Radius 7B Lærerens bok (utdrag) by Cappelen Damm

Gulbrandsen • Løchsen • Måleng • Saltnes Olsen Gulbrandsen • Løchsen • Måleng • Saltnes Olsen

MATEMATIKK FOR BARNETRINNET MATEMATIKK FOR BARNETRINNET

7B GRUNNBOK LÆRERENS BOK

BOKMÅL

© Cappelen Damm AS 2018 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning og kan straffes med bøter eller fengsel. Radius dekker alle målene i Kunnskapsløftet etter revidert plan 2013 i faget matematikk og er lagd til bruk på grunnskolens barnetrinn. Illustratør: Magnus Værness Prinsippdesign: AIT Oslo AS Sats/ombrekking: PrePress Arnvid Moholt Omslagsdesign: Tank Omslagsillustrasjon: Magnus Værness Forlagsredaktør: Marianne Haanæs Trykk og innbinding: AiT Bjerch AS Utgave 1 Opplag 1 ISBN 978-82-02-40537-3 www.radius.cdu.no

Forord Til læreren Lærerens bok har først en generell del med innføring i hvilke matematikkdidaktiske prinsipper Radius bygger på, og hvordan verket er bygd opp. I denne delen er det også generell teori om utvikling av regnestrategier, de visuelle modellene vi benytter, og metoder for gjennomføring av gode klasseromssamtaler. Videre følger Lærerens bok grunnboka side for side. Sidene er delt med en strek. Under streken er det faksimiler av elevboksidene, utfyllende forklaringer til oppgavene og tips til differensiering. Det er også veiledning til gjennomføring av den lærerstyrte klasseromssamtalen og tips til organisering av samarbeidsoppgaver for elevene. Over streken presenteres målene for kapitlene og hvilke begreper det er hensiktsmessig å innføre. Hvert kapittel har utfyllende matematisk og didaktisk teori til temaer som omhandles i kapitlet. Det er også mange forslag til aktiviteter og spill som hjelper elevene til forståelse. Til slutt i hvert kapittel er det en test, «Dette har jeg lært i kapittel ...». Denne testen er rask å kopiere og dele ut til elevene og gir et godt bilde av hva elevene har fått med seg i kapitlet. Uavhengig av kapitlets tema finner du øvingsoppgaver og hoderegningsoppgaver. Disse har som hensikt å opprettholde tabellkunnskaper og ferdigheter i regnestrategier. Bakerst i boka er det fasiter til alle komponentene og kopieringsoriginaler på nynorsk til «Dette har jeg lært i kapittel ...». De resterende kopieringsoriginalene er på radius.cdu.no. Vi som er forfattere av Radius 5–7, ønsker at Lærerens bok skal være en god håndbok som gir deg det du trenger for å gjennomføre gode matematikktimer med elevene dine. Lykke til! Jan Erik Gulbrandsen, Randi Løchsen, Kristin Måleng og Vibeke Saltnes Olsen

Forord

Innhold Om Radius Matematikkdidaktiske prinsipper. . . . . I Oppbygningen av Radius. . . . . . . . . . . II Grunnleggende ferdigheter. . . . . . . . . V Utvikling av regnestrategier . . . . . . . VII Visuelle modeller. . . . . . . . . . . . . . . . VIII Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker. . . . . . X Mål for 7. trinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII

Kapittel 7 Algebra

Tallmønster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Å lage formler med addisjon og subtraksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Å lage formler med multiplikasjon . . 12 Formler i praktiske situasjoner . . . . . 15 Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Å løse tekstoppgaver som likninger . . 20 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Kapittel 8 Brøk

Repetisjon av brøk . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Mer enn en hel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Blandet tall til uekte brøk . . . . . . . . . . 29 Uekte brøk til blandet tall . . . . . . . . . . 30 Regning med blandet tall . . . . . . . . . . 32 Likeverdige brøker . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Utvide brøken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Forkorte brøken . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Brøk med ulik nevner . . . . . . . . . . . . . 40 Fellesnevner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Multiplikasjon med brøk . . . . . . . . . . . 44 Mer multiplikasjon med brøk . . . . . . . 45 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4 Innhold

Kapittel 9 Geometri – areal og volum

Repetisjon av omkrets og areal . . . . . 52 Formelen for arealet av et rektangel . . 54 Formelen for arealet av en trekant . . 56 Formelen for arealet av et parallellogram . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Repetisjon av tredimensjonale figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Måleenheter for volum . . . . . . . . . . . . 66 Perspektivtegning med ett forsvinningspunkt . . . . . . . . . . . . . . 68 Perspektivtegning med ett forsvinningspunkt i GeoGebra . . . . . 69 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Kapittel 10 Brøk, prosent og desimaltall

1 1 % er det samme som 100 eller 0,01 . . 76 1 50 % er det samme som 2 eller 0,5 . . 77 25 % er det samme som 14 eller 0,25 . . . 78 75 % er det samme som 34 eller 0,75 . . . 78 10 % er det samme som 101 eller 0,1 . . 79 Brøk, prosent og desimaltall . . . . . . . 80 Prosentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Avslag i pris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Spill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Kapittel 11 Måling

Analog og digital klokke . . . . . . . . . . . 92 Regning med tid . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Strekning, fart og tid . . . . . . . . . . . . . . 98 Valuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Omgjøring fra utenlandsk valuta . . . 103 Legge inn formler i Excel . . . . . . . . . 104 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Sant eller usant . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Oppsummering . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Kapittel 12 Matematikk i mange sammenhenger

Kopieringsoriginaler Dette har jeg lært i kapittel 7 (bokmål) . . . . . . . . . . . . . 23 Dette har jeg lært i kapittel 8 (bokmål) . . . . . . . . . . . . . 48 Dette har jeg lært i kapittel 9 (bokmål) . . . . . . . . . . . . . 72 Dette har jeg lært i kapittel 10 (bokmål) . . . . . . . . . . . . 89 Dette har jeg lært i kapittel 11 (bokmål) . . . . . . . . . . . 107 Dette har jeg lært i kapittel 7 til 11 (nynorsk). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

108

På tivoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 På fotballstadion . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Hos bakeren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Oppussing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Idrettsdagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 I dyreparken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Finn ut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Fasiter Fasit Grunnbok 7B. . . . . . . . . . . . . . . 121 Fasit Oppgavebok 7 (kapittel 7 til 12) . . . . . . . . . . . . . . . 129 Fasit til elevoppgavene i Lærerens bok 7B . . . . . . . . . . . . . 137

Kopieringsoriginaler

Innhold

radius.cdu.no

Matematikkdidaktiske prinsipper Med Radius ønsker vi at elevene skal utvikle god tallforståelse og tilegne seg solide, grunnleggende ferdigheter i matematikk. Radius legger vekt på at elevene • utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene • oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger • løser utforskende og sammensatte oppgaver • samarbeider, reflekterer og kommuniserer om oppgaver

Tallforståelse Vi ønsker at Radius skal bidra til at elevene utvikler god tallforståelse gjennom å • rekketelle forlengs og baklengs med ulike sprang • dele opp tall på ulike måter • utvikle forståelse for plassverdisystemet • automatisere tabellene for addisjon og subtraksjon mellom 0 og 20 • automatisere multiplikasjonstabellen • utforske egenskaper ved tall

Regnestrategier I Radius legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og gjøre seg erfaringer med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder.

Sammenhenger i matematikk Med Radius ønsker vi at elevene skal utvikle evne til å se sammenhenger i matematikk. Vi ønsker at de skal bruke sine kunnskaper om tallvenner til å se sammenheng med andre tall, for eksempel når 4 + 6 = 10, er 24 + 6 = 30 og 240 + 60 = 300. Når de har lært doblinger, er det lett å se sammenhenger som for eksempel at når 25 + 25 = 50, er 25 + 26 = 50 + 1 = 51 og 25 + 24 = 50 – 1 = 49. Når de har automatisert multiplikasjonstabellen, kan de se sammenhenger som at når 3 · 4 = 12, er 30 · 4 = 120, osv.

Matematikkdidaktiske prinsipper

Utforskende og sammensatte oppgaver Utforsking og undring er viktig for å bli interessert i og forstå matematikk. Radius legger opp til at elevene skal få mange erfaringer med å løse utforskende og sammensatte oppgaver. Elevene oppfordres til å fortelle hvordan de tenker, og til å dele dette med hverandre. Slik kan de sammen utvikle matematisk forståelse og gode strategier for å arbeide med faget.

Konkret – Visuelt – Abstrakt I Radius legger vi til rette for at elevene skal kunne arbeide med matematikken på ulike nivåer. Ved innlæring av nytt stoff kan det ofte være hensiktsmessig å arbeide med konkreter eller visuell støtte i form av halvkonkreter eller halvabstrakter. Målet er at elevene gjennom mange erfaringer med dette skal bli i stand til å løse oppgavene på abstrakt nivå. Med konkreter mener vi for eksempel tellemateriell og penger. Med halvkonkreter mener vi bilder eller tegninger av konkretene. Med halvabstrakter mener vi symboler eller modeller som for eksempel tallinje, number bonds og thinking blocks. Med abstrakter mener vi tallsymbolene. Det er stor forskjell på i hvilken grad elever trenger visuell støtte. Radius legger hele veien opp til at elevene får bruke den visuelle støtten de trenger. Refleksjon og kommunikasjon Radius tar på alvor at matematikk også er et språk. Som andre språk læres og utvikles også det matematiske språket best muntlig. Elevene må få rik anledning til å utvikle dette språket gjennom muntlige aktiviteter, derfor står både den lærerstyrte klassesamtalen og elevsamtalene sentralt gjennom hele verket.

Oppbyggingen av Radius Komponentene i Radius 5, 6 og 7 Grunnbok A og B Oppgavebok Lærerens bok A og B Radius digital med tavlebok

Ulike oppgaver Radius har et bredt spekter av oppgaver, oppgaver som egner seg for ferdighetstrening, oppgaver med modeller, oppgaver i kontekst hvor elevene får anvende sine ferdigheter i praktiske situasjoner, oppgaver for løsning med digitale verktøy og ulike typer problemløsningsoppgaver.

Radius Grunnbok Radius gir i praksis • tydelige mål for hvert kapittel • oppgaver for refleksjon og klassesamtale • differensierte oppgaver til hvert tema • problemløsningsoppgaver • visuell støtte til oppgaver Mål Alle kapitlene starter med tydelige mål som er forståelige for elevene. På den siste siden i hvert kapittel er det en oppsummering hvor læreren samtaler med elevene om hva de har lært. I tillegg er det kapittelprøver i Radius Digital. Refleksjon og klassesamtale Hvert kapittel innledes med et samtalebilde og tilhørende spørsmål. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema, og en innføring i det de skal lære. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, de får øvelse i å bruke det matematiske språket, og de får innsikt i hvordan andre elever tenker. Alle kapitlene har samtaleruter med blått raster. På disse rastrene presenteres nye emner som samtalestoff med forslag til spørsmål som læreren kan bruke for å få engasjement rundt det nye temaet klassen skal i gang med. På gult raster presenterer Radius varierte sammenoppgaver. Dette er oppgaver som elevene skal arbeide med i læringspar eller i små grupper. Elevene skal samtale og diskutere framgangsmåter og løsningsstrategier og finne sine egne måter å løse oppgavene på. Etterpå er det meningen at elevene skal presentere og begrunne sine løsninger.

Differensierte oppgaver Hvert kapittel starter med enkle oppgaver som likner på dem de har løst gjennom klassesamtalen. Videre fins oppgaver på ulikt nivå. Mange av emnene har også oppgaver med visuell støtte, en modell som de elevene som trenger det, kan bruke videre på flere av oppgavene. Noen oppgaver er merket med smilefjes. Dette er ekstra utfordrende oppgaver som det ikke er meningen at alle elevene skal løse. Oppgaver med digitale verktøy Gjennom oppgaver i Radius presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). Vi ønsker at elevene i løpet av mellomtrinnet skal bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene. Aktiviteter Alle kapitlene avsluttes med ulike aktiviteter som er knyttet til kapitlets matematiske tema. Det kan enten være spill eller finn-ut-oppgaver som elevene skal samarbeide om i læringspar eller i små grupper. Gjennom disse aktivitetene får elevene videre øvelse i, eller erfaring med, å anvende den kunnskapen de har tilegnet seg i kapitlet. Sant eller usant Alle kapitlene har også en samling utsagn, sant eller usant, som elevene skal vurdere og ta stilling til om er sanne eller usanne. I slike oppgaver får elevene øvelse i å se kritisk på det som står i teksten. Å samtale om disse utsagnene med utgangspunkt i elevenes svar kan gi deg som lærer innsikt i om noen elever har misoppfatninger knyttet til temaet.

Oppbyggingen av Radius

Radius Oppgavebok Radius Oppgavebok følger de samme temaene som i Radius Grunnbok. Oppgaveboka inneholder ulike oppgavetyper. Den har enkle øvingsoppgaver, mer utfordrende smilefjesoppgaver og egne sider som heter «Veien videre». Der finner du oppgaver som krever kompetanse ut over målene i kapitlet, og mer krevende problemløsningsoppgaver. Oppgaveboka har også gode eksempler til alle temaene og egner seg derfor også godt som hjemmebok.

Radius Lærerens bok Radius Lærerens bok følger grunnboka side for side og er lærerens verktøy. Her finner du veiledning til klassesamtalene, forklaringer til alle oppgavene, enkelte løsningsforslag og tips til differensiering. Lærerens bok har også stoff for faglig påfyll, metodiske tips og forslag til aktiviteter. Den har dessuten elevoppgaver for å vedlikeholde tabellkunnskap og hoderegningsstrategier, også i kapitler hvor det ikke jobbes direkte med tall. Til slutt i hvert kapittel er det en kapitteltest. Bak i boka er det fasit til Grunnbok 7A, Oppgavebok 7 (kapittel 1–6) og elevoppgavene i Lærerens bok. Øvrige kopieringsoriginaler er på radius.cdu.no.

Radius Digital 5–7 Øvingsoppgaver Nettstedet inneholder interaktive oppgavesett til alle delemner i hvert kapittel. Når elevene arbeider med oppgavene, får de umiddelbar respons på om de har løst oppgavene riktig. Kan du dette? Kan du dette? er en digital kapittelkartlegger som viser elevenes ferdigheter med hensyn til delmålene i kapitlet. Når elevene leverer testen, får de en rapport med forslag til videre arbeid. Rapporten kan skrives ut, og testen kan gjennomføres så mange ganger eleven selv ønsker.

III

Oppbyggingen av Radius

Halvårs- og helårskartlegging med Vokal Prøvene ligger klare i Vokal og åpnes for elevene av læreren. Resultatene er knyttet til delmålene i bøkene og dekker hele lærestoffet for hvert halvår og helår. Prøvene gir læreren god oversikt over elevenes grunnleggende ferdigheter, og verktøyet egner seg godt for samtaler med de foresatte og planlegging av elevenes videre arbeid. Elevene får tilgang til prøvene ved å logge seg inn fra nettstedet til Radius. Resultatene sendes direkte til Vokal når elevene leverer prøven. Resultatene lagres, og læreren får oversikt over ferdighetene til den enkelte elev og klassen samlet. For å få tilgang til prøvene må skolen være tilknyttet Vokal. Radius Regnemester Med Radius Regnemester øver elevene først og fremst på ulike regnestrategier. Men her finner de også øvingsoppgaver til alle grunnleggende emner i læreplanen. Radius Regnemester egner seg for øving på grunnleggende ferdigheter, til stasjonsundervisning og til differensiering. Radius Pokal Radius Pokal er utviklet med støtte fra Utdanningsdirektoratet for grunnleggende ferdighetstrening i matematikk. Her trener elevene på alle sentrale emner og samler pokaler i sin egen premiehylle. Progresjonen er rolig og systematisk. Resultatene blir lagret. Radius Pokal har også verksteder for bruk på interaktiv tavle og motiverende spill. Via lærerlisensen får læreren oversikt over resultatene til alle sine elever. Leksehjelp og omvendt undervisning Nettstedet inneholder videoer til alle eksemplene i Radius 5–7. Videoene egner seg for leksehjelp og repetisjon. Elevene trenger ikke å registrere seg for å se videoene. Hvis videoene skal brukes til omvendt undervisning, må læreren først registrere seg på Campus Inkrement (via snarvei fra Radius Digital) og opprette en klasse. Nå kan læreren følge progresjonen til elevene ved at de svarer på kontrollspørsmål underveis i videoene.

Tavlebøker Alle grunnbøkene er tilgjengelige som digitale versjoner for visning på interaktiv tavle og inneholder verktøy som stillbar klokke og tallinje. Læreren kan legge til egne kommentarer og lenker selv. Tavlebøkene egner seg for å samle klassen om sidene i bøkene, for dialog og for gjennomgang av lærestoffet.

Ressurser for interaktiv tavle Ressursene er utviklet for bruk på interaktiv tavle og egner seg blant annet for arbeid med regnefortellinger, trening på klokka og visualisering av regneoperasjoner langs tallinja. Prøver og kopieringsoriginaler Nettstedet inneholder skriftlige halvårs- og helårsprøver og kopieringsoriginaler for utskrift.

Oppbyggingen av Radius

Grunnleggende ferdigheter Radius ivaretar de grunnleggende ferdighetene i matematikk fra revidert læreplan – 2013. «Munnlege ferdigheiter i matematikk inneber å skape meining gjennom å lytte, tale og samtale om matematikk. Det inneber å gjere seg opp ei meining, stille spørsmål og argumentere ved hjelp av både eit uformelt språk, presis fagterminologi og omgrepsbruk. Det vil seie å vere med i samtalar, kommunisere idear og drøfte matematiske problem, løysingar og strategiar med andre. Utvikling i munnlege ferdigheiter i matematikk går frå å delta i samtalar om matematikk til å presentere og drøfte komplekse faglege emne. Vidare går utviklinga frå å bruke eit enkelt matematisk språk til å bruke presis fagterminologi og uttrykksmåte og presise omgrep.» I Radius innledes hvert kapittel med et samtalebilde og hvert delkapittel med en samtaleoppgave. Samtalebildene gir et godt utgangspunkt for samtale og refleksjon. I samtale mellom lærer og elev får elevene aktivisert den kunnskapen de har om kapitlets tema, og en innføring i det de skal lære. I disse samtalene introduseres også elevene for matematisk fagterminologi og begreper og får øvelse i selv å ta disse begrepene i bruk. Samtaleoppgavene gir anledning til å samtale med elevene om hvordan ulike oppgaver kan løses. Elevene får anledning til å komme med sine tanker og ideer, og de får øvelse i å bruke det matematiske språket. Hvert kapittel inneholder sammen-oppgaver på farget bakgrunn. Disse oppgavene er ofte åpne problemløsningsoppgaver. Elevene skal arbeide med disse oppgavene i læringspar eller i små grupper. Radius oppfordrer elevene til å diskutere ulike framgangsmåter og regnestrategier med hverandre, løse problemløsningsoppgavene på sine egne måter og forklare og presentere det de er kommet fram til. «Å kunne skrive i matematikk inneber å beskrive og forklare ein tankegang og setje ord på oppdagingar og idear. Det inneber å bruke matematiske symbol og det formelle matematiske språket til å løyse problem og presentere løysingar. Vidare vil det seie å lage teikningar, skisser, figurar, grafar, tabellar og diagram som er tilpassa mottakaren og situasjonen. Skriving i matematikk er ein reiskap for å utvikle eigne tankar og eiga læring. Utvikling i å skrive i matematikk går frå å bruke enkle uttrykksformer

Grunnleggende ferdigheter

til gradvis å ta i bruk eit formelt symbolspråk og ein presis fagterminologi. Vidare går utviklinga frå å beskrive og systematisere enkle situasjonar med matematikkfagleg innhald til å byggje opp ein heilskapleg argumentasjon omkring komplekse samanhengar.» Radius legger opp til at elevene hele veien skal skrive oppgaver og løsningsforslag i egen kladdebok. I grunnboka oppfordres elevene til å vise sine løsninger på ulike måter: tegne modeller, figurer, lage tabeller, grafer og diagrammer i tillegg til å finne hensiktsmessige måter å presentere løsninger skriftlig med tall og matematiske symboler på. I tillegg har verket flere oppgaver hvor elevene skal lage tekstoppgaver til hverandre i en gitt kontekst. Da må elevene øve seg på presise problemformuleringer, slik at andre elever forstår og kan løse oppgavene. «Å kunne lese i matematikk inneber å forstå og bruke symbolspråk og uttrykksformer for å skape meining i tekstar frå daglegliv og yrkesliv så vel som matematikkfaglege tekstar. Matematikkfaget er prega av samansette tekstar som inneheld matematiske uttrykk, grafar, diagram, tabellar, symbol, formlar og logiske resonnement. Lesing i matematikk inneber å sortere informasjon, analysere og vurdere form og innhald og samanfatte informasjon frå ulike element i tekstar. Utvikling i å lese i matematikk går frå å finne og bruke informasjon i tekstar med enkelt symbolspråk til å finne meining og reflektere over komplekse fagtekstar med avansert symbolspråk og omgrepsbruk.» Radius har oppgaver i kontekst av ulik vanskegrad slik at elevene får øvelse i å lese, tolke og forstå både enkle og sammensatte matematiske problemstillinger. Bøkene har også mange oppgaver hvor elevene lærer å lese av, tolke og forstå ulike tabeller, grafer og diagram. Radius legger dessuten vekt på å innføre korrekt fagspråk for elevene i løpet av mellomtrinnet. Gjennom sant-eller-usant-oppgavene, som fins mot slutten av hvert kapittel, får eleven øvelse i å se kritisk på en matematisk tekst og vurdere og ta stilling til om det som står, har gyldighet eller ikke. «Å kunne rekne i matematikk inneber å bruke symbolspråk, matematiske omgrep,

framgangsmåtar og varierte strategiar til problemløysing og utforsking som tek utgangspunkt både i praktiske, daglegdagse situasjonar og i matematiske problem. Dette inneber å kjenne att og beskrive situasjonar der matematikk inngår, og bruke matematiske metodar til å behandle problemstillingar. Eleven må òg kommunisere og vurdere kor gyldige løysingane er. Utvikling av å rekne i matematikk går frå grunnleggjande talforståing og å kjenne att og løyse problem ut frå enkle situasjonar til å analysere og løyse eit spekter av komplekse problem med eit variert utval av strategiar og metodar. Vidare inneber dette i aukande grad å bruke ulike hjelpemiddel i berekningar, modellering og kommunikasjon.» I Radius legger vi vekt på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene og utvikle evne til å se matematiske sammenhenger. Læreverket presenterer ulike regnestrategier som elevene får innføring i. Elevene får utforske regnestrategiene og får erfaring med hva som er hensiktsmessige strategier i ulike sammenhenger og på ulike tallområder. Radius legger til rette for at elevene skal kunne framstille og presentere løsningene sine både ved hjelp av tegnede modeller og ved presis bruk av matematisk symbolspråk.

Radius vektlegger at elevene skal vurdere gyldigheten av sine løsninger gjennom utvikling av gode hoderegningsstrategier og overslagsregning. Elevene lærer også å ta i bruk ulike digitale verktøy for å beregne og presentere løsninger på ulike oppgaver både i praktiske, dagligdagse situasjoner og i matematiske problemer. «Digitale ferdigheiter i matematikk inneber å bruke digitale verktøy til læring gjennom spel, utforsking, visualisering og presentasjon. Det handlar òg om å kjenne til, bruke og vurdere digitale verktøy til berekningar, problemløysing, simulering og modellering. Vidare vil det seie å finne informasjon, analysere, behandle og presentere data med formålstenlege verktøy, og vere kritisk til kjelder, analysar og resultat. Utvikling i digitale ferdigheiter inneber å arbeide med samansette digitale tekstar med aukande grad av kompleksitet. Vidare inneber det å bli stadig meir merksam på den nytten digitale verktøy har for læring i matematikkfaget.» Gjennom oppgaver i Radius presenteres elevene for regneark (Excel) og dynamisk geometrisk verktøy (GeoGebra). I løpet av mellomtrinnet skal elevene bli kjent med, og lære, de grunnleggende funksjonene til disse digitale verktøyene og bruke dem til beregninger, presentasjoner og simuleringer.

Grunnleggende ferdigheter

Utvikling av regnestrategier Hoderegningsstrategier Forskning viser at 80 prosent av utregninger voksne gjør i dagliglivet, er hoderegning. Dette viser hvor viktig det er å lære gode hoderegningsstrategier. Det fins ulike typer regnestrategier, og noen passer bedre til enkelte oppgaver enn andre. Det er også ulikt hvordan disse strategiene fungerer for hver enkelt elev. I Radius jobber vi derfor med flere ulike strategier sammen med elevene. Det er bedre å kunne noen skikkelig enn å kunne mange halvveis. Det viktigste er at elevene bruker den strategien som er mest effektiv for dem.

Tellestrategier De aller fleste elever behersker telling som strategi. I Radius jobber vi hele tiden med å utvikle denne strategien. Å kunne telle forlengs og baklengs med ulike sprang er, sammen med forståelsen av plassverdisystemet, nyttig kompetanse når elevene skal arbeide med addisjon og subtraksjon av store tall.

Automatisering For å kunne regne raskt og sikkert, og for å kunne nyttegjøre seg gode hoderegningsstrategier, er det nødvendig at en del tabellkunnskap er automatisert. Det vil si at elevene kan det så godt at de ikke behøver å telle seg fram til svaret. I Radius vektlegger vi nødvendigheten av å fortsette å jobbe med automatisering av tallvennene opp til 20, doblinger og multiplikasjonstabellen.

Strategier i addisjon og subtraksjon N10 I Norge og Europa er strategien N10 (Number 10) mye brukt i addisjon. N10 er en lineær modell hvor elevene først adderer første ledd med tierne fra andre ledd, deretter med enerne. Eksempel: 32 + 25; 32 + 20 = 52; 52 + 5 = 57. Brukt som subtraksjon med samme tall blir det: 32 – 25; 32 – 20 = 12; 12 – 5 = 7.

VII

Utvikling av regnestrategier

1010 I USA bruker de mer 1010-strategien, som er en grupperingsmodell. Denne går ut på å addere tiere og enere hver for seg. Eksempel: 32 + 25; 30 + 20 = 50; 2 + 5 = 7; 50 + 7 = 57. Denne strategien fungerer bra på addisjon, men hvis elevene bruker den på subtraksjon, kan det føre til problemer når man møter for eksempel 23 – 18, 20 – 10, og 3 – 8, som gir et negativt svar og byr på problemer. Mange elever snur stykket til 8 – 3, som gir feil svar. Dobling/halvering Elevene har automatisert en del doblinger, for eksempel 25 + 25 = 50. Dette kan de bruke videre til å dele opp tall som ligger nær hverandre i verdi. Eksempel: 26 + 25 = 25 + 25 + 1= 50 + 1 = 51. Det kan også være rasjonelt å tenke dobling, halvering ved subtraksjon av tall som ligger nær halveringen i verdi. Eksempel: Vi vet at 50 – 25 = 25. Det kan vi bruke for å finne 50 – 26 = 50 – 25 – 1 = 24. Øke/minske (også kalt opp/ned) Eksempel: 38 + 27 = (38 – 3) + (27 + 3) = 35 + 30 = 65 eller (38 + 2) + (27 – 2) = 40 + 25 = 65 Begge eksemplene viser en strategi som vi i Radius kaller regning via tiere. Strategien regning via tiere kan også være hensiktsmessig i subtraksjon. Eksempel: 84 – 9 = 84 – 10 + 1 = 75 I Radius vektlegger vi at subtraksjon er å tenke differanse. Vi bruker stort sett tall som ligger nær hverandre i verdi for at elevene skal øve seg i å se på tallene først. Er differansen liten, er den lett å finne i hodet.

Visuelle modeller Når elevene etter hvert skal regne med store tall, og når de skal forholde seg til kompliserte og sammensatte tekstoppgaver, kan det være nyttig å kunne bruke gode visualiseringsmodeller. I Radius viser vi eksempler på dette og oppfordrer elevene til å ta disse i bruk når de trenger det.

Tom tallinje Ideen om den tomme tallinja kommer fra Freudenthalinstituttet i Nederland. Dette er en lineær regnemåte hvor elevene bruker den kunnskapen de har om tall og telling. En tom tallinje skal ikke starte på 0, og det spiller ingen rolle om avstanden mellom tallene er korrekt. Det er kun en arbeidstegning for barna. En tom tallinje skal være fleksibel, noen barn trenger mange mellomregninger, mens andre hopper store steg om gangen. Ved bruk av tom tallinje kan elevene bruke de tellestrategiene og hoderegningstrategiene som de behersker. Det spiller ingen rolle om de teller oppover eller nedover eller begge deler.

Eleven teller nedover med hele hundrere og hele tiere og kompenserer for å ha gått for langt.

Number bonds Number bonds er kjent fra Singapore og er tatt i bruk i mange land. Radius bruker number bonds for å visualisere oppdeling av tall. I Radius bruker vi number bonds som består av ruter. Det hele står i den øverste ruten, og de tilhørende tallene står under i ruter som er forbundet med den øvre ruten med streker. Den mest kjente måten å bruke number bonds på er det vi kaller tiervenner. Eksempel:

10 7

Eksempel:

Etter hvert bruker vi number bonds til å dele opp vilkårlige tall. Elevene kan ha stor nytte av raskt å se hensiktsmessige oppdelinger av tall, for eksempel ved multiplikasjon og divisjon ut over multiplikasjonstabellen.

450 – 302 = 148

Eksempel 1

+ 40

302 310

+ 100

350

450

54 · 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele 54 opp i tier og enere, 50 og 4. Da får vi 50 · 3 = 150 og 4 · 3 = 12; 150 + 12 = 162

Eleven teller oppover fra subtrahend til minuend. –8

– 40

– 100

Eksempel 2 302 310

350

450

Eleven teller nedover fra minuend til subtrahend. – 50

– 100

+2 300 302

350

54 : 3 = Det kan være hensiktsmessig å dele opp 54 i 30 og 24. Da får vi 30 : 3 = 10 og 24 : 3 = 8; 10 + 8 = 18

450

Visuelle modeller

54 30

24 VIII

Thinking blocks Thinking blocks er et visualiseringsverktøy som brukes for å systematisere problemstillingen i tekstoppgaver. Å bruke slik modelltegning for å systematisere og visualisere opplysningene i en tekstoppgave viser seg å være til stor hjelp for mange elever. Når vi bruker thinking blocks i Radius, er det som eksempler på hvordan metoden kan brukes. Størrelsen på blokkene indikerer ikke nødvendigvis verdi. Det er viktig at elevene ikke blir opphengt i størrelsen på blokkene, det kan hindre dem i å tegne modellene. Modellene er som hjelpefigurer i konstruksjonsoppgaver, de er til hjelp for å få oversikt over hva vi har av informasjon, og hva vi skal finne ut. Thinking blocks har et større anvendelsesområde enn å løse tekstoppgaver, de brukes også innen brøk og algebra.

Når elevene etter hvert møter på større tall som skal multipliseres, kan de dele opp rutenettet i kjente multiplikasjoner. Når elevene møter oppgaver der et tosifret tall skal multipliseres med et annet tosifret tall, kan det være nødvendig å dele opp rutenettet i flere deler for å kunne bruke den kjente delen av multiplikasjonstabellen. 17 · 12 = 10 · 10 + 10 · 7 + 2 · 10 + 2 · 7 = 100 + 70 + 20 + 14 = 204 10

Eksempel Tor og Atman har til sammen 250 kr i lommepenger, Atman har 30 kr mer enn Tor. Hvor mye har hver av guttene i lommepenger? Tor

? kr

Atman

? kr

30 kr

}

2 250 kr

Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett  Multiplikasjon i rutenett og tomt rutenett bygger på arealforståelsen av multiplikasjon. Det er nødvendig å være godt kjent med denne modellen av multiplikasjon for å forstå bruken av rutenett og tomt rutenett i multiplikasjoner som går ut over den lille gangetabellen. Eksempel: Et rutenett med fire rader og seks kolonner består av 24 ruter. Rutenettet er en modell av multiplikasjonene 4 · 6 = 24 og 6 · 4 = 24. Dette rutenettet illustrerer den kommutative loven, a · b = b · a. 6

Etter hvert som elevene forstår hvordan multiplikasjon og areal henger sammen, kan de frigjøre seg fra det oppdelte rutenettet og gå over til tomt rutenett. Dette er også mer hensiktsmessig etter hvert som elevene møter større tall. Samme eksempel som over kan se slik ut i et tomt rutenett: 10 7

100

Ved å erstatte rutenettet med et tomt rutenett kan det tegnes i mer hensiktsmessig størrelse. Elevene kan multiplisere i det kjente området av multiplikasjonstabellen og addere delproduktene for å finne sluttproduktet. Det er ingen regel for hvordan man deler opp multiplikasjonene. Det er viktig at elevene får dele opp slik at de kan bruke multiplikasjoner som de behersker.

Visuelle modeller

Lappemetoden, en metode for å få tak i hvordan elever tenker I Radius legger vi stor vekt på den matematiske samtalen. Både den lærerstyrte klasseromssamtalen og samtale elevene imellom står sentralt gjennom hele verket. I klasseromssamtalene er det ofte de samme elevene som tar ordet, gjerne elever de andre elevene ser på som «flinke». For å få fram alles tanker og oppklare misoppfatninger anbefaler vi en metode som vi kaller «Lappemetoden», også kjent som «My favorite NO answer». Med denne metoden er det læreren som styrer hvem som snakker, men allikevel kan en annerledes tanke fra en annen elev være det samtalen dreier seg om. Denne eleven får da prøvd sin tanke opp mot de andres og får mulighet til å utvide sin kunnskap eller kanskje til og med oppklare en misoppfatning. Metoden Sørg for alltid å ha nok oppkuttede lapper tilgjengelig i kasserommet. For eksempel et A4-ark delt i 4 eller 8, alt etter hvor mye som skal skrives på lappen. Da kan du alltid ty til denne metoden når du oppdager at det er forvirring eller uklarheter rundt et problem. Spørsmålsstillingen utover i metoden blir litt forskjellig alt etter hva slags problem som belyses. Men det kan foregå omtrent som i punktene under. Vi vil også komme med et par eksempler. • Del ut en lapp til hver elev. • Be elevene skrive navnet sitt på lappen. • Skriv det du vil ha elevenes tanker om, på tavla. • Be elevene skrive svar eller løsning på lappen sin og legge den opp ned på pulten. • Samle inn lappene. • Sorter svarene i «riktig» og «galt» eller i ulike svaralternativer. • Ta tak i et svar eller løsningsforslag som innholder en feil eller misoppfatning du har lyst til å få oppklart. • Skriv løsningsforslaget på tavla. • Fortell hva du er glad for å se ved løsningen (det som er riktig), eller spør elevene hva de ser som er riktig. • Spør så klassen hvordan de tror de elevene som har svart feil, har tenkt.

Det er viktig å understreke at ikke alt er feil. Noe er riktig, og det kan brukes til å oppklare det som ikke er riktig (eller mangler). Etter hvert som du og elevene blir trygge på metoden, kan den brukes både i forbindelse med samtalebildene, enkeltoppgaver i bøkene og til sant-eller-usant-oppgavene. For å venne elevene til metoden kan det være lurt å starte med en åpen oppgave som har mange svar. Da er nok de aller fleste svarene riktige, men oppgaven illustrerer at det er mange måter å tenke på, og at det andre tenker, ikke nødvendigvis er feil. Eksempel: Det står mange sykler utenfor parken. Syklene har til sammen 11 hjul. Hvor mange sykler tror du det står utenfor parken? Dette er en oppgave som kan gi mange svar. Det fins tohjulssykler, trehjulssykler, etthjulssykler og sykler med støttehjul. Sjansen for å få mange svar er absolutt til stede. Sorter lappene i bunker med like svar i hver bunke. Begynn med det svaret det er flest av, og skriv det på tavla. Si for Eksempel: «Jeg ser at mange tror det er seks sykler utenfor parken, og det er fullt mulig.» Spør videre for Eksempel: «Hvordan kan det være 6 sykler utenfor parken når de har 11 hjul til sammen?» Selv dette svaret kan ha flere forklaringer. Det kan være fem vanlige sykler og en etthjulssykkel, eller det kan være fem hele sykler og en som mangler et hjul. Gjør det samme med de andre svaralternativene som er kommet fram. I sant-eller-usant-oppgavene på side 48 er et av utsagnene: Det største femsifrede tallet vi kan lage, er 90 000. Hvis én eller flere av elevene har skrevet dette som sant i sin besvarelse, kan du bruke denne metoden for å oppklare misoppfatningen. Be eleven skrive det største femsifrede tallet vi kan lage, på lappen. Du vil da få mange lapper med 99 999 og antakeligvis én eller flere med 90 000 og kanskje 99 000.

Lappemetoden

Velg for eksempel svaret 90 000. Si at du er glad for å se at tallet har fem siffer, det er helt riktig. Spør så elevene om det er noe mer som er riktig ved dette svaret. Da er det bare lov å svare hva som er riktig, ikke hva som er feil! Svaret vil bli at det er 9 på titusenerplassen. Spør om noen kan forklare hvorfor det er riktig. Svaret er for eksempel at 9 er

det største sifferet som kan stå på titusenerplassen. Bekreft svaret.

Spill som metode / pedagogisk virkemiddel I løpet av skoletiden regner elevene en stor mengde matematikkoppgaver fra lærebøkene. Mange elever får en opplevelse av at matematikkfaget er ensbetydende med å finne løsning på problemer andre har satt opp.

La elevene selv oppdage strategier Det er viktig at elevene selv får oppdage strategier. Ved å lære/fortelle elevene strategier kan de kanskje ta disse i bruk i den enkelte situasjonen, men når de ikke har oppdaget/utviklet strategien selv, vil de sannsynligvis ikke være i stand til å overføre den til andre situasjoner. De strategiene som elevene selv oppdager/utvikler, vil de lettere kunne hente fram igjen og forsøke å bruke i liknende situasjoner. Slik vil de også bli i stand til å utvide strategiene sine.

Spill og lek i matematikkundervisningen bidrar til at • tallmaterialet som elevene arbeider med, ikke er døde tall fra en bok, men opplysninger og resultater som stammer fra elevenes egen arena • elevene utvikler strategisk tenking, og at de erfarer at matematikk er en oppdagelse og ikke en oppfinnelse • elevene forstår poenget med å automatisere behandling av små tall I spill og lek skjer læringen i en sosial sammenheng. Variasjon i metoder skaper engasjement i faget. Spill og lek skaper fellesskapsopplevelser også i matematikkfaget.

Lappemetoden

Spør videre hva det er som gjør at dette ikke er det aller største tallet vi kan lage med fem siffer. Svaret blir kanskje at det kan stå 9 på alle plassene. Bekreft dette, og skriv 99 999 på tavla.

Eksempel fra dette spillet: Strategi 1: For å komme først til 100 er det om å gjøre å få størst mulig differanse i hver omgang. Strategi 2: Ved å velge et stort eller lite siffer som tier i det første kastet er sannsynligheten for å få en stor differanse større. Dette er slike ting som elevene selv bør få oppdage. På den måten utvikles også tallforståelsen.

Kapittel 8

Kapittel 7

Grunnbok 7B Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål

Oppgavebok

• Kunne stille opp og løse enkle ligninger • Kunne utforske og beskrive strukturer og forandringer i geometriske mønster, tall mønster og formler • Kunne hente ut vesentlig informasjon i tekster og praktiske sammenhenger

• Tallmønster • Å lage formler med addisjon og subtraksjon • Å lage formler med multiplikasjon • Formler i praktiske situasjoner • Likninger • Å løse tekstoppgaver som likninger

• Utforske og beskrive strukturar og forandringar i geometriske mønster og talmønster med figurar, ord og formlar • Stille opp og løyse enkle likningar og løyse opp og rekne med parentesar i addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tall

• Tallmønster • Å lage formler med addisjon og subtraksjon • Å lage formler med multiplikasjon • Formler i praktiske situasjoner • Likninger • Å løse tekstoppgaver som likninger

• Vite hva blandet tall og uekte brøk er • Vite hva likeverdige brøker er • Kunne utvide en brøk • Kunne forkorte en brøk • Kunne addere og subtrahere brøker med ulik nevner • Kunne addere og subtrahere der brøk og hele tall inngår

• Repetisjon av brøk • Mer enn en hel • Blandet tall til uekte brøk • Uekte brøk til blandet tall • Regning med blandet tall • Likeverdige brøker • Utvide brøken • Forkorte brøken • Brøk med ulik nevner • Multiplikasjon med brøk • Multiplikasjon av brøker

• Beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina • Finne samnemnar (bm.: fellesnevner) og utføre addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brøkar • U tvikle, bruke og diskutere metodar for hovudrekning, overslagsrekning og skriftleg rekning og bruke digitale verktøy i berekningar

Mål for 7. trinn

XII

Kapittel 9 XIII

Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål

Oppgavebok

• Kunne regne areal og omkrets av todimensjonale figurer • Kunne forklare formlene for arealet av rektangel, trekant og parallellogram • Kunne regne volum av rette prismer • Kunne forklare formelen for volumet av rett firkantet prisme • Kunne regne om mellom m3, dm3, cm3 og L • Kunne tegne figurer i perspektiv med ett forsvinningspunkt

• Repetisjon omkrets og areal • Formelen for arealet av rektangel • Formelen for arealet av en trekant • Formelen for arealet av et parallellogram • Repetisjon av tredimensjonale figurer • Volum • Måleenheter for volum • Perspektivtegning med et forsvinningspunkt • Perspektivtegning med et forsvinningspunkt i GeoGebra

• Analysere eigenskapar ved to- og tredimensjonale figurar og beskrive fysiske gjenstandar innanfor daglegliv og teknologi ved hjelp av geometriske omgrep • Byggje tredimensjonale modellar, teikne perspektiv med eitt forsvinningspunkt og diskutere prosessane og produkta • Gjere overslag over og måle storleikar for lengd, areal, masse, volum, vinkel og tid og bruke tidspunkt og tidsintervall i enkle berekningar, diskutere resultata og vurdere kor rimelege dei er • Velje høvelege måleiningar og rekne om mellom ulike måleiningar • Forklare oppbygginga av mål for lengd, areal og volum og berekne omkrins, areal, overflate og volum av to- og tredimensjonale figurar • Velje høvelege målereiskapar og gjere praktiske målingar i samband med daglegliv og teknologi og vurdere resultata ut frå presisjon og måleusikkerheit

Mål for 7. trinn

Kapittel 10 Kapittel 11 Kapittel 12

Mål for kapitlet

Overskrifter i kapitlet

Kompetansemål

Oppgavebok

• Kunne sammen hengen mellom brøk, prosent og desimaltall • Kunne finne 1 %, 100 %, 75 %, 50 %, 25 % og 10 % av en mengde • Kunne regne med prosent • Kunne regne med prosent og finne avslag

• 1 % – det samme 1 som 100 eller 0,01 • 50 % – det samme som 12 eller 0,5 • 25 % – det samme som 14 eller 0,25 • 75 % – det samme som 34 eller 0,75 • 10 % – det samme 1 som 10 eller 0,1 • Brøk, prosent og desimaltall • Prosentregning

• Beskrive og bruke plassverdisystemet for desimaltal, rekne med positive og negative heile tal, desimaltal, brøkar og prosent og plassere dei ulike storleikane på tallina

• Kunne lese av og skrive klokkeslett med siffer og bokstaver • Kunne forkortelsene for måleenheter for tid, h, min og s • Kunne regne med tid • Kunne regne strekning, fart og tid • Kunne regne om mellom valutaer • Kunne bruke formler til utregning i regneark

• Analog og digital klokke • Regning med tid • Vei, fart og tid • Valuta • Omgjøring fra utenlandsk valuta • Legge inn formler i Excel

• Bruke forhold i praktiske samanhengar, rekne med fart og rekne om mellom valutaer • Velje høvelege målereiskapar og gjere praktiske målingar i samband med daglegliv og teknologi og vurdere resultata ut frå presisjon og måleusikkerheit

• Analog og digital klokke • Regning med tid • Vei, fart og tid • Valuta • Omgjøring fra utenlandsk valuta • Veien videre: • Regne ut valutakurs • Omgjøring av valuta

• Kunne velg og anvende ulike strategier og regneferdigheter hensiktsmessig for å løse oppgaver i praktiske sammenhenger

• • • • • •

• Finne informasjon i tekstar eller praktiske samanhengar, stille opp og forklare berekningar og framgangsmåtar, vurdere resultatet og presentere og diskutere løysinga

• • • • •

På fotballstadion På tivoli Hos bakeren Oppussing Idrettsdagen I dyreparken

Mål for 7. trinn

På båttur På date Skolegården Skidag Klassetur

XIV

Mål

• Kunne stille opp og løse enkle likninger • Kunne utforske og beskrive strukturer og forandringer i geometriske mønster, tallmønster og formler • Kunne hente ut vesentlig informasjon i tekster og praktiske sammenhenger

Begreper • • • • • •

algebra tallmønster formler variabel konstant likning

Introduksjon til kapittel 7

Algebra kommer fra det arabiske ordet al-jabr som betyr «kombinasjon» eller «å sette sammen». Ordet ble først brukt av den persiske matematikeren al-Khwârismi, som brukte ordet for å beskrive den handlingen han gjorde når han forenklet en likning. Al-Khwârismi ble født i Bagdad år 780. På denne tiden var det et blomstrende miljø for matematikk, vitenskap og kultur i Bagdad. Han og mange andre arabiske matematikere fant mange resultater som europeiske matematikere fikk æren for mange år seinere. For eksempel burde det vi kjenner som Pacals trekant (Radius 5B side 109), egentlig hete alKhwârismis trekant. Algebraen utviklet seg fra et ønske om å løse likninger, og fra gammelt av har ordet blitt oversatt med «læren om likninger». I skolens algebra er søkelyset stadig på manipulasjon av bokstavuttrykk og løsning av likninger. I tillegg møter elevene på bokstavuttrykk som variabler i formler og funksjoner.

Forklaring Forklaring Illustrasjonen på dette oppslaget kan brukes til å repetere likninger. Samtal med elevene om hva en likning er. Vær nøye med å få fram at det alltid må være lik verdi på begge sider av likhetstegnet. Del ut lapper til elevene, og be dem skrive navnet sitt på lappen og hvilken dør (likning) som de mener nøkkelen (løsningen x = 3) passer til. (Se lappemetoden på side X.)

x - 2 = 7

Algebra

9 + x = 12

3 · x = 12

Sjekk om alle har funnet samme løsning. Be noen av elevene forklare hvordan de fant løsningen. Det er naturlig at noen har funnet løsningen ved inspeksjonsmetoden, og at andre forklarer subtraksjons-/addisjonsmetoden. Løs alle likningene på tavla. Detektivene har en nøkkel med x = 3 på. Hvem sin dør passer nøkkelen til? Hvordan tenkte dere for å finne løsningen? Hva er løsningen for de andre likningene?

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 6

Kapittel 7 Algebra

07.12.2017 11.16

Det viser seg at overgangen fra å regne med tall til å regne med bokstaver er vanskelig for mange elever. Vi kan tenke at det vil være enkelt fordi vi stort sett opererer med små tall i kombinasjon med bokstavene. Det er viktig å motivere for likninger og algebra på en måte som gir bokstavregning mening for elevene. Aktiviteter og praktiske situasjoner der vi leter etter forklaringer på tallsammenhenger, kan være en fin innfallsvinkel. I Radius arbeider vi mye med tallmønster, og elevene er godt kjent = 5. Men selv om med problemstillinger som 2 + elevene er godt kjent med «tom rute», blir det straks vanskeligere når vi kaller det en likning og erstatter den tomme ruta med bokstaven x.

Det er viktig at elevene blir kjent med likninger på et nivå hvor de kan bruke det vi kaller «inspeksjonsmetoden», altså at de «ser» hvilken verdi x må ha. Det er også viktig at de har god forståelse for hva likhetstegnet betyr, at verdien på begge sider av likhetstegnet må være den samme. Dette illustrerer vi ved å bruke en skålvekt når vi introduserer likninger. Det er fint om elevene kan arbeide praktisk med skålvekt og diverse plukkmateriale med lik vekt, for eksempel centikuber eller multikuber. Ved å bruke skålvekt i innføringen av enkle likninger vil elevene se og erfare hva som foregår når de legger på (adderer) eller tar av (subtraherer) like mye i hver skål (hver side av likhetstegnet) for å oppnå likevekt (få lik verdi på begge sider).

Forklaring ADIL: x − 2 = 7 Inspeksjonsmetoden: 3 − 2 ≠ 7. Nøkkelen passer ikke i denne døren.

Mål for kapitlet • • •

Kunne stille opp og løse enkle likninger Kunne utforske og beskrive strukturer og forandringer i geometriske mønster, tallmønster og formler Kunne hente ut vesentlig informasjon i tekster og praktiske sammenhenger

x − 2 = 7 x − 2 + 2 = 7 +2 x=9 SIRI: 9 + x =12 Inspeksjonsmetoden: 9 + 3 = 12. Nøkkelen passer i denne døren. 9 + x = 12 9 – 9 + x = 12 – 9 x=3 IDA: 3 ∙ x = 12 Inspeksjonsmetoden: 3 ∙ 3 ≠ 12. Nøkkelen passer ikke i denne døren. 3 ∙ x = 12 3 ∙ x = 12 3 3 x=4

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 7

07.12.2017 11.16

Algebra 7

Mønster i geometri og tall Når vi i matematisk sammenheng snakker om mønster, kan dette vise både til mønster med geometriske figurer og til mønster med tall. Vi kaller det mønster når figurene eller tallene er satt opp i et bestemt system.

Tallfølger Tall plassert etter hverandre i en bestemt rekkefølge, kaller vi en tallfølge. Den første tallfølgen barn blir kjent med, er når de lærer å telle. Tallene 1, 2, 3, 4 … er et eksempel på en tallfølge. Her er rekkefølgen av tallene vesentlig.

Selv om mønster ikke har noen presis matematisk definisjon, står det sentralt i matematikkopplæringen. Mønster handler om en form for regelmessighet og/eller gjentakelse. Matematikk handler i stor grad om å utforske sammenhenger og å finne mønster, derfor er det viktig at elevene forbinder dette med matematikk.

Tallene i en tallfølge kalles ledd, og leddene følger som oftest et bestemt mønster. Tallfølger kan ha et endelig antall ledd. De kaller vi endelige tallfølger. Eksempel: 1, 3, 5, 7, 9

Mønster framkommer på ulikt vis. I dette kapitlet vil elevene få arbeide med geometriske mønster som gjentakelse, speiling, symmetri, forskyvning og rotasjon. I tallmønster vil de møte på tallfølger som utvikler seg etter et bestemt system, samt figurtall som for eksempel kvadrattall og trekanttall. En definisjon på mønster kan være: Mønster er regelmessighet og gjentakelse av figurer som til slutt danner et helhetlig inntrykk.

Tallfølger kan ha uendelig mange ledd. De kaller vi uendelige tallfølger. Eksempel: 1, 4, 9, 16, 25, ... De tre prikkene etter det siste leddet viser at tallfølgen fortsetter etter samme mønster.

Tallmønster Hvis vi ser på eksemplene ovenfor, blir mønstrene som følger: Eksempel: 1, 3, 5, 7, 9

Forklaring 7 • Algebra

Samtale På dette samtalerasteret møter dere figurer som representerer tallene i en tallfølge. Tallfølgen som er illustrert, er det vi kaller trekanttallene.

Tallmønster Samtale I bowling er 10 kjegler satt opp i et spesielt mønster. Antall kjegler per rad øker etter en bestemt regel.

Snakk med elevene om hvilket tall som er representert ved hver figur. Hvordan tenker de at neste figur vil se ut? Hvilket tall vil denne figuren representere?

Figur 1

Figur 2

Figur 3

Figur 4

Tallfølgen er: 1, 3, 6 og 10. Hvilket tall vil være det neste i denne tallfølgen? Beskriv tallmønsteret i denne tallfølgen.

Se på tallfølgen, og finn ut hvor mye det øker mellom første og andre ledd, mellom andre og tredje ledd osv. La elevene forsøke å finne en formulering for hvordan dette tallmønsteret kan beskrives. Dette er et litt vanskelig tallmønster å beskrive, men det kan for eksempel være: «Det tallet man må addere med for å finne neste ledd, øker med én mellom hvert ledd.»

7.1

Her ser du de første figurene i et mønster.

Figur 1 Figur 2 Figur 3 a) b) c) d)

7.2

Eller det kan være: «Differansen mellom leddene øker med én mellom hvert ledd.»

Følg mønsteret og tegn figur 4. Hvor mange fyrstikker er det i figur 4? Hvor mange fyrstikker er det i figur 7? Beskriv mønsteret i denne tallfølgen.

Hvor mange prikker vil det være i figur 4 og 5? Beskriv tallmønsteret i tallfølgen.

Figur 1 Figur 2 Figur 3

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 8

Algebra

07.12.2017 11.16

Mønster: Tallfølgen består av alle positive, ensifrede oddetall. Eksempel: 1, 4, 9, 26, 25, …

For eksempel er det fjerde leddet i tallfølgen trekanttall det antallet punkter som en regulær trekant med 4 punkter i grunnlinja består av.

Mønster: Tallfølgen består av alle kvadrattallene.

Trekanttall Trekanttall er de tallene som inngår i tallfølgen 1, 3, 6, 10, 15, 21, … Denne tallfølgen oppstår ved at tallene i den naturlige tallfølgen 1, 2, 3, 4, … adderes med hverandre. Det første tallet er 1, det andre er 1 + 2, det tredje er 1 + 2 + 3 osv.

Det at elevene får erfaring med tallmønster, har stor verdi når det gjelder forståelsen av algebra og funksjoner som de vil møte videre i skoleløpet. Ved å analysere og beskrive tallmønster legger elevene grunnlaget for seinere å kunne utvikle formler for det n-te leddet i en tallfølge.

Figurtall Betegnelsen figurtall, eller polygontall, beskriver den tallfølgen som oppstår når man tegner ulike regulære mangekanter (polygoner) med punkter.

Hvis vi kaller trekanttallene for T1, T2, T3 osv., blir formelen for det n-te leddet i denne tallfølgen: Tn = 1 + 2 + 3 + … + n =

n(n +1) 2

Forklaring 7.3

Her ser du de første figurene i et mønster.

Figur 1 Figur 2 Figur 3 a) Tegn de to neste figurene. b) Figur 1 består av ett kvadrat. Hvor mange slike kvadrater er det i hver av figurene? c ) Hvordan kan du finne ut hvor mange slike kvadrater det vil være i figur 7, uten å tegne figuren? d) Beskriv mønsteret i tallfølgen.

Oppgave 7.2 Utvid oppgaven La elevene tegne tallmønster til hverandre og beskrive hverandres tallmønster.

Sammen Klasse 7A skal ha avslutning. Det er 24 elever i klassen. De skal bruke slike bord som vist i figur A. Bordene settes sammen til langbord, som vist i figur B. A

Oppgave 7.1 Legg merke til om elevene i c) tegner figurene fram til figur 7, eller om de har funnet mønsteret og regner ut.

Oppgave 7.3 I denne oppgaven møter elvene kvadrattallene. Du vil finne teori om kvadrattallene på neste side. Elevene oppfordres til å finne antallet i figur 7 uten å tegne. Klarer de ikke det, kan de tegne på rutepapir.

• Hvor mange er det plass til rundt to bord som er satt sammen slik som i figur B? • Tegn en tabell i kladdeboka di, og fyll inn til du har nok plasser til hele klassen. • Bruk tabellen til å finne mønsteret i tallfølgen. • Hvor mange bord trengs for å få plass til alle 24 elevene rundt ett langbord?

Sammen La elevene presentere løsningene sine for hverandre. Legg merke til at det er flere mulige løsninger, og presiser at alle løsninger er likeverdige.

Det kommer 100 personer på avslutningen. Det er ikke mulig å ha langbord som er lengre enn 10 små bord til sammen. • Hvor mange bord trengs for å dekke til 100 personer? Det fins flere mulige løsninger.

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 9

07.12.2017 11.16

Algebra 9

Kvadrattall Kvadrattall er de tallene som inngår i tallfølgen 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Denne tallfølgen oppstår ved at tallene i den naturlige tallfølgen 1, 2, 3, 4, … multipliseres med seg selv. Det første tallet er 1 ∙ 1, det andre er 2 ∙ 2, det tredje er 3 ∙ 3 osv. Hvis vi kaller kvadrattallene for K1, K2, K3 osv., blir formelen for det n-te leddet i denne tallfølgen: Kn = n2

Formler Når vi snakker om formler i matematikk, mener vi en matematisk regel presentert med symboler. For eksempel kan regelen for arealet av et rektangel presentert med språk være: Arealet av et rektangel er lik rektanglets lengde multiplisert med rektanglets bredde. Hvis vi bruker symbolet A for areal, l for lengde og b for bredde, kan det presenteres slik med symboler: A = l ∙ b. Vi sier at formelen for arealet av et rektangel er A=l∙b

Forklaring 7 • Algebra

Øverst på siden har vi skrevet om å lage en formel.

Å lage formler med addisjon og subtraksjon Samtale John og Mio sammenlikner alder. De lager en tabell som viser hvor gamle de vil være i forhold til hverandre på ulike tidspunkter.

Tabellen i samtalen angir alderen til de to guttene på ulike tidspunkter. Hva kan dere lese ut av tabellen? Hva er det som endrer seg (varierer), og hva er det som er likt (konstant)? Begge guttene blir ett år eldre for hvert år, men aldersforskjellen er konstant, den er 2 år. Det er dette vi bruker som utgangspunkt når vi skal lage en formel.

Johns alder

Mios alder

Jeg vil alltid være 2 år eldre enn John.

Jeg vil alltid være 2 år yngre enn Mio.

Formelen vi kommer fram til i dette eksemplet, er: n + 2.

Hvor mange år er Mio når John er 10 år? Hvor mange år er Mio når John er n år?

I dette uttrykket er det n som varierer, vi kaller n for en variabel. Tallet 2 kaller vi for en konstant. Snakk med elevene om disse begrepene.

Formelen for hvor mange år Mio er når John er n år: n+2 Hvorfor kan det være nyttig å lage en formel? I hvilke situasjoner har dere hørt om bruk av formler i matematikk tidligere?

Hvis vi kaller Mio sin alder for M, kan vi skrive formelen: M = n + 2.

7.4

Når Line er 12 år, er Nora 15 år. Lag en tabell som viser Line sin alder og Nora sin alder fra Nora er 15 år til hun er 20 år. a) Hvor mange år er Line når Nora er 18 år? b) Hvor mange år er Nora når Line er 13 år? c)

Lag en formel for hvor mange år Nora er når Line er n år.

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 10

Algebra

07.12.2017 11.16

Denne formelen kan brukes til å regne ut arealet av alle rektangler. Vi setter inn verdier for symbolene l og b og regner ut A. Eksempel: Regn ut arealet av et rektangel som har lengde 9 cm og bredde 5 cm.

Regelen presentert med symboler blir F = n + 6. Formelen for Frank sin alder, F, når Elise er n år er F = n + 6. Det blir mange symboler å forholde seg til for elevene. I første omgang konsentrerer vi oss om at elevene skal lære seg å lage formeluttrykket, for eksempel n + 6, side 10–14, og hele formelen fra side 15.

Da er l = 9 cm og b = 5 cm. Formelen for arealet av et rektangel er A = l ∙ b. Vi erstatter l og b med verdiene 9 og 5. A = 9 ∙ 5 = 45 Arealet av rektanglet er 45 cm². Slike formler kommer vi til å arbeide med i kapittel 9.

Å lage en formel I dette kapitlet arbeider vi med at elevene skal lære å lage enkle formler for matematiske sammenhenger. Eksempel: Frank er 11 år når Elise er 5 år. Lag en formel for hvor mange år Frank er når Elise er n år. Regelen presentert med språk kan være: Frank sin alder er lik Elise sin alder pluss 6 år.

Vi ser på uttrykket n + 6 fra eksemplet. Bokstaven n i dette uttrykket kaller vi for en variabel. Den varierer med Elise sin alder og kan byttes ut med verdien av Elise sin alder til enhver tid. Tallet 6 kaller vi en konstant. Dette tallet står for differansen mellom Frank og Elise sin alder som alltid er 6 år. Denne forandrer seg ikke. Vi kan for eksempel bruke formelen til å finne ut hvor mange år Frank er når Elise er 18 år. F=n+6 F = 18 + 6 = 24 Frank er 24 år når Elise er 18 år.

Vi kaller Frank sin alder for F og Elise sin alder for n.

Forklaring 7.5

Lag en tabell som viser brødrene sin alder fra Stian er 13 år til han er 17 år.

Før dere begynner på oppgavene, kan elevene velge et søsken, en venn, en forelder, et kjæledyr eller liknende og lage seg tilsvarende tabell fra nå og fem år fram i tid og formel som i eksemplet i denne samtalen.

Når jeg, Stian, er 13 år, er broren min 19 år.

a) Hvor mange år er Stian når broren er 21 år? b) Lag en formel som viser sammenhengen mellom Stian sin alder og broren sin alder.

7.6

Hvordan blir formelen hvis en elev velger å sammen likne sin alder med en som er eldre enn seg?

Lag en tabell for Eva og en tabell for Aron som viser hvor mange år de er når dyra deres er fra 4 år til de er 10 år. Når jeg er 12 år, er hunden min 7 år.

Når jeg er 15 år, er katten min 4 år.

Oppgave 7.4 Denne oppgaven er helt lik eksemplet på rasteret. Oppgave 7.5 I denne oppgaven møter elevene på at de skal sammenlikne alder med en som er eldre. Oppgave 7.6 Oppgaven er lik de to foregående, men det er mer å holde styr på fordi det er flere opplysninger i en oppgave.

a) Hvor mange år er Eva når hunden er 10 år? b) Hvor mange år er Aron når katten er 8 år? c) Lag en formel som viser sammenhengen mellom alderen til Eva og hunden hennes. d) Lag en formel som viser sammenhengen mellom alderen til Aron og katten hans.

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 11

07.12.2017 11.16

Algebra 11

Nærmest 50 Et spill for 2–3 elever. Utstyr En terning og ni kort med formler (kopieringsoriginal på neste side), papir og blyant. Spilleregler Spillet går ut på å sette inn verdier for n i ulike formler. Vinneren er den som først kommer til akkurat 50, eller den som er nærmest 50 etter ti runder.

Dette er et strategisk spill ettersom det ikke alltid lønner seg å velge formelen som gir det høyeste resultatet. Det gir elevene god erfaring med å sette verdier inn i ulike formler eller algebrauttrykk. Eksempel: En spiller har oppnådd summen 42, trekker kortene med n ∙ 5 og 1 – n, kaster terning som viser 3. Spilleren kan altså velge kortet med n ∙ 5 som gir 3 ∙ 5 = 15, og ende opp med 57 poeng eller kortet med 1 – n som gir 1 – 3 = –2, og ende opp med 40 poeng.

Spiller A trekker to kort med formler og kaster terningen. Spilleren velger en av formlene og setter terningens verdi inn i formeluttrykket, regner ut og skriver svaret på et ark. De to formelkortene legges tilbake i bunken, og kortene blandes på nytt. Neste spiller gjør det samme. I neste runde legges resultatet til (eller trekkes fra hvis resultatet blir negativt).

Forklaring 7 • Algebra

Samtale Se på oppgaven og illustrasjonen sammen. Snakk sammen om hva som er konstant, og hva som varierer. Her kan vi tolke illustrasjonen som at kasse nummer 1 består av en kolonne med tre blomster. For hver ny kasse blir det én ny kolonne med tre blomster, derfor samsvarer antall kolonner med kassens nummer i dette eksemplet.

Å lage formler med multiplikasjon Samtale Are lager blomsterkasser i ulike størrelser. For hver kasse han lager, blir det plass til tre blomster til.

Kasse 1

Kasse 2 Kasse 3

For å finne hvor mange blomster det er plass til i en kasse, kan dere multiplisere kassens nummer med 3. Kassenummer

Videre kan elevene enten hver for seg eller i læringspar løse oppgaven med Lines blomsterkasser. La elevene forklare hvordan de kom fram til formelen 5 ∙ n.

Antall blomster

Formelen for hvor mange blomster det blir plass til i kasse n, blir: 3 · n Hvor mange blomster blir det plass til i kasse nummer 4? Hvor mange blomster blir det plass til i kasse nummer 20? Line lager også blomsterkasser i ulike størrelser. For hver kasse hun lager, blir det plass til fem blomster til. Hvordan vil formelen for hvor mange blomster det blir plass til i kasse n, bli?

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 12

Algebra

07.12.2017 11.16

kasse n, blir:

er 4? er 20?

hver kasse hun ormelen for hvor

n∙3

n∙5

2∙n

n+2

n+7

4+n

n–7

n–1

1–n

Forklaring 7.7

Ole kjøper brus. Det er 24 flasker i hver bruskasse. a) Hvor mange brus er det i n kasser? Lag formel.

Oppgave 7.7 Elevene får bruk for erfaringene fra samtalen når de løser denne oppgaven.

b) Hvor mange brus er det til sammen hvis n = 4?

7.8

Bestemor bygger korthus.

Figur 1

Figur 2

Oppgave 7.8 I denne oppgaven får elevene øvelse i å lage tabell, lage formel og sette inn verdier for n i formelen.

Figur 3

a) Hvor mange kort vil det være i figur nummer 4 og 5?

Oppgave 7.9 d) Her er det kanskje mest naturlig at elevene tenker praktisk.

b) Lag en tabell som vist i samtaleruta, og fyll ut tabellen for figur nummer 1 til 8. c)

Hvor mange kort er det i figur n? Lag formel.

d) Hvor mange kort er det i figuren hvis n = 8? e) Hvor mange kort er det i figuren hvis n = 12?

7.9

Det er 100 perler i hver eske. a) Hvor mange perler er det i n esker? Lag formel. b) Hvor mange perler er det til sammen hvis n = 5? c) Hvor mange perler er det til sammen hvis n = 25? d) Hvor mange esker med perler har Synne kjøpt dersom hun har 1000 perler?

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 13

07.12.2017 11.16

Algebra 13

Prioritering av regneart Når vi har formler med flere regneoperasjoner, skal sette inn verdien for variabelen i formelen og regne ut, er det nødvendig å huske reglene for prioritering av regneartene: Multiplikasjon og divisjon utføres før addisjon og subtraksjon.

Når dere har jobbet en stund med dette, kan det være nyttig å gi en slik oppgave som elevene løser med lappemetoden (se side X). Det vil gi deg oversikt over hvilke elever som har dette på plass, og dere har en fin metode for å arbeide videre med forståelsen av dette.

Tallene vi adderer og subtraherer, kaller vi for ledd. Eksempel: F = 5 + n ∙ 3

Nærmest 200 Dette er et spill hvor elever må kombinere ulike regnearter, addisjon, subtraksjon og multiplikasjon, for å komme fram til et tall som er fornuftig å velge. Elevene må bruke overslagsregning for å holde styr på resultater.

Formeluttrykket har to ledd: Første ledd er 5, andre ledd er n · 3. Vi skal sette inn verdien n = 2 i formelen. F=5+2∙3 Vi regner først 2 · 3 = 6. Da får vi dette regnestykket: 5 + 6 = 11. I et regnestykke som er stilt opp som i eksemplet ovenfor, ser vi ofte at elevene utfører regneoperasjonene i den rekkefølgen som de står oppført. I dette tilfellet vil de da gjøre som følger: 5 + 2 = 7, 7 · 3 = 21 I spillet nærmest 200 får elevene øvelse i å sette opp og regne ut slike uttrykk.

Spillet passer for 2–3 elever. De trenger tre treninger (eller tallkortene fra en vanlig kortstokk) og hver sin tabell. Spiller 1 kaster alle tre terningene eller trekker tre kort. Spilleren skal lage et regnestykke med alle tallene som terningene/kortene viser, og regneartene multiplikasjon og addisjon eller subtraksjon, alltid multiplikasjon først. Terningene/kortene viser for eksempel 2, 4 og 5.

Forklaring 7 • Algebra

Oppgave 7.10 La elevene forklare hvordan de tenkte da de valgte hvilken formel som passer til illustrasjonen og tabellen.

7.10

Line kjøper jogurt. Hun har ulike alternativer å velge mellom.

a) Lag en tabell, og fyll ut tabellen for antall jogurtbegere i pakke 1 til 3.

Sammen La elevgruppene presentere løsningene sine for hverandre.

b) Hvilken av formlene A, B eller C passer til jogurtpakkene? 3 · n

2 · n

4 · n

Sammen En innebandyklubb arrangerer turnering. De regner med at 8 lag kan delta for hver bane de har. • Lag en tabell som viser hvor mange lag som kan delta dersom de har 1–10 baner tilgjengelig. • Lag en formel for hvor mange lag som kan delta på turneringen når de har n baner. • Klubben har plass til 96 lag. Hvor mange baner har de da tilgjengelig?

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 14

Algebra

07.12.2017 11.16

Følgende regnestykker er da mulige: 4 · 5 + 2 = 22 eller 4 · 5 – 2 = 18 eller 4 · 2 + 5 = 13 eller 4 · 2 – 5 = 3 eller 5 · 2 + 4 = 14 eller 5 · 2 – 4 = 6. Spiller 1 fører regnestykke og svar inn i sin tabell.

Kast

Regnestykke

Svar

4·5−2

6·3+3

Spiller 2 kaster terninger / trekker kort, lager et regnestykke og fører inn i sin tabell.

Spillerne kaster etter tur 10 ganger hver.

Etter 10 kast summeres svarene. Den som kom nærmest 200, har vunnet.

Eksempel: Første kast: 2, 4 og 5 Regnestykke: 4 · 5 – 2 = 18

Neste kast: 3, 3 og 6 Regnestykke: 6 · 3 + 3 = 21

7 9 Sum

Forklaring Formler i praktiske situasjoner

Samtale Formlene som elevene har møtt så langt, har bestått av bare formeluttrykket og én regneoperasjon. I denne samtalen innfører vi også et symbol for det som formeluttrykket regner ut. Formeluttrykket inneholder også to regneoperasjoner.

Samtale Liam har ukelønn og tjener 120 kr per uke. Hvis han hjelper pappa i butikken, tjener han i tillegg 80 kr per time. Vi kan kalle antall timer som Liam hjelper til i butikken, for t, og det Liam tjener totalt, for L. Formelen for hvor mye Liam tjener til sammen per uke, blir da: L = 120 + t · 80 Nedenfor er en tabell som viser hvor mye Liam tjener. Timer

Formelen regner ut hvor mye Liam tjener totalt, L (kr), når han hjelper til t (timer) i butikken.

Fortjeneste

120 + 1 · 80 = 200

120 + 2 · 80 = 280

120 + 3 · 80 = 360

120 + t · 80 =

I formelen setter vi bare inn verdier, ikke måleenheter. Måleenhetene brukes i svarsetningen. Snakk med elevene om hva som er konstant, og hva som varierer i formelen.

Hvor mye tjener Liam denne uka dersom han hjelper pappa i butikken i 8 timer? L = 120 + 8 · 80 L = 760 Svar: Liam tjener 760 kr dersom han hjelper pappa 8 timer i butikken.

Vi anbefaler at dere repeterer reglene for regnerekkefølge, se øverst på siden.

Hvor mye tjener Liam dersom han hjelper pappa 12 timer i butikken? Hvordan ville formelen blitt dersom Liam tjener 150 kr per uke og 65 kr per time?

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 15

07.12.2017 11.16

Algebra 15

Likninger I matematikk bruker vi begrepet likning om et utsagn som uttrykker at to størrelser er like. En likning består av en venstreside, en høyreside og et likhetstegn. Likhetstegnet forteller at de to sidene har lik verdi. Eksempel: 5 + x = 13 Vi ser at likningen blir sann når x har verdien 8. 5 + 8 = 13 Det er viktig at elevene blir kjent med likninger på et nivå hvor de kan bruke det vi kaller «inspeksjonsmetoden», altså at de «ser» hvilken verdi x må ha. Det er også viktig at de har god forståelse for hva likhetstegnet betyr, at verdien på begge sider av likhetstegnet må være den samme. På 6. trinn innførte vi ingen metode for å løse likninger, alle likningene var slik at elevene kunne se eller analysere seg fram til verdien for x. For å tydeliggjøre at likhetstegnet betyr at det skal være lik verdi på begge sider, illustrerte vi dette ved å bruke en skålvekt. Vi anbefalte også at elevene fikk arbeide praktisk med skålvekter for å øke forståelsen av hva en likning er.

Metoder for å løse likninger Å løse en likning går ut på å finne verdien for x slik at utsagnet blir sant. Det vil si at når vi setter inn verdien for x i likningen, blir verdien lik på begge sider av likhetstegnet. Selv om vi fortsatt stort sett arbeider med likninger som kan løses med inspeksjonsmetoden, ønsker vi at elevene skal lære metoder for å løse likninger ved å addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med samme verdi på begge sider av likhetstegnet. Dette kan vi gjøre uten at likheten forsvinner. Det er viktig at elevene får arbeide mye med dette. Fall ikke for fristelsen å innføre den såkalte «flytt og bytt-regelen»! På dette stadiet er det forståelsen av at en likhet ikke forandrer seg når vi adderer eller subtraherer like mye på hver side, som er viktig. Får de ikke denne forståelsen, vil løsning av likninger bli «magi», og de vil falle av ganske fort når likningene blir mer komplisert. Eksempel: x − 4 = 7 x − 4 + 4 = 7 + 4 x = 11

Forklaring 7 • Algebra

Oppgave 7.11 I denne oppgaven får elevene erfaring med å sett inn ulike verdier for t i samme formel som i samtalen.

Bruk formelen nedenfor på samme måte som i samtalen, og regn ut hvor mye Liam tjener dersom han hjelper far i butikken. L = 120 + t · 80 a) 5 timer d) 16 timer

Oppgave 7.12 I denne oppgaven får elevene erfaring med å lage samme type formel med andre konstante verdier og bruke disse i utregninger.

7.12

Samtale Det er fint om elevene kan arbeide praktisk med skålvekt og diverse plukkmateriale med lik vekt, for eksempel centikuber eller multikuber. Ved å bruke skålvekt i innføringen av enkle likninger vil elevene se og erfare hva som foregår når de legger på (adderer) eller tar av (subtraherer) like mye fra hver skål (hver side av likhetstegnet) for å oppnå likevekt (få lik verdi på begge sider). Forskjellen på en likhet og en likning er at den tomme ruta erstattes med x. Begge inneholder et likhetstegn, og vi må sørge for at det er lik verdi på begge sider av likhetstegnet. På 6. trinn innførte vi

7.11

Algebra

c ) 9 timer f ) 37,5 timer

Etter sommerferien får Liam 150 kr i ukelønn og 85 kr per time han hjelper far i butikken. a) Hvordan blir den nye formelen for hvor mye Liam tjener per uke?

b) Hvor mye tjener han nå på en uke dersom han hjelper pappa 2 timer i butikken? Søsteren til Liam er eldre og har derfor høyere lønn. Hennes ukelønn er 175 kr, og hun får 110 kr per time hun hjelper pappa i butikken. c) Lag en formel som viser hvor mye søsteren til Liam tjener på en uke. d) Hvor stor er differansen mellom Liam og søsteren sin lønn dersom de hjelper pappa 2 timer i butikken? e) Lag en tabell som viser hvor mye Liam og søsteren tjener dersom de hjelper fra 1 til 8 timer i butikken på en uke.

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 16

b) 7 timer e) 25 timer

07.12.2017 11.16

I denne likningen adderer vi med 4 på begge sider av likhetstegnet for at x skal bli stående alene på den ene siden av likhetstegnet. Det som er verdien av x, blir da stående på høyre side. Eksempel: x + 5 = 11 x + 5 − 5 = 11 − 5 x=6 I denne likningen subtraherer vi med 5 på begge sider av likhetstegnet for at x skal bli stående alene på den ene siden av likhetstegnet. Det som er verdien av x, blir da stående på høyre side. Eksempel: 4x = 24 4x = 24 4 4 x=6 I denne likningen dividerer vi med 4 på begge sider av likhetstegnet for at x skal bli stående alene på den ene siden av likhetstegnet. Det som er verdien av x, blir da stående på høyre side.

Eksempel: x =5 2 x ∙2=5∙2 2 x = 10 I denne likningen multipliserer vi med 2 på begge sider av likhetstegnet for at x skal bli stående alene på den ene siden av likhetstegnet. Det som er verdien av x, blir da stående på høyre side. Noen ganger må vi gjøre flere regneoperasjoner for å løse en likning. Eksempel: 3x + 6 = 21 3x + 6 − 6 = 21 – 6 3x = 15 3x = 15 3 3 x=5 I denne likningen subtraherer vi med 6 på begge sider av likhetstegnet for at x-leddet skal bli stående alene på den ene siden av likhetstegnet. Deretter dividerer vi med 3 på begge sider av likhetstegnet for å finne verdien av x.

Forklaring

alen, far i butikken.

Likninger

ingen metode for å løse likninger. Alle likningene var slik at elevene kunne se eller analysere seg fram til verdien for x. Snakk med elevene om at en likning har to sider, en venstre side og en høyre side.

Samtale + 3 = 5

x + 3 = 5

mer timer Det skal alltid være lik verdi på begge sider av likhetstegnet. Hva betyr den tomme ruta? Hva betyr bokstaven x? Hvilken verdi må x ha i denne likningen for at det skal være likevekt? Vi løser en likning slik: x + 3 = 5 x + 3 - 3 = 5 - 3 x = 2

x + 3 - 3 = 5 - 3

Vi subtraherer like mye på hver side av likhetstegnet slik at vi får x igjen alene på den ene siden.

7.13 7.14 7.15

Løs likningen. a) x + 5 = 7

b) 12 + x = 25

c ) 24 = x + 13

Løs likningen. a) x - 6 = 2

b) 14 = x + 7

c ) 21 = 5 + x

Løs likningen. a) x + 15 = 23

b) 15 = x - 11

c ) 14 = 6 + x

Selv om vi fortsatt stort sett arbeider med likninger som kan løses med inspeksjonsmetoden, ønsker vi at elevene skal lære metoder for å løse likninger med å addere, subtrahere, multiplisere eller dividere med samme verdi på begge sider av likhetstegnet. Se øverst på siden. Ved å bruke skålvekt erfarer elevene at likheten (likevekten) består når de adderer eller subtraherer like mye på hver side av likhetstegnet. Oppgave 7.13–7.15 La elevene bruke skålvekt når de løser disse oppgavene. De bør øve seg i å stille opp likningen slik som vist på rasteret.

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 17

07.12.2017 11.16

Algebra 17

Forklaring 7 • Algebra

Oppgave 7.16 og 7.17 Elevene får øvelse i å sette x for den ukjente størrelsen i en tekstoppgave og gjenkjenne dette skrevet som likning.

7.16

Adil kjøper melk til 15 kr og en jogurt til x kr. Til sammen betaler han 28 kr. Hvilken likning passer til teksten? x + 28 = 15

7.17

Oppgave 7.18 Denne tekstoppgaven er illustrert med en modell. Elevene skal omforme modellen til likning.

7.18

7.19

15 + 28 = x

Lise og Tore går tur i skogen og har med hver sin sekk. Sekken til Lise veier 13 kg. Til sammen veier sekkene 31 kg. Hvor mange kilogram veier sekken til Tore? Hvilken likning passer til teksten? 13 + x = 31

Oppgave 7.19 Elevene viser forståelse for hva en likning representerer, gjennom å tegne den som modell og lage en tekstoppgave som passer til.

x - 13 = 31

31 + x = 13

Ana og Lone samler flasker. Til sammen har de samlet 112 flasker. Ana har samlet 45 flasker. Hvor mange flasker har Lone samlet? Skriv som likning, og regn ut.

2 · x = 10

3 · x = 27

2 · x + 1 = 25

Det skal være like mye på hver side av likhetstegnet.

Snakk med elevene om at når det i en likning for eksempel står 3x, så betyr det at det er 3 stykk x-er. 3x er altså det samme som x + x + x eller 3 ∙ x. Vi kan si at i uttrykket 3x er det et usynlig multiplikasjonstegn mellom 3 og x.

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 18

07.12.2017 11.16

Eksempel Mia har to bokser med til sammen 8 viskelær. Det er like mange viskelær i hver boks. Hvor mange viskelær må det være i hver boks?

I eksemplet ser vi en skålvekt med to bokser med x på venstre side og verdien 8 på høyre side. Skrevet som likning blir dette x + x = 8, eller 2x = 8.

x = 8

2x er det samme som: 2 · x eller x + x

x + x = 8 2x = 8

For å finne én x må vi i dette tilfellet dividere med 2 på begge sider av likhetstegnet.

112

x + x = 8

Vi løser likningen slik:

Brøkstrek er det samme som divisjonstegn.

2x = 8

Når vi har mer enn én x i likningen, kan vi finne verdien av x vedLag tekst og modell til likningene nedenfor. å dividere på begge sider med c ) 35 + 25 = x a) 12 + x = 30 b) x - 15 = 20 samme verdi som antall x-er.

Oppgave 7.20 Vektene illustrerer samme type likning som den i samtalen. La elevene stille opp på samme måte som i eksemplet.

112 45

Ana

Sammen Hvilken verdi må x ha i likningene nedenfor?

Samtale I eksemplet i denne samtalen møter elevene på at det er mer enn én x. Snakk med elevene om at i en og samme likning må alle x-ene ha samme verdi.

I eksemplet har vi to x-er, altså dividerer vi med 2 på begge sider for å finne verdien av én x.

Lone

Lag tekst og modell til likningene nedenfor. c ) 35 + 25 = x a) 12 + x = 30 b) x - 15 = 20

Utvid oppgaven. La elevene løse hverandres tekstoppgaver. Da vil de erfare om tekstoppgavene stemmer overens med likningen.

Snakk videre med elevene om at på samme måte som vi kan addere og subtrahere med lik verdi på hver side i en likning, kan vi multiplisere eller dividere med samme verdi på begge sider i en likning.

15 + x = 28

2x = 8 2 2 x = 4 Svar: Det er 4 viskelær i hver boks.

7.20

Skriv som likning. Løs likningen. a) b) x x = 4

100 = x

x = 15 x

80 = x

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 19

Algebra

07.12.2017 11.16

Forklaring 7 • Algebra

7.21 7.22

7.23

Hvilke av likningene nedenfor gir svaret x = 2? x + 1 = 3 4x = 12 8 = 4x

Løs likningen. a) 5x = 30 d) 50 = 10x

b) 7x = 49 e) 8 = 2x

c ) 2x = 24 f ) 21 = 3x

Løs likningen. a) 4x = 160 d) 20 = 2x

b) 3x = 18 e) 45 = 5x

c ) 6x = 36 f ) 72 = 9x

Oppgave 7.21 Vær oppmerksom på et det er mer enn én av likningene som gir riktig løsning. Oppgave 7.22 og 7.23 Løsning av samme type likning som i samtalen. Sammen I denne samtalen møter elevene på at de må gjøre mer enn én regneoperasjon for å løse likningen. La elevene forklare hva som er feil i de løsningene som ikke er riktige.

Sammen Omar, Heidi og Hans løser likningen 2x + 5 = 25. Hvem av dem har løst likningen rett?

2x + 5 = 25 2x + 5 - 5 = 25 + 5 2x = 30 2 2 x = 15

2x + 5 = 25 2x + 5 - 5 = 25 - 5 2x = 20 2 2 x = 10

2x + 5 = 25 2x + 5 = 25 + 5 2x = 30 2 2 x = 15

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 20

07.12.2017 11.16

Samtale Snakk med elevene om dette eksemplet. I slike likninger må de gjøre flere regneoperasjoner for å komme fram til løsningen. La elevene svare på spørsmålet til jenta. Spør også hvorfor vi dividerer med 2 på begge sider av likhetstegnet.

Samtale Hva må x være for at det skal være likevekt? 2x + 3 = 11

Hvorfor trekker vi fra 3 på begge sider av likhetstegnet?

24 3x Vi løser likningen slik: 2x + 3 = 11 2x + 3 - 3 = 11 - 3 2x = 8 2x = 8 2 2 x = 4

36 9x

7.24

+ 5 = 25 + 5 = 25 + 5 = 30

Oppgave 7.24 Elevene skal stille opp og løse likningene på vekten på samme å måte som i eksemplet.

Løs likningen. a) 2 x + 1 = 15

12 = 3 + 3 x

x - 50 = 350

500 = x - 125

f) 5x - 4 = 31

15 = 3 x

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 21

07.12.2017 11.16

Algebra 19

Forklaring 7 • Algebra

Oppgave 7.25–7.27 I disse oppgavene vil elevene finne x-ledd vekselvis på høyre og venstre side i oppgavene. En løsning skrevet for eksempel som 5 = x er en fullverdig løsning av likningen, vi går ikke inn på «å snu likningen» nå på 7. trinn.

7.25

7.26

7.27

Oppgave 7.28 Elevene skal lage likninger med oppgitte løsninger. Oppfordre elevene som behersker det, til å lage likninger med flere ledd.

7.28

Løs likningen. a) 2x + 5 = 21 d) 3 = x + 1

b) 5x + 4 = 14 e) 15 = 2x + 3

c ) 6 + 2x = 8 f ) 24 = 4x + 16

Løs likningen. a) 2x - 4 = 12 d) 25 = 9x - 11

b) 10x - 5 = 95 e) 3 = x - 7

c ) 8x - 14 = 50 f ) 56 = 8x - 16

Løs likningen. a) 4x + 5 = 17 d) 30 = 2x + 20

b) 16 + 2x = 32 e) 18 = x - 6

c ) 8x = 56 f ) 100 = 200 - 4x

Lag likninger med løsning. a) x = 3 b) x = 4 d) x = 5 e) x = 10

Sammen Den siste likningen i denne sammenoppgaven har x-ledd på begge sider av likhetstegnet. La elevene få presentere hvordan de løste denne likningen.

c ) x = 2 f) x = 1

Sammen Løs oppgaven, og finn hvilket tall x står for. 2x + 4 = 20

x - 5 = 95

100

x + x + 1 = 13

15 = 3x 2x + 1 = x + 6

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 22

Samtale Her er målet atLøs likningen. elevene skal lære å stille opp og løse a) 2x + 5 = 21 5x + 4 = 14 c ) 6 + 2x = 8 tekstoppgaver som likning. bI ) den prosessen er det d) 3 = x + 1 e) 15 = 2x + 3 f ) 24 = 4x + 16 fint å bruke modeller og erstatte spørsmålstegnet med x.

Å løse tekstoppgaver som likninger Samtale Alina har 50 kr. Hun selger en gammel sykkel. Da har hun 750 kr til sammen. Hvor mye solgte hun sykkelen for?

Løs likningen. b) 10x - 5 = 95 c ) 8x - 14 = 50 a) 2x - 4 = 12 e) 3 = xLa f ) 56 = 8x ) 25 = 9x modellen? - 11 - 7 elevene - 16 i ddenne gå inn

b) 16 + 2x = 32

750 50 + x = 750 50 - 50 + x = 750 - 50 x = 700

c ) 8x = 56

fmåle ) 100 = 200 - 4x 18 = xbruker - 6 Snakk med vie) ikke enheter i modeller og likninger. Det er derfor nødvendig å skrive svarsetning med riktig måleenhet etter at likningen er løst.

Oppgave 7.29 og 7.30 Oppgaver som løses på samme måte som den i samtalen. Oppgave 7.31 Fordi elevene her skal lage tekstoppgaver, har vi satt inn måleenheter i modellene. Måleenhetene må ikke brukes i likningen.

Hva står x for i teksten og finne svar på dette. Løs likningen. a) 4x + 5 = 17 d) 30 = 2x + 20 elevene om at

07.12.2017 11.16

Jeg tegner modeller og skriver x i den tomme ruta. Da kan jeg lage en likning.

Svar: Alina solgte sykkelen for 700 kr.

7.29

7.30

7.31

Ine har 300 kr. Hun får penger av mormor. Da har hun 550 kr. Hvor mange kroner fikk Ine av mormor? Skriv som likning, og regn ut.

300 550

Jon kjøper to flasker med vann og en jus. En jus koster 25 kr. Til sammen betaler han 65 kr. Hvor mange kroner koster en flaske med vann? Skriv som likning, og regn ut.

Lag en tekstoppgave som passer til hver av modellene nedenfor. Skriv som likning, og regn ut. a) b) 25 x x 2 60

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 23

Algebra

07.12.2017 11.16

Forklaring 7 • Algebra

7.32

7.33

7.34

7.35

Isak har matpakke og tre bøker i sekken sin. Matpakken veier 400 g. Til sammen veier innholdet i sekken 1900 g. Hvor mye veier hver bok, når alle bøkene veier like mye? Skriv som likning, og regn ut.

Amir og Zara er 15 år til sammen. Amir er 3 år eldre enn Zara. Skriv som likning, og regn ut. a) Hvor gammel er Zara? b) Hvor gammel er Amir?

Robin tenker på to tall. Summen av tallene er 152. Det største tallet er 30 mer enn det minste tallet. Hvilke to tall tenker Robin på? Skriv som likning, og regn ut.

400

1900

Amir

Oppgave 7.35 Når elevene lager tekstoppgaver til disse modellene, velger de måleenhetene selv. I oppgave b) er alle boksene like store.

3 15

Zara

Tall 1

Oppgave 7.32–7.34 Disse tekstoppgavene gir litt ulike typer likninger. Elevene får god hjelp av modellene.

30 152

Tall 2

Oppgave 7.36 Her kan elevene enten prøve å lage likningen direkte, eller de kan tegne modell.

Lag tekstoppgaver som passer til hver av modellene nedenfor. Skriv som likning, og regn ut. a) b) x x x 16 20 ?

7.36

På en fotballkamp er det 21 000 tilskuere. Av tilskuerne er det dobbelt så mange jenter som gutter. a) Hvor mange er gutter? b) Hvor mange er jenter?

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 24

07.12.2017 11.16

Finn ut Når elevene bruker regneark på denne måten, vil de få erfaring med hvordan verdien av en variabel påvirker resultatet.

Finn ut Pål får tilbud om en jobb. Han kan velge om han vil tjene 2500 kr per måned + 100 kr per time eller 1000 kr per måned + 150 kr per time. Hvor mange timer må Pål jobbe for at det andre tilbudet skal lønne seg? Bruk regneark til å løse oppgaven.

Sant eller usant Elevene skriver de setningene som er sanne, i boka si. La dem lese opp setningene, og la dem argumentere for hvorfor utsagnene er sanne.

Hvilken formel må du sette inn i cellene E2 og E3 for at regnearket skal regne ut for deg? Hva skal dere skrive i kolonne D? 152 Hm! Hvilket tilbud lønner seg?

nedenfor.

rne er det

Sant eller usant 20

Skriv setningene som er riktige. • Det kalles tallfølge når man har en tilfeldig rekke med tall etter hverandre. • En formel er en regel skrevet med tall og bokstaver. • En likning skal ha lik verdi på begge sider av likhetstegnet.

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 25

07.12.2017 11.16

Algebra 21

Forklaring Oppsummering

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

Tallmønster Tall plassert etter hverandre etter et bestemt mønster kalles en tallfølge. For eksempel: 2, 4, 6, 8 er en tallfølge hvor mønsteret øker med to. Å lage formler med addisjon og subtraksjon En formel er en regel skrevet med tall og bokstaver. Når vi har et tallmønster satt i system, kan vi lage en formel. I tabellen nedenfor ser vi at Mio alltid vil være to år eldre enn John. Hvis vi sier at John sin alder er n, vil Mio sin alder da måtte være n + 2. Johns alder

Mios alder

n kan være hvilket som helst nummer i rekken.

Å lage formler med multiplikasjon

Kasse 1 Kasse 2 Kasse 3 Mønsteret i figurene ovenfor viser at du for hver blomsterkasse kan multiplisere med 3 for å finne antall blomster i neste kasse. Formelen vil derfor måtte være: 3 · n.

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 26

07.12.2017 11.16

Formler i praktiske situasjoner Formelen for hvor mye du tjener på en dag med en timelønn på 80 kr, kan for eksempel være: S = 80 · n. S = total sum

80 = timelønn

n = antall timer

I et tidligere eksempel oppgis denne formelen: L = 120 + n · 80. L = total sum 120 = fast ukelønn n = antall timer 80 = timelønn Når n erstattes med det antall timer man jobber, er det mulig å regne ut korrekt lønn. Likninger En likning er som en likhet med en eller flere ukjente verdier. Vi løser likningen slik:

2x + 1 = 15

2x + 1 = 15 2x + 1 - 1= 15 - 1 2x = 14 2x = 14 2 2 x = 7 Å løse tekstoppgaver som likning x

50 750

Å tegne modeller, og å skrive x i den tomme ruta, kan være en fin måte å sortere og visualisere informasjonen på.

Likning: 50 + x = 750

Radius 7B_BM_Kap 7_til trykk.indd 27

Algebra

07.12.2017 11.16

Dette har jeg lært i kapittel 7 Tom sin alder

Navn:

Eli sin alder

1 Når Tom er 11 år, er Eli 18 år. a) Skriv i tabellen slik at den viser Tom sin alder og Eli sin alder fra Eli er 18 til 21 år. b) Hvor mange år er Tom når Eli er 20 år? c) Lag en formel som viser hvor mange år Eli er når Tom er n år.

2 En blomstervase koster 50 kr. En rose koster 7 kr. a) Skriv i tabellen hvor mye en vase med 5 roser koster, og hvor mye en vase med 10 roser koster. Vi kaller prisen for en vase med roser for P og antall roser for r. b) Lag en formel som viser hvor mye en vase med r roser koster. Antall roser (r)

Pris for en vase med roser (P) kr

50 + 1 ∙ 7 = 57

5 10 r 3

x+4=9

x – 3 = 11

15 = 7 + x

5x = 15

3x + 2 = 14

31 = 3x + 4

Kapittel 7 Algebra

Mål • • • • •

Vite hva blandet tall og uekte brøk er Vite hva likeverdige brøker er Kunne utvide en brøk Kunne forkorte en brøk Kunne addere og subtrahere brøker med ulik nevner • Kunne addere og subtrahere der brøk og hele tall inngår

Begreper • • • • • • • • •

teller nevner brøkstrek likeverdige brøker fellesnevner blandet tall uekte brøk utvide forkorte

Introduksjon til kapittel 8 Å forstå brøk Selv om begrepet brøk innføres allerede på småtrinnet og vi arbeider mye med brøk gjennom hele mellomtrinnet, er det ikke uvanlig å møte elever på ungdomstrinnet som sier: «Jeg skjønner ingen ting av brøk.» Det viser seg imidlertid at det ikke er brøk som begrep som er vanskelig. Gjennom konkret arbeid med brøk får de fleste elevene god forståelse av brøk som begrep. Problemene oppstår først når de skal begynne å regne med brøk. Det blir ofte til at regning med brøk blir rein «regelregning» og dermed vanskelig å huske. Når elevene begynner å regne med brøk og regnereglene innføres, er det nødvendig at dette ledsages av konkreter og modeller. Det å bruke konkreter, tallinje og modeller er med på å utvikle forståelsen for regnereglene for brøk. På 5. trinn, i kapittel 11, presenterte vi et opplegg hvor elevene lagde sitt eget brøksett og brukte dette til oppgaver om likeverdige brøker og til addisjon og subtraksjon av brøk. Oppgavene i kapitlet viser også

Forklaring Samtale Bildet viser en situasjon fra kjøkkenet. Svein skal lage kjøttkaker i brun saus og har oppskriftene oppslått på benken.

Brøk

Samtalen handler om forståelsen av desimaltall og brøk. Gå først gjennom oppskriftene. Forstår alle elevene forkortelsene som er brukt? I oppskriftene finner vi også både ekte brøker og blandede tall. Bruk spørsmålene som står i boka. Legg merke til hvordan elevene presenterer den doblede oppskriften. Hva er det dobbelte av 1 12? Hva er det dobbelte av 14? Noen sier kanskje 12, mens andre sier 2 . Snakk sammen om dette. 4 Etter at dere har samtalt rundt disse spørsmålene, kan du utfordre elevene til å lage flere spørsmål ut fra det de ser på tegningen.

Svein har 0,5 L melk. Har han nok melk til kjøttkakene? Dersom Svein kun har et målebeger som rommer 2,5 dL, hvor mange ganger må han måle opp 2,5 dL for å få 1 1 L kraft? 4 Hvor mange teskjeer salt trenger Svein for å lage kjøttkaker og brun saus? Mia dobler kjøttkakeoppskriften, hvor mye trenger hun av de ulike ingrediensene?

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 28

Kapittel 8 Brøk

07.12.2017 11.19

hvordan elevene kan bruke tallinje og modeller for å sammenlikne brøker og for å regne med brøk.

Eksempel: I denne sirkelen representerer det skraverte området, skrevet som brøk, 14 av hele sirkelen. Skrevet som desimaltall blir det 0,25. Her uttrykker både brøken og desimaltallet den eksakte verdien. 1 + 1 + 1 + 1 = 4 = 1 og 4 4 4 4 4

Det er tre måter å forstå brøk på: brøk som del av hel, brøk som del av mengde og brøk som forholdstall. I tillegg kan vi se på brøk som svaret på en divisjon. Med brøk kan vi angi en divisjon eksakt uten å bruke rest.

0, 25 + 0,25 + 0,25 + 0,25 = 1

Hvis vi for eksempel har brøken 15, er det vanlig å lese denne som «en femdel». Det forteller oss at brøken representerer én av fem like store deler som til sammen danner den hele.

I denne sirkelen representerer det skraverte området, skrevet som brøk, 13 av hele sirkelen. Skrevet som desimaltall blir det omtrent 0,33. Her uttrykker brøken den eksakte verdien, mens desimaltallet uttrykker en tilnærmet verdi.

Brøk brukes til å uttrykke verdier som befinner seg mellom de hele tallene. Dette kan vi også bruke desimaltall til. Mange spør derfor hvorfor vi trenger brøk når desimaltall er mye lettere. Svaret på det er at desimaltall er spesialtilfeller av brøk. Brøk er en eksakt verdi, desimaltall er ofte en tilnærmet verdi. Det er mye lettere å forstille seg en størrelse som del av en hel når den angis som brøk, enn når den angis som desimaltall. For eksempel er det mye lettere å se for seg hvor mye av en pizza er, enn hvor mye 0,125 pizza er.

1 3

+ 31 + 31 = 33 = 1 og

0,33 + 0,33 + 0,33 = 0,99 Det kan oppfattes som lettere å regne med desimaltall enn med brøk, men hvis man ikke forstår brøk, forstår man heller ikke desimaltall.

Forklaring Mål for kapitlet • • • • • •

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 29

Vite hva blandet tall og uekte brøk er Vite hva likeverdige brøker er Kunne utvide en brøk Kunne forkorte en brøk Kunne addere og subtrahere brøker med ulik nevner Kunne addere og subtrahere der brøk og hele tall inngår

07.12.2017 11.19

Brøk 25

Å lage sitt eget brøksett Denne aktiviteten presenterte vi i kapittel 11 i Lærerens bok 5B og i Lærerens bok 6B kapittel 7. Hvis elevene har lagd brøksettet tidligere, og har tatt vare på brikkene, kan dere ta brøksettene fram igjen og la elevene bruke dem. Hvis ikke presenterer vi hele opplegget på nytt slik at dere har muligheten til å lage det nå. Det viser seg at mange elever har mangelfull forståelse av brøk. Ved å lage sitt eget brøksett slik som vi beskriver i denne aktiviteten, får de erfaring med hva en brøkdel egentlig er. Utover i kapitlet har vi flere oppgaver og aktiviteter hvor elevene bruker sitt eget brøksett. Det fins ferdige brøkstaver som representerer det samme, men vi mener det har enda større verdi for elevene å bruke det de har lagd selv, og har erfart hvordan blir til. Mål: Å se og forstå de relative verdier av brøker ved hjelp av konkreter.

Utstyr: Blyant, saks, remser av stivt papir (A4 delt i 4 remser på langs, ca. 5 x 30 cm), i fem ulike farger for «SETT 1» og i tre andre ulike farger for «SETT 2». NB! Det er viktig at elevene selv lager materiellet, men at læreren har lagd ferdige remser som beskrevet ovenfor.

SETT 1 1. Hver elev får 5 remser i ulike farger. Det er lurt at én er svart, denne skal være en hel og blir lik hos alle. 2. Snakk med elevene om at alle remsene er en hel, men at noen skal deles opp i brøkdeler 3. Merk den svarte remsa med «1 HEL». 4. Ta en annen remse, brett den nøyaktig på midten. a. Brett først slik at hjørnene ligger helt sammen, lag så bretten på midten b. Spør: «Hvor mange deler vil du ha når du bretter ut igjen?» c. Brett ut, og tell. 5. Merk hver del med 12, og klipp over i bretten. 6. Ta en annen remse, brett den nøyaktig på midten først én gang, så én gang til. a. Spør: «Hvor mange deler vil du ha når du bretter ut igjen?» b. Brett ut, og tell.

Forklaring 8 • Brøk

Samtale Se på illustrasjonene, og snakk om hva de representerer når vi tenker brøk. Hvor mange deler består helheten av? Hvordan kan vi skrive, som brøk, det den røde remsa i figuren til venstre representerer? Hvorfor får vi 5 i nevneren, og hva forteller den oss? Hva forteller telleren oss? Utfordre elevene til å lage brøker til bildet til høyre. La dem presentere brøkene og fortelle hva de representerer.

Repetisjon av brøk Samtale

Hvilke brøker passer til bildene? Tegn en figur som passer til brøken 3. 4 Skriv og tegn brøken som har 2 i teller og 3 i nevner.

Det er to utfordringer til slutt i samtalen på rasteret. Fordel oppgavene på elevene, som kan arbeide i læringspar. La elevene få presentere løsningene sine.

8.1

Hvilke brøker passer til tegningen? a)

Oppgave 8.1–8.3 Disse oppgavene er samme type utfordringer som elevene fikk i samtalen.

8.2

Tegn figuren til høyre. a) Fargelegg 2 av figuren blå. 7 b) Fargelegg 3 av figuren rød. 7 c)

Hvor stor del av figuren er ikke fargelagt?

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 30

Brøk

07.12.2017 11.19

10. Ta den siste remsa, brett nøyaktig på midten fire ganger, denne gangen må du være veldig nøyaktig. a. Spør: «Hvor mange deler vil du ha når du bretter ut igjen?» b. Brett ut, og tell. 1 , og klipp over i brettene. 11. Merk hver del med 16

7. Merk hver del med 14, og klipp over i brettene. 8. Ta en remse til, brett den nøyaktig på midten tre ganger. Vær nøyaktig alle gangene! a. Spør: «Hvor mange deler vil du ha når du bretter ut igjen?» b. Brett ut, og tell. 9. Merk hver del med 18, og klipp over i brettene. Alle elevene vil nå ha hvert sitt brøksett som kan se slik ut:

1 HEL

1 2

1 4

1 8

1 4 1 8

1 8

1 4 1 8

1 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

Oppbevar settet i konvolutt med elevens navn utenpå.

Forklaring 8.3

Tegn bilder eller figurer som passer til brøken. a)

8.4

8.5 8.6

2 5

1 3

Oppgave 8.4 Tekstoppgave som minner elevene om at samme som 12.

7 10

2 6

Skriv fem ulike brøker som har a) 5 i teller b) 5 i nevner

4 8 2 5

8 4 2 3

Skriv som brøk. a) en firedel d) en todel

b) e)

1 10 1 3

1 7

1 3

b) to tredeler e) seks seksdeler

c) f)

1 1 3 6

12 24

er det

Oppgave 8.5 En øvelse i forskjellen på teller og nevner.

teller nevner

Oppgave 8.6 Sammenlikning av brøker ut fra kunnskapen om teller og nevner.

Sett inn riktig tegn (<, > eller =.)

8.8

I klasse 7A er det 12 gutter og 12 jenter. a) Hvor stor brøkdel av elevene er jenter i 7A? b) Halvparten av elevene i 7A er gutter. Skriv brøken.

8.7

3 6

7 7 8 16

Oppgave 8.7 Elevene skal omsette muntlig angivelse av brøk til brøk skrevet med tall.

c ) ni sjudeler f ) åtte nideler

Oppgave 8.8 I denne repetisjonsoppgaven får elevene støtte i illustrasjonen.

Selma får 1 av 400 kr. 4 Hvor mange kroner får Selma? Sammen Hvor mange tredeler er det i én hel? Hvor mange tredeler er det i to hele? Hvor mange seksdeler er det i to hele?

Sammen I denne sammenoppgaven repeterer elevene brøk som mer enn én hel. 31

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 31

07.12.2017 11.19

Brøk 27

Jobb mye med SETT 1 før dere lager SETT 2.

Oppgaver med sett 1

Da elevene lagde settet sitt, erfarte de at 1 HEL = 22 = 44 = 88 = 16 16 Dette kan de se helt konkret hvis de legger bitene på eller rett under den hele. La elevene øve seg på å skrive en hel som ulike brøker. Dette vil være til stor hjelp når de skal begynne å regne med brøk. Elevene kan løse oppgavene som følger under her, med brøksettene sine.

Oppgave B Bruk brøksettet ditt, og finn ut. Det skal bli en hel til sammen. Skriv brøken som mangler. 3 og 4

4 og 8

7 og 8

3 og 8

10 og 16

8 og 16

Oppgave A Bruk brøksettet ditt, og finn ut. Det skal bli en hel til sammen. Skriv brøken som mangler.

Oppgave C Bruk settet ditt, og finn ut. Per hadde en mugge med 1 L saft.

1 og 2

1 og 4

2 og 4

1 og 8

2 og 8

5 og 8

Han drakk opp 8 av saften. Hvor mye saft hadde han igjen? Skriv svaret som brøk.

Forklaring 8 • Brøk

Samtale Les om uekte brøk og blandet tall på side 31 før du gjennomfører denne samtalen.

Mer enn en hel Samtale En mengde som er større enn én hel, kan skrives både som uekte brøk og blandet tall.

Ut fra den tegnede modellen vil elevene kunne se sammenhengen mellom den uekte brøken og det blandede tallet. Understrek at disse har samme verdi. La elevene selv få sette ord på hvorfor de har samme verdi.

5 2 uekte brøk

21 2

blandet tall

I en uekte brøk er telleren større enn nevneren. Et blandet tall består av et helt tall og en ekte brøk. Er 11 en uekte brøk eller et blandet tall? 4 Skriv en uekte brøk som har 6 i telleren.

Det kan være lurt å bruke brøksettene også i forståelsen av blandet tall og uekte brøk.

Skriv et blandet tall som har 3 i telleren.

Differensiering De elevene som strever med oppgavene på dette oppslaget, kan løse oppgavene med brøksettet som står øverst på side 32. Oppgave 8.9 Oppgaven har tegnede modeller som visualisering for elevene.

8.9

Se på figurene. Skriv som blandet tall og uekte brøk. a) b) c)

8.10

Lag en tegning som passer til de uekte brøkene nedenfor, og skriv som blandet tall. a) 4 b) 7 c) 8 d) 13 3 5 4 6

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 32

Brøk

07.12.2017 11.19

Sammen Når elevene arbeider med denne oppgaven, er det en fordel at de har ruteark med 1 cm ∙ 1 cm ruter og saks.

SETT 2 Sett 2 består av hele sett 1 + tre nye remser av farget (nye farger) stivt papir (A4 delt i 4 remser på langs, ca 5 x 30 cm). 1. Ta en remse, sett merker ved 10 og 20 cm. a. Brett om disse 2 linjene, slik at remsa blir delt i 3 like deler. 2. Merk hver del med 13, og klipp over i brettene. 3. Ta en ny remse, lag nye tredeler og brett hver tredel på midten. 4. Merk hver del med 16, og klipp over i brettene. 5. Ta den siste remsa lag seksdeler av den og brett hver del på midten. 1 6. Merk hver del med 12 , og klipp over i brettene.

1 3

1 6

1 12

Se på de tre delene som barna får av sjokoladen. Snakk med elevene om hva de kan si om størrelse og form på delene. Hva er viktig for at hver bit skal være like stor brøkdel av hele sjokoladen?

1 12

1 3

1 6

1 12

1 6 1 12

1 12

1 6 1 12

1 12

1 6 1 12

1 12

Forklaring Blandet tall til uekte brøk

Oppgave 8.10 La de elevene som trenger det, tegne modeller.

Samtale Skriv 2 1 som uekte brøk. 4 21 = 4

1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

4 4

Samtale Modellene hjelper elevene til å se tydelig at det er fire firedeler i én hel. Snakk med eleven om hva modellene viser, og de to ulike måtene å skrive det på, som uekte brøk og som blandet tall.

1 4

21 = 9 4 4 Hvordan vil dere skrive 3 4 som uekte brøk? 6 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6

1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6

1 1 1 1 6 6 6 6

Oppgave 8.11 Elevene anvender den kunnskapen som de fikk i samtalen.

34 = 6

8.11

8.12

Gjør om fra blandet tall til uekte brøk. b) 1 5 c) 2 3 a) 3 1 7 6 4 e) 4 1 f ) 35 g) 4 2 2 8 5

d) 2 1 3 h) 4 4 6

Oppgave 8.12 Elevene skal finne de blandede tallene og de uekte brøkene som hører sammen.

Finn løsningsordet. Skriv bokstavene i samme rekkefølge som de uekte brøkene. k 31 2

f 13 4 7 4

l 22 5 12 5

17 4

n 42 3 14 3

i 41 4 7 2

e 32 5

17 5

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 33

07.12.2017 11.19

Brøk 29

Oppgaver med brøksettet Oppgave A Bruk brikker fra brøksettet og finn ut. Sorter brøkene fra minst verdi til størst verdi.

Oppgave C Bruk brikker fra brøksettet og finn ut. Sorter brøkene fra minst verdi til størst verdi.

5 8 3 16 , 16 , 16

5 5 5 12 , 6 , 8

Oppgave B Bruk brikker fra brøksettet og finn ut. Sorter brøkene fra minst verdi til størst verdi.

Oppgave D Bruk brikker fra brøksettet og finn ut. Sorter brøkene fra minst verdi til størst verdi.

6 1 3 12 , 12 , 12

4 4 4 8 , 6 , 16

Forklaring 8 • Brøk

Samtale Se på modellen. Hvor mange tredeler er det i én hel? Hvor mange hele blir det? Hvor stor brøkdel gjenstår?

Uekte brøk til blandet tall Samtale Skriv 8 som blandet tall. 3 8= 3

1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 1

Oppgave 8.13 La de elevene som trenger det, få tegne modeller.

8 = 22 3 3

2 3

Skriv 10 som blandet tall. 4 1 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 4

Oppgave 8.14

22 3

1 1 4 4

Skriv 14 som blandet tall. 5

Differensiering De elevene som ikke husker hvordan de skal addere brøker med lik nevner, kan gjøre oppgavene på side 40 med brøksettene sine.

8.13

Gjør om til blandet tall. a) e)

8.14

6 4 7 3

b) f)

7 6 14 3

c) g)

12 5 19 8

d) h)

9 4 16 4

Regn ut. Skriv svaret som blandet tall. a) d)

3+ 2= 4 4 13 4 = 2 2

b) e)

6+ 7 = 8 8 18 7 = 6 6

c) f)

3+ 4= 5 5 24 9 = 8 8

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 34

Brøk

07.12.2017 11.19

Uekte brøk og blandede tall Vi bruker ekte brøk for å beskrive en verdi som ligger mellom 0 og 1 på tallinja. En ekte brøk har altså en verdi som er mindre enn 1 hel. I en ekte brøk er derfor telleren mindre enn nevneren. Vi bruker uekte brøk for å beskrive en verdi som er større enn 1. En uekte brøk har altså en verdi som er større enn 1. I en uekte brøk er derfor telleren større enn nevneren.

ekte brøk, men vi utelater addisjonstegnet. For elever som syns det er vanskelig å forstå blandet tall, går det an å si at det står et usynlig «plusstegn» mellom det hele tallet og den ekte brøken. For å kunne addere det hele tallet med den ekte brøken må vi gjøre om heltallet til en uekte brøk med samme nevner som den ekte brøken. Eksempel 1 143 = 44 + 43 = 74 = 41

Et blandet tall består av et helt tall og en ekte brøk. I stedet for å skrive en uekte brøk kan den samme verdien uttrykkes med blandet tall.

Eksempel 2

Eksempel 3 er en ekte brøk. Telleren er mindre enn nevneren, 4 og verdien er mindre enn 1.

3 25 = 55 + 55 + 55 + 25 = 17 5

7 4

er en uekte brøk. Telleren er større enn nevneren, og verdien er større enn 1. 1 34 er et blandet tall. Det består av et helt tall og en ekte brøk. Verdien er større enn 1. Når vi skriver en uekte brøk som blandet tall, skriver vi egentlig en sum som består av et heltall og en

3 25 = 15 + 25 = 17 5 5 eller

Det er mest vanlig å regne slik som den første utregningen i eksempel 2, men for disse elevene er også uekte brøk et nytt begrep. Elevene kjenner godt til at en hel kan skrives som en brøk med lik teller og nevner, derfor kan den andre utregningen i eksemplet være lettere å forstå. Når elevene skal regne motsatt vei, gjøre om uekte brøk til blandet tall, kan de først analysere den uekte brøken for å se hvor mange hele den inneholder.

Forklaring 8.15

Sett inn riktig tegn (<, > eller =). 9 31 4 4 d) 4 6 34 = 7 7

b) 2 5 6 e) 1 6 9

12 6 18 = 9

c) f)

25 8 17 4

51 8 43 4

Oppgave 8.15 Sammenlikning av uekte brøk og blandet tall.

8.16

Endre drikker 4 L vann. 5 Daniel drikker 3 L vann. Hvor mange liter vann drikker de 5 til sammen? Skriv svaret som blandet tall.

Oppgave 8.16 og 8.17 En oppgave i kontekst hvor eleven skal addere og subtrahere brøker med lik nevner.

8.17

Jenny skal lage grøt. Hun trenger 3 L melk. Hun har 1 L. 4 Hvor mange liter melk har hun til overs?

Oppgave 8.18 Sammenlikning av uekte brøk og blandet tall.

8.18

Hvilket blandet tall og hvilken uekte brøk hører sammen? 14 3

14 4

17 5

21 4

23 3

32 4

72 3

42 3

32 5

51 4

Sammen Elevene skal prøve seg på addisjon av blandede tall. La elevene få presentere hvordan de har tenkt.

Sammen Tegn en modell til brøkene 4 3 og 1 2 . 4 4 • Regn ut 4 3 + 1 2 = 4 4 • Regn ut 4 3 - 1 2 = 4 4 • Lag en tekstoppgave til en av oppgavene ovenfor.

4= 5 9 - = 8

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 35

07.12.2017 11.19

Brøk 31

Skriv som uekte brøk

Eksempel 1 5 4

= 44 + 41 = 1+ 41 = 141

Eksempel 2 17 5

Aktivitet med brøksettet La elevene arbeide sammen i læringspar eller grupper. Da har de flere brøksett og kan lage blandede tall, veksle inn i brøkdeler og lage uekte brøk. Eksempel Skriv 1 34 som uekte brøk. Elevene legger fram 1 HEL og 3 stykk 14. De veksler så inn den hele i 4 stykk 14. Da har de 7 stykk 14. 1 HEL 1 4

1 4

1 14 =

= 55 + 55 + 55 + 25 = 3 25

1 4

Skriv som blandet tall

1 56 =

1 38 =

C D E

6= 4 9= 6 13 = 8 19 = 12 31 = 16

5 = 1 12

7 = 1 16

Elevene skriver: 1 43 = 44 + 43 = 74 .

Forklaring 8 • Brøk

Samtale Samtalen handler om addisjon og subtraksjon av blandede tall. På rasteret er det tegnet en halvkonkret framstilling av saftflaskene til Sindre. Hvordan vil dette se ut med vanlige brøkmodeller? Tegn sammen. Svaret blir 3 24. Spør elevene om de kan skrive dette på en annen måte.

Regning med blandet tall Samtale Sindre skal dele ut saft under tirsdagsløpet. Han har 2 1 L solbærsaft 4 og 1 1 L appelsinsaft. Hvor mange liter saft har han? 4

21 4

Sindre deler ut 1 3 L saft. Hvor mange liter saft har Sindre igjen? 4 3 2 - 1 3 = 14 - 7 = 7 = 1 3 4 4 4 4 4 4 -

7 4

8.19

Regn ut. a) 4 1 + 2 2 = 4 4 d) 7 1 + 2 3 = 6 6

9 4

10 4

11 4

12 4

13 4

14 4

b) 2 2 + 4 1 = 5 5 e) 2 8 + 4 3 = 14 14

c) 3 4 + 4 3 = 8 8 f) 4 10 + 3 12 = 24 24

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 36

Brøk

8 4

7 4

Svar: Sindre har 1 3 L saft igjen. 4

Nederst på rasteret har vi vist subtraksjonen på tallinje.

2 + 1 + 1 + 1 = 32 4 4 4

Svar: Sindre har 3 2 L saft. 4

Neste oppgave på rasteret handler om subtraksjon av blandede tall. Se på oppgaven. I addisjonsoppgaven adderte vi først de hele, så brøkene. Hva skjer hvis vi bruker samme strategi her? I slike tilfeller er det lurt å gjøre om til uekte brøk før vi subtraherer. Snakk med elevene om når det er enklest å subtrahere blandede tall direkte, og når det er lurt å gjøre om til uekte brøk før vi subtraherer.

Oppgave 8.19 Samme type addisjonsoppgaver som i samtalen.

11 4

07.12.2017 11.19

Grublis med blandede tall og uekte brøk Familien Foss består av mor, far, Liv og Tor. De er på Kalles og spiser pizza. De bestiller 4 hele pizzaer. Tor spiser 3 pizza. Far spiser dobbelt så mye som Tor, og 4 Liv spiser halvparten så mye som Tor. Mor spiser like mye som Tor og Liv til sammen. Hvor mye spiser hvert av medlemmene i familien Foss? Hvor mye pizza er det igjen når de er ferdige med å spise?

Forklaring 8.20

Regn ut. a) 3 3 - 1 2 = 4 4 d) 4 5 - 1 3 = 6 6

2 1 L solbærsaft 4

8.21

8.22

8.23

8.24

b) 4 1 - 3 2 = 6 6 e) 3 1 - 2 1 = 2 2

c) 5 7 - 3 8 = 9 9 f) 7 4 - 5 6 = 7 7

b) 2 3 + 1 3 = 5 5 e) 3 1 + 2 1 = 2 2

c) 2 7 + 4 6 = 8 8 f) 4 1 + 2 6 = 7 7

Oppgave 8.20 Disse subtraksjonsoppgavene kan løses uten å gjøre om til uekte brøk. Oppgave 8.21 Subtraksjonsoppgaver hvor det kan lønne seg å gjøre om til uekte brøk før subtraksjon. Oppgave 8.22 I denne oppgaven blir svaret direkte et helt tall og en uekte brøk. La elevene komme med forslag til hvordan de kan få svaret til å bestå av et helt tall og en ekte brøk.

Regn ut. a) 1 3 + 2 2 = 4 4 d) 1 3 + 1 3 = 5 5

indre igjen?

c ) 6 12 - 3 8 = 14 14 f) 3 6 - 2 1 = 10 10

Regn ut. a) 2 1 - 1 2 = 3 3 d) 4 5 - 1 6 = 7 7

1 + 1 = 32 4 4 4

b) 4 4 - 2 3= 6 6 e) 7 7 - 2 6 = 8 8

Janne drikker 1 1 L jus. Inger drikker 1 1 L jus. 2 2 a) Hvor mange liter jus drikker jentene til sammen? Sander drikker 3 L jus. 4 b) Hvor mye mer jus drikker Inger enn Sander?

Oppgave 8.23 og 8.24 Oppgaver i kontekst med addisjon og subtraksjon av blandede tall.

Magnus har med seg to vannflasker som rommer 2 1 L til sammen. 4 Magnus drikker 1 2 L vann. 4 a) Hvor mange liter vann har han igjen? Magnus søler ut halvparten av vannet han har igjen. b) Hvor mange liter vann har Magnus igjen nå?

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 37

07.12.2017 11.19

Brøk 33

Vi kan bruke to ulike modeller, her kaller vi dem for modell A og modell B. Eksempel: Eva bruker 100 kr på et skjerf, det er 25 av månedslønnen hennes. Hvor mange kroner får Eva i månedslønn? 100 kr

} 1 5

1 5

Hele månedslønnen

}

Visualisert med modell B: Hele månedslønnen

}

Modell B ferdig utfylt blir slik: Hele månedslønnen 50 kr 50 kr 50 kr 50 kr 50 kr

}

Begge modellene viser det samme. Fordi vi vet hvor mye er, kan elevene dele hele månedslønnen opp i fem deler. Modellen viser at 100 kr er to slike deler. Da er det lett å se at det må stå 50 kr i hver femdel, og at hele månedslønnen blir 250 kr. Det er det samme som vises i begge modellene.

}

Bruk av modeller for å forstå brøk For mange elever kan det være god hjelp å bruke modeller for å visualisere problemstillingen når de regner med brøk.

100 kr

Det fins ingen standardmodell for hvordan brøk skal visualiseres. Poenget ved å bruke modeller er at elevene skal få visuell støtte når de løser vanskelige oppgaver. Det er fint om de får prøve ut flere modeller og se hva som passer best for seg selv, og for de ulike oppgavetypene som de møter. Kanskje er det en helt annen måte å visualisere problemet på som passer enda bedre for enkelte elever. Hovedpoenget med disse modellene er at den hele deles opp i like mange, like store deler som nevneren i brøken sier. I oppgaver hvor en brøkdel er

Forklaring 8 • Brøk

Samtale Modellen i denne samtalen viser sammenhengen mellom brøker med ulik nevner. Tabellen kan virke uoversiktlig for en del elever. Dere kan gjerne bruke brøksettene i stedet. Disse er konkrete, og de kan sortere ut brøkdeler som passer sammen. La elevene finne flere brøker som har samme verdi.

Likeverdige brøker Samtale To forskjellige brøker som har lik verdi, kaller vi likeverdige brøker.

1 3

1 1

1 2

1 3

1 3 1 1 1 1 4 4 4 4 1 1 1 1 1 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 6 6 6 6 6 6 1 1 1 1 1 1 1 1 8 8 8 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 Hvor mange åttedeler er det i to firedeler? Hvilke tall mangler slik at brøkene har lik verdi? 1 =2 4

8.25

2= 5 10

4 =2 12

Skriv de likeverdige brøkene som passer til illustrasjonen. a)

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 38

Brøk

07.12.2017 11.19

kjent (for eksempel 14 = 3), kan de bruke modellen til å finne hvor mye en hel er. Der hvor mer enn én brøkdel er gitt i oppgaven (for eksempel 25), kan elevene bruke modellen til å finne hvor mye en brøkdel er, for så å finne hvor mye en hel er. Brøk med lik verdi I arbeidet med likeverdige brøker er elevenes brøksett svært anvendelig. Da elevene lagde settet sitt, erfarte de at 1 HEL = 22 = 44 = 88 = 16 . 16

1 2 1 4

1 8

1 4

1 8

1 6 1 12

1 12

1 3

1 6 1 12

1 12

1 6 1 12

1 12

1 6 1 12

1 12

1 6 1 12

1 12

Oppsummer funnene i gruppene, og se hvor mange ulike måter elevene har lagd 1 HEL på. Ved å eksperimentere på denne måte legges et grunnlag for å forstå likeverdige brøker. Etterpå kan de gjøre det samme med sett 2 (alle brikkene). Da vil elevene erfare at for eksempel 13 bare lar seg kombinere med seksdeler og tolvdeler.

1 4

1 8

1 3

For eksempel kan 1 HEL være 12 og 24 eller 12, 14 og 28.

1 HEL 1 4

1 3

12 . 12

La elevene først bruke sett 1 og eksperimentere med å lage 1 HEL ved hjelp av ulike brøker. Elevene noterer funnene sine.

Dette kan de se helt konkret hvis de legger bitene på eller rett under den hele.

1 2

Da de utvidet settet, erfarte de at 1 HEL = 33 = 66 =

1 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16

Forklaring 8.26

Skriv en brøk som har lik verdi som a)

8.27

8.28

3 6

3 5

Oppgave 8.25–8.27 Samme problemstilling som i samtalen. La elevene som trenger det, tegne modeller eller bruke tabellen på rasteret.

5 10

Skriv tallene som mangler, slik at brøkene får lik verdi. a)

2 = 3

1= 4

1= 10

6 = 12

= =

2= 5

8 = 14

Differensiering Du finner alternative oppgaver til brøksettet på side 36.

Olivia og bestefar spiser pizza. Olivia spiser 4 av pizzaen sin. 6 Bestefar spiser 7 av sin pizza. Pizzaene er like store. 12 Hvem har spist mest?

Sammen Jeg har spist 1 . 4

Jeg har spist 3 . 8

Oppgave 8.28 En oppgave i kontekst hvor elevene skal sammenlikne brøker med ulik nevner. Sammen I denne oppgaven møter elevene på problemet at ikke alle brøkene kan sammenliknes direkte. La elevene få presentere hvordan de har tenkt når de løste oppgaven.

Jeg har spist 3 . 12

• Hvem av guttene har spist mest kake? • Hvem av guttene har spist minst kake? • Hvor mye kake har guttene spist til sammen?

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 39

07.12.2017 11.19

Brøk 35

Oppgaver og aktiviteter med brøksettet

Spinner til brøkspill

Bruk brikkene og finn ut:

1 2

A. På hvor mange måter kan du skrive 1 ? 2 B. På hvor mange måter kan du skrive 1 ? 4 C. På hvor mange måter kan du skrive 1 ? 3

2 16

1 4

1 16

1 8 2 8

Forklaring 8 • Brøk

Samtale Modellen som presenteres i denne samtalen, er godt kjent for elevene. De har arbeidet mye med forståelsen av likeverdige brøker. Begrepet å utvide en brøk er nytt. Vi bruker begrepet å utvide en brøk når vi multipliserer teller og nevner med samme tall. Vi får en ny brøk som er likeverdig med den første. Slik kan vi lage brøker med lik nevner når vi skal sammenlikne to brøker.

Utvide brøken Samtale Det er lettere å sammenlikne to brøker når de har lik nevner. Hvis brøkene ikke har lik nevner, kan vi utvide brøken eller brøkene slik at de får lik nevner. 1 2 1 4

1 2 1 4

2 4

Jeg vet at 1 er 2 like mye som 2. 4

Modellen viser at når vi deler en halv i to like store deler, får vi to firedeler. Vi sier at vi har utvidet brøken med 2. Når vi utvider en brøk med 2, multipliserer vi både teller og nevner med 2.

Oppgave 8.29 Denne oppgaven visualiserer det å utvide en brøk med 2 for elevene.

1 = 1.2 = 2 2 2.2 4 Hvilken brøk er størst av 2 og 7 ? 3 9

8.29

Oppgave 8.30 Elevene skal sammenlikne brøker ved å utvide den brøken som har minst nevner.

Tegn modellen ved siden av. a) Hvor stor brøkdel er farget rød? b) Del hver brøkdel i to like store deler. Hvor mange deler er modellen delt i nå? c)

Hvor stor brøkdel er farget rød?

d) Utvid brøken 1 med 2. 3

8.30

Hvilken brøk er størst? a)

4 eller 7 5 10

1 eller 2 5 5

4 eller 6 6 12

8 eller 3 12 4

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 40

Brøk

07.12.2017 11.19

Et spill med brikkene i SETT 1: Dekk over 1 HEL 2–6 spillere Mål: Oppdage brøker som til sammen blir en hel, og oppdage likeverdige brøker. Utstyr: SETT 1, en brøkspinner, blyant og binders til spinneren. Elevene starter med «1 HEL»-remsa foran seg. De andre brikkene ligger på bordet. Spinn etter tur. Plasser den eller de viste brøkdelen(e) oppå «1 HEL».

Et vanskeligere spill med brikkene i SETT 1: Veksle inn, og kle av 1 HEL Elevene starter med «1 HEL» dekket med 2 halve. Spinn etter tur. Hva du enn får, må du ta vekk den brøken bindersen peker på. Hvis du for eksempel får 1 , må du først veksle inn 12 i 48 før du kan ta vekk 18. 8 Da ligger det 12 og 38 på den hele. Du har kledd av 18. Fortsett med å spinne, veksle og kle av, alt etter hva spinneren viser. Den første spilleren som får kledd akkurat av hele sin «1 HEL», har vunnet.

Variant De samme spillene kan spilles med SETT 2.

Den første spilleren som akkurat får dekket sin «1 HEL»-remse, vinner.

Forklaring 8.31

Hvilke brøker har lik verdi? 1 2

4 6

3 8

8.32

6 16

2 3

Oppgave 8.32 En øvingsoppgave i å utvide brøker.

1 2

3 4

1 6

1 25

Oppgave 8.33 Elevene må finne ut hvilket tall brøkene er utvidet med, for å løse oppgaven.

Skriv de likeverdige brøkene. a)

8.34

3 4

Utvid brøken med 4. a)

8.33

Oppgave 8.31 Elevene kan bruke metoden med å utvide brøker for å finne dem som har lik verdi.

9 18

6 8

4 = 16 5

2= 8 24

6 = 18 12 36

4 = 36 7

5 = 10 9 18

6 = 36 7 42

Hvilke tall har vi utvidet brøken med? a)

1= 2 5 10

2= 6 3 9

Oppgave 8.34 Elevene må finne ut hvilket tall brøkene er utvidet med.

Sammen

Sammen Etter at elevene har løst denne sammenoppgaven, kan de få en tilsvarende oppgave, for eksempel med 4-deler og 8-deler eller 4-deler og 12-deler, som de løser ved å tegne modell.

Ada har 100 kr. Hun bruker 1 av pengene på bussbillett og 5 4 av pengene på frukt. Resten av pengene sparer hun. 10 Hvor mange kroner sparer Ada? 100 kr

bussbillett frukt

8 eller 3 12 4

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 41

07.12.2017 11.19

Brøk 37

Spill Lunsjbingo med brøk Elevene spiller på hver sin kupong. Spillet ledes av læreren. Mål: å oppdage og få erfaring med likeverdige brøker. Utstyr: Lunsjbingokuponger, spinner for lunsjbingo, en fargeblyant til hver elev. Kopier og klipp opp lunsjbingokupongene. Klipp de 4 kupongene på arket fra hverandre. Del ut en kupong til hver elev. Hver elev må ha en fargeblyant. Lærer spinner og sier resultatet høyt.

Elevene fargelegger etter følgende regler: a. Farg en del av en rute som tilsvarer brøken. Hvis for eksempel spinneren viser 13, kan eleven farge 13 av en rute eller 26 av en rute. b. For hver gang må hele brøken farges i samme rute. Hvis for eksempel spinneren viser 23, kan man ikke farge 13 av en rute og den andre 13 i en annen rute. c. Følg de stiplede linjene. d. Hvis spinneren viser 1 HEL, kan man farge en hvilken som helst rute på kupongen som det ikke er farget noe i fra før. Den som først får tre helt fargede ruter på rad, har vunnet. De eller denne roper «LUNSJ» og må fortelle hva de fikk til lunsj. Læreren bestemmer om det spilles om vannrett rad, loddrett rad eller diagonal.

Forklaring 8 • Brøk

Samtale I skolematematikken på ungdomstrinnet er som regel ikke et svar på brøkform fullverdig før det er forkortet så mye som mulig. I dagligtale bruker vi også sjelden brøker som fire åttedeler, da sier vi en halv. Begrepet å forkorte en brøk er nytt for elevene. Vi bruker begrepet å forkorte en brøk når vi dividerer teller og nevner med samme tall. Vi får en ny brøk som er likeverdig med den første.

Forkorte brøken Samtale Når vi har behov for å oppgi en brøk med så liten nevner som mulig, må vi forkorte brøken. 1 6

1 2

Jeg vet at 1 er like mye 2 som 3 . 6

3= 3:3 = 1 6 6:3 2 Forkort brøken med ulike tall slik at du finner minst to brøker med lik verdi som 8 . 16

8.35

8.36

Oppgave 8.38 Elevene skal finne hvilket tall brøken er forkortet med.

8.37

Forkort brøken med 2. b) 4 a) 6 8 12

Forkort brøken med 3. b) 9 a) 3 15 9

Skriv de likeverdige brøkene. b) 10 = a) 3 = 1 20 2 15

12 16

2 10

15 30

6 18

12 = 1 2

=3 3

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 42

Brøk

3 6

Vi forkorter en brøk ved å dividere teller og nevner med samme tall.

Oppgave 8.37 Elevene må finne hvilket tall brøken er forkortet med, og skrive de likeverdige brøkene.

1 6

1 2

Oppgave 8.35 og 8.36 Øvingsoppgaver i å forkorte brøker.

Oppgave 8.39 Elevene kan forkorte brøken med størst nevner for å sammenlikne brøkene.

1 6

07.12.2017 11.19

Spinner til lunsjbingo

Kuponger til lunsjbingo

1 2 1 1

2 3

1 4

3 4 1 3

Forklaring 8.38

8.39

8.40

8.41

8.42

Hvilket tall er brøken forkortet med? b) 25 = 5 c) a) 12 = 6 30 6 14 7

27 = 3 63 7

Sett inn riktig tegn (<, > eller =). 2 6 b) 3 a) 1 6 4 8 3 8 e) 18 d) 10 24 = 27 9 14 28

Hvilke tall kan du forkorte brøken med? b) 36 c) 12 a) 18 42 18 24

c) f)

18 = 3 24 4

5 8 15 36

Oppgave 8.40 Elevene skal forkorte brøkene mest mulig. Noen elever vil oppleve at de kan forkorte brøken flere ganger. Hvis de for eksempel forkorter 18 med 2, 24 vil de få 249 , denne kan de igjen forkorte med 3 og få 34. Forkorter de brøken med 6, vil de få 34 med en gang. Snakk med elvene og utfordre dem til å finne forklaring på hvorfor det blir slik.

10 16 9 18

7 14

Oppgave 8.41 og 8.42 Oppgave i kontekst hvor elevene kan forkorte eller utvide brøker for å kunne sammenlikne.

Bestefar lager pannekaker. Han har melkekartonger som hver inneholder 1 L. Han trenger 1 L melk. 2 4 Hvor mange slike melkekartonger trenger han?

Sammen I denne sammenoppgaven opplever elevene at de må utvide to brøker med ulike nevnere slik at alle tre brøkene får lik nevner. For å kunne svare på spørsmålet i oppgaven må elevene klare å se desiliter som tidels liter. La elevene få forklare hvordan de har løst oppgaven.

Randi baker bløtkake. Hun har fløtekartonger som hver inneholder 1 L. Hun trenger 3 L fløte. 2 4 Hvor mange slike fløtekartonger trenger hun?

Sammen Jesper, Nora og Ivan plukker bær. Ivan plukker 4 L, 5 Nora plukker 7 L, og Jesper plukker 1 L. 10 2 Hvor mange desiliter bær plukker hvert av barna?

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 43

07.12.2017 11.19

Brøk 39

Addisjonsoppgaver med brøksettet La elevene bruke brøksettet sitt for å lage addisjonsoppgaver. Eksempel Lag et addisjonstykke der svaret blir 18. Elevene plukker fram 4 brikker med 48, lager kombinasjoner og skriver addisjonsstykket. 1 8 1 8

3 8

1 8 2 8

1 8

+ =

2 8

1 8

4 8

1 8

eller +

1 8

4 8

A. Lag addisjonsstykker der svaret blir 4 . 8 B. Lag addisjonsstykker der svaret blir 7 . 8 C. Lag addisjonsstykker der svaret blir 10 . 16 D. Lag addisjonsstykker der svaret blir 5 . 6 E. Lag addisjonstykker der svaret blir 5 . 12 F. Lag addisjonstykker der svaret blir 9 . 12

Forklaring 8 • Brøk

Samtale Her møter elevene på et eksempel hvor de må utvide eller forkorte brøker for å kunne utføre addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner. Snakk med elevene om hvorfor de ikke kan addere og subtrahere brøker med ulik nevner direkte. I det første eksemplet har vi vist hvordan addisjonen blir hvis vi utvider brøken som har minst nevner. Utfordre elevene til å forklare hvordan modellene og utregningen blir hvis de i stedet forkorter brøken som har størst nevner. Hva blir svaret i dette tilfellet? Hva kan vi si om svarene på de to måtene å regne på? Gjør det samme med subtraksjonsoppgaven nederst på rasteret.

Brøk med ulik nevner Samtale Når vi skal addere eller subtrahere brøker med ulike nevnere, må vi først utvide slik at brøkene får lik nevner. Vi finner fellesnevneren. Ingrid og Hanna plukker bær. Ingrid har plukket 4 L bær, og 8 Hanna har plukket 1 L bær. Hvor mange liter bær har de plukket 4 til sammen? 6 ? 8 = 4 8

1 4

4 8 4+ 1 8 4

2 8

4+ 2= 6 8 8 8

Svar: Ingrid og Hanna har til sammen plukket 6 L bær. 8 Jonas spiser opp 2 L av bærene Ingrid og Hanna har plukket. 4 Hvor mange liter bær har jentene igjen? 6 8

6 8 =

2 4

2 8 6 2= 6 4= 2 8 4 8 8 8 Svar: Jentene har igjen 2 L bær. 8 Hvilken fellesnevner har 2 og 4 ? 9 3

4 8

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 44

Brøk

07.12.2017 11.19

Subtraksjonsoppgaver med brøksettet La elevene bruke brøksettet sitt for å lage subtraksjonsoppgaver. Det er viktig at elevene skriver subtraksjonsstykkene samtidig som de gjør aktiviteten. På den måten ser de matematikken i aktiviteten, noe som vil hjelpe dem til å forstå slike regneoppgaver. Eksempel Lag et subtraksjonstykke der svaret blir . Eksempel Elevene plukker fram alle fire brikkene med 14, skriver 44, fjerner 34 og skriver 44 – 34 = 14. Eller eleven tar fram to brikker med 14, skriver 24, fjerner 14 og skriver 24 – 14 = 14.

A. Lag subtraksjonsstykker der svaret blir 1 . 4 B. Lag subtraksjonsstykker der svaret blir 1 . 6 C. Lag subtraksjonsstykker der svaret blir 2 . 6 D. Lag subtraksjonsstykker der svaret blir 3 . 8 E. Lag subtraksjonsstykker der svaret blir 5 . 12 F. Lag subtraksjonsstykker der svaret blir 7 . 12

Forklaring 8.43

8.44

8.45

Regn ut. a) 5 + 1 = 8 4

Regn ut. a) 4 - 6 = 5 10

3+ 4 = 4 12

3+ 1= 6 3

2+ 2= 3 9

3 1 = 6 3

5 1= 6 2

9 1= 12 6

Jens selger lodd. Han selger 1 av loddene 2 på lørdag og 1 av loddene på søndag. 4 a) Hvor stor brøkdel av loddene har han solgt til sammen på lørdag og søndag? b) Hvor stor brøkdel av loddene har han igjen å selge?

8.46

Oppgave 8.43 og 8.44 Øvingsoppgaver i addisjon og subtraksjon av brøker med ulike nevnere. Oppgave 8.45 og 8.46 Addisjon og subtraksjon av brøk med ulik nevner i kontekst. De elevene som trenger det, kan tegne modeller.

1 2

1 4

Sammen Elevene møter her på at den ene brøken er oppgitt som blandet tall. La elevene forklare hvordan de løste oppgaven.

I 7A har 2 av elevene blå bukse og 1 av elevene svart bukse. 4 16 a) Hvor stor brøkdel av elevene i 7A har blå eller svart bukse? b) Hvor stor brøkdel av elevene i 7A har en annen farge på buksene enn blå og svart?

Sammen Jørgen, Karoline og Ingvill deler to liter brus. Jørgen får 1 1 L brus, og Karoline får 1 L brus. 4 3 Ingvill får resten av brusen. Hvor mange liter brus får Ingvill?

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 45

07.12.2017 11.19

Brøk 41

Å finne fellesnevneren I dette kapitlet introduserer vi begrepet fellesnevner. Vi vil at elevene skal bli kjent med begrepet og forstå at hvis vi skal kunne addere og subtrahere to eller flere brøker, så må de ha lik nevner. Har de ikke lik nevner, må vi ta i bruk det vi vet om likeverdige brøker, for å finne en nevner som kan være felles for de brøkene som vi skal addere eller subtrahere. Her har vi bare tatt med oppgaver hvor den største nevneren er fellesnevner for begge (alle) brøkene. Det vil si at den største nevneren er delelig med den minste. Mange elever vil ha støtte av å bruke brøksettet eller tallinje i arbeidet med å finne fellesnevner og likeverdige brøker.

Eksempel 1 1 2

+ 14 =

Med brøksettet: 1 2

1 4

= 34

Med tallinje: 1 2

0 1 4

2 2

2 4

3 4

4 4

Elevene kan lese av på tallinja at 12 = 24, da blir addisjonen: 12 + 14 = 24 + 14 =

3 4

Forklaring 8 • Brøk

Samtale Hittil har vi funnet fellesnevneren ved å utvide eller forkorte en eller flere av brøkene. I eksemplet i denne samtalen må vi utvide begge brøkene. Vi må finne en verdi for telleren som begge brøkene går opp i. Eksemplet viser dette med modellen. Dere kan også bruke brøksettene til dette. Snakk med elevene, hvorfor utvider vi begge brøkene til 6? Hvorfor er det lett å se at både 2 og 3 går opp i 6? Klarer elevene å lage en regel om hvordan de enkelt kan finne en fellesnevner for to brøker med ulik nevner?

Fellesnevner Samtale Når vi skal regne ut 1 + 1 , må vi finne fellesnevneren. 2 3 Vi ser at 2 ikke går opp i 3 eller omvendt, da må vi finne det minste tallet som er delelig med både 2 og 3. Hvilket tall er det?

1 2

1 3

3 2 + = 6 6 Hvilken fellesnever har brøkene 2 og 2 ? 4 3 Regn ut 2 + 2 = og 2 - 2 = 3 4 3 4

Oppgave 8.47 Addisjons- og subtraksjonsoppgaver hvor elevene må finne fellesnevner. I oppgavene c) og h) går det an å finne en mindre fellesnevner enn produktet av de to nevnerne.

8.47

Oppgave 8.48 og 8.49 Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner i kontekst.

8.49

8.48

Regn ut. a) 3 + 1 = 4 3 e) 1 - 1 = 3 4

b) f)

5+ 7 4 5

1= 2 3= 4

c) g)

5+ 6 6 7

5 6

3= 4 1= 3

d) h)

1+ 5 3 6

3= 4 1= 4

Jesper har 2 L drikke, og Samuel har 3 L drikke. 3 4 Hvor mange liter drikke har de til sammen? Filip og Emma har kjøpt hver sin melon. Filip sin melon veier 6 kg, og Emma sin veier 3 kg. 10 4 a) Hvor mange flere kilogram veier Emma sin melon enn Filip sin? b) Hvor mange kilogram veier melonene til sammen?

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 46

Brøk

07.12.2017 11.19

on enn Filip sin?

en?

Eksempel 2 2 4

– 38 =

Med brøksettet: 1 4

1 4

1 8

48 – 38 =

1 8

Med tallinje: 0 0 2 4

1 8

– 38 = 48 – 38 =

2 4

4 4

4 8

8 8

1 8

Samtale Les det som står om å finne fellesnevner øverst på siden, før du gjennomfører denne samtalen. La de elevene som trenger det, bruke brøksettet sitt til denne samtalen. Hvis de har arbeidet mye med brøksettet, er de godt kjent med at 12 kan veksles om til 24, og at 13 kan veksles om til 26. Disse brøkene er også kjent for elevene fra arbeidet med likeverdige brøker.

Forklaring 8.50

Hvilket regnestykke passer til hvilket svar? 2+ 3= 3 4

2 12

7+ 1= 9 2

1 5 18

2+ 4= 4 5

1 5 12

1 6 20

2 2= 4 6

Oppgave 8.50 Her må elevene finne fellesnevner, regne ut og gjøre svaret om til blandet tall for å finne hvilket svar som passer til de ulike oppgavene.

8.51

Lasse kjøper 1 kg moreller. Kine kjøper 1 kg moreller. 2 5 Hvor mange kilogram moreller kjøper Lasse og Kine til sammen?

8.52

Selma har bakt muffins. Hun spiser 1 av muffinsene, 5 William spiser 1 av muffinsene, og Nila spiser 1 av muffinsene. 4 2 a) Hvem har spist flest muffins?

Oppgave 8.51 og 8.52 Addisjon og subtraksjon av brøker med ulik nevner i kontekst. Oppgave 8.53 I denne oppgaven skal elevene finne fellesnevneren til tre tall. Da må de finne det minste tallet som alle tre nevnerne går opp i. Det er ikke en hensiktsmessig strategi å multiplisere alle tre nevnerne. Da vil de ende opp med en altfor stor fellesnevner.

b) Hvor stor del av muffinsene har Selma, Nila og William spist til sammen? c)

8.53

Regn ut. Skriv svaret som blandet tall. a)

8.54

Omar får resten av muffinsene. Hvor stor del av muffinsene får han?

3+ 5+ 1= 4 8 2

8 +2 +2 = 9 6 3

2 +4 +5 = 3 6 7

Oppgave 8.54 Addisjons- og subtraksjonsoppgaver hvor elevene må håndtere både blandede tall og addisjon/ subtraksjon av brøker med ulik nevner.

Regn ut. a) 1 1 + 2 1 = 4 12 d) 3 1 + 2 4 = 6 3

b) 2 3 - 1 1 = 16 8 e) 1 2 - 16 = 8 24

15 + 4 2 = 20 4 f) 12 + 6 3 = 7 21

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 47

07.12.2017 11.19

Brøk 43

Forklaring 8 • Brøk

Samtale Når vi skal multiplisere et helt tall med en brøk, er det enklest å forstå regneoperasjonen som gjentatt addisjon. Dette er vist på tallinja på rasteret. Regnestykket som er vist på rasteret, viser at vi multipliserer det hele tallet med telleren. Snakk med elevene, og la dem finne forklaring på hvorfor det blir det samme som gjentatt addisjon.

Multiplikasjon med brøk Samtale Adila lager grøt. Hun bruker kartonger som hver inneholder 1 L melk. Adila bruker 5 slike 4 kartonger. Hvor mange liter melk bruker Adila i grøten?

1 4

2 4

3 4

1 1 1 4

Svar: Adila bruker 1 1 L melk i grøten. 4

Som en praktisk tilnærming kan dere for eksempel bruke flere litermål, måle opp 14 L i hvert litermål, helle det sammen i ett litermål og se at det stemmer.

Hvor mange liter saft er det til sammen i 6 flasker som hver inneholder 2 L saft? 3

8.55

La elevene regne ut den siste oppgaven på rasteret både ved gjentatt addisjon og ved å multiplisere det hele tallet med nevneren.

Regn ut. a) 3 ∙ 1 = 5 e) 4 ∙ 2 = 4

Oppgave 8.55 I denne oppgaven får elevene bruk for kunnskapen fra samtalen. Oppgave 8.56, 8.59 og 8.61 Multiplikasjon av helt tall og brøk i kontekst.

+ 1 + 1 + 1+ 1+ 1 4 4 4 4 4

. 5 ∙ 1 = 5 1 = 5 = 11 4 4 4 4

8.56

b) 5 ∙ 1 = 2 f) 2 ∙ 1= 3

c) g)

7∙ 1= 6 3 ∙ 5= 5

d) 4 ∙ 1 = 8 h) 7 ∙ 3 = 9

Hvor mange liter vann er det til sammen i 4 flasker som hver inneholder 4 L vann? 5

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 48

Oppgave 8.57 0g 8.58 Elevene skal identifisere hvilke regnestykker som hører sammen, så skal de regne ut svaret.

8.57

Skriv regnestykkene som hører sammen. 4∙ 3 4

Oppgave 8.60 I denne tekstoppgaven må elevene finne brøken de skal multiplisere med, ut fra opplysninger i teksten. Sammen La elevene forklare hvordan de tenkte når de løste denne oppgaven. Drøft de ulike framgangsmåtene med elevene. 1

1+ 1+ 1+ 1+ 1 2 2 2 2 2

2+ 2+ 2+ 2 5 5 5 5

5∙ 1 2

4∙ 2 5

72 + 12 = 95 25

3+ 3+ 3+ 3 4 4 4 4

2∙ 2 5

8.58

Regn ut svarene til regnestykkene i oppgaven over.

8.59

I en kasse med blåbær er det 12 bokser med bær. Hver boks inneholder 2 L blåbær. 3 Hvor mange liter blåbær er det i kassen?

8.60

Jesper har bursdagsselskap. De er til sammen 8 personer i bursdagen. Alle får pizza, og de har beregnet to pizzastykker til hver person. Hver pizza er delt i seks pizzastykker. Hvor mange pizzaer må de minst ha i bursdagen?

8.61

Det er 36 kjeks i en kjekspose. 1 av kjeksene er formet som et hjerte. 3 Hvor mange kjeks er formet som et hjerte?

Svar: Adila bruker 1 L melk i grøten. 4

Hvor mange liter saft er det til sammen i 6 flasker som hver inneholder 2 L saft? 3

07.12.2017 11.19

Regn ut. a) 3 ∙ 1 = 5 e) 4 ∙ 2 = 4

b) 5 ∙ 1 = 2 f) 2 ∙ 1= 3

7∙ 1= 6 g) 3 ∙ 5= 5 c)

d) 4 ∙ 1 = 8 h) 7 ∙ 3 = 9

Sammen Kristian har 2 L bær som han skal dele likt 3 med broren sin. Hvor mange liter bær får de hver?

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 49

Brøk

07.12.2017 11.19

Forklaring 8 • Brøk

Mer multiplikasjon med brøk

Samtale Multiplikasjon av to brøker er ikke lett å forstå. Regneregelen for multiplikasjon av to brøker er at vi multipliserer teller med teller og nevner med nevner. Se på det praktiske eksemplet på rasteret 2 sammen med elevene. Der ser dere at 24 av eggene 2 1 er sprukket. 24 er det samme som 12.

Samtale Jostein har et brett med 24 egg, 1 av eggene er hvite. 1 av de hvite 4 3 eggene har sprukket. Hvor stor brøkdel av alle eggene er sprukket? 1 ∙ 1= 1.1 = 1 4 3 12 4.3 Svar: 1 av alle eggene er sprukket. 12 Jostein bruker 1 av de brune eggene. 2 Hvor stor brøkdel av alle eggene bruker han?

8.62

b) 2 ∙ 1 = 4 3

a) 1 ∙ 1 = 3 2 ∙ 1 3

8.63

∙

= 1 2

∙ 2 4

∙

= 1 3

Regn ut. a) e)

8.64

Hvordan blir regnestykket i den siste problem stillingen? De brune eggene er 34 av alle eggene. Halvparten av dette er 43 ⋅ 21 = 38 . For å se hvor mange egg dette blir, kan vi utvide brøken til 24-deler. 3⋅3 = 9 8⋅3 24 . Elevene kan sjekke på illustrasjonene at det stemmer at halvparten av de brune eggene er 9 egg.

Regn ut.

1∙ 2 3∙ 5

3= 4 1= 4

b) f)

2∙ 6 4∙ 8

1= 4 1= 5

c) g)

1∙ 2 2∙ 4

1= 5 7= 8

d) h)

2∙ 1= 4 3 5 ∙ 2= 10 3

Selve regneoperasjonen multiplikasjon av to brøker er enkel, det er også greit for de fleste å forstå at svaret blir riktig. Det som er vanskelig å forstå for de fleste elever, er i hvilke tilfeller man skal bruke multiplikasjon av to brøker i en kontekst.

Jonas har 1 sjokoladeplate. Han spiser 1 av sjokoladeplaten. 4 2 Hvor stor brøkdel av sjokoladeplaten spiser Jonas?

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 50

8.65

07.12.2017 11.19

Oppgave 8.62 Modellene viser hva som skjer ved multiplikasjon av to brøker.

I en pose med seigmenn er 1 av seigmennene grønne. 3 Ane spiser 2 av de grønne seigmennene. 3 Hvor stor brøkdel av alle seigmennene

Oppgave 8.63 Øvingsoppgaver i multiplikasjon av to brøker.

har Ane spist?

8.66

Sara hadde bursdagsselskap i går. Det er igjen 1 av sjokoladekaka 12 hun hadde bakt til bursdagen. Sara gir 1 av det som er igjen av kaka, 2 til naboen. Hvor stor brøkdel av hele sjokoladekaka får naboen?

8.67

Harald har 3 kg blåbær. Han lager smoothie og bruker 1 av blåbæra. 4 3 Hvor mange kilogram blåbær bruker Harald?

8.68

Lag en tekstoppgave til regnestykket 1 ∙ 2 = 3 6

8.69

Marte har med seg 1 3 L vann på trening. 4 Hun drikker 3 av vannet. Hvor mange liter vann drikker Marte? 4

For å fine brøkdelen av en brøkdel må man multiplisere de to brøkene.

Oppgave 8.64–8.69 Alle oppgavene er multiplikasjon av to brøker i kontekst. Elevene får øvelse i å se og erfare når de kan bruke multiplikasjon av to brøker for å finne brøkdelen av en brøkdel. Sammen La elevene gjøre rede for hvordan de tenkte når de løste oppgaven. Drøft de ulike løsningene.

Sammen Aleksander og Bjørg har lagd 5 L saft, som de skal helle i flasker som hver rommer 1 L. 3 Hva er det minste antallet flasker de trenger?

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 51

07.12.2017 11.19

Brøk 45

Forklaring Spill

Spill Dette er et memory-spill hvor elevene skal finne par av uekte brøk og blandede tall.

Utstyr: Et ark og en saks

15 4

33 4

Antall spillere: Tre Hva spillet går ut på: Klipp et ark i åtte like store biter. Skriv en uekte brøk på en av papirbitene og tilhørende blandede tall på en av de andre papirbitene. Gjør dette på alle de åtte papirbitene. Gå sammen med to andre elever. Bland de 24 papirbitene, og legg dem på pulten med skriften ned. Første spiller snur to papirbiter. Hvis de to bitene har en uekte brøk og et blandet tall som har lik verdi, danner de et par, og spilleren beholder papirbitene. Hvis ikke snus papirbitene tilbake med skriften ned, og det er neste spillers tur. Vinner: Den som har flest par når det ikke er flere papirbiter igjen.

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 52

Finn ut Dette er en problemoppgave hvor elevene forholder seg til både brøk og prosent. 33 4

Sant eller usant Elevene skriver de riktige påstandene i kladdeboka si. Snakk sammen om påstandene etterpå.

07.12.2017 11.19

Finn ut Det er salg i ulike butikker. Nedenfor ser du prisen for det samme spillet. I hvilken butikk får du størst prisavslag? I hvilken butikk er spillet billigst?

Ordinær pris 350 kr - 50 % i avslag

s 800 kr Ordinær pri 3 prisen i rabatt

Du får 4 av

Ordinær pris 300 kr

Du betaler kun 3 av prisen

Ordinær pris 300 kr - 40 % i avslag

Sant eller usant Skriv setningene som er riktige, i kladdeboka di. • Telleren er større enn nevneren i en uekte brøk. • Blandet tall består av både et helt tall og en brøk. • Når du multipliserer to tall, blir svaret alltid større. • Når du utvider en brøk, multipliserer du telleren og nevneren med det samme tallet. • Likeverdige brøker er brøker med lik nevner. • Når du adderer to brøker, trenger ikke nevnerne være like. • Når du multipliserer to brøker, trenger du ikke å finne fellesnevner.

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 53

Brøk

07.12.2017 11.19

Forklaring Oppsummering

Oppsummering Gå gjennom målene for kapitlet sammen med elevene. Se på denne siden, og samtal om hva dere har lært.

Mer enn en hel Brøker større enn 1

23 4

34 5 Blandet tall til uekte brøk Summen av et heltall og en brøk 12 = 5

1 1 1 1 1 + 1 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5

=7 5

2 5

Uekte brøk til blandet tall Telleren er større enn nevneren. 7= 3

1 1 1 + 1 1 1 + 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3

+ 1 3

= 21 3

Likeverdige brøker 1 4 1 8

1 4 1 8

1 8

1 4 1 8

1 8

3= 6 4 8

1 8

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 54

07.12.2017 11.19

Utvide og forkorte brøk 1 2 1 1 1 8 8 8 1 = 2

1 6

1 6 1 8 1.4 = 4 2.4 8

1 3 2= 2:2 = 1 6 6:2 3

Addisjon og subtraksjon av brøk med lik nevner 5 6 6 7

2 3 6 6 2+ 3= 5 6 6 6

3 3 7 7 6 3= 3 7 7 7

Addisjon og subtraksjon av brøk med ulik nevner 5 3 6 4

2 1 3 6 2+ 1= 4+ 1= 5 3 6 6 6 6

2 8

4 8 3 4= 6 4= 2 4 8 8 8 8

Multiplikasjon av brøk = . 3∙ 2= 3 2 = 6 =2 3 3 3

∙

1∙ 1= 1.1 = 1 2 2 2.2 4

Radius 7B_BM_Kap 8_til trykk.indd 55

07.12.2017 11.19

Brøk 47

Dette har jeg lært i kapittel 8

Navn:

1 H vor stor del av figurene er farget, og hvor stor del er hvit? Skriv svaret som brøk. Farget: Hvit: 2 S kriv riktig tegn mellom brøkene (>, < eller =). 2 4 3 3 1 2 11 7 7 10 7 5 10 4

3 34

3 Gjør om fra blandet tall til uekte brøk. 2 1 = 1 3 = 3 2 = 5 2 = 11 5 7 9 4 Gjør om fra uekte brøk til blandet tall. 3 = 11 = 19 = 37 = 7 7 4 12 5 Regn ut. 1 3 2 +1 = 7 7

4 3 4 −1 = 5 5

2 5 5 −2 = 9 9

6 Jorun plukker 2 7 L blåbær. Henrik plukker 1 9 L blåbær. 10 10 Hvor mange liter blåbær plukker de til sammen?

Kapittel 8 Brøk

7 Skriv tallene som mangler, slik at brøkene får lik verdi. 3 = 6 = 1 = = 3 6 12 7 35 9 Hvilket tall har vi utvidet brøken med? 2 8 = 9 36

8 Utvid brøkene med 3. 2= 5

6 = 13

Brøken er utvidet med 11 Hvilket tall har vi forkortet brøken med? 35 5 42 = 6

10 Forkort brøkene med 5. 10 = 25 70 = 125

Brøken er forkortet med

12 Regn ut. 3 1 + = 7 2

4 1 − = 5 3

5 2 1 + + = 12 3 6

13 Regn ut. 3 3⋅ = 7

5⋅

3 = 11

2 1 ⋅ = 3 4

4 2 ⋅ = 5 7

14 Hamza har 9 L saft. Han drikker 1 av saften. Hvor mange liter saft drikker han? 10 3

Kapittel 8 Brøk