RICHARD N. AUFMANN, JOANNE S. LOCKWOOD
MATE
3
SECUNDARIA Segunda ediciรณn
ACCESO EN Lร NEA A UNA AMPLIA VARIEDAD DE COMPLEMENTOS DIGITALES PARA TU APRENDIZAJE
P RO BA D O P O R LO S E ST U D I A N T E S , A P RO BA D O P O R LO S D O C E N T E S
MATE
3
Como todas las soluciones de 4LTR Press, MATE 3. Secundaria, segunda edición empieza y termina con retroalimentación de estudiantes y docentes. Esta obra incluye:
c
Ejemplos y ejercicios adicionales Inténtalo Este complemento incluye un ejemplo y un ejercicio adicionales, similares a los de este libro, para reforzar cada objetivo de aprendizaje en todas las secciones aquí incluidas.
COMPLEMENTOS DIGITALES
c
Ejercicios de repaso y Segundo repaso Los Ejercicios de repaso consideran un ejercicio más por cada objetivo de las lecciones del libro, pero ahora sin la guía de un ejemplo, para que practiques por tu propia cuenta lo aprendido. Por su parte, el Segundo repaso es una especie de primer examen para que pongas a prueba tus habilidades en los temas vistos en cada sección.
c
Cuestionario Este complemento resulta muy útil al finalizar todas las lecciones, pues te permite verificar cuánto aprendiste en cada sección; consta de una serie de preguntas de opción múltiple, basadas en los temas abordados.
c
Manuales de soluciones El Manual de soluciones 1 está integrado por las soluciones de todo el contenido incluido en este libro: exámenes de preparación, ejercicios Inténtalo y las prácticas individuales y en equipo. Por su parte, el Manual de soluciones 2 contiene las soluciones de todos los complementos digitales enumerados antes.
c
Glosarios
Los primeros adoptantes aceptan esta estrategia, adquieren las múltiples soluciones de 4LTR Press para impulsar mejores resultados.
En una misma escuela adoptan por primera vez más de 20 títulos.
JUNIO 2009
Marca de un millón de dólares en ahorros para los estudiantes.
ENERO 2009
HACIA EL 2008
Adopción inicial de MKTG.
2008
El profesorado avala ampliamente nuestra estrategia probada por los estudiantes, aprobada por los docentes, pero sugiere un cambio de título, de Marketing To Go a MKTG, con el cual se lanza oficialmente la marca 4LTR Press.
El número de nuestros títulos crece a ocho soluciones de diversas disciplinas relacionadas con los negocios.
ABRIL 2007
MKTG publica y lanza un nuevo debate sobre la mejor manera de interesar a los estudiantes de hoy.
MARZO 2007
Empiezan las conversaciones con estudiantes.
OTOÑO 2006
PRIMAVERA 2006
CRONOLOGÍA DE 4LTR PRESS
Con los conceptos más importantes de cada sección del libro.
PROBADO POR LOS ESTUDIANTES Y APROBADO POR LOS DOCENTES
SOLUCIÓN Todas las soluciones de 4LTR Press: tarjeta de evaluación
sección 1
BLOQUE 6 / sección 1
Geometría
Álgebra 1. Determina el ángulo x.
RICHARD N. AUFMANN, JOANNE S. LOCKWOOD
Lecciones:
MATE
3
1.1 Expresiones algebraicas en su
x 40°
forma más simple
1.8 Solución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática
A Sumar términos semejantes B Expresiones algebraicas generales
SECUNDARIA
2. Las rectas L1 y L2 son paralelas. Determina todos los ángulos.
A Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática
1.2 Factores comunes
Segunda edición L1
A Factorizar un monomio de un polinomio o factorización por término común B Factorizar por agrupamiento de términos
1.9 Graficación de ecuaciones cuadráticas con dos variables A Graficar una ecuación cuadrática de la forma y = ax2 + bx + c
1.3 Factorización de polinomios de la L2
forma x2 + bx + c
A Factorizar términos de la forma x2 + bx + c B Factorizar completamente
115°
1.4 Factorización de polinomios de la
3. Determina cuánto valen los ángulos 2x y 5x.
45°
4. Los triángulos ABC y DBE son semejantes; define todos sus ángulos e indica los lados proporcionales.
y
A Factorizar la diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos
1.6 Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización
e = 77.32º
A Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización
6 B 5
(
1.7 Solución de ecuaciones
4 D
2
0
_ = 51.34º
E
(
(
1 A
1
2
3
4
5
6
7
C
cuadráticas completando el cuadrado x
8
–2
` = 51.34º
ACCESO EN LÍNEA A UNA AMPLIA VARIEDAD DE COMPLEMENTOS DIGITALES PARA TU APRENDIZAJE
A Resolver productos usando productos notables.
2x
1.5 Factorización especial
3
A Problemas de aplicación
1.11 Productos notables
A Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c utilizando factores de prueba B Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c por agrupamiento de términos
5x
–1 –1
1.10 Problemas de aplicación
forma ax2 + bx + c
A Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado
Examen
1. 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 5 2 3 2. a2 b 7 5 2 3. 43 # a b 12 7 24 4. 3 8
5.
Texto con gran atractivo visual
Tarjetas de evaluación desprendibles
COMPLEMENTOS DIGITALES PARA ESTUDIANTES Y DOCENTES: 1. Ingresa a latinoamerica.cengage.com y busca tu libro de texto por título. 2. Dirígete a los materiales de apoyo de estudiante o del profesor según corresponda. 3. Sigue las indicaciones del sitio para descargar los complementos digitales.
de preparación
Para comenzar, resuelve este examen rápido. Suma, resta, multiplica o divide.
3 1 2 3 4 2 1 1
Libro electrónico
Nota para
el docente
Para fines prác ticos, los ejercic desarrollados ios en cada tema de este libro son sólo muest ras que el prof esor puede dosificar segú n sus necesidad es en el aula. Para ampliar la práctica de co nceptos y temas, se reco mienda accede r también a lo complemento s s digitales.
:
“Utilicé todos los elementos de las soluciones de 4LTR Press y considero que fueron herramientas de estudio muy útiles”. -Consuelo Sada, estudiante, Valencia, Escuela Superior de la Comunidad de Valencia
MATE
3
SECUNDARIA Segunda ediciรณn
RICHARD N. AUFMANN, JOANNE S. LOCKWOOD
MATE
3
SECUNDARIA Segunda edición
Walter de la Cruz Lugardo Universidad Tecnológica de México (Unitec) Campus Cuitláhuac
Traducción María del Pilar Carril Villareal Traductora profesional María Guadalupe Meza y Staines Traductora profesional
Revisión técnica Pablo de Robina Duhart Consultor académico de la red de Colegios Semper Altius
Australia • Brasil • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur
MATE 3. Secundaria, segunda edición Richard N. Aufmann, Joanne S. Lockwood. Director Higher Education Latinoamérica: Renzo CasapÃa Valencia Gerente editorial Latinoamérica: -HV¼V 0DUHV &KDFµQ Editora de desarrollo: Cinthia Chávez Ceballos Coordinador de Manufactura: 5DIDHO 3«UH] *RQ]£OH] Imagen de la portada k OLFKWEOLFNHÈ´HG VWRFN DGREH FRP &RPSRVLFLµQ WLSRJU£ȴFD MB Soluciones Editoriales México Juan Pablo RodrÃguez Velázquez $OPD *XDGDOXSH 6RWR =£UUDJD Alberto Cerqueira da Fonseca
© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una CompañÃa de Cengage Learning, Inc. &DUUHWHUD 0«[LFR 7ROXFD Q¼P RÈ´FLQD &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD &3 Ciudad de México. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, UHSURGXFFLµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLµQ JUDEDFLµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLµQ HQ Î&#x2013;QWHUQHW GLVWULEXFLµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLµQ D H[FHSFLµQ GH OR SHUPLWLGR en el CapÃtulo III, ArtÃculo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. (VWD HV XQD DGDSWDFLµQ GHO OLEUR 35($/* GH 5LFKDUG N. Aufmann y Joanne S. Lockwood. Publicado por Cengage Learning con ISBN 978-607-481-892-5, WUDGXFLGR GH OD REUD 35($/* (GLWLRQ Publicado en inglés por Cengage Learning © 2011; Î&#x2013;6%1 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD Aufmann, Richard, Joanne S. Lockwood. MATE 3. Secundaria, VHJXQGD HGLFLµQ ISBN 978-607-526-742-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com
Impreso en México 1 2 3 4 5 7 22 21 20 19
Contenido BLOQUE 1
1.9
Sección 1
Álgebra 1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Expresiones algebraicas en su forma más simple A Pasar con facilidad del lenguaje en prosa al lenguaje algebraico, y viceversa (repaso) B Sumar términos semejantes C Expresiones algebraicas generales Factores comunes A Factorizar un monomio de un polinomio o factorización por término común B Factorizar por agrupamiento de términos Factorización de polinomios de la forma x2 + bx + c A Factorizar términos de la forma x2 + bx + c B Factorizar completamente Factorización de polinomios de la forma ax2 + bx + c A Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c utilizando factores de prueba B Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c por agrupamiento de términos Factorización especial A Factorizar la diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización A Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado A Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado Solución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática A Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática
4
1.10
Graficación de ecuaciones cuadráticas de dos variables A Graficar una ecuación cuadrática de la forma y = ax2 + bx + c
36 36
Productos notables A Resolver productos usando productos notables
40 40
6 6 7 10 12
1.11 Problemas de aplicación A Conocer la estrategia B Plantear expresiones, ecuaciones o sistemas de ecuaciones a partir de situaciones reales C Usar factorizaciones para simplificar expresiones, resolver sistemas de ecuaciones y facilitar la solución de problemas matemáticos
42 42 44 50
12 13
14 14 16
BLOQUE 2 Sección 1
19
Recursos aritméticos y algebraicos
21
1.1
Expresiones radicales y simplificación A Raíz cuadrada de cuadrados perfectos B Raíz cuadrada de números naturales C Simplificar expresiones radicales algebraicas
57 57 60 63
1.2
Racionalización A Sumar y restar expresiones radicales B Multiplicar expresiones radicales C Dividir expresiones radicales D Resolver ecuaciones que contienen una o más expresiones radicales
66 66 69 71
19
23 23
28 28
30 30
33 33
1.3
56
76
Sistemas de ecuaciones sencillos y complejos A Plantear sistemas de ecuaciones lineales y de segundo grado para solucionar problemas B Utilizar diferentes métodos y recursos para solucionar sistemas de ecuaciones sencillos y complejos Contenido
80 80
82
vii
C Utilizar métodos gráficos para representar y solucionar ecuaciones de segundo grado
84
BLOQUE 3 Sección 1
Usos de la medición (áreas y volúmenes) 1.1
1.2
90
Triángulos A Semejanza (repaso) B Congruencia (repaso) C La semejanza y la congruencia de triángulos en la resolución de problemas cotidianos D El teorema de Pitágoras (repaso) E El teorema de Tales F Reconocer y derivar las funciones trigonométricas a partir de triángulos rectángulos G Solucionar problemas relacionados con triángulos a partir de los teoremas de Pitágoras y Tales, y de las funciones trigonométricas El cono, el cilindro y la esfera A El volumen del cono, el cilindro y la esfera B El área del cono, el cilindro y la esfera
91 91 95 98 102 104 106
114 117 117 120
BLOQUE 4 Sección 1
126
1.1
Introducción a la probabilidad A Probabilidad de eventos simples B Las posibilidades a favor o en contra de un evento
127 127 133
1.2
Combinaciones y permutaciones A Manejar los algoritmos para obtener resultados de combinaciones y permutaciones B Analizar situaciones cotidianas a partir de la probabilidad y los algoritmos de combinación y de permutación
135
viii
Contenido
135
138
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Estadística y probabilidad
1.4
Recolección, organización y análisis de datos estadísticos A Distribuciones de frecuencias B Histogramas C Polígonos de frecuencias D El análisis de los datos estadísticos Medidas estadísticas A Medidas de tendencia central (la media, la mediana y la moda de una distribución) B Diagramas de caja C Desviación estándar de una distribución
Tarjetas de evaluación
139 139 142 144 145 147 147 151 154
161
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1.3
Contenido
ix
BLOQUE 1
Aprendizajes esperados: • Decidir acertadamente qué tipo de operación debes emplear para resolver un problema, y simplificar su aplicación por medio de productos notables, factorizaciones y ecuaciones cuadráticas, para así solucionar situaciones de tu vida diaria. • Formular planteamientos matemáticos que te permitan representar la realidad de tal manera que te faciliten el análisis de la misma.
Á M B I TO :
Lenguaje o matemátic
E
n el presente primer bloque de tu libro se espera que obtengas este aprendizaje relacionado con el lenguaje matemático, a través de diversas lecciones clasificadas en su sección temática correspondiente; esto, con base en cuatro que te ayudarán a lograrlo. Revisemos cada uno de ellos:
INDICADORES
2
1. 2.
Utilizar de manera adecuada productos notables y factorizaciones.
3.
Encontrar diferentes soluciones a problemas matemáticos, utilizando productos notables y factorizaciones, así como expresiones algebraicas o sistemas de ecuaciones.
4.
Plantear expresiones, ecuaciones o sistemas de ecuaciones a partir de situaciones reales.
Solucionar ecuaciones de segundo grado empleando diferentes métodos.
Contenido
5.
Pasar con facilidad del lenguaje en prosa al lenguaje matemático, y viceversa.
6. 7.
Usar factorizaciones para facilitar la solución de problemas matemáticos. Factorizar adecuadamente para simplificar expresiones y resolver sistemas de ecuaciones.
Secciones 1. Álgebra 1.1
Expresiones algebraicas en su forma más simple
1.7
Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado
1.2
Factores comunes
1.3
Factorización de polinomios de la forma x2 + bx + c
1.8
Solución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática
1.4
Factorización de polinomios de la forma ax2 + bx + c
1.9
Graficación de ecuaciones cuadráticas con dos variables
1.5
Factorización especial
1.10
Productos notables
1.6
Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización
1.11 Problemas de aplicación
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3
sección 1
Álgebra Lecciones: 1.1 Expresiones algebraicas en su forma más simple A Pasar con facilidad del lenguaje en prosa al lenguaje algebraico, y viceversa (repaso). B Sumar términos semejantes. C Expresiones algebraicas generales.
1.2 Factores comunes A Factorizar un monomio de un polinomio. o factorización por término común. B Factorizar por agrupamiento de términos.
1.3 Factorización de polinomios de la forma x2 + bx + c
A Factorizar términos de la forma x2 + bx + c. B Factorizar completamente.
1.7 Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado A Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado.
1.8 Solución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática A Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática.
1.9 Graficación de ecuaciones cuadráticas con dos variables A Graficar una ecuación cuadrática de la forma y = ax2 + bx + c.
1.4 Factorización de polinomios de la forma ax2 + bx + c
A Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c utilizando factores de prueba. B Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c por agrupamiento de términos.
1.5 Factorización especial A Factorizar la diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos.
1.6 Solución de ecuaciones
1.10 Productos notables A Resolver productos usando productos notables.
1.11 Problemas de aplicación A Conocer la estrategia. B Plantear expresiones, ecuaciones o sistemas de ecuaciones a partir de situaciones reales. C Usar factorizaciones para simplificar expresiones, resolver sistemas de ecuaciones y facilitar la solución de problemas matemáticos.
cuadráticas por factorización
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A Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización.
4
Examen
de preparaciรณn
Para comenzar, resuelve este examen rรกpido. Suma, resta, multiplica o divide. 1. 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 ? 7 5 2 3 2. a2 b 7 5 2 3. 43 # a b 12
4.
7 24 3 8
5.
1 3 2 3 4 2 1 1 6 3
5
1.1 OBJETIVO
Expresiones algebraicas en su forma más simple
Indicadores desarrollados: 4 / 5
A Pasar con facilidad del lenguaje en prosa al lenguaje algebraico, y viceversa (repaso) Como recordarás, una variable es una letra (o símbolo) que representa un número. Por otro lado, a los números, dado que no cambian de valor, se les denomina constantes.
Variables: x, a y p
Constantes: 8,
10, 2
3 y 3.14 5
A continuación enumeraremos algunos principios generales vistos en grados anteriores para la escritura del lenguaje algebraico. Toma nota y ponlos siempre en práctica.
• Varias de las propiedades de los números naturales, los enteros, las fracciones y los decimales pueden generalizarse y enunciarse en símbolos utilizando variables, tales como la propiedad conmutativa de la suma (a + b = b + a) o la propiedad asociativa de la multiplicación: (ab)c = a(bc).
• Las variables y/o constantes pueden combinarse con las operaciones de la suma, la resta, la multiplicación y la división para crear expresiones algebraicas. Con frecuencia se les refiere simplemente como expresiones; observa: 5y
7
x
12 5
8a(b
3)
• Un término es un producto o cociente de números y/o variables. Un número o una variable sola también es un término. A un término como el 4, que consiste en un solo número, se le llama término constante; ejemplos: 4, y,
6r,
–w3,
3.7x5
• Los símbolos de suma separan las expresiones en partes llamadas términos. Al factor numérico de un término se le llama coeficiente del término. Por ejemplo, Dado que 6a2 + a 5 puede escribirse como 6a2 + a + ( 5), tiene tres términos.
6
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
• Para escribir en lenguaje algebraico, es importante que aprendas a identificar las palabras clave y las frases clave, toda vez que estas pueden traducirse a expresiones algebraicas. Es importante que aprendas a distinguir entre los términos de una expresión y los factores de un término.
• Por último, debes recordar que evaluar expresiones algebraicas significa sustituir los valores de sus variables y aplicar correctamente las reglas para el orden en la realización de las operaciones.
• Cuando se multiplica una variable por un número, o una variable por otra variable, se puede omitir el símbolo de multiplicación.
Ahora, vamos a analizar entonces cómo transformar el lenguaje en prosa al lenguaje algebraico, aplicando los principios que hemos repasado y que seguramente recuerdas de tus cursos anteriores de matemáticas.
DEJEMPLO 1 Soluciones
A. 5 más que x. B. 25 menos que el doble de y. C. Una mitad del costo de c.
Traduce correctamente cada frase a una expresión algebraica.
A. 5 más que x puede expresarse como x + 5. B. 25 menos que el doble de y puede expresarse como 2y 25. 1 C. Una mitad del costo c puede expresarse como c. 2
DINTÉNTALO 1
Traduce cada frase a una expresión algebraica.
Tus soluciones
A. 25 más que la altura h. B. La mitad de un número más ocho. C. El doble de un número menos su mitad. D. El triple de un número más cuatro veces otro número. E. La suma de los cuadrados de dos números.
OBJETIVO
B Sumar términos semejantes A la derecha se muestra una expresión algebraica, que se puede reescribir al expresar la resta como suma del opuesto. Con base en lo explicado anteriormente, un término de una expresión algebraica es uno de los sumandos de la expresión.
4y3 2 3xy 1 x 2 9 4y3 1 ( 23xy ) 1 x 1 ( 29 ) La expresión algebraica tiene 4 términos: 4y3 , 23xy, x y 29.
El término 9 es un término constante, o simplemente una constante. Los términos 4y3 , 23xy y x son términos algebraicos. Cada término algebraico consta de un coeficiente numérico y una parte variable. La tabla de la siguiente página da el coeficiente numérico y la parte variable de cada término. LECCIÓN 1.1: Expresiones algebraicas en su forma más simple
7
El término 9 es un término constante, o simplemente una constante. Los términos x son términos algebraicos. Cada término algebraico consta de un coeficiente numérico y una parte variable. La tabla
Término
4y3 23xy x
Coeficiente numérico
Parte variable
4 3 1
y3 xy x
Para una expresión como x, el coeficiente numérico es 1 (x 5 1x). El coeficiente numérico de x es 1 ( 2x 5 21x ). El coeficiente numérico de2xy es 1 ( 2xy 5 21xy ). Por lo general no se escribe el 1. x2 2 x 2 7yz2 1 8
En la expresión algebraica que aparece a la derecha, indica: A. el número de términos. B. el coeficiente del segundo término. C. la parte variable del tercer término. D. el término constante.
a. b. c. d.
Hay cuatro términos: 9x2 , 2x, 27yz2 y 8. El coeficiente del segundo término es 1. La parte variable del tercer término es yz2 . El término constante es 8.
Los términos semejantes de una expresión algebraica tienen la misma parte variable. Los términos constantes también son términos semejantes. En la expresión 13ab 1 4 2 2ab 2 10, los términos 13ab y 22ab son términos variables semejantes y 4y 10 son términos constantes semejantes. En la expresión de la derecha, ten en cuenta que 5y2 yy 23y no son términos semejantes, porque yy22 5 2yy. = yy.# yy, y y .# y = Sin embargo, 6xy y 9yx son términos variables semejantes, porque xy 5 yx por la propiedad conmutativa de la multiplicación.
Términos semejantes
5y2 1 6xy 2 7 1 9yx 2 3y 2 8 Términos semejantes
En la expresión algebraica 7 2 9x2 2 8x 2 9 1 4x, indica cuáles son términos semejantes. Los términos 28x y 4x son términos variables semejantes. Los términos 7 y 9 son términos constantes semejantes. Para simplificar las expresiones algebraicas que contienen términos semejantes se utiliza la forma alterna de la propiedad distributiva.
FORMA ALTERNA DE LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
Si a, b y c son números reales, entonces ac 1 bc 5 ( a 1 b ) c.
8
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
Simplifica: 6c 1 7c
6c 1 7c 5 ( 6 1 7 ) c
6c y 7c son términos semejantes.
5 13c
Utiliza la forma alterna de la propiedad distributiva. Luego simplifica.
Para simplificar una expresión algebraica que contiene términos semejantes, suma los coeficientes de los términos semejantes. Sumar o restar los términos semejantes de una expresión algebraica se llama combinar términos semejantes.
Simplifica: 6a 1 7 2 9a 1 3 Reescribe la resta como suma del opuesto. Utiliza la propiedad conmutativa de la suma para reordenar los términos de modo que los términos semejantes queden juntos. Utiliza la forma alterna de la propiedad distributiva para sumar los términos variables semejantes. Suma los términos constantes semejantes.
6a 1 7 2 9a 1 3 5 6a 1 7 1 ( 29a ) 1 3 5 6a 1 ( 29a ) 1 7 1 3 5 [ 6 1 ( 29 ) ] a 1 ( 7 1 3 ) 5 23a 1 10
Simplifica: 4x2 2 7x 1 x2 2 12x Reescribe la resta como suma de opuestos. Utiliza la propiedad conmutativa de la suma para reordenar los términos de modo que los términos semejantes queden juntos. Utiliza la forma alterna de la propiedad distributiva para sumar los términos semejantes.
DEJEMPLO 2 Solución
Simplifica:
3x 2x 1 7 7
3x 2x 3x 1 2x 1 5 7 7 7 (3 1 2)x 5x 5 5 7 7
4x2 2 7x 1 x2 2 12x 5 4x2 1 ( 27x ) 1 x2 1 ( 212x ) 5 4x2 1 x2 1 ( 27x ) 1 ( 212x ) 5 ( 4 1 1 ) x2 1 [ 27 1 ( 212 ) ] x 5 5x2 1 ( 219 ) x 5 5x2 2 19x
DINTÉNTALO 2 Simplifica:
x 2x 1 5 5
Tu solución
LECCIÓN 1.1: Expresiones algebraicas en su forma más simple
9
DEJEMPLO 3
Simplifica: 6b2 2 9ab 1 3b2 2 ab
DINTÉNTALO 3
Solución 6b 2 9ab 1 3b 2 ab 5 6b2 1 3b2 2 9ab 2 ab 5 9b2 2 10ab 2
2
Simplifica: 27x2 1 4xy 1 8x2 2 12xy
Tu solución
DAPLÍCALO
Combina los términos semejantes para simplificar. 1. 8c 1 15c
2. 12h 2 4h
3. 8z 2 15z
4. 7h 1 15 2 7h 2 9
5. r 2 1 4r 2 8r 2 5r 2
6. 7a2b 1 5ab2 2 2a2b 1 3ab2
OBJETIVO
C Expresiones algebraicas generales Las expresiones algebraicas generales se simplifican por el uso reiterado de las propiedades de los números reales. Simplifica: 7 ( 2a 2 4b ) 2 3 ( 4a 2 2b ) Utiliza la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.
7 ( 2a 2 4b ) 2 3 ( 4a 2 2b ) 5 14a 2 28b 2 12a 1 6b
Reescribe la resta como suma de opuestos.
5 14a 1 ( 228b ) 1 ( 212a ) 1 6b
Utiliza la propiedad conmutativa de la suma para reordenar los términos.
5 14a 1 ( 212a ) 1 ( 228b ) 1 6b
Utiliza la forma alterna de la propiedad distributiva para combinar los términos semejantes.
5 [ 14 1 ( 212 ) ] a 1 ( 228 1 6 ) b 5 2a 2 22b
Para simplificar las expresiones algebraicas que contienen símbolos de agrupamiento dentro de otros símbolos de agrupamiento, simplifica primero dentro de los símbolos de agrupamientos internos.
10
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
Simplifica: 2x 2 4 [ 3 2 2 ( 6x 1 5 ) ] 2x 2 4 [ 3 2 2 ( 6x 1 5 ) ] 5 2x 2 4 [ 3 2 12x 2 10 ] 5 2x 2 4 [ 212x 2 7 ]
Utiliza la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis. Combina los términos semejantes dentro de los corchetes.
5 2x 1 48x 1 28
Utiliza la propiedad distributiva para eliminar los corchetes.
5 50x 1 28
Combina los términos semejantes.
Simplifica: 2a2 1 3 [ 4 ( 2a2 2 5 ) 2 4 ( 3a 2 1 ) ] Utiliza la propiedad distributiva para eliminar los dos pares de paréntesis. Combina los términos semejantes entre corchetes.
2a2 1 3 [ 4 ( 2a2 2 5 ) 2 4 ( 3a 2 1 ) ] 5 2a2 1 3 [ 8a2 2 20 2 12a 1 4 ] 5 2a2 1 3 [ 8a2 2 12a 2 16 ] 5 2a2 1 24a2 2 36a 2 48
Utiliza la propiedad distributiva para eliminar los corchetes.
5 26a2 2 36a 2 48
Combina los términos semejantes.
DEJEMPLO 4
DINTÉNTALO 4 Simplifica: 8c 2 4 ( 3c 2 8 ) 2 5 ( c 1 4 )
Simplifica: 7y 2 4 ( 2y 2 3z ) 2 ( 6y 2 4z )
Solución 7y 2 4 ( 2y 2 3z ) 2 ( 6y 2 4z ) 5 7y 2 8y 1 12z 2 6y 1 4z 5 27y 1 16z
Tu solución
DAPLÍCALO
Simplifica. 7. 6y 1 2 ( 2y 1 3 )
8. 9n 2 3 ( 2n 2 1 )
10. 5m 2 2 ( 3m 1 2 ) 2 4 ( m 2 1 )
9. 7a 2 ( 3a 2 4 )
11. 3n 2 2 [ 5 2 2 ( 2n 2 4 ) ]
LECCIÓN 1.1: Expresiones algebraicas en su forma más simple
11
1.2 OBJETIVO
Indicadores desarrollados: 5 / 6
Factores comunes
A Factorizar un monomio de un polinomio o factorización por término común
El máximo común divisor (MCD) de dos o más números enteros es el número entero más grande que es factor de los números enteros.
24 12 6 3 1
24 5 2 # 2 # 2 # 3 60 5 2 # 2 # 3 # 5 GCF 5 2 # 2 # 3 5 12 MCD
El MCD de dos o más monomios es el producto del MCD de los coeficientes y de las variables comunes de cada factor. Observa que el exponente de cada variable en el MCD es igual al exponente más pequeño de esa variable en cualquiera de los monomios, y que en el priner caso, 12 es el MCD de 24 y 60, porque 12 es el número entero más grande que divide exactamente a 24 y 60. Por la misma razón, 2x2y es el MCD de 6x3y y de 8x2y2.
DEJEMPLO 5
2 2 2 3
60 30 15 5 1
2 2 3 5
2 6x3y 3x3y 3 x3y x . x . x . y 1
6x3y 5 2 # 3 # x # x # x # y 8x2y2 5 2 # 2 # 2 # x # x # y # y GCF 5 2 # x # x # y 5 2x2y MCD El MCD de 6x3y y 8x2y2 es 2x2y.
2 8x2y2 4x2y2 2 2x2y2 2 x2y2 x . x . y . y 1
Encuentra el MCD de 12a4b y 18a2b2c.
Solución 12a4b 5 2 # 2 # 3 # a4 # b
• Factoriza cada monomio.
18a2b2c 5 2 # 3 # 3 # a2 # b2 # c 4
2 2
2
El MCD de 12a b y 18a b c es 6a b.
DINTÉNTALO 5
Encuentra el MCD de 4x6y y 18x2y6.
• L o s fa c t o r es c o m u n e s d e l a s v a r i a b l e s son a 2 y b. c no es un factor común.
Tu solución
Multiplica Factores 2x 1x 1 52 Q
La propiedad distributiva se utiliza para multiplicar factores de un polinomio. Factorizar un polinomio significa escribirlo como producto de otros polinomios.
5
Q
MCD GCF 5 2 # 3 # a2 # b 5 6a2b
Polinomios 2x2 1 10x
Factor
En el ejemplo anterior, 2x es el MCD de los términos 2x2 y 10x. Es un factor común del monomio de los términos. x 1 5 es un factor de 2x2 1 10x.
12
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
DEJEMPLO 6
Factoriza. c t or i z a .
Solución
A. 5x3 2 35x2 1 10x 35x 1 10x
A. 5x
B. 16x
El MCD es 5x. 235x 5x 10x 5 x2, 5 27x, 52 5x 5x 5x 3
2
5x3 2 35x2 1 10x 5 5x 1x22 1 5x 127x2 1 5x 122
5 5x 1x2 2 7x 1 22
DINTÉNTALO 6 Factoriza:
1 8x
12x
• En c u e n tr a e l M C D d e l o s términos del polinomio. • Divide cada término del polinomio entre el MCD. • Utiliza los cocientes para reescribir el polinomio donde expreses cada término como un producto con el MCD como uno de los factores. • Utiliza la propiedad distributiva para escribir el polinomio como un producto de factores.
Tu solución
A. 14a2 2 21a4b B. 6x4y2 2 9x3y2 1 12x2y4
OBJETIVO
B Factorizar por agrupamiento de términos En los ejemplos siguientes, los binomios entre paréntesis se llaman factores. 2a 1a 1 b2 3xy 1x 2 y2
La propiedad distributiva se utiliza para factorizar un factor común de una expresión. En la expresión a la derecha, el factor común es y 2 3. La propiedad distributiva se utiliza para escribir la expresión como un producto de factores.
DEJEMPLO 7 Solución
DINTÉNTALO 7
x 1 y 2 32 1 4 1 y 2 32 5 1 y 2 32 1x 1 42
Factoriza: y 1x 1 22 1 3 1x 1 22
y 1x 1 22 1 3 1x 1 22 5 1x 1 22 1 y 1 32
Factoriza:
• El factor común es x 1 2.
Tu solución
a 1b 2 72 1 b 1b 2 72
LECCIÓN 1.2: Factores comunes
13
1.3 OBJETIVO
Factorización de polinomios de la forma x2 + bx + c
Indicadores desarrollados: 5 / 6 / 7
A Factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c Los trinomios de la forma xx22 + 1 bx bx +1c,c, donde b yy cc son números enteros, se presentan a la derecha.
Algunos trinomios expresados como el producto de binomios se presentan a la derecha en forma factorizada.
x2 1 9x 1 14, x2 2 x 2 12, x2 2 2x 2 15,
Trinomio
b 5 9, b 5 21, b 5 22,
c 5 14 c 5 212 c 5 215
Forma factorizada
x 1 9x 1 14 5 1x 1 22 1x 1 72 x2 2 x 2 12 5 1x 1 32 1x 2 42 x2 2 2x 2 15 5 1x 1 32 1x 2 52 2
El método por el cual se determinan los factores de un trinomio se basa en el método PEIU. Considera los siguientes productos de binomios tomando en cuenta la relación entre los términos constantes de los binomios y los términos de los trinomios.
Los signos en los binomios son iguales
μ
Q
Q
1x 1 62 1x 1 22 5 x2 1 2x 1 6x 1 162 122 5 x2 1 8x 1 12 Suma de 6 y 2 Producto de 6 y 2
A veces un factor se debe reescribir antes de encontrar un factor común.
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
Q
1x 2 42 1x 1 62 5 x2 1 6x 2 4x 1 1242 162 5 x2 1 2x 2 24 Suma de 24 y 6 Producto de 24 y 6 Q
14
Q
μ
1x 1 32 1x 2 52 5 x2 2 5x 1 3x 1 132 1252 5 x2 2 2x 2 15 Suma de 3 y 25 Producto de 3 y 25 Q
Los signos en los polinomios son opuestos
Q
Q
1x 2 32 1x 2 42 5 x2 2 4x 2 3x 1 1232 1242 5 x2 2 7x 1 12 Suma de 23 y 24 Producto de 23 y 24
PUNTOS QUE DEBES RECORDAR AL FACTORIZAR x + bx – c 2
1. En el trinomio, el coeficiente de x es la suma de los términos constantes de los binomios. 2. En el trinomio, el término constante es el producto de los términos constantes de los binomios. 3. Cuando el término constante del trinomio es positivo, los términos constantes de los binomios tienen el mismo signo que el coeficiente de x en el trinomio. 4. Cuando el término constante del trinomio es negativo, los términos constantes de los binomios tienen signos opuestos.
El éxito de factorizar un trinomio depende de recordar estos cuatro puntos. Por ejemplo, para factorizar x2 2 2x 2 24, encuentra los dos números cuya suma sea 22 y cuyo producto sea 224 [puntos 1 y 2]. Como el término constante del trinomio es negativo (224), los números tendrán signos opuestos [punto 4].
Un método sistemático para encontrar los factores correctos de x2 2 2x 2 24 implica elaborar una lista de los factores del término constante del trinomio y la suma de dichos factores. Factores de 224 1, 224 21, 24 2, 212 22, 12 3, 28 23, 8 4, 26 24, 6
Suma de factores
1 1 12242 5 223 21 1 24 5 23 2 1 12122 5 210 22 1 12 5 10 3 1 1282 5 25 23 1 8 5 5 4 1 1 26 2 5 22 24 1 6 5 2
4 y 26 son dos números cuya suma es 22 y su producto es 224. Escribe los factores del trinomio. x2 2 2x 2 24 5 1x 1 42 1x 2 62
Siempre comprueba tu factorización propuesta para estar seguro de la exactitud.
Comprobación: 1x 1 42 1x 2 62 5 x2 2 6x 1 4x 2 24 5 x2 2 2x 2 24 Con la propiedad conmutativa de la multiplicación, los factores también se pueden escribir como x2 2 2x 2 24 5 1x 2 62 1x 1 42
LECCIÓN 1.3: Factorización de polinomios de la forma x2 + bx + c
15
DEJEMPLO 8
Factoriza: x2 1 18x 1 32
Solución
Factores de 32
Suma
1, 32 2, 16 4, 8
33 18 12
x2 1 18x 1 32 5 1x 1 22 1x 1 162 Comprobación
DINTÉNTALO 8
• I n te n t a s ó l o c o n fa c to r es p o si tivos de 32 [punto 3]. • En c u a n to s e e n c u e n tr a e l p a r correcto, no hay que probar ya con los demás factores. • E s c r i b e l o s fa c to r es .
1x 1 22 1x 1 162 5 x2 1 16x 1 2x 1 32 5 x2 1 18x 1 32
Factoriza: x2 2 8x 1 15
Tu solución
© iStockphoto.com/Milos Luzanin
No todos los trinomios se pueden factorizar cuando se utilizan sólo números enteros. Considera el trinomio x2 2 6x 2 8. Factores de 28
Suma
1, 28 21, 8 2, 24 22, 4
27 7 22 2
Como ningún par de factores de 28 tiene una suma de 26, el trinomio no es factorizable utilizando números enteros. Se dice que el trinomio no se factoriza con números enteros. OBJETIVO
B Factorizar completamente Un polinomio se factoriza completamente cuando se escribe como un producto de factores que no se factorizan con números enteros. El primer paso en cualquier problema de factorización es determinar si los términos del polinomio tienen un factor común. De ser así, factorízalo primero.
DEJEMPLO 9 Solución
16
Factoriza: 3x3 1 15x2 1 18x El MCD de 3x3, 15x2 y 18x es 3x.
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
• Encuentra el MCD de los términos del polinomio.
3x3 1 15x2 1 18x 5 3x 1x22 1 3x 15x2 1 3x 162 5 3x 1x2 1 5x 1 62 Factores de 6
Suma
1, 6 2, 3
7 5
• Factoriza el MCD. • E s cr i b e e l p o l i n o m i o co m o un producto de factores. • Factoriza el trinomio x 2 1 5x 1 6. Intenta sólo con factores positivos de 6.
3x3 1 15x2 1 18x 5 3x 1x 1 22 1x 1 32
3x 1x 1 22 1x 1 32 5 3x 1x2 1 3x 1 2x 1 62 5 3x 1x2 1 5x 1 62 5 3x3 1 15x2 1 18x
Comprobación
DINTÉNTALO 9
Factoriza: 3a2b 2 18ab 2 81b
Tu solución
DAPLÍCALO
12. Factorizar trinomios de la forma x2 1 bx 1 c. Completa la tabla con una lista de los pares de factores del número y la suma de cada par. A)
Factores de 18
Suma
B)
Factores de 232
Suma
Contesta las siguientes preguntas o resuelve lo que se solicita. 13. El trinomio x2 2 8x 1 7 es de la forma x2 2 bx 1 c. ¿Cuál es el valor de b en el trinomio x2 2 8x 1 7? 14. Encuentra dos números cuya suma es 4 y su producto 212. 15. Al factorizar un trinomio, si el término constante es positivo, ¿los signos en los binomios son iguales o diferentes? 16. Al factorizar un trinomio, si el término constante es negativo, ¿los signos en los binomios son iguales o diferentes? 17. ¿Cuál es el primer paso en la factorización de un trinomio?
LECCIÓN 1.3: Factorización de polinomios de la forma x2 + bx + c
17
En los ejercicios 20, 21 y 22, factoriza; en el 23, responde las preguntas. 18. 3. x 2 2 15x 1 56
19. 4. x 2 1 21x 1 38
20. 5.
a2 2 7a 2 44
que bque y cbson de cero, que ny ynmy son constantes positivas, de de 21. 6. Supongamos Supongamos y cdiferentes son diferentes deycero m son constantes positivas 2 modo que x 1 bx 1 c 5 1x 1 n2 1x 1 m2 . a. ¿c es positivo o negativo? b. ¿b es positivo o negativo? Completa los espacios con la respuesta correcta. 22. 10x 40. 7. Utiliza el trinomio 5x ? de los a. El primer paso en la factorización del trinomio es buscar un factor tres términos. ? . b. El MCD de los términos del trinomio 5x2 2 10x 2 40 es c. Factoriza el MCD de los términos del trinomio: 5x2 2 10x 2 40 5 5( ? ) d. Factoriza completamente el trinomio: 5x2 2 10x 2 40 5 5 1x2 2 2x 2 82 5 5( ? )( ? ) 23. 8. Para factorizar x2 1 2xy 2 24y2, encuentra los binomios de la forma ? y cuya 1x 1 ny2 1x 1 my2 , donde n y m son números cuyo producto es ? . Los factores de 224 cuya suma es 2 son ? y ? . El suma es trinomio x2 1 2xy 2 24y2 se factoriza como 1x 1 6y2 1x 2 4y2 . Factoriza y luego indica lo que se solicita. 9. 2x2 1 6x 1 4 24. 27. 12. 4x2 2 4x 2 8
10. 3x2 1 15x 1 18 25. 28. 13. ab2 1 2ab 2 15a
11. 3a2 1 3a 2 18 26. 29. 14. ab2 1 7ab 2 8a
si el si trinomio tienetiene o no un factor de (x +de3)1x 1 32 . 30. Indica el trinomio o no un factor 15. Indica 2 2 b. x y 2 xy 2 12y a. 3x 2 3x 2 36 si el si trinomio tienetiene o no un factor de (x +dey) 1x 1 y2 . 31. 16. Indica Indica el trinomio o no un factor 2 2 2 b. 2x y 2 4xy 2 4y a. 2x 2 2xy 2 4y 32. 6. Si a 1x 1 32 5 x2 1 2x 2 3, encuentra a.
33. 7. Si 22x3 2 6x2 2 4x 5 a 1x 1 12 1x 1 22 , encuentra a. En parejas, encuentren todos los números enteros k , de modo que se pueda factorizar el trinomio con números enteros. Compartan sus resultados con todo el grupo. 34. 17. x2 1 kx 1 35 19. x2 2 kx 1 21 36.
35. 18. x2 1 kx 1 18 20. x2 2 kx 1 14 37.
Ahora, determinen los valores de números enteros positivos de k para los cuales los siguientes polinomios se factorizan con números enteros. Compartan sus resultados con todo el grupo. 21. y2 1 4y 1 k 38.
18
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
22. z2 1 7z 1 k 39.
23. a2 2 6a 1 k 40.
Indicadores desarrollados: 5 / 6 / 7
1.4 OBJETIVO
Factorización de polinomios de la forma ax2 + bx + c
A Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c utilizando factores de prueba Los trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c, donde a, b y c son números enteros y a 2 0 se presentan a la derecha.
3x2 2 x 1 4, 4x2 1 5x 2 8,
a 5 3, b 5 21, c 5 4 a 5 4, b 5 5, c 5 28
Estos trinomios difieren de los presentados en la sección anterior en cuanto a que el coeficiente de x2 no es 1. Existen varios métodos para factorizar estos trinomios. El método descrito en este objetivo es factorizar los trinomios utilizando factores de prueba. Factorizar un trinomio de la forma ax2 1 bx 1 c significa expresar el polinomio como el producto de dos binomios. Es posible que para factorizar dichos polinomios por prueba y error sea necesario examinar muchos factores de prueba. Para reducir el número de factores de prueba, recuerda los siguientes puntos.
PUNTOS QUE DEBES RECORDAR AL FACTORIZAR ax + bx – c 2
1. Si los términos del trinomio tienen un factor común, factoriza primero el factor común. 2. Si los términos del trinomio no tienen un factor común, entonces los términos de un binomio no pueden tener un factor común. 3. Si el término constante del trinomio es positivo, los términos constantes de los binomios tienen el mismo signo como el coeficiente de x en el trinomio. 4. Si el término constante del trinomio es negativo, los términos constantes de los binomios tienen signos opuestos.
DEJEMPLO 10 Solución
Factoriza. A. 10x2 2 x 2 3
B. 4x2 2 27x 1 18
A. Los términos del trinomio 10x2 2 x 2 3 no tienen un factor común; por tanto, los términos de un factor no tendrán un factor común [punto 2].
Como el término constante c del trinomio es negativo 1232 , los términos constantes de los factores tendrán signos opuestos [punto 4].
LECCIÓN 1.4: Factorización de polinomios de la forma ax2 + bx + c
19
Encuentra los factores de a (10) y los de c 1232 .
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Con estos factores, escribe los factores de prueba. Utiliza los productos exterior e interior de PEIU para comprobar el término medio.
Factores de 10
Factores de 23
1, 10 2, 5
1, 23 21, 3
Factores de prueba 1x 1 12 110x 2 32 1x 2 12 110x 1 32 1 2x 1 1 2 1 5x 2 3 2 12x 2 12 15x 1 32 110x 1 12 1x 2 32 110x 2 12 1x 1 32 15x 1 12 12x 2 32 15x 2 12 12x 1 32
Término medio 23x 1 10x 5 7x 3x 2 10x 5 27x 26x 1 5x 5 2x 6x 2 5x 5 x 230x 1 x 5 229x 30x 2 x 5 29x 215x 1 2x 5 213x 15x 2 2x 5 13x
De la lista de factores de prueba, 10x2 2 x 2 3 5 12x 1 12 15x 2 32 . Comprobación
12x 1 12 15x 2 32 5 10x2 2 6x 1 5x 2 3 5 10x2 2 x 2 3
Todos los factores de prueba de este trinomio se incluyen en este ejemplo. Sin embargo, una vez que se encuentran los factores correctos, no es necesario seguir comprobando los factores de prueba restantes. B. Los términos del trinomio 4x2 2 27x 1 18 no tienen un factor común; por tanto, los términos de un binomio no tendrán un factor común [punto 2]. Recuerda A lo largo de este libro, los conceptos importantes se resaltan en amarillo.
Como el término constante c del trinomio es positivo (18), los términos constantes de los factores tendrán el mismo signo como el coeficiente de x. Como el coeficiente de x es 227, ambos signos son negativos [punto 3]. Encuentra los factores de a (4) y los factores negativos de c (18).
Con estos factores, escribe los factores de prueba. Utiliza los productos exterior e interior del método PEIU para comprobar el término medio.
Factores de 4
Factores de 18
1, 4 2, 2
21, 218 22, 29 23, 26
Factores de prueba
Término medio
1x 2 12 14x 2 182 1x 2 22 14x 2 92 1x 2 32 14x 2 62 12x 2 12 12x 2 182 12x 2 22 12x 2 92 12x 2 32 12x 2 62 14x 2 12 1x 2 182 14x 2 22 1x 2 92 1 4x 2 3 2 1 x 2 6 2
Se encontraron los factores correctos. 4x2 2 27x 1 18 5 14x 2 32 1x 2 62
20
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
Factor común 29x 2 8x 5 217x Factor común Factor común Factor común Factor común 272x 2 x 5 273x Factor común 224x 2 3x 5 227x
El ejemplo anterior muestra que muchos factores de prueba pueden tener factores comunes, por lo que no es necesario comprobarlos. En lo que resta de este bloque no se mencionarán los factores de prueba con un factor común.
DINTÉNTALO 10
Factoriza: 6x2 2 11x 1 5
OBJETIVO
Tu solución
B Factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c por agrupamiento de términos En el objetivo anterior, los trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c se factorizaron utilizando los factores de prueba. En este objetivo utilizaremos la factorización por agrupamiento de términos. Para factorizar ax2 1 bx 1 c, primero encuentra los dos factores de a # c cuya suma sea b. Utiliza los dos factores para reescribir el término medio del trinomio como la suma de dos términos. Luego aplica la factorización por agrupamiento de términos para escribir la factorización del trinomio.
DEJEMPLO 11 Solución
Factoriza. 2x2 1 13x 1 15 2x2 1 13x 1 15 a 5 2, c 5 15, a # c 5 2 # 15 5 30 30 Encuentra los dos factores positivos de 30 cuya suma sea 13. Los factores son 3 y 10.
Utiliza los factores 3 y 10 para reescribir 13x como 3x 1 10x. Factoriza por agrupamiento de términos.
Comprobación
Factores positivos de 30
Suma
1, 30 2, 15 3, 10 5, 6
31 17 13 11
1 15 2x2 1 13x 5 2x2 1 3x 1 10x 1 15
5 12x2 1 3x2 1 110x 1 152 5 x 12x 1 32 1 5 12x 1 32 5 12x 1 32 1x 1 52
12x 1 32 1x 1 52 5 2x2 1 10x 1 3x 1 15 5 2x2 1 13x 1 15
LECCIÓN 1.4: Factorización de polinomios de la forma ax2 + bx + c
21
DINTÉNTALO 11
Factoriza: 2a2 1 13a 2 7
Tu solución
Recuerda que el primer paso en la factorización de un trinomio es determinar si los términos tienen un factor común. De ser así, factoriza el MCD de los términos.
DAPLÍCALO 41. Realiza las siguientes actividades. Utiliza los factores de prueba para factorizar 2x2 2 7x 2 15. a) Completa la tabla de los factores de 2 y 215. a. Factores de 2
1,
?
Factores de 215
? 1, ? 21, ? 3, ? 23,
b. b) Completa la tabla encontrando el término medio para cada par de factores de prueba. Factores de prueba
1x 2 1x 1 1x 2 1x 1
Término medio
152 12x 1 12 152 12x 2 12 52 12x 1 32 52 12x 2 32
? ? ? ?
c. c) Utiliza los resultados de la parte b) para escribir la forma factorizada de 2x2 2 7x 2 15: ( ? )( ? ). Factoriza utilizando los factores de prueba. 2. 2x2 1 3x 1 1 42.
3. 5x2 1 6x 1 1 43.
4. 2y2 1 7y 1 3 44.
Reemplaza el signo ? para hacer verdadera la expresión. 1. 6x2 1 11x 2 10 5 13x 2 22 (?) 45.
46. 40x2 1 41x 1 10 5 18x 1 52 (?)
Llena los espacios en blanco. 47. Para factorizar 2x2 2 5x 1 2 por agrupamiento de términos, encuentra los dos números y cuya suma sea . cuyo producto sea 48. Para factorizar 2x2 2 3x 2 9 por agrupamiento de términos, encuentra primero dos ? números enteros cuyo producto sea 2 1292 5 y cuya suma sea el coeficiente ? . Estos dos números enteros son ? y ? . del término medio,
22
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
Factoriza por agrupamiento de términos. 49. 7. 2t2 2 t 2 10
50. 8. 2t2 1 5t 2 12
51. 9. 3p2 2 16p 1 5
52. 9. Dado que x 1 2 es un factor de x3 2 2x2 2 5x 1 6, factoriza completamente x3 2 2x2 2 5x 1 6.
cómocómo se determinan los signos los últimos de los dosdefac53. 10. Explica Explica se determinan los de signos de los términos últimos términos los dos factores de un trinomio.
2 de un rectángulo es (3x + x 2 2) metros Encuentra las Encuentra 54. +x metros cuadrados. Encuentra las 11. El área Geometría El área de un rectángulo es (3x (3x22cuadrados. +2 x 2) – 2) pies cuadrados. dimensiones del rectángulo en términos de la variable x. Dado que x . 0, especifica la dimensión que sea el largo y la dimensión que sea el ancho. ¿x puede ser negativo? ¿Puede ser x 5 0? Explica tus respuestas.
Indicadores desarrollados: 6 / 7
1.5 OBJETIVO
A = 3x 2 + x – 2
Factorización especial
A Factorizar la diferencia de cuadrados y trinomios cuadrados perfectos
El lenguaje de las matemáticas Una transmisión segura del número de tu tarjeta de crédito a un minorista en Internet depende de qué tan fácil sea factorizar un número. Una estrategia que utilizan los hackers para encontrar los factores es intentar escribir el número de la tarjeta de crédito como la diferencia de cuadrados. Por ejemplo, una forma de mostrar que se factoriza 901 es escribir 901 5 1225 2 324 5 352 2 182 5 135 2 182 135 1 182 5 17 1532 .
Si recuerdas del objetivo 4 en la sección 3 del capítulo sobre polinomios, el producto de la suma y la diferencia de los mismos dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo. 1a 1 b2 1a 2 b2 5 a2 2 b2
La expresión a2 2 b2 es la diferencia de cuadrados. El patrón recién mencionado indica la regla de la siguiente página para factorizarla.
LECCIÓN 1.5: Factorización especial
23
REGLA PARA FACTORIZAR LA DIFERENCIA DE CUADRADOS Diferencia de cuadrados a2 2 b2
Suma y diferencia de dos términos 5
1a 1 b2 1a 2 b2
EJEMPLOS
Cada expresión es la diferencia de cuadrados. Factoriza. 1. x2 2 4 5 x2 2 22 5 1x 1 22 1x 2 22 2. y2 2 9 5 y2 2 32 5 1y 1 32 1y 2 32
a2 1 b2 es la suma de cuadrados. No se factoriza con números enteros.
DEJEMPLO 12
Factoriza.
A. x2 2 16
B. x2 2 10
A. x2 2 16 5 x2 2 42
Soluciones
5 1x 1 42 1x 2 42 B. x2 2 10 no se factoriza con números enteros. Convéncete de que la suma de dos cuadrados no se factoriza con números enteros al intentar factorizar x2 1 4.
DINTÉNTALO 12
24
C. z6 2 25 5 1z32 2 2 52 5 1z3 1 52 1z3 2 52
Factoriza: A. 25a2 2 b2 B. 6x2 2 1 C. n8 2 36
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
Tus soluciones
C. z6 2 25
• Escribe x 2 2 16 como la diferencia de dos cuadrados. • L o s fa c t o r es s o n l a s u m a y diferencia de los términos x y 4. • Como 10 no es el cuadrado de un número entero, x 2 2 10 no se puede escribir como la diferencia de cuadrados. • Escribe z 6 2 25 como la diferencia de dos cuadrados. • L o s fa c t o r es s o n l a s u m a y l a diferencia de los términos z 3 y 5.
Recuerda que el patrón para encontrar el cuadrado de un binomio es:
Q
Q
Q
1 a 1 b 2 2 5 1a 1 b2 1a 1 b2 5 a2 1 ab 1 ab 1 b2 5 a2 1 2ab 1 b2 Cuadrado del primer término Dos veces el producto de los dos términos Cuadrado del último término
El cuadrado de un binomio es un trinomio cuadrado perfecto. El patrón anterior indica la siguiente regla para factorizarlo.
REGLA PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Trinomio cuadrado perfecto
Cuadrado de un binomio
2
a 1 2ab 1 b
5
1a 1 b2 1a 1 b2
5
1a 1 b2 2
a2 2 2ab 1 b2
5
1a 2 b2 1a 2 b2
5
1a 2 b2 2
2
Observa en estos patrones que el signo en el binomio es el signo del término medio del trinomio.
DEJEMPLO 13 Soluciones
Factoriza. A. 4x2 2 20x 1 25
B. 9x2 1 30x 1 16
A. 4x2 2 20x 1 25 Comprueba que el primero y el último términos sean cuadrados. Utiliza los términos cuadrados para factorizar el trinomio como el cuadrado de un binomio. El signo en el binomio es el signo del término medio del trinomio. Comprueba la factorización.
La factorización es correcta. B. 9x2 1 30x 1 16 Comprueba que el primero y el último términos sean cuadrados. Utiliza los términos cuadrados para factorizar el trinomio como el cuadrado de un binomio.
4x2 5 12x2 2, 25 5 52 12x 2 52 2
12x 2 52 2 5 12x2 2 1 2 12x2 1252 1 1252 2 5 4x2 2 20x 1 25
4x2 2 20x 1 25 5 12x 2 52 2 9x2 5 13x2 2, 16 5 42 13x 1 42 2
LECCIÓN 1.5: Factorización especial
25
El signo en el binomio es el del término medio del trinomio. Comprueba la factorización.
13x 1 42 2 5 13x2 2 1 2 13x2 142 1 42 5 9x2 1 24x 1 16
9x2 1 24x 1 16 2 9x2 1 30x 1 16 La factorización propuesta no es correcta. En este caso, el polinomio no es un trinomio cuadrado perfecto. Sin embargo, aún se puede factorizar. De hecho, 9x2 1 30x 1 16 5 13x 1 22 13x 1 82 . Si un trinomio no se comprueba como un trinomio cuadrado perfecto, intenta factorizarlo mediante otro método.
DINTÉNTALO 13
Factoriza: 10x2 + 18x + 9
14 DEJEMPLO Solución
Factoriza.
A. 9x2 2 30x 1 25
A. 9x2 5 13x2 2, 25 5 52 13x 2 52 2
13x 2 52 2 5 13x2 2 1 2 13x2 1252 1 1252 2 5 9x2 2 30x 1 25 9x2 2 30x 1 25 5 13x 2 52 2
4x2 5 12x2 2, 9 5 32 12x 1 32 2
12x 1 32 2 5 12x2 2 1 2 12x2 132 1 32 5 4x2 1 12x 1 9 4x2 1 37x 1 9 5 14x 1 12 1x 1 92
DINTÉNTALO 14
26
Factoriza: 16y2 1 8y 1 1
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
Tu solución
B. 4x2 1 37x 1 9 • C o m p r u e b a q u e e l p r i m e ro y ú l timo términos sean cuadrados. • Utiliza los términos cuadrados para factorizar el trinomio como el cuadrado de un binomio. • Comprueba la factorización. • La factorización se comprueba.
• C o m p r u e b a q u e e l p r i m e ro y ú l timo términos sean cuadrados. • Utiliza los términos cuadrados para factorizar el trinomio como el cuadrado de un binomio. • Comprueba la factorización. • L a fa c t o r iz a c i ó n n o s e comprueba. • Utiliza otro método para factorizar el trinomio.
Tu solución
DAPLÍCALO
Actividad en parejas: para los ejercicios 58 y 59 indiquen cuáles de las expresiones de cada lista son cuadrados perfectos. En los reactivos 60 y 61, subrayen la respuesta correcta.
1. 4; 8; 25x6; 12y10; 100x4y4 55.
2. 9; 18; 15a8; 49b12; 64a16b2 56.
57. 3. ¿Cuáles de las expresiones son diferencia de cuadrados? i) a2 2 36 ii) ii) b2 2 12 iii) c2 1 25 iv) d 2 2 100 4. ¿Cuál expresión es la suma y la diferencia de dos términos? 58. ii) 1a 1 42 1b 2 42 iii) 1a 1 42 1a 2 42 i) 1a 1 42 1a 1 42 ii) iii) Indiquen si el enunciado es siempre verdadero, algunas veces verdadero o nunca verdadero. 59. Un binomio es factorizable. 60. Un trinomio es factorizable. 61. Si un binomio se multiplica por sí mismo, el resultado es un trinomio cuadrado perfecto.
62. En un trinomio cuadrado perfecto, el primero y último términos son cuadrados perfectos.
Completen el espacio con la respuesta correcta. 63.
• •
64.
• •
? __ y El binomio 9x2 2 4 está en la forma a2 2 b2, donde a 5 _____ ? b 5 _______.
Utiliza la fórmula a2 2 b2 5 1a 1 b2 1a 2 b2 para factorizar 9x2 2 4: ? __2 1_____ ? __2 . 9x2 2 4 5 1_____
El trinomio 16y2 2 8y 1 1 está en la forma a2 2 2ab 1 b2, donde ? __ y b 5 _____ ? __. a 5 _____
Utiliza la fórmula a2 2 2ab 1 b2 5 1a 2 b2 2 para factorizar 16y2 2 8y 1 1: ? __2 2. 16y2 2 8y 1 1 5 1_____
65. Proporcionen un ejemplo de cada uno de los siguientes enunciados. a) b) c) d) e)
la diferencia de cuadrados el producto de la suma y diferencia de dos términos un trinomio cuadrado perfecto el cuadrado de un binomio la suma de dos cuadrados
66. El área del cuadrado mostrado es de 16x2 + 24x + 9 metros cuadrados. Calculen las dimensiones del cuadrado en términos de la variable x. ¿Puede x 5 0? ¿Cuáles son los valores posibles de x?
A = 16x 2 + 24x + 9
Encuentren los números enteros de k , de modo que el trinomio sea un trinomio cuadrado perfecto. 67. 25. 4x2 2 kx 1 9
68. 26. 25x2 2 kx 1 1
69. 27. 36x2 1 kxy 1 y2
LECCIÓN 1.5: Factorización especial
27
1.6 OBJETIVO
Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización
Indicadores desarrollados: 3 / 4
A Resolver ecuaciones cuadráticas por factorización Una ecuación que se puede escribir en la forma ax 2 1 bx 1 c 5 0, donde a 2 0, es una ecuación cuadrática. 4x 2 2 3x 1 1 5 0,
a 5 4, b 5 23, c 5 1
3x 2 4 5 0,
a 5 3, b 5 0,
2
c 5 24
Una ecuación cuadrática también se llama ecuación de segundo grado. Una ecuación cuadrática está en forma general cuando el polinomio está en orden descendente y es igual a cero. Las dos ecuaciones cuadráticas anteriores están en forma general. Recuerda que el principio del producto cero expresa que si el producto de dos factores es cero, entonces por lo menos uno de los factores debe ser cero. Si a ? b 5 0, entonces a 5 0 o b 5 0. Para resolver ecuaciones cuadráticas, se puede utilizar la propiedad del producto cero.
DEJEMPLO 15 Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones cuadráticas: 2x 2 x 5 1 2
A. 2x2 2 x 5 1
Solución Ésta es una ecuación cuadrática. Escríbela en forma general.
2x2 2 x 5 1 2x 2 x 2 1 5 0 2
Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
12x 1 12 1x 2 12 5 0
Si 12x 1 12 1x 2 12 5 0, entonces 2x 1 1 5 0 or x 2 1 5 0.
2x 1 1 5 0
Resuelve cada ecuación para x.
2x 5 21 1 x52 2
x2150 x51
Las soluciones son 2 21 y 1. B.
Solución
28
z2 1 z 1 2 50 2 3 6
z2 z 1 1 2 50 2 3 6 z 1 z2 6a 1 2 b 5 6 102 2 3 6 3z2 1 2z 2 1 5 0
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
z2 1 z 1 2 50 2 3 6
• Para eliminar las fracciones, multiplica cada lado de la ecuación por 6, el MCD de las fracciones. • La ecuación cuadrática está en forma general. • Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.
13z 2 12 1z 1 12 5 0 3z 2 1 5 0 z1150 3z 5 1 z 5 21 1 z5 3 Las soluciones son 13 y 21.
DINTÉNTALO 15
• Sea cada factor igual a cero. • Resuelve cada ecuación para z. •
1 y 21 se comprueba como soluciones. 3
Resuelve la siguiente ecuación mediante el método de factorización: 1 3y2 1y2 50 2 2
Tu solución
DAPLÍCALO
Resuelve lo que se solicita a continuación. 70. Para la ecuación cuadrática dada, encuentra los valores de a, b y c. a)1. 3x2 2 4x 1 1 5 0 b)2. x2 1 2x 2 5 5 0 71. Escribe en forma general la ecuación cuadrática. a) b)5. 2x2 5 4x 2 1 4. x2 2 8 5 3x 7. x 1 5 5 x 1x 2 32 8. 2 1x 1 32 2 5 5 c) d) 72. Resuelve: x2 1 4x 2 12 5 0 x2 1 4x 2 12 5 0 ? __2 1x 2 _____ ? __2 5 0 1x 1 _____ ? ? _______ 5 0 _______ 5 0 ? __ x 5 _____
? __ x 5 _____
73. Resuelve para x. 14. a) 1x 1 32 1x 2 52 5 0
• La ecuación está en forma general. • Factoriza el trinomio. • Utiliza la propiedad del producto cero para determinar cada factor igual a cero. • Resuelve cada ecuación para x.
15. x 1x 1 102 5 0 b)
74. Resuelve por factorización. 17. a) s2 2 5s 1 4 5 0
18. p2 1 3p 1 2 5 0 b)
En parejas, resuelvan lo siguiente, aplicando lo que aprendieron en esta lección. 75. ax2 + bx + c = 0 es una ecuación cuadrática que se puede resolver por factorización. Para cada uno de los siguientes casos, indiquen si la ecuación tiene dos soluciones positivas, dos soluciones negativas, o una solución positiva y una negativa. a. a . 0, b , 0, c . 0 a)
b. a . 0, b , 0, c , 0 b)
c. a . 0, b . 0, c , 0 c)
76. Decimos que a es un entero positivo. ¿Qué ecuación tiene una raíz doble? i) x2 2 a2 5 0 iii) x2 1 2ax 1 a2 5 0
ii) ii) x2 1 2ax 2 a2 5 0 iv) iv) x2 2 2ax 1 a2 5 0
LECCIÓN 1.6: Solución de ecuaciones cuadráticas por factorización
29
1.7 OBJETIVO
Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado
Indicadores desarrollados: 3 / 7
A Resolver ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado Recuerda que un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio. Trinomio cuadrado perfecto x2 1 6x 1 9 5 x2 2 10x 1 25 x2 1 8x 1 16
5 5
Cuadrado de un binomio 1x 1 32 2 1x 2 52 2 1x 1 42 2
Para cada trinomio cuadrado perfecto anterior, el cuadrado de 12 del coeficiente de x es igual al término constante. x2 1 6x 1 9,
2 1 a # 6b 5 9 2
x2 2 10x 1 25,
2 1 c 12102 d 5 25 2
x2 1 8x 1 16,
2 1 a # 8b 5 16 2
2 1 a coeficiente de xb 5 término constante 2
Esta relación se puede utilizar para escribir el término constante para un trinomio cuadrado perfecto. Sumar a un binomio el término constante que hace que sea un trinomio cuadrado perfecto se llama completar el cuadrado.
el cuadrado del binomio. Escribe el trinomio cuadrado perfecto resultante como el cuadrado DEJEMPLO 16 Completa de un binomio. A. x2 2 8x
B. y2 1 5y
A. Solución
Encuentra el término constante. Completa el cuadrado de x2 2 8x sumando el término constante. Escribe el trinomio cuadrado perfecto resultante como el cuadrado de un binomio. B.
Solución
Encuentra el término constante. Completa el cuadrado de y2 1 5y sumando el término constante.
30
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
x2 2 8x 2 1 c 1282 d 5 16 2 2 x 2 8x 1 16 x2 2 8x 1 16 5 1x 2 42 2 y2 1 5y 2 1 5 2 25 a # 5b 5 a b 5 2 2 4 25 y 1 5y 1 4
Escribe el trinomio cuadrado perfecto resultante como el cuadrado de un binomio.
y2 1 5y 1
25 5 2 5 ay 1 b 4 2
Una ecuación cuadrática de la forma x2 1 bx 1 c 5 0, x 2 0, que no se puede resolver por factorización se puede resolver completando el cuadrado. El procedimiento es el siguiente: 1. Escribe la ecuación en la forma x2 1 bx 5 c. 2. Suma a cada lado de la ecuación el término que completa el cuadrado de x2 1 bx. 3. Factoriza el trinomio cuadrado perfecto. Escríbelo como el cuadrado de un binomio. 4. Obtén la raíz cuadrada en cada lado de la ecuación. 5. Resuelve para x.
DINTÉNTALO 16
Resuelve la siguiente ecuación completando el cuadrado: x2 2 6x 2 3 5 0
Tu solución
Para el método de completar el cuadrado que se utilizará, el coeficiente del término x2 debe ser 1. Si no es 1, debemos multiplicar cada lado de la ecuación por el recíproco del coeficiente de x2. Esto se ilustra en el ejemplo siguiente.
DEJEMPLO 17 Solución
Resuelve completando el cuadrado: Suma el opuesto del término constante a cada lado de la ecuación. El coeficiente del término x2 debe ser 1. Multiplica cada lado por el recíproco del coeficiente def x2. Encuentra el término constante que completa el cuadrado de x2 2 12 x. Suma este término a cada lado de la ecuación. Factoriza el trinomio cuadrado perfecto. Obtén la raíz cuadrada en cada lado de la ecuación. Simplifica.
2x2 2 x 2 1 5 0 2x2 2 x 2 1 5 0 2x2 2 x 5 1 1 2 1 12x 2 x2 5 # 1 2 2 1 1 x2 2 x 5 2 2 1 2 1 1 1 2 c a2 b d 5 a2 b 5 2 2 4 16 1 1 1 1 x2 2 x 1 5 1 2 16 2 16 1 2 9 ax 2 b 5 4 16 1 2 9 ax 2 b 5 Å 4 Å 16 9 1 x2 56 4 Ä 16 1 3 x2 56 4 4
LECCIÓN 1.7: Solución de ecuaciones cuadráticas completando el cuadrado
31
x2
Resuelve para x.
1 3 5 4 4
x2
x51
1 3 52 4 4 1 x52 2
2x2 2 x 2 1 5 0 2 112 2 2 1 2 1 0 2 112 2 1 2 1 0 22 1 2 1 0 050
Comprobación
2x2 2 x 2 1 5 0
1 2 1 2 a2 b 2 a2 b 2 1 0 2 2 1 1 2 a b 2 a2 b 2 1 0 4 2 1 1 Escribe las soluciones: 1 21 0 2 2 1 050 Las soluciones son 1 y 22 .
DINTÉNTALO 17
Resuelve la ecuación completando el cuadrado: 3x2 2 6x 2 2 5 0
Tu solución
APLÍCALO DResuelve o responde lo que se solicita, aplicando lo que aprendiste en esta lección. ? . 1. Cuando calculamos el cuadrado de un binomio, el resultado es un 77. ? . 2. El término constante en un trinomio cuadrado perfecto es igual al cuadrado de 78. 2 ? 3. “Completar el cuadrado” significa sumar a x 1 bx el término constante que hará que sea un 79. 2 80. 4. Cuando se resuelve la ecuación x 2 8x 1 16 5 18 completando el cuadrado, el siguiente paso ? . después de escribir la ecuación en la forma 1x 2 42 2 5 18 es 81. Completa el cuadrado. Escribe el trinomio cuadrado perfecto resultante como el cuadrado de un binomio. a) x2 1 12x b) 3. x2 2 4x 82. Resuelve completando el cuadrado. a) v2 1 4v 1 1 5 0
b) 6.
y2 2 2y 2 5 5 0
c)7.
x2 5 4x 2 4
83. Resuelve. Primero trata de resolver la ecuación por factorización. Si no puedes resolverla por factorización, hazlo completando el cuadrado. a) p2 1 3p 5 1 b) r2 1 5r 5 2 10. 84. Encuentra las soluciones de la ecuación cuadrática en la cual a 5 1, b 5 8 y c 5 214. 85. 7. Evalúa 2b2 dado b2 2 6b 1 7 5 0. 87. Resuelve.
86. 8. Evalúa 2y2 dado y2 2 2y 2 7 5 0.
x11 3 1 54 a) !2x 1 7 2 4 5 x b) 9. 2 x21 88. La ecuación x2 2 2x 2 11 5 0 tiene soluciones a y b. Encuentra el valor de a2 1 b2. 13.
32
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
.
Indicadores desarrollados: 3 / 7
1.8 OBJETIVO
Solución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática
A Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática
Para conocer el significado del discriminante haz clic aquí http://www.ditutor.com/ecuaciones_ grado2/discriminante.html
Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver completando el cuadrado. La aplicación de este método a la forma general de una ecuación cuadrática produce una fórmula que se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática. Para resolver ax 2 1 bx 1 c 5 0, a 2 0, completando el cuadrado, resta el término constante de cada lado de la ecuación. Multiplica cada lado de la ecuación por el recíproco de a, el coeficiente de x 2.
Completa el cuadrado sumando
ax2 1 bx 1 c 5 0 ax 1 bx 1 c 2 c 5 0 2 c ax2 1 bx 5 2c 1 2 1 1ax 1 bx2 5 12c2 a a b c x2 1 x 5 2 a a b 1 b 2 c 1 b 2 x2 1 x 1 a # b 5 a # b 2 a 2 a 2 a a 2
1 b 2 a # b a cada lado de la ecuación. 2 a
b b2 c b2 x2 1 x 1 2 5 2 2 a 4a 4a a
Simplifica el lado derecho de la ecuación.
b b2 b2 c 4a x2 1 x 1 2 5 2 2 a # b a 4a 4a a 4a b b2 b2 4ac x2 1 x 1 2 5 2 2 2 a 4a 4a 4a b b2 b2 2 4ac x2 1 x 1 2 5 a 4a 4a2
Factoriza el trinomio cuadrado perfecto en el lazo izquierdo de la ecuación.
ax 1
b 2 b2 2 4ac b 5 2a 4a2
Obtén la raíz cuadrada en cada lado de la ecuación.
ax 1
b 2 b2 2 4ac b 5 2a Å 4a2
Å
x1 Resuelve para x. x 1
b "b2 2 4ac 5 2a 2a x52 x5
b "b2 2 4ac 1 2a 2a
2b 1 "b2 2 4ac 2a
x1
b "b2 2 4ac 56 2a 2a
b "b2 2 4ac 52 2a 2a x52 x5
b "b2 2 4ac 2 2a 2a
2b 2 "b2 2 4ac 2a
LECCIÓN 1.8: Solución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática
33
Si ax2 1 bx 1 c 5 0, a 2 0, entonces
LA FÓRMULA CUADRÁTICA
x5
2b 1 "b2 2 4ac 2a
Solución
Resuelve utilizando la fórmula cuadrática:
2x2 5 4x 2 1
x5 5 5
Simplifica.
5 5
2a
4 1 4!2 1 2 b 4 22aa
6 1 4!2 b 4
4a
2 1242 6 " 1242 2 2 4 # 2 # 1 2#2 4 6 !16 2 8 4
4 6 !8 4
4 6 2!2 2 12 6 !2 2 2 6 !2 5 5 # 4 2 2 2
2 12 1 !2 2 2 1 4 1 2!2 2 1
Escribe las soluciones.
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
2x2 5 4x 2 1
2 1 !2 b21 2
6 1 4!2 3 1 2!2 2 31 2!2 5 3 1 2 !2
34
2b 6 "b2 2 4ac 2a
2x2 5 4x 2 1
2 1 !2 2 b 2
2b 6 "b2 2 4ac 2a
2x2 5 4x 2 1 2x 2 4x 1 1 5 0
Sustituye a, b y c en la fórmula cuadrática por sus valores.
2a
2b 2 "b2 2 4ac 2a
2
Escribe en forma general la ecuación. a 5 2, b 5 24 y c 5 1.
Comprobación
x5
La fórmula cuadrática a menudo se escribe en la forma x5
DEJEMPLO 18
o
2a 2a
2 2 !2 2 b 2
4 2 4!2 1 2 b 4 2a
6 2 4!2 b 4
4a
2 2 !2 b21 2
2 12 2 !2 2 2 1 4 2 2!2 2 1
6 2 4!2 3 2 2!2 2 3 2 2!2 5 3 2 2!2 Las soluciones son 2 12 !2 y 2 22 !2.
DINTÉNTALO 18
Tus soluciones
Resuelve las ecuaciones utilizando la fórmula cuadrática. A. 3x2 1 4x 2 4 5 0 B. x2 1 2x 5 1
DAPLÍCALO
Resuelve o responde lo que se solicita, aplicando lo que aprendiste en esta lección. 89. Si una ecuación cuadrática se resuelve utilizando la fórmula cuadrática y el resultado 1 6 !13 , ¿cuáles son las soluciones de la ecuación? es x 5 2 90. Resuelve utilizando la fórmula cuadrática. a)2. z2 1 6z 2 7 5 0 b)3. s2 1 3s 2 10 5 0
c)4. w2 5 3w 1 18
91. Resuelve. Primero intenta resolver la ecuación por factorización. Si no puedes, hazlo utilizando la fórmula cuadrática. a)6. p2 2 p 5 0 b)7. 2v2 1 v 5 0 92. Resuelve. a) 10. "x2 1 2x 1 1 5 x 2 1
b) 11.
4 x12 52 2 3 x22
Indica si cada una de las siguientes expresiones es verdadera o falsa. 2. Cualquier ecuación cuadrática se puede resolver utilizando la fórmula cuadrática. 93. 3. Las soluciones de una ecuación cuadrática se pueden escribir como 94. x5
2b 2 "b2 2 4ac 2b 1 "b2 2 4ac yx5 . 2a 2a
95. 4. La ecuación 4x2 2 3x 5 9 es una ecuación cuadrática en forma general. 5. En la fórmula cuadrática x 5 96.
2b 6 "b2 2 4ac , b es el coeficiente de x2. 2a
97. Encuentra las soluciones de la ecuación cuadrática en la cual a 5 4, b 5 28 y c 5 1. 98. Encuentra la diferencia entre las raíces mayor y menor de x2 2 6x 5 14. En parejas, resuelvan el siguiente problema. Al terminar, compartan sus resultados con el grupo. 99. Para una ecuación cuadrática de la forma x2 1 bx 1 c 5 0, la suma de las soluciones es igual al opuesto de b y el producto de las soluciones es igual a c. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación x2 1 5x 1 6 5 0 son 22 y 23. La suma es 25, el opuesto del coeficiente de x. El producto es 6, el término constante. Ésta es una forma de comprobar las soluciones de una ecuación cuadrática. Utilicen este método para determinar si los números dados son soluciones de la ecuación. Si no lo son, encuéntrenlas. a) x2 2 4x 2 21 5 0; 23 y 7
b) x2 2 4x 2 3 5 0; 2 1 !7 y 2 2 !7
LECCIÓN 1.8: Solución de ecuaciones cuadráticas utilizando la fórmula cuadrática
35
1.9 OBJETIVO
Graficación de ecuaciones cuadráticas con dos variables
Indicadores desarrollados: 2 / 4
A Graficar una ecuación cuadrática de la forma y = ax2 + bx + c Una ecuación de la forma y 5 ax2 1 bx 1 c, a 2 0, es una ecuación cuadrática con dos variables. A la derecha se proporcionan ejemplos de ecuaciones cuadráticas con dos variables
y 5 3x2 2 x 1 1 y 5 2x2 2 3 y 5 2x2 2 5x
Para estas ecuaciones, y es una función de x y podemos escribir f 1x2 5 ax2 1 bx 1 c . Esta ecuación representa una función cuadrática.
19 DEJEMPLO Solución
DINTÉNTALO 19
Evalúa f 1x2 5 2x2 2 3x 1 4 cuando x 5 22.
f 1x2 5 2x2 2 3x 1 4 • Sustituye x por 22. f 1222 5 2 1222 2 2 3 1222 1 4 5 2 142 2 3 1222 1 4 • Simplifica. 581614 5 18 El valor de la función cuando x 5 22 es 18. Evalúa f 1x2 5 2x2 1 5x 2 2 cuando x 5 21.
Tu solución
La gráfica de y 5 ax2 1 bx 1 c o f 1x2 5 ax2 1 bx 1 c es una parábola. La gráfica está en forma de h y se abre hacia arriba cuando a es positiva y hacia abajo cuando a es negativa. A continuación se muestran las gráficas de dos parábolas. y
y
4
4
2 –4 –2 0 –2
2 2
4
x
–4 y = 2x 2 + 3x − 2 a = 2, un número positivo La parábola abre hacia arriba
36
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
–4 –2 0 –2
2
4
–4 f(x) = −x 2 + 3x + 2 a = −1, un número negativo La parábola abre hacia abajo
x
DEJEMPLO 20
Grafica y 5 x2 2 x 2 6.
Solución Encuentra varias soluciones de la ecuación. Debido a que la gráfica no es una recta, se deben encontrar varias soluciones con el fin de determinar la forma en h . Registra los pares ordenados en una tabla.
Grafica las soluciones de los pares ordenados en un sistema de coordenadas rectangulares. Traza una parábola a través de los puntos.
x
y 5 x2 2 x 2 6
23 22 21 0 1 2 3 4
6 0 24 26 26 24 0 6 y
(–3, 6)
(4, 6) 4 2
(–2, 0) –4 –2 0 –2
(3, 0) 2
(–1, –4) – 4 (0, –6)
4
x
(2, –4) (1, –6)
Observa que la gráfica de y 5 x2 2 x 2 6 cruza el eje x en 122, 02 y 13, 02 . Estos puntos están confirmados en la tabla de valores. Las intersecciones con el eje x de la gráfica son 122, 02 y 13, 02 Podemos encontrar algebraicamente las intersecciones con el eje x estableciendo y 5 0 y resolviendo para x. y 5 x2 2 x 2 6 0 5 x2 2 x 2 6 05 1x 1 22 1x 2 32 x1250 x 5 22
x2350 x53
• Sustituye y por 0 y resuelve para x. • Esta ecuación se puede resolver por factorización. Sin embargo, será necesario utilizar la fórmula cuadrática para resolver algunas ecuaciones cuadráticas.
Cuando y 5 0, x 5 22 o x 5 3. Las intersecciones son 122, 02 y 13, 02 . La intersección con el eje y de la gráfica de y 5 x2 2 x 2 6 es el punto en el cual la gráfica cruza el eje y. En este punto, x 5 0. Por la gráfica o la tabla, podemos ver que la intersección con el eje y es 10, 262 . Podemos encontrar algebraicamente la intersección con el eje y si establecemos x 5 0 y resolvemos para y. y 5 x2 2 x 2 6 y 5 02 2 0 2 6 y502026 y 5 26
• Sustituye x con 0 y simplifica.
Cuando x 5 0, y 5 26. La intersección con el eje y es 10, 262 . LECCIÓN 1.9: Graficación de ecuaciones cuadráticas con dos variables
37
La gráfica de y 5 22x2 1 1 se muestra a continuación.
y 2
x
y 5 22x2 1 1
0 1 21 2 22
–4
–2
(–1, –1)
1 21 21 27 27
0 –2
(0, 1) 2
4
x
(1, –1)
–4
(–2, –7)
–6
(2, –7)
–8
Revisa que la gráfica de y 5 x2 2 x 2 6, que se muestra en la página anterior, abre hacia arriba y que el coeficiente de x2 es positivo. La gráfica de y 5 22x2 1 1 abre hacia abajo y el coeficiente de x2 es negativo. Como se mencionó antes, para cualquier expresión cuadrática con dos variables, el coeficiente de x2 determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. Cuando a es positiva, la parábola abre hacia arriba. Cuado a es negativa, la parábola abre hacia abajo. Cada parábola tiene un eje de simetría y un vértice que está en dicho eje. Si la parábola abre hacia arriba, el vértice es el punto más bajo en la gráfica. Si la parábola abre hacia abajo, el vértice es el punto más alto en la gráfica.
El lenguaje de las matemáticas Los espejos en algunos telescopios están apoyados en la forma de una parábola. El espejo en el Observatorio de Monte Palomar tiene 0.6 metros de grueso en los extremos y pesa 14.75 toneladas. El espejo se ha fijado en un verdadero paraboloide (la versión tridimensional de una parábola) dentro de 0.0000015 pulgadas.
DINTÉNTALO 20
Grafica:
Para comprender el eje de simetría, piensa en doblar el papel a lo largo de ese eje. Las dos mitades de la gráfica serán iguales.
BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Álgebra
x Vértice Eje de simetría
Cuando grafiques una ecuación cuadrática con dos variables, utiliza el valor de a para determinar si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. Después de graficar las soluciones representadas por los pares ordenados de la ecuación, utiliza la simetría para ayudarte a trazar la parábola. Para calcular el vértice de una parábola se pueden usar las fórmulas: x5 2
b 2a
A. y 5 x2 1 2 B. y 5 2x2 2 2x 1 3
Marca las partes de la parábola: vértice, punto máximo o mínimo, eje de simetría e intersecciones con los ejes.
38
y
y5
Tu solución
4ac 2 b2 4a
DEJEMPLO 21 Solución
Encuentra las intersecciones con el eje x y con el eje y de la gráfica de y 5 x2 2 2x 2 5. y 5 x2 2 2x 2 5 0 5 x2 2 2x 2 5 x5
• Para encontrar las intersecciones con el eje x, sea y 5 0 y resuelve para x.
2b 6 "b2 2 4ac 2a
• x 2 2 2x 2 5 no se puede factorizar en los números enteros. Utiliza la fórmula cuadrática.
5
2 1222 6 " 1222 2 2 4 112 1252 2 112
5
2 6 !24 2 6 2 !6 5 5 1 6 !6 2 2
• a 5 1, b 5 22, c 5 25
Las intersecciones con el eje x son 11 1 !6, 02 y 11 2 !6, 02 . y 5 x2 2 2x 2 5 y 5 02 2 2 102 2 5 5 25
• Para encontrar la intersección con el eje y, sea x 5 0 y resuelve para y.
La intersección con el eje y es 10, 252 .
DINTÉNTALO 21
Encuentra las intersecciones con el eje x y con el eje y de la gráfica de y 5 x2 2 6x 1 9.
Tu solución
Además, marca vértice, punto máximo o mínimo y eje de simetría.
DAPLÍCALO Resuelve o responde lo que se solicita, aplicando lo que aprendiste en esta lección. 3. ¿Cuál es el indicio en la ecuación y 5 x2 2 5x 1 4 de que la gráfica abrirá hacia arriba? 100. 4. Explica cómo encontrar las intersecciones con el eje x de la gráfica de y 5 x2 2 4x 1 3. 101. 5. Explica cómo encontrar la intersección con el eje y de la gráfica de y 5 x2 2 5x 1 4. 102. 103. Indica si la gráfica de la ecuación abre hacia arriba o hacia abajo. 1 a)6. y 5 2x2 1 4 b)7. y 5 2 x2 1 5 3 104. Evalúa la función para el valor dado de x. a)2. f x 5 x2 1 6x 1 9; x 5 23 b)3. f x 5 2x2 1 5x 2 6; x 5 24 105. Grafica. a)5. y 5 x2
b) y 5 2x2
c)
y 5 2x2 1 1
LECCIÓN 1.9: Graficación de ecuaciones cuadráticas con dos variables
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