2.6 Ecuación de Bernoulli

TABLA 1.4 Prefijos para potencias de diez

Potencia Prefijo Abreviatura Potencia Prefijo Abreviatura

10224 yocto y 10221 zepto z 10218 atto a 10215 femto f 103 kilo k 106 mega M 109 giga G 1012 tera T

10212 pico p

1015 peta P 1029 nano n 1018 exa E 1026 micro 1021 zetta Z 1023 mili m 1024 yotta Y 1022 centi c 1021 deci d

Se proporciona una tabla de las letras en el alfabeto griego en las páginas finales de este libro.

Las variables longitud, masa y tiempo son ejemplos de cantidades fundamentales. La mayoría de las otras variables son cantidades deducidas, aquellas expresadas como una combinación matemática de cantidades fundamentales. Ejemplos comunes son área (un producto de dos longitudes) y rapidez (una relación cuantitativa de una longitud a un intervalo de tiempo).

Otro ejemplo de una cantidad deducida es la densidad. La densidad (letra griega rho) de cualquier sustancia se define como su masa por unidad de volumen:

m V (1.1)

En términos de cantidades fundamentales, la densidad es una proporción de una masa a un producto de tres longitudes. Por ejemplo, el aluminio tiene una densidad de 2.70 103 kg/m3, y el hierro tiene una densidad de 7.86 103 kg/m3. Es factible pensar en una diferencia extrema en densidad al imaginar que sostiene un cubo de 10 centímetros (cm) de espuma de estireno en una mano y un cubo de 10 cm de plomo en la otra. Véase la tabla 2.1 del capítulo 2 para consultar las densidades de diferentes materiales.

E E XAMEN RÁPIDO 1.1 En un taller mecánico se producen dos levas, una de aluminio y la otra de hierro. Ambas levas tienen la misma masa. ¿Cuál leva es más larga? (a) La leva de aluminio es más larga. (b) La leva de hierro es más larga. (c) Ambas levas tienen el mismo tamaño.

1.2 Modelado y representaciones alternativas

La mayoría de los cursos de física general requieren que el estudiante adquiera las habilidades de resolución de problemas, y los exámenes usualmente incluyen problemas que prueban tales habilidades. En esta sección se describen algunas ideas útiles que le permitirán mejorar su comprensión de los conceptos físicos, aumentar su precisión en la solución de problemas, y eliminar el pánico inicial o la falta de dirección para abordar un problema, y organizar su trabajo.

Uno de los primeros métodos de resolución de problemas en física es hacer un modelo apropiado del problema. Un modelo es un sustituto simplificado del problema real que nos permite resolverlo de una manera relativamente simple. Siempre y cuando las predicciones del modelo concuerden a nuestra satisfacción con el comportamiento real del sistema real, el modelo es válido. Si las predicciones no concuerdan, se debe refinar el modelo o sustituirlo con otro. El poder del modelado está en su capacidad para reducir una gran variedad de problemas muy complejos a un número limitado de clases de problemas que se pueden abordar de maneras similares.

En la ciencia, un modelo es muy diferente de, por ejemplo, un modelo a escala de un edificio propuesto por un arquitecto, que se presenta como una versión más pequeña de

lo que representa. Un modelo científico es una construcción teórica y puede no tener similitud visual con el problema físico. En el ejemplo 1.1 se presenta una simple aplicación de modelado y encontraremos muchos más ejemplos de modelos a medida que avancemos en el libro.

Los modelos son necesarios porque la operación real del universo es extremadamente complicada. Por ejemplo, supongamos que se nos pide resolver un problema sobre el movimiento de la Tierra alrededor del Sol. La Tierra es muy complicada, con muchos procesos que ocurren simultáneamente. Estos incluyen el clima, la actividad sísmica y los movimientos oceánicos, así como la multitud de procesos que involucran la actividad humana. Tratar de mantener el conocimiento y la comprensión de todos ellos es una tarea imposible.

El enfoque de modelado reconoce que ninguno de estos procesos afecta el movimiento de la Tierra alrededor del Sol en un grado mensurable. Por tanto, no se consideran todos estos detalles. Además, el tamaño de la Tierra no afecta la fuerza gravitacional entre ella y el Sol; solo las masas de la Tierra y el Sol y la distancia entre sus centros determinan esta fuerza. En un modelo simplificado, imaginamos que la Tierra es una partícula, un objeto con masa, pero de tamaño cero. Este remplazo de un objeto extendido por una partícula se llama modelo de partícula, que se utiliza ampliamente en física. Al analizar el movimiento de una partícula con la masa de la Tierra en órbita alrededor del Sol, encontramos que las predicciones del movimiento de partícula están en excelente acuerdo con el movimiento real de la Tierra.

Las dos condiciones principales para el uso del modelo de partícula son las siguientes: ● El tamaño del objeto real no tiene ninguna consecuencia en el análisis de su movimiento. ● Cualquier proceso interno que ocurra en el objeto no tiene consecuencias en el análisis de su movimiento.

Ambas condiciones están en acción para modelar a la Tierra como partícula. Su radio no es un factor en la determinación de su movimiento, y los procesos internos como tormentas, terremotos y procesos de fabricación se pueden despreciar.

En este libro se utilizan cuatro categorías de modelos que nos ayudarán a entender y resolver problemas de la física. La primera categoría es el modelo geométrico. En este modelo, formamos una construcción geométrica que representa la situación real. Luego aislamos el problema real y se analiza la construcción geométrica. Considere un problema común de trigonometría elemental, como el del ejemplo siguiente.

Ejemplo 1.1 Encontrar la altura de un árbol

Usted desea conocer la altura de un árbol, pero no puede medirlo directamente. Se encuentra de pie a 50.0 m del árbol y determina que la línea de visión desde el suelo hasta la parte superior del árbol hace un ángulo de 25.0° con el suelo. ¿Qué altura tiene el árbol?

SOLUCIÓN La figura 1.2 muestra el árbol y el triángulo rectángulo correspondiente a la información en el problema sobrepuesta sobre esta. (Suponemos que el árbol es exactamente perpendicular a un suelo plano perfecto.) En el triángulo, conocemos la longitud del cateto horizontal y el ángulo entre la hipotenusa y el cateto horizontal. Podemos encontrar la altura del árbol calculando la longitud del cateto vertical. Lo hacemos con la función tangente:

tan 5 lado opuesto lado adyacente 5

h 50.0 m

h

25.0°

50.0 m

Figura 1.2 (Ejemplo 1.1) La altura de un árbol se puede encontrar midiendo la distancia desde el árbol y el ángulo de visión a la parte superior sobre el suelo. Este problema es un ejemplo simple del modelado geométrico de un problema real.

Es posible que haya resuelto un problema muy similar al ejemplo 1.1, pero nunca pensó en el concepto de modelado. Sin embargo, en el enfoque del modelado, una vez que se dibuja el triángulo en la figura 1.2, se convierte en un modelo geométrico del problema real; se trata de un sustituto. Hasta que lleguemos al final, no nos imaginamos que el problema de un árbol sea un triángulo. Usamos la trigonometría para encontrar el cateto vertical del triángulo, lo que da un valor de 23.3 m. Ya que este cateto representa la altura del árbol, ahora podemos regresar al problema original y afirmar que la altura del árbol es de 23.3 metros.

Otros ejemplos de modelos geométricos incluyen modelar a la Tierra como una esfera perfecta, una pizza como un disco perfecto, una regla de un metro como una varilla larga sin espesor, y un cable eléctrico como un cilindro largo y recto.

El modelo de partícula es un ejemplo de la segunda categoría de modelos, que se conocen como modelos de simplificación. En un modelo de simplificación los detalles no son importantes, por lo que se omiten para determinar el resultado del problema. Cuando estudiamos la rotación, los objetos se modelan como cuerpos rígidos. Todas las moléculas en un cuerpo rígido mantienen sus posiciones exactas respecto a las otras. Adoptamos este modelo de simplificación porque es mucho más fácil analizar una roca giratoria que un pedazo giratorio de gelatina, que no es un cuerpo rígido. Otros modelos de simplificación supondrán que las cantidades como las fuerzas de fricción son insignificantes, permanecen constantes o son proporcionales a alguna potencia de la rapidez del objeto.

La tercera categoría es la de modelos de análisis, que son tipos generales de problemas que hemos resuelto antes. Una técnica importante en la resolución de problemas es plantear uno nuevo en una forma similar a como lo hicimos con otro que ya hemos resuelto y que se puede utilizar como modelo. Como veremos, hay unas dos docenas de modelos de análisis que se pueden utilizar para resolver la mayor parte de los problemas que usted encontrará. Todos los modelos de análisis de física clásica se basarán en cuatro modelos de simplificación: partícula, sistema, cuerpo rígido y ondas.

La cuarta categoría es la de modelos estructurales. Estos generalmente se utilizan para entender el comportamiento de un sistema cuya escala es muy diferente de la de nuestro mundo macroscópico, ya sea mucho más pequeña o mucho más grande, por lo que no podemos interactuar con este directamente. Como ejemplo, la noción de un átomo de hidrógeno como un electrón en una órbita circular alrededor de un protón es un modelo estructural del átomo. El antiguo modelo geocéntrico del universo, en el que se teoriza que la Tierra está en el centro del universo, es un ejemplo de un modelo estructural para algo con una escala más grande que la de nuestro mundo macroscópico.

En estrecha relación con la noción de modelado está la de formar representaciones alternativas del problema que está resolviendo. Una representación es un método de visualización o representación de la información relacionada con el problema. Los científicos deben ser capaces de comunicar las ideas complejas a las personas que no cuentan con antecedentes científicos. La mejor representación a utilizar en la transmisión exitosa de la información variará de una persona a otra. Algunas estarán convencidas con una grá fica bien dibujada, y otros requerirán una imagen. Los físicos a menudo son persuadidos para estar de acuerdo con un punto de vista mediante el examen de una ecuación, pero las personas que no lo son quizá no estén convencidas con esta representación matemática de la información.

Un problema en palabras es una representación de un problema. En el “mundo real” al que va a entrar después de la graduación, la representación inicial de un problema puede ser solo una situación existente, como los efectos del cambio climático o un paciente en peligro de morir. Es posible que tenga que identificar los datos e información importantes, y luego ¡plantear la situación usted mismo con un problema en palabras equivalente!

Considerar representaciones alternativas puede ayudarle a pensar en la información del problema de varias maneras diferentes para entenderlo y resolverlo. Varios tipos de representaciones pueden ser de útiles en este esfuerzo:

● Representación mental. De la descripción del problema, imagine una escena que describe con palabras lo que está sucediendo en él; deje que el tiempo pase para que entienda la situación y pueda predecir qué cambios ocurrirán. Este paso es importante para acercarse a cada problema. ● Representación pictórica. Dibujar una imagen de la situación descrita en el problema con palabras puede ser de gran ayuda para comprenderlo. En el ejemplo 1.1, la representación pictórica de la figura 1.2 nos permite identificar al triángulo como modelo geométrico del problema. En arquitectura, un proyecto es una representación pictórica de un edificio propuesto. En general, una representación gráfica describe lo que vería si observara la situación del problema. Por ejemplo, la figura 1.3 muestra una representación pictórica de un jugador de béisbol que golpea un foul corto. Cualquier sistema de ejes coordenados incluidos en su representación pictórica estará en dos dimensiones: ejes x y y. ● Representación pictórica simplificada. A menudo es útil redibujar la represen tación pictórica sin complicar los detalles aplicando un modelo simplificado. Este proceso es similar al análisis del modelo de partícula descrito anteriormente. En una representación pictórica de la Tierra en órbita alrededor del Sol, usted puede dibujar la Tierra y el Sol como esferas, con la posibilidad de que algunos intenten dibujar continentes para identificar cuál esfera es la Tierra. En la representación pictórica simplificada, la Tierra y el Sol se dibujan simplemente como puntos, representando partículas, con leyendas apropiadas. La figura 1.4 muestra una re presentación pictórica simplificada que corresponde a la represen tación pictórica de la trayectoria de la pelota de béisbol en la figura 1.3. Las notaciones v x y v y se refieren a las componentes del vector velocidad para la pelota de béisbol. Vamos a utilizar estas representaciones pictóricas simplificadas a lo largo del libro. ● Representación gráfica. En algunos problemas, dibujar una gráfica que describa la situación puede ser muy útil. En mecánica, por ejemplo, las gráficas posicióntiempo pueden ser de gran ayuda. Del mismo modo, en termodinámica, las gráficas presión-volumen son esenciales para entender. La figura 1.5 muestra una representación gráfica de la posición como una función del tiempo de un bloque en el extremo de un resorte vertical, que oscila hacia arriba y hacia abajo. Esta gráfica es útil para entender el movimiento armónico simple. Una representación gráfica es diferente de una representación pictórica, que es también un despliegue en dos dimensiones de la información, pero cuyos ejes, si los hay, representan las coordenadas de longitud. En una representación gráfica, los ejes pueden re presentar dos variables cualesquiera relacionadas. Por ejemplo, una representación gráfica puede tener ejes para la temperatura y el tiempo. La gráfica de la figura 1.5 tiene ejes de posición vertical y y tiempo t. Por tanto, en comparación con una representación pictórica, una representación gráfica no es generalmente algo que vería cuando observa la situación del problema con sus ojos. ● Representación tabular. A veces es útil organizar la información en forma tabular para que sea más clara. Por ejemplo, algunos estudiantes encuentran que es útil hacer tablas de cantidades conocidas y cantidades desconocidas. La tabla periódica de los elementos es una representación tabular extremadamente útil de información en química y física. ● Representación matemática. El objetivo final de resolver un problema es a menudo la representación matemática. Desea pasar de la información contenida en el problema en palabras, a través de diversas representaciones de este que le permitan entender lo que está sucediendo, a una o más ecuaciones que representan la situación y que se pueden resolver matemáticamente para obtener el resultado deseado.

Para ver las figuras a color, acceda al código

Figura 1.3 Una representación pictórica de un foul bateado por un jugador de béisbol.

vx

S v

vy

Figura 1.4 Una representación pictórica simplificada para la situación que se muestra en la figura 1.3.

y

Figura 1.5 Una representación gráfica de la posición como función del tiempo de un bloque que cuelga de un resorte y está oscilando.