Física para ciencias e ingeniría 10 e. vol. 2 by Cengage

Física

para ciencias e ingeniería DÉCIMA EDICIÓN Revisión técnica México

Luis González Urbán

Adrián Arreola Pérez

Instituto Politécnico Nacional

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

Manuel Alejandro López Zepeda

Alfonso Serrano Heredia

Marcela Martha Villegas Garrido

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

Aurelio Domínguez González

Mario Alberto Montante Garza

John W. Jewett, Jr.

Universidad Autónoma de Querétaro

Instituto Tecnológico de Querétaro

Emeritus, California State Polytechnic University, Pomona

Carlos Alberto Pereyda Pierre

Miguel Ángel Alonzo Flores

Instituto Tecnológico de Hermosillo

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente

Raymond A. Serway Emeritus, James Madison University

Con las contribuciones de Vahé Peroomian, University of Southern California

Traducción Ana Elizabeth García Hernández Revisión técnica Carlos Rodríguez Mota Jesús Álvarez Maldonado Luis Hugo Castañeda Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Instituto Politécnico Nacional

Claudia Camacho Zuñiga Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Eric Gutiérrez García

Instituto Politécnico Nacional

Omar Olmos López Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey

Instituto Tecnológico de Toluca

Oswaldo Monroy Nava

Fredy Jiménez Rojas Instituto Tecnológico de Celaya

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Jaime Castillo Torres

Raymundo Escamilla Sánchez

Universidad Iberoamericana

Universidad Autónoma del Estado de México

Jaime Jiménez

Roberto Armando Hernández Gómez

Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Universidad Politécnica Metropolitana de Hidalgo

José García Romero

Rodolfo Felix Acosta

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad LaSalle del Noroeste

José Luis Luna Segovia

Rodolfo Rodríguez y Masegosa

Instituto Tecnológico de Celaya

Juan Javier Zapata Romano. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente

Juan Méndez Ramírez

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey

Samuel Rosalio Cuevas Universidad de Guadalajara

Yoram Astudillo Baza

Tecnológico de Estudios Superiores de Jocotitlán

Instituto Politécnico Nacional

Judith Pérez Morales

Fernando Ureña Elizondo

Universidad Autónoma del Estado de México

Lucio López Cavazos Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

Costa Rica Universidad de Costa Rica

Germán Vidaurre Universidad de Costa Rica

$XVWUDOLD ȏ %UDVLO ȏ &RUHD ȏ (VSD³D ȏ (VWDGRV 8QLGRV ȏ -DSµQ ȏ 0«[LFR ȏ 5HLQR 8QLGR ȏ 6LQJDSXU

FÃsica para ciencias e ingenierÃa 2 DÃ©cima ediciÃ³n 5D\PRQG $ 6HUZD\ -RKQ : -HZHWW -U Director Higher Education LatinoamÃ©rica: 5HQ]R &DVDSÂ¯D 9DOHQFLD Gerente editorial LatinoamÃ©rica: -HVÂ¼V 0DUHV &KDFÂµQ Editor Senior Hardside: 3DEOR 0LJXHO *XHUUHUR 5RVDV Coordinador de manufactura: 5DIDHO 3Â«UH] *RQ]Â£OH] DiseÃ±o de portada: (GJDU 0DOGRQDGR +HUQÂ£QGH] ImÃ¡genes de portada: =KDQJ -LDQ &KHQJGX (FRQRPLF 'DLO\ 9&* *HWW\ Î&#x2013;PDJHV &RPSRVLFLÂµQ WLSRJUÂ£È´FD %\ &RORU 6ROXFLRQHV *UÂ£È´FDV

k ' 5 SRU &HQJDJH /HDUQLQJ (GLWRUHV 6 $ GH & 9 XQD &RPSDÂ³Â¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ Î&#x2013;QF &DUUHWHUD 0Â«[LFR 7ROXFD QÂ¼P RÈ´FLQD &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD & 3 &LXGDG GH 0Â«[LFR &HQJDJH /HDUQLQJp HV XQD PDUFD UHJLVWUDGD XVDGD EDMR SHUPLVR '(5(&+26 5(6(59$'26 1LQJXQD SDUWH GH HVWH WUDEDMR DPSDUDGR SRU OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU SRGUÂ£ VHU UHSURGXFLGD WUDQVPLWLGD DOPDFHQDGD R XWLOL]DGD HQ FXDOTXLHU IRUPD R SRU FXDOTXLHU PHGLR \D VHD JUÂ£È´FR HOHFWUÂµQLFR R PHFÂ£QLFR LQFOX\HQGR SHUR VLQ OLPLWDUVH D OR VLJXLHQWH IRWRFRSLDGR UHSURGXFFLÂµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLÂµQ JUDEDFLÂµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLÂµQ HQ LQWHUQHW GLVWULEXFLÂµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLÂµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLÂµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLÂµQ D H[FHSFLÂµQ GH OR SHUPLWLGR HQ HO &DSÂ¯WXOR Î&#x2013;Î&#x2013;Î&#x2013; $UWÂ¯FXOR GH OD /H\ )HGHUDO GHO 'HUHFKR GH $XWRU VLQ HO FRQVHQWLPLHQWR SRU HVFULWR GH OD (GLWRULDO

7UDGXFLGR GHO OLEUR 3K\VLFV IRU 6FLHQWLVWV DQG (QJLQHHUV ZLWK 0RGHUQ 3K\VLFV 9ROXPH 7HQWK (GLWLRQ 5D\PRQG $ 6HUZD\ -RKQ : -HZHWW -U k Î&#x2013;6%1 'DWRV SDUD FDWDORJDFLÂµQ ELEOLRJUÂ£È´FD 6HUZD\ 5D\PRQG $ \ -HZHWW -RKQ : )Â¯VLFD SDUD FLHQFLDV H LQJHQLHUÂ¯D 'Â«FLPD HGLFLÂµQ Î&#x2013;6%1 9LVLWH QXHVWUR VLWLR ZHE HQ KWWS ODWLQRDPHULFD FHQJDJH FRP

Impreso en MÃ©xico 18 19 20 21 7 6 5 4 3 2 1

Contenido Breve P A R T E

P A R T E

Luz y óptica

Electricidad y magnetismo 587

22 Campos eléctricos 588 23 Distribuciones continuas de carga y Ley de 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33

Gauss 615 Potencial eléctrico 636 Capacitancia y materiales dieléctricos Corriente y resistencia 691 Circuitos de corriente directa 713 Campos magnéticos 742 Fuentes del campo magnético 771 Ley de Faraday 797 Inductancia 824 Circuitos de corriente alterna 847 Ondas electromagnéticas 873

35 36 37

897

Naturaleza de la luz y leyes de óptica geométrica 898 Formación de las imágenes 925 Óptica ondulatoria 962 Patrones de difracción y polarización 983

663

P A R T E

Física moderna 1011 38 39 40 41 42 43 44

Relatividad 1012 Introducción a la física cuántica 1048 Mecánica cuántica 1079 Física atómica 1105 Moléculas y sólidos 1144 Física nuclear 1177 Física de partículas y cosmología 1225

Ley de Faraday

Un molino de viento toma energía del viento y la convierte en electricidad. ¿Cómo hace eso? ¿Qué hay dentro de la caja detrás de las aspas? (Lukasz Janyst/Shutterstock)

IMAGINE Está tomando un viaje de fin de semana fuera de la ciudad y disfrutando del paisaje. En un momento, pasa por un parque eólico y le impresiona la cantidad y el tamaño de los molinos de viento que generan electricidad. Si bien sabe que la energía para operar el molino proviene del viento, no está seguro de cómo la energía se convierte en electricidad. Mira cuidadosamente los molinos de viento y observa que cada uno tiene una caja o un confinamiento detrás de las aspas. ¿La caja es solo un mecanismo de soporte para las aspas, o hay algo dentro de ella? ¿De ahí viene la electricidad?

30.1 Ley de Faraday de inducción

CONEXIONES

30.6 Corrientes de eddy

Hasta ahora, nuestros estudios en electricidad y magnetismo han tratado campos eléctricos y campos magnéticos como entidades separadas. Los campos eléctricos son causados por cargas estacionarias y los campos magnéticos son causados por cargas en movimiento. Los experimentos realizados por Michael Faraday en Inglaterra en 1831 e independientemente por Joseph Henry en Estados Unidos ese mismo año mostraron efectos interesantes cuando existe un campo magnético cambiante en una región del espacio. Uno de los efectos ocurre cuando un circuito sin batería se coloca en la región del campo magnético cambiante. ¡Encontramos que existe una corriente en el circuito! A medida que estudiamos este tipo de fenómeno aún más, descubrimos que, incluso si el circuito no está presente, ¡hay un campo eléctrico en la región del campo magnético cambiante! Estos resultados sugieren una relación profunda entre los campos eléctricos y magnéticos. Usamos el término inducido para describir los efectos: hay una corriente inducida en el circuito y un campo eléctrico inducido en la región del campo magnético cambiante. La relación matemática entre los campos eléctricos y magnéticos que generamos en este capítulo se denomina ley de inducción de Faraday. Esta será nuestra primera introducción al electromagnetismo, un tema que ha revolucionado la investigación en física y ha permitido el desarrollo de innumerables dispositivos electrónicos, como su teléfono

30.2 Fem de movimiento 30.3 Ley de Lenz 30.4 Forma general de la ley de Faraday 30.5 Generadores y motores

797

798

Capítulo 30

Ley de Faraday

iStockphoto.com/Steven Wynn Photography

inteligente. Nuestro estudio del electromagnetismo conducirá a ondas electromagnéticas, proporcionando la base para nuestro estudio de la óptica en los capítulos 34-37.

30.1 Ley de Faraday de la inducción

Comencemos nuestra investigación sobre las corrientes inducidas mencionadas en la introducción al considerar los resultados experimentales obtenidos cuando una espira de cable está conectada a un amperímetro sensible como se ilustra en la figura 30.1. Observe primero que no hay batería que proporcione energía a la espira de alambre. Cuando un imán se mantiene inmóvil cerca de la espira, como en la figura 30.1a, no se mide corriente en ella. El paso de las líneas de campo magnético estático a través de la espira no tiene efecto eléctrico. Pero ahora mueva el imán hacia la espira, como Michael Faraday en la figura 30.1b. Pasa algo bastante notable: ¡se induce una corriente en el circuito, Físico y químico inglés (1791-1867) medida por el amperímetro! Cuando el imán deja de moverse, la corriente vuelve a Faraday ha sido considerado a menudo el científico experimental más grande del siglo cero. Ahora retire el imán de la espira, como en la figura 30.1c. De nuevo, se registra una corriente inducida, en la dirección opuesta a la de la figura 30.1b. XIX . Sus innumerables contribuciones al estudio de la electricidad incluyen la invenEste simple experimento sugiere una conexión fundamental entre los campos elécción del motor eléctrico, del generador eléc- tricos y magnéticos. Una carga estacionaria establece un campo eléctrico, como se trico y del transformador, así como el descu- estudió en el capítulo 22. Si la carga se mueve, el campo eléctrico en un punto en el brimiento de la inducción electromagnética espacio cerca de la carga debe cambiar con el tiempo. Una carga en movimiento, sin y de las leyes de la electrólisis. Influido embargo, es una corriente. Y, como descubrimos en el capítulo 29, una corriente estapoderosamente por la religión, se negó a trabajar para las fuerzas armadas británicas blece un campo magnético. Por tanto, un campo eléctrico cambiante da como resulen el desarrollo de gases venenosos. tado un campo magnético. Con el experimento descrito en el párrafo anterior, vemos lo contrario: un campo magnético cambiante induce una corriente, ¡que se debe a un campo eléctrico en el cable! Ahora describamos un experimento realizado por Faraday e ilustrado en la figura 30.2. Una bobina primaria está enrollada alrededor de un anillo de hierro y conectada a un interruptor y una batería. Una bobina secundaria también está enrollada alrededor del anillo y está conectada a un amperímetro sensible. No hay batería presente en el circuito secundario, y la bobina secundaria no está conectada eléctricamente a la bobina primaria. Cuando el interruptor está abierto como se muestra en la figura 30.2, no se detecta corriente en el circuito secundario, como lo indica la lectura en el amperímetro, pero, ¿qué sucede si cerramos el interruptor? Encontramos que la lectura actual salta momentáneamente cuando el interruptor se cierra y luego vuelve a cero. Como el interruptor permanece cerrado, la lectura de corriente en el circuito secundario per-

Cuando se mueve un imán hacia una espira de alambre conectada a un amperímetro sensible, su lectura indica que se ha inducido una corriente en la espira.

Cuando el imán se mantiene fijo, no existe corriente inducida en la espira, aun cuando el imán esté físicamente en el interior de la espira.

Cuando el imán se mueve alejándose de la espira, la lectura del amperímetro se desvía en la dirección opuesta, lo que indica que la corriente inducida tiene dirección contraria a la que se muestra en el inciso b .

Figura 30.1 Un experimento simple muestra que se induce una corriente en una espira cuando un imán se aproxima o se aleja de la espira.

799

30.1 Ley de Faraday de la inducción La fem inducida en el circuito secundario es causada por el campo magnético variable a través de la bobina secundaria.

Cuando se cierra el interruptor en el circuito primario, la lectura del amperímetro conectado en el circuito secundario cambia momentáneamente.

Hierro

Batería

Bobina primaria

Figura 30.2

Bobina secundaria

Experimento de

Faraday.

manece en cero aunque haya corriente en el circuito primario. Ahora, cuando se abre el interruptor, la lectura actual de nuevo salta momentáneamente, con el signo opuesto a cuando se abrió el interruptor, y luego vuelve a cero. Los experimentos mostrados en las figuras 30.1 y 30.2 tienen algo en común: en ambos casos se induce una corriente en una espira cuando el flujo magnético a través de la espira cambia con el tiempo. En la figura 30.1, el campo magnético cambia porque el imán se mueve con relación a la espira. En la figura 30.2, el cierre del interruptor permite que exista una corriente en la bobina primaria. Esta corriente establece un campo magnético en el anillo de hierro que cambia de cero a su valor de equilibrio después de que se cierra el interruptor. El campo magnético cambiante a través de la bobina secundaria induce una corriente. Cuando se vuelve a abrir el interruptor, el campo magnético vuelve a cero y hay una corriente momentánea inducida en la bobina secundaria en la dirección opuesta. Hemos discutido que una corriente se debe a una fem (sección 27.1), por lo que decimos que una fem es inducida por un campo magnético cambiante. Los experimentos muestran que la fem inducida en una espira de alambre se relaciona con la rapidez de cambio con el tiempo del flujo magnético a través de la espira. Este enunciado, puede ser escrito matemáticamente como ley de inducción de Faraday

«52 S

dFB dt

(30.1)

Ley de Faraday de inducción

donde FB 5 eB ? d A es el flujo magnético a través de la espira. (Véase la sección 29.5.) Si una bobina consiste de N espiras, con la misma área, como en la figura 30.2, y FB es el flujo magnético a través de una espira, se induce una fem en todas las espiras. Las espiras están en serie, por lo que sus fem se suman; debido a eso, la fem total inducida en la bobina está dada por la expresión

« 5 2N

dFB dt

(30.2)

u Normal a la espira u Espira

de área A S El signo negativo que aparece en las ecuaciones 30.1 y 30.2 es de un significado físico B de importancia, como se explica en la sección 30.3. Suponga que una espira que encierra una superficie A se encuentra en un campo S magnético uniforme B , como se ve en la figura 30.3. El flujo magnético a través de la espira es igual a BA cos u, donde u es el ángulo entre el campo magnético y la normal Figura 30.3 Espira conductora que a la espira; por esto, la fem inducida puede expresarse como encierra un área A en presencia de S un campo magnético uniforme B . El S d 5 2 sBA cos d (30.3) ángulo formado entre B y la normal dt a la espira es u.

800

Capítulo 30

Corriente alterna

Ley de Faraday

Cortacircuitos

A partir de esta expresión observe que una fem puede ser inducida en el circuito de varias formas: ●

Bobina detectora 1

● ●

Anillo de hierro 2

Figura 30.4

Componentes esenciales de un interruptor parásito por fallas a tierra.

Porción magnetizada de la cuerda

●

La magnitud de B cambia con el tiempo. El área encerrada por la espira cambia con el tiempo. S El ángulo u entre B y la normal a la espira puede cambiar con el tiempo. Cualquier combinación puede presentarse de lo anterior.

E XAMEN RÁPIDO 30.1 Una espira de alambre circular está en un campo magnético uniforme con el plano de la espira perpendicular a las líneas de campo. ¿Cuál de los siguientes casos no causará la inducción de una corriente en la espira? (a) Si se aplasta la espira; (b) si se gira la espira respecto a un eje perpendicular a las líneas de campo; (c) conservando fija la orientación de la espira y moviéndola a lo largo de dichas líneas; (d) retirando la espira fuera del campo.

Bobina captadora

N S N

Algunas aplicaciones de la Ley de Faraday

S Imán

Charles D. Winters

El interruptor de circuito de falla a tierra (ICFT), mencionado en la sección 27.5, es un dispositivo de seguridad interesante que protege a los usuarios de aparatos eléctricos en el hogar contra descargas eléctricas. Su funcionamiento hace uso de la ley de FaraAl amplificador Cuerda day. En el ICFT que se muestra en la figura 30.4, el cable 1 conduce desde la toma de de la guitarra corriente de la pared hasta el aparato que se debe proteger y el cable 2 conduce desde a el aparato hasta la toma de corriente de la pared. Un anillo de hierro rodea los dos cables y una bobina sensora envuelve parte del anillo. Debido a que las corrientes en los cables están en direcciones opuestas y de igual magnitud, hay una corriente neta cero fluyendo a través del anillo y el flujo magnético neto a través de la bobina sensora es cero. Ahora suponga que la corriente de retorno en el cable 2 cambia para que las dos corrientes no sean iguales en magnitud. (Eso puede suceder si, por ejemplo, el aparato se moja, permitiendo que la corriente se filtre a tierra.) Entonces la corriente neta a través del anillo no es cero y el flujo magnético a través de la bobina sensora ya no es cero. Debido a que la corriente doméstica es alternante (lo que significa que su dirección se sigue invirtiendo), el flujo magnético a través de la bobina de detección cambia con el tiempo, induciendo una fem en la bobina. Esta fem inducida se utiliza b para disparar un interruptor de circuito, que detiene la corriente antes de que sea capaz de alcanzar un nivel dañino. Figura 30.5 (a) En una guitarra Otra aplicación interesante de la ley de Faraday es la producción de sonido en una eléctrica una cuerda magnetizada en vibración induce una fem en una guitarra eléctrica. La bobina en este caso, llamada bobina de captación, se coloca bobina captadora. (b) Las bobinas cerca de la cuerda de la guitarra vibrante, que está hecha de un metal que puede ser captadoras (los círculos que aparemagnetizado. Un imán permanente dentro de la bobina magnetiza la porción de la cen por debajo de las cuerdas metálicas) de esta guitarra eléctrica, detec- cuerda más cercana a la bobina (figura 30.5a). Cuando la cuerda vibra a cierta frecuencia, su segmento magnetizado produce un flujo magnético cambiante a través tan las vibraciones de las cuerdas y de la bobina. El flujo cambiante induce una fem en la bobina que se alimenta a un envían esta información a través de un amplificador a los altavoces. (Un amplificador. La salida del amplificador se envía a los altavoces, que producen las interruptor en la guitarra permite ondas de sonido que escuchamos. al ejecutante seleccionar el conjunto de las seis bobinas captadoras que se van a utilizar.)

Ejemplo 30.1 Inducción de una fem en una bobina Una bobina consiste de 200 vueltas de alambre. Cada vuelta es un cuadrado de lado d = 18 cm y se establece un campo magnético uniforme en dirección perpendicular al plano de la bobina. La figura 30.6 muestra el comportamiento de la magnitud del campo magnético con el tiempo. De 0 a 0.80 s, el campo cambia linealmente de 0 a 0.50 T. Después de t = 80 s la magnitud del campo decae con el tiempo de acuerdo con la expresión B = Bmáxe −at , donde a es una constante y Bmáx = 0.50 T. (A) ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida en la bobina entre t = 0 y t = 0.80 s?

Bmáx

0.80 s

Figura 30.6

(Ejemplo 30.1) La magnitud del campo magnético uniforme a través de una espira de alambre aumenta linealmente y luego disminuye exponencialmente.

30.2 Fem de movimiento

801

30.1 c o n t i n u a c i ó n SOLUCIÓN

Conceptualizar A partir de la descripción en el problema, imagine qué líneas de campo magnético pasan a través de la bobina. Ya que el campo magnético cambia en magnitud, en la bobina se induce una fem. Categorizar Se evaluará la fem usando la ley de Faraday de esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un problema de sustitución. Bf 2 Bi DFB DsBAd DB Evalúe la ecuación 30.2 para la situación descrita en este u u5N 5N 5 NA 5 Nd 2 Dt Dt Dt Dt caso, y observe que el campo magnético cambia linealmente con el tiempo: s0.50 T 2 0d Sustituya valores numéricos: u u 5 s200ds0.18 md2 5 4.0 V 0.80 s

« «

(B) ¿Cuál es la magnitud de la fem inducida en la bobina después de t = 0.80 s?

« 5 2N

Evalúe la ecuación 30.2 para la situación descrita aquí:

d FB dt

d d 2at sAB máx e 2at d 5 2NAB máx e 5 aNd 2B máx e 2at dt dt

5 2N

« 5 a(200)(0.18 m) (0.50 T)e 2

Sustituya valores numéricos:

2at

5 3.2ae2at

Esta expresión indica que la fem en la espira decae exponencialmente después de t = 0.80 s. La magnitud inicial de la fem depende del parámetro desconocido a. ¿ Q U É P A S A R Í A S I ? ¿Y si se le pidiera encontrar la magnitud de la corriente inducida en la bobina mientras el campo varía durante los primeros 80 s? ¿Puede responder a esta pregunta?

Respuesta Si los extremos de la bobina no están conectados a un circuito, la respuesta a esta pregunta es sencilla: ¡la corriente es cero! (Las cargas se mueven dentro del alambre de la bobina, pero no se pueden mover adentro o afuera de los extremos de la bobina.) Para que exista una corriente estable, los extremos de la bobina se deben conectar entre sí o a un circuito externo. Suponga que la bobina se conecta a un circuito y que la resistencia total de la bobina y el circuito es de 2.0 V. Por tanto, la magnitud de la corriente inducida en la bobina es

u u 4.0 V 5 5 2.0 A R 2.0 V

30.2 Fem de movimiento En estado estable, las fuerzas

En la sección 30.1 y el ejemplo 30.2 se consideran casos en los una bobina de alambre eléctricas y magnéticas sobre estuvo estacionaria y el campo magnético cambió con el tiempo. Veamos ahora algo un electrón presente en el alambre están en equilibrio. diferente. Supongamos que un campo magnético es uniforme y constante, y movemos un conductor en el campo. Encontramos que hay una fem inducida en el conductor. S Llamamos a tal fem una fem de movimiento. Bent S El conductor recto de longitud , que se muestra en la figura 30.7 se mueve a través Fe de un campo magnético uniforme dirigido hacia el interior de la página. Por simpliS cidad, suponga que el conductor se mueve en una dirección perpendicular al campo FB S con una velocidad constante bajo la influencia de algún agente externo. De la versión E S magnética de la partícula S en un modelo de campo, los electrones en el conductor v S S experimentan una fuerza F B 5 q v 3 B (ecuación 28.1) Sque está dirigida a lo largo S de la longitud ,, perpendicularmente tanto a v como a B . Bajo la influencia de esta fuerza, los electrones se mueven hacia el extremo inferior del conductor, en donde se Debido a la fuerza magnética acumulan, dejando una carga positiva neta en el extremo superior. Como resultado ejercida sobre los electrones, S de esta separación de cargas, se produce un campo eléctrico E dentro del conductor. los extremos del conductor se cargan con cargas opuestas y Por tanto, los electrones en el alambre se describen también por la versión eléctrica establecen un campo eléctrico del modelo de la partícula en un campo. Las cargas se acumulan en ambos extreen el conductor. mos hasta que la fuerza magnética qvB dirigida hacia abajo sobre los electrones que quedan en el conductor se equilibra con la fuerza eléctrica qE hacia arriba. Entonces, Figura 30.7 Conductor eléctrico los electrones son descritos por el modelo de partícula en equilibrio. recto de longitud , que se mueve S con una velocidad v a través de un S F 5 0 S qE 2 qvB 5 0 S E 5 vB

campo magnético uniforme B con S dirección perpendicular a v .

802

Capítulo 30

Ley de Faraday

La magnitud del campo eléctrico que se produce en el conductor está relacionada con la diferencia de potencial a través de los extremos del conductor, de acuerdo con la relación DV = E, (véase ecuación 24.6). Entonces, para la condición de equilibrio,

DV = E, = B,v

(30.4)

donde el extremo superior del conductor en la figura 30.7 está con un potencial eléctrico más elevado que el extremo inferior. En consecuencia, se mantiene una diferencia de potencial entre los extremos del conductor siempre que éste se siga moviendo a través del campo magnético uniforme. Si se invierte la dirección del movimiento, también se invierte la polaridad de la diferencia de potencial. Una situación más interesante se presenta cuando el conductor en movimiento forma parte de una trayectoria de conducción cerrada. Esta situación es de utilidad particular para ilustrar cómo el flujo magnético variable origina una corriente inducida en un circuito cerrado. Considere un circuito constituido por una barra conductora de longitud , que se desliza a lo largo de dos rieles conductores paralelos fijos, como se muestra en la figura 30.8a. Por simplicidad, suponga que la barra tiene una resistencia igual a cero y que la parte fija del circuito tiene una resistencia R. S Se aplica un campo magnético uniforme y constante B perpendicular al plano del S circuito. Conforme se mueve la barra hacia la derecha con una velocidad v bajo la S influencia de una fuerza aplicada F apl, los electrones libres en la barra experimentan una fuerza magnética dirigida hacia abajo, como en la figura 30.7. Por esta razón, se establece una diferencia de potencial entre los extremos de la barra móvil. Debido a la trayectoria de conducción cerrada en esta situación, la barra es parte de un circuito completo, como se muestra en la figura 30.8b. La barra móvil actúa como una fuente de fem para el circuito. Los electrones de todo el circuito se mueven en el sentido de las agujas del reloj alrededor del circuito, constituyendo una corriente I en el sentido contrario a las mancillas del reloj. Abordemos esta situación observando que el flujo a través del circuito en la figura 30.8a cambia porque el área del circuito cambia a medida que la barra se mueve. Dado que en cualquier instante el área encerrada por el circuito es igual a ,x, donde x es la posición de la barra, el flujo magnético a través de dicha área es

FB = B,x Al utilizar la ley de Faraday y observar que x cambia con el tiempo con una rapidez de dx/dt = v, velocidad de la barra, encuentra que la fem de movimiento inducida es igual a

«5 2

dFB dt

Fem de movimiento

d dx sB /xd 5 2B / dt dt

« 5 2B,v

(30.5)

Una corriente I en sentido antihorario se induce en la espira. La fuerza S magnética FB sobre la barra que conduce esta corriente se opone al movimiento. S

Bent

Figura 30.8

(a) Barra conductora S que se desliza con una velocidad v a lo largo de dos rieles conductores bajo la acción de la fuerza aplicada S F apl . Debido a la corriente en la S barra hay una fuerza magnética F B sobre la barra en dirección opuesta a la fuerza aplicada (b) El diagrama de circuito equivalente para el arreglo se muestra en el inciso (a).

R S

Fapl

I I

x a

B v

803

30.2 Fem de movimiento ¡La magnitud de la fem es el mismo resultado que obtuvimos en la ecuación 30.4 usando un modelo de fuerza! En vista de que la resistencia en el circuito es R, la magnitud de la corriente inducida es

u u B /v 5 R R

(30.6)

Usando la figura 30.7, analizamos la fem de movimiento generada en una barra móvil usando un modelo de fuerza. Con la ayuda de la figura 30.8, usamos la ley de Faraday para generar la misma expresión para la fem de movimiento. Ahora consideremos un enfoque de energía. Puede preguntarse sobre la fuente de energía entregada al resistor en la figura 30.8 porque no hay batería en el circuito. Supongamos que la barra se modela como una partícula en equilibrio, moviéndose a velocidad constante bajo la influencia de dos fuerzas de igual magnitud: Fapl = FB . La fuerza aplicada debe trabajar en la barra para mantenerla en movimiento a esta velocidad S constante contra la fuerza magnética F B sobre los electrones en movimiento. ¡La transferencia de energía representada por este trabajo resulta en el calentamiento de la resistencia! Verifiquemos esta afirmación matemáticamente. Identificando la barra y el campo magnético como un sistema no aislado de energía, la reducción apropiada de la ecuación 8.2 es 0 = Wapl + TET, donde Wapl es el trabajo realizado por el agente que mueve la barra y TET es la energía transferida desde la barra hacia el resistor por transmisión eléctrica. Tomando una derivada de tiempo de esta ecuación da dWapl/dt = −dTET/dt o Papl = −Pelec . En esta expresión, Papl es la entrada de potencia del agente que mueve la barra y Pelec es la razón de transferencia de energía desde la barra al resistor mediante electricidad. El poder de Pelec es un número negativo porque la energía está saliendo de la barra con este método. Vamos a verificar esta ecuación usando, respectivamente, las ecuaciones 8.18, 5.8, 28.10, 30.5, 26.7 y 26.22:

Papl 5 Fapl v 5 FBv 5 (I,B)v 5 I(B,v) 5 I

« 5 I(IR) 5 I

R 5 2Pelec

(30.7)

En el paso final, reconocemos que P = I 2R es la tasa de energía entregada al resistor, por lo que −I 2R es la razón a la que la energía abandona la barra. E XAMEN RÁPIDO 30.2 En la figura 30.8a, una cierta fuerza aplicada de magnitud F resulta en una velocidad constante v y una potencia de entrada P. Imagine que se incrementa la fuerza de forma que la velocidad constante de la barra se duplica hasta 2v. Bajo estas condiciones, ¿cuáles son la fuerza y la potencia de entrada nuevas? (a) 2F y 2P, (b) 4F y 2P, (c) 2F y 4P y (d) 4F y 4P.

Ejemplo 30.2 Fuerza magnética que actúa sobre una barra deslizante La barra conductora ilustrada en la figura 30.9 (se mueve sobre dos rieles paralelos sin fricción en presencia de un campo magnético uniforme dirigido hacia la página. La S barra tiene masa m y su longitud es ,. A la barra se le da una velocidad inicial vi hacia la derecha y se libera en t = 0.

Bent

(A) Usando las leyes de Newton, encuentre la velocidad de la barra como función del tiempo después de que es liberada.

SOLUCIÓN

Conceptualizar Conforme la barra se desliza hacia la derecha (en la figura 30.9) en el circuito, que consiste en la barra, los rieles y el resistor, se establece una corriente en sentido contrario al de las manecillas del reloj. La corriente hacia arriba en la barra resulta en una fuerza magnética hacia la izquierda sobre la barra, como se muestra en la figura. Por tanto, la barra debe frenar, así que la solución matemática debe demostrar esto.

Figura 30.9

(Ejemplo 30.2) A una barra conductora de longitud , sobre dos rieles conductores fijos se le da una velocidad inicial S v i hacia la derecha.

Categorizar El texto clasifica este problema como uno apropiado para el uso de las leyes de Newton. Modele la barra como una partícula bajo una fuerza neta.

continúa

804

Capítulo 30

Ley de Faraday

30.2 c o n t i n u a c i ó n Analizar A partir de la ecuación 28.10, la fuerza magnética es FB = −I,B, donde el signo negativo indica que la fuerza es hacia la izquierda. La fuerza magnética es la única fuerza horizontal que actúa sobre la barra. dv Usando la partícula bajo el modelo de fuerza neta, aplique la Fx 5 ma S 2I /B 5 m dt segunda ley de Newton a la barra en la dirección horizontal: Sustituya I = B ,v/R de la ecuación 30.6: Reordene la ecuación de modo que todos los casos de la variable v estén a la izquierda y los de t estén a la derecha: Integre esta ecuación usando la condición inicial v = vi en t = 0 y observe que (B 2 ,2/mR) es una constante:

Defina la constante t = mR/B 2 ,2 y resuelva para la velocidad:

dv B/v B 2/ 2 /B 5 2 52 v dt R R

1 2

S D

dv B 2/ 2 52 v mR v

dt t

dv B 2/ 2 52 v mR

SD S D

v vi

# dt 0

B 2/ 2 t mR

(1) v 5 vi e2tyy

Finalizar Esta expresión para v indica que la velocidad de la barra disminuye con el tiempo bajo la acción de la fuerza magnética, como se esperaba a partir de la conceptualización del problema. La forma matemática del decaimiento es exponencial. (B) Demuestre que se encuentra el mismo resultado al usar un planteamiento energético. SOLUCIÓN

Categorizar El texto de esta parte del problema pide usar un planteamiento energético para la misma situación. Modelamos la barra de la figura 30.9 como un sistema no aislado de energía. Analizar La reducción apropiada de la ecuación 8.2 es DK = TET. El término de la izquierda representa el cambio en la velocidad de la barra, mientras que el término de la derecha representa la energía transferida fuera de la barra por la electricidad. Derive la reducción de la ecuación 8.2 con respecto al tiempo: Sustituya para la energía cinética de la barra a partir de la ecuación 7.16 y la corriente a partir de la ecuación 30.6: Reordene términos: Finalizar

dK dTET 5 5 Pelec 5 2I 2R dt dt d 1 2 B/v 2 s mv d 5 2 R dt 2 R

1 2

sB/vd2 dv 52 dt R

S D

dv B 2/ 2 dt 52 v mR

Este resultado es la misma expresión que se encontró en la parte (A).

¿ Q U É P A S A R Í A S I ? Suponga que quiere aumentar la distancia a través de la cual la barra se mueve entre el tiempo que inicialmente se proyecta y el tiempo cuando en esencia llega al reposo. Puede hacer esto al cambiar una de tres variables: vi , R o B por un factor de 2 o 1/2. ¿Cuál variable debe cambiar para maximizar la distancia, y la duplicaría o la reduciría a la mitad?

Respuesta Aumentar vi haría que la barra se moviera más lejos. Incrementar R reduciría la corriente y por tanto la fuerza magnética, lo que haría que la barra se moviera más lejos. Reducir B reduciría la fuerza magnética y haría que la barra se moviera más lejos. Sin embargo, ¿cuál método es el más efectivo? Use la ecuación (1) para encontrar por integración la distancia que la barra se mueve:

v5 x5

dx 5 vi e dt

vi e2ty dt 5 2vi e2ty

5 2vi s0 2 1d 5 vi 5 vi

S D mR B 2/ 2

Esta expresión demuestra que duplicar vi o R duplicará la distancia. No obstante, cambiar B en un factor de 12 , ¡hace que la distancia sea cuatro veces mayor!

805

30.3 Ley de Lenz Ejemplo 30.3 Fem de movimiento inducida en una barra giratoria

Bent

Una barra conductora de longitud , da vueltas con una rapidez angular constante S v en torno a un pivote en un extremo. Un campo magnético uniforme B se dirige perpendicular al plano de rotación, como se muestra en la figura 30.10. Encuentre la fem de movimiento inducida entre los extremos de la barra.

r dr

SOLUCIÓN

Conceptualizar La barra giratoria es diferente en naturaleza a la barra deslizante en la figura 30.7. Sin embargo, considere un pequeño segmento de la barra. Se trata de una longitud corta de conductor en movimiento en un campo magnético que tiene una fem generada en ella como la barra deslizante en la figura 30.7. Al pensar en cada pequeño segmento como una fuente de fem, se ve que todos los segmentos están en serie y las fem se suman a todo lo largo de la barra. Categorizar En términos de la conceptualización del problema, este ejemplo se plantea como se hizo en el análisis de la ecuación 30.5, con la característica añadida de que los segmentos cortos de la barra viajan en trayectorias circulares. Analizar Evalúe la magnitud de la fem inducida en un segmento de la S barra de longitud dr que tenga una velocidad v a partir de la ecuación 30.5: Encuentre la fem total entre los extremos de la barra al sumar las fem inducidas a través de todos los segmentos:

Pivote

Figura 30.10

(Ejemplo 30.3) Una barra conductora gira en torno a un pivote en un extremo en un campo magnético uniforme que es perpendicular al plano de rotación. Una fem de movimiento se induce a través de los extremos de la barra.

« 5 Bv dr

« 5 #Bv dr « 5 B #v dr 5 B #

La velocidad tangencial v de un elemento se relaciona con la velocidad angular v mediante la relación v = rv (ecuación 10.10); use este hecho e integre:

r dr 5 12 B /2

Finalizar En la ecuación 30.5 para una barra deslizante se puede aumentar al aumentar B, , o v. Incrementar cualquiera de estas variables por un factor determinado aumenta por el mismo factor. Por tanto, usted elegiría cualquiera de estas tres variables que sea la más conveniente de aumentar. Sin embargo, para la barra giratoria, hay una ventaja al aumentar la longitud de la barra para elevar la fem, porque , es cuadrática. Duplicar la longitud le da cuatro veces la fem, mientras que duplicar la velocidad angular sólo duplica la fem.

¿ Q U É P A S A R Í A S I ? Suponga, después de leer este ejemplo, que da con una brillante idea. Una rueda de la fortuna tiene rayos metálicos entre el centro y el borde circular. Estos rayos se mueven en el campo magnético de la Tierra, de modo que cada rayo actúa como la barra en la figura 30.10. Planea usar la fem generada por la rotación de la rueda de la fortuna para activar los focos de la rueda. ¿Funcionará esta idea?

Respuesta Si calcula una fem típica generada por un rayo, encontrará que es aproximadamente 1 mV, demasiado pequeña para operar una lámpara incandescente. (¡Pruebe este cálculo!) Una dificultad adicional se relaciona con la energía. Incluso si supone que puede encontrar lámparas que operen usando una diferencia de potencial del orden de milivolts, un rayo debe ser parte de un circuito para proporcionar un voltaje a las lámparas. En consecuencia, el rayo debe portar una corriente. Ya que este rayo portador de corriente está en un campo magnético, sobre el rayo se ejerce una fuerza magnética en la dirección opuesta a su dirección de movimiento. Como resultado, el motor de la rueda de la fortuna debe suministrar más energía para realizar trabajo contra esta fuerza de arrastre magnético. A final de cuentas, el motor debe proporcionar la energía que opere las lámparas, ¡y usted no ha obtenido nada de manera gratuita!

30.3 Ley de Lenz La ley de Faraday (ecuación 30.1) indica que la fem inducida y el cambio en el flujo tienen signos algebraicos opuestos. Lo anterior tiene una interpretación física muy real que ha llegado a ser conocida como la ley de Lenz:1 La corriente inducida en una espira está en la dirección que crea un campo magnético que se opone al cambio en el flujo magnético en el área encerrada por la espira.

Desarrollada por el físico alemán Heinrich Lenz (1804-1865).

Ley de Lenz

806

Capítulo 30

Ley de Faraday Como la barra conductora se desliza hacia la derecha, el flujo magnético debido al campo magnético externo dirigido hacia la página a través del área encerrada por la espira aumenta con el transcurso del tiempo.

Figura 30.11

(a) La Ley de Lenz puede utilizarse para determinar la dirección de la corriente inducida. (b) Cuando la barra se mueve hacia la izquierda, la corriente inducida debe moverse en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Por qué?

Figura 30.12 30.3)

(Examen rápido

Según la ley de Lenz, la corriente inducida en el circuito debe estar en dirección contraria a las manecillas del reloj para producir un campo magnético contrarrestante dirigido hacia afuera de la página.

Bent

Es decir, la corriente inducida tiende a mantener el flujo magnético original a través de la espira por alteración. Ahora se demostrará que esta ley es una consecuencia de la ley de conservación de energía. Para comprender la ley de Lenz, considere el ejemplo de la barra que se mueve hacia la derecha sobre dos rieles paralelos en presencia de un campo magnético uniforme (el campo magnético externo, cruces en verde, figura 30.11a). Conforme se mueve la barra hacia la derecha el flujo magnético a través del área encerrada por el circuito se incrementa con el tiempo ya que el área aumenta. La ley de Lenz establece que la corriente inducida en el circuito debe estar dirigida de forma que el campo magnético que produzca se oponga al cambio en el flujo magnético externo. Ya que el flujo magnético debido a un campo externo dirigido hacia adentro de la página está en aumento, la corriente inducida en el circuito, si ha de oponerse a este cambio, debe producir un campo dirigido hacia el exterior de la página encerrada por el circuito. En consecuencia, la corriente inducida en la espira del circuito debe dirigirse en dirección opuesta a las manecillas del reloj cuando la barra se mueve hacia la derecha. (Utilice la regla de la mano derecha para verificar esta dirección.) Si la barra se mueve hacia la izquierda, como en la figura 30.11b, el flujo magnético externo a través del área encerrada por la espira se reduce con el transcurso del tiempo. Ya que el campo está dirigido hacia la página, la dirección de la corriente inducida deberá estar en sentido de las manecillas del reloj si ha de producir un campo que también quede dirigido hacia la página. En cualquiera de los casos, la corriente inducida tiende a mantener el flujo original a través del área encerrada por la espira de corriente. Ahora examine esta situación a partir de consideraciones de energía. Suponga que a la barra se le da un ligero impulso hacia la derecha. En la explicación anterior, se encontró que este movimiento establece una corriente en la espira en dirección contraria a las manecillas del reloj. ¿Qué pasaría si supone que la corriente está en la dirección de las manecillas del reloj?, en este caso la corriente es hacia abajo en la barra, conforme a la Ecuación 28.10, la dirección de la fuerza magnética que se ejerce sobre la barra esté dirigida hacia la derecha. Esta fuerza aceleraría la barra e incrementaría su velocidad, lo que a su vez haría que el área encerrada por la espira se incrementara con mayor rapidez, lo cual daría como resultado un incremento en la corriente inducida, provocando un incremento en la fuerza, lo que a su vez produciría un incremento en la corriente, y así sucesivamente. De hecho, el sistema estaría adquiriendo energía sin ninguna entrada de la misma. Sin duda este comportamiento es inconsistente con todas las experiencias y viola la ley de la conservación de la energía. Por tanto, la corriente debe ir en sentido contrario a las manecillas del reloj. E XAMEN RÁPIDO 30.3 La figura 30.12 muestra una espira redonda de alambre que cae hacia un alambre que conduce corriente hacia la izquierda. La dirección de la corriente inducida en la espira es (a) en sentido de las manecillas del reloj, (b) opuesta a las manecillas del reloj, (c) cero, (d) imposible de determinar.

807

30.3 Ley de Lenz Ejemplo conceptual 30.4 Aplicación de la ley de Lenz Se coloca un imán cerca de una espira metálica, como se muestra en la figura 30.13a. (A) Encuentre la dirección de la corriente inducida en la espira cuando el imán se empuja hacia la espira. SOLUCIÓN

Esta es la misma situación que en la figura 30.1b. En la discusión de esa figura, dijimos que la dirección de la corriente era opuesta a la de la figura 30.1c, pero en ese momento no pudimos especificar la dirección más allá de eso. Ahora podemos. Conforme el imán se mueve a la derecha, hacia la espira, el flujo magnético externo a través de la espira aumenta con el tiempo. Para contrarrestar este aumento en flujo debido a un campo hacia la derecha, la corriente inducida produce su propio campo magnético hacia la izquierda, como se ilustra en la figura 30.13b; por eso, la corriente inducida está en la dirección que se muestra. Al saber que polos magnéticos similares se repelen, se concluye que la cara izquierda de la espira de corriente actúa como un polo norte y la cara derecha actúa como un polo sur. (B) Encuentre la dirección de la corriente inducida en la espira cuando el imán se aleja de la espira. SOLUCIÓN

Si el imán se mueve hacia la izquierda, como en la figura 30.13c, su flujo a través del área encerrada por la espira disminuye en el tiempo. Ahora la corriente inducida en la espira está en la dirección que se muestra en la figura 30.13d porque esta dirección de corriente produce un campo magnético en la misma dirección que el campo externo. En este caso, la cara izquierda de la espira es un polo sur y la cara derecha es un polo norte. Cuando el imán se mueve hacia la espira conductora estacionaria, se induce una corriente en la dirección que se muestra. Las líneas de campo magnético mostradas se deben al imán de barra.

Esta corriente inducida produce su propio campo magnético dirigido hacia la izquierda, que contrarresta el creciente flujo externo.

Cuando el imán se mueve alejándose de la espira conductora estacionaria, se induce una corriente en la espira en la dirección que se muestra.

Figura 30.13

Esta corriente inducida produce un campo magnético que se dirige hacia la derecha y por tanto contrarresta el flujo externo decreciente.

I N

I S

(Ejemplo conceptual 30.4) Una barra móvil induce una corriente en una espira conductora.

Ejemplo conceptual 30.5 Una espira móvil a través de un campo magnético Una espira metálica rectangular, con dimensiones , y w y resistencia R, se mueve con velocidad constante v hacia la dereS cha, como en la figura 30.14a. La espira pasa a través de un campo magnético uniforme B dirigido hacia la página y que se extiende una distancia 3w a lo largo del eje x. Defina x como la posición del lado derecho de la espira a lo largo del eje x. (A) Grafique, como función de x, el flujo magnético a través del área encerrada por la espira. SOLUCIÓN

La figura 30.14b muestra el flujo a través del área encerrada por la espira como función de x. Antes de que la espira entre al campo, el flujo a través de la espira es cero. Conforme la espira entra al campo, el flujo aumenta linealmente con la posición hasta que el borde izquierdo de la espira está justo dentro del campo. A medida que la espira se mueve a traves del campo uniforme, el flujo a través de la espira permanece constante. Por último, el flujo a través de la espira disminuye linealmente a cero conforme la espira sale del campo. (B) Grafique, como función de x, la fem de movimiento inducida en la espira. SOLUCIÓN

Antes de que la espira entre al campo, no se induce fem de movimiento en él porque no hay campo presente (figura 30.14c). Conforme el lado derecho de la espira entra al campo, el flujo magnético dirigido hacia la página aumenta. Por tanto, de

continúa

808

Capítulo 30

Ley de Faraday

30.5 c o n t i n u a c i ó n acuerdo con la ley de Lenz, la corriente inducida es contra las manecillas del reloj porque debe producir su propio campo magnético dirigido hacia afuera de la página. La fem de movimiento Bℓv (de la ecuación 30.5) surge de la fuerza magnética experimentada por las cargas en el lado derecho de la espira. Cuando la espira está completamente en el campo, el cambio en flujo magnético a través de la espira es cero; en consecuencia, la fem de movimiento desaparece. Esto ocurre porque, una vez que el lado izquierdo de la espira entra al campo, la fem de movimiento inducida en él cancela la fem de movimiento presente en el lado derecho de la espira. Conforme el lado derecho de la espira sale del campo, el flujo a través de la espira comienza a disminuir, se induce una corriente en sentido de las manecillas del reloj y la fem inducida es Bv. Tan pronto como el lado izquierdo sale del campo, la fem disminuye a cero. (C) Grafique, como función de x, la fuerza aplicada externa necesaria para contrarrestar la fuerza magnética y mantener v constante.

Bent

w x

0 a B

SOLUCIÓN

B w

La fuerza externa que se debe aplicar a la espira para mantener este movimiento se grafica en la figura 30.14d. Antes de que la espira entre el campo, ninguna fuerza magnética actúa sobre ella; 0 por eso, la fuerza aplicada debe ser cero si v es constante. Cuando el lado derecho de la espira b entra al campo, la fuerza aplicada sobre la espira debe incrementarse para mantener constante la velocidad de la espira así que la espira es una partícula en equilibrio, y la fuerza aplicada debe ser e igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza magnética ejercida sobre dicho lado. Cuando la espira está completamente en el campo, el flujo a través B v de la espira no cambia con el tiempo. Por eso, la fem inducida neta en la espira es cero y la corriente también es cero. Figura 30.14 (Ejemplo conceptual Por tanto, no se necesita fuerza externa para mantener el 30.5) (a) Una espira conductora movimiento. Por último, conforme el lado derecho sale rectangular de ancho w y longitud , B v S del campo, la fuerza aplicada debe ser igual en magnitud y que se mueve con una velocidad v a c opuesta en dirección a la fuerza magnética que actúa sobre través de un campo magnético uniforme que se extiende una distancia el lado izquierdo de la espira, la cual aún esta en el campo. Fx A partir de esta explicación, se concluye que la poten- 3w. (b) Flujo magnético a través del área encerrada por la espira como cia se suministra sólo cuando la espira está entrando o B2 2v función de la posición de la espira. saliendo del campo. Además, ¡este ejemplo demuestra (c) Fem inducida como función de R que la fem de movimiento inducida en la espira puede ser la posición de la espira. (d) Fuerza cero aun cuando haya movimiento a través del campo! aplicada requerida para velocidad 0 Una fem de movimiento sólo se induce cuando el flujo constante como función de la posid magnético a través de la espira cambia en el tiempo. ción de la espira.

30.4 Forma general de la ley de Faraday S

Si B cambia con el transcurso del tiempo, se induce un campo eléctrico en una dirección que es tangente a la circunferencia de la espira. S S

Bent

Figura 30.15

Espira conductora de radio r en un campo magnético uniforme perpendicular al plano de la espira.

Observe una vez más una espira conductora en un campo magnético, como en la figura 30.15. Imagine que el campo magnético cambia en el tiempo. En concordancia con la ecuación 29.18, el campo cambiante da como resultado un flujo magnético variable a través de la espira, también, de acuerdo con la ecuación 30.1, el flujo cambiante causa una fem en la espira. Además, de acuerdo con la ecuación 26.7, la fem causa una corriente en la espira y según la ecuación 26.6, la corriente es impulsada por un campo eléctrico en la espira. El campo eléctrico que está impulsando la corriente en la espira se muestra en varios puntos en la figura 30.15. Ha encontrado, entonces, que un campo magnético variable ha generado un campo eléctrico. Se hizo alusión a este fenómeno al comienzo de la sección 30.1, y ahora está preparado para analizar más detalles. Aquí está la pregunta que conducirá a una característica notable de este análisis: ¿qué pasaría si elimina la espira conductora? Esto, por supuesto, eliminaría las cargas que se mueven por la espira, pero encuentra lo siguiente: ¡el campo eléctrico sigue allí! Las cargas en movimiento en la espira simplemente demostraron que el campo eléctrico estaba allí, pero la espira no es necesaria para la existencia del campo eléctrico. Su existencia se debe únicamente a los cambios en el campo magnético. Se intentará cuantificar este nuevo tipo de campo eléctrico. En la ecuación 24.3, se encontró que una diferencia de potencial entre dos puntos en el espacio era igual a la integral de línea del producto punto del campo eléctrico y un desplazamiento infinitesi-

809

30.4 Forma general de la ley de Faraday mal a lo largo de una trayectoria entre los puntos. Aplique esto a un recorrido alrededor de nuestra espira conductora en la figura 30.15, donde la diferencia de potencial alrededor de la espira estará representada por la fem inducida en ella por el campo magnético cambiante. Usando la integral para la fem en la ecuación 30.1, tiene que S

$ E ?d? d s 5 2

dFB

(30.8)

La ecuación 30.8 es la forma general de la ley de Faraday. Esta representa todas las situaciones en las que un campo magnético variable genera un campo eléctrico. En el capítulo 33, estudiará una generalización de la ley de Ampère (ecuación 29.13) que representa campos magnéticos generados por campos eléctricos variables. En ese capítulo, se reunirán todas estas y otras ecuaciones importantes en un conjunto llamado ecuaciones de Maxwell, que formarán la base de todos los fenómenos electromagnéticos. Utilice la ecuación 30.8 para encontrar el campo eléctrico generado por el campo magnético cambiante en la figura 30.15. El campo eléctrico en cualquier parte de la espira es paralelo a los vectores de desplazamiento, por lo que el producto escalar se convierte simplemente en Eds. Debido a que el campo magnético es uniforme, la simetría del ciclo nos dice que E es el mismo en todas partes de la espira. Por tanto, la ecuación 30.8 se convierte

E ds 5 2

d sBAd S dt

E(2 r) 5 2

dB s r2d dt

E52

r dB 2 dt

Forma general de ley de Faraday PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 30.1 Campos eléctricos inducidos No necesariamente existe un campo magnético variable en la ubicación del campo eléctrico inducido. En la figura 30.15, incluso una espira externa a la región del campo magnético experimentará un campo eléctrico inducido.

(30.9)

Si se especifica la variación de tiempo del campo magnético, el campo eléctrico inducido se puede calcular a partir de la ecuación 30.9. La ecuación 24.3 evalúa la diferencia de potencial entre dos puntos en el espacio como una integral entre esos dos puntos del campo eléctrico creados por algunas cargas de fuente. Suponga que se integra alrededor de una trayectoria circular en el espacio en una región que contiene un campo eléctrico de este tipo, volviendo al mismo punto. Si los dos puntos en la ecuación 24.3 son los mismos, la integral se reduce a cero, lo que tiene sentido: la diferencia de potencial entre dos puntos en el espacio que son iguales debe ser cero. Pero la integral en la ecuación 30.8 es la misma integral y analizó hacer un recorrido alrededor de la espira circular en la figura 30.15. El valor de la integral no es cero en este caso. ¿Qué está pasando? Esto es evidencia de que el campo eléctrico que está analizando aquí es de naturaleza diferente del formado por las cargas estacionarias en el capítulo 23. Se describió un campo eléctrico inducido como no conservativo, porque la integral alrededor de una trayectoria cerrada no es cero. A pesar de esta diferencia en la naturaleza, el campo eléctrico inducido tiene muchas de las mismas propiedades que los campos eléctricos debido a las cargas de la fuente. Por ejemplo, un campo eléctrico inducido puede aplicar fuerzas sobre partículas cargadas de acuerdo con la ecuación 22.8.

Ejemplo 30.6 Campo eléctrico inducido por un campo magnético variable en un solenoide Un largo solenoide de radio R tiene n vueltas de alambre por cada unidad de longitud y porta una corriente variable en el tiempo que varía sinusoidalmente como I = Imáx cos vt, donde Imáx es la máxima corriente y v es la frecuencia angular de la fuente de corriente alterna (figura 30.16).

Trayectoria de integración

(A) Determine la magnitud del campo eléctrico inducido en el exterior del solenoide a una distancia r 7 R a lo largo de su eje central.

SOLUCIÓN

Conceptualizar La figura 30.16 muestra la situación física. Conforme cambia la corriente en las bobinas, imagine un campo magnético variable en todos los puntos del espacio, así como un campo eléctrico inducido. Categorizar En este análisis de problema, ya que la corriente varía en el tiempo, el campo magnético cambia, lo que conduce a un campo eléctrico inducido que se opone a los campos eléctricos electrostáticos debidos a cargas eléctricas estacionarias. Analizar Primero considere un punto externo y tome la trayectoria para la integral de línea como un círculo de radio r con centro en el solenoide, como se ilustra en la figura 30.16.

continúa

I I

Figura 30.16 (Ejemplo 30.6) Un largo solenoide que porta una corriente variable en el tiempo conocida por I = Imáx cos vt. Un campo eléctrico se induce tanto adentro como afuera del solenoide.

810

Capítulo 30

Ley de Faraday

30.6 c o n t i n u a c i ó n

d FB

d dB sB R 2 d 5 2 R 2 dt dt

Evalúe el lado derecho de la ecuación 30.8 y observe que el S campo magnético B dentro del solenoide es perpendicular al círculo acotado por la trayectoria de integración:

(1) 2

Evalúe el campo magnético en el solenoide a partir de la ecuación 29.17:

(2) B 5

Sustituya la ecuación (2) en la ecuación (1):

(3) 2

Evalúe el lado izquierdo de la ecuación 31.9 y observe que S la magnitud de E es constante sobre la trayectoria de inteS gración y E es tangente a ella:

(4)

Sustituya las ecuaciones (3) y (4) en la ecuación 30.8:

E(2 r) 5 R 2 0nImáx sen t

Resuelva para la magnitud del campo eléctrico

nI 5

nImáx cos t

d FB

5 2 R2

dt S

$ E ? d s 5 E s2

nI máx R 2 2r

nI máx

d scos td 5 R 2 dt

nI máx

sen t

(para r . R)

Finalizar Este resultado muestra que la amplitud del campo eléctrico afuera del solenoide cae como 1/r y varía sinusoidalmente con el tiempo; es proporcional a la corriente I, así como a la frecuencia v, lo que es consistente con el hecho de que un mayor valor de v significa un mayor cambio en el flujo magnético por unidad de tiempo. Como se verá en el capítulo 33, el campo eléctrico variable en el tiempo produce una aportación adicional al campo magnético. El campo magnético puede ser un poco más intenso de lo que se estableció al principio, tanto dentro como fuera del solenoide. La corrección al campo magnético es pequeña si la frecuencia angular v es pequeña. No obstante, a altas frecuencias, puede dominar un nuevo fenómeno: los campos eléctrico y magnético, cada uno reconstruyendo al otro, constituyen una onda electromagnética radiada por el solenoide, como se estudiará en el capítulo 33. (B) ¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico inducido dentro del solenoide, a una distancia r desde su eje? SOLUCIÓN

Analizar

Para un punto interior (r 6 R), el flujo magnético a través de una espira de integración se conoce por FB = Bpr 2. d FB

dB d sB r 2d 5 2 r 2 dt dt

Evalúe el lado derecho de la ecuación 30.8:

(5) 2

Sustituya la ecuación (2) en la ecuación (5):

(6) 2

Sustituya las ecuaciones (4) y (6) en la ecuación 30.8:

E(2 r) 5 r 2 0nImáx sen t

Resuelva para la magnitud del campo eléctrico:

dt d FB dt

52 r2

nI máx 2

r sen t

n I máx

d scos td 5 r 2 dt

nI máx sen t

(for r , R)

Finalizar Este resultado muestra que la amplitud del campo eléctrico inducido dentro del solenoide por el flujo magnético variable a través del solenoide aumenta linealmente con r y varía sinusoidalmente con el tiempo. Al igual que con el campo fuera del solenoide, el campo en el interior es proporcional a la corriente I y la frecuencia v.

30.5 Generadores y motores Puede tener una linterna de emergencia o una radio que funcione girando una manivela con la mano. Dentro de este dispositivo hay un generador que convierte la energía de su mano en energía potencial eléctrica. Veamos primero el generador de corriente continua (CC), que se ilustra en la figura 30.17a. En su forma más simple, consiste en una espira de alambre girado por algún medio externo en un campo magnético. A medida que la espira gira, el flujo magnético a través del área encerrada por la espira

30.5 Generadores y motores

811

Conmutador N

Figura 30.17

a) Diagrama esquemático de un generador de CC. b) La magnitud de la fem varía con el transcurso del tiempo, pero sin que nunca cambie la polaridad.

Escobilla a

cambia con el tiempo y este cambio induce una fem y una corriente en la espira de acuerdo con la ley de Faraday. Los extremos de la espira están conectados a un dispositivo de anillo dividido, llamado conmutador, que gira con la espira. Las conexiones desde el conmutador, que actúan como terminales de salida del generador, al circuito externo se realizan mediante escobillas metálicas inmóviles en contacto con el conmutador. En esta configuración, el voltaje de salida siempre tiene la misma polaridad y pulsa con el tiempo, como se muestra en la figura 30.17b. Podemos entender por qué al notar que los contactos del anillo partido invierten sus roles cada medio ciclo. Al mismo tiempo, la polaridad de la fem inducida se invierte; por tanto, la polaridad del anillo dividido (que es la misma que la polaridad del voltaje de salida) sigue siendo la misma. Una corriente continua pulsante no es adecuada para la mayoría de las aplicaciones. Para obtener una corriente CC más estable, los generadores comerciales de CC usan muchas bobinas y conmutadores distribuidos de manera que los pulsos sinusoidales de las diversas bobinas están desfasados. Cuando estos pulsos se superponen, la salida de CC está casi libre de fluctuaciones. Considere ahora el generador de corriente alterna (CA). Al igual que con el generador de CC, consiste en una espira de alambre girada por algún medio externo en un campo magnético (figura 30.18a). Los extremos de la espira se conectan a dos anillos de deslizamiento que giran con ella. Las conexiones de estos anillos, que actúan como terminales de salida del generador al circuito externo, se realizan mediante escobillas metálicas inmóviles que están en contacto con ellos. En las plantas eléctricas comerciales, la energía requerida para hacer girar la espira se puede obtener de una diversidad de fuentes. Por ejemplo, en una planta hidroeléctrica, el movimiento rotatorio se produce por una caída de agua dirigida hacia las aspas de una turbina; para los molinos de viento en la semblanza de aper-

Una fem es inducida en una espira que gira en un campo magnético

Anillos de deslizamiento

emáx t

Circuito externo Escobillas a

Figura 30.18 (a) Diagrama esquemático de un generador de CA. (b) Fem alternante inducida en la espira graficada en función del tiempo.

812

Capítulo 30

Ley de Faraday

Normal u

tura, la rotación de las aspas por el viento provoca la rotación de una espira en un generador, que es lo que está en la caja detrás de las aspas de la turbina. Suponga que, en lugar de una sola vuelta, la espira tiene N vueltas (una situación más práctica), todas con la misma área A, y giran en un campo magnético con una velocidad angular constante v. Si u es el ángulo formado entre el campo magnético y la normal al plano de la espira, como ocurre en la figura 30.19, el flujo magnético a través de la espira para cualquier instante es igual a

FB = BA cos u = BA cos vt

Figura 30.19

Vista del corte transversal de una espira que encierra un área A y que tiene N vueltas, girando con una velocidad angular constante v en un campo magnético. La fem inducida en la espira varía sinusoidalmente con el tiempo.

donde se utiliza la relación u = vt existente entre la posición angular y la rapidez angular (véase la ecuación 10.3). (El reloj se ajusta de manera que t = 0 cuando u = 0.) Por eso, la fem inducida en la bobina es

« 5 2N

dFB dt

5 2NBA

d scos td 5 NBA dt

sen t

(30.10)

Este resultado indica que la fem varía de manera sinusoidal en función del tiempo, tal y como está graficado en la figura 30.18b. Por la ecuación 30.10, la fem máxima tiene como valor

máx

= NBAv

(30.11)

« «

que se presenta cuando vt =90°, o bien, igual a 270°. En otras palabras, = máx cuando el campo magnético está en el plano de la bobina y la rapidez de cambio en el tiempo del flujo es máxima. Además, la fem es igual a cero cuando vt = 0, o bien S igual a 180°, esto es, cuando B es perpendicular al plano de la bobina y la rapidez de cambio con el tiempo del flujo es cero. La frecuencia de los generadores comerciales existentes en Estados Unidos y Canadá es de 60 Hz, en tanto que en algunas naciones europeas la frecuencia es de 50 Hz. (Recuerde que v = 2pf, donde f es la frecuencia en hertz.) E XAMEN RÁPIDO 30.4 En un generador de CA, una bobina de N vueltas de alambre gira en un campo magnético. Entre las opciones que siguen, ¿cuál es la que no causa un incremento en la fem producida en la bobina? (a) Remplazando el alambre de la bobina por uno de menor resistencia, (b) haciendo que la bobina gire con mayor rapidez, (c) incrementando el campo magnético, o (d) incrementando el número de vueltas de alambre en la bobina.

Ejemplo 30.7 Fem inducida en un generador La bobina en un generador CA consiste en ocho vueltas de alambre, cada una de área A = 0.090 0 m2, y la resistencia total del alambre es de 12.0 V. La bobina da vueltas en un campo magnético de 0.500 T con una frecuencia constante de 60.0 Hz. (A) Encuentre la máxima fem inducida en la bobina. SOLUCIÓN

Conceptualizar

Estudie la figura 30.18 para asegurarse de que comprende la operación de un generador CA.

Categorizar Se evalúan los parámetros usando ecuaciones desarrolladas en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un problema de sustitución. 5 NBA 5 NBA(2 f ) máx Use la ecuación 30.11 para encontrar la máxima fem inducida:

Sustituya valores numéricos:

máx

5 8(0.500 T)(0.090 0 m2)(2 )(60.0 Hz) 5 136 V

(B) ¿Cuál es la máxima corriente inducida en la bobina cuando las terminales de salida se conectan a un conductor de baja resistencia? SOLUCIÓN

Use la ecuación 26.7 y el resultado de la parte (A):

I máx 5

máx

136 V 5 11.3 A 12.0 V

30.5 Generadores y motores

813

Los motores son dispositivos en los que se transfiere energía mediante transmisión eléctrica y de los cuales se transfiere energía hacia afuera en forma de trabajo. En esencia, un motor es un generador que funciona a la inversa. En vez de generar una corriente mediante el giro de una espira, una batería suministra corriente a la bobina, y el momento de torsión que actúa en la bobina conductora de corriente hace que ésta gire (sección 28.5). Se puede realizar trabajo mecánico útil si se une la espira rotatoria de un motor con algún dispositivo externo. Sin embargo, cuando la bobina gira en un campo magnético, el flujo magnético variable induce una fem en la bobina; consistente con la ley de Lenz, la fem inducida siempre actuará para reducir la corriente en la bobina. El término fuerza contraelectromotriz se utiliza para indicar que una fem tiene tendencia a reducir la corriente suministrada. Ya que el voltaje disponible para el suministro de la corriente es igual a la diferencia entre el voltaje de alimentación y la fuerza contraelectromotriz, la corriente que pasa por la bobina rotatoria queda limitada por esta última. Cuando se activa un motor, inicialmente no existe fuerza contraelectromotriz y la corriente resulta muy grande porque está limitada únicamente por la resistencia de la bobina. Conforme la bobina empieza a girar, la fuerza contraelectromotriz inducida se opone al voltaje aplicado, reduciendo así la corriente en la bobina. Si se le permite al motor funcionar sin carga mecánica, la fuerza contraelectromotriz reduce la corriente a un valor sólo lo suficientemente grande para cubrir las pérdidas de energía debidas a la energía interna y a la fricción. Si una carga pesada detiene el motor de forma que ya no pueda girar, la falta de una fuerza contraelectromotriz puede llevar a un nivel peligrosamente alto de corriente en el alambre del motor. Esta situación es peligrosa, y se explora en la sección ¿Qué pasaría si? del ejemplo 30.8.

Ejemplo 30.8 Corriente inducida en un motor Un motor contiene una bobina con una resistencia total de 10 V producida por un voltaje de 120 V. Cuando el motor funciona a su máxima rapidez, la fuerza contraelectromotriz es de 70 V. (A) Encuentre la corriente en la bobina en el instante en que el motor se enciende. SOLUCIÓN

Conceptualizar Piense en el motor justo después de que se enciende. Todavía no se mueve, de modo que no hay fuerza contraelectromotriz generada. Como resultado, la corriente en el motor es alta. Después de que el motor comienza a girar, se genera una fuerza contraelectromotriz y la corriente disminuye. Categorizar Necesita combinar la nueva comprensión de los motores con la relación entre corriente, voltaje y resistencia en este problema de sustitución. 120 V Evalúe la corriente en la bobina a partir de la ecuación I5 5 5 12 A R 10 V 26.7 sin fuerza contraelectromotriz generada:

(B) Encuentre la corriente en la bobina cuando el motor alcanza máxima rapidez. SOLUCIÓN

Evalúe la corriente en la bobina con la máxima fuerza contraelectromotriz generada:

«2«

fuerza

120 V 2 70 V 50 V 5 5 5.0 A 10 V 10 V

La corriente extraída por el motor cuando funciona a su máxima rapidez es significativamente menor que la extraída antes de que comience a girar. ¿ Q U É P A S A R Í A S I ? Suponga que este motor está en una sierra circular. Cuando funciona la sierra, el aspa se atasca en un trozo de madera y el motor no puede girar. ¿En qué porcentaje aumenta la potencia de entrada del motor cuando está atascado?

Respuesta Es posible que haya tenido experiencias cotidianas con motores que se calientan cuando algo evita que giren. Esto se debe al aumento de potencia de entrada al motor. La mayor rapidez de transferencia de energía resulta en un aumento en la energía interna de la bobina, un efecto indeseable.

continúa

814

Capítulo 30

Ley de Faraday

30.8 c o n t i n u a c i ó n

Patascado

Establezca la rapidez de la potencia de entrada al motor cuando se atasca, empleando la corriente calculada en la parte (A), a la que se presenta cuando no está atascado, parte (B):

Pno atascado Patascado

Al sustituir valores numéricos se obtiene

Pno atascado

I A2R I B2R

I A2 I B2

s12 Ad2 5 5.76 s5.0 Ad2

¡Que representa un aumento de 476% en la potencia de entrada! Tan alta potencia de entrada hace que la bobina se caliente y se dañe.

30.6 Corrientes de eddy Pivote

S N

Como la placa entra o sale del campo, el flujo magnético variable induce una fem, que es la que genera corrientes de eddy en la placa.

Figura 30.20 Formación de corrientes de eddy en una placa conductora que se mueve a través de un campo magnético.

Como ha visto, en un circuito se induce una fem y una corriente debido a la presencia de un flujo magnético variable. Imagine ahora una placa de metal, como la que cuelga de una varilla en la figura 30.20. Se puede considerar que una placa de metal es una combinación de muchas espiras circulares concéntricas conductoras de varios radios. Por tanto, se inducen corrientes circulantes, conocidas como corrientes de eddy en piezas voluminosas de metal que se mueven a través de un campo magnético. Este fenómeno se demuestra si se deja una placa plana de cobre o de aluminio unida al extremo de una barra rígida en oscilación a través de un campo magnético (figura 30.20). Conforme la placa entra en el campo, el flujo magnético variable induce una fem en ella, la cual, a su vez, hace que los electrones libres presentes en la placa se muevan, produciendo corrientes de eddy en remolino. De acuerdo con la ley de Lenz, la dirección de las corrientes de eddy es tal que genera campos magnéticos que se oponen al cambio que causan dichas corrientes. Por esta causa, las corrientes de eddy deben producir polos magnéticos efectivos sobre la placa, que son repelidos por los polos del imán; esto da lugar a una fuerza de repulsión que se opone al movimiento de la placa. (Si lo contrario fuera verdadero, la placa se aceleraría y su energía se incrementaría después de cada oscilación, lo que violaría la ley de conservación de energía.) S Como se indica en la figura 30.21a, con B dirigido hacia el interior de la página, la corriente de eddy inducida va en dirección opuesta a las manecillas del reloj conforme la placa oscilante entra en el campo en la posición 1, debido a que se está incrementando el flujo causado por el campo magnético externo hacia el interior de la página a través de la placa. Por esto, según la ley de Lenz, la corriente inducida debe proveer su propio campo magnético hacia el exterior de la página. Lo opuesto ocurre conforme la placa sale del campo en la posición 2, donde la corriente está en el sentido de las manecillas del reloj. Ya queSlas corrientes de eddy inducidas siempre producen una fuerza magnética de retardo F B cuando la placa entra o sale del campo, la placa oscilante finalmente regresa a una posición de reposo. Si, como se muestra en la figura 30.21b, se abren ranuras en la placa, se reducen de manera importante las corrientes de eddy y la fuerza de

Conforme la placa sale del campo, las corrientes giran en sentido de las manecillas del reloj.

Conforme la placa conductora entra en el campo, las corrientes de eddy giran en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Cuando se ranura la placa conductora, las corrientes de eddy se reducen y la placa oscila con mayor libertad a través del campo magnético.

Pivote 1

Pivote

1 S

Bent

Figura 30.21

Cuando una placa conductora oscila a través de un campo magnético, se inducen corrientes de eddy y la fuerza magnéS tica F B sobre la placa se opone a su velocidad, haciendo que finalmente llegue al reposo.

2 Bent

S S

FB a

FB b

Piense, dialogue y comparta

815

retardo correspondiente. Comprenderá lo anterior al darse cuenta de que los cortes en la placa impiden la formación de largas espiras de corriente. Los sistemas de frenado en muchos trenes subterráneos y trolebuses aprovechan la inducción electromagnética y las corrientes de eddy. Un electroimán unido al tren está colocado cerca de los rieles de acero. (En esencia, un electroimán es un solenoide con núcleo de hierro.) El efecto de freno se presenta cuando se hace pasar una corriente muy grande por el electroimán. El movimiento relativo existente entre el imán y los rieles induce en éstos corrientes de eddy y la dirección de estas corrientes produce una fuerza de arrastre sobre el tren en movimiento. Ya que estas corrientes disminuyen uniformemente en magnitud al disminuir la velocidad del tren, el efecto de frenado es muy suave. Como medida de seguridad, algunas herramientas eléctricas las utilizan para detener rápidamente las aspas en rotación una vez apagado el dispositivo. Con frecuencia, las corrientes de Eddy son indeseables, ya que representan una transformación de energía mecánica en energía interna en la resistencia del metal. A fin de reducir esta pérdida de energía, a menudo las piezas conductoras se fabrican laminadas, es decir, con capas delgadas de material separadas por otro material no conductor, como por ejemplo las lacas o algún óxido metálico. Esta estructura en capas evita espiras de corriente grandes y limita de manera efectiva las corrientes a espiras pequeñas en cada capa individual. Estas estructuras laminadas se usan en los núcleos de los transformadores (véase la sección 32.8) y en los motores para minimizar las corrientes de eddy y, por consiguiente, incrementar la eficiencia de dichos dispositivos.

Resumen › Conceptos y principios La Ley de inducción de Faraday afirma que la fem inducida en una espiral es directamente proporcional a la razón de cambio en el tiempo del flujo magnético a través de la espira, o bien

« 52 S

d FB

Cuando una barra conductora de longitud / se mueve S v a través de un campo magnético con una velocidad S S S B , donde B es perpendicular a la barra y a v , la fem de movimiento inducida en la barra es

« 5 2B,v

(30.1)

(30.5)

donde FB 5 eB ? d A es el flujo magnético a través de la espira.

La ley de Lenz afirma que la corriente inducida y la fem inducida en un conductor están en una dirección tal que establecen un campo magnético que se opone al cambio que los produce.

Una forma general de la ley de inducción de Faraday es S

$ E ?d s 5 2

d FB dt

(30.8)

donde E es el campo eléctrico no conservativo que se produce mediante el flujo magnético variable.

Piense, dialogue y comparta Consulte el Prefacio para obtener una explicación de los iconos utilizados en este conjunto de problemas. Para elementos de evaluación adicionales para esta sección, vaya a 1.

ACTIVIDAD En esta actividad, su grupo construirá un motor homopolar simple. Necesitará los siguientes componentes:

Batería AA Tornillo de madera Imán de disco Cable aislado, de unos 10 cm de largo, con los extremos pelados

Coloque el imán de disco en la cabeza del tornillo, donde debe ser atraído y permanecer adherido. Cuelgue la punta del tornillo de la parte inferior plana de la batería, donde se atraerá magnéticamente y se colgará. La figura TP30.1 (página 816) muestra la estructura del motor. Coloque un extremo del cable en el botón en la parte superior de la batería y sosténgalo con un dedo o cinta adhesiva. Toque el otro extremo del cable hasta el borde del disco magnético y observe cómo gira el tornillo. La punta del tornillo puede deambular mientras gira. Si llega al borde de la parte plana de la parte inferior de la batería, puede encontrar un lugar donde la fricción en la punta impide su rotación. Registre el

816

Capítulo 30

Ley de Faraday la jaula y tira continuamente hacia abajo de las varillas de metal a la izquierda de la jaula, como se muestra en la figura TP30.2b. Esto provoca la rotación de la jaula, haciendo que las varillas de metal pasen entre los polos del imán. La fem generada en las varillas de metal crea una corriente y la fuerza magnética en esta corriente proporciona una fuerza resistiva a la rotación de la jaula. (a) Discuta en su grupo lo siguiente y realice el cálculo solicitado: Su objetivo de diseño es que el operador debe trabajar a razón de 100 watts cuando la jaula está girando a una velocidad angular constante de 5.00 rad/s. Antes de construir el aparato, vea si su objetivo de diseño es factible calculando la resistencia requerida entre los extremos. (b) Analice en su grupo las siguientes preguntas: ¿Qué tan seguro es este dispositivo? ¿Puede ver un defecto de seguridad?

Cable Batería AA

Tornillo de madera Imán de disco

Figura TP30.1 sentido de rotación del tornillo e informe lo que sucede si (a) el imán de disco se gira para invertir sus polos, y (b) la batería se gira para que el tornillo se cuelgue del botón. 2. Su grupo tiene una idea para el diseño de un nuevo aparato de ejercicio que hará uso de la fem inducida. Usted planea construir una jaula cilíndrica, con un eje horizontal, utilizando 32 varillas metálicas de 0.800 m de longitud, montadas entre dos extremos metálicos circulares de radio r = 25.0 cm como se muestra en el inciso (a) de la figura TP30.2. Entre las terminales conectará un resistor. Esta jaula se montará en un pivote para que pueda girar alrededor de los centros de los extremos metálicos. Además, un electroimán está montado con un polo dentro de la jaula y el otro por fuera, como se muestra en el inciso (b) de la figura TP30.2. La figura muestra una vista final de los polos del imán, que se extienden en la página una distancia ,, de modo que los polos magnéticos son tan largos como las varillas de metal. El imán produce un campo magnético de magnitud B = 0.250 T entre sus polos. En uso, el operador está de cara a

Jale hacia abajo aquí

El polo sur está en la jaula y no es visible aquí.

S N

Figura TP30.2

Problemas Consulte el Prefacio para obtener una explicación de los iconos utilizados en este conjunto de problemas. Para elementos de evaluación adicionales para esta sección, vaya a

SECCIÓN 30.1 Ley de Faraday de inducción 1. La espira circular de alambre en la figura P30.1 tiene un radio de 12.0 cm y se encuentra en un campo magnético y perpendicular al plano de la espira como se muestra en la figura P30.1 si el campo disminuye a razón de 0.50T en algún intervalo de tiempo, encontrar la magnitud de la fem inducida en la espira durante este intervalo de tiempo.

Figura P30.2

Dibuje una gráfica de DV en función de t para la disposición mostrada. Considere la posibilidad de una corriente que fluye en sentido antihorario si el punto de partida del proyectil se ve como positivo. En su gráfica, indique cuál es el pulso de la bobina 1 y cuáles el de la bobina 2. (b) Si la separación del pulso es de 2.40 ms y d = 1.50 m, ¿cuál es la velocidad del proyectil?

Figura P30.1

2. Un instrumento basado en fem inducida ha sido utilizado para medir la velocidad de hasta 6 km/s de un proyectil. En el proyectil está incorporado un pequeño imán, como se muestra en la figura P30.2. El proyectil pasa a través de dos bobinas separadas por una distancia d. A medida que el proyectil pasa a través de cada bobina, un pulso de fuerza electromotriz se induce en la bobina. El intervalo de tiempo entre los pulsos se puede medir con precisión con un osciloscopio y por tanto se puede determinar la velocidad. (a)

3. Actualmente, se desarrolla trabajo científico para determinar si los débiles campos magnéticos oscilantes pueden afectar la salud humana. Por ejemplo, un estudio encontró que los conductores de trenes tenían una mayor incidencia

BIO

817

Problemas de cáncer en la sangre que otros trabajadores de los ferrocarriles, posiblemente debido a la exposición prolongada a los dispositivos mecánicos en la cabina de la máquina del tren. Considere la posibilidad de un campo magnético de magnitud 1.00 × 10−3 T, oscilando sinusoidalmente en 60.0Hz. Si el diámetro de un glóbulo rojo es de 8.00 mm, determine la fem máxima que puede ser generada alrededor del perímetro de una célula en este campo. 4. Un solenoide largo tiene n = 400 vueltas por cada metro y T lleva una corriente dada por I = 30.0 (1 − e−1.60t). En el interior del solenoide, colocada en forma coaxial con el mismo se encuentra una bobina que tiene un radio de R = 6.00 cm y está formada por N = 250 vueltas de alambre delgado (figura P30.4). ¿Cuál es la fem inducida en la bobina por la corriente variable? I

n vueltas /m

N vueltas

Figura P30.4 5. Un anillo de aluminio de radio r 1 = 5.00 cm y 3.00 × 10−4 V de resistencia se coloca en el extremo de un solenoide largo de núcleo de aire, con 1 000 vueltas por cada metro y radio r 2 = 3.00 cm como se muestra en la figura P30.5. Suponga que el componente axial del campo producido por dicho solenoide es sólo la mitad de intenso en toda el área del extremo del solenoide que el correspondiente en el centro del mismo. Además suponga que el solenoide produce un campo despreciable fuera de su área de sección transversal. La corriente en el solenoide se incrementa con una tasa de 270 A/s. (a) ¿Cuál es la corriente inducida en el anillo? En el centro de éste, ¿cuáles son (b) la magnitud y (c) la dirección del campo magnético producido por la corriente inducida en el anillo?

7. Una bobina formada por 50 vueltas de alambre en forma de cuadrado, se coloca en un campo magnético de forma que la normal al plano de la bobina forme un ángulo de 30.0° con la dirección del campo. Cuando el campo magnético aumenta de manera uniforme de 200 mT a 600 mT en 0.400 s, se induce en la bobina una fem de 80.0 mV. ¿Cuál es la longitud total del alambre en la bobina? 8. Cuando un alambre conduce una corriente CA de frecuencia conocida, es posible utilizar una bobina Rogowski para determinar la amplitud Imáx de la corriente sin desconectar el alambre para desviar la corriente por un medidor. La bobina Rogowski que se muestra en la figura P30.8, simplemente se sujeta alrededor del alambre. Está constituida de un conductor toroidal enroscado alrededor de una cuerda circular de regreso. El toroide tiene n vueltas por cada unidad de longitud a lo largo de ella y un área de sección transversal A. La corriente que se va a medir está dada por I(t) =Imáx sen vt. (a) Demuestre que la amplitud de la fem inducida en la bobina Rogowski es «máx= m0nAvImáx. (b) Explique la e I(t ) causa por la cual el alambre que conduce la corriente desconocida no necesita estar en el centro de la bobina Rogowski, así como Figura P30.8 por qué la bobina no responderá a corrientes cercanas que no estén dentro de ella.

C|C

9. Un toroide de sección transversal rectangular (a = 2.00 cm por b = 3.00 cm) y de radio interno R= 4.00 cm está formado por 500 vueltas de alambre que conducen una corriente sinusoidal I = Imáx sen vt, con Imáx = 50.0 A y una frecuencia f = v/2p = 60.0 Hz. Una bobina con N´ = 20 vueltas de alambre está acoplada con el toroide, como se observa en la figura P30.9. Determine la fem inducida en la bobina en función del tiempo. N

R b

Figura P30.9 Figura P30.5

Problemas 5 y 6.

6. Un anillo de aluminio de radio r 1 y de resistencia R se coloca alrededor del extremo de un solenoide largo con núcleo de aire con n vueltas por cada metro y con un radio menor r 2, como el que se muestra en la figura P30.5. Suponga que el componente axial del campo producido por el solenoide en el área correspondiente al extremo de éste es la mitad de intenso que en el centro del mismo. También suponga que el solenoide produce un campo despreciable por fuera de su área de sección transversal. La corriente en el solenoide se incrementa a razón de DI/Dt. (a) ¿Cuál es la corriente inducida en el anillo? (b) En el centro del anillo, ¿cuál es el campo magnético producido por la corriente inducida en él? (c) ¿Cuál es la dirección de este campo?

SECCIÓN 30.2 Fem de movimiento El problema 47 del capítulo 28 puede ser asignado a esta sección. 10. Un avión pequeño, con una extensión de las alas de 14.0 m, vuela hacia el norte con una rapidez de 70.0 m/s sobre una región donde la componente vertical del campo magnético de la Tierra es 1.20 mT hacia abajo. (a) ¿Qué diferencia de potencial se desarrolla entre las puntas de las alas? (b) ¿Cuál punta de ala está a mayor potencial? (c) ¿Qué pasaría si? ¿Cómo cambiaría la respuesta a los incisos (a) y (b) si el avión vira para volar hacia el este? (d) ¿Se puede usar esta fem para activar una luz en el compartimiento de pasajeros? Explique su respuesta.

C|C

818

Capítulo 30

Ley de Faraday

11. Un helicóptero (figura P30.11) tiene aspas de 3.00 m de longitud que se extienden desde un eje central y giran a 2.00 rev/s. Si el componente vertical del campo magnético de la Tierra es de 50.0 mT, ¿cuáles la fem inducida entre la punta del aspa y el eje central?

Bent R

Sascha Hahn/Shutterstock

Figura P30.15

Figura P30.11 12. Un alambre de 2.00 m de longitud se mantiene en la dirección este-oeste y se mueve horizontalmente hacia el norte a una velocidad de 0.500 m /s. El campo magnético de la Tierra en esta región es de magnitud 50.0m T y dirigido hacia el norte a 53.0° por debajo de la horizontal. (a) Calcule la magnitud de la fem inducida entre los extremos del alambre y (b) determine qué extremo es positivo. 13. Una varilla de metal de masa m se desliza sin fricción a lo largo de dos rieles horizontales paralelos, separados por una distancia ,, y conectado por una resistencia R, como se muestra en la figura P 30.13. Un campo magnético vertical uniforme de magnitud B es aplicado en sentido perpendicular al plano del papel. La fuerza aplicada que se muestra en la figura actúa sólo por un momento, sólo para dar a la varilla una velocidad v en términos de m, ,, R, B y v, encuentre la distancia que la barra se desliza a medida que se desacelera hasta detenerse. S

Bent S

Fapl

Figura P30.13 14. ¿Por qué no es posible la siguiente situación? Un automóvil tiene una antena de radio vertical de longitud , = 1.20 m. El automóvil se desplaza en una carretera horizontal con curvas, donde el campo magnético de la Tierra tiene una magnitud de B = 50.0 mT y se dirige hacia el norte y hacia abajo en un ángulo u = 65.0° debajo de la horizontal. La fem electromotriz desarrollada entre la parte superior y la parte inferior de la antena varía con la velocidad y el sentido de la marcha del automóvil y tiene un valor máximo de 4.50 mV. 15. Una barra conductora de longitud ,, se mueve hacia la derecha sobre dos rieles sin fricción como se muestra en la figura P30.15. Un campo magnético uniforme dirigido hacia la página tiene una magnitud de 0.300 T. Suponga R = 9.00V y , = 0.350 m. (a) ¿A qué velocidad constante se debe mover la barra para producir una corriente de 8.50 mA en el resistor? (b) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida? (c) ¿A qué tasa es suministrada la energía al resistor? (d) explique el origen de la energía que está siendo entregada al resistor.

16. Una astronauta está conectada a su nave por un cable de sujeción de 25.0 m de largo; ella y la nave espacial orbitan a la Tierra en una trayectoria circular a una rapidez de 7.80 × 103 m /s. En un instante, la fuerza electromotriz entre los extremos de un alambre incrustado en el cable se mide como 1.17 V. Suponga que en ese instante, la dimensión larga del cable es perpendicular al campo magnético de la Tierra. Suponga también que el centro de masa del cable de sujeción se mueve con una velocidad perpendicular al campo magnético de la Tierra. (a) ¿Cuál es la magnitud del campo de la Tierra en este lugar? (b) ¿La fem cambia conforme el sistema se mueve de un lugar a otro? Explique. (c) Proporcione dos condiciones en las quela fem sería cero a pesar de que el campo magnético no es cero.

C|C

17. Está trabajando para una empresa que fabrica motores y CE generadores. Al final de su primer día de trabajo, su supervisor le explica que lo asignará a un equipo que está diseñando un nuevo generador homopolar. No tiene idea de qué es eso, pero acepta de todo corazón la tarea. En casa esa noche, busca en línea para aprender sobre el generador homopolar y encuentra lo siguiente. El generador homopolar, también llamado disco de Faraday, es un generador eléctrico de bajo voltaje y alta corriente. Consiste en un disco conductor giratorio con una escobilla inmóvil (un contacto eléctrico deslizante) en su eje y otro en un punto en su circunferencia, como se muestra en la figura P30.17. Un campo magnético uniforme se aplica perpendicularmente al plano del disco. Cuando se usan bobinas superconductoras para producir un gran campo magnético, un generador homopolar puede tener una potencia de varios megawatts. Tal generador es útil, por ejemplo, en la purificación de metales por electrólisis. Si se aplica un voltaje a las terminales de salida del generador, funciona en reversa como un motor homopolar capaz de proporcionar un gran torque, útil en la propulsión de la nave. En el trabajo a la mañana siguiente, su supervisor le dice que el generador homopolar bajo consideración tendrá un campo magnético de magnitud B = 0.900 T y el radio del disco es r = 0.400 m. La fem deseada que se generará con el dispositivo es « = 25.0 V. Su supervisor le pide que determine la velocidad angular requerida del disco para lograr este resultado.

C|C

Figura P30.17

819

Problemas 18. Está trabajando en un laboratorio que usa fem en moviCE miento para realizar mediciones magnéticas. Ha descubierto que es difícil crear un campo magnético uniforme en todo el aparato de barra deslizante que se muestra en la figura 30.18a, con una resistencia R conectada entre los rieles. Decide investigar la creación del campo magnético con un conductor largo, recto y portador de corriente que se encuentra al lado y paralelo a uno de los rieles, como se muestra en la figura P30.18. Esto creará un campo no uniforme en el plano de la barra y los rieles. Usted configura el aparato de esta manera, con el cable portador de corriente a una distancia desde el riel superior. Desea encontrar una expresión para la fuerza necesaria para deslizar la barra a una velocidad constante de v hacia la derecha en la figura P30.18 si el cable lleva una corriente I. (Sugerencia: se requerirán dos integraciones separadas). I S

Bent

20. Está trabajando en una fábrica que produce barras largas CE de cobre con una sección transversal cuadrada. En una sección del proceso de producción, las barras deben deslizarse hacia abajo en un plano inclinado de ángulo u. Se ha descubierto que las barras se desplazan con una velocidad demasiado alta y se abollan o doblan cuando llegan al final del plano y deben desecharse. Para evitar este desperdicio, puede idear una forma de entregar las barras en la parte inferior del plano a una velocidad menor. Remplace el plano inclinado con un par de rieles metálicos paralelos, que se muestran en la figura P30.19, separados por una distancia ,. Las barras lisas de masa m se deslizarán por los rieles suaves, con la longitud de la barra siempre perpendicular a los rieles. Los rieles están sumergidos en un campo magnético de magnitud B, y un resistor de resistencia R está conectado entre los extremos superiores de los rieles. Determine el campo magnético necesario en su dispositivo para que las barras lleguen a la parte inferior del plano con una velocidad máxima vmáx .

SECCIÓN 30.4 Forma general de la ley de Faraday

21. Dentro del círculo verde que se muestra en la figura P30.21, el campo magnético cambia con el tiempo según la expresión B = (2.00t 3 − 4.00t 2 + 0.800), donde B está en teslas, t en segundos y R = 2.50 cm. Cuando t = 2.00 calcule (a) la magnitud y (b) la dirección de la fuerza ejercida sobre un electrón localizado en el punto Pa que está a una distancia r = 5.00 cm. a partir del centro del campo de la región circular. (c) ¿En qué instante esta fuerza es igual a cero?

Figura P30.18 19. Está trabajando en una fábrica que produce barras largas CE de cobre con una sección transversal cuadrada. En una sección del proceso de producción, las barras deben deslizarse hacia abajo en un plano inclinado en un ángulo u = 21.0° con respecto a la horizontal. Se ha descubierto que las barras se desplazan con una velocidad demasiado alta y se abollan o doblan cuando llegan al final del plano y deben desecharse. Para evitar este desperdicio, puede idear una forma de entregar las barras en la parte inferior del plano a una velocidad menor. Remplace el plano inclinado con un par de rieles metálicos paralelos, que se muestran en la figura P30.19, separados por una distancia, , = 2.00 m. Las barras lisas de masa m = 1.00 kg se deslizarán por los rieles lisos, con la longitud de la barra siempre perpendicular a los rieles. Los rieles están inmersos en un campo magnético de magnitud B, y un resistor de resistencia R = 1.00 V está conectado entre los extremos superiores de los rieles. Determine el campo magnético necesario en su dispositivo para que las barras lleguen a la parte inferior del plano con una velocidad máxima v = 1.00 m/s.

Bin

Figura P30.21 22. Un solenoide largo con 1 × 103 vueltas por metro y un radio de 2.00 cm lleva una corriente oscilatoria determinada por I = 5.00 sen (100 pt). (a) ¿Cuál es el campo eléctrico inducido en el radio r = 1.00 cm desde el eje del solenoide? (b) ¿Cuál es la dirección de este campo eléctrico cuando la corriente en el solenoide crece en dirección contraria a las manecillas del reloj?

SECCIÓN 30.5 Generadores y motores El problema 45 del capítulo 28 puede asignarse a esta sección.

23. Un generador produce 24.0 V cuando se gira a 900 rev/min. ¿Qué fem se produce al girar a 500 rev/min? m

Figura P30.19 Problemas 19 y 20.

24. La figura P30.24 (página 820) es una gráfica de la fem inducida en función del tiempo para una bobina de N vueltas que gira con una rapidez angular v en un campo magnético uniforme con dirección perpendicular al eje de rotación de la bobina. ¿Qué pasaría si? Copie este dibujo (a una escala mayor) y en el mismo conjunto de ejes muestre la gráfica de la fem en función de t (a) si duplica el número de vueltas de la bobina; (b) si en vez de lo anterior duplica la rapidez angular y (c) si se duplica la rapidez angular y al mismo tiempo se reduce a la mitad el número de vueltas de la bobina.

820

Capítulo 30

Ley de Faraday

e (mV)

PROBLEMAS ADICIONALES

10 5

t (ms) 1

5 10

Figura P30.24 25. La espira giratoria cuadrada de un generador de CA tiene 10.0 cm por lado. Se le hace girar a 60.0 Hz en un campo uniforme de 0.800 T. Calcule (a) el flujo a través de la espira como una función del tiempo, (b) la fem inducida en la espira, (c) la corriente inducida en la espira si ésta tiene una resistencia de 1.00 V, (d) la potencia entregada a la espira y (e) el momento de torsión que se debe ejercer para que gire. 26. En la figura P30.26, un conductor semicircular de radio R = 0.250 m es girado alrededor del eje de CA a una razón constante de 120 rev/min. Un campo magnético uniforme de magnitud 1.30 T llena toda la región por debajo del eje y se dirige hacia afuera de la página. (a) Calcule el valor máximo de la fem inducida entre los extremos del conductor. (b) ¿Cuál es el valor de la fem inducida promedio por cada rotación completa? (c) ¿Qué pasaría si? ¿Cómo cambiarían sus respuestas a los incisos (a) y (b) si se permitiera que el campo magnético se extendiera a una distancia R por encima del eje de rotación? Dibuje la fem en función del tiempo (d) cuando el campo está según lo dibujado en la figura P30.26 y (e) cuando el campo se extiende, como se describe en el inciso (c).

C|C

28. Suponga que, con el fin de fabricar una bobina, enrolla alambre en el cartón de soporte de un rollo de cinta de celofán. Describa cómo podrá utilizar un imán de barra para producir un voltaje inducido en la bobina. ¿Cuál es el orden de magnitud de la fem generada? Diga qué cantidades se han tomado como datos, así como sus valores. 29. Una espira rectangular de área A = 0.160 m2 se coloca en una región donde el campo magnético es perpendicular al plano de la espira. Se permitió que la magnitud del campo variara en el tiempo de acuerdo a B = 0.350 e −t/2.00, donde B está en teslas y t en segundos. El campo tiene el valor constante de 0.350 T para t < 0. ¿Cuál es el valor de « en t = 4.00 s? 30. Una espira rectangular de área A se coloca en una región donde el campo magnético es perpendicular al plano de la espira. Se permitió que la magnitud del campo variara en el tiempo de acuerdo a B = Bmáx e −t/t, donde Bmáx y t son constantes. El campo tiene la Bmáx valor constante para t < 0. Encontrar la fem inducida en la espira como una función del tiempo. 31. Una bobina circular que encierra un área de 100 cm2 está T hecha con 200 vueltas de alambre de cobre (figura P30.31). El alambre que forma la bobina no tiene resistencia, los extremos del cable están conectados a través de una resistencia de 5.00 V para formar un circuito cerrado. Inicialmente, un campo magnético uniforme de 1.10 T apunta perpendicularmente hacia arriba a través del plano de la bobina. Después, la dirección del campo se invierte de manera que el campo magnético final tiene una magnitud de 1.10 T y apunta hacia abajo a través de la bobina. Si el intervalo de tiempo necesario para que el campo revierta las direcciones es 0.100 s, ¿cuál es la corriente media en la bobina durante ese tiempo? S

B S

Bafuera

Figura P30.26 SECCIÓN 30.6 Corrientes de eddy 27. La figura P30.27 representa un freno electromagnético que C | C utiliza corrientes de eddy. El electroimán cuelga de un carro de ferrocarril cerca de uno de los rieles. Para frenar el carro, se envía una corriente consideI rable a través de las bobinas del I electroimán. El electroimán móvil induce corrientes de eddy en N los rieles, cuyos campos se oponen al cambio en el campo del S electroimán. Los campos magv néticos de las corrientes de eddy ejercen fuerza sobre la corriente S del electroimán, reduciendo así la velocidad del carro. Las direcciones de este último y de la corriente en el electroimán están ilustradas correctamente en la imagen. Determine cuál de las corrientes de eddy que se muestran sobre los rieles es la correcFigura P30.27 ta. Explique su respuesta.

Figura P30.31 32. Considere el aparato que se muestra en la figura P30.32, en

PG el que una barra conductora se puede mover a lo largo de

dos rieles conectados a una lámpara. Todo el sistema está sumergido en un campo magnético de magnitud B = 0.400 T perpendicular hacia dentro de la página. La distancia vertical entre los rieles horizontales es ℓ = 0.800 m. La resistencia de la lámpara es R = 48.0 V, supuesta como constante. La barra y los rieles tienen resistencia despreciable. La barra se mueve hacia la derecha por una fuerza

Badentro

Figura P30.32

821

Problemas constante F = 0.600 N de magnitud. Se desea encontrar la potencia máxima de la lámpara. (a) Encuentre una expresión para la corriente en la lámpara como una función de B, ,, R, y v, la rapidez de la barra. (b) Cuando se entrega la potencia máxima a la lámpara, ¿qué análisis de modelo describe correctamente la barra en movimiento? (c) Utilice el análisis de modelo del inciso (b) para obtener un valor numérico de la rapidez v de la barra cuando se entrega la potencia máxima a la lámpara. (d) Determine la corriente en la lámpara cuando se le entrega la potencia máxima. (e), ¿Cuál es la potencia máxima de la bombilla? Use P = I 2R (f) ¿Cuál es la potencia mecánica máxima de entrada transmitida a la barra por la fuerza F ? (g) Ha supuesto la resistencia de la lámpara como constante. En realidad, como la potencia entregada a la lámpara aumenta, la temperatura y la resistencia del filamento se incrementan. ¿La rapidez que encontró en el inciso (c) cambia si aumenta la resistencia y todas las demás cantidades se mantienen constantes? (h) Si es así, ¿la rapidez encontrada en el inciso (c) aumenta o disminuye? Si no es así, explique. (i) Con la suposición de quela resistencia de la lámpara aumenta a medida quela corriente se incrementa, ¿la potencia hallada en el inciso (f) cambia? (j) Si es así, ¿la potencia que encontró en el inciso (f) es mayor o menor? Si no es así, explique. 33. Las cuerdas de acero de una guitarra están vibrando (vea la figura 30.5). El componente de campo magnético perpendicular a la superficie de una bobina recolectora en las inmediaciones está dada por

B = 50.0 + 3.20 sen 1046 pt donde B está en militeslas y t está en segundos. La bobina recolectora circular tiene 30 vueltas y radio de 2.70 mm. Encuentre la fem inducida en la bobina como una función del tiempo. 34. ¿Por qué no es posible la siguiente situación? Una espira conduc-

AMT tora rectangular de masa M = 0.100 kg, resistencia R = 1.00

V, y dimensiones w = 50.0 cm por , = 90.0 cm está sujeta con su borde inferior justo por encima de una región con un campo magnético uniforme de magnitud B = 1.00 T como se muestra en la figura P30.34. La espira se suelta desde el reposo. Justo cuando el borde superior de la espira alcanza la región que contiene el campo, la espira se mueve con una rapidez de 4.0 m/s. w

la izquierda con una rapidez constante v = 8.00 m/s. Determine (a) las corrientes que pasan por ambos resistores, (b) la potencia total entregada a la resistencia del circuito y (c) la magnitud de la fuerza aplicada necesaria para mover la varilla a esta velocidad constante.

Badentro S

Figura P30.35 36. Con frecuencia los valores de campo magnético se determinan con el uso de un dispositivo conocido como bobina exploradora. Esta técnica depende de la medición de la carga total que pasa a través de una bobina en un intervalo de tiempo en que el flujo magnético que liga los devanados cambia ya sea debido al movimiento de la bobina o a un cambio en el valor de B. (a) Demuestre que, conforme el flujo a través de la bobina cambia de F1 a F 2, la carga transferida a través de la bobina está dada por Q = N(F 2 −F1)/R, donde R es la resistencia de la bobina y N es el número de vueltas. (b) Como ejemplo específico, calcule B cuando una carga total de 5 × 10−4 C pasa a través de una bobina de 100 vueltas, de 200 V de resistencia y área de sección transversal de 40.0 cm2, cuando da vueltas en un campo uniforme desde una posición donde el plano de la bobina es perpendicular al campo a una posición donde el plano de la bobina es paralelo al campo. 37. El plano de una espira cuadrada a a T de alambre con lado a = 0.200 m está orientado verticalmente y S S F F a lo largo de un eje este-oeste. El campo magnético de la Tierra en este punto es de magnitud B = 35.0 mT y está dirigido hacia el norte a 35º debajo de la horizontal. La resistencia total de la espira y de los Amperímetro alambres de conexión a un amperímetro de alta sensibilidad es de Figura P30.37 0.500 V. Si aparecen súbitamente fuerzas horizontales y hacen que la espira se colapse como se muestra en la figura P30.37, ¿cuál es la carga total que pasa por el amperímetro? 38. En la figura P30.38, el eje de rodamiento de 1.50 m de largo es empujado a lo largo de los rieles con una rapidez constante v = 3.00 m/s. En los puntos a y b de los rieles, directamente uno frente al otro, se conecta un resistor R = 0.400 V. Las ruedas hacen un buen contacto eléctrico con los rieles y, por tanto, el eje, los rieles y R

C|C S

Bafuera

Figura P30.34 35. Una varilla conductora de longitud , = 35.0 cm está libre para deslizarse sobre dos barras paralelas conductoras, como se muestra en la figura P30.35. Dos resistores, R 1 = 2.00 V y R 2 = 5.00 V, están conectados en los extremos de las barras formando una espira. Un campo magnético constante B = 2.50 T está dirigido perpendicularmente hacia el interior de la página. Un agente externo jala la varilla hacia

Figura P30.38

822

Capítulo 30

Ley de Faraday

forman un circuito cerrado. La única resistencia significativa en el circuito es R. En sentido vertical y hacia abajo existe un campo magnético uniforme B = 0.080 0 T. (a) Determine la corriente I inducida en el resistor. (b) ¿Cuál es la fuerza horizontal F necesaria para mantener rodando el eje con rapidez constante? (c) ¿Cuál de los extremos del resistor, a o b, está a un potencial eléctrico más elevado? (d) ¿Qué pasaría si? Cuando el eje circule más allá del resistor, ¿la corriente en R lo hará en dirección inversa? Explique su respuesta. 39. La figura P30.39 muestra un conductor estacionario cuya forma es similar a la letra e. El radio de la parte circular es a = 50.0 cm. El conductor se coloca en un campo magnético constante de 0.500 T dirigidas hacia fuera de la página. Una varilla conductora recta de 50.0 cm de largo, se hace pivotar alrededor del punto O y gira con una rapidez angular constante de 2.00 rad/s. (a) Determinar la fem inducida en la espira POQ. Tenga en cuenta que el área de la espira es ua2/2. (b) Si todo el material conductor tiene una resistencia por longitud de 5.00 V/m, ¿cuál es la corriente inducida en la espira POQ en el instante 0.250 s después de que el punto P pasa el punto Q?

determinar si la bobina porta corriente en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido contrario? (b) La bobina se sobrecalienta si se le entregan más de 160 W de potencia. ¿Qué resistencia tendría la bobina en este punto crucial? (c) Para funcionar fría, ¿debe tener menor o mayor resistencia?

Figura P30.41

42. Problema de repaso. En la figura P30.42, un campo mag nético uniforme disminuye con una rapidez constante dB/ dt = −K, donde K es una constante positiva. En él se coloca una espira circular de alambre de radio a con una resistencia R y una capacitancia C con su plano normal al campo. (a) Determine la carga Q en el capacitor cuando esté totalmente cargado. (b) ¿Cuál de las placas, superior o inferior, estará con un potencial más elevado? (c) Explique la fuerza que causa la separación de las cargas.

C|C

Badentro

Esta varilla gira en torno a O.

P a

Figura P30.42

e S

Bafuera

Figura P30.39 40. Una varilla conductora se mueve con una velocidad constante en una dirección perpendicular a un alambre largo y recto que lleva una corriente I, como se observa en la figura P30.40. Demuestre que la magnitud de la fem generada entre los extremos de la varilla es igual a vI / 0 u u5 2 r

En este caso, observe que la fem disminuye cuando se incrementa r, lo que era de esperarse.

43. Una bobina cuadrada de N vueltas con lado , y resistencia R es jalada hacia la derecha a velocidad constante v en presencia de un campo magnético uniforme B que actúa perpendicular a la bobina como se muestra en la figura P30.43. En t = 0, el lado derecho de la bobina sólo se ha apartado del borde derecho del campo. En el momento t, el lado izquierdo de la bobina entra en la región donde B = 0. En términos de las cantidades de N, B, ,, v y R, encuentre expresiones simbólicas para (a) la magnitud de la fuerza electromotriz inducida en la espira durante el intervalo de tiempo desde t = 0 a t, (b) la magnitud de la corriente inducida en la bobina, (c) la potencia suministrada a la bobina, y (d) la fuerza requerida para retirar la bobina del campo. (e) ¿Cuál es la dirección de la corriente inducida en la espira? (f) ¿Cuál es la dirección de la fuerza magnética sobre la espira mientras que se está jalando fuera del campo? S

Badentro

r S

Fapl

Figura P30.43

Figura P30.40 41. La figura P30.41 muestra una bobina circular compacta con 220 vueltas y 12.0 cm de radio sumergido en un campo magnético uniforme paralelo al eje de la bobina. La rapidez de cambio del campo tiene la magnitud constante de 20.0 mT/s. (a) ¿Qué información adicional es necesaria para

C|C

44. Una varilla conductora de longitud l se mueve con una veloS cidad constante v en una dirección paralela a un alambre largo y recto que lleva una corriente estable I. El eje de la varilla se mantiene perpendicular al alambre con el extremo cercano a una distancia r (figura P30.44). Demuestre que la magnitud de la fem inducida en la varilla es igual a

u u5

S D

ln 1 1

/ r

823

Problemas S

I r

Figura P30.44 45. Un alambre recto y largo lleva una corriente según la expreT sión I = sen (vt + f) y yace en el plano de una bobina máx rectangular de N vueltas de alambre, según se observa en la figura P30.45. Las cantidades máx, v y f son constantes. Suponga que máx= 50.0 A, v = 200 ps−1, N = 100, h = v = 5.00 cm y L = 20.0 cm. Determine la fem inducida en la bobina por el campo magnético creado por la corriente en el alambre recto. I h

aproximadamente 1 MHz y entregan potencias desde algunos watts hasta varios megawatts. El calentamiento por inducción se puede usar para calentar una sartén metálica en una estufa de cocina y para evitar oxidación y contaminación del metal cuando se suelda en una caja al vacío. Para explorar el calentamiento por inducción, considere un disco conductor plano de radio R, grosor b y resistividad r. Un campo magnético sinusoidal B máx cos vt se aplica perpendicular al disco. Suponga que las corrientes de eddy se presentan en círculos concéntricos con el disco. (a) Calcule la potencia promedio entregada al disco. (b) ¿Qué pasaría si? ¿En qué factor cambia la potencia cuando la amplitud del campo se duplica? (c) ¿Cuando la frecuencia se duplica? (d) ¿Cuando el radio del disco se duplica? 49. Una barra de masa m y resistencia R se desliza sin fricción en un plano horizontal sobre rieles paralelos, como los que se muestran en la figura P30.49. Los rieles están separados por una distancia d y entre ellos está conectada una batería que mantiene una fem « constante, y existe un campo magnéS tico constante B con dirección perpendicular hacia afuera de la página. Si la barra parte del reposo en t = 0, demuestre que en el tiempo t se mueve con una rapidez

« s1 2 e

2B 2d 2t ymR

Figura P30.45 46. Una espira rectangular de dimensiones , y w se mueve con S una velocidad constante v alejándose de un alambre largo que conduce una corriente I en el plano de la espira (figura P30.46), cuya resistencia total es R. Deduzca una expresión para la corriente en la espira en el instante en que el lado cercano esté a una distancia r del alambre.

Figura P30.46 47. Un alambre delgado de , = 30.0 cm de largo se mantiene paralelo y a d = 80.0 cm por encima un alambre largo y delgado que conduce I = 200 A fijo en una posición (figura P30.47). El alambre de 30.0 cm se suelta y cae en el instante t = 0, siempre en paralelo con el alambre conductor de corriente. Suponga que el alam, bre que cae se acelera a 9.80 m/ s2. (a) Deduzca una ecuación para la fem inducida como una función d del tiempo. (b) ¿Cuál es el valor mínimo de la fem? (c) ¿Cuál es el valor máximo? (d) ¿Cuál es la I fem inducida 0.300 s después de soltarlo? Figura P30.47

PROBLEMAS DE DESAFÍO 48. Un horno de inducción aplica inducción electromagnética para producir corrientes de eddy en un conductor, lo que eleva la temperatura del conductor. Las unidades comerciales funcionan con frecuencias que varían de 60 Hz hasta

Bafuera

Figura P30.49 50. Un betatrón es un dispositivo que acelera electrones a energías en el intervalo de MeV mediante inducción electromagnética. Los electrones en una cámara de vacío se mantienen en una órbita circular mediante un campo magnético perpendicular al plano orbital. El campo magnético se aumenta gradualmente para inducir un campo eléctrico alrededor de la órbita. (a) Demuestre que el campo eléctrico está en la dirección correcta para hacer que los electrones aumenten su rapidez. (b) Suponga que el radio de la órbita permanece constante. Demuestre que la magnitud promedio del campo magnético sobre el área encerrada por la órbita debe ser el doble de grande que el campo magnético en la circunferencia del círculo. 51. Problema de repaso. La barra de masa m de la figura P30.51 es desplazada horizontalmente sobre rieles paralelos y sin fricción mediante un hilo sin masa que pasa por encima de una polea ligera y sin fricción unida a un objeto suspendido de masa M. El campo magnético uniforme tiene una magnitud B y , es la distancia entre los rieles. La única resistencia eléctrica significante m es el resistor de carga R, que conecta a los rieles en sus extremos. S R Deduzca una expreB sión que proporcione la rapidez horizontal de la barra en función del tiempo, si el objeto M S suspendido se libera g con la barra en reposo en t = 0. Figura P30.51

Esta edición de Física para ciencias e ingeniería tiene tres objetivos principales: proporcionar al estudiante una presentación clara de los principios de la física, fortalecer la comprensión de los conceptos básicos a través de interesantes aplicaciones al mundo real y desarrollar habilidades para resolver problemas por medio de un enfoque efectivamente organizado. Entre sus principales características destacan: • Ejemplos. Todos los ejemplos del libro se presentan en un formato de dos columnas para reforzar mejor los conceptos de física. La columna de la izquierda presenta información textual que describe los pasos para resolver el problema, mientras que la derecha muestra las manipulaciones matemáticas y los resultados que se obtienen al seguir estos pasos. • Prevención de riesgos ocultos.Se incluyen más de 200 prevenciones de riesgos para ayudar al estudiante a evitar desacuerdos y errores comunes. • ¿Qué pasaría sí? La pregunta ofrece una variante de la situación planteada en el ejemplo del libro, la cual busca desarrollar el pensamiento crítico en los resultados posibles y también contribuye a la comprensión conceptual de los principios. • Problemas. Al final de cada capítulo se incluye un extenso conjunto de problemas; en total, el libro contiene más de 2 000. Se enfatiza en argumentos físicos estructurados de forma adecuada y en estrategias efectivas para resolver problemas. Al mismo tiempo motivamos al estudiante mediante ejemplos prácticos que demuestren el papel de la física en otras disciplinas, como ingeniería, química y medicina.

ISBN-13: 978-607-526-670-1 ISBN-10: 607-526-670-4

9 786075 266701