Sinus 2P-Y (utdrag) by Cappelen Damm

TORE OLDERVOLL • ODD ORSKAUG • AUDHILD VAAJE OTTO SVORSTØL • SIGBJØRN HALS

M ATEMAT IKK

2P−Y

LÆREBOK I MATEMATIKK PÅBYGGING TIL STUDIEKOMPETANSE I DE YRKESFAGLIGE UTDANNINGSPROGRAMMENE BOKMÅL

BOOK Sinus 2P-Y.indb 1

2014-10-17 13:07:58

Kapittelstart: Gjennomgangsfoto: Svein Erik Dahl / Samfoto Bakgrunnsfoto: Kapittel 1: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 2: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 3: Steinar Myhr / NTB scanpix / Samfoto Kapittel 4: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 5: Colourbox.com. Bildet er fargemanipulert. Kapittel 6: 07 Gruppen. Bildet er fargemanipulert. Fotografier og grafikk: Adresseavisen s. 136 Nicholas Percs / Thinkstock s. 303 Aftenposten / NTB scanpix s. 318 GRID Arendal s. 320 © Cappelen Damm AS, Oslo 2014 Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Kilde for alle eksempeloppgaver og eksamensoppgaver er Utdanningsdirektoratet. Alle disse oppgavene er merket med Eksempel eller Eksamen og årstall. De er gjengitt med tillatelse. Grafisk formgiver: Kristine Steen Omslagsdesign: Kristine Steen Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Kepos Forlagsredaktører: Grete Maus og Terje Idland Sats: HAVE A BOOK, Polen 2014 Trykk og innbinding: Livonia Print SiA, Latvia 2014 Utgave nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN 978-82-02-45641-2 www.cdu.no www.sinus.cdu.no

BOOK Sinus 2P-Y.indb 2

2014-10-17 13:07:58

Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene fra 2005. Læreboka Sinus 2P-Y er skrevet for matematikkurset 2P-Y innen de yrkesfaglige utdanningsprogrammene. Boka er tilpasset justeringene i læreplanen fra 2013 og eksamensordningen fra 2015. Boka legger vekt på den praktiske matematikken. Den gir en repetisjon av stoff fra kurset 1P-Y der det er nødvendig. I eksamensordningen fra 2015 er digital kompetanse viktig. Denne boka bruker programmet GeoGebra for å tegne grafer og til kurvetilpassing. Innen statistikk bruker vi mange ferdigmodeller i Excel, men elevene lærer også å lage egne regneark i Excel. Kapitlene i teoridelen er ordnet slik at det vanskeligste stoffet vanligvis kommer til slutt. Stort sett er også alle delkapitlene ordnet på den måten. Elever som sliter med faget, kan mange steder bare lese begynnelsen av et delkapittel og likevel få et bra utbytte av stoffet. Oppgavene i teoridelen er plassert inne i delkapitlene slik at elevene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet. I boka er det i tillegg en oppgavedel som inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Oppgavedelen følger teoridelen kapittel for kapittel. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Den første delen inneholder oppgaver som heter «Øv mer». Disse oppgavene er ordnet etter delkapitler som i teoridelen. Den andre delen heter «Uten hjelpemidler» og inneholder oppgaver som skal løses uten å bruke digitale hjelpemidler. Denne delen inneholder blant annet oppgaver fra del 1 i tidligere eksamensoppgaver.

BOOK Sinus 2P-Y.indb 3

2014-10-17 13:07:58

Den tredje delen heter «Med hjelpemidler» og inneholder oppgaver der elevene kan eller må bruke digitale hjelpemidler. Her er det blant annet oppgaver fra del 2 i tidligere eksamensoppgaver. Oppgavene i de to siste delene er ikke fullt ut ordnet etter delkapitler. Men det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven skal kunne løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Når det for eksempel står 4.5 etter en oppgave, så kan alle oppgavene foran dette merket regnes når eleven er ferdig med delkapittel 4.5. Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de ikke fullt ut kjenner betydningen av. Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cdu.no. Her er det mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

Tore Oldervoll Sigbjørn Hals Otto Svorstøl Audhild Vaaje Odd Orskaug

BOOK Sinus 2P-Y.indb 4

Sinus 2P-Y

2014-10-17 13:07:58

Innhold 1

Potenser og prosenter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Potensene a0 og a−n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Flere regneregler for potenser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Tall på standardform. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Regning med tid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6 Prosentfaktorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.7 Vekstfaktorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.8 Prosentvis endring i flere perioder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.9 Tall og figurer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2

Tabeller og diagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.1 Frekvenstabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2 Kumulative frekvenstabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3 Digitale tabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Kurvediagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5 Søylediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.6 Sektordiagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.7 Digitale diagrammer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3

Sentralmål og spredningsmål. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.1 Gjennomsnitt og typetall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2 Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3 Variasjonsbredde og kvartilbredde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.4 Varians og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.5 Digitale sentralmål og spredningsmål. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.6 Histogram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7 Sentralmål i et gruppert materiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 3.8 Gruppert materiale digitalt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.9 Spørreundersøkelser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

BOOK Sinus 2P-Y.indb 5

2014-10-17 13:07:58

Rette linjer og lineære funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.1 Rette linjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2 Digital graftegning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 4.3 Konstantledd og stigningstall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 4.4 Grafisk avlesing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4.5 Digital løsning av likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.6 Funksjonsbegrepet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 4.7 Lineær vekst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.8 Lineære modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.9 Lineær regresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 5

Funksjoner og vekst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.1 Polynomfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 5.2 Polynomregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 5.3 Potensfunksjoner og rotfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.4 Potensregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.5 Eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.6 Eksponentialregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 5.7 Kjennetegn ved funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.8 Gjennomsnittlig vekstfart. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 5.9 Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 6

Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

6.1 Forsøk og simuleringer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.2 Sannsynlighet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.3 Sum av sannsynligheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 6.4 Multiplikasjonsprinsippet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.5 Uavhengige hendinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.6 Avhengige hendinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

BOOK Sinus 2P-Y.indb 6

Sinus 2P-Y

2014-10-17 13:07:58

Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 1

Potenser og prosenter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Tabeller og diagrammer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

Sentralmål og spredningsmål. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Rette linjer og lineære funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Funksjoner og vekst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

6 Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396

BOOK Sinus 2P-Y.indb 7

2014-10-17 13:07:58

4 98

BOOK Sinus 2P-Y.indb 98

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineĂŚre funksjoner

2014-10-17 13:08:50

Rette linjer og lineære funksjoner MÅL

for opplæringen er at eleven skal kunne • gjøre rede for begrepet lineær vekst, vise gangen i slik vekst og bruke dette i praktiske eksempler, også digitalt • omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner • gjøre målinger i praktiske forsøk og formulere matematiske modeller på grunnlag av observerte data • analysere praktiske problemstillinger knyttet til dagligliv, økonomi, statistikk og geometri, finne mønster og struktur i ulike situasjoner og beskrive sammenhenger mellom størrelser ved hjelp av matematiske modeller • bruke digitale verktøy i utforsking, modellbygging og presentasjon • bruke funksjoner til å modellere, drøfte og analysere praktiske sammenhenger

BOOK Sinus 2P-Y.indb 99

2014-10-17 13:08:50

4.1 Rette linjer Fra før vet vi at y = 2x + 3 er likningen for ei rett linje. Vi får fram ei annen linje hvis vi skifter ut tallene 2 og 3 med andre tall. Dermed er y = −3x + 4 også likningen for ei rett linje. La a og b være to tall. Da er y = ax + b likningen for ei rett linje. Linja består av de punktene (x, y) som er slik at y = ax + b. Vi trenger bare to punkter i et koordinatsystem for å kunne tegne ei rett linje. Dermed trenger vi bare to verdier for x når vi lager tabell. Vi bør velge god avstand mellom de to x-verdiene så vi kan tegne linja nøyaktig.

EKSEMPEL Tegn linjene i ett koordinatsystem. a) y = 2 x − 3 b) y = −0, 5 x + 4 Løsning:

a) Vi velger verdiene x = 0 og x = 4. Når x = 0, er y = 2 ⋅ 0 – 3 = –3 Når x = 4, er y = 2 ⋅ 4 – 3 = 5

Det gir denne tabellen: x y

100

0 –3

4 5

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 100

2014-10-17 13:08:52

Nå lager vi et koordinatsystem, merker av de to punktene og tegner linja. y

6 5

y = 2x – 3

4 3 2

y = –0,5x + 4

1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2 3

4 5

–2 –3 –4

b) Vi går fram på tilsvarende måte for linja y = −0, 5 x + 4 og får denne tabellen: x y

0 4

4 2

Vi har merket av de to punktene og tegnet linja i koordinatsystemet ovenfor.

OPPGAVE 4.10

Tegn linjene. a) y = 2 x − 1 c) y = −2 x + 4

b) y = x − 2 d) y = − x + 5

OPPGAVE 4.11

Tegn linjene. a) y = 0, 5 x − 2

b) y =

c) y = 4, 2 x − 5, 4

d) y = −7, 8 x + 12, 4

2 1 x+ 3 3

101

BOOK Sinus 2P-Y.indb 101

2014-10-17 13:08:53

EKSEMPEL Fredrik Ford har mange utgifter til bilen sin. Han betaler 15 000 kr i året i forsikring og årsavgift. I tillegg regner han med å betale 2 kr per kilometer for bensin og vedlikehold. a) Hva blir bilutgiftene til Fredrik hvis han et år kjører 12 000 km? b) Finn en formel for utgiftene y i kroner per år hvis han kjører x kilometer per år. c) Tegn den rette linja som viser sammenhengen mellom kilometerne x og utgiftene y per år når han kjører inntil 20 000 kilometer per år. Løsning:

a) Hvis han kjører 12 000 km, betaler han 2 kr ⋅ 12 000 for kilo meterne og i tillegg 15 000 kr i faste utgifter. Til sammen blir det 2 kr ⋅ 12 000 + 15 000 kr = 39 000 kr b) Hvis han kjører x kilometer, betaler han 2 kr ⋅ x for kilometerne og i tillegg 15 000 kr i faste utgifter. Til sammen blir det i kroner y = 2x + 15 000 c) Nå skal vi lage tabell. Vi vet fra oppgave a at det koster 39 000 kr for 12 000 kilometer per år. Hvis Fredrik kjører 0 kilometer per år, blir utgiftene i kroner y = 2 ⋅ 0 + 15 000 = 15 000

Vi samler opplysningene i denne tabellen: x (kilometer) y (kroner)

0 15 000

12 000 39 000

Nå lager vi et koordinatsystem, merker av punktene (0, 15 000) og (12 000, 39 000) og trekker ei rett linje gjennom dem. Det gir denne linja: kr y 60 000 50 000 40 000 30 000 20 000 10 000

x 4000

102

8000

12 000 20 000 km 16 000

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 102

2014-10-17 13:08:53

OPPGAVE 4.12

Per er nå 10 år og er 140 cm høy. Han regner med å vokse 7 cm per år de neste 6 årene. a) Hvor høy er da Per når han er 15 år? b) Forklar at om x år er høyden h til Per, målt i centimeter, gitt ved h = 7 x + 140 c) Lag ei rett linje som viser sammenhengen mellom x og høyden h. OPPGAVE 4.13

Prisen for elektrisk strøm her i landet er en sum av to beløp: først en fast avgift og så et beløp som er avhengig av hvor mye strøm som er brukt. Et år betalte en familie 1200 kr i fast avgift og 42 øre per kWh (kilowattime) for bruk av elektrisk strøm.

a) Finn strømutgiftene for denne familien når de dette året brukte 20 000 kWh. b) Forklar at utgiftene y i kroner kan skrives y = 0,42x + 1200 der x er tallet på kilowattimer. c) Forklar at likningen i oppgave b gir ei rett linje, og tegn linja i et koordinatsystem når x er mellom 0 og 30 000. OPPGAVE 4.14

Vi fyller varmt drikke med temperaturen 86 °C på ei termosflaske. Termosflaska holder godt på varmen, og temperaturen synker bare 2,5 grader per time.

a) Hva er temperaturen etter 5 timer? b) Hva er temperaturen y etter t timer? c) Forklar at likningen i oppgave b framstiller ei rett linje, og tegn linja i et koordinatsystem når t er mellom 0 og 10.

103

BOOK Sinus 2P-Y.indb 103

2014-10-17 13:08:54

4.2 Digital graftegning Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å tegne rette linjer og andre grafer. Her viser vi hvordan vi bruker programmet GeoGebra til slik tegning. Vi skal nå tegne linja y = 1,5x + 2 ved hjelp av GeoGebra. Vi åpner programmet og klikker inne i grafikkfeltet. Hvis vi ikke får fram koordinatsystemet eller rutenettet, klikker vi på symbolene for koordinatsystem og rutenett øverst til venstre i grafikkfeltet.

Hvis vi ikke ser disse knappene, må vi klikke på den lille trekanten foran ordet Grafikkfelt. Nå skriver vi inn likningen for linja i skrivefeltet. Bruk desimalpunktum og ikke desimalkomma!

Da får vi fram linja nedenfor.

Du får sikkert et helt annet utsnitt og helt andre tall på aksene enn det vi har fått. For å endre på koordinatsystemet trykker vi på symbolet . Hvis vi nå plasserer musepekeren inne i koordinatsystemet og holder inne venstre musetast, kan vi flytte koordinatsystemet. Hvis vi vil endre på en av aksene, plasserer vi musepekeren på aksen og holder inne venstre musetast. Da kan vi dra i aksen og få den slik vi vil. Nå skal vi sette navn på aksene. Da klikker vi i grafikkfeltet og høyreklikker deretter. Nå velger vi Grafikkfelt og xAkse. Deretter skriver vi inn navnet x på x-aksen. Så klikker vi i boksen foran Avstand og setter avstanden til 1. Da blir det avstand 1 mellom tallene på aksen.

104

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 104

2014-10-17 13:08:54

Deretter trykker vi på fanen yAkse og skriver y som navn på aksen. Også der setter vi avstanden til 1. Nå lukker vi dette skjermbildet. Hvis vi vil endre fargen på linja, klikker vi på linja og velger farge i den lille menyen som dukker opp øverst i grafikkfeltet.

Der kan vi også velge hvor tykk linje vi vil ha. Vi kan få dette resultatet:

OPPGAVE 4.20

Tegn linjene digitalt. a) y = 3x − 1 b) y = −2 x + 7 c) y = 3, 7 x − 2, 4 2 1 d) y = − x + 3 3

105

BOOK Sinus 2P-Y.indb 105

2014-10-17 13:08:55

Noen ganger kan det være vanskelig å finne ut hvilke verdier vi skal ha langs aksene. Ofte står det i oppgaven hvilke x-verdier vi skal bruke. Men vi må selv finne ut hvilke verdier vi trenger langs y-aksen. Da kan vi gå fram som i dette eksempelet.

EKSEMPEL Tanken på en bil inneholder 60 liter bensin. Bilen bruker 0,55 liter bensin per mil. Etter x mil er bensinmengden y i liter gitt ved y = 60 − 0,55x Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye bensin det er igjen på tanken helt til vi har kjørt 100 mil. Løsning:

Vi bruker GeoGebra og skriver først inn likningen slik:

Bruk punktum og ikke komma! Men ennå kommer det sikkert ikke fram noen graf i koordinatsystemet. Grunnen er at vi ikke har de riktige verdiene på aksene. I denne oppgaven skal vi ikke ha negative tall langs aksene. Derfor høyreklikker vi inne i koordinatsystemet, velger Grafikkfelt og xAkse og fyller ut skjermbildet slik:

Legg merke til at vi også har klikket på Bare i positiv retning. Der etter gjør vi tilsvarende i fanen yAkse. Så lukker vi skjermbildet og trykker på . Først plasserer vi pekeren inne i koordinatsystemet og drar koordinatsystemet slik at origo kommer nederst til venstre. Deretter drar vi x-aksen slik at vi får fram tallene fra 0 til 100. Til slutt drar vi

106

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 106

2014-10-17 13:08:55

y-aksen slik at linja vises i hele området fra x = 0 til x = 100. Det gir denne grafen:

OPPGAVE 4.21

Tante Maggi har 10 000 kr i et skrin på kjøkkenet. Hun sparer fra nå av 1500 kr per måned og legger pengene i skrinet. Etter x måneder er beløpet y i kroner gitt ved y = 1500 x + 10 000 Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye penger det er i skrinet de neste 24 månedene. OPPGAVE 4.22

For en familie er strømutgiftene i kroner per år gitt ved y = 0,42x + 1200 der x er tallet på kilowattimer. Tegn linja digitalt når x er mellom 0 og 30 000. OPPGAVE 4.23

Tegn linja digitalt når a) y = 2 x + 10 og x er mellom −10 og 10 b) y = −0, 05 x + 10 og x er mellom 0 og 20 c) y = 0, 02 x + 1000 og x er mellom 0 og 100 000 OPPGAVE 4.24

Vi fyller varmt drikke med temperaturen 90 °C på ei termosflaske. Temperaturen i flaska synker med 3 grader per time. a) Finn en formel for temperaturen y etter t timer. b) Tegn digitalt ei linje som viser sammenhengen mellom y og t når t er mellom 0 og 10.

107

BOOK Sinus 2P-Y.indb 107

2014-10-17 13:08:57

4.3 Konstantledd og stigningstall Fra kapittel 4.1 vet vi at y = ax + b er likningen for ei rett linje. Tallet b kaller vi konstantleddet. I likningen y = 2x + 1 er konstantleddet lik 1. Når x = 0, er y = 2 ⋅ 0 + 1 = 1 Vi ser at når x = 0, er y lik konstantleddet 1. Linja må da gå gjennom punktet 1 på y-aksen. Konstantleddet forteller oss hvor linja skjærer y-aksen. Det ser vi tydelig når vi lager tabell og tegner linja i et koordinatsystem. x

7 y 8 2

6 1

4 2

2 Konstantledd

Stigningstall

x 2

Vi tar nå utgangspunkt i skjæringspunktet mellom linja og andreaksen. Hvis x øker med én enhet fra 0 til 1, øker y fra 1 til 3. Økningen for y er derfor 3 – 1 = 2. Så tar vi utgangspunkt i et annet punkt på grafen. Hvis vi går én enhet mot høyre, må vi gå to enheter opp for å komme opp til linja. y øker med 2 enheter når x øker med 1 enhet. Tallet 2 kaller vi stigningstallet for linja. Stigningstallet 2 finner vi igjen foran x i likningen y = 2x + 1.

108

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 108

2014-10-17 13:08:57

Nå studerer vi linja y = –2x + 3 Vi lager tabell. x y

0 3

2 –1

Nå tegner vi linja i et koordinatsystem. y

4 2

1 –2 x

–2

21 –2

4 –2

Hvis vi starter i et punkt på denne linja og flytter oss 1 enhet mot høyre parallelt med x-aksen, må vi 2 enheter ned for å møte linja. y minker med 2 enheter når x øker med 1 enhet. Vi sier også at y øker med −2 enheter. Tallet −2 er stigningstallet for linja y = −2x + 3. Også her står stigningstallet foran x i likningen. Tankegangen ovenfor kan vi gjennomføre for ei vilkårlig linje y = ax + b. Den rette linja

y = ax + b skjærer y-aksen i punktet y = b. Når x øker med én enhet, øker y med a enheter. Tallet a kaller vi stigningstallet, og b kaller vi konstantleddet.

a 1 x

Hvis stigningstallet a er et positivt tall, stiger linja mot høyre. Hvis stigningstallet a er et negativt tall, synker linja mot høyre. Vi kan lese av konstantleddet og stigningstallet for ei linje som er tegnet i et koordinatsystem. Dermed kan vi også finne likningen for linja.

109

BOOK Sinus 2P-Y.indb 109

2014-10-17 13:08:57

EKSEMPEL Finn likningen for den linja vi har tegnet til venstre nedenfor. y

5 4

Konstantleddet

x 1

2 3

Stigningstallet

1 –2 –1

–2 –1

2 3

Løsning:

Skjæringspunktet med y-aksen gir konstantleddet b = 3. Når vi skal finne stigningstallet a, begynner vi i et punkt på linja og går 1 enhet mot høyre. Da må vi gå 2 enheter opp for å komme opp til linja. Det gir stigningstallet a = 2. Likningen for linja blir y = 2x + 3

OPPGAVE 4.30

Finn likningene for linjene ved å lese av konstantleddet og stigningstallet. a) b) y

1 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

2 3

–4 –3 –2 –1 –1

–2 –3 –4

x 1

2 3

–2 –3 –4 –5

OPPGAVE 4.31

Ei linje går gjennom punktene (1, –1) og (3, 3). a) Tegn linja. b) Finn konstantleddet og stigningstallet for linja. c) Finn likningen for linja.

110

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 110

2014-10-17 13:08:57

Likningen for ei linje gjennom to punkter kan vi finne i GeoGebra. Dermed kan vi også finne stigningstallet og konstantleddet. Ei linje går gjennom punktene (−1, 2) og (3, 10). I GeoGebra skriver vi inn (−1, 2) i skrivefeltet.

Da får vi tegnet punktet i koordinatsystemet, og punktet får automatisk navnet A. Deretter skriver vi (3, 10) og får da fram punktet B(3, 10). For å få tegnet ei linje gjennom punktene trykker vi på og klikker deretter på de to punktene. Det gir dette i algebrafeltet:

Likningen er ikke slik vi pleier å skrive den. Hvis vi vil ha likningen på formen y = ax + b, høyreklikker vi på likningen og velger Likning y = ax + b. Det gir dette resultatet:

Likningen er y = 2 x + 4 Dermed er stigningstallet 2 og konstantleddet 4.

OPPGAVE 4.32

Ei linje går gjennom punktene (–1, 2) og (3, 0). Finn likningen for linja digitalt. OPPGAVE 4.33

Ei linje går gjennom punktene (1, 7) og (4, −2). a) Finn likningen for linja digitalt. b) Finn stigningstallet og konstantleddet.

Hvis vi kjenner likningen for ei rett linje, kan vi bruke konstantleddet og stigningstallet når vi skal tegne linja.

111

BOOK Sinus 2P-Y.indb 111

2014-10-17 13:08:58

EKSEMPEL Bruk stigningstallet og konstantleddet til å tegne linjene. 3 a) y = x + 2 b) y = −3x + 4 2 Løsning:

3 2

a) I likningen y = x + 2 er konstantleddet 2. Linja går derfor gjennom punktet y = 2 på y-aksen. Linja har stigningstallet

3 = 1,5. 2

Hver gang x øker med 1 enhet, øker y med 3 enheter. Når vi skal 2

tegne linja, markerer vi først punktet y = 2 på y-aksen. Vi går så ut fra dette punktet og går 1 enhet til høyre parallelt med x-aksen. 3 2

Deretter går vi = 1,5 enheter oppover for å finne det neste punktet på linja. Nå har vi to punkter på linja og kan tegne linja som vist til venstre nedenfor. y

6 Konstantleddet

4 Konstantleddet

1,5

Stigningstallet 2

1 Stigningstallet

–3

x 2

b) Linja y = –3x + 4 går gjennom punktet y = 4 på andreaksen. Når vi går 1 enhet til høyre fra dette punktet, må vi gå 3 enheter nedover for å finne et nytt punkt på linja. Når vi har to punkter, trekker vi linja som vist til høyre ovenfor.

OPPGAVE 4.34

Utnytt konstantleddet og stigningstallet til å tegne linjene. 1 3 a) y = 2x – 1 b) y = –2x + 2 c) y = − x + d) y = x + 1 2 2 OPPGAVE 4.35

Tegn linjene. a) y = –x

112

b) y = 3 + 2x

c) y = 1

d) x = –1

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 112

2014-10-17 13:08:59

4.4 Grafisk avlesing Fredrik Ford studerer i Trondheim og skal kjøre bil hjem til Oslo. Han kjører i gjennomsnitt 70 km/h. Etter x timer er avstanden y i kilometer fra Trondheim gitt ved y = 70 x Vi vet at y = 70 x er likningen for ei rett linje. Nå skal vi tegne den linja og bruke den til å finne ut hvor langt Fredrik er kommet etter 3 timer, og hvor lenge det går før han passerer Hamar når vi vet at det er 385 km dit. Først tegner vi linja y = 70 x: km 500

385 300 200 100

x 1 2 3 4

5,5

7 8 h

Når vi skal finne ut hvor langt Fredrik Ford har kjørt på 3 timer, tar vi utgangspunkt i tallet 3 på x-aksen, går rett opp til grafen og så inn på y-aksen. Vi ser at Fredrik har kjørt ca. 200 km på 3 timer. Når Fredrik kommer til Hamar, har han kjørt 385 km. Nå tar vi utgangspunkt i tallet 385 på y-aksen, går horisontalt bort til linja og så ned på x-aksen. Da finner vi ut at Fredrik passerer Hamar etter 5,5 timer. Vi har nå løst oppgaven grafisk. Slike grafiske løsninger gir vanligvis ikke eksakt riktige svar, men ofte kan en tilnærmet løsning være god nok.

EKSEMPEL Vanja Vespa har nettopp fylt opp tanken på skuteren sin med bensin. Når hun har kjørt x mil, er antallet liter bensin på tanken gitt ved formelen y = 6 – 0,2x a) Finn grafisk hvor mye bensin det er på tanken når hun har kjørt 10 mil. b) Hvor langt har hun kjørt når det er 2 liter bensin igjen?

113

BOOK Sinus 2P-Y.indb 113

2014-10-17 13:09:00

Løsning:

a) Når vi skal tegne linja, lager vi først en tabell: x (mil) y (liter)

0 6

5 5

Nå setter vi av de to punktene i et koordinatsystem og trekker ei rett linje gjennom dem. liter

6 5 4 3 2 1

x 5 10 15 20 25 30 mil

Når vi skal finne bensinmengden når hun har kjørt 10 mil, tar vi utgangspunkt i tallet 10 på x-aksen og går opp til linja og derfra inn på y-aksen. Der kommer vi til tallet 4.

Etter 10 mil er det 4 liter bensin igjen på tanken.

b) Når vi skal finne hvor langt hun har kjørt når det er 2 liter bensin igjen på tanken, tar vi utgangspunkt i tallet 2 på y-aksen og går vannrett bort til linja og derfra ned til x-aksen. Der kommer vi til tallet 20.

Hun har kjørt 20 mil når det er 2 liter bensin igjen på tanken.

EKSEMPEL Løs likningen grafisk og ved regning. 3 1 x + = 5 2 2 Løsning:

Grafisk løsning: Vi tegner først linja 3 1 y = x + 2 2

114

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 114

2014-10-17 13:09:00

y 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

–2 –3 –4

Deretter tar vi utgangspunkt i tallet 5 på y-aksen og leser av på x-aksen som vist ovenfor. Vi ser at når y = 5, er x = 3. Løsningen er x = 3 Ved regning: Nå løser vi likningen ved regning. 3 1 x + = 5 | ⋅2 2 2 3 1 2 ⋅ x + 2 ⋅ = 2⋅5 2 2 3x + 1 = 10 3x = 9 x=3

OPPGAVE 4.40

Når vi bruker drosje, begynner taksameteret på et fast beløp idet turen starter. Dette faste beløpet kaller vi påslaget. Vi setter det her til 40 kr. Under turen blir det med jevne mellomrom automatisk lagt til et beløp på taksameteret. Dette tillegget regner vi om til en kilometerpris. I denne oppgaven setter vi den til 15 kr. a) Hva må vi betale for en drosjetur på 12 km? b) Forklar at drosjeutgiftene, U, etter x km kan skrives U = 15x + 40 c) Tegn linja i oppgave b når x er mellom 0 og 30. d) Finn av denne linja hva en drosjetur på 20 km koster. e) Hvor langt kan du kjøre drosje for 300 kr?

115

BOOK Sinus 2P-Y.indb 115

2014-10-17 13:09:01

OPPGAVE 4.41

Vanja Vespa betaler 3500 kr i året i forsikring for skuteren sin. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 0,50 kr per kilometer. a) Forklar at utgiftene i kroner per år er gitt ved U = 0,50x + 3500 når hun kjører x kilometer per år. b) Tegn linja i oppgave a når x er mellom 0 og 5000. c) Bruk linja til å finne ut hvor langt hun kan kjøre for 5000 kr. OPPGAVE 4.42

Løs likningene grafisk og ved regning. 1 a) 2x + 1 = 5 b) x − 1 = 2 2

EKSEMPEL Fredrik Ford er på vei fra Trondheim til Oslo med bilen sin. Han kjører da om Oppdal, og farten er i gjennomsnitt 70 km/h. Etter x timer er antallet kilometer y han har kjørt, gitt ved y = 70x Vanja Vespa er på Oppdal og skal kjøre til Oslo med skuteren sin. Det er 120 km fra Trondheim til Oppdal. Hun begynner på turen samtidig med at Fredrik Ford kjører fra Trondheim, og hun kjører samme veien som Fredrik. Vanja kjører i gjennomsnitt 40 km/h. Etter x timer er avstanden hennes fra Trondheim målt i kilometer gitt ved y = 40x + 120 Når tar Fredrik igjen Vanja, og hvor langt fra Trondheim er de da? Løsning:

Først tegner vi de to rette linjene y = 70x og y = 40x + 120.

km y 500

Fredrik

Vanja

400

Skjæringspunktet mellom 280 de to linjene forteller når og 200 hvor Fredrik tar igjen Vanja. 100 I skjæringspunktet er x = 4 og y = 280.

x 1 2

3 4

5 6

7 8

9 10 h

Fredrik tar igjen Vanja etter 4 timer. De er da 280 km fra Trondheim.

116

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 116

2014-10-17 13:09:01

EKSEMPEL Løs likningen grafisk og ved regning. 3 1 x + = −2 x + 4 2 2 Løsning:

Når vi skal løse likningen 3 1 x + = −2 x + 4 2 2

3 1 grafisk, tegner vi først de to linjene y = x + og y = −2 x + 4 i det 2 2 samme koordinatsystemet. y 6 5 4 3 2 1 –2 –1 –1

x 1

2 3

4 5

–2

3 1 Vi ser at y-verdiene er like når x = 1. Det betyr at x + = −2 x + 4 når 2 2 x = 1. Løsningen er x = 1 Nå løser vi likningen ved regning. 3 1 x + = −2 x + 4 | ⋅2 2 2 3 1 2 ⋅ x + 2 ⋅ = 2 ⋅ (−2 x) + 2 ⋅ 4 2 2 3x + 1 = −4 x + 8 7x = 7 x =1

117

BOOK Sinus 2P-Y.indb 117

2014-10-17 13:09:02

OPPGAVE 4.43

Adam har 50 000 kr og bruker 700 kr per uke. Eva har 20 000 kr og sparer 500 kr per uke. a) Forklar at kronebeløpet til Adam etter x uker er gitt ved A = 50 000 – 700x

og at beløpet til Eva er gitt ved

E = 20 000 + 500x b) Finn grafisk hvor mange uker det går før Adam og Eva har like mye penger. Omtrent hvor mye penger har de da? c) Løs oppgave b ved regning. OPPGAVE 4.44

I lønnsforhandlingene i et datafirma kan en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) Fast månedslønn på 15 000 kr pluss 500 kr for hver datamaskin han selger. 2) Fast månedslønn på 16 500 kr pluss 250 kr for hver datamaskin han selger. a) Sett opp to likninger som gir lønna y i kroner når han selger x datamaskiner per måned. b) Tegn de to linjene i et koordinatsystem og finn ut hvor mange maskiner han må selge for at de to tilbudene skal være like gode. c) Hva er månedslønna i dette tilfellet? OPPGAVE 4.45

Løs likningene grafisk og ved regning. a) 2x + 1 = x + 4 1 3 b) x + 1 = x − 2 2 2

4.5 Digital løsning av likninger Nå ser vi igjen på Fredrik Ford som begynner å kjøre fra Trondheim til Oslo med bilen sin. Etter x timer er avstanden y i kilometer fra Trondheim gitt ved y = 70x I GeoGebra tilpasser vi først koordinataksene slik at x går fra 0 til 10 og y fra 0 til 500 slik vi lærte i kapittel 4.2. Deretter skriver vi y = 70x i skrivefeltet og får fram linja l.

118

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 118

2014-10-17 13:09:03

Nå skal vi finne hvor langt Fredrik er kommet etter 3 timer. Da skriver vi x = 3 i skrivefeltet og får fram ei vertikal linje gjennom x = 3. Deretter bruker vi Skjæring mellom to objekt som vi finner i rullegardinmenyen under og klikker så nær skjæringspunktet mellom de to linjene at begge linjene blir markert. Det gir dette resultatet:

Her har vi i tillegg høyreklikket på skjæringspunktet, valgt Egenskaper og deretter gjort dette valget:

Av grafen ser vi at Fredrik har kjørt 210 km på 3 timer. Til Hamar er det 385 km. Vi skal finne ut når Fredrik passerer Hamar, og skriver y = 385 i skrivefeltet. Så bruker vi Skjæring mellom to objekt for å finne skjæringspunktet mellom denne horisontale linja og linja l som vist nedenfor. Også for dette skjæringspunktet får vi programmet til å vise verdien i stedet for navnet på punktet.

Fredrik passerer Hamar etter 5,5 timer.

119

BOOK Sinus 2P-Y.indb 119

2014-10-17 13:09:03

OPPGAVE 4.50

Vi fyller varmt drikke med temperaturen 86 °C på ei termosflaske. Termosflaska holder godt på varmen, og temperaturen synker bare 2,5 grader per time. a) Forklar at temperaturen etter x timer er gitt ved y = −2, 5 x + 86 b) Tegn digitalt ei linje som viser temperaturen når x er mellom 0 og 10. c) Finn digitalt temperaturen etter 8 timer. d) Finn digitalt hvor mange timer det går før temperaturen er 71 °C. OPPGAVE 4.51

Vanja Vespa betaler 3500 kr i året i forsikring for skuteren sin. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 0,50 kr per kilometer. Utgiftene i kroner per år er da gitt ved y = 0,50x + 3500 når hun kjører x kilometer per år. a) Tegn linja digitalt når x er mellom 0 og 5000. b) Finn digitalt hva det koster hvis hun et år kjører 1500 km. c) Finn digitalt hvor langt hun kan kjøre for 5000 kr. OPPGAVE 4.52

Løs likningene digitalt og ved regning. a) –2x + 3 = 1 2 3 3 b) − 3 x + 2 = − 2

EKSEMPEL Fredrik Ford er på vei fra Trondheim til Oslo med bilen sin. Han kjører om Oppdal, og farten er i gjennomsnitt 70 km/h. Etter x timer er antallet kilometer y han har kjørt, gitt ved y = 70x Vanja Vespa er på Oppdal og skal kjøre til Oslo med skuteren sin. Hun begynner på turen samtidig med at Fredrik Ford kjører fra Trondheim, og hun kjører samme veien som Fredrik. Vanja kjører i gjennomsnitt 40 km/h. Etter x timer er avstanden hennes fra Trondheim målt i kilometer gitt ved y = 40x + 120 Finn digitalt når Fredrik tar igjen Vanja. Hvor langt fra Trondheim er de da?

120

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 120

2014-10-17 13:09:03

Løsning:

Først stiller vi inn koordinataksene i GeoGebra slik at x går fra 0 til 10 og y fra 0 til 500. Deretter skriver vi y = 70x og så y = 40x + 120 i skrivefeltet. Da får vi fram to rette linjer. Nå finner vi skjæringspunktet mellom dem ved hjelp av Skjæring mellom to objekt og får så programmet til å vise verdi i stedet for navn på skjæringspunktet. Det gir dette resultatet:

Fredrik tar igjen Vanja etter 4 timer. De er da 280 km fra Trondheim.

OPPGAVE 4.53

Et firma skal produsere skistaver. Kostnaden ved å produsere stavene kan deles i to deler. Den faste kostnaden er på 15 000 kr og er uavhengig av hvor mange enheter som blir produsert. Denne kostnaden dekker blant annet utgifter til produksjonsutstyr. Den variable kostnaden er knyttet direkte til produksjonen av hver stav. Utgiftene ved å produsere et par staver er 250 kr. a) Forklar at totalkostnaden K i kroner når det blir produsert x par staver, er gitt ved K = 250x + 15 000 b) Framstill kostnaden K digitalt. Velg x mellom 0 og 200. c) Firmaet selger stavene for 400 kr per par. Forklar at inntekten I er gitt ved I = 400x Framstill I digitalt i det samme koordinatsystemet. d) Finn digitalt hvor mange par staver firmaet må produsere og selge for at inntektene av salget skal dekke utgiftene. OPPGAVE 4.54

Løs likningene digitalt og ved regning. a) –x + 2 = 2x – 4 3 1 1 b) x + = − x + 3 4 2 2

121

BOOK Sinus 2P-Y.indb 121

2014-10-17 13:09:04

4.6 Funksjonsbegrepet Mona har moped. Hun betaler 3500 kr året i forsikring. Utgiftene til bensin, olje og vedlikehold setter hun til 5 kr per mil. Utgiftene i kroner per år hvis hun kjører x mil, er da gitt ved y = 5x + 3500 Hvis Mona kjører 100 mil, blir kostnaden i kroner y = 5 ⋅ 100 + 3500 = 4000 Kostnaden blir 4000 kr. Vi kan alltid finne kostnaden y når vi kjenner kjørelengden x. Vi sier at y er en funksjon av x. y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi for x gir nøyaktig én verdi for y. Uttrykket 5x + 3500 kaller vi funksjonsuttrykket til funksjonen y = 5 x + 3500. Vi bruker ofte en egen skrivemåte for funksjonsuttrykkene. Når y er kostnaden, kaller vi gjerne funksjonsuttrykket K(x) og skriver K(x) = 5x + 3500 K er her den første bokstaven i ordet kostnad. Vi sier også at funksjonen K er gitt ved K(x) = 5x + 3500 Når Mona kjører 100 mil på ett år, regner vi ut kostnaden i kroner på denne måten: K(100) = 5 ⋅ 100 + 3500 = 4000 Hvis hun kjører 300 eller 500 mil, blir kostnaden i kroner K(300) = 5 ⋅ 300 + 3500 = 5000 K(500) = 5 ⋅ 500 + 3500 = 6000 Tallene 4000, 5000 og 6000 kaller vi funksjonsverdier. Vi samler funksjonsverdiene i en tabell: x K(x)

100 4000

300 5000

500 6000

Grafen til funksjonen K er en kurve som viser sammenhengen mellom kjørelengden x og kostnaden. Fra før vet vi at y = 5x + 3500 er likningen for ei rett linje. Grafen til funksjonen K er dermed ei rett linje. Vi bruker tabellen ovenfor og får grafen på neste side.

122

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 122

2014-10-17 13:09:04

kr y K

6000 5000 4000 3000 2000 1000

x 100

200

300

400

500 mil

Langs førsteaksen (x-aksen) finner vi variabelen x. Langs andreaksen (y-aksen) finner vi verdiene til funksjonen K.

! ?

De tallene vi velger, setter vi langs førsteaksen. De verdiene vi regner ut, setter vi alltid langs andreaksen. OPPGAVE 4.60

På treningsinstituttet «Komiform» betaler du 3000 kr året i treningsavgift. I tillegg må du betale 50 kr per dag de dagene du er på instituttet. Hvis du en dag trener flere ganger, betaler du bare én gang den dagen. a) Forklar hvorfor de årlige treningsutgiftene i kroner er gitt ved U(x) = 50x + 3000 der x er tallet på treningsdager i året. b) Tegn grafen til U når x er mellom 0 og 300 dager. c) Bruk grafen til å finne ut hvor mye det koster å trene 100 dager. d) Hvor mange ganger kan du trene for 10 000 kr? OPPGAVE 4.61

Per har et mobiltelefonabonnement der han betaler 59 øre idet samtalen begynner, og deretter 3 øre per sekund. a) Forklar at prisen i øre for en samtale som varer i x sekunder, er gitt ved P(x) = 3x + 59 b) Tegn grafen til P når x er mellom 0 og 200. c) Hvor mye koster en samtale som varer i 120 s? d) Hvor lenge kan Per snakke for 2 kr?

123

BOOK Sinus 2P-Y.indb 123

2014-10-17 13:09:04

Hvis en funksjon ikke har noen spesiell praktisk tolkning, kaller vi ofte funksjonsuttrykket f (x). Bokstaven f er den første bokstaven i ordet funksjon. Vi skriver for eksempel

f (x) = 4x + 3

Når vi skal tegne grafen til en funksjon f, velger vi noen verdier for x og regner ut funksjonsverdiene f (x). Disse punktene merker vi av i et koordinatsystem og trekker en kurve gjennom dem. Grafen til funksjonen f (x) = 4x + 3 er den rette linja med likningen y = 4x + 3. Den har stigningstallet 4 og konstantleddet 3. Når grafen er ei rett linje, har vi en lineær funksjon. En lineær funksjon f har et funksjonsuttrykk f (x) = ax + b Grafen til f er ei rett linje med stigningstallet a og konstantleddet b.

EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved f (x) = 2x − 3 a) Regn ut f (0) og f (2). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (3) grafisk. d) Løs likningen f (x) = 5 grafisk. Løsning:

a) f (0) = 2 ⋅ 0 − 3 = −3 f (2) = 2 ⋅ 2 − 3 = 4 − 3 = 1 b) Nå setter vi verdiene fra oppgave a inn i en tabell. Ettersom grafen er ei rett linje, er det nok med to punkter i tabellen. x f (x)

124

0 –3

2 1

Deretter tegner vi grafen.

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 124

2014-10-17 13:09:05

y 6

5 4 3 2 1 –1 –1

x 1

2 3 4 5 6

–2 –3

c) Når vi skal finne funksjonsverdien f (3), tar vi utgangspunkt i tallet 3 på x-aksen og leser av på y-aksen. Vi kommer fram til tallet 3. f (3) = 3 d) Når vi skal løse likningen f (x) = 5, tar vi utgangspunkt i tallet 5 på y-aksen og leser av på x-aksen. Vi kommer fram til tallet 4. Dermed er løsningen x = 4

OPPGAVE 4.62

En funksjon f er gitt ved f (x) = 2x + 1 a) Regn ut f (−2) og f (2). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (−1) grafisk. d) Løs likningen f (x) = 3 grafisk. OPPGAVE 4.63

En funksjon f er gitt ved f (x) = −2x + 5 a) Regn ut f (0) og f (2). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (3) grafisk. d) Løs likningen f (x) = 3 grafisk.

125

BOOK Sinus 2P-Y.indb 125

2014-10-17 13:09:05

På side 122–123 kjente vi funksjonsuttrykket til en funksjon og kunne lage en graf. Andre ganger kjenner vi grafen uten å kjenne funksjonsuttrykket. Vi skyter ei kule opp i lufta. Høyden h over bakken etter tida t kan være gitt ved denne grafen: m y 80 60 40

t 1 2 3 4 5 6 7 8 s

Høyden er her en funksjon av tida t, for hver mulig verdi for t gir nøyaktig én verdi for høyden. Etter for eksempel 2 s er høyden 60 m. Men her er ikke tida t en funksjon av h. Når vi kjenner høyden h, kan vi normalt ikke finne tida t. Én verdi for h kan gi to verdier for t. Kula er tilbake på bakken etter 8 s. Tida t må her være et tall mellom 0 s og 8 s. Dette kaller vi definisjonsmengden til funksjonen. Hvis vi kjenner funksjonsuttrykket eller grafen til en funksjon, kan vi finne alle funksjonsverdiene. Ved hjelp av funksjonsuttrykket kan vi regne ut helt nøyaktige funksjonsverdier. Ved hjelp av grafen kan vi lese av funksjons verdiene, men da får vi bare omtrent riktige funksjonsverdier. Noen ganger beskriver vi funksjoner med ord. For eksempel kan vi si at temperaturen i vannet i en kjele er 20 °C, og at den stiger med 2 grader per minutt. Da er temperaturen i vannet beskrevet entydig ved hjelp av tida, og temperaturen er da en funksjon av tida. Andre ganger har vi bare funksjons tabellen til en funksjon. Hvis vi da trenger en verdi som ikke står i tabellen, må vi lage en matematisk modell. Det gir usikre funksjonsverdier. Å lage matematiske modeller ut fra tabeller kommer vi tilbake til i kapittel 4.8. En funksjon kan være gitt ved et funksjonsuttrykk, en graf, en tekst eller en tabell. OPPGAVE 4.64

Vi kaster en stein. Grafen viser høyden h(t) i meter etter t sekunder. a) Finn høyden etter 2 s og etter 5 s. b) Forklar hvorfor høyden er en funksjon av tida t. c) Når er steinen 40 m over bakken? d) Er tida en funksjon av høyden?

m y 50 40 30 20 10

h t 1 2 3 4 5 6 s

126

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 126

2014-10-17 13:09:05

OPPGAVE 4.65

Grafen viser gjennomsnittsvekten for norske gutter fra fødselen til de er 19 år. kg y 70 60 50 40 30 20 10

x 2

8 10 12 14 16 18 20 år

a) Finn gjennomsnittsvekten for norske gutter når de er 2 år og når de er 14 år. b) Forklar hvorfor gjennomsnittsvekten er en funksjon av alderen. c) Finn alderen når gjennomsnittsvekten er 30 kg. d) Forklar hvorfor alderen er en funksjon av gjennomsnittsvekten når alderen er 19 år eller mindre. Gjelder dette også når alderen er over 19 år? OPPGAVE 4.66

Grafene nedenfor viser sammenhengen mellom en variabel x og en variabel y. Finn ut om y er en funksjon av x, og om x er en funksjon av y. a) b) c) y

x 2 4 6 8

4.7 Lineær vekst Grete Grønn kjøper en plante som er 5 cm høy. Den vokser 2 cm per uke. Vi sier at vekstfarten er 2 cm/uke. Etter x uker er høyden av planten gitt ved h( x) = 2 x + 5 Dette er en lineær funksjon der grafen er ei rett linje. Når utviklingen følger ei rett linje, sier vi at vi har lineær vekst. Vekstfarten er det samme som stigningstallet til linja. Dermed kan vi finne vekstfarten ut fra grafen til den lineære funksjonen.

127

BOOK Sinus 2P-Y.indb 127

2014-10-17 13:09:06

2 1

Vekstfarten er 2 cm/uke.

5 x 2

5 uker

Vekstfarten til en lineær funksjon er lik stigningstallet til grafen.

EKSEMPEL Gunnar sparer penger. Grafen til venstre nedenfor viser hvor mye han har spart etter x uker. Finn vekstfarten. kr 6000

kr 6000

5000

4000

3000

2000

1000

500 1

Vekstfarten er 500 kr/uke.

x 1

8 uker

x 1

8 uker

Løsning:

Vi tar utgangspunkt i et fritt valgt punkt på grafen og leser av stignings tallet som vist til høyre ovenfor. Vekstfarten er 500 kr/uke. Pengebeholdningen til Gunnar øker altså med 500 kr per uke.

128

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 128

2014-10-17 13:09:06

EKSEMPEL Bjarne Bjørk har et tre i hagen. Han regner med at høyden av treet i meter om t år vil være gitt ved h(t ) = 0, 2t + 3 a) Tegn grafen når tida t er inntil 50 år, og bruk grafen til å finne vekstfarten til treet. b) Kontroller vekstfarten ved hjelp av funksjonsuttrykket. Løsning:

a) Funksjonen har denne grafen: m

y h

9 2 10

t 10

50 år

Her er det ikke mulig å lese av fra grafen hvor mye treet vokser på ett år. Vi tar i stedet utgangspunkt i et punkt på grafen og lar x øke med 10 år. Av grafen ser vi at høyden da øker med 2 m. Økningen per år er da 2m = 0, 2 m/år 10 år

Vekstfarten er 0,2 m/år.

Treet vokser med 0,2 m per år.

b) Ut fra funksjonsuttrykket h(t ) = 0, 2t + 3 ser vi at stigningstallet er 0,2, og dermed er vekstfarten 0,2 m/år. Det stemmer med svaret i oppgave a.

129

BOOK Sinus 2P-Y.indb 129

2014-10-17 13:09:07

OPPGAVE 4.70

Vanja Vespa er på langtur med skuteren sin. Hun finner ut at antallet kilometer hun kjører på x timer, er gitt ved grafen nedenfor. km

250 200 150 100 50 x 1

5 timer

a) Finn vekstfarten. b) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten? c) Finn en formel for strekningen s i kilometer som Vanja har tilbakelagt etter x timer. OPPGAVE 4.71

Vanja kjører en fast strekning hver dag med skuteren sin. Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom kilometerstanden y på skuteren og antallet dager x når x er mellom 0 og 100. km

5000 4000 3000 2000 1000 x 20

100 dager

a) Finn vekstfarten. b) Finn en formel som viser kilometerstanden y etter x dager.

130

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 130

2014-10-17 13:09:07

OPPGAVE 4.72

Skuteren til Vanja synker i verdi. Hun regner med at verdien i kroner etter x måneder er gitt ved V ( x) = −300 x + 18 000 a) Lag en graf som viser verdien av skuteren i de neste fem årene. b) Bruk grafen til å finne vekstfarten. c) Kontroller svaret i oppgave b ved hjelp av funksjonsuttrykket. Når vi kjenner to punkter på ei rett linje, kan vi finne stigningstallet digitalt og dermed vekstfarten. Vi finner også likningen for linja.

EKSEMPEL Mira har et arbeid der hun bare jobber når det er behov for det. Hun har en fast lønn per uke og i tillegg timelønn for de timene hun jobber. Ei uke arbeidet hun 8 timer og fikk 1360 kr i lønn. Uka etter arbeidet hun 12 timer og fikk 1840 kr i lønn. Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn den faste lønna og timelønna. Finn en formel for lønna y når hun arbeider x timer. Løsning:

Hvis Mira får a kroner per time og b kroner i fast lønn, er ukelønna y for x timer gitt ved y = ax + b Dette er likningen for ei rett linje, og vi har lineær vekst. Stigningstallet er timelønna, og konstantleddet er den faste lønna. Fra opplysningene i oppgaven har vi denne tabellen: x (timer) y (kroner)

8 1360

12 1840

Linja skal gå gjennom punktene (8, 1360) og (12, 1840). I GeoGebra skriver vi (8, 1360) i skrivefeltet.

Deretter skriver vi inn punktet (12, 1840) på tilsvarende måte. Nå trykker vi på og drar i aksene slik at x-aksen går fra 0 til 20 og y-aksen fra 0 til 3000. Da ser vi de to punktene A(8, 1360) og B(12, 1840). Deretter bruker vi verktøyet Linje gjennom to punkt som vi får fram ved å trykke på . Nå klikker vi på de to punktene og får fram linja i et koordinatsystem.

131

BOOK Sinus 2P-Y.indb 131

2014-10-17 13:09:08

I algebrafeltet finner vi koordinatene til punktene og en likning for linja:

Der ser vi at linja har fått navnet a. Når vi skal finne stigningstallet til linja a, skriver vi dette:

Det gir dette resultatet:

Her ser vi at stigningstallet er 120, og da er timelønna 120 kr. Likningen for linja som vi finner i algebrafeltet, er skrevet på en annen måte enn vi vanligvis gjør. Hvis vi vil ha likningen på vanlig form, høyreklikker vi på likningen og velger Likning y = ax + b. Det gir dette resultatet:

132

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 132

2014-10-17 13:09:08

Nå ser vi at konstantleddet er 400, og dermed er den faste lønna 400 kr. Mira har 400 kr i fast lønn og 120 kr per time. Lønna y når hun arbeider x timer er gitt ved y = 120 x + 400

OPPGAVE 4.73

Greta Gartner setter ned en plante i et blomsterbed. Hun regner med at planten kommer til å vokse like mye hver dag den første måneden slik at det blir lineær vekst. Etter 4 dager er planten 18 cm, og etter 14 dager er den 33 cm. a) Bruk et digitalt verktøy og finn vekstfarten til planten. b) Hvor høy var planten da Greta satte den ned i jorda? OPPGAVE 4.74

Vanja Vespa har en god bensinmåler på skuteren sin. Hun kjører hjemmefra med full tank. Når hun har kjørt i 10 mil, er det 4 liter bensin på tanken. Når hun har kjørt 25 mil, er det 1 liter igjen. a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og tegn ei linje som viser hvordan bensinmengden y i liter varierer med kjørelengden x i mil. b) Finn vekstfarten til bensinmengden. c) Hvor stor tank er det på skuteren til Vanja, og hvor mye bensin bruker den per mil? OPPGAVE 4.75

Ei rett linje går gjennom punktene (1, 3) og (3, 7). a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn likningen for linja. b) Finn stigningstallet og konstantleddet for linja.

4.8 Lineære modeller En matematisk modell er en regnemetode som gir en sammenheng mellom to størrelser. Modellen kan være gitt ved en formel, likning eller funksjon som knytter de to størrelsene sammen, slik at når vi kjenner verdien av én variabel, kan vi bestemme verdien av den andre. Noen modeller gir helt nøyaktige sammenhenger mellom størrelsene, mens andre modeller bare gir tilnærmingsverdier.

133

BOOK Sinus 2P-Y.indb 133

2014-10-17 13:09:08

Noen ganger lager vi en modell ved å trekke ei rett linje som passer til punkter i et koordinatsystem. Da har vi en lineær modell. Vi kan da finne samsvarende verdier for x og y grafisk ved hjelp av denne rette linja. Modellen er da bestemt av en lineær funksjon f (x) = ax + b der a og b er konstanter. Nå skal vi se hvordan vi kan finne fram til slike lineære modeller uten digitale hjelpemidler.

EKSEMPEL Tabellen viser folketallet i millioner i Norge for noen år i perioden fra 1900 til 2010. Her er x antallet år etter 1900. Årstall x (år) Folketall (millioner)

1900 1920 1940 1960 1980 2000 2010 0 20 40 60 80 100 110 2,2 2,6 3,0 3,6 4,1 4,5 4,9

a) Marker punktene i tabellen i et koordinatsystem og trekk ei rett linje gjennom det første og det siste punktet. b) Finn funksjonsuttrykket f (x) til linja i oppgave a. c) Finn folketallet i 1980 ut fra modellen fra oppgave b. Hvordan passer modellen med tallene i tabellen? d) Hva blir folketallet i 2030 ut fra modellen din? Løsning:

a) Vi plasserer punktene i tabellen i et koordinatsystem og trekker ei linje gjennom det første og det siste punktet. millioner y 5 4 3 2 1 x 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100110 år

134

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 134

2014-10-17 13:09:08

b) Linja går gjennom 2,2 på y-aksen. Konstantleddet er dermed 2,2. Fra 1900 til 2010 økte befolkningen fra 2,2 millioner til 4,9 millioner. Økningen var 4,9 millioner − 2,2 millioner = 2,7 millioner

Fra 1900 til 2010 er det 110 år. Økningen i millioner per år var da

2, 7 = 0, 0245 110 Dette er stigningstallet til linja. Funksjonsuttrykket er da f ( x) = 0, 0245 x + 2, 2 c) 1980 svarer til x = 80. Ifølge modellen er folketallet i millioner da f (80) = 0,0245 ⋅ 80 + 2,2 = 4,2

Modellen gir folketallet 4,2 millioner for året 1980.

et riktige tallet er 4,1 millioner. Vi ser at funksjonen gir nesten D riktig folketall for året 1985.

d) Året 2030 svarer til x = 130. Folketallet blir da ifølge modellen f (130) = 0,0245 ⋅ 130 + 2,2 = 5,4

Folketallet er etter dette 5,4 millioner i 2030.

OPPGAVE 4.80

Tabellen viser folketallet i verden i milliarder fra 1970 og fram til 2010. Her er x antall år etter 1970. Årstall x (år) Folketall (milliarder)

1970 0 3,7

1980 10 4,4

1990 20 5,3

2000 30 6,1

2010 40 6,8

a) Bruk folketallet i 1970 og folketallet i 2010 til å lage en lineær modell for folketallet i milliarder x år etter 1970. b) Hvordan passer modellen med de andre folketallene i tabellen? c) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 2050 være 9,4 milliarder. Hvordan passer modellen i oppgave a med den prognosen?

135

BOOK Sinus 2P-Y.indb 135

2014-10-17 13:09:09

OPPGAVE 4.81

Figuren er hentet fra Adresseavisen og viser hvor mange millioner minutter vi i Norge snakket i fasttelefon, i mobiltelefon og i bredbåndstelefon i hvert av årene fra 2001 til 2012.

a) Hvor mange minutter snakket hver nordmann i fasttelefon i 2012? Hvor mange minutter snakket vi i mobiltelefon det året? Regn med at vi er 5 millioner mennesker. b) Bruk tallene for 2001 og 2012 til å lage en lineær modell for hvor mange millioner minutter vi snakket i fasttelefon i perioden 2001−2012. c) Når kommer vi til å slutte å snakke i fasttelefon ut fra modellen i oppgave b? d) Bruk tallene for 2001 og 2012 til å lage en lineær modell for hvor mange millioner minutter vi snakket i mobiltelefon i perioden 2001−2012. e) Når snakket vi like mye i fasttelefon som i mobiltelefon ut fra modellen fra oppgavene b og d?

136

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 136

2014-10-17 13:09:09

OPPGAVE 4.82

Tabellen viser ventet levealder for et nyfødt barn i Botswana. Her er x antallet år etter 1950. År x (år) Levealder (år)

1950 0 48

1960 10 52

1970 20 56

1980 30 62

1990 40 63

a) Bruk tallene for 1950 og 1990 til å lage en lineær modell for ventet levealder i Botswana. b) Hvor godt passer modellen for året 1970? c) Hvilken ventet levealder gir modellen for året 2010? d) I 2010 var ventet levealder i Botswana 53 år. Hvordan forklarer du at modellen passer så dårlig for 2010?

4.9 Lineær regresjon Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å finne den rette linja som passer best til et datasett. Da bruker vi en metode som vi kaller regresjon. Vi henter eksempelet fra side 134–135.

EKSEMPEL I Statistisk årbok finner vi folketallet i Norge 1. januar hvert år fra år 1900. Nedenfor er et utdrag av statistikken. Her er y folketallet i millioner og x antallet år etter 1900. Årstall x (år) y (millioner)

1900 0 2,22

1920 20 2,62

1940 40 2,96

1960 60 3,57

1980 80 4,08

2000 100 4,48

2010 110 4,86

a) Finn ved regresjon den rette linja som passer best til dataene i tabellen, og tegn linja sammen med punktene i et koordinatsystem. b) Finn folketallet i 1980 ifølge modellen fra oppgave a. c) Når vil folketallet etter dette passere 5,5 millioner? Løsning:

a) Vi åpner GeoGebra. På den øverste linja velger vi Vis og trykker på Regneark. Da får vi fram et regneark. Der legger vi inn verdiene for x og folketallet i millioner som vist på neste side.

137

BOOK Sinus 2P-Y.indb 137

2014-10-17 13:09:09

Nå markerer vi alle punktene i tabellen ved hjelp av musa og høyreklikker. Der velger vi Lag og Liste med punkt. Nå finner vi punktene i algebrafeltet med navnene A, B osv. Punktene finner vi også i ei liste med navnet Liste1:

Vi ser ikke punktene i koordinatsystemet. Derfor høyreklikker vi i koordinatsystemet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram alle punktene, men ennå ser vi ikke koordinataksene. Det kan vi ordne ved at vi flytter koordinatsystemet. Det gjør vi ved å trykke på symbolet og dra i koordinatsystemet og deretter i aksene slik at alle punktene og begge aksene blir synlige. Vi kan også skrive (0, 0) i inntastingsfeltet. Da får vi et punkt med koordinatene (0, 0). Hvis vi nå høyreklikker i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt, får vi fram punktene nedenfor. I tillegg har vi høyreklikket på punktene og tatt bort navnet på dem ved å trykke på Vis navn.

Nå bruker vi verktøyet Beste tilpasset linje som vi finner i rulle gardinmeny nr. 4 fra venstre. Deretter klikker vi på Liste1 i algebrafeltet og får tegnet den linja som passer best med punktene som vist på neste side.

138

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 138

2014-10-17 13:09:09

Likningen for linja finner vi i algebrafeltet:

Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge, er y = 0, 024 x + 2,136 b) Med denne modellen var folketallet i 1980 y = 0, 024 ⋅ 80 + 2,14 = 4, 06

Folketallet var 4,06 millioner i 1980.

Det stemmer godt med den riktige verdien, som er 4,08 millioner.

c) For å finne når folketallet passerer 5,5 millioner, skriver vi y = 5.5 i inntastingsfeltet. Da får vi fram ei horisontal linje. Vi bruker så Skjæring mellom to objekt og finner skjæringspunktet som vist her:

Vi ser at folketallet er 5,5 millioner etter vel 140 år.

Folketallet passerer 5,5 millioner i løpet av 2040.

139

BOOK Sinus 2P-Y.indb 139

2014-10-17 13:09:10

Når vi bruker regresjon for å finne den linja som passer best, tar vi hensyn til alle verdiene i datasettet, ikke bare første og siste verdi slik vi gjorde i kapittel 4.8. Legg merke til at linja i eksempelet foran ligger over noen punkter og under andre punkter. OPPGAVE 4.90

Tabellen viser folketallet i verden i millioner i perioden 1970−2010. Her er x antallet år etter 1970. Årstall x (år) Folketall (millioner)

1970 0 3708

1980 10 4447

1990 20 5274

2000 30 6073

2010 40 6852

a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell for folketallet y i millioner x år etter 1970. b) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 2050 være 9404 millioner. Hvordan passer modellen i oppgave a med den prognosen? OPPGAVE 4.91

Tabellen viser den gjennomsnittlige høyden y for norske guttebarn etter alderen x. x (år) y (cm)

4 104

6 118

8 131

10 142

12 153

14 167

a) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å lage en lineær modell for gjennomsnittshøyden y i centimeter når guttene er x år. b) Hvor høye er guttene i gjennomsnitt ved fødselen ifølge denne modellen? Er det en rimelig verdi? c) Hvilken høyde gir modellen for gutter på 18 år? Vurder gyldighetsområdet ved å finne ut hvilken aldersgruppe denne modellen kan passe for. OPPGAVE 4.92

a) Bruk tabellen i oppgave 4.82 til å lage en lineær modell for ventet levealder i Botswana x år etter 1950. b) Hvor godt passer modellen for året 1970? c) I 2010 var forventet levealder i Botswana 53 år. Hvordan passer modellen for dette året?

140

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 140

2014-10-17 13:09:10

SAMMENDRAG Likningen for ei rett linje La a og b være to tall. Da er y = ax + b likningen for ei rett linje. Linja består av de punktene (x, y) som er slik at y = ax + b. For eksempel er y = 2x + 3 likningen for ei rett linje. Konstantledd Tallet b i likningen y = ax + b kaller vi konstantleddet. Konstantleddet forteller hvor linja y = ax + b skjærer andreaksen.

y b

a 1 x

I likningen y = 2x + 3 er konstantleddet lik 3, og linja går gjennom 3 på andreaksen. Stigningstall Tallet a i likningen y = ax + b kaller vi stigningstallet. Stigningstallet forteller hvor mye y øker når x øker med én enhet.

I likningen y = 2x + 3 er stigningstallet lik 2. Da øker y med 2 enheter når x øker med 1 enhet. Lineær vekst Dersom et vekstforløp følger ei rett linje i et koordinatsystem, har vi lineær vekst. Funksjon y er en funksjon av x hvis hver mulig verdi for x gir nøyaktig én verdi for y. En funksjon kan være representert ved et funksjonsuttrykk, en graf, en tekst eller en tabell. Matematisk modell Matematiske modeller er formler eller likninger som knytter sammen to eller flere variable størrelser. Lineær matematisk modell Dersom sammenhengen mellom to størrelser er gitt ved ei rett linje i et koordinatsystem, har vi en lineær matematisk modell.

141

BOOK Sinus 2P-Y.indb 141

2014-10-17 13:09:10

4 Rette linjer og lineære funksjoner +

ØV MER

4.1 RETTE LINJER

Oppgave 4.110 Vi har gitt likningene for noen rette linjer. Fyll ut tabellene og tegn de rette linjene i det samme koordinatsystemet. a) y = x – 2 x

b) y = 2x + 1 x

c) y = 3x – 2 x y

Oppgave 4.111 Lag tabell og tegn de rette linjene i det samme koordinatsystemet. a) y = x + 1 b) y = x – 5 c) y = x – 2 d) y = x + 4 Hvordan går linjene i forhold til hverandre? Oppgave 4.112 I et område regner vi med at fugle bestanden øker med 100 fugler i året. Fuglebestanden i området er i dag 2000. a) Hvor mange fugler er det i området om 5 år?

286 286

b) Forklar at om x år er fuglebestanden y gitt ved y = 100 x + 2000 c) Forklar at likningen i oppgave b framstiller ei rett linje. Tegn linja i et koordinatsystem når x er mellom 0 og 10. Oppgave 4.113 Tegn linjene.

1 x −1 2 3 1 1 c) y = − x + 2 d) y = x + 2 3 2 a) y = 2 x + 3 b) y =

Oppgave 4.114 En skole skal leie en buss til en tur. Det koster 5000 kr å leie bussen, og i tillegg må de betale 400 kr per elev som er med. a) Hvor mye koster det å leie denne bussen når det er 30 elever som er med på turen? b) Forklar at dersom x elever er med, er leia L i kroner gitt ved L = 400x + 5000 c) Forklar at likningen i oppgave b framstiller ei rett linje. Tegn linja som viser sammenhengen mellom x og L når x er mellom 0 og 50.

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 286

2014-10-17 13:10:55

4.2 DIGITAL GRAFTEGNING

Oppgave 4.120 Tegn linjene digitalt. a) y = 5 x + 4 b) y = −x + 3 1 c) y = –3,8x – 2,5 d) y = x − 5 5 Oppgave 4.121 Ragnhild er på sykkeltur. Hun sykler jevnt med farten 20 km/h. Etter x timer har Ragnhild syklet y kilometer, der y = 20 x Tegn digitalt ei linje som viser hvor mange kilometer Ragnhild har syklet. La x ha verdier mellom 0 og 10. Oppgave 4.122 En bonde selger ved. Prisen er 80 kr per sekk, og i tillegg må hver kunde betale 200 kr for tilkjøring av veden. Prisen y i kroner for x sekker ved er gitt ved y = 80 x + 200 Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye kundene må betale for veden. La x ha verdier mellom 1 og 40. Oppgave 4.123 a) Sammenhengen mellom maksimal puls y og alderen til en person som er x år, er gitt ved y = 211 – 0,64x

Tegn linja digitalt. Velg selv passende verdier for x.

b) En annen formel som er mye brukt for å vise sammenhengen mellom maksimal puls og alder, er gitt ved

y = 220 − x

Tegn denne linja digitalt i det samme koordinatsystemet som i oppgave a. Kommenter forskjellen som de to linjene viser.

Oppgave 4.124 Ingvild liker å spille minigolf, og i fritidsklubben Kølla har de dette tilbudet: 30 kr per enkeltspill per person Klippekort, 12 spill for 240 kr a) Finn en formel som viser hvor mye Ingvild må betale for x spill når hun ikke kjøper klippekort. b) Tegn digitalt ei linje som viser hvor mye Ingvild må betale for inntil 12 spill når hun ikke har klippekort. c) Tegn digitalt ei linje som viser den billigste løsningen for Ingvild for inntil 12 spill.

4.3 KONSTANTLEDD OG STIGNINGSTALL

Oppgave 4.130 Finn likningene for de to linjene ved å lese av konstantleddet og stigningstallet. y 4 3

2 1 –2 –1 –1

x 1

–2 –3 –4

287

BOOK Sinus 2P-Y.indb 287

2014-10-17 13:10:57

Oppgave 4.131 Finn likningene for de to linjene.

Oppgave 4.136 Finn likningene for linjene grafisk.

5 4 3 2 1

3 2 1

–2 –1 –1

–4 –3 –2 –1–1

–2 –3

–2 L2

–3 –4

Oppgave 4.132 a) Tegn ei rett linje som går gjennom punktene (0, –2) og (2, 4). b) Finn konstantleddet og stignings tallet for linja. c) Finn likningen for linja uten bruk av hjelpemiddel. d) Finn likningen for linja digitalt. Oppgave 4.133 a) Tegn ei rett linje som går gjennom punktene (0, 4) og (2, 0). b) Finn konstantleddet og stignings tallet til linja. c) Finn likningen for linja uten bruk av hjelpemiddel. d) Finn likningen for linja digitalt. Oppgave 4.134 Utnytt stigningstallet og konstantleddet til å tegne linjene. a) y = 2 x − 6 b) y = 3x − 6 c) y = −2 x + 4 d) y = −x + 4 Oppgave 4.135 Likningen for ei linje er gitt ved y = −2 x − 4. Finn likningen for ei annen linje som har konstantledd 4 og er parallell med den første linja.

288 288

y a) b) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c)

Oppgave 4.137 Finn likningen for linja gjennom de to punktene uten bruk av hjelpemiddel. Løs deretter oppgaven digitalt. a) (1, 1) og (3, 5) b) (–3, 2) og (0, 1) c) (3, –4) og (–3, 5) 1 1 1  d)  , −  og  −2, −  3  2 3  Oppgave 4.138 Denne oppgaven skal løses uten hjelpemiddel. a) Ei rett linje går gjennom punktene (1, 4) og (–3, 0). Finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktet (2, 1) og har stigningstallet 4. Finn likningen for linja. c) Ei rett linje skjærer x-aksen i punktet (2, 0) og y-aksen i punktet (0, 2). Finn likningen for linja. Oppgave 4.139 Denne oppgaven skal løses uten hjelpe middel. a) Finn likningen for den rette linja gjennom punktene (2, 3) og (4, 9). b) Ei rett linje går gjennom punktet (–1, 3) og har stigningstallet –3. Finn likningen for linja. c) Ei annen linje er parallell med linja i oppgave b og skjærer x-aksen i x = 2. Finn likningen for linja.

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 288

2014-10-17 13:10:58

4.4 GRAFISK AVLESING

Oppgave 4.140 Ei linje er gitt ved likningen y = 2 x − 5 a) Tegn den rette linja uten bruk av hjelpemiddel. b) Løs likningen grafisk og ved regning. 2 x − 5 = 1 Oppgave 4.141 Ei linje er gitt ved likningen y = −2 x + 7 a) Tegn den rette linja uten bruk av hjelpemiddel. b) Løs likningen grafisk og ved regning.

Oppgave 4.144 Bensintanken på bilen til Lise tar 60 liter. Ved langkjøring forbrenner motoren 0,50 liter per mil. Lise fyller tanken helt full og legger ut på en lang biltur. Etter x mil er det y liter bensin igjen på tanken, der y = 60 − 0, 50 x a) Tegn linja uten bruk av hjelpe middel. La x ligge mellom 0 og 120. b) Bruk grafen til å finne ut hvor mange liter bensin det er igjen etter 60 mil. c) Løs likningen grafisk og ved regning. 60 − 0, 50 x = 40 d) Hva er det løsning av likningen i oppgave c gir svar på?

−2 x + 7 = 3 Oppgave 4.142 Løs likningene grafisk og ved regning uten bruk av hjelpemiddel. a) 2 x − 5 = 3 b) − x + 1 = − 1 c) 3x − 1 = 5 d) −2 x + 2 = 4 Oppgave 4.143 Sigrid skal leie en bil. Hun må betale 1500 kr for å leie bilen. I tillegg regner hun 10 kr i bensinutgifter for hver mil hun kjører. Når hun kjører x mil, er de totale utgiftene y i kroner gitt ved y = 10 x + 1500 a) Tegn den rette linja uten bruk av hjelpemiddel. La x ligge mellom 0 og 100. b) Bruk grafen til å finne ut hvor store utgiftene blir når Sigrid kjører 30 mil. c) Finn grafisk hvor langt Sigrid har kjørt når utgiftene er 2100 kr.

Oppgave 4.145 Løs likningene grafisk og ved regning uten bruk av hjelpemiddel. a) 2 x + 6 = 12 1 3 b) x + 1 = 2 2 1 5 c) − x + = x + 2 2 1 d) x + 3 = x + 7 3

289

BOOK Sinus 2P-Y.indb 289

2014-10-17 13:11:02

Oppgave 4.146 Pål har 23 000 kr og bruker 1000 kr hver måned. Pia har 8000 kr og sparer 500 kr hver måned. a) Forklar at kronebeløpet til Pål etter x måneder er gitt ved y = 23 000 − 1000 x

og at kronebeløpet til Pia er gitt ved

y = 500 x + 8000 b) Finn grafisk uten bruk av hjelpe middel hvor mange måneder det går før Pål og Pia har like mye penger. Hvor mye penger har de da hver? c) Løs oppgave b ved regning. Oppgave 4.147 Endre er ansatt i et snekkerverksted der de lager bokseksjoner. Han tjener 5000 kr fast hver uke. I tillegg får han 500 kr for hver seksjon han lager. a) Sett opp et uttrykk som viser hvor mye Endre tjener i uka når han lager x seksjoner. b) Verkstedet kjøper inn en ny maskin, og Endre mener at han nå kommer til å bruke mindre tid på hver seksjon. Han får tilbud om en lønn på 1000 kr for hver seksjon han lager, men ingen fast lønn. Sett opp et uttrykk som viser hvor mye Endre nå tjener i uka når han lager x seksjoner. c) Finn grafisk uten bruk av hjelpe middel hvor mange seksjoner Endre må lage for at ukelønna skal bli den samme for de to lønnstilbudene. Hvor mye tjener han da? d) Løs oppgave c ved regning.

290 290

Oppgave 4.148 Tabellen viser innholdet av C-vitamin målt i milligram i rå rød paprika. x, vekt (g)

150

250

350

y, C-vitamin (mg)

300

500

700

a) Merk av punktene (x, y) digitalt og tegn ei linje gjennom dem. b) Finn digitalt hvor mange gram Cvitamin det er i 1,0 kg av paprikaen. c) Finn digitalt hvor mye rå rød paprika en voksen må spise for å få dekket dagsbehovet for C-vitamin på 75 mg. d) Forklar at innholdet av C-vitamin og vekta av paprikaen er proporsjonale størrelser. e) Finn proporsjonalitetskonstanten. Hva forteller den? f) Dagsbehovet for C-vitamin er ca. 75 mg for voksne og 20 mg for barn. En familie på to voksne og tre barn spiser en salat som inneholder 50 g rå rød paprika. Alle spiser like mye paprika. Hvor stor prosentdel av dagsbehovet for C-vitamin får hver av dem dekket av paprikaen? g) I 100 g rå grønn paprika er det 115 mg C-vitamin. Hvor mye rå grønn paprika må vi ha for å ha like mye C-vitamin som i 500 g rå rød paprika? h) Når rød paprika blir kokt, blir innholdet av C-vitamin redusert med 35 %. Hvor mange milligram C-vitamin er det i 100 g kokt rød paprika? i) Forklar at y = 1,3x, der x er vekta av kokt rød paprika i gram og y er C-vitamin i milligram i paprikaen. j) Tegn digitalt linja y = 1,3x i det samme koordinatsystemet som du brukte i oppgave a. k) Finn digitalt hvor mye kokt rød paprika du trenger for å få 520 mg C-vitamin.

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 290

2014-10-17 13:11:03

4.5 DIGITAL LØSNING AV LIKNINGER

Oppgave 4.150 Et utleiebyrå tilbyr utleie av fjernsyn for 200 kr per måned. I tillegg må kunden betale et etableringsgebyr (en engangssum) på 250 kr. Kostnaden ved å leie et fjernsynsapparat i x måneder er y = 200x + 250 a) Tegn digitalt ei linje som viser kostnaden når x er mellom 0 og 20. b) Finn digitalt hva det koster å låne utstyret i 5 måneder. c) Finn digitalt hva det koster å låne utstyret i 1 år. d) Finn digitalt hvor mange måneder en leiesum på 3250 kr tilsvarer. Oppgave 4.151 Billettprisen i en klubb er normalt 80 kr. Hvis du går x ganger på ett år, betaler du B kroner, der B = 80 ⋅ x a) Tegn den linja digitalt som viser hva du må betale ved x årlige besøk når x er mellom 0 og 20. Et medlemskort i klubben for ett år koster 360 kr. Som medlem betaler du 60 kr for en billett. b) Forklar at de årlige utgiftene U i kroner ved x besøk blir U = 60x + 360 c) Tegn linja fra oppgave b digitalt i det samme koordinatsystemet som du brukte i oppgave a. La fortsatt x ha verdier mellom 0 og 20. d) Hvor mange ganger må du minst gå i klubben for at det skal svare seg å være medlem? Løs oppgaven digitalt.

Oppgave 4.152 Løs likningene både digitalt og uten bruk av hjelpemiddel. a) 3x − 6 = −2 x + 4 b) 0, 3x − 3, 6 = − 0, 7 x + 2, 2 Oppgave 4.153 Et firma produserer og selger en vare. Den faste kostnaden per dag er 1000 kr. Hver enhet har en egenkostnad på 10 kr. Firmaet selger varen for 60 kr. a) Forklar at dersom firmaet produserer og selger x enheter av varen per dag, er kostnaden K i kroner og inntekten I i kroner gitt ved

K = 10 x + 1000 I = 60 x

b) Tegn K og I digitalt i det samme koordinatsystemet. Velg x mellom 0 og 50. c) Finn digitalt hvor stor produksjons mengden er når kostnaden er lik inntekten. Hva er kostnaden og inntekten da? Oppgave 4.154 I lønnsforhandlinger med et kontor maskinfirma kan en selger velge mellom to lønnstilbud: 1) Fast lønn på 21 000 kr per måned pluss 600 kr for hver solgt enhet 2) Fast lønn på 18 000 kr per måned pluss 750 kr for hver solgt enhet a) Sett opp en formel for lønna i hvert av de to tilbudene. b) Finn digitalt og uten hjelpemiddel hvor mange enheter hun må selge for at lønnstilbudene skal være like gode. c) Hva blir månedslønna da? d) Gi en vurdering av tilbudene.

291

BOOK Sinus 2P-Y.indb 291

2014-10-17 13:11:04

Oppgave 4.155 En familie skal på langtur med bilen. De fyller tanken helt full før kjøreturen begynner. Etter x mil er det igjen B liter bensin, der B = 60 − 0, 8 x a) Hvor mange liter rommer bensintanken? b) Tegn ei linje digitalt som gir sammenhengen mellom x og B når x er mellom 0 og 75. c) Finn grafisk hvor mange liter bensin det er igjen etter 20 mil. d) Finn grafisk hvor langt familien har kjørt når tanken er halvfull. e) Hvor mange mil kan de kjøre før de seinest må fylle tanken igjen?

Oppgave 4.162 En funksjon f er gitt ved f ( x) = x − 3 a) Regn ut f (0) og f (4). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (1) grafisk. d) Løs likningen f ( x) = 5 grafisk. Oppgave 4.163 En funksjon f er gitt ved f ( x) = −2 x + 4 a) Regn ut f (0) og f (3). b) Tegn grafen til f når x er mellom –5 og 5. c) Finn f (4) grafisk. d) Løs likningen f ( x) = 6 grafisk. Oppgave 4.164 En funksjon f er gitt ved f ( x) =

Oppgave 4.156 Løs likningene både digitalt og uten bruk av hjelpemiddel. 1 1 a) x + 2 = − x + 2 3 2 1 b) x − 3 = x + 6 4 4.6 FUNKSJONSBEGREPET

Oppgave 4.160 Regn ut f (0), f (2) og f (4) når a) f ( x) = 2 x + 4 b) f ( x) = 5 x − 12 Oppgave 4.161 Regn ut g(0), g(2) og g(–1) når

2 x−2 3

a) Regn ut f (0) og f (6). b) Tegn grafen til f. c) Finn f (–3) grafisk. d) Løs likningen f ( x) = −2 grafisk. Oppgave 4.165 En funksjon f er gitt ved 3 f ( x) = − x + 3 2 a) Regn ut f (−3), f (−2), f (1) og f (2). b) Tegn grafen til f når x er mellom –4 og 5. c) Finn f (0) grafisk. d) Løs likningen 9 f ( x) = 2 grafisk.

g ( x) = −2 x + 6

292 292

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 292

2014-10-17 13:11:07

Oppgave 4.166 Grafene nedenfor viser sammenhengen mellom en variabel x og en variabel y. Finn ut om y er en funksjon av x, og om x er en funksjon av y. a)

4.7 LINEÆR VEKST

Oppgave 4.170 Lars er ute på langtur med bilen sin. Grafen viser hvor langt han er kommet i løpet av de fem første timene. km s

y 3

400

360

320

–3 –2 –1 –1

280

240

–2

200

–3

160

120

80 40

x 1

x –6

–4

–2

–1 –2

Oppgave 4.168 Grafen nedenfor viser sammenhengen mellom en variabel x og en variabel y. Finn ut om y er en funksjon av x, og om x er en funksjon av y. y

5 timer

a) Finn vekstfarten. b) Hvilken praktisk tolkning har vekst farten? c) Finn en formel for strekningen s som er tilbakelagt etter x timer. Oppgave 4.171 Trine har 8000 kr på kontoen sin og sparer et fast beløp hver måned. Grafen viser hvor mye Trine har på kontoen sin til enhver tid det første året hun sparer. 20 000

16 000

–4

kr y

–6 –4 –2 –2

x 2

12 000 8000 4000

x 2

8 10 12 måneder

a) Hvor mye sparer Trine hver måned? b) Hvor stor er vekstfarten til konto beløpet? c) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten her?

293

BOOK Sinus 2P-Y.indb 293

2014-10-17 13:11:08

Oppgave 4.172 Frank har 12 000 kr og bruker et fast beløp hver måned. Grafen viser hvor mye Frank har igjen til enhver tid de neste månedene. kr y

Oppgave 4.175 Marit sender de digitale feriebildene sine til kopiering. Grafen viser hva hun må betale for inntil 100 bilder. kr y 360

12 000

315

10 000

270

8000

225

6000

180

4000

135

2000 2

8 10 12 måneder

a) Når er kontoen til Frank tom? b) Hvor stor er vekstfarten til kontobeløpet? c) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten her? Oppgave 4.173 Ragnhild fyller varm te på termosen sin. Hun regner med at temperaturen T(x) målt i celsiusgrader i termosen etter x timer er gitt ved T ( x) = −5 x + 90 a) Tegn grafen til T i et koordinatsystem. Velg x mellom 0 timer og 10 timer. b) Hva er vekstfarten til temperatur funksjonen? c) Hva gir vekstfarten uttrykk for her? Oppgave 4.174 Ei rett linje går gjennom punktene (2, 4) og (1, –1). a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn likningen for linja. b) Finn stigningstallet og konstant leddet for linja.

294 294

x 20

100 bilder

a) Finn vekstfarten til betalingen. b) Hvilken praktisk tolkning har vekstfarten her? c) Finn en formel for det Marit må betale for x bilder. Oppgave 4.176 Kåre drikker alltid en stor kopp kaffe om morgenen. Når koppen blir fylt med kaffe, er temperaturen i kaffen 90 °C. Etter hvert synker temperaturen i kaffen, og x minutter etter påfyll er temperaturen i kaffen målt i celsiusgrader gitt ved T ( x) = −1, 8 x + 90 a) Hva er temperaturen i kaffen etter 10 minutter? b) Tegn grafen til T. Velg x mellom 0 min og 30 min. c) Når er temperaturen i kaffen 63 °C? d) Finn vekstfarten til temperatur funksjonen T. e) Hvilken praktisk tolkning har vekst farten her?

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 294

2014-10-17 13:11:09

Oppgave 4.177 Et barn veide 3500 g da det ble født. To uker seinere veide barnet 3860 g. Vekta til barnet økte like mye hver uke de åtte første ukene. a) Bruk et digitalt verktøy og tegn ei linje som viser hvordan vekta y i gram varierte de åtte første ukene. b) Bruk et digitalt verktøy og finn vekstfarten til vekta. c) Hvilken praktisk tolkning har vekst farten her? d) Bruk et digitalt verktøy og finn likningen for linja. Hva er stigningstallet og konstant leddet til linja? Oppgave 4.178 Håvard går i lære og har fått tilbud om fast jobb etter læretida. Han har fått dette lønnstilbudet: Tilbud A: Timelønn 160 kr. Timelønna øker deretter med 10 kr hvert år. a) Sett opp et funksjonsuttrykk for lønnstilbud A som forteller hvor mye Håvard kommer til å ha i lønn etter x år. b) Tegn digitalt ei linje som viser hvordan lønna y i kroner varierer med antall år x. Håvard er ikke fornøyd med startlønna, og han får da dette lønnstilbudet:

4.8 LINEÆRE MODELLER

Oppgave 4.180 Tabellen viser elgbestanden y i et område x år etter 2009 for noen verdier av x. År

2009

2011

2013

1800

2000

2200

a) Bruk tallene fra år 2009 og 2013 til å lage en lineær matematisk modell for elgbestanden. b) Hvor godt passer elgbestanden i 2011 med modellen? c) Hva vil elgbestanden være i år 2017 hvis utviklingen fortsetter på den samme måten? Oppgave 4.181 Vi kjøper ei solsikke som er 20 cm høy. Tabellen viser hvordan høyden h til solsikka målt i centimeter utvikler seg. Her er x tallet på dager etter at vi kjøpte blomsten. x (dager)

h (cm)

68 112 152 200

a) Bruk tallene fra dag 0 og dag 60 til å lage en lineær matematisk modell for høyden til solsikka. b) Hvor godt passer tallene for 30 og 45 dager med modellen? c) Kan modellen passe med høyden på solsikka etter 3 måneder?

Tilbud B: Timelønn 170 kr. Timelønna øker deretter med 3 % hvert år. c) Gi Håvard råd om hvilket lønns tilbud han bør velge.

295

BOOK Sinus 2P-Y.indb 295

2014-10-17 13:11:10

Oppgave 4.182 Line kaster spyd. Tabellen nedenfor viser utviklingen hennes i noen år etter 2004. La y være kastlengden målt i meter x år etter 2004. Årstall

2004 2006 2008 2010 2012

y (m)

40,00 45,20 50,80 54,75 60,00

a) Ta utgangspunkt i årene 2004 og 2012 og lag en lineær matematisk modell for utviklingen av kastlengden. b) Hvordan passer modellen for årene 2006 og 2010? c) Hvor langt kommer Line til å kaste i 2016 hvis utviklingen fortsetter på den samme måten? Oppgave 4.183 Jens vil undersøke bensinforbruket til bilen sin. Bensintanken rommer 60 liter, og Jens fyller tanken full. Han kan hele tida lese av elektronisk hvor mye det er igjen på bensintanken. Etter x mil er det igjen y liter. Tabellen viser utviklingen de første 20 milene. x (mil)

y (liter)

51,5

48,5

a) Hvor mange liter bensin bruker bilen i gjennomsnitt per mil på de første 20 milene? b) Bruk svaret i oppgave a til å lage en lineær matematisk modell som gir sammenhengen mellom x og y. Oppgave 4.184 Lengden til et stearinlys minker jevnt når det brenner. Tabellen viser to målinger av lengden y i centimeter ved to ulike tidspunkter t i minutter. t (min)

100

180

y (cm)

296 296

a) Tegn ei linje som går gjennom punktene gitt i tabellen. b) Finn lengden til stearinlyset før det ble tent på ved tidspunktet t = 0. c) Når var lyset brent helt ned? d) Lag en lineær modell som viser lengden av stearinlyset etter t minutter. e) Gi en tolkning av stigningstallet her. Oppgave 4.185 Line fyller opp den tomme bensintanken på bilen en sommerdag. Hun skal på langtur og nullstiller kilometertelleren. Av og til noterer hun hvor mange liter bensin det er igjen på tanken, og avstanden hun har kjørt. Tabellen viser noen av resultatene. x (mil)

S(x) (liter)

a) Bruk tallene fra start og etter 60 mil til å lage en lineær modell som viser sammenhengen mellom bensinvolumet S(x) og tilbakelagt avstand x. b) Hvordan passer modellen når Line har kjørt 22 mil og 52 mil? c) Når er bensintanken tom ifølge modellen hvis hun fortsetter å kjøre uten å fylle? d) Finn ved regning omtrent hvor langt hun har kjørt når det er igjen 39 liter på tanken. e) Om vinteren er bensinforbruket på bilen hennes 13 % høyere. En vinter dag fyller igjen Line tanken helt full for å dra på langtur. Finn en lineær modell som viser sammenhengen mellom bensin volumet V(x) og tilbakelagt avstand x.

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 296

2014-10-17 13:11:11

Oppgave 4.186 Et døgn begynte det å regne kraftig like før midnatt i Lillevik. Regnet fortsatte inn i det neste døgnet. Tabellen viser den totale nedbørsmengden målt i millimeter ved noen tidspunkter etter midnatt. x (timer)

N(x) (mm)

a) Bruk tallene fra midnatt (x = 0) og kl.18 til å lage en lineær modell som viser sammenhengen mellom ned børsmengden N(x) og tidspunktet x. b) Hvordan passer modellen med tallene fra kl. 7 og kl. 10? c) Vi regner nå med at vi kan bruke modellen både før midnatt og etter kl. 18. Finn ved regning når nedbørsmengden nådde 89 millimeter. Hvor lenge hadde da regnværet vart? Oppgave 4.187 Knut har meldt seg på et mosjonsløp. Distansen er 10 km. Han planlegger å løpe jevnt gjennom hele løpet, og regner med at han etter t minutter vil ha igjen y km, der y = 10 − 0, 20t a) Hvor mange minutter bruker da Knut på dette løpet? b) Tegn en graf som viser resterende avstand fra Knut starter og til han er i mål. c) Finn farten til Knut i m/min og i km/h. d) Hvor mange kilometer har Knut løpt etter 40 minutter? e) Neste år har Knut tenkt å trene mye, løpe det samme løpet med jevn fart og bruke 40 minutter på distansen. Lag en tilsvarende matematisk modell for utviklingen av det løpet.

4.9 LINEÆR REGRESJON

Oppgave 4.190 En bedrift produserer snøskuffer. Tabellen nedenfor viser kostnaden K(x) i kroner ved produksjon av x skuffer for noen verdier av x. x K(x) (kr)

150

310

650

44 000

64 000

106 500

a) Finn ved lineær regresjon den rette linja som passer best med tabell verdiene. b) Hvor mye vil det koste å produsere 1) 500 snøskuffer 2) 800 snøskuffer Oppgave 4.191 Kalle Rask løp 60-meteren på 8,7 s da han var 13 år gammel. Tabellen viser den videre utviklingen til Kalle på 60 m. x (år)

y (sekunder)

8,7

8,4

8,2

7,9

a) Finn ved lineær regresjon likningen for den linja som passer best med dataene. b) Tegn linja i et koordinatsystem. c) Hvor fort løper Kalle 60-meteren når han blir 18 år, hvis utviklingen fortsetter på den samme måten? Oppgave 4.192 En forretning selger en bestemt vare. Når varen koster x kroner, selger for retningen y enheter av den, der sammen hengen mellom x og y er vist i tabellen. x (kr)

100

900

600

400

a) Finn ved lineær regresjon en lineær matematisk modell som passer med de oppgitte dataene i tabellen. b) Bruk modellen i oppgave a og finn 1) tallet y på solgte enheter når prisen er 70 kr 2) prisen x på varen når det blir solgt 500 enheter

297

BOOK Sinus 2P-Y.indb 297

2014-10-17 13:11:12

Oppgave 4.193 Tabellen viser hvor mange prosent av kvinner i aldersgruppen 16–24 år som snuste daglig i perioden 2008 til 2012. Her er x tallet på år etter 2008. Årstall

2008 2009 2010 2011 2012

x (år)

Snusing (%)

a) Finn ved lineær regresjon en lineær matematisk modell som viser utviklingen av snusing blant kvinner i aldersgruppen 16–24 år i årene etter 2008. b) Tegn linja sammen med punktene i koordinatsystemet. c) Hvor mange år går det før halvparten av kvinnene i denne aldersgruppen snuser? d) Hvor mange prosent av kvinnene snuser i 2020 ut fra modellen? Oppgave 4.194 Tabellen viser hvor mange prosent av kvinner i aldersgruppen 16–24 år som røykte daglig i perioden 2008 til 2012. Her er x tallet på år etter 2008. Årstall

2008 2009 2010 2011 2012

x (år)

Røyking (%)

a) Finn ved lineær regresjon en lineær matematisk modell som viser utviklingen av røyking blant kvinner i aldersgruppen 16–24 år i årene etter 2008. b) Tegn linja sammen med punktene i koordinatsystemet. c) I hvilket år vil ingen av kvinnene i denne aldersgruppen røyke ut fra modellen? d) Kommenter den modellen du fant i denne oppgaven.

298 298

Oppgave 4.195 a) Bruk tabellen i oppgave 4.186 og finn ved lineær regresjon en modell for den totale nedbørsmengden i Lillevik dette døgnet. b) Hvorfor gir ikke denne modellen de samme resultatene som modellen i oppgave 4.186? c) Et annet døgn sank temperaturen i Lillevik kraftig etter kl. 12. Tabellen viser temperaturen T(x) målt i celsiusgrader ved noen tidspunkter x etter klokka 12. Klokka

x (timer)

6,4

3,2

1,6

T(x) (°C)

10,4 8,8

1) Finn ved lineær regresjon en modell for temperaturutviklingen i Lillevik denne dagen. 2) Temperaturen fortsatte å synke på den samme måten etter kl. 23. Når passerte temperaturen 0 °C? Oppgave 4.196 a) Bruk tabellen i oppgave 4.185 og finn ved lineær regresjon en modell for sammenhengen mellom antallet liter L(x) på bensintanken og tilbake lagt avstand x i mil. b) Hvor godt passer modellen når Line har kjørt 22 mil og 40 mil? c) Bensintanken i bilen til Ola rommer 48 liter, og bilen hans bruker 10 % mindre bensin per mil på sommer føre enn bilen til Line. Ola fyller bensintanken helt full. Finn en lineær modell for sammen hengen mellom antallet liter O(x) på bensintanken og tilbakelagt avstand x i mil.

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 298

2014-10-17 13:11:12

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 4.200 Finn likningen for linja.

Oppgave 4.203 Finn stigningstallet og konstantleddet for linjene. y 5

4 3

–5 –4 –3 –2 –1 –1

2 1

Oppgave 4.201 Finn likningen for linja.

Oppgave 4.204 a) Ei rett linje går gjennom punktene (0, 3) og (–1, 1). Finn likningen for linja. b) Ei rett linje går gjennom punktet (2, 3) og har stigningstallet –2. Finn likningen for linja.

y 3 2 1 –4 –3 –2 –1 –1

x 1

–2

Oppgave 4.205 Figuren viser sammenhengen mellom vekten av noen fruktposer og prisen. a) En av fruktposene var feilpriset. Hvilken pose var det? b) Hva var kiloprisen for frukten?

–3 ↑ 4.1

Oppgave 4.202 y

Pris (kr) 50

5 4 3

40 30

2 1

x 4

b) –4 –5

–2

3 4

–3

–2

–3 –2 –1 –1

–2 –1

8 10 12

a) Finn likningen for den rette linja. b) Ei annen rett linje er parallell med linja i oppgave a og går gjennom punktet (2, 1). Finn likningen for denne rette linja.

20 10

A 1

x 2

3 Vekt (kg)

299

BOOK Sinus 2P-Y.indb 299

2014-10-17 13:11:13

Oppgave 4.206 P. Dalen har begynt å trene på ergometersykkel. Han sykler en fast distanse hver dag. Tabellen viser kilometerstanden på ergometersykkelen etter 5 dager og etter 10 dager. Dager (x) Kilometerstand (y)

200

300

a) Tegn et koordinatsystem med dager langs x-aksen og kilometer langs y-aksen. Marker verdiene fra tabellen ovenfor som punkter i koordinatsystemet og tegn ei rett linje som går gjennom punktene. b) Bruk linja i oppgave a til å bestemme hva kilometertelleren stod på da P. Dalen begynte å trene. c) Hvor langt sykler han hver dag? d) Bestem likningen for linja. Oppgave 4.207 Aksel tar ofte drosje fra en bestemt drosjeholdeplass når han skal til A eller B. Kjører han x kilometer med drosjen, er prisen y kr. Tabellen viser avstanden til A og til B, og hva han må betale for disse turene. x (km)

y (kr)

170

250

a) Hvor mye øker prisen for hver kilometer? b) Tegn verdiene i tabellen som punkter i et koordinatsystem med avstanden x i km langs x-aksen og prisen y i kroner langs y-aksen. Trekk den rette linja gjennom punktene. c) Hva er startprisen (påslaget) for en drosjetur? d) Finn et uttrykk for prisen y i kroner når han kjører x km med drosjen.

300

Oppgave 4.208 Mattis trente ikke i det hele tatt, men ved nyttår bestemte han seg for å begynne å trene. De fire første ukene økte han antallet treningstimer jevnt. Treningen flatet deretter ut slik at han de tre neste ukene holdt antallet treningstimer på et konstant nivå. Så ble Mattis syk og kunne ikke trene på ei hel uke. Men fra den åttende uka trente han like mye som han hadde gjort de fire første ukene etter nyttår. Skisser en graf som passer til opplys ningene for de 12 ukene. Oppgave 4.209 Diagrammet beskriver tilbakelagt avstand for en moped og en bil som starter på forskjellig tidspunkt. De kjører samme vei. y 500 400 300 200 100

x 1

Finn så mange opplysninger som mulig av diagrammet. ↑ 4.4

Oppgave 4.210 Funksjonen f er gitt ved f ( x) = −2 x + 4 a) Regn ut 1) f (–2) 2) f (0) 3) f (2) 4) f (4). b) Tegn grafen til f når x er mellom –2 og 4.

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 300

2014-10-17 13:11:13

Oppgave 4.212 Emilie går på treningssenteret «Sakte framover», der hun betaler 200 kr per måned i fast avgift. I tillegg betaler hun 20 kr per gang. a) Hvor mye må hun betale en måned hun trener på senteret 10 ganger? b) Sett opp et funksjonsuttrykk for hvor mye hun betaler i alt når hun trener x ganger i måneden. c) Tegn grafen som viser sammen hengen mellom utgiftene og antallet treninger. d) Er utgiftene per måned propor sjonale med antall ganger Eva trener? Begrunn svaret.

Oppgave 4.211 Tre venner, Alfred, Ben og Carl, arbeider i en elektronisk bedrift der de lager kretskort. De kan velge mellom tre ulike modeller for lønnsavtale. Diagrammene nedenfor viser de tre ulike modellene de har valgt. a) En måned lagde alle tre 350 kretskort hver. Hvor mye tjente hver av dem? b) Forklar hvem av dem som har en lønn som er proporsjonal med antallet kretskort han lager. c) Skriv opp for hver modell en formel som gir lønna L når du vet hvor mange kort x som er lagd. Alfred L Månedslønn (kr) 25 000 20 000 15 000 10 000 5000

x 100

200

300

400 500 Antall kort

Ben L Månedslønn (kr) 25 000 20 000 15 000 10 000 5000

x 100

200

300

Oppgave 4.213 Brita går hjemmefra til skolen. Når hun er halvveis til skolen, oppdager hun at hun har glemt ei bok hjemme. Hun snur og går direkte hjem med samme fart som før. Vel hjemme leter hun en liten stund før hun finner boka. Deretter løper hun direkte til skolen uten å stoppe på veien. Lag et koordinatsystem slik figuren viser. Tegn denne hendelsen som en graf i koordinatsystemet. Avstand hjemmefra

400 500 Antall kort

Carl L Månedslønn (kr) 25 000 20 000 15 000

Tid

10 000 5000

x 100

200

300

400 500 Antall kort

301

BOOK Sinus 2P-Y.indb 301

2014-10-17 13:11:13

Oppgave 4.215 Finn ut om y er en funksjon av x, og om x er en funksjon av y.

Oppgave 4.214 Martin kjører bil med farten 90 km/h på en motorvei. Rett foran seg ser han en hindring og begynner å bremse. t sekunder seinere er farten v målt i kilometer per time (km/h) redusert til

y 3 2 1

v = 90 − 3t

50 40 30 20 10

t 20

30 s

a) Hvor lang tid går det fra Martin begynner å bremse til han stopper helt? b) Finn grafisk farten til bilen etter 1) 10 s 2) 25 s c) Finn grafisk og ved regning når farten er 45 km/h. d) 1) Finn en formel for t uttrykt ved v. 2) Når er farten 69 km/h? e) Hvis V er farten i km/h idet Martin begynner å bremse og T er tida i sekunder fra han begynner å bremse til han stopper, er bremsestrekningen s i meter gitt ved 5 s = V ⋅ T 36 Finn bremsestrekningen i meter og i kilometer.

km Tilbakelagt avstand 180 160 140 120 100 80 60 40 20

14 :0 0

13 :0 0

12 :0 0

11 :0 0

Oppgave 4.216 a) Tegn av koordinatsystemet nedenfor og tegn inn kurvene som beskriver denne turen: 1) Audun starter på skuter kl. 10.00 og kjører med konstant fart i en time. Han har da tilbakelagt 60 km. Audun setter så ned farten til 50 km/h den neste halve timen. Da tar han en pause på 1 time på ei veikro. Deretter kjører han 90 km på 1,5 timer før han er framme ved reisemålet. 2) Aurora har motorsykkel og skal kjøre den samme strekningen. Hun starter kl. 11.00 og tilbakelegger 80 km på en time. Da tar hun en hvil på 30 minutter. Deretter fortsetter hun med farten 60 km/h helt til hun er framme ved reisemålet.

10 :0 0

km/h v 100

2 3

↑ 4.6

Sammenhengen mellom v og t er tegnet i koordinatsystemet nedenfor.

x 1

Kl.

b) Hvem kom først fram?

302 302

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 302

2014-10-17 13:11:15

Oppgave 4.217 På et skolearrangement var det satt opp en automat for salg av kaffe og te. Da arrangementet begynte kl. 09.00, var automaten halvfull med pappkrus. Det ble solgt lite kaffe og te bortsett fra i pausene. Da ble det solgt mye. Det var pause fra kl. 11.30 til kl. 12.00. Etter pausen var automaten nesten tom. Automaten ble fylt helt opp med pappkrus klokken 13.00. Det tok 15 min. Det var pause i arrangementet fra kl. 14.00 til kl. 15.00. Da denne pausen var slutt, var det igjen like mange papp krus som det var kl. 12.00. Automaten var helt tom kl. 15.30, og etter det ble det ikke solgt kaffe eller te.

Oppgave 4.219 (Eksamen V-2011) Stig har fått en kakeoppskrift fra tante Mathilde i Amerika. I oppskriften står det at kaken skal stekes på 350 °F. Han lurer på hvor mange grader celsius dette tilsvarer. Stig har en gradestokk utenfor kjøkkenvinduet som viser både celsius grader og fahrenheitgrader. Se bildet.

Skisser en graf i et koordinatsystem som viser hvordan tallet på pappkrus varierte fra kl. 09.00 til klokken 17.00. Bruk klokkeslett som enhet langs førsteaksen, der 1 cm tilsvarer 30 min. Bruk tallet på pappkrus som enhet på andreaksen. Oppgave 4.218 En familie kommer til hytta si en kald vinterkveld kl. 18.00. Temperaturen i hytta er da –2 °C, og de begynner med en gang å varme opp hytta. Tabellen viser hvordan temperaturen endret seg de nærmeste timene. Klokkeslett x (timer) T (temperatur, °C)

a) Tegn av tabellen nedenfor. Bruk gradestokken og fyll ut tabellen.

18.00

19.00

20.00

20.30

°F

2,5

°C

–2,0

4,8

13,8

18,0

a) Bruk temperaturen kl. 18.00 og kl. 20.30 til å lage en lineær modell for temperaturen i celsiusgrader x timer etter at familien kom fram til hytta. b) Hvordan passer modellen med temperaturen kl. 19.00 og kl. 20.00? c) Vurder hvor realistisk modellen er når det gjelder temperaturutviklingen etter kl. 20.30.

100 10

b) Tegn et koordinatsystem med grader fahrenheit langs x-aksen og grader celsius langs y-aksen. Marker verdiene fra tabellen i a) som punkter i koordinatsystemet. c) Tegn en rett linje som går gjennom punktene. Bruk linjen til å finne ut hvor mange grader celsius Stig skal steke kaken på.

303

BOOK Sinus 2P-Y.indb 303

2014-10-17 13:11:16

Oppgave 4.220 Elev

Praktisk situasjon

Modell

Knut

Jeg skal ta førerkort. Prisen for en kjøretime er 500 kr. I tillegg betaler jeg 17 000 kr for teori kurs, glattkjøring osv.

Jeg trenger en modell som viser Hvor mye koster førerkortet hvor store utgiftene blir. dersom jeg har 20 kjøretimer?

Karoline

Jeg jobber i en matvarebutikk. Timelønna er 150 kr per time.

Jeg trenger en modell som viser Hvor mye tjener jeg når jeg en hvor mye jeg tjener når jeg måned jobbet 20 timer? jobber x timer.

Karianne

Jeg har en skuter som bruker 0,2 liter bensin per mil. Bensintanken rommer 7 liter.

Jeg trenger en modell som viser Hvor mye bensin er det igjen på hvor mye bensin det er igjen tanken når jeg har kjørt 40 km? på tanken etter at jeg har kjørt x km.

Ovenfor har tre elever beskrevet hver sin av tre ulike situasjoner. Ta for deg hver av de tre situasjonene. a) Svar på elevens spørsmål. b) Foreslå en matematisk modell. c) Si noe om hva slags begrensninger modellen har. Oppgave 4.221 E. Felgen sykler en fast distanse hver dag. Figuren viser hva kilometerstanden var noen av disse dagene. a) Tegn av koordinatsystemet med punktene. Tegn ei linje som passer bra med punktene. Finn likningen for linja. b) Hva stod kilometertelleren på da Felgen begynte å trene? c) Hvor langt syklet han hver dag? km

Spørsmål

Oppgave 4.222 (Eksamen H-2011) Ivar plukker moreller. Den grafiske framstillingen viser hvor mye han tjener i løpet av en time når han plukker x kg. Forklar hvordan lønnen til Ivar blir beregnet. Lønn (kr) y 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40

700

600 500

20 10

400

300 A

200 100

8 10 12 14 16 18 20 Moreller (kg)

x 5 10 15 20 25 30 dager

↑ 4.9

304

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 304

2014-10-17 13:11:16

Oppgave 4.223 (Eksamen V-2012) Elev

Praktisk situasjon

Stian

Jeg har laget noen armbånd. Jeg trenger en modell som Armbåndene skal jeg selge viser hvor mye jeg kan for 50 kroner per stykk. tjene.

Hvor mye tjener jeg dersom jeg selger fem armbånd?

Sondre

Jeg har kjøpt en krukke med 150 drops. Hver dag vil jeg spise fem drops.

Jeg trenger en modell som viser hvor mange drops jeg har igjen i krukka hver dag.

Hvor mange dager går det før jeg har spist opp halv parten av dropsene?

Jeg trenger en modell som viser hvor stort arealet av hvert tøystykke blir.

Hvor stort blir arealet av et tøystykke dersom jeg velger at bredden skal være 3,0 cm?

Sebastian Jeg skal klippe ut rektan gelformede tøystykker i ulike størrelser. Lengden av hvert tøystykke skal være 2,0 cm større enn bredden.

Modell

Ovenfor har tre elever beskrevet tre ulike situasjoner. Ta for deg hver av de tre situasjonene. a) Svar på elevens spørsmål. b) Foreslå en matematisk modell. c) Si noe om modellens begrensninger. Oppgave 4.224 (Eksamen H-2012) I år 2000 tjente Ola 240 000 kroner. I 2008 tjente han 360 000 kroner. Vi antar at lønna til Ola øker lineært. a) La x = 0 svare til år 2000, og sett opp en modell som viser hvordan lønna til Ola endrer seg fra år til år. b) Når vil lønna til Ola passere 540 000 kroner ifølge modellen i a)? Oppgave 4.225 (Eksempel 2012) Funksjonen T gitt ved T(x) = 14,50x + 50 viser utgiftene T(x) kroner for en taxitur på x km. Gi en praktisk tolkning av tallene 14,50 og 50 i funksjonsuttrykket. Oppgave 4.226 (Eksempel 2012) En rett linje skjærer y-aksen i punktet (0, 4). Linjen har stigningstall –2. a) Tegn den rette linjen i et koordinat system og bestem likningen for linjen.

Spørsmål

b) Bestem hvor linjen skjærer x-aksen, ved regning. En annen linje går gjennom punktet (1, 3) og er parallell med linjen ovenfor. c) Bestem likningen for denne linjen. Oppgave 4.227 (Eksamen H-2012) Et fallskjermhopp kan deles inn i fire faser. I hver fase ser vi på farten fall skjermhopperen har loddrett nedover. Fase 1: Fallskjermhopperen forlater flyet. Etter tre sekunder er farten 25 m/s, og etter åtte sekunder har fallskjermhopperen nådd den maksimale farten, som er 50 m/s. Fase 2: Fallskjermhopperen faller med maksimal fart i fire sekunder. Fase 3: Fallskjermen løses ut, og i løpet av ett sekund minker farten til 5 m/s. Fase 4: Fallskjermhopperen fortsetter med konstant fart 5 m/s i åtte sekunder før han når bakken. Lag en grafisk framstilling som viser hvordan farten til fallskjermhopperen varierer med tiden i løpet av hoppet.

305

BOOK Sinus 2P-Y.indb 305

2014-10-17 13:11:16

Oppgave 4.228 (Eksamen V-2013) Sigvald får følgende tilbud fra foreld rene sine:

Oppgave 4.230 (Eksamen V-2014) Lufttrykk kan måles i bar eller psi. Lasse har en racersykkel der det anbefalte lufttrykket i dekkene er oppgitt både i bar og i psi. Se figuren nedenfor.

Tilbud 1: Du får 100 kr i fast ukelønn. I tillegg får du 5 kroner hver gang du tar oppvasken. Tilbud 2: Du får 50 kr i fast ukelønn. I tillegg får du 10 kroner hver gang du tar oppvasken. a) Sett opp et matematisk uttrykk som kan være en modell for tilbud 1, og et matematisk uttrykk som kan være en modell for tilbud 2. b) Skisser grafen til hver av modellene, og gi Sigvald råd om hvilket tilbud han bør velge.

a) Tegn et koordinatsystem med lufttrykk målt i psi langs x-aksen og lufttrykk målt i bar langs y-aksen. Marker verdiene fra dekket på figuren som punkter i koordinatsystemet, og tegn en rett linje gjennom punktene. Lasse har kjøpt ny terrengsykkel. På dekkene står det at lufttrykket bør være mellom 35 og 65 psi. Han lurer på hva dette tilsvarer målt i bar. b) Bruk linjen i oppgave a) til å finne hvor høyt lufttrykk målt i bar Lasse bør bruke i dekkene på terrengsykkelen.

Oppgave 4.229 (Eksamen H-2013) Ifølge en undersøkelse kan et 20 måneder gammelt barn i gjennomsnitt 300 ord. Et 50 måneder gammelt barn kan i gjennomsnitt 2100 ord. a) Framstill opplysningene ovenfor som punkter i et koordinatsystem med måneder som enhet langs x-aksen og ord som enhet langs y-aksen. Trekk en rett linje gjennom punktene. Linjen i oppgave a) kan brukes som modell for sammenhengen mellom et barns alder og hvor mange ord barnet kan. b) Bruk linjen til å anslå hvor mange ord et 35 måneder gammelt barn i gjennomsnitt kan. c) Bestem et matematisk uttrykk for modellen. Kommenter modellens gyldighetsområde.

306

Oppgave 4.231 (Eksamen V-2014) km y 6 5 4 3 2 1

x 2

8 10 12 14 16 18 20 22 minutter

På fredag syklet Synnøve til skolen. Ovenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av sykkelturen. Hva kan du si om sykkelturen ut fra grafen?

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 306

2014-10-17 13:11:16

MED HJELPEMIDLER Oppgave 4.300 Lars skal kjøre langt med bilen og fyller bensintanken helt opp. Etter x mil har han igjen y liter, der y = 48 − 0, 6 x a) Fyll ut tabellen. x

b) Tegn den rette linja i et koordinat system når x er mellom 0 mil og 80 mil. c) Hvor mange liter bensin rommer tanken? d) Finn hvor mye som er igjen på tanken etter 30 mil. e) Finn hvor langt Lars har kjørt når det er 15 liter igjen på tanken. f) Hvor mange liter bensin bruker bilen til Lars på ei mil? Oppgave 4.301 Aud skal beise en vegg på 60 m2. Hun beiser i jevnt tempo og klarer i gjennomsnitt 0,3 m2 hvert minutt. a) Hvor mange kvadratmeter har hun igjen etter en time? b) Forklar at etter x minutter har hun igjen y kvadratmeter, der

Oppgave 4.302 Temperaturen kl. 8 om morgenen en vår dag er 4 °C. Deretter stiger temperaturen jevnt fram til kl. 16. Da er temperaturen blitt 16 °C. a) Hvor mange grader steg temperaturen per time? b) Forklar at temperaturen T mellom kl. 8 og kl. 16 kan skrives som

3 x+4 2

når x er tallet på timer etter kl. 8. (x = 0 tilsvarer kl. 8, og x = 8 tilsvarer kl. 16.) c) Bruk formelen i oppgave b til å lage en formel for x. d) Når var temperaturen blitt 10,5 °C? e) Etter kl. 16 var temperaturen gitt ved T = −1, 9 x + 16, der x er tallet på timer etter kl. 16. Finn temperaturen kl. 19.30. f) En vårdag gikk sola opp kl. 06.45 og ned kl. 18.15. Ei uke seinere var dagen blitt 39 minutter lengre. Hvor mange prosent lengre ble dagen i løpet av denne uka? ↑ 4.1

Oppgave 4.303 For Inga Strøm er utgiftene til elektrisk strøm i kroner per år gitt ved

y = 60 − 0, 3x

y = 0, 85 x + 2800

c) Tegn linja i oppgave b i et koordinatsystem. d) Hvor lang tid bruker Aud på å beise hele veggen?

der x er tallet på kilowattimer. a) Tegn linja digitalt når x er mellom 0 og 40 000. b) Hvor mange kilowattimer har hun brukt når utgiftene et år er 28 300 kr?

307

BOOK Sinus 2P-Y.indb 307

2014-10-17 13:11:18

Oppgave 4.304 Hanne skal ta sertifikat for bil. Hun har fått opplyst at utgiftene til de obligatoriske kursene og kjøringene kommer på 18 400 kr. En kjøretime koster 600 kr. a) Finn en formel for utgiftene y i kroner når hun bruker x kjøretimer. b) Tegn ei linje digitalt som viser sammenhengen mellom x og y når x er mellom 0 og 40. c) Hvor mange kjøretimer har hun hatt når utgiftene til sammen er 29 200 kr? ↑ 4.2

Oppgave 4.308 Hilde skal ta bilsertifikat. Med x kjøre timer er de totale utgiftene y i kroner gitt ved y = 20 000 + 600 x a) Tegn den rette linja. La x ligge mellom 0 og 40. b) Finn av linja hvor mange kjøretimer Hilde hadde når utgiftene til sertifikatet var 34 400 kr. c) Kontroller svaret i oppgave b ved å løse likningen 20 000 + 600 x = 34 400 ved regning.

Oppgave 4.305 Ei rett linje går gjennom punktene (0, –2) og (2, 1). a) Tegn linja. b) Finn konstantleddet og stignings tallet til linja. c) Finn likningen for linja. Oppgave 4.306 Ei rett linje går gjennom punktene (1, 0) og (3, –1). a) Tegn linja. b) Finn konstantleddet og stignings tallet til linja. c) Finn likningen for linja. Oppgave 4.307 Finn grafisk likningen for den rette linja når a) linja har stigningstallet 3 og går gjennom punktet (2, 4) b) linja har stigningstallet –2 og går gjennom punktet (–1, 3) c) linja går gjennom punktene (1, 2) og (3, 3) ↑ 4.3

308

Oppgave 4.309 Vi fyller varm kaffe med temperaturen 88 °C på ei termosflaske. Flaska holder godt på varmen, og temperaturen synker bare 2,0 grader per time. Etter x timer er temperaturen y i celsiusgrader y = 88 − 2, 0 x a) Tegn den rette linja i et koordinat system. Velg x mellom 0 og 12. b) Finn grafisk hva temperaturen er etter 9 timer. c) Finn grafisk når temperaturen er 80 °C. d) Kontroller svaret i oppgave c ved å løse likningen 88 − 2 x = 80

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 308

2014-10-17 13:11:20

Oppgave 4.310 Pål tømmer et basseng for vann ved å åpne noen kraner. Bassenget inneholder 50 000 liter. Det renner ut 100 liter hvert minutt. a) Hvor mye vann er det igjen i bassenget etter 60 minutter? b) Forklar at etter x minutter er det igjen y liter, der y = 50 000 − 100 x Tegn linja digitalt. c) Hvor lang tid bruker Pål på å tømme hele bassenget?

Oppgave 4.311 Under trening og i en konkurranse kan vi få svært høy puls. Den høyeste pulsen vi kan få, avtar med alderen. Vi regner med at det maksimale pulstallet P per minutt for en person som er x år, er gitt ved P = 220 − x a) Tegn linja som viser sammenhengen mellom P og x. La x ligge mellom 20 år og 70 år. b) Hva er det maksimale pulstallet for en 25-åring? c) Finn grafisk hvor gammel en person er når den maksimale pulsen er 180 slag per minutt.

Oppgave 4.312 Gunn bruker ofte sykkelen til jobben. En dag sykler hun til jobben i jevnt tempo. Grafen nedenfor viser hvor langt hun har igjen til jobben x minutter etter at hun startet hjemmefra. a) Hvor mange kilometer sykler hun denne dagen for å komme på jobben? b) Hvor lang tid brukte hun på turen? c) Hvor langt har hun syklet etter 20 minutter? d) Hvor lang tid har hun brukt når hun har igjen 6 km? e) Finn sykkelfarten til Gunn uttrykt i meter per sekund (m/s) og i kilometer per time (km/h). f) På vei hjem fra jobb brukte Gunn 20 minutter mer enn på vei til jobben. Men da syklet hun en annen vei som var 20 % lengre. Syklet hun raskere eller langsommere på vei til jobben enn fra jobben? Avstand y (km) 18 16 14 12 10 8 6 4 2

↑ 4.4

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 minutter

309

BOOK Sinus 2P-Y.indb 309

2014-10-17 13:11:21

Oppgave 4.313 Hans har 25 000 kr og bruker 1100 kr av disse pengene hver måned. Grete har 13 000 kr og sparer i tillegg 400 kr hver måned. a) Tegn linjene y = 25 000 − 1100 x y = 13 000 + 400 x i det samme koordinatsystemet. Velg x mellom 0 og 15. b) Les av x-verdien i skjæringspunktet. Hva forteller denne verdien når det gjelder pengene til Hans og Grete? c) Kontroller svaret i oppgave b ved å løse likningen 25 000 − 1100 x = 13 000 + 400 x

ved regning.

Oppgave 4.314 Løs likningene grafisk. 2 3 a) x + 2 = − x + 4 5 5 3 1 b) − x + 1 = x − 5 2 2 Oppgave 4.315 a) Tegn den rette linja y = 2 x − 6 i et koordinatsystem. b) 1) Bruk koordinatsystemet fra oppgave a og tegn ei rett linje som går gjennom punktene (–1, 12) og (3, 4). 2) Finn likningen for denne rette linja. c) Løs likningen 2 x − 6 = −2 x + 10 1) grafisk 2) ved regning d) Ei tredje linje er parallell med linja y = 2 x − 6 og går gjennom punktet (5, 0). Finn likningen for denne rette linja.

310

Oppgave 4.316 Julaften 2008 ble det sendt 23,6 millioner SMS og MMS fra abonnenter hos en bestemt norsk teleoperatør. Julaften 2013 ble det sendt 15,2 millioner SMS og MMS fra abonnenter hos den samme operatøren. a) Tegn de to punktene og ei rett linje som viser utviklingen av antallet SMS og MMS ut fra opplysningene ovenfor. b) Bruk linja eller opplysningene i innledningen til å lage en formel for antallet y av sendte millioner meldinger på julaften x år etter 2008. Vi regner her med at det har vært en lineær nedgang i antall meldinger i denne perioden. c) Gi om mulig en forklaring på ned gangen i antall SMS og MMS på julaften fra 2008 til 2013. d) Bestem grafisk og ved regning i hvilket år det vil bli slutt på SMS og MMS ut fra denne modellen. Er dette realistisk? Tabellen nedenfor viser samlet antall SMS og MMS på julaften 2011, 2012 og 2013 når vi også tar med meldinger fra abonnenter hos et stort og konkur rerende selskap. Årstall

Antall millioner sendte SMS og MMS på julaften

2011

24,6

2012

24,2

2013

24,5

e) Vurder svarene i oppgave c og d på nytt ut fra tallene i tabellen ovenfor. ↑ 4.5

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 310

2014-10-17 13:11:23

Oppgave 4.317 Bjørnar var 106 cm høy da han var 4 år gammel, og vokste deretter 6 cm i året. x år etter at Bjørnar var 4 år, var høyden hans h(x) i centimeter

h( x) = 6 x + 106

a) Hvor høy var Bjørnar da han var 9 år gammel? b) Tegn grafen til h når x er mellom 0 og 11. c) Bruk grafen til å finne hvor gammel Bjørnar var da han var 160 cm. Husk at x er antall år etter at han fylte 4. Oppgave 4.318 Petter må leie en stor bil en dag. Han betaler et fast beløp på 1100 kr og 50 kr per kjørte mil. Dersom han kjører x mil denne dagen, er utgiftene B(x) i kroner B( x) = 50 x + 1100 a) Hva koster det å kjøre 25 mil med denne bilen? b) Tegn grafen til B når x er mellom 0 og 100. c) Bruk grafen til å finne hvor mange mil Petter kan kjøre for 3200 kr. Oppgave 4.319 En nyttårsrakett eksploderte 6,0 sekunder etter oppskyting. Etter t sekunder var raketten h(t) meter over bakken, der h(t ) = −5t 2 + 40t a) Regn ut h(2) og h(5). b) Hvor høyt over bakken var raketten da den eksploderte? c) Tegn grafen til h. Velg t mellom 0 s og 6 s. d) Bruk grafen og finn når raketten var i sitt høyeste punkt. Hvor høyt over bakken var raketten da?

BOOK Sinus 2P-Y.indb 311

Oppgave 4.320 Unni er medlem av Lillevik filmklubb. Hun betaler 160 kr per år for medlem skapet og 35 kr for hver film hun vil se. a) Hva koster det for Unni å se 24 filmer et år? b) Forklar at utgiftene U(x) i kroner for å se x filmer per år er

U ( x) = 35 x + 160

c) Tegn grafen til U når x er mellom 0 og 30. d) Unni kan få kjøpt et filmpass for 700 kr. Det gir fri adgang til alle filmene i ett år. Finn grafisk og ved regning hvor mange filmer Unni minst må se for at det skal lønne seg å ha filmpass. Oppgave 4.321 En kvinne har drukket alkohol og har 2,0 promille alkohol i blodet. Vi antar at alkoholinnholdet i blodet hennes minker med 0,15 promille per time. a) Finn et uttrykk A(t) i promille for alkoholinnholdet i blodet til kvinnen etter t timer. b) Tegn en graf som illustrerer denne sammenhengen. Velg t mellom 0 og 12. c) Hvor mye alkohol har hun i blodet etter 8 timer? d) Hvor lang tid tar det før alkoholen er helt ute av kroppen? e) I Norge er det ikke lov å kjøre bil når alkoholinnholdet i blodet er over 0,2 promille. Hvor lang tid må kvinnen vente før hun kan kjøre bil? Finn svaret både grafisk og ved regning. ↑ 4.6

311

2014-10-17 13:11:24

Oppgave 4.322 Ei rett linje går gjennom punktene (−3, 9) og (9, 1). a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn likningen for linja. b) Finn stigningstallet og konstant leddet for linja. ↑ 4.7

Oppgave 4.323 Elisabeth har begynt å trene med ergo metersykkel. Hun sykler en fast distanse hver dag. Grafen nedenfor viser kilo meterstanden på ergometersykkelen de første 30 dagene. km y 180 140 100 60 20

x 4

8 12 16 20 24 28 dager

a) Hva stod kilometertelleren på da hun begynte å trene? b) Hvor langt har Elisabeth syklet etter 20 dager? c) Finn en formel som viser kilometer standen etter x dager.

312 312

Oppgave 4.324 Ifølge Facebook Inc. var det 200 millioner aktive brukere av Facebook i april 2009. I mars 2012 var antallet aktive Facebook-brukere steget til 900 mil lioner. Noen mener det er mer riktig å si aktive kontoer enn aktive brukere, for en del mennesker kan ha flere Facebook-profiler. a) Hvor mange flere Facebook-brukere ble det i gjennomsnitt hver måned i perioden fra april 2009 til mars 2012? b) Lag en likning av typen y = ax + b, der x er antallet måneder etter april 2009 og y er antallet millioner aktive Facebook-brukere i måned nr. x. c) Tegn en graf som viser utviklingen i tallet på Facebook-brukere fra april 2009. La 0 ≤ x ≤ 100. d) I februar 2010 var det 400 millioner Facebook-brukere. I desember 2011 var dette tallet steget til 845 millioner. Tegn to punkter som passer med disse opplysningene i det samme koordinat systemet som du tegnet i oppgave c. Ser det ut til at det har vært en lineær vekst av Facebook-brukere i perioden fra april 2009 til mars 2012? e) Når kom antallet Facebook-brukere til å passere 1 milliard ut fra den modellen du lagde i oppgave b? f) I virkeligheten passerte antallet Facebook-brukere 1 milliard i september 2012. Hvordan stemmer dette med modellen? g) Når sier modellen at antallet Facebookbrukere kommer til å passere 2 mil liarder? Er det realistisk å tro at utviklingen fortsetter på samme måte i lang tid framover?

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 312

2014-10-17 13:11:25

Oppgave 4.325 Figuren nedenfor viser ventet levealder for kvinner og menn i Norge i perioden fra 1950 til 2011.

Kilde: SSB

Den gjennomsnittlige levealderen for kvinner var 72,6 år i 1950 og 83,5 år i 2011. De tilsvarende tallene for menn var 69,2 år i 1950 og 79 år i 2011. a) 1) Bruk tallene ovenfor og finn en lineær modell for den gjennom snittlige levealderen K(x) til norske kvinner x år etter 1950. 2) Hvordan passer modelltallene med grafverdiene for 1975 og 2000? b) 1) Bruk tallene ovenfor og finn en lineær modell for den gjennom snittlige levealderen M(x) til norske menn x år etter 1950. 2) Hvordan passer modelltallene med grafverdiene for 1975 og 2000? c) Vi antar at utviklingen vil fortsette etter de modellene vi lagde i oppgave a og b. Finn den ventede gjennomsnittlige levealderen til norske kvinner og menn i 2050. ↑ 4.8

Oppgave 4.326 I oppgave 4.324 skulle vi lage en lineær matematisk modell for utviklingen av tallet på Facebook-brukere i verden ut fra tallet på brukere i april 2009 og mars 2012. Tabellen nedenfor viser flere tall for antallet Facebook-brukere. Tidspunkt

Måneder etter april 2009

Antall Facebookbrukere i millioner

April 2009

200

Juli 2009

250

September 2009

300

Desember 2009

350

Februar 2010

400

Juli 2010

500

Desember 2010

608

Juli 2011

750

September 2011

800

Desember 2011

845

Mars 2012

901

Juni 2012

955

September 2012

1000

Kilde: Facebook Inc.

a) Tegn dataene i tabellen som punkter i et koordinatsystem i GeoGebra eller i et tilsvarende program. La x være antall måneder etter april 2009 og y antall Facebook-brukere i millioner. b) Bruk lineær regresjon og lag en matematisk modell for utviklingen av tallet på Facebook-brukere fra april 2009 til september 2012. c) Sammenlikn modellen fra oppgave b med den modellen du lagde i oppgave 4.324 b. Hvilke fordeler har det å bruke mer enn to punkter til å lage en lineær matematisk modell? d) I desember 2013 var det 1230 millioner aktive Facebook-brukere. Hvordan stemmer dette med modellen du fant i oppgave b?

313

BOOK Sinus 2P-Y.indb 313

2014-10-17 13:11:25

Oppgave 4.327 Tabellen viser jordbrukets del av den totale sysselsettingen i Norge i noen år mellom 1970 og 2012. Her er x tallet på år etter 1970. År

Sysselsetting (%)

1970

1975

7,5

1980

7,5

1985

6,0

1990

5,0

1995

4,0

2000

3,0

2005

2,3

2009

2,0

2012

1,7

Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn ved regresjon den linja som passer best med tabellverdiene. Tegn linja digitalt. c) Kommenter linjene som er tegnet i oppgave a og b. ↑ 4.9

314

3,1

3,3

4,1

4,7

5,5

En ettåring veier normalt mellom 8,0 kg og 12,0 kg. c) Bruk modellen du fant i a), til å beregne Snorres vekt etter 365 dager. Kommenter resultatet.

Produksjon 150 190 205 260 310 320 (1000 tonn)

a) Bestem en lineær modell for Snorres vekt ut fra datamaterialet i tabellen ovenfor. b) Hvor lang tid går det før Snorre veier 7,0 kg ut fra modellen i a)?

1970 1980 1990 2000 2009 2012

Alder, x dager Vekt, y kg

a) Bruk et digitalt hjelpemiddel og finn ved regresjon den linja som passer best med tabellverdiene. Tegn linja digitalt. b) Tabellen viser utviklingen av kjøtt produksjonen i Norge i noen år mellom 1970 og 2012. År

Oppgave 4.328 (Eksempel 2012) Snorre veide 3,1 kg da han ble født. Tabellen nedenfor viser vekten hans, y kg, x dager etter fødselen.

Oppgave 4.329 (Eksamen H-2012) Camilla vil kjøpe en kurv med epler. Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom hvor mange kilogram epler hun fyller i kurven, og hva hun må betale for kurven med eplene. Antall kg epler Pris for kurv med epler (kroner)

210

290

350

a) Hvor mye koster selve kurven, og hva er kiloprisen for eplene? b) Bestem den lineære modellen som viser sammenhengen mellom antall kilogram epler og prisen for kurven med eplene. Camilla betaler 320 kroner for kurven med eplene. c) Hvor mange kilogram epler har hun fylt i kurven?

Sinus 2P-Y > Rette linjer og lineære funksjoner

BOOK Sinus 2P-Y.indb 314

2014-10-17 13:11:25

Oppgave 4.330 (Eksamen 2P V-2013) Familien din er på ferie og skal leie en bil. Tabellen nedenfor viser hvor mye det koster å leie bilen hvis dere kjører 100 km, og hvor mye det koster hvis dere kjører 150 km. Antall kilometer

100

150

Pris (kroner)

500

625

Det er en lineær sammenheng mellom antall kilometer og pris. a) Hva vil det koste å leie bilen dersom dere skal kjøre 300 km? Dersom dere kjører x km, må dere betale y kroner. b) Bestem en modell på formen y = ax + b som viser sammenhengen mellom x og y. c) Gi en praktisk tolkning av tallene a og b i denne oppgaven. Oppgave 4.331 (Eksamen V-2014) År

2002

2004

2006

2008

2010

2012

Gjennom snittspris per 12 478 14 769 20 084 25 977 28 247 33 454 kvadratmeter (kroner)

Tabellen ovenfor viser gjennomsnitts pris per kvadratmeter for eneboliger i Stavanger noen år i perioden 2002–2012. a) La x være antall år etter 2002, og bestem den lineære modellen som passer best med de oppgitte verdiene. b) Når vil gjennomsnittsprisen for en enebolig i Stavanger på 200 m2 passere 10 millioner kroner dersom prisutviklingen fortsetter?

Oppgave 4.332 (Eksamen V-2013) Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom diameteren til en dorull og hvor mange meter papir som er brukt av dorullen. Antall meter papir som er brukt av dorullen Dorullens diameter (millimeter)

102

a) Tegn et koordinatsystem med meter som enhet langs x-aksen og milli meter som enhet langs y-aksen. Marker verdiene fra tabellen ovenfor som punkter i koordinatsystemet. b) Bruk regresjon til å bestemme en lineær funksjon som passer godt med punktene fra oppgave a). Tegn grafen til funksjonen i samme koordinatsystem som du brukte i oppgave a). En tom dorull har en diameter på 38 mm. c) Hvor mange meter papir er det på en ny dorull ifølge modellen i oppgave b)? På pakken med doruller står det at hver dorull inneholder 160 ark. Hvert ark er 14 cm langt. d) Hvordan stemmer modellen i oppgave b) med dette?

En eiendomsmegler antok i 2012 at prisen på eneboliger i Stavanger ville øke med 20 % i perioden 2012–2015. c) Hvor stor prosentvis økning tilsvarer dette per år?

315

BOOK Sinus 2P-Y.indb 315

2014-10-17 13:11:25