Matemáticas II Patricia Ibáñez Carrasco
Matemáticas II Patricia Ibáñez Carrasco Universidad Tecnológica de Puebla Centro Universitario CIFE Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa (ILCE)
Revisión técnica
Martha María Ibarra Haza Instituto Regiomontano Cumbres
$XVWUDOLD ȏ %UDVLO ȏ &RUHD ȏ (VSD³D ȏ (VWDGRV 8QLGRV ȏ -DSµQ ȏ 0«[LFR ȏ 5HLQR 8QLGR ȏ 6LQJDSXU
MatemĂĄticas II, primera ediciĂłn Patricia IbĂĄĂąez Carrasco Director Higher Education LatinoamĂŠrica: Renzo CasapĂa Valencia Gerente editorial LatinoamĂŠrica: -HVÂźV 0DUHV &KDFÂľQ Editores: Pablo Miguel Guerrero Rosas y Karen Estrada Arriaga Coordinador de manufactura: Rafael PĂŠrez GonzĂĄlez DiseĂąo de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo ImĂĄgenes de portada: ŠPaisit Teeraphatsakool/Shutterstock.com ŠAleksander Krsmanovic/Shutterstock.com Šprisma/Shutterstock.com ŠCoprid/Shutterstock.com &RPSRVLFLÂľQ WLSRJUÂŁČ´FD Ediciones OVA
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'DWRV SDUD FDWDORJDFLÂľQ ELEOLRJUÂŁČ´FD Carrasco IbĂĄĂąez, Patricia MatemĂĄticas II 3ULPHUD HGLFLÂľQ ISBN: 978-607-526- - Visite nuestro sitio web en: http://latinoamerica.cengage.com
CONTENIDO
Bloque I Ángulos y triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Concepto de ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Clasificación de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Por su abertura (medida) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Por la suma de sus medidas (cuando forman pares de ángulos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Clasificación por su posición (cuando se encuentran entre dos paralelas y una secante)
15
Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Concepto de triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Clasificación por la medida de sus lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Por la abertura de sus ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Propiedades de los triángulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Desigualdad triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
Semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
Criterios de semejanza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Lado, Lado, Lado (LLL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lado, Ángulo, Lado (LAL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ángulo, Ángulo (AA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 32 32
Congruencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Aplicación del concepto de semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Aplicación del teorema de Pitágoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
vi
Matemáticas II
Bloque II Propiedades de los polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Elementos y clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Elementos de un polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Otros elementos de un polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Suma de ángulos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Suma de los ángulos externos y centrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Perímetros y áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Paralelogramo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rectángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trapecio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polígono regular de n lados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76 77 77 78 78 78 78
Poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Elementos y clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Clasificación y familias de poliedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Bloque III Elementos de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Concepto de círculo y circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Rectas y segmentos en una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Rectas tangentes a un círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ángulos en la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98 99
Contenido
Propiedades de los ángulos de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aplicación de los ángulos exteriores en la vida cotidiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii 101 106
Área y perímetro de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Secciones de un círculo (corona, sector y trapecio circular) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
Área de regiones sombreadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Bloque IV Razones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Razones trigonométricas de ángulos agudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Sistema sexagesimal y circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
Razones trigonométricas directas y recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
Valores de las razones trigonométricas para ángulos notables (30°, 45°, 60°) . . . . . . . . . . .
138
Solución de triángulos rectángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
Bloque V Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Funciones trigonométricas en el plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
Funciones y cofunciones trigonométricas de cualquier ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 Ángulos de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158
Funciones de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Círculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Gráficas de las funciones seno, coseno y tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
Funciones periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
viii
Matemáticas II
Bloque VI Triángulos oblicuángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Triángulos oblicuángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Ley de senos y cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Ley de senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Ley de cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
Resolución de triángulos oblicuángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
Aplicaciones prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
192
PRESENTACIÓN
El presente libro Matemáticas II, de la autora Patricia Ibáñez se ha convertido en referencia de texto para estudiantes de nivel medio superior en las materias de geometría plana y trigonometría, ya que permite que el lector trabaje en las aplicaciones reales, combinando ejercicios, problemas y ejemplos que relacionan la teoría con la práctica matemática. Tiene un enfoque basado en competencias que puede utilizarse en distintos planes de estudio, o bien tomarlo como un marco de referencia.
AL ESTUDIANTE
Los autores de los libros viven con la esperanza de que alguien en realidad los lea. Al contrario de lo que podrías creer, casi todos los textos de matemáticas de nivel medio superior están escritos para ti y no para el profesor. Cierto es que los temas cubiertos en el texto se escogieron consultando a los profesores, ya que ellos toman la decisión acerca de si hay que usarlos en sus clases, pero todo lo escrito en él está dirigido directamente a ti, al estudiante. Entonces queremos invitarte —no, en realidad queremos pedirte— que ¡leas este libro de texto! Pero no lo hagas como leerías una novela; no debes leerlo rápido y no debes saltarte nada. Piensa en este libro como en un cuaderno de ejercicios. Creemos que las matemáticas siempre deberían ser estudiadas con lápiz y papel a la mano porque, muy probablemente, tendrás que trabajar los ejemplos y hacer los análisis. Lee —más bien, trabaja— todos los ejemplos de una sección antes de intentar cualquiera de los ejercicios. Los ejemplos se han diseñado para mostrar lo que consideramos son los aspectos más importantes de cada sección y, por tanto, muestran los procedimientos necesarios para trabajar la mayoría de los problemas de los conjuntos de ejercicios. Siempre decimos a nuestros estudiantes que, cuando lean un ejemplo, tapen su solución e intenten trabajar primero en ella, comparar su respuesta con la solución dada y luego resolver cualquier diferencia. Hemos tratado de incluir los pasos más importantes para cada ejemplo, pero si algo no es claro siempre puedes intentar completar los detalles o pasos que faltan, y aquí es donde el papel y el lápiz entran otra vez. Puede que no sea fácil, pero es parte del proceso de aprendizaje. La acumulación de hechos seguidos por la lenta asimilación de la comprensión simplemente no se puede alcanzar sin trabajar arduamente. Recuerda que también puedes revisar las matemáticas apropiadas de tus viejos libros. En conclusión, te deseamos buena suerte y éxito. Esperamos que disfrutes el libro y el curso que estás por iniciar. Cuando éramos estudiantes en matemáticas, este curso fue uno de nuestros favoritos porque nos gustan las matemáticas que están conectadas con el mundo físico. Si tienes algún comentario o si encuentras algún error cuando leas o trabajes con este, o si nos quieres hacer llegar una buena idea para mejorar el libro, por favor ponte en contacto con nosotros a través de nuestro editor en Cengage Learning.
AL DOCENTE
En caso de que examine este texto por primera vez, MatemĂĄticas II puede utilizarse para un curso de un semestre de geometrĂa plana y trigonometrĂa o bien un curso remedial para el ingreso al nivel medio superior. Para un curso semestral, suponemos que los estudiantes han completado con ĂŠxito al menos un semestre de aritmĂŠtica bĂĄsica y ĂĄlgebra. Dado que usted estĂĄ leyendo esto, sin duda ya ha examinado la tabla de contenidos para ver los temas que cubrirĂĄ. Estamos seguros que hay suficiente material aquĂ para escoger y formar un curso a su gusto. El texto tiene un equilibrio razonable entre los mĂŠtodos analĂticos, cualitativos y cuantitativos en el estudio de los temas presentados. En cuanto a nuestra â&#x20AC;&#x153;filosofĂaâ&#x20AC;?, esta es que un libro para estudiantes de nivel medio superior deberĂa estar escrito considerando siempre la comprensiĂłn del estudiante, lo que significa que el material debe presentarse en una forma directa, legible y Ăştil, considerando el nivel teĂłrico compatible con la idea de un â&#x20AC;&#x153;primer cursoâ&#x20AC;?. A las personas familiarizadas con los textos anteriores de la autora nos gustarĂa mencionarles algunas de las mejoras hechas en esta ediciĂłn: Se han actualizado muchos conjuntos de ejercicios agregando nuevos problemas. Algunos de estos problemas implican nuevos y que consideramos interesantes retos. t 4F IBO BHSFHBEP DPNFOUBSJPT Ä&#x2022;HVSBT Z FKFNQMPT BEJDJPOBMFT B NVDIBT TFDDJPOFT t &O UPEP FM MJCSP TF IB EBEP NBZPS Ă?OGBTJT B MPT DPODFQUPT EF NBUFNĂ&#x2C6;UJDBT CĂ&#x2C6;TJDBT Z B MBT TPMVDJPOFT que implican razonamientos lĂłgicos.
ACERCA DE LA AUTORA Patricia Ibáñez Carrasco Egresada de la Universidad Tecnológica de Puebla, con estudios de Ingeniería en Tecnologías para la Automatización, Maestría en Docencia y desarrollo de competencias por parte del Centro Universitario CIFE y Maestría en Comunicación y tecnologías educativas por parte del Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa (ILCE). En su amplia experiencia profesional ha sido docente, por 25 años, de Matemáticas, Informática y Física en el Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla, facilitadora de cursos de Evaluación del aprendizaje por parte del Centro Universitario CIFE y, actualmente directora, por examen de promoción del Servicio Profesional Docente (SPD), del Plantel 13 de Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla. Así mismo, se ha desempeñado como consultora externa de la Dirección General de Bachillerato (DGB) para el desarrollo de programas basados en competencias laborales, elaboradora de programas de estudio de matemáticas e informática de nivel medio superior en la DGB para el Nuevo Modelo Educativo. Actualmente, está Certificada como Evaluadora Nacional de Desempeño Docente por parte del Instituto Nacional para la Evaluación Educativa (INEE), participando en la calificación de docentes evaluados. Ha impartido cursos sobre tópicos de matemáticas e informática, manejo de programas de estudio y manejo del libro de Matemáticas I para bachillerato. Es autora de los libros Matemáticas I, II, III, IV, V y VI, Informática I e Informática II publicados por Cengage Learning.
Matemรกticas II
BLOQUE 94
PropĂłsito del bloque: Resuelve situaciones de su entorno usando los elementos de la circunferencia valorando su utilidad.
Š Thitichaya Yajampa/Shutterstock.com
III
Elementos de la circunferencia
Competencias genéricas:
Competencias disciplinares:
CG 4.5 Maneja las tecnologías de la información
CD 3 Explica e interpreta los resultados obtenidos
y la comunicación para obtener información y expresar ideas. CG 6.1 Elige las fuentes de información más
relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.
mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. CD 4 Argumenta la solución obtenida de un
problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura
y considera los de otras personas de manera reflexiva.
CD 6 Cuantifica, representa y contrasta
experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
Horas asignadas: 12 horas
Conocimientos
Habilidades
Actitudes
Circunferencia y círculo t Concepto de círculo y circunferencia. t Segmentos y rectas de la circunferencia. t Ángulos de la circunferencia. t Perímetro de la circunferencia. t Área de un círculo. t Secciones de un círculo (corona, sector y trapecio circular). t Área de regiones sombreadas.
t
t
t
t
Identifica la diferencia entre círculo y circunferencia. Reconoce los diferentes tipos de segmentos, rectas, ángulos y figuras asociados con la circunferencia. Aplica los elementos del círculo y la circunferencia en la solución de situaciones cotidianas.
t t
Externa un pensamiento crítico y reflexivo de manera solidaria. Afronta retos asumiendo la frustación como parte de un proceso. Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado.
Aprendizajes esperados t t
Resuelve problemas de su entorno usando la circunferencia y el círculo y las diferentes figuras asociadas con estas. Propone de manera colaborativa diferentes estrategias de solución a problemas de áreas y perímetros para representar espacios y objetos de su entorno.
96
Matemáticas II
Circunferencia En mi opinión, todas las cosas en la naturaleza ocurren matemáticamente. Descartes Reflexionemos La circunferencia representa uno de los elementos más importantes de la geometría y uno de los más usados en la vida diaria desde tiempos antiguos. Su máxima influencia se encuentra en la prehistoria, con la invención de la rueda que dio inicio a toda la tecnología actual. La circunferencia fue ampliamente estudiada por los griegos quienes calcularon el valor de pi (S 3.1416). La circunferencia está, prácticamente, en todas partes y en la mayoría de nuestras actividades; por ejemplo, en la música, pues los CD o DVD son circunferencias; en el deporte pues, casi en todas las canchas hay áreas que son circunferencias; el diseño de los relojes tiene como base una circunferencia, etc. Discute con tu maestro y con el grupo cuáles serían las consecuencias de no contar con la circunferencia.
Recordemos (conocimientos previos) A continuación exponemos una serie de preguntas que servirán como base para el inicio del tema: 1. ¿Qué es una circunferencia? 2. ¿Qué es un círculo? Explica la diferencia con la circunferencia. 3. ¿Qué es el radio? 4. ¿Qué representa el diámetro? 5. ¿Cómo se calcula el área y el perímetro de la circunferencia?
Actividad introductoria CG 4.5 Maneja las TIC para obtener información y expresar ideas. CG 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad.
Investiguen en equipos de cuatro integrantes, bibliográfica o electrónicamente, cómo se definen los siguientes conceptos: círculo, circunferencia, radio, diámetro, cuerda, arco, tangente, secante, área y perímetro de la circunferencia. Citen un ejemplo de cada concepto y elaboren un cuadro sinóptico con el material obtenido. Se calificará con la siguiente lista de cotejo. Instrucciones: Su maestro los calificará, pero primero deben autoevaluar su trabajo, anotando su calificación, los logros que han tenido y cuáles son sus áreas de oportunidad (errores u omisiones). Además, también permitirán que otro equipo (tu maestro indicará cuál) los coevalúe escribiendo lo mismo.
Tabla 3.1
No.
Criterio de evaluación
1
El cuadro sinóptico contempla los aspectos principales del tema.
2
El cuadro sinóptico tiene buena ortografía.
Cumple (1 punto)
No cumple (0 puntos)
Bloque III Elementos de la circunferencia
3
El cuadro sinóptico usa llaves primarias y secundarias para organizar los conceptos.
4
El cuadro sinóptico presenta conceptos clave. directamente relacionados con las ideas solicitadas.
5
El cuadro sinóptico incluye todos los elementos del tema.
97
Calificación Autoevaluación
Logros
Áreas de oportunidad
Coevaluación
Logros
Áreas de oportunidad
Concepto de círculo y circunferencia La circunferencia es una figura plana y cerrada formada por un conjunto de puntos equidistantes de otro punto fijo llamado centro. Por otro lado, podemos también definir el círculo como la superficie plana limitada por la circunferencia. Observa que en la vida cotidiana tienes contacto con circunferencias y círculos, por ejemplo un anillo sería una circunferencia, mientras que una moneda es un círculo; una llanta es una circunferencia, mientras que el rin de esta es el círculo. Piensa en más ejemplos en los que dentro de tu entorno cotidiano se presenten estos dos conceptos geométricos.
Z Rectas y segmentos en una circunferencia De acuerdo con la figura de la derecha podemos identificar los siguientes elementos: OA DF BC EG
HI JK AC
Radio. Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. Cuerda. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Diámetro. Es la cuerda que pasa por el centro. D Flecha. Es el segmento perpendicular a una cuerda, B que une el punto medio de esta con el arco subtendido H por ella. Secante. Es la recta que interseca a la circunferencia en J dos puntos. Tangente. Es la recta que interseca a la circunferencia en un solo punto. Arco. Es una porción de una circunferencia.
E
F
A
G O
C
Rectas y puntos de la circunferencia
I K
98
Matemáticas II
Rectas tangentes a un círculo El concepto de recta tangente es uno de los más importantes cuando estudiamos la circunferencia, de manera que podemos definir a la tangente como la recta que interseca una circunferencia en exactamente un punto. Las rectas tangentes se encuentran presentes con frecuencia en la naturaleza, por ejemplo cuando se presenta un eclipse solar, fenómeno natural imponente, se lo debemos a que los rayos del Sol se comportan como rectas tangentes a la Luna en varios puntos, con lo cual se forma una sombra que se proyecta a la Tierra. La región gris es un eclipse parcial y la sombra negra es un eclipse total. Eclipse parcial
Eclipse total
Uso de la circunferencia
El resultado más importante a tener en cuenta cuando tenemos rectas tangentes es: si una recta es tangente a una circunferencia, entonces esta es perpendicular al radio trazado al punto de tangencia Debemos recordar que dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo recto, es decir, de 90°.
O x
y
Ejemplo: Figura del ejemplo
Ox es perpendicular a la tangente xy.
Comprueba el desarrollo de tus competencias En equipo de tres integrantes resuelvan las siguientes cuestiones. CD 4 Argumenta la solución obtenida de un problema, por métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las TIC. CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
1. Cuáles son las características esenciales de una circunferencia y cuál es su diferencia con el círculo. D
E
C
O A
B
Figura del ejercicio 1
En función a la figura, contesten las siguientes preguntas: 2. ¿Cuáles son todas las cuerdas? 3. ¿Cuáles son todos los diámetros? 4. Anoten por lo menos cuatro arcos de la figura.
Bloque III Elementos de la circunferencia
5. Dibujen una circunferencia con centro O y radio 4 unidades. Tracen una recta tangente a la circunferencia en algún punto A, también tracen en esta circunferencia una recta secante en dos puntos B y C. 6. Tracen una recta tangente y el radio en cada uno de los puntos que se marcan.
Figura del ejercicio 6
Ángulos en la circunferencia Las gráficas circulares son útiles para mostrar datos, además te permiten notar las características de los datos de un solo vistazo. Recuerda que hemos hablado de los ángulos en los triángulos y polígonos, ahora hablaremos de los ángulos que se forman en una circunferencia. Ángulos relacionados con la circunferencia. t Ángulo central: es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia
y sus lados son radios. Ángulo central
t Ángulo interior: es el que tiene su vértice en el interior de la circunferencia. Ángulo interior
t Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en la circunferencia y está for-
mado por dos cuerdas. Ángulo inscrito
99
100
Matemáticas II
t Ángulo semiinscrito: es el que tiene su vértice en la circunferencia y está
formado por una cuerda y una tangente.
Ángulo semiinscrito
t Ángulo exterior: es el que tiene su vértice en el exterior de la circunfe-
rencia y está formado por dos secantes, por una secante y una tangente, o por dos tangentes.
Ángulo exterior
Ángulo exterior
Ángulo exterior
Comprueba el desarrollo de tus competencias En equipos de tres personas, resuelvan las siguientes cuestiones. CD 6 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
1. Tracen una circunferencia y un ángulo inscrito, tomando en cuenta que el arco interceptado por este ángulo es AB . 2. Tracen una circunferencia y un ángulo central si el arco interceptado por este ángulo es el CD . 3. Tracen una circunferencia y anoten el arco EF . Tracen dos ángulos inscritos diferentes, ambos con el arco EF . 4. En función a la circunferencia de la figura siguiente, nombren todos los ángulos inscritos:
D E C F A
B
Figura del ejercicio 4
Bloque III Elementos de la circunferencia
Propiedades de los ángulos de la circunferencia Los ángulos que se forman en una circunferencia tienen algunas propiedades, entre las más importantes están las siguientes: 1. En toda circunferencia, la medida del ángulo central es igual a la medida del
arco comprendido entre sus lados. B O A
m AOB
AB
Ángulo central
2. En toda circunferencia, la medida del ángulo inscrito es igual a la mitad del
arco comprendido entre sus lados y también es la mitad del ángulo central que subtiende el mismo arco. B A
O m ACB
C
1 1 AB m AOB 2 2
Ángulo inscrito
3. En toda circunferencia, la medida del ángulo semiinscrito es igual a la mitad
del arco comprendido entre sus lados. 4. La medida del ángulo exterior a una circunferencia es igual a la semidife-
rencia de los arcos comprendidos entre sus lados.
B
C C
D
A
G
C
E A D m ABC
1 AC DE 2
B
B
A m ABD
1 AD AC 2
m ABC
1 AGC AC 2
Ángulos exteriores
Observa el uso de tres letras en el arco s AC , ya AGC para diferenciarlo del arco r que están sobre la misma circunferencia y además el primer arco es mayor que el segundo y ambos suman 360°.
101
102
Matemáticas II
5. La medida del ángulo interior en una circunferencia, es la semisuma de los
arcos comprendidos entre sus lados y sus prolongaciones. D
E
B
A m ABC
C
1 AC DE 2
Ángulo interior
Ejemplos:
1. En la siguiente figura “O” es el centro de la circunferencia, m AOB
46°. Halla el ángulo ACB.
B A O C Figura del ejemplo 1 Solución:
t Parte geométrica: B A
46° O C
Figura auxiliar del ejemplo 1
t Parte analítica:
Ya que la m AOB
46° concluimos que el arco AB también mide 46°. B
La m ACB
A O
1 AB 2
Sustituyendo: C
Figura auxiliar del ejemplo 1
La m ACB
1 (46) 2
Bloque III Elementos de la circunferencia
t ConclusiĂłn:
La mÂ&#x2018; ACB
23°
2. En la siguiente figura, si la medida del ångulo AEB es 95° y el arco DC mide 70°. Halla el arco AB. B E
D
A
C
Figura del ejemplo 2 SoluciĂłn:
t Parte geomÊtrica: B D E 70° C
95° A
Figura auxiliar del ejemplo 2
t Parte analĂtica:
Identificamos el tipo de ĂĄngulo con el que estamos trabajando: Ă ngulo interior Tiene la siguiente propiedad: m AEB
1 (AB DC) 2
Sustituyendo: 95q
AB 70q 2
Resolviendo: AB
120°
t Conclusión: B D 70° C
E
95°
120° A
Figura soluciĂłn del ejemplo 2
103
104
Matemáticas II
3. En la siguiente figura, el ángulo AOB mide 112°. Halla la medida del
ángulo BAC. A B O C Figura del ejemplo 3 Solución:
t Parte geométrica: A 112°
B
O
68° C
Figura auxiliar del ejemplo 3
t Parte analítica:
El suplemento del ángulo 112° es 68° por lo que el arco BC mide también 68°. El ángulo BAC es un ángulo inscrito y su definición es: 1 m BOC 2
1 BC 2
m BAC Sustituyendo:
1 2
m BAC
(68)
m BAC
34°
t Conclusión: A 112°
B 68°
O
C Figura solución del ejemplo 3
Otra solución se puede plantear a partir de identificar que se forma el triángulo isósceles OAB donde los lados OB y OA son iguales, pues son radios de la circunferencia. Tiene un ángulo de 112° entonces los otros dos miden (180° 112°)/2 34° cada uno.
Bloque III Elementos de la circunferencia
4. En la siguiente figura la medida del ángulo ACE es 35° y el arco BD
mide 30°. Halla el arco AE .
E D C B
A
Figura del ejemplo 4 Solución:
t Parte geométrica: E D C
35°
30° B
A
Figura auxiliar del ejemplo 4
t Parte analítica.
Identificamos el tipo de ángulo. “Ángulo exterior”. La definición: 1 ( AE BD) 2
m ACE Sustituyendo:
1 ( AE 30) 2
35 Resolviendo:
AE
100q
t Conclusión: E D C
35°
100°
30° B
A
Figura solución del ejemplo 4
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MatemĂĄticas II
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AplicaciĂłn de los ĂĄngulos exteriores en la vida cotidiana Una aplicaciĂłn de los ĂĄngulos exteriores se da en el diseĂąo de torres de antenas, cuando se necesita saber quĂŠ fracciĂłn de la Tierra se cubrirĂĄ con la seĂąal de radio de la torre. Esto se simplifica al considerar un corte transversal circular de la Tierra que pasa por la base de la torre. Se plantea entonces la siguiente cuestiĂłn: â&#x20AC;&#x153;Si se conoce la medida del ĂĄngulo formado por la punta de la torre y los rayos tangentes a la circunferencia, Âżse puede encontrar la fracciĂłn de la circunferencia cubierta por las seĂąales de radio (arco menor)?â&#x20AC;?.
Ejemplo:
Supongamos que el ĂĄngulo formado por los rayos tangentes que parten de la punta de la antena donde estĂĄ transmitiendo â&#x20AC;&#x153;Radio AlegrĂaâ&#x20AC;? mide 160°. ÂżQuĂŠ fracciĂłn de la circunferencia cubren las ondas de radio? SoluciĂłn:
t Parte geomĂŠtrica:
Este es el arco menor.
A
x°
B
y°
Este es el arco mayor.
Figura de ejemplo
t Parte analĂtica:
Aplicando propiedades de ĂĄngulos (ĂĄngulos exteriores): 1 160q
y x 2
La suma del arco mayor el arco menor 2 x y
360°:
360°
Resolviendo el par de ecuaciones como a continuaciĂłn se indica: 1 x y 2 x y 2x
320 360 40
x
20°
Bloque III Elementos de la circunferencia
107
Aplicando una regla de tres encontramos a qué fracción equivalen los 20°, siendo que los 360° son 100%. 360°
100% x%
20° De donde obtenemos que:
x
20q 100%
360q
5.55%
t Conclusión:
Las ondas de radio cubren 5.55% de la circunferencia.
Comprueba el desarrollo de tus competencias En parejas, solucionen los siguientes problemas. 1. La gráfica de la derecha muestra la preferencia de los alumnos de un plantel al practicar un deporte. En equipo traten de descubrir: ¿cómo supo el dibujante qué porción de la circunferencia darle a cada deporte? Tomando en cuenta la información que se les provee en cada caso, resuelvan en los espacios disponibles: 2.
3.
X
W
25% Voleibol 25% Básquetbol
30% Fútbol
Figura del ejercicio 1
4.
D
X
W
CD 3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
20% Béisbol
E
Y
Z
5.
WZ
110°
WX
150°
WY
55°
G H
F
Y
Z
Calculen m DEF, si DF 42q
XY es paralela a la cuerda WV, m VXY 28° Halla V Y y W X
6. K
Q
S
I
O
J
O M
Calculen m GIH si GH 55q y KJ 20q
T
7. P
N
L
m∠ LOM = 75° Hallen m∠LNM
R PQ ⊥ al diámetro RT, TS es una cuerda, OS es un radio y m∠ROS =120° Halla m∠PTS
CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
108
Matemáticas II
9.
8. O
U
G
F
V K
W
H
Si m∠UOW = 69° Hallen m∠UVW
HJ
J
55q
FG 80q Hallen m FKG
10. En la siguiente figura el BC se solicita:
50q y el BAD
230 °. Hallen la información que
A
B C
D
Figura de los ejercicios 11,12,13,14
11. Hallen la m BAC. 12. Hallen la m BAD. 13. Hallen la m CAD. 14. Hallen el ADC . 15. En la siguiente figura EF los E, F y G.
90q , FG
160q y EG
110q. Encuentren los ángu-
E
G F
Figura del ejercicio 15
16. En la siguiente figura CD cia.
100q, el AD
150q y AB es tangente a la circunferen-
D C y
B A
17. Calculen la m BAC. 18. Calculen la m ADC. 19. Calculen la m ACD. 20. Calculen la m CAD. 21. Calculen la m ABD.
Figura del ejercicio 16
Bloque III Elementos de la circunferencia
Z Área y perímetro de la circunferencia El cálculo de áreas tiene relación estrecha con la vida cotidiana ya que nos ayuda a resolver problemas relacionados, por ejemplo, con paisajismo, diseño y arquitectura. El área de un círculo de radio “r”, es igual al producto del número S por el cuadrado del radio. Por otro lado, es el doble del radio por el número S. r2
A P
2 r (perímetro o circunferencia)
Ejemplos:
1. El área de una circunferencia de radio “r” es igual al área de un triángulo
de base b, ¿cuál es la altura del triángulo?
Solución:
t Parte geométrica:
=
t Parte analítica: Figura del ejemplo 1
Área de la circunferencia
Área del triángulo
Sustituyendo: r2
bh 2
Despejando “h” h
2 r2 b
t Conclusión:
La altura del triángulo en función del radio y de la base es: h
2 r2 b
2. Halla el área correspondiente a la diferencia entre el área de un cuadrado y
el área de una circunferencia de radio igual a 4 km inscrita en el cuadrado. Solución:
t Parte geométrica:
4 km
Nota que cualquier lado del cuadrado mide dos veces el radio, es decir el diámetro de la circunferencia.
Figura del ejemplo 2
t Parte analítica:
Área de la región sombreada ferencia.
Área del cuadrado – Área de la circun-
O
r
Centro y radio
109
MatemĂĄticas II
Para obtener el lado del cuadrado, observa que este equivale al diĂĄmetro de la circunferencia y por lo tanto mide 8 km. Ă rea del cuadrado
8u8
Ă rea de la circunferencia
64 km2
S (4)2
16S km2
t ConclusiĂłn:
Ă rea de la regiĂłn sombreada
(64 16S) km2
3. Una mĂĄquina para limpiar tunas tiene una ban-
Š fischers/Shutterstock.com
110
da transportadora a la que la accionan dos grandes rodillos como se muestra en la figura, los rodillos estĂĄn a una distancia de centro a centro igual a 5 m y tienen un radio de 0.6 m. Halla la longitud total de la banda transportadora que abarca a los dos rodillos.
SoluciĂłn:
t Parte geomĂŠtrica: 5m
Figura del ejemplo 3
Haciendo un corte transversal de la banda transportadora: 5m 0.6 m Figura auxiliar del ejemplo 3
t Parte analĂtica:
La longitud total de la banda transportadora metro de los rodillos). La longitud total de la banda transportadora
5 m 5 m 2
1 (perĂ2
10 m 2S (0.6) m
t ConclusiĂłn:
La longitud de la banda transportadora es de 13.77 m. 4. Dos circunferencias tienen radios de 6 y 2 cm, respectivamente. ÂżCuĂĄl
es la razĂłn entre sus perĂmetros?
SoluciĂłn:
t Parte geomĂŠtrica:
Bloque III Elementos de la circunferencia
111
Tracemos las circunferencias para visualizar lo que nos piden:
2 cm 6 cm
Figura del ejemplo 4
t Parte analítica:
Tenemos que la fórmula para calcular el perímetro es P Para la circunferencia con r
6 cm el perímetro es:
P1
2(3.1416)(6 cm)
P1
37.6992 cm
Para la circunferencia de r
2πr
2 cm el perímetro es:
P2
2(3.1416)(2 cm)
P2
12.5664 cm
Para saber cuál es la razón entre sus perímetros debemos hacer una división entre estos: P1 37.6992 cm 3 P2 12.5664 cm t Conclusión:
Esto quiere decir que el P1 es tres veces el P2 o que el P2 es un tercio del P1.
Comprueba el desarrollo de tus competencias En equipos de tres integrantes resuelvan las siguientes situaciones. Completen la siguiente tabla: Tabla 3.2
Radio 1.
Diámetro
3
2.
Perímetro o circunferencia
Área
6S
9S
8S
3.
10
4.
36S
5.
56
6.
3S 4
CD 3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
112
MatemĂĄticas II
1. La rueda de una bicicleta tiene 40 cm de radio. ÂżQuĂŠ distancia ha recorrido la bicicleta cuando la rueda ha dado 50 vueltas? 2. Pedro quiere poner pasto sintĂŠtico en un jardĂn de forma circular que tiene un perĂmetro de 40 m. ÂżCuĂĄntos metros cuadrados de pasto necesita? 3. A partir de un pliego rectangular de cartulina que se enrolla y toma la forma de un tubo que tiene dimensiones de 12 cm de largo por 6 cm de diĂĄmetro, hallen el ĂĄrea del pliego de cartulina original. 4. Si un galĂłn de pintura cubre 40 m2, ÂżcuĂĄntos galones se necesitan para pintar un depĂłsito de gasolina (con todo y su cubierta) que mide 25 m de diĂĄmetro por 5 m de altura? Figura del ejercicio 4
Z Secciones de un cĂrculo (corona, sector y trapecio circular) Un cĂrculo puede ser dividido de varias formas, ya sea por una recta, por otro cĂrculo o bien por ambos. Una nota importante es que el ĂĄngulo debe estar, o ser transformado a radianes. Veamos algunos ejemplos: Tabla 3.3
SecciĂłn
Forma
DefiniciĂłn PorciĂłn de cĂrculo comprendido entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores.
Sector circular θ r
Corona circular
PerĂmetro
L
PorciĂłn de cĂrculo limitada por dos cĂrculos concĂŠntricos
R r
Trapecio circular
P
r
2S¡(R r)
A
A P
r
R r 2 R r
A
b
B
A
r2 2
A
Lr 2
rT
PorciĂłn de cĂrculo limitada por dos radios y una corona circular.
R
Ă rea
R 2
R 2
r2
r2
2
B b r 2
Bloque III Elementos de la circunferencia
113
Ejemplos:
1. Calcula el área y la longitud de arco del sector de 60° de amplitud en un
círculo con radio de 6 cm. Solución:
t Parte geométrica:
r=6 60°
Figura del ejemplo 1
t Parte analítica:
Primero debemos expresar el ángulo en radianes, recuerda que S radianes 180°, entonces 60° son: 60 180
x
1.043 rad
Usando la fórmula tenemos A
r2 2
62 1.043
36 1.043
2
2
L
rT
6(1.043)
18.756 u 2
6.258 u
t Conclusión:
El área de un sector de 60° en un círculo de radio 6 cm es de 18.8496 cm2 y la longitud del arco subtendido.
Comprueba el desarrollo de tus competencias Resuelvan en parejas. 1. Calculen el área y la longitud de arco del sector siguiente. B 6m 30° 6m A
Figura del ejercicio 1
2. El perímetro de una circunferencia es de 15.708 m. ¿Cuánto mide el arco que subtiende un ángulo central de 30°? 3. Un sector circular tiene que el ángulo central mide 45° y su radio es de 6 cm. Calculen su área y la longitud del arco de dicho sector circular.
CD 3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. CG8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
114
Matemáticas II
4. Calculen el área de un sector circular cuya cuerda es el lado del cuadrado inscrito, siendo 5 cm el radio de la circunferencia.
90° r = 5 cm
Figura del ejercicio 4
5. Calculen el área de los trapecios circulares ABC. B 2
A
3
6
C Figura del ejercicio 5 2
A
B
3
4
C
6. Calculen el área de un trapecio circular que pertenece a una corona circular de radios 6 y 2. Los radios que lo delimitan forman un ángulo de 55°. 7. Calcula el área de la región en color amarillo de la siguiente figura:
5 Figura del ejercicio 7
2
8. Una alberca de forma circular de 10 m de radio está situada en el centro de una isla, también de forma circular, de 2 m de radio. Calculen el área de la zona de agua de la alberca.
Z Área de regiones sombreadas El cálculo del área de una región no convencional nos obliga a usar lo que conocemos de las figuras geométricas regulares. Dichas regiones no tienen forma geométrica tradicional. Existen cuatro métodos de solución para estos problemas, veremos cada uno con un ejemplo.
Bloque III Elementos de la circunferencia
1. Método directo: es la aplicación directa de fórmulas para calcular el área, de
eso hemos visto varios ejemplos. 2. Método de diferencias: el área solicitada se calcula mediante la resta de dos áreas conocidas. Ejemplo:
1. Calcula el área de la región sombreada, conociendo que ABCD es un
cuadrado y “X” y “Y” son puntos medios. Observa la figura. X
B
C
6 cm
Y
A
D
Figura del ejemplo 1
Solución:
t Parte geométrica: B 3 cm X
C
3 cm
2
3 cm
6 cm 1
Y 3 cm
1 A
6 cm
D
Figura auxiliar del ejemplo 1
Haciendo “pedazos” la imagen original obtenemos las medidas de cuatro figuras, un cuadrado de 6 cm por lado, dos triángulos de 6 cm de base y 3 m de altura y un cuarto de círculo de 3 cm de radio. t Parte analítica:
Para calcular el área sombreada debemos calcular lo siguiente: Área de ABCD – Área de los dos triángulos – Área de cuarto de círculo A
1 (62) 2 6 3 3.1416 33
2
4
36 18 7.0686
A A
10.9314 cm2
t Conclusión:
El área sombreada mide 10.9314 cm2. 3. Método de trazos: consiste en realizar trazos auxiliares sobre la figura,
de tal forma que la región sombreada sea parte proporcional de una figura familiar.
115
116
Matemáticas II
Ejemplo:
Calcula el área de la región sombreada. C
6
B
5 D
A
Figura del ejemplo Solución:
t Parte geométrica:
Trazando las líneas auxiliares obtenemos ocho partes iguales. B
C
6 S6
S7
S4
S5 S8
S1
S3
5
S2 D
A
Figura auxiliar del ejemplo
Por lo tanto, el área de la parte sombreada es una octava parte del total. t Parte analítica:
Primero debemos calcular el área total y después dividir entre 8. A
L a 8
6 5 8
3.75u 2
t Conclusión:
El área sombreada es de 3.75 u2. 4. Método de traslaciones: consiste en trasladar parte de la región sombreada
a otro lado para convertirla en una región conocida.
Ejemplo:
Calcula el área de la región sombreada.
10 Figura del ejemplo
Bloque III Elementos de la circunferencia
117
Solución:
t Parte geométrica:
Debemos buscar la forma de mover una parte del sombreado.
5 5
5
Figura auxiliar del ejemplo
t Parte analítica:
Observando la figura anterior tenemos que es un cuadrado de 5 unidades por lado lul
A
5u5
25 u2
t Conclusión:
El área de la parte sombreada es 25 u2.
Comprueba el desarrollo de tus competencias En equipos de tres integrantes y con las siguientes figuras, calculen el área de la región sombreada. Tomen en cuenta que los primeros cuatro son cuadrados: 9
5 5
9
9
5
7
CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
7
5
9/2
5
9
5
1
Figuras del ejercicio
1. Calculen el área de las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 6 m de lado.
Figuras del ejercicio 1
CD 3 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
118
Matemáticas II
2. Unas circunferencias con diámetro idéntico a la unidad e iguales están colocadas dentro de un rectángulo, como se muestra en las siguientes figuras. ¿Cuál es el área de la región sombreada en cada caso?
Figura del ejercicio 2
3. Figura del ejercicio 3
4. En la siguiente figura tenemos ilustrada la sección transversal de un tubo de drenaje de
3 de pulgada de espesor y un diámetro interior de 5 pulgadas. 4
Hallen el área de la región sombreada (cédula).
5 pulg
3 pulg 4 Figura del ejercicio 4
Evaluación formativa por proyectos En equipo de tres integrantes: a) Realicen una investigación acerca de cómo se construyen las gráficas circulares en estadística. b) Investiguen cómo se hacen en Excel y realicen por lo menos tres gráficas de pastel. c) Investiguen cómo se emplea la circunferencia en los medios de transporte que usamos. d) Pueden investigar cómo se construyen las gráficas circulares en estadística o también otras formas de dividir la circunferencia (radianes, grados, minutos y segundos). e) Presenten los resultados en PowerPoint al grupo.
Reactivos tipo PLANEA para entrenamiento Elige el inciso correcto e indĂcalo en el parĂŠntesis correspondiente. 1. Si m
2n y n
4p, entonces m 2n â&#x20AC;&#x201C; 8p es igual a:
a) 16p
b) 12p
2. En la siguiente ďŹ gura AB mÂ&#x2018;BAD? a) 30
AC, AD
c) 8p DC, y la mÂ&#x2018;ABC
b) 65
75° y la mÂ&#x2018;ADC
d) 4p 50°, ¿cuåntos grados vale la
c) 95
d) 140
A B
D C
3. En el Gran Premio de Brasil, de FĂłrmula I, iniciaron la carrera 30 automĂłviles y se les unieron otros siete automĂłviles. Si solo llegaron a la meta 19 autos, ÂżcuĂĄl de las expresiones dadas a continuaciĂłn representa el nĂşmero de automĂłviles que NO llegaron a la meta? a) 30 â&#x20AC;&#x201C; (7 â&#x20AC;&#x201C; 19)
b) (30 7) â&#x20AC;&#x201C; 19
c) (30 â&#x20AC;&#x201C; 7) 19
d) (30 â&#x20AC;&#x201C; 7) â&#x20AC;&#x201C; 19
4. A partir de la siguiente grĂĄďŹ ca, la escasez de empleo mĂĄs fuerte en la Ciudad de MĂŠxico y en Puebla serĂa mĂĄs probable entre los meses de: a) ene-feb
b) feb-mar
c) jul-ago
d) sep-oct
PoblaciĂłn de desempleados 50 en miles 40 30 20 10 E
F M A M J J A S O N D Meses
5. Si la diagonal de un rectĂĄngulo mide 29 cm y uno de sus lados mide 5 cm, entonces el ĂĄrea en cm2 mide: a) 29
c) 5 29
b) 10
d) ninguno de los anteriores
6. Si 10 mĂĄquinas idĂŠnticas de videojuegos hacen que la ganancia de dinero pase de $1 500 a $2 250 por semana, ÂżcuĂĄntas mĂĄquinas serĂĄn necesarias para aumentar las ganancias de $1 500 a $2 400 por semana? a) 20
b) 18
c) 14
d) 12
7. Tenemos un cuadrado de lado 10 y queremos construir un rectĂĄngulo cuyos lados sean enteros y tenga un perĂmetro de 20, de tal manera que su ĂĄrea sea 16% del ĂĄrea del cuadrado. ÂżCuĂĄles son las dimensiones del rectĂĄngulo? a) 6 y 4
b) 7 y 3
c) 8 y 2
d) 9 y 1
Bloque III Elementos de la circunferencia
119
3
3
8. Si tanto al numerador como al denominador de la fracción 7 le sumamos el mismo número, obtenemos . 5 Por lo que el número que se sumó es: a) 15
b) 10
c) 3
9. En la siguiente figura el segmento BC une los centros de los círculos. AB A BC, BC el perímetro de la circunferencia pequeña es: a) 8S
b) 6S
c) 4S
d) 2 8 y AC
10. Entonces
d) 2S
A
C
B
10. Si colocamos los números 1, 2, 3, 4, 5 en una de las casillas de la siguiente figura de manera que la suma de los números en vertical es igual a la de los números en horizontal, y esa suma es 8. ¿Qué número debe colocarse en la letra G? a) 1
b) 2
c) 3
G
120
Matemáticas II
d) 4
Registro del desarrollo de las competencias Nombre del alumno: Instrucciones: Llena, junto con tu profesor, cada espacio según consideren que se ha desarrollado la competencia o no. Si aún no se ha logrado escribe qué falta para hacerlo.
Competencias
Desarrollada
Aún no desarrollada
4.5 Maneja las TIC para obtener información y expresar ideas. 6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad. 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, por métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente, las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
Bloque III Elementos de la circunferencia
121
Esta edición de Matemáticas II 3, >4/: /0>,==:77,/, .:9 7, ő9,74/,/ /0 .:9?=4-@4= , 49.=0809?,= 07 94A07 /0 0ő.,.4, D 0ő.409.4, /07 ;=:.0>: 0/@.,?4A: D 1,.474?,= 07 ?=,-,5: /:.09?0 80/4,9?0 7, 49.:=;: =,.4µ9 /0 ,.?4A4/,/0> /0 ,;=09/4E,50 <@0 .:9?=4-@D,9 ,7 /0>,==:77: /0 .:8;0?09.4,> D 3,-474/,/0> >:.4:08:.4:9,70> ?:/: 077: /0>/0 @9 091:<@0 49?0=/4>.4;749,=4: D /0 ?=,9>A0=>,74/,/ Entre las características del libro, destacan las siguientes: • !=0>09?, 7:> ?08,> /0 ¡92@7:> D ?=4¡92@7:> ;=:;40/,/0> /0 7:> ;:7¯2:9:> 070809?:> /0 7, .4= .@910=09.4, =,E:90> ?=42:9:8«?=4.,> D 1@9.4:90> ?=42:9:8«?=4.,> • 9.:=;:=, >0.@09.4,> /4/¡.?4.,> ;=¡.?4.,> <@0 >@240=09 07 @>: /0 30==,8409?,> ?0.9:7µ24.,> /0 491:=8,.4µ9 D .:8@94.,.4µ9 H% I ,>¯ .:8: 49>?=@809?:> /0 0A,7@,.4µ9 ;,=, 07 >02@48409?: >09.477: D :=/09,/: /07 /0>08;0³: 0>.:7,= • :9?4090 491:=8,.4µ9 =070A,9?0 ;,=, ,/09?=,=>0 09 7, ;=¡.?4., 8,?08¡?4., 7: <@0 ;0=84?0 1:= ?,70.0= 3,-474/,/0> /0>?=0E,> D ,.?4?@/0> ;,=, /0>,==:77,= D =0>:7A0= ;=:-708,> =0,70> • :9>4/0=, ,-:=/,= 07 .:9:.48409?: D ,=?4.@7,=7: /0 8,90=, ;7@=,7 .:9 7,> 3,-474/,/0> D ,.?4?@ /0> <@0 ;0=84?,9 2090=,= , 7, ;,= 0A4/09.4,> /0 ,;=09/4E,50 • 9 07 /0>,==:77: /0 7, :-=, >0 .:9>4/0=µ 7, A,74:>, :;494µ9 /0 /:.09?0> D 02=0>,/:> /07 -,.34770 =,?: ,>¯ .:8: 49?0=0>,9?0> 0C;0.?,?4A,> /0 0>?@/4,9?0> ,.0=., /0 .µ8: /0-¯, >0= 07 1:=8,?: 4/0,7 /0 @9 74-=: /0 ?0C?: ;,=, 07 .@=>: • ,A:=0.0 <@0 07 0>?@/4,9?0 ,/<@40=, 9: >µ7: .:9:.48409?:> 9@0A:> HsaberI >49: <@0 ,;=09/, , ,;=09/0= Hsaber hacerI D ,;=09/, <@0 ;@0/0 ,;=09/0= Hsaber serI ;,=, -090ő.4: ;=:;4: D /0 7:> /08¡> Hsaber convivirI
ISBN-13: 978-607-526-699-2 ISBN-10: 607-526-699-2
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