e)
x2 + 4 −2
Lim
x →0
x2 + 9 −3
3
f) 1.
En los siguientes ejercicios, dibuje la gráfica de la función y determine su dominio y contradominio.
a)
b)
c)
2.
3x + 2 si x ≠ 1 8 si x = 1
g(x) =
9 − x2 si x ≠ − 3 4 si x = − 3
h(x) =
b)
si x ≤ − 4 x + 2 2 16 − x si − 4 < x < 4 2 − x si 4 ≤ x
5.
b)
c)
d)
Lim
f(x)
Lim
f (x)
x2 − 6x + 8
, determine:
x →4 −
e)
x →4 +
Calcular: x 2 − x −1 −1
Lim
x →1+
x −2 x2 + x2 − 4
Lim
x →2 −
2 −x x
Lim
f
es
9 −x 2 x +2
una
función
definida
en
el
intervalo
3π , 2π tales que: − 2
x 2 + sen 4 ( x )
a)
f(x) = cos x, x ∈ ]0,2 π[
b)
π 3π , − f(x) = sen x, x ∈ − 2 2
x −1
c)
ran(f) = [–2, 1] ∪ {2}
x + cos( πx )
d)
Existe Lim f(x) pero f no es continua en x = 0
e)
No existe
x →0
Lim
f (x)
x→ 1+
6.
x →4
x →1
Lim
d)
c)
Lim ( x 2 − 3) = 13
Lim
f ( x)
x →2 +
b)
x →3
2−x 3
Lim
x →2 −
c)
a)
Lim ( x + 2) = 5
Lim
x2 + x − 6
b)
Calcular : a)
x →2 4 x − 1 − 1
Dada la función: f(x) = a)
Demostrar que: a)
3.
f(x) =
4.
x −1 −1
Lim
x −1
x →1
1−x
( )
cos πx 2 Lim x →1 1 − x
Lim
x → −π / 2
f(x)
Definir completamente una función f de manera que cumpla los puntos (a), (b), (c), (d) y (e). Además graficar la función. 1
Av. Universitaria 1875 Teléfono: 261-8730
x →0
7.
Sean
11. Si la función f está definida en ]0, 1[
2x − 3 , si x < 1 fx) = 2 , si x = 1 7 − 4x , si x > 1
6− x g(x) = 5x − 4 a)
Hallar
los
Sen πx x( x −1)
12. Calcular los siguientes límites:
si x ≤ 1 si x > 1
b)
laterales:
Lim f ( x ) ,
b) 8.
x →1−
Hallar Lim
x →1
[f ( x ) + g( x )]
x →3
−
Lim
x →2 +
Dadas las funciones f(x) =
x2 + 1 x+ 1 1 − x
( x − 3) 3 x2 − 4 x −2
a)
f(x) =
b)
g(x) =
4x + 8 x −3
2x 2 + 3 x + 1 x −1
14. Graficar:
Lim f ( x ) existe cualquiera que sea a x→a
x−4
x4 x3 Lim − 3 2 x →1 x − 1 x − 1
Sea
Hallar los valores de las constantes
α y β,
si
a)
3 − 2x − x2 , x ≤ 0 f(x) = 4 − x + 1 , 0 < x
b)
f(x) =
∈R
x> 0
x2 x2 − 4
15. Dada la función:
x 2 + 4x − 5 , x+ 2 f(x) = 3 x , 2 ( x − 1)
x< 0
y g(x) = 2x – 1, x > 1. Justificar la existencia de Lim f(x) x →0
10.
Lim
13. Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:
x →1+
, x≤ 1 x f(x) = α x + β , 1 < x < 4 − 2x , x ≥ 4
9.
c)
x →1−
Lim f ( x ) , Lim g( x ) , Lim g( x )
x →1+
. Definir f en 0 y en 1 para que la función f
sea continua en [0, 1]
y
a)
límites
por: f(x) =
x+ 1 , x < 1 Si f(x) = ax + b , 1 ≤ x < 2 3x , x ≥ 2
a) b)
si x ≤ 1 y x ≠ -2 si x < 0
Halle las asintotas de la gráfica y = f(x) Bosqueje la gráfica de y = f(x)
16. Sea f una función continua en [0, 2] tal que f(2) = 2, y
Hallar los valores de a y b para que la función f sea continua en ℜ
2
–1 = f(1) ≤ f(x) ≤ f(0) = 3 para todo x ∈ [0, 2]. (Hacer un bosquejo gráfico para f). a) Demostrar que la ecuación f(x) = 1 tiene al menos dos soluciones en [0, 2].
b)
Demostrar que la ecuación f(x) = 0 tiene al menos dos soluciones en [0, 2].
c)
Si k ∈ ]0, 1[, ¿la ecuación f(x) = k tiene al menos dos soluciones en [0, 2]?
17. Demuestre que la ecuación ex –
x 2
−
3 2
= 0 tiene
una solución en ]0, 1[. 18. Encontrar un intervalo de longitud menor de 0,5 en el cual se encuentra ubicada una solución de la ecuación 2x + x – 4 = 0. 19. Sea m una constante positiva. Demuestre que la ecuación cos(x) = mx tiene una solución en
] 0, 2π [
? 20. Se dice que la función f tiene un punto fijo en x, si c ∈ dom(f) y f(c) = c. a) Encuentre los puntos fijos de la función: f(x) = x2 + 2x – 6. b)
Demuestre que la función f(x) = x2 + 2sen(πx) – 1 tiene al menos dos puntos fijos.
3