9786075266305 Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. 9a. Ed. Zill.Cengage

9E

CONTENIDO

O

Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera

Dennis G. Zill Loyola Marymount University Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Profesor Emérito, Alexandria University, Egipto

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

i

NOVENA EDICIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas de valores en la frontera

DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University Versión métrica preparada por

ALY EL-IRAKI Profesor Emérito, Alexandria University TRADUCCIÓN Ana Elizabeth García Hernández Profesor invitado UAM-Azcapotzalco

REVISIÓN TÉCNICA Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas.

Instituto Politécnico Nacional.

Enrique Antoniano Mateos Universidad Anáhuac México, campus Norte

María Rosa Guadalupe Hernández Mondragón

Ma. Merced Arriaga Gutiérrez Universidad de Guadalajara David Manuel Avila Sereno

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

Instituto Universitario del Estado de México

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

William Alfredo Cabrer Alonso

Lucio López Cavazos

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Luisa Ramírez Granados

Ana Lilia Flores Vázquez

María del Socorro Real Guerrero

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad de Guadalajara

Mauricio García Martínez

Ruth Rodríguez Gallegos

Universidad Autónoma del Estado de México

José Alfredo Gasca González

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey

Instituto Tecnológico de León.

Raquel Ruíz de Eguino Mendoza

Francisco Giles Hurtado

Universidad Panamericana, campus Guadalajara

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

Universidad Autónoma de Querétaro

Roberto Serna Herrera

Carlos Eduardo Gómez Sánchez

Universidad Iberoamericana

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Balaam Valle Aguilar

David Gutiérrez Calzada

Enrique Zamora Gallardo

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad Anáhuac México, campus Norte

Aurora Diana Guzmán Coria

Riquet Zequeira Fernández

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad Autónoma del Estado de México

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera Novena edición Dennis G. Zill Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica:: Jesús Mares Chacón Editor Senior Hardside: Pablo Miguel Guerrero Rosas Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Edgar Maldonado Hernández Imagen de portada: NASA/ESA Composición tipográfica: Karen Medina

© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México - Toluca 5420, Oficina 2301 Col. El Yaqui, C.P. 05320 Cuajimalpa, Ciudad de México Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Traducido del libro: Differential Equations with Boundary-Value Problems Ninth Edition, Metric Edition, Dennis G. Zill Publicado en inglés por Cengage Learning ©2018 ISBN: 978-1-111-82706-9 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, novena edición ISBN: 978-607-526-630-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17

CONTENIDO

O

v

Contenido

Kevin George/Shutterstock.com

1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 2

Joggie Botma/Shutterstock.com

Prefacio a esta edición métrica vii

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 36

1.1 1.2 1.3

Definiciones y terminología 3 Problemas con valores iniciales 15 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos REPASO DEL C APÍTULO 1

2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

34

Curvas solución sin una solución 37 2.1.1 2.1.1 Campos direccionales 37 2.1.2 ED autónomas de primer orden 39 Variables separables 47 Ecuaciones lineales 55 Ecuaciones exactas 64 Soluciones por sustitución 72 Un método numérico 76 REPASO DEL C APÍTULO 2

Fotos593/Shutterstock.com

22

81

3 Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 3.1 3.2 3.3

84

Modelos lineales 85 Modelos no lineales 96 Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL C APÍTULO 3

107

114

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 118 Bill Ingalls/NASA

4.1

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 119 4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 119 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 121 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 127 Reducción de orden 132 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 135 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 142 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 152 Variación de parámetros 159 Ecuación de Cauchy-Euler 166 v

CONTENIDO

4.8

Funciones de Green 173 4.8.1 Problemas con valores iniciales 173 4.8.2 Problemas con valores en la frontera 179 4.9 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 4.10 Ecuaciones diferenciales no lineales 188

Brian A Jackson/Shutterstock .com

REPASO DEL C APÍTULO 4

de orden superior

193

5.1

196

Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 197 5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado 197 5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado 202 5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 204 5.1.4 Circuito en serie análogo 207 Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera 213 Modelos no lineales 222 REPASO DEL C APÍTULO 5

Todd Dalton/Shutterstock.com

183

5 Modelado con ecuaciones diferenciales

5.2 5.3

232

6 Soluciones en series de ecuaciones lineales 236 6.1 6.2 6.3 6.4

Repaso de series de potencias 237 Soluciones respecto a puntos ordinarios 243 Soluciones en torno a puntos singulares 252 Funciones especiales 262 REPASO DEL C APÍTULO 6

Raimundas/Shutterstock.com

O

276

7 La transformada de Laplace 278 7.1 7.2

7.3

7.4

7.5 7.6

Definición de la transformada de Laplace 279 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 7.2.1 Transformadas inversas 286 7.2.2 Transformadas de derivadas 289 Propiedades operacionales I 294 7.3.1 Traslación en el eje s 295 7.3.2 TTraslación en el eje t 298 Propiedades operacionales II 306 7.4.1 Derivadas de una transformada 306 7.4.2 Transformadas de integrales 307 7.4.3 Transformada de una función periódica 313 La función delta de Dirac 318 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 322 REPASO DEL C APÍTULO 7

286

327

8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Pavel L Photo and Video/ Shutterstock.com

vi

de primer orden 8.1 8.2

332

Teoría preliminar: Sistemas lineales 333 Sistemas lineales homogéneos 340 8.2.1 Eigenvalores reales distintos 341 8.2.2 Eigenvalores repetidos 344 8.2.3 Eigenvalores complejos 348

CONTENIDO

8.3

8.4

O

vii

Sistemas lineales no homogéneos 355 8.3.1 Coeficientes indeterminados 355 8.3.2 Variación de parámetros 357 Matriz exponencial 362 REPASO DEL C APÍTULO 8

366

Paul B. Moore/Shutterstock .com

9 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

368

Métodos de Euler y análisis de errores 369 Métodos de Runge-Kutta 374 Métodos multipasos 378 Ecuaciones y sistemas de orden superior 381 Problemas con valores en la frontera de segundo orden REPASO DEL C APÍTULO 9

385

389

jspix/imagebroker/Alamy Stock Photo

10 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales 10.1 10.2 10.3 10.4

390

Sistemas autónomos 391 Estabilidad de sistemas lineales 397 Linealización y estabilidad local 405 Sistemas autónomos como modelos matemáticos

Science photo/Shutterstock .com

REPASO DEL C APÍTULO 10

11 Series de Fourier 424 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

Funciones ortogonales 425 Series de Fourier 431 Series de Fourier de cosenos y de senos 436 Problema de Sturm-Liouville 444 Series de Bessel y Legendre 451 11.5.1 Serie de Fourier-Bessel 452 11.5.2 Serie de Fourier-Legendre 455 REPASO DEL C APÍTULO 11

Brian A Jackson/Shutterstock .com

414

422

458

12 Problemas con valores en la frontera en coordenadas rectangulares 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8

460

Ecuaciones diferenciales parciales separables 461 EDP clásicas y problemas con valores en la frontera 465 Ecuación de calor 471 Ecuación de onda 473 Ecuación de Laplace 479 Problemas no homogéneos con valores en la frontera 484 Desarrollos en series ortogonales 491 Problemas dimensionales de orden superior 496 REPASO DEL C APÍTULO 12

499

Aceshot1/Shutterstock.com

CONTENIDO

13 Problemas con valores en la frontera en otros sistemas coordenados

502

13.1 Coordenadas polares 503 13.2 Coordenadas polares y cilíndricas 13.3 Coordenadas esféricas 515

508

REPASO DEL C APÍTULO 13

517

14 Transformadas integrales 520 Lehrer/Shutterstock.com

O

14.1 14.2 14.3 14.4

Función de error 521 Transformada de Laplace 522 Integral de Fourier 530 Transformadas de Fourier 536 REPASO DEL C APÍTULO 14

Sdecoret/Shutterstock.com

viii

542

15 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales

544

15.1 Ecuación de Laplace 545 15.2 Ecuación de calor 550 15.3 Ecuación de onda 555 REPASO DEL C APÍTULO 15

559

Apéndices A Funciones definidas por integrales APP-3 B Matrices APP-11 C Transformadas de Laplace APP-29 Respuestas a los problemas seleccionados con numeracion impar RES-1 Índice

I-1

Prefacio a esta edición métrica

(VWD YHUVLyQ PpWULFD LQWHUQDFLRQDO GL¿ HUH GH OD YHUVLyQ HVWDGRXQLGHQVH GH Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera 1RYHQD HGLFLyQ HQ OR VLJXLHQWH /DV XQLGDGHV GH PHGLGD XWLOL]DGDV HQ OD PD\RUtD GH ORV HMHPSORV \ HMHUFLFLRV VH KDQ FRQYHUWLGR GHO VLVWHPD GH XQLGDGHV DFRVWXPEUDGDV HQ ORV (VWDGRV 8QLGRV 86&6 WDPELpQ OODPDGR GH 8QLGDGHV LQJOHVDV R ,PSHULDOHV D XQLGDGHV PpWULFDV (VWD YHUVLyQ PpWULFD LQFOX\H WDEODV GH FRQYHUVLyQ SDUD FRQVXOWDUODV FRQIRUPH WUDEDMH HQ ODV DSOLFDFLRQHV \ HMHUFLFLRV UHODFLRQDGRV

AL ESTUDIANTE /RV DXWRUHV GH ORV OLEURV YLYHQ FRQ OD HVSHUDQ]D GH TXH DOJXLHQ HQ UHDOLGDG ORV lea $O FRQWUDULR GH OR TXH XVWHG SRGUtD FUHHU FDVL WRGR WH[WR GH PDWHPiWLFDV GH QLYHO XQLYHUVLWDULR HVWi HVFULWR SDUD XVWHG \ QR SDUD HO SURIHVRU &LHUWR HV TXH ORV WHPDV FX ELHUWRV HQ HO WH[WR VH HVFRJLHURQ FRQVXOWDQGR D ORV SURIHVRUHV \D TXH HOORV WRPDQ OD GHFLVLyQ DFHUFD GH VL KD\ TXH XVDUORV HQ VXV FODVHV SHUR WRGR OR HVFULWR HQ pO HVWi GLUL JLGR GLUHFWDPHQWH D XVWHG DO HVWXGLDQWH (QWRQFHV TXHUHPRV LQYLWDUOH ²QR HQ UHDOL GDG TXHUHPRV SHGLUOH² TXH £OHD HVWH OLEUR GH WH[WR 3HUR QR OR KDJD FRPR OHHUtD XQD QRYHOD QR GHEH OHHUOR UiSLGR \ QR GHEH VDOWDUVH QDGD 3LHQVH HQ HVWH OLEUR FRPR XQ cuaderno de ejercicios &UHHPRV TXH ODV PDWHPiWLFDV VLHPSUH GHEHUtDQ VHU HVWXGLD GDV FRQ OiSL] \ SDSHO D OD PDQR SRUTXH PX\ SUREDEOHPHQWH WHQGUi TXH trabajar los HMHPSORV \ KDFHU ORV DQiOLVLV /HD ²PiV ELHQ WUDEDMH² todos ORV HMHPSORV GH XQD VHFFLyQ DQWHV GH LQWHQWDU FXDOTXLHUD GH ORV HMHUFLFLRV /RV HMHPSORV VH KDQ GLVHxDGR SDUD PRVWUDU OR TXH FRQVLGHUDPRV VRQ ORV DVSHFWRV PiV LPSRUWDQWHV GH FDGD VHFFLyQ \ SRU WDQWR PXHVWUDQ ORV SURFHGLPLHQWRV QHFHVDULRV SDUD WUDEDMDU OD PD\RUtD GH ORV SUREOHPDV GH ORV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV 6LHPSUH OHV GHFLPRV D QXHVWURV HVWXGLDQWHV TXH FXDQGR OHDQ XQ HMHPSOR WDSHQ VX VROXFLyQ H LQWHQWHQ WUDEDMDU SULPHUR HQ HOOD FRPSDUDU VX UHVSXHVWD FRQ OD VROXFLyQ GDGD \ OXHJR UHVROYHU FXDOTXLHU GLIHUHQFLD +HPRV WUDWDGR GH LQFOXLU ORV SDVRV PiV LPSRUWDQWHV SDUD FDGD HMHPSOR SHUR VL DOJR QR HV FODUR XVWHG SRGUtD VLHPSUH LQWHQWDU FRPSOHWDU ORV GHWDOOHV R SDVRV TXH IDOWDQ \ DTXt HV GRQGH HO SDSHO \ HO OiSL] HQWUDQ RWUD YH] 3XHGH TXH QR VHD IiFLO SHUR HV SDUWH GHO SURFHVR GH DSUHQGL]DMH /D DFXPXODFLyQ GH KHFKRV VHJXLGRV SRU OD OHQWD DVLPLOD FLyQ GH OD FRPSUHQVLyQ VLPSOHPHQWH QR VH SXHGH DOFDQ]DU VLQ WUDEDMDU DUGXDPHQWH (VSHFt¿ FDPHQWH SDUD XVWHG HVWi GLVSRQLEOH XQ Manual de recursos del estudiante, (SRM en idioma inglés y se comercializa por separado FRPR XQ VXSOHPHQWR RSFLRQDO $GHPiV GH TXH FRQWLHQH VROXFLRQHV GH SUREOHPDV VHOHFFLRQDGRV GH ORV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV HO 650 WLHQH VXJHUHQFLDV SDUD OD VROXFLyQ GH SUREOHPDV HMHPSORV DGLFLRQDOHV \ XQ UHSDVR GH ODV iUHDV GH iOJHEUD \ FiOFXOR TXH VLHQWR VRQ SDUWLFXODUPHQWH LPSRUWDQWHV SDUD HO HVWXGLR H[LWRVR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV &RQVLGHUH TXH QR WLHQH TXH DGTXLULU HO SRM SXHGH UHYLVDU ODV PDWHPiWLFDV DSURSLD GDV GH VXV YLHMRV OLEURV GH SUHFiOFXOR R GH FiOFXOR (Q FRQFOXVLyQ OH GHVHDPRV EXHQD VXHUWH \ p[LWR (VSHUDPRV TXH GLVIUXWH HO OLEUR \ HO FXUVR TXH HVWi SRU LQLFLDU &XDQGR pUDPRV HVWXGLDQWHV GH OD OLFHQFLDWXUD HQ PDWH PiWLFDV HVWH FXUVR IXH XQR GH QXHVWURV IDYRULWRV SRUTXH QRV JXVWDQ ODV PDWHPiWLFDV TXH HVWiQ FRQHFWDGDV FRQ HO PXQGR ItVLFR 6L WLHQH DOJ~Q FRPHQWDULR R VL HQFXHQWUD DOJ~Q HUURU FXDQGR OHD R WUDEDMH FRQ pVWH R VL QRV TXLHUH KDFHU OOHJDU XQD EXHQD LGHD SDUD PHMRUDU HO OLEUR SRU IDYRU SyQJDVH HQ FRQWDFWR FRQ QRVRWURV D WUDYpV GH QXHVWUR HGLWRU HQ &HQJDJH /HDUQLQJ

ix

x

O

PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

AL PROFESOR (Q FDVR GH TXH H[DPLQH HVWH WH[WR SRU SULPHUD YH] Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera QRYHQD HGLFLyQ VH SXHGH XWLOL]DU \D VHD SDUD XQ FXUVR GH XQ VHPHVWUH GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV R SDUD FXEULU XQ FXUVR GH GRV VHPHVWUHV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV \ SDUFLDOHV 3DUD XQ FXUVR VHPHVWUDO VXSRQHPRV TXH ORV HVWXGLDQWHV KDQ FRPSOHWDGR FRQ p[LWR DO PHQRV GRV VHPHVWUHV GH FiOFXOR 'DGR TXH XVWHG HVWi OH\HQGR HVWR VLQ GXGD \D KD H[DPL QDGR OD WDEOD GH FRQWHQLGRV SDUD ORV WHPDV TXH FXEULUi (Q HVWH SUHIDFLR QR HQFRQWUDUi ³XQ SURJUDPD VXJHULGR´ 1R SUHWHQGHUHPRV VHU WDQ VDELRV FRPR SDUD GHFLU D RWURV SURIHVRUHV OR TXH GHEHQ HQVHxDU HQ VXV FODVHV 6HQWLPRV TXH KD\ PXFKR PDWHULDO DTXt SDUD HVFRJHU \ IRUPDU XQ FXUVR D VX JXVWR (O WH[WR WLHQH XQ HTXLOLEULR UD]RQDEOH HQWUH ORV PpWRGRV DQDOtWLFRV FXDOLWDWLYRV \ FXDQ WLWDWLYRV HQ HO HVWXGLR GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV (Q FXDQWR D QXHVWUD ³¿ORVRItD VXE\DFHQWH´ pVWD HV TXH XQ OLEUR SDUD HVWXGLDQWHV GH QLYHO VXSHULRU GHEHUtD HVWDU HVFULWR FRQVLGHUDQGR VLHPSUH OD FRPSUHVLyQ GHO HVWXGLDQWH OR TXH VLJQL¿FD TXH HO PDWHULDO GHEHUtD HVWDU SUHVHQWDGR HQ XQD IRUPD GLUHFWD OHJLEOH \ ~WLO FRQVLGHUDQGR HO QLYHO WHyULFR FRPSDWLEOH FRQ OD LGHD GH XQ ³SULPHU FXUVR´ $ ODV SHUVRQDV IDPLOLDUL]DGDV FRQ ODV HGLFLRQHV DQWHULRUHV QRV JXVWDUtD PHQFLR QDUOHV DOJXQDV GH ODV PHMRUDV KHFKDV HQ HVWD HGLFLyQ 6H KDQ DFWXDOL]DGR PXFKRV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV DJUHJDQGR QXHYRV SUREOHPDV $OJXQRV GH HVWRV SUREOHPDV LPSOLFDQ QXHYRV \ TXH \R FRQVLGHUR LQWHUHVDQWHV PRGHORV PDWHPiWLFRV ‡ 6H KDQ DJUHJDGR FRPHQWDULRV ¿JXUDV \ HMHPSORV DGLFLRQDOHV D PXFKDV VHFFLRQHV ‡ (Q WRGR HO OLEUR VH OH KH GDGR XQ PD\RU pQIDVLV D ORV FRQFHSWRV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV SRU SDUWHV \ D ODV VROXFLRQHV TXH LPSOLFDQ LQWHJUDOHV QR HOHPHQWDOHV ‡ (O $SpQGLFH $ ,QWHJUDOHV GH¿QLGDV GH IXQFLRQHV HV QXHYR HQ HO OLEUR ‡ 6H KD DJUHJDGR HO SULQFLSLR GH VXSHUSRVLFLyQ DO DQiOLVLV HQ OD VHFFLyQ Ecuación de onda ‡ 6H KD UHHVFULWR OD VHFFLyQ Problemas con valores en la frontera no homogéneos ‡ 6H KD GDGR PD\RU pQIDVLV D ODV )XQFLRQHV GH %HVVHO PRGL¿FDGDV HQ OD VHFFLyQ Coordenadas polares y cilíndricas RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES • Los Student Resource and Solutions Manual 650 HQ LGLRPD LQJOpV \ VH FRPHU FLDOL]DQ SRU VHSDUDGR HODERUDGRV SRU :DUUHQ 6 :ULJKW \ &DURO ' :ULJKW (O YROXPHQ FRQ ,6%1 DFRPSDxD D Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, novena edición, presentan UHSDVRV GHO PDWHULDO PiV LPSRUWDQWH GH iOJHEUD \ FiOFXOR WRGDV ODV VROXFLRQHV GHO WHUFHU SUREOHPD GH FDGD FRQMXQWR GH HMHUFLFLRV H[FHSWR ORV SUREOHPDV GH DQiOLVLV \ ODV WDUHDV GHO ODERUDWRULR GH FyPSXWR ORV FRPDQGRV \ VLQWD[LV PiV importantes de Mathematica \ Maple OLVWDV GH FRQFHSWRV LPSRUWDQWHV DVt FRPR ~WLOHV VXJHUHQFLDV GH FyPR HPSH]DU FLHUWRV SUREOHPDV RECURSOS PARA EL PROFESOR (en idioma inglés) • Manual de soluciones del profesor (ISM) HODERUDGR SRU :DUUHQ 6 :ULJKW \ 5REHUWR 0DUWLQH] SURSRUFLRQD VROXFLRQHV LQWHJUDOHV GHVDUUROODGDV SRU WRGRV ORV SUREOHPDV HQ HO WH[WR (VWi GLVSRQLEOH D WUDYpV GH OD 3iJLQD :HE GHO SURIHVRU GH HVWH OLEUR HQ cengage.com

PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

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xi

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RECONOCIMIENTOS &RPSLODU XQ OLEUR GH WH[WR GH PDWHPiWLFDV FRPR HVWH \ DVHJXUDUVH GH TXH VXV PLOHV GH VtPERORV \ FLHQWRV GH HFXDFLRQHV VRQ H[DFWDV VRQ XQD WDUHD HQRUPH SHUR \D TXH PH OODPDQ ³HO DXWRU´ HV PL WUDEDMR \ UHVSRQVDELOLGDG 3HUR PXFKDV SHUVRQDV DGHPiV GH Pt KDQ LQYHUWLGR HQRUPHV FDQWLGDGHV GH WLHPSR \ HQHUJtD HQ HO WUDEDMR KDFLD VX SXEOLFDFLyQ ¿QDO $Vt TXH PH JXVWDUtD DSURYHFKDU HVWD RSRUWXQLGDG SDUD H[SUHVDU PL PiV VLQFHUR DJUDGHFLPLHQWR D WRGR HO PXQGR OD PD\RUtD GH HOORV GHVFRQRFLGRV SDUD Pt HQ &HQJDJH /HDUQLQJ \ HQ 036 1RUWK $PHULFD TXLHQHV SDUWLFLSDURQ HQ OD SXEOLFDFLyQ GH HVWD HGLFLyQ 8QD SDODEUD HVSHFLDO GH DJUDGHFLPLHQWR D 6SHQFHU $UULWW .DWKU\Q 6FKUXPSI -HQQLIHU 5LVGHQ 9HUQRQ %RHV \ -LOO 7UDXW SRU VX RULHQWDFLyQ HQ HO ODEHULQWR GHO SURFHVR GH SURGXFFLyQ )LQDOPHQWH FRQIRUPH KDQ SDVDGR ORV DxRV HVWH OLEUR GH WH[WR VH KD PHMRUDGR SRU XQ Q~PHUR LQFRQWDEOH GH FDPLQRV JUDFLDV D ODV VXJHUHQFLDV \ ODV FUtWLFDV GH ORV UHYLVRUHV DVt TXH HV MXVWR FRQFOXLU FRQ XQ UHFRQRFLPLHQWR GH QXHVWUD GHXGD FRQ ODV VLJXLHQWHV SHUVRQDV SRU FRPSDUWLU VX PDHVWUtD \ H[SHULHQFLD REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES :LOOLDP $WKHUWRQ Cleveland State University 3KLOLS %DFRQ University of Florida %UXFH %D\O\ University of Arizona :LOOLDP + %H\HU University of Akron 5 * %UDGVKDZ Clarkson College %HUQDUG %URRNV Rochester Institute of Technology $OOHQ %URZQ Wabash Valley College 'HDQ 5 %URZQ Youngstown State University 'DYLG %XFKWKDO University of Akron 1JX\HQ 3 &DF University of Iowa 7 &KRZ California State University, Sacramento 'RPLQLF 3 &OHPHQFH North Carolina Agricultural and Technical State University 3DVTXDOH &RQGR University of Massachusetts, Lowell 9LQFHQW &RQQROO\ Worcester Polytechnic Institute 3KLOLS 6 &URRNH Vanderbilt University %UXFH ( 'DYLV St. Louis Community College at Florissant Valley 3DXO : 'DYLV Worcester Polytechnic Institute 5LFKDUG $ 'L'LR La Salle University -DPHV 'UDSHU University of Florida -DPHV 0 (GPRQGVRQ Santa Barbara City College -RKQ + (OOLVRQ Grove City College 5D\PRQG )DEHF Louisiana State University 'RQQD )DUULRU University of Tulsa 5REHUW ( )HQQHOO Clemson University : ( )LW]JLEERQ University of Houston

xii

O

PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

+DUYH\ - )OHWFKHU Brigham Young University 3DXO - *RUPOH\ Villanova /D\DFKL +DGML University of Alabama 5XEHQ +D\UDSHW\DQ Kettering University 7HUU\ +HUGPDQ Virginia Polytechnic Institute and State University =G]LVODZ -DFNLHZLF] Arizona State University 6 . -DLQ Ohio University $QWKRQ\ - -RKQ Southeastern Massachusetts University 'DYLG & -RKQVRQ University of Kentucky, Lexington +DUU\ / -RKQVRQ Virginia Polytechnic Institute and State University .HQQHWK 5 -RKQVRQ North Dakota State University -RVHSK .D]LPLU East Los Angeles College - .HHQHU University of Arizona 6WHYH % .KOLHI Tennessee Technological University +HOPXW .QDXVW The University of Texas at El Paso & - .QLFNHUERFNHU Sensis Corporation &DUORQ $ .UDQW] Kean College of New Jersey 7KRPDV * .XG]PD University of Lowell $OH[DQGUD .XUHSD North Carolina A&T State University * ( /DWWD University of Virginia &HFHOLD /DXULH University of Alabama 0XODWX /HPPD Savannah State University -DPHV 5 0F.LQQH\ California Polytechnic State University -DPHV / 0HHN University of Arkansas *DU\ + 0HLVWHUV University of Nebraska, Lincoln 6WHSKHQ - 0HUULOO Marquette University 9LYLHQ 0LOOHU Mississippi State University *HRUJH 0RVV Union University *HUDOG 0XHOOHU Columbus State Community College 3KLOLS 6 0XOU\ Colgate University 0DUWLQ 1DNDVKLPD California State Polytechnic University–Pomona & - 1HXJHEDXHU Purdue University 7\UH $ 1HZWRQ Washington State University %ULDQ 0 2¶&RQQRU Tennessee Technological University - . 2GGVRQ University of California, Riverside &DURO 6 2¶'HOO Ohio Northern University %UXFH 2¶1HLOO Milwaukee School of Engineering $ 3HUHVVLQL University of Illinois, Urbana, Champaign - 3HUU\PDQ University of Texas at Arlington -RVHSK + 3KLOOLSV Sacramento City College -DFHN 3ROHZF]DN California State University Northridge 1DQF\ - 3R[RQ California State University, Sacramento 5REHUW 3UXLWW San Jose State University . 5DJHU Metropolitan State College ) % 5HLV Northeastern University %ULDQ 5RGULJXHV California State Polytechnic University 7RP 5RH South Dakota State University .LPPR , 5RVHQWKDO Union College %DUEDUD 6KDEHOO California Polytechnic State University 6HHQLWK 6LYDVXQGDUDP Embry-Riddle Aeronautical University 'RQ ( 6RDVK Hillsborough Community College ) : 6WDOODUG Georgia Institute of Technology *UHJRU\ 6WHLQ The Cooper Union 0 % 7DPEXUUR Georgia Institute of Technology 3DWULFN :DUG Illinois Central College -LDQSLQJ =KX University of Akron -DQ =LMOVWUD Middle Tennessee State University -D\ =LPPHUPDQ Towson University Dennis G. Zill Los Angeles, CA

Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera

1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

© Kevin George/Shutterstock.com

1.1 'H¿ QLFLRQHV \ WHUPLQRORJtD 1.2 3UREOHPDV FRQ YDORUHV LQLFLDOHV 1.3 (FXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV FRPR PRGHORV PDWHPiWLFRV REPASO DEL CAPÍTULO 1

L

2

DV SDODEUDV ecuaciones \ diferenciales FLHUWDPHQWH VXJLHUHQ OD VROXFLyQ GH DOJ~Q WLSR GH HFXDFLRQHV TXH FRQWLHQHQ GHULYDGDV y , y $O LJXDO TXH HQ XQ FXUVR GH iOJHEUD \ WULJRQRPHWUtD HQ ORV TXH VH LQYLHUWH PXFKR WLHPSR HQ OD VROXFLyQ GH HFXDFLRQHV FRPR x2 5x 4 SDUD OD LQFyJQLWD x HQ HVWH FXUVR una GH ODV WDUHDV VHUi UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GHO WLSR y 2y y SDUD XQD IXQFLyQ LQFyJQLWD y (x). &RQIRUPH HO FXUVR VH GHVDUUROOH YHUi TXH KD\ PiV HQ HO HVWXGLR GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH VRODPHQWH GRPLQDU ORV PpWRGRV LGHDGRV SRU PDWHPiWLFRV GH ORV ~OWLPRV VLJORV SDUD UHVROYHUODV 3HUR YDPRV HQ RUGHQ 3DUD OHHU HVWXGLDU \ SODWLFDU VREUH XQ WHPD HVSHFLDOL]DGR HV QHFHVDULR DSUHQGHU OD WHUPLQRORJtD GH HVWD GLVFLSOLQD (VD HV OD LQWHQFLyQ GH ODV GRV SULPHUDV VHFFLRQHV GH HVWH FDStWXOR (Q OD ~OWLPD VHFFLyQ H[DPLQDUHPRV EUHYHPHQWH HO YtQFXOR HQWUH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV \ HO PXQGR UHDO

1.1

1.1

DEFINICIONES Y TERMINOLOGร A

3

O

DEFINICIONES Y TERMINOLOGร A INTRODUCCIร N /D GHULYDGD dy dx GH XQD IXQFLyQ y (x HV RWUD IXQFLyQ (x TXH VH HQFXHQWUD FRQ XQD UHJOD DSURSLDGD /D IXQFLyQ y e0.1x2 HV GHULYDEOH HQ HO LQWHUYDOR , \ XVDQGR 2 OD UHJOD GH OD FDGHQD VX GHULYDGD HV dy dx 0.2xe0.1x 6L VXVWLWXLPRV e0.1x2 SRU y HQ HO ODGR GHUHFKR GH OD HFXDFLyQ OD GHULYDGD VHUi

dy dx

0.2xy

(1)

$KRUD LPDJLQHPRV TXH XQ DPLJR SODQWHy OD HFXDFLyQ XVWHG QR WLHQH LGHD GH FyPR OD KL]R \ VH SUHJXQWD ยฟcuรกl es la funciรณn representada con el sรญmbolo y? 6H HQIUHQWD HQWRQFHV D XQR GH ORV SUREOHPDV EiVLFRV GH HVWH FXUVR ยฟCรณmo resolver una ecuaciรณn como la (1) para la funciรณn desconocida y (x)?

UNA DEFINICIร N $ OD HFXDFLyQ VH OH GHQRPLQD ecuaciรณn diferencial*. $QWHV GH SURVHJXLU FRQVLGHUHPRV XQD GHยฟQLFLyQ PiV H[DFWD GH HVWH FRQFHSWR DEFINICIร N 1.1.1

Ecuaciรณn diferencial

8QD HFXDFLyQ TXH FRQWLHQH ODV GHULYDGDV GH XQD R PiV IXQFLRQHV GHVFRQRFLGDV R YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV UHVSHFWR D XQD R PiV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV VH OODPD Ecuaciรณn Diferencial (ED).

3DUD KDEODU DFHUFD GH HOODV FODVLยฟFDUHPRV D ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SRU tipo, orden \ linealidad.

CLASIFICACIร N POR TIPO 6L XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRQWLHQH VyOR GHULYDGDV RUGLQDULDV GH XQD R PiV IXQFLRQHV GHVFRQRFLGDV UHVSHFWR D XQD sola YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH VH GLFH TXH HV XQD ecuaciรณn diferencial ordinaria (EDO) 8QD HFXDFLyQ TXH LQYROXFUD GHULYDGDV SDUFLDOHV GH XQD R PiV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV GH GRV R PiV IXQFLRQHV GHVFRQRFLGDV VH OODPD ecuaciรณn diferencial parcial (EDP) 1XHVWUR SULPHU HMHPSOR LOXVWUD YDULDV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH FDGD WLSR

EJEMPLO 1

Tipos de ecuaciones diferenciales

a) /DV HFXDFLRQHV

8QD ('2 SXHGH FRQWHQHU PiV GH XQD IXQFLyQ GHVFRQRFLGD

dy dx

5y

d 2y dx2

ex,

dy dx

6y

0,

y

โ

โ

dx dt

dy dt

2x

y

(2)

VRQ HMHPSORV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV b) /DV VLJXLHQWHV VRQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV 2

u x2

2

u y2

2

0,

u x2

2

u t2

2

u u , y t y

v x

([FHSWR HVWD VHFFLyQ GH LQWURGXFFLyQ HQ Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, GpFLPDSULPHUD HGLFLyQ VyOR VH FRQVLGHUDQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV (Q HVH OLEUR OD SDODEUD ecuaciรณn \ OD DEUHYLDWXUD (' VH UHยฟHUHQ VyOR D ODV ('2 /DV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SDUFLDOHV R ('3 VH FRQVLGHUDQ HQ HO YROXPHQ DPSOLDGR Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, QRYHQD HGLFLyQ

*

(3)

4

O

CAPร TULO 1

INTRODUCCIร N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2EVHUYH TXH HQ OD WHUFHUD HFXDFLyQ KD\ GRV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV \ GRV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV HQ OD ('3 (VWR VLJQLยฟFD TXH u \ v GHEHQ VHU IXQFLRQHV GH dos o mรกs YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV NOTACIร N $ OR ODUJR GHO OLEUR ODV GHULYDGDV RUGLQDULDV VH HVFULELUiQ XVDQGR OD notaciรณn de Leibniz dy dx, d 2y dx 2, d 3y dx 3 R OD notaciรณn prima y , y , y 8VDQGR HVWD ~OWLPD QRWDFLyQ ODV SULPHUDV GRV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV HQ VH SXHGHQ HVFULELU HQ XQD IRUPD XQ SRFR PiV FRPSDFWD FRPR y 5y ex \ y y 6y (Q UHDOLGDG OD QRWDFLyQ SULPD VH XVD SDUD GHQRWDU VyOR ODV SULPHUDV WUHV GHULYDGDV OD FXDUWD GHULYDGD VH GHQRWD y(4) HQ OXJDU GH y (Q JHQHUDO OD n pVLPD GHULYDGD GH y VH HVFULEH FRPR d ny dx n R \(n) $XQTXH HV PHQRV FRQYHQLHQWH SDUD HVFULELU R FRPSRQHU WLSRJUiยฟFDPHQWH OD QRWDFLyQ GH /HLEQL] WLHQH XQD YHQWDMD VREUH OD QRWDFLyQ SULPD PXHVWUD FODUDPHQWH DPEDV YDULDEOHV ODV GHSHQGLHQWHV \ ODV LQGHSHQGLHQWHV 3RU HMHPSOR HQ OD HFXDFLyQ funciรณn incรณgnita o variable dependiente

d 2x โ โ โ 2 16x 0 dt variable independiente

VH DSUHFLD GH LQPHGLDWR TXH DKRUD HO VtPEROR x UHSUHVHQWD XQD YDULDEOH GHSHQGLHQWH PLHQWUDV TXH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH HV t 7DPELpQ VH GHEH FRQVLGHUDU TXH HQ LQJHQLH UtD \ HQ FLHQFLDV ItVLFDV OD notaciรณn de punto GH 1HZWRQ QRPEUDGD GHVSHFWLYDPHQWH QRWDFLyQ GH ยณSXQWLWRยด DOJXQDV YHFHV VH XVD SDUD GHQRWDU GHULYDGDV UHVSHFWR DO WLHP SR t $Vt OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO d 2s dt 2 VHUi sฬ &RQ IUHFXHQFLD ODV GHULYDGDV SDUFLDOHV VH GHQRWDQ PHGLDQWH XQD notaciรณn de subรญndice TXH LQGLFD ODV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV 3RU HMHPSOR FRQ OD QRWDFLyQ GH VXEtQGLFHV OD VHJXQGD HFXDFLyQ HQ

VHUi u xx u tt 2u t.

CLASIFICACIร N POR ORDEN (O orden de una ecuaciรณn diferencial \D VHD ('2 R ('3 HV HO RUGHQ GH OD PD\RU GHULYDGD HQ OD HFXDFLyQ 3RU HMHPSOR segundo orden

primer orden

d 2y

( )

dy 3 โ โ โ โ 2 5 โ โ โ 4y ex dx dx HV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH VHJXQGR RUGHQ (Q HO HMHPSOR OD SULPHUD \ OD WHUFHUD HFXDFLyQ HQ VRQ ('2 GH SULPHU RUGHQ PLHQWUDV TXH HQ ODV SULPHUDV GRV HFXDFLRQHV VRQ ('3 GH VHJXQGR RUGHQ $ YHFHV ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV GH SULPHU RUGHQ VH HVFULEHQ HQ OD IRUPD GLIHUHQFLDO M(x, y) dx N(x, y) dy 0.

EJEMPLO 2

Forma diferencial de una EDO de primer orden

6L VXSRQHPRV TXH \ HV OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH HQ OD ('2 GH SULPHU RUGHQ HQWRQFHV UHFXHUGH GH FiOFXOR TXH OD GLIHUHQFLDO dy VH GHยฟQH FRPR dy y dx. a) $O GLYLGLU SRU HO GLIHUHQFLDO dx sH REWLHQH XQD IRUPD DOWHUQDWLYD GH OD HFXDFLyQ (y-x) dx 4xdy 0 GDGD SRU y 2 x 1 4x

dy dy 5 0 o equivalentemente 4x 1 y 5 x. dx dx .

1.1

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

O

5

b) 0XOWLSOLFDQGR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO 6xy

dy 1 x2 1 y2 5 0 dx

SRU dx YHPRV TXH OD HFXDFLyQ WLHQH XQD IRUPD GLIHUHQFLDO DOWHUQDWLYD (x2 1 y2) dx 1 6xy dy 5 0.

6LPEyOLFDPHQWH SRGHPRV H[SUHVDU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH n pVLPR RUGHQ FRQ XQD YDULDEOH GHSHQGLHQWH SRU OD IRUPD JHQHUDO

F(x, y, y , . . . , y(n))

0,

(4)

GRQGH F HV XQD IXQFLyQ FRQ YDORUHV UHDOHV GH n YDULDEOHV x, y, y , …, y(n) 3RU UD]RQHV WDQWR SUiFWLFDV FRPR WHyULFDV GH DKRUD HQ DGHODQWH VXSRQGUHPRV TXH HV SRVLEOH UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD HQ OD IRUPD GH OD HFXDFLyQ ~QLFDPHQWH SDUD OD PD\RU GHULYDGD y(n) HQ WpUPLQRV GH ODV n YDULDEOHV UHVWDQWHV /D HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO d ny f (x, y, y , . . . , y(n 1)), (5) dxn GRQGH f HV XQD IXQFLyQ FRQWLQXD FRQ YDORUHV UHDOHV VH FRQRFH FRPR OD forma normal GH OD HFXDFLyQ $Vt TXH SDUD QXHVWURV SURSyVLWRV XVDUHPRV ODV IRUPDV QRUPDOHV FXDQGR VHD DGHFXDGR dy d 2y f (x, y) y 2 f (x, y, y ) dx dx SDUD UHSUHVHQWDU HQ JHQHUDO ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV GH SULPHU \ VHJXQGR RUGHQ

EJEMPLO 3

Forma normal de una EDO

a) 5HVROYLHQGR SDUD OD GHULYDGD GH dy/dx GH OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ dy dy x 2 y 1 y 5 x es 5 .

4x dx dx 4x b) 5HVROYLHQGR SDUD OD GHULYDGD y OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VHJXQGR RUGHQ y0 2 y9 1 6 5 0 es y0 5 y9 2 6y.

CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD 6H GLFH TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-pVLPR RUGHQ HV lineal VL F HV OLQHDO HQ y, y , . . . , y (n) (VWR VLJQL¿FD TXH XQD ('2 GH n-pVLPR RUGHQ HV OLQHDO FXDQGR OD HFXDFLyQ HV a n(x)y (n) a n 1(x)y (n 1)

a1 (x)y a 0(x)y g(x) R

an(x)

dny dx n

an 1(x)

d n 1y dx n 1

a1(x)

dy dx

a0(x)y

g(x).

(6)

'RV FDVRV HVSHFLDOHV LPSRUWDQWHV GH OD HFXDFLyQ VRQ ODV (' OLQHDOHV GH SULPHU RUGHQ n \ GH VHJXQGR RUGHQ n

a1(x)

dy dx

a0 (x)y

g(x)

y

a2 (x)

d 2y dx2

a1(x)

dy dx

a0 (x)y

g(x).

(7)

(Q OD FRPELQDFLyQ GH OD VXPD GHO ODGR L]TXLHUGR GH OD HFXDFLyQ YHPRV TXH ODV GRV SURSLHGDGHV FDUDFWHUtVWLFDV GH XQD ('2 VRQ ODV VLJXLHQWHV • /D YDULDEOH GHSHQGLHQWH y \ WRGDV VXV GHULYDGDV y , y , . . . , y (n) VRQ GH SULPHU JUDGR HV GHFLU OD SRWHQFLD GH FDGD WpUPLQR TXH FRQWLHQH y HV LJXDO D • /RV FRH¿FLHQWHV GH a0, a1, . . . , an GH y, y , . . . , y(n) GHSHQGHQ GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH x.

6

O

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

8QD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD no lineal HV VLPSOHPHQWH XQD TXH QR HV OLQHDO /DV IXQFLRQHV QR OLQHDOHV GH OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH R GH VXV GHULYDGDV WDOHV FRPR VHQ y R e y’, QR SXHGHQ DSDUHFHU HQ XQD HFXDFLyQ OLQHDO

EJEMPLO 4

EDO lineal y no lineal

a) /DV HFXDFLRQHV (y

x)dx

4x dy

0, y

y

2y

0, y

3 3d y x 3 dx

x

dy dx

5y

ex

VRQ UHVSHFWLYDPHQWH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV lineales GH SULPHU VHJXQGR \ WHUFHU RUGHQ $FDEDPRV GH PRVWUDU HQ HO LQFLVR D GHO HMHPSOR TXH OD SULPHUD HFXDFLyQ HV OLQHDO HQ OD YDULDEOH y FXDQGR VH HVFULEH HQ OD IRUPD DOWHUQDWLYD xy y x. b) /DV HFXDFLRQHV término no lineal: coeficiente depende de y

término no lineal: función no lineal de y

(1 y)y 2y e x,

d 2y ––––2 sen y 0, dx

término no lineal: el exponente es diferente de 1

y

d 4y ––––4 y 2 0 dx

VRQ HMHPSORV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV no lineales GH SULPHU VHJXQGR \ FXDUWR RUGHQ UHVSHFWLYDPHQWH SOLUCIONES &RPR \D VH KD HVWDEOHFLGR HQ OD SiJ XQR GH ORV REMHWLYRV GH HVWH FXUVR HV UHVROYHU R HQFRQWUDU VROXFLRQHV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV (Q OD VLJXLHQWH GH¿QLFLyQ FRQVLGHUDPRV HO FRQFHSWR GH VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD DEFINICIÓN 1.1.2

Solución de una EDO

&XDOTXLHU IXQFLyQ SKL GH¿QLGD VREUH XQ LQWHUYDOR I TXH SRVHH DO PHQRV n GHULYDGDV FRQWLQXDV VREUH I ODV FXDOHV DO VHU VXVWLWXLGDV HQ XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH RUGHQ n UHGXFH OD HFXDFLyQ D XQD LGHQWLGDG VH OODPD solución GH OD HFXDFLyQ VREUH HO LQWHUYDOR

(Q RWUDV SDODEUDV XQD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD GH n pVLPR RUGHQ

HV XQD IXQFLyQ TXH SRVHH DO PHQRV n GHULYDGDV SDUD ODV TXH F(x, (x),

(x), . . . ,

(n)

(x))

0 para toda x en I.

'HFLPRV TXH satisface OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HQ I 3DUD QXHVWURV SURSyVLWRV VXSRQGUHPRV TXH XQD VROXFLyQ HV XQD IXQFLyQ FRQ YDORUHV UHDOHV (Q QXHVWUR DQiOLVLV GH LQWURGXFFLyQ YLPRV TXH y e0.1x 2 HV XQD VROXFLyQ GH dy dx 0.2xy VREUH HO LQWHUYDOR , ).

2FDVLRQDOPHQWH VHUi FRQYHQLHQWH GHQRWDU XQD VROXFLyQ FRQ HO VtPEROR DOWHUQDWLYR \࣠(x).

INTERVALO DE DEFINICIÓN 1R SRGHPRV SHQVDU HQ OD solución GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD VLQ SHQVDU VLPXOWiQHDPHQWH HQ XQ intervalo (O LQWHUYDOR I HQ OD GH¿QLFLyQ WDPELpQ VH FRQRFH FRQ RWURV QRPEUHV FRPR VRQ LQWHUYDOR GH GH¿QLción, intervalo de existencia, intervalo de validez R dominio de la solución \ SXHGH VHU XQ LQWHUYDOR DELHUWR a, b XQ LQWHUYDOR FHUUDGR >a, b@ XQ LQWHUYDOR LQ¿QLWR a, ), HWFpWHUD

1.1

EJEMPLO 5

DEFINICIONES Y TERMINOLOGร A

O

7

9HULยฟFDFLyQ GH XQD VROXFLyQ

9HULยฟTXH TXH OD IXQFLyQ LQGLFDGD HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD VREUH HO LQWHUYDOR , ). dy 1 4 2y y 0; y xex a) b) y 5 xy1/2; y 5 16 x dx SOLUCIร N 8QD IRUPD GH YHULยฟFDU TXH OD IXQFLyQ GDGD HV XQD VROXFLyQ FRQVLVWH HQ REVHUYDU XQD YH] TXH VH KD VXVWLWXLGR VL FDGD ODGR GH OD HFXDFLyQ HV HO PLVPR SDUD WRGD x HQ HO LQWHUYDOR

a) (Q lado izquierdo:

dy dx

lado derecho:

xy1/2

1 1 3 (4 x 3) x, 16 4 1 4 1/2 x x x 16

1 2 x 4

1 3 x, 4

YHPRV TXH FDGD ODGR GH OD HFXDFLyQ HV HO PLVPR SDUD WRGR Q~PHUR UHDO x 2EVHUYH 1 4 TXH y1/2 14 x 2 HV SRU GHยฟQLFLyQ OD UDt] FXDGUDGD QR QHJDWLYD GH 16 x. b) (Q ODV GHULYDGDV y xe x e x \ y xe x 2e x WHQHPRV TXH SDUD WRGR Q~PHUR UHDO x, lado izquierdo: lado derecho:

y 0.

2y

y

(xe x

2e x )

2(xe x

e x)

xe x

0,

(Q HO HMHPSOR REVHUYH WDPELpQ TXH FDGD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO WLHQH OD VROXFLyQ FRQVWDQWH y 0, x $ OD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH HV LJXDO D FHUR VREUH XQ LQWHUYDOR I VH OH FRQRFH FRPR OD soluciรณn trivial.

CURVA SOLUCIร N /D JUiยฟFD GH XQD VROXFLyQ GH XQD ('2 VH OODPD curva soluciรณn. 3XHVWR TXH HV XQD IXQFLyQ GHULYDEOH HV FRQWLQXD VREUH VX LQWHUYDOR GH GHยฟQLFLyQ I 3XHGH KDEHU GLIHUHQFLD HQWUH OD JUiยฟFD GH OD funciรณn \ OD JUiยฟFD GH OD soluciรณn (V GHFLU HO GRPLQLR GH OD IXQFLyQ QR QHFHVLWD VHU LJXDO DO LQWHUYDOR GH GHยฟQLFLyQ I R GRPLQLR GH OD VROXFLyQ (O HMHPSOR PXHVWUD OD GLIHUHQFLD

y

1 1

x

EJEMPLO 6

a) funciรณn y 1/x, x

0

y

1 1

x

b) soluciรณn y 1/x, (0, โ )

FIGURA 1.1.1 /D IXQFLyQ y 1 x QR HV OD PLVPD TXH OD VROXFLyQ y 1 x.

Funciรณn contra soluciรณn

a) (O GRPLQLR GH y 1 x FRQVLGHUDGR VLPSOHPHQWH FRPR XQD funciรณn HV HO FRQMXQWR GH WRGRV ORV Q~PHURV UHDOHV x H[FHSWR HO &XDQGR WUD]DPRV OD JUiยฟFD GH y 1 x GLEXMDPRV ORV SXQWRV HQ HO SODQR xy FRUUHVSRQGLHQWHV D XQ MXLFLRVR PXHVWUHR GH Q~PHURV WRPDGRV GHO GRPLQLR /D IXQFLyQ UDFLRQDO y 1 x HV GLVFRQWLQXD HQ HQ OD ยฟJXUD D VH PXHVWUD VX JUiยฟFD HQ XQD YHFLQGDG GHO RULJHQ /D IXQFLyQ y 1 x QR HV GHULYDEOH HQ x \D TXH HO HMH y FX\D HFXDFLyQ HV x HV XQD DVtQWRWD YHUWLFDO GH OD JUiยฟFD b) $KRUD y 1 x HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH SULPHU RUGHQ xy y FRPSUXHEH 3HUR FXDQGR GHFLPRV TXH y 1 x HV XQD soluciรณn GH HVWD (' VLJQLยฟFD TXH HV XQD IXQFLyQ GHยฟQLGD VREUH XQ LQWHUYDOR I HQ HO TXH HV GHULYDEOH \ VDWLVIDFH OD HFXDFLyQ (Q RWUDV SDODEUDV y 1 x HV XQD VROXFLyQ GH OD (' HQ cualquier LQWHUYDOR TXH QR FRQWHQJD WDO FRPR 3, 1), (12, 10), ( R ).

3RUTXH ODV FXUYDV VROXFLyQ GHยฟQLGDV SRU y 1 x SDUD 3 x \ 12 x VRQ VLPSOHPHQWH WUDPRV R SDUWHV GH ODV FXUYDV VROXFLyQ GHยฟQLGDV SRU y 1 x SDUD x \ x UHVSHFWLYDPHQWH HVWR KDFH TXH WHQJD VHQWLGR WRPDU HO LQWHUYDOR I WDQ JUDQGH FRPR VHD SRVLEOH $Vt WRPDPRV I \D VHD FRPR R ). /D FXUYD VROXFLyQ HQ HV FRPR VH PXHVWUD HQ OD ยฟJXUD E

8

O

CAPร TULO 1

INTRODUCCIร N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

SOLUCIONES EXPLร CITAS E IMPLร CITAS 'HEH HVWDU IDPLOLDUL]DGR FRQ ORV WpUPLQRV funciones explรญcitas \ funciones implรญcitas GH VX FXUVR GH FiOFXOR $ XQD VROXFLyQ HQ OD FXDO OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH VH H[SUHVD VyOR HQ WpUPLQRV GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH \ ODV FRQVWDQWHV VH OH FRQRFH FRPR soluciรณn explรญcita 3DUD QXHVWURV SURSyVLWRV FRQVLGHUHPRV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD FRPR XQD IyUPXOD H[SOtFLWD y (x TXH SRGDPRV PDQHMDU HYDOXDU \ GHULYDU PHGLDQWH ODV UHJODV XVXDOHV $FDEDPRV GH YHU HQ ORV GRV ~OWLPRV HMHPSORV TXH y 161 x4 , y xe x \ y 1 x VRQ VROXFLRQHV H[SOtFLWDV UHVSHFWLYDPHQWH GH dy dx xy 1/2, y 2y y \ xy y $GHPiV OD VROXFLyQ WULYLDO y HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH FDGD XQD GH HVWDV WUHV HFXDFLRQHV &XDQGR OOHJXHPRV DO SXQWR GH UHDOPHQWH UHVROYHU ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV YHUHPRV TXH ORV PpWRGRV GH VROXFLyQ QR VLHPSUH FRQGXFHQ GLUHFWDPHQWH D XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD y (x (VWR HV SDUWLFXODUPHQWH FLHUWR FXDQGR LQWHQWDPRV UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ &RQ IUHFXHQFLD WHQHPRV TXH FRQIRUPDUQRV FRQ XQD UHODFLyQ R H[SUHVLyQ G(x, y) TXH GHยฟQH XQD VROXFLyQ LPSOtFLWDPHQWH

DEFINICIร N 1.1.3 Soluciรณn implรญcita de una EDO 6H GLFH TXH XQD UHODFLyQ G(x, y) HV XQD soluciรณn implรญcita GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO RUGLQDULD VREUH XQ LQWHUYDOR I VLHPSUH TXH H[LVWD DO PHQRV XQD IXQFLyQ TXH VDWLVIDFH OD UHODFLyQ DVt FRPR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VREUH I.

(VWi IXHUD GHO DOFDQFH GH HVWH FXUVR LQYHVWLJDU EDMR TXp FRQGLFLRQHV OD UHODFLyQ G(x, y) GHยฟQH XQD IXQFLyQ GHULYDEOH 3RU OR TXH VXSRQGUHPRV TXH VL LPSOHPHQWDU IRUPDOPHQWH XQ PpWRGR GH VROXFLyQ QRV FRQGXFH D XQD UHODFLyQ G(x, y) HQWRQFHV H[LVWH DO PHQRV XQD IXQFLyQ TXH VDWLVIDFH WDQWR OD UHODFLyQ TXH HV G(x, (x)) 0) FRPR OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VREUH HO LQWHUYDOR I 6L OD VROXFLyQ LPSOtFLWD G(x, y) 0 HV EDVWDQWH VLPSOH SRGHPRV VHU FDSDFHV GH GHVSHMDU D y HQ WpUPLQRV GH x \ REWHQHU XQD R PiV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV 9HD HQ LQFLVR iv) HQ ORV Comentarios.

EJEMPLO 7 Comprobaciรณn de una soluciรณn implรญcita /D UHODFLyQ x 2 y 2 HV XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO

dy dx

x y

(8)

VREUH HO LQWHUYDOR DELHUWR 'HULYDQGR LPSOtFLWDPHQWH REWHQHPRV

d 2 x dx

d 2 y dx

d 25 o dx

2x

dy 2y dx

(9)

0.

5HVROYLHQGR OD ~OWLPD HFXDFLyQ SDUD dy dx VH REWLHQH $GHPiV UHVROYLHQGR x 2 y 2 SDUD y HQ WpUPLQRV GH x VH REWLHQH y 225 x2 /DV GRV IXQFLRQHV y 1(x) 125 x2 y y 2(x) 125 x2 VDWLVIDFHQ OD UHODFLyQ TXH HV x 2 12 \ x 2 22 \ VRQ ODV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV GHยฟQLGDV VREUH HO LQWHUYDOR /DV FXUYDV VROXFLyQ GDGDV HQ ODV ยฟJXUDV E \ F VRQ WUDPRV GH OD JUiยฟFD GH OD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD ยฟJXUD D

1.1

y

y

5

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

9

y 5

5

5

5

5

O

x

x

x

−5

a) solución implícita x y 25 2

2

b) solución explícita y1 25 x , 5 x 5 2

c) solución explícita y2 25 x 2, 5 x 5

FIGURA 1.1.2 8QD VROXFLyQ LPSOtFLWD \ GRV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV GH HQ HO HMHPSOR 'HELGR D TXH OD GLIHUHQFLD HQWUH XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD \ XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GHEHUtD VHU LQWXLWLYDPHQWH FODUD QR GLVFXWLUHPRV HO WHPD GLFLHQGR VLHPSUH ³$TXt HVWi XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD LPSOtFLWD ´ FAMILIAS DE SOLUCIONES (O HVWXGLR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV HV VLPLODU DO GHO FiOFXOR LQWHJUDO &XDQGR REWHQHPRV XQD DQWLGHULYDGD R XQD LQWHJUDO LQGH¿QLGD HQ FiOFXOR XVDPRV XQD VROD FRQVWDQWH c GH LQWHJUDFLyQ 'H PRGR VLPLODU FXDQGR UHVROYHPRV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ F(x, y, y ) 0, usualmente REWHQHPRV XQD VROXFLyQ TXH FRQWLHQH XQD VROD FRQVWDQWH DUELWUDULD R SDUiPHWUR c 8QD VROXFLyQ TXH FRQWLHQH XQD FRQVWDQWH DUELWUDULD UHSUHVHQWD XQ FRQMXQWR G(x, y, c) 0 GH VROXFLRQHV OODPDGR familia de soluciones uniparamétrica &XDQGR UHVROYHPRV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH RUGHQ n, F(x, y, y , . . . , y (n)) EXVFDPRV XQD familia de soluciones n-paramétrica G(x, y, c1, c 2, . . . , cn) (VWR VLJQL¿FD TXH XQD VROD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SXHGH WHQHU XQ LQ¿QLWR GH VROXFLRQHV TXH FRUUHVSRQGHQ D XQ Q~PHUR HQRUPH GH HOHFFLRQHV GH ORV SDUiPHWURV 8QD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH HVWi OLEUH GH OD HOHFFLyQ GH SDUiPHWURV VH OODPD solución particular. (Q XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV FRPR G(x, y, c1, c2, ..., cn) ORV SDUiPHWURV VRQ KDVWD FLHUWR SXQWR DUELWUDULRV 3RU HMHPSOR SURFHGLHQGR FRPR HQ XQD UHODFLyQ x2 y2 c VDWLVIDFH IRUPDOPHQWH D SDUD FXDOTXLHU FRQVWDQWH c 6LQ HPEDUJR GHEH VREUHQWHQGHUVH TXH OD UHODFLyQ VyOR WLHQH VHQWLGR HQ HO VLVWHPD GH ORV Q~PHURV UHDOHV DVt VL c QR HV YiOLGR D¿UPDU TXH x2 y2 HV XQD VROXFLyQ LPSOtFLWD GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO

y c>0 c=0 x

c<0

EJEMPLO 8 Soluciones particulares a) /D IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD y cx x FRV x HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ OLQHDO GH SULPHU RUGHQ

FIGURA 1.1.3

$OJXQDV VROXFLRQHV GH OD (' GHO LQFLVR D GHO HMHPSOR

xy y x 2 VHQ x

y

VREUH HO LQWHUYDOR , FRPSUXHEH /D ¿JXUD PXHVWUD ODV JUi¿FDV GH DOJXQDV GH ODV VROXFLRQHV HQ HVWD IDPLOLD SDUD GLIHUHQWHV HOHFFLRQHV GH c /D VROXFLyQ y x FRV x OD FXUYD D]XO HQ OD ¿JXUD HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU FRUUHVSRQGLHQWH D c 0. b) /D IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV y c1e x c 2xe x HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ x

y 2y y 0

GHO LQFLVR E GHO HMHPSOR FRPSUXHEH (Q OD ¿JXUD KHPRV PRVWUDGR VLHWH GH ODV ³GREOHPHQWH LQ¿QLWDV´ VROXFLRQHV GH OD IDPLOLD /DV FXUYDV VROXFLyQ HQ URMR YHUGH \ FIGURA 1.1.4 $OJXQDV VROXFLRQHV GH D]XO VRQ ODV JUi¿FDV GH ODV VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV y 5[H࣠x (c1 0, c 2 5), y 3e x OD (' GHO LQFLVR E GHO HMHPSOR (c1 3, c 2 \ y 5e x 2xe x (c1 5, c2 UHVSHFWLYDPHQWH

10

O

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

$OJXQDV YHFHV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO WLHQH XQD VROXFLyQ TXH QR HV PLHPEUR GH XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ HV GHFLU XQD VROXFLyQ TXH QR VH SXHGH REWHQHU XVDQGR XQ SDUiPHWUR HVSHFt¿FR GH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV (VD VROXFLyQ H[WUD VH OODPD solución singular 3RU HMHPSOR YHPRV TXH y 161 x4 \ y VRQ VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy dx xy1/2 VREUH , (Q OD VHFFLyQ GHPRVWUDUHPRV DO UHVROYHUOD UHDOPHQWH TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dy dx xy1/2 WLHQH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV XQLSDUDPpWULFD y 14 x2 c 2, c &XDQGR c OD VROXFLyQ SDUWLFXODU UHVXOWDQWH HV y 161 x4 3HUR REVHUYH TXH OD VROXFLyQ WULYLDO y HV XQD VROXFLyQ VLQJXODU \D TXH QR HV XQ PLHPEUR GH OD IDPLOLD y 14 x2 c 2 SRUTXH QR KD\ PDQHUD GH DVLJQDUOH XQ YDORU D OD FRQVWDQWH c SDUD REWHQHU y 0.

(Q WRGRV ORV HMHPSORV DQWHULRUHV KHPRV XVDGR x \ y SDUD GHQRWDU ODV YDULDEOHV LQGHSHQGLHQWH \ GHSHQGLHQWH UHVSHFWLYDPHQWH 3HUR GHEHUtD DFRVWXPEUDUVH D YHU \ WUDEDMDU FRQ RWURV VtPERORV TXH GHQRWDQ HVWDV YDULDEOHV 3RU HMHPSOR SRGUtDPRV GHQRWDU OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH SRU t \ OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH SRU x.

(

)

(

EJEMPLO 9

)

Usando diferentes símbolos

/DV IXQFLRQHV x c1 FRV t \ x c2 VHQ t GRQGH c1 \ c2 VRQ FRQVWDQWHV DUELWUDULDV R SDUiPHWURV VRQ DPEDV VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO x

16x

0.

3DUD x c1 FRV t ODV GRV SULPHUDV GHULYDGDV UHVSHFWR D t VRQ x 4c1 VHQ t \ x 16c1 FRV t. 6XVWLWX\HQGR HQWRQFHV D x \ x VH REWLHQH x

16x

16c1 cos 4t

16(c1 cos 4t)

0.

'H OD PLVPD PDQHUD SDUD x c2 VHQ t WHQHPRV x 16c 2 VHQ t \ DVt x

16x

16c2 sen 4t

0.

)LQDOPHQWH HV VHQFLOOR FRPSUREDU GLUHFWDPHQWH TXH OD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH VROXFLRQHV R OD IDPLOLD GH GRV SDUiPHWURV x c1 FRV t c2 VHQ t HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO

y c 1 x c <1

(O VLJXLHQWH HMHPSOR PXHVWUD TXH OD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SXHGH VHU XQD IXQFLyQ GH¿QLGD SRU WUDPRV

EJEMPLO 10 a) dos soluciones explicitas

8QD VROXFLyQ GH¿QLGD SRU WUDPRV

/D IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD GH IXQFLRQHV PRQRPLDOHV FXiUWLFDV y cx4 HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH OD HFXDFLyQ OLQHDO GH SULPHU RUGHQ xy 4y 0

y c 1, x )0 x c <1, x 0

HQ HO LQWHUYDOR , &RPSUXHEH /DV FXUYDV VROXFLyQ D]XO \ URMD TXH VH PXHVWUDQ HQ OD ¿JXUD D VRQ ODV JUi¿FDV GH y = x4 \ y = x4 \ FRUUHVSRQGHQ D ODV HOHFFLRQHV GH c \ c = UHVSHFWLYDPHQWH /D IXQFLyQ GHULYDEOH GH¿QLGD SRU WUDPRV y

b) solución definida en tramos

FIGURA 1.1.5

16(c2 sen 4t)

$OJXQDV VROXFLRQHV GH OD (' GHO HMHPSOR

x4, x4,

x x

0 0

HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD HFXDFLyQ SHUR QR VH SXHGH REWHQHU GH OD IDPLOLD y cx4 SRU XQD VROD HOHFFLyQ GH c FRPR VH PXHVWUD HQ OD ¿JXUD E OD VROXFLyQ VH FRQVWUX\H D SDUWLU GH OD IDPLOLD HOLJLHQGR c SDUD x \ c SDUD x 0.

1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

11

O

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES +DVWD HVWH PRPHQWR KHPRV DQDOL]DGR VyOR HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH FRQWLHQHQ XQD IXQFLyQ LQFyJQLWD 3HUR FRQ IUHFXHQFLD HQ OD WHRUtD DVt FRPR HQ PXFKDV DSOLFDFLRQHV GHEHPRV WUDWDU FRQ VLVWHPDV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV 8Q sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias WLHQH GRV R PiV HFXDFLRQHV TXH LPSOLFDQ GHULYDGDV GH GRV R PiV IXQFLRQHV LQFyJQLWDV GH XQD VROD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH 3RU HMHPSOR VL x \ y GHQRWDQ D ODV YDULDEOHV GHSHQGLHQWHV \ t GHQRWD D OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH HQWRQFHV XQ VLVWHPD GH GRV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ HVWi GDGR SRU

dx dt

f(t, x, y) (10)

dy dt

g(t, x, y).

8QD solución GH XQ VLVWHPD WDO FRPR HO GH OD HFXDFLyQ HV XQ SDU GH IXQFLRQHV GHULYDEOHV x 1(t), y 2(t GH¿QLGDV VREUH XQ LQWHUYDOR FRP~Q I TXH VDWLVIDFH FDGD HFXDFLyQ GHO VLVWHPD VREUH HVWH LQWHUYDOR

COMENTARIOS i 3RGUtD QR VHU HYLGHQWH VL XQD ('2 GH SULPHU RUGHQ HVFULWD HQ VX IRUPD GLIHUHQFLDO M(x, y)dx + N (x, y)dy HV OLQHDO R QR OLQHDO SRUTXH QR KD\ QDGD HQ HVWD IRUPD TXH QRV LQGLFD TXH VtPEROR GHQRWD D OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH 9pDQVH ORV SUREOHPDV \ GH ORV HMHUFLFLRV ii 9HUHPRV HQ ORV FDStWXORV VLJXLHQWHV TXH XQD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SXHGH LPSOLFDU XQD IXQFLyQ GDGD SRU XQD LQWHJUDO GH¿QLGD 8QD PDQHUD GH GH¿QLU XQD IXQFLyQ F GH XQD VROD YDULDEOH x SRU PHGLR GH XQ LQWHJUDO GH¿QLGD HV F(x) 5

x

# g(t) dt.

(11)

a

6L HO LQWHJUDQGR g HQ HV FRQWLQXD VREUH XQ LQWHUYDOR >a, b] \ D [ b, HQWRQFHV OD IRUPD GH GHULYDGD GHO 7HRUHPD )XQGDPHQWDO GHO FiOFXOR GLFH TXH F HV GHULYDEOH VREUH a, b \ F9(x) 5

d dx

x

# g(t) dt 5 g(x)

(12)

a

/D LQWHJUDO HQ D PHQXGR HV no elemental HV GHFLU XQD LQWHJUDO GH XQD IXQFLyQ g TXH QR WLHQH XQD IXQFLyQ HOHPHQWDO SULPLWLYD /DV IXQFLRQHV HOHPHQWDOHV VRQ ODV IXQFLRQHV FRQRFLGDV HVWXGLDGDV HQ XQ FXUVR GH SUHFiOFXOR WtSLFR constante, polinomial, racional, exponencial, logarítmica, trigonométrica, y funciones trigonométricas inversas, DVt FRPR SRWHQFLDV UDFLRQDOHV GH HVWDV IXQFLRQHV FRPELQDFLRQHV ¿QLWDV GH HVWDV IXQFLRQHV PHGLDQWH VXPD UHVWD PXOWLSOLFDFLyQ GLYLVLyQ \ FRPSRVLFLyQ GH IXQ2 FLRQHV 3RU HMHPSOR DXQTXH e2t ,Ï1 1 t3, \ cos t2 VRQ IXQFLRQHV HOHPHQWDOHV 2 2t ODV LQWHJUDOHV ee dt, eÏ1 1 t3 dt, \ e cos t2 dt VRQ QR HOHPHQWDOHV 9pDQVH ORV SUREOHPDV D GH ORV (MHUFLFLRV 7DPELpQ YpDVH HO DSpQGLFH $ iii $XQTXH HO FRQFHSWR GH XQD VROXFLyQ GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO KD VLGR VXEUD\DGR HQ HVWD VHFFLyQ KD\ TXH VHU FRQVFLHQWHV TXH XQD (' QR QHFHVDULDPHQWH WLHQH XQD VROXFLyQ 9pDVH HO SUREOHPD HQ ORV HMHUFLFLRV /D FXHVWLyQ GH VL H[LVWH XQD VROXFLyQ VHUi WUDWDGD HQ OD VLJXLHQWH VHFFLyQ iv) $OJXQRV FRPHQWDULRV ¿QDOHV UHVSHFWR D ODV VROXFLRQHV LPSOtFLWDV GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV (Q HO HMHPSOR SXGLPRV GHVSHMDU IiFLOPHQWH OD UHODFLyQ x 2 y 2 SDUD y HQ WpUPLQRV GH x SDUD REWHQHU ODV GRV VROXFLRQHV H[SOtFLWDV

3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Š Fotos593/Shutterstock.com

3.1 3.2 3.3

Modelos lineales Modelos no lineales Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL CAPĂ?TULO 3

E

n la secciĂłn 1.3 vimos cĂłmo se podrĂ­a utilizar una ecuaciĂłn diferencial de primer orden como modelo matemĂĄtico en el estudio del crecimiento poblacional, el decaimiento radiactivo, el interĂŠs compuesto continuo, el HQIULDPLHQWR GH FXHUSRV PH]FODV UHDFFLRQHV TXtPLFDV HO GUHQDGR GHO Ă&#x20AC; XLGR GH un tanque, la velocidad de un cuerpo que cae y la corriente en un circuito en serie.

Utilizando los mĂŠtodos del capĂ­tulo 2, ahora podemos resolver algunas de las ED lineales (en la secciĂłn 3.1) y ED no lineales (en la secciĂłn 3.2) que aparecen comĂşnmente en las aplicaciones.

84

3.1

3.1

MODELOS LINEALES

O

85

MODELOS LINEALES INTRODUCCIÓN En esta sección resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden que se presentaron en la sección 1.3.

CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO

El problema con valores iniciales

dx kx, dt

x(t0) x0,

(1)

donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fenómenos que tienen que ver con el crecimiento o el decaimiento. En la sección 1.3 vimos que en las aplicaciones biológicas la razón de crecimiento de ciertas poblaciones (bacterias, pequeños animales) en cortos periodos es proporcional a la población presente al tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario t0, la solución de la ecuación (1) se puede utilizar para predecir la población en el futuro, es decir, a tiempos t t0. La constante de proporcionalidad k en la ecuación (1) se determina a partir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida posterior de x al tiempo t1 t0. En física y química la ecuación (1) se ve en la forma de una reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya rapidez, o velocidad, dx dt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o remanente al tiempo t. La descomposición, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiactividad en Th-234 (torio) es una reacción de primer orden.

EJEMPLO 1

Crecimiento de bacterias

Inicialmente un cultivo tiene un número P0 de bacterias. En t 1 h se determina que el número de bacterias es 32P0. Si la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias.

SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial (1), sustituyendo el símbolo x por P. Con t0 0 la condición inicial es P(0) P0. Entonces se usa la observación empírica de que P(1) 32P0 para determinar la constante de proporcionalidad k.

Observe que la ecuación diferencial dP dt kP es separable y lineal. Cuando se pone en la forma estándar de una ED lineal de primer orden,

P

P(t) 5 P0 e 0.4055t

dP kP 0, dt se ve por inspección que el factor integrante es e kt. Al multiplicar ambos lados de la ecuación e integrar, se obtiene, respectivamente, d kt [e P] 0 dt

3P0

y

e ktP c.

De este modo, P(t) cekt. En t 0 se tiene que P0 ce0 c, por tanto P(t) P0ekt. En t 1 se tiene que 32P0 P0ek, o ek 32. De la última ecuación se obtiene k 1n 32 0.4055, por tanto P(t) P0e0.4055t. Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, resolvemos 3P0 P0e0.4055t para t. Entonces 0.4055t 1n 3, o

P0 t 5 2.71

t

FIGURA 3.1.1 Tiempo en que se triplica la población en el ejemplo 1.

t 9HD OD ¿JXUD

ln 3 2.71 h.

0.4055

86

O

CAPĂ?TULO 3

y

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Observe en el ejemplo 1 que el nĂşmero real P0 de bacterias presentes en el tiempo t 0 no tiene que ver con el cĂĄlculo del tiempo que se requiriĂł para que el nĂşmero de bacterias en el cultivo se triplique. El tiempo necesario para que se triplique una poblaciĂłn inicial de, digamos, 100 o 1 000 000 de bacterias es de aproximadamente 2.71 horas.

e kt, k > 0 crecimiento

e kt, k < 0 crecimiento t

FIGURA 3.1.2 Crecimiento (k 0) y decaimiento (k 0).

&RPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO ekt aumenta conforme crece t para k 0 y disminuye conforme crece t para k 0. AsĂ­ los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o aĂşn de capital) se caracterizan por un valor positivo de k, en tanto que los problemas relacionados con el decaimiento (como en la desintegraciĂłn radiactiva) tienen un valor k negativo. De acuerdo con esto, decimos que k es una constante de crecimiento (k 0) o una constante de decaimiento (k 0).

VIDA MEDIA En fĂ­sica la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de los ĂĄtomos en una muestra inicial A0.

Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, mĂĄs estable es la sustancia. Por ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo Ra-226 es de aproximadamente 1 700 aĂąos. En 1 700 aĂąos la mitad de una cantidad dada de Ra-226 se transmuta en radĂłn, Rn-222. El isĂłtopo mĂĄs comĂşn del uranio, U-238, tiene una vida media de 4 500 000 000 aĂąos. En aproximadamente 4.5 miles de millones de aĂąos, la mitad de una cantidad de U-238 se transmuta en plomo 206.

EJEMPLO 2

Vida media del plutonio

Un reactor de crĂ­a convierte uranio 238 relativamente estable en el isĂłtopo plutonio 239. DespuĂŠs de 15 aĂąos, se ha determinado que el 0.043% de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isĂłtopo, si la razĂłn de desintegraciĂłn es proporcional a la cantidad que queda.

SOLUCIĂ&#x201C;N Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. Como en el ejem-

plo 1, la soluciĂłn del problema con valores iniciales dA kA, dt

A(0) A0

Š Jack Fields/Science Source

es A(t) A0ekt. Si se ha desintegrado 0.043% de los ĂĄtomos de A0, queda 99.957%. Para encontrar la constante k, usamos 0.99957A0 A(15), es decir, 0.99957A0 A0e15k. Despejando k se obtiene k 151 ln 0.99957 0.00002867. Por tanto A(t) A0eĂ­ t. Ahora la vida media es el valor del tiempo que le corresponde a A(t) 12 A0. Despejando t se obtiene 12 A0 A0eĂ­ t o 12 eĂ­ t. De la Ăşltima ecuaciĂłn se obtiene ln 2 t 24 180 aĂąos .

0.00002867

FIGURA 3.1.3 Willard Libby (1908â&#x20AC;&#x201C;1980)

DATADO CON CARBONO Willard Libby ÂżJXUD \ XQ HTXLSR GH FLHQWtÂżFRV HQ 1950, idearon un mĂŠtodo que utilizaba un isotopo radiactivo de carbono como medio para determinar las edades aproximadas de la materia fosilizada carbonosa. La teorĂ­a del datado con carbono se basa en que el isĂłtopo carbono 14 se produce en la atmĂłsfera por acciĂłn de la radiaciĂłn cĂłsmica sobre el nitrĂłgeno. La razĂłn de la cantidad de C-l4 con el carbono ordinario en la atmĂłsfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isĂłtopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmĂłsfera. Cuando muere un organismo cesa la absorciĂłn del C-l4 ya sea por respiraciĂłn o por alimentaciĂłn.

AsĂ­, al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo, en un fĂłsil con la razĂłn constante que hay en la atmĂłsfera, es posible obtener una estimaciĂłn razonable de la edad del fĂłsil. El mĂŠtodo se basa en que se sabe la vida media del C-l4. Libby calculĂł el valor de la vida media de aproximadamente 5 600 aĂąos, y se llamĂł la vida media de Libby.

Š Kenneth Garrett/National Geographic Creative

3.1

FIGURA 3.1.4 Una pĂĄgina del evangelio gnĂłstico de Judas.

La vida media del uranio-238 es aproximadamente 4.47 mil millones aĂąos

O

87

Actualmente el valor aceptado comĂşnmente para la vida media es la vida media de Cambridge que es aproximadamente 5 730 aĂąos. Por este trabajo, Libby obtuvo el Premio Nobel de quĂ­mica en 1960. El mĂŠtodo de Libby se ha utilizado para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias, las envolturas de lino de los rollos del Mar 0XHUWR \ OD WHOD GHO HQLJPiWLFR VXGDULR GH 7RULQR 9pDVH OD ÂżJXUD \ HO SUREOHPD en los Ejercicios 3.1.

EJEMPLO 3

Edad de un fĂłsil

Se encuentra que un hueso fosilizado contiene 0.1% de su cantidad original de C-14.

Determine la edad del fĂłsil.

SOLUCIĂ&#x201C;N Como en el ejemplo 2 el punto de partida es A(t) A0e kt. Para de-

terminar el valor de la constante de decaimiento k, partimos del hecho de que 1 A(5730) o 12 A 0 A 0e 5730k . Esta ecuaciĂłn implica que 5730k ln 12 ln 2 A0 2 y obtenemos k (1n 2) 5730 0.00012097, por tanto A(t) A0e 0.00012097t. Con A(t) 0.001A0 tenemos que 0.001A0 A0e 0.00012097t y 0.00012097t ln(0.001) ln 1000. AsĂ­ t

El tamaĂąo y la ubicaciĂłn de la muestra causaron importantes GLÂżFXOWDGHV FXDQGR XQ HTXLSR GH FLHQWtÂżFRV IXHURQ LQYLWDGRV D GDWDU con carbono - 14 la SĂĄbana Santa de TurĂ­n en 1988.

MODELOS LINEALES

ln 1000 0.00012097

57 100 aĂąos

La fecha determinada en el ejemplo 3 estĂĄ en el lĂ­mite de exactitud del mĂŠtodo.

Normalmente esta tĂŠcnica se limita a aproximadamente 10 vidas medias del isĂłtopo, que son aproximadamente 60000 aĂąos. Una razĂłn para esta limitante es que el anĂĄlisis quĂ­mico necesario para una determinaciĂłn exacta del C-l4 que queda presenta obstĂĄculos formidables cuando se alcanza el punto de 0.001A0. TambiĂŠn, en este mĂŠtodo se necesita destruir una gran parte de la muestra. Si la mediciĂłn se realiza indirectamente, basĂĄndose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difĂ­cil distinguir la radiaciĂłn que procede del fĂłsil de la radiaciĂłn de fondo normal.* Pero recientemente, con los aceleradoUHV GH SDUWtFXODV ORV FLHQWtÂżFRV KDQ SRGLGR VHSDUDU DO & O GHO HVWDEOH & &XDQGR VH calcula la relaciĂłn exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este mĂŠtodo se puede ampliar de 70 000 a 100 000 aĂąos. Por estas razones y por el hecho de que el datado con C-14 estĂĄ restringido a materiales orgĂĄnicos, este mĂŠtodo es utilizado principalmente por los arqueĂłlogos. Por su parte, los geĂłlogos interesados en preguntas sobre la edad de las rocas o la edad de la tierra utilizan tĂŠcnicas de dataciĂłn radiomĂŠtrica. La dataciĂłn radiomĂŠtrica inventada por el fĂ­sico quĂ­mico Ernest Rutherford (1871-1937) alrededor de 1905, se basa en el decaimiento radiactivo de un isotopo radiactivo que ocurre naturalmente con una vida media muy larga y una comparaciĂłn entre una cantidad medida de esta descomposiciĂłn isotĂłpica y uno de sus productos de decaimiento utilizando las tasas de decaimiento conocidas. Hay otras tĂŠcnicas isotĂłpicas, como la que usa potasio - argĂłn, rubidio-estroncio, o uranio plomo, adecuadas para establecer edades de ciertas clases de rocas varios millones de aĂąos. Ver los problemas 5 y 6 en los ejercicios 3.3 para una breve discusiĂłn del mĂŠtodo de dataciĂłn por potasio-argĂłn.

LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuaciĂłn (3) de la secciĂłn 1.3 vimos que la formulaciĂłn matemĂĄtica de la ley empĂ­rica de Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuaciĂłn diferencial lineal de primer orden dT k(T Tm), dt

(2)

donde k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto para t 0, y Tm es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 suponemos que Tm es constante.

88

CAPĂ?TULO 3

O

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

T

EJEMPLO 4

200 100

T = 20 15

t

30

Enfriamiento de un pastel

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 150 °C. Tres minutos despuĂŠs su temperatura es de 90 °C. ÂżCuĂĄnto tiempo le tomarĂĄ al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 20 °C? SOLUCIĂ&#x201C;N (Q OD HFXDFLyQ LGHQWLÂżFDPRV Tm 20. Debemos resolver el problema con valores iniciales

a) t (min)

T(t)

0 5 10 15 20 25 30

150 66.41 36.57 25.92 22.11 20.75 20.27 b)

FIGURA 3.1.5 La temperatura de enfriamiento del pastel del ejemplo 4.

dT k(T 20), dt

T(0) 150

(3)

y determinar el valor de k tal que T(3) 90.

La ecuaciĂłn (3) es tanto lineal como separable. Si separamos las variables dT k dt, T 70 se obtiene ln|T â&#x20AC;&#x201C; 20| kt c1, y asĂ­ T 20 c2ekt. Cuando t 0, T 150, asĂ­ 150 20 c2 da c2 130. Por tanto T 20 130 ekt. Por Ăşltimo, la mediciĂłn de T(3) 90 conduce a e3k 0.538, o k 0.206 . AsĂ­ T (t)

20

130e

0.206t

.

(4)

2EVHUYDPRV TXH OD HFXDFLyQ QR WLHQH XQD VROXFLyQ ÂżQLWD D T(t) 20 porque lĂ­m tA T(t) 20. No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfrĂ­e al transcurrir un intervalo razonablemente largo. ÂżQuĂŠ tan largo es â&#x20AC;&#x153;largoâ&#x20AC;?? Por supuesto, no nos debe inquietar el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuestra LQWXLFLyQ ItVLFD /RV LQFLVRV D \ E GH OD ÂżJXUD PXHVWUDQ FODUDPHQWH TXH HO SDVWHO estarĂĄ a temperatura ambiente en aproximadamente media hora.

La temperatura ambiente en la ecuaciĂłn (2) no necesariamente es una constante pero podrĂ­a ser una funciĂłn Tm(t) del tiempo t. Vea el problema 18 de los ejercicios 3.1.

MEZCLAS $O PH]FODU GRV Ă&#x20AC;XLGRV D YHFHV VXUJHQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras en la secciĂłn 1.3, supusimos que la rapidez con que cambia la cantidad de sal A (t) en el tanque de mezcla es una rapidez neta dA (rapidez de entrada de sal) (rapidez de salida de sal) Rentra Rsale . (5) dt En el ejemplo 5 resolveremos la ecuaciĂłn (8) en la pĂĄgina 25 de la secciĂłn 1.3.

EJEMPLO 5

Mezcla de dos soluciones de sal

Recordemos que el tanque grande de la secciĂłn 1.3 contenĂ­a inicialmente 1000 L de una soluciĂłn de salmuera. En el tanque entraba y salĂ­a sal porque se bombeaba una soOXFLyQ D XQ Ă&#x20AC;XMR GH / PLQ VH PH]FODED FRQ OD VROXFLyQ RULJLQDO \ VDOtD GHO WDQTXH FRQ XQ Ă&#x20AC;XMR GH / PLQ /D FRQFHQWUDFLyQ GH OD VROXFLyQ HQWUDQWH HUD GH NJ / por consiguiente, la entrada de sal era Rentra NJ / (10 L/min) NJ PLQ \ salĂ­a del tanque con una rapidez Rsale (A NJ / (10 L/min) A NJ PLQ A partir de esos datos y de la ecuaciĂłn (5), obtuvimos la ecuaciĂłn (8) de la secciĂłn 1.3.

3HUPtWDQRV SUHJXQWDU VL KDEtD NJ GH VDO GLVXHOWDV HQ ORV / LQLFLDOHV ¢FXiQWD sal habrå en el tanque despuÊs de un periodo largo?

3.1

A

A = 250

t

89

Para encontrar la cantidad de sal A(t) en el tanque al tiempo t, resolvemos el problema con valores iniciales A(0) 25.

AquĂ­ observamos que la condiciĂłn adjunta es la cantidad inicial de sal A(0) 25 en el tanque y no la cantidad inicial de lĂ­quido. Ahora, como el factor integrante de esta ecuaciĂłn diferencial lineal es et/100, podemos escribir la ecuaciĂłn como d t/100 [e A] 2.5e t/100 . dt

a) t (min)

A (kg)

50 100 150 200 300 400

113.53 167.23 199.80 219.55 238.80 245.88 b)

FIGURA 3.1.6 Kg de sal en el tanque del ejemplo 5.

O

SOLUCIĂ&#x201C;N

dA 1

A 2.5, dt 100

500

MODELOS LINEALES

Integrando la Ăşltima ecuaciĂłn y despejando A se obtiene la soluciĂłn general A(t) 250 ce t/100. Cuando t 0, A 25, por lo que c 225. AsĂ­, la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t, estĂĄ dada por.

A(t) 250 225e t/100.

(6)

/D VROXFLyQ VH XVy SDUD FRQVWUXLU OD WDEOD GH OD ÂżJXUD E (Q OD HFXDFLyQ \ HQ OD ÂżJXUD D WDPELpQ VH SXHGH YHU TXH A(t) A 250 conforme t A . Por supuesto, esto es lo que se esperarĂ­a intuitivamente en este caso; cuando ha pasado un gran tiempo OD FDQWLGDG GH NJ GH VDO HQ OD VROXFLyQ GHEH VHU / NJ / NJ. En el ejemplo 5 supusimos que la rapidez con que entra la soluciĂłn al tanque es la misma que la rapidez con la que sale. Sin embargo, el caso no necesita ser siempre el mismo; la salmuera mezclada se puede sacar con una rapidez rsale que es mayor o menor que la rapidez rentra con la que entra la otra salmuera. El siguiente ejemplo presenta un caso cuando la mezcla se bombea a una rapidez menor que la rapidez con la que se bombea dentro del tanque.

EJEMPLO 6

Vuelta al ejemplo 5

Si la soluciĂłn bien mezclada del ejemplo 5 se bombea hacia afuera con una rapidez, digamos rsale 9 L/min, entonces se acumularĂĄ en el tanque con la rapidez rentra rsale / PLQ / PLQ DespuĂŠs de t minutos (1 L/min) (t min) t L se acumularĂĄn, por lo que en el tanque habrĂĄ 1000 t litros de salmuera. La concentraFLyQ GHO Ă&#x20AC;XMR GH VDOLGD HV HQWRQFHV c(t) A (1000 t NJ / \ OD UDSLGH] FRQ TXH VDOH la sal es Rsale c(t) rsale, o Rout 5

11000A 1 t kg/L2 ? (9 L/min) 5 1000 1 t kg/min.

9A

Por tanto, la ecuaciĂłn (5) se convierte en 9A dA 5 2.5 2 dt 1000 1 t

o

9 dA 1 A 5 2.5. dt 1000 1 t

El factor integrante para la Ăşltima ecuaciĂłn es e e 9 dty(10001t) 5 e9 ln(10001t) 5 e ln(10001t) 5 (1000 1 t)9 9

Y asĂ­ despuĂŠs de multiplicar por el factor, la ecuaciĂłn se reescribe en la forma d f(1000 1 t)9 Ag 5 2.5(1000 1 t)9. dt

90

CAPĂ?TULO 3

O

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Al integrar la Ăşltima ecuaciĂłn se obtiene (1000 + t)9A 0.25(1000 t)10 c. Si aplicamos la condiciĂłn inicial A(0) 25, y despejamos A se obtiene la soluciĂłn A(t) 250 0.25t (2.25 1014)(1000 t) 9 &RPR HUD GH HVSHUDU HQ OD ÂżJXUD VH PXHVWUD TXH FRQ HO tiempo se acumula la sal en el tanque, es decir, A A cuando t A .

A 500 400

CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que sĂłlo contiene un resistor y un inductor, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caĂ­da de voltaje a travĂŠs del inductor (L(di dt)) mĂĄs la caĂ­da de voltaje a travĂŠs del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado (E(t

DO FLUFXLWR 9HD OD ÂżJXUD Por tanto, obtenemos la ecuaciĂłn diferencial lineal que para la corriente i(t),

300 200 100

500

1000

FIGURA 3.1.7 *UiÂżFD GH A(t) del ejemplo 6.

E

L

t

Ri

1 q E(t).

C

(8)

Pero la corriente i y la carga q estĂĄn relacionadas por i dq dt, asĂ­, la ecuaciĂłn (8) se convierte en la ecuaciĂłn diferencial lineal

FIGURA 3.1.8 Circuito en serie LR.

R

(7)

donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama, tambiĂŠn respuesta del sistema.

La caĂ­da de voltaje a travĂŠs de un capacitor de capacitancia C es q(t) C, donde q HV OD FDUJD GHO FDSDFLWRU 3RU WDQWR SDUD HO FLUFXLWR HQ VHULH TXH VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD 3.1.9, la segunda ley de Kirchhoff da

L

R

di Ri E(t), dt

R

EJEMPLO 7

dq 1 q E(t). dt C

(9)

Circuito en serie LR

E

C

FIGURA 3.1.9 Circuito en serie RC.

Una baterĂ­a de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 12 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero.

SOLUCIĂ&#x201C;N De la ecuaciĂłn (7) debemos resolver

1 di 2 dt

10i

12,

sujeta a i(0) 0. Primero multiplicamos la ecuaciĂłn diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es e20t. Entonces sustituyendo d 20t [e i] dt

24e20t.

Integrando cada lado de la Ăşltima ecuaciĂłn y despejando i se obtiene i(t) 65 ce 20t.

6 6 Ahora i(0) 0 implica que 0 5 c o c 5. . Por tanto la respuesta es 6 6 20t i(t) 5 5 e .

De la ecuaciĂłn (4) de la secciĂłn 2.3, podemos escribir una soluciĂłn general de (7): i(t)

e (R/L)t L

e(R/L)tE(t) dt ce (R/L)t.

(10)

En particular, cuando E(t) E0 es una constante, la ecuaciĂłn (l0) se convierte en i(t)

E0 ce (R/L)t.

R

(11)

3.1

MODELOS LINEALES

O

91

Observamos que conforme t A , el segundo tĂŠrmino de la ecuaciĂłn (11) tiende a cero. A ese tĂŠrmino usualmente se le llama tĂŠrmino transitorio; los demĂĄs tĂŠrminos se llaman parte de estado estable de la soluciĂłn. En este caso, E0 R tambiĂŠn se llama corriente de estado estable; para valores grandes de tiempo resulta que la corriente estĂĄ determinada tan sĂłlo por la ley de Ohm (E iR).

COMENTARIOS La soluciĂłn P(t) P0 e 0.4055t del problema con valores iniciales del ejemplo 1 describe la poblaciĂłn de una colonia de bacterias a cualquier tiempo t 0.

Por supuesto, P(t) es una funciĂłn continua que toma todos los nĂşmeros reales del intervalo P0 P . Pero como estamos hablando de una poblaciĂłn, el sentido comĂşn indica que P puede tomar sĂłlo valores positivos. AdemĂĄs, no esperarĂ­amos que la poblaciĂłn crezca continuamente, es decir, cada segundo, cada microsegundo, etc., como lo predice nuestra soluciĂłn; puede haber intervalos de tiempo [t1, t2], en los que no haya crecimiento alguno. QuizĂĄ, entonces, OD JUiÂżFD TXH VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD D VHD XQD GHVFULSFLyQ PiV UHDO GH P TXH OD JUiÂżFD GH XQD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO &RQ IUHFXHQFLD XVDU XQD IXQFLyQ continua para describir un fenĂłmeno discreto es mĂĄs conveniente que exacto.

6LQ HPEDUJR SDUD FLHUWRV ÂżQHV QRV SRGHPRV VHQWLU VDWLVIHFKRV VL HO PRGHOR describe con gran exactitud el sistema, considerado macroscĂłpicamente en el WLHPSR FRPR VH PXHVWUD HQ ODV ÂżJXUDV E \ F PiV TXH PLFURVFySLFDPHQWH FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD D

P

P

P

P0

P0

P0 t1

t2

a)

1 t

1

t

b)

1

t

c)

FIGURA 3.1.10 El crecimiento poblacional es un proceso discreto.

EJERCICIOS 3.1

Las respuestas a los problemas seleccionados con nĂşmero impar comienzan en la pĂĄgina RES-3.

Crecimiento y decrecimiento 1. Se sabe que la poblaciĂłn de una comunidad crece con una rapidez proporcional al nĂşmero de personas presentes en el tiempo t. Si la poblaciĂłn inicial P0 se duplicĂł en 5 aĂąos, ÂżEn cuĂĄnto tiempo se triplicarĂĄ y cuadruplicarĂĄ?

2. Suponga que se sabe que la poblaciĂłn de la comunidad del problema 1 es de 10 000 despuĂŠs de tres aĂąos. ÂżCuĂĄl era la poblaciĂłn inicial P0? ÂżCuĂĄl serĂĄ la poblaciĂłn en 10 aĂąos? ÂżQuĂŠ tan rĂĄpido estĂĄ creciendo la poblaciĂłn en t 10?

DespuĂŠs de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. DespuĂŠs de 10 horas hay 2 000 bacterias presentes. ÂżCuĂĄl era la cantidad inicial de bacterias?

5. El isĂłtopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una rapidez proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio habĂ­a 1 gramo de este isĂłtopo, ÂżcuĂĄnto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%?

6. Inicialmente habĂ­a 100 miligramos de una sustancia radiactiva.

DespuĂŠs de 6 horas la masa disminuyĂł 3%. Si la rapidez de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda despuĂŠs de 24 horas.

3. La poblaciĂłn de un pueblo crece con una rapidez proporcional a la poblaciĂłn en el tiempo t. La poblaciĂłn inicial de 500 aumenta 15% en 10 aĂąos. ÂżCuĂĄl serĂĄ la poblaciĂłn pasados 30 aĂąos? ÂżQuĂŠ tan rĂĄpido estĂĄ creciendo la poblaciĂłn en t 30?

7. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del problema 6.

4. La poblaciĂłn de bacterias en un cultivo crece con una rapidez proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t.

8. a) El problema con valores iniciales dA dt kA, A(0) A0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva.

92

O

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia es T (ln 2) k. b) Demuestre que la soluciĂłn del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t) A02 t/T. c)

Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el inciso a), ÂżcuĂĄnto tiempo le tomarĂĄ a una cantidad inicial A0 de sustancia decaer a 18 A0?

10. Cuando el interĂŠs es compuesto continuamente, la cantidad de dinero aumenta con una tasa proporcional a la cantidad presente S al tiempo t, es decir, dS dt rS, donde r es la tasa de interĂŠs anual. a) &DOFXOH OD FDQWLGDG UHXQLGD DO ÂżQDO GH DxRV FXDQGR VH GHpositan $5 000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5.75% de interĂŠs anual compuesto continuamente. b) ÂżEn cuĂĄntos aĂąos se habrĂĄ duplicado el capital inicial? c) Utilice una calculadora para comparar la cantidad obtenida en el inciso a) con la cantidad S 5 000(1 14(0.0575))5(4) que se reĂşne cuando el interĂŠs se compone trimestralmente.

Datado con carbono

Pintura rupestre que muestra un caballo y una vaca, c. 17000 ac (pintura rupestre), Prehistoric / Caves of Lascaux, Dordogne, Francia / Bridgeman ImĂĄgenes

11. Los arqueĂłlogos utilizan piezas de madera quemada o carbĂłn vegetal, encontradas en el lugar para datar pinturas prehistĂłricas de SDUHGHV \ WHFKRV GH XQD FDYHUQD HQ /DVFDX[ )UDQFLD 9HD OD ÂżJXUD 3.1.11. Utilice la informaciĂłn de la pĂĄgina 87 para precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinĂł que 85.5% de su C-l4 encontrado en los ĂĄrboles vivos del mismo tipo se habĂ­a desintegrado.

FIGURA 3.1.11 Pintura en una caverna del problema 11.

12. El sudario de TurĂ­n muestra el negativo de la imagen del cuerpo GH XQ KRPEUH TXH SDUHFH TXH IXH FUXFLÂżFDGR PXFKDV SHUVRQDV creen que es el sudario del entierro de JesĂşs de Nazaret. Vea la ÂżJXUD (Q HO 9DWLFDQR FRQFHGLy SHUPLVR SDUD GDWDU FRQ FDUERQR HO VXGDULR 7UHV ODERUDWRULRV FLHQWtÂżFRV LQGHSHQdientes analizaron el paĂąo y concluyeron que el sudario tenĂ­a una antigĂźedad de 660 aĂąos, una antigĂźedad consistente con su apariciĂłn histĂłrica. Usando esta antigĂźedad determine quĂŠ porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paĂąo en 1988.

Š Source: Wikipedia.org

9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la rapidez con que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor, en metros, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 1 metro deEDMR GH OD VXSHUÂżFLH HV GH OD LQWHQVLGDG LQLFLDO I0 del rayo incidente. ÂżCuĂĄl es la intensidad del rayo a 5 metros GHEDMR GH OD VXSHUÂżFLH"

FIGURA 3.1.12 Imagen del sudario del problema 12.

Ley de Newton enfriamiento/calentamiento 13. Un termómetro se cambia de una habitación cuya temperatura es de 21 °C al exterior, donde la temperatura del aire es de 12 °C. DespuÊs de medio minuto el termómetro indica 10 °C. ¿Cuål es la lectura del termómetro en t 1 min? ¿Cuånto tiempo le tomarå al termómetro alcanzar los 9 °C? 14. Un termómetro se lleva de una habitación hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 15° C. DespuÊs de 1 minuto, el termómetro indica 13 °C y despuÊs de 5 minutos indica 1 °C. ¿Cuål era la temperatura inicial de la habitación?

15. Una pequeĂąa barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20 °C, se deja caer en un gran tanque de agua hirviendo. ÂżCuĂĄnto tiempo tardarĂĄ la barra en alcanzar los 90 °C si se sabe que su temperatura aumentĂł 2° en 1 segundo? ÂżCuĂĄnto tiempo tardarĂĄ en alcanzar los 98 °C? 16. Dos grandes tanques A y B GHO PLVPR WDPDxR VH OOHQDQ FRQ Ă&#x20AC;XLGRV GLIHUHQWHV /RV Ă&#x20AC;XLGRV HQ ORV WDQTXHV A y B se mantienen a 0 °C y a 100 °C, respectivamente. Una pequeĂąa barra de metal, cuya temperatura inicial es 100 °C, se sumerge dentro del tanque A. DespuĂŠs de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90 °C. DespuĂŠs de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transÂżHUH DO RWUR WDQTXH 'HVSXpV GH PLQXWR HQ HO WDQTXH B la temperatura se eleva 10 °C. ÂżCuĂĄnto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomarĂĄ a la barra alcanzar los 99.9 °C? 17. Un termĂłmetro que indica 21 °C se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. A travĂŠs de una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termĂłmetro lee 43 °C despuĂŠs de 21 minuto y 63 °C despuĂŠs de 1 minuto. ÂżCuĂĄl es la temperatura del horno?

18. Al tiempo t 0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia quĂ­mica estĂĄ inmerso en un baĂąo lĂ­quido. La temperatura

3.1

inicial de la sustancia quĂ­mica en el tubo de ensayo es de 27 °C. El baĂąo lĂ­quido tiene una temperatura controlada (medida en grados Celsius) dada por Tm(t) 38 â&#x20AC;&#x201C; 22 e 0.1t, t 0, donde t se mide en minutos. a) Suponga que k 0.1 en la ecuaciĂłn (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras cĂłmo espera que sea la temperatura T(t) de la sustancia quĂ­mica a corto plazo, y tambiĂŠn a largo plazo. b) Resuelva el problema con valores iniciales. Use un proJUDPD GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH T(t) en difeUHQWHV LQWHUYDORV GH WLHPSR ¢/DV JUiÂżFDV FRQFXHUGDQ FRQ sus predicciones del inciso a)?

19. Un cadåver se encontró dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 21 °C. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazón del cadåver se determinó de 29 °C. Una hora despuÊs una segunda medición mostró que la temperatura del corazón era de 27 °C. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t 0 y que la temperatura del corazón en ese momento era de 37 °C. Determine cuåntas horas pasaron antes de que se encontrarå el cadåver. [Sugerencia: Sea que t1 0 denote el tiempo en que se encontró el cadåver.]

20. La rapidez con la que un cuerpo se enfrĂ­a tambiĂŠn depende de su iUHD VXSHUÂżFLDO H[SXHVWD S. Si S es una constante, entonces una PRGLÂżFDFLyQ GH OD HFXDFLyQ HV

dT kS(T Tm), dt donde k 0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B estĂĄn llenas de cafĂŠ al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura GHO FDIp HV GH Â&#x192;& (O iUHD VXSHUÂżFLDO GHO FDIp HQ OD WD]D B es del GREOH GHO iUHD VXSHUÂżFLDO GHO FDIp HQ OD WD]D A. DespuĂŠs de 30 min la temperatura del cafĂŠ en la taza A es de 38 °C. Si Tm 21 °C, entonces ÂżcuĂĄl es la temperatura del cafĂŠ de la taza B despuĂŠs de 30 min?

Mezclas 21. Un tanque contiene 200 litros de un lĂ­quido en el que se han disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal por litro entra al tanque con una rapidez de 4 L/min; la soluciĂłn bien mezclada sale del tanque con la misma rapidez. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.

22. Resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra agua pura.

23. Un gran tanque de 2000 L estĂĄ lleno de agua pura. Le entra salPXHUD TXH WLHQH NJ GH VDO SRU JDOyQ FRQ XQD UDSLGH] GH L/min. La soluciĂłn bien mezclada sale del tanque con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t GH NLORJUDPRV GH VDO TXH hay en el tanque al tiempo t.

24. En el problema 23, ÂżcuĂĄl es la concentraciĂłn c(t) de sal en el tanque al tiempo t? ÂżY al tiempo t 5 min? ÂżCuĂĄl es la concentraciĂłn en el tanque despuĂŠs de un largo tiempo, es decir, conforme t A ? ÂżPara quĂŠ tiempo la concentraciĂłn de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor lĂ­mite?

25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la soluciĂłn sale con una razĂłn de 40 L/min. ÂżCuĂĄndo se vacĂ­a el tanque?

MODELOS LINEALES

O

93

26. Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t en el ejemplo 5 si la concentraciĂłn de sal que entra es variable y estĂĄ dada por centra(t) 0.25 sen(t NJ / 6LQ WUD]DU OD JUiÂżFD LQÂżHUD D TXp curva soluciĂłn del PVI se parecerĂ­a. DespuĂŠs utilice un programa GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH OD VROXFLyQ HQ HO LQWHUYDOR > @ 5HSLWD SDUD HO LQWHUYDOR > @ \ FRPSDUH VX JUiÂżFD FRQ OD TXH VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD D

27. 8Q JUDQ WDQTXH HVWi SDUFLDOPHQWH OOHQR FRQ / GH Ă&#x20AC;XLGR HQ ORV TXH VH GLVROYLHURQ NJ GH VDO /D VDOPXHUD WLHQH NJ de sal por litro que entra al tanque a razĂłn de 20 L/min. La soluciĂłn bien mezclada sale del tanque a razĂłn de 15 L/min. Determine la FDQWLGDG GH NJ GH VDO TXH KD\ HQ HO WDQTXH GHVSXpV GH PLQXWRV 28. En el ejemplo 5, no se dio el tamaĂąo del tanque que tiene la soluciĂłn salina. Suponga, como en el anĂĄlisis siguiente al ejemplo 5, que la rapidez con que entra la soluciĂłn al tanque es de 10 L/min pero que la soluciĂłn bien mezclada sale del tanque con una rapidez de 9 L/min. Esta es la razĂłn por la cual dado que la salmuera se estĂĄ acumulando en el tanque a razĂłn de 1 L/min, cualquier tanque GH WDPDxR ÂżQLWR WHUPLQDUi GHUUDPiQGRVH $KRUD VXSRQJD TXH HO tanque estĂĄ destapado y tiene una capacidad de 1300 L. a) ÂżCuĂĄndo se derramarĂĄ el tanque? b) ¢ &XiQWDV NLORJUDPRV GH VDO KDEUi HQ HO WDQTXH FXDQGR FRmience a derramarse? c)

Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continĂşa entrando con una rapidez de 10 L/min, que la soluciĂłn estĂĄ bien mezclada y que la soluciĂłn sigue saliendo con una rapidez de 9 L/min. Determine un mĂŠtodo para encontrar la cantidad de NLORJUDPRV GH VDO TXH KD\ HQ HO WDQTXH DO WLHPSR t 150 min.

d) &DOFXOH OD FDQWLGDG GH NLORJUDPRV GH VDO HQ HO WDQTXH FRQforme t A . ÂżSu respuesta coincide con su intuiciĂłn? e) 8WLOLFH XQ SURJUDPD GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH A(t) en el intervalo [0, 500).

Circuitos en serie 29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia.

Determine la corriente i(t), si i(0) 0. Determine la corriente conforme t A .

30. Resuelva la ecuaciĂłn (7) suponiendo que E(t) E0 sen t t y que i(0) i0.

31. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de l0 4 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0) 0. Encuentre la corriente i(t).

32. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5 10 6 farads. Determine la carga q(t) en el capacitor, si i(0) 0.4.

Determine la carga y la corriente en t 0.005 s. Encuentre la carga conforme t A .

33. Se aplica una fuerza electromotriz E(t)

120, 0,

0 t t

20 s 20 s

a un circuito en serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente i(t), si i(0) 0.

94

O

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

34. Un circuito en serie LR tiene un inductor variable con la inducWDQFLD GHÂżQLGD SRU 1 2 0.1t, 0 # t , 10 L(t) 5 t . 10.

0,

5

Encuentre la corriente i(t) si la resistencia es de 0.2 ohm, el voltaje aplicado es E(t YROWV \ i 7UDFH OD JUiÂżFD GH i(t).

Modelos lineales adicionales 35. Resistencia del aire En la ecuaciĂłn (14) de la secciĂłn 1.3 vimos que una ecuaciĂłn diferencial que describe la velocidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantĂĄnea es

m

que la constante de proporcionalidad es k 0.0025. [Sugerencia: 0RGLÂżTXH OLJHUDPHQWH OD (' GHO SUREOHPD @ 38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 550 N y su paracaĂ­das y equipo juntos pesan otras 160 N. DespuĂŠs de saltar del aviĂłn desde una altura de 4500 m, la paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaĂ­das. Suponga que la constante de proporcionalidad del modelo del problema 35 tiene el valor k 7 durante la caĂ­da libre y k 145 despuĂŠs de que se abriĂł el paracaĂ­das. Suponga que su velocidad inicial al saltar del aviĂłn es igual a cero. ÂżCuĂĄl es la velocidad de la paracaidista y quĂŠ distancia ha recorrido desSXpV GH VHJXQGRV GH TXH VDOWy GHO DYLyQ" 9HD OD ÂżJXUD ÂżCĂłmo se compara la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? ÂżCuĂĄnto tarda en llegar al suelo?

[Sugerencia: Piense en funciĂłn de dos diferentes PVI.]

dv mg kv, dt

donde k 0 es una constante de proporcionalidad. La direcciĂłn positiva se toma hacia abajo. a)

Resuelva la ecuaciĂłn sujeta a la condiciĂłn inicial v(0) v0.

b)

Utilice la soluciĂłn del inciso a) para determinar la velocidad lĂ­mite o terminal de la masa. Vimos cĂłmo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1.

c)

Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por ds dt v(t), determine una expresiĂłn explĂ­cita para s(t), si s(0) 0.

36. ÂżQuĂŠ tan alto? (Sin resistencia del aire) Suponga que una pequeĂąa bala de caùón que pesa 75 N se dispara verticalmente hacia DUULED FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD FRQ XQD YHORFLGDG LQLcial de v0 90 m/s. La respuesta a la pregunta â&#x20AC;&#x153;ÂżQuĂŠ tanto sube la bala de caùón?â&#x20AC;?, depende de si se considera la resistencia del aire. a)

b)

Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la dirección es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del caùón estå dado por d 2s dt 2 g (ecuación (12) de la sección 1.3). Puesto que ds dt v(t) la última ecuación diferencial es la misma que la ecuación dv dt g, donde se toma g 9.8 m/s2. Encuentre la velocidad v(t) de la bala de caùón al tiempo t.

Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de caùón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura måxima que alcanza la bala.

â&#x2C6;&#x2019;mg nivel del suelo

caĂ­da libre

la resistencia del aire es 7 v

la resistencia del aire es 145 v

FIGURA 3.1.14

el paracaĂ­das se abre

t = 20 s

CĂĄlculo del tiempo que tarda en llegar al suelo del problema 38.

39. Movimiento de cohete Supongamos un pequeĂąo cohete de una etapa de total masa m(t) es lanzado verticalmente, la direcciĂłn positiva es hacia arriba, la resistencia del aire es lineal y el cohete consume su combustible a un ritmo constante. En el problema 22 de los ejercicios 1.3 se le pidiĂł utilizar la segunda ley de Newton del movimiento en la forma dada en (17) de ese conjunto de ejercicios para demostrar que un modelo matemĂĄtico para la velocidad v(t) del cohete estĂĄ dada por dv R , k2â?­ v 5 2g 1 1 dt m0 2 â?­t m0 2 â?­t donde k es la constante de proporcionalidad de la resistencia del aire, Č&#x153; es la rapidez constante a la que se consume combustible, R es el empuje del cohete, m (t m0 - Č&#x153;t, m0 es la masa total del cohete en t \ g es la aceleraciĂłn debido a la gravedad. a)

Encuentre la velocidad v(t) del cohete si m0 NJ R 2000 N, Č&#x153; NJ V g P V2, k NJ V \ v

b)

Utilice ds/dt v y el resultado del inciso a) para encontrar la altura s(t) del cohete al tiempo t.

40. Movimiento del cohete, continuaciĂłn En el problema 39 se supuso que la masa inicial del cohete m0 \ TXH NJ HV OD PDVD del combustible.

FIGURA 3.1.13 DeterminaciĂłn

a)

de la altura måxima de la bala de caùón del problema 36.

ÂżCuĂĄl es el tiempo de quemado tb, o el tiempo en que se consume el combustible?

b)

ÂżCuĂĄl es la velocidad del cohete durante el quemado?

37. ¿QuÊ tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantånea. Esta es la razón por la que la altura måxima que alcanza la bala del caùón debe ser menor que la del inciso b) del problema 36. Demuestre esto suponiendo

c)

ÂżCuĂĄl es la altura del cohete en el tiempo de quemado?

d)

ÂżEsperarĂ­a que el cohete alcance una altura mayor que la cantidad del inciso b)?

e)

DespuĂŠs del tiempo de quemado ÂżCuĂĄl es el modelo matemĂĄtico para la velocidad del cohete?

3.1

41. EvaporaciĂłn de una gota de lluvia Cuando cae una gota de lluvia, ĂŠsta se evapora mientras conserva su forma esfĂŠrica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evaSRUD OD JRWD GH OOXYLD HV SURSRUFLRQDO D VX iUHD VXSHUÂżFLDO \ TXH VH desprecia la resistencia del aire, entonces un modelo para la velocidad v(t) de la gota de lluvia es

dv 3(k/ )

v g. dt (k/ )t r0 AquĂ­ l es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de lluvia en t 0, k 0 es la constante de proporcionalidad y la direcciĂłn hacia abajo se considera positiva. a) Determine v(t) si la gota de lluvia cae a partir del reposo. b) Vuelva a leer el problema 36 de los ejercicios 1.3 y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo t es r(t) (k l)t r0. c) Si r0 3 mm y r 2 mm, 10 segundos despuĂŠs de que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por completo.

42. FluctuaciĂłn de la poblaciĂłn La ecuaciĂłn diferencial dP dt (k cos t)P, donde k es una constante positiva, es un modelo matemĂĄtico para una poblaciĂłn P(t TXH H[SHULPHQWD Ă&#x20AC;XFWXDFLRnes anuales. Resuelva la ecuaciĂłn sujeta a P(0) P0. Utilice un SURJUDPD GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH OD VROXFLyQ SDUD diferentes elecciones de P0.

43. Modelo poblacional En un modelo del cambio de poblaciĂłn de P(t) de una comunidad, se supone que

dP dB dD

, dt dt dt donde dB dt y dD dt son las tasas de natalidad y mortandad, respectivamente. a)

Determine P(t) si dB dt k1P y dD dt k2P.

b)

Analice los casos k1 k2, k1 k2 y k1 k2.

44. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la poblaciĂłn de una pesquerĂ­a en la que se cosecha con una tasa constante estĂĄ dada por

dP kP h, dt donde k y h son constantes positivas. a) Resuelva la ED sujeta a P(0) P0. b) Describa el comportamiento de la poblaciĂłn P(t) conforme pasa el tiempo en los tres casos P0 h k, P0 h k y 0 P0 h k. c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar si la poEODFLyQ GH SHFHV GHVDSDUHFHUi HQ XQ WLHPSR ÂżQLWR HV GHFLU si existe un tiempo T 0 tal que P(T) 0. Si la poblaciĂłn desaparecerĂĄ, entonces determine en quĂŠ tiempo T. 45. DiseminaciĂłn de un medicamento Un modelo matemĂĄtico para la rapidez con la que se disemina un medicamento en el torrente sanguĂ­neo estĂĄ dado por

dx r kx, dt

b)

Ya que la ED es autĂłnoma, utilice el concepto de esquema de fase de la secciĂłn 2.1 para determinar el valor de x(t) conforme t A .

O

95

Resuelva la ED sujeta a x(0) 'LEXMH OD JUiÂżFD GH x(t) y compruebe su predicciĂłn del inciso a). ÂżEn cuĂĄnto tiempo la concentraciĂłn es la mitad del valor lĂ­mite?

46. MemorizaciĂłn Cuando se considera la falta de memoria, la rapidez de memorizaciĂłn de un tema estĂĄ dada por

dA k1(M A) k2 A, dt donde k1 0, k2 0, A(t) es la cantidad memorizada al tiempo t, M es la cantidad total a memorizarse y M A es la cantidad que falta por memorizar. a) Puesto que la ED es autĂłnoma, utilice el concepto de esquema de fase de la secciĂłn 2.1 para determinar el valor lĂ­mite de A(t) conforme t A Â&#x2019; ,QWHUSUHWH HO UHVXOWDGR b) Resuelva la ED sujeta a A(0) 'LEXMH OD JUiÂżFD GH A(t) y compruebe su predicciĂłn del inciso a).

47. Marcapasos de corazĂłn (Q OD ÂżJXUD VH PXHVWUD XQ marcapasos de corazĂłn, que consiste en un interruptor, una baterĂ­a, un capacitor y el corazĂłn como un resistor. Cuando el interruptor S estĂĄ en P, el capacitor se carga; cuando S estĂĄ en Q el capacitor se descarga, enviando estĂ­mulos elĂŠctricos al corazĂłn.

En el problema 58 de los ejercicios 2.3 vimos que durante este tiempo en que se estĂĄn aplicado estĂ­mulos elĂŠctricos al corazĂłn, el voltaje E a travĂŠs del corazĂłn satisface la ED lineal

dE 1

E. dt RC a)

Suponga que en el intervalo de tiempo de duraciĂłn t1, 0 t t1, el interruptor S estĂĄ en la posiciĂłn P como se muestra HQ OD ÂżJXUD \ HO FDSDFLWRU VH HVWi FDUJDQGR &XDQGR el interruptor se mueve a la posiciĂłn Q al tiempo t1 el capacitor se descarga, enviando un impulso al corazĂłn durante el intervalo de tiempo de duraciĂłn t2: t1 t t1 t2. Por lo que el intervalo inicial de carga descarga 0 t t1 t2 el voltaje en el corazĂłn se modela realmente por la ecuaciĂłn GLIHUHQFLDO GHÂżQLGD HQ WUDPRV

0, 0 t t1 dE

1 dt

E, t1 t t1 t2.

RC Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga de duraciones t1 y t2 VH UHSLWHQ LQGHÂżQLGDmente. Suponga que t1 4 s, t2 2 s, E0 12 V, E(0) 0, E(4) 12, E(6) 0, E(10) 12, E(12) 0, etc. Determine E(t) para 0 t 24. corazĂłn R Q interruptor P S

donde r y k son constantes positivas. Sea x(t) la funciĂłn que describe la concentraciĂłn de la medicina en el torrente sanguĂ­neo al tiempo t. a)

MODELOS LINEALES

C E0

FIGURA 3.1.15 Modelo de un marcapasos del problema 47.

96

O

b)

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Suponga para ilustrar que R C 1. Utilice un programa GH JUDÂżFDFLyQ SDUD WUD]DU OD JUiÂżFD GH OD VROXFLyQ GHO 39, del inciso a) para 0 t 24.

49.

48. Deslizamiento de una caja a) Una caja de masa m se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un ĂĄngulo e con la KRUL]RQWDO FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD 'HWHUPLQH XQD ecuaciĂłn diferencial para la velocidad v(t) de la caja al tiempo t para cada uno de los casos siguientes: i)

b)

Deslizamiento de una caja, continuaciĂłn. a) En el problema 48 sea s(t) la distancia medida hacia abajo del plano inclinado desde el punto mĂĄs alto. Utilice ds dt v(t) y la soluciĂłn de cada uno de los tres casos del inciso b) del problema 48 para determinar el tiempo que le toma a la caja deslizarse completamente hacia abajo del plano inclinado.

AquĂ­ puede ser Ăştil un programa para determinar raĂ­ces con un SAC. En el caso en que hay fricciĂłn (+ 0) pero no hay resistencia del aire, explique por quĂŠ la caja no se desliza hacia abajo comenzando desde el reposo desde el punto mĂĄs alto arriba del suelo cuando el ĂĄngulo de inclinaciĂłn Č&#x2122; satisface a tan e +.

No hay fricciĂłn cinĂŠtica y no hay resistencia del aire.

Hay fricciĂłn cinĂŠtica y no hay resistencia del aire.

Hay fricciĂłn cinĂŠtica y hay resistencia del aire.

c)

En los casos ii) y iii) utilice el hecho de que la fuerza de fricciĂłn que se opone al movimiento es +N, donde + es el FRHÂżFLHQWH GH IULFFLyQ FLQpWLFD \ N es la componente normal del peso de la caja. En el caso iii) suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantĂĄnea.

La caja se deslizarĂĄ hacia abajo del plano conforme tan e + si a ĂŠsta se le proporciona una velocidad inicial v(0) v0 0. Suponga que 13 4 y Č&#x2122; 23°.

Compruebe que tan Č&#x2122; +. ÂżQuĂŠ distancia se deslizarĂĄ hacia abajo del plano si v0 0.3 m/s?

d)

13 4 y e 23° para aproximar Utilice los valores la menor velocidad inicial v0 que puede tener la caja, para que a partir del reposo a 15 m arriba del suelo, se deslice por todo el plano inclinado. DespuÊs encuentre el tiempo que tarda en deslizarse el plano.

ii) iii)

b) En el inciso a), suponga que la caja pesa 440 N, que el ĂĄngulo de inclinaciĂłn del plano es e Â&#x192; TXH HO FRHÂżFLHQWH de fricciĂłn cinĂŠtica es 13 4, y que la fuerza de retardo debida a la resistencia del aire es numĂŠricamente igual a 3.75v. Resuelva la ecuaciĂłn diferencial para cada uno de los tres casos, suponiendo que la caja inicia desde el reposo desde el punto mĂĄs alto a 15 m por encima del suelo.

50.

Todo lo que sube . . . a) Es bien conocido que el modelo que desprecia la resistencia del aire, inciso a) del problema 36, predice que el tiempo ta que tarda la bala de caùón en alcanzar su altura måxima es el mismo tiempo td que tarda la bala de caùón en llegar al suelo. Ademås la magnitud de la velocidad de impacto vi es igual a la velocidad inicial v0 de la bala de caùón. Compruebe ambos resultados.

fricciĂłn movimiento

W = mg

15 m

θ

FIGURA 3.1.16 Caja deslizĂĄndose hacia abajo por plano

b)

DespuĂŠs, utilizando el modelo del problema 37 que considera la resistencia del aire, compare el valor de ta con td y el valor de la magnitud de vi con v0. AquĂ­ puede ser Ăştil un programa para determinar raĂ­ces con un SAC (o una calcuODGRUD JUDÂżFDGRUD

inclinado del problema 48.

3.2

MODELOS NO LINEALES INTRODUCCIĂ&#x201C;N Terminamos nuestro estudio de ecuaciones diferenciales de primer orden simples con el anĂĄlisis de algunos modelos no lineales.

DINĂ MICA POBLACIONAL Si P(t) es el tamaĂąo de una poblaciĂłn al tiempo t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dP dt kP para cierta k 0. En este modelo, la WDVD HVSHFtÂżFD o relativa de crecimiento, GHÂżQLGD SRU dP>dt P

(1)

es una constante k. Es difĂ­cil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerĂĄn restricciones sobre el crecimiento de la poblaciĂłn. Por lo que para otros modelos, se puede esperar que la tasa (1) decrezca conforme la poblaciĂłn P aumenta de tamaĂąo.

3.2

MODELOS NO LINEALES

O

97

La hipĂłtesis de que la tasa con que crece (o decrece) una poblaciĂłn sĂłlo depende del nĂşmero presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los fenĂłmenos estacionales (vea el problema 33, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como: dP>dt f (P) P

o

dP Pf (P). dt

(2)

Esta ecuaciĂłn diferencial, que se adopta en muchos modelos de poblaciĂłn de animales, se denomina hipĂłtesis de dependencia de densidad. f(P)

ECUACIĂ&#x201C;N LOGĂ?STICA SupĂłngase que un medio es capaz de sostener, como mĂĄximo, una cantidad K determinada de individuos en una poblaciĂłn. La cantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente. AsĂ­ para la funciĂłn f en la ecuaciĂłn (2) se tiene que f (K) 0 y simplemente hacemos f (0) r (Q OD ÂżJXUD YHPRV WUHV IXQFLRnes que satisfacen estas dos condiciones. La hipĂłtesis mĂĄs sencilla es que f (P) es lineal, es decir, f (P) c1P c2. Si aplicamos las condiciones f (0) r y f (K) 0, tenemos que c2 r y c1 r K, respectivamente, y asĂ­ f adopta la forma f (P) r (r K)P. Entonces la ecuaciĂłn (2) se convierte en

r

K

P

FIGURA 3.2.1 La suposiciĂłn mĂĄs simple para f (P) es una recta (color azul).

dP r P r P . dt K

(3)

5HGHÂżQLHQGR ODV FRQVWDQWHV OD HFXDFLyQ QR OLQHDO HV LJXDO D dP P(a bP). dt

(4)

Alrededor de 1840, P. F. Verhulst (1804-1849), matemĂĄtico y biĂłlogo belga, investigĂł modelos matemĂĄticos para predecir la poblaciĂłn humana en varios paĂ­ses.

Una de las ecuaciones que estudiĂł fue la (4), con a 0 y b 0. Esa ecuaciĂłn se llegĂł a conocer como ecuaciĂłn logĂ­stica y su soluciĂłn se denomina funciĂłn logĂ­stica. La JUiÂżFD GH XQD IXQFLyQ ORJtVWLFD HV OD curva logĂ­stica.

La ecuaciĂłn diferencial dP dt kP QR HV XQ PRGHOR PX\ ÂżHO GH OD SREODFLyQ cuando ĂŠsta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblaciĂłn, se presentan efectos negativos sobre el ambiente como contaminaciĂłn y exceso de demanda de alimentos y combustible, esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento para la poblaciĂłn. Como veremos a continuaciĂłn, la soluciĂłn de la ecuaciĂłn (4) estĂĄ acotada conforme t A . Si se rescribe (4) como dP dt aP bP2, el tĂŠrmino no lineal bP2, b 0 se puede interpretar como un tĂŠrmino de â&#x20AC;&#x153;inhibiciĂłnâ&#x20AC;? o â&#x20AC;&#x153;competenciaâ&#x20AC;?. TambiĂŠn, en la mayorĂ­a de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b.

Se ha comprobado que las curvas logĂ­sticas predicen con bastante exactitud el crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Dafnia) y moscas de la fruta ('URVyÂżOD) en un espacio limitado.

SOLUCIĂ&#x201C;N DE LA ECUACIĂ&#x201C;N LOGĂ?STICA Uno de los mĂŠtodos para resolver la ecuaciĂłn (4) es por separaciĂłn de variables. Al descomponer el lado izquierdo de dP P(a bP) dt en fracciones parciales e integrar, se obtiene

1>aP a b>abP dP dt 1 1 ln P ln a bP t c a a ln

a P bP at ac P c1eat. a bP

98

O

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ac1eat ac1 P(t)

.

De la Ăşltima ecuaciĂłn se tiene que at 1 bc1e bc1 e at Si P(0) P0, P0 a b, encontramos que c1 P0 (a bP0) y asĂ­, sustituyendo y VLPSOLÂżFDQGR OD VROXFLyQ VH FRQYLHUWH HQ P(t)

aP0 . bP0 (a bP0)e at

(5)

GRĂ FICAS DE P(t ) La forma bĂĄsica de la funciĂłn logĂ­stica P(t) se puede obtener sin mucho esfuerzo. Aunque la variable t usualmente representa el tiempo y raras veces se consideran aplicaciones en las que t 0, tiene cierto interĂŠs incluir este intervalo al PRVWUDU ODV GLIHUHQWHV JUiÂżFDV GH P. De la ecuaciĂłn (5) vemos que P(t) â&#x2020;&#x2019;

aP0 bP0

a b

cuando

tâ&#x2020;&#x2019;

y

P(t) â&#x2020;&#x2019; 0

cuando

tâ&#x2020;&#x2019;

.

La lĂ­nea punteada P a 2b GH OD ÂżJXUD FRUUHVSRQGH D OD RUGHQDGD GH XQ SXQWR GH LQĂ&#x20AC;H[LyQ GH OD FXUYD ORJtVWLFD 3DUD GHPRVWUDU HVWR GHULYDPRV OD HFXDFLyQ XVDQGR la regla del producto:

dP dP dP d 2P P b (a bP)

(a 2bP) 2 dt dt dt dt P(a bP)(a 2bP)

2b2P P

P 2ba .

a b

Recuerde, de cĂĄlculo, que los puntos donde d 2P dt 2 0 son posibles puntos de inĂ&#x20AC;H[LyQ SHUR REYLDPHQWH VH SXHGHQ H[FOXLU P 0 y P a b. Por tanto P a 2b es el Ăşnico valor posible para la ordenada en la cual puede cambiar la concavidad de la JUiÂżFD 3DUD P a 2b se tiene que P 0, y a 2b P a b implica que P $Vt FXDQGR VH OHH GH L]TXLHUGD D GHUHFKD OD JUiÂżFD FDPELD GH FyQFDYD KDFLD DUULED D cĂłncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P a 2b. Cuando el valor inicial satisface a 0 P0 a 2b OD JUiÂżFD GH P(t) adopta la forma de una S, como se ve en la ÂżJXUD E 3DUD a 2b P0 a b OD JUiÂżFD D~Q WLHQH OD IRUPD GH 6 SHUR HO SXQWR GH LQĂ&#x20AC;H[LyQ RFXUUH HQ XQ YDORU QHJDWLYR GH t FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD F

P P0

P

P

a/b

a/b

a/2b

a/2b

a/b P0

a/2b

P0 t

(a)

t

(b)

t

(c)

FIGURA 3.2.2 Curvas logĂ­sticas para diferentes condiciones iniciales.

En la ecuaciĂłn (5) de la secciĂłn 1.3 ya hemos visto a la ecuaciĂłn (4) en la forma dx dt kx(n 1 â&#x20AC;&#x201C; x), k 0. Esta ecuaciĂłn diferencial presenta un modelo razonable para describir la propagaciĂłn de una epidemia que comienza cuando se introduce una persona infectada en una poblaciĂłn estĂĄtica. La soluciĂłn x(t) representa la cantidad de personas que contraen la enfermedad al tiempo t.

Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera 9e proporciona a los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas abundantes ejemplos, problemas, explicaciones, recuadros, tablas, ejercicios y definiciones para el estudio analítico, cualitativo y cuantitativo de la materia, aunado al estilo directo y didáctico del autor.

Características principales: Los ejemplos se han diseñado para mostrar los aspectos más importantes de cada sección y, por tanto, muestran los procedimientos necesarios para trabajar la mayoría de los problemas.

En muchas secciones se han agregado comentarios, figuras y ejemplos adicionales.

En todo el libro se le he dado un mayor énfasis a los conceptos de ecuaciones diferenciales lineales por partes y a las soluciones que implican integrales no elementales.

El Apéndice A, Funciones definidas por integrales, es nuevo en la presente edición.

En la sección 12.4, Ecuación de onda se ha agregado el principio de superposición al análisis.

Se ha reescrito la sección 12.6, Problemas no homogéneos con valores en la frontera.

Se ha dado mayor énfasis a las Funciones de Bessel modificadas en la sección 13.3, Coordenadas polares y cilíndricas.

Esta obra incluye tablas de conversión para consultarlas conforme trabaje en las aplicaciones y ejercicios relacionados.

Las unidades de medida utilizadas en la mayoría de los ejemplos y ejercicios se han convertido del sistema de unidades acostumbradas en los Estados Unidos (USCS) (también llamado de Unidades inglesas o Imperiales) a unidades métricas.

ISBN-13: 978-607-526-630-5 ISBN-10: 607-526-630-5

9 786075 266305