Sinus 1P Matematikk (utdrag) by Cappelen Damm

OLDERVOLL • ORSKAUG VAAJE • SVORSTØL • HALS M ATE M ATI KK

MAT E MAT I K K

MATEMATIKK

For de studieforberedende utdanningsprogrammene i matematikk på Vg1 fins disse bøkene: • Sinus 1P • Sinus 1T

TORE OLDERVOLL • ODD ORSKAUG • AUDHILD VAAJE OTTO SVORSTØL • SIGBJØRN HALS

BOKMÅL

1P BOKMÅL

ISBN 978-82-02-42744-3

www.cdu.no

Sinus 1P_riss.indd 1

4/10/14 2:01 PM

TORE OLDERVOLL • ODD ORSKAUG • AUDHILD VAAJE OTTO SVORSTØL • SIGBJØRN HALS

M ATE MAT IKK

LÆREBOK I MATEMATIKK FOR VG1 STUDIEFORBEREDENDE PROGRAM BOKMÅL

Book Sinus 1P.indb 1

2014-04-25 12:43:44

Kapittelstart: Gjennomgangsfoto: Svein Erik Dahl / Samfoto Bakgrunnsfoto: Kapittel 1: B jørn Rørslett / NTB scanpix / Samfoto. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 2: Colourbox.no. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 3: Colourbox.no. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 4: Torbjørn Tandberg / NTB scanpix / Samfoto. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 5: 0 7 Gruppen. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 6: B irger Areklett / NTB scanpix / Samfoto. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 7: M ikkel Østergaard / NTB scanpix / Samfoto. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 8: Colourbox.no. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 9: 07 Gruppen. Bildet er fargemanipulert. Fotografier og grafikk: Talshiar / Thinkstock s. 79 ø. Marina_Po / Thinkstock s. 79 n. Kart: Kilde: Statens kartverk. Nordeca AS, tillatelsesnummer 555819 s. 97, 311, 312 Terje Sundby / Expressklubben Norge s. 100 grafikk/adresseavisen.no. Kilde: Telenor s. 217 Nicholas Perks / Thinkstock s. 380 © Cappelen Damm AS, Oslo 2014 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Kilde for alle eksempeloppgaver og eksamensoppgaver er Utdanningsdirektoratet. Alle disse oppgavene er merket med Eksempel eller Eksamen og årstall. De er gjengitt med tillatelse. Grafisk formgiver: Kristine Steen Omslagsdesign: Kristine Steen Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Forlagsredaktører: Terje Idland og Grete Maus Sats: HAVE A BOOK, Polen 2014 Trykk og innbinding: Livonia Print SiA, Latvia 2014 Utgave nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-42744-3 www.cdu.no www.sinus.cdu.no

Book Sinus 1P.indb 2

2014-04-25 12:43:44

Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene fra 2005. Læreboka Sinus 1P er skrevet for matematikkurset 1P innen de studieforberedende utdanningsprogrammene. Boka er tilpasset justeringene i læreplanen fra 2013 og eksamensordningen fra 2015. Boka legger vekt på den praktiske matematikken og inneholder lite bokstavregning. Den gir en repetisjon av stoff fra ungdomsskolen der det er nødvendig. I eksamensordningen fra 2015 er digital kompetanse viktig. Denne boka bruker programmet GeoGebra for å tegne grafer og til kurvetilpassing. Innen økonomi bruker vi mange ferdigmodeller i Excel. Kapitlene i teoridelen er ordnet slik at det vanskeligste stoffet vanligvis kommer til slutt. Stort sett er også alle delkapitlene ordnet på den måten. Elever som sliter med faget, kan mange steder bare lese begynnelsen av et delkapittel og likevel få et bra utbytte av stoffet. Oppgavene i teoridelen er plassert inne i delkapitlene slik at elevene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet. I boka er det i tillegg en oppgavedel som inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Oppgavedelen følger læreboka kapittel for kapittel. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Den første delen inneholder oppgaver som heter «Øv mer». Disse oppgavene er ordnet etter delkapitler som i teoridelen, og de er ordnet etter vanskegrad. For hvert delkapittel kommer det først noen helt enkle oppgaver med lys farge. Deretter finner vi noen vanskeligere oppgaver med mørkere farge. Den andre delen heter «Uten hjelpemidler» og inneholder oppgaver som skal løses uten å bruke digitale hjelpemidler. Denne delen inneholder blant annet oppgaver fra del 1 i tidligere eksamensoppgaver.

Book Sinus 1P.indb 3

2014-04-25 12:43:44

Den tredje delen heter «Med hjelpemidler» og inneholder oppgaver der elevene kan eller må bruke digitale hjelpemidler. Her er det blant annet oppgaver fra del 2 i tidligere eksamensoppgaver. Oppgavene i de to siste delene er ikke fullt ut ordnet etter delkapitler. Men det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven skal kunne løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Når det for eksempel står 4.5 etter en oppgave, så kan alle oppgavene foran dette merket regnes når eleven er ferdig med delkapittel 4.5. Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de ikke fullt ut kjenner betydningen av. Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her er det mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

Tore Oldervoll Sigbjørn Hals Otto Svorstøl Audhild Vaaje Odd Orskaug

Book Sinus 1P.indb 4

Sinus 1P

2014-04-25 12:43:44

Innhold 1

Tallregning og algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Regnerekkefølge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Overslagsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Forkorting og utviding av brøker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Brøkregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Brøkdelen av et tall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Variabler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7 Førstegradslikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.8 Potenslikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2

Forhold og prosent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.1 Prosentfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Prosentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Prosentvis økning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.4 Prosentvis nedgang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5 Merverdiavgift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.6 Prosentpoeng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7 Forholdet mellom tall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.8 Proporsjonale størrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.9 Omvendt proporsjonale størrelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3

Lengder og vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1 Enheter for lengde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2 Måling av lengde og avstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 Vinkler i formlike figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.4 Lengder i formlike figurer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.5 Pytagorassetningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.6 Målestokk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Book Sinus 1P.indb 5

2014-04-25 12:43:44

Areal og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.1 Areal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.2 Sirkelen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.3 Volum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.4 Prisme og terning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.5 Sylinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 4.6 Pyramide, kjegle og kule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 5

Økonomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.1 Lønn og feriepenger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.2 Skattetrekk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.3 Selvangivelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 5.4 Regnskap og budsjett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 5.5 Sparing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 5.6 Serielån. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5.7 Annuitetslån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.8 Kredittkort. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6

Indeksregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.1 Indekser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.2 Konsumprisindeksen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 6.3 Reallønn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 6.4 Kroneverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 7

Formler og rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

7.1 Formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 7.2 Formler og likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 7.3 Omforming av formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 7.4 Rette linjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 7.5 Digital graftegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 7.6 Konstantledd og stigningstall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 7.7 Grafisk avlesing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 7.8 Digital løsning av likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 8

Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

8.1 Funksjonsbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 8.2 Lineære funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 8.3 Andregradsfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Book Sinus 1P.indb 6

Sinus 1P

2014-04-25 12:43:44

8.4 Digital graftegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8.5 Lineære modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 8.6 Lineær vekst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9

Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.1 Forsøk og simuleringer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 9.2 Sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 9.3 Sum av sannsynligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 9.4 Multiplikasjonsprinsippet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 9.5 Uavhengige hendinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 9.6 Avhengige hendinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 1

Tallregning og algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Forhold og prosent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Lengder og vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

Areal og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319

5 Økonomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 6 Indeksregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 7

Formler og rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

8 Funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 9 Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Fasit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459

Book Sinus 1P.indb 7

2014-04-25 12:43:44

5 128

Book Sinus 1P.indb 128

Sinus 1P > Ă&#x2DC;konomi

2014-04-25 12:44:50

Økonomi MÅL

for opplæringen er at eleven skal kunne • gjøre rede for og regne med prisindeks, kroneverdi, reallønn og nominell lønn og beregne inntekt, skatt og avgifter • vurdere forbruk og bruk av kredittkort og sette opp budsjett og regnskap ved hjelp av regneark • undersøke og vurdere ulike former for lån og sparing

129

Book Sinus 1P.indb 129

2014-04-25 12:44:50

5.1 Lønn og feriepenger De fleste arbeidstakere i Norge har en fast månedslønn. Lønn for eventuelt overtidsarbeid kommer i tillegg til den faste lønna. Vi får ofte mer lønn per time for overtidsarbeid enn for arbeid i vanlig arbeidstid. Hvor stort overtidstillegget er, avhenger av når arbeidet blir utført, og hva slags arbeid det er. Overtidsarbeid på en søndag gir ofte et stort tillegg. Mange har deltidsjobber og får betalt etter hvor mange timer de arbeider. De har timelønn. Timelønna kan være høyere på søndager og på kveldstid enn ellers i uka. I handelsbedrifter får selgere ofte en lav fast månedslønn. I tillegg får de betaling etter hvor mye de selger. Det kaller vi provisjonslønn. Noen arbeidstakere får en fast sum for å gjøre en helt bestemt jobb. Det kaller vi akkordlønn.

EKSEMPEL Kari har 27 000 kr i fast månedslønn. Det svarer til 175 kr per time. En måned arbeider hun 8 timer overtid med 20 % tillegg og 4 timer overtid med 40 % tillegg. Hva blir lønna til Kari den måneden? Løsning:

Vekstfaktoren til 20 % tillegg er 1,20. Timelønna for arbeid med 20 % tillegg er da 175 kr ⋅ 1,20 = 210 kr Vekstfaktoren til 40 % tillegg er 1,40. Timelønna for arbeid med 40 % tillegg er da 175 kr ⋅ 1,40 = 245 kr Nå regner vi ut samlet lønn. Fast månedslønn + Timer med 20 % tillegg + Timer med 40 % tillegg = Samlet lønn

130

Book Sinus 1P.indb 130

8 ⋅ 210 kr 4 ⋅ 245 kr

27 000 kr 1 680 kr 980 kr 29 660 kr

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:50

OPPGAVE 5.10

Ola tjener 180 kr per time og arbeider 37,5 timer per uke. For overtidsarbeid får han 40 % tillegg på hverdagene og 100 % tillegg på søndagene. Ei uke arbeider han til sammen 5 timer overtid på hverdagene og 2 timer overtid på søndag. Hvor mye får Ola i lønn denne uka? OPPGAVE 5.11

Heidi tjener 210 kr per time. For arbeid etter kl. 17.00 får hun 15 % tillegg. For arbeid på søndager får hun 30 % tillegg. Ei uke leverte hun denne timelista: Mandag Tirsdag Torsdag Lørdag Søndag

08.00–15.00 14.00–20.00 12.00–18.00 10.00–14.30 12.00–20.00

Finn lønna til Heidi denne uka. Når vi har ferie, får vi ikke lønn. I stedet får vi feriepenger. Feriepengene er bestemt av hvor mye vi tjente i det forrige kalenderåret. For arbeidstakere under 60 år er feriepengene 12 % av årslønna året før. I denne årslønna skal ikke feriepengene fra året før være med.

EKSEMPEL I 2013 tjente Mona (26 år) i alt 360 000 kr medregnet 37 200 kr i feriepenger. a) Hvor mye feriepenger hadde hun krav på i 2014? b) Hvor mye tjente Mona i 2012 utenom feriepengene? Løsning:

a) Først regner vi ut hvor mye Mona tjente i 2013 uten feriepenger. Samlet beløp i 2013 − Feriepenger i 2013 = Lønn uten feriepenger

360 000 kr 37 200 kr 322 800 kr

Hun hadde krav på 12 % av dette i feriepenger i 2014. Det er

0,12 ⋅ 322 800 kr = 38 736 kr

131

Book Sinus 1P.indb 131

2014-04-25 12:44:50

b) Feriepengene i 2013 var 12 % av lønna uten feriepenger i 2012. Dermed var lønna i 2012 feriepengene i 2013 37 200 kr = = 310 000 kr 0,12 0,12 I 2012 var lønna uten feriepenger 310 000 kr.

OPPGAVE 5.12

I 2013 tjente Marius (26 år) 318 900 kr medregnet 32 400 kr i feriepenger. a) Hvor mye feriepenger fikk han i 2014? b) Hvor mye tjente Marius i 2012 utenom feriepengene? OPPGAVE 5.13

Martin er 47 år. Han hadde 10 000 kr i fast lønn per uke i 2012 og 2013. I 2012 arbeidet han i 47 uker. a) Hvor mye feriepenger hadde han krav på i 2013? b) I 2013 arbeidet Martin i 47 uker og hadde fem uker ferie. Han fikk valget mellom å få utbetalt lønn i 52 uker eller lønn i 47 uker og så feriepenger i tillegg. Hva burde Martin velge?

5.2 Skattetrekk De fleste voksne i Norge betaler skatt. Hvor mye skatt vi betaler, er blant annet avhengig av hva vi tjener (inntekten), og hva vi eier (formuen). For lønnsmottakere er det arbeidsgiveren som trekker skatt fra inntekten og overfører pengene til skattemyndighetene. Dette skattetrekket blir sjelden helt likt det beløpet som skatteetaten regner ut når året er omme. Hvis vi har betalt for mye, får vi penger igjen på skatten. Hvis vi har betalt for lite, må vi betale restskatt. Hvor stort skattetrekket skal være, står på skattekortet som arbeidsgiveren får elektronisk fra skatteetaten. Det er tre typer skattekort: tabellkort, prosentkort og frikort. På et tabellkort kan arbeidsgiveren finne skattetrekket for den faste lønna i en tabell som følger med kortet. Du finner et utsnitt av et slikt tabellkort på neste side. Den faste lønna blir rundet ned til nærmeste 100 kr, og ut fra det finner vi skattetrekket i denne tabellen. Skatt av lønn for overtid eller ekstraarbeid regnes ut etter en prosentsats som står på tabellkortet.

132

Book Sinus 1P.indb 132

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:50

På et prosentkort står det en prosentsats som skal gjelde for skattetrekk av all lønn. Når vi bruker et prosentkort, blir lønna rundet ned til nærmeste hele krone. Også skatten blir rundet ned på samme måten. Personer med spesielt lav inntekt får et frikort. De betaler ikke skatt så lenge lønna er lavere enn beløpet på frikortet. I 2014 fikk elever og studenter frikort hvis de tjente mindre enn 39 950 kr. Før vi regner ut skattetrekket av en månedslønn, skal vi trekke fra de beløpene vi betaler i fagforeningskontingent og i pensjonsinnskudd. Fagforeningskontingenten regner vi vanligvis i prosent av samlet månedslønn. Pensjonsinnskuddet regnes i prosent av den faste månedslønna. Når vi trekker fagforeningskontingenten og pensjonsinnskuddet fra lønna, får vi trekkgrunnlaget. Det er det beløpet vi regner skattetrekket av.

EKSEMPEL Berit Berre Blakk har 32 000 kr i fast månedslønn. Det svarer til 200 kr per time. Hun får 20 % tillegg for overtid på hverdager og 60 % tillegg for overtid på søndager. Berit betaler 2 % i pensjonsinnskudd og 1,5 % i fagforeningskontingent. En måned arbeider hun 10 timer overtid på hverdager og 5 timer på søndager. Hun har prosentkort og skal betale 34 % skatt på all inntekt. Hvor mye får hun utbetalt?

133

Book Sinus 1P.indb 133

2014-04-25 12:44:51

Løsning:

Fast månedslønn + Overtid på hverdager + Overtid på søndager = Samlet lønn

32 000 kr 10 ⋅ 200 kr ⋅ 1,20 = 2 400 kr 5 ⋅ 200 kr ⋅ 1,60 = 1 600 kr 36 000 kr 36 000 kr

Pensjonsinnskudd + Fagforeningskontingent = Samlet fradrag Trekkgrunnlag Skattetrekk

0,02 ⋅ 32 000 kr = 0,015 ⋅ 36 000 kr =

= Utbetaling

0,34 ⋅ 34 820 kr =

640 kr 540 kr 1180 kr −1 180 kr 34 820 kr −11 838 kr 22 982 kr

OPPGAVE 5.20

Mette Munner har 32 500 kr i fast månedslønn. Det svarer til 200 kr per time. Hun får 40 % tillegg for overtidsarbeid på hverdager og 100 % tillegg for overtid på søndager. En måned har hun 12 timer overtid på hverdager og 5 timer overtid på søndager. Hun har prosentkort og skal betale 35 % i skatt. Mette betaler 2 % i pensjonsinnskudd og 1,2 % i fagforeningskontingent. Hvor mye får hun utbetalt?

EKSEMPEL En måned hadde Kåre Kakse 41 000 kr i fast månedslønn og 5000 kr i lønn for overtidsarbeid. Han betaler 2 % i pensjonsinnskudd og 1,5 % i fagforeningskontingent. Kåre har tabellkortet på side 133. For overtidsarbeid betaler Kåre 42 % skatt. Hvor mye får Kåre utbetalt denne måneden?

134

Book Sinus 1P.indb 134

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:52

Løsning:

Fast månedslønn + Lønn for overtid = Samlet lønn

41 000 kr 5 000 kr 46 000 kr

Pensjonsinnskudd 0,02 ⋅ 41 000 kr = 820 kr 690 kr + Fagforeningskontingent 0,015 ⋅ 46 000 kr = = Samlet fradrag 1510 kr Trekkgrunnlag fast lønn 41 000 kr − 1510 kr = 39 490 kr Avrundet trekkgrunnlag 39 400 kr Skattetrekk fast lønn + Skattetrekk overtid − Samlet skattetrekk Utbetaling

0,42 ⋅ 5000 kr =

46 000 kr

−1 510 kr

12 870 kr 2 100 kr 14 970 kr −14 970 kr 29 520 kr

Skattetrekket for den faste lønna fant vi i tabellen. Der ser vi at skatte trekket av 39 400 kr er 12 870 kr.

OPPGAVE 5.21

En måned har Kåre Kakse 32 700 kr i fast månedslønn og 5400 kr i lønn for overtidsarbeid. Kåre har det tabellkortet som står på side 133. Han betaler 42 % skatt på overtidsarbeid. Dessuten betaler han 2 % i pensjonsinnskudd og 1,5 % i fagforeningskontingent. a) Hvor mye skatt skal Kåre betale denne måneden? b) Hvor mye får Kåre utbetalt denne måneden? OPPGAVE 5.22

Hvor mye ville Mette Munner i oppgave 5.20 ha fått utbetalt hvis hun hadde tabellkortet og overtidsprosenten til Kåre Kakse i oppgave 5.21? Mette betaler 2 % i pensjonsinnskudd og 1,2 % i fagforeningskontingent. Vi kan også regne ut lønn og skatt ved hjelp av et regneark. Da henter vi først regnearket «Skattetrekk med prosentkort» fra Sinus-sidene på nettet og løser oppgaven med Berit Berre Blakk som står på side 133–134 her i boka. I alle regnearkene på Sinus-sidene skriver vi bare i de gule rutene.

135

Book Sinus 1P.indb 135

2014-04-25 12:44:52

Når vi har fylt ut de aktuelle gule rutene, ser vi at Berit får utbetalt 22 982 kr. Det stemmer helt med det vi regnet ut på side 134. Når vi skal løse oppgaven i eksempelet med Kåre Kakse på side 134–135, henter vi regnearket «Skattetrekk med tabellkort» på Sinus-sidene på nettet. Der fyller vi ut de gule rutene. Det gir dette resultatet:

Skattetrekket på 12 870 kr måtte vi finne i skattetabellen på side 133.

136

Book Sinus 1P.indb 136

OPPGAVE 5.23

Bruk regnearket «Skattetrekk med prosentkort» til å løse oppgave 5.20.

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:52

OPPGAVE 5.24

Bruk regnearket «Skattetrekk med prosentkort» til å løse denne oppgaven: Snekker Hans Hammer har 250 kr i timelønn. Han får 20 % tillegg for arbeid på vanlig kveldstid og 40 % tillegg for arbeid på lørdager. Han betaler 32 % skatt. Dessuten betaler han 2 % i pensjonsinnskudd og 1,5 % i fagforeningskontingent. Ei uke arbeidet han 30 timer på dagtid fra mandag til fredag, 6 timer på vanlig kveldstid og 4 timer på lørdag. Hvor mye får Hans Hammer utbetalt denne uka?

5.3 Selvangivelse Det skattetrekket vi regnet ut i kapittel 5.2, gir sjelden den helt nøyaktige skatten som vi skal betale. Den blir regnet ut etter at året er omme. Det blir gjort på grunnlag av den selvangivelsen som alle må levere. Samlet lønn og renteinntekter for en person i løpet av et år kaller skatteetaten for personinntekt. Vi betaler ikke inntektsskatt av all lønn. Vi trekker blant annet fra renteutgifter, fagforeningskontingent, pensjonsinnskudd og store reiseutgifter til og fra arbeid. Alle lønnsmottakere får i tillegg et minstefradrag og et personfradrag. I 2014 var minstefradraget 43 % av personinntekten. Men minstefradraget kunne ikke være over 84 150 kr og i praksis ikke under 31 800 kr. Person fradraget var på 48 800 kr. Når vi trekker alle fradragene fra personinntekten, får vi trekkgrunnlaget for inntektsskatten. I 2014 var inntektsskatten 27 % av trekkgrunnlaget. I 2014 betalte lønnsmottakere 8,2 % av personinntekten i trygdeavgift. Legg merke til at trygdeavgiften blir regnet av samlet inntekt uten fradrag. Personer med høy inntekt betaler i tillegg toppskatt. I 2014 betalte vi 9 % av den delen av personinntekten som var over 527 400 kr. Av den delen som var over 857 300 kr, betalte vi 12 % toppskatt. Når vi trekker skatten fra personinntekten, får vi nettoinntekten. Det er den vi har å leve av i løpet av året.

137

Book Sinus 1P.indb 137

2014-04-25 12:44:52

EKSEMPEL I 2014 hadde Kalle Kakse en personinntekt på 800 000 kr. Han hadde 20 000 kr i renteutgifter og 7950 kr i andre fradrag. Hva blir nettoinntekten hans? Løsning:

Personinntekt Rentefradrag 20 000 kr + Andre fradrag 7 950 kr + Minstefradrag 84 150 kr + Personfradrag 48 800 kr = Samlet fradrag 160 900 kr Trekkgrunnlag for inntektsskatt Inntektsskatt 0,27 ⋅ 639 100 kr = + Toppskatt 0,09 ⋅ (800 000 kr − 527 400 kr) = + Trygdeavgift 0,082 ⋅ 800 000 kr = = Samlet skatt = Nettoinntekt

800 000 kr

−160 900 kr 639 100 kr 172 557 kr 24 534 kr 65 600 kr 262 691 kr −262 691 kr 537 309 kr

OPPGAVE 5.30

I 2014 hadde Peder P. Engeløs 150 000 kr i personinntekt. Han hadde 12 000 kr i renteutgifter og 5000 kr i andre fradrag. a) Hvor mye måtte Peder betale i skatt? b) Hva ble nettoinntekten hans? c) Hvor mange prosent skatt betalte Peder? OPPGAVE 5.31

I 2014 hadde Gulli Kisten 720 000 kr i personinntekt. Hun hadde 48 000 kr i renteutgifter og 18 000 kr i andre fradrag. a) Hvor mye betalte Gulli i skatt? b) Hva ble nettoinntekten? c) Hvor mange prosent skatt betalte Gulli? På Sinus-sidene på Internett finner du regnearket «Skatt 2014» som vi kan bruke når vi skal løse disse oppgavene. På neste side har vi brukt dette regnearket for å finne skatten til Kalle Kakse i eksempelet foran.

138

Book Sinus 1P.indb 138

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:52

Dette regnearket er et forenklet skatteprogram. Et fullstendig skatteprogram finner du ved å gå inn på www.skatteetaten.no og velge et program som heter Skatteberegning.

OPPGAVE 5.32

Finn nettoinntekten til Peder P. Engeløs i oppgave 5.30 og Gulli Kisten i oppgave 5.31 ved hjelp av regnearket «Skatt 2014».

5.4 Regnskap og budsjett Et regnskap er en oversikt over de inntektene og utgiftene vi har hatt i en periode. Vi bruker regnskapet for å ha oversikt over pengebruken vår. I et regnskap deler vi inntektene og utgiftene i ulike poster. Inntektspostene kan være lønn, studielån, støtte fra foreldre osv. Utgiftspostene kan være husleie, mat, reise osv. Hanne har flyttet på hybel og fører et personlig regnskap. For mars måned satte hun opp en enkel oversikt over inntektene og utgiftene sine. Hun brukte regnearket «Lite regnskap» som du finner på Sinus-sidene på Internett.

139

Book Sinus 1P.indb 139

2014-04-25 12:44:52

Regnearket viser alle inntektene og utgiftene hennes i mars. Hun har selv fylt ut alle de gule feltene. Regnearket forteller at hun hadde et overskudd på 800 kr i mars.

OPPGAVE 5.40

Kristian Sand flytter på hybel for å studere. Han får 8000 kr per måned i lån og stipend. Kristian leier en hybel for 4200 kr per måned. Den 1. september hadde han 5500 kr i banken. I september tjente han 2000 kr på deltidsarbeid. Han brukte 2500 kr til mat, 1000 kr til fritid og fornøyelser, 800 kr til reiser, 800 kr til telefon og 500 kr til annet. a) Sett opp et regnskap for Kristian uten å bruke digitale hjelpemidler. b) Hent fram regnearket «Lite regnskap» og bruk det til å sette opp regnskapet for Kristian. c) Hvor mye penger har Kristian 1. oktober? OPPGAVE 5.41

Heidi er kasserer i idrettslaget Best. Den 1. april hadde idrettslaget 74 600 kr på konto. I løpet av april fikk de inn 12 000 kr i medlemsavgift, 14 500 kr i aktivitetsavgift, 8000 kr fra sponsorer, 12 500 kr i overskudd fra løpet «Best på toppen» og 12 000 kr i offentlig støtte. IL Best betalte i alt 24 000 kr i startkontingenter, 15 400 kr for treningssamlinger, 4500 kr for transport og 1200 kr i kontorutgifter. Laget kjøpte videre tidtakerutstyr for 7400 kr. a) Hent fram regnearket «Lite regnskap» og lag et regnskap for IL Best for april. b) Hvor mye penger hadde de på kontoen 1. mai? Et budsjett er en oversikt over de inntektene og utgiftene vi tror vi kommer til å få i en periode. Vi kan lage et budsjett for den neste måneden eller for det neste året. Det er viktig å ha et budsjett hvis vi vil ha kontroll med utgiftene våre og kunne planlegge pengebruken. Når vi setter opp et budsjett for en måned, tar vi ofte utgangspunkt i regnskapet for tidligere måneder. I budsjettet bruker vi de samme postene som i regnskapet. Hanne hadde lagd et enkelt regnskap for mars måned. I begynnelsen av april fant hun ut at hun ville lage et budsjett og et grundigere regnskap slik at hun bedre kunne følge med på utgiftene og inntektene i løpet av måneden. Til det brukte hun regnearket «Stort regnskap», som du finner på Sinus-sidene på Internett. Nederst på det regnearket er fire faner som vist her:

140

Book Sinus 1P.indb 140

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:52

Hanne klikket på Budsjett. Hun skrev nå navn på poster og satte opp et budsjett basert på inntektene og utgiftene i mars. Tallene skrev hun inn i de gule rutene som vist her:

Dette er budsjettet for april. Vi ser at summen av inntektene er lik summen av utgiftene. Budsjettet er da i balanse. 1. april hadde hun 3200 kr. Hun trykte på fanen Pengemengde og la inn beløpet der. I april hentet hun fram regnearket, klikket på fanene Inntekter og Utgifter og la inn inntektene og utgiftene i april som vist her:

Når hun nå trykker på fanen Budsjett, ser det ut som vist på neste side.

141

Book Sinus 1P.indb 141

2014-04-25 12:44:52

Raden der det står avvik, viser om hun har tjent eller brukt mer enn eller mindre enn budsjettert. Når det står −110 kr under fritid, betyr det at hun har brukt 110 kr mer enn planlagt til fritid. Ut fra regnearket ser Hanne at hun i alt har brukt 185 kr mer enn budsjettert. Hun har brukt for mye til mat og til fritid. For å finne ut hvor mye penger hun har igjen, trykker hun på fanen Pengemengde og får fram dette:

Hun ser nå at pengemengden har økt med 165 kr. Grunnen er at inntektene ble 350 kr høyere enn budsjettet og utgiftene bare 185 kr høyere.

OPPGAVE 5.42

I oppgave 5.40 lagde vi regnskap for Kristian Sand for september. Han hadde 5700 kr i begynnelsen av oktober. Kristian vil nå sette opp et detaljert regnskap for oktober ved hjelp av regnearket «Stort regnskap». Han bruker regnskapstallene fra september som budsjett for oktober. Her er inntektene og utgiftene hans fram til 27. oktober:

142

Book Sinus 1P.indb 142

1.10. 2.10. 6.10. 7.10. 12.10. 17.10. 22.10. 24.10. 26.10.

Fikk 8000 kr i lån og kjøpte busskort for 800 kr Mat 450 kr og bøker 500 kr Fornøyelser 500 kr og drosje 100 kr Mat 550 kr og telefon 980 kr Lønn 2400 kr, mat 400 kr og hybel 4200 kr Mat 270 kr og treningsavgift 600 kr Mat 600 kr Fornøyelser 250 kr Reise 180 kr

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:53

a) Legg inn disse inntektene og utgiftene i regnearket. b) Mandag 27.10. er han innom kjøpesenteret og vil kjøpe ei kul bukse som koster 770 kr. Kan han kjøpe buksa uten å gå med underskudd denne måneden? c) Han kjøper buksa. Hvor mye penger har han da 1. november hvis han ikke handler mer denne måneden?

5.5 Sparing Dersom vi ikke bruker opp hele inntekten vår, kan vi spare penger. Vi kan sette dem i banken. Det er en veldig sikker måte å spare på. Men renta i banken er ofte lav på vanlige kontoer. Vi får bedre rente når vi oppretter en egen sparekonto. For ungdom fins det en egen spareordning. BSU (boligsparing for ungdom) heter den. Alle under 34 år kan spare inntil 25 000 kr per år og få 20 % av sparebeløpet i skattefradrag. Samlet sparebeløp kan ikke være mer enn 200 000 kr. Bankene gir høy rente på disse sparepengene. I tillegg gir denne sparingen mindre skatt. Men disse sparepengene kan ikke brukes til annet enn boligkjøp eller oppgradering av bolig. Når rentene i banken er lave, er det mange som heller sparer i aksjer. Med aksjer kan du få mer igjen enn i banken, men risikoen for at du taper penger, er større. Martin setter 10 000 kr i banken og får 3 % rente per år. Vi sier da at innskuddet er 10 000 kr, og at rentefoten er 3. Vekstfaktoren til 3 % økning (eller rente) er 3 1 + = 1 + 0, 03 = 1, 03 100 Etter ett år er beløpet

10 000 kr ⋅ 1,03 = 10 300 kr

I begynnelsen av det andre året har han 10 300 kr i banken. Ved slutten av det andre året har dette beløpet vokst til

10 300 kr ⋅ 1,03 = 10 609 kr

Ved slutten av det tredje året er beløpet

10 609 kr ⋅ 1,03 = 10 927 kr

143

Book Sinus 1P.indb 143

2014-04-25 12:44:53

Legg merke til at vi også kan regne slik: Etter to år er beløpet

10 000 kr ⋅ 1,032 = 10 609 kr

Etter tre år har innskuddet på 10 000 kr vokst til

10 000 kr ⋅ 1,033 = 10 927 kr

Når vi har penger i banken i flere år, bruker vi denne regelen for å finne beløpet: Et beløp B har etter n år vokst til B ⋅ k n der k er vekstfaktoren til den årlige renta.

EKSEMPEL Mari fikk 40 000 kr til konfirmasjonen. Hun satte pengene i banken til 4 % rente per år. Hvor mye penger har Mari i banken etter 6 år? Løsning:

Vekstfaktoren til 4 % rente er 1,04. Etter 6 år har hun

40 000 kr ⋅ 1,046 = 50 613 kr

OPPGAVE 5.50

Frida Fjortis fikk 10 000 kr i gave da hun fylte 14 år. Hun satte pengene i banken og fikk 2 % rente per år. Hvor mye hadde dette beløpet vokst til på 18-årsdagen hennes? OPPGAVE 5.51

Karl fikk 100 000 kr i gave av far sin da han ble født. Pengene ble satt på en konto med 4 % rente per år. Hvor mye penger hadde Karl på denne kontoen på 20-årsdagen sin? Noen ganger sparer vi et fast beløp hvert år. Formålet med sparingen kan for eksempel være bilkjøp, huskjøp eller et ønske om å ha litt penger i reserve.

144

Book Sinus 1P.indb 144

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:53

EKSEMPEL Morten sparer 12 000 kr hvert år i 4 år med 3 % rente per år. Hvor mye har Morten i banken like etter den fjerde innbetalingen? Løsning:

Vekstfaktoren til 3 % rente er 1 + 0,03 = 1,03 Morten setter inn 12 000 kr i begynnelsen av det første året. Ved slutten av det første året har denne summen vokst til

12 000 kr ⋅ 1,03 = 12 360 kr

Så setter Morten inn nye 12 000 kr. Ved begynnelsen av det andre året har han da

12 360 kr + 12 000 kr = 24 360 kr

Ved slutten av det andre året har han

24 360 kr ⋅ 1,03 = 25 090,80 kr

Han setter så inn det tredje beløpet på 12 000 kr og har

25 090,80 kr + 12 000 kr = 37 090,80 kr

Ved slutten av det tredje året har han 37 090,80 ⋅ 1,03 = 38 203,52 kr Han setter så inn det fjerde beløpet på 12 000 kr og har da

38 203,52 kr + 12 000 kr = 50 203,52 kr

OPPGAVE 5.52

Mona får 5000 kr hvert år av bestemor. Hun setter dem i banken og får 3 % rente per år. a) Hvor mye har hun i banken like etter at hun har satt inn det tredje beløpet? b) Hvor mye har hun like etter at hun har satt inn det femte beløpet? OPPGAVE 5.53

Magnar hadde 10 000 kr i banken og satte inn 2000 kr hvert år i 6 år. Han fikk 2 % rente per år. Hvor mye hadde han i banken ett år etter at han satte inn det siste beløpet?

145

Book Sinus 1P.indb 145

2014-04-25 12:44:53

Vi kan også bruke et regneark når vi skal løse oppgaven i eksempelet på forrige side. Hent regnearket «Sparing» som du finner på Sinus-sidene på Internett. Vi fyller ut de gule rutene som vist nedenfor.

Vi ser at Morten har 50 203,52 kr i banken i begynnelsen av det fjerde året. Det stemmer med utregningene i eksempelet.

OPPGAVE 5.54

Løs oppgave 5.52 og 5.53 ved hjelp av regnearket. OPPGAVE 5.55

Martin har 30 000 kr og sparer 1000 kr per måned og får 4 % rente per år. a) Hvor mye har Martin i banken på slutten av det tredje året? b) Hvor mye har han i begynnelsen av det femte året?

5.6 Serielån De fleste mennesker vil før eller seinere få behov for å låne penger. Det kan for eksempel dreie seg om lån til bolig, til utdanning eller til kjøp av bil. Den som låner penger, skaffer seg gjeld. Når vi skal betale tilbake et lån, må vi normalt betale både renter og avdrag. Avdragene går til nedbetaling av lånet. Rentene er inntekt for banken. Vi regner alltid rentene i prosent av restlånet (det vi har igjen av lånet). Når vi gjør avtale om et lån, avtaler vi også betalingstidspunktet for lånet, det som gjerne blir kalt terminen. Vi kan ha én eller flere terminer (betaling av renter og avdrag) hvert år, f.eks. 12 terminer. Terminbeløpet er det beløpet vi betaler ved hver termin. Terminbeløpet er summen av renter og avdrag.

146

Book Sinus 1P.indb 146

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:53

Vi låner for eksempel 100 000 kr og betaler 5 % rente per år. Lånet er et serielån. Alle avdragene er da like store. Lånet har én termin per år, og vi har avtalt denne betalingsplanen: 1. termin 2. termin 3. termin 4. termin 5. termin Til sammen

Renter 5 000 4 000 3 000 2 000 1 000 15 000

Avdrag 20 000 20 000 20 000 20 000 20 000 100 000

Terminbeløp 25 000 24 000 23 000 22 000 21 000 115 000

Summen av alle avdragene er lik lånesummen. Rentene minker slik at også terminbeløpene minker etter hvert som vi betaler ned lånet. For serielån er alle avdragene like store. Vi finner derfor avdraget ved å dividere lånesummen med antallet terminer. For et serielån er avdraget =

lånesummen antallet terminer

Ettersom rentene blir regnet av restlånet, blir rentene lavere etter hvert som vi betaler ned på lånet. Når du har et serielån, er terminbeløpet størst i begynnelsen.

EKSEMPEL En familie låner 900 000 kr for å kjøpe bolig. Lånet er et serielån som går over 20 år med én termin per år og 4 % rente per år. a) Hvor store er avdragene? b) Finn terminbeløpet etter 1 år, etter 2 år og etter 15 år. Løsning:

a) Med én termin hvert år blir det i alt 20 terminer. Hvert avdrag blir da på

900 000 kr = 45 000 kr 20

147

Book Sinus 1P.indb 147

2014-04-25 12:44:54

b) Det første året betaler de Renter + Avdrag Terminbeløp

Det andre året er lånet redusert til

900 000 kr – 45 000 kr = 855 000 kr

De betaler rente av 855 000 kr. Da betaler de Renter + Avdrag Terminbeløp

900 000 kr – 14 ⋅ 45 000 kr = 270 000 kr

De betaler da Renter + Avdrag Terminbeløp

0,04 ⋅ 855 000 kr = 34 200 kr 45 000 kr 79 200 kr

Det 15. året har de betalt i alt 14 avdrag. Lånet er da redusert til

0,04 ⋅ 900 000 kr = 36 000 kr 45 000 kr 81 000 kr

0,04 ⋅ 270 000 kr = 10 800 kr 45 000 kr 55 800 kr

OPPGAVE 5.60

Harry Davidsen vil kjøpe en motorsykkel som koster 120 000 kr. Han har 60 000 kr i banken og låner resten. Harry velger et serielån og skal betale det ned på 3 år med én termin per år. Han må betale 5 % rente per år. a) Hvor store blir de årlige avdragene? b) Hvor mye må han betale til sammen det første året? c) Hvor mye må han betale i renter og avdrag det andre året? d) Hvor mye koster lånet det tredje året? e) Hvor mye har han til sammen betalt i renter og avdrag når lånet er nedbetalt? OPPGAVE 5.61

Frida Ford vil kjøpe en bil som koster 250 000 kr. Hun har 100 000 kr i banken i dag. Resten låner hun i banken. Hun velger et serielån som hun betaler ned på 5 år med én termin per år. Frida må betale 4 % rente per år. a) Finn det årlige avdraget. b) Finn ut hvor mye hun må betale i renter hvert av de fem årene. c) Hvor mye betaler Frida til sammen i renter og avdrag i løpet av de fem årene?

148

Book Sinus 1P.indb 148

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:54

De fleste banker har lånekalkulatorer som vi kan bruke til å finne ut hvor mye vi må betale i renter og avdrag når vi tar opp et serielån. Her skal vi i stedet bruke regnearket «Serielån» som ligger på Sinus-sidene på nettet. Vi bruker nå det regnearket for å løse oppgaven i eksempelet på side 147–148, men denne gangen med 12 terminer per år. Det vanlige er nemlig å betale renter og avdrag hver måned.

På det samme regnearket er det et stolpediagram som viser avdrag og renter for de første ti årene. Her ser vi tydelig at alle avdragene er like store.

149

Book Sinus 1P.indb 149

2014-04-25 12:44:54

Av planen på forrige side ser vi hvor mye familien må betale hvert år. Vi ser at avdraget er det samme hvert år (45 000 kr). Terminbeløpet minker etter hvert. Rentene og terminbeløpet stemmer ikke helt med det vi regnet ut i eksempelet. Grunnen er at vi her har valgt 12 terminer per år. Hvis vi hadde valgt 1 termin per år, hadde vi fått tallene i eksempelet. Nederst på regnearket ser vi disse to fanene:

Vi klikker på «Første år» og får fram en betalingsplan for det første året.

Vi ser at familien må betale 3750 kr i avdrag hver måned. Terminbeløpet er 6750 kr i januar og 6613 kr i desember hvis lånet er tatt opp ved nyttårsskiftet.

OPPGAVE 5.62

Bruk regnearket «Serielån» og lag en betalingsplan for Harry Davidsen i oppgave 5.60 når han velger et serielån på 60 000 kr over 3 år med 12 terminer per år. Han betaler 5 % rente per år. Bruk årsplanen til å finne ut hvor mye han betaler til sammen i renter og avdrag. OPPGAVE 5.63

Bruk regnearket «Serielån» og lag en betalingsplan for Frida Ford i oppgave 5.61 når hun velger et serielån på 150 000 kr over 5 år med 12 terminer per år. Hun betaler 4 % rente per år. Hvor mye betaler hun til sammen på dette lånet?

150

Book Sinus 1P.indb 150

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:54

5.7 Annuitetslån Når vi har et serielån, er alle avdragene like store. Rentene minker etter hvert som restlånet minker. Terminbeløpene er derfor størst tidlig i nedbetalingen. Hvis vi derimot velger et annuitetslån, er terminbeløpene like hele tida. Det ser du her: 1. termin 2. termin 3. termin 4. termin 5. termin Til sammen

Renter 5000 4095 3145 2147 1100 15 487

Avdrag 18 097 19 002 19 952 20 950 21 998 100 000

Terminbeløp 23 097 23 097 23 097 23 097 23 097

Rentene minker og avdragene øker slik at summen blir den samme. Ettersom avdrag + renter = terminbeløp får vi denne regelen: For et annuitetslån er avdrag = terminbeløp – renter

EKSEMPEL En familie skal kjøpe bil og tar opp et annuitetslån på 100 000 kr med 5 % rente per år. Lånet skal betales ned over 5 år med én termin per år. Terminbeløpet er 23 100 kr. a) Regn ut avdragene de fire første årene. b) Hvor stort er det siste terminbeløpet? c) Hvor mye koster lånet i alt? Løsning:

a) 1. år: Renter Avdrag

100 000 kr ⋅ 0,05 23 100 kr – 5000 kr

= =

5000 kr 18 100 kr

100 000 kr – 18 100 kr

81 900 kr

Restlån

151

Book Sinus 1P.indb 151

2014-04-25 12:44:54

2. år: Renter Avdrag

81 900 kr ⋅ 0,05 23 100 kr – 4095 kr

= =

4095 kr 19 005 kr

81 900 kr – 19 005 kr

62 895 kr

3. år: Renter Avdrag

62 895 kr ⋅ 0,05 23 100 kr – 3144,75 kr

= 3144,75 kr = 19 955,25 kr

62 895 kr – 19 955,25 kr

= 42 929,75 kr

4. år: Renter Avdrag

42 929,75 kr ⋅ 0,05 23 100 kr – 2146,99 kr

= 2146,99 kr = 20 953,01 kr

42 929,75 kr – 20 953,01 kr = 21 986,74 kr

Restlån

b) Det siste året må familien betale resten av lånet og renter på det. Renter 21 986,74 kr ⋅ 0,05 = 1 099,34 kr Avdrag 21 986,74 kr Terminbeløp = 23 086,07 kr c) Familien betaler fire beløp på 23 100 kr og ett på 23 086,07 kr. Til sammen blir det 4 ⋅ 23 100 kr + 23 086,07 = 115 486,07 kr

OPPGAVE 5.70

Harry Davidsen låner 60 000 kr i banken for å kjøpe ny motorsykkel. Han velger et annuitetslån og skal betale ned lånet på 3 år med én termin per år. Med 5 % rente per år blir terminbeløpet 22 033 kr. a) Hvor mye betaler han i renter og avdrag det første året? Hvor stort er restlånet da? b) Hvor mye betaler han i renter og avdrag det andre året? Hvor stort er restlånet? c) Hvor mye betaler han i renter og avdrag det tredje året? d) Hvor mye betaler han til sammen i renter og avdrag? OPPGAVE 5.71

Frida Ford låner 150 000 kr i banken. Hun velger et annuitetslån over 5 år og må betale 4 % rente per år. Det årlige terminbeløpet blir 33 694 kr, som hun betaler én gang per år. a) Finn rentene og avdraget det første året. b) Finn rentene og avdraget det andre året. c) Finn rentene og avdraget det siste året.

152

Book Sinus 1P.indb 152

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:54

På Sinus-sidene på nettet ligger regnearket «Annuitetslån» som vi kan bruke til oppgaver med annuitetslån. Vi skal finne ut hvor mye familien i eksempelet på side 151–152 må betale per måned når de velger et annuitetslån på 100 000 kr over 5 år med 5 % rente og 12 terminer per år.

Av denne planen ser vi hvor mye familien må betale hver måned. Vi ser at terminbeløpet er det samme hver måned (1882 kr). Rentene minker og avdragene vokser etter hvert som tida går. Når vi trykker på den fanen der det står «Årsplan», får vi fram en oversikt over hvor mye familien må betale til sammen hvert år i de fem årene.

Vi ser at terminbeløpene per år er like store, og at rentene minker og avdraget vokser. Det går også tydelig fram av denne figuren som vi finner på regnearket:

153

Book Sinus 1P.indb 153

2014-04-25 12:44:54

OPPGAVE 5.72

Bruk regnearket «Annuitetslån» og lag en betalingsplan for Harry Davidsen i oppgave 5.60 når han velger et annuitetslån på 60 000 kr over 3 år til 5 % rente per år med 12 terminer per år. a) Finn terminbeløpet. b) Hvor mye betaler Harry til sammen i renter og avdrag på dette lånet? c) Sammenlikn med serielånet i oppgave 5.62. Hvilket lån er dyrest? OPPGAVE 5.73

Bruk regnearket «Annuitetslån» og lag en betalingsplan for Frida Ford i oppgave 5.61 når hun velger et annuitetslån på 150 000 kr over 5 år med 12 terminer per år. Renta er 4 % per år. a) Finn terminbeløpet. b) Hvor mye betaler Frida til sammen i renter og avdrag de fem årene? c) Sammenlikn med serielånet i oppgave 5.63. Hvilket lån er dyrest?

5.8 Kredittkort I Norge bruker de fleste betalingskort ved kjøp av varer og tjenester. Betalingskortene kan vi dele i to typer: debetkort og kredittkort. Når vi bruker et debetkort, trekker vi pengene direkte fra bankkontoen vår. Hvis vi ikke har penger på kontoen, får vi ikke brukt kortet. Dermed kan vi ikke bruke mer penger enn det vi har. Når vi derimot bruker et kredittkort, blir pengene ikke trukket fra kontoen med det samme. Vi kan bruke kortet uten at vi har penger på kontoen så lenge vi ikke går ut over kredittgrensen. Dette er et beløp som vi har avtalt med banken, og det er avhengig av hvor god økonomi vi har. Det beløpet vi bruker en måned, får vi regning på neste måned. På regningen står det en forfallsdato. På denne datoen trenger vi ikke betale hele beløpet, men vi må betale et minstebeløp. Hvis vi betaler hele beløpet ved forfall, betaler vi vanligvis ikke noen rente. Men hvis vi for eksempel bare betaler minstebeløpet, må vi begynne å betale rente på resten. Da må vi for eksempel betale 1,5 % rente per måned. Det blir en veldig høy årlig rente, for vi må etter hvert betale rente av rentene, det vi kaller rentesrente. I tillegg må vi ofte betale gebyr, men det tar vi ikke opp her. Når vi skal finne ut hvor fort en gjeld med månedsrente vokser, må vi regne på tilsvarende måte som vi gjorde ved sparing i kapittel 5.5.

154

Book Sinus 1P.indb 154

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:54

Et beløp B har etter n måneder vokst til B ⋅ kn der k er vekstfaktoren til månedsrenten.

EKSEMPEL Einar kjøpte skiutstyr for 10 000 kr og betalte med et kredittkort. På det kortet må han betale 1,5 % rente per måned etter forfall. I denne oppgaven forutsetter vi at Einar ikke betaler noe tilbake. a) Hvor mye skylder Einar etter 6 måneder? b) Hvor mye skylder Einar etter 1 år? c) Hvor mye gir dette i samlet rente etter 1 år? d) Hvor mange prosent rente betaler Einar per år? Løsning:

a) Vekstfaktoren til 1,5 % økning er 1, 5 1 + = 1 + 0, 015 = 1, 015 100 Etter 6 måneder har da 10 000 kr vokst til

10 000 kr ⋅ 1,0156 = 10 934 kr

b) Etter 1 år (12 måneder) har beløpet vokst til

10 000 kr ⋅ 1,01512 = 11 956 kr

c) Renta er

11 956 kr − 10 000 kr = 1956 kr

d) Den årlige renta i prosent er da 1956 kr ⋅100 % = 19, 56 % 10 000 kr 1,5 % månedlig rente svarer altså til 19,56 % årlig rente. I det eksempelet vi nå hadde, kunne vi også ha regnet ut den årlige renten i prosent slik: Fra oppgave b ser vi at vekstfaktoren for ett år er 1, 01512 = 1,1956 Prosentfaktoren er da 0,1956 og prosenten 19,56 %. Vi kan regne om fra månedlig rente til årlig rente ved hjelp av regelen på neste side:

155

Book Sinus 1P.indb 155

2014-04-25 12:44:55

Årlig vekstfaktor = (månedlig vekstfaktor)12

EKSEMPEL Kristine har 30 000 kr i gjeld på kredittkortet sitt. Hun betaler 1,7 % rente per måned. a) Hvor mange prosent rente per år gir det? b) Hvor mye skylder Kristine etter 3 år hvis hun ikke betaler noe? Løsning:

a) Vekstfaktoren til 1,7 % månedsrente er 1,017. Den årlige vekstfaktoren blir da 1,01712 = 1,224

Prosentfaktoren er da 0,224, og prosenten er 22,4 %.

1,7 % månedsrente svarer til 22,4 % rente per år.

b) Ettersom den årlige vekstfaktoren er 1,224, har 30 000 kr etter 3 år vokst til

30 000 kr ⋅ 1,2243 = 55 013 kr

OPPGAVE 5.80

Berit Blakk handlet møbler for 20 000 kr og betalte med kredittkortet sitt. Det første året betalte hun ikke tilbake noe og måtte betale 1,2 % rente per måned. a) Hvor mye skylder Berit etter 4 måneder? b) Hvor mye skylder hun etter ett år? c) Hvor mye rente er det blitt på dette året? d) Hvor mange prosent rente per år svarer det til? OPPGAVE 5.81

Vanja Vespa har kjøpt seg skuter. Hun betalte 30 000 kr med kredittkortet sitt. Renta er 2 % per måned. Hun betaler ikke noe tilbake ved forfall. a) Hvor mye skylder Vanja etter 6 måneder? b) Hvor mange prosent årlig rente betaler hun? c) Hvor mye skylder Vanja etter 4 år?

156

Book Sinus 1P.indb 156

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:55

Et kredittkort kan være gunstig for oss hvis vi alltid betaler tilbake ved forfall. Da betaler vi ikke noe rente, og vi kan ha visse fordeler ved å bruke det. Noen kort gir for eksempel lavere pris på bensin hos enkelte forhandlere, andre kort kan gi lavere pris på bestemte varer. Når vi betaler, kan vi få gratis reiseforsikring hvis vi bruker kredittkortet til å betale med. Men hvis vi ikke betaler hele beløpet tilbake ved forfall, er kredittkortet gunstig for banken. Grunnen er at den årlige renta på kredittkortene er mye høyere enn renta på vanlige banklån. Banken får dermed inn mer penger på kredittkortgjeld enn på vanlige lån. Det er nok grunnen til at mange banker og andre bedrifter er ivrige etter å tilby oss kredittkort. Mange bruker kredittkortet enda de vet at de ikke kan klare å betale tilbake ved forfall. Beløpet de skylder, bare øker og øker. Hver måned må de betale et minstebeløp. Etter hvert blir minstebeløpet så stort at de ikke har penger til å betale de faste utgiftene til for eksempel mat og husleie. De må begynne å bruke kredittkortet til å kjøpe mat. Når de har nådd kredittgrensen på kortet, må de kanskje skaffe seg andre kredittkort som de kan bruke til det de trenger. Til slutt klarer de ikke å betale minstebeløpene på kredittkortene, og de klarer heller ikke å betale andre regninger. Banken og andre de skylder penger, kan da få tilbake pengene sine ved å selge gjelden til et inkassoselskap. Da øker gjelden veldig. Hvis kortbrukeren fortsatt ikke betaler, kan inkassoselskapet tvinge dem til å betale ved at de må selge for eksempel bilen eller huset. Hvis vi ikke betaler regningene våre, får vi betalingsanmerkninger i sentrale registre. Da blir det vanskelig å få lån til for eksempel hus eller bil i lang tid framover. Hvis vi kontakter banken før vi får for store problemer med en kredittkortgjeld, vil banken kunne hjelpe oss ved at de gir oss et vanlig banklån som vi da bruker til å betale gjelden på kredittkortet. Det gir mye lavere rente.

157

Book Sinus 1P.indb 157

2014-04-25 12:44:55

OPPGAVE 5.82

Fredrik Ford kjøpte en bruktbil som kostet 49 000 kr. Han betalte med kredittkortet sitt, der renta er 2 % per måned. Men utgiftene til bilen ble så store at han ikke klarte å betale ned gjelden på kredittkortet. a) Hvor mange prosent årlig rente betaler Fredrik på kredittkortgjelden? b) Hvor mye skylder Fredrik etter 3 år hvis han ikke betaler noe? c) Hvor mye rente er det blitt i løpet av disse tre årene? Etter 3 år tilbyr banken ham et annuitetslån på 100 000 kr så han kan betale kredittkortgjelden sin. Annuitetslånet har en rente på 6 % per år. Det har 12 terminer per år og skal betales ned på 3 år. d) Bruk regnearket «Annuitetslån» som ligger på Sinus-sidene på Internett, og finn ut hvor mye Fredrik må betale per måned. e) Hvor mye har Fredrik da betalt til sammen for denne bilen?

158

Book Sinus 1P.indb 158

Sinus 1P > Økonomi

2014-04-25 12:44:56

SAMMENDRAG Lønn Når vi arbeider, kan vi få månedslønn, timelønn, provisjonslønn eller akkordlønn. Provisjonslønn er en viss prosent av et salg. Akkordlønn er et fast beløp for en bestemt arbeidsoppgave. Skattetrekk Personer som tjener mer enn ca. 40 000 kr per år, må betale skatt. Skattetrekket finner vi enten ved å lese av en tabell (se side 133) eller ved å regne en bestemt prosent av lønna. Budsjett Et budsjett er en oversikt over de inntektene og utgiftene vi tror vi kommer til å få i en periode. Regnskap Et regnskap er en oversikt over de inntektene og utgiftene vi har hatt i en periode. Renter Hvis vi setter penger i banken, får vi renter fra banken. Hvis vi låner penger i banken, må vi betale renter til banken. Renter i flere perioder Et beløp B har etter n måneder eller n år vokst til B ⋅ kn der k er vekstfaktoren til månedsrenta eller årsrenta. Avdrag Når vi låner penger i banken, må vi betale pengene tilbake med renter over en bestemt periode. Det gjør vi ved å betale avdrag på lånet. Summen av alle avdragene er alltid lik det beløpet vi lånte. Serielån For et serielån er alle avdragene like store. Da er avdraget =

lånesummen antallet terminer

Annuitetslån For et annuitetslån er alle terminbeløpene like store. Da er avdraget = terminbeløpet – rentene

159

Book Sinus 1P.indb 159

2014-04-25 12:44:57

8 212

Book Sinus 1P.indb 212

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:39

Funksjoner MÅL

for opplæringen er at eleven skal kunne • gjøre rede for begrepet lineær vekst, beskrive et slikt vekstforløp og anvende dette på praktiske eksempler, også digitalt • oversette mellom ulike representasjoner av funksjoner • undersøke funksjoner som beskriver praktiske situasjoner, ved å bestemme nullpunkter, ekstremalpunkter og skjæringspunkter og tolke den praktiske betydningen av resultatene

213

Book Sinus 1P.indb 213

2014-04-25 12:45:40

8.1 Funksjonsbegrepet Mona har moped. Hun betaler 3500 kr året i forsikring. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 5 kr per mil. Utgiftene i kroner per år hvis hun kjører x mil, er da gitt ved y = 5x + 3500 Hvis Mona kjører 100 mil, blir kostnaden i kroner y = 5 ⋅ 100 + 3500 = 4000 Kostnaden blir 4000 kr. Vi kan alltid finne kostnaden y når vi kjenner kjørelengden x. Vi sier at y er en funksjon av x. y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi for x gir nøyaktig én verdi for y. Uttrykket 5x + 3500 kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen y = 5 x + 3500. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for funksjonsuttrykkene. Når y er kostnaden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket K(x) og skriver K(x) = 5x + 3500 K er her den første bokstaven i ordet kostnad. Vi sier også at funksjonen K er gitt ved K(x) = 5x + 3500 Når Mona kjører 100 mil på ett år, regner vi ut kostnaden i kroner på denne måten: K(100) = 5 ⋅ 100 + 3500 = 4000 Hvis hun kjører 300 eller 500 mil, blir kostnaden i kroner K(300) = 5 ⋅ 300 + 3500 = 5000 K(500) = 5 ⋅ 500 + 3500 = 6000 Tallene 4000, 5000 og 6000 kaller vi funksjonsverdier. Vi samler funksjonsverdiene i en tabell: x K(x)

100 4000

300 5000

500 6000

Grafen til funksjonen K er en kurve som viser sammenhengen mellom kjørelengden x og kostnaden. Fra før vet vi at y = 5x + 3500 er likningen for ei rett linje. Grafen til funksjonen K er dermed ei rett linje. Vi bruker tabellen ovenfor og får grafen på neste side.

214

Book Sinus 1P.indb 214

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:40

kr y K

6000 5000 4000 3000 2000 1000

x 100

200

300

400

500 mil

Langs førsteaksen (x-aksen) finner vi variabelen x. Langs andreaksen (y-aksen) finner vi verdiene til funksjonen K.

! ?

De tallene vi velger, setter vi langs førsteaksen. De verdiene vi regner ut, setter vi alltid langs andreaksen. OPPGAVE 8.10

På treningsinstituttet Komiform betaler du 3000 kr året i treningsavgift. I tillegg må du betale 50 kr per dag de dagene du er på instituttet. Hvis du en dag trener flere ganger, betaler du bare én gang den dagen. a) Forklar hvorfor de årlige treningsutgiftene er gitt ved U ( x) = 50 x + 3000 der x er tallet på treningsdager i året. b) Tegn grafen til U når x er mellom 0 og 300 dager. c) Bruk grafen til å finne ut hvor mye det koster å trene 100 dager. d) Hvor mange ganger kan du trene for 10 000 kr? OPPGAVE 8.11

Per har et mobiltelefonabonnement der han betaler 59 øre idet samtalen begynner, og deretter 3 øre per sekund. a) Forklar at prisen i øre for en samtale som varer i x sekunder, er gitt ved P( x) = 3x + 59 b) Tegn grafen til P når x er mellom 0 og 200. c) Hvor mye koster en samtale som varer i 120 s? d) Hvor lenge kan Per snakke for 2 kr?

215

Book Sinus 1P.indb 215

2014-04-25 12:45:41

På side 214 kjente vi funksjonsuttrykket til en funksjon og kunne lage en graf. Andre ganger kjenner vi grafen uten å kjenne funksjonsuttrykket. Vi skyter ei kule opp i lufta. Høyden h over bakken etter tida t kan være gitt ved denne grafen: m y 80 60 40

t 1 2 3 4 5 6 7 8 s

Høyden er her en funksjon av tida t, for hver mulig verdi for t gir nøyaktig én verdi for høyden. Etter for eksempel 2 s er høyden 60 m. Men her er ikke tida t en funksjon av h. Når vi kjenner høyden h, kan vi normalt ikke finne tida t. Én verdi for h kan gi to verdier for t. Kula er tilbake på bakken etter 8 s. Tida t må her være et tall mellom 0 s og 8 s. Dette kaller vi definisjonsmengden til funksjonen. Hvis vi kjenner funksjonsuttrykket eller grafen til en funksjon, kan vi finne alle funksjonsverdiene. Ved hjelp av funksjonsuttrykket kan vi regne ut helt nøyaktige funksjonsverdier. Ved hjelp av grafen kan vi lese av funksjons verdiene, men da får vi bare omtrent riktige funksjonsverdier. Noen ganger beskriver vi funksjoner med ord. For eksempel kan vi si at temperaturen i vannet i en kjele er 20 °C, og at den stiger med 2 grader per minutt. Da er temperaturen i vannet beskrevet entydig ved hjelp av tida, og temperaturen er da en funksjon av tida. Andre ganger har vi bare funksjons tabellen til en funksjon. Hvis vi da trenger en verdi som ikke står i tabellen, må vi lage en matematisk modell. Det gir usikre funksjonsverdier. Å lage matematiske modeller ut fra tabeller kommer vi tilbake til i kapittel 8.5. En funksjon kan være gitt ved et funksjonsuttrykk, en graf, en tekst eller en tabell.

OPPGAVE 8.12

Vi kaster en stein. Grafen viser høyden h(t) i meter etter t sekunder. a) Finn høyden etter 2 s og etter 5 s. b) Forklar hvorfor høyden er en funksjon av tida t. c) Når er steinen 40 m over bakken? d) Er tida en funksjon av høyden?

m y 50 40 30 20 10

h t 1 2 3 4 5 6 s

216

Book Sinus 1P.indb 216

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:41

OPPGAVE 8.13

Figuren er hentet fra Adresseavisen og viser hvor mange millioner minutter vi i Norge snakket i fasttelefon, i mobiltelefon og i bredbåndstelefon for hvert av årene fra 2001 til 2012. Folketallet setter vi til 5 millioner.

a) Hvor mange minutter snakket vi til sammen i telefon i 2001? b) Hvor mange timer snakket gjennomsnittsnordmannen i telefon i 2001? c) I hvilket år snakket vi like mye i mobiltelefon som i fasttelefon? Hvor mye snakket hver av oss i telefon det året? d) Snakket vi mer eller mindre i telefon i 2012 sammenliknet med 2001? OPPGAVE 8.14

Grafene nedenfor viser sammenhengen mellom en variabel x og en variabel y. Finn ut om y er en funksjon av x, og om x er en funksjon av y. a) b) c) y

x 2 4 6 8

217

Book Sinus 1P.indb 217

2014-04-25 12:45:42

8.2 Lineære funksjoner Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, kaller vi ofte funksjonsuttrykket f (x). Bokstaven f er den første bokstaven i ordet funksjon. Vi skriver for eksempel

f (x) = 4x + 3

Når vi skal tegne grafen til en funksjon f, velger vi noen verdier for x og regner ut funksjonsverdiene f (x). Disse punktene merker vi av i et koordinatsystem og trekker en kurve gjennom dem. Grafen til funksjonen f (x) = 4x + 3 er den rette linja med likningen y = 4 x + 3. Den har stigningstallet 4 og konstantleddet 3. Når grafen er ei rett linje, har vi en lineær funksjon. En lineær funksjon f har et funksjonsuttrykk f (x) = ax + b Grafen til f er ei rett linje med stigningstallet a og konstantleddet b.

EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved f (x) = 2x − 3 a) Regn ut f (0) og f (2). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (3) grafisk. d) Løs likningen f (x) = 5 grafisk. Løsning:

a) f (0) = 2 ⋅ 0 − 3 = −3 f (2) = 2 ⋅ 2 − 3 = 4 − 3 = 1 b) Nå setter vi verdiene fra oppgave a inn i en tabell. Ettersom grafen er ei rett linje, er det nok med to punkter i tabellen. x f (x)

218

Book Sinus 1P.indb 218

0 –3

2 1

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:42

Deretter tegner vi grafen. y 6

5 4 3 2 1 –1 –1

x 1

2 3 4 5 6

–2 –3

c) Når vi skal finne funksjonsverdien f (3), tar vi utgangspunkt i tallet 3 på x-aksen og leser av på y-aksen. Vi kommer fram til tallet 3. f (3) = 3 d) Når vi skal løse likningen f (x) = 5, tar vi utgangspunkt i tallet 5 på y-aksen og leser av på x-aksen. Vi kommer fram til tallet 4. Dermed er løsningen x = 4

OPPGAVE 8.20

En funksjon f er gitt ved f ( x) = 2 x + 1 a) Regn ut f (−2) og f (2). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (−1) grafisk. d) Løs likningen f (x) = 3 grafisk. OPPGAVE 8.21

En funksjon f er gitt ved f ( x) = −2 x + 5 a) Regn ut f (0) og f (2). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (3) grafisk. d) Løs likningen f (x) = 3 grafisk.

219

Book Sinus 1P.indb 219

2014-04-25 12:45:43

OPPGAVE 8.22

En funksjon f er gitt ved 3 f ( x) = x − 1 2 a) Regn ut f (0) og f (4). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (2) grafisk. 7 d) Løs likningen f ( x) = grafisk. 2 OPPGAVE 8.23

En funksjon f er gitt ved f ( x) = 40 x + 520 a) Regn ut f (0) og f (10). b) Tegn grafen til f for x mellom 0 og 20. c) Finn f (5) grafisk. d) Løs likningen f (x) = 1000 grafisk.

8.3 Andregradsfunksjoner Funksjonen f gitt ved f (x) = x2 – 4x + 3 er et eksempel på en andregradsfunksjon fordi uttrykket inneholder x2 og ikke for eksempel x3 eller x4. Når vi skal tegne grafen til f, velger vi noen verdier for x og regner ut funksjonsverdiene. f (–1) = (–1)2 – 4 ⋅ (–1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8 f (0) = 02 – 4 ⋅ 0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3 f (1) = 12 – 4 ⋅ 1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0 f (2) = 22 – 4 ⋅ 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = –1 f (3) = 32 – 4 ⋅ 3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0 f (4) = 42 – 4 ⋅ 4 + 3 = 16 – 16 + 3 = 3 f (5) = 52 – 4 ⋅ 5 + 3 = 25 – 20 + 3 = 8 Det gir denne tabellen: x f (x)

220

Book Sinus 1P.indb 220

–1 8

0 3

1 0

2 –1

3 0

4 3

5 8

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:44

Deretter merker vi av samhørende par av tall som punkter i et koordinat system og trekker en glatt kurve gjennom punktene. y 10

Nullpunkt

x –2

Bunnpunkt

Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel. De punktene på x-aksen der grafen til en funksjon krysser x-aksen, kaller vi nullpunktene til funksjonen. Nullpunktene er dermed bestemt ved at f (x) = 0 Funksjonen ovenfor har dermed nullpunktene x = 1 og x = 3. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet der x = 2 og y = –1. Bunnpunktet har koordinatene (2, –1). Funksjonen g gitt ved g ( x) = − x 2 + 6 x − 5 har denne grafen: 6 5

y Toppunkt (3, 4)

4 3

2 1

x 2

Nullpunkter

Denne funksjonen har to nullpunkter, x = 1 og x = 5. Den har et toppunkt med koordinatene (3, 4).

221

Book Sinus 1P.indb 221

2014-04-25 12:45:44

Toppunkter og bunnpunkter kaller vi med et felles ord for ekstremalpunkter. Et ekstremalpunkt er dermed enten et bunnpunkt eller et toppunkt. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. Nedenfor har vi tegnet grafen til funksjonen f (x) = x3 – 3x y 4

Toppunkt

2 1

–3 –2 –1 –1 –2 –3

2 3

Bunnpunkt

Grafen har et toppunkt i (–1, 2) og et bunnpunkt i (1, –2). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin høyeste verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner.

OPPGAVE 8.30

Funksjonen f er gitt ved f (x) = x2 – 6x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktet til f. OPPGAVE 8.31

Funksjonen f er gitt ved f (x) = –x2 + 2x + 8 a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene. c) Finn ekstremalpunktet.

I kapittel 7 lærte vi å løse lineære likninger grafisk. Da tegnet vi to rette linjer og fant skjæringspunktet mellom dem. Likningen x 2 − 6 x + 8 = x + 2 kaller vi en andregradslikning fordi den inneholder x2. Slike likninger kan vi også løse grafisk.

222

Book Sinus 1P.indb 222

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:45

Da tegner vi grafen til funksjonen f gitt ved f ( x) = x 2 − 6 x + 8 og linja y = x + 2 i et koordinatsystem og finner x-verdiene til skjæringspunktene som vist her: 10

y f

y=x+2

8 7 6 5 4 3 2 1 –2 –1

x 1 2 3 4 5 6

Likningen x 2 − 6 x + 8 = x + 2 har dermed løsningene x = 1 og x = 6

OPPGAVE 8.32

a) Tegn i det samme koordinatsystemet grafen til funksjonen f gitt ved f ( x) = x 2 − 5 x + 6

og linja

y = x +1 b) Løs grafisk likningen x 2 − 5 x + 6 = x + 1 OPPGAVE 8.33

a) Tegn i det samme koordinatsystemet grafen til funksjonen f gitt ved f ( x) = − x 2 + 3x + 4

og linja

y = − x + 7 b) Løs grafisk likningen − x 2 + 3x + 4 = − x + 7

223

Book Sinus 1P.indb 223

2014-04-25 12:45:46

8.4 Digital graftegning Nå skal vi se hvordan vi kan tegne grafen til andregradsfunksjoner digitalt, og hvordan vi da kan finne funksjonsverdier, nullpunkter og ekstremalpunkter. Som eksempel bruker vi funksjonen f fra side 220–221, der f ( x) = x 2 − 4 x + 3 Når vi skal skrive x2 i GeoGebra, kan vi skrive x ^ 2. Men vi kan også trykke på Alt og 2 for å få fram eksponenten 2. Dermed kan vi skrive inn funksjonsuttrykket slik:

Vi trenger ikke skrive f (x) = foran uttrykket, for det blir satt på automatisk i algebrafeltet. Nå tilpasser vi koordinatsystemet og får fram denne grafen:

Hvis vi for eksempel skal finne funksjonsverdien f (4), skriver vi f (4) i inntastingsfeltet. Vi får da fram funksjonsverdien i algebrafeltet. Algebrafeltet ser slik ut:

Altså er f (4) = 3. For å finne nullpunktene skriver vi slik:

Topp- eller bunnpunktet får vi fram på tilsvarende måte. Da bruker vi fellesnavnet ekstremalpunkt:

224

Book Sinus 1P.indb 224

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:47

På grafen har nå bunnpunktet og nullpunktene fått navnene A, B og C. Vi høyreklikker på punktene, går inn på Egenskaper og velger Verdi bak Vis navn. Det gir dette resultatet:

Funksjonen har nullpunktene x = 1 og x = 3 og bunnpunktet (2, −1). Legg merke til at GeoGebra oppfatter nullpunktene som punkter i planet og skriver koordinatene til punktene. Vi oppfatter derimot nullpunktene som tall på x-aksen og skriver bare x-verdiene. Noen ganger får vi bruk for å tegne grafer til funksjoner som bare er definert i et bestemt område. Vi kaster en stein opp i lufta. Høyden over bakken etter t sekunder er gitt ved h(t ) = −5t 2 + 20t Her må t være et tall mellom 0 og 4, for steinen er tilbake på bakken etter 4 s. For å få tegnet grafen nøyaktig fra 0 til 4 skriver vi slik:

Her skrev vi h(t) = foran Funksjon for at funksjonen skulle få navnet h og variabelen navnet t. Hvis vi ikke skriver noe foran Funksjon, får funksjonen automatisk navnet f, og da må variabelen være x. Hvis vi skal legge inn et funksjonsuttrykk g(x), er det nok å skrive g = foran Funksjon. I algebrafeltet finner vi nå dette:

Nå klikker vi i grafikkfeltet, høyreklikker og velger Grafikkfelt. Der velger vi fanen xAkse, endrer navnet til t og krysser av for Bare i positiv retning. I fanen yAkse velger vi også Bare i positiv retning.

225

Book Sinus 1P.indb 225

2014-04-25 12:45:48

Etter å ha tilpasset aksene får vi denne grafen:

OPPGAVE 8.40

Funksjonen f er gitt ved f (x) = x2 – 2x – 3 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet til f. OPPGAVE 8.41

Funksjonen f er gitt ved f (x) = –x2 + 4x – 3 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet. OPPGAVE 8.42

En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader t timer etter midnatt gitt ved 3 21 135 T (t ) = − t 2 + t − 8 2 2 der 8 ≤ t ≤ 20. a) Tegn grafen til T. b) Når på dagen var temperaturen 0 °C? c) Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da?

226

Book Sinus 1P.indb 226

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:48

Vi kan også løse likningen x 2 − 6 x + 8 = x + 2 fra side 222–223 digitalt. I GeoGebra skriver vi da først uttrykket x 2 − 6 x + 8. Dermed får vi tegnet grafen til funksjonen gitt ved f ( x) = x 2 − 6 x + 8 Deretter skriver vi y = x + 2 og får tegnet den rette linja. Nå tilpasser vi koordinataksene og bruker verktøyet Skjæring mellom to objekt slik at vi får fram de to skjæringspunktene mellom grafen og linja. Vi høyreklikker på punktene, går inn på Egenskaper og velger Verdi bak Vis navn. Det gir dette resultatet:

Løsningene er x = 1 og x = 6.

OPPGAVE 8.43

a) Tegn digitalt i det samme koordinatsystemet grafen til funksjonen f gitt ved f ( x) = x 2 − 4 x + 4

og linja

y = 2 x − 1 b) Løs grafisk likningen x 2 − 4 x + 4 = 2 x − 1

227

Book Sinus 1P.indb 227

2014-04-25 12:45:49

OPPGAVE 8.44

En bedrift produserer og selger inntil 1000 gjenstander per dag. Hvis produksjonen er x enheter per dag, er kostnaden i kroner gitt ved K ( x) = 0, 01x 2 + 32 x + 1200 Inntekten er gitt ved I ( x) = 40 x a) Finn kostnaden og inntekten når de produserer og selger 500 enheter per dag. Hva blir overskuddet da? b) Finn kostnaden og inntekten når de produserer og selger 700 enheter per dag. Går bedriften med overskudd da? c) Tegn grafen til K og grafen til I i det samme koordinatsystemet. d) Hvor mange gjenstander produserer de når inntekten og kostnaden er like store?

8.5 Lineære modeller En av de oppgavene vi trenger matematikk til, er å finne sammenhenger mellom forskjellige størrelser i naturvitenskap og samfunnsvitenskap. Vi prøver da å finne formler eller likninger som knytter størrelsene sammen. Slike sammenhenger kaller vi matematiske modeller. Noen ganger gir modellene et helt riktig bilde av situasjonen. Andre matematiske modeller gir bare en grov oversikt over situasjonen. Når sammenhengen mellom to størrelser x og y er gitt ved ei rett linje i et koordinatsystem, har vi lineær vekst. Det fins da to tall (konstanter) a og b slik at y = ax + b Disse konstantene a og b kan vi finne både uten og med digitalt hjelpemiddel. Noen ganger finner vi en sammenheng y = ax + b mellom to størrelser x og y uten at punktene ligger nøyaktig på linje. Da sier vi at vi bruker en lineær matematisk modell. Når vi bruker denne modellen og regner ut verdier for y, får vi vanligvis ikke verdier som stemmer helt med de virkelige verdiene. Grunnen til at vi likevel bruker modellen, er at den raskt gir oss de verdiene vi vil ha. De virkelige verdiene kan derimot være vanskelige eller umulige å finne. Hvis avvikene fra de virkelige verdiene er små, sier vi at vi har en god matematisk modell.

228

Book Sinus 1P.indb 228

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:50

EKSEMPEL I Statistisk årbok finner vi folketallet i Norge per 1. januar hvert år fra år 1900. Nedenfor ser du et utdrag av statistikken. Her er y folketallet i millioner og x antallet år etter 1900. Årstall x (år) y (millioner)

1900 0 2,22

1920 20 2,62

1940 40 2,96

1960 60 3,57

1980 80 4,08

2000 100 4,48

2010 110 4,86

a) Sett av punktene (x, y) i et koordinatsystem og vurder om vi kan bruke en lineær modell. b) Finn et uttrykk y = ax + b som omtrent gir folketallet i millioner x år etter 1900. c) Bruk modellen i oppgave b og finn folketallet i 1980. d) Når vil folketallet etter dette passere 5,5 millioner? e) Hva blir folketallet i 2050 med denne modellen? Løsning:

a) Vi merker av punktene i et koordinatsystem. y 6 5 4 3 2 1

x 20

100

120

Punktene ligger omtrent på linje, og vi kan bruke en lineær modell.

b) Vi skal finne en sammenheng y = ax + b. Konstantleddet b er lik verdien av y når x = 0. Tabellen viser at den verdien er 2,22. Altså er b = 2,22

Endringen i folketallet i millioner fra år 1900 til 2010 er

4,86 − 2,22 = 2,64

Antallet år er

2010 −1900 = 110

Endringen i millioner per år er 2, 64 = 0, 024 110

229

Book Sinus 1P.indb 229

2014-04-25 12:45:50

Dette er stigningstallet til linja. Dermed har vi denne likningen:

y = 0, 024 x + 2, 22

Denne linja er tegnet i koordinatsystemet i oppgave a.

Legg merke til at vi brukte folketallet i 1900 og folketallet i 2010 da vi fant likningen for linja. Vi har ikke tatt hensyn til folketallet i de andre årene. Linja ligger over punktene for disse andre årene og vil dermed gi en noe for høy verdi. c) 1980 svarer til x = 80. Ifølge modellen er folketallet i millioner da y = 0,024 ⋅ 80 + 2,22 = 4,14

Modellen gir folketallet 4,14 millioner for året 1980.

I tabellen ser vi at det riktige er 4,08 millioner. Modellen gir en verdi som bare er litt for høy for året 1980. d) Folketallet vil passere 5,5 millioner når y = 5, 5 0, 024 x + 2, 22 = 5, 5 0, 024 x = 3, 28 3, 28 x= = 136, 7 0, 024

Folketallet passerer 5,5 millioner i løpet av 2036.

e) Årstallet 2050 svarer til x = 150. Folketallet blir da y = 0,024 ⋅ 150 + 2,22 = 5,82

Folketallet er etter dette 5,82 millioner i 2050.

OPPGAVE 8.50

Tabellen viser folketallet i verden i milliarder fra 1970 og fram til 2010. Her er x antall år etter 1970. Årstall x (år) Folketall (milliarder)

1970 0 3,7

1980 10 4,4

1990 20 5,3

2000 30 6,1

2010 40 6,8

a) Bruk folketallet i 1970 og folketallet i 2010 til å lage en lineær modell for folketallet y i milliarder x år etter 1970. b) Hvordan passer modellen med de andre folketallene i tabellen? c) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 2050 være 9404 millioner. Hvordan passer modellen i oppgave a med den prognosen?

230

Book Sinus 1P.indb 230

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:51

OPPGAVE 8.51

Tabellen viser tallet på personbiler i Norge for noen år mellom 1975 og 2010. Her er x antallet år etter 1975. Årstall 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 0 5 10 15 20 25 30 35 x (år) Personbiler (millioner) 1,0 1,3 1,5 1,6 1,7 1,8 2,0 2,3 a) Bruk tallene for 1975 og 2010 til å lage en lineær modell for tallet på personbiler i millioner. b) Hvor godt passer modellen for året 1995? c) Hvor mange personbiler har vi i Norge i 2050 hvis utviklingen fortsetter? d) Vi tenker oss at alle bilene i Norge i 2010 står i en kø der hver bil må ha 5 m. 1) Hvor lang blir den køen? 2) F ra Oslo til Nordkapp er det 205 mil. Hvordan måtte vi ordne køen på den strekningen? e) Hvordan blir køen i 2050 hvis utviklingen fortsetter? OPPGAVE 8.52

Tabellen viser hvor mange prosent av norsk ungdom i aldersgruppen 16−24 år som røykte i perioden 2000 til 2010. Her er x antallet år etter 2000, og y forteller hvor mange prosent av ungdommene som røyker. År x (år) y (%)

2000 0 31

2002 2 29

2004 4 26

2006 6 24

2008 8 21

2010 10 19

a) Bruk tallene for 2000 og 2010 til å lage en lineær modell for prosenten y som røyker x år etter 2000. b) Lag en prognose for året 2020 ut fra denne modellen. c) Når kommer ungdommer til å slutte å røyke ut fra denne modellen? d) Bruk Internett og finn nyere tall. Hvordan stemmer modellen?

8.6 Lineær vekst Grete Grønn kjøper en plante som er 5 cm høy. Den vokser 2 cm per uke. Vi sier at vekstfarten er 2 cm/uke. Etter x uker er høyden av planten gitt ved h( x) = 2 x + 5 Dette er en lineær funksjon der grafen er ei rett linje. Når utviklingen følger ei rett linje, sier vi at vi har lineær vekst.

231

Book Sinus 1P.indb 231

2014-04-25 12:45:51

Vekstfarten er det samme som stigningstallet til linja. Dermed kan vi finne vekstfarten ut fra grafen til den lineĂŚre funksjonen. cm

2 1

Vekstfarten er 2 cm/uke.

5 x 2

5 uker

Vekstfarten til en lineĂŚr funksjon er lik stigningstallet til grafen.

EKSEMPEL Gunnar sparer penger. Grafen til venstre nedenfor viser hvor mye han har spart etter x uker. Finn vekstfarten. kr

8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 x 1

232

Book Sinus 1P.indb 232

8 uker

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:52

Løsning:

Vi tar utgangspunkt i et fritt valgt punkt på grafen og leser av stignings tallet som her: kr

8000 7000 6000 Vekstfarten er 500 kr/uke.

500

5000

4000 3000 2000 1000 x 1

8 uker

Vekstfarten er 500 kr/uke. Pengebeholdningen til Gunnar øker altså med 500 kr per uke.

EKSEMPEL Bjarne Bjørk har et tre i hagen. Han regner med at høyden av treet i meter om t år vil være gitt ved h(t ) = 0, 2t + 3 a) Tegn grafen når tida t er inntil 50 år, og bruk grafen til å finne vekstfarten til treet. b) Kontroller vekstfarten ved hjelp av funksjonsuttrykket. Løsning:

a) Funksjonen har grafen på neste side.

233

Book Sinus 1P.indb 233

2014-04-25 12:45:52

y h

9 2 10

t 10

50 år

Her er det ikke mulig å lese av fra grafen hvor mye treet vokser på ett år. Vi tar i stedet utgangspunkt i et punkt på grafen og lar x øke med 10 år. Av grafen ser vi at høyden da øker med 2 m. Økningen per år er da 2m = 0, 2 m/år 10 år

Vekstfarten er 0,2 m/år.

Treet vokser med 0,2 m per år.

b) Ut fra funksjonsuttrykket h(t ) = 0, 2t + 3 ser vi at stigningstallet er 0,2, og dermed er vekstfarten 0,2 m/år. Det stemmer med svaret i oppgave a.

234

Book Sinus 1P.indb 234

OPPGAVE 8.60

Vanja Vespa er på langtur med skuteren sin. Hun finner ut at antallet kilometer hun kjører på x timer, er gitt ved grafen på neste side.

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:53

250 200 150 100 50 x 1

5 timer

a) Finn vekstfarten. b) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten? c) Finn en formel for strekningen s i kilometer som Vanja har tilbakelagt etter x timer. OPPGAVE 8.61

Vanja kjĂ¸rer en fast strekning hver dag med skuteren sin. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom kilometerstanden y pĂĽ skuteren og antallet dager x nĂĽr x er mellom 0 og 100. km

5000 4000 3000 2000 1000 x 20

100 dager

a) Finn vekstfarten. b) Finn en formel som viser kilometerstanden y etter x dager.

235

Book Sinus 1P.indb 235

2014-04-25 12:45:53

OPPGAVE 8.62

Skuteren til Vanja synker i verdi. Hun regner med at verdien i kroner etter x måneder er gitt ved V ( x) = −300 x + 18 000 a) Lag en graf som viser verdien av skuteren i de neste fem årene. b) Bruk grafen til å finne vekstfarten. c) Kontroller svaret i oppgave b ved hjelp av funksjonsuttrykket. Når vi kjenner to punkter på ei rett linje, kan vi finne stigningstallet digitalt og dermed vekstfarten. Vi finner også likningen for linja.

EKSEMPEL Mira har et arbeid der hun bare jobber når det er behov for det. Hun har en fast lønn per uke og i tillegg timelønn for de timene hun jobber. Ei uke arbeidet hun 8 timer og fikk 1360 kr i lønn. Uka etter arbeidet hun 12 timer og fikk 1840 kr i lønn. Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn den faste lønna og timelønna. Finn en formel for lønna y når hun arbeider x timer. Løsning:

Hvis Mira får a kroner per time og b kroner i fast lønn, er ukelønna y for x timer gitt ved y = ax + b Dette er likningen for ei rett linje, og vi har lineær vekst. Stigningstallet er timelønna, og konstantleddet er den faste lønna. Fra opplysningene i oppgaven har vi denne tabellen: x (timer) y (kroner)

8 1360

12 1840

Linja skal gå gjennom punktene (8, 1360) og (12, 1840). I GeoGebra skriver vi (8, 1360) i skrivefeltet.

Deretter skriver vi inn punktet (12, 1840) på tilsvarende måte. Nå trykker vi på og drar i aksene slik at x-aksen går fra 0 til 20 og y-aksen fra 0 til 3000. Da ser vi de to punktene A(8, 1360) og B(12, 1840). Deretter bruker vi verktøyet Linje gjennom to punkt som vi får fram ved å trykke på . Nå klikker vi på de to punktene og får fram linja i et koordinatsystem.

236

Book Sinus 1P.indb 236

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:53

I algebrafeltet finner vi koordinatene til punktene og en likning for linja:

Der ser vi at linja har fått navnet a. Når vi skal finne stigningstallet til linja a, skriver vi dette:

Det gir dette resultatet:

Her ser vi at stigningstallet er 120, og da er timelønna 120 kr. Likningen for linja som vi finner i algebrafeltet, er skrevet på en annen måte enn vi vanligvis gjør. Hvis vi vil ha likningen på vanlig form, høyreklikker vi på likningen og velger Likning y = ax + b. Det gir dette resultatet:

237

Book Sinus 1P.indb 237

2014-04-25 12:45:53

Nå ser vi at konstantleddet er 400, og dermed er den faste lønna 400 kr. Mira har 400 kr i fast lønn og 120 kr per time. Lønna y når hun arbeider x timer er gitt ved y = 120 x + 400

OPPGAVE 8.63

Greta Gartner setter ned en plante i et blomsterbed. Hun regner med at planten kommer til å vokse like mye hver dag den første måneden slik at det blir lineær vekst. Etter 4 dager er planten 18 cm, og etter 14 dager er den 33 cm. a) Bruk et digitalt verktøy og finn vekstfarten til planten. b) Hvor høy var planten da Greta satte den ned i jorda? OPPGAVE 8.64

Vanja Vespa har en god bensinmåler på skuteren sin. Hun kjører hjemmefra med full tank. Når hun har kjørt i 10 mil, er det 4 liter bensin på tanken. Når hun har kjørt 25 mil, er det 1 liter igjen. a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og tegn ei linje som viser hvordan bensinmengden y i liter varierer med kjørelengden x i mil. b) Finn vekstfarten til bensinmengden. c) Hvor stor tank er det på skuteren til Vanja, og hvor mye bensin bruker den per mil? OPPGAVE 8.65

Ei rett linje går gjennom punktene (1, 3) og (3, 7). a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn likningen for linja. b) Finn stigningstallet og konstantleddet for linja.

238

Book Sinus 1P.indb 238

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:45:54

SAMMENDRAG Matematisk modell Matematiske modeller er formler eller likninger som knytter sammen to eller flere variable størrelser. Lineær matematisk modell Dersom sammenhengen mellom to størrelser er gitt ved ei rett linje i et koordinatsystem, har vi en lineær matematisk modell. Lineær vekst Dersom et vekstforløp følger ei rett linje i et koordinatsystem, har vi lineær vekst. Funksjon y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi for x gir nøyaktig én verdi for y. En funksjon kan være representert ved et funksjonsuttrykk, en graf, en tekst eller en tabell. Andregradsfunksjoner En andregradsfunksjon har et funksjonsuttrykk av typen f (x) = ax2 + bx + c der a, b og c er faste tall. Nullpunkt En funksjon har et nullpunkt der grafen krysser x-aksen. Vi finner nullpunktene ved å løse likningen f (x) = 0 Bunnpunkt I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Toppunkt I et toppunkt er funksjonsverdien større enn i alle nabopunktene. Ekstremalpunkt Et ekstremalpunkt er enten et bunnpunkt eller et toppunkt.

239

Book Sinus 1P.indb 239

2014-04-25 12:45:55

Oppgaver

272 272

Book Sinus 1P.indb 272

2014-04-25 12:46:24

8 Funksjoner ØV MER

8.1 FUNKSJONSBEGREPET

Oppgave 8.113 Grafen viser hvordan prisen i kroner på en kurv jordbær varierte en sommer. Enheten på førsteaksen er dager etter 30. juni.

Oppgave 8.110 Regn ut f (0), f (2) og f (4) når a) f ( x) = 2 x + 4 b) f ( x) = 5 x − 12 Oppgave 8.111 Regn ut g(0), g(2) og g(–1) når

kr y 33

g ( x) = −2 x + 6

30 24 21

Oppgave 8.112 Grafen viser hvordan snødybden på Blåfjell varierte i mars måned et år.

18 15

cm y 180

12 9

160

140

120 100

x 6 12 18 24 30 36 42 dager

80 60 40 20

x 3

9 12 15 18 21 24 27 30 dager

a) Hva var snødybden 6. mars? b) Når var snødybden minst? Hva var snødybden da? c) Når omtrent var snødybden 90 cm? d) Er snødybden en funksjon av tida?

390

Book Sinus 1P.indb 390

a) Hva var prisen på en kurv jordbær 18. juli? b) På hvilket annet tidspunkt var prisen på en kurv jordbær den samme som 18. juli? c) Når var prisen på jordbær lavest? Hva var prisen på en kurv jordbær da? d) Er jordbærprisen en funksjon av tida? e) Er tida en funksjon av jordbær prisen?

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:11

Oppgave 8.114 Funksjonen f er gitt ved f ( x) =

Oppgave 8.117 Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom en variabel x og en variabel y. Finn ut om y er en funksjon av x, og om x er en funksjon av y.

1 x−2 2

a) Regn ut f (6), f (2), f (–2) og f (–3). b) Tegn grafen til f når x er mellom –4 og 6.

y 6 4 2

Oppgave 8.115 Funksjonen f er gitt ved

–6 –4 –2 –2

f ( x) = 30 x − 120

x 2

–4

a) Regn ut f (2), f (4), f (10) og f (30). b) Tegn grafen til f når x er mellom 0 og 30.

8.2 LINEÆRE FUNKSJONER

Oppgave 8.116 Grafene nedenfor viser sammenhengen mellom en variabel x og en variabel y. Finn ut om y er en funksjon av x, og om x er en funksjon av y. a)

Oppgave 8.120 En funksjon f er gitt ved f ( x) = x − 3 a) Regn ut f (0) og f (4). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (1) grafisk. d) Løs likningen f ( x) = 5 grafisk.

y 3 2 1

Oppgave 8.121 En funksjon f er gitt ved

–3 –2 –1 –1

f ( x) = −2 x + 4

–2

a) Regn ut f (0) og f (3). b) Tegn grafen til f når x er mellom –5 og 5. c) Finn f (4) grafisk. d) Løs likningen f ( x) = 6 grafisk.

–3

b) 2

1 x –6

–4

–2

Oppgave 8.122 En funksjon f er gitt ved 2 x−2 3

–1

f ( x) =

–2

a) Regn ut f (0) og f (6). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (–3) grafisk. d) Løs likningen f ( x) = −2 grafisk.

391

Book Sinus 1P.indb 391

2014-04-25 12:48:13

Oppgave 8.123 En funksjon f er gitt ved

Oppgave 8.132 Funksjonen f er gitt ved

3 f ( x) = − x + 3 2

f ( x) = x 2 + 2 x + 1

a) Regn ut f (−3), f (−2), f (1) og f (2). b) Tegn grafen til f når x er mellom –4 og 5. c) Finn f (0) grafisk. 9 d) Løs likningen f ( x) = grafisk. 2 8.3 ANDREGRADSFUNKSJONER

Oppgave 8.130 Grafen til en funksjon f er tegnet nedenfor.

x 1

a) Kontroller de utregnede funksjons verdiene i tabellen. b) Skriv av og fyll ut tabellen. c) Tegn grafen til f når x er mellom –4 og 2. d) Tegn linja y = x + 3 i det samme koordinatsystemet som grafen til f. e) Løs grafisk likningen

a) Tegn grafen til f når x er mellom –2 og 6. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktet til f.

f ( x) = x 2 − 4 x + 3 2 −1

4 3

a) Skriv av og fyll ut tabellen. b) Tegn grafen til f når x er mellom –2 og 5. c) Finn nullpunktene til f. d) Finn ekstremalpunktet til f.

Book Sinus 1P.indb 392

f ( x) = − x 2 + 4 x + 5

Oppgave 8.131 Funksjonen f er gitt ved

Oppgave 8.134 Funksjonen f er gitt ved

Bruk grafen til å finne a) f (0) og f (2) b) nullpunktene til f c) bunnpunktet til f

392 392

a) Tegn grafen til f. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktet til f.

–4

–1

–5 –4 –3 –2 –1 –2

–1

–2

f ( x) = x 2 + 2 x − 3

–2

–3

8 4

Oppgave 8.133 Funksjonen f er gitt ved

–4

x 2 + 2 x + 1 = x + 3

f (x)

x f (x)

Oppgave 8.135 a) Tegn i samme koordinatsystemet grafen til funksjonen f gitt ved f ( x) = x 2 + 4 x − 1

og linja

y = x −1 b) Løs grafisk likningen x 2 + 4 x − 1 = x − 1

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:15

8.4 DIGITAL GRAFTEGNING

Oppgave 8.140 Funksjonen f er gitt ved f ( x) = x 2 + 4 x a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn bunnpunktet til f. Oppgave 8.141 En vårnatt på Trollknatten var temperaturen T(x) målt i celsiusgrader x timer etter midnatt T ( x) = 0, 25 x 2 − 2, 5 x + 10 a) Tegn grafen til T digitalt når x er mellom 0 timer og 10 timer. b) Når var temperaturen lavest? Hva var temperaturen da? c) Finn når temperaturen var 6 °C. Oppgave 8.142 Et år var verdien V(x) i kroner av en aksje x måneder etter nyttår V ( x) = −0, 5 x 2 + 6 x + 25 a) Tegn grafen til V digitalt når x er mellom 0 måneder og 12 måneder. b) Bruk grafen og finn verdien av aksjen etter 4 måneder. c) Når hadde aksjen størst verdi? Hva var aksjen verdt da? d) Når var verdien av aksjen 35 kroner? Oppgave 8.143 a) Tegn digitalt i samme koordinat system grafen til funksjonen f gitt ved

f ( x) = 2 x 2 + x − 3

og linja y = x −1.

b) Løs digitalt likningen 2 x 2 + x − 3 = x − 1

Oppgave 8.144 En bedrift produserer en bestemt vare. Hvis bedriften produserer og selger x enheter av varen per dag, er overskuddet O(x) i kroner gitt ved O( x) = −x 2 + 100 x − 900 a) Tegn grafen til O digitalt. Velg x mellom 0 og 100. b) Hva er overskuddet når bedriften produserer og selger 1) 40 enheter 2) 80 enheter c) Hvilken produksjonsmengde gir størst overskudd? Hva er overskuddet da? Oppgave 8.145 Funksjonen f er gitt ved f ( x) = −2 x 2 + 4 x + 6 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn toppunktet til f. Oppgave 8.146 På en bensinstasjon varierer salget av bensin med bensinprisen. Salget B(x) i tusen liter bensin per uke var x uker etter nyttår 2013 gitt ved 1 B( x) = − x 2 + 4 x + 50 6 a) Tegn grafen til B for x mellom 0 og 26. b) Hvor mange liter bensin solgte bensinstasjonen 6 uker etter nyttår? c) Etter hvor mange uker var salget størst? Hvor mange liter bensin solgte bensinstasjonen da?

393

Book Sinus 1P.indb 393

2014-04-25 12:48:18

Oppgave 8.147 I ei bygd regner en med at folketallet vil øke de kommende årene, men deretter ser en for seg fraflytting og en nedgang i folketallet. Folketallet om x år er gitt ved

8.5 LINEÆRE MODELLER

Oppgave 8.150 Tabellen viser elgbestanden y i et område x år etter 2009 for noen verdier av x. År

f ( x) = −64 x 2 + 1340 x + 20 000 a) Tegn digitalt grafen til f når x er mellom 0 og 25. b) Hvor stort er folketallet i dag (x = 0) og om 10 år? c) Omtrent hvor mange år går det før folketallet er på sitt høyeste? Hva er folketallet da? Rund av svaret til nærmeste hele tusen.

x2 − 6 x + 5 = − x2 + 4 x − 3

Oppgave 8.149 En bonde har et gjerde som er 400 m langt. Han skal gjerde inn et rektangulært område som er begrenset av en lang vegg på den ene siden. Derfor trenger han gjerde bare på tre sider. Vegg

A(x)

A( x) = 400 x − 2 x 2 c) Tegn digitalt grafen til A når x er mellom 0 m og 200 m. d) Hva må bredden x være for at arealet skal bli størst mulig? Hvor stort er arealet da?

Book Sinus 1P.indb 394

2013

1800

2000

2200

a) Marker samsvarende verdier for x og y i et koordinatsystem og undersøk om punktene ligger på ei rett linje. b) Hvor mye har elgbestanden økt med per år? c) Forklar hvorfor linja med likningen er en god modell for utviklingen av tallet på elg i dette området. d) Hva vil elgbestanden være i år 2017 hvis utviklingen fortsetter på den samme måten? Oppgave 8.151 Forskere har med spesielle metoder undersøkt mengden av ørret i en innsjø. Tabellen viser omtrent hvor mange ørreter y det var i innsjøen x år etter 2009 for noen verdier av x.

a) Forklar at hvis vi setter bredden av området til x meter, så er lengden i meter 400 − 2 x. b) Forklar at arealet av det inngjerdede området er gitt ved funksjonen

394

2011

y = 100 x + 1800

Oppgave 8.148 Løs digitalt likningen

2009

År

2009

2011

2013

900

800

700

a) Marker samsvarende verdier for x og y i et koordinatsystem og undersøk om punktene ligger på ei rett linje. b) Hvor mye reduseres mengden av ørret med hvert år? c) Forklar hvorfor linja med likningen y = −50 x + 900

er en god modell for utviklingen av ørretmengden i denne innsjøen. d) Hva vil antallet ørreter være i år 2017 hvis utviklingen fortsetter på den samme måten?

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:20

Oppgave 8.152 Trine kaster spyd. Tabellen viser utviklingen hennes i noen år etter 2005. La y være kastlengden målt i meter x år etter 2005. Årstall

2005

2007

2009

2011

2013

x (år)

y (m)

40,00 45,20 50,80 54,75 60,00

a) Ta utgangspunkt i årene 2005 og 2013 og lag en lineær matematisk modell for utviklingen av kast lengden. b) Hvordan passer modellen for årene 2007 og 2011? c) Hvor langt kommer Trine til å kaste i 2017 hvis utviklingen fortsetter på den samme måten? Oppgave 8.153 Før brukte nordmenn mer tid hver dag til å lese aviser. Tabellen nedenfor viser utviklingen i perioden fra 1992 til 2012. T(x) er gjennomsnittstida i minutter brukt til slik lesing x år etter 1992. Årstall

1992

2000

2004

2008

2012

x (år)

T(x) (min)

a) Bruk tallene fra 1992 og 2012 og lag en lineær matematisk modell for utviklingen av den gjennomsnittlige tida brukt til avislesing per dag. b) Hvordan passer tallene fra 2000 og 2008 med modellen? c) Vi antar at modellen også passer etter 2012. Hvor mye tid vil vi bruke til avislesing i 2022? d) Når sier modellen at vi kommer til å slutte å lese aviser? Kommenter svaret.

8.6 LINEÆR VEKST

Oppgave 8.160 Lars er ute på langtur med bilen sin. Grafen viser hvor langt han er kommet i løpet av de fem første timene. km s 400 360 320 280 240 200 160 120 80 40

x 1

5 timer

a) Finn vekstfarten. b) Hvilken praktisk tolkning har vekst farten? c) Finn en formel for strekningen s som er tilbakelagt etter x timer. Oppgave 8.161 Trine har 8000 kr på kontoen sin og sparer et fast beløp hver måned. Grafen viser hvor mye Trine har på kontoen sin til enhver tid det første året hun sparer. kr y 20 000 16 000 12 000 8000 4000

x 2

8 10 12 måneder

a) Hvor mye sparer Trine hver måned? b) Hvor stor er vekstfarten til konto beløpet? c) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten her?

395

Book Sinus 1P.indb 395

2014-04-25 12:48:20

Oppgave 8.162 Frank har 12 000 kr og bruker et fast beløp hver måned. Grafen viser hvor mye Frank har igjen til enhver tid de neste månedene. kr y

Oppgave 8.165 Marit sender de digitale feriebildene sine til kopiering. Grafen viser hva hun må betale for inntil 100 bilder. kr y 360

12 000

315

10 000

270

8000

225

6000

180

4000

135

2000

x 2

8 10 12 måneder

a) Når er kontoen til Frank tom? b) Hvor stor er vekstfarten til kontobeløpet? c) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten her? Oppgave 8.163 Ragnhild fyller varm te på termosen sin. Hun regner med at temperaturen T(x) målt i celsiusgrader i termosen etter x timer er gitt ved T ( x) = −5 x + 90 a) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. Velg x mellom 0 timer og 10 timer. b) Hva er vekstfarten til temperatur funksjonen? c) Hva gir vekstfarten uttrykk for her? Oppgave 8.164 Ei rett linje går gjennom punktene (2, 4) og (1, –1). a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn likningen for linja. b) Finn stigningstallet og konstant leddet for linja.

396

Book Sinus 1P.indb 396

90 45

x 20

100 bilder

a) Finn vekstfarten til betalingen. b) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten her? c) Finn en formel for det Marit må betale for x bilder. Oppgave 8.166 Kåre drikker alltid en stor kopp kaffe om morgenen. Når koppen blir fylt med kaffe, er temperaturen i kaffen 90 °C. Etter hvert synker temperaturen i kaffen, og x minutter etter påfyll er temperaturen i kaffen målt i celsiusgrader gitt ved T ( x) = −1, 8 x + 90 a) Hva er temperaturen i kaffen etter 10 minutter? b) Tegn grafen til T. Velg x mellom 0 min og 30 min. c) Når er temperaturen i kaffen 63 °C? d) Finn vekstfarten til temperatur funksjonen T. e) Hvilken praktisk tolkning har vekst farten her?

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:21

Oppgave 8.167 Et barn veide 3500 g da det ble født. To uker seinere veide barnet 3860 g. Vekta til barnet økte like mye hver uke de åtte første ukene. a) Bruk et digitalt verktøy og tegn ei linje som viser hvordan vekta y i gram varierte de åtte første ukene. b) Bruk et digitalt verktøy og finn vekstfarten til vekta. c) Hvilken praktisk tolkning har vekst farten her? d) Bruk et digitalt verktøy og finn likningen for linja. Hva er stigningstallet og konstantleddet til linja? Oppgave 8.168 Håvard går i lære og har fått tilbud om fast jobb etter læretida. Han har fått dette lønnstilbudet: Tilbud A: Timelønn 160 kr. Timelønna øker deretter med 10 kr hvert år. a) Sett opp et funksjonsuttrykk for lønnstilbud A som forteller hvor mye Håvard kommer til å ha i lønn etter x år. b) Tegn digitalt ei linje som viser hvordan lønna y i kroner varierer med antall år x. Håvard er ikke fornøyd med startlønna, og han får da dette lønnstilbudet: Tilbud B: Timelønn 170 kr. Timelønna øker deretter med 3 % hvert år. c) Gi Håvard råd om hvilket lønns tilbud han bør velge.

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 8.200 Funksjonen f er gitt ved f ( x) = −2 x + 4 a) Regn ut f (–2), f (0), f (2) og f (4). b) Tegn grafen til f når x er mellom –2 og 4. Oppgave 8.201 Emilie går på treningssenteret «Sakte framover», der hun betaler 200 kr per måned i fast avgift. I tillegg betaler hun 20 kr per gang. a) Hvor mye må hun betale en måned hun trener på senteret 10 ganger? b) Sett opp et funksjonsuttrykk for hvor mye hun betaler i alt når hun trener x ganger i måneden. c) Tegn grafen som viser sammen hengen mellom utgiftene og antallet treninger. d) Er utgiftene per måned propor sjonale med antall ganger Eva trener? Begrunn svaret. Oppgave 8.202 Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom en variabel x og en variabel y. Finn ut om y er en funksjon av x, og om x er en funksjon av y. y 3 2 1

x 1

2 3

↑ 8.1

397

Book Sinus 1P.indb 397

2014-04-25 12:48:22

Oppgave 8.203 Martin kjører bil med farten 90 km/h på en motorvei. Rett foran seg ser han en hindring og begynner å bremse. t sekunder seinere er farten v målt i kilometer per time (km/h) redusert til

Oppgave 8.204 Brita går hjemmefra til skolen. Når hun er halvveis til skolen, oppdager hun at hun har glemt ei bok hjemme. Hun snur og går direkte hjem med samme fart som før. Vel hjemme leter hun en liten stund før hun finner boka. Deretter løper hun direkte til skolen uten å stoppe på veien. Lag et koordinatsystem slik figuren viser. Tegn denne hendelsen som en graf i koordinatsystemet.

v = 90 − 3t Sammenhengen mellom v og t er tegnet i koordinatsystemet nedenfor. km/h v 100

Avstand hjemmefra

90 80 70 60 50 40 30

Tid

20 10

t 10

30 s

a) Hvor lang tid går det fra Martin begynner å bremse til han stopper helt? b) Finn grafisk farten til bilen etter 1) 10 s 2) 25 s c) Finn grafisk og ved regning når farten er 45 km/h. d) 1) Finn en formel for t uttrykt ved v. 2) Når er farten 69 km/h? e) Hvis V er farten i km/h idet Martin begynner å bremse og T er tida i sekunder fra han begynner å bremse til han stopper, er bremsestrekningen s i meter gitt ved 5 V⋅T 36 Finn bremsestrekningen i meter og i kilometer. s =

398

Book Sinus 1P.indb 398

↑ 8.2

Oppgave 8.205 Grafen til en funksjon f er tegnet nedenfor. 2

1 x –2

–1

–1 –2

Bruk grafen til å finne a) f (1) og f (0) b) nullpunktene til f c) toppunktet til f

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:24

Oppgave 8.206 Omkretsen av et rektangelformet område er 100 m. Vi lar lengden av den ene siden være x.

Oppgave 8.208 Vi har gitt funksjonen f ( x) = x 2 − 2 x + 3 a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor.

m2 y 700

600 400 300 200 100

x 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 m

Grafen viser arealet A(x) i kvadratmeter. a) Hvor lange er sidene i rektangelet når arealet er 400 m2? b) Hvor lange er sidene i rektangelet når arealet er størst mulig? Hva kalles denne firkanten? c) Hvor stort er arealet da? Oppgave 8.207 Vi har gitt funksjonen f ( x) = x 2 − 6 x + 5 a) Skriv av og fyll ut tabellen nedenfor. f (x)

f (x) 18

500

–3 –2 –1

–1

–3 –4

5 0

7 12

b) Marker alle punktene (x, f (x)) fra tabellen i et koordinatsystem og trekk grafen til f gjennom punktene. Hva kalles denne kurven? c) Finn nullpunktene og bunnpunktet til f. d) Undersøk om punktet (10, 46) ligger på grafen til f.

5 18

b) Marker alle punktene (x, f (x)) fra tabellen i et koordinatsystem og trekk grafen til f gjennom punktene. c) Finn eventuelle nullpunkter til f. d) Finn bunnpunktet til f. e) Undersøk om punktet (6, 27) ligger på grafen til f. f) Tegn linja y = x + 1 i det samme koordinatsystemet som grafen til f. g) Løs grafisk likningen x 2 − 2 x + 3 = x + 1 Oppgave 8.209 Om en andregradsfunksjon f vet vi: Bunnpunktet til f er (1, –9). Nullpunktene er x = –2 og x = 4. Funksjonsverdien for x = 5 er 7. f (0) = –8 og f (–3) = 7.

• • • •

Lag en skisse av grafen til f. ↑ 8.3

Oppgave 8.210 Nedenfor ser du utdrag av en doserings tabell for et legemiddel for barn. Tabellen viser medisinmengden f (x) som et barn kan få, for noen verdier av vekten x til barnet. x

10 15 20

f (x)

Sett av verdiene som punkter i et koordinatsystem og vurder om vi kan bruke en lineær modell.

399

Book Sinus 1P.indb 399

2014-04-25 12:48:25

Oppgave 8.211 Tabellen viser temperaturen T(x) målt i celsiusgrader x timer etter kl. 10 i Lier en septemberdag. x (timer)

T(x) (°C)

a) Marker samsvarende verdier for x og T(x) i et koordinatsystem og undersøk om punktene ligger på ei rett linje. b) Hvor mye har temperaturen økt med i gjennomsnitt per time? c) Finn vekstfarten. d) Gi en praktisk tolkning av vekstfarten. Oppgave 8.212 Otto har kjøpt ny parafinkamin til hytta, og funksjonen L gitt ved L( x) = 3 − 0, 218 x viser hvor mange liter parafin L(x) det er igjen på kaminen etter x timer. Gi en praktisk tolkning av tallene 3 og 0,218 i funksjonsuttrykket. Oppgave 8.213 De fire funksjonene f, g, h og k er gitt ved

Oppgave 8.214 Jørgen er ute og jogger. Han løper med jevn fart. Etter x minutter har han tilbakelagt y meter, der y = 200 x a) Hvor langt har Jørgen løpt etter 10 minutter? b) Tegn den rette linja når tida er mellom 0 minutter og 30 minutter. La y være mellom 0 m og 6000 m. c) Finn grafisk og ved regning hvor lang tid Jørgen bruker på å løpe 5 km. d) Hva er vekstfarten til y? e) Hvor mange meter løper Jørgen per minutt? f) Er x og y proporsjonale størrelser? Begrunn svaret. Oppgave 8.215 Figuren viser hvordan medlemstallet i et idrettslag utvikler seg. a) Bestem funksjonsuttrykket. b) Hvor stor er vekstfarten? Hva forteller vekstfarten her? y 400

f ( x) = 4 x + 50 g ( x) = 50 ⋅ 4 x

350

h( x) = 4 x 2 + 50 k(x) = 50x

300

a) Hvilke av de fire funksjonene beskriver lineær vekst? Begrunn svaret ditt. b) Hvilken funksjon uttrykker proporsjonalitet? c) Lag et eksempel der du bruker en lineær funksjon til å beskrive en praktisk situasjon.

400

Book Sinus 1P.indb 400

250 200 150 100 50

x 1

2 3

4 5

6 7

8 9 10 år

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:26

Oppgave 8.216 I. Kulden har gassovn på hytta. Ovnen har tre innstillinger (maksimum, middels, minimum). De tre grafene viser hvor mye gass som er igjen på beholderen etter x timer for hver av de tre innstillingene. kg

Oppgave 8.217 (Eksempel 2009) Nedenfor finner du en beskrivelse av fire ulike situasjoner. Fire av grafene A, B, C, D, E og F på neste side beskriver hver sin situasjon. Hvilke grafer passer til situasjonene? Målestokken på y-aksen kan variere fra koordinatsystem til koordinatsystem. Begrunn svaret ditt.

11 10

1) I Fossefjell kommune er det i dag 9000 innbyggere. En matematisk modell for utviklingen i kommunen sier at folketallet kommer til å avta med 150 mennesker per år. Én av grafene viser folketallet om x år ifølge modellen.

9 8 7 6 5 4 3 2 1

x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 timer

a) Alle grafene skjærer andreaksen i 11. Gi en praktisk tolkning av tallet 11. b) Hvilken av de tre grafene viser gassforbruket der ovnen er innstilt på minimum? c) Hvor lenge kan Kulden fyre når ovnen er innstilt på minimum? d) Bestem funksjonsuttrykket f (x) til den funksjonen f som viser hvor mye gass det er igjen i beholderen etter x timer når ovnen er innstilt på minimum. e) Gi en praktisk tolkning av stigningstallet. f) I hvilket av de tre tilfellene er vekstfarten størst? Grunngi svaret.

2) En bil blir kjøpt for 300 000 kroner. Vi regner med at verdien av bilen synker med 15 % per år. Én av grafene viser verdien av bilen x år etter at den ble kjøpt. 3) Én av grafene viser arealet av et kvadrat som funksjon av siden x i kvadratet. 4) Du kaster en ball loddrett oppover. I det øyeblikket du slipper ballen, er den 1,8 meter over bakken, og den har farten 12 meter per sekund. x sekunder etter at du slapp ballen, har den en høyde over bakken (i meter) lik –4,9x2 + 12x + 1,8. Én av grafene viser denne høyden som funksjon av x.

↑ 8.6

401

Book Sinus 1P.indb 401

2014-04-25 12:48:26

x 1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

1 2

x 3 4

5 6

7 8

9 10

x 1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

x 1 2

402 402

Book Sinus 1P.indb 402

3 4

5 6

7 8

9 10

x 1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:26

Oppgave 8.218 (Eksamen V-2010) Tre elever kommer med hvert sitt utsagn: Per: «Mitt mobilabonnement har en fast kostnad per måned. I tillegg betaler jeg for hvert ringeminutt.» Kari: «Jeg kjøper av og til epler på torget. Jo flere kilo jeg kjøper, jo mer må jeg betale.» Grete: «Vi skal kjøpe en gave til læreren vår. Jo flere som blir med og spleiser på gaven, jo billigere blir det for hver enkelt av oss.» a) Skisser grafer som illustrerer de tre utsagnene. Lag én graf for hvert utsagn. b) Hvilket utsagn beskriver størrelser som er proporsjonale, og hvilket utsagn beskriver størrelser som er omvendt proporsjonale? Begrunn svarene dine.

Oppgave 8.220 (Eksamen H-2010) De tre funksjonene f, g og h er gitt ved f ( x) = 5 x 2 + 100 g ( x) = 100 ⋅ 5 x h( x) = 5 x + 100 Hvilken av de tre funksjonene beskriver lineær vekst? Begrunn svaret ditt. Lag et eksempel der du bruker denne lineære funksjonen til å beskrive en praktisk situasjon. Oppgave 8.221 (Eksempel 2012) Funksjonen T gitt ved T ( x) = 14, 50 x + 50 viser utgiftene T(x) kroner for en taxitur på x km. Gi en praktisk tolkning av tallene 14,50 og 50 i funksjonsuttrykket. Oppgave 8.222 (Eksamen V-2013) I en tank er det 60 liter vann. Hver dag tapper vi 5,0 liter vann fra tanken. a) Hvor mye vann er det igjen i tanken etter åtte dager? Hvor mange dager går det før tanken er tom? b) Bestem funksjonsuttrykket f (x) til en funksjon f som viser hvor mange liter vann det er igjen i tanken etter x dager. c) Tegn grafen til f. Vis hvordan du kan bruke grafen til å finne svar på spørsmålene i oppgave a.

Oppgave 8.219 (Eksamen H-2010) Jens og far har løpt 100-meteren. Far fikk starte tre sekunder før Jens. Nedenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av løpet til Jens og av løpet til far. Hva kan du si om de to løpene ut fra den grafiske framstillingen nedenfor? Strekning (meter) y 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

x 2

8 10 12 14 16 18 20 Tid (sekunder)

403

Book Sinus 1P.indb 403

2014-04-25 12:48:27

MED HJELPEMIDLER Oppgave 8.300 Bjørnar var 106 cm høy da han var 4 år gammel, og vokste deretter 6 cm i året. x år etter at Bjørnar var 4 år, var høyden hans h(x) i centimeter

h( x) = 6 x + 106

a) Hvor høy var Bjørnar da han var 9 år gammel? b) Tegn grafen til h når x er mellom 0 og 11. c) Bruk grafen til å finne hvor gammel Bjørnar var da han var 160 cm. Husk at x er antall år etter at han fylte 4. Oppgave 8.301 Petter må leie en stor bil en dag. Han betaler et fast beløp på 1100 kr og 50 kr per kjørte mil. Dersom han kjører x mil denne dagen, er utgiftene B(x) i kroner B( x) = 50 x + 1100 a) Hva koster det å kjøre 25 mil med denne bilen? b) Tegn grafen til B når x er mellom 0 og 100. c) Bruk grafen til å finne hvor mange mil Petter kan kjøre for 3200 kr. ↑ 8.1

404

Book Sinus 1P.indb 404

Oppgave 8.302 En nyttårsrakett eksploderte 6,0 sekunder etter oppskyting. Etter t sekunder var raketten h(t) meter over bakken, der h(t ) = −5t 2 + 40t a) Regn ut h(2) og h(5). b) Hvor høyt over bakken var raketten da den eksploderte? c) Tegn grafen til h. Velg t mellom 0 s og 6 s. d) Bruk grafen og finn når raketten var i sitt høyeste punkt. Hvor høyt over bakken var raketten da?

Oppgave 8.303 Unni er medlem av Lillevik filmklubb. Hun betaler 160 kr per år for medlem skapet og 35 kr for hver film hun vil se. a) Hva koster det for Unni å se 24 filmer et år? b) Forklar at utgiftene U(x) i kroner for å se x filmer per år er

U ( x) = 35 x + 160

c) Tegn grafen til U når x er mellom 0 og 30. d) Unni kan få kjøpt et filmpass for 700 kr. Det gir fri adgang til alle filmene i ett år. Finn grafisk og ved regning hvor mange filmer Unni minst må se for at det skal lønne seg å ha filmpass.

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:29

Oppgave 8.304 En kvinne har drukket alkohol og har 2,0 promille alkohol i blodet. Vi antar at alkoholinnholdet i blodet hennes minker med 0,15 promille per time. a) Finn et uttrykk A(t) i promille for alkoholinnholdet i blodet til kvinnen etter t timer. b) Tegn en graf som illustrerer denne sammenhengen. Velg t mellom 0 og 12. c) Hvor mye alkohol har hun i blodet etter 8 timer? d) Hvor lang tid tar det før alkoholen er helt ute av kroppen? e) I Norge er det ikke lov å kjøre bil når alkoholinnholdet i blodet er over 0,2 promille. Hvor lang tid må kvinnen vente før hun kan kjøre bil? Finn svaret både grafisk og ved regning. ↑ 8.2

Oppgave 8.305 Funksjonen f er gitt ved f ( x) = x 2 − 4 x a) Tegn grafen til f. Velg x mellom –2 og 5 når du tegner grafen. b) Bruk grafen til å finne 1) nullpunktene til f 2) bunnpunktet til f

Oppgave 8.307 En funksjon I er gitt ved I ( x) = 36 x 2 − 216 x + 1300 a) Regn ut I(2) og I(4). b) Tegn grafen til I. Velg x mellom 0 og 5. Grafen kan brukes til å illustrere hvordan inntekten til en forretning har variert de siste fem årene. Inntekten per år er regnet i millioner kroner. c) Finn grafisk når inntekten av salget var minst. Hva var inntekten dette året? Oppgave 8.308 Vi kaster en stein opp i lufta med utgangsfarten 10 m/s fra et punkt som er 5 m over bakken. Høyden over bakken målt i meter kan da bestemmes ved funksjonen h(t ) = −5t 2 + 10t + 5 der t er tida målt i sekunder fra kastøyeblikket. a) Tegn grafen til h. Velg t mellom 0 s og 2,5 s. b) Hvor høyt kommer steinen? c) Hvor lang tid bruker steinen opp til det høyeste punktet i banen? d) Hvor lang tid bruker steinen før den treffer bakken?

Oppgave 8.306 Funksjonen f er gitt ved f ( x) = − x 2 + 2 x a) Tegn grafen til f. Velg x mellom –1 og 3 når du tegner grafen. b) Bruk grafen til å finne 1) nullpunktene til f 2) toppunktet til f

405

Book Sinus 1P.indb 405

2014-04-25 12:48:31

Oppgave 8.309 En funksjon f er gitt ved

Oppgave 8.311 Funksjonen f er gitt ved

f ( x) = −0,1x 2 + 2 x − 6,4

f ( x) = x − x3

a) Regn ut 1) f (6) 2) f (14) b) Tegn grafen til f når x er mellom 0 og 20. c) Finn nullpunktene til f grafisk.

a) Tegn grafen til f digitalt. Velg x mellom –4 og 4. b) Finn nullpunktene til f.

Et vårdøgn varierte temperaturen mye i Innervik. Temperaturen x timer etter midnatt var f ( x) celsiusgrader, der f er funksjonen gitt i innledningen til oppgaven og x er mellom 0 og 20. d) Når var temperaturen 0 °C? e) Når var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? f) Når var temperaturen over 2 °C? g) Hva var den gjennomsnittlige temperaturendringen per time fra midnatt til kl. 6? h) Hva var den gjennomsnittlige temperaturendringen per time fra kl. 10 til kl. 16? Oppgave 8.310 Vi kaster slegge. Slegga følger tilnærmet en bane der høyden over bakken er gitt ved funksjonen

Oppgave 8.312 De fleste biler slipper ut klimagassen karbondioksid (CO2). Mengden av gass som slippes ut, er avhengig av den farten bilen har. For en bestemt bil med farten x kilometer per time (km/h) er utslippet f (x) av karbondioksid målt i gram per kilometer (g/km) gitt ved f ( x) = 0, 05 x 2 − 7, 5 x + 420 a) Hvor mye CO2 per kilometer slipper bilen ut når farten er 60 km/h? b) Tegn grafen til f. Velg x mellom 20 og 120. c) Finn grafisk hvilken fart bilen må ha for å slippe ut minst CO2. Hvor mye karbondioksid slipper bilen da ut per kilometer?

h( x) = −0,01x 2 + 0,795 x + 0,4 der x er den horisontale avstanden fra stedet der slegga ble sluppet. Både h( x) og x måles i meter. a) Tegn grafen til h. b) Hvor høyt over bakken er slegga når x = 0? c) Hvor høyt over bakken er slegga når den horisontale avstanden er 20 m? d) Hva er den største høyden til slegga? e) Hvor langt er sleggekastet? ↑ 8.3

406

Book Sinus 1P.indb 406

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:33

Oppgave 8.313 Marte og Martin diskuterer om vannet renner raskere ut av ei flaske til å begynne med, når det er mye vann i flaska, enn mot slutten når det er lite vann igjen. Marte mener det renner mest ut til å begynne med, og Martin mener at vannet renner raskere mot slutten. De finner ei sylinderformet flaske og fyller den med saft så de lettere kan se hvor mye som er igjen i flaska. Så borer de hull i korken og bunnen, snur flaska opp ned og filmer hvordan safta renner ut. Safta renner lettere ut når det er hull i begge endene av flaska. a) Se filmen på http://is.gd/saft1 og bruk pauseknappen til å finne hvor lang tid det tar før safta er kommet ned til de forskjellige merkene for restvolumet. Skriv inn resultatene i tabellen nedenfor:

d) Hvilken av funksjonene gir den grafen som passer best med punktene du tegnet i oppgave b? e) Bruk den grafen som passer best med punktene, til å lese av hvor lang tid det tar før all safta er rent ut av flaska. f) Se hele filmen på http://is.gd/saft2 og kontroller om svaret du fant i oppgave d, stemmer med virkeligheten. g) Bruk resultatene fra tabellen i oppgave a til å finne ut om Marte eller Martin hadde rett. ↑ 8.4

Oppgave 8.314 Nina var 14 år i 2010 og hoppet 5,10 m i lengde. Nina fortsatte å hoppe langt, og tabellen viser utviklingen. I tabellen står x for antall år etter 2010 og y for hopplengden i meter.

Tid i sekunder (t)

Restvolum i deler (y)

År

2010

2011

2012

2013

2014

0,0

5,10

5,35

5,60

5,85

6,10

7 6 5 4 3 20,9

b) Bruk GeoGebra eller et tilsvarende program og legg inn resultatene fra oppgave a som punkter i et koordinat system. c) Tegn grafene til de tre funksjonene f, g og h, gitt ved funksjonsuttrykkene nedenfor, i det samme koordinat systemet som du brukte i oppgave b.

f (t ) = −0, 253t + 8

g (t ) = 0, 003t 2 − 0, 348t + 8

h(t ) = −0, 003t 2 − 0,158t + 8

a) Marker samsvarende verdier av x og y i et koordinatsystem og undersøk om punktene ligger på ei rett linje. Velg y mellom 5,00 m og 7,00 m på andreaksen. b) Hvor mye økte Nina hopplengden sin med hvert år etter 2010? c) Finn en formel for hopplengden y uttrykt ved x. d) Hvor langt kommer Nina til å hoppe når hun er 20 år hvis utviklingen fortsetter på den samme måten?

407

Book Sinus 1P.indb 407

2014-04-25 12:48:34

Oppgave 8.315 Norske rekrutter er blitt høyere. I 1900 var gjennomsnittshøyden 170,0 cm, og i 2000 var den 180,0 cm. a) Hvor mye har gjennomsnittshøyden h økt i gjennomsnitt per år? b) La x være antall år etter år 1900. Forklar hvorfor

h = 170, 0 + 0,10 ⋅ x

kan være en fornuftig modell for høydeutviklingen hos norske rekrutter i perioden 1900–2000.

I 1937 var gjennomsnittshøyden hos rekruttene 173,8 cm, og i 1968 var den 178,3 cm. c) Hvordan passer disse dataene med modellen i oppgave b? d) Hvor høye er rekruttene i år 2050 og i år 2100 hvis økningen fortsetter som i modellen? e) Hvis vi forutsetter at utviklingen har fulgt modellen ovenfor i de siste tusen årene, hvor høye var da soldatene til Olav Haraldsson i slaget på Stiklestad? Kommenter svaret. Fra 1970 har ikke gjennomsnittshøyden til norske rekrutter økt så mye som den lineære modellen i oppgave b tilsier. Tabellen nedenfor viser utviklingen av gjennomsnittshøyden. Årstall

Antall år etter 1970

Gjennomsnittshøyde

1970

178,7

1980

179,4

1990

179,7

2000

179,9

2007

179,9

408

Book Sinus 1P.indb 408

f) Bruk verdiene fra 1970 og 2007 til å lage en ny lineær modell gitt ved

y = c⋅x + d

der y er gjennomsnittshøyden i centimeter og x er antall år etter 1970. Bruk tre gjeldende siffer for verdien av konstanten c. g) Hvor høye er rekruttene i år 2050 og i år 2100 hvis økningen fortsetter som i den nye modellen? Oppgave 8.316 En skoleklasse skal ha skidag og leier en buss som skal kjøre dem til et alpinanlegg. Det koster 4200 kr å leie bussen, og et dagskort i alpinanlegget koster 380 kr. Vi regner med at det blir kjøpt dagskort til alle. a) Hva blir de totale utgiftene for klassen hvis 30 elever er med? b) Finn et uttrykk for de totale utgiftene U(x) hvis x elever er med. c) Tegn grafen til U når x er mellom 0 og 30. d) Finn grafisk hvor mange elever som er med når de totale utgiftene er 13 700 kr. e) Finn et uttrykk for utgiftene per elev E(x) hvis x elever er med. f) Tegn grafen til E når x er mellom 0 og 30. g) Finn kostnaden per elev når 25 elever er med. h) Finn grafisk hvor mange elever som er med når kostnaden per elev er 530 kr.

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:35

Oppgave 8.317 3. september 2013 ble musikkvideoen «The Fox» med Ylvis lansert på YouTube. 8. oktober samme år var det registrert over 100 millioner treff på denne videoen. Antallet treff i denne perioden hadde tilnærmet lineær vekst slik grafen nedenfor viser.

d) Den 3. januar 2014 hadde «The Fox» nådd 318 millioner treff på YouTube. Bruk dette tallet og grafen fra oppgave c til å vurdere modellen som du lagde i oppgave a. e) Finn ut hvilken musikkvideo som nå har flest treff på YouTube. Klikk på statistikkikonet under den videoen og studer grafen for utviklingen av tallet på treff. Beskriv de ulike fasene i denne utviklingen med dine egne ord.

Utviklingen av treff på YouTube for musikkvideoen «The Fox» 150,000,000 100,000,000 50,000,000

Sep 8, 2013

Sep15, 2013

Sep 22, 2013

Sep 29, 2013

Oct 6, 2013

Kilde: www.youtube.com

a) Bruk opplysningene ovenfor og lag en lineær modell for utviklingen av tallet på treff i denne første perioden etter at «The Fox» ble lagt ut på YouTube. Modellen skal være gitt ved likningen y = ax + b, der y er antallet treff på YouTube og x er antallet dager siden videoen ble lansert. b) Når ville antallet treff på YouTube nå 1 milliard ut fra modellen i oppgave a? Vurder og kommenter om dette svaret er realistisk. c) Grafen nedenfor viser antallet treff per dag for musikkvideoen «The Fox» i de fire første månedene etter lanseringen. Beskriv denne utviklingen med dine egne ord.

Oppgave 8.318 Kalle Rask var 13 år i 2010 og sprang 60-meteren på 8,7 s. Han fortsatte å løpe fort, og tabellen viser utviklingen. I tabellen står x for antallet år etter 2010 og y for tida i sekunder. År

2010

2011

2012

2013

2014

8,7

8,5

8,3

8,1

7,9

a) Marker samsvarende verdier av x og y i et koordinatsystem og undersøk om punktene ligger på ei rett linje. Velg y mellom 7 s og 9 s på andreaksen. b) Finn en formel for tida y uttrykt ved x. c) Hva vil Kalle løpe 60-meteren på når han er 19 år hvis utviklingen fortsetter på den samme måten? ↑ 8.5

Antall treff per dag for musikkvideoen «The Fox» i de fire første månedene etter lanseringen 6 000 000 4 000 000 2 000 000

oct. 2013

nov. 2013

des. 2013

jan. 2014 Kilde: www.youtube.com

409

Book Sinus 1P.indb 409

2014-04-25 12:48:36

Oppgave 8.319 Line planter et kirsebærtre i hagen. Hun regner med at etter x år er høyden h(x) av treet i meter gitt ved h( x) = 0, 25 x + 1, 25 a) Tegn grafen til h. La x være mellom 0 år og 10 år. b) Bruk grafen til å finne vekstfarten til høyden av treet. c) Kontroller vekstfarten ved hjelp av funksjonsuttrykket. d) Finn grafisk og ved regning når treet er 3,0 m høyt. ↑ 8.6

Oppgave 8.320 (Eksamen V-2010) Hvis en bedrift produserer og selger x enheter av en vare per dag, er over skuddet O(x) per dag i kroner gitt ved O( x) = −10 x 2 + 1100 x − 10 000 a) Tegn grafen til O. Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge hver dag for at overskuddet skal bli størst mulig? Hvor stort er overskuddet da? b) Hvor mange enheter må bedriften produsere og selge hver dag for å ikke gå med underskudd? Oppgave 8.321 (Eksamen H-2010) Aud arbeider ved et laboratorium. En dag samler hun fluer i en kasse. Hun mater fluene og holder dem isolert i to måneder. Hun finner ut at en god tilnærming for antall fluer i kassen etter t dager er gitt ved f (t ) = −0, 007t 3 + 0, 5t 2 − 3t + 20 a) Bruk opplysningene i teksten ovenfor til å avgjøre hvilke t-verdier du bør bruke når du tegner grafen til f. Tegn grafen for disse verdiene av t.

410

Book Sinus 1P.indb 410

b) Finn grafisk og ved regning hvor mange fluer det var i kassen ved starten og ved slutten av eksperimentet. c) 1) I hvilket tidsrom økte antall fluer i kassen? 2) Finn den gjennomsnittlige økningen per dag i dette tidsrommet. Oppgave 8.322 (Eksamen V-2011) Antall gram CO2 en bil slipper ut per kilometer, er gitt ved f ( x) = 0, 046 x 2 − 6, 7 x + 386 der x er farten til bilen målt i km/h. a) Tegn grafen til f i et koordinatsystem for x-verdier fra 20 til 100. b) Hvor mange gram CO2 slipper bilen ut per kilometer dersom den holder en fart på 60 km/h? c) Hvilken fart gir minst CO2-utslipp per kilometer? Hvor stort er CO2-utslippet per kilometer da? Bilen kjører i 80 km/h i en halv time. d) Hvor mye CO2 slipper bilen ut i løpet av denne halvtimen? Oppgave 8.323 (Eksamen V-2012) Funksjonen gitt ved f ( x) = −0, 05 x 2 + 2, 60 x + 0, 50 viser sammenhengen mellom alder og vekt for en type griser. Her er f (x) vekten til en gris målt i kilogram når grisen er x måneder gammel. a) Tegn grafen til f for 0 ≤ x ≤ 25. Hvor mye veier en gris ved fødselen? b) Hva er alderen til en gris når vekten passerer 20 kg? Hvor mye øker vekten i gjennom snitt per måned fram til da? α

Sinus 1P > Funksjoner

2014-04-25 12:48:37

Oppgave 8.324 (Eksempel 2012) Funksjonen T gitt ved x

Oppgave 8.326 (Eksamen V-2013) Funksjonen h gitt ved

T ( x) = 100 ⋅ 0, 5 5370

h(t ) = 3, 25t 3 − 50t 2 + 170t + 700

viser hvor mange prosent av opprinnelig mengde C-14 det er igjen i en plante x år etter at planten er død. a) Tegn grafen til T for x ∈[0, 12 000]. b) Hvor lang tid tar det før opprinnelig mengde C-14 i en plante er halvert?

var en god modell for hjortebestanden i en kommune i perioden 1990–2000. Ifølge modellen var det h(t) hjort i kommunen t år etter 1. januar 1990. a) Tegn grafen til h for 0 ≤ t ≤ 10. b) Når var hjortebestanden størst, og hvor mange hjort var det i kommunen da? c) Løs likningen h(t ) = 850 grafisk, og forklar hva løsningen forteller om hjortebestanden. d) Hvor stor var den gjennomsnittlige endringen i antall hjort per år i perioden 1. januar 1994–1. januar 1998?

Under utgravninger i Vestfold ble det funnet rester av en gammel trebrønn. Målinger viste at treverket inneholdt 86,5 % av opprinnelig mengde C-14. c) Omtrent hvor gammel var brønnen da målingene ble gjort? Oppgave 8.325 (Eksamen H-2012) Frank deltar i et friidrettsmesterskap. Han kaster et spyd. Grafen til funksjonen f gitt ved

f ( x) = −0, 01x 2 + 0, 85 x + 2, 20 beskriver banen spydet følger gjennom luften. Her er x meter målt langs bakken fra stedet hvor Frank står, og f (x) meter er høyden spydet har over bakken. a) Tegn grafen til f for x ≥ 0. b) Bestem skjæringspunktene mellom grafen til f og aksene. Bestem toppunktet på grafen til f. c) Hva forteller svarene i b) om spydkastet?

411

Book Sinus 1P.indb 411

2014-04-25 12:48:38

8.218 b) Utsagn Kari: Proporsjonale størrelser Utsagn Grete: Omvendt proporsjonale størrelser 8.220 h( x) = 5 x + 100

8.309 a) 1) 2 2) 2 c) x = 4 og x = 16 d) kl. 4.00 og kl. 16.00 e) kl. 10.00, 3,6 °C f) Mellom kl. 6 og kl. 14 g) 1,4 grader per time h) −0,6 grader per time

8.221 14,50 er stigningstallet. Det forteller her hvor mye hver kilometer koster. Tallet 50 er konstantleddet. Det forteller her hva startprisen for drosjeturen er.

8.310 b) 0,4 m d) 16,2 m

8.222 a) 20 liter, 12 dager b) f ( x ) = −5 x + 60

8.312 a) 180 g/km c) 75 km/h, 138,75 g/km

8.300 a) 136 cm c) 13 år

8.313 d) g e) 31,6 s g) Marte har rett.

8.301 a) 2350 kr c) 42 mil 8.302 a) h ( 2 ) = 60 m, h ( 5 ) = 75 m b) 60 m d) Etter 4 s, 80 m 8.303 a) 1000 kr

d) 16 filmer

8.304 a) A(t ) = −0,15t + 2,0 c) 0,8 ‰ d) 13 h 20 min e) 10 h 8.305 b) 1) x = 0 og x = 4 2) (2, −4) 8.306 b) 1) x = 0 og x = 2 2) (1, 1) 8.307 a) I(2) = 1012, I(4) = 1012 c) Etter 3 år, 976 mill. kr 8.308 b) 10 m

c) 1,0 s

d) 2,4 s

c) 12,3 m e) 80,0 m

8.311 b) x = −1, x = 0 og x = 1

8.314 b) 25 cm c) y = 0, 25 x + 5,10 d) 6,60 m 8.315 a) 0,10 cm per år c) Modellen gir 173,7 cm i 1937 og 176,8 cm i 1968. Dataene passer dermed meget bra for 1937 og ganske bra for 1968. d) År 2050: 185,0 cm År 2100: 190,0 cm e) År 1030: 83 cm f) y = 0, 0324 x + 178, 7 g) År 2050: 181,3 cm År 2100: 182,9 cm 8.316 a) 15 600 kr b) U ( x) = 380 x + 4200 d) 25 elever e) E ( x) =

4200 x

g) 548 kr h) 28 elever

+ 380

8.317 a) y = 2, 86 x b) Etter 350 dager (19. august 2014) d) Modellen i a har for rask vekst i antallet treff. Utviklingen er ikke lineær. 8.318 b) y = −0, 2 x + 8, 7 8.319 b) 0,25 m/år

c) 7,5 s

d) Etter 7 år

8.320 a) 55 enheter. Overskuddet er da 20 250 kr b) De må produsere mellom 10 og 100 enheter. 8.321 a) 0 ≤ t ≤ 60 b) I starten: 20 fluer Ved slutten: 128 fluer c) 1) Fra dag 3 til dag 44 2) ca. 6 fluer per dag 8.322 b) 150 g CO2 per km c) 73 km/h, 142 g/km d) 5,76 kg 8.323 a) 0,5 kg b) 9 måneder, 2,2 kg/måned 8.324 b) 5370 år c) ca. 1200 år 8.325 b) Skjæring med x-aksen: (87,5, 0) Skjæring med y-aksen: (0, 2,20) Toppunkt: (42,5, 20,3) c) Kastet er 87,5 m langt, og spydet ble kastet ut 2,2 m over bakken. 8.326 b) Bestanden var størst i februar 1992. Det var da 867 hjort i kommunen. c) Hjortebestanden er på 850 dyr i mai 1991 og i desember 1992. d) −66 hjort per år

455

Book Sinus 1P.indb 455

2014-04-25 12:50:10