Sinus S1 kapittel 1 by Cappelen Damm

Innhold 1

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Bokstavregning og parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Likninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Logikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Mengdelære. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Rette linjer og optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8

Rette linjer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Ettpunktsformelen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Grafisk løsning av likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Innsettingsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Områder avgrenset av rette linjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Lineær optimering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Lineær optimering uten nivålinje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Lineær minimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Likninger og ulikheter av andre grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9

Kvadratsetningene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Faktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Grafisk løsning av andregradslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Andregradslikninger med to ledd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Andregradsformelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 Ikke-lineære likningssett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Faktorisering av andregradsuttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Forkorting av rasjonale uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Andregradsulikheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Sinus S1

Potenser og logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Regneregler for potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Tall på standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Prosentvis endring i flere perioder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Eksponentialfunksjonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Eksponentiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Logaritmelikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Matematiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Lineære modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Lineær regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Polynomfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Polynomregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Eksponentialregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 Potensfunksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Potensregresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Rasjonale funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Kjennetegn ved funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Vekstfart og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9

Gjennomsnittlig vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Momentan vekstfart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 Grenseverdier for ubestemte uttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Vekstfart som grenseverdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 Noen derivasjonsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Funksjonsdrøfting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Grensekostnad og grenseinntekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .225

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7

Binomialkoeffisienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Pascaltrekanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Ordnede utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Uordnede utvalg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Binomiske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Hypergeometriske forsøk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Valg av sannsynlighetsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260 1

Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261

Rette linjer og optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .267

Likninger og ulikheter av andre grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .284

Potenser og logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294

Matematiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .308

Vekstfart og derivasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326

Sannsynlighetsregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .343

Fasit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .358 Stikkord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382

1 8

Sinus S1 > Algebra

Algebra MÅL

for opplæringen er at eleven skal kunne • regne med potenser, formler, parentesuttrykk og rasjonale og kvadratiske uttrykk med tall og bokstaver • omforme en praktisk problemstilling til en likning, en ulikhet eller et likningssystem, løse det og vurdere løsningens gyldighet • løse likninger, ulikheter og likningssystemer av første og andre grad, både ved regning og med digitale hjelpemidler • bruke begrepene implikasjon og ekvivalens i matematisk argumentasjon

1.1 Bokstavregning og parenteser En variabel er et ukjent tall. I uttrykket 2x + 4x står x for en variabel. Uttrykket består av to ledd, 2x og 4x. Ledd er bokstavuttrykk eller tall med plusstegn eller minustegn mellom. De to leddene ovenfor er av samme type, dermed kan vi trekke dem sammen: 2x + 4x = 6x I uttrykket 4a2 + 2a + 1 – a2 + 3a – 1 er det seks ledd. Leddene 4a2 og –a2 er av samme type, og vi kan trekke dem sammen. Leddene 4a2 og 2a er ikke av samme type og kan derfor ikke trekkes sammen. Vi samler ledd av samme type og trekker sammen. 4a2 + 2a + 1 – a2 + 3a – 1 = 4a2 – a2 + 2a + 3a + 1 – 1 = 3a2 + 5a Når vi regner med bokstavuttrykk, får vi bruk for å løse opp parenteser. Når vi løser opp en parentes, fjerner vi parentesen. Fra vg1 kjenner vi reglene nedenfor. Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må vi skifte fortegn på alle leddene inne i parentesen. En parentes med et plusstegn foran kan vi ta bort uten å endre noe fortegn inne i parentesen.

EKSEMPEL Trekk sammen 5a + (3a + 2b) – (4a + 2b). Løsning:

5a + (3a + 2b) – (4a + 2b) = 5a + 3a + 2b – 4a – 2b = 5a + 3a – 4a + 2b – 2b = 4a

Sinus S1 > Algebra

OPPGAVE 1.10

Trekk sammen uttrykkene. a) 2x – 5y + 3x + 7y + 1 c) 2x2 + x + y2 – 2x – 2y2

b) a2 + 2a + 3 + a2 – 3a – 1 d) 2xy + xy2 – x2y – 2xy2 – yx

OPPGAVE 1.11

Løs opp parentesene og trekk sammen. a) (5x + y) + (2x – y) b) a + 2b – (–a + b) c) (x2 + 2x + 1) – (x2 – 2x + 1) d) 2a2 – a – 3 + (–a2 + a + 3)

Når vi multipliserer parentesuttrykk, bruker vi disse reglene: Når vi skal multiplisere et tall og et parentesuttrykk, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre.

EKSEMPEL Regn ut. a) 3(x2 + 3x – 2) c) (2x – 3)(x + 2)

b) –3(2x – 4) d) 2y2 – (y + 3)(2y – 1)

Løsning:

a) 3(x2 + 3x – 2) = 3 · x2 + 3 · 3x – 3 · 2 = 3x2 + 9x – 6 b) –3(2x – 4) = (–3) · 2x – (–3) · 4 = –6x + 12 c) (2x – 3)(x + 2) = 2x · x + 2x · 2 – 3 · x – 3 · 2 = 2x2 + 4x – 3x – 6 = 2x2 + x – 6 d) 2y2 – (y + 3)(2y – 1) = 2y2 – (y · 2y + y · (–1) + 3 · 2y + 3 · (–1)) = 2y2 – (2y2 – y + 6y – 3) Når vi multipliserer uttrykk = 2y2 – (2y2 + 5y – 3) med minus foran, må vi 2 2 – – = 2y 2y 5y + 3 beholde parentesen. = –5y + 3

Algebraiske uttrykk som i eksempelet på forrige side kan vi trekke sammen digitalt. Hvis vi skal trekke sammen uttrykket i oppgave d, kan vi bruke CASdelen av GeoGebra. Der skriver vi inn uttrykket og får svaret når vi trykker på ENTER.

Dette stemmer med utregningen på forrige side. Når vi skal regne ut 2(3x + 1) – 3(x – 2) kan vi gjøre det på to måter. Vi kan multiplisere de positive tallene 2 og 3 inn i parentesene og beholde parentesene. 2(3x + 1) – 3(x – 2) = (6x + 2) – (3x – 6) = 6x + 2 – 3x + 6 = 3x + 8 Men vi kan også gjøre det slik: 2(3x + 1) – 3(x – 2) = 2 · (3x + 1) + (–3) · (x – 2) = 6x + 2 – 3x + 6 = 3x + 8 Vanligvis hopper vi over en av utregningene og skriver direkte 2(3x + 1) – 3(x – 2) = 6x + 2 – 3x + 6 = 3x + 8 Her ganger vi altså tallet −3 inn i parentesen og fjerner den samtidig. Et produkt av tre faktorer kan vi regne ut på flere måter. Hvis vi skal regne ut 1 2(t – 5)(t + __ ), kan vi gjøre det på tre forskjellige måter. Vi kan multiplisere 2 parentesene med hverandre først eller vi kan multiplisere 2 med en av paren1 ) først, for tesene først. Det lureste her er kanskje å multiplisere 2 med (t + __ 2 da unngår vi en del brøkregning: ) = (t – 5)(2t + 2 · __ ) = (t – 5)(2t + 1) 2(t – 5)(t + __ 2 2 = 2t2 + t – 10t – 5 = 2t2 – 9t – 5 1

! ?

Når vi skal regne ut 2(t – 5)(t + __ ), må vi ikke multiplisere begge parente2 sene med 2. OPPGAVE 1.12

Regn ut uten hjelpemiddel. a) 2(x + 4) c) 3(2x + 1) – 2(3x + 1)

Sinus S1 > Algebra

b) –2(t – 3) d) 5(x2 + 3x + 2) – 5(x2 + 1)

OPPGAVE 1.13

Trekk sammen uten å bruke hjelpemiddel. a) 2(2a – b) + 3(–2a + 3b) b) 2a(ab – b2) – 2b(a2 – ab) c) (x + 1)(2x – 3) d) (3t – 2)(2t + 1) OPPGAVE 1.14

Trekk sammen både uten og med hjelpemiddel. a) (2x – 1)(x + 3) + (x – 1)(x – 4) b) (x + 3)(4x – 1) – (2x + 1)(2x – 3) 3 d) __ (t + 3)(8t – 4) 4

c) 2(x – 1)(2x + 3)

1.2 Rasjonale uttrykk Et rasjonalt bokstavuttrykk er en brøk som inneholder en eller flere variabler. Vi bruker de vanlige regnereglene for brøker når vi regner med slike uttrykk.

EKSEMPEL Regn ut. 5 7 1 a) __ – ___ + __ x 2x 4

a 4 b) __ · ___ 2 ab

x x c) __ : ___ 4 12

Løsning:

a) Fellesnevneren for x, 2x og 4 er 4x. Vi utvider brøkene slik at alle får nevneren 4x. 2·7 5 – ___ 7 __ 1·x 1 4·5 __ + = _____ – ______ + _____ x

4 · x 2 · 2x 4 · x 20 14 20 – 14 + x 6 + x x = ___ – ___ + ___ = __________ = _____ 4x 4x 4x 4x 4x

b) Vi multipliserer telleren med telleren og nevneren med nevneren. 2

a ___ a·4 a·4 2 4 __ · = ______ = _______ = __ 2

2 · ab

2·a·b

c) Når vi dividerer med en brøk, multipliserer vi med den omvendte brøken. 3

x x 12 x · 12 12 · x 3 x ___ __ : = __ · ___ = ______ = ______ = __ = 3 4

4·x

OPPGAVE 1.20

Trekk sammen. a a a a) __ + __ + __ 2 3 6

1 1 1 b) ___ + ___ + ___ 2a 3a 6a

3 2 4 c) __ + ___ – ___ x 2x 3x

OPPGAVE 1.21

Regn ut. 2a 6 a) ___ · __ 3 a

2 2x2 5y b) ____ · ____ 3y 4x

8a 4a c) ___ : ___ 5 15

6a d) ___ : 2a 5

OPPGAVE 1.22

Trekk sammen. 2 5 1 7 a) __ · __ + __ · ___ 3 a 2 3a

(

2 5x 7x b) __ · ___ – ___ x 3 6

)

(

)

x2 5x x c) ___ + ___ : ___ 3 6 12

Hvis telleren inneholder flere ledd, må vi sette parentes om telleren når vi setter uttrykkene på felles brøkstrek.

EKSEMPEL Regn ut. 2x + 3 x + 1 a) ______ – _____ 3 6

8 x+1 b) __ · _____ 3 4

Løsning:

2x + 3 x + 1 2 · (2x + 3) x + 1 a) ______ – _____ = __________ – _____ 3 6 2·3 6 4x + 6 x + 1 (4x + 6) – (x + 1) = ______ – _____ = _______________ 6 6 6 – – 3x + 5 4x + 6 x 1 = ____________ = ______ 6 6 =

8 x + 1 8 · (x + 1) 2(x + 1) 2x + 2 b) __ · _____ = _________ = ________ = ______ 3 4 3·4 3 3 1

Brudne brøker som inneholder en variabel, er det lettest å forenkle hvis vi multipliserer over og under hovedbrøkstreken med fellesnevneren for småbrøkene.

Sinus S1 > Algebra

EKSEMPEL Regn ut både uten og med hjelpemiddel. x __ +2 2 _______ x __ 1 __ + 4 2 Løsning: Uten hjelpemiddel:

Fellesnevneren for småbrøkene er 4. Derfor multipliserer vi med 4 over og under hovedbrøkstreken. x x x __ 4 · __ + 2 4 · __ + 4 · 2 +2 2 2x + 8 2 2 _______ ___________ ____________ = = = ______ x __ x x+2 1 1 x __ 1 __ __ __ __ = 4· +4· + 4· + 4 2 4 2 4 2

(

)

(

)

Med hjelpemiddel:

I CAS-delen av GeoGebra skriver vi inn uttrykket og trykker på ENTER. Det gir dette svaret:

OPPGAVE 1.23

Regn ut både uten og med hjelpemiddel. 2x + 3 x + 1 a) ______ – _____ b) 4 4 x + 2 2x – 1 c) _____ – ______ d) 2x 3x

a + 2 – ______ 2a – 1 _____

2 6 – a+3 a 2 2 __ + _____ – _____ 2a 3a a

OPPGAVE 1.24

Regn ut både uten og med hjelpemiddel. 2x __ 1 ___ + 5 2 ________ b) a) x – ___ 1 __ 2 10 2 1 __ – __ a b d) c) _______ 2 – __ 1 __ a b

1 __ 1 __ x + 2 _______ 2 1 + __ x

1 __ 1 __ + x 6 _________ 1 – ___ 1 ___ 2x

1.3 Likninger På vg1 lærte vi å løse likninger. Vi bruker disse reglene: Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Det er det samme som å flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet og samtidig skifte fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null.

Når vi har løst en likning, kan vi sette prøve på svaret. Vi setter da inn løsningen i likningen og kontrollerer at begge sidene av likhetstegnet har samme verdi.

EKSEMPEL Løs likningen 5x + 3 = –2x – 11 og sett prøve på svaret. Løsning:

5x + 3 = –2x – 11 5x + 2x = –11 – 3 7x = –14 7x ____ –14 ___ = 7 7 x = –2 Vi kontrollerer løsningen ved å sette prøve. Venstre side: Høyre side:

5x + 3 = 5 · (–2) + 3 = –10 + 3 = –7 –2x – 11 = –2 · (–2) – 11 = 4 – 11 = –7

Venstre og høyre side er like. Løsningen er derfor riktig.

OPPGAVE 1.30

Løs likningene og sett prøve på svaret. a) 2x + 1 = 5 b) 3x – 1 = x + 2 – – c) 2x + 2 = 2x 2 d) 2x + 2 = –3x + 7

Sinus S1 > Algebra

OPPGAVE 1.31

Løs likningene. a) 12x – 13 = 9x – 7 b) –7x + 11 = 2x – 3 c) 0,02x + 0,7 = –0,03x + 0,2

Når vi skal løse en noe mer sammensatt likning, kan det ofte svare seg å bruke denne framgangsmåten: 1 Løs opp parenteser. 2 Multipliser med fellesnevneren på begge sidene av likhetstegnet hvis det fins brøker. 3 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 4 Samle alle leddene med den ukjente på venstre side og alle andre ledd på høyre side. 5 Trekk sammen leddene på begge sidene av likhetstegnet. 6 Finn løsningen ved å dividere på begge sider av likhetstegnet med det tallet som står foran den ukjente.

EKSEMPEL Løs likningen x x – 1 __ 1 + __ = –x + __ 2

(

)

Løsning:

x – x 1 __ 1 + __ = –x + __

(

)

2 3 6 x x 1 __ – 1 – __ = –x + __ 2 3 6 x x 1 __ – 1 – __ · 6 = –x + __ ·6 2 3 6 x x 1 __ · 6 – 1 · 6 – __ · 6 = –x · 6 + __ · 6 2 3 6 3x – 6 – 2x = –6x + 1 x – 6 = –6x + 1 x + 6x = 1 + 6 7x = 7 x=1

(

)

(

)

Tallene viser til numrene i framgangsmåten foran.

1 䊊 2 䊊

Fellesnevneren er 6.

3 䊊 4 䊊 5 䊊 6 䊊

Vi dividerer med 7.

I noen likninger finner vi den ukjente i nevneren. I slike tilfeller må vi alltid kontrollere den løsningen vi kommer fram til. Noen ganger kan den gi null i en nevner. Da kan vi ikke bruke løsningen.

EKSEMPEL Løs likningene. 5 1 __ a) __ x +3= x +1

x–1 1 1 1 b) _____ + ___ = __ – ___ 2x 6x 3 3x

Løsning:

a) Vi multipliserer med x på begge sidene av likhetstegnet. 5 1 __ __ x +3= x +1 |·x 5 1 __ · x + 3x = __ · x + x x

5 + 3x = 1 + x 2x = –4 x = –2

x = –2 gir ikke null i noen nevner.

b) Fellesnevneren for 2x, 6x, 3 og 3x er 6x. Vi multipliserer derfor med 6x på begge sidene av likhetstegnet. x – 1 ___ 1 __ 1 1 _____ + = – ___ | · 6x

2x 6x 3 3x x – 1 1 1 1 _____ + ___ · 6x = __ – ___ · 6x 2x 6x 3 3x 2 x – 1 3 ___ 1 1 2 1 _____ · 6x + · 6x = __ · 6x – ___ · 6x 2x 6x 3 3x – – (x 1) · 3 + 1 = 2x 2 3x – 3 + 1 = 2x – 2 3x – 2 = 2x – 2 3x – 2x = –2 + 2 x=0

(

)

(

)

x = 0 gir null i tre av nevnerne i likningen i oppgaven. Da kan vi ikke sette inn x = 0. Likningen har ingen løsning.

Sinus S1 > Algebra

Alle slike likninger kan vi løse digitalt. I GeoGebra CAS løser vi likningene g i eksempelet foran ved å skrive inn likningene og deretter trykke på

Legg merke til hvordan GeoGebra skriver svaret på likninger som ikke har noen løsning!

OPPGAVE 1.32

Løs likningene uten hjelpemiddel og sett prøve på svaret. 1 1 1 a) __x + 2 = __x – __ 3 2 3 1 __ b) 2(x – 1) = (x – 3) 3 x – 2 _____ 2–x _____ c) = 3 2 3 1 – 2x 4 + 2x d) ______ – __ = ______ 5 5 3 OPPGAVE 1.33

Løs likningene både uten og med hjelpemiddel. 2 a) __ x +3=0 8 5 – __ b) __ x 3= x x–1 1 __ c) _____ x +2=– x 3 1 d) _____ + 2 = _____ x–2 x–2 OPPGAVE 1.34

Løs disse oppgavene ved hjelp av likninger. a) Finn tre hele tall som følger etter hverandre og er slik at summen av tallene blir 123. b) Finn fem partall som følger etter hverandre og er slik at summen av tallene blir 240.

1.4 Ulikheter I mange praktiske sammenhenger har vi bruk for å vite om en størrelse er større enn eller mindre enn en annen størrelse. I matematikken kaller vi slike problemer ulikheter. Vi har fire forskjellige ulikhetssymboler. Det er < (mindre enn), ≤ (mindre enn eller lik), > (større enn) og ≥ (større enn eller lik). Når vi skriver x < 3, betyr det at x er et tall som er mindre enn 3. Uttrykket x ≥ 5 forteller at x er et tall som er større enn eller lik 5. Vi legger merke til at åpningen i ulikhetstegnet alltid peker mot det største tallet. Ulikheter løser vi omtrent på samme måten som likninger. Vi har disse regnereglene:

Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Det er det samme som å flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet og skifte fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet.

EKSEMPEL Løs ulikhetene. a) 3x + 4 < x + 8

b) x – 2(4 – x) ≥ 5x + 2

Løsning:

a) Vi bruker reglene ovenfor. 3x + 4 < x + 8 3x – x < 8 – 4 2x < 4 2x __ 4 ___ < 2 2 x<2

Sinus S1 > Algebra

x – 2(4 – x) ≥ 5x + 2 x – 8 + 2x ≥ 5x + 2 x + 2x – 5x ≥ 2 + 8 –2x ≥ 10 Nå dividerer vi med –2 på begge sidene av ulikhetstegnet. Da må vi snu tegnet. 10 –2x ___ ____ ≤ –2 –2 x ≤ –5

OPPGAVE 1.40

Løs ulikhetene. a) 3x + 2 > 8 c) x – 3 < –3x – 1

b) –2x + 5 > x – 1 d) –2(x – 1) ≥ 3(x – 6)

OPPGAVE 1.41

Løs ulikhetene. a) 2x – 5 > 4x + 1 x c) 2 + 3x – 6(1 – __) > 0 2 5 7 9 1 e) __x – __ > – __ + __x 2 6 6 2

b) 2(3 – x) < 2 + 3(x – 1) 2 5 1 d) __ – __x < __ – x 3 2 3

Til nå har vi arbeidet med ferdig oppsatte ulikheter. I praktiske oppgaver må vi stille opp ulikhetene selv.

EKSEMPEL I Øverbygda var det 120 cm snø i påska. Etter påske minker snømengden med 4 cm per dag. Når er det mindre enn 40 cm snø i Øverbygda?

Løsning:

Etter x dager er snømengden s målt i centimeter gitt ved formelen s = 120 – 4x Vi skal finne ut når snømengden er mindre enn 40 cm. Det er det samme som at s < 40. Ettersom s = 120 – 4x, gir det ulikheten 120 – 4x < 40 –4x < 40 – 120 –4x < –80 –80 –4x ____ ____ > –4 –4 x > 20

Vi dividerer med –4. Da må vi snu ulikhetstegnet.

Når det har gått mer enn 20 dager, er snømengden mindre enn 40 cm.

OPPGAVE 1.42

La x være lengden av en drosjetur målt i kilometer. Prisen U i kroner er gitt ved U = 9,40x + 20 a) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være mindre enn 255 kr? b) Hvor langt kan vi kjøre hvis prisen skal være større enn 302 kr? OPPGAVE 1.43

Temperaturen i ei bestemt termosflaske er 86 °C og synker med 2,5 grader per time. a) Når er temperaturen over 61 °C? b) Når er temperaturen under 71 °C? OPPGAVE 1.44

Anne og Einar er på tur. Anne har med seg 1200 kr og bruker 60 kr per dag. Einar har med seg 1000 kr og bruker 40 kr per dag. Når har Einar mer penger enn Anne? OPPGAVE 1.45

Løs ulikhetene. a 1 2 a) 8 – 2 a – __ < __a – 3 2 – __ 2 3 3 2s + 1 – ______ c) 4(2s – 1) < 1 2

(

22 22

Sinus S1 > Algebra

)

(

)

b) 6 – 4(t – 8) + 2t > 34 – 6t

1.5 Logikk For ca. 2500 år siden fant grekerne ut at de måtte bevise all matematisk kunnskap ved hjelp av logikk. Denne tankegangen har siden vært grunnlaget for faget matematikk. I den norske skolen ble det rundt 1970 tatt i bruk mange symboler fra logikk. Vi skal nå gjøre oss kjent med noen av symbolene fra logikken. Vi vet at hvis 2x + 1 = 4, så er 2x = 3. Med bruk av symboler skriver vi 2x + 1 = 4 ⇒ 2x = 3 Tegnet ⇒ er en implikasjonspil som vi leser «fører til at», «medfører at» eller «impliserer at». Vi bruker denne pila mellom to likninger, påstander eller utsagn.

Skrivemåten A ⇒ B betyr at hvis påstanden A er riktig, så er også påstanden B riktig.

Slike påstander trenger ikke være matematiske. Vi kan for eksempel skrive: Personen heter Ola ⇒ Personen er en gutt Det er en riktig slutning. Men slutningen Personen er en gutt ⇒ Personen heter Ola er ikke riktig. Hvis x = 2, fører det til at x2 = 4. Med symboler skriver vi x = 2 ⇒ x2 = 4 Men hvis x2 = 4, behøver ikke det bety at x = 2. Det riktige kan være at x = –2. Derfor kan vi ikke skrive at x2 = 4 ⇒ x = 2. Det riktige er x2 = 4 ⇒ x = 2 eller x = –2 Mange bruker et eget logisk symbol for «eller» og skriver x2 = 4 ⇒ x = 2 x = –2 Tegnet leser vi altså «eller». Vi bruker det mellom to påstander for å fortelle at minst en av påstandene må være riktig. Likningene 2x2 = 8 og x2 = 4 har nøyaktig de samme løsningene, nemlig x = 2 og x = –2. Vi sier at de to likningene er ekvivalente (likeverdige) og skriver 2x2 = 8 ⇔ x2 = 4

Tegnet ⇔ kaller vi et ekvivalenstegn. Vi leser «er ekvivalent med», «har samme løsning som» eller «hvis og bare hvis». Vi kan også skrive x2 = 4 ⇔ x = 2 x = –2 Det er ikke bare i matematikk vi bruker ekvivalenstegnet. Vi kan skrive Ola er faren til Jens ⇔ Jens er sønnen til Ola

To påstander A og B er ekvivalente dersom påstand A er riktig hvis og bare hvis påstand B er riktig. Vi skriver A ⇔ B To likninger er ekvivalente hvis de har nøyaktig de samme løsningene. Når vi bruker regnereglene for likninger fra kapittel 1.3, får vi fram nye likninger med de samme løsningene. Vi har dermed denne regelen:

Når vi flytter et ledd over på den andre siden av likhetstegnet og skifter fortegn på leddet, får vi en ekvivalent likning. Når vi dividerer eller multipliserer på begge sidene av likhetstegnet med et tall som ikke er null, får vi en ekvivalent likning.

EKS EMPEL Løs likningen 6x + 2 = 4x + 8 Løs ning:

6x + 2 = 4x + 8 6x – 4x = 8 – 2 2x = 6 6 2x __ ___ = 2 2 x=3

Sinus S1 > Algebra

I denne boka kommer vi normalt ikke til å skrive ekvivalenstegnet ⇔ når vi løser likninger. Vi forutsetter vanligvis at likningene er ekvivalente når det ikke står noe symbol mellom dem.

OPP GAVE 1.50

Sett inn ett av symbolene ⇐, ⇒ eller ⇔ i rutene der det er mulig. a) Jeg er fra Hamar ⵧ Jeg er fra Norge b) Jeg er fra Bergen ⵧ Jeg er bergenser c) Jeg er fra Oslo ⵧ Jeg heter Odd d) Jeg er fra Finnmark ⵧ Jeg er fra Alta e) Jeg er fra Oslo ⵧ Jeg bor i Oslo OPP GAVE 1.51

Sett inn ett av symbolene ⇐, ⇒ eller ⇔ i rutene der det er mulig. a) 3x2 = 12 ⵧ x2 = 4 b) x = 4 ⵧ x2 = 16 c) x2 = 9 ⵧ x = 3 x = –3 d) x3 = x ⵧ x = 0

I tillegg til tegnet («eller») har vi tegnet for «og». Tegnet bør vi lese «og samtidig». Vi kan for eksempel bruke det når vi løser to likninger med to ukjente. Likningssettet 2x + y = 1 x–y=2 betyr at de to likningene skal være oppfylt samtidig. Vi kan derfor skrive 2x + y = 1 x – y = 2

Vi kan ikke alltid erstatte ordet «og» med tegnet , for tegnet betyr «og samtidig». Vi kan gjerne si at en likning har løsningene x = 2 og x = 3. Det er ikke det samme som å si at likningen har løsningene x = 2 x = 3. Variabelen x kan ikke samtidig være både 2 og 3. Vi må si at likningen har løsningen x = 2 x = 3. OPP GAVE 1.52

Omtrent hvor mange nålevende personer passer med beskrivelsen? a) Jeg er norsk Jeg er kvinne b) Jeg er norsk Jeg er kvinne c) Jeg er trønder Jeg er svensk d) Jeg er trønder Jeg er svensk

OPP GAVE 1.53

Finn løsningene. a) x2 = 9 x > 0 c) 2x = 4 3x + 1 = 4

b) x2 = 9 x < 0 d) 2x = 4 3x + 1 = 4

1.6 Mengdelære Tallene deler vi ofte opp i naturlige tall, hele tall, rasjonale tall, irrasjonale tall og reelle tall. De naturlige tallene er tallene 1, 2, 3, 4, …. Vi bruker symbolet N for dem. De hele tallene omfatter alle de naturlige tallene, tallet 0 og alle de hele negative tallene. Z er symbolet for de hele tallene. De rasjonale tallene er sammensatt av alle tall som kan skrives som brøker. Det vanlige symbolet for de rasjonale tallene er Q . Alle hele tall kan skrives som brøker og er dermed rasjonale tall. Det fins mange tall som __ verken er hele tall eller brøker. Det er de irrasjonale tallene. Tallene π og √ 2 er eksempler på irrasjonale tall. De reelle tallene er sammensatt av de rasjonale tallene og de irrasjonale tallene. De reelle tallene omfatter dermed alle hele tall, alle brøker og alle tall som ikke kan skrives som en brøk. Det blir alle tallene i det vanlige tallsystemet vårt. R er det vanlige symbolet for de reelle tallene. Vi har nå sett på noen tallmengder. Det er mengder som inneholder tall, men mengder kan også bestå av andre typer elementer. Vi kan for eksempel snakke om mengden av alle førstegradsuttrykk eller mengden av alle byer i Norge. Hvis vi skriver x ∈ N , betyr det at tallet x tilhører de naturlige tallene. Det er det samme som å si at x er et naturlig tall. Symbolet ∈ leser vi ‘tilhører’ eller ‘er element i’. Når vi skriver at x ∈ R, betyr det at x er et hvilket som helst tall. Vi kan også skrive –2 ∈ Z når vi vil si at tallet –2 er et helt tall. Vi skriver –2 ∉ N når vi vil si at –2 ikke er et naturlig tall. Alle tallmengdene ovenfor inneholder uendelig mange tall. Tallmengder med et endelig antall elementer kan vi skrive på listeform: Tallmengden {2, 4, 6} består av tallene 2, 4 og 6. Når vi skriver x ∈ {2, 4, 6}, sier vi at x er ett av tallene 2, 4 eller 6. Når vi for eksempel skal skrive at likningen x2 – 5x + 6 = 0 har løsningen x = 2 eller x = 3, kan vi skrive x2 – 5x + 6 = 0 ⇔ x ∈ {2, 3}

Sinus S1 > Algebra

{2, 3} kaller vi løsningsmengden til likningen x2 – 5x + 6 = 0. I mengder på listeform trenger vi ikke å tenke på hvilken rekkefølge vi skal skrive tallene i. Det er det samme om vi skriver {3, 6, 9} eller {3, 9, 6}. Disse to mengdene er like: {3, 6, 9} = {3, 9, 6} Funksjonen f gitt ved x+2 f(x) = _____ x–1 har ingen funksjonsverdi for x = 1, for x = 1 gir 0 i nevneren. Funksjonen er definert for alle x ≠ 1. Vi kan da skrive x ∈ R \ {1}. Dette er en mengdedifferanse. Når vi skriver R \ {1}, tar vi bort tallet 1 fra de reelle tallene. Definisjonsmengden til funksjonen f er Df = R \ {1} Med mengdesymboler kan vi skrive {2, 4, 6} \ {4} = {2, 6} Mengdedifferansen tar altså bort tall fra en mengde. Legg merke til at {1, 2, 3, 4} \ {3, 5} = {1, 2, 4} Hvis vi prøver å ta bort noe som ikke er med i mengden, så har det ikke noen betydning for resultatet.

OPPGAVE 1.60

Sett inn symbolet ∈ eller ∉ i de tomme rutene. b) –5 ⵧ N a) –5 ⵧ Z 2 2 c) __ ⵧ Z d) __ ⵧ Q 3__ 3__ e) √ 5 ⵧ R f) √ 5 ⵧ Q OPPGAVE 1.61

Finn løsningsmengden til disse likningene. a) 2x – 4 = 6 b) x2 = 9 c) 2x2 = 8 d) 3x2 – 2 = 46

OPPGAVE 1.62

Skriv definisjonsmengdene med mengdesymboler. 2x + 1 a) f(x) = ______ x–3 x–1 ______ b) f(x) = 2x + 4 2x + 1 c) f(x) = ______ x2 – 9

Intervallet [2, 5] består av alle tall fra og med 2 til og med 5. Vi kaller det et lukket intervall. Vi kan skrive x ∈ [2, 5] ⇔ 2 ≤ x ≤ 5 På tallinja kan vi vise intervallet slik: 0

Intervallet 〈2, 5〉 er et åpent intervall. Det består av alle tall som er større enn 2 og mindre enn 5. x ∈ 〈2, 5〉 ⇔ 2 < x < 5 Dette åpne intervallet ser slik ut på tallinja: 0

Dermed er 〈2, 5〉 = [2, 5] \ {2, 5} De halvåpne intervallene kan vi definere slik: x ∈ [2, 5〉 ⇔ 2 ≤ x < 5 x ∈ 〈2, 5] ⇔ 2 < x ≤ 5 Vi bruker også disse skrivemåtene: x ∈ 〈2, →〉 ⇔ x > 2 x ∈ 〈←, 2〉 ⇔ x < 2 x ∈ [2, →〉 ⇔ x ≥ 2 x ∈ 〈←, 2] ⇔ x ≤ 2

Sinus S1 > Algebra

Tallmengden A ∩ B (‘A snitt B’) består av de tallene som er med i både A og B. Mengden A ∪ B (‘A union B’) består av de tallene som er med enten i A eller i B eller i begge. Vi kan skrive det slik: x∈A∩B⇔x∈A x∈B x∈A∪B⇔x∈A x∈B Vi kan illustrere disse mengdene i et venndiagram: A

A∩B A∪B

EKS EMPEL Skriv enklest mulig med mengdesymboler. a) [1, 4] \ {1} b) 〈1, 3〉 ∪ {1, 3} c) [1, 5] ∩ 〈3, 7〉 d) [1, 5] ∪ 〈3, 7〉 Løsning:

a) 0 1 2 3 4 5 6 7

[1, 4] \ {1} = 〈1, 4] b) 0 1 2 3 4 5 6 7

〈1, 3〉 ∪ {1, 3} = [1, 3] c) 0 1 2 3 4 5 6 7

[1, 5] ∩ 〈3, 7〉 = 〈3, 5] d) 0 1 2 3 4 5 6 7

[1, 5] ∪ 〈3, 7〉 = [1, 7〉

OPPGAVE 1.63

Finn mengdene. a) {2, 4, 6, 8, 10} \ {4, 8} c) 〈–5, 5] \ {5}

b) [–2, 7] \ {–2, 7} d) 〈1, 3〉 \ {2}

OPPGAVE 1.64

Skriv som intervaller. a) [–2, 2] ∪ [1, 5] c) [–2, 2] \ [1, 5] e) 〈3, 6〉 ∩ [5, 6]

Sinus S1 > Algebra

b) [–2, 2] ∩ [1, 5] d) 〈3, 6〉 ∪ [5, 6] f) 〈3, 6〉 \ [5, 6]

SAMMEN DRAG Å løse opp parenteser Når vi skal løse opp en parentes som har et minustegn foran, må alle leddene inne i parentesen skifte fortegn. En parentes med et plusstegn foran kan vi ta bort uten å endre noe fortegn inne i parentesen. Multiplikasjon med parentes Når vi skal multiplisere et tall og en parentes, må vi multiplisere tallet med hvert ledd som står inne i parentesen. Når vi skal multiplisere to parentesuttrykk, må vi multiplisere hvert ledd i den første parentesen med hvert ledd i den andre. Regneregler for likninger Vi kan trekke fra eller legge til det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet. Det er det samme som å flytte et ledd over på den andre siden av likhetstegnet og samtidig skifte fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med det samme tallet på begge sidene av likhetstegnet dersom tallet ikke er null. Regneregler for ulikheter Vi kan legge til eller trekke fra det samme tallet på hver side av ulikhetstegnet. Det er det samme som å flytte et ledd over på den andre siden av ulikhetstegnet og skifte fortegn på leddet. Vi kan multiplisere eller dividere med et tall som ikke er null, på begge sidene av ulikhetstegnet. Hvis tallet er negativt, må vi snu ulikhetstegnet. Implikasjon A ⇒ B betyr at hvis påstanden A er riktig, så er også påstanden B riktig. Ekvivalens A ⇔ B dersom påstand A er riktig hvis og bare hvis påstand B er riktig. Noen tallmengder N : Alle naturlige tall 1, 2, 3, … Z : Alle hele tall Q : Alle rasjonale tall (hele tall og brøker) R : Alle reelle tall (rasjonale tall og irrasjonale tall)

Oppgaver

260

1 Algebra +

ØV MER

1.1 BOKSTAVREGNING OG PARENTESER

Oppgave 1.110 Regn ut og trekk sammen uten å bruke hjelpemidler. a) 3(1 – x) – 2(x – 1) b) 4(2x – 3) + 3(x – 2) c) a(2 – b) – b(a – 3) d) ab(1 + 2b) – 2a(b2 – b) Oppgave 1.111 Regn ut og trekk sammen uten og med digitalt hjelpemiddel. a) 2(a + b) – 3a + 4b – 3(b – a) b) a(2a – 3) – 3a + 2a(3 – a) c) b(a – 3b) + (a + b)(a – b) – ab Oppgave 1.112 Multipliser ut og trekk sammen uten å bruke hjelpemidler. 2 a) __ (a + 3b)(a – 3) 3 3 1 4 b) __ __ a – b __ a + b 4 3 3

(

)(

)

1.2 RASJONALE UTTRYKK

Oppgave 1.120 Trekk sammen. y y–1 y+2 a) __ + _____ – _____ 4 3 6 a2 + 25 5 _______ a __ __ – + b) 5 a 5a

b – 2 2b + 1 1 2 c) _____ + ______ – __ + __ 3 b b 3b 2 z z – 4 z – 21 d) __ + _____ – _______ 7 7z z Oppgave 1.121 Regn ut. 3 4x2 6y a) ____ · ____ 2y 2x 5a 15a b) ___ : ____ 2b 6b2 2b – 3 1 1 c) ___ + ___ – ______ 3a 2b 6ab 2 3x x 2 d) __ ____ + __ 6 x 4

(

)

Oppgave 1.122 Regn ut. 3a2b 12 a) _____ · _____ 4 9ab2 2y 3 8x 2x b) ____ : _____ 5y 10 x – 2 ___ 1 _____ 4 – – c) ___ x 2x x2 y 10 ___ 5 15 ___ – + d) __ ___ 5 y2 2y y

(

)

Oppgave 1.123 Regn ut både uten og med hjelpemidler. 2a 1 ___ 2 ___ ___ + + 2a 2x 3x 3 _________ ________ a) b) 3 ___ 2a 3 ___ __ –a – x 2x 9 2 – __ 1 ___ x 5x c) __________ 3 1 ____ – ___ 10x

261

1.3 LIKNINGER

Oppgave 1.130 Løs likningene uten hjelpemidler og sett prøve på svaret. a) 0,3x + 1,7x = 3,6 + 0,2x b) 1,5x – 0,2 = 1,3x + 0,6 c) 0,6 – 2(0,2x + 0,3) = 0,1x + 2,5 Oppgave 1.131 Løs likningene uten hjelpemidler. 2 1 a) __ t – __ (7 – t) = 0 3 2 1 1 b) 2 __ – t – 2t = __ 2 3 7 4 c) 2 1 – __ s + s = __ 5 5

( (

)

Oppgave 1.132 Løs likningene uten hjelpemidler. a) 2x + 2 – 3(1 – x) = 5 – x 3 1 1 b) __ t + __ = __ (t – 3) 2 2 6 3 1 c) __ (s – 1) – ___ (1 – s) = 0 5 10 1 1 1 1 2 d) __ s – s – __ = __ – s – __ – __ 3 3 2 2 3

)

(

)

Oppgave 1.133 Løs likningene uten hjelpemidler. 1 1 1 a) __ (x – 1) – __ (1 – x) = x + __ (x – 1) 2 3 6 x x 1 1 1 b) 1 – __ – __ __ – 3x = __ 1 – __ 2 3 2 2 2

(

)

Oppgave 1.134 Løs om mulig likningene. x+1 3 1 a) _____ + __ = __ 2 x x 3 2 1 b) _____ – _____ = _____ x+2 x+1 x+2 2x – 1 1 1 c) _____ + __ = _______ 1 – x x x(1 – x)

262 262

Sinus S1 > Algebra

(

)

(

)

1.4 ULIKHETER

)

(

Oppgave 1.135 Løs likningene både uten og med hjelpemidler. 1 1 1 a) __ __ + 3 = 1 – __ 2 x x 5 3 2 __ __ (x – 1) – (1 – x) = __ x b) 2 3 2 1 2 2 1 c) __ – _____ = 4 __ – _____ x x+1 x x+1 x 1 d) _____ + __ = 1 x–1 x

)

Oppgave 1.140 Løs ulikhetene. a) 5x + 4 > 2x – 2 b) 3(2 – x) < 3 – x c) x + 3 – 2(3 + 2x) < 5(2 – x) d) 2(x – 1) – 3(1 – x) < x + 3 e) 3(2x + 1) – (5 – x) > 1 – (x + 3) Oppgave 1.141 Løs ulikhetene. x + 4 2x + 1 a) _____ > ______ + 1 3 3 x – 3 3x 7x + 4 b) ______ ≤ 2 – _____ + ___ 4 2 8 x – 4 7 5 – 2x c) _____ + __ > ______ 3 6 2 Oppgave 1.142 Løs ulikhetene. x 1 a) __(x – 2) ≥ __ + 1 2 4 5 1 1 b) __(x – 1) – __(x – 2) ≤ __ 2 3 6 3 – 5x 1 + x c) ______ > _____ – 2 5 3 2(x – 1) – 3 5 + 4x d) ___________ ≥ ______ 4 3

Oppgave 1.143 Per har 28 600 kr på konto og tar ut 740 kr hver måned. Anne har 13 240 kr på konto og setter inn 540 kr hver måned. Vi ser bort fra renter. Når har Anne mer penger enn Per på kontoen?

1.5 LOGIKK

Oppgave 1.150 Undersøk om vi kan bruke noen av tegnene ⇐, ⇒ eller ⇔ i rutene nedenfor, og sett inn riktig tegn. a) Per har en bror Per er ikke enebarn Mette har b) Mette har bil sertifikat for bil c) Ingunn er søsteren til Trond Trond er broren til Ingunn x er et partall d) x er 2 Oppgave 1.151 Sett inn riktig tegn (⇒, ⇐ eller ⇔) i rutene. x2 = 4 a) x = –2 2 x=3 b) x – 9 = 0 c) x4 + 2x = 0 x3 = –2 x = –1 ⵪ x = 3 d) x2 – 2x – 3 = 0 Oppgave 1.152 Finn løsningene. a) x2 – 1 = 0 ⵩ x2 – x = 0 b) x > 1 ⵩ x < 3 c) x2 – 16 = 0 ⵪ 2x = 4 d) x2 – 4 = 0 ⵩ x2 – 4x = 0 Oppgave 1.153 Finn løsningene. a) x + y = 1 ⵩ 2x – y = 5 b) y = x2 + 2x ⵩ x + y = 4 c) y = x2 + 2x – 1 ⵩ y = 3 – x d) y = x2 ⵩ y = –x2 + 8

1.6 MENGDELÆRE

Oppgave 1.160 Sett inn symbolet ∈ eller ∉ i de tomme rutene. __ __ N b) √ π2 Q a) √ 9 c) –3 Z Oppgave 1.161 Skriv definisjonsmengden med mengdesymboler. x2 + 3 4 b) ______ a) ______ x x2 – 1 4x – 2 c) __________ 2 x + 2x – 8 Oppgave 1.162 Skriv som intervaller. a) 〈–4, 7〉 \ [–5, 2〉 b) 〈←, 2〉 ∪ [0, 3〉 c) 〈–4, 4] ∩ [4, →〉 d) [0, →〉 \ 〈–1, 1〉

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 1.200 Trekk sammen. a) (x + 2y)(x – 3y) – 3x(x + y) b) (x – 4)(2x – 3) + (3x – 4)(x – 2) c) 3(x – 2) – 3(y + 2) – 3(x – y – 4) Oppgave 1.201 Hvilke faktorer må stå i de åpne rutene? ⵧ · (y + x) – ⵧ · (y – x) = x2 + y2 ↑ 1.1

Oppgave 1.202 Regn ut. 3x 10 1 2 a) ___ · ___ b) 1 – __ : __ + 2 5 x2 6 3

(

)(

)

263

Oppgave 1.203 Regn ut. 1 – 1 1 – __ __ a) 2 __ x 1 +3 2 x +2 1 _____ a 1 __ __ – +1 s s – 1 2 c) __________ b) ________ 1 2a 1 __ __ – ___ s 6 3

(

)

(

Oppgave 1.208 Løs om mulig likningene og ulikheten. 5 1 1 a) __(x + 3) – __(x – 1) = __ 3 2 6 1 2 3–x b) __ – __ = _____ x 3 3x 1 – 3x 2x + 1 c) ______ – ______ > 2x 2 4

)

↑ 1.2

↑ 1.4

Oppgave 1.204 Løs likningene. a) 2(x – 2) – (1 – x) + 14 = 0 2 1 1 x b) __ x – __ (x – 4) = __ – __ 3 2 2 3 3 2 1 c) __ + ___ = __ – 1 t t 2t x–1 1 11 x + 1 d) _____ – ___ = ___ – _____ 3 12 12 2

Oppgave 1.209 Skriv av utsagnene nedenfor. Sett inn riktig symbol, ⇒, ⇐ eller ⇔, og forklar hvordan du har tenkt.

Oppgave 1.205 Løs likningene. x 1 a) __ (x – 2) = __ + 1 2 4 5 1 1 b) __ (x – 1) – __ (x – 2) = __ 2 3 6 1 1 __ c) 1 – __ x = (2 + 3x) x

Oppgave 1.210 (Eksamen H-2008) Løs ulikheten.

Line har en golden retriever 앮 Line har en hund ↑ 1.5

2x + 4 ≤ 4x + 8 Oppgave 1.211 (Eksamen H-2009) a) Løs likningen. x __ x 1 x __ – = __ – (__ – 1) 4 6 6 2 b) Skriv så enkelt som mulig. 1) 5a2 + (a – 2) · (a + 2) – (2a + 1)

↑ 1.3

Oppgave 1.206 Løs ulikhetene. x x 7 1 a) 2 x – __ + __ < __ – __ 4 3 2 3 3 x x 1 b) __ 3 – __ + __ < x – 1 – __ 2 3 2 2

(

)

(

)

(

Oppgave 1.207 Løs ulikhetene. 1 1 a) __ (x – 3) < 1 – __ x 2 3 1 1 1 2 b) __ x – __ > __ (x – 2) – ___ 5 2 3 30

264 264

2(x – 2) 1 2) ________ + __ 3x 2

Sinus S1 > Algebra

)

Oppgave 1.212 (Eksamen H-2010) a) Løs likningen. 7 x+1 x – 1 __ 1 _____ __ + = – _____ 6 3 6 2 b) Geir jogger en fast runde hver morgen. Det tar vanligvis 60 minutter. En dag har han dårlig tid. Derfor kutter han strekningen med 20 % og øker farten med 20 %. Hvor lang tid tar joggeturen denne morgenen?

Oppgave 1.213 (Eksamen H-2011) Løs likningen. 6x 4 x ___ – 2 = __ + __ 5 5 2 Oppgave 1.214 (Eksempel 2012) Nedenfor er det gitt tre påstander: 1) x2 + 5x + 6 = 0 ⇒ x = –2 2) x2 + 5x + 6 = 0 ⇐ x = –2 3) x2 + 5x + 6 = 0 ⇔ x = –2 Avgjør hvilken av disse påstandene som er riktig. Begrunn svaret.

MED HJELPEMIDLER Oppgave 1.300 a) Regn ut 3 + 8 + 9 + 19 + 20 + 25. b) Regn ut 4 + 5 + 13 + 15 + 23 + 24. c) Regn ut 32 + 82 + 92 + 192 + 202 + 252 d) Regn ut 42 + 52 + 132 + 152 + 232 + 242 e) Undersøk om 3n + 8n + 9n + 19n + 20n + 25n = 4n + 5n + 13n + 15n + 23n + 24n når n = 3, 4 og 5. f) Bytt ut tallene i oppgave c og d ved å subtrahere (trekke fra) 2 fra hvert grunntall: 3 – 2 = 1, 8 – 2 = 6 osv.

Vi lar a være et helt tall, og nå vil vi undersøke om (a – 11)n + (a – 6)n + (a – 5)n + (a + 5)n + (a + 6)n + (a + 11)n har samme verdi som (a – 10)n + (a – 9)n + (a – 1)n + (a + 1)n + (a + 9)n + (a + 10)n når n er 1, 2, 3, 4 eller 5. g) Regn ut verdien av disse to uttrykkene uten bruk av digitale hjelpemidler for n = 1 og n = 2. h) Regn ut verdien av disse to uttrykkene ved hjelp av et CASverktøy for n = 3, 4 og 5. Oppgave 1.301 Vi setter a = 3. Da kan vi for eksempel skrive tallet 10 som (a + 2)2 – 6(a – 1) + 3a – 2(a + 3) a) Trekk sammen uttrykket ovenfor. b) Sett a = 3 inn i det forenklede uttrykket og regn ut svaret. c) Sett a = 3 inn i det opprinnelige uttrykket og regn ut svaret. d) Lag tilsvarende uttrykk som i eksempelet ovenfor for tallene 11, 12, 13, 14 og 15 når a = 3. Lag egne uttrykk som er passe utfordrende å regne ut. Hvert uttrykk skal inneholde minst to parenteser og minst én potens. Kontroller utregningene med et digitalt hjelpemiddel.

Regn ut verdien av 12 + 62 + 72 + 172 + 182 + 232 og av 22 + 32 + 112 + 132 + 212 + 222 Kommenter svaret. Kanskje vi kan lage flere slike sett av tall som har denne spesielle egenskapen.

Oppgave 1.302 t og a er ensifrede tall. Bestem t og a slik at likheten nedenfor stemmer. (2(157 + t))2 = 10a976 ↑ 1.1

265

Oppgave 1.303 Bruk et digitalt hjelpemiddel og gjør de rasjonale uttrykkene nedenfor enklere. 5 7 11 a) __ – ___ + ___ x 3x 2x 13 2 11 b) 7 ___ – ____ + ___ 5x 15x 3x c) Forklar hvorfor vi ikke kan forenkle uttrykkene ved å multiplisere med 6x i alle ledd i oppgave a og med 15x i alle ledd i oppgave b dersom vi skulle forenkle disse uttrykkene uten digitale hjelpemidler.

(

)

↑ 1.2

Oppgave 1.306 Bruk et digitalt hjelpemiddel og løs ulikhetene nedenfor. 5 7 11 7 a) __ – ___ + ___ > __ x 3x 2x 6 13 2 11 1 b) 7 ___ – ____ + ___ ≤ __ 5x 15x 5 3x

)

(

↑ 1.4

Oppgave 1.307 (Eksamen V-2011) Tre bakere skal bake brød. La x være antall kilogram hvetemel som skal brukes. a) Baker nr. 1 tar halvparten av hvetemelet pluss et halvt kilogram.

)

x 1 + __ kg Forklar at baker nr. 1 tar __ 2 2 hvetemel, og at det er igjen

(

Oppgave 1.304 Vi vet at 2+2=2·2=4 I denne oppgaven skal vi finne flere slike tallpar av x og y som passer i likningen x + y = x · y. Med litt prøving og feiling kan vi dessuten finne at 3 3 9 3 + __ = 3 · __ = __ 2 2 2 Men prøving og feiling er en lite effektiv metode. Derfor skal vi nå bruke algebra slik at jakten på passende tallpar blir enklere. a) Omform likningen x + y = x · y slik at du får y uttrykt ved x. b) Velg fritt tre heltallsverdier for x og lag tre nye tallpar som passer i likningen x + y = x · y. Oppgave 1.305 Bruk et digitalt hjelpemiddel til å løse likningene nedenfor. 5 7 11 7 a) __ – ___ + ___ = __ 3x 2x 6 x 13 2 11 1 b) 7 ___ – ____ + ___ = __ 5x 15x 3x 5

(

)

↑ 1.3

266 266

Sinus S1 > Algebra

( __2x – __12 ) kg hvetemel. b) Baker nr. 2 tar halvparten av det hvetemelet som er igjen pluss et halvt kilogram.

)

x 1 + __ kg Forklar at baker nr. 2 tar __ 4 4 hvetemel, og at det er igjen 3 x __ – __ kg hvetemel.

(

)

c) Baker nr. 3 tar halvparten av det hvetemelet som er igjen pluss et halvt kilogram. Forklar at baker nr. 3 tar

( __8x + __18 ) kg hvetemel. Etter at bakerne har tatt hvetemelet sitt, er det 1 kilogram igjen. d) Forklar at x __ x 1 x 1 1 __ + __ + __ + __ + __ = x – 1 + 2 2 4 4 8 8 Bestem x.

(

) (

)

FASIT TEORIDEL

1.10 a) 5x + 2y + 1 b) 2a2 – a + 2 c) 2x2 – x – y2 d) xy – xy2 – x2y 1.11 a) 7x c) 4x

b) 2a + b d) a2

1.12 a) 2x + 8 c) 1

b) –2t + 6 d) 15x + 5

1.13 a) –2a + 7b c) 2x2 – x – 3

b) 0 d) 6t2 – t – 2

1.14 a) 3x2 + 1 b) 15x c) 4x2 + 2x – 6 d) 6t2 + 15t – 9 1.20 a) a 1.21 a) 4

5xy b) ____ 6

1.22 9 a) ___ 2a 1.23 x+2 a) _____ 4 –x + 8 ______ c) 6x 1.24 4x + 5 a) ______ 5x – 1 b – 2a ______ c) 2b – a 1.30 a) x = 2 3 b) x = __ 2 c) x = 1 d) x = 1 1.31 a) x = 2 c) x = –10

358

13 c) ___

1 b) __ a

b) 1

c) 6

3 d) __ 5

c) 4x + 10

a+7 b) _____ 6 1 __ d) 6 1 b) __ 2 d) x + 6

H.s. = v.s. = 5 7 H.s. = v.s. = __ 2 H.s. = v.s. = 0 H.s. = v.s. = 4 14 b) x = ___ 9

1.32 a) x = 14 3 b) x = __ 5 c) x = 2 d) x = –1

20 H.s. = v.s. = ___ 3 4 – H.s. = v.s. = __ 5 H.s. = v.s. = 0 2 H.s. = v.s. = __ 5

1.33 2 a) x = – __ 3 c) Ingen løsning

b) x = –1 d) x = 3

1.60 a) –5 Z b) –5 N 2 c) __ Z 3 2 __ Q 3__

5 R √__ √5 Q

1.61 a) {5} b) {–3, 3} c) {–2, 2} d) {–4, 4}

b) x < 2 d) x ≤ 4

1.41 7 a) x < –3 b) x > __ 5 2 1 d) x > __ e) x < __ 9 2

1.53 a) x = 3 b) x < 0 x = 3 c) x = 1 x = 2 d) Ingen løsning

d) e) f)

1.34 a) 40, 41 og 42 b) 44, 46, 48, 50 og 52 1.40 a) x > 2 1 c) x < __ 2

d) ca. 10 millioner

2 c) x > __ 3

1.42 a) Mindre enn 25 km b) Mer enn 30 km 1.43 a) Etter mindre enn 10 timer b) Etter mer enn 6 timer 1.44 Etter mer enn 10 dager 1.45 45 1 a) a > ___ b) t > –1 c) s > __ 11 2

1.62 a) Df = R \ {3} b) Df = R \ {–2} c) Df = R \ {–3, 3} 1.63 a) {2, 6, 10} b) –2, 7 c) –5, 5 d) 1, 2 2, 3 1.64 a) [–2, 5] b) [1, 2] c) [–2, 1 d) 3, 6] e) [5, 6 f) 3, 5

1.50 a) ⇒ b) ⇔ c) Ingen tegn passer. d) ⇐ e) Ingen tegn passer.

2.12 a) y = –2x + 3 3 b) y = __ x+1 2

1.51 a) ⇔

c) y = – __ x+4 2

b) ⇒

c) ⇔

1.52 a) ca. 2,5 millioner b) ca. 3,5 milliarder c) Ingen

d) ⇐

2.13 a) 3 2.20 2

FASIT OPPGAVEDEL

1 1.110 a) 5 – 5x b) 11x – 18 c) 2a – 2ab + 3b d) 3ab

c) Ingen løsning 1.135 a) x = –3

b) x = – ___ 2

1.111 a) 2a + 3b c) a2 – 4b2

c) x = 1

d) x = __ 2

1.140 a) x > –2

b) x > __ 2

b) 0

c) x < ___ 2

1.112 2 2 a) __ a – 2a + 2ab – 6b 3

1.141 a) x < 0 c) x > 2

1.120 4b + 1 c) _____ 3b

2a b) ___ 5 z–1 d) ____ z

1.142 a) x ≥ 8

b) x ≤ __ 3

1.201 y og x

b) x ≤ 4

1.202 6 a) __ x

5 b) ___ 16

1.203 3 a) ___ 2x

3a + 6 b) _____ 1 – 4a

b) b

a+1 c) _____

9x + 2 d) _____

1.143 Etter ett år (12 måneder)

1.122 a a) __ b

x b) ___2

1.150 a) ⇒ c) ⇔

b) Ingen tegn d) ⇒

1.151 a) ⇒ c) ⇐

b) ⇐ d) ⇔

2ab

1–x c) _____ 2 x

1.123 7 a) __ 9

2y 4 – 5y _____ 2y

24 b) – ___ c) 3 7

1.130 a) x = 2, h.s. = v.s. = 4 b) x = 4, h.s. = v.s. = 5,8 c) x = –5, h.s. = v.s. = 2 b) t = __ 6

1.132 a) x = 1

b) t = –6

c) s = 1

d) s = __ 2

1.133 a) x = –2

b) x = __ 3

1.134 a) Ingen løsning 3 b) x = – __ 2

d) x ≤ – __ 2

1.152 a) x = 1 b) 1 < x < 3 c) x = ± 4 x = 2 d) Ingen løsning

1.131 a) t = 3 c) s = 1

1.153 a) x = 2 y = –1 b) (x = 1 y = 3) (x = –4 y = 8) c) (x = 1 y = 2) (x = –4 y = 7) d) (x = –2 y = 4) (x = 2 y = 4)

1.160 a) 僆 b) 僆 c) 僆

b) , 3 d) [1,

1.200 a) –2x2 – 4xy – 6y2 b) 5x2 – 21x + 20 c) 0

d) x < 2

1.121 a) 6xy2

c) x < ___ 10

1.162 a) [2, 7 c) {4}

e) x > 0

3 3 2 1 2 __ a – 4 ab – __ b b) __ 3 4 5y – 8 a) _____ 12

1.161 a) R \ {0} b) R \ {–1, 1} c) R \ {–4, 2}

1 c) ____ 1–s

1.204 a) x = –3 c) t =

1 – __ 2

1.205 a) x = 8

b) x = –3 d) x = 1 b) x = 4

3 c) x = – __ 2

1.206 a) x < –1

b) x > 3

1.207 a) x < 3

b) x > –5

1.208 a) x = 4 c) x < 1

b) Ingen løsning

1.209 ⇒ 1.210 x ≥ –2 1.211 a) x = 2

365

b) 1) 6a2 – 2a – 5

1.304 x a) y = ____ x–1 4 b) For eksempel x = 4 og y = __ , 3

7x – 8 2) _____ 6x

1.212 a) x = 1

b) 40 minutter

x = 5 og y = __ , x = 6 og y = __ 5 4

1.213 x=4

1.305 a) x = 7

1.214 Påstand 1 er riktig.

1.306 a) 0 < x < 7 b) x < 0 eller x ≥ 2

1.300 a) 84 b) 84 c) 1540 d) 1540 e) n = 3 gir summen 31 752 for begge uttrykkene. n = 4 gir summen 691 684 for begge uttrykkene. n = 5 gir summen 13 446 972 for begge uttrykkene. f) Begge summene blir 1228. g) n = 1 gir summen 6a for begge uttrykkene. n = 2 gir summen 6a2 + 365 for begge uttrykkene. h) n = 3 gir summen 6a3 + 1092a for begge uttrykkene. n = 4 gir summen 6a4 + 2184a2 + 33 124 for begge uttrykkene. n = 5 gir summen 6a5 + 3640a3 + 165 620a for begge uttrykkene. n = 6 gir forskjellige summer: 11)6

6)6

5)6

(a – + (a – + (a – + (a + 5)6 + (a + 6)6 + (a + 11)6 = 6a6 + 5460a4 + 496 860a2 + 3 667 684 (a – 10)6 + (a – 9)6 + (a – 1)6 + (a + 1)6 + (a + 9)6 + (a + 10)6 = 6a6 + 5460a4 + 496 860a2 + 3 062 884 1.301 a) a2 – a + 4

b) 10

1.302 t = 5 og a = 4 1.303 49 a) ___ 6x

366

2 b) ___ 5x

b) x = 2

2.125 b) y = 0,15t + 30 c) 30 cm d) Etter 3 h 20 min e) Lyset brenner 1,5 mm per minutt. 2.126 b) 60 km c) y = 9x + 60 d) Hvor langt han sykler per dag e) 450 km 2.127 5 5 160 c) y = __ (x – 32) = __ x – ____ 9 9 9

1.307 x = 15

d) –17,8 °C e) Læreren har rett. f) 40 °C = 40 °F

2 2.100 a) y = –2x + 6 c) x = 4

b) y = 2x + 6 d) y = 2

2.111 a) –2

2.130 a) x = 2 y = –1 b) x = –1 y = –2 c) x = 1 y = –1 5 d) x = –1 y = __ 2

2.112 1) x – y = –2 3) 3x + 2y = 9

2) 2x – y = 6

2.113 b) k: 1, l: –1, m: 3

d) x = –1 y = __ 2 2.132 a) Hans: 24 000 – 1200x Grete: 8000 + 800x b) Etter 8 måneder, 14 400 kr

2.114 1 __ b) l1: – 2 , l2: 2 l3: Ingen stigningstall 2.120 a) y = 2x – 1 1

b) y = – __ x+1 3

2.133 a) Etter 24 mil c) Harry: 50 mil Ronny: ca. 69 mil

b) y = 4x – 7

2.134 a) I) y = 25x + 16 000 II) y = 50x + 14 000 b) 80, 18 000 kr

c) y = – __ 3 2.121 a) y = x + 3 c) y = –x + 2

2.131 a) x = 2 y = 4 b) x = 1 y = 7 c) x = 1 y = –1

2.122 a) y = 3x – 3 b) y = –3x c) y = –3x + 6 2.123 f (x) = –2x + 4 2.124 a) y = x + 2 c) Linja går ikke gjennom punktet (3, 6). d) (–2, 0) og (0, 2)

2.135 a) 1) 1,5 km 2) 1,3 km c) Etter 1 time, 90 km 2.140 a) x = –2 y = 3 b) x = 3 y = –5