ÁLGEBRA LINEAR PARA CIÊNCIAS ECONÔMICAS, CONTÁBEIS E DA ADMINISTRAÇÃO
Álgebra Linear PARA C IÊNCIAS E CONÔMICAS , C ONTÁBEIS E DA A DMINISTRAÇÃO
Sumário
Módulo 1 – Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares Capítulo 1.1 – Matrizes, 3 1.1.1
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
(a) Matriz linha e matriz coluna, 5 (b) Matriz quadrada, 5 (c) Matriz diagonal, 6 (d) Matriz identidade, 6 (e) Matriz nula, 7
O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 (a) Igualdade entre matrizes, 7 (b) Soma de matrizes, 8 (c) Produto por um escalar, 9 (d) Produto de matrizes, 12
1.1.3
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Capítulo 1.2 – Tópicos adicionais de matrizes, 25 1.2.1
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.2
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.3
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (a) Matriz simétrica e matriz antissimétrica, 32 (b) Matriz triangular inferior ou triangular superior, 33 (c) Matrizes idempotentes, periódicas e nilpotentes, 33 (d) Matriz ortogonal, 34
1.2.4
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Á L
X
Capítulo 1.3 – Sistemas de equações lineares, 43 1.3.1
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3.2
O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.3.3
M G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Capítulo 1.4 – Método de Gauss-Jordan, 59 1.4.1
S . . . . . . . . . . 59
1.4.2
M G-J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.4.3
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Capítulo 1.5 – Determinantes, 75 1.5.1
D 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
(a) Determinante de segunda ordem, 76 (b) Regra de Cramer, 78 (c) Matriz adjunta, 79 (d) Determinante nulo, 79 (e) Determinantes de ordem 1, 81
D 3 – S . . . . . . . . . . . . . 81 (a) Determinante nulo, 82 (b) Regra de Sarrus, 82 (c) Regra de Cramer, 84
1.5.2
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
Capítulo 1.6 – Determinantes de ordens superiores, 91 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 (a) Submatriz, 91 (b) Menor relativo, 92 (c) Cofator, 93
1.6.1 1.6.2
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.6.3
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.6.4
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Módulo 2 – Vetores Capítulo 2.1 – Vetores, 111 2.1.1
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
S
XI
S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 (a) Módulo de um segmento orientado, 113 (b) Segmento nulo, 113 (c) Direção de um segmento orientado, 113 (d) Sentido de um segmento orientado, 114 (e) Segmentos opostos, 114 (f) Segmentos equipolentes, 114
2.1.2
V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 (a) Representação de um vetor, 116 (b) Módulo de um vetor, 116 (c) Vetor nulo, 117 (d) Direção de um vetor, 117 (e) Sentido de um vetor, 117 (f) Vetores iguais, 117 (g) Vetores opostos, 117 (h) Notação, 118 (i) Versores, 118
2.1.3
2.1.4
S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
(a) Notação para vetor oposto, 120 (b) Subtração de vetores, 120 (c) Propriedades da soma de vetores, 120
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 (a) Divisão de um vetor por um escalar, 122 (b) Propriedades do produto de um vetor por um escalar, 123
2.1.5
2.1.6
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
(a) Propriedades mistas, 124
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Capítulo 2.2 – Vetores no plano e no espaço, 135 V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Módulo, 139
2.2.1
V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Módulo, 143
2.2.2 2.2.3
S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.2.4
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Capítulo 2.3 – Produto escalar, 153 2.3.1
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.3.2
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2.3.3
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.3.4
N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.3.5
P . . . . . . . . . . . . . . . . 161
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Á L
XII
Módulo 3 – Espaços vetoriais Capítulo 3.1 – Espaços vetoriais, 171 3.1.1
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 n , 173 (c) Números complexos, 174
(a) Matrizes coluna, 171 (b) Espaços (d) Polinômios, 175
3.1.2
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.1.3
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Capítulo 3.2 – Subespaços vetoriais, 187 3.2.1
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.2.2
S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
S . . . . . . . . . . . . . 193 (a) Soma, 193 (b) Intersecção, 194 (c) Soma direta, 194
3.2.3
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Capítulo 3.3 – Espaços vetoriais gerados, 201 3.3.1
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.3.2
G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Capítulo 3.4 – Base e dimensão, 215 3.4.1
D . . . . . . . . . . . . . 215
3.4.2
B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.4.3
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Capítulo 3.5 – Coordenadas e mudança de base, 231 3.5.1
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
3.5.2
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
S
XIII
Capítulo 3.6 – Espaços vetoriais com produto interno, 245 3.6.1
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 2 , 247 (b) Espaço n , 247 (c) Espaço Mm×n , 248
(a) Espaço
3.6.2
N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
3.6.3
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
3.6.4
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Módulo 4 – Transformações lineares, autovalores e autovetores Capítulo 4.1 – Transformações lineares, 265 4.1.1
F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.1.2
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.1.3
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
4.1.4
U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Capítulo 4.2 – Matrizes de transformações lineares, 281 A . . . . . . . . . 281 (a) Transformação nula, 281 (b) Transformação identidade, 281 (c) Reflexão, 282 (d) Projeção, 283 (e) Dilatação e contração, 285
4.2.1
4.2.2
M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Capítulo 4.3 – Núcleo e imagem de uma transformação linear, 301 4.3.1
N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
4.3.2
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
4.3.3
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Á L
XIV
Capítulo 4.4 – Composição e inversas de transformações lineares, 311 4.4.1
C . . . . . . . . . . . . . . . . 311
4.4.2
T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
4.4.3
M . . . . . . . . . . . 317
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Capítulo 4.5 – Autovalores e autovetores, 331 4.5.1
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
4.5.2
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
4.5.3
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Capítulo 4.6 – Autovetores e diagonalização de matrizes, 347 4.6.1
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
4.6.2
A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 (a) Diagonalização e potências de matrizes, 355
4.6.3
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Módulo 5 – Formas lineares, formas quadráticas e geometria analítica Capítulo 5.1 – Retas, planos e formas lineares, 365 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 (a) Intersecção de retas, 366
5.1.1
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 (a) Intersecção de dois planos, 370 (b) Intersecção de três planos, 371 (c) Carteira de investimentos, 372
5.1.2
5.1.3
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5.1.4
F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
S
XV
Capítulo 5.2 – Cônicas, 383 5.2.1
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
5.2.2
P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
5.2.3
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
5.2.4
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
5.2.5
H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
5.2.6
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Capítulo 5.3 – Cônicas e formas quadráticas, 399 5.3.1
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
5.3.2
F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
5.3.3
D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
Capítulo 5.4 – Quádricas e formas quadráticas, 411 5.4.1
I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
5.4.2
F . . . . . . . . 413
S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 (a) Cilindro parabólico, 415 (b) Cilindro elíptico, 416 (c) Cilindro hiperbólico, 417
5.4.3
5.4.4
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Capítulo 5.5 – Quádricas e classificação de quádricas, 427 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427 (a) Paraboloide, 427 (b) Paraboloide elíptico, 429 (c) Paraboloide hiperbólico, 430
5.5.1
5.5.2
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
(a) Esfera, 431 (b) Elipsoide, 432
5.5.3
H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
(a) Hiperboloide de uma folha, 433 (b) Hiperboloide de duas folhas, 434 (c) Cone, 435
5.5.4
C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Á L
XVI
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
Bibliografia, 451 Índice remissivo, 453
MÓDULO 1
Matrizes, determinantes e sistemas de equações lineares
Capítulo 1.1 – Matrizes, 3 1.1.1 M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Capítulo 1.2 – Tópicos adicionais de matrizes, 25 1.2.1 M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25 27 29 32
Capítulo 1.3 – Sistemas de equações lineares, 43 1.3.1 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 1.3.2 O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.3.3 M G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Capítulo 1.4 – Método de Gauss-Jordan, 59 1.4.1 S . . . . . . . . . . 59 1.4.2 M G-J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1.4.3 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Capítulo 1.5 – Determinantes, 75 1.5.1 D 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 1.5.2 D 3 – S . . . . . . . . . . . . . 81 Capítulo 1.6 – Determinantes de ordens superiores, 91 1.6.1 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91 93 95 99
1.1
Matrizes 1.1.1 1.1.2 1.1.3
Mď?Ąď?´ď?˛ď?Šď?şď?Ľď?ł Tď?Šď?°ď?Żď?ł ď?Ľď?łď?°ď?Ľď?Łď?Šď?Ąď?Šď?ł ď?¤ď?Ľ ď?ď?Ąď?´ď?˛ď?Šď?şď?Ľď?ł Oď?°ď?Ľď?˛ď?Ąď&#x;§ď&#x;ľď?Ľď?ł ď?ď?Ąď?´ď?˛ď?Šď?Łď?Šď?Ąď?Šď?ł
Matrizes sĂŁo objetos de suprema importância na elaboração de modelos econĂ´micos mais complexos, alĂŠm de serem utilizadas em diversas outras ĂĄreas do conhecimento humano. Neste capĂtulo, estudaremos o conceito de matrizes, mostrando alguns tipos especiais de matrizes e as operaçþes matriciais.
1.1.1 Matrizes
Vamos começar este capĂtulo analisando uma tabela que traz as disciplinas para o primeiro e segundo semestres do programa de MBA (Master of Business Administration) da Harvard Business School (EUA).
Primeiro semestre
Segundo semestre
Finanças 1 Marketing Liderança e comportamento organizacional Apresentação de relatórios financeiros e controle Tecnologia e administração de operaçþes
Finanças 2 EstratÊgia Negociação O administrador empreendedorista Negócios, governo e a economia internacional Liderança e prestação de contas corporativa
Fonte: www.hbs.edu/mba/academics.
Observe que esta tabela contĂŠm informaçþes sobre as disciplinas que devem ser cursadas no primeiro ano do MBA, colocadas em forma ordenada. Podemos visualizar esta tabela composta por linhas e colunas: a a11 a12 linha 1 −→ tabela que acabamos de ver tem 6 linhas e 2 colunas. As linhas a21 a22 linha 2 −→ estĂŁo em posição horizontal e as colunas, na vertical. a31 a32 ¡¡¡ Note que uma determinada combinação de linha e de co¡¡¡ a41 a42 luna determina a informação de somente um curso. Cada uma ¡¡¡ a51 a52 dessas combinaçþes ĂŠ chamada cĂŠlula. A tabela ao lado mostra linha 6 −→ a61 a62 quantas cĂŠlulas existem em uma tabela com 6 linhas e 2 colunas. A cada cĂŠlula associamos o sĂmbolo aij , onde i ĂŠ o nĂş coluna 1 coluna 2 mero da linha e j o nĂşmero da coluna Ă qual ela corresponde.
4
à ������ L�����
Por exemplo, a cĂŠlula a21 da primeira tabela contĂŠm a disciplina “Marketingâ€?; a cĂŠlula a32 corresponde Ă disciplina “Negociaçãoâ€?; jĂĄ a cĂŠlula a61 nĂŁo contĂŠm informação. É muito comum que tabelas contenham informaçþes em forma de nĂşmeros. A tabela a seguir mostra os nĂşmeros do desemprego no Brasil de 1999 a 2002 em porcentagem da população economicamente 1999 2000 2001 2002 ativa. Nela, temos informação em texto e informação numĂŠrica. Podemos extrair somente a informação nuTotal 7,6 7,1 6,2 7,1 mĂŠrica e escrever uma tabela mais compacta, que conteHomens 7,1 6,5 5,9 6,7 nha somente a informação mais bĂĄsica do que se tem a Mulheres 8,3 8,0 6,7 7,8 relatar (segunda tabela a seguir). Fonte: www.ibge.gov.br. A primeira tabela tem 4 linhas e 5 colunas, contendo  informaçþes tanto em texto quanto em nĂşmeros; a se 7,6 7,1 6,2 7,1 ďŁ7,1 6,5 5,9 6,7 gunda, com 3 linhas e 4 colunas, contĂŠm somente informação numĂŠrica. Ambas sĂŁo exemplos de matrizes, que 8,3 8,0 6,7 7,8 sĂŁo tabelas planas (em duas dimensĂľes) contendo linhas e colunas. Dizemos que a primeira, com 4 linhas e 5 colunas, ĂŠ uma matriz 4 Ă— 5, enquanto a segunda ĂŠ uma matriz 3 Ă— 4. Em matemĂĄtica, ĂŠ mais comum operar com matrizes contendo somente dados numĂŠricos, embora em computação seja muito frequente o uso de matrizes contendo tanto texto quanto nĂşmeros (caracteres alfanumĂŠricos).
Definição 1 Uma matriz š Ê uma tabela contendo certo números de linhas e de colunas. Uma matriz com m linhas e n colunas Ê chamada matriz m × n. Em geral, matrizes são representadas entre dois parênteses ( ) ou entre dois colchetes [ ] e Ê bastante comum associar-se letras romanas maiúsculas a matrizes, como mostra o exemplo a seguir. Exemplo 1. São matrizes 1 2 A= , 3 4
B=
0,1 −3
2 0,6
 −3 D =  4 , −6 
−4 8
,
C = −1
2
0 ,
E= 2 .
Por padronização, usaremos neste texto somente a representação de parênteses para matrizes. O próximo exemplo mostra a classificação das matrizes do exemplo 1 quanto ao número de linhas e de colunas.
1. A palavra matriz vem do latim matrix, que significa â€œĂşteroâ€?, ou algo que contĂŠm ou gera.
Cď?Ąď?°ď&#x;ď?´ď?ľď?Źď?Ż 1.1
5
M�������
Exemplo 2. Classifique cada uma das matrizes do exemplo 1 quanto ao nĂşmero de linhas e de colunas. Sď?Żď?Źď?ľď&#x;§ď&#x;Łď?Ż. A matriz A ĂŠ 2 Ă— 2, pois tem 2 linhas e duas colunas; a matriz B ĂŠ 2 Ă— 3; a matriz C ĂŠ 1 Ă— 3; a matriz D ĂŠ 3 Ă— 1 e a matriz E ĂŠ 1 Ă— 1. ²
1.1.2 Tipos especiais de matrizes
Alguns tipos de matrizes recebem nomes especiais, em geral por apresentarem particularidades que auxiliam em alguns tipos de cĂĄlculos ou na modelagem de certos fenĂ´menos. Veremos agora alguns desses tipos.
( a ) Mď?Ąď?´ď?˛ď?Šď?ş ď?Źď?Šď?Žď?¨ď?Ą ď?Ľ ď?ď?Ąď?´ď?˛ď?Šď?ş ď?Łď?Żď?Źď?ľď?Žď?Ą Definição 2 Uma matriz coluna, tambĂŠm chamada de vetor ou vetor coluna, ĂŠ uma matriz composta por somente uma coluna (ou seja, ĂŠ uma matriz n Ă— 1). Exemplo 1. SĂŁo matrizes coluna (vetores) as seguintes matrizes:   −3 −1  ďŁ B= , A= 2 , 3 6
C= 7
Definição 3 Uma matriz linha, tambĂŠm chamada covetor ou vetor linha, ĂŠ uma matriz composta por somente uma linha (ĂŠ uma matriz 1 Ă— n). Exemplo 2. SĂŁo matrizes linha as seguintes matrizes: A = 1 2 −8 , B= 1 3 ,
( b ) M����� ��������
C= 7
Definição 4 Uma matriz Ê quadrada se tiver o mesmo número de linhas e colunas, isto Ê, se ela for do tipo n × n. Exemplo 1. São quadradas as matrizes 1 A= 3
2 , 4

1 B = ďŁâˆ’3 2
3 4 −1
 −4 8 , 0
C= 7
2. É muito comum associar uma matriz 1 × 1 numÊrica a um número real. No entanto, temos que salientar que 3 = 3, pois a primeira expressão da desigualdade Ê a matriz cujo único elemento Ê 3 e o lado direito desta Ê o número 3.
6
à ������ L�����
A faixa formada pelos elementos aii ĂŠ chamada diagonal principal da matriz. Somente matrizes quadradas tĂŞm uma diagonal principal, como pode ser notado do exemplo a seguir. Exemplo 2. Os elementos da diagonal principal da matriz A abaixo estĂŁo demarcados. Observe que nĂŁo ĂŠ possĂvel estabelecer uma diagonal principal para a matriz B.   1 3 2 4 5 2 B= A = ďŁ1 2 7 , −1 3 9 3 −1 4
( c ) M����� �������� Definição 5 Uma matriz diagonal Ê uma matriz quadrada, tal que todos os elementos fora da diagonal principal, isto Ê, os elementos aij , i = j, são nulos. Exemplo 1. As seguintes matrizes são diagonais: A=
0 , 3
−1 0 
2 D = ďŁ0 0
0 −1 0

3 B = ďŁ0 0  0 0 , 0
0 4 0
 0 0 , 5

3 E = ďŁ0 0
C= 7 , 0 3 0
 0 0 . 3
Observe da matriz D do exemplo anterior que, mesmo que a matriz tenha algum elemento nulo na diagonal, ela pode ainda ser uma matriz diagonal. Podemos representar matrizes diagonais de uma forma mais compacta, escrevendo diag (a11 , a22 , . . . , ann ) para representar uma matriz diagonal n Ă— n. Exemplo 2. Represente, sob a forma diag (a11 , a22 , . . . , ann ), as matrizes do exemplo 5. Sď?Żď?Źď?ľď&#x;§ď&#x;Łď?Ż. Podemos escrever Âł A = diag (−1,3), B = diag (3, 4, 5), C = diag (7) e D = diag (2, −1, 0).
( d ) M����� ���������� Definição 6 A matriz identidade In Ê a matriz diagonal n × n tal que aii = 1 para i = 1, ¡ ¡ ¡ , n.
3. A matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal sĂŁo todos aii = k, onde k ∈ Um exemplo ĂŠ a matriz E do exemplo 1.
, ĂŠ chamada matriz escalar.
C 1.1
7
M
Exemplo 1. I1 = 1 ,
I2 =
1 I3 = 0 0
0 , 1
1 0
0 1 0
0 0 . 1
As matrizes identidade, como veremos na próxima seção, fazem o papel do número 1 na multiplicação de matrizes.
( e ) M
Definição 7 A matriz nula 0mn é a matriz m × n tal que todos os seus elementos são iguais a zero.
Exemplo 1. 011
= 0 ,
023 =
0 0
0 0
0 , 0
0 033 = 0 0
0 0 . 0
0 0 0
As matrizes nulas, como também será visto na próxima seção, fazem o papel do número 0 na adição de matrizes. Observe que uma matriz nula não precisa ser quadrada (isto é, n × n).
1.1.3 Operações matriciais
Como nos números reais, também podemos estabelecer algumas operações entre matrizes. Essas operações são a soma, o produto por um escalar e o produto entre matrizes. Veremos cada uma delas independentemente. Para simplificar parte da notação, chamaremos A = (aij ) a matriz m × n cujos elementos são dados individualmente por aij , i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n.
( a ) I Antes de definir as operações matriciais, precisamos estabelecer o critério de igualdade de duas matrizes. Esse é dado pela seguinte definição.
Definição 8 Duas matrizes A = (aij ) e B = (bij ), ambas m × n, são iguais se aij = bij para todos os valores de i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n. Exemplo 1. As matrizes A=
−1 4
8 6
e B=
−1 4
8 6
são iguais, pois todos os seus elementos são iguais. Podemos, então, escrever A = B.
8
à ������ L�����
( b ) Sď?Żď?ď?Ą ď?¤ď?Ľ ď?ď?Ąď?´ď?˛ď?Šď?şď?Ľď?ł
Loja Moema Loja Paulista Loja Eldorado
Para ilustrar as operaçþes matriciais, usaremos um exemplo simples de uma rede de lojas de mĂşsica que estĂĄ organizando seu estoque de compositores barrocos. A tabela a seCorelli Scarlatti Vivaldi Purcell Bach Händel guir mostra a quantidade de CDs de cada compositor dis3 6 10 7 21 12 ponĂveis em cada loja. 4 4 8 10 25 14 Nesta matriz estĂŁo repre2 3 9 8 15 6 sentados os estoques de cada CD em cada loja, sendo que as linhas representam as lojas e as colunas representam os compositores. Vamos supor, agora, que entre uma nova leva de CDs para complementar o estoque antigo. Por simplicidade, vamos representar o estoque atual pela matriz puramente numĂŠrica  3 6 10 7 21 12 E1 = ďŁ4 4 8 10 25 14 . 2 3 9 8 15 6 
A nova leva de CDs ĂŠ dada por  2 4 4 2 7 5 E2 = ďŁ1 2 4 4 7 4  . 1 1 3 4 9 10 
O novo estoque, jĂĄ incluindo a nova leva, fica dado pela soma dos elementos da matriz E1 com os elementos da matriz E2 :     5 10 14 9 28 17 3 + 2 6 + 4 10 + 4 7 + 2 21 + 7 12 + 5 E3 = ďŁ4 + 1 4 + 2 8 + 4 10 + 4 25 + 7 14 + 4 = ďŁ5 6 12 14 32 18 . 3 4 12 12 24 16 2 + 1 3 + 1 9 + 3 8 + 4 15 + 9 6 + 10 A matriz que representa o estoque final pode ser vista como a soma da matriz do estoque inicial (E1 ) e da nova leva (E2 ). Dadas duas matrizes, A e B, com o mesmo nĂşmero de linhas e colunas, podemos somĂĄ-las somando cada elemento aij de A ao respectivo elemento bij de B, como no exemplo a seguir. Exemplo 1. Calcule a soma das matrizes A=
3 2
−1 4
e B=
−2 5
4 . 7
Sď?Żď?Źď?ľď&#x;§ď&#x;Łď?Ż. A soma ĂŠ dada por 3 + (−2) A+B= 2+5
−1 + 4 1 = 4+7 7
3 . 11
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ÁLGEBRA LINEAR
PARA CIÊNCIAS ECONÔMICAS, CONTÁBEIS E DA ADMINISTRAÇÃO
Estee livvro Es ro aboordda oss connce ceititos os do ccáállccuullo ma matr tric iciaal e da icia da álggeb ebraa linneeaar, quee sããoo nnec eecces esssáárriios os aos aallunos ao unnos os de ci ciên ê ci ciaass eco connôômi ômi mica cass,, con onntá táábe beis beis is e da aaddm miiini nniissttra raççãão. o. C Cad adda ccaaapí ppííttuulo ulo lo coorr rres reesspo pond nde a ap apro roxxiima madame daam meenntte um uma ma auula la e ccon onté on tém um m grraand nde nnúúme meroo de eexxem xeem mppllooss de inntteereessse ddoos aalluunnos os, sseendo nnddo qu que mu muittos os cap apíttul ulos ulos os já se se ini nici nici ciaam m coom m uuma maa applliccaç m açããoo prá ráttiiccaa. A oobbbra rraa taam mbé mbéém au auxxiiliia o estu esttuuddaanntte es te a rreevviisa sar o co conntteeúúdoo do En E ssiinoo Méddiioo traze raazend zend ze ndo ex exem empplloss maiss eela mais ma labbooraaddoos e aapplica la liica cadoos à ec ecoonnom econ omiiaa e à addm minnisstraç traç tr açããoo. o. O Oss exe xerc rcíccios ioos ap aprreese sent ntam ntam m trrêêêss níve ní veiss de di diffiiculd culddad cu a e, e, par ara au auxxiiliar liiar ar na ccoomp mpre reeennsã são e ffiixxaaçã ção bbáási siccaa do ccoonntteeúúdo sica do, le leva vvaar a uum ma m meelh ellhhor hoorr elaabo boraçã rraaçã ção doo que ue foi oi aapr prenndi pr didoo e taam m mbé bbéém appre reseent ntar tar ar que uest uest stõõees bbaast stõe ast stan anttee desa de esa saffiiaaddoorrass aoss aalu luunoos maais luno is avanç vanç va nçados addos o . O lilivr vrro ppoossui ssui ss ui uum m am mpl plo ma mateerriial al de aappoiio diisp sponív onívveell nnaa ssuua ppáági on gina na no si site te ww w ww ww. w..ce .ceen ng gag age. e.co com m..b brr. O co conte nteú nt eúdo eúdo do extra xxttra ra iinc nccluui as as Leitu eittuuraas Co ei Comp Com mple leme emeennttar ares es, tteexxtttos es, ooss quee cobr co breem m tóppiccos m mai aaiis avvaannça çados ddoos ddaa diisssci cciipl plinnaa,, apl pliccaç açõe ões pprrát átiiccas as e taam mbéém ddeem moonsstr traç açõõees aç ddee teeooreem maas ddoo texxttoo pri rinc ncip cip ipall. As As Lei eittuuura eitu ras Co ra Comp ompplleem meent ntar aress prreeci c sa sam ser ser lliidaas ppeeloos alun se aluunnoss al qquue qu quis iseerrem iser em reessol o vveer aallgu lgguuns ns dos os exe xerrccíccio ios de de nív íveeiis 2 e 3 do do lliv ivvrroo, qu que ooss lev leevvaam m alé lém do do mate ma teri rial a bbás áássic ico co ddoo cuurrssoo. Ta Tamb mbém m est stão tão ão dissppoonníívveeeis iss aaul uullas as em Po Powe Powe werppoi oint ntt,, qu que auxi auuxxiiliam liiam am no procceesssoo de rreevi pr visã sãoo daa maattérria ia e ofe fere rece re ece cem uum ma viisãão m maaiss dinnâm âmiiicca do do currso so e sugges estõõeess estõ de traabaalh de lhos hos os em gr g up upooss envvoollve vennddo oss coonnceeititoss do lilivr vroo.. Est vr ste m maate teri riaall é exxcclu lusivo siivvoo paarra os o pprrooffessssoore orrees qu que aaddoottam m a obr braa.. Aplilica Ap ccaaççõõess caçõ Livr Li vroro--tteeext xto ppaaraa a dis xt isci cippllinna ál álge gebr ge bra liine near ear ar nooss cuurrsoos ddee gra radu duaaçção duaç ão em C Ciiên êncciias as Econ Econ Ec o ôôm miccass, Co Cont onnttáábbei eis e da da Addm minis iinnisstr traç açããooo.. LLeeiitttur uurra co comp mpleem meennttar a par ara aass ddis ara iissci cipl plinnas as eccoonnoom meettri r a, a, peessqquuiissa op oper erac acio cio ionaal,l, teeoorriia ia dos dos jjooggoos e eessttaatítíst do stic icca avvaannççaadaa.
ISBN 13 978-85-221-0460-4 ISBN 10 85-221-0460-3
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