Matemáticas financieras, 7a. Edición

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MATEMÁTICAS

financieras 6pSWLPD HGLFLyQ

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

Reg. 403 VitalSource © D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.

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MATEMÁTICAS

financieras Séptima edición

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre

Revisión técnica Eduardo Javier Ramírez García Universidad Panamericana, campus Guadalajara Ramsés Jimenez Castañeda Instituto de Ciencias Sociales y Administración Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

Juan Carlos Miranda Rosales Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo

Sergio Porras Zárate Centro Universitario de Ciencias Económico-Administrativas Universidad de Guadalajara

Rocío Gómez Tagle Rangel Universidad de Monterrey

Alicia Fernanda Galindo Manrique Universidad de Monterrey

Edgar Roberto Sandoval García Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli

Adriana Laura Cruz y Corro Sánchez Universidad Iberoamericana, campus Puebla

Blanca Aurora Páramo Calderón Tecnológico de Monterrey, campus Puebla

Martha Isabel Portillo Ponce Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente

Cristina Liliana Ramos Rascón Facultad de Contaduría y Administración Universidad Autónoma de Chihuahua

Sebastián Miguel Varela López Instituto Tecnológico de Puebla

"VTUSBMJB t #SBTJM t &TUBEPT 6OJEPT t .ÏYJDP t 3FJOP 6OJEP t 4JOHBQVS

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© D.R. 2020 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. &DUUHWHUD 0«[LFR 7ROXFD Q¼P RȴFLQD &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD & 3 Ciudad de México. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

0DWHP£WLFDV È´QDQFLHUDV V«SWLPD HGLFLµQ Héctor Manuel Vidaurri Aguirre 'LUHFWRU +LJKHU (GXFDWLRQ /DWLQRDP«ULFD Renzo Casapía Valencia *HUHQWH HGLWRULDO /DWLQRDP«ULFD -HV¼V 0DUHV &KDFµQ (GLWRUD Cinthia Chávez Ceballos &RRUGLQDGRU GH PDQXIDFWXUD Rafael Pérez González 'LVH³R GH SRUWDGD Karla Paola Benítez García ΖPDJHQ GH SRUWDGD © alexkich/Shutterstock.com &RPSRVLFLµQ WLSRJU£ȴFD Humberto Núñez Ramos

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, UHSURGXFFLµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLµQ JUDEDFLµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLµQ HQ ΖQWHUQHW GLVWULEXFLµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLµQ D H[FHSFLµQ GH OR SHUPLWLGR en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD Héctor Manuel Vidaurri Aguirre 0DWHP£WLFDV È´QDQFLHUDV V«SWLPD HGLFLµQ Ζ6%1 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 23 22 21 20

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Acerca del autor

Héctor Manuel Vidaurri Aguirre estudió ingeniería química en la Universidad de Guadalajara. Ejerció durante un tiempo en la iniciativa privada, aunque la mayor parte de su vida profesional ha transcurrido como profesor universitario. Desde 1993 es profesor del Departamento de Matemáticas y Física del Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente (ITESO), Universidad Jesuita de Guadalajara, Jalisco, donde enseña las materias de Fundamentos Matemáticos de las Finanzas, Cálculo Diferencial y Cálculo Integral e Ingeniería económica. Actualmente, también, es profesor de Matemáticas financieras e Ingeniería económica en las áreas de licenciatura y posgrado en la Universidad Panamericana, campus Guadalajara, asimismo imparte cursos sobre temas financieros en diversas escuelas de capacitación empresarial. Fue instructor externo en el área de las matemáticas financieras del Instituto Serfin, dependiente del entonces banco Serfin (actualmente banco Santander), y autor de una serie de artículos sobre matemáticas financieras aplicadas a diversos aspectos de la vida cotidiana, que fueron publicados por el periódico Mural.

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Dedicatoria

Este libro está dedicado, con mucho cariño, para mi esposa y mis hijos.

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Dicen que el dinero lo da todo. No es verdad. Puedes comprar comida, pero no el apetito; puedes comprar medicinas, pero no la salud; camas cómodas, pero no el sueño; libros, pero no la inteligencia; diversión, pero no el placer; conocidos, pero no la verdadera amistad; sirvientes, pero no la fidelidad, puedes comprar días tranquilos, pero no puedes comprar la paz. arne garborg Escritor y poeta noruego (1851–1924)

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Contenido

Prefacio ...................................................................

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Capítulo 1 Preliminares ...........................................................

1

1.1 La calculadora y las operaciones aritméticas ............................

2

Reglas de prioridad de las operaciones ..............................................

3

1.2 Notación científica.........................................................................

11

Transformación de notación ordinaria a notación científica ...............................................................

11

Transformación de notación científica a notación ordinaria ..............................................................

13

1.3 Logaritmos ......................................................................................

16

Tema especial: La regla de cálculo .............................................

18

1.4 Sistemas de logaritmos .................................................................

23

Sistema de logaritmos decimales ...........................................

23

Sistema de logaritmos naturales............................................

25

1.5 Aplicaciones de los logaritmos.....................................................

28

Examen del capítulo ......................................................................

35

Capítulo 2 Porcentaje y sus aplicaciones ...............................

37

2.1 Porcentaje .......................................................................................

38

Tema especial: Tipo de cambio ...................................................

44

2.2 Utilidad sobre el costo y sobre el precio de venta ......................

51

2.3 Descuento comercial .....................................................................

57

Examen del capítulo ......................................................................

61

Capítulo 3 Variación proporcional ..........................................

63

3.1 Variación proporcional directa .....................................................

64

3.2 Variación proporcional inversa ....................................................

72

3.3 Variación proporcional mixta.......................................................

76

Tema especial: El reparto de utilidades .....................................

80

Examen del capítulo ......................................................................

88 Contenido

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Capítulo 4 Sucesiones y series ................................................

89

4.1 Introducción ...................................................................................

90

4.2 Sucesiones y series aritméticas ...................................................

96

Tema especial: Gauss y las sucesiones ......................................

100

4.3 Sucesiones y series geométricas ..................................................

105

Tema especial: Leyenda sobre el tablero de ajedrez.................

110

Examen del capítulo ......................................................................

117

Capítulo 5 Interés simple y descuento simple ...................... 119 5.1 Introducción ...................................................................................

120

Tema especial: Poderoso caballero: Don Dinero .......................

121

5.2 Interés simple ................................................................................

122

Tema especial: El interés y la usura ...........................................

130

5.3 Valor presente y valor del dinero en el tiempo ..........................

134

Tema especial: Las casas de empeño .........................................

142

Tema especial: Tarjeta de débito ................................................

150

Tema especial: Tarjeta de crédito ...............................................

154

Tema especial: Pago mínimo en tarjeta de crédito ...................

159

5.4 Descuento simple ..........................................................................

165

Tema especial: Mercado de dinero: Cetes ..................................

175

Tema especial: Factoraje financiero ...........................................

181

Examen del capítulo ......................................................................

186

Capítulo 6 Interés compuesto ................................................. 189 6.1 Interés compuesto .........................................................................

190

Tema especial: El anatocismo .....................................................

203

6.2 Interés compuesto con periodos de capitalización fraccionarios...................................................................................

223

6.3 Tasas de interés equivalente, nominal y efectiva ......................

226

Tema especial: Costo anual total (cat) ......................................

231

Tema especial: Ganancia anual total (gat) ...............................

232

6.4 Ecuaciones de valor .......................................................................

238

6.5 Interés compuesto a capitalización continua ............................

254

Examen del capítulo ......................................................................

263

Capítulo 7 Inflación .................................................................. 267 7.1 Inflación y su medición .................................................................

268

7.2 La inflación y el valor del dinero en el tiempo ...........................

275

Examen del capítulo ......................................................................

290

Capítulo 8 Anualidades vencidas, anticipadas y diferidas ............................................................... 293

viii

8.1 Introducción ...................................................................................

294

8.2 Anualidades vencidas ...................................................................

296

Tema especial: Anualidades vencidas e inflación ....................

326

Tema especial: Anualidades vencidas y capitalización continua ..........................................................................................

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8.3 Anualidades anticipadas ..............................................................

333

Tema especial: El costo de retrasar el ahorro en un plan de retiro...........................................................................................

344

8.4 Anualidades diferidas ...................................................................

353

Examen del capítulo ......................................................................

364

Capítulo 9 Amortización y fondos de amortización .............. 367 9.1 Amortización de deudas ...............................................................

368

Amortización con interés global .............................................

368

9.2 Amortización constante................................................................

370

9.3 Amortización gradual ...................................................................

381

Tema especial: Balloon Payment ...................................................

391

Tema especial: ¿Es cierto que le venden sin intereses? ...........

396

Tema especial: Unidades de Inversión .......................................

397

9.4 Fondos de amortización ................................................................

402

Examen del capítulo ......................................................................

410

Capítulo 10 Otras anualidades .................................................. 413 10.1 Anualidades generales ..................................................................

414

10.2 Rentas perpetuas ...........................................................................

419

10.3 Anualidades variables y gradientes aritmético y geométrico...

426

Gradiente aritmético ..............................................................

429

Gradiente geométrico .............................................................

434

Tema especial: Las Afores ...........................................................

450

Examen del capítulo ......................................................................

465

Capítulo 11 Bonos y obligaciones ............................................. 467 11.1 Introducción ...................................................................................

468

11.2 Valor presente de los bonos ..........................................................

471

11.3 Precio entre fechas de pago de cupones .....................................

481

11.4 Cálculo de la tasa de rendimiento ...............................................

487

Tema especial: Los bonos en México..........................................

491

Examen del capítulo ......................................................................

494

Capítulo 12 Depreciación ........................................................... 495 12.1 Introducción ...................................................................................

496

12.2 Método de línea recta ....................................................................

497

12.3 Método de la suma de dígitos.......................................................

507

12.4 Método del porcentaje fijo ............................................................

509

12.5 Método del fondo de amortización ..............................................

512

Examen del capítulo ......................................................................

516

Respuestas a los ejercicios .................................... 517 Formulario .............................................................. 553

Contenido

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Prefacio No estimes el dinero en más ni en menos de lo que vale, porque es un buen siervo y un mal amo. alejandro dumas Escritor francés (1802 1870)

Actualmente los servicios financieros se han convertido en parte fundamental de nuestra vida. Por ejemplo, el sueldo que recibimos por nuestro trabajo lo manejamos a través de una tarjeta de débito, ahorramos o invertimos dinero en diversos instrumentos bancarios o de bolsa de valores y el uso del crédito nos permite tener acceso a un conjunto de bienes que de otra forma sería difícil adquirir, por ejemplo, una casa o un automóvil. Por lo anterior, las matemáticas financieras se han convertido en la actualidad en una disciplina fundamental, tanto a nivel personal como profesional, ya que proporcionan los conceptos y las herramientas necesarias para entender y manejar el valor del dinero en el tiempo, y con ello comprender los aspectos financieros y comerciales del mundo moderno. Las matemáticas financieras, llamadas también matemáticas de las operaciones financieras, son una parte de las matemáticas aplicadas que tienen como finalidad el desarrollo de habilidades, conocimientos y actitudes en relación con el manejo óptimo del dinero, proporcionando las herramientas y métodos pertinentes para el análisis y toma de decisiones financieras, tanto para la vida personal como laboral de las personas. Sobre los inicios de las matemáticas financieras no se sabe gran cosa; simplemente que han existido desde tiempo inmemorial. La aritmética comercial estaba bien desarrollada para el 1500 a. C. y al parecer las matemáticas financieras se desarrollaron como un complemento a las transacciones comerciales. Sin embargo, no se conoce cuándo y quién introduce los conceptos fundamentales en los que se basa. Así, por ejemplo, del concepto de interés sólo sabemos que surgió cuando una persona se dio cuenta que, si alguien le debía dinero, entonces debía recibir una compensación por el tiempo que el deudor tardara en cancelar la deuda. La importancia de las matemáticas financieras radica en su aplicación a las operaciones bancarias y bursátiles, en temas económicos y en muchas áreas de las finanzas, ya que favorecen una adecuada toma de decisiones en estos campos. Asimismo, son la base de casi todo análisis de proyectos de inversión, ya que siempre es necesario considerar el efecto del interés que opera en las cantidades de efectivo con el paso del tiempo. Este libro está diseñado para que sea un apoyo en el aprendizaje de las matemáticas financieras, por lo que, en cada capítulo se presentan los elementos necesarios para adquirir las competencias que le permitan resolver una amplia variedad de problemas relativos a las finanzas. Es útil para estudiantes de preparatoria y licenciatura en las áreas de finanzas, ingeniería financiera, economía, contabilidad, banca, x

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actuaría, administración de empresas y como auxiliar en los cursos de ingeniería económica y evaluación de proyectos de inversión, ya que proporciona los conceptos básicos utilizados en estas disciplinas. Asimismo, es útil como referencia para estudiantes de maestría en las áreas mencionadas. El libro puede utilizarse, también, para el estudio individual por toda persona interesada en los fundamentos y aplicaciones de las matemáticas financieras, como empresarios, banqueros y profesionistas que deseen aprender o repasar estos temas tan importantes en nuestra actual economía globalizada.

Características de la séptima edición En esta séptima edición se mantienen las características que han sido un rasgo distintivo de esta obra desde su primera edición: r Un alto porcentaje de los ejemplos y ejercicios propuestos en este libro se basan en datos y situaciones reales obtenidas de revistas, periódicos e Internet. r La mayoría de las fórmulas utilizadas en el texto se demuestra. Esto tiene como objetivo que los lectores entiendan el fundamento y alcance de las fórmulas, así como evitar que las vean como algo que aparece como por arte de magia. r Los Temas Especiales, que ofrecen información adicional sobre el tema tratado en el capítulo. r Al final del libro se proporcionan las soluciones de todos los ejercicios propuestos. Asimismo, se mantienen los siguientes cambios que fueron introducidos en la sexta edición: r Los porcentajes y sus aplicaciones se estudian en un capítulo dedicado exclusivamente a este tema. r El tema de la amortización de deudas se unificó en un solo capítulo. r Se revisaron y actualizaron los temas especiales. r Se revisaron y actualizaron todas las referencias de sitios de Internet que complementan el texto. r Al final del libro se encuentra un Formulario con todas las fórmulas que aparecen en el libro. Este formulario puede ser desprendido para facilitar su uso por parte de los usuarios del texto. Además de llevar a cabo una revisión y actualización completa de todo el libro, se presentan los siguientes temas nuevos: r El tema de la inflación se vuelve independiente y ahora tiene su propio capítulo. r Hay tres nuevos Temas Especiales: ♦

Tipo de cambio, en el capítulo dos.

♦

Anualidades vencidas e inflación, en el capítulo ocho.

♦

Balloon Payment en el capítulo nueve.

Este libro contiene más material del que usualmente se cubre en un curso típico de matemáticas financieras. De esta forma, es posible satisfacer las diferentes necesidades de los diversos planes de estudio. Prefacio

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Recursos para el profesor En el sitio https://latinoamerica.cengage.com/mate-vidaurri se encuentran los siguientes recursos para uso del profesor que adopte este libro como texto: r Manual de soluciones de todos los ejercicios del libro. r Soluciones completas a los exámenes del capítulo. r Diapositivas en PowerPoint.

Nota Cengage hace del conocimiento del lector que el contenido de los sitios web referidos en las diferentes ligas son responsabilidad exclusiva del titular de estos, y son referidas por Cengage de forma ejemplificativa. Por lo anterior, si el lector accede a estos sitios web, reconoce y acepta que Cengage no será responsable de cualquier violación de derechos de autor ni de cualquier otra naturaleza en el que pudiera incurrir el lector, liberando a Cengage de cualquier reclamación que pudiera iniciar en su contra, en el entendido que el lector deberá respetar los términos y condiciones aplicables por el titular del sitio al que el lector acceda.

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Agradecimientos

En primer lugar, mi agradecimiento a todos los profesores que a lo largo de las seis ediciones anteriores han utilizado este libro como texto en sus cursos, en especial a: r Martín Deloya r David Rebollo Catalán r Cecilia Santillán r Juan Carlos Martínez Alvarado r Juan Diego Sánchez r José Medina Gómez r Martha Portillo r Ángela Parra r Gabriela Pintor r Sergio Porras Zárate r Pedro Luis Celso Arellano r Juan Carlos Miranda Rosales r César Álvarez r Irma Partida Cervantes r Hugo Briseño r Miguel Ángel Navarro r Omar Mejenes r Giovanni Manrique Asimismo, mi más sincero agradecimiento a: r Jesús Mares Chacón, director editorial de Cengage Learning, por todo su apoyo a este proyecto, ya en su séptima edición. r Cinthia Chávez, por tan excelente trabajo en la edición de este libro. Agradecimientos

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r Eduardo Ramírez García, por el trabajo realizado en la revisión técnica. r Todas las personas del área de promoción y ventas de Editorial Cengage, en especial a Federico Ramírez, Luis Manuel González y Carlos Castillo. r Todas las personas de Cengage involucradas en la realización del libro. r Todos los estudiantes que utilizan o han utilizado este texto para aprender matemáticas financieras. Les deseo lo mejor, tanto en su vida personal como profesional.

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Capítulo 1 Preliminares

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Con la reducción del trabajo de varios meses de cálculo a unos pocos días, el invento de los logaritmos parece haber duplicado la vida de los astrónomos. pierre-simon de laplace Astrónomo, físico y matemático francés (1749 – 1827)

Objetivos Al finalizar este capítulo, el lector será capaz de: r utilizar las reglas de prioridad para llevar a cabo las operaciones aritméticas, r conocer los aspectos básicos de la calculadora, r entender y utilizar la notación científica, r entender el concepto y el uso de los logaritmos, y r formular y resolver problemas aplicando las leyes de los logaritmos.

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1.1 La calculadora y las operaciones aritméticas

Nadie sabe quién inventó el ábaco, sólo se sabe que los primeros modelos aparecieron en Mesopotamia, alrededor de tres mil años antes de Cristo y, en la actualidad, ¡todavía se usa!

Una calculadora es un dispositivo capaz de realizar operaciones matemáticas. La primera calculadora de la que se tiene noticia fue el ábaco. En 1622, basándose para ello en las escalas logarítmicas creadas por Edmund Gunter, William Oughtred inventó la regla de cálculo, la cual se mantuvo en uso por parte de científicos e ingenieros hasta la llegada de las calculadoras electrónicas. Posteriormente aparecen los primeros dispositivos mecánicos capaces de realizar las operaciones aritméticas de suma y resta, como la calculadora diseñada por el matemático alemán Wilhelm Schickard en 1623, y la Pascalina, inventada por Blaise Pascal en 1642. En 1694, el matemático y filósofo alemán Gottfried Wilhelm Leibniz presenta una máquina inventada por él que, además de sumar y restar, realizaba multiplicaciones y divisiones. La primera calculadora electrónica funcional que utilizaba transistores fue diseñada por ibm en 1954, pero era enorme y muy cara. La invención de los circuitos integrados y del diodo emisor de luz (led) permitió la aparición de las calculadoras electrónicas de bolsillo aproximadamente hacia 1972, aunque tenían grandes limitaciones en cuanto a las operaciones que podían efectuar. Posteriormente, los avances logrados en el desarrollo de los chips, junto con la invención de la pantalla de cristal líquido (lcd), la cual sustituyó a los led, permitieron que las calculadoras electrónicas evolucionaran, convirtiéndose en una poderosa herramienta de cálculo. De entonces a la fecha, la calculadora se ha convertido, junto con la computadora, en una herramienta básica de las actividades laborales, académicas y de la vida cotidiana. El uso normal de una calculadora es como una útil herramienta empleada para la resolución de tediosos cálculos aritméticos. Asimismo, puede utilizarse para comprender mejor ciertos conceptos matemáticos y desarrollar cierta habilidad matemática. Sin embargo, la calculadora no podrá ser utilizada como un sustituto del razonamiento ni para interpretar resultados, estas actividades continúan siendo exclusivas del ser humano. En este capítulo se verán algunos aspectos básicos sobre el empleo de las calculadoras en general; sin embargo, no se pretende reproducir un manual de instrucciones. Con el fin de manejar de manera eficiente su calculadora, el lector deberá estudiar el manual del usuario de su calculadora. Las calculadoras electrónicas se clasifican en cuatro tipos: r básicas, r científicas, r financieras, y r graficadoras. La calculadora básica, llamada también estándar, es aquella que permite obtener únicamente sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Pueden efectuar cálculos de porcentajes y de raíces cuadradas, cuentan con una memoria volátil y algunas incluyen la tecla de cambio de signo. La calculadora científica posee las mismas funciones que la básica, pero también puede llevar a cabo el cálculo de funciones logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, estadísticas, etc. Cuenta con al menos una memoria no volátil y existen modelos programables. La calculadora financiera posee varias características de la científica. Además, está programada para llevar a cabo la resolución de problemas de interés compuesto, anualidades, amortizaciones, etcétera. La calculadora graficadora cuenta con todas las características de una calculadora científica avanzada, puede ser programada y tiene una pantalla rectangular que permite la representación gráfica de funciones en dos y tres dimensiones. Algunas están programadas para llevar a cabo la resolución de problemas financieros.

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En la actualidad no es necesario tener una calculadora fĂ­sica, ya que existen infinidad de aplicaciones que emulan una calculadora, sea esta cientĂ­fica, financiera o graficadora. Estas aplicaciones, comĂşnmente conocidas como app (abreviatura de la palabra en inglĂŠs application), pueden ser descargadas en los smartphones o en las tabletas. A continuaciĂłn, se mencionan algunas de las mejores aplicaciones que emulan a una calculadora financiera: Para el sistema operativo Android: r #" 1SPGFTTJPOBM 'JOBODJBM $BMDVMBUPS desarrollada por Segitiga r CJJ 'JOBODJBM $BMDVMBUPS desarrollada por In a day development r #B 'JOBODJBM $BMDVMBUPS 1MVT desarrollada por Liningbo r 'JOBODJBM $BMDVMBUPS 'JOD$BMD

desarrollada por Roaming Squirrel Software Para el sistema operativo iOS: r #** 'JOBODJBM $BMDVMBUPS desarrollada por R.L.M. Software r CJJ 'JOBODJBM $BMDVMBUPS desarrollada por In a day development Cada tecla de las calculadoras cientĂ­ficas, financieras y graficadoras puede llevar a cabo mĂĄs de una funciĂłn. La funciĂłn marcada sobre la tecla recibe el nombre de funciĂłn primaria, y las funciones impresas arriba de las teclas se llaman funciones secundarias. Las funciones secundarias se eligen presionando antes la tecla de cambio y despuĂŠs la tecla donde se encuentre la funciĂłn deseada. La tecla de cambio varĂ­a d y en otras con la marca y modelo de calculadora. En algunas viene marcada como 2nd S SHIFT SHI FT INV V como o . Para utilizar otras funciones, la calculadora debe estar en determinado modo de O E . Como el uso de esta tecla varĂ­a con la marca funcionamiento mediante la tecla MOD y modelo de calculadora, el lector debe consultar el manual de su calculadora. Con respecto a la forma en que las calculadoras llevan a cabo las operaciones aritmĂŠticas, se tiene:

P Para saber s mĂĄs m Sobre la historia de las calculadoras se pueden consultar los siguientes artĂ­culos: r 'POH 8 El origen de la calculadora Disponible desde https:// XXX GBZFSXBZFS DPN el-origen-de-lacalculadora/ r &VSPQBQSFTT ÂżCuĂĄl es el origen y la evoluciĂłn de la calculadora? Disponible desde IUUQT XXX FVSPQBQSFTT es/economia/ noticia-cualorigen-evolucioncalculadora IUNM

r lĂłgica algebraica, r lĂłgica aritmĂŠtica y r lĂłgica rpn. Las calculadoras con lĂłgica algebraica estĂĄn programadas para realizar los cĂĄlculos de acuerdo con las reglas del ĂĄlgebra para el orden de las operaciones, llamadas reglas de prioridad de las operaciones.

Reglas de prioridad de las operaciones Para evaluar expresiones matemĂĄticas, es necesario seguir un orden establecido con el fin de garantizar que los cĂĄlculos sĂłlo tengan un resultado. El orden es el siguiente: r En primer lugar, se llevan a cabo todas las operaciones que se encuentren dentro de signos de agrupaciĂłn (parĂŠntesis, corchetes, llaves). r En segundo lugar, se efectĂşan las elevaciones a potencia y las raĂ­ces. r Enseguida se resuelven las multiplicaciones y divisiones. r Al final se realizan las sumas y las restas. Cuando un conjunto de operaciones se encuentra en el mismo nivel de prioridad, las operaciones se realizan de izquierda a derecha. Las calculadoras con lĂłgica aritmĂŠtica realizan las operaciones en el orden en que van apareciendo los nĂşmeros y los operadores al ser ingresados; esto es, no siguen las reglas de prioridad. El resultado de un cĂĄlculo llevado a cabo de esta manera estarĂĄ equivocado la mayorĂ­a de las veces. Preliminares

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Ejemplo 1.1 Obtenga el resultado de 250 (21) (45). SoluciĂłn 250 (21) (45) 250 945

Primero se lleva a cabo la multiplicaciĂłn.

1 195

Al final se efectĂşa la suma.

Al efectuar la operaciĂłn anterior directamente con una calculadora que utilice lĂłgica algebraica, la secuencia de tecleo serĂ­a en el orden en que se encuentra escrita la expresiĂłn; esto es: 250 1 21 3 45 5 1195

â–

Si se utilizara una calculadora con lĂłgica aritmĂŠtica, el resultado serĂ­a el siguiente: 250 1 21 3 45 5 12 195

â–

El resultado anterior estĂĄ equivocado debido a que la operaciĂłn no se llevĂł a cabo utilizando las reglas de prioridad. En este caso, la calculadora realizĂł primero la suma (250 21 271) y el resultado lo multiplicĂł por 45 (271 45 12 195). En general, las calculadoras cientĂ­ficas y las graficadoras utilizan lĂłgica algebraica, y las financieras, lĂłgica aritmĂŠtica. Las calculadoras bĂĄsicas tambiĂŠn emplean lĂłgica aritmĂŠtica. Por lo tanto, es necesario tener cuidado al realizar operaciones aritmĂŠticas con una calculadora financiera o bĂĄsica. Las calculadoras con lĂłgica en NotaciĂłn Polaca Inversa, conocida simplemente como notaciĂłn rpn, por sus siglas en inglĂŠs (Reverse Polish Notation), se basan en una lĂłgica matemĂĄtica no ambigua que no utiliza parĂŠntesis en los cĂĄlculos en cadena y que fue desarrollada por el matemĂĄtico polaco Jan Lukasiewicz (1878 1956). En este libro no se utilizarĂĄ la notaciĂłn rpn, de manera que si el lector utiliza una calculadora de este tipo, deberĂĄ tener en cuenta que el procedimiento de cĂĄlculo serĂĄ diferente. Ejemplo 1.2 Obtenga el resultado de (14.5)(8.42)2 210.

SoluciĂłn (14.5)(8.42)2 210 (14.5)(70.8964) 210

Primero se lleva a cabo la elevaciĂłn al cuadrado.

1027.9978 210

A continuaciĂłn se realiza la multiplicaciĂłn.

1237.9978

Finalmente se efectĂşa la suma.

Al efectuar la operaciĂłn anterior con una calculadora que utilice lĂłgica algebraica, la secuencia de tecleo serĂ­a: 2 14.5 3 8.42 x 1 210 5 1237.9978

Ejemplo 1.3 Calcule (16.5) (178) (21.7) (14.3) (10.7) (11). 4

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â–

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Solución (16.5) (178) (21.7) (14.3) (10.7) (11) 2937 310.31 117.7

Primero se efectúan las multiplicaciones.

3129.61

La suma y la resta se llevan a cabo al final, siguiendo el orden de izquierda a derecha.

Para obtener el resultado de manera directa utilizando una calculadora, la secuencia de tecleo sería la siguiente: 16.5 3 178 1 21.7 3 14.3 2 10.7 3 11 5 3129.61

■

Ejemplo 1.4 Evalúe la expresión (80 13.85 4.76) (14) (75.5 27.9 14) 3. Solución (80 13.85 4.76) (14) (75.5 27.9 14) 3 (61.39) (14) 89.4 3

Primero se efectúan las operaciones que están entre paréntesis.

859.46 29.8

Se realiza la multiplicación y la división.

829.66

Al final se lleva a cabo la resta.

La secuencia de tecleo para el resultado directo es: ( 80 2 13.85 2 4.76 ) 3 14 2 ( 75.5 1 27.9 2 14 ) 4 3 5 829.66

■

Ejemplo 1.5 Obtenga el valor de 130 ÷ 5 × 8.5 × 12. Solución 130 ÷ 5 × 8.5 × 12 2652

Como la multiplicación y la división se encuentran en el mismo nivel de prioridad, el cálculo se efectúa procediendo de izquierda a derecha.

La secuencia de tecleo es: 130 4 5 3 8.5 3 12 5 2652

■

Ejemplo 1.6 Calcule

(96.3)(14.8) + (73.4)(6.1) mediante una calculadora. (17.6)(15)

Solución La expresión anterior significa que el resultado del numerador se divide entre el resultado del denominador. Por lo tanto, la secuencia de tecleo es: ( 96.3 3 14.8 1 73.4 3 6.1 ) 4 ( 17.6 3 15 ) 5 7.094621212 Preliminares

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Otra forma de tecleo es: 96.3 3 14.8 1 73.4 3 6.1 5 1872.98 4 17.6 4 15 5 7.094621212

â–

Conviene mencionar que las respuestas obtenidas por el lector al resolver los problemas pueden diferir levemente de las respuestas dadas en el libro, ya que las aproximaciones decimales pueden variar con el mÊtodo de cålculo. Igualmente, las respuestas pueden variar ligeramente si se utiliza una calculadora de 8 dígitos, en vez de una de 10 o 12 dígitos. Por ejemplo, con una calculadora de 10 dígitos, si tecleamos 18 500 000 y le sumamos 0.08, obtenemos 18 500 000.08 en la pantalla, pero con una calculadora de 8 dígitos se obtiene una respuesta de 18 500 000.

Ejemplo 1.7 EvalĂşe la expresiĂłn

332 622 utilizando una calculadora.

SoluciĂłn La expresiĂłn anterior significa que al resultado de 33 2 62 2 se le sacarĂĄ raĂ­z cuadrada. Por lo tanto, la secuencia de tecleo es: ( 33 x2 1 62 x2 ) 5 70.23531875 En algunos modelos de calculadora, la secuencia de tecleo serĂ­a la siguiente: ( 33 x2 1 62 x2 ) ObsĂŠrvese que en este caso la tecla 5 no se utiliza.

â– x

Las elevaciones a potencia se obtienen mediante la tecla y , llamada tecla de potencias. En algunas calculadoras, esta tecla viene marcada con el sĂ­mbolo , o bien x . Para llevar a cabo la elevaciĂłn de potencia, en la mayorĂ­a de las calculadoras la base se teclea antes y el exponente despuĂŠs de oprimir la tecla de potencias. Por ejemplo, el resultado de 7.845 se obtiene de la siguiente forma: â–

x 7.84 y 5 5 29 619.67667

Ejemplo 1.8

Calcule

(102.5) 3 (6.75) 2 utilizando una calculadora. (432) 1.48 (15.3) 2.7

SoluciĂłn ( 102.5 yx 3 3 6.75 x2 ) 4 ( 432 yx 1.48 3 15.3 yx 2.7 ) 5 3.90477787 â– Las raĂ­ces con Ă­ndice superior a dos se obtienen usando la tecla de raĂ­ces (en al1/y 1/y gunas calculadoras viene marcada como x , o bien ), que por lo general viene como funciĂłn secundaria de la tecla de potencias. En la mayorĂ­a de las calculadoras, para obtener la raĂ­z de un nĂşmero, el Ă­ndice de la raĂ­z se teclea antes y el radicando despuĂŠs de oprimir la tecla de raĂ­ces. Por ejemplo, 8 200 476.1223 se obtiene de la siguiente manera: 8 6

200 476.1223 5 4.6

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Ejemplo 1.9 Calcule

(8 4 ) 3 1331 400

utilizando una calculadora.

Solución x 8 y 4 3 3

1331 4

400 5 2252.8

■

Ejemplo 1.10 ⎛ 1⎞ 2 ⎜ ⎟ + 1.16 Obtenga el valor de ⎝ 5 ⎠ utilizando una calculadora. 4 2000 − 4 Solución ( 5

1 x

x2 1 1.16 ) 4 ( 4

2000 2 4 ) 5 0.4465277362

–1 1 La tecla (o bien x ) se llama tecla de recíprocos y permite obtener el recíproco de un número. ■ 1 x

Todas las calculadoras científicas, financieras y graficadoras poseen por lo menos un registro de memoria, lo cual evita tener que escribir resultados intermedios que se utilizarán posteriormente. Las teclas de memoria usadas comúnmente son: r

Min o STO : Almacena un número en la memoria.

r

MR M R o RCL : Muestra en pantalla el número almacenado en la memoria.

r

M+ M + : Suma el número en pantalla con el número almacenado en la memoria. Ejemplo 1.11

Resuelva el ejemplo 1.3 empleando la memoria de la calculadora. Solución Min n 16.5 3 178 5 Mi M+ + 21.7 3 14.3 5 M +/ /– – M M+ + 10.7 3 11 5 +/ ■

MR , se obtiene el resultado: 3129.61. Al presionar la tecla MR

/– es la tecla de cambio de signo, la cual se usa para cambiar el signo La tecla +/ del número presentado en pantalla; esta tecla permite introducir números negativos directamente. En algunas calculadoras,, sobre todo en las científicas y en las graficado( ). ras, la tecla de cambio de signo es (– Ejemplo 1.12 Resuelva el ejemplo 1.6 empleando la memoria de la calculadora. Preliminares

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P Para saber s más m r &O MB SFE QVFEFT encontrar aplicaciones de calculadoras científicas, en las que podrás resolver ecuaciones y QSPHSBNBS

Solución En este caso, se calcula primero el denominador y el resultado se almacena en la memoria: Min n 17.6 3 15 5 Mi A continuación se calcula el numerador y el resultado obtenido se divide entre el contenido de la memoria: ( 96.3 3 14.8 1 73.4 3 6.1 ) 4 M MR R 5 7.094621212

â–

Ejemplo 1.13 Calcule la expresión

(32.6 + 25.4)3.1 utilizando la memoria de la calculadora. (17.5 − 7.9)2.7

Solución ( 17.5 2 7.9 ) yx 2.7 5 Mi M n ( 32.6 1 25.4 ) yx 3.1 4 M MR R 5 652.3707053

â–

Tema especial Uso de la calculadora financiera HP 17bII -B DBMDVMBEPSB à OBODJFSB )1 C** de Hewlett-Packard es una herramienta que nos permite resolver una amplia variedad de problemas financieros y de negocios, DPNP TPO WBMPS EFM EJOFSP FO FM UJFNQP JOUFSÊT DPNQVFTUP BOVBMJEBEFT QSÊTUBNPT BNPSUJ[BDJPOFT FUD DPOWFSTJPOFT EF UBTBT EF JOUFSÊT áVKPT EF FGFDUJWP QPSDFOUBKFT EF DPNFSDJP EFQSFDJBDJÓO FOUSF PUSPT " DPOUJOVBDJÓO TF WFSÃ FM VTP EF MB DBMDVMBEPSB à OBODJFSB BTÃŽ DPNP WBSJPT FKFNQMPT TJO QSFUFOEFS SFQSPEVDJS FM NBOVBM EF JOTUSVDDJPOFT EF MB DBMDVMBEPSB 4F JOWJUB BM MFDUPS B RVF MFB FM NBOVBM EFM VTVBSJP EF TV DBMDVMBEPSB Un emulador de esta calculadora, para smartphones y tabletas con el sistema operativo iOS, es la aplicación 17BII+ Financial Calculator desarrollada por la empresa 3 - . 4PGUXBSF &O MB DBMDVMBEPSB MB tecla de cambio QBSB MB TFHVOEB GVODJÓO FT MB UFDMB DPO DPMPS amarillo o azul impreso encima de la tecla, 1BSB PQFSBS MBT GVODJPOFT TFDVOEBSJBT NBSDBEBT FO DPMPS BNBSJMMP P B[VM FT OFDFTBSJP QSFTJPOBS QSJNFSP MB UFDMB EF DBNCJP Z MVFHP PQSJNJS MB UFDMB DPSSFTQPOEJFOUF B MB GVODJÓO EFTFBEB 1PS FKFNQMP QBSB FMFWBS BM DVBESBEP TF UFDMFB FM MVFHP TF PQSJNF MB UFDMB EF DBNCJP Z QPTteriormente se oprime la tecla 1 , la cual contiene la elevación al cuadrado como GVODJÓO TFDVOEBSJB FTUP FT 1

" à O EF OP TPCSFDBSHBS FM UFDMBEP MB )1 C** utiliza menús de pantalla para BDDFEFS B NVDIBT GVODJPOFT BEJDJPOBMFT MBT TFJT UFDMBT TVQFSJPSFT NBSDBEBT DPO , RVF TF FODVFOUSBO JONFEJBUBNFOUF EFCBKP EF MB QBOUBMMB TF VUJMJ[BO QBSB TFMFDDJPnar elementos del menú. &M NFOÙ NPTUSBEP DPO MPT TJHVJFOUFT FMFNFOUPT TF MMBNB menú principal MAIN FIN

COM

SUMA

CALE

RESOL

CMBM

Para acceder al menú principal se oprime la tecla EXIT una o más veces, o bien la tecla MAIN TFHVOEB GVODJÓO EF EXIT VOB TPMB WF[ EXIT también se utiliza QBSB SFHSFTBS B VO NFOÙ BOUFSJPS 8

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1BSB USBCBKBS DPO MB DBMDVMBEPSB FM VTVBSJP QVFEF FTUBCMFDFS VOP EF TFJT JEJPNBT EJTQPOJCMFT 1BSB TFMFDDJPOBS FM JEJPNB QSPDFEB EF MB TJHVJFOUF GPSNB "M PQSJNJS MB UFDMB MODES TFHVOEB GVODJÓO EF DSP BQBSFDF FM NFOÙ .PEPT 4F PQSJNF MB UFDMB RVF TF FODVFOUSB EFCBKP EFM FMFNFOUP EFM NFOÙ INTL JOUFS OBDJPOBM 4F PQSJNF MB UFDMB RVF TF FODVFOUSB EFCBKP EFM FMFNFOUP EFM NFOÙ DVZP JEJPÑ QBSB FTDPHFS JEJPNB FTQBÃ’PM NB TF EFTFB ESPÑ Si se oprimen las teclas CLR y 1 o CLR y 2 BM NJTNP UJFNQP TF BKVTUB FM DPOUSBTUF EF MB QBOUBMMB QBSB BDPNPEBSMP BM NFKPS ÃOHVMP EF WJTJÓO Z MBT DPOEJDJPOFT EF JMVNJOBDJÓO -B DBMDVMBEPSB QVFEF USBCBKBS DPO EPT UJQPT EF MÓHJDB BSJUNÊUJDB P rpn 1BSB FMFHJS el modo aritmético, se sigue la siguiente secuencia de tecleo: &ODJFOEB MB DBMDVMBEPSB 1SFTJPOF MB UFDMB EF DBNCJP 1SFTJPOF MB UFDMB DSP 4F PQSJNF MB UFDMB RVF TF FODVFOUSB EFCBKP EFM FMFNFOUP EFM NFOÙ NBSDBEP como ALG T QBSB TBMJS EFM NFOÙ 1SFTJPOF MB UFDMB EXIT DSP SP

ALG

EXIT

Al encender por primera vez la calculadora, los números se presentan con dos ciGSBT EFDJNBMFT FT QPTJCMF NPEJà DBS FM OÙNFSP EF DJGSBT EFDJNBMFT RVF TF QSFTFOUBO en pantalla siguiendo estos pasos: 0QSJNB MB UFDMB DSP 0QSJNB MB UFDMB RVF TF FODVFOUSB EFCBKP EFM FMFNFOUP TODO DPO FM GJO EF WJTVBMJ[BS UPEBT MBT DJGSBT EFDJNBMFT 4J TF EFTFB NBOFKBS VO DJFSUP OÙNFSP F JAR R , enseguida escriba EF DJGSBT EFDJNBMFT PQSJNB MB UFDMB EFM FMFNFOUP FI IN UT FM OÙNFSP EF DJGSBT EFDJNBMFT RVF EFTFB Z PQSJNB MB UFDMB INPUT Al oprimir la tecla DSP seguida de la tecla del elemento que contiene el punto EFDJNBM TF JOUFSDBNCJB MB DPNB EFDJNBM QPS FM QVOUP EFDJNBM x Para elevar a una potencia se utiliza la tecla y , la cual se encuentra como segunEB GVODJÓO EF MB UFDMB X 1PS FKFNQMP TJ TF EFTFB PCUFOFS FM SFTVMUBEP EF , se QSPDFEF EF MB TJHVJFOUF GPSNB x

y 5 x Para calcular raíces se utilizan las teclas y y

1 x

TFHVOEB GVODJÓO EF MB UFDMB 4

1PS FKFNQMP QBSB PCUFOFS FM SFTVMUBEP EF 1 se sigue esta secuencia de tecleo: x

y

1 x

5

-B DBMDVMBEPSB )1 C** QPTFF NFNPSJBT JOEFQFOEJFOUFT EJTQPOJCMFT OVNFSBEBT EFM BM MBT DVBMFT QVFEFO TFS VUJMJ[BEBT QBSB BMNBDFOBS OÙNFSPT Para almacenar el número mostrado en pantalla en una memoria, se oprime la tecla STO TFHVJEB EF VO OÙNFSP FOUSF Z 1BSB SFDVQFSBS VO OÙNFSP BMNBDFOBEP en una memoria, se oprime la tecla RCL seguida del dígito en donde se encuentre FM OÙNFSP RVF EFTFBNPT SFDVQFSBS &M OÙNFSP TF NVFTUSB FO MB QBOUBMMB Z DPOUJOÙB BMNBDFOBEP FO MB NFNPSJB Preliminares

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Por lo general, resulta innecesario borrar las memorias, ya que al almacenar un OÙNFSP OVFWP ÊTUF SFFNQMB[B BM OÙNFSP BMNBDFOBEP QSFWJBNFOUF $PNP FKFNQMP EFM VTP EF MB NFNPSJB DPOTJEFSF MB TJHVJFOUF PQFSBDJÓO La solución se obtiene mediante la siguiente secuencia de tecleo: STO O 1 5 STO RCL 5 1 1 R

P Para saber s mĂĄs m Para aprender mĂĄs sobre la calculadora Ă OBODJFSB )1 C** puede consultar las aplicaciones y guĂ­as de uso en lĂ­nea directamente en el sitio EFM GBCSJDBOUF

5BNCJÊO FT QPTJCMF SFTPMWFS MB PQFSBDJÓO EF MB TJHVJFOUF GPSNB S O ST 1 5 STO O 1 5 STO R L 4 R RC RCL 5 L ST T , ubicada &O MB DBMDVMBEPSB FYJTUF VOB NFNPSJB FTQFDJBM NBSDBEB DPNP LA DPNP TFHVOEB GVODJÓO EF MB UFDMB 5 , la cual es utilizada para almacenar el resulUBEP EF MB ÙMUJNB PQFSBDJÓO SFBMJ[BEB 1PS FKFNQMP MB PQFSBDJÓO BOUFSJPS QVFEF TFS SFBMJ[BEB EF MB TJHVJFOUF GPSNB L ST T 5 1 5 1 4 LA

Ejercicios 1.1 3FTVFMWB MBT TJHVJFOUFT PQFSBDJPOFT (4.5)(12.6)(5) +

792 + (1.15)(3.4) 4 8

25 + 400 − 3 4096 52 ⎛ 0.15 ⎞ ⎜ 1 + 12 ⎠âŽ&#x; âŽ?

(0.0345)(1.0418) (0.0712)(0.60)

(35.8)(0.333)(312.56) (2.35) −1.4 (3.7) 1.3

1800 940 − 1200 − 15 20

10

57.76 (−14.3) (−12.86)(−3.5) 3 (63)(72) + (10 + 23)(36 − 27) (10 + 30 + 14)(10)

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362 − 4(5.3)(11) 9216 + 4 923 521 − 5 537 824 (21)(45)(73) −

(43)(15)(7) − (34)(12)(5) 30 + (13) 2 5

(18)(14) 78 − (0.006)(2.5) 3.6

(13 114)(4610) − (2100)(4.6) −9.52

(132) 0.7 (150) + (200)(13) 1.5 − (1050) 1.10 − (11.6)(14) 26 {75 − 3 ⎥⎣⎢ 10 − 2 ( 13 − 5.5) ⎤⎌⎼ } 34 {42 + 30 ⎥⎢⎣ 51.6 + 2.34 ( 64 − 81.3 + 100 ) ⎤⎼⎌ }

1.2 NotaciĂłn cientĂ­fica

En ocasiones es necesario trabajar con nĂşmeros muy grandes o muy pequeĂąos. Por ejemplo, considere el siguiente problema: (31)(17)(96) 7 El resultado de la operaciĂłn anterior es un nĂşmero muy grande: 39 601 282 096 300 032. Si el cĂĄlculo se realiza manualmente, se tiene una operaciĂłn demasiado laboriosa y tardada. El trabajo se simplifica si el cĂĄlculo se realiza con una calculadora; sin embargo, como el resultado, por su longitud, no puede mostrarse completo en la pantalla, la calculadora lo presentarĂĄ en notaciĂłn cientĂ­fica: 3.960128209 1016 La notaciĂłn cientĂ­fica consiste en escribir un nĂşmero cualquiera en la forma: a 3 10O en donde a es un nĂşmero mayor o igual a 1 y menor que 10 y n es un entero positivo o negativo. De lo anterior se desprende que la notaciĂłn cientĂ­fica consiste en expresar un nĂşmero cualquiera como el producto de dos nĂşmeros, uno de los cuales es una potencia entera de 10.

TransformaciĂłn de notaciĂłn ordinaria a notaciĂłn cientĂ­fica Considere las siguientes igualdades: 325 (32.5) (10) (3.25) (10) (10) 3.25 102 1 436 (143.6) (10) (14.36) (10) (10) (1.436) (10) (10) (10) 1.436Â Â 103 Preliminares

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Como se observa, mover el punto decimal de un número un lugar hacia la izquierda es equivalente a dividir entre 10; mover el punto decimal dos lugares hacia la izquierda es equivalente a dividir entre 100, etc. Por lo tanto, siempre que se mueva el punto decimal n lugares hacia la izquierda, se debe compensar multiplicando el número resultante por 10n para que el número no se altere. Por ejemplo: 340 000 340 103 34 104 3.4 105 0.34 106 El procedimiento para transformar números menores que la unidad es semejante. Considere las siguientes igualdades: 0.374 (3.74) (1/10) 3.74 10 1 0.00784 0.0784 (1/10) 0.784 (1/10) (1/10) 7.84 (1/10) (1/10) (1/10) 7.84 10 3 Como se observa, mover el punto decimal de un número un lugar hacia la derecha equivale a multiplicar por 10; mover el punto decimal dos lugares hacia la derecha equivale a multiplicar por 100, etc. Por lo tanto, siempre que se mueva el punto decimal n lugares hacia la derecha, se debe compensar dividiendo el número resultante entre 10n, o bien, lo que es lo mismo, multiplicar por 10 n, para que el número no se altere. Por ejemplo: 0.00044 0.044 10 2 4.4 10 4 440 10 6 Aunque puede colocarse en cualquier posición, por definición el punto decimal se debe colocar de tal forma que se tenga un número mayor o igual a 1, pero menor que 10. Por esta razón, la forma científica de los números 340 000 y 0.00044 es 3.4 105 y 4.4 10 4, respectivamente.

Ejemplo 1.14 Escriba cada número en notación científica. a) 48 350 000 b) 12 300 c) 6.3 d) 0.3361 e) 0.000008

Solución

12

a) 48 350 000 4.835 107

El punto decimal se movió 7 lugares a la izquierda.

b) 12 300 1.23 104

El punto decimal se movió 4 lugares a la izquierda.

c) 6.3 6.3 100

El punto decimal no se movió.

d) 0.3361 3.361 10 1

El punto decimal se movió 1 lugar a la derecha.

e) 0.000008 8 10 6

El punto decimal se movió 6 lugares a la derecha. ■

Matemáticas financieras

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Transformación de notación científica a notación ordinaria Se mueve el punto decimal a la derecha si el exponente es positivo, y a la izquierda si es negativo; el número de lugares que se mueve el punto decimal está indicado por el exponente. Ejemplo 1.15 Escriba cada número en notación ordinaria. a) 6.7 105 b) 5.671 102 c) 4.613 10 7 d) 7.08 10 2

Solución a) 6.7 105 670 000

El punto decimal se movió 5 lugares a la derecha

b) 5.671 102 567.1

El punto decimal se movió 2 lugares a la derecha

c) 4.613 10 7 0.0000004613

El punto decimal se movió 7 lugares a la izquierda

d) 7.08 10 2 0.0708

El punto decimal se movió 2 lugares a la izquierda

■

Para introducir números expresados en notación científica en la calculadora,, se E P (Exponent), EE (Enter Exponent) o bien x1 x 0x . emplea una de las siguientes teclas EX Al introducir un número expresado en notación científica, la base 10 se omite en la mayoría de las calculadoras y únicamente aparece el exponente. Por ejemplo, la pantalla de una calculadora puede mostrar el número 4.1896 107 como: 4.1896 07 o bien 4.1896 E 7 o como 4.1896 107 En la primera presentación, observe que después del número 4.1896 hay un espacio y luego aparece el exponente. En la segunda forma de presentación, después del número 4.1896 aparece la letra E, la cual se interpreta como la base 10 y, por último, aparece el exponente. Para introducir un número expresado en notación científica en la calculadora, se sigue el procedimiento que se menciona a continuación: 1. Teclee los dígitos que forman el número. x 0x . EXP , EE EE o x1 2. Oprima la tecla E 3. Teclee el exponente. Por ejemplo, para introducir el número 3.47 10 3, se teclea: EXP E XP P 3 +/ +/– 3.47 EX El resultado se muestra en la pantalla en una de las siguientes formas: 3.47 03

o

3.47 E 3

o

3.47 10 3

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Cuando se realiza un cĂĄlculo en notaciĂłn ordinaria que produce un resultado con demasiados dĂ­gitos para la capacidad de la pantalla, la calculadora cambia automĂĄticamente a notaciĂłn cientĂ­fica. Por ejemplo, al multiplicar (68 300 000) (15 000 000) el resultado mostrado es: 1.0245 15

o

1.0245 E 15

o

1.0245 1015

Ejemplo 1.16 Resuelva

(435 000 000)(0.000745) 2 480 000 000 000

SoluciĂłn Se escriben los nĂşmeros en notaciĂłn cientĂ­fica: (4.35 Ă— 108 )(7.45 Ă— 10−4 ) 2.48 Ă— 1012 La expresiĂłn anterior puede resolverse utilizando las leyes de los exponentes o empleando una calculadora:

4PMVDJĂ“O Utilizando las leyes de los exponentes. (4.35 Ă— 108 )(7.45 Ă— 10−4 ) (4.35)(7.45) (10)8 (10) 4 13.06754032 3 10−8 5 1.306754032 3 10−7 2.48 (10)12 2.48 Ă— 1012

4PMVDJÓO Forma directa, utilizando una calculadora. Se introducen los números expresados en notación científica en el orden en que estå escrita la expresión. E P 8 3 7.45 EX EXP E P 4 +/ /– 4 2.48 EX E P 12 5 1.306754032 10 7 4.35 EX

â–

Uso de la calculadora financiera HP 17bII Para introducir un número en notación científica se utiliza la tecla E , la cual estå DPNP TFHVOEB GVODJÓO EF MB UFDMB EF DBNCJP EF TJHOP 1PS FKFNQMP QBSB JOUSPEVDJS FM OÙNFSP se emplea la siguiente secuencia de tecleo: E &M SFTVMUBEP RVF TF NVFTUSB FO QBOUBMMB FT E 4J TF EFTFB JOUSPEVDJS FM OÙNFSP 4, la secuencia de tecleo sería la siguiente: E 2 4

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Ejercicios 1.2 &TDSJCB DBEB OÙNFSP FO OPUBDJÓO DJFOUÎà DB B C D E F G &TDSJCB DBEB OÙNFSP FO OPUBDJÓO PSEJOBSJB B C D 4 E F G 3FTVFMWB DBEB VOB EF MBT TJHVJFOUFT PQFSBDJPOFT DPOWJSUJFOEP QSJNFSP DBEB OÙNFSP B OPUBDJÓO DJFOUÎà DB B C 4 D

(85 000)(0.000012) (10 300 000)(0.002)2

E F

(257 000) 3 68 921 000 100 000 000

3FTVFMWB DBEB VOB EF MBT TJHVJFOUFT PQFSBDJPOFT B

(2.122 × 103 ) 9 (3.04 × 10−4 ) 5

C (5.45 × 105 )(1 × 10 4 ) + (1.05 × 102 ) 6 D

E

1.26 × 1013 (3.6 × 10−5 )(7 × 106 ) 3

2.7 × 10 10

4

1.6 × 10 5

-B NBTB EF MB 5JFSSB FT EF BQSPYJNBEBNFOUF

LJMPHSBNPT &YQSFTF FTUF OÙNFSP FO OPUBDJÓO DJFOUÎà DB

Preliminares

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&M SBEJP QSPNFEJP EFM 4PM FT EF NFUSPT &YQSFTF FTUF OÙNFSP FO OPUBDJÓO PSEJOBSJB 4BCJFOEP RVF VO ÃUPNP EF PYÃŽHFOP UJFOF VOB NBTB EF HSBNPT DBMDVMF MB NBTB EF NJMMPOFT EF ÃUPNPT EF PYÃŽHFOP &YQSFTF FM SFTVMUBEP FO OPUBDJÓO DJFOUÃŽà DB &O BTUSPOPNÃŽB MBT EJTUBODJBT TF NJEFO FO BÃ’PT MV[ 6O BÃ’P MV[ FT MB EJTUBODJB RVF SFDPSSF VO SBZP EF MV[ FO VO BÃ’P 4J MB WFMPDJEBE EF MB MV[ FT EF BQSPYJNBEBNFOUF LN TFHVOEP yDVÃM FT FM WBMPS EF VO año-luz en kilómetros? 6UJMJ[BOEP MPT EBUPT EFM QSPCMFNB BOUFSJPS DBMDVMF MB EJTUBODJB EFM 4PM B la Tierra, sabiendo que un rayo de luz solar alcanza a la Tierra en aproYJNBEBNFOUF NJOVUPT &YQSFTF FM SFTVMUBEP FO OPUBDJÓO DJFOUÃŽà DB -B DBQBDJEBE EF BMNBDFOBNJFOUP EF VOB DPNQVUBEPSB TF EFTDSJCF FO NFHBCZUFT .# EPOEF .# SFQSFTFOUB CZUFT EF NFNPSJB 4J se requiere un byte para representar un solo símbolo o carácter como VOB MFUSB VO OÙNFSP P VO TJHOP EF QVOUVBDJÓO yBQSPYJNBEBNFOUF DVÃOUPT TÃŽNCPMPT FT DBQB[ EF BMNBDFOBS VO EJTDP EVSP EF .# FT EFDJS VO HJHBCZUF %Ê MB SFTQVFTUB FO OPUBDJÓO DJFOUÃŽà DB -B DPNQBÃ’ÃŽB "QQMF BOVODJÓ RVF FM JOHSFTP DPSSFTQPOEJFOUF B TV UFSDFS USJNFTUSF EFM BÃ’P à TDBM GVF EF NJMMPOFT EF EÓMBSFT 6UJMJ[BOEP VO UJQP EF DBNCJP EF QFTPT QPS EÓMBS DBMDVMF FM JOHSFTP EF MB DPNQBÃ’ÃŽB FO QFTPT &M JOHSFTP UPUBM SFQPSUBEP QBSB FM DVBSUP USJNFTUSF EF QPS MB FNQSFTB Coca-Cola femsa GVF EF QFTPT 6UJMJ[BOEP VO UJQP EF DBNCJP EF QFTPT QPS EÓMBS DBMDVMF FM JOHSFTP FO NJMMPOFT EF EÓMBSFT Kan Balam es la supercomputadora de la Universidad Nacional AutóOPNB EF .ÊYJDP unam JOBVHVSBEB FM EF FOFSP EFM MMBNBEB BTÃŽ FO IPOPS BM SFZ NBZB , JOJDI ,BO # BIMBN SFDPOPDJEP QPS TV FYBDUJUVE BM DBMDVMBS GFDIBT EF FWFOUPT BTUSPOÓNJDPT Kan Balam BCBSDB N EF TVQFSà DJF Z QVFEF SFBMJ[BS NJMMPOFT EF NJMMPOFT EF PQFSBDJPOFT QPS TFHVOEP $BMDVMF DVÃOUBT PQFSBDJPOFT QVFEF SFBMJ[BS FO VO NJOVUP %Ê MB SFTQVFTUB FO OPUBDJÓO DJFOUÃŽà DB 6O IPNCSF BEVMUP UJFOF FO QSPNFEJP NJMMPOFT EF HMÓCVMPT SPKPT QPS DBEB DFOUÃŽNFUSP DÙCJDP EF TBOHSF 4J VO IPNCSF BEVMUP UJFOF BQSPYJNBEBNFOUF MJUSPT EF TBOHSF yDVÃOUPT HMÓCVMPT SPKPT IBZ FO UPUBM en la sangre de un adulto?

1.3 Logaritmos La palabra logaritmo viene del griego logos, que significa razonar o calcular, y arithmos, que quiere decir número 1PS lo tanto, logaritmo significa número para calcular 16

Los logaritmos fueron descubiertos por John Napier (1550 1617), lord de Merchiston y hacendado escocés que tenía en las matemáticas, uno de sus pasatiempos favoritos. Publicó su descubrimiento en 1614, en un libro escrito en latín titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (Descripción del canon maravilloso de los logaritmos). Los logaritmos fueron llevados a la práctica por el matemático inglés Henry Briggs (1561 1630),

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profesor de geometría en el Gresham College de Londres y de la Universidad de Oxford, al introducir la base 10. Los logaritmos tuvieron un éxito inmediato, ya que son una herramienta muy útil para abreviar diversas operaciones aritméticas. Sobre todo fueron utilizados para realizar cálculos aritméticos complejos y tediosos, como los llevados a cabo en astronomía y otras ciencias. Actualmente, con el surgimiento de las calculadoras electrónicas, el uso de los logaritmos con propósitos computacionales ha sido relegado a un papel menor. Aun así, los logaritmos tienen amplia aplicación en muchas áreas de la ciencia, la tecnología, la economía, las finanzas, etcétera. La logaritmación es una operación que consiste en, dada una base y el resultado de una elevación a potencia, hallar el exponente. Por ejemplo, ¿a qué potencia hay que elevar la base 8 para obtener el número 64? Como para obtener el número 64 hay que elevar 8 al cuadrado, se dice que 2 es el logaritmo de 64 en la base 8, y se escribe de la siguiente forma: log8 64

2

Otro ejemplo: puesto que 5 −3 = 0.008, se dice que 3 es el logaritmo de 0.008 en la base 5, y se escribe: log5 0.008 = −3 En general, si bL N, donde b 0 y b 1, entonces L se llama logaritmo de N en la base b. Es decir, el logaritmo de un número N es el exponente L al que hay que elevar una base b para obtener el número N. En forma simbólica, la definición anterior se escribe como: logb N 5 L si y sólo si bL 5 N

(1.1)

Ejemplo 1.17 Utilizando la definición de logaritmo, cambie las siguientes igualdades a la forma logarítmica. a) 4 3

64 212

b) 4096 1

c) 49 2

7

Solución a) log 4 64

3

b) log2 4096 c) log 49 7

12 1 2

■

Ejemplo 1.18 Utilizando la definición de logaritmo, cambie las siguientes igualdades a la forma exponencial. a) log10 10 000

4

b) log81 9 0.5 1 c) log 4 = −3 64 Preliminares

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Solución a) 10 4

10 000

b) 810.5

9

c) 4−3 =

1 64

■

Tema especial

P Para saber s más m 1BSB NÃT JOGPSNBDJÓO sobre la historia, uso y aplicaciones de la regla de cálculo, puedes consultar: r 5PNÊ $ &M primer instrumento logarítmico: la SFHMB EF DÃMDVMP Disponible desde https:// DVMUVSBDJFOUJàDB DPN FM primer-instrumentologaritmico-la-reglade-calculo/

La regla de cálculo y$ÓNP SFBMJ[BCBO MPT DÃMDVMPT MPT JOHFOJFSPT MPT DJFOUÎàDPT Z MPT FTUVEJBOUFT EF JOgeniería y ciencias antes de la aparición de las calculadoras electrónicas de bolsillo? La respuesta es: utilizando una regla de cálculo La regla de cálculo es un instrumento que tiene varias escalas numéricas y se utiliza QBSB SFBMJ[BS PQFSBDJPOFT BSJUNÊUJDBT DPNQMFKBT -B QSJNFSB SFHMB EF DÃMDVMP GVF QSFTFOUBEB FO QPS VO QSPGFTPS EF BTUSPOPNÎB EFM (SFTIBN $PMMFHF MMBNBEP &ENVOE (VOUFS -B SFHMB EF (VOUFS FSB CBTUBOUF QSJNJUJWB Z IBDJB FM DMÊSJHP Z NBUFNÃUJDP JOHMÊT 8JMMJBN 0VHIUSFE JOWFOUÓ VOB WFSTJÓO NFKPSBEB EF MB SFHMB -B SFHMB EF DÃMDVMP EFTBQBSFDJÓ QBVMBUJOBNFOUF EF MBT VOJWFSTJEBEFT Z NFTBT EF USBCBKP EF JOHFOJFSPT Z DJFOUÎàDPT DVBOEP MPT NJDSPDIJQT GVFSPO VUJMJ[BEPT FO MB GBCSJDBDJÓO EF MBT QSJNFSBT DBMDVMBEPSBT FMFDUSÓOJDBT FO BQSPYJNBEBNFOUF &TUB NBSBWJMMB NBUFNÃUJDB CBTBEB FO FTDBMBT MPHBSÎUNJDBT FSB VUJMJ[BEB QBSB SFsolver los más variados problemas matemáticos, desde multiplicaciones y divisiones IBTUB FYQSFTJPOFT FYQPOFODJBMFT MPHBSÎUNJDBT Z USJHPOPNÊUSJDBT &EJàDJPT NÃRVJOBT BVUPNÓWJMFT BWJPOFT Z FMFDUSPEPNÊTUJDPT GVFSPO EJTFÒBEPT Z DPOTUSVJEPT DPO TV BZVEB &O MB BDUVBMJEBE MB SFHMB EF DÃMDVMP JOUFSFTB ÙOJDBNFOUF B DPMFDDJPOJTUBT DVSJPTPT OPTUÃMHJDPT F JOUFSFTBEPT FO MB IJTUPSJB EF MBT NBUFNÃUJDBT

$ VODMFQPEHFS BEPEF TUPDL DPN

0VHIUSFE FSB VO QSPGFTPS EF matemáticas riguroso, que pretendía que sus alumnos aprendiesen a razonar y DPOPDJFTFO B GPOEP MB EJTDJQMJOB OP RVF TF EJTUSBKFSBO con la utilización de artilugios mecánicos, de modo que durante mucho tiempo reservó la regla de cálculo para su propio uso, sin darle QVCMJDJEBE

A continuación se enuncian las leyes de los logaritmos, las cuales son simplemente una reformulación de las leyes de los exponentes. Algunas de estas leyes se demuestran, y en otras su demostración se deja como ejercicio.

5FPSFNB El logaritmo de cero y de los números negativos no existe en el conjunto de los números reales; esto es: logb N existe como número real para todo N 0 18

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Demostración La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa, porque si lo fuera sus potencias pares serían positivas, las impares serían negativas y se tendría un conjunto de números alternados positivos y negativos; por lo tanto, algunos números positivos no tendrían logaritmo. Usando como base lo expuesto en el párrafo anterior, el logaritmo de un número negativo sería un número L tal que bL sea un número negativo. Tal número no existe en el conjunto de los números reales; por lo tanto, el logaritmo de cero y los logaritmos de los números negativos no existen como número reales. En matemáticas superiores se demuestra que los logaritmos de los números negativos son números complejos. ■

Ejemplos: log8 ( 52) no existe como número real log20 ( 9) no existe como número real

5FPSFNB El logaritmo del número 1 es igual a cero; esto es: logb 1 5 0

Demostración Se sabe que b0 1 para toda b 0. Utilizando la definición de logaritmo (1.1), se tiene que: logb 1 0. ■

Ejemplos: log12 1 0 log10 1 0

5FPSFNB El logaritmo del número b, en la base b, es igual a 1; esto es: logb b 5 1

Ejemplos: log4 4 1 log18 18 1

5FPSFNB El logaritmo del producto de dos números positivos es igual a la suma de los logaritmos de dichos números; esto es: logb MN 5 logb M 1 logb N

Demostración Sea: bu M

(1)

bv N

(2) Preliminares

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Por la definición de logaritmo, las expresiones (1) y (2) se pueden escribir como: logb M u

(3)

logb N v

(4)

Por otro lado, multiplicando (1) y (2), se tiene: bubv MN. Por una ley de los exponentes, la expresión anterior se puede escribir como bu+ v = MN. Por la definición de logaritmo (1.1), esta última expresión es equivalente a logb MN = u + v. Sustituyendo u y v de la expresión anterior por (3) y (4), se tiene, finalmente, que: logb MN = logb M + logb N Este teorema puede extenderse al caso del producto de tres o más números positivos. ■

Ejemplos: log3 (12)(25) = log3 12 + log3 25 log30 (100)(70)(22) = log 30 100 + log30 70 + log 30 22

5FPSFNB El logaritmo del cociente de dos números positivos es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador; esto es: ⎛ M⎞ logb ⎜⎜ ⎟⎟ 5 logb M 2 logb N ⎝ N⎠

Ejemplos: log2 log11

20 = log2 20 − log2 15 15

123 = log11 123 − log11 400 400

5FPSFNB El logaritmo de un número positivo elevado a un exponente es igual al exponente multiplicado por el logaritmo del número positivo; esto es: logb Mn 5 n logb M

Demostración Si (1) se eleva a la potencia n, se tiene (bu)n Mn. La expresión anterior es equivalente a: bu n Mn. Pasando la última igualdad a la forma logarítmica, se tiene: logb Mn un. Utilizando (3) para sustituir u, se tiene: logb M n 20

n log b M

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■

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Ejemplos: log10 (24.6)3

3 log10 24.6

log6 (100)1/5

log6 5 100

1 log6 100 5

En el segundo ejemplo, la raĂ­z se transformĂł en un exponente fraccionario utilizando la siguiente ley de los radicales: n am = am/ n Ejemplo 1.19 Utilice las leyes de los logaritmos para desarrollar las siguientes expresiones. a) log 4 (7.83)(18.1)7 b) log10

mn pq 7

c) log a 510 a 4 SoluciĂłn a) log 4 (7.83)(18.1)7 = log 4 7.83 + log 4 (18.1)7

Teorema 4

log 4 7.83 7 log 4 18.1 b) log10

Teorema 6

mn = log10 mn − log10 pq pq

Teorema 5

log10 m + log10 n − (log10 p + log10 q)

Teorema 4

log10 m + log10 n − log10 p − log10 q 7

1

7

1

7

c) log a 510 a 4 = log a (510)2 a 4 = log a (510)2 + log a a 4

Teorema 4

1 7 log a 510 log a a 2 4

Teorema 6

7 1 log a 510 2 4

Teorema 3

â–

Ejemplo 1.20 Utilice las leyes de los logaritmos para escribir las siguientes expresiones como un solo logaritmo. a) log10 21 2 log10 3 b) log m x + 2.1 log m y −

log m ( x2 + 1) 3

SoluciĂłn Se utilizan las leyes de los logaritmos leĂ­das de derecha a izquierda.

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a) log10 21 + 2 log10 3 = log10 21 + log10 (3)2

Teorema 6

log10 (21)(3)2

Teorema 4

log10 (21)(9)

log10 189

b) log m x + 2.1 log m y − log m

1 log m ( x2 + 1) = log m x + log m y2.1 − log m ( x2 + 1)3 Teorema 6 3

x y2.1 3

Teoremas 4 y 5 â–

x2 1

Ejercicios 1.3 $BNCJF DBEB FYQSFTJÓO FYQPOFODJBM QPS VOB FYQSFTJÓO FRVJWBMFOUF MPHBSÎUNJDB B C D m E 4 F 1 G 8−2 = 64 H a x b I a c a x

$BNCJF DBEB FYQSFTJÓO MPHBSÎUNJDB QPS VOB FYQSFTJÓO FYQPOFODJBM FRVJWBMFOUF B MPH 2 3 D MPH4 C log8 4 =

E MPH F MPH 4 G MPH H MPH m t I log14 y = 2m Utilice las leyes de los logaritmos para desarrollar las siguientes FYQSFTJPOFT MPH u v z log12

50 x2 y5

MPHa xyz3 4 logb

22

m3 n p q

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log5 log20

p5 u 40 4

20x y3

(

3 log10 10 x2

logb

log10

yz

)

x 4 x3 − 2 ( x + 5)5 z5 ( z2 + 5) ( z3 − 7)

&TDSJCB DBEB VOB EF MBT TJHVJFOUFT FYQSFTJPOFT DPNP VO TPMP MPHBSJUNP 3 loga x + 4 loga y − 7 loga z log2 x +

1 log2 y − 5 log2 z − log2 w 3

log c a3b2 + 3 log c

a b

log10 21 − log10 9 + log10 12 − log10 5 3

2 logb 5t 3 −

1 logb (2t + 3) 4

log x y log y z

4 %FNVFTUSF FM UFSDFS UFPSFNB EF MPT MPHBSJUNPT

MPH y

%FNVFTUSF FM RVJOUP UFPSFNB EF MPT MPHBSJUNPT %FNVFTUSF RVF MPHb positivos, con b

logb N, en donde b y N son nĂşmeros reales N

4BCJFOEP RVF MPH Z MPH FODVFOUSF MPH 4BCJFOEP RVF MPH FODVFOUSF MPH

1.4 Sistemas de logaritmos

Debido a que cualquier nĂşmero positivo, excepto el 1, puede ser usado como base de un sistema de logaritmos, el nĂşmero de tales sistemas es infinito. Sin embargo, los sistemas logarĂ­tmicos mĂĄs utilizados, tanto en matemĂĄtica pura como en aplicaciones, son el sistema de logaritmos naturales y el sistema de logaritmos decimales.

Sistema de logaritmos decimales Este sistema, llamado tambiĂŠn sistema de logaritmos comunes o de Briggs (en honor del matemĂĄtico inglĂŠs Henry Briggs), emplea el nĂşmero 10 como base. Por lo tanto, Preliminares

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el logaritmo decimal de un nĂşmero positivo N se escribe como log10 N. Es costumbre omitir el subĂ­ndice 10 al trabajar con logaritmos decimales; de esta forma: log10 N 5 log N Para obtener el logaritmo decimal de un nĂşmero se utilizan tablas de logaritmos, regla de cĂĄlculo o calculadora. El uso de las tablas de logaritmos es raro en la actualidad; sin embargo, todavĂ­a existen. La forma mĂĄs rĂĄpida y fĂĄcil de obtener el logaritmo de un nĂşmero es por medio de una calculadora. Para encontrar el logaritmo decimal de un nĂşmero N con la calculadora, se emplea una de las siguientes secuencias de tecleo, dependiendo del modelo de calculadora que se tenga. l g N lo log

o bien

log N log

Ejemplo 1.21 Utilizando una calculadora, encuentre el logaritmo decimal de los nĂşmeros 726 y 0.0497.

SoluciĂłn log 726 5 2.860936621 log l g 0.0497 5 1.303643611 lo log

â–

ConsidĂŠrese ahora el problema inverso; es decir, conocido el logaritmo de un nĂşmero desconocido N, encontrar el valor del nĂşmero N. En este caso, se conoce el valor del exponente y se desconoce el valor del nĂşmero que resulta al elevar la base a dicho exponente. Por lo tanto, la respuesta se obtiene al aplicar la definiciĂłn de logaritmo (1.1), dada al inicio de la secciĂłn anterior. Ejemplo 1.22 Se sabe que el logaritmo decimal de un nĂşmero N es 3.146128036. Encuentre el valor de N.

SoluciĂłn Con la informaciĂłn dada se puede escribir la siguiente ecuaciĂłn: log N

3.146128036

Por lo tanto, de acuerdo con la definiciĂłn de logaritmo, se escribe la igualdad anterior en forma exponencial: 10 3.146128036

N

Entonces: Al proceso de obtener el valor de N, conocido el logaritmo de dicho nĂşmero, se le llama obtenciĂłn del antilogaritmo 24

N 1400 0x , que por lo general se encuentra El resultado se obtuvo utilizando la tecla 10 log g . La secuencia de tecleo es: como funciĂłn secundaria de la tecla log 10x 3.146128036 5 1400

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â–

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Ejemplo 1.23 Si log x = − 0.60206 , encuentre el valor de x.

Solución Si log x = − 0.60206 , entonces por (1.1) se tiene que: x = 10 −0.60206 x

■

0.25

Sistema de logaritmos naturales Este sistema, llamado también sistema de logaritmos neperianos (en honor de John Napier), emplea como base un número irracional representado por la letra F, cuyo valor aproximado a 12 cifras decimales es 2.718281828459… En cálculo se explica por qué se eligió como base este número en apariencia tan extraño. La letra e se eligió en honor del matemático suizo Leonhard Euler (1707 1783). La notación loge N se lee “logaritmo del número N en la base e”, o bien, “logaritmo natural (o logaritmo neperiano) de N”. Se acostumbra escribir ln N en lugar de loge N, es decir: logF N ln N Para obtener el logaritmo natural de un número se utilizan tablas, regla de cálculo o calculadora. Para encontrar el logaritmo natural de un número N con la calculadora se emplea una de las siguientes secuencias de tecleo, dependiendo del modelo de calculadora que se tenga: ln N

o bien

N ln

Ejemplo 1.24 Encuentre el logaritmo natural de 26. Solución ln l n 26 5 3.258096538

■

Para resolver el problema inverso, es decir, para encontrar el valor de un número N x conocido su logaritmo natural, se utiliza la tecla e , la cual se encuentra usualmente como función secundaria de la tecla ln . Ejemplo 1.25 Encuentre el valor del número N cuyo logaritmo natural es 4.605170186. Solución Se tiene que ln N 4.605170186; por lo tanto, de acuerdo con la definición de logaritmo: N

e 4.605170186

N

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La secuencia de tecleo es: ex 4.605170186 5 100

â–

Uso de la calculadora financiera HP 17bII Para obtener el logaritmo de un número es necesario entrar al menú MATH, el cual TF FODVFOUSB DPNP GVODJÓO TFDVOEBSJB EF MB UFDMB % "M QSFTJPOBS MATH aparece en MB QBSUF JOGFSJPS EF MB QBOUBMMB FM NFOÙ .BUFNÃUJDBT FM DVBM DPOTUB EF MPT TJHVJFOUFT elementos: LOG

10^X

LN

EXP

N!

PI

&M FMFNFOUP NBSDBEP DPNP LOG se utiliza para obtener el logaritmo decimal de VO OÙNFSP EBEP 1PS FKFNQMP QBSB PCUFOFS FM MPHBSJUNP EFM OÙNFSP TF UFDMFB FM OÙNFSP Z B DPOUJOVBDJÓO TF PQSJNF MB UFDMB RVF TF FODVFOUSB EFCBKP EFM FMFNFOUP LOG FTUP FT LOG QSPQPSDJPOB FM OÙNFSP &M FMFNFOUP NBSDBEP DPNP 10^X se utiliza para obtener el número cuyo logaritNP TF DPOPDF 1PS FKFNQMP TJ TF UJFOF RVF MPH N FOUPODFT FM WBMPS EF N se obtiene al teclear el número dado y enseguida se oprime la tecla que se encuentra EFCBKP EFM FMFNFOUP 10^X 10^X QSPQPSDJPOB FM OÙNFSP Los elementos marcados como LN y EXP permiten obtener el logaritmo natural EF VO OÙNFSP Z MB PQFSBDJÓO JOWFSTB SFTQFDUJWBNFOUF -B GPSNB EF PQFSBS FT TFNFKBOUF B MB NFODJPOBEB QBSB FM DBTP EF MPT MPHBSJUNPT EFDJNBMFT Q Al oprimir la tecla EXIT TF SFHSFTB BM NFOÙ QSJODJQBM MAIN â–

Ejercicios 1.4 6UJMJ[BOEP VOB DBMDVMBEPSB PCUFOHB B MPH C MPH D MPH E MPH

F MPH G MPH

H MO I MO J MO

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K MO e L MO M MO 4

6UJMJ[BOEP VOB DBMDVMBEPSB PCUFOHB FM WBMPS EF N, conocido su logaritmo: B MPH N C MPH N D MPH N E MPH N F MPH N G MPH N H MO N I MO N J MO N K MO N L MO N M MO N &M HFSFOUF EF QSPEVDDJÓO EF VOB GÃCSJDB FODVFOUSB RVF FM DPTUP EF QSPducir q artículos por hora viene dado por C MPH q EPOEF C WJFOF EBEB FO DJFOUPT EF EÓMBSFT &ODVFOUSF FM DPTUP EF QSPEVDJS BSUÃŽDVMPT QPS IPSB 4F DPNQSÓ VO BVUPNÓWJM OVFWP FO 4J FM BVUPNÓWJM TF EFQSFcia de manera continua desde el momento de su compra, entonces el tiempo necesario para que tenga un valor final V FTUÃ EBEP QPS MB GÓSV ln 425 000 y&O DVÃOUP UJFNQP FM WBMPS EFM BVUPNÓWJM TFSÃ EF mula t = 0.20 -B NBTB NPMFDVMBS NFEJB M de un subproducto del petróleo pueEF EFUFSNJOBSTF BQSPYJNBEBNFOUF B QBSUJS EF TV QVOUP EF FCVMMJción T FO HSBEPT $FMTJVT B MB QSFTJÓO BUNPTGÊSJDB QPS MB FDVBDJÓO log M = 2.51 log( T + 393) − 4.7523 $BMDVMF MB NBTB NPMFDVMBS NFEJB DVBOEP MB UFNQFSBUVSB FT EF ž$ -B WFMPDJEBE v de cierta reacción química depende de su temperatura T FO HSBEPT $FMTJVT EF BDVFSEP DPO MB GÓSNVMB ln v = ln 0.8 + 0.15 T $BMDVMF MB WFMPDJEBE EF MB SFBDDJÓO DVBOEP MB UFNQFSBUVSB FT EF ž$ -B QSFTJÓO BUNPTGÊSJDB P, en libras por pulgada cuadrada, disminuye de NBOFSB FYQPOFODJBM DPO MB BMUVSB h, en millas, sobre el nivel del mar, ln 14.7 – ln P donde la altura está dada por la siguiente ecuación h= 0.21 Calcule la altura a la cual la presión BUNPTGÊSJDB FT EF MJCSBT QPS QVMHBEB DVBESBEB

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1.5 Aplicaciones de los logaritmos

Utilizar logaritmos para efectuar cálculos aritméticos puede presentar grandes ventajas, ya que, de acuerdo con las leyes de los logaritmos, es posible reemplazar la multiplicación por una suma, la división por una resta, la elevación a potencia por una multiplicación y la extracción de raíces por una división. Sin embargo, dada la disponibilidad actual de calculadoras, los logaritmos han perdido parte de su importancia como instrumentos de cálculo. Aun así, los logaritmos siguen siendo útiles para resolver ecuaciones logarítmicas y exponenciales, tanto en matemática pura como aplicada, como se muestra en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1.26 Una ecuación logarítmica es aquella que contiene términos de la forma logb x, donde b es un número positivo distinto de 1. Resuelva la ecuación logarítmica log2 ( x + 4) − log2 ( x − 3) = 3.

Solución Utilizando las leyes de los logaritmos, es posible escribir log2 ( x + 4) − log2 ( x − 3) = 3 en la forma equivalente: log 2

x+4 =3 x−3

Utilizando la definición de logaritmo, la igualdad anterior se escribe como: 23 =

x+4 x−3

La igualdad anterior es una ecuación de primer grado con una incógnita. Al resolverla se tiene que, 8( x − 3) = x + 4 Es decir, 8x − 24 = x + 4 7x

28

x 4

■

Ejemplo 1.27 Una ecuación exponencial es aquella en la cual la variable aparece como exponente. Por ejemplo: 52 x+1 = 3x . En la solución de tales ecuaciones los logaritmos y sus propiedades desempeñan un papel importante. Resuelva la ecuación exponencial anterior. 28

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Solución Aplicando logaritmos decimales a ambos lados de la ecuación, para que ésta no se altere, se obtiene: log 52 x+1 = log 3x Por el teorema 6, se tiene: (2x + 1) log 5 = x log 3 (2x + 1)(0.6989700043) = x(0.4771212547) 1.397940009x + 0.6989700043 = 0.4771212547x 1.397940009x − 0.4771212547x = −0.6989700043 0.920818754 x = −0.6989700043 x=

−0.698970004 = −0.7590744664 0.920818754

Usted puede verificar que el resultado obtenido es correcto al sustituir el valor obtenido para x en la igualdad original. Al aplicar logaritmos a ambos lados de una ecuación, se utiliza cualquier base y el resultado es el mismo. Usted puede verificar esto al resolver el ejemplo utilizando logaritmos naturales. ■ Ejemplo 1.28 La experiencia demuestra que la demanda de un artículo nuevo aumenta rápidamente al principio y después se estabiliza. El porcentaje P de compras reales del artículo, después de permanecer en el mercado durante t meses, viene dado por: P = 85 − 75(0.75) t ¿Cuántos meses deben transcurrir antes de llegar al 50% de ventas?

Solución Se conoce el valor de P y se desea calcular el valor de t. Por lo tanto, se tiene: 50 = 85 − 75(0.75) t 75(0.75) t = 85 − 50 = 35 (0.75) t =

35 75

Aplicando logaritmos naturales a ambos lados de la igualdad anterior, se tiene: ln(0.75) t = ln

35 75

Por lo tanto, por las leyes de los logaritmos, se tiene: t ln 0.75 = ln 35 − ln 75 Preliminares

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Despejando t, se tiene: t=

ln 35 − ln 75 = 2.65 meses ln 0.75

■

Muchos fenómenos naturales, económicos y financieros, entre otros, crecen o decrecen continuamente de manera exponencial. Cuando una cantidad crece exponencialmente a partir de un valor inicial Q0, la cantidad final Q obtenida después de transcurrido un intervalo de tiempo t viene dada por la siguiente ecuación: Q 5 Q 0ek t

(1.2)

en donde k es el porcentaje de crecimiento y e es la base de los logaritmos naturales. Ejemplos de procesos crecientes continuos en forma exponencial son: el interés capitalizable continuamente, el crecimiento de la población, la inflación y el crecimiento del pnb (producto nacional bruto). Cuando una cantidad decrece exponencialmente a partir de un valor inicial Q0, la cantidad final Q obtenida después de transcurrido un intervalo de tiempo t viene dada por la siguiente ecuación: Q 5 Q 0e2k t

(1.3)

en donde k es el porcentaje de decrecimiento. Ejemplos de procesos decrecientes continuos en forma exponencial son: la descomposición radiactiva, las ventas de un artículo al interrumpir la publicidad, la devaluación de ciertos bienes de capital (maquinaria) y el enfriamiento de un objeto caliente. Ejemplo 1.29 De acuerdo con la Encuesta Intercensal 2015 realizada por el Instituto Nacional de Estadística y Geografía (inegi), se estima que la población total en México en 2015 fue de 119 938 473 habitantes, con una tasa de crecimiento promedio de 1.32% anual. Suponiendo que la tasa de crecimiento se mantiene constante, calcule: a) el número de habitantes para el 2025 y b) en cuántos años la población será de 150 000 000 de habitantes.

Solución El crecimiento de una población es continuo y, de acuerdo a las observaciones realizadas, aproximadamente exponencial; por lo tanto, es posible resolver el problema utilizando la ecuación (1.2). a) Sea: Q número de habitantes en el 2025 Q0 número de habitantes en el 2015 119 938 473 t tiempo transcurrido 2025 2015 10 años k 1.32% anual 0.0132 por año Sustituyendo los datos anteriores en la ecuación (1.2), se tiene: Q 119 938 473e(0.0132)(10) 136 862 790 habitantes b) Para calcular el tiempo que se necesita para hacer que Q = 150 000 000, se despeja t de la ecuación (1.2). 30

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Al aplicar logaritmos naturales en la ecuación (1.2), y utilizando los teoremas vistos en la sección 1.3, se tiene: ln Q = ln Q 0 + kt ln e Como ln e 1, entonces: ln Q = ln Q 0 + kt Por lo tanto, t=

ln Q − ln Q 0 k

Al sustituir los datos, se obtiene: t=

ln 150 000 000 − ln 119 938 473 0.0132 t 17 años a partir de 2015

â–

Ejercicios 1.5 3FTVFMWB MBT TJHVJFOUFT FDVBDJPOFT MPHBSÃŽUNJDBT MPH x 4 MPH x MPHb a x a c, donde a y c TPO DPOTUBOUFT MPH x log x 4 log MPH n log n MPH n

MPH a log a MPH MPH x log log MPH w log log MPH x MPH x ln x + 8 + ln 10 = 3 3FTVFMWB MBT TJHVJFOUFT FDVBDJPOFT FYQPOFODJBMFT x t t ex e x x Preliminares

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z

z

m

m 1

7x = 28 x

&ODVFOUSF FM WBMPS EF w FO w &ODVFOUSF FM WBMPS EF x en

x

4J p FODVFOUSF FM WBMPS EF p 4BCJFOEP RVF

N−1 T1 ⎛⎜ V2 ⎞âŽ&#x; log T1 − log T2 = ⎜⎜ +1 âŽ&#x;âŽ&#x; , demuestre que N = T2 âŽ? V1 ⎠log V2 − log V1 −

t

6OB FDVBDJĂ“O EF DVSBDJĂ“O EF MBT IFSJEBT FT A = A0 e 10, siendo A el ĂĄrea originalmente daĂąada, en cm , y A el ĂĄrea daĂąada despuĂŠs de transcurridos t dĂ­as, en cm &ODVFOUSF FM OĂ™NFSP EF EĂŽBT OFDFTBSJPT QBSB RVF VOB IFSJEB EF DN TF SFEV[DB B DN -PT NĂŠEJDPT VUJMJ[BO ZPEP SBEJBDUJWP FO FM USBUBNJFOUP EF MB HMĂƒOEVMB UJSPJEFT 4F TBCF RVF FM ZPEP SBEJBDUJWP TF EFTJOUFHSB EF UBM GPSNB RVF MB cantidad de yodo que queda en el organismo despuĂŠs de t dĂ­as de que GVF BENJOJTUSBEP WJFOF EBEB QPS M e t, donde M es la cantidad EF ZPEP FO HSBNPT B y$VĂƒM FT MB DBOUJEBE JOJDJBM EF ZPEP BENJOJTUSBEB C y$VĂƒOUP ZPEP RVFEB FO FM PSHBOJTNP EFTQVĂŠT EF EĂŽBT D y%FTQVĂŠT EF DVĂƒOUPT EĂŽBT TĂ“MP RVFEBSĂƒO NJMJHSBNPT EF ZPEP &O RVĂŽNJDB FYJTUF VOB FTDBMB MPHBSĂŽUNJDB DPOPDJEB DPNP pH QPUFODJBM EF IJESĂ“HFOP RVF TJSWF QBSB NFEJS MB BDJEF[ P BMDBMJOJEBE EF VOB TPMVDJĂ“O -B FTDBMB WB EFM RVF SFQSFTFOUB FM QVOUP NĂƒT ĂƒDJEP IBTUB FM RVFŇSFQSFTFOUB MP NĂƒT BMDBMJOP 6OB TPMVDJĂ“O UPUBMNFOUF OFVUSB UJFOF VO Q) EF &M Q) TF PCUJFOF NFEJBOUF MB GĂ“SNVMB Q) log , donde [H ] es la [H ] DPODFOUSBDJĂ“O EF JPOFT IJESĂ“HFOP FO MB TPMVDJĂ“O FO NPMFT MJUSP La lluvia ĂĄcida se genera al reaccionar el agua de lluvia con los conUBNJOBOUFT BUNPTGĂŠSJDPT 6OB MMVWJB DPO VO Q) NFOPS EF TF DPOTJEFSB ĂƒDJEB $JFSUP EĂŽB TF SFHJTUSĂ“ FO MB $JVEBE EF .ĂŠYJDP VOB MMVWJB DPO VOB DPODFOUSBDJĂ“O EF JPOFT IJESĂ“HFOP EF 4 NPMFT MJUSP y)VCP MMVWJB ĂƒDJEB FTF EĂŽB 6OB FNQSFTB DPNQSB VOB NĂƒRVJOB FO EĂ“MBSFT -B NĂƒRVJOB TF deprecia cada aĂąo, de tal manera que su valor al cabo de n aĂąos viene dado por la ecuaciĂłn V n B $BMDVMF FM WBMPS EF MB NĂƒRVJOB BM DBCP EF BĂ’PT C $BMDVMF FO DVĂƒOUPT BĂ’PT MB NĂƒRVJOB UFOESĂƒ VO WBMPS EF EĂ“MBSFT

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4J MB NÃRVJOB EFM FKFSDJDJP BOUFSJPS TF EFQSFDJBSB EF GPSNB DPOUJOVB Z OP DBEB BÃ’P FOUPODFT MB GÓSNVMB QBSB DBMDVMBS TV WBMPS BM DBCP EF n años sería V e n 6UJMJDF FTUB GÓSNVMB QBSB SFTQPOEFS MBT QSFHVOUBT EFM FKFSDJDJP BOUFSJPS Z BTÃŽ WFSJà DBS RVF TF PCUJFOF FM NJTNP SFTVMUBEP 6O GBCSJDBOUF FODVFOUSB RVF MB DBOUJEBE EF EJOFSP FO EÓMBSFT RVF EFCF gastar en publicidad cada mes a fin de vender q unidades por semana de su producto viene dada por la ecuación G MPH q B $BMDVMF FM HBTUP NFOTVBM RVF EFCF IBDFS FM GBCSJDBOUF FO QVCMJDJEBE QBSB WFOEFS VOJEBEFT DBEB TFNBOB *OUFSQSFUF FM SFTVMUBEP C y$VÃOUBT VOJEBEFT FTQFSB WFOEFS DBEB TFNBOB TJ TV HBTUP FO QVCMJDJEBE FT EF EÓMBSFT -B ÙOJDB NBOFSB QSFDJTB QBSB NFEJS VO UFSSFNPUP DPOTJTUF FO DVBOUJà DBS MB FOFSHÃŽB MJCFSBEB QPS MBT POEBT TÃŽTNJDBT $PO FTUF à O TF IBO EFTBSSPMMBEP EJGFSFOUFT FTDBMBT TJFOEP MB FTDBMB Richter una de las más VUJMJ[BEBT &TUB FTDBMB FT MPHBSÃŽUNJDB Z GVF EFTBSSPMMBEB FO QPS FM TJTNÓMPHP $IBSMFT 3JDIUFS La magnitud de un terremoto en la escala Richter está dada por E M log , donde E es la energía liberada por el terremoto, medida E FO KPVMFT Z E es la energía liberada por el terremoto más pequeño que QVFEF SFHJTUSBSTF B USBWÊT EF VO TJTNÓHSBGP Z RVF TF IB FTUBOEBSJ[BEP como E KPVMFT B &M UFSSFNPUP RVF TBDVEJÓ B MB $JVEBE EF .ÊYJDP FM EF TFQUJFNCSF EF UVWP VOB NBHOJUVE EF FO MB FTDBMB 3JDIUFS &ODVFOUSF MB FOFSHÃŽB MJCFSBEB QPS FM UFSSFNPUP C y$VÃOUBT WFDFT NÃT JOUFOTP FT VO UFSSFNPUP EF NBHOJUVE RVF PUSP EF NBHOJUVE

1BSB SFTPMWFS MPT FKFSDJDJPT BM VUJMJDF MBT FDVBDJPOFT P TFHÙO DPSSFTQPOEB

4FHÙO FM %FQBSUBNFOUP EF "TVOUPT &DPOÓNJDPT Z 4PDJBMFT EF MBT /BDJPOFT 6OJEBT MB QPCMBDJÓO NVOEJBM UPUBM BMDBO[BCB MB DJGSB EF IBCJUBOUFT B à OBMFT EF 4J MB UBTB NFEJB EF DSFDJNJFOUP FO FTF BÃ’P GVF EF BOVBM Z TVQPOJFOEP RVF TF NBOUJFOF DPOTUBOUF DBMDVMF MB QPCMBDJÓO NVOEJBM UPUBM B à OBMFT EF 6OB QSPZFDDJÓO SFQPSUBEB QPS MB onu indica que la población mundial QBSB FM TFSÃ EF NJMMPOFT EF IBCJUBOUFT 4J MB QPCMBDJÓO NVOEJBM FO FM GVF EF NJMMPOFT EF IBCJUBOUFT FODVFOUSF MB UBTB NFEJB EF DSFDJNJFOUP BOVBM QBSB RVF FM QSPOÓTUJDP TF DVNQMB 6OB JNQPSUBOUF DJVEBE BSSPKB EJBSJBNFOUF UPOFMBEBT EF CBTVSB Z DSFDF B SB[ÓO EFM BOVBM 4J DPOUJOÙB FTUF SJUNP EF DSFDJNJFOUP B yDVÃOUBT UPOFMBEBT EJBSJBT IBCSÃ RVF QSPDFTBS EFOUSP EF BÃ’PT 4J la capacidad instalada actual de la planta procesadora de basura perNJUF NBOFKBS IBTUB UPOFMBEBT EJBSJBT C yIBTUB DVÃOEP TFSÃ TVà ciente para procesar la basura? 6OB MÃŽOFB EF FOTBNCMBEP SPCPUJ[BEB DPTUÓ EÓMBSFT y$VÃM TFSÃ TV QSFDJP EF WFOUB EFTQVÊT EF BÃ’PT EF VTP TBCJFOEP RVF TF EFQSFDJB EF GPSNB DPOUJOVB B VOB UBTB EFM BOVBM

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P Para saber s mรกs m Consulte los siguientes cursos para aprender mรกs sobre los logaritmos, sus usos y aplicaciones: r ,IBO "DBEFNZ T G Crecimiento y decaimiento exponencial Disponible desde https:// FT LIBOBDBEFNZ org/math/algebra/ introductionUP FYQPOFOUJBM GVODUJPOT r ,IBO "DBEFNZ T G Exponenciales y logaritmos Disponible desde https:// FT LIBOBDBEFNZ PSH NBUI BMHFCSB FYQPOFOUJBM and-logarithmicGVODUJPOT

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-B QPCMBDJร O EF DJFSUB FTQFDJF BOJNBM TF FTUร FYUJOHVJFOEP B SB[ร O EFM BOVBM 4J MB QPCMBDJร O BDUVBM FT EF FMFNFOUPT yDVร OUP tiempo tendrรก que transcurrir para que la poblaciรณn se reduzca a la mitad? &M PSHBOJTNP IVNBOP FMJNJOB DBEB IPSBT MB NJUBE EF MB OJDPUJOB RVF TF FODVFOUSB FO ร M 4J JOJDJBMNFOUF IBZ NH EF OJDPUJOB FO FM PSHBOJTNP EF VOB QFSTPOB yFO DVร OUP UJFNQP IBCSร ร OJDBNFOUF NH

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0DWHPiWLFDV ÀQDQFLHUDV VpSWLPD HGLFLyQ HVWi GLVHxDGR SDUD TXH VHD XQ DSR\R HQ HO DSUHQGL]DMH GH ODV PDWHPiWLFDV ÀQDQFLHUDV WDQ LPSRUWDQWH KR\ HQ GtD GHELGR D VX DPSOLD DSOLFDFLyQ HQ ODV RSHUDFLRQHV EDQFDULDV FRPHUFLDOHV \ GH EROVD GH YDORUHV DVt FRPR HQ WHPDV HFRQyPLFRV \ ÀQDQFLHURV /DV PDWHPiWLFDV ÀQDQFLHUDV WLHQHQ FRPR ÀQDOLGDG HO GHVDUUROOR GH KDELOLGDGHV FRQRFLPLHQWRV \ DFWLWXGHV HQ UHODFLyQ FRQ HO PDQHMR ySWLPR GHO GLQHUR SURSRUFLRQDQGR ODV KHUUDPLHQWDV \ PpWRGRV SDUD HO DQiOLVLV \ WRPD GH GHFLVLRQHV WDQWR SDUD OD YLGD SHUVRQDO FRPR ODERUDO GH ODV SHUVRQDV (Q FDGD FDStWXOR VH SUHVHQWDQ ORV HOHPHQWRV QHFHVDULRV SDUD DGTXLULU ODV FRPSHWHQFLDV TXH OH SHUPLWDQ UHVROYHU XQD DPSOLD YDULHGDG GH SUREOHPDV UHODWLYRV D ODV ÀQDQ]DV /RV WHPDV TXH VH DERUGDQ HQ HVWD VpSWLPD HGLFLyQ VRQ 3UHOLPLQDUHV 3RUFHQWDMH \ VXV DSOLFDFLRQHV 9DULDFLyQ SURSRUFLRQDO 6XFHVLyQ \ VHULHV ,QWHUpV VLPSOH \ GHVFXHQWR VLPSOH ,QWHUpV FRPSXHVWR ,QÁDFLyQ $QXDOLGDGHV YHQFLGDV DQWLFLSDGDV \ GLIHULGDV $PRUWL]DFLyQ \ IRQGRV GH DPRUWL]DFLyQ 2WUDV DQXDOLGDGHV %RQRV \ REOLJDFLRQHV \ 'HSUHFLDFLyQ $GHPiV DO ÀQDO GH OD REUD VH SUHVHQWDQ ODV UHVSXHVWDV D ORV HMHUFLFLRV \ XQ DSDUWDGR HVSHFLDO TXH FRQWLHQH WRGDV ODV IyUPXODV SUHVHQWHV HQ OD REUD ODV FXDOHV VH FRQFHQWUDURQ SDUD IDFLOLWDU VX FRQVXOWD

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