Mate 10

Earl W. Swokowski

Jeffery A. Cole

Anoka-Ramsey Community College

Robert Johnson Monroe Communiy College

Patricia Kuby Monroe Community College

Adaptación

Pedro Emilio Pérez Romero Director Área de Mátemáticas Newman School Cajica - Colombia

Revisión pedagógica

Walter Guillermo Abondano Mikán Gimnasio Colombo Británico Rector

MEN - 2024

ALINEADO A LOS DERECHOS BÁSICOS DE APRENDIZAJE

Diseño de Pruebas Saber

Francy Katerine Gómez Hernández Colegio Anglo Americano

Revisión técnica

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Mate 10, primera edición

Earl W. Swokowski; Jeffery A. Cole.

Robert Johnson; Patricia Kuby.

Directora Higher Education

Latinoamérica:

Lucía Romo Alanís

© D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.

Av. Andrés Molina Enríquez 354, Primer piso, Oficina “A”, Colonia Ampliación Sinatel, Delegación Iztapalapa, Ciudad de México, C.P. 09479.

Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

Gerente editorial Latinoamérica:

Jesús Mares Chacón

Editora:

Abril Vega Orozco

Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González

Diseño de portada: Flaviano Fregoso Rojas

Imagen de portada: © Pendiente

Diseño de interiores: By Color Soluciones Gráficas

Composición tipográfica: José Alejandro Hernández Hernández

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Esta es una adaptación de los libros: Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 13a Ed.

Earl W. Swokowski, Jeffery A. Cole

Publicado en español por Cengage Learning © 2011

ISBN: 978-607-481-612-9, traducido del libro Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, 13th Edition

Earl W. Swokowski, Jeffery A. Cole

Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning © 2011

ISBN: 978-0-8400-6852-1

Estadística elemental, 11a Ed.

Robert Johnson; Patricia Kuby

Publicado en español por Cengage Learning © 2016

ISBN: 978-607-522-835-8, traducido del libro Elementary Statistics, 11th Edition.

Robert Johnson and Patricia Kuby.

Publicado en inglés por Brooks & Cole, una compañía de Cengage Learning ©2012

ISBN: 978-0-538-73350-2

Datos para catalogación bibliográfica: Swokowski, Earl W.; Cole A. Jeffery; Johnson, Robert; Kuby, Patricia Mate 10, primera edición.

ISBN: 978-607-526-595-7

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Visite nuestro sitio web en: http://latam.cengage.com

Para la realización de la nueva edición de la serie MATE editada por Cengage, hemos seleccionado un conjunto de temas acordes con los lineamientos curriculares y estándares del Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN). MATE es el resultado de la experiencia obtenida a nivel mundial, especialmente en América Latina, con las series de autores de reconocida trayectoria tales como Alan S. Tussy, Diane R. Koenig, Richard N. Aufman y Joanne S. Lockwood (Álgebra), Daniel C. Alexander y Geralyn M. Koeberlein (Geometría), Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole (Trigonometría), Ron Larson y Bruce H. Edwards (Cálculo); y Robert Johnson y Patricia Kuby (Estadística), además de las aportaciones de un equipo de profesores y expertos académicos.

Nuestro objetivo es ofrecer una herramienta importante para la labor docente, que permita a los estudiantes fortalecer su comprensión, ampliar sus conocimientos y, finalmente, adentrarse en el dominio de las matemáticas. Es importante señalar que todos los temas de la serie llevan una secuencia acorde con los marcos de referencia para la evaluación del Ministerio de Educación Nacional (MEN) y el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (Icfes).

MATERIALMUESTRA

ROPUESTA CURRICULAR P

Desde una perspectiva curricular todos los temas que se abordan responden a las siguientes preguntas: ¿qué aprender? (temas específicos), ¿para qué aprender? (objetivos definidos a partir de problemas y retos en un contexto real), ¿cuándo aprender? (secuenciación acertada de los temas con base en la edad y el grado escolar de los estudiantes), ¿cómo aprender? (propuesta didáctica mediante ejemplos de problemas con sus soluciones y una selección adecuada de problemas para resolver), ¿con qué aprender? Y ¿cómo evaluar lo aprendido? (problemas propuestos, Prueba Saber y ejercicios de repaso). Lo que permite a los estudiantes abordar, estudiar y aprender los temas de manera práctica, sencilla y eficaz.

LO QUE DEBE SABER

¿Está listo para tener éxito en este capítulo? Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

© Shutterstock.com

Dos personas, que están a 224 metros entre sí, empiezan a caminar una hacia la otra en el mismo instante a un ritmo de 1.5 my y 2 mys, respectivamente.

a) ¿Cuándo se encontrarán? b) ¿Cuánto habrá caminado cada uno?

OBJETIVOS

1. Reconocer y analizar las funciones como un caso

2. Determinar el dominio y el rango (condominio) de una función dada.

3. Identificar y describir el comportamiento de una gráfica.

4. Realizar operaciones con funciones.

Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

STRUCTURA DE LA SERIE E

En esta nueva edición de MATE 6, encontrará un amplio desarrollo de las matemáticas partiendo del planteamiento y solución de situaciones en contexto, enfocadas en datos reales y situaciones atractivas para los estudiantes.

La obra cuenta son:

RETO DEL CAPÍTULO

Mediante un ejemplo se introducen los conceptos que se trabajarán a lo largo del capítulo con la finalidad de motivar la investigación y el desarrollo de contenidos para resolver el reto.

OBJETIVOS

Se proponen metas que se deben alcanzar mediante el desarrollo de conceptos para lo cual se aporta un esbozo general de aspectos específicos que los estudiantes deben tener en cuenta para aprender y aplicar cada idea o concepto que se presenta.

RETO DEL CAPÍTULO

Las temperaturas bajas diarias en grados Celsius, durante una semana, se registraron como sigue: 28°, 2°, 0°, 27°, 1°, 6°, 21°. Calcula la temperatura promedio diaria durante la semana.

OBJETIVOS

1. Reconocer y analizar las funciones como un caso especial de las relaciones.

2. Determinar el dominio y el rango (condominio) de una función dada.

3. Identificar y describir el comportamiento de una gráfica.

CONTENIDO

Sección 1.1 Definición de función 2

CONTENIDO

El índice presenta en detalle los temas generales que se abordan en el texto, con lo cual es posible organizar y planear el trabajo para alcanzar el aprendizaje propuesto.

LO QUE DEBE SABER

A partir de un grupo de preguntas se busca que, de manera autónoma, los estudiantes midan sus conocimientos previos y algunos requisitos para el desarrollo conceptual de cada capítulo.

Sección 1.2 Gráficas de funciones 7

Sección 1.3 Operaciones con funciones 15 Ejercicios de repaso 24

LO QUE DEBE SABER

¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Dos personas, que están a 224 metros entre sí, empiezan a caminar una hacia la otra en el mismo instante a un ritmo de 1.5 mys y 2 mys, respectivamente.

DESARROLLO CONCEPTUAL

Se basa en los aspectos más relevantes y útiles de las temáticas propias de cada grado. Estos aspectos se muestran a partir de situaciones en contexto, demostraciones formales de propiedades y definiciones claras, haciendo énfasis en el rigor de las matemáticas y el buen uso del lenguaje y el pensamiento lógico acorde a cada edad. Además, se destacan los conceptos de mayor relevancia para que los estudiantes intuyan su importancia.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número positivo es el número mismo. El valor absoluto de cero es cero. El valor absoluto de un número negativo es el opuesto del número negativo.

EJEMPLOS RESUELTOS

Se ejemplifica la solución de problemas con sus respectivos procedimientos. En cada ejemplo se muestra el componente algorítmico, así como la aplicación de conceptos que llevan a la solución del problema dentro de contextos reales cuyo nivel de complejidad incrementa de forma gradual.

EJEMPLO 1

Utilice el método por extensión o enumeración para escribir el conjunto de enteros negativos mayores o iguales que 6.

SOLUCIÓN A 55 6, 5, 4, 3, 2, 1

6

• Un conjunto se designa con una letra mayúscula. El método por extensión o enumeración encierra entre llaves una lista de elementos.

PUNTO DE INTERÉS

Se proporcionan hechos o datos relevantes para enfatizar aspectos importantes o información extra en torno al tema particular que se está abordando. En algunos casos se hace referencia a personas o acontecimientos históricos que han sido fundamentales en el desarrollo de las matemáticas.

PUNTO de INTERÉS

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

El griego Ptolomeo comenzó utilizando ómicron, o, la primera letra de la palabra griega que significa “nada”, como símbolo del cero en el año 150 a.C. Sin embargo, no fue sino hasta el siglo XIII que Fibonacci introdujo el 0 al mundo occidental como un marcador de posición en el que podríamos distinguir, por ejemplo, 45 de 405.

REVISIÓN DE CONCEPTOS

En esta sección se presenta una amplia selección de ejercicios donde el estudiante podrá reafirmar su dominio de los conceptos y el manejo algorítmico de los temas de cada capítulo mediante su aplicación en contextos reales.

Sección 1.4 Exponentes y el orden o jerarquía de las operaciones 27

EJERCICIOS 1.4

Reescriba cada expresión como una expresión con exponentes.

5 3 5 ( ? ) Simplifiquelasexpresiones con exponentes.

1. nueve a la quinta potencia 2. y a la cuarta potencia

3. siete a la n potencia 4. b ? b ? b ? b ? b ? b ? b ? b Indique si la expresión es verdadera o falsa.

5. ( 5)2 52 y (5)2representan todas el mismo número.

6. La expresión 94 está en forma exponencial.

7. Evaluar la expresión 6 1 7 10 significa determinar a qué es igual un número.

8. El orden o jerarquía de las operaciones se utiliza para números naturales, números enteros, números racionales y números reales.

9. En la expresión ( 5)2 , 5 se llama el ? y 2 se llama el ? . Para evaluar ( 5)2, calcule el producto ( ? )( ? )( ?

10. La expresión 42 se lee “la ? potencia de ? ” o “cuatro ? ”. Para evaluar 43, calcule el producto ( ? )( ? )( ? )( ?

EJERCICIOS DE REPASO

5 3 2 ? • Realice la multiplicación y la división.

5 ? • Realice la suma y la resta.

Esta sección al concluir cada capítulo reúne un conjunto de ejercicios sobre los temas tratados a fin de comprobar el dominio y la apropiación de conceptos.

63. 64. 65.

CAPÍTULO EJERCICIOSDEREPASO 1

1. Utilice el método por extensión o enumeración para escribir el conjunto de los números naturales menores que 7.

2. Exprese como porcentaje 5 8

3. Evalúe: 4

4. Reste: 16 ( 30) 42

5. Encuentre el opuesto de 4.

6. Reste: 16 30

7. Exprese como porcentaje 0,672.

8. Exprese como fracción 79 1 2%

9. Divida: 72 4 8

10. Exprese como decimal 17 20

11. Divida: 5 12 4 a 5 6 b

12. Simplifique: 32 4 1 20 4 5

13. Multiplique: ( 5)( 6)(3)

14. Reste: 6.039 12.92

15. Dado que A 5 5 5, 3, 06, ¿cuáles elementos del conjunto A son menores o iguales que 3?

16. Exprese como decimal 7%.

17. Evalúe: 3 142 2

19. Sume: 13 1 ( 16)

20. Encuentre el complemento de un ángulo de 56°.

21. Sume: 2 5 1 7 15

MATERIALMUESTRA

22. Evalúe: ( 33) 22

23. Exprese como porcentaje 2 7 9 . Redondee a la décima más cercana de un porcentaje.

24. Exprese como decimal 240%.

25. Evalúe: Z 3 Z

26. Exprese como porcentaje1 2 3 . Exprese el residuo como fracción.

27. Dado que C 5 12, 8, 1, 76, encuentre

a. el opuesto de cada elemento del conjunto C

b. el valor absoluto de cada elemento del conjunto C

28. Exprese como decimal 7 11 . Coloca una barra arriba de los dígitos periódicos del decimal.

29. Divida: 0,2654 4 ( 0,023). Redondee a la décima más cercana.

30. Simplifique: (7 2)2 5 3 4

Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

31. Sume: 12 1 8 1 ( 4)

32. Sume: 5 1 1 5 6

PRUEBA SABER

Esta prueba evalúa las competencias de los estudiantes para enfrentar situaciones que pueden resolverse con el uso de herramientas matemáticas. Tanto las competencias definidas de la prueba como los conocimientos matemáticos que el estudiante requiere para resolver las situaciones planteadas se basan en las definiciones de los estándares básicos de competencias en Matemáticas del Ministerio de Educación Nacional.

De esta manera, se integran competencias y contenidos en distintas situaciones o contextos, en los cuales las herramientas matemáticas cobran sentido y son un importante recurso para la comprensión de situaciones, la transformación de información, la justificación de afirmaciones y la solución de problemas.

En el mismo apartado de las pruebas Saber, en la parte inferior, notará que se incluye un código QR, al escanearlo podrá visualizar preguntas complementarias de manera digital.

Como apoyo adicional, a los profesores que adopten la obra se les proporcionarán las Respuestas de las Pruebas Saber. Consulte términos y condiciones con su representante Cengage.

GLOSARIO Y BIBLIOGRAFÍA

Al final del libro se incluyen un glosario y una bibliografía a fin de enriquecer el aprendizaje.

GLOSARIO

Adición y sustracción de fracciones algebraicas. Para sumar o restar fracciones algebraicas en las que los denominadores son iguales, suma o resta los numeradores. El denominador de la suma o la diferencia es el común denominador.

números y después la simplificación de la expresión numérica resultante. Expresión algebraica. Es una expresión que contiene una o más variables.

BiBliografía

Johnson, Robert & Kuby, Patricia. Estadística elemental, 11a ed. México. Cengage Learning. 2016.

Swokowski, Earl W., Cole, Jeffery A. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, 13a ed. Cengage

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Lo invitamos a conocer y utilizar Mate 10, un texto que le dará a los estudiantes la confianza necesaria para aplicar las Matemáticas a través de un libro de texto pedagógico y accesible.

La Prueba Saber cumple con los estándares de competencias emitidos por el Ministerio de Educación Nacional, los cuales se clasifican de la siguiente forma:

R Razonamiento y argumentación S Planteamiento y Solución de problemas M Modelación, comunicación y representación

Learning © 2011

Agradecemos el apoyo y colaboración en la revisión de esta obra a los profesores:

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

CAPÍTULO 1

Funcionesygráficas 1

CAPÍTULO 2

Funcionestrigonométricas 35

CAPÍTULO 3

Trigonometríaanalítica 101

CAPÍTULO 4

Aplicacionesdetrigonometría 153

CAPÍTULO 5

Geometríaanalítica 199

CAPÍTULO 6

Probabilidad 257

Glosario 305

Bibliografía 306

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CAPÍTULO 1

Funcionesygráficas 1

SECCIÓN DEFINICIÓN DE FUNCIÓN 2

CAPÍTULO 2

Definición de función 2

Definición de gráfica de una función 5

Prueba de la recta vertical 5

Definición de función lineal 7

Definición alternativa de función 10

Ejercicios 10

SECCIÓN 1.2 GRÁFICAS DE FUNCIONES 12

Simetrías de gráficas de ecuaciones 13

Desplazamientos horizontales 15

Ejercicios 21

SECCIÓN 1.3 OPERACIONES CON FUNCIONES 23

Función polinomial 23

Función algebraica 24

Funciones trascendentales 24

Definición de función compuesta 24

Formas de función compuesta 27

Ejercicios 27

Ejercicios de repaso 29

Prueba Saber 31

Funcionestrigonométricas 35

SECCIÓN 2.1 ÁNGULOS 36

Definición de medida en radianes 38

Relación entre grados y radianes 38

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Fórmula para la longitud de un arco de referencia 40

Fórmula para obtener el área de un sector circular 40

Ejercicios 42

SECCIÓN 2.2 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 44

Definición de las funciones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo 45

Identidades recíprocas 45

Identidades fundamentales 48

Definición de las funciones trigonométricas de cualquier ángulo 51

Ejercicios 54

SECCIÓN 2.3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS NÚMEROS REALES 56

Valor de una función trigonométrica en un número real 56

Funciones circulares 57

Teorema en valores de función repetidos para seno y coseno 59

Función periódica 60

Fórmulas para ángulos negativos 61

Funciones trigonométricas pares e impares 62

Ejercicios 65

SECCIÓN 2.4 VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 68

Ángulo de referencia 68

Teorema sobre ángulos de referencia 70

Hallar con calculadora soluciones de ecuaciones en ángulos agudos 71

Hallar ángulos con ayuda de la calculadora 72

Ejercicios 73

SECCIÓN 2.5 GRÁFICAS TRIGONOMÉTRICAS 75

Teorema sobre amplitudes y periodos 76

Teorema sobre amplitudes, periodos y desplazamientos de fase 78

Ejercicios 81

SECCIÓN 2.6 GRÁFICAS TRIGONOMÉTRICAS ADICIONALES 82

Teorema sobre la gráfica de y 5 a tan (bx 1 c) 83

Ejercicios 86

SECCIÓN 2.7 PROBLEMAS DE APLICACIÓN 87

Movimiento armónico simple 91

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Ejercicios 92

Ejercicios de repaso 96

Prueba Saber 99

CAPÍTULO 3

Trigonometríaanalítica 101

SECCIÓN 3.1 VERIFICACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 102

Expresiones trigonométricas 102

Sustitución trigonométrica 104

Ejercicios 105

SECCIÓN 3.2 ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS 107

Ejercicios 113

SECCIÓN 3.3 FÓRMULAS DE SUMA Y RESTA 116

Fórmula de suma y resta para el coseno 116-117

Fórmulas de cofunciones 118

Fórmulas de suma y resta para seno y tangente 119

Ejercicios 122

SECCIÓN 3.4 FÓRMULAS DE ÁNGULOS MÚLTIPLES 124

Fórmulas de ángulo doble 124

Identidades de semiángulo 126

Fórmulas de semiángulo para la tangente 128

Ejercicios 129

SECCIÓN 3.5 FÓRMULAS DE PRODUCTO A SUMA Y SUMA A PRODUCTO 132

Fórmulas de producto a suma 132

Ejercicios 135

SECCIÓN 3.6 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 136

Función seno inversa 137

Propiedades de sen 1 137

Función coseno inversa 138

Propiedades de cos 1 139

Función tangente inversa 140

Propiedades de tan 1 140

Ejercicios 144

Ejercicios de repaso 147

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Prueba Saber 150

CAPÍTULO 4

Aplicacionesdetrigonometría 153

SECCIÓN 4.1 LEY DE LOS SENOS 154

Forma general de la ley de los senos 155

Ejercicios 159

SECCIÓN 4.2 LEY DE LOS COSENOS 161

Area de un triángulo 164

Fórmula de Herón 165

Ejercicios 166

SECCIÓN 4.3 VECTORES 168

Vector velocidad y vector fuerza 169

Magnitud de un vector 170

Suma de vectores 171

Múltiplo escalar de un vector 171

El vector cero y el negativo de un vector 172

Definición de resta de vectores 172

Forma i, j 173

Ejercicios 175

SECCIÓN 4.4 EL PRODUCTO PUNTO 177

Propiedades del producto punto 178

Vectores paralelos y ortogonales 178

Teorema sobre el producto punto 178

Teorema del coseno del ángulo entre vectores 179

Teorema sobre vectores ortogonales 180

Ejercicios 183

SECCIÓN 4.5 FORMA TRIGONOMÉTRICA PARA NÚMEROS COMPLEJOS 184

Valor absoluto de un número complejo 185

Forma trigonométrica o polar para un número complejo 185

Teorema sobre productos y cocientes de números complejos 187

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Ejercicios 188

CAPÍTULO 5

SECCIÓN 4.6 TEOREMA DE DE MOIVRE Y LAS RAÍCES N-ÉSIMAS DE LOS NÚMEROS

COMPLEJOS 189

Ejercicios 193

Ejercicios de repaso 194

Prueba Saber 196

Geometríaanalítica 199

SECCIÓN 5.1 LÍNEA RECTA 200

Pendiente de una recta 200

Forma punto-pendiente para la ecuación de una recta 203

Forma pendiente ordenada al origen de la ecuación de una recta 204

Forma general de la ecuación de una recta 205

Teorema de pendientes de rectas paralelas 205

Teorema de las pendientes de rectas perpendiculares 206

Ejercicios 208

SECCIÓN 5.2 CIRCUNFERENCIA 211

Ecuación estándar de una circunferencia 211

Semicircunferencia 213

Ejercicios 214

SECCIÓN 5.3 PARÁBOLAS 216

Ejercicios 220

SECCIÓN 5.4 ELIPSES 223

Elipse con centro en el origen 224

Semielipses 226

Excentricidad 227

Ejercicios 229

SECCIÓN 5.5 HIPÉRBOLAS 230

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Asíntotas 232

Ejercicios 236

CAPÍTULO 6

SECCIÓN 5.6 COORDENADAS POLARES 239

Coordenadas rectangulares y polares 239

Demostraciones 239

Ecuación polar 241

Cardioide 243

Pruebas de simetría 245

Ejercicios 246

SECCIÓN 5.7 ECUACIONES POLARES DE CÓNICAS 248

Teorema sobre cónicas 248

Teorema sobre ecuaciones polares de cónicas 249

Ejercicios 252

Ejercicios de repaso 253

Prueba Saber 255

Probabilidad 257

SECCIÓN 6.1 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA NUMÉRICA 258

Buena aritmética, mala estadística 258

Engaño gráfico 258

SECCIÓN 6.2 INTERPRETACIÓN Y COMPRENSIÓN DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR 258

La regla empírica y la prueba de normalidad 258

Teorema de Chebyshev 260

Ejercicios 262

SECCIÓN 6.3 ANÁLISIS DESCRIPTIVO Y PRESENTACIÓN DE DATOS BIVARIADOS 265

Datos bivariados 265

Dos variables cualitativas 266

Una variable cualitativa y una cuantitativa 268

Dos variables cuantitativas 269

Diagramas de dispersión 269

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Ejercicios 271

SECCIÓN 6.4 CORRELACIÓN LINEAL 277

Comprender el coeficiente de correlación lineal 279

Causación y variables ocultas 280

Ejercicios 282

SECCIÓN 6.5 REGRESIÓN LINEAL 287

Realización de predicciones 293

Para comprender la recta de mejor ajuste 293

Ejercicios 296

Ejercicios de repaso 300

Prueba Saber 303

Glosario 305

Bibliografía 306

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FUNCIONES Y GRÁFICAS

1

RETO DEL CAPÍTULO

Relación entre escalas de temperatura

LO QUE DEBE SABER

¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

Las escalas Celsius y Fahrenheit de temperatura se muestran en el termómetro de la figura. La relación entre las lecturas C y F de temperatura está dada por C 5 5 9 (F 32).

Despeje F

Compruebe el resultado obtenido para F cuando C 5 100 y haga la misma prueba para C, cuando F 5 32.

Realice por lo menos tres pruebas más con valores arbitrarios de C y F.

ÍNDICE

Sección 1.1 Definición de función 2

Sección 1.2 Gráficas de funciones 12

Sección 1.3 Operaciones con funciones 23

Ejercicios de repaso 29

Prueba Saber 31

Dos personas, que están a 224 metros entre sí, empiezan a caminar una hacia la otra en el mismo instante a un ritmo de 1.5 mys y 2 mys, respectivamente.

a) ¿Cuándo se encontrarán?

b) ¿Cuánto habrá caminado cada uno?

OBJETIVOS

1. Reconocer y analizar las funciones como un caso especial de las relaciones.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

2. Determinar el dominio y el rango (condominio) de una función dada.

3. Identificar y describir el comportamiento de una gráfica.

4. Realizar operaciones con funciones.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

El término matemático función (o su equivalente latino) data del siglo XVII, cuando el cálculo estaba en las primeras etapas de desarrollo. Este importante concepto es ahora la espina dorsal de cursos avanzados de matemáticas y es indispensable en todos los campos de las ciencias.

En este capítulo estudiamos las propiedades de las funciones con el empleo de métodos algebraicos y gráficos que incluyen la localización de puntos, determinación de simetrías y desplazamientos horizontales y verticales. Estas técnicas son adecuadas para obtener bosquejos aproximados de gráficas que nos ayudan a entender las propiedades de las funciones; los métodos actuales usan programas de computadora y matemáticas avanzadas para generar representaciones gráficas sumamente precisas de funciones.

Objetivo 1

T IP de ESTUDIO

Para muchos casos, simplemente recordemos que el dominio es el conjunto de valores de x y el rango es el conjunto de valores y

Correspondencia

El concepto de correspondencia se presenta a menudo en nuestra vida cotidiana. La figura 1.1 ejemplifica de manera clara dicho concepto.

• A cada libro de una biblioteca le corresponde el número de páginas del mismo.

• A cada ser humano corresponde una fecha de nacimiento.

• Si la temperatura del aire se registra durante todo el día, entonces a cada instante le corresponde una temperatura.

Cada correspondencia del ejemplo comprende dos conjuntos: D y E. En la figura 1.1, D denota el conjunto de libros de una biblioteca y E es el conjunto de enteros positivos. A cada libro x en D le corresponde un entero positivo y en E, es decir, el número de páginas del mismo.

A veces describimos correspondencias por medio de diagramas del tipo que se muestra en la figura 1.1, donde los conjuntos D y E están representados por puntos dentro de regiones en un plano. La flecha curvada indica que el elemento y de E corresponde al elemento x de D Los dos conjuntos pueden tener elementos en común. En realidad, con frecuencia tenemos D 5 E. Es importante observar que a cada x en D corresponde exactamente una y en E, pero el mismo elemento de E puede corresponder a elementos distintos de D. Por ejemplo, dos libros pueden tener el mismo número de páginas, dos personas pueden tener la misma fecha de cumpleaños y la temperatura puede ser igual a diferentes horas.

En casi todo nuestro trabajo, D y E serán conjuntos de números. Para ilustrar lo anterior, denotemos con D y E al conjunto R de los números reales, y a cada número real x asignémosle su cuadrado x2. Esto nos da una correspondencia de R a R

Cada uno de nuestros ejemplos de una correspondencia es una función, que se define como sigue:

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN

Una función f de un conjunto D a un conjunto E es una correspondencia que asigna a cada elemento x de D exactamente un elemento y de E

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

El elemento x de D es el argumento de f. El conjunto D es el dominio de la función. El elemento y de E es el valor de f en x (o la imagen de x bajo f ) y se denota por f (x), que debe leerse “f de x.” El rango de f es el subconjunto R de E formado por todos los valores posibles de f(x) para x en D. Note que puede haber elementos en el conjunto E que no están en el rango R de f

Considere el diagrama de la figura 1.2. Las flechas curvadas indican que los elementos f (w), f(z), f(x) y f(a) de E corresponden a los elementos w, z, x y a de D Para cada elemento de D hay asignado exactamente un valor de función en E; no obstante, diferentes elementos de D, como w y z en la figura 1.2, pueden tener el mismo valor en E

Los símbolos significan que f es una función de D a E, y decimos que f mapea (relaciona) D en E. Inicialmente, las notaciones f y f (x) pueden ser confusas. Recuerde que f se usa para representar la función; no está en D ni en E. Sin embargo, f (x) es un elemento del rango R, el elemento que la función f asigna al elemento x, que está en el dominio D

EJEMPLO 1

Dos funciones f y g de D a E son iguales, y escribimos f 5 g siempre que f (x) 5 g(x) para toda x en D. Por ejemplo, si

Hallar valores de función

Sea f la función con dominio R tal que f(x) 5

a) Encuentre f(

b) ¿Cuál es el rango de f?

SOLUCIÓN

para toda x en R

), donde a y b son números reales.

a) Encontramos valores de f al sustituir x en la ecuación f(x) = x2:

Observe que, en general,

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EJEMPLO 2

b) Por definición, el rango de f está formado por todos los números de la forma f(x) = x2 para x en R. Como el cuadrado de todo número real es no negativo, el rango está contenido en el conjunto de todos los números reales no negativos. Además, todo número real no negativo c es un valor de f, porque f c 5 c 2 5 c. En consecuencia, el rango de f es el conjunto de todos los números reales no negativos.

Si una función está definida como en el ejemplo 1, los símbolos empleados para la función y la variable no importan; es decir, expresiones como f(x) 5 x2 , f(s) 5 s2 , g(t) 5 t2 y k(r) 5 r 2 definen todas ellas la misma función. Esto es cierto porque si a es cualquier número del dominio, entonces el mismo valor a2 se obtiene cualquiera que sea la expresión que se use.

En el resto de nuestro trabajo, la frase f es una función significa que el dominio y el rango son conjuntos de números reales. Si una función está definida por medio de una expresión, como en el ejemplo 1, y el dominio D no se expresa, entonces consideraremos que D es la totalidad de los números reales x tales que f(x) es real. Esto a veces recibe el nombre de dominio implicado de f. Para ilustrar, si f(x) 5 x 2, entonces el dominio implicado es el conjunto de los números reales x tales que x 2 es real, esto es, x 2 $ 0, o x $ 2. Así, el dominio es el intervalo finito [2, 2`). Si x está en el dominio, decimos que f está definida en x o que f(x) existe. Si un conjunto S está contenido en el dominio, f está definida sobre S. La terminología f no está definida en x significa que x no está en el dominio de f.

Hallar valores de función

Sea g x 4 x 1 x

a) Hallar el dominio de g

b) Hallar g(5), g( 2), g( a) y g(a).

MENÚ $1,69 $0,99 $0,79

SOLUCIÓN

a) La expresión 4 1 xy1 x es un número real si y sólo si el radicando 4 + x es no negativo y el denominador 1 x es diferente de 0. Entonces, g(x) existe si y sólo si

4 1 x $ 0 y 1 x ± 0

o bien, lo que es equivalente, x $ 4 y x ± 1

Podemos expresar el dominio en términos de intervalos como [ 4, 1) ø (1, `).

Figura 1.3

t

Figura 1.5

g 5 4 5 1 5 9 4 3 4

g 2 4 2 1 2 2 3

b) Para hallar valores de g, sustituimos por x: g a 4 a 1 a 4 a a 1

g a 4 a 1 a 4 a 1 a

Las funciones son comunes en la vida cotidiana y aparecen en gran variedad de formas. Por ejemplo, el menú en un restaurante (figura 1.3) se puede considerar que es una función f de un conjunto de artículos y un conjunto de precios. Observe que f está dado en forma de tabla. Aquí f (hamburguesa) 5 1,69, f (papas fritas) 5 0,99 y f (bebida refrescante) 5 0,79.

Un ejemplo de una función dada por una regla se puede hallar en las tablas del impuesto federal (figura 1.4). Específicamente, en 2009, para una persona soltera con ingreso gravable de $120.000, el impuesto por pagar se determinaba mediante la regla

Cédula de tasa del impuesto federal 2009

Cédula X: Usar si su estatus de presentación es soltero

Si el ingreso gravable es mayor que: Pero no mayor que: El impuesto es: de la cantidad sobre: $0 8.350 33.950 82.250 171.550 372.950 $8.350 33.950 82.250 171.550 372.950 - - - - - -- - - - - - - - 10% $835 + 15% $4.675 + 25% 16.750 + 28% 41.754 + 33% 108.216 + 35% $0 8.350 33.950 82.250 171.550 372.950

En este caso, el impuesto sería $16.750 1 0.28($120.000 $82.250) 5 $27.320.

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Con frecuencia se usan gráficas para describir la variación de cantidades físicas. Por ejemplo, un científico puede usar la gráfica de la figura 1.5 para indicar la temperatura T de cierta solución en varios tiempos t durante un experimento. El diagrama muestra que la temperatura aumentó gradualmente para el tiempo t 5 0 al tiempo t 5 5, no cambió entre t 5 5 y t 5 8 y luego disminuyó rápidamente de t 5 8 a t 5 9.

Del mismo modo, si f es una función, podemos usar una gráfica para indicar el cambio en f(x) a medida que x varía en el dominio de f. Específicamente, tenemos la siguiente definición.

105

Objetivo 2

DEFINICIÓN DE GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

La gráfica de una función f es la gráfica de la ecuación y 5 f(x) para x en el dominio de f

A veces aplicamos la leyenda y 5 f(x) a un diagrama de la gráfica. Si P(a, b) es un punto en la gráfica, entonces la ordenada al origen b es el valor f (a) de la función, como se ilustra en la figura 1.6.

La figura muestra el dominio de f (el conjunto de posibles valores de x) y el rango de f (los valores correspondientes de y). Aun cuando hemos descrito el dominio y el rango de intervalos cerrados, pueden ser intervalos infinitos u otros conjuntos de números reales. Como hay exactamente un valor f (a) para cada a en el dominio de f, sólo un punto de la gráfica de f tiene abscisa a. En general, podemos usar la siguiente prueba gráfica para determinar si una gráfica representa una función.

PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL

La gráfica de un conjunto de puntos en un plano de coordenadas es la gráfica de una función si toda recta vertical la cruza en un punto como máximo.

Así, toda recta vertical cruza la gráfica de una función en un punto como máximo. En consecuencia, la gráfica de una función no puede ser una figura (por ejemplo, una circunferencia, en la que una recta vertical puede cruzar la gráfica en más de un punto).

Las intersecciones con el eje x de la gráfica de una función f son las soluciones de la ecuación f(x) 5 0. Estos números se denominan ceros de la función. La intersección con el eje y de la gráfica es f(0), si existe.

EJEMPLO 3

Trazar la gráfica de una función

Sea f(x) 5 x 1.

a) Trace la gráfica de f.

b) Encuentre el dominio y el rango de f

SOLUCIÓN

a) Por definición, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y 5 x 1. La tabla siguiente es una lista de las coordenadas de varios puntos sobre la gráfica.

12 34 56 x 210 5 2,2 3 1,7 2 1,4 y f(x)

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Al graficar los puntos, obtenemos el diagrama que se ve en la figura 1.7. Note que la intersección con el eje x es 1, y no hay intersección en y.

b) Con respecto a la figura 1.7, note que el dominio de f está formado por todos los números reales x tales que x $ 1, o bien, lo que es equivalente, el intervalo [1, `). El rango de f es el conjunto de todos los números reales y tales que y $ 0 o, lo que es equivalente, [0, `).

La función raíz cuadrada, definida por f (x) 5 x , tiene una gráfica semejante a la de la figura 1.7, pero el punto extremo está en (0, 0). El valor y de un punto sobre esta gráfica es el número que se ve en la pantalla de una calculadora cuando se le pide una raíz cuadrada. Esta relación gráfica puede ayudarle a recordar que 9 es 3 y que 9 no es 63. Del mismo modo, f(x) 5 x2 , f(x) 5 x3 y f(x) 5 3 x se conocen en ocasiones como la función elevar al cuadrado, la función elevar al cubo y la función raíz cúbica, respectivamente.

Figura 1.7

En el ejemplo 3, conforme aumenta x, el valor f(x) también aumenta y decimos que la gráfica de f sube (vea la figura 1.7). Una función de este tipo se dice que es creciente. Para ciertas funciones, f (x) disminuye cuando aumenta x. En este caso, la gráfica cae y f es una función decreciente. En general, consideraremos funciones que aumentan o disminuyen en un intervalo I, como se describe en la tabla 1.1, donde x1 y x2 denotan números en I.

Un ejemplo de una función creciente es la función identidad, cuya ecuación es f(x) 5 x, y cuya gráfica es la recta que pasa por el origen con pendiente 1. Un ejemplo de una función decreciente es f (x) 5 x, una ecuación de la recta que pasa por el origen con pendiente 1. Si f (x) 5 c para todo número real x, entonces f se denomina función constante. Usaremos indistintamente las frases f es creciente y f(x) es creciente. Haremos lo mismo con los términos decreciente y constante.

TABLA1.1 Funciones crecientes, decrecientes y constantes

EJEMPLO 4

Uso de una gráfica para hallar el dominio, rango y dónde una función aumenta o disminuye Sea f(x) 5 9 x 2 .

a) Trace la gráfica de f

b) Encuentre el dominio y el rango de f

c) Encuentre los intervalos en los que f es creciente o decreciente.

SOLUCIÓN

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a) Por definición, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y 5 9 x 2 . Sabemos que la gráfica de x2 1 y2 5 9 es una circunferencia de radio 3 con centro en el origen. Si despejamos y de la ecuación x2 1 y2 5 9 obtendremos y 5 6 9 x 2 . Se deduce que la gráfica de f es la mitad superior de la circunferencia, como se ilustra en la figura 1.8.

b) Con base en la figura 1.8, vemos que el dominio de f es el intervalo cerrado [ 3, 3], y el rango de f es el intervalo [0, 3].

c) La gráfica sube a medida que x aumenta de 3 a 0, de modo que f es creciente en el intervalo cerrado [ 3, 0]. Por tanto, como se muestra en la gráfica precedente, si x1 , x2 en [ 3, 0], entonces f(x1) . f(x2) (observe que posiblemente x1 5 3 o x2 5 0).

Q(a 1 h, f (a 1 h))

La gráfica cae conforme x se incrementa de 0 a 3, así que f decrece en el intervalo cerrado [0, 3]. En este caso, la tabla indica que si x1 , x2 en [0, 3], entonces f(x1) . f(x2) (observe que posiblemente x1 5 0 o x2 5 3).

Un problema del siguiente tipo es de especial interés en cálculo.

Problema: Encuentre la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos P y Q que se muestran en la figura 1.9.

La pendiente mPQ está dada por mPQ y x f a h f a h

La última expresión (con h ± 0) por lo general se denomina cociente de diferencias. Ahora veremos el álgebra involucrada en la simplificación de un cociente de diferencias.

EJEMPLO 5

Simplificar un cociente de diferencias

Simplifique el cociente de diferencias

SOLUCIÓN

El siguiente tipo de función es uno de los más elementales en álgebra.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LINEAL

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Una función f es una función lineal si f(x) 5 ax 1 b donde x es cualquier número real, y a y b son constantes.

La gráfica de f en la definición precedente es la gráfica de y 5 ax 1 b que, por la forma pendiente-ordenada al origen, es una recta con pendiente a e intersección b con el eje y. Así, la gráfica de una función lineal es una recta.

Como f(x) existe para toda x, el dominio de f es R. Como se ilustra en el ejemplo siguiente, si a ± 0, entonces el rango de f también es R.

EJEMPLO 6

Trazar la gráfica de una función lineal

Sea f(x) 5 2x 1 3.

a) Trace la gráfica de f.

b) Encuentre el dominio y el rango de f

c) Determine dónde f es creciente o decreciente.

SOLUCIÓN

a) Como f(x) tiene la forma ax 1 b, con a 5 2 y b 5 3, f es una función lineal. La gráfica de y 5 2x 1 3 es la recta con pendiente 2 y punto de intersección 3 con el eje y, que se ilustra en la figura 1.10.

b) Vemos de la gráfica que x y y pueden ser cualesquiera números reales, de modo que el dominio y el rango de f son R

c) Como la pendiente de a es positiva, la gráfica de f sube cuando aumenta x; esto es, f(x1) , f(x2) siempre que x1 , x2. Así, f es creciente en todo su dominio.

En aplicaciones, a veces es necesario determinar una función lineal específica a partir de los datos dados, como en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 7

Hallar una función lineal

Si f es una función lineal tal que f ( 2) 5 5 y f (6) 5 3, encuentre f (x), donde x es cualquier número real.

SOLUCIÓN

Por la definición de función lineal, f(x) 5 ax 1 b, donde a y b son constantes. Además, los valores de la función dada indican que los puntos ( 2, 5) y (6, 3) están en la gráfica de f, es decir, sobre la recta y 5 ax 1 b que se ilustra en la figura 1.11. La pendiente a de esta recta es

y por consiguiente f(x) tiene la forma

Para hallar el valor de b, se puede usar el hecho de que f(6) 5 3, como sigue:

Por tanto, la función lineal que satisface f( 2) 5 5 y f(6) 5 3 es

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Numerosas fórmulas que se presentan en matemáticas y ciencias determinan funciones. Por ejemplo, la fórmula A 5 pr2 para el área A de una circunferencia de radio r asigna a cada número real positivo r exactamente un valor de A. Esto determina una función f tal que f (r) 5 pr2 y podemos escribir A 5 f (r). La letra r, que representa un número arbitrario del dominio de f, se denomina variable independiente. La letra A, que representa un número del rango de f, es una variable dependiente, porque su valor depende del número asignado a r. Si dos variables r y A están relacionadas de este modo, decimos que A es una función de r. En aplicaciones, la variable independiente y la variable dependiente en ocasiones se conocen como la variable de entrada y la variable de salida, respectivamente. Como otro ejemplo, si un automóvil viaja a una velocidad uniforme de 50 miyh, entonces la distancia d (millas) recorrida en un tiempo t (horas) está dada por d(t) 5 50t; por tanto, la distancia d es una función del tiempo t

EJEMPLO 8

Expresar el volumen de un tanque como función de su radio

Un tanque de acero para gas propano se construirá en forma de cilindro circular recto de 10 pies de altura, con una semiesfera unida a cada extremo. El radio r está por determinarse. Exprese el volumen V (en pies3) del tanque como función de r (en pies).

SOLUCIÓN

El tanque se ilustra en la figura 1.12. Podemos hallar el volumen de la parte cilíndrica del tanque al multiplicar su longitud 10 por el área pr

de la base del cilindro. Esto nos da

Los dos extremos semiesféricos, tomados juntos, forman una esfera de radio r. Usando la fórmula para el volumen de una esfera, obtenemos

Por tanto, el volumen V del tanque es

EJEMPLO 9

Expresar una distancia como función del tiempo

Dos barcos salen de puerto al mismo tiempo. Uno de ellos navega al oeste a una velocidad de 17 mi/h y el otro al sur a 12 mi/h. Si t es el tiempo (en horas) después de su salida, exprese la distancia d entre los barcos como función de t.

SOLUCIÓN

Para ayudar a visualizar el problema, comenzamos por hacer un dibujo y marcarlo, como se ve en la figura 1.13. Por el teorema de Pitágoras,

Como distancia 5 (velocidad)(tiempo) y las velocidades son 17 y 12, respectivamente,

17t y b 5 12t.

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Es posible usar pares ordenados para obtener otro enfoque de las funciones. Primero observamos que una función f de D a E determina el siguiente conjunto W de pares ordenados: W 5 {(x, f(x)): x está en D}

Por tanto, W está formado por todos los pares ordenados tales que el primer número x está en D y el segundo número es el valor f (x) de la función. En el ejemplo 1, donde f (x) 5 x2 , W es el conjunto de todos los pares ordenados de la forma (x, x2). Es importante observar que, para cada x, hay exactamente un par ordenado (x, y) en W que tiene x en la primera posición. En forma recíproca, si se comienza con un conjunto W de pares ordenados tales que cada x en D aparece exactamente una vez en la primera posición de un par ordenado, entonces W determina una función. De manera específica, para cada x en D hay exactamente un par (x, y) en W, y al hacer que y corresponda a x, obtenemos una función con dominio D. El rango está formado por todos los números reales y que aparecen en la segunda posición de los pares ordenados. Del análisis precedente se deduce que el enunciado siguiente también podría usarse como definición de función.

Figura 1.12

DEFINICIÓN ALTERNATIVA DE FUNCIÓN

Una función con dominio D es un conjunto W de pares ordenados tales que, para cada x en D, hay exactamente un par ordenado (x, y) en W que tiene a x en la primera posición.

En términos de la definición precedente, los pares ordenados (x, x 1) determinan la función del ejemplo 3 dada por f(x) 5 x 1. Sin embargo, note que si W 5 {(x, y): x2 5 y2}, entonces W no es una función, puesto que para una x determinada puede haber más de un par en W con x en la primera posición. Por ejemplo, si x 5 2, entonces (2, 2) y (2, 2) están en W

EJERCICIOS 1.1 REVISIÓN DE CONCEPTOS

1. Si f(x) 5 x2 x 4, encuentre f( 2), f(0) y f(4).

2. Si f(x) 5 x3 x2 1 3, encuentre f( 3), f(0) y f(2).

3. Si f(x) 5 x 2 1 3x, encuentre f(3), f(6) y f(11).

4. Si f(x) 5 x x 3, encuentre f( 2), f(0) y f(3).

Ejer. 5-10: Si a y h son números reales, encuentre si

Ejer. 11-14: Si a es un número real positivo, encuentre

Ejer. 15-16: Explique por qué la gráfica es o no la gráfica de una función.

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Ejer. 17-18: Determine el dominio D y el rango R de la función que se muestra en la figura.

Ejer. 19-20: Para la gráfica de la función f trazada en la figura, determine

el dominio b) el rango c) f(1) d) toda x tal que f(x) 5 1

toda x tal que f

21-32: Encuentre el dominio

Ejer. 33-42: a) Trace la gráfica de f. b) Encuentre el dominio D y rango R de f. c) Encuentre los intervalos en los que f sea creciente, decreciente o constante.

Ejer. 43-45: Simplifique el cociente de diferencias

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5 x 3 (Sugerencia: elimine los radicales del numerador.)

46. Construcción de una caja De una pieza rectangular de cartón que tiene dimensiones de 20 3 30 pulgadas, se ha de construir una caja abierta al cortar un cuadrado idéntico de área x2 de cada esquina y voltear hacia arriba los lados (vea la figura). Exprese el volumen

Capítulo 1 Funciones y grá cas

47. Construcción de un tanque de almacenamiento Consulte el ejemplo 8. Un tanque de acero para almacenar gas propano, se debe construir en forma de cilindro circular recto de 10 pies de largo con una semiesfera unida en cada extremo. El radio r está por determinarse. Exprese el área de la superficie S del tanque como función de r

48. Dimensiones de un edificio Una pequeña unidad para oficinas debe contener 500 pies cuadrados de espacio de piso. Un modelo simplificado se ilustra en la figura.

a) Exprese la longitud y del edificio como función del ancho x

Ejercicio 48

Ejercicio 51

SECCIÓN 1.2

b) Si las paredes cuestan $100 por pie lineal de piso, exprese el costo C de las paredes como función del ancho x. (No considere el espacio de la pared arriba de las puertas ni el grosor de las paredes.)

49. Impuesto de energía Un impuesto de energía T propuesto a la gasolina, que afectaría el costo de conducir un vehículo, se debe calcular al multiplicar el número x de galones de gasolina que una persona compra por 125.000 (el número de BTU por galón de gasolina) y luego multiplicar el total de BTU por el impuesto, 34,2 centavos por millón de BTU. Encuentre una función lineal para T en términos de x.

50. Crecimiento en la infancia Para niños entre 6 y 10 años, la estatura y (en pulgadas) es frecuentemente una función lineal de la edad t (en años). La estatura de cierto niño es de 48 pulgadas a los 6 años de edad y 50,5 pulgadas a los 7 años.

a) Exprese y como función de t.

b) Trace la recta del inciso a) e interprete la pendiente.

c) Pronostique la estatura del niño a la edad de 10 años.

51. Distancia a un globo de aire caliente Un globo de aire caliente se lanza a la 1:00 P.M. y asciende verticalmente a velocidad de 2 mys. Un punto de observación está situado a 100 metros de un punto en el suelo, directamente debajo del globo (vea la figura). Si t denota el tiempo (en segundos) después de la 1:00 P.M., exprese la distancia d entre el globo y el punto de observación como función de t

52. Distancias de parada La tabla siguiente es una lista de distancias de parada prácticas D (en pies) para automóviles a velocidades S (en millas por hora) en superficies a nivel.

S 203040506070

D 338616715414593

a) Grafique los datos.

b) Determine si la distancia de parada es una función lineal de la velocidad.

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c) Examine las implicaciones prácticas de estos datos para conducir con seguridad un automóvil.

GRÁFICAS DE FUNCIONES

En esta sección estudiamos ayudas para trazar gráficas de ciertos tipos de funciones. Para ello recordaremos algunas nociones de simetría. Si el plano de coordenadas de la figura se dobla a lo largo del eje y, la gráfica que se encuentra en la mitad izquierda del plano coincide con la de la mitad derecha y decimos que la gráfica es simétrica con respecto al eje y.

Objetivo 1

Una gráfica es simétrica con respecto al eje y siempre que el punto ( x, y) esté en la gráfica cuando (x, y) está en la gráfica. En la tabla 1.2 mostramos algunos tipos de simetría, y las pruebas apropiadas también se muestran aquí.

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Si la gráfica es simétrica con respecto a un eje, es suficiente determinar la gráfica en la mitad del plano de coordenadas, puesto que podemos trazar el resto de la gráfica al tomar una imagen de espejo, o reflexión, en el eje apropiado.

En particular, una función f se llama par si f ( x) 5 f(x) para toda x en su dominio. En este caso, la ecuación y 5 f(x) no se cambia si x es sustituida por x y, por tanto, por la prueba de simetría la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y.

Una función f se denomina impar si f( x) 5 f(x) para toda x en su dominio. Si aplicamos la prueba de simetría y 5 f(x), vemos que la gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen.

Estos datos se resumen en las primeras dos columnas de la tabla 1.3.

x) 5 f (x) para toda x en el dominio.

respecto al origen

3. La sustitución simultánea de x por x y de y por y lleva a la misma

TABLA1.2 Simetrías de gráficas de ecuaciones en x y y

TABLA1.3 Funciones pares e impares

Capítulo 1 Funciones y grá cas

EJEMPLO 1

Determinar si una función es par o impar Determine si f es par, impar o ninguna de éstas.

SOLUCIÓN

En cada caso el dominio de f es R. Para determinar si f es par o impar, comenzamos por examinar f( x) donde x es cualquier número real. a)

EJEMPLO 2

Figura 1.14

x)3 1 ( x)2 sustituya x por x en f(x)

5 x3 1 x2 simplifique Como f( x) ± f(x), y f( x) ± f(x) (observe que f(x) 5 x3 x2), la función f no es par ni impar.

En el siguiente ejemplo se considera la función valor absoluto f, definida por f(x) 5 u x u

Trazar la gráfica de la función valor absoluto

Sea f(x) 5 u x u.

a) Determine si f es par o impar. b) Trace la gráfica de f

c) Encuentre los intervalos en los que f es creciente o decreciente.

SOLUCIÓN

a) El dominio de f es R, porque el valor absoluto de x existe para todo número real x. Si x está en R, entonces f( x) 5 u x u 5 u x u 5 f(x). Por tanto, f es una función par porque f( x) 5 f(x).

b) Como f es par, su gráfica es simétrica respecto al eje y. Si x $ 0, entonces u x u 5 x, y por tanto la parte del primer cuadrante de la gráfica coincide con la recta y 5 x. Trazar esta semirrecta y usar simetría da la figura 1.14.

c) Al consultar la gráfica, vemos que f es decreciente en (2`, 0] y es creciente en [0, `).

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Si conocemos la gráfica de y 5 f(x), es fácil trazar las gráficas de y 5 f(x) 1 c y y 5 f(x) c para cualquier número real positivo c. Al igual que en la siguiente gráfica, para y 5 f(x) 1 c, sumamos c a la coordenada y de cada punto en la gráfica de y 5 f(x). Esto desplaza hacia arriba la gráfica de f una distancia c. Para y 5 f(x) c, con c . 0, restamos c de cada coordenada y; por tanto, se desplaza la gráfica de f hacia abajo una distancia c. Éstos se denominan desplazamientos verticales de gráficas.

TABLA1.4 Desplazamiento vertical de la gráfica de y 5 f(x)

EcuaciónEfectoenlagráfica Interpretacióngráfica

y 5 f (x) 1 c, con c . 0 La grá ca de f se desplaza verticalmente hacia arriba una distancia c

EJEMPLO 3

y 5 f (x) c con c . 0 La grá ca de f se desplaza verticalmente hacia abajo una distancia c

Objetivo 2

Desplazamiento vertical de una gráfica

Trace la gráfica de f:

SOLUCIÓN

Se trazarán todas las gráficas en el mismo plano de coordenadas.

a) Como

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la función f es par, y por tanto su gráfica es simétrica con respecto al eje y.Varios puntos en la gráfica de y 5 x2 son (0, 0), (1, 1), (2, 4) y (3, 9). Trazando una curva suave que pase por estos puntos y que se refleje a través del eje y nos da el trazo de la figura 1.15. La gráfica es una parábola con vértice en el origen que abre hacia arriba.

b) Para trazar la gráfica de y 5 x2 1 4, sumamos 4 a la coordenada y de cada punto en la gráfica de y 5 x2; esto es, desplazamos la gráfica del inciso a) 4 unidades hacia arriba, como se observa en la figura.

c) Para trazar la gráfica de y 5 x2 4, disminuimos las coordenadas y 5 x2 4 unidades; es decir, desplazamos la gráfica del inciso a) hacia abajo 4 unidades.

También consideramos desplazamientos horizontales de las gráficas. En específico, si c . 0, considere las gráficas de y 5 f(x) y y 5 g(x) 5 f(x c) trazadas en el mismo plano de coordenadas, como se ilustra en la tabla 1.5. Como g(a 1 c) 5 f(fa 1 cg c) 5 f(a), vemos que el punto con abscisa a en x en la gráfica de y 5 f(x) tiene la misma coordenada y que el punto con coordenada a 1 c en x en la gráfica de y 5 g(x) 5 f(x c). Esto implica que la gráfica de y 5 g(x) 5 f(x c) se puede obtener al desplazar la gráfica de f(x) a la derecha una distancia c. Asimismo, la gráfica de y 5 h(x) 5 f(x 1 c) se puede obtener al desplazar la gráfica de f a la izquierda una distancia c, como se muestra en la siguiente tabla.

Figura 1.15

Capítulo 1 Funciones y grá cas

TABLA1.5 Desplazamiento horizontal de la gráfica de y 5

EcuaciónEfectoenlagráfica

y 5 g(x) 5 f (x c) con c . 0

La grá ca de f se desplaza horizontalmente a la derecha una distancia c

Interpretacióngráfica

y 5 h(x) 5 f (x 1 c) con c . 0

La grá ca de f se desplaza horizontalmente a la izquierda una distancia c.

EJEMPLO 4

Los desplazamientos horizontales y verticales también se conocen como traslaciones.

Desplazamiento horizontal de una gráfica

Trace la gráfica de f:

a) f(x) 5 (x 4)2 b) f(x) 5 (

SOLUCIÓN

La gráfica de y 5 x2 se traza en la figura 1.16.

a) Desplazar 4 unidades a la derecha la gráfica de y 5 x2 nos da la gráfica de y 5 (x 4)2, que se muestra en la figura 1.16.

b) Desplazar 2 unidades a la izquierda la gráfica de y 5 x2 lleva a la gráfica de y 5 (x 1 2)2 , que se muestra en la figura 1.16.

Para obtener la gráfica de y 5 cf(x) para algún número real c, se pueden multiplicar las coordenadas y de los puntos sobre la gráfica de y 5 f(x) por c. Por ejemplo, si y 5 2f(x), duplicamos las coordenadas y; o si y 5 1 2 f(x), multiplicamos cada coordenada y por 1 2. Este procedimiento se conoce como elongación vertical de la gráfica de f (si c . 1) o compresión vertical de la gráfica (si 0 , c , 1), y se resume en la tabla siguiente.

EcuaciónEfectoenlagráfica Interpretacióngráfica

y 5 cf (x) con c . 1 La grá ca de f se alarga verticalmente un factor c.

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TABLA1.6 Alargar o comprimir verticalmente una gráfica de y 5 f(x)

EcuaciónEfectoenlagráfica Interpretacióngráfica

y 5 cf (x) con 0 , c , 1 La grá ca de f se comprime verticalmente un factor 1yc.

EJEMPLO 5

La sustitución de y con y refleja la grá ca de y 5 f(x) a través del eje x.

EJEMPLO 6

Alargar o comprimir verticalmente una gráfica

Trace la gráfica de la ecuación:

a) y 5 4x2 b) y 5 1 4 x2

SOLUCIÓN

a) Para trazar la gráfica de y 5 4x2 se puede consultar la gráfica de y 5 x2 de la figura 1.17 y multiplicar por 4 la coordenada y de cada punto. Esto alarga verticalmente la gráfica de y 5 x2 un factor 4 y nos da una parábola más angosta que es más aguda en el vértice, como se ilustra en la figura.

b) La gráfica de y 5 1 4 x2 se puede trazar al multiplicar las coordenadas y de los puntos en la gráfica de y 5 x2 por 1 4 . Esto comprime verticalmente la gráfica de y 5 x2 un factor 1y1 4 y nos da una parábola más ancha, que es más plana en el vértice, como se observa en la figura 1.17. Podemos obtener la gráfica de y 5 f (x) al multiplicar por 1 la coordenada y de cada punto sobre la gráfica de y 5 f(x). Así, todo punto (a, b) sobre la gráfica de y 5 f(x) que se encuentra por encima del eje x determina un punto (a, b) sobre la gráfica de y 5 f(x) que se encuentra debajo del eje x. Del mismo modo, si (c, d) está debajo del eje x (esto es, d , 0), entonces (c, d) se encuentra por encima del eje x. La gráfica de y 5 f(x) es una reflexión de la gráfica de y 5 f(x) con respecto al eje x

Reflejar una gráfica que pase por el eje x

Trace la gráfica de y 5 x2

SOLUCIÓN

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La gráfica puede hallarse al localizar puntos, pero como la gráfica de y 5 x2 nos es conocida, la trazamos como en la figura 1.18 y luego multiplicamos por 1 las coordenadas y de los puntos. Este procedimiento nos da la reflexión a través del eje x que se indica en la figura. A veces es útil comparar las gráficas de y 5 f(x) y y 5 cf(x) si c ± 0. En este caso los valores de la función f(x) para a # x # b

son los mismos que los valores de la función f(cx) para a # cx # b, o bien, en forma equivalente, a c x b c

Esto implica que la gráfica de f se comprime horizontalmente (si c . 1) o se elonga horizontalmente (si 0 , c , 1), como se resume en la tabla 1.7.

Figura

Capítulo 1 Funciones y grá cas

TABLA1.7 Compresión o elongación horizontal de la gráfica de y 5 f(x)

y 5 f (cx) con c . 1 La grá ca de f se comprime horizontalmente un

La sustitución de x con x refleja la grá ca de y 5 f (x) con respecto al eje y.

7

5 f (cx) con 0 , c , 1 La grá ca de f se elonga horizontalmente

Si c , 0, entonces la gráfica de y 5 f (cx) puede obtenerse por reflexión de la gráfica de y 5 f ( u c u x) con respecto al eje y. Por ejemplo, para trazar la gráfica de y 5 f ( 2x), reflejamos la gráfica de y 5 f(2x) sobre el eje y. Como caso especial, la gráfica de y 5 f( x) es una reflexión de la gráfica de y 5 f(x) a través del eje y

Elongación o compresión horizontal de una gráfica Si

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Note que los puntos de intersección con el eje x de la gráfica de y 5 f(2x) son 0 y 2, que son 1 2 de los puntos de intersección con el eje x de 0 y 4 para y 5 f(x). Esto indica una compresión horizontal por un factor 2.

Los puntos de intersección con el eje x de la gráfica de y 5 f(1 2 x) son 0 y 8, que son dos veces los puntos de intersección en x para y 5 f (x). Esto indica una elongación horizontal por un factor de 1y 1 2 5 2 .

Las gráficas, obtenidas con el uso de una calculadora graficadora con pantalla [ 6, 15] por [ 10, 4], se muestran en la figura 1.19.

Las funciones se describen a veces con más de una expresión, como en los ejemplos siguientes. A estas funciones se les llama funciones definidas por tramos

Trazar la gráfica de una función definida por tramos

Trace la gráfica de la función f si

Figura 1.19

SOLUCIÓN

Si x # 1, entonces f (x) 5 2x 1 5 y la gráfica de f coincide con la recta y 5 2x 1 5 y está representada por la parte de la gráfica a la izquierda de la recta x 5 1 de la figura 1.20. El pequeño punto indica que el punto ( 1, 3) está en la gráfica.

Si u x u , 1 (o bien, lo que es equivalente, 1 , x , 1), usamos x2 para hallar valores de f, y por tanto, esta parte de la gráfica de f coincide con la parábola y 5 x2, como se indica en la figura. Observe que los puntos ( 1, 1) y (1, 1) no están en la gráfica.

Por último, si x $ 1, los valores de f son siempre 2. Así, la gráfica de f para x $ 1 es la semirrecta horizontal de la figura 1.20.

Nota: Cuando usted termine de trazar la gráfica de una función definida por tramos, verifique que pase la prueba de la recta vertical.

EJEMPLO 9

Aplicación usando una función definida por tramos

Trace una gráfica de la cédula X del impuesto federal 2009 que se muestra en la figura 1.21. Represente con x el ingreso gravable y con T el monto del impuesto. (Suponga que el dominio es el conjunto de los números reales no negativos.)

SOLUCIÓN

La tabla del impuesto puede representarse mediante una función por tramos como sigue:

Cédula de tasa del impuesto federal 2009

de la cantidad sobre: $8.350 33.950 82.250 171.550 372.950 - - - - - - -

- - - - - - - - 10% $835 + 15% $4.675 + 25% 16.750 + 28% 41.754 + 33% 108.216 + 35%

$0 8.350 33.950 82.250 171.550 372.950

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Note que la asignación para el grupo de 15% de impuestos no es 0,15x, sino 10% de los primeros $8.350 en ingreso gravable más 15% del monto que excede a $8.350; esto es, 0,10(8.350) 1 0,15(x 8.350) 5 835 1 0,15(x 8.350).

Los otros tramos se pueden establecer de un modo semejante. La gráfica de T se ilustra en la figura 1.22; note que la pendiente de cada tramo representa la tasa de impuesto.

Figura 1.20

Figura 1.22

Figura 1.21

Si x es un número real, definimos el símbolo vxb como sigue: vxb 5 n, donde n es el mayor entero tal que n # x Si identificamos R con puntos en una recta de coordenadas, entonces n es el primer entero a la izquierda de (o igual a) x. El símbolo vxb

Para graficar y 5 vxb, grafique Y1 5 int(X) en el modo de punto. En la calculadora TI-83/4 Plus y la TI-86, int está debajo de MATH, NUM.

EJEMPLO 10

La función entero mayor f está definida por f(x) 5 v

Trazar la gráfica de la función de entero máximo

Trace la gráfica de la función de entero mayor.

SOLUCIÓN

Las coordenadas x y y de algunos puntos en la gráfica se pueden listar como sigue:

EJEMPLO 11

Figura 1.23

Siempre que x se encuentre entre enteros sucesivos, la parte correspondiente de la gráfica es un segmento de una recta horizontal. Parte de la gráfica se traza en la figura 1.23. La gráfica continúa indefinidamente a la derecha y a la izquierda.

El ejemplo siguiente contiene valores absolutos.

Trazar la gráfica de una ecuación que contiene un valor absoluto

Trace la gráfica de y 5 u x2 4 u.

SOLUCIÓN

La gráfica de y 5 x2 4 se trazó en la figura 1.15 y se vuelve a trazar en la figura 1.24a). En ella observamos lo siguiente:

1. Si x # 2 o x $ 2, entonces x2 4 $ 0 y, por tanto, u x2 4 u 5 x2 4.

2. Si 2 , x , 2, entonces x2 4 , 0 y, por tanto, u x2 4 u 5 2(x2 4).

Deducimos de 1) que las gráficas de y 5 u x2 4 u y y 5 x2 4 coinciden para u x u $ 2. Vemos de 2) que si u x u , 2, entonces la gráfica de y 5 u x2 4 u es la reflexión de la gráfica de y 5 x2 4 por el eje x. Esto da el trazo de la figura 1.24b).

a)

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b)

Figura 1.24

En general, si la gráfica de y 5 f (x) contiene un punto P(c, d) con d positiva, entonces la gráfica de y 5 u f(x) u contiene el punto Q(c, d), es decir, Q es la reflexión de P por el eje x. Los puntos con valores y no negativos son los mismos para las gráficas de y 5 f(x) y y 5 u f(x) u.

EJERCICIOS 1.2 REVISIÓN DE CONCEPTOS

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Ejer. 1-2: Suponga que f es una función par y g una función impar. Complete la tabla, si es posible.

13-26: Trace en el mismo plano de coordenadas las gráficas de f para los valores dados de c. (Haga uso de simetría, desplazamiento, elongación, compresión o reflexión.)

27-32: Si el punto P está sobre la gráfica de una función f, encuentre el punto correspondiente sobre la gráfica de la función dada.

33-40: Explique la forma en que la gráfica de la función se compara con la gráfica de y 5 f(x). Por ejemplo, para la ecuación y 5 2f(x 1 3), la gráfica de f está desplazada 3 unidades a la izquierda y elongada verticalmente un factor de 2.

Capítulo 1 Funciones y grá cas

Ejer. 41: La gráfica de una función f con dominio [0, 4] se muestra en la figura. Trace la gráfica de la ecuación dada.

41.

Ejer. 42: La gráfica de una función f se muestra, junto con gráficas de otras tres funciones a), b) y c). Use propiedades de simetría, desplazamientos y reflexiones para hallar ecuaciones para las gráficas a), b) y c) en términos de f

43. Tasas de impuestos Cierto país grava los primeros $20.000 de los ingresos de una persona a una tasa de 15%, y todo el ingreso superior a $20.000 se grava a 20%. Encuentre una función T definida por tramos que especifique el impuesto total sobre un ingreso de x dólares.

44. Tasas de impuesto a la propiedad Cierto estado grava los primeros $600.000 sobre el valor de la propiedad a una tasa de 1%; todo valor superior a $600.000 se grava a 1,25%. Encuentre una función T definida por tramos que especifique el impuesto total sobre una propiedad valuada en x dólares.

45. Tarifas de electricidad Una compañía de suministro de electricidad cobra a sus clientes $0,0577 por kilowatt-hora (kWh) por los primeros 1.000 kWh consumidos, $0,0532 por los siguientes 4.000 kWh y $0,0511 por cualquier kWh por encima de 5.000. Encuentre una función C definida por tramos para la factura de x kWh de un cliente.

46. Cargo por alquiler de automóviles Hay dos opciones de alquiler de automóviles disponibles para un viaje de cuatro días. La opción I es de $45 por día, con 200 millas libres y $0,40 por milla por cada milla adicional. La opción II es de $58,75 por día, con un cargo de $0,25 por milla.

a) Determine el costo de un viaje de 500 millas para ambas opciones.

b) Modele los datos con una función de costo para cada opción de cuatro días.

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c) Elabore una tabla que contenga una lista del recorrido en millas y el cargo para cada opción en viajes de entre 100 y 1.200 millas, usando incrementos de 100 millas.

d) Utilice la tabla para determinar los recorridos en millas en los que es preferible cada opción.

47. Flujo de tránsito Los automóviles cruzan un puente que mide una milla de largo. Cada automóvil mide 12 pies de largo y se requiere que permanezca a una distancia del automóvil que está delante de él de por lo menos d pies (vea la figura).

a) Demuestre que el mayor número de automóviles que pueden estar en el puente en un tiempo es v5.280y(12 1 d)b, donde v b denota la función entero mayor.

b) Si la velocidad de cada automóvil es v miyh, demuestre que la tasa de flujo máximo de tránsito F (en automóviles por hora) está dado por F(v, d) 5 v5280vy(12 1 d)b.

SECCIÓN 1.3 OPERACIONES CON FUNCIONES

Las funciones suelen definirse usando sumas, diferencias, productos y cocientes de varias expresiones. Por ejemplo, si h x x 2 5x 1, podemos considerar h(x) como una suma de valores de las funciones f y g dadas por f x x 2 y g x 5x 1.

Si bien es cierto que (f 1 g)(x) 5 f(x) 1 g(x), recuerde que, en general, f(a 1 b) ± f(a) 1 f(b).

Llamamos h a la suma de f y g y la denotamos por f 1 g. Entonces, h x f g x x 2 5x 1.

En general, si f y g son cualesquiera funciones, se usa la terminología y notación dadas en la tabla 1.8.

TABLA1.8 Suma, diferencia, producto y cociente de funciones

Terminología Valordelafunción

suma f 1 g

diferencia f g producto fg cociente f g f g x f x g x , g x 0

Los dominios de f 1 g, f g y fg son la intersección I de los dominios de f y g, es decir, los números que son comunes a ambos dominios. El dominio de fyg es el subconjunto de I formado por toda x en I tal que g(x) ± 0.

EJEMPLO 1

Hallar valores de función de f 1 g, f g, fg y f/g

Si f(x) 5 3x 2 y g(x) 5 x3, encuentre (f 1 g)(2), (f g)(2), (fg)(2) y (fyg)(2).

Objetivo 1

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Una función f es una función polinomial si f(x) es un polinomio, es decir, si donde los coeficientes

números reales y los exponentes son enteros no negativos. Una función polinomial puede considerarse como una suma de funciones cuyos valores son de la forma cx k, donde c es un número real y k un entero no negativo.

EJEMPLO 2

Hallar (f 1 g)(x), (f g)(x), (fg)(x) y (f/g)(x)

Si f(x) 5 4 x

encuentre (f

g)(x), (f g)(x), (fg)(x) y (fyg)(x), y exprese los dominios de las funciones respectivas.

SOLUCIÓN

El dominio de f es el intervalo cerrado [ 2, 2] y el dominio de g es R. La intersección de estos dominios es [ 2, 2], que es el dominio de f 1 g, f g y fg. Para el dominio fyg, excluimos cada número x en [ 2, 2] de manera que g(x) 5 3x 1 1 5 0 (es decir, x 5 1 3). Por tanto, tenemos lo siguiente:

Objetivo 2

Una función algebraica es una función que se puede expresar en términos de sumas finitas, diferencias, productos, cocientes o raíces de funciones polinomiales.

Objetivo 3

Un número x está en el dominio de (f ◦ g)(x) si y sólo si tanto g(x) como f(g(x)) están definidas.

Las funciones que no son algebraicas son trascendentales. Las funciones exponenciales y logarítmicas son ejemplos de funciones trascendentales. En el resto de esta sección estudiaremos cómo se usan dos funciones f y g para obtener las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f (que se leen “f composición g” y “g composición f ”, respectivamente). Las funciones de este tipo son muy importantes en cálculo. La función f ◦ g se define como sigue.

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA

La función compuesta f ◦ g de dos funciones f y g está definida por (f ◦ g)(x) 5 f(g(x)).

El dominio de f ◦ g es el conjunto de toda x en el dominio de g tal que g(x) está en el dominio de f

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La figura 1.25 es un diagrama que ilustra las relaciones entre f, g y f ◦ g. Observe que, para x en el dominio de g, primero encontramos g(x) (que debe estar en el dominio de f ) y luego, en segundo lugar, encontramos f(g(x)).

Para la función compuesta g ◦ f, invertimos este orden, es decir, primero encontramos f(x) y después g(f(x)). El dominio de g ◦ f es el conjunto de toda x en el dominio de f tal que f(x) está en el dominio de g Como la notación g(x) se lee “g de x”, en ocasiones decimos que g es una función de x. Para la función compuesta f ◦ g, la notación f (g(x)) se lee “f de g de x” y podríamos considerar f como una función de g(x). En este sentido, una función compuesta es una función de una función, o, en forma más precisa, una función de los valores de otra función.

EJEMPLO 3

Hallar funciones compuestas

Sean f(x) 5 x2 1 y g(x) 5 3x 1 5.

a) Encuentre (f ◦ g)(x) y el dominio de f ◦ g

b) Encuentre (g ◦ f)(x) y el dominio de g ◦ f.

c) Encuentre f(g(2)) en dos formas diferentes: primero usando por separado las funciones f y g, y luego usando la función compuesta f ◦ g

Figura 1.25

SOLUCIÓN

f g f g x f g x

f 3x 5

3x 5 2 1

a) definición de definición de g definición de f simplifique

9x 2 30x 24

El dominio de f y g es R. Como para cada x en R (el dominio de g), el valor de la función g(x) está en R (el dominio de f), el dominio de f ◦ g también es R. Note que tanto g(x) como f(g(x)) están definidas para todos los números reales.

EJEMPLO 4

b) definición de definición de f definición de g simplifique

3 x 2 1 5

3x 2 2

g x 2 1 g f g f x g f x Como para cada x en R (el dominio de f ) el valor de la función f (x) está en R (el dominio de g), el dominio de g ◦ f es R. Observe que tanto f(x) como g(f(x)) están definidas para todos los números reales.

c) Para hallar f (g(2)) usando por separado f (x) 5 x2 1 y g(x) 5 3x 1 5, se procede de la manera siguiente: g(2) 5 3(2) 1 5 5 11

f(g(2)) 5 f(11) 5 112 1 5 120

Para hallar f(g(2)) usando f ◦ g, vea el inciso a), donde encontramos (f ◦ g)(x) 5 f(g(x)) 5 9x2 1 30x 1 24

Por tanto,

f(g(2)) 5 9(2)2 1 30(2) 1 24

5 36 1 60 1 24 5 120

Note que en el ejemplo 3, f(g(x)) y g(f(x)) no son siempre iguales, es decir, f ◦ g ± g ◦ f Si dos funciones f y g tienen ambas un dominio R, entonces el dominio de f ◦ g y g ◦ f también es R. Esto se ilustró en el ejemplo 3. El siguiente ejemplo muestra que el dominio de una función compuesta puede diferir de aquellos de las dos funciones dadas.

Hallar funciones compuestas

Sean f(x) 5 x2 16 y g(x) 5 x

a) Encuentre (f ◦ g)(x) y el dominio de f ◦ g.

b) Encuentre (g ◦ f)(x) y el dominio de g ◦ f.

SOLUCIÓN

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Primero observamos que el dominio de f es R y el dominio de g es el conjunto de todos los números reales no negativos, es decir, el intervalo [0, `). Podemos continuar como sigue.

a) definición de definición de g definición de f simplifique

2 16

16

Si consideramos sólo la expresión final, x 16, podríamos pensar que el dominio de f ◦ g es R, porque x 16 está definido para todo número real x. No obstante, este no es el caso. Por definición, el dominio de f ◦ g es el conjunto de toda x en [0, `) (el dominio de g) tal que g(x) está en R (el dominio de f). Como g(x) 5 x está en R para toda x en [0, `), se deduce que el dominio de f ◦ g es [0, `). Observe que tanto g(x) como f(g(x)) están definidas para x en [0, `).

Por definición, el dominio de f ◦ g es el conjunto de toda x en R (el dominio de f ) tal que f(x) 5 x2 16 está en [0, `) (el dominio de g). El enunciado “x2 16 está en [0, `)” es equivalente a cada una de las desigualdades

x2 16 $ 0, x2 $ 16, u x u $ 4.

Por tanto, el dominio de f ◦ g es la unión (2` , 4g ø f4, 1`). Note que tanto f (x) como g(f(x)) están definidas para x en (2` , 4g ø f4, 1`). Observe también que este dominio es diferente de los dominios de f y de g

El siguiente ejemplo ilustra la forma en que a veces se pueden obtener valores especiales de funciones compuestas a partir de tablas.

EJEMPLO 5

Hallar valores de una función compuesta en tablas

Varios valores de dos funciones f y g aparecen en las tablas siguientes.

EJEMPLO 6

Encuentre (f ◦ g)(2), (g ◦ f)(2), (f ◦ f )(2) y (g ◦ g)(2).

SOLUCIÓN

Con el uso de la definición de función compuesta y al consultar las tablas anteriores, obtenemos

En algunos problemas de aplicación es necesario expresar una cantidad y como función del tiempo t. El ejemplo siguiente ilustra que a veces es más fácil introducir una tercera variable x, expresar x como función de t (es decir, x 5 g(t)), expresar y como función de x (es decir, y 5 f(x)) y finalmente formar la función compuesta dada por y 5 f(x) 5 f(g(t)).

Hallar el volumen de un globo usando una función compuesta

Un meteorólogo infla con helio un globo esférico. Si el radio del globo cambia a razón de 1,5 cmys, exprese el volumen V del globo como función del tiempo t (en segundos).

SOLUCIÓN

Denotemos con x el radio del globo. Si suponemos que el radio es inicialmente 0, entonces después de t segundos

x 5 1,5t radio del globo después de t segundos

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Para ilustrar, después de 1 segundo el radio es 1,5 centímetros; después de 2 segundos es 3,0 centímetros; después de 3 segundos, es 4,5 centímetros, y así sucesivamente.

A continuación escribimos

V 5

volumen de una esfera de radio x

Esto nos da una relación de función compuesta en la que V es una función de x y x una función de t. Por sustitución, obtenemos

Simplificando, obtenemos la fórmula siguiente para V como función de t:

V t 9 2 t 3

Si f y g son funciones tales que y 5 f(u) y u 5 g(x), entonces sustituyendo u en y 5 f(u) dará y 5 f(g(u))

Para ciertos problemas en cálculo, invertimos este procedimiento, es decir, dada y 5 h(x) para alguna función h, encontramos una forma de función compuesta y 5 f (u) y u 5 g(x) tal que h(x) 5 f(g(x)).

Objetivo 4

Formas de función compuesta

Valor de la funciónElección paraElección para

La forma de función compuesta nunca es única. Por ejemplo, considere la primera expresión: y 5 (x3 5x 1 1)4

Si n es cualquier entero diferente de cero, podríamos escoger

Entonces, hay un número ilimitado de formas de función compuesta. Por lo general, nuestro objetivo es elegir una forma tal que la expresión para y sea sencilla.

EJERCICIOS 1.3 REVISIÓN DE CONCEPTOS

Ejer. 1-2: Encuentre

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Capítulo 1 Funciones y grá cas

37. Varios valores de dos funciones f y g aparecen en las tablas siguientes:

Si es posible, encuentre

e) (f ◦ g)(9)

38. Si f es una función impar y g una función par, ¿fg es par, impar o ninguna de estas opciones?

39. Hay una función con dominio R que es par e impar. Encuentre esa función.

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40. Propagación de un incendio Un incendio se ha iniciado en un campo abierto y seco, y se extiende en forma de círculo. Si el radio de este círculo aumenta a razón de 5 ftymin, exprese el área total A del incendio como función del tiempo t (en minutos).

41. Dimensiones de un globo Se infla un globo esférico a razón de 9 2 p ft3ymin. Exprese este radio r como una función del tiempo t (en minutos), asumiendo que r 5 0 cuando t 5 0.

42. Dimensiones de una pila de arena El volumen de una pila cónica de arena aumenta a razón de 243 p ft3ymin, y su altura es siempre igual al radio r de la base. Exprese r como función del tiempo t (en minutos), suponiendo que r 5 0 cuando t 5 0.

43. Diagonal de un cubo Una diagonal d de un cubo es la distancia entre dos vértices opuestos. Exprese d como función de la arista x del cubo. (Sugerencia: primero exprese la diagonal y de una cara como función de x.)

44. Altitud de un globo Un globo de aire caliente asciende verticalmente desde el nivel del suelo cuando una cuerda atada a la base del globo se suelta a razón de 5 ftys (vea la figura). La polea que suelta la cuerda está a 20 pies de la plataforma donde los pasajeros abordan el globo. Exprese la altitud h del globo como función del tiempo t.

45. Corrosión de un cable Un cable de 100 pies de largo y diámetro de 4 pulgadas se sumerge en agua de mar. Debido a la corrosión, el área superficial del cable disminuye a razón de 750 pulgadas cuadradas por año. Exprese el diámetro d del cable como función del tiempo t (en años). (No preste atención a la corrosión en los extremos del cable.)

Ejer. 46-53: Encuentre una forma de función compuesta para y

1

1. Encuentre el dominio y el rango de f si b)

2. Determine si f es par, impar o ninguna de éstas.

Ejer. 3-16: Trace la gráfica de la ecuación y marque los puntos de intersección con los ejes x y y

Ejer. 17-26: a) Trace la gráfica de f. b) Encuentre el dominio D y rango R de f. c) Encuentre los intervalos en los que f es creciente, decreciente o constante.

27. Trace las gráficas de las siguientes ecuaciones, haciendo uso de desplazamiento, elongación o reflexión.

28. La gráfica de una función f con dominio [ 3, 3] se muestra en la figura. Trace la gráfica de la ecuación dada.

y 4 x y x 4 y x 4 y x y x

y x y 1 4 x

Ejer. 29-30: Encuentre a) ( f ◦ g)(x) y b) (g ◦ f )(x).

29. f(x) 5 2x 5x 1 1, g(x) 5 3x 1 2

30. f(x) 5 , 3x 2 g(x) 5 1yx2

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Ejer. 31-32: Encuentre a) ( f ◦ g)(x) y el dominio de f ◦ g y b) (g ◦ f )(x) y el dominio de g ◦ f.

33. Encuentre una forma de función compuesta para y

Capítulo 1 Funciones y grá cas

34. Lanzamiento de disco Con base en records olímpicos, la distancia ganadora para el lanzamiento de disco se puede aproximar mediante la ecuación d 5 181 1 1,065t, donde d está en pies y t 5 0 corresponde al año 1948.

a) Pronostique la distancia ganadora para los Juegos Olímpicos de 2016.

b) Estime el año olímpico en el que la distancia ganadora será de 265 pies.

35. Plusvalía de las viviendas Hace seis años se compró una vivienda en $179.000. Este año fue valuada en $215.000. Suponga que el valor V de la vivienda después de su compra es una función lineal del tiempo t (en años).

a) Exprese V en términos de t

b) ¿Cuántos años después de la fecha de compra la vivienda valía $193.000?

36. Escalas de temperatura El punto de congelación del agua es 0 °C, o 32 °F, y el punto de ebullición es 100 °C o 212 °F.

a) Exprese la temperatura Fahrenheit F como función lineal de la temperatura Celsius C

b) ¿Qué aumento de temperatura en °F corresponde a un aumento de temperatura de 1° C?

37. Rendimiento de gasolina Suponga que el costo de conducir un automóvil es una función lineal del número x de millas recorridas y que la gasolina cuesta $3 por galón. Cierto automóvil rinde actualmente 20 millas por galón y una afinación que mejorará 10% su rendimiento cuesta $120.

a) Exprese el costo C1 de conducir sin una afinación en términos de x

b) Exprese el costo C2 de conducir con una afinación en términos de x

c) ¿Cuántas millas debe recorrer el automóvil después de afinarlo de modo que el costo de la afinación se justifique?

38. Dimensiones de un corral Un corral está formado por cinco rectángulos congruentes, como muestra la figura.

a) Exprese la longitud y como una función de la longitud x

b) Si los lados cuestan $10 por pie de longitud, exprese el costo C del corral como función de la longitud x x

y

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39. Distancia entre automóviles Al mediodía, el automóvil A está a 10 pies a la derecha y 20 pies adelante del automóvil B, como se aprecia en la figura. Si el automóvil A avanza a 88 ftys (o 60 miyh) mientras el automóvil B avanza a 66 ftys (o 45 miyh), exprese la distancia d entre los automóviles como una función de t, donde t denota el número de segundos transcurridos después del mediodía.

40. Construcción de un cobertizo de almacenamiento Un cobertizo de almacenamiento abierto con forma rectangular, que consta de dos lados verticales de 4 pies de ancho y un techo plano, se colocará unido a una estructura existente, como se ve en la figura. El techo está hecho de hojalata y cuesta $5 por pie cuadrado, y los dos lados están hechos de madera contrachapada que cuesta $2 por pie cuadrado.

a) Si se dispone de $400 para construcción, exprese la longitud y como una función de la altura x.

b) Exprese el volumen V dentro del cobertizo como función de x.

La Prueba Saber cumple con los estándares de competencias emitidos por el Ministerio de Educación Nacional, los cuales se clasifican de la siguiente forma:

R Razonamiento y argumentación S Planteamiento y Solución de problemas

M Modelación, comunicación y representación

M 1. El bungee jumping es un deporte extremo en el cual una persona que está asegurada a una cuerda elástica, se deja caer desde una estructura de gran altura. La estructura puede ser por ejemplo una grúa, un edificio o un puente con la altura indicada para que la práctica sea segura. En el bungee jumping, inicialmente la persona desciende en caída libre hasta alcanzar la longitud natural de la cuerda. Posteriormente la cuerda frena la caída y se genera una oscilación por su elasticidad, hasta que la persona deja de desplazarse por completo. La representación algebraica de la función que relaciona la velocidad v y el tiempo t en una caída libre es v(t) 5 10t

b)

c)

Por tanto, la gráfica que modela la función correctamente es:

a)

d)

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M 2. La matemática y la guerra. En muchas ocasiones hemos oído mencionar que las matemáticas sirven para todo, y efectivamente, inclusive para temas tan tristes y delicados como las guerras, hace muchos años lograron encriptar mensajes gracias a la matemática y ganar una guerra y hace muy poco se habló de la guerra en Ucrania y se escuchaban rumores que estaban modelando una función de los lanzamientos de las bombas para determinar exactamente el lugar del impacto. Dicho lanzamiento se puede modelar con una función cuadrática.

Observa el gráfico, respecto al movimiento del proyectil elige la opción que NO es correcta.

a) Todas las parábolas tienen un punto de corte en 0 metros.

b) Entre el vértice de la parábola sea más alto mas lejos va hacer el impacto.

c) El proyectil que llegó más lejos, lo hizo a los 2.16 s

d) En todas las funciones que modelan las parábolas el coeficiente a es negativo.

M 3. La compañía TE LO LLEVO cobra $3000 por cada libra del paquete que se quiere enviar y además, un costo fijo de $5000. ¿Cuál es la gráfica que corresponde a la función C?. Siendo C el costo de envío, de un paquete que tiene un peso de p libras.

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Un usuario, después de un tiempo, decide bajarse del vehículo. La siguiente gráfica representa lo que debe pagar:

R 4. Si la gráfica dada es traslada 5 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia arriba, podemos afirmar que en la nueva función f( 5) 5 2.

La expresión matemática que representa la gráfica, donde y representa el cobro de la carrera, es

a) y 5 100x 1 2500

b) y 5 100 1 x

c) y 5 x 1 2500

d) y 5 100 1 2500x

M 6. La matemática y los video juegos. Pedro necesita recrear el movimiento de una pelota en el juego que está programando. En la imagen se muestra por dónde debe moverse la pelota.

a) Falso, porque f( 5) 5 5.

b) Verdadero, porque cuando x 5 5, y 5 2

c) Falso, porque f( 5) 5 0

d) Verdadero, porque al trasladarla su vértice es ( 5, 2)

R 5. Una aplicación de taxis en una ciudad muestra la siguiente información:

La función que representa la curva está dada por:

a) y 5 1 2 x2 1 50

b) y 5 15 32 x2 1 50

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c) y 5 5 32 x2 1 50

d) y 5 1 2 x2 1 10

R 7. Observa las gráficas de las funciones f y g. ¿Cuál es la afirmación correcta?

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El precio de compra para 8 docenas y 10 docenas de camisas es respectivamente:

a) $1440 y $1750

b) $1600 y $2000

c) $1440 y $1800

d) $1600 y $1600

-2-3

f (0) 5 1 y g(0) 5 1

f (x) 5 g(x) para x 5 1

f (x) 5 0 para x 5 1; g(x) 5 0 para x 5 1 y x 5 1

f (x) 5 2 para x 5 1; g(x) 5 1 para x 51

R 8. De la función y 5 2x4 1 2x2 es correcto afirmar que:

a) Es par porque f (2) 5 f ( 2) 5 40

b) Es impar porque f (2) 5 40 y f ( 2) 5 240

c) Es par porque f (2) 5 f ( 2) 5 224

d) Es impar porque f (2) 5 24 y f ( 2) 5 224

S 9. El costo en dólares de un viaje en cierto país empleando la aplicación UBER se puede calcular mediante la función f (x) 5 4,43

S 11. El total de gastos de una empresa que produce protectores faciales contra el Covid se modela con una ecuación lineal en función de la cantidad de x unidades producidas. Si se sabe que al producir diez unidades se tienen gastos equivalentes a $125 000, y al producir 20 unidades los gastos ascienden a $160000, ¿Cuál es el gasto fijo para la empresa?

a) $60000

b) $70000

c) $80000

d) $90000

9 x2

2 500 donde x indica el número de cuadras recorridas en el viaje. Si el recorrido total fue de 83 cuadras, el costo del viaje es:

a) $15,87

b) $8,44

c) $17,3

d) $88

S 10. Un comerciante de ropa gasta $180 dólares por cada docena de camisas compradas, si es que compra no más de 8 docenas. Sin embargo, si la capacidad de compra sobrepasa las 8 docenas el precio de compra estará reducido en $12,5 por el número de camisas adquiridas. La función de compras en función de las camisas adquiridas (x) se puede modelar así:

f ( x) 5 180 x si 0 # x # 8

300 x 12,5x 2 si 8 , x # 24

S 12. Dada la función f (x) 5 1 x 2 se puede determinar que su dominio consta de todos los valores de x

a) Diferentes a 2.

b) Mayores que 2.

c) Mayores o iguales a 2.

d) Menores o iguales a 2.

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