Álgebra y Autómatas

Revista Conociendo Con Delphi

Segunda Edici贸n

Propiedades de Algebra Booleana

Algebra Presente en los Aut贸matas

Abril,

ÍNDICE

Secciones Tratando de Entenderlo

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Pág.2

Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales Prof Nelsy Vivenes

Adriana Charles Daniela Barreto

Definiendo y conociendo

Pág. 3

Analizando necesidades

Pág.4

¡Que no falten las ideas!

¿Que debemos Hacer?

Pág. 5, 6, 7, 8

Conmutatividad y Asociatividad Elementos Identidad y Nulo Distributividad Idempotencia

Pág. 9 Pág.10

Pág. 5 Pág. 6 Pág. 7 Pág. 8

¿Cuando usarlo?

Vamos entendiendo Vamos Aprendiendo

Referencias bibliográficas

Producido por: Equipo Delphi Áreas de Grado Ciencias de la Computación Primera Cohorte, I-2015

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Tratando de Entenderlo

ÂżSabĂ­as Que? Las expresiones regulares sirven como lenguaje de entrada de muchos sistemas que procesan cadenas.

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Definiendo y conociendo Unión: Es un nuevo Lenguaje formado por el conjunto de todas las palabras que pertenecen tanto al primer lenguaje como al segundo.

Simbología:

Intersección: Es un nuevo Lenguaje formado por el conjunto de las palabras que tienen en común ambos lenguajes.

Simbología:

Concatenar: es una nuevo Lenguaje formado por el conjunto de todas las palabras que se forman al concatenar cada palabra del primer lenguaje con cada palabra del segundo Lenguaje.

Simbología: L1 • L2

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¿Por qué Se Hace Necesaria La Algebra en Autómatas?

Al igual que las expresiones aritméticas, las expresiones regulares cumplen una serie de leyes. Muchas de éstas son similares a las leyes aritméticas, si interpretamos la unión como una suma y la concatenación como una multiplicación. Sin embargo, hay algunas ocasiones en las que la analogía no se aplica. También existen algunas leyes que se aplican a las expresiones regulares pero no tienen su análoga en la aritmética, especialmente cuando se utiliza el operador de clausura. 

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Analizando necesidades Debemos Conocer Las Propiedades del Algebra Booleana

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¡Que no falten las ideas!

¡Debes saber!

Un álgebra es una estructura consistente de uno o más conjuntos no vacíos junto con una o más operaciones definidas sobre dichos conjuntos.

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¿Qué debemos Hacer?

Propiedades Conmutativas y Asociativas En Autómatas Un lenguaje formal L se dice que es CONMUTATIVO si se cumple que si la cadena w pertenece a L entonces cualquier cadena obtenida permutando los símbolos de w también pertenece a L. Sea C la clase de los lenguajes conmutativos.

Ejemplo: L+ M = M+ L. Esta ley, la ley conmutativa de la unión, establece que podemos efectuar la unión de dos lenguajes en cualquier orden.

OJO: Faltaría la “ley” que establece que LM = ML, es decir, que la concatenación es conmutativa. Sin embargo, esta ley es falsa.

La ASOCIATIVIDAD nos muestra que si tenemos más de dos Autómatas, debemos primero hacer la unión y concatenación de dos y posteriormente con el tercer autómata.

Ejemplo:

(L+M)+N = L+(M+N). La ley asociativa para la unión, establece que podemos efectuar la unión de tres lenguajes bien calculando primero la unión de los dos primeros, o bien la unión de los dos últimos. Observe que, junto con la ley conmutativa de la unión, podemos concluir que es posible obtenerla unión de cualquier colección de lenguajes en cualquier orden y agrupamiento, y el resultado siempre será el mismo.

(LM)N = L(MN). Esta ley, la ley asociativa para la concatenación, establece que podemos concatenar tres lenguajes concatenando primero los dos primeros o bien los dos últimos.

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¿Qué debemos Hacer?

Elemento Identidad y El Elemento Nulo En Autómatas  El elemento identidad de un operador es un valor tal que cuando el operador se aplica al propio elemento identidad y a algún otro valor, el resultado es ese otro valor.  El elemento nulo de un operador es un valor tal que cuando el operador se aplica al propio elemento nulo y a algún otro valor, el resultado es el elemento nulo. ¿Para Que Nos Sirve?

Si tenemos una unión de varias expresiones, algunas de las cuales están simplificadas, o han sido simplificadas, a , entonces los pueden eliminarse de la unión. Del mismo modo, si tenemos una concatenación de varias expresiones, algunas de las cuales están simplificadas, o han sido simplificadas a ε, podemos eliminar la ε de la concatenación. Por último, si tenemos una concatenación de cualquier número de expresiones, y al menos una de ellas es , entonces la concatenación completa puede ser reemplazada por .

¿Cómo lo Hacemos?  Esta ley establece que

+L = L+ = L. es el elemento identidad para la unión.

εL = Lε = L. Esta ley establece que ε es el elemento identidad para la concatenación.

Esta ley establece que

 L=L = . es el elemento nulo de la concatenación.

Estas propiedades son importantes herramientas en las tareas de simplificación.

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¿Qué debemos Hacer?

Leyes Distributivas en Autómatas Puesto que la multiplicación es conmutativa, no importa que la multiplicación esté a la izquierda o a la derecha de la suma. Sin embargo, existe una ley análoga para las expresiones regulares, que tenemos que establecer de dos formas, ya que la concatenación no es conmutativa.

Estas leyes son: L(M +N) = LM +LN. Ésta es la ley distributiva por la izquierda de la concatenación respecto de la unión.

(M+N)L = ML+NL. Ésta es la ley distributiva por la derecha de la concatenación respecto de la unión.

Vamos a demostrar la ley distributiva por la izquierda; la otra se demuestra de manera similar.

La demostración sólo hará referencia a lenguajes y no depende de que estos sean regulares.

TEOREMA: Si L, M y N son cualesquiera lenguajes, entonces L(M ∪ N) = LM ∪ LN DEMOSTRACIÓN. La demostración es similar a la de la ley distributiva que hemos visto en el Teorema 1.10. En primer lugar necesitamos demostrar que una cadena w pertenece a L(M ∪ N) si y sólo si pertenece a LM ∪ LN.  Parte Solo-Si: Si w pertenece a L(M ∪ N), entonces w = xy, donde x pertenece a L e y pertenece a M o a N. Si y pertenece a M, entonces xy pertenece a LM, y por tanto pertenece a LM ∪ LN. Del mismo modo, si y pertenece a N, entonces xy pertenece a LN y, por tanto, pertenece a LM ∪ LN.  Parte Si: Suponga que w pertenece a LM ∪ LN. Entonces w pertenece a LM o a LN. Supongamos en primer que w pertenece a LM. Luego w = xy, donde x pertenece a L e y pertenece a M. Como y pertenece a M, también pertenece a M ∪ N. Por tanto, xy pertenece a L(M ∪ N). Si w no pertenece a LM, entonces seguramente pertenece a LN, y una argumentación similar demuestra que pertenece a L(M ∪ N).

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¿Que debemos Hacer?

Ley de Idempotencia en Autómatas

La unión y la intersección son ejemplos comunes de operadores idempotentes. Por tanto, para expresiones regulares, podemos establecer la siguiente ley:

L+L = L Ésta es la ley de idempotencia para la unión, que establece que si tomamos la unión de dos expresiones idénticas, podemos reemplazarla por una copia de la de la expresión.

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¿Cuándo Usarlo?

Cuando trabajamos con autómatas sabemos que tratamos con máquinas, por tanto las mismas pueden ser unidas a otras. ¿Qué se quiere decir con esto?

Por ejemplo si hacemos uso de un computador, el mismo cuenta con diversos dispositivos que cuentan con una entrada y una salida.

Pues ellos actúan como autómatas ya que al procesar una información generan una salida la cual puede ser enviada a otros dispositivos, y es aquí donde se nota la presenta de una unión o una intersección, según sea el caso.

En donde para su análisis o simplificación se hace necesario el uso de expresiones algebraicas

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Tip Importante El estudio de los Autómatas se simplifica muchísimo si hacemos el uso correcto de sus propiedades.

Vamos entendiendo Vamos Aprendiendo

Representar un Autómata, es representar una Máquina.

El estudio de las máquinas se ha vuelto un tema muy interesante, y en el cual los últimos años han profundizado mucho al momento de hacer estudios, ya que hasta el ser humano es considerado como un autómata en ocasiones, por la razón de que muchas veces reacciona por medio de impulsos.

La bibliografía perteneciente a los autómatas es muy intensa, sobre todo en el área de las Matemáticas, por medio del estudio de comportamiento de variables.

Dicho lo anterior se hace necesario la consideración de las leyes matemáticas para la mejor compresión de los autómatas en cuestión.

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Bibliografía Contreras, H. (12 de Marzo de 2012). Teoría de la Computación para Ingeniería de Sistemas: un enfoque practico. Merida, Venezuela.

Cueva, J. M. (2001). Lenguajes Gramaticas y Automatas. España: Universidad de Oviedo.

John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman. (2007). Teoría de autómatas, lenguajes y computacion. Madrid: Pearson.

Vega, D. G. (Marzo de 2013). Smatick. Obtenido de http://www.smartick.es/blog/index.php/multiplicacion-propiedaddistributiva-conmutativa-asociativa-factor-comun-elementoneutro/

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