INTRODUCCI Ó N AL con aplicaciones y software

Carlos Daniel Prado Pérez Rubén Darío Santiago Acosta

Introducción al álgebra lineal con aplicaciones y software

Primera edición

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Introducción al álgebra lineal con aplicaciones y software.

Dedicatoria

Con el correr de los años y la adquisición de la experiencia en todo arte y disciplina, resulta muy intrincado recordar a quiénes se deben los saberes con los que contamos. Por lo tanto, dedico este trabajo a todos mis profesores, compañeros y alumnos, quienes de una forma u otra han contribuido en mi propio aprendizaje del Álgebra Lineal.

Carlos Daniel Prado Pérez

A todos los que siempre me han inspirado: Geraldine, Aurora, Paulina, Madeleine, David y Diego

Rubén Darío Santiago Acosta

Acerca De Los Autores

Carlos Daniel Prado Pérez

El profesor Prado es Licenciado en física y matemáticas por la Escuela Superior de Física y Matemáticas del IPN (1984) y Maestro en ciencias por el CINVESTAV del IPN (1987). Ha sido profesor del Tec de Monterrey desde 1991 y también lo fue de la Universidad Autónoma Metropolitana, de la Escuela Superior de Física y Matemáticas y de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica, Sección de Graduados del IPN. Es autor y coautor de libros sobre las siguientes temáticas: teoría de la probabilidad (a nivel posgrado), integración estocástica, señales y sistemas lineales, precálculo, cálculo diferencial e integral para ingeniería, ecuaciones diferenciales, álgebra compleja con aplicaciones y educación matemática. Ha obtenido los siguientes reconocimientos: primer lugar en la categoría de ensayo educativo por la FIMPES, primer lugar por innovación educativa en dos ocasiones; Borrego de Oro, en dos ocasiones; primer lugar en el intercambio de experiencias académicas, todos ellos en el Tec de Monterrey. Y ha sido ponente en aproximadamente 90 ocasiones en México y el extranjero en foros académicos entre los que destacan: Sociedad Matemática Mexicana, College Board, ANFEI, Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa del CINVESTAV, Tec de Monterrey en diversos Campus, Facultad de ingeniería de la UNAM, Instituto Politécnico Nacional, Asociación Nacional de Profesores de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana, Universidad Autónoma de Guadalajara, Instituto Tecnológico de Tijuana.

Rubén Darío Santiago Acosta

Universitario egresado de la Facultad de Ciencias y colaborador del ITESM-CEM por más de 30 años. Ha obtenido diversos premios por la aplicación de tecnologías y herramientas didácticas en la enseñanza de la física y las matemáticas. Dentro de sus intereses actuales se encuentra la modelación de las ciencias mediante la aplicación del cómputo científico y el uso de herramientas computacionales. Ha publicado artículos de innovación educativa y de su área de especialidad y es ponente asiduo en congresos nacionales e internacionales.

Prefacio

Este libro trata de las nociones algebraicas que empezaron a trabajarse a principios del siglo XIX y que se fueron organizando alrededor de tres corrientes de ideas que se desarrollaron paralelamente y sin influencias recíprocas importantes hasta los últimos años del mismo siglo. De una de ellas, cerca de 1840, se deriva el desarrollo del álgebra lineal en el sentido moderno.

Aunque hoy en día la idea de matriz precede a la de determinante, históricamente no fue así sino al contrario. Uno de los precursores del álgebra lineal, Cayley, admitió haber utilizado la idea de matriz a partir de la de determinante, como una forma útil y manejable para expresar los sistemas de ecuaciones lineales. De hecho, desde los comienzos del siglo XIX se da un desarrollo continuo e importante en la teoría de determinantes debido sobre todo a los trabajos de Gauss, trabajos que hoy en día muchos especialistas consideran como el punto de transición entre la época cartesiana y la moderna. De esta forma, hacia 1850, Cayley en Inglaterra constituyó al conjunto de las matrices con sus operaciones como el “álgebra”.

En la actualidad, las ideas que emanan del álgebra lineal permean casi por doquier cualquier disciplina de las ciencias exactas, las sociales, las económico-administrativas y por supuesto las de la ingeniería.

La obra se ha dividido en 7 capítulos en los que se discuten los temas principales de lo que podría llamarse Introducción al Álgebra Lineal. A continuación presentamos una breve descripción de los siete capítulos del libro.

Uno de los prerrequisitos del álgebra lineal corresponde al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones. En el capítulo 1 se verá que muchos conceptos y propiedades se desprenden de algún sistema de ecuaciones lineales asociado. En particular los sistemas de ecuaciones lineales homogéneos son muy importantes. Asimismo, se definen y aplican las operaciones elementales entre filas que permiten establecer el método de eliminación de Gauss para la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

En el capítulo 2 se define el concepto de matriz y las operaciones más importantes asociadas con este ente matemático. Las operaciones elementales entre filas así como las reglas del álgebra de matrices son aspectos que revestirán una enorme importancia en el desarrollo subsiguiente.Aunque no existe la operación de división entre matrices, soslayaremos esta carencia mediante el concepto de matriz inversa y estableceremos algunos de los resultados asociados más importantes. En particular, volveremos al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales desde la óptica de las matrices.

En el capítulo 3 definimos la función determinante mediante permutaciones. Después, establecemos las propiedades más importantes de la función determinante que utilizaremos tanto para el cálculo como para la determinación de la existencia de una matriz inversa. Estableceremos un resultado que permite calcular la matriz inversa (cuando existe) mediante cofactores. Cerramos el capítulo con un resultado conocido como la regla de Cramer que es útil para resolver sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas.

En el capítulo 4 defi nimos el concepto de espacio vectorial y subespacio vectorial. Se estudian como casos particulares los espacios de vectores en 2 , 3 y de manera más general n. Establecemos el importante concepto de combinación lineal y de subespacio generado. Sin restar importancia a los otros capítulos, éste representa la parte medular del libro. Se definen dependencia e independencia lineal y se enuncia el teorema que afirma que todo conjunto de vectores de con una cardinalidad superior a n es linealmente

Introducción al álgebra lineal con aplicaciones y software dependiente. Con estas ideas se establece el concepto de base de un espacio vectorial y el de dimensión. Se establece el teorema que afirma que un conjunto linealmente independiente de n vectores en un espacio de dimensión n es una base del espacio. Dada una base del espacio vectorial, definimos y obtenemos las coordenadas de un vector. Finalmente definimos una operación llamada producto interior con la que podremos dotar al espacio vectorial de una geometría en la que estudiaremos algunas propiedades importantes. Cerramos el capítulo describiendo y aplicando un proceso llamado proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt.

En el capítulo 6 definimos un tipo especial y muy importante de funciones entre espacios vectoriales a las que llamaremos transformaciones lineales. Estableceremos algunas propiedades importantes entre las que destaca la siguiente: si T es una transformación lineal de V a W, entonces: el núcleo de T es un subespacio de V y la imagen de T es un subespacio de W. Una transformación lineal muy importante es la que se establece a partir de una matriz, estudiaremos la interconexión existente entre transformaciones lineales y matrices.

Y, por último, en el capítulo 7 profundizamos en un tipo de transformación lineal muy importante que se refiere al de una transformación que tiene como dominio y contradominio al mismo espacio vectorial. Si éste es el caso, es posible bajo ciertas condiciones obtener una representación matricial muy cómoda para la transformación lineal. Para realizar el estudio de viabilidad de esta posibilidad así como de sus propiedades tanto algebraicas como geométricas, estudiaremos en este capítulo el muy importante concepto de vector propio (o característico). Este capítulo representa una nutrida aplicación y resumen de muchos de los conceptos y resultados estudiados en los capítulos anteriores. Cerramos el capítulo con una interesante aplicación geométrica que se refiere a la rotación de los ejes principales del espacio 2

Como parte de la estructura de esta obra, se presenta primero el contenido teórico, después ejemplos resueltos paso a paso para facilitar la comprensión de los procedimientos, más adelante están los ejemplos de aplicación, ejercicios propuestos en los que los estudiantes deberán poner en práctica lo aprendido, vienen las respuestas a los ejercicios propuestos y finaliza con la sección Matemáticas en contexto, que es una pequeña muestra de los potenciales usos del álgebra lineal a otros contextos y áreas del saber.

Queremos finalmente responder una pregunta básica: ¿por qué otro libro de álgebra lineal? Quien se haya formulado esta pregunta es porque en su mente existen textos sobre la materia de una calidad innegable, varios de los cuales se han convertido en "clásicos". Nuestro propósito en este sentido va encaminado a proponer, donde así sea posible, una visión "no tan clásica" de los conceptos, un abanico amplio sobre usos potenciales, y la forma como parte del software disponible (aquí Mathematica y Excel) puede ayudar a afrontar las enormes "faenas" que se requieren en cuanto a los aspectos operativos del álgebra lineal.

Esperamos que nuestro propósito, salga a la luz en la medida que el lector avance en el libro.

Losautores