Sinus S1 by Cappelen Damm

TORE OLDERVOLL • ODD ORSKAUG • AUDHILD VAAJE OTTO SVORSTØL • SIGBJØRN HALS

M ATE M AT IKK

LÆREBOK I MATEMATIKK STUDIESPESIALISERENDE PROGRAM BOKMÅL

Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene fra 2005. Læreboka Sinus S1 er skrevet for programfaget S1 i de studieforberedende utdanningsprogrammene. Elevene må ha tatt et av matematikkfagene 1T eller 1P fra vg1 for å kunne lese S1. Etter å ha fullført faget S1 kan elever gå videre med S2 og lese Sinus S2. Boka legger vekt på praktisk bruk av den abstrakte matematikken. Elevene får god trening i bokstavregning og blir kjent med matematisk tankegang. De får god trening i å løse oppgaver uten bruk av digitale hjelpemidler. Men elevene får i tillegg grundig opplæring i bruk av både dynamisk programvare og av CAS-verktøy. I boka finner vi detaljert framgangsmåte for programmet GeoGebra. På nettsidene finner vi hjelp for annen programvare. Sinus S1 gir elevene et godt grunnlag for videre arbeid med matematikkfaget. Kapitlene i teoridelen er ordnet slik at det vanskeligste stoffet vanligvis kommer til slutt. Stort sett er også alle delkapitlene ordnet på den måten. Elever som sliter med faget, kan mange steder bare lese begynnelsen av et delkapittel og likevel få et bra utbytte av stoffet. Oppgavene i teoridelen er plassert inne i delkapitlene slik at elevene lett kan finne ut hvilke oppgaver som passer til det som er lest. Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapittelet. I boka er det i tillegg en oppgavedel som inneholder både enkle repetisjonsoppgaver og treningsoppgaver i tillegg til mer krevende oppgaver. Oppgavedelen følger læreboka kapittel for kapittel. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Den første delen inneholder oppgaver som heter «Øv mer». Disse oppgavene er ordnet etter delkapitlene som i teoridelen. Den andre delen heter «Uten hjelpemidler» og inneholder oppgaver som skal løses uten å bruke digitale hjelpemidler. Denne delen inneholder blant annet oppgaver fra del 1 i tidligere

SAMMENDRAG eksamensoppgaver. Den tredje delen heter «Med hjelpemidler» og inneholder oppgaver der elevene kan bruke digitale hjelpemidler. Her er det blant annet oppgaver fra del 2 i tidligere eksamensoppgaver. Oppgavene i de to siste delene er ikke fullt ut ordnet etter delkapitler. Men det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven skal kunne løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Når det for eksempel står 4.5 etter en oppgave, så kan alle oppgavene foran dette merket regnes når eleven er ferdig med delkapittel 4.5. Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ord og uttrykk som de ikke har klart for seg betydningen av. Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle. I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

Tore Oldervoll Sigbjørn Hals Otto Svorstøl Audhild Vaaje Odd Orskaug

Sinus S1

Innhold 1

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Bokstavregning og parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Logikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Mengdelære. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Rette linjer og optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Rette linjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ettpunktsformelen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Grafisk løsning av likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Innsettingsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Områder avgrenset av rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Lineær optimering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Lineær optimering uten nivålinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Lineær minimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Likninger og ulikheter av andre grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Kvadratsetningene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Grafisk løsning av andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Andregradslikninger med to ledd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Andregradsformelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Ikke-lineære likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Faktorisering av andregradsuttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Forkorting av rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Andregradsulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Sinus S1

Potenser og logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Regneregler for potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Tall på standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Prosentvis endring i flere perioder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Eksponentialfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Eksponentiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Logaritmelikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Matematiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Lineære modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Lineær regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Polynomfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Polynomregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Eksponentialregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Potensfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Potensregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Rasjonale funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Kjennetegn ved funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Vekstfart og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Gjennomsnittlig vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Grenseverdier for ubestemte uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Vekstfart som grenseverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Noen derivasjonsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Grensekostnad og grenseinntekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Binomialkoeffisienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Pascaltrekanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Ordnede utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Uordnede utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Binomiske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Hypergeometriske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Valg av sannsynlighetsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260 1

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261

Rette linjer og optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267

Likninger og ulikheter av andre grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284

Potenser og logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294

Matematiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308

Vekstfart og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326

Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .344

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xxx

5 142 142

Sinus S1 > Matematiske modeller

Matematiske modeller MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne • tegne grafen til polynomfunksjoner, eksponentialfunksjoner, potensfunksjoner og rasjonale funksjoner med lineær teller og nevner, både med og uten digitale hjelpemidler • lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi og samfunnsfag, analysere empiriske funksjoner og bruke regresjon til å finne en tilnærmet polynomfunksjon, potensfunksjon eller eksponentialfunksjon • beregne nullpunkter og skjæringspunkter mellom grafer, både med og uten digitale hjelpemidler

143

5.1 Lineære modeller En av de oppgavene vi trenger matematikk til, er å finne sammenhenger mellom forskjellige størrelser i naturfag, teknikk og samfunnsfag. Slike sammenhenger kaller vi matematiske modeller. Noen ganger gir modellene et helt riktig bilde av situasjonen. Andre matematiske modeller gir bare en grov oversikt over situasjonen. Når sammenhengen mellom to størrelser x og y er gitt ved ei rett linje i et koordinatsystem, har vi lineær vekst. Det fins da to tall (konstanter) a og b slik at y = ax + b. Disse konstantene a og b kan vi finne både uten og med digitalt hjelpemiddel. Når vi finner en slik sammenheng y = ax + b mellom to størrelser x og y, sier vi at vi bruker en lineær matematisk modell.

EKSEMPEL I Statistisk årbok finner vi folketallet i Norge 1. januar hvert år fra 1900. Nedenfor er et utdrag av statistikken. Her er y folketallet i millioner og x antallet år etter 1900. Årstall x (år) y (millioner)

1900 0 2,22

1920 20 2,62

1940 40 2,96

1960 60 3,57

1980 80 4,08

2000 100 4,48

2010 110 4,86

a) Sett av punktene (x, y) i et koordinatsystem og vurder om vi kan bruke en lineær modell. b) Finn et uttrykk y = ax + b som omtrent gir folketallet i millioner x år etter 1900. c) Finn folketallet i 1980 ifølge modellen fra oppgave b. d) Når vil folketallet etter dette passere 5,5 millioner? e) Hva blir folketallet i 2050 med denne modellen? Løsning:

a) Vi merker av punktene i et koordinatsystem og trekker ei linje gjennom det første og det siste punktet. Punktene ligger omtrent på linje, og vi kan bruke en lineær modell.

144

Sinus S1 > Matematiske modeller

y 7 6 5 4 3 2 1

x 0

100

120

b) Vi skal finne en sammenheng y = ax + b. Konstantleddet b er lik verdien for y når x = 0. Tabellen viser at den verdien er 2,22. Altså er b = 2,22 Økningen i folketallet i millioner fra 1900 til 2010 er Δy = 4,86 − 2,22 = 2,64 Antallet år er Δx = 2010 −1900 = 110 Økningen i millioner per år er Δy _____ 2,64 ___ = = 0,024

Δx 110 Dette er stigningstallet til linja. Dermed har vi denne likningen: y = 0,024x + 2,22 Denne linja er tegnet i koordinatsystemet i oppgave a. Legg merke til at vi brukte folketallet i 1900 og i 2010 da vi fant likningen for linja. Vi har ikke tatt hensyn til folketallet de andre årene. Linja ligger over punktene for disse årene og vil dermed gi en noe for høy verdi. c) 1980 svarer til x = 80. Ifølge modellen er folketallet i tusen da y = 0,024 · 80 + 2,22 = 4,14 Modellen gir folketallet 4,14 for året 1980. I tabellen ser vi at det riktige er 4,08. Modellen gir en verdi som bare er litt for høy for året 1980. d) Folketallet vil passere 5,5 millioner når y = 5,5 0,024x + 2,22 = 5,5 0,024x = 3,28 3,28 x = ______ = 136,7 0,024 Folketallet passerer 5,5 millioner i løpet av 2036. e) Årstallet 2050 svarer til x = 150. Folketallet blir da y = 0,024 · 150 + 2,22 = 5,82 Folketallet er etter dette 5,82 millioner i 2050.

145

OPPGAVE 5.10

Tabellen viser folketallet i verden i milliarder fra 1970 og fram til 2010. Her er x antallet år etter 1970. Årstall x (år) Folketall (milliarder)

1970 0 3,7

1980 10 4,4

1990 20 5,3

2000 30 6,1

2010 40 6,8

a) Bruk folketallet i 1970 og i 2010 til å lage en lineær modell for folketallet y i milliarder x år etter 1970. b) Hvordan passer modellen med de andre folketallene i tabellen? c) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 2050 være 9404 millioner. Hvordan passer modellen i oppgave a med den prognosen? OPPGAVE 5.11

Tabellen viser tallet på personbiler i Norge for noen år mellom 1975 og 2010. Her er x antallet år etter 1975. Årstall x (år) Personbiler (millioner)

1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 0 5 10 15 20 25 30 35 1,0 1,3 1,5 1,6 1,7 1,8 2,0 2,3

a) Bruk tallene for 1975 og 2010 til å lage en lineær modell for tallet på personbiler i millioner. b) Hvor godt passer modellen for året 1995? c) Hvor mange personbiler har vi i Norge i 2050 hvis utviklingen fortsetter? d) Vi tenker oss at alle bilene i Norge i 2010 står i en kø der hver bil må ha 5 m. 1) Hvor lang blir den køen? 2) Fra Oslo til Nordkapp er det 205 mil. Hvordan måtte vi ordne køen på den strekningen? e) Hvordan blir køen i 2050 hvis utviklingen fortsetter? OPPGAVE 5.12

Tabellen viser hvor stor prosent av norsk ungdom i aldersgruppen 16−24 år som røykte i perioden 2000 til 2010. Her er x antallet år etter 2000, og y forteller hvor mange prosent av ungdommene som røyker. År x (år) y (%)

2000 0 31

2002 2 29

2004 4 26

2006 6 24

2008 8 21

2010 10 19

a) Bruk tallene for 2000 og 2010 til å lage en lineær modell for prosenten y som røyker x år etter 2000. b) Lag en prognose for året 2020 ut fra denne modellen. c) Når kommer ungdommer til å slutte å røyke ut fra denne modellen? d) Bruk Internett og finn nyere tall. Hvordan stemmer modellen?

146

Sinus S1 > Matematiske modeller

5.2 Lineær regresjon Vi kan bruke digitale hjelpemidler til å finne den rette linja som passer best til et datasett. Da bruker vi regresjon. Vi bruker eksempelet fra side 144.

1900 1920 1940 1960 1980 2000 2010 0 20 40 60 80 100 110 2,22 2,62 2,96 3,57 4,08 4,48 4,86

a) Finn ved regresjon den rette linja som passer best til dataene i tabellen, og tegn linja sammen med punktene i et koordinatsystem. b) Finn folketallet i 1980 ifølge modellen fra oppgave a. c) Når vil folketallet etter dette passere 5,5 millioner? Løsning:

a) Vi åpner GeoGebra. På den øverste linja velger vi Vis og trykker på Regneark. Da får vi fram et regneark. Der legger vi inn verdien for x og folketallet i millioner som vist her:

Nå markerer vi punktene i tabellen ved hjelp av musa og høyreklikker. Vi velger der Lag og Liste med punkt. Nå finner vi punktene i algebrafeltet med navnene A, B osv. Punktene finner vi også i en liste med navnet Liste1:

147

Vi ser ikke punktene i koordinatsystemet. Derfor høyreklikker vi i koordinatsystemet og velger Vis alle objekt. Da får vi fram alle punktene, men ennå ser vi ikke koordinataksene. Det kan vi ordne ved at vi flytter koordinatsystemet. Det gjør vi ved å trykke på symbolet og deretter dra i aksene. Vi kan også skrive (0, 0) i inntastingsfeltet. Da får vi et punkt med koordinatene (0, 0). Hvis vi nå høyreklikker i grafikkfeltet og velger Vis alle objekt, får vi fram punktene som vist nedenfor. I tillegg har vi høyreklikket på punktene og tatt bort navnet på dem ved å trykke på Vis navn.

Nå skriver vi RegLin[Liste1] i inntastingsfeltet. Da får vi tegnet den linja som passer best med punktene.

Likningen for linja finner vi i algebrafeltet. Likningen for den linja som passer best med utviklingen av folketallet i Norge, er y = 0,024x + 2,136

148

Sinus S1 > Matematiske modeller

b) Med denne modellen var folketallet i 1980 y = 0,024 · 80 + 2,14 = 4,06 Folketallet i 1980 var 4,06 millioner. Det stemmer godt med den riktige verdien, som er 4,08 millioner. c) For å finne når folketallet passerer 5,5 millioner, skriver vi y = 5.5 i inntastingsfeltet. Da får vi fram ei horisontal linje. Vi bruker så Skjæring mellom to objekt og finner skjæringspunktet som vist her:

Vi ser at folketallet er 5,5 millioner etter vel 140 år. Folketallet passerer 5,5 millioner i løpet av 2040.

OPPGAVE 5.20

Bruk regresjon og løs oppgave 5.10. Sammenlikn svarene. OPPGAVE 5.21

Bruk regresjon og løs oppgave 5.11. Sammenlikn svarene. OPPGAVE 5.22

Bruk regresjon og løs oppgave 5.12. Sammenlikn svarene.

149

5.3 Polynomfunksjoner Uttrykkene 2x + 3 og x2 + 3x – 5 kaller vi polynomer. Uttrykket 2x + 3 er et polynom av første grad, og uttrykket x2 + 3x – 5 er et polynom av andre grad. Den høyeste eksponenten til variabelen i et polynom kaller vi graden til polynomet. Polynomet 2x3 + 3x2 – 6x + 4 er av tredje grad, og polynomet x4 + 2x2 + 4 er av fjerde grad. Når vi skriver polynomer, ordner vi alltid leddene etter graden. Det leddet som har den høyeste graden, skal stå først. Polynomet 4 + 2x2 + 3x3 + 5x skriver vi som 3x3 + 2x2 + 5x + 4. Vi skal nå se på noen funksjoner der funksjonsuttrykket er et polynom. Slike funksjoner kaller vi polynomfunksjoner. Funksjonen f gitt ved f (x) = x2 – 4x + 3 er et eksempel på en polynomfunksjon. Grafen til en slik andregradsfunksjon kaller vi en parabel. Den ser slik ut: y 10

Nullpunkt

2 x –2

Bunnpunkt (2, –1)

Funksjonen har nullpunktene x = 1 og x = 3. Funksjonen har et bunnpunkt i det punktet der x = 2 og y = –1. Bunnpunktet har koordinatene (2, –1). I et bunnpunkt er funksjonsverdien mindre enn i alle nabopunktene. Alle y ≥ –1 er mulige funksjonsverdier for denne funksjonen. De mulige y-verdiene kaller vi verdimengden til f og skriver Vf = [–1, 씮典 Vi skal snart se at bunnpunktet ikke trenger å være det laveste punktet på grafen.

150

Sinus S1 > Matematiske modeller

Andre funksjoner kan ha et toppunkt. Det er et punkt der funksjonsverdien er større enn i alle nabopunktene. Noen funksjoner kan ha både bunnpunkt og toppunkt. Ekstremalpunkt er et felles ord for bunnpunkt og toppunkt. Et ekstremalpunkt er dermed enten et bunnpunkt eller et toppunkt.

EKSEMPEL Funksjonen f er gitt ved f (x) = x3 – 3x a) Tegn grafen til funksjonen. b) Finn nullpunktene til f . c) Finn ekstremalpunktene til f . Løsning:

a) Vi tegner grafen til f digitalt. y 4 Toppunkt (–1, 2)

3 2

f Nullpunkter

1 –2

–1

x 1

–1 –2 –3

Bunnpunkt (1, –2)

–4

b) Grafen viser at f har nullpunktene x = 0, x = –1,7 og x = 1,7 c) Grafen viser at funksjonen har to ekstremalpunkter, et bunnpunkt og et toppunkt. Toppunkt: (–1, 2)

Bunnpunkt: (1, –2)

Funksjonen i eksempelet ovenfor har et toppunkt i (–1, 2) og et bunnpunkt i (1, –2). Men funksjonen har ikke sin minste verdi i bunnpunktet. Funksjonen har heller ikke sin høyeste verdi i toppunktet. Toppunkter og bunnpunkter er bare lokale topper og bunner.

151

Eksempelet foran viser at en tredjegradsfunksjon kan ha tre nullpunkter og både toppunkt og bunnpunkt. Men ikke alle tredjegradsfunksjoner har både toppunkt og bunnpunkt. Grafen til funksjonen f (x) = x3 har bare ett nullpunkt og ingen ekstremalpunkter. y 5

4 3 2 1 –2

–1

x 1

–1

–2 –3 –4 –5

EKSEMPEL Tegn grafen til funksjonen f (x) = x4 – 5x2 + 4. Finn nullpunktene og ekstremalpunktene grafisk. Løsning:

Vi bruker et digitalt hjelpemiddel og får denne grafen: y 5 4

3 2 1 –3 –2 –1 –1

x 1

2 3

–2 –3

Funksjonen har fire nullpunkter: x = –2, x = –1, x = 1 og x = 2 Funksjonen har tre ekstremalpunkter, to bunnpunkter og ett toppunkt. Bunnpunkter: (–1,6, –2,2) og (1,6, –2,2) Toppunkt: (0, 4)

152 152

Sinus S1 > Matematiske modeller

OPPGAVE 5.30

Funksjonen f er gitt ved f (x) = x2 – 2x – 3 a) Tegn grafen til f. b) Finn bunnpunktet til f. c) Finn verdimengden til f. OPPGAVE 5.31

En vinterdag var temperaturen i celsiusgrader x timer etter midnatt gitt ved

a) b) c) d)

3 135 21 T (x) = – __ x2 + ___ x – ____ , x 僆 [8, 20] 8 2 2 Tegn grafen til T. Når på dagen var temperaturen 0° C? Når på dagen var temperaturen høyest? Hva var temperaturen da? Finn verdimengden til T.

OPPGAVE 5.32

Funksjonen g er gitt ved g(x) = –x3 – 3x2 + 4 a) b) c) d)

Tegn grafen til g. Finn nullpunktene til g. Finn toppunktet og bunnpunktet til g. Finn verdimengden til g.

Nullpunkter og ekstremalpunkter kan vi også finne digitalt. Her viser vi hvordan vi finner nullpunktene og ekstremalpunktene til funksjonen f gitt ved f (x) = x3 – 3x Vi skriver da først inn funksjonsuttrykket slik:

For å finne nullpunktene skriver vi

Når vi skal finne topp- og bunnpunkter, skriver vi

153

Det gir dette resultatet:

Her har vi høyreklikket på punktene, valgt Egenskaper og satt Vis navn til Verdi. Funksjonen har nullpunktene x = −1,73, x = 0 og x = 1,73. Funksjonen har toppunktet (–1, 2) og bunnpunktet (1, –2).

OPPGAVE 5.33

Funksjonen f er gitt ved f (x) = x3 – 12x a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn bunnpunktet og toppunktet til f. OPPGAVE 5.34

Funksjonen f er gitt ved f (x) = x4 – 4x2 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn nullpunktene til f. c) Finn ekstremalpunktene. OPPGAVE 5.35

Tegn grafen til f digitalt der f (x) = x5 – 5x3 + 4x a) b) c) d)

154

Hvor mange nullpunkter har funksjonen? Hvor mange toppunkter og bunnpunkter har funksjonen? Hvor mange nullpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha? Hvor mange toppunkter og bunnpunkter tror du en funksjon av grad n kan ha?

Sinus S1 > Matematiske modeller

5.4 Polynomregresjon I kapittel 5.2 lærte vi å finne den lineære funksjonen som passer best til et datasett. Nå skal vi lære å tilpasse en polynomfunksjon til et datasett på tilsvarende måte. Vi vet at en andregradsfunksjon har ett toppunkt eller ett bunnpunkt. y

En tredjegradsfunksjon kan ha to ekstremalpunkter: ett toppunkt og ett bunnpunkt. Grafen kan se ut som vist nedenfor, alt etter som tallet foran x3 er positivt eller negativt. y

En fjerdegradsfunksjon kan ha tre ekstremalpunkter, ett toppunkt og to bunnpunkter eller ett bunnpunkt og to toppunkter. Grafen kan se ut som vist nedenfor, alt etter som tallet foran x3 er positivt eller negativt. y

Når vi skal tilpasse en polynomfunksjon til et datasett, merker vi først av datasettet som punkter i et koordinatsystem. Deretter bruker vi formen på grafene ovenfor når vi skal finne ut hvilken polynomfunksjon vi skal bruke.

155

EKSEMPEL Tabellen viser temperaturen y i celsiusgrader en sommerdag der x er tallet på timer etter midnatt. x (timer) y (°C)

0 8

4 7

8 11

12 16

16 20

20 17

24 9

a) Marker punktene (x, y) i et koordinatsystem og finn ut hvilken type polynomfunksjon som passer best. b) Finn den funksjonen som passer best, og tegn grafen sammen med punktene. c) Hvordan passer denne modellen med temperaturen kl. 16? Løsning:

a) Vi henter fram regnearket i GeoGebra og skriver inn tallene i tabellen slik: Nå markerer vi alle tallene i regnearket, høyreklikker og velger Lag og Liste med punkt. Så tilpasser vi koordinatsystemet, høyreklikker på ordet Punkt i algebrafeltet og klikker på Vis navn. Da får vi fram dette i grafikkfeltet:

Punktene ser ut til å ligge på en kurve med en topp og en bunn. En tredjegradsfunksjon vil dermed passe best. b) For å finne den tredjegradsfunksjonen som passer best, skriver vi dette:

Tallet 3 er her graden på polynomet.

156

Sinus S1 > Matematiske modeller

I algebrafeltet finner vi denne funksjonen:

Den polynomfunksjonen som passer best, er f (x) = –0,008x3 + 0,23x2 – 0,93x + 7,86 Grafen ser slik ut:

c) For å finne temperaturen kl. 16 skriver vi nå f(16) i inntastingsfeltet og finner svaret i algebrafeltet. Modellen gir temperaturen 19 °C kl. 16. Det er 1 grad mindre enn den riktige temperaturen.

OPPGAVE 5.40

Tabellen viser normaltemperaturen y på Røros x måneder etter nyttår. x (md.) y (°C)

−10,1 −10,5 −7,7 −3,1

2,5

7,8

10,7 10,8

8,2

3,9

−2,2 −7,1

a) Marker punktene (x, y) i et koordinatsystem og forklar hvorfor en tredjegradsfunksjon ser ut til å passe best. b) Finn den tredjegradsfunksjonen som passer best, og tegn grafen sammen med punktene. c) Hvordan passer denne modellen med normaltemperaturen 1. september? d) Hva er normaltemperaturen 15. mars ut fra denne modellen? e) Finn den fjerdegradsfunksjonen som passer best til punktene. Hvordan passer den modellen sammenliknet med den du fant i oppgave b?

157

OPPGAVE 5.41

Tabellen viser trafikken på en vei inn til en by. Her er y tallet på biler per minutt x timer etter kl. 6 på en vanlig ukedag. x (h)

11 12

y (biler/min)

18 28 22 15 10

12 18 26

22 10

En fabrikk produserer noen elektroniske apparater. Tabellen viser kostnaden K(x) i kroner når det blir produsert x apparater per måned. x K(x) (kroner)

500

1000

247 300

474 800

1500

2000

727 300 1 004 800

a) Finn det andregradsuttrykket som passer best. b) Finn ved regning hvor stor kostnaden er når det blir produsert 800 enheter per måned. c) Hvor mange enheter blir det produsert når kostnaden er 600 000 kr per måned? OPPGAVE 5.43

Fabrikken i oppgave 5.42 har regnet ut inntekten for noen produksjonsmengder. Tabellen viser inntekten I(x) i kroner når de lager og selger x apparater per måned. x I(x) (kroner)

500

1000

1500

2000

255 000

500 000

735 000

960 000

a) Finn det andregradsuttrykket som passer best. b) Finn ved regning hvor stor inntekten er når det blir solgt 800 enheter per måned. c) Hvor mange enheter må de produsere og selge for at inntekten skal bli større enn kostnaden?

158

Sinus S1 > Matematiske modeller

5.5 Eksponentialregresjon Vi ser nå på eksponentialfunksjonen f (x) = k · ax Her må vi forutsette at a > 0. Vi forutsetter nedenfor også at k > 0. Funksjonen har ingen toppunkter eller bunnpunkter. Hvis a > 1, øker funksjonen når x øker. Hvis a er et tall mellom 0 og 1, synker grafen når x øker. a>1 0<a<1 y

y f

Når a > 1, vil funksjonen vokse mer og mer. Hvis 0 < a < 1, vil funksjonen avta mot 0. Nå skal vi lære å finne eksponentialfunksjoner ved regresjon. Vi bruker eksempelet fra side 144.

EKSEMPEL I Statistisk årbok finner vi folketallet i Norge 1. januar hvert år fra år 1900. Nedenfor er et utdrag av statistikken. Her er y folketallet i millioner og x antallet år etter 1900. Årstall

1900

1920

1940

1960

1980

2000

2010

x (år)

100

110

2,22

2,62

2,96

3,57

4,08

4,48

4,86

y (millioner)

a) Finn ved regresjon den eksponentialfunksjonen som passer best til dataene i tabellen, og tegn grafen sammen med punktene i et koordinatsystem. b) Hvor mange prosent øker folketallet per år ut fra denne modellen? c) Finn folketallet i 1980 ut fra modellen i oppgave a. d) Når vil folketallet etter dette passere 5,5 millioner?

159

Løsning:

a) Vi åpner regnearket i GeoGebra. Der legger vi inn tallene som vist her:

Nå markerer vi punktene i tabellen og høyreklikker. Der velger vi Lag og Liste med punkt. Deretter tilpasser vi koordinatsystemet og tar bort navnet på punktene ved å høyreklikke på dem og trykke på Vis navn. I inntastingsfeltet skriver vi RegEksp[Liste1] I algebrafeltet finner vi nå funksjonsuttrykket.

Den beste eksponentialfunksjonen er f(x) = 2,259 · 1,007x Det gir denne grafen:

Grafen passer godt til punktene. Sammenlikn med den rette linja på side 144.

160

Sinus S1 > Matematiske modeller

b) Funksjonsuttrykket f(x) = 2,259 · 1,007x forteller at vekstfaktoren er 1,007. Det svarer til 0,7 % økning. Folketallet øker med 0,7 % per år. c) Vi finner folketallet i 1980 ved å skrive f(80) i inntastingsfeltet. Svaret finner vi da i algebrafeltet. Folketallet i 1980 er 3,98 millioner. Det stemmer godt med den riktige verdien, som er 4,08 millioner. d) For å finne når folketallet passerer 5,5 millioner, skriver vi y = 5.5 i inntastingsfeltet. Vi bruker så Skjæring mellom to objekt og finner skjæringspunktet som vist her:

Vi ser at folketallet er 5,5 millioner etter vel 125 år. Folketallet passerer 5,5 millioner i løpet av 2025. Med den lineære modellen på side 144–145 ville folketallet ha passert 5,5 millioner først i 2040. Den eksponentielle modellen gir en mye raskere vekst enn den lineære.

161

OPPGAVE 5.50

Tabellen viser folketallet i verden i milliarder fra 1970 og fram til 2010. Her er x antallet år etter 1970. Årstall

1970

1980

1990

2000

2010

x (år)

3,7

4,4

5,3

6,1

6,8

Folketall (milliarder)

a) Finn den eksponentialfunksjonen som passer best til tallene. b) Hvor mange prosent årlig økning var det i perioden ut fra dette? c) Finn grafisk og ved regning når folketallet passerer 8 milliarder ut fra denne modellen. d) Ifølge en prognose fra FN vil folketallet i 2050 være 9404 millioner. Hvordan passer modellen i oppgave a med den prognosen? Sammenlikn med svarene i oppgave 5.20. OPPGAVE 5.51

2000

2002

2004

2006

2008

2010

x (personer)

y (%)

a) Bruk regresjon til å finne den lineære funksjonen som passer best til tallene, og tegn den rette linja i et koordinatsystem. b) Finn den eksponentialfunksjonen som passer best, og tegn grafen i koordinatsystemet fra oppgave a. Hvilken modell syns du passer best? c) Lag en prognose for året 2020 ut fra hver av de to modellene. d) Finn ved regning når 10 % av ungdommene røyker ifølge de to modellene. e) Hva skjer med tallet på røykere etter lang tid ut fra disse to modellene? OPPGAVE 5.52

Stråling fra et radioaktivt materiale kan vi måle med en geigerteller. La T(x) være det tallet som geigertelleren viser etter x minutter. Tabellen viser strålingen fra en bariumisotop. x (min) T(x) a) b) c) d)

162 162

0,5

2,0

3,5

5,0

6,5

8,0

2897

2005

1321

922

625

425

Finn den eksponentialfunksjonen som passer best med dataene. Hvor mange prosent avtar strålingen per minutt? Bruk modellen til å finne strålingen etter 10 minutter. Finn ved regning hvor lang tid det går før strålingen er halvert.

Sinus S1 > Matematiske modeller

5.6 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f(x) = 2x3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f(x) = k · xa, der tallet k og eksponenten a kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er g(x) = 4x−2 1

Fra kapittel 4 husker vi at x–2 = __ . Vi kan dermed skrive x2 4 g(x) = ___ x2 Eksponenten i en potensfunksjon kan også være et desimaltall slik som her: h(x) = 2x1,5 Vi har ikke lært om potenser der eksponenten er et desimaltall eller en brøk. Ved hjelp av en lommeregner finner vi at h(3) = 2 · 31,5 = 10,4 h(4) = 2 · 41,5 = 16 Hvis vi prøver å regne ut h(–2) på lommeregneren, får vi en feilmelding. Det er ikke mulig å regne ut x1,5 når x er et negativt tall. Hvis eksponenten a er en brøk eller et desimaltall, er potensfunksjonen f (x) = k · xa bare definert for positive verdier av x. Vi tegner nå grafene til funksjonene f (x) = 2x3, g(x) = 4x–2 og h(x) = 2x1,5 for x > 0 i et koordinatsystem. Vi ser at funksjonsverdiene til f og h er null når x = 0 og øker når x øker. Funksjonsverdien til g nærmer seg null når x øker. y 25

20 15 10 5 x 1

163

Hvis a er et positivt tall, har f (x) = xa et nullpunkt når x = 0. Funksjonen vokser når x øker. Hvis a er et negativt tall, avtar f (x) = xa mot null når x øker.

EKSEMPEL Stein I. Hage plantet ei solsikke. Hver dag målte han hvor høy den var, og han fant ut at høyden h(x) i centimeter x dager etter at den spirte, var gitt ved funksjonen h(x) = 0,01 · x2,7, x 僆 [0, 30] a) Hvor høy var solsikka 25 dager etter at den spirte? b) Tegn grafen til h. c) Når er solsikka 50 cm høy? Løsning:

a) Høyden etter 25 dager var h(25) = 0,01 · 252,7 = 59,5 Solsikka var 59,5 cm høy etter 25 dager. b) Ved hjelp av et digitalt hjelpemiddel får vi denne grafen: cm

100 90 80

70 60 50 40 30 20 10

x 5

c) Avlesingen viser: Solsikka er 50 cm høy etter ca. 23 dager.

164

Sinus S1 > Matematiske modeller

30 dager

OPPGAVE 5.60

Tegn grafen til funksjonene når x er mellom 0 og 5. a) f (x) = 3 · x2 b) f (x) = 3 · x–2 1,5 c) f (x) = 4 · x d) f (x) = 4 · x–1,5 OPPGAVE 5.61

Tegn grafen til funksjonen f (x) = 2 · xa når a har verdiene –2, –1, 0, 1, 2 og 3. OPPGAVE 5.62

Tallet på solgte enheter av en vare går vanligvis ned når vi setter opp prisen. La S(p) være tallet på solgte enheter per uke når prisen per enhet er p kroner. En kjøpmann fant denne sammenhengen mellom prisen og salget per uke: S(p) = 400 000p–1,5, p 僆 [50, 100] a) Finn salget per uke når prisen er 70 kr. b) Tegn grafen til S. c) Bruk grafen til å finne ut hva prisen må være for at kjøpmannen skal selge 500 enheter per uke.

5.7 Potensregresjon For potensfunksjonen f (x) = k · xa forutsetter vi her at x ikke kan være et negativt tall, og at k er et positivt tall. Funksjonen har ingen toppunkter eller bunnpunkter. Hvis eksponenten a er et positivt tall, går grafen ut fra origo og stiger etter hvert som x øker. Hvis eksponenten a er et negativt tall, har funksjonen ingen verdi når x = 0, og grafen synker og nærmer seg x-aksen når x øker. a>0

a<0

y a>1 0<a<1

165

Ved hjelp av regresjon kan vi finne den potensfunksjonen som passer best til et datasett.

Når a > 0, har potensfunksjonen f(x) = k · xa verdien null når x = 0. Når a < 0, er funksjonen ikke definert når x = 0. Vi må derfor passe på at ingen av verdiene i tabellen er 0 når vi skal finne en potensfunksjon ved regresjon. Verken x-verdier eller y-verdier kan være 0 i tabellen.

EKSEMPEL Linnea Sommer legger en lørdag merke til at et frø i hagen nettopp har spirt. De neste fem lørdagene måler hun høyden av planten. I tabellen nedenfor er x antallet dager etter spiring, og h er høyden av planten målt i centimeter. x (dager)

h (cm)

a) Marker punktene (x, y) i et koordinatsystem og forklar hvorfor en potensfunksjon kan passe til punktene. b) Finn den potensfunksjonen som passer best, og tegn grafen til denne funksjonen sammen med punktene. c) Hvor høy blir planten den sjette lørdagen hvis høyden følger denne modellen? Løsning:

a) Vi legger inn tallene i regnearket i GeoGebra, markerer alle tallene, lager liste med punktene, fjerner navnet på punktene og får dette resultatet:

166

Sinus S1 > Matematiske modeller

Det ser ut som punktene ligger på en kurve som går ut fra origo, og som vokser mer og mer når x øker. Det kan dermed passe med en potensfunksjon. b) I inntastingsfeltet skriver vi nå RegPot[Liste1] I algebrafeltet finner vi da dette funksjonsuttrykket:

Den potensfunksjonen som passer best, er f (x) = 0,027 · x2,2 I grafikkfeltet finner vi grafen. Grafen passer godt med punktene.

c) Når vi skal finne høyden etter 6 uker, eller 42 dager, skriver vi f(42) i inntastingsfeltet. Det gir dette svaret i algebrafeltet:

Planten er 102 cm etter 6 uker ifølge denne modellen.

167

OPPGAVE 5.70

Tabellen nedenfor viser gjennomsnittsavstanden x fra sola til noen planeter og omløpstida y til planetene. Omløpstida y er målt med år som enhet, og x er målt med avstanden mellom jorda og sola som målenhet. Planet

Avstand x

Omløpstid y

Jorda

Mars

1,52

1,88

Jupiter

5,20

11,9

Saturn

9,54

29,5

Uranus

19,2

84,0

Jorda

a) Bruk regresjon til å finne den potensfunksjonen som passer best. b) Tegn grafen til potensfunksjonen sammen med dataene i et koordinatsystem. Hvor godt passer modellen? c) Bruk potensfunksjonen og regn ut omløpstida for noen av planetene ovenfor. Hvor godt passer modellen? d) En satellitt går i bane rundt sola. Avstanden fra sola er 2,4 jordbaneradier. Finn omløpstida. OPPGAVE 5.71

For isolasjon av hus gjelder det at varmetapet T i kilowattimer per kvadratmeter vegg er avhengig av tykkelsen x på isolasjonen målt i centimeter. Tabellen viser sammenhengen. x (cm) T

(kWh/m2)

44,9 26,7 19,7 15,9 13,4 11,7

168

Sinus S1 > Matematiske modeller

OPPGAVE 5.72

Tabellen nedenfor viser løpsfarten v til noen pattedyr og lengden x fra haletuppen til snuten. Mus

Ekorn

Rev

Gepard

x (cm)

9,0

25,0

60,0

120,0

v (m/s)

2,5

7,6

20,0

29,0

a) Finn den potensfunksjonen som passer best. b) Tegn grafen sammen med dataene. Hvordan passer modellen? c) Jordekornet er 16,0 cm langt og løper 4,8 m/s. Hvordan stemmer det med modellen? d) Hvordan passer mennesket inn i denne modellen?

5.8 Rasjonale funksjoner Funksjonen f gitt ved 2x + 1 f(x) = ______ x–1 kaller vi en rasjonal funksjon. Funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon er en brøk med polynomer i telleren og nevneren. En brøk er ikke definert når nevneren er null. Funksjonen f er ikke definert når x = 1, for da er nevneren lik 0. Funksjonen har definisjonsmengden Df = ⺢ \ {1} Vi sier at funksjonen f har et bruddpunkt for x = 1.

En rasjonal funksjon har et bruddpunkt der nevneren er null.

Hva skjer når x er nær bruddpunktet x = 1? 2 · 1,001 + 1 3,002 f(1,001) = ___________ = ______ = 3002 1,001 – 1 0,001 2,998 2 · 0,999 + 1 f(0,999) = ___________ = _______ = – 2998 0,999 – 1 –0,001 Funksjonsverdiene blir veldig store i tallverdi. Hvis vi velger x-verdier enda nærmere 1, ser vi at funksjonsverdiene i tallverdi vokser over alle grenser når x nærmer seg 1.

169

Nå skal vi tegne grafen til f ved hjelp av GeoGebra. Da skriver vi inn funksjonsuttrykket slik:

Det gir denne grafen:

Det kan se ut som om grafen nærmer seg den vertikale linja x = 1. Linja x = 1 kaller vi en vertikal asymptote for f. I GeoGebra kan vi tegne denne asymptoten ved å skrive Asymptote[f]. Det gir denne grafen:

Vi ser her at grafen nærmer seg den vertikale asymptoten x = 1 når x nærmer seg 1. Men i tillegg ser vi at grafen nærmer seg den horisontale linja y = 2 når x blir stor i tallverdi. Linja y = 2 kaller vi en horisontal asymptote for f. At funksjonsverdien f(x) nærmer seg y = 2 når x har stor tallverdi, kan vi kontrollere slik: 2 · 100 + 1 201 f (100) = __________ = ____ = 2,03 100 – 1 99 – 2 · ( 100) + 1 –199 f (–100) = _____________ = _____ = 1,97 –100 – 1 –101

170

Sinus S1 > Matematiske modeller

Vi kan også finne ved overslagsregning at funksjonsverdien er nær 2 når x har 2x 2x + 1 en stor tallverdi. For slike x-verdier er brøken ______ omtrent lik ___ x = 2. x–1 Når x er stor i tallverdi, er 2x + 1 2x 2 f(x) = ______ ≈ ___ = __ = 2 x x–1 1 Dette viser at f(x) er nær 2 når x blir stor i tallverdi. Grafen vil da nærme seg linja y = 2. Hvis vi skal tegne grafen til en rasjonal funksjon uten hjelpemiddel, finner vi først asymptotene. Når vi skal bestemme den vertikale asymptoten, finner vi først bruddpunktet ved å sette nevneren lik 0. Hvis telleren ikke er 0 i bruddpunktet, har funksjonen en vertikal asymptote i bruddpunktet. Den horisontale asymptoten finner vi på tilsvarende måte som for funksjonen f ovenfor. Først tegner vi de to asymptotene. Deretter trenger vi bare å regne ut et par funksjonsverdier på hver side av den vertikale asymptoten når vi skal tegne grafen til f. Da trekker vi hver grein av grafen gjennom de to punktene og inn mot asymptotene.

EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved 2x – 4 f(x) = ______ x–3 a) b) c) d)

Finn nullpunktet til f. Finn bruddpunktet til f. Finn likningen for asymptotene. Tegn asymptotene og grafen til f.

Løsning:

a) En brøk er 0 når og bare når telleren er 0. Nullpunktet til f er dermed bestemt ved likningen 2x – 4 = 0 2x = 4 x=2 b) Bruddpunktet finner vi ved å sette nevneren lik 0. x–3=0 x=3

171

c) Ettersom telleren ikke er 0 for x = 3, gir bruddpunktet en vertikal asymptote. Dermed har f en vertikal asymptote x=3 Når vi skal finne den horisontale asymptoten, ser vi på store tallverdier for x og bruker overslagsregning. Når x er stor i tallverdi, er 2x – 4 2x f(x) = ______ ≈ ___ x =2 x–3 Funksjonen har en horisontal asymptote y=2 d) Nå tegner vi asymptotene og grafen til f. y 7

6 5 4 3 2 1 –2 –1 –1

x 1

2 3

–2 –3

OPPGAVE 5.80

Funksjonen f er gitt ved x+3 f(x) = _____ x–2 a) Finn nullpunktet til f. b) Finn bruddpunktet til f. c) Finn likningene for asymptotene og tegn asymptotene og grafen til f. OPPGAVE 5.81

Funksjonen f er gitt ved 3x – 5 f(x) = ______ 2x – 6 a) Finn nullpunktet til f. b) Finn bruddpunktet til f. c) Finn likningene for asymptotene og tegn asymptotene og grafen til f.

172 172

Sinus S1 > Matematiske modeller

OPPGAVE 5.82

Kai er brannvakt i kommunen og må rykke ut ved behov. Han får 10 000 kr i lønn per år. I tillegg får han 500 kr per time når han må rykke ut. a) Vis at den gjennomsnittlige timelønna når han et år arbeider x timer, er gitt ved 500x + 10 000 f (x) = _____________ x b) Finn likningen for asymptotene til f. Hva forteller asymptotene om den gjennomsnittlige timelønna? c) Tegn grafen til f for x-verdier mellom 0 og 200. d) Hva blir den gjennomsnittlige timelønna hvis Kai arbeider 50 timer på et år? e) Hvor mange timer må han arbeide for at timelønna skal bli 600 kr?

5.9 Kjennetegn ved funksjoner Når vi skal finne hvilken funksjon som passer til et datasett, må vi noen ganger selv finne ut hvilken type funksjon vi skal bruke. Dermed må vi vite omtrent hvordan grafen til de aktuelle funksjonene ser ut. RETTE LINJER

Alle rette linjer har likningen y = ax + b. Grafene ser slik ut alt etter som stigningstallet a er positivt eller negativt. a>0

a<0 y

b x

173

ANDREGRADSFUNKSJONER

En andregradsfunksjon f(x) = ax2 + bx + c har alltid ett toppunkt eller ett bunnpunkt. Grafen ser ut som vist nedenfor alt etter som tallet a foran x2 er positivt eller negativt. Men det er ikke alltid bunnpunktet eller toppunktet er synlig med det datamaterialet vi har. a>0

a<0 y

y f

TREDJEGRADSFUNKSJONER

En tredjegradsfunksjon f(x) = ax3 + bx2 + cx + d kan ha b책de ett toppunkt og ett bunnpunkt. Grafen ser vanligvis ut som vist nedenfor alt etter som tallet a foran x3 er positivt eller negativt. Men det er ikke alltid bunnpunktet eller toppunktet er synlig med det datamaterialet vi har. a>0

a<0 y

y f

174

Sinus S1 > Matematiske modeller

POTENSFUNKSJONER

For potensfunksjonen f(x) = k · xa forutsetter vi her at x ikke kan være et negativt tall, og at k er et positivt tall. Funksjonen har da ingen toppunkter eller bunnpunkter. Hvis eksponenten a er et positivt tall, går grafen gjennom origo og stiger etter hvert som x øker. Hvis eksponenten a er et negativt tall, har funksjonen ingen verdi når x = 0, og grafen går nedover og nærmer seg x-aksen når x øker. a>0

a<0 y

y f

a>1 f

0<a<1

EKSPONENTIALFUNKSJONER

For eksponentialfunksjonen f (x) = k · ax må vi forutsette at a > 0. Vi forutsetter her at k er et positivt tall. Funksjonen har ingen toppunkter eller bunnpunkter. Hvis a > 1, øker funksjonsverdien når x øker. Hvis a er et tall mellom 0 og 1, synker grafen når x øker. En eksponentialfunksjon er lett å skille fra en potensfunksjon ettersom grafen til eksponentialfunksjonen alltid krysser y-aksen i et punkt y ≠ 0. Det gjør aldri en potensfunksjon. a>1

0<a<l y

y f

175

EKSEMPEL Hvilken type funksjon tror du passer best til punktene i disse koordinatsystemene? a)

Løsning:

a) Disse punktene ser ut til å ligge på en kurve som går gjennom origo. Den stiger mer og mer når x øker, og punktene ligger ikke på ei rett linje. En potensfunksjon passer best. b) Disse punktene ser ut til å ligge på en kurve som ser ut til å ha et toppunkt og ingen bunnpunkter. En andregradsfunksjon passer best. c) Kurven gjennom disse punktene ser ikke ut til å ha toppunkter eller bunnpunkter. Den går ikke gjennom origo, og punktene ligger heller ikke på linje. Da er det grafen til en eksponentialfunksjon. En eksponentialfunksjon passer best.

OPPGAVE 5.90

Hvilken type funksjon tror du passer best til punktene i disse koordinatsystemene? a)

176

Sinus S1 > Matematiske modeller

OPPGAVE 5.91

Vi har gitt denne tabellen: x

f(x)

1,7

3,3

4,2

4,9

5,1

4,8

a) b) c) d)

Plasser punktene i et koordinatsystem. Hvilken funksjonstype mener du passer best til disse dataene? Finn digitalt det funksjonsuttrykket f(x) du syns passer best. Tegn grafen til f sammen med punktene.

OPPGAVE 5.92

Vi har gitt denne tabellen: x

f(x)

2,5

3,5

4,3

5,2

6,4

7,5

a) b) c) d)

OPPGAVE 5.93

Vi har gitt denne tabellen: x

f(x)

4,1

6,8

9,3

11,7

14,1

a) b) c) d)

OPPGAVE 5.94

Vi har gitt denne tabellen: x

f(x)

2,5

6,2

10,4

15,2

25,6

a) b) c) d)

177

OPPGAVE 5.95

Tabellen viser utviklingen av verdensrekorden i skihopp fra 1808 og fram til i dag. Årstall

1808 1868 1902 1912 1915 1931 1934 1936 1948 1950 1961 1966 1967 1968 1976 1981 1985 1994 1997 2000 2003 2005 2011

Navn

Olaf Rye Sondre Norheim Nils Gjestvang Gunnar Andersen Reidar A. Ommundsen Sigmund Ruud Birger Ruud Sepp Bradl Fritz Tschannen Dan Netzell Jozef Slibar Bjørn Wirkola Reinhold Bachler Bjørn Wirkola Geir Ove Berg Armin Kogler Matti Nykänen Toni Nieminen Espen Bredesen Thomas Hörl Matti Hautamäki Bjørn Einar Romøren Johan Remen Evensen

Rekord (m)

9,5 19,5 38,5 47 54 81,5 92 101 120 135 141 146 154 160 173 181 191 203 210 224,5 231 239 246,5

a) La x være antallet år etter 1800 og merk av dataene i tabellen som punkter i et koordinatsystem med x langs førsteaksen og hopplengden i meter langs andreaksen. b) Velg ut minst to funksjonstyper som du syns passer til punktene i koordinatsystemet. c) Finn funksjonsuttrykket til de to funksjonene du har valgt, og tegn grafene sammen med punktene. d) Hvilken modell syns du passer best? e) Grunngi svaret (hva er godt eller mindre godt med hver modell?). f) Finn ut når rekorden blir 300 m med hver av de modellene du har valgt.

178

Sinus S1 > Matematiske modeller

SAMMENDRAG Lineær vekst Når sammenhengen mellom to størrelser x og y er gitt ved ei rett linje i et koordinatsystem, har vi en lineær matematisk modell. Vi sier også at vi har lineær vekst. Det fins da to tall (konstanter) a og b slik at y = ax + b. Polynom Et uttrykk av typen 2x3 + 3x2 − 5x + 3 kaller vi et polynom. Dette polynomet er av tredje grad. Polynomfunksjon For en polynomfunksjon er funksjonsuttrykket et polynom. En andregradsfunksjon er for eksempel en funksjon av typen f (x) = ax2 + bx + c Potensfunksjon For en potensfunksjon er funksjonsuttrykket på formen f (x) = k · xa der tallet k og eksponenten a kan være både positive og negative tall. Eksponentialfunksjon For en eksponentialfunksjon er funksjonsuttrykket på formen f (x) = k · ax der tallet a må være positivt. Tallet k kan være både positivt og negativt. Rasjonal funksjon Funksjonsuttrykket til en rasjonal funksjon er en brøk med polynomer i telleren og i nevneren. Bruddpunkt En rasjonal funksjon har et bruddpunkt der nevneren er null. Asymptoter En asymptote er ei rett linje som en graf nærmer seg når vi går utover i koordinatsystemet. En rasjonal funksjon som har et bruddpunkt for x = a, har til vanlig en vertikal asymptote x = a.

179