Matemática Aplicada à Administração e Economia - 9788522110063 by Cengage Brasil

Apresenta um texto de fácil compreensão para estudantes e professores universitários, tornando-se um excelente material para utilização em sala de aula.

Em Matemática Aplicada a Administração e Economia — 2ª edição, professores e estudantes encontrarão: Exercícios: cada seção é acompanhada de um amplo conjunto de exercícios contendo problemas de natureza computacional que ajudarão os estudantes a dominar novas técnicas, além de exercícios com aplicações em calculadoras científicas. Seções de Revisão: auxiliam os estudantes na revisão do material coberto em cada tópico e medem sua compreensão dos conceitos básicos, bem como as suas habilidades na resolução de problemas. Testes de Conhecimento: apresentados com soluções que auxiliam na monitoração do próprio progresso. Portfólios: entrevistas que relatam experiências reais dos profissionais de diversas áreas que utilizam a matemática em suas profissões.

Aplicações Livro-texto para as disciplinas de cálculo e matemática aplicada nos cursos de graduação em Administração e Economia. ISBN 13 978-85-221-0546-5 ISBN 10 85-221-0546-4

9 788522 105465

MATEMÁTICA APLICADA A ADMINISTRAÇÃO E ECONOMIA

O livro foi elaborado com numerosos exemplos e problemas – com o objetivo de facilitar o aprendizado – e os conceitos são complementados com aplicações extraídas principalmente das áreas de Administração e Economia. Esta nova edição traz ainda um tratamento mais completo sobre funções inversas no Apêndice A, além de exemplos reais do cotidiano dos alunos e novos exercícios.

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Matemática Aplicada a Administração e Economia — 2ª edição

S. T. Tan

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Matemática Aplicada a Administração e Economia S. T. Tan 2ª edição revista

Tradução técnica Fábio Armando Tal Professor Doutor do Departamento de Matemática Aplicada do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo. Bacharel em Ciências Moleculares e Doutor em Matemática Aplicada pela Universidade de São Paulo. Concluiu programa de pós-doutoramento no Courant Institute da New York University

AustráliaIIlMMBrasillllMMCanadáIIlMMCingapuraIlMMEspanhaIMlMEstados UnidosIMlMMéxicoMMlReino Unido Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

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SUMÁRIO

Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .XI

1 Preliminares 1.1 Revisão de Álgebra I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1.2 Revisão de Álgebra II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 1.3 O Sistema de Coordenadas Cartesianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21 1.4 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29 Capítulo 1 Resumo das Principais Fórmulas e Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Capítulo 1 Questões Conceituais de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44 Capítulo 1 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 Capítulo 1 Antes de Prosseguir… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2 Funções, Limites e Derivadas 2.1 Funções e seus Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48 Usando Tecnologia: Representando Graficamente uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 2.2 A Álgebra das Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 2.3 Funções e Modelos Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Interseção de Dois Gráficos . . . . . . . . . . . . .87 2.4 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91 Usando Tecnologia: Determinando o Limite de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 2.5 Limites Unilaterais e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .112 Usando Tecnologia: Encontrando os Pontos de Descontinuidade de uma Função . . . . . . . . .126 2.6 A Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129 Usando Tecnologia: Representando Funções e suas Retas Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .147 Capítulo 2 Resumo das Principais Fórmulas e Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149 Capítulo 2 Questões Conceituais de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150 Capítulo 2 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151 Capítulo 2 Antes de Prosseguir… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153

3 Diferenciação 3.1 Regras Básicas de Diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155 Usando Tecnologia: Determinando a Taxa de Variação de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . .165 3.2 Regras do Produto e do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .168 Usando Tecnologia: Regras do Produto e do Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177 3.3 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178 Usando Tecnologia: Determinando a Derivada de uma Função Composta . . . . . . . . . . . . . .189 3.4 Funções Marginais em Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190 3.5 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .203 PORTFÓLIO: Steve Regenstreif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .204 Usando Tecnologia: Determinando a Segunda Derivada de uma Função em um Ponto Dado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .210 *3.6 Diferenciação Implícita e Taxas Relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .212 *Seções assinaladas com asterisco não são pré-requisito para material posterior.

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Matemática Aplicada a Administração e Economia

3.7 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223 Usando Tecnologia: Determinando a Diferencial de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .232 Capítulo 3 Resumo das Principais Fórmulas e Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .233 Capítulo 3 Questões Conceituais de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .234 Capítulo 3 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .235 Capítulo 3 Antes de Prosseguir… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .237

4 Aplicações da Derivada 4.1 Aplicações da Primeira Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .239 Usando Tecnologia: Usando a Primeira Derivada para Analisar uma Função . . . . . . . . . . . .257 4.2 Aplicações da Segunda Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .260 Usando Tecnologia: Determinando os Pontos de Inflexão de uma Função . . . . . . . . . . . . . .277 4.3 Esboço de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279 Usando Tecnologia: Analisando as Propriedades de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292 4.4 Otimização I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294 Usando Tecnologia: Encontrando os Extremos Absolutos de uma Função . . . . . . . . . . . . . .308 4.5 Otimização II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .310 Capítulo 4 Resumo dos Principais Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321 Capítulo 4 Questões Conceituais de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321 Capítulo 4 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322 Capítulo 4 Antes de Prosseguir… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .324

5 Funções Exponenciais e Logarítmicas 5.1 Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .326 Usando Tecnologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .333 5.2 Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .335 5.3 Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342 5.4 Derivadas de Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .354 PORTFÓLIO: Robert Derbenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .355 Usando Tecnologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .363 5.5 Derivadas de Funções Logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .365 *5.6 Modelos Matemáticos que Usam Funções Exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .372 Usando Tecnologia: Analisando Modelos Matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382 Capítulo 5 Resumo das Principais Fórmulas e Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .384 Capítulo 5 Questões Conceituais de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385 Capítulo 5 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .385 Capítulo 5 Antes de Prosseguir… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .387

6 Integração 6.1 Antiderivadas e as Regras de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .389 6.2 Integração por Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402 6.3 Área e a Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412 6.4 O Teorema Fundamental do Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .421 Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .431 6.5 Calculando Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432 Usando Tecnologia: Calculando Integrais Definidas de Funções Definidas por Partes . . . . .442 6.6 Área entre Duas Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .443 Usando Tecnologia: Encontrando a Área entre Duas Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455 *6.7 Aplicações da Integral Definida em Negócios e Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .456 Usando Tecnologia: Aplicações em Administração e Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .469

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Sumário

Capítulo 6 Resumo das Principais Fórmulas e Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .470 Capítulo 6 Questões Conceituais de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .471 Capítulo 6 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .471 Capítulo 6 Antes de Prosseguir… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .473

7 Tópicos Adicionais de Integração 7.1 Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .475 *7.2 Integração Usando Tabelas de Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .481 *7.3 Integração Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .488 7.4 Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .503 *7.5 Aplicações de Probabilidade ao Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .511 PORTFÓLIO: Gary Li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .518 Capítulo 7 Resumo das Principais Fórmulas e Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .521 Capítulo 7 Questões Conceituais de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .522 Capítulo 7 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .523 Capítulo 7 Antes de Prosseguir… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .524

8 Cálculo de Várias Variáveis 8.1 Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .526 8.2 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .536 Usando Tecnologia: Determinando Derivadas Parciais em um Ponto Dado . . . . . . . . . . . . .548 8.3 Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .548 PORTFÓLIO: Kirk Hoiberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .551 8.4 O Método dos Mínimos Quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .559 Usando Tecnologia: Determinando a Equação da Reta dos Mínimos Quadrados . . . . . . . . .568 8.5 Máximos e Mínimos Restritos e o Método dos Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . .570 8.6 Integrais Duplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .580 Capítulo 8 Resumo dos Principais Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595 Capítulo 8 Questões Conceituais de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .595 Capítulo 8 Exercícios de Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .596 Capítulo 8 Antes de Prosseguir… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .597

Apêndice Funções Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .598 Respostas aos Exercícios Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .605 Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .638

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PREFÁCIO

A matemática participa integralmente do nosso dia-a-dia, que está cada vez mais complexo. Matemática Aplicada a Administração e Economia – 2a edição – procura realçar essa visão com sua abordagem aplicada da matemática. Nossos objetivos para esta nova edição são dois: (1) escrever um texto aplicado que motive os alunos e (2) constituir uma ferramenta de ensino útil para professores. Esperamos, com a presente edição, ter dado mais um passo em direção à nossa meta. Este livro é apropriado para um curso introdutório de cálculo de um semestre destinado a estudantes de administração e ciências humanas.

Características da Segunda Edição ■

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Cobertura de TópicosnEste livro contém material mais do que suficiente para o curso usual de cálculo aplicado. Seções opcionais foram marcadas com um asterisco no Sumário, permitindo ao professor ser flexível na escolha dos tópicos mais apropriados para seu curso. Nível de ApresentaçãonNosso tratamento é intuitivo e os resultados são enunciados de forma intuitiva. No entanto, tomamos cuidados especiais para garantir que esse tratamento não comprometa o conteúdo e a precisão matemática. As provas de certos resultados são apresentadas, mas podem ser omitidas se assim for desejado.

Abordagem IntuitivanO autor motiva cada um dos conceitos matemáticos com exemplos reais do cotidiano dos alunos. Eis uma lista representativa de como alguns dos tópicos são introduzidos: ■ LimitesnEsse conceito é introduzido com o exemplo do movimento de maglev. Posteriormente, o mesmo exemplo é utilizado para ilustrar os conceitos de derivada, do teorema do valor médio e de antiderivadas, ao mesmo tempo mostrando a relação entre eles. ■ Álgebra de FunçõesnO déficit orçamentário norte-americano ■ DiferenciaisnCalculando pagamentos hipotecários ■ Funções Crescentes e Funções DecrescentesnA economia de combustível de um automóvel ■ ConcavidadenO crescimento populacional nos Estados Unidos e no mundo ■ Pontos de InflexãonO ponto de retorno decrescente ■ Esboço de GráficosnO índice Dow Jones na Segunda-feira Negra ■ Funções ExponenciaisnDistribuição de renda da família norte-americana ■ Área entre Duas CurvasnEconomia de petróleo com medidas conservativas ■ Aproximando Integrais DefinidasnO fluxo cardíaco AplicaçõesnAs aplicações mostram a ligação entre a matemática e a vida real. ■ Exemplos e Exercícios Atuais e Relevantesnforam retirados de áreas do conhecimento como administração, economia, ciências humanas e cognitivas e ciências físicas. Nesses exemplos, essas áreas foram destacadas com ícones novos que ilustram as várias aplicações Exemplo Aplicado 3

Tarifa Ótima para o MetrônA Autoridade Metropolitana de Trânsito (AMT) de uma cidade opera uma linha de metrô ligando certo subúrbio ao centro da cidade. Atualmente, uma média de 6.000 passageiros por dia toma os trens, pagando uma tarifa de $ 3,00 por viagem. A direção da AMT, cogitando aumentar a tarifa para $ 3,50 por viagem, de modo a gerar uma receita maior, contratou os serviços de uma firma de consultoria. O estudo da firma revela que, para cada $ 0,50 de aumento na tarifa, o volume de passageiros será reduzido de uma média de 1.000 passageiros por dia. Logo, a firma de consultoria recomenda que a AMT mantenha a tarifa atual de $ 3,00 por viagem, que já gera a receita máxima. Mostre que os consultores estão corretos. ■

Novas AplicaçõesnForam introduzidas mais de 100 novas aplicações reais, entre as quais estão a Venda de Equipamento GPS, Domicílios com Conexões de Banda Larga, Sobreviventes de Câncer, Mensagens de Spam, Produção Global de Plutônio, Uso de Testosterona, Assinantes da Blackberry, Exportação de Empregos, Gastos com o Sistema de Saúde, Obesidade nos Estados Unidos, Falta de Enfermeiros nos Estados Unidos, Resultados

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Matemática Aplicada a Administração e Economia

das Restrições ao Fumo, Receita do Google, Segurança Computacional, Yahoo! na Europa, Assinaturas de Rádio por Satélite, Cirurgias de Redução Estomacal, e a Área da Superfície do Reservatório do Central Park de Nova York. 66. Exportação de Empregos Segundo um estudo de 2003, as projeções para o número de empregos nos Estados Unidos que deverão sair do país até o ano t, com t 0 correspondendo ao ano 2000, estimam que (0 t 15)

N(t) 0,0018425(t 5)2,5

onde N(t) é medido em milhões. Quantos empregos seriam exportados até 2005? E até 2010 (t 10)? Fonte: Forrester Research.

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Novos Portfólios Foram desenhados para relatar ao estudante as experiências do mundo real de profissionais que têm formação em matemática e a utilizam em suas profissões.

PORTFÓLIO

GARY LI Título: Associado Instituição: JPMorgan Chase Uma das maiores instituições financeiras mundiais, a JPMorgan Chase & Co., depende de uma grande variedade de disciplinas matemáticas, como estatística, programação linear e cálculo. A compreensão quantitativa é uma ferramenta imprescindível no auxílio às necessidades financeiras de nossos clientes, seja na avaliação do crédito de um mutuário, na recomendação de um portfólio de investimentos ou na precificação de um derivativo exótico. Eu trabalho na equipe de Estratégia para Derivativos de Renda Fixa. Em finanças, um derivativo é um instrumento cujo valor depende do preço de outro instrumento sobre o qual é montado. Um tipo simples de derivativo é um contrato futuro, em que duas partes concordam com uma transação futura a um preço predeterminado. Na agricultura, por exemplo, os produtores costumam prometer as suas colheitas para compradores, com um preço predeterminado, antes mesmo de plantarem a lavoura. Dependendo do clima, da demanda e de outros fatores, o valor final poderia ser menor ou maior. Então, o vendedor, ou o comprador, se beneficiará. O valor do contrato varia igualmente ao preço. Na terminologia de derivativos, apropriamo-nos da linguagem do cálculo e dizemos que contratos futuros tem um delta de 1. Hoje em dia, a maior parte dos derivativos lida com taxas de juros e não risco agrícola. O valor de um bem com pagamentos fixos no futuro varia de acordo com as taxas de juros. Com trilhões de dólares desses bens, especialmente títulos governamentais e hipotecas, derivativos de renda fixa são vitais para a economia. Como uma equipe estratégica, nosso trabalho é rastrear e identificar os principais transformadores e a evolução desse mercado usando, em grande parte, análise quantitativa. Alguns dos derivativos que analisamos são futuros, como swaps de taxas de juros, em que você opta por receber pagamentos a juros fixos por pagamentos a juros flutuantes e vice-versa. Outra classe de derivativos em que a estatística e o cálculo são especialmente importantes são as opções.

■ Explore e Discuta São questões opcionais, aparecendo ao longo do texto principal, e podem ser discutidas em classe ou atribuídas como atividade extraclasse. Essas questões geralmente requerem mais esforço e reflexão do que os exercícios usuais. Elas também podem ser utilizadas para adicionar uma componente escrita às aulas, permitindo aos estudantes articularem o conteúdo aprendido.

EXPLORE E DISCUTA O lucro P de um fabricante de programas de computador depende do número de unidades do programa vendidas. O fabricante estima que venderá x unidades do programa por semana. Suponha que P g(x) e x f(t), onde g e f são funções diferenciáveis. 1. Determine uma expressão que forneça a taxa de variação do lucro com relação ao número de unidades vendidas. 2. Determine uma expressão que forneça a taxa de variação do número de unidades vendidas por semana. 3. Determine uma expressão que forneça a taxa de variação do lucro por semana.

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Dados ReaisnMuitas das aplicações utilizam modelos matemáticos (funções) que foram construídos utilizando-se dados retirados de diversas fontes, incluindo jornais e revistas, e dados obtidos na Internet. As fontes são dadas no texto dos problemas. Em Funções e Modelos Matemáticos (Seção 2.3), o processo de modelagem é discutido, e pede-se aos estudantes que utilizem os modelos (ou funções) construídos com base em dados reais para responder a questões sobre o Mercado para os Medicamentos Redutores de Colesterol, Associação com HMO, e os Custos de Condução de um Ford Taurus. Nas seções Usando Tecnologia, os alunos aprendem como criar uma função descrevendo o crescimento da indústria de jogos indiana, usando uma calculadora científica. Os exercícios que seguem essas aplicações oferecem uma experiência direta na construção de modelos com dados reais. Conjunto de ExercíciosnOs conjuntos de exercícios foram elaborados para auxiliar os estudantes na compreensão e aplicação dos conceitos desenvolvidos em cada seção. Três tipos de exercícios são encontrados: ■ Testes de Conhecimento oferecem ao aluno feedback imediato sobre conceitos-chave com as soluções apresentadas depois da seção de exercícios. ■ Novo – Questões Conceituais foram desenvolvidas para testar a compreensão dos conceitos básicos discutidos na seção e, simultaneamente, encorajar o estudante a explicar esses conceitos com suas próprias palavras. ■ Exercícios oferecem amplo conjunto de problemas de natureza computacional rotineira, seguidos por extenso conjunto de problemas orientados para aplicações.

TESTES DE CONHECIMENTO 3.3 1. Determine a derivada de 1 1 f (x) 2 œ2x 1 2. Suponha que em um país a expectativa de vida (em anos) de uma mulher no instante do nascimento seja descrita pela função g(t) 50,02(1 1,09t)0,1 (0 t 150) onde t é medido em anos e t 0 corresponde ao início de 1900. a. Qual é a expectativa de vida que terá uma mulher nascida em 1980? E no início do ano 2000? b. Com que rapidez a expectativa de vida de uma mulher nascida no instante t varia? Soluções dos Testes de Conhecimento 3.3 podem ser encontradas na página 188.

3.3 QUESTÕES CONCEITUAIS 1. Descreva, com suas próprias palavras, a regra da cadeia para diferenciar a função composta h(x) g[f(x)].

2. Descreva a regra de potência para diferenciar a função h(x) [f(x)]n, onde n é um número real.

3.3 EXERCÍCIOS Nos Exercícios 1-48, determine a derivada de cada uma das funções dadas.

17. f (t)

œ2t 3

1 18. f (x) 2 œ2x 1 20. f (t)

1. f(x) (2x 1)4

2. f (x) (1 x)3

3. f(x) (x 2)

4. f (t) 2(t 1)

1 19. y (4x 4 x)3/2

5. f(x) (2x x 2)3

6. f (x) 3(x 3 x)4

21. f (x) (3x 2 2x 1) 2

7. f(x) (2x 1) 2

1 8. f (t) (2t 2 t) 3 2

22. f (t) (5t 3 2t 2 t 4) 3

10. f(t) (3t 2 2t 1)3/2

23. f (x) (x 2 1)3 (x 3 1)2

11. f(x) œ3x 2

2 12. f (t) œ3t t

24. f (t) (2t 1)4 (2t 1)4

13. f(x) 3œ1 x2

2 14. f (x) œ2x 3 2x

25. f (t) (t 1 t 2)3

1 15. f(x) 3 (2x 3)

2 16. f (x) (x 2 1)4

9. f(x) (x 2 4)3/2

2t 2 œ3 t

26. f (√) (√ 3 4√ 2)3

27. f (x) œx 1 œx 1 28. f (u) (2u 1)3/2 (u2 1) 3/2

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SOLUÇÕES DOS TESTES DE CONHECIMENTO 3.3 1. Reescrevendo, temos f (x) (2x 2 1) 1/2 Usando a regra da potência, determinamos d f (x) (2x 2 1) 1/2 dx d 1 ! @(2x 2 1) 3/2 (2x 2 1) dx 2 1 (2x 2 1) 3/2(4x) 2 2x (2x 2 1)3/2 2. a. A expectativa de vida de uma mulher nascida no início de 1980 é dada por g(80) 50,02[1 1,09(80)]0,1 78,29 ou, aproximadamente, 78 anos. De forma semelhante, a expectativa de vida de uma mulher nascida no início do ano 2000 é dada por g(100) 50,02[1 1,09(100)]0,1 80,04 ou, aproximadamente, 80 anos. b. A taxa de variação da expectativa de vida de uma mulher nascida no tempo t é dada por g (t). Usando a regra da potência, temos d g (t) 50,02 (1 1,09t)0,1 dt d (50,02)(0,1)(1 1,09t) 0,9 (1 1,09t) dt (50,02)(0,1)(1,09)(1 1,09t) 0,9 5,45218(1 1,09t) 0,9 5,45 218 (1 1, 09t)0,9

Seções de RevisãonEssas seções foram planejadas para auxiliar os estudantes na revisão do material coberto em cada uma delas, e para medir sua compreensão dos conceitos básicos, bem como as suas habilidades na resolução de problemas. ■ Resumo das Principais Fórmulas e Termos destaca equações e termos relevantes com o número de página para fácil revisão. ■ Novo – Questões Conceituais de Revisão oferecem aos estudantes a possibilidade de verificar seu conhecimento das definições e dos conceitos básicos apresentados em cada capítulo. ■ Exercícios de Revisão oferecem exercícios computacionais rotineiros seguidos por problemas e aplicações. ■ Novo – Antes de Prosseguir oferece aos estudantes a chance de verificar se dominaram as habilidades computacionais básicas desenvolvidas em cada capítulo.

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CAPÍTULO 2 Resumo das Principais Fórmulas e Termos Fórmulas 1. Taxa de variação média no intervalo

f (x h) f (x) h

[x, x h] ou Declividade da secante ao gráfico de f por (x, f(x)) e (x + h, f(x + h)) ou Quociente de diferenças Termos função (48) domínio (48) imagem (48) variável independente (49) variável dependente (49) pares ordenados (51) funções (definição alternativa) (51) gráfico de uma função (51) gráfico de uma equação (54) teste da reta vertical (54) função composta (57) função polinomial (75) função linear (75) função quadrática (75) função cúbica (75) função racional (75)

CAPÍTULO 2

função potência (75) função demanda (77) função oferta (77) equilíbrio de mercado (77) quantidade de equilíbrio (77) preço de equilíbrio (77) limite de uma função (94) forma indeterminada (98) limite de uma função no infinito (101) limite de uma função à direita (113) limite de uma função à esquerda (113) continuidade de uma função em um ponto (115) reta secante (131) reta tangente ao gráfico de f (131) funções diferenciáveis (139)

Questões Conceituais de Revisão f

Complete as lacunas. 1. Se f é uma função do conjunto A no conjunto B, então A é chamado _______ de f, e o conjunto de todos os valores assumidos por f(x) quando x percorre todos os valores possíveis de A é denominado _________ de f. A Imagem de f está contida no conjunto ______. 2. O gráfico de uma função é o conjunto dos pontos (x, y) no plano xy tais que x está no ______ de f e y = _______. O teste da reta vertical diz que uma curva no plano xy é o gráfico de uma função y = f(x) se, e somente se, cada reta _____ intercepta-o em apenas um _______. 3. Se f e g são funções com domínios A e B respectivamente, então (a) ( f g)(x) _______, (b) ( fg)(x) _________, e

(c) g (x) ___________. O domínio de f g é _______. O f domínio de g é ___________, com a condição adicional de que g(x) nunca é ________. 4. A composição de g e f é a função com expressão (g f) (x) =_________. Seu domínio é o conjunto de todos os x no domínio de _______ tais que _________ está no domínio de ________. 5. a. Uma função polinomial de grau n é uma função forma _________. b. Uma função polinomial de grau 1 é chamada função __________; uma de grau 2 é denominada função ______; uma de grau 3 é dita função ________. c. Uma função racional é a/o _______ de duas _________.

CAPÍTULO 2 EXERCÍCIOS DE REVISÃO 1. Encontre o domínio de cada função: a. f(x) œ9 x

x 3 b. f (x) 2x 2 x 3

2. Seja f (x) 3x 2 5x 2. Calcule: a. f( 2) b. f (a 2) c. f(2a) d. f (a h) 3. Seja y 2 2x 1. a. Esboce o gráfico dessa equação. b. y é uma função de x? Por quê? c. x é uma função de y? Por quê?

4. Esboce o gráfico da função definida por x 1 se x 1 f (x) x 2 4x 1 se x 1

5. Sejam f (x) 1/x e g(x) 2x 3. Calcule: a. f (x)g(x) b. f (x)/g(x) c. f (g(x)) d. g( f (x)) Nos Exercícios 6-19, calcule os limites indicados. 6. lim (5x 3) x 0

7. lim (x 2 1) x 1

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CAPÍTULO 2

Antes de Prosseguir . . .

1. Seja f (x)

1 2x x 2 2

1 x 0 0 x 2

3 Encontre (a) f( 1), (b) f(0), e (c) f Ó 2 Ô. 1 2 2. Seja f (x) x 1 e g(x) x 1. Encontre as expressões para (a) f g, (b) fg, (c) f g e (d) g f. 3. A regulamentação dos correios especifica que um pacote postado não pode ter mais do que 108 polegadas de perímetro e comprimento somados. Suponha que um pacote que tem uma seção horizontal quadrada de x polegadas por x polegadas também tenha, somados, um perímetro e o comprimento de 108 pés. Encontre uma função representando o volume do pacote em função de x. Sugestão: O comprimento somado com o perímetro é de 4x + h (veja a figura a seguir).

x x

x 2 4x 3 . 4. Encontre lim x 1 x 2 3x 2 5. Seja

f (x)

2 x 1 1 x 2

Encontre (a) lim f(x) e (b) lim f(x). f é contínua em x = 1? x 1 x 1 Explique. 6. Encontre a declividade da reta tangente ao gráfico de x 2 3x 1 no ponto (1, –1). Qual é a equação da reta tangente?

Tecnologia Oportunidades para explorar a matemática usando tecnologia são oferecidas em todo o texto. ■ Usando Tecnologia Essas questões opcionais aparecem ao longo do corpo principal do texto e servem para que os estudantes aprimorem sua compreensão dos conceitos e teoria apresentados.

Explorando com Tecnologia No primeiro parágrafo da Seção 5.1, destacou-se que o montante acumulado de uma conta rendendo a juros continuamente compostos eventualmente crescerá mais do que o montante acumulado de uma conta ganhando juros a uma mesma taxa nominal, mas rendendo juros simples. Ilustre esse fato usando o seguinte exemplo. Suponha que você deposite $ 1.000 na conta I, rendendo juros a uma taxa de 10% ao ano continuamente composta, de modo que o montante acumulado ao final de t anos seja A1(t) 1.000e0,1t. Suponha também que você deposite $ 1.000 na conta II, recebendo juros simples a uma taxa de 10% ao ano, de modo que o montante acumulado ao final de t anos seja A2(t) 1.000(1 0,1 t). Use uma calculadora com recursos gráficos para esboçar os gráficos das funções A1 e A2 na janela retangular [0, 20] [0, 10.000] para observar os montantes acumulados A1(t) e A2(t) em um período de 20 anos.

■

As Subseções Usando Tecnologia oferecem material opcional explicando o uso de calculadoras científicas como ferramenta na solução de problemas de cálculo e no desenvolvimento e na análise de modelos matemáticos e encontram-se ao final das seções para as quais seu uso é apropriado. As subseções são escritas no formato tradicional exemplo-exercício, com respostas dadas ao final do livro. Ilustrações com telas de calculadoras científicas são usadas extensivamente. Aqui também foram introduzidas muitas aplicações relevantes e atuais com dados e suas fontes. Estas subseções podem ser usadas em sala de aula, caso desejado, ou como material para estudo individual.

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PrefĂĄcio

Usando Tecnologia

Exemplo 1 No inĂcio da SeĂ§ĂŁo 5.4, demonstramos, via tabela de valores de (e h 1)/h para determinados valores de h, a plausibilidade do resultado eh 1 lim 1 h 0 h Para obter uma justificativa grĂĄfica desse resultado, construĂmos o grĂĄfico de ex 1 f (x) x na janela retangular [ 1, 1] [0, 2] (Figura T1). Do grĂĄfico de f, vemos que f(x) parece aproximar-se de 1 Ă medida que x aproximase de 0.

FIGURA T1 O grĂĄfico de f na janela retangular [ 1, 1] [0, 2]. A funĂ§ĂŁo de derivaĂ§ĂŁo numĂŠrica de uma calculadora com recursos grĂĄficos fornecerĂĄ a derivada de uma funĂ§ĂŁo exponencial ou logarĂtmica para qualquer valor de x, do mesmo modo que para funĂ§Ăľes algĂŠbricas.* * As regras para a derivaĂ§ĂŁo de uma funĂ§ĂŁo logarĂtmica serĂŁo vistas na SeĂ§ĂŁo 5.5. Entretanto, os exercĂcios apresentados aqui podem ser resolvidos sem o uso dessas regras.

EXERCĂ?CIOS DE TECNOLOGIA Nos ExercĂcios 1-6, use a funĂ§ĂŁo de derivaĂ§ĂŁo numĂŠrica de sua calculadora com recursos grĂĄficos para encontrar a taxa de variaĂ§ĂŁo de f(x) em dado valor de x. DĂŞ as respostas com quatro casas decimais de precisĂŁo. 1. f(x) x 3e 1/x; x 1 2. f(x) (Ĺ&#x201C;x 1)3/2e x; x 0,5 ; 3. f(x) x 3Ĺ&#x201C;ln x x 2 Ĺ&#x201C; x ln x 4. f(x) ; x 3,2 x 1 5. f(x) e x ln(2x 1); x 0,5 e Ĺ&#x201C; x

6. f(x) ;x 1 ln(x2 1) 7. Uma SituaĂ§ĂŁo de ExtinĂ§ĂŁo O nĂşmero de crocodilos de ĂĄgua salgada em uma regiĂŁo do norte da AustrĂĄlia ĂŠ dado por 300 0,024t P(t) 5e 0,024t 1

a. Quantos crocodilos havia inicialmente? b. Mostre que lim P(t) 0. t c. Represente o grĂĄfico de P na janela retangular [0, 200]

[0, 70]. (ComentĂĄrio: Esse cenĂĄrio ĂŠ chamado uma situaĂ§ĂŁo de extinĂ§ĂŁo.) 8. Renda de FamĂlias Norte-americanas Baseado nos dados obtidos pelo House Budget Committee, House Ways and Means Committee e U.S. Census Bureau, foi estimado que o nĂşmero de famĂlias norte-americanas y (em milhĂľes) que ganharam x milhares de dĂłlares em 1990 ĂŠ dado pela equaĂ§ĂŁo y 0,1584xe 0,0000016x

2 0,00011x 0,04491x

(x 0)

a. Use uma calculadora com recursos grĂĄficos para fazer o grĂĄfico dessa equaĂ§ĂŁo na janela retangular [0, 150] [0, 2]. b. Com que velocidade y muda em relaĂ§ĂŁo a x quando x 10? E quando x 50? Interprete seus resultados. Fonte: House Budget Committee, House Ways and Means Committee e U.S. Census Bureau.

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Exemplo Aplicado 5 Funções Receita Marginal Suponha que a relação entre o preço unitário p em dólares e quantidade demandada x do sistema de caixas de som Acrosonic é dada pela equação p 0,02x 400

(0 x 20.000)

a. Determine a função receita R. b. Determine a função receita marginal R’. c. Calcule R’(2000) e interprete seus resultados. ■

Recursos para Estudantes na Web Estudantes e professores podem ter acesso aos materiais adicionais relacionados a seguir no site associado na World Wide Web: http://series.brookscole.com/tans. • Material de revisão e testes simulados. • Projetos em grupo e problemas adicionais para cada capítulo. • Instruções, inclusive de digitação, para os procedimentos referidos no texto para calculadoras específicas (TI-82, TI-83, TI-85, TI-86 e outros modelos populares). • Cobertura de tópicos adicionais, como formas indeterminadas e regra de L’Hôpital.

NOVIDADES DA SÉTIMA EDIÇÃO ■ ■

Um tratamento mais completo sobre Funções Inversas foi adicionado ao Apêndice A. Outras mudanças Em Funções e Modelos Matemáticos (Seção 2.3), um novo modelo descrevendo a associação com os planos de saúde é discutido, utilizando o gráfico de pontos dos dados reais e o gráfico da função que descreve esses dados. Outro modelo, descrevendo os custos para a condução de um Ford Taurus, também é apresentado de maneira análoga. Na Seção 3.6 foi adicionado um exemplo aplicado ilustrando a resolução de problemas relacionados à taxa de variação. Na Seção 4.2 foi adicionado um exemplo que requer o uso e a interpretação da primeira e da segunda derivadas no esboço do gráfico de uma função. Na Seção 6.4, a percepção da integral definida como medida da mudança líquida é acompanhada por um novo exemplo, o Crescimento Populacional no Condado de Clark.

AGRADECIMENTOS Gostaria de expressar meus agradecimentos pessoais a cada um dos revisores desta edição cujas diversas sugestões ajudaram a melhorar em muito este livro: Faiz Al-Rubaee University of North Florida Albert Bronstein Purdue University Kimberly Jordan Burch Montclair State University Peter Casazza University of Missouri – Columbia Lisa Cox Texas A&M University Harvey Greenwald California Polytechnic State University – San Luis Obispo Mohammed Kazemi University of North Carolina – Charlotte

Dean Moore Florida Community College at Jacksonville James Olsen North Dakota State University Virginia Puckett Miami Dade College Mary E. Rerick University of North Dakota Anne Siswanto East Los Angeles College Giovanni Viglino Ramapo College of New Jersey Hiroko K. Warshauer Texas State University – San Marcos Jennifer Whitfield Texas A&M University

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Também gostaria de agradecer aos revisores da edição anterior cujos comentários e sugestões ajudaram no desenvolvimento do livro: Daniel D. Anderson University of Iowa Randy Anderson California State University – Fresno Jim Bruening Southeast Missouri State University Connie Carruthers Scottsdale Community College William J. Carsrud Gonzaga University Charles Clever South Dakota State University William Coppage Wright State University Margaret Crider Tomball College Lyle Dixon Kansas State University Bruce Edwards University of Florida – Gainesville Charles S. Frady Georgia State University Howard Frisinger Colorado State University William Geeslin University of New Hampshire Larry Gerstein University of California – Santa Barbara David Gross University of Connecticut Murli Gupta George Washington University Kedrick Hartfield Mercer University Karen J. Hay Phoenix College Yvette Hester Texas A&M University Xiaoming Huang Heidelberg College Jeff Knisley East Tennessee State University John Kutzke University of Portland Michael Lambe Grossmont College

Lowell Leake University of Cincinnati Richard J. O’Malley University of Wisconsin – Milwaukee Maurice Monahan South Dakota State University Richard Nadel Florida International University Karla V. Neal Louisiana State University Lloyd Olson North Dakota State University Richard Porter Northeastern University Priscilla Putnam-Haindl Jersey City State College Georgia B. Pyrros University of Delaware Nathan P. Ritchey Youngstown State University Chris Rodger Auburn University Thomas N. Roe South Dakota State University Ivan Schukei University of South Carolina – Beaufort Nora Schukei University of South Carolina – Beaufort Barbara J. Shabell California State Polytechnic University – Pomona Gary D. Shaffer Allegany Community College Shai Simonson Stonehill College W. Allen Smith Georgia State University P. L. Sperry University of South Carolina John St. Clair Matlow State Community College Joseph F. Stokes Western Kentucky University Francis J. Vlasko Kutztown University

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SOBRE O AUTOR Soo T. Tan completou a sua graduação no Massachusetts Institute of Technology, seu mestrado na University of Wisconsin–Madison e o seu Ph.D. na University of California em Los Angeles. Ele publicou diversos trabalhos em Teoria do Controle Ótimo, Análise Numérica e Matemática Aplicada às Finanças. Atualmente, é professor titular de Matemática no Stonehill College. Quando comecei a escrever o primeiro livro-texto de matemática, que posteriormente se transformou em uma série, para estudantes de ciências sociais e administrativas, já possuía alguns anos de experiência ensinando matemática para alunos de outras áreas. Uma das lições mais importantes que aprendi nesses cursos é que muitos desses estudantes chegam com algum grau de apreensão. Esse conhecimento me levou a adotar nos meus livros uma abordagem intuitiva. Como vocês verão, busco introduzir cada tópico com um exemplo retirado da vida real. Só após expressar a idéia, tento precisá-la, impedindo a perda do rigor matemático no tratamento intuitivo. Também aprendi com meus alunos que a sua motivação é maior quando as aplicações partem dos campos de estudo de seus interesses e de situações do dia-a-dia. Este é um dos motivos por que vocês verão em meus textos vários exercícios construídos com dados retirados de jornais, revistas e outras mídias. Tento introduzir tópicos de interesse atual, como as altas e baixas da bolsa de valores, o crescimento dos planos de saúde nos Estados Unidos, a solvência do sistema de seguridade social, o déficit orçamentário, a epidemia de Aids, e o crescimento da Internet, sempre buscando manter o livro atrativo para todos os meus leitores.

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Preliminares

Que valor de vendas é possível prever para o próximo ano? Neste capítulo, você verá como a gerente de uma loja de artigos esportivos usou os valores de vendas de anos anteriores para prever o nível de vendas do ano seguinte.

As primeiras duas seções deste capítulo contêm uma breve revisão de álgebra. Em seguida, é introduzido o sistema de coordenadas cartesianas, que permitem representar os pontos do plano por meio de pares ordenados e números reais. Isso, por sua vez, permite calcular a distância entre dois pontos algebricamente. Este capítulo também trata do estudo das retas. O conceito de declividade de uma reta desempenha papel importante no estudo do cálculo.

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1.1 Revisão de Álgebra I As Seções 1.1 e 1.2 apresentam uma revisão dos conceitos básicos e técnicas de álgebra que são essenciais no estudo do cálculo. O material nessa revisão vai ajudá-lo a trabalhar nos exemplos e exercícios deste livro. Você pode ler o material agora e fazer os exercícios nas áreas em que se sinta um pouco “enferrujado”, ou pode rever o material como base à medida que estuda o texto. A revisão se inicia com uma discussão dos números reais.

A Reta Real O sistema dos números reais é formado pelo conjunto dos números reais, juntamente com as operações usuais de adição, subtração, multiplicação e divisão. Os números reais podem ser representados, geometricamente, por pontos em uma reta. Tal reta é denominada reta real ou reta coordenada e pode ser construída como segue. Escolha arbitrariamente um ponto em uma reta para representar o número 0. Esse ponto é chamado origem. Se a reta é horizontal, então um ponto a uma distância conveniente à direita da origem é escolhido para representar o número 1. Isso determina uma escala numérica. Cada número real positivo se encontra a uma distância apropriada à direita da origem, e cada número real negativo se encontra a uma distância apropriada à esquerda da origem (Figura 1.1). Origem Direção Negativa –4

–3

–2

– 2

–1

Direção Positiva 0

1 1 2

FIGURA 1 A reta real.

Uma correspondência biunívoca é assim estabelecida entre o conjunto de todos os números reais e o conjunto dos pontos na reta; isto é, a cada número real é associado exatamente um ponto na reta. De maneira recíproca, exatamente um número real é associado a cada ponto na reta. O número real associado a dado ponto da reta é denominado coordenada daquele ponto.

Intervalos Neste livro, freqüentemente restringiremos nossa atenção a certos subconjuntos do conjunto dos números reais. Por exemplo, se x denota o número de automóveis fabricados diariamente por uma linha de montagem, então x deve ser nãonegativo – isto é, x 0. Além disso, suponha que a gerência decida que a produção diária não possa exceder 200 automóveis. Então, x deve satisfazer a desigualdade 0 x 200. Mais geralmente, o interesse estará nos seguintes subconjuntos de números reais: intervalos abertos, intervalos fechados e intervalos semi-abertos. O conjunto de todos os números reais que se encontram estritamente entre dois números fixados a e b é denominado intervalo aberto (a, b). Esse intervalo consiste em todos os números reais x que satisfazem as desigualdades a < x < b, e é chamado “aberto”, porque não contém nenhum de seus extremos. Um intervalo fechado possui seus dois extremos. Assim, o conjunto de todos os números reais x que satisfazem as desigualdades a x b, é o intervalo fechado [a, b]. Observe que os colchetes são usados para indicar que os extremos estão incluídos neste intervalo. Intervalos semi-abertos contêm apenas um de seus extremos. Dessa forma, o intervalo [a, b) é o conjunto dos números reais x que satisfazem a x b, enquanto o intervalo (a, b] é descrito pelas desigualdades a x b. Exemplos de intervalos finitos são mostrados na Tabela 1.

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Capítulo 1 – Preliminares

TABELA 1

Intervalos Finitos

Intervalo Aberto

Fechado

Gráfico (a, b)

Exemplo ( 2, 1)

x a

[a, b]

Semi-aberto [a, b)

–1

x 0

1 2 , 3Ô

x a

1 Ó 2 , 3

x a

[ 1, 2]

Semi-aberto (a, b]

x –3 –2 –1

1 2

x – 12 0

Além de intervalos finitos, encontraremos intervalos infinitos. Exemplos de intervalos infinitos são as semi-retas (a, ), [a, ), ( , a) e ( , a], definidas como o conjunto de todos os números reais que satisfazem x a, x a, x a, e x a, respectivamente. O símbolo , chamado infinito, não é um número real. É utilizado aqui apenas por razões de notação, juntamente com a definição de intervalos infinitos. A notação ( , ) é usada para denotar o conjunto de todos os números reais x, uma vez que, por definição, as desigualdades x são verdadeiras para qualquer real x. Intervalos infinitos estão ilustrados na Tabela 2. TABELA 2

Intervalos Infinitos

Intervalo

Gráficos

(a, )

Exemplo (2, )

[a, )

x –1

( , 1)

( , a]

[ 1, )

( , a)

– 12 0

1 Ó , 2

x 2

Propriedades de Desigualdades Em aplicações práticas, intervalos são freqüentemente encontrados resolvendo-se uma ou mais desigualdades envolvendo uma variável.

PROPRIEDADES DE DESIGUALDADES

Se a, b e c são números reais quaisquer, então Exemplo Propriedade 1

Se a b e b c, então a c.

2 3 e 3 8, então 2 8.

Propriedade 2

Se a b, então a c b c.

5 3, logo 5 2 3 2; isto é, 3 1.

Propriedade 3

Se a b e c 0, então ac bc.

5 3, e como 2 0, tem-se ( 5)(2) ( 3)(2); isto é, 10 6.

Propriedade 4

Se a b e c 0, então ac bc.

2 4, e como 3 0, temos ( 2)( 3) (4)( 3); isto é, 6 12.

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Matemática Aplicada a Administração e Economia

Propriedades análogas são válidas se cada sinal de desigualdade < entre a e b e entre b e c é substituído por ≥, > ou ≤. Observe que, na Propriedade 4, o sinal de desigualdade é revertido, caso a desigualdade seja multiplicada por um número negativo. Um número real é solução de uma desigualdade envolvendo uma variável se, ao substituirmos a variável por tal número, obtemos uma afirmação verdadeira. O conjunto de todos os números reais satisfazendo a desigualdade é chamado conjunto solução. A notação de intervalo é freqüentemente utilizada para descrever o conjunto solução. Exemplo 1 Solução

Encontre o conjunto dos números reais que satisfazem 1 2x 5 7. Adicione 5 a cada membro da desigualdade dupla, obtendo

4 2x 12 1 Em seguida, multiplique por cada membro da desigualdade dupla obtida, obtendo 2 2 x 6 Portanto, a solução é o conjunto de todos os valores de x que se encontram no intervalo [2, 6). Exemplo Aplicado 2 Compra de Ações A administração da Corbyco, um conglomerado gigante, estimou que são necessários x milhares de dólares para comprar ) 0 , 001x 100.000( 1 œ1 ações da Starr Communications. Determine a quantia em dinheiro que a Corbyco necessita para comprar pelo menos 100.000 ações da Starr. Solução A quantia em dinheiro de que a Corbyco precisa para comprar pelo menos 100.000 ações pode ser obtida resolvendo-se a desigualdade ) 100.000 100.000( 1 œ1 0 , 001x Realizando os cálculos, encontramos 1 1 œ1 0 , 001x 2 0 , 001x œ1 1 0,001x 4

Eleve ao quadrado.

0,001x 3 x 3.000 Portanto, a Corbyco necessita de, no mínimo, $ 3.000.000. (Lembre-se de que x é medido em milhares de dólares.)

Valor Absoluto VALOR ABSOLUTO

O valor absoluto de um número a é denotado por a e é definido por a

se a 0 se a 0

Como –a é um número positivo quando a é negativo, segue-se que o valor absoluto de um número é sempre nãonegativo. Por exemplo, 5 5 e 5 ( 5) 5. Geometricamente, a é a distância entre a origem e o ponto da reta real que representa o número a (Figura 2).

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Capítulo 1 – Preliminares

|5|

|a|

x –5

(a)

(b)

–a

FIGURA 2 O valor absoluto de um número.

PROPRIEDADES DO VALOR ABSOLUTO Se a e b são números reais quaisquer, então Exemplo Propriedade 5

a a

3 ( 3) 3 3

Propriedade 6

ab a b

(2)( 3) 6 6 (2)(3)

2 3

Propriedade 7

ab ab

Propriedade 8

a b a b

(b 0)

(( 34)) 34 34 34 8 ( 5) 3 3 8 5 13

A Propriedade 8 é chamada desigualdade triangular. Exemplo 3

Calcule cada uma das seguintes expressões: a. p 5 3

Solução

b. œ3 2 2 œ3

a. Como p 5 0, vemos que p 5 (p 5). Portanto, p 5 3 (p 5) 3 8 p

b. Como œ3 2 0, vemos que œ3 2 (œ3 2). Em seguida, observe que 2 œ3 0, então 2 œ3 2 œ3 . Portanto, œ3 2 2 œ3 (œ3 2) (2 œ3 )

4 2œ3 2(2 œ3 )

Expoentes e Radicais Lembre-se de que se b é um número real qualquer e n é um inteiro positivo, então a expressão bn (leia-se “b à potência n”) é definida como o número bn b b b . . . b n fatores

O número b é chamado base, e o expoente n é denominado potência da expressão exponencial bn. Por exemplo, 2 3 2 2 2 8 25 2 2 2 2 2 32 e ! 3 @ ! 3 @! 3 @! 3 @ 2 7 Se b 0, definimos b0 1 Por exemplo, 20 1 e ( p)0 1, mas a expressão 00 é indefinida. Em seguida, lembre-se de que, se n é um inteiro positivo, então a expressão b1/n é definida como o número que, quando elevado à n-ésima potência, é igual a b. Assim,

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Matemática Aplicada a Administração e Economia

(b1/n) n b n Tal número, se existe, é chamado raiz n-ésima de b, representado por œ b .

Se n é par, então a raiz n-ésima de um número negativo não está definida. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 (n 2) não está definida porque não existe número real b tal que b2 2. Além disso, dado um número b, mais de um número real pode ser sua raiz n-ésima de acordo com a nossa definição. Por exemplo, tanto 3 quanto –3 elevados ao quadrado são iguais a 9, e assim cada um é uma raiz quadrada de 9. Portanto, para evitar ambigüidades, definimos b1/n como a raiz n-ésima positiva de b sempre que existir. Assim, œ9 91/2 3. Esse é o motivo pelo qual sua calculadora responde 3 quando você calcula œ9 . Em seguida, lembramos que, se p/q (p, q, inteiros positivos com q 0) é um número racional na forma simplificada, então a expressão b p/q é definida como o número (b1/q) p ou, equivalentemente, œq , b p sempre que existir. Para expressões envolvendo expoentes racionais negativos, pode-se utilizar a seguinte definição 1 b p/q p/q b Alguns exemplos são 23/2 (21/2)3 (1,4142)3 2,8283 e 1 1 1 1 4 5/2 5/2 1/2 5 4 (4 )5 2 32 As regras que definem an, quando a 0 para todos os valores racionais de n, estão escritas na Tabela 3. TABELA 3

Regras para a Definição de an

Definição de an (a a 0)

Expoente inteiro: Se n é um inteiro positivo, então an a a a … a (n fatores de a)

25 2 2 2 2 2 (5 fatores)

Expoente nulo: Se n é igual a zero, então

Exemplo

Expoente fracionário: a. Se n é um inteiro positivo, então a1/n

œa

denotam a raiz n-ésima de a.

161/2 œ16

b. Se m e n são inteiros positivos, então

a0 1 (00 não está definido.)

70 1

(a 0)

m am/n nœa

(nœa )m

82/3 (œ3 8 )2

Expoente negativo: Se n é um inteiro positivo, então 1 a n n a

Definição de an (a a 0)

Exemplo

1 6 2 2 6

c. Se m e n são inteiros positivos, então 1 a m/n m (a 0) a /n

1 9 3/2 3/2 9 1

As primeiras três definições na Tabela 3 são também válidas para valores negativos de a, enquanto a quarta definição é válida para valores negativos de a apenas quando n é ímpar. Assim, 2 ( 8)1/3 œ3 8 1/2 ( 8) não possui valor real

n é ímpar. n é par.

Finalmente, é possível provar que a n está bem-definido para todos os números reais n. Por exemplo, utilizando uma calculadora com a tecla y x , vemos que 2œ2 2,665144. As cinco leis de exponenciação estão listadas na Tabela 4.

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Capítulo 1 – Preliminares

Leis de Exponenciação

TABELA 4

Lei

Exemplo

1. a m a n a m n

x 2 x 3 x2 3 x 5

am 2.

a m n an

x7 4 x7 4 x 3 x

(a 0)

3. (am)n a m n

(x 4)3 x 4 3 x12

4. (ab)n an bn

(2x)4 24 x 4 16x 4

a n an 5. ! @ n b b

(b 0)

! 2 @

x3 x3

3 2 8

Essas leis são válidas para quaisquer números reais a, b, m e n sempre que as expressões correspondentes estiverem definidas. Observe que (x 2)3 x 5. A equação correta é (x 2)3 x 2 3 x6. Os vários exemplos a seguir ilustram o uso das leis de exponenciação. Exemplo 4 2

Simplifique as expressões: 3

a. (3x )(4x )

165/4 b. 161/2

c. (62/3)3

y3/2 2 e. ! 1 @ x /4

d. (x3y 2) 2

Solução a. (3x2)(4x3) 12x2 3 12x 5

Lei 1

5/4

16 )3 23 8 b.

165/4 1/2 163/4 (œ4 16 161/2

Lei 2

c. (62/3)3 6(2/3)(3) 66/3 62 36

Lei 3 4

y d. (x3y 2) 2 (x3) 2(y 2) 2 x (3)( 2)y( 2)( 2) x 6y4 6 x y3/2 2 y(3/2)( 2) y 3 x1/2 e. ! 1 @ x /4 x(1/4)( 2) x 1/2 y3

Lei 4 Lei 5.

Podemos também usar as leis de exponenciação para simplificar expressões que envolvam radicais, como ilustrado no exemplo a seguir. Exemplo 5 4 4 8 1 6 x y a.

Simplifique as expressões. (Assuma que x, y e n são positivos.) 3 5 b. œ12m n œ3m n

27x 6 œ3 c. 8y3 œ3

Solução 4 a.

16x 4y8 (16x 4y8)1/4 161/4 x 4/4y 8/4 2xy 2 3 5 8 2 b. œ12m n œ3m n œ36m n (36m8n2)1/2 361/2 m8/2n2/2 6m4n

27x6 ( 27x6)1/3 271/3x6/3 3x 2 c.

3 1 3 /3 1 /3 /3 (8y ) 8 y 2y 8y3

Quando um radical aparece no numerador ou denominador de uma expressão algébrica, freqüentemente tentamos simplificar a expressão eliminando o radical do numerador ou denominador. Esse processo, chamado racionalização, é ilustrado no exemplo a seguir.

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Matemática Aplicada a Administração e Economia

3x Racionalize o denominador da expressão . 2œx

Exemplo 6 Solução

3x 3x 3xœx œ x 3xœx 3 œx 2 2 x 2 2œx 2œx œx 2œ x 3œx Racionalize o denominador da expressão . 2x

Exemplo 7 Solução

3œ x2 3x 3 3œx 3œx œx 2x 2x 2xœx 2œx œx 2xœx

1.1 EXERCÍCIOS Nos Exercícios 1-4, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. 1. 3 20 2 5 3. 3 6

6 1 8. , 5 2

6. ( 2, 5]

7. [ 1, 4)

9. (0, )

36. a b

Nos Exercícios 37-42, determine se a afirmação é verdadeira para quaisquer números reais a e b.

2. 5 5 5 11 4. 6 12

Nos Exercícios 5-10, represente o intervalo dado na reta real. 5. (3, 6)

35. a3 b 3

10. ( , 5]

37. a a

38. b2 b2

39. a 4 4 a

40. a 1 a 1

41. a b a b

42. a b a b

Nos Exercícios 43-58, calcule o valor da expressão. 44. 8 4/3

43. 272/3 Nos Exercícios 11-20, encontre os valores de x que satisfazem a(s) desigualdade(s). 11. 2x 4 8

12. 6 4 5x

13. 4x 20

14. 12 3x

15. 6 x 2 4

16. 0 x 1 4

17. x 1 4 ou x 2 1

18. x 1 2 ou x 1 2

19. x 3 1 e x 2 1

20. x 4 1 e x 3 2

Nos Exercícios 21-30, calcule o valor da expressão. 21. 6 2

22. 4 4

12 4 23. 16 12

24.

25. œ3 2 3 œ3

26. 1 œ2 2

27. p 1 2

28. p 6 3

29. œ2 1 3 œ2

30. 2œ3 3 œ3 4

0,2 1,4

1,6 2,4

Nos Exercícios 31-36, suponha que a e b são números reais nãonulos e que a > b. Determine se a desigualdade é verdadeira ou falsa. a 31. b a 0 32. 1 b 1 1 2 2 33. a b 34. a b

1 45. œ3 1 47. 8

! @

46. (71/2)4

1/3 2

! 13 @

2 3

48.

7 5 72 1 49. ! @ 7 2

9 50. 16

51. (1252/3) 1/2

52. œ3 26

32 œ 53. œ8

54.

! @

1/2

27 3

165/8161/2 55. 167/8

9 3 95 1/2 56. ! @ 9 2

57. 161/4 8 1/3

62,5 6 1,9 58. 6 1,4

Nos Exercícios 59-68, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique sua decisão. 59. x4 2x4 3x4

60. 32 22 62

61. x3 2x2 2x6 24x 63. 3 x 24x 3x 1 1 1 65. 3 4 64

62. 33 3 34 64. (22 32)2 64 43/2 1 66.

24 2

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Capítulo 1 – Preliminares 68. 52/3 (25)2/3 25

67. (1,21/2) 1/2 1

Nos Exercícios 69-74, reescreva a expressão utilizando apenas expoentes positivos. 69. (xy) 2

70. 3s1/3 s 7/3

x 1/3 71. 1 x /2

1 3 72. œx œ9x

73. 120(s t) 3

74. (x y)(x 1 y 1)

5(C 25) 1,75 2,5C

77. (x y )(x y )

5x6y3 78. 2 7 2x y

x3/4 79. x 1/4

x3y2 80. z2

5 3

x3 81. 27y 6

x 3 83. 2 y

2/3

ex 82. x e 2

(r n)4 84. r 5 2n

! @ ! x @

114. Temperatura nas Escalas Celsius e Fahrenheit A relação entre temperatura em graus Celsius (°C) e temperatura em graus Fahrenheit (°F) é dada pela fórmula 5 C (F 32) 9 a. Se durante o mês de janeiro as temperaturas em Montreal variam entre 15° °C 5°, encontre a variação em graus Fahrenheit para o mesmo período. b. Se durante o mês de junho as temperaturas na cidade de Nova York variam entre 63° °F 80°, encontre a variação em graus Celsius para o mesmo período.

1/2

85. œ3 x 2 œ 4x5

86. œ 81x6y 4

87. œ4 16x4y8

88. œ3 x3a b

89. œ6 64 x8y 3

90. œ3 27r 6 œ s2t 4

115. Atingindo Metas de Vendas A comissão mensal de um vendedor é de 15% sobre o excedente e vendas acima de $ 12.000. Se sua meta é obter uma comissão de pelo menos $ 3.000 por mês, qual é o valor mensal mínimo de vendas que ele deve atingir?

Nos Exercícios 91-94, utilize o fato de que 21/2 1,414 e 31/2 1,732 para calcular a expressão dada sem o auxílio de uma calculadora. 91. 23/2

92. 81/2

93. 93/4

94. 61/2

Nos Exercícios 95-98, use o fato de que 101/2 3,162 e 101/3 2,154 para calcular a expressão dada sem o auxílio de uma calculadora. 95. 103/2

96. 1.0003/2

97. 102,5

98. (0,0001) 1/3 Nos Exercícios 99-104, racionalize o denominador da expressão. 3 99. 2œx

3 100. œxy

2y 101. œ3 y

5x2 102. œ3 x

1 103. 3 œx

104.

y 2x

Nos Exercícios 105-110, racionalize o numerador da expressão. 2œx 105. 3 108.

2x 3y

113. Determine o lucro máximo P (em dólares) resultante de certa transação, dado que 6(P 2.500) 4(P 2.400)

76. (49x 2) 1/2

2 3

(mpg) na estrada, e que seu tanque tem capacidade para 18,1 galões. A partir desses dados, e assumindo condições ideais de percurso, determine o intervalo de possíveis valores da distância percorrida pelo automóvel com um tanque de combustível. 112. Determine o custo mínimo C (em dólares) de certo produto, dado que

Nos Exercícios 75-90, simplifique a expressão. (Assuma que x, y, r, s e t sejam positivos.) x7/3 75. 2 x

œ3 x 106. 24

107.

x2z œ3 109. y

2 y œ3 x 110. 2x

2y x

111. Autonomia de um Automóvel Um anúncio publicitário para um automóvel afirma que seu desempenho é de 20 milhas por galão (mpg) na cidade e de 27 milhas por galão

116. Revenda de Carro A diferença entre o preço pago na compra e o preço cobrado na revenda de um carro usado por uma concessionária foi de pelo menos 30% do valor pago na compra. Se o carro foi revendido por $ 5.600, qual foi seu preço máximo na compra? 117. Controle de Qualidade A Companhia Siderúrgica PAR fabrica barras de aço. Suponha que as barras encomendadas por um cliente sejam fabricadas com uma espessura especificada de 0,5 polegada e sejam aceitáveis apenas quando tal espessura estiver entre os limites de tolerância de 0,49 a 0,51 polegada. Se x denota a espessura de uma barra, escreva uma desigualdade para x usando valores absolutos para expressar um critério que deva ser satisfeito para que uma barra seja aceitável. 118. Controle de Qualidade O diâmetro x (em polegadas) de cada esfera em um lote de esferas de rolamento fabricadas pela Companhia Siderúrgica PAR satisfaz a desigualdade x 0,1 0,01 Qual é o diâmetro mínimo de uma esfera do lote? E o diâmetro máximo? 119. Atingindo Metas de Lucro O fabricante de um certo produto estima que seu lucro em milhares de dólares é dado pela expressão 6x2 30x 10 onde x (em milhares) é o número de unidades produzidas. Que valores de produção permitirão ao fabricante alcançar um lucro de pelo menos $ 14.000 com tal produto?

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Matemática Aplicada a Administração e Economia Nos Exercícios 121-124, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Se verdadeira, explique por quê. Se falsa, justifique com um exemplo.

120. Distribuição de Renda A distribuição de renda em uma cidade pode ser descrita pelo modelo exponencial y (2,8 1011)(x) 1,5, onde y é o número de famílias que possuem uma renda de x ou mais dólares. a. Quantas famílias naquela cidade possuem uma renda de $ 30.000 ou superior? b. Quantas famílias possuem uma renda de $ 60.000 ou superior? c. Quantas famílias possuem uma renda de $ 150.000 ou superior?

121. Se a b, então a c b c. 122. a b b a 123. a b b a 124. œ a2 b2 a b

1.2 Revisão de Álgebra II Operações com Expressões Algébricas No cálculo, freqüentemente trabalhamos com expressões algébricas como 2x4/3 x1/3 1

2 2x2 x œx

3xy 2 x 1

2x3 2x 1

Uma expressão algébrica da forma ax n, onde o coeficiente a é um número real e n é um inteiro não-negativo, é chamada monômio, o que significa que consistiu um único termo. Por exemplo, 7x2 é um monômio. Um polinômio consiste em um monômio ou na soma de dois ou mais monômios. Por exemplo, x2 4x 4

x3 5

x4 3x2 3

x2y xy y

são todos polinômios. Termos constantes e termos contendo os mesmos fatores variáveis são denominados termos semelhantes. Termos semelhantes podem ser combinados adicionando-se ou subtraindo-se seus coeficientes numéricos. Por exemplo, 1 7 3x 7x 10x e xy 3xy xy 2 2 A propriedade distributiva dos números reais, ab ac a(b c) é usada para justificar esse procedimento. Para adicionar ou subtrair duas ou mais expressões algébricas, primeiro remova os parênteses e depois adicione termos semelhantes. A expressão resultante é escrita em ordem decrescente de grau da esquerda para a direita.

Exemplo 1 a. (2x4 3x3 4x 6) (3x4 9x3 3x2)

2x4 3x3 4x 6 3x4 9x3 3x2 Remova os parênteses.

2x4 3x4 3x3 9x3 3x2 4x 6

x4 6x3 3x2 4x 6 Adicione os termos semelhantes. b. 2t 3 {t 2 [t (2t 1)] 4}

2t 3 {t 2 [t 2t 1] 4}

2t 3 {t2 [ t 1] 4}

2t 3 {t 2 t 1 4}

2t 3 {t 2 t 3}

2t 3 t 2 t 3

Remova os parênteses e adicione os termos semelhantes. Remova os colchetes. Adicione os termos dentro das chaves. Remova as chaves.

* O símbolo R indica que esses exemplos foram selecionados dos capítulos de cálculo para auxiliá-lo na revisão das manipulações algébricas que você verdadeiramente utilizará no cálculo.

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Capítulo 1 – Preliminares

Dizemos que uma expressão algébrica está simplificada se nela não aparecem dois ou mais termos semelhantes. Observe que, quando a expressão algébrica no Exemplo 1b foi simplificada, os símbolos de agrupamento mais internos foram removidos primeiro; isto é, os parênteses ( ) foram removidos em primeiro lugar, os colchetes [ ], em segundo, e as chaves { }, em terceiro. Quando multiplicamos duas expressões algébricas, cada termo de uma expressão é multiplicado pelo de outra. A expressão algébrica resultante é, então, simplificada.

Exemplo 2

Efetue as operações indicadas:

a. (x2 1)(3x2 10x 3)

b. (e t e t)e t e t(e t e t )

Solução a. (x2 1)(3x2 10x 3) x2(3x2 10x 3) 1(3x2 10x 3)

3x4 10x3 3x2 3x2 10x 3

3x4 10x3 6x2 10x 3 b. (et e t)et et(et e t ) e2t e0 e2t e0

e2t e2t e0 e0

1 1

Lembre-se de que e0 1.

Algumas fórmulas freqüentemente usadas em cálculos algébricos são dadas na Tabela 5. Algumas Fórmulas de Produtos Úteis Fórmula

TABELA 5

(a b)2 a2 2ab b2

Exemplo (2x 3y)2 (2x)2 2(2x)(3y) (3y)2

4x2 12xy 9y2 (4x 2y)2 (4x)2 2(4x)(2y) (2y)2

16x2 16xy 4y2 (2x y)(2x y) (2x)2 (y)2

4x2 y2

(a b)2 a2 2ab b2 (a b)(a b) a2 b2

Fatoração Fatoração é o processo de decomposição de uma expressão algébrica como produto de outras expressões algébricas. Por exemplo, aplicando a propriedade distributiva, podemos escrever 3x2 x x(3x 1) O primeiro passo ao se fatorar uma expressão algébrica é verificar se ela contém termos em comum. Se contiver, então o maior termo comum é colocado em evidência. Por exemplo, o fator comum da expressão algébrica 2a2x 4ax 6a é 2a, porque 2a2x 4ax 6a 2a ax 2a 2x 2a 3 2a(ax 2x 3)

Exemplo 3

Coloque em evidência o maior fator comum em cada uma das seguintes expressões:

a. 0,3t 2 3t

b. 2x3/2 3x1/2 1 d. 4x(x 1)1/2 2x2 (x 1) 1/2 2

! @

c. 2ye xy 2xy3exy

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Matemática Aplicada a Administração e Economia

Solução a. 0,3t 2 3t 0,3t(t 10) b. 2x3/2 3x1/2 x1/2(2x 3) 2 2 2 c. 2ye xy 2xy3e xy 2yexy (1 xy2) 1 d. 4x(x 1)1/2 2x2 ! @(x 1) 1/2 4x(x 1)1/2 x2(x 1) 1/2 2

x(x 1) 1/2[4(x 1)1/2(x 1)1/2 x]

x(x 1) 1/2[4(x 1) x]

x(x 1) 1/2(4x 4 x) x(x 1) 1/2(3x 4) Aqui foi selecionado (x 1) 1/2 como fator comum, porque está “contido” em cada termo algébrico. Em particular, observe que (x 1) 1/2(x 1)1/2(x 1)1/2 (x 1) 1/2 1/2 1/2 (x 1)1/2 Às vezes, uma expressão algébrica pode ser fatorada reagrupando-se e reordenando-se seus termos e só então colocando-se um termo comum em evidência. Essa técnica é ilustrada no Exemplo 4. Exemplo 4

Fatore:

a. 2ax 2ay bx by

b. 3xœy 4 2œy 6x

Solução a. Primeiro, coloque em evidência o fator comum 2a dos primeiros dois termos e o fator comum b dos últimos dois termos. Assim, 2ax 2ay bx by 2a(x y) b(x y) Como (x y) é comum a ambos os termos do polinômio, podemos colocá-lo em evidência. Portanto, 2a(x y) b(x y) (2a b)(x y) b. 3xœy 4 2œy 6x 3xœy 2œy 6x 4

œy (3x 2) 2(3x 2)

(3x 2)(œy 2)

Rearranje os termos. Ponha em evidência termos comuns.

Como visto, o primeiro passo ao se fatorar um polinômio é encontrar seus fatores comuns. O passo seguinte é expressar o polinômio como o produto de uma constante por um ou mais polinômios primos. Algumas fórmulas úteis na fatoração de binômios e trinômios estão listadas na Tabela 6. TABELA 6

Fórmulas de Produto Usadas na Fatoração Fórmula Diferença de dois quadrados x2 y2 (x y)(x y)

Trinômio quadrado perfeito x2 2xy y2 (x y)2 x2 2xy y2 (x y)2 Soma de dois cubos x3 y3 (x y)(x2 xy y2) Diferença de dois cubos x3 y3 (x y)(x2 xy y2)

Exemplo

x2 36 (x 6)(x 6) 8x2 2y2 2(4x2 y2)

2(2x y)(2x y) 9 a6 (3 a3)(3 a3) x2 8x 16 (x 4)2 4x2 4xy y2 (2x y)2 z3 27 z3 (3)3

(z 3)(z2 3z 9) 8x3 y6 (2x)3 (y2)3

(2x y2)(4x2 2xy2 y4)

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Capítulo 1 – Preliminares

Os fatores do polinômio de segundo grau com coeficientes inteiros px 2 qx r são (ax b)(cx d), onde ac p, ad bc q, e bd r. Como apenas um número limitado de escolhas é possível, usamos um método de tentativa e erro para fatorar polinômios que possuem essa forma. Por exemplo, para fatorarmos x2 2x 3, observamos primeiro que os únicos termos de primeiro grau possíveis são (x

)(x

Já que o coeficiente de x2 é 1

)

Observamos, então, que o produto dos termos constantes é (–3). Isso nos dá essas fatorações: (x 1)(x 3) (x 1)(x 3) Olhando novamente para o polinômio x2 2x 3, vemos que o coeficiente de x é 2. Verificando qual das duas fatorações fornece –2 como coeficiente de x, vemos que Coeficientes dos termos internos Coeficientes dos termos externos

( 1)(1) (1)(3) 2

Coeficientes dos termos internos Coeficientes dos termos externos

(1)(1) (1)( 3) 2

Fatores Termos externos (x 1)(x 3) Termos internos Termos externos (x 1)(x 3) Termos internos

e conclui-se que a fatoração correta é x2 2x 3 (x 1)(x 3) Com a prática, você poderá efetuar muitas dessas fatorações mentalmente, e a necessidade de escrever cada passo será eliminada.

Exemplo 5

Fatore:

a. 3x2 4x 4

b. 3x2 6x 24

Solução a. Usando tentativa e erro, deduz-se que a fatoração correta seja 3x2 4x 4 (3x 2)(x 2) b. Visto que todos os termos possuem o fator comum 3, tem-se 3x2 6x 24 3(x2 2x 8) Utilizando o método de fatoração de tentativa e erro, encontra-se que x2 2x 8 (x 4)(x 2) Portanto, 3x2 6x 24 3(x 4)(x 2)

Raízes de Equações Polinomiais Uma equação polinomial de grau n na variável x é uma equação da forma an x n an 1x n 1 a0 0

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onde n é um inteiro não-negativo e a0, a1, . . . , an são números reais com an 0. Por exemplo, a equação 2x 5 8x 3 6x 2 3x 1 0 é uma equação polinomial de grau 5 em x. As raízes de uma equação polinomial são precisamente os valores de x que satisfazem a referida equação.* Uma maneira de encontrar as raízes de uma equação polinomial é primeiro fatorar o polinômio e então resolver a equação resultante. Por exemplo, a equação polinomial x 3 3x 2 2x 0 pode ser reescrita na forma x(x2 3x 2) 0

x(x 1)(x 2) 0

Como o produto de dois números reais só pode ser zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero, tem-se x 0

x 1 0

x 2 0

e assim vemos que as raízes desejadas são x 0, 1 e 2.

A Fórmula Quadrática Em geral, encontrar as raízes de uma equação polinomial é um problema difícil. Mas as raízes de uma equação quadrática (uma equação polinomial de grau 2) podem ser facilmente encontradas quer por fatoração, quer pela utilização da seguinte fórmula quadrática. FÓRMULA QUADRÁTICA

As soluções da equação ax 2 bx c 0 (a 0) são dadas por 2 b œb 4 ac x 2a

Observação Caso você utilize a fórmula quadrática para resolver uma equação quadrática, lembre-se de verificar que a equação encontra-se na forma canônica ax 2 bx c 0. Exemplo 6

Resolva as seguintes equações quadráticas:

a. 2x2 5x 12 0

b. x2 3x 8

Solução a. A equação está na forma padrão, com a 2, b 5, e c 12. Usando a fórmula quadrática, obtém-se 2 2) 5 œ 52 4(2)( 1 b œb 4 ac x 2(2) 2a

5 œ121 5 11

4 4 3

4 ou 2 Essa equação também pode ser resolvida por fatoração. De fato, 2x 2 5x 12 (2x 3)(x 4) 0 3 do que segue que as raízes procuradas são x 2 ou x 4, como obtido anteriormente.

* Neste livro estaremos interessados apenas nas raízes reais de uma equação.

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Capítulo 1 – Preliminares

b. Primeiro reescrevemos a equação dada na forma padrão x 2 3x 8 0, a partir da qual se pode ver que a

1, b 3, e c 8. Utilizando a fórmula quadrática, tem-se 2 ) 3 œ 32 4(1)( 8 b œb 4 ac x 2(1) 2a

3 œ41

2 Ou seja, as soluções são 3 œ41 1,7 2

3 œ41 e 4,7 2

Nesse caso, a fórmula quadrática mostra-se bastante útil!

Expressões Racionais Quocientes de polinômios são chamados expressões racionais. Exemplos de expressões racionais são 6x 1 3x2y3 2xy 2 2x 3 4x 5ab Como as expressões racionais são quocientes nos quais as variáveis representam números reais, as propriedades dos números reais se aplicam também às expressões racionais, e operações com frações racionais são efetuadas da mesma maneira que operações com frações aritméticas. Por exemplo, utilizando as propriedades dos números reais, pode-se escrever ac a c a a 1 bc b c b b onde a, b e c são números reais quaisquer e b e c são não-nulos. Analogamente, utilizando as mesmas propriedades dos números reais, podemos escrever (x 2)(x 3) x 2 (x 2)(x 3) x 2

(x 2, 3)

após “cancelar” os fatores comuns. Um exemplo de cancelamento incorreto é: 3 4x 1 4x 3 visto que 3 não é um fator do numerador. Em vez disso, deve-se escrever: 3 4x 3 4x 4x 1 3 3 3 3 Dize-se que uma expressão racional está simplificada, ou na forma reduzida, quando o numerador e o denominador não possuem fatores comuns, além de 1 e –1 e a expressão não contém expoentes negativos.

Exemplo 7

Simplifique as seguintes expressões:

x 2 2x 3 a. x2 4x 3

[(t 2 4)(2t 4) (t 2 4t 4)(2t)] (t 2 4)2

Solução x2 2x 3 (x 3)(x 1) x 1 a. 2 x 4x 3 (x 3)(x 1) x 1

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MatemĂĄtica Aplicada a AdministraĂ§ĂŁo e Economia

[(t 2 4)(2t 4) (t 2 4t 4)(2t)] (t 2 4)2

2t 3 4t 2 8t 16 2t 3 8t 2 8t (t 2 4)2

4t 2 16

(t 2 4)2 4(t 2 4)

(t 2 4)2

Efetue as multiplicaĂ§Ăľes indicadas. Some os termos semelhantes. Fatore.

As operaĂ§Ăľes de multiplicaĂ§ĂŁo e divisĂŁo com fraĂ§Ăľes algĂŠbricas sĂŁo efetuadas da mesma maneira que as operaĂ§Ăľes correspondentes com fraĂ§Ăľes aritmĂŠticas (Tabela 7).

TABELA 7

Regras de MultiplicaĂ§ĂŁo e DivisĂŁo: FraĂ§Ăľes AlgĂŠbricas OperaĂ§ĂŁo

Exemplo

Se P, Q, R e S sĂŁo polinĂ´mios, entĂŁo MultiplicaĂ§ĂŁo P R PR Q S QS

2x (x 1) 2x(x 1) 2x2 2x y (y 1) y(y 1) y2 y

(Q, S 0)

DivisĂŁo R P P S PS S Q Q R QR

(Q, R, S 0)

x2 3 y2 1 x2 3 x3 3x x 2 y x y y3 y y 1

Quando expressĂľes racionais sĂŁo multiplicadas e divididas, as expressĂľes resultantes devem ser simplificadas. Exemplo 8

Efetue as operaĂ§Ăľes indicadas e simplifique: 2x 8 x2 4x 4 x 2 x2 16

SoluĂ§ĂŁo (x 2)2 2x 8 x2 4x 4 2(x 4) 2 x 16 (x 4)(x 4) x 2 x 2 2(x 4)(x 2)(x 2)

(x 2)(x 4)(x 4) 2(x 2)

x 4

Cancele os fatores comuns (x 2)(x 4).

No caso de expressĂľes racionais, as operaĂ§Ăľes de adiĂ§ĂŁo e subtraĂ§ĂŁo sĂŁo efetuadas reduzindo-se as fraĂ§Ăľes a um denominador comum e entĂŁo adicionando-as ou subtraindo-as, conforme o caso. A Tabela 8 apresenta as regras para fraĂ§Ăľes com o mesmo denominador.

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Capítulo 1 – Preliminares

TABELA 8

Regras de Adição e Subtração: Frações com Denominadores Iguais Operação Exemplo Se P, Q e R são polinômios, então Adição P Q P Q R R R Subtração P Q P Q R R R

(R 0)

2x 6x 2x 6x 8x x 2 x 2 x 2 x 2

(R 0)

3y y 3y y 2y y x y x y x y x

Para adicionar ou subtrair frações que tenham denominadores diferentes, primeiro encontre um denominador comum, de preferência o mínimo denominador comum (MDC). Efetue, então, as operações indicadas seguindo o procedimento descrito na Tabela 8. Para encontrar o mínimo denominador comum (MDC) de duas ou mais expressões racionais: 1. Encontre os fatores primos de cada denominador. 2. Forme o produto dos diferentes fatores primos que ocorrem nos denominadores. Cada fator primo nesse produto deve ser elevado à potência mais alta com que aquele fator aparece nos denominadores. x x x 2 y 2 y

Exemplo 9

Simplifique:

2x 6(3x2) a. 2 x 1 x3 2

1 1 b. x x h

Solução 2x(x3 2) 6(3x 2)(x 2 1) 2x 6(3x2) a.

(x 2 1)(x 3 2) x2 1 x3 2

MDC (x 2 1)(x 3 2)

2x 4 4x 18x 4 18x2

(x2 1)(x3 2)

Multiplique os termos.

20x 4 18x 2 4x

(x2 1)(x 3 2)

Adicione termos semelhantes.

2x(10x3 9x 2)

(x2 1)(x3 2)

Fatore.

1 x (x h) 1 b. x x(x h) x h

MDC x (x h)

x x h

x(x h)

Retire os parênteses.

x(x h)

Adicione termos semelhantes.

Outras Frações Algébricas As técnicas usadas para simplificar expressões racionais podem também ser usadas para simplificar frações algébricas nas quais o numerador e o denominador não são polinômios, como ilustrado no Exemplo 10.

Apresenta um texto de fácil compreensão para estudantes e professores universitários, tornando-se um excelente material para utilização em sala de aula.

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