UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA OPCIÓN - D GRADO EN INGENIERIA INDUSTRIAL - ÁLGEBRA – CONV. ORDINARIA 24 de ENERO de 2011 - PRIMER CURSO -CURSO 2010/2011
APELIDOS :
NOMBRE.:
D.N.I. :
GRUPO o PROF.:
Cada pregunta tiene una única opción correcta. Si la opción contestada es la correcta se suma 1 punto. Si es incorrecta se resta 0.25 puntos. Si no se contesta ninguna o más de una opción no se puntúa. Redondee con claridad y con bolígrafo la única opción correcta de cada pregunta. No se permiten calculadoras, ni lápiz, ni goma, ni tipex. Tiempo: 2 horas. 1) Sea la aplicación lineal f : 3 2 , definida por: f x1 , x 2 , x 3 x1 x 2 , 0 a) f es sobreyectiva (epimorfismo)
c) La dimensión de la imagen es 2
b) f es inyectiva (monomorfismo)
d) La dimensión del núcleo es 2
a
f
a
f
a
f
2) Sea A 77 tal que: r A 3I 3, r A 5 I 5 y r A 6 I 6 . Entonces:
a f ra A 4 I f 7 y A es diagonalizable ra A 4 I f 4 y A puede ser diagonalizable o no diagonalizable.
a) r A 4 I 0 y A no es diagonalizable. b) c)
d) r A 4I 3 y A puede ser diagonalizable o no diagonalizable. 3) La recta que mejor se ajusta por el método de mínimos cuadrados a la nube de puntos: 1, 0 , 0,1 , 1,1 es:
1 2 1 1 b) y x c) y x 2 3 3 4 1 a 0 4) Sea la matriz A 0 2 0 , donde a . a 1 1 a) y x 2 x 1
a) Para a 0 , el sistema de vectores
1 2 d) y x 3 5
0,1,1 , 1, 0, 0 , 0, 0,1 es una base de
3 formada por
autovectores de A. b) Si a 0 entonces A no es diagonalizable. c) Si a 0 entonces A es diagonalizable. d) Para a 1 , el sistema de vectores 0, 0,1 , 1,1, 2 , 1, 2,3 es una base de 3 formada por autovectores de A. 5) Sea
An n
una matriz simétrica y sea
hemisimétrica), ambas de orden n. Entonces: a) BAAB es antisimétrica y ABBBA es simétrica.
b) BAAB es simétrica y ABBBA es antisimétrica. c) BAAB es antisimétrica y ABBBA es antisimétrica. d) BAAB es simétrica y ABBBA es simétrica.
B n n una matriz antisimétrica (o
6) Sea S un subespacio vectorial de 4 dado por sus ecuaciones cartesianas: x x2 0 S 1 x 2 x 4 0
1, 0, 0, 0 , 0,1, 0, 0 , 0, 0,1, 0 , 0, 0, 0,1 y una base de S es 1,1, 0, 1
a) dim S 4 y una base de S es b) dim S 1
c) dim S 3 y una base de S es
1, 0, 0, 0 , 0,1, 0, 0 , 0, 0, 0,1
d) dim S 2 y una base de S es
1,1, 0, 1 , 0, 0,1, 0
7) La forma cuadrática de orden 3 (n = 3): Q x, y, z 5 x 2 y 2 5 z 2 6x z
a) Indefinida
b) Semidefinida c) Definida positiva 1 0 8) Sea la matriz A 2 2 . Entonces: 1 0
es:
d) Definida negativa
a) La dimensión del subespacio de todas las matrices simétricas que conmutan con A es 2.
b) La dimensión del subespacio de todas las matrices que conmutan con A es 3. 0
c) El subespacio de todas las matrices simétricas que conmutan con A es
2
d) El subespacio de todas las matrices que conmutan con A es
9) El sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
0
0
x1 - x 2 + x 3 = 1 x1 + 2 x 2 + 3 x 3 = -1 2 x + x + 4 x = 0 2 3 1
a) Tiene infinitas soluciones dependientes de 2 parámetros
c) Tiene solución única
b) Tiene infinitas soluciones dependientes de 1 parámetro
d) No tiene solución
10) Sea S el plano vectorial de 3 dado por su ecuación cartesiana:
S xyz 0 a) La proyección ortogonal del vector 3, 0, 6 sobre el plano S es 4,1, 5 b) La proyección ortogonal del vector 2, 5,3 sobre el plano S es 1, 4,3 1 0 1 1 c) La matriz de proyección sobre el plano S es P 0 2 0 2 1 0 1 1 0 1 d) La matriz de proyección sobre el plano S es P 0 2 0 1 0 1
UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS DE GRAN CANARIA GRADO EN INGENIERIA INDUSTRIAL EXÁMEN DE ÁLGEBRA - CONVOCATORIA ORDINARIA 24 de ENERO de 2011 - PRIMER CURSO -CURSO 2010/2011
SOLUCIONES – OPCIÓN D
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
d b b a b d a c b a