da får vi 40 : 4 = 10 og 32 : 4 = 8 10 + 8 = 18 72 : 4 = 18

Forklaring Divisjon ved å dele opp tallene Eksempel 72 : 4 = 32 : 4 + 40 : 4 = 8 + 10 = 18

1.31

32

1.33

40

Regn ut. a) 78 : 6 =

b) 51 : 3 =

c) 98 : 7 =

78

51

98

18

1.32

Oppgave 1.31 Elevene har hjelp av delvis utfylte number bonds, men de må gjerne finne andre oppdelinger selv.

72

21

Regn ut. a) 54 : 3 = d) 70 : 5 =

Oppgave 1.32 og 1.33 Divisjonsoppgaver hvor elevene kan øve seg i å dele opp tallene slik at de ender opp i kjente divisjoner.

Sammen I denne oppgaven kan elevene ta i bruk flere strategier i multiplikasjon. La dem først få arbeide sammen om oppgavene for så å argumentere for sine strategier i plenum.

28

b) 84 : 6 = e) 72 : 4 =

c ) 60 : 4 = f ) 112 : 8 =

Hvordan kan du dele opp tallene nedenfor dersom du skal a) dividere tallet på 3?

36

b) dividere tallet på 4?

72

48

84

60

Sammen Argumenter for hvilke strategier dere vil ta i bruk når dere skal løse oppgavene nedenfor i hodet.

25 · 12 =

14 · 0,1 =

116 - 58 =

19

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 19

30.01.2017 16.22

Hoderegning 19

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring Spill

Spill I dette spillet trener elevene på addisjon av små tall.

Dette er et strategisk spill, la dem spille det flere ganger.

Hvem når målet?

Utstyr: Spillerne har ett spillebrett sammen og en haug med knapper, ludobrikker eller liknende til å dekke over tallene med.

Antall spillere: 2

Hva spillet går ut på: Spillerne blir enige om et tall mellom 25 og 55 som skal være målet.

Hvert tall på spillebrettet kan brukes én gang. Når for eksempel alle totallene er dekket over, er det ikke flere totall å bruke.

Spiller A velger et tall, dekker over dette og sier tallet.

Spiller B velger et tall, sier gjeldende sum pluss det valgte tallet og ny sum. Eks.: Spiller A velger 4, dekker over dette og sier 4.

Spiller B velger 3, dekker over dette og sier 4 + 3 = 7.

Spillerne velger tall etter tur og adderer tallet til gjeldende sum.

Vinner: Den som kan velge et tall slik at målet akkurat nås, har vunnet.

Hvis en spiller går over målet, har spilleren tapt.

20 20

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 20

Sant eller usant Elevene skriver de setningene som er sanne, i boka si. Hør setningene, og la elevene argumentere for hvorfor utsagnene er sanne.

30.01.2017 16.22

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

Sant eller usant Skriv setningene som er riktige, i kladdeboka.

• Hvis du dobler den ene faktoren og halverer den andre, får du likt svar.

• Du får likt svar om du multipliserer med 5 eller 10.

• Å multiplisere med 0,5 er det samme som å dividere på 2.

• Jeg regner overslag for å vite omtrent hvor mye jeg skal betale.

• Jeg regner overslag for å vite presist hvor mye jeg skal betale.

21

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 21

20

Hoderegning

30.01.2017 16.22

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring Oppsummering Tiervenn 8 + 2 = 10 18 + 2 = 20 18 + 3 = 18 + 2 + 1 = 21 Via hel tier Eksempel: 30 + 19

30 - 19

+ 20

- 20 - 1

30

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

Det vi vet om tiervenner, kan vi bruke på andre tall.

49

+ 1 50

10

11

30

Dobling og halvering 25 + 25 = 50 25 + 26 = 51

250 - 125 = 125 250 - 126 = 124

Det er en sammenheng mellom dobling og halvering av hele tall og desimaltall.

2,5 + 2,5 = 5,0 2,5 + 2,6 = 5,1

2,5 - 1,25 = 1,25 2,5 - 1,26 = 1,24

Overslag Overslag brukes for å få en idé om hvor mye noe vil koste.

Et brød til 18 kr og et pålegg til 27 kr kan ved overslag regnes som 20 kr + 30 kr.

22 22

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 22

30.01.2017 16.22

Multiplikasjon ved å dele opp tallene 1.

18 · 7 = 10 · 7 + 8 · 7

= 70 + 56

= 126

18 10

2. 18 · 7 = 9 · 7 + 9 · 7

= 63 + 63

= 126

8

18 9

9

Ved å dele opp tallene på ulike måter kan det bli lettere å regne multiplikasjonsoppgaver med høyere tall.

Divisjon ved å dele opp tallene 54 : 3 = 30 : 3 + 24 : 3 = 10 + 8 = 18

54 30

24

Ved å dele opp divisor på ulike måter kan det bli lettere å regne divisjonsoppgaver med høyere tall.

23

Radius 7A_BM_Kap 1_til trykk.indd 23

30.01.2017 16.22

Hoderegning 21

Kopieringsoriginal, Hvem når målet, spillbrett til side 20.

Hvem når målet?

22

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

Kapittel 1 Hoderegning

© Cappelen Damm AS

Dette har jeg lært i kapittel 1 1 Regn ut.

Navn: 5

Regn ut.

8 + 5 =

14 − 5 =

4 · 0,5 =

18 + 5 =

54 − 5 =

2,5 · 16 =

148 + 5 =

124 − 5 =

148 + 15 =

124 − 15 =

6

Regn ut.

36 · 6 = 2 Regn ut.

7 + 3 =

0,7 + 0,3 =

17 + 23 =

1 ,7 + 1,3 =

46 · 4 =

7

Regn ut.

84 : 6 =

3 Regn ut.

108 : 9 =

43 + 19 =

64 − 29 =

105 + 39 =

383 − 49 =

4 Skriv det dobbelte og halvparten av hvert av tallene.

Halvparten

Det dobbelte

2,4 0,8 3,2 5,0 72,6

Kapittel 1 Hoderegning

© Cappelen Damm AS

23

Mål

•• Kunne beskrive og bruke plassverdisystemet for heltall og desimaltall •• Kunne plassere desimaltall på tallinja •• Kunne bruke avrunding og overslag for heltall og desimaltall •• Kunne regne med positive og negative tall i addisjon og subtraksjon •• Vite at vi multipliserer og dividerer før vi adderer og subtraherer i regnestykker med flere regneoperasjoner •• Kunne løse opp og regne med parenteser i addisjon og subtraksjon •• Kunne sette inn formler i regneark for å utføre de fire regneartene

Begreper •• •• •• •• •• •• •• •• ••

Titallsystemet Plassverdisystemet Siffer Avrunding Desimaltall Addisjon Subtraksjon Negative tall Utvidet form

Forklaring Bildene viser to maratonløpere. På venstre side ser vi soldaten Pheidippides. Ifølge et gresk sagn løp han fra byen Marathon til Athen i Hellas for å forkynne at perserne hadde blitt beseiret i slaget ved Marathon i år 490 f.Kr. Ved ankomsten ropte han nenikikamen, «vi seiret», og falt død om. Dette har gitt oppgav til idrettsøvelsen maraton.

Introduksjon til kapittel 2 Siffer og tall Elevene bør lære å ta i bruk begrepet siffer.

Titallsystemet har sifrene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9.

Når disse står alene, er de også tall. Alle flersifrede tall består av en kombinasjon av disse sifrene.

Det er da sifrene og deres plassering som utgjør tallet. Når vi snakker om flersifrede tall, bør vi være konsekvente og si: «Sifferet på hundrerplassen er …» og unngå formuleringen «tallet på hundrerplassen er …». Hvis en elev sier: «Tallet på hundrerplassen er ...», så gjenta gjerne: «Ja, sifferet på hundrerplassen er …»

Titallsystemet er et plassverdisystem Å forstå plassverdisystemet (posisjonssystemet) er grunnleggende i arbeid med matematikk.

Undersøkelser viser at elever på mellomtrinnet som strever med matematikk, ofte mangler denne grunnleggende forståelsen (Neumann 1989). Disse elevene får også problemer med måleenhetene som er bygd opp rundt titallsystemet, og de får problemer med desimaltallene.

2

Tall og regning

På høyre side ser vi den norske langdistanseløperen Grethe Waitz under New York Marathon som hun vant for første gang i 1978. Hun vant New York Marathon hele 9 ganger, og hennes innsats som banebrytende kvinnelig langdistanseløper har hatt stor betydning for utviklingen av kvinneidrett.

Et maratonløp er 42 195 m. Standardlengden på 42 195 m er ikke den nøyaktige distansen mellom Marathon og Athen, og løpets lengde har variert gjennom tidene, men i 1921 bestemte det internasjonale friidrettsforbundet at standardlengden skulle være 42 195 m.

Hvilken verdi har sifferet 4 i tallet 42 195 m?

Hvilken verdi har sifferet 4 i tallet 42,195 km?

Et maratonløp er 42 195 m langt. Hvor langt har Grethe Waitz igjen når hun har løpt 40 000 m?

På den ene siden av tegningen ser du en som løper maraton i år -490.

På den andre siden av tegningen ser du Grethe Waitz som løper maraton i 1978. Hvor mange år er det mellom de to årstallene?

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 24

24

Kapittel 2 Tall og regning

30.01.2017 17.09

Titallsystemet har fire karakteristiske trekk som det er viktig at elevene utvikler forståelse for: •• Plassen et siffer står på, avgjør verdien.

•• Vi har en gruppering av tiere.

•• Vi bruker 0 som plassholder. (Den markerer en mengdeangivelse. Når sifferet 0 står på for eksempel tierplassen, markerer det at vi ikke har noen tiere.)

•• Vi kan finne et talls verdi ved å addere alle plassverdiene.

Hjelpemidler som illustrerer enere, tiere, hundrere, er for eksempel: •• base 10-materiale (omtales på side xx) •• pinner som er buntet i tiere •• hundrerark som kan klippes i tiere og enere •• kort med tallnavn for hele hundrere, tiere og enere som kan legges oppå hverandre •• centikuber •• abakus

Det er utviklet ulike typer konkretiseringsmateriell som kan være til hjelp for å utvikle forståelsen av plassverdisystemet. Slikt materiell kan brukes både til å illustrere tall og som hjelpemiddel ved løsning av oppgaver. Disse hjelpemidlene vil oftest være lettest å bruke for de elevene som allerede har en idé om plassverdisystemet.

For mange elever vil det å arbeide med penger være et godt konkretiseringsmateriell. Å veksle énkroner i tikroner, tikroner i hundrekroner og omvendt er situasjoner som de kjenner fra dagliglivet.

Forklaring Mål for kapitlet

• Kunne beskrive og bruke plassverdisystemet for heltall og desimaltall • Kunne plassere desimaltall på tallinja • Kunne bruke avrunding og overslag for heltall og desimaltall • Kunne regne med positive og negative tall i addisjon og subtraksjon • Vite at vi multipliserer og dividerer før vi adderer og subtraherer i regnestykker med flere regneoperasjoner • Kunne løse opp og regne med parenteser i addisjon og subtraksjon • Kunne sette inn formler i regneark for å utføre de fire regneartene

Det var den distansen som ble løpt i OL i 1908, mellom Windsor og White City Stadium i London. Året 490 f.Kr. kan også skrives som år −490, fordi det befinner seg til venstre for år 0 på tidslinja.

I de to første spørsmålene på oppslaget skal elevene bestemme verdien av sifferet 4 ut fra plassverdisystemet. Det kan være nyttig å høre hva slags refleksjoner de har rundt det at sifferet 4 har ulik verdi i de to oppgitte tallene selv om avstanden er den samme.

Spør også om de andre sifrenes verdi slik at dere får repetert plassverdiene for desimaltall.

Når dere skal regne ut avstanden i tid mellom de to maratonløpene, kan det være nyttig å tegne en tidslinje.

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 25

30.01.2017 17.09

Tall og regning 25

Plassverdisystemet for desimaltall På forrige oppslag skrev vi om hvor viktig det er at elevene har en grunnleggende forståelse for plassverdisystemet (posisjonssystemet). Der skrev vi om plassverdisystemet for de hele tallene. Det er viktig at elevene får utvidet sin forståelse for plassverdisystemet til også å gjelde desimaltallene.

Når vi går over til desimaltall, markerer vi skillet mellom heltallsdelen og desimaldelen med et desimaltegn, i Norge bruker vi komma.

De karakteristiske trekkene for desimaltallene, som det er viktig at elevene utvikler forståelse for, er: •• Sifrene på begge sider av komma utgjør til sammen ett tall. Dette tallet består av en heltallsdel og en desimaldel.

•• Sifrene til venstre for komma representerer heltallsdelen, og sifrene til høyre for komma utgjør desimaldelen.

•• For hver plass du beveger deg mot venstre, øker verdien på plassen med en tierpotens, og for hver plass du beveger deg mot høyre, minker verdien på plassen med en tierpotens, på begge sider av komma.

Å lese desimaltall med to og flere desimaler Det er vanlig å lese et desimaltall med to desimaler, for eksempel 3,14 som «tre komma fjorten».

I arbeid med elever som har misoppfatninger eller for å unngå at slike dannes, kan det også være lurt å lese desimaltall med plassverdibenevnelse på desimaldelen. I dette eksemplet vil det bli «tre hele, en tidel og fire hundredeler». I norsk skole er det også mange som leser dette forenklet som «tre komma én, fire» med elevene.

Lær elevene at tallet som heter «tre komma fjorten», betyr «tre hele, én tidel og fire hundredeler». Når de skal sammenlikne to desimaltall, må de først se hvor mange hele de ulike tallene inneholder. Hvis dette er likt, må de se hvor mange tideler tallene inneholder. Hvis dette også er likt, må de se på antall hundredeler osv. Da kan det være greit å lese tallene litt forenklet og si for eksempel «tre komma én, fire».

I USA leses desimaltall alltid med benevning av den plassen som den siste desimalen står på. For eksempel leses 2,4 (2.4 som de skriver i USA) som «two and four tenths», altså «to og fire tideler» på norsk. 2,45 vil da bli lest som «to og førtifem hundredeler» og 2,456 som «to og 456 tusendeler».

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Se teori side xx om siffer og tall. Det er ofte vanskelig for elever å skille siffer og tall, sifrene er også tall når de står alene og representerer et ensifret tall. Snakk med elevene om dette. Alle flersifrede tall består av to eller flere siffer i ulike kombinasjoner, og det er hvilken plass sifferet står på, som avgjør hvilken verdi det har. Dette er illustrert på rasteret for samtalen. Spør elevene hvilke verdier de ulike sifrene i tallet har.

Titallsystemet

Samtale Hva er forskjellen på siffer og tall?

Hvilke sifre har vi i titallsystemet?

1 2 5,7 8 3 0,003

Sifrene får verdi etter hvilken plass de står på.

0,08 ?

5 ?

100

Hva mener vi med at titallsystemet er et plassverdisystem?

Les tallet på ulike måter, se teori øverst på siden.

Figur A Prinsippet blir det samme selv om tallet her har tre Areal desimaler.

Omkrets

Hvilken verdi har sifferet 7 i tallet over?

Hvor mye øker tallets verdi dersom vi forandrer sifferet 3 til 9?

Vi anbefaler også at dere har en desimaltalldiktat, slik at elevene får god trening i å tolke og skrive desimaltallene.

Oppgave 2.1, 2.2 og 2.3 I disse oppgavene skal elevene identifisere sifferverdi etter ulike kriterier.

2.1

Hvilken verdi har sifferet som er understreket? a) 47,54 b) 753,478 c ) 2497,1 d) 15 473,65 e) 78,947 f ) 57 421,371

2.2

Hvilken verdi har sifferet 3 i hvert av disse tallene? a) 357,62 b) 1361,2 c ) 4713,621 d) 45,683 e) 13 461,99 f ) 30 987,1

2.3

Hvilket siffer står på hundredelsplassen? a) 77,154 b) 97,473

c ) 4678,421

26

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 26

26

Tall og regning

30.01.2017 17.09

I USA leser de altså desimalene som om det var en brøk. I Norge kutter vi denne benevningen, vi leser altså bare telleren. Dette kan være en av grunnene til at norske elever ser på tallet etter komma, desimalene, som et heltall og tror at 0,254 er større enn 0,54, fordi 254 er større enn 54. Bruk gjerne litt tid på å lese desimaltall på engelsk med elevene, det bidrar til å bevisstgjøre hva desimalene i tallene egentlig representerer.

Eksempel: 2,7 – 2,8 – 2,9 – 3,0 – 3,1 …Tell forlengs og baklengs til alle behersker denne overgangen.

Fortsett å telle med andre intervaller.

Eksempel:

0,2 – 0,4 – 0,6 …

8,0 – 8,5 – 9,0 – 9,5 …

4,2 – 4,5 – 4,8 …

Ikke glem å telle baklengs.

Desimaldiktat Lag en diktat hvor du leser tall med én og to desimaler på ulike måter. Varier mellom «tre komma fjorten», «tre hele, én tidel og fire hundredeler» og «tre komma én, fire».

Telling For at elevene skal få på plass systemet med desimaltall, er det å telle en god aktivitet. Tell med ulike intervaller, og start på ulike steder. Begynn med rekketelling med én desimal, og se om elevene automatisk går over til nytt heltall etter sifferet 9 som desimal, eller om de sier komma ti.

Utvid oppgave 2.7 Etter at elevene har gjort denne oppgaven, kan de utfordres til å lage det største og det minste tallet som er mulig når de bruker alle sifrene.

En enda større utfordring kan være å lage det nest største og det nest minste tallet som er mulig når de bruker alle sifrene.

Forklaring 2.4

2.5

Hvor mye øker tallets verdi når sifferet 2 forandres til 6? a) 201,14 b) 142,140 c ) 904,021 d) 4572,41 e) 21,497 f ) 27,25

Hvilket tall er en tidel mer enn a) d)

2.6

2.7

Oppgave 2.4 Dette er en mer utfordrende oppgave. Elevene vil oppleve at det er stor forskjell på hvor mye et tall øker i verdi, etter hvilken plassering sifferet som skiftes ut, har.

0,9 849 ?

11,95

?

b)

19,90

?

c)

99,9

?

?

e) 99,947

?

f)

999,99

?

Oppgave 2.5 og 2.6 Oppgavene gir elevene trening i overgangen mellom heltallsdel og desimaldel eller mellom ulike desimalplasser.

Hvilket tall er en tidel mindre enn a)

? 849 ? 100,10

b)

?

200,90

c)

?

9,950

d)

?

e)

?

10,0

f)

?

1000

0,1

Bruk alle sifrene ved siden av. a) Lag fem ulike tall med alle sifrene.

4 8

b) Skriv tallene i stigende rekkefølge. c)

9 1

Oppgave 2.7 Oppgaven gir elevene erfaring i hvordan tall som inneholder de samme sifrene, endrer verdi etter sifrenes plassering.

7 6

Lag to ulike desimaltall med alle sifrene.

d) Hva er differansen mellom desimaltallene?

2.8

Oppgave 2.8 Det er viktig at elevene skriver tallene, ikke bare tegnene, i boka si.

Sett inn riktig tegn (<, > eller =). a) 1,000 c)

20,071

e) 50,00

0,989 19,987 55,500

b)

99,999

d)

100 000

f)

4,789

100,000 99,99999 10

8,421

27

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 27

30.01.2017 17.09

Tall og regning 27

Tallinje Å bruke tallinje er en god metode for å visualisere tallene mellom de hele tallene.

hvordan et flersifret tall er bygd opp av siffer og plassverdier. Eksempel: 6723 = 6 · 1000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1

Skriv ulike hele tall og desimaltall på lapper. Bruk et tau som tallinje, og be elevene legge lappene på riktig plass på tallinja, eller heng opp snorer, og la elevene feste lappene med klesklyper.

I enkelte tilfeller skrives også et tall på utvidet form ved bruk av tierpotenser for plassverdiene.

Eksempel: 6723 = 6 · 10³ + 7 · 10² + 2 · 10 + 3 · 100

Du kan også la elevene få en lapp hver og be dem stille seg opp på riktig plass på en tenkt tallinje på gulvet. Utfordre dem til å finne plassene sine uten å snakke sammen.

Desimaltall på utvidet form Et tall som skrives på utvidet form, deles opp slik at vi skiller fra hverandre enere, tiere, hundrere, tusener osv. På mellomtrinnet, også i Radius 6A, sier vi at vi skriver et flersifret tall på utvidet form når vi skriver det som et addisjonsstykke av for eksempel hele tusener, hele hundrere, hele tiere og enere.

Eksempel: 6723 = 6000 + 700 + 20 + 3 Når man skriver et flersifret tall som et addisjonsstykke der leddene er produktene av de enkelte sifrene og deres plassverdi, ser man tydelig

Det samme systemet kan vi bruke for å skrive desimaltall på utvidet form.

Eksempel: 0,4372 = 0,4 + 0,03 + 0,007 + 0,0002 Skrevet som addisjonsstykke der leddene er produkter av de enkelte sifrene og deres plassverdi: 0,4372 = 4 · 0,1 + 3 · 0,01 + 7 · 0,001 + 2 · 0,0001 Skrevet med tierpotenser for plassverdi: 0,4372 = 4 · 10−1 + 3 · 10−² + 7 · 10−3 + 2 · 10−4 Et blandet tall, for eksempel 532,489, skrevet på de tre formene blir da slik: 532,489 = 500 + 30 + 2 + 0,4 + 0,08 + 0,009 532,489 = 5 · 100 + 3 · 10 + 2 · 1 + 4 · 0,1 + 8 · 0,01 + 9 · 0,001 532,489 = 5 · 10² + 3 · 10 + 2 · 100 + 4 · 10−1 + 8 · 10−2 + 9 · 10−3 12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Oppgave 2.9 I denne oppgaven opplever elevene at det ikke er heltallsløsninger for plassering av enkelte av tallene (c, d og e).

2.9

Hvilket tall skal stå der pila peker?

0

2.10

d)

e)

1000

f) 1500

0,009

0,50

0,9

0,750

0

Oppgave 2.12 Oppgaven viser om eleven har forståelse for plassverdisystemet.

1

2.11

Skriv tallene på utvidet form. a) 47,176 b) 813,971 c ) 607,1 d) 16,783 e) 0,785 f ) 37,067

2.12

Regn ut. a) 200 + 30 + 7 + 0,9 +0,01 = c ) 40 + 6 + 0,9 + 0,01 + 0,005 = e) 3000 + 500 + 70 + 0,9 =

2.13

Skriv tallene som mangler. Uttrykkene skal stå på utvidet form. a) 4000 +

+ 70 +

b) 70 000 + 5000 + c)

Tall på utvidet form: 23,784 = 20 + 3 + 0,7 + 0,08 + 0,004

b) 700 + 50 + 0,7 + 0,08 = d) 100 + 7 + 0,9 + 0,06 = f ) 500 + 1 + 0,06 + 0,008 =

+ 0,7 + 0,06 + 0,001 = 4573,761 + 60 +

+ 0,7 +

= 75 368,79

= 40 000 + 5000 + 8 + 0,7 + 0,03 + 0,005

d) 78 924,45 = 70 000 + 8000 +

+

+ 4 + 0,4 +

28

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 28

Tall og regning

500

0,24

Oppgave 2.11 Det kan være lurt å repetere desimaltall på utvidet Figur A form med elevene før de løser denne oppgaven. Les Areal om desimaltall på utvidet Omkrets form øverst på siden.

28

c)

Tegn en tallinje fra 0 til 1. Plasser tallene på tallinja.

Oppgave 2.10 I denne oppgaven er rekkefølgen viktigere enn nøyaktig plassering på tallinja.

Oppgave 2.13 Vær oppmerksom dersom noen elever for eksempel skriver 5 i stedet for 500 på den første tomme plassen i oppgave a). Sannsynligvis strever disse elevene fortsatt med å forstå plassverdisystemet fullt ut.

b)

a)

30.01.2017 17.09

Vi ser tydelig at for hver plass vi beveger oss mot venstre, øker verdien på plassen med en tierpotens, og for hver plass vi beveger oss mot høyre, minker verdien på plassen med en tierpotens, på begge sider av komma.

Hemmelig tall 1 • Tallet er større enn 2 og mindre enn 5.

• Sifferet på enerplassen er det dobbelte av sifferet på hundredelsplassen.

• Sifferet på tusendelsplassen er én mindre enn sifferet på enerplassen.

• Sifferet på tidelsplassen er det dobbelte av sifferet på tusendelsplassen.

Forklaring Eva har spart 2 stk. 1000-kronesedler 2 stk. 500-kronesedler 5 stk. 100-kronesedler 7 stk. 50-kronesedler 5 stk. 20-kroninger 4 stk. 5-kroninger

47

35

2.14

kr

Oppgave 2.14 En oppgave i kontekst hvor elevene regner med mynter, sedler og store tall. Elevene møter også 50 % avslag som halv pris i oppgaven.

Eva ønsker å kjøpe ny tv. a) Hvor mange kroner har Eva? b) Hvor mange kroner har Eva igjen hvis hun kjøper tv-en på bildet? c)

Hvor mange kroner mangler Eva for å kjøpe en tv til 5199 kr?

d) En tv som koster 8456 kr, er på salg og har 50 % avslag på prisen.

Har Eva nok penger til å kjøpe denne tv-en?

2.15

Sammen I denne oppgaven møter elevene 50 % avslag som halv pris.

Oldefaren til Jesper ble født ett år før 1900. a) Når ble han født? b) Oldefaren til Jesper døde det året han fylte 90 år.

Hvilket år døde han? c)

Oppgave 2.15 En oppgave i kontekst hvor elevene regner med årstall.

Hvilket år ville oldefaren til Jesper fylt 100 år?

Sammen På salg er det 50 % avslag på prisen på varene nedenfor. r

280 k

r

360 k

r

898 k

r

498 k

Hvor mye koster hver av varene på salg?

Omtrent hvor mye må du betale til sammen dersom du kjøper en av hver?

29

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 29

30.01.2017 17.09

Tall og regning 29

Avrundingsregler for desimaltall Når du skal runde av et desimaltall til et helt tall eller til et tall med færre desimaler, gjelder følgende regler:

Eksempel: 42,3628 skal rundes av til et tall med to desimaler.

42,3628 ≈ 42,36

Når du skal avrunde et desimaltall til et helt tall, se på tidelen når du runder av.

Eksempel: 75,2483 skal rundes av til et tall med to desimaler.

75,2483 ≈ 75,25

Når tidelen er 0, 1, 2, 3 eller 4, beholdes heltall, og desimalene sløyfes.

Eksempel: 354,31 ≈ 354

I disse eksemplene er det tusendelen som bestemmer om hundredelen skal beholdes eller økes med 1.

Når tidelen er 5, 6, 7, 8 eller 9, økes heltallet med 1, og desimalene sløyfes.

Noen ganger kan vi se at elevene blir i tvil når de for eksempel skal runde av 5,4998 til nærmeste hele tall. Men regelen gjelder også her. Det er sifferet 4 som bestemmer at heltallet beholdes, selv om tidelen ville blitt 5 om man rundet av til et tall med en desimal først.

5,4998 ≈ 5

Eksempel: 523,72 ≈ 524 Når du skal runde av et desimaltall til et tall med færre desimaler, må du se på sifferet på plassen til høyre for det antall desimaler du skal runde av til.

Er sifferet på plassen til høyre 0, 1, 2, 3 eller 4, beholdes forrige siffer.

Er sifferet på plassen til høyre 5, 6, 7, 8 eller 9, økes forrige siffer med 1.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Les om avrundingsregler for desimaltall og om antall desimaler i måltall øverst på siden.

Avrunding av desimaltall Samtale Kari og Johan baker hver sin kake.

I oppskriften står det at de trenger 1,5 kg hvetemel hver. Kari måler opp 1,572 kg hvetemel, og Johan måler opp 1,491 kg hvetemel.

Denne samtalen tar utgangspunkt i en praktisk situasjon. De to elevene på rasteret skal måle opp 1,5 kg hvetemel. Snakk med elevene om hvordan de vil gå fram for å veie opp 1,5 kg hvetemel. Hva slags vekt kan elevene ha brukt? Oppskrifta angir en målenøyaktighet med én desimal. Finn ut hva elevene kan om avrunding.

Hvem at de to elevene Figur A har veid opp en masse som svarer til 1,5 kg?

Areal

Hvem av dem kan si at han har målt opp 1,5 kg hvetemel?

Hvordan vil dere runde av 1,491 kg til én desimal?

Hvordan vil dere runde av 1,572 kg til én desimal?

Når vi skal runde av til én desimal, ser vi på hundredelsplassen.

Hvilken plass ser vi på dersom vi skal runde av til et helt tall?

Er sifferet 0, 1, 2, 3 eller 4, runder vi av nedover. Hvordan må vi runde av dersom sifferet er 5, 6, 7, 8 eller 9?

Omkrets

2.16

Oppgave 2.16 og 2.17 Tall med to desimaler som skal plasseres inn på tallinje og avrundes til én desimal og til hele tall.

Tegn tallinja, og plasser tallene.

5,75

5,70

2.17

5,94

5,80

6,15

5,90

5,87

6,00

5,95

6,10

Bruk oppgaven over. a) Rund av tallene til én desimal. b) Rund av tallene til hele tall.

30

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 30

30

Tall og regning

30.01.2017 17.09

Antall desimaler i måltall Når det gjelder måltall (tall som står foran en måleenhet), er det vanlig å oppgi disse slik at måleusikkerheten ligger i siste desimal. Hvis vi for eksempel oppgir lengden 7,5 m, ligger måleusikkerheten i tidelen (dm). Vi kan ikke si om 7,5 m er større, mindre eller lik for eksempel 7,48 m. 7,5 m som avrundet tall kan være alt fra 7,45 m til 7,54 m. Det kan altså være enten større, mindre eller lik 7,48 m. For å kunne uttale oss om størrelsesforholdet mellom måltall må de oppgis med samme antall desimaler.

En vanlig misoppfatning hos elever om desimaltall er for eksempel at desimaltallet 3,14 er større enn 3,4. Hvis vi oppgir disse tallene med samme antall desimaler, vil de derimot se at 3,40 er større enn 3,14. Noen ganger er det nødvendig å oppgi tall med ulikt antall desimaler til sammenlikning for å avsløre om noen elever sliter med slike misoppfatninger.

Til slike sammenlikninger bør vi bruke reine tallstørrelser og ikke måltall.

Hemmelig tall 2 • Sifferet på enerplassen er halvparten av sifferet på tidelsplassen.

• Sifferet på tusendelsplassen er tre ganger sifferet på tidelsplassen.

• Sifferet på hundredelsplassen er det minste oddetallet.

Forklaring 2.18

2.19

Rund av til én desimal. a) 2,78 b) 6,86 c ) 9,08 d) 15,93 e) 15,96 f ) 100,09

For sifrene 1, 2, 3 og 4 runder vi av nedover.

Oppgave 2.18–2.20 Avrundingsoppgaver.

For sifrene 5, 6, 7, 8 og 9 runder vi av oppover.

Rund av til et helt tall. a) 34,78 b) 147,47

c)

199,456

2.20

Rund av til hele kroner. a) 97,56 kr b) 124,45 kr

c)

1078,45 kr d) 0,78 kr

2.21

Rund av til hele kroner, og regn ut. a) 47,80 kr + 52, 30 kr = b) 198,71 kr + 10,49 kr = c ) 245,37 kr + 300,19 kr = d) 1000,49 kr + 49,72 kr =

2.22

Jesper kjøper varene ved siden av. a) Regn ut, og rund av svaret til hele kroner.

Oppgave 2.21 Kronebeløpene skal avrundes før de adderes.

Elevene skal ikke regne ut nøyaktig svar, bare avrundet beløp.

d) 199,743

Oppgave 2.22 Ettersom vi bare har hele kroner og Jesper skal betale med penger, rundes beløpet av til hele kroner før det i b) regnes ut hvor mye han får tilbake.

16,90 kr

b) Jesper betaler med 100 kr.

Hvor mye får han tilbake?

17,

50

r ,80 k

kr

9

Sammen La elevene drøfte begrepene overslag og avrunding og finne ut når de bruker avrunding, og når de bruker overslag. Etterpå kan de legge fram i plenum hva de har kommet fram til.

Sammen Når er det nyttig å bruke avrunding?

Når er det nyttig å bruke overslag?

31

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 31

30.01.2017 17.09

Tall og regning 31

Addisjon og subtraksjon av desimaltall på tallinje Mange elever opplever addisjon og subtraksjon av desimaltall som vanskelig. Vi har tidligere vist hvordan de kan overføre regnestrategier som de behersker for tosifrede tall, til å gjelde for desimaltall. Allikevel syns mange det er enda vanskeligere å regne med tall som har desimaler.

Det kan være til god hjelp for elevene å bruke tallinje og tom tallinje når de arbeider med addisjon og subtraksjon av desimaltall. Etter å ha regnet litt på tallinje vil de fleste kunne gå raskt over til å bruke tom tallinje.

En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt.

Det er kun en arbeidstegning for elevene. Tom tallinje skal være fleksibel, noen elever trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg om gangen.

Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningsstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler. De velger selv hvilke sprang de bruker på tallinja.

Den visualiseringen som den tomme tallinja gir, gjør det enklere for elevene å finne sprang som er hensiktsmessige.

Eksempel: 1,5 + 2,2 = 3,7 + 2,0

+ 0,2

1,5

3,5 3,7

Eksempel: 3,7 − 2,2 = 1,5 Noen elever vil telle nedover, og noen elever vil telle oppover for å finne svaret. + 0,2

+ 2,0

1,5 1,7

3,7

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Snakk med elevene om at det er nyttig å gjøre et overslag før addisjon og subtraksjon med desimaltall. Med desimaltall blir det mange siffer i addisjonene/subtraksjonene, og med ulikt antall siffer i regnestykkene er det mye som kan gå feil.

Har man først gjort et overslag, er det raskt å sjekke at svaret man kommer fram til, er sannsynlig.

Oppstilling – addisjon og subtraksjon Samtale Hadia har to hunder.

Hvor mye veier hundene til sammen?

Jeg gjør et overslag først.

43 + 23 = 66

Tassen 22,87 kg

Popsy 42,58 kg 1

1

4 2,5 8 + 2 2,8 7 = 6 5,4 5

Eksemplene på rasteret viser repetisjon av oppstilling av addisjon med Figurog subtraksjon A desimaltall. Spør elevene hva det er viktig å huske Areal på når man stiller opp desimaltall på denne måten.

Omkrets Se teori øverst på siden. Eksemplene viser minnetall og veksling.

Svar: Hundene til Hadia veier til sammen 65,45 kg.

Var overslaget langt unna det virkelige svaret?

Hva betyr ett-tallene som står over tidelsplassen og enerplassen?

Hvor mye mer veier Popsy enn Tassen?

10

10

4 2,5 8 - 2 2,8 7 = 1 9,7 1

Jeg gjør et overslag først.

42 - 22 = 20

Svar: Popsy veier 19,71 kg mer enn Tassen.

Hva betyr ti-tallene som står over tidelsplassen og enerplassen?

32

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 32

32

Tall og regning

30.01.2017 17.09

Oppstilling av addisjon og subtraksjon med desimaltall Addisjon og subtraksjon med desimaltall følger samme framgangsmåte som addisjon og subtraksjon med flersifrede hele tall.

Oppstilling av addisjon med standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, slik at sifrene med lik plassverdi blir stående under hverandre.

Sifrene på de ulike plassverdiene adderes hver for seg med minnetall.

Når vi stiller opp addisjons- og subtraksjonstykker med flersifrede hele tall, må vi være nøye med å få sifrene med samme plassverdi rett under hverandre. Det samme gjelder for desimaltall, og da blir desimaltegnene (kommaene) også stående rett under hverandre.

Eksempel: 12,78 + 31,46 = 1 1 12,78 + 31,46 = 44,24 ______

Det er viktig å poengtere nettopp dette overfor elevene, at det er plassverdiene som må stå rett under hverandre. I praksis har vi lett for å si, som en huskeregel, at «kommaene må stå under hverandre», men forståelsen ligger i at det er sifrene med lik plassverdi som må stå under hverandre.

At desimaltegnene da blir stående under hverandre, er en naturlig følge av dette.

Oppstilling av subtraksjon med standardalgoritme Tallene stilles opp under hverandre, slik at sifrene med lik plassverdi blir stående under hverandre.

Sifrene på de ulike plassverdiene subtraheres hver for seg. Der det er nødvendig, må vi veksle.

Eksempel: 3,64 − 2,56 10

3,64 − 2,56 = 1,08

Forklaring 2.23

2.24

Regn ut. a) 45,3 + 73,9 = d) 8,46 - 3,78 =

b) 12,54 + 38,43 = c ) 457,6 + 916,7 = e) 45,48 - 26,72 = f ) 76,84 - 36,98 =

Oppgave 2.23 Oppfordre elevene til å gjøre overslag før de regner ut.

Sigurd sykler 17,6 km på lørdag og 22,8 km på søndag. a) Hvor langt sykler han til sammen de to dagene? b) Hva er differansen mellom antall kilometer han sykler lørdag og søndag?

2.25

32

Hege handler varene til høyre. a) Hvor mye betaler hun for varene?

8k

r

b) Hege hadde 950 kr. Hvor mange kroner har hun etter at hun har betalt varene?

2.26

2.27

Regn ut. a) 478 578 + 967 378 = c ) 1 000 000 - 450 000 =

Oppgave 2.24 og 2.25 Addisjons- og subtraksjonsoppgaver i kontekst, det er fortsatt like viktig å gjøre overslag før oppstilling og utregning.

275

kr

Oppgave 2.26 Addisjon og subtraksjon av store tall.

b) 1 278 457 + 457 837 = d) 789 304 - 478 652 =

Oppgave 2.27 For å løse denne oppgaven må elevene ha forståelsen av at verdiene på begge sider av likhetstegnet må være de samme.

Hvilket tall mangler? a) 458 + d)

= 1248 b) 1487 = 874 +

- 476 = 839

e) 72,3 - 37,2 =

c)

= 78,3 + 92,4

f ) 15,47 =

- 2,83

Sammen Hvordan regner dere ut oppgavene nedenfor?

5 0 0 6 - 1 3 8 7 =

nerplassen?

Sammen I denne sammenoppgaven møter elevene subtraksjon med veksling over null. Se teori på neste side.

6 4,0 0 - 3 7,8 8 = ,

33

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 33

30.01.2017 17.09

Tall og regning 33

Subtraksjon med veksling over null Når vi bruker det vi kaller standardalgoritmen i subtraksjon, stilles tallene opp under hverandre kolonnevis etter plassverdi, enere under enere, tiere under tiere osv. Elevene subtraherer tallene kolonnevis og reflekterer ikke alltid over hva som foregår. Så lenge det øverste sifferet i kolonnen er større enn det nederste, går det greit for de fleste.

Problemet oppstår når det øverste sifferet er mindre enn det nederste. Noen elever «løser problemet» med å snu regneretningen og subtraherer konsekvent det minste sifferet fra det største, en strategi som viser at eleven ikke forstår algoritmen.

Eksempel:

For å kunne utføre kolonnevis subtraksjon når det øverste sifferet i kolonnene er mindre enn det nederste, må eleven ha full forståelse for plassverdisystemet og være innforstått med veksling eller omgruppering. Tallets verdi forandrer seg altså ikke om vi for eksempel veksler en tier i ti enere og flytter disse til enerkolonnen.

Eksempel: 450 − 302 = 10

450 – 302 = 148

Streken over femtallet forteller oss at vi har flyttet en tier fra tierkolonnen, det er altså fire igjen, denne tieren er vekslet til ti enere og flyttet til enerkolonnen. Vi har foretatt en veksling eller omgruppering. Tallet i øverste rad (minuenden) kan nå leses som 4 hundrere, 4 tiere og 10 enere, 400 + 40 + 10 = 450. Tallets verdi har ikke endret seg.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Før elevene regner oppgavene på denne siden, kan dere gjerne gjennomføre en samtale om veksling over null. Se teori øverst på siden.

2.28

408 124,7 98,4

2.29

Oppgave 2.28 I regnepyramide b) møter elevene veksling over null hvis de velger å stille opp kolonnevis og subtrahere.

Fyll ut tallene som mangler i regnepyramidene. a) b) 73,9

947 289

Synne fikk 2400 kr til bursdagen sin.

Hun har lagd et budsjett over hva hun skal kjøpe. a) Hvor mye koster varene til sammen? b) Hvor mange kroner har hun igjen av bursdagspengene etter at hun har betalt for alle varene i a)?

Oppgave 2.29–2.31 Oppgaver i kontekst med sammensatte problemstillinger. Elevene måA utføre både addisjon Figur og subtraksjon for åAreal komme fram til det oppgavene spør etter.

Omkrets

2.30

Familien til Raja handler i London. De betaler i pund (£). �1

5,8

� 180

,40

� 86

,70

�4

4,8

0

�7

0

�7

8,8

0

3,8

0

a) Raja kjøper genseren og buksa. Hvor mye betaler han til sammen? b) Maria kjøper genseren og skoene. Hvor mye betaler hun til sammen? c)

Maria betaler med £ 200. Hvor mye får hun igjen?

d) Omtrent hvor mye koster alle varene på tegningen til sammen? e) Hvis du må betale 13 kr for £ 1, hvor mye betaler du for alle varene til sammen i kroner?

34

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 34

34

Tall og regning

30.01.2017 17.09

Etter denne vekslingen/omgrupperingen kan subtraksjonen utføres kolonnevis.

Enerkolonnen: 10 − 2 = 8 Tierkolonnen: 4 − 0 = 4 Hundrerkolonnen: 4 − 3 = 1 Det neste problemet oppstår når sifferet i kolonnen hvor det skal veksles, er 0. Hvis sifferet for eksempel i tierkolonnen er 0, er det ingen tier som kan veksles.

Da må vi gå til neste kolonne, hundrerkolonnen, flytte en hundrer, veksle den til 10 tiere og flytte den til tierkolonnen. Nå er det altså 10 tiere i tierkolonnen, og vi kan flytte en av disse tierne, veksle den i ti enere og flytte den til enerkolonnen.

Tallet i øverste rad (minuenden) kan nå leses som 4 hundrere, 9 tiere og 12 enere, 400 + 90 + 12 = 502.

Tallets verdi har ikke endret seg.

Etter denne vekslingen/omgrupperingen kan subtraksjonen utføres kolonnevis.

Enerkolonnen: 12 − 4 = 8 Tierkolonnen: 9 − 7 = 2 Hundrerkolonnen: 4 − 2 = 2

Eksempel: 502 − 274 = 1010

502 – 274 = 228

Forklaring 2.31

Familien Olsen vinner 1 075 487 kr i lotto. a) Familien setter inn 500 000 kr i banken.

Hvor mange kroner har de igjen å bruke?

Oppgave 2.32 Mange elever vil oppleve slike oppgaver som veldig krevende, spesielt der det er minnetall og veksling.

b) Familien bestiller en tur til Amerika som koster 55 478 kr. Med lommepenger regner de med å bruke 98 000 kr.

Hvor mye regner de med å bruke i lommepenger? c)

2.32

Hvilke sifre mangler? a)

2.33

Familien kjøper en ny bil som koster 378 540 kr.

Resten av pengene de ikke har satt i banken, gir de til et veldedig formål. Hvor mange kroner gir familien til et veldedig formål?

4 7 8 9 4 + 3 = 5 5

Regn ut. a) 487 317 + 1074 =

b)

8 4 0 3 9 - 4 6 = 1 4

b)

c)

c) 4783 1097 + 7839 =

473,45 784,09 + 1048,64 =

Oppgave 2.33 Minn elevene på at det er lurt å gjøre overslag før de regner ut disse oppgavene.

Sammen Tallfølger med negative tall. Spør elevene om tallfølgene har stigende eller synkende verdi, og la elevene argumentere for svaret sitt.

4 3 9 ,3 - 3 7 ,2 9 = 1 ,0 9

d) 1078,3 897,4 + 9781,7 =

Sammen Hvilke tall mangler i tallfølgene?

• -2, -2, -4, -6, -10, • - 45, - 60,

, -26,

, -135, -195,

, -360

35

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 35

30.01.2017 17.09

Tall og regning 35

Strategier for å løse tekstoppgaver Mange elever sliter med å løse tekstoppgaver. Selv om oppgavene kan løses med enkle regneoperasjoner, ser det ut til at mange elever mangler strategier for hvordan de skal angripe en tekstoppgave. Mange har også problemer med å analysere selve teksten og forstå hva den egentlig spør etter.

Det kan være lurt å øve på dette sammen med elevene.

•• Be elevene lese oppgaven nøye og gjenta med egne ord hva oppgaven går ut på.

•• Lag en tegning eller en modell av hva oppgaven går ut på.

•• Spør elevene hva omtrent de tror svaret blir (overslag).

•• Regn ut.

•• Sjekk om svaret blir omtrent det dere trodde.

•• Skriv svarsetning.

Til punkt 1. Når elevene blir bedt om å gjenta hva oppgaven går ut på, med egne ord, blir de nødt til å tenke over hva teksten egentlig handler om. Klarer de dette, er det ikke avkodingen av teksten de strever med.

Til punkt 2. Mange elever ser hvordan oppgaven skal løses, når de prøver å tegne eller lage modell av problemstillingen. Dette er en svært nyttig strategi da den bringer problemstillingen over i det

halvkonkrete eller halvabstrakte nivået. De elevene som ikke klarer å omsette problemstillingen til tegning eller modell, kan få prøve med konkreter dersom oppgaven egner seg til det.

Til punkt 3. Etter å ha lagd tegning eller modell skal det være mulig for elevene å gjøre et overslag som fører til omtrentlig forventet svar på oppgaven.

Dette er en viktig del av prosessen som ofte blir hoppet over. Den hjelper også elevene til å tenke på nytt hvis de velger feil regneart eller har gjort feil i utregningen og får et svar som er langt fra det de trodde det skulle bli. Dette er spesielt nyttig når de får vanskeligere oppgaver, som for eksempel multiplikasjon med desimaltall. Et overslag vil hjelpe elevene til å se hvor komma skal plasseres.

Til punkt 4. Nå kan elevene foreta utregningen.

Til punkt 5. Hvis svaret ikke er i nærheten av overslaget, må elevene gå tilbake og se hvorfor det er slik. Stemmer overslaget? Stemmer regnearten i utregningen overens med den elevene benyttet seg av i overslaget? Er utregningen korrekt utført?

Til punkt 6. Elevene skal skrive en svarsetning med egne ord. Setningen skal gi svar på hva det spørres etter i oppgaven, og den skal inneholde benevning.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Les om strategier for å løse tekstoppgaver og om thinking blocks øverst på siden.

Tekstoppgaver med modeller

Samtale Jonas har lest 328 sider. Det er 124 flere sider enn det Per har lest.

Hvor mange sider har Per lest?

Snakk sammen om oppgaveteksten. Den kan være vanskelig å forstå for en del elever. Tegn opp boksene, og bli enige om hva som skal stå hvor, og hvor opplysningene fins i oppgaveteksten. Finn ut sammen hvor mange sider Per har lest.

Per

2.34

Tall og regning

124

Martin sitt puslespill har 420 brikker. Det er 175 flere brikker enn Inger sitt puslespill. Hvor mange brikker har Inger sitt puslespill? Gjør ferdig modellen, og regn ut.

Martin Inger

2.35

2.36

En Qphone koster 7050 kr.

Det er 2437 kr dyrere enn en Zipp mobil.

Hvor mye koster en Zipp mobil?

Tegn ferdig modellen, og regn ut.

Nila har 2470 kr. Det er 324 kr mer enn hva Mona har.

Hvor mange kroner har Mona? Tegn en modell, og regn ut.

36

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 36

36

?

Vi har tegnet en modell. Hva betyr 328 og 124?

Hva betyr spørsmålstegnet i modellen?

Hva er svaret på spørsmålet?

Hvor mange sider har guttene lest til sammen?

Oppgave 2.34–2.36 Figur A I de to første oppgavene Areal har vi tegnet eksempel på modeller som elevene kan kopiere i bøkene sine før Omkrets de fyller ut opplysningene på riktig plass og regner ut. I oppgave 2.36 tenker vi at elevene selv tegner modellen. Problemstillingen er helt lik i alle tre oppgavene.

Samtale Snakk sammen om oppgaveteksten. Denne oppgaven har en sammensatt problemstilling og kan være vanskelig å forstå for en del elever. Tegn opp boksene, og bli enige om hva som skal stå hvor, og

328

Jonas

30.01.2017 17.09

Vi gir et eksempel på en divisjonsoppgave da det ofte er divisjon elevene strever mest med å forstå.

Strategien blir den samme, poenget er at elevene skal finne ut av problemet og velge riktig regneart.

Eller elevene tegner en modell.

18 ?

Liv, Tor og Asma skal dele 18 plommer likt.

Hvor mange plommer får hver av dem?

1. Elevene sier for eksempel: «Jeg skal finne ut hvor mange plommer hvert av barna får.»

2. Elevene tegner de tre barna og de 18 plommene eller symboler for dette.

– 3

– 3

– 3

?

?

3. Hvis elevene ikke allerede har kommet fram til svaret, kan de for eksempel si at det blir mer enn 5 og mindre enn 10.

4. Regnestykke: 18 : 3 = 6 eller elevene bruker tallinje: Elevene tegner en tallinje fra 0 til 18 og hopper med minus tre fra 18 til 0. Eller med pluss tre fra 0 til 18. Det blir seks hopp.

– 3

– 3

–3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Forklaring Samtale Sara har 57 bøker. Det er 27 flere bøker enn det Janne har.

Fred har 12 færre bøker enn Janne. Hvor mange bøker har de tre til sammen?

57

Sara ?

Janne Fred

hvor opplysningene fins i oppgaveteksten. Her er det to bokser med spørsmålstegn i. Det er også ukjent hvor mange bøker de har lest til sammen. I oppgaver med slik problemstilling som dette, vil elevene erfare hvor god hjelp de kan ha av modeller.

?

27

?

12

Oppgave 2.37 Denne oppgaven har nøyaktig samme problemstilling som den i samtalen. La elevene prøve å løse oppgaven ved hjelp av tilsvarende modell som den i samtalen.

Hva betyr spørsmålstegnene i modellen?

Hva vet dere ut fra opplysningene i teksten?

Hva bør dere starte med å regne ut?

2.37

2.38

2.39

Navid har 227 kr. Det er 45 kr mer enn Jonas. Tiril har 20 kr mindre enn Jonas.

Hvor mange kroner har de til sammen?

Tegn en modell, og regn ut.

Hilina, Marte og Trond har Hilina til sammen 2478 kr. Hilina har 1254 kr. Trond har 276 kr mindre Trond enn Hilina. Hvor mange kroner har Marte?

Marte

Oppgave 2.38 Denne oppgaven har en litt annerledes problemstilling, men modellen er gitt.

1254 ?

276

2478

?

Jesper, Sindre og Vegard har til sammen syklet 57,6 km.

Jesper har syklet 25,7 km. Vegard har syklet 7,8 km kortere enn Jesper. Hvor langt har Sindre syklet?

Oppgave 2.39 Denne oppgaven har samme problemstilling som oppgave 2.38. Elevene kan bruke modellen fra denne oppgaven som eksempel når de tegner modell.

37

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 37

30.01.2017 17.09

Tall og regning 37

– eller de bruker fordeling, for eksempel tre ringer for de tre barna og fordeler plommene som kryss, én og én til alle er fordelt.

bokser i samme oppgave representerer samme verdi. Størrelsen på boksene indikerer derimot ikke nødvendigvis riktig forhold mellom verdiene.

Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på boksene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpefigurer i konstruksjonsoppgaver, de hjelper oss til å få oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal finne ut.

5. Svaret er sannsynlig.

6. Svarsetning: Det blir 6 plommer til hver.

Thinking blocks / modeller Thinking blocks eller modeller som vi kaller det i ­Radius, er et visualiseringsverktøy som egner seg godt som hjelpe­middel for elever som har problemer med å forstå tekstoppgaver. Blokkene eller boksene hjelper elevene med å visualisere problemstillingen. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever.

Når vi bruker thinking blocks i grunnbøkene, er det som eksempler på hvordan dette kan gjøres.

I grunnboka bruker vi konsekvent at like store

Etter hvert har thinking blocks fått et større anvendelsesområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Negative tall At et tall kan ha mindre verdi enn null, kan være vanskelig å forstå for en del elever. Null er jo det samme som ingenting, hva kan være mindre enn ingenting? Når man skal angi verdier som er mindre enn null, er det vanlig å vise til det å ha gjeld eller overtrekke bankkonto. De færreste sjuendetrinnselever har noe forhold til dette. Å vise til å låne penger blir også abstrakt og virker forvirrende for en del elever. Har man lånt penger, har man jo penger, og når disse betales tilbake, er man tilbake på null.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Se på denne tallinja sammen. Til høyre for 0 har den tall med positiv verdi, men vi skriver vanligvis ikke pluss foran disse tallene. Til venstre for 0 har den tall med negativ verdi. Vi skriver alltid − foran disse for å markere at disse tallene har negativ verdi.

De har lavere verdi enn 0.

Negative tall

Samtale Tall som har lavere verdi enn 0, kaller vi negative tall.

Negative tall -5

-4

-3

-2

Positive tall -1

1

0

2

3

4

5

Vi skriver minustegn foran negative tall.

Vi bruker negative tall i forbindelse med temperatur.

I hvilke andre sammenhenger bruker vi negative tall?

Er det noen som vet om noe som er mindre enn 0?

Snakk med elevene om tall med negativ verdi.

2.40

Tegn tallinja, og plasser tallene.

0

-12

I hvilke sammenhenger bruker vi negative tall?

(Temperatur, meter under havet og år før Kristi fødsel brukes i oppgavene, elevene har sikkert flere forslag.)

2.41

6

7

1

3

-2

-4

5

-5

-9

-11

Hvilket tall skal stå der pila peker? a) B

A

C

D 0

-2

E

F

2

b)

Oppgave 2.40–2.41 I disse oppgavene skal elevene plassere og identifisere positive og negative tall på tallinja.

B

A -3,5

C -2,5

D

E F -1,5

-0,5

0,5

38

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 38

38

Tall og regning

30.01.2017 17.09

Den mest nærliggende praktiske sammenhengen hvor man bruker negative verdier, handler om temperatur. På Celsius’ temperaturskala, som vi bruker, definerer vi temperaturen ved vannets frysepunkt som 0 grader. Er det varmere, angir vi temperaturen med tall som har positiv verdi, og er det kaldere, angir vi temperaturen med tall som har negativ verdi. Dette kan vi direkte overføre til tallinja og er lett å forholde seg til for elevene.

Hittil på sjuende trinn har elevene bare jobbet med den positive delen av tallinja. Tegn opp en tom tallinje på tavla, start for eksempel på 5, hva skjer hvis vi subtraherer 1?

Elevene vil også møte på negative tall i forbindelse med årstall. I vår tidsregning regner vi tiden i år før og etter Kristi fødsel. Året for Kristi fødsel angis som år null, og årene før dette angis som år med minus foran. For elevene kan det vær lurt å bruke en tom tallinje (tidslinje) når de regner med årstall før og etter Kristi fødsel. Noen har begynt å bruke betegnelsen før vår tidsregning og etter vår tidsregning (fvt. og evt.), men dette er ennå ikke standardisert av Språkrådet. Vi velger derfor å bruke den forkortelsen som er standard for norsk språk, i Radius.

Fortsett med 5 − 2, 5 − 3, 5 − 4, 5 − 5, 5 − 6 …

Elevene vil oppleve at når de subtraherer et tall med større verdi enn utgangspunktet (subtrahenden er større enn minuenden), får de bruk for å oppgi svaret som en negativ verdi.

Forklaring 2.42

Fire elever måler temperaturen på fire steder i Norge.

I tabellen nedenfor kan du se temperaturen målt på de ulike stedene 21.10.2015 kl. 07.00.

Sted

Kristiansand Haugesund

Temperatur

5 °C

2 °C

Bodø

Kirkenes

-3 °C

-9 °C

a) Hvilket sted har lavest temperatur? b) Hvilket sted har høyest temperatur? c)

Skriv temperaturene i rekkefølge fra lavest til høyest.

Oppgave 2.43 I denne oppgaven skal elevene bruke en tidslinje til å løse oppgaven. En tidslinje kan sammenliknes med en tom tallinje. Det er ikke viktig med riktig avstand mellom årstallene, men at de står riktig plassert i forhold til hverandre, og at år 0 er markert på tidslinja.

d) Hva er temperaturforskjellen mellom Kristiansand og Bodø? e) Temperaturen i Kirkenes var 1 °C kl. 14.00 samme dag.

Hvor mange grader hadde temperaturen steget?

2.43

Antikkens olympiske leker ble første gang arrangert i -776. Nåtidens olympiske leker ble arrangert først gang i 1896. Norge arrangerte de olympiske leker i 1952 og 1994. a) Plasser årstallene på en tallinje. b) Hvor mange år er det mellom første gang antikkens olympiske leker ble arrangert og olympiske leker på Lillehammer?

Sammen I denne sammenoppgaven møter elevene tallregning hvor de kommer fram til negativt svar. La elevene forklare hvordan de tenkte da de løste oppgavene.

Sammen • Regn ut oppgavene.

3-1=

3-2=

3-3=

3-4=

Oppgave 2.42 Oppfordre elevene til å bruke tallinje når de løser denne oppgaven. Hvis de overfører opplysningene fra tabellen til en tallinje, vil de ha god hjelp til utregningene.

3-5=

• Hvordan tenkte dere?

• Lag en tekstoppgave som har et negativt tall til svar.

39

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 39

30.01.2017 17.09

Tall og regning 39

Minus som fortegn og minus som regnetegn Elevene er godt kjent med tegnet minus (−) som regnetegn. Når vi kommer til negative tall, bruker vi minustegnet på en annen måte, vi angir tallets verdi med å sette minus foran tallet. Da kaller vi det et fortegn.

Eksempel: I regnestykket −7 − 5 = ser vi minustegnet brukt på begge måter. Minustegnet foran 7 er fortegn, som angir at tallet har negativ verdi.

Minustegnet mellom −7 og 5 er et regnetegn. I dette regnestykket er −7 et negativt tall og 5 et positivt tall, men vi skriver ikke fortegnet + foran positive tall. Det som egentlig står i dette regnestykket, er altså: (−7) − (+5) = En del av en tallinje med positive og negative tall kan se slik ut:

–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 Her bruker vi minustegnet som fortegn for å angi de negative tallene. Vi kan også si at tegnet skal angi det motsatte tallet til et tall: det tallet som ligger like langt fra 0, men på motsatt side på tallinja. Vi

kan si at −5 både er et negativt tall, og at det er det motsatte tallet til 5. Summen av de motsatte tallene blir alltid 0.

Eksempel: −5 + 5 = 0 Det at vi ser på −5 og 5 som motsatte tall, gjør også at det blir mening i å skrive −(−5).

Tallet −5 er både et negativt tall og det motsatte tallet til 5. Ettersom −(−5) er det motsatte tallet til −5, er −(−5) = 5, altså et positivt tall.

Å regne med negative tall på tom tallinje Mange elever syns det er vanskelig å forholde seg til subtraksjonsstykker der subtrahend er større enn minuend.

Eksempel: 3 − 7 = De syns også det er vanskelig når minuend er et negativt tall.

Eksempel: −7 − 5 = Også addisjonstykker oppleves som vanskelige når det første leddet er negativt.

Eksempel: −3 + 8 = 12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring

Figur

2 • Tall og regning

Samtale Denne samtalen viser hvordan vi kan forenkle problemstillingen når vi regner med positive og negative temperaturer ved hjelp av tallinje. Når vi skal finne en differanse, er det naturlig å bruke subtraksjon som regnemetode. I dette tilfellet ville subtraksjonen blitt 7 − (−25) = 32. Dette er en regneoperasjon som er vanskelig å forstå. Ved å bruke tallinje ser vi at 7 − (−25) blir det samme som 7 + 25, eller hvis vi beveger oss fra venstre til høyre på tallinja, 25 + 7 = 32.

Samtale I Harstad er temperaturen -25 °C kl. 07.00. Samme dag og klokkeslett er temperaturen i Oslo 7 °C. Hva er temperaturforskjellen mellom byene? + 25 -25

Tall og regning

0

7

Jeg bruker tom tallinje når jeg regner med negative tall.

Svar: Temperaturforskjellen er 32 °C. Hvorfor starter den tomme tallinjen på -25?

A

2.44

Nedenfor ser du temperaturen i tre ulike byer.

a) Hvilken by har høyest temperatur? b) Hva er temperaturforskjellen mellom Oslo og de andre byene?

2.45

Det høyeste punktet på Hvaler er 72 moh. Hvalertunnelen er på sitt dypeste 120 muh. Hvor stor forskjell er det mellom det høyeste punktet på Hvaler og det laveste punktet i Hvalertunellen?

40

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 40

40

+7

Temperaturforskjellen er 25 + 7 = 32.

Oppgave 2.44 Areal Oppfordre elevene til å bruke tom tallinje når de Omkrets løser denne oppgaven.

Oppgave 2.45 I denne oppgaven møter elevene høydemeter over og under havets overflate. Vi regner havets overflate som 0 moh. (meter over havet). Problemstillingen er den samme som i samtalen og i oppgave 2.44.

Oppfordre elevene til å bruke tom tallinje når de løser oppgaven.

Regne med negative tall

30.01.2017 17.09

Å bruke tom tallinje i regning med negative tall kan være til god hjelp for elevene. De har god trening i at en addisjon eller subtraksjon begynner ved det første tallet, og at den beveger seg til høyre på tallinja når de adderer, og til venstre når de subtraherer.

Ved å bruke denne strategien når de regner med negative tall, er det lettere både å se og forstå hva som skjer i regneoperasjonen.

Eksempel 3: −3 + 8 = 5 + 3

+5

–3 0

5

Eksempel 1: 3 − 5 = −2 – 2

–3

–2 0

3

Eksempel 2: −7 − 5 = −12

–7

–12 –7

0

Forklaring Samtale -24 + 42 = + 24

Jeg bruker tom tallinje når jeg regner med negative tall.

+6 0

-24

Jeg regner -24 + 24 + 6 + 12 på den tomme tallinja.

+ 12 6

18

Hva er svaret på regnestykket?

Hvordan regner dere det ut på den tomme tallinja?

2.46 2.47

Regn ut. Bruk tom tallinje. b) -14 + 8 = a) -4 + 8 = e) -4 - 2 = d) 42 - 78 = Temperaturen er målt kl. 07.00 på de ulike stedene. a) Kl. 12.00 har temperaturen i Kristiansand steget med 3 °C. Hva er temperaturen kl. 12.00? b) Hva er temperaturforskjellen mellom stedet med lavest temperatur og stedet med høyest temperatur kl. 07.00?

2.48

c ) -22 + 87 = f ) -14 - 24 = Sted

Temperatur

Kristiansand

-5 °C

Haugesund

1 °C

Bodø

-13 °C

Kirkenes

-9 °C

Oppgave 2.46 I disse oppgavene skal elevene selv prøve seg på tilsvarende oppgaver på tom tallinje.

Oppgave 2.47 Elevene bør overføre opplysningene fra tabellen til to tallinjer.

Bruk tidslinja nedenfor. Hvor mange år er det siden Tutankhamon ble farao i Egypt -1334 -1500 -1000 -500

Julius Cæsar ble myrdet -44 0

500

1000

1500

2000

a) Julius Cæsar ble myrdet? b) Tutankhamon ble farao i Egypt?

41

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 41

Samtale Elevene har ikke mye erfaring med å starte på et negativt tall på tallinja i addisjon. Det kan være en fordel å bruke et eksempel med enklere tall før dere ser på denne tallinja, for eksempel −3 + 8 =. Etter å ha løst denne oppgaven kan dere se på tallinja på rasteret. Lag flere oppgaver på tavla hvor addisjonen starter på et negativt tall. Lag også noen oppgaver hvor svaret blir negativt, for eksempel − 8 + 3 = . For noen elever kan det være svært forvirrende at en addisjon kan få et negativt svar. Tallinja viser tydelig hvorfor det kan bli slik.

Oppgave 2.48 Elevene vil ha hjelp av tidslinja når de løser oppgaven.

30.01.2017 17.09

Tall og regning 41

Prioritering av regneart Når vi har et regnestykke med mange regneoperasjoner, prioriteres multiplikasjon og divisjon foran addisjon og subtraksjon.

Tallene vi adderer og subtraherer, kaller vi for ledd.

med lappemetoden (se side X). Det vil gi deg oversikt over hvilke elever som fortsatt ikke har dette på plass, og dere har en fin metode for å arbeide videre med forståelsen av dette.

Eksempel: 4 + 2 · 8 − 6 : 3 = Her har vi tre ledd: Første ledd er 4, andre ledd er 2 · 8, og tredje ledd er 6 : 3.

Vi regner først 2 · 8 = 16 og 6 : 3 = 2.

Da får vi dette regnestykket: 4 + 16 − 2 = 18.

Nærmest 200 Dette er et spill hvor elever må kombinere ulike regnearter, addisjon, subtraksjon og multiplikasjon, for å komme fram til et tall som er fornuftig å velge.

Elevene må bruke overslagsregning for å holde styr på resultater.

I et regnestykke som er stilt opp som i eksemplet ovenfor, ser vi ofte at elevene utfører regneoperasjonene i den rekkefølgen som de står oppført. I dette tilfellet vil de da gjøre som følger: 4 + 2 = 6, 6 · 8 = 48, 48 − 6 = 42, 42 : 3 = 14 For å unngå feil og misoppfatninger hos elevene kan det være lurt å lære dem å sette opp multiplikasjonen (eller divisjonen) først, og så addere og/eller subtrahere.

I spillet som vi presenterer her, får de øvelse i dette.

Når dere har jobbet en stund med dette, kan det være nyttig å gi en slik oppgave som elevene løser

Spillet passer for 2–3 elever. De trenger tre terninger (eller tallkortene fra en vanlig kortstokk) og hver sin tabell.

Spiller 1 kaster alle tre terningene eller trekker tre kort.

Spilleren skal lage et regnestykke med alle tallene som terningene/kortene viser, og regneartene multiplikasjon og addisjon eller subtraksjon, alltid multiplikasjon først.

Terningene/kortene viser for eksempel 2, 4 og 5.

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Elevene har tidligere lært at når de har et regnestykke med flere regneoperasjoner, må de multiplisere og dividere før de adderer og subtraherer. Vi sier at de må prioritere regnerekkefølgen.

I samtalen vises et praktisk eksempel hvor elevene skal finne ut hvor mye de skal betale til sammen for tre blyanter, to viskelær og et pennal.

Regneuttrykket får tre Figurledd, og A multiplikasjonene må utføres før leddene kan adderes.

(Se teori øverst Areal på siden.)

Omkrets

Flere regneoperasjoner Samtale Jasmin kjøper tingene nedenfor.

pennal blyant viskelær

124 kr 9 kr per stykk 15 kr per stykk

Nedenfor ser du et regneuttrykk som viser hvor mye hun må betale.

124 kr + 3 · 9 kr + 2 · 15 kr = 124 kr + 27 kr + 30 kr = 181 kr I hvilken rekkefølge er regneoperasjonene utført?

Regn ut.

24 - 5 · 2 + 4 · 3 =

2.49

Hvis vi ikke bruker multiplikasjon, men adderer alle prisene, får vi: 124 kr + 9 kr + 9 kr + 9 kr + 15 kr + 15 kr = 181 kr. Dette kan dere bli enige om.

Still opp uttrykket med multiplikasjoner: 124 + 3 · 9 + 2 · 15 = , og be elevene regne ut. De som ikke prioriterer regnerekkefølge, vil få feil svar.

Analyser hvorfor det blir slik.

Regn ut.

8 kr

r

12 k

10

a)

b)

2 · 12 + 2 · 10 + 8 =

4 · 12 + 10 + 5 · 8 =

kr

c)

6 · 12 + 2 · 10 + 4 · 8 =

d) Jesper kjøper 3 epler, 5 pærer og 1 appelsin.

Skriv regnestykket, og regn ut.

42

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 42

42

Tall og regning

30.01.2017 17.09

Følgende regnestykker er da mulig: 4 · 5 + 2 = 22 eller 4 · 5 − 2 = 18 eller 4 · 2 + 5 = 13 eller 4 · 2 − 5 = 3 eller 5 · 2 + 4 = 14 eller 5 · 2 − 4 = 6 Spiller 1 fører regnestykke og svar inn i sin tabell.

Kast

Regnestykke

Svar

1

4·5−2

18

2

6·3+3

21

3

Spiller 2 kaster terninger / trekker kort, lager et regnestykke og fører inn i sin tabell.

4

Spillerne kaster etter tur 10 ganger hver.

5

Etter 10 kast summeres svarene. Den som kom nærmest 200, har vunnet.

6

Eksempel: Første kast: 2, 4 og 5, regnestykke 4 · 5 − 2 = 18

8

Neste kast: 3, 3 og 6, regnestykke 6 · 3 + 3 = 21

10

7 9 Sum

Forklaring 2.50

2.51

Regn ut. a) 4 + 2 · 3 = d) 10 - 2 · 3 =

b) 2 · 2 + 3 · 3 + 1 = e) 100 - 5 · 10 + 2 =

c) f)

Lag regneuttrykk, og regn ut. a) Per kjøper én brus, to is og én tyggegummi. b) Eva kjøper to tyggegummier, én brus og tre is. c)

15 + 15 · 3 + 2= 42 - 2 + 4 · 8 =

Oppgave 2.51 Regneuttrykkene er stilt opp for elevene, og de har støtte i illustrasjonen.

Prisliste brus…….…….. 29 kr is……………….. 14 kr tyggegummi…. 9 kr

Oppgave 2.52 Regneuttrykk med bare tall, legg merke til hvilke elever som ikke tar i bruk regelen om regnerekkefølge. Disse trenger mer hjelp til å forstå.

Omar kjøper to brus, tre tyggegummier og to is.

d) Dina lager dette regneuttrykket som viser hva hun har kjøpt.

2 · 9 + 5 · 14 + 29 =

Oppgave 2.53 og 2.54 Elevene skal lage regneuttrykk og regne ut.

Hva har Dina kjøpt, og hva må hun betale? r

25 k

2.52

Jørgen har 100 kr. Han kjøper to jusbokser.

Han skriver dette regneuttrykket

15 k

r

100 - 2 · 15 = a) Regn ut hvor mange kroner Jørgen har igjen.

Sammen I denne sammenoppgaven møter elevene på parenteser. La dem forklare hvordan de tenker.

b) Ane har 150 kr og kjøper tre is. Lag et regneuttrykk som viser hvor mange kroner Ane har igjen.

Sammen 2 · 4 + (8 - 7) - (7 - 0) • I hvilken rekkefølge må vi regne ut leddene ovenfor?

• Regn ut regneuttrykket.

43

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 43

30.01.2017 17.09

Tall og regning 43

Regning med parenteser i addisjon og subtraksjon Noen ganger er det hensiktsmessig for måten vi tenker på, å la ett eller flere ledd i en addisjon eller subtraksjon bestå av en parentes med et regneuttrykk inne i parentesen.

Eksempel: Knut har 50 kr, han kjøper en brus til 19 kr og en bolle til 8 kr. Hvor mange kroner har han igjen etter innkjøpet?

Ofte gis slike oppgaver med to problemstillinger: a) Hvor mange kroner betaler han?, og b) Hvor mange kroner har han igjen? Elevene adderer da først 19 kr + 8 kr = 27 kr, som gir svar på a), for så å subtrahere 50 kr – 27 kr = 23 kr, som gir svar på b).

Når oppgaven gis som over med én problemstilling, kan de enten gjøre den samme mellomregningen, eller de kan sette opp et regnestykke som gir svaret direkte. For å følge samme tankegang som over kan vi lage et regneuttrykk med parentes: 50 kr − (19 kr + 8 kr) =

50 kr − 27 kr = 23 kr

I dette eksemplet ser vi at vi må addere inne i parentesen før vi subtraherer.

Vi kan også tenke på en annen måte: Knut har 50 kr, han kjøper en brus til 19 kr (−19 kr) og en bolle til 8 kr (−8 kr). Vi setter det opp som en subtraksjon med tre ledd: 50 kr − 19 kr − 8 kr = 23 kr Vi har tatt med noen oppgaver her i Radius 7 for at elevene skal venne seg til å regne ut det som står inne i en parentes først. Dette er en forståelse som det er nyttig at elevene har når de møter mer komplisert algebra i ungdomsskolen.

I regneuttrykk som inneholder for eksempel både addisjon og multiplikasjon, har elevene lært at de skal multiplisere før de adderer. Dette er bare en del av regelen om prioritering av regneart eller regnerekkefølge. Hele regelen for prioritering av regneart er slik: •• parenteser •• potenser (Dette møter ikke elevene før på ungdomstrinnet.)

•• multiplikasjon og divisjon •• addisjon og subtraksjon 12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Samtale Les om regning med parenteser i addisjon og subtraksjon øverst på siden.

Regne med parenteser i addisjon og subtraksjon

Samtale Anna har 450 kr. Hun kjøper genseren og skjerfet nedenfor.

For å regne ut hvor mange kroner hun har igjen, skriver Anna dette regneuttrykket:

Snakk med elevene om hvordan de tenker når de skal finne ut hvor mange kroner Anna har igjen når hun har kjøpt genseren og skjerfet. Dere blir helt sikker enige om at uansett hvordan dere tenker, så har hun igjen 150 kr etter innkjøpet.

40 - (8 + 2) =

2.53

Hva skjer hvis vi skriver dette uten parentes i uttrykket? Jo, svaret blir feil. Hvorfor blir svaret feil?

Finn ut hvordan vi kan uttrykke det samme uten å bruke parentes.

Tall og regning

kr

2.54

(40 - 8) + 2 =

Regn ut. a) 140 - (100 + 20) = b) (140 - 100) + 20 = c ) 400 - (220 + 20) = d) (400 - 220) + 20 =

Husk!

Regn ut parenteser før addisjon og subtraksjon.

Oda har 500 kr. Hun kjøper en lue til 100 kr og en hårbørste til 80 kr.

Hvor mange kroner har Oda igjen?

Velg riktig regneuttrykk, og regn ut.

A (500 - 100) + 80 =

B 500 - (100 + 80) =

C 500 - (100 - 80) =

44

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 44

44

50

Lag en tekstoppgave til hvert regneuttrykk.

Regneuttrykket med Figur parentes Aer en måte å formalisere tanken om at det hunAreal har igjen etter innkjøpet, er det hun hadde, minus det hun har handlet for.

Omkrets

Oppgave 2.53 I denne oppgaven skal elevene praktisere det de lærte i samtalen.

250 kr

450 - (250 + 50) =

Forklar regneuttrykket til Anna.

I hvilken rekkefølge må Anna regne ut?

30.01.2017 17.09

rbørste til 80 kr.

Her ser vi også at parenteser skal regnes ut før addisjon eller subtraksjon.

Elevene vil også møte regneuttrykk som inneholder både addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og parenteser.

Eksempel: 15 + 3 · (4 + 5) − 2 · (8 − 3) =

9 5

Vi regner ut parentesene.

15 + 3 · 9 − 2 · 5 =

Vi utfører multiplikasjonene.

15 + 27 − 10 = 32

Vi utfører addisjon og subtraksjon.

Forklaring Samtale Jesper har 1000 kr. Han kjøper en bok til 250 kr, men får 50 kr avslag på boka når han skal betale. For å regne ut hvor mange kroner han har igjen, skriver Jesper dette regneuttrykket: 1000 - (250 - 50) = Forklar regneuttrykket.

I hvilken rekkefølge må han regne ut?

Husk regnerekkefølgen.

Lag en tekstoppgave til hvert regneuttrykk.

100 - (40 - 20) =

2.55

2.56

(100 - 40) - 20 =

Regn ut. a) 200 - (100 - 50) = b) (50 - 25) - 20 = c) 125 - (50 - 25) = e) (200 - 50) - 30 = f ) (75 - 25) + 30 = d) 125 + (20 - 5) =

Heidi har 200 kr. Hun kjøper en t-skjorte til 100 kr. Når hun kommer til kassen, får hun 20 kr i avslag. Hvor mange kroner har Heidi igjen etter at hun har betalt? Velg riktig regneuttrykk, og regn ut.

A 200 - (100 - 20) =

Samtale Oppgaven i denne samtalen er litt annerledes.

Også her skal dere finne ut hvor mange kroner som er igjen etter et innkjøp. Regneuttrykket blir annerledes. Snakk med elevene om hvorfor det er minus inne i parentesen i dette regneuttrykket.

Oppgave 2.55 Snakk med elevene om at uansett hvor parentesen står i regneuttrykket, så må den regnes ut først.

-20 kr

Avslaget trekkes fra i kassen.

Oppgave 2.56 Oppgaven har samme problemstilling som oppgaven i samtalen. Elevene skal identifisere riktig regneuttrykk.

B (200 - 100) - 20 =

Sammen Hanne har to femhundrelapper. Hun kjøper en bok til 299 kr og et blad til 49 kr. Hvor mange kroner har hun igjen etter at hun har handlet? Lag et regneuttrykk, og regn ut.

45

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 45

Oppgave 2.54 Oppgaven har samme problemstilling som oppgaven i samtalen. Elevene skal identifisere riktig regneuttrykk.

Sammen La elevene få presentere og argumentere for sitt regneuttrykk.

30.01.2017 17.09

Tall og regning 45

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring 2 • Tall og regning

Oppgave 2.57 I denne oppgaven møter elevene regneuttrykk med flere ledd.

2.57

2.58

Oppgave 2.58 Denne oppgaven har en litt mer komplisert problemstilling. La gjerne elevene løse den som sammenoppgave og presentere og argumentere for sine regneuttrykk.

Regn ut. a) 150 - (25 -5) + 10 = c ) (45 + 35) - 25 = e) (320 - 200) + (150 - 30) = g) (246 - 127) - (37 + 50) =

b) d) f) h)

440 - 40 + (120 - 20) = 45 + (35 - 25) = 145 - (20 - 10 + 5) + 10 = (82 - 17) + (29 - 14) =

Lag regnuttrykk med parentes. Regn ut. a) Omar har 800 kr. Han og lillebroren skal spleise på et spill til 650 kr.

Lillebroren betaler 200 kr. Omar betaler resten. Hvor mange kroner har Omar igjen? b) Terje har 750 kr. Han kjøper et par sokker til 80 kr og en lue til 150 kr. Hvor mange kroner har Terje igjen? c)

Oppgave 2.59 Figur A Elevene bør vise vedAreal utregning at de har satt parenteser på riktigOmkrets plass i regneuttrykkene.

2.59

Silje har 400 kr. Hun mister 150 kr på vei til butikken. I butikken kjøper hun en brus til 25 kr. Hvor mange kroner har Silje igjen?

Sett inn parenteser, slik at svaret blir riktig. b) 10 - 3 + 2 - 4 = 1 a) 2 + 4 - 3 - 2 = 5 d) 24 - 5 - 2 + 3 - 2 = 18 c ) 12 - 2 + 3 - 7 = 6

Sammen Det kan være nyttig for elevene å bruke tom tallinje for å se at begge oppgavene får samme svar.

Sammen • Hvor mange grader forskjell er det mellom temperaturen i Oslo og temperaturen i Bodø?

30 30 • Regn ut.

12 - (-6) = • Ser dere noen sammenheng mellom de to oppgavene ovenfor?

20

20

10

10

0

0

10

10

20

20

Oslo

Bodø

46

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 46

Samtale Til denne samtalen bør dere ha et regneark tilgjengelig. Lag dette regnearket sammen med elevene. La elevene komme med forslag til svar på spørsmålene i samtalen. Prøv dere fram og se om det stemmer med regnearket i boka.

30.01.2017 17.09

Lage formler i regneark

Samtale Klatregruppa Antilope skal handle inn nytt utstyr for 13 500 kr.

Stian lager et budsjett over hva de trenger å handle inn.

Oppgave 2.60 Elevene bruker regnearket fra samtalen og bytter ut de aktuelle verdiene.

I kolonne C og D har Stian brukt tallformatet Regnskap:

Hvilken formel har han brukt i celle D5?

Hvordan har Stian kopiert formelen i celle D5 til cellene D6, D7 og D8?

Hvordan har Stian summert alle utgiftene i celle D9?

Hvilken formel har Stian brukt i celle B11?

2.60

Kopier budsjettet ovenfor i et regneark. Klatreklubben Antilope bestemmer seg for å kjøpe inn 4 tau i stedet for 3 tau.

Juster budsjettet slik at de får råd til å kjøpe de 4 klatretauene.

47

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 47

46

Tall og regning

30.01.2017 17.09

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring Spill

Spill I dette spillet får elevene erfaring med å lage regneuttrykk med parenteser.

Utstyr: Kortstokk, blyant og ark Antall spillere: Minimum to Hva spillet går ut på: Trekk fem kort. Skriv verdien til hvert kort etter hverandre på et ark.

Du kan bruke regnetegnene pluss og minus og må ha med minst én parentes. Det er lov til å bytte rekkefølgen på tallene. Målet er at svaret skal bli så nær 0 som mulig. Dersom du får 2 til svar, får du 2 straffepoeng. Får du -2 til svar, får du også 2 straffepoeng. Spill ti omganger.

Vinner: Den som har færrest straffepoeng etter ti omganger.

Jonas har trukket disse kortene:

og lagd dette regnestykket: (13 - 11) - (7 - 5) + 1 = 1

48

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 48

30.01.2017 17.09

Sant eller usant Elevene skriver de setningene som er sanne, i boka si. Hør setningene, og la elevene argumentere for hvorfor utsagnene er sanne.

Sant eller usant Skriv setningene som er riktige, i kladdeboka.

• 142 578 er et heltall.

• 142,578 er et heltall.

• -100 er et negativt tall.

• 400 + 50 + 7 + 0,6 er tallet 400,576 skrevet på utvidet form.

• -70 er mindre enn -50.

• I regneuttrykket 2 + 4 · 3 - 6 = skal du multiplisere 4 · 3 før du adderer og subtraherer.

• I regneuttrykket 2 + (4 - 2) - 1 = skal du regne ut svaret inne i parentesen først.

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

Oppsummering Titallsystemet I titallsystemet er det ti sifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9

Plassverdisystemet 3 2 4, 9 7 8

Tallet er skrevet på utvidet form: 324,978 = 300 + 20 + 4 + 0,9 + 0,07 + 0,008 ,

tusendeler hundredeler tideler enere tiere hundrere

49

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 49

30.01.2017 17.09

Tall og regning 47

12 - 5 = 32 - 5 =

Forklaring Avrunding Vi runder av nedover dersom sifferet til høyre for sifferet vi skal beholde, er 0, 1, 2, 3 eller 4. Vi runder av oppover dersom sifferet til høyre for sifferet vi skal beholde, er 5, 6, 7, 8 eller 9.

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

Eksempel når vi runder av til én desimal: 54,92 ≈ 54,9

12,18 ≈12,2

Oppstilling addisjon

Oppstilling subtraksjon

1

1

1

10

6,2 3 + 1 5,7 9 = 2 2,0 2

Figur

A

10

6 0,7 8 - 3 7,9 0 = 2 2,8 8

Tekstoppgaver med modeller Når vi løser tekstoppgaver, kan det være lurt å tegne en modell.

Modellen hjelper oss til å sortere opplysningene i teksten.

Areal Omkrets

Eksempel: Bladet Spionen koster 59 kr. Det er 13 kr mer enn bladet Villmark. Hvor mange kroner koster bladet Villmark?

59

Spionen ?

Villmark

13

59 - 13 = 46 Svar: Bladet Villmark koster 46 kr.

50

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 50

30.01.2017 17.09

Negative tall Negative tall er tall som har lavere verdi enn 0. Vi skriver minustegn foran negative tall. Når vi regner med negative tall, er det lurt å bruke tom tallinje.

Eksempel: -13 + 20 = + 13

+7 0

-13

7

Flere regneoperasjoner I regneuttrykk som inneholder flere regneoperasjoner, skal du alltid multiplisere og dividere før du adderer og subtraherer.

Eksempel: 2 + 5 · 7 - 3 = 2 + 35 - 3 = 34

Regne med parenteser i addisjon og subtraksjon I regneuttrykk som inneholder parenteser, skal du alltid regne ut parentesene før du adderer og subtraherer.

Eksempel 1 3 + 14 - (6 + 5 ) =

Eksempel 2 15 - 7 + (7 - 5 ) =

3 + 14 - 11 = 6

15 - 7 + 2 = 10

51

Radius 7A_BM_Kap 2_til trykk.indd 51

48

Tall og regning

30.01.2017 17.09

Dette har jeg lært i kapittel 2

Navn:

1 Hvilken verdi har sifferet 3 i de oppgitte tallene? a) 23,41

b) 405,32

c) 7, 123

d) 135,26

2

En tidel mindre

En tidel mer

0,4 1,9 2,04 12,99

3

Rund av til én desimal

Rund av til helt tall

7,39 17,85 0,19 14,98

4 Still opp og regn ut.

39,46 + 13,28 =

82,57 − 26,28 =

5 Tegn modell og regn ut.

Eva har 650 kr. Det er 151 kr mer enn hva Joel har.

Hvor mange kroner har Eva og Joel til sammen?

Kapittel 2 Tall og regning

© Cappelen Damm AS

49