Pasquin 2 de triangulos

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Materiales de estudio

2 2. Del, gráfico calcule x

TRIANGULOS I PROBLEMAS BASICO INTERMEDIO 1. Calcule x.

A) 30° B) 45° C) 60° D) 50° E) 75°

RESOLUCION: 2 PAC :

2   2  120

A) 20° B) 25° C) 40° D) 25°/2 E) 50° RESOLUCION: Solución 1

    60     60 DEC : x   ADE :     x  180 2 x  180     2 x  180  (    ) 2 x  180  60 x  60

Por Propiedad: 2α + 2θ = 50 + 90 En ∆PQR: α+θ=70° entonces: x=20°

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3. En un triángulo ABC, sobre el lado BC se ubica un punto P, tal que AB = PC y m ABC  60  m BCA , Calcule el menor valor entero que puede tomar la medida del ángulo BAC. A) 31° B) 30° C) 40° D) 41° E) 61° Solución 3 x = 120 - 2α 120 - 2α > α 120 > 3α 40 > α 2α = 120 – x α = 120 – x/2 40 > 120 – x/2 80 > 120 – x x> 40 x = 41

4. Del gráfico mostrado, Calcule:

         

A) 360° C) 720° E) 1080°

B) 540° D) 900°

RESOLUCION: 4 Solución: α + β + A = 360

    A  360     A  360     180  A     180  A Rpta :1080

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5. Si AQ = AP y TC = RC, Calcule x.

6. Del gráfico, calcule x

A) 10° B) 20° C) 30° D) 45° E) 60° A) 60° B) 80° C) 30° D) 40° E) 50°

Solución 5

En PBRO: 5x = α + θ ……….. (I) En TOQ: α + θ + 4x = 180………….(II) Siendo I y II 9x + α + θ = α + θ = α + θ + 180 9x = 180 x = 20°

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RESOLUCION 6

En ∆ABC (Propiedad de bisectrices) x = 90 – 80/2 x = 90 – 40 x = 50

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Materiales de estudio 7. Del gráfico mostrado, Calcule x.

A) 100° C) 120° E) 140°

B) 110° D) 130°

5 8) Calcule “x”

A) 10° D) 20°

B) 15° E) 25°

C) 18°

RESOLUCION 8

RESOLUCION 7

9x = 180° x = 20° ∆NBD: m + n = 70° 2m + 2n = 140 ∆PBC: P  40 ∆PMC: (propiedad) x = 90 + 40/2 x = 90 + 20 x = 110

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9) En el gráfico mostrado, calcule x si AQ=AP y PC=RC.

A) 30° D) 75°

B) 45° E) 50°

C) 60°

INTERMEDIO 10) En un triángulo ABC, obtuso en A, se traza la altura BH, además m HBA  m HCB si en el triángulo, HBC se tras a la ceviana interior HN, la cual interseca a AB en M, y HM=AM, calcule m HNC A) 120° C) 90° D) 45°

B) 75° E) 60°

RESOLUCION 10

solución 9

en BRPQ : x  m   en. puntoP :     m  180 en MNP 4 x  180  m 1 en 2 180  x 4 x  180  2 8 x  360  180  x

HAB  90   ; AHM  90   y BHN  

Del grafico

HMB( Isosceles) ;  HM  MB Luego HMA  2

BAC : ABC  90  2 En BMN : 90  2  2  x

90° = x

9x = 540° x = 60°

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Materiales de estudio 11) Si: m + n = 150°, Hallar “x”

A) 50° D) 80°

7 12). Si: a+b+c+d+e+f = 270, Halla x + y

B) 60° C) 70° E) 100°

RESOLUCION: 11

En ABC : 2    m  180.......(1) en ADC: 2 + + n = 180°.......(2)

A) 90° D) 270°

B) 135° E) 260°

C) 180°

RESOLUCION: 12

Siendo (1) + (2)

3  3  m  n  360 70

3  3  210     70 x = 110°

En el cuadrilátero Cóncavo ABCD Se cumple:

ADC  e  b  d

En el cuadrilátero Cóncavo: MNPQ Se cumple:

MQP  a  f  c

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Finalmente en el ODRQ( por propiedad) x+y=e+b+d+a+f+c x + y = 270° 13) . Si: AB  BC y Hallar “x”

DE  EF ,

Siendo (1) + (2) a + b + θ = 180° θ + 180° – x = a+b x = 2θ 14) . Del grafico calcular “x”

A)  C) 90   E) 90  

B) 2 D) 180  

RESOLUCION: 13

FNC : a  b    180.......(1)

En el cuadrilátero (PAND) Por propiedad a + b = θ + 180° – x…. (2)

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A) 35° D) 45°

B) 25° E) 60°

C) 30°

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Materiales de estudio RESOLUCION: 14

9 RESOLUCION 15 Del gráfico:

α + θ = 110° Entonces: 2α + 2θ = 220° Luego en el Punto “A” 2θ + 90° – x = 180°……. (1) En el punto “B” 2α + 90° – y = 180°………. (2)

Del grafico ABC 2α = 70° + 2θ α – θ = 35°…….. (1)

Sumado (1) + (2)

En el cuadrilátero cruzado (AEDC) Se cumple: 90° + α = 90 + θ + α α+θ=x 35° = x

2  2  180  x  y  360 220  180  x  y x  y  40

15) Del gráfico, Calcular “x+y”

PROBLEMAS PROPUESTOS 1) Los triangulos ACP y CPB son isosceles (AC=PC=PB) y el triangulo PBQ es equilatero. A) 60° B) 70° C) 80° D) 75° E) 45°

A) 50° D) 20°

B) 30° E) 60°

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C) 40°

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2) En el gráfico, calcule “x+y” A) 140° B) 160° C) 180° D) 190° E) 200°

6) En el grafico, calcule x si: a-b=40° y m+n=130°. A) 45° B) 65° C) 85° D) 75° E) 15°

3) Si a+b+c=100°, calcular “x”. A) 90° B) 100° C) 110° D) 120° E) 135°

7) En el grafico, AB=BM, AM=AN y AC=BC. Si. NMC  2m ACB calcule. NMC MNC

4) Si: 2b-a=62°, calcula “x” A) 54° B) 27° C) 81° D) 62° E) 56°

A) 1 B) 2/3 C) 1/2 D) 3/4 E) 4/5 8) M,N son puntos de los lados AC y BC, respectivamente, del triangulo ABC. Si AB=BM=BN, MN=NC y la ABM=30°, calcule MBC. A) 30° B) 40° C) 50° D) 35° E) 45°

5) En el grafico,calcule “m+n” si. x+y=2/7(m+n) A) 180° B) 200° C) 240° D) 210° E) 270°

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9) En el triangulo ABC se prolonga AB hasta M y en AC ubicamos el punto D de manera que la CBM=BDC. Si AB=BD, AD=2, DC=4, calcule BC. A) 4 D) 4

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B) 6 E) 8

C) 8

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Materiales de estudio 10) En el triangulo ABC, calcule “x” si m ABC  80 A) 65° B) 70° C) 75° D) 80° E) 55°

11) En el triangulo ABC, calcule “m+n” A) 165° B) 170° C) 175° D) 180° E) 225°

11 14) En el grafico, calcule “x” A) 40° B) 45° C) 50° D) 36° E) 75°

15) En el grafico, calcule x+y, si m+n+p+q=430° A) 30° B) 40° C) 50° D) 60° E) 70°

12) En el grafico, calcule “x” 01) Calcule x si L

A) 30° B) 35° C) 40° D) 50° E) 45°

es mediatriz de BH.

13) si a+2b=135°, calcule “x”

A) 65° D) 60°

B) 70° E) 75°

C) 80°

A) 15° B) 30° C) 36° D) 45° E) 60°

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