Mate 2 by Cengage

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RICHARD N. AUFMANN, JOANNE S. LOCKWOOD, ALAN S. TUSSY, R. DAVID GUSTAFSON, DIANE R. KOENIG

MATE

SECUNDARIA Segunda edición

ACCESO EN LÍNEA A UNA AMPLIA VARIEDAD DE COMPLEMENTOS DIGITALES PARA TU APRENDIZAJE Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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P RO BA D O P O R LO S E ST U D I A N T E S , A P RO BA D O P O R LO S D O C E N T E S

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MATE

Como todas las soluciones de 4LTR Press, MATE 2. Secundaria, segunda edición empieza y termina con retroalimentación de estudiantes y docentes. Esta obra incluye:

Ejemplos y ejercicios adicionales Inténtalo Este complemento incluye un ejemplo y un ejercicio adicionales, similares a los de este libro, para reforzar cada objetivo de aprendizaje en todas las secciones aquí incluidas.

COMPLEMENTOS DIGITALES

Ejercicios de repaso y Segundo repaso Los Ejercicios de repaso consideran un ejercicio más por cada objetivo de las lecciones del libro, pero ahora sin la guía de un ejemplo, para que practiques por tu propia cuenta lo aprendido. Por su parte, el Segundo repaso es una especie de primer examen para que pongas a prueba tus habilidades en los temas vistos en cada sección.

Cuestionario Este complemento resulta muy útil al ﬁnalizar todas las lecciones, pues te permite veriﬁcar cuánto aprendiste en cada sección; consta de una serie de preguntas de opción múltiple, basadas en los temas abordados.

Manuales de soluciones El Manual de soluciones 1 está integrado por las soluciones de todo el contenido incluido en este libro: exámenes de preparación, ejercicios Inténtalo y las prácticas individuales y en equipo. Por su parte, el Manual de soluciones 2 contiene las soluciones de todos los complementos digitales enumerados antes.

Glosarios

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Los primeros adoptantes aceptan esta estrategia, adquieren las múltiples soluciones de 4LTR Press para impulsar mejores resultados.

En una misma escuela adoptan por primera vez más de 20 títulos.

JUNIO 2009

Marca de un millón de dólares en ahorros para los estudiantes.

ENERO 2009

HACIA EL 2008

Adopción inicial de MKTG.

2008

El profesorado avala ampliamente nuestra estrategia probada por los estudiantes, aprobada por los docentes, pero sugiere un cambio de título, de Marketing To Go a MKTG, con el cual se lanza oﬁcialmente la marca 4LTR Press.

El número de nuestros títulos crece a ocho soluciones de diversas disciplinas relacionadas con los negocios.

ABRIL 2007

MKTG publica y lanza un nuevo debate sobre la mejor manera de interesar a los estudiantes de hoy.

MARZO 2007

Empiezan las conversaciones con estudiantes.

OTOÑO 2006

PRIMAVERA 2006

CRONOLOGÍA DE 4LTR PRESS

Con los conceptos más importantes de cada sección del libro.

PROBADO POR LOS ESTUDIANTES Y APROBADO POR LOS DOCENTES

SOLUCIÓN Todas las soluciones de 4LTR Press: tarjeta de evaluación

BLOQUE 3

BLOQUE 6 / sección 1

Geometría

Ecuaciones de primer grado RICHARD N. AUFMANN, JOANNE S. LOCKWOOD, ALAN S. TUSSY, R. DAVID GUSTAFSON, DIANE R. KOENIG

1. Determina el ángulo x.

Lecciones:

MATE

1.1 Ecuaciones de la forma x + a= b

y ax = b

40°

SECUNDARIA

A Ecuaciones de la forma ax+ b = c B Utilizar fórmulas conocidas

2. Las rectas L1 y L2 son paralelas. Determina todos los ángulos.

1.9 Resolver sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

A Resolver sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

A Ecuaciones de la forma x + a = b B Ecuaciones de la form ab = b

1.2 Ecuaciones de la forma ax + b = c

1.10 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta (o de eliminación)

A Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta

1.3 Ecuaciones generales de primer grado

Segunda edición

A Ecuaciones de la forma ax + b = cx + d B Ecuaciones con paréntesis C Principio de las palancas de Arquímedes

1.4 Conversión de expresiones en ecuaciones

A Volumen de un sólido B Área de la superficie de un sólido

115°

1.5 El sistema de coordenadas rectangulares

A El sistema de coordenadas rectangulares B Diagrama de dispersión

3. Determina cuánto valen los ángulos 2x y 5x. 5x

1.6 Gráficas de rectas A Resolver ecuaciones lineales con dos variables B Ecuaciones de la forma y = mx + b

45°

Examen

de preparación

Resuelve este examen rápido para ver si recuerdas el material de las secciones anteriores, que necesitas conocer para seguir adelante. 1. Resta: 8 – 12 2. Multiplica: 3. Multiplica: 4. Simplifica:

1.7 Pendientes de rectas

A Calcular la pendiente de una recta B Graficar una recta utilizando la pendiente y la intersección con el eje y

4. Los triángulos ABC y DBE son semejantes; define todos sus ángulos e indica los lados proporcionales.

5. Simplifica: –16 + 7y + 16 6. Simplifica: 8x – 9 – 8x

1.8 Resolver sistemas de ecuaciones por el método gráfico

A Resolver sistemas de ecuaciones por el método gráfico

e = 77.32º 6

7. Evalúa: 2x + 3 para x = – 4 8. Dado que y = –4x +5, calcula del valor de y para x = –2

B 5

(

4 D

2 1 A –1 –1

( 2

©© Kim DeClaire/Dreamstime.com Alexey Godzenko /iStockphoto.com /

_ = 51.34º

(

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–2

` = 51.34º

ACCESO EN LÍNEA A UNA AMPLIA VARIEDAD DE COMPLEMENTOS DIGITALES PARA TU APRENDIZAJE

Texto con gran atractivo visual

114

Tarjetas de evaluación desprendibles

Libro electrónico

COMPLEMENTOS DIGITALES PARA ESTUDIANTES Y DOCENTES:

Nota para

el docente

Para fines prác ticos, los ejercic desarrollados ios en cada tema de este libro son sólo muest ras que el prof esor puede dosificar segú n sus necesidad es en el aula. Para ampliar la práctica de co nceptos y temas, se reco mienda accede r también a lo complemento s s digitales.

1. Ingresa a latinoamerica.cengage.com y busca tu libro de texto por título. 2. Dirígete a los materiales de apoyo de estudiante o del profesor según corresponda. 3. Sigue las indicaciones del sitio para descargar los complementos digitales.

“Utilicé todos los elementos de las soluciones de 4LTR Press y considero que fueron herramientas de estudio muy útiles”. -Consuelo Sada, estudiante, Valencia, Escuela Superior de la Comunidad de Valencia

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SECUNDARIA Segunda edición

Ana Elizabeth García Hernández Instituto Politécnico Nacional Javier León Cárdenas Formación básica ESIQIE IPN

Traducción María del Pilar Carril Villareal Traductora profesional Jorge Hernández Lanto Traductor profesional

Revisión técnica Pablo de Robina Duhart Consultor académico de la red de Colegios Semper Altius

Australia • Brasil • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

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MATE 2. Secundaria, segunda ediciÃ³n Richard N. Aufmann, Joanne S. Lockwood, Alan S. Tussy, R. David *XVWDIVRQ 'LDQH 5 .RHQLJ Director Higher Education LatinoamÃ©rica: Renzo CasapÃa Valencia Gerente editorial LatinoamÃ©rica: -HVÂ¼V 0DUHV &KDFÂµQ Editora de desarrollo: Cinthia ChÃ¡vez Ceballos Coordinador de Manufactura: 5DIDHO 3Â«UH] *RQ]Â£OH] Imagen de la portada Â© Daniel/stock.adobe.com &RPSRVLFLÂµQ WLSRJUÂ£È´FD MB Soluciones Editoriales MÃ©xico Juan Pablo RodrÃguez VelÃ¡zquez $OPD *XDGDOXSH 6RWR =Â£UUDJD Alberto Cerqueira da Fonseca

Â© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una CompaÃ±Ãa de Cengage Learning, Inc. &DUUHWHUD 0Â«[LFR 7ROXFD QÂ¼P RÈ´FLQD &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD &3 Ciudad de MÃ©xico. Cengage LearningÂ® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrÃ¡ ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JUÂ£È´FR HOHFWUÂµQLFR R PHFÂ£QLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, UHSURGXFFLÂµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLÂµQ JUDEDFLÂµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLÂµQ HQ Î&#x2013;QWHUQHW GLVWULEXFLÂµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLÂµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLÂµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLÂµQ D H[FHSFLÂµQ GH OR SHUPLWLGR en el CapÃtulo III, ArtÃculo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. (VWD HV XQD DGDSWDFLÂµQ GH ORV OLEURV 35($/* GH Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood. Publicado por Cengage Learning con ISBN 978-607-481-892 WUDGXFLGR GH OD REUD 35($/* (GLWLRQ Publicado en inglÃ©s por Cengage Learning Â© 2011; Î&#x2013;6%1 < 0DWHPÂ£WLFDV EÂ£VLFDV GH $ODQ 6 7XVV\ 5 'DYLG *XVWDIVRQ 'LDQH 5 .RHQLJ Publicado por Cengage Learning con ISBN 978-607481-914-4, traducido de la obra Basic Mathematics for College Students, 4th Edition. Publicado en inglÃ©s SRU &HQJDJH /HDUQLQJ k Î&#x2013;6%1 442-1 'DWRV SDUD FDWDORJDFLÂµQ ELEOLRJUÂ£È´FD Aufmann, Richard, Joanne S. Lockwood, Alan S. 7XVV\ 5 'DYLG *XVWDIVRQ 'LDQH 5 .RHQLJ MATE 2. Secundaria, VHJXQGD HGLFLÂµQ Î&#x2013;6%1 52 4 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en MÃ©xico 1 2 3 4 5 7 22 21 20 19

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Contenido BLOQUE 1

1.2

Sección 1

Los números y sus operaciones 1.1

1.2

El orden o jerarquía de las operaciones A Resolver operaciones de manera ordenada

5 5

Fracciones y decimales A Escribir fracciones como decimales terminales equivalentes B Escribir fracciones como decimales repetitivos equivalentes C Redondear decimales repetitivos D Graficar fracciones y decimales en una recta numérica E Comparar fracciones y decimales F Evaluar expresiones que contienen fracciones y decimales G Resolver problemas de aplicación que involucran fracciones y decimales

1.3

1.4

15 15 17 18

Raíces cuadradas A Encontrar la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto B Encontrar la raíz cuadrada de fracciones y decimales C Evaluar expresiones que contienen raíces cuadradas D Evaluar fórmulas que involucran raíces cuadradas E Aproximar raíces cuadradas

20 20 23 23 25 26

Exponentes, fracciones complejas y el orden de las operaciones A Exponentes B Fracciones complejas

28 28 29

BLOQUE 2

1.1

Grados de los polinomios A Identificar el nombre de los polinomios según sus grados y ordenarlos

Productos notables A Resolver productos usando productos notables (binomio al cuadrado, binomios conjugados, binomios con término común y binomio al cubo) B Multiplicar un polinomio por un monomio C Multiplicar dos polinomios D Multiplicar binomios que tienen productos especiales

40 42

44 46 47 48

BLOQUE 3 Sección 1

Álgebra El lenguaje del álgebra A Usar variables para enunciar propiedades de la suma, multiplicación y división B Identificar términos y coeficientes de términos C Traducir frases en palabras a expresiones algebraicas D Evaluar expresiones algebraicas

55 55 57 59 62

63 63 66

1.3

Suma y resta de polinomios A Sumar polinomios B Restar polinomios

67 67 69

1.4

Multiplicación de monomios A Multiplicar monomios B Potencias de monomios

72 72 74

1.5

Multiplicación de polinomios A Multiplicar un polinomio por un monomio B Multiplicar dos polinomios

77 77 78

1.6

División de monomios

37 37

Expresiones algebraicas en su forma más simple A Sumar términos semejantes B Expresiones algebraicas generales

1.2

Sección 1

Polinomios

10 13

1.1 1.3

Leyes de los exponentes A Usar las leyes de los exponentes de manera ordenada (enteros, positivos-negativos y cero) B Leyes de los exponentes, jerarquía de las operaciones y números positivos en la resolución de problemas

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vii

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A Dividir monomios B Notación científica

80 83

1.7

División de polinomios A Dividir un polinomio entre un monomio B Dividir polinomios

85 85 86

1.8

Expresiones verbales y expresiones algebraicas A Convertir expresiones verbales en expresiones algebraicas B Convertir y simplificar expresiones verbales

1.9

87 87 91

Ecuaciones lineales complejas y problemas A Representar con símbolos matemáticos situaciones de su entorno, planteando ecuaciones lineales complejas

1.10 Problemas de aplicación y otros temas matemáticos clave A Jerarquía en las operaciones y leyes de los exponentes dentro de sistemas de ecuaciones para resolver problemas

BLOQUE 4 Sección 1

Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de la forma x + a = b y ax = b A Ecuaciones de la forma x + a = b B Ecuaciones de la form ax = b

101 101 105

1.2

Ecuaciones de la forma ax + b = c A Ecuaciones de la forma ax+ b = c B Utilizar fórmulas conocidas

108 108 110

1.3

Ecuaciones generales de primer grado A Ecuaciones de la forma ax + b = cx + d B Ecuaciones con paréntesis

111 111 113

1.1

viii

100

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C Principio de las palancas de Arquímedes 1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

115

Conversión de expresiones en ecuaciones A Convertir expresiones matemáticas en ecuaciones

117 117

El sistema de coordenadas rectangulares A El sistema de coordenadas rectangulares B Diagramas de dispersión

120 120 124

Gráficas de rectas A Resolver ecuaciones lineales con dos variables B Ecuaciones de la forma y = mx + b C Determinar soluciones de ecuaciones lineales con dos variables B Graficar ecuaciones de la forma Ax + By = C

126 126 129

Pendientes de rectas A Calcular la pendiente de una recta B Graficar una recta utilizando la pendiente y la intersección con el eje y

140 140

Resolver sistemas de ecuaciones por el método gráfico A Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico Resolver sistemas de ecuaciones por el método de sustitución A Resolver sistemas de ecuaciones por el método de sustitución

1.10 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta (o eliminación) A Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta

133 135

146 149 149

153 153

156 156

BLOQUE 5 Sección 1

Unidades de medida 162 1.1

Sistema internacional de unidades A Estudiar y comprender el SI

163 163 Contenido

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1.2

Notación científica A Distintas expresiones de la notación científica

166 166

1.3

Factores de conversión A Conocer los factores de conversión B Aplicar las leyes de los exponentes para el manejo de factores de conversión

169 169

1.4

172

Conversión de unidades y representación en el plano cartesiano A Intercambiar unidades de área y volumen para representar figuras en el plano cartesiano

175 175

BLOQUE 6 Sección 1

182

Introducción a la geometría A Problemas relacionados con líneas y ángulos B Problemas relacionados con ángulos formados por la intersección de dos rectas C Problemas relacionados con los ángulos de un triángulo

183 183

1.2

Figuras geométricas planas A Perímetro de una figura geométrica plana B Área de una figura geométrica plana

195 195 200

1.3

Triángulos A El teorema de Pitágoras B Triángulos semejantes C Triángulos congruentes

206 206 208 210

1.4

Sólidos A Volumen de un sólido B Área de la superficie de un sólido

214 214 217

1.5

Ángulos en círculos y polígonos A Calcular medidas de ángulos internos de un polígono B Calcular medidas de ángulos inscritos, centrales y semi-inscritos de una circunferencia

220

1.1

189 193

Geometría

221 224

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1.6

Tipos de ángulos A Reconocer y trazar diversos tipos de ángulos

228 228

1.7

Secante y paralelas A Las rectas paralelas cortadas por una secante

23 231

1.8

Graficar ecuaciones lineales 234 A Graficar correctamente puntos de una ecuación lineal 234

239

Tarjetas de evaluación

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BLOQUE 1

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Aprendizaje esperado: Calcular soluciones de problemas en los que utilices las operaciones básicas según su jerarquía, además de respetar sus propiedades tanto numérica como algebraicamente; asimismo, aplicar productos notables y resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Á M B I TO :

Lenguaje o matemátic

n el presente bloque se espera que obtengas este aprendizaje relacionado con el lenguaje matemático, a través de diversas lecciones clasificadas en su sección temática correspondiente; esto, con base en cuatro que te ayudarán a lograrlo. Revisemos cada uno de ellos:

INDICADORES

1. 2.

Utilizar de manera adecuada los productos notables.

Combinar diferentes operaciones respetando su jerarquía, al trabajar con monomios y polinomios.

Utilizar las leyes de los los exponentes, la jerarquía de las operaciones y los números positivos y negativos en la resolución de problemas matemáticos relacionados con su entorno.

Dominar las leyes de los exponentes, además de usarlas y aplicarlas para realizar operaciones y trabajar con notación científica.

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Contenido

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Secciones 1. Los números y sus operaciones 1.1

El orden o la jerarquía de las operaciones

1.2

Fracciones y decimales

1.3

Raíces cuadradas

1.4

Exponentes, fracciones complejas y el orden de las operaciones

2. Polinomios 2.1

Grados de los polinomios

2.2

Leyes de los exponentes

2.3

Productos notables

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sección 1

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Los números y sus operaciones Lecciones: 1.1 El orden o jerarquía de las operaciones A Resolver operaciones de manera correcta.

1.2 Fracciones y decimales A Escribir fracciones como decimales terminales equivalentes. B Escribir fracciones como decimales repetitivos equivalentes. C Redondear decimales repetitivos. D Graficar fracciones y decimales en una recta numérica. E Comparar fracciones y decimales. F Evaluar expresiones que contienen fracciones y decimales. G Resolver problemas de aplicación que involucran fracciones y decimales.

1.3 Raíces cuadradas A B C D E

Encontrar la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto. Encontrar la raíz cuadrada de fracciones y decimales. Evaluar expresiones que contienen raíces cuadradas. Evaluar fórmulas que involucran raíces cuadradas. Aproximar raíces cuadradas.

1.4 Exponentes, fracciones complejas y el orden de las operaciones A Exponentes. B Fracciones complejas.

Examen

de preparación

Resuelve este examen rápido. En los ejercicios 3 a 6 suma, resta, multiplica o divide. 1. Coloca entre los dos números el símbolo correcto, o . 54 45 2. ¿Qué distancia hay de 4 a 8 en la recta numérica? 3. 7,654 8,193 4. 6,097 2,318 5. 472 56 6. 144 ÷ 24 7. Resuelve: 22 = y 9

9. ¿Qué precio debe tener un monopatín que le cuesta a la tienda $129 y se quiere tener un margen de utilidad de $42? Utiliza la fórmula P = C + M donde P es el precio del producto que paga el consumidor, C el costo que paga la tienda por el producto y M el margen de utilidad. 10. Simplifica: (8 6)2 12 ÷ 4 · 32

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8. Resuelve: 12b = 60

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Indicadores desarrollados: 3

1.1 OBJETIVO

El orden o jerarquía de las operaciones

A Resolver operaciones de manera ordenada Una expresión numérica puede contener más de una operación. Por ejemplo, la expresión

4 + 3(5) incluye dos operaciones aritméticas: suma y multiplicación. Las operaciones se pueden realizar en diferente orden. Si multiplicamos primero y luego sumamos, tenemos: 4 + 3(5) 4 + 15 19

Si sumamos primero y luego multiplicamos, tenemos:

4 + 3(5) 7(5) 35

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Para evitar más de una respuesta al mismo problema, se sigue un orden de las operaciones. Según este orden, 19 es la única respuesta correcta.

ORDEN o jerarquía DE LAS OPERACIONES Paso 1 Realiza todas las operaciones que aparecen entre paréntesis.

Paso 2 Simplifica las expresiones numéricas que contienen exponentes. Paso 3 Realiza las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparecen de izquierda a derecha.

Paso 4

Realiza las sumas y restas en el orden que aparecen de izquierda a derecha.

Nota sobre el uso de calculadoras Muchas calculadoras siguen el orden de las operaciones. Teclea 4 3 5 en tu calculadora. Si la respuesta es 19, la calculadora sigue el orden de las operaciones. El siguiente es un ejemplo del uso de las teclas de paréntesis de una calculadora. Para evaluar 28(103 78) teclea: 28 ( 103 78 ) . Ten en cuenta que en la mayoría de las calculadoras se requiere .

Simplifica: 2(4 1) 23 6 2 2(4 1) 23 6 ÷ 2 2(5) 23 6 ÷ 2

Realiza las operaciones entre paréntesis. Simplifica las expresiones con exponentes.

2(5) 8 6 ÷ 2

Realiza las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparecen de izquierda a derecha.

10 8 6 ÷ 2 10 8 3 2 3 5

Realiza las sumas y restas en el orden que aparecen de izquierda a derecha.

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números y sus operaciones Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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Evalúa 5a (b c)2 para a 6, b 1 y c 3. 5a (b c)2 5a (b c)2

Sustituye a por 6, b por 1 y c por 3. Sigue el orden de las operaciones para simplificar la expresión numérica resultante. Realiza las operaciones indicadas entre paréntesis.

5(6) (4) 2

Simplifica las expresiones que tienen exponentes.

5(6) 16

Realiza la multiplicación.

30 16

Realiza la resta.

1 DEJEMPLO Simplifica: 20 + 24(8 – 5) ÷ 2

1 DINTÉNTALO Simplifica: 16 + 3 (6 – 1) ÷ 5

Solución 20 + 24(8 – 5) ÷ 22 = 20 + 24(3) ÷ 22 = 20 + 24(3) ÷ 4 = 20 + 72 ÷ 4 = 20 + 18 = 38

Tu solución

2 DEJEMPLO Evalúa: (a – b) + 3c para a = 6, b = 4 y c = 1.

DINTÉNTALO 2

Evalúa: (a – b)2 + 5c para a = 7, b = 2 y c = 4. Tu solución

Solución (a – b)2 + 3c (6 – 4)2 + 3(1) = (2)2 + 3 (1) = 4 + 3 (1) = 4+ 3 =7

DAPLÍCALO

En parejas, resuelvan los siguientes problemas de aplicación. Compartan sus resultados con todo el grupo. 1

1. Evalúen la expresión para la energía total E = 2 mv2 + mgh de una bola de masa m = 0.500 kg que se mueve con una velocidad v = 5 m/s y que está a una altura h = 100 m, y donde la aceleración de la gravedad es de g = 9.81 m/s2. 2. ¿Qué distancia (d) recorre un auto durante 4 segundos, si tiene una velocidad inicial (vi)= 8 m/s, y una aceleración constante a = 3 m/s2? La distancia está dada por d = vi t +

at2 . 2

3. En un día del mes de julio la temperatura en Los Angeles, California, es de 97°F. ¿A cuánto equivale en grados centígrados? Importante: °C =

5 9

(°F – 32)

LECCIÓN 1.1: El orden o jerarquía de las operaciones Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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1.2 OBJETIVO

Indicadores desarrollados: 3

Fracciones y decimales

A Escribir fracciones como decimales terminales equivalentes Se dice que una fracción y un decimal son equivalentes si nombran al mismo número. Toda fracción puede escribirse en una forma equivalente decimal dividiendo el numerador entre el denominador, como indica la barra de fracción.

ESCRITURA DE UNA FRACCIÓN COMO UN DECIMAL Para escribir una fracción como un decimal, divida el numerador de la fracción entre su denominador.

DEJEMPLO 3

Escribe la fracción como un decimal. 3 4

DINTÉNTALO 3

Solución Se dividirá el numerador de cada fracción entre su denominador. Se continuará el proceso de división hasta que se obtenga un residuo de cero. POR QUÉ

3 4

Tu solución

significa 3 ÷ 4. Escribe un punto decimal y 0.75 dos ceros adicionales a la 4 3.00 derecha del 3. 2 8 20 20

El residuo es 0.

Por tanto, 34 0.75. Se dice que el equivalente decimal de 34 es 0.75.

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13.04.2019

Escribe la fracción como un decimal. 1 2

4/13

DEJEMPLO 4

Escribe la fracción como un decimal. 5 8

DINTÉNTALO 4

Escribe la fracción como un decimal. 3 16

Estrategia Se dividirá el numerador de cada fracción entre su denominador. Se continuará el proceso de división hasta que se obtenga un residuo de cero. POR QUÉ Se dividirá el numerador entre el denominador debido a que una barra de fracción indica una división. Solución

5 8

Tu solución

significa 5 ÷ 8. Escribe un punto decimal y dos ceros adicionales a la derecha del 5.

0.625 8 5.000 4 8

20 16

40 40

El residuo es 0.

Por tanto, 8 0.625.

DEJEMPLO 5

Escribe la fracción como un decimal. 7 2

DINTÉNTALO 5

Escribe la fracción como un decimal. 9 2

7 2

Tu solución

significa 7 ÷ 2. 3.5 2 7.0 6

Escribe un punto decimal y dos ceros adicionales a la derecha del 5.

10 1 0

El residuo es 0.

Por tanto, 2 3.5.

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¡Cuidado! Un error común cuando se encuentra un equivalente decimal para una fracción es dividir de manera incorrecta el denominador entre el numerador. A la derecha se muestra un ejemplo de esto, donde el equivalente decimal de 58 (un número menor que 1) se encuentra de manera incorrecta como de 1.6 (un número mayor que 1).

1.6 5)8.0 5 30 30 0

En los Ejemplos 3, 4 y 5, el proceso de división terminó debido a que se obtuvo un residuo de 0. Cuando tal división termina con un residuo de 0, se le llama al decimal resultante decimal terminal. Por tanto, 0.75, 0.625 y 3.5 son tres ejemplos de decimales terminales.

El lenguaje de las matemáticas Terminar VLJQLÀ FD OOHYDU D XQ À QDO. En la película The Terminator, el actor Arnold Schwarzenegger hace el papel de una máquina sin FRUD]yQ HQYLDGD D OD 7LHUUD SDUD OOHYDU D XQ À QDO D VXV HQHPLJRV.

OBJETIVO

B Escribir fracciones como decimales repetitivos equivalentes En ocasiones, cuando se encuentra un equivalente decimal de una fracción, el proceso de división nunca da un residuo de 0. En este caso, el resultado es un decimal repetitivo. Ejemplos de decimales repetitivos son el 0.4444. . . y 1.373737. . . Los tres puntos indican que un bloque de dígitos se repite en el patrón mostrado. Los decimales repetitivos también pueden escribirse utilizando una barra sobre el bloque de dígitos repetitivo. Por ejemplo, 0.4444. . . puede escribirse como 0.4, y 1.373737. . . puede escribirse como 1.37. Algunas fracciones pueden escribirse como decimales utilizando un método alterno. Si el denominador de una fracción en forma simplificada tiene factores de sólo 2 o 5, o una combinación de ambos, puede escribirse como un decimal multiplicándola por una forma de 1. El objetivo es escribir la fracción en una forma equivalente con un denominador que sea una potencia de 10, como 10, 100, 1,000, etcétera.

¡Cuidado! Cuando se utiliza una barra superior para escribir un decimal repetitivo, usa el menor número de dígitos necesarios para mostrar el bloque repetitivo de dígitos.

0.333... = 0.333

6.7454545... = 6.7454

0.333... = 0.3

6.7454545... = 6.745

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DEJEMPLO 6

Escribe la fracción como un decimal utilizando una multiplicación por una forma de 1:

DINTÉNTALO 6

4 5

Estrategia Se multiplicará

Escribe la fracción como un decimal utilizando una multiplicación por una forma de 1: 2 5

Tu solución 4 5

por

2 2,

Solución 4 Dado que se necesita multiplicar el denominador de 5 por 2 para obtener un denominador de 10, se tiene que 2 debe ser la forma de 1 que se utiliza para construir 4 . 5 2

4 4 2 Multiplica · 5 5 2

8 10

0.8

DEJEMPLO 7

4 5

por 1 en la forma de 22 .

Multiplica los numeradores. Multiplica los denominadores. Escribe la fracción como un decimal.

Escribe la fracción como un decimal utilizando una multiplicación por una forma de 1:

DINTÉNTALO 7

11 40

Escribe la fracción como un decimal utilizando una multiplicación por una forma de 1: 8 25

Estrategia 11 25 Se multiplicará 40 por 25 .

Tu solución

Solución Dado que se necesita multiplicar el denominador de 11 por 40 25 25 para obtener un denominador de 1,000, se tiene que 25 11 debe ser la forma de 1 que se utiliza para construir 40 . 11 11 25 Multiplica 11 por 1 en la forma de 25 . · 40 25 40 40 25

275 Multiplica los numeradores 1,000 Multiplica los denominadores.

0.275 Escribe la fracción como un decimal.

Los números mixtos también pueden escribirse en forma decimal.

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DEJEMPLO 8

DINTÉNTALO 8

7 Escribe el número mixto 5 16 en forma decimal.

Estrategia Sólo se necesita encontrar el equivalente decimal para la parte fraccional del número mixto.

Escribe el número mixto 3 17 en forma 20 decimal.

Tu solución

Solución 7 Para escribir 16 como un decimal, se encuentra 7 ÷ 16. 0.43758 16 7.0000 6 4

Escribe un punto decimal y cuatro ceros adicionales a la derecha del 7.

60 48

120 112

80 80 0

El residuo es 0.

Dado que la parte de número entero del decimal debe ser la misma que la parte de número entero del número mixto, se tiene: 7 5 16 5.4375 Se habría obtenido el mismo resultado si se hubiese 7 cambiado 5 16 a la fracción impropia 87 y dividido 87 entre 16 16.

DEJEMPLO 9

5 Escribe 16 como un decimal.

Estrategia Se dividirá el numerador de la fracción entre su denominador y se buscará un patrón repetitivo de residuos diferentes de cero. Solución

DINTÉNTALO 9 Tu solución

5 ÷ 12 significa 5 12.

Escriba un punto decimal y 0.4166 cuatro ceros adicionales a la 12 5.0000 derecha del 5. 4 8 Es aparente que el 8 20 continuará reapareciendo 12 como el residuo. Por tanto, 80 el 6 continuará reapareciendo en el cociente. Dado que el 72 80 patrón repetitivo 72 ahora es claro, se puede 8 detener la división.

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1 Escribe 12 como un decimal.

4/13

Se pueden utilizar tres puntos para mostrar que en el cociente aparece un patrón repetitivo de 6: 5 12

0.416666…

O, se puede utilizar una barra superior para indicar la parte repetitiva (en este caso, sólo el 6) y escribir el equivalente decimal en forma más compacta: 5 12

0.416

La parte repetitiva del equivalente decimal de algunas fracciones es bastante larga. Aquí hay algunos ejemplos: 9 37 13 101 6 7

0.243

Se repite un bloque de tres dígitos.

0.1287

Se repite un bloque de cuatro dígitos.

0.857142 Se repite un bloque de seis dígitos.

Toda fracción puede escribirse como un decimal terminal o como un decimal repetitivo. Por esta razón, el conjunto de las fracciones (números racionales) forma un subconjunto del conjunto de los decimales llamado el conjunto de los números reales. El conjunto de los números reales corresponde a todos los puntos en una recta numérica. No todos los decimales son decimales terminales o repetitivos. Por ejemplo, 02020020002… no termina y no tiene un bloque repetitivo de dígitos. Este decimal no puede escribirse como una fracción con un numerador entero y un denominador entero diferente del cero. Por tanto, no es un número racional. Es un ejemplo del conjunto de los números irracionales.

OBJETIVO

C Redondear decimales repetitivos Cuando una fracción se escribe en forma decimal, el resultado es un decimal terminal o repetitivo. Los decimales repetitivos con frecuencia se redondean a un valor posicional específico.

como un decimal y redondea a DINTÉNTALO 10 Escribe como un decimal y redondea DEJEMPLO 10 Escribe la centésima más cercana. a la centésima más cercana. 4 9

1 3

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Estrategia Se utilizarán los métodos estudiados hasta ahora para dividir hasta la columna de las milésimas. 1 3

Solución

Tu solución

significa 1 ÷ 3. Escribe un punto decimal y tres ceros adicionales a la derecha del 1.

0.333 3 1.000 9

10 9

El proceso de división puede detenerse. Se ha dividido hasta la columna de las milésimas.

Dado que el 3 es menor que 5, se redondea hacia abajo y se tiene 1 3

0.33

Se lee como “es aproximadamente igual a”.

como un decimal y redondee a DINTÉNTALO 11 Escribe como un decimal y redondea DEJEMPLO 11 Escribe la milésima más cercana. a la milésima más cercana. 7 24

2 7

Estrategia Se utilizarán los métodos estudiados hasta ahora para dividir hasta la columna de las diezmilésimas. Solución

2 7

Tu solución

significa 2 ÷ 7.

Escribe un punto decimal y 0.2857 cuatro ceros adicionales a la 7 2.0000 derecha del 1. 1 4 60 56

40 35

50 49

El proceso de división puede detenerse. Se ha dividido hasta la columna de las diezmilésimas.

Dado que el 7 es mayor que 5, se redondea hacia arriba y

2 7

0.286.

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Utilizando su CALCULADORA Tecla de punto fijo Después de desarrollar un cálculo, una calculadora científica puede redondear el resultado a una posición decimal dada. Esto se hace utilizando la tecla de punto fijo. Como se hizo en el ejemplo 7, se encuentra el equivalente decimal del 2 y se redondea a 7 la milésima más cercana. Esta vez, se utiliza una calculadora. Primero, se configura la calculadora para que redondee a la tercera posición decimal (milésimas) presionando 2nd FIX 3. Después se presiona 2 ÷ 7 = 0.286 Por tanto, 7 0.286. Para redondear a la décima más cercana, se fijaría 1; para redondear a la centésima más cercana, se fijaría 2, etc. Después de utilizar la característica FIX, no olvide eliminarla y regresar la calculadora al modo normal. 2

Las calculadoras gráficas también pueden redondear a una posición decimal dada. Vea el manual de usuario para la pulsación de teclas requerida.

OBJETIVO

D Graficar fracciones y decimales en una recta numérica Puede utilizarse una recta numérica para mostrar la relación entre las fracciones y sus equivalentes decimales. En la recta numérica mostrada abajo, se utilizan dieciséis marcas igualmente espaciadas para escalar del 0 al 1. Se muestran algunas fracciones utilizadas de manera común que tienen equivalentes decimales terminales. Por ejemplo, se ve que 18 0. 125 y 13 16 0. 8125. 625 .125 .1875 .25 .3125 .375 .4375 .5 .5625 .625 .6875 .75 .8125 .875 .9375 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0.0

1 –– 16

1– 8

3 –– 16

1– 4

5 –– 16

3– 8

7 –– 16

1– 2

9 –– 16

5– 8

11 –– 16

3– 4

13 –– 16

7– 8

15 –– 16

En la siguiente recta numérica, se utilizan seis marcas igualmente espaciadas para escalar del 0 al 1. Se muestran algunas fracciones utilizadas de manera común que tienen equivalentes decimales repetitivos.

OBJETIVO

0.16

0.3

1– 6

1– 3

1– 2

0.6

0.83

2– 3

5– 6

E Comparar fracciones y decimales Para comparar el tamaño de una fracción y un decimal, es de utilidad escribir la fracción en su forma decimal equivalente.

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un símbolo , o en el DEJEMPLO 12 Coloca recuadro para formar un enunciado verdadero:

4 5

.91

verdadero:

Estrategia En cada caso, se escribirá la fracción proporcionada como un decimal. Solución Para escribir 4 entre 5.

4 5

un símbolo , o en el DINTÉNTALO 12 Coloca recuadro para formar un enunciado 3 8

0.305

Tu solución

como un decimal, divide

0.8 5 4.0 4 0

Escribe un punto decimal y un cero adicional a la derecha del 4.

0 Por tanto, 45 0.8. un símbolo , o = en el DEJEMPLO 13 Coloca recuadro para formar un enunciado verdadero: 0.35

1 3

un símbolo , 0 = en el DINTÉNTALO 13 Coloca recuadro para formar un enunciado verdadero: 0.76

7 9

Tu solución Solución En el Ejemplo 10, se vio que 13 0. 3333… Para hacer más sencilla la comparación de estos decimales repetitivos, se escribe de tal manera que tengan el mismo número de dígitos a la derecha del punto decimal. 0.3 5 5 5… Esto es 0.35. 0.3 3 3… Esto es 13 . A medida que se trabaja de izquierda a derecha, esta es la primera columna en la que difieren los dígitos. Dado que 5 3, 1 se tiene que 0.35555… 0.35 es mayor que 0.3333… 3 y se 1 puede escribir 0.35 3 .

los números en orden de menor a DINTÉNTALO 14 Escribe los números en orden de DEJEMPLO 14 Escribe mayor: 2.168, 2 , . menor a mayor: 1.832, , 1 . 1 20 6 9

9 5

Tu solución

Estrategia Se escribirán 2 16 y 20 en forma decimal. 9 Solución A partir de la recta numérica de la página anterior, se 1 6

1 6

observa que 0.16. Por tanto, 2 2.16. Para escribir 20 9

como un decimal, se divide 20 entre 9.

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5 6

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Escribe un punto decimal y tres ceros adicionales a la derecha del 20.

2.222 9 20.000 18

20 18

20 18 20 18 2 Por tanto,

20 9 2.222 . . . .

Para hacer más sencilla la comparación de los tres decimales, se apilan como se muestra abajo. Esto es el 2.168 con un 0 adicional. 2.1 6 6 6… Esto es 2 16 2.16. 2.1 6 8 0

2.2 2 2 2… Esto es Trabajando de izquierda a derecha, esta es la primer columna en la que los dígitos difieren. Dado que 2 1, se tiene que 20 2.222 … 9 es el mayor de los tres números.

20 9 .

Trabajando de izquierda a derecha, esta es la primera columna en la que difieren los dos números superiores. Dado que 8 6, se tiene que el 2.168 es el siguiente número más grande 1 y que 2.16 2 6 es el menor.

Escritos en orden de menor a mayor, se tiene: 2 16, 2.168, 20 9

OBJETIVO

F Evaluar expresiones que contienen fracciones y decimales Las expresiones pueden contener fracciones y decimales. En los siguientes ejemplos se muestran dos métodos que pueden utilizarse para evaluar expresiones de este tipo. Con el primer método se encuentra la respuesta trabajando en términos de fracciones.

0.27 trabajando en términos trabajando en términos de DEJEMPLO 15 Evalúa DINTÉNTALO 15 Evalúa de fracciones. fracciones: 0.53 1 3

1 6

Estrategia Se comenzará escribiendo el 0.27 como una fracción.

Tu solución

Solución Para escribir el 0.27 como una fracción, es de utilidad leerlo como “veintisiete centésimas”.

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1 1 27 0.27 3 3 100

27 Reemplaza el 0.27 con 100 .

27 El mcd para 13 y 100 es el 300. Para construir cada fracción 1 100 27 3 para que su denominador sea · · 3 100 100 3 de 300, multiplica por una forma de 1.

100 81 300 300

Multiplica los numeradores. Multiplica los denominadores.

181 300

Suma los numeradores y escribe la suma sobre el denominador común de 300.

0.27 trabajando en términos el resultado trabajando en DEJEMPLO 16 deEstima DINTÉNTALO 16 Estima decimales. términos de decimales: 0.53 1 3

1 6

Estrategia Dado que el 0.27 tiene dos posiciones decimales, se comenzará encontrando una aproximación decimal para dos posiciones decimales.

Tu solución

Solución Se ha visto que el equivalente decimal de 13 es el decimal repetitivo 0.333… Redondeado a la centésima más cercana: 1 3 0.33.

1 0.27 0.33 0.27 3

0.60

Aproxime 13 con el decimal 0.33.

0.33 0.27 0.60

Realiza la suma.

Observa: En los Ejemplos 15 y 16, se evaluó 13 + 0.27 de diferentes maneras. En el Ejemplo 15 se obtuvo la respuesta exacta, 181 . 300 En el Ejemplo 16, se obtuvo una aproximación, 0.6. Los resultados parecen razonables cuando se escribe 181 300 en 181 forma decimal: 300 0.60333 . . . .

OBJETIVO

G Resolver problemas de aplicación que involucran fracciones y decimales

comprador adquirió de kilo de DEJEMPLO 17 Un fruta, a un precio de $0.88 el kilo, y 3 4

1 3

comprador adquiere de kilo de DINTÉNTALO 17 Un queso suizo a un precio de $2.19 por 2 3

3 4

de kilo de pavo rebanado,

de kilo de café molido fresco, vendido a

kilo, y

$6.60 el kilo. Encuentra el costo total de

vendido por $6.40 por el kilo. Encuentra

estos productos.

el costo total de estos productos.

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Tu solución

Analizar • Se adquirió 3 de kilo de fruta a $0.88 por kilo.

Proporcionado

• Se adquirió 1 de kilo de café a $6.60 por kilo.

Proporcionado

• ¿Cuál fue el costo total de los productos? A encontrar Formar Para encontrar el costo total de cada producto, multiplica el número de kilos adquiridos por el precio por libra. El costo total de es igual al número de por el precio más el número por el precio kilos de kilos los productos por kilo por kilo de fruta de café El costo total de los productos

3 4

$0.88

1 3

Solución Debido a que el 0.88 es divisible entre 4 y el 6.60 es divisible entre 3, se puede trabajar con los decimales y las fracciones en esta forma: no es necesaria una conversión. 3 0.88 4

0.88 3 2.64

1 6.60 3

3 0.88 4 1

$6.60

1 6.60 0.88 0.66 Expresa el 0.88 como y el 6.60 como 6.60 . 1 1 44 2.64 3 1

2.64 4

6.60 3

0.66

2.20

2.86

Multiplica los numeradores. Multiplica los denominadores.

24 24 24 0

Realiza cada división. Realiza la suma.

Enunciar El costo total de los productos es de $2.86. Comprobar Si se adquirió aproximadamente 1 kilo de fruta, a un precio de aproximadamente $1 por kilo, entonces se gastó alrededor de $1 en la fruta. Si se adquirió exactamente 1 de 3 una libra de café, a un precio de aproximadamente $6 por libra, entonces se gastó alrededor de $2 en el café. Dado que el costo aproximado de los productos es cercano al resultado, $2.86, el resultado parece razonable.

0.66 2.20 2.86

2.20 2.20 33 6.60 6.60 6 06 6 00 0 0

DAPLÍCALO

En equipos de cinco personas realicen las siguientes actividades aplicando lo aprendido en la lección. 4. Pregunten en su casa acerca de los productos que componen una despensa semanal. Vayan a un supermercado cercano a investiguen los precios de sus respectivas listas. Presenten ante el grupo una tabla de cuatro columnas (tituladas "mercancía", "precio unitario", "cantidad a comprar" y "costo por la cantidad de artículos a comprar"). Realicen la suma de esas cantidades para obtener el costo total. 5. En otra lista, presupuesten el costo total de los ingredientes para elaborar una receta de 12 galletas: 0.28 kg de harina, 0.10 kg de azúcar, 0.125 kg de mantequilla, 1 huevo, 1 cucharadita de esencia de vainilla (opcional) y 0.10 kg de nueces para decorar. Finalmente, obtengan el costo por galleta.

Sección 1.2: Fracciones y decimales Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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1.3

Indicadores desarrollados: 3

Raíces cuadradas

Se han explicado las relaciones entre la suma y la resta y entre la multiplicación y la división. Ahora exploraremos la relación entre elevar un número a una potencia y encontrar una raíz. Los decimales desempeñan una función importante en esta explicación.

OBJETIVO

A Encontrar la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto Cuando se eleva un número a la segunda potencia, se está elevando al cuadrado, o se está encontrando su cuadrado. El cuadrado de 6 es el 36, debido a que 62 36. El cuadrado de 6 es el 36, debido a que ( 6)2 36. La raíz cuadrada de un número proporcionado es un número cuyo cuadrado es el número proporcionado. Por ejemplo, las raíces cuadradas del 36 son el 6 y el 6, debido a que cualquiera de estos números, cuando se eleva al cuadrado, es el 36. Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas. El número 0 sólo tiene una raíz cuadrada. De hecho, es su propia raíz cuadrada, debido a que 02 0.

RAÍZ CUADRADA Un número es una raíz cuadrada de un segundo número si el cuadrado del primer número es igual al segundo número.

DEJEMPLO 18 Encuentra las dos raíces cuadradas del 49. DINTÉNTALO 18 Encuentra las dos raíces cuadradas del 64. Estrategia ¿Qué número positivo y qué número negativo, cuando se elevan al cuadrado, resultan en 49?

Tu solución

Solución 7 es una raíz cuadrada del 49 debido a que 72 y 7 es una raíz cuadrada del 49 debido a que ( 7)2 49.

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En el Ejemplo 18, se vio que el 49 tiene dos raíces cuadradas: una positiva y una negativa. Al símbolo 3 se le llama símbolo del radical y se utiliza para indicar una raíz cuadrada positiva de un número no negativo. Cuando se lee este símbolo, por lo regular se desecha la palabra positiva y simplemente se dice raíz cuadrada. Dado que el 7 es la raíz cuadrada positiva del 49, se puede escribir

3 49 7 349 representa el número positivo cuyo cuadrado es el 49. Se lee como “la raíz cuadrada del 49 es el 7 ”. Cuando un número, llamado radicando, se escribe bajo un símbolo del radical, se tiene una expresión radical. Símbolo del radical 349 = 7 Radicando Expresión radical Algunos otros ejemplos de expresiones radicales son:

3100

3144

381

Para evaluar (o simplificar) una expresión radical como las mostradas arriba, se necesita encontrar la raíz cuadrada positiva del radicando. Por ejemplo, si se evalúa 3 36 (se lee como “la raíz cuadrada del 36”), el resultado es

336 = 6 Recuerda que el símbolo del radical te pide que encuentres sólo la raíz cuadrada positiva del radicando. Por ejemplo, es incorrecto decir que

336 es 6 y 6

debido a que 62 36. El símbolo 3 se utiliza para indicar la raíz cuadrada negativa de un número positivo. Es el opuesto de la raíz cuadrada positiva. Dado que el –6 es la raíz cuadrada negativa del 36, se puede escribir 336 = 6

Se lee como “la raíz cuadrada negativa de 36 es 6” o “el opuesto de la raíz cuadrada de 36 es 6”. 3 36 representa el número negativo cuyo cuadrado es 36.

Si el número bajo el símbolo del radical es el 0, se tiene 3 0 0 . A los números, como el 36 y el 49, que son cuadrados de números naturales, se les llama cuadrados perfectos. Para evaluar expresiones radicales de raíces cuadradas, es de utilidad el ser capaz de identificar los radicandos cuadrados perfectos.

CUADRADOS PERFECTOS 0 1 4 9

02 12 22 32

16 42 25 52 36 62 49 72

64 82 81 92 100 102 121 112

144 122 169 132 196 142 225 152

Una calculadora es útil al encontrar la raíz cuadrada de un cuadrado perfecto que sea mayor que 225.

LECCIÓN 1.3: Raíces Cuadradas Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

13.04.2019

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DEJEMPLO 19 Evalúa la raíz cuadrada:

DINTÉNTALO 19 Evalúa la raíz cuadrada:

381

3144

Estrategia En cada caso, se determinará qué número positivo, cuando se eleva al cuadrado, produce el radicando.

Tu solución

Solución

381 Pregunta: ¿Qué número positivo, cuando se eleva al cuadrado, es 81? La respuesta es 9 debido a que 92 81.

DEJEMPLO 20 Evalúa la raíz cuadrada:

DINTÉNTALO 20 Evalúa la raíz cuadrada:

3100

349

Estrategia En cada caso, se determinará qué número positivo, cuando se eleva al cuadrado, produce el radicando.

Tu solución

Solución

3100 es el opuesto (o negativo) de la raíz cuadrada del 100. Dado que 3100 = 10 , se tiene que: 3100 = 10

¡Cuidado! Las expresiones radicales como

Utilizando tu CALCULADORA

3 36 3 144

Encontrar una raíz cuadrada Se utiliza la tecla 3 (tecla de raíz cuadrada) en una calculadora científica para encontrar raíces cuadradas. Por ejemplo, para encontrar 3 729, se introducen estos números y se presionan estas teclas. 729 3 Se ha encontrado que 3729 27. Para comprobar este resultado, se necesita elevar al cuadrado el 27. Esto puede realizarse introduciendo el 27 y presionando la tecla x2 Así, se obtiene 729. Por tanto, el 27 es la raíz cuadrada del 729. Algunos modelos de calculadora requieren la combinación de teclas de 2nd y después seguida por el radicando para encontrar una raíz 3 cuadrada.

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números y sus operaciones Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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3 100 3 81

no representan números reales, debido a que no existen números reales que cuando se elevan al cuadrado dan un número negativo. Ten cuidado al observar la diferencia entre las expresiones como 3 36 y 3 36 . Se ha visto que 3 36 es un número real:

3 36 no es un número real.

4/13

OBJETIVO

B Encontrar la raíz cuadrada de fracciones y decimales Hasta ahora, se han encontrado raíces cuadradas de números naturales. También se pueden encontrar raíces cuadradas de fracciones y decimales.

DEJEMPLO 21 Evalúa la raíz cuadrada: 3

DINTÉNTALO 21 Evalúa la raíz cuadrada: 3

25 64

16 49

Estrategia En cada caso, se determinará qué número positivo, cuando se eleva al cuadrado, produce el radicando.

Tu solución

Solución 25 Pregunta: ¿Qué fracción positiva, cuando se 85 64 eleva al cuadrado, es 25 ? 64

La respuesta es 8 debido a que

(58) 2564.

DEJEMPLO 22 Evalúa la raíz cuadrada: 30.81

Estrategia En cada caso, se determinará qué número positivo, cuando se eleva al cuadrado, produce el radicando.

DINTÉNTALO 22 Evalúa la raíz cuadrada: 30.04

Tu solución

Solución

30.81 0.9 Pregunta: ¿Qué decimal positivo, cuando se eleva al cuadrado, es el 0.81?

La respuesta es el 0.9, debido a que (0.9)2 0.81.

OBJETIVO

C Evaluar expresiones que contienen raíces cuadradas Si una expresión contiene alguna raíz cuadrada, tiene que evaluarse en el mismo paso en su solución que las expresiones exponenciales. (Analiza el Paso 2 en la regla común del orden de las operaciones en la siguiente página.)

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orden de las operaciones 1. Desarrolla todos los cálculos dentro de los paréntesis y otros símbolos de agrupación siguiendo el orden listado abajo en los pasos 2–4 empezando desde el par más interno de símbolos de agrupación al par más externo. 2. Evalúa todas las expresiones exponenciales y las raíces cuadradas. 3. Desarrolla todas las multiplicaciones y divisiones a medida que aparezcan de izquierda a derecha. 4. Desarrolla todas las sumas y restas a medida que aparezcan de izquierda a derecha.

DEJEMPLO 23 Evalúa: 364 + 39

DINTÉNTALO 23 Evalúa: 3121 + 31

Estrategia Se examinará la expresión para determinar qué operaciones se necesitan desarrollar primero. Después se desarrollarán estas operaciones, una a la vez, siguiendo la regla del orden de las operaciones.

Tu solución

Solución Dado que la expresión no contiene algún paréntesis se comienza con el Paso 2 de la regla del orden de las operaciones: Evaluar todas las expresiones exponenciales y cualquier raíz cuadrada.

364 + 39 = 8 + 3 Evalúa primero cada raíz cuadrada. = 11

Realiza la suma.

DEJEMPLO 24 Evalúa: 325 + 3225

DINTÉNTALO 24

Tu solución

325 + 3225 = 5 15 Evalúa primero cada raíz cuadrada. 10

Realiza la resta.

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Evalúa: 39 3196

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DEJEMPLO 25

Evalúa: 12 3[ 32 (4 1 ) 3 36 ]

Estrategia Se resolverá primero dentro de los paréntesis y después dentro de los corchetes. Dentro de cada conjunto de símbolos de agrupación se seguirá la regla del orden de las operaciones.

DINTÉNTALO 25

Evalúa: 10 4[ 22 (3 2 ) 3 4 ]

Tu solución

Solución 12 3[ 32 (4 1 ) 3 36 ] Realiza la resta dentro 12 3[ 32 3 3 36 ] de los paréntesis. 12 3[ 9 3(6)]

Dentro de los corchetes, evalúa la expresión exponencial y la raíz cuadrada.

12 3[ 9 3(6)]

Realiza la multiplicación dentro de los corchetes.

12 3[ 9 18]

Realiza la multiplicación dentro de los corchetes.

12 3[ 9]

Realiza la resta dentro de los corchetes.

12 ( 27)

Realiza la multiplicación.

Realiza la suma.

OBJETIVO

D Evaluar fórmulas que involucran raíces cuadradas Para evaluar fórmulas que involucran raíces cuadradas se reemplazan las letras con números específicos y después se utiliza la regla del orden de las operaciones.

DEJEMPLO 26

Evalúa c 3 a2 b2 para a 3 y b 4.

Estrategia En la fórmula proporcionada se reemplazarán las letras a con 3 y la b con 4. Después se utilizará la regla del orden de las operaciones para encontrar el valor del radicando.

DINTÉNTALO 26

Evalúa a 3 c2 b2 para c 17 y b 15.

Tu solución

Solución c 3 a2 b2 Esta es la fórmula a evaluar. 3 32 42 Reemplaza a con 3 y b con 4. 3 9 16 3 25

Evalúa las expresiones exponenciales. Realiza la suma.

Evalúa la raíz cuadrada. LLEECCCCIIÓ ÓN N 11..33:: RRaaíícceess Cc u a d r a d a s Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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OBJETIVO

E Aproximar raíces cuadradas En los ejemplos 2–7 se han encontrado raíces cuadradas de cuadrados perfectos. Si un número no es un cuadrado perfecto, se puede utilizar la tecla 3 en una calculadora o una tabla de raíces cuadradas para encontrar su raíz cuadrada aproximada. Por ejemplo, para encontrar 3 17 utilizando una calculadora científica, se introduce el 17 y se presiona la tecla de raíz cuadrada: 17 3 La pantalla muestra 4.123105626 Este resultado es una aproximación, debido a que el valor exacto de 3 17 es un decimal no terminal que nunca se repite. Si se redondea a la milésima más cercana, se tiene

317 4.123 Se lee como “es aproximadamente igual a”. Para comprobar esta aproximación, se eleva al cuadrado el 4.123. (4.123)2 16.999129 Dado que el resultado es cercano a 17, se sabe que 317 4.123 Del lado izquierdo de la página se muestra una porción de la tabla de raíces cuadradas. La tabla proporciona las aproximaciones decimales de las raíces cuadradas de los números enteros que no son cuadrados perfectos. Para encontrar una aproximación de 3 17 a la milésima más cercana, se localiza el 17 en la columna de las n en la tabla y se examina directamente a la derecha, a la columna de 1n para encontrar que 317 4.123

DEJEMPLO 27

DINTÉNTALO 27

Usa una calculadora para aproximar la raíz cuadrada. Redondea a la centésima más cercana 3 373.

Usa una calculadora para aproximar la raíz cuadrada. Redondea a la centésima más cercana 3 153.

Estrategia Se identificará el radicando para encontrar la raíz cuadrada utilizando la tecla 3 . Después se identificará el dígito en la columna de las milésimas de la pantalla.

Tu solución

Solución A partir de la calculadora, se obtiene 3373 19.31320792 . Redondeado a la centésima más cercana, 3373 19.31 .

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DEJEMPLO 28

DINTÉNTALO 28

Usa una calculadora para aproximar la raíz cuadrada. Redondea a la centésima más cercana 356.2 .

Usa una calculadora para aproximar la raíz cuadrada. Redondea a la centésima más cercana 339.2

Estrategia Se identificará el radicando para encontrar la raíz cuadrada utilizando la tecla 3 . Después, se identificará el dígito en la columna de las milésimas de la pantalla.

Tu solución

Solución A partir de la calculadora, se obtiene 356.2 7.496665926 Redondeado a la centésima más cercana, 356.2 7.50.

DEJEMPLO 29

DINTÉNTALO 29

Use una calculadora para aproximar la raíz cuadrada. Redondee a la centésima más cercana 3 0.0045.

Usa una calculadora para aproximar la raíz cuadrada. Redondea a la centésima más cercana 30.076

Estrategia Se identificará el radicando para encontrar la raíz cuadrada utilizando la tecla 3 . Después, se identificará el dígito en la columna de las milésimas de la pantalla. Solución A partir de la calculadora, se obtiene 30.0045 0.6708203932 Redondeado a la centésima más cercana, 30.0045 0.67

Tu solución

DAPLÍCALO 6. Organícense para medir los siguientes espacios de su escuela, o ir a la dirección a solicitar la información que se presenta a continuación. Luego, en equipos de cinco personas realicen lo que se solicita después. a) Área de toda la escuela: . b) Cantidad de salones y superficie que tiene cada uno: c) Área dedicada a los juegos: . d) Superficie dedicada a actividades deportivas: e) Superficie dedicada a actividades artísticas: f) Superficie de la biblioteca: .

. . .

7. Calculen la raíz cuadrada de cada una de estas superficies. Esa raíz cuadrada equivaldría al lado del cuadrado que se podría formar con esas superficies. / Lado cuadrado salones: / Lado cuadrado Lado cuadrado escuela: / Lado cuadrado espacios deportivos: / Lado cuadrado de juegos: espacios para actividades artísticas: / Lado cuadrado de la biblioteca: _____________

L E C C I Ó N 1 . 4 : E x p o n e n t e s , f r a c c i o n e s c o m p l e j aLsEyC eClI Ó o rNd e1 n . 3 :dRe al a í cse o s pc euraadcri ao dnae s Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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1.4 OBJETIVO

Exponentes, fracciones complejas y el orden de las operaciones

Indicadores desarrollados: 2 / 3 / 4

A Exponentes Recuerda que un exponente indica la multiplicación repetitiva del mismo factor. Por ejemplo, 35 3 ·3 ·3 ·3 ·3 El exponente, 5, indica cuántas veces se presenta la base, 3, como factor en la multiplicación. 4

La base de una expresión exponencial puede ser una fracción; por ejemplo,

( 23 ) . Para

evaluar esta expresión, escribe el factor tantas veces como lo indique el exponente y luego multiplica.

() 2 3

2· 2· 2· 2 16 2 2 2 2 · · · 3 3 3 3 3· 3· 3· 3 81

( 35 ) · ( 56 ) .

Evalúa

Escribe cada factor tantas veces como lo indica el exponente. Multiplica. El producto de dos números negativos es positivo.

3 3 5 5 5 · · · · 5 5 6 6 6 3 3 5 5 5 · · · · 5 5 6 6 6 5 24

Escribe el producto en su forma más simple.

1 2

Evalúa x3 para x 2 .

x3 1 3 2 5 3 2 5 5 5 · · 2 2 2 125 8 5 15 8

Escribe como fracción impropia el número mixto.

( ) ( )

Escribe la base todas las veces que indica el exponente.

Multiplica.

Escribe como número mixto la fracción impropia.

1 2

Sustituye x por 2 .

( 35 ) · ( 65 ) 5 5 5 3 3 ( ) · ( ) · · · 5 5 6 6 6

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DEJEMPLO 30

( ) ·8 . DINTÉNTALO 30 3 3 3 3 Tu solución Solución ( ) · 8 ( )( ) ( ) · 8 · 8 4 4 4 4 3 3 3 8 8 ( · · · · ) 4 4 4 1 1 Evalúa

3 4

Evalúa

( ) · ( 3) . 2 9

3 3 3 8 8 27 4 · 4 · 4· 1 · 1

DEJEMPLO 31

DINTÉNTALO 31

Evalúa x2y2 para 1 2

2 3

x 1 yy .

Solución x2y2

OBJETIVO

1 2

1 3

3 7

x 2 yy .

Tu solución 2

( ) ·( ) ( ) · ( ) 1

Evalúa x4y3 para

2 3

3 2 2 3 3 3 2 2 · · · 2 2 3 3 3· 3· 2 · 2 1 2 2 3 3

B Fracciones complejas Una fracción compleja es aquella cuyo numerador o denominador contiene una o más fracciones. A continuación se presentan ejemplos de fracciones complejas. 3 9 1 5 3 3 ·2 4 4 10 5 2 8 Barra de fracción principal 7 5 1 2 1 3 3 4 8 2 6 3 5

( ) ( )

Examina el primer ejemplo presentado arriba y recuerda que la barra de fracción se puede leer como “dividido entre”. Por tanto,

3 4 7 8

puede leerse como “ 4 dividido entre

3 7 ” y se puede escribir 4 8

7 . Ésta es una 8

división de dos fracciones y, para simplificarla, se puede multiplicar por el recíproco, como se muestra a continuación. 3 3 7 3 8 3·8 6 4 · 7 4 8 4 7 4·7 7 8 Para simplificar una fracción compleja, primero simplifica la expresión que aparece encima de la barra de fracción principal y la expresión que aparece debajo de la barra de fracción principal; el resultado es un número en el numerador y un número en el denominador. Luego reescribe la fracción compleja como un problema de división y lee la barra de fracción principal como “dividido entre”.

LECCIÓN 1.4: Exponentes, fracciones complejas y el orden de las operaciones Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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SimpliÀca:

9 3 10 5 1 1 4

Simplifica la expresión en el numerador. 9

Nota: 10 5 10 10 10 10

9 3 3 10 5 10 1 5 1 4 4

Escribe el número mixto en el denominador como una fracción impropia.

( 103 45 ) 3 4 · ( 10 5 )

Reescribe la fracción compleja como división. El cociente será negativo.

Divide multiplicando por el recíproco.

Evalúa

wx yz

1 3

5 8

1 2

1 3

para w 1 , x 2 , y 4 y z 3 .

Sustituye cada variable por su valor dado.

Simplifica el numerador. 1

Nota: 1 3 · 2 8 3 · 8 2

6 25

wx yz 1 5 1 ·2 3 8 1 1 4 ·3 2 3 7 2 15

Simplifica el denominador. 1 2

1 3

Nota: 4 · 3

9 2

· 10 15 3

7 15 2 7 1 7 · 2 15 30

Reescribe como división la fracción compleja. Para dividir, multiplica por el recíproco. Nota: 15

EJEMPLO 32 Evalúa la expresión algebraica 5 8

3 4

x y z

15 15 ; el recíproco de 1 1

1 . 15

INTÉNTALO 32 para x

1 4 , 8

Evaúa la expresión algebraica 1 3

y 2 yz .

y 3yz 1 .

Solución x y z 1 5 3 4 2 8 8 2 3 3 4 3 · 2 3 3 2 4 2 3 4 4

Tu solución

B L O Q U E 1 : /NSúEm CC e rI Ó o sNy1s: uLsoos pneúrm a ceiroonseys s u s o p e r a c i o n e s Reg. 403 VS © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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x y z

4 9

para x 2 ,

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El orden de las operaciones

Paso 1 Realiza todas las operaciones que aparecen entre paréntesis. Paso 2 Simplifica las expresiones numéricas que contienen exponentes. Paso 3 Realiza las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparecen de izquierda a derecha.

Paso 4 Realiza las sumas y restas en el orden que aparecen de izquierda a derecha.

SimpliÀca:

( ) ( 1 2

2 3

5 9

)·

5 6

( 21 ) ( 32 95 ) 65 6 5 1 ( ) ( )· 2 6 5 1 6 5 ( )· 4 5 6 2

Realiza la operación que aparece entre paréntesis (paso 1). Simplifica la expresión exponencial (paso 2).

1 1 4 1 1 4

Realiza la multiplicación (paso 3). Realiza la suma (paso 4).

La barra de fracción actúa como los paréntesis. Por tanto, simplifica el numerador y el denominador como parte del paso 1 del orden de las operaciones.

Recuerda En este libro los conceptos importantes se resaltan en amarillo.

SimpliÀca: 6

2 1 15 8

3 14

2 1 3 15 8 14 3 3 6 7 14 3 14 · 6 7 3 6 2 4

Realiza las operaciones por encima y por debajo de la barra de fracción.

Realiza la división.

Realiza la resta.

(

)

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w+x

EvalĂşa

â&#x20AC;&#x201C; z para w =

,x=

,y=2yz=

w+x .

â&#x20AC;&#x201C;z

Sustituye cada variable por su valor dado.

4 2

Simplifica el numerador de la fracciĂłn compleja.

Realiza la resta.

â&#x20AC;&#x201C;

3 4

â&#x20AC;&#x201C;

2 1

1 3

DAPLĂ?CALO EvalĂşa. 5 8. 8

( ) 2 5 11. ( ) Âˇ ( ) 3 6 3

10.

12.

( 85 ) Âˇ ( 25Âˇ ) 4 3 4 Âˇ ( ) ( ) 7 4 3

( 27 ) 5 4 Âˇ ( ) 12

13.

EvalĂşa la expresiĂłn algebraica para los valores dados de x y y. 14. x5y3, para x

5 8

4 5

15. x3y2, para x

2 3

yy 1

1 2

Simplifica. 5 8 18. 3 1 2 2 4

9 1 14 7 17. 1 9 14 7

3 1 3 4 16. 2 1 6 3

4 3

EvalĂşa la expresiĂłn algebraica para los valores dados de las variables. 19.

x y , z

2 3

para x , y

3 4

21. ÂżEs la soluciĂłn de la ecuaciĂłn

1 12 4x x 5

20. 4 3

x , y z

para x

8 , 15

3 5

4 5

? 22. ÂżEs la soluciĂłn de la ecuaciĂłn

2 3

15y 3 y 10

24?

En parejas, resuelvan el siguiente problema, aplicando lo aprendido en esta lecciĂłn. 23. Las bacterias, generalmente, se reproducen por biparticiĂłn. De una cĂŠlula madre se forman dos cĂŠlulas idĂŠnticas a la primera. Las bacterias E. Coli que viven dentro de tu intestino y que son ampliamente utilizadas en la investigaciĂłn en laboratorio, se reproducen aproximadamente cada 17 min. Con base en estos datos, respondan: Si hay un proceso infeccioso con 1,500 bacterias, ÂżcuĂĄntas bacterias habrĂĄ despuĂŠs de 3 horas? Para saberlo, tomen en cuenta lo siguiente: â&#x20AC;˘ Tiempo total = 3 Ă&#x2014; (60) min = 180 min â&#x20AC;˘ NĂşmero de reproducciones = 180 Čž 17

NĂşmero de bacterias despuĂŠs de 3 horas = 1500 Ă&#x2014; 211 =

bacterias.

B L O Q U E 1 : /NSĂşEm CC e rI Ă&#x201C; o sNy1s: uLsoos pneĂşrm a ceiroonseys s u s o p e r a c i o n e s Reg. 403 VS ÂŠ D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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APRENDE A TU MANERA Con MATE 2, tienes a tu alcance una gran cantidad de apoyos para el estudio. Después de estudiar y practicar los ejemplos, ¡asegúrate de verificar tu trabajo! Los Manuales de soluciones para el estudiante contienen las soluciones desarrolladas de cada ejercicio, para que así refuerces aún más la comprensión de los conceptos matemáticos presentados en el libro.

Además de estos manuales, los complementos incluyen ejemplos y ejercicios que corresponden a cada sección y bloque del libro, para que practiques los conceptos aprendidos.

Para acceder a estos y otros recursos, ingresa al sitio latinoamerica.cengage.com y busca tu libro de texto por título. Dirígete a los materiales de apoyo del estudiante o del profesor, según corresponda, y sigue las indicaciones para la descarga.

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BLOQUE 2

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Á M B I TO :

Lenguaje o matemátic

INDICADORES

1. 2.

Utilizar de manera adecuada los productos notables.

Combinar diferentes operaciones respetando su jerarquía, al trabajar con monomios y polinomios.

Utilizar las leyes de los los exponentes, la jerarquía de las operaciones y los números positivos y negativos en la resolución de problemas matemáticos relacionados con su entorno.

Dominar las leyes de los exponentes, además de usarlas y aplicarlas para realizar operaciones y trabajar con notación científica.

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Contenido

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Secciones 1. Polinomios 1.1

Grados de los polinomios

1.2

Leyes de los exponentes

1.3

Productos notables

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sección 1

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Polinomios Lecciones: 1.1 Grados de los polinomios A Identificar el nombre de los polinomios según sus grados y ordenarlos.

1.2 Leyes de los exponentes A Usar las leyes de los exponentes de manera correcta (enteros, positivos-negativos y cero). B Leyes de los exponentes, jerarquía de las operaciones y números positivos en la resolución de problemas.

de preparación

Examen

Realiza las siguientes operaciones aplicando correctamente la jerarquización del proceso. 1. 7 × (45 - 0.10 × 45) + 4 × 15 + 450 ÷ 5 + 300 2. 24 × 1 + 24 × 1

1.3 Productos notables

A Resolver productos usando productos notables (binomio al cuadrado, binomios conjugados, binomios con término común y binomio al cubo). B Multiplicar un polinomio por un monomio. C Multiplicar dos polinomios. D Multiplicar binomios que tienen productos especiales.

(4)

+ 24 × 1 + 1

(4 (4)

– 1 8

)

3. 5(8 + 9 + 17) + 2(5 × 8) Resuelve los siguientes problemas. 4. Mi abuelo compró un terreno rectangular de 60 m × 30 m, pues quiere hacer cinco canchas cuadradas de 15 m de lado y una piscina rectangular de 15 m × 25 m. ¿Cuánto terreno le quedará para el área del jardín?

63.43o

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5. ¿Cuántos metros de madera y de piso necesito para cercar y poner piso a un terreno en forma de triángulo isósceles, cuyos lados iguales miden 28.3 m y su lado desigual mide 11.7 más que el lado igual, además de tener una altura de 20 m?

4/13

Indicadores desarrollados: 3

1.1 OBJETIVO

Grados de los polinomios

A Identificar el nombre de los polinomios según sus grados y ordenarlos Un polinomio está constituido por la suma o resta de términos algebraicos que contienen la siguiente forma: axn Donde: a es el coeficiente, x es la incógnita y n es el exponente o el grado del término (este número siempre es natural, es decir, 0, 1, 2, 3, …). Los polinomios no permiten la división de términos o los exponentes negativos. Generalmente si el exponente es 1 no se escribe y debes saber que cualquier número elevado al exponente 0 es igual a 1.

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RETROALIMENTACIÓN

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