Práctica III_Pandeo

Práctica III Pandeo Resistencia de los materiales

26 DE ABRIL DE 2012

Introducción

Los diferentes elementos que forman una estructura pueden fallar por diferentes motivos, dependiendo de los materiales utilizados, tipos de cargas, ligaduras y apoyos.

Muchos de estos fallos se evitan dimensionando las estructuras de tal forma que las tensiones y deformaciones máximas que se produzcan permanezcan dentro de los límites admisibles.

Sin embargo, existen otros fallos como es el fallo por inestabilidad o pandeo, que puede tener lugar en el caso de elementos estructurales esbeltos sometidos a compresión. En estos casos, en el elemento puede aparecer una flexión lateral que puede llegar a ser grande y provocar fallos.

Objetivos

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Entender el fenómeno de pandeo, sus repercusiones y sus causas.

Hallar la carga crítica que dependerá del tipo de sujeción que tenga la barra.

Esta carga crítica es fundamental para definir el tipo de equilibrio al que estaría sometido una barra (estable, inestable o indiferente).

Averiguar, sobre qué eje se inclinará la barra debido al momento de inercia.

Fundamentación teórica El ensayo de pandeo completa uno de los tres criterios para el diseño de estructuras, el criterio de estabilidad. Sucede cuando sometemos la barra que estudiamos a una carga axial de compresión . Sin embargo, deben darse ciertas características, como que la relación entre la altura y la longitud de la sección recta supere cierto valor y que la carga aplicada supere la carga crítica de la barra.

Como hemos dicho, el pandeo presenta un problema de estabilidad elástica. Para comprender mejor este concepto debemos tener claros los tres tipos de equilibrios que hay:

-­‐ Equilibrio estable.

-­‐ Equilibrio indiferente.

-­‐ Equilibrio inestable.

2

Estos  tres  conceptos  estĂĄn  relacionados  con  la  carga  crĂ­tica  de  la  barra,  que  es  la  siguiente:   đ?&#x153;&#x2039; ! ¡ đ??¸ ¡ đ??ź!Ă­! đ?&#x2018;&#x192;!"Ă­! =  đ??ż!!  Dependiendo  del  valor  de  la  carga  (P)  a  la  que  estĂŠ  sometida  la  pieza,  tenemos  que:   -­â&#x20AC;? Si  P  <  PcrĂ­t  la  barra  estĂĄ  en  equilibrio  estable.  -­â&#x20AC;? Si  P  =  PcrĂ­t  la  barra  puede  estar  en  equilibrio  estable  o  inestable  (con  deformaciones  casi  imperceptibles;  infinitĂŠsimas).  -­â&#x20AC;? Si  P  >  PcrĂ­t  la  barra  estĂĄ  en  equilibrio  inestable  (deformaciones  finitas  o  flexocompresiĂłn).     Nos  centraremos  en  el  tercer  caso,  en  el  que  aparece  la  flexocompresiĂłn.                Se  define  el  momento  flector  como  :   đ?&#x2018;&#x20AC;! = đ?&#x2018;&#x192; ¡ đ?&#x2018;&#x152;!/!               donde  đ?&#x2018;&#x152;!/!  es:                     đ?&#x2018;&#x152;!/! = 0,9 ¡ đ??ż ¡

!!!"Ă­! !!"Ă­!

 Â

    Nosotros  abordaremos  el  problema  respecto  a  las  tensiones  y  no  con  respecto  a  la  carga  crĂ­tica.  Esto  queda  relacionado  de  la  siguiente  manera:   đ?&#x153;&#x17D; = đ?&#x153;&#x17D;! đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x192; + đ?&#x153;&#x17D;! đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x20AC;!    A  continuaciĂłn  definiremos  los  tĂŠrminos  de  la  ecuaciĂłn  de  la  fĂłrmula  de  la  carga  crĂ­tica  (FĂłrmula  de  Euler):   đ?&#x153;&#x2039; ! ¡ đ??¸ ¡ đ??ź!Ă­! đ?&#x2018;&#x192;!"Ă­! =  đ??ż!!  -­â&#x20AC;? E  es  el  mĂłdulo  de  Young,  para  el  acero  =  210000  N/mm2.  -­â&#x20AC;? ImĂ­n  es  el  momento  de  inercia  de  la  secciĂłn  transversal  de  la  barra  (es  el  mĂ­nimo  porque  corresponde  a  la  secciĂłn  mĂĄs  â&#x20AC;&#x153;dĂŠbilâ&#x20AC;?).  -­â&#x20AC;? Lk  es  la  longitud  de  pandeo,  asociada  a  la  longitud  inicial  de  la  barra  mediante  un  parĂĄmetro  (đ?&#x203A;˝).  Â

PRĂ CTICA Â III Â

3 Â Â

  El  parĂĄmetro  đ?&#x203A;˝  varĂ­a  segĂşn  el  tipo  de  sujeciĂłn  de  la  barra.  Veamos  una  imagen  con  los  tipos  de  sujeciones:   Â

  Existen  diferentes  valores  del  parĂĄmetro  đ?&#x203A;˝  en  funciĂłn  del  tipo  de  sujeciĂłn:   -­â&#x20AC;? Articulado  â&#x20AC;&#x201C;  Articulado:  đ?&#x203A;˝ = 1  -­â&#x20AC;? Empotrado  â&#x20AC;&#x201C;  Articulado:  đ?&#x203A;˝ = 0,7  -­â&#x20AC;? Empotrado  â&#x20AC;&#x201C;  Empotrado:  đ?&#x203A;˝ = 0,5  -­â&#x20AC;? Empotrado  â&#x20AC;&#x201C;  Libre:  đ?&#x203A;˝ = 2   Como  vemos  en  la  imagen,  la  curvatura  generada  depende  del  tipo  de  apoyo.  AdemĂĄs,  se  observa  que  las  cargas  aplicadas  para  conseguir  el  pandeo  varĂ­an  significativamente  dependiendo  de  las  sujeciones:   Las  dimensiones  de  la  barra  son:   L  =  180  mm  b  =  12  mm   h  =  0,5  mm    Calculamos  el  momento  de  inercia  IY   đ?&#x2018;?â&#x201E;&#x17D;! đ??ź! = = 0,125  12 4  Â

  Aplicando  la  fĂłrmula  de  Euler:   đ?&#x2018;&#x192;!"Ă­! =

đ?&#x153;&#x2039; ! ¡ 210000 ¡ 0,125  đ?&#x203A;˝ ¡ 180 !

Los  valores  obtenidos  para  cada  sujeciĂłn  son:   -­â&#x20AC;? Articulado  â&#x20AC;&#x201C;  Articulado:  đ?&#x2018;&#x192;!"Ă­! = 8  đ?&#x2018;  -­â&#x20AC;? Empotrado  â&#x20AC;&#x201C;  Articulado:  đ?&#x2018;&#x192;!"Ă­! = 16,3  đ?&#x2018;  -­â&#x20AC;? Empotrado  â&#x20AC;&#x201C;  Empotrado:  đ?&#x2018;&#x192;!!Ă­! = 32  đ?&#x2018;  -­â&#x20AC;? Empotrado  â&#x20AC;&#x201C;  Libre:  đ?&#x2018;&#x192;!"Ă­! = 2  đ?&#x2018;    Ejercicio  propuesto:    Calcular  la  deformaciĂłn  aĂąadiendo  1N  y  5N  en  la  barra  articulada-­â&#x20AC;?articulada  (incrementos  de  1N  y  5N).   Para  ello  usamos:   đ?&#x2018;&#x152;!/! = 0,9 ¡ đ??ż ¡

Î&#x201D;đ?&#x2018;&#x192;!"Ă­! Â đ?&#x2018;&#x192;!"Ă­!

 Para  1N: Â

Â

đ?&#x2018;&#x152;!/! = 0,9 ¡ 180 ¡

1 = Â Â 57,28 Â đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;. Â 8

đ?&#x2018;&#x152;!/! = 0,9 ¡ 180 ¡

5 = 128,07 Â đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;. Â Â 8

Para  5N: Â

Â

  Â

   Â

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PRĂ CTICA Â III Â

5 Â Â

Práctica

Vamos a utilizar una probeta de acero y además vamos a suponer que no está deformada. Las dimensiones de la barra son las siguientes:

L = 500 mm b = 20 mm h = 3 mm

La máquina que vamos a utilizar es la siguiente:

Esta máquina está dotada de dos relojes medidores. Uno de ellos se encarga de medir las deformaciones (fig.1) y el otro medirá la carga aplicada (fig.2)

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fig.1 Â

 Â

Â

Â

               Â

fig.2 Â

Â

Â

           Â

Â

Aplicamos  cinco  cargas  distintas  (siempre  en  la  direcciĂłn  de  la  lĂ­nea  neutra  de  la  barra),  obteniendo  con  ellas  la  deformaciĂłn  correspondiente:    YL/2  (mm)  P  (N)  1  75-­â&#x20AC;?80  2  150  2,5  190  3  200  3,5  225   Calculamos  el  valor  de  la  carga  crĂ­tica  de  esta  barra  (que  estĂĄ  en  sujeciĂłn:  Articulada  â&#x20AC;&#x201C;  Articulada):   20 ¡ 3! đ?&#x153;&#x2039; ! ¡ 210000 ¡ 12 đ?&#x2018;&#x192;!"Ă­! = = 373,07  đ?&#x2018;  1 ¡ 500 !   Luego  fuimos   al  laboratorio  y  tras  cargar  la  barra,  aĂąadimos  los  25N  que  se  pedĂ­an:   Â

Â

đ?&#x2018;&#x152;!/! = 0,9 ¡ 500 ¡

25 = 116,49 Â đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x161;. Â Â 373,07

  Â

PRĂ CTICA Â III Â

7 Â Â

Conclusiones   -­â&#x20AC;?

Comparando  en  pandeo  con  el  ensayo  de  tracciĂłn,  vemos  una  diferencia  muy  significativa,  y  es  que  en  la  tracciĂłn  aparecen  las  lĂ­neas  de  LĂźders  que  nos  avisan  de  la  rotura  (dĂşctil).  Sin  embargo  en  el  pandeo  no  hay  ningĂşn  tipo  de  aviso  (rotura  frĂĄgil). Â

-­â&#x20AC;?

La  direcciĂłn  del  pandeo  no  es  arbitraria:  depende  del  momento  de  inercia.  El  pandeo  se  va  a  producir  en  la  direcciĂłn  que  tenga  menor  momento  de  inercia  ya  que  es  la  secciĂłn  mĂĄs  â&#x20AC;&#x153;dĂŠbilâ&#x20AC;?. Â

-­â&#x20AC;?

Nos  interesa  que  el  factor  đ?&#x203A;˝  sea  pequeĂąo,  porque  de  este  modo  la  carga  crĂ­tica  aumenta.  Â

-­â&#x20AC;?

Con  respecto  a  los  ensayos  de  las  prĂĄcticas  anteriores,  vemos  que  la  direcciĂłn  de  la  fuerza  es  distinta.  En  el  ensayo  de  tracciĂłn  analizamos  una  carga  axial  de  tracciĂłn  y  en  la  extensometrĂ­a  los  esfuerzos  normales  de  tracciĂłn  y  compresiĂłn.  Sin  embargo,  en  el  pandeo  tenemos  una  carga  axial  en  la  direcciĂłn  del  eje  de  la  lĂ­nea  neutra. Â

-­â&#x20AC;?

Queda  demostrado  que  el  tipo  de  sujeciĂłn  que  soporta  mĂĄs  carga  es  el  empotrado  â&#x20AC;&#x201C;  empotrado,  porque  evita  la  transmisiĂłn  de  momentos  flectores. Â

-­â&#x20AC;?

Hay  que  destacar  que  en  la  fĂłrmula  de  la  carga  crĂ­tica  aparece  el  mĂłdulo  de  Young.  Esto  nos  lleva  a  sacar  la  conclusiĂłn  de  que  estamos  trabajando  siempre  en  el  tramo  elĂĄstico  de  la  curva  tensiĂłn  â&#x20AC;&#x201C;  deformaciĂłn. Â

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8 Â Â