1
PRESENTACIÓN
MATEMATICAS II
El estudio de las Matemáticas en este el segundo curso, le permitirán al alumno desarrollar habilidades necesarias para resolver problemas geométricos y trigonométricos de carácter teórico o de aplicación práctica mediante el uso de técnicas, conceptos y procedimientos de la geometría plana y la trigonometría. La guía contiene: en la primera unidad las ecuaciones de segundo grado, sus formas de solución como factorización, completar el cuadrado de un trinomio y la fórmula general así como aplicaciones. En la segunda unidad se presentan los conceptos básicos de la trigonometría como son los ángulos y grados y las conversiones entre grados y radianes. Más adelante en la tercera unidad se presentan las seis funciones trigonométricas, el teorema de Pitágoras, las gráficas de las funciones seno, coseno y tangente; la ley de senos y cosenos. Finalmente se muestran las principales identidades trigonométricas. METODOLOGÍA DE LA ENSEÑANZA El asesor guiara los temas especificando los puntos más trascendentales, de manera gradual y paulatina mediante aproximaciones cada vez más generales y apoyándonos en libros, exposiciones, cuestionarios, etc. La participación individual y grupal son importantes para lograr un aprendizaje más dinámico y de fácil aprendizaje. EVALUACIÓN: Diagnostico: No implica evaluación cuantitativa sino cualitativa, es decir, el objetivo de la misma será para saber el nivel de conocimiento del grupo referente a cada tema. Formativo: Se evaluaran las actividades de aprendizaje realizadas dentro y fuera de las sesiones mismas que se presentaran en la sesión respectiva, de igual manera se consideran las participaciones individuales y grupales para el estudio, análisis y reflexión de los temas correspondientes. Sumativa: Se evaluará sumando todas las actividades y puntos a calificar para obtener un resultado final al término de la materia.
2
MATEMATICAS II
OBJETIVO GENERAL: El alumno resolverá problemas geométricos y trigonométricos de carácter teórico y/o de aplicación práctica, provenientes del ámbito escolar y de la vida cotidiana, mostrando interés y actitudes críticas, reflexivas y responsables.
UNIDAD 1
UNIDAD II
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRIA
Objetivo: El estudiante solucionará ecuaciones de segundo grado aplicando los métodos de factorización o formula general.
Objetivo: El estudiante reconocerá las diferentes unidades de medida para los ángulos y realizará las transformaciones necesarias entre ambas unidades.
UNIDAD III
UNIDAD IV
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Objetivo: El estudiante determinará las funciones trigonométricas y las graficará. Aplicará las leyes de los senos y los cosenos en la solución de problemas relacionados triángulos oblicuángulos.
Objetivo: El estudiante manejará y aplicará las diferentes identidades trigonométricas en la verificación o reducción de expresiones trigonométricas.
3
INDICE
UNIDAD 1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Tema 1. Ecuaciones de segundo grado ……………………………………………………………………..5 Tema 2. Formula general ………………………………………………………………………………………….7 Tema 3. Métodos de factorización …………………………………………………………………………..9 UNIDAD II. CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRIA Tema 1. Ángulos y grados ………………………………………………………………………………………..12 Tema 2. Radianes …………………………………………………………………………………………………….15 UNIDAD III FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Tema 1. Teorema de Pitágoras ………………………………………………………………………………..16 Tema 2. Las funciones trigonométricas …………………………………………………………………..18 Tema 3. Gráfica de las funciones seno, coseno y tangente ………………………………………20 Tema 4. Ley de los senos y cosenos ………………………………………………………………………….22 UNIDAD IV IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Tema 1. Las identidades trigonométricas ……………………………………………………………….25 Tema 2. Funciones trigonométricas de dos ángulos (suma y diferencia)………………..27
4
UNIDAD I. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO En esta unidad trabajaremos con ecuaciones de segundo grado, sus aplicaciones y las diferentes maneras de factorización y resolución de las mismas. Tema 1. Ecuaciones de segundo grado Una ecuación es una igualdad entre un par de expresiones que contienen una incógnita, la cual es representada por una literal. Una ecuación de segundo grado se puede identificar porque el exponente mayor de la variable es 2. Por ejemplo: Exponente de grado 2 3 5 2 2
5
2 La forma general de una ecuación de segundo grado con una incógnita, o también llamada ecuación cuadrática es 0
0,
, , ∈
Las ecuaciones cuadráticas que tienen todos sus términos son llamadas completas, y aquellas que no tienen alguno de sus tres términos son llamadas incompletas. Las ecuaciones de segundo grado están presentes en nuestra vida diaria, las encontramos en la forma de la trayectoria de un balón al hacer un tiro a la canasta, es la representación de las máximas o mínimas ganancias en un negocio, al lanzar una pelota.
5
Representación de ecuaciones cuadráticas La forma más sencilla para una ecuación de segundo grado es: . Para representarla podemos usar una tabulación o un gráfico. En el primer caso, usando los siguientes valores para , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 , se obtiene la siguiente tabulación y gráfico:
f(x)=x2 x f(-3)=(-3)2=(-3)(-3)=9 -3 f(-2)=(-2)2=(-2)(-2)=4 -2 f(-1)=(-1)2=(-1)(-1)=1 -1 f(-0)=(0)2=(0)(0)=0 0 f(1)=(1)2=(1)(1)=1 1 f(2)=(2)2=(2)(2)=4 2 f(3)=(3)2=(3)(3)=9 3 De la tabla se observa que los valores de la función para -3 y 3 son los mismos, en este caso, 9. Esta situación es similar para -2 y 2, -1 y 1, y podemos concluir que la gráfica es simétrica con respecto al eje y. Ejemplo 1. Graficar la ecuación cuadrática 3 valor de la función para cada valor de la variable X. X -3
f(x)= 3x2 f(-3)= 3(-3)2 = 3(9)=27
-2
f(-2)= 3(-2)2 = 3(4)=12
-1
f(-1)= 3(-1)2 = 3(1)=3
0
f(-3)= 3(0)2 = 3(0)=0
1
f(-3)= 3(1)2 = 3(1)=3
2
f(-3)= 3(2)2 = 3(4)=12
3
f(-3)= 3(3)2 = 3(9)=27
. Utilice una tabulación para encontrar el
6
Tema 2. Formula general Ejemplo. La longitud de un terreno donde se desea poner una tienda excede su ancho en 10 metros y el área del terreno es de 160 metros cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones que tendrá la tienda? Solución Primero haremos un esquema de la situación, debido a que el terreno no tiene las mismas dimensiones de largo y de ancho entonces, la forma del terreno es rectangular. Definimos como x a la longitud del terreno y el ancho del terreno será y
y
A=160 m2
x Ahora la ecuación para el área del rectángulo es:
A = (base)(altura) = xy 160= xy
………….. (1)
Para saber las dimensiones del ancho, recordemos Que la longitud excede el ancho es 10 metros, es decir, y = x – 10 …… (2) Con lo cual el área del rectángulo se puede expresar como: 160= x (x - 10) 160= x2 - 10 x Reescribimos la ecuación anterior para que podamos resolverla, resultando como 0= x2 - 10 x – 160 …………………………………. (3) Para resolverla, procedemos a factorizar, buscamos un par de números que multiplicados den como resultado 160 y sumados resulten 10. Esta ecuación se resuelve mediante la llamada formula general √
4 2
……………… 4
En donde a es el coeficiente del término cuadrático b = el coeficiente del término lineal c= es el término independiente 7
entonces
a=1
b=-10 c =-160
Sustituyendo en (4), tenemos 10
10
! ".
10 2 1
4 1
√100 2
640
10
√740 2
10
27.2 2
160
# ".
$".
# ".
18.6
8.6
Estos resultados nos proporcionan las raíces de nuestra ecuación original, de estos dos resultados nos quedaremos solamente con x = 18.6, puesto que este resultado es el que tiene un valor real ya que representa la medida del terreno, descartamos así x2 = -8.6 porque no hay medidas de lado negativas. Entonces si la longitud del terreno es de 18.6 metros, entonces el ancho mide 10 metros menos, con lo cual, las medidas dela tienda son:
Longitud x =18.6 metros
A=160 m2
8.6
Ancho y= 8.6 metros
18.6 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE 1. Realizar las gráficas y tabulaciones de las siguientes gráficas: a) 3 b) c)
$ $
8
2. Encontrar las dimensiones de una casa que piensa construirse en un terreno cuya longitud excede su ancho en 8 metros, sabiendo que el área del terreno son 300 metros cuadrados. 3. Encontrar las dimensiones de un corral que piensa construirse en un terreno cuya longitud excede su ancho en 12 metros, sabiendo que el área del terreno son 200 metros cuadrados. Tema 3. Métodos de factorización Una ecuación cuadrática se puede descomponer diversas formas para encontrar sus soluciones. A continuación veremos algunos ejemplos de esta descomposición, que es llamada factorización. Despeje de ecuaciones cuadráticas puras Ejemplos de ecuaciones cuadráticas puras son: 25
0
16
0
36
0
Y se les llama así porque ambos términos son cuadrados de algún factor, y para resolverlas basta con despejar 25
0
25
√25
5
5
16
0
16
√16
4
4
36
0
36
√36
6
6
También pueden presentarse este tipo de ecuaciones de la siguiente forma a) 2 b) 3 c) 4
25 16 36
0 0 0
Y para resolverlas procedemos de la siguiente forma a) 2 2
0
25 b) 3
3
25
16
16
25& 2
12.5
√12.5
'
(. )
16& 3
5.3
√5.3
'
*. (
0
9
c) 4 4
36
0 36& 4
36
9
√9
'
(
Se observa que para cada ecuación obtenemos dos posibles resultados, señalados por el símbolo ±, es decir para el inciso a) anterior los dos valores obtenidos son x= -3.5 y x=3.5, de igual manera para las otras dos ecuaciones. ACTIVIDADES 1. Resolver las siguientes ecuaciones, es decir, hallar sus dos soluciones. 49
a) d) 4
49
0
b) 0
e) 2
64 64
0
c)
0
f) 3
81 81
0 0
Factorización de una ecuación mixta Si se presenta una ecuación cuadrática como 4
0
En donde tenemos un término cuadrático y un término lineal, podemos resolverla factorizando, es decir, en ambos términos tenemos x que es el término común 4
0
La igualdad anterior es una multiplicación, por lo cual será igual a cero si alguno de sus factores es cero, en este caso tenemos las siguientes posibilidades 0
ó
4
0
La primera de estas opciones, x=0, ya es una solución de nuestra ecuación, y para la otra opción basta con despejar, '
,
-
x = -4
Por lo tanto nuestras dos soluciones son x1=0
y x2=- 4
ACTIVIDADES 1. Resolver las siguientes ecuaciones a) 2 0 b) 5
0
c)
6
0
10
Solución de una ecuación cuadrática al completar el trinomio cuadrado perfecto Cuando tenemos una ecuación de la forma 4 − 8 = 0 se suele utilizar el método de solución completando el trinomio cuadrado perfecto, para lo cual seguimos los siguientes pasos: • • • • •
Despejar el término independiente Dividir cada término de la ecuación entre el coeficiente de x2 Sumar en ambos miembros de la ecuación el cuadrado de la mitad del coeficiente de x. Factorizar el primer miembro y simplificar el segundo miembro. Despejar la variable en cuestión y tomar dos raíces, una positiva y una negativa. Ahora emplearemos los pasos anteriores para resolver la siguiente ecuación: +4 −8= 0 Paso 1. +4 =8 Paso 2. Como el coeficiente de x2 es 1 la ecuación sigue igual Paso 3. + 4 + 4 = 8 + 4 Paso 4. Factorizar el primer miembro y simplificar el segundo + 4 + 4 = 8 + 4 ( + 2) = 12 Paso 5. Despejar la incógnita y encontrar los dos valores ( + 2) = √12 + 2 = ±3.4 = −2 − 3.4
= −2 + 3.4
' = −). ,
' = .. ,
ACTIVIDADES 1. Resuelva la siguiente ecuación
+ 8 − 16 = 0
11
UNIDAD II CONCEPTOS BASICOS DE LA TRIGONOMETRIA En esta unidad trabajaremos con algunos conceptos básicos de la trigonometría, en primera instancia trabajaremos con el concepto de ángulos y grados. Tema 1. Ángulos y grados Los ángulos están presentes en nuestra vida diaria, por ejemplo la separación que hay entre los muros de tu casa y el techo forma un ángulo recto debido a que mide 90°, la separación entre los lados de una ventana o de una puerta, o la que existe entre dos niños en un sube y baja.
Ángulos Un ángulo es la medida de la abertura comprendida entre dos recta, que tienen un punto común llamado vértice, las dos rectas son llamadas lados del ángulo. Los ángulos se pueden clasificar según la medida de la separación entre sus lados en: Ángulos agudos: miden menos de 90°
Ángulo recto: mide exactamente 90°
Ángulo obtuso: mide más de 90° y menos de 180°
Ángulo llano: mide 180°
12
Otra manera de identificar los ángulos, es dentro de una circunferencia. Una circunferencia como sabemos, tiene 360 grados, lo cual se representa así 360°. Además un grado se divide en 60 minutos y un minuto se divide en 60 segundos. Existe otra unidad para medir los ángulos, llamada radian, el cual equivale a 57.29°, de tal forma que 360°= 2π rad. Ángulos complementarios Se dice que dos ángulos son complementarios si la suma de ambos ángulos es igual a 90°. Ejemplos. Encontrar el ángulo complementario de cada uno de los siguientes incisos. a) 56°
b) 32° 15´
c) 22° 20´
b) .
c).
Solución a) .
90° -56° 34°
89° 60´ -32°15´ 57°45´
89° 60´ -22°20´ 67°40´
Para los incisos b) y c) escribimos 90° como 89° 60´porque 60´es igual a 1°, así podemos restar los grados con los grados y los minutos con los minutos. Ángulos suplementarios Dos ángulos son suplementarios si la suma de ambos ángulos es igual a 180°. Ejemplos. Encontrar el ángulo suplementario de cada uno de los siguientes incisos. b) 56°
b) 32° 15´
c) 22° 20´
b) .
c).
Solución b) .
180° -56° 124°
179° 60´ -32°15´ 147°45´
179° 60´ -22°20´ 157°40´
ACTIVIDADES 1. Encuentre los ángulos complementarios y suplementarios de cada uno de los siguiente incisos. a) 38° b) 62° c) 18°40´ d) 49° 56´ e) 67° 28´
13
Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal
Cuando se tiene la siguiente disposición de rectas y una recta transversal, se tienen las siguientes identidades
Los ángulos a y c miden lo mismo. Los ángulos a´ y c´ miden lo mismo Los ángulos b y d miden lo mismo. Los ángulos b´ y d´ miden lo mismo. La suma de los ángulos a y b es 180°. La suma de los ángulos c y d es 180°. La suma de los ángulos a y d es 180°. La suma de los ángulos b y c es 180°. Estas últimas cuatro igualdades se cumplen para las letras primadas.
Ejemplo. Encuentre la medida de los ángulos faltantes. Solución. a + b= 180°, entonces 60° + b = 180° por lo tanto b= 120° Luego a= c, por lo tanto c= 60° Y c +d =180°, entonces d=120° Además b = b´ entonces b´= 120° Así a = 60°= c Finalmente d´= b´= 120°
14
Tema 2. Radianes En el tema anterior se mencionaba la equivalencia entre grados y radianes, en esta sección profundizaremos sobre las conversiones entre estas dos unidades. Una circunferencia cuenta con 360° que en radianes equivale a 2π rad, entonces tenemos las siguientes equivalencias: 360°
180°
90°
60°
45°
30°
2/ 0 1
/ 0 1
/ 0 1 2
/ 0 1 3
/ 0 1 4
/ 0 1 6
Para convertir cualquier ángulo medido en grados a radianes se siguen los siguientes pasos: 1. Se establece la equivalencia entre radianes y grados. 2. Se establece una regla de tres, según corresponda. 3. Se hace la multiplicación y división correspondiente. Ejemplo: Convertir 35° a radianes. Solución 1. 360° = 2π rad 2. 35° = ¿?
3.
(()°)(*3 456) (7-°
=
8- 3 456 (7-
= -. .9 3 456
ACTIVIDADES 1. a) b) c) d) e) f)
Convertir a radianes cada una de las siguientes medidas de ángulos dadas en grados. 135° 270° 200° 250° 190° 22°
15
UNIDAD III FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En esta unidad se presenta el teorema de Pitágoras, las seis funciones trigonométricas, así como su aplicación y resolución. Tema 1. Teorema de Pitágoras Supongamos la siguiente situación. Ejemplo 1. Un constructor desea llegar a una ventana que se encuentra a 18 metros de altura, utilizando una escalera que mide 22 m de longitud, ¿a qué distancia de la base del edificio deberá de colocar su escalera? Solución Para resolver esta situación utilizamos la siguiente relación …… (1)
22
En este caso a=18, c= 22 y desconocemos b.
18
Por lo cual primero despejamos b de la ecuación (1), resultando :* b
;*
5*
Sustituyendo
Elevando al cuadrado Realizando la resta Calculando la raíz cuadrada
:*
***
.<*
:*
,<,
(*,
160 √160
Obtenemos la medida de la distancia de la base del edificio a la escalera
12.64
La relación (1), es el teorema de Pitágoras.
16
Ejemplo 2. Se desean bajar frutos de un árbol de naranjas, para ello se necesita construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.
Solución Empleamos la formula (1)
Sustituimos los valores para a y b 5
9
a=9
Elevamos al cuadrado 81
25
Realizamos la suma 106 B=5
Se obtiene la raíz cuadrada √106
El resultado final es:
.-. *
;
Es decir la longitud de la escalera será de 10.2 m. ACTIVIDADES Empleando el teorema de Pitágoras resuelve los siguientes problemas. 1. ¿Cuál es la altura de un edificio, que proyecta una sombra es 120 metros? 2. Calcular la longitud d de la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 8 m.
17
Tema 2. Las funciones trigonométricas Recordemos que una función es la relación o correspondencia entre dos variables de manera unívoca. En donde obtenemos un par ordenado (x, y). Las funciones trigonométricas estudian fundamentalmente la relación entre los lados y los ángulos de los triángulos, en especial de los triángulos rectángulos. Para definir las funciones trigonométricas, nos auxiliaremos de la figura siguiente, además hay que tener en cuenta que dichas funciones son las proporciones que se obtienen al comparar la medida de los lados del triángulo rectángulo. Con respecto al ángulo A
C
B a A
b =>? @
A
BACDCE EFGDHCE
B
IJFECDKGHA
L= @
M B
BACDCE ANOABDKCD IJFECDKGHA
P ? @
A M
BACDCE EFGDHCE BACDCE ANOABDKCD
B
IJFECDKGHA
A
BACDCE EFGDHCE
=> @
A B
IJFECDKGHA BACDCE EFGDHCE
LP @
M A
BACDCE ANOABDKCD BACDCE EFGDHCE
= @
Se le llama cateto adyacente al lado que forma parte del ángulo en cuestión y cateto opuesto al ángulo que no forma al ángulo del que se hable. Por eso para el ángulo A el cateto adyacente es b y el cateto opuesto es a. Mientras que para el ángulo B el cateto adyacente es el lado a y el cateto opuesto es el lado b. La abreviación csc significa cosecante, la abreviación sec significa secante, cot es la cotangente, sen significa seno, cos significa coseno, y finalmente tan significa tangente.
18
Ejemplo. Obtener las seis funciones trigonométricas para los ángulos A y B, del siguiente triángulo. Solución a=9
Como no conocemos la longitud del lado c, primero tenemos que calcular dicha longitud, para lo cual empleamos el teorema de Pitágoras
9
10
81
100
181
b=10
13.4
√181 Ahora podemos expresar las seis funciones trigonométricas: =>? @ cos @ P ? @
A B M B
Q $.R
A M
$.R Q
= @
B A
$.R Q
=> @
B M
$.R
LP @
M A
Q
ACTIVIDADES 1. Expresar las seis funciones trigonométricas para cada uno de los siguientes triángulos, en caso de ser necesario obtener la medida del lado faltante en cada caso.
a=12
a=15
b=10
b= 11
19
Tema 3. Gráfica de las funciones seno, coseno y tangente Las funciones trigonométricas presentadas en el capítulo anterior, se pueden evaluar en algunos casos para todos los valores de los ángulos y en otros casos nos encontraremos con valores para los cuales no se puede obtener un valor definido para la función. Gráfica de la función seno Para trazar la gráfica de esta función podemos auxiliarnos de la siguiente tabla Radianes Grados Sen (x)
-3π/2 -270 1
-π -180 0
-π/2 -90 -1
0 0 0
π/2 90 1
Π 180 0
3π/2 270 -1
-π/2 -90 0
0 0 1
π/2 90 0
Π 180 -1
3π/2 270 0
Gráfica de la función coseno Radianes Grados cos (x)
-3π/2 -270 0
-π -180 1
20
Gráfica de la función tangente Radianes -3π/2 -π Grados -270 -180 tanθ No 0 definido
-π/2 0 π/4 π/2 Π -90 0 45 90 180 No 0 1 No 0 definido definido
3π/2 270 No definido
Los puntos en donde se indefine la función son llamados asíntotas.
21
Tema 4. Ley de los senos y cosenos Ley de los cosenos En esta sección resolveremos el siguiente problema. Ejemplo. Un avión vuela a una distancia de 150 km, de la ciudad A a la ciudad B, luego cambia su rumbo 60° y se dirige a la ciudad C, que está a 100 km. ¿Qué distancia hay entre las ciudades A y C? Solución Primero hacemos un esquema del problema.
b
100km
120°
La situación que tenemos es la siguiente, conocemos dos lados de un triángulo y el ángulo que hay entre estos lados, que es de 120° (por que la suma de dos ángulos adyacentes siempre es de 180°).
Para resolver este problema empleamos la siguiente regla :*
5*
;*
*5; VWX Y …………( 1 )
En donde a=100 km
b=¿?
c= 150 km
C= 120°
que son los datos que sustituiremos, resultando 100
150
2 100 150 cos 120°
Se obtienen los cuadrados de los números 10,000
22,500
30,000 cos 120
Se realiza la suma y se obtiene el cos(120)= - 0.5 32,500
30,000
32,500
0.5
15,000
47,500 217.9 Z[ Esta es la distancia a la que se encuentra la ciudad A de la ciudad C.
22
La expresión (1) es llamada la ley de los cosenos, esta ley tiene tres representaciones, según las necesidades del problema, las cuales son las siguientes:
5*
:*
;*
*:; VWX \
:*
5*
;*
*5; VWX Y
;*
5*
;*
*5: VWX ]
Para ubicar los lados y ángulos correspondientes a estas expresiones utilicemos el siguiente esquema:
B c
a
A
C
b
Las letras mayúsculas representan los ángulos y las minúsculas los lados, note que los ángulos son opuestos a sus lados correspondientes. Ejemplo. Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 120°. Determine la longitud del tercer lado. Solución: Supongamos que a=6, b=10, C=120° y el tercer lado es c. Entonces utilizando la ley de cosenos en su tercera forma ;*
5*
;*
7*
.-*
*5: VWX ]
Tenemos ;*
;*
(7
* 7 .- VWX .*-°
.-;*
.*-
-. )
.97
Por lo tanto c=14
23
Ley de los senos La ley de los senos tiene la siguiente forma
=>?@
=>?^
=>?_
Se utiliza cuando: a) Se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. b) Cuando se conocen los tres lados Para aplicar la ley de los senos, podemos auxiliarnos del siguiente triángulo para la identificación de cada parte.
Ejemplo. Un avión vuela de la Ciudad de México a Puebla que esta a 120 km de distancia, luego cambia su dirección 40° y se dirige a la Ciudad de Perote. Si la distancia entre México y Perote es de 300 km, ¿Qué distancia hay de Puebla a Perote?
Solución Aplicamos la ley de los senos, sustituyendo los valores para los lados y para los ángulos: b= 120 km c = 300 B= 40 por ser ángulo alterno interno con el otro ángulo de 40°. Aplicando la ley de los senos: 300 =>?140
120 =>?`
24
Despejamos sen γ =>?`
120 =>? 140° = 0.257 300
` = =>?# (0.2571) = 14.9° Y como a = 180° − (b + `) = 180° − 154.9° = 25.1° La distancia entre Puebla y Perote la podemos calcular sabiendo que: =>?a
=
120 =>?`
Despejando =
120 =>?a 120 =>?25.1° = = 198Z[ =>?` =>?14.9°
Entonces la distancia entre Perote y Veracruz es de 198km. ACTIVIDADES 1. Resolver el triángulo oblicuángulo ABC si c=15. el ángulo A= 110° y el ángulo B=52°. 2. Resolver el triángulo oblicuángulo si el ángulo A=20° ángulo B=50° y lado a=8
UNIDAD IV IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS Tema 1. Las identidades trigonométricas Recordemos que una igualdad es la relación que se establece entre dos cantidades que expresan el mismo valor, por ejemplo: 3+2 = 5. Y una ecuación es una igualdad condicionada, por ejemplo 2x + 3 = 13, en donde para que se cumpla dicha ecuación x deberá valer 5. Una ecuación tiene tantas raíces o soluciones como su grado. Una identidad es aquella que puede ser satisfecha por cualquier valor de x en el que la variable está definida. Una identidad trigonométrica es una relación que contiene funciones trigonométricas y que es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones. Existen varias identidades trigonométricas que nos serán útiles para la simplificación de algunas expresiones, la primera de ellas es: ;cd* e + dfg* e = . ………………. (1) 25
A partir de esta primera identidad podemos, obtener las demás para ello dividamos la expresión anterior entre cos2θ BEH hi
HDKh i
BEH hi
BEH hi
HDKh i BEH h i
P ? j
BEH hi
Usando la identidad (1) y el hecho de que la función inversa del coseno es la secante , llegamos a 1 = => j L= j De donde obtenemos que . + k5g* e = df;* e ………(2) Ahora si la expresión (1), se divide por sen2θ , obtenemos BEH h i HDKh i
+
HDKh i HDKh i
=
BEH hi HDKh i
HDKh i
= LP j
Usando la identidad (1) y el hecho de que la función inversa del coseno es la secante , llegamos a 1 = = j =>? j De donde obtenemos que . + ;ck* e = ;d;* e ………(3) Estas tres identidades son llamadas identidades pitagóricas. A continuación se presenta una tabla con las identidades trigonométricas más usuales. 1 =>?j = j P ?j = L=j 1 1 P ?j = LPj = LPj P ?j 1 = j= =>?j =>?j =
L=j =
1 => j
=> j =
1 L=j
ACTIVIDADES 1. Verificar las siguientes identidades a)
HDKi CAKiHDBi
= L= j 26
b) P ?j LPj = j LPj c) 1 − =>?j L=j LPj = =>? j
Tema 2. Funciones trigonométricas de dos ángulos (suma y diferencia) Las funciones trigonométricas de dos ángulos en suma y resta para las funciones seno y coseno son las siguientes =>?(@ + ^) = =>? @ L=^ + =>?^ L=@ =>?(@ − ^) = =>? @ L=^ − =>?^ L=@
Cuando el ángulo es el mismo, resulta =>?(@ + @) = =>? @ L=@ + =>?@ L=@ Que simplificando resulta dfg(*\) = *dfg \;cd\ Para el coseno cos(@ + ^) = L=@ L=^ − =>?@=>?^ cos(@ − ^) = L=@ L=^ + =>?@=>?^
Cuando el ángulo es el mismo cos(@ + @) = cos(2@) = L= @ − =>? @ ACTIVIDADES 1. Empleando las identidades anteriores, encontrar el valor de: a) Cos (30+45) b) Sen(30+45) c) Sen(30-45) d) Cos (30-45)
27