Mecânica dos fluidos – Tradução da 4ª edição norte-americana by Cengage Brasil

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Livro destinado à disciplina mecânica dos fluidos nos cursos de Engenharia e de Física. Utilizado nas áreas de Hidráulica, Hidrologia, Saneamento, Recursos Hídricos, Termodinâmica de Fluidos Compressíveis, Dinâmica dos Fluidos Computacional, Drenagem e Irrigação, entre outras.

Mecânica dos fluidos

Aplicações:

Merle C. Potter • David C. Wiggert • Bassem H. Ramadan

visão detalhada da mecânica dos fluidos apresentada neste livro possibilita ao aluno de graduação entender os conceitos físicos, bem como analisar muitos dos fenômenos importantes enfrentados no dia a dia. Os autores utilizam soluções de equações diferenciais e álgebra vetorial e, em menor escala, cálculo vetorial. Exemplos ilustram cada conceito importante. O aluno terá amplas oportunidades de aprendizado ao resolver problemas com vários níveis de dificuldade. Nesta edição, foram adicionados muitos exemplos e problemas, dos quais, a maioria, com aplicações na vida real.

Outras Obras

Mecânica dos fluidos Tradução da 4ª edição norte-americana

Merle C. Potter • David C. Wiggert • Bassem H. Ramadan 9 788522 115686

Mecânica dos materiais Tradução da 7ª edição norte-Americana James M. Gere e Barry J. Goodno Introdução à hidráulica, hidrologia e gestão de águas pluviais Tradução da 3ª edição norte-americana John E. Gribbin Vibrações mecânicas Tradução da 2ª edição norte-americana Balakumar Balachandran e Edward B. Magrab

ISBN-13: 978-85-221-1568-6 ISBN-10: 85-221-1568-0

Para suas soluções de curso e aprendizado, visite www.cengage.com.br

Energia e meio ambiente Tradução da 5ª edição norte-americana Roger A. Hinrichs, Merlin Kleinbach e Lineu Belico dos Reis

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Mecânica dos Fluidos Tradução da 4a edição norte-americana Merle C. Potter Michigan State University

David C. Wiggert Michigan State University

Bassem H. Ramadan Kettering University com

Tom I-P. Shih Purdue University Edição SI preparada por:

Shaligram Tiwari Indian Institute of Technology Madras

Tradução EZ2translate

Revisor Técnico José Gustavo Coelho Doutor em Ciências Mecânicas pelo Departamento de Engenharia Mecânica da Universidade de Brasília

Austrália • Brasil • Japão • Coreia • México • Cingapura • Espanha • Reino Unido • Estados Unidos

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Sumário CAPÍTULO 1 CONSIDERAÇÕES BÁSICAS 3 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Introdução 4 Dimensões, Unidades e Quantidades Físicas 4 Visão de Gases e Líquidos como um Contínuo 8 Escalas de Pressão e Temperatura 10 Propriedades dos Fluidos 12 Leis de Conservação 21 Propriedades e Relações Termodinâmicas 21 Resumo 26 Problemas 27

CAPÍTULO 2 ESTÁTICA DO FLUIDO 35 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Introdução 36 Pressão em um Ponto 36 Variação da Pressão 37 Fluidos em Repouso 38 Recipientes Linearmente Acelerados 59 Recipientes Rotativos 61 Resumo 63 Problemas 64

CAPÍTULO 3 INTRODUÇÃO AOS FLUIDOS EM MOVIMENTO 77 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Introdução 78 Descrição do Movimento dos Fluidos 78 Classificação de Escoamentos dos Fluidos 87 A Equação de Bernoulli 94 Resumo 101 Problemas 102

CAPÍTULO 4 AS FORMAS INTEGRAIS DAS LEIS FUNDAMENTAIS 113 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Introdução 114 As Três Leis Básicas 114 Transformação Sistema-para-Volume de Controle 117 Conservação de Massa 121 Equação de Energia 127 Equação da Quantidade de Movimento 139 Equação do Momento da Quantidade de Movimento 154 Resumo 157 Problemas 159

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CAPÍTULO 5 AS FORMAS DIFERENCIAIS DAS LEIS FUNDAMENTAIS 179 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5

Introdução 180 Equação Diferencial da Continuidade 181 Equação Diferencial da Quantidade de Movimento 185 Equação Diferencial da Energia 196 Resumo 201 Problemas 204

CAPÍTULO 6 ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA 211 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Introdução 212 Análise Dimensional 213 Semelhança 222 Equações Diferenciais Normalizadas 230 Resumo 233 Problemas 234

CAPÍTULO 7 ESCOAMENTOS INTERNOS 243 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8

Introdução 244 Escoamento de Entrada e Escoamento Totalmente Desenvolvido 244 Escoamento Laminar em um Tubo 246 Escoamento Laminar entre Placas Paralelas 252 Escoamento Laminar entre Cilindros em Rotação 258 Escoamento Turbulento em um Tubo 262 Escoamento Turbulento Uniforme em Canais Abertos 289 Resumo 293 Problemas 294

CAPÍTULO 8 ESCOAMENTOS EXTERNOS 309 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

Introdução 310 Separação 313 Escoamento em torno de Corpos Imersos 315 Sustentação e Arrasto em Aerofólios 328 Teoria do Escoamento Potencial 332 Teoria da Camada-Limite 343 Resumo 364 Problemas 365

CAPÍTULO 9 ESCOAMENTO COMPRESSÍVEL 379 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8

Introdução 380 Velocidade do Som e o Número de Mach 381 Escoamento Isentrópico Através de Bocais 385 Onda de Choque Normal 394 Ondas de Choque em Bocais Convergentes-Divergentes 400 Escoamento de Vapor através de um Bocal 404 Onda de Choque Oblíqua 406 Ondas de Expansão Isentrópicas 410

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Sumário

9.9

Resumo 413 Problemas 415

CAPÍTULO 10 ESCOAMENTOS EM CANAIS ABERTOS 423 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8

Introdução 424 Escoamentos em Canais Abertos 425 Escoamento Uniforme 427 Conceitos de Energia 432 Conceitos de Quantidade de Movimento 444 Escoamento Gradualmente Variado Não Uniforme 454 Análise Numérica dos Perfis da Superfície da Água 462 Resumo 470 Problemas 471

CAPÍTULO 11 ESCOAMENTOS EM SISTEMAS DE TUBULAÇÃO 485 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6

Introdução 486 Perdas em Sistemas de Tubulação 486 Sistemas de Tubulação Simples 491 Análise de Redes de Tubulação 500 Escoamento Não Permanente em Sistemas de Tubulação 512 Resumo 520 Problemas 521

CAPÍTULO 12 TURBOMÁQUINAS 535 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6

Introdução 536 Turbobombas 536 Análise Dimensional e Semelhança para Turbomáquinas 551 Utilização de Turbobombas em Sistemas de Tubulação 559 Turbinas 564 Resumo 577 Problemas 578

CAPÍTULO 13 MEDIDAS EM MECÂNICA DOS FLUIDOS 585 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6

Introdução 586 Medida de Parâmetros de Escoamento Local 586 Medida de Vazão 593 Visualização do Escoamento 601 Aquisição de Dados e Análise 609 Resumo 619 Problemas 620

CAPÍTULO 14 DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL 623 14.1 14.2 14.3 14.4

Introdução 624 Exemplos dos Métodos Simples de Diferenças Finitas 625 Estabilidade, Convergência e Erro 635 Solução do Escoamento de Couette 641

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14.5 Solução do Escoamento Potencial de Regime Permanente Bidimensional 644 14.6 Resumo 649 Referências 651 Problemas 651

APÊNDICES 655 A. B. C. D. E. F.

Unidades, Conversões e Relações de Vetoriais 655 Propriedades dos Fluidos 657 Propriedades de Áreas e Volumes 661 Tabelas de Escoamento Compressível para o Ar 662 Soluções Numéricas para o Capítulo 10 670 Soluções Numéricas para o Capítulo 11 677

BIBLIOGRAFIA 692 Referências 692 Interesse Geral 693

RESPOSTAS PARA OS PROBLEMAS SELECIONADOS 694 ÍNDICE REMISSIVO 702

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Prefácio para a Edição SI Esta edição de Mecânica dos Fluidos foi adaptada para incorporar o Sistema Internacional de Unidades (Le Système International d’Unités ou SI) por todo o livro.

Le Système International d’Unités O Sistema de Unidades Usuais dos Estados Unidos (USCS – United States Customary System) usa unidades FPS (pés por segundo) (também chamadas de unidades inglesas ou imperiais). As unidades SI são principalmente as unidades do sistema MKS (metro-quilograma-segundo). No entanto, as unidades CGS (centímetro-grama-segundo) são mais aceitas como unidades SI, sobretudo em livros didáticos.

Utilizando as Unidades SI Neste Livro Neste livro, usamos tanto as unidades MKS quanto as CGS. As unidades USCS ou FPS usadas na edição norte-americana do livro foram convertidas para unidades SI em todos os textos e problemas. Contudo, no caso de dados tirados de guias, normas governamentais e manuais de produtos, não só é extremamente difícil converter todos os valores para SI, como também prejudica a propriedade intelectual da fonte. Alguns dados em figuras, tabelas e referências, portanto, permanecem em unidades FPS. Para os leitores que não estão familiarizados com a relação entre os sistemas FPS e SI, uma tabela de conversão está disponível nas páginas finais do livro. Para resolver problemas que exigem o uso de dados tirados de fontes, os valores tirados de fontes podem ser convertidos de unidades FPS para unidades SI logo antes de serem usados no cálculo. Para obter quantidades padronizadas e dados dos fabricantes em unidades SI, os leitores podem entrar em contato com as agências governamentais apropriadas ou autoridades em seus países/regiões. Os Editores

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Prefácio A motivação para escrever um livro é difícil de descrever. Frequentemente, os autores sugerem que os outros textos sobre o tema têm certas deficiências que eles irão corrigir, como uma descrição precisa dos fluxos de entrada e dos fluxos em torno de objetos contundentes, a diferença entre um fluxo unidimensional e um fluxo uniforme, a apresentação adequada da derivação do volume de controle ou uma definição do fluxo laminar que faz sentido. Novos autores certamente introduzem outras deficiências que os futuros autores esperam corrigir! E a vida segue. Este é outro livro sobre fluidos que foi escrito na esperança de apresentar uma visão aprimorada da mecânica dos fluidos, de modo que o aluno possa compreender os conceitos físicos e acompanhar a matemática. Essa não é uma tarefa fácil: A mecânica dos fluidos é um assunto que contém muitos fenômenos difíceis de compreender. Por exemplo, como você explicaria um buraco feito na areia pela água na entrada de um pilar? Ou a alta concentração de névoa com poluição contida na área de Los Angeles (ela não existe no mesmo nível que em Nova York)? Ou o vento forte inesperado na esquina de um prédio alto em Chicago? Ou a vibração e o colapso subsequente de uma grande ponte de concreto e aço em função do vento? Ou vórtices de esteira observados de uma grande aeronave? Tentamos apresentar a mecânica dos fluidos para que o aluno possa entender e analisar muitos dos fenômenos importantes encontrados pelo engenheiro. O nível matemático deste livro é fundamentado nos cursos matemáticos anteriores exigidos em todos os currículos de engenharia. Usamos soluções para equações diferenciais e álgebra vetorial. Parte do uso é feita do cálculo vetorial com o uso do operador de gradiente, mas isso é mantido em um nível mínimo, já que tende a obscurecer a física envolvida. Muitos textos populares na mecânica dos fluidos não apresentaram fluxos como campos. Isto é, eles apresentaram principalmente aqueles fluxos que podem ser aproximados como fluxos unidimensionais e trataram outros fluxos utilizando dados experimentais. Devemos reconhecer que quando um fluido flui em torno de um objeto, como um edifício ou um pilar, sua velocidade possui todos os três componentes que dependem de todas as três variáveis de espaço e, muitas vezes, tempo. Se apresentarmos as equações que descrevem tal fluxo geral, elas são referidas como equações de campo, e os campos de velocidade e pressão tornam-se de interesse. Isso é bastante análogo aos campos magnéticos na engenharia elétrica. Para que os problemas difíceis no futuro, como a poluição ambiental em grande escala, sejam analisados por engenheiros, é fundamental que compreendamos os campos de fluidos. Portanto, no Capítulo 5 apresentamos as equações de campo e discutimos diversas soluções para algumas geometrias relativamente simples. A maneira mais convencional de tratar os fluxos individualmente é feita como uma rota alternativa para aqueles que desejam essa abordagem mais padrão. Então, as equações de campo podem ser incluídas em um curso subsequente. Talvez uma listagem de acréscimos feitos nessa quarta edição seria interessante. Nós: • Adicionamos muitos exemplos e problemas, a maioria dos quais como aplicações na vida real. • Colocamos todos os problemas de múltipla escolha à frente dos grupos de problemas. Eles podem ser usados para revisar o tema da mecânica dos fluidos para os princípios básicos da engenharia. • Excluímos o capítulo sobre mecânica dos fluidos ambiental na tentativa de encurtar o livro. • Simplificamos o capítulo sobre mecânica dos fluidos computacional. • Fizemos inúmeras mudanças para esclarecer a apresentação. O material introdutório incluso nos capítulos 1 ao 9 foi selecionado com cuidado para apresentar aos alunos todas as áreas fundamentais da mecânica dos fluidos. Nem todos os materiais em cada capítulo precisam ser cobertos em um curso introdutório. O instrutor pode adaptar o material para um esboço selecionado do curso. Algumas seções no final do capítulo podem ser omitidas sem perda de continuidade nos últimos capítulos. Na verdade, o Capítulo 5 pode ser omitido em sua totalidade, se for decidido excluir as equações de campo no curso introdutório, uma decisão relativamente comum. Esse capítulo pode ser incluído em um curso de mecânica dos fluidos intermediário. Após o material introdutório ter sido apresentado, há material suficiente para apresentar em um ou dois cursos adicionais. Esse curso adicional (ou cursos) inclui o material que foi omitido no curso introdutório e as combinações do material dos capítulos mais especializados, do 9 ao 14. Boa parte do material é de interesse para todos os engenheiros, embora muitos dos capítulos sejam de interesse apenas para determinadas disciplinas.

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Incluímos exemplos de trabalhos em detalhes para ilustrar cada conceito importante apresentado no material do livro. Inúmeros problemas para casa, muitos tendo múltiplas partes para melhores atribuições de um dever de casa, dão ao aluno uma ampla oportunidade de ganhar experiência resolvendo problemas de vários níveis de dificuldade. As respostas para os problemas selecionados são apresentadas logo antes do Índice remissivo. Também incluímos problemas do tipo projeto em vários dos capítulos. Após estudar o material, revisar os exemplos e trabalhar em diversos dos problemas para casa, os alunos devem obter a capacidade necessária para trabalhar em muitos dos problemas encontrados em situações reais de engenharia. Naturalmente, há inúmeras classes de problemas que são extremamente difíceis de resolver, mesmo para um engenheiro experiente. Para resolver esses problemas mais difíceis, o engenheiro deve obter informações mais consideráveis que estão incluídas no texto introdutório. Há, no entanto, muitos problemas que podem ser resolvidos com sucesso usando o material e os conceitos apresentados no livro. Os autores têm bastante apreço por seus antigos professores e seus colegas atuais. O Capítulo 10 foi escrito com inspiração do livro de F. M. Henderson, intitulado Open Channel Flow (1996), e D. Wood, da University of Kentucky, nos encorajou a incorporar um material abrangente sobre análise da rede de tubulação no Capítulo 11. Muitas ilustrações no Capítulo 11, com relação ao fenômeno do martelo d’água, foram feitas por C. S. Martin, do Georgia Institute of Technology. R. D. Thorley forneceu alguns dos problemas no final do Capítulo 12. Tom Shih auxiliou no desenvolvimento do Capítulo 14, sobre dinâmica do fluido computacional. Obrigado a Richard Prevost por escrever as soluções Matlab®. Também gostaríamos de agradecer aos nossos revisores: Sajjed Ahmed, University of Nevada; Mohamed Alawardy, Louisiana State University; John R. Biddle, California State Polytechnic University; Nancy Ma, North Carolina State University; Saeed Moaveni, Minnesota State University; Nikos J. Mourtos, San Jose (CA) State University; Julia Muccino, Arizona State University; Emmanuel U. Nzewi, North Carolina A&T State University; e Yiannis Ventikos, Swiss Federal Institute of Technology. Merle C. Potter David C. Wiggert Bassem H. Ramadan

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Nomenclatura Para rápida referência. A – área A2, A3 – tipo de perfil a – aceleração, velocidade de uma onda de pressão a – vetor aceleração ax, ay, az – componentes de aceleração B – módulo de compressibilidade de elasticidade, largura da superfície livre b – largura do fundo do canal C – centroide, coeficiente de Chezy, coeficiente de Hazen-Williams C1, C3 – tipo de perfil CD – coeficiente de arrasto Cd – coeficiente de descarga Cf – coeficiente de atrito da pele CH – coeficiente de carga CL – coeficiente de sustentação CP – fator de recuperação de pressão, coeficiente de pressão CNPSH – coeficiente de carga de sucção positiva total CQ – coeficiente de taxa de fluxo CV – coeficiente de velocidade CW – coeficiente de potência c – calor específico, velocidade do som, comprimento da corda, celeridade cf – coeficiente local de atrito da pele cp – calor específico com pressão constante cv – calor específico com volume constante D – diâmetro D – derivada substancial Dt d – diâmetro dx – distância diferencial du – ângulo diferencial E – energia, energia específica, coeficiente Ec – energia crítica EGL – linha piezométrica de energia Eu – número de Euler e – o exponencial e, energia específica, altura da rugosidade da parede, espessura da parede do cano exp – o exponencial e F – vetor força F – força FB – força de empuxo FH – componente de força horizontal FV – componente de força vertical FW – força corporal igual ao peso f – fator de atrito, frequência G – centro de gravidade

––– GM – altura metacêntrica g – vetor gravidade g – gravidade H – entalpia, altura, energia total H2, H3 – tipo de perfil HD – carga do projeto HP – carga da bomba HT – carga da turbina HGL – linha piezométrica hidráulica h – distância, altura, entalpia específica hj – perda de carga por meio de um salto hidráulico I – segundo momento de uma área – I – segundo momento em relação ao eixo centroidal Ixy – produto de inércia î – vetor unitário na direção x jˆ – vetor unitário na direção y ˆ – vetor unitário na direção z k K – condutividade termal, coeficiente de fluxo Kc – coeficiente de contração Ke – coeficiente de expansão Kuv – coeficiente de correlação k – razão de calores específicos L – comprimento LE – comprimento de entrada Le – coeficiente equivalente L – comprimento Lm – comprimento misto M – massa molar, número de Mach, função de momento M – número de Mach M1, M2, M3 – tipo de perfil m – massa, declive da parede lateral, constante para ajuste da curva m˙ – fluxo de massa m˙ r – fluxo de massa relativo ma – massa adicionada m1, m2 – declives da parede lateral mo˙m – fluxo de quantidade de movimento N – propriedade extensiva geral, um inteiro, número de jatos NPSH – carga de sucção positiva total n – direção normal, número de mols, expoente da lei da potência, número de Manning nˆ – vetor normal unitário P – potência, força, perímetro molhado p – pressão Q – taxa de fluxo (descarga), transferência de calor QD – descarga de projeto Q˙ – taxa de transferência de calor q – intensidade da fonte, descarga específica, fluxo de calor

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R – raio, constante do gás, raio hidráulico, raio de curvatura Re – número de Reynolds Recrít – número de Reynolds crítico Ru – constante universal do gás Rx, Ry – componentes de força r – raio, variável da coordenada r – vetor posição S – gravidade específica, entropia, distância, declive do canal, declive da EGL S1, S2, S3 – tipo de perfil Sc – declive crítico s.c. – superfície de controle St – número de Strouhal S – vetor posição S0 – declive do fundo do canal s – entropia específica, coordenada da linha de corrente sˆ – vetor unitário tangencial ao sistema da linha de corrente sys – sistema T – temperatura, torque, tensão t – tempo, direção tangencial U – velocidade média U∞ – velocidade de corrente livre afastada de um corpo u – velocidade da componente x, velocidade da lâmina circunferencial u⬘ – perturbação da velocidade u˜ – energia interna específica – – velocidade média do tempo u ut – velocidade de cisalhamento V – velocidade Vc – velocidade crítica Vss – velocidade em estado estacionário V – – vetor velocidade V – velocidade média espacial –– – volume V VB – velocidade da lâmina Vn – componente normal de velocidade Vr – velocidade relativa Vt – velocidade tangencial v – velocidade, velocidade da componente y v⬘ – perturbação da velocidade v.c. – volume de controle vr, vz, vu, vf – componentes de velocidade W – trabalho, peso, variação na linha piezométrica hidráulica W˙ – taxa de trabalho (potência) W˙ f – potência real We – número de Weber W˙ S – trabalho do veio (potência) v – velocidade da componente z, velocidade de um ressalto hidráulico XT – distância em que a transição se inicia x – variável da coordenada

xm – origem do referencial móvel x˜ – distância em relação ao referencial móvel x– – coordenada x do centroide Y – altura da água a montante acima da parte superior da barragem y – variável da coordenada, carga de energia de fluxo yp – distância até o centro de pressão –y – coordenada y do centroide yc – profundidade crítica z – variável da coordenada a – ângulo, ângulo de ataque, gradiente térmico, difusividade térmica, fator de correção de energia cinética, ângulo da lâmina b – ângulo, fator de correção da quantidade de movimento, ângulo do jato fixo, ângulo da lâmina ⌬ – um incremento baixo ⵜ – operador do gradiente ⵜ2 – laplaciano d – espessura da camada-limite d(x) – função do delta de Dirac dd – espessura de deslocamento dv – espessura da camada-limite viscosa e – volume infinetesimal exx, exy, exz – componentes da taxa de deformação f – ângulo, variável da coordenada, função do potencial de velocidade, fator de velocidade ⌫ – circulação, intensidade do vórtice g – peso específico ␩ – uma propriedade intensiva geral, viscosidade turbulenta, eficiência, uma variável de posição ␩P – eficiência da bomba ␩T – eficiência da turbina l – caminho médio livre, uma constante, comprimento da onda m – viscosidade, intensidade duplicada n – viscosidade cinemática p – um termo de pi u – ângulo, espessura da quantidade de movimento, ângulo do feixe de laser r – densidade; massa específica V – velocidade angular VP – velocidade específica de uma bomba VT – velocidade específica de uma turbina V – vetor velocidade angular s – tensão superficial, número de cavitação, tensão circunferencial sxx, syy, szz – componentes de tensão normais t – vetor tensão t– – tensão média no tempo txy, txz, tyz – componentes de tensão de cisalhamento v – velocidade angular, vorticidade v – vetor vorticidade c – função corrente 0 – derivada parcial 0x

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Esquerda: Moinhos de vento modernos são usados para gerar eletricidade em muitas localizações nos Estados Unidos. Estão localizados em áreas onde há vento consistentemente presente. (IRC/Shutterstock) Acima, à direita: Furacão Bonnie, Oceano Atlântico, a cerca de 800 km das Bermudas. Nesse estágio de desenvolvimento, a tempestade tem um centro bem desenvolvido, ou “olho”, onde as correntes de ar são relativamente calmas. O movimento de vórtice ocorre longe do olho. (U.S. National Aeronautics and Space Administration) Abaixo, à direita: O ônibus espacial Discovery deixa o Centro Espacial Kennedy, em 29 de outubro de 1998. Em 6 segundos, o veículo deixou a torre de lançamento com uma velocidade de 160 km/h e, em cerca de dois minutos, estava a uma distância horizontal de 250 km do Centro Espacial, 47 km acima do oceano, com uma velocidade de 6 150 km/h. As asas e o leme na cauda são necessários para o sucesso da reentrada, ao entrar na atmosfera da Terra, após completar sua missão. (U.S. National Aeronautics and Space Administration)

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1 Considerações Básicas Sumário 1.1 Introdução 1.2 Dimensões, Unidades e Quantidades Físicas 1.3 Visão de Gases e Líquidos como um Contínuo 1.4 Escalas de Pressão e Temperatura 1.5 Propriedades dos Fluidos 1.5.1 Massa Específica e Peso Específico 1.5.2 Viscosidade 1.5.3 Compressibilidade 1.5.4 Tensão Superficial 1.5.5 Pressão de Vapor 1.6 Leis de Conservação 1.7 Propriedades e Relações Termodinâmicas 1.7.1 Propriedades de um Gás Ideal 1.7.2 Primeira Lei da Termodinâmica 1.7.3 Outras Quantidades Termodinâmicas 1.8 Resumo

Objetivos do Capítulo Os objetivos deste capítulo são: • Introduzir muitas das quantidades encontradas na mecânica dos fluidos, incluindo suas dimensões e unidades. • Identificar os líquidos a serem considerados neste texto. • Introduzir as propriedades dos fluidos de interesse. • Apresentar as leis da termodinâmica e quantidades associadas.

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1.1 INTRODUÇÃO

CONCEITO-CHAVE Apresentaremos os fundamentos dos fluidos de modo que engenheiros possam entender o papel que o fluido desempenha em aplicações específicas.

A compreensão correta da mecânica dos fluidos é extremamente importante em muitas áreas da engenharia. Na biomecânica, os fluxos de sangue e do fluido cerebral são de particular interesse; na meteorologia e na engenharia oceanográfica, a compreensão do deslocamento dos movimentos do ar e das correntes marítimas requer um conhecimento da mecânica dos fluidos; os engenheiros químicos devem entender mecânica dos fluidos para projetar muitos tipos diferentes de equipamentos de processamento químico; engenheiros aeronáuticos usam seus conhecimentos de fluidos para aumentar a sustentação aerodinâmica e diminuir a resistência em aeronaves e para projetar motores a jato; engenheiros mecânicos projetam bombas, turbinas, motores de combustão interna, compressores a ar, equipamentos de ar-condicionado, equipamentos de controle de poluição e usinas de energia baseados no correto entendimento da mecânica dos fluidos; engenheiros civis também devem usar os resultados obtidos do estudo da mecânica dos fluidos para compreender o transporte de sedimentos nos rios e a erosão, a poluição do ar e da água e para projetar sistemas de tubulações, usinas de tratamento de esgotos, canais de irrigação, sistemas de controle de alagamentos, represas e estádios atléticos cobertos. Não é possível apresentar a mecânica dos fluidos de tal forma que todos os tópicos descritos acima possam ser tratados especificamente; é possível, porém, apresentar os fundamentos da mecânica dos fluidos de forma que os engenheiros possam entender o papel que o fluido desempenha em uma particular aplicação. Esse papel pode envolver o correto dimensionamento de uma bomba (potência e taxa de escoamento) ou o cálculo de uma força que age sobre uma estrutura. Neste livro apresentaremos as equações gerais, tanto integrais quanto diferenciais, que resultam do princípio da conservação de massa, da segunda lei de Newton, e da primeira lei da termodinâmica. A partir desse ponto será considerado certo número particular de situações de especial interesse. Após o estudo deste livro o engenheiro deverá estar apto a aplicar os princípios básicos da mecânica dos fluidos a novas e diferentes situações. Os tópicos apresentados neste capítulo são direta ou indiretamente relevantes a todos os capítulos seguintes. Incluímos uma descrição macroscópica dos fluidos, propriedades dos fluidos, leis físicas que regem a mecânica dos fluidos e um resumo de unidades e dimensões de importantes quantidades físicas. Antes que possamos discutir as quantidades de interesse, devemos apresentar as unidades e dimensões que serão usadas em nosso estudo da mecânica dos fluidos.

1.2 DIMENSÕES, UNIDADES E QUANTIDADES FÍSICAS Antes de iniciarmos estudos mais detalhados da mecânica dos fluidos, vamos discutir as dimensões e unidades que serão usadas em toda a extensão do livro. Quantidades físicas requerem descrições quantitativas quando se resolve um problema de engenharia. A massa específica é uma dessas quantidades físicas. É a medida de uma massa contida em uma unidade de volume. Ela não representa, porém, a dimensão fundamental. Há nove quantidades que são consideradas dimensões fundamentais: comprimento, massa, tempo, temperatura, quantidade de uma substância, corrente elétrica, intensidade luminosa, ângulo plano e ângulo sólido. As dimensões de todas as outras quantidades podem ser expressas em termos das dimensões fundamentais. Por exemplo, a quantidade “força” pode ser relacionada às dimensões fundamentais de massa, comprimento e tempo. Para fazer isso usamos a segunda lei de Newton, batizada em nome de Sir Isaac Newton (1642-1727), expressa, de forma simplificada, em uma única direção, como F ma

(1.2.1)

Usando colchetes para denotar “a dimensão de”, escreve-se dimensionalmente como

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Capítulo 1 – Considerações Básicas

[F ] [m][a]

(1.2.2)

L F M T2

em que F, M, L e T são as dimensões de força, massa, comprimento e tempo, respectivamente. Se a força tivesse sido selecionada como a dimensão fundamental, em vez da massa, uma alternativa comum, a massa teria as dimensões de [F ] [m] [a]

(1.2.3)

FT 2 M L

em que F é a dimensão1 de força. Também existem sistemas em que massa e força são selecionadas como dimensões fundamentais. Em tais sistemas os fatores de conversão, como a constante gravitacional, são necessários; não consideramos esses tipos de sistemas neste livro, de modo que não serão discutidos. Para dar às dimensões de uma quantidade um valor numérico, um conjunto de unidades deve ser selecionado. Nos Estados Unidos, dois sistemas primários de unidades estão sendo usados atualmente, o Sistema Gravitacional Britânico, ao qual nos referiremos como unidades inglesas, e o Sistema Internacional, que é conhecido como unidades SI (Sistema Internacional). As unidades SI são preferidas e usadas internacionalmente; os Estados Unidos são o único país importante que não exige o uso das unidades SI, mas agora há um programa de conversão, na maioria das indústrias, para utilização predominante das unidades SI. Seguindo essa tendência, usaremos predominantemente as unidades SI. As dimensões fundamentais e suas unidades são apresentadas na Tab. 1.1; algumas unidades derivadas apropriadas à mecânica dos fluidos são mostradas na Tab. 1.2. Outras unidades aceitáveis são o hectare (ha), que vale 10 000 m2, usado para grandes áreas; a tonelada métrica (t), que corresponde a 1 000 kg, usada para grandes massas; e o litro (l), que vale 0,001 m3. Também a massa específica é ocasionalmente expressa como grama por litro (g/l). Nos cálculos químicos, o mol é, muitas vezes, uma unidade mais conveniente que o quilograma. Em alguns casos, é também útil na mecânica dos fluidos. Para gases, o quilograma-mol (kg-mol) é a quantidade que preenche o mesmo volume que 32 quilogramas de oxigênio à mesma temperatura e pressão. A massa (em quilogramas) de um gás que preencha aquele volume é igual ao peso molecular do gás; por exemplo, a massa de 1 kg-mol de nitrogênio é 28 quilogramas. Tabela 1.1 Dimensões Fundamentais e Suas Unidades Quantidade

Dimensões

Comprimento ᐉ Massa m Tempo t Corrente elétrica i Temperatura T Quantidade de substância Intensidade luminosa Ângulo plano Ângulo sólido

L M T M

Unidades SI metro quilograma segundo ampère kelvin kg-mol candela radiano esterradiano

m kg s A K kg-mol cd rad sr

Infelizmente, a quantidade força F e a dimensão de força [F] usam o mesmo símbolo.

CONCEITO-CHAVE As unidades SI são preferidas e usadas internacionalmente.

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Mecânica dos Fluidos

CONCEITO-CHAVE Quando usamos unidades SI, se números grandes são escritos (5 dígitos ou mais), a vírgula não é usada. O ponto é substituído por um espaço (por exemplo, 20 000).

Quando expressamos uma quantidade com um valor numérico e uma unidade, foram definidos prefixos de tal forma que o valor numérico pode ser entre 0,1 e 1 000. Esses prefixos são apresentados na Tabela 1.3. Usando a notação científica, porém, substituímos os prefixos por potências de 10 (por exemplo, 2 106 N, em vez de 2 MN). Se números maiores são escritos, o ponto não é usado. Vinte mil seria escrito como 20 000, com um espaço e sem o ponto.2

Tabela 1.2 Unidades Derivadas Quantidade

Dimensões

Área A Volume V

L2 L3

Velocidade V Aceleração a Velocidade angular v Força F

L/T L/T 2 T 1 ML/T 2

Densidade r Peso específico g Frequência f Pressão p

M/L3 M/L2T 2 T 1 M/LT 2

Tensão t

M/LT 2

Tensão superficial s Trabalho W

M/T 2 ML2/T 2

Energia E

ML2/T 2

Taxa de calor Q˙ Torque T Potência P ˙ W

ML2/T 3 ML2/T 2 ML2/T 3

Viscosidade m Fluxo de massa m ˙ Taxa de fluxo Q Calor específico c Condutividade K

M/LT M/T L3/T L2/T 2 ML/T 3

Unidades Sl m2 m3 l (litro) m/s m/s2 rad/s kg m/s2 N (newton) kg/m3 N/m3 s 1 N/m2 Pa (pascal) N/m2 Pa (pascal) N/m N m J (joule) N m J (joule) J/s N m J/s W (watt) N s/m2 kg/s m3/s J/kg K W/m K

Tabela 1.3 Prefixos SI Fator de multiplicação

Prefixo

Símbolos

1012 109 106 103 10 2 10 3 10 6 10 9 10 12

tera giga mega quilo centia mili micro nano pico

T G M k c m n p

Permissível, se usado isoladamente como cm, cm2 ou cm3.

Em muitos países, vírgulas representam pontos decimais, então não são usadas onde poderiam causar confusão.

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Capítulo 1 – Considerações Básicas

A segunda lei de Newton relaciona a força total que age sobre um corpo rígido à sua massa e aceleração. Ela é expressa como F ma

(1.2.4)

CONCEITO-CHAVE A relação N kg m/s 2 é muito usada na conversão de unidades.

Consequentemente, a força necessária para acelerar a massa de 1 quilograma a 1 metro por segundo ao quadrado, na direção da força resultante, é 1 newton. Isso nos permite relacionar as unidades por

N kg m/s2

(1.2.5)

que estão incluídas na Tab. 1.2. Essas relações entre unidades são usadas frequentemente na conversão de unidades. No SI o peso é sempre expresso em newtons, nunca em quilogramas. 3 Para relacionar peso com massa usamos W mg

(1.2.6)

em que g é a gravidade local. O valor padrão para a gravidade é de 9,80665 m/s2 e varia de um mínimo de 9,77 m/s2 no topo do Monte Everest para um máximo de 9,83 m/s2 na fenda mais profunda do oceano. Usaremos sempre um valor nominal de 9,81 m/s2, exceto quando especificado de outra forma. Finalmente, uma nota sobre algarismos significativos. Em cálculos de engenharia, muitas vezes não confiamos em determinado cálculo além de três dígitos significativos, já que a informação dada no problema muitas vezes não é conhecida com mais de três dígitos significativos; na verdade, a viscosidade e outras propriedades do fluido podem nem ser conhecidas com três dígitos significativos. O diâmetro de uma tubulação pode ser declarado como 2 cm; isso, em geral, não seria tão preciso como 2,000 cm implicariam. Se a informação usada na solução de um problema é conhecida com apenas dois dígitos significativos, é incorreto expressar o resultado com mais de dois dígitos significativos. Nos exemplos e problemas apresentados, assumiremos que toda informação dada é conhecida com até três dígitos significativos, e os resultados serão expressos de acordo. Se o numeral 1 começar um número, não é contado nos dígitos significativos, ou seja, o número 1,210 tem três dígitos significativos. Exemplo 1.1 Sobre uma massa de 100 kg agem uma força de 400 N, verticalmente e em sentido ascendente, e uma força de 600 N, em sentido ascendente num ângulo de 45°. Calcule o componente vertical da aceleração. A aceleração local da gravidade é de 9,81 m/s2. Solução A primeira etapa para resolver um problema que envolve forças é desenhar um diagrama de corpo livre com todas as forças em ação, como mostrado na Fig. E1.1. y

600 N

45°

400 N

Fig. E1.1 3

N.R.T.: No sistema inglês, massa é sempre expressa em slugs e nunca em libras.

CONCEITO-CHAVE Consideraremos que toda informação dada é conhecida com até três dígitos significativos.

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Mecânica dos Fluidos

Vetor de tensão: O vetor força dividido pela área. Tensão normal: A componente normal da força dividida pela área. Tensão de cisalhamento: A força tangencial dividida pela área. Líquido: Um estado de matéria no qual as moléculas são relativamente livres para mudarem suas posições em relação a outras, mas restritas por forças coesivas para que mantenham um volume relativamente fixo.5 Gás: Um estado de matéria no qual as moléculas praticamente não sofrem restrição por forças coesivas. Um gás não tem forma nem volume definidos. CONCEITO-CHAVE Os fluidos considerados neste texto são aqueles que se movem sob a ação de uma tensão de cisalhamento, não importando quão pequena possa ser essa tensão.

Em seguida, aplique a segunda lei de Newton (Eq. 1.2.4). Isso relaciona a força total que age sobre uma massa à aceleração e é expresso como: Fy may Usando as componentes adequadas na direção y, com W = mg, temos 400 600 sen 45° 100 9,81 100ay ay 1,567 m/s2 O sinal negativo indica que a aceleração está na direção y negativa, ou seja, em sentido descendente. Observação: usamos apenas três dígitos significativos na resposta, uma vez que a informação dada no problema é, presumidamente, conhecida até três dígitos significativos. (O número 1,567 tem três dígitos significativos. O “1” inicial não é considerado um dígito significativo.)

1.3 VISÃO DE GASES E LÍQUIDOS COMO UM CONTÍNUO As substâncias chamadas fluidos podem ser líquidos ou gases. No nosso estudo de mecânica dos fluidos, restringiremos os líquidos que serão estudados. Antes de expor a restrição, devemos definir tensão de cisalhamento. A força F que age em uma área A pode ser decomposta em uma componente normal Fn e em uma componente tangencial Ft, como mostra a Fig. 1.1. A força dividida pela área na qual ela age é chamada de cisalhamento. O vetor força dividido pela área é o vetor de tensão,4 a componente normal da força dividida pela área é a tensão normal e a força tangencial dividida pela área é a tensão de cisalhamento. Nesta discussão estamos interessados na tensão de cisalhamento t. Matematicamente, ela é definida como Ft t lim A 씮 0 A

(1.3.1)

Nossa restrita família de fluidos pode agora ser identificada; os fluidos considerados neste livro são os líquidos e gases que se movem sob a ação de uma tensão de cisalhamento, não importando o quão pequena seja essa tensão. Isso significa que mesmo uma tensão de cisalhamento muito pequena resulta em movimento do fluido. Gases, obviamente, caem dentro dessa categoria de fluidos, bem como a água e o alcatrão. Algumas substâncias, tais como plásticos e molho de tomate, podem resistir a pequenas tensões de cisalhamento sem se mover; o estudo dessas substâncias é incluído no estudo da reologia, que não está incluso neste livro. Vale a pena considerar o comportamento microscópico de fluidos mais detalhadamente. Considere as moléculas de um gás dentro de um recipiente. Essas moléculas não são estacionárias; movem-se no espaço com velocidades muito altas. Elas colidem entre si e batem nas paredes do recipiente no qual estão confinadas, originando a elevação de pressão exercida pelo gás. Se o volume do recipiente é aumentado enquanto a temperatura é mantida constante, o número de moléculas colidindo em uma determinada área diminui e, como resultado, a pressão diminui. Se a temperatura de um gás em um determinado volume aumenta, ou seja, as velocidades das moléculas aumentam, a pressão aumenta por causa do aumento da atividade molecular. Forças moleculares nos líquidos são relativamente altas, como pode ser visto no exemplo seguinte. A pressão necessária para comprimir 20 gramas de vapor de água a 20 °C em 20 cm3, assumindo que não existam forças moleculares, é aproximadamente 1 340 vezes a pressão atmosférica. É claro que essa pressão não é necessária porque 20 gramas de água ocupam 20 cm3. Conclui-se, então, que as forças coesivas na fase líquida devem ser muito grandes. Apesar das grandes forças de atração no líquido, algumas moléculas na superfície escapam

Uma quantidade definida na margem está em negrito, enquanto uma quantidade não definida na margem está em itálico. 5

Handbook of Chemistry and Physics, 40. ed. Boca Raton, Fla: CRC Press.

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Capítulo 1 – Considerações Básicas

para o espaço acima dela. Se o líquido está confinado em um recipiente, um equilíbrio se estabelece entre as moléculas que entram e as que saem do líquido. A presença de moléculas sobre a superfície do líquido nos leva assim à chamada pressão de vapor. n

ΔF

ΔF n Componentes ΔA

ΔA

ΔF t

Fig. 1.1 Componentes normal e tangencial de uma força. A pressão aumenta com a temperatura. Para a água a 20 °C, a pressão é aproximadamente 0,02 vez a pressão atmosférica. Em nosso estudo de mecânica dos fluidos, é conveniente assumir que gases e líquidos são distribuídos continuamente por uma região de interesse, ou seja, o fluido é tratado como um contínuo. A propriedade primária usada para determinar se a hipótese do contínuo é apropriada é a massa específica r, definida por m r lim v씮0 V

(1.3.2)

em que m é a massa incremental contida no volume incremental V. A densidade para o ar em condições de atmosfera padrão, isto é, sob uma pressão de 101,3 kPa e uma temperatura de 15 °C, é 1,23 kg/m3. Para a água, o valor nominal de densidade é de 1 000 kg/m3. Fisicamente, não podemos fazer V씮0, já que, quando V fica extremamente pequeno, a massa contida em V varia descontinuamente, dependendo do número de moléculas em V; isso é mostrado graficamente na Fig. 1.2. Na realidade, o zero, na definição de massa específica, deveria ser substituído por algum volume pequeno , abaixo do qual a ideia de contínuo falha. Para a maioria das aplicações em engenharia, o volume mostrado na Fig. 1.2 é extremamente pequeno. Por exemplo, há 2,7 1016 moléculas contidas em um milímetro cúbico de ar em condições normais; logo, é muito menor que um milímetro cúbico. Uma forma apropriada de determinar se o modelo contínuo é aceitável é comparar o comprimento característico l do aparelho ou objeto de interesse (por exemplo, o diâmetro de um foguete) com o livre caminho médio l, a distância média que uma molécula viaja antes de colidir com outra molécula; se l >> l, o modelo contínuo é aceitável. O livre caminho médio, obtido da teoria molecular, é m l 0,225 2 rd

Contínuo: Distribuição contínua de um líquido ou gás em toda a região de interesse.

(1.3.3)

em que m é a massa (kg) de uma molécula, r é a massa específica (kg/m3) e d, o diâmetro (m) de uma molécula. Para o ar, m 4,8 10 26 kg e d 3,7 10 10 m. Nas condições de atmosfera padrão, o livre caminho médio é de aproximadamente 6,4 10 6 cm; à altura de 100 km, é de 10 cm; e, a 160 km, é de 5 000 cm. Obviamente, em altitudes maiores, a hipótese de contínuo não é aceitável e deve-se aplicar a teoria da dinâmica de gases rarefeitos (ou de escoamento molecular livre). Satélites são capazes de se manter na órbita do planeta se sua dimensão primária é da mesma ordem de grandeza que o livre caminho médio. Com a hipótese de contínuo, as propriedades de fluido podem ser adotadas e aplicadas uniformemente em todos os pontos da região em qualquer instante particular do tempo. Por exemplo, a massa específica r pode ser definida em todos os pontos do fluido; ela pode variar de ponto a ponto e de instante a instante; isto é, em coordenadas cartesianas, r é uma função contínua de x, y, z e t, escrita como r (x, y, z, t).

Condições de atmosfera padrão: Uma pressão de 101,3 kPa e temperatura de 15 °C.

CONCEITO-CHAVE Para determinar se o modelo contínuo é aceitável, compare o comprimento l com o livre caminho médio.

Livre caminho médio: A distância média de deslocamento de uma molécula antes de colidir com outra molécula.

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Mecânica dos Fluidos

ΔV

Fig. 1.2 Densidade num ponto de um contínuo.

1.4 ESCALAS DE PRESSÃO E TEMPERATURA Na mecânica dos fluidos, a pressão resulta da força compressiva normal que age sobre uma área. A pressão p é definida como (veja Fig. 1.3) F p lim n A씮0 A CONCEITO-CHAVE Em muitas relações termodinâmicas, escalas absolutas devem ser usadas para pressão e temperatura.

Pressão absoluta: Escala de medida de pressões na qual o zero é atingido quando um vácuo ideal é conseguido.

(1.4.1)

em que Fn é a força normal compressiva incremental que age sobre o incremento de área A. A unidade métrica que deverá ser usada para a pressão é o newton por metro quadrado (N/m2) ou pascal (Pa). Como o pascal é uma unidade muito pequena de pressão, é convencional expressar a pressão em quilopascal (kPa). Por exemplo, a pressão atmosférica padrão no nível do mar é 101,3 kPa.6 A pressão atmosférica frequentemente é expressa em milímetros (mm) de mercúrio, como mostrado na Fig. 1.4; tal coluna de fluido produz uma pressão no fundo da coluna, contanto que a coluna seja aberta à pressão atmosférica no topo. A pressão e a temperatura são quantidades físicas que podem ser medidas usando escalas diferentes. Existem escalas absolutas para pressão e temperatura e existem escalas que medem essas quantidades em relação a pontos de referência selecionados. Em muitas relações termodinâmicas (veja Seção 1.7), escalas absolutas devem ser usadas para pressão e temperatura. As figuras 1.4 e 1.5 resumem as escalas utilizadas normalmente. A pressão absoluta chega a zero quando um vácuo ideal é atingido, ou seja, quando não resta mais nenhuma molécula em determinado espaço; consequentemente, uma pressão absoluta negativa é impossível. Uma segunda escala é definida medindo pressões relativas à pressão atmosférica local. Essa pressão é chamada pressão manométrica.7 Uma conversão de pressão manométrica em pressão absoluta pode ser realizada usando ΔF n

Superfície ΔA

Fig. 1.3 Definição de pressão.

N.R.T.: As unidades inglesas para pressão são a libra por polegada quadrada (pri), do inglês pound per square inch, e a libra por pé quadrado (lb/ft2). 7

N.R.T.: Também conhecida como “pressão relativa” e “pressão efetiva”.

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Capítulo 1 – Considerações Básicas

A – Pressão positiva B – Pressão negativa ou vácuo positivo

pA manométrica Atmosfera padrão

Atmosfera local

p manométrica (negativa) B

p absoluta A

101,3 kPa

p = 0 manométrico

760 mm Hg

1,013 bar p absoluta B p = 0 absoluto

Pressão absoluta zero

Fig. 1.4 Pressão manométrica e pressão absoluta.

pabsoluta patmoférica pmanométrica

(1.4.2)

Observe que a pressão atmosférica na Eq. 1.4.2 é a pressão atmosférica local, que pode mudar com o tempo, particularmente quando há “frentes” frias ou quentes. No entanto, se a pressão atmosférica local não for fornecida, usamos o valor dado para uma elevação específica, como fornecido pela Tabela B.3 do Apêndice B, e consideramos elevação zero, caso a elevação seja desconhecida. A pressão manométrica é negativa sempre que a pressão absoluta for menor que a pressão atmosférica; pode, então, ser chamada de vácuo. Neste livro, a palavra “absoluto” geralmente seguirá o valor da pressão, caso a pressão seja dada como uma pressão absoluta (por exemplo, p = 50 kPa absolutos). Se fosse escrita como p = 50 kPa, a pressão seria tomada como uma pressão manométrica, com exceção da pressão atmosférica, que é sempre uma pressão absoluta. O uso de pressão manométrica é mais frequente na mecânica dos fluidos. °C

100°

373

Ponto de fusão

0°

273

Ponto especial

–18°

255

Ponto de evaporação

Temperatura de zero absoluto

Fig. 1.5 Escalas de temperatura. Duas escalas de temperatura são usadas normalmente, as escalas Celsius (C) e Fahrenheit (F). As duas são baseadas nos pontos de fusão e evaporação da água a uma pressão atmosférica de 101,3 kPa. Nesta edição SI, não usaremos a escala Fahrenheit. A Figura 1.5 mostra que os pontos de solidificação e ebulição são 0 e 100 °C na escala Celsius. Há duas escalas de temperatura correspondentes. A escala absoluta correspondente à escala Celsius é a escala kelvin (K). A relação entre essas escalas é K °C 273,15

Pressão manométrica: Escala de medida de pressão relativa à pressão atmosférica local.

(1.4.3)

CONCEITO-CHAVE Sempre que a pressão absoluta for menor que a pressão atmosférica, pode ser chamada de vácuo. Vácuo: Sempre que a pressão absoluta é menor que a pressão atmosférica.

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Mecânica dos Fluidos

A escala absoluta correspondente à escala Fahrenheit é a escala Rankine (°R). A relação entre essas escalas é (1.4.4)

°R °F 459,67 CONCEITO-CHAVE No sistema SI, escrevemos 100 K, que é lido “100 kelvins”.

Observe que, no sistema SI, não escrevemos 100 °K, mas simplesmente 100 K, que é lido “100 kelvins”, similarmente a outras unidades SI. Serão feitas referências constantes às “condições de atmosfera padrão” ou “condições normais de temperatura e pressão”. Isso se refere às condições no nível do mar, a 40° de latitude, que são adotadas como 101,3 kPa para a pressão e 15 °C para a temperatura. Na verdade, a pressão padrão é normalmente adotada como 100 kPa, suficientemente precisa para cálculos de engenharia. Exemplo 1.2 Um manômetro de pressão afixado a um tanque rígido mede um vácuo de 42 kPa dentro do tanque mostrado na Fig. E1.2, que está em um local do Colorado onde a elevação é de 2 000 m. Determine a pressão absoluta dentro do tanque.

–42 kPa

Fig. E1.2 Solução Para determinar a pressão absoluta, deve-se conhecer a pressão atmosférica. Se a elevação não fosse fornecida, admitiríamos uma pressão atmosférica padrão de 100 kPa. No entanto, com a elevação fornecida, a pressão atmosférica é, como observado na Tabela B.3 do Apêndice B, de 79,5 kPa. Logo, p 42 79,5 37,5 kPa absolutos Observação: Um vácuo é sempre uma pressão manométrica negativa. Também é aceitável usar uma pressão atmosférica de 100 kPa, em vez de 101,3 kPa, uma vez que está dentro de 1%, que é a precisão de engenharia aceitável.

1.5 PROPRIEDADES DOS FLUIDOS Nesta seção, apresentamos várias das propriedades dos fluidos mais comuns. Se a variação de densidade ou a transferência de calor são insignificantes, várias propriedades adicionais, não apresentadas aqui, tornam-se importantes. Peso específico: Peso por volume unitário (g rg).

1.5.1 Massa Específica e Peso Específico Definiu-se a massa específica do fluido na Eq. 1.3.2 como massa por volume unitário. Uma propriedade do fluido diretamente relacionada à densidade é o peso específico g ou peso por volume unitário. É definida por

mg W rg V V

(1.5.1)

em que g é a gravidade local. As unidades de peso específico são N/m3. Para a água, usamos o valor nominal de 9 800 N/m3.

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Capítulo 1 – Considerações Básicas

A densidade8 S é frequentemente usada para determinar o peso ou massa específicos de um fluido (normalmente, um líquido). É definida como a razão da massa específica de uma substância em relação à massa específica da água, sob uma temperatura referencial de 4 °C: r g S rá gua gá gua

(1.5.2)

Por exemplo, a densidade do mercúrio é de 13,6, um número adimensional; ou seja, a massa do mercúrio é 13,6 vezes a da água para o mesmo volume. A massa específica, o peso específico e a densidade do ar e da água em condições padrão são dadas na Tabela 1.4. A massa específica e o peso específico da água de fato variam ligeiramente com a temperatura; as relações aproximadas são (T 4)2 rH2O 1 000 180

(1.5.3)

(T 4)2 gH2O 9 800 18

Densidade: A razão da massa específica de uma substância em relação à massa específica da água.

CONCEITO-CHAVE A densidade é normalmente usada para determinar a massa específica de um fluido.

Tabela 1.4 Massa específica, peso específico e densidade do ar e da água em condições padrão Massa específica r 3

Ar Água

Peso específico g

kg/m

N/m3

1,23 1 000

12,1 9 810

Densidade S 0,00123 1

Para o mercúrio, a gravidade específica relaciona-se à temperatura por SHg 13,6 0,0024T

(1.5.4)

A temperatura nas três equações acima é medida em graus Celsius. Para temperaturas abaixo de 50 °C, usando os valores nominais declarados anteriormente para água e mercúrio, o erro é menor que 1%, certamente dentro dos limites de engenharia para a maior parte dos problemas de projeto. Observe que a massa específica da água em 0 °C é de menos de 4 °C; consequentemente, a água mais leve a 0 °C eleva-se até o alto do lago, de modo que é formado gelo na superfície. Para a maioria dos outros líquidos, a massa específica no congelamento é maior que a massa específica logo acima do congelamento.

1.5.2 Viscosidade Pode-se pensar na viscosidade como a aderência interna de um fluido. É uma das propriedades que influenciam a potência necessária para mover um aerofólio pela atmosfera. Ela é responsável pelas perdas de energia associadas ao transporte de fluidos em dutos, canais e tubulações. Além disso, a viscosidade tem um papel primário na geração de turbulência. É desnecessário dizer que a viscosidade é uma propriedade extremamente importante a ser considerada em nossos estudos de escoamento de fluidos. A taxa de deformação de um fluido é diretamente ligada à viscosidade do fluido. Para uma determinada tensão, um fluido altamente viscoso deforma-se numa taxa menor que um fluido 8

N.R.T.: O que é definido em livros de física como “densidade” é aqui definido como “massa específica”. O termo

“densidade” passa a ser uma medida relativa.

Viscosidade: A aderência interna de um fluido.

CONCEITO-CHAVE A viscosidade tem papel primário na geração de turbulência.

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Mecânica dos Fluidos

com baixa viscosidade. Considere o escoamento da Fig. 1.6, no qual as partículas do fluido se movem na direção x com velocidades diferentes, de tal forma que as velocidades das partículas u variam com a coordenada y. Duas posições das partículas são mostradas em tempos diferentes; observe como as partículas se movem relativamente umas às outras. Para tal campo de escoamento simples, no qual u u(y), podemos definir a viscosidade m do fluido pela relação

Taxa de deformação: A taxa pela qual um elemento fluido sofre deformação.

du t m dy

(1.5.5)

na qual t é a tensão de cisalhamento da Eq. 1.3.1 e u é a velocidade na direção x. As unidades de t são N/m2 ou Pa, e as de m são N s/m2. A quantidade du/dy é um gradiente de velocidade e pode ser interpretada como uma taxa de deformação.9 As relações de gradientes de velocidade e tensão, para situações de escoamento mais complicadas, são apresentadas no Capítulo 5. Os conceitos de viscosidade e gradiente de velocidade também podem ser ilustrados considerando um fluido dentro de um pequeno intervalo entre dois cilindros concêntricos, como mostra a Fig. 1.7. y X t=0

t = t1 t = 2t1 t = 3t1

u(y) Partícula 1 Partícula 2

X X

Fig. 1.6 Movimento relativo de duas partículas do fluido na presença de tensões de cisalhamento. L u

(a)

(b)

τ T

Rω u (d) r=R

r=R+h

(c)

Fig. 1.7 Um fluido sendo cisalhado entre cilindros com uma pequena diferença de largura: (a) os dois cilindros; (b) cilindro giratório interno; (c) distribuição de velocidade; (d) o cilindro interno. O cilindro externo é fixo e o cilindro interno é giratório. 9

N.R.T.: Também conhecida como taxa de cisalhamento.

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Capítulo 1 – Considerações Básicas

Um torque é necessário para girar o cilindro interno em velocidade rotacional constante v, enquanto o cilindro externo permanece estacionário. Essa resistência à rotação do cilindro devese à viscosidade. A única tensão que existe para resistir ao torque aplicado a esse escoamento simples é uma tensão de cisalhamento, que é, como foi observado, diretamente dependente do gradiente de velocidade; ou seja, du t m dr

冨冨

(1.5.6)

em que du/dr é o gradiente de velocidade e u é o componente de velocidade tangencial, que depende somente de r. Para um intervalo pequeno (h << R), esse gradiente pode ser aproximado assumindo uma distribuição de velocidade linear10 no intervalo. Logo, du

冨 d r 冨 h

(1.5.7)

em que h é a largura do intervalo. Podemos, então, relacionar o torque aplicado T à viscosidade e a outros parâmetros com a equação T tensão área braço do momento t 2pRL R vR 2pR3vLm m 2pRL R h h

(1.5.8)

em que a tensão de cisalhamento agindo nas extremidades do cilindro é negligenciável; L representa o comprimento do cilindro giratório. Note que o torque depende diretamente da viscosidade; logo, os cilindros podem ser usados como um viscosímetro, um dispositivo que mede a viscosidade de um fluido.

Tensão

Fluido não newtoniano (dilatante)

Fluido newtoniano

Plástico ideal Fluido não newtoniano (pseudoplástico) Taxa de deformação

du/dy

Fig. 1.8 Fluidos newtonianos e não newtonianos. Se a tensão de cisalhamento de um fluido é diretamente proporcional ao gradiente de velocidade, como foi assumido nas Eqs. 1.5.5 e 1.5.6, diz-se que o fluido é um fluido newtoniano. Felizmente, muitos fluidos comuns, como ar, água e óleo, são newtonianos. Fluidos não newtonianos, com relações de tensão de cisalhamento versus taxa de deformação, como mostrado na Fig. 1.8, muitas vezes têm uma composição molecular complexa. Dilatantes (areia movediça, lama) tornam-se mais resistentes ao movimento conforme a taxa de deformação aumenta, e pseudoplásticos (tinta e ketchup) tornam-se menos resistentes ao movimento com taxa de deformação elevada. Plásticos ideais (ou fluidos de Bingham) exigem uma tensão de cisalhamento mínima para causarem movimento. Suspensões de barro e pasta de dente são exemplos que também requerem um cisalhamento mínimo para causar movimento, mas não têm uma taxa de tensão-deformação linear. Um efeito extremamente importante da viscosidade é fazer que o fluido adira à superfície; isso é conhecido como a condição de não escorregamento. Isso foi suposto no exemplo da Fig. 1.7. A velocidade do fluido no cilindro giratório foi considerada como vR, e a velocidade 10 Se o intervalo não for pequeno em relação a R, a distribuição de velocidade não será linear (veja Seção 7.5). A distribuição também não será linear para valores relativamente pequenos de v.

Fluido newtoniano: A tensão de cisalhamento do fluido é diretamente proporcional ao gradiente de velocidade. CONCEITO-CHAVE A viscosidade faz que o fluido adira a uma superfície. Condição de não escorregamento: Condição em que a viscosidade faz que fluidos adiram a uma superfície.

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Mecânica dos Fluidos

do fluido no cilindro estacionário foi determinada como igual a zero, como mostrado na Fig. 1.7b. Quando um veículo espacial reentra na atmosfera, a alta velocidade cria gradientes de velocidade muito grandes na superfície do veículo, resultando em grandes tensões que aquecem a superfície; as altas temperaturas podem fazer que o veículo se desintegre se não for adequadamente protegido. A viscosidade é muito dependente da temperatura em líquidos nos quais as forças coesivas têm papel dominante; observe que a viscosidade de um líquido diminui com temperatura elevada, como mostrado na Fig. B.1, do Apêndice B. As curvas são frequentemente aproximadas pela equação m AeBt

(1.5.9)

conhecida como equação de Andrade; as constantes A e B seriam determinadas de acordo com dados medidos. Para um gás, são as colisões moleculares que fornecem as tensões internas, de modo que, conforme a temperatura aumenta, resultando em atividade molecular elevada, a viscosidade aumenta. Isso pode ser observado na curva do fundo para um gás da Fig. B.1 no Apêndice B. Note, entretanto, que a porcentagem de alteração de viscosidade num líquido é muito maior que num gás, para a mesma diferença de temperatura. Também é possível mostrar que as forças coesivas e a atividade molecular são bastante insensíveis à pressão, de forma que m m(T) somente para líquidos e gases. Como a viscosidade muitas vezes se divide pela massa específica na derivação de equações, tornou-se útil e usual definir viscosidade cinemática como m v r

(1.5.10)

em que as unidades de v são m2/s. Observe que, para um gás, a viscosidade cinemática também dependerá da pressão, uma vez que a massa específica é sensível à pressão. A viscosidade cinemática é mostrada, em pressão atmosférica, na Fig. B.2, do Apêndice B. Exemplo 1.3 Um viscosímetro é construído com dois cilindros concêntricos de 30 cm de comprimento, um com 20,0 cm de diâmetro e outro com 20,2 cm de diâmetro. É necessário um torque de 0,13 N·m para girar o cilindro interno a 400 rpm (revoluções por minuto). Calcule a viscosidade. Solução O torque aplicado é equilibrado por um torque resistente em função das tensões de cisalhamento (veja Fig. 1.7c). Isso é expresso pela equação de intervalo pequeno, Eq. 1.5.8. O raio é R d/2 10 cm; o intervalo h (d2 d1)앛2 0,1 cm; a velocidade rotacional, expressa como rad/s, é v 400 2p앛60 41,89 rad/s. A Equação 1.5.8 fornece: Th m 2pR3vL 0,13(0,001) 0,001646 N s앛m2 2p(0,1)3(41,89)(0,3) Observação: Todos os comprimentos são em metros, para que as unidades desejadas de m sejam obtidas. As unidades podem ser verificadas para substituição: N m m N s [m] m2 m3(rad/s)m

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Capítulo 1 – Considerações Básicas

1.5.3 Compressibilidade Na seção anterior, discutimos deformação de fluidos resultante das tensões de cisalhamento. Nesta seção, discutimos a deformação resultante das alterações de pressão. Todos os fluidos se comprimem se a pressão aumenta, resultando em uma redução de volume ou em um aumento de massa específica. Uma maneira comum de descrever a compressibilidade de um fluido é pela definição do módulo de elasticidade volumétrico B: p p B lim lim V씮0 V앛V T r 씮0 r앛r p p V r V T r T

冤

冥

冨

B 冨冪莦冪莦 r r

Módulo de elasticidade volumétrico: A razão da variação da pressão pela mudança relativa da massa específica.

(1.5.11)

Em palavras, o módulo volumétrico, também chamado de coeficiente de compressibilidade, é definido como a razão da variação da pressão ( p) pela mudança relativa da massa específica ( r/r) enquanto a temperatura permanece constante. O módulo de elasticidade volumétrico, obviamente, tem as mesmas unidades que a pressão. O módulo de elasticidade para a água, nas condições normais, é aproximadamente 2 100 MPa ou 21 000 vezes a pressão atmosférica. Para o ar nas condições normais, B é igual a 1 atm. Em geral, para um gás, B é igual à pressão do gás. Para provocar uma mudança de 1% na massa específica da água, uma pressão de 21 MPa é necessária. Essa é uma pressão muito grande para gerar uma mudança tão pequena; assim, os líquidos são muitas vezes considerados incompressíveis. Para gases, se mudanças significativas na densidade ocorrerem, digamos 4%, eles devem ser considerados compressíveis; para pequenas mudanças de densidade abaixo de 3%, eles também poderão ser tratados como incompressíveis. Isso acontece para velocidades do ar atmosférico abaixo de aproximadamente 100 m/s, o que inclui muitos escoamentos de ar de interesse da engenharia: o escoamento de ar em volta de automóveis, em aterrissagem e decolagem de aeronaves e dentro e em volta de prédios. Pequenas alterações da massa específica de líquidos podem ser bastante significativas quando há grandes variações de pressão. Por exemplo, elas são responsáveis pelo “martelo d’água” que pode ser ouvido logo após o fechamento brusco da válvula de uma tubulação; quando a válvula é fechada, uma onda de pressão interna se propaga pela tubulação, produzindo um som de martelo por causa da movimentação do tubo quando a onda reflete a partir da válvula fechada ou dos cantos da tubulação. O martelo d’água é considerado em detalhes na Seção 11.5. O módulo volumétrico também pode ser usado para calcular a velocidade do som em um líquido; na Seção 9.2 será mostrado por

CONCEITO-CHAVE Gases com pequenas alterações de massa específica, abaixo de 3%, podem ser tratados como incompressíveis.

(1.5.12)

Isso fornece, aproximadamente, 1 450 m/s para a velocidade do som na água em condições normais. A velocidade do som em um gás será apresentada na Seção 1.7.3.

1.5.4 Tensão Superficial A tensão superficial é uma propriedade que resulta de forças atrativas entre moléculas. Assim, ela se manifesta apenas em interface, geralmente na interface líquido–gás. As forças entre moléculas no interior do líquido são iguais em todas as direções e, como resultado, nenhuma força resultante é exercida nas moléculas. Porém, numa interface, as moléculas exercem uma força que tem uma resultante na camada interfacial. Essa força segura uma gota de água pendurada em uma barra e limita o tamanho da gota que ali pode ser segurada. Também faz que as pequenas gotículas de um spray ou pulverizador adquiram a forma esférica. Pode também ter papel significa-

Tensão superficial: Uma propriedade resultante das forças atrativas entre moléculas.

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Mecânica dos fluidos

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