Sistemas de ecuaciones lineales
Índice de capítulo
1.1 Ecuación lineal
1.2 Sistema de ecuaciones lineales
1.3 Solución de un sistema de ecuaciones lineales.
Método de eliminación de Gauss
1.4 Método de Gauss-Jordan
Introducción
El presente capítulo representa en sí mismo un objetivo y una herramienta indispensables en el desarrollo de las ideas de este libro. En efecto, muchos de los elementos sustanciales del álgebra lineal terminan asociados en su análisis y conclusión a la solución o consideración cualitativa de un sistema de ecuaciones lineales. Se desarrollará una metodología de gran valor para los propósitos de esta materia: la “reducción gaussiana” , importante no solo por sus cualidades metodológicas sino también por su enorme valía para interpretar varios elementos fundamentales del álgebra lineal. Se hará una presentación que contemple únicamente a los números reales; sin embargo, las mismas técnicas pueden llevarse un paso más allá, permitiendo el uso de números complejos.
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1 1 CAPÍTULO
1.1 Ecuación lineal
La génesis de este tema lo constituye el concepto de ecuación lineal. Una ecuación lineal tiene la forma, por ejemplo de: 2x 1 5y 5 4. En esencia, una “combinación” de una o más variables aparecen con exponente 1 y son afectadas por coeficientes constantes. Más extensamente, una ecuación lineal tiene la forma:
a1x1 1 a2 x2 1 1 a n x n 5 b (1)
Donde los coeficientes: a1, a2,…, a n son constantes, y x1, x2,…, x n son las variables, o incógnitas de la ecuación.
Cuando son dos o tres variables podemos conseguir una interpretación geométrica de una ecuación lineal. En el caso de una ecuación tal como: ax 1 by 5 c, tenemos una representación en el plano cartesiano: una recta, como la que aparece en la figura 1.1.
En cuanto al caso de tres variables o incógnitas: ax 1 by 1 cz 5 d , tenemos un plano en el espacio tridimensional. El aspecto sería como el que se muestra en la figura 1.2.
2
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
1 y x 1 2 3 0 −1 −2 −3 −4
Figura 1.1 Representación gráfica de una ecuación lineal en dos variables.
0 −2 −2 1 z y x 1 0 0 1 1 2 2 2 4 −2
Figura 1.2 Representación gráfica de una ecuación lineal en tres variables.
Al resolver una ecuación lineal, significa que hallaremos un conjunto de valores para las incógnitas (que representaremos a nivel vectorial), mismos que al ser sustituidos en el lugar de las variables, provocarán que la expresión matemática resulte una proposición verdadera.
Ejemplo 1.1 u 5 (1, 2,3) es una solución de la ecuación 2x y 1 z 5 7, porque al sustituir x 5 1, y 5 2, z 5 3 en la ecuación, ésta se convertirá en una proposición verdadera.
Observemos cómo de u 5 (1, 2,3), se leyó, como tradicionalmente se hace, que:
u 5 (1, 2,3) 5 (x,y,z),
De donde x 5 1, y 5 2, z 5 3. También vale la pena notar que la ecuación lineal del ejemplo anterior tiene una infinidad de soluciones, es decir, la combinación: x 5 1, y 5 2, z 5 3, no es la única posible (el lector podrá hallar con facilidad otras soluciones). Grosso modo, este hecho, que estudiaremos con más detalle más adelante, se presentará toda vez que haya más incógnitas que ecuaciones. En nuestro caso, tenemos 3 variables, y una única ecuación. Finalmente, se le pide al lector que lea u 5 (1, 2,3) como solución vectorial, y no x 5 1, y 5 2, z 5 3 como tres soluciones, esta lectura será en todo caso, incorrecta. El interés de la metodología que desarrollaremos en las siguientes secciones se enfocará en hallar la totalidad de soluciones de una ecuación lineal, más aún, de un sistema de ecuaciones lineales.
1.2 Sistema de ecuaciones lineales
Ahora, dirigiremos la discusión a la consideración de un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo:
2 x y + 4 z + 5w = 1
3 x z + 4w = 3
Primero, señalaremos que el número de incógnitas no es igual al número de ecuaciones. El método de reducción gaussiana nos proveerá de una estrategia general para resolver sistemas de ecuaciones lineales sin distinguir sobre el número de ecuaciones e incógnitas. Más aún, el método nos permitirá reconocer la “verdadera naturaleza” del sistema en cuestión. De manera más general, consideremos un sistema de m ecuaciones con n incógnitas:
Una solución (recordemos: ¡siempre en formato vectorial!) de un sistema como éste, es un vector u 5 (k1, k2, …, k n) tal que, si las incógnitas se sustituyen en cada una de las ecuaciones del sistema, es decir, si colocamos:
Hallaremos m proposiciones verdaderas, una por cada ecuación.
1.2
3
Sistema de ecuaciones lineales
x1, x2, …, x n, a11x1 1 a12x2 1 1 a1n x n 5 b1 a21x1 1 a22x2 1 1 a2n x n 5 b2 (2) ………………………………… a m1x1 1 a m2x2 1 … 1 a mn x n 5 b m
x1 5 k1, x2 5 k2, …, x n 5 k n
Ejemplo 1.2 Para el sistema:
Una solución es:
Dejamos al lector la verificación de que si colocamos: x 5 1, y 5 1,
0,
0, ambas ecuaciones se cumplen.
También hacemos la observación de que, en todo sistema de ecuaciones lineales, el paso preliminar es que el orden de aparición de las incógnitas sea el mismo en cada ecuación. La omisión de una o más incógnitas, no será importante. Cuando los sistemas de ecuaciones lineales se vinculen con nuestra siguiente herramienta en el próximo capítulo, “matrices”, esta omisión de variables se completará con “ceros”.
Un asunto de mucha importancia, no solo para el álgebra lineal, sino para sus aplicaciones, lo constituye la consideración del sistema homogéneo asociado con (2). Éste es:
Es decir, se trata del mismo sistema (2), pero con los valores al lado derecho de cada igualdad en valor “cero”. Solo para ilustrar el posible uso potencial de esta asociación entre los sistemas homogéneos y no homogéneos, basta señalar que varios modelos de la ingeniería mecánica y eléctrica, (de manera más general, vibraciones en sistemas lineales excitados) dependen para su solución de lo que se presenta sin demostración en el siguiente teorema.
Teorema 1. Supongamos que u es una solución particular del sistema no homogéneo (2) y además que W es la solución general del sistema homogéneo asociado (3). Entonces,
u 1 W 5 {u 1 w: w W } es la solución general del sistema no homogéneo (2).
Ilustremos el resultado anterior en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.3 Fijemos algunas ideas para ilustrar el contenido del teorema anterior. Llamaremos solución particular del sistema (2), a cualquiera de sus soluciones. Solución general del sistema (3), a la “totalidad de sus soluciones” (se clarificará en breve esta idea). Entonces, lo que dice el teorema 1 es que la solución general del sistema no homogéneo se puede construir como la “suma” de la solución general del sistema homogéneo con cualquier solución particular del sistema no homogéneo.
Por ejemplo, u 5 (4, 4,0) es una solución particular del sistema (el lector debe verificar):
Mientras que:
4
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
2 x y + 4 z + 5w = 1 3 x z + 4w = 3
u 5 (x,y,z,w) 5 (1,1,0,0).
z
5
w =
a11x1 1 a12x2 1 1 a1n x n 5 0 a21x1 1 a22x2 1 1 a2n x n 5 0 (3) ………………………………… a m1x1 1 a m2x2 1 … 1 a mn x n 5 0
x + 2 y 3 z = 4 2 x + y 3 z = 4
S 5 {(t, t, t): t }
Solución de un sistema de ecuaciones lineales. Método de eliminación de Gauss
Es la solución general del sistema homogéneo asociado (solo se debe sustituir en cada ecuación del sistema: x 5 t, y 5 t, z 5 t):
x + 2 y 3 z = 0
2 x + y 3 z = 0
Entonces, la solución general del sistema de ecuaciones es:
(4, 4,0) 1 S 5 {(4 1 t, 4 1 t,t):t }
Cabe señalar que este resultado tendrá una faceta más práctica, metodológica y sistemática que la que aquí se presenta, por lo tanto, la intención del teorema 1 va encaminada a su posible uso potencial en otras áreas de la matemática y sus aplicaciones.
1.3 Solución de un sistema de ecuaciones lineales. Método de eliminación de Gauss
El método de reducción, o eliminación gaussiana es, en el fondo, la generalización del método de suma y resta para la solución de un sistema de ecuaciones lineales, que seguramente se le presentó al lector en su formación preparatoriana. Sus componentes principales son:
a) El sistema debe estar ordenado, no importa cómo, solo que lo esté.
b) El primer coeficiente de la primera ecuación (al que llamaremos coeficiente principal o pivote), debe ser diferente de cero con relación al orden elegido en el paso anterior.
c) En el método subyace la idea de eliminar por repetición de éste, las primeras variables tal y como se ilustrará en el ejemplo 1.4. La estrategia continuará por aplicación repetida del mismo método, hasta obtener una forma a la que se le conoce como “forma escalonada”, en ésta las primeras variables se van eliminando como si se avanzara de izquierda a derecha. El método se detendrá hasta que esta idea no se pueda replicar más.
d) La solución general del sistema (homogéneo o no homogéneo) se obtendrá desde la última ecuación del sistema, en su forma escalonada, hasta la primera. Algunos autores llaman a esta estrategia: solución hacia atrás.
Ejemplo 1.4 Resolver el sistema de ecuaciones.
2 x + 3 y z = 2
3 x y + z = 16
Un aspecto importante que debemos garantizar en el proceso de reducción gaussiana es el de “equivalencia (algebraica)”. Es decir, debemos asegurarnos de que la información del
5
1.3
y + z
= 2
sistema original sea la misma a lo largo de todo el proceso, y que no se pierda bajo ninguna circunstancia (por ejemplo, podríamos perder información de alguna de las ecuaciones del sistema si se multiplicaran ambos lados de una ecuación por “cero”).
Para hallar la solución del sistema anterior reordenamos, para garantizar que el pivote en la primera ecuación (según el orden elegido), sea diferente de cero. Es conveniente un poco de práctica para intercambiar la primera y la segunda de las ecuaciones, obtenemos:
2 x + 3 y z = 2...(1) y + z = 2...(2)
3 x y + z = 16...(3)
Observemos que la segunda ecuación no empieza con “x”, por lo tanto, podemos pasar directamente a la ecuación (3) para eliminar a “x” de ella (si la ecuación (2) tuviera “x”, iniciaríamos con la eliminación de esta variable de la ecuación (2)). Procedemos por “suma y resta” con las ecuaciones (1) y (3). La ecuación (1) se considerará “ecuación pivote”, esto significa que no deberá ser modificada, solo la copiaremos en lo que sigue. Modifiquemos la ecuación (3), el método seguido, eliminación gaussiana, garantiza (no se demuestra en este trabajo) que no se alterará la información que contiene. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la tercera por 2 y las restamos, buscamos eliminar a “x”, hallamos:
Ya no hay “x” en las dos últimas ecuaciones. El sistema de ecuaciones equivalente al original queda:
2 x + 3 y z = 2...(1)
y + z = 2...(2)
11 y 5 z = 26...(3)
Ahora, a partir de la tercera ecuación, eliminemos la variable “y”, las dos primeras ecuaciones solo se copian. Por decirlo de alguna forma, con la primera ecuación a nivel de pivote, modificamos a partir de la ecuación (2); terminada esta etapa, la ecuación (1) solo se copia, y tomamos la fila (2) como pivote, para eliminar la siguiente variable en el sistema con todas las ecuaciones por debajo de la ecuación pivote. Si el sistema fuese más grande, la misma idea se replica. En cada etapa, la ecuación pivote cambia, y se modifica con toda ecuación que quede por debajo de ella, esto es lo que significa que la eliminación de las variables se va recorriendo de izquierda a derecha. Cambiemos ahora la tercera ecuación de este último sistema. Para hacerlo, multipliquemos la segunda ecuación por 11 y restémosla de la tercera, es decir:
11 y 5 z 11 y + z [] = 26 112() ; 11 y 5 z 11 y 11z = 26 22; 16 z = 48
6
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
32 x + 3 y z [] 23 x y + z [] = 32() 216() ; 6 x + 9 y 3 z 6 x + 2 y 2 z = 6 32; 11 y 5 z = 26
Obtenemos ahora el sistema equivalente: 2 x + 3 y z = 2...(1) y + z = 2...(2) 16 z = 48...(3)
Ahora usamos la idea de solución hacia atrás, iniciamos con la ecuación (3). Se ve fácilmente que z 5 3. Sustituyendo en la segunda ecuación, resulta y
y sustituyendo finalmente en la primera: 2x 5
esta forma, el sistema tiene la única solución expresada en forma vectorial como: u 5 (4, 1,3). Nótese que no decimos que el sistema tenga 3 soluciones, se trata de una sola solución que se debe expresar en forma vectorial.
De la aplicación de este método surgirán generalidades que valdrá la pena tener en mente. Escribamos con “S” la solución general de un sistema de ecuaciones, homogéneo o no homogéneo. Resumimos las referidas observaciones con lo siguiente:
a) El método de Gauss reduce la cantidad de ecuaciones, nunca el número de variables.
b) Si en el proceso obtenemos una ecuación de la forma: 0 ? x1 1 0 ? x2 1 1 0 ? x n 5 b, b 0, es decir, 0 5 b, b 0
No hay más que hacer, solo se concluye que esta inconsistencia es insalvable con relación a la búsqueda de una solución. Matemáticamente nos expresamos escribiendo: S 5 f, el conjunto vacío. El sistema no tiene solución, y lo llamamos sistema inconsistente. Éste informa que dos, o más de nuestras ecuaciones entraron en “conflicto”, puede ser reflejo de un planteamiento incorrecto de un problema concreto.
c) También es posible que, en el camino, obtengamos una ecuación de la forma:
En este caso, avanzaremos en el sentido de decir que dos o más de nuestras ecuaciones “contienen la misma información”, o en su defecto, que la combinación (en el sentido que precisaremos en capítulos posteriores), es tal que alguna o algunas de nuestras ecuaciones son intrascendentes porque su información puede obtenerse de las restantes, así no será necesario tenerla cargada en el sistema. El método de Gauss refleja este comportamiento del sistema con alguna, o algunas ecuaciones de la forma:
Cuando esto ocurra, éstas podrán ser eliminadas del sistema sin perjuicio a la equivalencia algebraica que ya hemos señalado.
d) Cuando se ha completado el proceso hasta la forma escalonada, existe (esto es un teorema no demostrado en este trabajo) un número de suma importancia:
Donde, “n” es el número de incógnitas y “r” es el número de ecuaciones. Subyacen las siguientes conclusiones: i) si n r 5 0, el sistema tiene una solución
1.3 Solución de un sistema de ecuaciones lineales. Método de eliminación de Gauss 7
5 2 z 5 2 3 5 1,
2 3y 1 z 5 2 1 3 1 3 5 8 x 5 4. De
0 x1 1 0 x2 1 1 0 x n 5 0
0 ? x1 1 0 ? x2 1 1 0 ? x n 5 0
n r
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
única. ii) Si n r . 0, el sistema tendrá una infinidad de soluciones. De hecho, n r contabiliza el número de las llamadas variables libres. Dada la importancia de esto último, repetimos:
n r 5 númerodevariableslibres
Lo que señalamos a continuación es de suma importancia: n r, solo podrá calcularse o leerse en la forma escalonada. Cabe decir que, garantizado por el mismo método, en la forma escalonada siempre será: n $ r
Queda pendiente indicar qué es una variable libre: es cualquier variable en la forma escalonada del sistema de ecuaciones que NO inicie ninguna de ellas. Como el nombre lo indica, en principio podremos dar a una variable libre el valor que queramos, de ahí que el sistema tenga una infinidad de soluciones. En otras palabras, la presencia de tan solo una variable libre garantizará que el sistema cuente con una infinidad de soluciones.
La siguiente figura es una síntesis de lo que se ha señalado: Sistemas de ecuaciones lineales
soluciónúnica: n = r
consistentes
infinidaddesoluciones: r < n
inconsistentessinsolución
En los ejemplos 1.5 y 1.6 se ilustra lo que se acaba de presentar.
Ejemplo 1.5 Analicemos el siguiente sistema de ecuaciones.
x + y z = 1
2 x + y + z = 0
y 3 z = 1
Observamos que el sistema está ordenado, y que el coeficiente de la primera incógnita de la primera ecuación es diferente de cero. Eliminemos “x” de la segunda ecuación; multiplicamos la primera por 2 y restamos la segunda ecuación, hallamos: 2( x + y z ) (2 x + y + z ) = 2(1) 0; y 3 z = 2
El sistema equivalente es: x + y z = 1 y 3 z = 2 y 3 z = 1
8
{
Figura 1.3 Diagrama general sobre posibilidades para un sistema de ecuaciones lineales.
¡Qué resultado tan interesante! A simple vista se aprecia en la segunda versus tercera ecua ción, que algo resultará mal: la misma combinación de incógnitas, no puede dar resultados diferentes. Podemos anticipar a priori, que el sistema será inconsistente, por lo tanto, sin solución. Si avanzamos un poco más, la reducción gaussiana a la forma escalonada revelará lo siguiente. Eliminemos “y” de la tercera ecuación, nos apoyamos en la segunda. Restemos la ecuación tres de la segunda, encontramos:
y 3 z ( y 3 z ) = 2 1,es decir,0 = 1
¡Imposible!, bajo toda combinación de las incógnitas x, y, z. No podemos avanzar, estamos listos para concluir, el sistema final, quedaría:
x + y z = 1 y 3 z = 2 0 = 1
Un sistema inconsistente, por lo tanto, sin solución. En símbolos: S 5 f.
Ejemplo 1.6 Analicemos el siguiente sistema de ecuaciones.
Observemos que el sistema está ordenado, y el coeficiente de la primera incógnita de la primera ecuación es diferente de cero. Eliminemos “x” de la segunda ecuación; multiplicamos la primera por 2 y restamos la segunda ecuación:
El sistema equivalente es:
Observemos la repetición de las ecuaciones segunda y tercera. El sentido común nos dictaría que son lo mismo, por lo que no tendría ningún sentido cargar con ambas, basta una sola de ellas. Y, ¿si no nos diéramos cuenta?, continuemos con el método de eliminación. La primera ecuación, la copiamos. La segunda es pivote, eliminamos “y” de la tercera ecuación. Restemos la ecuación tres de la segunda, queda:
3z ( y 3z) 5 2 2; es decir, 0 5 0
1.3
9
Solución de un sistema de ecuaciones lineales. Método de eliminación de Gauss
x +
1 2 x + y + z
0 y 3 z = 2
y z =
=
2( x +
z ) (2 x +
+ z
2(1)
y 3
y
y
) =
0;
z = 2
x
y
y
+ y z = 1
3 z = 2
3 z = 2
y
El sistema se simplifica en:
x + y z = 1
y 3 z = 2
0 = 0
Ante el hecho irrefutable de que 0 5 0, (observación c) anterior), no tiene sentido cargar con ello. Nos quedamos con el sistema-equivalente:
x + y z = 1
y 3 z = 2
Éste está en su forma escalonada. Aquí podemos leer el número de variables libres, para nuestro caso: n r 5 3 2 5 1: variableslibres. Con esto sabemos que el sistema cuenta con una infinidad de soluciones. Señalamos que una variable libre es cualquier variable que no inicia ninguna ecuación de la forma escalonada, de esta manera, “x” no es libre porque inicia la primera ecuación, por una razón similar, “y” no es libre, porque empieza la segunda ecuación con ella. Como sabemos que hay una variable libre, y que ni “x”, ni “ y” lo son, no hay más que una posibilidad: “z” es nuestra variable libre. A ésta le podemos asignar el valor que queramos, por ejemplo, si z 5 0, con la estrategia de solución hacia atrás, determinamos que: y 5 2, x 5 1. De esta forma, u 5 ( 1,2,0) sería una de sus soluciones. Está claro que podríamos elegir otro valor para la variable libre “z”, y otro más hasta la infinidad de posibilidades. Esto hace que el sistema tenga una infinidad de soluciones. Es posible representar todas ellas, con una escritura concisa tal y como se muestra a continuación. Demos, por ejemplo, a “z” el valor de “k”, entonces de la segunda ecuación resulta:
De la primera:
La solución general se puede expresar como:
S 5 {( 1 2k, 2 1 3k,k): k }
Algunos autores no ven la necesidad (¡y tienen razón!), de hacer el cambio artificial: z 5 k , basta ubicar como libre a la variable “ z ”. Si es el caso, podríamos expresar la solución general anterior como: S 5 {( 1 2z, 2 1 3z, z): z }. En este libro nos daremos la libertad de cualquiera de las dos posibilidades.
Nota: a) Debido al teorema 1, podemos comprender que, en el fondo de las cosas, para un sistema de ecuaciones cualquiera, su comportamiento en términos de que tenga una o una infinidad de soluciones depende del sistema homogéneo asociado. Si éste tiene solución única, lo mismo ocurrirá con el sistema no homogéneo del que provenga, si cuenta con una infinidad de soluciones, lo mismo sucederá con el sistema no homogéneo asociado.
10
Sistemas de ecuaciones
Capítulo 1
lineales
y 5 2 1 3z 5 2 1 3k
x 5
1 y 1 z 5 1 (2 1 3k) 1 k 5 21 2k
b) También cabe señalar que a simple vista los ejemplos 1.5 y 1.6 parecen “casi lo mismo”, pero su verdadera naturaleza resulta en conclusiones diametralmente opuestas. Mientras que en el ejemplo 1.5, el sistema no tiene solución; el sistema del ejemplo 1.6, cuenta con una infinidad de soluciones. De manera general, es el método de eliminación el que saca a la luz las enormes diferencias cualitativas entre un sistema y otro. De esta forma, la reducción gaussiana se comporta como una “red de pesca” que nos permite sustraer lo más importante de un sistema.
c) Todo sistema homogéneo es consistente. En efecto, si el lector revisa cómo se conforma uno de estos sistemas (ver (3)), coincidirá en que, de entrada, la solución trivial, es decir, la solución con todas las entradas o variables cero (en símbolos: u 5 (0,0,…,0)), siempre será solución del mismo. De acuerdo con nuestro diagrama general, figura 1.3, éste deja solo dos posibilidades: que el sistema homogéneo tenga solución única, en cuyo caso, por fuerza, será la solución trivial, o una infinidad de soluciones. De acuerdo con lo discutido, ambos casos dependerán, como ya se ha señalado, del número: n r, de la forma escalonada.
Las posibilidades hasta aquí descritas tienen una clara interpretación gráfica, que tiene como soporte lo que se indicó ya desde las figuras 1.1 y 1.2. Las figuras 1.4 a 1.10 se explican mediante sus encabezados.
1.3 Solución de un sistema de ecuaciones lineales. Método de eliminación de Gauss 11
1 y x 1 2 3 0 −1 −2 −3 −4 1 y x 1 2 3 0 −1 −2 −3 −4
Figura 1.4 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, consistente con solución única.
1 y x 1 2 3 0 −1 −2 −3 −4
Figura 1.5 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas inconsistente, sin solución.
Figura 1.6 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas consistente, con infinidad de soluciones (en la forma escalonada solo queda una ecuación de trascendencia).
1.4 Método de Gauss-Jordan
Ya hemos visto que aplicando el método de eliminación de Gauss se obtiene un sistema escalonado equivalente al sistema original. Si al determinar la solución aplicamos operaciones adicionales entre las ecuaciones del sistema en su forma escalonada, en lugar de hacer sustitución hacia atrás, podremos lograr que los coeficientes principales (es decir, el coeficiente de la primera variable de cada ecuación) sea el único coeficiente diferente de cero e igual a 1. Ejemplificamos la idea al continuar la solución del sistema que se resolvió anteriormente por el método de eliminación de Gauss y sustitución hacia atrás.
12
0 −2 −2 1 z y x 1 0 0 1 1 2 2 2 4 −2 0 −5 −2 1 z y x 1 0 0 1 1 2 2 5 −2
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
Figura 1.7 Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, consistente con solución única.
0 10 −2 z y x 0 0 2 2 10 −2 0 0 5 5 −5 −5 −5 10 5 0 y x z
Figura 1.8 Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, en su reducción a la forma escalonada la solución determina una recta en el espacio. El sistema tiene una infinidad de soluciones.
Figura 1.9 Sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas, inconsistente.
Figura 1.10 Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas inconsistente.
Ejemplo 1.7 Consideremos nuevamente el sistema de ecuaciones del ejemplo 1.3. y + z = 2
2 x + 3 y z = 2
3 x y + z = 16
Recordemos que se obtuvo el siguiente sistema en forma escalonada:
2 x + 3 y z = 2...(i) y + z = 2...(ii) 16 z = 48...(iii)
Si multiplicamos la segunda ecuación por 16 y sumamos el resultado con la tercera hallamos:
16 y + z [] 16 z = 162() 48; 16 y + 16 z 16 z = 32 48; 16 y = 16
Si ahora multiplicamos la ecuación (i) por 16 y sumamos con la ecuación (iii), obtenemos:
Notemos que ahora hemos empezado desde la última ecuación de la forma escalonada y hemos buscado reducir incógnitas en las ecuaciones de arriba. Hasta aquí el sistema equivalente es:
32 x 48 y = 80...(i) 16 y = 16...(ii) 16 z = 48...(iii)
Si en el último sistema multiplicamos la ecuación (ii) por 3 y sumamos la ecuación (i) obtenemos:
1.4 Método de Gauss-Jordan 13
16
162
16
16
32
162 x + 3 y z []
z =
() 48; 32 x 48 y +
z
z =
48; 32 x 48 y = 80
316 y [] 32 x 48 y = 3 16 () 80; 48 y 32 x 48 y = 48 80; 32 x = 128
Por lo tanto, el sistema se convierte en:
32 x 16 y
= 128...(i)
= 16...(ii)
16 z = 48...(iii)
Finalmente, al normalizar (es decir, al dividir cada ecuación entre su coeficiente principal) obtenemos: x y = 4
1 z
Por supuesto, la misma solución u 5 (4, 1,3) que se obtuvo mediante eliminación gaussiana; sin embargo, en esta ocasión no utilizamos sustitución hacia atrás.
Generalizamos la idea anterior para obtener el método de Gauss-Jordan. Este método no es otra cosa sino el método de Gauss más el siguiente paso.
Comenzamos con la última ecuación del sistema en su forma escalonada, avanzamos hacia arriba tal y como se hizo en el método de eliminación de Gauss pero tomando la última ecuación como apoyo. Por operaciones similares a la eliminación gaussiana, deberán generarse ceros como coeficientes de las incógnitas de la extrema derecha del sistema de tal manera que al terminar, los únicos coeficientes diferentes de cero en cada ecuación sean los coefi cientes principales. Dividiendo cada ecuación entre su correspondiente coeficiente principal (acción que llamaremos normalizar), lograremos que los coeficientes principales sean iguales a 1.
EJEMPLOS RESUELTOS
Ejemplo 1.8
Usemos el método de eliminación de Gauss para resolver el sistema
Solución:
Iniciamos con las operaciones: L2
+ L3, el sistema se reduce a:
14
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
=
=
3
2 x + 3 y 2 z = 5 x 2 y + 3 z = 2 4 x y + 4 z = 1
L
L3 2 L
L1 + 2
2 ;
1
2 x + 3 y 2 z = 5
7 y + 8 z = 1
7 y + 8 z = 9 (*)
Ahora, con L3 L2 L3, encontramos: 2 x + 3 y 2 z = 5 7 y + 8 z = 1
0 = 8
Por la tercera ecuación, la conclusión es inmediata, el sistema es inconsistente. Si S es el conjunto solución de éste, entonces S 5
Nota: La inconsistencia del sistema puede observarse desde el sistema (*) al considerar las dos últimas ecuaciones. La misma combinación de las incógnitas en el miembro izquierdo de cada ecuación produce resultados diferentes.
Ejemplo 1.9
Resolvamos el sistema de ecuaciones lineales.
x y + z w = 5
w z + y = 7
Observamos que el sistema no está ordenado. Guiándonos por la primera ecuación, ordenamos: x, y, z, w. Tenemos:
x y + z w = 5 y z w = 7
En este punto insistimos en que el orden es una preferencia de quien resuelve el sistema. El ejemplo ilustra que debemos valorar lo que se haga en cada paso, aquí no se requiere reducir a la forma escalonada, el sistema ya lo está. Por lo tanto, podemos hacer la lectura del número n r. Para nuestro caso:
n r 5 4 2 5 2: variableslibres
De acuerdo con lo que se presentó en la sección 1.3, éstas deben ser: z, w. Con la estrategia de solución hacia atrás, empecemos con la segunda ecuación. Obtenemos: y 5 7 1 z 1 w
De la primera:
Por lo tanto, la solución del sistema queda: S 5 {(12 1 2w, 7 1 z 1 w, z, w): z, w }
El sistema es consistente con una infinidad de soluciones.
Ejemplos resueltos 15
x 5 5 1 y z 1 w 5 5 1 (7 1 z 1 w) z 1 w 5 12 1 2w
Ejemplo 1.10
Analicemos el siguiente sistema, determinando los valores posibles del parámetro “k” a fin de que el siguiente sistema sea: a) inconsistente, b) consistente con infinidad de soluciones, c) consistente con solución única.
x 3 z = 3
2 x + ky z = 2
x + 2 y + kz = 1
La idea: ajustar condiciones de interpretación para k que garanticen lo que aquí se solicita. Esta interpretación, como se ha indicado reiteradamente, depende de la forma escalonada, por lo tanto, lo primero que realizaremos será la reducción gaussiana del sistema a esta forma.
Multipliquemos la primera ecuación por 2, y restemos la segunda ecuación; con ello, eliminaremos la variable x. Tenemos:
2(x 3z) (2x 1 ky z) 5 2( 3) ( 2); ky 1 5z 5 4
Restemos ahora, la tercera ecuación de la primera:
x 3z (x 1 2y 1 kz) 5 3 1; 2y 1 (k 1 3)z 5 4
El sistema equivalente queda:
x 3 z = 3
ky + 5 z = 4
2 y + (k + 3)z = 4
Requerimos un paso más para obtener la forma escalonada. Multipliquemos la segunda ecuación por 2 y la tercera por k, luego restemos:
2(ky 1 5z) k(2y 1 (k 1 3)z) 5 2(4) 4k
Al simplificar, encontramos: (k 1 5)(2 k) z 5 4(2 k). La forma escalonada es:
x 3 z = 3
ky + 5 z = 4
(k + 5)(2 k )z = 4(2 k )
El resto depende de lo que ocurra con la última ecuación. El análisis se facilita si todo coeficiente donde aparezca k se iguala a cero. Tenemos:
(k + 5)(2 k ) = 0
2 k = 0
Los casos por analizar: k 5 5, k 5 2. La clave de la interpretación, la última ecuación de la forma escalonada. Si sustituimos k 5 5, en la última ecuación del sistema referido, obtenemos: 0 5 28, luego, una inconsistencia. Para k 5 2: 0 5 0; en cuyo caso, el número
16
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
n r 5 3 2 5 1: variableslibres, por lo tanto, el sistema sería consistente con una infinidad de soluciones. Como la clasificación mostrada en la figura 1.3 es exhaustiva y agota todas las posibilidades, el resto de los valores para k deberán corresponder al caso faltante: consistencia con solución única. De esta manera, nuestras conclusiones serían:
a) Inconsistencia: k 5 5.
b) Consistencia con infinidad de soluciones: k 5 2.
c) Consistencia con solución única: k { 5,2}.
Ejemplo 1.11
Comprobemos que el siguiente sistema de n ecuaciones y n incógnitas posee solución única y calcular la solución.
En el nuevo sistema, sumamos la segunda y la tercera ecuación. Repetimos la idea con cada uno de los siguientes sistemas obtenidos de esta manera. Determinamos:
Ejemplos resueltos 17
2 x1 + x 2 + x 3 + + xn = 1 2 x1 + x 2 + 0 x 3 + ... + 0 xn = 0 0 x1 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + + 0 xn = 0 0 x1 + 0 x 2 2 x 3 + x 4 + 0 x 5 + ... + 0 xn = 0 ........................................................ 0 x1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + ... 2 xn 1 + xn = 0 Solución: Consideremos: L2 L1 1 L2, econtramos: 2 x1 + x 2 + x 3 + + xn = 1 0 x1 + 2 x 2 + x 3 + ... + xn = 1 0 x1 2 x 2 + x 3 + 0 x 4 + ... + 0 xn = 0 0 x1 + 0 x 2 2 x 3 + x 4 + 0 x 5 + ... + 0 xn = 0 ........................................................ 0 x1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + ... 2 x n 1 + x n = 0
2 x1 + x 2 + x 3 + + x n = 1 0 x1 + 2 x 2 + x 3 + ... + x n = 1 0 x1 + 0 x 2 + 2 x 3 + x 4 + + x n = 1 0 x1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 2 x 4 + x 5 + ... + x n = 1 ........................................................ 0 x1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + ... + 2 x n 1 + x n = 1 0 x1 + 0 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + + 0 xn 1 + 2 xn = 1
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
De la última ecuación determinamos que x n 5 1 2 , de la penúltima ecuación
xn 1 = 1 x n 2 = 1 1 2 2 = 1 4 . En general, para todo i , n , deducimos que
xi = 1 x n ... xi +1 2 = 1 2n i +1 , valor obtenido de la i-ésima ecuación.
Ejemplo 1.12
Los vectores: u1, u2, ..., u m Rn 5 {(x1,x2,...,x n): xi [ R, i 5 1,2, … , n} se llaman linealmentedependientes (ld), o simplemente dependientes, si existen escalares k1, k2, …, k m, no todos iguales a cero, tales que: k1u1 1 k2u2 1 1 k m u m 5 0. En caso contrario, esto es, k 1 5 k 2 5 5 k m 5 0, los vectores se llaman linealmenteindependientes ( li ), o simplemente independientes. Determinemos si los siguientes vectores son dependientes o independientes.
u 5 (1,2, 1); v 5 (0,2,4); w 5 (2,6,2)
El tema de este problema es de suma importancia para el álgebra lineal, y por lo mismo profundizaremos más en ello en otro capítulo, por el momento basta decir que una expresión tal como: k1u1 1 k2u2 1 1 k m u m, se llama combinación lineal de los vectores: u1,u 2,..., u m. Para resolver este problema, necesitamos formar la combinación lineal de los vectores dados e igualarla con el vector cero. Como el lector podrá observar, la traducción de este planteamiento original nos permitirá el análisis de un sistema de ecuaciones lineales, hecho el análisis podremos concluir sobre la dependencia o independencia de los vectores.
Formamos
Dejamos al lector la reducción del sistema a la forma escalonada, después de las operaciones que ya se han mostrado en reiteradas ocasiones, ésta queda:
+ 2c = 0 b + c = 0
Tenemos un sistema con: n r 5 3 2 5 1 . 0, por lo tanto, según lo señalado, con variables libres. En consecuencia, el sistema admite una infinidad de soluciones, alguna de las cuales será diferente de la trivial. Esto nos indica que los vectores son linealmente depen dientes.
18
au 1 bv 1 cw 5 0; a(1,2, 1) 1 b(0,2,4) 1 c(2,6,2) 5 (0,0,0); (a 1 2c, 2a 1 2b 1 6c, a 1 4b 1 2c) 5 (0,0,0); a + 2c = 0 2 a + 2b + 6c = 0: un sistema homogéneo a + 4b + 2c = 0
la combinación lineal:
a
Es importante notar que no fue necesario resolver el sistema, con determinar su situación cualitativa nos fue posible arribar a una conclusión. Esta forma de análisis es frecuente en las diferentes temáticas del álgebra lineal.
Ejemplo 1.13
Supongamos que el sistema: ay + bx = c
+ az = b
cy = a tiene solución única. ¿Qué se puede decir
del producto abc? Hallemos en este caso la solución.
Solución:
Ordenamos el sistema y aplicamos el método de eliminación gaussiana:
Como se supone que el sistema tiene solución única, entonces de la tercera ecuación
y aplicando sustitución hacia atrás hallamos:
De manera similar, de la primera ecuación tenemos:
Observamos que para la validez de los resultados anteriores deben cumplirse ab 0, ac 0, bc 0, de esto concluimos que para que el sistema tenga solución única requerimos: abc 0.
Ejemplos resueltos 19
cx
bz
+
bx + ay = c cx + az = b cy + bz = a L 2 bL 2 cL 1 bx + ay = c acy + abz = b 2 c 2 cy + bz = a L 3 aL 3 + L 2 bx + ay = c acy + abz = b 2 c 2 2 abz = a 2 + b 2 c 2
z = a 2 + b 2 c 2 2 ab
y = 1 ac b 2 c 2 ab a 2 + b 2 c 2 2 ab = 1 ac b 2 c 2 a 2 2 b 2 2 + c 2 2 = 1 ac a 2 2 c 2 2 + b 2 2 = a 2 + c 2 b 2 2 ac
,
x = 1 b c ay [] = 1 b c a a 2 + c 2 b 2 2 ac = 1 b 2c 2 a 2 c 2 + b 2 2c = b 2 + c 2 a 2 2bc
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
Para los titulares se formulará una ecuación y para las reservas otra de tal manera que el sistema formado tendrá dos ecuaciones y tres incógnitas. Tenemos:
11x + 6 y + 5 z = 90
6 x + 6 y + 5 z = 65
Ahora aplicamos eliminación gaussiana y tenemos:
O bien, dividiendo entre 5 la última ecuación:
11x + 6 y + 5 z = 90 6 y + 5 z = 35
El resto del problema lo determinamos por condiciones adicionales propias del problema, a saber: el número de equipos debe ser entero y no negativo. Al despejar z de la última ecuación del sistema en forma escalonada, obtenemos z 5 35 6y 5 . Dando valores a y, buscaremos con cuáles se obtiene un resultado entero y no negativo. Tenemos:
y = 0 z = 7
y = 1 z : fraccionaria
y = 2 z : fraccionaria
y = 3 z : fraccionaria
y = 4 z : fraccionaria
y = 5 z = 5 5 = 1
y = 6 z < 0
Por lo tanto, hay dos posibles soluciones, la primera con y 5 0 y z 5 7, x 5 5; la segunda, y 5 5 y z 5 1, x 5 5. Rechazaremos esta última solución ya que si solo hay un equipo de basquetbol no tendrá contrincantes con quienes jugar. Por otro lado, la primera solución se interpreta diciendo que no debemos formar equipos de voleibol.
24
+ 6 y + 5 z = 65 L 2 6 L1 +11L 2
x + 6 y + 5 z = 90 30 y + 25 z = 175
11x + 6 y + 5 z = 90 6 x
11
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 1-10, resolver los sistemas dados.
1. x + 2 y 3 z + 2w = 2 2 x + 5 y 8 z + 6w = 5
3 x + 4 y 5 z + 2w = 4
2. x + 5 y + 4 z 13w = 3
3 x y + 2 z + 5w = 2
2 x + 2 y + 3 z 4w = 1
3. x + y + 2 z = 8 x 2 y + 3 z = 1
3 x 7 y + 4 z = 10
4. 2 x + 2 y + 2 z = 0 2 x + 5 y + 2 z = 1 8 x + y + 4 z = 1
x y + 2 z w = 1
5.
2 x + y 2 z 2w = 2 x + 2 y 4 z + w = 1
x 3w = 3
y +
y
z =
10. x + 5 y + 4 z 13w = 3
3 x y + 2 z + 5w = 2
2 x + 2 y + 3 z 4w = 1
Los sistemas en los ejercicios 11-13 son consistentes. Determine si tienen solución única o una infinidad de soluciones.
11. 2 x + y + 3 z = 0 x + 2 y = 0 y + z = 0
12. 3 x + y + z + w = 0 5 x y + z w = 0
2 x + 2 y + 4 z = 0
w y 3 z = 0
13.
2w + 3 x + y + z = 0
2w + x + 3 y 2 z = 0
14. ¿Para qué valor(es) de k el siguiente sistema de ecuaciones tiene soluciones no triviales?
(k 3) x + y = 0
x + (k 3) y = 0
15. Determine los valores de k tales que el sistema con las incógnitas x, y, z tenga: (i) una solución única, (ii) ninguna solución, (iii) más de una solución.
kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 1
16. ¿Para qué valores de “ a ” el siguiente sistema no tiene solución?, ¿tiene exactamente una solución?, ¿tiene una infinidad de soluciones?
x + 2 y 3 z = 4
3 x y + 5 z = 2
4 x + y + a 2 14 () z = a + 2
Ejercicios propuestos 25
2
3
4
5
2
3
6. 2
3
1 3 x + 6
3 z = 2 6 x + 6 y + 3 z = 5 7. 2 x 3 y = 2 2 x + y = 1 3 x + 2 y = 1 8. 4 x 8 y = 12 3 x 6 y = 9 2 x + 4 y = 6 9. x + 2 y 3 z + 2w = 2
x + 5 y 8 z + 6w = 5
x +
y
z +
w = 4
17. Determine las condiciones de a, b, c tales que el sistema con las incógnitas x, y, z tenga solución. Encontrada la condición, el sistema ¿tiene solución única? , o ¿una infinidad de soluciones?
x + 2 y 3 z = a
3 x y + 2 z = b
x 5 y + 8 z = c
18. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones NO lineales para x, y, z.
x 2 + y 2 + z 2 = 6
x 2 y 2 + 2 z 2 = 2
2 x 2 + y 2 z 2 = 3
19. Determine si los siguientes vectores son dependientes o independientes.
a) u 5 (1,3, 1), v 5 (2,0,1), w 5 (1, 1,1)
b) u 5 (1,1, 1), v 5 (2,1,0), w 5 ( 1,1,2)
20. Siendo l, m R, considere el sistema
2 x + y + z = 7
x + y + z + t = μ
x + 2 y + t = 1
μ x + y = μ
a) Haga un estudio de la consistencia del sistema y del número de soluciones para los diferentes valores de l y m.
b) Resuelva el sistema cuando l 5 m 5 0.
¿Existen valores de a, b, c, l tales que: y4 5 ay1 1 by2 1 cy3?
23. ¿Qué condición debe satisfacer a para que el siguiente sistema tenga solución única? Encuentre tal solución.
ax + y + z = 1
x + ay + z = a
x + y + az = a 2
24. Qué condiciones deben cumplir a, b y c para que el sistema tenga:
a) Solución única.
b) Infinidad de soluciones dependientes de un parámetro.
c) Infinidad de soluciones dependientes de dos parámetros.
x + ay + a 2 z = a 3
x + by + b 2 z = b 3
x + cy + c 2 z = c 3
25. La curva y 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d pasa por los puntos (0,10), (1,7), (3, 11) y (4, 14), determine la curva de la que se trata.
26. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones NO lineales para los ángulos a, b y g, donde 0 # a # 2p, 0 # b # 2p y 0 # g , p
2sen() cos () + 3tan () = 3
4sen() + 2cos () 2tan () = 2
6sen() 3cos () + tan () = 9
21.
27. Demuestre que si ad bc 0, el sistema ax + by = k
cx + dy = l tiene una solución única.
28. Una parte de una red hidráulica se muestra en la siguiente figura 1.12.
26
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 0 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = 2 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 = 2 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 = 2
Sea: y1 = x1 + 2 x 2 + x 3 3 x 4 + 2 x 5 y 2 = 2 x1 + x 2 + x 3 + x 4 3 x 5 y 3 = x1 + x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 2 x 5 y 4 = 2 x1 + 3 x 2 5 x 3 17 x 4 + x 5
Resuelva el siguiente sistema:
22.
B f 1 f 3 f 2 f 4 A C Figura 1.12
El agua en A llega a 40 l/min, en B a 20 l/min. Sean f 1, f 2, f 3 y f 4 los flujos de agua a través de los tubos en las direcciones señaladas. Para que el sistema sea viable es necesario que el agua que entra en un punto de conexión sea la misma que sale en el mismo punto.
a) Escriba el sistema de ecuaciones que debe satisfacer esta red.
b) Muestre que la red hidráulica será posible si f 4 5 60 l/min.
29. El siguiente es un problema típico que se presenta en el análisis dimensional. Un fluido en movimiento está descrito por las siguientes variables: v: velocidad, : densidad, D: diámetro, g : gravedad, : viscosidad. En términos de masa, longitud y tiempo, las dimensiones de estas cantidades son:
v: l 1; r: ml 2 3; D: l; g: l 2 2; m: ml 1t 1
Se desea saber si existe algún modo de formar productos no dimensionales: va rbDcgd me
Si esto es posible, encuentre de cuántas maneras lo es y escriba los productos que lo sean.
30. Una persona decide dedicar 18 horas a la semana para su recreación. En una semana típica decide aprender cocina, jugar squash y aprender a tocar un instrumento musical. Si aprender a tocar un instrumento musical le cuesta 100 pesos la hora, jugar squash 60 pesos la hora y aprender a cocinar 300 pesos la hora, y solamente cuenta con 3000 para todo esto, ¿de qué forma puede planear su recreación?
31. En una zona pluvial de mucha intensidad de América Central ha llovido sin interrupción y con la misma intensidad día y noche durante 30 días. Al empezar el temporal, tres depósitos cilíndricos abiertos que se utilizan para acumular el agua de lluvia tienen la misma altura de agua. Si se sabe que el primer depósito de agua de 60 m2 de área en la base ha servido para abastecer a 20 personas durante los 30 días de lluvia quedando luego vacío, el segundo de 15 m2 de área en la base ha abastecido a 6 personas durante los 20 primeros días de lluvia hasta quedar vacío, ¿a cuántas personas abastecerá el tercero de 75 m2 de área en la base si éste se ha vaciado en 25 días? No tomar en cuenta el agua que se recoja en los depósitos, pasado el instante en que su nivel llega a cero.
32. Los puntos medios de los lados de un triángulo son R( 2, 1); S(6, 3); T(4,5) Encuentre los vértices de este triángulo.
33. Dos ciclistas corren por el velódromo a velocidades constantes. Al llevar direcciones opuestas se encuentran cada 10 segundos; cuando van en la misma dirección, un ciclista alcanza al otro cada 170 segundos. ¿Cuál es la velocidad que desarrolla cada ciclista si la longitud de la pista es de 170 m?
34. La embarcación “Alvarado” se desplaza 5 horas sin interrupción río abajo desde la ciudad A hasta la ciudad B. De regreso avanza contra la corriente con su marcha ordinaria y sin detenerse durante 7 horas. ¿Cuántas horas necesitará la embarcación “Mocambo” para desplazarse de la ciudad A hasta la B yendo a la misma velocidad de la corriente?
Ejercicios propuestos 27
Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS
1. ( a 1 2b,1 1 2a 2b,a)
2. El sistema es inconsistente por lo tanto no tiene solución.
3. (3,1,2)
4. ( 1 7 3 7 t , 1 7 4 7 t , t )
5. (t 1,2s,s,t)
6. Inconsistente.
7. Inconsistente.
8. (3 1 2t,t)
9. ( a 1 2b,1 1 2a 2b,a)
10. El sistema es inconsistente por lo tanto no tiene solución.
11. Solución única.
12. Infinidad de soluciones.
13. Infinidad de soluciones.
14. k 5 4; k 5 2
15. i) k 1 y k 2, ii) k 5 2; iii) k 5 1
16. a 5 4, ninguna solución; a 64, exactamente una; a 5 4, una infinidad de soluciones.
17. 2a b 1 c 5 0 . El sistema tiene una infinidad de soluciones.
18. x =±1; y =± 3 ; z =± 2
19. a) dependientes, b) independientes.
20. a) 0 y μ 1consistente con solución única = 0
μ = 0consistente con más de una solución
μ = 4consistente con más de una solución
μ 0 y μ 4inconsistente
μ = 1inconsistente
b) S = {(3, a ,1, 4): a }
21. x1 5 1; x2 5 1; x3 5 1; x4 5 1; x5 5 1
22. Sí existen. 5 10; y4 5 3y1 1 2y2 5y3
23. Si ( a 1)( a 1 2) 0, x 5 a 1 1 a 1 2 ; y 5 1 a 1 2 ; z 5 (a 1 1)2 a 1 2
Si a 5 2, el sistema no tiene soluciones.
24. a) Si a, b y c son todos distintos: x 5 abc; y 5 (ab 1 ac 1 bc) y z 5 a 1 b 1 c
b) Si entre a, b, c hay dos iguales, las soluciones dependen de un parámetro.
c) Si a 5 b 5 c las soluciones dependen de dos parámetros.
25. y 5 x3 6x2 1 2x 1 10
26. a 5 p 2 , b 5 p, g 5 0
27. La solución está expresada en el enunciado del ejercicio.
28. a) f 1 + f 2 = 40 f 1 f 3 = 20 f 2 + f 3 f 4 = 0
b) La solución está expresada en el enunciado del ejercicio.
29. Sí es posible. Se pueden formar dos productos: V D m y Dg V 2
30. Para aprender cocina le puede dedicar entre 6 y 8 horas, a partir de esto podrá determinar cuánto le queda para ir al squash y para aprender a tocar un instrumento musical.
31. A 27 personas.
32. A(0, 9); B(12,3); C( 4,7)
33. 9 y 8 metros por segundo.
34. 35 horas.
28
MATEMÁTICAS EN CONTEXTO
Actividad 1.1 Un problema de tránsito
La ciudad de Oaxaca, declarada Patrimonio Cultural de la Humanidad por la UNESCO, debe su fama a la belleza y armonía de su arquitectura, la riqueza de sus tradiciones culturales, la extensa variedad de su comida típica y la templada suavidad de su clima primaveral durante todo el año. Su nombre se deriva de Huaxyácac (la cima de los guajes, una especie de acacias; de huaxín: guajes, y yacatl: cima), nombre que aplicaron los aztecas a la cima en la que establecieron una fortaleza en 1486. Al llegar a estas tierras los españoles fundaron, junto al viejo fuerte, la nueva Villa de Antequera y pocos años después volvieron a la fortaleza azteca para levantar, en la misma cima de los guajes la que, en 1529, sería fundada, construida y habitada como Villa de Oaxaca.
En el sector centro de la ciudad de Oaxaca hay dos series de calles de un solo sentido formando intersecciones como se muestra en la siguiente figura.
Se pretende agilizar el tráfico en esta zona porque es un sector turístico importante. Para ello es necesario determinar la intensidad de tráfico entre cada una de las cuatro intersecciones. De las respuestas generadas dependerán las políticas a seguir por el departamento de policía y tránsito para administrar adecuadamente tanto en el tránsito como en la seguridad de la zona.
1. ¿Qué relación debe existir entre x1, x2, x3, x4 y los volúmenes de tránsito por hora promedio en cada intersección o crucero?
2. Usando el método de Gauss reduzca el sistema de ecuaciones a una forma escalonada.
3. ¿El sistema es inconsistente o consistente, con una solución o con una infinidad de soluciones? Interpretar la situación en términos del tipo de sistema hallado. Es decir, si el sistema es inconsistente, ¿qué significa esto en la circulación de tránsito? Interpretar el caso de un sistema consistente con una solución y con una infinidad de soluciones. En el último caso, ¿qué información se requiere para tener una solución única?
Matemáticas en contexto 29
García Vigil 610 520 640 600 310 390 450 480 x1 x2 x3 Av. Madero Correos y Telégrafos Av. Morelos Correos y telégrafos
Figura 1.13 Aspecto del sector centro de la ciudad de Oaxaca.
4. Elegir un conjunto de calles similar al mostrado en el croquis anterior donde sea posible hacer mediciones reales de flujos de autos. Seleccionar un conjunto de variables x1 , x2 , x3 , x4 de manera análoga a lo que se les ha presentado en el inciso 1 y hacer el análisis completo de esta nueva situación con el desarrollo correspondiente a los puntos ( 1 ) ( 3 ).
Actividad 1.2 Contabilidad de costos
La empresa de productos alimenticios “Esser y Freser, S.R.L.”, desarrolla dos procesos de producción, A y B, con los que fabrica los productos I y II (chocolate de mesa y bebida de chocolate, respectivamente) en los que utilizan las materias primas: P (cocoa), Q (leche) y R (endulzantes y colorantes). El proceso A elabora el producto I y tiene como insumos: materia prima Q, R y cierta cantidad del producto II y del mismo producto I. El proceso B elabora el producto II y tiene como insumos: materia prima P, Q, R, cierta cantidad del producto I y del mismo producto II. Además deben considerarse los costos de mano de obra y los costos indirectos fijos de los demás servicios generales que colaboran en el proceso de producción. Los registros contables de la empresa proporcionan los datos que se resumen en el siguiente cuadro.
Registros contables, productos alimenticios “Esser y Freser, S.R.L.”
Otros insumos intermedios
Producto I2400 kilos1440 kilos3840 kilos
Producto II1952 litros1342 litros3294 litros
Producción bruta
Producto I 9600 kilos9600 kilos
Producto II................6100 litros6100 litros
Producto neto
Producto I5760 kilos.................5760 kilos
Producto II................2806 litros2806 litros
Se desea calcular el costo unitario de cada producto. Es decir se quiere calcular el costo de cada kilogramo del producto I y de cada litro del producto II.
Nota. Los jefes de producción han señalado que el producto neto se calcula mediante la siguiente ecuación:
Producto neto 5 producción bruta insumos intermedios
Así, para el producto I: 9600 (2400 1 1440) 5 9600 3840 5 5760 (kilos), y para el producto II: 6100 (1952 1 1342) 5 6100 3294 5 2806 (en litros).
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Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones lineales
Proceso A (pesos)Proceso B (pesos)Total (pesos) Costos Materia prima P (5000 litros) ................30 000.0030 000.00 Materia prima Q (7500 litros) 20 000.0010 000.0030 000.00 Materia prima R (5000 litros) 10 000.0010 000.0020 000.00 Mano de obra12 000.0013 500.0025 000.00 Otros costos 8000.00 9000.0017 000.00 Total50 000.0072 500.00122 500.00
Conclusión
En este capítulo estudiamos sistemas de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incógnitas. Estos sistemas se caracterizan porque toda incógnita en cada una de las ecuaciones tiene exponente igual a uno. El método general de solución de estos sistemas se apoya en una generalización del procedimiento elemental de suma y resta que se conoce como método de eliminación de Gauss. La técnica consiste en que una vez ordenado el sistema, se van eliminando de las ecuaciones las primeras incógnitas de tal forma que al ir bajando por las ecuaciones, el sistema presenta un número cada vez menor de incógnitas. De manera más específica, el procedimiento inicia en la primera ecuación a la cual se le considera como apoyo en la primera parte del proceso, a partir de la segunda ecuación y hasta concluir con las m ecuaciones, se aplica el método de eliminación gaussiana para eliminar la primera incógnita. En una segunda etapa, la segunda ecuación se toma como apoyo y al aplicar el método de Gauss se elimina la segunda de las incógnitas a partir de la tercera ecuación. El procedimiento continúa de la misma manera hasta terminar con una forma muy particular del sistema conocida como forma escalonada. Cabe mencionar que en este proceso las ecuaciones que van quedando arriba de la que se toma como apoyo no afecta más, por ninguna operación similar a las que se utilizan para obtener la forma escalonada. Si el sistema tiene solución, éste se resuelve a partir de la forma escalonada al ir de abajo hacia arriba en las ecuaciones por una técnica conocida como sustitución hacia atrás.
Existe un procedimiento complementario al método de eliminación gaussiana que se conoce como método de Gauss-Jordan. Este proceso continúa el método de Gauss bajo un esquema que parte de las últimas ecuaciones tomadas como apoyo hacia las primeras de forma análoga a lo que se hizo en el sistema cuando fue llevado a la forma escalonada.
Ahora bien, los sistemas pueden ser consistentes o inconsistentes. Un sistema inconsistente es aquel en el que una misma combinación de coeficientes e incógnitas genera resultados diferentes. Un sistema inconsistente no tiene solución. Por otro lado, un sistema consistente tiene dos posibilidades: posee solución única o una infinidad de soluciones. Ambos casos dependen del número n r que se lee precisamente en la forma escalonada y donde n es el número de incógnitas y r el número de ecuaciones que han quedado en la forma escalonada. n r representa también el número de variables libres, esto es, cualquiera de las incógnitas que en la forma escalonada no empieza ninguna de las ecuaciones. Si n r es igual a cero significa que no hay variables libres; en este caso, el sistema tendrá una solución única. Si n r es positivo, entonces hay variables libres y el sistema tendrá una infinidad de soluciones que se obtienen al asignar a éstas valores arbitrarios; esto se hace habitualmente asignando valores literales a las variables libres.
Finalmente, los sistemas homogéneos son aquellos en los cuales cada ecuación está igualada a cero. Para éstos, la solución trivial, que consiste en que todas las incógnitas son iguales a cero, siempre es solución. De esta manera, todo sistema homogéneo es consistente. Si en la forma escalonada, quedan más incógnitas que ecuaciones, resulta que el sistema tiene una infinidad de soluciones, en particular tiene una solución no trivial; en cambio, si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, entonces el sistema tendrá una única solución, a saber, la trivial.
Conclusión 31
