Sinus 1T. Utdrag: kap. 1.

OLDERVOLL • ORSKAUG VAAJE • SVORSTØL • HALS M ATE M ATI KK

1T

MAT E MAT I K K

MATEMATIKK

For de studieforberedende utdanningsprogrammene i matematikk på Vg1 fins disse bøkene: • Sinus 1P • Sinus 1T

BOKMÅL

1T BOKMÅL

ISBN 978-82-02-42745-0

www.cdu.no

TORE OLDERVOLL • ODD ORSKAUG • AUDHILD VAAJE OTTO SVORSTØL • SIGBJØRN HALS

1T

TORE OLDERVOLL • ODD ORSKAUG • AUDHILD VAAJE OTTO SVORSTØL • SIGBJØRN HALS

M ATE MAT IKK

1T

LÆREBOK I MATEMATIKK STUDIEFORBEREDENDE PROGRAM BOKMÅL

Sinus 1T book.indb 1

2014-03-17 11:43:34

Kapittelstart:

Gjennomgangsfoto: Svein Erik Dahl / Samfoto

Bakgrunnsfoto: Kapittel 1: Christer Engström / Scanpix, bildet er fargemanipulert.

Kapittel 2: Stockbyte / Scanpix, bildet er fargemanipulert.

Kapittel 3: Andrew Douglas / Masterfile / Scanpix, bildet er fargemanipulert.

Kapittel 4: Illustrasjonsfoto: Colourbox.no

Kapittel 5: Image100 / Scanpix, bildet er fargemanipulert.

Kapittel 6: Pixtal / Scanpix, bildet er fargemanipulert.

Kapittel 7: G eorge B. Diebold / Corbis / Scanpix, bildet er fargemanipulert.

Kapittel 8: Stockbyte / Scanpix, bildet er fargemanipulert.

Kapittel 9: 07 Gruppen AS, bildet er fargemanipulert.

© Cappelen Damm AS, Oslo 2014 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser.

Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk.

Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel.

Kilde for alle eksempeloppgaver og eksamensoppgaver er Utdanningsdirektoratet. Alle disse oppgavene er merket med Eksempel eller Eksamen og årstall. De er gjengitt med tillatelse.

Grafisk formgiver: Kristine Steen Omslagsdesign: Kristine Steen Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Forlagsredaktører: Terje Idland og Grete Maus Sats: Supernova Trykk og innbinding: Livonia Print SiA, Latvia 2014 Utgave nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-42745-0 www.cdu.no www.sinus.cdu.no

Sinus 1T book.indb 2

2014-03-17 11:43:34

Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene fra 2005. Læreboka Sinus 1T er skrevet for matematikkurset 1T innen de studieforberedende utdanningsprogrammene. Boka er tilpasset justeringene i læreplanen fra 2013 og eksamensordningen fra 2015. Boka legger vekt på den abstrakte matematikken. Elevene får god trening i bokstav­ regning, og blir godt kjent med matematisk tankegang. Boka gir elevene et godt grunnlag for videre arbeid med matematikkfaget.

I eksamensordningen fra 2015 er digital kompetanse sentralt. I denne boka bruker vi programmet GeoGebra og forklarer i detalj hvordan vi bruker programmet innen geometri og funksjonslære. Elevene får også en grundig opplæring i CAS-delen av programmet.

Kapitlene i teoridelen er ordnet slik at det vanskeligste stoffet vanligvis kommer til slutt. Stort sett er også alle delkapitlene ordnet på den måten.

Elever som sliter med faget, kan mange steder bare lese begynnelsen av et delkapittel og likevel få et bra utbytte av stoffet. Oppgavene i teoridelen er plassert inne i delkapitlene slik at elevene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet.

I boka er det i tillegg en oppgavedel som inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Oppgavedelen følger læreboka kapittel for kapittel. Oppgavestoffet er delt i tre deler.

Den første delen inneholder oppgaver som heter «Øv mer». Disse oppgavene er ordnet etter delkapitlene som i teoridelen. Den andre delen heter «Uten hjelpemidler» og inneholder oppgaver som skal løses uten å bruke digitale hjelpe­ midler. Denne delen inneholder blant annet oppgaver fra del 1 i tidligere eksamensoppgaver. Den tredje delen heter «Med hjelpemidler» og inneholder oppgaver der elevene kan eller må bruke digitale hjelpemidler. Her er det blant annet oppgaver fra del 2 i tidligere eksamensoppgaver. Denne delen

3

Sinus 1T book.indb 3

2014-03-17 11:43:34

SAMMENDRAG inneholder også oppgaver som krever fantasi og oppfinnsomhet. Oppgavene

i de to siste delene er ikke fullt ut ordnet etter delkapitler. Men det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven skal kunne løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Når det for eksempel står 4.5 etter en oppgave, så kan alle oppgavene foran dette merket regnes når eleven er ferdig med delkapittel 4.5.

Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de ikke har klart for seg betydningen av.

Til verket hører også et nettsted: sinus.cdu.no. Her er det mye tilleggsstoff.

Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive opp­gaver som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle.

I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer.

Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

Tore Oldervoll Sigbjørn Hals Otto Svorstøl Audhild Vaaje Odd Orskaug

4

Sinus 1T book.indb 4

Sinus 1T

2014-03-17 11:43:34

Innhold 1

Tallregning og algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2

Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3

Førstegradsuttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

1.1 Regnerekkefølge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Brøkregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Bokstavregning og parenteser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4 Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5 Kvadratsetningene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6 Faktorisering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7 Forkorting av rasjonale uttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.8 Fullstendige kvadrater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.9 Metoden med fullstendige kvadrater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1 Vinkler i formlike figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2 Lengder i formlike figurer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Pytagorassetningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4 Areal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.5 Digitale hjelpemidler i geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.6 Digital tegning av vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.7 Vinkelsummen i mangekanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.1 Likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2 Formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.3 Rette linjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.4 Digital graftegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.5 Å finne likningen for ei linje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.6 Grafisk avlesing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.7 To lineære likninger med to ukjente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.8 Ulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5

Sinus 1T book.indb 5

2014-03-17 11:43:34

4

Funksjoner og andregradsuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5

Potenser og logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

6

Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

7

Funksjoner og modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

4.1 Funksjonsbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4.2 Andregradsfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.3 Grafisk løsning av andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4.4 Andregradslikninger med to ledd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.5 Andregradsformelen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.6 Mer om andregradslikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.7 Ikke-lineære likningssett. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.8 Faktorisering av andregradsuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.9 Andregradsulikheter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.1 Potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 5.2 Regneregler for potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3 Tall på standardform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.4 Kvadratrøtter og røtter av høyere orden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.5 Potenser med en brøk som eksponent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.6 Prosentregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.7 Logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.8 Eksponentiallikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.9 Logaritmelikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 6.1 Sinus og cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 6.2 Å finne vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 6.3 Tangens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.4 Arealsetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.5 Sinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.6 Cosinussetningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.1 Lineære modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.2 Lineær regresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 7.3 Polynomfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.4 Eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 7.5 Potensfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.6 Rasjonale funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

6

Sinus 1T book.indb 6

Sinus 1T

2014-03-17 11:43:34

8

Vekstfart og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

9

Sannsynlig­hets­regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

8.1 Gjennomsnittlig vekstfart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 8.2 Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8.3 Grenseverdier for ubestemte uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 8.4 Vekstfart som grenseverdi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 8.5 Derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 8.6 Noen derivasjonsregler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 8.7 Funksjonsdrøfting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 8.8 Optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.9 Mer om optimering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 9.1 Forsøk og simuleringer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 9.2 Sannsynlighetsmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 9.3 Hendinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 9.4 Sum av sannsynligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 9.5 Uavhengige hendinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 9.6 Avhengige hendinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

Sam­men­drag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330 Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 1

Tallregning og algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

2 Geometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 3 Førstegradsuttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 4

Funksjoner og andregradsuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

5

Potenser og logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

6 Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 7

Funksjoner og modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

8

Vekstfart og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

9 Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454 Fasit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501

7

Sinus 1T book.indb 7

2014-03-17 11:43:34

1 8

Sinus 1T book.indb 8

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:43:36

Tallregning og algebra MÅL

for opplæringen er at eleven skal kunne • r egne med rotuttrykk, potenser med rasjonal eksponent og tall på standardform, bokstavuttrykk, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver, faktorisere kvadratiske uttrykk og bruke kvadratsetningene til å lage fullstendige kvadrater

9

Sinus 1T book.indb 9

2014-03-17 11:43:36

1.1 Regnerekkefølge På ungdomsskolen lærte du mange regler for regning med tall. Nå repeterer vi noen av dem. Når du skal regne ut et uttrykk, må det alltid gjøres i denne rekkefølgen: 1. Regn først ut parentesene.

2. Regn deretter ut potensene.

3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene.

4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

Vi viser nå med et eksempel hvordan vi går fram.

EKSEMPEL Regn ut −2 ⋅ (3 + 1) − (6 + 2) : 4 + 4 ⋅ 23.

Løsning:

−2 ⋅ (3 + 1) − (6 + 2) : 4 + 4 ⋅ 23 1. Regn først ut parentesene.

!

= −2 ⋅ 4 − 8 : 4 + 4 ⋅ 23

2. Regn ut potensene.

= −2 ⋅ 4 − 8 : 4 + 4 ⋅ 8

3. Gjør multiplikasjonene og divisjonene.

= −8 − 2 + 32 = 22

4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

Legg spesielt merke til hvordan vi regner ut 4 ⋅ 23. Det er ikke det samme som 83. Når vi skriver 4 ⋅ 23, er det bare 2-tallet som skal opphøyes i tredje potens, slik at 4 ⋅ 23 = 4 ⋅ 8 = 32 Hvis vi vil at 4-tallet også skal opphøyes i tredje potens, må vi sette en parentes og skrive (4 ⋅ 2)3 = 83 = 512

10

Sinus 1T book.indb 10

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:43:37

!

Når vi skriver −3 2, er det bare tallet 3 som skal opphøyes i andre potens, ikke tallet −3. Dermed er −3 2 = −9 Hvis vi vil opphøye tallet −3 i andre potens, må vi skrive (−3) 2. (−3) 2 = 9 På gode lommeregnere kan vi regne ut −2 ⋅ (3 + 1) − (6 + 2) : 4 + 4 ⋅ 23 uten å dele opp uttrykket. Vi taster inn hele uttrykket på én gang. Prøv å få til det på din lommeregner.

Da er det viktig å vite at det er to ulike minustegn på lommeregneren.

Lommeregneren har både et differansetegn og et fortegn. Differansetegnet bruker vi når vi for eksempel skal regne ut 45 − 12. Fortegnet bruker vi hvis vi skal legge inn et negativt tall, f.eks. −4. Differansetasten − står vanligvis på høyre side av lommeregneren. Fortegnstasten (−) finner du som oftest i den nederste rekka sammen med desimaltegnet.

?

OPPGAVE 1.10

Regn ut både med og uten digitalt hjelpemiddel. a) 4 ⋅ 2 2 b) 4 ⋅ (−2) 2 c) 5 − 3 2 d) (5 − 3) 2 2 2 e) −2 + 3 − 2 ⋅ (−2) f) −(−2) 2 + (−3) 2 − 2 2 g) (−3) 2 + 5 ⋅ (−3) + 6 OPPGAVE 1.11

Regn ut både med og uten digitalt hjelpemiddel. a) 2(7 − 5) + 2 b) −3(4 − 12) + 2 ⋅ 3 2 c) −(8 − 4) − (−3) 2 d) −24 + 3(17 − 3 2) + (3 ⋅ 4 2 − 2 ⋅ 5 2) OPPGAVE 1.12

Regn ut uten digitalt hjelpemiddel. a) 2 ⋅ (2 ⋅ 2 − 2)2 b) −26 + (−2)6 c) 4 ⋅ (3 − 2)3 − 3 ⋅ (2 − 3)3 d) 4 ⋅ (22 − 3)5 − 3 ⋅ (23 − 32 )5

11

Sinus 1T book.indb 11

2014-03-17 11:43:38

1.2 Brøkregning På grunnskolen lærte vi å forkorte og utvide brøker.

Når vi vil utvide en brøk, multipliserer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren.

Når vi vil forkorte en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren.

EKSEMPEL 5 slik at nevneren blir 56.

8 18 b) Forkort brøken .

30

a) Utvid brøken

Løsning: a) Ettersom 8 ⋅ 7 = 56, multipliserer vi telleren og nevneren med 7.

5 5 ⋅ 7 35 = = 8 8 ⋅ 7 56

b) 6 er det største tallet som går opp i både 18 og 30. Vi dividerer derfor telleren og nevneren med 6.

18 18 : 6 3 = =

30 30 : 6 5

Gode lommeregnere kan forkorte brøker. Da skriver vi inn tallet på brøkform og trykker på tasten = eller ENTER . Finn ut hvordan du gjør dette på din lommeregner.

?

OPPGAVE 1.20

Forkort brøkene både uten og med lommeregner.

4 9 18 42 a) b)

c)

d) 6 15 21 54 OPPGAVE 1.21

Bruk lommeregneren til å forkorte brøkene.

72 126 132 153 a)

b) c)

d)

120 294 198 51

12

Sinus 1T book.indb 12

e)

117

78

f)

308 231

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:43:41

Når vi regner med brøker, bruker vi disse regnereglene: Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er.

Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er.

Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke å finne fellesnevneren.

Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken.

EKSEMPEL Regn ut. a)

7 3 + 12 8

b) 3 +

5 4 + 6 9

c) 3 ⋅

17

18

d)

14 6 35 28 ⋅ e) : 15 49 12 27

Løsning: a) Fellesnevneren er 24.

7 3 7 ⋅ 2 3 ⋅ 3 14 9 14 + 9 23 + = + = + = = 24 12 8 12 ⋅ 2 8 ⋅ 3 24 24 24 b) Fellesnevneren for de to brøkene er 18.

3 + =

!

5 4 3 5 4 3 ⋅18 5 ⋅ 3 4 ⋅ 2 + = + + = + + 6 9 1 6 9 1 ⋅18 6 ⋅ 3 9 ⋅ 2

54 15 8 54 + 15 + 8 77 + + = = 18 18 18 18 18

Legg merke til hvordan vi gjør om tallet 3 i oppgave b til en brøk ved å skrive tallet som 3 .

1

1

c) 3 ⋅

17 3 ⋅17 17 = = 18 6 18 6

13

Sinus 1T book.indb 13

2014-03-17 11:43:43

2

2

Det er lurt å forkorte før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren.

14 6 2⋅2 4 14 ⋅ 6 d) ⋅ = = = 15 49 15 ⋅ 49 5 ⋅ 7 35 5

7

5

9

4

4

35 28 35 27 35 ⋅ 27 5 ⋅ 9 45 : = ⋅ = = = 12 27 12 28 12 ⋅ 28 4 ⋅ 4 16

e)

Vi forkorter brøken før vi multipliserer tallene i telleren og i nevneren.

Svarene foran kan vi la stå som uekte brøk. For eksempel trenger vi ikke gjøre om

45 16

til 2

13 .

16

I den videregående skolen bruker vi slike blandede tall

svært lite. Grunnen er at det er vanlig å utelate multiplikasjonstegn. Tallet 2

!

13 16

kan vi derfor lett oppfatte som 2 ⋅

13 16

i stedet for 2 +

13 , 16

som er det rette.

Du trenger altså ikke gjøre uekte brøker om til blandede tall, men du må passe på å forkorte alle svar.

Brøkstykkene foran kan vi regne på gode lommeregnere. Vi skriver inn regnestykkene med tallene på brøkform. Svaret kommer da ferdig forkortet på brøkform. Finn ut hvordan du kan gjøre dette på din lommeregner.

En brøk med brøker i telleren eller nevneren kaller vi en brudden brøk: 6 5 4 15

Brøkene i teller og nevner kaller vi småbrøker. Her er det

6 5

og

4 15

som er

småbrøkene. Brøkstreken mellom småbrøkene kaller vi hovedbrøkstreken.

Når vi skal forenkle en brudden brøk, finner vi først fellesnevneren for småbrøkene. Fellesnevneren i dette tilfellet er 15. Deretter utvider vi den brudne brøken. Det gjør vi ved å multiplisere med fellesnevneren over og under hovedbrøkstreken.

6 5 4 15

14

Sinus 1T book.indb 14

6

=

1

1

3

⋅ 15

3

6 ⋅3 3⋅3 9 = = = 4 2 2 4 ⋅ 15 2 5

15

1

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:43:45

Den brudne brøken foran kan vi også forenkle ved å dividere: 6 5

3

3

15

1

2

6 4 6 15 3 3 9 = : = ⋅ = ⋅ = 4 5 15 5 4 1 2 2

Den første metoden er mest praktisk når vi skal forenkle brudne brøker som har flere ledd i telleren eller i nevneren.

EKSEMPEL Trekk sammen den brudne brøken.

2 3

+5

1+

9 7 6

Løsning: Fellesnevneren for småbrøkene er 18.

+5 9 7 1+ 6 2 3

=

( + ) ⋅18 = (1 + ) ⋅18 2 3

5 9

7 6

6

2

2 ⋅ 18 + 5 ⋅ 18 31 91

1 ⋅18 +

7 ⋅ 18 61 3

=

2 ⋅ 6 + 5 ⋅ 2 12 + 10 22 = = 18 + 7 ⋅ 3 18 + 21 39

Brudne brøker kan vi regne ut på lommeregnere. Pass på å sette parentes om telleren og om nevneren.

?

OPPGAVE 1.22

Regn ut både med og uten lommeregner.

1 4 1 4 1 4 5 a) + b) ⋅ c) : d) 3 + 12 9 12 9 12 9 12

e) 3 ⋅

5

12

f) 3 :

5 12

OPPGAVE 1.23

Trekk sammen. 3 1 a) 2  +  8 4

5 23 b)  −  6 95

1  2  5 c)  +  :  36 12  9

 7 2  1 1  d)  −   +   6 9  5 4 

OPPGAVE 1.24

Regn ut både uten og med lommeregner. a)

2 3 5 6

b)

21 36 14 45

c)

3 5 4 + 3+ 2 8 3 d) 1 25 5 +5 + 4 2 12

15

Sinus 1T book.indb 15

2014-03-17 11:43:49

1.3 Bokstavregning og parenteser I uttrykket 2x + 4x står x for en variabel eller et ukjent tall. Uttrykket består av to ledd, 2x og 4x. Bokstavuttrykk eller tall med plusstegn eller minustegn mellom kaller vi ledd. Disse to leddene er av samme type, og dermed kan vi trekke dem sammen: 2x + 4x = 6x I uttrykket 4a 2 + 2a + 1 − a 2 + 3a − 1 er det seks ledd. Leddene 4a 2 og a 2 er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a 2 og 2a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. Vi samler ledd av samme type og trekker sammen.

4a 2 + 2a + 1 − a 2 + 3a − 1 = 4a 2 − a 2 + 2a + 3a + 1 − 1 = 3a 2 + 5a Når vi regner med bokstavuttrykk, får vi bruk for å løse opp parenteser. Når vi løser opp en parentes, fjerner vi parentesen. Fra ungdomsskolen kjenner vi reglene nedenfor.

Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må vi skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen.

En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen.

EKSEMPEL Trekk sammen. a) a 2 + 3a + b + 2a 2 − 3a + 3b b) 2 x − ( x 2 + 2 x − 2 y ) + (2 x 2 − 3 y ) Løsning: a) a 2 + 3a + b + 2a 2 − 3a + 3b = a 2 + 2a 2 + 3a − 3a + b + 3b = 3a 2 + 4b

b) 2 x − ( x 2 + 2 x − 2 y ) + (2 x 2 − 3 y ) = 2 x − x 2 − 2 x + 2 y + 2 x 2 − 3 y = − x2 + 2x2 + 2x − 2x + 2 y − 3 y = x2 − y

16

Sinus 1T book.indb 16

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:43:50

?

OPPGAVE 1.30

Trekk sammen ledd av samme type. a) 2x − 5y + 3x + 7y + 1 b) a 2 + 2a + 3 + a 2 − 3a − 1 c) 2x 2 + x + y 2 − 2x − 2y 2 d) 2xy + xy 2 − x 2y − 2xy 2 − yx OPPGAVE 1.31

Løs opp parentesene og trekk sammen. a) (5x + y) + (2x − y) b) a + 2b − (−a + b) c) (x 2 + 2x + 1) − (x 2 − 2x + 1) d) 2a 2 − a − 3 + (−a 2 + a + 3) Når vi multipliserer parentesuttrykk, bruker vi disse reglene: Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen.

Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

EKSEMPEL Regn ut. a) 2(3x − 4) b) 3( x − 4) − 2(2 x − 5) c) ( x + 1)(2 x − 1) − (2 x + 1)( x − 1) Løsning: a) 2(3x − 4) = 2 ⋅ 3x − 2 ⋅ 4 = 6 x − 8

b) Denne oppgaven kan vi løse på to måter. En måte er først å gange tallene uten fortegn inn i parentesene og beholde parentesene: 3( x − 4) − 2(2 x − 5) = (3x − 12) − (4 x − 10)

= 3x − 12 − 4 x + 10 = − x − 2 Vi kan også gange tallene med fortegn med tallene i parentesen slik: 3( x − 4) − 2(2 x − 5) = 3( x − 4) + (−2)(2 x − 5)

= 3x − 12 − 4 x + 10 = − x − 2

17

Sinus 1T book.indb 17

2014-03-17 11:43:52

Når vi bruker denne metoden, tar vi vanligvis ikke med den første mellomregningen. Vi fører utregningen slik: 3( x − 4) − 2(2 x − 5) = 3x − 12 − 4 x + 10 = − x − 2 c) Her multipliserer vi først parentesene og beholder parentesene om produktet: ( x + 1)(2 x − 1) − (2 x + 1)( x − 1) = (2 x 2 − x + 2 x − 1) − (2 x 2 − 2 x + x − 1) = 2 x2 − x + 2 x − 1 − 2 x2 + 2 x − x + 1 = 2 x

1 Når vi multipliserer tre tall, for eksempel 6 ⋅ 7 ⋅ , kan vi gjøre det i den 2 rekkefølgen vi vil. Vi kan begynne med å gange de to første tallene: 1 1 1 6 ⋅ 7 ⋅ = (6 ⋅ 7) ⋅ = 42 ⋅ = 21 2 2 2

Vi kan også begynne med de to siste tallene: 6 ⋅ 7 ⋅

1 7 42  1 = 6⋅7⋅  = 6⋅ = = 21 2 2 2 2  

Et tredje alternativ er å gange det første og det siste tallet først: 6 ⋅ 7 ⋅

1  1 = 7 ⋅  6 ⋅  = 7 ⋅ 3 = 21 2  2

Men vi må ikke multiplisere 6 med begge tallene, for da får vi 42 ⋅ 3 = 126. x 2 Slik er det også når vi skal multiplisere 6 ⋅ (2 x + 1) ⋅  + . Vi kan 2 3 begynne med å gange 6 med den første parentesen, eller vi kan gange de to parentesene først. Det enkleste er kanskje å gange 6 med den andre parentesen først, for da blir det minst brøkregning:

3  x 2 2  x 2  6 ⋅ (2 x + 1) ⋅  +  = (2 x + 1) ⋅ 6 ⋅ + 6 ⋅  2 3  2 3 1 1   = (2 x + 1) ⋅ (3x + 4) = 6 x 2 + 8 x + 3x + 4 = 6 x 2 + 11x + 4

!

18

Sinus 1T book.indb 18

 x 2 Når vi skal regne ut 6 ⋅ (2 x + 1) ⋅  + , må vi ikke multiplisere begge paren2 3 tesene med 6.

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:43:54

?

OPPGAVE 1.32

Regn ut. a) 2(x + 4) c) 3(2x + 1) − 2(3x + 1)

b) −2(t − 3) d) 5(x 2 + 3x + 2) − 5(x 2 + 1)

OPPGAVE 1.33

Trekk sammen. a) 2(2a − b) + 3(−2a + 3b) c) (x + 1)(2x − 3)

b) 2a(ab − b 2) − 2b(a 2 − ab) d) (3t − 2)(2t + 1)

OPPGAVE 1.34

Trekk sammen. a) (2x − 1)(x + 3) + (x − 1)(x − 4) c) (x + 3)(4x − 1) − (2x + 1)(2x − 3)

b) 2(x − 1)(2x + 3) 3 d) (t + 3)(8t − 4) 4

1.4 Rasjonale uttrykk Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en variabel. Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker når vi regner med slike uttrykk.

EKSEMPEL Regn ut. a)

5 7 1 − + x 2x 4

b)

a 4 ⋅ 2 ab

c)

x x : 4 12

Løsning: a) Fellesnevneren for x, 2x og 4 er 4x. Vi utvider brøkene slik at alle får nevneren 4x.

5 7 1 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 1⋅ x − + − + = x 2x 4 4 ⋅ x 2 ⋅ 2x 4 ⋅ x

20 14 x 20 − 14 + x 6 + x = − + = = 4x 4x 4x 4x 4x

b) Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren.

2

a 4 a⋅4 a⋅4 2 ⋅ = = = 2 ab 2 ⋅ ab 2 ⋅ a ⋅ b b 1

19

Sinus 1T book.indb 19

2014-03-17 11:43:56

c) Når vi dividerer med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken.

3

x x x 12 x ⋅12 12 ⋅ x 3 : = ⋅ = = = =3 4 12 4 x 4⋅ x 1 4⋅ x 1

?

OPPGAVE 1.40

Trekk sammen. a a a a) + + 2 3 6

1 1 1 + + 2a 3a 6a

b)

c)

2 3 4 + − x 2 x 3x

OPPGAVE 1.41

Regn ut. a)

2a 6 ⋅ 3 a

b)

2 x2 5 y 2 ⋅

3y 4x

c)

b)

2  5x 7 x  ⋅ −  x  3 6 

 x2 5x  x c)  +  : 6  12  3

8a 4a : 5 15

d)

6a : 2a 5

OPPGAVE 1.42

Trekk sammen. a)

2 5 1 7 ⋅ + ⋅ 3 a 2 3a

Hvis tellerne inneholder en sum, må vi sette parentes om summen når vi setter uttrykkene på felles brøkstrek.

EKSEMPEL Regn ut. a)

2x + 3 x + 1 −

3 6

b)

8 x +1 ⋅ 3 4

Løsning:

a)

2 x + 3 x + 1 2 ⋅ (2 x + 3) x + 1 4 x + 6 x + 1 (4 x + 6) − ( x + 1) − = − = − = 3 6 2⋅3 6 6 6 6 4 x + 6 − x − 1 3x + 5 = = 6 6 2

b)

8 x + 1 8 ⋅ ( x + 1) 2( x + 1) 2 x + 2 ⋅ = = = 3 3 4 3 3⋅ 4 1

20

Sinus 1T book.indb 20

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:44:00

Brudne brøker som inneholder en variabel, er det lettest å forenkle hvis vi multipliserer over og under hovedbrøkstreken med fellesnevneren for småbrøkene.

EKSEMPEL Regn ut.

1 +2 2x

3 1 + 4x 2 Løsning:

Fellesnevneren for småbrøkene er 4x. Vi multipliserer derfor med 4x over og under hovedbrøkstreken.

2 1 1  1  + 2  ⋅ 4x +2  ⋅ 4x + 2 ⋅ 4x 2 + 8x 8x + 2 2x 2x 2x  = = =

= 3 1 2 3 + 2x 2x + 3 3 1  3 1 ⋅ 4x + ⋅ 4 x +  ⋅ 4x +  4x 2 4x 2  4x 2 

?

OPPGAVE 1.43

Regn ut.

2x + 3 x + 1 a) −

4 4 c)

x + 2 2x −1 −

2x 3x

b)

a + 2 2a − 1 − 2 6

d)

2 a−2 a+3 + − a 2a 3a

OPPGAVE 1.44

Regn ut.

2x 1 1 1 + + 5 2 x 2 a) b) x 1 2 1+ − 2 10 x 1 2 1 1 − + x 6 a b c) d) 1 1 2 1 − − 2 x 3x a b

21

Sinus 1T book.indb 21

2014-03-17 11:44:02

Det er fullt mulig å forenkle uttrykk digitalt. Her viser vi hvordan vi kan forenkle rasjonale uttrykk ved hjelp av GeoGebra. Først forenkler vi uttrykket i oppgave a fra eksempelet på side 20. Da åpner vi GeoGebra og velger Vis og CAS. CAS er en forkortelse for Computer Algebra System. Det er slike prog­rammer vi bruker når vi skal arbeide med variabler digitalt. I CAS-feltet skriver vi inn uttrykket slik:

Legg merke til parentesene om tellerne! Vi kan kontrollere om vi har skrevet inn uttrykket riktig ved å trykke på . Da ser uttrykket slik ut:

Når vi skal forenkle uttrykket, klikker vi først inne i ruta der uttrykket står.

Deretter trykker vi på . Da får vi svaret på denne måten:

Den brudne brøken i eksempelet på side 21 kan vi forenkle på tilsvarende måte. Vi skriver inn uttrykket og trykker på for å se om vi har skrevet riktig.

Når vi skriver inn uttrykket og trykker på

?

, får vi svaret slik:

OPPGAVE 1.45

Løs oppgave 1.43 digitalt.

OPPGAVE 1.46

Løs oppgave 1.44 digitalt.

22 22

Sinus 1T book.indb 22

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:44:03

1.5 Kvadratsetningene I kapittel 1.3 multipliserte vi parentesuttrykk med hverandre. Nå skal vi multiplisere noen spesielle uttrykk: ( a + b) 2 = ( a + b) ⋅ ( a + b) = a ⋅a + a ⋅b + b⋅a + b⋅b = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

( a − b) 2 = ( a − b) ⋅ ( a − b) = a ⋅ a − a ⋅ b − b ⋅ a + (−b) ⋅ (−b) = a 2 − ab − ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2 Ovenfor beviste vi nå første og andre kvadratsetning. Det fins en setning til av samme slaget: (a + b)(a − b) = a ⋅ a + a ⋅ (−b) + b ⋅ a + b ⋅ (−b)

= a 2 − ab + ab − b 2 = a 2 − b2

Denne setningen kaller vi konjugatsetningen. Mange kaller denne setningen for tredje kvadratsetning, enda om vi ikke regner ut noe kvadrat. Men ofte bruker vi denne setningen den andre veien. Da får vi at a 2 − b 2 = (a + b)(a − b).

Det gir oss et uttrykk for en differanse mellom to kvadrater. Derfor kaller vi også denne setningen en kvadratsetning.

Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning):

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2

EKSEMPEL Bruk første og andre kvadratsetning og regn ut. a) (x + 3) 2 b) ( y − 5) 2

23

Sinus 1T book.indb 23

2014-03-17 11:44:04

Løsning:

a) ( x + 3) 2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9 b) ( y − 5)2 = y 2 − 2 ⋅ 5 ⋅ y + 52 = y 2 − 10 y + 25

EKSEMPEL Bruk kvadratsetningene og regn ut. a) (x + 2)(x − 2) b) (2x − 3) ⋅ (2x + 3) c) (2t + 2)2 − (2t + 2)(2t − 2) Løsning: a) ( x + 2)( x − 2) = x 2 − 22 = x 2 − 4

b) (2 x − 3) ⋅ (2 x + 3) = (2 x)2 − 32 = 4 x 2 − 9 Legg merke til at (2x)2 = 2x ⋅ 2x = 4x2

(

c) (2t + 1)2 − (2t + 1)(2t − 1) = (2t ) 2 + 2 ⋅ 2t ⋅1 + 12 − (2t )2 − 12 2

)

2

= 4t + 4t + 1 − 4t + 1 = 4t + 2

?

OPPGAVE 1.50

Bruk kvadratsetningene og regn ut. a) (x − 1)2 b) (x + 4)2 c) (t + 5)2 d) (t + 3)(t − 3) e) (y − 4)(y + 4) OPPGAVE 1.51

Bruk kvadratsetningene og regn ut.  1  1  a)  t −   t +   2  2  c) (2x − 5)(2x + 5) e) (5x + 1)2

2

1  b)  x +  2  d) (3x − 2)2

OPPGAVE 1.52

Bruk om mulig kvadratsetningene når du regner ut og trekker sammen. a) (x + 1) 2 − (x + 1)(x − 1) b) (x + 3) 2 − (x − 3) 2 2 c) (2x − 3) − 4(x + 2)(x − 3) d) 2(t − 4)(t + 4) + 3(t + 4)

24

Sinus 1T book.indb 24

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:44:05

!

Du kan regne eksemplene foran uten å bruke kvadratsetningene, men du bør likevel bruke kvadratsetningene, for vi skal snart bruke kvadratsetningene baklengs. Skal vi få til det, må vi ha god trening i å bruke kvadrat­setningene slik som vist foran.

Kvadratsetningene kan vi også bruke til vanlig tallregning. Metoden egner seg til hoderegning.

EKSEMPEL Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 19 ⋅ 21

b) 25 ⋅ 35

c) 39 ⋅ 39

(

)(

d) 2 − 3 2 + 3

)

Løsning: a) 19 ⋅ 21 = (20 − 1) ⋅ (20 + 1) = 202 − 12 = 400 − 1 = 399

b) 25 ⋅ 35 = (30 − 5) ⋅ (30 + 5) = 302 − 52 = 900 − 25 = 875 c) 39 ⋅ 39 = 392 = (40 − 1)2 = 402 − 2 ⋅ 40 ⋅ 1 + 12

= 1600 − 80 + 1 = 1521 d)

(2 − 3 )(2 + 3 ) = 2 − ( 3 ) 2

= 4 − 3 =1

Husk at 3 er det tallet som ganget med seg selv gir 3.

Altså er

( 3)

?

2

2

= 3⋅ 3 =3

OPPGAVE 1.53

Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 29 ⋅ 31 b) 19 2 c) 21 2 d) 28 ⋅ 32 e) 35 ⋅ 45 f) 103 ⋅ 97 OPPGAVE 1.54

Regn ut uten å bruke lommeregner.

( b) ( c) (

a)

)( 5 − 2) ( 7 + 3) ( 2 +1

) 5 + 2) 7 − 3)

2 −1

25

Sinus 1T book.indb 25

2014-03-17 11:44:07

1.6 Faktorisering Et uttrykk består av flere ledd når det er sammensatt av flere deler med plusstegn eller minustegn mellom. Uttrykket 2x 2 + 5x + 6 har tre ledd: 2x 2, 5x og 6.

Uttrykket 5xy + 3(x + y) + y 2 består av de tre leddene 5xy, 3(x + y) og y 2.

Vi sier at et uttrykk er faktorisert når det har bare ett ledd. Uttrykket 3(x + 5)(x − 3) er faktorisert. Det består av de tre faktorene 3, (x + 5) og (x − 3).

Uttrykket 3(x + 5)y + 7 er ikke faktorisert, for det består av to ledd: 3(x + 5)y og 7.

Når vi faktoriserer et uttrykk, skriver vi uttrykket som et produkt av flere faktorer. Vi skal lære flere faktoriseringsmetoder.

Dersom leddene i et uttrykk har felles faktorer, kan vi trekke faktorene utenfor en parentes.

4x + 12 = 4 ⋅ x + 4 ⋅ 3 = 4(x + 3) x 2 − 4x = x ⋅ x − 4 ⋅ x = (x − 4)x 3x 3 − 9x = 3x ⋅ x 2 − 3x ⋅ 3 = 3x (x 2 − 3) Vi ser at uttrykkene er faktorisert, for nå består de av bare ett ledd.

!

Hvis vi skriver 3x3 − 9 x = 3 ⋅ x ⋅ x ⋅ x − 3 ⋅ 3 ⋅ x har vi ikke faktorisert uttrykket. Da har vi bare faktorisert leddene i uttrykket.

Ved å multiplisere faktorene kan vi alltid kontrollere om en faktorisering er riktig: 3x (x 2 − 3) = 3x ⋅ x 2 − 3x ⋅ 3 = 3x3 − 9x Vi må være forsiktige når vi setter et negativt tall utenfor en parentes:

−6x 2 + 4x − 10 = −2(3x 2 − 2x + 5) −3x 2 − 6x = −3x (x + 2)

Leddene i parentesen må skifte fortegn. Vi ser at det stemmer når vi multipliserer faktorene: −3x (x + 2) = −3x ⋅ x + (−3x) ⋅ 2 = −3x 2 − 6x

26

Sinus 1T book.indb 26

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:44:08

?

OPPGAVE 1.60

Hvor mange ledd består uttrykkene av?

Hvilke uttrykk er faktorisert? a) 2x (x − 2) + 4x b) x 2 − 4x + 4 c) (x − 4y)(2x − y) d) (x − 2) 2 OPPGAVE 1.61

Sett mest mulig utenfor en parentes. a) 3x + 6 b) 2x 2 − 3x 3 2 c) 2y − 4y d) 2x3 − 4x 2 + 6x OPPGAVE 1.62

Trekk mest mulig utenfor en parentes. a) 2xy 2 + 4x b) 5xy 2 − 10xy c) a 2b 2 + 3a 2b + ab d) 3x 2 + 6xy − 9x Vi kan bruke tredje kvadratsetning til å faktorisere en differanse mellom to kvadrater. Da bruker vi setningen slik: a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)

EKSEMPEL Faktoriser uttrykkene om mulig ved hjelp av konjugatsetningen. a) x 2 − 4

b) x 2 − 5

c) 4t 2 − 9

d) 9 x 2 + 4

Løsning: a) x 2 − 4 = x 2 − 2 2 = (x + 2)(x − 2)

b) x 2 − 5 = x 2 − ( 5 ) 2 = ( x + 5 )( x − 5 ) c) 4t 2 − 9 = (2t) 2 − 3 2 = (2t + 3)(2t − 3) d) 9 x 2 + 4 = (3x) 2 + 22 Her står det + mellom de to kvadratene. Da kan vi ikke bruke konjugat­setningen. Vi kan vise at det ikke går an å faktorisere uttrykket på noen annen måte heller.

Når vi faktoriserer, må vi ofte først sette faktorer utenfor en parentes og deretter bruke tredje kvadratsetning.

27

Sinus 1T book.indb 27

2014-03-17 11:44:09

EKSEMPEL Faktoriser 3x3 − 48x.

Løsning: 3x3 − 48x = 3x (x 2 − 16) = 3x (x 2 − 4 2) = 3x (x + 4)(x − 4)

?

OPPGAVE 1.63

Faktoriser uttrykkene. a) x 2 − 9 b) t 2 − 16

1 c) x 2 − 4

d) 2x 2 − 8

OPPGAVE 1.64

Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) 4x 2 − 9 b) x 2 + 4 c) 9x 2 − 1

d) 12x3 − 75x

Det er mulig å faktorisere uttrykk digitalt. Når vi skal faktorisere 3x3 − 48 x i GeoGebra CAS, skriver vi inn uttrykket og trykker på faktoriseringsknappen . Vi får dette svaret:

!

Legg merke til hvordan vi skriver potenser i GeoGebra!

I GeoGebra kan vi bruke lange variabelnavn. Vi kan bruke Radius i stedet for r om radien i en sirkel og Areal som navn på arealet. Dermed er også ab et lovlig navn på en variabel. GeoGebra vil derfor ikke oppfatte ab som produktet av de to variablene a og b. Altså må vi skrive a ⋅ b om produktet av to variab­ ler. 2x er derimot ikke noe lovlig variabelnavn, og GeoGebra vil oppfatte det som 2 ⋅ x. Dette må vi huske på når vi for eksempel skal faktorisere uttrykket ab 2 − 2ab + a Vi må skrive gangetegn mellom variablene:

?

OPPGAVE 1.65

Løs oppgave 1.64 digitalt.

OPPGAVE 1.66

Løs oppgave 1.62 digitalt.

28

Sinus 1T book.indb 28

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:44:11

1.7 Forkorting av rasjonale uttrykk I kapittel 1.4 arbeidet vi med rasjonale uttrykk. Når vi skal forkorte slike uttrykk, og når vi skal finne fellesnevneren, får vi bruk for det vi nå har lært om faktorisering.

EKSEMPEL Regn ut. x 2 + 2 x 27 ⋅ 3 3x + 6 9x 4 b) + 2 x + 6 3x + 9

a)

Løsning:

a) Først faktoriserer vi og setter alt på én brøkstrek. Deretter forkorter vi brøken.

3

x ⋅ ( x + 2) ⋅ 27 27 x 3x x 2 + 2 x 27

⋅ = = = = 3x 3 3 x + 6 3 ⋅ 3 ⋅ ( x + 2) 1 9 1

b) Først faktoriserer vi nevnerne for å finne fellesnevneren.

2x + 6 = 2 ⋅ (x + 3) 3x + 9 = 3 ⋅ (x + 3)

Fellesnevneren er

2 ⋅ 3 ⋅ (x + 3) = 6(x + 3)

Nå utvider vi brøkene slik at de får samme nevner. Deretter trekker vi sammen.

9x 4 9x 4 + = + 2 x + 6 3x + 9 2( x + 3) 3( x + 3) 8 3 ⋅ 9x 2⋅4 27 x + + = = 3 ⋅ 2( x + 3) 2 ⋅ 3( x + 3) 6( x + 3) 6( x + 3) 27 x + 8 = 6( x + 3) Vi må alltid se etter om vi kan forkorte svaret. Her går det ikke an, for vi kan ikke faktorisere telleren.

29

Sinus 1T book.indb 29

2014-03-17 11:44:12

?

OPPGAVE 1.70

Regn ut.

2 6x − 9 a) ⋅

3 4x

b) 2 ⋅

x −1

2x − 4

c)

1 2 ⋅

2 x+3

d)

x 2x + 4 ⋅ 2 3x

c)

x 2 − 3x 2 x − 1 ⋅ x + 1 2x − 6

OPPGAVE 1.71

Regn ut. a)

x + 2 3x + 9 ⋅

3 2x + 4

b)

2 x − 4 3x + 3 ⋅

x + 1 7 x − 14

OPPGAVE 1.72

Trekk sammen. x x + 2 5x a) + − 3 2 6 1 3x − 4 2 c) + + 2 2x x

x +1 x + +2 2 4 2− x x−2 1 d) − + x2 2x 2 b)

Noen ganger må vi faktorisere andregradsuttrykk når vi skal trekke sammen rasjonale uttrykk.

EKSEMPEL Regn ut.

2 x + 4 x2 − 1 ⋅ x −1 6x

Løsning: Først faktoriserer vi telleren og nevneren mest mulig. For å faktorisere x 2 − 1 må vi bruke konjugatsetningen.

x 2 − 1 = x 2 − 12 = ( x − 1)( x + 1) Deretter forkorter vi før vi multipliserer uttrykkene i telleren og i nevneren.

2 x + 4 x 2 − 1 2( x + 2) ⋅ ( x − 1)( x + 1) ⋅ = x −1 6x ( x − 1) ⋅ 6 x

=

1

2 ⋅ ( x + 2) ⋅ ( x − 1)( x + 1) ( x − 1) ⋅ 6 ⋅ x 3

30

Sinus 1T book.indb 30

=

( x + 2)( x + 1) x 2 + 3x + 2 = 3x 3x

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:44:16

Oppgaven i eksempelet kan vi også løse digitalt. I CAS-delen av GeoGebra skriver vi inn uttrykket og trykker på ENTER. Det gir det svaret vi fikk foran.

?

OPPGAVE 1.73

Faktoriser og forkort hvis mulig.

a)

x2 − 4 4 x2 − 9 b) 2x − 4 4x − 6

c)

x+3 1 1 + 2 +

3x − 3 x − 1 x + 1

d)

3 2 − 2 x − 2x x − 4 2

OPPGAVE 1.74

Løs oppgave 1.73 digitalt.

1.8 Fullstendige kvadrater Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Uttrykket x 2 + 6x + 9 er et fullstendig kvadrat fordi x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 Vi kontrollerer om dette er riktig ved å regne ut (x + 3) 2 ved hjelp av den første kvadratsetningen: ( x + 3) 2 = x 2 + 2 ⋅ 3 ⋅ x + 32 = x 2 + 6 x + 9 Hvordan kan vi finne ut om x 2 + bx + c er et fullstendig kvadrat?

Da må x 2 + bx + c = (x + k) 2 der k er et eller annet tall. Vi bruker nå første kvadratsetning og regner ut uttrykket på høyre side. Det gir x 2 + bx + c = x 2 + 2kx + k 2

31

Sinus 1T book.indb 31

2014-03-17 11:44:17

Disse uttrykkene skal være like for alle verdier av x. Da må tallene foran x være like. Vi får 2k = b b k = 2 Leddene uten x (konstantleddene) må også være like. Det gir b c = k 2 =   2

2

2

b Uttrykket x 2 + bx + c er et fullstendig kvadrat dersom   = c. Da er 2 2 b  2 x + bx + c =  x +  2 

EKSEMPEL Undersøk om uttrykkene er fullstendige kvadrater. Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig, og kontroller faktoriseringen. a) x 2 + 8x + 16

b) x 2 − 4x + 2

Løsning: a) I uttrykket x 2 + 8x + 16 er b = 8 og c = 16. Det gir 2

2

b 8   =   = 4 2 = 16 2 2 2

b Både   og c er dermed lik 16. Vi har et fullstendig kvadrat som 2 vi kan faktorisere på denne måten: 2

2

8 b   x 2 + 8x + 16 =  x +  =  x +  = (x + 4) 2 2 2    Denne faktoriseringen kontrollerer vi ved hjelp av første kvadratsetning: ( x + 4)2 = x 2 + 2 ⋅ x ⋅ 4 + 42 = x 2 + 8 x + 16

32

Sinus 1T book.indb 32

Faktoriseringen stemmer.

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:44:20

b) For uttrykket x 2 − 4x + 2 er 2

2

 b   −4    =   = (−2) 2 = 4 2  2  2 b Men ettersom c = 2, er ikke   = c . 2

?

Uttrykket er ikke noe fullstendig kvadrat.

OPPGAVE 1.80

Undersøk om uttrykkene er fullstendige kvadrater, og faktoriser de fullstendige kvadratene. a) x 2 − 10x + 25 b) x 2 + 3x +

9 4

c) x 2 + 6x + 8 d) t 2 − 5t + 6 OPPGAVE 1.81

Finn tallet c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. a) x 2 + 4 x + c b) x 2 − 4 x + c 2 c) x − 6 x + c d) x 2 + 5 x + c OPPGAVE 1.82

a) Vis at

x 2 + 8x + 16

er et fullstendig kvadrat.

b) Forkort brøkene.

1)

4 x + 16 x + 8 x + 16

2)

x 2 − 16 x 2 + 8 x + 16

2

33

Sinus 1T book.indb 33

2014-03-17 11:44:22

1.9 Metoden med fullstendige kvadrater I kapittel 1.6 lærte vi å faktorisere andregradsuttrykk med to ledd. x 2 − 4x = x (x − 4) x 2 − 4 = (x + 2)(x − 2) Andregradsuttrykket x 2 + bx + c faktoriserer vi ved å lage et fullstendig 2 b 2 kvadrat av x + bx. Vi legger til og trekker fra   . Nå skal vi se hvordan vi 2 faktoriserer x 2 + 4x + 3. x 2 + 4x + 3

2

2

4 4 = x + 4x +   −   + 3 2 2 2

Vi danner fullstendig kvadrat.

= x 2 + 4x + 2 2 − 4 + 3 = (x + 2) 2 − 1 = (x + 2) 2 − 12 = ((x + 2) + 1)((x + 2) − 1) = (x + 3)(x + 1)

Vi bruker den første kvadratsetningen.

Vi bruker konjugatsetningen.

Faktoriseringer kan vi alltid kontrollere ved multiplikasjon. (x + 3)(x + 1) = x 2 + x + 3x + 3 = x 2 + 4x + 3 Faktoriseringen er riktig.

Når vi skal faktorisere x 2 + bx + c, kan vi gjøre det på denne måten: 2

b Først legger vi til og trekker fra   og får 2 2

2

b b x 2 + bx + c = x 2 + bx +   −   + c 2  2  

Fullstendig kvadrat

d

De tre første leddene på høyre side av likhetstegnet faktoriserer vi nå ved hjelp av første eller andre kvadratsetning. De to siste leddene trekker vi sammen og får tallet d. Det gir 2

b  x 2 + bx + c =  x +  + d 2  Hvis tallet d er et negativt tall, kan vi faktorisere uttrykket ovenfor ved hjelp av konjugatsetningen.

Hvis tallet d er positivt, er det ikke mulig å faktorisere x 2 + bx + c.

34

Sinus 1T book.indb 34

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:44:25

EKSEMPEL a) Faktoriser uttrykket. x 2 − 7 x + 12 b) Forkort uttrykket.

x 2 − 7 x + 12 2x − 6

Løsning: a) Vi følger framgangsmåten foran.

2

2

7 7 x 2 − 7 x + 12 = x 2 − 7 x +   −   + 12  2  2

Andre kvadratsetning 2

7  49 48  =x−  − + 4 4 2  2

7 1  =x−  − 2 4  2

2

7 1  =x−  −  2 2 

Konjugatsetningen

 7  1   7 1 =  x −  −  ⋅ x −  +  2  2   2 2  7 1 7 1   =  x − − ⋅ x − +  2 2 2 2    8  6  =  x − ⋅ x −  2 2    = (x − 4)(x − 3)

b) I telleren bruker vi faktoriseringen fra oppgave a. I tillegg faktoriserer vi nevneren og får

x 2 − 7 x + 12 ( x − 4 ) ( x − 3) x − 4 = = 2 2x − 6 2 ⋅ ( x − 3)

35

Sinus 1T book.indb 35

2014-03-17 11:44:26

EKSEMPEL Faktoriser uttrykket om det er mulig. x2 − 4x + 5 Løsning: Først danner vi et fullstendig kvadrat av de to første leddene.

x2 − 4 x + 5 2

2

 −4   −4  = x2 − 4 x +   −   + 5  2   2  2 = − 4 x + 22 − 22 + 5 x Andre kvadrattsetning

= ( x − 2) 2 − 4 + 5 = ( x − 2) 2 + 1 Uttrykket (x − 2) 2 + 1 kan vi ikke faktorisere ved hjelp av konjugatsetningen fordi det står et plusstegn mellom de to leddene. Vi kan dermed heller ikke faktorisere x 2 − 4x + 5.

Uttrykket x 2 − 4x + 5 kan vi ikke faktorisere.

Det er bare andregradsuttrykk med tre ledd vi faktoriserer ved å lage fullstendige kvadrater. Uttrykket ax 2 + bx faktoriserer vi ved å sette x utenfor en parentes. Uttrykket ax 2 + c faktoriserer vi med konjugatsetningen hvis det lar seg gjøre. Tallene a og c må da ha motsatt fortegn.

?

OPPGAVE 1.90

Faktoriser uttrykkene. a) x 2 − 8x + 12 c) x 2 − 2 x − 15

b) x 2 + 3x + 2 d) x 2 + 5 x + 6

OPPGAVE 1.91

a) Faktoriser uttrykket. x 2 − 4x + 3 b) Trekk sammen.

36

Sinus 1T book.indb 36

x2 − 4 x + 3 2 ⋅ 6 x −1

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:44:28

Når vi skal faktorisere ax 2 + bx + c, må vi først sette tallet a utenfor en parentes. Deretter faktoriserer vi uttrykket i parentesen slik vi lærte foran.

EKSEMPEL Faktoriser uttrykket 2 x 2 + 12 x + 10 Løsning:

2 x 2 + 12 x + 10 = 2( x 2 + 6 x + 5) 2

2

6 6 = 2( x 2 + 6 x +   −   + 5) 2 2

(

+ = 2( x2 + 6 x 32 − 32 + 5) = 2 ( x + 3) 2 − 9 + 5 Første kvadratsetning

(

) (

)

)

= 2 ( x + 3) 2 − 4 = 2 ( x + 3) 2 − 22

Konjugatsetningen

= 2 ( ( x + 3) + 2 ) ( ( x + 3) − 2 ) = 2( x + 3 + 2)( x + 3 − 2) = 2( x + 5)( x + 1)

?

OPPGAVE 1.92

Faktoriser uttrykkene. a) 2 x 2 + 10 x + 8

b) −3x 2 − 3x + 6

c) 5 x 2 − 30 x + 25

OPPGAVE 1.93

Faktoriser uttrykkene hvis det lar seg gjøre. a) 4x 2 − 4x + 1 b) 2x 2 + 4x + 3 2 c) 2x + 4x + 2 d) 4x 2 + 4x − 8 OPPGAVE 1.94

Faktoriser andregradsuttrykkene og trekk sammen. x +1 2 a) − 2 x − 3 x − 4x + 3 b)

3 4 x +1 + − x2 − 5x + 6 x − 2 x − 3

OPPGAVE 1.95

Løs oppgave 1.93 digitalt.

OPPGAVE 1.96

Løs oppgave 1.94 digitalt.

37

Sinus 1T book.indb 37

2014-03-17 11:44:30

SAM­MEN­DRAG Regnerekkefølge 1. Regn først ut parentesene.

2. Regn deretter ut potensene.

3. Gjør deretter multiplikasjonene og divisjonene.

4. Gjør til slutt addisjonene og subtraksjonene.

Regneregler ved brøkregning Når vi forkorter en brøk, dividerer vi med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer ikke verdi.

Vi utvider en brøk ved å multiplisere med det samme tallet i telleren og i nevneren. Brøken endrer da ikke verdi.

Når vi skal summere brøker, må vi først finne fellesnevneren. Deretter utvider vi alle brøkene så de får den samme nevneren. Til slutt summerer vi tellerne og lar nevneren stå som den er.

Når vi skal multiplisere et helt tall og en brøk, multipliserer vi det hele tallet med telleren og lar nevneren stå som den er.

Når vi skal multiplisere to brøker, multipliserer vi telleren med telleren og nevneren med nevneren. Vi trenger ikke finne fellesnevneren.

Når vi skal dividere med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. Å løse opp parenteser Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn.

En parentes med et plusstegn foran kan vi fjerne uten å endre noe fortegn inne i parentesen.

Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall og en parentes, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen.

Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

38

Sinus 1T book.indb 38

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:44:30

Kvadratsetningene Første kvadratsetning: Andre kvadratsetning: Konjugatsetningen (tredje kvadratsetning):

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 (a + b) ⋅ (a − b) = a 2 − b 2

Fullstendig kvadrat Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som vi kan faktorisere ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen.

2 b Uttrykket x 2 + bx + c er et fullstendig kvadrat dersom   = c. Da er 2 2 b  2 x + bx + c =  x +  2  Metoden med fullstendige kvadrater Når vi skal faktorisere andregradsuttrykk, kan vi gå fram på denne måten: 1. Trekk tallet foran x 2 utenfor en parentes.

2  tallet foran x  2. Lag fullstendig kvadrat ved å legge til og trekke fra  .

2   3. Faktoriser det fullstendige kvadratet og trekk sammen resten av leddene.

4. Faktoriser uttrykket ved hjelp av den tredje kvadratsetningen hvis det lar seg gjøre.

39

Sinus 1T book.indb 39

2014-03-17 11:44:31

1 Tallregning og algebra +

ØV MER

1.1 REGNEREKKEFØLGE

1.2 BRØKREGNING

Oppgave 1.110 Regn ut. a) 3 ⋅ 4 + 5 b) 5 + 3 ⋅ 4 c) 6 ⋅ 5 − 4 + 3 ⋅ 2 d) 4 + (12 : 6) ⋅ 2 − 3

Oppgave 1.120 Forkort brøkene både uten og med digitalt hjelpemiddel.

8 19 a) b) 64 38

Oppgave 1.111 Regn ut. a) 2(3 − 2) − 3(4 + 2) + (−2)(−3) b) −3(2 − 5) + 5(2 − 1) − 2(4 − 5) c) 2(−3) − 4(6 − 2) + (−1) d) 4(3 − 1) + 7(−2) − 3(2 − 4) Oppgave 1.112 Regn ut. a) 6 ⋅ 22 b) −32 + 2 ⋅ 32 c) (2 ⋅ 3) + 2 ⋅ 52 d) 32 + 3 ⋅ 23 Oppgave 1.113 Med ett addisjonstegn, ett subtraksjons­ tegn, ett multiplikasjonstegn og én parentes skal du sette sammen tallene 3, 4, 5 og 6 slik at verdien av talluttrykket blir a) 9 b) 14 c) 11

c)

42

63

d)

28 77

Oppgave 1.121 Forkort brøkene både uten og med digitalt hjelpemiddel.

112 116 150 a) b) c) 224 348 600 Oppgave 1.122 Regn ut uten digitalt hjelpemiddel.

25 32 3 15 a) ⋅ b) : 16 50 7 28 1 2 7  1 3 c) + 3  −  d) 5 5 2 30   6 Oppgave 1.123 Regn ut både uten og med digitalt hjelpemiddel.

4 5 4 a) ⋅ b) :6 15 16 9 4 5 2 1 c) 2 + − d) (4 + ) ⋅ 7 21 3 7

333

Sinus 1T book.indb 333

2014-03-17 11:49:49

Oppgave 1.124 Regn ut uten digitalt hjelpemiddel.

1+2 1+ 1 2 a) b) 4 3 1 1 2− 3 12 1−5 x− 2 3 6 25 5 c)

d) 2+ 5 x −3 3 12 10 5 Oppgave 1.125 Skolen skulle ha aktivitetsdag. Elevene kunne velge mellom slalåm, skitur og aking. 2 av elevene 5

valgte slalåm, 3 valgte skitur, og 3 15

10

valgte

aking.

Hvor stor del av elevene var ikke med på aktivitetsdagen?

Oppgave 1.126 Ved et terminoppgjør fikk 2 av alle 5

elevene i en førsteklasse 4 eller bedre i matematikk, mens 2 av klassen fikk 3

4 eller bedre i naturfag. 4 av elevene 15

fikk 4 eller bedre i begge fagene.

Hvor stor del av elevene fikk 4 eller bedre i minst ett av fagene?

Oppgave 1.131 Trekk sammen uten å bruke hjelpemiddel. a) 3(1 − x) − 2(x − 1) b) 4(2x − 3) + 3(x − 2) c) a(2 − b) − b(a − 3) d) ab(1 + 2b) − 2a(b2 − b) Oppgave 1.132 Trekk sammen uten å bruke hjelpemiddel. a) 2(a + b) − 3a + 4b − 3(b − a) b) a(2a − 3) − 3a + 2a(3 − a) c) b(a − 3b) + (a + b)(a − b) − ab Oppgave 1.133 Multipliser ut og trekk sammen uten å bruke hjelpemiddel.

2 a) (a + 3b)(a − 3) 3 1 b) (a + 2b)(5a − 10b) 5 c)

31  4   a − b  a + b  43 3  

Oppgave 1.134 I denne oppgaven er bare tallene 2, 3 og 4 brukt.

Finn x, y og z når x(x + y) − z(x − z) = 21

1.3 BOKSTAVREGNING OG PARENTESER

1.4 RASJONALE UTTRYKK

Oppgave 1.130 Trekk sammen uten å bruke hjelpemiddel. a) 2x − 3x + 5y − 3y + 4x b) 2a − 3b + (3a − 2b + a) c) 5x − 2y − (3x + 4y) d) 6a + 2b − (5a − 3b)

Oppgave 1.140 Trekk sammen uten å bruke hjelpemiddel.

1 2 3 2 x 3 a) + − b) − + 2 x 4x x 2 2x 4 2 1 3 4 1 c) − − d) − + x 3x 6 5 5x x

334

Sinus 1T book.indb 334

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:49:55

Oppgave 1.141 Trekk sammen både uten og med hjelpemiddel. y y −1 y + 2 a) + −

4 3 6 b)

a 5 a 2 + 25 − + 5 a 5a

c)

b − 2 2b + 1 1 2 − + + b 3b 3 b

d)

z z − 4 z 2 − 21 + − 7 z 7z

Oppgave 1.142 Regn ut uten å bruke hjelpemiddel.

4 x2 6 y3 5a 15a ⋅ b) : 2 y 2x 2b 6b 2 1 1 2b − 3 c) + − 3a 2b 6ab a)

2  3x 2 x  +  d)  x 4 6 Oppgave 1.143 Regn ut både uten og med hjelpemiddel.

3a 2b 12 2 x3 8 x 2 y : ⋅

b) 4 9ab 2 5 y 10 x− 2 1 4 c) 2 − − x x 2x a)

d)

y  10 15 5  +  2 −  5 y y 2y 

Oppgave 1.144 Regn ut både uten og med hjelpemiddel.

1 + 2 2a + 2a 2 3 x x a) b) 3 2a − a 3− 3 x 2x 9 2 −1 5 x x c) 3 − 1 10 x 2 x

1.5 KVADRATSETNINGENE

Oppgave 1.150 Bruk kvadratsetningene og regn ut. a) (x + 10)2 b) (x − 7)(x + 7) c) (x − 8)2 d) (2x − 1)(2x + 1) Oppgave 1.151 Bruk kvadratsetningene og regn ut. a) (x + 5)2 − (x + 5)(x − 5) b) (x − 3)2 − (x + 3)2 c) (t + 1)2 + (t − 1)2 + (t + 1)(t − 1) d) 2(t + 2)(t − 2) − 3(t − 3)2 Oppgave 1.152 Bruk kvadratsetningene og regn ut. a) (2x − 1)2 b) (3y + 2)2 c) (3a + 2)(2 + 3a) d) (t + 1)(1 − t) Oppgave 1.153 Regn ut uten å bruke hjelpemiddel. a) ( 3 + 1)( 3 − 1) b) ( 5 + 2 )( 5 − 2 ) c) ( 13 − 7 )( 13 + 7 ) d) ( 16 + 4 )( 25 + 1 ) Oppgave 1.154 Bruk konjugatsetningen og regn ut. a) 21 ⋅ 19 b) 38 ⋅ 42 Oppgave 1.155 Regn ut ved hjelp av kvadratsetningene. a) 17 ⋅ 23 b) 182 c) 26 ⋅ 34 d) 232

1.6 FAKTORISERING

Oppgave 1.160 Faktoriser uttrykkene. a) 4x2 + 2x b) xy2 − yx2 2 3 c) 3t − 6t d) 2a2 − 8ab + 10ab2 3 2 2 3 e) 27a b − 81a b

335

Sinus 1T book.indb 335

2014-03-17 11:50:00

Oppgave 1.161 Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. a) −4x2 − 8 b) −3xyz + 12xz b) 6a2 − 35b d) 2x4z2 + 3x2z3 Oppgave 1.162 Faktoriser uttrykkene ved hjelp av konjugatsetningen hvis det lar seg gjøre. a) x2 − y2 b) 4x2 − 16 2 2 c) 25a + 36b d) 100 − 81a2b4 Oppgave 1.163 Faktoriser uttrykkene digitalt. a) 5xy + 25y2 b) 2ab2 − 4a2b c) 10x + 25 d) 14a2 − 28ab Oppgave 1.164 Faktoriser uttrykkene både med og uten hjelpemiddel. a) (x + 2)2 − 4 b) (y − 1)2 − 9 c) (a + 3)2 − (a − 2)2 d) (3x − y)2 − (2x + y)2

Oppgave 1.172 Forkort om mulig brøkene. Kontroller svarene ved å løse oppgaven digitalt. a)

2 x2 + 2 2x + 2 b) ( x + 1) 2 4x − 4

c)

x3 + 4 x 2 + 4 x

x2 + 2 x

d)

x2 − 4 x2 + 4 x

Oppgave 1.173 Finn fellesnevneren og trekk sammen.

2 1 3 1 + a) + b) x x +1 x −1 2 c)

1 1 3 1 + − d) x−2 x+2 a − 3 2a

Oppgave 1.174 Regn ut både uten og med hjelpemiddel. x −1 4 a) ⋅ 2 x −1 2 2 3 3 b) + + x x + 1 x( x + 1) x2 − 4 9x ⋅ 2 3 x + 2x x 2 2 d) − − x − 1 x + 1 x2 − 1 c)

1.7 F ORKORTING AV RASJONALE UTTRYKK

Oppgave 1.170 Regn ut. a)

x − 1 3x + 9 30 y 2 x 2 + 2 x ⋅ ⋅ b) 3 2x − 2 x 5y

a 2b3 − a 3b 2 14 ⋅ c) 21 b−a 2 d) (3x − 3) ⋅ 4 − 4x Oppgave 1.171 Faktoriser og forkort. a)

2 x2 − 2 x3 − 4 x

b) x2 − x 2x + 4

336

Sinus 1T book.indb 336

Oppgave 1.175 Løs oppgaven digitalt. x+2 2 + 2 a) x − 1 x − 2x + 1 b)

x 2 x2 − 2 2x + 4 x + 4x + 4

1.8 FULLSTENDIGE KVADRATER

Oppgave 1.180 Finn tallet c slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. a) x2 + 22x + c b) x2 − 26x + c c) 9y2 + 30y + c d) 4a2 − 28a + c

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:50:07

Oppgave 1.181 Finn tallet b slik at uttrykket blir et fullstendig kvadrat. a) x2 + bx + 25 b) 4y2 + 2by + 9

Oppgave 1.193 a) Bruk metoden med fullstendige kvadrater til å faktorisere

Oppgave 1.182 Faktoriser uttrykkene. a) x2 + 12x + 36 b) y2 − 14y + 49 c) 4x2 − 16x + 16 d) 9a2 − 30ab + 25b2

b) Finn fellesnevneren og trekk sammen.

2x 6x x + −

x − 1 x − 4 x2 − 5x + 4

Oppgave 1.183 a) Vis at x 2 − 12 x + 36 er et fullstendig kvadrat. b) Forkort brøken.

2 x − 12 1) 2 x − 12 x + 36 2)

x 2 − 5 x + 4

Oppgave 1.194 a) Faktoriser uttrykket både uten og med hjelpemiddel. x 2 + 2 x − 8 b) Trekk sammen.

2x 6x x + − 2

x − 2 x + 4 x + 2x − 8

x 2 − 36 x − 12 x + 36 2

1.9 M ETODEN MED FULLSTENDIGE KVADRATER

Oppgave 1.190 Faktoriser uttrykkene. Kontroller utregningene ved multiplikasjon. a) x2 + x − 2 b) x2 − 5x + 6 2 c) a − 3a − 4 d) y2 + 7y + 10 Oppgave 1.191 Faktoriser uttrykkene mest mulig. a) 2x2 − 2x − 12 b) 3x2 + 6x + 6 c) 5t2 − 20 d) 2x2 + 3x − 2 Oppgave 1.192 Faktoriser uttrykkene hvis det er mulig. a) x2 − 6x + 8 b) 2x2 + 3x + 5 c) x2 + 10x + 24 d) x2 − 3x + 8

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 1.200 Regn ut. a) −32(2 − 3) − (−2)(32 − 2) b) (4 − 3)52 + (3 − 5)(−1) c) (23 − 4)(3 − 2)(1 − 2) d) 1 − (2 + 1)(1 − 3) + 24 ↑ 1.1

Oppgave 1.201 Tre elever har gjort et arbeid sammen.

De skal dele inntekten av arbeidet etter hvor mye hver enkelt har gjort. Den ene eleven har gjort 2 av arbeidet, mens elev 5 nr. 2 har gjort 1 av jobben.

3 Hvor stor del av inntekten skal den tredje eleven ha?

337

Sinus 1T book.indb 337

2014-03-17 11:50:10

Oppgave 1.202 I en undersøkelse svarte 1 av elevene på 4 en skole at de røykte, mens 2 svarte at de 3 ikke røykte.

Hvor stor del av elevene svarte ikke på spørsmålet om de røykte? ↑ 1.2

Oppgave 1.208 Trekk sammen. a) ( x + 1)2 − ( x − 1) 2 + 2( x − 1)( x + 1) b) ( x + 2 y )2 − ( x − 2 y )2 − 4 x(2 y − 1) Oppgave 1.209 Bruk kvadratet nedenfor til å utlede den andre kvadratsetningen.

Oppgave 1.203 Regn ut. a) 6(23 − 22) − 3(32 − 1) 1 1 1 b) 2 −  + +  2 3 4 c) x2 + 5(x − 1) − 2(x + x2) − x(3 − x) Oppgave 1.204 Multipliser ut og trekk sammen. a) (2x + 1)(2x + 1) − (2x + 1)(2x − 1) b) 2(x − 2)(x + 2) c) 3(x − 2)(x − 3) − 5(x − 1)(x − 2) d) 2(x − 1)(x + 1)(x + 2) Oppgave 1.205 Regn ut. a) 3 ⋅ (14 − 8) + 32 ⋅ (5 − 6) b) 3(a2 − a + 1) − a(a − 3) ↑ 1.3

Oppgave 1.206 Regn ut de brudne brøkene.

3 +1 7 −1 4 x 5 + 2 x x a) b) 1− 3 4 4 2x x+2 ↑ 1.4

Oppgave 1.207 Bruk kvadratsetningene og regn ut. a) (x − 9)2 b) (2x − y)(2x + y) 2 1   c)  x + 2  d) (3a + b)(b − 3a) 2 

338

Sinus 1T book.indb 338

b

a

a

b

↑ 1.5

Oppgave 1.210 a) Regn ut.

1) (6 − 3 ⋅ 4) + 23 (2 + (−3)) x(3 − y ) − x( x − y + 2) 2) 1− x b) Bruk kvadratsetningene og regn ut.

1) (a − 5)2 2) (2a + 1)2 3) (2 + 3b)(3b − 2) 4) 98 ⋅ 102 Oppgave 1.211 Regn ut og forkort mest mulig. a)

4 5 18 − 2 x 1 5 1 ⋅ − b) − − x 6 6x 4  6 3 

c)

3x 2 + 6 x x 2 − 4 3x 2 + 9 x

d) ⋅ 6 x 2 + 3x 3x + 9 2 x + 4

Oppgave 1.212 Skriv så enkelt som mulig.

↑ 1.7

( x + 2)2 − 8 x x−2

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:50:15

Oppgave 1.213 Faktoriser uttrykkene. a) x2 + 13x + 36 b) y2 − y − 42

Oppgave 1.218 (Eksamen V-2010) Faktoriser teller og nevner og forkort brøken

Oppgave 1.214 a) 1) Vis at x 2 + 10 x + 25 er et fullstendig kvadrat.

2) Faktoriser og forkort brøken

x 2 + 10 x + 25 2 x + 5x b) 1) Bruk metoden med fullstendige kvadrater til å faktorisere

2 x2 − 9 x + 9 2) Faktoriser og forkort brøken 4x − 6 2 2x − 9x + 9 Oppgave 1.215 a) 1) Bruk metoden med fullstendige kvadrater til å faktorisere

x 2 − 4 x − 12 2) Faktoriser og forkort brøken 2x + 4 2 x − 4 x − 12 b) Faktoriser og forkort brøken

x2 + 6 x − 7 x2 − x

Oppgave 1.216 Bestem a slik at brøken kan forkortes. a)

x2 − 1 x−a b) 2 x 2 + ax x + 2x − 8

x2 − 9 x + 6x + 9 2

Oppgave 1.219 (Eksamen H-2010) Trekk sammen og skriv så enkelt som mulig

3 24 + 2 x + 4 x − 16

Oppgave 1.220 (Eksempel 2012) Bestem c og d slik at uttrykkene blir fullstendige kvadrater. a) x 2 + 4 x + c b) 4 y 2 − 24 y + d Oppgave 1.221 (Eksempel 2012) Skriv så enkelt som mulig ( 2 − 3 ) ⋅ ( 2 + 3 ) Oppgave 1.222 (Eksempel 2012) Bruk konjugatsetningen (tredje kvadratsetning) til å bestemme 97 ⋅103.

Oppgave 1.223 (Eksempel 2012) Bruk kvadratet nedenfor til å utlede den første kvadratsetningen.

a

b a

↑ 1.9

b

Oppgave 1.217 (Eksempel 2009)

Oppgave 1.224 (Eksamen V-2013) Skriv så enkelt som mulig

Skriv så enkelt som mulig

( x + y ) 2 − 4 xy x− y

x 2 − 16 x 2 − 8 x + 16

339

Sinus 1T book.indb 339

2014-03-17 11:50:20

MED HJELPEMIDLER Oppgave 1.300 Tenk på et tall. Legg til 5.

Gang svaret med 2. Trekk fra 4.

Del på 2. Trekk fra tallet du tenkte på. a) Hvilket tall får du? b) Begynn med et negativt tall.

Hvilket svar får du nå? c) Begynn med en brøk.

Hvilket svar får du nå? d) Kall det tallet du tenker på, for x og bevis at du alltid vil få det samme svaret til slutt.

Oppgave 1.301 Tenk på et tosifret tall. Finn tverr­ summen av tallet. (Tverrsummen av 71 er 7 + 1 = 8.)

Trekk tverrsummen fra det tallet du tenkte på.

Gå til nettsiden http://is.gd/tankeleser.

Finn symbolet bak det tallet du har regnet deg fram til.

Trykk på «krystallkula». Gjenta for­ søket noen ganger.

Vis ved hjelp av matematikk hvordan denne «tankelesingen» fungerer.

Oppgave 1.302 Nettsiden http://is.gd/befolkning viser folketallet i forskjellige land. a) Hvis folketallet begynte like ofte på hvert av de ni sifrene 1–9, hvor mange av de 200 mest folkerike landene skulle vi da vente hadde et folketall som begynte med sifferet 1? b) Gå til nettsiden og tell hvor mange av disse 200 landene som har et folketall som begynner med sifferet 1.

340

Sinus 1T book.indb 340

I 1938 oppdaget fysikeren Frank Benford at mange forskjellige lister med tallstørrelser begynte med sifferet 1 langt oftere enn med de andre sifrene.

Blant annet gjaldt dette lister med lengder på elver, fysiske konstanter m.m.

Ifølge «Benfords lov» vil ca. 30 % av tallene i slike lister begynne med sifferet 1, mens mindre enn 5 % av tallene begynner med sifferet 9. c) De første fibonaccitallene er 1, 1, 2, 3 og 5. Det neste fibonaccitallet finner vi ved å addere de to siste tallene vi er kommet fram til.

Bruk et regneark og lag en liste over de 50 første fibonaccitallene.

Hvor stor andel av disse tallene begynner med sifferet 1? d) Lag en liste over de 50 tallene vi får ved å regne ut 2n når n er 1, 2, 3,…, 50.

Hvor stor andel av disse tallene begynner med sifferet 1?

Oppgave 1.303 Bruk gangetegn sammen med plusstegn eller minustegn og sett sammen tallet 17 ved å bruke tallene 3, 4 og 5.

Det er to måter å gjøre det på.

Oppgave 1.304 Bruk tallene 5, 6 og 7 sammen med eventuelle plusstegn, minustegn, multiplikasjonstegn og parenteser på en slik måte at svaret blir a) 37 b) 77 c) 12 ↑ 1.1

Oppgave 1.305 Regn ut.

5 36 4 a) ⋅ b) : 6 6 15 7 c) 1 +

5 7 − 6 18

1 2  d)  2 +  ⋅ 2 5 

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:50:21

Oppgave 1.306 Regn ut de brudne brøkene.

1+3 2− 3 x 2 a) b) x x + 1 4−2 5 3 x x +1 Oppgave 1.307 Regn ut.

25 12 9 a) ⋅ b) 5 : 6 21 48 3 1 7  1 2  22 c) + − d)  +  : 10 25 50 3 5 5 ↑ 1.2

Oppgave 1.308 Vi setter a = 3. Da kan vi for eksempel skrive tallet 10 som (a + 2)2 − 6(a − 1) + 3a − 2(a + 3) a) Trekk sammen uttrykket ovenfor. b) Sett a = 3 inn i det forenklede uttrykket og regn ut svaret. c) Sett a = 3 inn i det opprinnelige uttrykket og regn ut svaret. d) Lag tilsvarende uttrykk som i eksempelet ovenfor for tallene 11, 12, 13, 14 og 15 når a = 3. Lag egne uttrykk som er passe utfordrende å regne ut. Hvert uttrykk skal inneholde minst to parenteser og minst én potens. Kontroller utregningene med et digitalt hjelpemiddel.

Oppgave 1.309 t og a er ensifrede tall. Bestem t og a slik at likheten nedenfor stemmer.

(2(157 + t )) 2 = 10a976 Tips: Bruk et CAS-verktøy og prøv med ulike tallverdier for t.

Oppgave 1.310 Regn ut. a) 2(5 − 2) ⋅ 23 − 52 ⋅ (8 − 6) 11 1   b) 2  − 1 + 3 −  + 2  x x 2     a +1 c) 2 1 2a − 6 3 Oppgave 1.311 Bruk et digitalt hjelpemiddel og gjør de rasjonale uttrykkene enklere.

5 7 11 a) − + x 3x 2 x  2 13  11 b) 7  − +  5 x 15 x  3x c) Forklar hvorfor vi ikke kan forenkle uttrykkene ved å multiplisere med 6x i alle ledd i oppgave a og med 15x i alle ledd i oppgave b dersom vi skulle forenkle disse uttrykkene uten digitale hjelpemidler. ↑ 1.4

Oppgave 1.312 Her skal vi ikke faktorisere algebraiske uttrykk, men hele tall.

En vennegjeng har et tippelag som tipper Lotto hver uke. Vennegjengen består av mer enn 10 og mindre enn 20 personer. En gang vant de 1 948 051 kr.

Når de deler gevinsten, går divisjonen akkurat opp, slik at de får et helt antall kroner hver. a) Hvor mange personer er med i tippelaget? b) Hvor mange kroner får hver av dem i gevinst?

↑ 1.3

341

Sinus 1T book.indb 341

2014-03-17 11:50:24

Oppgave 1.313 a) Regn ut 252, 352 og 452.

Hege så på svarene på sine egne utregninger og fant fram til denne oppskriften for å regne ut slike oppgaver i hodet: 1) Multipliser tallet på tierplassen med et tall som er én større enn tallet på tierplassen.

(Eksempel: For 352 begynner du med 3 ⋅ 4 = 12.)

2) Multipliser svaret med 100.

(Eksempel: 3 ⋅ 4 ⋅ 100 = 1200) 3) Adder 25.

(Eksempel: 1200 + 25 = 1225) b) Tallet på tierplassen kaller vi t.

Bruk første kvadratsetning til å regne ut (10t + 5)2.

Faktoriser de to første leddene i svaret og bruk dette til å vise at regelen til Hege er riktig. c) Hvorfor fungerer ikke regelen til Hege på tosifrede tall som ikke slutter på 5?

Oppgave 1.314 (Kan regnes uten hjelpemidler.)

Vi lar a og b være to positive hele tall der a > b.

Hvilket av disse rasjonale uttrykkene er da størst?

a 2 − b2 a 2 + b2 eller a−b a+b

↑ 1.7

↑ 1.6

342 342

Sinus 1T book.indb 342

Sinus 1T > Tallregning og algebra

2014-03-17 11:50:25

FASIT TEORIDEL 1.10 a) 16 b) 16 c) –4 d) 4 e) 9 f) 1 g) 0 1.11 a) 6 b) 42 c) –13 d) 6

1.40 a) a b) 1 c) 13

1.54 a) 1 b) 1 c) −2

1.41 a) 4 b) 5 xy

1.60 a) To ledd. Ikke faktorisert b) Tre ledd. Ikke faktorisert c) Ett ledd. Faktorisert d) Ett ledd. Faktorisert

a

6x

6

c) 6 d) 3 5

1.12 a) 8 b) 0 c) 7 d) 7

1.42 a) 9 b) 1 c) 4 x + 10

1.20 a) 2 b) 3 c) 6 d) 7

1.43 a) x + 2 b) a + 7

3

5

7

9

1.21 a) 3 b) 3 c) 2 d) 3 e)

5 3

2

f)

7 4 3

1.22 a) 19 b) 2 c) e)

36 5

4

f)

3 36 5

3

3

16

d) 41 12

1.23 a) 5 b) 11 c) 1 d) 17 4

30

40

1.24 4 a) 4 b) 15 c) 1 d) 5

8

6

5

1.30 a) 5 x + 2 y + 1 b) 2a 2 − a + 2 c) 2 x 2 − x − y 2 d) xy − xy 2 − x 2 y 1.31 a) 7x b) 2a + b c) 4x d) a 2 1.32 a) 2 x + 8 b) −2t + 6 c) 1 d) 15 x + 5 1.33 a) −2a + 7b b) 0 c) 2 x 2 − x − 3 d) 6t 2 − t − 2 1.34 a) 3 x 2 + 1 b) 4 x 2 + 2 x − 6 c) 15x d) 6t 2 + 15t − 9

2a

c)

4 −x + 8

6x

6

d) 1 6

1.62 a) 2 x( y 2 + 2) b) 5 xy ( y − 2) c) ab(ab + 3a + 1) d) 3x( x + 2 y − 3)

1.44 a) 4 x + 5 b) 1 c)

5x − 1 b − 2a

2b − a

1.63 a) ( x + 3)( x − 3) b) (t + 4)(t − 4)

2

d) x + 6

c)  x + 

1.45 a) x + 2 b) a + 7 c)

4 −x + 8

6x

c)

d) 1

6

2

d) x + 6

1.50 a) x 2 − 2 x + 1 b) x 2 + 8 x + 16 c) t 2 + 10t + 25 d) t 2 − 9 e) y 2 − 16 1.51 1 1 a) t 2 − b) x2 + x + 4

1  1 x −  d) 2   2

2( x + 2)( x − 2)

1.64 a) (2 x − 3)(2 x + 3) b) Kan ikke faktoriseres c) (3 x − 1)(3 x + 1) d) 3 x(2 x − 5)(2 x + 5)

6

1.46 a) 4 x + 5 b) 1 5x − 1 b − 2a

2b − a

1.61 a) 3( x + 2) b) x(2 x − 3) c) 2 y 2 ( y − 2) d) 2 x( x 2 − 2 x + 3)

4

c) 4 x 2 − 25 d) 9 x 2 − 12 x + 4 e) 25 x 2 + 10 x + 1 1.52 a) 2 x + 2 b) 12x c) −8 x + 33 d) 2t 2 + 3t − 20 1.53 a) 899 b) 361 c) 441 d) 896 e) 1575 f) 9991

1.65 a) (2 x − 3)(2 x + 3) b) Kan ikke faktoriseres c) (3 x − 1)(3 x + 1) d) 3 x(2 x − 5)(2 x + 5) 1.66 a) 2 x( y 2 + 2) b) 5 xy ( y − 2) c) ab(ab + 3a + 1) d) 3 x( x + 2 y − 3) 1.70 a) 2 x − 3 b) x − 1 c)

2x 1

x+3

x−2

d) x + 2 3

1.71

2 −x 2x + 2

a) x + 3 b) 6 c) 2 x 2

1.72 a) 1 b)

7

3x + 10

4

c) 2

d)

2 x2

470

Sinus 1T book.indb 470

2014-03-17 11:55:10

FASIT OPPGAVEDEL 1 1.110 a) 17

b) a 2 − 4b 2 b) 17

1.111 a) –10 b) 16 1.112 a) 24

c) 32

d) 5

c) –23 d) 0

8

1.121 a) 1 2

1.122 a) 1 1.123 a) 1 12

−

b) 9

c) 56 d) 33

b)

1

2

b) 1 3

b) 4 5

b)

2

27

1.124 a) 9 10 c) − 6 13

c)

2

3

d) 4 11

c) 1

1.134 x = 4, y = 2, z = 3

c) 6 5

c) 7 3

d) 2 5

d) 2

b) 11 d) 10 x − 4

5 x − 30

1.125 1.126 4 5

b) 6a − 5b d) a + 5b

1.131 a) 5 − 5 x b) 11x − 18 c) 2a − 2ab + 3b d) 3ab 1.132 a) 2a + 3b c) a 2 − 4b 2

b) 7 − x

c)

d)

4x 20 − x

6x

b) 2 a

c)

d)

12 4b + 1

3b

1.142 a) 6 xy 2 c) a + 1

3

b) 0

1.133 2 a) a 2 − 2a + 2ab − 6b

b)

2

c) 1 − 2x

1.163 a) 5 y ( x + 5 y ) b) 2ab(b − 2a ) c) 5(2 x + 5) d) 14a (a − 2b)

x 2 y2

d) 4 − 5 y 2y

x

b)

5 z −1 z

6

b

9

1.162 a) ( x − y )( x + y ) b) (2 x − 4)(2 x + 4) c) Kan ikke faktoriseres d) (10 + 9ab 2 )(10 − 9ab 2 )

b) b d) 9 x + 2

1.143 a) a

1.144 a) 7

1.161 a) −4( x 2 + 2) b) −3 xz ( y − 4) c) Kan ikke faktoriseres d) x 2 z 2 (2 x 2 + 3 z )

2

2x 3 x +1 5x

1.141 a) 5 y − 8

24 − 7

b) 3

1.154 a) 399 1.155 a) 391 c) 884

b) ( y − 4)( y + 2) d) 5 x( x − 2 y )

1.170 a) x + 3

b) 6y(x + 2)

c) 3

2 2

c) 2a b

d) − 3

1.171 a) 2 x + 2

b)

3

b) x 2 − 49 d) 4 x 2 − 1

2

x

1.172 b) −12x d) −t 2 + 18t − 35

1.152 a) 4 x 2 − 4 x + 1 b) 9 y 2 + 12 y + 4 c) 9a 2 + 12a + 4 d) 1 − t 2 1.153 a) 2

1.164 a) x( x + 4) c) 5(2a + 1)

2

1.150 a) x 2 + 20 x + 100 c) x 2 − 16 x + 64 1.151 a) 10 x + 50 c) 3t 2 + 1

1 10

1.130 a) 3 x + 2 y c) 2 x − 6 y

a) 2 x + 5

2ab

4

1.160 a) 2 x(2 x + 1) b) xy ( y − x) c) 3t 2 (1 − 2t ) d) 2a (a − 4b + 5b 2 ) e) 27 a 2b 2 (a − 3b)

3 3 ab − b 2 4 4

1.140

1.113 a) F.eks. 3 ( 5 − 4 ) + 6 b) F.eks. 4 ( 5 − 3) + 6 c) F.eks. 5 ( 4 − 3) + 6 1.120 a) 1

c)

1 2 a 3

c) 6

d) 36

a)

x 2 +1

2x − 2

b) 324 d) 529

2

x +1

c) x + 2

d) Kan ikke forkortes 1.173 a) 3x2 + 2

b)

c)

d)

x +x 2x

x2 − 4

x+5 2x − 2 5a + 3 2a 2 − 6a

1.174 a) 2

b) 5

c) 3x − 6

d)

x x +1

1.175 a) 2

b)

2 x − 3x 2 2 x2 + 8x + 8

x +1

b) 1596

b)

x2 − 2 x 2

3x

x − 2x + 1

x

3

479

Sinus 1T book.indb 479

2014-03-17 11:57:09

1.180 a) 121 b) 169 c) 25

1.205 a) 9

b) 2a 2 + 3

1.220 a) c = 4

1.181 a) b = −10 eller b = 10 b) b = −6 eller b = 6

1.206 a) 15 + 4 x

b) 3x − 1

1.221 –1

1.182 a) ( x + 6) 2 c) (2 x − 4) 2

1.207 a) x2 – 18x + 81 b) 4x2 – y2 c) 1 x2 + 2x + 4

d) 49

b) ( y − 7) 2 d) (3a − 5b) 2

2x

1.222 9991 1.224 x+4 x−4

4

1.183 a) ( x − 6) 2 b) 1) 2

d) b2 – 9a2 2)

x−6

x+6 x−6

1.190 a) ( x + 2)( x − 1) b) ( x − 3)( x − 2) c) (a − 4)(a + 1) d) ( y + 2)( y + 5)

1.300 a) 3

1.208 a) 2 x 2 + 4 x − 2 b) 4x

1.192 a) ( x − 4)( x − 2) b) Kan ikke faktoriseres c) ( x + 4)( x + 6) d) Kan ikke faktoriseres 1.193 a) ( x − 1)( x − 4) b) 1.194 a) (x – 2)(x + 4) b)

3x x −1 3x x+4

b) 27 c) –4 d) 23

1.211 a) 1

b) 2 − x

c)

d)

8 x+2

2x + 1

b) 3

1.303 4 · 5 – 3 eller 3 · 4 + 5

2x x( x − 2) 2

1.304 a) 5 · 6 + 7 og 6 ⋅ 7 − 5 b) 7(5 + 6) c) 6(7 – 5)

1.212 x–2

1.305 a) 2

1.213 a) ( x + 4)( x + 9) b) ( y − 7)( y + 6)

b)

2

21

1.306 a) 6 + 9 x 2)

b) 1) (2 x − 3)( x − 3)

2)

1.215 a) 1) ( x − 6)( x + 2)

2)

x+5 x 2 x −3 2 x−6

1.307 a) 3 28

c) 13 9

5x

b) 6 5

1.308 a) a 2 − a + 4

c) 1 5

b) x + 7

1.309 a) t = 5 og a = 4

1.202

1.216 a) a = −1 eller a = 1 b) a = −4 eller a = 2

1.310 a) −2

b)

3

2x

1.217 x− y

1.311 a) 49

b)

2 5x

1.218

1.312 a) 19 personer

1.219

1.313 a) 625, 1225 og 2025 b) 100 ⋅ t ⋅ (t + 1) + 25

x

1 12

1.203 a) 0

b)

11

12

c) –5

1.204 a) 4 x + 2 b) 2 x 2 − 8 c) 8 − 2 x 2 d) 2 x3 + 4 x 2 − 2 x − 4

x−3 x+3

3 x−4

6x

d) 1

6

b) 10

1.201

4 15

d) 1

b) 2 − x

8 x − 12

1.214 a) 1) ( x + 5) 2

c) 3

1.302 a) ca. 22 b) 58 av 200 (29 %) c) 16 av 50 (32 %) d) 15 av 50 (30 %)

1.210 a) 1) –14 2) x b) 1) a 2 − 10a + 25 2) 4a 2 + 4a + 1 3) 9b 2 − 4 4) 9996

1.191 a) 2( x − 3)( x + 2) b) 3( x 2 + 2 x + 2) c) 5(t − 2)(t + 2) d) (2 x − 1)( x + 2)

1.200 a) 23

5 x − 30

b) d = 36

c) 3a + 6 1 − 4a

b) 102 529 kr

480

Sinus 1T book.indb 480

2014-03-17 11:57:29