d i da Un
8
Geometría plana y trigonometría
Al término de esta unidad, serás capaz de:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Utilizar fórmulas para calcular superficies y volúmenes Realizar conversiones de sistema decimal a sexagesimal Utilizar fórmulas para calcular el perímetro de composiciones geométricas Identificar figuras planas y tridimensionales Aplicar conceptos básicos de simetría Aplicar funciones y leyes trigonométricas para la resolución de problemas Describir las relaciones trigonométricas para resolver triángulos rectángulos y oblicuángulos
¿Qué sabes? Observa lo siguiente y realiza lo que se te pide. A)
B)
C)
D)
Responde: ¿Qué diferencias encuentras en cada elemento? ¿De qué tipo de figuras se tratan? ¿Conoces otras figuras? ¿Cuáles?
89
90
Guía enlace
1. Conceptos elementales de Geometría Los siguientes conceptos son elementales para la comprensión de esta unidad. Elemento
Representación
Descripción
Punto
Unidad indivisible B
Curva
Línea recta
Segmento
Semirecta
B
A
B
A
B
P
Sucesión infinita de puntos que cambian constantemente de dirección
A
A
Símbolo
Sucesión infinita de puntos en una misma dirección
AB
Porción de recta limitada por dos puntos
AB
Cada una de las dos porciones en que está dividida una recta por cualquier punto
AB
Superficie unidireccional que se extiende al infinito. Tiene dos dimensiones.
Plano
Volumen
Espacio ocupado por un cuerpo. Tiene tres dimensiones
2. Superficies Una superficie es una porción del plano, por tanto, tiene sólo dos dimensiones. La forma más sencilla de delimitar una superficie es mediante tres puntos no alineados, los segmentos que los unen determinan una superficie.
Geometría plana y trigonometría
Esta superficie recibe el nombre de triángulo. En un triángulo se forman ángulos internos y externos.
Ángulo Es la abertura que comprenden las dos semirrectas cuyo punto de origen se llama vértice. Un ángulo se puede representar de distintas formas, por ejemplo: (A, Ã.
Ángulo
Vértice
Polígonos Los polígonos son porciones del plano limitadas por líneas rectas, de acuerdo al número de lados que los conforman se clasifican en: Nombre
Número de lados
Triángulo
3
Cuadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octágono
8
Eneágono
9
Decágono
10
Los polígonos que tienen sus lados iguales se denominan regulares y los que tienen sus lados desiguales se llaman irregulares.
Ángulos
A Vértices Elementos de los polígonos
b B
a Lados
Diagonales
A continuación veremos los polígonos de tres y cuatro lados.
91
Guía enlace
Triángulos Clasificación de los triángulos A continuación se describe la clasificación de los triángulos:
Por la longitud de sus lados
Nombre
Características
Equilátero
Tiene tres lados iguales
Isósceles
Tiene dos lados iguales
Escaleno
Ninguno de sus lados es igual
Nombre
Por la amplitud de sus ángulos
92
Características
Acutángulo
Tiene tres ángulos agudos
Rectángulo
Tiene un ángulo recto
Obtusángulo
Tiene un ángulo obtuso
Figura
Figura
Puntos y rectas notables de un triángulo Mediana Es un segmento de recta que se traza a partir de un vértice de un triángulo hasta el punto medio de su lado opuesto. Baricentro Es el punto donde se intersectan las tres medianas.
Geometría plana y trigonometría
Mediana
Baricentro Mediatriz Es la recta perpendicular a un lado del triángulo en su punto medio. Circuncentro Es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
Circuncentro
Mediatriz
Altura Es un segmento de recta perpendicular a un lado, va desde ese lado hasta el vértice opuesto. Cuando se trata de un triángulo obtusángulo, dos de las alturas deben medirse desde el vértice hasta la prolongación del lado opuesto, como lo muestra la siguiente figura. Alturas
Ortocentro Es el punto donde se intersectan las alturas del triángulo.
Ortocentro Altura
93
94
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El ortocentro en un triángulo obtusángulo que queda fuera del triángulo.
Ortocentro
Bisectriz Es la recta que corta un ángulo exactamente a la mitad. Incentro Es el punto en donde se intersectan las tres bisectrices.
Incentro
Bisectriz
Recta de Euler Es la recta que une el circuncentro, baricentro y el ortocentro, lo que significa que, al estar sobre una línea, son colineales.
Baricentro Ortocentro Recta de Euler
Circuncentro
Geometría plana y trigonometría
Cuadriláteros Clasificación de los cuadrilátero s Cuadriláteros Paralelogramos Sus lados opuestos son paralelos
Cuadrado
Tiene todos sus lados iguales y sus ángulos rectos Rectángulo
Tiene ángulos rectos Rombo
Tiene cuatro lados iguales; los ángulos opuestos son iguales y los ángulos consecutivos son suplementarios
Trapecios Sólo dos de sus lados son paralelos
Trapezoides Ninguno de sus lados es paralelo
Trapecio rectángulo
Tiene dos ángulos rectos Trapecio isósceles
Tiene dos lados iguales Trapecio escaleno
Los cuatro lados tienen diferente longitud
Romboide
Los lados opuestos son paralelos e iguales, sus ángulos interiores no son rectos
Diagonales Las diagonales de un polígono son los segmentos de recta que unen dos vértices no consecutivos. El número máximo de diagonales que se pueden trazar en un polígono se obtiene con la fórmula: (n − 3)n Número de diagonales = 2 Donde n = número de lados del polígono � Por ejemplo: Calcula el número máximo de diagonales que se pueden trazar en un cuadrado.
95
96
Guía enlace
Número de diagonales = Número de diagonales =
(4 − 3)4 2
(1)4 2
=
4 =2 2
� El número máximo de diagonales en un cuadrado son dos. �
El único polígono que no tiene diagonales es el triángulo. ¿Quieres comprobarlo?
Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Aplica la fórmula para obtener el número máximo de diagonales que pueden tener las siguientes figuras, y después trázalas:
3. Conversión del sistema decimal al sexagesimal y ángulos Los ángulos se miden en grados, minutos y segundos. Vamos a ver cómo cambiar del sistema decimal al sexagesimal. Tenemos que, un grado (1°) equivale a 60 minutos (60’), y un minuto a 60 segundos (60”). Medida
Equivale a…
1°
60’
1’
60”
1°
3600”
Conversión Convertir 13.4711° a grados, minutos y segundos. Para obtener los minutos, se multiplican los decimales por 60. (.4711)(60) = 28.266 Los minutos son 28’.
Geometría plana y trigonometría
La parte decimal que resultó de la operación se multiplica por 60 para obtener los segundos (.266)(60) = 15.96 Redondeando: 15.96 ≈ 16 Los segundos son 16” El resultado es: 13 (28'’ 16” Convertir 13° 28’ 16” a grados en su forma decimal: Se dividen los minutos entre 60 (segundos) 28 = 0.466666 60 Los segundos se dividen entre 3600 �
16 = 0.04444 3600 Se suma el resultado de las dos operaciones
�
0.466666 + 0.004444 = 0.47111 Resultado: 13° 28 '’ 16" = 13.4711°
Clasificación de los ángulos De acuerdo con sus medidas los ángulos se clasifican en:
90°
90°
0°
0°
Recto Mide 90°
Agudo Mide menos de 90°
90°
180°
90°
180° Llano Mide 180°
Obtuso Mide más de 90° y menos de 180°
97
98
Guía enlace
90°
180°
90°
0°
180°
0°
360°
360°
270°
270°
Cóncavo Mide más de 180° y menos de 360°
Perigonal (de vuelta entera) Igual a 360°
Posición de dos rectas en el plano Dos rectas en el plano pueden ser: 90°
90°
0°
180°
Rectas paralelas No se cortan entre sí
Rectas perpendiculares Se cortan entre sí formando ángulos de 90°
180 −x
x
Rectas oblicuas Se cortan entre sí formando dos ángulos agudos y dos obtusos. Los ángulos consecutivos son suplementarios y los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Geometría plana y trigonometría
Encontrar el valor de un ángulo
x 180°
43°
32°
0°
La suma de los tres ángulos es 180°. Encontrar el valor de x: x + 43° + 32° = 180° Se despeja x x = −43° − 32° + 180° Se resuelve la ecuación x = −75° + 180° El resultado es x = 105° Ángulos en un polígono La suma de los ángulos interiores de un polígono se obtiene mediante la fórmula: Suma de los angulos = s (= 180° (n − 2) n = número de lados Ejemplo: Determina la suma de los ángulos interiores de un cuadrado. s (= 180° (4 − 2) s (= 180° (2) = 360° Para determinar el valor de un ángulo interior de un polígono regular se utiliza la fórmula: a=
180°(n − 2) n
Ejemplo: �
Determina el valor del ángulo interior de un pentágono regular. 180°(5 − 2) a= ς (a = (180° (3))/5 = (540°)/5 = 108°
�
Resultado: sus ángulos interiores miden 108°
4. Perímetro de composiciones geométricas El perímetro de un polígono se obtiene sumando la longitud de sus lados. Perímetro La fórmula para calcular el perímetro de un triángulo es:
99
100
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P=a+b+c a, b y c son los lados del triángulo. Ejemplo: Calcula el perímetro del triángulo: 18
7
12 P = 12 + 7 + 18 P = 37 Para los cuadriláteros el perímetro podría obtenerse así: b l
h
l P = 4l
a
b
c B
P = 2b + 2h
P=a+b+c+B
Determina el perímetro de la siguiente figura regular:
7 P = 6l
P = (6)(7) = 42
Resolución de problemas Don Paco desea construir una cerca para dividir el siguiente terreno. Determina el perímetro de la cerca que deberá construir para rodear el espacio A. Resolución Sumamos todos los lados de la figura A.
2m
P = 7 + 2 + 4 + 7+ 2 = 22m A
B
4m
7m
7m
Geometría plana y trigonometría
Triángulos congruentes Se dice que dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos respectivos son iguales (congruentes). E
C
A
F
B D △ ABC ≅ △ DEF
La congruencia de polígonos puede estudiarse mediante la congruencia de triángulos. Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia y se expresan: Criterio LAL (lado-ángulo-lado) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos también es congruente. C
A
F
B △ABC ≅ △ DEF porque (AB)−
D ≅
E
(DE)−; (ABC ≅ (DEF y (BC)− ≅ (EF)−
Criterio ALA (ángulo-lado-ángulo) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado común a ellos también es congruente. L
I
G
H
J
△GHI ≅ △ JKL porque (GHI) ≅ ( JKL; (HI)− ≅ (KL)− y (HIG ≅ (KLJ
K
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102
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Criterio LLL (lado-lado-lado) Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes. O
R
M
N
P
Q
△MNO ≅ △PQR porque (MN) ≅ PQ; NO ≅ QR y OM ≅ RP Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes (~) si tienen sus tres ángulos congruentes, es decir, no importa si son de igual o diferente tamaño. Existen tres criterios de semejanza de triángulos: Criterio LLL (lado-lado-lado) Dos triángulos son semejantes si tiene sus tres lados respectivamente proporcionales. O
M
R
N △MNO ~ △PQR porque
P
Q
MN NO OM = = PQ QR RP
Criterio LAL (lado-ángulo-lado) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido por ellos � es congruente. C
A
F
B
D
E
△ABC ~ △DEF porque (AB)−/((DE)−) = (BC)−/(EF)−; (ABC ≅ (DEF Criterio AA (ángulo-ángulo) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos congruentes. I
G
L
H
J
△GHI ~ △JKL porque (GHI ≅ ( JKL y (HIG ≅ (KLJ
K
Geometría plana y trigonometría
Ejemplo: Determinar si los siguientes triángulos son semejantes. 36
9
12
y x
6
Solución Buscamos primero el valor de x. Para ello, se relacionan los lados correspondientes. x 36 = 6 12 Se resuelven las operaciones �
x=
(6)(36) = 216 = 18 12
12
x = 18 �
Se busca el valor de y 9 36 = y 12 y=
� �
(9)(12) 108 36
=
36
=3
y=3 Respuesta: Los tres lados son proporcionales 36 9 18 = = =3 12 3 6 Por lo que sí son semejantes.
�
Resolución de problemas ¿Alguna vez has observado qué figuras se forman en la inclinación de una escalera o con la sombra de un edificio o de una persona?
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Teorema de Tales El Teorema de Tales establece que la razón de los segmentos determinados por dos o más paralelas en una transversal es igual a la razón de los segmentos determinados por estas mismas paralelas en cualquier otra transversal. C B
E
D
A
AB AD = BC DE
�
Problema 1 Si los siguientes triángulos son semejantes, determina cuántos triángulos pequeños caben en el grande.
27 3 x
2
Se busca el valor de x 27 x = 3 2 x = � �
�
(27)(2) 3
=
54 = 18 3
x = 18 Para saber cuántas figuras caben, buscamos la proporción 27 18 = =9 3 2 Como la proporción es de 9, en la base del triángulo mayor es posible acomodar 9 triángulos pequeños, si sigues acomodando los pequeños encima hasta completar 9 niveles hacia arriba, notarás que puedes acomodar 81 triángulos pequeños en el grande como se muestra en la siguiente figura.
Geometría plana y trigonometría
Una forma más sencilla de resolver el problema es elevar al cuadrado la proporción encontrada: 92 = 81, ya que el área se mide en unidades cuadradas. Respuesta: caben 81 figuras.
Problema 2 Juan está armando un rompecabezas. Si la parte sombreada es la que ya tiene completada, ¿cuánto le falta?
Resolución 5 El total de figuras es de 9. Y la parte sombreada son 5, lo cual sería . Entonces, la parte que le falta 9 4 es de . ya que 9 9 5 4 − = 9 9 9 � �
�
Problema 3 Juan mide 1.60m de estatura y su sombra proyecta una sombra de 0.96m. La hermana de Juan proyecta una sombra de 0.48. ¿Cuál es la estatura de la hermana de Juan?
1.60 x
0.96 Solución Se hace el planteamiento 1.60 0.96 = x 0.48 x = � �
(1.60)(0.48) = 0.768 = .80 0.96
0.96
Respuesta: La estatura de la hermana de Juan es de 0.80m
0.48
105
106
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Problema 4 ¿Cuál es el valor que falta en los siguientes triángulos rectángulos? A)
B)
24 7
12
5 x x
Vamos a resolver el problema con el Teorema de Pitágoras, que dice: “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. c b
a En el triángulo del inciso A, para encontrar el valor de la hipotenusa queda el planteamiento: Hipotenusa = Cateto 2 + Cateto 2 c = 7 2 + 24 2 �
c = 49 + 576
�
c = 625
�
c = 25
�
En el triángulo B Se va a encontrar el valor de x = cateto Cateto = hipotenusa2 − cateto 2 b = 125 − 52
�
b = 144 − 25
�
b = 119
�
b = 10.91
�
Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Determina el valor de x en los siguientes triángulos y explica la relación que hay entre ellos.
Geometría plana y trigonometría
40
4 3
30
x
x
5. Cálculo de áreas Áreas Llamamos área a la medida de la superficie interior de un polígono. Cuadriláteros Para algunos cuadriláteros el área puede obtenerse mediante las siguientes fórmulas: b a a
A = a2
b a
A = ab
b
h
d
h
c
D
a A=
A = hc
d
c
(a + b)h
A=
2
Dd 2
Determina el área de la siguiente figura: �
�
9 16 A = (16)(9) = 144 Polígonos regulares Apotema Apotema es la recta perpendicular que va de cualquier lado al centro del polígono. El apotema coincide con el radio de una circunferencia inscrita en el polígono.
107
108
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Apotema Para calcular el área de polígonos regulares se utiliza la fórmula: Pc 2 Donde A=
�
P = Perímetro del polígono c = apotema Ejemplo Determina el área de la siguiente figura:
3
5
Solución P = 6(5) = 30 c=3 A=
(30)(3) 2
=
90 = 45 2
Resultado �
El área es 45u2
u = unidades
Triángulos El área de un triángulo se calcula con la fórmula: A=
bh 2
Donde �
b = base del triángulo h = altura del triángulo Ejemplo: Determina el área del siguiente triángulo:
9
14
Geometría plana y trigonometría
Se calcula con la fórmula A=
bh 2
Se realiza la operación �
A=
(14)(9) 126 2
=
2
= 63
Resultado: El área es 63u2
u = unidades
�
6. Circunferencia y círculo Una circunferencia es una curva plana y cerrada cuyos puntos son equidistantes de un punto situado en el mismo plano denominado centro. Los elementos principales de la circunferencia son: • Diámetro: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro. • Radio: Es el segmento de recta que parte del centro y va a cualquier punto de la circunferencia. • Cuerda: Es el segmento de recta que une dos puntos de la circunferencia, la cuerda mayor de una circunferencia es el diámetro. • Tangente: Es la recta que sólo toca un punto de la circunferencia
a
erd
Cu
tro Cen
Diámetro
io
Rad
a
ent
g Tan
Círculo Es la superficie plana que está contenida dentro de una circunferencia. Segmento circular Es la parte del círculo que limitan un arco y una cuerda. Semicírculo Es la mitad del círculo, está limitado por el diámetro y la semicircunferencia. Sector circular Es una parte del círculo limitada por dos radios y un arco.
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110
Guía enlace
Semicírculo
Segmento
Círculo
Arco
Semicircunferencia
El círculo tiene perímetro y área. Para calcularlos es necesario que recuerdes el valor de π que ya redondeado es: π = 3.1416 Perímetro de un círculo El perímetro de un círculo se calcula con la fórmula: C = 2πr C = Perímetro Ejemplo: Calcula el perímetro de un círculo cuyo radio es igual a 28cm. C = 2πr = 2(3.1406)(28) = 175.93 C = 175.93cm Área de un círculo El área del un círculo se determina con la fórmula siguiente: A = πr2 Ejemplo: Calcula el área de un círculo cuyo radio es 9cm. A = πr2 = (3.1406)(92) = (3.1406)(81) = 254.47 A = 254.47cm2 Cálculo del radio Si se pide calcular el valor del radio conociendo el perímetro del círculo se sigue el siguiente procedimiento: Calcular el valor del radio de un círculo cuyo perímetro mide 138.17 C = 2πr 138.17 = 2πr Se despeja r r=
138.17 138.17 138.17 = = = 21.99 (2π ) 2(3.1416) 6.2832
r = 21.99 �
Geometría plana y trigonometría
Resolución de problemas Problema 1 El señor Jiménez desea poner una cerca de alambre alrededor de un terreno con la forma de la siguiente figura. ¿Cuántos metros debe medir el alambre? 27m 4m
8m
4m
Se calcula el valor del arco de la semicircunferencia. Si la medida del diámetro es de 8, el radio = 4. P = longitud de la semicircunferencia P = πr = (3.1406)(4) = 12.57 P = 12.57 Se suman las longitudes de los lados más el perímetro de la semicircunferencia P = 27 + 27 + 16 + 12.57 + 8 = 90.57 Resultado: El alambre para la cerca debe ser de 90.57m
Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Resuelve el siguiente problema.
La siguiente figura muestra la forma de una sala de conferencias. Se requiere para la instalación eléctrica de la misma, colocar cable alrededor de los muros. ¿Cuántos metros debe medir el cable?
17.5m 4.5m
9m
4.5m
7.5m
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7. Figuras planas y tridimensionales Ahora vamos a ver cómo calcular el área de algunas figuras sólidas y figuras planas. Entre ellos están los poliedros, el prisma, las pirámides y las figuras esféricas.
Poliedros Un poliedro es un sólido geométrico limitado por superficies planas, cada superficie plana es un polígono. Elementos de los poliedros Sus elementos son: caras, aristas y vértices. Caras Son los polígonos que limitan un determinado sólido. Arista Es la intersección de dos caras. Vértice Es el punto de convergencia de las aristas. Vértice
Caras
Aristas
Los poliedros se clasifican principalmente en regulares e irregulares. Poliedros regulares Las caras de un poliedro regular son polígonos regulares iguales. A continuación se presentan los poliedros regulares y su representación en un plano. Nombre
Sus caras son
Tetraedro
Cuatro triángulos equiláteros
Hexaedro o cubo
Seis cuadrados
Figura
Representación plana
Geometría plana y trigonometría
Octaedro
Ocho triángulos equiláteros
Dodecaedro
Doce pentágonos regulares
Icosaedro
Veinte triángulos equiláteros
Volumen Es el espacio ocupado por un cuerpo. Cada uno de los poliedros que vimos tiene una fórmula para determinar su volumen. Para fines de esta unidad sólo veremos algunos.
Problema 1 Determina el volumen del siguiente hexaedro.
3cm Volumen = V = L2 Donde L = Longitud de una arista V = 32 = 27 V = 27 cm3 Prisma Es un poliedro en el que dos de sus caras son polígonos iguales y paralelos, el resto de las caras son paralelogramos. Existen diferentes tipos de prismas:
113
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Nombre
Sus bases son
Triangular
Triángulos
Pentagonal
Pentágonos
Rectangular
Rectángulos
Cuadrangular
Cuadrados
Figura
Problema 2 Observa la siguiente figura:
14cm
4cm <
Representación plana
Geometría plana y trigonometría
Si la altura del triángulo de la base mide 6cm ¿Cuál es el volumen en centímetros cúbicos del prisma? La fórmula para determinar el volumen de un prisma es: V = Bh Donde, B = área de la base h = altura del prisma El área de un triángulo es A=
(base)(altura) 2
=
(6)(4) = 24 = 12 2
2
Por lo que el volumen del prisma es �
V = (12)(14) = 168 V = 168cm3 Pirámides Es el sólido que tiene por base un polígono cualquiera y las caras son triángulos que se concentran en un solo punto llamado vértice. Los elementos de una pirámide son:
Vértice Altura
Cara lateral
Apotema Base
Pirámide regular
Pirámide recta Es aquélla cuyas caras laterales son triángulos isósceles iguales.
Es cuando la base es un polígono regular y sus aristas laterales son de igual longitud.
h
a
h
r
a B
I
Volumen El volumen de una pirámide regular es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura (h) de la pirámide y dividido entre 3. V =
�
Bh 3
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Problema 3 Determina el volumen de la siguiente pirámide que tiene como base un cuadrado:
h a B
I
Donde h = 6 cm; l = 3 cm V =
�
(6)(9) = 54 = 18cm 3
3
3
Cono circular Cuerpo geométrico generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Se llama circular porque al girar el triángulo rectángulo se dibuja sobre la base un círculo.
a
h r
Para determinar el volumen seguimos la fórmula: V =
πr 2h 3
Problema 4 �
Determina el volumen en centímetros de un cono circular cuyo radio de la base es 3cm y la altura es 9cm.
( )
2 πr 2h (3.1416) 3 (9) 254.47 = = = 84.82 3 3 3
V = 84.82cm3 �
Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Encuentra qué figura puedes formar con los siguientes elementos en desorden.
Geometría plana y trigonometría
8. Conceptos básicos de simetría Simetría Es la correspondencia exacta de las partes o puntos de un cuerpo o figura con relación a un centro, un eje o un plano. Centro de simetría Es el punto de una figura, de manera que cualquier recta que pase por él determinará puntos correspondientes en ambos lados de dicha recta y a la misma distancia. Eje de simetría Es la recta que se toma como eje de giro de una figura para superponer todos los puntos similares. Plano de simetría Divide una figura en dos partes, de manera que cada una de ellas es la imagen semejante de la otra.
Problema 1 Determina si las dos figuras son simétricas. Se fijan los puntos de los extremos de la siguiente forma:
Eje de simetría Al fijar los puntos de los extremos podemos ver que sí son simétricas.
Problema 2 Determina si las dos figuras son simétricas.
Al fijar los puntos de los extremos vemos que sí son simétricas.
Problema 3 Determina si las dos figuras son simétricas.
117
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Guía enlace
Al fijar los puntos de los extremos se obtienen formas desiguales. Por lo tanto, NO son simétricas.
Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Determina si las dos figuras son simétricas.
9. Aplicar funciones y leyes trigonométricas para la resolución de problemas Conversiones entre medidas angulares y circulares de ángulos agudos Las unidades de medida que veremos en esta parte son los ángulos y los radianes. Los grados son cada una de las 360 partes iguales, en que puede dividirse la circunferencia y se emplean para medir los arcos de los ángulos. Radián es un ángulo cuyo arco tiene igual longitud que el radio de la circunferencia. Se simboliza como rad Radianes
3 π 4
2 π 3
1 π 2
1 π 3
Grados
90
1 π 4
1 π 6
5 π 6
0,2 π
π
7 π 6
11 π 6 5 π 4 π 4 3
3 π 2
5 π 3
60
120
7 π 4
45
135
30
150 0, 360 180 330 210
315 225
240
270
300
Geometría plana y trigonometría
Convertir grados a radianes π Se multiplica por 180° Convertir 30° a radianes π 30°π 1 30° = 30°� = = π 180° 180° 6 Convertir radianes a grados �
Se multiplica por Convertir
�
π 180°
1 π a grados 6
1 1 � 180° π = π 6 6 π � 1(180°)π 1(180°) = = 30° 6π 6 Convertir 15° 12 30" a radianes
�
Se convierte el ángulo a su forma decimal 15° 12 18" = 15° + (12/60)° + (18/3600)° = 15° + 0.2° + 0.005° = 15.20° π Se multiplica por 180°
�
n 15.20°π 1520π 760π 19 15.20° = = = rad = 180° 1800π 9000 225 180° � Funciones trigonométricas Vamos a definir las razones seno, coseno y tangente, tomando como base el siguiente triángulo. c a A b cateto opuesto hipotenusa a sen A = c seno A =
coseno A = cos A =
cateto adyacente hipotenusa
b c
tangente A = tan A =
�
� Obtener los valores de funciones trigonométricas
�
Ángulos de 30°
�
� �
2 1 30˚
a b
cateto opuesto cateto adyacente
119
120
Guía enlace
Calcular el valor de la función trigonométrica del triángulo.
� � �
sen30° =
co h
sen30° =
Cos30° =
ca h
Cos 30° =
3 2
Tan30° =
1 3 = 3 3
1 2
�
co Tan30° = ca
� Ángulos 45° �
2
1
45˚
�
1 Calcula el valor de las funciones trigonométricas del triángulo. sen45° =
co h
sen45° =
1 2 = 2 2
Cos45° =
ca h
Cos45° =
1 2 = 2 2
Tan45° =
1 =1 1
�
Tan45° = �
co ca
� �
Ángulos de 60° �
� 2
60˚ 1
3 Calcula el valor de las funciones trigonométricas del triángulo. � co 3 sen60° = sen60° = h 2 Cos60° =
ca h
Tan60° =
co ca
� � �
Cos60° = � Tan60° = � �
1 2 3 = 3 1
Geometría plana y trigonometría
Si continuáramos calculando los valores de las funciones trigonométricas, como se hizo en los grados 30°, 45° y 60°, los podríamos acomodar en la tabla de valores: Grados
Radianes
sen
cos
tan
0°
0
0
1
0
π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4
1 2
3 2 2 2 1 2
3 3
30° 45°
�
60°
�
90°
�
120°
�
135°
2 2 3 2
� �
� �
1
�
�
3 2 2 2
1 �
0 − −
3
∞ �
1 2
− 3
2 2
� � � Funciones trigonométricas en el plano cartesiano Ahora vamos a localizar el siguiente punto en el plano cartesiano � � � P = (cos45°, sen45°)
-1 �
Tomamos los valores de la tabla anterior y obtenemos cos45° =
2 ; 2
sen45° =
2 2
Lo localizamos en el plano cartesiano siguiente donde previamente hemos dibujado un círculo de radio uno (circulo unitario). �
Procedemos de la misma forma con el ángulo de 135° cos135° =
2 ; 2
sen135° =
2 2 y
� 2 P − 2
�
45°
45°
x-
x
y-
121
122
Guía enlace
Si lo observas, son los mismos valores que del ángulo 45°, sólo que los valores de coseno son negativos, lo cual indica que los puntos se ubican en el segundo cuadrante. Por lo que deberás tener en cuenta la ley de los signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes del plano cartesiano: SEGUNDO CUADRANTE
PRIMER CUADRANTE
Sólo seno es positiva
Todas las funciones son positivas
sen + cos − tan −
sen + cos + tan +
TERCER CUADRANTE
CUARTO CUADRANTE
Sólo tangente es positiva
Sólo coseno es positivo
sen + cos − tan +
sen − cos + tan −
Funciones recíprocas La función recíproca de la función a es Si la expresión es
1 . a
a b , su recíproco es . Observa lo siguiente: b a La expresión�
� � �
a sen a =� c b cos a = c a tan a = b
Es recíproca de
c a c sec a = b b ctg a = a csc a =
�
�
� Valores de funciones trigonométricas Para obtener los valores de funciones trigonométricas de ángulos de cualquier medida, se usa la cal� culadora, o tablas y el ángulo de referencia. Tabla de función de seno Ángulo 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
Valor de seno 0 0.5 0.71 0.87 1 0.87 0.71 0.5 0 −0.5 −0.71 −0.87 −1 −0.87 −0.71 −0.5 0
Está representada de la forma
grados
0°
90°
180°
270°
360°
rad
π 2
90°
π
3π 2
2π
1 �
�
-1
Geometría plana y trigonometría
Tabla de función coseno Ángulo
Valor de coseno
0°
1
30°
0.87
45°
0.71
60°
0.5
90°
0
120°
−0.5
135°
−0.71
150°
−0.87
180°
−1
210°
−0.87
225°
−0.71
240°
−0.5
270°
0
300°
0.5
315°
0.71
330°
0.87
360°
1
Está representada de la forma
grados
0°
rad
Valor de tangente
0°
0
30°
0.5773
45°
1
60°
1.73
90°
∞
120°
−1.73
135°
−1
150°
−0.5773
180°
0
210°
0.5773
225°
1
240°
1.73
270°
∞
300°
−1.73
315°
−1
330°
−0.5773
360°
0
180°
270°
360°
π 2
π
3π 2
2π
1 �
�
-1
Tabla de función tangente Ángulo
90°
Está representada de la forma
90˚ 0˚
270˚ 180˚
360˚
123
124
Guía enlace
Relaciones trigonométricas en la resolución de triángulos rectángulos
Problema 1
x
12
40˚ b Calcula el valor de A. Tomamos el valor de sen40° para buscar el valor de la hipotenusa. 12 sen40° = x
(0.6428) = � � �
� �
x=
12
12 x
(0.6428)
= 18.67
x = 18.67 Ahora buscamos el valor de b y consideramos a cos40° cos40° =
b 18.67
0.7660 =
b 18.67
b = (0.7660)(18.67) = 14.30 b = 14.30
Problema 2 Analiza la siguiente figura: Si el cateto adyacente mide 8cm. Hallar el valor de la hipotenusa y del cateto opuesto.
a
x
45˚ b
Geometría plana y trigonometría
Tomamos el valor de cos45° para buscar el valor de la hipotenusa. 8 cos45° = h
(.7071) = � � �
h=
8 h
8 = 11.31 0.7071
h = 11.31 Para calcular el valor del cateto opuesto utilizamos la función de sen45°. sen45° =
co 11.31
(0.7071) = � �
co 11.31
co = 0.7061(11.31) = 7.997 co = 7.997
Problema 3 Un edificio se encuentra a 7m de distancia, de donde se halla el observador. Si el ángulo de elevación es de 30°, ¿cuál es la altura del edificio?
h
30˚ 7m Utilizamos la función trigonométrica tangente, ya que los datos que sabemos son el ángulo y el cateto adyacente. tan30° =
h 7
Sustituimos los datos y hacemos el despeje de h para obtener el valor. �
(0.5773) =
h 7
h = 0.5773(7) = 4.04 �
h = 4.04m
125
126
Guía enlace
Relaciones trigonométricas en la resolución de triángulos oblicuángulos Ley de senos Establece que en un triángulo oblicuángulo la razón que existe entre cada lado y el seno del ángulo opuesto es igual.
γ
b c a = = sen a sen β sen γ
a
b
β
a
�
c
Se utiliza para la resolución de problemas en triángulos que no son rectángulos, el requisito es conocer dos lados del triángulo y un ángulo, o bien, dos ángulos y un lado. Ley de cosenos Utilizar esta ley nos permite calcular la medida de un ángulo desconocido cuando se conoce el valor los tres lados. Cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, permite conocer la medida del lado opuesto al ángulo. La ley de los cosenos establece que:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos A b2 = c2 + a2 - 2ca cos B c2 = a2 + b2 - 2ab cos C B
a c
A
C
b
Ley de tangente Esta ley establece que:
�
�
�
A−C tan a−c 2 = a + c tan( A + C ) 2 B−C tan b−c 2 = b + c tan( B + C ) 2 A− B tan a−b 2 = a + b tan( A + B) 2
C
b
A
a
c
B
Geometría plana y trigonometría
Problema Un ingeniero civil necesita delimitar una propiedad de forma triangular. Si sabemos que el ángulo β = 30° y sus lados a = 25m y b = 16m, ¿cuál es la medida del ángulo α y la del lado c?
γ
a
b a
β c
Se sustituyen en la fórmula de senos todos los valores que conocemos y procedemos como si utilizáramos las razones 16 25 = sen a sen 30° sen a =
(25)(0.5) 12.5
�
16
=
16
= 0.7812
a = 51.3752
a = 51°22'30 � Como ya sabemos que la suma de los ángulos internos es de 180° entonces se aplica a + b + γ = 180° Se despeja γ = 180° - a - b = 180° - 51.3752 - 30 = 98.6248° Resultado γ = 98.6248°
Aplica Pon en práctica tus conocimientos. Determina el valor de x en el siguiente triángulo.
C 60˚
x
45˚ A
C = 32
B
127
128
Guía enlace
¿Qué aprendí? Ahora comprueba lo que aprendiste. Resuelve los siguientes reactivos y al final realiza tu autoevaluación comparando tus respuestas con las de la hoja de respuestas correctas. 5. A un cubo que mide 3cm de arista se le hace un hueco en el centro en forma de prisma de base cuadrangular como lo indica la figura. ¿Cuál es el volumen del nuevo sólido? a. 27 cm3 b. 26 cm3 c. 24 cm3 d. 18 cm3
1. ¿Con cuál expresión se obtiene el perímetro de la figura sombreada si sus vértices son puntos medios del cuadrado ABCD? 100 a. 4 2 b. � �
Área de ABCD = 100cm2 A
B
C
D
50
c. 4 100 d. 50
� 6. ¿Cuál es el volumen del siguiente silo? a. 636.6976 cm3 b. 502 .656 m3 c. 652 cm3 d. 703.7184 cm3
2. ¿Cómo se escribe en notación decimal 5º 12’ 36’’? a. 5.21 b. 5.13 c. 5.12 d. 5.2
10 m
3. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero que mide 2cm por lado?
14 m
a.
3 cm2 b. 2 cm2 c. 4 cm2 �
d. 2 3 cm2
7. ¿Cuál expresión permite calcular el volumen que queda entre el cubo y la pirámide, si la arista del cubo mide 6 cm?
4. ¿Cuál es el área del siguiente cuadrado? �
A) 100 cm2
(2(6) − 1) a. 3
B) 200 cm2 C) 100 cm2
3
�
(2(6) ) b. 3
D) 200 cm2 El área del círculo es 314 cm2 � (p = 3.14).
� � �
3
(3(6) ) c. 3
4 d. 2(62)
Geometría plana y trigonometría
8. ¿Cuál es el perímetro de la vista superior del siguiente sólido formado por cubos que miden 3cm de arista? a. 42 cm b. 54 cm c. 63 cm d. 84 cm
9. ¿Cuál es el área y perímetro de la siguiente figura? a. 193.8087cm2 y 123.4116 cm b. 190.274 cm2 y 69.4116 cm c. 193.8087 cm2 y 69.4116 cm d. 190.274 cm2 y 123.4116 cm ABCD es un cuadrado AB = 9 cm A
De la figura anterior, ¿cuál es la vista frontal? a. b.
C
B
D
10. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un icoságono?
c.
d.
a. 44 b. 170 c. 361 d. 340
129
130
Guía enlace
Autoevaluación Llena en el alveolo tus respuestas y compáralas con las respuestas que aparecen al final de tu libro. Finalmente, realiza tu autoevaluación colocando en la columna de la derecha si fue correcta o incorrecta.
Tus respuestas 1
A
B
C
D
E
2
A
B
C
D
E
3
A
B
C
D
E
4
A
B
C
D
E
5
A
B
C
D
E
6
A
B
C
D
E
7
A
B
C
D
E
8
A
B
C
D
E
9
A
B
C
D
E
10
A
B
C
D
E
11
A
B
C
D
E
12
A
B
C
D
E
13
A
B
C
D
E
14
A
B
C
D
E
15
A
B
C
D
E
16
A
B
C
D
E
17
A
B
C
D
E
18
A
B
C
D
E
19
A
B
C
D
E
20
A
B
C
D
E
TOTAL
Autoevaluación