Sinus S2 (utdrag) by Cappelen Damm

Innhold 1

Følger og rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1 Følger og rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Figurtall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Aritmetiske og geometriske følger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Aritmetiske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Serielån. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6 Geometriske rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.7 Nåverdi og avbetaling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.8 Annuitetslån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.9 Uendelige rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2

Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Logaritmer og eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.1 Polynomdivisjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.2 Resten ved en polynomdivisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.3 Faktorisering av polynomer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.4 Tredjegradslikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.5 Forkorting av rasjonale uttrykk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.6 Rasjonale likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.7 To likninger med to ukjente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.8 Flere likninger med flere ukjente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.1 Briggske logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.2 Likninger og briggske logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.3 Den naturlige logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.4 Likninger og naturlige logaritmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 3.5 Eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.6 Eksponentialregresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 3.7 Logistisk vekst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.8 Logistisk regresjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

BOOK Sinus S2.indb 5

2015-06-02 13:41:58

Funksjonslære . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4.1 Derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 4.2 Derivasjon av polynomer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 4.3 Funksjonsdrøfting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.4 Krumning og vendepunkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.5 Optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.6 Arealet under en graf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.7 Bestemte integraler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5

Derivasjonsregler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Økonomiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

5.1 Potensfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.2 Sammensatte funksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 5.3 Derivasjon av logaritmefunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.4 Drøfting av logaritmefunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 5.5 Derivasjon av eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.6 Drøfting av eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.7 Derivasjon av et produkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.8 Derivasjon av en kvotient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.9 Vekstfarten ved logistisk vekst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

6.1 Kostnad, inntekt og overskudd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6.2 Grensekostnad og grenseinntekt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 6.3 Enhetskostnad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 6.4 Pris og etterspørsel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.5 Ønsket etterspørsel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 6.6 Regresjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7

Sannsynlighetsfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

7.1 Stokastisk variabel og binomisk fordeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.2 Hypergeometriske fordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 7.3 Forventningsverdi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 7.4 Varians og standardavvik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 7.5 Regneregler for stokastiske variabler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 7.6 Forventning og varians i en binomisk fordeling. . . . . . . . . . . . . . 262 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

BOOK Sinus S2.indb 6

Sinus S2

2015-06-02 13:41:58

Normalfordeling og statistikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

8.1 Normalfordelingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.2 Normalfordelingstabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 8.3 Binomisk fordeling og normalfordeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 8.4 Sentralgrensesetningen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 8.5 Gjennomsnitt og normalfordeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 8.6 Hypotesetesting i en binomisk modell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 8.7 Hypotesetesting i en normalfordeling. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8.8 Hypotesetesting av forventningsverdier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 1

FĂ¸lger og rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

2 Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 3

Logaritmer og eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352

4 FunksjonslĂŚre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 5 Derivasjonsregler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382 6

Ă&#x2DC;konomiske modeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

7 Sannsynlighetsfordelinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415 8

Normalfordeling ogÂ statistikk. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

Normalfordelingstabellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 Fasit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486

BOOK Sinus S2.indb 7

2015-06-02 13:41:58

1 8

BOOK Sinus S2.indb 8

Sinus S2 > FĂ¸lger og rekker

2015-06-02 13:42:00

Følger og rekker MÅL

for opplæringen er at eleven skal kunne • finne mønstre i tallfølger og bruke dem til å summere endelige aritmetiske og geometriske rekker og andre rekker, med og uten digitale hjelpemidler • avgjøre om en uendelig geometrisk rekke er konvergent, og beregne summen av rekka • løse praktiske problemer i forbindelse med sparing, lån og avbetalingskjøp ved å bruke rekker

BOOK Sinus S2.indb 9

2015-06-02 13:42:01

1.1 Følger og rekker Marte går i 3. klasse på en videregående skole. Til jul fikk hun karakterene

4, 3, 5, 4, 5, 4, 3 og 5

Det var i fagene norsk hovedmål, norsk sidemål, norsk muntlig, historie, religion, kroppsøving, fysikk og matematikk. Rekkefølgen av karakterene har her betydning, for rekkefølgen forteller hvilket fag det er. Tallene

4, 3, 5, 4, 5, 4, 3 og 5

er et eksempel på det vi kaller en tallfølge eller en følge. Forskjellen på en tallfølge og en tallmengde er at i en tallfølge har rekkefølgen av tallene betydning. Leddene er nummerert. I en tallmengde er rekkefølgen uten betydning. Marte øver seg i hoderegning. Hun begynner med tallet 2 og dobler det. Deretter dobler hun svaret. Slik holder hun på så lenge hun klarer. På den måten får hun fram tallene

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, …

I prinsippet kan hun fortsette i det uendelige. Tallene danner en uendelig følge. Tallene i en tallfølge kaller vi ledd. Ofte bruker vi symbolet a1 om det første leddet i en tallfølge, a2 om det andre leddet, osv. I tallfølgen ovenfor er a = 2= , a2 4= , a3 8= , a4 16, ... 1 Vi ser at 2 3 a1 = = 2, a2 2= , a3 2= , a4 24 , ...

Ledd nr. n er an = 2n Vi har funnet en formel for ledd nr. n. Med den kan vi finne ledd nr. 10 direkte: 10 a= 2= 1024 10

EKSEMPEL Leddene i en følge er gitt ved formelen an = 3n − 1 Finn de fem første leddene i følgen ved regning.

BOOK Sinus S2.indb 10

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:02

Løsning:

a1 = 3 ⋅ 1 – 1 = 2 a2 = 3 ⋅ 2 – 1 = 5 a3 = 3 ⋅ 3 – 1 = 8 a4 = 3 ⋅ 4 – 1 = 11 a5 = 3 ⋅ 5 – 1 = 14

Noen ganger kjenner vi ikke formelen for leddene i en tallfølge. Vi kjenner bare det første leddet og sammenhengen mellom et ledd og det neste.

EKSEMPEL I en tallfølge er det første leddet a1 = 2 For alle naturlige tall n > 1 er an = 3 ⋅ an − 1 Finn de fem første leddene i tallfølgen. Løsning:

Vi vet at det første leddet er a1 = 2 I formelen an = 3 ⋅ an − 1 velger vi n = 2 for å finne det andre leddet. Det gir a2 = 3 ⋅ a2 − 1 = 3 ⋅ a1 = 3 ⋅ 2 = 6 For å finne det tredje leddet setter vi n = 3. a3 = 3 ⋅ a3 − 1 = 3 ⋅ a2 = 3 ⋅ 6 = 18 For å finne det fjerde leddet setter vi n = 4. a4 = 3 ⋅ a4 − 1 = 3 ⋅ a3 = 3 ⋅18 = 54 For å finne det femte leddet setter vi n = 5. a5 = 3 ⋅ a5 − 1 = 3 ⋅ a4 = 3 ⋅ 54 = 162 De fem første leddene er 2, 6, 18, 54 og 162.

BOOK Sinus S2.indb 11

2015-06-02 13:42:04

OPPGAVE 1.10

I en følge er ledd nr. n gitt ved an = 5n − 2 Finn ledd nr. 1, ledd nr. 5 og ledd nr. 120. OPPGAVE 1.11

I en følge er ledd nr. n gitt ved an = 3 ⋅ 2n − 1 Finn de fem første leddene og ledd nr. 20 i følgen. OPPGAVE 1.12

I en tallfølge er det første leddet a1 = 3. Når n > 1, er an = an − 1 + 4 Finn de fem første leddene i følgen. OPPGAVE 1.13

I en tallfølge er det første leddet a1 = 16 . Når n > 1, er 1 an = ⋅ an − 1 2 Finn de fem første leddene i følgen.

Det regnestykket vi får når vi skal summere leddene i en tallfølge, kaller vi en rekke. Tallfølgen

6, 12, 24, 48, 96

gir rekka 6 + 12 + 24 + 48 + 96 Tallene 6, 12, 24, 48 og 96 er leddene i rekka. Rekka ovenfor har fem ledd og er et eksempel på en endelig rekke. Den uendelige tallfølgen

1, 2, 4, 8, …

gir den uendelige rekka 1 + 2 + 4 + 8 + … En uendelig rekke har uendelig mange ledd.

BOOK Sinus S2.indb 12

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:05

På samme måten som i tallfølger bruker vi ofte symbolet a1 om det første leddet i en rekke, a2 om det andre leddet, osv. I rekka 6 + 12 + 24 + 48 + 96 er a = 6= , a2 12 = , a3 24 = , a4 48 og a5 = 96 1 Det tallet vi får når vi legger sammen leddene i en endelig rekke, kaller vi summen av rekka. Vi bruker sn som symbol for summen av de n første leddene. I rekka ovenfor er s3 = 6 + 12 + 24 = 42 s5 = 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 186 Generelt er sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an Ofte er leddene i en rekke gitt ved en formel.

EKSEMPEL Leddene i en rekke er gitt ved an = 2n − 1 a) Skriv denne rekka med de fem første leddene. b) Finn s3 og s5 ved regning. c) Finn s10 og s100 digitalt. Løsning:

a) Først finner vi de fem første leddene i rekka. a1 = 2 ⋅1 − 1 = 1 a2 = 2 ⋅ 2 − 1 = 3 a3 = 2 ⋅ 3 − 1 = 5 a4 = 2 ⋅ 4 − 1 = 7 a5 = 2 ⋅ 5 − 1 = 9

Rekka er

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + … b) s3 = 1 + 3 + 5 = 9 s5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

BOOK Sinus S2.indb 13

2015-06-02 13:42:06

c) I GeoGebra CAS finner vi summen av de 10 første leddene på denne måten:

Legg merke til at vi først skriver formelen, deretter navnet på variabelen og til slutt den minste og den største verdien av variabelen. Når vi skal finne summen av de 100 første leddene, går vi fram slik:

= s10 100 = og s100 10 000

OPPGAVE 1.14

Finn summene s5, s6, s7 og s8 i rekka 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 OPPGAVE 1.15

Leddene i en rekke er gitt ved an = 3n − 2 a) Finn summen s6 ved regning. b) Finn summen s20 digitalt. OPPGAVE 1.16

Leddene i en rekke er gitt ved an = 2 ⋅ n 2 a) Finn summen s5 ved regning. b) Finn summen s15 digitalt.

BOOK Sinus S2.indb 14

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:06

1.2 Figurtall Når vi kvadrerer et naturlig tall, får vi et kvadrattall. Her er de minste kvadrattallene: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … Dette er en tallfølge der vi kan kalle leddene K1, K2, K3, …. Kvadrattall nr. n er gitt ved formelen Kn = n2 Kvadrattallene kan vi også framstille ved hjelp av kuler på denne måten:

K1 = 1

K2 = 4

K3 = 9

K4 = 16

Vi ser at for eksempel kvadrattall nr. 4 danner et kvadrat med 4 kuler i hver retning. Tallfølger som vi kan få fram slik som ovenfor ved å sette sammen for eksempel kuler på en bestemt måte, kaller vi figurtall. Kvadrattallene er dermed et eksempel på figurtall.

OPPGAVE 1.20

Nå skal vi se på noen figurtall som vi kan kalle rektangeltall. Her er de minste rektangeltallene:

R1 = 2

R2 = 6

R3 = 12

a) Finn rektangeltallene R4 og R5. b) Finn en formel for rektangeltallet Rn. c) Tallet 870 er et rektangeltall. Hvilket nummer har det?

BOOK Sinus S2.indb 15

2015-06-02 13:42:06

OPPGAVE 1.21

Nå skal vi se på noen tall som vi kaller trekanttall. Her er de minste trekanttallene:

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10

a) Finn trekanttallene T5 og T6. b) Sammenlikn trekanttallene med figurtallene i oppgave 1.20, og bruk formelen du fant i oppgave 1.20, til å vise at trekanttall nr. n er gitt ved formelen Tn =

n ⋅ (n + 1) 2

c) Finn nummeret til trekanttallet 820. d) Se på summen av to trekanttall som følger etter hverandre. Hvilken regel ser ut til å gjelde? Vis at regelen din er riktig både ut fra kulene og ved regning.

Vi ser nå på rekka av de minste positive oddetallene 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... Summen av de første leddene er: s1 = 1 = 12 s2 = 1 + 3 = 4 = 22 s3 = 1 + 3 + 5 = 9 = 32 s4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42 s5 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 På side 14 fant vi at = s10 100 = 102 = = s100 10 000 1002 Det kan se ut som om summen av de n første oddetallene er sn = n2

BOOK Sinus S2.indb 16

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:07

I GeoGebra CAS kan vi undersøke om dette stemmer. Oddetall nr. i er gitt ved formelen ai = 2i − 1 Summen av de n første oddetallene finner vi dermed slik:

Det ser ut til at sn er lik kvadrattallet Kn. Dette kan vi også se ved hjelp av figurtallene på side 15.

Ut fra dette ser vi for eksempel at K2 = 22 er sammensatt av den røde og de grønne kulene. K2 = 1 + 3 = 4 K 3 = 32 er sammensatt av den røde, de grønne og de blå kulene. K3 = 1 + 3 + 5 = 9 2

K 4 = 4 er sammensatt av den røde, de grønne, de blå og de svarte kulene. K 4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 Vi legger merke til at hver gang vi legger på nye kuler for å lage et nytt kvadrattall, må vi legge på 2 kuler mer enn gangen før. Antallet kuler vi må legge til er 3, 5, 7, 9, 11, osv. Dermed blir K n = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ... + (2n − 1) Kvadrattallet Kn er summen av de n minste positive oddetallene. Her brukte vi figurtall til å vise at summen av de n minste oddetallene er n2. I oppgave 1.43 skal du vise dette ved regning.

BOOK Sinus S2.indb 17

2015-06-02 13:42:09

OPPGAVE 1.22

I oppgave 1.20 så vi på rektangeltallene:

R1 = 2

R2 = 6

R3 = 12

Vi fant denne formelen: Rn = n ⋅ ( n + 1) a) Finn summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste positive partallene. Hvilken regel ser ut til å gjelde? Prøv ut regelen din ved å summere flere partall. b) Forklar regelen i oppgave a ut fra figurtallene. c) Bruk CAS til å finne en formel for summen av de n minste partallene. d) Bruk formelen til å finne summen av de 50 minste partallene. OPPGAVE 1.23

I oppgave 1.21 så vi på trekanttallene:

T1 = 1

T2 = 3

T3 = 6

T4 = 10

Vi fant denne formelen for trekanttall nr. n: Tn =

n ⋅ (n + 1) 2

a) Finn summen av de to minste, de tre minste, de fire minste og de fem minste naturlige tallene. Hvilken regel ser ut til å gjelde? b) Hvordan kan du ved hjelp av figurtallene se at regelen i oppgave a er riktig? c) Bruk CAS til å finne en formel for summen av de n minste naturlige tallene. d) Bruk regelen til å finne summen av de 40 minste naturlige tallene.

BOOK Sinus S2.indb 18

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:09

1.3 Aritmetiske og geometriske følger I en aritmetisk følge er det er en fast differanse d mellom to ledd som følger etter hverandre. Følgen 2, 5, 8, 11, … er aritmetisk med differanse d = 3, for vi legger 3 til et ledd for å få det neste leddet. I denne følgen er a1 = 2 a2 = a1 + 3 = 2 + 3 = 5 a3 = a2 + 3 = 5 + 3 = 8 a4 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11

EKSEMPEL I en aritmetisk følge er det første tallet a1 = 9 og d = −2. Finn de fem første leddene. Løsning:

a1 = 9 a2 = a1 + d = 9 + ( −2 ) = 7 a3 = a2 + d = 7 + ( −2 ) = 5 a4 = a3 + d = 5 + ( −2 ) = 3 a5 = a4 + d = 3 + ( −2 ) = 1

Vi skal utlede en formel for leddet an i en aritmetisk følge. Da begynner vi med å regne ut de første leddene for å se etter et mønster: a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = ( a1 + d ) + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = ( a1 + 2d ) + d = a1 + 3d a5 = a4 + d = ( a1 + 3d ) + d = a1 + 4d Vi ser at for alle leddene her gjelder formelen an = a1 + ( n − 1) ⋅ d Dette kunne vi ha funnet ut direkte. Når vi skal finne ledd nr. n, må vi legge differansen d til a1 i alt ( n − 1) ganger.

BOOK Sinus S2.indb 19

2015-06-02 13:42:11

I en aritmetisk følge med differanse d er det første leddet lik a1. Ledd nr. n er da gitt ved formelen an = a1 + ( n − 1) ⋅ d

EKSEMPEL I en aritmetisk følge er det første leddet a1 = 3, og differansen d = 2. a) Finn en formel for ledd nr. n. b) Finn ledd nr. 37. Løsning:

a) Ledd nr. n er gitt ved formelen an = a1 + ( n − 1) ⋅ d = 3 + ( n − 1) ⋅ 2 = 3 + 2n − 2 an = 2n + 1 b) Ledd nr. 37 er a37 = 2 ⋅ 37 + 1 = 75

OPPGAVE 1.30

Skriv opp de fem første leddene i en aritmetisk følge der a) a1 = −12 og d = 5 b) a1 = 24 og d = −2 OPPGAVE 1.31

Finn differansen og en formel for leddet an i de aritmetiske følgene. a) 5, 11, 17, 23, … b) 81, 64, 47, 30, … OPPGAVE 1.32

Kari får 100 kr i ukepenger i uke nr. 1. Beløpet skal økes med 2 kr hver uke. a) Finn en formel for beløpet i uke nr. n. b) Omtrent hvor mye får hun i ukepenger om 2 år? OPPGAVE 1.33

I en aritmetisk følge er det femte leddet a5 = 13 og differansen d = 4. a) Finn det første leddet a1. b) Finn en formel for ledd nr. n. c) Finn nummeret til leddet 105.

BOOK Sinus S2.indb 20

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:13

I en geometrisk følge fins det et tall k slik at vi alltid får det neste leddet ved å gange med tallet k. Tallet k kaller vi kvotienten. I følgen 3, 6, 12, 24, 48, … får vi det neste leddet ved å gange med 2. Det er en geometrisk følge der kvotienten k = 2. I denne følgen er a1 = 3 a2 = 2 ⋅ a1 = 2 ⋅ 3 = 6 a3 = 2 ⋅ a2 = 2 ⋅ 6 = 12 a4 = 2 ⋅ a3 = 2 ⋅12 = 24 osv.

EKSEMPEL 1

I en geometrisk følge er det første leddet a1 = 8, og kvotienten k = − . 2 Finn de fem første leddene. Løsning:

De fem første leddene er a1 = 8 1 a2 = k ⋅ a1 = − ⋅ 8 = −4 2 1 a3 = k ⋅ a2 = − ⋅ (−4) = 2 2 1 a4 = k ⋅ a3 = − ⋅ 2 = −1 2 1 1 a5 = k ⋅ a4 = − ⋅ (−1) = 2 2

I en geometrisk følge finner vi et ledd ved å gange det forrige leddet med et fast tall k. Dermed er forholdet mellom et ledd og leddet foran alltid lik kvotienten k.

En følge der vi bare har oppgitt de første leddene, er geometrisk hvis alle forholdene a2 a3 a4 , , ,… a1 a2 a3 er like for de leddene som vi kjenner.

BOOK Sinus S2.indb 21

2015-06-02 13:42:14

EKSEMPEL Undersøk om følgen er geometrisk, og finn eventuelt kvotienten. 8 9, −6, 4, − , … 3 Løsning:

Vi undersøker om det er et fast forhold mellom de leddene som er oppgitt. a2 −6 6 2 = =− =− a1 9 9 3 a3 4 4 2 = =− =− a2 −6 6 3 8 8 − ⋅3 8 2 a4 = 3 =−3 =− =− 4 4⋅3 12 3 a3 Alle forholdene er like. 2 Følgen er geometrisk med kvotient k = − . 3

OPPGAVE 1.34

Skriv opp de fem første leddene i en geometrisk følge der 1 a) a1 = 5 og k = 2 b) a1 = 16 og k = 2 2 c) a1 = 81 og k = − 3 OPPGAVE 1.35

Finn kvotienten k i de geometriske følgene. a) 1, 3, 9, 27, ... b) 625, −125, 25, –5, ...

2 3 9 27 , 1, , , , ... 3 2 4 8

Nå skal vi utlede en formel for leddet an i en geometrisk følge. Først finner vi de første leddene for å se etter et mønster. a2 = k ⋅ a1

a3 = k ⋅ a2 = k ⋅ ( k ⋅ a1 ) = k 2 ⋅ a1

( = k ⋅ (k

) ⋅a ) = k

a4 = k ⋅ a3 = k ⋅ k 2 ⋅ a1 = k 3 ⋅ a1 a5 = k ⋅ a4

22 22

BOOK Sinus S2.indb 22

⋅ a1

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:17

Slik kan vi fortsette. Vi ser at for alle leddene gjelder formelen an = k n − 1 ⋅ a1 Dette kunne vi ha funnet direkte. For å finne ledd nr. n må vi multiplisere a1 med k i alt ( n − 1) ganger.

I en geometrisk følge med kvotient k er ledd nr. n gitt ved an = k n − 1 ⋅ a1 der a1 er det første leddet.

EKSEMPEL Finn det 10. leddet i den geometriske følgen 3, 6, 12, 24, … Løsning:

I denne følgen er a1 = 3 og k = 2. Det gir a10 = k 10 − 1 ⋅ a1 = 29 ⋅ 3 = 1536

EKSEMPEL På ei øy blir det satt ut 100 kaniner. Vi regner med at kaninbestanden øker med 4 % per uke. Hvor mange kaniner er det på øya om ett år? Løsning:

Vekstfaktoren til 4 % er 1,04. Ettersom kaninbestanden øker med 4 % per uke, må vi gange antallet kaniner ei uke med 1,04 for å finne antallet neste uke. Antallet kaniner er dermed en geometrisk følge med kvotient k = 1,04. Tallet på kaniner i uke nr. 52 er a52 = k 52 − 1 ⋅ a1 = 1, 0451 ⋅100 = 739 Om ett år er det 739 kaniner på øya.

BOOK Sinus S2.indb 23

2015-06-02 13:42:17

OPPGAVE 1.36

Finn en formel for leddet an og finn deretter a10 for hver av følgene i oppgave 1.35. OPPGAVE 1.37

Undersøk om følgene er geometriske og finn eventuelt kvotienten. 8 16 a) 9, −6, 4, − , 3 9 b) 12, 9, 6, 4, 3 c) 1, 2, 2, 2 2 , 4 OPPGAVE 1.38

Tenk deg at Judas satte en sølvmynt i banken i året 30 e.Kr. a) Hvor mange sølvmynter ville det ha stått på den kontoen i 2015 hvis vi regner med 1 % rente per år? b) Hva blir beløpet med 2 % rente per år?

1.4 Aritmetiske rekker Når vi skal summere leddene i en aritmetisk følge, får vi en aritmetisk rekke. I en aritmetisk rekke er det dermed en fast differanse d mellom to ledd som følger etter hverandre i rekka. Rekka 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + … er aritmetisk med differanse d = 3. Fra kapittel 1.3 vet vi at ledd nr. n i en aritmetisk rekke er gitt ved an = a1 + ( n − 1) ⋅ d På slutten av dette delkapittelet viser vi at vi har denne formelen for summen av de n første leddene i en slik aritmetisk rekke:

Summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved sn =

BOOK Sinus S2.indb 24

n ⋅ (a1 + an ) 2

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:19

EKSEMPEL Regn ut summen 1 + 2 + 3 + … + 100. Løsning:

Uttrykket er en aritmetisk rekke der a1 = 1 og differansen d = 1. Rekka har 100 ledd, slik at n = 100, og det siste leddet er a100 = 100. Summen blir s100 =

100 ⋅ (a1 + a100 ) 100 ⋅ (1 + 100) 100 ⋅101 = = = 5050 2 2 2

EKSEMPEL Heidi får 100 kr i ukepenger. Beløpet skal økes med 2 kr hver uke.

a) Hvor mye får Heidi i ukepenger i hver av de fire første ukene? b) Hvor mye får Heidi i ukepenger i uke nr. 104 (om to år)? c) Hvor mye får Heidi samlet i ukepenger de to første åra? Løsning:

a) De fire første ukene får hun a1 = 100 kr a2 = 100 kr + 2 kr = 102 kr a3 = 102 kr + 2 kr = 104 kr a4 = 104 kr + 2 kr = 106 kr b) Ukepengene danner en aritmetisk følge der det første leddet a1 = 100 kr og differansen d = 2 kr. I uke nr. 104 (om 2 år) får hun a104 = a1 + (104 − 1) ⋅ d = 100 kr + 103 ⋅ 2 kr = 306 kr c) Summen av alle kronebeløpene de to første åra blir s104 =

104 ⋅ (a1 + a104 ) 104 ⋅ (100 kr + 306 kr) = = 21 112 kr 2 2

Samlet får Heidi 21 112 kr i ukepenger de to første åra.

BOOK Sinus S2.indb 25

2015-06-02 13:42:21

OPPGAVE 1.40

Finn summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke når a) = a1 1,= d 5 og n = 10 b) a1 = 100, d = −3 og n = 30 c) = a1 15 = , a2 20 og n = 12 = d) a1 50 = , a10 32 og n = 50 OPPGAVE 1.41

Finn summen av de aritmetiske rekkene både ved regning og ved hjelp av digitalt hjelpemiddel. a) 1 + 4 + 7 + … + 28 b) 100 + 98 + 96 + … + 50 c) 1 + 2 + 3 + 4 + … + 1000 d) 10 + 20 + 30 + … + 1000 OPPGAVE 1.42

a) Finn summen av alle de naturlige tallene som er mindre enn 10 000. b) Finn summen av alle de positive oddetallene som er mindre enn 10 000. c) Finn summen av alle de positive partallene som er mindre enn 10 000. OPPGAVE 1.43

Vis at summen av de n første positive oddetallene er lik n2.

EKSEMPEL I en aritmetisk rekke er det første leddet a1 = 5 og differansen d = 2. Summen av rekka er 192. a) Skriv opp de første leddene i rekka. b) Finn et uttrykk for ledd nr. n. c) Finn ved regning og digitalt antallet ledd i rekka. Løsning:

a) Det første leddet er 5. De neste leddene får vi fram ved å legge til 2. Rekka er 5 + 7 + 9 + 11 + … b) Ledd nr. n i den aritmetiske rekka er gitt ved an = a1 + ( n − 1) ⋅ d = 5 + ( n − 1) ⋅ 2 = 5 + 2n − 2 = 2n + 3 c) Ved regning: Her er antallet ledd n ukjent. Formelen for summen av n ledd gir n ⋅ (a1 + an ) n ⋅ (5 + (2n + 3)) n ⋅ (2n + 8) = = 2 2 2 2 2 2n + 8n 2 (n + 4n) = = = n 2 + 4n 2 2

sn =

BOOK Sinus S2.indb 26

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:22

Dette gir en likning som vi kan løse. sn = 192 n 2 + 4n = 192 n 2 + 4n − 192 = 0 n = 12 ∨ n = −16 Ettersom n må være et positivt tall, får vi løsningen n = 12. Rekka består av 12 ledd. Digitalt: Vi bruker at an = 2n + 3 og lar x være antallet ledd i rekka. I GeoGebra CAS kan vi løse oppgaven slik:

Rekka består av 12 ledd.

OPPGAVE 1.44

I en aritmetisk rekke med a1 = 1 og d = 7 er summen 1350. Hvor mange ledd er det i rekka? OPPGAVE 1.45

Kari får nå 100 kr i ukepenger. Beløpet skal økes med 2 kr hver uke. Hvor lang tid går det før hun i alt har fått utbetalt 10 000 kr? OPPGAVE 1.46

En bedrift omsetter for 200 millioner kr i 2015 og regner med å øke omsetningen med 15 millioner kr per år. Finn den samlede omsetningen i perioden fra og med 2015 til og med 2024 ved å summere en rekke. OPPGAVE 1.47

Vis at summen av de n første leddene i en aritmetisk rekke er gitt ved n(n − 1) sn = n ⋅ a1 + ⋅d 2 der a1 er det første leddet og d er differansen.

BOOK Sinus S2.indb 27

2015-06-02 13:42:23

BEVISET FOR FORMELEN FOR SUMMEN AV EN ARITMETISK REKKE

Nå skal vi utlede en formel for summen sn av de n første leddene i en aritmetisk rekke. Vi viser utledningen for n = 5. For en rekke med n ledd kan vi gå fram på den samme måten. Vi utnytter at ai = a1 + ( i − 1) ⋅ d og får s5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

= a1 + ( a1 + d ) + ( a1 + 2d ) + ( a1 + 3d ) + ( a1 + 4d )

Vi kan også uttrykke alle leddene med det siste leddet. a4 = a5 − d a3 = a5 − 2d a2 = a5 − 3d a1 = a5 − 4d Hvis vi begynner med det siste leddet, får vi dette uttrykket for summen: s5 = a5 + a4 + a3 + a2 + a1

= a5 + ( a5 − d ) + ( a5 − 2d ) + ( a5 − 3d ) + ( a5 − 4d )

Vi summerer de to uttrykkene for s5: s5 + s5 = a1 + ( a1 + d ) + ( a1 + 2d ) + ( a1 + 3d ) + ( a1 + 4d ) + a5 + ( a5 − d ) + ( a5 − 2d ) + ( a5 − 3d ) + ( a5 − 4d ) Nå løser vi opp parentesene og trekker sammen leddene. s5 + s5 = 5a1 + 5a5

2s5 = 5 ⋅ ( a1 + a5 ) s5 =

5 ⋅ (a1 + a5 ) 2

Hvis rekka har n ledd, får vi på tilsvarende måte at sn =

BOOK Sinus S2.indb 28

n ⋅ (a1 + an ) 2

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:25

1.5 Serielån De fleste av oss må før eller seinere ta opp lån til for eksempel bolig eller bil. Da må vi betale renter og avdrag. Når vi betaler et beløp i avdrag, blir lånet redusert med det beløpet. Rentene betaler vi til banken uten at lånet minker. Renta regner vi alltid i prosent av restlånet. Når vi avtaler lånet med banken, avtaler vi også hvor mange terminer vi skal ha i året. Det er hvor mange ganger vi skal betale rente og avdrag per år. Det vanlige er at vi har 12 terminer per år. Da betaler vi rente og avdrag hver måned. Men vi kan også avtale fire terminer eller én termin per år. Den pengesummen vi betaler hver termin, kaller vi terminbeløpet. Det er sammensatt av rente og avdrag og kanskje også et gebyr. Gebyret skal dekke de utgiftene som banken har ved pengeoverføringen. Vi ser bort fra gebyrene her. Dermed er terminbeløpet = avdrag + rente Vi kan også avtale med banken hvordan avdragene skal regnes ut. Hvis vi velger et serielån, er alle avdragene like store. Avdraget finner vi da ved å dividere lånesummen med antallet terminer i hele låneperioden.

For et serielån er avdraget =

lånesummen tallet på terminer

Avdragene er dermed like store i hele låneperioden. Men rentene regner vi alltid i prosent av restlånet. Rentene minker dermed utover i låneperioden etter hvert som lånet minker. Terminbeløpet er da størst i begynnelsen og minker etter hvert som vi betaler ned på lånet. En familie låner 2 000 000 kr til bolig. Lånet er et serielån over 20 år med én termin per år og 4 % rente per år. Hvert avdrag er da på 2 000 000 kr = 100 000 kr 20 Det første året betaler familien

Avdrag 100 000 kr + Rente 2 000 000 kr ⋅ 0,04 = 80 000 kr = Terminbeløp 180 000 kr

Når de har betalt 100 000 kr i avdrag, er restlånet 2 000 000 kr − 100 000 kr = 1 900 000 kr

BOOK Sinus S2.indb 29

2015-06-02 13:42:25

Det andre året betaler de Avdrag 100 000 kr + Rente 1 900 000 kr ⋅ 0,04 = 76 000 kr = Terminbeløp 176 000 kr Nå skal vi finne en formel for terminbeløp nr. n. Lånet blir redusert med 100 000 kr for hver termin. Restlånet for hver termin er dermed en aritmetisk følge med differanse d = −100 000. Restlånet i kroner like før de betaler terminbeløp nr. n er Rn = a1 + ( n − 1) ⋅ d = 2 000 000 + ( n − 1) ⋅ ( −100 000 ) Rn = 2 000 000 − 100 000 ⋅ n + 1000 000 Rn = 2100 000 − 100 000 ⋅ n Renta er 4 % av restlånet. Renta i termin nr. n er dermed 0, 04 ⋅ Rn = 0, 04 ⋅ ( 2100 000 − 100 000 ⋅ n ) = 84 000 − 4000 ⋅ n Terminbeløpet er summen av avdrag og rente. I kroner blir det Tn = 100 000 + 84 000 − 4000 ⋅ n Tn = 184 000 − 4000 ⋅ n Legg merke til at terminbeløpene er en aritmetisk tallfølge med differanse d = −4000. Det siste terminbeløpet blir T20 = 184 000 − 4000 ⋅ 20 = 104 000 Det siste terminbeløpet er 104 000 kr. Ettersom terminbeløpene danner en aritmetisk rekke, er summen av de 20 beløpene s20 =

20 ⋅ (T1 + T20 ) 20 ⋅ (180 000 + 104 000) = = 2 840 000 2 2

Familien låner 2 000 000 kr og betaler tilbake 2 840 000 kr.

EKSEMPEL En familie låner 2 500 000 kr med 5 % rente per år. Lånet er et serielån med én termin per år og 25 års nedbetalingstid. a) Hvor store er de årlige avdragene? b) Finn en formel for terminbeløp nr. n. c) Finn ved regning hvor mye familien betaler til sammen i løpet av 25 år. d) Bruk CAS og finn hvor mye familien betaler til sammen i løpet av 25 år. e) Hvor mye betaler de til sammen i renter?

BOOK Sinus S2.indb 30

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:26

Løsning:

a) De årlige avdragene er 2 500 000 kr = 100 000 kr 25 b) Restlånet minker med 100 000 kr per termin. Like før termin nr. n er restlånet i kroner Rn = a1 + ( n − 1) ⋅ d = 2 500 000 + ( n − 1) ⋅ ( −100 000 ) Rn = 2 500 000 − 100 000 ⋅ n + 1000 000 Rn = 2 600 000 − 100 000 ⋅ n Renta er 5 % av dette. Det er 0, 05 ⋅ Rn = 0, 05 ⋅ ( 2 600 000 − 100 000 ⋅ n ) = 130 000 − 5000 ⋅ n Terminbeløpet i kroner blir Tn = 100 000 + 130 000 − 5000 ⋅ n = 230 000 − 5000 ⋅ n c) Det første terminbeløpet er T1 = 230 000 − 5000 ⋅1 = 225 000 Det siste er T25 = 230 000 − 5000 ⋅ 25 = 105 000 Terminbeløpene er en aritmetisk rekke. Summen er 25 ⋅ (T1 + T25 ) 25 ⋅ (225 000 + 105 000) = = 4125 000 2 2 Familien betaler i alt 4 125 000 kr. s25 =

d) Fra oppgave b vet vi at terminbeløp nr. n er gitt ved 230 000 − 5000 ⋅ n. Summen av de 25 terminbeløpene kan vi dermed finne i GeoGebra CAS på denne måten:

Familien betaler i alt 4 125 000 kr. e) Summen av alle avdragene er alltid lik lånesummen, som her er 2 500 000 kr. Resten av det de betaler, er renter. Det er 4 125 000 kr − 2 500 000 kr = 1 625 000 kr

BOOK Sinus S2.indb 31

2015-06-02 13:42:27

OPPGAVE 1.50

Frida Ford låner 200 000 kr til bil. Lånet er et serielån med 6 % rente per år og med én termin per år. Nedbetalingstida er på 5 år. a) Finn terminbeløpene for hvert av de 5 åra. b) Hvor mye betaler Frida til sammen i renter på de 5 åra? OPPGAVE 1.51

Knut har et serielån over 20 år der avdragene er 110 000 kr per år. Han betaler 3,4 % rente per år. a) Hvor stort er lånet? b) Finn terminbeløpene for de to første åra. c) Finn en formel for terminbeløp nr. n. d) Finn ved regning hvor mye Knut betaler til sammen i løpet av 20 år. e) Hvor mye betaler han til sammen i renter? OPPGAVE 1.52

En familie låner 2 200 000 kr med 3,7 % rente per år. Lånet er et serielån med én termin per år og 30 års nedbetalingstid. a) Finn terminbeløpene for de to første åra. b) Finn en formel for terminbeløp nr. n. c) Hvor mye betaler familien til sammen i løpet av de 30 åra? d) Hvor mye betaler de til sammen i renter?

På nettsidene finner vi regnearket «Serielån», som vi kan bruke til å beregne serielån.

EKSEMPEL Maria Makeløs skal kjøpe en leilighet og låner 1 200 000 kr. Det er et serielån med 3,8 % rente per år med en nedbetalingstid på 10 år og med månedlige terminer. Hvor mye må hun betale til sammen i løpet av de 10 åra, og hvor mye betaler hun i renter?

BOOK Sinus S2.indb 32

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:28

Løsning:

Vi legger inn tallene i regnearket «Serielån» og får dette resultatet:

Hun betaler i alt 1 429 900 kr. Av det er 229 900 kr rente.

OPPGAVE 1.53

Frida Fruktbar trenger et større hus og må låne 2 400 000 kr. Det er et serielån med 4,2 % rente per år. Nedbetalingstida er 25 år, og det er 12 terminer per år. a) Hvor mye må hun betale til sammen på de 25 åra, og hvor mye rente betaler hun? b) Frida syns at dette lånet blir for dyrt. Hun får et nytt tilbud fra banken med lavere rente. Nå skal hun betale til sammen 1 083 600 kr i renter. Finn den nye rentefoten.

1.6 Geometriske rekker Når vi skal summere leddene i en geometrisk følge, får vi en geometrisk rekke. I en geometrisk rekke er dermed hvert ledd lik det foregående leddet multiplisert med en kvotient k. Rekka 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + … er geometrisk med kvotient k = 2.

BOOK Sinus S2.indb 33

2015-06-02 13:42:28

Fra kapittel 1.3 vet vi at ledd nr. n i en geometrisk følge er gitt ved formelen an = a1 ⋅ k n − 1 På slutten av dette delkapittelet beviser vi denne formelen for summen av de n første leddene i en geometrisk rekke:

La sn være summen av de n første leddene i en geometrisk rekke med kvotient k. Hvis k ≠ 1, er sn = a1 ⋅

k n −1 k −1

Hvis k = 1, er sn = n ⋅ a1

EKSEMPEL Finn summen av den geometriske rekka 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 ved å bruke formelen for summen. Løsning:

Dette er en geometrisk rekke med seks ledd der kvotienten k = 2. Summen er s6 = a1 ⋅

k 6 −1 26 − 1 64 − 1 = 3⋅ = 3⋅ = 3 ⋅ 63 = 189 k −1 2 −1 1

Når rekka har så få ledd, er det enklere å summere leddene direkte.

EKSEMPEL I eksempelet på side 25 fikk Heidi 100 kr i ukepenger. Beløpet skulle så økes med 2 kr for hver uke. Men hun var ikke fornøyd med denne ordningen og foreslo at hun i stedet skulle få en økning på 2 % hver uke. Foreldrene regnet på hva denne ordningen ville koste i de første ukene, og kom til at det var liten forskjell på de to ordningene. De godtok derfor forslaget fra Heidi.

BOOK Sinus S2.indb 34

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:29

a) Hvor mye får Heidi i ukepenger i hver av de fire første ukene? b) Hvor mye får Heidi i ukepenger i uke nr. 104 (om to år)? c) Hvor mye får hun samlet de to første åra? Løsning:

a) De fire første ukene får hun disse kronebeløpene: a1 = 100 kr a2 = 100 kr ⋅1,02 = 102 kr a3 = 102 kr ⋅1,02 = 104,04 krr a4 = 104, 04 kr ⋅1,02 = 106,12 kr

Sammenlikn med beløpene på side 25. Syns du det er rart at foreldrene gikk med på denne ordningen? b) Ettersom an = an − 1 ⋅1, 02, er beløpene ledd i en geometrisk følge. Beløpet i uke nr. 104 er bestemt ved a104 = a1 ⋅ k 104 − 1 = 100 kr ⋅ 1,02103 = 768,81 kr Om to år får Heidi 769 kr per uke i lommepenger.

Med den gamle ordningen ville hun ha fått 306 kr. c) Summen av alle de 104 beløpene blir s104 = a1 ⋅

k 104 − 1 1, 02104 − 1 = 100 kr ⋅ = 34 209 kr k −1 1, 02 − 1

Heidi får til sammen 34 209 kr i lommepenger disse to åra. Med den gamle ordningen ville hun ha fått 21 112 kr (jf. side 25).

01 Sinus S2 kap1 teoridel.indd 35

2015-06-02 14:09:36

EKSEMPEL En gammel legende forteller at sjahen av Persia ble svært begeistret da han fikk lære å spille sjakk. Læremesteren kunne derfor ønske seg hva han ville som takk for innsatsen. Til sjahens forundring ønsket læremesteren seg bare litt ris. Han ville ha ett riskorn i den første ruta på sjakkbrettet, to riskorn i den andre, fire i den tredje, osv. Sjahen godtok dette enkle ønsket. a) Hvor mange riskorn blir det i den siste ruta når sjakkbrettet har 64 ruter? b) Hvor mange riskorn skulle lære mesteren ha til sammen? c) Hvor mye veier alle riskornene til sammen hvis ett riskorn veier 0,02 g? Løsning:

a) Tallet på riskorn blir 1+2+4+8+… Dette er en geometrisk rekke med a1 = 1 og k = 2. Tallet på riskorn i rute nr. n blir an = kn – 1 ⋅ a1 = 2n – 1 ⋅ 1 = 2n – 1 Tallet på riskorn i rute nr. 64 blir a64 = 263 = 9,22 ⋅ 1018 b) For å finne ut hvor mange riskorn det blir på brettet, må vi summere en geometrisk rekke med 64 ledd: s64 = a1 ⋅

k 64 − 1 264 − 1 = 1⋅ = 264 − 1 = 1, 84 ⋅1019 k −1 2 −1

c) Samlet veier riskornene 1,84 ⋅ 1019 ⋅ 0,02 g = 1,84 ⋅ 1019 ⋅ 2 ⋅ 10-5 kg = 3,7 ⋅ 1014 kg Riskornene veier ca. 370 000 000 000 tonn. Dette blir omtrent 60 tonn ris til hver person som bor på jorda i dag. Sjahen av Persia fikk sannsynligvis visse problemer med å oppfylle dette ønsket.

BOOK Sinus S2.indb 36

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:30

OPPGAVE 1.60

Finn summen av en geometrisk rekke med n ledd når a) = a1 1,= k 2 og n = 10 1 b) a1 = 3, k = − og n = 10 2 c) = a1 10 = , a2 12 og n = 15 OPPGAVE 1.61

Finn summen av de geometriske rekkene ved hjelp av sumformelen. a) 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 b) 384 – 192 + 96 – 48 + 24 – 12 c) 100 + 120 + 144 + 172,8 + 207,36 d) 5 + 10 + 20 + ... + 640 e) 50 + 50 ⋅ 1,05 + ... + 50 ⋅ 1,0519 OPPGAVE 1.62

En bedrift har en omsetning på 200 millioner kr på ett år og har som mål å øke omsetningen med 7 % per år. a) Hvor stor blir da omsetningen om ti år? b) Finn den samlede omsetningen i denne tiårsperioden ved å summere en rekke. OPPGAVE 1.63

En bedrift slipper ut 36 tonn CO2 per år. Bedriften får pålegg om å redusere utslippet med 5 % per år. a) Hvor stort blir da det årlige utslippet om 20 år? b) Finn det samlede utslippet i perioden ved å summere en rekke.

EKSEMPEL Mari setter 10 000 kr i banken hvert år. Hun får 3 % rente per år. a) Finn ved regning hvor mye Mari har i banken like etter det tolvte innskuddet. Hvor mye rente har Mari fått? b) Finn digitalt hvor mye Mari har i banken like etter det tolvte innskuddet. c) Hvor mye har Mari i banken like før hun setter inn det 14. beløpet? d) Hvor mange år går det før Mari har 200 000 kr i banken?

BOOK Sinus S2.indb 37

2015-06-02 13:42:31

Løsning:

a) Like etter at det tolvte beløpet er betalt inn, har Mari ikke fått noe rente på det beløpet, så det er fortsatt 10 000 kr. Det nest siste beløpet har stått i banken i ett år og har vokst til 10 000 kr ⋅ 1,03. Det tredje siste beløpet har stått i banken i to år og er blitt til 10 000 kr ⋅ 1,032. Slik kan vi fortsette. Det første beløpet har stått i banken i 11 år og har vokst til 10 000 kr ⋅ 1,0311. Til sammen blir dette

10 000 kr + 10 000 kr ⋅ 1,03 + 10 000 kr ⋅ 1,032 + … + 10 000 kr ⋅ 1,0311 Dette er en geometrisk rekke med tolv ledd og kvotient k = 1, 03. Det første leddet er a1 = 10 000 kr. Summen er s12 = a1 ⋅

k 12 − 1 1, 0312 − 1 = 10 000 kr ⋅ = 141 920 kr k −1 1, 03 − 1

Mari har betalt 10 000 kr i tolv år. Til sammen er det 10 000 kr ⋅ 12 = 120 000 kr Resten av beløpet er rente. Rentene er 141 920 kr – 120 000 kr = 21 920 kr b) I GeoGebra CAS kan vi løse oppgaven slik:

Mari har 141 920 kr i banken etter 12 år. c) Vi regner først ut hvor mye hun har i banken like etter det 13. innskuddet. Det kan vi enten gjøre ved regning slik vi gjorde det i oppgave a, eller så kan vi finne beløpet digitalt som vist her:

Hun har 156 177,90 kr i banken like etter hun satte inn det 13. beløpet. Like før hun setter inn det 14. beløpet, har dette beløpet stått ett år i banken og har vokst til 156 177,90 kr ⋅ 1,03 = 160 863 kr d) La x være antallet år til beløpet er 200 000 kr. Vi løser denne likningen i GeoGebra CAS:

Beløpet passerer 200 000 kr etter 16 år.

BOOK Sinus S2.indb 38

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:31

OPPGAVE 1.64

Otto setter inn 30 000 kr på en sparekonto i begynnelsen av hvert år. Renta er 3 % per år. a) Finn ved regning hvor mye penger Otto har på kontoen like etter at han satte inn det 6. beløpet. b) Finn digitalt hvor mye penger Otto har på kontoen like etter at han satte inn det 10. beløpet. c) Når har Otto 500 000 kr på kontoen? OPPGAVE 1.65

Kari begynte å spare 1. januar 2015. Hun setter 500 kr i banken den første dagen i hver måned. Hun får 0,2 % rente per måned. a) Finn ved regning hvor mye hun hadde i banken like etter innskuddet den 1. januar 2016. b) Finn digitalt hvor mye hun har i banken på nyttårsaften 2019. c) Finn digitalt og ved regning hvor lang tid det går før hun har 100 000 kr i banken. På nettsidene til Sinus finner du regnearket «Sparing», som du kan bruke til å løse oppgavene i eksempelet på side 37. Vi fyller ut regnearket på denne måten:

OPPGAVE 1.66

Løs oppgave 1.64 ved hjelp av regnearket «Sparing».

BOOK Sinus S2.indb 39

2015-06-02 13:42:31

BEVIS FOR FORMELEN FOR SUMMEN AV EN GEOMETRISK REKKE

Nå skal vi utlede en formel for summen sn av de n første leddene i en geometrisk rekke. Vi viser utledningen for n = 5. For en vilkårlig n kan vi gå fram på den samme måten. Vi utnytter at i en geometrisk rekke er ai = a1 ⋅ k i − 1, og får s5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = a1 + k ⋅ a1 + k 2 ⋅ a1 + k 3 ⋅ a1 + k 4 ⋅ a1

(

= a1 ⋅ 1 + k + k 2 + k 3 + k 4

)

La oss nå finne summen t5 = 1 + k + k 2 + k 3 + k 4 Vi multipliserer t5 med k og får

(

k ⋅ t5 = k ⋅ 1 + k + k 2 + k 3 + k 4 2

k ⋅ t5 = k + k + k + k + k

)

Det gir

(

k ⋅ t5 − t5 = k + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 − 1 + k + k 2 + k 3 + k 4

)

( k − 1) ⋅ t5 = k + k 2 + k 3 + k 4 + k 5 − 1 − k − k 2 − k 3 − k 4 ( k − 1) ⋅ t5 = k 5 − 1 Dersom k ≠ 1, blir t5 =

k5 −1 k −1

Ettersom s5 = a1 ⋅ t5 , får vi denne formelen: s5 = a1 ⋅

k5 −1 k −1

Hvis k = 1, blir alle leddene lik a1 . Det gir s5 = a1 + a1 + a1 + a1 + a1 = 5 ⋅ a1 Hvis rekka har n ledd, går vi fram på tilsvarende måte og viser at sn = a1 ⋅

k n −1 k −1

når k ≠ 1, og sn = n ⋅ a1 når k = 1.

BOOK Sinus S2.indb 40

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:34

1.7 Nåverdi og avbetaling Du skylder en person 5000 kr. Beløpet skal betales tilbake om 3 år. For å være helt sikker på at du klarer å betale dette, setter du et beløp x i banken i dag slik at beløpet om 3 år er blitt til 5000 kr. Du får 5 % rente per år. Beløpet x finner du da ved hjelp av denne likningen: x ⋅ 1,053 = 5000 kr = x

5000 kr = 4319 kr 1,053

Hvis du setter 4319 kr i banken i dag, har beløpet vokst til 5000 kr om 3 år hvis renta er 5 % per år. Beløpet 4319 kr kaller vi nåverdien til 5000 kr om 3 år når kalkulasjonsrenta er 5 % per år. Nåverdien N til et beløp B som du skal betale om n perioder, er N =

B fn

der f er vekstfaktoren til kalkulasjonsrenta per periode.

EKSEMPEL En venn skylder deg 50 000 kr. Han skal betale deg tilbake disse pengene om 5 år. Hva er nåverdien av beløpet når kalkulasjonsrenta er 6 % per år? Løsning:

Nåverdien er 50 000 kr = 37 363 kr 1, 065

OPPGAVE 1.70

Regn med 5 % kalkulasjonsrente per år og finn nåverdien av 8000 kr når du får utbetalt beløpet om a) 5 år b) 10 år c) 15 år

Når vi handler på avbetaling, betaler vi et fast beløp hver måned i stedet for å betale varen kontant. Når vi skal vurdere hvor dyrt det er å handle på avbetaling, må vi regne ut hvilket beløp vi må sette i banken i dag for at beløpet skal dekke alle innbetalingene. Vi regner da ut nåverdien for hvert beløp og summerer.

BOOK Sinus S2.indb 41

2015-06-02 13:42:34

EKSEMPEL Helene skal kjøpe en datamaskin. Hun kan velge mellom å betale 13 000 kr kontant eller 400 kr per måned i 3 år. Det første beløpet skal betales om 1 måned. a) Finn ved regning summen av nåverdiene for alle avbetalings beløpene når hun regner med 0,5 % rente per måned. b) Finn summen av nåverdiene digitalt. c) Bør Helene velge avbetaling eller kontant betaling? Løsning:

a) Når Helene skal betale et beløp hver måned i 3 år, blir det i alt 12 ⋅ 3 = 36 beløp. Når den månedlige renta er 0,5 %, er vekstfaktoren 1,005. Det første beløpet skal hun betale om 1 måned. Nåverdien er 400 kr 1,005 Det andre beløpet skal hun betale om 2 måneder. Nåverdien er 400 kr 1,0052 Slik kan vi fortsette. Det siste beløpet skal hun betale om 36 måneder. Nåverdien er 400 kr 1,00536 Summen av alle nåverdiene er 400 kr 400 kr 400 kr 400 kr + + + ... + 2 3 1,005 1,005 1,005 1,00536 1

Dette er en geometrisk rekke med 36 ledd og kvotient k = . 1,005 400 kr Det første leddet er a1 = . Summen er 1,005

 1  −1 k 36 − 1 400 kr  1, 005  = 13 148 kr s36 = a1 ⋅ = ⋅ 1 k −1 1, 005 −1 1, 005 b) I GeoGebra CAS kan vi summere alle nåverdiene slik:

Summen av nåverdiene er 13 148 kr.

BOOK Sinus S2.indb 42

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:35

c) Nåverdien av alle avbetalingsbeløpene er 13 148 kr. Helene må sette 13 148 kr i banken hvis hun skal betale alle avbetalings beløpene ved hjelp av disse pengene. Det er mer enn 13 000 kr. Helene bør velge kontant betaling. Hvis Helene hadde regnet med høyere rente, ville konklusjonen ha blitt en annen. Hvis ikke Helene har 13 000 kr til disposisjon i dag, vil hun nok velge avbetaling selv om det ikke lønner seg.

OPPGAVE 1.71

Odd skal kjøpe seg nytt hus. Han får valget mellom å betale 2,0 millioner kroner kontant eller å betale 240 000 kr per år i 12 år. Det første beløpet skal betales om ett år. Odd regner med 5 % rente per år. a) Hva er nåverdien av det første beløpet? b) Finn summen av alle nåverdiene ved regning. c) Finn summen digitalt. d) Hvilket alternativ bør Odd velge? OPPGAVE 1.72

Anne skal kjøpe seg nytt fjernsyn. Hun får valget mellom å betale 8000 kr kontant eller å betale 350 kr per måned i 24 måneder. Det første avdraget skal betales om 1 måned. Hun regner med 0,5 % rente per måned. a) Finn nåverdien av det første beløpet. b) Finn summen av alle nåverdiene ved regning. c) Finn summen digitalt. d) Bør Anne velge avbetaling eller kontant betaling?

1.8 Annuitetslån I kapittel 1.5 lærte vi om serielån. Da var alle avdragene like store. Terminbeløpene var store i begynnelsen og minket etter hvert som restlånet ble mindre. Når vi tar opp et annuitetslån, blir avdragene bestemt slik at alle terminbeløpene blir like store. Ettersom avdraget + rentene = terminbeløpet er avdraget = terminbeløpet − rentene De første åra er restlånet stort, og da betaler vi mye renter. Avdragene blir dermed små i begynnelsen og vokser etter hvert. Mange velger annuitetslån i stedet for serielån for å unngå de store terminbeløpene de første åra.

BOOK Sinus S2.indb 43

2015-06-02 13:42:35

EKSEMPEL En familie skal kjøpe bil og tar opp et annuitetslån på 250 000 kr med 5 % rente per år. Lånet skal betales ned over 5 år med én termin per år. Terminbeløpet er på 57 744 kr. Hvor mye betaler familien i renter og avdrag i hvert av de fem åra? Løsning:

Det første året:

Renter: 250 000 kr ⋅ 0,05 = 12 500 kr Avdrag: 57 744 kr − 12 500 kr = 45 244 kr Restlån: 250 000 kr − 45 244 kr = 204 756 kr

Det andre året:

Renter: 204 756 kr ⋅ 0,05 = 10 238 kr Avdrag: 57 744 kr − 10 238 kr = 47 506 kr Restlån: 204 756 kr − 47 506 kr = 157 250 kr

Det tredje året:

Renter: 157 250 kr ⋅ 0,05 = 7863 kr Avdrag: 57 744 kr − 7863 kr = 49 881 kr Restlån: 157 250 kr − 49 881 kr = 107 369 kr

Det fjerde året:

Renter: 107 369 kr ⋅ 0,05 = 5368 kr Avdrag: 57 744 kr − 5368 kr = 52 376 kr Restlån: 107 369 kr − 52 376 kr = 54 993 kr

I den siste terminen betaler vi alltid restlånet. På grunn av avrunding kan da terminbeløpet bli et annet i siste termin. Renter: 54 993 kr ⋅ 0,05 = 2750 kr Avdrag: 54 993 kr

BOOK Sinus S2.indb 44

OPPGAVE 1.80

Hege låner 180 000 kr for å kjøpe bil. Hun får et annuitetslån med tre årlige innbetalinger og 6 % rente per år. Terminbeløpet er 67 340 kr. a) Hvor mye betaler hun i renter og i avdrag i hvert av disse tre åra? b) Hvor mye betaler hun til sammen?

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:36

Når banken skal finne terminbeløpet for et annuitetslån, gjør de det på en slik måte at summen av nåverdien til alle terminbeløpene blir lik lånebeløpet.

For et annuitetslån er summen av nåverdien til terminbeløpene lik lånebeløpet.

Vi tar opp et annuitetslån i banken. Renta er 4 % per år, og terminbeløpet er 147 949 kr per år i 10 år. Vi skal finne hvor stort lånet er. Det første beløpet betaler vi om ett år. Nåverdien i kroner er 147 949 1, 04 Det andre beløpet betaler vi om to år. Nåverdien er 147 949 1, 042 Det tredje beløpet betaler vi om tre år. Nåverdien er 147 949 1, 043 Slik kan vi fortsette. Det siste beløpet betaler vi om ti år. Nåverdien er 147 949 1, 0410 Summen av nåverdiene blir 147 949 147 949 147 949 147 949 + + + ... + 1 2 3 1, 04 1, 04 1, 04 1, 0410 Dette er en geometrisk rekke der det første leddet er a1 =

147 949 1, 04

og kvotienten er k=

1 1, 04

Summen av de ti leddene er 10

 1  −1 10 k − 1 147 949  1, 04  = 1199 999 s10 = a1 ⋅ = ⋅ 1 k −1 1, 04 −1 1, 04

BOOK Sinus S2.indb 45

2015-06-02 13:42:36

Ettersom summen av nåverdiene er lik lånebeløpet, skulle lånebeløpet være på 1 199 999 kr. Vi kan da anta at lånet var på 1,2 millioner kroner. I GeoGebra CAS finner vi lånebeløpet slik:

Ovenfor dannet nåverdiene av terminbeløpene en geometrisk rekke. Det gjelder for alle annuitetslån.

Ved et annuitetslån danner nåverdiene av terminbeløpene en geometrisk rekke der det første leddet er T f

a1 =

og kvotienten er 1 f

der T er terminbeløpet og f er vekstfaktoren til renta per termin.

EKSEMPEL For et annuitetslån med 4,5 % rente per år betaler Martin 139 671 kr per år i 15 år. a) Finn ved regning hvor stort lånet var. b) Finn digitalt hvor stort lånet var. Løsning:

a) Nåverdiene er ledd i en geometrisk rekke der det første leddet er a1 =

139 671 kr 1, 045

Kvotienten er k=

BOOK Sinus S2.indb 46

1 1, 045

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:37

Summen av de 15 nåverdiene er 15

 1  −1 15 k − 1 139 671 kr  1, 045  = 1 500 003 kr s15 = a1 ⋅ = ⋅ 1 k −1 1, 045 −1 1, 045 Dette er lånebeløpet ettersom det er lik summen av nåverdiene. På grunn av avrunding i terminbeløpet er nok summen 3 kr for høy. Lånet var på 1 500 000 kr. b) I GeoGebra CAS finner vi summen slik:

Lånet var på 1 500 000 kr.

EKSEMPEL En familie låner 2 500 000 kr med 5 % rente per år. Lånet er et annuitetslån med én termin per år og 25 års nedbetalingstid. Jamfør eksempelet med serielån på side 30–31. a) Finn terminbeløpene ved regning. b) Finn terminbeløpene digitalt. c) Hvor mye betaler familien til sammen i løpet av 25 år? Løsning:

a) La T være terminbeløpet. Nåverdiene danner da en geometrisk rekke 1 T med a1 = og kvotient k = . Summen av nåverdiene blir 1, 05

1, 05

 1  −1 25 k −1 T  1, 05  s25 = a1 ⋅ = ⋅ 1 k − 1 1, 05 −1 1, 05  1    1 − 1 T ⋅  T ⋅ − 1 25 25 1, 05   =  1, 05 =  1 − 1, 05 −0, 05

Denne summen skal være lik lånebeløpet, som er 2 500 000 kr. Det gir likningen på neste side.

BOOK Sinus S2.indb 47

2015-06-02 13:42:37

 1  T ⋅ − 1 25 1 , 05   = 2 500 000 kr −0, 05 −0, 05 ⋅ 2 500 000 kr T= = 177 381 kr 1 −1 1, 0525 b) I GeoGebra CAS finner vi terminbeløpet slik:

Terminbeløpet er 177 381 kr. c) Familien betaler 25 slike terminbeløp. Det blir 177 381 kr ⋅ 25 = 4 434 525 kr Hvis de hadde valgt et serielån, ville de ha betalt 4 125 000 kr til sammen. Men vi kan ikke sammenlikne disse tallene direkte. Når vi skal finne ut hvilket lån som er billigst, må vi sammenlikne summen av nåverdien til alle terminbeløpene.

OPPGAVE 1.81

Knut har et annuitetslån der han skal betale 83 833 kr per år i 20 år. Han betaler 4,4 % rente per år. Hvor stort er lånet? OPPGAVE 1.82

En familie låner 1 200 000 kr med 3,7 % rente per år. Lånet er et annuitetslån med én termin per år og 30 års nedbetalingstid. a) Finn terminbeløpene ved regning. b) Finn terminbeløpene digitalt. c) Hvor mye betaler familien til sammen i løpet av de 30 åra? OPPGAVE 1.83

Frida Ford låner 200 000 kr til bil. Lånet er et annuitetslån med 6 % rente per år og med én termin per år. Nedbetalingstida er på 5 år. a) Finn terminbeløpene. b) Hvor mye betaler Frida til sammen i løpet av de 5 åra?

BOOK Sinus S2.indb 48

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:38

På nettsidene finner vi regnearket «Annuitetslån» som vi kan bruke til å beregne annuitetslån.

EKSEMPEL Maria Makeløs skal kjøpe en leilighet og låner 1 200 000 kr. Det er et annuitetslån med 3,8 % rente per år med en nedbetalingstid på 10 år og med månedlige terminer. Finn terminbeløpet og hvor mye hun betaler til sammen i rente. Løsning:

Vi skriver inn tallene i regnearket «Annuitetslån». Utklippene nedenfor viser de første og de siste terminene.

Terminbeløpet er 11 999 kr. Hun betaler i alt 239 889 kr i renter.

OPPGAVE 1.84

Frida Fruktbar trenger større hus og må låne 2 400 000 kr. Det er et annuitetslån med 4,2 % rente per år. Nedbetalingstida er 25 år, og lånet har 12 terminer per år. a) Finn terminbeløpene og hvor mye hun betaler i renter til sammen. b) Frida syns at dette lånet er for dyrt. Hun får et nytt tilbud fra banken med lavere rente. Hun må betale 3 583 317 kr for det nye lånet. Finn den nye rentefoten.

BOOK Sinus S2.indb 49

2015-06-02 13:42:38

1.9 Uendelige rekker

OPPGAVE 1.90

Vi har gitt den uendelige rekka 1 1 1 1 + + + + ... 2 4 8 16 Finn digitalt summen av de 10 første, de 20 første og de 100 første leddene. Hva ser du?

I oppgave 1.90 fant du sikkert ut at den uendelige rekka 1 1 1 1 + + + + ... 2 4 8 16 ser ut til å ha en endelig sum. Det kan vi også vise ved regning. Vi ser på summen av de første leddene: 1 1 1 =1− =1− 1 2 2 2 1 1 3 1 1 s2 = + = = 1 − = 1 − 2 2 4 4 4 2 1 1 1 1 7 1 s3 = + + = = 1 − = 1 − 3 2 2 4 8 8 8 1 1 1 1 1 1 15 s4 = + + + = =1− =1− 4 2 4 8 16 16 16 2 s1 =

Det ser ut som summen sn av de n første leddene kan være gitt ved formelen 1 sn = 1 − n 2 Stemmer det for alle n? Rekka er geometrisk med kvotienten k =

1 2

og med det første leddet a1 = .

Summen av de n første leddene blir n

1 1 −1 −1   1 n  k n − 1 1  2  1 1  2  = −    − 1 = 1 − n = ⋅ sn = a1 ⋅ = ⋅   1 1 k −1 2 2 2  2   − −1 2 2 Hvis vi lar tallet n på ledd gå mot uendelig, går 1n mot null. Da går summen 2 sn mot 1.

BOOK Sinus S2.indb 50

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:39

Dette skriver vi med symboler på denne måten: sn = 1 −

1 → 1 når n → ∞ 2n

Symbolet ∞ leser vi uendelig. Det er ikke noe tall. Vi skriver n → ∞ når vi mener at n vokser over alle grenser. Vi har nå vist at summen av de n første leddene i rekka 1 1 1 1 + + + + ... 2 4 8 16 nærmer seg 1 når n → ∞. Vi sier at rekka konvergerer og har summen s = 1. En uendelig rekke konvergerer og har summen s hvis summen sn av de n første leddene nærmer seg tallet s når n → ∞. Hvis summen sn av de n første leddene ikke nærmer seg noe bestemt tall når n → ∞, sier vi at rekka divergerer.

OPPGAVE 1.91

Finn et uttrykk for summen sn av de n første leddene i hver rekke. Avgjør om rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av de uendelige rekkene. a) 625 + 125 + 25 + 5 + … b) 2 + 5 + 8 + 11 + … c) 100 + 100 ⋅ 1,1 + 100 ⋅ 1,12 + … d) 100 + 100 ⋅ 0,9 + 100 ⋅ 0,92 + …

Nå skal vi studere den uendelige geometriske rekka a1 + a1 ⋅ k + a1 ⋅ k 2 + a1 ⋅ k 3 + ... Vi ønsker å finne ut når rekka konvergerer. Hvis a1 = 0, er alle leddene i rekka lik null. Rekka konvergerer og har summen 0. Vi forutsetter heretter at a1 ≠ 0. Hvis k ≠ 1, er summen av n ledd gitt ved sn = a1 ⋅

k n −1 k −1

Hvis k > 1 eller k < −1 vil absoluttverdien av k n vokse over alle grenser når n → ∞. Dermed vil absoluttverdien av sn vokse over alle grenser. Rekka divergerer.

BOOK Sinus S2.indb 51

2015-06-02 13:42:40

Hvis k = 1, er alle de n leddene lik a1. Summen blir sn = n ⋅ a1, og da vil absoluttverdien av sn vokse over alle grenser når n → ∞. Rekka divergerer. Hvis k = −1, blir rekka a1 − a1 + a1 − a1 + ... Summen sn veksler mellom tallene 0 og a1 alt etter om n er et partall eller et oddetall. Summen nærmer seg ikke noe fast tall, og rekka divergerer. Dersom −1 < k < 1, vil k n → 0 når n → ∞. Rekka konvergerer fordi a k n −1 0 −1 −1 1 → a1 ⋅ = a1 ⋅ = a1 ⋅ = 1 k −1 k −1 k −1 1− k 1− k a Summen er s = 1 . 1− k sn = a1 ⋅

En uendelig geometrisk rekke med første ledd a1 ≠ 0 er konvergent hvis og bare hvis kvotienten k ∈ −1, 1 . Rekka har da summen a s = 1 1− k

EKSEMPEL a) Undersøk om de uendelige geometriske rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen. 27 9 3 1) 54 − 18 + 6 − 2 + ... 2) + + + 1 + ... 64 16 4 b) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å løse oppgave a. Løsning:

a) 1) Vi vet at rekka er geometrisk. Kvotienten k er a2 −18 1 k = a = 54 = − 3 1 Rekka konvergerer fordi k ∈ 〈−1, 1〉. Summen av rekka er a 54 54 54 ⋅ 3 162 81 s = 1 = = = = = 4 1− k 4 2  1 4 ⋅ 3 1−  −  3 3  3

BOOK Sinus S2.indb 52

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:42

2) Kvotienten k er 9 4 9 ⋅ 64 a 9⋅4 4 16 k = 2 = 16 = = = 27 a1 27 27 3 ⋅ 64 64 64 Rekka divergerer (konvergerer ikke) fordi k ikke er et tall mellom –1 og 1. b) 1) Ledd nr. n i rekka er an = a1 ⋅ k

n −1

 1 = 54 ⋅  −   3

n −1

I GeoGebra CAS finner vi summen av den uendelige rekka slik:

Symbolet ∞ finner vi ved å klikke på α til høyre i CAS-feltet. 81 Summen er . 2

2) I den andre rekka er ledd nr. n gitt ved n −1

27  4  an = a1 ⋅ k n − 1 = ⋅ 64  3  Vi prøver å finne summen av den uendelige rekka i GeoGebra CAS.

Rekka divergerer.

EKSEMPEL Den greske filosofen Zenon, som levde rundt 500 f.Kr., la fram et problem som seinere er blitt kjent som Zenons paradoks. Zenon fortalte om Akilles, den raskeste mannen i Hellas på den tida, som skulle løpe om kapp med ei skilpadde. Akilles kunne løpe 100 m like fort som skilpadda løp 10 m. Skilpadda fikk derfor et forsprang på 100 m.

BOOK Sinus S2.indb 53

2015-06-02 13:42:43

Da Akilles kom til det punktet skilpadda hadde startet fra, var skilpadda 10 m foran ham. Da Akilles kom dit, var skilpadda på et punkt 1 m foran ham. Akilles løp videre, men skilpadda var enda 0,1 m foran ham da han nådde dette punktet. Slik kunne Zenon fortsette resonnementet i det uendelige, og Zenon konkluderte med at Akilles aldri ville ta igjen skilpadda. For grekerne var dette et stort problem. Erfaringen viste jo at Akilles tok igjen skilpadda. Men tanken kom til motsatt konklusjon. Skulle en tro på tanken eller på erfaringen? På den tida mente nemlig grekerne at det var tanken som formidlet sannheten. Erfaringen bestod av illusjoner. Hva er galt med Zenons resonnement? Løsning:

Hvis vi summerer de avstandene som Akilles løp, får vi 100 m + 10 m + 1 m + 0,1 m + … Dette er en uendelig geometrisk rekke med a1 = 100 m og kvotient k = 0,1. Summen av rekka blir s=

100 m 100 a1 1000 1 = = m= m = 111 m 1 − k 1 − 0,1 0, 9 9 9 1

Akilles tar igjen skilpadda etter 111 m. Summen av uendelig mange 9 lengder blir en endelig lengde. Det var utenkelig for grekerne. De trodde at det eksisterte en minste og udelelig lengde (atomteorien). Med en slik minste lengde kan ikke summen av uendelig mange lengder bli endelig.

OPPGAVE 1.92

Avgjør ved regning om de uendelige geometriske rekkene konvergerer, og finn eventuelt summen av rekkene. a) 100 + 50 + 25 + … b) 1 + 1,5 + 2,25 + … c) 10 – 9 + 8,1 – 7,29 + … d) 10 – 11 + 12,1 – 13,31 + … OPPGAVE 1.93

Da Heidi ble født, ble det avtalt at hun skulle få et fast pengebeløp hver måned hele livet. Den første måneden skulle hun få 1000 kr. Deretter skulle beløpet minke med 1 % per måned. a) Hvor stort er det 12. beløpet? b) Hvor mye penger får Heidi det første året? c) Hvor mye penger får Heidi til sammen? d) Hva ville du ha svart på oppgave c hvis beløpet hadde økt med 1 % per måned i stedet?

BOOK Sinus S2.indb 54

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:44

OPPGAVE 1.94

a) Finn summen av den uendelige geometriske rekka digitalt og ved regning. 1 1 1 1 + + + + ... 2 4 8 16 b) I kvadratet nedenfor har sidekanten lengden 1. 1 1 4

1 2

1 1 16 1 64

1 8 1 32

Vi deler kvadratet i to like store deler som vist ovenfor. Hver del f책r arealet 1 . Den ene av de to delene deler vi i to like deler. Hver av de to 2

delene f책r da arealet 1 . Slik fortsetter vi. 4 Bruk figuren til 책 finne summen av den uendelige rekka i oppgave a. OPPGAVE 1.95

a) Finn summen av rekka digitalt og ved regning. 1 1 1 1 + + + + ... 4 16 64 256 b) Hvordan kan du finne summen ut fra denne figuren?

BOOK Sinus S2.indb 55

2015-06-02 13:42:45

SAMMENDRAG Tallfølge (følge) En tallfølge er en serie av tall i en bestemt rekkefølge. a1 , a2 , a3 ,... Hvert tall i følgen blir kalt et ledd. Rekke Vi får en rekke når vi summerer leddene i en tallfølge. En rekke er dermed et uttrykk av typen a1 + a2 + a3 + ... Tallene i rekka kaller vi ledd. I en uendelig rekke er det uendelig mange ledd. Summen av en endelig rekke Det tallet vi får når vi summerer leddene i en endelig rekke, kaller vi summen av rekka. sn = a1 + a2 + a3 + ... + an Aritmetisk følge I en aritmetisk følge er det en fast differanse d mellom et ledd og leddet foran. Ledd nr. n finner vi med formelen an = a1 + ( n − 1) ⋅ d Aritmetisk rekke I en aritmetisk rekke danner leddene en aritmetisk følge. Summen sn av de n første leddene er gitt ved formelen sn =

n ⋅ (a1 + an ) 2

Geometrisk følge I en geometrisk følge fins det et tall k slik at hvert ledd er lik det foregående leddet multiplisert med tallet k. Ledd nr. n finner vi med formelen an = k n − 1 ⋅ a1 Tallet k blir kalt kvotienten i rekka.

BOOK Sinus S2.indb 56

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:42:46

Oppgaver

308

BOOK Sinus S2.indb 308

2015-06-02 13:49:10

1 Følger og rekker ØV MER 1.1 FØLGER OG REKKER

Oppgave 1.110 I en følge er ledd nr. i gitt. Finn de fem første leddene i følgen. a) ai = i 2 − 2 2

b) ai = i − i i +1 c) ai = i 1 d) ai = 2i −1 Oppgave 1.111 Leddene i en rekke er gitt ved 2

ai = i − 4 der i = 1, 2, 3, … . a) Finn summen av de fem første leddene ved regning. b) Finn summen av de ti første leddene digitalt. Oppgave 1.112 Vi har gitt rekka 3 + 5 + 7 + 9 +  + (2n + 1) a) Finn summene s5, s6 og s7 ved regning. b) Finn summen s100 digitalt. Oppgave 1.113 I en tallfølge er det første leddet a1 = 1. Resten av leddene er gitt ved

Oppgave 1.114 I en tallfølge er de to første leddene a1 = 2 og a2 = 4. Resten av leddene er gitt ved an = 2 ⋅ an − 1 + 3 ⋅ an − 2 Bruk formelen og skriv opp de fem første leddene i følgen. Oppgave 1.115 Vi har gitt rekka 1 + 5 + 9 + 13 +  + (4n − 3) a) Skriv opp s1, s2, s3 og s4. b) Finn summen s100 – s50 digitalt. Oppgave 1.116 Vi har gitt rekka 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + a) Finn summene s3, s5 og s8. b) Formelen for summen sn av de n første leddene i denne rekka er sn =

n(n +1)(2n +1) 6

Kontroller formelen for n = 3, n = 5 og n = 8. c) Bruk formelen i oppgave b og finn s25. d) Finn summen s25 digitalt.

an = 4 ⋅ an − 1 − 1 Bruk formelen og finn a2, a3 og a4.

309

BOOK Sinus S2.indb 309

2015-06-02 13:49:12

Oppgave 1.117 a) Figuren til venstre nedenfor viser en sirkel med radius 4 som er delt i fire deler (tre ringer og en sirkelflate med samme sentrum). Hver ring har bredden 1. Finn arealet av hver av ringene og bruk det til å vise at 1 + 3 + 5 + 7 = 42

1 1 11

b) Figuren til høyre ovenfor viser en sirkel med radius n. Inne i sirkelen er det tegnet en ring med bredde 1. Finn et uttrykk for arealet av ringen. c) Forklar hvordan du kan bruke sirkelen til høyre til å vise at summen av de n første oddetallene er lik n2. d) Vis ved regning at summen av de n første oddetallene er lik n2. Oppgave 1.118 Finn digitalt summen av rekkene. a) 200 + 200 · 1, 08 + 200 · 1, 082 +… + 200 · 1, 0824 b) 1 + 0, 85 + 0, 852 + 0, 853 + …+ 0, 8599

1.2 FIGURTALL

Oppgave 1.120 Studer de fem figurene nedenfor.

Figur 1 Figur 2

310

BOOK Sinus S2.indb 310

Figur 3

Figur 4

a) Hvor mange kuler er det på hver av de fem figurene? b) Vi fortsetter å lage figurer etter samme mønster som de fem første figurene. Finn ut hvor mange kuler det er på hver av de tre neste figurene. c) Forklar hvordan du finner ut hvor mange kuler du trenger for hver ny figur du lager. d) Du skal nå lage fem nye figurer. Figur A skal ha like mange kuler som figur 1. Figur B skal ha like mange kuler som figur 1 og figur 2 har til sammen. Figur C skal ha like mange kuler som figur 2 og figur 3 har til sammen. Figur D skal ha like mange kuler som figur 3 og figur 4 har til sammen, osv. Hvor mange kuler må du da ha til hver av de fem figurene? e) Finn en formel som forteller hvor mange kuler det er på figur nr. n. Oppgave 1.121 Studer de tre figurene.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a) Hvor mange fyrstikker er det i hver av de tre figurene? b) Hvor mange nye fyrstikker trenger vi for hver ny figur når vi er ferdige med den første figuren? c) Lag en formel som forteller hvor mange fyrstikker vi trenger i alt for å lage figur nr. n. d) Hvor mange figurer i en slik rekke kan vi i alt lage ved å bruke 3720 fyrstikker? Løs oppgaven digitalt.

Figur 5

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:13

Oppgave 1.122 Studer figurene nedenfor. Hvis møns teret fortsetter i det uendelige, får vi et mønster som blir kalt Sierpinskitrekanten. a) Hvor mange røde trekanter er det på figur nr. 1, figur nr. 2, figur nr. 3 og figur nr. 4? b) Lag en formel for hvor mange røde trekanter det er på figur nr. n. c) Hvilket nummer har en figur som her 6561 røde trekanter?

Oppgave 1.123 Studer figurene.

Figur 1

Figur 2

Figur 3

a) Følg mønsteret og tegn den neste figuren. b) Sett opp en formel som viser hvor mange kuler det er i figur nr. n. c) Hvilket nummer har den figuren som har 259 kuler? d) Hvor mange ledd i rekka 7 + 12 + 19 + ...

Figur 1

må vi ta med for at summen skal bli 854? Løs oppgaven digitalt.

Oppgave 1.124 Studer de fire figurene nedenfor. F1 F2 Figur 2

Figur 3

Figur 4

a) Hvor mange kuler kommer det til å være på figuren F5? Forklar. b) Finn en formel som forteller hvor mange kuler det er på figur nr. n.

311

BOOK Sinus S2.indb 311

2015-06-02 13:49:14

Oppgave 1.125 Nedenfor ser du en følge med tall som blir kalt fibonaccitallene. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, … a) Hvis vi tar det andre tallet i følgen og deler det med det første, får vi 1 = 1. Tar vi det tredje tallet i følgen 1 og deler det med det andre, får vi 2 = 2. Fortsett på denne måten ved å 1 ta et tall i følgen og dele med tallet rett foran. Hvilket tall ser det ut for at dette forholdstallet utvikler seg mot? b) Det siste tallet som er tatt med i følgen ovenfor, er 144. Skriv de to neste tallene i følgen. c) Nedenfor ser du en plante som har vokst jevnt i om lag sju måneder. Hvordan kan vi finne igjen fibonacci tallene her?

6 5 3 2

a) Forklar at følgen er aritmetisk. b) Finn ledd nr. 10 og ledd nr. 20. c) Lag en formel for det i-te leddet. Oppgave 1.132 Karianne vil trene armmusklene. Den første uka tar hun seks armhevinger og vil så øke antallet med to for hver uke. a) Hvor mange armhevinger tar hun den 6. uka? b) Hun ønsker til slutt å klare 30 armhevinger på denne måten. Hvor lenge må hun holde på? Oppgave 1.133 Finn a1 og d i en aritmetisk følge når a) a2 25 = = og a3 20 3 7 = b) a3 = og a5 4 4

Finn en formel for ledd nr. i.

1.3 ARITMETISKE OG GEOMETRISKE FØLGER

Oppgave 1.130 Skriv opp de fem første leddene i en aritmetisk følge der a) a1 2= = og d 7 = b) a2 10 = og d 4 = c) a1 2= og a2 14

BOOK Sinus S2.indb 312

9, 14, 19, 24, …

Oppgave 1.134 I en aritmetisk følge er det første leddet a1 = 12 , og differansen d = −3.

312 312

Oppgave 1.131 Vi har gitt tallfølgen

Oppgave 1.135 Skriv opp de fem første leddene i en geometrisk følge der a) a1 2= = og k 3 b) = a2 8= og k 2 1 = c) a1 2= og a2 2 2 = d) a1 2= og a4 27 3 27 = e) a2 = og a4 2 8

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:17

Oppgave 1.136 Finn kvotienten k i de geometriske følgene. a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, … b) 3, 9, 27, 81, 243, … 1 1 c) 4, 2, 1, , , … 2 4 1 1 d) 100, 10, 1, , ,… 10 100

1.4 ARITMETISKE REKKER

Oppgave 1.137 Undersøk om følgen er geometrisk, og finn i så fall kvotienten. a) 1, 5, 25, 125 b) 2, 14, 96 3 3 3 2 4 8 c) 3, , , d) 1, , , 4 16 64 5 25 120

Oppgave 1.141 Finn hvor mange ledd det er i rekkene, og finn summen av rekkene. a) 2 + 9 + 16 + ... + 72 b) 84 + 79 + 74 + ... + 24 c) 3 + 6 + 9 + 12 + ... + 120

Oppgave 1.138 En bedrift selger et år 12 500 enheter av en vare. Bedriften har som mål å øke salget med 5 % per år de neste åra. a) Forklar at salgstallene vil danne en geometrisk tallfølge. b) Finn en formel for salgstallet om i år. c) Hvor mange prosent øker salgstallet i alt med på fire år?

Oppgave 1.142 Et bakeri vil begynne å produsere et nytt brød. Den første uka skal de etter planen produsere 800 brød. Deretter regner bakeriet med å øke produksjonen med 15 brød hver uke. a) Hvor mange brød regner bakeriet med å produsere per uke etter 1) 10 uker 2) 26 uker b) Finn hvor mange slike brød bakeriet vil lage til sammen 1) de første 26 ukene 2) det første året

Oppgave 1.140 Finn summen av de 20 første leddene i en aritmetisk rekke når a) a1 = 2 og d = 3 b) a1 = 36 og d = −2 c) a1 = 3 og a2 = 7 d) a1 = 32 og d = −4

Oppgave 1.139 I en geometrisk følge= er a1 2= og k 3. Hvilket nummer i denne følgen har leddet 354 294?

313

BOOK Sinus S2.indb 313

2015-06-02 13:49:22

Oppgave 1.143 I en aritmetisk rekke med 25 ledd og d = 6 er summen 1875. Finn det første leddet a1. Oppgave 1.144 I en aritmetisk rekke er a6 = 38 og a10 = 78. Finn a1, d og s15. Oppgave 1.145 Vi har den aritmetiske rekka −13 − 9 − 5 − 1 + 3 + ... a) Finn det 15. leddet a15. b) Finn en formel for an. c) Vis at sn = 2n 2 − 15n. d) Finn summen av de 100 første leddene. Oppgave 1.146 En ny bedrift produserer radioer. Den første måneden, januar 2014, er månedsproduksjonen 580 radioer. Bedriften regner med å øke produksjonen med 30 radioer for hver måned. a) Regn ut hvor mange radioer de lager i desember 2014. b) Hvor mange radioer regner bedriften med å produsere i hele 2014? c) Finn en formel for den totale produksjonen sn etter n måneder. d) Når har bedriften i alt produsert 10 000 radioer? Oppgave 1.147 Kari har i lekse å lese ei bok på fjorten dager. Hun bestemmer seg for å begynne med fire sider og deretter øke med to sider for hver dag. a) Hvor mange sider leser hun den 10. dagen? b) Hvor mange sider var boka på når hun ble ferdig med å lese den etter nøyaktig fjorten dager?

314

BOOK Sinus S2.indb 314

Oppgave 1.148 En huseier skal sette opp en stor og lang mur. Han vil bruke murstein og klarer å mure 45 mursteiner den første dagen. Etter hvert går det lettere, og han øker med 5 nye mursteiner for hver dag som går. a) Hvor mange mursteiner klarer han å mure den 7. dagen? b) Hvor mange mursteiner er det i muren etter ei uke? c) Det blir til slutt en mur med 870 mursteiner. Hvor lang tid brukte huseieren på å sette opp denne muren?

Oppgave 1.149 Vis at a) 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n 2 2) 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n 2 + n b) Forklar at vi kan sannsynliggjøre formlene i oppgavene ovenfor ved hjelp av mønstrene nedenfor.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52

2 + 4 + 6 + 8 = 42 + 4

c) Regn ut summen av de 500 første oddetallene. d) Regn ut summen av de 500 første partallene.

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:24

1.5 SERIELÅN

Oppgave 1.150 Harry Davidsen låner 75 000 kr for å kjøpe motorsykkel. Lånet er et serielån over 3 år med én termin i året. Lånet har en etterskuddsrente på 5 % per år. a) Finn 1) det første terminbeløpet 2) det andre terminbeløpet 3) det tredje terminbeløpet b) Finn de tre terminbeløpene i oppgave a ved å bruke regnearket «Serielån». c) Hvor mye betaler Harry til sammen for lånet? Oppgave 1.151 Bente låner 300 000 kr til kjøp av ny bil. Lånet er et serielån over 6 år med én termin i året. a) Finn avdragene.

Oppgave 1.153 Ingvald må låne 1 750 000 kr for å kjøpe seg leilighet. I en bank får han tilbud om et serielån over 25 år til 4,0 % rente og én termin per år. a) Regn ut hvor mye Ingvald må betale den første terminen hvis han velger dette lånet. b) Ingvald kan høyst ha 130 000 kr i terminbeløp det første året. Gi et par eksempler på fornuftige justeringer i lånebetingelsene slik at han kan klare den første terminen. Oppgave 1.154 a) I en aritmetisk rekke er det første leddet a1 = 42 500 og differansen d = −900. Finn a3 og ai .

Det i-te terminbeløpet i kroner er gitt ved 65 750 – 2250i. b) Finn de tre første terminbeløpene. c) Hvor høy er årsrenta på lånet? d) Hvor mye betaler Bente ved den siste terminen? e) Hvor mye betaler Bente til sammen på lånet?

Ingvild låner 500 000 kr til kjøp av ny traktor. Lånet er et serielån over 25 år med 4,5 % etterskuddsrente og med én termin i året. b) Regn ut rente og avdrag ved første termin. c) Finn det tredje terminbeløpet og et uttrykk for terminbeløpet ved termin nr. i. d) Hvor mye betaler Ingvild tilbake til sammen?

Oppgave 1.152 Ola og Grete låner 1,5 millioner kroner til kjøp av ny leilighet. Lånet er et serielån over 20 år med 4,0 % etterskuddsrente per år. Lånet har én termin i året. a) Regn ut de to første terminbeløpene. b) Finn en formel for terminbeløp nr. i. c) Regn ut det 12. terminbeløpet. d) Hvor mye betaler Ola og Grete til sammen? e) Kontroller svarene i oppgave a, c og d ved å bruke regnearket «Serielån».

Oppgave 1.155 Lise har tatt opp et serielån på 300 000 kr for å kjøpe ny bil. Renta på lånet er 4,0 % per år, og det er én termin i året. Lånet skal betales ned over 8 år. a) Finn en formel for restlånet rett før termin nr. i. b) Finn en formel for rentene ved termin nr. i. c) Finn en formel for terminbeløpet ved termin nr. i. d) Hvor mye betaler Lise til sammen for lånet?

315

BOOK Sinus S2.indb 315

2015-06-02 13:49:24

Oppgave 1.156 I denne oppgaven skal du bare bruke regnearket «Serielån». Tove og Bjørn skal kjøpe hytte og må låne 1 500 000 kr. De vurderer et serielån i en bank med 3,8 % rente per år. Nedbetalingstida er 25 år og har 1 termin per år. a) De ønsker at lånet heller skal ha 12 terminer per år. Hvor mye mindre betaler de da i alt tilbake på 25 år enn om de hadde 1 termin per år? b) De syns at også lånetilbudet med 12 terminer er for dyrt. Fra en annen bank får de tilbud om et lån med lavere rente. Dette lånet har også 12 terminer per år, og banken garanterer at summen av terminbeløpene skal være minst 50 000 kr lavere enn i tilsvarende tilbud fra den første banken. Finn den nye rentefoten. Gi svaret med én desimal.

1.6 GEOMETRISKE REKKER

Oppgave 1.160 Finn summen av en geometrisk rekke med n ledd når a) = a1 2= , k 3 og n = 8 b) = a1 1,= k 0, 5 og n = 12 c) a1 = 10, k = −2 og n = 10 Oppgave 1.161 Anne låner penger av en venn. Pengene skal hun betale tilbake uten renter i løpet av ett år. Etter tre måneder betaler hun det første avdraget på 582 kr. Resten skal betales med tre nye avdrag, ett hver tredje måned. Avdragene blir 10 % mindre for hver gang. Hvor mye lånte Anne av vennen?

316

BOOK Sinus S2.indb 316

Oppgave 1.162 Hans setter 2000 kr i banken ved begynnelsen av hvert år i seks år. Han får 4 % rente per år av banken. Hvor stort beløp står da på kontoen etter at han har satt inn 2000 kr for 6. gang? Oppgave 1.163 a) Vis at rekka er geometrisk. 1 1 1 1 1 + + + + +... 81 54 36 24 16 b) Finn kvotienten og det sjuende leddet. c) Finn en formel for sn. d) Bestem n når sn =

58 025 41 472

Oppgave 1.164 I en geometrisk rekke er det første 7 leddet a1 = 4 og kvotienten k = . 5 a) Vis at summen av de n første leddene er   7 n  sn = 10 ⋅    − 1  5     b) Hvor mange ledd må vi minst ha med i rekka hvis summen skal være større enn 1100? Oppgave 1.165 a) Hvor mange av tallene i tallfølgen 1, 05, 1, 052 , 1, 053 , 1, 054 , ... er mindre enn 50? b) Hvor mange ledd må det minst være i rekka 1, 05 + 1, 052 + 1, 053 + 1, 054 + ...

for at summen skal bli minst 50?

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:26

Oppgave 1.166 Tore skriver bok. Den første uka skriver han 12 sider. Dette tallet øker han med 10 % for hver uke som går. Boka blir til slutt på 336 sider. a) Hvor mange sider skriver han den åttende uka? b) Hvor lang tid bruker han på hele boka?

Oppgave 1.167 En bedrift produserer et år a1 = 25 000 par slalåmski. Bedriften regner med en årlig produksjonsøkning på 5 % de neste ti åra. Kall produksjonstallet det n-te året for an. a) Finn a2 og a5. b) Hva blir totalproduksjonen av slalåmski de første ti åra? c) Finn den gjennomsnittlige års produksjonen av slalåmski i denne tiårsperioden. Oppgave 1.168 Hvert år i 18 år setter foreldrene til Stine 8000 kr av barnetrygden på en konto ved begynnelsen av året. Vi regner med en fast årsrente på 3,0 %. a) Hvor mye kommer det da til å stå på kontoen rett etter at det 18. beløpet er satt inn? b) Rett etter at det 15. beløpet er satt inn, tar de ut 40 000 kr til konfirmasjonen. Hvor mye blir det nå på kontoen rett etter at det 18. beløpet er satt inn? c) Løs oppgaven ved hjelp av regne arket «Sparing».

Oppgave 1.169 Ola planlegger å kjøpe ny bil til 450 000 kr om fem år. Da regner han med å få 150 000 kr for den gamle bilen sin. Han bestemmer seg for å legge til side 55 000 kr ved begynnelsen av hvert år. Det første sparebeløpet setter han i banken om ett år. Han får 3,0 % rente p.a. a) Har han råd til å kjøpe denne nye bilen rett etter at han har satt inn det femte beløpet? b) Hvor mye må han sette inn på kontoen ved begynnelsen av hvert år dersom han skal få råd til å kjøpe denne bilen rett etter at han har satt inn det femte beløpet? Oppgaven skal løses både ved regning og ved prøving og feiling i regnearket «Sparing».

1.7 NÅVERDI OG AVBETALING

Oppgave 1.170 Finn nåverdien av 10 000 kr med 5 % kalkulasjonsrente per år når du får utbetalt beløpet a) om ett år b) om to år c) om tre år d) om ti år Oppgave 1.171 Nåverdien av 20 000 kr som du får utbetalt om seks år, er 14 099 kr. Hvilken kalkulasjonsrente er brukt? Oppgave 1.172 Idar skal få 20 000 kr når han blir 18 år. Hvor stort beløp bør han få hvis han heller skulle få gaven i dag på sin 10-årsdag? Bruk 5 % kalkulasjonsrente per år.

317

BOOK Sinus S2.indb 317

2015-06-02 13:49:27

Oppgave 1.173 Jens skal kjøpe nytt stereoanlegg. Han kan velge mellom å betale 15 000 kr kontant eller 1400 kr hver måned i ett år, med første betaling om en måned. Regn med en kalkulasjonsrente på 0,5 % per måned. a) Finn nåverdien av det første beløpet. b) Forklar at nåverdien av alle de tolv beløpene er 1400 kr 1400 kr 1400 kr + + ... + 2 1, 005 1, 005 1, 00512 c) Finn ved regning summen i oppgave b. d) Løs oppgave c i CAS. e) Bør Jens velge avbetaling eller kontant betaling? Oppgave 1.174 Lise skal i fem år få utbetalt 5000 kr ved årets begynnelse, første gang om ett år. Kalkulasjonsrenta er 5,0 % per år. a) Finn nåverdien av det siste beløpet hun får utbetalt. b) Finn ved regning summen av nåverdiene av alle beløpene. c) Løs oppgave b i CAS. Oppgave 1.175 Arild skal kjøpe ny vaskemaskin. Han har valget mellom å betale 6500 kr kontant eller å betale 600 kr per måned i 12 måneder, første gang om en måned. Hva bør han velge – kontant betaling eller avbetaling – når vi regner med en kalkulasjonsrente på 6,0 % per år? Oppgave 1.176 Irene skal kjøpe ny datamaskin. Hun velger å kjøpe maskinen på avbetaling og betaler 700 kr per måned i 24 måneder, første gang samme dag som hun kjøper maskinen. Kalkulasjonsrenta er 6,0 % per år.

318

BOOK Sinus S2.indb 318

a) Finn summen av nåverdiene av avbetalingsbeløpene. b) Hun kunne ha valgt å kjøpe maskinen kontant for 12 990 kr. Hva måtte månedsbetalingen ha vært hvis de to tilbudene skulle være like? Oppgave 1.177 Lars vil kjøpe en ny spisestue. Han kan velge mellom å betale 24 000 kr kontant eller å betale 2250 kr hver måned i ett år, første gang om en måned. a) Hva bør han velge hvis kalkulasjonsrenta er 6,0 % per år? b) Bruk et digitalt hjelpemiddel til å finne den kalkulasjonsrenta som gjør disse tilbudene like.

1.8 ANNUITETSLÅN

Oppgave 1.180 Svein låner 1 500 000 kr til kjøp av en større leilighet. Lånet er et annuitetslån med én termin i året. Lånet skal ned betales over 20 år. Terminbeløpet er 152 778 kr, og årsrenta er 4,5 %. a) Finn det første rentebeløpet og det første avdraget. b) Finn det andre rentebeløpet og det andre avdraget. Oppgave 1.181 Randi skal pusse opp hjemme og låner 100 000 kr. Hun får et annuitetslån over 10 år med en etterskuddsrente på 5,0 % per år. Hun skal betale tilbake lånet med én termin i året. Avdraget ved første termin er 7950 kr. a) Finn terminbeløpet. b) Hvor mye betaler hun i rente og hvor mye betaler hun i avdrag det andre året?

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:27

Oppgave 1.182 Guri Malla låner 500 000 kr til kjøp av ny bil. Hun får et annuitetslån med 5,5 % rente per år. Lånet går over 5 år, og det er én årlig innbetaling der renta skal betales etterskuddsvis. Terminbeløpet er 117 088 kr. a) Finn de to første avdragene. b) Vis ved regning at terminbeløpet er 117 088 kr. Oppgave 1.183 Et annuitetslån løper over fire år. De årlige terminbeløpene er på 50 966 kr. Årsrenta er 4,0 % etterskuddsvis. a) Finn ved regning hvor stort lånet var. b) Finn digitalt hvor stort lånet var. c) Bruk regnearket «Annuitetslån» til å finne ut hvor stort lånet var. Oppgave 1.184 Et annuitetslån er på 1,8 millioner kroner. Lånet skal nedbetales over 20 år med 5 % etterskuddsvis rente per år. a) Finn terminbeløpet ved regning. b) Finn terminbeløpet digitalt. c) Bruk regnearket «Annuitetslån» til å finne terminbeløpet. Oppgave 1.185 Finn Bølgen låner 500 000 kr til kjøp av båt. Lånet er et annuitetslån med én termin i året. Årsrenta er 5,5 % etterskuddsvis. a) Bølgen kan velge mellom 15 og 20 års nedbetalingstid. Hva blir det årlige terminbeløpet med hvert av de to alternativene? b) Bølgen bestemmer seg for å velge 20 års nedbetalingstid. Rett etter den 15. innbetalingen bestemmer han seg for å gjøre opp lånet. Hvor stor er restgjelden like etter den 15. innbetalingen?

1.9 UENDELIGE REKKER

Oppgave 1.190 Finn summen av den uendelige geometriske rekka. 1 1 1 a) 1 + + + + ... 4 16 64 2 3 9 27 b) + + + + ... 5 10 40 160 1 1 1 c) + + + ... 3 9 27 1 d) 3 + 3 + 1 + + ... 3 e) 1 − 0, 80 + 0, 64 − ... Oppgave 1.191 Undersøk om den geometriske rekka konvergerer, og finn eventuelt summen av rekka. a) 100 + 50 + 25 + ... b) 2 + 2 ⋅1, 05 + 2 ⋅1, 052 + ... c) 10 + 11 + 12,1 + ... d) 4 + 2 2 + 2 + ... Oppgave 1.192 a) Finn summen av de 20 første leddene i rekka. 1) 100 + 80 + 64 + 51, 2 + ... 2) 1 + 1, 8 + 2, 6 + 3, 4 + ... b) Undersøk om rekkene i oppgave a konvergerer. Finn eventuelt summen. Oppgave 1.193 Sirklene på figuren fortsetter i det uendelige. De har diametrene 16, 8, 4 osv. Diameteren i hver sirkel er halvparten av diameteren i den foregående. Finn summen av arealene av alle sirklene.

…

319

BOOK Sinus S2.indb 319

2015-06-02 13:49:29

Oppgave 1.194 Sebastian skal lage et gjerde. Til dette arbeidet må han slå ned noen støttepilarer med slegge. Med det første slaget får han en støttepilar 5,00 cm ned i jorda. For hvert nytt slag reduseres lengden med 7 %. a) Hvor langt ned i jorda går en pilar på det 10. slaget? b) Hvor langt ned i jorda er en pilar kommet etter 9 slag? c) Sebastian har som mål at hver pilar skal 70 cm ned i jorda. Kan han nå målet sitt? Oppgave 1.195 I en legemiddeltablett er det 1,2 mg av et giftstoff. Kari tar en slik tablett hver dag. Hver dag bryter kroppen ned 15 % av giftmengden. Dersom den totale giftmengden kommer over 8 mg, er det helseskadelig. a) Hvor mye giftstoff har Kari i kroppen rett før hun skal ta sin tredje tablett? b) Hvor mye giftstoff har Kari i kroppen rett etter at hun har tatt sin 10. tablett? c) Finn ut om denne doseringen er helseskadelig over tid. Oppgave 1.196 En tablett inneholder en viss mengde av et virksomt stoff. Hver dag bryter kroppen ned 40 % av denne stoffmengden. Gunnar tar en slik tablett hver dag. Kroppen hans skal ikke ha mer enn 8 mg av det virksomme stoffet. Hva er da den maksimale mengden hver tablett kan inneholde?

320 320

BOOK Sinus S2.indb 320

Oppgave 1.197 a) Severin låner et større pengebeløp av Severine. Lånet skal betales tilbake over tre år, med én innbetaling i året og første gang om ett år. Med en kalkulasjonsrente på 5 % per år må Severin årlig betale 33 049 kr til Severine. Finn nåverdien av 33 049 kr når beløpet skal betales om 1) ett år 2) to år 3) tre år b) Hvor mye penger lånte Severin av Severine? c) Severin får høre at han kan låne 60 000 kr i «all evighet» til 5 % rente per år ved å betale 3000 kr hvert år, første gang om ett år. Finn ut hvordan dette henger sammen. Oppgave 1.198 Fra et kjernekraftverk får vi en bestemt radioaktiv isotop som avfall. Denne isotopen brytes ned med 5 % hvert år. En masse m av isotopen blir da på x år redusert til m ⋅ 0,95x. a) Hvor mye er det igjen av isotopen etter 15 år hvis m = 4,0 kg? Vi regner med at kjernekraftverket ved slutten av hvert år har produsert 4,0 kg nytt radioaktivt avfall av denne isotopen. b) Forklar at den totale mengden avfall i kilogram etter 20 år er s20 = 4, 0(1 + 0, 95 + 0, 952 + ... + 0, 9519 ) c) Regn ut s20. d) Hvordan går det med den totale massen av denne isotopen etter hvert som tida går? Grunngi svaret.

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:30

Oppgave 1.199 Noen elever har hengt et lodd i ei fjær i taket. Så trekker de i loddet og slipper det. De vil finne ut hvor langt loddet beveger seg før det faller til ro. De finner ut at samlet lengde i centimeter er tilnærmet gitt ved rekka

Oppgave 1.203 Tallene i tallfølgen 1, 3, 6, 10, 15, … kaller vi trekanttallene.

50 + 50 ⋅ 0, 905 + 50 ⋅ 0, 9052 + ... a) Hvilken type rekke er dette? Forklar! b) Finn summen av de 10 første leddene. c) Undersøk om rekka konvergerer. d) Hvor langt beveger loddet seg til sammen før det faller til ro?

UTEN HJELPEMIDLER Oppgave 1.200 En tallfølge er gitt ved formelen ai = 2 ⋅ 3

der i = 1, 2, 3, … . Finn summen av de tre første leddene. ↑ 1.1

Oppgave 1.201 Finn en formel for det generelle leddet i tallfølgen. 1 1 1 1 1 1 1 a) 1, , , , ... b) , , , , ... 4 9 16 2 4 6 8 3 4 5 c) 1, 3, 5, 7, ... d) 2, , , , ... 2 3 4 Oppgave 1.202 a) Studer figuren. Hvilket tall skal erstatte spørsmålstegnet? 13

↑ 1.2

Oppgave 1.204 Leddene i en følge er gitt ved an = 5n − 7

a) Finn det sjette tallet i følgen. b) Hva tror du grunnen kan være til at tallene i følgen blir kalt trekanttallene? c) Vi kaller trekanttall nr. n for Tn. Finn et uttrykk for Tn − Tn − 1 og Tn + Tn − 1 når n > 1. d) Finn en formel for Tn uttrykt ved n.

b) Finn en formel for tall nr. n uttrykt ved tall nr. n − 1 for n > 1.

a) Vis at an − an − 1 = 5. b) Hva kan du da si om følgen? Oppgave 1.205 I en aritmetisk tallfølge er a3 = 18 og a8 = 48. Bestem differansen d. Oppgave 1.206 I en aritmetisk tallfølge er det andre leddet a2 = 3, og det fjerde leddet a4 = 4 . Finn en formel for ledd nr. i. Oppgave 1.207 I en aritmetisk tallfølge er a3 = −12 og a9 = 12 . Bestem a16 . Oppgave 1.208 I en aritmetisk tallfølge er de tre første leddene x + 5, 15 og 6 x + 4. Finn x.

321

BOOK Sinus S2.indb 321

2015-06-02 13:49:34

Oppgave 1.209 I en geometrisk tallfølge er det andre leddet 4 og det tredje leddet 8 . 3

64  2  = 243  3 

n− 1

⋅2

Hva kan eleven regne ut med dette uttrykket? Oppgave 1.210 I en geometrisk tallfølge er det første leddet x, det tredje leddet x + 9 og det femte leddet x + 45. Alle leddene er positive tall. Finn de fem første leddene i tallfølgen. Oppgave 1.211 a) Bestem x og y slik at 1 8, x, y, 8 blir en geometrisk følge. b) Finn kvotienten i følgen. ↑ 1.3

Oppgave 1.212 En rekke er gitt ved 1 + 5 + 9 + 13 + ... a) Finn ledd nr. 20 i rekka. b) Finn summen av de 20 første leddene. Oppgave 1.213 Vi har gitt rekka 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + … a) Finn a200. b) Finn summen av de 200 første leddene i rekka.

BOOK Sinus S2.indb 322

−13 − 10 − 7 − 4 − 1 + 2 + …

a) Finn kvotienten til tallfølgen. b) Finn det første leddet i tallfølgen. c) En elev hadde satt opp dette uttrykket da han arbeidet med tallfølgen:

322 322

Oppgave 1.214 En rekke er gitt ved a) Forklar at rekka er aritmetisk. b) Finn ledd nr. 12 i rekka. c) Finn summen av de 12 første leddene i rekka. d) Hvor mange ledd er med i rekka når summen er 22? Oppgave 1.215 Vi har gitt rekka 2+4+6+8+… a) Hva slags rekke er dette? b) Finn ledd nr. 100. c) Finn en formel for ledd nr. n i rekka. d) 1) Vis at summen av de n første leddene i rekka kan skrives sn = n(n + 1) 2) Hvor mange ledd er det i rekka når summen er 9900? ↑ 1.4

Oppgave 1.216 Finn en formel for summen av de n første leddene i rekka 2 + 6 + 18 + 54 + … Oppgave 1.217 a) Forklar hva vi mener med at en rekke er geometrisk. b) I en geometrisk rekke er a2 = 6 og a4 = 54 . Finn a1 og kvotienten k. c) Bruk formelen for summen av de n første leddene i en geometrisk rekke til å finne summen av de fire første leddene i rekka i oppgave b.

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:35

Oppgave 1.218 Dagros er syk og trenger behandling. Første dagen får kua 8 g av en bestemt medisin, og deretter halveres dosen for hver dag. Sett opp et uttrykk som viser hvor mye medisin Dagros har fått i alt på ei uke.

Oppgave 1.221 Reidun har tatt opp et lån i banken. Lånet skal nedbetales på 10 år med én termin per år. Diagrammet nedenfor viser avdrag og renter for de 10 åra.

↑ 1.6

Oppgave 1.219 Thea skal få 50 000 kr når hun blir 20 år. Sett opp et uttrykk som viser hvor stort beløp Thea bør få hvis hun heller får gaven i dag på sin 1-årsdag. Bruk 5 % kalkulasjonsrente per år. Oppgave 1.220 Reidar har tatt opp et lån i banken. Lånet skal nedbetales på 10 år med én termin per år. Diagrammet nedenfor viser avdrag og renter for de 10 åra.

a) Forklar hvordan du ut fra diagrammet kan se om Reidun har tatt opp et serielån eller et annuitetslån. b) Gjør et overslag over hvor mye Reidun lånte i banken. c) Terminbeløpet er 25 901 kr. Hvor mye betaler Reidun i rente det første året? d) Hvor mye har Reidun betalt i alt i rente etter 10 år? ↑ 1.8

Oppgave 1.222 Finn summen av den uendelige rekka 8–4+2–1+… a) Forklar hvordan du ut fra diagrammet kan se om Reidar har et serielån eller et annuitetslån. b) Hvor mye lånte Reidar i banken? c) Hvor stort er det første termin beløpet? d) Hvor mange år går det før termin beløpet er 25 000 kr? e) Hvor mange prosent rente må Reidar betale per år?

Oppgave 1.223 Vi har gitt rekka 1 1 2 4 + + + + ... 2 3 9 27 a) Finn en formel for summen av de n første leddene i rekka. b) Undersøk om rekka konvergerer. c) Finn eventuelt summen av den uendelige rekka.

323

BOOK Sinus S2.indb 323

2015-06-02 13:49:35

Oppgave 1.224 a) Finn summen av de 10 første leddene i rekka

Oppgave 1.228 En rekke med uendelig mange ledd er gitt ved

16 + 24 + 32 + 40 + ... b) Undersøk om den uendelige rekka konvergerer, og finn eventuelt summen. 54 + 36 + 24 + 16 + ... Oppgave 1.225 Vi har gitt den uendelige rekka

10 + 9 + 8,1 + 7, 29 + … a) Vis at rekka er geometrisk. b) Forklar at rekka konvergerer. c) Finn summen av den uendelige rekka. Oppgave 1.229 a) Nedenfor ser du et kvadrat med sider 1. 1 2

17 17 17 17 + + + + ... 50 502 503 504

1 4

Avgjør om rekka konvergerer. Finn eventuelt summen.

1 4

G F

D 1

Oppgave 1.226 Vi har gitt rekka

1 1 3 9 + + + + ... 3 4 16 64 a) Vis at rekka er geometrisk. b) Forklar at rekka konvergerer. c) Finn summen av den uendelige rekka. Oppgave 1.227 Hvilke av de uendelige rekkene nedenfor er aritmetiske, og hvilke er geometriske? Undersøk hvilke av de geometriske rekkene som konvergerer, og finn summen av hver av disse rekkene. a) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... b) 2 + 1, 9 + 1, 8 + 1, 7 + 1, 6 + ... c) 1 + 0, 9 + 0, 81 + 0, 729 + ... 1 1 1 1 d) 1 + + + + + ... 3 9 27 81 2 3 9 e) + 1 + + + ... 3 2 4

324 324

BOOK Sinus S2.indb 324

1 4

1 2

I kvadratet er det tegnet inn en rekke rettvinklede trekanter med arealene A, B, C, D, E, F og G. Finn arealene av trekantene og sett svarene opp som en rekke i denne rekkefølgen: A + (B + C) + D + (E + F) + G b) Forklar hvordan vi kan finne summen av rekka 1 1 1 1 1 + + + + + ... 2 4 8 16 32 ved hjelp av trekanter i kvadratet. ↑ 1.9

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:37

Oppgave 1.230 (Eksamen V-2011) a) I en aritmetisk tallfølge er a4 = 9 og a10 = 21. Bestem a15 . b) Forklar at den uendelige rekken nedenfor konvergerer. Bestem summen. 7+

14 28 56 + + + ... 9 81 729

Oppgave 1.231 (Eksamen V-2011) Trekanttallene er gitt ved formelen n(n +1) an = , der n er et naturlig tall. 2

a) Skriv opp de ti første trekanttallene. Inge påstår at summen av to «nabotrekanttall» alltid er lik et kvadrattall. b) Finn ut om dette gjelder for a14 + a15 og for a20 + a21. c) Finn ut om an + an + 1 alltid er et kvadrattall. Oppgave 1.232 (Eksamen H-2011) a) Vi har gitt rekken 4 + 7 + 10 + 13 + .... Bestem an og Sn . b) Vi har gitt rekken 1 + 7 + 19 + 37 + .... Skriv opp S1 , S2 , S3 , S4 og bestem S100. Oppgave 1.233 (Eksamen V-2012) Vi har gitt rekkene. a) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + Bruk formelen for Sn til å bestemme S10. b) 2 + 5 + 8 +  + 89 Bruk formler og bestem summen av rekken. c) 1 + 2 + 4 + 8 + Bruk formelen for Sn til å bestemme S8. 1 1 1 d) 1 + + + + 2 4 8 Bestem summen av den uendelige rekken.

Oppgave 1.234 (Eksamen H-2012) a) Forklar hva vi mener med at en rekke er aritmetisk. b) I en aritmetisk rekke er a1 = 3 og a4 = 12. Bestem an og Sn . Oppgave 1.235 (Eksamen V-2013) Det n-te leddet i en geometrisk rekke er gitt ved an = 11 ⋅ (−0,1)n − 1 Forklar at rekken er konvergent. Hva blir summen? Oppgave 1.236 (Eksamen H-2013) I en aritmetisk rekke er a2 = 6 og a5 = 18. a) Skriv opp de fire første leddene i rekken. b) Bestem en formel for an. c) Bestem en formel for summen Sn = a1 + a2 + ... + an Oppgave 1.237 (Eksamen V-2014) a) Bestem summen av den aritmetiske rekken 3 + 6 + ... + 300. b) Bestem a2 slik at rekken a1 + a2 + a3 + ... + an

blir aritmetisk når a1 = 4 og an = an − 2 + 8, n ≥ 3.

Oppgave 1.238 (Eksamen H-2014) a) Bestem et uttrykk for summen a+

a a a + 2 + ... + n − 1 2 2 2

En uendelig geometrisk rekke er gitt ved a+

a a a + + + ... 2 2 2 23

b) Begrunn hvorfor rekken konvergerer. c) Bestem a slik at summen av rekken blir 10.

325

BOOK Sinus S2.indb 325

2015-06-02 13:49:44

Oppgave 1.239 (Eksempel 2014) En uendelig rekke er gitt ved 1 + 7 + 19 + 37 + 61 + 91 + ... a) Skriv av og fyll ut tabellen. Foreslå en formel for Sn. n

125 91

216

b) Forklar at an = Sn − Sn − 1. c) Bruk dette til å vise at an = 3n 2 − 3n + 1. Oppgave 1.240 (Eksempel 2014) a) Forklar at den uendelige rekken nedenfor konvergerer. Bestem summen. 5+4+

Oppgave 1.302 I en tallfølge er det første leddet a1 = 3. Ledd nr. n er gitt ved den rekursive formelen an = 2an–1 + 7

4 5

Oppgave 1.301 Hva blir ledd nr. 20 i hver av tallfølgene i oppgave 1.300?

16 64 + +... 5 25

b) En gummiball slippes fra en høyde på 10 m. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den rett opp 2 av den 3 forrige høyden. Bestem den totale lengden ballen har tilbakelagt (ned og opp) fra den slippes og til den faller til ro.

a) Skriv de fire første leddene i denne tallfølgen. b) Hva er ledd nr. 15 i tallfølgen? c) Sandra er smart, og kom fram til den eksplisitte formelen an = 5 ⋅ 2n − 7 for ledd nr. n i tallfølgen. Kontroller om denne formelen stemmer med de svarene du fikk i oppgave a og b. d) Forklar hvorfor alle leddene i tallfølgen slutter på 3. Oppgave 1.303 Summen av de n første leddene i en rekke er gitt ved formelen Sn = 5 ⋅ 2n − 1 . a) Finn de fire første leddene i rekka. b) Finn summen av de 20 første leddene. c) Finn en formel for ledd nr. n.

(

)

↑ 1.1

Oppgave 1.304 Maria lager figurer etter et bestemt mønster. Nedenfor ser du m1, m2 og m3.

MED HJELPEMIDLER Oppgave 1.300 Hvilke tall mangler i disse tallfølgene? a) 3, 8, 13, ?, 23, 28, … b) 2, 8, 26, ?, 242, … c) 4, 7, 21, 24, 72, ?, …

326 326

BOOK Sinus S2.indb 326

a) Hvor mange ruter er det i m4? b) Hvor mange ruter tipper du det er i m10? c) Finn hvor mange ruter det er i mn.

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:45

d) Bruk det uttrykket du fant i oppgave c, til å regne ut hvor mange ruter det er i m10. Hvordan stemmer dette med det du tippet i oppgave b? Oppgave 1.305 Figurene nedenfor viser et mønster med stadig flere prikker. Tallet på prikker i hver figur kaller vi p1, p2, p3 og p4.

Oppgave 1.306 Mellom hjørnene i en firkant kan vi trekke 6 forskjellige rette linjestykker som vist på denne figuren: 3 5 2

a) Hvor mange rette linjer kan du trekke mellom hjørnene i en trekant, i en femkant og i en sekskant? Skriv inn svarene i denne tabellen: Kanter n

Linjer y

a) Se etter et system og finn p5. b) Hva tipper du p10 er? c) Finn en formel for pn. d) Bruk den formelen du fant i oppgave c, til å regne ut p10. Hvordan stemmer dette med det du tippet i oppgave b? Vi skal nå studere mønsteret i figurene nedenfor. Tallet på prikker i hver figur kaller vi q1, q2, q3 og q4.

b) Finner du noe mønster (system) i tallene i tabellen? Bruk det mønsteret du finner, til å tippe på antallet linjer mellom hjørnene i en 8-kant. Forklar! c) Bruk tallene i tabellen og regresjon til å vise at antallet linjer y mellom hjørnene i en n-kant kan være gitt ved y = 0, 5n 2 − 0, 5n d) Vis at formelen for y kan omformes til y=

n(n − 1) 2

Kan du forklare at denne formelen må være riktig uten å bruke noe av det du kom fram til i oppgavene a, b og c?

e) Se etter et system og finn q5. f) Finn en formel for qn. g) Bruk den formelen du fant i oppgave f, til å regne ut q10.

327

BOOK Sinus S2.indb 327

2015-06-02 13:49:46

Oppgave 1.307 Figurene nedenfor viser et mønster som representerer figurtallene f1, f2, f3 og f4.

Oppgave 1.308 Antallet prikker i figurene nedenfor kaller vi «båttallene» Bn , n = 1, 2, 3, …. 1

Vi ser at B1 = 7 og B2 = 15. a) Skriv opp de 5 første båttallene. f1

Vi ser av figuren nedenfor at vi kan dele inn «båten» i et skrog s og en baug b. Samlet antall prikker i figurene kan da skrives som Bn = sn + bn, der sn er antallet prikker i «skroget» og bn er antallet prikker i «baugen». b) Vis og forklar at antallet prikker i «baugen» på figur nr. n er gitt ved:

a) Sett inn verdier i tabellen nedenfor. Figurnummer, n

Sum av prikker, fn

b) Finn en formel for fn 1) uttrykt ved fn – 1 (rekursiv formel) 2) uttrykt ved n (eksplisitt formel)

bn =

Figuren nedenfor viser noen kuler som er lagt oppå hverandre slik at hvert lag fra toppen og nedover danner trekant tallene 1, 3, 6 osv.

n2 + n 2

c) Bestem en formel for det n-te båttallet Bn . n=3

c) Sett inn verdier i tabellen nedenfor, der n er tallet på lag fra toppen og nedover og Sn er summen av tallet på kuler i disse lagene. Tallet på lag, n

Summen av kuler, Sn

d) Bruk regresjon og finn en tredjegradsfunksjon som ser ut til å stemme med summen av tallet på kuler.

Oppgave 1.309 En tallfølge er gitt ved den eksplisitte formelen an = 11n + 1 for n = 1, 2, 3, …. En annen tallfølge er gitt ved den eksplisitte formelen bm = 13m + 3, for m = 1, 2, 3, …. a) Skriv de fire første leddene i hver av disse tallfølgene. b) Fins det noen tall i de første 25 leddene som er felles for de to tallfølgene? ↑ 1.2

328 328

BOOK Sinus S2.indb 328

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:48

Oppgave 1.310 Monika har begynt å trene på ergo metersykkel hver dag. Den første uka sykler hun til sammen 20 km. Deretter sykler hun 0,8 km lenger for hver ny uke.

a) Hvor langt sykler Monica den 21. uka? b) Hvor mange uker går det før Monika har et gjennomsnitt på 4,8 km per dag? c) Monika holder på med dette treningsprogrammet et halvt år. Hvor langt sykler hun til sammen dette halve året? Oppgave 1.311 Denne oppgaven er hentet fra skriftene til den indiske matematikeren Bhaskara, som levde på 1100-tallet. På en ekspedisjon for å fange fiendens elefanter marsjerte en konge 2 mil den første dagen. Si meg, kloke regnemester, hvor mye økte han marsjlengden med daglig når han på ei uke nådde fiendens by, som lå 80 mil borte? Oppgave 1.312 Figuren viser tre rekker med fyrstikkhus.

a) Hvor mange fyrstikker er det i en rekke med 10 slike hus? b) Hvor mange fyrstikker er det i en rekke med n slike hus? ↑ 1.4

Oppgave 1.313 Petter må låne 1 500 000 kr til kjøp av ny leilighet og får lånetilbud i en bank. I banken kan han velge mellom et serielån og et annuitetslån. Begge lånene har 4,5 % etterskuddsrente per år, én termin i året og like lang nedbetalingstid. a) Vi ser først på serielånet, der de årlige avdragene er på 60 000 kr. 1) Finn rentene og terminbeløpene for hvert av de to første åra. 2) Hvor lenge vil Petter ha lånet? 3) Finn det 16. terminbeløpet. 4) Hvor mye vil Petter betale til sammen på dette lånet i løpet av låneperioden? Hvor mye renter vil han betale i alt? b) Nå ser vi på annuitetslånet, der det første avdraget er på 33 659 kr. 1) Finn terminbeløpet og det andre avdraget. 2) Hvor mye betaler Petter til sammen på dette lånet i løpet av hele låneperioden? c) Vurder fordeler og ulemper ved disse to lånetypene. d) Petter får vite at banken vil sette opp renta på lånene til 5,5 % etterskuddsrente per år før låneperioden begynner. Finn det nye terminbeløpet på annuitetslånet.

329

BOOK Sinus S2.indb 329

2015-06-02 13:49:49

Oppgave 1.314 En familie skal låne 2,0 millioner kr. Lånet er et annuitetslån over 25 år med én termin i året og en årsrente på 3,8 %. Første innbetaling er om ett år. a) Finn det årlige terminbeløpet. b) Familien klarer ikke å betale mer enn 115 000 kr i terminbeløp hvert år. Banken justerer derfor låneperioden slik at det nye terminbeløpet blir 115 000 kr. Hvor lang blir låneperioden etter denne justeringen? Oppgave 1.315 a) Familien Husnes låner 2 500 000 kr for å kjøpe hus. Lånet er et annuitets lån med 3,5 % etterskuddsrente per år og 20 års nedbetalingstid. Lånet har én termin per år. 1) Finn terminbeløpet. 2) Hvor mye betaler familien Husnes i rente og i avdrag i hvert av de to første åra? 3) Hvor mye betaler familien til sammen i løpet av 20 år? b) Hulda Husnes har lyst på en ny salong i stua. Hun kan velge mellom å betale 25 000 kr kontant eller 500 kr per måned i 5 år. Hvis hun velger avbetaling, skal det første beløpet betales om 1 måned. Vi regner med 0,4 % rente per måned. 1) Hva er nåverdien av det første beløpet? 2) Lag en figur som hjelper deg å finne nåverdien av alle beløpene. 3) Finn summen av alle nåverdiene. 4) Bør Hulda velge avbetaling eller kontant betaling?

330

BOOK Sinus S2.indb 330

Oppgave 1.316 Ola B. Ihler har nettopp fylt 18 år og fått seg sertifikat. Han har fått tilbud om å kjøpe onkelens gamle velholdte Volvo Amazon 122 Sport. Da kan han velge mellom å betale 40 000 kr kontant eller 1800 kr per måned i to år. Det første beløpet skal innbetales en måned etter at han har overtatt bilen, og kalkulasjonsrenta settes til 0,5 % per måned. a) Finn ved regning om det lønner seg for Ola å velge kontant betaling eller månedlig avbetaling. b) Ola er god i matematikk og legger fram en ny avbetalingsplan for onkelen. Her foreslår han samme månedlige beløp over to år, men første innbetaling skal da være om seks måneder. Hvordan faller denne planen ut i forhold til å betale 40 000 kr kontant? c) Hvilken kalkulasjonsrente må legges til grunn i oppgave a for at avbetaling og kontantbetaling skal falle likt ut? Oppgave 1.317 a) Tom E. Liten skal kjøpe seg en liten hybel. Banken gir ham et serielån på 800 000 kr. Lånet har 5,0 % etterskuddsrente per år og én termin i året. 1) Finn årlige avdrag når nedbetalingstida er 20 år. 2) Finn rentebeløpene og termin beløpene for de to første åra. 3) Finn terminbeløpet etter 12 år. 4) Finn hvor mye Tom må betale i alt på de 20 åra. Hvor mye betaler han i renter?

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:49

b) Etter videregående har Pål S.H. Øner tenkt å legge ut på en jordomseiling. Til dette trenger han et lån på 500 000 kr. Han tar opp et annuitetslån med 6,0 % etterskuddsrente per år og én termin i året. Nedbetalingstida er 15 år. 1) Vis at terminbeløpet blir 51 481,38 kr. 2) Hvor mye måtte etterskuddsrenta ha vært for at han – med ellers de samme betingelsene som er skissert innledningsvis i oppgave b – skal kunne ta opp et lån på 550 000 kr? Terminbeløpet skal fortsatt være 51 481,38 kr. ↑ 1.8

Oppgave 1.318 a) Finn summen av rekka 1 1 1 + + + ... 3 9 27 b) Hvordan kan du finne summen ut fra kvadratet nedenfor? 1 9

1 3

Oppgave 1.319 Vi har gitt den uendelige rekka 4 3

4 5

4 7

4 − + − +... a) Skriv opp et uttrykk for ledd nummer n, an, i denne rekka. b) Bruk CAS og finn summen S av den uendelige rekka. Kommenter svaret. Oppgave 1.320 Vi begynner med å tegne en likebeint rett vinklet trekant CAB der begge katetene AB og AC har lengden 1. Ved stadig å halvere lengden av den ene kateten kan vi få fram en kjede av likebeinte trekanter, BDE, EFG og GHI (se figur). a) Vis at lengden av hypotenusene i de trekantene vi da får, danner leddene i en geometrisk følge. b) Bestem kvotienten k i følgen. c) Vi tenker oss at vi holder på i det uendelige med å tegne slike trekanter. Hvilken verdi vil summen av lengdene av alle hypotenusene konvergere mot? C

1 27

1 D

I G

331

BOOK Sinus S2.indb 331

2015-06-02 13:49:49

Oppgave 1.321 Skriver vi π med fem desimaler, får vi 3,14159. Hvor mange av desimalene i π er riktige dersom vi tar med 1000 ledd i rekka fra oppgave 1.319? Oppgave 1.322 Mari trenger daglig tilførsel av et bestemt legemiddel. Kroppen hennes skal ikke ha mer enn 10 mg av et stoff som fins i legemiddelet. Legemiddelet er i tablettform, og hun tar én tablett hver dag. Hver tablett inneholder 0,6 mg av dette stoffet. Hvor mange prosent av stoffet bør kroppen hennes bryte ned hver dag, slik at én tablett om dagen er forsvarlig? Oppgave 1.323 a) Finn summen av den uendelige rekka 1 1 1 + + + ... 2 1, 04 1, 04 1, 043 b) Ola har lånt en million kroner i en bank til huskjøp. Lånet er et annuitetslån med én termin i året. Han har inngått en spesialavtale med banken, der han skal ha lånet til «evig tid» og betale fast 4 % etterskuddsrente per år. Første termin er om ett år. Finn terminbeløpet som Ola må betale. c) Ola får imidlertid et nytt tilbud fra banken på sitt «evige» annuitetslån. Hvis han betaler et terminbeløp på 3000 kr per måned, får han nedjustert lånerenta. 1) Hvor mange prosent rente betaler han per måned hvis han tar imot dette tilbudet? 2) Hvilken årsrente svarer denne månedsrenta til? ↑ 1.9

332 332

BOOK Sinus S2.indb 332

Oppgave 1.324 (Eksamen V-2011) Tre påfølgende kvadrattall kan alltid 2 2 skrives på formen n 2 , ( n + 1) og ( n + 2 ) . Med for eksempel n = 1 får vi kvadrat tallene 1, 4 og 9. a) Summen av tre etterfølgende kvadrattall er 365. Sett opp en likning, løs den og bestem n og de tre kvadrattallene. b) Summen av to påfølgende kvadrattall er 365. Bestem n og de to kvadrattallene. Oppgave 1.325 (Eksamen V-2011) Vi har gitt rekken 3 2

9 4

1+ + +

27 + ... +  3  8 2

n−1

a) 1) Bestem S10. 2) Finn et uttrykk for Sn. b) Hvor mange ledd må vi minst ta med for at Sn skal overstige 1 000 000? Oppgave 1.326 (Eksamen H-2011) For å få ungdom til å studere realfag tenker vi oss en ny ordning for studie finansiering. Betingelsene er som følger: • Lånet er rente- og avdragsfritt i studietida.  • Studenten betaler bare avdrag og ikke renter når studiene er avsluttet. • Studenten betaler første avdrag på 15 000 kroner ett år etter at studiet er avsluttet. Deretter skal de årlige avdragene økes med 5 % hvert år. En student vil låne i alt 450 000 kroner. a) Hvor stort blir det 2. avdraget og det 8. avdraget? b) Hvor mye betaler studenten tilbake i alt i løpet av de 8 første avdragene? c) Hvor mange år vil det ta før hele lånet er tilbakebetalt? d) Hvor stort blir det siste avdraget?

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:50

Oppgave 1.327 (Eksamen V-2012) Tall som kan skrives på formen Tn = 1 + 2 + 3 + 4 +…+ n, kalles for trekanttall. a) Skriv opp de fem første trekanttallene. Vi organiserer oddetallene i en talltrekant slik tabellen nedenfor viser. n

3+5

7 + 9 + 11

13 + 15 + 17 + 19

5 21 + 23 + 25 + 27 + 29

d) Line synes at det årlige beløpet blir altfor høyt. Hun vil betale halvparten så mye hvert år. Hvor lang tid tar det før lånet da er nedbetalt dersom renten fortsatt er 6,0 % per år? Oppgave 1.329 (Eksamen H-2012) Trekanttall nummer n er gitt ved formelen T ( n) =

36 100 152

b) Skriv av og fyll ut tabellen. Bruk mønsteret som framkommer, til å finne en formel for an. c) Bruk mønsteret til å forklare at vi kan skrive 13 + 23 + 33 + … + n3 = (1 + 2 + 3 + … + n)2 Oppgave 1.328 (Eksamen V-2012) Line arver 100 000 kroner og vil spare pengene til en ny bil. I begynnelsen av et år setter hun dette beløpet på en konto med fast årlig rente på 4,5 %. I tillegg bestemmer hun seg for å sette 12 000 kroner inn på kontoen i begynnelsen av hvert av de neste årene. a) Hvor mye penger står det på kontoen etter 3 år? b) Hvor mange år må hun spare dersom det skal stå 200 000 kroner på kontoen? c) For å få råd til «drømmebilen» må hun likevel låne 150 000 kroner til en rente på 6,0 % per år. Hun vil bruke 5 år på å betale ned lånet. Det første avdraget betaler hun ett år etter låneopptaket. Hvor mye må hun betale hvert år?

n ( n + 1) , n∈ 2

a) Sett opp en tabell med de 12 første trekanttallene. Det finnes en sammenheng mellom T ( m + n ) og T ( m ) + T ( n ), n ∈ , m ∈ . b) Sett m = 2 og n = 8 og bruk tabellen i oppgave a) til å regne ut T ( 2 + 8 )

T ( 2 ) + T ( 8 ) og

T ( 2 + 8 ) − (T (2) + T (8) ) c) Sett inn andre verdier for m og n og undersøk hva T(m + n) – (T(m) + T(n)) blir. Prøv å formulere en generell regel. d) Bruk formelen for T(n) til å skrive uttrykket T ( m + n ) − ( T ( m) + T ( n) )

enklest mulig.

Oppgave 1.330 (Eksamen H-2012) En person setter hvert år inn 4000,00 kroner på en konto med fast årlig rente. Etter noen år står det 20 983,32 kroner på kontoen like etter en innbetaling. Det følgende året, det vil si umiddelbart etter neste innbetaling, står det 25 486,92 kroner på kontoen. a) Vis at den årlige renten er 2,4 %.

333

BOOK Sinus S2.indb 333

2015-06-02 13:49:52

b) Regn ut hvor mye som står på kontoen like etter den 12. innbetalingen dersom renten har vært uendret i hele perioden. Etter den 12. innbetalingen settes det ikke inn mer på kontoen. Renten blir hevet, men er konstant i de neste åtte årene. c) Hva må renten være for at det skal stå 72 000 kroner på kontoen åtte år etter siste innbetaling?

Oppgave 1.332 (Eksamen V-2013) En likesidet ΔABC har areal lik T. Midtpunktene på sidene i ΔABC er hjørnene i en ny likesidet ΔDEF med areal lik T1. Midtpunktene på sidene i ΔCDE er hjørnene i en ny likesidet ΔGHI med areal lik T2. Etter samme metode lager vi trekanter med areal T3, T4 og så videre. Denne prosessen tenker vi oss fortsetter i det uendelige. Se skissen nedenfor.

Oppgave 1.331 (Eksamen V-2013) Svanhild vurderer å ta opp et annuitetslån på 600 000 kroner. Hun kan velge mellom en fast årlig rente på 3,5 % og flytende rente. Lånet har én termin per år med en nedbetalingstid på 20 år. Første innbetaling skjer om ett år. a) Forklar hvorfor vi kan bestemme terminbeløpet ved en fast årlig rente på 3,5 % ved å løse følgende likning:

T3 G

H T2 I

x  1 1 1  1+ + + ... +  2 1, 03519  1, 035  1, 035 1, 035 = 600 000 Bestem terminbeløpet ved å løse denne likningen. Svanhild vurderer å be banken om å endre lånebetingelsene. b) Hva er den høyeste renten Svanhild kan ha dersom hun maksimalt kan betale 50 000 kroner i terminbeløp med 20 års nedbetalingstid? Bankens rådgiver mener at Svanhild må kunne betale en fast årlig rente på 6,5 %. For at Svanhild skal klare en slik rente, må hun øke antallet terminer. Lånet har fremdeles én termin per år. c) Hvor mange terminer må Svanhild betale dersom terminbeløpet skal være mindre enn 50 000 kroner med en fast årlig rente på 6,5 %?

334

BOOK Sinus S2.indb 334

a) Forklar at rekken av arealer T1 + T2 + T3 + ... kan skrives som T T T + + + ... 4 16 64 b) Vis ved regning eller ved å studere figuren at summen av rekken er lik T . 3 c) Omkretsen av ΔABC er lik 3. Trekanten som har areal lik Tn , har omkrets lik On. Forklar at rekken av omkretser O1 + O2 + O3 + ... kan skrives som 3 3 3 + + + ... 2 4 8 Bestem summen av rekken.

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:53

Oppgave 1.333 (Eksamen H-2013) I starten av et år vurderer Lise å låne 100 000 kroner for å investere i et aksjefond. Lånet er et annuitetslån, og hun må betale 16 274,54 kroner i slutten av hvert år i 10 år for å nedbetale hele lånet, første gang ett år etter låneopptaket. a) Vis at den årlige renten er på 10 %. Banken hevder at dersom aksjene har en årlig verdiøkning på 12 %, vil hun sitte igjen med en solid fortjeneste på aksjene. b) Bestem verdien av aksjene i slutten av det 10. året.

Hennes netto fortjeneste etter 10 år er differansen mellom verdien av det hun har betalt på lånet, og verdien av aksjene. Vis at hennes netto fortjeneste etter 10 år vil være 51 210,57 kroner.

I stedet for å ta opp dette lånet for å kjøpe aksjer vurderer Lise heller å spare. I slutten av hvert år vil hun sette 16 274,54 kroner inn på en konto med en fast årlig rente. Det første beløpet setter hun inn om ett år. c) Hva må sparerenten være for at hun skal ha like mye penger i banken om 10 år som verdien av aksjene i oppgave b)? Oppgave 1.334 (Eksamen H-2013) Antall prikker i figuren nedenfor kaller vi for piltallene Pn. Vi ser at P1 = 6 og P2 = 14.

a) Skriv opp de fem første piltallene. Maria ser at hun kan dele figurene i to slik at hun får en «pilspiss» og et «rektangel». Da er samlet antall prikker Pn = Sn + Fn, der Sn er antall prikker i «pilspissen» og Fn er antall prikker i «rektangelet». Figuren nedenfor viser denne oppdelingen for figur nummer 3. S3

b) Forklar at antall prikker i «pilspissen» på figur nr. n er gitt ved Sn =

c) Bestem en formel for det n-te piltallet Pn. Oppgave 1.335 (Eksamen V-2014) Langs en linje har vi konstruert en rekke halvsirkler som vist på figuren nedenfor. Diameteren til den første halvsirkelen er 2r. Videre er diameteren til den neste halvsirkelen halvparten av diameteren til den foregående. Vi lar On være lengden av halvsirkelbue nummer n. O1 O2 O3 2r

(n + 1)(n + 2) 2

r 2

O4 r 4

a) Forklar at O1 + O2 + O3 + ... blir en uendelig geometrisk rekke. b) Bestem summen av rekken i oppgave a). Kommenter svaret.

335

BOOK Sinus S2.indb 335

2015-06-02 13:49:54

Oppgave 1.336 (Eksamen V-2014) Frida ønsker å kjøpe en ny PC som koster 7995 kroner. Butikken tilbyr henne å kjøpe PC-en på avbetaling. Hun må da betale 36 like store månedlige beløp. Det første skal hun betale om én måned. Den månedlige renten er 1,6 %. I tillegg må hun betale et engangsgebyr på 30 kroner. a) Forklar at dersom terminbeløpet er x kroner, så vil x x x + + ... + = 8025 2 1, 016 1, 016 1, 01636 Frida vurderer å låne pengene i banken i stedet. Der må hun betale 289 kroner hver måned i 36 måneder. Hun må betale første beløp én måned etter at hun har tatt opp lånet. b) Hvilken månedlig rente (i prosent) får hun i banken? Venninnen Elise har spart 650 kroner hver måned til en slik PC. Sparekontoen hennes har en fast månedlig rente. I dag, like etter den 12. innbetalingen, har hun 8107 kroner på kontoen. c) Bestem den månedlige renten (i prosent) som Elise fikk i banken. Oppgave 1.337 (Eksamen V-2014) En type tablett inneholder 60 mg av et bestemt stoff. Når en pasient har dette stoffet i kroppen, vil mengden av stoffet bli halvert i løpet av seks timer. En pasient får én tablett hver tolvte time. Hvor mange milligram av stoffet vil maksimalt samles i kroppen etter lang tids bruk?

Oppgave 1.338 (Eksamen H-2014) Katrine satte inn 20 000 kroner på konto hvert år, første gang 1. januar 2007 og siste gang 1. januar 2010. Innskuddsrenten var hele tiden 3,5 % per år. Alle innskuddene sto urørt. a) Hvor mye hadde Katrine på spare kontoen i banken 31. desember 2010? 1. januar 2011 ble innskuddsrenten satt ned til 3,0 % per år. b) Katrine satte ikke flere penger i banken, men tok i stedet ut 8000 kroner hvert år, første gang 1. januar 2011 og siste gang 1. januar 2014. Hvor mye hadde Katrine på sparekontoen 31. desember 2014? Oppgave 1.339 (Eksamen H-2014) Båttallene Bn er antall prikker i figurene nedenfor. Vi ser at B1 = 8 og B2 = 15. a) Bestem B4. Mathias ser at han kan dele hver figur i to biter slik at han får en trekant og en del av en større trekant.

Ut fra dette ser han at Bn = Tn + Tn + 3 − 3, der Tn = 1 + 2 + 3 + … + n. b) Bruk dette til å bestemme B5. c) Bestem en formel for Bn uttrykt ved n.

336

BOOK Sinus S2.indb 336

Sinus S2 > Følger og rekker

2015-06-02 13:49:54