Guia enalce 2010 unidad VII by Ernesto Yañez

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Problemas algebraicos

Al término de esta unidad, serás capaz de:

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Traducir del lenguaje común al algebraico Construir expresiones equivalentes a una ecuación algebraica Resolver ejercicios con sistemas de ecuaciones lineales Identificar la relación existente entre funciones lineales o cuadráticas Identificar la ecuación de una recta a partir de sus elementos Expresar algebraicamente una representación gráfica

¿Qué sabes?

� �

Observa lo siguiente y realiza lo que se te pide. a) a + b b) x2 + 2x c) x2 d) b + c e) y a−b f) c g) ax + b Responde: ¿Qué diferencia encuentras entre estas expresiones y lo que viste en la unidad anterior? ¿De qué expresiones se trata? ¿Podrías expresar cada una? ¿Cómo?

1. Lenguaje común y algebraico Al realizar las operaciones aritméticas en la primera unidad te pudiste dar cuenta de que se utilizan sólo números. En las operaciones algebraicas se establecen relaciones con números en las que una o más cantidades se desconocen, a ellas se les denominan incógnitas, variables o indeterminadas. Para representar las cantidades ya sean conocidas o no, se utilizan letras del alfabeto y algunos vocablos griegos. Las primeras letras del abecedario se utilizan para cantidades conocidas o constantes y para las incógnitas o variables de la función o expresión algebraica, generalmente, se utilizan las letras x, y y z. Para resolver problemas algebraicos es de suma importancia interpretar cada una de las expresiones, y traducir del lenguaje común al algebraico. Observa la siguiente tabla: 68

Problemas algebraicos

Lenguaje común

Lenguaje algebraico

a a+b a−b (a + b) − c ab a b a + b2 2 b 2a − 3

Un número cualquiera La suma de dos números cualesquiera La diferencia de dos números cualesquiera La suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera El producto de dos números cualesquiera El cociente de dos números cualesquiera La mitad de un número cualquiera más el cuadrado de otro El doble de un número cualquiera menos la tercera parte de otro

Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Expresa en lenguaje común las siguientes expresiones algebraicas.

�

x +7 2

2) 3x − 5 y2 3) 2x + 3 y 4) x 2 − 2 x 5) − 2y + 1 5

� �

2. Expresiones equivalentes a una ecuación algebraica Término algebraico Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. A la expresión algebraica que contiene signo, coeficiente, literal y exponente se le llama término algebraico. Literal

Signo

−2x2

Exponente

Coeficiente Una expresión algebraica puede tener un término, dos, tres o más. Número de términos

Se le llama

Uno

Monomio

Ejemplo

3x2

Dos

Binomio

3x + 5ab

Tres

Trinomio

3x2 + 5ab + a2

Dos o más

Polinomio

3x2 + 5ab + a2 + 8

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Reducción de términos semejantes Cuando en una expresión algebraica hay dos o más términos que tienen las mismas bases y sus respectivos exponentes son iguales se les llama términos semejantes; si aparecen dos o más en una expresión algebraica, es pertinente simplificarlos mediante la suma o resta de sus coeficientes. Por ejemplo: 2a + 5a = 7a −6ab + −3ab = −9ab Valor numérico El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las literales por los valores fijados y efectuar las operaciones que se indican. Por ejemplo: Calcula el valor de la siguiente expresión algebraica cuando x = 3 x + 5 = 8 si x = 3 Se sustituye el valor de x 3+5=8 Ecuación Una ecuación se define como una igualdad que existe entre dos valores representados por letras, de los cuales uno o más se desconocen. A la parte de la igualdad que está a la izquierda se la llama 1er miembro, y a la que se localiza a la derecha, 2º miembro. 1er miembro

2º miembro

{ { x+3=7+2 Dos ecuaciones son equivalentes cuando se cumple la igualdad. Por ejemplo: x+6=9 Se busca un número que sustituya a la incógnita (x) y que sumado a 6 sea igual a 9. (3) + 6 = 9 Por lo que la solución de la ecuación es x = 3 Una ecuación puede tener más de una literal, por ejemplo: x+y=9 La solución es una pareja de números que sumados dan como resultado 9. (4) + (5) = 9 La solución, en este caso, no es única. Cuando en una ecuación el mayor exponente es 1 decimos que se trata de una ecuación de primer grado o lineal. 4x + 3 = 15 En matemáticas la incógnita con exponente 1 no se escribe. Y cuando en la ecuación la incógnita tiene el exponente 2, se le llama ecuación de segundo grado o cuadrática. 4x + 3 = 15

Problemas algebraicos

Las ecuaciones nos sirven para resolver problemas cotidianos. Veamos la resolución de un problema.

Problema 1 Juan y Pedro tienen una bolsa de canicas cada uno. Si Juan tomara una canica de la bolsa de Pedro, él tendría el doble que Pedro. Pero, si Pedro tomara una canica de la bolsa de Juan, ambos tendrían cantidades iguales. ¿Cuántas canicas tienen cada uno?

El primer planteamiento dice “Si Juan tomara una canica de la bolsa de Pedro, él tendría el doble que Pedro”. Consideremos que: x = Juan y = Pedro x + 1 = y − 1 si x = 7,

y=5

Sustituimos las letras por los valores 7+1=5−1 Se efectúan las operaciones 8=4 El resultado indica que efectivamente, Juan tendría el doble que Pedro. Ahora resolvamos el segundo planteamiento: “Si Pedro tomara una canica de la bolsa de Juan, ambos tendrían cantidades iguales” x − 1 = y + 1 si x = 7, y = 5 Si x = 7, y = 5; entonces sustituimos las letras por los valores 7−1=5+1 Se efectúan las operaciones 6=6 El resultado indica que efectivamente ambos tendrían cantidades iguales. Por lo que la solución es Juan 7 canicas y Pedro 5.

Expresiones equivalentes a una ecuación algebraica Una es equivalente a una expresión algebraica, cuando al multiplicar o dividir cada uno de los términos por un número da el mismo resultado. 3x + y + 5 = 10 si (3x + y + 5)(3) = (10)(3) Realizamos la multiplicación (3x + y + 5)(3) = (10)(3) 9x + 3y + 15 = 30 Tenemos que: La ecuación: 3x + y + 5 = 10 Es equivalente a 9x + 3y + 15 = 30

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Ahora, vamos a comprobar la igualdad mediante una división 9x 3y 15 30 = = = 3x y 5 10 Vamos a dividir cada uno 9x + 3y + 15 = 30 si

9x =3 3x

�

3y =3 y

�

15 =3 5

30 =3 10

Podemos ver que al realizar las divisiones se obtiene el mismo resultado, por tanto son equivalentes. � � � Resolución de problemas Se tiene un rectángulo cuya base mide el triple que la altura y su perímetro mide 56cm. Calcula la medida de la base y la altura.

Registramos los datos Dibujamos el rectángulo y colocamos los datos que tenemos.

3x Altura = x Base = 3x Perímetro = 56 Sabemos que el perímetro de un rectángulo es la suma de sus lados. Hacemos el planteamiento algebraico 3x + x + 3x + x = 56 Se reducen los términos semejantes. 8x = 56 Despejamos x x=

56 8

x=7 �

Sustituimos el valor de x Altura x = 7 Base 3x = (3)(7) Las medidas del rectángulo son: altura = 7cm, base = 21cm

Problemas algebraicos

Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Encuentra una expresión equivalente a las siguientes ecuaciones: 1) 4x + 2y + 7 = 18

2) 5x + 8y + 3 = 23

3. Sistemas de ecuaciones lineales Métodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones con dos variables Si tenemos el siguiente sistema de ecuaciones: 2 + 3w = 0 3x + 5w = −7 Y se nos pide calcular el valor de x y w, entonces podemos utilizar cualquiera de los siguientes métodos: · De reducción o de sumas y restas · De sustitución · De igualación Resolver un sistema por el método de reducción o de sumas y restas 2x + 3w = 2 2x − 4w = −12 Se elige una variable cualquiera para eliminarla (elegimos x) y se multiplica por un número, de modo que los coeficientes de la variable sean iguales y de distinto signo (multiplicamos por 2, pero con diferente signo). (−2)(2x + 3w = 2) (2)(2x − 4w = −12) Se realiza la multiplicación (−2)(2x + 3w = 2) = −4x − 6w = −4 (2)(2x − 4w = −12) = 4x − 8w = −24 Ahora los coeficientes x quedan con diferente signo. Se realiza la suma y se resuelve lo demás −4x − 6w = −4

4x − 8w = −24

−14w = −28 −28 w= −14 w=2

�

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Para obtener el valor de x, se sustituye w por su valor: w = 2 en cualquiera de las dos ecuaciones 2x + 3(2) = 2 2x + 6 = 2

2x = 2 − 6

2x = −4 −4 x= 2 x=2

Se realiza la comprobación, sustituyendo valores en la otra ecuación � 2x − 4w = −12 2 (−2) − 4(2) = −12 −4 − 8 = −12 −12 = −12 La solución es: w = 2, x = −2 Resolver el sistema por el método de sustitución 2x + 3w = 2 2x − 4w = −12 Se despeja una variable 2x + 3w = 2 2x = −3w + 2  −3w + 2  x=    2  Se sustituye el despeje en la segunda ecuación �

 −3w + 2  2  −4w = −12  2  Se realiza la multiplicación por 2 2(−3w + 2) − 8w = −24

�

−6w + 4 − 8w = −24 Se resuelve la ecuación

−6w − 8w = −24 −4

−14w = −28 −28 w= −14 w=2

En el despeje se sustituye el valor de w −3(2) + 2 x= 2 x= � �

−6 + 2 2

�

Problemas algebraicos

−4 2

x = −2 �

Resolver el sistema por el método de igualación Se despeja una la misma variable en las dos ecuaciones 2x + 4w = 4 4x − 2w = −22 2x + 4w = 4

4x − 2w = −22

2x = 4 − 4w

4x = −22 + 2w

4 − 4w 2

−22 + 2w 4

Se igualan los despejes �

4 − 4w� −22 + 2w = 2 4 Y se resuelve la ecuación

4(4 − 4w) = 2(−22 + 2w) � 16 − 16w = −44 + 4w

16w − 4w = −44 − 16

12w = −60

�

−60 12 w = −5

Se sustituye el valor de w en cualquiera de los despejes � 4 − 4(−5) x= 2 x=

4 + 20 2

24 2

4 − 4(−5) 2

4 + 20 2

24 2

� � � � � �

x = 12 La solución es: w = −5, x = 12

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Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Resuelve el sistema de ecuaciones. 3x + 5w = 4 2x + 3w = 2

4. Relación entre gráficas y funciones lineales o cuadráticas Plano cartesiano En matemáticas se usa el Plano Cartesiano para localizar puntos. Se forma por dos rectas numéricas perpendiculares que cortan en un punto denominado origen. A la recta horizontal se le llama eje de las x o de las abscisas, y a la vertical, eje de las y o eje de las ordenadas. Asimismo, se forma un plano dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes. En el eje de las x a la derecha se ubican los números positivos y a la izquierda los negativos. En el eje de las y hacia arriba están los números positivos y hacia abajo los negativos. Observa la siguiente gráfica: y

Segundo cuadrante

Primer cuadrante

x−

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

y− Para la localización de los puntos se utilizan unos números llamados coordenadas, cuya referencia es el origen. Cada punto tiene asignado un par ordenado de la forma: p = (x, y) Observa los puntos en la siguiente gráfica:

Problemas algebraicos

(−3, 4) (5, 3)

x−

(2, −6) y− Función lineal Una función es una relación de un conjunto x hacia un conjunto y, tal que, a cada elemento del conjunto x le corresponde uno, y sólo un elemento del conjunto y. Se representa como: f (x) Es muy importante que comprendas la definición anterior, ya que cualquier subconjunto formado por parejas de ordenadas (x, y) es una relación, pero no todas son una función. La siguiente relación R = {(−2, 6), (2, 2), (1, 3), (5, −3,), (5, −1)} no es una función, ya que hay un conjunto de x que tiene dos valores de y: (5, −3) y (5, −1) y (5, −1).

x = −2

y=6

x=5

y = −1

x=2

y=2

x=5

y = −3

Sí es función

No es función

Elaborar una gráfica de una función Cuando se te pide que elabores una gráfica de una función, tienes que encontrar los valores de x y y. Para obtenerlos se usa un procedimiento llamado tabulación, y consiste en dar valores a x para obtener los valores de y. Veamos un ejemplo sencillo: Trazar la gráfica de la función: y = x + 2. De manera arbitraria, se asignan valores a x. Usualmente se le dan valores enteros x cerca de cero, aunque puede utilizarse cualquier valor.

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Valores x

Operaciones

Se sustituye el valor de x y se realiza la operación:

y = (1) + 2

y=1+2 (3, 5)

y=3 2

(1, 3)

y = (2) + 2 y=2+2 y=4

x−

y = (3) + 2 y=3+2 y=5

y−

y = (4) + 2 y=4+2 y=6

Ten en cuenta que estos son sólo algunos valores por donde pasa la recta; este procedimiento nos ayudó únicamente a trazar la gráfica. Expresión algebraica de una representación gráfica Encuentra la ecuación que representa la gráfica. x

Valores x y 2 3 4 5

y = (1) + 2y = 1 + 2y = 3 y = (3) + 2y = 3 + 2y = 5

y=x+2 y=x+2

y = (5) + 1y = 5 + 1y = 6

y=x+2

−x

−y

Problemas algebraicos

Como la gráfica es una recta su ecuación es: y = mx + b Donde b es el punto donde la recta corta al eje y; para este caso b=1 Para encontrar m se toman dos puntos de la recta: (2,3) y (4,5) y se sustituyen en la siguiente fórmula: m=

y 2 − y1 x 2 − x1 Donde: y2 es la ordenada del segundo punto

�

y1 es la ordenada del primer punto x2 es la abscisa del segundo punto x1 es la abscisa del primer punto Sustituyendo los puntos en la fórmula obtenemos: m=

y 2 − y1 5 − 3 2 = = x 2 − x1 4 − 2 1

m=2 �

Sustituyendo m = 2 y b = 1 en la ecuación de la recta y = mx + b y = 2x + 1 La ecuación de la recta es: y = 2x + 1 Función cuadrática Es una función polinomial de la forma: y = ax2 + bx + c Su representación en la gráfica es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según el signo de a.  b 4ac − b 2  , El vértice de la parábola toma el valor máximo o mínimo de la función en el punto −  4a   2a Observa las gráficas:

�

y 0

Vértice Punto máximo

Vértice Punto mínimo

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Grafica la función: y = x2 + 43x −6 Para calcular los valores de y, se sustituyen los valores escogidos para la variable x en la ecuación y = x2 + 3x −6  b 4ac − b 2  , −  x 4a   2a

�

y 4 −2 −6 −8 −6 4 12

−5 −4 −3 −2 0 2 3

Operaciones y = (−5)2 + 3(−5) − 6 = 25 − 15 − 6 = 4 y = (−4)2 + 3(−4) − 6 = 16 − 12 − 6 = −2 y = (−3)2 + 3(−3) − 6 = 9 − 9 − 6 = −6 y = (−2)2 + 3(−2) − 6 = 4 − 6 − 6 = −8 y = (−0)2 + 3(−0) − 6 = −6 y = (2)2 + 3(2) − 6 = 4 + 6 − 6 = 4 y = (3)2 + 3(3) − 6 = 9 + 9 − 6 = −12

−x

−y Cada cuadrito representa dos unidades. Resolución de problemas

Rebeca hará un pedido de tarjetas de forma rectangular de 144cm2 de área, para dar a conocer un producto nuevo. El largo del rectángulo es 7cm más que el ancho. ¿Cuánto miden sus lados?

Problemas algebraicos

Registramos los datos. Dibujamos el rectángulo y colocamos los datos que tenemos

144 cm2

x+7 Altura = x Base = x + 7 Área = 144 cm2 Sabemos que el área de un rectángulo es A = base x altura Hacemos el planteamiento algebraico 144 = x(x + 7) Se iguala a 0 0 = x2 + 7x − 144 Se factoriza 0 = (x + 716)(x − 9) x = 7 − 16 x=9 7 + 9 = 16 La medida x = −16 se desecha, puesto que las medidas de los lados son positivas. Por tanto Altura = x = 9 Base = x + 7 = 9 + 7 = 16 Las medidas del rectángulo son: altura = 9cm, base = 16cm Área = (9)(16) = 144 cm2

Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Encuentra el valor del ancho del rectángulo:

117 cm2 x+4

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5. Ecuación de una recta Pendiente y ordenada al origen Dada la ecuación de la forma: y = mx + b El valor de b es el punto donde la recta corta al eje y, también llamado ordenada al origen. El valor de m es la pendiente de la recta. En el planteamiento de un problema, puede que se proporcione la ecuación lineal de la forma Ax + By + C = 0 Y se pida que se determinen los valores de la pendiente y la ordenada al origen. Donde m = pendiente b = ordenada al origen Problema 1 Dada la ecuación lineal 2y − 8x + 6 = 0 Determina los valores de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b) Se despeja y 2y = 8x − 6 y=

8 6 x− 2 2

y = 4x − 3 �

Solución m=4 b = −3 La representación gráfica, sería la siguiente: y

−x 4 b = −3 1

−y

Problemas algebraicos

Problema 2 Dada la ecuación lineal 5y − 3x + −15 = 0 Determina los valores de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b) Se despeja b 5y = 3x + 15

� �

3 15 x+ 5 5

3 x+3 5

Solución m=

3 5

b=3 �

Se grafica y

3 b=3 5

−x

−y Problema 3 3 Determina si la ecuación de la recta 5y = 3x + 15 tiene correspondencia con una pendiente m = y 5  2,21  que pasa por el punto P =    5  Solución � Sustituimos valores �  21  5  = 3(2) + 15 5

�

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Se resuelve  5  21     = 3(2) + 15  1  5 

� �

105 = 6 + 15 5 21 = 21 Por tanto, sí pasa por el punto P. Para determinar si la pendiente es correcta, despejamos y de la ecuación 5y = 3x + 15 y=

3x + 15 5

3x +3 5

� 3 La pendiente m es el coeficiente de x y vale , por lo que sí es correcta. 5 �  3 6 6 3 6 + 15 21 21 = y= y = mx + b y =  (2) + (3) y = + 3y = + = 5 5 5 1 5 5 5 �

Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Dada la ecuación lineal 3y − 9x + 18 = 0 Determina los valores de la pendiente (m) y la ordenada al origen (b) y elabora su gráfica.

Problemas algebraicos

¿Qué aprendí? Ahora comprueba lo que aprendiste. Resuelve los siguientes reactivos y al final realiza tu autoevaluación comparando tus respuestas con las de la hoja de respuestas correctas. 1. La señora Linda teje diariamente hasta terminar un mantel en 5 días. El primer día tejió cierta cantidad. Al siguiente día 10 cm más que el día anterior y así sucesivamente hasta terminarlo. Si el mantel es de 2m, ¿cuánto tejió el primer día? a. 10 cm b. 15 cm c. 20 cm d. 25 cm 2. Britny pagó $1980.00 por una televisión que tenía 10% de descuento. ¿Cuál es el precio original de la televisión? a. $2200.00 b. $2178.00 c. $2000.00 d. $1988.00

3. Un reloj tiene la siguiente etiqueta,

$460.00 “incluye IVA”

¿qué cantidad corresponde al IVA? (El IVA representa el 15%) a. 400 b. 391 c. 69 d. 60 4. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una proporción?

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5. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la relación de proporcionalidad que indica la tabla? 1

3 4

1 1 2

1 2 4

9. Cuál expresión corresponde al enunciado “El cuadrado de la semisuma de dos números es igual a la diferencia de los cuadrados de los mismos números”.

a. 3 b.

�

a. y =

x +2 �4

b. y = x −

1 2

c. y = x −

1 4

d. y =

x−2 x+2

1 y h = 4b ¿cuál de las siguientes afirma4 ciones es verdadera? a. A = 2b(B + b) b. A = 4Bb + 4b2 c. A = 2b(B + b2) B+b 4

8. Juan pagó $60.00 por cierta cantidad de lápices en una papelería. Si los hubiera comprado en la de enfrente, le habría alcanzado para 2 lápices más porque cuestan un peso menos. ¿Con cuál ecuación Juan puede calcular el número de lápices que compró? 60 60 = +1 x x+2

60 60 +1= x x+2

60 60 = −1 c. x x+2 d.

60 60 = −1 x+2 x+2

= a2 + b 2

10. Un ladrillo pesa dos kilogramos más medio ladrillo. Determina el peso en kilogramos de un ladrillo.

7. Si y = x −

(a − b ) 2

= a2 + b 2

 a + b 2 2  = (a − b ) d.   2 

6. ¿Cuál expresión representa el área del rectángulo?

d. A = 2

 a + b 2 2 2  = a −b c.   2 

�

3x 4

a. x2 + 4x + 4 b. x2 − 4x + 4 c. x2 + 4 d. x2 − 4

(a + b ) 2

a. 2Kg b. 3Kg c. 4Kg d. 5Kg 11. ¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación 4x2 − 4x + 1 = 0? a. 3 b. 2 c. 1 d. 0 12. ¿Cuál es la solución de la ecuación x + 2 = − x + 4? a. b. c. d.

x= x= x= x=

2 1 −2 −1

13. A un parque asisten 13 personas entre niños y adultos. Si el boleto de adulto cuesta $55.00 y el de niño $30.00 y se juntan $515.00, ¿cuántos niños y cuántos adultos asistieron? a. 5 adultos y 8 niños b. 8 adultos y 5 niños c. 11 adultos y 2 niños d. 2 adultos y 11 niños 14. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales tiene una sola solución? 1

y = −2 y=0

6x + 3y = −12 6x + 3y = 6

4m + 2 n = 8 4−n m= 2

x = 5 −2y 2x + y = 4

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4

Problemas algebraicos

15. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa una función?

D) a. b. c. d.

16. ¿Cuál de las siguientes opciones se cumple para la gráfica de f(x) que se presenta a continuación? 90 80

f(11) f(11) f(11) f(11)

17. Si f(x) = f(g(−3)?

70 60

< > = >

50 60 50 50

2x 2 + 9 y g(x) = x2 ¿Cuál es el valor de x

5 a. � 3 5 b. − 3

50 40 30 �

20 10

�

0 5

c. 19 d. −19 18. ¿Cuál descripción corresponde a la ecuación 2x + 3y = 6? a. Recta con pendiente positiva que pasa por el origen con pendiente igual a 6

Guía enlace

b. Recta con pendiente negativa, corta al eje y en (0,6) c. Recta con pendiente negativa, corta al eje y en (0,2)

d. Recta con pendiente positiva, corta al eje y en (0,2)

Autoevaluación Llena en el alveolo tus respuestas y compáralas con las respuestas que aparecen al final de tu libro. Finalmente, realiza tu autoevaluación colocando en la columna de la derecha si fue correcta o incorrecta. Tus respuestas 1

TOTAL

Autoevaluación



