Alan S.Tussy Citrus College
R.David Gustafson Rock Valley College
Diane R. Koenig Rock Valley College
Daniel C. Alexander Parkland College
Adaptación y Revisión pedagógica
Andrea Constanza Perdomo Pedraza Colegio Campoalegre
Geralyn M. Koeberlein Mahomet-Seymour High School
Men - 2024
alineado a los derechos básicos de aprendizaje
Diseño de Pruebas Saber Francy Katerine Gómez Hernández Colegio Anglo Americano
Mate 6, primera edición
Richard N. Aufmann, Joanne S. Lockwood, Daniel C. Alexander, Geralyn M. Koeberlein, Robert Johnson, Patricia Kuby.
Directora Higher Education
© D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.
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Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.
Latinoamérica:
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Gerente editorial Latinoamérica:
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Editora:
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DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.
Esta es una adaptación de los libros: Matemáticas básicas, 4a. edición.
Tussy, Alan S., R. David Gustafson y Diane R. Koenig.
ISBN: 978-607-481-914-4
Traducido del libro Basic Mathematics for College Students. Fourth Edition. Alan S. Tussy, R. David Gustafson and Diane R. Koenig. Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2011
ISBN: 978-14390-4442-1
Geometría, 5a. edición.
Alexander Daniel C. y Geralyn M. Koeberlein.
ISBN: 978-607-481-889-5
Traducido del libro Elementary Geometry for College Students, Fifth Edition. Daniel C. Alexander and Geralyn M. Koeberlein. Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2011
ISBN: 978-14390-4790-3
Datos para catalogación bibliográfica: Tussy, Alan S., R. David Gustafson, Diane R. Koenig, Daniel C. Alexander y Geralyn M. Koeberlein. Mate 6, primera edición.
ISBN: 978-607-526-589-6
Visite nuestro sitio web en: http://latam.cengage.com
Para la realización de la nueva edición de la serie MATE editada por Cengage, hemos seleccionado un conjunto de temas acordes con los lineamientos curriculares y estándares del Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN). MATE es el resultado de la experiencia obtenida a nivel mundial, especialmente en América Latina, con las series de autores de reconocida trayectoria tales como Alan S. Tussy, Diane R. Koenig, Richard N. Aufman y Joanne S. Lockwood (Álgebra), Daniel C. Alexander y Geralyn M. Koeberlein (Geometría), Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole (Trigonometría), Ron Larson y Bruce H. Edwards (Cálculo); y Robert Johnson y Patricia Kuby (Estadística), además de las aportaciones de un equipo de profesores y expertos académicos.
Nuestro objetivo es ofrecer una herramienta importante para la labor docente, que permita a los estudiantes fortalecer su comprensión, ampliar sus conocimientos y, finalmente, adentrarse en el dominio de las matemáticas. Es importante señalar que todos los temas de la serie llevan una secuencia acorde con los marcos de referencia para la evaluación del Ministerio de Educación Nacional (MEN) y el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (Icfes).
Desde una perspectiva curricular todos los temas que se abordan responden a las siguientes preguntas: ¿qué aprender? (temas específicos), ¿para qué aprender? (objetivos definidos a partir de problemas y retos en un contexto real), ¿cuándo aprender? (secuenciación acertada de los temas con base en la edad y el grado escolar de los estudiantes), ¿cómo aprender? (propuesta didáctica mediante ejemplos de problemas con sus soluciones y una selección adecuada de problemas para resolver), ¿con qué aprender? Y ¿cómo evaluar lo aprendido? (problemas propuestos, Prueba Saber y ejercicios de repaso). Lo que permite a los estudiantes abordar, estudiar y aprender los temas de manera práctica, sencilla y eficaz.
1. Reconocer un número natural
1.2 Escribir un número natural en forma expandida
1.3 Comparar números naturales usando símbolos de desigualdad
1.4 Redondear números naturales
1.5 Leer tablas y gráficas que involucran números
CONTENIDO
múltiplo (mcm) y Máximo común divisor (mcd) 44 Sección 1.9 Jerarquía de las operaciones 53
En esta nueva edición de MATE 6, encontrará un amplio desarrollo de las matemáticas partiendo del planteamiento y solución de situaciones en contexto, enfocadas en datos reales y situaciones atractivas para los estudiantes.
La obra cuenta son:
Mediante un ejemplo se introducen los conceptos que se trabajarán a lo largo del capítulo con la finalidad de motivar la investigación y el desarrollo de contenidos para resolver el reto.
Se proponen metas que se deben alcanzar mediante el desarrollo de conceptos para lo cual se aporta un esbozo general de aspectos específicos que los estudiantes deben tener en cuenta para aprender y aplicar cada idea o concepto que se presenta.
Teléfonos celulares. En 2015 había 377 921 241 suscriptores de telefonía celular en Estados Unidos.
(Fuente: Unión internacional de telecomunicaciones)
a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 3?
b. ¿Qué dígito indica el número de centenas de millar?
objetivos
1.1 Reconocer un número natural
1.2 Escribir un número natural en forma expandida
1.3 Comparar números naturales usando símbolos de desigualdad
1.4 Redondear números naturales
contenido
El índice presenta en detalle los temas generales que se abordan en el texto, con lo cual es posible organizar y planear el trabajo para alcanzar el aprendizaje propuesto.
A partir de un grupo de preguntas se busca que, de manera autónoma, los estudiantes midan sus conocimientos previos y algunos requisitos para el desarrollo conceptual de cada capítulo.
Sección 1.1 Introducción a los números naturales y el cero 2
Sección 1.2 Adición de números naturales 8
Sección 1.3 Sustracción de números natural 14
Sección 1.4 Multiplicación de números naturales 17
Sección 1.5 División de números naturales 25
¿Está listo para tener éxito en este capítulo?
Considere el número 41 948 365 720.
1. ¿Cuál dígito está en la columna de las decenas de millar?
2. ¿Cuál dígito está en la columna de las centenas?
3. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 1?
4. ¿Cuál dígito indica las unidades de millón?
5. Escriba cada número en palabras.
a. 97 283
b. 5 444 060 017
Se basa en los aspectos más relevantes y útiles de las temáticas propias de cada grado. Estos aspectos se muestran a partir de situaciones en contexto, demostraciones formales de propiedades y definiciones claras, haciendo énfasis en el rigor de las matemáticas y el buen uso del lenguaje y el pensamiento lógico acorde a cada edad. Además, se destacan los conceptos de mayor relevancia para que los estudiantes intuyan su importancia.
Se ejemplifica la solución de problemas con sus respectivos procedimientos. En cada ejemplo se muestra el componente algorítmico, así como la aplicación de conceptos que llevan a la solución del problema dentro de contextos reales cuyo nivel de complejidad incrementa de forma gradual.
ejeMplo 1
aeropuertos El aeropuerto internacional Hartsfield-Jackson de Atlanta es el más transitado en los Estados Unidos: tuvo una afluencia de 101491106 pasajeros en 2015. (Fuente: Airports Council International–North America.)
A. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 4?
B. ¿Qué dígito indica las unidades de millón?
Se proporcionan hechos o datos relevantes para enfatizar aspectos importantes o información extra en torno al tema particular que se está abordando. En algunos casos se hace referencia a personas o acontecimientos históricos que han sido fundamentales en el desarrollo de las matemáticas.
Es importante anotar que los factores de un número también son llamados Divisores del número. Para el ejemplo anterior se dice que, 1, 2, 3, 4, 6, 12 son los divisores de 12.
En esta sección se presenta una amplia selección de ejercicios donde el estudiante podrá reafirmar su dominio de los conceptos y el manejo algorítmico de los temas de cada capítulo mediante su aplicación en contextos reales.
Sección 1.6 Resolución de problemas 35
EJERCICIOS 1.6 REVISIÓN DE CONCEPTOS
Resuelva los siguientes problemas.
1. Transporte. Un transporte de automóviles se carga con 9 sedanes nuevos Chevrolet Malibú, cada uno valorado en 21605 dólares. ¿Cuál es el valor total de los autos que lleva el transporte?
8. Estados Unidos. De 1800 a 1850, 15 estados se integraron a los Estados Unidos de América. De 1851 a 1900, entraron 14 estados adicionales.Tres estados se unieron de 1901 a 1950. Desde entonces, Alaska y Hawái son los únicos que se han unido. En total, ¿cuántos estados se han incorporado a Estados Unidos desde 1800?
Resuelva los siguientes problemas.
9. iPhones. Una estudiante tenía 135 fotos guardadas en su iPhone de 16 GB. Borró 27 de ellas (40 MB) para liberar un poco de espacio en la memoria. En los siguientes 7 días, ella tomó 19 fotos nuevas (28 MB) y las guardó todas. ¿Cuántas fotos hay ahora guardadas en su teléfono?
2. Medallas de oro. El equipo olímpico de Estados Unidos ganó 46 medallas de oro en los Juegos Olímpicos de Verano en Río 2016. En ese momento, el valor de una medalla de oro era de alrededor de 564 dólares. ¿Cuál era el valor de todas las medallas de oro ganadas por el equipo olímpico de Estados Unidos? (Fuente: forbes. com)
Resuelva los siguientes problemas.
3. Historia de la TV. Había 59 episodios producidos menos de I Love Lucy que de Friends. Si hay 236 epi-
10. Bosques. Canadá tiene 1806425 menos millas cuadradas de bosques que Rusia. Estados Unidos tiene 142758 menos millas cuadradas de bosques que Canadá. Si Rusia tiene 3 146 466 millas cuadradas de bosques (la mayor cantidad que cualquier otro país en el mundo) ¿Cuántas millas cuadradas tiene Estados Unidos? (Fuente: mapsoftheworld.com)
11. Batman. Para el año de 2017, los ingresos mundiales en taquilla de las siguientes películas de Batman eran: The Dark Knight Rises (2012) 1085 millones de dólares, The Dark Knight (2008) 1003 millones de dólares, Bat-
Esta sección al concluir cada capítulo reúne un conjunto de ejercicios sobre los temas tratados a fin de comprobar el dominio y la apropiación de conceptos.
JFMAMJJASOND
1. Redondee 2507348
a. a la centena más cercana
b. a la decena de millar más cercana
c. a la decena más cercana
d. al millón más cercano
2. Redondee 969501
a. al millar más cercano
b. a la centena de millar más cercana
3. Geografía. Abajo se listan los nombres y las longitudes de los cinco ríos más largos en el mundo. Escríbalos en orden, comenzando con el más largo.
Amazonas (América del Sur)4 049 mi
Mississippi-Missouri (Estados Unidos)3 709 mi
Nilo (África)4 160 mi Ob-Irtysh (Rusia)3 459 mi Yangtsé (China)3 964 mi
(Fuente: geography.about.com)
4. Aeropuertos. Abajo se listan los tres aeropuertos más transitados en Estados Unidos en 2016. Encuentre el número total de pasajeros que pasan por estos aero-
AeropuertoTotal de pasajeros
Hartsfield-Jackson Atlanta101 491 106 Chicago O’Hare76 949 504
Los Angeles International74 937 004
Fuente: Airports Council International–North America
5. Sume de abajo hacia arriba para comprobar la suma. ¿Es correcta?
1 291 859 345
1 226 1 821
6. Banca. Una cuenta de ahorros contiene 12975 dólares. Su dueño realiza un retiro de 3 800 dólares y después deposita 4 270 dólares, ¿cuál es el nuevo saldo de la cuenta?
7. Días soleados. En Estados Unidos, la ciudad de Yuma, Arizona, por lo regular tiene la mayor cantidad de días soleados al año: alrededor de 242. La ciudad de Búfalo, Nueva York, por lo regular tiene 188 días menos que eso. ¿Cuántos días soleados al año tiene Búfalo?
8. SUEÑO. La Fundación Nacional del Sueño de Estados
Esta prueba evalúa las competencias de los estudiantes para enfrentar situaciones que pueden resolverse con el uso de herramientas matemáticas. Tanto las competencias definidas de la prueba como los conocimientos matemáticos que el estudiante requiere para resolver las situaciones planteadas se basan en las definiciones de los estándares básicos de competencias en Matemáticas del Ministerio de Educación Nacional. De esta manera, se integran competencias y contenidos en distintas situaciones o contextos, en los cuales las herramientas matemáticas cobran sentido y son un importante recurso para la comprensión de situaciones, la transformación de información, la justificación de afirmaciones y la solución de problemas.
En el mismo apartado de las pruebas Saber, en la parte inferior, notará que se incluye un código QR, al escanearlo podrá visualizar preguntas complementarias de manera digital.
Como apoyo adicional, a los profesores que adopten la obra se les proporcionarán las Respuestas de las Pruebas Saber. Consulte términos y condiciones con su representante Cengage.
Al final del libro se incluyen un glosario y una bibliografía a fin de enriquecer el aprendizaje.
Adición y sustracción de fracciones algebraicas. Para sumar o restar fracciones algebraicas en las que los denominadores son iguales, suma o resta los numeradores. El denominador de la suma o la diferencia es el común denominador.
GLOSARIO
números y después la simplificación de la expresión numérica resultante.
Expresión algebraica. Es una expresión que contiene una o más variables.
Aufmann, Richard N. y Joanne S. Lockwood
Álgebra Elemental, 8ª edición
ISBN: 978-607-481-908-3a
Alexander, Daniel C. y Geralyn M. Koeberlein.
Geometría, 5ª edición
ISBN: 978-607-481-889-5
Johnson, Robert y Patricia Kuby
Estadística Elemental, 11ª edición revisada
ISBN: 978-607-522-835-8
Lo invitamos a conocer y utilizar Mate 6, un texto que le dará a los estudiantes la confianza necesaria para aplicar las Matemáticas a través de un libro de texto pedagógico y accesible.
Agradecemos el apoyo y colaboración en la revisión de esta obra a los profesores:
capítulo 1
los números naturales 1
capítulo 2
Fracciones y decimales 33
capítulo 3
introducción a los números enteros 77
capítulo 4
ecuaciones e introducción al álgebra 105
capítulo 5
geometría 127
capítulo 6
estadística 161
glosario 245
bibliografía 249
Teléfonos celulares. En 2015 había 377 921 241 suscriptores de telefonía celular en Estados Unidos.
(Fuente: Unión internacional de telecomunicaciones)
a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 3?
b. ¿Qué dígito indica el número de centenas de millar?
1. Reconocer un número natural
1.2 Escribir un número natural en forma expandida
1.3 Comparar números naturales usando símbolos de desigualdad
1.4 Redondear números naturales
1.5 Leer tablas y gráficas que involucran números naturales
Sección 1.1 Introducción a los números naturales y el cero 2
Sección 1.2 Adición de números naturales 8
Sección 1.3 Sustracción de números natural 14
Sección 1.4 Multiplicación de números naturales 17
Sección 1.5 División de números naturales 25
Sección 1.6 Resolución de problemas 31
Sección 1.7 Descomposición de un número en factores 37
Sección 1.8 Mínimo común múltiplo (mcm) y Máximo común divisor (mcd) 44
Sección 1.9 Jerarquía de las operaciones 53
¿Está listo para tener éxito en este capítulo?
Considere el número 41 948 365 720.
1. ¿Cuál dígito está en la columna de las decenas de millar?
2. ¿Cuál dígito está en la columna de las centenas?
3. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 1?
4. ¿Cuál dígito indica las unidades de millón?
5. Escriba cada número en palabras.
a. 97 283
b. 5 444 060 017
6. Escriba cada número en forma estándar.
a. Tres mil doscientos siete
b. Veintitrés millones doscientos cincuenta y tres mil cuatrocientos doce
c. 60 000 1 1 000 1 200 1 4
Escriba cada número en forma expandida.
7. 570 302
8. 37 309 154
Los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, y así sucesivamente. Se utilizan para responder preguntas como ¿cuánto? ¿Qué tan rápido? ¿Qué tan lejos?
• Michael Phelps ganó 23 medallas olímpicas de oro en su carrera como nadador.
• El estadounidense adulto promedio lee a una velocidad de 250 a 300 palabras por minuto.
• La distancia de conducción de la ciudad de Nueva York a Los Ángeles es de 2786 millas. El conjunto de números naturales se escribe utilizando llaves { }, como se muestra abajo. Los puntos suspensivos indican que la lista continúa por siempre —no existe el número natural más grande. El número natural más pequeño es el 1.
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} reconocer un número natural
Cuando se escribe un número natural utilizando los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, se dice que está en la forma estándar (también llamada notación estándar). La posición de un dígito en un número natural determina su valor posicional. En el número 419, el 9 está en la columna de las unidades; el 1 en la columna de las decenas, y el 4 está en la columna de las centenas.
EjEmplO 1
AErOpuErTOs El aeropuerto internacional Hartsfield-Jackson de Atlanta es el más transitado en los Estados Unidos: tuvo una afluencia de 101491106 pasajeros en 2015. (Fuente: Airports Council International–North America.)
A. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 4?
B. ¿Qué dígito indica las unidades de millón?
EsTrATEgIA Se comenzará en la columna de las unidades de 101491106. Después, moviéndose a la izquierda, se nombrará cada columna (unidades, decenas, centenas, y así sucesivamente) hasta alcanzar el dígito 4.
pOr QuÉ Es más sencillo recordar los nombres de las columnas si empieza con el valor posicional más pequeño y después se mueve a las columnas que tienen valores posicionales mayores.
sOluCIóN
101 491106
A. Diga “Unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de millar” a medida que se mueve de columna en columna.
4 cientos mil es el valor posicional del dígito 4.
B. 101 491106
El dígito 1 está en la columna de las unidades de millón.
En el número 6 352, el dígito 6 está en la columna de las unidades de millar; el 3 está en la columna de las centenas; el 5 está en la columna de las decenas y el 2 está en la columna de las unidades. El significado del 6352 se vuelve claro cuando se escribe en forma expandida (también llamada notación expandida).
Escriba cada número en forma expandida:
A. 85427 B. 1251609
EsTrATEgIA De izquierda a derecha, escriba el valor posicional de cada dígito y combínelos con símbolos 1.
pOr QuÉ El término forma expandida significa escribir el número como una suma de los valores posicionales de cada uno de sus dígitos.
sOluCIóN
A. La forma expandida de 85427 es:
8 decenas de millar 1 5 unidades 1 4 centenas 1 2 decenas 1 7 unidades de millar
lo cual puede escribirse como:
80000 1 5 000 1 400 1 20 1 7
B. La forma expandida de 1251609 es:
1 1 2 centenas 1 5 decenas 1 1 1 6 1 0 1 9 unidad de millar de millar unidad centenas decenas unidades de millón de millar
Dado que 0 decenas es cero, la forma expandida también puede escribirse como:
1 1 2 centenas 1 5 decenas 1 1 1 6 1 9 unidad de millar de millar unidad centenas unidades de millón de millar
lo cual puede escribirse como:
objetivo 3
Los números números naturales pueden mostrarse dibujando puntos sobre una recta numérica Como en una regla, una recta numérica tiene marcas uniformemente separadas. Para construir una recta numérica, se comienza a la izquierda con un punto en la recta que representa el número 0. A este punto se le llama origen. Después, moviéndose a la derecha, se dibujan marcas espaciadas de manera equitativa que se etiquetan con números naturales cuyo valor es sucesivamente creciente. La punta de flecha a la derecha indica que la recta numérica continúa por siempre.
Utilizando el proceso conocido como graficación, se puede representar un solo número o un conjunto de números en una recta numérica. La gráfica de un número es el punto sobre la
marca en la recta numérica que corresponde a ese número. Graficar un número significa localizar su posición en la recta numérica y remarcarlo con un punto grueso. En la recta numérica de abajo se muestran las gráficas del 5 y del 8.
10 2 3 456789
A medida que uno avanza a la derecha en la recta numérica, los números aumentan en valor. Debido a que el 8 se encuentra a la derecha del 5, se dice que el 8 es mayor que el 5. El símbolo de desigualdad . (“es mayor que”) puede emplearse para escribir este hecho:
Se lee como “el 8 es mayor que el 5”. 8 . 5
Dado que 8 . 5, también es verdadero que 5 8. Esto se lee como “el 5 es menor que el 8”. redondear números naturales
1. Para redondear un número a un cierto valor posicional, localice el dígito a redondear en esa posición.
2. Busque el dígito a examinar, el cual está directamente a la derecha del dígito a redondear.
3. Si el dígito a examinar es 5 o mayor, redondee a la alta sumando 1 al dígito a redondear y reemplazando todos los dígitos a su derecha con 0.
Si el dígito a examinar es menor que 5, reemplace este y todos los dígitos a su derecha con 0.
CIuDADEs DE EsTADOs uNIDOs. Anchorage es la ciudad más grande en Alaska. Redondee la población que se muestra en el letrero y que corresponde a la de Anchorage en 2017:
A. al millar más cercano
B. a la decena de millar más cercana
EsTrATEgIA En cada caso, se identificará el dígito a redondear y el dígito a examinar pOr QuÉ Se necesita conocer el valor del dígito a examinar para determinar si se redondea la población a la alta o a la baja.
A. El dígito a redondear en la columna de las unidades de millar es el 9. Ya que el dígito a examinar es el 0, y es menor que 5, se redondea a la baja.
Dígito a redondear Dígito a examinar
29 9 037
Redondeado a la unidad de millar más cercana, la población de Anchorage en 2017 fue de 299000.
B. El dígito a redondear en la columna de las decenas de millar es el 9. Ya que el dígito a examinar es 9 y es mayor que 5, se redondea a la alta: se escribe 0 en la columna de las decenas de millar y se suma 1 a la columna de las centenas de millar.
Dígito a redondear Dígito a examinar
29 9 037
Redondeando a la decena de millar más cercana, la población de Anchorage en 2017 fue de 300000.
La siguiente tabla es un ejemplo del uso de los números naturales. Muestra el número de mujeres que formaron parte de la Cámara de Representantes de Estados Unidos de 2005 a 2015.
En la figura a), la información en la tabla se representa en una gráfica de barras
La escala horizontal se etiqueta con el nombre “Año” y se muestran los datos de cada 2 años. La escala vertical se etiqueta con el nombre “Número de representantes mujeres” y se mide de 10 en 10. La barra directamente sobre cada año se extiende a una altura que muestra el número de representantes mujeres de la Cámara de Representantes en ese año.
Fuente: http://www.cawp.rutgers.edu/women-us-congress-2015
Otra manera de presentar la información en la tabla es con una gráfica de puntos y líneas. En vez de emplear una barra para graficar el número de representantes mujeres, se utiliza un punto dibujado a la altura correspondiente. Después de dibujar los puntos con información para 2005, 2007, 2009, 2011, 2013 y 2015, estos se conectan para crear la gráfica de puntos y líneas de la figura b).
“Se considera estudiantes de reingreso a aquellos que tienen 25 años o más, o que han tenido que suspender su trabajo académico por 5 o más años. En el ámbito nacional, este grupo de estudiantes está creciendo a una velocidad sorprendente.”
Vida estudiantil y Departamento de liderazgo, University Union, Cal Poly University, San Luis Obispo
En la columna I se enlistan algunas preocupaciones comunes expresadas por estudiantes adultos que están considerando regresar a la escuela. Relacione cada preocupación con una respuesta alentadora en la columna II.
Columna I
1. Soy demasiado viejo para aprender.
2. No tengo el tiempo.
3. No me fue bien en la escuela la primera vez. No creo que una universidad me acepte.
4. Temo que no me adaptaré.
5. No tengo el dinero para pagar una universidad.
a. Varios estudiantes califican para algún tipo de ayuda financiera.
b. Piense que incluso una sola clase lo pone un paso más cercano a su objetivo educativo.
c. No hay evidencia de que los estudiantes mayores no puedan aprender igual de bien que los más jóvenes.
d. Más del 41% de los estudiantes en la universidad son mayores de 25.
e. Por lo regular, los colegios comunitarios y las escuelas vocacionales tienen una política de admisión abierta.
Fuente:Adaptado a partir de Common Concerns for Adult Students, Minnesota Higher Education Services Office.
EL LEngUAjE dE LAs mATEmáTiCAs Horizontal es una forma de la palabra horizonte. Piense en el Sol poniéndose sobre el horizonte. Vertical significa en una posición hacia arriba. El salto vertical del jugador de basquetbol profesional LeBron James mide más de 49 pulgadas.
Complete los espacios.
1. Los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 son los .
2. El conjunto de números es el {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}.
3. Cuando se escribe el cinco mil ochenta y nueve como 5089, se está escribiendo el número en la forma
4. Para hacer que los números naturales grandes sean más fáciles de leer, se emplean pequeños espacios para separar sus dígitos en grupos de tres, llamados
5. Cuando el 297 se escribe como 200 1 90 1 7, se está escribiendo el 297 en la forma .
6. Utilizando un proceso llamado graficación, se puede representar los números naturales como puntos en una recta
7. Los símbolos . y son símbolos de .
8. Si se el 627 a la decena más cercana, se obtiene 630.
Grafique los siguientes números en una recta numérica.
9 1, 3, 5, 7
1 0 2 3 456789 10
10. 0, 2, 4, 6, 8
1 0 2 3 456789 10
11. los números naturales menores que 6
1 0 2 3 456789 10
12. los números naturales menores que 9
1 0 2 3 456789 10
13 los números naturales entre 2 y 8
1 0 2 3 456789 10
16. Considere el número 128940.
a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 8?
b. ¿Qué dígito está en la columna de las centenas?
c. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 2?
d. ¿Qué dígito está en la columna de las centenas de millar?
14. los números naturales entre 0 y 6
1 0 2 3 456789 10
Encuentre los valores posicionales.
15. Considere el número 57634.
a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 3?
b. ¿Qué dígito está en la columna de los millares?
c. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 6?
d. ¿Qué digito está en la columna de las decenas de millar?
17. Hambruna mundial. En el sitio web Freerice.com, los patrocinadores donan granos de arroz para alimentar a los hambrientos. Entre 2007 y 2017, se donaron 96128453798 granos de arroz.
a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 2?
b. ¿Qué dígito está en la posición de las unidades de millar de millón?
c. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 3?
d. ¿Qué dígito está en la posición de las decenas de millar de millón?
18. Vistas en YouTube. De acuerdo con el contador en YouTube, hasta el 31 de enero de 2017, el video Gangnam Style por PSY había sido visto 2739387518 veces.
a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 5?
b. ¿Qué dígito está en el lugar de las decenas de millar?
c. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 2?
d. ¿Qué dígito está en el lugar de las centenas de millar? Coloque un símbolo o . en el recuadro para formar un enunciado verdadero.
19. a. 11 8
20. a. 410 609
21. a. 12321 12209
22. a. 178989 178898
b. 29 54
b. 3206 3231
b. 23223 23231
b. 850234 850342
23. Redondee 79593 a la(al) . . . más cercana(o).
a. decena
c. millar
b. centena
d. decena de millar
24. Redondee 5925830 a la(al) . . . más cercana(o).
a. millar
c. centena de millar
b. decena de millar
d. unidad de millón
25. Redondee 419161 dólares a la(al) . . . más cercana(o).
a. decena de dólares
c. unidad de millar
b. centena de dólares
d. decena de millar de de dólares dólares
26. Programa de concursos. En el programa de televisión El precio es correcto, el concursante ganador es la persona que se acerca más (sin pasarse) al precio del artículo cotizado. ¿Cuál concursante ganará si están cotizando una recámara que tiene un precio al público de 4745 dólares? Los concursantes sugirieron los siguientes precios:
27. Presidentes. La siguiente lista muestra los 10 presidentes de Estados Unidos más jóvenes y sus edades (en años/días) cuando tomaron el puesto. Construya una tabla de dos columnas que represente la información en orden, comenzando con el presidente más joven.
J. Polk 49 años/122 díasU. Grant 46 años/236 días
G. Cleveland 47 años/351 díasJ. Kennedy 43 años/236 días
W. Clinton 46 años/154 díasF. Pierce 48 años/101 días
M. Filmore 50 años/184 díasB. Obama 47 años/169 días
J. Garfield 49 años/105 díasT. Roosevelt 42 años/322 días
28. Inquilinos. El número de familias que rentan una vivienda en Estados Unidos se incrementó en todos los rangos salariales entre 2005 y 2015. Utilice la gráfica en la siguiente columna para responder las siguientes preguntas.
a. ¿Qué rango salarial tuvo el mayor número de familias que rentan?
b. ¿Qué rango salarial tuvo el menor número de familias que rentan?
c. Estime el número de familias que rentaron en 2015 redondeado al millón más cercano, dentro del rango de ingresos de 25000 a 49999 dólares.
d. Estime el número de familias que rentaron en 2005 redondeado al millón más cercano, dentro del rango de ingresos de 100000 dólares o más.
Fuente: JCHS tabulations of U.S. Census Bureau, Current Population Surveys
29. Deportes. La gráfica muestra las velocidades máximas que alcanzó la pelota en cinco deportes.
a. ¿En qué deporte la pelota alcanzó la velocidad máxima registrada? Estime la velocidad.
b. ¿En qué deporte la pelota alcanzó la velocidad mínima registrada? Estime la velocidad.
c. ¿En qué deporte se registró la segunda velocidad máxima alcanzada por la pelota? Estime la velocidad.
30. Edición tipográfica. Edite este extracto de un libro de historia, encierre en un círculo todos los números escritos en palabras y reescríbalos en forma estándar utilizando dígitos.
Abraham Lincoln fue electo con un total de un millón ochocientos sesenta y cinco mil quinientos noventa y tres votos; obtuvo cuatrocientos ochenta y dos mil ochocientos ochenta más que el segundo candidato, Stephen Douglas. Lincoln fue asesinado después de haber estado un total de mil quinientos tres días en servicio. El discurso en Gettysburg de Lincoln, de solo unas doscientas
sesenta y nueve palabras de largo, fue pronunciado en el sitio de batalla donde ocurrieron cuarenta y tres mil cuatrocientas cuarenta y nueve bajas.
31. Velocidad de la luz. La velocidad de la luz es de 983571072 pies por segundo.
a. ¿Cuál es el valor posicional de 5?
b. Redondee la velocidad de la luz a la decena de millón más cercana. Dé su respuesta en notación estándar y en notación expandida.
c. Redondee la velocidad de la luz a la centena de millón más cercana. Dé su respuesta en notación estándar y en forma escrita en palabras.
32. Nubes. Grafique la altitud de cada tipo de nube de la tabla en la recta numérica vertical que aparece a un costado de ella.
Tipo
sECCIóN 1.2
25 000 pies
10 000 pies
5 000 pies 0 pies
Todos usan la suma de números naturales. Por ejemplo, para preparar un presupuesto anual, un contador suma costos de partidas separadas. Para determinar el número de anuarios a ordenar, un director suma el número de estudiantes en cada grado. Una azafata suma el número de personas en las secciones de primera clase y clase económica para hallar el número total de pasajeros en un avión.
objetivo 1
Para sumar números naturales, piense en juntar conjuntos de objetos similares. Por ejemplo, si se junta un conjunto de 4 estrellas con un conjunto de 5 estrellas, el resultado es un conjunto de 9 estrellas.
Un conjunto de 4 estrellas
Un conjunto de 5 estrellas
Un conjunto de 9 estrellas
Se combinan estos dos conjuntospara obtener este conjunto.
En la siguiente operación se sumaron los dígitos en cada columna de valor posicional de arriba abajo. Para comprobar la respuesta se puede sumar de abajo hacia arriba. El sumar hacia abajo o hacia arriba debe dar el mismo resultado. Si no lo hace, se ha cometido un error y debe repetir el proceso. En el objetivo 2, el cual sigue a continuación, aprenderá por qué los dos resultados deben ser iguales.
hacia abajo
Para comprobar, sume de abajo hacia arriba
El orden en el que se suman los números naturales no altera el resultado. Por ejemplo,
6 1 5 5 5 1 6
Para encontrar la suma de tres números naturales, se suman dos de ellos y después se adhiere la suma al tercer número. En los siguientes ejemplos, se suma 3 1 4 1 7 de dos maneras. Se emplean los símbolos de agrupación ( ), llamados paréntesis, para mostrar esto. Es práctica estándar desarrollar primero las operaciones dentro del paréntesis. Los pasos de las soluciones se escriben en forma horizontal.
Método 1: agrupe 3 y 4
(3 1 4) 1 7 5 7 1 7
5 14
Debido a los paréntesis, sume 3 y 4 primero para obtener 7. Después sume 7 y 7 para obtener 14.
Mismo resultado
Método 2: agrupe 4 y 7
3 1 (4 1 7) 5 3 1 11
5 14
Debido a los paréntesis, sume 4 y 7 primero para obtener 11. Después sume 3 y 11 para obtener 14.
De cualquier manera, la respuesta es 14. Este ejemplo ilustra que cambiar la agrupación cuando se suman números no afecta el resultado. A esta propiedad se le llama propiedad asociativa de la suma.
PrOPiEdAd AsOCiATivA dE LA sUmA
La manera en que se agrupan los números naturales no altera el resultado. Por ejemplo,
(2 1 5) 1 4 5 2 1 (5 1 4)
En ocasiones, una aplicación de la propiedad asociativa puede simplificar un cálculo.
EL LEngUAjE dE LAs mATEmáTiCAs Conmutativa es una forma de la palabra conmutar, que significa intercambiar una cosa por otra.
EL LEngUAjE dE LAs mATEmáTiCAs Asociativa es una forma de la palabra asociar, que significa juntar una cosa con otra para concurrir a un mismo fin. La WNBA (Asociación Nacional de Basquetbol Femenino) es un grupo de 12 equipos profesionales de basquetbol.
PrOPiEdAd dE LA sUmA COn, EL ELEmEnTO nEUTrO
La suma de cualquier entero no negativo y el 0 es el mismo entero no negativo.
Por ejemplo,
EjEmplO 1
1
pOr QuÉ Este método es más sencillo que sumar números no relacionados y reduce las posibilidades de un error. sOluCIóN
Conjuntamente, las propiedades conmutativa y asociativa de la suma permiten utilizar cualquier orden o agrupación para sumar números naturales.
A. Se escribirán los pasos de la solución en forma horizontal.
3 + 5 + 17 + 2 + 3 5 20 + 10
5 30
Piense: 3 1 17 5 20 y 5 1 2 1 3 5 10.
B. Se explica por separado cada paso de la suma. Cuando usted resuelva, su solución debe parecerse al último paso.
Escriba
el 7 y se lleva el 1.
2 1 0 1 1 8 6 7 4 9 1 7
2 1 0 1 1 8 6 7 4 9 1 1 1 7
conSej o
úTiL
MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE
Se utiliza la aproximación para encontrar una respuesta cercana a la exacta para un problema. Las aproximaciones son útiles de dos maneras. Primero, sirven como control de precisión para hallar errores. Si una respuesta no parece razonable cuando se compara con la aproximación, el problema original debe resolverse de nuevo. Segundo, algunas situaciones solo necesitan una respuesta aproximada en vez de una respuesta exacta.
Dado que los problemas de aplicación casi siempre se escriben en palabras, la comprensión lectora es una habilidad muy importante.
EjEmplO 2
lObOs EN pElIgrO DE ExTINCIóN. En 1989, había 1814 lobos grises en la región occidental de los Grandes Lagos en Minesota, Wisconsin y Michigan. Para el año 2015 hubo un incremento de 1792 lobos. Encuentre el número total de lobos grises al año 2015 en esa región. (Fuente: U.S. Fish and Wildlife Service)
EsTrATEgIA Se leerá con cuidado el problema buscando palabras o frases clave.
pOr QuÉ Las palabras y frases clave indican cuál(es) operación(es) aritmética(s) debe(n) utilizarse para resolver el problema.
La frase incremento de indica suma. Con eso en mente, se traducen las palabras del problema a números y símbolos.
El número de lobos grises en 2015 es igual a el número de lobos grises en 1989 incrementado en 1792
El número de lobos grises en 2015
Use la forma vertical para llevar a cabo la suma: 1
1
1 1792
El número total de lobos grises en el año 2015, en la región oriental de los Grandes Lagos, fue de 3606.
EjEmplO
DINErO. Encuentre el perímetro del billete de un dólar mostrado abajo.
mm representa milímitros
EsTrATEgIA Se sumarán los dos largos y los dos anchos del billete de un dólar.
pOr QuÉ Un billete de un dólar es de forma rectangular y así es como se encuentra el perímetro de un rectángulo.
Se traducen las palabras del problema a números y símbolos.
El perímetro del billete de un dólar
es igual a
el largo del billete de un dólar más el largo del billete de un dólar más el ancho del billete de un dólar más el ancho del billete de un dólar
El perímetro del billete de un dólar
Use la forma vertical para llevar a cabo la suma:
EjErCICIOs 1.2 REVISIÓN DE COnCEPTOs
El perímetro del billete de un dólar es de 442 mm. Para ver si este resultado es razonable se aproxima la respuesta. Debido a que el rectángulo es alrededor de 160 mm por 70 mm, su perímetro es de aproximadamente 160
70 1 70, o 460 mm. Una respuesta de 442 mm es razonable.
Rellene los espacios con la información apropiada.
1. La propiedad de la suma enuncia que el orden en el que se suman los números naturales no cambia su suma.
2. La propiedad de la suma enuncia que la manera en la que se agrupan los números naturales no cambia su suma.
3. Para ver si el resultado de una suma es razonable, se pueden redondear los sumandos y la suma.
4. Las palabras elevar, ganancia, total e incremento se utilizan con frecuencia para indicar la operación de
5. ¿Cuál propiedad de la suma se muestra?
a. 3 1 4 5 4 1 3
b. (3 1 4) 1 5 5 3 1 (4 1 5)
c. (36 1 58) 1 32 5 36 1 (58 1 32)
d. 319 1 507 5 507 1 319
6. Cohetes. Se empleó un cohete Saturno V para lanzar a la tripulación del Apollo 11 a la Luna. La primera pla-taforma del cohete era de 138 pies de alto, la segunda plataforma era de 98 pies de alto y la tercera plataforma era de 46 pies de alto. Sobre la tercera plataforma estaba posado el módulo lunar de 54 pies de alto y una torre de escape de 28 pies de alto. ¿Cuál era la altura total de la nave espacial?
7. Comida rápida. Encuentre el número total de calorías en el siguiente almuerzo de McDonald’s: Big Mac (540 calorías), papas a la francesa (230 calorías), postre de yogur con fruta (150 calorías), Coca-Cola clásica mediana (170 calorías).
8. Salario de CEO. En 2015, el director general (CEO) de la compañía Walt Disney, Robert A. Iger, tenía un salario base de 2548077 dólares. Ganó además un bono adicional de 42 365 536 dólares en adjudicación de acciones, plan de compensaciones e incentivos, pensiones y otras prestaciones. Encuentre el total de ingresos que Robert Iger tuvo en 2015.
9. Sitios web. En junio de 2016, 243 547 000 personas de 15 años o más visitaron el sitio de Apple iTunes al menos una vez. El número de personas que visitó el sitio de Alibaba durante ese mismo mes fue de 64 511 000 más que el del sitio de iTunes. ¿Cuántos visitantes tuvo en total el sitio de Alibaba? (Fuente: The World Almanac and Book of Facts, 2017)
10. Helado. Baskin-Robbins es la cadena de tiendas de helados más grande del mundo. En 2016, había 2 524 tiendas en Estados Unidos y 5198 tiendas repartidas en otros 50 países alrededor del mundo. Encuentre el total de tiendas de Baskin-Robbins que había en el mundo en 2016. (Fuente: entrepreneur.com)
11. Seguridad de puentes. En la tabla siguiente se muestran los resultados del reporte 2017 sobre las condiciones de los puentes en las autopistas de los Estados Unidos. Cada puente fue clasificado como seguro, necesita reparación o debe reemplazarse. Complete la tabla.
Viajes $2775
Suministros $10553
Desarrollo $3225
Mantenimiento $1075
13. Dulce. La gráfica de abajo muestra las ventas de dulces en Estados Unidos en 2016 durante cuatro periodos de fiestas. Encuentre la suma de estas ventas de dulces de temporada.
84525
12. Presupuestos. El jefe de un departamento en una compañía preparó un presupuesto anual con los rubros mostrados. Encuentre el número proyectado que gastarán.
Fuente: Nielsen AOD
14. Tapete. Calcule la cantidad de moldura utilizada en el tapete de la figura de abajo.
Número total de puentes
Equipo $17242
Utilidades $5443
Todos utilizan la resta de números naturales. Por ejemplo, para encontrar el precio en rebaja de un artículo, un empleado de una tienda resta el descuento del precio regular. Para medir el cambio climático, un científico resta las temperaturas altas y bajas. Un camionero resta las lecturas del odómetro para calcular el número de millas conducidas en un viaje.
objetivo 1
Cuando se resten dos números, es importante que se escriban en el orden correcto, debido a que la resta no es conmutativa. Por ejemplo, en el ejemplo 2, si se hubiese traducido de manera incorrecta “Reste 235 de 6496” como 235 6496, se ve que la diferencia no es de 6261. De hecho, la diferencia incluso no es un número natural.
EjEmplO 1
C UiDaDo
Las expresiones pueden contener más de una operación. Este es el caso para la expresión 27 16 5, la cual contiene una suma y una resta. Para evaluar (hallar el valor de) expresiones escritas en forma horizontal que involucran suma y resta se desarrollan las operaciones a medida que aparecen de izquierda a derecha.
Reste 235 de 6496.
EsTrATEgIA Se traducirá el enunciado a símbolos matemáticos y después se llevará a cabo la resta. Se debe tener cuidado cuando se traduce la instrucción para restar un número de otro número
pOr QuÉ El orden de los números en el enunciado debe invertirse cuando se traduce a símbolos sOluCIóN
Dado que 235 es el número a restarse, es el sustraendo.
Reste 235 de 6496.
6496 235
Para encontrar la diferencia, se escribe la resta en forma vertical y se restan los dígitos en cada columna, comenzando de derecha a izquierda.
Baje el 6 en la columna de los millares. Cuando se resta 235 de 6496, la diferencia es de 6261.
Se utiliza la resta para responder preguntas acerca de cuánto más o cuántos más.
CAbAllOs. Big Jake, el caballo más grande del mundo, pesa 2600 libras. Thumbelina, el caballo más pequeño del mundo, pesa 57 libras. ¿Cuánto más que Thumbelina pesa Big Jake? (Fuente: Guinness Book of World Records, 2013)
EsTrATEgIA Se leerá con cuidado el problema, buscando una palabra o frase clave.
pOr QuÉ Las palabras y frases clave indican cuál(es) operación(es) aritmética(s) debe(n) utilizarse para resolver el problema.
sOluCIóN
En el segundo enunciado del problema, la frase Cuánto más indica que para conocer la diferencia se deben restar los pesos de los caballos. Para ello, se traducen las palabras del problema a números y símbolos.
El número de libras que Big Jake pesa más es igual al peso de Big Jake menos peso de Thumbelina
El número de libras que Big Jake pesa más
Use la forma vertical para desarrollar la resta:
EjEmplO 3
Big Jake pesa 2543 libras más que Thumbelina.
EsTACIONEs DE rADIO. En 2005, había 763 estaciones de clásicos en la radio de Estados Unidos. Para el 2016 había 412 menos. ¿Cuántas estaciones de clásicos había en 2016? (Fuente: The World Almanac and Book of Facts, 2017)
EsTrATEgIA Se leerá cuidadosamente el problema y se buscará una palabra o frase clave. pOr QuÉ Las palabras y frases clave indican cuál(es) operación(es) aritmética(s) debe(n) utilizarse para resolver el problema.
La frase clave 412 menos indica una sustracción o resta. Se traducen las palabras del problema en números y símbolos.
El número de estaciones de radio de clásicos en el 2016 es 412 menos que el número de estaciones de clásicos en la Radio de Estados Unidos en 2005.
El número de estaciones de radio de clásicos en el 2016 5 763 412
Use la forma vertical de la resta: 763 412
En 2016, había 351 estaciones de radio de clásicos en Estados Unidos.
Complete los espacios.
1. La resta 7 3 5 4 está relacionada con el enunciado de adición 15
2. Puede utilizarse la operación de para comprobar el resultado de una resta. Si una resta se resuelve de manera correcta, la de la diferencia y del sustraendo siempre será igual al minuendo.
3. Para evaluar (hallar el valor de) una expresión que contiene suma y resta, se desarrollan las operaciones a medida que aparecen de a
4. Para responder preguntas acerca de cuánto más o cuántos más, se puede utilizar la
mundo pesaba 351 libras. ¿Cuánto más pesaba la calabaza? (Fuente: ibtimes.com, guinnessworldrecords.com)
42. Camionetas. La Nissan Titan King Cab XE pesa 5230 libras y la Honda Ridgeline RTL pesa 4 553 libras. ¿Cuánto más pesa la Nissan Titan?
43. Mercados agrícolas. Mire la gráfica de abajo. ¿Cuántos más mercados agrícolas había en el año 2014 comparados con los del año 2010?
44. Mercados agrícolas. Mire la gráfica de abajo. ¿Entre qué par de años hubo el mayor incremento en el número de mercados agrícolas en Estados Unidos? ¿Cuál fue el incremento?
Número
45. Dietas. Use las lecturas de la báscula de baño mostradas abajo para encontrar el número de libras que perdió una persona a dieta.
Enero Octubre
46. Trasplantes. Vea la gráfica de abajo. Encuentre el decremento en el número de pacientes que esperan un trasplante de hígado del:
2006 a 2008 b. 2012 a 2014
41. Récords mundiales. La calabaza más grande del mundo pesaba 2 623 libras y la sandía más grande del
sECCIóN 1.4
Todos usan la multiplicación de números naturales. Por ejemplo, para duplicar una receta, un cocinero multiplica la cantidad de cada ingrediente por dos. Para determinar la superficie del piso de un comedor, un vendedor de alfombras multiplica la longitud del cuarto por su ancho. Un contador multiplica el número de horas trabajadas por la tarifa por hora para calcular el ingreso semanal de los empleados.
objetivo 1
En la siguiente representación hay 4 renglones y cada renglón tiene 5 estrellas.
4 renglones
EjEmplO 1
5 estrellas en cada renglón
Se puede encontrar el número total de estrellas en la representación sumando: 5 1 5 1 5 1 5 5 20.
Este problema también puede resolverse utilizando un proceso más sencillo llamado multiplicación. La multiplicación de números naturales es una suma repetitiva y se escribe utilizando un símbolo de multiplicación , el cual se lee como “por”. En vez de sumar cuatro veces el 5 para obtener 20, se puede multiplicar el 4 y el 5 para obtener 20.
3 5 5 20 Se lee como “4 por 5 igual a (o es) 20”.
Los problemas de multiplicación se pueden escribir en forma horizontal o vertical. A los números que se están multiplicando se les llama factores, y a la respuesta se le llama producto.
4 3 5 5 20
Factor Factor Producto FactorFactorProducto
Forma horizontal Forma vertical 5 3 4 20
También puede utilizarse un punto centrado o paréntesis ( ) para escribir una multiplicación en forma horizontal.
Para hallar el producto de un entero no negativo y el 10, 100, 1000, etcétera, agregue a la derecha del número natural el número de ceros en ese número.
Multiplique: A. 14 300 B. 3500 50000
EsTrATEgIA Se multiplicarán los primeros dígitos de cada factor diferentes de cero. A ese producto, se le pegará la suma del número de ceros finales en los factores.
pOr QuÉ Este método es más rápido que la multiplicación estándar en forma vertical de factores que contienen varios ceros.
A. El factor 300 tiene dos ceros finales. 14 300 5 4200 Pegue dos ceros después del 42.
Multiplique el 14 y el 3 para obtener 42.
B. Los factores 3500 y 50000 tienen un total de seis ceros finales. 3500 50000 5 175000000 Pegue seis ceros después del 175.
Multiplique el 35 y el 5 para obtener 175.
Multiplicar números naturales por números con dos (o más) dígitos objetivo 2
EjEmplO 2
Multiplique: 23 436
EsTrATEgIA Se escribirá la multiplicación en forma vertical. Después se multiplicarán el 436 por 3 y por 20 y se sumarán estos productos.
pOr QuÉ Dado que 23 5 3 1 20, se puede multiplicar el 436 por 3 y luego por 20 y sumar estos productos.
sOluCIóN
Se explica por separado cada paso de la multiplicación. La solución que usted proponga solo necesita parecerse al último paso. columna de las centenas columna de las decenas columna de las unidades
Forma vertical 4 3 6 3 2 3
La multiplicación en forma vertical es con frecuencia más sencilla si el número con la mayor cantidad de dígitos se escribe en la parte superior.
Se comienza multiplicando el 436 por 3. 1 4
Multiplique el 6 por 3. el producto es 18. escriba el 8 en la columna de las unidades y acarree el 1 a la columna de las decenas. 1
Multiplique el 3 por 3. el producto es 9. al 9 súmele el 1 acarreado para obtener 10. escriba el 0 en la columna de las decenas y acarree el 1 a la columna de las centenas. 1
Multiplique el 4 por 3. el producto es 12. Sume el 12 al 1 acarreado para obtener 13. escriba el 13.
Se continúa multiplicando el 436 por 2 decenas, o 20. Si se piensa en 20 como 2 10, entonces simplemente se multiplica el 436 por 2 y se pega un cero al resultado.
Sección 1.4 Multiplicación de números naturales 19
escriba el 0 que es parte del resultado de 20 436 en la columna de las unidades (mostrado en gris claro). Después multiplique el 6 por 2. el producto es 12. escriba el 2 en la columna de las decenas y acarree el 1.
Multiplique el 3 por 2. el producto es 6. Sume el 6 al 1 acarreado para obtener 7. escriba el 7 en la columna de las centenas. no hay acarreo.
EjEmplO 3
Multiplique el 4 por 2. el producto es 8. no hay dígito acarreado a sumar. escriba el 8 en la columna de las unidades de millar.
Dibuje otra línea debajo de los dos renglones completados. Sume columna por columna, comenzando de derecha a izquierda. esta suma da el producto del 436 y del 23.
El producto es 10028.
Cuando un factor en la multiplicación contiene uno o más ceros, se debe introducir con cuidado el número correcto de ceros cuando se escriban los productos parciales.
Multiplique: A. 406 253 B. 3009(2007)
EsTrATEgIA Se pensará en el 406 como 6 1 400 y en el 3009 como 9 1 3000
pOr QuÉ Pensar en los multiplicadores (406 y 3 009) de esta manera es de utilidad para determinar el número correcto de ceros en los productos parciales.
sOluCIóN
Se utilizará la forma vertical para desarrollar cada multiplicación.
A. Dado que el 406 5 6 1 400, se multiplicará el 253 por 6 y luego por 400 y se sumarán estos productos parciales. 253
3 406
1 518 101 200 102 718
6 253 400 253. Piense en el 400 como 4 100 y simplemente multiplique el 253 por 4 y pegue dos ceros (mostrados en gris) al resultado.
El producto es 102718.
B. Dado que el 3 009 5 9 1 3 000, se multiplicará el 2 007 por 9 y por 3 000 y se sumarán estos productos parciales.
2007
3 3009
18 063
6021 000 6039063
9 2007
3000 2007. Piense en el 3000 como 3 1000 y simplemente multiplique el 2007 por 3 y pegue tres ceros (mostrados en gris) al resultado.
El producto es 6039063.
EL LEngUAjE dE LAs mATEmáTiCAs En el ejemplo 4, a los números 1308 y 8720 se les llama productos parciales. Los productos parciales se suman para obtener la respuesta, 10028. La palabra parcial significa solo una parte, como en un eclipse parcial de Luna.
objetivo 3
Aplicar las propiedades de la multiplicación
¿Alguna vez ha notado que dos números naturales pueden multiplicarse en cualquier orden debido a que el resultado es el mismo? Por ejemplo,
Este ejemplo ilustra la propiedad conmutativa de la multiplicación
PrOPiEdAd COnmUTATivA dE LA mULTiPLiCACión
El orden en que se multiplican los números naturales no altera el producto. Por ejemplo:
Siempre que se multiplica un entero no negativo por 0, el producto es 0. Por ejemplo,
Siempre que se multiplica un entro no negativo por 1, el número sigue siendo el mismo. Por ejemplo,
Estos ejemplos ilustran las propiedades de la multiplicación del 0 y del 1.
PrOPiEdAdEs dE LA mULTiPLiCACión dEL 0 y dEL 1
El producto de cualquier entero no negativo y el 0 es 0.
El producto de cualquier entero no negativo y el 1 es el mismo entero positivo.
Para multiplicar tres números, primero se multiplican dos de ellos y después se multiplica ese resultado por el tercer número. En los siguientes ejemplos, se multiplica 3 2 4 de dos maneras. Los paréntesis muestran cuál multiplicación se desarrolla primero. Los pasos de las soluciones se escriben en forma horizontal.
Método 1: agrupe 3 2
(3 2) 4 5 6 4 Multiplique el 3 y el 2 para obtener 6.
Método 2: agrupe 2 4
3 (2 4) 5 3 8 Primero multiplique el 2 y el 4 para obtener 8.
EjEmplO 4
5 24 Multiplique el 6 y el 4 para obtener 24.
Mismo resultado
5 24 Después multiplique el 3 y el 8 para obtener 24.
De cualquier manera, la respuesta es 24. Este ejemplo ilustra que cambiar el agrupamiento cuando se multiplican números no afecta el resultado. A esta propiedad se le llama propiedad asociativa de la multiplicación
La manera en que se agrupan los números naturales no altera el producto. Por
En ocasiones, una aplicación de la propiedad asociativa puede simplificar un cálculo.
Encuentre el producto: (17 50) 2
EsTrATEgIA Se utilizará la propiedad asociativa para agrupar el 50 con el 2.
pOr QuÉ Es de utilidad reagrupar debido a que el 50 y el 2 son un par de números que se multiplican con facilidad
sOluCIóN
Se escribirá la solución en forma horizontal.
(17 50) 2 5 17 (50 2) Use la propiedad asociativa de la multiplicación para reagrupar los factores.
5 17 100 Realice primero la multiplicación dentro de los paréntesis.
5 1700 Dado que 100 tiene dos ceros, pegue dos ceros después del 17.
EjEmplO 5
Se emplea la aproximación para hallar una respuesta cercana a la exacta para un problema.
Aproxime el producto: 59 ? 334.
EsTrATEgIA Se utilizará el redondeo por la izquierda para aproximar los factores 59 y 334. Después se encontrará el producto de las aproximaciones.
pOr QuÉ El redondeo por la izquierda produce números naturales que contienen varios ceros. Tales números son más sencillos de multiplicar.
Los factores se redondean a su mayor valor posicional para que todos sus dígitos menos el primero sean cero.
Redondee a la decena más cercana. 59 ? 334 60 ? 300 Redondee a la centena más cercana.
Para hallar el producto de las aproximaciones, 60 ? 300, simplemente se multiplica el 6 por 3, para obtener 18 y se pegan 3 ceros. Por tanto, la aproximación es de 18 000 Si se calcula 59 ? 334, el producto es exactamente 19 706. Observe que la aproximación es cercana: solo es 1706 menos que 19706.
resolver problemas de aplicación multiplicando números naturales
Los problemas de aplicación que involucran una suma repetitiva con frecuencia son más fáciles de resolver utilizando la multiplicación.
EjEmplO
pIxElEs. Refiérase a la ilustración a la derecha. Los pequeños cuadrados, llamados pixeles, crean las imágenes digitales observadas en las pantallas de computadoras. Si una pantalla de 14 pulgadas tiene 640 pixeles de lado a lado y 480 pixeles de arriba abajo, ¿cuántos pixeles hay en la pantalla?
EsTrATEgIA Se multiplicará 640 por 480 para determinar el número de pixeles que tiene la pantalla.
pOr QuÉ Los pixeles forman un arreglo rectangular de 640 renglones y 480 columnas en la pantalla. Puede utilizarse la multiplicación para contar los objetos en un arreglo rectangular. sOluCIóN
Se traducen las palabras del problema a números y símbolos.
El número de pixeles en la pantalla es igual al número de pixeles en un renglón por el número de pixeles en una columna
El número de pixeles en la pantalla
5 640 480
Para hallar el producto de 640 y 480, se utiliza la forma vertical para multiplicar el 64 y el 48 y se pegan dos ceros a ese resultado.
Dado que el producto del 64 y del 48 es 3072, el producto de 640 y 480 es 307200. La pantalla tiene 307200 pixeles.
Hay 60 segundos en 1 minuto, 60 minutos en 1 hora, 24 horas en 1 día y 365 días en un año. Se puede encontrar el número de segundos en 1 año utilizando la tecla de multiplicación en una calculadora.
60 60 24 364 5
31536000
En algunos modelos de calculadora, se presiona la tecla ENTEr en vez de la tecla 5 para que se muestre el resultado. Hay 31536000 segundos en 1 año.
EjErCICIOs 1.4 REVISIÓN DE COnCEPTOs
Complete los espacios.
1. a. Escriba la suma repetitiva 8 1 8 1 8 1 8 como una multiplicación.
b. Escriba la multiplicación 7 15 como una suma repetitiva.
2. a. Complete el espacio: Abajo se muestra un rectangular de cuadrados grises.
b. Escriba un enunciado de multiplicación que proporcionará el número de cuadrados grises.
3. a. ¿Cuántos ceros se deben pegar a la derecha del 25 para encontrar 25 1000?
b. ¿Cuántos ceros se deben pegar a la derecha del 8 para encontrar 400 2000?
4. a. Utilizando los números 5 y 9, escriba un enunciado que ilustre la propiedad conmutativa de la multiplicación.
b. Utilizando los números 2, 3 y 4, escriba un enunciado que ilustre la propiedad asociativa de la multiplicación.
5. Determine si debe aplicarse el concepto de perímetro o el de área para dar respuesta a los ejercicios listados a continuación:
a. La cantidad de superficie de un piso que se va a alfombrar
b. El número de pulgadas de encaje necesarias para adornar los lados de un pañuelo
c. La cantidad de vidrio claro para entintar
d. El número de pies de cerca necesario para delimitar un campo de juego
Desarrolle cada multiplicación sin utilizar lápiz y papel o una calculadora.
6. 37 100 7. 63 1000
8. 75 3 10
10. 107(10000)
12. 512(1000)
Multiplique.
14. 68 40
16. 56 200
18. 130(3000)
9. 88 3 10000
11. 323(100)
13. 673(10)
15. 83 30
17. 222 500
19. 630(7000)
20. 2700(40000) 21. 5100(80000)
Multiplique.
22. 73 128 23. 54 173
24. 64(287) 25. 72(461)
Multiplique.
28. 3002(5619) 29. 2003(1376)
Aproxime
producto.
34. Cereales para el desayuno. Un productor de cereales anuncia “Dos tazas de pasas en cada caja”. Encuentre el número de tazas de pasas en un contenedor con 36 cajas de cereal.
35. Golosinas. Un expendio de dulces vende bolsas grandes de 4 libras de dulces de chocolates. Cada una incluye aproximadamente 180 dulces por libra. ¿Cuántos dulces hay en una bolsa?
a. Para la conducción en ciudad, ¿qué tanto se puede recorrer con un tanque de gasolina?
b. Para la conducción en autopista, ¿qué tanto se puede recorrer con un tanque de gasolina?
36. Nutrición. Hay 17 gramos de grasa en una rosquilla de Krispy Kreme cubierta de chocolate y rellena de crema. ¿Cuántos gramos de grasa hay en una docena de estas rosquillas?
37. Jugo. Se requieren 13 naranjas para preparar una lata de jugo de naranja. Encuentre el número de naranjas utilizadas para preparar una caja con 24 latas de jugo.
38. Pájaros. ¿Cuántas veces aletea sus alas un colibrí cada minuto?
42. Conteo de palabras. Por lo general, el número de palabras en una página para una novela publicada es de 250. ¿Cuál sería el conteo de palabras esperado para la novela infantil de 308 páginas Harry Potter y la piedra filosofal ?
43. Rentas. Mia es dueña de un edificio de departamentos con 18 unidades. Cada unidad genera un ingreso mensual de 450 dólares. Encuentre su ingreso mensual total.
44. Salario de congresistas. El salario anual de un miembro de la Cámara de Representantes de Estados Unidos es de 174000 dólares. ¿Cuánto cuesta pagar los salarios anuales de los 36 representantes de Texas?
45. Petróleo crudo. En 2015, se usaron 19389000 barriles de petróleo crudo por día en Estados Unidos. Un barril contiene 42 galones de petróleo crudo. ¿Cuántos galones se usaron en un solo día del 2015?
46. Procesador de palabras. Un estudiante utiliza las opciones de Insertar Tabla mostradas abajo mientras escribe un reporte. ¿Cuántas celdas tendrá la tabla?
65 aleteos por segundo
39. Honorarios. La tarifa por hora promedio de los abogados comerciales en Nueva York, con veinte años de experiencia, es de 413 dólares. Si uno de estos abogados factura a su cliente 15 horas de trabajo legal, ¿cuál es el monto total de la factura?
40. Conversión de unidades. Hay 12 pulgadas en 1 pie y 5 280 pies en 1 milla. ¿Cuántas pulgadas hay en una milla?
41. Rendimiento de combustible. En la tabla se muestran las cifras del millaje para un Ford Mustang GT 2016 convertible.
Capacidad del tanque de combustible 16 gal rendimiento del combustible (millas por galón)
14 ciudad/23 autopista
47. Box. ¿Cuántos metros de cuerda acolchada se requieren para rodear un ring de 24 pies por lado?
48. Capacidad del salón. Un salón de clases tiene 17 filas con 33 asientos cada una. Un letrero en la pared indica “La ocupación por más de 570 personas está prohibida”. Si se toman todos los asientos y hay un instructor en la habitación, ¿el colegio rompe la regla?
49. Elevadores. Hay 14 personas en un elevador con una capacidad de 2 000 libras. Si el peso promedio de una persona en el elevador es de 150 libras, ¿el elevador está sobrecargado?
50. Koalas. En un periodo de 24 horas, un koala duerme 3 veces el número de horas que está despierto. Si está despierto por 6 horas, ¿cuántas horas duerme?
51. Ranas. Las ranas toro pueden saltar hasta 10 veces su longitud corporal. ¿Qué tanto saltaría una rana toro de 8 pulgadas de largo?
52. Seguridad cibernética. De acuerdo con un reporte de Technative, de 2015 a 2016 aumentó seis veces el número de ataques por secuestro de archivos informáticos contra el sector corporativo. Si en 2015 hubo 27000 ataques, ¿cuántos hubo en el 2016? (Fuente: technative. io)
53. Ahorros de energía. Un foco ENERGY STAR dura ocho veces más que un foco estándar de 60 watts. Si un foco estándar por lo regular dura 11 meses, ¿cuánto durará un foco ENERGY STAR?
sECCIóN 1.5
54. Recetas. ¿Cuántas pastillas debe colocar un farmacéutico en el contenedor mostrado en la ilustración?
55. Latidos. Una tasa de pulsos normal para un adulto sano, en reposo, puede variar de 60 a 100 latidos por minuto.
a. ¿Cuántos latidos hay en un día en el extremo más bajo del intervalo?
b. ¿Cuántos latidos hay en un día en el extremo más alto del intervalo?
56. Envoltura de regalos. Cuando se desenrolla por completo, una hoja larga de papel para envolver tiene las dimensiones mostradas abajo. ¿Cuántos pies cuadrados de papel para envolver hay en el rollo?
Todos usan la división de números naturales. Por ejemplo, para encontrar cuántas porciones de 6 onzas puede obtener un chef a partir de 48 onzas de carne asada, divide 48 entre 6. Para repartir una herencia de 36 000 dólares de manera equitativa, un hermano y una hermana dividen la cantidad entre 2. Un profesor divide a los 35 estudiantes en su clase en grupos de 5 para debatir.
objetivo 1
Para dividir números naturales, piense en separar una cantidad en grupos de igual tamaño. Por ejemplo, si comienza con un conjunto de 12 estrellas y las divide en grupos de cuatro estrellas, se obtendrán 3 grupos.
Un conjunto de 12 estrellas.
Hay 3 grupos de 4 estrellas.
Este problema de división se puede escribir utilizando un símbolo de división 4, un símbolo de división larga , o una barra de fracción . Al número que se está dividiendo se le llama dividendo y al número entre el que se está dividiendo se le llama divisor. A la respuesta se le llama cociente.
cada forma se lee como “12 dividido entre 4 es (o es igual a) 3”.
EjEmplO 1
Reste 4 una vez.
Reste 4 una segunda vez.
Reste 4 una tercera vez.
Recuerde que en la sección 1.4 se presentó la multiplicación de números naturales como una suma repetitiva. De manera similar, la división de números naturales es una resta repetitiva. Para dividir 12 entre 4, se pregunta: “¿Cuántos 4 pueden restarse de 12?”. 12 4 8 4 4 4 0
Dado que puede restarse el número 4 al número 12 tres veces exactamente, y obtener cero al final, se sabe que 12 4 4 5 3.
Otra manera de responder un problema de división es pensar en términos de la multiplicación. Por ejemplo, la división 12 4 4 realiza la pregunta: “¿Por qué número debe multiplicarse el 4 para obtener 12?”. Dado que la respuesta es 3, se sabe que
A 3 4 5 12 se le llama enunciado de multiplicación asociado a la división 12 4 4 5 3. En general, para escribir el enunciado de multiplicación asociado a una división, se utiliza: Cociente divisor 5 dividendo
Escriba el enunciado de multiplicación asociado para cada división. A.
EsTrATEgIA Se identificará el cociente, el divisor y el dividendo en cada enunciado de división.
pOr QuÉ Un enunciado de multiplicación asociado tiene la siguiente forma: Cociente divisor 5 dividendo. sOluCIóN Dividendo
el 4 es el cociente, el 6 es el divisor y el 24 es el dividendo.
C. 21 3 5 7 debido a que 7
5 21 el 7 es el cociente, el 3 es el divisor y el 21 es el dividendo.
objetivo 2
De la Sección 1.4 recuerde que el producto de cualquier número natural y el 1 es ese número natural. Se puede utilizar ese hecho para establecer dos propiedades importantes de la división. Considere los siguientes ejemplos donde se divide entre 1 un número natural:
8 4 1 5 8 debido a que 8 1 5 8.
4 1 4 debido a que 4 1 5 4.
20 1 5 20 debido a que 20 1 5 20.
Estos ejemplos ilustran que cualquier número natural dividido entre 1 es igual al mismo número.
Considere los siguientes ejemplos donde se divide un entero positivo entre sí mismo:
6 4 6 5 1 debido a que 1 6 5 6.
9 9 1 debido a que 1 9 5 9.
35
35 5 1 debido a que 1 35 5 35.
Estos ejemplos ilustran que cualquier entero diferente del cero dividido entre sí mismo es igual a 1.
Cualquier entero dividido entre 1 es igual a sí mismo.
Por ejemplo, 14 1 5 14
Cualquier entero diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a 1.
Por ejemplo, 14 14 5 1
Recuerde de la sección 1.4 que el producto de cualquier entero y el 0 es 0. Se puede utilizar este hecho para establecer otra propiedad de la división. Considere los siguientes ejemplos donde se divide el 0 entre cualquier entero diferente de cero:
0 4 2 5 0 debido a que 0 2 5 0.
0 7 0 debido a que 0 7 5 0.
0 42 5 0 debido a que 0 42 5 0.
Estos ejemplos ilustran que el 0 dividido entre cualquier entero diferente del cero es igual a 0.
No se puede dividir un entero entre 0. Para ilustrar el porqué, se intentará encontrar el cociente cuando se divide el 2 entre el 0 utilizando el enunciado de multiplicación asociado mostrado abajo.
Enunciado de división
? 0 5 2
Enunciado de multiplicación asociado 2 0 5 ?
no existe un número que dé 2 cuando se multiplica por cero.
Dado que 2 0 no tiene un cociente, se dice que la división del 2 entre el 0 está indefinida. Abajo se ilustran estas observaciones acerca de la división del 0 y de la división entre el 0.
1. El cero dividido entre cualquier número diferente del cero es igual a 0. Por ejemplo, 0 17 5 0.
2. La división entre 0 está indefinida. Por ejemplo, 17 0 está indefinida.
Un proceso llamado división larga puede emplearse para dividir números naturales grandes.
EjEmplO 2
Divida utilizando una división larga: 2514 4 6. Compruebe el resultado.
EsTrATEgIA Se escribirá el problema en forma de división larga y se seguirá un proceso de cuatro pasos: aproximar, multiplicar, restar y descender
pOr QuÉ El proceso de resta repetitiva tomaría demasiado tiempo para desarrollarlo y el enunciado de multiplicación asociado (? 6 5 2514) es demasiado complejo de resolver. sOluCIóN
Para ayudarle a comprender el proceso, se explica por separado cada paso de la división. La solución que usted proponga solo necesita parecerse al último paso.
Se escribe el problema en la forma62.514 . El cociente aparecerá sobre el símbolo de división larga. Dado que 6 no divide el 2,
62 514 se dividirá 25 entre 6. 4
625 14
Pregunte: “¿Cuántas veces divide el 6 al 25?”. Se aproxima que 25 6 es alrededor de 4 y se escribe el 4 en la columna de las centenas sobre el símbolo de división larga.
Después, se multiplican el 4 y el 6 y se resta su producto, 24, del 25 para obtener 1.
6 24 1
2514 4
Ahora se desciende el siguiente dígito en el dividendo, el 1, y se aproxima, multiplica y resta de nuevo.
6 24 11
2514 41
Pregunte: “¿Cuántas veces divide el 6 al 11?” Se aproxima pensando que 11 6 es alrededor de 1 y se escribe el 1 en la columna de las decenas sobre el símbolo de la división larga. Multiplique el 1 y el 6, y reste su producto, 6, del 11, para obtener 5.
Para completar el proceso, se desciende el último dígito en el dividendo, el 4, y se aproxima , multiplica y resta por última vez.
2514
6 24 11
6 54 54 0
419 Pregunte: “¿Cuántas veces divide 6 al 54?”
Se aproxima pensando que 54 Su solución debe parecerse a esta:
6 es 9, y para obtener 0.
62514
419
Cociente Divisor Dividendo 4
La comprobación confirma que 2514 4 6 5 419.
Se puede observar cómo funciona el proceso de división larga si se escriben los nombres de las columnas de los valores posicionales sobre el cociente. La solución para el ejemplo 2 se muestra en más detalle en la página siguiente.
62514
1. Indique si cada enunciado es verdadero o falso.
Aquí, en realidad se resta400 6, lo cual es 2.400, del 2.514. Por eso escribimos 4 en la columna de las centenas del cociente.
Aquí, se resta 9 6, lo cual es 54, del 54. Por eso escribimos 9 en la columna de las unidades del cociente.
a. Cualquier entero dividido entre 1 es igual a sí mismo.
b. Cualquier entero diferente del cero dividido entre sí mismo es igual a 1.
c. El cero dividido entre cualquier número diferente de cero está indefinido.
d. La división de un número entre 0 es igual a 0.
2. Encuentre el primer dígito de cada cociente.
a. 1147 5 b. 587 9
MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE
c. 7501 23 d. 892 16
3. 45 9 5 debido a que ? 5
4. 54 6 5 9 debido a que ? 5
5. 44 4 11 5 4 debido a que ? 5 .
6. 120 4 12 5 10 debido a que ? 5
Escriba el enunciado de multiplicación asociado a cada división.
7. 21 4 3 5 7 8. 32 4 4 5 8
9. 72 12 5 6 10. 75 15 5
Divida utilizando una división larga. Compruebe el resultado.
11. 96 4 6 12. 72 4 4
13. 87 3 14. 98 7
15. 2275 4 7 16. 1728 4 8
17. 1962 9 18. 1635 5
Divida utilizando una división larga. Compruebe el resultado.
19. 31248 62 20. 28613 71
21. 22274 37 22. 19712 28
Use un atajo de la división para encontrar cada cociente.
35. Tiempo de almuerzo. Un profesor de quinto grado recibió 50 envases de leche de media pinta para distribuirlos de manera equitativa a su clase de 23 estudiantes. ¿Cuántos envases obtuvo cada niño? ¿Cuántos envases sobraron?
36. Envoltorio plástico con burbujas. Un fabricante de muebles utiliza una tira de 11 pies de largo de envoltorio plástico con burbujas para proteger una lámpara cuando se empaca para ser enviada a un cliente. ¿Cuántas lámparas pueden empaquetarse de esta manera a partir de un rollo de envoltorio plástico de 200 pies de largo? ¿Cuántos pies sobrarán en el rollo?
31. Venta de boletos. Un cine tiene una ganancia de 4 dólares por cada boleto vendido. ¿Cuántos boletos deben venderse para tener una ganancia de 2500 dólares?
32. Correr. Brian corre 7 millas cada día. ¿En cuántos días acumulará 371 millas?
33. Camiones de carga. Un camión de carga de 15 yardas cúbicas debe transportar 405 yardas cúbicas de arena a un sitio de construcción. ¿Cuántos viajes debe realizar el camión?
34. Surtido de estantes. Después de recibir una entrega de 288 bolsas de papas fritas, un empleado de una tienda surtió cada estante de un mostrador vacío con 36 bolsas. ¿Cuántos estantes del mostrador surtió con papas fritas?
37. Empleos de nivel inicial. En 2016, los salarios típicos iniciales (en dólares) para recién graduados de las áreas de salud, comercio y ciencias sociales fueron como se muestran en la tabla. Complete la última columna.
Salud 48708
Comercio 52236
Ciencias Sociales 46584
Fuente: National Association of Colleges and Employers
38. Prueba de divisibilidad para el 7. Use la siguiente regla para mostrar que 308 es divisible entre 7. Muestre cada uno de los pasos de su solución de manera escrita. Reste dos veces el dígito de las unidades del número formado por los dígitos restantes. Si ese resultado es divisible entre 7, entonces el número original es divisible entre 7.
39. Prueba de divisibilidad para el 11. Use la siguiente regla para mostrar que 1848 es divisible entre 11. Muestre cada uno de los pasos de su solución de manera escrita.
Comience con el dígito en la posición de las unidades. De este, reste el dígito en la posición de las decenas. A ese resultado súmele el dígito en la posición de las centenas. De ese resultado reste el dígito en la posición de las unidades de millar, y así sucesivamente. Si el resultado final es un número divisible entre 11, el número original es divisible entre 11.
Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división son herramientas poderosas que pueden utilizarse para resolver una amplia variedad de problemas en el mundo real.
objetivo 1
Para solucionar un problema es importante generar una buena estrategia; la que se presenta a continuación está formada por 5 pasos fáciles de seguir.
1. Analizar el problema después de leerlo con cuidado. ¿Qué información se proporciona? ¿Qué se le pide que encuentre? ¿Qué vocabulario se proporciona? Con frecuencia, un diagrama o una tabla le ayudará a visualizar la información del problema.
2. Formar un plan de resolución al traducir las palabras del problema a números y símbolos.
3. Resolver el problema desarrollando los cálculos.
4. Enunciar la conclusión de manera clara. Asegúrese de incluir las unidades (como pies, segundos o libras) en su respuesta.
5. Comprobar el resultado. Con frecuencia es de utilidad aproximar para ver si su respuesta es razonable.
Para resolver problemas de aplicación, los cuales se dan por lo regular en palabras, se traducen las palabras a números y símbolos matemáticos. La siguiente tabla es un repaso de las palabras y frases clave que se introdujeron en las secciones 1.2-1.5.
sumarestamultiplicaciónDivisiónIgual a más que cuánto excede dos vecesrepartir de manera equitativamismo valor incrementomenos quedoble dedistribuir manera equitativaresulta en gananciadisminuirtriplecompartir equitativamenteson elevarpérdidadecuánto por cadaes totaldescensotantas vecesentrefue en totalmenosa esta tasacabe enproduce másreducirsuma repetitivagrupos de igual tamañoequivale a combinadodecrementoarreglo rectangularcuánto toca a cada unolo mismo que
EjEmplO 1
CONsTruCCIóN DE TúNElEs. Una tuneladora puede perforar a través de roca sólida a una velocidad de 33 pies por día. ¿Cuántos días le tomará a la tuneladora pasar a través de 7920 pies de roca sólida?
ANAlIzAr
• La tuneladora perfora 33 pies de roca sólida por día. Proporcionado
• La tuneladora tiene que perforar 7920 pies de roca sólida. Proporcionado
• ¿Cuántos días le tomará a la tuneladora hacer esto? a encontrar
En el diagrama de abajo, se observa que la perforación diaria separa una distancia de 7 920 pies en longitudes de igual tamaño de 33 pies. Esto indica una división.
FOrmAr Se traducen las palabras del problema a números y símbolos.
El número de días que se requieren para perforar el túnel es igual a la longitud del túnel dividida entre la distancia que la tuneladora perfora cada día
El número de días que se requieren para perforar el túnel
Use una división larga para encontrar 7920 4 33.
ENuNCIAr Le tomará a la tuneladora 240 días para perforar 7920 pies a través de roca sólida. COmprObAr Se puede comprobar utilizando una multiplicación.
cociente divisor 5 dividendo. el resultado es correcto.
objetivo 2
En ocasiones se necesita más de una operación para resolver un problema.
EjEmplO
AguA EmbOTEllADA. ¿Cuántas porciones de 6 onzas hay en un garrafón de agua de 5 galones? (Sugerencia: Hay 128 onzas líquidas en 1 galón.)
ANAlIzAr El diagrama mostrado abajo es de utilidad en la comprensión del problema.
• Dado que cada uno de los 5 galones de agua contiene 128 onzas, el número total de onzas es la suma de cinco veces 128. Esta adición repetitiva puede calcularse utilizando una multiplicación.
• Dado que del garrafón se extraerán porciones de igual tamaño esto sugiere una división.
• Por tanto, para resolver este problema, se requiere desarrollar dos operaciones: una multiplicación y una división.
FOrmAr (pAsO 1) Se verá que hay 640 onzas líquidas en un garrafón de cinco galones de agua. Para encontrar el número de onzas líquidas en el garrafón de 5 galones, se multiplica:
640
FOrmAr (pAsO 2) Ahora se usa la respuesta del paso 1 para encontrar el número de porciones de 6 onzas líquidas.
El número de porciones de agua es igual al número de onzas de agua en la botella dividido entre el número de onzas en una porción
rEsOlvEr Use una división larga para encontrar 640 4 6.
ENuNCIAr En un garrafón de agua de 5 galones hay 106 porciones de 6 onzas líquidas y 4 onzas de agua sobrantes.
COmprObAr Para comprobar la multiplicación, aproxime el resultado Para comprobar la división, use la relación: (cociente ? divisor) 1 residuo 5 dividendo.
TrANspOrTE públICO. Cuarenta y siete personas abordaron un autobús de la Ruta 66. Llegó a la parada de la 7a Calle a las 5:30 de la tarde, donde 11 personas pagaron la tarifa de 1.50 dólares para abordar después de que 16 pasajeros habían descendido del autobús. Cuando el conductor reanudó la marcha a las 5:32 de la tarde, ¿cuántos pasajeros había en el autobús?
ANAlIzAr Si se va a encontrar el número de pasajeros en el autobús, entonces la ruta, la parada, los tiempos y la tarifa no tienen importancia. Es de utilidad tachar esa información.
47
Cuarenta y siete personas abordaron un autobús de la Ruta 66. Llegó a la parada de la 7a Calle a las 5:30 de la tarde, donde 11 personas pagaron la tarifa de 1.50 dólares para abordar después de que 16 pasajeros habían descendido del autobús. Cuando el conductor reanudó la marcha a las 5:32 de la tarde, ¿cuántos pasajeros había en el autobús?
Si se vuelve a leer con cuidado el problema, se observa que la frase para abordar indica una suma y la palabra descendido indica una resta.
FOrmAr Se traducen las palabras del problema a números y símbolos.
número de pasajeros en el autobús antes de la parada número de pasajeros en el autobús después de la parada
más el número de pasajeros que abordaron menos el número de pasajeros que bajaron El 5 47
es igual al
1 11 16
MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE
rEsOlvEr Se resolverá el problema en forma horizontal. Recuerde de la Sección 1.3 que las operaciones de suma y resta deben desarrollarse a medida que aparecen, de izquierda a derecha.
Empezando de izquierda a derecha, realice la suma primero:
COmprObAr La suma puede comprobarse con una aproximación. Para comprobar la resta, utilice: diferencia 1 sustraendo 5 minuendo.
Resuelva los siguientes problemas.
1. Transporte. Un transporte de automóviles se carga con 9 sedanes nuevos Chevrolet Malibú, cada uno valorado en 21605 dólares. ¿Cuál es el valor total de los autos que lleva el transporte?
8. Estados Unidos. De 1800 a 1850, 15 estados se integraron a los Estados Unidos de América. De 1851 a 1900, entraron 14 estados adicionales.Tres estados se unieron de 1901 a 1950. Desde entonces, Alaska y Hawái son los únicos que se han unido. En total, ¿cuántos estados se han incorporado a Estados Unidos desde 1800?
Resuelva los siguientes problemas.
2. Medallas de oro. El equipo olímpico de Estados Unidos ganó 46 medallas de oro en los Juegos Olímpicos de Verano en Río 2016. En ese momento, el valor de una medalla de oro era de alrededor de 564 dólares. ¿Cuál era el valor de todas las medallas de oro ganadas por el equipo olímpico de Estados Unidos? (Fuente: forbes. com)
Resuelva los siguientes problemas.
3. Historia de la TV. Había 59 episodios producidos menos de I Love Lucy que de Friends. Si hay 236 episodios de Friends, ¿cuántos episodios de I Love Lucy hay?
4. Mascotas. En 2015, el número de familias que tenían un gato estaba estimado en 13100000 menos que el número de familias que tenían un perro. Si eran 60200 000 los propietarios de un perro, ¿cuántos tenían un gato? (Fuente: avma.org)
Resuelva los siguientes problemas.
5. Chocolate. Un estudio encontró que 7 gramos de chocolate oscuro por día es la cantidad ideal para protegerse contra el riesgo de un ataque cardiaco. ¿Cuántas porciones diarias hay en una barra de chocolate oscuro que pesa 98 gramos? (Fuente: ScienceDaily.com)
6. Viajes. Un sitio web de viajes turísticos asevera que los gastos por día para visitar Europa son de 95 dólares. Si un turista ahorró 2185 dólares para unas vacaciones, ¿cuántos días puede pasar en Europa?
Resuelva los siguientes problemas. Use una tabla para organizar la información del problema.
7. Teatro. La obra Romeo y Julieta de William Shakespeare tiene cinco actos. El primer acto tiene 5 escenas. El segundo acto tiene 6 escenas. El tercer y cuarto actos tiene cada uno 5 escenas y el último acto tiene 3 escenas. En total, ¿cuántas escenas hay en la obra?
9. iPhones. Una estudiante tenía 135 fotos guardadas en su iPhone de 16 GB. Borró 27 de ellas (40 MB) para liberar un poco de espacio en la memoria. En los siguientes 7 días, ella tomó 19 fotos nuevas (28 MB) y las guardó todas. ¿Cuántas fotos hay ahora guardadas en su teléfono?
10. Bosques. Canadá tiene 1806425 menos millas cuadradas de bosques que Rusia. Estados Unidos tiene 142758 menos millas cuadradas de bosques que Canadá. Si Rusia tiene 3 146 466 millas cuadradas de bosques (la mayor cantidad que cualquier otro país en el mundo) ¿Cuántas millas cuadradas tiene Estados Unidos? (Fuente: mapsoftheworld.com)
11. Batman. Para el año de 2017, los ingresos mundiales en taquilla de las siguientes películas de Batman eran: The Dark Knight Rises (2012) 1085 millones de dólares, The Dark Knight (2008) 1003 millones de dólares, Batman vs Superman: Dawn of Justice (2016) 873 millones de dólares, Batman (1989) 411 millones de dólares, Batman Forever (1995) 337 millones de dólares, Batman Begins (2005) 373 millones de dólares, y The LEGO Batman Movie (2017) 294 millones de dólares. ¿Cuál es el total de los ingresos en taquillas de todas las películas? (Fuente: www.boxofficemojo.com)
12. Aerobics. Hacer ejercicio aeróbico de alto impacto durante 30 minutos quema 302 calorías. Hacer ejercicio de bajo impacto durante 30 minutos quema 64 calorías menos. ¿Cuántas calorías se queman durante el ejercicio de bajo impacto?
13. Viajes. ¿Cuánto dinero ahorrará una familia de seis en el pasaje aéreo si aprovechan la oferta mostrada en el anuncio?
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ves en la pantalla, determina cuántos gigabytes de espacio están siendo usados y cuántos quedan disponibles.
19. Longitud. Hay 12 pulgadas en un pie, 3 pies en una yarda y 1 760 yardas en una milla. ¿Cuántas pulgadas hay en una milla?
20. Chimeneas. Un contratista pidió doce palés de ladrillo para chimenea. Cada palé contiene 516 ladrillos. Si se requieren 430 ladrillos para construir una chimenea, ¿cuántas chimeneas pueden construirse con este pedido? ¿Cuántos ladrillos sobrarán?
15. Nacimientos múltiples. Refiérase a la tabla sobre el número de nacimientos múltiples en Estados Unidos para contestar los siguientes incisos:
a. Encuentre el número total de niños nacidos en un parto doble, triple o cuádruple para el año 2010.
b. Encuentre el número total de niños nacidos en un parto doble, triple o cuádruple para el año 2015.
c. ¿En qué año hubo más partos múltiples? ¿Cuántos más nacimientos múltiples hubo en ese año?
Fuente:
16. Árboles. La altura del árbol más alto conocido (una secuoya costera californiana) es de 379 pies. Algunos científicos creen que el árbol podría crecer máximo 47 pies más que esto debido a que sería difícil que el agua se elevara de la tierra más que eso para soportar mayor crecimiento. ¿Cuál sería la altura máxima que según los científicos puede alcanzar el árbol? (Fuente: BBC News)
17. Cafeína. Un vaso “grande” (16 onzas) de café tostado medio de la marca Starbucks, tiene alrededor de doce veces más cafeína que un café descafeinado de Starbucks del mismo tamaño. Si el vaso grande de café descafeinado tiene 25 miligramos de cafeína, ¿cuánta cafeína contiene un café regular grande?
18. Tiempo. Hay 60 minutos en una hora, 24 horas en un día y 7 días en una semana. ¿Cuántos minutos hay en una semana?
21. Techado. Un techador pidió 108 cuadrados de tejas. (Un cuadrado cubre 100 pies cuadrados de techo.) En una nueva urbanización, las casas tienen techos de 2800 pies cuadrados. ¿Cuántas casas pueden techarse por completo con este pedido?
22. Crucigramas. Un crucigrama está conformado por 15 renglones y 15 columnas de cuadrados pequeños. Cuarenta y seis de los cuadrados son negros. ¿Cuántos cuadrados quedan disponibles para las letras?
23. Ajedrez. Un tablero de ajedrez consiste en 8 renglones, con 8 cuadrados en cada renglón. Cada uno de los dos jugadores tiene 16 piezas de ajedrez para colocarlas al inicio del juego en el tablero; cada pieza ocupa un cuadrado. ¿Cuántos cuadrados quedan sin piezas al inicio del juego?
24. Tarjetas de crédito. El saldo al 23/10/17 en el número de cuenta de Visa 623415 era de 1 989 dólares. Si se cargaron a la tarjeta compras de 125 y 296 dólares el 24/10/17, se abonó un pago de 1680 dólares el 31/10/17 y no se realizaron otros cargos o pagos, ¿cuál es el nuevo saldo el 01/11/17?
25. Arizona. En enero, la temperatura alta promedio es de 60°F. En mayo, se eleva en 28°F; en julio, se eleva otros 11° y en diciembre desciende 40°F. ¿Cuál es la temperatura promedio de Phoenix en diciembre? (Fuente: weather.com)
26. Correr. Matt Savage ha corrido al menos 5 millas diarias desde septiembre 1 de 1979, incluyendo el 3 de enero de 1997 —cuando se casó— y cada día que pasó de luna de miel en el viaje por crucero. La distancia total que él ha corrido es aproximadamente de nueve vueltas alrededor de la Tierra. Si un viaje alrededor del planeta son 7926 millas, ¿cuánto ha corrido Matt Savage desde el 1/09/79? (Fuente: nydailynews.com)
En esta sección, se explicará cómo expresar números naturales en forma factorizada. Los procedimientos empleados para encontrar la forma factorizada de un entero natural involucran la multiplicación y la división.
El enunciado 3 ? 2 5 6 tiene dos partes: los números que se están multiplicando y la respuesta. A los números que se están multiplicando se les llama factores y la respuesta es el producto. Se dice que el 3 y el 2 son factores del 6.
A los números que se multiplican entre sí se les llama factores.
EjEmplO 1
Encuentre los factores del 12.
EsTrATEgIA Se encontrarán todos los pares de números naturales cuyo producto es 12. pOr QuÉ Cada uno de los números en esos pares es un factor del 12. sOluCIóN
Los pares de números naturales cuyos productos son 12 son:
1 12 5 12, 2 6 5 12 y 3 4 5 12
En orden, de menor a mayor, los factores del 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
úTiL conSej o
Es importante anotar que los factores de un número también son llamados Divisores del número. Para el ejemplo anterior se dice que, 1, 2, 3, 4, 6, 12 son los divisores de 12.
En el ejemplo 1 una vez que se determina que el par 1 y 12 son factores de 12, cualquier factor restante debe estar entre 1 y 12. Una vez que se determina que el par 2 y 6 son factores de 12, cualquier factor restante debe estar entre 2 y 6. Una vez que se determina que el par 3 y 4 son factores de 12, cualquier factor de 12 debe estar entre 3 y 4. Dado que no hay enteros entre 3 y 4, se sabe que se han encontrado todos los factores posibles de 12.
En el ejemplo 1, se encontró que 1, 2, 3, 4, 6 y 12 son factores de 12. Observe que cada uno de los factores divide el 12 de manera exacta, dejando un residuo de 0.
Si un entero es un factor de un número dado, lo divide de manera exacta.
Cuando se dice que 3 es un factor de 6, se está usando la palabra factor como sustantivo. Para referirse a la acción, esto es, al verbo, se usa la palabra factorizar
EjEmplO 2
Factorice 40 utilizando: A. dos factores B. tres factores
EsTrATEgIA Se encontrará un par de números naturales cuyo producto sea 40 y tres números naturales cuyo producto sea 40.
pOr QuÉ Factorizar un número significa expresarlo como el producto de dos (o más) números. sOluCIóN
A. Para factorizar 40 utilizando dos factores, existen varias posibilidades.
B. Para factorizar 40 utilizando tres factores, existen varias posibilidades. Dos de ellas son:
EjEmplO 3
Encuentre los factores de 17.
EsTrATEgIA Se encontrarán todos los pares de números naturales cuyo producto sea 17. pOr QuÉ Cada uno de los números en estos pares es un factor de 17. sOluCIóN
El único par de números naturales cuyo producto es 17 es:
1 ? 17 5 17
Por tanto, los únicos factores del 17 son 1 y 17.
Identificar números naturales pares e impares, números primos y números compuestos
Un número natural o es par o es impar.
Si un números naturales es divisible entre 2, se le llama número par.
Si un números naturales no es divisible entre 2, se le llama número impar.
Los números naturales pares son los números: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...
Los enteros positivos impares son los números: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...
Los puntos suspensivos al final de cada lista mostrada arriba indican que hay infinitos números naturales pares e impares.
En el ejemplo 3 se vio que los únicos factores del 17 son el 1 y el 17. A los números que solo tienen dos factores, el 1 y el número en sí, se les llama números primos
Un número primo es un entero positivo mayor que 1 que sólo tiene al 1 y a sí mismo como factores.
Los números primos son los números:
Hay una infinidad de números primos.
Observe que el único número primo par es el 2. Cualquier otro entero positivo par es divisible entre 2 y por tanto tiene al 2 como un factor, además del 1 y a sí mismo. También observe que no todos los enteros positivos impares son números primos. Por ejemplo, dado que 15 tiene los factores de 1, 3, 5 y 15, no es un número primo.
El conjunto de enteros positivos contiene muchos números primos. También contiene muchos números que no son primos.
númErOs COmPUEsTOs
Los números compuestos son los enteros positivos mayores que 1 que no son primos. Los números compuestos son los números: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, . . . Hay infinitos números compuestos.
Los números 0 y 1 no son primos ni compuestos, debido a que ninguno es un número natural mayor que 1.
A. ¿Es 37 un número primo? B. ¿Es 45 un número primo? EsTrATEgIA Se determinará si el número dado sólo tiene 1 y a sí mismo como factores. pOr QuÉ Si ese es el caso, es un número primo.
A. Dado que 37 es un entero positivo mayor que 1 y sus únicos factores son 1 y 37, es primo. Dado que 37 no es divisible entre 2, se dice que es un número primo impar.
B. Los factores de 45 son 1, 3, 5, 9, 15 y 45. Dado que tiene otros factores además de 1 y de 45, no es primo. Es un número compuesto impar.
Factorizar en números primos utilizando un árbol de factores
Todo número compuesto puede formarse multiplicando una combinación específica de números primos. A encontrar esa combinación se le llama factorizar en números primos
Factorizar en números primos un entero significa escribirlo exclusivamente como el producto de números primos.
A continuación se muestra cómo usar el árbol de factores de dos maneras para factorizar 90 en números primos.
1. Factorice el 90 como 9 10
2. Ni el 9 ni el 10 son primos, así que se factoriza cada uno de ellos.
3. El proceso se completa cuando sólo aparecen números primos en la parte inferior de todas las ramas.
1. Factorice el 90 como 6 15
2. Ni el 6 ni el 15 son primos, así que se factoriza cada uno de ellos.
3. El proceso se completa cuando sólo aparecen números primos en la parte inferior de todas las ramas.
De cualquier manera, la factorización de 90 contiene un factor 2, dos factores 3 y un factor 5. Escribiendo los factores en orden, de menor a mayor, la factorización en números primos de 90 es 2 ? 3 ? 3 ? 5. Es verdadero que ninguna otra combinación de factores primos producirá 90. Este ejemplo ilustra un hecho importante acerca de los números compuestos.
Cualquier número compuesto tiene un único conjunto de factores primos.
EjEmplO 5
Use un árbol de factores para factorizar 210 en números primos.
EsTrATEgIA Se factorizará cada número que se encuentre como un producto de dos enteros positivos (distintos a 1 y a sí mismo) hasta que todos los factores involucra-dos sean primos. pOr QuÉ La factorización de un entero en números primos solo contiene números primos. sOluCIóN
Factorice el 210 como 7 30. (La factorización de primos resultante será la misma sin importar con cuáles dos factores del 210 comience.) Dado que el 7 es primo, enciérrelo en un círculo. Esa rama del árbol está completada.
Dado que el 30 no es primo, factorícelo como 5 6. (La factorización de primos resultante será la misma sin importar con cuáles dos factores del 30 comience.) Dado que el 5 es primo, enciérrelo en un círculo. Esa rama del árbol está completada.
Dado que el 6 no es primo, factorícelo como 2 3. Dado que el 2 y el 3 son primos, enciérrelos en un círculo. Todas las ramas del árbol están ahora completadas.
La factorización en números primos de 210 es 7 ? 5 ? 2 ? 3. Escribiendo los factores primos en orden, de menor a mayor, se tiene que 210 5 2 ? 3 ? 5 ? 7.
objetivo 4
Factorizar en número primo utilizando una escalera de divisiones
También se puede factorizar en números primos un número natural utilizando un proceso llamado escalera de divisiones. Se le llama así debido a los “escalones” verticales que produce.
EjEmplO 6
Use una escalera de divisiones para factorizar 280 en números primos.
EsTrATEgIA Se dividirá varias veces entre números primos hasta que el cociente final sea un número primo.
pOr QuÉ Si un número primo es un factor de 280, lo dividirá de manera exacta.
Sección 1.7 Descomposición de un número en factores 41
Es de utilidad comenzar con el menor de los números primos, el 2, como el primer divisor a probar. Después, si es necesario, tratar los siguientes números primos 3, 5, 7, 11, 13, ... en ese orden.
Paso 1 El número primo 2 divide el 280 de manera exacta. El resultado es 140,el cual no es primo.Continúe el proceso de división.
Paso 2 Dado que el 140 es par,divida entre 2 de nuevo. El resultado es 70,el cual no es primo.Continúe el proceso de división.
Paso 3 Dado que el 70 es par,divida entre 2 una tercera vez. El resultado es 35,el cual no es primo. Continúe el proceso de división.
Paso 4 Dado que ni 2 ni el siguiente número primo, 3, dividen 35 de manera exacta,se intenta el 5. El resultado es 7,el cual es primo.Se ha acabado.
La factorización de primos del 280 aparece en la columna izquierda de la escalera de la división: Compruebe este resultado utilizando una multiplicación.
En el ejemplo 6, sería incorrecto comenzar el proceso de división con 4 280 70 porque 4 no es un número primo.
Las reglas de divisibilidad encontradas en la sección 1.5 son de utilidad cuando se emplea la escalera de divisiones. Se aconseja que las repase en este momento.
objetivo 5
usar la notación exponencial
En el ejemplo 6, se vio que la factorización en números primos de 280 es 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 7. Debido a que esta factorización tiene tres factores 2, al 2 se le llama factor repetido. Se puede utilizar la notación exponencial para escribir 2 ? 2 ? 2 de una manera más compacta.
Se utiliza un exponente para indicar una multiplicación repetitiva. Indica cuántas veces se utiliza la base como un factor.
El exponente es 3.
Lea 23 como “2 a la tercera potencia” o “2 al cubo”.
Factores repetidosLa base es 2.
La factorización en números primos de 280 puede escribirse utilizando exponentes 2 ? 2 ? 2 ? 5 ?
?
? 7.
En la expresión exponencial 23, el número 2 es la base y el 3 es el exponente. A la expresión se le llama potencia de 2
EjEmplO 7
Escriba cada producto utilizando exponentes:
A. 5 5 5 5 B. 7 7 11 C. 2(2)(2)(2)(3)(3)(3)
EsTrATEgIA Se determinará el número de factores repetidos en cada expresión. pOr QuÉ Puede utilizarse un exponente para representar una multiplicación repetitiva.
sOluCIóN
A. El factor 5 se repite 4 veces. Se puede representar esta multiplicación repetitiva con una expresión exponencial que tenga el 5 como base y el 4 como exponente: 5 5 5 5 54
B. El 7 se utiliza como un factor 2 veces. 7 7 11 72 11
objetivo 6
EjEmplO 8
2(2)(2)(2)(3)(3)(3) 24(33)
C. El 2 se utiliza como un factor 4 veces y el 3 se utiliza como un factor 3 veces.
Se puede usar la definición del exponente para evaluar (hallar el valor de) expresiones exponenciales.
Evalúe cada expresión:
EsTrATEgIA Se reescribirá cada expresión exponencial como un producto de facto-res repetidos y después se desarrollará la multiplicación. Esto requiere que se identifiquen la base y el exponente
pOr QuÉ El exponente indica el número de veces que se tiene que escribir la base como un factor.
sOluCIóN
Los pasos de las soluciones se pueden escribir en forma horizontal.
A. 72 5 7 ? 7 Lea 72 como “7 a la segunda potencia” o “7 al cuadrado”. La base es 7 y el exponente es 2. escriba la base como un factor 2 veces.
5 49 Multiplique.
B. 25 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 Lea 25 como “2 a la quinta potencia”. La base es 2 y el exponente es 5. escriba la base como un factor 5 veces.
5 4 ? 2 ? 2 ? 2 Multiplique empezando de izquierda a derecha.
5 8 ? 2 ? 2
5 16 2
5 32
C. 104 5 10 ? 10 ? 10 ? 10 Lea 10 4 como “10 a la cuarta potencia”. La base es 10 y el exponente es 4. escriba la base como un factor 4 veces.
5 100 ? 10 ? 10 Multiplique empezando de izquierda a derecha.
5 1000 ? 10
5 10000
D. 61 5 6 Lea 61 como “6 a la primera potencia”. escriba la base 6 una vez.
EjEmplO 9
La factorización en números primos de un número es 23 ? 34 ? 5. ¿Cuál es el número?
EsTrATEgIA Para encontrar el número, se evaluará cada expresión exponencial y después se realizará la multiplicación
pOr QuÉ Las expresiones exponenciales deben evaluarse primero. sOluCIóN
Los pasos de las soluciones pueden escribirse en forma horizontal. 2
81 ? 5 evalúe las expresiones exponenciales: 2
8 y 34 5 81.
5 648 ? 5 Multiplique, comenzando de izquierda a derecha.
5 3240 Multiplique. 2
es la factorización de primos del 3240.
Los cálculos que no pueda desarrollar de manera mental deben mostrarse fuera de los pasos de su solución.
EjErCICIOs 1.7 REVISIÓN DE COnCEPTOs
1. Complete los espacios para encontrar los pares de enteros positivos cuyo producto es 45.
1 5 45 3 5 45 5 5 45
Los factores del 45, en orden de menor a mayor son: , , , , ,
2. Complete los espacios para encontrar los pares de números naturales cuyo producto es 28.
1 5 28 2 5 28 4 5 28
Los factores del 28, en orden de menor a mayor son: , , , , ,
3. Si 4 es un factor de un número natural, ¿lo dividirá de manera exacta?
4. Suponga que un número es divisible entre 10. ¿El 10 es un factor del número?
5. a. Complete los espacios: Si un número es divisible entre 2, es un número . Si no es divisible entre 2, es un número
b. Liste los primeros 10 números números naturales pares.
c. Liste los primeros 10 números números naturales impares.
6. a. Liste los primeros 10 números primos.
b. Liste los primeros 10 números compuestos. Determine si cada uno de los números de la lista es un número primo.
7. 17
9. 99
11. 51
13. 43
8. 59
10. 27
12. 91
14. 83
Encuentre la factorización en números primos de cada número. Use exponentes en su respuesta cuando haya factores repetidos.
15. 30
17. 39
19. 99
21. 162
16. 20
18. 105
20. 400
22. 98
114
Escriba cada producto usando exponentes.
35. 4(4)(8)(8)(8)
37. Números perfectos. A un número natural se le llama número perfecto cuando la suma de sus factores menores al número es igual al número. Por ejemplo, el 6 es un número perfecto, debido a que 1 1 2 1 3 5 6. Encuentre los factores del 28. Después use una suma para mostrar que el 28 también es un número perfecto.
38. Criptografía. Con frecuencia la información se transmite codificada. Muchos códigos involucran la escritura de números cuyos factores son primos grandes, pues eso los hace difíciles de factorizar. Para ver qué tan difícil, trate de encontrar dos factores primos del 7663. (Sugerencia: Ambos primos son mayores que el 70.)
39. Luz. La ilustración muestra que la energía lumínica que pasa a través de la primera unidad de área, alejada una yarda de la bombilla, se dispersa a medida que viaja alejándose de la fuente. ¿Cuánta área cubre esa energía a 2 yardas, a 3 yardas y a 4 yardas de la bombilla? Exprese cada respuesta utilizando exponentes.
sECCIóN 1.8
12(12)(12)(16)
40. División celular. Después de 1 hora, una célula se ha dividido para formar otra célula. En otra hora, estas dos células se han dividido, por lo que existen cuatro células. En otra hora, estas cuatro células se dividen, por lo que existen ocho.
a. ¿Cuántas células existen al final de la cuarta hora?
b. El número de células que existe después de cada división puede encontrarse utilizando una expresión exponencial. ¿Cuál es la base?
c. Encuentre el número de células después de 12 horas.
41. Explique cómo comprobar una factorización de números primos.
42. Explique la diferencia entre los factores de un número y los factores primos de un número. Dé un ejemplo.
MínIMo común múltiplo (mcm) y máximo común divisor (mcd)
De pequeño, probablemente aprendió a contar de 2 en 2, de 5 en 5 y de 10 en 10. Contar de esa manera sirve para ejemplificar un concepto importante en las matemáticas llamado múltiplos.
objetivo 1
Los múltiplos de un número son los productos de ese número y el 1, 2, 3, 4, 5, etcétera.
EjEmplO 1
Encuentre los primeros ocho múltiplos de 6.
EsTrATEgIA Se multiplicará el 6 por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.
pOr QuÉ Los múltiplos de un número son los productos de ese número y el 1, 2, 3, 4, 5, etcétera.
Sección 1.8 Mínimo común múltiplo (mcm) y Máximo común divisor (mcd)
Para encontrar los múltiplos se procede como a continuación:
6 2 12 6 1 6
6 3 18
6 4 24
6 5 30
Este es el primer múltiplo del 6.
EjEmplO 2
6 6 36
6 7 42
6 8 48
Este es el octavo múltiplo del 6.
Los primeros múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42 y 48.
Encuentre el mcm de 6 y 8.
EsTrATEgIA Se escribirán los múltiplos del número mayor, 8, hasta que se encuentre uno que sea divisible entre el número menor, 6.
pOr QuÉ El mcm de 6 y 8 es el menor múltiplo de 8 que es divisible entre 6. sOluCIóN
El 1er múltiplo de 8: 8 1 5 8 el 8 no es divisible entre 6. (cuando se divide, se obtiene residuo 2.) Dado que 8 no es divisible entre 6, encuentre el siguiente múltiplo.
El 2o múltiplo del 8: 8 2 5 16 el 16 no es divisible entre 6. encuentre el siguiente múltiplo.
El 3er múltiplo del 8: 8 3 5 24 el 24 es divisible entre 6. este es el mcm.
El primer múltiplo de 8 que es divisible entre 6 es 24. Por tanto, mcm (6, 8) 5 24 Lea como “el mínimo común múltiplo de 6 y 8 es 24”.
Abajo se muestran los primeros ocho múltiplos de 3 y los primeros ocho múltiplos de 4. Los números remarcados en gris son los múltiplos comunes de 3 y 4.
Si se extiende cada lista, pronto se vuelve aparente que el 3 y el 4 tienen infinitos múltiplos comunes.
Los múltiplos comunes del 3 y el 4 son: 12, 24, 36, 48, 60, 72,...
Debido a que el 12 es el menor número que es múltiplo común de 3 y 4, se le llama mínimo común múltiplo (mcm) de 3 y 4. Este se puede escribir de forma compacta como:
mcm (3, 4) 5 12 Se lee como “el mínimo común múltiplo de 3 y 4 es 12”.
El mínimo común múltiplo de dos enteros es el menor de los múltiplos que tienen en común tales números.
objetivo 2
Otro método para encontrar el mcm de dos (o más) enteros emplea la factorización en números primos. Este método es especialmente útil cuando se trabaja con números más grandes. Como ejemplo, se encontrará el mcm de 36 y 54. Primero, se encuentran sus factorizaciones en números primos:
Pueden utilizarse árboles de factores (o escaleras de una división) para encontrar las factorizaciones de primos.
El mcm de 36 y 54 debe ser divisible entre 36 y 54. Si el mcm es divisible entre 36, debe tener los factores primos de 36, los cuales son 2 ? 2 ? 3 ? 3. Si el mcm es divisible entre 54, debe tener los factores primos de 54, los cuales son 2 ? 3 ? 3 ? 3. El número más pequeño que cumple ambos requerimientos es:
Estos son los factores primos del 36.
Estos son los factores primos del 54.
Para encontrar el mcm, se desarrolla la multiplicación indicada: mcm (36, 54) 5 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 5 108
¡Cuidado! El mcm (36, 54) no es el producto de la factorización en números primos de 36 y de la factorización en números primos de 54. Eso da una respuesta incorrecta de 1944.
El mcm debe contener todos los factores primos de 36 y todos los factores primos de 54, pero los factores primos que 36 y 54 tienen en común no se repiten.
Las factorizaciones en números primos de 36 y 54 contienen los números 2 y 3. 36 5 2 ? 2 ? 3 ? 3 54 5 2 ? 3 ? 3 ? 3
Se observa que:
• El número mayor de veces que aparece el factor 2 en cualquiera de las factorizaciones en números primos es dos veces y el mcm de 36 y 54 tiene a 2 como un factor dos veces.
• El número mayor de veces que aparece el factor 3 en cualquiera de las factorizaciones en números primos es tres veces y el mcm de 36 y 54 tiene a 3 como un factor tres veces.
Estas observaciones sugieren un procedimiento para encontrar el mcm de dos (o más) números empleando la factorización en números primos.
Para encontrar el mínimo común múltiplo de dos (o más) enteros:
1. Realice la factorización en números primos de cada número.
2. El mcm es un producto de los factores primos, donde cada factor se utiliza el mayor número de veces que aparece en cualquier factorización.
Encuentre el mcm de 24 y 60.
EsTrATEgIA Se comenzará encontrando las factorizaciones en números primos de 24 y 60 pOr QuÉ Para encontrar el mcm, se necesita determinar el mayor número de veces que aparece cada factor en cualquier factorización.
Paso 1: Realice la factorización en números primos de 24 y 60.
24 5 2 ? 2 ? 2 ? 3 Puede utilizarse escaleras de divisiones (o árboles de factores) para encontrar las factorizaciones en números primos.
60 5 2 ? 2 ? 3 ? 5
Paso 2: La factorización en números primos de 24 y 60 contiene los factores primos 2, 3 y 5. Para encontrar el mcm, se utiliza cada uno de estos factores el mayor número de veces que aparecen en cualquier factorización.
• Se utilizará el factor 2 tres veces, debido a que 2 aparece tres veces en la factorización de 24. Encierre en un círculo 2 ? 2 ? 2, como se muestra abajo.
• Se utilizará el factor 3 una vez, debido a que aparece una vez en la factorización de 24 y una vez en la factorización de 60. Cuando el número de veces que aparece un factor es el mismo, encierre en un círculo cualquiera, pero no ambos, como se muestra abajo.
• Se utilizará el factor 5 una vez, debido a que aparece una vez en la factorización de 60. Encierre en un círculo el 5, como se muestra abajo.
EjEmplO 4
Dado que no hay otros factores primos en cualquiera de las factorizaciones en números primos, se tiene:
Use 2 tres veces.
Use 3 una vez. Use 5 una vez.
Observe que 120 es el número más pequeño que es divisible entre 24 y 60:
rECupErACIóN DE pACIENTEs. Dos pacientes que se recuperan de una cirugía cardiaca se ejercitan a diario caminando alrededor de una pista. Un paciente puede completar una vuelta en 4 minutos. El otro puede completar una vuelta en 6 minutos. Si comienzan al mismo tiempo y en el mismo lugar de la pista, ¿en cuántos minutos llegarán juntos al punto inicial de su rutina?
EsTrATEgIA Se encontrará el mcm de 4 y 6.
pOr QuÉ Dado que un paciente alcanza el punto inicial de la rutina cada 4 minutos y el otro lo hace cada 6 minutos, se desea encontrar el mínimo común múltiplo de estos números. En ese tiempo, ambos estarán en el punto inicial de la rutina.
Para encontrar el mcm, se realiza la factorización en números primos de 4 y de 6 y se encierra en un círculo cada factor primo el número mayor de veces que aparece en cualquier factorización.
4 5 2 2 Use el factor 2 dos veces, debido a que 2 aparece dos veces en la factorización de 4.
6 5 2 3 Use el factor 3 una vez, dado que aparece una vez en la factorización de 6.
Dado que no hay otros factores primos en cualquiera de las factorizaciones en números primos, se tiene:
mcm (4, 6) 5 2 2 3 5 12 Los pacientes llegarán juntos al punto inicial 12 minutos después de comenzar su rutina.
Se ha visto que dos enteros pueden tener múltiplos comunes. También pueden tener divisores comunes. Para explorar este concepto, se encuentran los factores de 26 y 39 y se ve qué factores tienen en común.
Para encontrar los factores de 26, se encuentran todos los pares de enteros cuyo producto sea 26. Existen dos posibilidades:
1 26 5 26 2 13 5 26
Cada uno de los números en los pares es un factor de 26. De menor a mayor, los factores de 26 son 1, 2, 13 y 26.
Para encontrar los factores de 39, se encuentran todos los pares de números enteros cuyo producto sea 39. Existen dos posibilidades:
1 39 5 39 3 13 5 39
Cada uno de los números en los pares es un factor de 39. De menor a mayor, los factores de 39 son 1, 3, 13 y 39. Como se muestra abajo, los factores comunes de 26 y 39 son 1 y 13.
1 , 2 , 13 , 26 estos son los factores de 26.
1 , 3 , 13 , 39 estos son los factores de 39.
Debido a que 13 es el número más grande que es un factor de 26 y 39 y que todo factor es un divisor, a 13 se le llama máximo común divisor (mcd) de 26 y 39. Se puede escribir esto en forma compacta como:
mcd (26, 39) 5 13 Se lee como “el máximo común divisor de 26 y 39 es 13”.
El máximo común divisor de dos enteros positivos es el factor —divisor— común más grande de esos números.
EsTrATEgIA Se encontrarán los factores de 18 y 45.
pOr QuÉ Entonces se puede identificar el factor más grande que tienen en común 18 y 45. sOluCIóN
Para encontrar los factores de 18, se encuentran todos los pares de números naturales cuyo producto sea 18. Existen tres posibilidades:
1 18 5 18 2 9 5 18 3 6 5 18
Para encontrar los factores de 45, se encuentran todos los pares de números naturales cuyo producto sea 45. Existen tres posibilidades:
1 45 5 45 3 15 5 45 5 9 5 45
Los factores de 18 y de 45 se listan abajo. Sus factores comunes se encierran en un círculo.
Factores de 18: 1 , 2, 3 , 6, 9 , 18
Factores de 45: 1 , 3 , 5 , 9 , 15, 45
Los factores comunes de 18 y 45 son 1, 3 y 9. Dado que 9 es el factor común más grande, mcd (18, 45) 5 9 Se lee como “el máximo común divisor de 18 y 45 es 9”.
En el ejemplo 7, se encontró que el mcd de 18 y 45 es 9. Observe que 9 es el número más grande que divide 18 y 45.
objetivo 4
18
9 5 2 45 9 5 5
El máximo común divisor de dos (o más) números es el mayor de los números que los divide de manera exacta. Debido a que el proceso implica encontrar los factores comunes de esos números, y que todo factor es un divisor, al máximo común divisor también se le conoce como máximo factor común (mfc) y se puede escribir mfc (18, 45) 5 9.
Encontrar el máximo común divisor usando la factorización en número primos
Se puede encontrar el mcd de dos (o más) números listando los factores de cada número. Sin embargo, este método puede ser extenso. Otro método para encontrar el mcd utiliza la factorización en números primos de cada número.
Para encontrar el máximo común divisor de dos (o más) enteros:
1. Realice la factorización en números primos de cada número.
2. Identifique los factores primos comunes.
3. El mcd es un producto de todos los factores primos comunes encontrados en el paso 2. Si no hay factores primos comunes, el mcd es 1.
Encuentre el mcd de 48 y 72.
EsTrATEgIA Se comenzará encontrando las factorizaciones en números primos de 48 y 72
pOr QuÉ Entonces se puede identificar cualquier factor primo que tienen en común. sOluCIóN
Paso 1: Realice la factorización en números primos de 48 y 72.
EjEmplO 7
Paso 2: Los números encerrados muestran que 48 y 72 tienen cuatro factores primos comunes. Tres factores comunes 2 y un factor común 3.
Paso 3: El mcd es el producto de los factores primos comunes que se muestran encerrados en un óvalo.
Encuentre el mcd de 20, 60 y 140.
EsTrATEgIA Se comenzará encontrando las factorizaciones en números primos de 20, 60 y 140
pOr QuÉ Entonces se puede identificar cualquier factor primo que tienen en común. sOluCIóN
Abajo se muestran las factorizaciones en números primos de 20, 60 y 140.
Los números encerrados muestran que 20, 60 y 140 tienen tres factores comunes: dos factores comunes 2 y un factor común 5. El mcd es el producto de los factores primos comunes encerrados.
Observe que 20 es el número más grande que divide a 20, 60 y 140 de manera exacta.
Complete los espacios.
1. Los de un número son los productos de ese número y 1, 2, 3, 4, 5, etcétera.
2. Debido a que el 12 es el número menor que es un múltiplo de 3 y 4, es el de 3 y 4.
3. Un número es entre otros si al dividir el primero entre los otros, se obtiene residuo cero.
4. Debido a que 6 es el mayor número que es un factor de 18 y 24, 6 es el de 18 y 24.
9. Las factorizaciones en números primos de 36, 84 y 132 son:
36 5 2 2 3 3
84 5 2 2 3 7
132 5 2 2 3 11
a. Encierre en un círculo los factores comunes de 36, 84 y 132.
b. ¿Cuál es el mcd de 36, 84 y 132?
Encuentre el mcm de los números dados.
5. Llene los espacios para completar la factorización en números primos de 24. 2
6. La factorización en números primos de 36 y 90 es:
10. 3, 5 11. 6, 9
12. 8, 12 13. 10, 25
24 4
¿Cuál es el número mayor de veces que
a. aparece el 2 en cualquier factorización?
b. aparece el 3 en cualquier factorización?
c. aparece el 5 en cualquier factorización?
d. Complete los espacios para encontrar el mcm de 36 y 90:
7. La factorización en números primos de 12 y de 54 es:
14. 5, 11 15. 7, 11
16. 4, 7 17. 5, 8
Encuentre el mcm de los números dados.
18. 3, 4, 6 19. 2, 3, 8
20. 2, 3, 10 21. 3, 6, 15
Encuentre el mcd de los números dados.
22. 4, 6 23. 6, 15
24. 9, 12 25. 10, 12
Encuentre el mcm y el mcd de los números dados.
26. 100, 120 27. 120, 180
28. 14, 140 29. 15, 300
30. 66, 198, 242 31. 52, 78, 130
32. 8, 9, 49
34. 120, 125
9, 16, 25
¿Cuál es el número mayor de veces que
a. aparece el 2 en cualquier factorización?
b. aparece el 3 en cualquier factorización?
c. Complete los espacios para encontrar el mcm de 12 y 54:
8. Las factorizaciones en números primos de 60 y 90 son:
42. Cambios de aceite. Ford ha extendido oficialmente el intervalo de cambio de aceite para los automóviles modelo 2008 y más recientes a cada 7500 millas (solía ser cada 5 000 millas). Complete la tabla de abajo que muestra la nueva recomendación de Ford para los millajes para el cambio de aceite.
a. Encierre en un círculo los factores comunes de 60 y 90.
b. ¿Cuál es el mcd de 60 y 90?
43. Cajero automático. Un cajero automático ofrece al cliente opciones de retiro en efectivo en múltiplos de 20 dólares. El retiro mínimo es de 20 dólares y el máximo es de 200 dólares. Liste las cantidades de dólares en efectivo que pueden retirarse del cajero automático.
44. Enfermería. A una enfermera se le instruye que compruebe la presión sanguínea de un paciente cada 45 minutos; a otra se le instruye que tome la temperatura del mismo paciente cada 60 minutos. Si ambas enfermeras están en la habitación del paciente en este momento, ¿cuánto tiempo pasará hasta que las enfermeras estén juntas en la misma habitación de nuevo?
45. Biorritmos. Algunos científicos creen que existen ritmos naturales del cuerpo, llamados biorritmos, que afectan los ciclos físicos, emocionales y mentales. El ciclo biorrítmico físico dura 23 días, el ciclo biorrítmico emocional dura 28 días y el ciclo biorrítmico mental dura 33 días. Cada ciclo biorrítmico tiene una zona alta, baja y crítica. Si sus tres ciclos coinciden un día, todos en su punto más bajo, ¿en cuántos días más volverán a coincidir en su punto más bajo?
46. Picnics. Un paquete de salchichas para hot dog contiene por lo regular 10 salchichas y un paquete de pan por lo regular contiene 12 panes. ¿Cuántos paquetes de salchichas para hot dog y de pan debe comprar una persona para asegurarse de que haya un número igual de cada uno?
47. Parejas que trabajan. Un esposo trabaja por 6 días seguidos y después tiene un día libre. Su esposa trabaja por 7 días seguidos y después tiene un día libre. Si el esposo y la esposa tienen su día libre al mismo tiempo, ¿en cuántos días volverán a tener su día libre al mismo tiempo?
48. Pistas de baile. Se va a construir una pista de baile a partir de piezas rectangulares de madera laminada que son de 6 pies por 8 pies. ¿Cuál es el número de piezas mínimo de madera laminada que se necesitan para construir una pista de baile cuadrada?
49. Tazones de sopa. Cada uno de los tazones de abajo contiene un número exacto de cucharadas llenas de sopa.
a. Si no hay derramamiento, ¿cuál es la cucharada de tamaño más grande (en onzas) que puede utilizar un chef para llenar los tres tazones?
b. ¿Cuántas cucharadas se requerirán para llenar cada tazón?
8 pies
Hojas de madera laminado
6 pies Pista de baile cuadrada
50. Clases de arte. Los estudiantes en una clase de pintura deben pagar una cuota extra para artículos de arte. En el primer día de clases la profesora recolectó de varios estudiantes 28 dólares en cuotas. En el segundo día recolectó de algunos estudiantes diferentes 21 dólares más y en el tercer día recolectó 63 dólares adicionales.
a. ¿Cuál es la cuota máxima de los artículos de pintura que podría haber pagado cada estudiante?
b. Determine cuántos estudiantes pagaron la cuota para los artículos de arte cada día.
51. Envío. Un fabricante de juguetes necesita enviar 135 osos de peluche marrones, 105 osos de peluche negros y 30 osos de peluche blancos. Solo puede empaquetarse un tipo de oso de peluche en cada caja y debe empaquetarse el mismo número de osos de peluche en cada caja. ¿Cuál es el mayor número de osos de peluche que pueden empaquetarse en cada caja?
52. Explique cómo encontrar el mcd de 8 y 28 usando la factorización en números primos.
53. Explique cómo encontrar el mcd de 8 y 28 usando la factorización en números primos.
54. La factorización en números primos del 12 es 2 ? 2 ? 3 y la factorización en números primos del 15 es 3 ? 5. Explique por qué el mcd de 12 y 15 no es 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5.
55. ¿Cómo puede decir si observa la factorización en números primos de dos enteros que su mdc es 1?
18 onzas21onzas12 onzassECCIóN 1.9
Recuerde que los números se combinan con las operaciones de suma, resta, multiplicación y división para crear expresiones. Con frecuencia se tiene que evaluar (encontrar el valor de) expresiones que involucran más de una operación. En esta sección se introduce una regla del orden de las operaciones para evaluar expresiones así.
objetivo 1
usar la regla de jerarquía de las operaciones
Suponga que un amigo le pide que lo contacte si ve un reloj Rolex a la venta mientras está viajando por Europa. Mientras está en Suiza, encuentra el reloj y envía el siguiente mensaje de texto, mostrado a la izquierda. Al siguiente día, obtiene la respuesta de su amigo mostrada a la derecha.
Envía este mensaje.Obtiene esta respuesta.
Algo está mal. La primera parte de la respuesta (“¡No precio demasiado caro!”) indica que hay que comprar el reloj a cualquier precio. La segunda parte (¡No! Precio demasiado caro.) indica que no hay que comprarlo, debido a que es demasiado caro. La posición del signo de exclamación hace diferentes las dos partes de la respuesta, lo que resulta en significados diferentes. Cuando se lee un enunciado matemático, es posible el mismo tipo de confusión. Por ejemplo, considere la expresión
2 1 3 ? 6
La expresión se puede evaluar de dos maneras. Se puede sumar primero y multiplicar después. O se puede multiplicar primero y sumar después. Sin embargo, los resultados son diferentes.
2 1 3 ? 6 5 5 ? 6 Sumar 2 y 3 primero.
2 1 3 ? 6 5 2 1 18 Multiplicar 3 y 6 primero.
5 30 Multiplicar 5 y 6. Diferentes resultados
5 20 Sumar 2 y 18.
Si no se establece un orden uniforme de las operaciones, la expresión tiene dos valores diferentes. Para evitar esta posibilidad, siempre se empleará la siguiente regla del orden de las operaciones.
1. Desarrolle todos los cálculos dentro de los paréntesis y otros símbolos de agrupación siguiendo el orden listado abajo en los pasos 2-4, empezando desde el par más interno de símbolos de agrupación al par más externo.
2. Evalúe todas las expresiones exponenciales.
3. Desarrolle las multiplicaciones y divisiones a medida que aparezcan de izquierda a derecha.
4. Desarrolle las sumas y restas a medida que aparezcan de izquierda a derecha. Cuando se hayan eliminado los símbolos de agrupación, repita los pasos 2-4 para completar el cálculo.
Si está presente una barra de fracción, evalúe la expresión sobre la barra (llamada numerador) y la expresión debajo de la barra (llamada denominador) por separado. Después desarrolle la división indicada por la barra de fracción, si es posible.
No es necesario aplicar todos estos pasos en cada problema. Por ejemplo, la expresión 2 1 3 ? 6 no contiene algún paréntesis y no hay expresiones exponenciales. Por lo que se buscan multiplicaciones y divisiones a desarrollar y se procede como a continuación:
2 1 3 ? 6 5 2 1 18 Realice la multiplicación primero.
5 20 Realice la suma.
1
Evalúe: 2 ? 42 8
EsTrATEgIA Se analizará la expresión para determinar cuáles operaciones necesitan desarrollarse primero. Después se desarrollarán estas operaciones, una a la vez, siguiendo la regla de la jerarquía de las operaciones
pOr QuÉ Si no se sigue el orden correcto de las operaciones, la expresión puede tener más de un valor.
Dado que la expresión no contiene algún paréntesis, se comienza con el paso 2 de la regla de jerarquía de las operaciones: evaluar todas las expresiones exponenciales. Se escribirán los pasos de la solución en forma horizontal.
EjEmplO 2
Los cálculos que no pueda desarrollar de manera mental deben mostrarse fuera de los pasos de su solución.
EsTrATEgIA Se desarrollará la multiplicación primero.
pOr QuÉ La expresión no contiene algún paréntesis ni hay exponentes. sOluCIóN
Se escribirán los pasos de la solución en forma horizontal.
Evalúe: 192 4 6 5(3)2
EsTrATEgIA Se desarrollará la división primero.
pOr QuÉ Aunque la expresión contiene paréntesis, no hay cálculos a desarrollar dentro de ellos. Dado que no hay exponentes, se desarrollarán las multiplicaciones y divisiones a medida que aparecen de izquierda a derecha.
sOluCIóN
Se escribirán los pasos de la solución en forma horizontal.
192 4 6 5(3)2 5 32 5(3)2 empezando de izquierda a derecha, realice la división: 192 4 6 5 32.
5 32 15(2) empezando de izquierda a derecha, realice la multiplicación: 5(3) 5 15.
5 32 30 complete la multiplicación: 15(2) 5 30.
EjEmplO
llAmADAs DE lArgA DIsTANCIA. En la tabla se muestran las tarifas en dólares que cobra Skype por llamadas a líneas fijas internacionales desde Estados Unidos. El editor de un periódico en Washington D.C. realizó una llamada de 60 minutos a Irak, una llamada de 45 minutos a Panamá y una llamada de 30 minutos a Vietnam. ¿Cuál fue el costo total de las llamadas?
Es útil enumerar los datos que se proporcionan y lo que se debe encontrar.
Todas las tarifas son por minuto.
• La llamada de 60 minutos a Irak cuesta 39 centavos Proporcionado por minuto.
• La llamada de 45 minutos a Panamá cuesta 11 centavos Proporcionado por minuto.
• La llamada de 30 minutos a Vietnam cuesta 18 centavos Proporcionado por minuto.
• ¿Cuál es el costo total de las llamadas? a encontrar
Se traducen las palabras del problema a números y símbolos. Dado que la palabra por indica una multiplicación, se puede encontrar el costo de cada llamada multiplicando la duración de la llamada (en minutos) por la tarifa cobrada por minuto (en centavos). Dado que la palabra total indica una suma, se sumará para encontrar el costo total de la llamada.
Para evaluar esta expresión (la cual involucra multiplicación y suma), se aplica la regla de la jerarquía de las operaciones.
El costo total de las llamadas 5 60(39) 1 45(11) 1 30(18) Las unidades son centavos.
5 2340 1 495 1 540 Realice la multiplicación primero.
5 3375 Realice la suma.
El costo total de las llamadas internacionales es de 3375 centavos o 33.75 dólares.
COmprObAr: Se puede comprobar este resultado aproximando mediante redondeo por la izquierda. El costo total de las llamadas es aproximadamente 60(40¢) 1 50(10¢) 1 30(20¢) 5 2 400¢ 1 500¢ 1 600¢ o 3 500 centavos. El resultado de 3 375 centavos parece razonable.
Los símbolos de agrupación determinan el orden en que se evaluará una expresión. Son ejemplos de símbolos de agrupación los paréntesis ( ), los corchetes [ ], las llaves { } y la barra de fracción —.
EjEmplO 5
Evalúe cada expresión: A. 12 3 1 5 B. 12 (3 1 5)
EsTrATEgIA Para evaluar la expresión en el inciso a, se desarrollará la resta primero. Para evaluar la expresión en el inciso b, se desarrollará la suma primero.
pOr QuÉ La expresión que aparece en el inciso b es similar a la del inciso a, pero se evalúa en un orden diferente debido a que contiene paréntesis. Cualquier operación dentro de paréntesis debe desarrollarse primero.
sOluCIóN
A. La expresión no contiene paréntesis ni hay exponentes, ni alguna multiplicación o división. Se desarrollan las sumas y restas a medida que aparecen, de izquierda a derecha.
12 3 1 5 5 9 1 5 Realice la resta: 12 3 5 9.
5 14 Realice la suma.
B. Por la regla del orden de las operaciones, se debe desarrollar primero la operación de los paréntesis.
12 (3 1 5) 5 12 8 Realice la suma: 3 1 5 5 8. Se lee como “12 menos la cantidad de 3 más 5”.
5 4 Realice la resta.
EjEmplO 6
Evalúe: (2 1 6)3
EsTrATEgIA Se desarrollará primero la operación dentro de los paréntesis.
pOr QuÉ Este es el primer paso de la regla de jerarquía de las operaciones. sOluCIóN
(2 1 6)3 5 83 Se lee como “el cubo de la cantidad de 2 más 6”. Realice la suma.
5 512 evalúe la expresión exponencial: 8
Sección 1.9 JErarquía de las operaciones 57
Evalúe: 5 1 2(13 5 2)
EsTrATEgIA Se desarrollará primero la multiplicación dentro de los paréntesis.
pOr QuÉ Cuando hay más de una operación a desarrollar dentro de paréntesis, se sigue la regla de jerarquía de las operaciones. Se va a desarrollar la multiplicación antes que la resta.
sOluCIóN
Se aplica la regla de jerarquía de las operaciones dentro de los paréntesis para evaluar 13 5 ? 2.
5 1
) Realice la multiplicación dentro de los paréntesis.
5 5 1 2(3) Realice la resta dentro de los paréntesis.
5 5 1 6 Realice la multiplicación: 2(3) 5 6.
5 11 Realice la suma.
Algunas expresiones contienen dos o más conjuntos de símbolos de agrupación. Dado que puede ser confuso leer una expresión como 16 1 6(42 2 3(5 2 2)), se utiliza un par de corchetes en lugar del segundo par de paréntesis.
16 1 6[42 3(5 2)]
Si una expresión contiene más de un par de símbolos de agrupación, siempre se comienza dentro del par más interno y después se sigue con el par más externo
Paréntesis más interno
16 1 6[42 3(5 2)]
EjEmplO 8
corchetes más externos
Evalúe: 16 1 6[42 3(5 2)]
EsTrATEgIA Se empezará primero con lo que hay dentro de los paréntesis y después con lo que hay dentro de los corchetes. Dentro de cada conjunto de símbolos agrupados, se seguirá la regla de jerarquía de las operaciones.
pOr QuÉ Por la jerarquía de las operaciones, se debe empezar del par de símbolos de agrupamiento más interno al más externo sOluCIóN 16
5 16 1 6[16 9] Realice la multiplicación dentro de los corchetes.
5 16 1 6[7]
5 16 1 42
Realice la resta dentro de los corchetes.
Realice la multiplicación: 6[7] 5 42.
5 58 Realice la suma.
¡CuIDADO! En el ejemplo 8, un error común es primero sumar 16 a 6; esto es incorrecto. Lo correcto es multiplicar primero 6 y 7. Este error produce una respuesta incorrecta, 154.
16 1 6[42 3(5 2)] 5 16 1 6[42 3(3)]
5 16 1 6[16 3(3)]
5 16 1 6[16 9]
5 16 1 6[7]
5 22[7]
5 154
EjEmplO 9
Evalúe: 2(13) 2 3(23)
EsTrATEgIA Se evaluarán por separado las expresiones arriba y debajo de la barra de fracción. Después se realizará la división indicada, si es posible.
pOr QuÉ Las barras de fracción son símbolos de agrupación. Agrupan el numerador y el denominador. La expresión pudiera escribirse como [2(13) 2)] 4 [3(23)]. sOluCIóN
2(13) 2 3(23) 5 26 2 3(8) en el numerador, realice la multiplicación. en el denominador, evalúe la expresión exponencial dentro del paréntesis.
5 24 24 en el numerador, realice la resta. en el denominador, realice la multiplicación.
5 1 Realice la división indicada por la barra de fracción: 24 4 24 5 1.
EjErCICIOs 1.9 REVISIÓN DE COnCEPTOs
1. Liste las operaciones en el orden en el que deben desarrollarse para evaluar cada expresión. No tiene que evaluar la expresión.
a. 5(2)2 1
b. 15 1 90 (2 2)3
c. 7 42
d. (7 4)2
2. Liste las operaciones en el orden en el que deben desarrollarse para evaluar cada expresión. No tiene que evaluar la expresión.
a. 50 1 8 40
b. 50 40 1 8
c. 16 2 4 4
d. 16 4 4
2
3. Considere la expresión
5 1 5(7) (5 20 82) 28 En el numerador, ¿qué operación debe desarrollarse primero? En el denominador, ¿qué operación debe desarrollarse primero?
4. ¿Para encontrar la media (promedio) de 15, 33, 45, 12, 6, 19 y 3, se suman los valores y entre qué número se divide?
Complete cada solución para evaluar la expresión.
58. Clavados. A continuación se muestran las calificaciones otorgadas a un clavadista por siete jueces, al igual que el grado de dificultad de su clavado. Use el siguiente proceso de dos pasos para calcular la calificación total del clavadista.
Paso 1 Deseche la calificación más baja y la calificación más alta.
Paso 2 Sume las calificaciones restantes y multiplique por el grado de dificultad.
Grado de di cultad: 3
59. Envoltura de regalos. ¿Cuánto listón se necesita para envolver el paquete mostrado si se necesitan 15 pulgadas de listón para formar el moño? 9
60. Un jardín rectangular de 27 pies de largo por 19 pies de ancho es una de las características de un diseño de paisajes de un parque comunitario.
Un camino de concreto para correr a través del parque ocupará 125 pies cuadrados de espacio, ¿cuántos pies cuadrados quedarán libres para plantar en el jardín?
61. Calificaciones. En una clase de ciencias, un estudiante tuvo estas calificaciones en sus exámenes 94, 85, 81, 77 y 89. No despertó a tiempo para su examen final y obtuvo 0 de calificación. ¿Cuál fue su calificación de exámenes promedio (media) en la clase?
62. Uso de energía. Vea la gráfica de abajo. Encuentre el número medio (promedio) de therms* de gas natural utilizados por mes para el año 2017.
63. YouTube. Un concurso de video en YouTube es parte del lanzamiento de una nueva bebida deportiva. En el recuadro se muestran los premios en efectivo a entregarse.
a. ¿Cuántos premios se entregarán?
b. ¿Cuál es la cantidad total de dinero que se entregará?
c. ¿Cuál es el premio en efectivo promedio (medio)?
CApíTulO EjErCICIOsDErEpAsO 1
a. a la centena más cercana
b. a la decena de millar más cercana
c. a la decena más cercana
d. al millón más cercano
2. Redondee 969501
a. al millar más cercano
b. a la centena de millar más cercana
(América del Sur) 4049 mi Mississippi-Missouri (Estados Unidos) 3709 mi Nilo (África) 4160 mi Ob-Irtysh (Rusia) 3459 mi Yangtsé (China) 3964 mi (Fuente: geography.about.com)
Amazonas
Concurso de video en YouTube
Gran premio: Vacaciones en Disney World más 2 500 dólares Cuatro 1os lugares de 500 dólares
5. Sume de abajo hacia arriba para comprobar la suma. ¿Es correcta?
1 291 859 345
1 226
1 821
MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE
6. Banca. Una cuenta de ahorros contiene 12975 dólares. Su dueño realiza un retiro de 3 800 dólares y después deposita 4 270 dólares, ¿cuál es el nuevo saldo de la cuenta?
7. Días soleados. En Estados Unidos, la ciudad de Yuma, Arizona, por lo regular tiene la mayor cantidad de días soleados al año: alrededor de 242. La ciudad de Búfalo, Nueva York, por lo regular tiene 188 días menos que eso. ¿Cuántos días soleados al año tiene Búfalo?
8. SUEÑO. La Fundación Nacional del Sueño de Estados Unidos recomienda que los adultos duerman de 7 a 9 horas por noche.
a. ¿Cuántas horas de sueño hay en un año utilizando el número más pequeño? (Use un año de 365 días.)
b. ¿Cuántas horas de sueño hay en un año utilizando el número más grande?
9. Graduación. Para una ceremonia de graduación, los graduados se acomodan en una formación rectangular de 22 filas y 15 columnas. ¿Cuántos miembros hay en la clase que se gradúa?
10. Gorras bordadas. Una máquina bordadora digital utiliza 16 yardas de hilo para coser el logotipo de un equipo en la parte frontal de una gorra de beisbol. ¿Cuántas gorras pueden bordarse con un carrete si este trae 1100 yardas? ¿Cuántas yardas de hilo quedarán en el carrete?
11. Granja. En un envío de 350 animales, 124 eran cerdos, 79 eran ovejas y el resto eran ganado. Encuentre el número de ganado en el envío.
12. Halloween. Una pareja compra 6 bolsas de minibarras de Snickers. Cada bolsa contiene 48 piezas de chocolate. Si planean darle a cada niño 3 barras de chocolate, ¿a cuántos niños podrán darles chocolates?
Encuentre la factorización en números primos de cada número. Use exponentes en su respuesta cuando sea de utilidad.
13. 42 14. 75
15. 220
Encuentre el mcd de los números dados.
27. 8, 12 28. 9, 12
29. 30, 40 30. 30, 45
31. 63, 84
33. 48, 72, 120
Evalúe cada expresión.
16. 140
Escriba cada expresión usando exponentes.
17. 6 ? 6 ? 6 ? 6 18. 5(5)(5)(13)(13)
Encuentre el mcm de los números dados. 19.
La Prueba Saber cumple con los estándares de competencias emitidos por el Ministerio de Educación Nacional, los cuales se clasifican de la siguiente forma:
r Razonamiento y argumentación s Planteamiento y Solución de problemas m Modelación, comunicación y representación